Chuyên đề nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

Giới thiệu Chuyên đề nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và bạn đọc Chuyên đề nguyên hàm, tích phân và ứng dụng CHƯƠNG NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN.

Chuyên đề nguyên hàm, tích phân và ứng dụng
Chuyên đề nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

Tài liệu môn Toán 12 và hướng dẫn giải chi tiết các đề thi từ cơ bản đến vận dụng cao sẽ luôn được cập thường xuyên từ hoctoanonline.vn , các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán hay và mới nhất.

Tài liệu Chuyên đề nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

Các em học sinh và bạn đọc tìm kiếm thêm tài liệu Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng tại đây nhé.

Text Chuyên đề nguyên hàm, tích phân và ứng dụng
MỤC LỤC I 1 ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH Chương 3. §1 – 2 NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 2 NGUYÊN HÀM A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1. Nguyên hàm và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Nguyên hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2. Phương pháp tính nguyên hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B 2 3 2.1 Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số . . . . . . . . . . . 3 2.2 Phương pháp tính nguyên hàm từng phần . . . . . . . . . . . . 3 2.3 Bảng nguyên hàm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.4 Bảng nguyên hàm mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 CÁC DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 | Dạng 1.1: Tính nguyên hàm bằng bảng nguyên hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 | Dạng 1.2: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 | Dạng 1.3: Nguyên hàm từng phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 C CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 1. Mức độ nhận biết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 2. Mức độ thông hiểu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 3. Mức độ vận dụng thấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 4. Mức độ vận dụng cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 §2 – TÍCH PHÂN A 171 KIẾN THỨC TRỌNG TÂM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 1. Khái niệm tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 171 Định nghĩa tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 ii | MỤC LỤC Page 1.2 Tính chất của tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 2. Phương pháp tính tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B 171 2.1 Phương pháp đổi biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 2.2 Phương pháp tích phân từng phần . . . . . . . . . . . . . . . . 172 CÁC DẠNG TOÁN BÀ BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 | Dạng 2.4: Tích phân cơ bản và tính chất tính phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 | Dạng 2.5: Tích phân hàm số phân thức hữu tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 | Dạng 2.6: Tính chất của tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 | Dạng 2.7: Tích phân hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối Zb | f (x) | dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 a | Dạng 2.8: Phương pháp đổi biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 | Dạng 2.9: Tích phân từng phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 C CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340 1. Mức độ nhận biết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340 Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352 2. Mức độ thông hiểu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353 Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385 3. Mức độ vận dụng thấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386 Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423 4. Mức độ vận dụng cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425 Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444 §3 – ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN A B 445 KIẾN THỨC TRỌNG TÂM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445 1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446 2. Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448 3. Tính thể tích khối tròn xoay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450 CÁC DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452 | Dạng 3.10: Diện tích hình phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452 | Dạng 3.11: Tìm vận tốc, gia tốc, quãng đường trong vật lí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462 | Dạng 3.12: Thể tích của vật thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470 | Dạng 3.13: Tính thể tích của vật thể tròn xoay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474 C CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484 1. Mức độ nhận biết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484 ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa ii iii | MỤC LỤC Page Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504 2. Mức độ thông hiểu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505 Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516 3. Mức độ vận dụng thấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517 Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528 4. Mức độ vận dụng cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528 Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535 ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa iii PHẦN I ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 26 9 15 38 28 4 43 22 25 6 47 41 35 16 31 44 32 7 45 40 5 33 20 2 19 36 46 3 39 27 8 10 11 12 29 24 18 48 17 42 34 50 21 1 37 49 14 30 23 13 CHƯƠNG NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 3 ủđ Ch ề 1 NGUYÊN HÀM A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM 1. Nguyên hàm và tính chất 1.1. Nguyên hàm c Định nghĩa 1.1. Cho hàm số f (x) xác định trên K. Hàm số F (x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f (x) trên K nếu F 0 (x) = f (x) với mọi x ∈ K. d Định lí 1.1. Nếu F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F (x) + C cũng là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên K. d Định lí 1.2. Nếu F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên K thì mọi nguyên hàm của hàm số f (x) trên K đều có dạng F (x) + C, với C là một hằng số. d Định lí 1.3. Mọi hàm số f (x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K. 1.2. Tính chất c Tính chât 1.1. Z f 0 (x) dx = f (x) + C c Tính chât 1.2. Z kf (x) dx = k Z f (x) dx (k là một hằng số khác 0). 3| Page 1. NGUYÊN HÀM c Tính chât 1.3. Z Z Z   f (x) ± g(x) dx = f (x) dx ± g(x) dx 2. Phương pháp tính nguyên hàm 2.1. Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số d Định lí 1.4. Nếu Z f (u) du = F (u) + C và u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì Z f (u(x))u0 (x) dx = F (u(x)) + C. 2.2. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần d Định lí 1.5. Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì Z 0 0 u(x) · v (x) dx = u(x)v(x) − Z u0 (x)v(x) dx. 0 Nhận xét. Vì v (x) dx = dv, u (x) dx = du nên đẳng thức trên còn được viết ở dạng Để tính nguyên hàm Z Z u dv = uv − Z v du. f (x) dx bằng từng phần ta làm như sau: 0 Bước 1: Chọn u, v sao cho f (x) dx = u dv (chú ý dv = v (x) dx). Sau đó tính v = Z dv và du = u0 · dx. Bước 2: Thay vào công thức (∗) và tính ta dễ dàng tìm được v và tích phân Z Z v du. Chú ý. Cần phải lựa chọn u và dv hợp lí sao cho v du dễ tính hơn Z u dv. Ta thường gặp các dạng sau   u = P (x)   Z    sin x  dx. Với dạng này, ta đặt Dạng 1: I = P (x)  sin x    dx  cos x dv =   cos x  Dạng 2: I = Z  P (x) eax+b dx, trong đó P (x) là đa thức. Với dạng này, ta đặt  u = P (x)  dv = eax+b dx.  Z u = ln (mx + n) Dạng 3: I = P (x) ln (mx + n) dx, trong đó P (x) là đa thức. Với dạng này, ta đặt  dv = P (x) dx.       sin x    Z u =  sin x x   cos x Dạng 4: I = e d x. Với dạng này ta đặt   cos x   d x = ex d x Nguyên hàm của hàm sơ cấp Nguyên hàm của hàm hợp u = u(x) ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 3 4| Page 1. NGUYÊN HÀM 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Z Z 0 dx = C 1 dx = x + C 1 2 Z xα+1 +C x dx = α+1 3 Z 1 dx = ln |x| + C x 4 Z ex dx = eex + C 5 Z ax a dx = +C ln a Z Z Z 10 11 α x 6 cos x dx = sin x + C 7 sin x dx = − cos x + C 8 1 dx = tan x + C cos2 x 9 Z 1 dx = − cot x + C sin2 x Z √ 1 √ dx = x + C 2 x 10 11 Z Z 0 du = C 1 du = u + C uα+1 +C α+1 Z uα du = Z 1 du = ln |u| + C u Z eu du = eu + C Z au du = Z Z Z au +C ln a cos u du = sin u + C sin u du = − cos u + C 1 du = tan u + C cos2 u Z 1 du = − cot u + C sin2 u Z √ 1 √ du = u + C 2 u 2.3. Bảng nguyên hàm cơ bản 1 2 3 4 5 Z Z 1 (ax + b)α+1 (ax + b) d x = + C(α 6= −1) a α+1 α ax+b e 1 d x = eax+b + C a 10 11 Z 1 sin(ax + b)d x = − cos(ax + b) + C a 12 Z 1 1 d x = − cot(ax + b) + C 2 sin (ax + b) a 13 Z 1 cot(ax + b)d x = ln |sin(ax + b)| + C a 14 Z Z 1 1 d x = ln |ax + b| + C ax + b a cos(ax + b)d x = 1 sin(ax + b) + C a Z 1 1 d x = tan(ax + b) + C cos2 (ax + b) a Z 1 tan(ax + b)d x = − ln |cos(ax + b)| + C a Z a2 dx 1 x = arctan + C 2 +x a a ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 4 5| 6 Page Z 1. NGUYÊN HÀM a+x dx 1 +C ln = 2 2 a −x 2a a−x 15 dx x √ 7 =C = arcsin 2 2 |a| a −x ã Å Z b ln(ax + b) − x + C 8 ln(ax + b)d x = x + a Z 9 Z eax cos bxd x = eax (a cos bx) + b sin bx +C a2 + b 2 Z √ ä Ä √ dx 2 + a2 + C x = ln x + x2 + a2 x dx 1 +C = arccos 2 2 a a x. x − a √ Z √ x x a2 − x 2 a2 + arcsin + C 17 a2 − x2 d x = 2 2 a 16 18 Z Z √ eax sin bxd x = eax (a sin bx) − b cos bx +C a2 + b 2 2.4. Bảng nguyên hàm mở rộng B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP p Dạng 1.1. Tính nguyên hàm bằng bảng nguyên hàm Phương pháp giải PP a) Tích của đa thức hoặc lũy thừa −−−−−−−→ khai triển. PP b) Tích các hàm mũ −−−−−−−→ khai triển theo công thức mũ. PP c) Chứa căn −−−−−−−→ chuyển về lũy thừa. PP d) Tích lượng giác bậc một của sin và cosin −−−−−−−→ Sử dụng công thức tích thành tổng. 1 • sin a cos b = [sin(a + b) + sin(a − b)] 2 1 • sin a sin b = [cos(a − b) − cos(a + b)] 2 1 • cos a cos b = [cos(a + b) + cos(a − b)] 2 1 1 1 1 e) Bậc chẵn của sin và cosin ⇒ Hạ bậc: sin2 x = − cos 2a, cos2 x = + cos 2a. 2 2 2 2 Z P (x) f) Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ I = dx, với P (x), Q(x) là các đa thức. Q(x) PP • Nếu bậc của tử số P (x) ≥ bậc của mẫu số Q(x)−−−−−−−→ Chia đa thức. PP • Nếu bậc của tử số P (x) < bậc của mẫu số Q(x)−−−−−−−→ Phân tích mẫu số Q(x) thành tích số, rồi sử dụng đồng nhất thức đưa về dạng tổng của các phân số (PP che). 1 A Bx + C † = + 2 , với ∆ = b2 − 4ac. 2 (x − m)(ax + bx + c) x − m ax + bx + c 1 A B C D † = + + + . 2 2 2 (x − a) (x − b) x − a (x − a) x − b (x − b)2 Nhận xét. Nếu mẫu không phân tích được thành tích sẽ tìm hiểu ở phần đổi biến. Ví dụ 1 1 d Tính nguyên hàm của hàm số f (x) = 3x2 + x = 3 ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 5 6| Page 1. NGUYÊN HÀM | Lời giải. Ta có F (x) = Z Å ã 1 x2 2 3x + x dx = x3 + + C. 3 6  Bài 1. Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) (giả sử điều kiện được xác định), biết a) f (x) = 2x3 − 5x2 − 4x + 7 = | Lời giải. ...................................................................................................... b) f (x) = 6x5 − 12x3 + x2 − 8 = | Lời giải. ...................................................................................................... c) f (x) = (x2 − 3x)(x + 1) | Lời giải. ...................................................................................................... d) f (x) = (x − 1)(x2 + 2) | Lời giải. ...................................................................................................... e) f (x) = x(x2 + 1)2 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... f) f (x) = (3 − x)3 | Lời giải. ...................................................................................................... g) f (x) = (2x + 1)5 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... h) f (x) = (2x − 10)2018 | Lời giải. ...................................................................................................... i) f (x) = (3 − 4x)2019 | Lời giải. ...................................................................................................... j) f (x) = (2x2 − 1)2 | Lời giải. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 6 7| Page 1. NGUYÊN HÀM ...................................................................................................... k) f (x) = (x2 + 1)3 | Lời giải. ...................................................................................................... Ví dụ 2 d Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = 4x3 − 4x + 5 thỏa mãn F (1) = 3 | Lời giải. Ta có F (x) = Z f (x)dx = Z  4x3 − 4x + 5 dx = x4 − 2x2 + 5x + C. Vì F (1) = 3 ⇔ 1 − 2 + 5 + C = 3 ⇔ C = −1. Suy ra F (x) = x4 − 2x2 + 5x − 1.  Bài 2. Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) thỏa mãn điều kiện F (x◦ ) = k. a) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = −x3 + 3x2 − 2x thỏa mãn F (1) = 0 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = 3x3 − 2x2 + 1 thỏa mãn F (−2) = 3. | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... c) Gọi F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = −5x4 + 4x2 − 6 thỏa mãn F (3) = 1. Tính F (−3) | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... d) Hàm số f (x) = x3 + 3x2 + 2 có một nguyên hàm F (x) thỏa F (2) = 14. Tính F (−2) | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 7 8| Page 1. NGUYÊN HÀM ...................................................................................................... e) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = (1 − x)9 thỏa 10F (2) = 9 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Å . . . .ã . . . . . . . . . . . . . . . . .Å . . . .ã ..... f) Hàm số f (x) = (2x + 1)3 có một nguyên hàm là F (x) thỏa F 1 2 = 4. Tính F 3 2 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Å . . . . . .ã ........................ g) Hàm số f (x) = (1 − 2x)5 có một nguyên hàm là F (x) thỏa F − 1 2 2 = . Tính F (1) 3 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... 1 h) Gọi F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = (2x − 3)2 thỏa F (0) = . Tính giá trị 3 của biểu thức P = log2 [3F (1) − 2F (2)] | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... i) Gọi F1 (x) là một nguyên hàm của hàm số f1 (x) = x(x + 2)2 thỏa F1 (0) = 1 và F2 (x) là một nguyên hàm của hàm số f2 (x) = x3 + 4x2 + 5 thỏa F2 (0) = −2. Tìm nghiệm của phương trình F1 (x) = F2 (x) | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 8 9| Page 1. NGUYÊN HÀM ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... j) Gọi F1 (x) là một nguyên hàm của hàm số f1 (x) = (x + 1)(x + 2) thỏa F1 (0) = 0 và F2 (x) là một nguyên hàm của hàm số f2 (x) = x2 + x − 2 thỏa F2 (0) = 0. Biết phương trình F1 (x) = F2 (x) có hai nghiệm là x1 , x2 . Tính 2x1 + 2x2 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Ví dụ 3 d Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = 4x3 − 4x + 5 thỏa mãn F (1) = 3. | Lời giải. Ta có F (x) = Z f (x)dx = Z  4x3 − 4x + 5 dx = x4 − 2x2 + 5x + C. Vì F (1) = 3 ⇔ 1 − 2 + 5 + C = 3 ⇔ C = −1. Suy ra F (x) = x4 − 2x2 + 5x − 1.  Bài 3. Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) thỏa mãn điều kiện F (x◦ ) = k. a) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = −x3 + 3x2 − 2x thỏa mãn F (1) = 0 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 9 10 | Page 1. NGUYÊN HÀM b) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = 3x3 − 2x2 + 1 thỏa mãn F (−2) = 3 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... c) Gọi F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = −5x4 + 4x2 − 6 thỏa mãn F (3) = 1. Tính F (−3) | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... d) Hàm số f (x) = x3 + 3x2 + 2 có một nguyên hàm F (x) thỏa F (2) = 14. Tính F (−2) | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... e) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = (1 − x)9 thỏa 10F (2) = 9 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Å . . . .ã . . . . . . . . . . . . . . . . .Å . . . .ã ..... f) Hàm số f (x) = (2x + 1)3 có một nguyên hàm là F (x) thỏa F 1 2 = 4. Tính F 3 2 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Å . . . . . .ã ........................ g) Hàm số f (x) = (1 − 2x)5 có một nguyên hàm là F (x) thỏa F − 1 2 2 = . Tính F (1) 3 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 10 11 | Page 1. NGUYÊN HÀM ...................................................................................................... ...................................................................................................... 1 h) Gọi F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = (2x − 3)2 thỏa F (0) = . Tính giá trị 3 của biểu thức P = log2 [3F (1) − 2F (2)] | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... i) Gọi F1 (x) là một nguyên hàm của hàm số f1 (x) = x(x + 2)2 thỏa F1 (0) = 1 và F2 (x) là một nguyên hàm của hàm số f2 (x) = x3 + 4x2 + 5 thỏa F2 (0) = −2. Tìm nghiệm của phương trình F1 (x) = F2 (x) | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... j) Gọi F1 (x) là một nguyên hàm của hàm số f1 (x) = (x + 1)(x + 2) thỏa F1 (0) = 0 và F2 (x) là một nguyên hàm của hàm số f2 (x) = x2 + x − 2 thỏa F2 (0) = 0. Biết phương trình F1 (x) = F2 (x) có hai nghiệm là x1 , x2 . Tính 2x1 + 2x2 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 11 12 | Page 1. NGUYÊN HÀM ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Ví dụ 4 d Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) (giả sử điều kiện được xác định). f (x) = x2 −3x+ 1 x | Lời giải. Ta có F (x) = Z ã Å x3 3 2 1 2 dx = − x + ln |x| + C. x − 3x + x 3 2  Bài 4. Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) (giả sử điều kiện được xác định). 1 a) f (x) = 3x2 + − 2 x | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) f (x) = 3x2 − 1 2 − 2 x x | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... c) f (x) = x2 − 3x + 1 x = | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... 2x4 − x2 − 3x d) f (x) = x2 = | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... 1 2x − 1 | Lời giải. e) f (x) = ...................................................................................................... ...................................................................................................... f) f (x) = 1 3 − 4x ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 12 13 | Page 1. NGUYÊN HÀM | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... 5 3x + 1 | Lời giải. g) f (x) = ...................................................................................................... ...................................................................................................... 3 2 − 4x | Lời giải. h) f (x) = ...................................................................................................... ...................................................................................................... 2 3 2 + + 2 5 − 2x x x | Lời giải. i) f (x) = ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... 5 2 4 + − 2 2x + 1 x x | Lời giải. j) f (x) = ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... k) f (x) = 12 2 2 + 2x − 3 (x − 1) | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... l) f (x) = 6 9 2 − 3x − 1 (3x − 1) | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 13 14 | Page 1. NGUYÊN HÀM Ví dụ 5 1 d Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) (giả sử điều kiện được xác định). f (x) = + x 1 − 2x (2 − x)2 | Lời giải. Ta có F (x) = Z Å ã 1 1 1 + − x2 + C. − 2 dx = ln |x| − 2 x (2 − x) x−2  Bài 5. Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) (giả sử điều kiện được xác định). 1 2 4 a) f (x) = 3 − 2 + 4 x x x | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) f (x) = 2 (2x − 1)3 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... Bài 6. Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) thỏa mãn điều kiện F (x◦ ) = k. √ 1 a) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = thỏa mãn F (1) = 2 ln 3 2x − 5 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = 5 thỏa mãn F (2) = 3 ln 2 2 − 10x | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... c) Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = 1 và F (2) = 1. Tính F (3) x−1 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... d) Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = 1 và F (0) = 2. Tính F (e) 2x + 1 ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 14 15 | Page 1. NGUYÊN HÀM | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... e) cho hàm số y = f (x) thỏa mãn f 0 (x) = 1 và f (1) = 1. Tính f (5) 2x − 1 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... f) Cho hàm số f (x) xác định trên thỏa mãn f 0 (x) = 2 , f (0) = 1 và f (1) = 2. Giá 2x − 1 trị của biểu thức P = f (−1) + f (3) | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... g) Cho hàm số f (x) xác định trên thỏa mãn f 0 (x) = 2 , f (0) = 3 và f (2) = 4. Giá trị x−1 của biểu thức P = f (−2) + f (5) | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 15 16 | Page 1. NGUYÊN HÀM ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... h) Cho hàm số f (x) xác định trên thỏa mãn f 0 (x) = 6 , f (−2) = 2 và f (1) = 1. Giá 3x − 1 trị của biểu thức P = f (−1) + f (4) | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Ví dụ 6 d Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) thỏa f (x) = √ n ax + b. | Lời giải. √ Đặt t = n ax + b ⇒ tn = ax + b ⇒ n · tn−1 dt = a · dx. Z √ n · tn−1 · t n n n Suy ra F (x) = dt = · tn+1 + C = · (ax + b) ax + b + C. a (n + 1)a (n + 1)a Z √ √ n n n ax + b dx = Nhận xét. · (ax + b) ax + b + C. (n + 1)a Z √ √ 2 • Với n = 2, suy ra F (x) = ax + b dx = (ax + b) ax + b + C. 3a Z √ √ 3 3 3 • Với n = 3, suy ra F (x) = ax + b dx = (ax + b) ax + b + C. 4a  Bài 7. Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) thỏa mãn điều kiện F (x0 ) = k. √ 19 a) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = x thỏa mãn F (4) = . 3 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 16 17 | Page 1. NGUYÊN HÀM ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = √ 4 2x − 1 thỏa mãn F (1) = . 3 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Å . . . .ã. . . . . . . . . . . . . . . . . c) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = √ 4x − 5 thỏa mãn F 9 4 = 2. | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Å . . . .ã. . . . . . . . . . . . . . . . . d) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = √ 5 − 2x thỏa mãn F 1 2 7 =− . 3 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... e) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = √ 5 1 − x thỏa mãn F (−3) = . 3 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... f) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = √ 3 1 2x − 4 thỏa mãn F (−2) = . 4 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 17 18 | Page 1. NGUYÊN HÀM ...................................................................................................... g) Gọi F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = √ 3 7 x − 2 thỏa mãn F (3) = . Tính giá 4 trị biểu thức T = 2log13 [F (10)] + 3log13 [F (−6)] . | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... h) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = √ 3 8 3 − 5x thỏa mãn F (−1) = − . 5 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... i) Cho f (x) = √ n 1 . ax + b | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z 1 n ax + b dx = · √ +C . n (n − 1)a ax + b ax + b Z 1 2 √ • Với n = 2, suy ra F (x) = √ dx = · ax + b + C. a ax + b Z 1 3 p • Với n = 3, suy ra F (x) = √ dx = · 3 (ax + b)2 + C. 3 2a ax + b √ 2 j) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = √ thỏa mãn F (3) = 3 11. 4x − 1 Nhận xét. √ n | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 18 19 | Page 1. NGUYÊN HÀM √ 1 k) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = √ thỏa mãn F (2) = 5. 3x − 1 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Å. . . . . ã ............... 3 1 thỏa mãn F − l) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = √ 2 1 − 2x = 2018. | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z √ √ dx √ = a(x + 2) x + 2 + b(x + 1) x + 1 + C với a, b là các số hữu x+2+ x+1 tỷ và C là hằng số bất kỳ. Tính S = 3a + b. m) Biết √ | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... n) Biết F (x) là nguyên hàm của hàm số f (x) = √ của biểu thức x+ 1 √ 2 thỏa F (0) = . Tính giá trị 3 x+1 √ T = 3 [F (3) + F (2)] + 4 2. | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 19 20 | Page 1. NGUYÊN HÀM ...................................................................................................... Ví dụ 7 d Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = √ √ 3 √ thỏa F (1) = 2. 2x + 1 − 2x − 2 | Lời giải. Ta có: F (x) = Z  √ √ 3 2x + 1 + 2x − 2  √  dx √ √ √ 2x + 1 − 2x − 2 2x + 1 + 2x − 2  √ √ Z 3 2x + 1 + 2x − 2 dx = 3 Z Ä√ ä √ = 2x + 1 + 2x − 2 dx Z √ Z √ = 2x + 1 dx + 2x − 2 dx 1Z √ 1Z √ = 2x + 1 d(2x + 1) + 2x − 2 d(2x − 2) 2 2 √ √ 1 1 = (2x + 1) 2x − 1 + (2x − 2) 2x − 2 + C. 3 3 Z 3 √ √ dx = 2x + 1 − 2x − 2 √ √ √ √ 2 nên suy ra 3 + C = 2 ⇒ C = 2 − 3. √ √ √ √ 1 1 Vậy F (x) = (2x + 1) 2x + 1 + (2x − 2) 2x − 2 + 2 − 3. 3 3 Vì F (1) = √  Bài 8. a) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = √ √ 9x √ thỏa F (0) = 10. x + 10 + 10 − 8x | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 20 21 | Page 1. NGUYÊN HÀM ...................................................................................................... 6x √ thỏa F (2) = 1. b) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = √ 3x + 7 − 7 − 3x | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... c) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = √ 1 √ thỏa F (2) = 2 2. (x + 1) x − x x + 1 √ | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 21 22 | Page 1. NGUYÊN HÀM d) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = 1 √ thỏa (x + 2) x + 1 + (x + 1) x + 2 √ F (3) = 4. | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... e) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = √ 1 √ thỏa F (1) = 3. (x + 2) x − x x + 2 √ | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 22 23 | Page 1. NGUYÊN HÀM ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Ví dụ 8 d Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = x + sin x thỏa mãn điều kiện F (0) = 19. | Lời giải. 1 (x + sin x) dx = x2 − cos x + C. 2 Vì F (0) = 19 nên suy ra 0 − 1 + C = 19 ⇒ C = 20. 1 Vậy F (x) = x2 − cos x + 20. 2 Ta có: F (x) = Z  Bài 9. Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) thỏa mãn điều kiện F (x0 ) = k a) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = sin x − cos x thỏa mãn điều kiện F π  4 = 0. | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = 2x − 3 cos x và F π  2 = π2 . Tính 4 F (π). | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... c) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) =  π  3π F = . 2 2 | Lời giải.  sin x x 2 thỏa mãn điều kiện − cos 2 2 ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 23 24 | Page 1. NGUYÊN HÀM  π 2 thỏa mãn điều kiện F − = 2. d) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = cos2 x 4 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... e) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) =  π 1 thỏa mãn điều kiện F − = 0. sin2 x 6 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Å . . . . . . . . . . . . . . .ã .......................... 1 f) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = x 2 + x sin2 x π  F = −1. 4 | Lời giải. thỏa mãn điều kiện ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... 1 thỏa mãn điều kiện g) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = sin x + cos2 x  π  √2 F − = . 4 2 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Å. . . . .ã .... h) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = 1 + tan2 x thỏa mãn điều kiện F √ 3 . 3 | Lời giải. 5π 6 = ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 24 25 | Page 1. NGUYÊN HÀM ...................................................................................................... ...................................................................................................... i) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = tan2 x thỏa mãn điều kiện F (0) = 3. | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... j) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = (tan x + cot x)2 thỏa mãn điều kiện π  = 3. F 4 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... k) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = π  cos 2x thỏa mãn điều kiện F = sin2 x cos2 x 4 0. | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... π  x l) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = sin thỏa mãn F = 4. 2 2 | Lời giải. 2 ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... m) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = cos2 π  π x thỏa mãn F = . 2 2 4 | Lời giải. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 25 26 | Page 1. NGUYÊN HÀM ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Ví dụ 9 d Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = cos 2x thỏa mãn điều kiện F π  4 5 = . 2 | Lời giải. Z 1 Ta có: F (x) = cos 2x dx = sin 2x + C. 2 π  5 1 5 = nên suy ra + C = ⇒ C = 2. Vì F 4 2 2 2 1 Vậy F (x) = sin 2x + 2. 2  Bài 10. Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) thỏa mãn điều kiện F (x0 ) = k Å ã 1 a) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = sin(1 − 2x) thỏa mãn điều kiện F = 2 1. | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = cos4 x − sin4 x thỏa mãn điều kiện π  3 F = . 4 2 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... c) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = cos4 x + sin4 x thỏa mãn điều kiện  π  3π F = . 4 16 | Lời giải. ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 26 27 | Page 1. NGUYÊN HÀM ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... d) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = sin x(2 + cos x) thỏa mãn điều kiện 4F (0) = 11. | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ......................................................................................................  π thỏa mãn điều kiện e) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = cos 3x + 6 π  5 F = . 3 6 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... f) Tìm một √ nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = cos 6x − cos 4x thỏa mãn điều kiện π  2 F = . 8 12 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... g) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = sin 2x+3x2 thỏa mãn điều kiện F (0) = 0. | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 27 28 | Page 1. NGUYÊN HÀM ...................................................................................................... h) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = 1+tan2 π  x thỏa mãn điều kiện F = 5. 2 2 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... π  1 i) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = thỏa mãn điều kiện F = sin2 x cos2 x 4 3. | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... j) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = 2 thỏa mãn điều kiện (cos x − sin x)2 F (0) = 1. | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... k) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = 1 thỏa mãn điều kiện (cos x + sin x)2 1 F (0) = . 2 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 28 29 | Page 1. NGUYÊN HÀM ...................................................................................................... π l) Một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = a + b cos 2x thỏa mãn điều kiện F (0) = , 2 π  π π π F = và F = . 2 6 12 3 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... √ 3 x + thỏa mãn điều kiện đồ thị 5 của hai hàm số F (x) và f (x) cắt nhau tại một điểm nằm trên trục tung. Tìm hàm số m) Một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = 2 sin 5x + F (x). | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Ví dụ 10 d Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = cos2 x thỏa mãn F (0) = 10. | Lời giải. 1 + cos 2x 1 1 dx = x + sin 2x + C. 2 2 4 Vì F (0) = 10 nên suy ra C = 10. 1 1 Vậy F (x) = x + sin 2x + 10. 2 4 Ta có: F (x) = Z cos2 x dx = Z  ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 29 30 | Page 1. NGUYÊN HÀM Bài 11. Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) thỏa mãn điều kiện F (x0 ) = k a) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = sin2 2x, biết rằng đồ thị của hàm số π π  ; . y = F (x) đi qua điểm 2 4 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = (1 + sin x)2 thỏa mãn F (0) = 0. | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... π  π 4m 2 c) Một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = +sin x thỏa mãn F (0) = 1 và F = . π 4 8 Tìm giá thực của tham số m. | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... d) Cho hàm số f (x) = a + cos2 x Tìm tất cả các giá trị của a để f (x) có một nguyên hàm π ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 30 31 | Page 1. NGUYÊN HÀM π  π 1 = . F (x) thỏa mãn đồng thời F (0) = và F 4 4 4 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... 0 e) Tìm hàm số f (x), biết rằng f (x) = cos 2  13 π và f (0) = . x+ 4 4 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Ví dụ 11 d Gọi F1 (x) là một nguyên hàm của hàm số f1 (x) = sin2 x thỏa F1 (0) = 0 và F2 (x) là một nguyên hàm của hàm số f2 (x) = cos2 x thỏa mãn F2 (0) = 0. Giải phương trình F1 (x) = F2 (x). | Lời giải. Å ã 1Z 1 1 (1 − cos 2x) dx = x − sin 2x + C Ta có, F1 (x) = sin x dx = 2 2 2 Å ã 1 1 mà F1 (0) = 0 ⇒ 0 − sin 0 + C = 0 ⇒ C = 0 2Å 2 ã 1 1 Khi đó, F1 (x) = x − sin 2x 2 2 Å ã Z 1Z 1 1 2 Tương tự, F2 (x) = cos x dx = (1 + cos 2x) dx = x + sin 2x + C 2 2 Å ã 2 1 1 mà F2 (0) = 0 ⇒ 0 + sin 0 + C = 0 ⇒ C = 0 2Å 2 ã 1 1 Khi đó, F2 (x) = x + sin 2x 2 2 Theo đề bài, Z 2 ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 31 32 | Page 1. NGUYÊN HÀM F1 (x) = F2 (x) Å ã Å ã 1 1 1 1 ⇒ x − sin 2x = x + sin 2x 2 2 2 2 ⇒ sin 2x = 0 ⇒ 2x = kπ π ⇒ x=k 2  Bài 12. Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) thỏa mãn điều kiện F (x◦ ) = k. π  √ = 2. a) Tìm một nguyên hàm của hàm số f (x) = cos4 x thỏa mãn F 4 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... 3 b) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = sin4 2x thỏa mãn F (0) = . 8 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 32 33 | Page 1. NGUYÊN HÀM ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Ví dụ 12 d Hàm số f (x) = sin 3x cos x có 1 nguyên hàm là F (x) thỏa F π  6 π  15 = . Tính F . 16 4 | Lời giải. F (x) = Z (sin 3x cos x) dx 1Z (sin 4x + sin 2x) dx 2Å ã 1 1 1 = − cos 4x − cos 2x + C 2 4 2 = Å ã 15 1 1 2π 1 π 15 Theo giả thuyết, F = ⇒ − cos − cos +C = ⇒ C = 1. 6 16 2 4 Å3 2 3 ã 16 1 1 1 Vậy có 1 nguyên hàm cần tìm là F (x) = − cos 4x − cos 2x + 1. 2 4 2 π   Bài 13. Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) thỏa mãn điều kiện F (x◦ ) = k. π  = −3. a) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = 2 sin x cos 3x thỏa mãn F 2 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = sin 4x cos x thỏa mãn F (π) = 4. | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 33 34 | Page c) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = cos 5x cos x thỏa mãn F 1. NGUYÊN HÀM π  4 = 5. | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... d) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = cos 6x cos 2x thỏa mãn F π  6 = −2. | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... e) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = cos 2x cos 8x thỏa mãn F π  8 = 2018. | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 34 35 | Page 1. NGUYÊN HÀM ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... f) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = sin 7x sin x thỏa mãn F π  3 = −7. | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... g) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = sin x sin 3x thỏa mãn F π  4 1 = . 2 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 35 36 | Page 1. NGUYÊN HÀM ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... h) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = sin 10x sin 5x thỏa mãn F π  2 = 9. | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Ví dụ 13 d Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = e3x thỏa mãn F (0) = 1. | Lời giải. 1 e3x dx = e3x + C. 3 1 0 2 F (0) = 1 ⇔ e + C = 1 ⇔ C = . 3 3 1 3x 2 Vậy F (x) = e + . 3 3 F (x) = Z  ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 36 37 | Page 1. NGUYÊN HÀM Bài 14. Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) thỏa mãn điều kiện F (x◦ ) = k. a) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = e3x+1 thỏa mãn F (0) = ln3 [3F (1)]. e . Tính 3 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... 3 2 b) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = (2 + e3x ) thỏa mãn F (0) = . Tính 2 Å ã 1 F · 3 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... c) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = e−x (2ex + 1) thỏa mãn F (0) = 1. | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... d) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = ex (3 + e−x ) thỏa mãn F (ln 2) = 3 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...............................................................................Å . . . .ã ................... e) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = √ e4x−2 thỏa mãn F 1 2 =1 | Lời giải. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 37 38 | Page 1. NGUYÊN HÀM ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... f) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = e3x−1 − 1 e2 · thỏa mãn F (1) = 2 + x2 3 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... g) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = 2017x thỏa mãn F (1) = ln−1 2017. | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... h) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = 3x − 2x · 3x thỏa mãn F (0) = − 1 + 2. ln 6 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... i) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = 9x − 3x2 thỏa mãn F (0) = 1 + 2. ln 9 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... j) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = 4x 22x+3 thỏa mãn F (0) = 2 . Tính ln 2 ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 38 39 | Page 1. NGUYÊN HÀM [ln 2 · F (1)]3 · 210 | Lời giải. A= ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... k) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = 22x 3x 7x thỏa mãn F (1) = 1 · ln 84 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... 2 l) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = 2x 3−2x thỏa mãn F (1) = · 9 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Ví dụ 14 Z 2x + 1 2x + 1 d f (x) = ⇒ F (x) = dx =. x−1 x−1 | Lời giải. Z Z 2x + 1 3 F (x) = dx = 2 + dx = 2x + 3 ln |x − 1| + C x−1 x−1  Bài 15. Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) (giả sử điều kiện được xác định) Z 3x + 1 3x + 1 a) f (x) = ⇒ F (x) = dx = x−2 x−2 | Lời giải. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 39 40 | Page 1. NGUYÊN HÀM ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z x+1 ⇒ F (x) = 2x + 3 | Lời giải. b) f (x) = x+1 dx = 2x + 3 ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z x−1 ⇒ F (x) = 3x + 1 | Lời giải. c) f (x) = x−1 dx = 3x + 1 ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z 2 x +x+1 ⇒ F (x) = x+1 | Lời giải. d) f (x) = f (x) dx = ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z 2 4x + 6x + 1 ⇒ F (x) = 2x + 1 | Lời giải. f (x) dx = e) f (x) = ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z 2 x −x+2 ⇒ F (x) = 2x + 1 | Lời giải. f) f (x) = f (x) dx = ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z 3 2 4x + 4x − 1 ⇒ F (x) = 2x + 1 | Lời giải. g) f (x) = f (x) dx = ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z 3 2 x − 2x + 3x − 5 ⇒ F (x) = 2x + 3 | Lời giải. h) f (x) = f (x) dx = ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 40 41 | Page 1. NGUYÊN HÀM Ví dụ 15 Z 1 d Tìm nguyên của hàm số f (x) = 2 ⇒ F (x) = f (x) dx = x − a2 Lời giải: F (x) = Z x2 1 1 dx = 2 −a 2a Z Å 1 1 − x−a x+a ln ã dx = x−a x+a + C. 2a Bài 16. Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) (giả sử điều kiện được xác định) Z 1 a) f (x) = 2 ⇒ F (x) = f (x) dx = x −4 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z b) f (x) = 1 ⇒ F (x) = x(x + 1) f (x) dx = | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z 3 ⇒ F (x) = x2 + 3x | Lời giải. c) f (x) = f (x) dx = ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z 4 ⇒ F (x) = − 4x | Lời giải. d) f (x) = x2 f (x) dx = ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z 1 ⇒ F (x) = − 6x + 5 | Lời giải. e) f (x) = x2 f (x) dx = ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z 1 ⇒ F (x) = + 4x − 5 | Lời giải. f) f (x) = x2 f (x) dx = ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 41 42 | Page 1. NGUYÊN HÀM ...................................................................................................... Z 1 ⇒ F (x) = −x−6 | Lời giải. g) f (x) = 2x2 f (x) dx = ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z 1 ⇒ F (x) = − 3x − 9 | Lời giải. h) f (x) = 2x2 f (x) dx = ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z 4x − 5 ⇒ F (x) = −x−2 | Lời giải. i) f (x) = x2 f (x) dx = ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z 4x + 11 ⇒ F (x) = x2 + 5x + 6 | Lời giải. j) f (x) = f (x) dx = ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 42 43 | Page 1. NGUYÊN HÀM ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z x+1 ⇒ F (x) = x2 − x − 6 | Lời giải. k) f (x) = f (x) dx = ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z 5x − 3 ⇒ F (x) = x2 − 3x + 2 | Lời giải. l) f (x) = f (x) dx = ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z 2 m) f (x) = 2x + 6x − 4 ⇒ F (x) = x(x2 − 4) f (x) dx = | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 43 44 | Page 1. NGUYÊN HÀM Z 2x2 − 6x − 6 ⇒ F (x) = f (x) dx = x3 − 6x2 + 11x − 6 | Lời giải. n) f (x) = ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z 1 ⇒ F (x) = x2 − 6x + 9 | Lời giải. o) f (x) = f (x) dx = ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z 3x + 2 ⇒ F (x) = − 4x + 1 | Lời giải. p) f (x) = 4x2 f (x) dx = ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z q) f (x) = 3x + 1 ⇒ F (x) = (x + 1)3 f (x) dx = | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 44 45 | Page 1. NGUYÊN HÀM Ví dụ 16 Z 2x − 1 d Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = ⇒ F (x) = f (x) dx = . . . (x − 1)3 Lời giải: 2x − 1 dx (x − 1)3 ò Z ï 2(x − 1) + 1 = dx (x − 1)3 ò Z ï 2 1 = dx + (x − 1)2 (x − 1)3 1 2 − = − + C. x − 1 2(x − 1)2 F (x) = Z Bài 17. Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) (giả sử điều kiện được xác định) Z 1 a) f (x) = 2 ⇒ F (x) = f (x) dx = . . . x (x − 1) | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z b) f (x) = 2 ⇒ F (x) = (x − 1)(x + 2)2 f (x) dx = | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 45 46 | Page 1. NGUYÊN HÀM ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z c) f (x) = 3 ⇒ F (x) = x(x − 1)2 f (x) dx = . . . | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z d) f (x) = (x2 4 ⇒ F (x) = − x)(x − 2)2 f (x) dx = . . . | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 46 47 | Page 1. NGUYÊN HÀM ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z e) f (x) = x+1 ⇒ F (x) = x(x − 1)2 f (x) dx = . . . | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z 2 x + 10x − 6 ⇒ F (x) = − 2x2 − 7x − 4 | Lời giải. f) f (x) = x3 f (x) dx = . . . ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 47 48 | Page 1. NGUYÊN HÀM ...................................................................................................... Z g) f (x) = 3x + 6 ⇒ F (x) = x(x − 1)(x − 2)2 f (x) dx = . . . | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Ví dụ 17 d Tìm một nguyên hàm của hàm số F (x) của hàm số f (x) = x thỏa F (2) = 3 − ln 3. x+1 Lời giải: Ta có F (x) = Z f (x) dx x dx x+1 ã Z Å 1 = 1− dx x+1 = x − ln |x + 1| + C. = Z Ta lại có F (2) = 3 − ln 3 ⇔ 2 − ln 3 + C = 3 − ln 3 ⇔ C = 1. Vậy F (x) = x − ln |x + 1| + 1. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 48 49 | Page 1. NGUYÊN HÀM Bài 18. Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) thỏa mãn điều kiện F (x0 ) = k. x2 biết đồ thị hàm số a) Tìm một nguyên hàm của hàm số F (x) của hàm số f (x) = x−1 y = F (x) đi qua điểm M (2; 5). | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) Tìm một nguyên hàm của hàm số F (x) của hàm số f (x) = x2 biết F (−1) = 3. x+2 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... c) Hàm số f (x) = x3 có một nguyên hàm là F (x) thỏa F (−2) = 6. Tính F (0). x2 + 2x + 1 | Lời giải. ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 49 50 | Page 1. NGUYÊN HÀM ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Å . . . . . .ã . . . . . . . . . . . . . . . . .Å . . . . . .ã .... d) Hàm số f (x) = 3 x có một nguyên hàm là F (x) thỏa F − 3 (x + 1) 2 = 5. Tính F − 1 . 2 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 50 51 | Page e) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = 1. NGUYÊN HÀM 3x + 1 biết F (−2) = 5. (x + 1)3 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Å . . . . . .ã. . . . . . . . . . . . . . . . 1 x có một nguyên hàm là F (x) thỏa F − f) Hàm số f (x) = 3 (2x + 1) 4 Å ã 1 F − . 8 = 1 . Tính 9 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 51 52 | Page 1. NGUYÊN HÀM ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... g) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = 5 x3 biết F (2) = . x−1 3 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... h) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = 5 x3 − 1 biết F (1) = . x+1 6 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 52 53 | Page 1. NGUYÊN HÀM ...................................................................................................... ...................................................................................................... x3 i) Hàm số f (x) = có một nguyên hàm là F (x) thỏa F (−3) = 0. Tính F (−1). x+2 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... j) Biết f 0 (x) = 2x + 3 và f (2) = 6. Tính giá trị của ef (0) . x+1 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 53 54 | Page k) Gọi F (x) là một nguyên hàm của f (x) = 1. NGUYÊN HÀM x2 x−3 thỏa F (0) = 0. Tính F (−2). + 2x − 3 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... l) Gọi F (x) là một nguyên hàm của f (x) = 1 (x + 1)2 thỏa F (−1) = . Tính F (2). x+2 2 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 54 55 | Page 1. NGUYÊN HÀM ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... 1 ; biết rằng đồ thị hàm số m) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = 4x2 + 4x + 1 Å ã 1 y = F (x) đi qua điểm M −1; . 2 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... 2x + 9 có một nguyên hàm là F (x) thỏa F (−2) = 0. Biết phương trình x+3 1 1 F (x) = 2x + 4 có hai nghiệm x1 , x2 . Tính tổng x1 + x2 . 2 2 | Lời giải. n) Hàm số f (x) = ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 55 56 | Page 1. NGUYÊN HÀM ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... 2x2 + 2x + 3 , biết đồ thị của hàm số 2x + 1 9 y = F (x) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng . 8 | Lời giải. o) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... p) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = 5 1 thỏa mãn F (1) = − ln 2. x2 + 3x 3 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 56 57 | Page 1. NGUYÊN HÀM 1 ; biết rằng đồ thị của hàm số +x−2 2 y = F (x) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng ln 2. 3 | Lời giải. q) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = x2 ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... r) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = x2 6 1 ; biết F (−1) = ln 4. −x−6 5 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Å . . . .ã. . . . s) Hàm số f (x) = 1 có một nguyên hàm là F (x) thỏa F (3) = 0. Tính F x2 − 3x + 2 2 . 3 | Lời giải. ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 57 58 | Page 1. NGUYÊN HÀM ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... t) Hàm số f (x) = 11 2x + 3 ln 2. Tìm có một nguyên hàm là F (x) thỏa F (−1) = 3 −x−1 2x2 eF (0) . | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 58 59 | Page 1. NGUYÊN HÀM ...................................................................................................... ...................................................................................................... u) Hàm số f (x) = 4x + 11 có một nguyên hàm là F (x) thỏa F (−1) = ln 2. Tìm eF (−4) . + 5x + 6 x2 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... v) Hàm số f (x) = x2 5x + 3 có một nguyên hàm là F (x) thỏa F (−2) = 18 ln 2. Tìm + 7x + 12 F (−5). | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 59 60 | Page 1. NGUYÊN HÀM ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... 9x − 10 có một nguyên hàm là F (x) thỏa F (1) = ln 2. Gọi x1 , x2 6x2 − 11x + 3 1 là hai nghiệm của phương trình F (x) = ln |3x − 1| + ln 3. Tính 3x1 + 3x2 . 2 | Lời giải. w) Hàm số f (x) = ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 60 61 | Page 1. NGUYÊN HÀM ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... x) Hàm số f (x) = 1 có một nguyên hàm là F (x) thỏa F (1) = ln 2. Tính F (−2). + 1) x2 (x | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 61 62 | Page 1. NGUYÊN HÀM p Dạng 1.2. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số Cho Z f (u) du = F (u) + C và u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì Z Một  số I    a) I   I b) c) d) e) f) g) h) i) 0 f [u(x)] u (x) dx = F [u(x)] + C. dạng đổi biến thường gặp Z phương pháp f (ax + b)n · x dx −−−−−−−→ Đặt t = ax + b ⇒ dt = a dx. Å ãm Z xn phương pháp = f dx −−−−−−−→ Đặt t = axn+1 + 1 ⇒ dt = a(n + 1)xn dx, với m, n ∈ Z. n+1 ax +1 = Z phương pháp f (ax2 + b)n · x dx −−−−−−−→ Đặt t = ax2 + b ⇒ dt = 2ax dx. Z p p 0 0 phương pháp n I= f (x) · f (x) dx −−−−−−−→ Đặt t = n f (x) ⇒ tn = f (x) ⇒ ntn−1 dt = f (x) dx. Z  1 1 phương pháp I = f (ln x) · dx −−−−−−−→ Đặt t = ln x ⇒ dt = dx.  x x  Z b 1 phương pháp I = f (a + b ln x) · dx −−−−−−−→ Đặt t = a + b ln x ⇒ dt = dx. x x  Z phương pháp x x x x I = f (e ) · e dx −−−−−−−→ Đặt t = e ⇒ dt = e dx.  Z  phương pháp I = f (a + bex ) · ex dx −−−−−−−→ Đặt t = a + bex ⇒ dt = bex dx  Z phương pháp I = f (cos x) · sin x dx −−−−−−−→ Đặt t = cos x ⇒ dt = − sin x dx.  Z  phương pháp I = f (a + b cos x) · sin x dx −−−−−−−→ Đặt t = a + b cos x ⇒ dt = −b sin x dx.  Z phương pháp I = f (sin x) · cos x dx −−−−−−−→ Đặt t = sin x ⇒ dt = cos x dx.  Z  phương pháp I = f (a + b sin x) · cos x dx −−−−−−−→ Đặt t = a + b sin x ⇒ dt = b cos x dx. Z dx phương pháp 1 −−−−−−−→ Đặt t = tan x ⇒ dt = dx = (1 + tan2 x) dx. I = f (tan x) · 2 2x cos x cos Z dx phương pháp 1 I = f (cot x) · −−−−−−−→ Đặt t = cot x ⇒ dt = − 2 dx = −(1 + cot2 x) dx. 2 sin x sin x  2 Z t = sin x ⇒ dt = sin 2x dx; phương pháp I = f (sin2 x; cos2 x) · sin 2x dx −−−−−−−→ Đặt  t = cos2 x ⇒ dt = − sin 2x dx. = j) I = Z phương pháp f (sin x ± cos x) · (sin x ∓ cos x) dx −−−−−−−→ Đặt t = sin x ± cos x ⇒ dt = (cos x ∓ sin x) dx. Chú ý Sau khi đổi biến và tính nguyên hàm xong, ta cần trả lại biến cũ ban đầu là x. Bài tập áp dụng Ví dụ 1 d Tính I = Z x(1 − x)2018 dx. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 62 63 | Page 1. NGUYÊN HÀM | Lời giải. Đặt t = 1 − x ⇒ x = 1 − t ⇒ dx = − dt. Suy ra Z 2018 I = − (1 − t)t = Vậy I = Z dt = Z  t2019 − t2018 dt t2019 (1 − x)2020 (1 − x)2019 t2020 − +C = − + C. 2020 2019 2020 2019 x(1 − x)2018 dx = (1 − x)2020 (1 − x)2019 − + C. 2020 2019  Bài 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau Z (1 + x)2019 (1 + x)2018 2017 − +C a) Tính I = x(1 + x) dx. I = 2019 2018 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... 6 Z 2 b) Tính I = x(x2 + 1)5 dx. I = (x + 1) +C 12 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z 12 11 10 c) Tính I = x2 (x − 1)9 dx. I = (x − 1) 12 +2 (x − 1) 11 + (x − 1) 10 +C | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 63 64 | Page 1. NGUYÊN HÀM ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z  2 7 2 8 2 6  d) Tính I = 5 2 x 1 − x2 dx. I = − 2 (1 − x ) (1 − x ) (1 − x ) + − +C 6 7 8 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z 3 8 3 7  e) Tính I = x5 1 − x3 6 dx. I = − (1 − x ) (1 − x ) + +C 21 24 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z  f) Tính I = x3 2 − 3x2 8 dx. | Lời giải. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 64 65 | Page 1. NGUYÊN HÀM ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Ví dụ 2 d Tính I = Z 1 x dx . I = ln(x2 + 2) + C 2 x +2 2 | Lời giải. Đặt t = x2 + 2 ⇒ x2 = t − 2 ⇒ 2x dx = dt ⇒ x dx = 1 dt. 2 Suy ra 1 1 1 · dt = ln |t| + C 2 t 2 1 1 2 = ln |x + 2| + C = ln(x2 + 2) + C. 2 2 I = Vậy I = Z Z 1 x dx = ln(x2 + 2) + C. x2 + 2 2  Bài 2. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau Z x dx a) Tính I = . (x + 1)5 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 65 66 | Page 1. NGUYÊN HÀM ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z 3 b) Tính I = x dx . (1 + x2 )3 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z 3 c) Tính I = 4x dx . (x4 + 2)2 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z 5 d) Tính I = x dx . x2 + 1 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 66 67 | Page 1. NGUYÊN HÀM ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z 4 x dx . x10 − 4 e) Tính I = | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . .Å . . . . . . . . .ã. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z 3 1+ f) Tính I = 1 x dx . x2 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Ví dụ 3 d Tính I = Z (x + 1)2017 dx. (2x + 3)2019 | Lời giải. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 67 68 | Page 1. NGUYÊN HÀM ã Z Å (x + 1)2017 1 x + 1 2017 Ta có I = · dx = dx. (2x + 3)2019 2x + 3 (2x + 3)2 1 x+1 ⇒ dt = dx. Đặt t = 2x + 3 (2x + 3)2 Suy ra Z I = Vậy I = Z Z 2017 t Å ã t2018 1 x + 1 2018 dt = +C = · + C. 2018 2018 2x + 3 Å ã x + 1 2018 (x + 1)2017 1 · + C. dx = (2x + 3)2019 2018 2x + 3  Bài 3. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau Z x5 a) Tính I = dx. (x + 1)7 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z 99 b) Tính I = (7x − 1) dx. (2x + 1)101 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z 9 c) Tính I = x dx . (x2 + 1)6 ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 68 69 | Page 1. NGUYÊN HÀM | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z 2001 x dx . 2 (x + 1)1002 d) Tính I = | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Ví dụ 4 d Tính I = Z (x + 1) dx √ . x2 + 2x − 4 | Lời giải. √ Đặt t = x2 + 2x − 4 ⇒ t2 = x2 + 2x − 4 ⇒ 2t dt = (2x + 2) dx ⇒ (x + 1) dx = t dt. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 69 70 | Page 1. NGUYÊN HÀM Suy ra I = Vậy I = Z Z Z √ t dt = dt = t + C = x2 + 2x − 4 + C. t √ (x + 1) dx √ = x2 + 2x − 4 + C. x2 + 2x − 4  Bài 4. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau Z (2x − 3) dx a) Tính I = √ 2 . x − 3x − 5 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z √ b) Tính I = x 2017 − x dx. | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z √ c) Tính I = x x2 + 3 dx. | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 70 71 | Page 1. NGUYÊN HÀM ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z √ d) Tính I = x 2019 − x2 dx. | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z √ e) Tính I = 3 x x2 − 2018 dx. | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z f) Tính I = √ 3 2x dx. x2 + 4 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z √ g) Tính I = 3 5x 1 − x2 dx. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 71 72 | Page 1. NGUYÊN HÀM | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z 2 h) Tính I = √ x dx. 1−x | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z 3 i) Tính I = √ x dx. 4 − x2 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 72 73 | Page j) Tính I = 1. NGUYÊN HÀM Z dx . x x2 + 4 √ | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z k) Tính I = dx . x x2 + 9 √ | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z » l) Tính I = x5 3 (1 − 2x2 )2 dx. | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 73 74 | Page 1. NGUYÊN HÀM ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z 3 2 2x − 3x + x √ dx. x2 − x + 1 m) Tính I = | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Ví dụ 5 d Tính I = Z ln x dx √ . x 1 + ln x | Lời giải. √ dx = 2t dt. Đặt t = 1 + ln x ⇒ t2 = 1 + ln x ⇒ ln x = t2 − 1 ⇒ x Suy ra Z  t2 − 1 · 2t dt = 2t2 − 2 dt t √ √ 2t3 2 (1 + ln x) 1 + ln x = − 2t + C = − 2 1 + ln x + C. 3 3 I = Z ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 74 75 | Page Vậy I = Z 1. NGUYÊN HÀM √ √ ln x dx 2 (1 + ln x) 1 + ln x √ = − 2 1 + ln x + C. 3 x 1 + ln x  Bài 5. Tìm nguyên hàm √ của các hàm số sau Z ln x 1 + 3 ln x a) Tính I = dx. x | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z b) Tính I = dx √ . 3 x 1 + ln x | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z 2 c) Tính I = ln x dx √ . x 1 + ln x | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 75 76 | Page 1. NGUYÊN HÀM ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z √ d) I = ex 5 − ex dx. | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z e) I = √ dx . ex + 3 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z √ f) I = cos x 3 sin x + 2 dx. | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z √ g) I = sin x 2018 + cos x dx. | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z 1 p dx. x ln x 6 + 3 ln2 x | Lời giải. h) I = ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 76 77 | Page 1. NGUYÊN HÀM ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z x √ dx. x + x2 − 1 | Lời giải. i) I = ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z 3 x dx. + 1 − x2 | Lời giải. j) I = √ x4 ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z 3x √ dx. x2 + 2 + x2 − 1 | Lời giải. k) I = √ ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 77 78 | Page 1. NGUYÊN HÀM ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Ví dụ 6 d I= Z ln x dx. x | Lời giải. Đặt t = ln x ⇒ dt = Z t2 ln2 x 1 dx. Suy ra I = t dt = + C = + C. x 2 2  Bài 6. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: Z ln2 x dx. a) I = x | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z 1 + ln x dx. x | Lời giải. b) I = ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z 4 1 + ln x dx. x | Lời giải. c) I = ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z 3 ln x + 1 dx. x ln x | Lời giải. d) I = ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 78 79 | Page 1. NGUYÊN HÀM ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z e) I = ln x dx. x(2 + ln x)2 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... . . . . . . . .√ .............................................................................................. Z 4 + ln x dx. x | Lời giải. f) I = ...................................................................................................... ...................................................................................................... . . . . . . . .√ .............................................................................................. Z 1 + 3 ln x dx. x | Lời giải. g) I = ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z ln x dx. x 1 + ln x | Lời giải. h) I = √ ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Ví dụ 7 d I= Z ex dx . ex − 1 | Lời giải. Đặt t = ex − 1 ⇒ dt = ex dx. Z Z ex dx 1 = Suy ra I = dt = ln |t| + C = ln |ex − 1| + C. x e −1 t  ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 79 80 | Page 1. NGUYÊN HÀM Bài 7. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: Z dx . a) I = x e +3 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z dx . +4 | Lời giải. b) I = ex ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z dx . + e−x | Lời giải. c) I = ex ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z x e dx . + e−x | Lời giải. d) I = ex ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z dx . + 2e−x − 3 | Lời giải. e) I = ex ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 80 81 | Page 1. NGUYÊN HÀM ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z dx . ex − 4 · e−x | Lời giải. f) I = ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z x 3 (1 + e ) dx. ex | Lời giải. g) I = ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z 2x x + 3e dx. + 3ex + 2 | Lời giải. h) I = e e2x ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z x i) I = e dx. (1 + ex )2 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z x 2e − 1 dx. ex + 1 | Lời giải. j) I = ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 81 82 | Page 1. NGUYÊN HÀM ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z 2x k) I = √ e dx. ex + 1 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z 2x l) I = e dx √ . 3 + ex | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z m) I = √ dx . ex + 1 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Ví dụ 8 d I= Z tan x dx. | Lời giải. sin x dx. cos x Đặt t = cos x ⇒ dt = − sin x dx. Z 1 Suy ra I = − dt = − ln |t| + C = − ln | cos x| + C. t Ta có I = Z  ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 82 83 | Page 1. NGUYÊN HÀM Bài 8. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) I = Z sin3 x dx. | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z b) I = sin5 x dx. | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z c) I = cos2017 x · sin x dx. | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z sin x dx. cos2 x | Lời giải. d) I = ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z e) I = sin 2x cos2 x dx. | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z sin x dx. 2 + cos x | Lời giải. f) I = ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z 3 g) I = 5 sin x dx. 1 − cos x ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 83 84 | Page 1. NGUYÊN HÀM | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z h) I = sin2 x tan x dx. | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z sin 2x cos x dx. 1 − cos x | Lời giải. i) I = ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z sin 2x dx. 4 − cos2 x | Lời giải. j) I = ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z sin 4x dx. 1 + cos2 x | Lời giải. k) I = ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z   l) I = 1 + tan x tan x sin x dx. 2 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 84 85 | Page 1. NGUYÊN HÀM ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z sin x dx. cos 2x + 3 cos x + 2 | Lời giải. m) I = ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z sin x dx. cos 2x − cos x | Lời giải. n) I = ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z sin x + sin 3x dx. cos 2x | Lời giải. o) I = ...................................................................................................... Z √ p) I = 2 sin x 1 + 4 cos x dx. | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z q) Tính I = sin 2x + sin x √ dx. 1 + 3 cos x | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 85 86 | Page 1. NGUYÊN HÀM ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z r) Tính I = dx . sin x | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z s) Tính I = dx . sin3 x | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z t) Tính I = dx √ . sin x + 3 cos x | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 86 87 | Page 1. NGUYÊN HÀM Ví dụ 9 d Tính I = Z cot x dx. | Lời giải. Ta có I = Z cot x dx = Z cos x dx = ln | sin x| + C. sin x  Bài 9. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) Tính I = Z cos3 x dx. | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z cos5 x dx. b) Tính I = | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z sin2019 x cos x dx. c) Tính I = | Lời giải. ...................................................................................................... Z d) Tính I = (1 + 2 sin x) cos x dx. | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z e) Tính I = cos x dx. 4 + sin x | Lời giải. ...................................................................................................... Z f) Tính I = cos x dx. 9 − 2 sin x ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 87 88 | Page 1. NGUYÊN HÀM | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z sin 2x dx. 1 − sin x g) Tính I = | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z sin 2x dx. (2 + sin x)2 h) Tính I = | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z i) Tính I = (1 + sin x)9 cos x dx. | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z sin 2x sin5 x dx. j) Tính I = | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z k) Tính I = (1 + 2 sin x)7 cos x dx. | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z l) Tính I = (2 sin x − 3) cos x dx. 2 sin x + 1 ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 88 89 | Page 1. NGUYÊN HÀM | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z m) Tính I = cos 2x dx. 1 + 2 sin 2x | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z 2 n) Tính I = 1 − 2 sin x dx. 1 + sin 2x | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z o) Tính I = cos x dx . 6 − 5 sin x + sin2 x | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z p) Tính I = cos xesin x dx. | Lời giải. ...................................................................................................... Z √ q) Tính I = cos x 1 + sin x dx. | Lời giải. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 89 90 | Page 1. NGUYÊN HÀM ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z √ r) Tính I = cos x 3 sin x + 1 dx. | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z s) Tính I = cos x dx √ . 2 + 3 sin x + 1 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z t) Tính I = dx . cos x | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z u) Tính I = dx . cos3 x | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 90 91 | Page 1. NGUYÊN HÀM ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Ví dụ 10 d Tính I = Z tan x dx. cos2 x | Lời giải. Z dx t2 tan2 x Đặt t = tan x ⇒ dt = . Khi đó I = t dt = + C = + C. cos2 x 2 2  Bài 10. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: Z sin2 x dx. a) Tính I = cos4 x | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z 2 b) Tính I = (1 + tan x) dx. cos2 x | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z c) Tính I = 2 + 3 tan x dx. 1 + cos 2x | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z 2 d) Tính I = tan x dx. cos 2x | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 91 92 | Page 1. NGUYÊN HÀM ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z e) Tính I = dx . sin x − 4 cos2 x 2 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z f) Tính I = dx . sin x + 3 sin x cos x 2 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z g) Tính I = dx . 5 cos2 x − 8 sin x cos x + 3 sin2 x | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 92 93 | Page 1. NGUYÊN HÀM ...................................................................................................... Z h) Tính I = dx . sin x cos3 x | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z i) Tính I = cos4 dx . x sin2 x | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z j) Tính I = dx . cos4 x | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z k) Tính I = (1 + sin 2x) dx . 2 sin x cos3 x + cos4 x | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 93 94 | Page 1. NGUYÊN HÀM ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Ví dụ 11 d Tính I = Z cot x dx. sin2 x | Lời giải. 1 dx. sin2 x Z t2 cot2 x + C. Do đó I = −t dt = − + C = − 2 2 Đặt t = cot x ⇒ dt = −  Bài 11. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: Z (2 − cot x)2 dx. a) Tính I = sin2 x | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z 2 b) Tính I = cos x dx. sin4 x | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z c) Tính I = 3 − cot x dx. 1 − cos 2x | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 94 95 | Page 1. NGUYÊN HÀM ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z 4 d) Tính I = cos x dx. sin6 x | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z e) Tính I = dx . sin4 x | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z 2 f) Tính I = cot x dx. cos 2x | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z 4 g) Tính I = cot x dx. cos 2x | Lời giải. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 95 96 | Page 1. NGUYÊN HÀM ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z h) Tính I = dx . cos x sin3 x | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z i) Tính I = sin x dx. (sin x + cos x)3 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 96 97 | Page 1. NGUYÊN HÀM Ví dụ 12 d Tính I = Z sin 2x dx. 1 + cos2 x | Lời giải. Đặt t = 1 + cos2 x ⇒ dt = − sin 2x dx. Z 1 Do đó I = − dt = − ln |t| + C = − ln |1 + cos2 x| + C. t  Bài 12. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: Z sin 2x dx. a) Tính I = 1 + sin2 x | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z b) Tính I = sin 2x dx. 3 + cos2 x | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z  c) Tính I = sin 2x 1 + sin2 x 3 dx. | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z d) Tính I = esin 2 x sin 2x dx. | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z e) Tính I = ecos 2 x sin 2x dx. | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z f) Tính I = sin 4x dx. 1 + cos2 x | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 97 98 | Page 1. NGUYÊN HÀM ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z g) Tính I = √ cos2 sin 2x dx. x + 4 sin2 x | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z h) Tính I = √ sin x cos x dx. 4 cos2 x + 9 sin2 x | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Ví dụ 13 d Tính I = Z sin x − cos x dx. sin x + cos x | Lời giải. Đặt t = sin x + cos x ⇒ dt = −(sin x − cos x) dx. Z 1 dt = − ln |t| + C = − ln | sin x + cos x| + C. Do đó I = − t  Bài 13. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: Z sin x − cos x a) Tính I = dx. sin x + cos x + 3 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z b) Tính I = cos 2x dx. sin x + cos x + 1 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 98 99 | Page 1. NGUYÊN HÀM ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z c) Tính I = cos 2x dx. (sin x + cos x + 4)3 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z d) Tính I = sin x + cos x dx. 3 + sin 2x | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z e) Tính I = 1 + sin 2x + cos 2x dx. sin x + cos x | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z f) Tính I = sin x − cos x dx. sin 2x + 2(1 + sin x + cos x) | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z g) Tính I = 2− √ cos 2x dx 1 + sin x − cos x . | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 99 100 | Page 1. NGUYÊN HÀM ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z 4(sin x + cos x) − cos 2x dx. 2(sin x − cos x − 1) − sin 2x h) Tính I = | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z cos 2x  π  dx. (1 + sin 2x) cos x − 4 i) Tính I = | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... p Dạng 1.3. Nguyên hàm từng phần Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm và liên tục trên K thì I= Z 0 u(x)v (x) dx = u(x)v(x) − Z 0 u (x)v(x) dx hay I = Z Z u dv − Z v du. Z Nhận dạng: Tích hai hàm khác loại nhau. Ví dụ: ex sin x dx, x ln x dx, . . .  vi phân  Z Z u = . . . −−−−→ du = . . . dx a) Đặt: Suy ra: I = u dv = uv − v du.  nguyên hàm  dv = . . . dx − −−−−−→ v = . . . ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 100 101 | Page 1. NGUYÊN HÀM b) Thứ tự ưu tiên chọn u: nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ và dv = phần còn lại. c) Lưu ý rằng bậc của đa thức và bậc của ln tương ứng với số lần lấy nguyên hàm. d) Dạng mũ nhân lượng giác là dạng nguyên hàm từng phần luân hồi. Ví dụ và bài tập Ví dụ 1 d Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) (giả sử điều kiện được xác  định) Z u = . . . −→ du = . . . Tính I = ln x dx. Chọn  dv = . . . −→ v = . . . | Lời giải.   1   du = dx u = ln x x ⇒ Đặt   dv = dx v = x Z 1 Ta có: I = x ln x − x dx = x ln x − x + C. x  Bài 1. Tìm nguyên hàm F (x) củahàm số f (x) (giả sử điều kiện được xác định): Z u = . . . −→ du = . . . a) Tính I = x ln x dx. Chọn  dv = . . . −→ v = . . . | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............................................................. Z u = . . . −→ du = . . . b) Tính I = (2x + 1) ln x dx. Chọn  dv = . . . −→ v = . . . | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................... Z u = . . . −→ du = . . . c) Tính I = x ln(1 − x) dx. Chọn  dv = . . . −→ v = . . . | Lời giải. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 101 102 | Page 1. NGUYÊN HÀM ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................... Z u = . . . −→ du = . . . d) Tính I = x sin x dx. Chọn  dv = . . . −→ v = . . . | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................... Z u = . . . −→ du = . . . e) Tính I = x cos x dx. Chọn  dv = . . . −→ v = . . . | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................. Z u = . . . −→ du = . . . f) Tính I = (x + 1) sin 2x dx. Chọn  dv = . . . −→ v = . . . | Lời giải. ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 102 103 | Page 1. NGUYÊN HÀM ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................... Z u = . . . −→ du = . . . g) Tính I = x sin x dx. Chọn  dv = . . . −→ v = . . . 2 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............................................................. Z u = . . . −→ du = . . . h) Tính I = x sin x cos x dx. Chọn  dv = . . . −→ v = . . . | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................................... Z u = . . . −→ du = . . . i) Tính I = x(2 cos2 x − 1) dx. Chọn  dv = . . . −→ v = . . . | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 103 104 | Page 1. NGUYÊN HÀM ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................................................ Z u = . . . −→ du = . . . xex dx. Chọn j) Tính I =  dv = . . . −→ v = . . . | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................ Z u = . . . −→ du = . . . k) Tính I = (1 − 2x)ex dx. Chọn  dv = . . . −→ v = . . . | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................... Z u = . . . −→ du = . . . l) Tính I = xe3x dx. Chọn  dv = . . . −→ v = . . . | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 104 105 | Page m) Tính I = 1. NGUYÊN HÀM Z xe−x dx. Chọn  u = . . . −→ du = . . .  dv = . . . −→ v = . . . | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............................................................. Z u = . . . −→ du = . . . n) Tính I = (4x − 1)e−2x dx. Chọn  dv = . . . −→ v = . . . | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................................................... Z u = . . . −→ du = . . . o) Tính I = x dx. Chọn  dv = . . . −→ v = . . . sin2 x | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 105 106 | Page 1. NGUYÊN HÀM ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................... Z u = . . . −→ du = . . . p) Tính I = x dx. Chọn  dv = . . . −→ v = . . . cos2 x | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................... ................................................................ Z u = . . . −→ du = . . . q) Tính I = 2x − 1 dx. Chọn  dv = . . . −→ v = . . . 1 + cos 2x | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................... ................................................................ Z u = . . . −→ du = . . . r) Tính I = 2x dx. Chọn  dv = . . . −→ v = . . . 1 − cos 4x | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 106 107 | Page 1. NGUYÊN HÀM ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................... Z u = . . . −→ du = . . . s) Tính I = ln x dx. Chọn  dv = . . . −→ v = . . . x3 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................... Z 2 u = . . . −→ du = . . . t) Tính I = x −1 ln x dx. Chọn  dv = . . . −→ v = . . . x2 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 107 108 | Page 1. NGUYÊN HÀM ...................................................................................................... ...................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................... Z u = . . . −→ du = . . . u) Tính I = ex cos x dx. Chọn  dv = . . . −→ v = . . . | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................... Z u = . . . −→ du = . . . v) Tính I = ex sin x dx. Chọn  dv = . . . −→ v = . . . | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 108 109 | Page 1. NGUYÊN HÀM ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Ví dụ 2 d Tìm một nguyên hàm của hàm số F (x) của hàm số f (x) thỏa mãn điều kiện cho trước. Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = xe−x thỏa mãn F (0) = 1. | Lời giải. Z Z Theo đề ta tính f (x) dx = xe−x dx.   u=x ⇒ du = dx Đặt  dv = e−x dx ⇒ v = −e−x . Suy ra Z xe−x dx = −xe−x + Z e−x dx = −xe−x − e−x + C = F (x). Mà F (0) = 1 ⇒ C = 1. Vậy F (x) = −xe−x − e−x + 1.  Bài 2. Tìm một nguyên hàm của hàm số F (x) của hàm số f (x) thỏa mãn điều kiện cho trước. a) Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = x cos 3x thỏa mãn F (0) = 1. | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) Cho F (x) = ln x là một nguyên hàm của hàm số f (x) . Tìm nguyên hàm của hàm x3 f 0 (x) ln x. | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 109 110 | Page 1. NGUYÊN HÀM ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... c) Cho F (x) = ln x là một nguyên hàm của hàm số f (x) . Tìm nguyên hàm của hàm x2 f 0 (x) ln x. | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... d) Cho F (x) = ln x là một nguyên hàm của hàm số xf (x). Tìm nguyên hàm của hàm f 0 (x) ln x. | Lời giải. ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 110 111 | Page 1. NGUYÊN HÀM ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... e) Cho F (x) = x2 + 1 là một nguyên hàm của f (x) . Tìm nguyên hàm của hàm f 0 (x) ln x. x | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... f) Cho F (x) = f (x) 1 là một nguyên hàm của . Tìm nguyên hàm của f 0 (x)(x4 − x3 ). 2 x x | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 111 112 | Page 1. NGUYÊN HÀM ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... g) Cho F (x) = x2 là một nguyên hàm của f (x)e2x . Tìm nguyên hàm của f 0 (x)e2x . | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... h) Cho F (x) = f (x) 1 là một nguyên hàm của . Tìm nguyên hàm của f 0 (x)(x3 + 1). 2 x x | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... i) Cho F (x) = 1 là một nguyên hàm của x2 f (x). Tìm nguyên hàm của f 0 (x)x3 ln x. x | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 112 113 | Page 1. NGUYÊN HÀM ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... . . . . . ................................................................................................. 1 dx x Đặt   dv = 4 dx ⇒ v = − 4 . x2 x Z Z 4 4 4 4 2 Suy ra 4x ln x dx = − ln x + dx = − ln x − + C. 2 x x x x 1 f (x) . Tìm nguyên hàm của f 0 (x)x ln x. j) Cho F (x) = 2 là một nguyên hàm của x x | Lời giải.   u = ln x ⇒ du = ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... k) Cho F (x) = 1 f (x) là một nguyên hàm của 2 . Tìm nguyên hàm của f 0 (x) ln x. 3 x x | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 113 114 | Page l) Cho F (x) = 1. NGUYÊN HÀM f (x) x4 là một nguyên hàm của . Tìm nguyên hàm của f 0 (x) ln x. 16 x | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... m) Cho F (x) = −xex là một nguyên hàm của hàm số f (x)e2x . Tìm nguyên hàm của f 0 (x)e2x . | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... n) Cho F (x) = 2(x − 1)ex là một nguyên hàm của hàm số f 0 (x)ex thỏa f (0) = 0. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x)ex . | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 114 115 | Page 1. NGUYÊN HÀM ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . .Å . . . . . . . . . .ã. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x2 cos x + x sin x là một nguyên hàm của hàm số f (x) sin x. Tìm 2 nguyên hàm của hàm số f 0 (x) cos x. o) Cho F (x) = 1− | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . .Å . . . . . . . . . .ã. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x2 − 1 sin x + x cos x là một nguyên hàm của hàm số f (x) cos x. Tìm 2 nguyên hàm của hàm số f 0 (x) sin x. p) Cho F (x) = | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 115 116 | Page 1. NGUYÊN HÀM q) Cho F (x) = x tan x + ln | cos x| là một nguyên hàm của hàm số f (x) . Tìm nguyên hàm cos2 x của hàm số f 0 (x) tan x. | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... r) Cho F (x) = −x cot x + ln |sin x| là một nguyên hàm của hàm số f (x) . Tìm nguyên hàm sin2 x của hàm số f 0 (x) cot x. | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .Å . . . . . . . . . . . . . . .ã. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x2 − x + 1 ex là một nguyên hàm của hàm số f (x)ex . Tìm nguyên hàm 2 của hàm số f 0 (x)ex . s) Cho F (x) = | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... C. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 1. Mức độ nhận biết Câu 1. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = ex + x là A. ex + x2 + C. 1 B. ex + x2 + C. 2 ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 116 117 | C. Page 1. NGUYÊN HÀM 1 x 1 2 e + x + C. x+1 2 D. ex + 1 + C. Câu 2. Nguyên hàm của hàm số f (x) = x3 + x là A. x4 + x2 + C. B. 3x2 + 1 + C. C. x3 + x + C. Câu 3. Nguyên hàm của hàm số f (x) = x4 + x2 là 1 1 A. 4x3 + 2x + C. B. x5 + x3 + C. C. x4 + x2 + C. 5 3 1 4 1 2 x + x + C. 4 2 D. D. x5 + x3 + C. Câu 4. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau? x4 + C . 4 Z D. sin x dx = − cos x + C. Z 2ex dx = 2 (ex + C). Z 1 C. dx = ln x + C. x A. B. Z x3 dx = Câu 5. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 52x ? A. C. Z 52x dx = 2.52x ln 5 + C. Z 52x dx = 52x + C. ln 5 Z 25x+1 D. 52x dx = + C. x+1 B. 25x + C. 2 ln 5 Z 52x dx = 2. Câu 6. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 3x2 + 3x là 3x A. x3 + 3x ln 3 + C. B. x3 + + C. C. x3 + 3x + C. ln 3 Câu 7. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 22x là 1 A. 4x · ln 4 + C. B. x + C. C. 4x + C. 4 · ln 4 D. x3 + ln 3 + C. 3x 4x + C. ln 4 D. Câu 8. Với C là hằng số, họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 2 cos 2x là A. − sin 2x + C. B. −2 sin 2x + C. Câu 9. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = e−x 2 + tan x + C. ex 2 C. F (x) = − x − tan x + C. e A. F (x) = − Å C. 2 sin 2x + C. ã ex 2+ . cos2 x D. sin 2x + C. B. F (x) = 2ex − tan x + C. D. F (x) = 2e−x + tan x + C. Câu 10. Cho biết F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên R. Tìm I = A. I = 2xF (x) − x + C. B. I = 2xF (x) − 1 + C. C. I = 2F (x) − 1 + C. D. I = 2F (x) − x + C. Câu 11. Tìm tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x) = sin 5x là 1 A. cos 5x + C. B. cos 5x + C. C. − cos 5x + C. 5 1 Câu 12. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = là x+1 1 A. log |1 + x| + C. B. ln(1 + x) + C. C. − + C. (1 + x)2 Câu 13. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = ex + x2 là 1 x3 x3 A. ex + + C. B. ex + 2x + C. C. ex + + C. x 3 3 Z [2f (x) − 1] dx. 1 D. − cos 5x + C. 5 D. ln |1 + x| + C. D. ex + 3x3 + C. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 117 118 | Page 1. NGUYÊN HÀM Câu 14. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = cos 3x. A. sin 3x + C. 3 Z D. cos 3x dx = sin 3x + C. Z B. cos 3x dx = 3 sin 3x + C. Z sin 3x C. cos 3x dx = − + C. 3 Câu 15. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = dx 1 = ln |5x − 2| + C. 5 Z 5x − 2 dx = 5 ln |5x − 2| + C. C. 5x − 2 A. Z cos 3x dx = 1 . 5x − 2 Z B. dx 1 = − ln(5x − 2) + C. 2 Z 5x − 2 dx D. = ln |5x − 2| + C. 5x − 2 Z Câu 16. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = 7x . A. C. Z 7x dx = 7x ln 7 + C. Z 7x dx = 7x+1 + C. 7x + C. ln 7 Z 7x+1 D. 7x dx = + C. x+1 B. Z 7x dx = Câu 17. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = cos 2x. Z Z 1 1 B. f (x)dx = − sin 2x + C. . A. f (x)dx = sin 2x + C. 2 2 Z Z C. f (x)dx = 2 sin 2x + C. . D. f (x)dx = −2 sin 2x + C. Câu 18. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = x2 + x3 2 A. f (x) dx = − + C. 3 x Z 3 x 2 C. f (x) dx = + + C. 3 x 2 . x2 Z x3 1 B. f (x) dx = − + C. 3 x Z 3 x 1 D. f (x) dx = + + C. 3 x Z Câu 19. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 3x2 + 1 là x3 A. x3 + C. B. + x + C. C. 6x + C. 3 D. x3 + x + C. Câu 20. Nguyên hàm của hàm số f (x) = x3 + x là A. x4 + x2 + C. B. 3x2 + 1 + C. C. x3 + x + C. Câu 21. Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = 4x · 22x+3 . 24x+3 24x+1 A. F (x) = . B. F (x) = 24x+1 · ln 2. C. F (x) = . ln 2 ln 2 D. 1 4 1 2 x + x + C. 4 2 D. F (x) = 24x+3 · ln 2. Câu 22. Mệnh đề nào dưới đây sai? A. R [f (x) + g(x)] dx = f (x)dx + g(x)dx, với mọi hàm số f (x), g(x)liên tục trên R. R R B. R f 0 (x)dx = f (x) + C với mọi hàm f (x) có đạo hàm trên R. C. R kf (x)dx = k f (x)dx với mọi hằng số k và với mọi hàm số f (x) liên tục trên R. D. R [f (x) − g(x)] dx = f (x)dx − g(x)dx, với mọi hàm số f (x), g(x) liên tục trên R. R R R π Câu 23. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = cos 2x. 2 Z Z π π A. f (x)dx = sin 2x + C. B. f (x)dx = − sin 2x + C . 4 2 Z Z π C. f (x)dx = π sin 2x + C. D. f (x)dx = sin 2x + C. 2 Câu 24. Cho f (x), g(x) là các hàm số liên tục trên R. Khẳng định nào sau đây đúng? ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 118 119 | A. C. Z Z Page 1. NGUYÊN HÀM f (x) · g(x) dx = f (x) dx · k · f (x) dx = k Z Z g(x) dx. B. D. f (x) dx. Z f 0 (x) · g 0 (x) dx = f (x) · g(x) + C. Z f (x) · f 0 (x) dx = f 2 (x) + C. 2 Câu 25. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 4x là Z Z 4x+1 A. f (x) dx = + C. B. f (x) dx = 4x+1 + C. x+1 Z Z 4x x + C. C. f (x) dx = 4 ln 4 + C. D. f (x) dx = ln 4 Câu 26. Họ các nguyên hàm của hàm số y = e−3x+1 là 1 1 B. − e−3x+1 + C. C. 3e−3x+1 + C. A. e−3x+1 + C. 3 3 D. −3e−3x+1 + C. Câu 27. Mệnh đề nào sau đây sai? A. B. C. D. Z Z Z Z kf (x) dx = k Z f (x) dx với mọi hằng số k và với mọi hàm số f (x) liên tục trên R. f 0 (x) dx = f (x) + C với mọi hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên R. Z (f (x) − g(x)) dx = f (x) dx − Z (f (x) + g(x)) dx = f (x) dx + Z Z g(x) dx, với mọi hàm số f (x); g(x) liên tục trên R. g(x) dx, với mọi hàm số f (x); g(x) liên tục trên R. Câu 28. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là đúng? A. C. Z Z [f (x) · g(x)] dx = Z f (x) dx · Z g(x) dx. f (x) dx = f 0 (x) + C. B. D. Z Z 0 dx = 0. f 0 (x) dx = f (x) + C. 1 Câu 29. Tìm một nguyên hàm của hàm số f (x) = . 5x − Z Z 2 1 1 A. f (x) dx = − ln(5x − 2) + C. B. f (x) dx = ln |5x − 2| + C. 2 5 Z Z C. f (x) dx = ln |5x − 2| + C. D. f (x) dx = 5 ln |5x − 2| + C. Câu 30. Nguyên hàm của hàm số f (x) = cos 3x là A. C. Z Z sin 3x + C. f (x) dx = − 3 Z sin 3x D. f (x) dx = + C. 3 B. f (x) dx = sin 3x + C. f (x) dx = 3 sin 3x + C. Z Câu 31. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? A. B. Z kf (x) dx = k Z Z f (x) dx với k ∈ R. Z Z [f (x) + g(x)] dx = f (x) dx + g(x) dx với f (x); g(x) liên tục trên R. Z 1 C. xα dx = xα+1 với α 6= −1. α + 1 Z 0 D. f (x) dx = f (x). Câu 32. Tính A. Z (x − sin 2x) dx. x2 + sin x + C. 2 B. x2 + cos 2x + C. 2 C. x2 + cos 2x + C. 2 D. x2 cos 2x + + C. 2 2 Câu 33. Khẳng định nào sau đây sai? A. Z 0 dx = C. B. Z x5 x dx = + C. 5 4 C. Z Z 1 dx = ln x + C. D. ex dx = ex + C. x ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 119 120 | Page Câu 34. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = x − sin 2x là x2 x2 1 1 A. + cos 2x + C. B. + cos 2x + C. C. x2 + cos 2x + C. 2 2 2 2 1. NGUYÊN HÀM D. x2 1 − cos 2x + C. 2 2 Câu 35. Họ nguyên hàm của hàm số y = 3 cos x − 2x là 2x A. −3 sin x − + C. B. 3 sin x − 2x + C. ln 2 2x C. 3 sin x − + C. D. 3 sin x − 2x ln 2 + C. ln 2 Câu 36. Nguyên hàm của hàm số f (x) = x3 + x2 là 1 1 A. 3x2 + 2x + C. B. x4 + x3 + C. C. x4 + x3 + C. 4 3 D. 4x4 + 3x3 + C. Câu 37. Tìm một họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 3x + 7x . Z Z 3x 7x A. f (x) dx = + + C. B. f (x) dx = 3x ln 3 + 7x ln 7 + C. ln 3 ln 7 Z Z 3x+1 7x C. f (x) dx = + + C. D. f (x) dx = 3x+1 + 7x+1 + C. x+1 x+1 1 Câu 38. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = là x √ 1 2 A. F (x) = − 2 + C. B. F (x) = 2 + C. C. F (x) = ln |x| + C. D. F (x) = x + C. x x Câu 39. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = cos 2x + 3x là 1 3 1 A. − sin 2x + x2 + C. B. sin 2x + 3x2 + C. 2 2 2 1 3 C. −2 sin 2x + 3 + C. D. sin 2x + x2 + C. 2 2 1 Câu 40. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = là 2x − 1 1 1 A. ln |2x − 1| + C. B. 2 ln |2x − 1| + C. C. ln |2x − 1| + C. D. ln(2x + 1) + C. 2 2 2 Câu 41. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = x2 + 2 x Z Z x3 2 x3 2 A. f (x) dx = + + C. B. f (x) dx = − + C. 3 x 3 x Z Z 3 3 x 1 x 1 C. f (x) dx = + + C. D. f (x) dx = − + C. 3 x 3 x Câu 42. Hàm số f (x) = cos(4x + 7) có một nguyên hàm là 1 A. − sin(4x + 7) + x. B. sin(4x + 7) − 3. 4 1 C. sin(4x + 7) − 1. D. − sin(4x + 7) + 3. 4 Câu 43. Nguyên hàm của hàm số f (x) = sin x + x là 1 A. cos x + x2 + C. B. cos x + x2 + C. C. − cos x + 1 + C. 2 1 D. − cos x + x2 + C. 2 Câu 44. Nguyên hàm của hàm số f (x) = x3 + sin 2x là x4 1 x4 x4 1 x4 − cos 2x + C. B. − cos 2x + C. C. + cos 2x + C. D. + cos 2x + C. A. 4 2 4 4 2 4 1 Câu 45. Họ các nguyên hàm của hàm số f (x) = là x+1 1 1 A. − + C. B. − ln |x + 1| + C. C. − ln(x + 1)2 + C. D. ln |2x + 2| + C. 2 (x + 1) 2 ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 120 121 | Page 1. NGUYÊN HÀM Câu 46. Mệnh đề nào sau đây là sai? A. Z [f1 (x) + f2 (x)] dx = Z f1 (x) dx + Z f2 (x) dx. B. Nếu F (x) và G(x) đều là nguyên hàm của hàm số f (x) thì F (x) = G(x). C. Z Z kf (x) dx = k D. Nếu Z f (x) dx (k là hằng số và k 6= 0). f (x) dx = F (x) + C thì Z f (u) du = F (u) + C. Câu 47. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = sin 2x Z sin 2x dx = − cos 2x + C. Z cos 2x C. sin 2x dx = − + C. 2 A. B. D. Z Z sin 2x dx = 2 cos 2x + C. cos 2x sin 2x dx = + C. 2 Câu 48. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = e2019x . Z Z 1 A. f (x) dx = · e2019x + C. B. f (x) dx = 2019 · e2019x + C. 2019 Z Z C. f (x) dx = e2019x + C. D. f (x) dx = e2019x ln 2019 + C. Câu 49. Nguyên hàm của hàm số f (x) = sin 3x là 1 A. cos 3x + C. B. − cos 3x + C. C. − cos 3x + C. 3 Câu 50. Tính Z D. 1 cos 3x + C. 3 sin x dx. A. sin(π − x) + C. B. cos x + C. C. cos(π − x) + C. D. cos π 2  − x + C. Câu 51. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = cos x là A. F (x) = tan x + C. B. F (x) = cot x + C. C. F (x) = − sin x + C. D. F (x) = sin x + C. Câu 52. Tìm nguyên hàm F (x) = Z cos x dx A. F (x) = cos x + C. B. F (x) = − cos x + C. C. F (x) = sin x + C. D. F (x) = − sin x + C. Câu 53. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 2x + 1. A. C. Z Z 2 f (x) dx = 2x + x + C. f (x) dx = x2 + x + C. x2 + x + C. 2 Z D. f (x) dx = 2x + C. B. Z f (x) dx = Câu 54. Hàm số nào sau đây không là nguyên hàm của hàm số y = x3 ? x4 x4 x4 A. y = + 3. B. y = + 1. C. y = + 2. 4 4 4 D. y = 3x2 . Câu 55. Phát biểu nào sau đây đúng? A. C. Z Z cos x dx = − cos x + C. cos x dx = cos x + C. B. D. Z Z cos x dx = − sin x + C. cos x dx = sin x + C. Câu 56. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = e−x + 2x là A. C. Z Z −x f (x) dx = e 2 + x + C. f (x) dx = −e−x + x2 + C. B. D. Z f (x) dx = −xe−x + x2 + C. Z f (x) dx = xe−x + x2 + C. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 121 122 | Page 1. NGUYÊN HÀM Câu 57. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là sai? Z Z xe+1 A. ex dx = + C. B. x2 dx = e+1 Z Z ex+1 x C. e dx = + C. D. x7 dx = x+1 1 3 x + C. 3 1 8 x + C. 8 Câu 58. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x) = sin x là A. F (x) = − cos x. B. F (x) = − cos x + C. C. F (x) = cos x + C. D. F (x) = cos x. Z dx Câu 59. bằng 2 − 3x 1 A. ln |2 − 3x| + C. 3 Câu 60. Cho Z5 1 A. 3. A. C. − 3 + C. (2 − 3x)2 dx = ln C. Khi đó giá trị của C là 2x − 1 B. 8. C. 9. Câu 61. Khi tính Z 1 + C. (2 − 3x)2 B. Z 1 D. − ln |3x − 2| + C. 3 D. 81. sin ax · cos bx dx, biến đổi nào dưới đây là đúng? sin ax · cos bx dx = Z sin ax dx · Z cos bx dx. 1 [sin (a + b) x + sin (a − b) x] dx. 2Z ï ò Z a+b 1 a−b sin C. sin ax · cos bx dx = x + sin x dx. 2 Z 2 2 Z B. Z sin ax · cos bx dx = Z sin ax · cos bx dx = ab D. sin x · cos x dx. Câu 62. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = sin x + 1 là sin2 x + x + C. C. cos x + x + C. A. − cos x + x + C. B. 2 1 Câu 63. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = + 2x là x A. 2 ln |x| + x2 + C. B. ln |x| + 2x2 + C. C. ln |x| + x2 + C. D. sin 2x + x + C. D. ln |x2 | + 2x + C. 3 . 1 − 2x 3 3 A. −6 ln |1 − 2x| + C. B. 3 ln |1 − 2x| + C. C. − ln |1 − 2x| + C. D. ln |1 − 2x| + C. 2 2 1 Câu 65. Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của hàm số f (x) = ? 2x + 1 1 A. F (x) = ln |2x + 1| + 1. B. F (x) = ln |2x + 1| + 2. 2 1 1 C. F (x) = ln |4x + 2| + 3. D. F (x) = ln(4x2 + 4x + 1) + 3. 2 4 Câu 64. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = Câu 66. Nguyên hàm của hàm số f (x) = 3x là A. C. Z f (x) dx = 3x + C. Z 3x+1 f (x) dx = + C. x+1 B. D. Z Z f (x) dx = 3x ln 3 + C. f (x) dx = 3x + C. ln 3 Câu 67. Cho hàm số f (x) = 2017x . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? Z Z 2017x 2017x A. f (x) dx = + C. B. f (x) dx = + C. ln 2018 ln 2017 ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 122 123 | Z C. Page x f (x) dx = 2017 ln 2017 + C. Câu 68. Tính A. Z Z D. Z f (x) dx = 2017x + C. 2017 cos 2x dx. cos 2x dx = − sin 2x + C. Z C. 1. NGUYÊN HÀM cos 2x dx = sin 2x + C. 1 sin 2x + C. 2 Z 1 D. cos 2x dx = − sin 2x + C. 2 B. Z cos 2x dx = Câu 69. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = cos x + sin x là A. sin x − cos x + C. B. sin x + cos x + C. C. − sin x + cos x + C. D. − sin x − cos x + C. Câu 70. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = (x − 1)3 . 1 A. 3(x − 1) + C. B. (x − 1)4 + C. C. 4(x − 1)4 + C. 4 Câu 71. Hàm số nào dưới đây là nguyên hàm của hàm số f (x) = e1−4x . 1 A. y = e1−4x . B. y = −4e1−4x . C. y = e1−4x . 4 D. 1 (x − 1)3 + C. 4 1 D. y = − e1−4x . 4 Câu 72. Cho bốn mệnh đề sau Z cos3 x I. cos2 x dx = + C. 3 Z II. 3x dx = 3x · ln 3 + C. xα+1 + C với α ∈ R. α+1 IV. Nếu F (x), G(x) là các nguyên hàm của f (x) thì F (x) = G(x). III. Z xα dx = Trong các mệnh đề trên có bao nhiêu mệnh đề sai? A. 3. B. 1. C. 4. D. 2. Câu 73. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = x(x + 1). A. x(x + 1) + C. B. 2x + 1 + C. C. x3 + x2 + C. D. x3 x2 + + C. 3 2 Câu 74. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A. C. Z Z 0 dx = C. xa dx = xa+1 + C. a+1 1 dx = ln |x| + C. Z x D. dx = x + C. B. Z Câu 75. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = sin x − cos x. A. C. Z Z f (x) dx = − sin x + cos x + C. f (x) dx = − sin x − cos x + C. B. D. Z Z f (x) dx = sin x + cos x + C. f (x) dx = sin x − cos x + C. 1 Câu 76. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 3x + 2 . Z Zx 1 x A. f (x) dx = 3 + + C. B. f (x) dx = x Z Z 1 x C. f (x) dx = 3 − + C. D. f (x) dx = x 3x Câu 77. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = 3 e 3x 1 + + C. lnx3 x 3 1 − + C. ln 3 x ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 123 124 | Page 1. NGUYÊN HÀM 3x 3x 3x ln 3 3x + C. + C. B. + C. C. + C. D. 3 −2 ln 3 · e2 e3 e3 ln 3 e3 ln e Câu 78. Cho hai hàm số f (x), g(x) là hai hàm số liên tục có F (x), G(x) lần lượt là nguyên hàm A. của f (x), g(x). Xét các mệnh đề sau: (I). F (x) + G(x) là một nguyên hàm của f (x) + g(x). (II). kF (x) là một nguyên hàm của hàm số kf (x), (k ∈ R). (III). F (x) · G(x) là một nguyên hàm của f (x) · g(x). Mệnh đề nào là mệnh đề đúng? A. (I) và (III). B. (I) và (II). C. (II) và (III). D. (III). Câu 79. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 4x3 + sin x − 2 là x4 + cos x + C. A. x4 + cos x − 2x + C. B. 4 C. 12x + cos x + C. D. x4 − cos x − 2x + C. Câu 80. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = sin 2x là 1 A. F (x) = − cos 2x + C. B. F (x) = cos 2x + C. 2 1 C. F (x) = cos 2x + C. D. F (x) = − cos 2x + C. 2 Câu 81. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 5x là 5x 5x+1 + C. B. 5x · ln 5 + C. C. + C. A. ln 5 x+1 D. 5x+1 + C. Câu 82. Tìm họ nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = e2x . ex e2x A. F (x) = ex + C. B. F (x) = + C. C. F (x) = e2x + C. D. F (x) = + C. 2 2 1 2 Câu 83. Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = − 2 + x trên khoảng (0; +∞). x x 1 x2 x2 2 A. F (x) = 2 ln |x| + + + C. B. F (x) = ln x − ln x + + C. x 2 2 2 2 1 x 1 x C. F (x) = ln x − + + C. D. F (x) = ln |x| + + + C. x 2 x 2 Z  Câu 84. Tìm nguyên hàm I = e−x + 2x dx. A. I = −e−x + x2 + C. B. I = e−x + x2 + C. C. I = −e−x − x2 + C. D. I = e−x − x2 + C. Câu 85. Nguyên hàm của hàm số f (x) = cos x là A. − sin x + C. B. sin x + C. C. cos x + C. D. − cos x + C. Câu 86. Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số y = cos x? A. y = tan x. B. y = cot x. C. y = sin x. D. y = − sin x. Câu 87. Mệnh đề nào dưới đây sai? A. B. Z Z f 0 (x) dx = f (x) + C với mọi hàm f (x) có đạo hàm trên R. [f (x) + g(x)] dx = Z f (x) dx + Z g(x) dx, với mọi hàm số f (x), g(x) có đạo hàm trên R. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 124 125 | C. D. Z Z Page 1. NGUYÊN HÀM kf (x) dx = k Z f (x) dx với mọi hằng số k và với mọi hàm số f (x) có đạo hàm trên R. [f (x) − g(x)] dx = Z f (x) dx − Z g(x) dx, với mọi hàm số f (x), g(x) có đạo hàm trên R. Câu 88. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = sin(3ax + 1) (với a là tham số khác 0). 1 cos(3ax + 1) + C. A. cos(3ax + 1) + C. B. 3a 1 C. − cos(3ax + 1) + C. D. − cos(3ax + 1) + C. 3a 1 Câu 89. Nguyên hàm của hàm số f (x) = trên khoảng (−∞; −2) là x+2 1 1 A. ln |x + 2| + C. B. ln |x + 2| + C. C. ln(x + 2) + C. D. ln(x + 2) + C. 2 2 Câu 90. Công thức nguyên hàm nào sau đây là công thức SAI? Z Z ax A. ax dx = + C (a > 0; a 6= 1). B. sin x dx = cos x + C. ln a Z Z xα+1 C. cos x dx = sin x + C. D. xα dx = + C (α 6= −1). α+1 Câu 91. Tìm nguyên hàm của hàm số y = sin(x − 1). A. C. Z Z sin(x − 1) dx = − cos(x − 1) + C. sin(x − 1) dx = (x − 1) cos(x − 1) + C. B. D. Z Z sin(x − 1) dx = cos(x − 1) + C. sin(x − 1) dx = (1 − x) cos(x − 1) + C. Câu 92. Tìm nguyên hàm của hàm số y = x3 . A. C. Z Z 3 1 x3 dx = x4 + C. 4 Z 1 4 3 D. x dx = x + C. 3 4 B. x dx = 3x + C. x3 dx = 4×4 + C. Z Câu 93. Tìm nguyên hàm của hàm số y = cos(3x − 2). Z Z 1 1 B. cos(3x − 2)dx = − sin(3x − 2) + C. A. cos(3x − 2)dx = − sin(3x − 2) + C. 3 2 Z Z 1 1 C. cos(3x − 2)dx = sin(3x − 2) + C. D. cos(3x − 2)dx = sin(3x − 2) + C. 2 3 Câu 94. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = sin x là A. sin x + C. B. cos x + C. C. − sin x + C. D. − cos x + C. Câu 95. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = ex là biểu thức nào sau đây? A. ln |x| + C. B. −ex + C. C. ex + C. D. 1 + C. x Câu 96. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 2x + 1 là họ hàm số nào sau đây? A. x2 + x + C. B. x2 + 1 + C. C. 2×2 + 1 + C. Câu 97. Công thức nguyên hàm nào sau đây không đúng? Z Z 1 ax x A. dx = tan x + C. B. a dx = +C 2x cos ln a Z Z 1 xα+1 + C (α 6= −1). D. dx = ln x + C. C. xα dx = α+1 x Câu 98. Mệnh đề nào sau đây đúng? Z 1 A. dx = ln x2 + C. 2 x Z 1 C. dx = cot x + C. sin2 x B. D. Z Z D. 4×2 + x + C. (0 < a 6= 1). cos xdx = sin x + C. e2x dx = 2ex + C. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 125 126 | Page 1. NGUYÊN HÀM Câu 99. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = ex + 2 sin x. A. C. Z Z (ex + 2 sin x) dx = ex − cos2 x + C. (ex + 2 sin x) dx = ex − 2 cos x + C. B. D. Z (ex + 2 sin x) dx = ex + sin2 x + C. Z (ex + 2 sin x) dx = ex + 2 cos x + C. Câu 100. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = x2 + x − 2. Z Z x3 x2 x3 x2 A. f (x)dx = + − 2 + C. B. f (x)dx = + + C. 3 2 3 2 Z Z x3 x2 C. f (x)dx = 2x + 1 + C. D. f (x)dx = + − 2x + C. 3 2 Câu 101. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = 2x3 − 9. Z Z 1 4 B. f (x) dx = x4 − 9x + C. A. f (x) dx = x − 9x + C. 2 Z Z 1 C. f (x) dx = x4 + C. D. f (x) dx = 4x3 + 9x + C. 2 Câu 102. Mệnh đề nào sau đây đúng? Z cot x dx = ln | sin x| + C. Z 1 1 C. . dx = x2 x A. Câu 103. Cho tích phân I = Ze 1 A. I = Z1 0 3t + 1 dt. et Câu 104. Biết Z B. D. Z sin x dx = cos x + C. cos x dx = − sin x + C. 3 ln x + 1 dx. Nếu đặt t = ln x thì x B. I = Ze 1 3t + 1 dt. t C. I = Ze (3t + 1) dt. D. I = 1 Z1 (3t + 1) dt. 0 f (u) du = F (u) + C. Mệnh đề nào dưới đây đúng? Z f (2x − 1) dx = 2F (2x − 1) + C. Z 1 C. f (2x − 1) dx = F (2x − 1) + C. 2 A. Z B. D. Z Z f (2x − 1) dx = 2F (x) − 1 + C. f (2x − 1) dx = F (2x − 1) + C. Câu 105. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = 5x . Z Z f (x) dx = 5x + C. Z 5x D. f (x) dx = + C. ln 5 1 Câu 106. Hàm số nào dưới đây là nguyên hàm của hàm số f (x) = ? 1−x 1 B. F (x) = − ln |1 − x| + 4. A. F (x) = − ln |4 − 4x| + 3. 4 1 C. F (x) = ln |1 − x| + 2. D. F (x) = ln(x2 − 2x + 1) + 5. 2 A. x f (x) dx = 5 ln 5 + C. Z 5x C. f (x) dx = + C. ln x B. Câu 107. Hàm số F (x) = e3x là một nguyên hàm của hàm số A. f (x) = 3e3x . B. f (x) = e3x . C. f (x) = e3x . 3 D. f (x) = 3 ln 3x. Câu 108. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = cos 2x. Z Z 1 1 A. f (x)dx = sin 2x + C. B. f (x)dx = − sin 2x + C. 2 2 Z Z C. f (x)dx = 2 sin 2x + C. D. f (x)dx = −2 sin 2x + C. Câu 109. Họ các nguyên hàm của hàm số f (x) = 48 sin 2x là ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 126 127 | Page 1. NGUYÊN HÀM A. 24 cos 2x + C. B. 96 cos 2x + C. C. −96 cos 2x + C. D. −24 cos 2x + C. Câu 110. Để tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = 12x ln x, ta đặt u = ln x và dv = 12x dx. Tính du. A. du = 1 . x B. du = 1 dx. x C. du = 12x dx. D. du = 1 dv. x Câu 111. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? Z Z 1 1 + C. B. cos x dx = sin x + C. dx = − A. 2 x Z x Z √ 1 √ dx = x + C. C. D. ax dx = ax · ln a + C (a > 0, a 6= 1). 2 x Å ã 1 Câu 112. Biết rằng F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = sin(1−2x) và thỏa mãn F = 1. 2 Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. F (x) = cos(1 − 2x). B. F (x) = cos(1 − 2x) + 1. 1 3 1 1 C. F (x) = − cos(1 − 2x) + . D. F (x) = cos(1 − 2x) + . 2 2 2 2 √ Câu 113. Hàm số f (x) = x + 3 là một nguyên hàm của hàm số nào bên dưới? 3 2 1 A. g(x) = (x + 3) 2 + C. B. g(x) = √ . 3 2 x+3 3 −1 3 C. g(x) = √ . D. g(x) = (x + 3) 2 + C. 2 x+3 Câu 114. Tìm F (x) = Z A. sin x + C. cos x dx. B. cos x + C. C. − cos x + C. D. − sin x + C. Câu 115. Khẳng định nào sau đây đúng? A. C. Z x Z x 2 dx = 2 ln2 + C. B. ex dx = −ex + C. D. Z Z ln x dx = x3 dx = 1 + C. x x4 + C. 4 Câu 116. Cho F (x) và f 0 (x) lần lượt là một nguyên hàm và đạo hàm của hàm số f (x). Khẳng định nào sau đây là sai? A. Rb f (x) dx = F (a) − F (b). B. a C. Zb Za f (x) dx = dx = b − a. D. a f (x) dx + a b Zb Zc Zc f (x) dx. b f 0 (x) dx = f (b) − f (a). a Câu 117. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? Z Z xe+1 ex+1 x + C. B. xe dx = + C. A. e dx = x+1 e+1 Z Z 1 1 C. cos 2xdx = sin 2x + C. D. dx = ln |x| + C. 2 x Câu 118. Tính tích phân I = 2 A. I = . ln 3 Z1 3x dx. 0 B. I = 3 . ln 3 1 C. I = . 2 D. I = 2. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 127 128 | Page 1. NGUYÊN HÀM Câu 119. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 3x + 1 là 3x 3x A. 3x ln x + x + C. B. + x + C. C. + C. ln 3 ln 3 D. 3x + x + C. Câu 120. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai ? A. C. Z Z B. cos x dx = sin x + C. ex dx = ex + C. D. Z Z sin x dx = − cos x + C. 1 dx = − tan x + C. sin2 x Câu 121. Tìm họ nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = cos(2x + 3). 1 A. F (x) = − sin(2x + 3) + C. B. F (x) = sin(2x + 3) + C. 2 1 C. F (x) = − sin(2x + 3) + C. D. F (x) = sin(2x + 3) + C. 2 Z  π dx, kết quả nào sau đây là đúng? Câu 122. Tính 4 sin 2x + 3    π 1 π A. −2 cos 2x + + C. B. − cos 2x + + C. 3 2  3   π π + C. D. 2 cos 2x + + C. C. −4 cos 2x + 3 3 Z 1 Câu 123. Nguyên hàm I = dx bằng 2x + 1 1 1 A. − ln |2x + 1| + C. B. − ln |2x + 1| + C. C. ln |2x + 1| + C. D. ln |2x + 1| + C. 2 2 Câu 124. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 2×2 + x + 1 là 2×3 2×3 x2 A. + x2 + x + C. B. 4x + 1. C. + + x. 3 3 2 D. 2×3 x2 + + x + C. 3 2 Câu 125. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = sin x − 1 là A. cos x − x + C. B. − cos x + C. Câu 126. Tính nguyên hàm A. −3 sin 3x + c. Z B. C. − cos x − x + C. D. cos x − x + C. C. 3 sin 3x + c. 1 D. − sin 3x + c. 3 cos 3x dx. 1 sin 3x + c. 3 Câu 127. Công thức nguyên hàm nào sau đây là sai? Z Z dx xα+1 A. = ln x + C. B. xα dx = + C. α+1 Z x Z x a 1 + C (< α 6= −1). D. dx = tan x + C. C. ax dx = ln a cos2 x Câu 128. Cho hai hàm số f (x) và g(x) liên tục trên K và a, b ∈ K . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? A. Zb [f (x) + g(x)] dx = a B. Zb a C. Zb a D. Zb a Zb f (x) dx + a kf (x) dx = k Zb Zb g(x) dx. a f (x) dx. a [f (x)g(x)] dx = Zb f (x) dx · a [f (x) − g(x)] dx = Zb g(x) dx. a Zb f (x) dx − a Zb g(x) dx. a ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 128 129 | Page 1. NGUYÊN HÀM Câu 129. Họ các nguyên hàm của hàm số f (x) = e2x+3 là Z Z 1 A. f (x) dx = e2x+3 + C. B. f (x) dx = e2x+3 + C. 3 Z Z 1 C. f (x) dx = e2x+3 + C. D. f (x) dx = 2e2x+3 + C. 2 1 Câu 130. Tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x) = là 2x + 3 1 1 A. ln(2x + 3) + C. B. ln |2x + 3| + C. 2 2 1 ln |2x + 3| + C. C. ln |2x + 3| + C. D. ln 2 Câu 131. Họ nguyên hàm của hàm số y = sin 2x là 1 1 A. y = − cos 2x + C . B. y = − cos 2x. 2 2 1 D. y = − cos 2x + C . C. y = cos 2x + C . 2 π Câu 132. Tích phân A. 1 − e. Z2 ecos x · sin x dx bằng 0 C. e − 1. B. e + 1. D. e. Câu 133. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = 7x . Z Z 7x x + C. B. 7x dx = 7x ln 7 + C. A. 7 dx = ln 7 Z Z 7x+1 x + C. D. 7x dx = 7x+1 + C. C. 7 dx = x+1 Câu 134. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. C. Z Z Z 2x dx = x2 + C. Z 1 D. dx = ln |x| + C. x B. sin x dx = cos x + C. ex dx = ex + C. Câu 135. Kết luận nào sau đây đúng? A. C. Z Z sin x dx = − sin x + C. B. sin x dx = − cos x + C. D. Z Z sin x dx = sin x + C. sin x dx = cos x + C. Câu 136. Mệnh đề nào dưới đây sai? A. B. C. Z Z Z (f (x) + g(x)) dx = (f (x) − g(x)) dx = (f (x) · g(x)) dx = Z Z Z f (x) dx + f (x) dx − f (x) dx · Z Z Z g(x) dx với mọi hàm số f (x), g(x) liên tục trên R. g(x) dx với mọi hàm số f (x), g(x) liên tục trên R. g(x) dx với mọi hàm số f (x), g(x) liên tục trên R. Z f 0 (x) dx = f (x) + C với mọi hàm số f (x) có đạo hàm trên R. √ ã Å x 2x x Câu 137. Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = 2 3 − x . 4 √ √ 12x 2x x A. F (x) = − + C. B. F (x) = 12x + x x + C. ln 12Å 3 √ ã √ Å ã 22x 3x x x 22x 3x x x ln 4 C. F (x) = − x + C. D. F (x) = − + C. ln 2 ln 3 4 ln 2 ln 3 4x 1 Câu 138. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 4x5 − + 2018 là x D. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 129 130 | Page 1. NGUYÊN HÀM 4 6 x + ln |x| + 2018x + C. 6 1 C. 20x4 + 2 + C. x 2 6 x − ln x + 2018x + C. 3 2 D. x6 − ln |x| + 2018x + C. 3 A. B. Câu 139. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = sin 5x + 2 là 1 A. 5 cos 5x + C. B. − cos 5x + 2x + C. 5 1 C. cos 5x + 2x + C. D. cos 5x + 2x + C. 5 Câu 140. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = cos x là A. cos x + C. B. sin x + C. C. − cos x + C. D. − sin x + C. Câu 141. Khẳng định nào sau đây sai (C là hằng số)? Z Z 1 1 dx = tan x + C. B. dx = − cot x + C. A. 2 2 Z cos x Z sin x C. sin x dx = cos x + C. D. cos x dx = sin x + C. Câu 142. Cho hàm số f (x) thỏa mãn f 0 (x) = 3 + 2 sin x và f (0) = 3. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. f (x) = 3x − 2 cos x + 5. B. f (x) = 3x + 2 cos x + 3. C. f (x) = 3x − 2 cos x + 3. D. f (x) = 3x + 2 cos x + 5. Câu 143. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = 3x . A. C. Z 3x dx = 3x + C. Z 3x dx = 3x ln 3 + C. 3x + C. ln 3 Z 3x+1 D. 3x dx = + C. x+1 B. Z 3x dx = Câu 144. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. C. Z Z 1 1 dx = − 2 + C. x Z x 1 D. ln x dx = + C. x B. sin x dx = cos x + C. ex dx = ex + C. Câu 145. Tính nguyên hàm A = Z Z 1 dx bằng cách đặt t = ln x. Mệnh đề nào dưới dây x ln x đúng? A. A = Z dt. B. A = Z 1 dt. t2 C. A = Z t dt. D. A = Z 1 dt. t Câu 146. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = 2x + 1. Z Z x2 A. (2x + 1) dx = + x + C. B. (2x + 1) dx = x2 + x + C. 2 Z Z 2 C. (2x + 1) dx = 2x + 1 + C. D. (2x + 1) dx = x2 + C. Câu 147. Họ các nguyên hàm của hàm số y = 102x là 10x 102x A. + C. B. 102x 2 ln 10 + C. C. + C. 2 ln 10 2 ln 10 Câu 148. Họ nguyên hàm A. cos x + C. Z D. 102x + C. ln 10 sin x dx bằng B. − sin x + C. C. − cos x + C. D. sin x + C. Câu 149. Tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x) = cos 2x là ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 130 131 | Page 1. NGUYÊN HÀM A. sin 2x + C. B. 1 sin 2x + C. 2 1 C. − sin 2x + C. 2 D. 2 sin 2x + C. Câu 150. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = e2018x . A. C. Z Z 2018x f (x) dx = e 1 · e2018x + C. 2018 Z D. f (x) dx = e2018x · ln 2018 + C. B. + C. f (x) dx = 2018 · e2018x + C. Z f (x) dx = Câu 151. Họ nguyên hàm của hàm số y = cos 3x là sin 3x sin 3x + C. B. − + C. C. sin 3x + C. A. 3 3 D. − sin 3x + C. Câu 152. Họ nguyên hàm của hàm số exe + 4 là exe+1 xe+1 A. ex + 4x + C. B. e x + C. C. + 4x + C. D. + 4x + C. e+1 e+1 1 Câu 153. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = 3 cos x + 2 trên (0; +∞). x 1 1 1 C. −3 sin x + + C. D. 3 cos x + + C. A. 3 cos x + ln x + C. B. 3 sin x − + C. x x x e+1 2 e−1 Câu 154. Trong các hàm số sau, hàm số nào không phải là nguyên hàm của hàm số f (x) = x3 ? x4 x4 x4 A. y = − 1. B. y = + 1. C. y = . D. y = 3x2 . 4 4 4 Câu 155. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số y = x2 . Giá trị của biểu thức F 0 (4) là A. 2. B. 4. C. 8. D. 16. A. F (x) = 3x − tan x + C. 1 là sin2 x B. F (x) = 3x + tan x + C. C. F (x) = 3x + cot x + C. D. F (x) = 3x − cot x + C. Câu 156. Nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = 3 − Câu 157. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = ex − e−x . A. C. Z Z x f (x) dx = e + e −x B. + C. f (x) dx = −ex − e−x + C. D. Z f (x) dx = ex − e−x + C. Z f (x) dx = −ex + e−x + C. Câu 158. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = cos 2x. 1 B. F (x) = − sin 2x + C. 2 D. F (x) = −2 sin 2x + C. A. F (x) = 2 sin 2x + C. 1 C. F (x) = sin 2x + C. 2 Câu 159. Phát biểu nào sau đây là đúng? A. C. Z Z 1 · f (x) + C. a Z D. f 0 (x)dx = a · f (ax + b) + C. 0 B. f (x)dx = f (x) + C. f 0 (x)dx = f 00 (x) + C. Z f 0 (ax + b)dx = Câu 160. Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số y = 12x5 . A. y = 12x6 + 5. B. y = 2x6 + 3. Câu 161. Tính nguyên hàm I = 2x 3x + + C. A. I = ln 2 ln 3 ln 2 ln 3 C. I = + + C. 2 3 Z C. y = 12x4 . D. y = 60x4 . (2x + 3x ) dx. ln 2 ln 3 + x + C. 2x 3 ln 2 ln 3 D. I = − − + C. 2 3 B. I = ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 131 132 | Page 1. NGUYÊN HÀM Câu 162. Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai? A. B. C. D. Z Z Z Z [f (x) · g(x)] dx = Z f (x) dx · Z [f (x) ± g(x)] dx = Z f (x) dx ± g(x) dx . Z g(x) dx . f 0 (x) dx = f (x) + C . [k · f (x)] dx = k · Z f (x) dx . Z √ 4 Câu 163. Tìm H = 2x − 1 dx. 2 5 A. H = (2x − 1) 4 + C. 5 1 5 C. H = (2x − 1) 4 + C. 5 5 B. H = (2x − 1) 4 + C. 8 5 D. H = (2x − 1) 4 + C. 5 Câu 164. Cho hai hàm số f (x), g(x) liên tục trên R. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. C. Z Z [f (x) + g(x)] dx = [f (x) − g(x)] dx = Z Z f (x) dx + f (x) dx − Z Z g(x) dx. B. g(x) dx. D. Z Z [f (x) · g(x)] dx = kf (x) dx = k Z Z f (x) dx · Z g(x) dx. f (x) dx. 1 Câu 165. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = e 2 x . A. C. Z Z f (x) dx = 1 2e 2 x + C. 1 f (x) dx = e 2 x + C. 1 1 f (x) dx = e 2 x + C. 2 Z 2 1 D. f (x) dx = e 2 x + C. 3 B. Z Câu 166. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = sin 3x. Z Z cos 3x cos 3x A. sin 3x dx = − + C. B. sin 3x dx = + C. 3 3 Z Z sin 3x + C. D. sin 3x dx = − cos 3x + C. C. sin 3x dx = − 3 1 Câu 167. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = . 3x + 1 1 1 C. ln(3x + 1) + C. D. ln(3x + 1) + C. A. ln |3x + 1| + C. B. ln |3x + 1| + C. 3 3 Câu 168. Tìm họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x) = cos 3x. 1 A. −3 sin 3x + C. B. − sin 3x + C. C. − sin 3x + C. 3 x Câu 169. Tìm tất cả nguyên hàm của hàm số f (x) = 3x2 + . 2 Z Z x3 x2 A. f (x) dx = + + C. B. f (x) dx = x3 + 3 4 Z Z x2 C. f (x) dx = x3 + + C. D. f (x) dx = x3 + 4 Câu 170. Nguyên hàm 1 A. − cos 2x + C. 2 Z D. 1 sin 3x + C. 3 x2 + C. 2 x2 . 4 sin 2x dx bằng B. cos 2x + C. Câu 171. Nguyên hàm của hàm số y = e−3x+1 là 1 A. e−3x+1 + C. B. −3e−3x+1 + C. 3 C. 1 cos 2x + C. 2 1 C. − e−3x+1 + C. 3 D. − cos 2x + C. D. 3e−3x+1 + C. Câu 172. Cho hàm số f (x) = e2x . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Z 2x f (x) dx = e +C . B. Z 1 f (x) dx = e2x + C . 2 ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 132 133 | C. Z Page 1. NGUYÊN HÀM 1 f (x) dx = − e2x + C . 2 D. Z f (x) dx = 1 2x e +C . 2x Câu 173. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = x2 . Z Z x2 2 A. x dx = +C . B. x2 dx = 2x + C . 2 Z Z x3 x3 +C . D. x2 dx = . C. x2 dx = 3 3 Câu 174. Khẳng định nào trong các khẳng định sau là sai? A. B. Z kf (x)dx = k Z f (x)dx với k ∈ R. Z Z Z [f (x) + g(x)]dx = f (x)dx + g(x)dx với f (x), g(x) liên tục trên R. 1 C. xα dx = xα+1 + C với α 6= −1. α + 1 Z 0 D. f (x)dx = f (x). Z Câu 175. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 2x2 + x − 1 1 1 dx = 2 + − 2 + C. 2 x x x Z 1 2x2 + x − 1 dx = x2 + ln |x| + + C. C. 2 x x A. Z 2x2 + x − 1 . 2 x Z 2x2 + x − 1 1 B. dx = 2x + + ln |x| + C. 2 x x Z 2x2 + x − 1 1 D. dx = x2 − + ln |x| + C. x2 x Câu 176. Nguyên hàm của hàm số f (x) = ex + sin x là A. F (x) = ex + cos x + C. B. F (x) = ex − sin x + C. C. y = ex + sin x + C. D. y = ex − cos x + C. Câu 177. Nguyên hàm của hàm số y = x2 − 3x + x3 3x2 − − ln |x| + C. 3 2 2 3 3x x − + ln x + C. C. 3 2 1 là x x3 3x2 1 − + 2 + C. 3 2 x x3 3x2 D. − + ln |x| + C. 3 2 A. B. Câu 178. Công thức nguyên hàm nào sau đây không đúng? Z Z ax dx x + C(0 < a 6= 1). B. = tan x + C. A. a dx = ln a Z Z cos x dx xα+1 C. = ln |x| + C. D. xα dx = + C(α 6= −1). x α+1 Câu 179. Hàm số nào sau đây là nguyên hàm của hàm số y = cos x A. y = − sin x. B. y = x − sin x. C. y = x + sin x. Câu 180. Nguyên hàm của hàm số f (x) = x3 là. x3 x4 . B. + C. A. 4 3 D. y = sin x. x4 D. + C. 4 2 C. 3x + C. BẢNG ĐÁP ÁN 1. B 2. D 3. B 4. C 5. C 6. B 7. D 8. D 9. A 10. D 11. D 12. D 13. C 14. B 15. A 16. B 17. A 18. A 19. D 20. D 21. C 22. C 23. A 24. D 25. D 26. B 27. A 28. D 29. B 30. D ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 133 134 | Page 1. NGUYÊN HÀM 31. A 32. D 33. C 34. B 35. C 36. B 37. A 38. C 39. D 40. C 41. B 42. B 43. D 44. A 45. D 46. B 47. C 48. A 49. B 50. C 51. D 52. C 53. C 54. D 55. D 56. C 57. C 58. B 59. D 60. A 61. B 62. A 63. C 64. C 65. A 66. D 67. B 68. B 69. A 70. B 71. D 72. C 73. D 74. C 75. C 76. D 77. D 78. B 79. D 80. A 81. A 82. D 83. A 84. A 85. B 86. C 87. C 88. C 89. A 90. B 91. A 92. B 93. D 94. D 95. C 96. A 97. D 98. B 99. C 100. D 101. A 102. A 103. D 104. C 105. D 106. B 107. A 108. A 109. D 110. B 111. D 112. D 113. B 114. A 115. D 116. A 117. A 118. A 119. B 120. D 121. B 122. A 123. C 124. D 125. C 126. B 127. A 128. C 129. C 130. B 131. A 132. C 133. A 134. A 135. C 136. C 137. A 138. D 139. B 140. B 141. C 142. A 143. B 144. C 145. D 146. B 147. C 148. C 149. B 150. B 151. A 152. C 153. B 154. D 155. D 156. C 157. A 158. C 159. A 160. B 161. A 162. A 163. A 164. B 165. A 166. A 167. B 168. D 169. C 170. A 171. C 172. B 173. C 174. A 175. B 176. D 177. D 178. B 179. D 180. D 2. Mức độ thông hiểu Câu 1. Cho hàm số f (x) thỏa mãn f 0 (x) = − cos x và f (0) = 2019. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. f (x) = − sin x + 2019. B. f (x) = 2019 + cos x. D. f (x) = 2019 − cos x. C. f (x) = sin x + 2019. √ x−3 Câu 2. Khi tính nguyên hàm √ dx, bằng cách đặt u = x + 1 ta được nguyên hàm nào? Z Z x+1  Z Z    2 A. 2 u − 4 du. B. u2 − 4 du. C. u2 − 3 du. D. 2u u2 − 4 du. Z Câu 3. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 4x (1 + ln x) là A. 2x2 ln x + 3x2 . B. 2x2 ln x + x2 . C. 2x2 ln x + 3x2 + C. D. 2x2 ln x + x2 + C. Câu 4. Nguyên hàm của hàm số f (x) = x4 + x là A. x4 + x2 + C. B. 4x3 + 1 + C. C. x5 + x2 + C. D. 1 5 1 2 x + x + C. 5 2 Câu 5. Nguyên hàm của hàm số f (x) = x3 + x2 là 1 1 A. x4 + x3 + C. B. x4 + x3 + C. C. 3x2 + 2x + C. D. x3 + x2 + C. 4 3 Z √ 2x + 1 dx là Câu 6. Nguyên hàm I = » 1 2» A. I = (2x + 1)3 + C. B. I = (2x + 1)3 + C. 3 3 1 1 + C. D. I = √ + C. C. I = √ 2 2x + 1 4 2x + 1 1 1 1 Câu 7. Nguyên hàm F (x) trên (−∞; 0) của hàm số f (x) = − 2 e x thỏa mãn điều kiện F (−1) = x e là ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 134 135 | Page 1. NGUYÊN HÀM 1 3 1 1 D. F (x) = −2e x + . C. F (x) = 2e x − . e e  π 1 trên khoảng 0; là Câu 8. Nguyên hàm của hàm số f (x) = sin2 x cos2 x Z 2 Z A. f (x) dx = − cot x + tan x + C. B. f (x) dx = cot x − tan x + C. 1 A. F (x) = e x . C. Z B. F (x) = 2 1 − ex . e f (x) dx = ln sin2 x + ln cos2 x + C. Câu 9. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 2x3 5 − + C. 3 x Z 2x3 5 C. f (x)dx = + + C. 3 x A. Z f (x)dx = D. Z 5 + 2x4 x2 Z B. D. Z f (x) dx = − cot x − tan x + C. f (x)dx = 2x3 − f (x)dx = 5 + C. x 2x3 + 5 ln x2 + C. 3 Câu 10. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = (x + 1) ln x. Tính F 00 (x). 1 1 B. F 00 (x) = . A. F 00 (x) = 1 + . x x 1 00 00 C. F (x) = 1 + + ln x. D. F (x) = x + ln x. x Câu 11. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = ex + x là 1 B. ex + x2 + C. 2 x D. e + 1 + C. A. ex + x2 + C. 1 x 1 2 C. e + x + C. x+1 2 Câu 12. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 4x(1 + ln x) là A. 2x2 ln x + 3x2 . B. 2x2 ln x + x2 . C. 2x2 ln x + 3x2 + C. D. 2x2 ln x + x2 + C. Câu 13. Hàm số F (x) = x2 ln (sin x − cos x) là nguyên hàm của hàm số nào dưới đây? x2 . A. f (x) = sin x − cos x x2 B. f (x) = 2x ln (sin x − cos x) + . sin x − cos x 2 x (cos x + sin x) . C. f (x) = 2x ln (sin x − cos x) + sin x − cos x 2 x (sin x + cosx) D. f (x) = . sin x − cos x Câu 14. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên R thỏa mãn f 0 (x) − xf (x) = 0, f (x) > 0, ∀x ∈ R và f (0) = 1. Giá trị củaf (1) bằng 1 1 A. √ . B. . e e C. √ e. D. e. Câu 15. Cho hàm số f (x) = sin2 2x · sin x. Hàm số nào dưới đây là nguyên hàm của hàm f (x). 4 4 4 4 A. y = cos3 − sin5 x + C. B. y = − cos3 x + cos5 x + C. 3 5 3 5 4 3 4 4 3 4 5 5 C. y = sin x − cos x + C. D. y = − sin x + sin x + C. 3 5 3 5 Z 1 Câu 16. Tìm họ nguyên hàm F (x) = dx. (2x + 1)3 1 1 A. F (x) = − + C. B. F (x) = − + C. 2 4(2x + 1) 6(2x + 1)2 1 1 C. F (x) = − + C. D. F (x) = − + C. 3 4(2x + 1) 6(2x + 1)3 ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 135 136 | Page 1. NGUYÊN HÀM Câu 17. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = ex + 2x thỏa mãn F (0) = 3 . F (x) 2 bằng 5 A. F (x) = ex + x2 + . 2 3 x 2 C. F (x) = e + x + . 2 1 B. F (x) = ex + x2 − . 2 1 x 2 D. F (x) = e + x + . 2 1 Câu 18. Cho F (x) là nguyên hàm của f (x) = √ thỏa mãn F (2) = 4. Giá trị F (−1) bằng x+2 √ √ B. 1. C. 2 3. D. 2. A. 3. Câu 19. Cho biết Z A. a + 2b = 8. 2x − 13 dx = a ln |x+1|+b ln |x−2|+C. Mệnh đề nào sau đây đúng? (x + 1)(x − 2) B. a + b = 8. C. 2a − b = 8. D. a − b = 8. 1 là Câu 20. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = √ 1 − 2x √ √ √ A. 2 1 − 2x + C. B. −2 1 − 2x + C. C. 1 − 2x + C. 1 là 3x + 1 1√ 1p B. 3 3x + 1 + C. C. 3 (3x + 1)2 + C. 3 2 √ D. − 1 − 2x + C. Câu 21. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = √ 3 A. √ 3 3x + 1 + C. D. 3p 3 (3x + 1)2 + C. 2 Câu 22. Cho hàm số f (x) thỏa f 0 (x) = 3 − 5 sin x và f (0) = 10. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. f (x) = 3x + 5 cos x + 5. B. f (x) = 3x + 5 cos x + 2. C. f (x) = 3x − 5 cos x + 2. D. f (x) = 3x − 5 cos x + 15. π  Câu 23. Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = sin x + cos x thỏa mãn F = 2. 2 A. F (x) = cos x − sin x + 3. B. F (x) = − cos x + sin x + 3. C. F (x) = − cos x + sin x − 1. D. F (x) = − cos x + sin x + 1. √ Câu 24. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = 2x − 1. Z Z √ √ 2 1 A. f (x) dx = (2x − 1) 2x − 1 + C. B. f (x) dx = (2x − 1) 2x − 1 + C. 3 3 Z Z √ √ 1 1 C. f (x) dx = − (2x − 1) 2x − 1 + C. D. f (x) dx = (2x − 1) 2x − 1 + C. 3 2 ß ™ 2 1 thỏa mãn f 0 (x) = Câu 25. Cho hàm số f (x) xác định trên R \ , f (0) = 1 và f (1) = 2. 2 2x − 1 Giá trị của biểu thức f (−1) + f (3) bằng A. 4 + ln 15. B. 2 + ln 15. C. 3 + ln 15. D. ln 15. C. x5 + x2 + C. D. Câu 26. Nguyên hàm của hàm số f (x) = x4 + x là A. x4 + x2 + C. B. 4×3 + 1 + C. 1 5 1 2 x + x + C. 5 2 Câu 27. Nguyên hàm của hàm số f (x) = x3 + x2 là 1 1 A. x4 + x3 + C. B. x4 + x3 + C. C. 3×2 + 2x + C. D. x3 + x2 + C. 4 3 Z   Câu 28. Giả sử e2x 2×3 + 5×2 − 2x + 4 dx = ax3 + bx2 + cx + d e2x + C. Khi đó a + b + c + d bằng A. −2. B. 3. C. 2. D. 5. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 136 137 | Page 1. NGUYÊN HÀM Câu 29. Khẳng định nào sau đây sai? Z sin 4x A. cos 4x dx = + C. 4 Z 1 ln |x| C. dx = + C. ex e Z 1 dx. Câu 30. Tìm nguyên hàm I = √ 5x + 2 1p A. I = 3 (5x + 2)3 + C. 5 1√ 5x + 2 + C. C. I = 5 1 tan 2x dx = + C. 2 2 Z cos 2x D. cos 2x dx = 2 sin 2x + C. B. Z 2√ 5x + 2 + C. 5 2p D. I = (5x + 2)3 + C. 5 B. I = Câu 31. Biết F (x) là nguyên hàm của hàm số f (x) = sin x + cos x, thỏa mãn F π  2 = 2. Tính giá trị của S = F (0) + 2F (π). C. S = −1. D. S = 0. √ x x+ x Câu 32. Nguyên hàm của hàm số f (x) = là x2 √ 2 ( x + 1) 2 (x − 1) √ + C. B. F (x) = A. F (x) = + C. 2 x√ x√ 2−3 x 1+2 x + C. D. F (x) = √ + C. C. F (x) = x x Z 3 cos x dx bằng Câu 33. 2 + sin x 3 sin x A. + C. B. −3 ln |2 + sin x| + C. (2 + sin x)2 3 sin x C. 3 ln (2 + sin x) + C. D. + C. (2 + sin x)2 A. S = 4. B. S = 5. √ Câu 34. Công thức nào dưới đây là sai? Z 1 x−a 1 dx = ln A. + C. 2 2 x −a 2 x+a Z 1 C. eax+b dx = eax+b + C. a Z ln x Câu 35. Tìm dx có kết quả là x 2 x 1 A. (ln x − 1) + C. B. ln2 x + C. 2 2 B. D. Z Z sin x dx = cos x + C. ax dx = ax + C, (0 < a 6= 1). ln a x2 C. ln |ln x| + C. D. ln + C. 2 1 , f (0) = 2018, Câu 36. Cho hàm số y = f (x) xác định trên R \ {1} thỏa mãn f 0 (x) = x−1 f (2) = 2019. Giá trị của f (3) − f (−1) bằng A. 1. B. ln 4. C. ln 4037. √ Câu 37. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = x · 3 x2 + 1 bằng 1p 1p 3p A. 3 (x2 + 1)4 + C. B. 3 (x2 + 1) + C. C. 3 (x2 + 1) + C. 8 8 8 D. 0. D. 3p 3 (x2 + 1)4 + C. 8 Câu 38. Cho F (x) = (ax2 + bx − c)e2x là một nguyên hàm của hàm số f (x) = (2018x2 − 3x + 1)e2x trên khoảng (−∞; +∞). Tính T = a + 2b + 4c. A. T = −3035. B. T = 1007. Câu 39. Nguyên hàm của hàm số f (x) = C. T = −5053. D. T = 1011. 1 là 1 − 2x ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 137 138 | Page 1. NGUYÊN HÀM 1 A. f (x) dx = − ln |1 − 2x| + C. 2 Z C. f (x) dx = −2 ln |1 − 2x| + C. Z B. D. Z f (x) dx = ln |1 − 2x| + C. Z f (x) dx = 2 ln |1 − 2x| + C. Câu 40. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? Z Z xe+1 1 A. xe dx = + C. B. x2 dx = x3 + C. e+1 3 Z Z ex+1 1 x 7 C. e dx = + C. D. x dx = x8 + C. x+1 8 1 Câu 41. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = là 2x + 3 1 1 A. ln(2x + 3) + C. B. ln |2x + 3| + C. 2 2 1 C. ln |2x + 3| + C. D. ln |2x + 3| + C. ln 2 2 Câu 42. F (x) là một nguyên hàm của hàm số y = x · ex . Hàm số nào sau đây không phải là F (x) ? 1 2 A. F (x) = ex + 2. 2 1 2 C. F (x) = − ex + C. 2 ä 1 Ä x2 e +5 . 2 Ä ä 1 2 D. F (x) = − 2 − ex . 2 B. F (x) = Câu 43. Nguyên hàm của hàm số y = e−3x+1 là 1 A. e−3x+1 + C. B. −3e−3x+1 + C. 3 Câu 44. Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số e2x A. F (x) = e2x . B. F (x) = + 2 1 C. − e−3x+1 + C. 3 f (x) = e2x , biết F (0) = 1. 1 . C. F (x) = 2e2x − 1. 2 D. 3e−3x+1 + C. D. F (x) = ex . Câu 45. Cho hàm số f (x) thỏa mãn đồng thời các điều kiện f 0 (x) = x + sin x và f (0) = 1. Tìm f (x). x2 − cos x + 2. 2 2 x C. f (x) = + cos x. 2 x2 − cos x − 2. 2 2 x 1 D. f (x) = + cos x + . 2 2 A. f (x) = Câu 46. Cho Z1 B. f (x) = Z1 f (x) dx = 3. Tính tích phân I = −2 A. −9. B. −3. Câu 47. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 2x3 5 − + C. 3 x Z 2x3 5 C. f (x) dx = + + C. 3 x A. Z [2f (x) − 1] dx. −2 f (x) dx = C. 3. D. 5. 5 + 2x4 . x2 Z f (x) dx = 2x3 − B. D. Z f (x) dx = 5 + C. x 2x3 + 5 ln x2 + C. 3 Câu 48. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = (x + 1) ln x. Tính F 00 (x). 1 1 A. F 00 (x) = 1 + . B. F 00 (x) = . x x 1 00 00 C. F (x) = 1 + + ln x. D. F (x) = x + ln x. x Câu 49. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = x3 + x2 là: x4 x3 A. + + c. B. x4 + x3 . C. 3x2 + 2x. 4 3 D. 1 4 1 3 x + x. 3 4 ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 138 139 | Page Câu 50. Cho F (x) là một nguyên hàm của f (x) = 1. NGUYÊN HÀM 1 trên khoảng (1; +∞) thỏa mãn F (e + 1) = x−1 4. Tìm F (x). A. F (x) = 2 ln(x − 1) + 2. B. F (x) = ln(x − 1) + 3. C. F (x) = 4 ln(x − 1). D. F (x) = ln(x − 1) − 3. Câu 51. Họ nguyên hàm của hàm số y = 3x (x + cos x) là A. x3 + 3 (x sin x + cos x) + C. B. x3 − 3 (x sin x + cos x) + C. C. x3 + 3 (x sin x − cos x) + C. D. x3 − 3 (x sin x − cos x) + C. Câu 52. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = sin x + 1 là sin2 x A. + x + C. B. − cos x + x + C. C. cos x + x + C. 2 Câu 53. Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = e3x , biết F (0) = 1. 1 2 1 1 A. F (x) = e3x + . B. F (x) = e3x + 1. C. F (x) = e3x + . 3 3 3 3 Câu 54. Họ các nguyên hàm của hàm số f (x) = 10x là 10x 10x+1 10x A. + C. B. + C. C. + C. ln 10 x+1 11 1 + ln x Câu 55. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = là x2 ln x 2 ln x 2 ln x 2 A. − + + C. B. − − + C. C. + + C. x x x x x x D. − cos x + C. D. F (x) = 3e3x − 2. D. 10x · ln 10 + C. D. ln x 2 − + C. x x Câu 56. Họ các nguyên hàm của hàm số f (x) = (2x + 1) ln x là x2 x2 A. (x2 + x) ln x − + x + C. B. (x2 + x) ln x − − x + C. 2 2 1 x2 − x + C. D. 2 ln x + + C. C. (x2 + 1) ln x − 2 x ln x Câu 57. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = là x 1 1 A. ln2 x + ln x + C. B. ln2 x + C. C. ln2 x + C. D. ln (ln x) + C. 2 2 Z 0 √ f ( x) √ Câu 58. Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên khoảng (0; +∞). Khi đó dx bằng x √ √ √ 1 √ A. f ( x) + C. B. f ( x) + C. C. −2f ( x) + C. D. 2f ( x) + C. 2 Câu 59. Cho hàm số f (x) thỏa mãn f 0 (x) = 3 − 5 sin x và f (0) = 10. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. f (x) = 3x + 5 cos x + 2. B. f (x) = 3x − 5 cos x + 15. C. f (x) = 3x + 5 cos x + 5. D. f (x) = 3x − 5 cos x + 2. Câu 60. Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = e−x + sin x thỏa mãn F (0) = 0. Tìm F (x). A. F (x) = −e−x − cos x + 2. B. F (x) = −e−x − cos x. C. F (x) = −e−x + cos x − 2. D. F (x) = −ex − cos x + 2. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 139 140 | Page 1. NGUYÊN HÀM ln(2x) Câu 61. Tìm họ nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = . x2 1 1 A. F (x) = − (ln 2x − 1) + C. B. F (x) = − (ln 2x + 1) + C. x x 1 1 D. F (x) = (ln 2x + 1) + C. C. F (x) = − (1 − ln 2x) + C. x x 1 Câu 62. Tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x) = là 2x + 3 1 1 A. ln(2x + 3) + C. B. ln |2x + 3| + C. C. ln |2x + 3| + C. D. 2 ln |2x + 3| + C. 2 2 Câu 63. Tìm một nguyên hàm của hàm số f (x) = x tan2 x. x2 x2 A. x tan x + ln |cos x| − + C. B. x tan x − ln |cos x| − + C. 2 2 2 x2 x + C. D. −x tan x + ln |cos x| − + C. C. x tan x + ln |cos x| + 2 2 Z 10 Câu 64. Cho I = x 1 − x2 dx. Đặt u = 1 − x2 , khi đó viết I theo u và du ta được Z Z 1 Z 10 1 Z 10 A. I = − u du. B. I = −2 u10 du. C. I = 2u10 du. D. I = u du. 2 2 Câu 65. Cho hàm số f (x) thỏa mãn f 0 (x) = 3 − 5 sin x và f (0) = 1. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. f (x) = 3x − 5 cos x + 5. B. f (x) = 3x + 5 cos x + 5. C. f (x) = 3x + 5 cos x − 4. D. f (x) = 3x − 5 cos x + 15. √ Câu 66. Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = cos x sin x + 1. √ 1 1 − 2 sin x − 3 sin2 x √ A. F (x) = (sin x + 1) sin x + 1 + C. B. F (x) = . 3 2 sin x + 1 √ √ 2 1 C. F (x) = (sin x + 1) sin x + 1 + C. D. F (x) = sin x sin x + 1 + C. 3 3 1 Câu 67. Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = và F (1) = 2. Tính F (2). x A. F (2) = 2 − ln 2. B. F (2) = 2 ln 2. C. F (2) = 3. D. F (2) = ln 2 + 2. Câu 68. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 2x − sin x. A. C. Z Z f (x) dx = x − cos x + C. f (x) dx = x + cos x + C. B. D. Z f (x) dx = x2 − cos x + C. Z f (x) dx = x2 + cos x + C. Câu 69. Hàm số nào dưới đây là nguyên hàm của hàm số f (x) = (3x + 2)e2x+3 ? 1 1 A. F (x) = (3x + 1)e2x+3 . B. F (x) = (2x + 3)e2x+3 . 2 3 1 2x+3 C. F (x) = (6x + 1)e . D. F (x) = (3x − 1)e2x+3 . 4 Câu 70. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = sin 2x. A. C. Z Z sin 2x dx = 2 cos 2x + C. sin 2x dx = − cos 2x + C. cos 2x + C. 2 Z cos 2x D. sin 2x dx = − + C. 2 B. Z sin 2x dx = Câu 71. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = e3x+1 . Z Z 1 3x+1 A. f (x) dx = e + C. B. f (x) dx = e3x+1 + C. 3 ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 140 141 | C. Z Page 1. NGUYÊN HÀM 1 f (x) dx = e3x+1 . 3 D. Z 1 f (x) dx = − e3x+1 + C. 3 Câu 72. Trong các khẳng định dưới đây, có bao nhiêu khẳng định đúng? a) Mọi hàm số liên tục trên [a; b] đều có đạo hàm trên [a; b]. b) Mọi hàm số liên tục trên [a; b] đều có nguyên hàm trên [a; b]. c) Mọi hàm số có đạo hàm trên [a; b] đều có nguyên hàm trên [a; b]. d) Mọi hàm số liên tục trên [a; b] thì đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên [a; b]. A. 2. B. 3. C. 1. D. 4. √ Câu 73. Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số f (x) = x − 1 trên (0; +∞)? 2√ 2√ 3 3 A. F (x) = x2 − x + 1. B. F (x) = x − x + 2. 3 3 1 1 C. F (x) = √ . D. F (x) = √ − x. 2 x 2 x Câu 74. Mệnh đề nào trong bốn mệnh đề sau sai? Z Z 1 dx = lnx + C. B. ex dx = ex + C. A. Z x Z C. cos x dx = sin x + C. D. 0 dx = C. Câu 75. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = cos x là A. tan x + C. B. cot x + C. C. − sin x + C. Câu 76. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = e−2018x là −1 2018x −1 −2018x A. e + C. B. e + C. C. 2018e−2018x + C. 2018 2018 D. sin x + C. D. e−2018x + C. Câu 77. Tìm họ nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = x3 + x + 1. x 4 x3 x4 x2 A. F (x) = + + C. B. F (x) = + + x + C. 4 2 4 2 3 x + x + C. D. F (x) = 3x3 + C. C. F (x) = x4 + 2 Câu 78. Nguyên hàm của hàm số f (x) = (x + 1)ex là A. 2xex + C. B. xex + C. C. (x − 1)ex + C. Câu 79. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 4x3 + 2018 là x4 + 2018x + C. C. 12x2 + C. A. x4 + 2018x + C. B. 3 Câu 80. Tích phân Ze 1 A. ln 2. dx bằng x(ln x + 2) 3 B. ln . 2 C. 0. Câu 81. Cho hàm số f (x) xác định trên R \ {1; 4} có f 0 (x) = D. (x + 2)ex + C. D. x4 + C. D. ln 3. x2 2x − 5 thỏa mãn f (0) = 1. Giá − 5x + 4 trị f (2) bằng A. 1 − ln 2. B. 2. C. 1 + 3 ln 2. Câu 82. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = e2x là ex A. ex + C. B. + C. C. e2x + C. 2 D. −1 + 3 ln 2. D. e2x + C. 2 ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 141 142 | Page 1. NGUYÊN HÀM Câu 83. Họ nguyên hàm của hàm số y = x2 + ex − cos 3x là 1 1 A. (x3 + 3ex − sin 3x) + C. B. (x3 + ex − sin 3x) + C. 3 3 1 3 1 x C. (x + 3e + sin 3x) + C. D. (x3 + ex + sin 3x) + C. 3 3 1 Câu 84. Hàm số y = ln x + là nguyên hàm của hàm số nào dưới đây? x 1 1 1 1 1 1 A. y = ln x + 1. B. y = ln2 x − 2 . D. y = − 2 . C. y = ln2 x − . 2 x 2 x x x √ Câu 85. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 3 x + x2018 là √ √ x2019 x2019 + C. B. 2 x3 + + C. A. x + 673 2019 1 x2019 1 C. √ + + C. D. √ + 6054x2017 + C. x 673 2 x Câu 86. Cho hàm số F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x). Mệnh đề nào sau đây đúng? Z Z 1 A. f (2x) dx = 2F (2x) + C. B. f (2x) dx = F (2x) + C. 2 Z Z 1 C. f (2x) dx = F (x) + C. D. f (2x) dx = F (x) + C. 2 Câu 87. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = 32x+1 . 32x+1 32x+1 A. (2x + 1)32x + C. B. + C. C. 32x+1 ln 3 + C. D. + C. ln 3 ln 9 Å ã 1 1 Câu 88. Giả sử F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = trên khoảng −∞; − . Mệnh 3x + 1 3 đề nào sau đây đúng? 1 A. F (x) = ln(−3x − 1) + C. B. F (x) = ln(3x + 1) + C. 3 1 C. F (x) = ln(−3x − 1) + C. D. F (x) = ln |3x + 1| + C. 3 Câu 89. Cho hàm số F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) xác định trên K. Mệnh đề nào dưới đây sai?  Z 0 A. x f (x) dx = f 0 (x). Z 0 C. f (x) dx = F 0 (x). B. D. Z Z f (x) dx 0 = f (x). f (x) dx = F (x) + C. 1 + m − 1 thỏa mãn F (0) = 0 và Câu 90. Biết F (x) là nguyên hàm của hàm số f (x) = √ 2 x+1 F (3) = 7. Khi đó, giá trị của tham số m bằng A. −2. B. 3. C. −3. D. 2. Câu 91. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 4x + sin2 x là 4x 1 sin3 x A. − sin 2x + C. B. 4x ln x + + C. ln 4 4 3 3 x sin x 4 x 1 C. 4x ln x − + C. D. + − sin 2x + C. 3 ln 4 2 4 π  2 3 Câu 92. Nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = sin 2x · cos 2x thỏa F = 0 là 4 1 1 1 1 1 A. F (x) = sin3 2x − sin5 2x + . B. F (x) = sin3 2x + sin5 2x − 6 10 15 6 10 1 1 1 1 1 C. F (x) = sin3 2x − sin5 2x − . D. F (x) = sin3 2x + sin5 2x − 6 10 15 6 10 1 . 15 4 . 15 ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 142 143 | Page Câu 93. Cho 1. NGUYÊN HÀM Z 2x (3x − 2)6 dx = A (3x − 2)8 + B (3x − 2)7 + C với A, B ∈ Q và C ∈ R. Giá trị của biểu thức 12A + 7B bằng 241 23 . B. . A. 252 252 C. 52 . 9 Câu 94. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = ex + cos x là ex + 1 A. + sin x + C. B. ex − sin x + C. C. ex + sin x + C. x+1 D. 7 . 9 D. ex+1 − sin x + C. x+1 Câu 95. Cho hàm số f (x) xác định trên K . Khẳng định nào sau đây sai? A. Hàm số F (x) được gọi là nguyên hàm của f (x) trên K nếu F 0 (x) = f (x) với mọi x ∈ K . B. Nếu f (x) liên tục trên K thì nó có nguyên hàm trên K . C. Nếu hàm số F (x) là một nguyên hàm của f (x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F (x) + C cũng là một nguyên hàm của f (x) trên K . D. Nếu hàm số F (x) là một nguyên hàm của f (x) trên K thì hàm số F (−x) cũng là một nguyên hàm của f (x) trên K . 1 Câu 96. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = e2x − 2 là x 1 2x 1 1 2x 1 1 A. e − + C. B. e + + C. C. e2x + + C. 2 x 2 x x D. e2x − 1 + C. x Câu 97. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = sin 2x + cos x là A. − cos 2x + sin x + C. B. cos2 x − sin x + C. C. sin2 x + sin x + C. D. cos 2x − sin x + C. Câu 98. Tìm họ nguyên F (x) của hàm số y = f (x) = sin 2x + 2x. cos 2x cos 2x A. F (x) = + x2 + C . B. F (x) = − + x2 + C. 2 2 C. F (x) = cos 2x + 2 + C. D. F (x) = − cos 2x + x2 + C.  π . Câu 99. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = cos 3x + Z Z 6    1 π π A. f (x) dx = − sin 3x + + C. B. f (x) dx = 6 sin 3x + + C. 3  6 6 Z Z   1 π π C. f (x) dx = sin 3x + + C. D. f (x) dx = 3 sin 3x + + C. 3 6 6 Z 1 + ln x dx (x > 0) bằng Câu 100. Nguyên hàm x 1 1 A. x + ln2 x + C. B. ln2 x + ln x + C. C. ln2 x + ln x + C. D. x + ln2 x + C. 2 2 1 Câu 101. Họ nguyên hàm của hàm số y = x2 − 3x + là x x3 3 2 x3 3 2 A. F (x) = − x + ln x + C. B. F (x) = − x + ln |x| + C. 3 2 3 2 x3 3 2 1 C. F (x) = + x + ln x + C. D. F (x) = 2x − 3 − + C. 3 2 x Câu 102. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = 3x + 2 A. C. Z Z 2 f (x) dx = 3x + 2x + C . f (x) dx = 3×2 − 2x + C . 3 f (x) dx = x2 − 2x + C . 2 Z 3 2 D. f (x) dx = x + 2x + C. 2 B. Z ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 143 144 | Page 1. NGUYÊN HÀM √ Câu 103. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 2x + 3. Z Z √ 2 √ 1 A. f (x) dx = x 2x + 3 + C. B. f (x) dx = (2x + 3) 2x + 3 + C. 3 3 Z Z √ √ 2 C. f (x) dx = (2x + 3) 2x + 3 + C. D. f (x) dx = 2x + 3 + C. 3 Câu 104. Cho F (x) = cos 2x − sin x + C là nguyên hàm của hàm số f (x). Tính f (π). A. f (π) = −3. C. f (π) = −1. B. f (π) = 1. D. f (π) = 0. Câu 105. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = cos(2x + 3). A. C. Z Z 1 f (x) dx = − sin(2x + 3) + C. 2 Z 1 D. f (x) dx = sin(2x + 3) + C. 2 f (x) dx = − sin(2x + 3) + C. B. f (x) dx = sin(2x + 3) + C. Câu 106. Biết Z Z Z 2 f (2x) dx = sin x + ln x + C, tìm nguyên hàm f (x) dx. Z x x A. f (x) dx = sin2 + ln x + C. B. f (x) dx = 2 sin2 + 2 ln x + C. 2 2 Z Z 2 2 C. f (x) dx = 2 sin x + 2 ln x − ln 2 + C. D. f (x) dx = 2 sin 2x + 2 ln x − ln 2 + C. Z Câu 107. Tìm hàm số F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = − sin x(4 cos x + 1) thỏa mãn π  F = −1. 2 A. F (x) = cos 2x + cos x − 1. B. F (x) = −2 cos 2x + cos x − 3. D. F (x) = − cos 2x − cos x − 2. C. F (x) = cos 2x + cos x. Câu 108. Mệnh đề nào trong bốn mệnh đề sau sai? Z Z 1 dx = ln x + C . B. 0 dx = C. A. Z x Z x x C. e dx = e + C. D. cos x dx = sin x + C. 1 là Câu 109. Nguyên hàm của hàm số y = 2 − 3x 1 1 A. ln |2 − 3x| + C. B. −3 ln |2 − 3x| + C. C. − ln |2 − 3x| + C. D. ln |2 − 3x| + C. 3 3 Câu 110. Giả sử F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = ex , biết F (0) = 4. Tìm F (x). A. F (x) = ex + 2. Câu 111. Biết Ze4 e A. I = 8. B. F (x) = ex + 3. C. F (x) = ex + 4. D. F (x) = ex + 1. 4 Z 1 f (ln x) dx = 4. Tính tích phân I = f (x) dx. x 1 B. I = 16. C. I = 2. D. I = 4. Câu 112. Mệnh đề nào sau đây sai? A. B. C. D. Z Z Z Z [f (x) − g(x)] dx = Z f (x) dx − Z g(x) dx, với mọi hàm số f (x), g(x) liên tục trên R. f 0 (x) dx = f (x) + C với mọi hàm số f (x) có đạo hàm trên R. kf (x) dx = k Z f (x) dx với mọi hằng số k và mọi hàm số f (x) liên tục trên R. [f (x) + g(x)] dx = Z f (x) dx + Câu 113. Mệnh đề nào sau đây đúng? Z 1 1 A. dx = ln |1 − 2x| + C. 1 − 2x 2 Z g(x) dx, với mọi hàm số f (x), g(x) liên tục trên R. B. Z 1 dx = ln |1 − 2x| + C. 1 − 2x ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 144 145 | C. Z Page 1. NGUYÊN HÀM 1 1 dx = − ln |4x − 2| + C. 1 − 2x 2 D. Z 1 1 dx = 2 ln + C. 1 − 2x |1 − 2x| Câu 114. Cho hàm số f (x) = sin 3x. Khẳng định nào sau đây đúng? Z Z 1 1 A. f (x) dx = cos 3x + C. B. f (x) dx = − cos 3x + C. 3 3 Z Z C. f (x) dx = 3 cos 3x + C. D. f (x) dx = −3 cos 3x + C. Câu 115. Cho số thực a > 0, a 6= 1. Khẳng định nào dưới đây đúng? Z Z ax+1 A. ax dx = ax ln a + C. B. ax dx = + C. x + 1 Z Z ax ax C. ax dx = + C. D. ax dx = + C. log a ln a Z 1 Câu 116. Cho x > 0. Tìm hàm số f (x) biết rằng f (x) dx = + ln x + C. x 1 1 1 1 1 1 A. f (x) = ln x + . B. f (x) = ln x − 2 . D. f (x) = − 2 + . C. f (x) = 2 + . x x x x x x Câu 117. Tìm nguyên hàm của hàm số y = xex . A. C. Z xex dx = xex + C. B. Z xex dx = ex + C. D. Z xex dx = xex − ex + C. Z xex dx = xex + ex + C. Câu 118. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 4x ln x là A. x2 (2 ln x + 1) + C. B. 4×2 (2 ln x − 1) + C. C. x2 (2 ln x − 1) + C. D. x2 (8 ln x − 16) + C. 1 f (x) dx = + ex + C. x 1 1 x A. f (x) = ln |x| + e . B. f (x) = 2 + ex . C. f (x) = − 2 + ex . x x 98 Câu 120. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = là (2x + 1)50 2 1 1 A. − + C. B. − + C. C. + C. (2x + 1)49 (2x + 1)49 51(2x + 1)51 Câu 119. Xác định f (x) biết √ Câu 121. Cho f (x) = 3 x Z D. f (x) = ln x + ex . D. 2 + C. (2x + 1)51 ln 3 · √ . Hàm số nào dưới đây không phải là nguyên hàm của hàm số x f (x)? √ A. F (x) = 3 x √ + C. Ä √ ä C. F (x) = 2 · 3 x − 1 + C. B. F (x) = 2 · 3 x + C. Ä √ ä D. F (x) = 2 · 3 x + 1 + C. Câu 122. Hàm số F (x) nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số f (x) = A. F (x) = 2 ln |x + 3| − ln |x + 1| + C. x+1 C. F (x) = ln + 2. x+3 x2 x+3 ? + 4x + 3 B. F (x) = ln (2 |x + 1|). D. F (x) = ln [(x + 1) (x + 3)]. Câu 123. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = cos 3x là 1 1 A. − · sin 3x + C. B. · sin 3x + C. C. 3 sin 3x + C. D. −3 sin 3x + C. 3 3 4 và F (0)=2. Tìm F (2). Câu 124. Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm số y = f (x) = 1 + 2x A. 4 ln 5 + 2. B. 5 (1 + ln 2). C. 2 ln 5 + 4. D. 2(1 + ln 5). ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 145 146 | Page 1. NGUYÊN HÀM Câu 125. F (x) là nguyên hàm của hàm số f (x) = 3x + 4 , (x 6= 0), biết rằng F (1) = 1. F (x) là biểu x2 thức nào sau đây 4 − 5. x 4 C. F (x) = F (3x − + 3. x A. F (x) = 2x + 4 + 5. x 4 D. F (x) = 3 ln |x| − + 3. x B. F (x) = 3 ln |x| − Câu 126. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = 10x . Z Z 10x x + C. B. 10x dx = 10x ln 10 + C. A. 10 dx = ln 10 Z Z 10x+1 x C. 10 dx = 10x+1 + C. D. 10x dx = + C. x+1 Z x(x2 + 7)15 dx. Z 16 1 A. x(x2 + 7)15 dx = x2 + 7 + C. 2 Z 16 1 2 2 15 C. x(x + 7) dx = − x + 7 + C. 32 Câu 127. Tính 16 1 2 x + 7 + C. 32 Z 16 1 2 2 15 D. x(x + 7) dx = x + 7 + C. 16 B. Z x(x2 + 7)15 dx = Z Câu 128. Tính F (x) = x cos 2x dx. 1 1 1 1 B. F (x) = x sin 2x + cos 2x + C. A. F (x) = x sin 2x + cos 2x + C. 2 2 2 4 x2 sin 2x + C. D. F (x) = sin 2x + C. C. F (x) = 4 4m Câu 129. Cho f (x) = + sin2 x. Gọi F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x). Tìm m để π π  π F (0) = 1 và F = . 4 8 3 3 4 4 A. m = − . B. m = . C. m = − . D. m = . 4 4 3 3 Câu 130. Họ các nguyên hàm của hàm số y = cos 4x là 1 1 B. sin 4x + C. C. sin 4x + C. A. − sin 4x + C. 4 4 Câu 131. Hàm số f (x) thỏa mãn f 0 (x) = xex là ex+1 x 2 A. (x − 1)e + C. B. x + + C. x+1 D. 1 sin x + C. 4 C. x2 ex + C. D. (x + 1)ex + C. π  Câu 132. Nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = sin x − cos x thỏa mãn F = 0 là 4 √ √ 2 A. − cos x − sin x + . B. − cos x − sin x − 2. 2 √ C. cos x − sin x. D. − cos x − sin x + 2. Câu 133. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = xex . A. Z Z x f (x) dx = (x + 1)e + C. B. Z f (x) dx = (x − 1)ex + C. Z D. f (x) dx = x2 ex + C. π  0 Câu 134. Tìm hàm số F (x) biết F (x) = sin 2x và F = 1. 2 1 3 A. F (x) = cos 2x + . B. F (x) = 2x − π + 1. 2 2 1 1 C. F (x) = − cos 2x + . D. F (x) = − cos 2x. 2 2 C. f (x) dx = xex + C. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 146 147 | Page 1. NGUYÊN HÀM Câu 135. Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = sin x và đồ thị hàm số y = F (x) đi qua π  điểm M (0; 1). Tính F . 2 π  π  π  π  A. F = 2. B. F = 0. C. F = 1. D. F = −1. 2 2 2 2 ln x Câu 136. Cho F (x) là nguyên hàm của hàm số f (x) = . Tính I = F (e) − F (1). x 1 1 C. I = e. D. I = . A. I = 1. B. I = . e 2 Câu 137. Cho bốn mệnh đề sau Z cos3 x (I) cos2 x dx = + C. 3 Z 2x + 1 (II) dx = ln(x2 + x + 2018) + C. 2 x + x + 2018 Z 6x x x −x (III) 3 (2 + 3 ) dx = + C. ln 6 Z (IV) 3x dx = 3x ln 3 + C. Có bao nhiêu mệnh đề sai? √ √ A. −2 − 3. B. −2 + 3. Câu 138. Tìm nguyên hàm I = Å ã x2 1 A. I = ln x − + C. 2 2 x2 C. I = x2 ln x − + C. 4 Z C. 0. D. −2. x ln x dx? x2 x2 ln x − + C. 2 2 x2 D. I = x2 ln x − + C. 2 Å ã x 2π . Câu 139. Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = sin và F (π) = 1. Tính F Å ã Å ã Å ã2 Å ã 3 2π 2π 2π 2π A. F = 2. B. F = 0. C. F = 3. D. F = −1. 3 3 3 3 2 Câu 140. Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = 6x + sin 3x, biết F (0) = . 3 cos 3x 2 cos 3x 2 2 A. F (x) = 3x − + . B. F (x) = 3x − − 1. 3 3 3 cos 3x cos 3x C. V = F (x) = 3×2 + + 1. D. F (x) = 3×2 − + 1. 3 3 B. I = Câu 141. Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = x · e2x . A. F (x) = 2e2x (x − 2) + C. Å ã 1 2x C. F (x) = 2e x− + C. 2 1 B. F (x) = e2x (x − 2) + C. 2 Å ã 1 2x 1 D. F (x) = e x− + C. 2 2 A. f (x) = −3 ln |3 − 2x|. 6 và f (2) = 0. 3 − 2x B. f (x) = 2 ln |3 − 2x|. C. f (x) = −2 ln |3 − 2x|. D. f (x) = 3 ln |3 − 2x|. Câu 142. Tìm hàm số f (x) thỏa mãn f 0 (x) = Câu 143. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = 8(1 − 2x)3 . Tính I = F (1) − F (0). A. I = 2. B. I = −2. C. I = 0. D. I = −16. Câu 144. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = 3x ln 9 thỏa mãn F (0) = 2. Tính F (1). ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 147 148 | Page 1. NGUYÊN HÀM A. F (1) = 12 · ln2 3. B. F (1) = 3. C. F (1) = 6. D. F (1) = 4. Câu 145. Biết hàm số F (x) = ax3 + (a + b)x2 + (2a − b + c)x + 1 là một nguyên hàm của hàm số f (x) = 3×2 + 6x + 2. Tổng a + b + c là A. 5. B. 3. √ √ C. 4. D. 2. 1 + tan x dx trở thành nguyên hàm nào? cos2 x Z Z Z Z 2 A. 2t dt. B. t dt. C. dt. D. 2t2 dt. ã Z Å 1 5 Câu 147. Biết + x dx = a ln |x| + bx6 + C với (a, b ∈ Q, C ∈ R). Tính a2 + b? 2x 7 7 5 A. . B. . C. 9. D. . 6 13 12 Câu 146. Đặt t = 1 + tan x thì Z Câu 148. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = sin 3x. A. Z f (x) dx = 3 cos 3x + C. Z 1 C. f (x) dx = − cos 3x + C. 3 1 cos 3x + C. 3 Z D. f (x) dx = −3 cos 3x + C. B. Z f (x) dx = Câu 149. Mệnh đề nào trong các mệnh đề sau là mệnh đề sai? Z Z x2 2 A. x ln x dx = x ln x − + C. B. ln x dx = x ln x − x + C. 2 Z Z 2 2 x x x2 C. x ln x dx = ln x − + C. D. 2x ln x dx = x2 ln x − + C. 2 4 2 1 1 và F (2) = 3 + ln 3. Tính Câu 150. Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = 2x − 1 2 F (3). 1 1 A. F (3) = ln 5 + 5. B. F (3) = ln 5 + 3. C. F (3) = −2 ln 5 + 5. D. F (3) = 2 ln 5 + 3. 2 2 Câu 151. Họ nguyên hàm của hàm số y = 2x(1 + 3×3 ) là A. F (x) = x2 (x + x3 ) + C. 3 B. F (x) = 2x(x Å + x ) 3+ãC. 6x + C. C. F (x) = x2 (1 + 3×2 ) + C. D. F (x) = x2 1 + 5 x−3 Câu 152. Nếu F (x) + C là một nguyên hàm của hàm số f (x) = 2 và F (0) = 0 thì hằng x + 2x − 3 số C bằng 3 2 2 3 A. ln 3. B. − ln 3. C. ln 3. D. − ln 3. 2 3 3 2 Câu 153. Họ nguyên hàm của hàm số y = (1 + sin x)2 là 2 1 A. F (x) = x − 2 cos x − sin 2x + C. B. F (x) = 3 4 3 1 C. F (x) = x + 2 cos x − sin 2x + C. D. F (x) = 2 4 3 x − 2 cos x + 2 3 x − 2 cos x − 2 1 sin 2x + C. 4 1 sin 2x + C. 4 Câu 154. Khẳng định nào sau đây là sai? Z sin x dx = − cos x + C. Z  π C. sin x dx = − sin x + + C. 2 A.  π sin x dx = sin x − + C. 2 Z D. sin x dx = sin x + C. B. Z 2 Câu 155. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = xex . Hàm số nào sau đây không phải là một nguyên hàm của hàm số f (x)? ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 148 149 | Page 1. NGUYÊN HÀM 1 2 B. F (x) = − (2 − ex ). 2 1 x2 D. F (x) = (e + 5). 2 1 2 A. F (x) = − ex + C. 2 1 x2 C. F (x) = (e + 2). 2 2 Câu 156. Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = 6x + sin 3x, biết F (0) = . 3 cos 3x cos 3x 2 2 2 + . B. F (x) = 3x − − 1. A. F (x) = 3x − 3 3 3 cos 3x cos 3x C. F (x) = 3×2 + + 1. D. F (x) = 3×2 − + 1. 3 3 Câu 157. Tìm nguyên hàm I = sin4 x cos x dx. sin5 x cos5 x + C. D. − + C. 5 5 x−1 Câu 158. Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = , biết đồ thị hàm số y = F (x) đi qua x2 điểm (1; −2). 1 1 B. F (x) = ln |x| − + 1. A. F (x) = ln |x| + + 3. x x 1 1 D. F (x) = ln |x| + − 3. C. F (x) = ln |x| − − 1. x x A. sin5 x + C. 5 Z B. cos5 x + C. 5 C. − Câu 159. Cho a ∈ R, hàm số nào sau đây không phải là một nguyên hàm của hàm số f (x) = cos x? A. F (x) = sin x. x  x  C. F (x) = 2 sin + a cos −a . 2 2 x+a x−a cos . 2 2 x+a x−a D. F (x) = 2 sin cos . 2 2 B. F (x) = 2 cos Câu 160. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = x2 − 2x . Z Z x3 2x 2x A. f (x) dx = + + C. B. f (x) dx = 2x − + C. 3 ln 2 ln 2 Z Z x 3 2 x − + C. D. f (x) dx = 2x − 2x ln 2 + C. C. f (x) dx = 3 ln 2 Câu 161. Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = (ex − 1)2 . A. F (x) = 2ex (ex − 1). C. F (x) = e2x − 2ex + x + C. Z Câu 162. Tìm Z 1 A. dx = 2 Z x 1 C. dx = x2 1 dx. x2 1 + C. x 1 + C. 2x 1 B. F (x) = e2x − 2ex + x + C. 2 D. F (x) = 2e2x − 2ex + C. 1 1 dx = − + C. 2 x Z x 1 D. dx = ln x2 + C. x2 B. Z Câu 163. Hàm số F (x) = x2 + sin x là một nguyên hàm của hàm số 1 B. f (x) = 2x + cos x. A. f (x) = x3 + cos x. 3 1 C. f (x) = x3 − cos x. D. f (x) = 2x − cos x. 3 Câu 164. Cho hàm số f (x) liên tục trên [0; 10] thỏa mãn Z10 0 P = Z2 0 f (x) dx + Z10 f (x) dx = 7, Z6 f (x) dx = 3. Tính 2 f (x) dx. 6 ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 149 150 | Page 1. NGUYÊN HÀM A. P = 4. B. P = 5. D. P = −4. C. P = 7. Câu 165. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? Z Z 1 1 A. ln |x| dx = + C. B. (x + 1)−3 dx = (x + 1)−2 + C. x 2 Z Z 1 dx 3 4 C. (x + 1) dx = (x + 1) + C. D. = ln |2x + 1| + C. 4 2x + 1 Câu 166. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = sin 3x. A. Z f (x) dx = 3 cos 3x + C. Z 1 C. f (x) dx = − cos 3x + C. 3 B. D. Z Z f (x) dx = −3 cos 3x + C. 1 f (x) dx = cos 3x + C. 3 Câu 167. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = ex + 2x thỏa mãn F (0) = 3 . Tìm 2 F (x). 1 A. F (x) = ex + x2 + . 2 3 x 2 C. F (x) = e + x + . 2 5 B. F (x) = ex + x2 + . 2 1 x 2 D. F (x) = 2e + x − . 2 Câu 168. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = ex (1 + e−x ). A. C. Z f (x) dx = ex + 1 + C. B. Z f (x) dx = −ex + x + C. D. Câu 169. Cho biết F (x) = Z f (x) dx = ex + x + C. Z f (x) dx = ex + C. 1 3 1 (x2 + a)2 x + 2x − là một nguyên hàm của f (x) = . Tìm nguyên 3 x x2 hàm của g(x) = x cos ax. A. x sin x − cos x + C. C. x sin x + cos x + C. 1 x sin 2x − 2 1 D. x sin 2x + 2 B. 1 cos 2x + C. 4 1 cos 2x + C. 4 Câu 170. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = cos 2x là 1 cos 2x dx = − sin 2x + C. 2 Z Z 1 C. cos 2x dx = sin 2x + C. D. cos 2x dx = sin 2x + C. 2 1 Câu 171. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 4×3 + 2x + √ . 2 x Z Z 4 √ √ x x4 + x2 + x + C. B. f (x)dx = + 2x + x + C. A. f (x)dx = 4 4 Z Z √ 1 4 2 C. f (x)dx = x + x + x + C. D. f (x)dx = 12×2 + 2 − √ + C. 4x x A. Z cos 2x dx = 2 sin 2x + C. B. Z Câu 172. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = 1 + 2x + 3×2 thỏa mãn F (1) = 2. Tính F (0) + F (−1). A. −3. Z B. −4. Å√ ã 4 3 x2 + dx x Câu 173. Tìm 3√ 3 A. x5 + 4 ln |x| + C. 5 3√ 3 C. − x5 + 4 ln |x| + C. 5 C. 3. D. 4. 3√ 3 x5 − 4 ln |x| + C. 5 5√ 3 D. x5 + 4 ln |x| + C. 3 B. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 150 151 | Page 1. NGUYÊN HÀM 1 Câu 174. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 2 là x 1 1 3 B. x + C. C. − 2 . A. − + C. x 3x D. 1 + C. x Câu 175. Nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = 5×4 − 3×2 trên tập số thực thỏa mãn F (1) = 3 là A. x5 − x3 + 2x + 1. B. x5 − x3 + 3. C. x5 − x3 + 5. D. x5 − x3 . BẢNG ĐÁP ÁN 1. A 2. A 3. D 4. D 5. B 6. A 7. A 8. A 9. A 10. C 11. B 12. D 13. C 14. C 15. B 16. A 17. D 18. D 19. D 20. D 21. C 22. A 23. D 24. B 25. C 26. D 27. B 28. B 29. D 30. B 31. A 33. C 35. B 36. A 37. D 38. A 39. A 40. C 41. B 42. C 43. C 44. B 45. A 46. C 47. A 48. C 49. A 50. B 51. A 52. B 53. A 54. A 55. B 56. B 57. B 58. D 59. C 60. D 61. B 62. B 63. A 64. A 65. C 66. C 67. D 68. D 69. C 70. D 71. A 72. A 73. B 74. A 75. D 76. B 77. B 78. B 79. A 80. B 81. A 82. D 83. A 84. D 85. B 86. B 87. D 88. C 89. A 90. B 91. D 92. C 93. D 94. C 95. D 96. B 97. C 98. B 99. C 100. C 101. B 102. D 103. B 104. B 105. D 106. B 107. C 108. A 109. C 110. B 111. D 112. C 113. C 114. B 115. D 116. D 117. B 118. C 119. C 120. A 121. B 122. B 123. B 124. D 125. B 126. A 127. B 128. B 129. A 130. B 131. A 132. D 133. B 134. C 135. A 136. D 137. B 138. A 139. B 140. D 141. D 142. A 143. C 144. C 145. A 146. D 147. D 148. C 149. A 150. B 151. D 152. D 153. D 154. D 155. A 156. D 157. A 158. D 159. B 160. C 161. B 162. B 163. B 164. A 165. C 166. C 167. A 168. B 169. C 170. D 171. C 172. A 173. A 174. A 175. B 3. Mức độ vận dụng thấp Câu 1. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = A. F (x) = x + ln | sin x + cos x| + C. C. H(x) = ln | sin x − cos x| + C. 2 sin x . sin x − cos x B. G(x) = x + 1 + C. | sin x − cos x| D. T (x) = x + ln | sin x − cos x| + C. Câu 2. Gọi F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = 2x , thỏa mãn F (0) = 1 . Tính giá trị ln 2 của biểu thức T = F (0) + F (1) + F (2) + · · · + F (2017) + F (2018) + F (2019). 22019 + 1 . B. T = 22019·2020 . A. T = 1009 · ln 2 22019 − 1 22020 − 1 C. T = . D. T = . ln 2 ln 2 ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 151 152 | Page 1. NGUYÊN HÀM √ 3 Câu 3. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = e x và F (0) = 2. Hãy tính F (−1). 15 10 15 10 A. 6 − . B. 4 − . C. − 4. D. . e e e e Câu 4. Biết rằng xex là một nguyên hàm của f (1 − x) trên khoảng (−∞; +∞). Gọi F (x) là một nguyên hàm của f 0 (x)ex thỏa mãn F (3) = 1, giá trị của F (1) bằng A. 2e − 1. B. 2e + 1. C. e + 1. D. 4e + 1. Câu 5. Biết rằng ex là một nguyên hàm của f (2x) trên khoảng (−∞; +∞). Gọi F (x) là một nguyên hàm của [f 0 (x)]2 thỏa mãn F (0) = 1, giá trị của F (1) bằng e+1 A. 1. B. 4e − 3. C. . 4 D. e+3 . 4 Câu 6. Cho F (x) = x2 là một nguyên hàm của hàm số f (x)e2x . Tìm nguyên hàm của hàm số f 0 (x)e2x . A. C. Z Z f 0 (x)e2x dx = −x2 + 2x + C. B. f 0 (x)e2x dx = x2 − 2x + C. D. Z f 0 (x)e2x dx = −x2 + x + C. Z f 0 (x)e2x dx = −2×2 + 2x + C. Câu 7. Cho F (x) = (x − 1)ex là một nguyên hàm của hàm số f (x)e2x . Tìm nguyên hàm của hàm số f 0 (x)e2x . A. C. Z f 0 (x)e2x dx = (4 − 2x)ex + C. Z f 0 (x)e2x dx = (2 − x)ex + C. Câu 8. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = 1 + C. (1 + 8x )2 Z ln(1 + 8x ) C. f (x) dx = x + + C. ln 8 Z 2 x −x+3 Câu 9. Tính nguyên hàm dx. x+1 A. Z f (x) dx = 2−x x e + C. 2 Z D. f 0 (x)e2x dx = (x − 2)ex + C. B. Z f 0 (x)e2x dx = 1 . 1 + 8x Z 8x ln 8 B. f (x) dx = + C. 1 + 8x Z ln(1 + 8x ) D. f (x) dx = x − + C. ln 8 x2 − 2x − 5 ln |x − 1| + C. 2 A. 2x + 5 ln |x + 1| + C. B. x2 C. − 2x + 5 ln |x + 1| + C. 2 D. x + 5 ln |x + 1| + C. Câu 10. Gọi F (x) là họ các nguyên hàm của hàm số f (x) = 8 sin 3x cos x. Biết rằng F (x) có dạng F (x) = a cos 4x + b cos 2x + C. Khi đó, a − b bằng B. −1. A. 3. C. 1. D. 2. Câu 11. Giả sử hàm số f (x) liên tục, dương trên R; thỏa mãn f (0) = 1 và √  x f 0 (x) = 2 f (x). Khi đó hiệu T = f 2 2 − 2f (1) thuộc khoảng nào? x +1 A. (2; 3). B. (7; 9). C. (0; 1). D. (9; 12). Câu 12. Cho Z3 2 5x + 12 dx = a ln 2 + b ln 5 + c ln 6 với a, b, c là các số hữu tỷ. Giá trị 3a + 2b + c + 5x + 6 x2 bằng A. 3. B. −14. C. −2. D. −11. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 152 153 | Page 1. NGUYÊN HÀM  π π x Câu 13. Cho f (x) = trên − ; và F (x) là một nguyên hàm của x · f 0 (x) thỏa mãn 2x cos 2 2 π  ? F (0) = 0. Tính F 3 √ √ √ √ 4π 2 π 3 4π 2 π 3 π2 π 3 π2 π 3 − + ln 2. B. − − ln 2. C. − + ln 2. D. − − ln 2. A. 36 3 9 3 9 3 36 3 1 Câu 14. Tìm tất cả các họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 9 . x + 3×5 Z Z x4 1 x4 1 1 1 + C. B. f (x) dx = − + C. ln 4 ln A. f (x) dx = − 4 + − 3x 36 x +3 12×4 36 x4 + 3 Z Z 1 x4 1 x4 1 1 C. f (x) dx = − 4 − + C. D. f (x) dx = − + C. ln 4 ln + 3x 36 x +3 12×4 36 x4 + 3 Å ã 1 1 Câu 15. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = thỏa mãn F = 2 và F (e) = x ln x e Å ã 1 ln 2. Giá trị của biểu thức F + F (e2 ) bằng e2 A. 3 ln 2 + 2. B. ln 2 + 2. C. ln 2 + 1. D. 2 ln 2 + 1. 1 (x2 + a)2 1 . Tìm nguyên hàm Câu 16. Cho biết F (x) = x3 + 2x − là một nguyên hàm của f (x) = 3 x x2 của hàm số g(x) = x cos ax. 1 1 A. x sin x − cos x + C. B. x sin 2x − cos 2x + C. 2 4 1 1 C. x sin x + cos x + C. D. x sin 2x + cos 2x + C. 2 4 x 2 +a 1 Câu 17. Biết F (x) = log2 x + b (a, b ∈ Z) là nguyên hàm của hàm số f (x) = x 2 −2 2 + 6 · 2−x − 5 thỏa mãn F (2) = 2018. Tính P = a + b. A. P = 2017. B. P = 2019. C. P = 2016. D. P = 2022. ã Å √ 4×2 1 2 ; +∞ . Câu 18. Cho F (x) = (ax + bx + c) 2x − 1 là một nguyên hàm của hàm số √ trên 2 2x − 1 Tính S = a + b + c. 9 28 A. S = 2. B. S = . C. S = . D. S = 1. 5 15 Z x2 + 1 Câu 19. Biết dx = ln |(x − 1)m (x − 2)n (x − 3)p | + C. Tính 4(m + n + p). x3 − 6×2 + 11x − 6 A. 5. B. 0. C. 2. D. 4. Câu 20. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = 1 thoả mãn F (5) = 2 và F (0) = 1. x−1 Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. F (−1) = 2 − ln 2. B. F (2) = 2 − 2 ln 2. C. F (3) = 1 + ln 2. D. F (−3) = 2. 1 Câu 21. Cho hàm số f (x) xác định trên R \ {0; 2} và thỏa mãn f 0 (x) = 2 . Biết rằng f (−2) + x − 2x Å ã Å ã 1 3 f (4) = 0 và f +f = 2018. Tính T = f (−1) + f (1) + f (5). 2 2 1 1 9 1 9 1 9 A. T = ln 5 + 1009. B. T = ln + 1009. C. T = ln + 2018. D. T = ln . 2 2 5 2 5 2 5   √ √ Z f x+1 2 x+1+3 √ Câu 22. Cho hàm số f (x) liên tục trên R và thỏa mãn dx = + C. x+5 x+1 Nguyên hàm của hàm số f (2x) trên tập R+ là ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 153 154 | A. Page 1. NGUYÊN HÀM x+3 + C. 2 (x2 + 4) B. x+3 + C. x2 + 4 C. Câu 23. Giả sử F (x) là một nguyên hàm của f (x) = của F (−1) + F (2) bằng 7 A. ln 2. 3 2x + 3 + C. 4 (x2 + 1) D. 2x + 3 + C. 8 (x2 + 1) ln(x + 3) sao cho F (−2) + F (1) = 0. Giá trị x2 2 3 10 5 ln 2 + ln 5. C. ln 2 − ln 5. D. 0. 3 6 3 6 Z a a Câu 24. Biết (sin 2x − cos 2x)2 dx = x + cos 4x + C, với a, b là các số nguyên dương, là phân b b số tối giản và C ∈ R. Giá trị của a + b bằng A. 5. Câu 25. Tính I = B. B. 4. 2018 Z 0 C. 2. D. 3. ln (1 + 2x ) dx. (1 + 2−x ) log4 e A. I = ln2 (1 + 22018 ) − ln2 2. B. I = ln2 (1 + 22018 ) − ln 4. C. I = ln (1 + 22018 ) − ln 2. D. I = ln2 (1 + 2−2018 ) − ln2 2. Câu 26. Gọi F (x) là nguyên hàm của hàm số y = 4 cos4 x − 3 cos2 x. F (x) là nguyên hàm của hàm số nào dưới đây? cos 4x cos 2x A. F (x) = + + C. 8 4 C. F (x) = − sin x cos3 x + C. B. F (x) = sin3 x cos x + C. sin 4x sin 2x D. F (x) = + + C. 8 4 √ 3 Câu 27. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = e x và F (0) = 2. Hãy tính F (−1). 10 15 10 15 B. 4 − . C. − 4. D. . A. 6 − . e e e e 1 Câu 28. Cho hàm số f (x) xác định trên R\{−1; 1} thỏa mãn f 0 (x) = 2 . Biết f (3)+f (−3) = 4 x −1 Å ã Å ã 1 1 +f − = 2. Tính giá trị của biểu thức T = f (−5) + f (0) + f (2). và f 3 3 1 1 1 1 A. T = 5 − ln 2. B. T = 6 − ln 2. C. T = 5 + ln 2. D. T = 6 + ln 2. 2 2 2 2 2 x +x+1 Câu 29. Cho F (x) là nguyên hàm của hàm số f (x) = và F (0) = 2018. Tính F (−2). x+1 A. F (−2) không xác định. B. F (−2) = 2. C. F (−2) = 2018. D. F (−2) = 2020. Câu 30. Biết F (x) = (ax2 + bx + c)ex là một nguyên hàm của hàm số f (x) = (x2 + 5x + 5)ex . Giá trị của 2a + 3b + c là A. 10. B. 6. C. 8. D. 13. Câu 31. Gọi F (x) là nguyên hàm của hàm số f (x) = 4x − 1 thỏa mãn F (0) = −1. Đồ thị của hai hàm số y = f (x) và y = F (x) có bao nhiêu điểm chung? A. Không có. B. 1. Z Câu 32. Đặt A = cos2 x dx, B = 1 A. A − B = − · sin 2x + C. 2 C. 2. Z D. Vô số. sin2 x dx. Xác định A − B. B. A − B = − cos 2x + C. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 154 155 | Page 1. NGUYÊN HÀM C. A − B = −2 cos 2x + C. D. A − B = 1 · sin 2x + C. 2 Câu 33. Cho F (x) = x2 là một nguyên hàm của hàm số f (x)e2x . Tìm nguyên hàm của hàm số f 0 (x)e2x . A. C. Z Z f 0 (x)e2x dx = 2×2 − 2x + C. B. f 0 (x)e2x dx = −2×2 + 2x + C. D. Z f 0 (x)e2x dx = −x2 + 2x + C. Z f 0 (x)e2x dx = −x2 + x + C. Câu 34. Xét hàm số f (x) xác định trên R \ {−2; 2} và thỏa mãn f 0 (x) = x2 4 , f (−3) + f (3) = −4 f (−1) + f (1) = 2. Giá trị của biểu thức f (−4) + f (0) + f (4) bằng A. 4. B. 1. C. 2. Câu 35. Biết F (x) là nguyên hàm của hàm số f (x) = Giá trị của m bằng 4 A. . π 4 B. − . π D. 3. π  1 + m thoả mãn F (0) = 0 và F = 2. cos2 x 4 π C. − . 4 D. π . 4 √ 2×2 − 3x + 2 √ Câu 36. Biết F (x) = (ax2 + bx + c) x (a, b, c ∈ R) là nguyên hàm của hàm số f (x) = x trên khoảng (0; +∞). Tính tổng S = 5a + 4b + 3c. A. S = 14. B. S = 12. C. S = 7. D. S = 8. a c Câu 37. Một nguyên hàm của hàm số f (x) = sin2 x · cos3 x có dạng là F (x) = − sin5 x + sin3 x, b d a c với và là phân số tối giản và a, b, c, d là các số nguyên dương. Tính T = a + b + c + d. b d A. Đáp án khác. B. T = 11. C. T = 10. D. T = 9. Câu 38. Xét hàm số f (x) = x2 + ax + ln |bx + 1| + c với a, b, c ∈ R. Biết f 0 (x) = f (0) = 1. Tính giá trị S = c(2a − b)2 . 2 A. . B. 1. 3 C. 4. 4×2 + 4x + 3 và 2x + 1 D. 0. Câu 39. Tìm F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = 3×2 + ex − 1, biết F (0) = 2. 1 A. F (x) = 6x + ex − x − 1. B. F (x) = x3 + x − x + 1. e C. F (x) = x3 + ex − x + 1. D. F (x) = x3 + ex − x − 1. Câu 40. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = x+2 + C. x−1 Z x−1 C. f (x) dx = ln + C. x+2 A. Z f (x) dx = ln x2 1 là + x − 2Z 1 ln 3 Z 1 D. f (x) dx = ln 3 B. f (x) dx = x+2 + C. x−1 x−1 + C. x+2 1 Câu 41. Cho hàm số f (x) 6= 0 thỏa mãn điều kiện f 0 (x) = (2x + 3)f 2 (x) và f (0) = − . Biết rằng 2 a a tổng f (1) + f (2) + f (3) + · · · + f (2017) + f (2018) = với (a ∈ Z, b ∈ N∗ ) và là phân số tối giản. b b Mệnh đề nào sau đây đúng? a a A. < −1. B. > 1. C. a + b = 1010. D. b − a = 3029. b b ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 155 156 | Page 1. NGUYÊN HÀM √ π  1 − sin3 x 2 Câu 42. Biết F (x) là một nguyên hàm của f (x) = và F = . Có bao nhiêu số 2 sin x 4 2 thực x ∈ (0; 2018π) để F (x) = 1. A. 2018. Câu 43. Biết 1 A. ab = . 8 B. 1009. Z C. 2017. D. 2016. x cos 2x dx = ax sin 2x + b cos 2x + C với a, b là các số hữu tỉ. Tính tích ab. 1 1 1 B. ab = . C. ab = − . D. ab = − . 4 8 4 Câu 44. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 2x + 1. 1 f (x) dx = (2x + 1)2 + C. 2 Z D. f (x) dx = 2(2x + 1)2 + C. Z f (x) dx = (2x + 1)2 + C. Z 1 C. f (x) dx = (2x + 1)2 + C. 4 A. B. Z Câu 45. F (x) là một nguyên hàm của hàm số y = 2 sin x cos 3x và F (0) = 0, khi đó cos 2x cos 4x 1 − − . A. F (x) = cos 4x − cos 2x. B. F (x) = 4 8 8 cos 2x cos 4x 1 cos 4x cos 2x 1 C. F (x) = − − . D. F (x) = − + . 2 4 4 4 2 4 Câu 46. Một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = 3x − 2x là 3x 3x A. F (x) = − x2 − 1. B. F (x) = − 2. ln 3 ln 3 3x x2 C. F (x) = − . D. F (x) = 3x ln 3 − x2 . ln 3 2 Câu 47. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 3×2 + sin x là A. x3 + cos x + C. B. x3 + sin x + C. C. x3 − cos x + C. D. x3 − sin x + C. Câu 48. Cho f (x), g(x) là các hàm số xác định và liên tục trên R. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. B. C. D. Z Z Z Z [2f (x) + 3g(x)] dx = 2 Z [f (x) − g(x)] dx = 2f (x) dx = 2 Z f (x)g(x) dx = Z f (x) dx + 3 f (x) dx − Z Z g(x) dx. g(x) dx. f (x) dx. Z f (x) dx · Z g(x) dx. Câu 49. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = e4x . Z Z 1 A. e4x dx = e4x + C. B. e4x dx = 4ex + C. 4 Z Z 4x C. e dx = e4x + C. D. e4x dx = 4e4x + C. Câu 50. Biết Z (x−2) sin 3x dx = − (x − a) cos 3x 1 + sin 3x+2017, trong đó a, b, c là các số nguyên b c dương. Khi đó S = ab + c bằng A. S = 15. B. S = 10. C. S = 14. D. S = 3. Câu 51. Họ các nguyên hàm của hàm số f (x) = 5×4 − 6×2 + 1 là A. 20×3 − 12x + C. C. 20×5 − 12×3 + x + C. B. x5 − 2×3 + x + C. x4 D. + 2×2 − 2x + C. 4 ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 156 157 | Page 1. NGUYÊN HÀM Câu 52. Cho số thực x > 0. Chọn đẳng thức đúng trong các khẳng định sau Z Z ln x ln x A. dx = 2 ln x + C. B. dx = 2 ln2 x + C. x x Z Z ln x ln x 1 C. dx = ln2 x + C. D. dx = ln2 x + C. x x 2 π  = 0 là Câu 53. Một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = sin x + 2 cos x biết F 2 A. F (x) = 2 sin x − cos x + 2. B. F (x) = 2 sin x − cos x − 2. C. F (x) = −2 sin x − cos x + 2. D. F (x) = sin x − 2 cos x − 2. Câu 54. Nguyên hàm của hàm số f (x) = cos(2x + 1) là A. 2 sin(2x + 1) + C. 1 C. sin(2x + 1) + C. 2 B. sin(2x + 1) + C. 1 D. − sin(2x + 1) + C. 2 Câu 55. Khẳng định nào sau đây sai? A. C. Z Z cos x dx = sin x − C. B. sin x dx = cos x + C. D. Câu 56. Xét nguyên hàm I = Z  A. I = t4 − 2t2 dt. Z  C. I = 2t4 − 4t2 dt. Z √ x x + 2 dx. Nếu đặt B. D. 1 dx = − cot x + 3C. 2 Z sin x 1 dx = tan x − 5 + C. cos2 x √ t = x + 2 thì ta được Z  I= 4t4 − 2t2 dt. Z  I= 2t4 − t2 dt. Z Câu 57. Họ các nguyên hàm của hàm số y = x sin x là A. −x cos x + C. B. −x cos x + sin x + C. x C. −x sin x + cos x + C. D. x2 sin + C. 2 1 + cos 4x là Câu 58. Nguyên hàm của hàm số f (x) = 2 x 1 x 1 x 1 x 1 A. + sin 2x + C. B. + sin 4x + C. C. + sin 4x + C. D. + sin 4x + C. 2 8 2 2 2 8 2 4 Câu 59. Mệnh đề nào dưới đây đúng? Z √ x A. e 2 dx = 2 ex + C. Z dx C. = ln x + C. x B. D. Z Z sin 2x dx = −2 cos 2x + C. 2x dx = 2x · ln 2 + C. Å ã 4 1 Câu 60. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = trên khoảng −∞; thỏa mãn 1 − 4x 4 F (0) = 10. Tính F (−1). A. F (−1) = 10 − 4 ln 5. B. F (−1) = 10 + 4 ln 5. C. F (−1) = 10 + ln 5. D. F (−1) = 10 − ln 5. Câu 61. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = e3x (1 − 3e−5x ) . Z Z 1 3 1 3 A. f (x) dx = e3x + e−2x + C. B. f (x) dx = e3x − e−2x + C. 3 2 3 2 Z Z 3x −2x 3x C. f (x) dx = e − 3e + C. D. f (x) dx = 3e + 6e−2x + C. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 157 158 | Page 1. NGUYÊN HÀM Câu 62. Xét trên khoảng (0; +∞), hàm số nào dưới đây không phải là một nguyên hàm của hàm x2 − 1 số f (x) = ? x2 x2 + 1 x2 − x + 1 . B. F2 (x) = . A. F1 (x) = x x 2 2 x + 2x + 1 x −1 C. F3 (x) = . D. F4 (x) = . x x 2 Câu 63. Hàm số F (x) = ex là nguyên hàm của hàm số nào sau đây? 2 A. f (x) = x2 ex + 3. 2 2 2 B. f (x) = 2×2 ex + C. C. f (x) = 2xex . Câu 64. Nguyên hàm của hàm số y = e−3x+1 là 1 1 B. − e−3x+1 + C. A. e−3x+1 + C. 3 3 2×4 + 3 Câu 65. Họ nguyên hàm của f (x) = là x2 2×3 2×3 − 3 ln |x| + C. B. + 3 ln x + C. A. 3 3 D. f (x) = xex . C. 3e−3x+1 + C. C. D. −3e−3x+1 + C. 2×3 3 − + C. 3 x D. 2×3 3 + + C. 3 x Câu 66. Để hàm số F (x) = mx3 + (3m + 2)x2 − 4x + 3 là một nguyên hàm của hàm số f (x) = 3×2 + 10x − 4 thì giá trị của m là A. m = −1. B. m = 2. √ 3 Câu 67. Họ nguyên hàm x x2 + 1 dx bằng 1√ 3√ A. 3 x2 + 1 + C. B. 3 x2 + 1 + C. 8 8 C. m = 0. D. m = 1. Z Z Câu 68. Tính I = C. 3p 3 (x2 + 1)4 + C. 8 D. 1p 3 (x2 + 1)4 + C. 8 8 sin 3x cos x dx = a cos 4x + b cos 2x + C. Khi đó a − b bằng B. −1. A. 3. C. 1. D. 2. 3 Câu 69. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = là 3x + 1 9 1 + C. C. + C. D. 3 ln |3x + 1| + C. A. ln |3x + 1| + C. B. 3x + 1 (3x + 1)2 1 Câu 70. Tìm họ nguyên hàm của hàm số y = . (x + 1)2 Z Z 1 2 1 −1 A. dx = + C. B. dx = + C. 2 3 2 (x + 1) (x + 1) (x + 1) x+1 Z Z 1 1 1 −2 C. dx = + C. D. dx = + C. 2 2 (x + 1) x+1 (x + 1) (x + 1)3 Câu 71. Cho hàm số f (x) liên tục trên [a; b]. Giả sử hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên [a; b] và u(x) ∈ [α; β], ∀x ∈ [a; b], hơn nữa f (u) liên tục trên đoạn [α; β]. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. C. Zb 0 f (u(x)) · u (x) dx = Zb f (u) du. B. u(b) Z a a u(a) Zb u(b) Z Zb f (u(x)) · u0 (x) dx = a f (u) du. u(a) D. 0 f (u(x)) · u (x) dx = Zb f (u) du. a f (u(x)) · u0 (x) dx = a Zb f (x) du. a Câu 72. Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = 22x . A. F (x) = 22x · ln 2. B. F (x) = 22x + C. ln 2 ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 158 159 | Page C. F (x) = 1. NGUYÊN HÀM 4x + C. ln 4 D. F (x) = 4x · ln 4 + C. Câu 73. Nguyên hàm của hàm số f (x) = A. C. Z Z f (x)dx = ln |1 − 2x| + C. f (x)dx = 2 ln |1 − 2x| + C. 1 là 1 − 2x Z B. f (x)dx = −2 ln |1 − 2x| + C. Z 1 D. f (x)dx = − ln |1 − 2x| + C. 2 Câu 74. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x) = sin(2x + 1) là Z Z 1 1 A. f (x) dx = − cos(2x + 1) + C. B. f (x) dx = cos(2x + 1) + C. 2 2 Z Z 1 C. f (x) dx = − cos(2x + 1). D. f (x) dx = cos(2x + 1). 2 Câu 75. Chọn công thức đúng trong các công thức dưới Z Z ln x dx = 2 ln x + C. B. A. Z Z x ln x 2 C. dx = ln x + C. D. x đây. ln x dx = 2 ln2 x + C. x ln x 1 dx = ln2 x + C. x 2 Câu 76. F (x) = (ax3 + bx2 + cx + d)e−x + 2018e là một nguyên hàm của hàm số f (x) = (−2×3 + 3×2 + 7x − 2)e−x . Khi đó A. a + b + c + d = 4. B. a + b + c + d = 6. C. a + b + c + d = 5. D. a + b + c + d = 7. Câu 77. Nguyên hàm của hàm số f (x) = x2018 là hàm số nào trong các hàm số dưới đây? 1 2019 x + C, (C ∈ R). A. F (x) = 2017 · x2018 + C, (C ∈ R). B. F (x) = 2019 C. F (x) = x2019 + C, (C ∈ R). D. F (x) = 2018 · x2017 + C, (C ∈ R). Câu 78. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = ex + 2x thỏa mãn F (0) = 3 . Tìm 2 F (x). 5 1 A. F (x) = ex + x2 + . B. F (x) = 2ex + x2 − . 2 2 1 3 x 2 x 2 D. F (x) = e + x + . C. F (x) = e + x + . 2 2 1 4 Câu 79. Hàm số F (x) = ln x+C là nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số dưới đây? 4 x x ln3 x ln3 x 1 . C. f (x) = . D. f (x) = A. f (x) = . B. f (x) = . x 3 x ln3 x ln3 x Câu 80. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = ex + cos x + 2018 là A. F (x) = ex + sin x + 2018x + C. B. F (x) = ex − sin x + 2018x + C. C. F (x) = ex + sin x + 2018x. D. F (x) = ex + sin x + 2018 + C. √ Câu 81. Tìm hàm số F (x) biết F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = x và F (1) = 1. 2 √ 2 √ 1 A. F (x) = x x. B. F (x) = x x + . 3 3 3 1 1 2 √ 5 C. F (x) = √ + . D. F (x) = x x − . 2 x 2 3 3 √ Câu 82. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = 3 x + x. Z Z   √ √ √ x2 3 √ x2 A. 3 x + x dx = x x + + C. B. 3 x + x dx = x x + + C. 2 2 2 Z Z 2 2   √ √ √ x 2 √ x C. 3 x + x dx = 2x x + + C. D. 3 x + x dx = x x + + C. 2 3 2 ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 159 160 | Page 1. NGUYÊN HÀM Câu 83. Cho bốn mệnh đề sau Z cos3 x I) cos2 x dx = + C. 3 Z 2x + 1 II) dx = ln(x2 + x + 2018) + C. 2 x + x + 2018 Z  6x III) 3x 2x + 3−x dx = + x + C. ln 6 Z IV) 3x dx = 3x · ln 3 + C. Trong các mệnh đề trên có bao nhiêu mệnh đề sai? A. 3. B. 1. C. 2. D. 4. Câu 84. Tìm họ nguyên hàm F (x) của hàm số: f (x) = x2 − 3x. 3 A. F (x) = x3 − x2 + C. B. F (x) = x3 − 3×2 + C. 2 x3 3 2 − x + C. D. F (x) = 2x − 3 + C. C. F (x) = 3 2 Câu 85. Khẳng định nào sau đây là sai? A. Nếu Z f (x) dx = F (x) + C thì Z f (u) du = F (u) + C. B. Nếu F (x) và G(x) đều là nguyên hàm của hàm số f (x) thì F (x) = G(x). C. D. Z Z [f1 (x) + f2 (x)] dx = kf (x) dx = k Z Z f1 (x) dx + Z f2 (x) dx. f (x) dx (k là hằng số và k 6= 0). Câu 86. Cho hàm số f (x) = x3 − x2 + 2x − 1. Gọi F (x) là một nguyên hàm của f (x). Biết rằng F (1) = 4. Tìm F (x). x4 x3 A. F (x) = − + x2 − x. 4 3 x4 x3 − + x2 − x + 2. C. F (x) = 4 3 x4 x3 − + x2 − x + 1. 4 3 x4 x3 49 D. F (x) = − + x2 − x + . 4 3 12 b Câu 87. Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = ax + 2 (x 6= 0) biết rằng F (−1) = 1; x F (1) = 4; f (1) = 0. 3×2 3 7 3×2 3 7 A. F (x) = + + . B. F (x) = − − . 4 2x 4 4 2x 4 3×2 3 7 3×2 3 1 C. F (x) = + − . D. F (x) = − − . 2 4x 4 2 2x 2 Å ã d 1 1 2 x Câu 88. Một nguyên hàm của f (x) = (2x − 1)e là F (x) = ax + bx + c + e x . Tính tổng x a + b + c + d. A. 1. B. 3. B. F (x) = C. 0. D. 2. Z 1 Câu 89. Nếu f (x) dx = + ln |5x| + C với x ∈ (0; +∞) thì hàm số f (x) là x √ 1 1 1 A. f (x) = x + . B. f (x) = − 2 + . 5x x 5x 1 1 1 C. f (x) = − 2 + . D. f (x) = 2 + ln(5x). x x x Câu 90. Tìm m để hàm số F (x) = mx3 + (3m + 2)x2 − 4x + 3 là một nguyên hàm của hàm số f (x) = 3×2 + 10x − 4. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 160 161 | Page 1. NGUYÊN HÀM A. m = 3. Câu 91. Tính 1 ln 3 1 C. ln 3 A. B. m = 1. Z 2×2 C. m = 2. D. m = 0. 1 dx. + 5x + 2 x+2 + C. 2x + 1 2x + 1 + C. x+2 B. ln x+2 + C. 2x + 1 D. ln |2×2 + 5x + 2| + C. Câu 92. Nguyên hàm của hàm số f (x) = sin(2x + 1) là B. − cos(2x + 1) + C. 1 D. − cos(2x + 1) + C. 2 A. cos(2x + 1) + C. 1 C. cos(2x + 1) + C. 2 Câu 93. Phát biểu nào sau đây đúng? Z cos 2x dx = −2 sin 2x + C. Z 1 C. cos 2x dx = − sin 2x + C. 2 A. B. D. Z Z cos 2x dx = 2 sin 2x + C. 1 cos 2x dx = sin 2x + C. 2 Câu 94. Phát biểu nào sau đây đúng? A. C. Z ex sin x dx = ex cos x − Z ex cos x dx. B. Z ex sin x dx = ex cos x + Z ex cos x dx. D. Câu 95. Khi tính nguyên hàm Z Z ex sin x dx = −ex cos x + Z ex cos x dx. Z ex sin x dx = −ex cos x − Z ex cos x dx. √ x−3 √ dx, bằng cách đặt u = x + 1 ta được nguyên hàm nào x+1 dưới đây? A. Z 2 2(u − 4)u du. B. Z 2 (u − 4) du. C. Z 2 2(u − 4) du. D. Z (u2 − 3) du. Câu 96. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = tan 2x. Z Z  2 A. tan 2x dx = 2 1 + tan 2x + C. B. tan 2x dx = − ln |cos 2x| + C. Z Z  1 1 2 C. tan 2x dx = 1 + tan 2x + C. D. tan 2x dx = − ln |cos 2x| + C. 2 2 Câu 97. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 52x . Z Z 52x 25x A. 52x dx = 2 · + C. B. 52x dx = + C. ln 5 2 ln 5 Z Z 25x+1 C. 52x dx = 2 · 52x + C. D. 52x dx = 2 · + C. x+1 Câu 98. Tìm nguyên hàm của hàm số F (x) = Z (4x + 1) ln x dx. A. F (x) = (2×2 + x) ln x + x2 + x + C. B. F (x) = (3×2 + 2x) ln x + C. C. F (x) = (2×2 + x) ln x − x2 − x + C. D. F (x) = x2 ln x + C. Câu 99. Một nguyên hàm của hàm số f (x) = 2 cos 2x là A. F (x) = −4 sin 2x. Câu 100. Nguyên hàm B. F (x) = 4 sin 2x. Z C. F (x) = − sin 2x. D. F (x) = sin 2x. a a ex (ex − 1)3 dx = (ex − 1)m + C (với a, b ∈ Z, là phân số tối giản). Tìm b b H = a2 + b − m. A. H = −4. B. H = −1. C. H = 4. D. H = 1. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 161 162 | Page 1. NGUYÊN HÀM Câu 101. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = 3×2 + 8 sin x và thỏa mãn F (0) = 2010. Tìm F (x). A. F (x) = 6x − 8 cos x + 2018. B. F (x) = 6x + 8 cos x. C. F (x) = x3 − 8 cos x + 2018. D. F (x) = x3 − 8 cos x + 2019. √ Câu 102. Một nguyên hàm của hàm số f (x) = x 1 + x2 là 3 1 √ 1 + x2 . A. F (x) = B. F (x) = 3 2 √ 2 x C. F (x) = 1 + x2 . D. F (x) = 2 2 1 √ 1 + x2 . 3 2 1 √ 1 + x2 . 2 Câu 103. Tính nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = e2x , biết F (0) = 1. A. F (x) = e2x . B. F (x) = e2x − 1. C. F (x) = ex . D. F (x) = e2x 1 + . 2 2 Câu 104. Nguyên hàm của hàm số f (x) = x sin x là A. F (x) = −x cos x − sin x + C. B. F (x) = x cos x − sin x + C. C. F (x) = −x cos x + sin x + C. D. F (x) = x cos x + sin x + C. Câu 105. Hàm số F (x) = cos 3x là nguyên hàm của hàm số sin 3x A. f (x) = . B. f (x) = −3 sin 3x. C. f (x) = 3 sin 3x. D. f (x) = sin 3x. 3 Z √ √ Câu 106. Cho nguyên hàm I = x 1 + 2×2 dx, khi thực hiện đổi biến u = 1 + 2×2 thì ta được nguyên hàm theo biến mới u là Z 1Z 2 A. I = u du. B. I = u2 du. 2 C. I = 2 Z u du. D. I = Z u du. Câu 107. Tìm m để hàm số F (x) = mx3 + (3m + 2)x2 − 4x + 3 là một nguyên hàm của hàm số f (x) = 3×2 + 10x − 4. A. m = 3. B. m = 0. C. m = 1. D. m = 2. Z Câu 108. Tính F (x) = x sin 2xdx. Chọn kết quả đúng? 1 1 B. F (x) = − (2x cos 2x + sin 2x) + C. A. F (x) = (2x cos 2x + sin 2x) + C. 4 4 1 1 C. F (x) = − (2x cos 2x − sin 2x) + C. D. F (x) = (2x cos 2x − sin 2x) + C. 4 4 1 Câu 109. Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = và F (2) = 1. Tính F (3). x−1 1 7 A. F (3) = ln 2 − 1. B. F (3) = ln 2 + 1. C. F (3) = . D. F (3) = . 2 4 4m Câu 110. Cho hàm số f (x) = +sin2 x. Tìm m để nguyên hàm F (x) của f (x) thỏa mãn F (0) = 1 π π  π và F = . 4 8 3 4 3 4 A. m = − . B. m = − . C. m = . D. m = . 3 4 3 4 Câu 111. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = 2 sin 2x. A. C. Z Z 2 2 sin 2x dx = sin x + C. 2 sin 2x dx = cos 2x + C. B. D. Z Z 2 sin 2x dx = − cos 2x + C. 2 sin 2x dx = −2 cos 2x + C. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 162 163 | Page 1. NGUYÊN HÀM Câu 112. Họ nguyên hàm A. x2 5 − 2x − + C. 2 x x3 − 2×2 + 5 dx bằng x2 5 5 B. −2x + + C. C. x2 − 2x − + C. x x Z D. x2 − x − 5 + C. x Câu 113. Họ nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = x2 − 1 là x3 x3 + C. B. F (x) = + x + C. A. F (x) = 3 3 x3 C. F (x) = − x + C. D. F (x) = 2x + C. 3 Câu 114. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R và có đạo hàm là hàm số f 0 (x). Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. C. Z Z f (x) dx = −f 0 (x) + C. f 0 (x) dx = f (x) + C. B. D. Z f 0 (x) dx = −f (x) + C. Z f (x) dx = f 0 (x) + C. Câu 115. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = 1 và F (3) = 1. Tính giá trị của x−1 F (2). A. F (2) = −1 − ln 2. B. F (2) = 1 − ln 2. C. F (2) = −1 + ln 2. D. F (2) = 1 + ln 2.  π  14 Câu 116. Cho hàm số F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = cos 3x và F = thì 2 3 1 13 1 A. F (x) = sin 3x + . B. F (x) = − sin 3x + 5. 3 3 3 1 13 1 D. F (x) = − sin 3x + . C. F (x) = sin 3x + 5. 3 3 3 Z 1 Câu 117. Nếu f 0 (x)dx = + ln |2x| + C với x ∈ (0; +∞) thì hàm số f (x) là x √ 1 1 1 A. f (x) = − 2 + . B. f (x) = x + . x x 2x 1 1 1 C. f (x) = 2 + ln (2x). D. f (x) = − 2 + . x x 2x Câu 118. Tính F (x) = Z x cos x dx ta được kết quả A. F (x) = x sin x − cos x + C. B. F (x) = −x sin x − cos x + C. C. F (x) = x sin x + cos x + C. D. F (x) = −x sin x + cos x + C. Câu 119. Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = sin x và đồ thị hàm số y = F (x) đi qua π  . điểm M (0; 1). Tính F 2 π  π  π  π  A. F = 0. B. F = 1. C. F = 2. D. F = −1. 2 2 2 2 Câu 120. Trong các khẳng định sau, hãy chọn khẳng định đúng. Z Z 32x 2x A. 3 dx = + C. B. 32x dx = ln 3 Z Z 32x 2x C. 3 dx = + C. D. 32x dx = ln 9 9x + C. ln 3 2x+1 3 + C. 2x + 1 Câu 121. Nguyên hàm của hàm số f (x) = 2×3 − 9 là 1 1 A. x4 − 9x + C. B. 4×4 − 9x + C. C. x4 − 9x + C. 2 4 1 Câu 122. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = √ . 2 2x + 1 D. 4×3 − 9x + C. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 163 164 | A. Z Page f (x) dx = 1. NGUYÊN HÀM √ 2x + 1 + C. Z 1 √ + C. C. f (x) dx = (2x + 1) 2x + 1 √ f (x) dx = 2 2x + 1 + C. Z 1√ D. f (x) dx = 2x + 1 + C. 2 B. Z Câu 123. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = e2018x . A. C. Z Z f (x) dx = e 2018x + C. f (x) dx = 2018e2018x + C. 1 · e2018x + C. 2018 Z D. f (x) dx = e2018x · ln 2018 + C. B. Z f (x) dx = 2 Câu 124. Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = 6x + sin 3x, biết F (0) = . 3 cos 3x cos 3x 2 2 2 + . B. F (x) = 3x − − 1. A. F (x) = 3x − 3 3 3 cos 3x cos 3x C. F (x) = 3×2 + + 1. D. F (x) = 3×2 − + 1. 3 3 Câu 125. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = x3 · ex A. C. Z Z 4 +1 f (x) dx = ex + C. B. 4 f (x) dx = x x4 +1 e + C. 4 D. 4 +1 . Z f (x) dx = 4ex Z 1 4 f (x) dx = ex +1 + C. 4 Z 2x dx = x2 + C. 4 +1 + C. Câu 126. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? Z ex dx = ex + C. Z 1 dx = ln |x| + C. C. x A. B. D. Z sin x dx = cos x + C. Câu 127. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 2x + sin 2x. 1 1 A. x2 − cos 2x + C. B. x2 + cos 2x + C. C. x2 − 2 cos 2x + C. 2 2 D. x2 + 2 cos 2x + C. Câu 128. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = x cos 2x. x sin 2x cos 2x cos 2x A. − + C. B. x sin 2x − + C. 2 4 2 x sin 2x cos 2x cos 2x + C. D. + + C. C. x sin 2x + 2 2 4 2x Câu 129. Nguyên Å hàm của ã hàm số f (x) = x.e là: Å ã 1 2x 1 1 2x A. F (x) = e x− + C. B. F (x) = 2e x− + C. 2 2 2 1 C. F (x) = 2e2x (x − 2) + C. D. F (x) = e2x (x − 2) + C. 2 √ Câu 130. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = x ln x. Z Z 1 3 2 3 A. f (x) dx = x 2 (3 ln x − 2) + C. B. f (x) dx = x 2 (3 ln x − 2) + C. 9 3 Z Z 2 3 2 3 C. f (x) dx = x 2 (3 ln x − 1) + C. D. f (x) dx = x 2 (3 ln x − 2) + C. 9 9 2 Câu 131. Trong các hàm số sau: (I) f (x) = tan2 x + 2, (II) f (x) = , (III) f (x) = tan2 x + 1. cos2 x Hàm số nào có nguyên hàm là hàm số g(x) = tan x? A. Chỉ (II). B. Chỉ (III). C. Chỉ (II), (III). Câu 132. Cho F (x) là một nguyên hàm của f (x) = D. (I), (II), (III). 2 . Biết F (−1) = 2. Tính F (1) kết quả x+2 là A. ln 8 + 1. B. 4 ln 2 + 1. C. 2 ln 3 + 2. D. 2 ln 4. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 164 165 | Page 1. NGUYÊN HÀM Câu 133. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = (3x + 1)2019 là (3x + 1)2018 (3x + 1)2018 (3x + 1)2020 A. + C. B. + C. C. + C. 6054 2018 6060 D. (3x + 1)2020 + C. 2020 BẢNG ĐÁP ÁN 1. D 2. D 3. C 4. B 5. D 6. D 7. C 8. D 9. C 10. C 11. C 12. D 13. C 14. B 15. A 16. C 17. C 18. C 19. D 20. B 21. B 22. C 23. C 24. A 25. A 26. D 27. C 28. A 29. D 30. D 31. C 32. D 33. C 34. D 35. A 36. D 37. C 38. D 39. C 40. D 41. D 42. A 43. A 44. C 45. C 46. A 47. C 48. D 49. A 50. A 51. B 52. D 53. B 54. C 55. C 56. C 57. B 58. C 59. A 60. D 61. A 62. D 63. C 64. B 65. C 66. D 67. C 68. C 69. A 70. B 71. C 72. C 73. D 74. A 75. D 76. C 77. B 78. D 79. A 80. A 81. B 82. C 83. C 84. C 85. B 86. D 87. A 88. A 89. C 90. B 91. C 92. D 93. D 94. B 95. C 96. D 97. B 98. C 99. D 100. D 101. C 102. A 103. D 104. C 105. B 106. A 107. C 108. C 109. B 110. B 111. B 112. A 113. C 114. C 115. B 116. C 117. A 118. C 119. C 120. C 121. A 122. D 123. B 124. D 125. D 126. D 127. A 128. D 129. D 130. D 131. B 132. C 133. C 4. Mức độ vận dụng cao Câu 1. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên [1; 2] thỏa mãn f (1) = 4 và f (x) = xf 0 (x) − 2×3 − 3×2 . Tính f (2). A. 5. B. 20. C. 10. D. 15. π  Câu 2. Cho hàm số f (x) xác định trên R\ {kπ, k ∈ Z} thỏa mãn f 0 (x) = cot x, f = 2 và 4 Å Å ã ã   5π π 7π f − = 1. Giá trị của biểu thức f −f − bằng 3 6 √ 4 √ √ √ 3 1 3 3 1 2 . B. 3 + ln − ln . C. 1 − ln . D. ln − ln . A. 1 + ln 2 2 2 2 2 2 Câu 3. Cho hàm số y = f (x) xác định trên R , thỏa mãn f (x) > 0, ∀x ∈ R và f 0 (x) + 2f (x) = 0. Tính f (0) , biết rằng f (3) = 1. A. e6 . B. e3 . C. 1. D. e4 . Câu 4. Cho nguyên hàm Z √ √ dx √ √ = m(x + 2018) x + 2018 + n(x + 2017) x + 2017 + C. Khi đó 4m − n x + 2018 + x + 2017 bằng 4 8 2 10 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 165 166 | Page 1. NGUYÊN HÀM ß ™ 1 2 Câu 5. Cho hàm số f (x) xác định trên R\ thỏa mãn f 0 (x) = và f (0) = 1. Giá trị của 2 2x − 1 biểu thức f (−1) + f (3) bằng A. 4 + ln 15. B. 3 + ln 15. C. 2 + ln 15. D. ln 15. Câu 6. Hàm số nào sau đây là nguyên hàm của hàm số f (x) = |2x − 4| trên khoảng (−∞; +∞), ở đó C, C 0 là các hằng số tùy ý? A. F (x) = |x2 − 4x| + C. B. F (x) =  x2 − 4x + 2C khi x ≥ 2 .  − x2 + 4x + 2C − 8 khi x < 2  x2 − 4x + C khi x ≥ 2 . D. F (x) =  − x2 + 4x + C 0 khi x < 2 C. F (x) = |x2 − 4x + C|. Câu 7. Cho hàm số f (x) xác định trên đoạn [−1; 2] thỏa mãn f (0) = 1 và f 2 (x)·f 0 (x) = 3x2 +2x−2. Số nghiệm của phương trình f (x) = 1 trên đoạn [−1; 2] là A. 1. Câu 8. Biết B. 3. Z f (x) dx = −x2 + 2x + C. Tính A. x2 + 2x + C 0 . B. −x2 + 2x + C 0 . C. 0. Z D. 2. f (−x) dx. C. −x2 − 2x + C 0 . D. x2 − 2x + C 0 . Câu 9. Å Một nguyên hàm của ã hàm số y = cos 5x cos x là Å ã 1 1 1 1 1 1 A. sin 6x + sin 4x . B. cos 6x + cos 4x . 2 6Å 4 2 6 4 ã 1 1 sin 6x sin 4x + . D. sin 5x sin x. C. − 2 6 4 5 √ Câu 10. Hàm số f (x) = x x + 1 có một nguyên hàm là F (x). Nếu F (0) = 2 thì F (3) bằng 146 886 116 . B. . C. . D. 3. A. 15 15 105  π π x Câu 11. Cho f (x) = trên − ; và F (x) là một nguyên hàm của x · f 0 (x) thỏa mãn 2x cos 2 2  π π F (0) = 0. Biết α ∈ − ; và tan α = 3. Tính F (α) − 10α2 + 3α. 2 2 1 1 1 A. − ln 10. B. − ln 10. C. ln 10. D. ln 10. 2 4 2 1 Câu 12. Cho hàm số f (x) xác định trên R \ {−2; 1} thỏa mãn f 0 (x) = 2 , f (−3) − f (3) = 0 x +x−2 1 và f (0) = . Giá trị của biểu thức f (−4) + f (−1) − f (4) bằng 3 1 1 1 4 1 8 A. ln 2 + . B. ln 80 + 1. C. ln + ln 2 + 1. D. ln + 1. 3 3 3 5 3 5 3 Câu 13. Cho hàm số f (x) xác định trên R \ {−1} thỏa mãn f 0 (x) = ; f (0) = 1 và f (1) + x+1 f (−2) = 2. Giá trị f (−3) bằng A. 1 + 2 ln 2. B. 1 − ln 2. C. 1. D. 2 + ln 2. f 0 (x) x Câu 14. Giả sử hàm số f (x) liên tục, dương trên R, thỏa mãn f (0) = 1 và = 2 . Khi đó f (x) x +1 √ giá trị của biểu thức T = f (2 2) − 2f (1) thuộc khoảng A. (2; 3). B. (7; 9). C. (0; 1). D. (9; 12). ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 166 167 | Page 1. NGUYÊN HÀM Z Câu 15. Tìm nguyên hàm J = (x + 1)e3x dx. 1 1 1 A. J = (x + 1)e3x − e3x + C. B. J = (x + 1)e3x − 3 9 3 1 1 D. J = (x + 1)e3x + C. J = (x + 1)e3x − e3x + C. 3 3 a Câu 16. Cho F (x) = (ln x + b) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = x các số nguyên. Tính S = a + b. A. S = −2. 1 3x e + C. 3 1 3x e + C. 9 1 + ln x , trong đó a, b là x2 C. S = 2. D. S = 0. ã Å Z 1 ; +∞ . Tìm khẳng định đúng trong các Câu 17. Biết f (x) dx = 2x ln(3x − 1) + C với x ∈ 3 khẳng định sau A. Z Z B. S = 1. f (3x) dx = 2x ln(9x − 1) + C. f (3x) dx = 6x ln(3x − 1) + C. Z f (3x) dx = 3x ln(9x − 1) + C. π  sin x và F = 2. Khi đó F (0) Câu 18. Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = 1 + 3 cos x 2 là 2 1 1 2 A. − ln 2 + 2. B. − ln 2 − 2. C. − ln 2 + 2. D. − ln 2 − 2. 3 3 3 3 C. f (3x) dx = 6x ln(9x − 1) + C. B. Z D. Câu 19. Cho hàm số y = f (x) thỏa mãn f 0 (x) = 2018x ln 2018 − cos x và f (0) = 2. Phát biểu nào sau đây đúng? x A. f (x) = 2018 + sin x + 1. 2018x − sin x + 1. C. f (x) = ln 2018 2018x + sin x + 1. B. f (x) = ln 2018 D. f (x) = 2018x − sin x + 1. Câu 20. Biết F (x) là một nguyên hàm trên R của hàm số f (x) = Tìm giá trị nhỏ nhất m của F (x). 1 1 − 22017 B. m = . A. m = − . 2 22018 2017x thỏa mãn F (1) = 0. + 1)2018 (x2 22017 + 1 . 22018 1 D. m = . 2 x (2 + x) Câu 21. Hàm số nào dưới đây không là nguyên hàm của hàm số y = ? (x + 1)2 x2 − x − 1 x2 + x + 1 x2 x2 + x − 1 . B. y = . C. y = . D. y = . A. y = x+1 x+1 x+1 x+1 C. m = Câu 22. Cho F (x) là một nguyên hàm của f (x) = x ln x. Tính F ”(x). 1 A. F ”(x) = 1 − ln x. B. F ”(x) = . C. F ”(x) = 1 + ln x. D. F ”(x) = x + ln x. x √ 20x2 − 30x + 7 3 √ Câu 23. Cho các hàm số f (x) = , F (x) = (ax2 + bx + c) 2x − 3 với x > . Gọi 2 2x − 3 (a; b; c) là bộ số thỏa mãn F (x) là một nguyên hàm của f (x). Khi đó a + b + c bằng A. 1. B. 5. C. 3. D. 7. Z Câu 24. Tìm x cos 2x dx. 1 1 A. x sin 2x − cos 2x + C. 2 4 1 1 C. x sin 2x + cos 2x + C. 2 2 B. x sin 2x + cos 2x + C. 1 1 D. x sin 2x + cos 2x + C. 2 4 ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 167 168 | Page 1. NGUYÊN HÀM Å ã 1 Câu 25. Biết f (x) dx = 2x ln (3x − 1)+C với x ∈ ; +∞ . Khẳng định nào sau đây đúng? 9Z Z A. f (3x) dx = 2x ln (9x − 1) + C. B. f (3x) dx = 6x ln (3x − 1) + C. Z C. Z f (3x) dx = 6x ln (9x − 1) + C. D. Z f (3x) dx = 3x ln (9x − 1) + C. 1 Câu 26. Tìm các họ nguyên hàm của hàm số f (x) = . 2 sin x cos4 x Z 1 1 A. f (x) dx = tan3 x − 2 tan x − + C. 3 tan2 x Z 1 1 + C. B. f (x) dx = tan4 x + 2 tan x − 4 tan x Z 1 1 C. f (x) dx = tan3 x + 2 tan2 x − + C. 3 tan x Z 1 1 D. f (x) dx = tan3 x + 2 tan x − + C. 3 tan x 2x + 1 Câu 27. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = 4 trên khoảng (0; +∞) thỏa x + 2×3 + x2 1 mãn F (1) = . Giá trị của biểu thức S = F (1) + F (2) + F (3) + · · · + F (2019) bằng 2 2019 2019 · 2021 1 2019 A. . B. . C. 2018 . D. − . 2020 2020 2020 2020 √ √ Câu 28. Cho hàm số f (x) có đồ thị (C). Biết rằng f 0 (x + 2) = 2x + x + 3 − 3x + 1 − 1 và tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M (a; 1) thuộc (C) song song với đường thẳng y = x + 1. Có bao nhiêu hàm số f (x) thỏa mãn yêu cầu bài toán. A. vô số. B. 2. C. 0. D. 1. 1 Câu 29. Cho hàm số f (x) thỏa mãn f (2) = − và f 0 (x) = x [f (x)]2 với mọi x ∈ R. Giá trị của f (1) 3 bằng 11 2 2 7 A. − . B. − . C. − . D. − . 6 3 9 6 1 Câu 30. Cho hàm số f (x) thỏa mãn f (2) = − và f 0 (x) = x [f (x)]2 với mọi x ∈ R. Giá trị của f (1) 3 bằng 2 2 7 11 B. − . C. − . D. − . A. − . 6 3 9 6 Câu 31. Cho hàm số f (x) thỏa mãn f 00 (x)·f 2 (x)+2[f 0 (x)]2 ·f (x) = 2x−3, ∀x ∈ R, f (0) = f 0 (0) = 1. Tính giá trị P = f 3 (2). 11 A. P = − . 3 23 . 3 √ Câu 32. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên (0; +∞) thỏa mãn 2xf 0 (x) − f (x) = 6×3 x. Biết B. P = −6. C. P = −3. D. P = − C. 2a + 63. D. a + 63. f (1) = a, hãy tìm f (4) theo a. A. 2a + 126. B. 4a + 252. Câu 33. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = ex 2 +1 (x3 + 3x). Hàm số F (x) có bao nhiêu điểm cực trị? A. 1. B. 0. C. 2. D. 3. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 168 169 | Page 1. NGUYÊN HÀM Câu 34. Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục và f (x) > 0 trên đoạn [0; 2] đồng thời thỏa mãn ò ï f (x) 2 0 00 = [f 0 (x)]2 . Tính f 2 (1) + f 2 (2)? f (0) = 1, f (0) = 2 và f (x) · f (x) + x+2 A. 20. B. 10. C. 15. D. 25. Câu 35. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên [0; 1] và f 0 (x) − 2018f (x) = x · e2019x . Biết f (0) = −1, tính f (1). A. e2018 . B. e2019 . D. −1. C. 0. Câu 36. Biết F (x) = (ax2 + bx + c) · ex là một nguyên hàm của hàm số f (x) = (x2 + 5x + 5) ex . Giá trị của 2a + 3b + c là A. 6. Câu 37. Cho In = A. B. 13. Z C. 8. D. 10. tann x dx với n ∈ N. Khi đó I0 + I1 + 2(I2 + I3 + · · · + I8 ) + I9 + I10 bằng 9 X (tan x)r + C. r r=1 B. 9 X 10 X (tan x)r+1 (tan x)r + C. C. + C. r+1 r r=1 r=1 Câu 38. Cho hàm số f (x) xác định trên R\{0} và thỏa mãn f 0 (x) = x2 D. 10 X (tan x)r+1 + C. r+1 r=1 1 , f (1) = a và f (−2) = b. + x4 Giá trị của biểu thức f (−1) − f (2) bằng A. a + b. B. b − a. C. a − b. Câu 39. Cho hàm số f (x) liên tục trên R và thỏa mãn Z D. −a − b.   √ √ f x+1 2 x+1+3 √ dx = + C. x+5 x+1 Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (2x) trên tập R+ . x+3 2x + 3 x+3 + C. B. 2 + C. C. + C. A. 2 2 (x + 4) x +4 4 (x2 + 1) D. 2x + 3 + C. 8 (x2 + 1) Câu 40. Cho hàm số y = f (x) liên tục, nhận giá trị dương trên (0; +∞) và thỏa mãn f (1) = 1, √ f (x) = f 0 (x) 3x + 1, với mọi x > 0. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 2 < f (5) < 3. B. 4 < f (5) < 5. C. 1 < f (5) < 2. D. 3 < f (5) < 4. Câu 41. Cho hàm số f (x) thỏa mãn [f 0 (x)]2 +f (x)·f ”(x) = 2x2 −x+1, ∀x ∈ R và f (0) = f 0 (0) = 3. Giá trị của [f (1)]2 bằng A. 28. B. 22. C. 19 . 2 D. 10. Câu 42. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R \ {−1; 0} thỏa mãn x(x + 1)f 0 (x) + f (x) = x2 + x, ∀x ∈ R \ {−1; 0} và f (1) = −2 ln 2 biết f (2) = a + b ln 3 với a, b ∈ Q. Tính a2 + b2 . 1 9 3 13 A. . B. . C. . D. . 2 2 4 4 Câu 43. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = |1 + x| − |1 − x| trên tập R và thỏa mãn F (1) = 3. Tính tổng T = F (0) + F (2) + F (−3). A. 8. B. 12. C. 14. D. 10. Câu 44. Cho hàm số f (x) thỏa mãn (f 0 (x))2 +f (x)·f 00 (x) = 15x4 +12x, ∀x ∈ R và f (0) = f 0 (0) = 1. Giá trị của f 2 (1) bằng 9 A. . 2 B. 5 . 2 C. 10. D. 8. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 169 170 | Page 1. NGUYÊN HÀM 1 Câu 45. Cho hàm số f (x) xác định trên khoảng (0; +∞) \ {e} thỏa mãn f 0 (x) = , x (ln x − 1) Å ã Å ã 1 1 f 2 = ln 6 và f (e2 ) = 3. Giá trị của biểu thức f + f (e3 ) bằng e e A. 3 (ln 2 + 1). B. 2 ln 2. C. 3 ln 2 + 1. D. ln 2 + 3. Câu 46. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên khoảng (0; +∞), biết f 0 (x)+(2x+3)f 2 (x) = 1 0, f (x) > 0 với mọi x > 0 và f (1) = . Tính giá trị của P = 1 + f (1) + f (2) + · · · + f (2017) 6 6059 6055 6053 6047 A. . B. . C. . D. . 4038 4038 4038 4038 1 Câu 47. Cho hàm số f (x) xác định trên R\ {−1; 1} và thỏa mãn f 0 (x) = 2 · Biết rằng f (−3) + x −1 Å ã Å ã 1 1 f (3) = 0 và f − +f = 2. Tính T = f (−2) + f (0) + f (4). 2 2 9 6 1 9 1 6 A. T = 1 + ln . B. T = 1 + ln . C. T = 1 + ln . D. T = 1 + ln . 5 5 2 5 2 5 Câu 48. Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên R và thỏa mãn f (x) > 0, ∀x ∈ R. Biết f (0) = 1 và f 0 (x) = 2 − 2x, hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f (x) = m có hai f (x) nghiệm thực phân biệt? A. 1. B. 2. C. 3. D. 5. Câu 49. Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên R và thỏa mãn f (x) > 0, ∀x ∈ R. Biết f (0) = 1 f 0 (x) và = 2 − 2x. Tìm các giá trị thực của tham số m để phương trình f (x) = m có hai nghiệm f (x) thực phân biệt. A. m > e. B. 0 < m 6 1. Câu 50. Cho F (x) = − C. 0 < m < e. D. 1 < m < e. f (x) 1 là một nguyên hàm của hàm số . Tìm nguyên hàm của hàm số 3 3x x f 0 (x) ln x. ln x 1 A. f (x) ln x dx = − 3 + 3 + C. x 3x Z ln x 1 0 C. f (x) ln x dx = 3 − 5 + C. x 5x Z ln x 1 + 3 + C. 3 x 3x Z ln x 1 0 D. f (x) ln x dx = 3 + 5 + C. x 5x 0 B. Z f 0 (x) ln x dx = BẢNG ĐÁP ÁN 1. B 2. A 3. A 4. D 5. C 6. B 7. D 8. A 9. A 10. B 11. C 12. A 13. C 14. C 15. A 16. B 17. A 18. A 19. D 20. B 21. A 22. C 23. C 24. D 25. A 26. D 27. C 28. D 29. B 30. B 31. C 32. A 33. A 34. D 35. C 36. B 37. A 38. B 39. D 40. D 41. A 42. B 43. C 44. D 45. A 46. B 47. C 48. B 49. C 50. B ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 170 171 | Page 2. TÍCH PHÂN ủđ Ch ề 2 TÍCH PHÂN A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM 1. Khái niệm tích phân 1.1. Định nghĩa tích phân c Định nghĩa 2.1. Cho f (x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử F (x) là một nguyên hàm của f (x) trên đoạn [a; b]. Hiệu số F (b) − F (a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a; b]) của hàm số f (x), kí hiệu là Z b f (x) dx. Vậy Z b b a a a = F (b) − F (a). f (x) dx = F (x) Nhận xét. - Tích phân chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào biến số x hay biến t. - Ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu hàm số f (x) liên túc trên đoạn [a; b], thì Z b f (x) dx là diện a tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của f (x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b. 1.2. Tính chất của tích phân a) Z b kf (x) dx = k c) f (x) dx ( k là hằng số). b) a a Za Z b e) f (x) dx = − a f (x) dx = 0. d) a Zb Zb Zb Za f (x) dx. b (f (x) ± g(x)) dx = a f (x) dx = a Zc f (x) dx + a Zb f (x) dx (a < c < c f) Zb Zb f (x) dx± a b 0 f (x) dx = f (x) , a a Zb Zb g(x) dx. a b 00 0 f (x) dx = f (x) . a a b). 2. Phương pháp tính tích phân 2.1. Phương pháp đổi biến số Dạng 1. Giả sử cần tính I = Zb f (x) dx ta thực hiện các bước sau a a) Đặt x = u (t) (với u (t) là hàm có đạo hàm liên tục trên [α; β], f [u (t)] xác định trên [α; β] và u (α) = a, u (β) = b) và xác định α, β. b) Thay vào, ta có I = Zβ 0 f [u (t)] · u (t) dt = α Zβ g (t) dt = G (t) β α = G (β) − G (α). α ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 171 172 | Page 2. TÍCH PHÂN Dấu hiệu • • √ √ Cách chọn a2 − x 2 x 2 − a2 • x 2 + a2 h π πi  x = |a| sin t, t ∈ − ; 2 2 • x = |a| cos t, t ∈ [0; π]  h π πi |a| ,t ∈ − ; \ {0} x=  sin t 2 2 • nπ o |a| x= , t ∈ [0; π] \ cos t 2  π π • x = |a| tan t, t ∈ − ; 2 2 Dạng 2: Tương tự như nguyên hàm, ta có thể tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số (ta gọi là loại 2) như sau: Để tính tích phân I = Zb f (x) dx nếu f (x) = g [u (x)] · u0 (x), ta có thể thực hiện phép đổi biến như a sau a) Đặt t = u (x) ⇒ dt = u0 (x) dx. Đổi cận  x = a ⇒ t = u (a) x = b ⇒ t = u (b) . u(b) Z b) Thay vào ta có I = g (t) dt = G (t) u(b) u(a) . u(a) 2.2. Phương pháp tích phân từng phầnCho hai hàm số u và v liên tục trên [a; b] và có đạo hàm liên tục trên [a; b]. Khi đó Zb u dv = uv a b a − Zb v du. a B. CÁC DẠNG TOÁN BÀ BÀI TẬP p Dạng 2.4. Tích phân cơ bản và tính chất tính phân Dùng định nghĩa tích phân và các tính chất để giải bài toán. Ví dụ 1 d Tính các tích phân sau a) Tính Z3 2 (3x − 4x + 5) dx. b) Tính 1 Z1 0 dx . (1 + x)3 | Lời giải. a) Z3 3 (3x2 − 4x + 5) dx = x3 − 2x2 + 5x 1  = 24 − 4 = 20. 1 ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 172 173 | b) Z1 Page 2. TÍCH PHÂN 1 Z dx (1 + x)−2 −3 = (1 + x) dx = − (1 + x)3 2 0 0 1 0 1 1 3 =− + = . 8 2 8  Ví dụ 2 d Tìm số thực m thỏa mãn a) Zm x+1 e 2 dx = e − 1. b) −1 Zm (2x + 5) dx = 6. 0 | Lời giải. a) Zm m ex+1 dx = ex+1 = em+1 − 1. −1 −1 Theo đề bài ta suy ra e2 − 1 = em+1 − 1 ⇔ m = 1. Vậy m = 1. b) Zm m (2x + 5) dx = x2 + 5x = m2 + 5m.  0 0 Theo đề bài ta suy ra m2 + 5m = 6 ⇔ m = 1 hoặc m = −6. Vậy m = 1 hoặc m = −6.  Bài 1. Tính các tích phân sau π a) Z2 sin x dx. π 3 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... π b) Z3 π 4 dx . cos2 x | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 173 174 | Page 2. TÍCH PHÂN Bài 2. Tính các tính phân Z−5 dx √ . a) 1 − 3x −2 | Lời giải. ...................................................................................................... b) ...................................................................................................... Z7 2 4 dx √ √ . x+1+ x−1 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Bài 3. Tính các tích phân sau a) Tính Z3 (4x3 − 3x2 + 10) dx = −2 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z4 √ (x2 + 3 x) dx = b) Tính 1 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z2 x(x + 1)2 dx = c) Tính 0 | Lời giải. ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 174 175 | Page 2. TÍCH PHÂN ...................................................................................................... ã Z4 Å x+ d) Tính 2 1 x dx = | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ã Z3 Å e) Tính 1 3 1 − 2 x x dx = | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z1 e3x dx = f) Tính 0 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... 2018 Z 7x dx = g) Tính 0 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z6 h) Tính 0 dx = x+6 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z3 i) Tính 1 dx = 1 − 3x | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z2 j) Tính 1 dx = (4x − 1)2 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z4 k) Tính 1 4 dx = (1 − 2x)2 ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 175 176 | Page 2. TÍCH PHÂN | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... Bài 4. Tìm các số thực m thỏa mãn a) Z5 m2 (5 − x3 ) dx = −549. 2 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) ...................................................................................................... Z2 (3 − 2x)4 dx = m 122 . 5 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... c) ...................................................................................................... Zm (3x2 − 12x + 11) dx = 6. 0 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 176 177 | Page 2. TÍCH PHÂN ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... d) ...................................................................................................... Z2 Z4  m2 + (4 − 4m)x + 4x3 dx = 1 2x dx. 2 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Bài 5. Tính các tính phân sau 2π Å ã Z3 2π a) Tính cos 3x − dx = 3 π 3 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... π b) Tính Z4 tan2 x dx = π 6 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 177 178 | Page 2. TÍCH PHÂN ...................................................................................................... π c) Tính Z3 cot2 x dx = π 4 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... π d) Tính Z4 sin 5x sin x dx = 0 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... π e) Tính Z6 sin 4x cos x dx = 0 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... π f) Tính Z4 sin 6x cos 2x dx = 0 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... π g) Tính Z6 cos 3x cos x dx = 0 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... π h) Tính Z6 cos 6x cos 2x dx = 0 ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 178 179 | Page 2. TÍCH PHÂN | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... π i) Tính Z4 sin4 x dx = 0 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Bài 6. a) Biết Za 0 1 sin x cos x dx = . Tìm a. 4 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Zm b) Có bao nhiêu số nguyên m ∈ (0; 2018) thỏa cos 2x dx = 0? 0 | Lời giải. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 179 180 | Page 2. TÍCH PHÂN ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... π c) Biết Z4 0 √ 2 sin 5x dx = a + b với a, b ∈ Q. Tính giá trị P = ab + b − a. 2 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... π d) Biết Z4 π 6 2 1 − sin3 x dx = sin2 x √ a+ √ 2 b−c với a, b, c là các số nguyên dương. Tính giá trị P = a + b2 + abc. | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... π e) Biết Z4 0 √ dx = a + b 3 với a, b ∈ Q. Tính giá trị P = ab − a + b. cos2 x sin2 x | Lời giải. ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 180 181 | Page 2. TÍCH PHÂN ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... π f) Biết Z4 0 √ b 2 sin 3x sin 2x dx = a + với a, b ∈ Z. Tính a + b. 10 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Bài 7. Tính các tích phân sau Z1 √ 3 a) Tính 5 + 3x dx = 0 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z5 √ b) Tính 3 4x dx √ = 5x + 1 − 3x + 1 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z5 √ c) Tính 1 5x dx √ = 8x + 1 + 3x + 1 ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 181 182 | Page 2. TÍCH PHÂN | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z6 dx √ = (x + 3) x − x x + 3 √ d) Tính 1 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z3 dx √ = (x + 2) x + 1 + (x + 1) x + 2 √ e) Tính 2 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 182 183 | Page 2. TÍCH PHÂN ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Bài 8. a) Biết Z2 √ √ 2x − 1 dx = 1 a−1 với a, b là số nguyên dương. Tính a − b3 . b | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .√ ..................................................................... √ Z3 √ a− 3 8 − 2x dx = b) Biết 1 b với a, b là số nguyên dương. Tính P = ab + a + b. | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z3 √ √ 3 c) Biết 3x − 5 dx = 3 a− 2 1 với a, b là các số nguyên. Tính P = ab + a − b. b | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z6 √ √ √ d) Biết 2 2 dx = 2x − 1 a− b với a, b là các số nguyên dương. Tính P = ab + a + b. | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z2 √ √ dx √ = √ (x + 1) x + x x + 1 1 P = a + b + c. e) Biết a− b − c với a, b, c là các số nguyên dương. Tính | Lời giải. ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 183 184 | Page 2. TÍCH PHÂN ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... p Dạng 2.5. Tích phân hàm số phân thức hữu tỉ Phương pháp giải: Chú ý nguyên hàm của một số hàm phân thức hữu tỉ thường gặp. Z 1 1 a) dx = ln |ax + b| + C, với a 6= 0. a Z ax + b 1 −1 1 dx = · + C, với a 6= 0, n ∈ N, n ≥ 2. b) n (ax + b) a (n − 1)(ax + b)n−1 Z 1 1 x+a c) dx = ln + C, với a 6= b. (x + a)(x + b) b−a x+b Ví dụ 1 d Tính các tích phân sau a) Tính Z1 0 x dx. (x + 1)2 b) Z1 0 x dx. (x + 2)3 | Lời giải. a) Ta có Z1 0 1 1 Z Z x x+1−1 dx = dx = (x + 1)2 (x + 1)2 0 0 ï ò ï ò 1 1 1 − dx = ln |x + 1| + x + 1 (x + 1)2 x+1 1 0 1 = ln 2− . 2 ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 184 185 | Page 2. TÍCH PHÂN b) Ta có Z1 0 1 1 Z Z x x+2−2 dx = dx = (x + 2)3 (x + 2)3 0 ï 0 ò ï ò 1 2 1 − dx = ln |x + 2| + x + 2 (x + 2)3 (x + 2)2 1 0 3 5 = ln − . 2 36  Ví dụ 2 d Tính các tích phân sau Z2 dx 1 a) Biết = ln b với b > 0. Tính S = a2 + b. 3x − 1 a 1 Z2 b) Biết 0 x2 dx = a + ln b với a, b ∈ Q. Tính S = 2a + b + 2b . x+1 | Lời giải. 2 Z2 1 Z d(3x − 1) 1 1 1 5 dx = = ln |3x − 1||21 = (ln 5 − ln 2) = ln . a) Ta có 3x − 1 3 3x − 1 3 3 3 2 1 1 5 1 5 47 Suy ra a = 3, b = . Do đó S = + = . 2 9 2 18 b) Ta có Z2 0 2 Z x2 dx = x+1 Å x−1+ 0 1 x+1 ã ò x2 dx = − x + ln |x + 1| 2 ï 2 = ln 3 = 0 + ln 3. 0 Suy ra a = 0, b = 3 nên S = 2 · 0 + 3 + 23 = 11.  Bài 1. Tính các tích phân sau Z1 2x + 3 dx = a ln 2 + b với a, b ∈ Q. Tính P = a + 2b + 2a − 2b . a) Biết 2−x 0 | Lời giải. ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 185 186 | Page b) Biết 2. TÍCH PHÂN Z1 0 2x − 1 dx = a + b ln 2 với a, b ∈ Q. Tính P = ab − a + b. x+1 | Lời giải. ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… Bài 2. Tính các tích phân sau Z1 3x − 1 a 5 a dx = 3 ln − với a, b ∈ Z+ và là phân số tối giản. Tính giá trị a) Tính 2 x + 6x + 9 b 6 b 0 của biểu thức P = 2a + 2b − ab. | Lời giải. ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ã Z1 Å b) Biết 0 1 1 − x+1 x+2 dx = a ln 2 + b ln 3 với a, b ∈ Z. Tính S = a + b − ab2 . | Lời giải. ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… Bài 3. Tính các tích phân sau Z1 x3 a a) Biết dx = + b ln 3 + c ln 2, với a, b, c ∈ Q. Tính S = 2a + 4b2 + 3c3 . x+2 3 0 | Lời giải. ………………………………………………………………………………………… ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 186 187 | Page 2. TÍCH PHÂN ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… Z0 2 b) Biết −1 3x + 5x − 1 2 dx = a ln + b với a, b ∈ Q. Tính giá trị của S = a + 4b. x−2 3 | Lời giải. ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… Z5 c) Biết 3 dx = a ln 5 + b ln 3 + c ln 2 với a, b, c ∈ Q. Tính S = −2a + b + 3c2 . −x x2 | Lời giải. ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… Z5 d) Tính 1 3 dx = a ln 5 + b ln 2 với a, b ∈ Z. Tính S = a + b − ab. x2 + 3x | Lời giải. ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 187 188 | Page 2. TÍCH PHÂN ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… Z2 e) Biết 1 x dx = a ln 2 + b ln 3 + c ln 5 với a, b, c ∈ Q. Tính S = a + b + c. (x + 1)(2x + 1) | Lời giải. ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… Z1 f) Biết 0 x2 dx = a ln 2 + b ln 3 với a, b ∈ Z. Tính S = a + b. − 5x + 6 | Lời giải. ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… Z3 g) Tính 2 −2×2 dx = a ln 2 + b ln 3 + c ln 5 với a, b, c ∈ Z. Tính S = 2a + b2 + 2c . + 3x − 1 | Lời giải. ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 188 189 | Page 2. TÍCH PHÂN ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… Z1 h) Tính 0 x2 5 − 2x dx = a ln 2 + b ln 3 với a, b ∈ Z. Tính S = 2a − 3ab. + 3x + 2 | Lời giải. ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… Z2 i) Tính 0 x2 x−1 dx = a ln 5 + b ln 3 với a, b ∈ Q. Tính S = ab + 3a − a. + 4x + 3 | Lời giải. ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… Z2 j) Biết 1 1 1 a a dx = + ln với a, b ∈ Z+ và là phân số tối giản. Tính S = a + 2b . + 1) 2 b b x2 (x | Lời giải. ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 189 190 | Page 2. TÍCH PHÂN ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… p Dạng 2.6. Tính chất của tích phân a) Zb f (x) dx = a b) Zb Zc f (x) dx + Zb a Zb f (x) dx, c Za f (x) dx = − a Zb f (x) dx = f (x)|ba = f (b) − f (a), f (x) dx. b b f 00 (x) dx = f 0 (x)|a = f (b) − f (a),.. . . a a Ví dụ 1 d Tính các tích phân sau: a) Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn [0; 10] thỏa mãn Z10 f (x) dx = 7 và 0 Tính Z2 f (x) dx + 0 Z10 Z6 f (x) dx = 3. 2 f (x) dx. 6 b) Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R thỏa mãn a < b < c. Tính Zc Zb f (x) dx = 2 và a Zb f (x) dx = 3 với c f (x) dx a c) Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R thỏa mãn Z3 f (x) dx = 2017 và 1 Tính Z4 Z3 f (x) dx = 2018. 4 f (x) dx. 1 | Lời giải. a) Ta có 7= Z10 f (x) dx = 0 Z2 0 f (x) dx + Z6 f (x) dx + 2 Z10 f (x) dx. 6 Hay là 7= Z10 0 f (x) dx = Z2 f (x) dx + 3 + 0 Z10 6 f (x) dx ⇒ P = Z2 0 f (x) dx + Z10 f (x) dx = 7 − 3 = 4. 6 ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 190 191 | Page 2. TÍCH PHÂN b) Ta có Zc f (x) dx = a Zb f (x) dx + a Zc Zb f (x) dx = Zb f (x) dx − a b f (x) dx = 2 − 3 = −1. c c) Ta có Z4 f (x) dx = 1 Z3 f (x) dx + 1 Z4 f (x) dx = 3 Z3 f (x) dx − 1 Z3 f (x) dx = 2017 − 2018 = −1. 4  Ví dụ 2 d Tính các tích phân sau: a) Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R thỏa mãn Z7 Z5 f (x) dx = 3 và Z7 2 5 Z6 Z6 f (x) dx = 9. Tính f (x) dx. 2 b) Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R thỏa mãn f (x) dx = 4 và 0 Z2 f (t) dt = −3. Tính 2 [f (v) − 3] dv. 0 | Lời giải. a) Ta có Z7 f (x) dx = 2 Z5 f (x) dx + 2 Z7 f (x) dx = 3 + 9 = 12. 5 b) Ta có Z2 f (v) dv = 0 Z6 f (v) dv − 0 Z6 2 f (v) dv = Z6 f (x) dx − 0 Z6 f (x) dx = 4 − (−3) = 7. 2 Hay là Z2 f (v) dv = 7 ⇒ 0 Z2 0 [f (v) − 3] dv = Z2 0 f (v) dv − Z2 3 dv = 7 − 3v|20 = 1. 0  ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 191 192 | Page 2. TÍCH PHÂN Ví dụ 3 d Tính các tích phân sau: 0 a) Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên đoạn [1; 2], f (1) = 1 và f (2) = 2. Tính Z2 f 0 (x) dx. 1 b) Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên đoạn [1; 4], f (1) = 1 và Z4 f 0 (x) dx = 2. Tính f (4). 1 c) Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên đoạn [1; 3], f (3) = 5 và Z3 f 0 (x) dx = 6. Tính f (1). 1 | Lời giải. a) Ta có Z2 f 0 (x) dx = f (x)|21 = f (2) − f (1) = 2 − 1 = 1. 1 b) Ta có 2 = Z4 f 0 (x) dx = f (x)|41 = f (4) − f (1) = f (4) − 1 ⇒ f (4) = 3. 1 c) Ta có 6 = Z3 f 0 (x) dx = f (x)|31 = f (3) − f (1) = 5 − f (1) ⇒ f (1) = −1. 1  Bài 1. Bài toán sử dụng tính chất Zb f (x) dx = a a) Cho Z4 f (x) dx = 10 và 2 Z4 Zc a f (x) dx+ Zb g(x) dx = 5. Tính tích phân 2 f (x) dx, c Zb f (x) dx = − a Z4 Za f (x) dx b [3f (x) − 5g(x)] dx. 2 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z5 Z5 Z4 Z4 b) Cho f (t) dt = −2 và f (x) dx = 5, −1 4 −1 1 g(u) du = . Tính I = 3 [f (x) + g(x)] dx. −1 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 192 193 | Page 2. TÍCH PHÂN . . . . . . .π. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .π. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z4 Z4 2 c) Cho f (x) cos x − 5 dx theo a. cos2 x f (x) dx = a. Tính tích phân I = 0 0 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... . . . . . . .π. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .π. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z2 Z2 d) Cho f (x) dx = 5. Tính tích phân I = 0 [f (x) + 2 sin x] dx. 0 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Bài 2. Bài toán sử dụng tính chất Zb f (x) dx = f (x)|ba = f (b) − f (a), a Zb b f 00 (x) dx = f 0 (x)|a = a f (b) − f (a),.. . . a) Cho hàm số f (x) liên tục, có đạo hàm cấp hai trên đoạn [1; 3], f 0 (1) = 1 và f 0 (3) = m. Tìm m để Z3 f 00 (x) dx = 5. 1 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z4 f 0 (x) dx = 17. Tính f (4). b) Biết f (1) = 12, f 0 (x) là hàm số liên tục trên [1; 4] và 1 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... Bài 3. Bài toán sử dụng tính chất Zb a a) Cho Z2 f (x) dx = 5 và −1 Z2 f (x) dx = Zc a f (x) dx+ Zb f (x) dx, c g(x) dx = −2. Tính tích phân I = −1 Zb a Z2 f (x) dx = − Za f (x) dx b [x + 2f (x) − 3g(x)] dx. −1 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 193 194 | Page 2. TÍCH PHÂN ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z4 Z6 Z−1 b) Cho f (x) dx = 10 và −1 f (x) dx = 2. Tính tích phân I = 4 f (x) dx. 6 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z6 Z6 c) Cho [x2 − f (x)] dx. f (x) dx = 7. Tính tích phân I = 3 3 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z2 Z2 d) Cho [ex − f (x)] dx = ea − b. Tìm a, b. f (x) dx = 1 và 0 0 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Bài 4. Bài toán sử dụng tính chất Zb a f (x) dx = f (x)|ba = f (b) − f (a), Zb b f 00 (x) dx = f 0 (x)|a = a f (b) − f (a),.. . . a) Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên [−3; 5], f (−3) = 1 và f (5) = 9. Tính Z5 4f 0 (x) dx. −3 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) Cho hàm số f (x) có đạo hàm cấp 3 trên [−3; 2], f 00 (−3) = 4 và f 00 (2) = 6. Tính giá trị của tích phân Z2 f 000 (x) dx. −3 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 194 195 | Page 2. TÍCH PHÂN Bài 5. Tính các tích phân sau bằng phương pháp biến đổi hàm ẩn: a) Cho f (x) liên tục trên R và Z1 π f (x) dx = 2017. Tính Z4 f (sin 2x) cos 2x dx. 0 0 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z4 Z2 b) Cho f (x) dx = 16. Tính 0 f (2x) dx. 0 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... 2017 Z Z1 c) Cho f (x) thỏa mãn f (x) dx = 1. Tính 0 f (2017x) dx. 0 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z4 Z1 d) Cho f (x) dx = 2. Tính 0 f (4x) dx. 0 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z3 Z8 f (3x − 1) dx = 20. Tính e) Biết 1 f (x) dx. 2 | Lời giải. ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 195 196 | Page 2. TÍCH PHÂN ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z2 Z2 0 f 0 (x) dx = 10 và f) Cho f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [1; 2] thỏa mãn 1 1 f (x) dx = f (x) ln 2. Biết rằng hàm số f (x) > 0, ∀x ∈ [1; 2]. Tính f (2). | Lời giải. ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… Bài 6. Tính các tích phân bằng phương pháp đổi biến hàm ẩn: a) Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên [1; 2], f (2) = 2 và f (4) = 2018. Tính I = Z2 f 0 (2x) dx. 1 | Lời giải. ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… b) Cho hàm số f (x) liên tục trên R và có π π Z2 Z4 0 f (x) dx = 4. Tính I = [f (2x) − sin x] dx. 0 | Lời giải. ………………………………………………………………………………………… ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 196 197 | Page 2. TÍCH PHÂN ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… Z2 Z1   c) Cho tích phân xf x2 + 1 dx theo a. f (x) dx = a. Hãy tính tích phân I = 1 0 | Lời giải. ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… π d) Cho f (x) liên tục trên R thỏa Z9 1 phân I = Z3 √ Z2 f ( x) √ dx = 4 và f (sin x) · cos x dx = 2. Tính tích x 0 f (x) dx. 0 | Lời giải. ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 197 198 | Page 2. TÍCH PHÂN ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… π e) Cho hàm số f (x) liên tục trên R và có Z4 0 phân I = Z1 f (tan x) dx = 4 và Z1 0 x2 f (x) dx = 2. Tính tích x2 + 1 f (x) dx. 0 | Lời giải. ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… f) Cho f (x) là hàm liên tục và a > 0. Giả sử rằng với mọi x ∈ [0; a] ta có f (x) > 0 và Za dx f (x) · f (a − x) = 1. Tính I = . 1 + f (x) 0 | Lời giải. ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 198 199 | Page 2. TÍCH PHÂN ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… Bài 7. Tính các tích phân sau bằng phương pháp tích phân từng phần của hàm ẩn: a) Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên [1; 2] thỏa f (1) = 0, f (2) = 2 và Z2 f (x) dx = 1. Tính 1 I= Z2 xf 0 (x) dx. 1 | Lời giải. ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… Z2 b) Cho hàm số f (x) có nguyên hàm là F (x) trên [1; 2], F (2) = 1 và F (x) dx = 5. Tính 1 I= Z2 (x − 1)f (x) dx. 1 | Lời giải. ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… Z2 Z1 c) Cho hàm số f (x) liên tục trên R và f (2) = 16, xf 0 (2x) dx. f (x) dx = 4. Tính I = 0 0 | Lời giải. ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 199 200 | Page 2. TÍCH PHÂN ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… Z2 d) Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 2] thỏa mãn f (x) dx = 3 và f (2) = 2. 0 Tính tích phân I = Z4 f0 √  x dx. 0 | Lời giải. ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… Z2 f 0 (x) ln [f (x)] dx = 1 và e) Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [1; 2] thỏa 1 f (1) = 1, f (2) > 1. Tính f (2). | Lời giải. ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 200 201 | Page 2. TÍCH PHÂN ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… Z1 (x + 1)f 0 (x)dx = 10 và f) Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 1] thỏa 0 2f (1) − f (0) = 2. Tính tích phân I = Z1 f (x)dx. 0 | Lời giải. ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… g) Cho hàm số f (x) có đạo hàm cấp hai và liên tục trên đoạn [0; 1] thỏa mãn các điều kiện Z1 2 00 0 x f (x)dx = 12 và 2f (1) − f (1) = −2. tính tích phân I = 0 Z1 f (x)dx. 0 | Lời giải. ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 201 202 | Page 2. TÍCH PHÂN ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… Z3 Z3 xef (x) f 0 (x)dx = 8 và f (3) = ln 3. Tính I = h) Cho hàm số f (x) thỏa mãn 0 ef (x) dx. 0 | Lời giải. ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… Z1 i) Cho hàm số f (x) có đạo hàm và liên tục trên đoạn [0; 1] thỏa mãn f (1) = 4, xf (x) dx = 0 223 . Tính tích phân I = 10 Z1 x2 f 0 (x)dx. 0 | Lời giải. ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… Z1 x2 f (x) dx = j) Cho hàm số f (x) có đạo hàm và liên tục trên đoạn [0; 1] thỏa mãn f (1) = 0, 0 1 . Tính tích phân I = 3 Z1 x3 f 0 (x)dx. 0 | Lời giải. ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 202 203 | Page 2. TÍCH PHÂN ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… Z3 x3 f (x) dx = k) Cho hàm số f (x) có đạo hàm và liên tục trên đoạn [0; 3] thỏa mãn f (3) = 2, 0 5461 . Tính tích phân I = 120 Z3 x4 f 0 (x)dx. 0 | Lời giải. ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… Zb xf 00 (x)dx = 4, f 0 (a) = −2, f 0 (b) = 3 với a, b là các số thực l) Cho hàm số f (x) thỏa mãn a dương và f (a) = f (b). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 4a2 9b2 + . 3b + 1 2a + 3 | Lời giải. ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 203 204 | Page 2. TÍCH PHÂN ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… Bài 8. a) Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên [0; 1] thỏa f (1) = 0, Z1 2 [f 0 (x)] dx = 7 0 và Z1 0 1 x2 f (x) dx = . Tính 3 Z1 f (x) dx. 0 | Lời giải. ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 204 205 | Page 2. TÍCH PHÂN ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… Z1 2 [f 0 (x)] dx = 36 và b) Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên [0; 1] thỏa f (1) = 4, 0 Z1 0 1 xf (x) dx = . Tính tích phân 5 Z1 f (x) dx. 0 | Lời giải. ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… Z1 2 [f 0 (x)] dx = 9 c) Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 1] thỏa mãn f (1) = 1, 0 và Z1 0 1 x3 f (x) dx = . Tích phân 2 Z1 f (x) dx bằng 0 | Lời giải. ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 205 206 | Page 2. TÍCH PHÂN ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… d) Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 1] thỏa mãn f (1) = 1, Z1 0 Tính tích phân I = Z1 Z1 √  2 9 x dx = . [f (x)] dx = và f 5 5 0 2 0 f (x) dx. 0 | Lời giải. ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 206 207 | Page 2. TÍCH PHÂN ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… e) Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 1] thỏa mãn f (0) = 1, Z1 0 1 Z1 1 1 Z [f (x)] dx = , (2x − 1)f (x)dx = − . Tính f (x)dx. 30 30 0 2 0 0 | Lời giải. ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… Bài 9. Cho hàm số f (x) liên tục và lẻ trên đoạn [−a; a]. Chứng minh rằng I = Za f (x) dx = −a 0. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 207 208 | Page 2. TÍCH PHÂN | Lời giải. ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Z0 Z2 a) Cho f (x) là hàm số lẻ thỏa mãn f (x) dx = 2. Tính tích phân I = −2 f (x) dx. 0 | Lời giải. ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… 2017 Z √ x2019 x4 + 2018 dx. b) Tính tích phân I = −2017 | Lời giải. ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .π. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z4 √ sin x 1 + x2018 dx. c) Tính tích phân I = − π4 | Lời giải. ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 208 209 | Page 2. TÍCH PHÂN ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… . . . . . . .π. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . √ √ Z4 d) Biết − π4 sin x π b− √ dx = 4 1 + x2 + x a với a, b là các số nguyên dương. Tính T = ab. | Lời giải. ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… Bài 10. Cho hàm số y = f (x) liên tục và chẵn trên đoạn [−a; a]. Chứng minh rằng Za f (x) dx = 2 −a Z0 f (x) dx = 2 −a Za f (x) dx (1) và Za a Za f (x) 1Z dx = f (x) dx = f (x) dx (2) 1 + bx 2 −a 0 −a 0 Chứng minh 1. Ta đi chứng minh công thức (1) : Ta có I = Za f (x) dx = −a Xét A = Z0 Z0 f (x) dx + −a Za −a Za f (x) dx = 2 Z0 f (x) dx = 2 −a Za f (x) dx. 0 f (x) dx = A + B. 0 f (x) dx. Đặt x = −t ⇒ dx = − dt. Đổi cận  x = −a ⇒ t = a. x = 0 ⇒ t = 0. −a Do f (x) là hàm chẵn và liên tục trên [−a; a] nên f (−x) = f (x) ⇒ f (−t) = f (t) . Khi đó : A = − Z0 a f (−t) dt = Za 0 f (−t) dt = Za 0 f (−x) dx = Za f (x) dx = B. 0 ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 209 210 | Page 2. TÍCH PHÂN Za Z0 Za 1 Suy ra A = B = I nên I = f (x) dx = 2 f (x) dx = 2 f (x) dx. 2 −a −a 2. Ta đi chứng minh công thức (2) : Za −a a ∈ R+ . Đặt x = −t ⇒ dx = − dt. Đổi cận f (x) 1 dx = x 1+b 2 Za 0 f (x) dx = −a Za f (x) dx với 0 < b 6= 1 và 0  x = −a ⇒ t = a x = 0 ⇒ t = 0. Ta có I=− Z−a a Za Za t Za x f (−t) f (t) b · f (t) b · f (x) dt = dt = dt = dx. −t t 1 1+b 1+b 1 + bx −a 1 + −a −a bt Cộng hai vế cho I ⇒ 2I = Za x b Za Za x Za · f (x) f (x) (b + 1) f (x) dx + dx = dx = f (x) dx. 1 + bx 1 + bx 1 + bx −a Suy ra I = 1 2 Za f (x) dx = −a Z0 −a f (x) dx = −a Za −a −a f (x) dx. 0 a) Cho hàm số f (x) là hàm chắn và liên tục trên R, thỏa mãn I = Za f (x) d = 6. 0 i) Tính A = Z0 f (x) dx −3 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z1 ii) Tính B = f (3x) dx −1 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 210 211 | Page 2. TÍCH PHÂN ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . .π. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z2 cos x · f (3 sin x) dx iii) Tính C = − π2 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z2 b) Cho f (x) là hàm số chẵn và có đạo hàm trên đoạn [−6; 6]. Biết rằng f (x) dx = 8 và −1 Z3 f (−2x) dx = 3. Tính tích phân 1 Z6 f (x) dx −1 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 211 212 | Page 2. TÍCH PHÂN ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z1 c) Cho f (x) là hàm số chẵn và liên tục trên đoạn [−1; 1] thỏa mãn f (x) dx = 4. Tính −1 tích phân Z1 −1 f (x) dx. 2x + 1 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z3 2018 d) Tính tích phân −3 x dx. ex + 1 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z1 e) Tính tích −1 (2018x 1 dx + 1) (x2 − 4) | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... . . . . . . . . . . . . .π. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z4 f) Tính I = − π4 cos x dx 2017x + 1 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .π. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z4 6 6 g) Tính tích phân − π4 sin x + cos x dx 6x + 1 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 212 213 | Page 2. TÍCH PHÂN ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Bài 11. Cho hàm số y = f (x) xác định và liên tục trên đoạn [a; b]. Chứng minh rằng a) Nếu Zb f (x) dx = k thì a Zb f (a + b − x) dx = k. a Zb b) Nếu f (a + b − x) = −f (x) thì f (x) dx = 0. a c) Nếu f (a + b − x) = f (x) thì Zb a b a+bZ xf (x) dx = f (x) dx 2 a Chứng minh a) Nếu Zb f (x) dx = k thì Zb f (a + b − x) dx = k. a a Đặt t = a + b − x ⇒ dt = − dx. Đổi cận: x = a ⇒ t = b và x = b ⇒ t = a. Suy ra Zb Za f (a + b − x) dx = − a f (t) dt = Zb f (x) dx = k. a b Zb b) Nếu f (a + b − x) = −f (x) thì f (x) dx = 0. a Đặt t = a + b − x ⇒ dt = − dx. Đổi cận: x = a ⇒ t = b và x = b ⇒ t = a. Suy ra Zb f (a + b − x) dx = − Za a Zb f (t) dt = f (a + b − x) dx = − a f (x) dx. Mà f (a + b − x) = −f (x) nên ta có a b Zb Zb f (x) dx = a Zb f (x) dx ⇒ a c) Nếu f (a + b − x) = f (x) thì Zb Zb f (x) dx = 0. a xf (x) dx = a a+b 2 Zb f (x) dx. a Đặt t = a + b − x ⇒ dt = − dx. Đổi cận: x = a ⇒ t = b và x = b ⇒ t = a. Khi đó Zb xf (x) dx = − a = Zb Za (a + b − t) f (a + b − t) dt = (a + b − t) f (a + b − t) dt a b (a + b − x) f (a + b − x) dx f (a+b−x)=f (x) = (a + b) a Suy ra 2 Zb Zb f (x) dx − a Zb xf (x) dx = (a + b) a a) Cho tích phân tích phân I = Zb f (x) dx ⇒ a Zb a xf (x) dx = a+b 2 Zb a Zb xf (x) dx f (x) dx. a 2018 Z f (x) dx = 5 trong đó f (x) là hàm số liên tục trên đoạn [1; 2018]. Tính 1 2018 Z f (2019 − x) dx 1 | Lời giải. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 213 214 | Page 2. TÍCH PHÂN ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z2 b) Cho tích phân f (x) dx = 10 trong đó f (x) là hàm số liên tục trên đoạn [−1; 2]. Tính −1 tích phân I = Z2 f (1 − x) dx −1 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Zb Zb c) Cho f (x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b] thỏa mãn f (a + b − f (x) = 7 dx. Tính a a x) dx. | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... . . . . . . .π. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z4 d) Biết ln (1 + tan x) dx = 0 a a ln c với là phân số tối giản và c > 0. Tính a + 9b − c. b b | Lời giải. ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 214 215 | Page 2. TÍCH PHÂN ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… Zπ 6 x · sin6 x dx = e) Biết 0 a·π với a, b, c ∈ R. Tìm phần nguyên của a + 2π + 10b − c. c | Lời giải. ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… Zπ Zπ f) Biết xf (sin x) dx = 2π. Tính tích phân I = 0 f (sin x) dx 0 | Lời giải. ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… Zπ Zπ g) Biết 0 2 f (sin x) dx = . Tính tích phân I = 3 xf (sin x) dx 0 | Lời giải. ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .π. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z2 n h) Chứng minh rằng sin x dx π = với n ∈ R+ n sin x + cos x 4 n 0 | Lời giải. ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 215 216 | Page 2. TÍCH PHÂN ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… Zπ i) Tính tích phân 0 x dx . sin x + 1 | Lời giải. ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… Bài 12. Cho hàm số f (x) xác định và liên tục trên R và thỏa mãn : mf (−x) + nf (x) = g(x) a Za 1 Z thì f (x) dx = g(x) dx. m+n −a −a c Hệ quả 2.1. Nếu f (x) liên tục trên [0; 1] thì 1) 2) π−α Z π−α π Z x · f (sin x) dx = f (sin x) dx 2 α α 2π−α Z x · f (cos x) dx = π α 2π−α Z f (cos x) dx α a) Cho f (x) liên tục trên R và thỏa mãn f (−x) + 2017f (x) = cos x. Tính tích phân I = π Z2 f (x) dx. − π2 | Lời giải. ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 216 217 | Page 2. TÍCH PHÂN ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… b) Cho hàm f (x) liên tục trên R và thỏa mãn 2f (x) + 5f (−x) = Z2 1 . Tính tích phân 4 + x2 f (x) dx. −2 | Lời giải. ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 217 218 | Page 2. TÍCH PHÂN ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… c) Cho hàm số f (x) liên tục trên R thỏa mãn f (x) + f (−x) = √ 2 + 2 cos 2x, ∀x ∈ R. Tính 3π tích phân I = Z2 f (x) dx − 3π 2 | Lời giải. ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… Bài 13. Cho tích phân a+T Z f (x) dx = k với f (x) là hàm xác định, liên tục trên R và tuần hoàn a với chu kỳ T thì tích phân ZT f (x) dx = a+T Z f (x) dx = k. a 0 Chứng minh Ta có I = a+T Z f (x) dx = a Z0 f (x) dx + a ZT f (x) dx + 0 a+T Z f (x) dx. T a+T Z Xét tích phân J = f (x) dx. Đặt t = x − T . a  x = T ⇒ t = 0 Đổi cận x = a + T ⇒ t = a. Khi đó: J = a+T Z f (x) dx = ⇒ f (x) dx = a f (t + T ) dt = 0 T a+T Z Za Z0 a f (x) dx + Za f (t) dt = 0 ZT 0 f (x) dx + Za 0 Za f (x) dx 0 f (x) dx = ZT f (x) dx = k 0 Chú ý Hàm số f (x) có chu kỳ T thì f (x + T ) = f (x) với T là số nguyên dương nhỏ nhất ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 218 219 | Page a) Cho tích phân I = 2. TÍCH PHÂN a+π Z f (x) dx = 2018, với f (x) là hàm xác định, liên tục trên R và tuần a hoàn với chu kỳ π. Tính tích phân I = Zπ f (x) dx 0 | Lời giải. ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… 5π b) Tính tích phân I = Z4 π sin 2x dx cos4 x + sin4 x | Lời giải. ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… 2017π Z √ 1 − cos 2x dx c) Tính tích phân I = 0 | Lời giải. ………………………………………………………………………………………… ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 219 220 | Page 2. TÍCH PHÂN ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… p Dạng 2.7. Tích phân hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối Zb | f (x) | dx a Phương pháp giải Sử dụng tính chất của tích phân Zb | f (x) | dx = a Zc | f (x) | dx + a Zb | f (x) | dx c đến đây ta có 2 cách để phá dấu giá trị tuyệt đối • Cách 1. Xét dấu biểu thức f (x) để khử dấu trị tuyệt đối. • Cách 2. Giải phương trình f (x) = 0 trên (a; b). Giả sử trên khoảng (a; b) phương trình có nghiệm a < x1 < x2 < . . . < xn < b. Do hàm số f (x) không đổi dấu trên mỗi khoảng (xi ; xi+1 ) nên ta có Zb | f (x) | dx = a Zx1 | f (x) | dx + a = Zx2 | f (x) | dx + . . . + x1 Zx1 f (x) dx + a Zx2 x1 Zb | f (x) | dx xn f (x) dx + . . . + Zb f (x) dx xn Ví dụ 1 d Tính các tích phân sau: a) Tính tích phân I = Z2 |1 − x| dx. 0 b) Tính tích phân I = Z2 | x2 − x | dx. 0 | Lời giải. a) Cách 1. Ta có 1 − x = 0 ⇔ x = 1 Và 1 − x ≥ 0, ∀x ∈ (0; 1) ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 220 221 | Page 2. TÍCH PHÂN Z1 Z2 ã 1 Å 2 ã x x2 + Do đó I = (1 − x) dx + (x − 1) dx = x − −x 2 0 2 0 1 Cách 2. phương trình 1 − x = 0 ⇔ x = 1 ∈ (0; 2), nên ta có I = Z2 |1 − x| dx = 0 = 1− Å Z1 |1 − x| dx + 0 Z2 |1 − x| dx = 1 Z1 2 = 1. 1 (1 − x) dx + Z2 (1 − x) dx 1 0 1 1 + −1 =1 2 2  x=0 b) Ta có x2 − x = 0 ⇔  x = 1. Do đó Z2 I = 2 | x − x | dx = 0 2 | x − x | dx + 0 Z1 = Z1 (x2 − x) dx + 0 Z2 1 Z2 | x2 − x | dx 1 (x2 − x) dx = 1 5 + =1 6 6  Bài 1. a) Tính tích phân I = Z2 |x2 − x| dx 0 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z3 x2 − 2x dx b) Tính tích phân 0 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 221 222 | Page 2. TÍCH PHÂN ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z4 x2 + 4x − 5 dx c) Tính tích phân 0 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z3 √ x3 − 2x2 + x dx d) Tính tích phân I = 0 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Zπ √ e) Tính tích phân I = cos x sin x dx 0 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 222 223 | Page 2. TÍCH PHÂN ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z2π √ 1 − cos 2x dx f) Tính tích phân I = 0 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . π. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z3 p tan2 x + cot2 x − 2 dx g) Tính tích phân I = π 6 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z1 2x − 2−x dx h) Tính tích phân I = −1 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z2 2x − |x + 1| dx i) Tính tích phân I = −2 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 223 224 | Page 2. TÍCH PHÂN ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... p Dạng 2.8. Phương pháp đổi biến số Zb b 0 = F [u(b)] − F [u(a)] . [f (x)] u (x) dx = F [u(x)] a a a) Biến đổi  để chọn phép đặt t = u(x) ⇒ dt = u0 (x)dx. x = b ⇒ t = u(b) b) Đổi cận . x = a ⇒ t = u(a) u(b) Z c) Đưa về dạng I = f (t) dt đơn giản hơn và dễ tính toán. u(a) Dạng: I = Z f (ax + b)n x dx Z f (ax + b)n x dx −→ Đặt t = ax + b ⇒ dt = adx. ãm Z Å xn I2 = dx −→ Đặt t = xn+1 + 1 ⇒ dt = (n + 1)xn dx. n+1 + 1 x Z I3 = f (ax2 + b)n xdx −→ Đặt t = ax2 + b ⇒ dt = 2axdx. I1 = Ví dụ 1 d Tính tích phân I = Z1 x(1 − x)19 dx. 0 | Lời giải. Đặt t = 1− x ⇒ x = 1 − t ⇒ dx = −dt. x = 0 ⇒ t = 1 Đổi cận: . x = 1 ⇒ t = 0 ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 224 225 | Page 2. TÍCH PHÂN Z0 19 Khi đó I = − (1 − t)t dt = 1 Z1 19 20 t −t  Å dt = 0 t20 t21 − 20 21 ã 1 = 0 1 1 1 − = . 20 21 420  Ví dụ 2 d Tính tích phân I = Z1 0 x3 dx. 1 + x2 | Lời giải. 1 Đặt t = 1 + x2 ⇒ x2 = t − 1 ⇒ 2xdx = dt ⇒ xdx = dt. 2  x = 0 ⇒ t = 1 Đổi cận . x = 1 ⇒ t = 2 ã 2 2Å Z1 x2 1Z 1 1Z t−1 1 dt = dt = (t − ln |t|) x dx = 1 − Khi đó I = 1 + x2 2 t 2 t 2 0 1 1 2 = 1 1 1 − ln 2. 2 2  Ví dụ 3 d Tính tích phân I = Z1 0 (7x − 1)99 dx. (2x + 1)101 | Lời giải. Z1 Å ã 7x − 1 99 1 Ta có I = · dx. 2x + 1 (2x + 1)2 0 7x − 1 9 1 1 Đặt t = ⇒ dt = dx ⇒ dx = dt. 2 2 2x + 1 (2x + 1) (2x + 1) 9  x = 0 ⇒ t = −1 Đổi cận . x = 1 ⇒ t = 2 2 1 t100 1 Z 99 t dt = · Khi đó I = 9 9 100 −1 2 = −1 2100 − 1 . 900  Bài 1. Tính các tích phân sau: a) I = Z2 x(1 − x)50 dx 1 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 225 226 | Page 2. TÍCH PHÂN ...................................................................................................... Z1  x 1 + x2 b) I = 4 dx 0 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Bài 2. Tính các tích phân sau: Z1 x5 dx a) I = x2 + 1 0 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z1 3 b) I = 0 x dx (1 + x2 )3 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 226 227 | Page 2. TÍCH PHÂN Bài 3. Tính I = Z3 2 x2017 dx (x − 1)2019 | Lời giải. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. Bài 4. Tính các tích phân sau: Z1 6 a) I = x5 1 − x3 dx 0 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z1  (1 + 3x) 1 + 2x + 3x2 b) I = 10 dx 0 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 227 228 | Page 2. TÍCH PHÂN Bài 5. Tính các tích phân sau: Z1  5 a) I = 2 x 1 − x2 dx 0 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z0 x2 (x + 1)15 dx b) I = −1 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z1  x2 1 + x3 c) I = n dx, (∀n ∈ N∗ ) 0 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z1  x 1 − x2 d) I = n dx, (∀n ∈ N∗ ) 0 | Lời giải. ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 228 229 | Page 2. TÍCH PHÂN ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Bài 6. Tính các tích phân sau: Z1 4x3 dx a) I = 4 + 2)3 (x 0 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z1 b) I = 0 x dx (x2 + 1)3 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Bài 7. Tính các tích phân sau: Z2 (x + 2)2017 a) I = dx x2019 1 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 229 230 | Page 2. TÍCH PHÂN ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Bài 8. Tính I = Z2 1 x2001 dx (1 + x2 )1002 | Lời giải. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. Dạng: I = Zb p p n f (x)f 0 (x) dx −→ Đặt t = n f (x) ⇒ tn = f (x) ⇒ ntn−1 dt = f 0 (x)dx. a Ví dụ 4 d Tính tích phân I = Z9 √ x 3 1 − x dx. 1 | Lời giải. Đặt t = √ 3 1 − x ⇒ t3 = 1 − x ⇒  x = 1 − t3 dx = −3t2 dt. Đổi cận  x = 1 ⇒ t = 0 x = 9 ⇒ t = −2. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 230 231 | Page Khi đó I = − 2. TÍCH PHÂN Z−2 3 2 (1 − t ) · t · 3t dt = 3 Z0 −2 0 3 t −t 6  t4 t7 dt = 3 − 4 7 Å ã 0 =− −2 468 . 7  Bài 9. Tính các tích phân sau: Z1 2x + 1 a) I = √ 2 dx x + x + 1 −1 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z1 √ x 1 − x dx b) I = 0 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Bài 10. Tính các tích phân sau: Z3 x a) I = √ dx x+1 0 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z1 √ x 2 − x2 dx b) I = 0 | Lời giải. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 231 232 | Page 2. TÍCH PHÂN ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z3 √ 3 x x2 − 1 dx c) I = 1 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... . . . . .√ ................................................................................................. Z7 √ 3 x 1 + x2 dx d) I = 0 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z0 √ (x − 1)2 x + 1 dx e) I = −1 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z1 √ x3 1 + x2 dx f) I = 0 ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 232 233 | Page 2. TÍCH PHÂN | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... . . . . .√ ................................................................................................. Z3 √ x5 1 + x2 dx g) I = 0 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... . . . . .√ ................................................................................................. Z7 3 h) I = 0 x √ dx 3 x2 + 1 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z1 √ x15 1 + 3x8 dx i) I = 0 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 233 234 | Page 2. TÍCH PHÂN Bài 11. Tính các tích phân sau: √ a) I = 2Z 3 √ 1 √ dx x x2 + 4 5 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z4 1 √ dx x x2 + 9 b) I = √ 7 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z2 1 dx x x3 + 1 √ c) I = 1 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 234 235 | Page 2. TÍCH PHÂN ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z5 1 dx x 3x + 1 √ d) I = 1 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Bài 12. Tính I = Z6 1 √ x+3+1 dx x+2 | Lời giải. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. Bài 13. Tính tích phân Z6 2 a) I = √ dx 4x + 1 + 1 0 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 235 236 | Page 2. TÍCH PHÂN ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z4 √ b) I = 0 4x − 1 dx 2x + 1 + 2 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z4 c) I = 1 1 √ dx x(1 + x) | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... √ Z2 √ d) I = 0 2+ x √ dx 1 + 2x | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 236 237 | Page 2. TÍCH PHÂN ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z4 4√x+1 e e) I = 1 √ x dx | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z1 √ (x − 1)3 2x − x2 dx f) I = 0 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z2 g) I = 1 x √ dx x + x2 − 1 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 237 238 | Page 2. TÍCH PHÂN ...................................................................................................... ...................................................................................................... . . . . .√ ................................................................................................. Z5 3 h) I = 0 x √ dx x + x2 + 4 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z1 3 i) I = 0 x2 x √ dx + x4 + 1 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 238 239 | Page 2. TÍCH PHÂN ...................................................................................................... Dạng: Đổi biến biểu thức chứa ln, ex hoặc lượng giác trong dấu căn Phương pháp giải: Đặt t là căn thức chứa lôgarit hoặc căn thức chứa mũ hoặc căn thức chứa lượng giác. Ví dụ 5 d Tính tích phân I = Ze 1 ln x √ dx x 1 + ln x | Lời giải. Đặt t = √ 1 + ln x ⇒ t2 = 1 + ln x ⇒  x = 1 ⇒ t = 1 Đổi cận: . x = e ⇒ t = √ 2 I = 1√  2t dt = dx . x √ √ Z2 2 (t    ln x = t2 − 1 − 1) · 2t dt = 2 t Z2 1 √ Å 3 ã  t 2 t − 1 dt = 2 −t 3 1 2 å Ç √ √ 2− 2 1 2 2 √ − 2− +1 = 2 = =2 3 3 3 4−2 2 . 3  Ví dụ 6 d Tính tích phân I = Ze3 1 ln2 x √ dx x ln x + 1 | Lời giải. Đặt t = Đổi cận: √ ln x + 1 ⇒ t2 = ln x + 1 ⇒  x = 1 ⇒ t = 1    ln x = t2 − 1  2t dt = dx . x . x = e3 ⇒ t = 2 I= Z2 1 Å 5 ã 2 Z2  (t2 − 1) · 2t t t3 4 2 dt = 2 t − 2t + 1 dt = 2 −2 +t t 5 3 1 2 = 1 76 . 15  ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 239 240 | Page 2. TÍCH PHÂN Ví dụ 7 d Tính tích phân I = Z2 √ cos x 3 sin x + 1 dx 0 | Lời giải. √ Đặt t = 3 sin x + 1 ⇒ t2 = 3 sin x + 1 ⇒ 2t dt = 3 cos x dx. x = 0 ⇒ t = 1 Đổi cận: . x = π ⇒ t = 2 2 Å ã 2 Å ã Z2 2 8 1 2 2 t3 14 = I = t · t dt = − = . 3 3 3 1 3 3 3 9  1 Ví dụ 8 d Tính tích phân I = Zln 2 0 √ e2x dx ex + 1 | Lời giải. Đặt t = √ ex + 1 ⇒ t2 = ex + 1 ⇒  ex = t2 − 1 2t dt = ex dx.  √ x = 0 ⇒ t = 2 Đổi cận: . x = ln 2 ⇒ t = √3 √ √ I= Z3 2 (t √ 2 Z3 − 1) · 2t dt = 2 t √ √ ã Å 3  t 2 t − 1 dt = 2 −t 3 2 √ 3 Ç =2 2 å √ √ √ 2 2 √ 2 2 3 3 √ − + 2 = . 3 3 3− 3  Bài 14. Tính tích phân √ Ze ln x 1 + 3 ln x a) I = dx x 1 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 240 241 | Page b) I = 2. TÍCH PHÂN Zln 2 √ ex 5 − ex dx 0 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... π c) I = Z2 √ sin x 1 + cos x dx 0 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... π d) I = Z2 0 sin 2x + sin x √ dx 1 + 3 cos x | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Bài 15. Tính tích phân √ a) I = eZ e 1 3 − 2 ln x √ dx x 1 + 2 ln x ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 241 242 | Page 2. TÍCH PHÂN | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Ze 3 b) I = 1 ln x p dx x 1 + 3 ln2 x | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... . . . . . . . . . . . .p .......................................................................................... 3 Ze 2 ln x c) I = 1 2 + ln x dx x | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Ze 1 dx x 1 + ln x √ 3 d) I = 1 | Lời giải. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 242 243 | Page 2. TÍCH PHÂN ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Zln 6 √ e) I = 0 1 dx +3 ex | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Zln 5 2x √ f) I = ln 2 e dx ex − 1 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... . . . . .√ ................................................................................................. Z3 x g) I = 0 e » dx (ex + 1)3 ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 243 244 | Page 2. TÍCH PHÂN | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . .x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z1 2 h) I = 0 (5x 5 √ − 9) 6 − 51−x dx | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... π i) I = Z2 0 √ sin 2x dx cos2 x + 4 sin2 x | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 244 245 | Page 2. TÍCH PHÂN ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... π j) I = Z2 √ 0 sin x cos x dx 4 cos2 x + 9 sin2 x | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... π k) I = Z2 0 cos x √ dx 2 + 3 sin x + 1 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... l) I = π Z4 √ 0 2 + 3 tan x dx 1 + cos 2x | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 245 246 | Page 2. TÍCH PHÂN π m) I = Z2 0 √ b2 sin x cos x dx cos2 x + c2 sin2 x | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Dạng: Đổi biến biểu thức chứa hàm ln không nằm trong căn I= Zb a 1 f (ln x) dx x .Phương pháp giải: 1 t = ln x ⇒ dt = dx  x  n t = m + n ln x ⇒ dt = dx. x Ví dụ 9 d Tính tích phân I = Ze 1 ln x dx x | Lời giải. 1 dx. x Đổi cận: x = e ⇒ t = 1; x = 1 ⇒ t = 0. 1 Z1 t2 1 Khi đó I = t dt = = . 2 0 2 Đặt t = ln x ⇒ dt =  0 Ví dụ 10 d Tính tích phân I = Ze 1 1 + ln2 x dx x | Lời giải. 1 dx. x Đổi cận: x = e ⇒ t = 1; x = 1 ⇒ t = 0. Đặt t = ln x ⇒ dt = ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 246 247 | Page Khi đó I = Z1 2. TÍCH PHÂN 2 1+t  Å dt = 0 t3 t+ 3 ã 1 =1+ 0 1 4 = . 3 3  Bài 16. Tính các tích phân Ze 2 ln x a) I = dx x 1 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Ze b) I = 1 1 + ln x dx x | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Ze c) I = 1 1 + 2 ln x dx x | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Ze 4 d) I = 1 1 + ln x dx x | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Ze e) I = 1 ln x dx x(2 + ln x)2 ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 247 248 | Page 2. TÍCH PHÂN | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Ze f) I = 1 ln x − 2 dx x ln x + x | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Bài 17. Tính các tích phân Ze ln2 x a) I = dx. x(1 + 2 ln x) 1 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Ze b) I = 1 ln x + 1 dx. x ln x + 1 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Ze c) I = 1 1 + ln x dx. 2 + x ln x ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 248 249 | Page 2. TÍCH PHÂN | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Ze2 d) I = e 1 dx. x ln x · ln ex | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Ze e) I = 1 2x + ln x + 1 dx. x | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 249 250 | Page f) I = Z2 1 2. TÍCH PHÂN 1 + x ln x dx. x2 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... . . . . . . . .√ .............................................................................................. Ze g) I = 1 4 + ln x dx. x | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... . . . . . . . .√ .............................................................................................. Ze h) I = 1 1 + 3 ln x dx. x | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Bài 18. Tính cácptích phân Ze ln x 1 + ln2 x a) I = dx. x 1 ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 250 251 | Page 2. TÍCH PHÂN | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... . . . . .√ ................................................................................................. Ze 1 b) I = 1 x p 1 − ln2 x dx. | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... . . . . . . . . . . . .p .......................................................................................... 3 Ze 2 ln x c) I = 1 2 + ln x dx. x | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 251 252 | Page 2. TÍCH PHÂN ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Ze 3 d) I = 1 ln x − 2 log2 x p dx. x 1 + 3 ln2 x | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Ze 3 e) I = 1 log x p 2 dx. x 3 + ln2 x | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 252 253 | Page 2. TÍCH PHÂN ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Ze x f) I = 1 xe + 1 dx. x(ex + ln x) | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Ze2 2 g) I = e (x + 1) ln x + 1 dx. x ln x | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Ze2 h) I = 2 ln x − 1 dx. x(8 ln x − 8 ln x + 3) 2 1 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 253 254 | Page 2. TÍCH PHÂN ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ......................................................................................................  √ Z5 i) I = 2 ln x − 1 + 1 √ dx. x−1+ x−1 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z1 j) I = 0 ln(3 + x) − ln(3 − x) dx. 9 − x2 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 254 255 | Page 2. TÍCH PHÂN ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Dạng: I= Zb f (ex ) ex dx. a  Đặt  t = ex ⇒ dt = ex dx t = m + nex ⇒ dt = nex dx. Ví dụ 11 d Tính tích phân I = Z1 2 xex dx. 0 | Lời giải. dt . 2 Với x = 0 ⇒ t = 1 và x = 1 ⇒ t = e. Khi đó 2 2 2 Đặt t = ex ⇒ dt = 2xex dx ⇒ xex dx = I= Ze 1 dt t = 2 2 e = 1 e−1 . 2  Ví dụ 12 d Tính I = Z2 2 (2x − 1) ex−x dx. 0 | Lời giải. 2 2 Đặt t = ex−x ⇒ dt = (1 − 2x)ex−x dx. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 255 256 | Page 2. TÍCH PHÂN Với x = 0 ⇒ t = 1 và x = 2 ⇒ t = e−2 . Khi đó I= Z1 e−2 1 = 1 − e−2 . dt = t e−2  Bài 19. Tính các tích phân Zln 2 ex a) I = dx. x + 1)2 (e 0 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z3 b) I = 1 1 dx. ex − 1 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Zln 3 c) I = 0 ex 1 dx. +2 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Zln 2 x d) I = 0 2e − 1 dx. ex + 1 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 256 257 | Page 2. TÍCH PHÂN ...................................................................................................... Z1 x e) I = 0 ex e dx. + e−x | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... Bài 20. Tính các tích phân Zln 5 1 a) I = dx. x e + 2e−x − 3 ln 3 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z1 x 3 b) I = 0 (1 + e ) dx. ex | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z1 −2x c) I = 0 e dx. 1 + e−x | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 257 258 | Page d) I = Zln 2 0 2. TÍCH PHÂN e2x + 3ex dx. e2x + 3ex + 2 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Zln 5 2x √ e) I = ln 2 e dx. ex − 1 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Dạng: Zb f (sin x) cos x dx a  t = sin x ⇒ dt = cos x dx Đặt  t = m + n sin x ⇒ dt = n cos x dx. Ví dụ 13 π d Tính I = Z4 cot x dx. π 6 | Lời giải. Ta có I = π π Z4 Z4 cot x dx = π 6 π 6 cos x dx. sin x Đặtt = sin x ⇒ dt = cos x dx. π 1  x = ⇒ t = 6 2√ Có  π x = ⇒ t = 2 . 4 √ 2 √ 2 Khi đó I = Z2 1 2 dt = ln |t| t 2 2 = 1 2 1 ln 2. 2  ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 258 259 | Page 2. TÍCH PHÂN Ví dụ 14 π d Tính I = Z2 sin2 x cos x dx. 0 | Lời giải. Đặtt = sin x ⇒ dt = cos x dx. x = 0 ⇒ t = 0 Có x = π ⇒ t = 1. 2 1 Z1 1 t3 2 = . Khi đó I = t dt = 3 3 0 0  Ví dụ 15 π d Tính I = Z2 (1 − 3 sin x) cos x dx. 0 | Lời giải. Đặtt = sin x ⇒ dt = cos x dx. x = 0 ⇒ t = 0 Có x = π ⇒ t = 1. 2 ã 1 Å Z1 3 2 1 Khi đó I = (1 − 3t) dt = t − t =− . 2 2 0 0  Bài 21. Tính các tích phân π a) I = Z4 cos3 x dx. 0 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 259 260 | Page 2. TÍCH PHÂN ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... π b) I = Z3 cos5 x dx. 0 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... π c) I = Z6 0 1 dx. cos x | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... π d) I = Z6 0 1 dx. cos3 x | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 260 261 | Page 2. TÍCH PHÂN ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... π e) I = Z2 (1 + sin x)2 cos x dx. 0 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... π f) I = Z2 (1 + 2 sin x)3 cos x dx 0 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 261 262 | Page 2. TÍCH PHÂN ...................................................................................................... π g) I = Z2 sin 2x sin3 x dx. 0 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... π h) I = Z2 sin 2x(1 + sin2 x)3 dx. 0 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... π i) I = Z2 0 cos x dx. 1 + sin x | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... π j) I = Z2 0 cos x dx. 5 − 2 sin x ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 262 263 | Page 2. TÍCH PHÂN | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Bài 22. Tính các tích phân π a) I = Z2 0 sin 2x dx. 1 + sin x | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z0 b) I = − π2 sin 2x dx. (2 + sin x)2 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... . . . . . .π. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z2 c) I = 0 (2 sin x − 3) cos x dx. 2 sin x + 1 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 263 264 | Page 2. TÍCH PHÂN ...................................................................................................... . . . . . .π. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z4 d) I = 0 cos 2x dx. 1 + 2 sin 2x | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... . . . . . .π. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z2 3 e) I = π 6 cos x dx. sin2 x | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... . . . . . .π. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z2 3 f) I = π 4 cos x dx. 1 + sin x | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... . . . . . .π. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z2  cos 2x sin4 x + cos4 x dx. g) I = 0 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 264 265 | Page 2. TÍCH PHÂN ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... . . . . . .π. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z6 h) I = 0 cos x dx. 6 − 5 sin x + sin2 x | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... . . . . . .π. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z2  esin x + cos x cos x dx. i) I = 0 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... . . . . . .π. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z2  cos3 x − 1 cos2 x dx. j) I = 0 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 265 266 | Page 2. TÍCH PHÂN ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... . . . . . .π. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z2 √ 1 + sin x cos x dx. k) I = 0 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... . . . . . .π. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z2 √ cos x 3 sin x + 1 dx. l) I = 0 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... . . . . . .π. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z2 m) I = 0 cos x √ dx. 2 + 3 sin x + 1 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Dạng: I= Zb f (cos x) sin x dx. a  t = cos x ⇒ dt = − sin x dx. Phương pháp giải: Đặt  . t = m + n cos x ⇒ dt = −n sin x dx ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 266 267 | Page 2. TÍCH PHÂN Ví dụ 16 π d Tính I = Z3 tan x dx. 0 | Lời giải. π Z3 sin x dx. cos x 0 Đặt cos x = t ⇒ − sin x dx = dt. π 1 Đổi cận x = ⇒ t = ; x = 0 ⇒ t = 1. 3 2 1 Ta có I = Khi đó I = Z2 1 1 − dt = (− ln |t|) t 1 2 1 1 = − ln . 2  Ví dụ 17 π d Tính I = Z4 cos2 x sin x dx. 0 | Lời giải. Đặt cos x = t ⇒ − sin x√dx = dt. π 2 Đổi cận x = ⇒ t = ; x = 0 ⇒ t = 1. 2 √4 2 √ Å 3 ã √2 Z2 t 1 2 2 2 Khi đó I = −t dt = − . = − 3 1 3 12  1 Ví dụ 18 π d Tính I = Z3 sin x cos4 x dx. 0 | Lời giải. Đặt cos x = t ⇒ − sin x dx = dt. π 1 Đổi cận x = ⇒ t = ; x = 0 ⇒ t = 1. 3 2 1 Å 5ã 1 Z2 31 t 2 4 Khi đó I = −t dt = − = . 5 1 160  1 Bài 23. Tính các tích phân π a) I = Z3 sin3 x dx. 0 ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 267 268 | Page 2. TÍCH PHÂN | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... . . . . . .π. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z6 sin5 x dx. b) I = 0 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... . . . . . .π. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z2 c) I = 0 sin x dx. 1 + cos x | Lời giải. ...................................................................................................... . . . . . .π. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z3 d) I = 0 sin x dx. cos2 x | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... Zπ sin 2x cos2 x dx. e) I = 0 | Lời giải. ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 268 269 | Page 2. TÍCH PHÂN . . . . . .π. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z2 sin x cos x(1 + cos x)2 dx. f) I = 0 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... . . . . . .π. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z2 3 g) I = 0 4 sin x dx. 1 + cos x | Lời giải. ...................................................................................................... . . . . . .π. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z3 sin2 x tan x dx. h) I = 0 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... . . . . . .π. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z2 i) I = 0 sin 2x cos x dx. 1 + cos x | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 269 270 | Page 2. TÍCH PHÂN ...................................................................................................... ...................................................................................................... Bài 24. Tính các tích phân π a) I = Z2 0 sin 2x dx. 3 cos2 x + 1 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... . . . . . .π. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z2 b) I = 0 sin 2x dx. 4 − cos2 x | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... . . . . . . . . . . . . .π. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z2 c) Tính I = 0 sin 4x dx. 1 + cos2 x | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 270 271 | Page 2. TÍCH PHÂN π d) I = Z2 0 sin3 x dx. 1 + cos2 x | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... . . . . . . . . . . . . .π. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z4   f) Tính I = 1 + tan x tan 0 x sin x dx. 2 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... . . . . . . . . . . . . .π. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z2 g) Tính I = 0 sin x dx. cos 2x + 3 cos x + 2 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 271 272 | Page 2. TÍCH PHÂN ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... . . . . . . . . . . . . .π. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z2 sin x dx. cos 2x − cos x h) Tính I = π 3 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... . . . . . .π. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z3 i) I = 0 sin x dx. cos3 x | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Dạng: I= Zb f (tan x) a Phương pháp giải: Đặt t = tan x ⇒ dt = Tính I = Zb a f (cot x) 1 dx. cos2 x 1 dx = (1 + tan2 x) dx. cos2 x 1 dx. sin2 x Phương pháp giải: Đặt t = cot x ⇒ dt = − 1 dx = − (1 + cot2 x) dx. sin2 x ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 272 273 | Page 2. TÍCH PHÂN Ví dụ 19 π d Tính I = Z4 0 1 (1 + tan x)3 3 π 4 0 π 4 π 4 Z Z (1 + tan x)2 (1 + tan x)2 (1 + tan x)2 d(1 + tan x) = dx. loigiai I = dx = cos2 x cos2 x 0 0 7 = . 3 Ví dụ 20 π d Tính I = Z4 √ 2 + 3 tan x dx. 1 + cos 2x 0 | Lời giải. π Z4 √ π 4 √ 2 + 3 tan x dx. 2 cos2 x 0 0 √ 2 1 Đặt 2 + 3 tan x = t ⇒ 2 + 3 tan x = t2 ⇒ dx = t dt. 2 3 √ √ cos x π Đổi cận x = 0 ⇒ t = 2; x = ⇒ t = 5. √ √ 4 √ √ √ Z5 Z5 1 3 5 5 5−2 2 t 2 1 2 t dt = t √ = Khi đó I = · t dt = . 3√ 9 9 2 √ 2 3 Ta có I = Z 2 + 3 tan x dx = 1 + cos 2x 2  2 Ví dụ 21 π d Tính I = Z4 0 (cos x + etan x ) sin x dx. cos3 x | Lời giải. π Ta có I = 0 π I1 = Z4 0 Z4 π 4 π 4 π 4 Z tan x Z Z cos x sin x e sin x sin x tan xetan x dx + dx = dx + dx. cos3 x cos3 x cos2 x cos2 x π sin x dx = cos2 x π Z4 0 0 0 1 − d(cos x) = 2 cos x cos x π 4 = √ 0 2 − 1. 0 Z4 tan xetan x dx. cos2 x 0 1 Đặt tan x = t ⇒ dx = dt. cos2 x π Đổi cận x = 0 ⇒ t = 0; x = ⇒ t = 1. 4 Tính I2 = Z1 tet dt = (tet − et ) 0 √ Vậy I = I1 + I2 = 2. Khi đó I2 = 1 = 1. 0  ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 273 274 | Page 2. TÍCH PHÂN Bài 25. Tính các tích phân π a) I = Z6 0 tan4 x dx. cos 2x | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... . . . . . . . . . . . . .π. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z3 b) Tính I = π 4 dx . sin x cos3 x | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 274 275 | Page 2. TÍCH PHÂN Bài 26. Tính các tích phân π a) I = Z6 0 5 cos2 1 dx. x − 8 sin x cos x + 3 sin2 x | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... . . . . . .π. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z2 b) I = 1 dx. sin x + 3 sin x cos x + 1 2 π 4 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 275 276 | Page 2. TÍCH PHÂN π c) I = Z4 π 6 sin x dx. 2 cos x + 5 cos2 x sin x | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... . . . . . . π. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z4 d) I = − π4 sin x(2 − sin 2x) dx. cos3 x | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Bài 27. Tính các tích phân π a) I = Z4 0 tan3 x − 3 dx sin2 x − sin 2x − 3 cos2 x | Lời giải. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 276 277 | Page 2. TÍCH PHÂN ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... . . . . . .π. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z4 b) I = 0 1 + sin 2x dx 2 sin x cos3 x + cos4 x | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 277 278 | Page 2. TÍCH PHÂN ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... . . . . . .π. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z4 4 c) I = 0 sin x + 1 dx cos4 x | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 278 279 | Page 2. TÍCH PHÂN ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... . . . . . .π. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z4 d) I = π 6 1 dx cos4 x sin2 x | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... . . . . . .π. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z6 e) I = 0 1  dx cos x cos x + π4 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... . . . . . .π. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z3 f) I = π 6 1  dx sin x sin x + π6 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 279 280 | Page 2. TÍCH PHÂN ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... . . . . . .π. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z2 sin x dx (sin x + cos x)3 g) I = π 4 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Dạng: I= Zb f (sin x ± cos x) dx a Phương pháp : Đặt t = sin x ± cos x ⇒ dt = (cos x ± sin x) dx Ví dụ 22 d Tính các tích phân π a) I = Z2 π 4 π sin x − cos x dx. sin x + cos x b) I = Z4 0 sin x − cos x dx. sin x + cos x + 3 2 | Lời giải. a) Đặt t = sin x + cos x ⇒ dt = − (sin x − cos x) dx √ π π Đổi cận x = ⇒ t = 2, x = ⇒ t = 1 2 √4 Z2 √ 1 1 Khi đó I = dt = ln |t||1 2 = ln 2. t 2 1 ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 280 281 | Page 2. TÍCH PHÂN b) Đặt t = sin x + cos x + 3 ⇒ dt = − (sin x − cos x) dx √ π Đổi cận x = 0 ⇒ t = 4, x = ⇒ t = 3 + 2 4 Z4 1 4 √ . dt = ln |t||43+√2 = ln Khi đó I = 3+ 2 √ t 3+ 2  Ví dụ 23 d Tính các tích phân a) I = π π Z4 Z2 0 cos 2x dx. sin x + cos x + 2 b) I = 0 cos 2x dx. (sin x − cos x + 3)3 | Lời giải. cos 2x (cos x + sin x) (cos x − sin x) = . sin x + cos x + 2 sin x + cos x + 2 Đặt t = sin x + cos x + 2 ⇒ dt = (cos x − sin x) dx. √ π Đổi cận x = 0 ⇒ t = 3, x = ⇒ t = 2 + 2. 4 √ 2+ Z 2 √ √ 3 t−2 2+ 2 √ . Khi đó I = dt = (t − 2 ln |t|)|3 = 2 − 1 + 2 ln t 2 + 2 3 √ 3 √ . Vậy I = 2 − 1 + 2 ln 2+ 2 cos 2x (cos x + sin x) (cos x − sin x) b) Ta có . 3 = (sin x − cos x + 3) (sin x − cos x + 3)3 Đặt t = sin x − cos x + 3 ⇒ dt = (cos x + sin x) dx. π Đổi cận x = 0 ⇒ t = 2, x = ⇒ t = 4. 2 ã Å ã4 Z4 Z4 Å t−3 1 3 1 3 1 1 Khi đó I = − dt = − − 3 dt = − − + · 2 | = . 3 2 t t t t 2 t 32 2 2 2 1 Vậy I = . 32 a) Ta có  Ví dụ 24 π d Tính I = Z4 0 cos 2x  π  dx. (1 + sin 2x) cos x − 4 | Lời giải. √ cos2x Ta có  (1 + sin 2x) cos x − π Khi đó I = Z4 0 π = 4 2(cos x − sin x) (sin x + cos x)2 √ d (sin x + cos x) 2 2 = − sin x + cos x (sin x + cos x) π 4 = √ 2 − 1. 0 ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 281 282 | Vậy I = Page 2. TÍCH PHÂN √ 2 − 1.  Bài 28. Tính các tích phân π a) I = Z2 π 4 1 + sin 2x + cos 2x dx sin x + cos x | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... . . . . . .π. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . √ Z4 2(sin x − cos x) dx sin 2x + 2(1 + sin x + cos x) b) I = 0 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Bài 29. Tính các tích phân π a) I = Z4 0 cos 2x dx (sin x + cos x + 2)3 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 282 283 | Page 2. TÍCH PHÂN ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) .π. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z4 0 sin x + cos x dx 3 + sin 2x | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... π Bài 30. Tính I = Z4 0 sin 4x √ dx 5 − 4 sin x − cos2 x + cos x | Lời giải. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 283 284 | Page 2. TÍCH PHÂN ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. Bài 31. Tính các tích phân π a) I = Z4 0 cos2 x(1 + cos x) − sin2 x(1 + sin x) dx sin x + cos x | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) .π. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z4 0 cos 2x √ dx 2 − 1 + sin x − cos x | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 284 285 | Page 2. TÍCH PHÂN ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Bài 32. Tính các tích phân π a) Z4 0 3 cos 2x − sin 4x dx 2 − sin x − cos x . | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 285 286 | Page 2. TÍCH PHÂN ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... . . . . . .π. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z4 b) I = 0 4(sin x + cos x) − cos 2x dx 2(sin x − cos x − 1) − sin 2x | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Dạng: Zb  f sin2 x, cos2 x sin 2x dx a ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 286 287 | Page 2. TÍCH PHÂN  t = sin2 x ⇒ dt = sin 2x dx  Phương pháp : Đặt t = cos2 x ⇒ dt = − sin 2x dx Ví dụ 25 π d Tính Z2 0 sin 2x dx 1 + cos2 x | Lời giải. Đặt t = 1 + cos2 x ⇒ dt = − sin 2x dx π Đổi cận x = 0 ⇒ t = 2; x = ⇒ t = 1. 2 Z2 1 Khi đó I = dt = ln |t||21 = ln 2. t 1 Vậy I = ln 2.  Ví dụ 26 π d Tính I = Z2 esin 2 x sin 2x dx 0 | Lời giải. Đặt t = sin2 x ⇒ dt = sin 2x dx π Đổi cận x = 0 ⇒ t = 0; x = ⇒ t = 1. 2 Khi đó I = Z1 et dt = et 1 0 = e − 1. 0 Vây I = e − 1.  π Bài 33. Tính I = Z2 sin 2x(1 + sin2 x)3 dx 0 | Lời giải. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 287 288 | Page 2. TÍCH PHÂN Bài 34. Tính các tích phân π a) I = Z4 0 sin 4x dx 1 + cos2 x | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... . . . . . .π. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z2 √ b) I = 0 cos2 sin 2x dx x + 4 sin2 x | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... π Bài 35. Tính I = Z2 0 sin x cos x √ dx 4 cos2 x + 9 sin2 x | Lời giải. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 288 289 | Page 2. TÍCH PHÂN ............................................................................................................. π Bài 36. Tính I = Z2 0 sin x cos x √ dx 2 b cos2 x + c2 sin2 x | Lời giải. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. Dạng: I= Zb f Ä√ ä a2 − x2 x2n dx a Phương pháp : Đặt x = a sin t ⇒ dx = a cos t dt. Ví dụ 27 d Tính các tích phân a) I = Z1 √ 1− x2 dx. b) I = 0 Z1 √ 1− x2 dx. c) I = Z2 √ x2 4 − x2 dx 0 − 12 | Lời giải. a) Đặt x = sin t ⇒ dx = cos t dt. Đổi cận x = 0 ⇒ t = 0; x = 1 ⇒ t = Khi đó I = π π Z2 Z2 2 cos t dt = 0 0 π . 2 Å ã 1 1 1 (1 + cos 2t) dt = t + sin 2t 2 2 2 π 2 = 0 π Vậy I = . 4 b) Đặt x = sin t ⇒ dx = cos t dt. π π 1 Đổi cận x = − ⇒ t = − ; x = 1 ⇒ t = . 2 6π 2 π Khi đó I = Z2 − π6 cos2 t dt = Z2 − π6 Å ã 1 1 1 (1 + cos 2t) dt = t + sin 2t 2 2 2 π 2 − π6 π . 4 √ π 3 = + . 3 8 ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 289 290 | Page 2. TÍCH PHÂN √ π 3 Vậy I = + . 3 8 c) Đặt x = 2 sin t ⇒ dx = 2 cos t dt. Đổi cận x = 0 ⇒ t = 0; x = 2 ⇒ t = π . 2 Khi đó π I= Z2 0 π π Å ã Z2 Z2 p 1 2 2 2 4 sin t· 4 − 4 sin t·2 cos t dt = 4 sin 2t dt = 2 (1−cos 4t) dt = 2 t − sin 4t 4 0 0 π 2 =π 0 Vậy I = π.  Bài 37. Tính các tích phân Z1 √ a) I = x2 1 − x2 dx 0 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... . . . . . .√. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 b) I = Z2 √ 0 x2 dx 1 − x2 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z1 2 √ c) I = 0 x dx 4 − x2 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 290 291 | Page 2. TÍCH PHÂN ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Bài 38. Tính các tích phân Z2 √ a) I = 2x − x2 dx 0 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z1 √ x − x2 dx b) I = 1 2 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z1 2 √ c) I = 0 x dx 3 + 2x − x2 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 291 292 | Page 2. TÍCH PHÂN ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Dạng: I= Zβ f ÄÄ√ äm ä x 2 + a2 x2n dx α Phương pháp giải: Đặt x = a tan t ⇒ dx = a (1 + tan2 t) dt. Ví dụ 28 d Tính các tích phân sau a) I = Z1 0 1 dx 1 + x2 b) I = √ 2Z 3 2 √ 3 3 dx x2 + 4 | Lời giải. a) Đặt x = tan t ⇒ dx = (1 + tan2 t) dt. Đổi cận: x=0⇒t=0 π x=1⇒t= 4 π I= Z4 0 π 4 Z 1 2 · (1 + tan t) dt = dt = t 1 + tan2 t 0 π 4 = 0 π . 4 b) Đặt x = 2 tan t ⇒ dx = 2(1 + tan2 t) dt. √ π Đổi cận: x = 2 3 ⇒ t = 3 π x=2⇒t= 4 π I= Z3 π 4 π √ √ Z3 √ 3 3 3 3 3 3 2 · 2(1 + tan t) dt = dt = t 4 + 4 tan2 t 2 2 π 4 √ π 3 = π 4 3π . 8  ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 292 293 | Page 2. TÍCH PHÂN Bài 39. Tính các tích phân sau Z4 1 dx a) I = 2 x − 2x + 4 2 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z1 b) I = 0 x2 1 dx +x+1 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z1 3 c) I = 0 x dx 1 + x8 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 293 294 | Page 2. TÍCH PHÂN ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z2 √ d) I = 0 dx x2 + 4 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Bài 40. Tính các tích phân sau Z1 √ a) I = x2 + 1dx 0 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 294 295 | Page 2. TÍCH PHÂN ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... . . . . .√ ................................................................................................. Z3 b) I = 0 dx √ 3 + x2 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z1 √ c) I = 0 1 dx x2 + x + 1 | Lời giải. ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 295 296 | Page 2. TÍCH PHÂN ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... √ Z2 √ d) I = 0 3 dx x2 + 2x + 4 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 296 297 | Page 2. TÍCH PHÂN ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... .....√ ................................................................................................. Z3 e) I = √ 3 3 1 p dx (1 + x2 )3 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Bài 41. Tính các tích phân sau Z2 √ a) I = x2 x2 + 4dx 0 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 297 298 | Page 2. TÍCH PHÂN ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... . . . . .√ ................................................................................................. Z3 2 b) I = 0 x √ dx 3 + x2 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 298 299 | Page 2. TÍCH PHÂN ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Dạng: Zβ Å… f α Phương pháp giải: ã Zβ Å… a±x dx a) f a ∓ x α b) c) Zβ α Zβ (a + R dx √ n bxn ) î s√ 1 a+ đặt x = a cos 2t. bxn ax + b, · · · , ã Zβ dx a±x √ dx; ; n a∓x (a + bx ) n a + bxn α √ sk 1 đặt x = . t ó ax + b dx α đặt tn = ax + b, với n là bội chung nhỏ nhất {s1 , s2 , · · · , sk }. Zβ √ √ dx p d) đặt t = ax + b + cx + d (ax + b)(cx + d) α Ví dụ 29 d Tính các tích phân sau a) I = Z64 1 1 √ √ dx 3 x+ x b) I = Z2 … 0 2−x dx x+2 c) I = Z1 0 1 √ dx 2 x + 4x + 3 | Lời giải. a) Đặt t = √ 6 x ⇒ x = t6 ⇒ dx = 6t5 dt. Với x = 1 ⇒ t = 1 và x = 64 ⇒ t = 2. Z2 ã Z2 Z2 Å 1 6t3 6t5 dt 2 = dt = 6 t −t+1− dt I = t3 + t2 t+1 t+1 1 1 1 Å 3 ã2 2 t t = 6 − + t − ln |t + 1| 3 2 1 2 = 11 + 6 ln . 3 ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 299 300 | Page 2. TÍCH PHÂN b) Đặt x = 2 cos 2t ⇒ dx = −4 sin 2tdt. Với x = 0 ⇒ t = π Z4 … 2 − 2 cos 2t 4 sin 2tdt = 2 + 2 cos 2t 0 ã π4 Å 1 = 4 t − sin 2t 2 0 = π − 2. I = √ π và x = 2 ⇒ t = 0. 4 π π π Z4 Z4 Z4 tan t · 4 sin 2tdt = 0 8 sin2 tdt = 0 4(1 − cos 2t)dt 0 √ 1 2 dx x + 3 ⇒ dt = p dt ⇔ dt = p . t 2 (x + 1)(x + 3) (x + 1)(x + 3) √ √ Với x = 0 ⇒ t = 1 + 3 và x = 1 ⇒ t = 2 + 2 c) Đặt t = x+1+ I = √ 2+ Z 2 √ 1+ 3 2 dt = 2 ln |t| t √ 2+ 2 √ 1+ 3 √ 2+ 2 √ . = 2 ln 1+ 3  Bài 42. Tính các tích phân sau Z1 √ 4 x √ dx a) I = 1+ x 0 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z27 √ b) I = 1 x−2 √ dx 3 x + x2 ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 300 301 | Page 2. TÍCH PHÂN | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... … Z1 c) I = 0 1 x2 2−x dx 2+x | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 301 302 | Page 2. TÍCH PHÂN ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Bài 43. Tính tích phân I = Z2 1 1 √ √ dx 3 x2 + 4 x | Lời giải. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. Bài 44. Tính các tích phân sau √ Z1 1− x √ dx a) I = 1+ x 0 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z1 … b) I = 0 3−x dx 1+x | Lời giải. ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 302 303 | Page 2. TÍCH PHÂN ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... p Dạng 2.9. Tích phân từng phần d Định lí 2.1. Nếu u = u(x) và v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn [a; b] thì I= Zb 0 u(x)v (x) dx = [u(x)v(x)]|ba a − Zb a 0 u (x)v(x) dx hay I = Zb a u dv = uv|ba − Zb v du. a Thực hành: ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 303 304 | Page 2. TÍCH PHÂN a) Nhận dạng: Tích hai hàm khác loại nhân nhau, chẳng hạn: mũ nhân lượng giác, . . . b) Đặt:  VP u = · · · · · · −→ du = · · · · · · dx NH  dv = · · · dx −→ v = ······ . Suy ra I = Zb u dv = uv|ba − a Zb v du. a c) Thứ tự ưu tiên chọn u: loga - đa - lượng - mũ và dv = phần còn lại. Nghĩa là 1 nếu có ln x hay loga x thì chọn u = ln x hay u = loga x = · ln x và dv = còn lại. Nếu ln a không có ln, log thì chọn u = đa thức và dv = còn lại. Nếu không có log, đa thức, ta chọn u = lượng giác, . . . Chú ý Bậc của đa thức và bậc của ln tương ứng với số lần lấy nguyên hàm. d) Dạng mũ nhân lượng giác là dạng nguyên hàm từng phần luân hồi. Ví dụ 1 d Tính I = Z1 (x − 3)ex dx. 0 | Lời giải.  u = x − 3 ⇒ du = dx Chọn  dv = ex dx ⇒ v = ex . x 1 Khi đó I = (x − 3)e − 0 Z1 ex dx = −2e + 3 − ex 1 = 4 − 3e. 0 0  Ví dụ 2 d Tính I = Z1 (x2 + 2x)ex dx. 0 | Lời giải.  u = x2 + 2x ⇒ du = 2(x + 1) dx Chọn  dv = ex dx ⇒ v = ex . 2 x 1 Khi đó I = (x + 2x)e 0 Z1 Z1 − 2 (x + 1)e dx = 3e − 2 (x + 1)ex dx = 3e − 2J. 0 x 0 ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 304 305 | Page Tính J: Chọn 2. TÍCH PHÂN  u1 = x + 1 ⇒ du1 = dx  dv = ex dx ⇒ v = ex . Khi đó J = (x + 1)e x 1 − 0 Z1 ex dx = 2e − 1 − ex 0 Vậy I = 3e − 2e = e. 1 = e. 0  Ví dụ 3 d Tính I = Zπ ex cos x dx. 0 | Lời giải.  u = cos x ⇒ du = − sin x dx Chọn  dv = ex dx ⇒ v = ex . π x Khi đó I = e cos x + Zπ sin xex dx = −eπ − 1 + J. 0 Tính J. Chọn 0  u1 = sin x ⇒ du1 = cos x dx  dv = ex dx ⇒ v = ex . π Khi đó J = sin xex − I = −I. 0 1 π Vậy I = − (e + 1). 2  Bài 1. Tính các tích phân sau: a) I = Z1 xex dx. 0 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z2 (2x − 1)ex dx. b) I = 0 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 305 306 | Page 2. TÍCH PHÂN ...................................................................................................... Z1 (2x + 1)ex dx. c) I = 0 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z1 (4x − 1)e2x dx. d) I = 0 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z1 (x − 1)e2x dx. e) I = 0 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z3 xe−x dx. f) I = 1 | Lời giải. ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z2 (1 − 2x)e−x dx. g) I = 0 | Lời giải. ...................................................................................................... ÔBiên soạn: Những nẻo đường phù sa 306 307 | Page 2. TÍCH PHÂN ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... Z3 x2 e−x dx. h) I = 1 | Lời giải. ...................................................................................................... ............