Chuyên đề nhân hai số nguyên, tính chất của phép nhân Toán 6

BÀI 4. NHÂN HAI SỐ NGUYÊN. TÍNH CHẤT CỦA PHÉP NHÂN
Mục tiêu
 Kiến thức
+ Hiểu được quy tắc nhân hai số nguyên
 Kĩ năng
+ Thực hiện được phép nhân hai số nguyên
+ Vận dụng được các tính chất giao hoán, kết hợp, phân phối của phép nhân đối với phép cộng
trong tính toán

Trang 1

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Nhân hai số nguyên khác dấu
Quy tắc
Muốn nhân hai số nguyên khác dấu, ta nhân

Chú ý:

hai giá trị tuyệt đối của chúng rồi đặt dấu

Tích của một số nguyên a với số 0 bằng 0.

“ ” trước kết quả nhận được.

 5 .3  15;

4.  3  12.

2. Nhân hai số nguyên cùng dấu
Quy tắc

Chú ý:
 Cách nhận biết dấu của tích

Khi nhân hai số nguyên cùng dấu ta nhân hai

   .      

giá trị tuyệt đối của chúng a.b  a . b

   .      
   .      
   .      


a.b  0 thì a  0 hoặc b  0.

 Khi đổi dấu một thừa số thì tích đổi dấu. khi đổi
dấu hai thừa số thì tích không thay đổi.
3. Tính chất của phép nhân
Tính chất giao hoán
a.b  b.a

Tính chất kết hợp

 a.b  .c  a.  b.c 

Chú ý: Trong một tích các số nguyên khác 0
 Nếu có một số chẵn thừa số mang số nguyên âm
thì tích mang dấu “ “
 Nếu có một số lẻ thừa số nguyên âm thì tích
mang dấu “ “

Nhân với số 1
a.1  1.a  a

Tính chất phân phối của phép nhân đối
với phép cộng và phép trừ

a  b  c   ab  ac
a  b  c   ab  ac

Trang 2

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA
a.b  0  a  0

hoặc b  0

a.0  0

âm × âm = dương

âm × dương = âm

a.b  a . b

a.b   a . b

Nhân hai số nguyên

Nhân hai số nguyên

cùng dấu

không cùng dấu

NHÂN HAI
SỐ NGUYÊN

Tính

Giao hoán

Kết hợp

chất

Nhân với số 1

Phân phối của
phép nhân với
phép cộng

a.b  b.a

 a.b  .c  a. b.c 

a.1  1.a  a

a.  b  c   a.b  a.c

Trang 3

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1. Thực hiện phép tính
Phương pháp giải
Quy tắc nhân hai số nguyên khác dấu
Số âm × Số dương = Số âm

Ví dụ:

5.  14     5.14   70

 Muốn nhân hai số nguyên khác dấu, ta nhân hai giá trị
tuyệt đối của chúng rồi đặt dấu “ ” trước kết quả.
7.0  0

 Với mọi số nguyên a:
a.0  0  0.a

Quy tắc nhân hai số nguyên cùng dấu
 Nhân hai số nguyên dương: Thực hiện như phép nhân

12.3  36
5.140  700 .

 5 .  14   5 . 14  5.14  70 .

thông thường.
 Nhân hai số nguyên âm.
Muốn nhân hai số nguyên âm, ta nhân hai giá trị tuyệt đối
của chúng.
Tổng quát


Chú ý: Nếu tích hai số bằng 0 thì một

a.0  0.a  0.

trong hai số bằng 0
a.b  0 thì a  0 hoặc b  0 /

 Nếu a,b cùng dấu thì a.b  a . b .
 Nếu a,b khác dấu thì a.b   a . b .
Quy tắc nhân dấu

   .      
   .      
   .      
   .      
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Thực hiện phép tính
a)  5 .7;

b) 9.  2  ;

c)  10  .13;

d)  11 .4.

Hướng dẫn giải
a)  5  .7   5 . 7  35.

b) 9.  2    9 . 2  18.

c)  10  .13   10 . 13  130.

d)  11 .4   11 . 4  44.

Ví dụ 2. Viết mỗi số sau thành tích của hai số nguyên khác dấu
a) 13;

b) 15;
Trang 4

c) 27.
Hướng dẫn giải
a) 13   1 .13  1.  13 .
b) 15   1 .15  1.  15   3.  5   3 .5.
c) 27   1 .27  1.  27   3.  9    3 .9.
Ví dụ 3. So sánh
a) 5.4 và  5  .  4  ;

b)  5  .0 và  5  .  3 ;

c) 9.  7  và 7.  9  ;

d)  8  .1 và  8  .0.

Hướng dẫn giải
a) 5.4  20 và  5  .  4   5 . 4  5.4  20 nên 5.4   5  .  4  .
b)

 5 .0  0

và  5  .  3  5 . 3  5.3  15 nên  5  .0   5  .  3 .

c) 9.  7    9 . 7  63 và 7.  9    7 . 9  63 nên 9.  7   7.  9  .
d)

 8 .1  8 và  8  .0  0

nên  8  .1   8  .0.

Ví dụ 4. Tính 225.8 . Từ đó suy ra kết quả của
a)  225  .8;

b)  8 .225;

c)  8 .  225  .
Hướng dẫn giải
Ta có 225.8  1800. Từ đó ta có các kết quả sau
a)  225  .8  1800;

b)  8  .225  1800;

c)  8  .  225   1800.
Ví dụ 5. Tính
a)  6  .9;

b)  4  .  3 ;

c)  250  .  8  ;

d)  22  .  6  .

Hướng dẫn giải
a)

 6  .9   6 .9  6.9  54.

b)

 4  .  3   4 . 3  4.3  12.

c)

 250  .  8   250 . 8  250.8  2000.

d)

 22  .  6  

22 . 6  22.6  132.

Trang 5

Ví dụ 6. Trong trò chơi bắn bi vào các hình tròn vẽ trên mặt đất, bạn Quân đã bắn được: 2 viên bi điểm 5;
3 viên điểm 0 và 3 viên điểm 5. Bạn Hoàng đã bắn được: 1 viên điểm 10; 3 viên điểm 5; 2 viên điểm

10 và 2 viên điểm 1 . Hỏi bạn nào được điểm cao hơn?

Hướng dẫn giải
Bạn Quân bắn được số điểm là: 2.5  3.0  3.  5   10   15   5 (điểm).
Bạn Hoàng bắn được số điểm là

1.10  3.5  2.  10   2.  1  10  15  20  2  3 (điểm).
Vậy bạn Hoàng được điểm cao hơn bạn Quân.
Ví dụ 7. Tìm x biết
a)  x  3 x  4   0;

b)  x  1 x  3  0.

Hướng dẫn giải
Tích của hai số bằng 0 thì một trong hai số phải bằng 0.
a) Do  x  3 x  4   0 nên x  3  0 hoặc x  4  0 .
Hay x  3 hoặc x  4.
b) Do  x  1 x  3  0 nên x  1  0 hoặc x  3  0
Hay x  1 hoặc x  3.
Ví dụ 8. Tìm năm giá trị của số nguyên x sao cho
a) 1090  x  7   0;

b)  2019  x  2   0.

Hướng dẫn giải
a) Tích của hai số 1090 và x  7 dương nên hai số phải cùng dấu.
Mà 1090 mang dấu dương do vậy x  7  0 hay x  7.
Năm số nguyên x thỏa mãn điều kiện trên là 8; 9; 10; 11; 12.
b) Tích của hai số 2019 và x  2 dương nên hai số phải cùng dấu.
Mà 2019 mang dấu âm nên x  2  0 hay x  2.
Năm số nguyên x thỏa mãn điều kiện trên là 3; 4; 5; 6; 7.
Ví dụ 9. So sánh
Trang 6

a)

 3 .1574.  7  .  11 . 10 

với 0;

b) 25.  37  .  29  .  154  .2 với 0.
Hướng dẫn giải
Nhận xét rằng: tích của hai số nguyên cùng dấu là một số nguyên dương còn tích của hai số nguyên khác
dấu là một số nguyên âm.
a) Trong tích  3 .1574.  7  .  11 .  10  có bốn số mang dấu    , một số mang dấu dương nên tích
là số nguyên dương.
Do vậy  3 .1574.  7  .  11 .  10   0.
b) Trong tích 25.  37  .  29  .  154  .2 có ba số mang dấu    (tích của chúng âm), hai số còn lại
mang dấu dương nên tích mang dấu âm.
Do vậy 25.  37  .  29  .  154  .2  0.
Tổng quát:
Tích một số chẵn các thừa số nguyên âm là một số nguyên dương.
Tích một số lẻ các thừa số nguyên âm là một số nguyên âm.
Bài tập tự luyện dạng 1
Bài tập cơ bản
Câu 1. Điền dấu  ; ;   thích hợp vào ô trống
a)  12  .  6  12.6

b)  13 .9

c)  12  .2

d) 3.  35  15.7

 6  .4

 9  .13

Câu 2. Tìm số hạng thứ 9 của các dãy số sau
a) 2; 4; 8;16;…

b) 3;9; 27;81;…

Câu 3. Điền dấu  ; ;   thích hợp vào ô trống
a)  30  .7 30.  7 

b) 16.6

 6  .16

c) 9.  5  .3 15.  9 

d) 13.  7  .  6 

 5 .15

Câu 4. Biểu diễn các số 25, 36, 49 dưới dạng tích của hai số nguyên bằng nhau. Mỗi số có bao nhiêu cách
biểu diễn?
Câu 5. Ta sẽ nhận được số dương hay số âm nếu nhân
a) Một số âm và hai số dương?
b) Hai số âm và một số dương?
c) Hai số âm và hai số dương?
d) Ba số âm và một số dương?
e) Hai mươi số âm và một số dương?
Câu 6. So sánh
Trang 7

a)

 16  .1206.  8 .  4  .  3 .  3007 

b)

 24  .  15  .  8  .  7  .5.9 với 0.

với 0;

Câu 7. Viết các tích sau thành dạng lũy thừa của một số nguyên
a)  8  .  3 .  125  ;

b) 27.  2  .  7  .  49  .

3

3

Bài tập nâng cao
Câu 8. Tìm số nguyên x biết  x  1 3  x   0.
Câu 9. Tìm các cặp số nguyên x; y thỏa mãn x  y  1  4.
Câu 10. Tìm x biết
a)  3  x  x  3  0;

b) x  x  5   0.

Câu 11. Tìm năm giá trị của số nguyên x sao cho
a) 4  x  3  0;

b) 3  x  1  0.

Câu 12. Tìm x   biết
a) 4. x  64;

b) 9  3 x  36;

c)  x  2  x  3  0;

d)  2 x  6   x  1  0.

Câu 13. Tìm các cặp số nguyên x; y thỏa mãn
b) xy  6  2  x  y  .

a) x. y  4;

Câu 14. Tìm hai số nguyên nhỏ hơn 5 mà tích của chúng bằng 55.
Dạng 2. Vận dụng tính chất của phép nhân
Phương pháp giải
Tính chất giao hoán
Với mọi a, b   : a.b  b.a.

 10  .5  50  5.  10 

Tính chất kết hợp

 5.8 .  2   80  5. 8.  2  

Với mọi a, b, c   :  a.b  .c  a.  b.c  .
Nhân với số 1
a.1  1.a  a.

Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép
cộng, phép trừ

a  b  c   a.b  a.c;

a  b  c   a.b  a.c.

Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Thực hiện phép tính
a)  25  .  3 .  4  .  7  ;

b) 2.8.  15  .  3 .

Hướng dẫn giải
Trang 8

a) Áp dụng tính chất giao hoán và tính chất kết hợp của phép nhân hai số nguyên ta có

 25 .  3 .  4  .  7    25 .  4  .  3 .  7 
  100  .21
 2100.

b) Áp dụng tính chất giao hoán và tính chất kết hợp của phép nhân hai số nguyên ta có

2.8.  15 .  3  2.  15  .8.  3
  30  .  24 
 720.

Ví dụ 2. Thay một thừa số bằng tổng để tính
b) 43.  13 .

a) 74.21;
Hướng dẫn giải

a) 74.21  74.  20  1   74  .20   74  .1  1480   74   1554.
b) 43.  13  43.   10    3   43.  10   43.  3   430    129   559.
Ví dụ 3. Viết các tích sau thành dạng lũy thừa của một số nguyên
a)

 5 .  5 . 5  .  5  .  5  ;

b)

 3 .  3 .  3 .  7  .  7  .  7  .  7  .

Hướng dẫn giải
a)

 5 .  5 .  5  .  5  .  5    5 

b)

 3 .  3 .  3 .  7  .  7  .  7  .  7    3 .  7 

5

.
3

4

.

Ví dụ 4. Tính
a) 125.  24   24.225;

b) 26.  125   125.  36  .

Hướng dẫn giải
a) 125.  24   24.225  24.225   24  .125
 24.225  24.125

 24.  225  125 
 24.100
 2400.

b) 26.  125   125.  36   26.  125    125  .  36 

  125  .  26   36  
  125  .  10 
 1250.

Trang 9

Ví dụ 5. Tính
a)  36  6  5  17  18  12  ;

b)  24  55  24   28  44  68  .

Hướng dẫn giải
a)

 36  6  5  17  18  12   30.  5   17.  30 
 30.  5   17.30

 30.  5  17 
 30.  22 
 660.

b)

 24  55  24   28  44  68    24  .31  28.  24 
  24  .  31  28 
  24  .3
 72.

Ví dụ 6. Tính nhanh
a)  4  .  3 .  125  .  25  .  8  ;

b)  67  . 1  301  301.67.

Hướng dẫn giải
a)

 4  .  3 .  125  .  25  .  8    4  .  25  .  125 .  8 .  3
  100 1000  .  3
 300000.

b)

 67  . 1  301  301.67   67  .1   67  .301  301.67
 67  67.301  301.67
 67.

Bài tập tự luyện dạng 2
Bài tập cơ bản
Câu 1. Thực hiện các phép tính 15.  2  .  5  .  6  ;  5 .8.  25  .4 .
Câu 2. Thay một thừa số bằng tổng để tính
a)  53 .21;

b) 45.  12  .

Câu 3. Thay một thừa số bằng tổng để tính
a) 59.11;

b) 75.  41 .

Câu 4. Thay một thừa số bằng hiệu để tính
a) 43.99;

b) 45.  49  .

Câu 5. Tính một cách hợp lí giá trị của biểu thức
Trang 10

A   8  .25.  2  .4.  5  .125;
B  19.25  9.95  19.30.

Câu 6. Tính giá trị của biểu thức
a)  25 .  3 .x với x  4;

b)  1 .  4  .5.8.y với y  25;

c)  25 .  27  .   x  : y với x  4; y  9.
Câu 7. Tính
a)  6.8  10 : 5   3.  7  ;

b) 15 :  5  .  3  8;

c) 48  48.  78   48.  21 ;

d) 29. 19  13  19.  29  13 ;

e) 13.  23  22   3. 17  28  .
Câu 8. Tính
a) 29.  13  27.  29    14  .  29  ;
b) 17.  37   23.37  46.  37  .
Câu 9. Tính
a)

 37  17  .  9   35.  9  11 ;

b)

 25 .  75  45   75.  45  25  .

Câu 10. Tính giá trị của biểu thức
a)  15  .  3 .x với x  6;

b)  50  .  27  .   x  : y với x  2; y  9.

Câu 11. Tính
a)  6.9  15 : 5   3.  7  ;

b) 30 :  5  .  6   8;

c) 12  12.  74   12.  25 ;

d) 23 13  11  13  23  11 .

Câu 12. Tính
a) 3.  7   123 : 3  4.8  ;

b) 21:  7  .  3 .5.40;

c) 23  21  34   3  39  16  ;

d) 5.  13  36 :  6  .3.

Câu 13. Tính một cách hợp lí giá trị của biểu thức
a) A   25  .8.2.5.  4  .13;
b) B  13.  7    13 .57  13.  36  .

Trang 11

ĐÁP ÁN
Dạng 1. Thực hiện phép tính
Câu 1.
a)  12  .  6   12.6

b)  13 .9   9  .13

c)  12  .2   6  .4

d) 3.  35   15.7

Câu 2.
a) Số hạng thứ 9 của dãy là 512.
b) Số hạng thứ 9 của dãy là 19683.
Câu 3.
a)  30  .7  30.  7 

b) 16.6   6  .16

c) 9.  5  .3  15.  9 

d) 13.  7  .  6    5  .15

Câu 4.

25  5.5   5  .  5  .
36  6.6   6  .  6  .

49  7.7   7  .  7  .
Câu 5.
a) Nếu nhân một số âm và hai số dương ta được một số âm.
b) Nếu nhân hai số âm và một số dương ta được một số dương.
c) Nếu nhân hai số âm và hai số dương ta được một số dương.
d) Nếu nhân ba số âm và một số dương ta được một số âm.
e) Nếu nhân hai mươi số âm và một số dương ta được một số dương.
Câu 6.
a) Tích  16  .1206.  8  .  4  .  3  .  3007  có năm thừa số âm và một thừa số dương nên tích mang
dấu    .
Vậy  16  .1206.  8  .  4  .  3 .  3007   0.
b) Tích  24  .  15  .  8  .  7  .5.9 có bốn thừa số âm và hai thừa số dương nên tích mang dấu    .
Vậy  24  .  15  .  8  .  7  .5.9  0.
Câu 7.
a)

 8 .  3 .  125   2  .  3
3

3

3

.53   2  .  3 .5  303.
3

b) 27.  2  .  7  .  49   33.  2  .  7  .  7  .  7   33.  2  .  7   3.  2  .  7    423.
3

3

3

3

3

Bài tập nâng cao
Trang 12

Câu 8.
Do  x  1 3  x   0 nên x  1  0 hoặc 3  x  0 .
Hay x  1 hoặc x  3.
Câu 9.
Ta có bảng sau
x

1

4

2

2

1

4

y 1

4

1

2

2

4

1

y

3

0

1

3

5

2

Vậy các cặp số cần tìm là
x  1, y  3; x  4, y  0;
x  2, y  1; x  2, y  3;
x  1, y  5; x  4, y  2.

Câu 10.
a)

 3  x  x  3  0 thì 3  x  0 hoặc

x3 0

Vậy x  3.
b) x  x  5   0 thì x  0 hoặc x  5  0
Hay x  0 hoặc x  5.
Câu 11.
a) Tích của hai số 4 và x  3 âm nên hai số phải khác dấu. Mà 4 mang dấu dương do vậy x  3  0 hay
x  3.

Năm số nguyên x thỏa mãn điều kiện trên là 2;1;0; 1; 2.
b) Tích của hai số 3 và x  1 dương nên hai số phải dùng dấu. Mà 3 mang dấu âm do vậy x  1  0
hay x  1 .
Năm số nguyên x thỏa mãn điều kiện trên là 2; 3; 4; 5; 6.
Câu 12.
a) 4. x  64

b) 9  3 x  36

3 x  9   36 

x  16

3 x  9  36

x  16 hoặc x  16.

3 x  45
x  15.

c)

 x  2  x  3  0
x  2  0 hoặc x  3  0

d)

 2 x  6   x  1  0
2 x  6  0 hoặc x  1  0

x  2 hoặc x  3.

Trang 13

Mà x  1  0 với mọi x, nên 2 x  6  0 hay x  3.
Câu 13.
a) 4  4.1  2.2   2  .  2    1 .  4  .
Vậy các cặp số cần tìm là

x  1, y  4; x  4, y  1;
x  2, y  2; x  2, y  2;
x  1, y  4; x  4, y  1.

b) Ta có

xy  6  2  x  y 
xy  6  2 x  2 y
xy  2 y  2 x  6

y  x  2   2 x  6 (1).
Nếu x  2 thay vào (1) ta thấy không thỏa mãn.
Xét x  2 , từ (1) suy ra y 

2x  6 2  x  2  2
2

 2
.
x2
x2
x2

Để y là số nguyên thì x  2 là ước của 2.

x2

1

1

2

2

x

3

1

4

0

y

0

4

1

3

Vậy các cặp số nguyên cần tìm là x  3, y  0; x  1, y  4; x  4, y  1; x  0, y  3.
Câu 14.

55   5 .  11   55  .  1 .
Dạng 2. Vận dụng tính chất của phép nhân
Bài tập cơ bản
Câu 1.

15.  2  .  5 .  6   15.  6  .  2  .  5 
  90  .10
 900.

 5 .8.  25  .4   40  .  100   4000.
Câu 2.
a)

 53 .21   53 .  20  1   53 .20   53 .1  1060   53   1113.

b) 45.  12   45.  10    2    45.  10   45.  2   450   90   540.
Trang 14

Câu 3.
a) 59.11   59  . 10  1   59  .10   59  .1  590   59   649.
b) 75.  41  75.  40    1   75.  40   75.  1   3000    75   3075.
Câu 4.
a) 43.99   43  . 100  1   43 .100   43 .1   4300   43  4257.
b) 45.  49    45  . 1  50    45   45 .50   45   45.50  45  2250  2205.
Câu 5.

A   8  .25.  2  .4.  5  .125   8  .125.25.4.  2  .  5 
  1000  .100.10
 1000000.

B  19.25  9.95  19.30  19.  25  30   9.95
 19.55  9.95
 10.55  9.55  9.95
 550  9.150

 550  1350
 1900.
Câu 6.
a)

 25 .  3 .x

với x  4

 25 .  3 .4   25  .4.  3   100  .  3  300.
b)

 1 .  4  .5.8.y

với y  25

 1 .  4  .5.8.25   1 .5.8.  4  .25   1 .40.  100   4000.
c)

 25 .  27  .   x  : y

với x  4; y  9

 25 .  27  .  4  :  9    25 .  4  .  27  :  9   100.3  300.
Câu 7.
a)

 6.8  10 : 5  3.  7    48  2    21  46   21  25.

b) 15 :  5  .  3  8   3 .  3  8  9  8  1.
c) 48  48.  78  48.  21  48.  1  48.  78   48.  21

 48.  1   78    21 

 48.  100 
 4800.

Trang 15

d) 29. 19  13  19.  29  13  29.19  29.13  19.29  19.13
 29.13  19.13

 13.  29  19 
 13.  10 

 130.
e) 13.  23  22   2. 17  28   13.45  2.45  45. 13  2   45.11  495.
Câu 8.
a) 29.  13  27.  29    14  .  29    29  .13  27.  29    14  .  29 
  29  . 13  27   14  

  29  .26
 754.

b) 17.  37   23.37  46.  37   17.  37   23.  37   46.  37 

  37  .17  23  46
  37  .  6 
 222.

Câu 9.
a)

 37  17  .  9   35.  9  11   54  .  9   35.  9   35.  11
  9  .  54  35   35.  11
  9  .  19   35.  11
 171  385
 214.

b)

 25 .  75  45   75.  45  25    25 .75   25  .45  75.45  75.25
 25.45  75.45

 45.  25  75 
 45.  50 

 2250.
Câu 10.
a)

 15 .  3 .x

với x  6 ta có

 15 .  3 .6   15  .6.  3   90  .  3  270.
b)

 50  .  27  .   x  : y

với x  2; y  9 ta có
Trang 16

 50  .  27  .   x  : y   50  .  27  .  2  :  9 
  50  .  2  .  27  :  9 
 100.  27  :  9 

 100.3
 300.
Câu 11.
a)

 6.9  15 : 5  3.  7    54  3   21  51  21  30.

b) 30 :  5  .  6   8   6  .  6   8  36  8  28.
c) 12  12.  74   12.  25   12.  1  12.  74   12.  25 
 12.  1   74    25  

 12.  100 
 1200.

d) 23 13  11  13  23  11  23.13  23.11  13.23  13.11
 23.11  13.11

 11.  23  13
 11.  10 
 110.
Câu 12.
a) 3.  7   123 : 3  4.8    21   41  32    21  9  12.
b) 21:  7  .  3 .5.40   3 .  3 .5.40  9.5.40  45.40  1800.
c) 23  21  34   3  39  16   23.55  3.55  1100.
d) 5  13  36 :  6  .3  5.  13   6  .3   65    18   83.
Câu 13.

A   25  .8.2.5.  4  .13   25  .  4  .8.2.5.13
 100.8.10.13

 104000.

B  13.  7    13 .57  13.  36   13.  7   13.57  13.  36 
 13.  7    57    36  

 13.  100 
 1300.

Trang 17