Chuyên đề nguyên hàm, tích phân và ứng dụng ôn thi THPT 2021 – Nguyễn Bảo Vương

Giới thiệu Chuyên đề nguyên hàm, tích phân và ứng dụng ôn thi THPT 2021 – Nguyễn Bảo Vương

Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và bạn đọc Chuyên đề nguyên hàm, tích phân và ứng dụng ôn thi THPT 2021 – Nguyễn Bảo Vương CHƯƠNG NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN.

Chuyên đề nguyên hàm, tích phân và ứng dụng ôn thi THPT 2021 – Nguyễn Bảo Vương

Tài liệu môn Toán 12 và hướng dẫn giải chi tiết các đề thi từ cơ bản đến vận dụng cao sẽ luôn được cập thường xuyên từ hoctoanonline.vn , các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán hay và mới nhất.

Tài liệu Chuyên đề nguyên hàm, tích phân và ứng dụng ôn thi THPT 2021 – Nguyễn Bảo Vương

Các em học sinh và bạn đọc tìm kiếm thêm tài liệu Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng tại đây nhé.

Text Chuyên đề nguyên hàm, tích phân và ứng dụng ôn thi THPT 2021 – Nguyễn Bảo Vương
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 NGUYÊN HÀM Chuyên đề 25 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH – MỨC 5-6 ĐIỂM Dạng. Nguyên hàm cơ bản Bảng nguyên hàm của một số hàm thường gặp (với C là hằng số tùy ý)   0dx  C .   k dx  kx  C .     x dx  ln x  C .  x  x n 1 C. n 1 1 (ax  b)n 1 C. a n 1     ax  b dx  a ln ax  b  C .   (ax  b)  sin x dx   cos x  C .   sin(ax  b)dx   a cos(ax  b)  C .   cosx dx  sin x  C .   cos(ax  b)dx  a sin(ax  b)  C .   sin   dx 1   cot(ax  b)  C . a sin (ax  b )     dx 1  tan(ax  b)  C . cos (ax  b) a   e dx  e  e  x  a dx   x   a dx  x n dx  1 1 2 dx   1 2 x 1 C. x dx   cot x  C . 1 dx  tan x  C . cos2 x x x C. ax C. ln a (ax  b)n dx  1 1 1 2 1 1 dx    C. a ax  b 1 1 2 2 ax b 1 dx  eax b  C . a 1 a x  C.  ln a ♦ Nhận xét. Khi thay x bằng (ax  b) thì khi lấy nguyên hàm nhân kết quả thêm 1  a Một số nguyên tắc tính cơ bản PP  Tích của đa thức hoặc lũy thừa    khai triễn. PP  Tích các hàm mũ   khai triển theo công thức mũ. 1 1 1 1  Bậc chẵn của sin và cosin  Hạ bậc: sin2 a   cos2a, cos2 a   cos2a. 2 2 2 2 PP  Chứa tích các căn thức của x    chuyển về lũy thừa. Câu 1. (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Hàm số F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) trên khoảng K nếu A. F ‘( x)   f ( x), x  K . C. F ‘( x)  f ( x), x  K . Câu 2. B. f ‘( x)  F ( x), x  K . D. f ‘( x)   F ( x), x  K . 2 (Mã 101 – 2020 Lần 1)  x dx bằng A. 2x  C . B. 1 3 x C . 3 C. x3  C . D. 3x 3  C Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Câu 3. Câu 4. (Mã 102 – 2020 Lần 1) Họ nguyên hàm của hàm số f  x   x 3 là A. 4x 4  C . B. 3x 2  C . (Mã 103 – 2020 Lần 1)  x dx bằng A. Câu 5. Câu 6. D. C. x5  C D. 5×5  C C. x 6  C . D. 6x 6  C . C. 5×5  C . D. 20×3  C . 4 B. 4×3  C 5 (Mã 104 – 2020 Lần 1)  x dx A. 5x 4  C . B. bằng 1 6 x C. 6 (Mã 101- 2020 Lần 2)  5x 4 dx bằng A. Câu 7. 1 5 x C 5 1 4 x C . 4 C. x 4  C . 1 5 x C . 5 B. x5  C . (Mã 102 – 2020 Lần 2)  6x 5 dx bằng A. 6x 6  C . B. x6  C . (Mã 103 – 2020 Lần 2)  3 x dx A. 3×3  C . B. 6x  C . C. 1 6 x C . 6 D. 30x 4  C . 2 Câu 8. Câu 9. C. 1 3 x C . 3 B. 1 4 x C . 4 C. 12x 2  C . Câu 12. 1 5 1 3 B. x 4  x 2  C C. x 5  x 3  C . x  x C 5 3 (Mã 104 – 2019) Họ tất cả nguyên hàm của hàm số f  x   2 x  4 là D. 4 x 3  2 x  C A. x 2  C . D. x 2  4 x  C . Câu 15. C. 2×2  C . D. 2 x 2  6 x  C . B.  sin x  3 x 2  C . C. sin x  6 x 2  C . D.  sin x  C . A.  2 sin xdx  2 cos x  C B.  2 sin xdx  2 cos x  C C.  2 sin xdx  sin 2 x  C D.  2 sin xdx  sin 2 x  C (Mã 101 2018) Nguyên hàm của hàm số f  x   x3  x là 1 4 1 2 x  x C 4 2 B. 3 x 2  1  C C. x 3  x  C D. x 4  x 2  C (Mã 103 – 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f  x   2 x  3 là A. x 2  3 x  C . Câu 17. B. x2  6x  C . (Mã 105 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   2 sin x . A. Câu 16. C. 2 x 2  4 x  C . (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Họ nguyên hàm của hàm số f  x   cos x  6 x là A. sin x  3 x 2  C . Câu 14. B. 2x 2  C . (Mã 102 – 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f  x   2 x  6 là A. x 2  C . Câu 13. D. x 4  C . (Mã 103 2018) Nguyên hàm của hàm số f  x   x 4  x 2 là A. Câu 11. D. x 3  C . (Mã 104 – 2020 Lần 2)  4 x 3dx bằng A. 4x 4  C . Câu 10. bằng B. 2 x 2  3 x  C . C. x 2  C . D. 2x 2  C . (Đề Minh Họa 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   2 x  1. Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 2 f  x  dx   2 x  1 2 x  1  C. 3 1 f  x  dx   2 x  1  C. 3 1 A.  B.  f  x  dx   2 x  1 2 x  1  C. 3 1 2 x  1  C. C.  D.  f  x  dx  2 2 Câu 18. (Đề Tham Khảo 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   x 2  2 . x A. C. Câu 19. Câu 20.  f  x  dx  x3 1  C . 3 x B.  f  x  dx  x3 1  C. 3 x D. dx 1 A.  5 x  2  5 ln 5 x  2  C C.  5 x  2   2 ln 5 x  2  C x3 2  C . 3 x dx 1 (Mã123 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   cos 3 x sin 3 x C 3 sin 3 x D.  cos 3 xdx   C 3 B.  cos 3 xdx  (Mã 104 2018) Nguyên hàm của hàm số f  x   x3  x 2 là A. 1 4 1 3 x  x C 4 3 B. 3 x 2  2 x  C C. x 3  x 2  C D. x 4  x 3  C (Đề Tham Khảo 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f  x   e x  x là 1 2 1 x 1 2 D. x C e  x C 2 x 1 2 (Mã 101 – 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x)  2 x  5 là A. e x  1  C Câu 23.  f  x  dx  1 . 5x  2 dx B.   ln 5 x  2  C 5x  2 dx D.   5 ln 5 x  2  C 5x  2 C.  cos 3 xdx  sin 3 x  C Câu 22. x3 2  C. 3 x (Mã 110 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   A.  cos 3 xdx  3 sin 3 x  C Câu 21.  f  x  dx  B. ex  x2  C C. e x  A. x 2  C . B. x2  5x  C . C. 2 x 2  5 x  C . Câu 24. (Mã 104 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   7 x . A.  7 x dx  7x C ln 7 D. 2x 2  C . B.  7 x dx  7 x 1  C 7 x 1 C D.  7 x dx  7 x ln 7  C x 1 (Mã 102 2018) Nguyên hàm của hàm số f  x   x 4  x là C.  7 x dx  Câu 25. Câu 26. Câu 27. 1 5 1 2 x  x C D. x 4  x  C 5 2 (Đề Tham Khảo 2018) Họ nguyên hàm của hàm số f ( x)  3x 2  1 là A. 4 x3  1  C B. x5  x2  C A. x 3  C B. C. x3  xC 3 1 2 x 7 2  16  C B.  1 2 x 7 32  16  C 15  x  x  7  dx ? 1 C.  x  7  C 16 2 (THPT An Lão Hải Phòng 2019) Tìm nguyên hàm A. D. x 3  x  C C. 6 x  C 2 16 D. 1 2 x 7 32  16  C Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Câu 28. (THPT Ba Đình -2019) Họ nguyên hàm của hàm số f (x)  e 3 x là hàm số nào sau đây? A. 3e x  C . Câu 29. x2  sin x  C . 2 C. 1 x e C . 3 D. 3e3 x  C . x 2 cos 2 x  C. 2 2 (THPT Hoàng Hoa Thám Hưng Yên 2019) Nguyên hàm của hàm số y  e2 x 1 là A. 2e 2 x 1  C . Câu 31. 1 3x e C. 3 (THPT Cẩm Giàng 2 2019) Tính   x  sin 2 x dx . A. Câu 30. B. x2  cos 2 x  C . 2 B. C. x 2  B. e2 x 1  C . C. cos 2 x C . 2 1 2 x 1 e C. 2 D. D. 1 x e C . 2 (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x   1 1 ln 2 x  3  C . D. lg  2 x  3  C . ln 2 2 1 Câu 32. (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Tìm họ nguyên hàm của hàm số y  x 2  3x  . x 3 x 3 x 3 1 x 1 A. B.   2  C, C   .  3x  2  C , C   . 3 ln 3 x 3 x 3 x 3 x x 3 x 3 C. D.   ln x  C , C   .   ln x  C , C   . 3 ln 3 3 ln 3 Câu 33. (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x  sin 3x A. ln 2 x  3  C . C. 1 D.  cos3 x  C . 3 2 (Chuyên KHTN 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f  x   3x  sin x là A. 3cos3x C . Câu 34. B. 1 ln 2 x  3  C . 2 1 2x  3 B. 3cos3x C . C. 1 cos3 x  C . 3 A. x 3  cos x  C . B. 6 x  cos x  C . C. x 3  cos x  C . D. 6 x  cos x  C . Câu 35. (Chuyên Bắc Ninh -2019) Công thức nào sau đây là sai? 1 1 A.  ln x dx   C . B.  dx  tan x  C . x cos 2 x D.  e x dx  e x  C . C.  sin x dx   cos x  C . Câu 36. (Chuyên Bắc Ninh 2019) Nếu A. f  x   x 4  Câu 37. x3  Cx . 3 3  x 2  C thì hàm số f  x  bằng B. f  x   12 x 2  2 x  C . x3 . 3 (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? C. f  x   12 x 2  2 x . D. f  x   x 4  1 A.  cos 2 xdx  sin 2 x  C . 2 B. e  x dx  x e1 C . e 1 e x 1 C. x 1 (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Nguyên hàm của hàm số y  2 x là C. Câu 38.  f  x  dx  4 x 1  x dx  ln x  C . A.  2 x dx  ln 2.2 x  C . B.  2 x dx  2 x  C . D.  e x dx  x C.  2 dx  2x 2x  C . D.  2 x dx  C . ln 2 x 1 Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 39. (Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x   3x  sin x . A.  f  x dx  3×2  cos x  C . B.  f  x dx  3x 2  cos x  C . 2 3x 2  cos x  C . C.  f  x dx  D.  f  x dx  3  cos x  C . 2 Câu 40. (Sở Bình Phước 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f ( x )  x  s inx là Câu 41. Câu 42. x2 x2 D.  cos x+C  cos x+C 2 2 (THPT Minh Khai Hà Tĩnh 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f ( x)  cos x là: A. x 2  cos x+C B. x 2  cos x+C C. A. cos x  C . B.  cos x  C . C.  sin x  C . (THPT Đoàn Thượng – Hải Dương – 2019) Họ các nguyên hàm của hàm số f  x   x 4  x 2 là 1 5 1 3 D. x 5  x 3  C . x  x C . 5 3 (THPT Cù Huy Cận 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f  x   e x  2 x là. A. 4 x 3  2 x  C . Câu 43. B. x 4  x 2  C . B. e x  x 2  C . 1 2 x C . 2 B. sin x  x 2  C . x3 3 x 2   ln x  C. A. 3 2 C. Câu 46. C.  sin x  x3 3x 2   ln x  C. B. 3 2 x3 3 x 2   ln x  C. 3 2 D. x 3 3x 2 1   2  C. 3 2 x (Chuyen Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f  x   A. ln x  cos x  C . Câu 47. C. 1 2 x  C . D.  sin x  x 2  C . 2 1 (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Họ nguyên hàm của hàm số y  x 2  3x  là x A. sin x  Câu 45. C. 1 x e  x 2  C . D. e x  2  C . x 1 (Chuyên Hùng Vương Gia Lai 2019) Họ các nguyên hàm của hàm số y  cos x  x là A. e x  x 2  C . Câu 44. D. sin x  C . B.  1  cos x  C . x2 C. ln x  cos x  C . (THPT Yên Phong 1 Bắc Ninh 2019) Hàm số F  x   1  sin x là x D. ln x  cos x  C . 1 3 x là một nguyên hàm của hàm số nào 3 sau đây trên  ;   ? 1 4 x . 4 (THPT Yên Phong 1 Bắc Ninh 2019) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x   2 x . A. f  x   3 x 2 . Câu 48. A. C. Câu 49.  B. f  x   x 3 . f  x  dx  2 x  C .  f  x  dx  2 x C. f  x   x 2 . B. ln 2  C . D. D. f  x   2x C . ln 2  f  x  dx   2 x 1 f  x  dx  C . x 1 (THPT – Yên Định Thanh Hóa 2019) Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   x4  2 . x2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 A.  f  x  dx  x3 1  C. 3 x B.  f  x  dx  x3 2  C. 3 x x3 1 x3 2 C.  f  x  dx    C . D.  f  x  dx    C . 3 x 3 x Câu 50. (Sở Hà Nội 2019) Hàm số nào trong các hàm số sau đây là một nguyên hàm của hàm số y  e x ? 1 A. y  . B. y  e x . C. y  e  x . D. y  ln x . x Câu 51. (Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai 2019) Tính F ( x)   e2 dx , trong đó e là hằng số và e  2, 718 . A. F ( x)  Câu 52. e2 x 2 C . 2 Câu 56. D. F ( x)  2ex  C . B. 1 ln 1  2 x   C . 2 1 C.  ln 2 x  1  C . 2 1 trên 1  2x D. ln 2 x  1  C . x 2 B. 2  x  C . 2x  x2  C . C. ln 2 x D. 2  x2 C . 2 (Chuyên Sơn La 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f  x   1  sin x A. 1  cos x  C . Câu 55. C. F ( x)  e2 x  C . x (Chuyên Hưng Yên 2019) Nguyên hàm của hàm số f  x   2  x là 2x x2  C . A. ln2 2 Câu 54. e3 C . 3 (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2019) Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   1    ;  . 2  1 A. ln 2 x  1  C . 2 Câu 53. B. F ( x)  B. 1  cos x  C . C. x  cos x  C . D. x  cos x  C . 1 (THPT Đông Sơn Thanh Hóa 2019) Nguyên hàm của hàm số f (x )  x3  2 x 2  x  2019 là 3 A. 1 4 2 3 x2 x  x  C. 12 3 2 B. 1 4 2 3 x2 x  x   2019 x  C . 9 3 2 C. 1 4 2 3 x2 x  x   2019 x  C . 12 3 2 D. 1 4 2 3 x2 x  x   2019 x  C . 9 3 2 (THPT Yên Khánh – Ninh Bình – 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f ( x)  1 trên khoảng 3x  1 1   ;  là: 3  1 1 A. ln(3x  1)  C B. ln(1  3x)  C C. ln(1  3x)  C D. ln(3x  1)  C 3 3 Câu 57. (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? e2 x C . A.  2 x dx  2 x ln 2  C . B.  e2 x dx  2 1 1 dx  ln x  1  C  x  1 . C.  cos 2 xdx  sin 2 x  C . D.  2 x 1 2×4  3 Câu 58. (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Cho hàm số f ( x)  . Khẳng định nào sau x2 đây là đúng? Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A. C. Câu 59. Câu 60.  2 x3 3 f ( x)dx   C . 3 2x B.   2 x3 3 f ( x)dx   C. 3 x D.  f ( x)dx  2 x x 2 x3 3 f ( x)dx   C. 3 x (Sở Thanh Hóa 2019) Cho hàm số f  x   2  x  1. Tìm A.  f  x dx  2 x  x2  x  C . C.  f  x  dx  2 x  3  3 C. x  f  x  dx . 1 2 x  xC. 2 1 x 1 2 2  x  xC . D.  f  x  dx  x 1 2 B. 1 2 x  xC . 2 1  f  x  dx  ln 2 2 x  (Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x   3x  sin x . A.  f  x dx  3×2  cos x  C . C.  f  x dx  Câu 61. B.  f  x dx  3x 2  cos x  C . 2 3x 2  cos x  C . 2 D.  f  x dx  3  cos x  C . 2 (Chuyên Bắc Giang 2019) Hàm số F  x   e x là nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số sau: 2 2 A. f ( x)  2 xe x . Câu 62. 2 B. f ( x)  x 2 e x  1 . C. f ( x)  e2 x . ex . 2x (Chuyên Đại Học Vinh 2019) Tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x)  3 x là 3 x C B. 3 x  C C. 3 x ln 3  C ln 3 (Sở Phú Thọ 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f  x   x3  x 2 là A.  Câu 63. D. f ( x)  D. 3 x C ln 3 x 4 x3 x 4 x3  C.  C B. x 4  x 3  C . C. 3 x 2  2 x  C . D. 4 3 3 4 Câu 64. (Chuyên ĐHSP Hà Nội 2019) Hàm số nào trong các hàm số sau đây không là nguyên hàm của hàm số y  x2019 ? A. x 2020 1 . 2020 1 Câu 65. (Chuyên Quốc Học Huế 2019) Tìm họ nguyên hàm của hàm số y  x 2  3x  . x 3 x 3 x x 3 x 3 A. B.   ln x  C , C  R   ln x  C , C  R 3 ln 3 3 ln 3 x3 1 x 3 3x 1 C. D.  3x  2  C , C  R   2  C, C  R 3 x 3 ln 3 x A. Câu 66. x 2020 1. 2020 B. x 2020 . 2020 C. y  2019 x2018 . D.  2018e  x  (Quảng Ninh 2019) Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   e x  2017  . x5   2018 2018 A.  f  x  dx  2017e x  4  C . B.  f  x  dx  2017e x  4  C . x x 504,5 504,5 C.  f  x  dx  2017e x  4  C . D.  f  x  dx  2017e x  4  C . x x Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 7 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489  e x  (HSG Bắc Ninh 2019) Họ nguyên hàm của hàm số y  e x  2   là cos 2 x   1 1 C C A. 2e x  tan x  C B. 2e x  tan x  C C. 2e x  D. 2e x  cos x cos x Câu 68. (Chuyên Hạ Long 2019) Tìm nguyên F  x  của hàm số f  x    x  1 x  2  x  3 ? Câu 67. Câu 69. A. F  x   x4 11  6×3  x2  6x  C . 4 2 B. F  x   x 4  6 x 3  11x 2  6 x  C . C. F  x   x4 11  2 x3  x2  6 x  C . 4 2 D. F  x   x 3  6 x 2  11x 2  6 x  C . (Sở Bắc Ninh 2019) họ nguyên hàm của hàm số f  x   A. 1 ln  5 x  4   C . 5 B. ln 5 x  4  C . C. 1 là: 5x  4 1 1 ln 5 x  4  C . D. ln 5 x  4  C . ln 5 5 Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 NGUYÊN HÀM Chuyên đề 25 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ – MỨC 7-8 ĐIỂM Dạng 1. Nguyên hàm cơ bản có điều kiện Bảng nguyên hàm của một số hàm thường gặp (với C là hằng số tùy ý)   0dx  C .   k dx  kx  C .     x dx  ln x  C .  x  x n 1 C. n 1 1 (ax  b)n 1 C. a n 1     ax  b dx  a ln ax  b  C .   (ax  b)  sin x dx   cos x  C .   sin(ax  b)dx   a cos(ax  b)  C .   cosx dx  sin x  C .   cos(ax  b)dx  a sin(ax  b)  C .   sin   dx 1   cot(ax  b)  C . a sin (ax  b )     dx 1  tan(ax  b)  C . cos (ax  b) a   e dx  e  e  x  a dx   x   a dx  x n dx  1 1 2 dx   1 2 x 1 C. x dx   cot x  C . 1 dx  tan x  C . cos2 x x x C. ax C. ln a (ax  b)n dx  1 1 1 2 1 1 dx    C. a ax  b 1 1 2 2 ax b 1 dx  eax b  C . a 1 a x  C.  ln a ♦ Nhận xét. Khi thay x bằng (ax  b) thì khi lấy nguyên hàm nhân kết quả thêm 1  a Một số nguyên tắc tính cơ bản PP  Tích của đa thức hoặc lũy thừa    khai triễn. PP  Tích các hàm mũ   khai triển theo công thức mũ. 1 1 1 1  Bậc chẵn của sin và cosin  Hạ bậc: sin2 a   cos2a, cos2 a   cos2a. 2 2 2 2 PP  Chứa tích các căn thức của x    chuyển về lũy thừa. Câu 1. (Đề Tham Khảo 2018) Cho hàm số f ( x) xác định trên 1    2 thỏa mãn 2 , f  0   1, f 1  2 . Giá trị của biểu thức f  1  f  3 bằng 2x 1 A. 2  ln15 B. 3  ln15 C. ln15 D. 4  ln15 1 (Sở Phú Thọ 2019) Cho F  x  là một nguyên hàm của f  x   trên khoảng 1;   thỏa x 1 f  x  Câu 2. mãn F  e  1  4 Tìm F  x  . Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 A. 2ln  x  1  2 Câu 3. B. ln  x  1  3 C. 4ln  x  1 D. ln  x  1  3 (THPT Minh Khai Hà Tĩnh 2019) Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   1 , x2 biết F 1  2. Giá trị của F  0  bằng A. 2  ln 2. Câu 4. D. ln  2  . (KTNL GV Thuận Thành 2 Bắc Ninh 2019) Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm f  x  1 ; biết F  0   2 . Tính F 1 . 2x 1 1 A. F 1  ln 3  2 . 2 Câu 5. C. 2  ln  2  . B. ln 2. 1 C. F 1  2ln 3  2 . D. F 1  ln 3  2 . 2 B. F 1  ln 3  2 . (Chuyên ĐHSP Hà Nội 2019) Hàm số F  x  là một nguyên hàm của hàm số y  1 trên  ;0  x thỏa mãn F  2   0 . Khẳng định nào sau đây đúng?  x   x   ;0   2  A. F  x   ln  B. F  x   ln x  C x   ;0  với C là một số thực bất kì. C. F  x   ln x  ln 2 x   ;0 . D. F  x   ln   x   C x   ;0  với C là một số thực bất kì. Câu 6. (THPT Minh Khai Hà Tĩnh 2019) Cho hàm số f  x  xác định trên R 1 thỏa mãn 1 , f  0   2017 , f  2   2018 . Tính S  f  3  f  1 . x 1 A. S  ln 4035 . B. S  4 . C. S  ln 2 . f  x  Câu 7. D. S  1 . (Mã 105 2017) Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f ( x)  e x  2 x thỏa mãn F  0   3 . 2 Tìm F  x  . 1 2 3 C. F  x   e x  x2  2 A. F  x   e x  x2  Câu 8. B. F  x   e x  x 2  5 2 D. F  x   2e x  x 2  1 2 (THCS – THPT Nguyễn Khuyến 2019) Biết F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   e2 x và F  0   0 . Giá trị của F  ln 3 bằng A. 2. Câu 9. B. 6. C. 8. D. 4. (Sở Bình Phước 2019) Biết F  x  là một nguyên hàm của hàm số e2x và F  0   201  Giá trị 2 1 F   là 2 1 1 1 A. e  200 B. 2e  100 C. e  50 D. e  100 2 2 2 Câu 10. (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  và: f   x   2e2 x  1, x, f  0   2 . Hàm f  x  là A. y  2e x  2 x . B. y  2e x  2 . C. y  e 2 x  x  2 . D. y  e 2 x  x  1 . Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 11. (Sở Bắc Ninh 2019) Cho hàm số f  x   2 x  e x . Tìm một nguyên hàm F  x  của hàm số f  x  thỏa mãn F  0   2019 . A. F  x   x 2  e x  2018 . B. F  x   x 2  e x  2018 . C. F  x   x 2  e x  2017 . D. F  x   e x  2019 . Câu 12. Gọi F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   2 x , thỏa mãn F  0   1 . Tính giá trị biểu ln 2 thức T  F  0   F 1  …  F  2018   F  2019  . A. T  1009. 22019  1 . ln 2 C. T  Câu 13. 22019  1 . ln 2 B. T  22019.2020 . D. T  22020  1 . ln 2   (Mã 104 2017) Tìm nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   sin x  cos x thoả mãn F    2 . 2 A. F  x    cos x  sin x  3 B. F  x    cos x  sin x  1 C. F  x    cos x  sin x  1 Câu 14. D. F  x   cos x  sin x  3 (Mã 123 2017) Cho hàm số f  x  thỏa mãn f ‘  x   3  5 sin x và f  0   10 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? Câu 15. Câu 16. A. f  x   3 x  5 cos x  15 B. f  x   3 x  5 cos x  2 C. f  x   3 x  5 cos x  5 D. f  x   3 x  5 cos x  2 (Việt Đức Hà Nội 2019) Cho hàm số f  x  thỏa mãn f   x   2  5sin x và f  0   10 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. f  x   2 x  5 cos x  3 . B. f  x   2 x  5 cos x  15 . C. f  x   2 x  5 cos x  5 . D. f  x   2 x  5 cos x  10 . (Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019) Biết F  x  là một nguyên hàm của hàm   2   f  x   cos 3x và F    . Tính F   . 2 3 9 32   A. F    6 9 Câu 17. 32   B. F    6 9 36   C. F    6 9 36   D. F    6 9 (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2019) Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số 1   . Biết F   k   k với mọi k  . Tính F  0   F    F     …  F 10  . 2 cos x 4  A. 55. B. 44. C. 45. D. 0. f  x  Câu 18. (Yên Lạc 2 – Vĩnh Phúc – 2020) Gọi F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   2 x , thỏa mãn 1 . Tính giá trị biểu thức T  F  0   F 1  F  2   …  F  2019  . ln 2 22020  1 22019  1 2 2019  1 A. T  . B. T  1009. . C. T  22019.2020 . D. T  . ln 2 2 ln 2 Dạng 2. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số F  0  “ Nếu  f  x  dx  F  x   C thì  f  u  x   .u ‘  x  dx  F  u  x    C ”. Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Giả sử ta cần tìm họ nguyên hàm I   f  x  dx , trong đó ta có thể phân tích f  x   g  u  x   u ‘  x  dx thì ta thức hiện phép đổi biến số t  u  x   dt  u ‘  x  dx . Khi đó: I   g  t  dt  G  t   C  G  u  x    C Chú ý: Sau khi ta tìm được họ nguyên hàm theo t thì ta phải thay t  u  x  1. Đổi biến số với một số hàm thường gặp b    PP f (ax  b)n xdx   t  ax  b.  b 1 PP f (ln x) dx   t  ln x.  x  a b   a b   a     f ( x). b x x PP x  f (e )e dx  t  e . a b PP f (sin x) cos xdx   t  sin x.  PP  f (cos x) sin xdx  t  cos x. a b 1 PP f (tan x) dx   t  tan x.  2 cos x  f (sin x  cos x).(sin x  cos x)dx  t  sin x  cos x. a   f(   n a   PP f ( x) f ( x)dx  t  n  a  x ) x dx  x  a sin t.  2 2 2n PP  ax  PP f   dx  x  a cos 2t.   a x   f (    PP x 2  a 2 ) m x 2 n dx   x  a tan t. dx  t  ax  b  cx  d . ( ax  b)(cx  d )     sk s n  R  1 ax  b ,., ax  b  dx  t  ax  b.    ( a  bx  dx 1 PP  x   t ) a  bx n n n 2. Đổi biến số với hàm ẩn  Nhận dạng tương đối: Đề cho f ( x), yêu cầu tính f ( x) hoặc đề cho f ( x), yêu cầu tính f ( x).  Phương pháp: Đặt t  ( x).  Lưu ý: Đổi biến nhớ đổi cận và ở trên đã sử dụng tính chất: “Tích phân không phụ thuộc vào biến số, b mà chỉ phụ thuộc vào hai cận”, nghĩa là  a Câu 19. a a  f  2x dx bằng 1 2x 1 e  x 2  C. C. e 2 x  2 x 2  C. D. e2 x  4 x 2  C. 2 2 x 2 (Mã 102 – 2020 Lần 2) Biết F  x   e  2 x là một nguyên hàm của hàm số f  x  trên  . Khi A. 2e x  2 x 2  C. đó B.  f  2 x  dx bằng 1 2x 1 2x 2 C. e  8x  C. D. e2 x  2 x 2  C . e  4 x 2  C. 2 2 x 2 (Mã 103 – 2020 Lần 2) Biết F  x   e  x là một nguyên hàm của hàm số f  x  trên  . Khi x 2 A. 2e  4x  C. Câu 21. b (Mã 101 – 2020 Lần 2) Biết F  x   e x  x 2 là một nguyên hàm của hàm số f  x  trên  . Khi đó Câu 20. b f (u )du   f (t )dt     f ( x)dx   đó  f  2 x  dx bằng A. 1 2x e  2 x2  C . 2 B. B. e2 x  4 x 2  C . C. 2e x  2 x 2  C . D. Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 1 2x e  x2  C . 2 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 22. (Mã 104 – 2020 Lần 2) Biết F  x   e x  2 x 2 là một nguyên hàm của hàm số f  x  trên  . Khi đó  f  2 x  dx bằng A. e 2 x  8 x 2  C . B. 2e x  4 x 2  C . C. 1 2x e  2 x2  C . 2 D. 1 2x e  4 x2  C . 2 Câu 28. [DS12.C3.1.D09.b] (Thi thử Lômônôxốp – Hà Nội lần V 2019) Biết  f  2 x  dx  sin 2 x  ln x  C . Tìm nguyên hàm x  ln x  C . 2 x f  x  dx  2sin 2  2 ln x  C . 2 A.  f  x  dx  sin C.  2 Câu 46. [DS12.C3.1.D09.b] Cho A. C. Câu 5.  f (4x) dx  x 2  f  x  dx ? 2 x  2ln x  C . D.  f  x  dx  2sin  3x  c . Mệnh đề nào dưới đây đúng?  x2  2x  C . 4 B.  f ( x  2)dx  x  f ( x  2) dx  x2  4x  C . 4 D. f ( x  2) dx   f  x  dx  4 x 2 x  2ln x  C .  f  x  dx  2sin f ( x  2) dx  [DS12.C3.1.D09.b] Cho 2 B. 3  2  7x  C . x2  4x  C . 2  2 x  C0 . Tính I   xf  x 2  dx . x10 x 6  C. 10 6 C. I  4 x 6  2 x 2  C . D. I  12 x 2  2 . A. I  2 x 6  x 2  C . Câu 23. Câu 24. B. I  (Sở Bắc Ninh 2019) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x   x 2 .e x f  x  dx  x 3 x3 1 .e  C . 3 A.  C.  f  x  dx e x3 1  C . D.  f  x  dx 3e B. 1  f  x  dx  3 e x3 1 3 1 x3 1 . C . C . (THPT Hà Huy Tập – 2018) Nguyên hàm của f  x   sin 2 x.esin 2 x là 2 A. sin 2 x.esin 2 x 1 C. B. 2 esin x 1 C. sin 2 x  1 2 C. esin x  C . Câu 25. Tìm tất cả các họ nguyên hàm của hàm số f  x   A. C. Câu 26. D. esin x1 C . sin 2 x  1 1 x  3x 5  f  x  dx   1 1 x4  ln C 3x 4 36 x 4  3 B.  f  x  dx   1 1 x4  ln C 3x 4 36 x 4  3 D. 9  f  x  dx   1 1 x4  ln C 12x 4 36 x 4  3  f  x  dx   1 1 x4  ln C 12x 4 36 x 4  3 (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Tìm hàm số F  x  biết F  x    x3 dx và x4  1 F 0  1 . 1 3 4 4 A. F  x   ln x  1  1 . B. F  x   ln x  1  . 4 4 1 4 4 C. F  x   ln x  1  1. D. F  x   4ln x  1  1. 4         Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 2017 Câu 27. Biết  x  1 dx  1 .  x  1 b  C , x  1 với a , b   . Mệnh đề nào sau đây đúng?     x  12019 a  x 1 A. a  2b . B. b  2a . C. a  2018b . D. b  2018a . Câu 28. (Chuyên Quốc Học Huế – 2018) Biết rằng F  x  là một nguyên hàm trên  của hàm số f  x  2017 x x 2  1 thỏa mãn F 1  0 . Tìm giá trị nhỏ nhất m của F  x  . 2018 1 A. m   . 2 B. m  1  22017 . 22018 C. m  Câu 29. Cho F  x  là nguyên hàm của hàm số f  x    1  22017 . 22018 1 D. m  . 2 1 và F  0    ln 2e . Tập nghiệm S của e 1 x  phương trình F  x   ln e x  1  2 là: A. S  3 Câu 30. B. S  2;3 C. S  2;3 D. S  3;3   (THPT Lê Quý Đôn Đà Nẵng 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f  x   x3 x 2  1 2021 2020  2 x 2  1   1   x  1 .  A. 2  2021 2020    x B. 2  1 2021 2021 x  2  1 2019 là 2020 . 2020 2021 2020  2 x 2  1   1   x  1  C.  D.  C. 2  2021 2020  2021 2020   1  ln x Câu 31. (THPT Hà Huy Tập – 2018) Nguyên hàm của f  x   là: x.ln x 1  ln x 1  ln x A.  B.  dx  ln ln x  C . dx  ln x 2 .ln x  C . x.ln x x.ln x 1  ln x 1  ln x dx  ln x  ln x  C . dx  ln x.ln x  C . C.  D.  x.ln x x.ln x x C. Câu 32.  1 2021 x  2  1 2020 3 (Chuyên Hạ Long – 2018) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x   x 2 e x 1 A. C. Câu 33. 2  f  x  dx  e  x3 1  C . B.  f  x  dx  3e x3 1 1 3 f  x  dx  e x 1  C . 3 C . D.  f  x  dx  x3 x3 1 e C . 3 (Chuyên Lương Văn Chánh Phú Yên 2019) Nguyên hàm của hàm số f  x   3 3x  1 là A.  f  x  dx   3x  1 C.  f  x  dx  3 13 3 3x  1  C . 3x  1  C . B.  f  x  dx  D.  f  x  dx  4  3x  1 3 3x  1  C . 1 3 3x  1  C . Câu 34. Nguyên hàm của hàm số f  x   3 x  2 là 2 (3 x  2) 3 x  2  C B. 3 2 C. (3x  2) 3 x  2  C D. 9 A. Câu 35. 1 (3 x  2) 3 x  2  C 3 3 1 C 2 3x  2 (HSG Bắc Ninh 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f  x   2 x  1 là Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 1 A.   2 x  1 2 x  1  C . 3 2 C.  2 x  1 2 x  1  C . 3 Câu 36. 1 2x 1  C . B. 2 1 D.  2 x  1 2 x  1  C . 3 ln 2 (THPT An Lão Hải Phòng 2019) Cho hàm số f  x   2 x . . Hàm số nào dưới đây không là x nguyên hàm của hàm số f  x  ? x A. F  x   2  C. F  x   2 2 Câu 37.  B. F  x   2 2 C x x   1  C D. F  x   2 1  C x 1 C (THPT Yên Phong Số 1 Bắc Ninh 2019) Khi tính nguyên hàm x3 dx , bằng cách đặt x 1  u  x  1 ta được nguyên hàm nào? A.  2  u 2  4  d u . Câu 38. Câu 39. B.  u 2  4 d u .  u 2  3 d u . (Chuyên Hạ Long – 2018) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x   1 D.  2u  u 2  4  d u . 1 . 2 2x 1 A.  f  x dx  2 2x 1  C . B.  f  x dx  C.  f  x dx  2 2x 1  C . D.  f  x dx   2 x  1 2x 1  C . 1 2x 1 C .   (THCS – THPT Nguyễn Khuyến – 2018) Nguyên hàm của hàm số f  x   ln x  x 2  1 là  C. F  x   x ln  x    1  C . A. F  x   x ln x  x 2  1  x 2  1  C . Câu 40. C. x2   B. F  x   x ln x  x 2  1  x 2  1  C .   D. F  x   x 2 ln x  x 2  1  C . 20 x 2  30 x  7 3  (Chuyên Hạ Long – 2018) Biết rằng trên khoảng  ;    , hàm số f  x   có 2x  3 2  một nguyên hàm F  x    ax 2  bx  c  2 x  3 ( a, b, c là các số nguyên). Tổng S  a  b  c bằng A. 4 . B. 3 . C. 5 . D. 6 . Câu 41. (Chuyên Bắc Ninh 2019) Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)  Câu 42. 1 sin x . 1  3cos x A.  f ( x) dx  3 ln 1  3cos x  C . B.  f ( x) dx  ln 1  3cos x  C . C.  f ( x) dx  3ln 1  3cos x  C . D.  f ( x) dx   3 ln 1  3cos x  C . (Sở Thanh Hóa 2019) Tìm các hàm số f ( x) biết f ‘ ( x)  A. f ( x)  1 cos x . (2  sin x) 2 sin x C . (2  sin x) 2 B. f ( x)  1 C . (2  cos x) 1 C . 2  sin x D. f ( x)  sin x C. 2  sin x C. f ( x)   Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 7 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Câu 43. (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Biết F  x  là một nguyên hàm của hàm số sin x   và F    2 .Tính F  0  . 1  3cos x 2 1 2 2 1 A. F (0)   ln 2  2 . B. F (0)   ln 2  2 . C. F (0)   ln 2  2 . D. F (0   ln 2  2 . 3 3 3 3 f ( x)  Câu 44. (Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019) Biết  f  x  dx  3x cos  2 x  5  C . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau.  f  3x  dx  3x cos  6 x  5   C C.  f  3 x  dx  9 x cos  2 x  5   C A. Câu 45.  f  3x  dx  9 x cos  6 x  5  C D.  f  3 x  dx  3 x cos  2 x  5   C B. (Chuyên Hạ Long – 2018) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x   tan 5 x . 1 x  tan 2 x  ln cosx  C . 2 1 1 B.  f  x  dx  tan 4 x  tan 2 x  ln cosx  C . 4 2 1 1 C.  f  x  dx  tan 4 x  tan 2 x  ln cosx  C . 4 2 1 1 D.  f  x  dx  tan 4 x  tan 2 x  ln cosx  C . 4 2 Câu 46. (Hồng Bàng – Hải Phòng – 2018) Biết F  x  là một nguyên hàm của hàm số A. 1  f  x  dx  4 tan 4   f  x   sin 3 x.cos x và F  0    . Tính F   . 2   A. F     . 2   B. F     . 2 1   C. F       . 4 2 Câu 47. Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x     1 D. F      . 2 4 1 1 thỏa mãn F    2 và F  e   ln 2. x ln x e 1 Giá trị của biểu thức F  2   F  e 2  bằng e  A. 3ln 2  2 . Câu 48. B. ln 2  2 . C. ln 2  1 . D. 2ln 2  1 . (Chuyên Nguyễn Huệ-HN 2019) Gọi F  x  là nguyên hàm của hàm số f ( x)  x 8  x2 thỏa mãn F  2   0 . Khi đó phương trình F  x   x có nghiệm là: A. x  0 . C. x  1 . 2x 1 Câu 49. Gọi F  x  là nguyên hàm của hàm số f  x    2 . Biết x 1 x 217 215 A. . B. 27 . C. . 8 24 20 x 2  30 x  7 Câu 50. Họ nguyên hàm của hàm số f  x   trên khoảng 2x  3  C.  3x   2 x  1 A. 4 x 2  2 x  1 2 B. x  1 . 2x  3  C . 2x  3 .  D.  4 x D. x  1  3 . F  3  6 , giá trị của F  8  là D. 3   ;   là 2    2 x  1 B. 4 x 2  2 x  1 2 215 . 8 2x  3 . 2x  3  C . Dạng 3. Nguyên hàm của hàm số hữu tỉ Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 1. Công thức thường áp dụng  1 1  ax  b dx  a ln ax  b  C .  1  (ax  b) 2  ln a  ln b  ln(ab).  ln a  ln b  ln 1 1 dx    C. a ax  b a  b  ln a n  n ln a.  ln 1  0. 2. Phương pháp tính nguyên hàm, tích phân của hàm số hữu tỷ I  P (x )  Q(x ) dx . PP  Nếu bậc của tử số P(x )  bậc của mẫu số Q(x )    Chia đa thức. PP  Nếu bậc của tử số P(x )  bậc của mẫu số Q(x )    phân tích mẫu Q(x ) thành tích số, rồi sử dụng phương pháp che để đưa về công thức nguyên hàm số 01. PP  Nếu mẫu không phân tích được thành tích số    thêm bớt để đổi biến hoặc lượng giác hóa bằng cách đặt X  a tan t, nếu mẫu đưa được về dạng X 2  a 2 . Câu 51. (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x )  x2 trên khoảng x 1 1;   là A. x  3ln  x 1  C. C. x  Câu 52. 3  x  1 2 B. x  3ln  x 1  C.  C. D. x   x  1 2  C. (Mã đề 104 – BGD – 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f  x    2; 3x  2  x  2 2 trên khoảng là 2 C x2 4 C. 3ln  x  2   C x2 A. 3ln  x  2   Câu 53. 3 2 C x2 4 D. 3ln  x  2   C . x2 B. 3ln  x  2   (Mã đề 101 – BGD – 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f  x   2x 1  x  1 2 trên khoảng  1;    là 2 C. x 1 2 C. 2 ln  x  1  C . x 1 A. 2 ln  x  1  Câu 54. 3 C. x 1 3 D. 2 ln  x  1  C . x 1 B. 2 ln  x  1  (Chuyên Lê Quý Dôn Diện Biên 2019) Tìm một nguyên hàm F  x  của hàm số b  x  0  , biết rằng F  1  1, F 1  4, f 1  0 x2 3 3 7 3 3 7  . A. F  x   x 2  B. F  x   x 2   . 2 4x 4 4 2x 4 3 3 7 3 3 1  . C. F  x   x 2  D. F  x   x 2   . 4 2x 4 2 2x 2 f  x   ax  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 9 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Câu 55. Cho biết 2 x  13   x  1 x  2 dx  a ln x  1  b ln x  2  C . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. a  2b  8 . B. a  b  8 . C. 2a  b  8 . D. a  b  8 . 1 Câu 56. Cho biết  3 dx  a ln  x  1 x  1  b ln x  C . Tính giá trị biểu thức: P  2a  b . x x 1 A. 0. B. -1. C. . D. 1. 2 4 x  11 Câu 57. Cho biết  2 dx  a ln x  2  b ln x  3  C . Tính giá trị biểu thức: P  a 2  ab  b 2 . x  5x  6 A. 12. B. 13. C. 14. D. 15. 1 1 b Câu 58. Cho hàm số f  x thỏa mãn f   x   ax 2  3 , f  1  3 , f 1  2 , f     . Khi đó 2a  b  2  12 x bằng 3 3 A.  . B. 0 . C. 5 . D. . 2 2 3x  1 Câu 59. (Mã 102 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x)  trên khoảng (1; ) là ( x  1) 2 1 2  c . B. 3ln( x  1)  c. x 1 x 1 2 1  c . D. 3ln( x  1)  c. C. 3ln( x  1)  x 1 x 1 A. 3ln( x  1)  Câu 60. (Mã 103 – 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f  x   2x 1  x  2 2 trên khoảng  2;    là 3 1 C . C . B. 2ln  x  2   x2 x2 1 3 C . C . C. 2ln  x  2   D. 2ln  x  2   x2 x2 Câu 61. (THPT Yên Khánh – Ninh Bình – 2019) Cho F ( x) là một nguyên hàm của hàm số 2x  1 1 trên khoảng  0;  thỏa mãn F 1  . Giá trị của biểu thức f  x  4 3 2 x  2x  x 2 S  F 1  F  2   F  3    F  2019  bằng A. 2ln  x  2   A. 2019 . 2020 Câu 62. Giả sử B. 2019.2021 . 2020  2 x  3 dx C. 2018 1  x  x  1 x  2 x  3  1   g  x   C 1 . 2020 D.  2019 . 2020 ( C là hằng số). Tính tổng các nghiệm của phương trình g  x   0 . A. 1 . Câu 63. B. 1 . C. 3 . D. 3 . a 1 dx  2  b ln x  2c ln 1  x 2   C . Khi (Nam Trực – Nam Định – 2018) Cho I   3 2 x x 1  x  đó S  a  b  c bằng 1 A. . 4 B. 3 . 4 C. 7 . 4 D. 2 . Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 64. (Trường VINSCHOOL – 2020) Cho hàm số f  x  xác định trên R 1;1 thỏa mãn f ‘ x   1 . Biết x 1 f  3  f  3  4 2 và 1 f    3  1  f    2 . Giá trị của biểu thức  3  f  5   f  0   f  2  bằng 1 A. 5  ln 2 . 2 1 B. 6  ln 2 . 2 1 C. 5  ln 2 . 2 1 D. 6  ln 2 . 2 Câu 65. (Quảng Xương – Thanh Hóa – 2018) Cho hàm số f  x  xác định trên  2;1 thỏa 1 f  3  f  3  0 , x  x2 f  4   f  1  f  4  bằng mãn f   x   2 và 1 f  0  . 3 Giá trị của biểu thức 1 1 1 4 1 8 ln 2  . B. ln 80  1 . C. ln  ln 2  1 . D. ln  1 . 3 3 3 5 3 5 Câu 66. (Chuyên Nguyễn Quang Diêu – Dồng Tháp – 2018) Cho hàm số f  x  xác định trên  1 A. 1 , f  0   2017 ,, f  2   2018 . Tính S   f  3  2018  f  1  2017  . x 1 A. S  1 . B. S  1  ln 2 2 . C. S  2 ln 2 . D. S  ln 2 2 . 2 Câu 67. (Sở Phú Thọ – 2018) Cho hàm số f  x  xác định trên  1;1 thỏa mãn f   x   2 , x 1  1 1 f  2   f  2   0 và f     f    2 . Tính f  3  f  0   f  4  được kết quả  2 2 thỏa mãn f   x   6 6 4 4 A. ln  1 . B. ln  1 . C. ln  1 . D. ln  1 . 5 5 5 5 Dạng 4. Nguyên hàm từng phần Cho hai hàm số u và v liên tục trên  a; b  và có đạo hàm liên tục trên  a; b  . Khi đó:  udv  uv   vdu  b Để tính tích phân I   f  x  dx bằng phương pháp từng phần ta làm như sau: a Bước 1: Chọn u, v sao cho f  x  dx  udv (chú ý: dv  v ‘  x  dx ). Tính v   dv và du  u ‘.dx . Bước 2: Thay vào công thức   và tính  vdu . Cần phải lựa chọn u và dv hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm được v và tích phân  vdu dễ tính hơn  udv . Ta thường gặp các dạng sau sin x  Dạng 1 : I   P  x    dx , trong đó P  x  là đa thức  cos x  sin x  Với dạng này, ta đặt u  P  x  , dv    dx .  cos x  Dạng 2 : I    x  eaxb dx Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 u  P  x  Với dạng này, ta đặt  , trong đó P  x  là đa thức ax  b dv  e dx Dạng 3 : I   P  x  ln  mx  n  dx u  ln  mx  n  Với dạng này, ta đặt  . dv  P  x  dx sin x  x Dạng 4 : I     e dx cos x   sin x  u    Với dạng này, ta đặt   cos x  để tính  vdu ta đặt  x dv  e dx Câu 68.  sin x  u     cos x  .  x dv  e dx x (Mã 101 – 2020 Lần 1) Cho hàm số f  x   . Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số 2 x 2 g  x    x  1 . f   x  là A. x2  2x  2 2 C . B. 2 x 2 Câu 69. x2 2 C . x2  x  2 C. 2 C . D. x 2 x 2 x (Mã 102 – 2020 Lần 1) Cho hàm số f  x   x2  3 x2 2 x2  2 C . . Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số g  x    x  1 f   x  là A. Câu 70. x2  2 x  3 2 x2  3 C . B. x3 2 x2  3 C . C. 2 x2  x  3 x2  3 x (Mã 103 – 2020 Lần 1) Cho hàm số f ( x)  C . x 3 D. x2  3 C . . Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số 2 x 1 g ( x )  ( x  1) f ‘( x ) A. x2  2 x 1 2 C . B. 2 x 1 Câu 71. x 1 2 C . C. 2 x2  x  1 2 C . x 1 D. x2  1 x 1 x 1 x (Mã 104 – 2020 Lần 1) Cho hàm số f  x   x2  4 C . . Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số g  x    x  1 f   x  là A. Câu 72. x4 2 x2  4 C . B. x4 x2  4 C . C. x2  2 x  4 2 x2  4 C . D. 2 x2  x  4 x2  4 C . (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Cho hàm số f  x  liên tục trên  . Biết cos 2 x là một nguyên hàm của hàm số f  x  e x , họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f   x  e x là: A.  sin 2 x  cos 2 x  C . B.  2 sin 2 x  cos 2 x  C . C.  2 sin 2 x  cos 2 x  C . D. 2 sin 2 x  cos 2 x  C . Câu 73. (Đề Tham Khảo 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f  x   4 x 1  ln x  là: A. 2 x2 ln x  3x 2 . B. 2 x2 ln x  x2 . C. 2 x 2 ln x  3×2  C . D. 2 x2 ln x  x2  C . Câu 74. Họ các nguyên hàm của hàm số f  x   x sin x là Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 75. Câu 76. Câu 77. A. F  x   x cos x  sin x  C. B. F  x   x cos x  sin x  C. C. F  x    x cos x  sin x  C. D. F  x    x cos x  sin x  C. (Chuyên Phan Bội Châu 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f ( x)  x.e 2 x là : 1 1  A. F ( x)  e 2 x  x    C 2 2  B. F ( x )  C. F ( x)  2e2 x  x  2   C 1  D. F ( x)  2e 2 x  x    C 2  (THPT Gia Lộc Hải Dương 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f  x    2 x  1 e x là A.  2 x  3 e x  C . B.  2 x  3 e x  C . C.  2 x  1 e x  C . D.  2 x  1 e x  C . (Chuyen Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x)  xe2 x ? A. F ( x )  1 2x  1 e  x    C. 2 2  1 B. F ( x)  e 2 x  x  2   C . 2 1  D. F ( x)  2e 2 x  x    C . 2  C. F ( x)  2e2 x  x  2   C. Câu 78. (Chuyên Sơn La 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f  x   x 1  sin x  là x2  x sin x  cos x  C . 2 x2 C.  x cos x  sin x  C . 2 A. Câu 79. 1 2x e  x  2  C 2 B. x2  x cos x  sin x  C . 2 D. x2  x sin x  cos x  C . 2   (Chuyên Thái Bình – Lần 3 – 2020) Giả sử F  x   ax 2  bx  c e x là một nguyên hàm của hàm số f  x   x 2e x .Tính tích P  abc . A.  4 . B. 1 . C. 5 . x Câu 80. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x)  2 x(1  e ) là A.  2 x  1 e x  x 2 . B.  2 x  1 e x  x 2 . C.  2 x  2  e x  x 2 . D. 3 . D.  2 x  2  e x  x 2 . Câu 81. Họ nguyên hàm của f  x   x ln x là kết quả nào sau đây? 1 2 1 1 1 x ln x  x 2  C . B. F  x   x 2 ln x  x 2  C . 2 2 2 4 1 1 1 1 C. F  x   x 2 ln x  x 2  C . D. F  x   x 2 ln x  x  C . 2 4 2 4 Câu 82. (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Tìm tất cả các nguyên hàm của hàm số A. F  x   f  x    3x 2  1 .ln x . A.  f  x  dx  x  x 2  1 ln x  x3 C . 3 B. x3  xC . 3 D.  f  x  dx  x3 ln x  x3 C . 3 x3  xC .   3 x Câu 83. (Chuyên Đại Học Vinh 2019) Tất cả các nguyên hàm của hàm số f  x   trên khoảng sin 2 x  0;   là C. f  x  dx  x  x 2  1 ln x  A.  x cot x  ln  sinx   C . f  x  dx  x3 ln x  B. x cot x  ln s inx  C . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 C. x cot x  ln sinx  C . D.  x cot x  ln  s inx   C . Câu 84. Câu 85. (Sở Phú Thọ 2019) Họ nguyên hàm của hàm số y  3x  x  cos x  là A. x3  3  x sin x  cos x   C B. x3  3  x sin x  cos x   C C. x3  3  x sin x  cos x   C D. x3  3  x sin x  cos x   C (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f  x   x 4  xe x là 1 5 1 x   x  1 e x  C . B. x 5   x  1 e x  C . 5 5 1 5 C. x  xe x  C . D. 4 x3   x  1 e x  C . 5 Câu 86. Cho hai hàm số F  x  , G  x  xác định và có đạo hàm lần lượt là f  x  , g  x  trên  . Biết rằng A.   A.  x  1 ln  x  1  2 x  C. C.  x  1 ln  x  1  x  C. F  x  .G  x   x 2 ln x 2  1 và F  x  .g  x   Câu 87. 2 2 2  D.  x 2    1 ln  x   1  x B. x 2  1 ln x 2  1  2 x 2  C. 2 2 2 2  C. (Sở Bắc Ninh 2019) Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. x x x  xe dx  e  xe  C . x  xe dx  B. x2 x x e e C . 2 x2 x e C . 2 (Sở Bắc Giang 2019) Cho hai hàm số F  x  , G  x  xác đinh và có đạo hàm lần lượt là f  x  , C. Câu 88. 2 2 x3 . Họ nguyên hàm của f  x  .G  x  là x2  1 x x x  xe dx  xe  e  C . x  xe dx  D. g  x  trên  . Biết F  x  .G  x   x 2 ln  x 2  1 và F  x  g  x   2 x3 . Tìm họ nguyên hàm của x2  1 f  xG  x .  C.  x    1 ln  x   1  x  D.  x A. x2  1 ln x 2  1  2 x2  C . 2 2 2    1 ln  x C . 2 1 1 Câu 89. Cho biết F  x   x3  2 x  là một nguyên hàm của 3 x g  x   x cos ax . A. x sin x  cos x  C C. x sin x  cos C 2 x2 1 1 x sin 2 x  cos 2 x  C 2 4 1 1 D. x sin 2 x  cos 2 x  C 2 4  2x 2  x  ln x  1 x là x2  xC . 2 B. x 2  x  1 ln x   x2  xC . 2 D. x 2  x  1 ln x  C. x 2  x  1 ln x  2 2  A. x 2  x  1 ln x   2 B. Câu 90. Họ nguyên hàm của hàm số y     1  x  C .  x  a  . Tìm nguyên hàm của f  x  B. x 2  1 ln x 2  1  2 x 2  C .    x2  xC . 2  x2  xC . 2 Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 f  x 1 Câu 91. (Mã 104 2017) Cho F  x   2 là một nguyên hàm của hàm số . Tìm nguyên hàm của x 2x hàm số f   x  ln x . Câu 92.  ln x 1   C x2 x2  B.  f   x  ln xdx  ln x 1  C x2 2 x2 1   ln x  2 C 2 x 2x  D.  f   x  ln xdx  ln x 1  C x2 x2 A.  f   x  ln xdx    C.  f   x  ln xdx    (Mã 105 2017) Cho F  x    f  x 1 là một nguyên hàm của hàm số . Tìm nguyên hàm của 3 x 3x hàm số f   x  ln x ln x 1 ln x 1  5 C B.  f   x  ln xdx  3  5  C 3 x 5x x 5x ln x 1 ln x 1 C.  f   x  ln xdx   3  3  C D.  f   x  ln xdx  3  3  C x 3x x 3x x Câu 93. (Mã 110 2017) Cho F  x    x  1 e là một nguyên hàm của hàm số f  x  e2x . Tìm nguyên hàm A.  f   x  ln xdx  của hàm số f   x  e2x . A.  f  xe 2x dx   4  2 x  e x  C B.  f  xe 2x dx   x  2  e x  C 2 x x D.  f   x  e 2 x dx   2  x  e x  C e C 2 Câu 94. Cho hàm số f  x  thỏa mãn f   x   xe x và f  0   2 .Tính f 1 . C.  f   x e 2x dx  A. f 1  3 . Câu 95. B. f 1  e . C. f 1  5  e . D. f 1  8  2e . (Chuyên Đại Học Vinh 2019) Cho hàm số f  x  thỏa mãn f  x   f   x   e  x , x   và f  0   2 . Tất cả các nguyên hàm của f  x  e 2 x là A.  x  2  e x  e x  C Câu 96. B.  x  2  e2 x  e x  C C.  x  1 e x  C D.  x  1 e x  C (Việt Đức Hà Nội 2019) Cho hàm số y  f  x  thỏa mãn f ‘  x    x  1 e x , f  0   0 và  f  x dx   ax  b  e x  c với a, b, c là các hằng số. Khi đó: A. a  b  2. B. a  b  3. C. a  b  1. D. a  b  0. Câu 97. (THPT Nguyễn Thị Minh Khai – Hà Tĩnh – 2018) Gọi F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   xe  x . Tính F  x  biết F  0   1 . Câu 98. Câu 99. A. F  x     x  1 e x  2 . B. F  x    x  1 e  x  1 . C. F  x    x  1 e x  2 . D. F  x     x  1 e  x  1 . (Sở Quảng Nam – 2018) Biết  x cos 2 xdx  ax sin 2 x  b cos 2 x  C Tính tích ab ? 1 A. ab  . 8 1 . 4 với a , b là các số hữu tỉ. 1 D. ab   . 4 ln  x  3 (Chuyên Đh Vinh – 2018) Giả sử F  x  là một nguyên hàm của f  x   sao cho x2 F  2   F 1  0 . Giá trị của F  1  F  2  bằng B. ab  1 C. ab   . 8 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 10 7 2 5 3 ln 2  ln 5 . B. 0 . C. ln 2 . D. ln 2  ln 5 . 3 6 3 3 6 Câu 100. (THCS&THPT Nguyễn Khuyến – Bình Dương – 2018) Gọi g  x  là một nguyên hàm của hàm A. số f  x   ln  x  1 . Cho biết g  2   1 và g  3  a ln b trong đó a, b là các số nguyên dương phân biệt. Hãy tính giá trị của T  3a 2  b 2 B. T  17 . A. T  8 . Câu 101. (Sở Quảng Nam – 2018) Biết Tính tích ab ? 1 A. ab  . 8 B. ab  C. T  2 .  x cos 2 xdx  ax sin 2 x  b cos 2 x  C 1 . 4 1 C. ab   . 8 D. T  13 . với a , b là các số hữu tỉ. 1 D. ab   . 4 Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 NGUYÊN HÀM Chuyên đề 25 TÀI LIỆU DÀNH CHO HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM Dạng 1. Nguyên hàm của hàm ẩn hoặc liên quan đến phương trình f(x),f’(x),f’’(x) Dạng 1. Bài toán tích phân liên quan đến đẳng thúrc u ( x ) f  ( x)  u ‘ ( x) f ( x)  h( x) Phương pháp: Dễ dàng thấy rằng u ( x) f  ( x)  u  ( x) f ( x)  [u ( x) f ( x)] Do dó u ( x) f  ( x)  u  ( x ) f ( x)  h( x)  [u ( x) f ( x)]  h( x) Suy ra u ( x) f ( x)   h( x)dx Từ đây ta dễ dàng tính được f ( x) Dang 2. Bài toán tích phân liên quan đến biếu thúrc f  ( x )  f ( x)  h( x) Phương pháp:  Nhân hai vế vói e x ta durọc e x  f  ( x)  e x  f ( x)  e x  h( x)  e x  f ( x)   e x  h( x) Suy ra e x  f ( x)   e x  h( x)dx Từ đây ta dễ dàng tính được f ( x) Dang 3. Bài toán tích phân liên quan đến biếu thúc f  ( x)  f ( x)  h( x) Phương pháp:  Nhân hai vế vói e x ta durọc e x  f  ( x)  e  x  f ( x)  e x  h( x)  e  x  f ( x)   e  x  h( x) Suy ra e x  f ( x)   e  x  h( x)dx Từ đây ta dễ dàng tính được f ( x) Dạng 4. Bài toán tích phân liên quan đến biếu thúrc f  ( x)  p ( x)  f ( x)  h( x) (Phương trình vi phân tuyên tinh cấp 1) Phương pháp: p ( x ) dx Nhân hai vế với e  ta được f  ( x)  e  p ( x ) dx  p ( x)  e  Suy ra f ( x)  e  p ( x ) dx p ( x ) dx   e  f ( x)  h( x)  e  p ( x ) dx p ( x ) dx   f ( x)  e   p ( x ) dx    h( x)  e  p ( x ) dx  h( x)dx Từ đây ta dễ dàng tính được f ( x) Dang 5. Bài toán tích phân liên quan đến biếu thúc f  ( x)  p ( x)  f ( x)  0 Phương pháp: f  ( x) f  ( x) Chia hai vế với f ( x) ta đựơc  p ( x)  0    p ( x) f ( x) f ( x) f  ( x) Suy ra  dx    p ( x)dx  ln | f ( x) |   p ( x)dx f ( x) Từ đây ta dễ dàng tính được f ( x) Dạng 6. Bài toán tích phân liên quan đến biểu thức f  ( x)  p( x)  [ f ( x)]n  0 Phương pháp: f  ( x) f  ( x) Chia hai vế với [ f ( x)]n ta được  p ( x )  0    p( x) [ f ( x)]n [ f ( x)]n f  ( x) [ f ( x)] n 1 Suy ra  dx    p ( x)dx     p ( x)dx [ f ( x)]n n  1 Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Từ dầy ta dễ dàng tính được f ( x) Câu 1. (Mã 103 2018) Cho hàm số f  x  thỏa mãn f  2    2 1 và f   x   4 x 3  f  x   với mọi 25 x   . Giá trị của f 1 bằng 391 1 41 1 B.  C.  D.  400 40 400 10 (Chuyên Phan Bội Châu – Nghệ An – 2020) Cho hàm số y  f  x  đồng biến và có đạo hàm A.  Câu 2. liên tục trên  thỏa mãn nào sau đây? A. 12;13  . Câu 3.  f   x  2  f  x  .e x , x   và f  0   2 . Khi đó f  2  thuộc khoảng B.  9;10  . C. 11;12  . (Chuyên Thái Bình – 2020) Cho hàm số y  f  x D. 13;14  . thỏa mãn f  2   4 19 và f   x   x3 f 2  x  x   . Giá trị của f 1 bằng 2 A.  . 3 Câu 4. 1 B.  . 2 C. 1. 3 D.  . 4 (Lý Nhân Tông – Bắc Ninh – 2020) Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  1;0 thỏa mãn điều kiện: f 1  2 ln 2 và x.  x  1 . f   x   f  x   x 2  x . Biết f  2   a  b.ln 3 ( a , b  ).   Giá trị 2 a 2  b2 là 3 9 . D. . 4 2 (Hải Hậu – Nam Định – 2020) Cho hàm số y  f  x  thỏa mãn f  x   0, x  0 và có đạo hàm A. Câu 5. 27 . 4 B. 9 . C. 1 f   x  liên tục trên khoảng  0;    thỏa mãn f   x    2 x  1 f 2  x  , x  0 và f 1   . Giá 2 trị của biểu thức f 1  f  2   …  f  2020  bằng 2020 2015 2019 2016 . B.  . C.  . D.  . 2021 2019 2020 2021 (Bắc Ninh 2019) Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  1;0 thỏa mãn f 1  2 ln 2  1 , A.  Câu 6. x  x  1 f   x    x  2  f  x   x  x  1 , x   1;0 . Biết f  2   a  b ln 3 , với a , b là hai Câu 7. số hữu tỉ. Tính T  a 2  b . 3 21 3 A. T  . B. T  . C. T  . D. T  0 . 16 16 2 (THPT Nguyễn Trãi – Đà Nẵng – 2018) Cho hs y  f  x  thỏa mãn y  xy 2 và f  1  1 thì giá trị f  2  là A. e 2 . Câu 8. B. 2e . C. e  1 . D. e3 . (Sở Hà Nội Năm 2019) Cho hàm số f  x  liên tục trên  , f  x   0 với mọi x và thỏa mãn 1 f 1   , f   x    2 x  1 f 2  x  .Biết 2 a, b  ,  a, b   1 .Khẳng định nào sau đây sai? A. a  b  2019 . B. ab  2019 . f 1  f  2   …  f  2019   C. 2a  b  2022 . a 1 b D. b  2020 . Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ với TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 9. (THPT Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  0;   1 . Tính f  4  ? 2 A. 24 . B. 14 . C. 4 . D. 16 . Câu 10. (Chuyên Thái Nguyên 2019) Cho hàm số f  x   0 với mọi x   , thỏa mãn 2 xf   x   f  x   3 x 2 x . Biết f 1  f  0   1 và f  x   x  1. f   x  với mọi x   . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. f  x   2 Câu 11. B. 2  f  x   4 C. f  x   6 D. 4  f  x   6 (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên  2; 4 3 và f   x   0, x   2; 4 . Biết 4 x 3 f  x    f   x    x 3 , x   2; 4 , f  2   7 . Giá trị của 4 f  4  bằng 40 5  1 20 5  1 . B. . 2 4 (Chuyên Thái Bình 2019) Cho A. Câu 12. 20 5  1 40 5  1 . D. . 2 4 là hàm số liên tục trên  thỏa mãn C. f ( x) f  x   f   x   x, x   và f  0   1 . Tính f 1 . 2 1 e . B. . C. e . D. . e e 2 (THPT NGHĨA HƯNG NĐ- GK2 – 2018 – 2019) Cho hàm số A. Câu 13. f  x  thỏa mãn 2  xf   x    1  x 2 1  f  x  . f   x   với mọi x dương. Biết f 1  f  1  1 . Giá trị f 2  2  bằng A. f 2  2   2 ln 2  2 . B. f 2  2   2 ln 2  2 . C. f 2  2   ln 2  1 . Câu 14. D. f 2  2   ln 2  1 . (Chuyên Bắc Ninh 2019) Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn ( f ‘( x))2  f ( x). f ”( x)  x 3  2 x, x  R và f (0)  f ‘(0)  1 . Tính giá trị của T  f 2 (2) A. 43 30 B. 16 15 C. 43 15 D. 26 15   (Sở Bình Phước 2019) Cho hàm số f  x  liên tục và có đạo hàm trên  0;  , thỏa mãn  2 x     f  x   tan x. f   x   . Biết rằng 3 f    f    a 3  b ln 3 trong đó a, b . Giá 3 cos x 3 6 trị của biểu thức P  a  b bằng 14 2 7 4 A. B.  C. D.  9 9 9 9 Câu 16. (THPT Yên Phong Số 1 Bắc Ninh 2019) Cho hàm số y  f  x  đồng biến trên  0;   ; Câu 15. y  f  x liên tục, nhận giá trị dương trên  0;   và thỏa mãn f  3  4 9 và 2  f ‘  x     x  1 . f  x  . Tính f  8  . A. f  8   49 . B. f  8   256 . C. f  8   1 . 16 D. f  8  49 . 64 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489  2 2  f   x    f  x   x Câu 17. Cho hàm số f  x  thỏa mãn f 1  2 và x 2  1 2   1 với mọi x   . Giá trị của f  2  bằng 2 2 5 5 B.  C.  D. 5 5 2 2 (Chuyên Nguyễn Tất Thành Yên Bái 2019) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên A. Câu 18. khoảng  0;    , biết f   x    2 x  1 f 2  x   0 , f  x   0, x  0 và f  2   1 . Tính giá trị của 6 P  f 1  f  2   …  f  2019  . 2021 2020 2019 . B. . C. . 2020 2019 2020 Câu 19. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn A.  f  x 2 2018 . 2019 thỏa mãn D.  2;1 f  0   3 và . f   x   3 x 2  4 x  2 . Giá trị lớn nhất của hàm số y  f  x  trên đoạn  2;1 là A. 2 3 42 . B. 2 3 15 . C. 3 42 . Câu 20. (Đề Thi Công Bằng KHTN 2019) Cho hàm số 3 f ( x) D. 3 15 . thỏa mãn f (1)  4 và 2 f ( x)  xf ( x)  2 x  3x với mọi x  0 . Giá trị của f (2) bằng A. 5 . Câu 21. B. 10 . C. 20 . D. 15 . (Sở Bắc Ninh 2019) Cho hàm số f  x  liên tục trên R thỏa mãn các điều kiện: f  0   2 2, f  x   0, x   và f  x  . f   x    2 x  1 1  f 2  x  , x   . Khi đó giá trị f 1 bằng A. Câu 22. 26 . B. 24 . C. 15 . D. 23 . 2 (Cần Thơ 2018) Cho hàm số f  x  thỏa mãn  f   x    f  x  . f   x   2 x 2  x  1 , x   và 2 f  0   f   0   3 . Giá trị của  f 1  bằng 19 . D. 10 . 2 (Chuyên Lê Hồng Phong – 2018) Cho hàm số f  x  có đạo hàm trên  thỏa mãn A. 28 . Câu 23. B. 22 .  x  2  f  x    x  1 f   x   e x C. và f  0   1 . Tính f  2  . 2 e2 e2 e e f 2  f 2  f 2  f 2  A.   . B.   . C.   . D.   . 3 6 3 6 Câu 24. (Liên Trường – Nghệ An – 2018) Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  0;  1 thỏa mãn điều kiện f 1  2 ln 2 và x  x  1 . f   x   f  x   x 2  x . Giá trị f  2   a  b ln 3 , với a, b  . Tính a 2  b2 . 25 9 5 13 A. . B. . C. . D. . 4 2 2 4 Câu 25. (THPT Lê Xoay – 2018) Giả sử hàm số y  f  x  liên tục, nhận giá trị dương trên  0;   và thỏa mãn f 1  1 , f  x   f   x  . 3x  1 , với mọi x  0 . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 2  f  5   3 . B. 1  f  5   2 . C. 4  f  5   5 . D. 3  f  5   4 . Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 26. (THPT Quỳnh Lưu – Nghệ An – 2018) Cho hàm số f  x   0 thỏa mãn điều kiện 1 f  0   . Biết rằng tổng 2 a a là phân số tối giản. f 1  f  2   f  3  …  f  2017   f  2018  với  a  , b  *  và b b Mệnh đề nào sau đây đúng? a a A.  1. B.  1 . C. a  b  1010 . D. b  a  3029 . b b f   x    2 x  3 f 2  x  Câu 27. và (THPT Nam Trực – Nam Định – 2018) Cho hàm số f  x   0 , f   x   3x 4  x 2  1 2 f  x  và x2 1 f 1   . Tính f 1  f  2   …  f  80  . 3 3240 6480 6480 3240 A.  . B. . C.  . D. . 6481 6481 6481 6481 Câu 28. (Sở Hà Tĩnh – 2018) Cho hàm số f  x  đồng biến có đạo hàm đến cấp hai trên đoạn  0; 2 và 2 2 thỏa mãn  f  x    f  x  . f   x    f   x    0 . Biết f  0   1 , f  2   e6 . Khi đó f 1 bằng 3 2 5 2 3 B. e . A. e . D. e 2 . C. e . 2 Câu 29. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  thỏa mãn f   x   2 x. f  x   e x , x   và f  0   0 . Tính f 1 . 1 B. f 1   . e A. f 1  e2 . C. f 1  1 . e2 D. f 1  1 . e Câu 30. Cho hàm số y  f  x  thỏa mãn f ‘  x  . f  x   x4  x2 . Biết f  0  2 . Tính f 2  2  . A. f 2  2   Câu 31. 313 . 15 B. f 2  2   332 . 15 C. f 2  2   324 . 15 D. f 2  2   323 . 15 (Chuyên Đại học Vinh – 2019) Cho hàm số f  x  thỏa mãn f  x   f   x   e x , x   và f  0   2 . Tất cả các nguyên hàm của f  x  e 2 x là A.  x  2  e x  e x  C . B.  x  2  e2 x  e x  C . C.  x  1 e x  C . D.  x  1 e x  C . Câu 32. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên  0;    thỏa mãn 2 xf   x   f  x   2 x x   0;    , f 1  1 . Giá trị của biểu thức f  4  là: 25 25 17 17 . B. . C. . D. . 6 3 6 3 (Chu Văn An – Hà Nội – 2019) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên  và thỏa mãn A. Câu 33. 3 4 điều kiện x 6  f   x    27  f  x   1  0, x   và f 1  0 . Giá trị của f  2  bằng A. 1 . B. 1. C. 7 . D.  7 . Câu 34. (Bến Tre 2019) Cho hàm số f  x  thỏa mãn:  f   x  2  f  x  . f   x   15 x 4  12 x , x   và f  0   f   0   1 . Giá trị của f 2 1 bằng A. 5 . 2 B. 8. C. 10. D. 4. Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Câu 35. Cho hàm số y  f  x  xf   x   2 f  x   .ln x  x nào dưới đây? 25   A. 12;  . 2  Câu 36. đạo hàm liên tục  f  x  , x  1;    ; biết f 27   B. 13;  . 2   trên 1;    e   3e . Giá trị 3  23  C.  ;12  .  2  và thỏa mãn f  2  thuộc khoảng 29   D. 14;  . 2  (Chuyên Nguyễn Du-ĐăkLăk 2019) Cho hàm số f  x  có đạo hàm trên  thỏa mãn 3 f   x  .e f 3  x   x2 1 2x  2  0 với  x   . Biết f  0   1 , tính tích phân f  x 11 A. . 2 Câu 37. 3 có 7  x. f  x  dx . 0 15 B. . 4 45 9 C. . D. . 8 2 (SP Đồng Nai – 2019) Cho hàm số y  f  x  liên tục và không âm trên  thỏa mãn f  x  . f   x   2 x f 2  x   1 và f  0   0 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y  f  x  trên đoạn 1;3 . Biết rằng giá trị của biểu thức P  2M  m có dạng a 11  b 3  c ,  a , b , c    . Tính a  b  c A. a  b  c  7 . Câu 38. Cho hàm số B. a  b  c  4 . y  f  x liên C. a  b  c  6 . tục trên  1;0 D. a  b  c  5 . thỏa mãn f 1  2ln 2  1 , x  x  1 f   x    x  2  f  x   x  x  1 , x   1;0 . Biết f  2   a  b ln 3 , với a, b là hai số hữu tỉ. Tính T  a 2  b . A. T  21 . 16 B. T  3 . 2 Câu 39. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên C. T  0 .  0;    D. T   3 . 16 thỏa mãn 3x. f  x   x 2 . f   x   2 f 2  x  , với 1 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của 3 hàm số y  f  x  trên đoạn 1; 2 . Tính M  m . f  x   0, x   0;    và f 1  A. 9 . 10 B. 21 . 10 C. 5 . 3 D. 7 . 3 Dạng 2. Một số bài toán khác liên quan đến nguyên hàm Câu 1. 2   (Chuyên Thái Nguyên 2019) Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   e x x3  4x . Hàm số F  x 2  x  có bao nhiêu điểm cực trị? A. 6 . B. 5 . C. 3 . D. 4 . 1  cos x   sin x  cot x  dx và S 2 Câu 2. (THCS – THPT Nguyễn Khuyến 2019) Cho F  x    sin 4 x là tổng   tất cả các nghiệm của phương trình F  x   F   trên khoảng  0;4  . Tổng S thuộc khoảng 2 A.  6 ;9  . B.  2 ;4  . C.  4 ;6  . D.  0;2  . Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 3. (Chuyên Quốc Học Huế 2019) Cho hàm số F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  2cos x  1 trên khoảng  0;   . Biết rằng giá trị lớn nhất của F  x  trên khoảng  0;   là sin 2 x 3 . Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau. Câu 4. Câu 5.   A. F    3 3  4 6  2 B. F   3 A. 2 . B. 1.    5  C. F     3 D. F    3  3 3  6  x cos x  sin x Biết F  x là nguyên hàm của hàm số f  x   . Hỏi đồ thị của hàm số y  F  x có x2 bao nhiêu điểm cực trị trên khoảng 0; 4  ? 3    2 C. 3 . D. 0 . (Chuyên – Vĩnh Phúc – 2019) Biết F  x  là nguyên hàm của hàm số f  x   x  cos x . Hỏi đồ x2 thị của hàm số y  F  x  có bao nhiêu điểm cực trị? A. 1. Câu 6. B. 2. C. vô số điểm. D. 0. (Chuyên Lê Quý Đôn – Điện Biên 2019) Cho hàm số y  f  x  . Đồ thị của hàm số y  f ‘  x  trên  5;3 như hình vẽ (phần cong của đồ thị là một phần của parabol y  ax2  bx  c ). Biết f  0  0 , giá trị của 2 f  5  3 f  2  bằng A. 33. Câu 7. B. 109 . 3 C. 35 . 3 D. 11. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên  0;   thỏa mãn f   x   f  x  4 x 2  3 x và x f 1  2 . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f  x  tại điểm có hoành độ x  2 là A. y  16 x  20 . B. y  16 x  20 . C. y  16 x  20 . D. y  16 x  20 . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 7 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 NGUYÊN HÀM Chuyên đề 25 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH Dạng. Nguyên hàm cơ bản Bảng nguyên hàm của một số hàm thường gặp (với C là hằng số tùy ý)   0dx  C .   k dx  kx  C .     x dx  ln x  C .  x  x n 1 C. n 1 1 (ax  b)n 1 C. a n 1     ax  b dx  a ln ax  b  C .   (ax  b)  sin x dx   cos x  C .   sin(ax  b)dx   a cos(ax  b)  C .   cosx dx  sin x  C .   cos(ax  b)dx  a sin(ax  b)  C .   sin   dx 1   cot(ax  b)  C . a sin (ax  b )     dx 1  tan(ax  b)  C . cos (ax  b) a   e dx  e  e  x  a dx   x   a dx  x n dx  1 1 2 dx   1 2 x 1 C. x dx   cot x  C . 1 dx  tan x  C . cos2 x x x C. ax C. ln a (ax  b)n dx  1 1 1 2 1 1 dx    C. a ax  b 1 1 2 2 ax b 1 dx  eax b  C . a 1 a x  C.  ln a ♦ Nhận xét. Khi thay x bằng (ax  b) thì khi lấy nguyên hàm nhân kết quả thêm 1  a Một số nguyên tắc tính cơ bản PP  Tích của đa thức hoặc lũy thừa    khai triễn. PP  Tích các hàm mũ   khai triển theo công thức mũ. 1 1 1 1  Bậc chẵn của sin và cosin  Hạ bậc: sin2 a   cos2a, cos2 a   cos2a. 2 2 2 2 PP  Chứa tích các căn thức của x    chuyển về lũy thừa. Câu 1. (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Hàm số F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) trên khoảng K nếu A. F ‘( x)   f ( x), x  K . C. F ‘( x)  f ( x), x  K . B. f ‘( x)  F ( x), x  K . D. f ‘( x)   F ( x), x  K . Lời giải Chọn C Theo định nghĩa thì hàm số F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) trên khoảng K nếu F ‘( x)  f ( x), x  K . Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Câu 2. 2 (Mã 101 – 2020 Lần 1)  x dx bằng A. 2x  C . B. 1 3 x C. 3 C. x3  C . D. 3x 3  C Lời giải Chọn Câu 3. B. (Mã 102 – 2020 Lần 1) Họ nguyên hàm của hàm số f  x   x 3 là A. 4x 4  C . B. 3x 2  C . C. x 4  C . D. 1 4 x C . 4 Lời giải Chọn D Ta có Câu 4. 3  x dx  x4 C . 4 (Mã 103 – 2020 Lần 1) A. 1 5 x C 5 4  x dx bằng B. 4×3  C C. x5  C D. 5×5  C Lời giải Chọn A 4 1  x dx  5 x Câu 5. 5 C . 5 (Mã 104 – 2020 Lần 1)  x dx A. 5x 4  C . B. bằng 1 6 x C. 6 C. x 6  C . D. 6x 6  C . Lời giải Chọn B Câu 6. (Mã 101- 2020 Lần 2)  5x 4 dx bằng A. 1 5 x C . 5 B. x5  C . C. 5×5  C . D. 20×3  C . Lời giải Chọn B Ta có  5x 4 dx  x5  C . Câu 7. (Mã 102 – 2020 Lần 2)  6x 5 dx bằng A. 6x 6  C . B. x6  C . 1 6 x C . 6 Lời giải C. D. 30x 4  C . Chọn B Ta có:  6x 5 dx  x 6  C . 2 Câu 8. (Mã 103 – 2020 Lần 2)  3 x dx A. 3×3  C . B. 6x  C . bằng C. 1 3 x C . 3 D. x 3  C . Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Lời giải Chọn D Ta có:  3x 2 dx  3. Câu 9. x3  C  x3  C 3 3 (Mã 104 – 2020 Lần 2)  4 x dx bằng A. 4x 4  C . B. 1 4 x C . 4 C. 12x 2  C . D. x 4  C . Lời giải Chọn D Ta có Câu 10. 3  4 x dx  x 4 C . (Mã 103 2018) Nguyên hàm của hàm số f  x   x 4  x 2 là A. 1 5 1 3 x  x C 5 3 B. x 4  x 2  C C. x 5  x 3  C . D. 4 x 3  2 x  C Lời giải Chọn A  f  x  dx    x Câu 11. 4  x 2  dx  1 5 1 3 x  x C . 5 3 (Mã 104 – 2019) Họ tất cả nguyên hàm của hàm số f  x   2 x  4 là A. x 2  C . B. 2x 2  C . C. 2 x 2  4 x  C . Lời giải D. x 2  4 x  C . Chọn D Ta có Câu 12.  f  x  dx    2 x  4 dx  x 2  4x  C . (Mã 102 – 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f  x   2 x  6 là A. x 2  C . B. x2  6x  C . C. 2×2  C . Lời giải D. 2 x2  6 x  C . Chọn B   2 x  6  dx  x Câu 13. 2  6x  C (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Họ nguyên hàm của hàm số f  x   cos x  6 x là A. sin x  3 x 2  C . B.  sin x  3 x 2  C . C. sin x  6 x 2  C . Lời giải D.  sin x  C . Chọn A Ta có Câu 14.  f  x  dx    cos x  6 x  dx  sin x  3x 2 C . (Mã 105 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   2 sin x . A.  2 sin xdx  2 cos x  C B.  2 sin xdx  2 cos x  C C.  2 sin xdx  sin 2 x  C D.  2 sin xdx  sin 2 x  C Lời giải Chọn A Câu 15. (Mã 101 2018) Nguyên hàm của hàm số f  x   x3  x là Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 A. 1 4 1 2 x  x C 4 2 B. 3 x 2  1  C C. x 3  x  C D. x 4  x 2  C Lời giải Chọn A x Câu 16. 3  x 2  dx  1 4 1 2 x  x C. 4 2 (Mã 103 – 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f  x   2 x  3 là A. x 2  3 x  C . B. 2 x 2  3 x  C . C. x 2  C . Lời giải D. 2x 2  C . Chọn A Ta có Câu 17.   2 x  3  dx  x 2  3x  C . (Đề Minh Họa 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   2 x  1. 2 A.  f  x  dx  3  2 x 1 C.  f  x  dx   3 1 2 x  1  C. 2 x  1  C. 1 B.  f  x  dx  3  2 x 1 D.  f  x  dx  2 1 2 x  1  C. 2 x  1  C. Lời giải Chọn B  Câu 18. 1 1 2 d  2 x  1 2 x  1   2 . 1   2 x  1 2 x  1  C 3 f  x  dx   2 x  1dx  (Đề Tham Khảo 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   x 2  A. C.  f  x  dx  x3 1  C . 3 x B.  f  x  dx  x3 1  C. 3 x D.  f  x  dx  x3 3  f  x  dx  x3 3 2 . x2 2  C. x 2  C . x Lời giải Chọn A 2 x3 2  Ta có   x 2  2  dx    C . x  3 x  Câu 19. 1 . 5x  2 dx B.   ln 5 x  2  C 5x  2 dx D.   5 ln 5 x  2  C 5x  2 Lời giải (Mã 110 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   dx 1 A.  5 x  2  5 ln 5 x  2  C C.  5 x  2   2 ln 5 x  2  C dx 1 Chọn A Áp dụng công thức dx 1 dx 1  ax  b  a ln ax  b  C  a  0  ta được  5 x  2  5 ln 5 x  2  C . Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 20. (Mã123 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   cos 3 x sin 3 x C 3 sin 3 x D.  cos 3 xdx   C 3 Lời giải B.  cos 3 xdx  A.  cos 3 xdx  3 sin 3 x  C C.  cos 3 xdx  sin 3 x  C Chọn B Ta có:  cos 3 xdx  Câu 21. sin 3 x C 3 (Mã 104 2018) Nguyên hàm của hàm số f  x   x3  x 2 là A. 1 4 1 3 x  x C 4 3 B. 3 x 2  2 x  C C. x 3  x 2  C D. x 4  x 3  C Lời giải Chọn A Câu 22. (Đề Tham Khảo 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f  x   e x  x là A. e x  1  C B. ex  x2  C C. e x  1 2 x C 2 D. 1 x 1 2 e  x C x 1 2 Lời giải Chọn C Câu 23. (Mã 101 – 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x)  2 x  5 là A. x 2  C . B. x2  5x  C . C. 2 x 2  5 x  C . Lời giải D. 2x 2  C . Chọn B Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x)  2 x  5 là F ( x)  x2  5x  C . Câu 24. (Mã 104 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   7 x . 7x C A.  7 dx  ln 7 x C.  7 x dx  B.  7 x dx  7 x 1  C 7 x 1 C x 1 D.  7 x dx  7 x ln 7  C Lời giải Chọn A Áp dụng công thức Câu 25. x  a dx  ax  C ,  0  a  1 ta được đáp án B ln a (Mã 102 2018) Nguyên hàm của hàm số f  x   x 4  x là A. 4 x3  1  C B. x5  x2  C 1 5 1 2 x  x C 5 2 Lời giải C. D. x 4  x  C Chọn C Ta có Câu 26. x 4 1 1  x  dx  x5  x 2  C . 5 2 (Đề Tham Khảo 2018) Họ nguyên hàm của hàm số f ( x)  3x 2  1 là Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 A. x 3  C B. x3  xC 3 D. x 3  x  C C. 6 x  C Lời giải Chọn D  3x Câu 27. 2   1 dx  x 3  x  C . A. 1 2 x 7 2  16  B.  C 1 2 x 7 32  16  C 15  x  x  7  dx ? 1 C.  x  7  C 16 2 (THPT An Lão Hải Phòng 2019) Tìm nguyên hàm 2 16 D. 1 2 x 7 32  16  C Lời giải Chọn D  xx Câu 28. 2 7 15  dx  1 x2  7 2  15  d x 2  7  1 2 x 7 32  16  C (THPT Ba Đình -2019) Họ nguyên hàm của hàm số f (x)  e 3 x là hàm số nào sau đây? A. 3e x  C . B. 1 3x e C. 3 1 x e C . 3 Lời giải C. D. 3e3 x  C . 1 Ta có:  e3 x dx  e3 x  C , với C là hằng số bất kì. 3 Câu 29. (THPT Cẩm Giàng 2 2019) Tính   x  sin 2 x dx . A. x2  sin x  C . 2 B. x2  cos 2 x  C . 2 C. x 2  cos 2 x C . 2 D. x 2 cos 2 x  C. 2 2 Lời giải Ta có Câu 30.   x  sin 2 x  dx =  xdx   sin 2 xdx  (THPT Hoàng Hoa Thám Hưng Yên 2019) Nguyên hàm của hàm số y  e2 x 1 là A. 2e 2 x 1  C . Ta có:  e2 x 1dx  Câu 31. B. e2 x 1  C . 1 2 x 1 e C. 2 Lời giải C. D. 1 x e C . 2 1 2 x1 1 e d  2 x  1  e2 x 1  C .  2 2 (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x   A. ln 2 x  3  C . Câu 32. x 2 cos 2 x  C . 2 2 B. 1 ln 2 x  3  C . 2 C. 1 2x  3 1 1 ln 2 x  3  C . D. lg  2 x  3  C . ln 2 2 (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Tìm họ nguyên hàm của hàm số y  x 2  3x  A. x3 3x 1   2  C, C   . 3 ln 3 x B. x3 1  3x  2  C , C   . 3 x C. x 3 3x   ln x  C , C   . 3 ln 3 D. x 3 3x   ln x  C , C   . 3 ln 3 Lời giải Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 1 . x TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 1 x 3 3x  Ta có:   x 2  3x  dx    ln x  C , C   . x 3 ln 3  Câu 33. (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x  sin 3x A. 3cos3x C . B. 3cos3x C . C. 1 cos3 x  C . 3 1 D.  cos3 x  C . 3 Lời giải  sin 3x dx   Câu 34. cos 3 x C 3 (Chuyên KHTN 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f  x   3x 2  sin x là A. x 3  cos x  C . Ta có Câu 35.  3x 2 B. 6 x  cos x  C . C. x 3  cos x  C . Lời giải D. 6 x  cos x  C .  sin x  dx  x 3  cos x  C . (Chuyên Bắc Ninh -2019) Công thức nào sau đây là sai? 1 1 dx  tan x  C . A.  ln x dx   C . B.  x cos 2 x D.  e x dx  e x  C . C.  sin x dx   cos x  C . Lời giải Ta có:  ln x dx  Câu 36. 1  C sai. x (Chuyên Bắc Ninh 2019) Nếu A. f  x   x 4   f  x  dx  4 x 3  x 2  C thì hàm số f  x  bằng x3  Cx . B. f  x   12 x 2  2 x  C . 3 C. f  x   12 x 2  2 x . D. f  x   x 4  x3 . 3 Lời giải  Có f  x   4 x3  x 2  C  12 x 2  2 x .  Câu 37.  (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? 1 A.  cos 2 xdx  sin 2 x  C . 2 C. 1  x dx  ln x  C . Ta có:  e x dx  Câu 38. B. D.  e x dx  e  x dx  x e1 C . e 1 e x 1 C. x 1 Lời giải e x 1  C sai vì  e x dx  e x  C . x 1 (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Nguyên hàm của hàm số y  2 x là x x x x A.  2 dx  ln 2.2  C . B.  2 dx  2  C . 2x 2x x  C . D.  2 dx  C . C.  2 dx  ln 2 x 1 x Lời giải Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 7 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Do theo bảng nguyên hàm:  a x dx  Câu 39. ax C . ln a (Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x   3x  sin x . 3x 2  cos x  C . B.  f  x dx  2 2 A.  f  x dx  3x  cos x  C . C.  f  x dx  3x 2  cos x  C . 2 D.  f  x dx  3  cos x  C . Lời giải 2 Ta có  f  x dx    3x  sin x dx  Câu 40. 3x  cos x  C . 2 (Sở Bình Phước 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f ( x )  x  s inx là A. x 2  cos x+C B. x 2  cos x+C x2  cos x+C 2 Lời giải C. D. x2  cos x+C 2 Chọn C Theo bảng nguyên hàm cơ bản Câu 41. (THPT Minh Khai Hà Tĩnh 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f ( x)  cos x là: A. cos x  C . B.  cos x  C . C.  sin x  C . Lời giải D. sin x  C . Ta có  cos xdx  sin x  C . Câu 42. (THPT Đoàn Thượng – Hải Dương – 2019) Họ các nguyên hàm của hàm số f  x   x 4  x 2 là A. 4 x 3  2 x  C . Ta có Câu 43.  f  x  dx    x B. x 4  x 2  C . 4  x 2  dx  1 5 1 3 x  x C . 5 3 Lời giải. C. D. x 5  x 3  C . 1 5 1 3 x  x C. 5 3 (THPT Cù Huy Cận 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f  x   e x  2 x là. A. e x  x 2  C . B. e x  x 2  C . C. 1 x e  x2  C . x 1 D. e x  2  C . Lời giải Ta có: Câu 44.  e x  2 x  dx  e x  x 2  C (Chuyên Hùng Vương Gia Lai 2019) Họ các nguyên hàm của hàm số y  cos x  x là A. sin x  1 2 x C . 2 B. sin x  x 2  C . C.  sin x  1 2 x  C . D.  sin x  x 2  C . 2 Lời giải 1   cos x  x  dx  sin x  2 x Câu 45. 2 C . (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Họ nguyên hàm của hàm số y  x 2  3 x  Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 1 là x TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 x3 3 x 2 x3 3x 2   ln x  C. B.   ln x  C. A. 3 2 3 2 x3 3 x 2 x 3 3x 2 1   ln x  C. D.    C. C. 3 2 3 2 x2 Lời giải Ta có: 1 x3 3 x 2 2 ( x  3 x  )d x    ln x  C.  x 3 2 Câu 46. (Chuyen Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f  x   A. ln x  cos x  C . B.  1  cos x  C . x2 C. ln x  cos x  C . 1  sin x là x D. ln x  cos x  C . Lời giải Ta có Câu 47. 1  1  f  x  dx    x  sin x  dx   x dx   sin xdx  ln x  cos x  C . (THPT Yên Phong 1 Bắc Ninh 2019) Hàm số F  x   1 3 x là một nguyên hàm của hàm số nào 3 sau đây trên  ;   ? A. f  x   3 x 2 . B. f  x   x 3 . C. f  x   x 2 . D. f  x   1 4 x . 4 Lời giải Gọi F  x   1 3 x là một nguyên hàm của hàm số f  x  . 3 Suy ra F ‘  x   f  x   f  x   x 2 . Câu 48. (THPT Yên Phong 1 Bắc Ninh 2019) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x   2 x . A. C.  f  x  dx  2  x C. B.  2x f  x  dx  C . ln 2 f  x  dx  2 x ln 2  C . D.  f  x  dx  2 x 1 C . x 1 Lời giải Ta có: Câu 49.  2x f  x  dx   2 dx  C . ln 2 x (THPT – Yên Định Thanh Hóa 2019) Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   A. C.  f  x  dx  x3 1  C . 3 x B.  f  x  dx  x3 1  C. 3 x D.  f  x  dx  x3 2  C. 3 x  f  x  dx  x3 2  C . 3 x x4  2 . x2 Lời giải 4 Ta có:  f  x  dx  x 2 x3 2  2 2 d x  x  d x    x2  3  x  C . x2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 9 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Câu 50. (Sở Hà Nội 2019) Hàm số nào trong các hàm số sau đây là một nguyên hàm của hàm số y  e x ? A. y  1 . x B. y  e x . C. y  e  x . D. y  ln x . Lời giải    e Ta có: e x Câu 51. x  y  e x là một nguyên hàm của hàm số y  e x . (Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai 2019) Tính F ( x)   e2 dx , trong đó e là hằng số và e  2, 718 . A. F ( x)  e2 x 2 C . 2 B. F ( x)  e3 C . 3 C. F ( x)  e2 x  C . D. F ( x)  2ex  C . Lời giải Ta có: F ( x)   e2 dx  e 2 x  C . Câu 52. (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2019) Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   1    ;  . 2  1 A. ln 2 x  1  C . 2 B. 1 ln 1  2 x   C . 2 1  Trên khoảng   ;  , ta có: 2  Câu 53. 1 C.  ln 2 x  1  C . 2 Lời giải 1 1 1 trên 1  2x D. ln 2 x  1  C . 1 1  f  x dx   1  2 xdx   2  1  2 x d 1  2 x    2 ln 2 x  1  C . x (Chuyên Hưng Yên 2019) Nguyên hàm của hàm số f  x   2  x là 2x x2  C . A. ln2 2 x 2x  x2  C . C. ln 2 2 B. 2  x  C . x D. 2  x2 C . 2 Lời giải Ta có Câu 54.  2 x  x  dx  x 2 1  x2  C . ln 2 2 (Chuyên Sơn La 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f  x   1  sin x A. 1  cos x  C . B. 1  cos x  C . C. x  cos x  C . D. x  cos x  C . Lời giải Ta có Câu 55.  f  x dx   1  sin x dx  x  cos x  C . (THPT Đông Sơn Thanh Hóa 2019) Nguyên hàm của hàm số f (x )  1 3 x  2 x 2  x  2019 là 3 A. 1 4 2 3 x2 x  x  C. 12 3 2 B. 1 4 2 3 x2 x  x   2019 x  C . 9 3 2 C. 1 4 2 3 x2 x  x   2019 x  C . 12 3 2 D. 1 4 2 3 x2 x  x   2019 x  C . 9 3 2 Lời giải Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 x n 1  C ta được: Sử dụng công thức  x n dx  n 1 1 x4 x3 x 2 1 2 1 1 3  2 x  2 x  x  2019 dx  .  2.   2019 x  C  x 4  x 3  x 2  2019 x  C.    3 3 4 3 2 12 3 2  Câu 56. (THPT Yên Khánh – Ninh Bình – 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f ( x)  1   ;  là: 3  1 A. ln(3x  1)  C 3 1 trên khoảng 3x  1 1 ln(1  3x)  C D. ln(3x 1)  C 3 Lời giải 1 1 1 d (3x  1) 1 1  dx    ln 3x  1  C  ln(1  3x)  C (do x   ;  ) Ta có:  3x  1 3 3x  1 3 3 3  Câu 57. B. ln(1  3x)  C C. (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A.  2 x dx  2 x ln 2  C . B.  e2 x dx  e2 x C. 2 1 C.  cos 2 xdx  sin 2 x  C . 2 D. 1  x  1 dx  ln x  1  C  x  1 . Lời giải Chọn A Ta có: Câu 58. x  2 dx  2x C . ln 2 (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Cho hàm số f ( x)  2×4  3 . Khẳng định nào sau x2 đây là đúng? A. C. 2 x3 3  C . 3 2x  f ( x)dx   2 x3 3 f ( x)dx   C. 3 x f ( x)dx  2 x3 3  C. 3 x B.  D.  f ( x)dx  2 x 3  3 C. x Lời giải Chọn B Ta có Câu 59.  f ( x)dx   2×4  3 2 x3 3  2 3 dx  2 x  dx   C    x2 x2  3 x x (Sở Thanh Hóa 2019) Cho hàm số f  x   2  x  1. Tìm A.  f  x dx  2 x  x2  x  C . C.  f  x  dx  2 x  1 2 x  xC . 2  f  x  dx . 1 2 x  xC. 2 1 x 1 2 2  x  xC . D.  f  x  dx  x 1 2 B. 1  f  x  dx  ln 2 2 x  Lời giải Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Ta có: Câu 60. 1 x 1 x 2  x  1 2  x d x     ln 2 2 2  x  C. (Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x   3x  sin x . A.  f  x dx  3×2  cos x  C . C.  f  x dx  B.  f  x dx  3x 2  cos x  C . 2 3x 2  cos x  C . 2 D.  f  x dx  3  cos x  C . Lời giải Chọn C Ta có  f  x dx    3 x  sin x dx  Câu 61. 3x 2  cos x  C . 2 2 (Chuyên Bắc Giang 2019) Hàm số F  x   e x là nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số sau: 2 x2 2 x2 A. f ( x)  2 xe . 2x B. f ( x)  x e  1. C. f ( x)  e . ex D. f ( x)  . 2x Lời giải Chọn A    2 xe Ta có f  x   F   x   f  x   e x Câu 62. 2 x2 . (Chuyên Đại Học Vinh 2019) Tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x)  3 x là A.  3 x C ln 3 B. 3 x  C C. 3 x ln 3  C D. 3 x C ln 3 D. x 4 x3  C 3 4 Lời giải Chọn A Ta có Câu 63.  3 x f ( x)dx   3 dx    3 d( x)   C . ln 3 x x (Sở Phú Thọ 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f  x   x3  x 2 là A. x 4 x3  C. 4 3 B. x 4  x 3  C . C. 3 x 2  2 x  C . Lời giải Chọn A  Câu 64. f  x  dx    x3  x 2  dx  x 4 x3  C . 4 3 (Chuyên ĐHSP Hà Nội 2019) Hàm số nào trong các hàm số sau đây không là nguyên hàm của hàm số y  x2019 ? A. x 2020 1. 2020 B. x 2020 . 2020 C. y  2019 x2018 . D. x 2020 1 . 2020 Lời giải Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 x 2020  C , C là hằng số. Nên các phương án A, B, D đều là nguyên hàm của Ta có:  x 2019dx  2020 hàm số y  x2019 . Câu 65. (Chuyên Quốc Học Huế 2019) Tìm họ nguyên hàm của hàm số y  x 2  3x  A. x3 3x   ln x  C , C  R 3 ln 3 C. x3 1  3x  2  C , C  R 3 x B. 1 . x x3 3x   ln x  C , C  R 3 ln 3 x 3 3x 1   2  C, C  R 3 ln 3 x Lời giải D. 1 x 3 3x   ln x  C , C  R . Ta có:   x 2  3x   dx   x 3 ln 3  Câu 66.  2018e  x  (Quảng Ninh 2019) Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   e x  2017  . x5   2018 2018 A.  f  x  dx  2017e x  4  C . B.  f  x  dx  2017e x  4  C . x x 504,5 504,5 C.  f  x  dx  2017e x  4  C . D.  f  x  dx  2017e x  4  C . x x Lời giải  Câu 67.  2018e  x  2018  504,5  x x f  x dx   e x  2017  dx    2017e  5 dx  2017e  4  C 5 x x  x     e x  (HSG Bắc Ninh 2019) Họ nguyên hàm của hàm số y  e x  2   là cos 2 x   1 1 C C A. 2e x  tan x  C B. 2e x  tan x  C C. 2e x  D. 2e x  cos x cos x Lời giải  e x  1 x Ta có: y  e x  2    2e  2 cos x  cos 2 x    ydx    2e Câu 68. x  1  x  dx  2e  tan x  C . cos 2 x  (Chuyên Hạ Long 2019) Tìm nguyên F  x  của hàm số f  x    x  1 x  2  x  3 ? A. F  x   x4 11  6 x3  x2  6 x  C . 4 2 B. F  x   x 4  6 x 3  11x 2  6 x  C . C. F  x   x4 11  2 x3  x2  6 x  C . 4 2 D. F  x   x 3  6 x 2  11x 2  6 x  C . Lời giải Ta có: f  x   x 3  6 x 2  11x  6  F  x     x 3  6 x 2  11x  6 dx  Câu 69. (Sở Bắc Ninh 2019) họ nguyên hàm của hàm số f  x   x4 11  2×3  x2  6x  C . 4 2 1 là: 5x  4 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 A. 1 ln  5 x  4   C . 5 Ta có 1 1 B. ln 5 x  4  C . 1 1 1 ln 5 x  4  C . D. ln 5 x  4  C . ln 5 5 Lời giải C. 1  5 x  4 dx  5  5 x  4 d  5 x  4   5 ln 5 x  4  C . Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 NGUYÊN HÀM Chuyên đề 25 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ MỨC 7-8 ĐIỂM Dạng 1. Nguyên hàm cơ bản có điều kiện Bảng nguyên hàm của một số hàm thường gặp (với C là hằng số tùy ý)   0dx  C .   k dx  kx  C .     x dx  ln x  C .  x  x n 1 C. n 1 1 (ax  b)n 1 C. a n 1     ax  b dx  a ln ax  b  C .   (ax  b)  sin x dx   cos x  C .   sin(ax  b)dx   a cos(ax  b)  C .   cosx dx  sin x  C .   cos(ax  b)dx  a sin(ax  b)  C .   sin   dx 1   cot(ax  b)  C . a sin (ax  b )     dx 1  tan(ax  b)  C . cos (ax  b) a   e dx  e  e  x  a dx   x   a dx  x n dx  1 1 2 dx   1 2 x 1 C. x dx   cot x  C . 1 dx  tan x  C . cos2 x x x C. ax C. ln a (ax  b)n dx  1 1 1 2 1 1 dx    C. a ax  b 1 1 2 2 ax b 1 dx  eax b  C . a 1 a x  C.  ln a ♦ Nhận xét. Khi thay x bằng (ax  b) thì khi lấy nguyên hàm nhân kết quả thêm 1  a Một số nguyên tắc tính cơ bản PP  Tích của đa thức hoặc lũy thừa    khai triễn. PP  Tích các hàm mũ   khai triển theo công thức mũ. 1 1 1 1  Bậc chẵn của sin và cosin  Hạ bậc: sin2 a   cos2a, cos2 a   cos2a. 2 2 2 2 PP  Chứa tích các căn thức của x    chuyển về lũy thừa. Câu 1. (Đề Tham Khảo 2018) Cho hàm số f ( x) xác định trên 1    2 thỏa mãn 2 , f  0   1, f 1  2 . Giá trị của biểu thức f  1  f  3 bằng 2x 1 A. 2  ln15 B. 3  ln15 C. ln15 D. 4  ln15 Lời giải Chọn C 2  2 x  1 dx  ln 2 x  1  C  f  x  f  x  Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 1 , f  0   1  C  1 nên f  1  1  ln 3 2 1 Với x  , f 1  2  C  2 nên f  3  2  ln 5 2 Nên f  1  f  3  3  ln15 Với x  Câu 2. (Sở Phú Thọ 2019) Cho F  x  là một nguyên hàm của f  x   1 trên khoảng 1;  thỏa x 1 mãn F  e  1  4 Tìm F  x  . A. 2ln  x  1  2 B. ln  x  1  3 C. 4ln  x  1 D. ln  x  1  3 Lờigiải Chọn B F  x =   1 dx  C  ln x  1  C x 1 F  e  1  4 . Ta có 1  C  4  C  3 Câu 3. (THPT Minh Khai Hà Tĩnh 2019) Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   1 , x2 biết F 1  2. Giá trị của F  0  bằng A. 2  ln 2. C. 2  ln  2  . B. ln 2. D. ln  2  . Lờigiải Cách 1: Ta có: 1  f  x dx   x  2dx  ln x  2  C , C   . Giả sử F  x   ln x  2  C0 là một nguyên hàm của hàm số đã cho thỏa mãn F 1  2 . Do F 1  2  C0  2  F  x   ln x  2  2 .Vậy F  0   2  ln 2. Câu 4. (KTNL GV Thuận Thành 2 Bắc Ninh 2019) Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm f  x  1 ; biết F  0   2 . Tính F 1 . 2x 1 1 A. F 1  ln 3  2 . 2 B. F 1  ln 3  2 . 1 C. F 1  2ln 3  2 . D. F 1  ln 3  2 . 2 Lời giải Chọn D Ta có F x   Do F 0  2  Vậy F x   1 1  2x  1dx  2 ln 2x  1  C 1 ln 2.0  1  C  2  C  2 2 1 1 ln 2x  1  2  F 1  ln 3  2 . 2 2 Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 5. (Chuyên ĐHSP Hà Nội 2019) Hàm số F  x  là một nguyên hàm của hàm số y  1 trên  ;0  x thỏa mãn F  2  0 . Khẳng định nào sau đây đúng?  x   x   ;0   2  A. F  x   ln  B. F  x   ln x  C x   ;0  với C là một số thực bất kì. C. F  x   ln x  ln 2 x   ;0 . D. F  x   ln   x   C x   ;0  với C là một số thực bất kì. Lời giải 1 x Ta có F  x    dx  ln x  C  ln   x   C với x   ;0 .  x  .  2  Lại có F  2  0  ln 2  C  0  C   ln 2 . Do đó F  x   ln   x   ln 2  ln   x   x   ;0  .  2  Vậy F  x   ln  Câu 6. (THPT Minh Khai Hà Tĩnh 2019) Cho hàm số f  x  xác định trên R 1 thỏa mãn 1 , f  0   2017 , f  2   2018 . Tính S  f  3  f  1 . x 1 A. S  ln 4035 . B. S  4 . C. S  ln 2 . D. S  1 . Lời giải 1 dx  ln  x  1  C1  f  x   ln  x  1  C1 . Trên khoảng 1;   ta có  f ‘  x  dx   x 1 Mà f (2)  2018  C1  2018 . f  x  Trên khoảng  ;1 ta có 1  f ‘  x  dx  x  1 dx  ln 1  x   C 2  f  x   ln 1  x   C2 . Mà f (0)  2017  C2  2017 . ln( x  1)  2018 Vậy f  x    ln(1  x)  2017 Câu 7. khi x  1 . Suy ra f  3  f  1  1 . khi x  1 (Mã 105 2017) Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f ( x)  e x  2 x thỏa mãn F  0   3 . 2 Tìm F  x  . 1 2 3 C. F  x   e x  x 2  2 A. F  x   e x  x 2  B. F  x   e x  x 2  5 2 1 2 Lời giải D. F  x   2e x  x 2  Chọn A Ta có F  x     e x  2 x  dx  e x  x 2  C Theo bài ra ta có: F  0   1  C  3 1 C  . 2 2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Câu 8. (THCS – THPT Nguyễn Khuyến 2019) Biết F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   e2 x và F  0   0 . Giá trị của F  ln 3 bằng A. 2. C. 8. Lời giải 1 1 1 1 F  x    e 2 x dx  e 2 x  C ; F  0   0  C    F  x   e 2 x  . 2 2 2 2 1 2ln 3 1 Khi đó F  ln 3   e   4 . 2 2 Câu 9. B. 6. D. 4. (Sở Bình Phước 2019) Biết F  x  là một nguyên hàm của hàm số e2x và F  0   1 F   là 2 1 A. e  200 2 1 e  50 2 Lời giải B. 2e  100 C. D. 201  Giá trị 2 1 e  100 2 Chọn D Ta có  e2 x dx  1 2x e C . 2 Theo đề ra ta được: F  0   201 1 201   e0  C   C  100 . 2 2 2 1 1 2x 1  1  1 2 2 Vậy F ( x)  e  100  F    e  100  e  100 . 2 2 2 2 Câu 10. (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  và: f   x   2e2 x  1, x, f  0   2 . Hàm f  x  là A. y  2e x  2 x . B. y  2e x  2 . C. y  e 2 x  x  2 . D. y  e 2 x  x  1 . Lời giải Ta có:  f   x  dx    2e 2x  1 d x  e  x  C . 2x Suy ra f  x   e2 x  x  C . Theo bài ra ta có: f  0   2  1  C  2  C  1. Vậy: f  x   e2 x  x  1 . Câu 11. (Sở Bắc Ninh 2019) Cho hàm số f  x   2 x  e x . Tìm một nguyên hàm F  x  của hàm số f  x  thỏa mãn F  0   2019 . A. F  x   x 2  e x  2018 . B. F  x   x 2  e x  2018 . C. F  x   x 2  e x  2017 . D. F  x   e x  2019 . Lời giải Ta có  f  x  dx    2 x  e dx  x x 2 x e C . Có F  x  là một nguyên hàm của f  x  và F  0   2019 . Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  F  x   x 2  e x  C  1  C  2019  C  2018 . Suy ra   F  0   2019 Vậy F  x   x 2  e x  2018 . Câu 12. Gọi F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   2 x , thỏa mãn F  0   1 . Tính giá trị biểu ln 2 thức T  F  0   F 1  …  F  2018   F  2019  . A. T  1009. C. T  22019  1 . ln 2 22019  1 . ln 2 B. T  22019.2020 . D. T  22020  1 . ln 2 Lời giải Ta có 2 x x  f  x dx   2 dx  ln 2  C F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   2 x , ta có F  x   1 2x  C mà F  0   ln 2 ln 2 2x . ln 2 T  F  0   F 1  …  F  2018   F  2019   C  0  F  x   Câu 13. 1 1 22020  1 22020  1 1  2  22  …  2 2018  22019   .   ln 2 ln 2 2  1 ln 2   (Mã 104 2017) Tìm nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   sin x  cos x thoả mãn F    2 . 2 A. F  x    cos x  sin x  3 B. F  x    cos x  sin x  1 C. F  x    cos x  sin x  1 D. F  x   cos x  sin x  3 Lời giải Chọn C Có F  x    f  x  dx    sin x  cos x  dx   cos x  sin x  C    Do F     cos  sin  C  2  1  C  2  C  1  F  x    cos x  sin x  1 . 2 2 2 Câu 14. (Mã 123 2017) Cho hàm số f  x  thỏa mãn f ‘  x   3  5 sin x và f  0   10 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. f  x   3 x  5 cos x  15 B. f  x   3 x  5 cos x  2 C. f  x   3 x  5 cos x  5 D. f  x   3 x  5 cos x  2 Lời giải Chọn C Ta có f  x     3  5 sinx  dx  3 x  5 cos x  C Theo giả thiết f  0   10 nên 5  C  10  C  5 . Vậy f  x   3 x  5 cos x  5. Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Câu 15. (Việt Đức Hà Nội 2019) Cho hàm số f  x  thỏa mãn f   x   2  5sin x và f  0   10 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. f  x   2 x  5cos x  3 . B. f  x   2 x  5cos x  15 . C. f  x   2 x  5 cos x  5 . D. f  x   2 x  5 cos x  10 . Lời giải Ta có: f  x    f   x  dx    2  5sin x  dx  2 x  5 cos x  C . Mà f  0   10 nên 5  C  10  C  5 . Vậy f  x   2 x  5 cos x  5 . Câu 16. (Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019) Biết F  x  là một nguyên hàm của hàm   2   f  x   cos 3x và F    . Tính F   . 2 3 9 32   A. F    6 9 F  x    cos 3 xdx  32   B. F    6 9 36   C. F    6 9 Lời giải sin 3 x C 3   2 sin 3x   F     C 1  F  x  1  F    3 9 2 3 Câu 17. 36   D. F    6 9 sin  3 1  3  6 . 3 6 (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2019) Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số 1   . Biết F   k   k với mọi k  . Tính F  0   F    F     …  F 10  . 2 cos x 4  A. 55. B. 44. C. 45. D. 0. Lời giải f  x  Ta có dx  f  x  dx   cos 2 x  tan x  C .        tan x  C0 , x    2 ; 2  F  4           3   tan x  C1 , x   ;  F  2 2     4     3 5   tan x  C2 , x   ;  F  Suy ra F  x     2 2   4 … …       17 19   tan x  C9 , x   2 ; 2  F  4        19 21     ;  tan x  C10 , x    F  2   4  2    0   1  C0  0  C0  1       1  C1  1  C1  0    2   1  C2  2  C0  1    9   1  C9  9  C9  8    10   1  C10  10  C10  9.  Vậy F  0   F    F     …  F 10   tan 0  1  tan   tan 2  1  …  tan10  9  44. Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 18. (Yên Lạc 2 – Vĩnh Phúc – 2020) Gọi F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   2 x , thỏa mãn F 0  1 . Tính giá trị biểu thức T  F  0   F 1  F  2   …  F  2019  . ln 2 A. T  22020  1 . ln 2 B. T  1009. 22019  1 . C. T  22019.2020 . 2 Lời giải D. T  2 2019  1 . ln 2 Chọn A Ta có: F  x    2 x dx  Theo giả thiết F  0   2x C. ln 2 1 20 1 2x  C   C  0 . Suy ra: F  x   ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 Vậy T  F  0   F 1  F  2   …  F  2019   20 21 22 22019    …  ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 1 1 1  22020 2 2020  1 20  21  22  …  2 2019   .1.  .  ln 2 ln 2 1 2 ln 2 Dạng 2. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số   f  u  x   .u ‘  x  dx  F  u  x    C ”. Giả sử ta cần tìm họ nguyên hàm I   f  x  dx , trong đó ta có thể phân tích f  x   g  u  x   u ‘  x  dx thì ta thức hiện phép đổi biến số t  u  x   dt  u ‘  x  dx . Khi đó: I   g  t  dt  G  t   C  G  u  x    C “ Nếu  f  x  dx  F  x   C thì Chú ý: Sau khi ta tìm được họ nguyên hàm theo t thì ta phải thay t  u  x  1. Đổi biến số với một số hàm thường gặp b    PP f (ax  b)n xdx   t  ax  b.  b 1 PP f (ln x) dx   t  ln x.  x  a b  x x PP b  f (tan x) PP  f (cos x)sin xdx  t  cos x. a b 1 PP dx   t  tan x.  cos 2 x  f (sin x  cos x).(sin x  cos x)dx  t  sin x  cos x. a    PP f ( a 2  x 2 ) x 2 n dx   x  a sin t.    ax  PP f   dx  x  a cos 2t.  a  x       f (   s s n k  R  1 ax  b ,., ax  b  dx  t  ax  b.    PP x 2  a 2 ) m x 2 n dx   x  a tan t. dx  t  ax  b  cx  d . ( ax  b)(cx  d )   x a    f ( x).  f (e )e dx  t  e .   n b PP f (sin x) cos x dx   t  sin x.  a  PP f ( x) f ( x)dx  t  n a a b     ( a  bx dx 1 PP  x   t ) a  bx n n n 2. Đổi biến số với hàm ẩn  Nhận dạng tương đối: Đề cho f ( x), yêu cầu tính f ( x) hoặc đề cho f ( x), yêu cầu tính f ( x).  Phương pháp: Đặt t  ( x ). Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 7 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489  Lưu ý: Đổi biến nhớ đổi cận và ở trên đã sử dụng tính chất: “Tích phân không phụ thuộc vào biến số, b mà chỉ phụ thuộc vào hai cận”, nghĩa là  a Câu 19. b b f (u )du   f (t )dt     f ( x)dx   a a (Mã 101 – 2020 Lần 2) Biết F  x   e x  x 2 là một nguyên hàm của hàm số f  x  trên  . Khi đó  f  2x dx bằng A. 2e x  2 x 2  C. B. 1 2x e  x 2  C. 2 1 2x e  2 x 2  C. 2 Lời giải C. D. e2 x  4 x 2  C. Chọn C Ta có: F  x   e x  x 2 là một nguyên hàm của hàm số f  x  trên    f  2 x  dx  Câu 20. 1 1 1 f  2 x  d 2 x  F  2 x   C  e 2 x  2 x 2  C.  2 2 2 (Mã 102 – 2020 Lần 2) Biết F  x   ex  2 x2 là một nguyên hàm của hàm số f  x  trên  . Khi đó  f  2 x  dx bằng x 2 A. 2e  4x  C. B. 1 2x e  4 x 2  C. 2 2x 2 C. e  8x  C. D. 1 2x e  2 x 2  C. 2 Lời giải Chọn B Ta có: F  x   ex  2 x2 là một nguyên hàm của hàm số f  x  trên  Suy ra: f  x   F   x    ex  2×2   ex  4x  f  2x   e2 x  8x   f  2 x  dx    e 2 x  8 x dx  Câu 21. 1 2x e  4 x 2  C. 2 (Mã 103 – 2020 Lần 2) Biết F  x   e x  x 2 là một nguyên hàm của hàm số f  x  trên  . Khi đó  f  2 x  dx bằng A. 1 2x e  2 x2  C . 2 B. e2 x  4 x 2  C . C. 2e x  2 x 2  C . D. 1 2x e  x2  C . 2 Lời giải Chọn A Ta có Câu 22. 1  f  2 x  dx  2  f  2 x  d  2 x   1 1 F  2 x   C  e2 x  2 x 2  C . 2 2 (Mã 104 – 2020 Lần 2) Biết F  x   e x  2 x 2 là một nguyên hàm của hàm số f  x  trên  . Khi đó  f  2 x  dx bằng A. e 2 x  8 x 2  C . B. 2e x  4 x 2  C . 1 2x e  2 x2  C . 2 Lời giải C. D. Chọn D Đặt t  2 x  dt  2dx  dx  dt 2 Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 1 2x e  4 x2  C . 2 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  1 1 1 1 1 2 f  2 x  dx   f  t  dt  F  t   C   et  2t 2   C  e 2 x   2 x   C  e 2 x  4 x 2  C . 2 2 2 2 2 Câu 28. [DS12.C3.1.D09.b] (Thi thử Lômônôxốp – Hà Nội lần V 2019) Biết  f  2 x  dx  sin 2 x  ln x  C . Tìm nguyên hàm x  ln x  C . 2 x f  x  dx  2sin 2  2 ln x  C . 2 A.  f  x  dx  sin C.  2  f  x  dx ? 2 2 x  2ln x  C . 2 x  2ln x  C . B.  f  x  dx  2sin D.  f  x  dx  2sin Lời giải Chọn C Ta có:   1 1  cos 2 x f 2x d 2x   ln  2 x   ln 2  C  2 2 f  2 x  d  2 x   1  cos 2 x  2 ln  2 x   2 ln 2  2C  f  2 x  dx  sin 2 x  ln x  C    f  x  dx  1  cos x  2 ln x  2 ln 2  2C   f  x  dx  2 sin 2 Câu 46. [DS12.C3.1.D09.b] Cho A. C.  f (4x) dx  x 2 x  2 ln x  C  . 2  3x  c . Mệnh đề nào dưới đây đúng?  f ( x  2) dx  x2  2x  C . 4 B.  f ( x  2)dx  x  f ( x  2) dx  x2  4x  C . 4 D. f ( x  2) dx   2  7x  C . x2  4x  C . 2 Lời giải Chọn C Từ giả thiết bài toán  f (4 x) dx  x 2  3x  c . 2 Đặt t  4 x  dt  4dx từ đó ta có Xét  f ( x  2)dx   f ( x  2)d(x  2)  Vậy mệnh đề đúng là Câu 5. 1 t2 t t f ( t )d t   3  c  f ( t )d t   3t  c .      4 4 4 4  f ( x  2)dx  [DS12.C3.1.D09.b] Cho ( x  2) 2 x2  3( x  2)  c   4x  C . 4 4 x2  4x  C . 4  f  x  dx  4 x 3  2 x  C0 . Tính I   xf  x 2  dx . x10 x 6  C. 10 6 C. I  4 x 6  2 x 2  C . D. I  12 x 2  2 . A. I  2 x 6  x 2  C . B. I  Lời giải Chọn A    2 Ta có: I  xf x dx  Câu 23. 1 1 2 2 2 3 2 6 2 f  x  dx  4  x   2 x   C  2x  x  C .  2 2   (Sở Bắc Ninh 2019) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x   x 2 .e x 3 1 . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 9 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 x3 x3 1 .e  C . 3  C.  f  x  dx e  Câu 24. f  x  dx  A. x3 1  C . D.  f  x  dx 3e B. 1  f  x  dx  3 e x3 1 x3 1 C . C . Lời giải 3 3 1 1 f  x  dx   x 2 e x 1dx   e x 1d  x 3  1  e x 1  C . 3 3 3 (THPT Hà Huy Tập – 2018) Nguyên hàm của f  x   sin 2 x.esin 2 x là 2 2 A. sin x.e sin 2 x 1 2 esin x 1 C. B. sin 2 x  1 C. sin 2 x C. e esin x1 C . D. sin 2 x  1 C . Lời giải Ta có  sin 2 x.e sin 2 x dx   e sin 2 x d  sin x   e 2 sin 2 x C Câu 25. Tìm tất cả các họ nguyên hàm của hàm số f  x   A. C. 1 x  3x 5  f  x  dx   1 1 x4  ln C 3x 4 36 x 4  3 B.  f  x  dx   1 1 x4  ln C 3x 4 36 x 4  3 D. 9  f  x  dx   1 1 x4  ln C 12x 4 36 x 4  3  f  x  dx   1 1 x4  ln C 12x 4 36 x 4  3 Lời giải Chọn A Câu 26.  4 4 1 x3 1 dx 4 1  x  3  x f  x  dx   9 dx   dx     dx 4 2 2 2 5 4 4 4 4 4 4 x  3x  x   x  3 4  x   x  3 12  x   x  3  1 dx 4 1 dx 4 1 1  x4      ln  C 12   x 4 2 12  x 4  x 4  3 12x 4 36  x 4  3  (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Tìm hàm số F  x  biết F  x    F  0  1 . 1 3 4 4 A. F  x   ln x  1  1 . B. F  x   ln x  1  . 4 4 1 4 4 C. F  x   ln x  1  1. D. F  x   4ln x  1  1. 4 Lời giải Chọn C 1 1 1 4 4 Ta có: F  x    4 d x  1  ln x  1  C . 4 x 1 4 1 Do F  0   1 nên ln  0  1  C  1  C  1 . 4 1 4 Vậy: F  x   ln x  1  1. 4               Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ x3 dx và x4  1 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 27. Biết  x  1   x  1 2017 2019 b 1  x 1   dx  .    C , x  1 với a , b   . Mệnh đề nào sau đây đúng? a  x 1 A. a  2b . B. b  2a . C. a  2018b . D. b  2018a . Lời giải Ta có: 2017  x  1 dx   x  1 2017 . 1 dx  1  x  1 2017 d  x  1   1 .  x  1 2018  C         x  12019   x  1   x  12 2   x 1   x  1  4036  x  1  .  a  4036, b  2018 Do đó: a  2b . Câu 28. (Chuyên Quốc Học Huế – 2018) Biết rằng F  x  là một nguyên hàm trên  của hàm số f  x  2017 x x 2  1 2018 thỏa mãn F 1  0 . Tìm giá trị nhỏ nhất m của F  x  . 1 A. m   . 2 B. m  1  22017 . 22018 C. m  1  22017 . 22018 D. m  1 . 2 Lời giải 2017 Ta   f  x  dx   có 1 2  x  1 2 2017 2017 x  x2  1 2018 dx 2018 2017  x 2  1 d  x 2  1   2 2 2017  x  1  . 2 2017 C  C  F  x 1 1  C  0  C  2018 2017 2.2 2 1 1  2018 suy ra Do đó F  x    2017 2 2.  x 2  1 Mà F 1  0   F  x  đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi 1 2  x  1 2 2017 lớn nhất   x 2  1 nhỏ nhất  x  0 1 1 1  22017 Vậy m    2018  2018 . 2 2 2 Câu 29. Cho F  x  là nguyên hàm của hàm số f  x    1 và F  0    ln 2e . Tập nghiệm S của e 1 x  phương trình F  x   ln e x  1  2 là: A. S  3 B. S  2;3 C. S  2;3 D. S  3;3 Lời giải Chọn A. Ta có F  x    f  x  dx    dx ex  x  1    dx  x  ln  e  1  C x x  e 1  e 1  F  0    ln 2  C   ln 2e  C  1 PT : F  x   ln  e x  1  2  x  ln  e x  1  1  ln  e x  1  2  x  3 . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Câu 30.   (THPT Lê Quý Đôn Đà Nẵng 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f  x   x3 x 2  1 2021 2020  2 x 2  1   1   x  1 .  A. 2  2021 2020    x C. Xét 2  1 2021 2021 x   1 2 3 2  C.  1 2019 2  1 2021 2021 x  2  1 là 2020 . 2020 2021 2020  2 x 2  1   1   x  1  C.  D. 2  2021 2020    Lời giải 2020 2020  f  x  dx   x  x x B. 2019 dx   x 2  x 2  1 2019 x dx . Đổi biến t  x 2  1  dt  2 x dx , ta có: 1  f  x  dx  2   t  1 t 2019 dt  1 t 2020  t 2019  dt    2 2021  2 1  t 2021 t 2020  1   x  1     C  2  2021 2020  2  2021  2020   C. 2020   1  ln x Câu 31. (THPT Hà Huy Tập – 2018) Nguyên hàm của f  x   là: x.ln x 1  ln x 1  ln x dx  ln ln x  C . dx  ln x 2 .ln x  C . A.  B.  x.ln x x.ln x 1  ln x 1  ln x C.  D.  dx  ln x  ln x  C . dx  ln x.ln x  C . x.ln x x.ln x Lời giải Ta có I   f  x  dx   x  2  1 1  ln x dx . x.ln x Đặt x ln x  t   ln x  1 dx  dt . Khi đó ta có I   Câu 32. 1  ln x 1 dx   dt  ln t  C  ln x.ln x  C . x.ln x t 3 (Chuyên Hạ Long – 2018) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x   x 2 e x 1 A. C.  f  x  dx  e  x3 1  f  x  dx  3e  C . B. 1 3 f  x  dx  e x 1  C . 3 x3 1 C . D.  f  x  dx  x3 x3 1 e C . 3 Lời giải Đặt t  x3  1  dt  3x 2dx Do đó, ta có Vậy Câu 33. 1 1 1 3 dx   et . dt  et  C  e x 1  C . 3 3 3 2 x3 1  f  x  dx   x e 1  f  x  dx  3 e x3 1 C . (Chuyên Lương Văn Chánh Phú Yên 2019) Nguyên hàm của hàm số f  x   3 3x  1 là A.  f  x  dx   3x  1 3 3x  1  C . B.  f  x  dx  3 3x  1  C . Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 C.  1 f  x  dx  3 3x  1  C . 3 D.  1 f  x  dx   3x  1 3 3x  1  C . 4 Lời giải Ta có 1 3 1 1  f  x  dx  3   3x  1 d 3x  1  4  3x  1 3 3x  1  C . Câu 34. Nguyên hàm của hàm số f  x   3 x  2 là 2 (3x  2) 3 x  2  C B. 3 2 C. (3x  2) 3 x  2  C D. 9 A. 1 (3x  2) 3x  2  C 3 3 1 C 2 3x  2 Lời giải Chọn C 1 Do Câu 35.  (HSG Bắc Ninh 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f  x   2 x  1 là A.  C. 1  2 x  1 2 x  1  C . 3 1 2x 1  C . 2 1 D.  2 x  1 2 x  1  C . 3 Lời giải B. 2  2x  1 2 x  1  C . 3 1 dx  tdt  dx 2x 1 Đặt t  2 x  1  dt    f  x  dx   2 x  1dx   t 2dx  Câu 36. 1 1 1 1  3x  2  2 2 3 x  2dx    3 x  2  2 d  3 x  2    C  (3x  2) 3 x  2  C 1  1 3 3 9 2 t3 1  C   2 x  1 2 x  1  C . 3 3 (THPT An Lão Hải Phòng 2019) Cho hàm số f  x   2 x . ln 2 . Hàm số nào dưới đây không là x nguyên hàm của hàm số f  x  ? x A. F  x   2  C. F  x   2 2  B. F  x   2 2 C x x  1  C  D. F  x   2 1  C x 1 C Lời giải Chọn A Ta có F  x    f  x  dx   2 x . Đặt u  x  du  1 2 x ln 2 ln 2 dx   2 x . dx . x x dx . Vậy F  x   2 ln 2. 2u.du  2 ln 2. 2u C  2 ln 2 Phương án B: F  x   2 x 1  2  C thỏa. Phương án C: F  x   2 x 1  2  C thỏa. x 1 C. Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Câu 37. (THPT Yên Phong Số 1 Bắc Ninh 2019) Khi tính nguyên hàm  x3 dx , bằng cách đặt x 1 u  x  1 ta được nguyên hàm nào? A.  2  u 2  4  d u . B.  u 2  4 d u . C.  u 2  3 d u . D.  2u  u 2  4  d u . Lời giải Chọn A Đặt u  x  1  x  u 2  1  d x  2u d u . Khi đó Câu 38.  u2  4 2  u .2u d u   2  u  4  d u . x3 dx trở thành x 1 (Chuyên Hạ Long – 2018) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x   1 1 . 2 2x 1 A.  f  x dx  2 2x 1  C . B.  f  x dx  C.  f  x dx  2 2x 1  C . D.  f  x dx   2 x  1 2x 1  C . 1 2x 1 C . Lời giải Đặt 2 x  1  t  2 x  1  t 2  dx  tdt . Khi đó ta có Câu 39. 1 2 2 x  1dx  1 tdt 1 1 1    dt  t  C  2x 1  C .  2 t 2 2 2   (THCS – THPT Nguyễn Khuyến – 2018) Nguyên hàm của hàm số f  x   ln x  x 2  1 là  C. F  x   x ln  x    1  C . x2   A. F  x   x ln x  x 2  1  x 2  1  C . B. F  x   x ln x  x 2  1  x 2  1  C .   D. F  x   x 2 ln x  x 2  1  C . Lời giải Đặt t  x   x  x 1  t  x2  1 x  x2  1 2 1 1 1 t   2 x  dx   1  2  ; 2 t  t  f  x  dx   ln  x  2 x  x 1 1 t   2 x2  1 t  x 2  1 dx = = 1 1   x2  1  x . t x  x 1 2 1  1 1  1  1  2  ln tdt =  1  2  lnt .dt  I .  2  t  2  t  1 Đặt u  ln t  du  dt t 1 1  dv  1  2  dt  v  t  ; t  t  1  1 1 1 1 1  1 1  1 1  1 1  1 I   t   ln t    t   dt =  t   ln t   1  2  dt =  t   ln t   t    C 2 t  2 t t 2 t  2  t  2 t  2 t    = x ln x  x 2  1  x 2  1  C . Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 40. 20 x 2  30 x  7 3  (Chuyên Hạ Long – 2018) Biết rằng trên khoảng  ;    , hàm số f  x   có 2x  3 2  một nguyên hàm F  x    ax 2  bx  c  2 x  3 ( a, b, c là các số nguyên). Tổng S  a  b  c bằng A. 4 . B. 3 . C. 5 . D. 6 . Lời giải Đặt t  2 x  3  t 2  2 x  3  dx  tdt Khi đó 2  t2  3   t2  3  20  30    7 2  2  20 x 2  30 x  7   tdt   5t 4  15t 2  7 dt  t 5  5t 3  7t  C  2 x  3 dx   t    2 x  3 5 5  2 x  3 3  7 2 x  3  C   2 x  3 2  2 x  3  5  2 x  3 2 x  3  7 2 x  3  C   4 x 2  2 x  1 2 x  3  C Vậy F  x    4 x 2  2 x  1 2 x  3 . Suy ra S  a  b  c  3 . Câu 41. (Chuyên Bắc Ninh 2019) Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)  1 sin x . 1  3cos x A.  f ( x) dx  3 ln 1  3cos x  C . B.  f ( x) dx  ln 1  3cos x  C . C.  f ( x) dx  3ln 1  3cos x  C . D.  f ( x) dx   3 ln 1  3cos x  C . 1 Lời giải Ta có: Câu 42. sin x 1 1 (Sở Thanh Hóa 2019) Tìm các hàm số f ( x) biết f ‘ ( x)  A. f ( x)  cos x . (2  sin x) 2 sin x C . (2  sin x) 2 B. f ( x)  1 C . (2  cos x) 1 C . 2  sin x D. f ( x)  sin x C. 2  sin x C. f ( x)   Ta có f ( x)   Câu 43. 1  1  3cos x dx   3  1  3cos x d 1  3cos x    3 ln 1  3cos x  C . Lời giải cos x d(2  sin x) 1 f ‘ ( x)dx   dx    C . 2 2 2  sin x (2  sin x) (2  sin x) (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Biết F  x  là một nguyên hàm của hàm số sin x   và F    2 .Tính F  0  . 1  3cos x 2 1 2 2 1 A. F (0)   ln 2  2 . B. F (0)   ln 2  2 . C. F (0)   ln 2  2 . D. F (0   ln 2  2 . 3 3 3 3 Lời giải sin xdx d(cos x) 1     ln 3cosx  1  C . Ta có F ( x)   1  3cos x 3cos x  1 3 f ( x)  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 1     mà F     ln 3cos    1  C  2  C  2 . 3 2 2 1 1 2 Do đó, F  0    ln 3cos  0   1  2   ln4  2   ln2  2 . 3 3 3 2 Vậy F  0    ln2  2 . 3 Câu 44. (Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019) Biết  f  x  dx  3x cos  2 x  5  C . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau.  f  3x  dx  3x cos  6 x  5   C C.  f  3 x  dx  9 x cos  2 x  5   C  f  3x  dx  9 x cos  6 x  5  C D.  f  3 x  dx  3 x cos  2 x  5   C A. B. Lời giải Cách 2: Đặt x  3t  dx  3dt . Khi đó:  f  x  dx  3x cos  2 x  5  C  3 f  3t  dt  3.  3t  cos  2.3t  5   C   f  3t  dt  3t cos  6t  5   C   f  3 x  dx  3 x cos  6 x  5   C . Câu 45. (Chuyên Hạ Long – 2018) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x   tan 5 x . 1 x  tan 2 x  ln cosx  C . 2 1 1 B.  f  x  dx  tan 4 x  tan 2 x  ln cosx  C . 4 2 1 1 C.  f  x  dx  tan 4 x  tan 2 x  ln cosx  C . 4 2 1 1 D.  f  x  dx  tan 4 x  tan 2 x  ln cosx  C . 4 2 A. 1  f  x  dx  4 tan 4 Lời giải I   f  x  dx   tan 5 xdx   sin 5 x dx cos5 x 1  cos 2 x  . 1  cos 2 x  .s inx  sin 2 x.sin 2 .s inx  dx   dx cos5 x cos5 x 1  t  .1  t   dt   1  2t I   t t 2 Đặt t  cos x  dt   sin xdx 2 5 2  t4 5  dt  1 1  1 2 1      5  3   dt    t 5  2t 3   dt  t 4  t 2  ln t  C t 4  t t t   1 1 1 1 cos x 4  cos x 2  ln cos x  C  .   ln cos x  C 4 4 4 cos x cos x 2 2 1  .  tan 2 x  1   tan 2 x  1  ln cos x  C 4 Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 1   tan 4 x  2 tan 2 x  1   tan 2 x  1  ln cos x  C 4  1 1 1 tan 4 x  tan 2 x  ln cos x   C 4 2 4 1 1 tan 4 x  tan 2 x  ln cos x  C . 4 2 (Hồng Bàng – Hải Phòng – 2018) Biết F  x  là một nguyên hàm của hàm số  Câu 46.   f  x   sin 3 x.cos x và F  0    . Tính F   . 2   A. F     . 2   B. F     . 2 1   C. F       . 4 2 Lời giải   1 D. F      . 2 4 Đặt t  sin x  dt  cos xdx . F  x    f  x  dx   sin 3 x cos xdx   t 3dt  t4 sin 4 x C  C . 4 4 sin 4  sin 4 x  C    C    F  x   . 4 4  sin 4   2  1  . F  4 4 2 F 0    Câu 47. Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   1 1 thỏa mãn F    2 và F  e   ln 2. x ln x e 1 Giá trị của biểu thức F  2   F  e 2  bằng e  A. 3ln 2  2 . B. ln 2  2 . C. ln 2  1. D. 2ln 2  1 . Lời giải Chọn A Ta có: d  ln x  1   ln ln x  C , x  0 , x  1 . d x   x ln x ln x ln  ln x   C1 khi x  1 Nên: F  x    . ln   ln x   C2 khi 0  x  1 1 1  Mà F    2 nên ln   ln   C2  2  C2  2 ; F  e   ln 2 nên ln  ln e   C1  ln 2  C1  ln 2 . e e  ln  ln x   ln 2 khi x  1 Suy ra F  x    . ln   ln x   2 khi 0  x  1 1 1  Vậy F  2   F  e2   ln   ln 2   2  ln  ln e 2   ln 2  3ln 2  2 . e  e   Câu 48. (Chuyên Nguyễn Huệ-HN 2019) Gọi F  x  là nguyên hàm của hàm số f ( x)  x 8  x2 thỏa mãn F  2   0 . Khi đó phương trình F  x   x có nghiệm là: A. x  0 . B. x  1 . C. x  1 . D. x  1  3 . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 17 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Lời giải Chọn D Ta có:  x 1 dx    8  x 2 2 2 8 x   1 2  d 8  x    2 8  x 2  C. Mặt khác: F  2   0   8  2 2  C  0  C  2. Nên F  x    8  x 2  2. F  x   x   8  x2  2  x  8  x2  2  x x  2 2  x  0  x  2    x  1  3  x  1  3 . 2   2 2  2 x  4 x  4  0  8  x   2  x    x  1  3 Câu 49. Gọi F  x  là nguyên hàm của hàm số f  x   A. 217 . 8 B. 27 . 2x 1  2 . Biết F  3  6 , giá trị của F  8  là x 1 x 215 215 C. . D. . 24 8 Lời giải Chọn A Ta có:  2  x  1  2 1  1   2x  2  dx     2  dx x  x 1 x  x 1   f  x  dx    1  1   2  x  1dx  2    dx   x 2 dx  x 1  1  1  2   x  1 2 d  x  1  2   x  1 2 d  x  1   x 2 dx 3 4  x  1 2 1   4 x 1   C . 3 x 3 Suy ra F  x   4  x  1 2 3 1  4 x 1   C . x 3 4  3  1 2 1  4 3 1   C  C  3 . Mặt khác: F  3  6  6  3 3 3 4  8  1 2 1 217  4 8 1   3  Vậy F  8  . 3 8 8 Câu 50. Họ nguyên hàm của hàm số f  x    C.  3x   2 x  1 A. 4 x2  2 x  1 2 2x  3  C . 2x  3 . 20 x 2  30 x  7 trên khoảng 2x  3  D.  4 x 3   ;   là 2     2 x  1 B. 4 x 2  2 x  1 2 2x  3 . 2x  3  C . Lời giải Chọn D 3  Xét trên khoảng  ;   , ta có: 2  2 10 x  2 x  3  7 20 x  30 x  7 dx .  f  x  dx   2 x  3 dx   2x  3 Đặt u  2 x  3  u 2  2 x  3  2udu  2dx  udu  dx . Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Khi đó:  10 x  2 x  3  7 2x  3 5  u 2  3 u 2  7 dx   udu   5  u 2  3 u 2  7 du   5u 4  15u 2  7 du u 2  u 5  5u 3  7u  C   u 4  5u 2  7  u  C   2 x  3  5  2 x  3  7  2 x  3  C     4 x 2  2 x  1 2 x  3  C . Dạng 3. Nguyên hàm của hàm số hữu tỉ 1. Công thức thường áp dụng 1 1 1 1 1   dx  ln ax  b  C .   dx    C. 2 a ax  b ax  b a (ax  b )  ln a  ln b  ln(ab).  ln a  ln b  ln a  b  ln a n  n ln a.  ln 1  0. 2. Phương pháp tính nguyên hàm, tích phân của hàm số hữu tỷ I  P (x )  Q(x ) dx . PP  Nếu bậc của tử số P(x )  bậc của mẫu số Q(x )    Chia đa thức. PP  Nếu bậc của tử số P(x )  bậc của mẫu số Q(x )    phân tích mẫu Q(x ) thành tích số, rồi sử dụng phương pháp che để đưa về công thức nguyên hàm số 01. PP  Nếu mẫu không phân tích được thành tích số    thêm bớt để đổi biến hoặc lượng giác hóa bằng cách đặt X  a tan t, nếu mẫu đưa được về dạng X 2  a 2 . Câu 51. (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x )  x2 trên khoảng x 1 1;   là A. x  3ln  x 1  C. C. x  3  x  1 2 B. x  3ln  x 1  C.  C. D. x  3  x  1 2  C. Lời giải Chọn A Trên khoảng 1;   thì x  1  0 nên x2  3   f ( x)dx   x  1dx   1  x  1 dx  x  3ln x  1  C  x  3ln  x  1  C. Câu 52. (Mã đề 104 – BGD – 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f  x    2; 3x  2  x  2 2 trên khoảng là 2 C x2 4 C. 3ln  x  2   C x2 A. 3ln  x  2   2 C x2 4 D. 3ln  x  2   C . x2 Lời giải B. 3ln  x  2   Chọn C Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 19 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Ta có f  x   3x  2  x  2 3x  2 2  3 x  2  4  x  2  3 4   x  2  dx    x  2   x  2  2  Câu 53. 2 2  3 4 . Do đó  x  2  x  2 2  4 C.  dx  3ln  x  2    x  2  (Mã đề 101 – BGD – 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f  x   2 x 1  x  1 2 trên khoảng  1;    là 2 C. x 1 2 C. 2 ln  x  1  C. x 1 3 C. x 1 3 D. 2 ln  x  1  C. x 1 Lời giải A. 2 ln  x  1  B. 2 ln  x  1  Chọn B Ta có  f  x  dx   2x 1  x  1 2 dx   Câu35. Họ nguyên hàm của hàm số f  x   2  x  1  3  x  1 2  2 3  3 dx     dx  2 ln  x  1   C. 2  x 1  x  1  x  1  x3 là x  3x  2 2 A. ln x  1  2ln x  2  C . B. 2 ln x  1  ln x  2  C . C. 2 ln x  1  ln x  2  C . D.  ln x  1  2 ln x  2  C . Lời giải x3 x3 2 1 Ta có f  x   2 .    x  3 x  2  x  1 x  2  x  1 x  2 Suy ra họ nguyên hàm của hàm số f  x   Câu 54. x3 là x  3x  2 2 (Chuyên Lê Quý Dôn Diện Biên 2019) Tìm một nguyên hàm F  x  của hàm số b  x  0  , biết rằng F  1  1, F 1  4, f 1  0 x2 3 3 7 3 3 7  .  . A. F  x   x 2  B. F  x   x 2  2 4x 4 4 2x 4 3 3 7 3 3 1  .  . C. F  x   x 2  D. F  x   x 2  4 2x 4 2 2x 2 Lời giải f  x   ax  b 1 b  Ta có F  x    f  x  dx    ax  2  dx  ax 2   C . x  2 x  3 1  2 a  b  C 1 b   2  F  1  1    3 1  Theo bài ra  F 1  4   a  b  C  4  a  2 .  2   f 1  0 7 a  b  0   C  4   Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 3 3 7  . Vậy F  x   x 2  4 2x 4 Câu 55. Cho biết 2 x  13   x  1 x  2 dx  a ln x  1  b ln x  2  C . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. a  2b  8 . B. a  b  8 . C. 2a  b  8 . D. a  b  8 . Lời giải A  x  2   B  x  1  A  B  x   2 A  B  2 x  13 A B   Ta có:    x  1 x  2  x  1 x  2  x  1 x  2   x  1 x  2  A  B  2 A  5 .   2 A  B  13  B  3 2 x  13 3   5 Khi đó:  dx     dx  5ln x  1  3ln x  2  C .  x  1 x  2   x 1 x  2  Suy ra a  5; b  3 nên a  b  8 . Câu 56. Cho biết 1  x3  xdx  a ln  x  1 x  1  b ln x  C . Tính giá trị biểu thức: A. 0. B. -1. C. 1 . 2 P  2a  b . D. 1. Lời giải Ta có: A  x 2  1  Bx  x  1  Dx  x  1  A  B  D  x 2   B  D  x  A 1 A B D      x3  x x3  x x x  1 x  1 x3  x   A  1 A B  D  0  1    B  D  0  B  . 2  A  1   1   D  2 1  1 1 1  1  x3  xdx     x  2  x  1  2  x  1 dx  2 ln  x  1 x  1  ln x  C . Khi đó:   1 Suy ra a  ; b  1 nên P  2a  b  0 . 2 Câu 57. Cho biết 4 x  11  x 2  5 x  6dx  a ln x  2  b ln x  3  C . Tính giá trị biểu thức: A. 12. Ta có: B. 13. 4 x  11 A B    x  5x  6 x  2 x  3 2 C. 14. Lời giải A  x  3  B  x  2   x  2  x  3 P  a 2  ab  b 2 . D. 15.   A  B  x   3 A  2B   x  2  x  3 A  B  4 A  3 .   3 A  2 B  11  B  1 4 x  11 1   3 Khi đó:  2 dx     dx  3ln x  2  ln x  3  C . x  5x  6  x2 x3 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 21 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Suy ra a  3; b  1 nên P  a 2  ab  b2  13 . Câu 58. Cho hàm số f  x thỏa mãn f   x   ax 2  1 1 b , f  1  3 , f 1  2 , f     . Khi đó 2a  b 3   2 12 x bằng 3 A.  . 2 B. 0 . C. 5 . D. 3 . 2 Lời giải Ta có f  1  3  a  b  3 1 . Hàm số có đạo hàm liên tục trên khoảng 0; , các điểm x  1 , x  1 đều thuộc 0; 2 nên  b ax 3 b f  x   f   x dx   ax 2  3  dx   2 C .   x 3 2x a b   C  2 2 . 3 2 1 1 a 1 + f       2b  C   3 .  2  12 24 12 + f 1  2  Từ 1 , 2 và 3 ta được hệ phương trình       a b  3   a  2  a b  b  1  2a  b  2.2  1  5 .   C  2   3 2  11    a 1 C    2b  C     6  12   24 Câu 59. (Mã 102 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x)  3x  1 trên khoảng (1; ) là ( x  1) 2 1 2  c . B. 3ln( x  1)  c. x 1 x 1 2 1  c . D. 3ln( x  1)  c. C. 3ln( x  1)  x 1 x 1 Lời giải Chọn C 3 x  3  2 3( x  1)  2 3 2 Ta có f ( x)     2 2 ( x  1) ( x  1) x  1 ( x  1) 2 3 2 d( x  1) d( x  1) Vậy  f ( x)dx   (  )dx  3  2 2 x  1 ( x  1) x 1 ( x  1) 2 2  C vì x  1 .  3ln x  1  2  ( x  1) 2 d( x  1)  3ln( x  1)  x 1 A. 3ln( x  1)  Câu 60. (Mã 103 – 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f  x   A. 2ln  x  2   3 C . x2 B. 2ln  x  2   2x 1  x  2 2 trên khoảng  2;    là 1 C . x2 Trang 22 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 1 C . C. 2ln  x  2   x2 D. 2ln  x  2   3 C . x2 Lời giải Chọn B Đặt x  2  t  x  t  1  dx  dt với t  0 2t  1 1 2 1  Ta có  f  x  dx   2 dt =    2  dt  2 ln t   C t t t t  Hay Câu 61. 1  f  x dx  2ln  x  2   x  2  C. (THPT Yên Khánh – Ninh Bình – 2019) Cho F ( x) là một nguyên hàm của hàm số 2x  1 1 trên khoảng  0;  thỏa mãn F 1  . Giá trị của biểu thức 3 2 x  2x  x 2 S  F 1  F  2   F  3    F  2019  bằng f  x  A. 4 2019 . 2020 B. 2019.2021 . 2020 C. 2018 1 . 2020 D.  2019 . 2020 Lời giải Ta có f  x   2x  1 2x  1 .  2 2 3 2 x  2x  x x  x  1 4 Đặt t  x  x  1  x 2  x  dt   2 x  1 dx . Khi đó F  x    f  x  dx   Mặt khác, F 1  Vậy F  x    1 1 1 dt    C   C . 2 t t x  x  1 1 1 1    C   C 1. 2 2 2 1 1. x  x  1 Suy ra 1 1 1  1  S  F 1  F  2   F  3  F  2019        …    2019 2019.2020   1.2 2.3 3.4 1 1  1   1 1 1 1 1    1       …     2019   1    2019 2019 2020   2 2 3 3 4  2020  1 1  2018   2018 . 2020 2020 Câu 62. Giả sử  2 x  3 dx 1  x  x  1 x  2  x  3  1   g  x   C ( C là hằng số). Tính tổng các nghiệm của phương trình g  x   0 . A. 1 . B. 1 . C. 3 . Lời giải D. 3 . 2 Ta có x  x  1 x  2  x  3  1   x 2  3x  x 2  3x  2   1   x 2  3 x   1 . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 23 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Đặt t  x 2  3x , khi đó dt   2 x  3 dx . Tích phân ban đầu trở thành Trở lại biến x , ta có dt   t  1 2  1 C . t 1  2 x  3 dx 1  x  x  1 x  2  x  3  1   x 2  3x  1  C . Vậy g  x   x 2  3 x  1 .  3  5 x  2 . g  x   0  x 2  3x  1  0    3  5 x   2 Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình bằng 3 . Câu 63. (Nam Trực – Nam Định – 2018) Cho I   đó S  a  b  c bằng 1 A. . 4 B. 3 . 4 a 1 dx  2  b ln x  2c ln 1  x 2   C . Khi 2 x x 1  x  3 C. 7 . 4 D. 2 . Lời giải I  x dx x 1  x 2  4 t  1  x 2  dt  2 xdx 1 1 1 1 1  1 1 1 dt  ln      dt    ln t  1  2 2   2  t  1  t  1 t  2  t  1 .t 2 t 1 1 1 1 1     ln x 2  2  ln 1  x 2   C   2  ln x  ln 1  x 2   C 2x 2 2 x   I  t C  1  a  2  7  b  1  S  a  b  c  . 4  1 c  4  Câu 64. (Trường VINSCHOOL – 2020) Cho hàm số f  x  xác định trên R 1;1 thỏa mãn f ‘ x   1 . Biết x 1 2 f  3  f  3  4 và 1 f   3  1  f    2 . Giá trị của biểu thức  3  f  5   f  0   f  2  bằng 1 A. 5  ln 2 . 2 1 B. 6  ln 2 . 2 1 C. 5  ln 2 . 2 Lời giải 1 D. 6  ln 2 . 2 Chọn A Ta có f ‘  x   1 1 x 1 1  f  x    f ‘  x  dx   2 dx  ln  C với x  R 1;1 . x 1 2 x 1 x 1 2 Trang 24 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 1  2 ln  1 Khi đó: f  x    ln 2 1  ln 2 x 1  C1 x 1 x 1  C2 x 1 x 1  C3 x 1 Vậy f  5   f  0   f  2   khi x  1 f  khi  1  x  1   f  khi x  1  3  f  3  C1  C3  4 C1  C3  4  1  1  C2  1    f    2C2  2 3  3  1 3 1 1 1 1 1 ln  C3  C2  ln  C1  ln  5  5  ln 2 . 2 2 2 3 2 2 2 Câu 65. (Quảng Xương – Thanh Hóa – 2018) Cho hàm số f  x  xác định trên  2;1 thỏa mãn f   x   1 , x  x2 2 f  3  f  3  0 và 1 f  0  . 3 Giá trị của biểu thức f  4   f  1  f  4  bằng A. 1 1 ln 2  . 3 3 B. ln 80  1 . 1 4 ln  ln 2  1 . 3 5 Lời giải C. D. 1 8 ln  1 . 3 5 1 x  1  3 ln x  2  C1 , x   ; 2   1 x  1 1  C2 , x   2;1 . f  x   2 dx   ln x  x2 3 x  2 1 x  1  C3 , x  1;    ln 3 x  2 1 1 1 Ta có f  3  ln 4  C1 , x   ;2  , f  0   ln  C1 , x   2;1 , 3 3 2 1 2 f  3  ln  C3 , x  1;   , 3 5 1 1 Theo giả thiết ta có f  0    C2  1  ln 2  . 3 3 2 1  f  1  ln 2  . 3 3 1 1 Và f  3  f  3  0  C1  C3  ln . 3 10 1 5 1 1 1 1 1 1 Vậy f  4   f  1  f  4   ln  C1  ln 2   ln 2  ln 2  C2  ln 2  . 3 2 3 3 3 3 3 3 Câu 66. (Chuyên Nguyễn Quang Diêu – Dồng Tháp – 2018) Cho hàm số f  x  xác định trên  1 thỏa mãn f   x   A. S  1 . Ta có f  x    1 , f  0   2017 ,, f  2   2018 . Tính S   f  3  2018  f  1  2017  . x 1 B. S  1  ln 2 2 . C. S  2 ln 2 . D. S  ln 2 2 . Lời giải ln  x  1  C1 khi x  1 1 . dx  ln x  1  C   x 1 ln 1  x   C2 khi x  1 Lại có f  0   2017  ln 1  0   C2  2017  C2  2017 . f  2   2018 ln  2  1  C1  2018  C1  2018 . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 25 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Do đó S   ln  3  1  2018  2018  ln 1   1   2017  2017   ln 2 2 . Câu 67. (Sở Phú Thọ – 2018) Cho hàm số f  x  xác định trên  1;1 thỏa mãn f   x   2 , x 1 2  1 1 f  2   f  2   0 và f     f    2 . Tính f  3  f  0   f  4  được kết quả  2 2 6 6 4 4 A. ln  1 . B. ln  1 . C. ln  1 . D. ln  1 . 5 5 5 5 Lời giải  x 1 ln x  1  C1 khi x  1   x 1 2 1 1     C2 khi  1  x  1. Ta có f  x    f   x  dx   2 dx     dx  ln x 1 x  1  x 1 x  1    x 1  C3 khi x  1 ln  x 1 1   f  2   f  2   0 ln 3  C1  ln  C3  0  C  C3  0   3 Khi đó   1    1 1  f   2   f  2   2 ln 3  C  ln 1  C  2 C2  1 2 2       3 3 6 Do đó f  3  f  0   f  4   ln 2  C1  C2  ln  C3  ln  1 . 5 5 Dạng 4. Nguyên hàm từng phần Cho hai hàm số u và v liên tục trên  a; b  và có đạo hàm liên tục trên  a; b  . Khi đó:  udv  uv   vdu  b Để tính tích phân I   f  x  dx bằng phương pháp từng phần ta làm như sau: a Bước 1: Chọn u, v sao cho f  x  dx  udv (chú ý: dv  v ‘  x  dx ). Tính v   dv và du  u ‘.dx . Bước 2: Thay vào công thức   và tính  vdu . Cần phải lựa chọn u và dv hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm được v và tích phân  vdu dễ tính hơn  udv . Ta thường gặp các dạng sau sin x  Dạng 1 : I   P  x    dx , trong đó P  x  là đa thức cos x  sin x  Với dạng này, ta đặt u  P  x  , dv    dx .  cos x  Dạng 2 : I    x  eaxb dx Trang 26 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 u  P  x  Với dạng này, ta đặt  , trong đó P  x  là đa thức ax  b dv  e dx Dạng 3 : I   P  x  ln  mx  n  dx u  ln  mx  n  Với dạng này, ta đặt  . dv  P  x  dx sin x  x Dạng 4 : I     e dx cos x   sin x  u    Với dạng này, ta đặt  cos x  để tính  vdu ta đặt  x dv  e dx Câu 68.  sin x  u     cos x  .  x dv  e dx x (Mã 101 – 2020 Lần 1) Cho hàm số f  x   x2  2 . Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số g  x    x  1 . f   x  là x2  2x  2 A. C . 2 x2  2 B. x2 x2  2 C . C. x2  x  2 x2  2 C . D. x2 2 x2  2 C . Lời giải Chọn B. x2  x Tính g  x     x  1 f   x  dx   x  1 f  x     x  1 f  x  dx    f  x  dx x2  2  x2  x 2 x 2 Câu 69.  x 2 dx  x 2 x2  x 2 x2  x2  2  C  x2  2 x 2 x (Mã 102 – 2020 Lần 1) Cho hàm số f  x   x2  3  C. . Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số g  x    x  1 f   x  là A. x2  2 x  3 2 C . B. x3 2 C . C. 2 x2  x  3 2 2 x 3 2 x 3 C . D. x 3 x 3 x2  3 C . Lời giải Chọn D Ta có Câu 70.   x  1 f   x  dx   x  1 f  x    x x3 dx  2 x2  3 x 3 x (Mã 103 – 2020 Lần 1) Cho hàm số f ( x)  x2  1 C. . Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số g ( x )  ( x  1) f ‘( x ) A. x2  2 x 1 2 2 x 1 C . B. x 1 2 C . C. 2 x2  x  1 2 C . x 1 x 1 D. x 1 x2  1 C . Lời giải Chọn D Xét  u  x 1  du  dx  g ( x)dx   ( x  1) f ‘( x)dx . Đặt dv  f ‘( x)dx  v  f ( x) Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 27 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Vậy  g ( x)dx  ( x  1) f ( x)   f ( x)dx   g ( x)dx    g ( x ) dx  ( x  1) x x2  1 x 1   g ( x) dx  Câu 71. x2  1  x 2  1  C   g ( x)dx  ( x  1) x 2 x 1  x2  x  x2 1 x2  1 x 2 dx x 1 C  C. x (Mã 104 – 2020 Lần 1) Cho hàm số f  x   . Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số 2 x 4 g  x    x  1 f   x  là A. x4 C . 2 x2  4 x4 B. x2  4 C . C. x2  2 x  4 2 x2  4 C . D. 2 x2  x  4 Lời giải Chọn B x. x 2  4  x Ta có: f  x   x2  4  f  x  x x2  4  x2  4 x 4  f  x   x 2  4 .x  2 x 4 x2  4  x2 .x x2  4  x2  4  2  4  x2  4  3 Suy ra: g  x    x  1 f   x   x. f   x   f   x   g  x  dx    x. f   x   f   x  dx   x. f   x  dx   f   x  dx  4x  2 x 4 Xét: I    3 dx   f   x  dx 4x  2 x 4  3 dx Đặt t  x 2  4  dt  2 xdx Suy ra: I   2dt   t 3  2dt t 3 2  3 2  2  t dt  2 t  1 2 1  2  C1  4  C1  t 4 x2  4  C1 và: J   f   x  dx  f  x   C2 Vậy:  g  x  dx  4 2  x 2 x 4 x 4 Cách 2: g  x    x  1 f   x  C  x4 x2  4 C .   g  x  dx    x  1 f   x  dx u  x  1 du  dx  Đặt:  dv  f   x  dx v  f  x  Trang 28 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ x2  4 C . TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Suy ra:   g  x  dx   x  1 f  x    f  x  x2  x 2 x 4 Câu 72.  d  x2  4 2 2 x 4  x2  x 2  x  1 x  dx  x2  4  x4  x2  4  C  x2  4 x 4 x x2  4 dx C . (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Cho hàm số f  x  liên tục trên  . Biết cos 2x là một nguyên hàm của hàm số f  x  e x , họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f   x  e x là: A.  sin 2 x  cos 2 x  C . B.  2 sin 2 x  cos 2 x  C . C.  2 sin 2 x  cos 2 x  C . D. 2 sin 2 x  cos 2 x  C . Lời giải Chọn C Do cos 2 x là một nguyên hàm của hàm số f  x  e x nên f  x  e x   cos 2 x   f  x  e x  2 sin 2 x . Khi đó ta có x  f  x  e dx  cos 2 x  C . u  f  x  du  f   x  dx  Đặt  . x x dv  e dx v  e  f  x  e dx  cos 2 x  C   f  x  d  e   cos 2 x  C  f  x  e   f   x  e dx  cos 2 x  C   f   x  e dx  2sin 2 x  cos 2 x  C . x Khi đó x x x x Vậy tất cả các nguyên hàm của hàm số f   x  e x là  2 sin 2 x  cos 2 x  C . Câu 73. (Đề Tham Khảo 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f  x   4 x 1  ln x  là: A. 2 x2 ln x  3x 2 . B. 2 x2 ln x  x2 . C. 2 x 2 ln x  3x 2  C . D. 2 x2 ln x  x2  C . Lời giải Chọn D Ta có f  x   4 x 1  ln x   F  x     4 x 1  ln x   dx đặt 1  u  1  ln x  du  x  F  x   2 x 2 1  ln x    2 xdx  2 x 2 1  ln x   x 2  C  2 x 2 ln x  x 2  C  dv  4 x  v  2 x 2  Câu 74. Họ các nguyên hàm của hàm số f  x   x sin x là A. F  x   x cos x  sin x  C. B. F  x   x cos x  sin x  C. C. F  x    x cos x  sin x  C. D. F  x    x cos x  sin x  C. Lời giải Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 29 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 u  x du  dx Đặt   . dv  sin xdx v   cos x Suy ra Câu 75.  x sin xdx   x cos x   cos xdx   x cos x  sin x  C. (Chuyên Phan Bội Châu 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f ( x)  x.e 2 x là : 1 1  A. F ( x)  e 2 x  x    C 2 2  B. F ( x )  C. F ( x)  2e2 x  x  2   C 1  D. F ( x )  2e 2 x  x    C 2  1 2x e  x  2  C 2 Lờigiải du  dx u  x   Đặt  1 2x 2x dv  e v  2 e Câu 76.   x.e 2 x dx  1 2x 1 2x x.e   e dx 2 2   x.e 2 x dx  1 1 1 2x 1 2x  x.e  e  C  e 2 x  x    C 2 2 2 4  (THPT Gia Lộc Hải Dương 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f  x    2 x  1 e x là A.  2 x  3 e x  C . B.  2 x  3 e x  C . C.  2 x  1 e x  C . D.  2 x  1 e x  C . Lời giải x Gọi I    2 x  1 e dx . u  2 x  1 du  2dx Đặt  .  x x  dv  e dx v  e  I   2 x  1 e x  2 e x dx   2 x  1 e x  2e x  C   2 x  3 e x  C . Câu 77. (Chuyen Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x)  xe2 x ? A. F ( x )  1 2x  1 e  x    C. 2 2  C. F ( x)  2e2 x  x  2   C. 1 B. F ( x)  e 2 x  x  2   C . 2 1  D. F ( x )  2e 2 x  x    C . 2  Lời giải Ta có F ( x )   xe 2 x dx du  dx u  x   Đặt   1 2x 2x dv  e dx v  e  2 1 1 1 1 1 1  Suy ra F ( x )  xe2 x   e2 x dx  xe 2 x  e 2 x  C  e 2 x  x    C 2 4 2 2 2 2  Câu 78. (Chuyên Sơn La 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f  x   x 1  sin x  là Trang 30 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 x2  x sin x  cos x  C . A. 2 x2  x cos x  sin x  C . C. 2 x2 B.  x cos x  sin x  C . 2 D. x2  x sin x  cos x  C . 2 Lời giải  f  x  dx   x 1  sin x  dx   xdx   x.sin xdx   xdx   xd  cos x  Ta có: = Câu 79. x2 x2  x cos x   cos xdx =  x cos x  sin x  C . 2 2     (Chuyên Thái Bình – Lần 3 – 2020) Giả sử F  x   ax 2  bx  c e x là một nguyên hàm của hàm số f  x   x 2e x .Tính tích P  abc . A.  4 . B. 1 . C. 5 . Lời giải D. 3 . Chọn A u  x 2  du  2 xdx Ta đặt:    x 2e x dx  x 2e x  2 xe x dx.   x x  dv  e dx v  e u  x du  dx  Ta đặt:    x 2e x dx  x 2e x  2 xe x   e x dx   x 2  2 x  2  e x . x x dv  e dx v  e   Vậy a  1, b  2, c  2  P  abc  4 . Câu 80. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x)  2 x(1  e x ) là A.  2 x  1 e x  x 2 . B.  2 x  1 e x  x 2 . C.  2 x  2  e x  x 2 . D.  2 x  2  e x  x 2 . Lời giải Ta có  2 x(1  e x )dx  2 xdx  2 xe x dx .  ux du  dx  Gọi I  2 x ln xdx . Đặt  . x x dv  e dx  v  e Khi đó I  2 xe x  2 e x dx . Vậy  2 x(1  e x )dx  2 xdx  xe x  2 e x dx  x 2  xe x  2 x  C =  2 x  2 ex  x2  C . Câu 81. Họ nguyên hàm của f  x   x ln x là kết quả nào sau đây? 1 2 1 x ln x  x 2  C . 2 2 1 1 C. F  x   x 2 ln x  x 2  C . 2 4 A. F  x   Ta có F  x    1 2 1 x ln x  x 2  C . 2 4 1 1 D. F  x   x 2 ln x  x  C . 2 4 Lời giải B. F  x   dx  du   u  ln x   x  . f  x  dx   x ln xdx . Đặt  2 dv  xdx v  x  2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 31 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Theo công thức tính nguyên hàm từng phần, ta có: 1 1 1 1 F  x   x 2 ln x   xdx  x 2 ln x  x 2  C . 2 2 2 4 Câu 82. (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Tìm tất cả các nguyên hàm của hàm số f  x    3x 2  1 .ln x . A. C.  f  x  dx  x  x 2  1 ln x  x3 C . 3 B.  f  x  dx  x  x 2  1 ln x  x3  xC . 3 D.  f  x  dx  x 3 ln x  x3 C . 3  f  x  dx  x3 ln x  x3  xC . 3 Lời giải Chọn C Ta có I    3x 2  1 ln xdx 1  u  ln x du  x dx Đặt  .  2 dv   3x  1 dx v    3x 2  1 dx  x 3  x  1 x3  I   x3  x  ln x    x 3  x  dx  x  x 2  1 ln x    x 2  1 dx x  x 2  1 ln x   x  C . x 3 Câu 83. (Chuyên Đại Học Vinh 2019) Tất cả các nguyên hàm của hàm số f  x    0;   x trên khoảng sin 2 x là A.  x cot x  ln  sinx   C . B. x cot x  ln s inx  C . C. x cot x  ln sinx  C . D.  x cot x  ln  s inx   C . Lời giải Chọn A F  x    f  x  dx   x dx . s in 2 x u  x du  dx   Đặt  . 1 dv  s in 2 x dx v   cot x d  sin x  x cos x dx   x.cot x   cot xdx   x.cot x   dx   x.cot x   2 s in x sin x sin x   x.cot x  ln s inx  C . Với x   0;    s inx  0  ln s inx  ln  s inx  . Khi đó: F  x    Vậy F  x    x cot x  ln  s inx   C . Câu 84. (Sở Phú Thọ 2019) Họ nguyên hàm của hàm số y  3x  x  cos x  là A. x3  3  x sin x  cos x   C B. x3  3  x sin x  cos x   C C. x3  3  x sin x  cos x   C D. x3  3  x sin x  cos x   C Lời giải Chọn A Ta có:  3 x  x  cos x  dx   3 x 2 dx   3 x cos xdx Trang 32 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021   3 x 2 dx  x 3  C1   3 x cos xdx   3 x.d  sin x   3 x.sin x   3sin xdx  3 x.sin x  3cos x  C2 Vậy  3 x  x  cos x  dx  x 3  3  x sin x  cos x   C Câu 85. (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f  x   x 4  xe x là 1 5 1 x   x  1 e x  C . B. x 5   x  1 e x  C . 5 5 1 C. x 5  xe x  C . D. 4 x3   x  1 e x  C . 5 Lời giải A. Ta có: +) x 4  xe x  dx   x 4 dx   xe x dx . 1 4  x dx= 5 x 5  C1 . u  x du  dx  . +) Đặt  x x dv  e dx v  e Suy ra: Vậy x x x  xe dx  xe   e dx  xe x 4  xe x  dx  x x  e x  C2   x  1 e  C2 . 1 5 x   x  1 e x  C . 5 Câu 86. Cho hai hàm số F  x  , G  x  xác định và có đạo hàm lần lượt là f  x  , g  x  trên  . Biết rằng   A.  x  1 ln  x  1  2 x  C. C.  x  1 ln  x  1  x  C. F  x  .G  x   x 2 ln x 2  1 và F  x  .g  x   2 2 2 2 2 2 2 x3 . Họ nguyên hàm của f  x  .G  x  là x2  1  D.  x    1 ln  x   1  x B. x 2  1 ln x 2  1  2 x 2  C. 2 2 2  C. Lời giải Chọn C Ta có F  x  .G  x     F  x  .G  x   dx    F   x  .G  x   F  x  .G   x   dx .    F   x  .G  x   dx  F  x  .G  x     F  x  .G  x   dx  2 x3   x 2 ln  x 2  1    2  dx  x 2 ln  x 2  1   x 2  1  ln  x 2  1  C  x 1   x 2  1 ln  x 2  1  x 2  C . Câu33. Họ nguyên hàm của hàm số f  x   x.e2 x là A. F  x   1 2x  1 e x C . 2 2  C. F  x   2e2 x  x  2   C . 1 B. F  x   e 2 x  x  2   C . 2 1  D. F  x   2e 2 x  x    C . 2  Lời giải.  du  dx  ux   Đặt  1 2x . 2x dv  e dx v  e  2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 33 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 F  x   x.e 2 x  Câu 87. 1 2x 1 1 1 1  e dx  x.e 2 x  e 2 x  C  e 2 x  x    C .  2 2 4 2 2  (Sở Bắc Ninh 2019) Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. x x x  xe dx  e  xe  C . B. x  xe dx  x2 x x e e C . 2 C. x x x  xe dx  xe  e  C . D. x  xe dx  x2 x e C . 2 Lời giải Sử dụng công thức:  udv  u.v   vdu . Ta có:  xe x dx   xd  e x   xe x   e x dx  xe x  e x  C . Câu 88. (Sở Bắc Giang 2019) Cho hai hàm số F  x  , G  x  xác đinh và có đạo hàm lần lượt là f  x  , g  x  trên  . Biết F  x  .G  x   x 2 ln  x 2  1 và F  x  g  x   2 x3 . Tìm họ nguyên hàm của x2  1 f  xG  x .  C.  x    1 ln  x   1  x  D.  x A. x2  1 ln x 2  1  2 x2  C . 2 2 2    1 ln  x   1  x B. x 2  1 ln x 2  1  2 x 2  C . C . 2 2 2 C . Lời giải Ta có:  f  x  G  x  dx   G  x  d  F  x    G  x  .F  x    F  x  d  G  x    G  x  .F  x    F  x  g  x  dx .   f  x  G  x  dx  x 2 ln  x 2  1   2 x3 2x   dx  x 2 ln  x 2  1    2 x  2  dx  2 x 1 x 1  1 d  x 2  1  x 2 ln  x 2  1  x 2  ln  x 2  1  C x 1   x 2  1 ln  x 2  1  x 2  C . x 2 ln  x 2  1  x 2   2 2  x2  a  . Tìm nguyên hàm của 1 1 Câu 89. Cho biết F  x   x3  2 x  là một nguyên hàm của f  x   x2 3 x g  x   x cos ax . A. x sin x  cos x  C C. x sin x  cos C 1 1 x sin 2 x  cos 2 x  C 2 4 1 1 D. x sin 2 x  cos 2 x  C 2 4 Lởi giải B. Chọn C 2 2 1  x  1 2 Ta có F   x   x  2  2  . x x2 Do F  x  là một nguyên hàm của f  x  x  2  a x2 2 nên a  1 .  g  x dx   x cos xdx Trang 34 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 u  x du  dx Đặt   dv  cos xdx v  sin x  g  x dx   x cos xdx  x sin x   sin xdx  x sin x  cos x  C Câu 90. Họ nguyên hàm của hàm số  2x y 2  x  ln x  1 x là A. x 2  x  1 ln x  x2  xC . 2 B. x 2  x  1 ln x  x2  xC . 2 C.  x 2  x  1 ln x  x2  xC . 2 D.  x 2  x  1 ln x  x2  xC . 2     Lời giải  2x 2  x  ln x  1 1 dx    2 x  1 ln x dx   dx  I1  I 2 . x x 1  u  ln x du  dx I1    2 x  1 ln x dx . Đặt   x . dv   2 x  1 dx v  x 2  x  Ta có:  1 I1   x 2  x  ln x    x 2  x  dx   x 2  x  ln x    x  1 dx x 2 x   x 2  x  ln x   x  C1. 2 1 I 2   dx  ln x  C2 . x  2x 2  x  ln x  1 x d x  I1  I 2 x2 x2  x  C1  ln x  C2   x 2  x  1 ln x   x  C . 2 2 Dạng 4.2 Tìm nguyên hàm có điều kiện   x 2  x  ln x  Câu 91. (Mã 104 2017) Cho F  x   f  x 1 là một nguyên hàm của hàm số . Tìm nguyên hàm của 2 2x x hàm số f   x  ln x .  ln x 1   2 C x2 x  B.  f   x  ln xdx  ln x 1  C x2 2 x2 1  ln x  2 2 x 2x D.  f   x  ln xdx  ln x 1  C x2 x2 A.  f   x  ln xdx    C.  f   x  ln xdx     C  Lời giải Chọn C Ta có: Suy ra   f  x x dx  1 1 . Chọn f  x   2 . 2 x 2x dx  du  u  ln x  2   x f   x  ln x dx   3 ln x dx . Đặt   . 2 x dv  x 3 dx v  1 x2  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 35 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Khi đó: Câu 92.  f   x  ln x dx   ln x ln x 1 1   ln x dx   2   3 dx    2  2   C . 3 x x x 2x   x (Mã 105 2017) Cho F  x    f  x 1 là một nguyên hàm của hàm số . Tìm nguyên hàm của 3 x 3x hàm số f   x  ln x ln x 1  5 C 3 x 5x ln x 1 f   x  ln xdx   3  3  C x 3x ln x 1  5 C 3 x 5x ln x 1 f   x  ln xdx  3  3  C x 3x A.  f   x  ln xdx  B.  f   x  ln xdx  C.  D.  Lời giải Chọn C Ta có F  x   f  x x  1  1  f  x   x.F   x   x.   .x3   3  x3  3  x  f   x   3 x 4  f   x  ln x  3 x 4 ln x Vậy  f   x  ln xdx    3x 4 Đặt u  ln x; dv  x 4dx  du  Nên Câu 93.   ln x dx  3 ln x.x 4 dx dx x 3 ;v  x 3  ln x x4  ln x ln x 1 f   x  ln xdx  3 ln x.x 4dx  3   dx   3   x 4dx  3  3  C  3 3 x 3x  3x  x (Mã 110 2017) Cho F  x    x 1 e x là một nguyên hàm của hàm số f  x  e2x . Tìm nguyên hàm của hàm số f   x  e2x . A.  f  xe 2x dx   4  2 x  e x  C C.  f   x e 2x dx  2 x x e C 2 2x dx   x  2  e x  C 2x dx   2  x  e x  C B.  f  xe D.  f   x e Lời giải Chọn D Theo đề bài ta có  f  x  .e 2x dx   x  1 e x  C , suy ra f  x  .e 2 x   x  1 e x   e x   x  1 .e x  f  x   e x   x  1 .e x  x.e x  f   x   1  x  .e x Suy ra K   f   x  e 2 x dx   1  x  e x dx   1  x  d  e x   e x 1  x    e x dx   2  x  e x  C . Câu 94. Cho hàm số f  x  thỏa mãn f   x   xe x và f  0   2 .Tính f 1 . A. f 1  3 . B. f 1  e . C. f 1  5  e . D. f 1  8  2e . Lời giải Ta có: f  x    f   x dx   x.e x dx u  x  du  dx   f  x   x.e x   e x dx  x.e x  e x  C Đặt   x x  dv  e dx v  e Trang 36 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Theo đề: f  0   2  2  1  C  C  3  f  x   x.e x  e x  3  f 1  3 . Câu 95. (Chuyên Đại Học Vinh 2019) Cho hàm số f  x  thỏa mãn f  x   f   x   e  x , x   và f  0   2 . Tất cả các nguyên hàm của f  x  e 2 x là A.  x  2  e x  e x  C B.  x  2  e2 x  e x  C C.  x  1 e x  C D.  x  1 e x  C Lời giải Chọn D Ta có f  x   f   x   e x  f  x  e x  f   x  e x  1  f  x  e x   1  f  x  e x  x  C1 .   Vì f  0   2  C1  2  f  x  e2 x   x  2  e x   f  x  e 2 x dx    x  2  e x dx . u  x  2  du  dx  Đặt  x x dv  e dx v  e   f  x  e 2 x dx    x  2  e x dx   x  2  e x   e x dx   x  2  e x  e x  C   x  1 e x  C . Câu 96. (Việt Đức Hà Nội 2019) Cho hàm số y  f  x  thỏa mãn f ‘  x    x  1 e x , f  0   0 và  f  x dx   ax  b  e x  c với a, b, c là các hằng số. Khi đó: A. a  b  2. B. a  b  3. C. a  b  1. Lời giải D. a  b  0. Theo đề: f ‘  x    x  1 e x . Nguyên hàm 2 vế ta được x x x  f ‘  x  dx    x  1 e dx  f  x    x  1 e   e dx  f  x    x  1 e x  e x  C  xe x  C Mà f  0   0  0.e0  C  0  C  0  f  x   xe x .   f  x dx   xe x dx  xe x   e x dx  xe x  e x  C   x  1 e x  C . Suy ra a  1; b  1  a  b  0 . Câu 97. (THPT Nguyễn Thị Minh Khai – Hà Tĩnh – 2018) Gọi F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   xe  x . Tính F  x  biết F  0   1 . A. F  x     x  1 e x  2 . B. F  x    x  1 e  x  1 . C. F  x    x  1 e x  2 . D. F  x     x  1 e  x  1 . Lời giải u  x  du  dx Đặt  .  x x  dv  e dx  v   e Do đó  xe x dx   xe x   e x dx   xe x  e  x  C  F  x; C  . F  0   1  e0  C  1  C  2 . Vậy F  x     x  1 e  x  2 . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 37 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Câu 98. (Sở Quảng Nam – 2018) Biết  x cos 2 xdx  ax sin 2 x  b cos 2 x  C Tính tích ab ? 1 A. ab  . 8 1 . 4 B. ab  với a , b là các số hữu tỉ. 1 C. ab   . 8 Lời giải 1 D. ab   . 4  du  dx u  x  Đặt   1 d v  cos 2 xdx v  sin 2 x  2 1 1 1 1 Khi đó  x cos 2 xdx  x sin 2 x   sin 2 xdx  x sin 2 x  cos 2 x  C 2 2 2 4 1 1 a , b . 2 4 1 Vậy ab  . 8 Câu 99. (Chuyên Đh Vinh – 2018) Giả sử F  x  là một nguyên hàm của f  x   ln  x  3 x2 sao cho F  2   F 1  0 . Giá trị của F  1  F  2  bằng A. 10 5 ln 2  ln 5 . 3 6 Tính  ln  x  3 x2 B. 0 . 7 ln 2 . 3 Lời giải C. D. 2 3 ln 2  ln 5 . 3 6 dx . dx  u  ln  x  3 du    x3 Đặt   dx dv  2 v   1 x   x Ta có  ln  x  3 1 1 x 1 dx dx   ln  x  3     ln  x  3  ln  C  F  x, C  . 2 x x x  x  3 x 3 x3 1 1 7 1    Lại có F  2   F 1  0   ln 2  C     ln 4  ln  C   0  2C  ln 2 . 3 3 4 3    1 1 1 2 10 5 Suy ra F  1  F  2   ln 2  ln 2  ln 5  ln  2C  ln 2  ln 5 . 3 2 3 5 3 6 Câu 100. (THCS&THPT Nguyễn Khuyến – Bình Dương – 2018) Gọi g  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   ln  x  1 . Cho biết g  2   1 và g  3  a ln b trong đó a, b là các số nguyên dương phân biệt. Hãy tính giá trị của T  3a 2  b 2 A. T  8 . B. T  17 . C. T  2 . Lời giải D. T  13 . 1 u  ln  x  1 du   Đặt  x 1 dv  dx v  x  1 x 1 dx   x  1 ln  x  1  x  C x 1 Do g  2   1  1ln1  2  C  1  C  3  g  x    x  1 ln  x  1  x  3 g  x    ln  x  1 dx   x  1 ln  x  1   Trang 38 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Suy ra: g  3  2 ln 2  3  3  2 ln 2  ln 4  a  1, b  4  3a 2  b 2  13 Câu 101. (Sở Quảng Nam – 2018) Biết Tính tích ab ? 1 A. ab  . 8 B. ab   x cos 2 xdx  ax sin 2 x  b cos 2 x  C 1 . 4 với a , b là các số hữu tỉ. 1 C. ab   . 8 Lời giải 1 D. ab   . 4  du  dx u  x  Đặt   1 d v  cos 2 x d x  v  2 sin 2 x 1 1 1 1 Khi đó  x cos 2 xdx  x sin 2 x   sin 2 xdx  x sin 2 x  cos 2 x  C 2 4 2 2 1 1 a , b . 2 4 1 Vậy ab  . 8 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 39 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 NGUYÊN HÀM Chuyên đề 25 TÀI LIỆU DÀNH CHO HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM Dạng 1. Nguyên hàm của hàm ẩn hoặc liên quan đến phương trình f(x),f’(x),f’’(x) Dạng 1. Bài toán tích phân liên quan đến đẳng thúrc u ( x ) f  ( x)  u ‘ ( x) f ( x)  h( x) Phương pháp: Dễ dàng thấy rằng u ( x) f  ( x)  u  ( x) f ( x)  [u ( x) f ( x)] Do dó u ( x) f  ( x)  u  ( x ) f ( x)  h( x)  [u ( x) f ( x)]  h( x) Suy ra u ( x) f ( x)   h( x)dx Từ đây ta dễ dàng tính được f ( x) Dang 2. Bài toán tích phân liên quan đến biếu thúrc f  ( x )  f ( x)  h( x) Phương pháp:  Nhân hai vế vói e x ta durọc e x  f  ( x)  e x  f ( x)  e x  h( x)  e x  f ( x)   e x  h( x) Suy ra e x  f ( x)   e x  h( x)dx Từ đây ta dễ dàng tính được f ( x) Dang 3. Bài toán tích phân liên quan đến biếu thúc f  ( x)  f ( x)  h( x) Phương pháp:  Nhân hai vế vói e x ta durọc e x  f  ( x)  e  x  f ( x)  e x  h( x)  e  x  f ( x)   e  x  h( x) Suy ra e x  f ( x)   e  x  h( x)dx Từ đây ta dễ dàng tính được f ( x) Dạng 4. Bài toán tích phân liên quan đến biếu thúrc f  ( x)  p ( x)  f ( x)  h( x) (Phương trình vi phân tuyên tinh cấp 1) Phương pháp: p ( x ) dx Nhân hai vế với e  ta được f  ( x)  e  p ( x ) dx  p ( x)  e  Suy ra f ( x)  e  p ( x ) dx p ( x ) dx   e  f ( x)  h( x)  e  p ( x ) dx p ( x ) dx   f ( x)  e   p ( x ) dx    h( x)  e  p ( x ) dx  h( x)dx Từ đây ta dễ dàng tính được f ( x) Dang 5. Bài toán tích phân liên quan đến biếu thúc f  ( x)  p ( x)  f ( x)  0 Phương pháp: f  ( x) f  ( x) Chia hai vế với f ( x) ta đựơc  p ( x)  0    p ( x) f ( x) f ( x) f  ( x)  f ( x) dx    p( x)dx  ln | f ( x) |   p( x)dx Từ đây ta dễ dàng tính được f ( x) Suy ra Dạng 6. Bài toán tích phân liên quan đến biểu thức f  ( x)  p( x)  [ f ( x)]n  0 Phương pháp: f  ( x) f  ( x) Chia hai vế với [ f ( x)]n ta được  p ( x )  0    p( x) [ f ( x)]n [ f ( x)]n f  ( x) [ f ( x)] n 1 Suy ra  dx    p ( x)dx     p ( x)dx [ f ( x)]n n  1 Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Từ dầy ta dễ dàng tính được f ( x) Câu 1. (Mã 103 2018) Cho hàm số f  x  thỏa mãn f  2    2 1 và f   x   4 x 3  f  x   với mọi 25 x   . Giá trị của f 1 bằng A.  391 400 B.  1 40 C.  41 400 D.  1 10 Lời giải Chọn D  1  1 3 3   x4  C    4 x    4 x  2 f x f x    f  x      1 1 1 Do f  2    , nên ta có C  9 . Do đó f  x    4  f 1   . 25 x 9 10 2 Ta có f   x   4 x 3  f  x     Câu 2. f  x (Chuyên Phan Bội Châu – Nghệ An – 2020) Cho hàm số y  f  x  đồng biến và có đạo hàm liên tục trên  thỏa mãn nào sau đây? A. 12;13  .  f   x  2  f  x  .e x , x   và f  0   2 . Khi đó f  2  thuộc khoảng B.  9;10  . D. 13;14  . C. 11;12  . Lời giải Chọn B Vì hàm số y  f  x  đồng biến và có đạo hàm liên tục trên  đồng thời f  0   2 nên f   x   0 và f  x   0 với mọi x   0;   . 2 Từ giả thiết  f   x    f  x  .e x , x   suy ra f   x   Do đó, x 2 f  x  .e , x   0;   . f  x 1 x  e 2 , x   0;   . 2 f  x 2 x Lấy nguyên hàm hai vế, ta được f  x   e 2  C , x   0;   với C là hằng số nào đó. Kết hợp với f  0   2 , ta được C  2  1 .   2 Từ đó, tính được f  2   e  2  1  9,81 . Câu 3. (Chuyên Thái Bình – 2020) Cho hàm số y  f  x thỏa mãn f  2   f   x   x3 f 2  x  x   . Giá trị của f 1 bằng 2 A.  . 3 1 B.  . 2 C. 1. 3 D.  . 4 Lời giải Chọn C Ta có f   x   x3 f 2  x   f  x f  x 1 x4 3 3  x  dx  x dx    C .  f 2  x  f 2  x f  x 4 Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 4 19 và TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 4 19 16 3 4 Mà f  2       C  C  . Suy ra f  x    4 . 19 4 4 4 x 3 Vậy f 1  1 . Câu 4. (Lý Nhân Tông – Bắc Ninh – 2020) Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  1;0 thỏa mãn điều kiện: f 1  2 ln 2 và x.  x  1 . f   x   f  x   x 2  x . Biết f  2   a  b.ln 3 ( a , b  ).   Giá trị 2 a 2  b2 là A. 27 . 4 3 . 4 Lời giải B. 9 . C. D. 9 . 2 Chọn B 2 Chia cả hai vế của biểu thức x.  x  1 . f   x   f  x   x 2  x cho  x  1 ta có x 1 x x  x  . f  x  f x   . f x  .     2   x 1 x 1  x 1  x 1  x  1 Vậy x x 1   x   . f  x    . f  x   dx   dx   1  dx  x  ln x  1  C . x 1 x 1  x 1   x 1  Do f 1  2 ln 2 nên ta có Khi đó f  x   1 . f 1  1  ln 2  C   ln 2  1  ln 2  C  C  1 . 2 x 1  x  ln x  1 1 . x Vậy ta có f  2   3 3 3 3 3 3  2  ln 3  1  1  ln 3   ln 3  a  , b   . 2 2 2 2 2 2  3  2  3  2  2 2 Suy ra 2 a  b  2         9 .  2   2    Câu 5.  (Hải Hậu – Nam Định – 2020) Cho hàm số y  f  x  thỏa mãn f  x   0, x  0 và có đạo hàm 1 f   x  liên tục trên khoảng  0;    thỏa mãn f   x    2 x  1 f 2  x  , x  0 và f 1   . Giá 2 trị của biểu thức f 1  f  2   …  f  2020  bằng A.  2020 . 2021 B.  2015 . 2019 2019 . 2020 C.  D.  2016 . 2021 Lời giải Chọn A Ta có: f   x    2 x  1 f 2  x   Mà f 1   f  x f 2  x  2x 1   f  x f 2  x dx    2 x  1 dx   1  x2  x  C . f  x 1 1 1 1  C  0  f  x  2   . 2 x  x x 1 x Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489  f  f    f    f   Câu 6. 1 1 2 1 1  2   3 2 1 1  3   4 3 1   2020    f 1  f  2   ….  f  2020   1  1 2020 .  2021 2021 1 1  2021 2020 (Bắc Ninh 2019) Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  1;0 thỏa mãn f 1  2 ln 2  1 , x  x  1 f   x    x  2  f  x   x  x  1 , x   1;0 . Biết f  2   a  b ln 3 , với a , b là hai số hữu tỉ. Tính T  a 2  b . 3 21 A. T  . B. T  . 16 16 C. T  3 . 2 D. T  0 . Lời giải Chọn A Ta có x  x  1 f   x    x  2  f  x   x  x  1  f  x  x  x  2 x2 x2 x2  f  x  1  f  x  f  x  2 x  x  1 x 1 x 1  x  1 ‘  x2  x2 x2 x2 x2 x2  f  x   dx  f  x    x  ln x  1  c  f  x   x 1 x 1 x 1 2  x 1  x 1  f  x   x  1  x2  x  ln x  1  c  . 2  x  2  Ta có f 1  2 ln 2  1  c  1. 3  a  4  x  1  x2 3 3 Từ đó f  x   2   x  ln x  1  1 , f  2    ln 3. Nên  . x  2 4 4  b  3  4 3 Vậy T  a 2  b   . 16 Câu 7. (THPT Nguyễn Trãi – Đà Nẵng – 2018) Cho hs y  f  x  thỏa mãn y  xy 2 và f  1  1 thì giá trị f  2  là A. e 2 . B. 2e . D. e3 . C. e  1 . Lời giải 3 x C y y x3 Ta có y  xy   x 2   dx   x 2dx  ln y   C  y  e 3 . y y 3 2 Theo giả thiết f  1  1 nên e 1  C 3 1 1 C  . 3 Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Vậy y  f  x  =e Câu 8. x3 1  3 3 . Do đó f  2   e3 . (Sở Hà Nội Năm 2019) Cho hàm số f  x  liên tục trên  , f  x   0 với mọi x và thỏa mãn 1 f 1   , f   x    2 x  1 f 2  x  .Biết 2 a, b  ,  a, b   1 .Khẳng định nào sau đây sai? A. a  b  2019 . f 1  f  2   …  f  2019   a 1 b với C. 2a  b  2022 . D. b  2020 . Lời giải f  x f  x f   x    2 x  1 f 2  x   2  2x 1   2 dx    2 x  1dx f  x f  x   d  f  x f 2  x B. ab  2019 .    2 x  1 dx 1  x 2  x  C 1 (Với C là hằng số thực). f  x 1 1 1  .  C  0 .Vậy f  x   1 x 1 x  2 1 1   1 1  1 1   1 T  f (1)  f (2)  …  f (2019)          …      1  2020 .  2 1  3 2   2020 2019  Thay x  1 vào 1 được 2  C   a  1 Suy ra:   a  b  2019 (Chọn đáp số sai). b  2020 Câu 9. (THPT Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  0;   1 . Tính f  4  ? 2 C. 4 . Lời giải thỏa mãn 2 xf   x   f  x   3 x 2 x . Biết f 1  A. 24 . B. 14 . D. 16 . Chọn D Trên khoảng  0;   ta có: 2 xf ‘  x   f  x   3x 2 x  x f ‘  x       ‘ x. f  x  x. f  x  3 2 x  2  1 2 x  3 2 x . 2 ‘ 3 x . f  x  dx   x 2 dx . 2  1 3 x  C .   2 x2 x 1 1 1 1 Mà f 1  nên từ   có: 1. f 1  .13  C    C  C  0  f  x   . 2 2 2 2 2 Vậy f  4   Câu 10. 42 4  16 . 2 (Chuyên Thái Nguyên 2019) Cho hàm số f  x   0 với mọi x, f  0   1 và f  x   x  1. f   x  với mọi x   . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. f  x   2 B. 2  f  x   4 C. f  x   6 D. 4  f  x   6 Lời giải Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 f  x Ta có: f  x f  x 1 1  dx   dx  ln  f  x    2 x  1  C f  x x 1 x 1  Mà f  0   1 nên C  2  f  x   e 2 Câu 11. x 1  2  f  3  e 2  6 (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên  2; 4 3 và f   x   0, x   2; 4 . Biết 4 x 3 f  x    f   x    x3 , x   2; 4 , f  2   7 . Giá trị của 4 f  4  bằng A. 40 5  1 . 2 20 5  1 . 4 B. 20 5  1 . 2 Lời giải C. D. 40 5  1 . 4 Ta có: f   x   0, x   2; 4 nên hàm số y  f  x  đồng biến trên  2; 4  f  x   f  2  mà f  2  7 . Do đó: f  x   0, x   2;4 . 4 3 Từ giả thiết ta có: 4 x3 f  x    f   x    x3  x3  4 f  x   1   f   x    x. 3 4 f  x   1  f   x   Suy ra: f  2   f  x 3 4 f  x 1 f  x 3 4 f  x 1 dx   xdx  3  x. 2 33 x2 1 d  4 f  x   1 x 2  4 f x  1  C .     C    8  2 4  3 4 f  x 1 2 7 3 1   2C  C   . 4 2 2 3 Vậy: f  x   Câu 12. 4 2   3  x  1   1 40 5  1 .  f  4  4 4 (Chuyên Thái Bình 2019) Cho f ( x) là hàm số liên tục trên f  x   f   x   x, x   và f  0   1 . Tính f 1 . A. 2 . e B. 1 . e C. e . D. Lời giải f  x  f  x  x (1) . Nhân 2 vế của (1) với e x ta được e x . f  x   e x . f   x   x.e x . Hay e x . f  x    x.e x  e x . f  x    x.e x dx . Xét I   x.e xdx .  u  x  du  dx Đặt  x . x e dx  dv  v  e I   x.e x dx  x.e x   e xdx  x.e x  e x  C . Suy ra e x f  x   x.e x  e x  C . Theo giả thiết f (0)  1 nên C  2  f  x   x.e x  e x  2 2  f 1  . x e e Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ e . 2  thỏa mãn TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 13. (THPT NGHĨA HƯNG NĐ- GK2 – 2018 – 2019) Cho hàm số f  x  thỏa mãn 2  xf   x    1  x 2 1  f  x  . f   x   với mọi x dương. Biết f 1  f  1  1 . Giá trị f 2  2  bằng A. f 2  2   2 ln 2  2 . B. f 2  2   2 ln 2  2 . C. f 2  2   ln 2  1 . D. f 2  2   ln 2  1 . Lời giải 2 2 Ta có:  xf   x    1  x 1  f  x  . f ”  x   ; x  0 2  x 2 .  f ‘  x    1  x 2 1  f  x  . f ”  x   1  1  f  x . f “ x  x2 2 1   f ‘  x    f  x  . f ”  x   1  2 x ‘ 1   f  x  . f ‘  x    1  2 x ‘ 1 1  Do đó:   f  x  . f ‘  x   .dx   1  2 .dx  f  x  . f ‘  x   x   c1. x  x  2   f ‘  x    Vì f 1  f ‘ 1  1  1  2  c1  c1  1. Nên  1   f  x  . f ‘  x  .dx    x  x 1.dx 1     f  x  .d  f  x      x   1.dx x   f 2  x  x2 1 1    ln x  x  c2 . Vì f 1  1    1  c2  c2  1. 2 2 2 2 Vậy Câu 14. f 2  x  x2   ln x  x  1  f 2  2  2ln 2  2 . 2 2 (Chuyên Bắc Ninh 2019) Cho hàm số f ( x) thỏa mãn ( f ‘( x))2  f ( x). f ”( x)  x 3  2 x, x  R và f (0)  f ‘(0)  1 . Tính giá trị của T  f 2 (2) 43 15 Lời giải 2 3 Có ( f ‘( x))  f ( x). f ”( x)  x  2 x  ( f ( x). f ‘( x))’  x 3  2 x A. 43 30 B. 16 15  f ( x). f ‘( x)   ( x3  2 x)dx  C. D. 26 15 1 4 2 x  x C 4 Từ f (0)  f ‘(0)  1 . Suy ra C  1 . Vậy f ( x ). f ‘( x )  1 4 x  x2  1 4 1 4 1 x  2 x 2  2  ( f 2 ( x))’  x 4  2 x 2  2 2 2 1 1 2  f 2 ( x)   ( x 4  2 x 2  2)dx  x5  x3  2 x  C 2 10 3 1 2 Từ f (0)  1 . Suy ra C  1 . Vậy f 2 ( x)  x5  x 3  2 x  1 . 10 3 43 Do đó T  15 Tiếp, có 2 f ( x). f ‘( x)  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 7 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Câu 15.   (Sở Bình Phước 2019) Cho hàm số f  x  liên tục và có đạo hàm trên  0;  , thỏa mãn  2 x     f  x   tan x. f   x   . Biết rằng 3 f    f    a 3  b ln 3 trong đó a, b . Giá 3 cos x 3 6 trị của biểu thức P  a  b bằng 14 2 7 4 A. B.  C. D.  9 9 9 9 Lời giải Chọn D f  x   tan x. f   x   x x  cos x. f  x   sin x. f   x   . 3 cos2 x cos x x .  sin x. f  x    cos 2 x Do đó x   sin x. f  x  dx   cos Tính I   2 x dx  sin x. f  x    x dx cos 2 x x dx . cos2 x u  x  du  dx  Đặt  . Khi đó dx   v  tan x dv  cos 2 x I  d  cos x  x dx  x tan x   tan xdx  x tan x   dx  x tan x  ln cos x . 2 cos x cos x Suy ra f  x   x.tan x  ln cos x sin x  ln cos x x .  cos x sin x 3  2 2 ln 2    3     a 3  b ln 3  3 f    f    3      2 ln   2  3   9 3 6  3 5 3   ln 3 . Suy ra 9 5  a  9 .  b  1 4 Vậy P  a  b   . 9 Câu 16. (THPT Yên Phong Số 1 Bắc Ninh 2019) Cho hàm số y  f  x  đồng biến trên y  f  x liên tục, nhận giá trị dương trên  0;   và thỏa mãn f  3  2  f ‘  x     x  1 . f  x  . Tính f  8  . A. f  8   49 . B. f  8   256 . C. f  8   1 . 16 D. f  8   Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/  0;   ; 49 . 64 4 9 và TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Lời giải Chọn A Ta có với x   0;   thì y  f  x   0 ; x  1  0 . Hàm số y  f  x  đồng biến trên  0;   nên f   x   0, x   0;   . 2 Do đó  f   x     x  1 f  x   f   x   Suy ra  f  x f  x Vì f  3  dx    x  1dx  x  1 f  x   f  x   1 3  x  1 3 f  x f  x   x  1 . 2 2 C . 4 2 8 nên C    2 . 9 3 3 1 Suy ra f  x    3 2  x  1  2  , suy ra f 8   49 .  3  2  f   x    f  x   x Câu 17. Cho hàm số f  x  thỏa mãn f 1  2 và x 2  1   1 với mọi x   . Giá trị của f  2  bằng 2 5 A. B.  2 5 C.  5 2 D. 5 2 Lời giải Chọn D 2 Từ giả thiết ta có: f   x    f  x   . x2 1 x 2  1  0 với mọi x  1; 2 . 2 Do đó f  x   f 1  1  0 với mọi x  1;2 . Xét với mọi x  1;2 ta có: x 2  1 f   x    f  x    2 x 2  1  f  x f  x x2 1 x2  1   2 dx   dx . 2 2 2 f  x   x 2  1 f  x  x2  1 1  1 d x   2  f x   dx   x  1 1 x dx  dx    C . 2 2   2 2   1 f  x f  x f  x 1 1   x x  x  x x x   f  x 1 x2  1 5 Mà f 1  1  1  1  C  C  0 . Vậy f  x    f  2  . x 2 Câu 18. (Chuyên Nguyễn Tất Thành Yên Bái 2019) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên khoảng  0;    , biết f   x    2 x  1 f 2  x   0 , f  x   0, x  0 và f  2   1 . Tính giá trị của 6 P  f 1  f  2   …  f  2019  . A. 2021 . 2020 B. 2020 . 2019 2019 . 2020 Lời giải C. D. 2018 . 2019 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 9 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 TH1: f  x   0  f   x   0 trái giả thiết. TH2: f  x   0  f   x     2 x  1 . f 2  x    f  x f 2  x    2 x  1 .   f  x f 2  x dx     2 x  1dx 1    x2  x  C  . f  x 1 1 1 1  C  0  f  x  2 .   6 x  x x x 1 1 1 1 1 1 2019 .  P      …..   1 2 2 3 2020 2020 Ta có: f  2   Câu 19. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  f  x 2  2;1 thỏa mãn f  0   3 và . f   x   3 x 2  4 x  2 . Giá trị lớn nhất của hàm số y  f  x  trên đoạn  2;1 là B. 2 3 15 . A. 2 3 42 . 3 C. 42 . D. 3 15 . Lời giải 2 Ta có:  f  x   . f   x   3x 2  4 x  2 (*) Lấy nguyên hàm 2 vế của phương trình trên ta được   f  x  2 2 . f   x dx    3x 2  4 x  2 dx    f  x   d  f  x    x3  2 x 2  2 x  C  f  x  3 3 3  x 3  2 x 2  2 x  C   f  x    3  x 3  2 x 2  2 x  C  1 3   Theo đề bài f  0   3 nên từ (1) ta có  f  0    3 03  2.02  2.0  C  27  3C  C  9 3   f  x    3  x 3  2 x 2  2 x  9   f ( x)  3 3  x 3  2 x 2  2 x  9  . Tiếp theo chúng ta tìm giá trị lớn nhất của hàm số y  f  x  trên đoạn  2;1 . CÁCH 1: Vì x3  2 x 2  2 x  9  x 2  x  2   2  x  2   5  0, x   2;1 nên f  x  có đạo hàm trên  2;1 3  3x 2  4 x  2  và f   x   3 3  x  2 x  2 x  9   3 3 2 2 3x 2  4 x  2  3 3  x  2 x  2 x  9     3 2 2  0, x   2;1 . Hàm số y  f  x  đồng biến trên  2;1  max f  x   f 1  3 42 .  2;1 Vậy max f  x   f 1  3 42 .  2;1 CÁCH 2: 3 2 2  223   f  x   3 x  2x  2x  9  3  x    2  x    . 3 3 9   3 3 2 3 3 2 2  223   Vì các hàm số y  3  x   , y  2  x    đồng biến trên  nên hàm số 3 3 9   Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 3 2 2  223   cũng đồng biến trên . Do đó, hàm số y  f  x  đồng biến y  3 3 x    2  x    3 3 9   trên  2;1 . Vậy max f  x   f 1  3 42 .  2;1 Câu 20. (Đề Thi Công Bằng KHTN 2019) Cho hàm số 3 f ( x) thỏa mãn f (1)  4 và 2 f ( x)  xf ( x)  2 x  3x với mọi x  0 . Giá trị của f (2) bằng A. 5 . B. 10 . f ( x)  xf ( x)  2 x3  3x 2  D. 15 . 1. f ( x)  x. f ( x) 2 x3  3x 2  f ( x )     2x  3 2 2 x x  x  f ( x) là một nguyên hàm của hàm số g  x   2 x  3 . x Suy ra, Ta có C. 20 . Lời giải   2 x  3dx  x 2  3x  C , C   . f ( x)  x 2  3 x  C1 , (1) với C1   nào đó. x Vì f (1)  4 theo giả thiết, nên thay x  1 vào hai vế của (1) ta thu được C1  0 , từ đó Do đó, f ( x)  x 3  3 x 2 . Vậy f (2)  20 . Câu 21. (Sở Bắc Ninh 2019) Cho hàm số f  x  liên tục trên R thỏa mãn các điều kiện: f  0   2 2, f  x   0, x   và f  x  . f   x    2 x  1 1  f 2  x  , x   . Khi đó giá trị f 1 bằng 26 . 24 . C. 15 . Lời giải f  x. f   x Ta có f  x  . f   x    2 x  1 1  f 2  x     2 x  1 . 1 f 2  x A. Suy ra  B. f  x. f  x 1 f 2  x dx    2 x  1dx   d 1  f 2  x   2 1 f  Theo giả thiết f  0   2 2 , suy ra 1  2 2   x 23 .    2 x  1dx  1  f 2  x   x 2  x  C . 2 Với C  3 thì 1  f 2  x   x 2  x  3  f  x   Câu 22. 2 D.  C  C  3. x 2 2  x  3  1 . Vậy f 1  24 . 2 (Cần Thơ 2018) Cho hàm số f  x  thỏa mãn  f   x    f  x  . f   x   2 x 2  x  1 , x   và 2 f  0   f   0   3 . Giá trị của  f 1  bằng A. 28 . B. 22 . C. 19 . 2 D. 10 . Lời giải 2 Ta có  f  x  f   x     f   x    f  x  f   x  . Do đó theo giả thiết ta được  f  x  f   x    2 x 2  x  1 . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Suy ra f  x  f   x   2 3 x2 x   x  C . Hơn nữa f  0   f   0   3 suy ra C  9 . 3 2 2  x2 Tương tự vì  f 2  x    2 f  x  f   x  nên  f 2  x    2  x 3   x  9  . Suy ra 2 3  2  x2 1 x3 f 2  x    2  x 3   x  9  dx  x 4   x 2  18 x  C , cũng vì f  0   3 suy ra 2 3 3 3  Câu 23. 2 1 x3 f 2  x   x 4   x 2  18 x  9 . Do đó  f 1   28 . 3 3 (Chuyên Lê Hồng Phong – 2018) Cho hàm số f  x  có đạo hàm trên  thỏa mãn  x  2  f  x    x  1 f   x   e x e A. f  2   . 3 và f  0   B. f  2   1 . Tính f  2  . 2 e . 6 C. f  2   e2 . 3 D. f  2   e2 . 6 Lời giải Ta có  x  2  f  x    x  1 f   x   e x   x  1 f  x   f  x    x  1 f   x   e x   x  1 f  x     x  1 f  x    e x  e x  x  1 f  x    e x  x  1 f  x    e2 x 1  e x  x  1 f  x    e2 x   e x  x  1 f  x  dx   e2 x dx  e x  x  1 f  x   e2 x  C 2 Mà f  0   1 ex 1  C  0 . Vậy f  x   . 2 2 x 1 Khi đó f  2   Câu 24. e2 . 6 (Liên Trường – Nghệ An – 2018) Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  0;  1 thỏa mãn điều kiện f 1  2 ln 2 và x  x  1 . f   x   f  x   x 2  x . Giá trị f  2   a  b ln 3 , với a, b  . Tính a 2  b2 . 25 A. . 4 B. 9 . 2 5 . 2 Lời giải C. Từ giả thiết, ta có x  x  1 . f   x   f  x   x 2  x  D. 13 . 4 x 1 x . f  x  f  x  2 x 1 x 1  x  1 x  x   . f  x   , với x   0;  1 .  x 1  x 1 x x x Suy ra . f  x   dx hay . f  x   x  ln x  1  C . x 1 x 1 x 1 x . f  x   x  ln x  1  1 . Mặt khác, ta có f 1  2 ln 2 nên C  1 . Do đó x 1 2 3 3 3 3 Với x  2 thì . f  2   1  ln 3  f  2    ln 3 . Suy ra a  và b   . 3 2 2 2 2 Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 9 Vậy a  b  . 2 2 Câu 25. 2 (THPT Lê Xoay – 2018) Giả sử hàm số y  f  x  liên tục, nhận giá trị dương trên  0;   và thỏa mãn f 1  1 , f  x   f   x  . 3x  1 , với mọi x  0 . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 2  f  5   3 . B. 1  f  5   2 . C. 4  f  5   5 . D. 3  f  5   4 . Lời giải Ta có f  x   f   x  . 3x  1   d  f  x f  x 2 1 2 dx  ln f  x   3x  1  C  f  x   e 3 3 3x  1  4 Mà f 1  1 nên e 3 Câu 26. f  x f  x 1 1   dx   dx f  x f  x 3x  1 3x  1 C 3 x 1  C 4 4  1  C   . Suy ra f  5   e 3  3, 794 . 3 (THPT Quỳnh Lưu – Nghệ An – 2018) Cho hàm số f  x   0 thỏa mãn điều kiện 1 Biết rằng tổng f  0   . 2 a a f 1  f  2   f  3  …  f  2017   f  2018  với  a  , b  *  và là phân số tối giản. b b Mệnh đề nào sau đây đúng? a a A.  1. B.  1 . C. a  b  1010 . D. b  a  3029 . b b Lời giải f  x Ta có f   x    2 x  3 f 2  x   2  2x  3 f  x f   x    2 x  3 f 2  x   và f  x 1 dx    2 x  3 dx    x 2  3x  C . f  x f  x 1 Vì f  0     C  2 . 2 1 1 1   Vậy f  x    .  x  1 x  2  x  2 x  1 Do đó f 1  f  2   f  3  …  f  2017   f  2018   1 1 1009 .   2020 2 2020 Vậy a  1009 ; b  2020 . Do đó b  a  3029 . Câu 27. (THPT Nam Trực – Nam Định – 2018) Cho hàm số f  x   0 , f   x   1 f 1   . Tính f 1  f  2   …  f  80  . 3 3240 6480 A.  . B. . 6481 6481 C.  6480 . 6481 D. 3x 4  x 2  1 2 f  x  và x2 3240 . 6481 Lời giải f  x  f   x  3x 4  x 2  1 3x 4  x 2  1 2 f x .     x2 f 2 x x2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489  f  x  3x 4  x 2  1 d x   x 2 dx  f 2 x  d  f  x  f 2  x 3x 4  x 2  1  dx . x2 d  f  x  1  1 1 1     3x 2  1  2  dx  C.  x3  x   C  f  x   1 f  x x  f x x 3  x x x 1 1 1 1 x   2 Do f 1    C  0  f  x   4 =  2 . 2 3 x  x  1 2  x  x  1 x  x  1  1  1 1 11 1 1 1 1 1 1 1  f 1     ; f  2      ; f  3     ;.; f  80     . 2  3 1 2 7 3 2  13 7  2  6481 6321  1 1 1 3240 = . f 1  f  2   …  f  80     . 2 2 6481 6481  Câu 28.  2 (Sở Hà Tĩnh – 2018) Cho hàm số f  x  đồng biến có đạo hàm đến cấp hai trên đoạn  0; 2 và 2 2 thỏa mãn  f  x    f  x  . f   x    f   x    0 . Biết f  0   1 , f  2   e6 . Khi đó f 1 bằng 3 5 B. e3 . A. e 2 . D. e2 . C. e 2 . Lời giải 2 2 Theo đề bài, ta có  f  x    f  x  . f   x    f   x    0  f  x  . f   x    f   x    f  x   2 2 1  f   x   f  x x2   x  C  ln f  x    C.x  D  1 f  x 2  f  x  x 5  f  0   1 2 x C  2 2 2 Mà   . Suy ra : f x  e  f 1  e .      6 D  0   f  2   e 2 2 Câu 29. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  thỏa mãn f   x   2 x. f  x   e x , x   và f  0   0 . Tính f 1 . 1 B. f 1   . e A. f 1  e2 . C. f 1  1 . e2 D. f 1  1 . e Lời giải Chọn D Ta có 2 2 2  2  f   x   2 x. f  x   e x  e x f   x   2 x.e x . f  x   1  e x . f  x   1 . 2 xC  . f  x  dx   dx  e x . f  x   x  C  f  x   x 2 . e Vì f  0   0  C  0 . Suy ra  e  x2 Do đó f  x   x 1 . Vậy f 1  . e e x2 Câu 30. Cho hàm số y  f  x  thỏa mãn f ‘  x  . f  x   x4  x2 . Biết f  0  2 . Tính f 2  2  . Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 313 A. f  2   . 15 2 332 B. f  2   . 15 2 324 C. f  2   . 15 Lời giải 2 D. f 2  2   323 . 15 Chọn B f 2  x  x5 x 3   C . f ‘  x  . f  x  dx    x  x  dx  C  2 5 3 4 Ta có  f  0  2 nên suy ra C  2 . Do 2  32 8  332 Vậy f 2  2   2    2   .  5 3  15 Câu 31. (Chuyên Đại học Vinh – 2019) Cho hàm số f  x  thỏa mãn f  x   f   x   e x , x   và f  0   2 . Tất cả các nguyên hàm của f  x  e 2 x là A.  x  2  e x  e x  C . B.  x  2  e2 x  e x  C . C.  x  1 e x  C . D.  x  1 e x  C . Lời giải Chọn D  f  x   f   x   e x  f  x  e x  f   x  e x  1  f  x  e x   1  f  x  e x  x  C . Vì f  0   2 nên C   2 . Do đó f  x  e2 x   x  2  e x . Vậy:  f  xe 2x   dx    x  2  e x dx    x  2  d e x   x  2  e x   e x d  x  2    x  2  e x   e x dx  x x x   x  2  e  e  C   x  1 e  C . Câu 32. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên  0;    thỏa mãn 2 xf   x   f  x   2 x x   0;    , f 1  1 . Giá trị của biểu thức f  4  là: A. 25 . 6 B. 25 . 3 17 . 6 Lời giải C. D. 17 . 3 Chọn C Xét phương trình 2 xf   x   f  x   2 x 1 trên  0;    : 1  f   x   1  f  x  1 2 . 2x 1 , ta tìm một nguyên hàm G  x  của g  x  . 2x 1 1 Ta có  g  x  dx   dx  ln x  C  ln x  C . Ta chọn G  x   ln x . 2x 2 1  f  x  x Nhân cả 2 vế của  2  cho eG  x   x , ta được: x  f   x   2 x Đặt g  x      x. f  x   x   3 . 4 Lấy tích phân 2 vế của  3 từ 1 đến 4, ta được:  1   x. f  x   4 1   4 x . f  x  dx   xdx 1 4 14 1  14  17 2 3  x   2 f  4   f 1   f  4     1  (vì f 1  1 ). 3 2 3 3 1  6 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Vậy f  4   Câu 33. 17 . 6 (Chu Văn An – Hà Nội – 2019) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên  và thỏa mãn 3 4 điều kiện x 6  f   x    27  f  x   1  0, x   và f 1  0 . Giá trị của f  2  bằng A. 1 . B. 1. C. 7 . D.  7 . Lời giải Chọn D 6 3 Ta có x  f   x    27  f  x   1  0    1 1 1   2.  2   3 f  x   1  x f  x 1 x f  x 4 3  f  x   1 3   1 1 1  dx   2 dx    C. Suy ra Do đó   x x  3 f  x   1  1 1   C . x f  x  1 3 Có f 1  0  C  0 . Do đó f  x   1  x3 . Khi đó f  2   7. Câu 34. (Bến Tre 2019) Cho hàm số f  x  thỏa mãn:  f   x  2  f  x  . f   x   15 x 4  12 x , x   và f  0   f   0   1 . Giá trị của f 2 1 bằng A. 5 . 2 B. 8. C. 10. D. 4. Lời giải Chọn B 2 Theo giả thiết, x   :  f   x    f  x  . f   x   15 x 4  12 x  f   x  . f   x   f  x  . f   x   15 x 4  12 x   f  x  . f   x    15 x 4  12 x  f  x  . f   x    15 x 4  12 x  dx  3 x 5  6 x 2  C 1 . Thay x  0 vào 1 , ta được: f  0  . f   0   C  C  1 . Khi đó, 1 trở thành: f  x  . f   x   3×5  6 x 2  1 1 1 1 1 1  1    f  x  . f   x  dx    3 x5  6 x 2  1 dx   f 2  x     x 6  2 x3  x  2 0 2 0 0 0  1 2 7  f 1  f 2  0     f 2 1  1  7  f 2 1  8 . 2 2 Vậy f 2 1  8 . Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 35. Cho hàm y  f  x số  xf   x   2 f  x   .ln x  x nào dưới đây? 25   A. 12;  . 2   3 có đạo hàm liên  f  x  , x  1;    ; biết f 27   B. 13;  . 2   tục trên 1;     e   3e . Giá trị 3  23  C.  ;12  .  2  Lời giải và thỏa mãn f  2  thuộc khoảng 29   D. 14;  . 2  Chọn C Xét phương trình  xf   x   2 f  x   .ln x  x3  f  x  1 trên khoảng 1;   : 1  x ln x. f   x   1  2 ln x  . f  x   x3  f   x   1  2 ln x x2  f  x  x ln x ln x 2 . 1  2 ln x . Ta tìm một nguyên hàm G  x  của g  x  . x ln x 1  2ln x 1  2 ln x  1  dx   d  ln x      2  d  ln x  Ta có  g  x  dx   x ln x ln x  ln x  Đặt g  x    ln x   ln  ln x   2ln x  C  ln  2   C .  x   ln x  Ta chọn G  x   ln  2  .  x  ln x ln x 1  2 ln x Nhân cả 2 vế của  2  cho eG  x   2 , ta được: 2  f   x    f  x  1 x x x3 ln x  ln x    2  f  x    1  2  f  x   x  C  3 . x  x   e   3e nên thay x  3 Theo giả thiết, f ln  e.f 3 3 e 2  e  3 3 e C  C  Từ đây, ta tìm được f  x   Câu 36. 1 3 3 e2 3 e vào  3 , ta được:  3e  3 e  0 . x3 23  23  .Vậy f  2    ;12  .  f  2  ln x ln 2  2  (Chuyên Nguyễn Du-ĐăkLăk 2019) Cho hàm số f  x  có đạo hàm trên  thỏa mãn 3 f   x  .e f 3  x   x2 1  2x  0 với  x   . Biết f  0   1 , tính tích phân 2 f  x 11 A. . 2 15 B. . 4 45 C. . 8 Lời giải 7  x. f  x  dx . 0 D. 9 . 2 Chọn C Ta có 3 f   x  .e f 3  x   x2 1   3 f 2  x  . f   x  .e f 3   x 3 2 2x  0  3 f 2  x  . f   x  .e f  x   2 x.e x 1 f  x 2 2 dx   2 x.e x 1dx   e f 3  x 2 d  f 3  x     e x 1d  x 2  1  e f 3  x  ex 2 1 C . Mặt khác, vì f  0   1 nên C  0 . Do đó e f 3  x  ex 2 1  f 3  x   x2  1  f  x   3 x 2  1 . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 17 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 7 Vậy  7 x. f  x  dx  0 Câu 37.  x. 3 x 2  1 dx  0 1 2 7  7 3 45 . x 2  1 d  x 2  1   x 2  1 3 x 2  1     8 8 0 3 0 (SP Đồng Nai – 2019) Cho hàm số y  f  x  liên tục và không âm trên  thỏa mãn f  x  . f   x   2 x f 2  x   1 và f  0   0 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y  f  x  trên đoạn 1;3 . Biết rằng giá trị của biểu thức P  2M  m có dạng a 11  b 3  c ,  a , b , c    . Tính a  b  c A. a  b  c  7 . B. a  b  c  4 . C. a  b  c  6 . D. a  b  c  5 . Lời giải Chọn A Ta có: f  x  . f   x   2 x f 2  x   1  f  x . f   x f 2  x 1  2x   f  x . f   x  f 2  x 1 dx   2 xdx f 2  x   1  x2  C .  2 f 2  x   1  x 2  1  f 2  x    x 2  1  1  x 4  2 x 2 Mà f  0   0  C  1   f  x   x 4  2 x 2 (do f  x   0, x   ). Ta có: f   x   2 x3  2 x x4  2 x2  0, x  1;3  max f  x   f  3  3 11; min f  x   f 1  3 . 1;3 1;3 Ta có: P  2 M  m  6 11  3  a  6; b  1; c  0  a  b  c  7 . Câu 38. Cho hàm số y  f  x liên tục trên  1;0 thỏa mãn f 1  2ln 2  1 , x  x  1 f   x    x  2  f  x   x  x  1 , x   1;0 . Biết f  2   a  b ln 3 , với a, b là hai số hữu tỉ. Tính T  a 2  b . A. T  21 . 16 B. T  3 . 2 C. T  0 . D. T   Lời giải Chọn D Ta có: x  x  1 f   x    x  2  f  x   x  x  1 , x   1;0 .  x2 x2  2x x2 , x   1;0 . f  x  f x    2 x 1  x  1  x  1  x2  x2  f  x   , x   1;0 .  x 1  x 1  x2 x2 dx  f  x   C  , x   1;0 . x 1 x 1 1  x2     x 1 d x  f  x   C  , x   1;0 .  x 1  x 1   x2 x2  x  ln x  1  C   f  x   C . 2 x 1  x2 x2  x  ln x  1  C  f  x  , x   1;0 . 2 x 1 Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 3 . 16 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Ta có: f 1  2ln 2  1 và f 1  1  2ln 2  2C  C  1 . x2 x2  x  ln x  1  1  f  x . 2 x 1 3 3 3 3 9 3 3  f  2    .ln 3 và f  2  a  b ln 3  a  , b   T  a2  b    . 4 4 4 4 16 4 16  Câu 39. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  0;    thỏa mãn 3x. f  x   x 2 . f   x   2 f 2  x  , với 1 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của 3 hàm số y  f  x  trên đoạn 1; 2 . Tính M  m . f  x   0, x   0;    và f 1  A. 9 . 10 B. 21 . 10 5 . 3 Lời giải C. D. 7 . 3 Chọn C Ta có: 3x. f  x   x 2 . f   x   2 f 2  x   3x 2 . f  x   x3 . f   x   2 x. f 2  x   3 x 2 . f  x   x3 . f   x  f 2  x  2 x vì f  x   0, x   0;    .  x 3  x3    2 x    2 xdx  x 2  C .  f  x  f  x  Mà f 1  1 x3  C  2  f  x  2 . 3 x 2 Ta có: f  x   x3 x4  6×2   f x   0, x   0;    .   2 x2  2  x2  2 Vậy, hàm số f  x   x3 đồng biến trên khoảng  0;    . x2  2 Mà 1;2   0;    nên hàm số f  x   x3 đồng biến trên đoạn 1; 2 . x2  2 4 1 5 Suy ra, M  f  2   ; m  f 1   M  m  . 3 3 3 Dạng 2. Một số bài toán khác liên quan đến nguyên hàm Câu 1. 2   (Chuyên Thái Nguyên 2019) Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   e x x3  4x . Hàm số F  x 2  x  có bao nhiêu điểm cực trị? A. 6 . B. 5 . C. 3 . Lời giải D. 4 . Ta có F   x   f  x  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 19 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489          F  x 2  x  f x 2  x . x 2  x   2x  1 x 2  x e   2x  1 x  x  1 e 2 2  x  x   4 2 2 2  x  x x2  x  2 x2  x  2    2     2x  1 x  x  1 x  2  x  1 x 2  x  2 e   x  x   2  x  x   0  x   2; 1; 1 ;0;1   2 2    F  x 2  x  0 có 5 nghiệm đơn nên F x 2  x có 5 điểm cực trị. 1  cos x   sin x  cot x  dx và S 2 Câu 2. (THCS – THPT Nguyễn Khuyến 2019) Cho F  x    sin 4 x là tổng   tất cả các nghiệm của phương trình F  x   F   trên khoảng  0;4  . Tổng S thuộc khoảng 2 A.  6 ;9  . B.  2 ;4  . C.  4 ;6  . D.  0;2  . Lời giải Chọn 1  cos x   sin x  cot x  dx  1  cos x  sin x dx  1  cos x  cot x dx  sin x  sin x sin x 1  cos x  cot x dx và B  1  cos x  sin x dx A  sin x sin x 2 2 Ta có: F  x    4 4 2 Gọi 2 4 2 4 4 Ta có: 1  cos x  cot x dx  1  2 cot x  cot x dx   cot x  2 cot x .d cot x      sin x sin x 2 A 2 3 4 2  cot 2 x cot 4 x       C1. 2   2 1  cos x  sin x dx  1  cos x  sin x dx B  1  cos x sin x   2 2 4 2 2 Đặt t  cos x , suy ra dt   sin x.dx . Khi đó: B   1 t2 t 2  1 2 dt    1 t2 2  t  1 .  t  1 2 dt   1  1 1  1 1 1   dt       C2 2 2  2   t  1  t  1  2  t 1 t  1  1 1 1       C2 2  cos x  1 cos x  1  Do đó: 1 1 1   cot 2 x cot 4 x  F  x  A  B     C  2  cos x  1 cos x  1   2 2  Suy ra: 1 1 1   cot 2 x cot 4 x    F  x  F       C  C  2  cos x  1 cos x  1   2 2  2  1 1   cot 2 x  cot 4 x  0 cos x  1 cos x  1 2 cos x cos 2 x cos 4 x   0 sin 2 x sin 2 x sin 4 x Với điều kiện sin x  0 ,  Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 cos x  0 cos x  0 3  *    cos x 2 2 3 2  cos x   0  2 1  cos x   cos x 1  cos x   cos x  0 2  sin x cos x  0 cos x  0   2 cos x  1  17  2 cos x  cos x  2  0   4  3  3 Theo giả thiết x   0;4  nên x  ; x  ; x   2 ; x   2 ; 2 2 2 2 x   ; x    2 ; x   ; x    2 . Khi đó tổng các nghiệm này sẽ lớn hơn 9 . Câu 3. (Chuyên Quốc Học Huế 2019) Cho hàm số F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  2cos x  1 trên khoảng  0;   . Biết rằng giá trị lớn nhất của F  x  trên khoảng  0;   là sin 2 x 3 . Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.   A. F    3 3  4 6  2 B. F   3 3    2   C. F     3 3 Lời giải  5 D. F   6    3 3  Ta có: 2cos x  1 cos x 1 dx  2 2 dx   2 dx 2 sin x sin x sin x d  sin x  1 2  2   2 dx    cot x  C 2 sin x sin x sin x  f  x  dx   Do F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   F  x  có công thức dạng F  x    2cos x  1 trên khoảng  0;   nên hàm số sin 2 x 2  cot x  C với mọi x   0;   . sin x 2  cot x  C xác định và liên tục trên  0;   . sin x 2cos x  1 F ‘ x  f  x  sin 2 x 2cos x  1 1   0  cos x   x    k 2  k   . Xét F ‘  x   0  2 sin x 2 3 Xét hàm số F  x    Trên khoảng  0;   , phương trình F ‘  x   0 có một nghiệm x   3 Bảng biến thiên: Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 21 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489   max F  x   F     3  C 0;    3 Theo đề bài ta có,  3  C  3  C  2 3 . 2  cot x  2 3 . Do đó, F  x    sin x Câu 4. Biết F  x là nguyên hàm của hàm số f  x  x cos x  sin x . Hỏi đồ thị của hàm số y  F  x có x2 bao nhiêu điểm cực trị trên khoảng 0; 4  ? A. 2 . C. 3 . Lời giải B. 1. D. 0 . Chọn C Ta có F ‘ x  f  x   F ‘ x   f  x   x cos x  sin x trên 0; 4  . x2 x cos x  sin x  0  x cos x  sin x  0 trên 0; 4  . x2 Đặt g  x  x cos x  sin x trên 0; 4  . x    Ta có g ‘ x  x.sin x  0   x  2 trên 0; 4  .   x  3  Từ đó có bảng biến thiên của g  x  : x – g'(x) g(x) x1 π 0 0 + 2π x2 3π 0 – 0 x3 4π + 4π 2π 0 0 -π 0 0 -3π Vì g  x  liên tục và đồng biến trên  ; 2  và g  .g  2   0 nên tồn tại duy nhất x1   ; 2  sao cho g  x1   0 . Tương tự ta có g  x2   0 , g  x3   0 với x2   2 ;3  , x3  3 ; 4  . Từ bảng biến thiên của g  x  ta thấy g  x  0 khi x  0; x1  và x   x2 ; x3  ; g  x  0 khi x   x1 ; x2  và x   x3 ;4  . Dấu của f  x là dấu của g  x trên 0;4  . Do đó ta có bảng biến thiên của F  x : Trang 22 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 x x2 x1 0 0 – f(x) + 0 x3 – 0 4π + CĐ F(x) CT CT Vậy hàm số y  F  x có ba cực trị. Câu 5. (Chuyên – Vĩnh Phúc – 2019) Biết F  x  là nguyên hàm của hàm số f  x   x  cos x . Hỏi đồ x2 thị của hàm số y  F  x  có bao nhiêu điểm cực trị? A. 1. B. 2. C. vô số điểm. Lời giải D. 0. Chọn A Vì  F  x    f  x  nên ta xét sự đổi dấu của hàm số f  x  để tìm cực trị hàm số đã cho. Ta xét hàm số g  x   x  cos x , ta có g   x   1  sin x  0 x . Vì vậy g  x  là hàm số đồng biến trên toàn trục số.     g  2   2  0       Hơn nữa ta có  , do đó g  x   0 có duy nhất nghiệm     ;  .  2 2 g         0   2  2 Ta có bảng xét dấu Kết luận hàm số đã cho có một cực trị. Câu 6. (Chuyên Lê Quý Đôn – Điện Biên 2019) Cho hàm số y  f  x  . Đồ thị của hàm số y  f ‘  x  trên  5;3 như hình vẽ (phần cong của đồ thị là một phần của parabol y  ax2  bx  c ). Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 23 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Biết f  0  0 , giá trị của 2 f  5  3 f  2  bằng A. 33. B. 109 . 3 C. 35 . 3 D. 11. Lời giải Chon C *)Parabol y  ax2  bx  c qua các điểm  2;3 , 1;4 ,  0;3 ,  1;0 ,  3;0 nên xác định được y  x2  2x  3, x  1 suy ra f  x    f  0  0  C1  0, f  x    x3 2  x  3x  C1 . Mà 3 x3 2  x  3x . 3 5 22 ; f 2  (1) 3 3 Có f   1   *)Đồ thị f ‘ x trên đoạn  4; 1 qua các điểm  4;2 ,  1;0 nên f ‘ x    2 2  x 2  x  1  f  x     x   C2 . 3 3  2  Mà f   1    5 5 2 1 2  x 2 14 .  C 2        2  f  x    x   2 , hay f  4    3 3 3 3 2 3  2  *) Đồ thị f ‘ x trên đoạn  5; 4 qua các điểm  4;2 ,  5; 1 nên f ‘  x   3x 14  f  x   3×2 14x  C3 . 2 2 Mà f  4   3.  4  14 14 82   14.  4   C3  suy ra C 3  . 3 2 3 3 Ta có f  x   3×2 82 31 14x   f  5   (2). 2 3 6 Từ (1) và (2) ta được 2 f   5   3 f  2    Câu 7. 31 35 .  22  3 3 f  x  4 x 2  3 x và x f 1  2 . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f  x  tại điểm có hoành độ x  2 là Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên  0;   thỏa mãn f   x   A. y  16 x  20 . B. y  16 x  20 . C. y  16 x  20 . D. y  16 x  20 . Lời giải Trang 24 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Chọn B f  x  f  x  4 x 2  3 x  xf   x   f  x   4 x3  3 x 2 . x   Lấy nguyên hàm hai vế ta được: xf  x    4 x3  3x 2 dx  x 4  x3  C . Với x  1 ta có: f 1  2  C . Theo bài ra f 1  2  2  C  2  C  0 . Vậy xf  x   x 4  x3  f  x   x3  x 2 . Ta có: f   x   3x 2  2 x ; f   2   16 ; f  2   12 . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f  x  tại điểm có hoành độ x  2 là: y  16  x  2   12  y  16 x  20 . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 25 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 TÍCH PHÂN Chuyên đề 26 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH MỨC 5-6 ĐIỂM Dạng. Sử dụng tính chất, bảng nguyên hàm cơ bản để tính tích phân 1.Định nghĩa: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên K ; a, b là hai phần tử bất kì thuộc K , F  x  là một nguyên hàm của f  x  trên K . Hiệu số F  b   F  a  gọi là tích phân của của f  x  từ a b  f  x  dx  F  x  đến b và được kí hiệu: b a  F b  F  a  . a 2. Các tính chất của tích phân: a   b f  x  dx  0 a a  a b  a b b a b  f  x  dx   f  x  dx b b    f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx c a b  f  x dx   f  x dx   f  x  dx a a c b   k . f  x  dx  k . f  x  dx a  Nếu f  x   g  x  x   a; b  thì a b b  f  x  dx   g  x  dx . a a Bảng nguyên hàm của một số hàm thường gặp   x .dx  x 1 C  1  1 1  ax  b     ax  b  dx  a .   1  C 1 1  ax  b dx  a .ln ax  b  C 1 1 1   ax  b 2 dx   a . ax  b  C 1  x dx  ln x  C 1 x 2 1 dx    C x 1  sin x.dx   cos x  C  sin  ax  b .dx   a .cos  ax  b   C  cosx.dx  sin x  C  cos  ax  b  .dx  a .sin  ax  b   C 1  sin 2 x 2 1 1 .dx   cot x  C  sin  ax  b .dx   a .cot  ax  b   C .dx  tan x  C  cos  ax  b .dx  a . tan  ax  b   C 1  cos 1 x x  e .dx  e x  a .dx  x 2 1 1 2 1 .dx  .eax b  C a dx 1 xa  x 2  a 2  2a ln x  a  C C e ax C ln a ax  b  Nhận xét. Khi thay x bằng  ax  b  thì lấy nguyên hàm nhân kết quả thêm 2 Câu 1. (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Nếu  3 f  x  dx  2 và 1 A. 3 . B.  1 . 1 . a  2 C. 1. 3 f  x  dx  1 thì  f  x  dx bằng 1 D. 3 . Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Câu 2. (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Nếu 1 1  f  x  dx  4 thì  2 f  x  dx bằng 0 A. 16 . B. 4 . 0 3 Câu 3. (Mã 101 – 2020 Lần 1) Biết 3  f  x  dx  3 . Giá trị của  2 f  x  dx bằng 1 A. 5 . Câu 4. D. 8 . C. 2 . B. 9 . 1 C. 6 . 3 . 2 D. (Mã 101 – 2020 Lần 1) Biết F  x   x 2 là một nguyên hàm của hàm số f  x  trên  . Giá trị của 2  2  f  x  dx bằng 1 A. 5 . B. 3 . C. 13 . 3 5 Câu 5. (Mã 102 – 2020 Lần 1) Biết  5 f  x  dx  4 . Giá trị của  3 f  x  dx bằng 1 A. 7 . Câu 6. B. 4 . 3 7 . 3 D. 1 D. 12 . C. 64 . (Mã 102 – 2020 Lần 1) Biết F  x   x3 là một nguyên hàm của hàm số f  x  trên  . Giá trị của 2   2  f ( x)  dx bằng 1 A. 23 . 4 B. 7 . C. 9 . 2 Câu 7. (Mã 103 – 2020 Lần 1) Biết  f  x  dx  2 . Giá trị của  3 f  x  dx Câu 8. B. 6 . 15 . 4 3 1 A. 5 . D. bằng 1 C. 2 . 3 D. 8 . (Mã 103 – 2020 Lần 1) Biết F ( x)  x3 là một nguyên hàm của hàm số f ( x) trên  . Giá trị của 3  (1  f ( x))dx bằng 1 A. 20. B. 22. C. 26. 3 Câu 9. (Mã 104 – 2020 Lần 1) Biết 3  f  x  dx  6. Giá trị của  2 f  x  dx bằng. 2 A. 36 . Câu 10. D. 28. B. 3 . 2 C. 12 . D. 8 . 2 (Mã 104 – 2020 Lần 1) Biết F  x   x là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên  . Giá trị 3 của  1  f ( x) dx bằng 1 A. 10 . B. 8 . C. 26 . 3 D. Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 32 . 3 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 3 Câu 11. 3 3 (Mã 101 – 2020 Lần 2) Biết  f  x dx  4 và  g  x dx  1 . Khi đó: 2 A. 3 . 2 0 B. 4 . (Mã 102 – 2020 Lần 2) Biết 0 3  f  x  dx  3 và  g  x  dx  1 . Khi đó   f  x   g  x dx 2 B. 2 . (Mã 102 – 2020 Lần 2) Biết C. 2 .   f  x   2 x dx  3 . Khi đó  f  x  dx bằng 0 B. 5 . C. 3 . 2 Câu 15. (Mã 103 – 2020 Lần 2) Biết Câu 16. A. 3 . 1 1 1 0 0 C. 6 .  2  g ( x)dx  3. Khi đó  [ f ( x)  g ( x)]dx bằng 1 B. 5 . 1 1 (Mã 104 – 2020 Lần 2) Biết   f  x   2 x dx  5 . Khi đó 0 A. 7 . B. 3 . (Mã 103 – 2019) Biết 2 1 1 B. 4 . C. 4 . 1 (Mã 102 – 2019) Biết tích phân  f  x  dx  3 và 0 bằng A. 7 . A. 6 .  1 0 f ( x)dx  2 và (Mã 101 2019) Biết  f  x dx  2 và 0 A.  1 .  1   f  x   g  x  dx 0   f ( x)  g ( x) dx bằng C.  2 . D. 2 . 1 0 1 1  g  x dx  3 , khi đó   f  x   g  x dx bằng 0 0 C. 5 .  0 0 g ( x)dx  4 , khi đó B. 1. (Đề Tham Khảo 2019) Cho 1  g  x  dx  4 . Khi đó D. 1 . 1 Câu 23. 1 C.  1 . B. 6 . 1 Câu 22. D. 8 . 0 B. 7 . (Mã 104 – 2019) Biết D. 4 .  f  x dx  2 và  g  x dx  6 , khi đó   f  x   g  x  dx bằng 1 Câu 21. 0 2 A. 8 . Câu 20.  f  x  dx bằng C. 5 . 2 Câu 19. D. 6 . C.  1 . 1 Câu 18. D. 4 . 2 f ( x)dx  2 và 1 A. 1 . D.  1 .   f  x   2 x  dx  4 . Khi đó  f  x  dx bằng B. 2 . (Mã 104 – 2020 Lần 2) Biết 1 C. 5 . 2 Câu 17. 2  f  x dx  3 và  g  x dx  2 . Khi đó   f  x   g  x  dx bằng? B. 1 . (Mã 103 – 2020 Lần 2) Biết D. 2 . 2 1 A. 6 . D. 3 . 1 0 A. 1 . bằng 2 1 Câu 14. D. 0 . 3 2 A. 4 .  f  x dx bằng : C. 2 . 3 Câu 13. D. 5 . 1 (Mã 101 – 2020 Lần 2) Biết   f  x   2x dx=2 . Khi đó A. 1. bằng: 2 C. 4 . B. 3 . 1 Câu 12.  f  x   g  x dx f  x  dx  2 và D. 5 . 1 1  g  x  dx  5 , khi   f  x   2 g  x  dx 0 0 bằng Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 A. 8 Câu 24. C. 3 B. 1 D. 12 (THPT Ba Đình 2019) Khẳng định nào trong các khẳng định sau đúng với mọi hàm f , g liên tục trên K và a , b là các số bất kỳ thuộc K ? b b A. b b b   f ( x)  2 g ( x)dx   f ( x)dx +2  g ( x)dx . a a  B. a a f ( x) dx  g ( x)  f ( x)dx a b .  g ( x)dx a b C. b b b   f ( x).g ( x)dx   f ( x)dx .  g ( x)dx . a a a 2 Câu 25. (THPT Cẩm Giàng 2 2019) Cho 4 f  x  dx  1 ,  2 A. I  5 . Câu 26. (THPT Cù Huy Cận -2019) Cho  4 f  t  dt  4 . Tính 2 B. I  3 . bằng A. 16 .  D. a 2 b  f ( x )dx =   f ( x )dx  . a  2 2 C. I  3 . 2 2 2 0 0 0 C. 24 . D. 10 . B. 18 . (THPT – YÊN Định Thanh Hóa2019) Cho  B. 4.   f ( x) dx 1 C. 6. (THPT Quỳnh Lưu 3 Nghệ An 2019) Cho D. 5. 3 3  f  x  dx  3 và  f  x  dx  4 . Khi đó  f  x  dx 1 bằng A. 12. 3 f ( x) dx  5 . Tính 0 2 Câu 28.  f  x   3 g  x  dx 3 f ( x) dx  1 ; 0 A. 1. D. I  5 .  f  x  dx  3 và  g  x  dx  7 , khi đó  1 Câu 27.  f  y  dy . B. 7. 2 C. 1. 1 D. 12 . 2 Câu 29. Cho hàm số f  x  liên tục, có đạo hàm trên  1;2 , f  1  8;f  2   1 . Tích phân  f ‘  x dx 1 bằng A. 1. Câu 30. B. 7. (Sở Thanh 2  0 Hóa – 2019) 4 C. 9. Cho hàm số D. 9. f  x liên tục R trên và có 4 f ( x)dx  9;  f ( x)dx  4. Tính I   f ( x)dx. 2 0 A. I  5 . 0 Câu 31. Cho 3 D. I  13 . 3  f  x  dx  3 f  x  dx  3. Tích phân  f  x  dx bằng 1 A. 6 9 C. I  . 4 B. I  36 . 0 1 B. 4 C. 2 D. 0 4 Câu 32. (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Cho hàm số f  x  liên tục trên  và  f  x  dx  10 , 0 4 3  f  x  dx  4 . Tích phân  f  x  dx bằng 3 0 Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 B. 7 . A. 4 . Câu 33. C. 3 . D. 6 . (THPT Hoàng Hoa Thám Hưng Yên 2019) Nếu F   x   1 và F 1  1 thì giá trị của 2x 1 F  4  bằng 1 B. 1  ln 7. 2 A. ln 7. Câu 34. C. ln 3. D. 1  ln 7. (THPT Đoàn Thượng – Hải Dương -2019) Cho hàm số f  x liên tục trên  thoả mãn 8  12 f  x  dx  9 , 1  8 f  x  dx  3 ,  f  x  dx  5 . 4 4 12 Tính I   f  x  dx . 1 A. I  17 . Câu 35. B. I  1 . D. I  7 . C. I  11 . (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Cho hàm số f  x  liên tục trên  0;10 thỏa mãn 6 10 2 10  f  x  dx  7 ,  f  x  dx  3 . Tính P   f  x  dx   f  x  dx . 2 0 0 B. P  4 . A. P  10 . Câu 36. 6 C. P  7 . D. P  6 . (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Cho f , g là hai hàm liên tục trên đoạn 1;3 thoả: 3 3 3   f  x   3g  x dx  10 ,  2 f  x   g  x dx  6 . Tính   f  x   g  x  dx . 1 1 A. 7. 1 B. 6. C. 8. D. 9. 10 Câu 37. (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Cho hàm số f  x  liên tục trên đoạn  0;10 và  f  x  dx  7 ; 0 2 6 10  f  x  dx  3 . Tính P   f  x  dx   f  x  dx . 0 2 A. P  4 6 B. P  10 D. P  4 C. P  7 3 Câu 38. Cho f , g là hai hàm số liên tục trên 1;3 thỏa mãn điều kiện   f  x   3g  x dx=10 đồng thời 1 3 3  2 f  x   g  x dx=6 . Tính   f  x   g  x dx . 1 1 A. 9 . Câu 39. B. 6 . C. 7 . (THPT Đông Sơn Thanh Hóa 2019) Cho 3 3 thỏa:   f  x   3g  x   dx  10 và 1 1 B. 7. C. 9. 0 A. I  7 D. 6.  2  1;3 3  (Mã 104 2017) Cho là hai hàm liên tục trên  2 f  x   g  x  dx  6 . Tính I    f  x   g  x  dx . 1 A. 8. Câu 40. f, g D. 8 . 2 f  x  dx  5 . Tính I    f  x   2sin x  dx  5 . 0 B. I  5   2 C. I  3 D. I  5   Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 2 Câu 41. (Mã 110 2017) Cho  2 f  x  dx  2 và 1 A. I  17 2 2  g  x  dx  1 . Tính I    x  2 f  x   3g  x  dx . 1 B. I  1 5 2 C. I  7 2 5 Câu 42. 11 2 D. I  (THPT Hàm Rồng Thanh Hóa 2019) Cho hai tích phân  2 f  x  dx  8 và  g  x  dx  3 . Tính 2 5 5   f  x   4 g  x   1 dx I 2 A. 13 . B. 27 . 2 Câu 43. (Sở Bình Phước 2019) Cho  2 f ( x)dx  2 và 1 bằng 5 A. 2 (Sở Phú Thọ 2019) Cho  2   x  2 f ( x)  3g ( x) dx 1 D. 11 2 2 f  x  dx  3 ,  g  x  dx  1 thì 0 0   f  x   5 g  x   x  dx bằng: 0 B. 0 . A. 12 . 17 2 C. 2 Câu 44. 2  g ( x)dx  1 , khi đó 1 7 2 B. D. 3 . C.  11 . C. 8 . D. 10 5 Câu 45. 5  f  x  dx  2 . Tích phân   4 f  x   3x (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Cho 0 bằng A. 140 . Câu 46. B. 130 . B. 3 . A. 1 . 1 Câu 47. Cho  D. 133 . 2 2   4 f  x   2 x  dx  1 . Khi đó  f  x dx bằng: 1 1 C. 3 . D. 1 . 1 f  x  dx  1 tích phân 0   2 f  x   3x  dx 2 bằng 0 B. 0 . A. 1. C. 3 . D.  1 . 0 Câu 48. (THPT Yên Phong 1 Bắc Ninh 2019) Tính tích phân I    2 x  1 dx . 1 B. I  1 . A. I  0 . C. I  2 . D. I   C. 5 . D. 6 . 1 Câu 49. Tích phân   3x  1 x  3 dx bằng 0 A. 12 . B. 9 .  2 Câu 50. (KTNL GV Thpt Lý Thái Tổ -2019) Giá trị của  sin xdx bằng 0 A. 0. B. 1.  dx 0 C. 120 . (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định -2019) Cho 2 C. -1. D. Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/  2 . 1 . 2 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 2 Câu 51. (KTNL GV Bắc Giang 2019) Tính tích phân I  (2 x  1) dx  0 A. I  5 . C. I  2 . B. I  6 . D. I  4 . b Câu 52. Với a, b là các tham số thực. Giá trị tích phân   3x 2  2ax  1 dx bằng 0 A. b3  b 2 a  b . B. b3  b2 a  b . C. b3  ba 2  b . D. 3b2  2ab  1 .  4 Câu 53. (THPT An Lão Hải Phòng 2019) Giả sử I   sin 3xdx  a  b 0 a  b là 1 A.  6 Câu 54. 1 6 B.  C.  2 2 3 10  a, b    . Khi đó giá trị của D. 1 5 (Chuyên Nguyễn Tất Thành Yên Bái 2019) Cho hàm số f  x  liên tục trên  và 2 2   f  x   3x  dx  10 . Tính  f  x  dx . 2 0 0 A. 2 . C. 18 . B.  2 . D. 18 . m Câu 55. (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Cho   3x 2  2 x  1dx  6 . Giá trị của tham số m thuộc 0 khoảng nào sau đây? A.  1; 2  . B.  ;0  . 2 Câu 56. (Mã 104 2018) dx  2x  3 C.  0; 4  . D.  3;1 . bằng 1 A. 1 ln 35 2 2 Câu 57. (Mã 103 2018) 7 5 C. 1 7 ln 2 5 D. 2 ln 1 ln 2 3 C. 2 ln 2 3 D. ln 2 B. ln dx  3x  2 7 5 bằng 1 A. 2 ln 2 B. 2 Câu 58. (Đề Tham Khảo 2018) Tích phân dx  x3 bằng 0 A. 2 15 B. 1 Câu 59. (Mã 105 2017) Cho  1 16 225 C. log 5 3 1    x  1  x  2  dx  a ln 2  b ln 3 D. ln 5 3 với a, b là các số nguyên. Mệnh đề nào 0 dưới đây đúng? A. a  2b  0 B. a  b  2 C. a  2b  0 D. a  b  2 e Câu 60. 1 1  (THPT An Lão Hải Phòng 2019) Tính tích phân I     2 dx x x  1 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 7 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 A. I  1 e B. I  1 1 e D. I  e C. I  1 3 Câu 61. (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Tính tích phân I   0 A. I   21 . 100 5 B. I  ln . 2 5 C. I  log . 2 2 Câu 62. (THPT Đoàn Thượng – Hải Dương – 2019) dx . x2 dx  3x  2 D. I  4581 . 5000 bằng 1 A. 2 ln 2 . B. 2 Câu 63. Tính tích phân I   1 Câu 64. Biết  1 B. I  D. 7 . 4 C. I  1  ln 2 . D. I  2 ln 2 . x2 dx  a  b ln c, với a , b, c  , c  9. Tính tổng S  a  b  c. x A. S  7 . Câu 65. B. S  5 . C. S  8 . D. S  6 . (Mã 110 2017) Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   A. I  1 ln 2 . 3 C. ln 2 . x 1 dx . x A. I  1  ln 2 . 3 2 ln 2 . 3 1 2 B. I  1 e ln x . Tính: I  F  e   F 1 ? x D. I  e C. I  1 1 Câu 66. (Mã 102 2018)  e3 x1dx bằng 0 A. 1 4 e  e 3 B. e3  e C. 1 4 e  e 3 D. e 4  e C. 1 5 2 e e 3 D. e 5  e 2 2 Câu 67. (Mã 101 2018)  e3 x 1dx bằng 1 A. 1 5 2 e  e  3 B. 1 5 2 e  e  3 6 Câu 68. (Mã 123 2017) Cho 2  f ( x)dx  12 . Tính I   f (3x)dx. 0 A. I  5 0 B. I  36 C. I  4 D. I  6 1 Câu 69. (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Tích phân I   0 A. ln 2  1 . B.  ln 2 . C. ln 2 . D. 1  ln 2 . 3 Câu 70. (THPT Hoàng Hoa Thám Hưng Yên -2019) Tính K   2 A. K  ln 2 . 1 8 B. K  ln . 2 3 1 dx có giá trị bằng x 1 x dx . x 1 2 C. K  2 ln 2 . 8 D. K  ln . 3 Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 TÍCH PHÂN- PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN Chuyên đề 26 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ MỨC 7-8 ĐIỂM Dạng 1. Tích phân cơ bản có điều kiện 1.Định nghĩa: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên K ; a, b là hai phần tử bất kì thuộc K , F  x  là một nguyên hàm của f  x  trên K . Hiệu số F  b   F  a  gọi là tích phân của của f  x  từ a b  f  x  dx  F  x  đến b và được kí hiệu: b a  F b  F  a  . a 2. Các tính chất của tích phân: a   b f  x  dx  0 a a  a b b  f  x  dx   f  x  dx b b  a b a c a b  f  x dx   f  x dx   f  x  dx a a c b b   k . f  x  dx  k . f  x  dx a b    f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx  Nếu f  x   g  x  x   a; b  thì a b  f  x  dx   g  x  dx . a a Bảng nguyên hàm của một số hàm thường gặp x  .dx  x  1  1  1 C 1  x dx  ln x  C 1 x 2 1 dx    C x 1  ax  b    ax  b  dx  a .   1  C 1 1  ax  b dx  a .ln ax  b  C 1 1 1   ax  b 2 dx   a . ax  b  C  1  sin x.dx   cos x  C  sin  ax  b .dx   a .cos  ax  b   C  cosx.dx  sin x  C  cos  ax  b  .dx  a .sin  ax  b   C 1  sin 2 x 2 1 1 .dx   cot x  C  sin  ax  b .dx   a .cot  ax  b   C .dx  tan x  C  cos  ax  b .dx  a .tan  ax  b   C 1  cos 1 x x  e .dx  e x  a .dx  x C ax C ln a 2 1 1 2 1 .dx  .eax b  C a dx 1 xa  x 2  a 2  2a ln x  a  C e ax  b  Nhận xét. Khi thay x bằng  ax  b  thì lấy nguyên hàm nhân kết quả thêm 1 . a Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Câu 1. (Kinh Môn – Hải Dương 2019) Cho F  x  là một nguyên hàm của f  x   2 . Biết x2 F  1  0 . Tính F  2  kết quả là. A. ln 8  1 . Câu 2. C. 2ln 3  2 . B. 4 ln 2  1 . D. 2 ln 4 . (Mã 103 – 2019) Cho hàm số f  x  . Biết f  0   4 và f ‘  x   2sin 2 x  1, x   , khi đó  4  f  x  dx bằng 0 A. Câu 3.  2  16  4 16 . B. 2 4 16 .  2  15 C. 16 . D.  2  16  16 16 . (Mã 104 – 2019) Cho hàm số f  x  . Biết f  0  4 và f   x   2sin 2 x  3 , x  R , khi đó  4  f  x  dx bằng 0 A. Câu 4. 2 2 8 . B.  2  8  8 8 .  2  8  2 C. 8 . D. 3 2  2  3 . 8 (Mã 102 – 2019) Cho hàm số f ( x) .Biết f (0)  4 và f ( x)  2cos2 x  3, x  , khi đó  4  f ( x)dx bằng? 0 A.  2  8  8 8 . B.  2  8  2 8 .  2  6  8 C. 8 1 Câu 5. Biết rằng hàm số f  x   mx  n thỏa mãn Biết rằng hàm số f  x   ax  bx  c thỏa mãn C. m  n  2 .  0 3 A.  . 4 Câu 7. 4 B.  . 3 . 0 1 Câu 6. 8  f  x  dx  3 ,  f  x  dx  8 . Khẳng định nào dưới đây B. m  n  4 . 2 D. 2 0 là đúng? A. m  n  4 . . 2 2 7 f  x  dx   , 2 4 . 3 C. D. m  n  2 . 2  f  x  dx  2 và 0 D. 3 . 4 (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Có hai giá trị của số thực a là a1 , a2 ( 0  a1  a2 ) thỏa a mãn a1   2 x  3 dx  0 . Hãy tính T  3 1 A. T  26 . B. T  12 . a   3a2  log 2  2  .  a1  C. T  13 . D. T  28 . m Câu 8. (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Cho   3x 2  2 x  1 dx  6 . Giá trị của tham số m 0 thuộc khoảng nào sau đây? A.  1; 2  . B.   ;0  . C.  0; 4  . D.  3;1 . Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 1 Câu 9. (Thi thử Lômônôxốp – Hà Nội 2019) Cho I    4 x  2 m 2  dx . Có bao nhiêu giá trị nguyên của 0 m để I  6  0 ? A. 1. Câu 10. B. 5. C. 2. D. 3. (Sở GD Kon Tum – 2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của a để a   2 x  3  dx  4 ? 0 A. 5 . B. 6 . C. 4 . D. 3 . Câu 11. (THPT Lương Thế Vinh – HN 2018).Có bao nhiêu số thực b thuộc khoảng   ;3  sao cho b  4 cos 2 xdx  1 ?  A. 8. Câu 12. B. 2. C. 4. D. 6. (Cần Thơ – 2018) Cho hàm số f  x  xác định trên  2; 2 thỏa mãn f   x   4 , x 4 2 f  3  f  3  f  1  f 1  2 . Giá trị biểu thức f  4   f  0   f  4  bằng A. 4 . D. 3 . C. 2 . B. 1. 4 Câu 13. (Chuyên Lương Thế Vinh – Đồng Nai – 2018) Biết  1 là các số nguyên. Tính T  a  b  c A. T  3 . B. T  3 . Câu 14. 1 x  ex  dx  a  eb  ec với a , b , c 2x 4x xe C. T  4 . D. T  5 . (Sở Bạc Liêu – 2018) Cho hàm số f  x  xác định trên  0 thỏa mãn f   x   x 1 , x2 3 3 và f  2   2 ln 2  . Giá trị của biểu thức f  1  f  4  bằng 2 2 6 ln 2  3 6 ln 2  3 8 ln 2  3 8 ln 2  3 A. . B. . C. . D. . 4 4 4 4 f  2   Câu 15. (Chuyên Lương Văn Chánh – Phú Yên – 2020) Cho hàm số f (0)  4 f ( x ) có π 4 và f ( x)  2 cos 2 x  1, x   Khi đó  f ( x) dx bằng. 0 A. Câu 16.  2  16  16 16 . B. 2 4 16 . C.  2  14 16 . D.  2  16  4 16 . (Sở Hà Tĩnh – 2020) Cho hàm số f  x  có f  0   0 và f ‘  x   sin 4 x, x   . Tích phân  2  f  x  dx bằng 0 A. 2 6 18 . B.  2 3 32 . C. 3 2  16 . 64 D. 3 2  6 . 112 Dạng 2. Tích phân hàm số hữu tỷ P  x dx ? với P  x  và Q  x  là các đa thức không chứa căn. Q  x a b Tính I   PP  chia đa thức. Nếu bậc của tử P  x   bậc mẫu Q  x   Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 PP Nếu bậc của tử P  x   bậc mẫu Q  x  mà mẫu số phân tích được thành tích số   đồng nhất thức để đưa thành tổng của các phân số. Một số trường hợp đồng nhất thức thường gặp: + 1   ax  m  bx  n  1  a b     1 an  bm  ax  m bx  n  +  A  B  x   Ab  Ba    A  B  m . mx  n A B      x  a  x  b  x  a x  b  x  a  x  b   Ab  Ba  n + 1 A Bx  C với   b 2  4ac  0 .   2 2  x  m   ax  bx  c  x  m  ax  bx  c  + 1 2 2   x  a   x  b Nếu bậc tử P  x  A B C D    . 2 x  a  x  a x  b  x  b 2  bậc mẫu Q  x  mà mẫu không phân tích được thành tích số, ta xét một số trường hợp thường gặp sau: dx PP  x  a.tan t . ,  n  N *  + I1   2 2 n x  a  + I2   b  dx dx . Ta sẽ đặt  x   tan t . ,    0   2 2a 4a ax  bx  c  b     a  x        2a   4a    2 px  q .dx với   b 2  4ac  0 . Ta sẽ phân tích: ax  bx  c p  2ax  b  dx  b. p  dx I3  q  và giải A bằng cách đặt t  mẫu số.  . 2 2  2a  ax  bx  c  2a   ax  bx c + I3   2 I2 A 2 Câu 1. (THPT Quỳnh Lưu 3 Nghệ An 2019) Biết dx   x  1 2 x  1  a ln 2  b ln 3  c ln 5 . Khi đó giá trị 1 a  b  c bằng A. 3 . B. 2 . D. 0 . C. 1 . 0 Câu 2. (THPT An Lão Hải Phòng 2019) Biết I  của a  4b bằng A. 50 Câu 3. B. 60 3x 2  5 x  1 2 1 x  2 dx  a ln 3  b,  a, b    . Khi đó giá trị C. 59 D. 40 x2  2 1 0 x  1 dx  m  n ln 2 , với m, n là các số nguyên. Tính m  n . A. S  1 . B. S  4 . C. S  5 . Biết 1 1 Câu 4. (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2019) Tích phân I   0 các số nguyên. Tính giá trị của biểu thức a  b . A. 1. B. 0 . C. 1 .  x  1 D. S  1 . 2 x2  1 dx  a  ln b trong đó a , b là D. 3 . Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 5 Câu 5. (Chuyên Trần Phú Hải Phòng 2019) Biết  3 Tính S  a  2b . A. S  2 . B. S  2 . 2 x  x 1 b dx  a  ln với a , b là các số nguyên. x 1 2 C. S  5 . 2 Câu 6. (THPT Gang Thép Thái Nguyên 2019) Cho    x 2  1 P  a  b? A. P  1 . B. P  5 . 3 Câu 7. (Chuyên Sơn La 2019) Cho x 1 2 Câu 8. (Sở Phú Thọ 2019) Cho x 2 3 trị của 2 A. 12 a 3b  c x  10 a  dx   ln với a, b  . Tính x 1 b b C. P  7 . D. P  2 . x3 dx  a ln 2  b ln 3  c ln 5 , với a, b, c là các số nguyên.  3x  2 Giá trị của a  b  c bằng A. 0 . B. 2 . 4 D. S  10 . C. 3 . D. 1 . 5x  8 dx  a ln 3  b ln 2  c ln 5 , với a, b, c là các số hữu tỉ. Giá  3x  2 bằng B. 6 D. 64 C. 1 5 Câu 9. x2  x  1 b dx  a  ln với a , b là các số nguyên. Tính S  a  2b . Biết  x 1 2 3 A. S  2 . B. S  2 . 1 Câu 10. Biết rằng x 2 0 1  a dx   x 1 b C. S  5 .  a , b   , a  10 . Khi đó a  b có giá trị bằng B. 15 . A. 14 . D. S  10 . C. 13 . D. 12 . 2 Câu 11. (Đề Thi Công Bằng KHTN 2019) Biết của abc bằng A. 8 . B. 10 . x2  5x  2 0 x2  4 x  3 dx  a  b ln 3  c ln 5 ,  a, b, c    . Giá trị C. 12 . 0 Câu 12. (THPT Nguyễn Trãi – Dà Nẵng – 2018) Giả sử rằng của a  2b là A. 30 . B. 60 . D. 16 . 2 3x  5 x  1 2 dx  a ln  b . Khi đó, giá trị x2 3 1  C. 50 . D. 40 . 4 Câu 13. (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định -2019) Biết các số nguyên dương và A. 5 . x3  x 2  7 x  3 a 1 x2  x  3 dx  b  c ln 5 với a , b , c là 2 3 a là phân số tối giản. Tính P  a  b  c . b B. 4 . C. 5. D. 0. 1 Câu 14. Cho 4 x 2  15 x  11 0 2 x 2  5 x  2 dx  a  b ln 2  c ln 3 với a , b , c là các số hữu tỷ. Biểu thức T  a.c  b bằng A. 4 . B. 6 . C. 1 . 2 D. 1 . 2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 1 Câu 15. (SGD Bến Tre 2019) Biết A. S  1 . x2  2 1 0 x  1 dx  m  n ln 2 , với m , n là các số nguyên. Tính S  m  n . B. S  5 . C. S  1 . 1 Câu 16. (THPT Cẩm Bình 2019) Cho x 0 a  b bằng A. 0 . 2 D. S  4 . 1 dx  a ln 2  b ln 3 , với a, b là các số hữu tỷ. Khi đó  3x  2 B. 2 . C. 1. D. 1. 1 Câu 17. (Sở Hà Nam – 2019) Cho a  b  c bằng A. 3 . 2 x 2  3x 0 x 2  3x  2dx  a  b ln 2  c ln 3 với a , b , c là các số nguyên. Tổng B. 2 . C. 1 . 2 Câu 18. (Chu Văn An – Hà Nội – 2019) Cho biết  0 T  a  b bằng A. 13. 2 D. 1 . x 1 dx  a ln 5  b ln 3 , với a , b  . Tính x  4x  3 2 2 B. 10. C. 25. D. 5. 2 Câu 19. (Chuyên – KHTN – Hà Nội – 2019) Biết của abc bằng A. 8 . B. 10 . x2  5x  2 0 x2  4 x  3 dx  a  b ln 3  c ln 5 ,  a, b, c   . Giá trị C. 12 . D. 16 . 4 Câu 20. (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Biết các số nguyên dương và A. 5 . a là phân số tối giản. Tính giá trị của P  a  b 2  c 3 . b B. 3 . C. 6 . D. 4 . 3 Câu 21. x3  x 2  7 x  3 a 1 x 2  x  3 dx  b  c ln 5 với a, b, c là (Bình Phước – 2019) Cho dx   x  1 x  2   a ln 2  b ln 3  c ln 5 với a , b , c là các số hữu tỉ. Giá 2 2 3 trị của a  b  c bằng A. 3 . B. 6 . C. 5 . 4 Câu 22. 3 B. 6 . C. 15 . 2 Câu 23. 2x  3 dx  a ln 2  b ln 3  c ln 7 với a , b, c   . Giá trị của 2  3x x (SGD Đà Nẵng 2019) Cho 2 a  3b  7 c bằng A. 9 . (SGD Điện Biên – 2019) Cho D. 4 . x   x  1 2 D. 3 . dx  a  b.ln 2  c.ln 3 , với a , b , c là các số hữu tỷ. Giá trị 1 6a  b  c bằng: A. 2 . B. 1 . 3 Câu 24. (SP Đồng Nai – 2019) Biết x 2 A. 11 . C. 2 . D. 1. 5 x  12 dx  a ln 2  b ln 5  c ln 6 . Tính S  3a  2b  c .  5x  6 2 B. 14 . C. 2 . D. 3 . Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Dạng 3. Tích phân đổi biến b  Tích phân đổi biến: b   f  x  .u ‘  x  .dx  F u  x  a  F u  b   F u  a  . a Có sẵn Tách từ hàm Nhân Các bước tính tích phân đổi biến số Bước 1. Biến đổi để chọn phép đặt t  u  x   dt  u ‘  x  .dx (quan trọng)  x  b t  u  b  Bước 2. Đổi cận:   (nhớ: đổi biến phải đổi cận)  x  a t  u  a  Bước 3. Đưa về dạng I   u b ua f  t  .dt đơn giản hơn và dễ tính toán. Một số phương pháp đổi biến số thường gặp b b f  x g ‘ x .dx   h  x  .dx   f  g  x   . .dx với Đổi biến dạng 1. I   g  x g  x a a a    b I1 I2 Đổi biến dạng 2. Nghĩa là nếu gặp tích phân chứa căn thức thì có khoảng 80% sẽ đặt t  căn trừ một số trường hợp ngoại lệ sau: 1/ I1   f   a 2  x 2 .xchẵn .dx   đặt x  a.sin t hoặc x  a.cos t . cos 2 x  1  sin 2 x  (xuất phát từ công thức sin 2 x  cos 2 x  1   2  2  sin x  1  cos x  2/ I 2   f   x 2  a 2 .xchẵn.dx   đặt x  a.tan t hoặc x  a.cot t . (mấu chốt xuất phát từ công thức tan 2 x  1  3/ I 3   f    đặt x  x 2  a 2 .xchẵn .dx  1   cos2 x  a a hoặc x  . sin t cos t  ax   đặt x  a.cos 2t . 4/ I 4   f   dx  a  x   5/ I 5   dx  a  bx  n n 1   đặt x  . t a  bx n s s  đặt t n  ax  b . 6/ I 6   R  1 ax  b ,……, k ax  b .dx  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 7 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 (trong đó n là bội số chung nhỏ nhất của s1 ; s2 ;…; sk   dx 7/ I 7    ax  b  cx  d    đặt t  ax  b  cx  d . 1 1  t  ln x  dt  .dx  f  ln x  . x .dx  x Đổi biến dạng 3. Đổi biến dạng 4.  t  sin x  dt  cos x.dx  f  sin x  .cos x.dx  Đổi biến dạng 5.  t  cos x  dt   sin x.dx  f  cos x  .sin x.dx  Đổi biến dạng 6.  f  tan x  . cos Đổi biến dạng 7.  f  cot x  . sin 1 2 x 1 2 x dx   t  tan x  dt  dx cos 2 x dx   t  cot x  dt   dx sin 2 x  f  sin x  cos x  .  sin x  cos x  dx t  sin x  cos x  Đổi biến dạng 8.     f  sin x  cos x  .  sin x  cos x  dx t  sin x  cos x   f  ax 2  b  n .xdx   t  ax 2  b  dt  2axdx   Đổi biến dạng 9.  f ax  b n .xdx   t  ax  b  dt  adx    1 Câu 1. (Đề Tham Khảo -2019) Cho xdx   x  2 2  a  b ln 2  c ln 3 với a, b, c là các số hữu tỷ. Giá trị của 0 3a  b  c bằng A. 2 3 Câu 2. Tính K   2 B. 1 C.  2 D. 1 C. K  2ln 2 . 8 D. K  ln . 3 x dx bằng x 1 2 1 8 B. K  ln . 2 3 A. K  ln 2 . 1 Câu 3. (Chuyên Long An – 2018) Cho tích phân I   0 x7 2 5 1  x  dx , giả sử đặt t  1  x 2 . Tìm mệnh đề đúng. 3 1  t  1 A. I   dt . 2 1 t5 2 B. I    t  1 t5 1 3 1  t  1 dt . 2 1 t 4 2 C. I  3 dt . 3 3  t  1 dt . 2 1 t 4 4 D. I  3 Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 1 Câu 4. x dx  1 . (KTNL Gia Bình Năm 2019) Có bao nhiêu số thực a để  a  x2 0 A. 2 Câu 5. B. 1 (Nguyễn Huệ – C. 0 Phú Yên – D. 3 Cho 2020) hàm số f  x có f 1  0 và 1 f   x   2019.2020.x  x  1 2018 , x   . Khi đó  f  x  dx bằng 0 A. 2 . 2021 B. 1 . 1011 1 Câu 6. (Đề Tham Khảo 2019) Cho C.  xdx   x  2 2 2 . 2021 1 . 1011 D.   a  b ln 2  c ln 3 với a, b, c là các số hữu tỷ. Giá trị của 0 3a  b  c bằng A.  2 Câu 7. B. 1 C. 2  2 x  3x  2  (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Cho 6 Tính giá trị của biểu thức 12 A  7 B . 23 241 A. B. 252 252 D. 1 8 7 dx  A  3x  2   B  3x  2   C với A, B, C   . C. 52 9 D. 7 9 1 Câu 8. P  a2  b2 . A. 13 . Câu 9. 2 x 2  3x  3 0 x 2  2 x  1 dx  a  ln b với a , b là các số nguyên dương. Tính (Chuyên Hà Tĩnh – 2018) Biết B. 5 . D. 10 . C. 4 . với m , p , q   và (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định -2019) Cho là các phân số tối giản. Giá trị m  p q bằng A. 10 . B. 6 . 1 Câu 10. Biết rằng  xe 0 A. 4 . x2 2 dx  C. D. 8 . a b c e  e với a, b, c   . Giá trị của a  b  c bằng 2   B. 7 . C. 5 . e Câu 11. 22 . 3 (KTNL GV Lý Thái Tổ 2019) Biết x 1 2 D. 6 . x 1 dx  ln  ae  b  với a, b là các số nguyên dương.  x ln x 2 Tính giá trị của biểu thức T  a  ab  b 2 . A. 3. B. 1. C. 0. D. 8. 2 Câu 12. (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Biết   x  1 2 e x 1 x p q dx  me  n , trong đó m, n, p, q 1 p là phân số tối giản. Tính T  m  n  p  q . q B. T  10 . C. T  7 . D. T  8 . là các số nguyên dương và A. T  11 . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 9 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 x2 Câu 13. Số điểm cực trị của hàm số f  x   2tdt  1 t 2 là 2x A. 0 Câu 14. B. 1 C. 2 D. 3 (Chuyên Bắc Giang 2019) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên  đồng thời thỏa mãn 1 f  0   f 1  5 . Tính tích phân I   f   x  e f  x  dx . 0 A. I  10 Câu 15. B. I  5 C. I  0 D. I  5 (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Cho hàm số f  x  có f  3  3 và f   x   x , x  0 . x 1 x 1 8 Khi đó  f  x  dx bằng 3 A. 7 . B. 21 Câu 16. (Mã 102 2018) Cho x 5 sau đây đúng? A. a  b  2c (Mã 101 2018) Cho x 16 dưới đây đúng? A. a  b  3c dx x4 C. 29 . 2 D. 181 . 6  a ln 3  b ln 5  c ln 7 , với a , b, c là các số hữu tỉ. Mệnh đề nào B. a  b  2c 55 Câu 17. 197 . 6 C. a  b  c D. a  b  c dx  a ln 2  b ln 5  c ln11 , với a , b, c là các số hữu tỉ. Mệnh đề nào x9 B. a  b  3c D. a  b  c C. a  b  c 2 Câu 18. (Đề Tham Khảo 2017) Tính tích phân I   2 x x 2  1dx bằng cách đặt u  x 2  1 , mệnh đề nào 1 dưới đây đúng? 2 3 B. I  A. I   udu 0 2 3 1 udu 2 1 C. I  2  udu D. I   udu 1 0 5 Câu 19. 1 dx  a  b ln 3  c ln 5 . Lúc 1 1  3x  1 (Nguyễn Trãi – Thái Bình – 2020) Giả sử tích phân I   đó A. a  b  c  Câu 20. (Liên 5 . 3 trường B. a  b  c  Nghệ An – 4 . 3 C. a  b  c  7 . 3 2020) Cho hàm số  x a x7 3  , x   ;   . Biết rằng 2x  3 2  Khi đó a  b bằng A. 250 . B. 251 . f  x  ln 6 Câu 21. (Nam Định – 2018) Biết tích phân  1 0 7  f  2  dx  b 4 C. 133 . ex ex  3 8 D. a  b  c  . 3 f  x ( a, b  , b  0, có f  2  0 và a là phân số tối giản). b D. 221 . dx  a  b ln 2  c ln 3 , với a , b , c là các số nguyên. Tính T  a  b  c . Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A. T  1 . C. T  2 . B. T  0 . 1 Câu 22. (Chuyên Vinh – 2018) Tích phân dx bằng 3x  1  0 A. 4 . 3 B. 3 . 2 C. 2 Câu 23. (Đề Tham Khảo 2018) Biết  ( x  1) 1 1 . 3 D. 2 . 3 dx dx  a  b  c với a , b, c là các số nguyên x  x x 1 dương. Tính P  a  b  c A. P  18 B. P  46 C. P  24 e Câu 24. D. T  1 . (Chuyên Trần Phú Hải Phòng 2019) Biết x 1 D. P  12 ln x dx  a  b 2 với a , b là các số hữu tỷ. 1  ln x Tính S  a  b . A. S  1 . B. S  1 . 2 C. S  3 . 4 D. S  2 . 3 2 2 Câu 25. (Gang Thép Thái Nguyên 2019) Cho tích phân I   16  x 2 dx và x  4 sin t . Mệnh đề nào 0 sau đây đúng?   4 4 A. I  8 1  cos 2t  dt . B. I  16 sin 2 tdt . 0 0   4 4 C. I  8 1  cos 2t  dt . D. I  16 cos2 tdt . 0 0 5 Câu 26. Biết 1 dx  a  b ln 3  c ln 5 (a, b, c  Q) . Giá trị của a  b  c bằng 3x  1  1 1 A. 7 . 3 1 Câu 27. Cho  1 2 B. 5 . 3 C. 4 . 3 b x 1 b  tối giản. Giá trị dx  ln   d  , với a , b, c, d là các số nguyên dương và c x 1 a c  B. 10 C. 18 7 (Lê Quý Đôn – Quảng Trị – 2018) Cho biết  x3 3 0 Tính m  7n A. 0 . B. 1 . (Chuyên Đại Học Vinh 2019) Biết rằng  3x  5 0 các số hữu tỉ. Giá trị của a  b  c bằng 10 5 A.  B.  3 3 1  x2 C. 2 . 1 Câu 29. D. 3 của a  b  c  d bằng A. 12 Câu 28. 8 . 3 C. D. 15 dx  m m với là một phân số tối giản. n n D. 91 . dx  a ln 2  b ln 3  c ln 5 , với a, b, c là 3x  1  7 10 3 D. 5 3 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 e ln x dx  a  b 2 với a , b là các số hữu tỷ. Tính S  a  b . 1  ln x 1 1 3 2 A. S  1 . B. S  . C. S  . D. S  . 2 4 3 Câu 30. Biết x 3 Câu 31. (THPT Ngô Sĩ Liên Bắc Giang 2019) Cho  42 0 số nguyên. Giá trị a  b  c bằng: A. 9 B. 2 (THPT Ba Đình 2019) Cho I   0 nguyên và A. 16. a Câu 33. Tính I   0 x 1 dx  a  b ln 2  c ln 3 với a,b,c là các 3 D. 7 C. 1 3 Câu 32. x x 4  2 x 1 dx  a  b ln 2  c ln d , với a , b, c, d là các số d a là phân số tối giản. Giá trị của a  b  c  d bằng d B. 4. C. 28. x3  x x2  1 D. 2 . dx . A. I   a 2  1 a 2  1  1 . 1 B. I   a 2  1 a 2  1  1 .  3 1 C. I   a 2  1 a 2  1  1 .  3 D. I   a 2  1 a 2  1  1 . 1 2 Câu 34. (THCS – THPT Nguyễn Khuyến – 2018) Giá trị của tích phân  0 x dx bằng tích phân nào 1 x dưới đây?  A.  1 2 4 2  2sin ydy . 0 sin 2 x B.  dx . cos x 0  sin 2 y C.  dy . cosy 0 4 2 2 Câu 35. (Chuyên Thăng Long – Đà Lạt – 2018) Biết x  x2  1  x2 1 3 a là tối giản. Tính P  3a  2b  c . b B. 12 . C. 14 . Hải Dương – 2 D.  2sin 2 ydy . 0 dx  b ln 5  c ln 2 với a, b, c là a các số nguyên và phân số A. 11 . Câu 36. (Bình 4 phân  1 Giang Cho tích 2  5 6  12  25  x dx  a  b 6  c ln    d ln 2 với a, b, c, d là các số hữu tỉ. Tính tổng x  5 6  12  abcd . 1 A.  . 3 B.  3 . 25 3 C.  . 2 1 Câu 37. D. 13 . 2018) (Sở Hưng Yên – 2018) Cho tích phân I   0 D.  dx 3 . 20    nếu đổi biến số x  2sin t , t    ;  thì ta  2 2 4 x 2 được. Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 π 3 π 6 A. I   dt . π 4 B. I   dt . 0 dt . t 0 C. I   tdt . 0 D. I   0 1 Câu 38. π 6 (THPT Phú Lương – Thái Nguyên – 2018) Biết  x x3 1 x 0 2 dx  a b c với a, b, c là các số 15 2 nguyên và b  0 . Tính P  a  b  c . A. P  3 . B. P  7 . C. P  7 . D. P  5 . 1 n Câu 39. Cho n là số nguyên dương khác 0 , hãy tính tích phân I   1  x 2  xdx theo n . 0 A. I  1 . 2n  2 B. I  1 . 2n C. I  64 Câu 40. (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Giả sử I   1 Khi đó giá trị a  b là A. 17 . Câu 41. (Tiên Du f  x  A.  – x 6  x2 B. 5. Bắc Ninh – Cho 2020) D. 17 .  f  x có f  2   2 và  f  x  .dx bằng 0 3 . 4 B. 3  6 . 4 C.  2 (Chuyên Trần Phú – Hải Phòng – 2018) Biết . 4  3x  x 1 D. 4 D. P  48 . 2 x  1dx 5  a  b ln 2  c ln  a, b, c    . Tính T  2a  b  c . 3 2x  1  3  2x  3 0 A. T  4 . 67 . 27 dx  a  b  c với a , x  1   x  1 x b , c là các số nguyên dương. Tính P  a  b  c . A. P  44 . B. P  42 . C. P  46 . (SởPhú Thọ – 2018) Biết 3  6 . 4 dx  a  b 2  c 35 với a , b , c 9×2 1 C. 2 . (THPT Phan Chu Trinh – Đắc Lắc – 2018) Biết D.  x 2 Câu 45. số 3  , x   6; 6 . Khi đó là các số hữu tỷ, tính P  a  2b  c  7 . 1 86 A.  . B. . 9 27 Câu 44. 1 . 2n  1 dx 2  a ln  b với a, b là số nguyên. 3 x3 x hàm 1 Câu 43. D. I  C. 5 . 2 Câu 42. 1 . 2n  1 B. T  2 . C. T  1 . D. T  3 . (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Cho hàm số f  x  có f  0   0 và f   x   cos x cos2 2 x,  R .  Khi đó  f  x  dx bằng 0 A. 1042 . 225 B. 208 . 225 C. 242 . 225 D. 149 . 225 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489  2 Câu 46. (Sở Bình Phước – 2020) Cho  sin 0 A. 0 . 2 cos x 4 dx  a ln . Giá trị của a  b bằng x  5sin x  6 b B. 1 . D. 3 . C. 4 .  Câu 47. (Đề Minh Họa 2017) Tính tích phân I   cos3 x.sin xdx . 0 A. I   1 4 1 B. I    4 4 C. I   4 D. I  0  2 Câu 48. (THPT Kinh Môn – 2018) Cho  sin 2 0 A. S  1 . cos x 4 dx  a ln  b, tính tổng S  a  b  c x  5sin x  6 c B. S  4 . C. S  3 . D. S  0 .  2 Câu 49. (Bình Dương 2018) Cho tích phân I   2  cos x .sin xdx . Nếu đặt t  2  cos x thì kết quả nào 0 sau đây đúng?  2 A. I   t dt . 3 2 3 2 D. I   t dt . C. I  2  t dt . B. I   t dt . 3 2 0  sin 2 x dx bằng cách đặt u  tan x , mệnh đề nào dưới cos 4 x 0 4 Câu 50. (Đồng Tháp – 2018) Tính tích phân I   đây đúng?  2 4 A. I   u 2 du . 1 du . u2 0 B. I   0 1 1 C. I    u 2du . D. I   u 2 du . 0 0 π 3 Câu 51. sin x dx cos3 x 0 I  (THTP Lê Quý Đôn – Hà Nội – 2018) Tính tích phân 5 3 π 9 A. I  . B. I  . C. I   . 2 2 3 20 . 9 D. I  . 4  2 Câu 52. (THPT Lý Thái Tổ – Bắc Ninh – 2018) Cho tích phân sin x dx  a ln 5  b ln 2 với a, b .   cos x  2 3 Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. 2a  b  0. B. a  2b  0. C. 2a  b  0. D. a  2b  0. a Câu 53. 2 (THPT Đông Sơn Thanh Hóa 2019) Có bao nhiêu số a   0;20  sao cho  sin 5 x sin 2 xdx  . 7 0 A. 10. B. 9. C. 20. D. 19. Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 54. (HSG Bắc Ninh 2019) Biết F ( x) nguyên hàm của hàm số f ( x)  sin 2 x  cos x và F (0)  2 . 1  sin x   Tính F   2   2 2 8 A. F    3 2   2 2 8 B. F    3 2   4 2 8 C. F    3 2   4 2 8 D. F    3 2  6 Câu 55. Biết dx  1  sin x  0 a 3 b , với a, b  , c   và a , b, c là các số nguyên tố cùng nhau. Giá trị của c tổng a  b  c bằng A. 5 . B. 12 . D. 1. C. 7 .  2 s inx dx  a ln 5  b ln 2 với a , b   . Mệnh đề nào dưới đây đúng?   cos x  2 Câu 56. Cho tích phân số 3 A. 2a  b  0. C. 2a  b  0. . B. a  2b  0. D. a  2b  0. .  2 Câu 57. (THPT Nghen – Hà Tĩnh – 2018) Cho   cos x  0 hữu tỉ, c  0 . Tính tổng S  a  b  c . A. S  3 . B. S  0 . Câu 58. sin x 2 4 dx  a ln  b , với a , b là các số c  5cos x  6 C. S  1 . D. S  4 . (Thanh Chương 1 – Nghệ An – 2020) Cho hàm số có y  f ( x) f (0)  1 và  f ( x)  tan x  tan x, x   . Biết 3 4  f ( x)dx  0 A. 4 . Câu 59. B. 12 . (Tiên Lãng – Hải a  ; a, b   , khi đó b  a bằng b D. 4 . C. 0 . Phòng – 2020) Cho hàm số y  f  x có f  0  0 và  f   x   sin 8 x  cos8 x  4sin 6 x, x   . Tính I   16 f  x  dx . 0 A. I  10 2 . 1 Câu 60. (Đề Tham Khảo 2017) Cho e D. I  10 2 . dx 1 e  a  b ln , với a, b là các số hữu tỉ. Tính S  a 3  b 3 . 1 2 x 0 A. S  2 . C. I  16 2 . B. I  160 . B. S  0 . C. S  1 . D. S  2 . e Câu 61. 3ln x  1 dx . Nếu đặt t  ln x thì x 1 (Cần Thơ – 2018) Cho tích phân I   1 3t  1 dt . et 0 A. I   e 3t  1 dt . t 1 B. I   1 e 0 1 e Câu 62. D. I    3t  1 dt . C. I    3t  1 dt . (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Cho I   1 ln x c dx  a ln 3  b ln 2  , với 3 x  ln x  2  2 a, b, c   . Khẳng định nào sau đâu đúng. A. a 2  b 2  c 2  1 . B. a 2  b 2  c 2  11 . C. a 2  b 2  c 2  9 . D. a 2  b 2  c 2  3 . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 4 Câu 63. (Việt Đức Hà Nội 2019) Biết I   x ln  x 2  9 dx  a ln 5  b ln 3  c trong đó a, b, c là các số 0 thực. Giá trị của biểu thức T  a  b  c là: A. T  11. B. T  9. e ln x I  x  ln x  2  1 Câu 64. Cho đúng? 2 C. T  10. dx A. 2ab  1 . có kết quả dạng I  ln a  b với a  0 , b   . Khẳng định nào sau đây B. 2ab  1 . C. b  ln e Câu 65. (THPT Gia Lộc Hải Dương 2019) Cho 2 ln x  1  x  ln x  2 2 1 nguyên dương, biết A. 18 . D. T  8. 3 1  . 2a 3 D. b  ln 3 1  . 2a 3 a c với a , b , c là các số dx  ln  b d a c ; là các phân số tối giản. Tính giá trị a  b  c  d ? b d B. 15 . C. 16 . D. 17 . 1 Câu 66. (Kim Liên – Hà Nội – 2018) Biết  x3  2 x  ex 3 .2 x 1 1 e   0   e.2 x dx  m  e ln n ln  p  e    với m , n , p là các số nguyên dương. Tính tổng S  m  n  p . A. S  6 . B. S  5 . C. S  7 . e Câu 67. (THPT – Yên Định Thanh Hóa 2019) Cho   3x 1 3 D. S  8 .  1 ln x  3 x 2  1 dx  a.e3  b  c.ln  e  1 với 1  x ln x a , b , c là các số nguyên và ln e  1 . Tính P  a 2  b 2  c 2 . A. P  9 . C. P  10 . B. P  14 . Câu 68. Biết I   ln 2 dx 1   ln a  ln b  ln c  với a , b , c là các số nguyên dương. x e  3e  4 c x 0 Tính P  2a  b  c . A. P  3 . B. P  1. C. P  4 . 2 Câu 69. (Chuyên Hạ Long – 2018) Biết x 1 2 2 D. P  3 x 1 dx  ln  ln a  b  với a , b là các số nguyên dương.  x ln x 2 Tính P  a  b  ab . A. 10 . C. 12 . B. 8 . 1 Câu 70. D. P  3 . (Chuyên Thái Bình 2018) Cho  0 x 2  x  ex x  e x D. 6 . dx  a.e  b ln  e  c  với a , b , c   . Tính P  a  2b  c . A. P  1 . Câu 71. B. P  1 . C. P  0 . (Chuyên KHTN – 2020) Cho hàm số y  f  x  biết f  0   D. P  2 . 2 1 và f   x   xe x với mọi x   . 2 1 Khi đó  xf  x  dx bằng 0 A. e 1 . 4 B. e 1 . 4 C. e 1 . 2 D. e 1 . 2 Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 e Câu 72.  (Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm – Quảng Nam – 2020) Biết rằng 1 với a , b, c là các số nguyên dương và A. S  3 . B. S  7 . 2 ln x  1 x ln x  1 2 dx  a ln 2  b c b là phân số tối giản. Tính S  a  b  c . c C. S  10 . D. S  5 . Dạng 4. Tích phân từng phần b b b Nếu u, v có đạo hàm liên tục trên  a; b  thì I   u.dv  u.v a   v.du . a a Vi phân u  ……………  du  ……….. dx Chọn  Nguyên hàm  v  ……………. dv  …….. dx  Nhận dạng: tích hai hàm khác loại nhân nhau (ví dụ: mũ nhân lượng giác,…) Thứ tự ưu tiên chọn u là: “log – đa – lượng – mũ” và dv là phần còn lại. 1 Nghĩa là nếu có ln hay log a x thì chọn u  ln hay u  log a x  .ln x và dv  còn lại. Nếu ln a không có ln; log thì chọn u  đa thức và dv  còn lại,… CHÚ Ý:. ∫ (hàm mũ). (lượng giác). dx  tích phân từng phần luân hồi. Nghĩa là sau khi đặt u, dv để tính tích phân từng phần và tiếp tục tính ∫ udv sẽ xuất hiện lại tích phân ban đầu. Giả sử tích phân được tính ban đầu là I và nếu lập lại, ta sẽ không giải tiếp mà xem ả đây là phương trình bậc nhất ẩn là I I. 2 Câu 1. (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Xét  xe 2 x2 2 dx , nếu đặt u  x thì 0 2 dx bằng 2 B. 2  eu du . 0 x2 0 4 A. 2  eu du .  xe C. 0 1 u e du . 2 0 4 D. 1 u e du . 2 0 e Câu 2. (Đề Minh Họa 2017) Tính tích phân I   x ln xdx : 1 2 A. I  e 1 4 B. I  1 2 C. I  e2  2 2 D. I  e2  1 4 e Câu 3. (Mã 103 2018) Cho  1  x ln x dx  ae 2  be  c với a , b , c là các số hữu tỷ. Mệnh đề nào 1 dưới đây đúng? A. a  b  c B. a  b  c C. a  b  c D. a  b  c e Câu 4. (Mã 104 2018) Cho   2  x ln x dx  ae 2  be  c với a , b, c là các số hữu tỉ. Mệnh đề nào sau 1 đây đúng? A. a  b  c B. a  b  c C. a  b  c 1 Câu 5. (THPT Nguyễn Viết Xuân – 2020) Biết  x ln  x 0 2  1dx  a ln 2  D. a  b  c b b (với a , b, c  * và là c c phân số tối giản). Tính P  13a  10b  84c . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 17 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 A. 193 . B. 191. C. 190 . D. 189 . a Câu 6. (Nguyễn Trãi – Thái Bình – 2020) Cho a là số thực dương. Tính I   sin 2016 x.cos  2018 x  dx 0 bằng: Câu 7. A. I  cos 2017 a.sin 2017 a . 2016 B. I  sin 2017 a.cos 2017 a . 2017 C. I  sin 2017 a.cos 2017 a . 2016 D. I  cos 2017 a.cos 2017 a . 2017 (Chuyên Lương Văn Tỵ – Ninh Bình – 2020) Cho hàm số f  x  có f  0  1và 1 f   x   x  6  12 x  e x  , x  . Khi đó  f  x dx bằng 0 1 A. 3e . C. 4  3e 1 . B. 3e . D. 3e 1 . 4 Câu 8. (Chuyên Bắc Ninh – 2020) Biết I   x ln  x 2  9 dx  a ln 5  b ln 3  c trong đó a , b , c là các 0 số thực. Tính giá trị của biểu thức T  a  b  c . A. T  9 . B. T  11 . C. T  8 . D. T  10 . 1 Câu 9. (Chuyên Hùng Vương – Phú Thọ – 2020) Xét hàm số f ( x)  e x   xf ( x)dx . Giá trị 0 của f (ln(5620)) bằng A. 5622 . B. 5620 . C. 5618 . D. 5621. 1 Câu 10. Tích phân   x  2 e 2x dx bằng 0 A. 5  3e 2 . 4 B. 5  3e2 . 4 C. 5  3e2 . 2 D. 5  3e2 . 4 1 Câu 11. (THPT Cẩm Giàng 2 2019) Biết rằng tích phân x   2 x +1 e dx = a + b.e , tích a.b bằng 0 B. 1 . A. 15 . C. 1. D. 20. 2 Câu 12. ln x b dx   a ln 2 với a là số 2 x c 1 (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Cho tích phân I   thực, b và c là các số dương, đồng thời P  2a  3b  c . A. P  6 . B. P  5 . b là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức c C. P   6 . D. P  4 .  4 Câu 13. (THPT Lê Xoay Vĩnh Phúc 2019) Cho tích phân I    x  1 sin 2 xdx. Tìm đẳng thức đúng? 0  4 A. I    x  1 cos2 x   cos2 xdx . 0  1 B. I    x  1 cos2 x 2 4 0  4   cos2 xdx . 0 Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021   1 C. I    x  1 cos2 x 2 Câu 14. 0   14   cos2 xdx . 20 4 D. I    x  1 cos2 x 4 4   cos2 xdx . 0 0 (Chuyên KHTN 2019) Biết rằng tồn tại duy nhất các bộ số nguyên a, b, c sao cho 3   4 x  2  ln xdx  a  b ln 2  c ln 3 . Giá trị của a  b  c bằng 2 A. 19 . B. 19 . C. 5 . 2 Câu 15. (HSG Bắc Ninh 2019) Cho  ln 1  x  x2 1 P  a  4b . A. P  0 Câu 16. Tính tích phân I  dx  a ln 2  b ln 3 , với a, b là các số hữu tỉ. Tính C. P  3 B. P  1 21000 ln x   x  1 2 D.  5 . D. P 3 dx , ta được 1 ln 21000 2  1001ln A. I   . 1000 1 2 1  21000 C. I  1000 ln 2 21000  ln B. I   . 1  21000 1  21000 ln 21000 2 .  1001ln 1000 1 2 1  21000 D. I  1000 ln 2 21000 .  ln 1  21000 1  21000 2 Câu 17. Biết  2 x ln  x  1 dx  a.lnb , với a, b  * , b là số nguyên tố. Tính 6a  7b . 0 A. 6a  7b  33 . B. 6a  7b  25 . C. 6a  7b  42 . D. 6a  7b  39 . a Câu 18. (Chuyên Hưng Yên 2019) Biết rằng  ln xdx  1  2a,  a  1 . Khẳng định nào dưới đây là 1 khẳng định đúng? A. a  18; 21 . B. a  1; 4  . C. a  11;14  . D. a   6;9  . 1 Câu 19. (KTNL GV Bắc Giang 2019) Cho tích phân x  ( x  2)e dx  a  be , với a; b   . Tổng a  b 0 bằng A. 1 . B. 3 . D. 1 . C. 5 . 2 Câu 20. (KTNL GV Thuận Thành 2 Bắc Ninh -2019) Tính tích phân I   xe x dx . 1 2 A. I  e . 2 B. I   e . D. I  3e 2  2e . C. I  e . 3 Câu 21. (THPT Yên Phong Số 1 Bắc Ninh 2019) Biết rằng  x ln x dx  m ln 3  n ln 2  p trong đó 2 m, n, p   . Tính m  n  2 p A. 5 . 4 B. 9 . 2 C. 0 . 5 D.  . 4 2 Câu 22. (Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2019) Biết  2 x ln 1  x  dx  a.ln b , với a, b  * , b là số 0 nguyên tố. Tính 3a  4b . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 19 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 A. 42 . B. 21 . C. 12 . D. 32 . 2 Câu 23. ln x b dx   a ln 2 với a là số thực, b và c 2 x c 1 (Chuyên Quốc Học Huế 2019) Cho tích phân I   là các số nguyên dương, đồng thời P  2a  3b  c . A. P  6 b là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức c B. P  6 C. P  5 D. P  4  3 x 3 dx    ln b . Khi đó, giá trị của a 2  b bằng 2 cos x a 0 Câu 24. Biết I   A. 11 . B. 7 . C. 13 . D. 9 . 3  F  x   2 x  ln  x  1  Câu 25. Cho  ln  x 2  x  dx  F  x  , F  2   2 ln 2  4 . Khi đó I    dx bằng x 2   A. 3ln 3  3 . B. 3ln 3  2 . C. 3ln 3  1 . D. 3ln 3  4  3 Câu 26. x 3 dx    ln b , với a, b là các số 2 cos x a 0 (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Biết I   nguyên dương. Tính giá trị của biểu thức T  a 2  b. A. T  9 . B. T  13 . C. T  7 . Câu 27.  2 (Thpt Lê Quý Đôn Đà Nẵng 2019) Cho  ln 1  2 x  x 1 2 D. T  11 . dx  a ln 5  b ln 3  c ln 2 , với a , b , c là 2 các số nguyên. Giá trị của a  2  b  c  là: A. 0. B. 9. C. 3. D. 5. ln 1  x  dx  a ln 2  b ln 3 , với a , b là các số hữu tỉ. Tính P  ab . 2 x 1 2 Câu 28. Cho  A. P  3 . 2 C. P  B. P  0 . 9 . 2 D. P  3 . 1 Câu 29. (KTNL GV Bắc Giang 2019) Cho tích phân a; b   . Tổng a  b x  ( x  2)e dx  a  be , với 0 bằng A. 1 . B. 3 . π 4 Câu 30. (Sở Phú Thọ 2019) Cho  ln  sin x  2 cos x  cos 2 x 0 Giá trị của abc bằng 15 A. 8 B. C. 5 . 5 8 D.  1 . dx  a ln 3  b ln 2  cπ với a , b , c là các số hữu tỉ. C. 5 4 D. 17 8 Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 12 Câu 31. 1  x 1 a c  (Chuyên Thái Bình 2019) Biết   1  x  e x dx  e d trong đó a, b, c, d là các số nguyên x b 1  12 dương và các phân số A. 12. a c , là tối giản. Tính bc  ad . b d B. 1. C. 24. 2 Câu 32. (THPT Yên Khánh A 2018) Cho x  ln  x  1   x  2 2 dx  0 D. 64. a c ac  ln 3 (với a, c  ; b, d  * ; là b d bd các phân số tối giản). Tính P   a  b  c  d  . A. 7 . Câu 33. B. 7 . C. 3 . (Đặng Thúc Hứa – Nghệ An – 2020) Cho hàm số y  f  x  có f 1  2 x  1 . Biết b  f  x  dx  a ln c  d D. 3 . 1 x và f   x   với 2 2  x  1 với a, b, c, d là các số nguyên dương, b  3 và 1 Khi đó a  b  c  d bằng B. 5 . A. 8 . C. 6 . b tối giản. c D. 10 . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 21 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 TÍCH PHÂN – PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN Chuyên đề 26 TÀI LIỆU DÀNH CHO HỌC SINH KHÁ – GIỎI – XUẤT SẮC MỨC 8-9-10 ĐIỂM Dạng 1. Tích phân Hàm ẩn Dạng 1.1 Giải bằng phương pháp đổi biến b Thông thường nếu trong bài toán xuất hiện  f u  x  dx thì ta sẽ đặt u  x   t a Câu 1. (Chuyên Biên Hòa – Hà Nam – 2020) Cho hàm số f  x  liên tục trên  và thỏa mãn 1  2 f  x  dx  9 . Tích phân 5 bằng 0 A. 15 . Câu 2.   f 1  3 x   9 dx B. 27 .  0 10 1 2 0 B. P  6 . C. P  3 . D. P  12 . 5 2 (Chuyên Bắc Ninh – 2020) Cho I   f  x  dx  26 . Khi đó J   x  f  x 2  1  1 dx bằng 1 A. 15 . 0 B. 13 . C. 54 . D. 52 . 9 Câu 4. thỏa mãn f  x  dx  7,  f  x  dx  1 . Tính P   f  2 x  dx . A. P  6 . Câu 3. 0;10 f  x  liên tục trên đoạn (Chuyên Lam Sơn – 2020) Cho hàm số 10 D. 21 . C. 75 . (Chuyên Lào Cai – 2020) Cho hàm số y  f ( x) liên tục trên  thỏa mãn  f  x  dx  4 và x 1  3 2  f  sin x  cos xdx  2. Tích phân I   f ( x)dx bằng 0 0 A. I  8 . B. I  6 . D. I  10 . C. I  4 . 5 Câu 5. (THPT Cẩm Giàng 2019) Cho biết 2  f  x dx  15 . Tính giá trị của P    f  5  3x   7  dx . 1 A. P  15 . B. P  37 . 0 C. P  27 . D. P  19 . 4 Câu 6. (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho  f  x  dx  2018 . Tính tích phân 0 2 I    f  2 x   f  4  2 x   dx . 0 A. I  0 . B. I  2018 . C. I  4036 . D. I  1009 . 2 Câu 7. Cho y  f  x  là hàm số chẵn, liên tục trên  6;6 . Biết rằng  1 3 f  x  dx  8 ;  f  2 x  dx  3 . 1 6 Giá trị của I   f  x  dx là 1 A. I  5 . B. I  2 . C. I  14 . D. I  11 . Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Câu 8. (THPT Đoàn Thượng – Hải Dương -2019) Cho hàm số 2  f  x  liên tục trên  và  f  x  dx  2018 , tính I   xf  x 2  dx. 0 0 A. I  1008 . B. I  2019 . C. I  2017 . D. I  1009 . (Chuyen Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Cho  f  x dx  2 . Khi đó B. 4 . C. 2 . 2 Câu 10. (Sở Hà Nội 2019) Cho  x dx bằng x D. 8 . 5  f x 2 1 A. 2 .  1 1 A. 1 . f 4 2 Câu 9.  1xdx  2 . Khi đó I   f  x  dx bằng 2 B. 1. C. 4 . D. 1 . 3 Câu 11. Cho f , g là hai hàm số liên tục trên 1;3 thỏa mãn điều kiện   f  x   3g  x dx=10 đồng thời 1 3 3 2  2 f  x   g  x dx=6 . Tính  f  4  x dx +2  g  2 x  1dx 1 1 A. 9 . 1 B. 6 . C. 7 . D. 8 . 1 Câu 12. Cho hàm số f  x  liên tục trên  thỏa  2 f  x  dx  2 và  0 A. I  16 . Câu 13. 7 f  3 x  1 dx  6 . Tính I   f  x  dx . 0 B. I  18 . 0 C. I  8 . D. I  20 . (THPT Quỳnh Lưu 3 Nghệ An 2019) Cho f  x  liên tục trên  thỏa mãn f  x   f 10  x  và 7  3 7 f  x  dx  4 . Tính I   xf  x  dx . 3 A. 80 . B. 60 . C. 40 . D. 20 . 1 Câu 14. (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Cho  f  x  dx  9 . Tính 0  6 I   f  sin 3 x  cos 3 xdx . 0 A. I  5 . B. I  9 . D. I  2 . C. I  3 . 4 Câu 15. (Chuyên Quốc Học Huế -2019) Cho tích phân I   f  x  dx  32. Tính tích 0 2 phân J   f  2 x  dx. 0 A. J  32 B. J  64 C. J  8 D. J  16 9 Câu 16. (Việt Đức Hà Nội 2019) Biết f  x  là hàm liên tục trên  và  f  x  dx  9 . Khi đó giá trị của 0 4  f  3x  3 dx là 1 A. 0 . B. 24 . C. 27 . D. 3 . Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 1 Câu 17. (Đề Thi Công Bằng KHTN 2019) Cho hàm số f ( x) thỏa mãn  f (2 x)dx  2 .Tích phân 0 2  f ( x)dx bằng 0 A. 8. B. 1. C. 2. D. 4. 2017 Câu 18. Cho hàm f  x  thỏa mãn 1  f  x  dx  1 . Tính tích phân I   f  2017 x  dx . 0 1 . 2017 A. I  0 B. I  0 . 2 Câu 19. Cho tích phân  1 1  0 B. I  a . 4 C. I  a . 2 D. I  2a . (Thpt Hoàng Hoa Thám Hưng Yên 2019) Cho hàm số f  x  liên tục trên  và thỏa mãn  e2 4  tan x. f  cos x  dx  2 và 2  A. 0 . f  ln 2 x  x ln x e 0 Câu 21.  f  x  dx  a . Hãy tính tích phân I   xf x 2  1 dx theo a . A. I  4a . Câu 20. D. I  1 . C. I  2017 . 2 dx  2 . Tính  1 4 B. 1. f  2x dx . x D. 8 . C. 4 .  x 2  3x 2 ; x  1 (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho hàm số y  f  x    . Tính 5  x ; x  1  1 2 I  2  f  sin x  cos xdx  3 f  3  2 x  dx . 0 A. I  0 71 . 6 B. I  31 . D. I  C. I  32 . 32 . 3 2 Câu 22. (THPT Yên Khánh – Ninh Bình- 2019) Cho I   f  x  dx  2 . Giá trị của  f  x  dx  20 . Tính 1  2 sin xf   3cos x  1 3cos x  1 0  dx bằng 4 B.  . 3 A. 2 . C. 4 . 3 D.  2 . 4 Câu 23. (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Biết  f  x  dx  5 1 2  5 và 4 ln 2 f  4 x  3 dx  1 15 A. I  . 4  f e  e 2x 2x dx . 0 B. I  15 . 5 C. I  . 2 D. I  25 . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Câu 24. (Chuyên Thái Bình f ( x ) là Cho 2019) hàm số liên tục  thỏa trên mãn 2 2 f ( x )  f (2  x )  x.e x , x   . Tính tích phân I   f ( x )dx . 0 A. I  Câu 25. e4  1 . 4 B. I  2e  1 . 2 C. I  e 4  2 . D. I  e4  1 . (Chuyên Vĩnh Phúc Năm 2019) Cho hàm số f  x  liên tục trên  thỏa mãn f  2 x   3 f  x  , 2 1 x   . Biết rằng  f  x  dx  1 . Tính tích phân I   f  x  dx . 0 1 A. I  5 B. I  6 C. I  3 D. I  2  Câu 26. Cho hàm số f  x  liên tục trên  và thỏa mãn  tan x. f  cos x  dx  2 và 2 0 2 Tính  f  2x x 1 4 B. 1 . (Chuyên  x ln x e dx  2 . dx . A. 0 . Câu 27. f  ln 2 x  e2 2 KHTN 2019) C. 4 . Cho hàm số D. 8 . f ( x) liên tục  trên thỏa mãn  8 3 2  tan x. f (cos x)dx   0 1 f (3 x) dx  6 . Tính tích phân x A. 4 Câu 28. B. 6 2  1 2 f ( x2 ) dx x C. 7 D. 10 (Chuyên Lê Quý Đôn – Đà Nẵng – 2018) Cho hàm số f  x  liên tục trên  thỏa e 2018 1 2018  f  x  dx  2 . Khi đó tích phân  0 0 A. 4 . x f ln  x 2  1 dx bằng x2  1  B. 1 .  C. 2 . D. 3 .  4 Câu 29. (Chuyên Vĩnh Phúc – 2018) Cho hàm số f  x  liên tục trên  thỏa mãn  f  tan x  dx  3 và 0 1  0 2 x f  x x2  1 1 dx  1. Tính I   f  x  dx. 0 A. I  2 . B. I  6 . C. I  3 . Câu 30. (SGD Thanh Hóa – 2018) Cho hàm số f  x   16 2  cot x. f  sin x  dx   2  f  x  dx  1 . Tính tích phân x 1 B. I  Câu 31.  1 8 4 A. I  3 . 1 3 . 2 D. I  4 . liên tục trên  và thỏa mãn f  4x dx . x C. I  2 . 5 D. I  . 2 (SGD – Nam Định – 2018) Cho hàm số f  x  liên tục trên đoạn 1; 4 và thỏa mãn f  x     ln x . Tính tích phân I  f 2 x 1 x x 4  f  x  dx . 3 Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A. I  3  2 ln 2 2 . Câu 32. B. I  2 ln 2 2 . C. I  ln 2 2 . (Nam Định – 2018) Cho hàm số y  f ( x) D. I  2 ln 2 . liên tục trên 1; 4 và thỏa mãn 4 f (2 x  1) ln x  . Tính tích phân I   f ( x) dx . x x 3 f ( x)  B. I  2 ln 2 2 . A. I  3  2 ln 2 2 . Câu 33. C. I  ln 2 2 . D. I  2 ln 2 . (Chuyên Hùng Vương – Gia Lai – 2020) Cho hàm số f  x  liên tục và là hàm số lẻ trên 0 1 đoạn  2;2 . Biết rằng  f  x  dx  1,  f  2 x  dx  2 .Mệnh đề nào sau đây đúng? 1 2 1 2 A. 1 2 f  x  dx  2  f  x  dx .  2  f  x  dx  4 . 1 2 0 1 C. B. 2 f  x  dx  1 .  D. 0  f  x  dx  3 . 0 1 Câu 34. (Chuyên Sơn La – 2020) Cho f  x  là hàm số liên tục trên  thỏa f 1  1 và 1  f  t  dt  3 . 0 Tính  2 I   sin 2 x. f   sin x  dx 0 A. I  Câu 35. 4 . 3 (Chuyên f 9  B. I  Vĩnh  x  dx  4, x 1 Phúc  2  hàm số 0 f  x liên 1 . 3 tục trên  và 0 C. I  10 . B. I  4 . (Sở Hưng Yên – 2020) Cho D. I  2 . f  x  liên tục trên  thỏa mãn f  x   f  2020  x  và 2017  f  x dx  4. Khi đó  3 xf  x dx bằng 3 A. 16160. B. 4040. C. 2020. D. 8080. (Sở Phú Thọ – 2020) Cho hàm số f  x  có đạo hàm và xác định trên  . Biết f 1  2 và  1 0 x 2 f   x  dx   4 1 A. 1. Câu 38. Cho 2020) D. I  3 2017 Câu 37. 2 3 C. I   f sin x  cos xdx  2 . Tính tích phân I   f  x dx . A. I  6 . Câu 36. – 2 . 3 1 3 x f 2  x dx  4 . Giá trị của 2 x 5 3 B. . C. . 7 7   (Sở Yên Bái – 2020) Cho hàm số 4 xf ( x 2 )  6 f (2 x)  A. 52 . 25 3 3 x  4 . Giá trị 5 B. 52. 1  f  x  dx bằng 0 D. y  f ( x) liên tục trên 1 . 7  và thỏa mãn 4  f ( x)dx bằng 0 C. 48 . 25 D. 48. Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Câu 39. (Đô Lương 4 f  x  liên tục trên – Nghệ An – 2020) Cho 1  và thỏa mãn 2 f  2   16,  f  2 x  dx  2 . Tích phân  xf   x dx bằng 0 0 A. 30 . B. 28 . C. 36 . D. 16 .  2 Câu 40. (Kim Liên – Hà Nội – 2020) Cho hàm số f  x  liên tục trên đoạn  0;1 và  f sin x  dx  5 . 0  Tính I   xf  sin x dx 0 5 A. I   . 2 Câu 41. B. I  10 . (THPT Hoàng Hoa Thám – Hưng Yên 2019) Cho hàm số f  x  liên tục trên  , thỏa mãn  4 0  tan x. f  cos x  d x  2 và 2 A. 0 . Câu 42. D. I  5 . C. I  5 .  e2 f  ln x 2  x ln x e d x  2 . Tính B. 1.  2 1 4 f  2x dx. x C. 4 . D. 8 . (Hùng Vương Gia Lai 2019) Cho hàm số y  f ( x) liên tục trên 1   3 ;3 thỏa 3 f ( x) 1 3 dx bằng: mãn f ( x)  x. f    x  x . Giá trị tích phân I   2  x 1 x  x 3 8 16 A. . B. . 9 9 Dạng 1.2 Giải bằng phương pháp từng phần C. 2 . 3 D. 3 . 4 u  g  x  g x f ‘ x d x ta sẽ đặt      a dv  f ‘  x  dx b Thông thường nếu bài toán xuất hiện 1 Câu 43. (Đề tham khảo 2017) Cho hàm số f  x  thỏa mãn   x  1 f   x  dx  10 và 2 f 1  f  0   2 . 0 1 Tính  f  x  dx . 0 A. I  12 Câu 44. (Mã 104 – 2019) Cho hàm số 1 3 và  xf  3 x  dx  1 , khi đó Câu 45. C. I  1 B. I  8 x 2 0 0 25 A. . 3 B. 3 . D. I  8 f  x  có đạo hàm liên tục trên  . Biết f  3   1 f   x  dx bằng C. 7 . D. 9 . (Mã 101 – 2019) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên . Biết f  4   1 và  1 0 xf  4 x  dx  1, khi đó  4 0 x 2 f   x  dx bằng Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A. 8. Câu 46. B. 14. 1 6  xf  6 x  dx  1 , khi đó  x f   x  dx bằng 0 0 2 107 . 3 (Mã 102 – 2019) Cho hàm số D. 36 . f ( x) có đạo hàm liên tục trên  . Biết f (5)  1 và 5  x xf (5 x)dx  1 , khi đó 0 2 f ( x)dx bằng 0 A. 15 B. 23 C. 123 5 D. 25 (Chuyên ĐH Vinh – Nghệ An -2020) Cho f  x  là hàm số có đạo hàm liên tục trên  0;1 và f 1   A.  Câu 49. C. 24 . B. 34 . 1 Câu 48. D. 16 . (Mã 103 – 2019) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  . Biết f  6   1 và A. Câu 47. 31 C. . 2 1 , 18 1  x. f   x  dx  0 1 . 12 B. 1 . Giá trị của 36 1  f  x  dx bằng 0 1 . 36 C. 1 . 12 (Sở Phú Thọ – 2020) Cho hàm số f  x  có f 1  e 2 và f   x   D.  1 . 36 2x 1 2x e với mọi x khác 0 . x2 ln 3 Khi đó  xf  x  dx bằng 1 A. 6  e 2 . Câu 50. B. 6  e2 . 2 C. 9  e2 . D. 9  e2 . 2 (HSG Bắc Ninh 2019) Cho hàm số y  f ( x ) có đạo hàm liên tục trên  và thỏa mãn 2 1 f (2)  16,  f ( x) dx  4 . Tính I   xf (2 x)dx . 0 A. I  20 Câu 51. B. I  7 C. I  12 D. I  13 (THCS – THPT Nguyễn Khuyến 2019) Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục trên  0;1 thỏa mãn A. Câu 52. 0  1 0 5 . 12 x 2 f  x  dx   1 , f 1  0 và 21 1 B.  . 5  1 0 1 2 1  f ‘  x   dx  . Giá trị của  f  x  dx bằng 0 7 4 7 C. . D.  . 5 10 (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị -2019) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  và thỏa mãn 1  0 1 f  x  dx  1, f 1  cot1 . Tính tích phân I    f  x  tan 2 x  f   x  tan x  dx . A. 1 . 0 B. 1  ln  cos1 . C. 0. D. 1  cot1 . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 7 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Câu 53. f  x (THPT Ngô Sĩ Liên Bắc Giang 2019) Cho hàm số 1 thỏa mãn f 1  0 , 2  x f  x  dx  0 A. 1 1 Tính 3 có đạo hàm liên tục trên đoạn  0 ;1 1 3  x f ‘  x  dx . 0 C. 3 B. 1 D. 3  2  x  cos x  2m dx=2 Câu 54. Biết m là số thực thỏa mãn 2   0 A. m  0 . Câu 55. B. 0  m  3 .  1 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? C. 3  m  6 . D. m  6 . (Đề Tham Khảo 2018) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên  0;1 thỏa mãn 1 f 1  0, 1 2   f ( x)  dx  7 và 0 A. 4 Câu 56. 2 B. 2  x f ( x)dx  0 1 . Tính tích phân 3 7 5 1  f ( x)dx 0 C. 1 7 4 D. (THPT Đoàn Thượng – Hải Dương -2019) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 1 1 1 0 0 0 0;1 và f  0   f 1  0 . Biết  f 2  x  dx  1 ,  f   x  cos  x  dx   . Tính  f  x  dx . 2 2 A.  . Câu 57. B. 3 . 2 0 A. 7 5 1 D.  . 1 0 x f  x  dx  3 . Tích phân 2 B. 1 C. 1  f  x  dx bằng 0 7 4 D. 4 (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 thỏa mãn 1 f 1  4 , 1 2   f   x  dx  36 và 0 A. 5 6 B.  x. f  x  dx  0 3 2 1 . Tích phân 5 1  f  x  dx bằng 0 C. 4 2 3 D. (Chuyên Vĩnh Phúc Năm 2019) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0; 2 thỏa 2 2 2 mãn f  2   3 ,   f   x   dx  4 và 0 A. Câu 60.  . 1 2 f 1  0 ,   f   x   dx  7 và Câu 59. 2 (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 thỏa mãn 1 Câu 58. C. 2 115 B. 297 115 1 0 x f  x  dx  3 . Tích phân 2 C. 562 115 2  f  x  dx bằng 0 266 115 D. ( Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 thỏa mãn 1 f 1  4 , 1 2   f   x  dx  5 và 0 A. 15 19 B. 17 4 1 0 x. f  x  dx   2 . Tích phân C. 17 18 1  f  x  dx bằng 0 D. 15 4 Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 61. (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0; 2 thỏa mãn 2 f  2  6 , 2 2   f   x  dx  7 và 0 A. 8 Câu 62. 0 17 . Tích phân 2 B. 6 2  f  x  dx bằng 0 C. 7 D. 5 (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;3 thỏa mãn 3 f  3  6 , 3 2   f   x  dx  2 và 0 A. Câu 63.  x. f  x  dx  53 5 B. 2  x . f  x  dx  0 117 20 3 154 . Tích phân 3 C.  f  x  dx bằng 0 153 5 D. 13 5 ( Chuyên Vĩnh Phúc Năm 2019) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 thỏa 1 mãn f 1  2 , 2   f   x  dx  8 và 0 1 1 3  x . f  x  dx  10 . Tích phân  f  x  dx bằng 0 0 194 584 2 116 B. C. D. 95 285 285 57 Câu 64. ( Bắc Giang – 2018) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 thỏa mãn f 1  0 và A.  1 2 1 1 x   f   x  dx    x  1 e f  x  dx  0 0 A. I  2  e . Câu 65. D. I  e 1 . 2     (Nam Định – 2018) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;  và f    0 .  4 4  4 Biết  f 2  x  dx  0  8  4 , f   x  sin 2xdx    0  4 1 B. I  . 2 A. I  1 . 8 . Tính tích phân I   f  2 x  dx 0 C. I  2 . D. I  1 . 4 (Chuyên Vinh – 2018). Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 1 f  0   f 1  0 . Biết 1 f 2  x  dx  , 2  0 A.  . Câu 67. e C. I  . 2 B. I  e  2 .  Câu 66. e2  1 . Tính tích phân I   f  x  dx . 4 0 B. 1  1  f   x  cos  x  dx  0 . C. 2  .  2  0;1 và 1 . Tính  f  x  dx . 0 D. 3 . 2   (THPT Trần Phú – Đà Nẵng – 2018) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm và liên tục trên 0;   4    thỏa mãn f    3 , 4 4 f  x  cos x dx  1 và 0   4 4  sin x. tan x. f  x  dx  2 . Tích phân  sin x. f   x  dx 0 0 bằng: A. 4 . B. 23 2 . 2 C. 1 3 2 . 2 D. 6 . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 9 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 1 Câu 68. Cho hàm số f  x  có đạo hàm f   x  liên tục trên đoạn  0;1 thỏa f 1  0 ,   f   x  2 dx  2 0 1  và  cos  2 0 A. Câu 69.  2 1 1  x  f  x  dx  . Tính 2   f  x  dx . 0 B.  . . C. 1  . D. 1 1 2   f   x  dx  9 và 0 A. 2 . 3 B.  . 3  x f  x  dx  0 5 . 2 C. 1 . Tích phân 2 1  f  x  dx bằng: 0 7 . 4 D. 6 . 5 (THPT Phan Chu Trinh – Đắc Lắc – 2018) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 1 1 e2  1 và f 1  0 . Tính  0;1 thỏa mãn   f   x  dx    x  1 e f  x  dx  4 0 0 A. Câu 71. 2 (Chuyên Trần Phú – Hải Phòng – 2018) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 thỏa mãn f 1  1 , Câu 70. 8 2 x 2 e 1 . 2 B. e . 4 C. e  2 . D. 1  f  x dx 0 e . 2 (Sở Phú Thọ – 2018) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 1; 2  thỏa mãn 2   x  1 2 1 1 f  x  dx   , f  2   0 và 3 2   f   x  2 2 dx  7 . Tính tích phân I   f  x  dx . 1 1 7 7 7 7 A. I  . B. I   . C. I   . D. I  . 5 5 20 20 Câu 72. (THPT Quảng Yên – Quảng Ninh – 2018) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 1 0;1 thỏa mãn: f 1  0,   f   x  2 1 dx  7 và 0 A. I  1 . Câu 73. 0 B. I  7 . 5 1 . Tính tích phân I   f  x  dx . 3 0 C. I  4 . D. I  7 . 4 (Yên Phong 1 – 2018) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên  0;1 thỏa mãn 1 2 4 và f 1  3,   f   x   dx  11 0 A. Câu 74. 1 2  x . f  x  dx  35 . 11 B. 1 4  x f  x  dx  0 65 . 21 7 . Giá trị của 11 C. 1  f  x  dx là 0 23 . 7 D. 9 . 4 (THPT Bình Giang – Hải Dương – 2018) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên 1; 2 và 2 thỏa mãn f  2   0,   f   x  1 2 dx  5 2 và  ln 12 3 2 f  x   x  1 1 2 dx   5 3  ln . Tính tích phân 12 2 2  f  x  dx. 1 A. 3 2  2 ln . 4 3 B. ln 3 . 2 C. 3 3  2 ln . 4 2 D. 3 3  2 ln . 4 2 Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 75. (Sở Bạc Liêu – 2018) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  0;1 thỏa mãn f 1  0 , 1 2   f ‘( x) dx  0 A. Câu 76. 4  ln 3 và 3 1  3ln 3 . 3 4 f  x 8 0  2 x  12 dx  2 ln 3  3 . Tính tích phân B. 4  ln 3 . 3 C. 1  0 f  x dx bằng. 4  ln 3 . 16 D.  ln 3 . 16 (Sở Hưng Yên – 2018) Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục trên  0;1 thỏa mãn f  0   1 ; 1 1 2   f   x  dx  0 A. Câu 77. 1 1 1 và   2 x  1 f  x  dx   . Tích phân 30 30 0 11 . 30 B. 11 . 12 C. 1  f  x  dx bằng 0 11 . 4 D. 1 . 30   (Sở Nam Định – 2018) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;  và  4   f    0 . Biết 4   4 4  f 2  x  dx  0 A. I  1 .  8 B. I  ,   f   x  sin 2 xdx    0 1 . 2 4 8 . Tính tích phân I   f  2 x  dx . 0 C. I  2 . D. I  1 . 4 2 Câu 78. Cho hàm số f  x  liên tục, có đạo hàm trên  , f  2   16 và  f  x  dx  4 . Tích phân 0 4 x  xf   2  dx bằng 0 A. 112 . Câu 79. B. 12 . D. 144 . C. 56 . f  x  liên tục trên  và (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Cho hàm số 2 1 f  2   16,  f  x  dx  4 . Tính I   x. f   2 x  dx . 0 A. 7 . Câu 80. 0 B. 12 . C. 20 . (Chuyên Bắc Ninh – 2020) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  và thỏa mãn 1  0 1 f  x dx  10 , f 1  cot1 . Tính tích phân I    f  x  tan 2 x  f   x  tan x dx . 0 A. 1  ln  cos1 . Câu 81. D. 13 . C. 9 . B. 1 . D. 1  cot1 . (Chuyên Lào Cai – 2020) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  0;3 thỏa mãn 3 2 7 f  3  0 ,   f ‘  x   dx  và 6 0 A.  7 . 3 B. 97 . 30 3  0 f  x 7 dx   . Tích phân 3 x 1 C. 7 . 6 3  f  x  dx bằng: 0 D. 7 . 6 Câu 82. (Chuyên – Vĩnh Phúc – lần 3 – 2019) Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên (0; 1) thỏa 1 1 1 9 x 3 mãn f(0) = 0 và  f 2 ( x) d x  ;  f ‘( x).cos . Tính  f ( x) dx bằng: dx  2 0 2 4 0 0 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 A. Câu 83. 2  . B. 1  . C. 6  . D. 4  . (Hậu Lộc 2-Thanh Hóa- 2019) Cho hàm số f  x  nhận giá trị dương và có đạo hàm liên tục  0;1 sao 1  2 x3  3×2  f   x  dx . I  f  x 0 trên đoạn f 1  1 cho và f  x  . f 1  x   e x 2 x x   0;1 . , Tính 1 1 1 1 . B. I  . C. I   . D. I  . 60 10 10 10 (Sở Nam Định-2019) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên 1; 2  và thỏa mãn: A. I   Câu 84. 2 2 f  2   0,   f ( x )  dx  1 A. 3 3  2 ln . 4 2 2 f ( x) 5 3 1 ( x  1)2 dx   12  ln 2 . Tính tích phân 5 2  ln và 12 3 B. ln 2 . 3 C. 3 2  2 ln . 4 3 D. 2  f  x dx . 1 3 2  2 ln . 4 3 2 1 Câu 85. Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm liên tục trên [0;1] thỏa mãn f (1)  3,   f ‘( x)  dx  0 1 x 1 4 f ( x ) dx  0 A. 35 . 11 7 . Giá trị của  f ( x )dx là: 11 0 65 B. . 21 C. 23 . 7 D. Câu 86. Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 1; 2 và thỏa mãn f 1  0 , A. Câu 87. 4 và 11  2 1 2 1  f   x   dx  . Tính 7  19 . 60 B. 7 . 120  2 1 9 . 4 1   x  2 f  x  dx   21 , 2 2 1 xf  x  dx . C. 1 . 5 D. 13 . 30 (Chuyên ĐH Vinh- 2019) Giả sử hàm số f  x  có đạo hàm cấp 2 trên  thỏa mãn 1 f 1  f  1  1 và f 1  x   x 2 . f   x   2 x với mọi x   . Tính tích phân I   xf   x dx . 0 A. I  1 . B. I  2 . 1 C. I  . 3 2 D. I  . 3 Dạng 1.3 Biến đổi Dạng 1. Bài toán tích phân liên quan đến đẳng thúrc u ( x) f  ( x)  u ‘ ( x) f ( x)  h( x) Phương pháp: Dễ dàng thấy rằng u ( x) f  ( x)  u  ( x) f ( x)  [u ( x) f ( x)] Do dó u ( x) f  ( x)  u  ( x) f ( x)  h( x)  [u ( x) f ( x)]  h( x ) Suy ra u ( x) f ( x)   h( x)dx Từ đây ta dễ dàng tính được f ( x) Dang 2. Bài toán tích phân liên quan đến biếu thúrc f  ( x)  f ( x)  h( x) Phương pháp:  Nhân hai vế vói e x ta durọc e x  f  ( x)  e x  f ( x)  e x  h( x)  e x  f ( x)   e x  h( x) Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Suy ra e x  f ( x)   e x  h( x)dx Từ đây ta dễ dàng tính được f ( x) Dang 3. Bài toán tích phân liên quan đến biếu thúc f  ( x)  f ( x )  h( x ) Phương pháp:  Nhân hai vế vói e  x ta durọc e x  f  ( x)  e x  f ( x)  e x  h( x)  e x  f ( x)   e x  h( x) Suy ra e  x  f ( x)   e  x  h( x)dx Từ đây ta dễ dàng tính được f ( x) Dạng 4. Bài toán tích phân liên quan đến biếu thúrc f  ( x)  p ( x)  f ( x)  h( x) (Phương trình vi phân tuyên tinh cấp 1) Phương pháp: p ( x ) dx Nhân hai vế với e  ta được f  ( x)  e  p ( x ) dx  p ( x)  e  Suy ra f ( x)  e  p ( x ) dx p ( x ) dx   e  f ( x)  h( x)  e  p ( x ) dx p ( x ) dx   f ( x)  e   p ( x ) dx    h( x)  e  p ( x ) dx  h( x)dx Từ đây ta dễ dàng tính được f ( x) Dang 5. Bài toán tích phân liên quan đến biếu thúc f  ( x)  p ( x)  f ( x)  0 Phương pháp: f  ( x) f  ( x) Chia hai vế với f ( x) ta đựơc  p( x)  0    p( x) f ( x) f ( x) f  ( x)  f ( x) dx    p( x)dx  ln | f ( x) |   p( x)dx Từ đây ta dễ dàng tính được f ( x) Suy ra Dạng 6. Bài toán tích phân liên quan đến biểu thức f  ( x)  p ( x)  [ f ( x)]n  0 Phương pháp: f  ( x) f  ( x) Chia hai vế với [ f ( x)]n ta được  p ( x )  0    p ( x) [ f ( x)]n [ f ( x)]n Suy ra f  ( x) [ f ( x)] n 1 d x   p ( x )d x     p ( x)dx  [ f ( x)]n  n  1 Câu 88. (Mã 102 2018) Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn f (2)   2 1 và f ( x)  x  f ( x) với mọi x  . Giá 3 trị của f (1) bằng A.  Câu 89. 2 3 B.  2 9 C.  7 6 (Mã 104 2018) Cho hàm số f  x  thỏa mãn f  2    D.  11 6 2 1 và f   x   x 3  f  x   với mọi x   . 5 Giá trị của f 1 bằng A.  4 35 Câu 90. (Minh B.  họa 2020 Lần 71 20 1) C.  Cho hàm 79 20 f  x số D.  liên tục 4 5 trên  thảo mãn 0 xf  x3   f 1  x 2    x10  x 6  2 x, x   . Khi đó  f  x dx ? 1 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 A. 17 . 20 B. 13 . 4 C. 17 . 4 D. 1 . 6 . Khi đó 3x  1   Câu 91. Cho hàm số f  x  liên tục trên  0;1 thỏa mãn f 1  x   6 x 2 f x3  bằng A. 4 . B. 1. C. 2 . 1  f  x  dx 0 D. 6 . Câu 92. Cho hàm số f  x  xác định và liên tục trên  0 thỏa mãn x f 2 2  x    2 x  1 f  x   xf ‘  x   1 , 2 với mọi x   0 đồng thời thỏa f 1  2 . Tính  f  x dx 1 ln 2 1 . A.  2 Câu 93. Cho 1 B.  ln 2  . 2 hàm 3 C.  ln 2  . 2 f  x số liên ln 2 3  . 2 2 D.  tục  trên thỏa mãn 2 3 3 1 f  x    x 2  1 f  x3  x    x5  4 x3  5×2  7 x  6, x   . Tích phân  f  x  dx bằng 4 2 4 1 1 1 19 A. . B. . C. 7 . D.  . 7 3 3 Câu 94. Cho hàm số  f   x  2 f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 thỏa mãn f 1  1 và 1  4  6 x 2  1 . f  x   40 x6  44 x 4  32 x 2  4, x   0;1 . Tích phân  f  x dx bằng? 0 A. 23 . 15 Câu 95. Cho B. hàm số f ( x) 13 . 15 có C.  đạo hàm liên 17 . 15 tục D.   trên và 7 . 15 thỏa mãn f (0)  3 và 2 f ( x)  f (2  x)  x 2  2 x  2, x   . Tích phân  xf ( x)dx bằng 0 A. 4 . 3 B. 2 . 3 C. 5 . 3 Câu 96. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên 3 4 x 3 f  x    f   x    x 3 , x   2; 4 , f  2   A. 40 5  1 . 2 Câu 97. Cho hàm  f   x 2 B. số f  x 20 5  1 . 4 có đạo  2;4 và  10 3 f   x   0, x   2;4 . Biết 7 . Giá trị của f  4  bằng 4 C. hàm D. 20 5  1 . 2 liên tục trên D.  0; 2 40 5  1 . 4 và thỏa f 1  0 , 1  4 f  x   8 x 2  32 x  28 với mọi x thuộc  0; 2 . Giá trị của  f  x  dx bằng 0 5 A.  . 3 B. 4 . 3 Câu 98. Cho hàm số f  x  liên tục trên C.  0;1 2 . 3 và f  x   f 1  x   D.  14 . 3 x2  2x  3 , x   0;1 . Tính x 1 1  f  x  dx 0 Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 3 A.  2 ln 2 . 4 3 C.  ln 2 . 4 B. 3  ln 2 . Câu 99. Cho hàm số y  f ( x ) liên tục trên D. 3  2 ln 2 . 2 thỏa mãn 3 f  x   f  2  x   2  x  1 e x 2  2 x 1  4 . Tính tích 2 phân I   f  x  dx ta được kết quả: 0 A. I  e  4 . Câu 100. Cho C. I  2 . B. I  8 . hàm f  x số liên tục D. I  e  2 .  trên thỏa mãn 0 xf  x5   f 1  x4   x11  x8  x6  3x 4  x  3, x   . Khi đó  f  x dx bằng 1 A. 35 . 6 B.  15 . 4 C.  7 . 24 D. 5 . 6  2   2 2   ;1 . Khi đó  3 x  ,  x Câu 101. Cho hàm số f  x  liên tục trên  ;1 và thỏa mãn 2 f  x   5 f    5 x   5   5   I A. 1 3 ln 3 x. f ‘  3 x dx bằng: 2 15 1 2 3 . ln  5 5 35 B. 1 5 3 . ln  5 2 35 C.  1 5 3 . ln  5 2 35 D.  1 2 3 . ln  5 5 35 Câu 102. Cho hàm số f  x  liên tục trên  và thỏa mãn f  x   2 xf  x 2   2 x 7  3 x 3  x  1 với x   . 1  xf   x dx . Tính tích phân 0 A. 1 . 4 B. 5 . 4 C. 3 . 4 1 D.  . 2 Câu 103. Cho hàm số f  x  liên tục trên  thỏa mãn 4 3  2x  2   x  x  4x  4 x2 f 1  x   2 f   , x  0, x  1 . Khi đó  x  x  1 A. 0 . B. 1. C. . 2 Câu 104. Cho hàm f  x số liên tục trên 1  f  x  dx có giá trị là 1 D. 3 . 2  thỏa mãn 2 3 3 1 f  x    x 2  1 f  x3  x    x5  4 x3  5 x2  7 x  6, x   . Tích phân  f  x  dx bằng 4 2 4 1 1 1 19 A. . B. . C. 7 . D.  . 7 3 3 Câu 105. (Chuyên Biên Hòa – Hà Nam – 2020) Cho hàm số f ( x ) liên tục trên  1; 2 và thỏa mãn điều kiện f ( x )  x  2  xf  3  x 2  . 2 Tích phân I   f ( x)dx bằng 1 14 A. I  . 3 B. I  28 . 3 C. I  4 . 3 D. I  2 . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Câu 106. (Hậu Lộc 2 – Thanh Hóa – 2020) Cho hàm số f  x  có đạo hàm cấp hai trên đoạn  0;1 đồng thời thỏa mãn các điều kiện 2 f   0   1, f   x   0,  f   x    f   x  , x   0;1 . Giá trị f  0   f 1 thuộc khoảng A. 1; 2  . B.  1; 0  . Câu 107. (Chuyên Bến Tre – C.  0;1 . Cho 2020) hàm D.  2; 1 . số thỏa y  f ( x) mãn 2  f ‘ ( x)   f ( x). f ” ( x )  x 3  2 x, x  R và f (0)  f ‘ (0)  2 . Tính giá trị của T  f 2 (2) 160 268 4 268 A. B. C. D. 15 15 15 30 Câu 108. (Chuyên Thái Bình – 2020) Cho f  x là hàm số liên tục trên tập xác đinh   và thỏa mãn 5 f  x  3 x  1  x  2 . Tính I   f  x dx 2 1 A. 37 . 6 B. 527 . 3 C. 61 . 6 D. 464 . 3 Câu 109. (Chuyên Chu Văn An – 2020) Cho hàm số y  f  x  liên tục, có đạo hàm trên R thỏa mãn điều     kiện f ( x )  x  f  ( x )  2 sin x   x 2 cos x, x  R và f    .Tính 2 2 A. 0 . B.  2 . 2  xf   x  dx 0 D.  . C. 1 . Câu 110. (Chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định – 2020) Cho hàm số f  x  thỏa mãn f  0    1  x  x  1 f ‘  x   1, x  1. Biết rằng a 2 b với a, b  . Tính T  a  b. 15  f  x  dx  0 A. 8. B. 24. C. 24. Câu 111. (Chuyên Hưng Yên – 2020) Cho hàm số 2 và 3 D. 8. f  x  liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn 1 4 x. f  x 2   3 f 1  x   1  x 2 . Tính I   f  x  dx . 0 A.  4 . B.  16 . C.  20 . D.  6 . Câu 112. (Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm – Quảng Nam – 2020) Cho hàm số f  x  liên tục trên khoảng 5  0;   . Biết f  3  3 và 3 xf ‘  2 x  1  f  2 x  1  x , x   0;   . Giá trị của  f  x  dx bằng 3 A. 914 . 3 B. 59 . 3 C. 45 . 4 D. 88 . Câu 113. (Chuyên Thái Bình – 2020) Cho hàm số f  x  có đạo hàm và đồng biến trên 1;4 , thỏa mãn 4 2 3 x  2 xf  x    f   x   với mọi x  1;4 . Biết f 1  , tính I   f  x dx 2 1 Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 1188 A. . 45 1187 B. . 45 1186 C. . 45 D. 9 . 2 Câu 114. (Chuyên Thăng Long – Đà Lạt – 2018) Cho hàm số f  x  liên tục trên  thảo mãn: 4 7 f  x   4 f  4  x   2018 x x 2  9 ,  x   . Tính I   f  x  dx . 0 A. 2018 . 11 B. 7063 . 3 98 . 3 C. Câu 115. (THPT Ba Đình 2019) Hàm số D. 197764 . 33 f  x  có đạo hàm đến cấp hai trên  thỏa mãn: 2 f 2 1  x    x 2  3 f  x  1 . Biết rằng f  x   0, x   , tính I    2 x  1 f ”  x  dx . 0 A. 8 . B. 0 . C. 4 . D. 4 . Câu 116. Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm liên tục trên  thỏa mãn x. f ( x). f ‘( x)  f 2 ( x)  x, x   và 2 có f (2)  1 . Tích phân f 2 ( x) dx 0 A. 3 2 B. 4 3 C. 2 D. 4 Câu 117. (THPT Đông Sơn Thanh Hóa 2019) Cho hàm số f  x  nhận giá trị không âm và có đạo hàm 2 liên tục trên  thỏa mãn f   x    2 x  1  f  x   , x   và f  0   1 . Giá trị của tích phân 1  f  x dx bằng 0 1 . 6 A.  C.  B.  ln 2 .  3 9 D.  . 2 3 . 9 Câu 118. Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  , f  0   0, f ‘  0   0 và thỏa mãn hệ   thức f  x  . f ‘  x   18 x 2  3x 2  x f ‘  x    6 x  1 f  x  ;   . 1 Biết   x  1 e f  x dx  ae2  b,  a, b    .Giá trị của a  b bằng 0 A. 1. B. 2. C. 0. Câu 119. (Chuyên Trần Phú Hải Phòng 2019) Cho hàm số D. 2 . 3 f  x  thỏa mãn f  x   0 và 2 2  f  x   1 1 f  x  f  x    x   0;1 . Biết f    , khẳng định nào sau đây đúng? x 2 2 2 e .x. x  x 1 1 A. f    5 4 B. 1 1 1  f   6 5 5 C. 1 1 1  f   5 5 4 1 1 D. f    5 6 Câu 120. Cho hàm số f  x  liên tục và nhận giá trị không âm trên đoạn 0;1 . Giá trị nhỏ nhất của biểu 1 1 thức M    2 f  x   3 x  f  x dx    4 f  x   x  xf  x dx bằng 0 0 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 17 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 A.  1 24 B.  1 8 C.  1 12 D.  1 6 Câu 121. (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương -2019) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  , f  0   0, f   0   0 và thỏa mãn hệ thức f  x  . f   x   18 x 2   3 x 2  x  f   x    6 x  1 f  x  , x   . 1 Biết   x  1 e f  x  dx  a.e 2  b , với a; b   . Giá trị của a  b bằng. 0 A. 1. C. 0 . B. 2 . D. 2 . 3  1 1 Câu 122. (Bắc Ninh 2019) Cho hàm số f  x  liên tục và có đạo hàm trên   ;  thỏa mãn  2 2 1 2 1 2 109 2 1  f  x   2 f  x  .  3  x   dx   12 . Tính  f  x dx . 2 1 x 0 2 A. ln 7 . 9 B. ln 2 . 9 5 C. ln . 9 8 D. ln . 9   Câu 123. (Chuyên Hùng Vương – Phú Thọ – 2018) Cho hàm số f  x  xá định trên 0;  thỏa mãn  2   2 2  2   2   0  f  x   2 2 f  x  sin  x  4  d x  2 . Tích phân A.  4 .  f  x d x C. 1 . B. 0 . bằng 0 D.  2 . Câu 124. (THPT Hậu Lộc 2 – TH – 2018) Cho số thực a  0 . Giả sử hàm số f ( x) liên tục và luôn dương a 1 dx ? 1 f  x 0 trên đoạn  0; a  thỏa mãn f ( x). f (a  x)  1 . Tính tích phân I   A. I  2a . 3 B. I  a . 2 C. I  a . 3 D. I  a . Câu 125. (Chuyên Phan Bội Châu – Nghệ An – 2018) Xét hàm số f  x  liên tục trên đoạn  0;1 và thỏa 1 mãn 2 f  x   3 f 1  x   1  x . Tích phân  f  x  dx bằng 0 2 A. . 3 1 B. . 6 C. 2 . 15 D. 3 . 5 Câu 126. (Hà Tĩnh – 2018) Cho hàm số f  x  đồng biến, có đạo hàm đến cấp hai trên đoạn  0; 2 và thỏa 2 2 mãn  f  x    f  x  . f   x    f   x    0 . Biết f  0   1 , f  2   e6 . Khi đó f 1 bằng 3 A. e2 . B. e 2 . 5 C. e3 . D. e 2 . Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 127. (THPT Hàm Rồng – Thanh Hóa – 2018) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên  0;3 ; f  3  x  . f  x   1, f  x   1 x. f   x  3  1  f  3  x  0 2 2  . f  x  A. 1 . với x   0;3 mọi và f  0  1 . 2 Tính tích phân: dx . B. 5 . 2 C. 1 . 2 3 . 2 D. Câu 128. (Sở Bình Phước – 2018) Cho số thực a  0 . Giả sử hàm số f  x  liên tục và luôn dương trên a 1 dx ? 1 f  x 0 đoạn  0;a  thỏa mãn f  x  . f  a  x   1 . Tính tích phân I   A. I  a . 3 B. I  a . 2 D. I  C. I  a . 2a . 3 Câu 129. (THCS&THPT Nguyễn Khuyến – Bình Dương – 2018) Cho hàm số y  f  x  là hàm số lẻ trên  1  f  x  và đồng thời thỏa mãn hai điều kiện f  x  1  f  x   1 , x   và f    2 , x  0 . x x 1 f  x .dx . Hãy chọn khẳng định đúng về giá trị của I . Gọi I   2 f  x 1 0 A. I   1;0  . B. I  1; 2  . C. I   0;1 . Câu 130. (ĐHQG Hà Nội – 2020) Cho hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn 1  1 f ( x)dx  2 và 0 A.  xf ( x)dx  0 27 . 4 B. 3 . Hỏi giá trị nhỏ nhất của 2 34 . 5 D. I   2; 1 . 0;1 thỏa mãn điều kiện 1 f 2 ( x) dx bằng bao nhiêu? 0 C. 7. D. 8. Câu 131. (Sở Phú Thọ – 2020) Cho hàm số f  x   0 và có đạo hàm liên tục trên  , thỏa mãn f  x 2  ln 2  và f  0     . Giá trị f  3  bằng x2  2  2 1 1 2 2 A.  4ln 2  ln 5 . B. 4  4ln 2  ln 5 . C.  4ln 2  ln 5  . 2 4  x  1 f   x   2 D. 2  4ln 2  ln 5 . Câu 132. (Sở Phú Thọ – 2020) Cho hàm số f  x  liên tục trên khoảng f  x 2  1  f  x   2 x  1 ln  x  1 . Biết 4x x a  b  2c bằng 29 A. . 2 2x  0;   và thỏa mãn 17  f  x  dx  a ln 5  2 ln b  c với a, b, c   . Giá trị của 1 B. 5 . C. 7 . D. 37 . Câu 133. (THPT Nguyễn Viết Xuân – 2020) Cho hàm số f  x  liên tục trên đoạn  0;1 thỏa mãn 1 6 x 2 f  x3   4 f 1  x   3 1  x 2 . Tính  f  x  dx . 0 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 19 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 A.  8 . B.  20 . C.  16 . Câu 134. (Yên Lạc 2 – Vĩnh Phúc – 2020) Cho hàm số D.  4 . y  f  x  liên tục trên  . Biết 2 f  4x  f  x  4×3  2x và f  0  2 . Tính I   f  x  dx . 0 147 A. . 63 149 B. . 63 C. 148 . 63 D. 352 . 63 Câu 135. (Kìm Thành – Hải Dương – 2020) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên 1;2 thỏa mãn 2   x  1 1 2 1 f  x  dx   , f  2   0 và 3 7 A. I  . 5 2 2 2   f   x  dx  7 . Tính tích phân I   f  x  dx . 7 B. I   . 5 1 1 7 C. I   . 20 7 . 20 D. I  Câu 136. (Lương Thế Vinh – Hà Nội – 2020) Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  và thảo mãn 1 1 sin x f  cos x   cos x f  sin x   sin 2 x  sin 3 2 x với x   . Tính tích phân I   f  x  dx bằng 3 0 1 7 1 . B. 1. C. . D. . 6 18 3 Câu 137. (Chuyên Lam Sơn 2019) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  0;   . Biết f  0   2e và A.  f  x  thỏa mãn hệ thức f   x   sin x. f  x   cos x.ecos x , x   0;   . Tính I   f  x  dx (làm tròn 0 đến hàng phần trăm). A. I  6,55 . B. I  17,30 . C. I  10,31. D. I  16,91. Câu 138. (Chuyên Thái Bình – 2019) Cho hàm số f  x  liên tục và nhận giá trị dương trên  0;1 . Biết 1 dx 1 f  x 0 f  x  . f 1  x   1 với x   0;1 . Tính giá trí I   A. 3 . 2 B. 1 . 2 C. 1. D. 2 . Câu 139. (THPT Cẩm Bình 2019) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên khoảng  0;   thỏa mãn 5   x3 f  x   x.ln  và . Tính tích phân I  f 1  0   1 f  x  dx .  x . f x  f x       A. 12 ln13  13 . B. 13ln13  12 . C. 12 ln13  13 . D. 13ln13  12 . Câu 140. Cho hàm số  0;1 f  x  không âm, có đạo hàm trên đoạn và thỏa mãn 1  2 f  x   1  x 2  f   x   2 x 1  f  x   , x   0;1 . Tích phân  f  x  dx bằng 0 A. 1. B. 2. C. 1 . 3 D. 3 . 2 Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ f 1  1 , TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 141. (Kinh Môn – Hải Dương 2019) Cho hàm số f  x  liên tục trên  1;0 thỏa mãn điều kiện f 1  2 ln 2 và x.  x  1 . f   x   f  x   x 2  x 1 . Biết f  2   a  b.ln 3   a, b    . Giá trị  của 2 a 2  b 2 là: A. 27 . 4 B. 9 . C. 3 . 4 D. 9 . 2 Câu 142. (Sở Cần Thơ – 2019) Cho hàm số y  f ( x ) xác định và có đạo hàm f   x  liên tục trên [1;3] ; f  x   0, x  1;3 ; 2 2 f   x  1  f  x     x  1  f  x   4 f 1  1 . và Biết rằng 3  f  x  dx  a ln 3  b  a, b    , giá trị của a  b 2 bằng e A. 4. B. 0. C. 2. D. -1. Câu 143. (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2019) Cho hàm số f  x  nhận giá trị dương và thỏa mãn 3 2 f  0   1,  f   x    e x  f  x   , x   . Tính f  3 A. f  3  1 . B. f  3  e2 . C. f  3  e3 . D. f  3  e . Câu 144. Hàm số f  x  có đạo hàm cấp hai trên  thỏa mãn: f 2 1  x    x 2  3  . f  x  1 x   . Biết 2 f  x   0, x  , tính I    2 x  1 f ”  x  .dx . 0 A. 4 . B. 0 . D. 4 . C. 8 . Câu 145. (Sở Nam Định – 2019) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên  0;1 , thỏa mãn  f   x  2 1  4 f  x   8 x 2  4, x   0;1 và f 1  2 . Tính  f  x  dx . 0 A. 1 . 3 B. 2 . Câu 146. Cho hàm số 3  2 x5 f 2  x dx  C. 4 . 3 D. f  x  nhận giá trị dương thỏa mãn f  x  2 f  x x 21 . 4  2 x3 , x   0;    và 1 . Giá trị của biểu thức f  2   f  3 bằng 20 A. 110 . B. 90 . C. 20 . Câu 147. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên x   0;1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 A. . 2018.2020 D. 25 .  0;1 thỏa mãn 3 f  x   xf   x   x 2018 , 1  f  x  dx . 0 1 B. . 2019.2020 C. 1 . 2020.2021 D. 1 . 2019.2021 Câu 148. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  0;  1 thỏa mãn điều kiện f 1  2ln 2 và x  x  1 . f   x   f  x   x 2  3x  2 . Giá trị f  2   a  b ln 3 , với a , b   . Tính a 2  b 2 . A. 5 . 2 B. 13 . 4 C. 25 . 4 D. 9 . 2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 21 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Câu 149. (Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định- 2019) Cho hàm số y  f ( x) liên tục trên  thỏa mãn: 3 f ( x)  f (2  x)  2( x  1)e x A. I  e  2 . 2  2 x 1 2  4, x   . Tính giá trị của tích phân I   f ( x)dx . 0 B. I  2e  4 . C. I  2 . D. I  8 . Câu 150. (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên  2;4 và f  2  A. f   x   0, x   2; 4 . Biết rằng 3 7 và 4 x3 f  x    f   x    x3 , x   2; 4 . Giá trị của f  4  bằng 4 20 5  1 . 4 B. 40 5  1 . 2 C. 20 5  1 . 2 D. 40 5  1 . 4 Câu 151. Cho hàm số y  f ( x) liên tục trên đoạn  e ; e 2  . Biết x 2 f  ( x )  ln x  xf ( x )  ln 2 x  0, x  e; e 2  2 e 1 và f (e)  . Tính tích phân I   f ( x)dx . e e 3 B. I  . 2 A. I  2 . C. I  3 . D. I  ln 2 . Dạng 2. Tích phân một số hàm đặc biệt Dạng 2.1 Tích phân của hàm số lẻ và hàm số chẵn Nhắc lại kiến thức về hàm số lẻ và hàm số chẵn: Hàm số y  f  x  có miền xác định trên tập đối xứng D và Nếu f   x   f  x  , x  D  y  f  x  : là hàm số chẵn. Nếu f   x    f  x  , x  D  y  f  x  : là hàm số lẻ. (thay thế chỗ nào có x bằng  x sẽ tính được f   x  và so sánh với f  x  ). Thường gặp cung góc đối nhau của cos   x   cos x, sin   x    sin x . a Nếu hàm số f  x  liên tục và lẻ trên   a; a  thì  f  x .dx  0 . a a a f x dx  2    0 f  x  dx a Nếu hàm số f  x  liên tục và chẵn trên   a; a  thì  a .   f  x  dx  f x dx 0     bx 1 a Do những kết quả này không có trong SGK nên về mặt thực hành, ta làm theo các bước sau (sau khi nhận định đó là hàm chẵn hoặc lẻ và bài toán thường có cận đối nhau dạng  a  a ): a Bước 1. Phân tích: I   a 0 f  x .dx   a a f  x .dx   f  x .dx  A  B . 0 Trang 22 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 0 Bước 2. Tính A   f  x .dx ? bằng cách đổi biến t   x và cần nhớ rằng: tích phân không phụ thuộc vào a biến, mà chỉ phụ 0 2 thuộc vào giá trị của hai cận, chẳng hạn luôn có: 2 3t cos t 3x cos x dt   dx . 2 2014 1  sin t 1  sin 2 x 2014 0  2. Tích phân của hàm số liên tục b Nếu hàm số f  x  liên tục trên  a; b  thì  a b f  x  dx   f  a  b  x  dx . a Nếu hàm số f  x  liên tục trên  0;1 thì  +  2 2  f  sin x  dx   f  cos x  dx . 0 0  a + xf  sin x  dx   a  a   f  sin x  dx 2  và a 2  a +   a   x. f  sin x  dx  2  f  sin x  dx . 0 2  a xf  cos x  dx    0 2 f  cos x  dx và a  2 x. f  cos x  dx   0  f  cos x  dx 0   Về mặt thực hành, sẽ đặt x  cận trên  cận dưới  t  x  a  b  t  . Từ đó tạo tích phân xoay vòng (tạo ra I), rồi giải phương trình bậc nhất với ẩn I. Nếu hàm số f  x  liên tục trên  và tuần hoàn với chu kỳ T thì a T  a T nT f  x  dx   f  x  dx và 0  0 T f  x  dx  n  f  x  dx . 0 Lưu ý: Hàm số f  x  có chu kỳ T thì f  x  T   f  x  .   Về mặt thực hành, ta sẽ làm theo các bước sau: a T Bước 1. Tách: I  T 0 a T f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  i  a 0 T          a A B C a T Bước 2. Tính C   f  x  dx ? T x  a  T t  a Đặt x  t  T  dx  dt . Đổi cận:  . Khi đó:  x  T t  0 a 0 0 C   f  t  T  dt    f  t  dt    f  x  dx   A  ii  0 a a T Thế  i  vào  ii  ta được: I  B   f  x  dx . 0 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 23 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Câu 1. (Đề Tham 2017) Cho Khảo hàm f  x số liên tục  trên và thoả mãn 3 2 f  x   f   x   2  2 cos 2 x , x   . Tính I   A. I  6 B. I  0  f  x  dx. 3 2 D. I  6 C. I  2  4 Câu 2. (THPT Hàm Rồng – Thanh Hóa – 2018) Cho  b  15 . Khi đó a  b  c bằng: A. 10 . B. 9 . Câu 3. sin x  2 dx   1 x  x a  c , với a, b, c   , b 4 C. 11 . D. 12 . (THCS – THPT Nguyễn Khuyến 2019) Cho f  x  là hàm số chẵn trên đoạn  a; a  và k  0 . a Giá trị tích phân f  x  1 e kx dx bằng a a A.  a f  x  dx . B. (Việt Đức Hà Nội a C. 2  f  x  dx . a 0 Câu 4.  a f  x  dx . D. 2  f  x  dx . a f  x, f x Cho 2019) 0 liên tục trên  và thỏa mãn 2 2 f  x   3 f  x   1  . Biết I   f  x  dx  . Khi đó giá trị của m là 2 m x 4 2 A. m  2 . Câu 5. B. m  20 . A. I   20 2 1 . Tính I   f  x  dx . 2 2 4 x . B. I   10 . C. I  D. I   . 10 I   f  x  dx .  f   x  dx  2 và  f  2 x  dx  4 . Tính 0 1 A. I  10 .  4; 4 biết 4 2 2 B. I  6 . C. I  6 . D. I  10 . (Hồng Quang – Hải Dương – 2018) Cho hàm số f  x  liên tục trên đoạn   ln 2;ln 2  và thỏa mãn f  x   f   x   1 A. P  . 2 Câu 8.  . 20 (Hà Nội – 2018) Cho hàm số y  f  x  là hàm lẻ và liên tục trên 0 Câu 7. D. m  10 . (THPT Hàm Rồng Thanh Hóa -2019) Cho hàm số f  x  , f   x  liên tục trên  và thõa mãn 2 f  x  3 f x  Câu 6. C. m  5 . 1 . Biết x e 1 ln 2  f  x  dx  a ln 2  b ln 3  a; b    . Tính P  a  b .  ln 2 B. P  2 . C. P  1 . D. P  2 . (Chuyên ĐH Vinh – 2018) Cho y  f  x  là hàm số chẵn và liên tục trên . Biết 1  2 f  x  dx  0 A. 1. 1 f  x  dx  1 . Giá trị của 2 1 B. 6 . 2 f x 3 2 x 1 dx bằng C. 4 . D. 3 . Trang 24 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 2 Câu 9. (SGD&ĐT BRVT – 2018) Hàm số f  x  là hàm số chẵn liên tục trên  và  f  x  dx  10 . Tính 0 2 I f  x 2 x 2 1 dx . B. I  A. I  10 . Câu 10. 10 . 3 C. I  20 . (Yên Phong 1 – 2018) Cho hàm số y  f  x  là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn  1;1 và 1 f  x 1  f  x  dx  6 . Kết quả của  1  2018 1 x dx bằng 1 A. 2 . Câu 11. D. I  5 . C. 4 . B. 3 . D. 5 . (Toán Học Và Tuổi Trẻ 2018) Cho f  x  là hàm liên tục trên đoạn  0; a  thỏa mãn a  f  x  . f  a  x   1 b dx ba  , trong đó b , c là hai số nguyên dương và là phân số và   f x  0,  x  0; a c   0 1 f  x c    tối giản. Khi đó b  c có giá trị thuộc khoảng nào dưới đây? A. 11; 22  . B.  0;9  . C.  7; 21 . D.  2017; 2020  . 2 Câu 12. (Chuyên Sơn La – 2020) Tích phân A. S  0 . Câu 13. x 2020 2a .d x  . Tính tổng S  a  b .  ex  1 b 2 B. S  2021. C. S  2020 . D. S  4042 . (Đại Học Hà Tĩnh – 2020) Cho hàm số f  x  liên tục trên đoạn   ln 2;ln 2 và thỏa mãn f  x  f x  1 . Biết x e 1 ln 2  f  x  dx  a ln 2  b ln 3,  a, b    . Tính P  a  b .  ln 2 B. P  A. P  2 . 1 . 2 C. P  1 . D. P  2 . 1 Câu 14. (Đại học Hồng Đức –Thanh Hóa 2019) Cho f  x  là hàm số chẵn và  f  x  dx  2 . Giá trị của 0 1 tích phân f  x  1  2019 x dx là 1 2 . B. 2 . 2019 Dạng 2.2 Tích phân của hàm chứa dấu trị tuyệt đối A. C. 4 . D. 0 . b Tính tích phân: I   f  x  .dx ? a Bước 1. Xét dấu f  x  trên đoạn  a; b  . Giả sử trên đoạn  a; b  thì phương trình f  x   0 có nghiệm xo   a; b  và có bảng xét dấu sau: x a xo b f  x  0  Bước 2. Dựa vào công thức phân đoạn và dấu của trên  a; xo  ,  xo ; b  ta được: Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 25 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 xo b I   f  x  .dx  a  a b f  x  dx     f  x   dx  A  B . xo Sử dụng các phương pháp tính tích phân đã học tính A, B  I . a Câu 15. Cho a là số thực dương, tính tích phân I   x dx theo a . 1 a2 1 A. I  . 2 a2  2 B. I  . 2 2a 2  1 C. I  . 2 D. I  3a 2  1 2 . m Câu 16. (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho số thực m  1 thỏa mãn  2mx  1 dx  1 . Khẳng 1 định nào sau đây đúng? A. m   4;6  . Câu 17. B. m   2; 4  . C. m   3;5 . (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Khẳng định nào sau đây là đúng? A. C.  1 1  3 2 3 x dx   1 1 x3 dx . B.  2018 1 x 4  x 2  1 dx   x 4  x 2  1 dx .  3 e x  x  1 dx   e x  x  1 dx . D. 2 (Chuyên Bắc Giang 2019) Cho tích phân  1 nguyên. Tính P = abc. A. P  36 2018 1 5 Câu 18. D. m  1;3 . B. P  0 2    1  cos 2 xdx   2 sin xdx .  2 2 x2 dx  a  b ln 2  c ln 3 với a, b, c là các số x 1 C. P  18 D. P  18 2 Câu 19. (Chuyên Hạ Long 2019) Có bao nhiêu số tự nhiên m để 2 x 2 2  2m dx  0 A. Vô số. B. 0 . x 2  2m 2  dx . 0 D. 2 . C. Duy nhất. 1 Câu 20. (Chu Văn An -Thái Nguyên – 2018) Tính tích phân I  2 x  2  x dx . 1 1 A. . ln 2 B. ln 2 . C. 2ln 2 . D. 2 . ln 2 1 Câu 21. (KTNL Gia Bình 2019) Cho hàm số f  x  liên tục trên  và có  f  x  dx  2 ; 0 3  1 f  x  dx  6 . Tính I   f  2 x  1  dx 1 0 A. I  8 B. I  6 C. I  3 2 D. I  4 3 Câu 22. (Chuyên KHTN 2019) Cho hàm số f ( x) liên tục trên  và có  f ( x)dx  8 0 5  0 1 f ( x)dx  4. Tính  f ( 4 x  1)dx. 1 Trang 26 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ và TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 9 A. . 4 11 B. . 4 C. 3. D. 6. 1 Câu 23. Cho hàm số f  x  liên tục trên   thỏa 2 f  2 x  dx  2 và  f  6 x  dx  14 . 0 Tính 0 2  f  5 x  2  dx . 2 A. 30 . B. 32 . C. 34 . D. 36 . 1 Câu 24. (Phong 1 – 2018) Cho hàm số f  x  liên tục trên  0;3 và  3 f  x  dx  2;  f  x  dx  8. Giá trị 0 0 1 của tích phân  f  2 x  1  dx  ? 1 A. 6 B. 3 D. 5 C. 4 3 Câu 25. Cho hàm số f ( x) liên tục trên  và có  f ( x) dx  8 và  0 A. 9 . 4 B. 1 5 f ( x ) dx  4 . Tính  f ( 4 x  1)dx 1 0 11 . 4 C. 3 . D. 6 . 2x với mọi số x  x2  1 Câu 26. Cho hàm số y  f  x  xác định trên  và thỏa mãn f   x   2 f    x   6 thực x . Giả sử f  2  m , f  3  n . Tính giá trị của biểu thức T  f  2  f  3 . A. T  m  n . B. T  n  m . C. T  m  n . D. T  m  n . Dạng 2.3 Tích phân nhiều hàm 2 x Câu 27. Cho số thực a và hàm số f  x    2 a x  x a 2a  1. A.  1. B. 6 3  Câu 28. khi x  0  khi x  0 C. . Tính tích phân a  1. 6 1  f  x  dx bằng: 1 D. 2a  1. 3 e x  m khi x  0 (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Cho hàm số f  x    liên tục trên 2 2 x 3  x khi x  0  và 1  f  x dx=ae  b 3  c ,  a, b, c  Q  . Tổng a  b  3c bằng 1 A. 15 . B. 10 . C. 19 . D. 17 . 1 Câu 29. (THPT Yên Phong 1 Bắc Ninh 2019) Tính tích phân  max e , e dx x 12 x 0 A. e  1 . B. 3 e 3 e . 2   C. e  3 e . D. 1 1 e   . 2 e  1 2  x 2  3 khi x  1 Câu 30. Cho hàm số y  f  x   . Tính I  2  f sin x  cos xdx  3 f 3  2 x dx 5  x khi x  1 0 0 71 32 A. I  . B. I  31 . C. I  32 . D. I  . 6 3 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 27 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 TÍCH PHÂN Chuyên đề 26 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH MỨC 5-6 ĐIỂM Dạng. Sử dụng tính chất, bảng nguyên hàm cơ bản để tính tích phân 1.Định nghĩa: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên K ; a, b là hai phần tử bất kì thuộc K , F  x  là một nguyên hàm của f  x  trên K . Hiệu số F  b   F  a  gọi là tích phân của của f  x  từ a b  f  x  dx  F  x  đến b và được kí hiệu: b a  F b  F  a  . a 2. Các tính chất của tích phân: a   b f  x  dx  0 a a  a b  a b b a b  f  x  dx   f  x  dx b b    f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx c a b  f  x dx   f  x dx   f  x  dx a a c b   k . f  x  dx  k . f  x  dx a  Nếu f  x   g  x  x   a; b  thì a b b  f  x  dx   g  x  dx . a a Bảng nguyên hàm của một số hàm thường gặp   x .dx  x 1 C  1  1 1  ax  b     ax  b  dx  a .   1  C 1 1  ax  b dx  a .ln ax  b  C 1 1 1   ax  b 2 dx   a . ax  b  C 1  x dx  ln x  C 1 x 2 1 dx    C x 1  sin x.dx   cos x  C  sin  ax  b .dx   a .cos  ax  b   C  cosx.dx  sin x  C  cos  ax  b  .dx  a .sin  ax  b   C 1  sin 2 x 2 1 1 .dx   cot x  C  sin  ax  b .dx   a .cot  ax  b   C .dx  tan x  C  cos  ax  b .dx  a .tan  ax  b   C 1  cos 1 x x  e .dx  e x  a .dx  x 2 1 1 2 1 .dx  .eax b  C a dx 1 xa  x 2  a 2  2a ln x  a  C C e ax C ln a ax  b  Nhận xét. Khi thay x bằng  ax  b  thì lấy nguyên hàm nhân kết quả thêm 2 Câu 1. (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Nếu  3 f  x  dx  2 và 1 A. 3 . B.  1 . 1 . a  2 C. 1. 3 f  x  dx  1 thì  f  x  dx bằng 1 D. 3 . Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Lời giải Chọn B 3 Ta có  1 Câu 2. 2 3 f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  2  1  1 . 1 2 (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Nếu 1 1  f  x  dx  4 thì  2 f  x  dx bằng 0 A. 16 . B. 4 . 0 D. 8 . C. 2 . Lời giải Chọn D 1 1 Ta có:  2 f  x  dx  2 f  x  dx  2.4  8 . 0 0 3 Câu 3. (Mã 101 – 2020 Lần 1) Biết  1 A. 5 . 3 f  x  dx  3 . Giá trị của  2 f  x  dx bằng 1 B. 9 . C. 6 . 3 . 2 D. Lời giải Chọn C 3 3 Ta có:  2 f  x  dx  2  f  x  dx  2.3  6 . 1 Câu 4. 1 (Mã 101 – 2020 Lần 1) Biết F  x   x 2 là một nguyên hàm của hàm số f  x  trên  . Giá trị của 2  2  f  x  dx bằng 1 A. 5 . 13 . 3 Lời giải B. 3 . C. 7 . 3 D. Chọn A 2 2  2  f  x  dx   2 x  x  1  8  3  5 2 Ta có: 1 5 Câu 5. (Mã 102 – 2020 Lần 1) Biết  5 f  x  dx  4 . Giá trị của  3 f  x  dx bằng 1 4 B. . 3 A. 7 . 1 C. 64 . D. 12 . Lời giải Chọn D 5 5 Ta có  3 f  x  dx  3 f  x  dx  3.4  12 . 1 Câu 6. 1 (Mã 102 – 2020 Lần 1) Biết F  x   x3 là một nguyên hàm của hàm số f  x  trên  . Giá trị của 2   2  f ( x)  dx bằng 1 A. 23 . 4 B. 7 . C. 9 . D. 15 . 4 Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Lời giải Chọn C 2 Ta có 2 2 2 2 2 32 2  f ( x ) d x  2d x   1  1 1 f ( x)dx  2 x 1  F ( x) 1  2 x 1  x 1  9 2 Câu 7. (Mã 103 – 2020 Lần 1) Biết  1 A. 5 . 3 f  x  dx  2 . Giá trị của  3 f  x  dx bằng 1 B. 6 . C. 2 . 3 D. 8 . Lời giải Chọn B 2 2 Ta có :  3 f  x dx  3 f  x dx  3.2  6 . 1 Câu 8. 1 (Mã 103 – 2020 Lần 1) Biết F ( x)  x 3 là một nguyên hàm của hàm số f ( x) trên  . Giá trị của 3  (1  f ( x))dx bằng 1 A. 20. B. 22. C. 26. Lời giải D. 28. Chọn D 3 Ta có 3 3 3  1  f ( x)dx   x  F ( x) 1   x  x )  1  30  2  28 . 1 3 Câu 9. (Mã 104 – 2020 Lần 1) Biết  2 A. 36 . 3 f  x  dx  6. Giá trị của  2 f  x  dx bằng. 2 C. 12 . Lời giải B. 3 . D. 8 . Chọn C 3 3 Ta có :  2 f  x  dx  2  f  x  dx  12. . 2 Câu 10. 2 2 (Mã 104 – 2020 Lần 1) Biết F  x   x là một nguyên hàm của hàm số f ( x) trên  . Giá trị 3 của  1  f ( x) dx bằng 1 A. 10 . 26 . 3 Lời giải B. 8 . C. D. 32 . 3 Chọn A 3 Ta có 3 3 2  1  f ( x) dx   x  F  x   1   x  x  1  12  2  10. 1 3 Câu 11. 3 (Mã 101 – 2020 Lần 2) Biết  f  x dx  4 và  g  x dx  1 . Khi đó: 2 A.  3 . B. 3 . 2 C. 4 . Lời giải 3  f  x   g  x dx bằng: 2 D. 5 . Chọn B Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 3 Ta có 3 3   f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx  4  1  3 2 2 2 1 Câu 12. 1 (Mã 101 – 2020 Lần 2) Biết   f  x   2x dx=2 . Khi đó  f  x dx bằng : 0 A. 1. 0 B. 4 . C. 2 . Lời giải D. 0 . Chọn A Ta có 1 1 1 1 2  f  x   2x dx=2   f  x dx+  2xdx=2   f  x dx  2  x 0 0 0 0 1 0 1   f  x dx  2  1 0 1   f  x dx  1 0 3 Câu 13. 3 f  x  dx  3  (Mã 102 – 2020 Lần 2) Biết 2 A. 4 . B. 2 . và 3  g  x  dx  1 2 . Khi đó   f  x   g  x dx 2 C. 2 . Lời giải bằng D. 3 . Chọn A 3 3 3 Ta có:   f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx  4 . 2 Câu 14. 2 (Mã 102 – 2020 Lần 2) Biết 2 1 1   f  x   2 x dx  3 . Khi đó  f  x  dx bằng 0 A. 1 . B. 5 . 0 C. 3 . Lời giải D. 2 . Chọn D 1 Ta có 1  f  x  dx  3  x 0 2 1  3  1  0   2 . 0 2 Câu 15. 1 x2 1  f x  2 x  dx  3  f x dx  2 xdx  3  f x dx  2.  3.        0  0 0 0 2 0 1 Suy ra 1 (Mã 103 – 2020 Lần 2) Biết 2  f  x dx  3 và  g  x dx  2 . Khi đó   f  x   g  x  dx bằng? 1 A. 6 . 2 1 1 C. 5 . Lời giải B. 1 . D.  1 . Chọn B 2 Ta có: 1 Câu 16. 2 2   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx  3  2  1. 1 (Mã 103 – 2020 Lần 2) Biết A. 3 . 1 1 1 0 0   f  x   2 x  dx  4 . Khi đó  f  x  dx bằng B. 2 . C. 6 . Lời giải D. 4 . Chọn A Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 1 1 1 1 0 0 0 0   f  x   2 x  dx  4   f  x  dx   2 xdx  4   f  x  dx  4  1  3 2 Câu 17. (Mã 104 – 2020 Lần 2) Biết  2 f ( x)dx  2 và 1 A. 1 . 2  g ( x)dx  3. Khi đó  [ f ( x)  g ( x)]dx bằng 1 B. 5 . 1 D. 6 . C.  1 . Lời giải Chọn D 2 2 2 Ta có:  [ f ( x)  g ( x)]dx   f ( x)dx   g ( x)dx  2  3  5 . 1 1 1 1 Câu 18. 1 (Mã 104 – 2020 Lần 2) Biết   f  x   2 x dx  5 . Khi đó 0 A. 7 . B. 3 .  f  x  dx bằng 0 D. 4 . C. 5 . Lời giải Chọn D 1 1 1   f  x   2 x dx  5   f  x  dx   2xdx  5 0 0 1  f  x  dx  x 0 21 0 0 1 1  5   f  x  dx  1  5   f  x  dx  4 . 0 0 2 Câu 19. (Mã 103 – 2019) Biết f  x dx  2 và  1 2 2  g  x dx  6 , khi đó   f  x   g  x  dx bằng 1 B. 4 . A. 8 . 1 C. 4 . Lời giải D. 8 . Chọn B 2 2 2   f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx  2  6  4 . Ta có: 1 1 1 1 Câu 20. (Mã 102 – 2019) Biết tích phân  f  x  dx  3 và 0 bằng A. 7 . 1 1  g  x  dx  4 . Khi đó   f  x   g  x  dx 0 B. 7 . C.  1 . Lời giải 0 D. 1 . Chọn C 1 Ta có 1 0 Câu 21. 1   f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx  3   4   1 . 0 (Mã 104 – 2019) Biết  1 0 A. 6 . 0 f ( x)dx  2 và  1 0 B. 6 . g ( x)dx  4 , khi đó C.  2 . Lời giải 1   f ( x)  g ( x) dx bằng 0 D. 2 . Chọn C 1 1 0 0   f ( x)  g ( x) dx   1 f ( x)dx   g( x)dx  2  (4)  2 . 0 1 Câu 22. (Mã 101 2019) Biết  0 f  x dx  2 và 1 1  g  x dx  3 , khi đó   f  x   g  x dx bằng 0 0 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 A.  1 . C. 5 . Lời giải B. 1. D. 5 . Chọn C 1 1 1   f  x   g  x dx   f  x dx   g  x dx  2  3  5 . 0 0 0 1 Câu 23. (Đề Tham Khảo 2019) Cho f  x  dx  2 và  0 A. 8 1 1  g  x  dx  5 , khi   f  x   2 g  x  dx 0 0 C. 3 Lời giải B. 1 bằng D. 12 Chọn A 1 Có 1 0 Câu 24. 1   f  x   2 g  x  dx   f  x  dx  2 g  x  dx  2  2.5  8 . 0 0 (THPT Ba Đình 2019) Khẳng định nào trong các khẳng định sau đúng với mọi hàm f , g liên tục trên K và a , b là các số bất kỳ thuộc K ? b b A. b b b   f ( x)  2 g ( x)dx   f ( x)dx +2  g ( x)dx . a a B. a  a f ( x) dx  g ( x)  f ( x)dx a b .  g ( x)dx a b C. b b b   f ( x).g ( x)dx   f ( x)dx .  g ( x)dx . a a D.  a a 2 b  f ( x )dx =   f ( x )dx  . a  2 Lời giải Theo tính chất tích phân ta có b b b b b   f ( x)  g ( x)dx   f ( x)dx +  g ( x)dx;  kf ( x)dx  k  f ( x)dx , với a a a a 2 Câu 25. (THPT Cẩm Giàng 2 2019) Cho 4 f  x  dx  1 ,  2 A. I  5 . 4  f  t  dt  2  2 2 Khi đó: 2 4 D. I  5 . 4 f  y  dy   f  x  dx . 2 4  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx . 2 4 2 4   f  x  dx  2   f  y  dy . 2 C. I  3 . Lời giải 4 f  x  dx ,  4 f  t  dt  4 . Tính 2 B. I  3 . 4 Ta có: k  . a 2 2  f  x  dx   f  x  dx  4  1  5 . 2 2 4 Vậy  f  y  dy  5 . 2 Câu 26. (THPT Cù Huy Cận -2019) Cho bằng A. 16 . B. 18 . 2 2 2 0 0 0 C. 24 . Lời giải D. 10 .  f  x  dx  3 và  g  x  dx  7 , khi đó  Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/  f  x   3 g  x  dx TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Ta có  2 0 2 2  f  x   3 g  x  dx   f  x  dx  3 g  x  dx  3  3.7  24 . 0 0 1 Câu 27. 3  (THPT – YÊN Định Thanh Hóa2019) Cho f ( x) dx  1 ; 0 A. 1. B. 4. 3 Ta có  0 1 0 3 1 D. 5. 3 3  f ( x) dx 1 C. 6. Lời giải f ( x) dx =  f ( x) dx +  f ( x) dx  0  3 f ( x) dx  5 . Tính 1 f ( x ) dx =  f ( x) dx   f ( x) dx = 5+ 1= 6  0 1 0 3 Vậy  f ( x) dx = 6 1 2 Câu 28. (THPT Quỳnh Lưu 3 Nghệ An 2019) Cho  3 f  x  dx  3 và 1 bằng A. 12. B. 7. 3  2  3 f  x  dx  4 . Khi đó 2 C. 1. Lời giải  f  x  dx 1 D. 12 . 3 f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  3  4  1 . 1 1 2 2 Câu 29. Cho hàm số f  x  liên tục, có đạo hàm trên  1;2 , f  1  8;f  2   1 . Tích phân  f ‘  x dx 1 bằng A. 1. B. 7. 2  f ‘  x dx  f  x  Ta có 2 1 C. 9. Lời giải D. 9.  f  2   f  1  1  8  9. 1 Câu 30. (Sở Thanh 2  0 Hóa – 2019) 4 Cho hàm f  x số liên tục trên R và có 4 f ( x)dx  9;  f ( x)dx  4. Tính I   f ( x)dx. 2 0 A. I  5 . 9 C. I  . 4 Lời giải B. I  36 . 4 2 D. I  13 . 4 Ta có: I   f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx  9  4  13. 0 0 0 3 3  f  x  dx  3 f  x  dx  3. Tích phân  f  x  dx bằng Câu 31. Cho 1 0 A. 6 0 Có 2 1 B. 4 3 D. 0 C. 2 Lời giải 3 0 3  f  x  dx  3;  f  x  dx  1;  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  3  1  4 1 0 1 1 0 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 7 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 4 Câu 32. (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Cho hàm số f  x  liên tục trên  và  f  x  dx  10 , 0 4 3  f  x  dx  4 . Tích phân  f  x  dx bằng 3 0 B. 7 . A. 4 . C. 3 . Lời giải 3 Theo tính chất của tích phân, ta có:  4 4 4 f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx . 0 3 D. 6 . 3 0 4  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  10  4  6 . Suy ra: 0 0 3 3 Vậy  f  x  dx  6 . 0 Câu 33. (THPT Hoàng Hoa Thám Hưng Yên 2019) Nếu F   x   1 và F 1  1 thì giá trị của 2x 1 F  4  bằng 1 B. 1  ln 7. 2 A. ln 7. C. ln 3. D. 1  ln 7. Lời giải 4 4 1 4 1  F   x dx   2 x  1dx  2 ln | 2 x  1| Ta có: 1 1 4 Lại có:  F   x dx  F  x  4 1  1 1 ln 7 . 2  F  4   F 1 . 1 1 1 1 Suy ra F  4   F 1  ln 7 . Do đó F  4   F 1  ln 7  1  ln 7 . 2 2 2 Câu 34. (THPT Đoàn Thượng – Hải Dương -2019) Cho hàm số f  x liên tục trên  thoả mãn 8  12 f  x  dx  9 , 1  8 f  x  dx  3 , 4  f  x  dx  5 . 4 12 Tính I   f  x  dx . 1 A. I  17 . B. I  1 . 12 8 D. I  7 . C. I  11 . Lời giải 8 12 12 8 Ta có: I   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx .   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  9  3  5  7 . 1 Câu 35. 1 1 8 4 4 (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Cho hàm số f  x  liên tục trên  0;10 thỏa mãn 6 10  f  x  dx  7 ,  2 0 2 0 10  0 6 B. P  4 . A. P  10 . Ta có 10 f  x  dx  3 . Tính P   f  x  dx   f  x  dx . 2 6 C. P  7 . Lời giải D. P  6 . 10 f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx 0 2 6 Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 2 Suy ra 10 6  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  7  3  4 . 0 Câu 36. 10 6 0 2 (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Cho f , g là hai hàm liên tục trên đoạn 1;3 thoả: 3 3 3   f  x   3g  x dx  10 ,  2 f  x   g  x dx  6 . Tính   f  x   g  x  dx . 1 1 A. 7. 1 B. 6. C. 8. Lời giải 3 3   f  x   3g  x  dx  10   3 3 1  2 f  x   g  x dx  6 3 f  x dx  3 g  x  dx  10 1 . 1 3  2 f  x dx  g  x dx  6  2 .  1 3 1 D. 9.  1 1 3 Đặt X   f  x dx , Y   g  x dx . 1 1  X  3Y  10 X  4 Từ 1 và  2 ta có hệ phương trình:  .   2 X  Y  6 Y  2 3 3 Do đó ta được:  f  x dx  4 và  g  x  dx  2 . 1 1 3 Vậy   f  x   g  x dx  4  2  6 . 1 10 Câu 37. (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Cho hàm số f  x  liên tục trên đoạn  0;10 và  f  x  dx  7 ; 0 2 6 10  f  x  dx  3 . Tính P   f  x  dx   f  x  dx . 0 2 A. P  4 10 Ta có: 6 B. P  10 2 D. P  4 C. P  7 Lời giải 6 10 f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx .  0 0 2 6  7  P3 P  4. 3 Câu 38. Cho f , g là hai hàm số liên tục trên 1;3 thỏa mãn điều kiện   f  x   3g  x dx=10 đồng thời 1 3 3  2 f  x   g  x dx=6 . Tính   f  x   g  x dx . 1 1 A. 9 . B. 6 . 3 Ta có: C. 7 . Lời giải 3 D. 8 . 3   f  x   3g  x dx=10   f  x dx+3 g  x dx=10 . 1 1 3 3 1 3  2 f  x   g  x dx=6  2 f  x dx- g  x dx=6 . 1 1 3 1 3 Đặt u   f  x dx; v =  g  x dx . 1 1 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 9 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 3   f  x dx=4 u  3v  10 u  4 1  3 Ta được hệ phương trình:   2u  v  6 v  2  g x dx=2    1 3   f  x   g  x dx=6 . Vậy 1 Câu 39. (THPT Đông Sơn Thanh Hóa 2019) Cho 3 f, g là hai hàm liên tục trên 3 thỏa:   f  x   3g  x   dx  10 và 1 A. 8. 3  2 f  x   g  x  dx  6 . Tính I    f  x   g  x  dx . 1 1 B. 7. 3 1;3 C. 9. Lời giải D. 6. 3 Đặt a   f  x  dx và b   g  x  dx . 1 1 3 3 Khi đó,   f  x   3g  x   dx  a  3b , 1  2 f  x   g  x  dx  2a  b . 1 a  3b  10 a  4  Theo giả thiết, ta có  .  2a  b  6 b  2 Vậy I  a  b  6 .   2 Câu 40. (Mã 104 2017) Cho  0 A. I  7 2 f  x  dx  5 . Tính I    f  x   2sin x  dx  5 . 0 B. I  5   D. I  5   C. I  3 2 Lời giải Chọn A Ta có   2 2   2 2  I    f  x   2sin x  dx   f  x  dx +2 sin x dx   f  x  dx  2 cos x 02  5  2  0  1  7 . 0 0 0 2 Câu 41. (Mã 110 2017) Cho  2 f  x  dx  2 và 1 A. I  17 2 0 2  g  x  dx  1 . Tính I    x  2 f  x   3g  x  dx . 1 B. I  1 5 2 C. I  7 2 D. I  11 2 Lời giải Chọn A 2 x2 Ta có: I    x  2 f  x   3 g  x   dx  2 1 2 2 2  2  f  x  dx  3  g  x  dx  1 1 1 3 17  2.2  3  1  . 2 2 Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 5 Câu 42. (THPT Hàm Rồng Thanh Hóa 2019) Cho hai tích phân 2 f  x  dx  8 và  2  g  x  dx  3 . Tính 5 5 I   f  x   4 g  x   1 dx 2 A. 13 . B. 27 . D. 3 . C. 11 . Lời giải 5 I 5   f  x   4 g  x   1 dx   2 2 5  2 5 5 2 5 2  5 5 f  x  dx  4  g  x dx   dx 2 2 2 5  f  x  dx  4  g  x dx   dx  8  4.3  x 2  8  4.3  7  13 . 2 5 2 2 Câu 43. 5 f  x  dx   4 g  x dx   dx  (Sở Bình Phước 2019) Cho  2 f ( x)dx  2 và 1 bằng 5 A. 2 B. 2  g ( x)dx  1 , khi đó 1 7 2 17 2 C.   x  2 f ( x)  3g ( x) dx 1 D. 11 2 Lời giải Chọn A 2 Ta có 2 2 3 5   x  2 f ( x)  3g(x) dx   xdx  2  f ( x)dx  3  g ( x)dx  2  4  3  2 1 1 2 Câu 44. 2 (Sở Phú Thọ 2019) Cho  1 2 2 f  x  dx  3 ,  g  x  dx  1 thì 0 0   f  x   5 g  x   x  dx bằng: 0 B. 0 . A. 12 . 1 C. 8 . D. 10 Lời giải Chọn D 2 2 2 2   f  x   5 g  x   x  dx   f  x  dx  5 g  x  dx   xdx  3  5  2  10 0 0 0 0 5 Câu 45. (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Cho  5 f  x  dx  2 . Tích phân 0 bằng A. 140 . 5 B. 130 . 5 C. 120 . Lời giải 5   4 f  x   3x 2  dx 0 D. 133 . 5 2 2 3   4 f  x   3x  dx  4 f  x  dx   3x dx  8  x 0  8  125  133 . 0 Câu 46. 0 0 (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định -2019) Cho A. 1 . B. 3 . 2 2   4 f  x   2 x  dx  1 . Khi đó  f  x dx bằng: 1 1 C. 3 . Lời giải D. 1 . Chọn A Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 2 2 2 2 2 x2  4 f x  2 x  dx  1  4 f x dx  2 xdx  1  4 f x dx  2. 1        1  1 1 1 2 1 2 2  4  f  x  dx  4   f  x  dx  1 1 1 1 Câu 47. Cho 1   2 f  x   3x  dx 2 f  x  dx  1 tích phân  0 bằng 0 B. 0 . A. 1. Chọn. C. 3 . Lời giải D.  1 . A. 1 1 1 2 2   2 f  x   3x  dx  2 f  x  dx  3 x dx  2  1  1 . 0 0 0 0 Câu 48. (THPT Yên Phong 1 Bắc Ninh 2019) Tính tích phân I    2 x  1 dx . 1 B. I  1 . A. I  0 . D. I   C. I  2 . 1 . 2 Lời giải 0 I   2 x  1 dx   x 1 2  x 0  00  0. 1 1 Câu 49. Tích phân   3x  1 x  3 dx bằng 0 B. 9 . A. 12 . 1 C. 5 . Lời giải 1 D. 6 . 1 2 3 2   3x  1 x  3 dx    3x  10 x  3 dx   x  5 x  3x  0  9 . Ta có: 0 0 1 Vậy :   3x  1 x  3 dx  9 . 0  2 Câu 50. (KTNL GV Thpt Lý Thái Tổ -2019) Giá trị của  sin xdx bằng 0 A. 0. B. 1. C. -1. D.  2 . Lời giải Chọn B   2 + Tính được  sin xdx   cos x 0 2  1. 0 2 Câu 51. (KTNL GV Bắc Giang 2019) Tính tích phân I  (2 x  1) dx  0 A. I  5 . B. I  6 . C. I  2 . Lời giải D. I  4 . Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Chọn B 2  2 Ta có I  (2 x  1)dx  x  x  0  2 0  4 2  6. b Câu 52. Với a, b là các tham số thực. Giá trị tích phân   3x 2  2ax  1 dx bằng 0 A. b3  b 2 a  b . B. b3  b2 a  b . C. b3  ba 2  b . Lời giải D. 3b2  2ab  1 . Chọn A b Ta có   3x 2  2ax  1 dx   x3  ax 2  x  0 b  b3  ab2  b . 0  4 Câu 53. (THPT An Lão Hải Phòng 2019) Giả sử I   sin 3 xdx  a  b 0 a  b là 1 A.  6 1 6 B.  C.  3 10 2 2  a, b    . Khi đó giá trị của D. 1 5 Lời giải Chọn B  4  1 1 1 2 1 Ta có  sin 3xdx   cos 3x 04   . Suy ra a  b   a  b  0 . 3 3 3 2 3 0 Câu 54. (Chuyên Nguyễn Tất Thành Yên Bái 2019) Cho hàm số f  x  liên tục trên  và 2 2   f  x   3x  dx  10 . Tính  f  x  dx . 2 0 0 A. 2 . C. 18 . Lời giải B.  2 . D. 18 . Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2   f  x   3x  dx  10   f  x dx   3x dx  10   f  x dx  10   3x dx 0 0 2   f  x dx  10  x 3 0 2 0 0 0 0 2   f  x dx  10  8  2 . 0 m Câu 55. (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Cho   3x 2  2 x  1dx  6 . Giá trị của tham số m thuộc 0 khoảng nào sau đây? A.  1; 2  . B.  ;0  . C.  0; 4  . D.  3;1 . Lời giải m Ta có:   3x 2  3 2  2 x  1dx  6  x  x  x 0  m 0  6  m3  m2  m  6  0  m  2 . Vậy m   0;4  . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 2 Câu 56. (Mã 104 2018) dx  2x  3 bằng 1 A. 1 ln 35 2 7 5 B. ln 1 7 ln 2 5 Lời giải C. D. 2 ln 7 5 Chọn C 2 2 dx 1 1 1 7  ln 2 x  3   ln 7  ln 5   ln . Ta có  2x  3 2 2 2 5 1 1 2 Câu 57. (Mã 103 2018) dx  3x  2 bằng 1 A. 2 ln 2 1 ln 2 3 B. 2 ln 2 3 Lời giải C. D. ln 2 Chọn C 2 2 dx 1 1 2  ln 3x  2   ln 4  ln1  ln 2 . Ta có  3x  2 3 3 3 1 1 2 Câu 58. (Đề Tham Khảo 2018) Tích phân dx  x3 bằng 0 A. 2 15 B. 16 225 C. log 5 3 D. ln 5 3 Lời giải Chọn D 2 dx 5 2 0 x  3  ln x  3 0  ln 3 1 Câu 59. (Mã 105 2017) Cho  1 1    x  1  x  2  dx  a ln 2  b ln 3 với a, b là các số nguyên. Mệnh đề nào 0 dưới đây đúng? A. a  2b  0 B. a  b  2 C. a  2b  0 Lời giải D. a  b  2 Chọn A 1  1 1  1   x  1  x  2  dx  ln x  1  ln x  2  0  2 ln 2  ln 3 ; do đó a  2; b  1 0 e Câu 60. 1 1  (THPT An Lão Hải Phòng 2019) Tính tích phân I     2 dx x x  1 1 1 A. I  B. I   1 C. I  1 e e Lời giải Chọn A e D. I  e e 1 1 1 1   I     2 dx   ln x    . x x  x 1 e  1 Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 3 Câu 61. (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Tính tích phân I   0 A. I   3 I  0 21 . 100 5 B. I  ln . 2 5 C. I  log . 2 Lời giải D. I  4581 . 5000 3 dx 5  ln  x  2  0  ln 5  ln 2  ln . x2 2 2 Câu 62. dx . x2 (THPT Đoàn Thượng – Hải Dương – 2019) dx  3x  2 bằng 1 A. 2 ln 2 . B. 2 ln 2 . 3 C. ln 2 . D. 1 ln 2 . 3 Lời giải 2 Ta có: dx 2 1  3x  2  3 ln 3x  2 1 2 Câu 63. Tính tích phân I   1  1 2 ln 2 . 3 x 1 dx . x A. I  1  ln 2 . B. I  7 . 4 C. I  1  ln 2 . D. I  2 ln 2 . Lời giải 2 Ta có I   1 3 Câu 64. Biết  1 2 2 x 1  1 dx   1   dx   x  ln x    2  ln 2   1  ln1  1  ln 2 . 1 x x 1 x2 dx  a  b ln c, với a , b, c  , c  9. Tính tổng S  a  b  c. x A. S  7 . B. S  5 . 3 3 3 C. S  8 . Lời giải D. S  6 . 3 3 x2 2  2 dx   1   dx   dx   dx  2  2 ln x 1  2  2ln 3. Ta có  x x x 1 1 1 1 Do đó a  2, b  2, c  3  S  7. Câu 65. (Mã 110 2017) Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   A. I  1 2 B. I  1 e ln x . Tính: I  F  e   F 1 ? x D. I  e C. I  1 Lời giải Chọn A e Theo định nghĩa tích phân: I  F  e   F 1   1 e e e ln x ln 2 x 1 f  x  dx   dx   ln x.d  ln x    . x 2 1 2 1 1 1 Câu 66. (Mã 102 2018)  e3 x1dx bằng 0 A. 1 4 e  e 3 B. e3  e C. 1 4 e  e 3 D. e 4  e Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Lời giải Chọn C 1 1 1 3 x 1  e dx  0 1 3 x1  1 1 e d 3x  1  e3 x 1   e 4  e  .  30 3 3 0 2 Câu 67. (Mã 101 2018)  e3 x 1dx bằng 1 A. 1 5 2 e  e  3 B. 1 5 2 e  e  3 1 5 2 e e 3 Lời giải D. e 5  e 2 C. Chọn B 2 2 1 1 Ta có  e3 x 1dx  e3 x 1   e5  e 2  . 1 3 3 1 6 Câu 68. (Mã 123 2017) Cho  2 f ( x) dx  12 . Tính I   f (3x) dx. 0 A. I  5 0 C. I  4 Lời giải B. I  36 D. I  6 Chọn C 2 2 Ta có: I   f (3x)dx  0 6 1 1 1 f (3x)d3x   f (t )dt  .12  4.  30 30 3 1 Câu 69. (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Tích phân I   0 A. ln 2  1 . B.  ln 2 . 1 dx có giá trị bằng x 1 C. ln 2 . Lời giải D. 1  ln 2 . Chọn C 1 Cách 1: Ta có: I   0 1 1 d( x  1) 1 dx    ln x  1 0  ln 2  ln1  ln 2 . Chọn đáp án C. x 1 x 1 0 3 Câu 70. (THPT Hoàng Hoa Thám Hưng Yên -2019) Tính K   2 1 8 B. K  ln . 2 3 A. K  ln 2 . x dx . x 1 2 C. K  2 ln 2 . 8 D. K  ln . 3 Lời giải 3 1 8 x 1 1 1 K   2 dx   2 d  x 2  1  ln x 2  1  ln 2 2 3 x 1 2 2 x 1 2 2 3 3 Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 TÍCH PHÂN- PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN Chuyên đề 26 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ MỨC 7-8 ĐIỂM Dạng 1. Tích phân cơ bản có điều kiện 1.Định nghĩa: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên K ; a, b là hai phần tử bất kì thuộc K , F  x  là một nguyên hàm của f  x  trên K . Hiệu số F  b   F  a  gọi là tích phân của của f  x  từ a b  f  x  dx  F  x  đến b và được kí hiệu: b a  F b  F  a  . a 2. Các tính chất của tích phân: a   b f  x  dx  0 a a  a b b  f  x  dx   f  x  dx b b  a b a c a b  f  x dx   f  x dx   f  x  dx a a c b b   k . f  x  dx  k . f  x  dx a b    f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx  Nếu f  x   g  x  x   a; b  thì a b  f  x  dx   g  x  dx . a a Bảng nguyên hàm của một số hàm thường gặp x  .dx  x  1  1  1 C 1  x dx  ln x  C 1 x 2 1 dx    C x 1  ax  b    ax  b  dx  a .   1  C 1 1  ax  b dx  a .ln ax  b  C 1 1 1   ax  b 2 dx   a . ax  b  C  1  sin x.dx   cos x  C  sin  ax  b .dx   a .cos  ax  b   C  cosx.dx  sin x  C  cos  ax  b  .dx  a .sin  ax  b   C 1  sin 2 x 2 1 1 .dx   cot x  C  sin  ax  b .dx   a .cot  ax  b   C .dx  tan x  C  cos  ax  b .dx  a .tan  ax  b   C 1  cos 1 x x  e .dx  e x  a .dx  x C ax C ln a 2 1 1 2 1 .dx  .eax b  C a dx 1 xa  x 2  a 2  2a ln x  a  C e ax  b  Nhận xét. Khi thay x bằng  ax  b  thì lấy nguyên hàm nhân kết quả thêm 1 . a Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Câu 1. (Kinh Môn – Hải Dương 2019) Cho F  x  là một nguyên hàm của f  x   2 . Biết x2 F  1  0 . Tính F  2  kết quả là. A. ln 8  1 . C. 2ln 3  2 . Lời giải B. 4 ln 2  1 . D. 2 ln 4 . Chọn D 2 Ta có: 2  f ( x)dx  F  2   F  1  1 2  x  2  2 ln x  2 2 1  2 ln 4  2 ln1  2 ln 4 1  F  2   F  1  2 ln 4  F  2   2 ln 4 (do F  1  0 ). Câu 2. (Mã 103 – 2019) Cho hàm số f  x  . Biết f  0   4 và f ‘  x   2sin 2 x  1, x   , khi đó  4  f  x  dx bằng 0 A.  2  16  4 16 . B. 2 4 16 . C.  2  15 16 . D.  2  16  16 16 . Lời giải Chọn A 1 Ta có f  x     2 sin 2 x  1 dx    2  cos 2 x  dx  2 x  sin 2 x  C . 2 Vì f  0   4  C  4 1 Hay f  x   2 x  sin 2 x  4. 2  4 Suy ra  0  4 1   f  x  dx    2 x  sin 2 x  4  dx 2  0  1 2 1  2  16  4  x  cos 2 x  4 x 4     . 4 16 4 16 2 0 Câu 3. (Mã 104 – 2019) Cho hàm số f  x  . Biết f  0  4 và f   x   2sin 2 x  3 , x  R , khi đó  4  f  x  dx bằng 0 A. 2 2 8 . B.  2  8  8 8 . C.  2  8  2 8 . D. 3 2  2  3 . 8 Lời giải Chọn C 1 x  3 dx   1  cos 2 x  3 dx    4  cos 2 x  dx  4 x  sin 2 x  C . 2 1 Ta có f  0  4 nên 4.0  sin 0  C  4  C  4 . 2 1 Nên f  x   4 x  sin 2 x  4 . 2  f   x  dx   2sin 2 Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  4  0 Câu 4.   4 1 1  2  8  2     f  x  dx    4 x  sin 2 x  4  dx   2 x 2  cos 2 x  4 x  4  . 2 4 8   0 0 (Mã 102 – 2019) Cho hàm số f ( x) .Biết f (0)  4 và f ( x)  2cos2 x  3, x  , khi đó  4  f ( x)dx bằng? 0 A.  2  8  8 8 . B.  2  8  2 8 . C.  2  6  8 8 . D. 2 2 8 . Lời giải Chọn B , Ta có f ( x)   f ( x)dx   (2cos2 x  3)dx   (2. 1  cos 2 x  3)dx 2 1   (cos 2 x  4) dx = sin 2 x  4 x  C do f (0)  4  C  4 . 2  Vậy f ( x )  1 sin 2 x  4 x  4 nên 2 4  0  4 1 f ( x) dx   ( sin 2 x  4 x  4) dx 2 0  4  2  8  2 1 .  ( cos 2 x  2 x 2  4 x)  8 4 0 1 Câu 5. Biết rằng hàm số f  x   mx  n thỏa mãn 2  f  x  dx  3 ,  f  x  dx  8 . Khẳng định nào dưới đây 0 là đúng? A. m  n  4 . Ta có: B. m  n  4 . 0 C. m  n  2 . Lời giải D. m  n  2 . m 2 x  nx  C . 2 1 m 1 f  x  dx  3   x 2  nx   3  m  n  3 1 . 2 2 0  f  x  dx    mx  n  dx = 1 Lại có:  0 2 m  f  x  dx  8   2 x 0 2 2  nx   8  2m  2n  8  2  . 0 1 m  2  mn 3 Từ 1 và  2  ta có hệ phương trình:  2  . n  2 2m  2n  8  mn  4. 1 Câu 6. Biết rằng hàm số f  x   ax 2  bx  c thỏa mãn  0 3 A.  . 4 Ta có:  4 B.  . 3 7 f  x  dx   , 2 4 . 3 Lời giải a b f  x  dx    ax 2  bx  c  dx = x3  x 2  cx  C . 3 2 C. 2  f  x  dx  2 và 0 D. 3 . 4 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 1 Lại có: 7 a  f  x  dx   2   3 x 3 0 2 a  f  x  dx  2   3 x 3  0 3  f  x  dx  0  1 1 7 b 2 7 1 x  cx     a  b  c   1 . 3 2 2 2 2 0 8 b 2 2 x  cx   2  a  2b  2c  2  2  . 3 2 0 9 13 13  a 3 b 2  3 13  9a  b  3c    x  x  cx    3 . 2 2 2 2 3 0 2 1 7 1  3 a  2 b  c   2 a  1   8 Từ 1 ,  2  và  3 ta có hệ phương trình:  a  2b  2c  2  b  3 . 3  16 9 13  c   3  9a  2 b  3c  2  4  16   P  a  b  c  1 3       . 3  3 Câu 7. (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Có hai giá trị của số thực a là a1 , a2 ( 0  a1  a2 ) thỏa a mãn a1   2 x  3 dx  0 . Hãy tính T  3 1 B. T  12 . A. T  26 . a   3a2  log 2  2  .  a1  C. T  13 . Lời giải D. T  28 . Chọn C a Ta có:   2 x  3 dx   x 2 a  3 x   a 2  3a  2 . 1 1 a Vì   2 x  3 dx  0 nên a 1 2 a  1  3a  2  0 , suy ra  . a  2 Lại có 0  a1  a2 nên a1  1 ; a2  2 . a  2 Như vậy T  3a1  3a2  log 2  2   31  32  log 2    13 . 1  a1  m Câu 8. (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Cho   3x 2  2 x  1 dx  6 . Giá trị của tham số m 0 thuộc khoảng nào sau đây? A.  1; 2  . B.   ;0  . C.  0; 4  . D.  3;1 . Lời giải Chọn C m Ta có:   3x 2 m  2 x  1 dx   x 3  x 2  x   m3  m 2  m . 0 0 m   3x 2  2 x  1 dx  6  m3  m2  m  6  0  m  2   0; 4  . 0 Vậy m  2   0; 4  . Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 1 Câu 9. (Thi thử Lômônôxốp – Hà Nội 2019) Cho I    4 x  2 m 2  dx . Có bao nhiêu giá trị nguyên của 0 m để I  6  0 ? A. 1. B. 5. C. 2. Lời giải D. 3. Chọn D 1 1 Theo định nghĩa tích phân ta có I    4 x  2 m 2  d x   2 x 2  2 m 2 x   2 m 2  2 . 0 0 Khi đó I  6  0  2m2  2  6  0  m2  4  0  2  m  2 Mà m là số nguyên nên m  1;0;1 . Vậy có 3 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu. Câu 10. (Sở GD Kon Tum – 2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của a để A. 5 . B. 6 . C. 4 . Lời giải a   2 x  3  dx  4 ? 0 D. 3 . Chọn C Ta có: a   2 x  3  dx   x 0 Khi đó: 2 a  3 x   a 2  3a . 0 a   2 x  3  dx  4  a 0 2  3a  4  1  a  4 Mà a   * nên a  1;2;3; 4 . Vậy có 4 giá trị của a thỏa đề bài. Câu 11. (THPT Lương Thế Vinh – HN 2018).Có bao nhiêu số thực b thuộc khoảng   ;3  sao cho b  4 cos 2 xdx  1 ?  A. 8. B. 2. C. 4. Lời giải D. 6.   b   k  1 12 Ta có:  4 cos 2 xdx  1  2 sin 2 x b  1  sin 2b    . 5  2   b  k  12 Do đó, có 4 số thực b thỏa mãn yêu cầu bài toán. b Câu 12. (Cần Thơ – 2018) Cho hàm số f  x  xác định trên  2; 2 thỏa mãn f   x   4 , x 4 2 f  3  f  3  f  1  f 1  2 . Giá trị biểu thức f  4   f  0   f  4  bằng A. 4 . B. 1. C. 2 . D. 3 . Lời giải Ta có:  x 2 4 1   1 dx      dx  ln x  2  ln x  2  C . 4  x2 x2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489  x2 ln x  2  C1 khi x  2   2 x f  x   ln  C2 khi  2  x  2 Do đó: x  2   x2 ln x  2  C3 khi x  2  1 1 f  3  ln 5  C1 ; f  3  ln  C3 ; f  0   C2 ; f  1  ln 3  C2 ; f 1  ln  C2 ; 5 3 C1  C3  2 f  3  f  3  f  1  f 1  2  C1  C3  2C2  2   . C2  1 1 Vậy f  4   f  0   f  4   ln 3  C1  C2  ln  C3  C1  C2  C3  3 . 3 4 Câu 13. (Chuyên Lương Thế Vinh – Đồng Nai – 2018) Biết  1 là các số nguyên. Tính T  a  b  c A. T  3 . B. T  3 . 1 Ta có  4x C. T  4 . Lời giải D. T  5 . 2 x  ex  1 1   x  nên 2x xe 2 x e  4 4 1 1 x  ex  1 x  1 4 x xe2 x dx  1  2 x  e x  dx  x  e Vậy a  1 , b  1 , c  4 . Suy ra T  4 . Câu 14. 1 x  ex  dx  a  eb  ec với a , b , c 4x xe2 x   4  1  e1  e4 . 1 (Sở Bạc Liêu – 2018) Cho hàm số f  x  xác định trên  0 thỏa mãn f   x   3 3 và f  2   2 ln 2  . Giá trị của biểu thức f  1  f  4  bằng 2 2 6 ln 2  3 6 ln 2  3 8 ln 2  3 8 ln 2  3 A. . B. . C. . D. . 4 4 4 4 Lời giải f  2   Có f  x    f   x  dx   1  ln x  x  C1  f  x    ln x  1  C 2  x Do f  2   x 1 1 dx  ln x   C 2 x x khi x  0 khi x  0 3 1 3  ln 2   C1   C1  1  ln 2 2 2 2 Do f  2   2 ln 2  3 1 3  ln 2   C2  2 ln 2   C2  ln 2  1 2 2 2 Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ x 1 , x2 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 1  ln x  x  1  ln 2 Như vậy, f  x     ln x  1  ln 2  1  x khi x  0 khi x  0 1   8 ln 2  3 Vậy f  1  f  4    2  ln 2    ln 4   ln 2  1  . 4 4   Câu 15. (Chuyên Lương Văn Chánh – Phú Yên – 2020) Cho hàm số f (0)  4 f ( x ) có π 4 và f ( x)  2 cos 2 x  1, x   Khi đó  f ( x) dx bằng. 0 A.  2  16  16 16 . B. 2 4 16 . C.  2  14 16 . D.  2  16  4 16 . Lời giải Chọn D Ta có  1  cos 2 x   f ( x)   (2 cos 2 x  1)dx   2   1dx   cos 2 x  2dx     2 sin 2 x  2 x  C. 2 sin 2 x Lại có f (0)  4  C  4  f ( x )   2 x  4. 2   cos 2 xdx   2dx  π 4  0 π 4 π π π 4 4 4  sin 2 x  1 f ( x)dx    2 x  4 dx   sin 2 xd(2 x)   2 xdx   4dx  2  4 0 0 0 0 π π  cos 2 x π 2  16π  4 2  . 4  ( x  4 x) 4  4 16 0 0 Câu 16. . (Sở Hà Tĩnh – 2020) Cho hàm số f  x  có f  0   0 và f ‘  x   sin 4 x, x   . Tích phân  2  f  x  dx bằng 0 A. 2 6 18 . B.  2 3 32 . 3 2  16 . 64 Lời giải C. D. 3 2  6 . 112 Chọn C Ta có: 2 1 1  cos 4 x   1  cos 2 x  1 2 sin 4 x     1  2 cos 2 x  cos 2 x   1  2 cos 2 x   4 2 2 4     1   cos 4 x  4 cos 2 x  3 . 8 1 1 1 3 Suy ra f  x    f ‘  x  dx    cos 4 x  4 cos 2 x  3 dx  sin 4 x  sin 2 x  x  C . 8 32 4 8 1 1 3 Vì f  0   0 nên C  0 hay f  x   sin 4 x  sin 2 x  x . 32 4 8 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 7 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Do đó   2 2  0  1 3  1 3 2  1  1 f  x  dx    sin 4 x  sin 2 x  x  dx    cos 4 x  cos 2 x  x 2  32 4 8  8 16  0  128 0  1 1 3 2   1 1  3 2  16       .   64  128 8 64   128 8  Dạng 2. Tích phân hàm số hữu tỷ P  x dx ? với P  x  và Q  x  là các đa thức không chứa căn. Q  x a b Tính I   PP  chia đa thức. Nếu bậc của tử P  x   bậc mẫu Q  x   PP Nếu bậc của tử P  x   bậc mẫu Q  x  mà mẫu số phân tích được thành tích số   đồng nhất thức để đưa thành tổng của các phân số. Một số trường hợp đồng nhất thức thường gặp: + 1   ax  m  bx  n  1  a b     1 an  bm  ax  m bx  n  +  A  B  x   Ab  Ba    A  B  m mx  n A B    .   x  a  x  b  x  a x  b  x  a  x  b   Ab  Ba  n + 1 A Bx  C   với   b 2  4ac  0 . 2 2  x  m   ax  bx  c  x  m  ax  bx  c  + 1 2 2   x  a   x  b Nếu bậc tử P  x  A B C D    . 2 x  a  x  a x  b  x  b 2  bậc mẫu Q  x  mà mẫu không phân tích được thành tích số, ta xét một số trường hợp thường gặp sau: dx PP  x  a.tan t . ,  n  N *  + I1   2 2 n x  a  + I2   + I3   I3  b  dx dx x   tan t . . Ta sẽ đặt  ,    0   2 2a 4a ax  bx  c  b     a  x        2a   4a    2 px  q .dx với   b 2  4ac  0 . Ta sẽ phân tích: ax  bx  c 2 p  2ax  b  dx  b. p  dx q  và giải A bằng cách đặt t  mẫu số.  . 2 2  2a  ax  bx  c  2a   ax  bx c I2 A 2 Câu 1. (THPT Quỳnh Lưu 3 Nghệ An 2019) Biết dx   x  1 2 x  1  a ln 2  b ln 3  c ln 5 . Khi đó giá trị 1 a  b  c bằng A. 3 . B. 2 . C. 1. Lời giải D. 0 . Ta có: Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 2 2 2 2 1 1 dx 1   2  1  x  1 2 x  1 1  2 x  1  x  1  dx  21 2 x  1 dx  1 x  1 dx 2 2 2 2 1  2. ln 2 x  1  ln x  1  ln  2 x  1  ln  x  1  ln 5  ln 3   ln 3  ln 2  1 1 1 1 2  ln 2  2ln 3  ln 5 . Do đó: a  1, b  2, c  1 . Vậy a  b  c  1   2   1  0 . 0 Câu 2. (THPT An Lão Hải Phòng 2019) Biết I  của a  4b bằng A. 50 B. 60 3x 2  5 x  1 2 1 x  2 dx  a ln 3  b,  a, b    . Khi đó giá trị C. 59 Lời giải D. 40 Chọn C 0 0 3x 2  5 x  1 21   3 2 0 1 x  2 dx  1  3x  11  x  2  dx   2 x  11x  21.ln x  2  1 2 19 19  21.ln  . Suy ra a  21, b  . Vậy a  4b  59 3 2 2 Ta có I  Câu 3. x2  2 1 0 x  1 dx  m  n ln 2 , với m, n là các số nguyên. Tính m  n . A. S  1 . B. S  4 . C. S  5 . Lời giải Chọn A Biết 1 D. S  1 . 1  1 0 1 1 dx x2  2 ( x  1)2 1 dx   ( x  1)dx     ln | x  1|10   ln 2 0 0 x 1 x 1 2 0 2  m  2, n  1  m  n  1 1 Câu 4. (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2019) Tích phân I   0 các số nguyên. Tính giá trị của biểu thức a  b . A. 1. B. 0 . C. 1 . Lời giải 1 Ta có I   0  x  1 2 1 1  x  1 2 x2  1 dx  a  ln b trong đó a , b là D. 3 . 1 1 2x  1 1  2 2 d x  1  d x  d x  d x  1  x  ln x  1  1  ln 2       0  x 2  1  0 0 x 2  1 0 0 x2  1 a  1   a b  3. b  2 5 Câu 5. (Chuyên Trần Phú Hải Phòng 2019) Biết Tính S  a  2b . A. S  2 . 5 B. S  2 . x2  x  1 b 3 x  1 dx  a  ln 2 với a , b là các số nguyên. C. S  5 . Lời giải D. S  10 . 5 5 a  8  x2  x2  x  1 1  3  d x  x  d x  3 x  1 3  x  1   2  ln x  1   8  ln 2  b  3  S  a  2b  2 . 3 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 9 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 2 Câu 6. (THPT Gang Thép Thái Nguyên 2019) Cho    x 2  1 P  a  b? A. P  1 . B. P  5 . 2 x  10 a  dx   ln với a, b . Tính x 1 b b C. P  7 . Lời giải 2 D. P  2 . 2 x  1    2 x 11  2 Ta có   x 2   dx    x   dx    x  1   dx x 1 x 1  x 1 1 1 1 2  x3  10 10 2 10 a    x  ln x  1    ln 2  ln 3   ln   ln . 3 3 b b  3 1 3 Suy ra a  2; b  3 . Vậy a  b  5 . 3 Câu 7. (Chuyên Sơn La 2019) Cho x 1 2 x3 dx  a ln 2  b ln 3  c ln 5 , với a, b, c là các số nguyên.  3x  2 Giá trị của a  b  c bằng A. 0 . B. 2 . C. 3 . D. 1. Lời giải 3 3 3 3 x3 x3 2 1 1 x2  3x  2 dx  1  x  1 x  2  dx  1 x  1dx  1 x  2dx 3   2ln x  1  ln x  2   2ln 2  ln 3  ln 5 1 Suy ra a  2 , b  1 , c  1 . Nên a  b  c  2  1  1  2 . 4 Câu 8. (Sở Phú Thọ 2019) Cho x 3 trị của 2 A. 12 a  3b  c 2 5x  8 dx  a ln 3  b ln 2  c ln 5 , với a, b, c là các số hữu tỉ. Giá  3x  2 bằng B. 6 C. 1 Lời giải D. 64 Chọn D 4 Ta có: I   3 3  x  2   2  x  1 5x  8 5x  8 2   3 dx   dx   dx      dx 2 x  3x  2 x  1 x  2  x 1 x  2   x  1 x  2  3  3 3   3ln x  1  2 ln x  2  4 4 4 4  3ln 3  2 ln 2  3ln 2  3ln 3  ln 2  0.ln 5 3 a  3  Suy ra b  1  2a 3b  c  26  64 . c  0  5 Câu 9. Biết x2  x  1 b 3 x  1 dx  a  ln 2 với a , b là các số nguyên. Tính S  a  2b . A. S  2 . B. S  2 . C. S  5 . Lời giải D. S  10 . Chọn A Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 5  3 5 2 5 2 a  8 x  x  x 1 1  3  dx    x   dx    ln x  1   8  ln  b  3  S  a  2b  2 . x 1 x 1 2   2 3 3 1 Câu 10. Biết rằng x 2 0 1  a dx   x 1 b  a , b   , a  10 . Khi đó a  b có giá trị bằng B. 15 . A. 14 . 1 Xét I   0 C. 13 . Lời giải D. 12 . 1 1 1 dx   dx . 2 2 x  x 1 1 3 0  x   2 4  1 3 3      tan t , với t   ,  . Khi đó dx  1  tan 2 t  dt .  2 2 2  2 2  Với x  0 , ta có t  . 6 Đặt x  Với x  1 , ta có t   3 Khi đó I    6  3 .  3  1  tan 2 t  3  3 a  3 2 2  3 2 . Từ đó suy ra   a  b  12 . dt   dt= t  3 b9 9 2 3 3    1  tan t   6 6 4 2 Câu 11. (Đề Thi Công Bằng KHTN 2019) Biết của abc bằng A. 8 . x2  5x  2 0 x 2  4 x  3 dx  a  b ln 3  c ln 5 ,  a, b, c    . Giá trị B. 10 . C. 12 . Lời giải D. 16 . Ta có: 2 2 2   2 x2  5x  2 1 2  x 1  0 x2  4 x  3 dx  0 1   x  1 x  3  dx  0 1  x  1  x  3  dx   x  ln x  1  2 ln x  3  0    2  3ln 3  2 ln 5 . Vậy a  2, b  3, c  2 , do đó abc  12 . 0 Câu 12. (THPT Nguyễn Trãi – Dà Nẵng – 2018) Giả sử rằng của a  2b là A. 30 . B. 60 . 3x 2  5 x  1 2 1 x  2 dx  a ln 3  b . Khi đó, giá trị C. 50 . Lời giải D. 40 . Ta có: 0 I 0 3x 2  5 x  1 21   1 x  2 dx  1  3x  11  x  2  dx 0  3x 2  19 I   11x  21.ln x  2   21.ln 2   21.ln 3 2 2   1 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489  a  21 2 19    I  21ln  19  a  2b  40 . 3 2 b  2 4 Câu 13. (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định -2019) Biết các số nguyên dương và A. 5 . x3  x 2  7 x  3 a 1 x2  x  3 dx  b  c ln 5 với a , b , c là 2 3 a là phân số tối giản. Tính P  a  b  c . b B. 4 . C. 5. Lời giải D. 0. 4 4  3  2 x  1  x3  x 2  7 x  3 d x  1  x  2  x 2  x  3  dx 1 x 2  x  3 Ta có 4 4 d  x 2  x  3 27 4 27 1 2    x  2 x   3 2   3ln x 2  x  3   3ln 5 . 1 x  x3 2 2 2 1 1 4 Mà x3  x 2  7 x  3 a 1 x2  x  3 dx  b  c ln 5 , suy ra a  27 , b  2 , c  3 . Vậy P  a  b 2  c3  4 . 1 Câu 14. Cho 4 x 2  15 x  11 0 2 x 2  5 x  2 dx  a  b ln 2  c ln 3 với a , b , c là các số hữu tỷ. Biểu thức T  a.c  b bằng A. 4 . 1 . 2 Lời giải B. 6 . C. D. 1 . 2 Ta có 1 1 1 4 x 2  15 x  11 (4 x 2  10 x  4)  (5 x  7) 5x  7   d x  d x  2 2  dx 2 0 2 x 2  5 x  2 0  2x  5x  2 2x  5x  2  0 1 1 3  3 5   1  2   dx   2 x  ln | x  2 |  ln | 2 x  1|  0  2  ln 2  ln 3 x  2 2x 1  2 2   0 Vậy a  2 , b  1 , c  5 nên T  6 . 2 1 Câu 15. (SGD Bến Tre 2019) Biết A. S  1 . x2  2 1 0 x  1 dx  m  n ln 2 , với m , n là các số nguyên. Tính S  m  n . B. S  5 . C. S  1 . Lời giải D. S  4 . Chọn C 1 1 1  x2  x2  2 1  1  dx    x  1  d x  ln 2 . Ta có:      x  ln x  1   x 1 x 1   2 0 2 0 0 Suy ra m  2 ; n  1 . Vậy S  1 . Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 1 Câu 16. 1 (THPT Cẩm Bình 2019) Cho  2 dx  a ln 2  b ln 3 , với a, b là các số hữu tỷ. Khi đó x  3x  2 0 a  b bằng A. 0 . B. 2 . C. 1. D. 1. Lời giải Chọn C 1 Xét 1 1 1 1 1   1  x 1  1 d x  d x  0 x 2  3x  2 0  x  1 x  2  0  x  1  x  2  dx  ln  x  2  0  2 ln 2  ln 3. Vậy a  2, b  1  a  b  1. 1 Câu 17. (Sở Hà Nam – 2019) Cho a  b  c bằng A. 3 . 2 x 2  3x 0 x 2  3x  2dx  a  b ln 2  c ln 3 với a , b , c là các số nguyên. Tổng B. 2 . C. 1 . Lời giải D. 1 . Chọn C 1 Ta có: 1 2 x 2  3x 3x  4   0 x 2  3x  2dx  0  2  x 2  3x  2 dx 1 1 1 2    2  dx   2 x  ln x  1  2ln x  2  0  2  ln 2  2ln 3 . x 1 x  2  0 Suy ra a  2 ; b  1; c  2 . Vậy a  b  c  1. 2 Câu 18. (Chu Văn An – Hà Nội – 2019) Cho biết  0 T  a  b bằng A. 13. 2 x 1 dx  a ln 5  b ln 3 , với a , b   . Tính x  4x  3 2 2 B. 10. C. 25. Lời giải D. 5. Chọn A Ta có: A 2  0 x 1 x 1 A B    x  4 x  3  x 1 x  3 x 1 x  3 2 x 1 x 1  1, B  2 x  3 x  1 x 1 x  3 2 2  1 x 1 2  dx      dx   ln x  1  2 ln x  3   ln 3  2 ln 5  2 ln 3 2   x 1 x  3 0 0 x  4x  3 0 2  2 ln 5  3ln 3  a ln 5  b ln 3  a  2, b  3  T  13. 2 Câu 19. (Chuyên – KHTN – Hà Nội – 2019) Biết x2  5x  2 0 x2  4 x  3 dx  a  b ln 3  c ln 5 ,  a, b, c   . Giá trị của abc bằng Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 A.  8 . B. 10 . C. 12 . Lời giải D. 16 . Chọn C Ta có: 2 2 2 x2  5x  2 x 1  1 2    0 x2  4 x  3 dx  0 1  x2  4 x  3  dx  0 1  x  1  x  3  dx 2   x  ln x  1  2ln x  3   2  2ln 5  3ln 3  a  b ln 3  c ln 5 . 0 a  2   b  3  a.b.c  12 . c  2  4 Câu 20. (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Biết các số nguyên dương và A. 5 . x3  x 2  7 x  3 a 1 x 2  x  3 dx  b  c ln 5 với a, b, c là a là phân số tối giản. Tính giá trị của P  a  b 2  c 3 . b B. 3 . C. 6 . D. 4 . Lời giải Chọn D 4 4  3  2 x  1   x2  x3  x 2  7 x  3 27 2 d x  x  2  d x   3ln 5 .    2 x  3ln  x  x  3   2 1 x 2  x  3 1  x  x3 2  2 1 4 Ta có Vậy P  a  b 2  c 3  4 . 3 Câu 21. (Bình Phước – 2019) Cho dx   x  1 x  2   a ln 2  b ln 3  c ln 5 với a , b , c là các số hữu tỉ. Giá 2 trị của a  b 2  c 3 bằng A. 3 . B. 6 . D. 4 . C. 5 . Lời giải Chọn B 3 3 x 1 dx 1   1 Ta có      dx  ln x2 x  1 x  2  2  x  1 x  2  2  3 2 4 3  ln  ln  4ln 2  ln 3  ln 5 . 5 4 Suy ra a  4, b  1, c  1 . Vậy a  b 2  c 3  6 . 4 Câu 22. (SGD Đà Nẵng 2019) Cho 3 2 a  3b  7 c bằng A. 9 . 2x  3 dx  a ln 2  b ln 3  c ln 7 với a , b, c   . Giá trị của 2  3x x B. 6 . C. 15 . Lời giải D. 3 . Chọn D 4 Ta có:  3 4 4 x   x  3 2x  3 1  1 d x  d x     dx  ln x  x  3 2   x  3x x.  x  3 x x3 3 3   4  ln 28  ln18 3 14  ln14  ln 9  ln 2  2 ln 3  ln 7 . 9  a  1 , b  2 , c  1 .  ln Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Vậy 2 a  3b  7 c  3 . 2 Câu 23. (SGD Điện Biên – 2019) Cho x   x  1 2 dx  a  b.ln 2  c.ln 3 , với a , b , c là các số hữu tỷ. Giá trị 1 6a  b  c bằng: A. 2 . B. 1 . C. 2 . Lời giải D. 1. Chọn D 2 1 1  1 2 1  dx  1  x  12 1  x  1   x  12  dx   ln x  1  x  1  1   6  ln 2  ln 3 .   2 Ta có x 1  a   , b  1, c  1 , nên 6a  b  c  1 . 6 3 Câu 24. (SP Đồng Nai – 2019) Biết x 2 A. 11 . 5 x  12 dx  a ln 2  b ln 5  c ln 6 . Tính S  3a  2b  c .  5x  6 2 B. 14 . D. 3 . C. 2 . Lời giải Chọn A 3 Ta có 3 3 5 x  12 3   2 d x  2 x 2  5 x  6 2  x  2  x  3 dx   2 ln x  2  3ln x  3  2   2ln 5  3ln 6    2 ln 4  3ln 5   4ln 2  ln 5  3ln 6 .  a  4, b  1, c  3 . Do đó  S  3a  2b  c  12  2  3  11 . Dạng 3. Tích phân đổi biến b  Tích phân đổi biến: b   f  x  .u ‘  x  .dx  F u  x  a  F u  b   F u  a  . a Có sẵn Tách từ hàm Nhân Các bước tính tích phân đổi biến số Bước 1. Biến đổi để chọn phép đặt t  u  x   dt  u ‘  x  .dx (quan trọng)  x  b t  u  b  Bước 2. Đổi cận:   (nhớ: đổi biến phải đổi cận)  x  a t  u  a  Bước 3. Đưa về dạng I   u b ua f  t  .dt đơn giản hơn và dễ tính toán. Một số phương pháp đổi biến số thường gặp b Đổi biến dạng 1. I   a b b f  x g ‘ x .dx   h  x  .dx   f  g  x   . .dx với g  x g  x a a    I1 I2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Đổi biến dạng 2. Nghĩa là nếu gặp tích phân chứa căn thức thì có khoảng 80% sẽ đặt t  căn trừ một số trường hợp ngoại lệ sau: 1/ I1   f   a 2  x 2 .xchẵn .dx   đặt x  a.sin t hoặc x  a.cos t . cos 2 x  1  sin 2 x  (xuất phát từ công thức sin 2 x  cos 2 x  1   2  2  sin x  1  cos x  2/ I 2   f   x 2  a 2 .xchẵn.dx   đặt x  a.tan t hoặc x  a.cot t . (mấu chốt xuất phát từ công thức tan 2 x  1  3/ I 3   f   x 2  a 2 .xchẵn .dx   đặt x  1   cos 2 x  a a hoặc x  . sin t cos t  ax   đặt x  a.cos 2t . 4/ I 4   f   dx   a x  5/ I 5   dx  a  bx  n n 1   đặt x  . t a  bx n s s  đặt t n  ax  b . 6/ I 6   R  1 ax  b ,……, k ax  b .dx  (trong đó n là bội số chung nhỏ nhất của s1 ; s2 ;…; sk   7/ I 7   dx  ax  b  cx  d  Đổi biến dạng 3.   đặt t  ax  b  cx  d . 1 1  t  ln x  dt  .dx  f  ln x  . x .dx  x Đổi biến dạng 4.  t  sin x  dt  cos x.dx  f  sin x  .cos x.dx  Đổi biến dạng 5.  t  cos x  dt   sin x.dx  f  cos x  .sin x.dx  Đổi biến dạng 6.  f  tan x  . cos Đổi biến dạng 7.  f  cot x  . sin 1 2 x 1 2 x dx   t  tan x  dt  dx cos 2 x dx   t  cot x  dt   dx sin 2 x Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  f  sin x  cos x  .  sin x  cos x  dx t  sin x  cos x  Đổi biến dạng 8.     f  sin x  cos x  .  sin x  cos x  dx t  sin x  cos x   f  ax 2  b n .xdx   t  ax 2  b  dt  2axdx   Đổi biến dạng 9.  f ax  b n .xdx   t  ax  b  dt  adx    1 Câu 1. (Đề Tham Khảo -2019) Cho xdx   x  2 2  a  b ln 2  c ln 3 với a, b, c là các số hữu tỷ. Giá trị của 0 3a  b  c bằng A. 2 B. 1 C.  2 Lời giải D. 1 Chọn D Đặt t  x  2  dt  dx Đổi cận: x  0  t  2 ; x  1  t  3 1 3 xdx   x  2  2 0  t  2  dt t2 2 3 3 2 1 2 1 2       2 dt   ln t    ln 3    ln 2  1    ln 2  ln 3 t t  t 2 3 3  2 1 Suy ra a   ; b  1; c  1 3 3a  b  c  1  1  1  1 . 3 Câu 2. Tính K   2 x dx bằng x2 1 1 8 B. K  ln . 2 3 A. K  ln 2 . C. K  2ln 2 . 8 D. K  ln . 3 Lời giải Đặt t  x 2  1  dt  2 xdx  xdx  dt 2 Với x  2  t  3; x  3  t  8 Ta có K  8 8 1 8 1 dt 1  ln t  ln .  3 2 3 23 t 2 1 Câu 3. (Chuyên Long An – 2018) Cho tích phân I   0 x7 2 5 1  x  dx , giả sử đặt t  1  x 2 . Tìm mệnh đề đúng. 3 1  t  1 dt . 2 1 t 5 2 A. I  3 1  t  1 dt . C. I   2 1 t4 2 3 B. I    t  1 t5 1 3 dt . 3 3  t  1 dt . D. I   2 1 t4 4 Lời giải 2 Ta có: t  1  x  dt  2 xdx . Đổi cận: x  0  t  1 . x 1  t  2 . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 17 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 3 1  t  1 dt . I  dx   dx   2 5 2 5 2 1 t5 0 1  x  0 1  x  1 1 x7 2 x.x 6 1 Câu 4. (KTNL Gia Bình Năm 2019) Có bao nhiêu số thực a để x ax 2 dx  1 . 0 A. 2 B. 1 C. 0 Lời giải D. 3 Chọn B  a  1 Điều kiện tích phân tồn tại là a  x 2  0, x   0;1   a  0 Đặt t  a  x 2  dt  2xdx . Khi đó 1   a  e2  1 1  a  e2 a dt 1 1  a a t  2 ln a  1  1  a  e2 a   1  a 2 e 1  1 So sánh điều kiện ta được a  2 . e 1 1 x 1 0 a  x 2 dx  2 Câu 5. (Nguyễn 1 a Huệ – Phú Yên – Cho 2020) hàm số f  x có f 1  0 và 1 f   x   2019.2020.x  x  1 2018 , x   . Khi đó  f  x  dx bằng 0 A. 2 . 2021 B. 1 . 1011 C.  2 . 2021 D.  1 . 1011 Lời giải Chọn C  1 Cần nhớ:  f   x  dx  f  x   C và    ax  b  1  ax  b  dx  a  1 Ta có f  x    f   x  dx   2019.2020.x  x  1 2018  C   1 . dx  2019.2020 x  x  1 2018 dx . Đặt t  x  1  dt  dx và x  t  1 . Suy ra f  x   2019.2020   t  1 t 2018 dt  2019.2020   t 2019  t 2018  dt  t 2020 t 2019  2020  2019.2020    2020t 2019  C .   C  2019t  2020 2019  Từ đó f  x   2019  x  1 2020 Mà f 1  0  2019 1  1 Suy ra f  x   2019  x  1  2020  x  1 2020 2020 2019  2020 1  1  2020  x  1 C . 2019 2019  C  0  C  0. . 1 1 Vậy 1  f  x  dx   2019  x  1 0 0 2020  2020  x  1 2019 2021 2020  x  1 x  1    dx   2019.   2020.   2021 2020   0 2  2019  .    1   2021  2021  Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 1 Câu 6. (Đề Tham Khảo 2019) Cho xdx   x  2 2  a  b ln 2  c ln 3 với a, b, c là các số hữu tỷ. Giá trị của 0 3a  b  c bằng A.  2 B. 1 C. 2 Lời giải D. 1 Chọn B Đặt t  x  2  dt  dx Đổi cận: x  0  t  2 ; x  1  t  3 1 3 xdx   x  2 0 2  2  t  2  dt t2 3 3 2 1 2 1 2       2 dt   ln t    ln 3    ln 2  1    ln 2  ln 3 3 3 t t  t 2  2 1 Suy ra a   ; b  1; c  1 3 3a  b  c  1  1  1  1 . Câu 7.  2 x  3x  2  (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Cho Tính giá trị của biểu thức 12 A  7 B . 23 241 A. B. 252 252 Đặt t  3x  2  dt  3dx  dx  6 8 7 dx  A  3x  2   B  3x  2   C với A, B, C   . 52 9 Lời giải. C. D. 7 9 dt . 3 Khi đó. 6  2 x  3x  2  dx  2 t2 6 2 2  t 8 2t 7  7 6 t d t  t  2 t d t      C . 3 3 9 9 8 7  1 4 8 7  3x  2    3x  2   C . 36 63 1 4 7 Từ đó ta có A  , B . Suy ra 12 A  7 B  . 36 63 9  1 Câu 8. (Chuyên Hà Tĩnh – 2018) Biết P  a2  b2 . A. 13 . 1 Ta có I   0 B. 5 . 2 x 2  3x  3 0 x 2  2 x  1 dx  a  ln b với a, b là các số nguyên dương. Tính C. 4 . Lời giải 2 x 2  3x  3 dx x2  2 x  1 dt  dx Đặt t  x  1   suy ra x  t 1 Khi đó 2 x  0  t  1  x  1  t  2 2 2 2  t  1  3  t  1  3 2t 2  t  2  1 2 I  dt  dt   2   2  dt  2 2   t t t t  1 1 1 2 D. 10 . 2 2   2t  ln t    3  ln 2 . t 1  Suy ra P  32  2 2  13 . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 19 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Câu 9. với m , p , q   và (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định -2019) Cho là các phân số tối giản. Giá trị m  p q bằng A. 10 . 22 . 3 Lời giải B. 6 . D. 8 . C. Chọn C 1   e3 x1 3 Ta có 2 1  1 1 5 e  e 2  . Suy ra m  , p  5 và q  2 .  3 3 1 22 Vậy m  p  q   5  2  . 3 3 1 Câu 10. Biết rằng  xe x2 2 dx  0 a b c e  e với a, b, c   . Giá trị của a  b  c bằng 2  A. 4 . B. 7 . 1 Ta có:  x  xe 2 1 2 dx  0 C. 5 . Lời giải D. 6 . 1 x2 2 1 2 1 1 e d x 2  2  e x  2  e3  e 2 .  0 2 20 2     Nên a  1 , b  3 , c  2 . Vậy a  b  c  6 . e Câu 11. (KTNL GV Lý Thái Tổ 2019) Biết x 2 1 x 1 dx  ln  ae  b  với a, b là các số nguyên dương.  x ln x 2 Tính giá trị của biểu thức T  a  ab  b 2 . A. 3. B. 1. C. 0. Lời giải D. 8. Chọn B 1 e 1 e x 1 x dx  d  x  ln x   ln  x  ln x  e  ln  e  1 dx  1 x2  x ln x 1 x  ln x 1 x  ln x 1 e Vậy a  1, b  1 nên T  a 2  ab  b 2  1. 2 Câu 12. 2 (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Biết   x  1 e x 1 x p dx  me q  n , trong đó m, n, p, q 1 p là các số nguyên dương và là phân số tối giản. Tính T  m  n  p  q . q B. T  10 . A. T  11 . C. T  7 . Lời giải D. T  8 . Chọn B 2 2 Ta có: I    x  1 e 1 x 1 x 2 dx    x 2  2 x  1 e 1 x 1 x 2 dx    x 2  1 e 1 x 1 x 2 dx   2 xe x 1 x dx 1 Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Xét 2 I1    x 2  1 e x 1 x 1 1 2 x 2 x xe 2 e 1 2  I1   2 xe 2 dx   x 2 .e x 1 x . 1 x 1 x d x 2 x e 2 x 2 2 1 1 x x  x2  1 1 2 2  x  x dx  x . e d x   x d e      1 x2 x   1   1 2 x 1 x 2   2 xe 2 dx  x e x 1 2 x 1 1 x dx 1 1 1 x x 2 Ix e x 1 2 x 1 3  4e 2  1 1 m  4 n  1 p 2   Do   x  1 e dx  me  n , trong đó m, n, p, q   và là phân số tối giản   q 1 p 3 q  2 Khi đó, T  m  n  p  q  4  1  3  2  10 . 2 p q 1 x x x2 Câu 13. Số điểm cực trị của hàm số f  x   2tdt  1 t là 2 2x A. 0 B. 1 C. 2 Lời giải D. 3 Chọn D d 1  t 2tdt Ta có f  x     2 1 t 1 t2 2x 2x x2 x2 2   ln 1  t   2 x2 2x  ln 1  x 4   ln 1  4 x 2  . x  0 4 x3 8×2 4 x3 8x f  x   ; f  x  0    0   4 2 4 2 1 x 1 4x 1 x 1 4x  x   Trục xét dấu: 17  1 . 2 Từ đó ta thấy hàm số có 3 điểm cực trị. Câu 14. (Chuyên Bắc Giang 2019) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên  đồng thời thỏa mãn 1 f  0   f 1  5 . Tính tích phân I   f   x  e f  x  dx . 0 A. I  10 B. I  5 C. I  0 Lời giải D. I  5 Chọn C 1 1 I   f  x e 0 Câu 15. f  x dx   e 0 f  x d  f  x   e f  x 1 0 e f 1 e f 0  e5  e5  0 . (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Cho hàm số f  x  có f  3   3 và f   x   x , x  0 . x 1 x 1 8 Khi đó  f  x  dx bằng 3 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 21 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 A. 7 . B. 197 . 6 29 . 2 Lời giải C. D. 181 . 6 Chọn B Xét x  f   x  dx   x  1  Khi đó,  f   x  dx   x 1 dx . Đặt t  x  1  x  1  t 2  x  t 2  1  dx  2tdt .  t  1 .  t  1  2tdt  2t  2 dt x t 2 1 dx   2  2tdt     t t t.  t  1 x 1 x 1  t 2  2t  C   x  1  2 x  1  C . Mà f  3  3   3  1  2 3  1  C  3  C  5 .  f  x    x  1  2 x  1  5  x  2 x  1  4 . 8 8   f  x  dx   3 3   x2 4 x  2 x  1  4 dx     2 3  21 Câu 16. (Mã 102 2018) Cho x 5 sau đây đúng? A. a  b  2c dx x4 8  19 197  x  1  4 x   36   . 6 6 3 3  a ln 3  b ln 5  c ln 7 , với a , b, c là các số hữu tỉ. Mệnh đề nào B. a  b  2c C. a  b  c Lời giải D. a  b  c Chọn B Đặt t  x  4  2tdt  dx . Với x  5  t  3 ; x  21  t  5 21 Ta có  5 5 5 dx dt 1 1 1 1  2 2   ln t  2  ln t  2   ln 2  ln 5  ln 7 . 3 t 4 2 2 2 2 x x4 3 55 Câu 17. (Mã 101 2018) Cho x 16 dưới đây đúng? A. a  b  3c Chọn. dx  a ln 2  b ln 5  c ln11 , với a , b, c là các số hữu tỉ. Mệnh đề nào x9 B. a  b  3c C. a  b  c Lời giải D. a  b  c A. Đặt t  x  9  t 2  x  9  2tdt  dx . Đổi cận x  16  t  5 , x  55  t  8 . 55 Do đó  16 dx  x x9 8 8 8 1 x 3 8 2tdt dt 1  1 1   2  5 t  t 2  9  5 t 2  9 3 5  x  3  x  3  dx  3 ln x  3 5 1 5 1 1 2 1 1  ln  ln  ln 2  ln 5  ln11 . 3 11 3 4 3 3 3 2 1 1 Vậy a  ; b  ; c    a  b  c . 3 3 3 Trang 22 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 2 Câu 18. (Đề Tham Khảo 2017) Tính tích phân I   2 x x 2  1dx bằng cách đặt u  x 2  1 , mệnh đề nào 1 dưới đây đúng? 2 3 B. I  A. I   udu 0 2 3 1 udu 2 1 C. I  2  udu 0 D. I   udu 1 Lời giải Chọn A 2 I   2 x x 2  1dx 1 đặt u  x 2  1  du  2 xdx . Đổi cận x  1  u  0 ; x  2  u  3 3 Nên I   udu 0 5 Câu 19. 1 dx  a  b ln 3  c ln 5 . Lúc 1 1  3x  1 (Nguyễn Trãi – Thái Bình – 2020) Giả sử tích phân I   đó A. a  b  c  5 . 3 B. a  b  c  4 . 3 C. a  b  c  7 . 3 8 D. a  b  c  . 3 Lời giải Chọn B 2 Đặt t  3 x  1 . Ta có t 2  3 x  1  dx  tdt . 3 Đổi cận 5 4 1 1 2 dx   . tdt 1 t 3 1 1  3x  1 2 Ta có I   4   2 t dt 3 2 t  1 4 4 2  1  2 1   dt   t  ln 1  t  2  3 2  t 1 3  4 2 2  ln 3  ln 5 . 3 3 3 4 2 2 Do đó a  ; b  ; c   . 3 3 3 Vậy a  b  c  Câu 20. (Liên trường Nghệ 4 . 3 An – 2020) x7 3  , x   ;   . Biết rằng 2 2x  3   Khi đó a  b bằng A. 250 . B. 251 . f  x  7 Cho hàm  x a  f  2  dx  b 4 C. 133 . số f  x ( a, b  , b  0, có f  2  0 và a là phân số tối giản). b D. 221 . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 23 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Lời giải Chọn B 1 17  2 x  3  x7 17  2 .dx   1 2 x  3  .dx   2 2  .dx  2x  3 2x  3 2 2x  3   Ta có f  x    f   x  .dx    2 x  3 1 1  . 2 2 3 3 2 Mà f  2   0  Suy ra f  x   7 Do đó  4 1 6  17 1 . 2x  3  C  2 6 1 6  2.2  3  2 x  3   3  17 . 2x  3  C . 2 17 1 17 26 . . 2.2  3  C  0    C  0  C   2 6 2 3 17 26 . 2x  3  2 3  1 17 26  3  x 1 f   dx     x  3  . x  3   dx   6 2 3 2 4  6  7 1  15 17  x  3  . 3 1  15  7  3 5 1  15  7  3 5  3 3  2 x  3 5 7 5  x  3 5 2  17 . 2 3  x  3 3 2  26   x 3  4 7 26  x  3  x  3 4 3  17 26   1 3 .  7  3  .7    3 3  15  4  3 5  17 26   1 3 .  7  3  .7    3 3  15  4  3 5  17 26  3 .  4  3  .4 3 3   17 26  3 .  4  3  .4 3 3  236 . 15 Suy ra a  236, b  15 . Vậy a  b  251 . ln 6 Câu 21. (Nam Định – 2018) Biết tích phân  1 0 nguyên. Tính T  a  b  c . A. T  1 . B. T  0 . ex ex  3 dx  a  b ln 2  c ln 3 , với a , b , c là các số C. T  2 . D. T  1 . Lời giải Đặt t  e x  3  t 2  e x  3  2tdt  e x dx .  x  ln 6 t  3 Đổi cận  .  x  0 t  2 Trang 24 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 ln 6 Suy ra  0 3 ex 3 2tdt dx   1 t 1  ex  3 2 3 2    2  dt   2t  2 ln t  1  2 1 t  2   6  2 ln 4    4  2 ln 3 a  2   2  4 ln 2  2 ln 3  b  4 . c  2  Vậy T  0 . 1 Câu 22. (Chuyên Vinh – 2018) Tích phân dx bằng 3x  1  0 4 A. . 3 3 B. . 2 1 . 3 Lời giải 2t Đặt t  3 x  1  t 2  3x  1  2tdt  3dx  dt  dx 3 Đổi cận: x  0  t  1 ; x  1  t  2 1 Khi đó  0 C. 1 2 . 3 1 1 2 dx 2 1 2 2   .tdt   dt  t  . 30 3 0 3 3x  1 3 0 t Cách khác: Sử dụng công thức dx 2  ax  b  C thì ax  b a  2 Câu 23. D. (Đề Tham Khảo 2018) Biết  ( x  1) 1 1  0 1 2 dx 2  3x  1  . 3 3x  1 3 0 dx dx  a  b  c với a , b, c là các số nguyên x  x x 1 dương. Tính P  a  b  c A. P  18 B. P  46 C. P  24 Lời giải D. P  12 Chọn B Cách 1 2 2 2 dx dx x  x 1 1 ( x  1) x  x x  1 dx  1 x( x  1) x  1  x  1 x( x  1) x  x  1    Khi đó I   1 2 2 dx x 1  x dx x( x  1) 1   1  Đăt t  x  1  x  dt    dx  2dt   2 x 1 2 x  2 3  2 3 2  2  dt    2 t  t  1  2 3  4 2  2  32  12  2 2  P  a  b  c  32  12  2  46. Cách 2 2 2 2 dx dx 1 ( x  1) x  x x  1 dx  1 x( x  1) x  1  x  1  2  1 2  x 1  x  x 1  x 1   1 dx      dx  2 x  2 x  1 x( x  1) x x 1  1  x( x  1)    x 1  x x 1  x  dx 2  2 2  2  2 3  2 2  32  12  2 1 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 25 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 e Câu 24. x (Chuyên Trần Phú Hải Phòng 2019) Biết 1 ln x dx  a  b 2 với a , b là các số hữu tỷ. 1  ln x Tính S  a  b . A. S  1 . B. S  1 . 2 C. S  3 . 4 D. S  2 . 3 Lời giải Đặt 1  ln x  t  ln x  t 2  1  dx  2tdt x  x  1  t  1 Đổi cận   x  e  t  2 e ln x Vậy  dx  1 x 1  ln x 2  t 2  1 2tdt t 1 2 2  t3  4 2  2   t  1 dt  2   t    2 3 3  3 1 1 2 4 2 2 Suy ra a  ; b    S  a  b  3 3 3 2 2 Câu 25. (Gang Thép Thái Nguyên 2019) Cho tích phân I   16  x 2 dx và x  4 sin t . Mệnh đề nào 0 sau đây đúng?   4 4 A. I  8 1  cos 2t  dt . B. I  16 sin 2 tdt . 0 0   4 4 C. I  8 1  cos 2t  dt . D. I  16 cos2 tdt . 0 0 Lời giải Đặt x  4 sin t  dx  4 cos tdt . Đổi cận: x  0  t  0 ; x  2 2  t   4 .     4 4 4 4 I   16  16sin 2 t .4 cos tdt   4 cos t .4 cos tdt   4 cos t .4 cos tdt  16  cos t .cos tdt . 0 0 0 0   4 4   Mà vì t   0;  thì cos t  0 nên khi đó I  16 cos2 tdt  8 1  cos 2t  dt .  4 0 0 5 Câu 26. Biết  1 1 A. Đặt 7 . 3 1 dx  a  b ln 3  c ln 5 (a, b, c  Q) . Giá trị của a  b  c bằng 3x  1 B. 5 . 3 8 . 3 Lời giải C. t  3x  1  t 2  3x  1  2tdt  3dx  dx  D. 4 . 3 2 tdt 3 Đổi cận: x  1  t  2 ; x  5  t  4 Trang 26 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 5 4 4 4 4 2 1 2 t 2 1 2 2 d x  dt  (1  )dt  (t  ln t  1)   ln 5  ln 3 . 1 1  3x  1   2 3 3 3 2 1 t 32 1 t 3 3 4 2 2 4  a  ,b  ,c    a  b  c  . 3 3 3 3 1 Câu 27. Cho  1 2 b x 1 b  tối giản. Giá trị dx  ln   d  , với a , b, c, d là các số nguyên dương và c x 1 a c  3 của a  b  c  d bằng A. 12 B. 10 C. 18 Lời giải D. 15 Chọn B 1 I  1 2 1 x dx   3 x 1 1 2 1 x 1  x 1  3   x  3 dx   1 2 1 1 x. 1    x 3 dx 1 1 1  x   dx  2 dt x t t 1 Đổi cận: x   t  2 ; x  1  t  1 2  Đặt t  1 Khi đó: I   2 2 t 2dt  1  d t   2   3  1 t . 1 t3 1 t3  t t  Đặt u  1  t 3  u 2  1  t 3  t 3  u 2  1  3t 2 dt  2u du  t 2 dt  2u du 3 Đổi cận: t  1  u  2 ; t  2  u  3 2u du 3 3 2 du 1 u 1 3 1 3  Ta có: I   2 3   2  ln  ln   2  3 2 u 1 3 u 1 2 3  2  2  u  1 .u Suy ra a  3, b  3, c  2, d  2 . Vậy a  b  c  d  10 . 7 Câu 28. (Lê Quý Đôn – Quảng Trị – 2018) Cho biết  0 Tính m  7 n A. 0 . B. 1 . x3 3 1 x2 dx  m m với là một phân số tối giản. n n C. 2 . Lời giải Đặt t  3 1  x 2  t 3  1  x 2  3t 2dt  2 xdx  xdx  D. 91 . 3t 2dt . 2 Đổi cận: 7 2 2 2 t 3  1 3t 2 3 3  t5 t2  141 4 d x  . d t  . t  t d t  .    .   0 3 1  x 2 1 t 2  2 1 2  5 2  1 20  m  7 n  141  7.20  1 . x3 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 27 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 1 Câu 29. (Chuyên Đại Học Vinh 2019) Biết rằng  3x  5 0 các số hữu tỉ. Giá trị của a  b  c bằng 10 5 A.  B.  3 3 dx  a ln 2  b ln 3  c ln 5 , với a, b, c là 3x  1  7 10 3 Lời giải C. D. 5 3 Chọn A 1 dx 0 3x  5 3x  1  7 A Đặt t  3x  1  t 2  3x  1  2tdt  3dx Đổi cận: x  0  t  1; x  1  t  2 2 2 2 tdt 2 2 t 2  2 3  2 A 2 3   dt      dt   2 ln t  2  3ln t  3  1 3 1t  2 t 3 3 t  5t  6 3 1  t  2  t  3 1 2 2 2 20 4  2 ln 4  3ln 5  2 ln 3  3ln 4    10 ln 2  2 ln 3  3ln 5    ln 2  ln 3  2 ln 5 3 3 3 3 20 4 10 Vậy: a  b  c     2   . 3 3 3  e ln x dx  a  b 2 với a , b là các số hữu tỷ. Tính S  a  b . 1  ln x 1 1 3 2 A. S  1 . B. S  . C. S  . D. S  . 2 4 3 Câu 30. Biết x Lời giải Chọn D Đặt 1  ln x  t  ln x  t 2  1  dx  2tdt x  x  1  t  1 Đổi cận   x  e  t  2 e ln x Vậy  dx  1 x 1  ln x 2  1 t 2  1 2tdt t 2 2  t3  4 2  2   t  1 dt  2   t    2 3 3  3 1 1 2 4 2 2 Suy ra a  ; b    S  a  b  3 3 3 3 Câu 31. (THPT Ngô Sĩ Liên Bắc Giang 2019) Cho  42 0 số nguyên. Giá trị a  b  c bằng: A. 9 B. 2 C. 1 x x 1 dx  a  b ln 2  c ln 3 với a,b,c là các 3 D. 7 Lời giải Chọn C Trang 28 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 3  42 x x 1 0 dx  t  4  2 x  1  (t  4) 2  4( x  1)  2(t  4) dt  4dx x0t 6 x  3 t 8 8 8 8 t 2  8t  16  4 t 3  12t 2  44t  48 t 2 3t 11 6 .(t  4) dt   dt      dt 8t 8t 8 2 2 t 6 6 6 I  ( 8 7 t 3 3t 2 11   t  6 ln t )   12 ln 2  6 ln 3 6 3 24 4 2  a  b  c 1 3 Câu 32. (THPT Ba Đình 2019) Cho I   0 x 4  2 x 1 dx  a  b ln 2  c ln d , với a , b, c, d là các số d a là phân số tối giản. Giá trị của a  b  c  d bằng d B. 4. C. 28. Lời giải nguyên và A. 16. D. 2 . Đặt t  x  1  x  t 2  1  dx  2tdt Đổi cận: x  0  t  1; x  3  t  2 2 2 2  t3 2  t 2 1 6  7  I  .2t dt    t 2  2t  3  d t    t  3t  6 ln t  2    12 ln 2  6 ln 3.  4  2t t2 3 1 3 1 1 Suy ra a  7, b  12, c  6, d  3 . Do đó a  b  c  d  4. a x3  x Câu 33. Tính I   x2  1 0 dx . A. I   a 2  1 a 2  1  1 . 1 B. I   a 2  1 a 2  1  1 .  3 1 C. I   a 2  1 a 2  1  1 .  3 D. I   a 2  1 a 2  1  1 . Lời giải a x3  x Ta có I   2 x 1 0 2 a dx   x  x  1 0 2 2 2 x 1 a dx   x x 2  1dx . 0 2 Đặt u  x  1  u  x  1  udu  xdx . Đổi cận: x  0  u  1 , x  a  u  a 2  1 . a 2 1 Vậy I   1 u3 u 2du  3 1 a 2 1 1   a 2  1 a 2  1  1 .  3 1 2 Câu 34. (THCS – THPT Nguyễn Khuyến – 2018) Giá trị của tích phân  0 x dx bằng tích phân nào 1 x dưới đây? Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 29 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489  A.  1 2 sin 2 x B.  dx . cos x 0 4 2  2sin ydy . 0  sin 2 y C.  dy . cosy 0 4 2 D.  2sin 2 ydy . 0 Lời giải Đặt x  sin y ta có dx  d  sin y   dx  2 sin y.cos ydy 2 2 Khi x  0  y  0 và x   1 2 Suy ra 1   y . 2 4  4 4 x sin y dx   .2sin y cos ydy   2sin 2 ydy . 1 x cos y 0 0  0 2 2 Câu 35. (Chuyên Thăng Long – Đà Lạt – 2018) Biết  3 x 2 2 dx  x 1  x 1 a là tối giản. Tính P  3a  2b  c . b B. 12 . C. 14 . b ln 5  c ln 2 với a, b, c là a các số nguyên và phân số A. 11 . D. 13 . Lời giải 2 2 2 Đặt t  x  1  t  x  1  xdx  tdt Đổi cận: x  3  t  2, x  2 2  t  3 . 2 2 Khi đó  3 3 3 x tdt 2 1  dx   2   ln t  1  ln t  2  2 2 t t 2 3 3 2 x 1  x 1 2 2 1  2  2   ln 2  ln 5    ln 4   ln 5  ln 2 . 3 3  3  3 Vậy a  3, b  2, c  1  3a  2b  c  14 . Câu 36. (Bình 4 phân  1 Giang – Hải Dương – Cho 2018) 2  5 6  12  25  x dx  a  b 6  c ln    d ln 2 với a, b, c, d là các số hữu tỉ. Tính tổng x  5 6  12  abcd . 1 A.  . 3 B.  3 . 25 3 C.  . 2 D.  3 . 20 Lời giải Đặt t  25  x 2  t 2  25  x 2  x dx   t dt Khi đó: 4 I  1 tích 25  x 2 dx  x 2 6  3 t2 dt  25  t 2 2 6  3 25    1   dt  25  t 2   2 6  5 5    1  2  5  t   2  5  t   dt 3  2 6 5  5 6  12   3  2 6  ln    5 ln 2. 2  5 6  12  5 3 Vậy a  3, b  2, c  , d  5  a  b  c  d   . 2 2  5 5t    t  ln 2 5  t  3  Trang 30 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/  TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 1 Câu 37. dx    nếu đổi biến số x  2sin t , t    ;  thì ta  2 2 4  x2 (Sở Hưng Yên – 2018) Cho tích phân I   0 được. π 3 π 6 A. I   dt . π 4 B. I   dt . 0 π 6 dt . t 0 C. I   tdt . 0 D. I   0 Lời giải x  2sin t  dx  2cos tdt . Với x  0  t  0; x  1  t  π 6 π 6  . 6 π cos tdt 6 I    dt . 2 cos t 0 0 2 1  sin t 0 2 cos tdt 1 Câu 38. (THPT Phú Lương – Thái Nguyên – 2018) Biết  x 0 nguyên và b  0 . Tính P  a  b 2  c . A. P  3 . B. P  7 . x3 1  x2 dx  a b c với a, b, c là các số 15 C. P  7 . D. P  5 . Lời giải. 1 I  0 1 x3 x  1 x dx   x 2 3 0  2  1 1 3 2 1  x  x dx   x 1  x dx   x4 dx  A  0 0 1 5 + Tính A: Đặt t  1  x2  tdt  xdx 2 2 2  t5 t3  22 2 A    t  1.t dt    t  t  dt      15  5 3 1 1 1 2 I 2 4 2 1  2 2  a  2; b  2; c  1 15 P  a  b2  c  7 1 n Câu 39. Cho n là số nguyên dương khác 0 , hãy tính tích phân I   1  x 2  xdx theo n . 0 A. I  1 . 2n  2 B. I  1 . 2n C. I  1 . 2n  1 D. I  1 . 2n  1 Lời giải Với n   , khi đó: * 1 Đặt t  1  x 2  dt  2 xdx  xdx   dt 2 Đổi cận: x  0  t  1; x  1  t  0 0 Khi đó I   1 1 n 1 n 1 t n1 1 1 t d t  t d t  .    21 20 2 n  1 0 2n  2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 31 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 1 Cách 2: Ta có d 1  x 2  2 xdx   d 1  x 2  xdx 2  1 I   1  x 2 n  0    2 n 1 1 n 1 1 1  x  xdx    1  x 2  d 1  x 2    . 20 2 n 1 1 64 Câu 40. (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Giả sử I   1 Khi đó giá trị a  b là A. 17 . B. 5.  0 1 2n  2 dx 2  a ln  b với a, b là số nguyên. 3 3 x x C. 5 . Lời giải D. 17 . Đặt t  6 x  x  t 6  dx  6.t 5dt . Đổi cận: x  1 t  1; x  64  t  2 . 2 2 2 6t 5 t3 1   dt  6  t 2  t  1  Suy ra I   3 2 dt  6  dt t t t 1 t 1 1 1 1 2 2 1 d  t  1 t 1 1  6  t 2  t  1 dt  6  1 2  t3 t2  2 3 2 8 5  6    t   6 ln t  1 1  6     6  ln 3  ln 2   11  6 ln  6 ln  11 . 2 3 3 6 3 2 1 a  6 Từ đó suy ra   a  b  5 . b  11 Câu 41. (Tiên Du f  x  A.  – Bắc Ninh – Cho 2020) hàm số f  x có 6  x2   , x   6; 6 . Khi đó  f  x  .dx bằng 0 3 . 4 B. 3  6 . 4 C.  2 4 . D.  Lời giải Chọn D  Ta có x   6; 6  f  x    f   x  .dx    x 6  x2 .dx 1 1 1 .d  6  x 2    .2 6  x 2  C .  2 2 2 6x Mà f  2   2   6  2  C  2  C  0 . Suy ra f  x    6  x 2 . 3 Do đó I   0  2   2 3 x  f 3 f  x  .dx    6  x 2 .dx . 0 Trang 32 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 3  6 . 4 và TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021    Đặt x  6 sin t , t    ;   dx  6 cos t.dt .  2 2 Đổi cận x  0  t  0; x  3  t   . 4    4 4 4  1 4 6  6 sin 2 t . 6.cos t.dt  6  cos 2 t.dt  3  cos 2t  1 .dt  3  sin 2t  t  2 0 0 0 Suy ra I    0   3  6 1 .  3  sin     2 4 4 2 2 Câu 42. (Chuyên Trần Phú – Hải Phòng – 2018) Biết  3x  1 là các số hữu tỷ, tính P  a  2b  c  7 . 1 86 A.  . B. . 9 27 x dx  a  b 2  c 35 với a , b , c 9×2 1 C. 2 . D. 67 . 27 Lời giải Ta có 2 2 x  3x  9 x2 1 1 1   2 2 2   2 2 dx   x 3x  9 x 2  1 dx   3 x 2  x 9 x 2  1 dx   3 x 2 dx   x 9 x 2  1dx 1 1 1 2  x 3   x 9 x 2  1dx  7   x 9 x 2  1dx . 1 1 1 2 Tính x 9 x 2  1dx . 1 9 x 2  1  t  9 x 2  1  t 2  xdx  Đặt tdt . 9 Khi x  1 thì t  2 2 ; khi x  2 thì t  35 . 2 35 tdt t 3 Khi đó  x 9 x  1dx   t  9 27 2 1 2 2 35 2 2 Vậy  3x  1 x 2 dx  7  9x 1 Vậy P  a  2b  c  7  7   2 35 16 35  2. 27 27 16 35 35 16 , c . 35  2  a  7, b  27 27 27 27 32 35 1  7   . 27 27 9 2 Câu 43. (THPT Phan Chu Trinh – Đắc Lắc – 2018) Biết x 1 dx  a  b  c với a , x  1   x  1 x b , c là các số nguyên dương. Tính P  a  b  c . A. P  44 . B. P  42 . C. P  46 . Lời giải D. P  48 . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 33 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 2 Đặt I   1 2 dx dx .  x x  1   x  1 x 1 x  x  1 x  x  1  x 1  x Đặt t  x  x  1  dt  2 x  x  1  dx dx  x  x  1 2 dt . t Khi x  1 thì t  2  1 , khi x  2 thì t  3  2 . 2 3 2 dx I  x  x  1 1  x  x 1  2  2 1 dt 1  2 2 t t 3 2 2 1 1 1    2     4 2 2 32 2 1  3 2  32  12  4  a  32 , b  12 , c  4 Vậy P  a  b  c  48 4 Câu 44. (SởPhú Thọ – 2018) Biết 2 x  1dx 5  a  b ln 2  c ln  a, b, c    . Tính T  2a  b  c . 3 2x 1  3  2x  3 0 A. T  4 . B. T  2 . 4 4 2 x  1dx  0 2x  3 2x 1  3 0 I  4  0 4 2dx  2x 1  2    0 C. T  1 . Lời giải 4 2 x  1dx   2x 1 1 dx  2x 1  2  2  0 D. T  3 .     2 x  1  1 2x 1 1   2x  1  2 2 x  1  2 dx . 2x  1  1 Đặt u  2 x  1  udu  dx . Với x  0  u  1 , với x  4  u  3 . .3 Suy ra I   1 .3 .3 .3 2udu udu 4  1      2   du    1  du u  2 1 u 1 1  u2 u  1   1 3 5   u  4 ln u  2  ln u  1   2  4 ln  ln 2 1 3  a  2 , b  1 , c  1  T  2.1  1  4  1 . Câu 45. (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Cho hàm số f  x  có f  0   0 và f   x   cos x cos2 2 x,  R .  Khi đó  f  x  dx bằng 0 A. 1042 . 225 B. 208 . 225 242 . 225 Lời giải C. D. 149 . 225 Chọn C   2 Ta có f  x    f   x  dx   cos x cos 2 2xdx   cos x 1  2sin 2 x dx . Đặt t  sin x  dt  cos xdx . 2 4 4 4 4  f  x    1  2t 2  dt   1  4t 2  4t 4  dt  t  t 3  t 5  C  sin x  sin 3 x  sin 5 x  C . 3 5 3 5 Mà f  0   0  C  0 . 4 4 4  4  Do đó f  x   sin x  sin 3 x  sin 5 x  sin x 1  sin 2 x  sin 4 x  . 3 5 3 5   Trang 34 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 2 4  4  sin x 1  1  cos 2 x   1  cos2 x   . 5  3   Ta có  2 4  4 f  x  dx   sin x 1  1  cos 2 x   1  cos 2 x   dx . 5  3  0  0 Đặt t  cos x  dt   sin xdx Đổi cận x  0  t  1; x    t  1 . 1  Khi đó, 1 2 4  4 7 4  4 f  x  dx   1  1  t 2   1  t 2   dt     t 2  t 4  dt 15 15 5  3 5  1  1   0 1 4 4  7 242   t  t3  t 4  = . 5  1 225  15 45  2 Câu 46. (Sở Bình Phước – 2020) Cho  sin 2 0 A. 0 . cos x 4 dx  a ln . Giá trị của a  b bằng x  5sin x  6 b B. 1 . D. 3 . C. 4 . Lời giải Chọn C    2 d  sin x  d  sin x  cos x d x   . 2 2   sin x  5sin x  6 sin x  5sin x  6 0  sin x  2  sin x  3 0 0 2 2 Ta có I   Đặt t  sin x  dt  d  sin x  . Đổi cận: Khi x  0  t  0 ; x    t 1. 2 Khi đó 1 1 1 1 dt 1  t 3 3 4  1     ln 2  ln  ln . dt  ln t  3  ln t  2  0  ln t  2  t  3 0  t  2 t  3  t 2 0 2 3 0  I  Ta có a  1 , b  3 . Vậy giá trị của a  b  1  3  4 .  Câu 47. (Đề Minh Họa 2017) Tính tích phân I   cos3 x.sin xdx . 0 A. I   1 4 1 B. I    4 4 C. I   4 D. I  0 Lời giải Chọn D  Ta có: I   cos3 x.sin xdx . Đặt t  cos x  dt   sin xdx   dt  sin xdx 0 Đổi cận: Với x  0  t  1 ; với x    t  1 . 1 1 t4 Vậy I    t dt   t dt  4 1 1 3 3 1 4 14  1   0. 4 4 1 Cách khác : Bấm máy tính.  2 Câu 48. (THPT Kinh Môn – 2018) Cho  sin 0 2 cos x 4 dx  a ln  b, tính tổng S  a  b  c x  5sin x  6 c Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 35 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 A. S  1 . B. S  4 . C. S  3 . Lời giải Đặt t  sin x  dt  cos xdx . x  0  t  0 , x   2 D. S  0 .  t  1.  1 2 1 cos x 1 1  t 3  1 0 sin 2 x  5sin x  6 dx  0 t 2  5t  6 dt  0  t  3  t  2  dt  ln t  2 1  ln 2  ln 0 3 4  ln 2 3  a  1, b  0, c  3  S  a  b  c  4 .  2 Câu 49. (Bình Dương 2018) Cho tích phân I   2  cos x .sin xdx . Nếu đặt t  2  cos x thì kết quả nào 0 sau đây đúng?  2 2 3 A. I   t dt . 3 2 D. I   t dt . C. I  2  t dt . B. I   t dt . 3 2 0 Lời giải   2 2 Ta có I   2  cos x .sin xdx    2  cos xd  cos x  0 0  2 2 3    2  cos xd  cos x  2     t dt   t dt . 3 0 2  sin 2 x dx bằng cách đặt u  tan x , mệnh đề nào dưới cos 4 x 0 4 Câu 50. (Đồng Tháp – 2018) Tính tích phân I   đây đúng?  2 4 1 du . 2 0 u A. I   u 2 du . B. I   0 1 1 C. I    u 2du . D. I   u 2 du . 0 0 Lời giải   4 sin 2 x 1 I  d x  tan 2 x. dx . 4  cos x cos 2 x 0 0 4 Đặt u  tan x  du  1 dx . cos 2 x Đổi cận: x  0  u  0 , x   4  u 1 1 Suy ra: I   u 2 du . 0 π 3 Câu 51. (THTP Lê Quý Đôn – Hà Nội – 2018) Tính tích phân sin x dx cos3 x 0 I  . Trang 36 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 5 A. I  . 2 3 B. I  . 2 π 9 C. I   . 3 20 Lời giải 9 D. I  . 4 Đặt t  cos x  dt   sin xdx . π 1 Đổi cận: x  0  t  1 ; x   t  . 3 2 1 2 Khi đó: I   1 1 1 1 1 dt   3 dt  2 3 t 2t 1 t 2 1 1 2 1 3  2 . 2 2  2 Câu 52. (THPT Lý Thái Tổ – Bắc Ninh – 2018) Cho tích phân sin x dx  a ln 5  b ln 2 với a, b .   cos x  2 3 Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. 2a  b  0. B. a  2b  0. C. 2a  b  0. Lời giải D. a  2b  0. Đặt t  cos x  2  dt   sin xdx  5  Đổi cận x   t  , x   t  2 3 2 2  5 2 2 3 2 2 5 5 sin x 1 1 2  ln d x   dt  dt  ln t  ln 2  ln 5  2 ln 2 5 t 2 t  cos x  2 2 2 Vậy ta được a  1; b  2 . a Câu 53. (THPT Đông Sơn Thanh Hóa 2019) Có bao nhiêu số a   0;20  sao cho  sin 5 x sin 2 xdx  0 A. 10. B. 9. a C. 20. Lời giải 2 . 7 D. 19. a I   sin 5 x sin 2 xdx  2 sin 6 x.cosxdx 0 0 sin a  b; b   1;1 Đặt t  sin x  dt  cosxdx và  . sin 0  0 b b t7 2b7 I  2 t dt  2.  . 70 7 0 6 a Theo giả thiết:  sin 5 x sin 2 xdx  0 a   0;20   0   2 2 2b7 2     b  1  sin a  1  a   k 2 ; k  . 7 7 7 2  k 2  20    2  k 2  39 1 39  k  . 2 4 4 Mà k  nên suy ra k  0;1; 2;…;9 . Câu 54. (HSG Bắc Ninh 2019) Biết F ( x) nguyên hàm của hàm số f ( x)  sin 2 x  cos x và F (0)  2 . 1  sin x   Tính F   2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 37 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489    2 2 8 A. F    3 2   2 2 8   4 2 8 B. F    C. F    3 3 2 2 Lời giải   4 2 8 D. F    3 2 Ta có:   2 2 sin 2 x  cos x   dx  F    F  0  1  sin x 2 0  f ( x)dx   0 Đặt t  1  sin x  2tdt  cos xdx   2 2  f ( x)dx   0 2 sin 2 x  cos x 2sin x  1 dx   cos xdx 1  sin x 0 0 1  sin x 2 2   2  2t 3  2(t 2  1)  1 22 2 2tdt  2   2t 2 -1 dt  2  t  t 3  3 1 1  1 22 2 8 2 2   22 2 F   F  0  2 . 3 3 3 2  6 Câu 55. Biết dx  1  sin x  0 a 3 b , với a, b  , c   và a , b, c là các số nguyên tố cùng nhau. Giá trị của c tổng a  b  c bằng A. 5 . B. 12 . C. 7 . Lời giải D. 1. 1   2 x x  6  1  tan 2 dx dx 2 dx    dx . I   2 2 0  0  2 1  sin x 0  x x x x 0 1  tan  1  tan   cos  sin  2 2 2 2       6 6 6 Đặt t  1  tan x x   2dt   1  tan 2  dx 2 2  Đổi cận: x  0  t  1; x  3 3 I  1 cos 2 3 3 2dt 2  2 t t1   6  t  3 3 .  33 . 3 Suy ra a  1, b  3, c  3 nên a  b  c  5 .  2 Câu 56. Cho tích phân số s inx dx  a ln 5  b ln 2 với a , b   . Mệnh đề nào dưới đây đúng?   cos x  2 3 A. 2a  b  0. B. a  2b  0. C. 2a  b  0. . Lời giải D. a  2b  0. . Trang 38 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  2 + Xét: I    s inx dx cos x  2 3 + Đặt u  cosx  2  du   sin xdx  sin xdx  du  5   x  3  u  2 + Đổi cận:  x    u  2  2 2 a  1 1 5   I   du   ln u 5    ln 2  ln   ln 5  2 ln 2   . 2  5 u b  2 2 2 2  2 Câu 57. (THPT Nghen – Hà Tĩnh – 2018) Cho   cos x  0 hữu tỉ, c  0 . Tính tổng S  a  b  c . A. S  3 . B. S  0 . sin x 2 4 dx  a ln  b , với a , b là các số c  5cos x  6 C. S  1 . Lời giải D. S  4 . Đặt t  cos x  dt   sin xdx . Đổi cận: x  0  t  1 ; x   2 t0 Ta có:  2 1 0 1  t 3 1  1 0  cos x 2  5cos x  6 dx   1 t 2  5t  6 dt  0  t  3  t  2  dt  ln t  2 sin x 1  ln 2  ln 0 3 4  ln 2 3 4  a ln  b . c a  1  Do đó:  c  3 . b  0  Vậy S  a  b  c  4 . Câu 58. (Thanh Chương 1 – Nghệ An – 2020) Cho hàm số y  f ( x) có f (0)  1 và  f ( x)  tan 3 x  tan x, x   . Biết 4  f ( x)dx  0 A. 4 . B. 12 . a  ; a, b   , khi đó b  a bằng b C. 0 . Lời giải D. 4 . Chọn A Từ giả thiết f ( x)  tan 3 x  tan x, x   ta có f ( x )   f ( x ) dx   (tan 3 x  tan x )dx   tan x (1  tan 2 x ) dx   tan x.d (tan x )  Ta có f (0)  1 suy ra C  1 vậy f ( x)  1 tan 2 x  C , 2 1 tan 2 x  1 . 2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 39 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489  4 Tích phân  0  14 f ( x ) dx   (tan 2 x  2) dx 20   4 14 1 1  4 .   (tan 2 x  1  1) dx  (tan x  x )  (1  )  20 2 2 4 8 0 a  4 Từ đây ta được  ba  4. b  8 Vậy b  a  4 . Câu 59. (Tiên Lãng – Hải Phòng – 2020) Cho hàm số y  f  x có f  0  0 và  f   x   sin 8 x  cos8 x  4sin 6 x, x   . Tính I   16 f  x  dx . 0 2 B. I  160 . A. I  10 . C. I  16 2 . Lời giải D. I  10 2 . Chọn D Ta có: sin 8 x  cos8 x  4 sin 6 x   sin 4 x  cos 4 x  sin 4 x  cos 4 x   4 sin 6 x   sin 2 x  cos 2 x  sin 4 x  cos 4 x   4 sin 6 x  cos 4 x sin 2 x  sin 4 x cos 2 x  cos 6 x  3sin 6 x  cos 4 x sin 2 x  sin 4 x cos 2 x  2 sin 6 x   cos 6 x  sin 6 x   sin 2 x  cos 4 x  sin 4 x   sin 4 x  cos 2 x  sin 2 x   1  3cos 2 x.sin 2 x   4 cos 2 x.sin 2 x  2 sin 4 x  1 3 5   cos 4 x  cos 2 x  . 4 4 Suy ra: 5  3 f  x    f   x  dx    sin 8 x  cos8 x  4 sin 6 x  dx     cos 4 x  cos 2 x   dx 4  4 3 1 5   sin 4 x  sin 2 x  x  C . 16 2 4 Vì f  0   0  C  0 . Vậy f  x    3 1 5 sin 4 x  sin 2 x  x . 16 2 4 Suy ra:    1 5   3 I   16 f  x  dx   16   sin 4 x  sin 2 x  x  dx    3sin 4 x  8sin 2 x  20 x  dx 2 4   16 0 0 0  3    cos 4 x  4 cos 2 x  10 x 2   10 2 . 4 0 1 Câu 60. (Đề Tham Khảo 2017) Cho e 0 A. S  2 . dx 1 e  a  b ln , với a, b là các số hữu tỉ. Tính S  a 3  b3 . 1 2 x B. S  0 . C. S  1 . Lời giải D. S  2 . Chọn B Trang 40 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Cách 1. Đặt t  e x  dt  e x dx . Đổi cận: x  0  t  1; x  1  t  e 1 e 1 e e dx e x dx dt 1 1   0 e x  1 0 e x e x  1  1 t  t  1  1  t  t  1  dt   ln t  ln t  1  1  1  ln 1  e   ( ln 2)   1  ln  a  1 2 1 e  1  ln   S  a 3  b3  0 . 1 e 2 b  1     1 ex  1  ex 1 1 d ex 1 1 dx 1 e 1 x Cách 2.  x .  d x  d x   x  ln e  1  1  ln x x   0 0 e 1 0 e 1 e 1 2 0 0 0 1 Suy ra a  1 và b  1 . Vậy S  a 3  b 3  0 . e Câu 61. 3ln x  1 dx . Nếu đặt t  ln x thì x 1 (Cần Thơ – 2018) Cho tích phân I   1 e 3t  1 dt . et 0 3t  1 dt . t 1 A. I   B. I   1 e D. I    3t  1 dt . C. I    3t  1 dt . 0 1 Lời giải Đặt t  ln x  dt  1 dx . Đổi cận x  e  t  1 ; x  1  t  0 . x e 1 3ln x  1 dx    3t  1 dt . x 1 0 Khi đó I   e Câu 62. (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Cho I   1 ln x c dx  a ln 3  b ln 2  , với 3 x  ln x  2  2 a, b, c   . Khẳng định nào sau đâu đúng. A. a 2  b 2  c 2  1 . B. a 2  b 2  c 2  11 . C. a 2  b 2  c 2  9 . Lời giải D. a 2  b 2  c 2  3 . Chọn D e Ta có I   1 3 ln x x  ln x  2  3 2 dx , đặt ln x  2  t  3 3 t 2 1 1 2 dt  dt  2 dt  ln t  2 2   t t t t 2 2 2 2 I  2 3 2 dx  dt x 2 2 1  ln 3  ln 2    ln 3  ln 2  3 2 3 2 Suy ra a  1; b  1; c  1 , vậy a  b  c 2  3 . Chọn D. 4 Câu 63. (Việt Đức Hà Nội 2019) Biết I   x ln  x 2  9 dx  a ln 5  b ln 3  c trong đó a, b, c là các số 0 thực. Giá trị của biểu thức T  a  b  c là: A. T  11. B. T  9. C. T  10. Lời giải D. T  8. 1 Đặt x 2  9  t  2 xdx  dt  xdx  dt . 2 25 25 1 1 1   25ln 25  25   9 ln 9  9    25ln 5  9 ln 3  8 . Khi đó I  .  ln t.dt   t.ln t  t  9 2 9 2 2 Suy ra T  a  b  c  25  9  8  8 . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 41 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 e I  1 Câu 64. Cho đúng? ln x x  ln x  2  2 dx có kết quả dạng I  ln a  b với a  0 , b   . Khẳng định nào sau đây A. 2ab  1 . B. 2ab  1 . C. b  ln 3 1  . 2a 3 D. b  ln 3 1  . 2a 3 Lời giải 1 dx  dt . x Đổi cận: khi x  1 thì t  2 ; khi x  e thì t  3 . Đặt ln x  2  t  ln x  t  2  3  a  t2 2 3 1  1 2   2 . Khi đó I   2 dt     2 dt   ln t    ln    t t t  t 2 2 3  2 2 b   1  3 Vậy 2ab  1 . 3 3 3 e Câu 65. (THPT Gia Lộc Hải Dương 2019) Cho 2 ln x  1  x  ln x  2 2 1 a c với a , b , c là các số dx  ln  b d a c ; là các phân số tối giản. Tính giá trị a  b  c  d ? b d A. 18 . B. 15 . C. 16 . D. 17 . Lời giải dx Đặt t  ln x  dt  . x Đổi cận: x  1  t  0; x  e  t  1. Khi đó: nguyên dương, biết 1 1 3 2  9 1  3    d t   2 ln t  2 I       ln  . 2 dx   2 dt 2    t 2 4 2 t2 0 0  t  2 1 x  ln x  2  0 t  2 Vậy a  b  c  d  9  4  1  2  16 . e 2 ln x  1 1 2t  1 1 Câu 66. (Kim Liên – Hà Nội – 2018) Biết  x3  2 x  ex3 .2 x 1 1 e   0   e.2 x dx  m  e ln n ln  p  e    với m , n , p là các số nguyên dương. Tính tổng S  m  n  p . A. S  6 . B. S  5 . C. S  7 . Lời giải D. S  8 . 1 1 1  3  x 3  2 x  ex 3 .2 x 2x  1 2x 1 Ta có  d x  x  d x   dx   J .   x x x     e.2   e.2  4 0   e.2 4 0 0 1 1 2x dt . dx . Đặt   e.2 x  t  e.2 x ln 2dx  dt  2 x dx  x e.ln 2   e.2 0 Tính J   Đổi cận: Khi x  0 thì t    e ; khi x  1 thì t    2e . 1 2x 1 dx  x   e.2 e ln 2 0 J  1 Khi đó   2e 1 1 dt  ln t t e ln 2 e     2e  e  1 e  ln 1  e ln 2  e    x 3  2 x  ex 3 .2 x 1 1 e  0   e.2 x dx  4  e ln 2 ln 1  e    .     m  4 , n  2 , p  1 . Vậy S  7 .  Trang 42 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 3 x3  1 ln x  3 x 2  1  dx  a.e3  b  c.ln  e  1 với (THPT – Yên Định Thanh Hóa 2019) Cho  1  x l n x 1 e Câu 67. a , b , c là các số nguyên và ln e  1 . Tính P  a 2  b 2  c 2 . A. P  9 . C. P  10 . Lời giải B. P  14 . D. P  3 . Ta có e I   3x e e e  1 ln x  3x 2  1 3x 2 1  x ln x   1  ln x  1  ln x dx  e3  1  A dx   dx   3 x 2 dx   1  x ln x 1  x ln x 1  x ln x 1 1 1 3 1 1  ln x dx . Đặt t  1  x ln x  dt  1  ln x dx .   e Tính A   1  x ln x 1 1 e x  1  t  1 dt 1 e Đổi cận:  . Khi đó A    ln t 1  ln(e  1) . t x  e  t  e 1 1 a  1   b  1  P  a 2  b2  c 2  3 . Vậy I  e  1  ln(e  1)  c  1  3 Câu 68. Biết I   dx 1   ln a  ln b  ln c  với a , b , c là các số nguyên dương. x e  3e  4 c ln 2 x 0 Tính P  2a  b  c . A. P  3 . Ta có I   ln 2 0 B. P  1. C. P  4 . Lời giải D. P  3 ln 2 dx e x dx  . e x  3e x  4 0 e 2 x  4e x  3 Đặt: t  e x  dt  e xdx . Đổi cận: x  0  t  1 , x  ln 2  t  2 . Khi đó I   2 1 2 1 1 2 1 1  1 t 1 1 dt     dt  ln   ln 3  ln 5  ln 2  .  2 t  4t  3 2 1  t 1 t  3  2 t 31 2 Suy ra a  3 , b  5 , c  2 . Vậy P  2a  b  c  3 . 2 Câu 69. (Chuyên Hạ Long – 2018) Biết x 1 2 x 1 dx  ln  ln a  b  với a , b là các số nguyên dương.  x ln x 2 Tính P  a  b  ab . A. 10 . B. 8 . C. 12 . Lời giải D. 6 . 2 2 Ta có 2 x 1 x 1 1 x 2  x ln x dx  1 x  x  ln x  dx . x 1  1 Đặt t  x  ln x  dt  1   dx  dx . x  x Khi x  1  t  1 ; x  2  t  2  ln 2 . 2  ln 2 Khi đó I   1 dt  ln t t 2  ln 2 1 a  2 .  ln  ln 2  2  . Suy ra  b  2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 43 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Vậy P  8 . 1 Câu 70. (Chuyên Thái Bình 2018) Cho  x 0 2  x  ex x  e x dx  a.e  b ln  e  c  với a , b , c   . Tính P  a  2b  c . A. P  1 . C. P  0 . Lời giải B. P  1 . 1 Ta có: I   x 2  x  ex x  e x 0 1 dx   D. P  2 .  x  1 e x xe x dx . xe x  1 0 Đặt t  xe x  1  dt  1  x  e x dx . Đổi cận: x  0  t  1 ; x  1  t  e  1 . e 1 Khi đó: I   1 t 1 dt  t e 1 1   1  t  dt   t  ln t  1 e 1  e  ln  e  1 . 1 Suy ra: a  1 , b  1 , c  1 . Vậy: P  a  2b  c  2 . Câu 71. (Chuyên KHTN – 2020) Cho hàm số y  f  x  biết f  0   2 1 và f   x   xe x với mọi x   . 2 1 Khi đó  xf  x  dx bằng 0 A. e 1 . 4 e 1 . 4 B. e 1 . 2 Lời giải C. D. e 1 . 2 Chọn B 1 x2 1 2 e .d  x 2   e x  C .  2 2 1 1 1 1 2 Mà f  0     C   C  0  f  x   e x . 2 2 2 2 2 Ta có f  x    f   x  .dx   x.e x dx  1 1 1 1 2 2 1 1 1 2 e 1   xf  x  dx   xe x dx   e x d  x 2   e x  . 20 40 4 4 0 0 e Câu 72. (Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm – Quảng Nam – 2020) Biết rằng  1 với a , b, c là các số nguyên dương và A. S  3 . B. S  7 . 2 ln x  1 x ln x  1 2 dx  a ln 2  b là phân số tối giản. Tính S  a  b  c . c C. S  10 . D. S  5 . Lời giải Chọn D Đặt ln x 1  t . Ta có: 1 dx  d t . x Đổi cận: x  1  t  1 ; x  e  t  2 . e Ta có:  1 2 2 ln x  1 x ln x  1 2 dx   1 2    2 1  2 t 1  1    dt  2 ln t  1  2 ln 2  1 .  d t 2 2     t t   t 1 t 2 1 2 Trang 44 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ b c TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Suy ra: a  2 ; b  1 ; c  2 . Khi đó: S  a  b  c  5 . Dạng 4. Tích phân từng phần b b b Nếu u, v có đạo hàm liên tục trên  a; b  thì I   u.dv  u.v a   v.du . a a Vi phân u  ……………  du  ……….. dx Chọn  Nguyên hàm  v  ……………. dv  …….. dx  Nhận dạng: tích hai hàm khác loại nhân nhau (ví dụ: mũ nhân lượng giác,…) Thứ tự ưu tiên chọn u là: “log – đa – lượng – mũ” và dv là phần còn lại. 1 Nghĩa là nếu có ln hay log a x thì chọn u  ln hay u  log a x  .ln x và dv  còn lại. Nếu ln a không có ln; log thì chọn u  đa thức và dv  còn lại,… CHÚ Ý:. ∫ (hàm mũ). (lượng giác). dx  tích phân từng phần luân hồi. Nghĩa là sau khi đặt u, dv để tính tích phân từng phần và tiếp tục tính ∫ udv sẽ xuất hiện lại tích phân ban đầu. Giả sử tích phân được tính ban đầu là I và nếu lập lại, ta sẽ không giải tiếp mà xem ả đây là phương trình bậc nhất ẩn là I I. 2 Câu 1. (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Xét 2 x2 2  xe dx , nếu đặt u  x thì 0 2 4 u 2 1 C.  eu du . 20 u A. 2  e du . B. 2  e du . 0 0 2 x  xe dx bằng 0 4 1 D.  eu du . 20 Lời giải Chọn D du . 2 Khi x  0  u  0 , khi x  2  u  4 . Đặt u  x 2  du  2 xdx  xdx  2 Do đó 4 2 x  xe dx  0 1 u e du . 2 0 e Câu 2. (Đề Minh Họa 2017) Tính tích phân I   x ln xdx : 1 2 A. I  e 1 4 B. I  1 2 C. I  e2  2 2 D. I  e2  1 4 Lời giải Chọn D 1  du  x dx u  ln x  I   x ln xdx . Đặt  2 dv  xdx v  x 1  2 e e I  e e e x2 1 x2 e2 1 e2 x 2 e2 e 2 1 e 2  1 ln x   . dx    xdx       . 2 x 2 2 20 2 4 0 2 4 4 4 0 0 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 45 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 e Câu 3. (Mã 103 2018) Cho  1  x ln x dx  ae 2  be  c với a , b , c là các số hữu tỷ. Mệnh đề nào 1 dưới đây đúng? A. a  b  c B. a  b  c C. a  b  c Lời giải D. a  b  c Chọn C e Ta có e e e  1  x ln x dx  1.dx   x ln xdx  e  1   x ln xdx . 1 1 1 1 1  u  ln x  du  x dx Đặt  2 dv  x.dx  v  x  2 e  x ln xdx  Khi đó 1 e e x2 1 e2 1 ln x   x dx   x 2 2 21 2 4 1 e Suy ra e 2 1  1  x ln x dx  e  1  4  4 1 e  1 e2 e2 1 e2 1     . 2 4 4 4 4 2  e 3 1 3  e  nên a  , b  1 , c   . 4 4 4 4 Vậy a  b  c . e Câu 4. (Mã 104 2018) Cho   2  x ln x dx  ae 2  be  c với a , b, c là các số hữu tỉ. Mệnh đề nào sau 1 đây đúng? A. a  b  c B. a  b  c C. a  b  c Lời giải D. a  b  c Chọn B e Ta có e e e e   2  x ln x dx   2dx   x ln xdx  2 x 1  I  2e  2  I với I   x ln xdx 1 1 1 1 1  d u  dx  u  ln x  x Đặt   2 dv  xdx v  x  2 e 2 e e x2 e e2 1 2 x x x2 e2  1    e  1  I ln x   dx  ln x  1 12 1 4 1 2 4 4 2 2 e    2  x ln x dx  2e  2  1 e2  1 1 2 7  e  2e  4 4 4 1  a  4   b  2  a  b  c  7 c   4  1 Câu 5. (THPT Nguyễn Viết Xuân – 2020) Biết  x ln  x 2  1dx  a ln 2  0 phân số tối giản). Tính P  13a  10b  84c . A. 193 . B. 191. C. 190 . Lời giải b b (với a , b, c  * và là c c D. 189 . Trang 46 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Chọn B 2x  du  x 2  1 dx u  ln  x 2  1 Đặt:   2 dv  xdx v  x  1  2 2 1 1  x2  1  1 2 Khi đó:  x ln  x  1dx    ln  x  1   xdx  ln 2  2  2  0 0 0 1 2  a  1, b  1, c  2 . Vậy P  13a  10b  84c  191 . a Câu 6. (Nguyễn Trãi – Thái Bình – 2020) Cho a là số thực dương. Tính I   sin 2016 x.cos  2018 x  dx 0 bằng: A. I  cos 2017 a.sin 2017a . 2016 B. I  sin 2017 a.cos 2017a . 2017 C. I  sin 2017 a.cos 2017 a . 2016 D. I  cos 2017 a.cos 2017 a . 2017 Lời giải Chọn B a a Ta có I   sin 2016 x.cos  2017 x  x  dx   sin 2016 x. cos  2017 x  .cos x  sin  2017 x  .sin x  dx 0 0 a a   sin 2016 x cos  2017 x  .cos xdx   sin 2017 x sin  2017 x  dx . 0 0 a Xét J   sin 2016 x cos  2017 x  .cos xdx . 0 du  2017 sin  2017 x  dx u  cos  2017 x   Đặt   .  1 2016 sin 2017 x x.cos xdx v  du  sin 2017  a Khi đó J  cos  2017 x  . a Suy ra I  cos  2017 x  . a 1 sin 2017 x   sin 2017 x.sin  2017 x dx . 2017 0 0 a a 1 sin 2017 x   sin 2017 x.sin  2017 x dx   sin 2017 x.sin  2017 x dx . 2017 0 0 0 a 1 1  cos  2017 x  . sin 2017 x  sin 2017 a.cos  2017 a  . 2017 2017 0 Câu 7. (Chuyên Lương Văn Tỵ – Ninh Bình – 2020) Cho hàm số f  x  có f  0  1và 1 f   x   x  6  12 x  e x  , x   . Khi đó  f  x dx bằng 0 A. 3e . 1 B. 3e . C. 4  3e 1 . Lời giải D. 3e 1 . Chọn B Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 47 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489   Ta có: f   x   x 6  12 x  e x , x   nên f  x  là một nguyên hàm của f   x  .  f   x  dx   x  6  12 x  e  dx    6 x  12 x  dx   xe x Mà   6x  12x  dx  3x Xét  xe  xe 2 x x 2 2 x dx  4 x3  C u  x du  dx  dx : Đặt  x x dv  e dx v  e dx   xe x   e xdx   xe x  e x  C    x  1 e x  C Suy ra f  x   3x 2  4 x3   x  1 e x  C, x  . Mà f  0  1  C  0 nên f  x   3x 2  4 x3   x  1 e x , x  . Ta có 1 1  f  x dx    3x 0 2 3  4 x   x  1 e dx   x 3 x 4 0 1 Xét x x   x  1 e dx : Đặt 0 1 1 1     x  1 e 0 x 0 dx  2    x  1 e x dx 0 u  x  1 du  dx    x x dv  e dx v  e 1 1 1 1 x x x 1 x 1 1 1   x  1 e dx    x  1 e 0   e dx  2e  1  e 0  2e  1  e  1  2  3e 0 0 1 Vậy  f  x  dx  3e 1 . 0 4 Câu 8. (Chuyên Bắc Ninh – 2020) Biết I   x ln  x 2  9 dx  a ln 5  b ln 3  c trong đó a , b , c là các 0 số thực. Tính giá trị của biểu thức T  a  b  c . A. T  9 . B. T  11 . C. T  8 . Lời giải Chọn C Cách 1 2x  d u  dx 2 2  u  ln  x  9   x 9 Đặt  , ta có  . 2  dv  xdx  v  x 9  2 Do đó 4 D. T  10 . 4 4 4 x2  9 x2  9 2 x x2  9 I ln  x 2  9    . 2 dx  ln  x 2  9    xdx 2 2 x  9 2 0 0 0 0 4 4 25 9  x2  x2  9  ln  x 2  9      ln 25  ln 9  8  25ln 5  9ln 3  8  a ln 5  b ln 3  c . 2 2  2 0 2 0 Trang 48 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 a  25  Suy ra b  9  a  b  c  8 . c  8  Cách 2 4 Ta có I   x ln  x 2  9 dx 0 1 dt 2 Đổi cận: x  0  t  9 , x  4  t  25 Đặt t  x 2  9  dt  2 xdx  xdx  4 Suy ra I   x ln  x 2  9 dx  0 u  ln t Đặt  , ta có  dv  d t 1 25 ln tdt 2 9 1  du  dt t .   v  t 25 25 25  1 1 1 1  1 25 25 25 25 t ln t d t  t .ln t  t . d t  t .ln t  dt   t.ln t 9 t 9       9 9 29 2 t  2 9 9  2 25 9  ln 25  ln 9  8  25ln 5  9ln 3  8  a ln 5  b ln 3  c . 2 2  I  a  25  Suy ra b  9  a  b  c  8 . c  8  1 Câu 9. (Chuyên Hùng Vương – Phú Thọ – 2020) Xét hàm số f ( x)  e x   xf ( x)dx . Giá trị 0 của f (ln(5620)) bằng A. 5622 . B. 5620 . C. 5618 . Lờigiải D. 5621 . ChọnA 1 Từ f ( x)  e x   xf ( x)dx . (1) 0 Lấy đạo hàm hai vế, suyra f ‘( x)  e x . Khi đó, f ( x)   f ‘( x)dx   e x dx  e x  C . (2) 1 1 1 1 Từ (1) và (2) suyra: C   xf ( x) dx  C   x(e x  C)dx  C   xe x dx   Cx dx 0 Cx 2  C  1 2 1  C  1 0 0 0 0 C  C  2. 2 Vậy f ( x)  e x  2  f (ln(5620))  eln(5620)  2  5620  2  5622 . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 49 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 1 Câu 10. Tích phân   x  2 e 2x dx bằng 0 5  3e 2 . A. 4 5  3e2 . B. 4 5  3e2 . C. 2 Lời giải 5  3e2 . D. 4 du  dx u  x  2   Đặt   1 2x . 2x v  e d v  e d x   2 Suy ra 1 1 2x   x  2  e dx   x  2  0 1 1 2x 1 e   e2 x dx 2 2 0 0 1 1 1 1 1 1 3 5 5  3e 2   e 2  1  e2 x   e 2  1  e2    e 2   . 2 4 2 4 4 4 4 4 0 1 Câu 11. (THPT Cẩm Giàng 2 2019) Biết rằng tích phân x   2 x +1 e dx = a + b.e , tích a.b bằng 0 B. 1 . A. 15 . C. 1. Lời giải D. 20. Chọn C. Điều kiện: a , b   . u  2 x  1 du  2dx  Đặt  .  x x dv  e dx v  e 1 x    2 x +1 e dx =  2 x +1 e x 1 0 1 1  2  e x dx =  2 x  1 e x = 1+ e = a + b.e . 0 0 0 a = 1  . Vậy tích a.b = 1 . b = 1 2 Câu 12. ln x b dx   a ln 2 với a là số 2 x c 1 (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Cho tích phân I   thực, b và c là các số dương, đồng thời P  2a  3b  c . A. P  6 . B. P  5 . b là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức c C. P   6 . D. P  4 . Lời giải dx  du   u  ln x 2   ln x 2 1     ln x 1  2 1 ln 2 x Đặt    I   dx       dx  2  x 1 1x x 1 2 2  x dv  x 2  v  1 x   b  1, c  2, a  1  P  2a  3b  c  4 . 2 Trang 50 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  4 Câu 13. (THPT Lê Xoay Vĩnh Phúc 2019) Cho tích phân I    x  1 sin 2 xdx. Tìm đẳng thức đúng? 0  1 B. I    x  1 cos2 x 2 A. I    x  1 cos2 x   cos2 xdx . 0   C. I   1  x  1 cos2 x 2   4  4 4  0 1 cos2 xdx . 2 0 D. I    x  1 cos2 x 4 0 4 4   cos2 xdx . 0 0  4   cos2 xdx . 0 Lời giải u   x  1 Đặt  , ta có dv  sin 2 xdx  du  dx  . Do đó:  1 v   2 cos 2 x  I    x  1 sin 2 xdx   0 Câu 14.   4 1  x  1 cos 2 x 2 4 0  14 cos 2 xdx . 2 o (Chuyên KHTN 2019) Biết rằng tồn tại duy nhất các bộ số nguyên a, b, c sao cho 3   4 x  2  ln xdx  a  b ln 2  c ln 3 . Giá trị của a  b  c bằng 2 A. 19 . B. 19 . C. 5 . Lời giải D.  5 . 1  ln x  u  dx  du x Đặt   4 x  2  dx  dv  2 x 2  2 x  v  Khi đó 3 2   4 x  2  ln xdx  ln x.  2 x  2 x  2 3 3 7  2   x  1 dx  24 ln 3  12 ln 2  2.  7  12 ln 2  24 ln 3 . 2 2 2 Vậy a  7; b  12; c  24  a  b  c  5 . ln 1  x  dx  a ln 2  b ln 3 , với a, b là các số hữu tỉ. Tính x2 1 2 Câu 15. (HSG Bắc Ninh 2019) Cho P  a  4b . A. P  0  B. P  1 C. P  3 Lời giải D. P 3 2 2 2 ln 1  x  1 1 1  1   ln 1  x .  . dx d x  ln 1  x d x       1 x 2 1  x 1 1 x 1 x  x  2 2 2 2 1 1 1 1 2  ln 3  ln 2   dx   dx  ln 3  ln 2  ln 1  x  1  ln x 1 2 x x 1 2 1 1 1 3 3 .  ln 3  ln 2  ln 3  2 ln 2  ln 3  3ln 2  a  3, b  2 2 2 Vậy a  4b   3 . 21000 Câu 16. Tính tích phân I  ln x   x  1 2 dx , ta được 1 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 51 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 A. I   C. I  ln 21000 2 .  1001ln 1000 1 2 1  21000 B. I   ln 21000 2 .  1001ln 1000 1 2 1  21000 D. I  1000 ln 2 21000 .  ln 1  21000 1  21000 1000 ln 2 21000 .  ln 1  21000 1  21000 Lời giải Chọn A dx  u  ln x du     x dx   Đặt  dv  1 2   x  1 v   x  1  21000 21000 ln x I  x 1 1   1 1 dx ln 21000 .   1000  x 1 x 2 1 21000  1 21000 1  1000 ln 2 x 1  ln    dx   1000 2 1 x 1 1  x x 1 1000  1000 ln 2 2 1 1000 ln 2 21001 ln 21000 2 = .  ln  ln    ln   1001ln 1000 1000 1000 1000 1000 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 1  21000 2 Câu 17. Biết  2 x ln  x  1 dx  a.lnb , với a, b  * , b là số nguyên tố. Tính 6a  7b . 0 A. 6a  7b  33 . B. 6a  7b  25 . C. 6a  7b  42 . Lời giải D. 6a  7b  39 . 2 Xét I   2 x ln  x  1 dx . 0 1  dx u  ln  x  1 du  Đặt   x 1 . dv  2 xdx v  x 2  1  2 2 2  x2  x2 1 Ta có I   x  1 ln  x  1 |   dx  3ln 3    x  1 dx  3ln 3    x   3ln 3 . x 1  2 0 0 0 Vậy a  3, b  3  6a  7b  39 . 2 2 0 a Câu 18. (Chuyên Hưng Yên 2019) Biết rằng  ln xdx  1  2a,  a  1 . Khẳng định nào dưới đây là 1 khẳng định đúng? A. a  18;21 . B. a  1; 4  . C. a  11;14  . D. a   6;9  . Lời giải Đặt u  ln x  du  1 dx x dv  dx  v  x a a Ta có  ln xdx  a.ln a   dx  a ln a  a  1  1  2a 1 1  a ln a  3a  ln a  3  a  e3 . Vậy a  18; 21 . 1 Câu 19. (KTNL GV Bắc Giang 2019) Cho tích phân x  ( x  2)e dx  a  be , với 0 bằng Trang 52 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ a; b   . Tổng a  b TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A. 1 . B. 3 . C. 5 . D. 1 . Chọn A 1 1 1 u  x  2  du  dx x x 1   ( x  2) e d x  ( x  2) e  e x dx=  e  2  e x  3  2e = a  be Đặt     x x 0 0  dv  e dx v  e 0 0 với a; b    a  3, b  2  a  b  1 2 Câu 20. (KTNL GV Thuận Thành 2 Bắc Ninh -2019) Tính tích phân I   xe x dx . 1 2 2 A. I  e . D. I  3e 2  2e . C. I  e . Lời giải B. I   e . Chọn A u  x du  dx  Đặt   x x dv  e dx v  e 2 2 I   xe x dx  xe x 1 2 1   e x dx  2e2  e  e x 2 1  2e 2  e   e 2  e   e 2 . 1 3 Câu 21. (THPT Yên Phong Số 1 Bắc Ninh 2019) Biết rằng  x ln x dx  m ln 3  n ln 2  p trong đó 2 m, n, p   . Tính m  n  2 p A. 5 . 4 B. 9 . 2 C. 0 . 5 D.  . 4 Lời giải Chọn C 1  du  x dx u  ln x Đặt   . 2 dv  xdx v  x  2 3 3   x ln x dx  2 3 3 x2 1 x2 x2 ln x   x dx  ln x  2 22 2 4 2 2 3 2 9 5  ln 3  2 ln 2  . 2 4 Suy ra m  n  2 p  0 . 2 Câu 22. (Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2019) Biết  2 x ln 1  x  dx  a.ln b , với a, b  * , b là số 0 nguyên tố. Tính 3a  4b . A. 42 . B. 21 . C. 12 . Lời giải D. 32 . 1  u  ln 1  x  dx  du   Xét I   2 x ln 1  x  dx . Đặt  1 x .  dv  2 xdx 0  v  x 2  1 2 2 2 2 2  x2  x2 1 Ta có: I   x  1 ln  x  1   dx  3ln 3    x  1 dx  3ln 3    x   3ln 3 . 0 x 1  2 0 0 0 2 Vậy a  3 , b  3  3a  4b  21 . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 53 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 2 Câu 23. ln x b dx   a ln 2 với a là số thực, b và c 2 x c 1 (Chuyên Quốc Học Huế 2019) Cho tích phân I   là các số nguyên dương, đồng thời P  2a  3b  c . A. P  6 b là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức c B. P  6 C. P  5 Lời giải D. P  4 1  du  .dx u  ln x    x Đặt   1 dv  x 2 .dx v   1  x 2 2 2 1 1 1 1 1 1  1    ln 2  b  1, c  2, a   . Khi đó Ta có I   .ln x    2 dx  ln 2  2 x1 2 2 2  x 1 1 x  1  P  2    3.1  2  4 .  2  3 x 3 dx    ln b . Khi đó, giá trị của a 2  b bằng 2 cos x a 0 Câu 24. Biết I   A. 11. B. 7 . C. 13 . Lời giải D. 9 . u  x du  dx  Đặt   1 dv  cos 2 x dx v  tan x     3 3 3  sin xdx  3 3 d(cos x) I  x tan x 03   tan xdx  . 3     3 cos x 3 cos x 0 0 0    ln cos x 3  3 0   3 3  ln 1  3  ln1   ln 2  a  3; b  2 . Vậy a 2  b  11 . 2 3 3  F  x   2 x  ln  x  1  Câu 25. Cho  ln  x 2  x  dx  F  x  , F  2   2 ln 2  4 . Khi đó I    dx bằng x 2   A. 3ln 3  3 . B. 3ln 3  2 . C. 3ln 3  1 . D. 3ln 3  4 Lời giải u  ln  x 2  x  u   2 x  1 Đặt   x2  x v  1   v  x Suy ra F  x    ln  x 2  x  dx  x ln  x 2  x    2x  1 dx x ln  x 2  x   2 x  ln x  1  C x 1 F  2   2ln 2  4  C  0 suy ra F  x   x ln  x 2  x   2 x  ln x  1 3 3  F  x   2 x  ln  x  1  d x Khi đó: I     ln  x 2  x  dx  F  3  F  2   3ln 3  2 .   x  2 2 Trang 54 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  3 Câu 26. x 3 dx    ln b , với a, b là các số 2 cos x a 0 (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Biết I   nguyên dương. Tính giá trị của biểu thức T  a 2  b. A. T  9 . B. T  13 . C. T  7 . Lời giải  3 Xét I   0 D. T  11 .  3 x 1 d x  x. dx. . 2  cos x cos 2 x 0 u  x  du  dx  Đặt   . 1 v  tan x d v  d x   cos 2 x    3   3 1 3 I  x.tan x 3   tan xdx  x.tan x 3   d  cos x    x tan x  ln  cos x   3    ln 2. cos x 3 0 0 0 0 0 a  3 Suy ra   T  a 2  b  11. b  2  Câu 27.  2 (Thpt Lê Quý Đôn Đà Nẵng 2019) Cho  ln 1  2 x  x 1 2 dx  a ln 5  b ln 3  c ln 2 , với a , b , c là 2 các số nguyên. Giá trị của a  2  b  c  là: A. 0. B. 9. C. 3. Lời giải D. 5. Áp dụng phương pháp tích phân từng phần: 2  dx u  ln 1  2 x  du  2x 1   Đặt:  .  1  2 x  1   1 d v  d x  chän v    2  x2   x x 2 2 2 ln 1  2 x    2 x  1 2  d x   ln 1  2 x  dx   2  x x x 1 1 1  5     ln 5  3ln 3   2 ln x 2   5  ln 5  3ln 3  2 ln 2 . 2  a  5 , b  3 , c  2 . 2 1 Vậy a  2  b  c   5 . ln 1  x  dx  a ln 2  b ln 3 , với a , b là các số hữu tỉ. Tính P  ab . 2 x 1 2 Câu 28. Cho  A. P  3 . 2 B. P  0 . C. P  9 . 2 D. P  3 . Lời giải Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 55 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 ln 1  x  dx  a ln 2  b ln 3 . x2 1 2 Ta có I   1  dx u  ln(1  x ) du    1 x Đặt   1  dv  x 2 dx v   1 .  x 2 2 1 1 1 1 1  2 Khi đó I   ln (1  x) 1   dx   ln 3  ln 2     dx 1 1 x x (1  x ) 2  x 1 x  2 1 x  1 3    ln 3  ln 2   ln    ln 3  ln 2  2 ln 2  ln 3  3ln 2  ln 3. 2 2 2  x 1 1 3 9 Suy ra a  3 , b   . Vậy P  ab  . 2 2 1 Câu 29. (KTNL GV Bắc Giang 2019) Cho tích phân a; b   . Tổng a  b x  ( x  2)e dx  a  be , với 0 bằng A. 1 . B. 3 . D.  1 . C. 5 . Lời giải Chọn A. 1 1 1 1 u  x  2 du  dx x x   ( x  2) e d x  ( x  2) e  e x dx=  e  2  e x  3  2e = a  be Đặt     x x 0 0 dv  e dx v  e 0 0 với a; b    a  3, b  2  a  b  1 π 4 Câu 30. (Sở Phú Thọ 2019) Cho  ln  sin x  2 cos x  cos 2 x 0 Giá trị của abc bằng 15 A. 8 B. 5 8 dx  a ln 3  b ln 2  cπ với a , b , c là các số hữu tỉ. 5 4 Lời giải C. D. 17 8 Chọn A cos x  2sin x  u  ln  sin x  2 cos x   du  sin x  2 cos x dx Đặt  dv  dx  v  tan x  2  cos 2 x π 4  0 ln  sin x  2 cos x  2 cos x π 4 0 π 4 cos x  2sin x dx cos x 0 dx   tan x  2  ln  sin x  2 cos x    π π 4 3 2  7 4  x  2 ln cos x  1  2 tan x d x  3ln   2 ln 2  3ln 3  ln 2       0 2 0  2  π 2 7 5 π 5 1  3ln 3  ln 2   2 ln  3ln 3  ln 2   a  3 , b   , c   . 2 2 4 2 4 4 2 Vậy abc  18 . Trang 56 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 12 Câu 31. 1  x 1 a c  (Chuyên Thái Bình 2019) Biết   1  x  e x dx  e d trong đó a, b, c, d là các số nguyên x b 1  12 dương và các phân số A. 12. a c , là tối giản. Tính bc  ad . b d B. 1. C. 24. Lời giải 12 Ta có: I  1   x  1x   1  x  1  x 2   1 e dx  12 12  1 12 D. 64. 12 1 x 1  x  1x  x  1  2  e dx   e x dx . x   1 12 u  x du  dx   1  Đặt:  x  1 . 1    x x dv   1  x 2  e dx v  e x    12 Khi đó: I   1 12 1 12  12 12 1 1 x x 1  x 1  x  1  2  e x dx   e x dx  x.e x x   1 12 1 12  12 12 12 e 1 12 x 1 12 1 x 12 dx   e x 1 x dx 1 12 145 12 1 143 e  e . 12 12 Vậy: a  143; b  12; c  145; d  12. Dó đó: bc  ad  12.145  143.12  24 .  12e  2 Câu 32. (THPT Yên Khánh A 2018) Cho x  ln  x  1   x  2 2 dx  0 a c ac  ln 3 (với a, c  ; b, d  * ; là b d bd các phân số tối giản). Tính P   a  b  c  d  . A. 7 . B. 7 . 2 x  ln  x  1   x  2 Ta có 2 0 2 2 dx   0 C. 3 . Lời giải D. 3 . ln  x  1 1 2 dx   dx   dx . 2 2 x2 0  x  2 0  x  2 2 2 2 2 1 2 2  1  0 x  2 dx  0  x  2 2 dx   ln x  2  x  2  0  ln 2  2 . 2 I  0 ln  x  1  x  2 2 dx . 1  u  ln  x  1 du  dx  x 1    Đặt  1 1 x 1 d v  d x 2  v  1  x  2    x2  x  2  2 2   x  1 ln( x  1)  1 3 Suy ra I    dx  ln 3  ln 2 .    4  x  2  0 0  x  2  2 Do đó x  ln  x  1   x  2 0 2 1 3 dx    ln 3  P   1  2  3  4   7 . 2 4 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 57 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Câu 33. (Đặng Thúc Hứa – Nghệ An – 2020) Cho hàm số y  f  x  có f 1  2 x  1 . Biết b  f  x  dx  a ln c  d 1 x và f   x   với 2 2  x  1 với a, b, c, d là các số nguyên dương, b  3 và 1 Khi đó a  b  c  d bằng B. 5 . A. 8 . C. 6 . Lời giải b tối giản. c D. 10 . Chọn D Ta có x   x  1 Do f 1  2  1 1  1 dx      dx  ln  x  1   C , với C là hằng số tùy ý.  x  1  x  12  x 1    1 1 1  ln 2   C   C   ln 2 . 2 2 2 Khi đó, ta có 2  1 2 2 2 2 1 dx    ln 2  dx   ln  x  1 dx    ln 2  dx . f  x  dx   ln  x  1  x 1 x 1  1  1 1 1 dx  u  ln  x  1 du  Xét I   ln  x  1 dx . Đặt   x  1 , khi đó ta có dv  dx 1 v  x 2 2 2 I  x.ln  x  1 1   1 2 2 2 2 xdx xdx dx dx  2 ln 3  ln 2    2 ln 3  ln 2   dx    2 ln 3  ln 2  1   x 1 x 1 x 1 x 1 1 1 1 1 Khi đó, 2 1  f  x  dx  2 ln 3  ln 2  1  2  1 0 2 3 dx  ln 2  dx  2 ln 3  ln 2  1  2 ln 3  2 ln 2  ln 2  4 ln  1 . x 1 2 1 a  4 b  3  Suy ra   a  b  c  d  10 . c  2 d  1 Trang 58 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 TÍCH PHÂN – PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN Chuyên đề 26 TÀI LIỆU DÀNH CHO HỌC SINH KHÁ – GIỎI – XUẤT SẮC MỨC 8-9-10 ĐIỂM Dạng 1. Tích phân Hàm ẩn Dạng 1.1 Giải bằng phương pháp đổi biến b Thông thường nếu trong bài toán xuất hiện  f u  x  dx thì ta sẽ đặt u  x   t a Câu 1. (Chuyên Biên Hòa – Hà Nam – 2020) Cho hàm số f  x  liên tục trên  và thỏa mãn 1  2 f  x  dx  9 . Tích phân 5   f 1  3 x   9 dx bằng 0 A. 15 . B. 27 . D. 21 . C. 75 . Lời giải Chọn D 2 Ta có 2 2 2   f 1  3x   9  dx   f 1  3x  dx   9dx   f 1  3x  dx  18 . 0 0 0 0 2 Xét  f 1  3x  dx , đặt t  1  3x  dt  3dx  dx   0 dt . 3 2 Đổi cận khi x  0  t  1 ; x  2  t  5 . Suy ra  5 f 1  3x  dx   0 2 1 1 0 5 5 1 1 1 f (t )dt   f (t )dt .  31 3 5 1 1 Khi đó   f 1  3 x   9  dx   f (t )dt  18   f ( x)dx  18  21 . 3 3 Câu 2. (Chuyên Lam Sơn – 2020) Cho hàm số 10  0 10 f  x  liên tục trên đoạn 0;10 thỏa mãn 1 f  x  dx  7,  f  x  dx  1 . Tính P   f  2 x  dx . 2 0 A. P  6 . B. P  6 . C. P  3 . Lời giải D. P  12 . Chọn C 2 Ta có: 10 10  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  6 . 0 0 2 1 1 Xét P   f  2 x  dx . Đặt t  2 x  dt  2dx  dx  dt . 2 0 Đổi cận: 1 2 Lúc đó: P   f  2 x  dx  0 2 1 1 f  t  dt   f  x  dx  3 .  20 20 Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 5 Câu 3. 2 (Chuyên Bắc Ninh – 2020) Cho I   f  x  dx  26 . Khi đó J   x  f  x 2  1  1 dx bằng 1 A. 15 . 0 B. 13 . C. 54 . Lời giải D. 52 . Chọn A 2 2 2 + Ta có: J   x  f  x 2  1  1 dx   xdx   xf  x 2  1 dx . 0 0 0 2 + Xét A   xdx . 0 2 2 A   xdx  0 x2  2. 2 0 2 + Xét B   xf  x 2  1 dx . 0 2 Đặt t  x  1  dt  2 xdx . Đổi cận: x Ta có: t 0 0 5 1 5 2 B   xf  x 2  1 dx  2 5 1 1 1 f  t  dt   f  x  dx  .26  13 .  21 21 2 Vậy J  A  B  15 . 9 Câu 4. (Chuyên Lào Cai – 2020) Cho hàm số y  f ( x) liên tục trên  thỏa mãn  f  x  dx  4 và 1 x  3 2  f  sin x  cos xdx  2. Tích phân I   f ( x)dx bằng 0 0 A. I  8 . B. I  6 . C. I  4 . Lời giải D. I  10 . Chọn C Đặt t  x  dt  9 Suy ra f  2 x  x dx  2 x 1 1 dx . Khi đó x  1  t  1; x  9  t  3 3 3  f (t )dt  4   f (t )dt  2. 1 1     ;   dt  cos dx . Khi đó. x  0  t  0; x   t  1 2  2 2 Đặt t  sin x; x    3 Suy ra  0 1 3 f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx  2  2  4. 0 1 5 Câu 5. (THPT Cẩm Giàng 2019) Cho biết  1 A. P  15 . B. P  37 . 2 f  x dx  15 . Tính giá trị của P    f  5  3 x   7  dx . 0 C. P  27 . D. P  19 . Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Lời giải 1 Đặt t  5  3 x  dt  3dx  dx =  dt . 3 Đổi cận: x  0 thì t  5 ; x  2 thì t  1 . 2 2 2 0 0 5 1 Ta có: P    f  5  3 x   7  dx   f  5  3x  dx +  7dx  0  f t  5 1 dt 2  7 x 0   f  t  dt  14 3 1 3 1  .15  14  19 . 3 4 Câu 6. (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho  f  x  dx  2018 . Tính tích phân 0 2 I    f  2 x   f  4  2 x   dx . 0 A. I  0 . B. I  2018 . 2 C. I  4036 . Lời giải D. I  1009 . 2 Ta có I   f  2 x  dx   f  4  2 x  dx  H  K 0 0 2 Tính K   f  2 x  dx . 0 4 Đặt t  2 x  dt  2dx ; đổi cận: x  0  t  2; x  2  t  4 . Nên K  1 f  t  dt  1009 2 0 2 Tính H   f  4  2 x  dx , 0 4 Đặt t  4  2 x  dt  2dx ; đổi cận: x  0  t  4; x  2  t  0 . Nên H  1 f  t  dt  1009 2 0 Suy ra I  K  H  2018 . 2 Câu 7. Cho y  f  x  là hàm số chẵn, liên tục trên  6;6 . Biết rằng 3  f  x  dx  8 ; 1  f  2 x  dx  3 . 1 6 Giá trị của I   f  x  dx là 1 A. I  5 . B. I  2 . C. I  14 . Lời giải D. I  11 . 3 Ta có y  f  x  là hàm số chẵn, suy ra f  2 x   f  2 x  . Khi đó: 3  f  2 x  dx   f  2 x  dx  3 . 1 1 3 Xét tích phân: I1   f  2 x  dx . 1 Đặt t  2 x  dt  2dx  6 1 dt  dx . Đổi cận: x  1  t  2 ; x  3  t  6 . 2 6 6 6 1 1  I1   f  t  . dt   f  t  dt  3   f  t  dt  6   f  x  dx 6 . 2 22 2 2 2 6 Vậy I   1 2 f  x  dx   1 6 f  x  dx   f  x  dx  8  6  14 . 2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Câu 8. (THPT Đoàn Thượng – Hải Dương -2019) Cho hàm số 2  f  x  liên tục trên  và  f  x  dx  2018 , tính I   xf  x 2  dx. 0 0 A. I  1008 . B. I  2019 . C. I  2017 . Lời giải D. I  1009 .  Xét I   xf  x 2  dx. 0 1 Đặt t  x 2  dt  2 xdx  xdx  dt. 2 Đổi cận: x  0  t  0; x    t   2 . 1 2 Khi đó I  2  1 2 f  t  dt  0 2  f  x  dx  1009. 0 (Chuyen Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Cho  f  x dx  2 . Khi đó B. 4 . x t  Đặt 4 Suy ra  f 4  1 f 2 x x 2   x dx bằng C. 2 . Lời giải x D. 8 . 1 dx  2dt . Khi x  1 thì t  1 ; x  4 thì t  2 . x dx  dt   x dx  1 Vậy 1  1 1 A. 1 . f 4 2 Câu 9. 2 f  t  .2dt  2  f  t dt  2.2  4 . 1 1  x dx  4 . x 2 Câu 10. (Sở Hà Nội 2019) Cho  1 A. 2 . 5 f  x 2  1xdx  2 . Khi đó I   f  x  dx bằng 2 B. 1. C. 4 . D. 1 . Lời giải dt . 2 Đổi cận x  1  t  2; x  2  t  5 . Đặt x 2  1  t  2 xdx  dt  xdx  2 5 Suy ra: 2   f  x 2  1 dx  1 5 5 1 f  t  dt   f  t  dt  4  I   f  x  dx  4 . 2 2 2 2 3 Câu 11. Cho f , g là hai hàm số liên tục trên 1;3 thỏa mãn điều kiện   f  x   3g  x dx=10 đồng thời 1 3 3 2  2 f  x   g  x dx=6 . Tính  f  4  x dx +2  g  2 x  1dx 1 A. 9 . 1 B. 6 . 1 C. 7 . Lời giải D. 8 . Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 3 Ta có: 3 3   f  x   3g  x dx=10   f  x dx+3 g  x dx=10 . 1 1 3 3 1 3  2 f  x   g  x dx=6  2 f  x dx- g  x dx=6 . 1 1 3 1 3 Đặt u   f  x dx; v =  g  x dx . 1 1 3   f  x dx=4 u  3v  10 u  4 1  3 Ta được hệ phương trình:   2u  v  6 v  2  g x dx=2    1 3 + Tính  f  4  x dx 1 Đặt t  4  x  dt  dx; x  1  t  3; x  3  t  1 . 3 1 3 3  f  4  x  dx   f  t  dt    f  t  dt   f  x  dx  4 . 1 3 1 1 2 + Tính  g  2 x  1dx 1 Đặt z  2 x  1  dz  2dx; x  1  z  1; x  2  z  3 . 2 3  g  2 x  1 dx  1 3 Vậy  3 1 1 g  z  dz   g  x  dx  1.  21 21 2 f  4  x dx +2  g  2 x  1dx = 6 . 1 1 1 Câu 12. Cho hàm số f  x  liên tục trên  thỏa  2 f  x  dx  2 và 0 A. I  16 . B. I  18 . 1  7 f  3 x  1 dx  6 . Tính I   f  x  dx . 0 C. I  8 . Lời giải 0 D. I  20 . 2 A   f  x  dx  2 , B   f  3 x  1 dx  6 đặt t  3 x  1  dt  3dx . 0 0 Đổi cận : x  0  t 1 x 2t 7 7 Ta có: B  7 7 7 1 f  t  dt  6   f  t  dt  18   f  x  dx=18 . 3 1 1 1 1 7 Vậy I   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  20 . 0 Câu 13. 0 1 (THPT Quỳnh Lưu 3 Nghệ An 2019) Cho f  x  liên tục trên  thỏa mãn f  x   f 10  x  và 7  3 7 f  x  dx  4 . Tính I   xf  x  dx . A. 80 . 3 B. 60 . C. 40 . Lời giải D. 20 . Đặt t  10  x . Khi đó dt  dx . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Đổi cận: x  3  t  7 . x  7  t  3. 3 7 7 Khi đó I    10  t  f 10  t  dt   10  t  f 10  t  dt   10  x  f 10  x  dx 7 3 7 7 3 7 7   10  x  f  x  dx  10  f  x  dx   xf  x  dx  10  f  x  dx  I . 3 3 3 3 7 Suy ra 2 I  10  f  x  dx  10.4  40 . Do đó I  20 . 3 1 Câu 14. (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Cho  f  x  dx  9 . Tính 0  6 I   f  sin 3 x  cos 3 xdx . 0 A. I  5 . B. I  9 . D. I  2 . C. I  3 . Lời giải Đặt t  sin 3x  dt  3cos 3x.dx x  0  t  0  Đổi cận:    x  6  t  1  1 6 I   f  sin 3 x  cos 3 xdx  0 1 1 f  t  dt  .9  3  30 3 4 Câu 15. (Chuyên Quốc Học Huế -2019) Cho tích phân I   f  x  dx  32. Tính tích 0 2 phân J   f  2 x  dx. 0 A. J  32 B. J  64 Đặt t  2 x  dt  2dx  C. J  8 Lời giải D. J  16 dt  dx. 2 Đổi cận: x  0  t  0; x  2  t  4. 2 J  0 4 4 1 1 1 f  2 x  dx   f  t  dt   f  t  dt  I  16. 2 20 2 0 9 Câu 16. (Việt Đức Hà Nội 2019) Biết f  x  là hàm liên tục trên  và  f  x  dx  9 . Khi đó giá trị của 0 4  f  3x  3 dx là 1 A. 0 . B. 24 . C. 27 . Lời giải D. 3 . 4 Xét I   f  3 x  3 dx . 1 Đặt t  3 x  3  dt  3dx . Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 9 9 x  4  t  9 1 1 1 Đổi cận:  . Vậy I   f  t  dt   f  x  dx  .9  3 . 3 30 3 x  1  t  0 0 1 Câu 17. (Đề Thi Công Bằng KHTN 2019) Cho hàm số f ( x) thỏa mãn  f (2 x)dx  2 .Tích phân 0 2  f ( x)dx bằng 0 A. 8. B. 1. C. 2. Lời giải D. 4. dt , 2 Đặt t  2 x  dt  2dx  dx  x0t 0 x 1 t  2 1 2 2 0 2 f (t )dt 1   f (t )dt   f (t )dt  4 2 20 0 Ta có 2   f (2 x)dx   0 2 Theo tính chất tích phân 2  f (x)dx   f (t)dt  4 0 0 2 Vậy  f ( x )dx  4 0 2017 Câu 18. Cho hàm f  x  thỏa mãn 1  f  x  dx  1 . Tính tích phân I   f  2017 x  dx . 0 A. I  1 . 2017 0 B. I  0 . D. I  1 . C. I  2017 . Lời giải 1 dt 2017 Đổi cận: x  0  t  0 ; x  1  t  2017 Đặt t  2017 x  dt  2017dx  dx  2017 Vậy I   0 1 1 f t . dt  2017 2017 2017 1  f  t  dt  2017 . 0 2 Câu 19. Cho tích phân 1  f  x  dx  a . Hãy tính tích phân I   xf  x 1 2   1 dx theo a . 0 B. I  A. I  4a . a . 4 C. I  a . 2 D. I  2a . Lời giải 2 Đặt t  x  1  dt  2 xdx . Đổi cận 1 2   2 I   xf x 2  1 dx   f  t  . 0 1 2 dt 1 1 a   f  t  dt   f  x  dx  . 2 21 21 2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 7 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Câu 20. (Thpt Hoàng Hoa Thám Hưng Yên 2019) Cho hàm số f  x  liên tục trên  và thỏa mãn  f  ln 2 x  e2 4  tan x. f  cos x  dx  2 và 2  A. 0 . x ln x e 0 2 dx  2 . Tính 1 4 B. 1.   f  2x dx . x D. 8 . C. 4 . Lời giải  2 1 4 f  cos x  2 * I1   tan x. f  cos x  dx   .sin2xdx . 2 0 cos 2 x 0 4 Đặt cos 2 x  t  sin 2 xdx  dt . Đổi cận x 0 t 1  4 1 2 1 1 f t  1 2 f t  dt  4 . dt   Khi đó I1    t 21 t 1 2 e * I2  2  e f  ln x  2 e 1 f  ln x  2 ln x dx   . dx . x ln x 2 e ln 2 x x 2 2 Đặt ln 2 x  t  2 ln x dx  dt . x Đổi cận Khi đó I 2  4 4 1 f t  d t  1 2 1 t 2 * Tính I   1 4 x t f t  dt  4 . t e 1 e2 4 f  2x  1 dx . Đặt 2x  t  dx  dt . 2 x Đổi cận x t 4 Khi đó I   1 2 Câu 21. 1 4 1 2 2 4 1 4 f t  f t  f t  dt   dt   dt  4  4  8 . t t t 1 1 2  x 2  3x 2 ; x  1 (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho hàm số y  f  x    . Tính 5  x ; x  1  2 1 I  2  f  sin x  cos xdx  3 f  3  2 x  dx . 0 0 Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 71 A. I  . 6 B. I  31 . D. I  C. I  32 . 32 . 3 Lời giải  2 Xét tích phân I1   f  sin x  cos xdx .Đặt t  sin x  dt  cos xdx 0 Đổi cận x 0  t 0 2 1 1 Ta có I1   0 1 1 1  x2  9 f  t  dt   f  x  dx    5  x  dx   5 x    2 0 2  0 0 1 Xét tích phân I 2   f  3  2 x  dx .Đặt t  3  2 x  dt  2dx  dx  0 dt 2 Đổi cận 0 3 x t Ta có 1 I2   0 1 1 3 3 3 3  1 1 1 1  x3 1 10  22 f  3  2 x  dx   f  t  dt   f  x  dx    x 2  3 dx    3x   18    21 21 21 2 3 3 3 1 2   1 2 Vậy I  2  f  sin x  cos xdx  3 f  3  2 x  dx  9  22  31 . 0 0 2 Câu 22. (THPT Yên Khánh – Ninh Bình- 2019) Cho I   f  x  dx  2 . Giá trị của  f  x  dx  20 . Tính 1  2  sin xf  3cos x  1 3cos x  1 0  dx bằng 4 B.  . 3 A. 2 . 4 . 3 Lời giải D.  2 . C. 2 Đặt u  3cos x  1  u 2  3cos x  1   udu  sin xdx. Đổi cận 3  2 Do đó  0 sin xf  3cos x  1 3cos x  1  dx  1  2 2uf  u  3u 2 du    x   u  1 . 2   x  0  u  2 2 2 2 4 f  u  du   f  x  dx  .  31 31 3 4 Câu 23. (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Biết  1 2  1 5 f  x  dx  5 và 4 ln 2 f  4 x  3 dx   f e  e 2x 2x dx . 0 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 9 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 15 . 4 A. I  5 C. I  . 2 Lời giải B. I  15 . D. I  25 . Chọn A Đặt t  4 x  3  dt  4dx thì 2  f  4 x  3  dx  1 5 4 5  1 1 1 25 . f t dt  f t dt  f  t  dt    5  20          41 41 4 4  4 Đặt u  e 2 x  du  2e 2 x dx thì ln 2  4 f  e2 x  e 2 x dx  0 Vậy I  Câu 24. 1 5 f  u  du  .  21 2 25 5 15   . 4 2 4 (Chuyên Thái Bình 2019) f ( x ) là Cho hàm số liên tục trên  thỏa mãn 2 2 f ( x )  f (2  x )  x.e x , x   . Tính tích phân I   f ( x )dx . 0 4 A. I  e 1 . 4 B. I  2e  1 . 2 C. I  e 4  2 . D. I  e4  1 . Lời giải Đặt x  2  t  dx   dt . 0 2 2  I   f  2  t   dt    f  2  t  dt    f  2  x  dx . 2 0 0 2 2 2 2 1 1 2  2 I    f  x   f  2  x   dx   xe dx   e x d  x 2   e x 20 2 0 0 x2 Vậy I  Câu 25. 2 0  e4  1 . 2 e4  1 . 4 (Chuyên Vĩnh Phúc Năm 2019) Cho hàm số f  x  liên tục trên  thỏa mãn f  2 x   3 f  x  , 2 1 x   . Biết rằng  f  x  dx  1 . Tính tích phân I   f  x  dx . 0 A. I  5 1 B. I  6 1 C. I  3 Lời giải. 1 1 Ta có: 3  3.1  3. f  x  dx   3 f  x  dx   f  2 x  dx  0 0 0 D. I  2 1 1 f  2 x  d  2 x  , x   . 2 0 Đặt 2 x  t  d  2 x   dt , với x  0  t  0 ; x  1  t  2 . 1 3 2  2 2 1 1 1 f  2 x  d  2 x    f  t  dt   f  x  dx , x   (do hàm số f  x  liên tục trên  ).  20 20 20 1 2  f  x  dx  6, x     f  x  dx   f  x  dx  6, x   . 0 0 1 Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 2  1   f  x  dx  6, x   . 1 2   f  x  dx  5, x   . 1  e2 2 Câu 26. Cho hàm số f  x  liên tục trên  và thỏa mãn  tan x. f  cos x  dx  2 và 2 0 f  2x 2 Tính  x 1 4 e x ln x dx  2 . dx . B. 1 . A. 0 . Ta có  f  ln 2 x  C. 4 . Lời giải   2 2 D. 8 . sin x.cos x . f  cos 2 x  dx  2 . 2 cos x 0 2  tan x. f  cos x  dx  2   0 1 Đặt t  cos 2 x  dt  2sin x cos xdx   dt  sin x cos xdx . 2 Đổi cận: x  0  t  0 và x   4 t  1 . 2  1 f t  sin x.cos x 2   4. . f cos x dx  2   2  cos x t 1 0 2  2 f  ln 2 x  e2 Ta có  x ln x e e2 dx  2  Tương tự trên ta có   1 4 f  2x x 2 Khi đó  1 4 4 dx  2   f t  t 1 4. 1 dt . 2 1 1  t  và x  2  t  4 . 4 2 f 2x x dx  2 . dx . Đặt t  2 x  dx  Đổi cận: x  f  ln 2 x  x ln x e 2 x ln 2 x e e2 * Tính  ln x. f  ln 2 x  4 dx   1 2 f t  t 1  1 2 f t  t 4 dt   1 f t  t  44 8. Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Câu 27. (Chuyên KHTN Cho 2019) hàm f ( x) số liên tục trên  thỏa mãn  8 3 2  tan x. f (cos x)dx   0 1 f (3 x) dx  6 . Tính tích phân x A. 4 B. 6 2  1 2 f ( x2 ) dx x C. 7 Lời giải D. 10 +) Đặt t  3 x  t 3  x  3t 2 dt  dx Đổi cận x  1  t  1 và x  8  t  2 . 2 8 Khi đó  1 2 2 f (t) f (3 x) f (t) 2 f (t) dt  2 dx   3 3t dt  3 dt  6   t x t t 1 1 1 +) Đặt t  cos 2 x  dt  2 cos x sin xdx  dt  2 cos 2 x tan xdx  tan xdx   Đổi cận: x  0  t  1 và x    3 t  1 dt 2t 1 . 4 1 1 3 1 4 f (t) f (t) dt  6   dt  12 Khi đó  tan x. f (cos 2 x)dx    21 t t 1 0 4 +) Đặt t  x 2  dt  2 xdx  dt  2 x 2 Đổi cận: x  2  1 2 Câu 28. dx dx 1 dt   x x 2 t 1 1  t  và x  2  t  2 Khi đó 2 4 2 1 4 4 2 f ( x2 ) 1 f (t) 1 f (t) 1 f (t) 2  12 dx   dt   dt   dt  7 x 21 t 21 t 21 t 2 (Chuyên Lê Quý Đôn – Đà Nẵng – 2018) Cho hàm số f  x  liên tục trên  thỏa e 2018 1 2018  f  x  dx  2 . Khi đó tích phân 0 0 A. 4 . B. 1 . e 2018 1 Đặt I    0 x f ln  x 2  1 dx bằng x 1 2  C. 2 . Lời giải  D. 3 . x f ln  x 2  1 dx . x 1  2  Đặt t  ln  x 2  1  dt  2x dx . x 1 2 Đổi cận: x  0  t  0 ; x  e 2018  1  t  2018 . 2018 Vậy I   f  t  dt 0 2018   f  x  dx  2 . 0 Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  4 Câu 29. (Chuyên Vĩnh Phúc – 2018) Cho hàm số f  x  liên tục trên  thỏa mãn  f  tan x  dx  3 và 0 1  0 2 1 x f  x dx  1. Tính I   f  x  dx. x2  1 0 A. I  2 . B. I  6 . D. I  4 . C. I  3 . Lời giải  4 Ta có K   f  tan x  dx  3 . Đặt tan x  t  dt  d tan x  0 1 1 dx   t 2  1 dx . 2 cos x 1 1 1 Vậy K   f  t  . 2 dt   f  x  . 2 dx  3 . t 1 x 1 0 0 1 Lại có  x2 f  x  1 1 1 1 1   dx    f  x   2 f  x   dx   f  x  dx   2 f  x  dx . 2 x 1 x 1 x 1  0  0 0 0 1 Vậy suy ra I   f  x  dx  4 . 0 Câu 30. (SGD Thanh Hóa – 2018) Cho hàm số  16 2  cot x. f sin x  dx    2 1 f  x  dx  1 . Tính tích phân x 1  1 8 4 3 B. I  . 2 A. I  3 . f  x liên tục trên  và thỏa mãn f  4x dx . x 5 D. I  . 2 C. I  2 . Lời giải  2 16  1 Đặt I1   cot x. f  sin 2 x  dx  1 , I 2   f  x  dx  1 . x 4 Đặt t  sin 2 x  dt  2 sin x.cos xdx  2sin 2 x.cot xdx  2t.cot xdx .  1 2 1  1 2 I1   cot x. f  sin 2 x  dx   4 1 4 Suy ra  1 8 1 1 1 1 f t  1 4 f  4x 1 4 f  4x  f  t  . dt   dt   d  4x   dx . 2t 21 t 2 1 4x 21 x 2 8 8 f  4x dx  2 I1  2 x Đặt t  x  2tdt  dx . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489  x  dx f 16 I2   x 1 1 1 4 f  4x f  4x f t  f t   2 d 4 x  2 dx . 2 t d t  2 d t    2   4x x t t 1 1 1 4  1 4 f 4x 1 Suy ra  x 1 4 dx  4 1 1 I2  2 2 Khi đó, ta có: 1 1  1 8 Câu 31. 1 4 f 4x f  4x f  4x 1 5 dx   dx   dx  2   . x x x 2 2 1 1 8 4 (SGD – Nam Định – 2018) Cho hàm số f  x  liên tục trên đoạn 1; 4 và thỏa mãn    ln x . Tính tích phân I  f 2 x 1 f  x  x x 2  f  x  dx . 3 2 A. I  3  2 ln 2 . 4 C. I  ln 2 2 . B. I  2 ln 2 . D. I  2 ln 2 . Lời giải Ta có      f 2 x 1  4 f 2 x 1 4 ln x ln x    dx   f  x  dx   dx   dx .  x x  x x 1 1 1   4 4  1 4 Xét K   1   dx . f 2 x 1 x Đặt 2 x  1  t  x  3 t 1 dx   dt . 2 x 3  K   f  t  dt   f  x  dx . 1 1 4 4 4 ln 2 x ln x  2 ln 2 2 . Xét M   dx   ln xd  ln x   2 1 x 1 1 4 Do đó 4 3 f  x  dx   f  x  dx  2 ln 2 2   f  x  dx  2 ln 2 2 .  1 3 1 4 2018 98 11 2018.98 197764 .  I I Từ 1  I   I  . 7 7 3 7 7.3 33 Câu 32. (Nam Định – 2018) Cho hàm số y  f ( x) liên tục trên 1; 4 và thỏa mãn 4 f (2 x  1) ln x . Tính tích phân I   f ( x) dx .  x x 3 f ( x)  A. I  3  2 ln 2 2 . B. I  2 ln 2 2 . C. I  ln 2 2 . D. I  2 ln 2 . Lời giải 4 Ta có:  1 4 4 4  f (2 x  1) ln x  f (2 x  1) ln x  dx  dx  A  B . f ( x) dx     dx    x x  x x 1 1 1 Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  ln x  ln x dx   ln x d (ln x)  2 x 1 1 4 4 2 4 Xét B   4 Xét A   1   ln 4  2 1 2   ln1 2 4 4  1 Câu 33.  2 ln 2 2 . f (2 x  1) dx . x Đặt t  2 x  1  dt  Vậy 2 3 3 1 f (2 x  1) dx   f (t ) dt   f ( x) dx dx . Khi đó A   x x 1 1 1 4 3 3  f ( x) dx    f ( x) dx   2 ln 2 2   f ( x) dx   f ( x) dx  2 ln 2 2  I  2 ln 2 2 . 1 1 1  (Chuyên Hùng Vương – Gia Lai – 2020) Cho hàm số f  x  liên tục và là hàm số lẻ trên 0 1 đoạn  2;2 . Biết rằng  f  x  dx  1,  f  2 x  dx  2 .Mệnh đề nào sau đây đúng? 1 2 1 2 A. 1 2 f  x  dx  2  f  x  dx .  2 B. 1 C.  f  x  dx  4 . 1 2 0 2 f  x  dx  1 .   f  x  dx  3 . D. 0 0 Lời giải Chọn D 0 Đặt t   x  0 1 f  x  dx    f  t  dt    f  t  dt ( vì f  x  làhàm lẻ)  1 1 0 1   f  t  dt  1 . 0 1 Đặt t  2 x   1 2 1 2 2  2 1 f  2 x  dx    f  2 x  dx  f  t  dt 2 1 1 2 1 f  t  dt  2   f  t  dt  4. 2 1 1 2 1 2 Vậy  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  1  4  3. 0 0 1 1 Câu 34. (Chuyên Sơn La – 2020) Cho f  x  là hàm số liên tục trên  thỏa f 1  1 và 1  f  t  dt  3 . 0 Tính  2 I   sin 2 x. f   sin x  dx 0 A. I  4 . 3 B. I  2 . 3 C. I   2 3 D. I  1 . 3 Lời giải Chọn A Đặt t  sin x, dt  cos x dx . Đổi cận Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489  1 2 I   sin 2 x. f   sin x  dx   2t. f   t  dt . 0 0 u  2t du  2dt  Đặt  dv  f   t  dt v  f  t  1 1 1 4 I   2t. f  t    2 f  t  dt  2. f 1  2.  . 0 0 3 3 Câu 35. (Chuyên 9  f Vĩnh  x  dx  4, x 1 Phúc  2  – 2020) Cho hàm số f  x liên tục trên  và 3 f sin x cos xdx  2 . Tính tích phân I   f  x dx . 0 0 A. I  6 . B. I  4 . C. I  10 . Lời giải 9 3 1 1 D. I  2 . Chọn B 9 Ta có:  f  x  dx  2 x 1 9 Mà  f  f  x  d  x   2  x  dx  4 nên 2 x 1 3  f  t  dt . 3 f t  dt  4   f t  dt  2 1 1 3 Vì tích phân không phụ thuộc vào biến số nên  3 f t  dt  2   f  x dx  2 . 1  2 Ta có:  Mà   2 1 0 0 f sin x cos xdx   f sin x d sin x   f t  dt . 0  2 1 1 f sin x cos xdx  2 nên  f t  dt  2 . 0 0 1 Vì tích phân không phụ thuộc vào biến số nên  1 f t  dt  2   f  x dx  2 . 0 3 1 0 3 Khi đó I   f  x dx   f  x dx   f  x dx 2  2  4 . 0 Câu 36. 0 1 (Sở Hưng Yên – 2020) Cho 2017  f  x  liên tục trên  thỏa mãn f  x   f  2020  x  và 2017 f  x dx  4. Khi đó 3 A. 16160.  xf  x dx bằng 3 B. 4040. C. 2020. D. 8080. Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Lời giải Chọn B Đặt u  2020  x  x  2020  u . Ta có dx  du . Với x  3 thì u  2017 . Với x  2017 thì u  3 . 2017 Khiđó 2017 xf  x dx =  3 3 2017 Suy ra 2  3 2017 xf  x dx = 2017 2020 f  x dx = 8080. Do đó  3 Câu 37. 2017   2020  u  f  2020  u du    2020  x  f  x dx 3 xf  x dx = 4040.  3 (Sở Phú Thọ – 2020) Cho hàm số f  x  có đạo hàm và xác định trên  . Biết f 1  2 và  1 0 x 2 f   x  dx   4 1 A. 1. 1 3 x f 2  x dx  4 . Giá trị của 2 x 5 3 B. . C. . 7 7 Lời giải   1  f  x  dx bằng 0 D. 1 . 7 Chọn D Ta có 1 1 1 1 1 0 0 0 0 4   x 2 f   x  dx   x 2 f  x     2 xf  x  dx  2  2 xf  x  dx   xf  x  dx  1 0 Đặt t  2  x  dt   1 2 x dx Khi đó  4 1 1 1 0 1 3 x f 2  x dx  4    1  3  2  t   f  t  dt  4   7 f  t  dt  3 tf  t  dt  4 0 0 1 2 x   1 Câu 38. 4  3 tf  t  dt 0 7  f  t  dt  Suy ra Vậy 1 0  4  3.  1 7 1 . 7  1  f  x  dx  7 . 1 0 y  f ( x) liên tục trên (Sở Yên Bái – 2020) Cho hàm số 52 . 25 và thỏa mãn 4 3 4 xf ( x )  6 f (2 x)  x3  4 . Giá trị 5 2 A.   f ( x)dx bằng 0 B. 52. C. 48 . 25 D. 48. Lời giải Chọn A 2 4 xf ( x 2 )  6 f (2 x)  2 2 3 3 3  x  4    4 xf ( x 2 )  6 f (2 x)  dx    x 3  4 dx 5 5  0 0 2 4  2 f ( x 2 )d( x 2 )  3 f (2 x)d(2 x)  0 4 0 4 4 4 52 52  2 f (t )dt  3 f (u )du  5 5 0 0 4 52 52 52  2 f ( x)dx  3 f ( x)dx   5 f ( x)dx    f ( x)dx  5 5 25 0 0 0 0 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 17 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Câu 39. (Đô Lương 4 – Nghệ An – 2020) Cho 1 f  x  liên tục trên  và thỏa mãn 2 f  2   16,  f  2 x  dx  2 . Tích phân 0  xf   x dx bằng 0 A. 30 . B. 28 . C. 36 . Lời giải 1 2 D. 16 . Chọn B 1 Ta có:  0 1 f  2 x  dx  2   f  2 x  d  2 x   2  20  f  x  dx  4 . 0 u  x du  dx Đặt   dv  f   x  dx v  f  x  2 2 2   xf   x dx  xf  x  0   f  x dx  2 f  2   4  32  4  28 . 0 0  2 Câu 40. (Kim Liên – Hà Nội – 2020) Cho hàm số f  x  liên tục trên đoạn  0;1 và  f sin x  dx  5 . 0  Tính I   xf  sin x dx 0 5 A. I   . 2 B. I  10 . C. I  5 . D. I  5 . Lời giải Chọn D   2  Ta có I   xf  sin x dx   xf  sin x dx   xf  sin x dx , 0 0  2  Tính  xf  sin x dx  2 Đặt x    t dx  dt xf  sin x  dx    t  f sin    t    dt    t    f  sin t  dt   Đổi cận x  2  t  2 x t 0 Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  0     2 2 2 2  xf  sin x  dx    t    f  sin t  dt    f  sin t dt   tf  sin t  dt    f  sin x dx   xf  sin x dx   2 2 0 0 0   0   2 2 Do đó I   xf  sin x dx   xf  sin x dx   xf  sin x dx    f  sin x  dx  5 0  0 0 2 Vậy chọn Câu 41. D. (THPT Hoàng Hoa Thám – Hưng Yên 2019) Cho hàm số f  x  liên tục trên  , thỏa mãn  4 0  tan x. f  cos x  d x  2 và 2  e2 e f  ln x 2  x ln x d x  2 . Tính B. 1. A. 0 .  2 1 4 f  2x dx. x C. 4 . Lời giải D. 8 . Chọn D  Đặt t  cos 2 x suy ra d t  2sin x.cos x d x . Suy ra   I1   tan x. f  cos x  d x   2 4 0 4 0 Đặt t  ln 2 x suy ra d t  2 sin x 1 4 2sin x cos x 1 1 f t  2 . f  cos x  d x    . f  cos2 x  d x  1 dt 2 0 cos x 2 cos x 2 2 t ln x dx. x 2 1 e2 2 ln x. f  ln x  1 4 f t  dx  dx  dt . Suy ra I 2   2 e e x ln x 2 x ln x 2 1 t  Đặt t  2 x suy ra d t  2d x . Ta có 2 f  2x 2 f  2x 4 f t  1 f t  4 f t  I  1 d x  1 d  2 x   1 d  t   1 dt   d t  2  I1  I 2   2  2  2   8. 1 x 2x t t t 4 4 2 2 e2 Câu 42. f  ln 2 x  (Hùng Vương Gia Lai 2019) Cho hàm số y  f ( x) liên tục trên 1   3 ;3 thỏa 3 f ( x) 1 mãn f ( x)  x. f    x3  x . Giá trị tích phân I   2 dx bằng: x 1 x  x 3 A. 8 . 9 B. 16 . 9 2 . 3 Lời giải C. D. 3 . 4 Chọn A 1 1 f  3 3 f  3  f ( x) 16 f ( x) x x 1   3 dx   dx   (x  1)dx  . f ( x)  x. f    x  x  2   x 1   2 9 x x x 1  x 1 x x 1 x 1 1 3 3 3 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 19 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 3 Xét I ‘   1 3 1 f   x  dx . x 1 1 1 dt  t  2 dx  dt  dx  2 . x x t 1 1 3 f  3 3  3 f (t ) d t f (t ) f ( x) x I ‘     dx    dt  dx  I . 2 2 2   1 1 x 1 1 t t 1 x  x 3  1 t 3 3 3 t 16 8 Suy ra 2 I   I  . 9 9 Dạng 1.2 Giải bằng phương pháp từng phần Đặt u  g  x  g x f ‘ x d x ta sẽ đặt      a dv  f ‘  x  dx b Thông thường nếu bài toán xuất hiện 1 Câu 43. (Đề tham khảo 2017) Cho hàm số f  x  thỏa mãn   x  1 f   x  dx  10 và 2 f 1  f  0   2 . 0 1 Tính  f  x  dx . 0 A. I  12 C. I  1 Lời giải B. I  8 D. I  8 Chọn D 1 1 u  x  1 du  dx . Khi đó I   x  1 f  x  0   f  x  dx  0 dv  f   x  dx v  f  x  Đặt  1 1 Suy ra 10  2 f 1  f  0    f  x  dx   f  x  dx  10  2  8 0 0 1 Vậy  f  x  dx  8 . 0 Câu 44. (Mã 104 – 2019) Cho hàm số 1 3 và  xf  3 x  dx  1 , khi đó 0 A. x 2 f  x  có đạo hàm liên tục trên  . Biết f  3   1 f   x  dx bằng 0 25 . 3 C. 7 . B. 3 . D. 9 . Lời giải Chọn D Đặt t  3 x  dt  3dx  dx  1 dt . 3 1 3 13 Suy ra 1   xf  3 x dx   tf  t dt   tf  t dt  9 . 90 0 0 Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  du  f   t  dt u  f  t   Đặt  .  t2  dv  t dt  v  2 3 3 3 2 t2 t 9 13   tf  t dt  f  t    f   t  dt  f  3    t 2 f ‘  t  dt . 2 2 2 20 0 0 0 3 9 13 2   t f   t  dt   t 2 f   t  dt  9 . 2 20 0 9 3 x Vậy 2 f   x  dx  9 . 0 Câu 45. (Mã 101 – 2019) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên . Biết f  4   1 và  1 0 xf  4 x  dx  1, khi đó A. 8.  4 0 x 2 f   x  dx bằng B. 14. C. 31 . 2 D. 16 . Lời giải Chọn D Xét  1 0 xf  4 x  dx  1. Đặt: t  4x   4 0 Xét I   4 0 4 4 1 1 t. f  t  . dt  1   t. f  t  dt  16   x. f  x  dx  16. 0 0 4 4 4 x 2 f   x  dx   x 2 df  x  0 4 Suy ra: I  x 2 . f  x   0 Câu 46.  4 0 2 x. f  x  dx  4 2 f  4   2.16  16. (Mã 103 – 2019) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  . Biết f  6   1 và 1 6  xf  6 x  dx  1 , khi đó  x f   x  dx bằng 0 A. 107 . 3 2 0 B. 34 . C. 24 . D. 36 . Lời giải Chọn D 1 Theo bài ra:  xf  6 x  dx  1 . 0 Đặt t  6 x  dt  6dx . Đổi cận: 1 Do đó: 6 6 6 1 dt 1 0 xf  6 x  dx  1  0 6t. f  t  6  1  36 0 t. f  t  dt  1  0 t. f  t  dt  36 . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 21 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 6 Tính I   x 2 f   x  dx . 0  u  x 2 du  2 x dx Đặt   dv  f   x  dx  v  f  x 6 6 6  I  x 2 f  x    2 xf  x  dx  36 f  6   2  xf  x  dx  36.1  2.36  36 . 0 0 0 Câu 47. f ( x) có đạo hàm liên tục trên  . Biết f (5)  1 và (Mã 102 – 2019) Cho hàm số 1  5 xf (5 x)dx  1 , khi đó 0 x 2 f ( x)dx bằng 0 A. 15 123 5 Lời giải B. 23 D. 25 C. Chọn D 5 5 5 5 +) I   x f   x dx  x df  x   x . f  x    f  x dx 2 2 2 2 0 0 0 0 5  25. f 5  0. f  x   f  x.2 xdx 0 5  25  2 xf  x dx 0 1 +) Ta có:  xf (5x)dx  1 0 5 Đặt 5x  t   0 5 t t f (t)d  1   tf (t)dt  25 5 5 0 Vậy I  25  2  25  25 . Câu 48. (Chuyên ĐH Vinh – Nghệ An -2020) Cho f  x  là hàm số có đạo hàm liên tục trên  0;1 và 1 f 1   , 18 1  x. f   x  dx  0 1 A.  . 12 1 . Giá trị của 36 1  f  x  dx bằng 0 1 B. . 36 1 . 12 Lời giải C. D.  1 . 36 Chọn A u  x du  dx Đặt  , khi đó ta có   dv  f   x  dx v  f  x  1 1 1 1  x. f   x  dx  x. f  x  0   f  x  dx  f 1   f  x  dx  0 Câu 49. 0 0 1 1 1 1   f  x  dx  f 1   . 36 36 12 0 (Sở Phú Thọ – 2020) Cho hàm số f  x  có f 1  e 2 và f   x   2x 1 2x e với mọi x khác 0 . x2 ln 3 Khi đó  xf  x  dx bằng 1 Trang 22 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 6  e2 B. . 2 A. 6  e 2 . C. 9  e2 . D. 9  e2 . 2 Lời giải Chọn D Xét tích phân  f   x  dx   2x 1 2x e dx x2 u   2 x  1 e2 x du  4 xe 2 x dx   Đặt   , khi đó 1 1 v   d v  d x   x  x2   f   x  dx   2x 1 2x 1 1 e dx    2 x  1 e2 x  4  e 2 x dx    2 x  1 e2 x  2e 2 x  C . x2 x x Do f 1  e 2  C  0 . Vậy f  x    ln 3 Khi đó, ta có  ln 3 xf  x  dx  1 Câu 50. 1  2 x  1 e 2 x  2e 2 x . x  ln 3 1  2 x  e 2 x  2 xe 2 x  dx  1  e 2 x dx  1 e2 x 2 ln 3  1 1 9  e2  .  2 (HSG Bắc Ninh 2019) Cho hàm số y  f ( x ) có đạo hàm liên tục trên  và thỏa mãn 2 1 f (2)  16,  f ( x) dx  4 . Tính I   xf (2 x)dx . 0 0 A. I  20 B. I  7 C. I  12 Lời giải 1 1 Ta có: I   xf (2 x)dx  0 D. I  13 1 1 1 1 1 1 xf  2 x    f  2 x  dx  f (2)   f  2 x  d  2 x  2 2 2 40 0 0 2 I Câu 51. 1 1 1 1 f (2)   f ( x) dx  .16  .4  7 . 2 40 2 4 (THCS – THPT Nguyễn Khuyến 2019) Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục trên  0;1 thỏa mãn A.  1 0 5 . 12 x 2 f  x  dx   1 , f 1  0 và 21 1 B.  . 5  1 0 1 2 1  f ‘  x   dx  . Giá trị của  f  x  dx bằng 0 7 4 7 C. . D.  . 5 10 Lời giải  du  f ‘  x  dx u  f  x   Đặt   .  x3 2  dv  x dx v  3  1 1 1 x3 1 f  x   x 2 f  x  dx   udv  uv 10   vdu  0 0 3 21 0 1 1   x 3 f ‘  x  dx  . 0 7  1 0  1 0 x3 1 1 f ‘  x  dx    x 3 f ‘  x  dx 3 3 0 1 1 1 1 2 2 1 1 1    x 3  f ‘  x   dx   x 6 dx  2  x 3 f ‘  x  dx    f ‘  x   dx   2.   0 0 0 0 0 7 7 7 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 23 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 2   f ‘  x   x3   0, x   0;1  f ‘  x   x3 , x   0;1 . 1 4  x  1 ; x  0;1 4 1 11 1 1 1 Vậy  f  x  dx    x 4  1 dx    x 4  1 dx   . 0 0 4 0 4 5 Kết hợp điều kiện f 1  0 ta có f  x   Câu 52. (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị -2019) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  và thỏa mãn 1  1 f  x  dx  1, f 1  cot1 . Tính tích phân I    f  x  tan 2 x  f   x  tan x  dx . 0 0 B. 1  ln  cos1 . A. 1 . D. 1  cot1 . C. 0. Lời giải 1 Ta có 1 1 2 2   f  x  tan x  f   x  tan x  dx   f  x  tan xdx   f   x  tan xdx . 0 0 0 Lại có: 1  0 1 1 1 1 f  x f  x  1  f  x  tan 2 xdx   f  x    1 d x  d x  f x d x  dx  1 .    2 2    cos x cos 2 x  cos x  0 0 0 0 1  0 1 1 1 f   x  tan xdx   tan xd  f  x    f  x  .tan x   f  x  d  tan x  0 0 1  f 1 .tan1   0 f  x 2 cos x 1 dx  cot1.tan1   0 f  x 2 cos x 0 1 dx  1   0 f  x cos 2 x dx . Vậy I  0. Câu 53. (THPT Ngô Sĩ Liên Bắc Giang 2019) Cho hàm số 1 thỏa mãn f 1  0 , 1  x f  x  dx  3 2 có đạo hàm liên tục trên đoạn  0 ;1 1 Tính 0 A. 1 f  x B. 1 3  x f ‘  x  dx . 0 C. 3 D. 3 Lời giải Chọn A u  f ( x)  du  f ‘( x) dx   x3 2  dv  x dx  v  3  I 1 3 1 1 x3 x3 13 x f ( x)   f ‘( x)dx  f (1)  0. f (0)   f ‘( x)dx 0 0 3 3 3 3 0 1 1 1 1 3  x f ‘( x) dx   x3 f ‘( x) dx  1 3 3 0 0  2 Câu 54. Biết m là số thực thỏa mãn  x  cos x  2m dx=2 0 A. m  0 . B. 0  m  3 . 2   2  1 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? C. 3  m  6 . Lời giải D. m  6 . Trang 24 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Ta có:     2 2 2 2  x  cos x  2m dx=  x cos xdx   2mxdx   x cos xdx  0 0 0 0 m 2 . 4   ux   du  dx  2  I  x cos x dx Gọi . Đặt .   0   dv  cos xdx v  sin x   2 I  x sin x |  sin xdx  2 0 0  2   cos x |02   2 1 .  2  x  cos x  2m dx= Khi đó: 0 m  2  m 8. 4 Suy ra Câu 55. m 2   1 . 4 2 (Đề Tham Khảo 2018) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên  0;1 thỏa mãn 1 f 1  0, 1 2   f ( x) dx  7 và 0 A. 4 B. 2  x f ( x)dx  0 1 . Tính tích phân 3 7 5 1  f ( x)dx 0 C. 1 D. 7 4 Lời giải Chọn B Cách 1: Đặt u  f  x   du  f   x  dx , dv  x 2 dx  v  1 Ta có 1 x3 . 3 1 1 x3 x3  f  x   f   x dx   x3 f   x dx  1 3 3 3 0 0 0 1 1 Ta có  49 x 6 dx  7, 0 1 1 2 2 3 3   f ( x) dx  7,  2.7 x . f   x dx  14   7 x  f ( x)  dx  0 0 0  7 x3  f ( x)  0  f  x    0 7 x4 7  C , mà f 1  0  C  4 4 1 1  7 x4 7  7   f ( x)dx       dx  . 4 4 5 0 0 Cách 2: Nhắc lại bất đẳng thức Holder tích phân như sau: 2 b b  b 2 f x g x dx  f x dx . g 2  x  dx           a a  a Dấu bằng xảy ra khi f  x   k .g  x  ,  x   a; b  , k    2 1  1 x6 1 2 x3 1  x3 1 Ta có    f   x dx    dx.  f   x   dx  . Dấu bằng xảy ra khi f   x   k. . 9 0 3 9 3  0 9 0 1 Mặt khác  0 7 x4 7 x3 1  . f   x dx   k  21  f   x   7 x 3 suy ra f  x    4 4 3 3 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 25 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 1 Từ đó 1  7 x4 7  7 f ( x)dx       dx  . 4 4 5 0  0 Câu 56. (THPT Đoàn Thượng – Hải Dương -2019) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 1 1 1 0 0 0 0;1 và f  0   f 1  0 . Biết  f 2  x  dx  1 ,  f   x  cos  x  dx   . Tính  f  x  dx . 2 2 A.  . 3 . 2 B. C. 2  . D. 1  . Lời giải 1 Xét tích phân I   f   x  cos  x  dx   0 2 u  cos  x  du   sin  x  dx Đặt   , ta có dv  f ‘  x  dx v  f  x  1 1 1 1 I  f  x  cos  x  0    f  x  sin  x  dx   f 1  f  0     f  x  sin  x  dx    f  x  sin  x  dx 0 0 1 1   1    f  x  sin  x  dx    f  x  sin  x  dx  2 2 2 0 0 Mà I  1 1 1 Mặt khác:  sin 2  x  dx  0 1 1 1 1  1  cos  2x   dx   x  sin  2x     20 2 2 0 2 1 1 1 1  2.   0 . 2 2 2    f 2  x   2. f  x  sin  x   sin 2  x   dx  0 1 Khi đó 0   f  x   sin  x  2 dx  0 0 2 Vì f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 và  f  x   sin  x    0, x   0;1 nên ta suy ra f  x   sin  x   0  f  x   sin  x  . 1 Do đó 1 1  f  x  dx   sin  x  dx    cos  x  0 Câu 57. 1 0  0 2  (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 thỏa mãn 1 f 1  0 , 1 2   f   x  dx  7 và 0 A. 7 5 7 4 Lời giải B. 1 1 Từ giả thiết: 1 2 0 x f  x  dx  3 . Tích phân 2  x f  x  dx  0 C. 1  f  x  dx bằng 0 D. 4 1 1   3x 2 f  x  dx  1 . 3 0 Trang 26 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 1 Tính: I   3x 2 f  x  dx . 0 u  f  x  du  f   x  dx Đặt:  .   2 3 dv  3x dx v  x Ta có: 1 1 1 1 1 I   3x 2 f  x  dx  x3 f  x    x 3 . f   x  dx  1. f 1  0. f  0    x 3 . f   x  dx    x3 . f   x  dx . 0 0 0 1 0 0 1 Mà:  3x 2 f  x  dx  1  1    x3 . f   x  dx 0 0 1 1 1 1 2   x 3 . f   x  dx  1  7  x 3 . f   x  dx  7   7 x 3 . f   x  dx     f   x   dx , (theo giả thiết: 0 0 1   f   x  2 0 0 dx  7 ). 0 1  2 1    7 x 3 . f   x  +  f   x   dx  0   f   x  7 x 3 + f   x  dx  0 0 0 7  7 x 3 + f   x   0  f   x   7 x 3  f  x    x 4  C . 4 7 7 Với f 1  0   .14  C  0  C  . 4 4 7 4 7 Khi đó: f  x    x  . 4 4 1 Vậy:  0 Câu 58. 1 1  7 7 7  x5  7 f  x  dx     x 4  dx     x   . 4 5 4 4 0 5 0 (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 thỏa mãn 1 1 2   f   x  dx  36 và f 1  4 , 0 A.  x. f  x  dx  0 3 B. 2 5 6 1 . Tích phân 5 1  f  x  dx bằng 0 C. 4 D. 2 3 Lời giải 1 Từ giả thiết: 1 1  x. f  x  dx  5   5x. f  x  dx  1 . 0 0 1 Tính: I   5 x. f  x  dx . 0  du  f   x  d x u  f  x   Đặt:   . 5 dv  5 xdx v  x 2  2 1 1 Ta có: I   5 x. f  x  dx  0 1 1 5 2 5 x . f  x    x 2 . f   x  dx 2 20 0 1 5 5 5  . f 1   x 2 . f   x  dx  10   x 2 . f   x  dx , (vì f 1  4 ) 2 20 20 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 27 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 1 1 Mà: I   5 x. f  x  dx  1  1  10  0 1 1 5 2 18 x . f   x  dx   x 2 . f   x  dx   20 5 0 1 1 1 2  10 x 2 . f   x  dx  36  10 x 2 . f   x  dx    f   x   dx , (theo giả thiết: 0 0 0 1   f   x  2 dx  36 ) 0 1 2   10 x 2 . f   x    f   x    dx  0   f   x  10 x 2  f   x   dx  0   0 0  10 x 2  f   x   0  f   x   10 x 2  f  x   Với f 1  4  4  Khi đó: f  x   1 Vậy: 10.1 2 C C  . 3 3 10 x3 2  . 3 3 1 1  10 x3 2   5×4 2  3 f  x  dx     dx    x  . 3 3 3 0 2  6 0  0 Câu 59. 10 x3 C 3 (Chuyên Vĩnh Phúc Năm 2019) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0; 2 thỏa 2 mãn f  2   3 , 2 1 2 0 x f  x  dx  3 . Tích phân 2   f   x  dx  4 và 0 A. 2 115 B. 297 115 2 2  f  x  dx bằng 0 562 115 Lời giải C. D. 266 115 2 1 Từ giả thiết:  x f  x  dx    3x 2 f  x  dx  1 . 3 0 0 2 2 Tính: I   3x 2 f  x  dx . 0 u  f  x  du  f   x  dx  Đặt:  .  2 3 dv  3x dx v  x 2 2 2 2 Ta có: I   3 x 2 f  x  dx  x 3 . f  x  0   x3 . f   x  dx  24   x 3 . f   x  dx , (vì f  2   3 ) 0 0 2 0 2 Mà: I   3x 2 f  x  dx  1  1  24   x 3 . f   x  dx 0 0 2 2   x 3 . f   x  dx  23  0 2  4 x 3 . f   x  dx  4  23 0 2 2 4 x 3 . f   x  dx    f   x   dx , (theo giả thiết:  23 0 0 2 1   f   x  2 dx  4 ) 0 2 2 4 4     x 3 . f   x    f   x    dx  0   f   x   x 3  f   x   dx  0 23   23  0  0 4 3 4 3 1 4 x  f  x  0  f  x  x  f  x  x C 23 23 23 16 53 Với f  2   3  3  . C  C  23 23  Trang 28 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 1 4 53 x  . Khi đó: f  x   23 23 2 Vậy  0 Câu 60. 2 2 53  562  1  1 5 53  f  x  dx    x 4  dx   x  x  . 23  0 115 23 23   115 0 ( Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 thỏa mãn 1 1 2   f   x  dx  5 và f 1  4 , 0 A. 15 19 B. 1 0 x. f  x  dx   2 . Tích phân 17 4 1  f  x  dx bằng 0 17 18 Lời giải C. D. 15 4  du  f   x  dx u  f  x   Tính: I   x. f  x  dx . Đặt:   1 2 dv  xdx 0 v  x  2 1 Ta có: I  1 1 11 1 2 1 x . f  x    x 2 f   x  dx  2   x 2 f   x  dx , (vì f 1  4 ). 0 20 2 20 1 Mà: 1  x. f  x  dx   0 1 1 1    2   x 2 f   x  dx 2 2 20 1 1   x 2 f   x  dx  5 , (theo giả thiết: 0 1  2 2 1 1 2 2   f   x  dx  5 )   x f   x  dx    f   x  dx 0 0 0 1    x 2 f   x    f   x   dx  0   f   x  .  x 2  f   x   dx  0 0 0 1  x 2  f   x   0  f   x   x 2  f  x   x3  C . 3 11 Với f 1  4  C  . 3 1 11 Khi đó: f  x   x 3  . 3 3 1 Vậy  0 Câu 61. 1 11  11  1 15 1 1 f  x  dx    x 3   dx   x 4  x   . 3 3 3 0 4  12 0 (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0; 2 thỏa mãn 2 f  2  6 , 2 2   f   x  dx  7 và 0 A. 8  x. f  x  dx  0 B. 6 17 . Tích phân 2 C. 7 Lời giải 2  f  x  dx bằng 0 D. 5 2 Tính: I   x. f  x  dx . 0  du  f   x  d x u  f  x   Đặt:   1 2 dv  xdx v  x  2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 29 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Ta có: I  2 2 12 1 2 1 x . f  x    x 2 f   x  dx  12   x 2 f   x  dx , (vì f  2   6 ). 0 20 2 20 2 Theo giả thiết: 2  x. f  x  dx  0 17 17 1   12   x 2 f   x  dx 2 2 20 2   x 2 f   x  dx  7 0 2 2 2  x f   x  dx    f   x   0 dx 0 2   x f   x    f   x  2  2 0 2  dx  0 2  f   x  .  x  2  f   x   dx  0 0 1  x 2  f   x   0  f   x   x 2  f  x   x3  C . 3 10 Với f  2   6  C  . 3 1 10 Khi đó: f  x   x3  . 3 3 2 Vậy  0 Câu 62. 2 10  10  2 1 1 f  x  dx    x 3   dx   x 4  x   8 . 3 3 3 0  12 0 (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;3 thỏa mãn 3 3 2 f  3  6 ,   f   x   dx  2 và 0 A. 53 5 B. 154 0 x . f  x  dx  3 . Tích phân 2 117 20 153 5 Lời giải C. 3  f  x  dx bằng 0 D. 13 5 3 Tính I   x 2 . f  x  dx . 0 du  f   x  dx u  f  x   Đặt   . 1 3 2 dv  x dx v  x 3  3 3 13 1 1 Ta có I  x 3 . f  x    x3 f   x  dx  54   x 3 f   x  dx , (vì f  3  6 ). 0 30 3 30 3 Theo giả thiết: 3 2  x . f  x  dx  0 3 154 154 1   54   x3 f   x  dx 3 3 30 3 3 2 3  2    x3 f   x  dx  8   x3 f   x  dx  4  f   x   dx   x3 f   x   4  f   x   dx  0 0 0 0 0 3   f   x   x3  4 f   x   dx  0 . 0 Trang 30 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 x3 x4  f  x   C .  x3  4 f   x   0  f   x   4 16 15 Với f  3  6  C  . 16 Khi đó: f  x   3 Vậy  0 Câu 63. x 4 15  . 16 16 3 15  15  3 117 1  1 f  x  dx    x 4   dx   x 5  x   . 16 16  16  0 20  80 0 ( Chuyên Vĩnh Phúc Năm 2019) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 thỏa 1 mãn f 1  2 , 2   f   x  dx  8 và 0 A.  2 285 B. 1 1 3  x . f  x  dx  10 . Tích phân  f  x  dx bằng 0 194 95 0 116 57 Lời giải C. D. 584 285 1 Tính: I   x3 . f  x  dx . 0  du  f   x  d x u  f  x   Đặt:   . 1 4 3 dv  x dx v  x  4 Ta có: I  1 1 11 1 4 1 1 x . f  x    x 4 f   x  dx    x 4 f   x  dx , (vì f 1  2 ). 0 40 4 2 40 1 Theo giả thiết: 1 3 4  x . f  x  dx  10   x f   x  dx  38 0 0 1 1 1 4 4 2  8. x f   x  dx  38.8  8. x f   x  dx  38.  f   x   dx 0 1 0  2 0 1    8 x 4 f   x   38  f   x   dx  0   f   x  . 8 x 4  38 f   x   dx  0 0 0  8 x 4  38 f   x   0  f   x    4 4 4 x  f  x    x5  C . 19 95 194 . 95 4 194 Khi đó: f  x    x5  . 95 95 Với f 1  2  C  1 Vậy 1  4  f  x  dx     95 x 0 5  0 194   2 6 194  1 116 x  x  .  dx    95  95  0 57  285 Câu 64. ( Bắc Giang – 2018) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 thỏa mãn f 1  0 và 1 2 1 1 x   f   x  dx    x  1 e f  x  dx  0 A. I  2  e . 0 e2  1 . Tính tích phân I   f  x  dx . 4 0 B. I  e  2 . e C. I  . 2 D. I  e 1 . 2 Lời giải Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 31 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 1 Xét A    x  1 e x f  x  dx 0 u  f  x  du  f   x  dx  Đặt   x x v  xe dv   x  1 e dx 1 1 1 1 Suy ra A  xe x f  x  0   xe x f   x  dx    xe x f   x  dx   xe x f   x  dx  0 0 0 1  e2 4 1 1 1 1 e2  1 2 2x 2x  1 2 x e d x e  x  x   Xét  2 40 4 2 0 1 Ta có : 1 2 1 1 2 x 2 2x x   f   x  dx  2 xe f   x  dx   x e dx  0    f   x   xe  dx  0 0 0 0 0 2 Suy ra f   x   xe x  0, x   0;1 (do  f   x   xe x   0, x   0;1 )  f   x    xe x  f  x   1  x  e x  C Do f 1  0 nên f  x   1  x  e x 1 1 1 Vậy I   f  x  dx   1  x  e x dx   2  x  e x 0  e  2 . 0 Câu 65. 0     (Nam Định – 2018) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;  và f    0 .  4 4 Biết   4 4 f 2  x  dx   0  8 ,   f   x  sin 2xdx   0 A. I  1 . B. I   4 8 . Tính tích phân I   f  2 x  dx 0 1 . 2 1 D. I  . 4 C. I  2 . Lời giải  4 sin 2 x  u  2 cos 2 xdx  du  f   x  sin 2xdx   4 . Đặt  f   x  dx  dv   f  x   v Tính , khi đó 0   4   f   x  sin 2xdx  sin 2x. f  x  04 0  4 4     2  f  x  cos2xdx  sin . f    sin 0. f  0   2  f  x  cos2xdx 2 4 0 0  4  2  f  x  cos2xdx . 0   4 Theo đề bài ta có  0 f   x  sin 2xdx    4 4    f  x  cos2xdx  8 . 0 Trang 32 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  4 Mặt khác ta lại có  cos 2 2 xdx  0  8 .  4 Do  4    2 2 0  f  x   cos2x  dx  0  f  x   2f  x  .cos2x  cos 2 x  dx   8  2 8  8   0 nên 2 f  x   cos 2 x .   8 8 1 1 Ta có I   cos 4 xdx  sin 4 x  . 4 4 0 0 Câu 66. (Chuyên Vinh – 2018). Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 1 f  0   f 1  0 . Biết  0 A.  . 1 f 2  x  dx  , 2 B. 1  1  f   x  cos  x  dx   2 0 . C. 2   0;1 và 1 . Tính  f  x  dx . 0 . D. 3 . 2 Lời giải u  cos  x  du   sin  x  dx Đặt  . Khi đó:  dv  f   x  dx v  f  x  1  0 1 1 f   x  cos  x  dx  cos  x  f  x  0    f  x  sin  x  dx 0 1 1 1    f 1  f  0      f  x  sin  x  dx    f  x  sin  x  dx   f  x  sin  x  dx  0 0 1 Cách 1: Ta có 2 1 1 1 2 2 2   f  x   k sin  x  dx   f  x  dx  2k  f  x  sin  x  dx  k  sin  x  dx 0  0 1 . 2 0 0 0 1 k2 k   0  k  1. 2 2 1 Do đó   f  x   sin  x  2 1 dx  0  f  x   sin  x  . Vậy 0 1 2  f  x  dx   sin  x  dx   . 0 0 Cách 2: Sử dụng BĐT Holder. 2 b b b  2 2   f  x  g  x  dx    f  x  dx. g  x  dx . a a a  Dấu “=” xảy ra  f  x   kg  x  , x   a; b  . 2 1 1 1  1  1 Áp dụng vào bài ta có    f  x  sin  x  dx    f 2  x  dx. sin 2  x  dx  , 4 0 4 0 0  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 33 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 suy ra f  x   k sin  x  . 1 Mà 1 1 1 f  x  sin  x  dx   k  sin 2  x  dx   k  1  f  x   sin  x  . 2 2 0  0 1 Vậy  0 Câu 67. 1 f  x  dx   sin  x  dx  0 2  .   (THPT Trần Phú – Đà Nẵng – 2018) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm và liên tục trên 0;   4    thỏa mãn f    3 , 4 4 f  x  cos x dx  1 và 0   4 4  sin x.tan x. f  x  dx  2 . Tích phân  sin x. f   x  dx 0 0 bằng: A. 4 . B. 23 2 . 2 1 3 2 . 2 Lời giải D. 6 . C.  4 u  sin x du  cos xdx  Ta có: I   sin x. f   x  dx . Đặt  . dv  f   x  dx v  f  x  0   4 I  sin x. f  x  04   cos x. f  x  dx  0  3 2  I1 . 2   4   f  x  f  x  2 2   sin x.tan x. f  x   dx   sin 2 x.  dx    1  cos x .  dx . cos x  cos x  0 0  0  4 4     4  f  x    d x   0 cos x. f  x  dx  1  I1 . cos x  0  4  I1  1  I  3 2 3 22 1  . 2 2 1 Câu 68. Cho hàm số f  x  có đạo hàm f   x  liên tục trên đoạn  0;1 thỏa f 1  0 ,   f   x  0 1  và  cos  2 0 A.  2 1  x  f  x  dx  . Tính 2  1  f  x  dx . 0 B.  . . C. 1  . D. 2  Lời giải u  f  x  du  f   x  dx   Đặt  x  2 x dv  cos 2 dx v   sin 2 1  Do đó  cos  2 0 1  x  f  x  dx  2  Trang 34 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ . 2 dx  2 8 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  2  sin x 2 1 1 2   1 1    sin x f   x  dx    sin  x  f   x  dx   . 4    2  2 2  f  x  0 0 0 1 1   Lại có:  sin 2  x  dx  2 2  0 2 1 1  2   2   I     . f   x   dx  2     sin      0 2 0 1  2      f   x   sin   2 0 1   x  f   x  dx   sin 2   2 0  x  dx  2 4 2 2  1  x   dx  2  .  0  8  2 2  2  2    Vì   f   x   sin  x    0 trên đoạn  0;1 nên  2    2 1  2  0    f   x   sin  2 2   x   dx  0   f   x  =sin   2   Suy ra f  x  =cos  2   x   C mà f 1  0 do đó f  x  =cos   2 1 Vậy 1  x.   x .  2  f  x  dx   cos  2 x  dx   . 0 Câu 69.      x   f   x  =  sin  2  2 0 (Chuyên Trần Phú – Hải Phòng – 2018) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 1 1 1 thỏa mãn f 1  1 ,   f   x   dx  9 và  x f  x  dx  . Tích phân 2 0 0 A. 2 2 . 3 B. 3 5 . 2 C. 7 . 4 1  f  x  dx bằng: 0 D. 6 . 5 Lời giải 1 Ta có:   f   x  2 dx  9 1 0 1 – Tính 1  x f  x  dx  2 . 3 0  du  f   x  d x u  f  x   Đặt   x4 3 v  dv  x .dx   4 1 1 1 1  x4  1 1 4 1 1 4 3     x f  x  dx   . f  x     x . f  x  dx    x . f   x  dx 2 0 4 40  4 0 4 0 1 1   x 4 . f   x  dx  1  18 x 4 . f   x  dx  18  2  0 0 1 – Lại có: 8  x dx  0 9 1 x 9 1  0 1  81 x8dx  9  3 9 0 – Cộng vế với vế các đẳng thức 1 ,  2  và  3 ta được: 1 1 2 4 8 4 0   f   x   18 x . f   x   81x  dx  0  0  f   x   9 x  dx  0 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 35 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 1   .  f   x   9 x 4  dx  0 0 Hay thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f   x   9 x 4 , trục hoành Ox , các đường thẳng x  0 , x  1 khi quay quanh Ox bằng 0 9  f   x   9 x 4  0  f   x   9 x 4  f  x    f   x  .dx   x 4  C . 5 14 9 14 Lại do f 1  1  C   f  x    x5  5 5 5 1 1 1 14  14  5  9  3   f  x  dx     x 5   dx    x 6  x   . 5 5 5 0 2  10 0 0 Câu 70. (THPT Phan Chu Trinh – Đắc Lắc – 2018) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 1  0;1 thỏa mãn   f   x  2 0 A. 1 dx    x  1 e x f  x  dx  0 e2  1 và f 1  0 . Tính 4 2 e 1 . 2 B. e . 4 C. e  2 . D. 1  f  x dx 0 e . 2 Lời giải 1 1 1 – Tính : I    x  1 e x f  x  dx   xe x f  x  dx   e x f  x  dx  J  K . 0 0 0 1 Tính K   e x f  x  dx 0 u  e x f  x  du   e x f  x   e x f   x   dx Đặt   dv  dx v  x 1 1 1 1  K   xe x f  x      xe x f  x   xe x f   x   dx    xe x f  x  dx   xe x f   x  dx  do f 1  0  0 0 0 1 0 1  K   J   xe x f   x  dx  I  J  K    xe x f   x  dx . 0 0 – Kết hợp giả thiết ta được : 1 1 2 2 e2  1 e2  1    f x  d x   f x  d x  (1)           4 4 0 0  1  1 2 2  xe x f  x dx  e  1 2 xe x f  x dx   e  1 (2)         4 2  0  0 1 – Mặt khác, ta tính được :  x 2e 2 x dx  0 e2  1 (3) . 4 – Cộng vế với vế các đẳng thức (1), (2), (3) ta được: 1  0 2  1 1 2 2  f   x    2 xe x f   x   x 2e 2 x dx  0    f   x   xe x  dx  0     f   x   xe x  dx  0 o o x hay thể tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f   x   xe , trục Ox , các đường thẳng x  0 , x  1 khi quay quanh trục Ox bằng 0  f   x   xe x  0  f   x    xe x Trang 36 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  f  x     xe x dx  1  x  e x  C . – Lại do f 1  0  C  0  f  x   1  x  e x 1 1 1 1 1   f  x  dx   1  x  e x dx   1  x  e x    e x dx  1  e x  e  2 0 Câu 71. 0 0 0 0 (Sở Phú Thọ – 2018) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 1; 2 thỏa mãn 2   x  1 1 f  x  dx   , f  2   0 và 3 2 1 7 A. I  . 5 2 2 2   f   x  dx  7 . Tính tích phân I   f  x  dx . 1 1 7 B. I   . 5 C. I   7 . 20 D. I  7 . 20 Lời giải Đặt u  f  x   du  f   x  dx , dv   x  1 2  x  1 dx  v  3 2 3 3 3  x  1 . f x   x  1 f  x dx 1 2 Ta có     x  1 f  x  dx       3 3 3 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 3 3 3       x  1 f   x  dx    x  1 f   x  dx  1    2.7  x  1 f   x  dx  14 3 31 1 1 2 2 2 2 6 2 3 6 Tính được  49  x  1 dx  7    f   x   dx   2.7  x  1 f   x  dx   49  x  1 dx  0 1 1 2 1 2 1 3 3    7  x  1  f   x   dx  0  f   x   7  x  1  f  x     1 Do f  2   0  f  x   2 Vậy I   1 Câu 72. 7  x  1 4 4  7  x  1 4 4 C . 7 . 4  7  x  14 7  7 f  x  dx      dx   . 5 4 4 1    2 (THPT Quảng Yên – Quảng Ninh – 2018) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 1 0;1 thỏa mãn: f 1  0,   f   x  0 A. I  1 . B. I  2 1 dx  7 và 1 2  x . f  x  dx  0 7 . 5 C. I  4 . 1 . Tính tích phân I   f  x  dx . 3 0 D. I  7 . 4 Lời giải 1 Xét tích phân 2  x . f  x  dx . 0 du  f   x  dx u  f  x   Đặt   x3 2 dv  x dx v  3  1 1 1 1 11 1 x3 1   x 2 . f  x  dx  f  x    x 3 f   x  d x    x 3 f   x  dx   x 3 f   x  dx   1 0 30 3 0 3 30 0 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 37 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 1 x 6 dx  0 1 . 7 1 1 2 1 1  Ta có:   f   x   dx  14  x3 f   x  dx  49  x 6 dx  0   f   x   7 x3 0 0 1   f  x  7x  3 Mà 2 0 dx  0 . Dấu  2 dx  0 0 “=” xảy ra khi f   x   7 x3  0  f   x   7 x3 0  f  x    f   x  dx    7 x 3 dx   f 1  0  C  7 x4 C . 4 7 7 x4 7  f  x    . 4 4 4 1 1  7 x4 7  7 7 7 7 x5 1 7 x 1 I   f  x  dx       dx       . 4 4 20 0 4 0 20 4 5 0 0 Câu 73. (Yên Phong 1 – 2018) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên  0;1 thỏa mãn 1 2 4 f 1  3,   f   x   dx  và 11 0 A. 35 . 11 B. 1 4  x f  x  dx  0 65 . 21 7 . Giá trị của 11 C. 1  f  x  dx là 0 23 . 7 D. 9 . 4 Lời giải 1 Xét 7  x f  x  dx  11 4 0 du  f   x  dx u  f  x   Đặt   x5 4 dv  x dx v  5  1 1   x 4 f  x  dx  0 1 1 3 1 1 5 1 x f  x    x 5 f   x  dx    x5 f   x  dx ( vì f 1  3 ) 5 50 5 50 0 1 2 3 7    x 5 f   x  dx  5      . 11  5 11  0 1 2 4    f   x   dx  11 0  1 2 Xét   x5 f   x  dx   11 0 1 1   x10 dx  1 x11  1 11 0 11  0 1 2 1 1 1 2    f   x   dx  4 x 5 f   x  dx  4 x10 dx  0    f   x   2 x 5   dx  0 0 0 0 0 6  f   x   2 x 5  f  x   1  0 10 x  C . Do f 1  3  C  nên 3 3 1   x 6 10  23 f  x  dx      dx  3 3 7  0 Trang 38 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 74. (THPT Bình Giang – Hải Dương – 2018) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên 1; 2 và 2   f   x  f  2   0, thỏa mãn 2 dx  1 2 5 2 và  ln 12 3 f  x   x  1 2 dx   1 5 3  ln . Tính tích phân 12 2 2  f  x  dx. 1 A. 3 2  2 ln . 4 3 3 B. ln . 2 C. 3 3  2 ln . 4 2 D. 3 3  2 ln . 4 2 Lời giải f  x 2   x  1 2 dx   1 5 3  ln . 12 2 u  f  x   du  f   x  dx  Đặt  dx 1 dv   v   2  x 1  x  1  f  x 2   x  1 2 dx   1 2 2 f  x x 1 2    f   x   dx   1 1 2 2 2    f   x   dx   1 1 2 f  x 2  x 1 1 1 dx  f 1 2  f  2 3 2  1 f  x x 1 dx  f 1 2 2  1 f  x x 1 dx 2 f  x f  x dx   dx  0 2 x 1 1 2 f  x f  x dx   dx  0 2 x 1 1  f  x f  x  2    f   x      dx  0 x 1 2  1  f  x f  x 2   f   x    0 x 1 2  f  x  0  f  x  C     f  x  1  1  0  f  x   x  ln x  1  C x 1 2  2  TH1: f  x   C , f  2   0  C  0  f  x   0 (loại) 2 x x  ln x  1  C , f  2   0  C  ln 3  1  f  x    ln x  1  ln 3  1 2 2 3 3 f  x  dx   2 ln . 4 2 TH2: f  x   2  1 Câu 75. (Sở Bạc Liêu – 2018) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  0;1 thỏa mãn f 1  0 , 1 2   f ‘( x) dx  0 A. 1  3ln 3 . 3 4  ln 3 và 3 1 4 f  x 8 0  2 x  12 dx  2 ln 3  3 . Tính tích phân B. 4  ln 3 . 3 C.  ln 3 . 16 1  0 f  x 4 dx bằng. D.  ln 3 . 16 Lời giải Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 39 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 1 Ta tính. 4 f  x   2 x  1 dx  2 ln 3  2 0 1 f  x 1 2 8  dx  ln 3  2 2 3 3 0  2 x  1 u  f ( x) du  f ‘( x )dx   1  Đặt:  dv  dx v   1 . 1  1  x 2    2 x  1 2 2x 1 2 2x 1  1 1 1 1 f  x 1 2 xf ( x ) xf ‘( x ) x ln 3    dx    dx   f ‘( x ) dx 2   2 3 0  2 x  1 2x 1 0 0 2x 1 2x 1 0 1 1 x 1 2 x 8  f ‘  x  dx   ln 3   4  f ‘  x  dx  2 ln 3  2x 1 2 3 2x 1 3 0 0 2 1 2 1 2 1 1  2x  1  1   x  Tính tích phân:    dx     dx   1   dx 2x  1  4 0  2x 1  4 0  2x 1  0 1  1  2 1   1   dx 2  4 0  2 x  1 (2 x  1)  1  1 1 1 1   x  ln 2 x  1     ln 3 4 2  2 x  1  3 4 0 2 1 4  x   4   dx   ln 3 2x  1  3 0 1 1 2 1 x  x     f ‘( x)  dx  4  f ‘  x  dx  4    dx  0 2x 1 2x 1  0 0 0 2 2 1 2x  2x 1     f ‘( x)   1  dx  0  f ‘( x)  2x 1  2x 1 2x  1 0 1  f ( x)  x  ln  2 x  1  C vì x   0;1 2 1 Vì f 1  0  C  ln 3  1 2 1 1 1 1 f  x 1  1 1 1  1 1   I  dx    x  ln  2 x  1  ln 3  1 dx    x  ln 3  1dx   ln  2 x  1dx 4 0 2 80 4 4 0 2 2   0 1 1  1 1 1  1 1  x2 x  A    x  ln 3  1dx    ln 3  x     ln 3 8 8 4 0 2 4 2 2  0 2  dx u  ln  2 x  1  du  B   ln  2 x  1dx đặt   2x 1 dv  dx 0  x  x 1 1 1 2x 1 3    B  x ln(2 x  1) 0   dx  ln 3   x  ln(2 x  1)   ln 3  1 2 2x 1  0 2 0 1 1 1  I  A  B   ln 3 8 16 Trang 40 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 76. (Sở Hưng Yên – 2018) Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục trên  0;1 thỏa mãn f  0   1 ; 1 2   f   x  0 A. 1 dx  1 1 và   2 x  1 f  x  dx   . Tích phân 30 30 0 11 . 30 B. 11 . 12 1  f  x  dx 11 . 4 C. bằng 0 D. 1 . 30 Lời giải du  f   x  dx u  f  x   Đặt  . 2   d v  2 x  1 d x v  x  x    1 1 1 1 Suy ra   2 x  1 f  x  dx   x 2  x  f  x  0    x 2  x  f   x  dx     x 2  x  f   x  dx 0 0 1    x 2  x  f   x  dx  0 0 1 30 1 1 1 2  x5 x 4 x3  1 Ta có:   x 2  x  dx    x 4  2 x 3  x 2  dx       . 0  5 0 1 1 2 2 1 3 0 30 1 2 2 Do đó,   f   x  dx  2   x 2  x  f   x  dx    x 2  x  dx  0    f   x    x 2  x   dx  0 0 0 0  f   x   x2  x  f  x   x3 x 2  C . 3 2 Vì f  0   1 nên C  1  f  x   1 Vậy  0 Câu 77. 0 x3 x 2   1. 3 2 1 1  x 4 x3   x3 x 2  11 f  x  dx      1  dx     x   . 3 2   12 6  0 12 0   (Sở Nam Định – 2018) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;  và  4   f    0 . Biết 4 A. I  1 .   4 4  f 2  x  dx  0  8 B. I  ,   f   x  sin 2 xdx   0 1 . 2  4 8 . Tính tích phân I   f  2 x  dx . 0 C. I  2 . D. I  1 . 4 Lời giải Ta có   4 4  0   4 f   x  sin 2 xdx   sin 2 xdf  x    f  x  sin 2 x  4   f  x  d sin 2 x 0 0 0  4       f   sin  2.   f  0  sin  2.0   2  f  x  cos 2 xdx 4  4 0 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 41 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489   4 4    f    2  f  x  cos 2 xdx  2  f  x  cos 2 xdx . 4 0 0  4 Do đó 2  f  x  cos 2 xdx  0   4 .   4 14 1 1 4  Mặt khác:  cos 2 2 xdx   1  cos 4 x  dx   x  sin 4 x   . 20 8 2 0 8 0 Bởi vậy:    4 4 4  0 f 2  x  dx  2  f  x  cos 2 xdx   cos 2 2 xdx  0 0  8   4   8  4    f 2  x   2 f  x  cos 2 x  cos 2 2 x  dx  0 0  4 2    f  x   cos 2 x  dx  0  f  x   cos 2 x . 0 Nên:   8 8 I 0  8 1 1 f  2 x  dx   cos 4 xdx  sin 4 x  . 4 4 0 0 2 Câu 78. Cho hàm số f  x  liên tục, có đạo hàm trên  , f  2   16 và  f  x  dx  4 . Tích phân 0 4 x  xf   2  dx bằng 0 A. 112 . B. 12 . x  x  2t  dx  2dt . 2 x  0  t  0 Đổi cận:  . Do đó x  4  t  2 D. 144 . C. 56 . Lời giải Đặt t  4 2 2 x 0 xf   2  dx  0 4tf   t  dt  0 4 xf   x  dx . u  4 x  du  4dx  Đặt  .  dv  f   x  dx v  f  x  2 2 2 2 Suy ra  4 xf   x  dx   4 xf ( x)  0   4 f  x  dx  8 f  2   4  f  x  dx  8.16  4.4  112. 0 Câu 79. 0 0 (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Cho hàm số 2 f  x  liên tục trên  và 1 f  2   16,  f  x  dx  4 . Tính I   x. f   2 x  dx . 0 A. 7 . 0 B. 12 . C. 20 . Lời giải Đặt t  2 x  dt  2dx . Với x  0  t  0 ; Với x  1  t  2 . D. 13 . Trang 42 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 2 t dt 1 2 12 Suy ra: I   f   t    tf   t  dt   xf   x  dx . 2 2 40 40 0 u  x du  dx  Đặt  . dv  f   x  dx v  f  x  Ta có I  Câu 80. 2 2  1 1 1 xf x      f  x  dx    2 f  2   0 f  0   4   2.16  4   7 . 0 0 4 4  4 (Chuyên Bắc Ninh – 2020) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  và thỏa mãn 1  0 1 f  x dx  10 , f 1  cot1 . Tính tích phân I    f  x  tan 2 x  f   x  tan x dx . 0 A. 1  ln  cos1 . C. 9 . B. 1 . D. 1  cot1 . Lời giải Chọn C Cách 1: 1 1 1 + I    f  x  tan 2 x  f   x  tan x dx   f  x  tan 2 xdx   f   x  tan xdx 0 0 1 . 0 1 + Tính J   f   x  tan xdx . 0 u  tan x Đặt  , ta có dv  f   x  dx 1   du  1  tan 2 x dx .  v  f  x  1    J  f  x  .tan x 0   f  x  . 1  tan 2 x dx 0 1 1  f 1 . tan1  f  0  .tan 0   f  x  .tan 2 xdx   f  x dx 0 0 1  cot1.tan1   f  x  .tan 2 xdx  10 0 1 1 2  1   f  x  .tan xdx  10  9   f  x  .tan 2 xdx . 0 0 Thay J vào 1 ta được: 1 1   I   f  x  tan xdx   9   f  x  .tan 2 xdx   9 . 0 0   Cách 2: 2 2 2  Ta có:  f  x  tan x   f   x  tan x  f  x   tan x  1  f   x  tan x  f  x  tan x  f  x   f   x  tan x  f  x  tan 2 x   f  x  tan x   f  x  . 1 1    I    f  x  tan 2 x  f   x  tan x  dx     f  x  tan x   f  x   dx  0 0 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 43 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 1 1  f  x  tan x 0   f  x  dx  f 1 tan1  10  cot1.tan1  10  9 . 0 Câu 81. (Chuyên Lào Cai – 2020) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên 3 2 7 f  3  0 ,   f ‘  x   dx  và 6 0 7 . 3 A.  B. 3  f  x 7 dx   . Tích phân 3 x 1 0 97 . 30 C. 7 . 6 0;3 thỏa mãn 3  f  x  dx bằng: 0 D. 7 . 6 Lời giải Chọn B 3  Xét: f  x x 1 0 dx   7 3 u  f  x  du  f ‘  x  dx   Đặt:  1 dx v  2 x  1  1 dv   x 1  3 3 3 f  x   Khi đó:  dx  2 x  1  1 f  x   2  0 x 1 0 0   3     x  1  1 . f ‘  x  dx  0 3  Mặt khác: 0 3 2     x  1  1 f ‘  x  dx 7 (1) 6 3 2   x  1  1 dx   x  2  2 x  1 dx  0 7 (2) 6 7   f ‘  x  dx  6  3 0  f ‘ x   0 Từ (1) và (2) suy ra:   f ‘  x   x  1  1 +) f ‘  x   0  (3) vô lý 2 7  x  1 x  1  x  C , mà f  3  0  C   3 3 2 7  f  x    x  1 x  1  x  3 3 3 3 7 97 2 Vậy:  f  x  dx     x  1 x  1  x   dx   . 3 30 0 0 3 +) f ‘  x   x 1 1  f  x  Câu 82. (Chuyên – Vĩnh Phúc – lần 3 – 2019) Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên (0; 1) thỏa 1 1 1 9 x 3 mãn f(0) = 0 và  f 2 ( x ) d x  ;  f ‘( x).cos . Tính  f ( x ) dx bằng: dx  2 0 2 4 0 0 A. 2  . B. 1  . C. 6  . D. 4  Lời giải Chọn C Trang 44 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ . TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 1 Ta có:  0 x 3 . f ‘( x).cos dx  2 4  x  x  u dx cos du   .sin  Đặt  2 2 2  f ‘( x) dx  dv v  f ( x) 1 1 3 x  cos . f ( x) 4 2 Suy ra: 0   2 0 . f ( x ).sin x 2 dx . 1  3   x  cos . f (1)  cos 0. f (0)  . f ( x).sin dx. 4 2 2 0 2 1   f ( x).sin x 3 dx  . 2 2 0 1 Theo đề: f 2 ( x) dx  0 1 Mặt khác:  sin 2 0 1 Nên ta có    f 2 x 2 9 . 2 1 1  cos  x 1 sin( x )  1 1 dx   x   . 2 2   0 2 0 dx   ( x)  6 f (x).sin x 0 2  9 sin 2  x 9 3 1 dx   6.  9.  0 .  2  2 2 2 2 1 x     f (x)  3sin  dx  0 . 2  0 Do hàm số y  f ( x) có đạo hàm liên tục trên (0; 1) nên f (x)  3sin 1 Suy ra  0 Câu 83. 1 f ( x) dx   3sin 0 x 2 x dx  3. .cos 2  2 1  0 6  x 2 . . (Hậu Lộc 2-Thanh Hóa- 2019) Cho hàm số f  x  nhận giá trị dương và có đạo hàm liên tục 0;1 sao 1 2 x3  3 x 2  f   x   I  dx . f  x 0 trên đoạn A. I   1 . 60 cho B. I  f 1  1 và 1 . 10 f  x  . f 1  x   e x C. I   1 . 10 2 x , D. I  x   0;1 . Tính 1 . 10 Lời giải Chọn C u  2 x3  3 x 2  du   6 x 2  6 x  dx  Đặt  f  x    dv  f x dx v  ln f  x       1 1   Ta có I  2 x3  3x 2 ln f  x    6 x 2  6 x ln f  x  dx 1 0 0 1  ln1    6 x  6 x  ln f  x  dx     6 x 2  6 x  ln f  x  dx . 2 0 0 Đặt t  1  x  dt  dx. Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 45 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 0 1     Ta có I   6 1  t 2  6 1  t   ln f 1  t  dt    6t 2  6t ln f 1  t  dt 1 0 1     6 x 2  6 x  ln f 1  x  dx. 0 1 1   2   Suy ra, 2 I    6 x  6 x ln f  x  dx   6 x 2  6 x ln f 1  x  dx 0 0 1     6 x 2  6 x   ln f  x   ln f 1  x   dx 0 1 1     6 x  6 x  ln f  x  . f 1  x  dx     6 x 2  6 x  lne x 2 0 2 x dx 0 1 1 1  6  x  x  dx  6   x 4  2 x3  x 2  dx   . 5 0 0 2 2 1 1 Như vậy, 2 I    I   5 10 Câu 84. (Sở Nam Định-2019) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên 1; 2  và thỏa mãn: 2 2 f  2   0,   f ( x )  dx  1 A. 3 3  2 ln . 4 2 5 2  ln và 12 3 B. ln 2 f ( x) 5 3 1 ( x  1)2 dx   12  ln 2 . Tính tích phân 2 . 3 3 2  2 ln . 4 3 Lời giải C. D. 2  f  x dx . 1 3 2  2 ln . 4 3 Chọn D f  x 2 Ta có   x  1 2 dx   1 2 Do f  2   0 nên  1 2 2 2 f  x f  x 1 1 1 f  x   dx   f  2   f 1   dx x 1 x 1 3 2 x 1 1 1 1 f  x 1 5 3 dx  f 1    ln x 1 2 12 2 2 Lại có  2 f   x  dx  f  2   f 1  f 1    f   x  dx 1 2 Suy ra 1  1 1 5 3   x  1  2  f   x  dx   12  ln 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1  5 2  1  1 Mặt khác     dx      dx    ln x  1  x      ln 2   x  1 2 x  1 4 x  1 4 12 3   1 1 1   x  1  Vậy: 2   f   x  1  2 2 2 2 1 1  1  1 dx  2     f   x  dx      dx x 1 2  x 1 2  1  1 5 2 2 5 2  5  ln  2    ln    ln  0 12 3 3  12 3  12 2 2 1 1 1 1 1   f  x    ln x  1  x  ln 3  1    f  x    dx  0  f   x    x 1 2  2 x 1 2 1 Trang 46 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 2 2 3 2 1  do f  2   0   f  x  dx   x 2  x  x ln 3    x  1 ln  x  1   x  1     2 ln . 3 4 1 4 1 2 1 Câu 85. Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm liên tục trên [0;1] thỏa mãn f (1)  3,   f ‘( x)  dx  0 1 1 x 4 f ( x ) dx  0 A. 4 và 11 35 . 11 7 . Giá trị của  f ( x )dx là: 11 0 65 B. . 21 23 . 7 Lời giải C. D. 9 . 4 Chọn C 1  Xét x 4 f ( x ) dx  0 7 11   du  f ‘( x) dx  u  f ( x)  Đặt   x5 4 dv  x dx v    5   1 1  x5  1 x5 7 Khi đó  x f ( x)dx   . f ( x)    . f ‘( x)dx  11 0 5 0 0 5 4 1 Suy ra x5 f (1) 7 2 0 5 . f ‘( x)dx  5  11  55 2 1  x5  1  Mặt khác    dx  275 0 5   Ta có: 2 1 2 1 1 5 x5 2  x  f ‘( x ) dx  2.10. . f ‘( x ) dx  10 .   0 0 5 0  5  dx  0 2 1 5    f ‘( x)  2 x  dx  0 0  f ‘( x)  2 x5  x6  x6 10  C . Mà f (1)  3 nên f ( x)   3 3 3 1 1 23 f ( x ) dx   ( x 6  10) dx  30 7  Do đó f ( x)  1  Khi đó  0 Câu 86. Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 1; 2 và thỏa mãn f 1  0 , A.  19 . 60  2 1 2 1  f   x   dx  . Tính 7 B. 7 . 120  2 1 1   x  2 f  x  dx   21 , 2 2 1 xf  x  dx . C. 1 . 5 D. 13 . 30 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 47 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Lời giải Chọn B Ta có: 1   x  2 f  x  dx   21 . 2 2 1 Đặt: u  f  x   du  f   x  dx ; dv   x  2  2  x  2 dx  v  3 3 . 2 2   x  2 3   x  2 3  2  x  2 f  x  dx   f  x   f   x dx 1  3  3  1 2 1 =  2  x  2 1 3 f   x dx . 3 2 3    x  2  f   x dx  1 2 Mà  1 Vậy,  2 1 3   x  2 f   x dx   Do đó, 2 1 . 7 1 2 1   x  2 7 x  2 d x      7  6    x  2 2 1 6 2 1  f   x   dx  7 2  1   .  1 7 2 3   2  x  2  f   x    f   x   dx  2 1 2 1   0 7 7 7  x  2  f   x dx  0   x  2  f   x   0  f  x  3  x  2 3 4 C . 4 4  x  2  1 . 1  f  x  4 4 4 2 1 4 5 4 x  x  2   x dx    x  2   2  x  2   x dx 1 4 Mà f 1  0  C   2 1 xf  x  dx  1 2 4 1   6 5 1   x  2 2  x  2 1 2      x  4  6 5 2   Câu 87.   2 1 1 1 2 1 19  2       . 4 6 5 2 60 (Chuyên ĐH Vinh- 2019) Giả sử hàm số f  x  có đạo hàm cấp 2 trên  thỏa mãn 1 f 1  f  1  1 và f 1  x   x 2 . f   x   2 x với mọi x   . Tính tích phân I   xf   x dx . 0 A. I  1 . B. I  2 . C. I  1 . 3 D. I  Lời giải Chọn C Trang 48 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 2 . 3 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 du  f   x  dx u  f   x   Đặt   . x2 dv  xdx v   2 1 1 2 1 1 x2 x2 1 x f  x   f   x dx    f   x dx . Suy ra I   xf   x dx  0 0 2 2 2 0 2 0 Do f 1  x   x 2 . f   x   2 x  x2 1 . f   x   x  f 1  x  . 2 2 1 Vậy I  1 1 1  1     x  f 1  x  dx   f 1  x dx . 2 0 2 20  0 Đặt t  1  x suy ra I   1 1 1 1 1 f  t dt   f  t dt   f  x dx .  21 20 20 u  f  x  du  f   x  dx Đặt    dv  dx v  x Suy ra I   1 1 1 1 1  xf  x    xf   x  dx   I  1  I   I  . 0 0 2 2 3  Dạng 1.3 Biến đổi Dạng 1. Bài toán tích phân liên quan đến đẳng thúrc u ( x) f  ( x)  u ‘ ( x) f ( x)  h( x) Phương pháp: Dễ dàng thấy rằng u ( x) f  ( x)  u  ( x) f ( x)  [u ( x) f ( x)] Do dó u ( x) f  ( x)  u  ( x) f ( x)  h( x)  [u ( x) f ( x)]  h( x ) Suy ra u ( x) f ( x)   h( x )dx Từ đây ta dễ dàng tính được f ( x) Dang 2. Bài toán tích phân liên quan đến biếu thúrc f  ( x)  f ( x)  h( x) Phương pháp:  Nhân hai vế vói e x ta durọc e x  f  ( x)  e x  f ( x)  e x  h( x)  e x  f ( x)   e x  h( x) Suy ra e x  f ( x)   e x  h( x)dx Từ đây ta dễ dàng tính được f ( x) Dang 3. Bài toán tích phân liên quan đến biếu thúc f  ( x)  f ( x )  h( x ) Phương pháp:  Nhân hai vế vói e  x ta durọc e  x  f  ( x)  e  x  f ( x)  e  x  h( x)  e  x  f ( x)   e  x  h( x) Suy ra e  x  f ( x)   e  x  h( x)dx Từ đây ta dễ dàng tính được f ( x) Dạng 4. Bài toán tích phân liên quan đến biếu thúrc f  ( x)  p ( x)  f ( x)  h( x) (Phương trình vi phân tuyên tinh cấp 1) Phương pháp: p ( x ) dx Nhân hai vế với e  ta được f  ( x)  e  p ( x ) dx  p ( x)  e  Suy ra f ( x)  e  p ( x ) dx p ( x ) dx   e  f ( x)  h( x)  e  p ( x ) dx p ( x ) dx   f ( x)  e   p ( x ) dx    h( x)  e  p ( x ) dx  h( x)dx Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 49 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Từ đây ta dễ dàng tính được f ( x) Dang 5. Bài toán tích phân liên quan đến biếu thúc f  ( x)  p ( x)  f ( x)  0 Phương pháp: f  ( x) f  ( x) Chia hai vế với f ( x) ta đựơc  p( x)  0    p ( x) f ( x) f ( x) f  ( x) Suy ra  dx    p ( x)dx  ln | f ( x) |   p ( x)dx f ( x) Từ đây ta dễ dàng tính được f ( x) Dạng 6. Bài toán tích phân liên quan đến biểu thức f  ( x)  p ( x)  [ f ( x)]n  0 Phương pháp: f  ( x) f  ( x) Chia hai vế với [ f ( x)]n ta được  p ( x )  0    p ( x) [ f ( x)]n [ f ( x)]n Suy ra f  ( x) [ f ( x)] n 1 d x   p ( x )d x     p ( x)dx  [ f ( x)]n  n  1 Câu 88. (Mã 102 2018) Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn f (2)   2 1 và f ( x)  x  f ( x) với mọi x  . Giá 3 trị của f (1) bằng A.  2 3 B.  2 9 C.  7 6 D.  11 6 Lời giải Chọn A 2 Từ hệ thức đề cho: f ( x)  x  f ( x) (1), suy ra f ( x )  0 với mọi x  [1; 2] . Do đó f ( x ) là hàm không giảm trên đoạn [1; 2] , ta có f ( x )  f ( 2)  0 với mọi x  [1; 2] . f ( x) 2 Chia 2 vế hệ thức (1) cho  f ( x )    x, x  1; 2 . 2  f ( x) Lấy tích phân 2 vế trên đoạn [1; 2] hệ thức vừa tìm được, ta được: 2 f ( x) 2 2 2 1 3 1 3 1 1 3 1  f ( x)2 dx  1 xdx  1  f ( x)2 df (x)  2  f ( x)  2  f (1)  f (2)  2 1 1 2 nên suy ra f (1)   . 3 3 Chú ý: có thể tự kiểm tra các phép biến đổi tích phân trên đây là có nghĩa. Do f (2)   Câu 89. (Mã 104 2018) Cho hàm số f  x  thỏa mãn f  2    2 1 và f   x   x 3  f  x   với mọi x   . 5 Giá trị của f 1 bằng A.  4 35 B.  71 20 C.  79 20 D.  Lời giải Chọn D 2 2 f  x f  x 2 Ta có: f   x   x3  f  x    2  x3   2 dx   x 3 dx f  x f  x 1 1 Trang 50 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 4 5 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 2  1  15 1 1 15 4       f 1   .     f  2  f 1 4 5  f  x  1 4 Câu 90. (Minh họa 2020 Lần Cho 1) hàm f  x số liên tục trên  thảo mãn 0 xf  x   f 1  x    x  x  2 x, x   . Khi đó 3 2 10 6  f  x dx ? 1 17 A. . 20 13 B. . 4 17 C. . 4 Lời giải D. 1 . Chọn B Ta có xf  x3   f 1  x 2    x10  x6  2 x  x 2 f  x3   xf 1  x 2    x11  x 7  2 x 2 . Lấy tích phân hai vế cận từ 0 đến 1 ta được: 1 1 1 2 3 2 11 7 2  x f  x  dx   x f 1  x  dx     x  x  2 x dx 0 0 0 1 1  1 1 5 f  x 3  d  x3    f 1  x 2  d 1  x 2     30 20 8  1 1 5 f  t  dt   f  t  dt    30 21 8 1 0 1 1 . 1 1 5   f  t  dt   f  t  dt   30 20 8 1 5 5   f  t  dt   60 8 1   f  t  dt   0 3 4 1 Suy ra 3  f  x  dx   4 . 0 Lấy tích phân hai vế cận từ  1 đến 0 ta được: 0 0 0 2 3 2  x f  x  dx   x f 1  x  dx  1 1 0   x 11  x 7  2 x 2  dx 1 0 1 1 17 f  x3  d  x 3    f 1  x 2  d 1  x 2     3 1 2 1 24 0 1 0 1 1 1 17   f  t  dt   f  t  dt   3 1 20 24  1 1 17 f  t  dt   f  t  dt    3 1 20 24  1 17 1 f  t  dt     f  t  dt  3 1 24 2 0  1 17 1 17 1 3 13 f  x  dx    f  x  dx   .   3 1 24 2 0 24 2 4 12 0 0 1 0 1 . 13   f  x  dx  4 1 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 51 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 6 . Khi đó 3x  1   Câu 91. Cho hàm số f  x  liên tục trên  0;1 thỏa mãn f 1  x   6 x 2 f x3  bằng A. 4 . B. 1. C. 2 . 1  f  x  dx 0 D. 6 . Lời giải Chọn A   Ta có f 1  x   6 x 2 f x3  1 6 6  f 1  x   6 x 2 f  x3    3x  1 3x  1 1 1 6 dx * . 3x  1   f 1  x  dx   6 x 2 f  x 3  dx    0 0 0 1 Ta có 1  f 1  x  dx    f 1  x  d 1  x  0 u 1 x 1 ux 1    f  u  du   f  x  dx . 0 1 0 1 0 1 3 1 Và  6 x 2 f  x3  dx  2 f  x3  d  x 3   2 f  u  du  2 f  x  dx . 0 0 1 0 1 0 1 Ta có *   f  x  dx  2  f  x  dx   6  0 0 0 1 1 1 1 dx   f  x  dx  6  dx  4 . 3x  1 3x  1 0 0 1 Vậy  f  x  dx  4 . 0 Câu 92. Cho hàm số f  x  xác định và liên tục trên  0 thỏa mãn x 2 f 2  x    2 x  1 f  x   xf ‘  x   1 , 2 với mọi x   0 đồng thời thỏa f 1  2 . Tính  f  x dx 1 A.  ln 2 1. 2 1 B.  ln 2  . 2 3 C.  ln 2  . 2 Lời giải D.  ln 2 3  . 2 2 Chọn D 2 Ta có x 2 f 2  x   2 xf  x   1  xf ‘  x   f  x    xf  x   1   xf  x   1 Do đó  xf  x   1  xf  x   1 ‘ 2  xf  x   1 1   xf  x   1 ‘ 2 dx   1dx   ‘ 1 1  x  c  xf  x   1   xc xf  x   1 1 1 1 1  c  0  xf  x   1    f  x    2  1 c x x x 2 1 1  1 1  f  x dx     2  dx    ln x   |12   ln 2  . x x x 2  1 Mặt khác f 1  2 nên 2  1   2 Vậy  1 Câu 93. Cho hàm số f  x liên tục trên  thỏa 2 3 3 1 f  x    x 2  1 f  x3  x    x5  4 x3  5x 2  7 x  6, x   . Tích phân  f  x  dx bằng 4 2 4 1 1 1 19 A. . B. . C. 7 . D.  . 7 3 3 Lời giải Trang 52 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ mãn TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 2 2 2 3 3 1 Mặt khác : (*)   f  x  dx    x 2  1 f  x3  x   dx    x5  4 x3  5 x 2  7 x  6  dx 4 2 4 1 1 1 2 2 4 3 3 1 3 3 1 1   f  x  dx   f  x 3  x   d  x 3  x    3 1 4 4 2 4 4 2 3 1 2 2 2 4 1 1   f  x  dx   f  x  dx    f  x  dx  . 31 3 7 1 1  f   x  0;1 f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn Câu 94. Cho hàm số thỏa mãn f 1  1 và 1 2  4  6 x 2  1 . f  x   40 x 6  44 x 4  32 x 2  4, x   0;1 . Tích phân  f  x dx bằng? 0 A. 23 . 15 B. 13 . 15 C.  17 . 15 D.  7 . 15 Lời giải Chọn B  f   x 2  4  6 x 2  1 . f  x   40 x6  44 x 4  32 x 2  4 1 1 2 1        f   x   dx   4 6 x 2  1 . f  x  dx   40 x 6  44 x 4  32 x 2  4 dx. 1 0 0 0 1 1 Xét I   4  6 x  1 . f  x  dx    24 x 2  4  f  x  dx . 2 0 0 u  f  x   du  f   x  dx Đặt  .  2 3  dv   24 x  4  dx v  8 x  4 x  I  8 x  4 x  . f  x  3 1 0 1 1    8 x  4 x  . f   x  dx = 4  2  4 x3  2 x  . f   x  dx. 3 0 0 Do đó: 1 1 2 1 2 1 1    f   x   dx  2  4 x3  2 x  . f   x  dx    4 x3  2 x  dx    56 x6  60 x 4  36 x2  8 dx. 0 0 1   0 0 2    f   x   4 x3  2 x  dx  0  f   x   4 x 3  2 x  f  x   x 4  x 2  c. 0 Mà f 1  1  c  1  f  x   x 4  x 2  1. 1 Do đó  0 Câu 95. Cho 1 f  x  dx    x 4  x 2  1 dx  hàm 0 số f ( x) có đạo 13 . 15 hàm liên tục trên  và thỏa mãn f (0)  3 và 2 f ( x)  f (2  x)  x 2  2 x  2, x   . Tích phân  xf ( x)dx bằng 0 A. 4 . 3 B. 2 . 3 5 . 3 Lời giải C. D.  10 3 Chọn D Cách 1. 2 Áp dụng công thức tích phân từng phần, ta có: 2 2  xf ( x)dx  xf ( x)   f ( x)dx . 0 0 0 Từ f ( x)  f (2  x)  x  2 x  2, x   1 2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 53 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Thay x  0 vào 1 ta được f (0)  f (2)  2  f (2)  2  f (0)  2  3  1. 2 Xét I   f ( x)dx 0 x  0  t  2 Đặt x  2  t  dx  dt , đổi cận:  x  2  t  0 0 2 2 Khi đó I    f (2  t )dt   f (2  t )dt  I   f (2  x)dx 2 2 0 0 2 2 2 8 4 Do đó ta có   f ( x)  f (2  x)  dx    x  2 x  2  dx  2  f ( x )dx    f ( x )dx  . 3 3 0 0 0 0 2 2 Vậy 2 2  xf ( x)dx  xf ( x) 0   f ( x)dx  2.(1)  0 0 4 10  . 3 3 Cách 2.  f ( x)  f (2  x)  x 2  2 x  2 1 Từ  f (0)  3  1 2 Thay x  0; x  1 vào 1 ta được f (2)  1; f (1)  .  c3  c3   1 1    a  . Xét hàm số f ( x)  ax 2  bx  c từ giả thiết trên ta có  a  b  c  2 2   4a  2b  c  1 b  3 2 2 1 10 Vậy f ( x)  x 2  3x  3  f ( x)  x  3 suy ra  xf ( x )dx   x  x  3 dx   . 2 3 0 0 Câu 96. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên 40 5  1 . 2 B. 20 5  1 . 4 và f   x   0, x   2;4 . Biết 7 . Giá trị của f  4  bằng 4 3 4 x 3 f  x    f   x    x 3 , x   2; 4 , f  2   A.  2;4 20 5  1 . 2 Lời giải C. D. 40 5  1 . 4 Chọn D Ta có: f   x   0, x   2;4 nên hàm số y  f  x  đồng biến trên  2;4  f  x   f  2 mà f  2  7 . Do đó: f  x   0, x   2; 4 . 4 3 Từ giả thiết ta có: 4 x3 f  x    f   x    x3  x3  4 f  x   1   f   x    x. 3 4 f  x   1  f   x   Suy ra: f  2   f  x 3 4 f  x 1 f  x 3 4 f  x 1 dx   xdx  3 x. 2 33 x2 1 d  4 f  x   1 x 2   4 f x  1   C .   C    8  2 4  3 4 f  x 1 2 7 3 1   2C  C   . 4 2 2 3 4 2   3  x  1   1 40 5  1  f  4  Vậy: f  x   . 4 4 Trang 54 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 97. Cho hàm f  x số có đạo hàm liên tục 0; 2 trên và f 1  0 , thỏa 1 2  f   x    4 f  x   8×2  32 x  28 với mọi x thuộc 0; 2 . Giá trị của  f  x  dx bằng 0 5 A.  . 3 4 B. . 3 2 C.  . 3 D.  14 . 3 Lời giải Chọn B 2 Đặt I   2 f  x  dx . 1 u  f  x  du  f   x  dx Dùng tích phân từng phần, ta có:  .  dv  2dx v  2 x  4 2 2 2 I   2 x  4  f  x  1    2 x  4  f   x  dx    2 x  4  f   x  dx . 1 1 2 2 2 2 2   Ta có  f   x    4 f  x   8 x 2  32 x  28    f   x   dx  2 2 f  x  dx   8 x 2  32 x  28 dx 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2    f   x   dx  2  2 x  4  f   x  dx    2 x  4  dx    8 x 2  32 x  28  dx    2 x  4  dx 1 2 1 1 1 1 2    f   x    2 x  4   dx  0  f   x   2 x  4  f  x   x 2  4 x  C , C   . 1 1 1   Mà f 1  0  C  3  f  x   x  4 x  3   f  x  dx   x 2  4 x  3 dx  2 0 Câu 98. Cho hàm số f  x  liên tục trên 0;1 0 và f  x   f 1  x   4 . 3 x2  2x  3 , x   0;1 . Tính x 1 1  f  x  dx 0 A. 3  2 ln 2 . 4 3  ln 2 . 4 Lời giải B. 3  ln 2 . C. D. 3  2 ln 2 . 2 Chọn C Theo giả thiết, ta có: f  x   f 1  x   x2  2 x  3 , x   0;1 và f  x  liên tục trên  0;1 nên x 1 2 1 1 1  x  1  2 x2  2x  3  f x d x  f 1  x d x   f x  f 1  x  d x  d x          0 0 0 x  1 dx (1) 0  0 x  1 Đặt 1  x  t thì dx  dt , với x  0  t  1 , với x  1  t  0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 Do đó:  f 1  x  dx    f  t  dt   f  t  dt   f  x  dx   f  x  dx   f 1  x  dx  2 f  x  dx 0 1 0 0 0 0 0 (2). 1 Lại có  0  x  1 1 2 1 2  x2  2  3  dx    x  1  d x    x  2 ln x  1    2 ln 2 (3)  x 1 x 1  2 0 2 0 1 Từ (1), (2) và (3) suy ra 2  f  x  dx  0 1 3 3  2 ln 2   f  x  dx   ln 2 . 2 4 0 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 55 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Câu 99. Cho hàm số y  f ( x ) liên tục trên  thỏa mãn 3 f  x   f  2  x   2  x  1 e x 2  2 x 1  4 . Tính tích 2 phân I   f  x  dx ta được kết quả: 0 A. I  e  4 . C. I  2 . Lời giải B. I  8 . D. I  e  2 . Chọn C 2 2  3 f  x   f  2  x  dx   2  x  1 e Theo giả thuyết ta có 0  4  dx * .  2 2 0 2 Ta tính x2  2 x 1 2 2  f  2  x  dx   f  2  x  d  2  x    f  x  dx . 0 2 0 0 2  3 f  x   f  2  x  dx  4 f  x  dx . Vì vậy 0 0 2 2 Hơn nữa  2  x  1 e x 2  2 x 1 dx   e x 0 2 d  x 2  2 x  1  e x  2 x 1 2  2 x 1 0 0 2  0 và  4dx  8 . 0 2 Suy ra 4 f  x  dx  8   f  x  dx  2 . 0 Câu 100. Cho 0 hàm f  x số liên tục  trên thỏa 0 xf  x5   f 1  x4   x11  x8  x6  3×4  x  3, x  . Khi đó  f  x dx bằng 1 35 A. . 6 15 B.  . 4 7 C.  . 24 Lời giải D. 5 . 6 Chọn D     Với x   ta có : xf x5  f 1  x 4  x11  x8  x6  3x 4  x  3  x 4 f  x 5   x 3 f 1  x 4   x14  x11  x 9  3 x 7  x 4  3 x 3 1 1 (*) 1   x 4 f  x5  dx   x3 f 1  x 4  dx    x14  x11  x9  3x 7  x 4  3×3  dx 0 0 0 1 1  1 1 33 f  x5  d  x5    f 1  x 4  d 1  x 4    50 40 40  1 1 33 11 f  x  dx   f  x  dx    f  x  dx   50 40 40 6 0 1 1 1 0 0   0     Mặt khác : (*)   x 4 f x5 dx   x3 f 1  x 4 dx   x14  x11  x9  3×7  x 4  3×3 dx 1 0 (*)  0  1 1 0 1 1 7 f  x5  d  x5    f 1  x 4  d 1  x 4     5 1 4 1 24 1 0 1 1 7  7 1 11  5 f  x  dx   f  x  dx     f  x  dx  5    .   .  5 1 40 24 1  24 4 6  6 Trang 56 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ mãn TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  2   2 2  Câu 101. Cho hàm số f  x  liên tục trên  ;1 và thỏa mãn 2 f  x   5 f    3x ,  x  ;1 . Khi đó   5   5   5 x  I 1 3 ln 3 x. f ‘  3 x dx bằng: 2 15 1 2 3 . ln  5 5 35 A. B. 1 5 3 . ln  5 2 35 C.  1 5 3 . ln  5 2 35 D.  1 2 3 . ln  5 5 35 Lời giải Chọn B Cách 1: Tự Luận  2   3x ,   5 x   2  f   5 x  f  x 2  5   3,  x x x  2  1 1 f   5 x  f  x 2 dx  5 dx x x 2 2  2  ;1  5  Ta có: 2 f  x  5 f  x  2   ;1  5   5 5 Xét I1  5 2 5  x   Đổi cận:  2  u 5   5 I1 1   2 5 f  x x Tính I   x 2 5  2 du 5 u2 dx . 2 5 f u du u 1 dx   5 2 5 1  f  x x 5 f  x x 2 5 dx dx 9 5 9 35 dx  1 3 1 5 f  x 1 2  dx 5×2 du  1 f u du u Từ (2) suy ra, 2  1 2 5 2 5  x  1 u 2 5 9 (2) 5 3dx  2   5 x  2 dx đặt u   x 5x   1 f  1 (1) ln 3 x. f ‘  3 x dx . 2 15  Đặt t  3 x dt 1 3 dx  dt 3 2 2  t 15 5 1 x   t 1 3  dx . Đổi cận:   x     1  I 1 ln t. f ‘ t dt 3 2 5 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 57 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489   du  1 dt  u  ln t Đặt:    t  dv  f ‘(t )    v  f (t ) 1 1 1 f (t ) 1 2 2 1 I  (ln t. f (t )) 2   dt  ln . f ( ) 3 3 2 t 3 5 5 5 3 35 5  2   2  ;1  3 x  ,  x Tính 2 f  x   5 f    5   5 x  2 Cho x  1; x vào (1) ta có hệ phương trình sau: 5     2 f 1  5 f  2   3  f (1)  0   5      2  3   f    2  6    2 f    5 f 1   5 5  5 5   1 3 2 3 1 5 3 Suy ra, I   . ln   . ln  3 5 5 35 5 2 35 Câu 102. Cho hàm số f  x  liên tục trên  và thỏa mãn f  x   2 xf  x 2   2 x 7  3 x 3  x  1 với x   . 1 Tính tích phân  xf   x dx . 0 A. 1 . 4 B. 5 . 4 3 . 4 Lời giải 1 D.  . 2 C. Chọn B 1 Áp dụng công thức tích phân từng phần, ta có: 1 1  xf x d x  xf x  f  x dx *     0 0 0 Từ f  x   2 xf  x 2   2 x 7  3 x 3  x  1 1 Thay x  1 vào 1 ta được f 1  2 f 1  3  f 1  1  2  1 Mặt khác từ 1 ta có  0 1 1 1 f  x  dx   2 xf  x 2  dx    2 x 7  3×3  x  1 dx 0 1 0 1 1 1 1 1   f  x  dx   f  x 2  d  x 2     2  f  x  dx     f  x  dx    3  2 2 4 0 0 0 0 1 Thay  2  ,  3 vào * ta được 1 5  xf   x dx  1  4  4 0 Câu 103. Cho hàm số f  x  liên tục trên  thỏa mãn 4 3  2x  2   x  x  4x  4 x2 f 1  x   2 f   , x  0, x  1 . Khi đó  x  x  1 A. 0 . B. 1. C. . 2 Lời giải Chọn A 2  2 x  2   x 4  x3  4 x  4 Từ giả thiết suy ra f 1  x   2 f   x  x  x3 1  f  x  dx có giá trị là 1 D. 3 . 2 Trang 58 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 2 Ta có:  1 2 2  x 4  x3  4 x  4  2x  2  2 f 1  x  dx   f  . d x  dx  2 1 x3  x  x 1 2 2 2 4 4  2x  2   2x  2      f 1  x  d 1  x    f  d      x  1  2  3  dx x x   x   x  1 1 1 1 1 2  x 4 2 2    f  t  dt   f  t  dt     x   2  x x 1  2 0 0 0   1 1 1 f  t  dt   f  t  dt  0  0  f t  dt  0 . 1 1 Vậy  f  x  dx  0 . 1 Cách trắc nghiệm 4 3  2x  2  x  x  4x  4 2  , x  0, x  1 Ta có: x f 1  x   2 f   x  x  4 3 4x  4  2x  2  x  x  x 2 f 1  x   2 f   , x  0, x  1  x x  x   2x  2   2x  2  2  x 2 f 1  x   2 f    x 1  x   2   , x  0, x  1  x   x  1 1 1 1 Chọn f  x   x   f  x .dx   x.dx  0 . Câu 104. Cho hàm f  x số liên tục trên  thỏa mãn 2 3 3 1 f  x    x  1 f  x3  x    x5  4 x3  5 x2  7 x  6, x   . Tích phân  f  x  dx bằng 4 2 4 1 1 1 19 A. . B. . C. 7 . D.  . 7 3 3 2 Lời giải Chọn C 3 3 1 Với x   ta có : f  x   x 2  1 f  x3  x    x5  4 x3  5x 2  7 x  6 (*) 4 2 4 1 1 1 3 3 1   f  x  dx    x 2  1 f  x 3  x   dx    x 5  4 x 3  5 x 2  7 x  6  dx 4 2 4 2 2 2 1 1 4 3 1 3 3 3 35 1 3 3   f  x  dx   f  x  x   d  x  x     3 2  4 4 2 4 4 2 3 2  1   2  1 f  x  dx  1 4 35 f  x  dx     f  x  dx  5 3 2 3 2 2 2 2 3 3 1 Mặt khác : (*)   f  x  dx    x  1 f  x3  x   dx    x5  4 x3  5 x 2  7 x  6  dx 4 2 4 1 1 1 2 2 4 1 3 3 1 3 3 1       f  x  dx   f  x 3  x   d  x 3  x    3 4 4 2 4 4 2     3 1 1 2 1 2 4 1 1 4   f  x  d x   f  x  d x    f  x  d x   .  5   7 . 3 2 3 3 3 1 1 2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 59 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Câu 105. (Chuyên Biên Hòa – Hà Nam – 2020) Cho hàm số f ( x ) liên tục trên  1;2 và thỏa mãn điều kiện f ( x )  x  2  xf  3  x 2  . 2 Tích phân I   f ( x)dx bằng 1 A. I  14 . 3 28 . 3 B. I  C. I  4 . 3 D. I  2 . Lời giải Chọn B 2 2   Ta có I    x  2  xf 3  x 2  dx  1 2 2 x  2dx   xf  3  x 2  dx   1 1 2 Xét  xf  3  x  dx đặt t  3  x 2 2  dt  2 xdx  xdx   1 14  xf  3  x 2  dx . 3 1 dt . 2 2 Đổi cận khi x  1  t  2 ; x  2  t  1 . Suy ra 1 2  xf  3  x  dx   1 2 Khi đó I  2 2 1 1 f (t )dt   f (t )dt .  22 2 1 2 14 14 1 14 1 14 I 28   xf  3  x 2  dx    f (t )dt    f ( x)dx  I    I  . 3 1 3 2 1 3 2 1 3 2 3 Câu 106. (Hậu Lộc 2 – Thanh Hóa – 2020) Cho hàm số f  x  có đạo hàm cấp hai trên đoạn  0;1 đồng thời thỏa mãn các điều kiện 2 f   0   1, f   x   0,  f   x    f   x  , x   0;1 . Giá trị f  0   f 1 thuộc khoảng A. 1; 2  . B.  1; 0  . C.  0;1 . D.  2; 1 . Lời giải Chọn C 2  f   x    f   x   f   x   f   x   2 1  f   x  2 dx   dx  1  xC f  x  f   x   1 1 1 f   0   1   0  C  C 1  x 1  f   x  1 f  x x 1 0 0 f  0   f 1   f   x dx   1 Câu 107. (Chuyên Bến 1 Tre 0 1 dx   ln x  1  ln 2   0;1 1 x 1 – 2020) Cho hàm số y  f ( x) 2 thỏa  f ‘ ( x)   f ( x). f ” ( x )  x 3  2 x, x  R và f (0)  f ‘ (0)  2 . Tính giá trị của T  f 2 (2) 160 268 4 268 A. B. C. D. 15 15 15 30 Lời giải Chọn B 2 Ta có:  f ‘ ( x)   f ( x). f ” ( x )  x 3  2 x, x  R ‘   f ‘ ( x). f ( x)   x 3  2 x, x  R Lấy nguyên hàm hai vế ta có: Trang 60 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ mãn TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  f ‘ ‘ ( x). f ( x)  dx    x  2 x dx 3  f ‘ ( x ). f ( x)  x4  x2  C 4 Theo đề ra ta có: f ‘ (0). f (0)  C  4 Suy ra: 2  0 2  x4  f ‘ ( x). f ( x).dx     x 2  4  dx 4  0 2 f 2 ( x) 104 268 .    f 2 (2)  15 2 0 15 Câu 108. (Chuyên Thái Bình – 2020) Cho f  x là hàm số liên tục trên tập xác đinh   và thỏa mãn 5 f  x  3 x  1  x  2 . Tính I   f  x dx 2 1 A. 37 . 6 B. 61 . 6 Lời giải 527 . 3 C. D. 464 . 3 Chọn C f  x 2  3 x  1  x  2  2 x  3 f  x 2  3 x  1  2 x  3 x  2 1 1 0 0   2 x  3 f  x 2  3 x  1 dx   2 x  3 x  2 dx  61 6 Đặt t  x 2  3 x  1  dt  2 x  3 dx x t 0 1 1 5 5 Suy ra 61  f t dt  6 . 1 Câu 109. (Chuyên Chu Văn An – 2020) Cho hàm số y  f  x  liên tục, có đạo hàm trên R thỏa mãn điều     kiện f ( x )  x  f  ( x )  2 sin x   x 2 cos x, x  R và f    .Tính 2 2 A. 0 . B.  2 . C. 1 . 2  xf   x  dx 0 D.  . Lời giải Chọn A Từ giả thiết f ( x )  x  f  ( x )  2 sin x   x 2 cos x Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 61 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489  f ( x)  xf  ( x)  x 2 cos x  2 x sin x   xf  x     x 2 sin x   xf  x   x 2 sin x  C    Mặt khác: f     C  0  f  x   x sin x. 2 2    2 Ta có:  2 2  xf   x  dx  xf   x 02   f   x  dx  x cos x  2 x sin x  2 f  x 02 0 0   x 2 cos x  2 x sin x  2 x sin x02  2  x cos x02  0 Câu 110. (Chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định – 2020) Cho hàm số f  x  thỏa mãn f  0    1  x  x  1 f ‘  x   1, x  1. Biết rằng  f  x  dx  0 A. 8. B. 24. 2 và 3 a 2 b với a, b  . Tính T  a  b. 15 C. 24. Lời giải D. 8. Chọn B Ta có:   x  x  1 f ‘  x   1, x  1. 1 x 1  x 1   f ‘  x dx   dx x 1  x  f ‘ x    f ‘  x dx    x  1  x dx 2 3 x  C. 3 2 2 2 2 2 Mặt khác: f  0       C  C  0  f ( x)  3 3 3 3 3  f  x  1 Do đó:  0 2 3   x  13  1 2 f  x  dx    3 0 2 2 2  x  1  x3  dx   . 3  3 5 3  x  1 3  2 3 x . 3 1  x  1 5 2 2 5 16 2  8  . x   . 3 5 15 0  a  16; b  8  T  a  b  8. Câu 111. (Chuyên Hưng Yên – 2020) Cho hàm số f  x  liên tục trên đoạn 1 4 x. f  x 2   3 f 1  x   1  x 2 . Tính I   f  x  dx . 0 A.  4 .  B. 16 . C.  20 Lời giải . D.  6 Chọn C 1 Lấy tích phân hai vế, ta có 1 2 2   4 x. f  x   3 f 1  x  dx   1  x dx * . 0 0 Trang 62 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ . 0;1 thỏa mãn TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 1 Xét tích phân J   1  x 2 dx . Đặt x  sin t  dx  cos tdt . Khi đó, ta có 0 1   2 2  12 1  sin 2t  2  1  sin t .cos tdt   cos tdt   1  cos 2t  dt   t    . 2 2 2  0 4 0 0 2 2 J   1  x dx   0  0 2 1 Xét tích phân K   4 x. f  x 2  dx . Đặt t  x 2  dt  2 xdx . Khi đó, ta có 0 1 1 1 K   4 x. f  x 2  dx  2  f  t  dt  2  f  x  dx . 0 0 0 1 Xét tích phân L   3 f 1  x  dx . Đặt t  1  x  dt  dx . Khi đó, ta có 0 1 0 1 1 L   3 f 1  x  dx  3 f  t  dt   3 f  t  dt  3 f  x  dx . 0 1 0 1 Vậy *  5 f  x  dx  0  4 1   f  x  dx  0 0  20 . Câu 112. (Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm – Quảng Nam – 2020) Cho hàm số f  x  liên tục trên khoảng 5  0;   . Biết f  3  3 và 3 xf ‘  2 x  1  f  2 x  1  x , x   0;   . Giá trị của  f  x  dx bằng 3 A. 914 . 3 B. 59 . 3 45 . 4 Lời giải C. D. 88 . Chọn B Ta có: xf ‘  2 x  1  f  2 x  1  x3  2 x 2 f ‘  2 x  1  2 xf  2 x  1  2, x   0;   . x4 ‘  f  2 x  1  f  2 x  1   2 x  C. 1  2 2 x x2   Cho x  1 từ 1  2 f  3 3  2.1  C  2  2.1  C  C  1  f  2 x  1  x 2  2 x  1  2 x3  x 2 . 2 1 1 2 2  x 4 x3  59   f  2 x  1dx    2 x  x dx   2    .  4 3 1 6 1 1 3 5 2 2   f  x dx  2 f  2 x  1dx  3 1 59 . 3 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 63 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Câu 113. (Chuyên Thái Bình – 2020) Cho hàm số f  x  có đạo hàm và đồng biến trên 1;4 , thỏa mãn 4 2 3 x  2 xf  x    f   x   với mọi x  1;4 . Biết f 1  , tính I   f  x dx 2 1 A. 1188 . 45 B. 1187 . 45 1186 . 45 C. D. 9 . 2 Lời giải Chọn C 3 1   , ngoài ra f   x   0, x  1; 4 . Khi đó 2 2 Do f  x  đồng biến trên 1;4 nên f  x   f 1  ta có biến đổi sau: f  x 2 x  2 xf  x    f   x     2 f  x 1  x  2 3 2 3  2 f  x 1   x  C   2 f  x 1  x C 3 3    2 2 3 4 x   1  2 8 3 7 3 4 3 3   x3  x  . Mà f 1   C   f  x   2 3 2 9 9 18 4 4 Vậy I   1 16 2 7  1186 1 f  x dx   x 4  x x  x  . 45 18  1 45  18 Câu 114. (Chuyên Thăng Long – Đà Lạt – 2018) Cho hàm số f  x  liên tục trên  thảo mãn: 4 7 f  x   4 f  4  x   2018 x x  9 ,  x   . Tính I   f  x  dx . 2 0 A. 2018 . 11 B. 7063 . 3 98 . 3 Lời giải C. Ta có: 7 f  x   4 f  4  x   2018x x 2  9  f  x    4 4 Khi đó I   f  x  dx   0  197764 . 33 4 2018 f 4  x  x x2  9 . 7 7 4 4 2018 f  4  x  dx  x x 2  9dx 1 .   70 7 0 4 Xét: D. 4 f  4  x  dx , đặt t  4  x ,  dt  dx nên 0  0 4 f  4  x  d x    f  t  dt   f  t  dx  I 0 4 0 4 Xét: x x 2  9dx , đặt u  x 2  9  u 2  x 2  9  udu  xdx . 0 4 5 5 u3 98  . Nên  x x  9dx   u du  3 3 3 0 3 2 2 Câu 115. (THPT Ba Đình 2019) Hàm số f  x  có đạo hàm đến cấp hai trên  thỏa mãn: 2 f 2 1  x    x 2  3 f  x  1 . Biết rằng f  x   0, x   , tính I    2 x  1 f ”  x  dx . 0 A. 8 . B. 0 . C. 4 . Lời giải D. 4 . Trang 64 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  f 2 1  x    x 2  3 , f  x  1  f 4 1  x    x 2  32 . f 2  x  1 1  Ta có:  2 2  f 1  x    x  3 . f 1  x   2  2 Từ 1 và  2   f 1  x   x 2  3  1  x  1  3 2  f  x    x  1  3  f   x   2 2 2  I    4 x  2  dx   2 x  2 x   4 . 2 0 0 Câu 116. Cho hàm số y  f ( x ) có đạo hàm liên tục trên  thỏa mãn x. f ( x). f ‘( x)  f 2 ( x)  x, x   và 2 có f (2)  1 . Tích phân f 2 ( x) dx 0 A. 3 2 B. 4 3 C. 2 D. 4 Lời giải Chọn C Ta có: x. f ( x). f ‘( x)  f 2 ( x)  x  2 x. f ( x). f ‘( x)  2 f 2 ( x)  2 x 2 2 2  2 x. f ( x). f ‘( x)  f 2 ( x)  3 f 2 ( x)  2 x    x. f 2 ( x)  ‘ dx  3 f 2 ( x)dx   2 xdx 0 0 0 2   x. f 2 ( x)   3I  4  2  3I  4  I  2 0 Câu 117. (THPT Đông Sơn Thanh Hóa 2019) Cho hàm số f  x  nhận giá trị không âm và có đạo hàm 2 liên tục trên  thỏa mãn f   x    2 x  1  f  x   , x   và f  0   1 . Giá trị của tích phân 1  f  x dx bằng 0 A.  1 . 6 C.  B.  ln 2 .  3 9 . D.  2 3 . 9 Lời giải 2 f   x    2 x  1  f  x   , x     f  x  f  x   2    2 x  1 , x    1        2 x  1 , x   f x     Vậy 1 1     2 x  1dx   x 2  x  C  f  x   2 . f  x x  x  C Do f  0   1  C  1 . Vậy f  x    1 . x  x 1 2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 65 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 1 1 I   f  x dx    0 0 1 1 1 dx    dx . 2 2 x  x 1 1 3 0  x   2 4   3 1  tan 2 t   2 33  3 2 dt   dt   .  3 3  9 2 1  tan t   6 4  3 Đặt x  1 3      tan t , t   ;  . Suy ra I    2 2  2 2  6 Câu 118. Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  , f  0   0, f ‘  0   0 và thỏa mãn hệ   thức f  x  . f ‘  x   18 x 2  3x 2  x f ‘  x    6 x  1 f  x  ;   . 1 Biết   x  1 e f  x dx  ae2  b,  a, b    .Giá trị của a  b bằng 0 A. 1. B. 2. C. 0. D. 2 . 3 lời giải Chọn A   Ta có f  x  . f ‘  x   18 x 2  3x 2  x f ‘  x    6 x  1 f  x  f 2  x lấy nguyên hàm 2 vế ta được: 2    6 x3  3 x 2  x f  x   f  x   6 x2  f  x   2 3x  x f  x   12 x  0    f  x   2 x 2   2 3 1 2 TH1: f  x   6 x không thoả mãn kết quả   x  1 e f  x dx  ae2  b,  a, b    0 1 1 TH2: f  x   2 x    x  1 e 0 f  x 3 1 3 1 dx    x  1 e2 x dx  e2  . Suy ra a  ; b   4 4 4 4 0 Vậy a  b  1 Câu 119. (Chuyên Trần Phú Hải Phòng 2019) Cho hàm số f  x  thỏa mãn f  x   0 và 2 2  f  x   1 1 x   0;1 . Biết f    , khẳng định nào sau đây đúng? f  x  f  x    x 2 2 2 e .x. x  x 1 1 A. f    5 4 1 1 1  f   6 5 5 B. 1 1 1  f   5 5 4 Lời giải C. 1 1 D. f    5 6 Vì f  x   0 và x   0;1 ta có: 2 2  f  x   ex f  x   ex f ‘  x  2 f  x  f  x      2 x 2 e .x. x  x x x  x2  f  x   1 1 2 5 5  ex  ‘ 2 2 ex 2 e e e     d x     2 e    2 2 f  x 1 1 1 1 1 x xx  f  x  x x  x f  f  f  5 5  2 5 5 Trang 66 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 1 2 1 2 2 x dx   x  x2 1 5 1 5 1 2 2 2 1 1 dx=  d 4  1  4 x 1 1 1 x 1 2 x . 1 1 5 5 x x e 1 2  4  f    1 5 f  5 5 2 e 1 2  e 2 5 e   5, 97 Câu 120. Cho hàm số f  x  liên tục và nhận giá trị không âm trên đoạn  0;1 . Giá trị nhỏ nhất của biểu 1 1 thức M    2 f  x   3 x  f  x dx    4 f  x   x  xf  x dx bằng 0 A.  0 1 24 B.  1 8 C.  1 12 D.  1 6 Lời giải Chọn A 1 Ta có M    2 f 2  x   3 xf  x   4 f  x  xf  x   x xf  x  dx   0 1     0   x Đặt a  x  f  x  f  x    f  x , b   f  x  x 2   f  x  dx f  x  thì 2 2 1  1  a  b  .  a  b  dx  1  x 2 dx   1 . M     ab  a 2  b 2  dx      0 8 4 2 24  0 0   Câu 121. (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương -2019) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  , f  0   0, f   0   0 và thỏa mãn hệ thức f  x  . f   x   18 x 2   3 x 2  x  f   x    6 x  1 f  x  , x   . 1 Biết   x  1 e f  x  dx  a.e2  b , với a; b   . Giá trị của a  b bằng. 0 A. 1. C. 0 . B. 2 . D. 2 . 3 Lời giải Ta có f  x  . f   x   18 x   3 x  x  f   x    6 x  1 f  x  2 2    f  x  . f   x   18 x 2 dx    3 x 2  x  f   x    6 x  1 f  x  dx 1      f 2  x   6 x 3  dx    3 x 2  x  f  x   dx 2  1  f 2  x   6 x3   3 x 2  x  f  x   C , với C là hằng số. 2 Mặt khác: theo giả thiết f  0   0 nên C  0 . Khi đó 1 2 f  x   6 x 3   3x 2  x  f  x 1 , x   . 2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 67 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 1   f  x  2x . f 2  x   12 x 3   6 x 2  2 x  f  x    f  x   2 x   f  x   6 x 2   0   2  f  x   6 x Trường hợp 1: Với f  x   6 x 2 , x   , ta có f   0   0 (loại). Trường hợp 2: Với f  x   2 x, x   , ta có : 1 1 1 2x   x  1 e2 x  e 3 2 1 dx    x  1 e dx      dx  e  2 4 4 0  0 0 2 1   x  1 e 0 f  x 2x 3  a  4   a  b  1. 1 b    4  1 1 Câu 122. (Bắc Ninh 2019) Cho hàm số f  x  liên tục và có đạo hàm trên   ;  thỏa mãn  2 2 1 2 1 2 109 2 1  f  x   2 f  x  .  3  x   dx   12 . Tính  0 2 A. ln 7 . 9 B. ln 2 . 9 5 C. ln . 9 Lời giải 1 2 109 2 1  f  x   2 f  x  .  3  x   dx   12 .   f  x dx . 2 1 x 2 1 2  1 2 2   f  x    3  x   dx    3  x   1 2  1 2 2 1 2 8 D. ln . 9 2   f  x    3  x     3  x   dx   1 2 2  dx   109  12 109 . 12 1  x  109 2 Mà   3  x  dx    9  6 x  x 2  dx   9 x  3x 2   2  3  1 12 1 1     2 2 2 1 2 1 2 1 2 Suy ra   f  x  3  x  3 2 dx  0 . 1  2 2  1 1  1 1 Vì  f  x    3  x    0, x    ;  nên f  x   3  x , x    ;  .  2 2  2 2 1 2 Vậy 1 2 1 2 1 2  1  f  x 3 x 1 x  2 2 d x   2 dx   2 dx    +  dx 2  1 x 1 x 1 x  1  x  1 x  1  0 0 0 x 0 1  x 1  2    ln x  1  ln 2  ln .  x 1  9  0 Trang 68 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021   Câu 123. (Chuyên Hùng Vương – Phú Thọ – 2018) Cho hàm số f  x  xá định trên 0;  thỏa mãn  2   2 2  2   2   0  f  x   2 2 f  x  sin  x  4  d x  2 . Tích phân A.  4 .  f  x  d x bằng 0 C. 1 . B. 0 . D.  2 . Lời giải Ta có:   2  2 2     2 2sin x  d x  1  cos 2 x  d x      0 0  0 1  sin 2 x  d x 4 2       1   2  2 .   x  cos 2 x   2 2  0 Do đó:   2 2 2    2  2      f x  2 2 f x sin x  d x  2sin 2  x   d x   0       0   4  4 2 2   0  2          f 2  x   2 2 f  x  sin  x    2sin 2  x    d x  0 4 4    0   2 2        f  x   2 sin  x    d x  0 4   0      Suy ra f  x   2 sin  x    0 , hay f  x   2 sin  x   . 4 4   Bởi vậy:   2 2  f  x d x   0 0   2   2 sin  x   d x   2 cos  x    0 . 4 4 0   Câu 124. (THPT Hậu Lộc 2 – TH – 2018) Cho số thực a  0 . Giả sử hàm số f ( x) liên tục và luôn dương a 1 dx ? 1 f  x 0 trên đoạn  0; a  thỏa mãn f ( x). f (a  x)  1 . Tính tích phân I   A. I  2a . 3 B. I  a . 2 C. I  a . 3 D. I  a . Lời giải Đặt t  a  x  dt  dx . a a a 1 1 1 dx   dt   dx . Thay vào ta được I   1 f  x 1 f a  t  1 f a  x 0 0 0   f a  x  f  x Suy ra 0    dx , do hàm số f ( x) liên tục và luôn dương trên đoạn  1  f  x   1  f  a  x    0  a  0; a  . Suy ra f  a  x   f  x  , trên đoạn  0; a  . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 69 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 a 1 a Mà f ( x). f (a  x)  1  f  x   1 . Vậy I   dx  . 2 2 0 Câu 125. (Chuyên Phan Bội Châu – Nghệ An – 2018) Xét hàm số f  x  liên tục trên đoạn  0;1 và thỏa 1 mãn 2 f  x   3 f 1  x   1  x . Tích phân  f  x  dx bằng 0 A. 2 . 3 B. 1 . 6 2 . 15 Lời giải C. D. 3 . 5 Ta có: 2 f  x   3 f 1  x   1  x 1 Đặt t  1  x  x  1  t , phương trình 1 trở thành 2 f 1  t   3 f  t   t Thay t bởi x ta được phương trình 3 f  x   2 f 1  x   x  2 2 f  x   3 f 1  x   1  x 1 Từ 1 và  2  ta có hệ phương trình   f  x  3 x  2 1 x 5 3 f  x   2 f 1  x   x  1 1 1  1 1 3 2   f  x  dx   3 x  2 1  x dx   x dx   1  xdx 50 50 50 0   1 *Xét I   xdx 0 Đặt u  x  u 2  x  dx  2udu Đổi cận: x  0  u  0 ; x  1  u  1 1 1 2u 3 2  I  2  u du   3 0 3 0 2 1 *Xét J   1  xdx 0 Đặt v  1  x  v 2  1  x  dx  2vdv Đổi cận: x  0  v  1 ; x  1  v  0 0 1 1 2v3 2  J  2 v dv  2 v dv   3 0 3 1 0 2 2 1 3 2 2 2 2   f  x  dx  .  .  . 5 3 5 3 15 0 Câu 126. (Hà Tĩnh – 2018) Cho hàm số f  x  đồng biến, có đạo hàm đến cấp hai trên đoạn  0; 2 và thỏa 2 2 mãn  f  x    f  x  . f   x    f   x    0 . Biết f  0   1 , f  2   e6 . Khi đó f 1 bằng 3 A. e2 . B. e 2 . 5 C. e3 . D. e 2 . Lời giải Theo bài ra ta có hàm số f  x  đồng biến trên  0; 2  f  x   f  0   1  0 do đó f  x   0 x   0; 2 . Trang 70 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 2  f   x   f   x  . f  x    f   x   Ta có    2  f  x    f  x  2 2 Theo đề bài  f  x    f  x  . f   x    f   x    0  f   x   2 2  f   x  . f  x    f   x     f  x      1  f  x   2 2 2 f  x f  x  x2  1  xC   dx    x  C  dx   d  f  x      Cx  f  x f  x f  x  2  0 0 0 2  2  2C  ln e6  ln 1  2  2C  C  2   ln f  x  0 1  x2     2x   2  Do đó ln f  x  0 1 0 2 0 f  x  x2. f  x 5 5  ln f 1   f 1  e 2 . 2 Câu 127. (THPT Hàm Rồng – Thanh Hóa – 2018) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên  0;3 ; f  3  x  . f  x   1, f  x   1 x. f   x  3  1  f  3  x  0 2 2  . f  x  B. 2 mọi x   0;3 và f  0  1 . 2 Tính tích phân: dx . A. 1 . 1  f  3  x   với 5 . 2 1 . 2 Lời giải C. D. 3 . 2 . f 2  x   f 2  x   2. f  3  x  . f 2  x   f 2  3  x  . f 2  x  2  f 2  x   2. f  x   1   f  x   1 . x. f   x  3 I 0 1  f  x   2 dx u  x du  dx   f  x  1 Đặt  dv  d x v 2   1 f  x 1  f  x    3 3 x dx 3 I    I1 1  f  x  0 0 1  f  x  1  f  3 1  f  3  2 2 Đặt t  3  x  dt   dx Đổi cận x  0  t  3 x 3t 0 f 0  3 3 dt  1  f 3  t   0 0 I1   3 f  x  .dx dx  1 1  f  x 0 1 f  x Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 71 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 3 2 I1   0 1  f  x 1  f  x Vậy I  1  dx  3  I1  3 2 3 1  . 2 2 Câu 128. (Sở Bình Phước – 2018) Cho số thực a  0 . Giả sử hàm số f  x  liên tục và luôn dương trên a 1 dx ? 1 f  x 0 đoạn  0;a  thỏa mãn f  x  . f  a  x   1 . Tính tích phân I   A. I  a . 3 B. I  a . 2 D. I  C. I  a . 2a . 3 Lời giải – Đặt t  a  x  dx  dt ; đổi cận: x  0  t  a , x  a  t  0 . f  x 1 1 1 1 dx   dx   dt   dx   dx 1 1  f ( x) 1 f a  t  1  f (a  x ) 1  f ( x) 0 0 0 0 0 1 f  x a a a a a I  a a a f  x 1 f  x 1 a  2I   dx   dx   dx   dx  x 0  a 1  f ( x) 1  f ( x) 1  f ( x) 0 0 0 0 a Vậy I  a . 2 Câu 129. (THCS&THPT Nguyễn Khuyến – Bình Dương – 2018) Cho hàm số y  f  x  là hàm số lẻ trên  1  f  x  và đồng thời thỏa mãn hai điều kiện f  x  1  f  x   1 , x   và f    2 , x  0 . x x 1 f  x Gọi I   2 .dx . Hãy chọn khẳng định đúng về giá trị của I . f  x 1 0 A. I   1;0  . B. I  1; 2  . C. I   0;1 . D. I   2; 1 . Lời giải – Đặt y  f  x  . Khi đó từ giả thiết ta có : y 1 y 1  1   1  f  x  1  y  1 , f  , f  .   2 2  x  1   x  1  x 1   x  1 y 1 x2  2 x  y  x   1   1     1   f   1  f   1 Suy ra f  1      2 2  x 1  x 1   x 1   x  1  x  1 y x2  y  x 1  1 1 Và f  ,   f 1    1  f    1  2  x2 x  x   x x x2  y   f  x 1    1  x2  y  x   x  x2 f    f  x 1   2 2 2  x 1  x  1  x 1     x 1    x   x   x  – Từ 1 và  2  suy ra : x2  2 x  y  x  1 2  x2  y  x  1 2  2 .  x 2  2 x  y  x 2  y  y  x hay f  x   x . Trang 72 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 2 1 f  x 1 d  x  1 1 1 x 2 .dx   2 .dx   2  ln  x  1  ln 2  0,35 . 2 2 0 x 1 2 f  x 1 x 1 2 0 0 1 1 Do đó: I   0 1 Vậy I   0;1 . Câu 130. (ĐHQG Hà Nội – 2020) Cho hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn 1  1 f ( x)dx  2 và 0 3 . Hỏi giá trị nhỏ nhất của 2  xf ( x)dx  0 A. 27 . 4 B. 34 . 5 0;1 thỏa mãn điều kiện 1 f 2 ( x) dx bằng bao nhiêu? 0 C. 7. D. 8. Lời giải Chọn C 2 1   f ( x)  (ax  b) dx  0  f ( x)  ax  b Ta tìm hàm ax  b thỏa mãn 0 1  a 2 1  a  x  bx   2   f ( x)dx  2 b  2 2    0  2 0  1    a  6; b  1.  1 3  xf ( x)dx  3  a 3 b 2  a  b  3   x  2 x   2  3 2 2 2 0 0  3 2 1    f ( x)  (6 x  1) dx  0 0 1 1 1 1 1 1   f 2 ( x)dx  2  f ( x)(6 x  1)dx   (6 x  1) 2 dx  12  xf ( x)dx  2  f ( x)dx   (6 x  1)2 dx  7 0 0 0 0 0 0 Câu 131. (Sở Phú Thọ – 2020) Cho hàm số f  x   0 và có đạo hàm liên tục trên  , thỏa mãn f  x 2  ln 2  và f  0     . Giá trị f  3  bằng x2  2  2 1 1 2 2 A.  4ln 2  ln 5 . B. 4  4ln 2  ln 5 . C.  4ln 2  ln 5  . 2 4 Lời giải Chọn C  x  1 f   x   Ta có  x  1 f   x   f  x  x2 f  x f  x  1  x  1 x  2  2 D. 2  4ln 2  ln 5 . . Khi đó 3  0 f  x f  x 3 dx   0 3 dx    x  1 x  2   2 f  x   ln 0 3 1 0 d  f  x f  x 3  0 1  x  1 x  2  dx 3 x 1 4 1  2 f  3  2 f  0   ln  ln x2 0 5 2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 73 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 8 1  2 f  3   ln  2 f  0   f  3    ln 8  ln 5   f  0  5 2 1 ln 2 1  f  3   3ln 2  ln 5    f  3    4 ln 2  ln 5  . 2 2 2 Vậy f  3  1 2  4 ln 2  ln 5  . 4 Câu 132. (Sở Phú Thọ – 2020) Cho hàm số f  x  liên tục trên khoảng f  x 2  1  f  x   2x  1 ln  x  1 . Biết 2x 4x x a  b  2c bằng 29 A. . 2  0;   và thỏa mãn 17  f  x  dx  a ln 5  2 ln b  c với a, b, c   . Giá trị của 1 B. 5 . C. 7 . D. 37 . Lời giải Chọn C Ta có f  x 2  1   x   2 x  1 ln  x  1  xf  x  1  f  x   2 x  1 ln  x  1 . 2x 2 4x x 4 x f    4 f x   xf  x 2  1  dx  2 x  1 ln  x  1 dx . 1  1 2 4 x    4 Suy ra 2    4 f x  d  x 2  1 4 2 2   dx   f  x  1  f Ta có  xf  x  1   2 4 x  1 1 1   4 17  2  x d  x 2 17 1 1 1 2 2 f  x dx  1 2 f  x dx  2 1 f  x dx . 4 4 4 4  2x 1 1 1 2 1 2 2 1 2 ln  x  1 dx  2 1 ln  x  1 d  x  x   2  x  x  ln  x  1 1  1  x  x  x  1 dx  1 x2   20ln 5  2 ln 2  2 2  4  1 15     20ln 5  2 ln 2   . 2 2 1  17 Do đó 15  f  x dx  20 ln 5  2 ln 2  2  a  20, b  2, c   1 15 . 2 Vậy a  b  2c  7 . Câu 133. (THPT Nguyễn Viết Xuân – 2020) Cho hàm số f  x  liên tục trên đoạn  0;1 thỏa mãn 1 6 x 2 f  x3   4 f 1  x   3 1  x 2 . Tính  f  x  dx . 0 A.  8 . B.  20 . C.  16 Lời giải . D.  4 . Chọn A Từ giả thiết 6 x 2 f  x3   4 f 1  x   3 1  x 2 , lấy tích phân từ 0 đến 1 của 2 vế ta được Trang 74 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 1 1 1  6 x f  x  dx   4 f 1  x  dx   3 2 3 0 0 1 1 1  x 2 dx 0 1 Đặt I1   6 x 2 f  x 3  dx , I 2   4 f 1  x  dx , I   3 1  x 2 dx . 0 0 0 1 1 +) Đặt t  x 3 ta được I1  2  f  t  dt  2  f  x  dx 0 0 1 1 +) Đặt v  1  x ta được I 2  4  f  v  dv  4  f  x  dx . 0 0 1 Từ đó ta được I  6 f  x  dx 0 +) Đặt u  sin x ta được I  3 , suy ra 4 1   f  x  dx  8 . 0 Câu 134. (Yên Lạc 2 – Vĩnh Phúc – 2020) Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  . Biết 2 f  4x  f  x  4×3  2x và f  0   2 . Tính I   f  x  dx . 0 A. 147 . 63 B. 149 . 63 C. 148 . 63 D. 352 . 63 Lời giải Chọn D 3 3 Ta có: f  4x  f  x  4x  2x  f  4x  f  x  4x  2x 1 . Suy ra: f  x  và f  4x  là hàm số bậc ba. 3 2 3 2 Khi đó: f  x  ax  bx  cx  d  a  0 và f  4x  64ax 16bx  4cx  d . 3 2 Ta có: f  4x  f  x  63ax 15bx  3cx  2  . 4  a  63  Từ 1 và  2  ta suy ra: b  0 . Mặt khác: vì f  0   2 nên d  2 .  2 c  3  Do đó, f  x   4 3 2 x  x2. 63 3 2 2 4 2 352 Vậy I   f  x  dx    x 3  x  2  dx  . 63 3 63  0 0 * Chứng minh f  x là duy nhất. Ta có: f  x   3 4 3 2 256 3 8 x  x  2 và f  4 x   x  x  2 ; f  4x   f  x   4x  2x . 63 3 63 3 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 75 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Suy ra: f  4 x   4 2 4 2 3  4 x   4 x   f  x   x3  x . 63 3 63 3 Đặt g  4 x   f  4 x   4 2 4 2 3  4 x    4 x  và g  x   f  x   x 3  x . 63 3 63 3 Ta có: g  4x   g  x  ; g  0  f  0  2 .  x  4  x  x  …  g  n  , n  * 2  4  4  Suy ra: g  x   g    g  n  suy ra g  x  g  0  2 . Khi Vậy f  x   4 3 2 x  x  2,  x . 63 3 Câu 135. (Kìm Thành – Hải Dương – 2020) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên 1;2 thỏa mãn 2   x  1 2 1 1 f  x  dx   , f  2   0 và 3 7 A. I  . 5 2 2 2   f   x  dx  7 . Tính tích phân I   f  x  dx . 1 7 B. I   . 5 1 7 C. I   . 20 Lời giải D. I  7 . 20 Chọn B 2 2 2 2  1 1 1 2 3 3 3     x  1 f  x  dx   f  x  d  x  1   x  1 f  x     x  1 f   x  dx  1 3 1 31 3 1  2 2  1 3 3  x  1 f   x  dx    x  1 f   x  dx  1 1  31 1 2 Ta có 2 2 2 1 1 2 2 3 3 6   f   x   7  x  1  dx    f   x  dx  14 f   x  x  1 dx  49  x  1 dx  0 1 3 3  f   x   7  x  1  f  x   7   x  1 dx  7  x  1 4 1 4 C . 4 7  x  1 7 7 Mà f  2   0 nên C   . Suy ra f  x    . 4 4 4  7  x  14 7  7   dx   . Vậy I   f  x  dx    4 4 5 1 1    2 2 Câu 136. (Lương Thế Vinh – Hà Nội – 2020) Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  và thảo mãn 1 1 sin x f  cos x   cos x f  sin x   sin 2 x  sin 3 2 x với x   . Tính tích phân I   f  x  dx bằng 3 0 A. 1 . 6 B. 1 . 7 . 18 Lời giải C. D. 1 . 3 Chọn C 1 sin x f  cos x   cos x f  sin x   sin 2 x  sin 3 2 x 3 Trang 76 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021    2 2 2 1     sin x f  cos x  dx   cos x f  sin x  dx    sin 2 x  sin 3 2 x  dx 3  0 0 0   2 2     f  cos x  d  cos x    f  sin x  d  sin x    0 0 1 2  1  cos 2 2 x  1   d  cos 2 x  . 2 0  3   0   1 1 12 cos3 2 x  2 f  t  dt   f  u  du    cos 2 x   23 9 0 0 1 1 1  2 1   2 1     f  t  dt   f  u  du            2  3 9   3 9   0 0 1 1  2 f  x  dx  0 7 7   f  x  dx  9 18 0 Câu 137. (Chuyên Lam Sơn 2019) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  0;   . Biết f  0   2e và  f  x  thỏa mãn hệ thức f   x   sin x. f  x   cos x.ecos x , x   0;   . Tính I   f  x  dx (làm tròn 0 đến hàng phần trăm). A. I  6,55 . B. I  17,30 . C. I  10,31 . D. I  16,91. Lời giải Chọn C Giả thiết f   x   sin x. f  x   cos x.ecos x  e cos x . f   x   e cos x .sin x. f  x   cos x   e  cos x . f  x    cos x  e cos x . f  x   sin x  C1 (1). Do f  0   2e , thế vào (1) ta được C1  2 suy ra f  x    2  sin x  ecos x .   cos x Dùng máy tính thì I   f  x  dx    2  sin x  .e dx  10,30532891 . 0 0 Câu 138. (Chuyên Thái Bình – 2019) Cho hàm số f  x  liên tục và nhận giá trị dương trên  0;1 . Biết 1 dx 1 f  x 0 f  x  . f 1  x   1 với x   0;1 . Tính giá trí I   A. 3 . 2 B. 1 . 2 C. 1. D. 2 . Lời giải f  x 1 Ta có: f  x  . f 1  x   f  x   1  f  x    f 1  x   1 1  f  x  1 dx 1 f  x 0 Xét I   Đặt t  1  x  x  1  t  dx   dt . Đổi cận: x  0  t  1 ; x  1  t  0 . 0 1 1 1 f  x  dx dt dt dx Khi đó I       1  f 1  t  0 1  f 1  t  0 1  f 1  x  0 1  f  x  1 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 77 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 1 1 f  x  dx 1 1  f  x  1 dx   d x  0 1  f  x  0 1  f  x  0 1  f (t ) 0 dx  1 hay 2I  1. Vậy I  2 . 1 Mặt khác Câu 139. (THPT Cẩm Bình 2019) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên khoảng  0;   thỏa mãn 5   x3 f  x   x.ln  và . Tính tích phân I  f 1  0   1 f  x  dx .  x. f   x   f  x   A. 12 ln13  13 . B. 13ln13  12 . C. 12 ln13  13 . D. 13ln13  12 . Lời giải Chọn B   f  x x3 x3 Từ giả thiết và f  x   x.ln   ln   x x. f   x   f  x   x. f   x   f  x   f  x e x   f  x   f xx  x. f   x   f  x  f xx  x3   x (1)  .e  x   .e x. f   x   f  x  x2  x  Lấy nguyên hàm hai vế của (1) suy ra e Do f 1  0  C  5 I   f  x  dx   x.ln 1 x2 C . 2  f  x 1 x2  1 x2  1 , nên e x  với x   0;   .  f  x   x ln 2 2 2 5 1 f  x x x2  1 dx (2). 2 2 x 1 2x x2  1 .  du  2 dx ; dv  xdx , chọn v  2 x 1 2 Theo công thức tích phân từng phần, ta được: Đặt u  ln 5 5 5  x2  1 x2  1  x2  13ln13  12 . I  .ln  x d x  13ln13   2  1 1 2 1  2 Câu 140. Cho hàm số  0;1 f  x  không âm, có đạo hàm trên đoạn và thỏa mãn 1  2 f  x   1  x 2  f   x   2 x 1  f  x   , x   0;1 . Tích phân  f  x  dx bằng 0 A. 1. B. 2. 1 . 3 Lời giải C. D. 3 . 2 Chọn C Xét trên đoạn  0;1 , theo đề bài:  2 f  x   1  x 2  f   x   2 x 1  f  x    2 f  x  . f   x   2 x   x 2  1 . f   x   2 x. f  x     f 2  x     x 2   x 2  1 . f  x    f 2  x   x 2   x 2  1 . f  x   C 1 . Thay x  1 vào 1 ta được: f 2 1  1  C  C  0 (vì f 1  1 ). Do đó, 1 trở thành: f 2  x   x 2   x 2  1 . f  x  Trang 78 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ f 1  1 , TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  f 2  x   1  x 2  1   x 2  1 . f  x    f  x   1 .  f  x   1   x 2  1 .  f  x   1  f  x   1  x 2  1 (vì f  x   0  f  x   1  0 x   0;1 )  f  x   x2 . 1 Vậy  0 1 1 x3 1 f  x  dx   x dx   . 3 0 3 0 2 Câu 141. (Kinh Môn – Hải Dương 2019) Cho hàm số f  x  liên tục trên  1;0 thỏa mãn điều kiện f 1  2 ln 2 và x.  x  1 . f   x   f  x   x 2  x 1 . Biết f  2   a  b.ln 3   a, b    . Giá trị  của 2 a 2  b 2 là: A. 27 . 4 3 . 4 Lời giải B. 9 . C. D. 9 . 2 Chọn B 2 Xét trên đoạn 1; 2 , chia cả hai vế của phương trình 1 cho  x  1 , ta được: x 1 x x x  x   x   f  x   f x    f x    f x dx   dx       2      x 1 x 1 x 1  x 1  x 1  x 1   x  1  x 1  x   f  x   C1   1   f  x   x  ln x  1  C  2  .  dx  x 1 x  1 x 1   Theo giả thiết, f 1  2 ln 2 nên thay x  1 vào phương trình  2  , ta được: 1 f 1  1  ln 2  C   ln 2  1  ln 2  C  C  1 . 2 Thay x  2 vào  2  , ta được: 2 3 3 3 3 2 2 f  2   2  ln 3  1  f  2    ln 3  a  , b   . Vậy 2 a  b  9 . 3 2 2 2 2   Câu 142. (Sở Cần Thơ – 2019) Cho hàm số y  f ( x ) xác định và có đạo hàm f   x  liên tục trên [1;3] ; f  x   0, x  1;3 ; 2 2 f   x  1  f  x     x  1  f  x   4 và f 1  1 . Biết rằng 3  f  x  dx  a ln 3  b  a, b    , giá trị của a  b 2 bằng e A. 4. B. 0. C. 2. Lời giải D. -1. Chọn B Từ f ‘( x)[1  f ( x)]2  ( x  1) 2 [ f ( x)]4  f ‘( x) 2 f ‘( x) f ‘( x)  3  2  ( x  1) 2 . 4 f ( x) f ( x) f ( x) Hay  f ‘( x) 2 f ‘( x) f ‘( x)   1 1 1  1 2 3   f 4 ( x)  f 3 ( x)  f 2 ( x)  dx   ( x  1) dx    3 f 3 ( x)  f 2 ( x)  f ( x)   3 ( x  1)  C (2). Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 79 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 3  1  1 1 Do f (1)  1 nên C  . Thay vào (2) ta được   1  ( x  1)3  f ( x)  . 3 x  f ( x)  3 Khi đó:  e 3 1 dx   ln x e   ln 3  1  a  1, b  1 , nên a  b 2  0 . x Cách khác 2  1  f ‘( x ) Từ f ‘( x)[1  f ( x)]  ( x  1) [ f ( x)]    1 . 2  ( x  1) 2 . f ( x ) f ( x )   2 2 2 4 /  1   1     1 .   1  ( x  1) 2 .  f ( x)   f ( x )  2 / 2  1   1   1   1  Nên     1 .   1 d x   ( x  1) 2 d x      1 d   1   ( x  1) 2 d x .  f ( x)   f ( x)   f ( x)   f ( x)  3  1 1 1 3  1   x  1  C (2). Suy ra   3  f ( x)  3 3  1  1 Do f (1)  1 nên C  0 . Thay vào (2) ta được   1  ( x  1)3  f ( x)  . x  f ( x)  Câu 143. (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2019) Cho hàm số f  x  nhận giá trị dương và thỏa mãn 3 2 f  0   1 ,  f   x    e x  f  x   , x   . Tính f  3 B. f  3  e2 . A. f  3  1 . C. f  3  e3 . D. f  3  e . Lời giải Chọn C 3 2 f  x 2 Ta có:  f   x    e x  f  x   , x    f   x   3 e x . 3  f  x    3 3  0 3 3 f  x  f  x  3 3 3 2 x dx   e dx   0 3 0 f  3  3 f  0   e  1  3 3 1  f  x  2 x 3  f  x  3 2 df  x    e dx  3 3 f  x   3e 0 0  3 ex x 3 3 0 f  3   1  e  1  f  3   e3 . Câu 144. Hàm số f  x  có đạo hàm cấp hai trên  thỏa mãn: f 2 1  x    x 2  3  . f  x  1 x   . Biết 2 f  x   0, x  , tính I    2 x  1 f ”  x  .dx . 0 A. 4 . B. 0 . C. 8 . Lời giải D. 4 . Chọn A Đặt: u  2 x  1  du  2dx , Trang 80 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 dv  f ”  x  dx  v  f ‘  x  . 2 2 2 I    2 x  1 f ”  x  .dx   2 x  1 f ‘  x  0   2 f ‘  x  dx 0 0 2  3 f ‘  2   f ‘  0   2 f  x  0  3 f ‘  2   f ‘  0   2 f  2   2 f  0  (*). Ta có: f 2 1  x    x 2  3  . f  x  1 x   Ta lấy: * x  1  f 2  0   4. f  2  . * x  1  f 2  2   4. f  0   f 4  2   64. f  2  . Mà theo đề f  x   0 , x    f  2   4 . Vậy, ta có: f  2   f  0   4 (1). Ta có: 2 f ‘ 1  x  f 1  x   2 x. f  x  1   x 2  3 . f ‘  x  1 . Ta lấy: x  1  2 f ‘  0  f  0   2 f  2   4 f ‘  2   f ‘  2   2 f ‘  0   2 . x  1  2 f ‘  2  f  2   2 f  0   4 f ‘  0   2 f ‘  2   f ‘  0   2 . Vậy, ta có: f ‘  0   2 , f ‘  2   2 (2). 2 Thế (1) và (2) vào (*), suy ra I    2 x  1 f ”  x  .dx  3 f ‘  2   f ‘  0   2 f  2   2 f  0  0  3.2  2  2.4  2.4  4 . Câu 145. (Sở Nam Định – 2019) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên  0;1 , thỏa mãn  f   x  2 1  4 f  x   8 x 2  4, x   0;1 và f 1  2 . Tính  f  x  dx . 0 A. 1 . 3 4 . 3 Lời giải B. 2 . C. D. 21 . 4 Chọn C 1 2 1 2 1 Có  f   x    4 f  x   8 x 2  4    f   x   dx  4  f  x  dx    8 x 2  4  dx  0 1 Ta có 1 0 0 1 0 1 1 1  xf   x  dx  xf  x  0   f  x  dx  2   f  x  dx  4  xf   x  dx  8  4 f  x  dx . (2) 0 1  2x 0 20 . (1) 3 2 dx  0 0 0 4 . (3) 3 1 Cộng vế với vế của (1), (2), (3) ta được   f  x  2x 2 dx  0  f   x   2 x  f  x   x 2  C . 0 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 81 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Có f 1  C  1  2  C  1  f  x   x 2  1. 1 Do đó 1  f  x  dx    x 0  1 dx  0 4 . 3 f  x  nhận giá trị dương thỏa mãn Câu 146. Cho hàm số 3 2 f  x  2 f  x x  2 x 3 , x   0;    và 5 x 1  f  x  dx  20 . Giá trị của biểu thức f  2   f  3 2 bằng 2 A. 110 . B. 90 . C. 20 . D. 25 . Lời giải Chọn A Với x   0;    : Ta có f   x    f  x x2 2 f  x x  2 x3  x 2 f   x   2 xf  x  x4  f  x    2x   2   2 x  x   x 2  C  f  x   x 2  x2  C  . 2  f 2  x   x4  x2  C  . 3 Khi đó  2  x5 1  dx  2 f x 20 1 2 x C 3  2 2 3 3 d  x2  C  1 1 1 dx  C 1 2 x 2  C 2 dx  20  2 2 x2  C 2  20  2 x2  C 2  10       3 x 1 1 1 C  1 1     C 2  13C  14  0   . 4  C 9  C 10 10 C  14 + Với C  14  f  x   x2  x 2  14  . Chọn x  1   0;    ta được f 1  13  0 (vô lý vì f  x  là hàm số dương). + Với C  1  f  x   x 2  x2  1 là hàm số dương. Khi đó f  2   f  3  110 . Câu 147. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên x   0;1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của A. 1 . 2018.2020 B. 0;1 thỏa mãn 3 f  x   xf   x   x 2018 , 1  f  x  dx . 0 1 . 2019.2020 1 . 2020.2021 Lời giải C. D. 1 . 2019.2021 Chọn D Ta có: 3 f  x   xf   x   x 2018 , x   0;1  3x 2 f  x   x3 . f   x   x 2020 x   0;1   x 3 f  x    x 2020 , x   0;1  x 3 f  x    x 2020 dx , x   0;1  x 3 f  x   Cho x  0  C  0  x3 f  x   x 2021  C , x   0;1 . 2021 x 2021 x 2018 , x   0;1  f  x   , x   0;1 . 2021 2021 Trang 82 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 2018 1 2019  x  x 1 . dx     0 2021  2019.2021  0 2019.2021 1   f  x  dx   0 1 Câu 148. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  0;  1 thỏa mãn điều kiện f 1  2ln 2 và x  x  1 . f   x   f  x   x 2  3x  2 . Giá trị f  2   a  b ln 3 , với a , b   . Tính a 2  b 2 . A. 5 . 2 B. 13 . 4 25 . 4 Lời giải C. D. 9 . 2 Chọn D Do hàm số y  f  x  liên tục trên  0;  1 nên x  x  1 f   x   f  x   x 2  3x  2  x 1 x2 f  x  f  x  2 x 1 x 1  x  1  x  x  2  f  x   x 1  x 1  2 2 x2  x    f  x   dx   dx x 1 x 1  1 1 2 3  x   f  x    1  ln 2  x 1 1 2 1 3  f  2   f 1  1  ln 3 2 2 2 3 3 3  f  2   ln 2  1  ln  f  2    ln 3. 3 2 2 2 ab 3 9  a 2  b2  . 2 2 Câu 149. (Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định- 2019) Cho hàm số y  f ( x) liên tục trên  thỏa mãn: 3 f ( x)  f (2  x)  2( x  1)e x A. I  e  2 . 2  2 x 1 2  4, x   . Tính giá trị của tích phân I   f ( x)dx . 0 D. I  8 . C. I  2 . B. I  2e  4 . Lời giải Chọn C Cách 1: 3 f ( x)  f(2  x)  2(x  1) e x 2 2 0 0 2  2 x 1  4, x   . 2 2  3 f ( x)dx   f (2  x)dx   (2 x  2)e x 2  2 x 1 dx  4 dx (1) . 0 0 2 0 2 2 0 2 0 0 Đặt t  2  x   f (2  x)d( x)    f (t )dt   f (t )dt   f ( x)dx (2) . 2 Đặt u  x 2  2 x  1  du  (2 x  2)dx   (2 x  2)e x 0 1 2  2 x 1 dx   eu du  0 (3) . 1 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 83 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 2 2 2 Thay (2) và (3) vào (1)  4 f ( x)dx  4 dx  I   f ( x)dx  2 . Chọn phương án C . 0 0 0 Cách 2: Do 3 f ( x)  f(2  x)  2(x  1) e x 2  2 x 1  4, x   (1) Thay x  2  x vào (1) ta có: 3 f (2  x)  f ( x)  2(x  1) e x 2  2 x 1  4, x   (2) 2 3 f ( x)  f(2  x)  2(x  1) e x  2 x 1  4, x   Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:  x 2  2 x 1  4, x    f ( x)  3 f (2  x)  2(x  1) e 2 9 f ( x)  3f(2  x)  6(x  1) e x  2 x 1  12 2   f ( x)  2(x  1) e x 2 x 1  1 2 x  2 x 1 4  f ( x)  3 f (2  x)  2(x  1) e 2 2    f ( x)dx   2(x  1) e x 0 2  2 x 1   1 dx  2 0 Câu 150. (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên  2;4 và f  2  A. f   x   0, x   2; 4 . Biết rằng 3 7 và 4 x3 f  x    f   x    x3 , x   2; 4 . Giá trị của f  4  bằng 4 20 5  1 . 4 B. 40 5  1 . 2 20 5  1 . 2 Lời giải C. D. 40 5  1 . 4 Chọn D Ta có f   x   0, x   2;4 nên hàm số y  f  x  đồng biến trên  2;4 . Suy ra f  x   f  2   7  0, x   2; 4 (1). 4 3 Mặt khác, từ giả thiết ta có x3  4 f  x   1   f   x   , x   2; 4 4 f  x Kết hợp với (1) ta suy ra: 4 x  , x   2; 4 . 3 4 f x 1   Lấy tích phân 2 vế cận từ 2 đến 4 ta được: 4 2 4 f  x 4 24   4 xdx   2 3   4 f  x   1 3 4 f  x 1 2 4 dx  2 33  4 f  x   1 2 2 2 2  7   16   4 f  4   1   4.  1  16  3  4 f  4   1  20  4  2 3 2 4 2   4 f  4   1  8000  f  4   3 40 5  1 . 4 Câu 151. Cho hàm số y  f ( x) liên tục trên đoạn  e ; e 2  . Biết x 2 f  ( x )  ln x  xf ( x )  ln 2 x  0, x  e; e 2  2 e 1 và f (e)  . Tính tích phân I   f ( x)dx . e e A. I  2 . B. I  3 . 2 C. I  3 . D. I  ln 2 . Lời giải Chọn B Trang 84 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Ta có: x 2 f  ( x )  ln x  xf ( x )  ln 2 x  0, x  e; e 2  1 f  ( x)  ln x  . f ( x) 1 1  f ( x )  x        2 2 2 ln x x x  ln x  Lấy nguyên hàm hai vế ta được: ln x suy ra f ( x )  I x 1 f ( x) 1   C theo đề bài ta có f (e)   C  0 e ln x x e2 e2 ln x 3 dx  . x 2  f ( x)dx  I   e e Dạng 2. Tích phân một số hàm đặc biệt Dạng 2.1 Tích phân của hàm số lẻ và hàm số chẵn Nhắc lại kiến thức về hàm số lẻ và hàm số chẵn: Hàm số y  f  x  có miền xác định trên tập đối xứng D và Nếu f   x   f  x  , x  D  y  f  x  : là hàm số chẵn. Nếu f   x    f  x  , x  D  y  f  x  : là hàm số lẻ. (thay thế chỗ nào có x bằng  x sẽ tính được f   x  và so sánh với f  x  ). Thường gặp cung góc đối nhau của cos   x   cos x, sin   x    sin x . a Nếu hàm số f  x  liên tục và lẻ trên  a; a  thì  f  x .dx  0 . a a a   f  x  dx  2 f  x  dx a 0 Nếu hàm số f  x  liên tục và chẵn trên   a; a  thì  a .  f x    dx   f  x  dx   bx 1 0 a Do những kết quả này không có trong SGK nên về mặt thực hành, ta làm theo các bước sau (sau khi nhận định đó là hàm chẵn hoặc lẻ và bài toán thường có cận đối nhau dạng  a  a ): a Bước 1. Phân tích: I   a 0 f  x .dx  a  a f  x .dx   f  x .dx  A  B . 0 0 Bước 2. Tính A   f  x .dx ? bằng cách đổi biến t   x và cần nhớ rằng: tích phân không phụ thuộc vào a biến,  0 2014 mà 2 chỉ phụ 0 thuộc vào giá trị của hai cận, chẳng hạn luôn có: 2 3t cos t 3x cos x dt   dx . 2 1  sin t 1  sin 2 x 2014 2. Tích phân của hàm số liên tục b Nếu hàm số f  x  liên tục trên  a; b  thì  a b f  x  dx   f  a  b  x  dx . a Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 85 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Nếu hàm số f  x  liên tục trên  0;1 thì  +  2 2  f  sin x  dx   f  cos x  dx . 0 0  a + xf  sin x  dx   a  a   2 a 2  a +   f  sin x  dx và  x. f  sin x  dx  0 2  a xf  cos x  dx    a   f  sin x  dx . 2 0 2 f  cos x  dx và a  2 x. f  cos x  dx    f  cos x  dx 0 0   Về mặt thực hành, sẽ đặt x  cận trên  cận dưới  t  x  a  b  t  . Từ đó tạo tích phân xoay vòng (tạo ra I), rồi giải phương trình bậc nhất với ẩn I. Nếu hàm số f  x  liên tục trên  và tuần hoàn với chu kỳ T thì a T  a T nT f  x  dx   f  x  dx và  0 0 T f  x  dx  n  f  x  dx . 0 Lưu ý: Hàm số f  x  có chu kỳ T thì f  x  T   f  x  .   Về mặt thực hành, ta sẽ làm theo các bước sau: a T Bước 1. Tách: I  T 0 a T f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  i  a 0 T          a A C B a T Bước 2. Tính C   f  x  dx ? T x  a  T t  a Đặt x  t  T  dx  dt . Đổi cận:  . Khi đó:  x  T t  0 a 0 0 C   f  t  T  dt    f  t  dt    f  x  dx   A  ii  a 0 a T Thế  i  vào  ii  ta được: I  B   f  x  dx . 0 Câu 1. (Đề Tham Khảo 2017) Cho hàm f  x số liên tục trên  và thoả mãn 3 2 f  x   f   x   2  2 cos 2 x , x   . Tính I   A. I  6 B. I  0  f  x  dx. 3 2 D. I  6 C. I  2 Lời giải Chọn D 0 Đặt x  t . Khi đó  0  f  x  dx   f  t  d  t     f  t  dt   f   x  dx 3 2 3 2 3 2 Ta có: I   3 2 0 0 3 2 3 2 0 3 2 3 2  f  x  d  x    f  x  d  x    f  x  d  x    f   x  d  x    f  x  d  x  3 2  3 2 0 0 0 Trang 86 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 3 2 Hay I  3 2   f  x  f  x d  x   0 0 3 2 I 3 2 3 2  2(1  cos 2 x) d  x  0  3 2  2  cos x d  x   2  cos xd  x   2  cos xd  x  2 4 cos xd  x   2 0  2  2cos 2 xd  x   0 0 2  3 2 Vậy I  2sin x |02 2sin x |  6. 2  4 Câu 2. (THPT Hàm Rồng – Thanh Hóa – 2018) Cho  b  15 . Khi đó a  b  c bằng: A. 10 . B. 9 . I   4 4 sin x   1  x2  x dx  sin x  1  x2  x dx   a  c , với a, b, c   , b 4 C. 11 . Lời giải D. 12 .  4 1  x 2 sin xdx     x sin xdx  4 4    4 I1 I2 Ta nhận thấy 1  x 2 sin x là hàm lẻ nên I1  0 u  x  du  dx  dv  sin xdx. Choïn v   cos x   4 I 2   x cos x 4   Suy ra I  4  2   cos xdx   8  8   sin x 4    4  2 4  2 4 2 1  2   2 16 8  2  4 Vậy a  b  c  11 Câu 3.  2  2 (THCS – THPT Nguyễn Khuyến 2019) Cho f  x  là hàm số chẵn trên đoạn  a; a  và k  0 . a Giá trị tích phân f  x  1 e kx dx bằng a a A.  a f  x  dx . B.  a f  x  dx . a 0 C. 2  f  x  dx . a a D. 2  f  x  dx . 0 Lời giải a Ta có 0 f  x  1 e dx  kx a a 0 Xét tích phân f  x  1 e f  x  1 e kx kx a f  x dx . 1  e kx 0 dx   dx . a Đặt t   x  x  t  dt  dx  dt  dx Đổi cận: x  a  t  a Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 87 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 x  0t  0 Khi đó, 0 0 a f  x f  t  f t  d x   d t     a 1  ekx a 1  ek  t  0 1  e kt dt a kx ekt . f  t  e . f  x d x  dx kt  1 e 1  ekx 0 0 a  f  x a  1 e Do đó, kx dx   a Câu 4. (Việt Đức ekx . f  x  a 1  ekx 0 Hà Nội f  x a dx   1 e 0 Cho 2019) e a dx   kx  1 f  x  kx 1  e kx 0 f  x, f x a dx   f  x  dx 0 liên tục trên  và thỏa 2 2 f  x   3 f  x   1  . Biết I   f  x  dx  . Khi đó giá trị của m là 2 m x 4 2 A. m  2 . B. m  20 . C. m  5 . Lời giải D. m  10 . Hàm số f  x  , f   x  liên tục trên  và thỏa mãn 2 f  x   3 f   x   2 2   2 f  x   3 f   x   dx   x 2 2 1 nên ta có: x 4 2 dx 1 4 2 2 2 2   2 f  x   3 f   x   dx  2  f  x  dx  3  f   x  dx Đặt K  2 2 2 Đặt  x  t  dx   dt ; f   x   f  t  , x  2  t  2; x  2  t  2 2 Do đó  2 f   x  dx  2 2 f  t  .  dt    2 2 f  t  dt   2 2 2  f  x  dx 2 2 2 2  K  2  f  x  dx  3  f   x  dx  2  f  x  dx  3  f  x  dx  5  f  x  dx  2  2 2 2 Đặt J  x 2 dx    ; x  2 tan  ,     ;  , 4  2 2 Ta có: dx  d  2 tan    x  2      4 Do đó J  2 2 2 Với 2    4 2d  2 1  tan 2   d . 2 cos  ; Với x  2    2 1  tan 2   2 4 tan   4  4 .  4 d    4  d 1   2 2 4 4     4 4 2 Từ 1 ,  2  và  3  , ta có K  J  5  f  x  dx   2 2 Mà theo giả thiết, I    f  x  dx  m 2 2 Chú ý: Có thể tính nhanh x 2 nên  m   20 4 2    f  x  dx  20 2  m  20 . dx bằng công thức: 4 2 3 x 2 dx 1 x  arctan  C 2 a a a Trang 88 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ mãn TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Từ đó: dx 1 x  x2  4  2 arctan 2  C 2 2 dx 1 x 1 1        2  arctan   arctan1  arctan  1          x 4 2 2 2 2 2  4  4  4 2 Câu 5. (THPT Hàm Rồng Thanh Hóa -2019) Cho hàm số f  x  , f   x  liên tục trên  và thõa mãn 2 f  x  3 f x  A. I   20 2 1 . Tính I   f  x  dx . 2  2 4 x . B. I   10 . C. I   . 20 D. I   . 10 Lời giải 2  f   x  dx Tính 2 Đặt t   x  dt  dx Đổi cận x t 2 2 2 2   f   x  dx    2 2 2 2 2 2 2 2 f  t  dt   f  t  dt   f  x  dx 2 2 1 1 dx    2 f  x   3 f   x   dx   2  2  2 4  x2 4 x 2 2 1 dx   5 f  x  dx   2 2 4  x 2 2 1     1 2 1 1 1 x 2  .    dx  . arctan     f  x  dx   2  2 2 5 4 x 5 2  2  2 10  4 4  20 2 f  x  3 f x  Câu 6. (Hà Nội – 2018) Cho hàm số y  f  x  là hàm lẻ và liên tục trên 0 4 2  f   x  dx  2 và  2  4; 4 biết f  2 x  dx  4 . Tính I   f  x  dx . 0 1 A. I  10 . B. I  6 . C. I  6 . Lời giải D. I  10 . 0 Xét tích phân  f   x  dx  2 . 2 Đặt  x  t  dx  dt . Đổi cận: khi x  2 thì t  2 ; khi x  0 thì t  0 do đó 0  2 0 2 2 f   x  dx    f  t  dt   f  t  dt   f  t  dt  2   f  x  dx  2 . 2 0 2 0 0 Do hàm số y  f  x  là hàm số lẻ nên f  2 x    f  2 x  . 2 Do đó  1 2 2 f   2 x  d x    f  2 x  d x   f  2 x  dx   4 . 1 1 2 Xét  f  2 x  dx . 1 1 2 Đặt 2x  t  dx  dt . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 89 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 2 Đổi cận: khi x  1 thì t  2 ; khi x  2 thì t  4 do đó  4 f  2 x  dx  1 4 1 f  t  dt  4 2 2 4   f  t  dt  8   f  x  dx  8 . 2 2 4 2 4 Do I   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  2  8  6 . 0 Câu 7. 0 2 (Hồng Quang – Hải Dương – 2018) Cho hàm số f  x  liên tục trên đoạn   ln 2;ln 2  và thỏa mãn f  x   f   x   A. P  1 . Biết x e 1 1 . 2 ln 2  f  x  dx  a ln 2  b ln 3  a; b    . Tính P  a  b .  ln 2 B. P  2 . C. P  1 . D. P  2 . Lời giải ln 2 Gọi I   f  x  dx .  ln 2 Đặt t   x  dt  dx . Đổi cận: Với x   ln 2  t  ln 2 ; Với x  ln 2  t   ln 2 .  ln 2 Ta được I    ln 2 f  t  dt  ln 2  ln 2 f  t  dt   ln 2 ln 2 Khi đó ta có: 2I    f   x  dx .  ln 2 ln 2 f  x  dx   ln 2  ln 2 f   x  dx   ln 2  ln 2  f  x   f   x   dx   ln 2 1 dx . e 1  ln 2  x ln 2 1 dx . Đặt u  e x  du  e x dx e 1  ln 2 Xét  x Đổi cận: Với x   ln 2  u  1 ; x  ln 2  u  2 . 2 ln 2 ln 2 ln 2 1 ex 1 du Ta được  x dx   x x dx   e 1 u u  1  ln 2   ln 2 e  e  1  ln 2 ln 2 2 1  1    du   ln u  ln u  1  1  ln 2 u u 1  2  ln 2  1 1 Vậy ta có a  , b  0  a  b  . 2 2  Câu 8.  (Chuyên ĐH Vinh – 2018) Cho y  f  x  là hàm số chẵn và liên tục trên . Biết 1  2 f  x  dx  0 1 f  x  dx  1 . Giá trị của 2 1 Do  0 1 2 x 1 dx bằng C. 4 . Lời giải 1 2 f x 3 B. 6 . A. 1. 1 2 1 f  x  dx   f  x  dx  1   f  x  dx 1 và 21 0 2 D. 3 . 2  f  x  dx  2 1 2   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  3 . 0 1 0 Trang 90 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 f  x Mặt khác  x dx  3 1 2 2 f  x 0 3 x 2 1 f  x 2 dx   0 3x  1 dx và y  f  x  là hàm số chẵn, liên tục trên   f   x   f  x  x   . f  x 0 Xét I  3 x 2 1 dx . Đặt t   x  dx  dt 0 f  x f  t  I  x dx     t dt = 3 1 3 1 2 2 0 f  x 2 3x  1 dx  2  f  x 0 3 x 1 2 2 dx   0 2  0 f  x x 3 1 2 t 2 x 3 f t  3 f  x f  t  dt =  x dx dt =  t 1 3 1 3 1 0 0  1 3t 2 dx   0 3x f  x  x 3 1 2 dx   0 f  x x 3 1 2 dx   0 3 x  1 f  x  3x  1 dx  2  f  x  dx  3 . 0 2 Câu 9. (SGD&ĐT BRVT – 2018) Hàm số f  x  là hàm số chẵn liên tục trên  và  f  x  dx  10 . Tính 0 2 I f  x 2 x 1 2 dx . B. I  A. I  10 . 10 . 3 C. I  20 . D. I  5 . Lời giải Đặt t   x  dt  dx . Đổi cận: x  2  t  2 , x  2  t  2 . 2 I f t  2 t 1 2 2  2I  2 f  x 2 2 dt  x 1 2 2t 2x f t d t     2t  1  2x  1 f  x  dx 2 2 2 0 2 2 0 2x f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  10 2x  1 2 0 2 2 2 dx   Mặt khác do f  x  là hàm số chẵn nên f   x   f  x  . 0 Xét J   f  x  dx , đặt t   x  dt  dx 2 2 2 2  J   f  t  dt   f   x  dx   f  x  dx  10  2 I  20  I  10 .————————–0 Câu 10. 0 0 (Yên Phong 1 – 2018) Cho hàm số y  f  x  là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn  1;1 và 1  1 f  x  dx  6 . Kết quả của 1 x dx bằng 1 A. 2 . B. 3 . 1 Xét tích phân f  x  1  2018 f  x  1  2018 x C. 4 . Lời giải D. 5 . dx . Đặt x  t ; dx   dt ; x  1  t  1 ; x  1  t  1 . 1 1 1 1 f t  2018t . f  t  f  x f  t  dt  = = dx  dt  1  2018t dt =  1  2018x 1 1  2018t 1 1 1 1 1 2018t 1 2018x f  x   1  2018x dx . 1 1 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 91 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 f  x 1 1  2018x dx + 1 Vậy f  x 1 Do đó  1  2018 x 2018x f  x   1  2018x dx = 1 dx = 1 Câu 11. 1 1  f  x  dx = 6 . 1 1 .6  3 . 2 (Toán Học Và Tuổi Trẻ 2018) Cho f  x  là hàm liên tục trên đoạn  0; a  thỏa mãn a  f  x  . f  a  x   1 b dx ba  , trong đó b , c là hai số nguyên dương và là phân số và   c 1 f  x c  f  x   0, x   0; a  0 tối giản. Khi đó b  c có giá trị thuộc khoảng nào dưới đây? A. 11; 22  . B.  0;9  . C.  7; 21 . D.  2017; 2020  . Lời giải Cách 1. Đặt t  a  x  dt  dx Đổi cận x  0  t  a; x  a  t  0. 0 a a a f  x  dx dx dt dx dx     1 f  x a 1 f a  t  0 1 f a  x 0 1 1 1 f  x 0 0 f  x a Lúc đó I   a f  x  dx a dx   1dx  a 1  f  x  0 1  f  x  0 0 a Suy ra 2 I  I  I   Do đó I  1 a  b  1; c  2  b  c  3. 2 2 Câu 12. (Chuyên Sơn La – 2020) Tích phân A. S  0 . x 2020 2a .d x  . Tính tổng S  a  b .  ex  1 b 2 B. S  2021. C. S  2020 . Lời giải D. S  4042 . Chọn D 2 Xét I  x 2020  e x  1 .dx . 2 Đặt x  t  dx  dt . Đổi cận x  2  t  2; x  2  t  2 . 2 Ta được I   2  t  2020 e t  1 2 .  dt   2 2 t 2020 t 2020 .et x 2020 .e x .d t  .d t  1 2 et  1 2 ex  1 .dx . 2   1 et 2 2 2 22021   2  x 2020 x 2020 .e x x 2021 .dx   x 2020 .dx   Suy ra 2 I  I  I   x .dx   x e 1 e 1 2021 2 2021 2 2 2 2 Do đó I  Câu 13. 2021  22022 . 2021 22021 . Suy ra a  b  2021 . Vậy S  a  b  4042 . 2021 (Đại Học Hà Tĩnh – 2020) Cho hàm số f  x  liên tục trên đoạn   ln 2;ln 2 và thỏa mãn f  x  f x  A. P  2 . 1 . Biết x e 1 ln 2  f  x  dx  a ln 2  b ln 3,  a, b    . Tính P  a  b .  ln 2 B. P  1 . 2 C. P  1 . D. P  2 . Lời giải Trang 92 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Chọn B ln 2 Từ giả thiết suy ra ln 2  f  x   f   x   dx    ln 2 ln 2 Ta có ln 2  f  x   f   x   dx    ln 2 Mặt khác x ln 2 ln 2  f  x  dx   f   x  d   x   2  f  x  dx .  ln 2 ln 2  ln 2 ln 2  ln 2 ln 2 1 1 1  1 dx   x d  ex     x  x  d  ex  x e 1 e e  1  ln 2  ln 2  e  1 e  ln 2   x ln 2  1 dx . e 1  ln 2  ln 2 ln 2 1 1 3 ln 2 d ex    x d  e x  1  x  ln 2  ln  e x  1  ln 2  ln 2  ln 3  ln  ln 2 . x   ln 2 e e 1 2  ln 2  ln 2 ln 2 1 1 1  f  x  dx  2 ln 2  a  2 , b  0  a  b  2 . Suy ra  ln 2 1 Câu 14. (Đại học Hồng Đức –Thanh Hóa 2019) Cho f  x  là hàm số chẵn và  f  x  dx  2 . Giá trị của 0 1 tích phân f  x  1  2019 dx là x 1 A. 2 . 2019 B. 2 . C. 4 . D. 0 . Lời giải Chọn B 1 I f  x  1  2019 x dx 1 Đặt t   x   dt  dx Cận x t -1 1 1 -1 1 1 1 f  t  f t  2019t f  t  dt  dt   1  2019t  1  2019t dt 1  2019 t 1 1 1 2019t 1 1 1 f  t  1  2019t  2019t f  t  f t   2I   dt   dt   dt 1  2019t 1  2019t 1  2019t 1 1 1 I   1  2I   1 f  t  dt  2  f  t  dt  2.2  I  2. 1 0 Dạng 2.2 Tích phân của hàm chứa dấu trị tuyệt đối b Tính tích phân: I   f  x  .dx ? a Bước 1. Xét dấu f  x  trên đoạn  a; b  . Giả sử trên đoạn  a; b  thì phương trình f  x   0 có nghiệm xo   a; b  và có bảng xét dấu sau: x a xo b f  x  0  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 93 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Bước 2. Dựa vào công thức phân đoạn và dấu của trên  a; xo  ,  xo ; b  ta được: xo b I   f  x  .dx  a b  f  x  dx     f  x   dx  A  B . a xo Sử dụng các phương pháp tính tích phân đã học tính A, B  I . a Câu 15. Cho a là số thực dương, tính tích phân I   x dx theo a . 1 A. I  a2 1 . 2 B. I  a2  2 . 2 C. I  2a 2  1 . 2 D. I  3a 2  1 2 . Lời giải Chọn A a 0 Vì a  0 nên I    x dx   x dx  1 0 1 a2 1  a2   2 2 2 m Câu 16. (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho số thực m  1 thỏa mãn  2mx  1 dx  1 . Khẳng 1 định nào sau đây đúng? A. m   4;6  . B. m   2; 4  . C. m   3;5 . D. m  1;3 . Lời giải 1  1 . Do đó với m  1, x  1; m  2mx  1  0 . 2m m m 2mx  1 dx    2mx  1 dx   mx 2  x   m3  m  m  1  m3  2m  1 . 1 1 Do m  1  2m  2  m Vậy  1 m  0 Từ đó theo bài ra ta có m3  2m  1  1   . Do m  1 vậy m  2 . m   2 Câu 17. (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Khẳng định nào sau đây là đúng? A. C.  1 1  3 2 3 x dx   1 1 x3 dx . B. 2018  1 x 4  x 2  1 dx   2018 1 x 4  x 2  1 dx .  3 e x  x  1 dx   e x  x  1 dx . D. 2 2    1  cos 2 xdx   2 sin xdx . 2  2 Lời giải Chọn B 2 1 3 1 1 3  Ta có: x  x  1  x  2. x .     x 2     0, x   . 2 4 2 4 4  4 Do đó:  2018 1 2 4 2 x 4  x 2  1 dx   2018 1 x 4  x 2  1 dx . 5 Câu 18. (Chuyên Bắc Giang 2019) Cho tích phân  1 nguyên. Tính P = abc. A. P  36 B. P  0 x2 dx  a  b ln 2  c ln 3 với a, b, c là các số x 1 C. P  18 Lời giải D. P  18 Chọn A Ta có Trang 94 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 5  1 2 5 x2 x2 x2 dx    dx   dx x 1 x 1 x 1 1 2 2 5 3  3      1   dx    1   dx x 1 x 1 1 2 2 5 1 2    x  3ln x  1    x  3ln x  1     2  3ln 3  1  3ln 2  5  3ln 6  2  3ln 3  2  6 ln 2  3ln 3 Vậy a  2, b  6, c  3  P  abc  36 . 2 Câu 19. (Chuyên Hạ Long 2019) Có bao nhiêu số tự nhiên m để  2 x 2  2m2 dx  0 A. Vô số. B. 0 . 2  x 2  2m 2  dx . 0 D. 2 . C. Duy nhất. Lời giải 2 x 2  2m2 dx  0 x 2  2m 2  dx  * 0  x  m 2 Ta có: x 2  2m 2  0   .  x  m 2 TH1. Nếu m  0 thì * luôn đúng.  x 2  2m 2  0 1 TH2. Nếu m  0 thi * đúng   2 với mọi x   0;2 . 2  x  2m  0  2  ) m  0 . 1  m 2  m 2  0 đúng   (vô nghiệm).  2  m 2  m 2 2  m 2  0 m  0 đúng    m 2. m  2  m 2  2 ) m  0 . 1 m 2  m 2  0 đúng   (vô nghiệm).  2  m 2  m 2 2 m  0 m 2  0 đúng    m 2. m   2  m 2  2   Suy ra m   ;  2    2 ;    0 là giá trị cần tìm. 1 Câu 20. (Chu Văn An -Thái Nguyên – 2018) Tính tích phân I  2 x  2  x dx . 1 A. 1 . ln 2 B. ln 2 . C. 2ln 2 . D. 2 . ln 2 Lời giải 1 I 2 x  2  x dx ta có 2 x  2 x  0  x  0 . 1 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 95 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 1 I  2 x  2 x dx  1 0 1  2 x  2 x dx   2 x  2 x dx  1 0 0 0 1 x x   2  2 dx   2 1 x  2  x dx 0 1  2 x  2 x   2 x  2 x  1 .       ln 2  1  ln 2  0 ln 2 1 Câu 21. (KTNL Gia Bình 2019) Cho hàm số f  x  liên tục trên  và có  f  x  dx  2 ; 0 3 1  f  x  dx  6 . Tính I   f  2 x  1  dx 1 0 A. I  8 B. I  6 C. I  3 2 D. I  4 Lời giải Chọn D 1 2 1 I 1  f  2 x  1  dx   f 1  2 x  dx   f  2 x  1 dx  I 1 1 1 2 Xét I1  1 2 3 3 1 1 1 f 1  2 x  d 1  2 x    f  t  dt   f  x  dx  3 .  2 1 20 20  f 1  2 x  dx   1 1 1 1 1 1 1 f  2 x  1 dx   f  2 x  1 d  2 x  1   f  t  dt   f  x  dx  1 20 20 21 1 Xét I 2   I2 . 1 2 1  1 2 2 Vậy I  I1  I 2  4 . 3 Câu 22. (Chuyên KHTN 2019) Cho hàm số f ( x) liên tục trên  và có  f ( x)dx  8 0 5  1 f ( x)dx  4. Tính 0  f ( 4 x  1)dx. 1 9 . 4 A. B. 11 . 4 C. 3. D. 6. Lời giải 1 4 1 Ta có  f ( 4 x  1)dx  1 1 4   1  1 1 f ( 4 x  1)dx   f ( 4 x  1)dx 1 4 1 f (1  4 x) dx   f (4 x  1)dx  I  J . 1 4 1 4 +) Xét I   f (1  4 x)dx. 1 Đặt t  1  4 x  dt  4dx; Trang 96 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ và TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 1 Với x  1  t  5; x   t  0. 4 1 4 0 5 5 1 1 1 I   f (1  4 x)dx   f (t )( dt )   f (t )dt   f ( x)dx 1. 4 40 40 1 5 1 +) Xét J   f (4 x  1)dx. 1 4 Đặt t  4 x  1  dt  4dx; Với x  1  t  3; x  1 1  t  0. 4 3 3 3 1 1 1 J   f (4 x  1)dx   f (t )( dt )   f (t ) dt   f ( x)dx  2. 4 40 40 1 0 4 1 Vậy  f ( 4 x  1)dx  3. 1 1 Câu 23. Cho hàm số f  x  liên tục trên  thỏa  f  2 x  dx  2 2 và 0  f  6 x  dx  14 . Tính 0 2  f  5 x  2  dx . 2 A. 30 . B. 32 . C. 34 . Lời giải D. 36 . 1 + Xét  f  2 x  dx  2 . 0 Đặt u  2 x  du  2dx ; x  0  u  0 ; x  1  u  2 . 1 2 2 1 Nên 2   f  2 x  dx   f  u  du   f  u  du  4 . 20 0 0 2 + Xét  f  6 x  dx  14 . 0 Đặt v  6 x  dv  6dx ; x  0  v  0 ; x  2  v  12 . 2 12 Nên 14   f  6 x  dx  0 2 + Xét  f  5 x  2  dx  0 2  f  5 x  2  dx   f  5 x  2  dx . 2 2 12 1 f  v  dv   f  v  dv  84 . 6 0 0 0 0 Tính I1   f  5 x  2  dx . 2 Đặt t  5 x  2 . Khi 2  x  0 , t  5 x  2  dt  5dx ; x  2  t  12 ; x  0  t  2 . 2 12 2  1 1 1 I1  f  t  dt    f  t  dt   f  t  dt    84  4   16 .  50 5 12 0  5 2 Tính I1   f  5 x  2  dx . 0 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 97 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Đặt t  5 x  2 . Khi 0  x  2 , t  5 x  2  dt  5dx ; x  2  t  12 ; x  0  t  2 . 12 12 2  1 1 1 I 2   f  t  dt    f  t  dt   f  t  dt    84  4   16 . 50 52 0  5 2 Vậy  f  5 x  2  dx  32 . 2 1 Câu 24. (Phong 1 – 2018) Cho hàm số f  x  liên tục trên  0;3 và 3  f  x  dx  2;  f  x  dx  8. Giá trị 0 0 1 của tích phân  f  2 x  1  dx  ? 1 A. 6 Lời giải B. 3 1 2 1 Ta có  f  2 x  1  dx  1 D. 5 C. 4 1  1 f 1  2 x  dx   f  2 x  1 dx  I  J 1 2 1 2 Tính I   f 1  2 x  dx 1 Đặt t  1  2 x  dt  2dx. Đổi cận x  1  t  3; x  0 I  3 1 t 0 2 3 1 1 1 1 f  t  dt   f  t  dt   f  x  dx  .8  4  23 20 20 2 1 Tính J   f  2 x  1 dx 1 2 Đặt t  2 x  1  dt  2dx. Đổi cận x  1 J 1  t  0; x  1  t  1 2 1 1 1 f  t  dt   f  x  dx  .2  1  20 2 0 1 Vậy  f  2 x  1  dx  I  J  4  1  5 . 1 3 Câu 25. Cho hàm số f ( x) liên tục trên  và có  f ( x)dx  8 và  f ( x)dx  4 . Tính  f ( 4 x  1)dx 0 A. 9 . 4 B. 1 5 11 . 4 0 C. 3 . 1 D. 6 . Lời giải Chọn C 1 4 1 Ta có:  1 f ( 4 x  1)dx   1 1 f (4 x  1)dx   f (4 x  1)dx . 1 4 Trang 98 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 1 4 Tính: A  1  f (4 x  1)dx . Đặt t  4 x  1   4 dt  dx 1 0  A 5 1 1 f (t ) dt   f (t ) dt  1  45 40 1 Tính: B   f (4 x  1)dx . Đặt t  4 x  1  1 4 B 1 dt  dx 4 13 f (t ) dt  2 . 4 0 1  f ( 4 x  1)dx  A  B  3 . Vậy 1 2x Câu 26. Cho hàm số y  f  x  xác định trên  và thỏa mãn f   x   2 f    x   6 x  x2  1 với mọi số thực x . Giả sử f  2  m , f  3  n . Tính giá trị của biểu thức T  f  2  f  3 . A. T  m  n . B. T  n  m . C. T  m  n . D. T  m  n . Lời giải Chọn B Với mọi số thực x , thay x bởi  x vào biểu thức f   x   2 f    x   f x  2 f  x  2 x 6  x   x 2 1 hay 2 f   x   f    x   2x 6 x  x2 1 2x 6 x  x2  1 (1), ta được (2). x 2 Nhân hai vế của (2) với 2 sau đó trừ theo vế cho (1), rút gọn suy ra f   x   . 6 với mọi 3 x  x2  1 số thực x . 2 Xét I   3 2 f   x  dx  3 x 2  3. x 6  x2  1 dx . Đặt u   x , khi đó ta được d u   d x . Đổi cận: Khi x  3  u  3 và x  2  u  2 . Ta được 2 I  3 3 3 3 u u x 2 2 2 .  d u  . d u  . d x     3 u 6  u 2  1 2 3 x6  x2  1 2 f   x  dx . 3  u 6   u 2  1 2 3 2 Mà I   f   x  dx  f  2   f  3 (3) và I  3  f   x  dx  f  3  f  2  (4). 2 Từ (3) và (4), ta được f  2   f  3  f  3  f  2  suy ra f  2   f  3  f  3  f  2   n  m . Dạng 2.3 Tích phân nhiều hàm 2 x Câu 27. Cho số thực a và hàm số f  x    2 a x  x a 2a  1. A.  1. B. 6 3  khi x  0  khi x  0 C. . Tính tích phân a  1. 6 1  f  x  dx bằng: D. 1 2a  1. 3 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 99 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Lời giải Chọn A Ta thấy,  1 1 0 1 0 1 1 0 1 0   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx   2 xdx   a x  x 2 dx 1  x 2 x3  1 a  a     1  a     1 . 1 6 6  2 3 0 0    x Câu 28. 2 e x  m khi x  0 (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Cho hàm số f  x    liên tục trên 2 2 x 3  x khi x  0   và 1  f  x dx =ae  b 3  c ,  a, b, c  Q  . Tổng a  b  3c bằng 1 A. 15 . B. 10 . C. 19 . Lời giải D. 17 .   Ta có lim f  x   lim  e x  m   m  1 , lim f  x   lim 2 x 3  x 2  0 và f  0   m  1 . x0 x0 x 0 x0 Vì hàm số đã cho liên tục trên  nên liên tục tại x  0 . Suy ra lim f  x   lim f  x   f  0  hay m  1  0  m  1. x 0 x 0 1 Khi đó  0 1 = 1 0 1 f  x dx =  2 x 3  x 2 dx    e x  1dx =  3  x 2 d  3  x 2     e x  1dx 1 2 3  x2  3  x2 3 0 0 1 1  ex  x   e  2 3  0 1 0 22 . 3 22 . 3 Vậy tổng a  b  3c  19 . Suy ra a  1 , b  2 , c   1 Câu 29. (THPT Yên Phong 1 Bắc Ninh 2019) Tính tích phân  max e , e dx x 12 x 0 A. e  1 . B. 3 e 3 e . 2   C. e  3 e . D. 1 1 e  . 2 e Lời giải Ta có: e x  e12 x  1   e12 x khi 0  x   1 3  x  1 2 x  x  . Suy ra: max e x , e12 x      1 3  e x khi  x  1   3   1 3 1 1 1 Do đó I   max e x , e12 x dx   e12 x dx   e x dx   e12 x 2 1 0 0 1 3 0  ex 1 1 3 3 1 3 1 3   1 1 3   e  e  ee  e 3 e . 2 2 2  1 2  x 2  3 khi x  1 Câu 30. Cho hàm số y  f  x   . Tính I  2  f sin x cos xdx  3 f 3  2 x dx 5  x khi x  1 0 0 Trang 100 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 71 A. I  . 6 B. I  31 . C. I  32 . D. I  32 . 3 Lời giải Chọn B  2 + Xét tích phân: I1  2  f sin x  cos xdx . 0 Đặt: t  sin x  dt  cos xdx . Đổi cận: với x  0 thì t  0 , với x   2 thì t  1 .  2 1 1 1 0 0 0 0 I1  2  f sin x cos xdx  2  f t  dt  2  f  x  dx 2  5  x  dx  10 x  x 2   9 . 1 0 1 + Xét tích phân: I 2  3 f 3  2 xdx . 0 1 Đặt: t  3  2 x  dt  2dx  dx   dt 2 Đổi cận: với x  0 thì t  3 , với x  1 thì t  1 . 1 1 I 2  3 f 3  2 x dx   0 1 3 3 f t dt    f  x dx  2 3 2 3 1  1 3 9      x 2  3dx   x 3  x  22.   2 2 3 2 3 1  2 1 0 0 Vậy: I  2  f sin x  cos xdx  3 f 3  2 xdx  9  22  31 . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 101 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Chuyên đề 27 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH MỨC 5-6 ĐIỂM Dạng 1. Ứng dụng tích phân để tìm diện tích (C1 ) : y  f ( x) b   Hình phẳng ( H ) giới hạn bởi (C2 ) : y  g ( x) thì diện tích là S   f ( x)  g ( x) dx . a  x  a, x  b ( a  b )  (C1 ) : y  f ( x) b  Hình phẳng ( H ) giới hạn bởi (C2 ) : Ox : y  0 thì diện tích là S   f ( x) dx . a  x  a, x  b ( a  b )  Selip   ab. x2 y 2  1 a 2 b2 (E) :  Hình thức đề thường hay cho Hình thức 1: Không cho hình vẽ, cho dạng ( H ) :{ y  f ( x), y  g ( x), x  a, x  b (a  b)} b casio    f ( x)  g ( x) dx  kết quả, so sánh với bốn đáp án. a Hình thức 2: Không cho hình vẽ, cho dạng ( H ) :{ y  f ( x), y  g ( x)} xi casio Giải f ( x)  g ( x) tìm nghiệm x1 ,…, xi , với x1 nhỏ nhất, xi lớn nhất    f ( x)  g ( x) dx. x1 Hình thức 3: Cho hình vẽ, sẽ giải phương trình tìm tọa độ giao điểm (nếu chưa cho trên hình), chia từng diện tích nhỏ, xổ hình từ trên xuống, ghi công thức và bấm máy tính. Hình thức 4: Cho ba hàm trở lên, chẳng hạn y  f ( x), y  g ( x), y  h( x) ta nên vẽ hình. Câu 1. (THPT Lê Xoay Vĩnh Phúc 2019) Cho hàm số y  f  x  xác định và liên tục trên đoạn  a; b . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f  x  , trục hoành và hai đường thẳng x  a , x  b được tính theo công thức b A. S   f  x  dx . a Câu 2. b B. S   f  x  dx . a b C. S    f  x  dx . a a D. S   f  x  dx . b (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Diện tích hình phẳng được gạch chéo trong hình bên bằng Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 A. C. Câu 3. 2   2 x 2 1 2   2 x 1 2  2 x  4  dx .  2 x  4  dx . D. B. 2   2x 2 1 2  2x 2 1  2 x  4  dx .  2 x  4  dx . (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y  2 x 2 , y  1 , x  0 và x  1 được tính bởi công thức nào sau đây? 1 1 A. S     2 x  1 dx . B. S    2 x 2  1 dx . 2 0 1 0 2 C. S    2 x 2  1 dx . 0 Câu 4. 1 D. S    2 x 2  1 dx . 0 (Mã 101 – 2020 Lần 1) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường y  x 2  4 và y  2x  4 bằng A. 36 . Câu 5. 4 . 3 C. 4 . 3 D. 36 . (Mã 102 – 2020 Lần 1) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường y  x 2  1 và y  x  1 A. Câu 6. B.  6 . B. 13 . 6 C. 13 . 6 D. 1 . 6 (Mã 104 – 2020 Lần 1) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường y  x 2  3 và y  x  3 bằng 125 A. . 6 B. 1 . 6 C. 125 . 6 D.  6 . Câu 7. (Mã 103 – 2020 Lần 1) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường y  x 2  2 và y  3x  2 Câu 8. bằng 9 9 125 125 A. . B. . C. . D. . 2 2 6 6 (Mã 102 2018) Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường y  2 x , y  0 , x  0 , x  2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 2 A. S    2 x dx 0 Câu 9. 2 2 B. S   2 x dx 0 C. S    2 2 x dx 0 2 D. S   22 x dx 0 (Mã 101 2018) Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  e x , y  0 , x  0 , x  2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 2 A. S   e x dx 0 Câu 10. 2 B. S    e x dx 0 2 C. S    e x dx 0 2 D. S    e 2 x dx 0 (Mã 102 – 2019) Cho hàm số y  f  x  liên tục trên . Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f  x  , y  0, x  1 và x  5 (như hình vẽ bên). Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Mệnh đề nào sau đây đúng? 1 5 A. S    f ( x)dx   f ( x)dx . 1 C. S  Câu 11. 1 1 5  f ( x )dx   f ( x)dx . 1 B. S  1 5  f ( x)dx   f ( x)dx . 1 1 1 5 D. S    f ( x)dx   f ( x)dx . 1 1 1 (Mã 103 – 2019) Cho hàm số f  x  liên tục trên  . Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f  x  , y  0, x  1, x  2 (như hình vẽ bên). Mệnh đề nào dưới đây đúng? 1 A. S  2 1  f  x  dx +  f  x  dx . 1 1 1 Câu 12. B. S    f  x  dx   f  x  dx . 1 2 1 1 C. S    f  x  dx+  f  x  dx . 1 2 D. S  1 2  f  x  dx   f  x  dx . 1 1 (Đề Minh Họa 2017) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x 3  x và đồ thị hàm số y  x  x 2 . A. Câu 13. 37 12 B. 9 4 C. 81 12 D. 13 (Đề Tham Khảo 2017) Gọi S là diện tích hình phẳng  H  giới hạn bởi các đường y  f  x  , trục 0 hoành và hai đường thẳng x  1 , x  2 . Đặt a   1 2 f  x  dx , b   f  x  dx , mệnh đề nào sau đây 0 đúng? Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 A. S  b  a Câu 14. B. S  b  a D. S  b  a (Đề Tham Khảo 2019) Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới đây? 2 A. 2   2 x  2  dx B. 1   2 x  2  dx 1 2 C. 2   2 x 2  2 x  4  dx D. 1 Câu 15. C. S  b  a  2x 2  2 x  4  dx 1 (Mã 101 – 2019) Cho hàm số f  x  liên tục trên  . Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f  x  , y  0, x  1 và x  4 (như hình vẽ bên). Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. S  1 4  f  x  dx   f  x  dx . 1 1 1 4 C. S    f  x  dx   f  x  dx . 1 Câu 16. 1 B. S  1 4  f  x  dx   f  x  dx . 1 1 1 4 D. S    f  x  dx   f  x  dx . 1 1 (Mã 104 – 2019) Cho hàm số f  x  liên tục trên . Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi cá đường y  f  x  , y  0, x  2 và x  3 (như hình vẽ). Mệnh đề nào dưới đây đúng? Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 1 3 1 A. S    f  x  dx   f  x  dx. B. S   f  x  dx   f  x  dx. 2 1 2 1 1 3 1 3 C. S    f  x  dx   f  x  dx. 2 Câu 17. 3 D. S  1  f  x  dx   f  x  dx. 2 1 (Chuyên KHTN 2019) Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới đây? 2 A. 2   2x 2  2 x  4  dx . B. 1  2 x  4  dx . 2 1 2 C.   2x 2   2 x 2  2 x  4  dx . D. 1   2 x 2  2 x  4  dx . 1 Câu 18. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f  x  , trục hoành, đường thẳng x  a, x  b (như hình vẽ bên). Hỏi cách tính S nào dưới đây đúng? b A. S   f  x  dx . B. S  b  f  x  dx   f  x  dx . a a c c b c C. S    f  x  dx   f  x  dx . a Câu 19. c c b D. S   f  x  dx   f  x  dx . a c (THPT Đoàn Thượng – Hải Dương 2019) Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số: y  x3  3x , y  x . Tính S . A. S  4 . Câu 20. B. S  8 . C. S  2 . D. S  0 . (Chuyên Hùng Vương Gia Lai 2019) Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường y  3x , y  0 , x  0 , x  2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 2 2 A. S   3x dx . B. S    32 x dx . 0 Câu 21. 2 2 C. S    3x dx . 0 D. S   32 x dx . 0 0 (THPT Đông Sơn Thanh Hóa 2019) Cho hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn  a; b . Gọi D là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị  C  : y  f  x  , trục hoành, hai đường thẳng x  a , x  b (như hình vẽ dưới đây). Giả sử S D là diện tích hình phẳng D . đúng trong các phương án A, B, C, D cho dưới đây? 0 b a 0 0 b B. S D    f  x  dx   f  x  dx . C. S D   f  x  dx   f  x  dx . a Câu 22. b 0 A. S D   f  x  dx   f  x  dx . a 0 0 b D. S D    f  x  dx   f  x  dx . a 0 0 2 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y   x  2   1 , trục hoành và hai đường thẳng x  1, x  2 bằng A. Câu 23. 2 . 3 B. 3 . 2 C. 1 . 3 D. 7 . 3 Cho hai hàm số f ( x) và g ( x) liên tục trên  a ; b . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số y  f ( x) , y  g ( x) và các đường thẳng x  a , x  b bằng b A.   f ( x )  g ( x )  dx . b B. a Câu 24.  b f ( x)  g ( x) dx . C. a  b f ( x )  g ( x ) dx . D. a   f ( x )  g ( x )  dx . a (KTNL GV Bắc Giang 2019) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  4 x  x 2 và trục Ox A. 11 . B. 34 . 3 C. 31 . 3 D. 32 . 3 Câu 25. (Chuyên Nguyễn Tất Thành Yên Bái 2019) Diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f  x  , trục hoành và hai đường thẳng x  a , x  b  a  b  (phần tô đậm trong hình vẽ) tính theo công thức nào dưới đây ? Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 c b b A. S   f  x  dx   f  x  dx . a B. S   f  x  dx . c c a b b C. S    f  x  dx   f  x  dx . a Câu 26. D. S  c  f  x  dx . a (Việt Đức Hà Nội 2019) Tính diện tích S hình phẳng giới hạn bởi các đường 2 y  x  1, x  1, x  2 và trục hoành. A. S  6 . Câu 27. C. S  13 . 6 D. S  13 . (THPT An Lão Hải Phòng 2019) Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x 2  5 , y  6 x , x  0 , x  1 . Tính S . A. Câu 28. B. S  16 . 4 3 B. 7 3 C. 8 3 D. 5 3 (THPT An Lão Hải Phòng 2019) Gọi diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 3 x  1 và hai trục tọa độ là S . Tính S ? C  : y  x 1 4 4 4 4 A. S  1  ln B. S  4 ln C. S  4 ln  1 D. S  ln  1 3 3 3 3 Câu 29. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y  x 2 ; y  0; x  1; x  2 bằng A. 4 . 3 B. 7 . 3 C. 8 . 3 D. 1 . Câu 30. (THPT Lê Xoay Vĩnh Phúc 2019) Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số x 1 và các trục tọa độ. Khi đó giá trị của S bằng  H : y  x 1 A. 2 ln 2  1 . B. ln 2  1 . C. ln 2  1 . D. 2 ln 2  1 . Câu 31. (Toán Học Tuổi Trẻ 2019) Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường y  ln x , x2 y  0 , x  1 , x  e . Mệnh đề nào dưới đây đúng? e A. S    1 Câu 32. ln x dx . x2 e B. S   1 ln x dx . x2 2  ln x  D. S     2  dx  x  1 e 2 (Chuyen Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y   x2  2 x  1 , y  2 x 2  4 x  1 là A. 8 . B. 5 . Câu 33.  ln x  C. S    2  dx .  x  1 e C. 4 . D. 10 . (THPT Yên Phong 1 Bắc Ninh 2019) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị y  x2  2 x , y  x  2 . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 7 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 A. Câu 34. 7 . 2 B. 9 . 2 C. 5 . 2 D. 11 . 2 (Chuyên Hạ Long 2019) Hình phẳng  H  được giới hạn bởi các đường y  x 2 , y  3x  2 . Tính diện tích hình phẳng  H  A. Câu 35. 2 (đvdt) 3 B. 1 (đvdt) 3 C. 1 (đvdt) 1 (đvdt) 6 D. (THPT Gang Thép Thái Nguyên 2019) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y  ln x, y  1 và đường thẳng x  1 bằng A. e 2 . Câu 36. B. e  2 . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y  4x  x và đường thẳng y  2 x bằng B. 20 . 3 C. 4 . 3 D. 16 3 (THPT Lê Quý Đôn Đà Nẵng 2019) Tính diện tích phần hình phẳng gạch chéo (tam giác cong OAB ) trong hình vẽ bên. A. Câu 38. D. e  2 . 2 A. 4 . Câu 37. C. 2e . 5 . 6 B. 5 . 6 C. 8 . 15 D. 8 . 15 (KTNL GV Thuận Thành 2 Bắc Ninh 2019) Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x 2  2 x , y  0 , x  10 , x  10 . A. S  Câu 39. 2000 . 3 B. S  2008 . C. S  2000 . D. S  2008 . 3 (THPT Ngô Sĩ Liên Bắc Giang 2019) Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 1 y  f  x  , trục hoành và hai đường thẳng x  3 , x  2 (như hình vẽ bên). Đặt a   f  x  dx , 3 2 b   f  x  dx . Mệnh đề nào sau đây là đúng. 1 A. S  a  b . Câu 40. B. S  a  b . C. S  a  b . D. S  b  a . (Chuyên Bắc Giang 2019) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x 2 và đường thẳng y  2 x là : Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 4 A. 3 Câu 41. 5 B. 3 D. 23 15 (Chuyên Phan Bội Châu 2019) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y   x 2  2 x  1 , y  2 x 2  4 x  1 là A. 8 Câu 42. 3 C. 2 B. 5 D. 10 C. 4 (Hsg Bắc Ninh 2019) Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  trục tọa độ. Khi đó giá trị của S là A. S  1  ln 2. B. S  2ln 2  1. C. S  2ln 2  1. x 1 và các x 1 D. S  ln 2  1. Câu 43. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y  x 3 , y  x 2  4 x  4 và trục Ox (tham khảo hình vẽ) được tính theo công thức nào dưới đây? 2 A.  1 x 3   x 2  4 x  4  dx . 0 0 1 C. 2  x dx    x 3 0 2 B.   x 3dx    x 2  4 x  4  dx . 1 1 2  4 x  4  dx . 1 D. 2  x dx    x 3 0 2  4 x  4  dx . 1 Dạng 2. Ứng dụng tích phân để tìm thể tích  Thể tích vật thể Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b, S ( x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x, (a  x  b). Giả sử S ( x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó, thể tích của vật thể B được b xác định: V   S ( x) dx . a  Thể tích khối tròn xoay a) Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f ( x), trục hoành và hai đường thẳng x  a, x  b quanh trục Ox : Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 9 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 y y  f ( x) O a (C ) : y  f ( x )  b (Ox ) : y  0 2 Vx     f ( x ) dx  x x  a a  x  b b b) Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường x  g ( y ), trục hoành và hai đường thẳng y  c, y  d quanh trục Oy : y d c (C ) : x  g ( y )  (Oy ) : x  0  y  c  y  d x O d 2 Vy    g (y ) dy c c) Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f ( x), y  g ( x) (cùng nằm một phía so với Ox) và hai đường thẳng x  a, x  b quanh trục Ox : b y V    f 2 ( x)  g 2 ( x) dx . f ( x) a g ( x) O a Câu 1. x b (Dề Minh Họa 2017) Viết công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong, giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f  x  , trục Ox và hai đường thẳng x  a, x  b  a  b  , xung quanh trục Ox . b b A. V   f  x  dx a Câu 2. B. V    f 2  x dx a b b C. V   f 2  x dx a D. V    f  x dx a (Đề Tham Khảo 2018) Cho hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn  a; b . Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f  x  , trục hoành và hai đường thẳng x  a, x  b  a  b  . Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành được tính theo công thức: b A. V   2  f  x dx a Câu 3. b B. V    f 2  x dx a b C. V  2  f 2  x dx a b D. V   2  f 2  x dx a (Mã 101 2020 Lần 2) Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi các đường y  e3 x , y  0 , x  0 và x  1 . Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục Ox bằng: 1 A.   e3 x dx . 0 Câu 4. 1 1 B.  e6 x dx . 0 C.   e6 x dx . 1 D.  e3 x dx . 0 0 (Mã 102 – 2020 Lần 2) Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi các đường y  e 4 x , y  0, x  0 và x  1 . Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục Ox bằng 1 A. 4x  e dx . 0 1 B.   e 8 x d x . 0 1 C.   e 4 x d x . 0 1 D. e 0 Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 8x dx . TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 5. (Mã 103 – 2020 Lần 2) Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi các đường y  e2 x , y  0, x  0 và x  1 . Thể tích khối tròn xoay tạo thành kho quay D quanh Ox bằng 1 A.   e4 x dx . B. 0 Câu 6. 1 e 0 2x 1 C.   e2 x dx . dx . 0 D. 1 e 4x 0 dx . (Mã 104 – 2020 Lần 2) Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi các đường y  e x , y  0, x  0 và x  1 . Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục Ox bằng 1 1 A.   e 2 x dx . 0 Câu 7. 1 B.   e x dx C.  e x dx . 0 0 1 D.  e 2 x dx . 0 (Mã 103 2018) Cho hình phẳng  H  giới hạn bởi các đường y  x 2  3 , y  0 , x  0 , x  2 . Gọi V là thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay  H  xung quanh trục Ox . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 2 2 A. V    x 2  3 dx B. V     x 2  3 dx 0 0 2 2 2 C. V    x 2  3 dx 0 Câu 8. 2 D. V     x 2  3 dx 0 (Mã 105 2017) Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y  e x , trục hoành và các đường thẳng x  0 , x  1 . Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu? A. V  Câu 9.   e2  1  e2  1 B. V  2 2 e 2 C. V  3 D. V    e2  1  2 (Mã 104 2017) Cho hình phẳng D giới hạn với đường cong y  x 2  1 , trục hoành và các đường thẳng x  0, x  1 . Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu? 4 4 A. V  2 B. V  C. V  2 D. V  3 3 Câu 10. (Mã 123 2017) Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y  2  cos x , trục hoành và các đường thẳng x  0, x  bằng bao nhiêu? A. V  (   1) Câu 11.  . Khối tròn xoay tạo thành khi D quay quanh trục hoành có thể tích V 2 B. V    1 C. V    1 D. V  (   1) (Mã 110 2017) Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y  2  sin x , trục hoành và các đường thẳng x  0 , x   . Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quay quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu? A. V  2   1 Câu 12. C. V  2   1 B. V  2 D. V  2 2 (Mã 104 2018) Cho hình phẳng  H  giới hạn bởi các đường thẳng y  x 2  2, y  0, x  1, x  2 . Gọi V là thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay  H  xung quanh trục Ox . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 2 2   A. V   x 2  2 dx 1   2 B. V    x 2  2 dx 1 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 2   2 2 C. V   x2  2 dx 1 Câu 13.   D. V    x 2  2 dx 1 (Đề Tham Khảo 2017) Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x  1 và x  3 , biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x ( 1  x  3 ) thì được thiết diện là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là 3x và 3 x 2  2 . 124 124 A. V  B. V  (32  2 15) C. V  32  2 15 D. V  3 3 Câu 14. Tìm công thức tính thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi parabol  P  : y  x 2 và đường thẳng d : y  2 x quay xung quanh trục Ox . 2 2 2 A.    x 2  2 x  dx . 0 Câu 15. 2 2 2 2 B.   4x 2dx    x 4dx . C.   4x 2dx    x 4 dx . D.    2x  x 2  dx 0 0 0 0 0 (THPT Đoàn Thượng – Hải Dương – 2019) Cho hình phẳng  H  giới hạn bởi các đường y  x2  3, y  0, x  0, x  2 . Gọi V là thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay  H  xung quanh trục Ox . Mệnh đề nào sau đây đúng? 2 2 2 A. V     x 2  3 dx . B. V    x 2  3 dx . 0 0 2 2 C. V    x 2  3 dx . 0 Câu 16. 0 (Chuyên Trần Phú Hải Phòng 2019) Gọi V là thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay  hình thang cong, giới hạn bởi đồ thị hàm số y  sin x , trục Ox, trục Oy và đường thẳng x  , 2 xung quanh trục Ox. Mệnh đề nào dưới đây đúng?    2 2 2 A. V   sin 2 xdx B. V   sin xdx 0 Câu 17. 2 D. V     x 2  3 dx . 0  2 C. V    sin 2 xdx 0 D. V    sin xdx 0 Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y  x2  2 x , trục hoành, đường thẳng x  0 và x  1 quanh trục hoành bằng 16 2 4 8 A. . B. . C. . D. . 15 3 3 15 Câu 18. (THPT Yên Phong Số 1 Bắc Ninh 2019) Cho miền phẳng  D  giới hạn bởi y  x , hai đường thẳng x  1 , x  2 và trục hoành. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay  D  quanh trục hoành. A. 3 . Câu 19. B. 3 . 2 C. 2 . 3 D. 3 . 2 (Sở Phú Thọ 2019) Cho hình phẳng  H  giới hạn bởi các đường y  2 x  x 2 , y  0 . Quay  H  quanh trục hoành tạo thành khối tròn xoay có thể tích là 2 A. 2   2 x  x  dx 2 0 2 B.    2 x  x 2  dx 0 2 C. 2 2  2x  x  0 2 dx D.    2 x  x 2  dx Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 0 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 20. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y  tan x , y  0, x  0, x   4 quay xung quanh trục Ox . Tính thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra.  ln 2  ln 3 . B. A. 2 4  C. . D.  ln 2 . 4 Câu 21. (THPT Hoàng Hoa Thám Hưng Yên 2019) Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng  H  1 xác định bởi các đường y  x3  x 2 , y  0 , x  0 và x  3 quanh trục Ox là 3 81 81 71 71 A. . B. . C. . D. . 35 35 35 35 Câu 22. (Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai 2019) Thể tích khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi parapol (P): y  x 2 và đường thẳng d: y  2 x quay xung quanh trục Ox bằng: 2 2 A.   (2 x  x 2 ) dx . 0 2 2 B.   ( x 2  2 x) 2 dx . 0 2 2 C.   4 x 2 dx    x 4 dx . D.   4 x 2 dx    x 4 dx . 0 Câu 23. 0 0 0 (THPT Nghĩa Hưng NĐ- 2019) Tính thể tích của vật thể tạo nên khi quay quanh trục Ox hình phẳng D giới hạn bởi đồ thị  P  : y  2 x  x 2 và trục Ox bằng: A. V  19 . 15 B. V  13 . 15 C. V  17 . 15 D. V  16 . 15 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Chuyên đề 27 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ MỨC 7-8 ĐIỂM Dạng 1. Ứng dụng tích phân để tìm diện tích (C1 ) : y  f ( x) b   Hình phẳng ( H ) giới hạn bởi (C2 ) : y  g ( x) thì diện tích là S   f ( x)  g ( x) dx . a  x  a, x  b ( a  b )  (C1 ) : y  f ( x) b  Hình phẳng ( H ) giới hạn bởi (C2 ) : Ox : y  0 thì diện tích là S   f ( x) dx . a  x  a, x  b ( a  b )  Selip   ab. (E) : x2 y 2  1 a 2 b2  Hình thức đề thường hay cho Hình thức 1: Không cho hình vẽ, cho dạng ( H ) :{ y  f ( x), y  g ( x), x  a, x  b (a  b)} b casio    f ( x)  g ( x) dx  kết quả, so sánh với bốn đáp án. a Hình thức 2: Không cho hình vẽ, cho dạng ( H ) :{ y  f ( x), y  g ( x)} xi casio Giải f ( x)  g ( x) tìm nghiệm x1 ,…, xi , với x1 nhỏ nhất, xi lớn nhất    f ( x)  g ( x) dx. x1 Hình thức 3: Cho hình vẽ, sẽ giải phương trình tìm tọa độ giao điểm (nếu chưa cho trên hình), chia từng diện tích nhỏ, xổ hình từ trên xuống, ghi công thức và bấm máy tính. Hình thức 4: Cho ba hàm trở lên, chẳng hạn y  f ( x), y  g ( x), y  h( x) ta nên vẽ hình. Câu 1. (Đề Tham Khảo 2018) Cho  H là hình phẳng giới hạn bởi parabol y  3x 2 , cung tròn có phương trình y  4  x 2 (với 0  x  2 ) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của  H bằng A. Câu 2. 4  3 12 B. 4  3 6 C. 4  2 3  3 6 D. 5 3  2 3 Diện tích phần hình phẳng được tô đậm trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới đây? Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 1 A.  x2  2  1  x dx . B. 1   x2  2  2 1  x dx . D. 1 Câu 3. 2  x dx . 1 1 C.  x  x 2 2  x dx . 1 (Sở Bắc Giang 2019) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y  x ln x , trục hoành và đường thẳng x  e là A. Câu 4. e2  1 . 2 C. e2  1 . 4 e2  1 . 4 D. B. m  5 . C. m  2 . D. m  1 .  7  4 x 3 khi 0  x  1 (Chuyên KHTN 2019) Cho hàm số f  x   . Tính diện tích hình phẳng  2    4  x khi x  1 giới hạn bởi đồ thị hàm số f  x và các đường thẳng x  0, x  3, y  0 . A. Câu 6. e2  1 . 2 Giá trị dương của tham số m sao cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y  2 x  3 và các đường thẳng y  0, x  0, x  m bằng 10 là 7 A. m  . 2 Câu 5. B. 16 . 3 B. 20 . 3 C. 10 . D. 9 . (Chuyên Quốc Học Huế 2019) Tính diện tích S của hình phẳng ( H ) giới hạn bởi các đường cong y  x3 12x và y   x2 . A. S  Câu 7. 937 12 B. S  343 12 C. S  793 4 D. S  397 4 (Việt Đức Hà Nội 2019) Cho  H  là hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x , y  x  2 và trục hoành. Diện tích của  H  bằng y 2 O A. 7 . 3 B. 8 . 3 y x 2 4 C. 10 . 3 x D. 16 . 3 Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 8. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường y  x 2  x  1 và y  x 4  x  1 là A. Câu 9. 8 . 15 B. 7 . 15 C. 4 . 15 C. S  ln 2  1 . x 1 x 1 D. S  2ln 2  1 . (THPT Gia Lộc Hải Dương 2019) Tính diện tích của phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ sau: A. Câu 11. D. (THPT Nghĩa Hưng NĐ- 2019) Gọi S là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số ( H ) : y  và các trục tọa độ. Khi đó giá trị của S bằng A. S  ln 2  1 . B. S  2ln 2  1 . Câu 10. 2 . 5 10 . 3 B. 4 . C. 13 . 3 D. (HSG Bắc Ninh 2019) Cho hình phẳng  H  giới hạn bới parabol y  phương trình y  4  11 . 3 x2 và đường cong có 12 x2 (tham khảo hình vẽ bên ) 4 Diện tích hình phẳng  H  bằng:  2 4  3 A. 3  B. 4  3 6 C. 4  3 3 D. 4 3  6 Câu 12. Cho hàm số f  x  xác định và liên tục trên đoạn  5;3 có đồ thị như hình vẽ bên. Biết diện tích của hình phẳng  A ,  B  ,  C  ,  D  giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f  x  và trục hoành lần lượt là 6; 3; 12; 2 . Tính tích phân  1 3  2 f  2 x  1  1dx bằng Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 A. 27. B. 25. C. 17. D. 21. Câu 13. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x  1 và nửa trên của đường tròn x 2  y 2  1 bằng? A. Câu 14.  1  . 4 2 B.  1 2 .  2 1 .  D. 4 1 . [Kim Liên – Hà Nội – 2018] Cho  H  là hình phẳng được tô đậm trong hình vẽ và được giới hạn bởi các đường có phương trình y  A. Câu 15. C. 11 . 6 B. 13 . 2  x khi x  1 10 x  x2 , y   . Diện tích của  H  bằng? 3  x  2 khi x  1 C. 11 . 2 D. 14 . 3 (THCS&THPT Nguyễn Khuyến – Bình Dương – 2018) Cho đường tròn có đường kính bằng 4 và 2 Elip lần lượt nhận 2 đường kính vuông góc nhau của đường tròn làm trục lớn, trục bé của mỗi Elip đều bằng 1. Diện tích S phần hình phẳng ở bên trong đường tròn và bên ngoài 2 Elip (phần gạch carô trên hình vẽ) gần với kết quả nào nhất trong 4 kết quả dưới đây? Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A. S  4,8 . Câu 16. B. S  3, 9 . C. S  3,7 . D. S  3, 4 . (THPT Trần Quốc Tuấn – 2018) Tính diện tích S của miền hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số f  x   ax3  bx 2  c , các đường thẳng x  1 , x  2 và trục hoành (miền gạch chéo) cho trong hình dưới đây. A. S  Câu 17. 51 . 8 B. S  52 . 8 C. S  50 . 8 D. S  53 . 8 (Chuyên Thoại Ngọc Hầu – 2018) Cho hàm số f liên tục trên đoạn  6; 5 , có đồ thị gồm 2 5 đoạn thẳng và nửa đường tròn như hình vẽ. Tính giá trị I    f  x   2 dx . 6 A. I  2  35 . B. I  2  34 . C. I  2  33 . D. I  2  32 . Câu 18. Hình vuông OABC có cạnh bằng 4 được chia thành hai phần bởi đường cong  C  có phương 1 2 x . Gọi S1 , S2 lần lượt là diện tích của phần không bị gạch và bị gạch như hình vẽ bên 4 S dưới. Tỉ số 1 bằng S2 trình y  A. 3 . 2 B. 3 . C. 1 . 2 D. 2 . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Câu 19. (Việt Đức Hà Nội 2019) Kí hiệu S  t  là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường y  2 x  1, y  0 , x  1 , x  t  t  1 . Tìm t để S  t   10 . A. t  3 . Câu 20. B. t  4 . C. t  13 . D. t  14 . 3 x và parabol y  x 2  a ( a là tham số thực dương). 2 Gọi S1 , S2 lần lượt là diện tích hai hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bên. Khi S1  S2 thì (Mã 104 – 2019) Cho đường thẳng y  a thuộc khoảng nào dưới đây?   2 5 A.  0;  Câu 21. 1 9    2 16  B.  ; 2 9    5 20  C.  ;  9 1 ;   20 2  D.  3 1 x và parabol y  x 2  a , ( a là tham số thực dương). 4 2 Gọi S1 , S2 lần lượt là diện tích của hai hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bên. Khi S1  S2 (Mã 102 – 2019) Cho đường thẳng y  thì a thuộc khoảng nào dưới đây?  7 1 A.  ;  .  32 4  Câu 22. 1 9  B.  ;  .  4 32   3 7  C.  ;  .  16 32   3 D.  0;  .  16  (Mã 103 – 2019) Cho đường thẳng y  3 x và parabol 2 x 2  a ( a là tham số thực dương). Gọi S1 và S 2 lần lượt là diện tích của hai hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bên. Khi S1  S 2 thì a thuộc khoảng nào dưới đây?  9 A.  1;  .  8  9  B.  ;1 .  10  4 9  C.  ;  .  5 10   4 D.  0;  .  5 Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 23. (Mã 102 2018) Cho hai hàm số f  x   ax 2  bx 2  cx  2 và g  x   dx 2  ex  2 ( a , b , c , d , e   ). Biết rằng đồ thị của hàm số y  f  x  và y  g  x  cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là 2 ; 1; 1 (tham khảo hình vẽ). Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng 37 37 13 A. B. C. 12 6 2 Câu 24. (Mã 101 2018) Cho hai hàm số  a, b, c, d , e    . Biết rằng đồ thị hàm số D. f  x   ax 3  bx 2  cx  1 2 9 2 và g  x   dx 2  ex  1 y  f  x  và y  g  x  cắt nhau tại 3 điểm có hoành độ lần lượt là 3 ; 1 ; 1 (tham khảo hình vẽ). Hình phẳng giới hạn bởi 2 đồ thị đã cho có diện tích bằng A. 5 Câu 25. (Mã B. 103 2018) 9 2 C. 8 Cho hai hàm D. 4 số f  x   ax3  bx 2  cx  1 và 1  a, b, c, d , e    . Biết rằng đồ thị của hàm số y  f ( x) và y  g ( x) cắt nhau 2 tại ba điểm có hoành độ lần lượt 3; 1; 2 (tham khảo hình vẽ). g  x   dx 2  ex  Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng 253 125 253 A. B. C. 12 12 48 D. 125 48 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 7 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Câu 26. (Mã 104 2018) Cho hai hàm số f  x   ax 3  bx 2  cx   a, b, c, d , e    . Biết rằng đồ thị của hàm số 3 4 g  x   dx 2  ex  và 3 , 4 y  f  x  và y  g  x  cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là 2 ; 1; 3 (tham khảo hình vẽ). Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng A. Câu 27. 253 48 B. 125 24 C. 125 48 253 24 D. Cho parabol  P1  : y   x 2  2 x  3 cắt trục hoành tại hai điểm A, B và đường thẳng d : y  a  0  a  4  . Xét parabol  P2  đi qua A, B và có đỉnh thuộc đường thẳng y  a . Gọi S1 tích hình phẳng giới hạn bởi  P1  và d .Gọi S 2 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi  P2  là diện và trục hoành. Biết S1  S 2 , tính T  a3  8a 2  48a . A. T  99 . Câu 28. B. T  64 . C. T  32 . D. T  72 . (Tỉnh Bắc Ninh 2019) Cho hàm số y  f ( x ) là hàm số đa thức bậc bốn và có đồ thị như hình vẽ. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y  f ( x ); y  f ‘( x ) có diện tích bằng A. Câu 29. 127 . 40 B. 127 . 10 C. 107 . 5 D. 13 . 5 (THPT An Lão Hải Phòng 2019) Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường my  x 2 , mx  y 2  m  0  . Tìm giá trị của m để S  3 . A. m  1 Câu 30. B. m  2 C. m  3 D. m  4 (THPT Cẩm Giàng 2 -2019) Cho hình thang cong  H  giới hạn bởi các đường y  e x , y  0 , x  0 , x  ln 4 . Đường thẳng x  k  0  k  ln 4  chia  H  thành hai phần có diện tích là S1 và S2 như hình vẽ bên. Tìm k để S1  2 S 2 . Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 4 A. k  ln 2 . 3 8 B. k  ln . 3 C. k  ln 2 . D. k  ln 3 . Câu 31. Hình phẳng  H  được giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số đa thức bậc bốn y  f  x  và y  g  x  . Biết rằng đồ thị cảu hai hàm số này cắt nhau tại đúng ba điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là 3;  1; 2. Diện tích của hình phẳng  H  ( phần gạch sọc trên hình vẽ bên ) gần nhất với kết quả nào dưới đây? A. 3,11 Câu 32. B. 2,45 C. 3,21 D. 2,95 (THPT Quỳnh Lưu 3 Nghệ An 2019) Cho parabol  P  : y  x 2 và hai điểm A, B thuộc  P  sao cho AB  2 . Diện tích lớn nhất của hình phẳng giới hạn bởi  P  và đường thẳng AB là A. Câu 33. 3 . 4 B. 3 . 2 C. 2 . 3 D. (KTNL GV Thuận Thành 2 Bắc Ninh 2019) Cho Parabol 4 . 3  P  : y  x2  1 và đường thẳng d : y  mx  2 với m là tham số. Gọi m0 là giá trị của m để diện tích hình phẳng giới hạn bởi  P và d là nhỏ nhất. Hỏi m0 nằm trong khoảng nào? 1 A. ( 2;  ) . 2 Câu 34. C. (1; B. (0;1). 1 ). 2 1 D. ( ;3) . 2 (THPT Yên Phong Số 1 Bắc Ninh 2019) Cho hàm số f  x  xác định và liên tục trên đoạn  5;3 . Biết rằng diện tích hình phẳng S1 , S2 , S3 giới hạn bởi đồ thị hàm số f  x  và đường parabol y  g  x   ax 2  bx  c lần lượt là m, n, p . 3 Tích phân  f  x  dx bằng 5 A.  m  n  p  208 . 45 B. m  n  p  208 45 C. m  n  p  208 . 45 D. m  n  p  208 . 45 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 9 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Câu 35. Cho hàm số f  x  liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ bên. Biết rằng diện tích các phần  2  A ,  B  lần lượt bằng 3 và 7 . Tích phân  cos x . f  5sin x  1 dx bằng 0 A.  Câu 36. 4 5 B. 2 C. 4 5 D. 2 Cho hàm số y  f  x  có đồ thị như hình vẽ và diện tích hai phần A, B lần lượt bằng 11 và 2. 0 Giá trị của I   f  3x  1 dx bằng 1 A. 3. Câu 37. B. 13 . 3 C. 9. D. 13. (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Hình phẳng  H  được giới hạn bởi đồ thị  C  của hàm đa thức bậc ba và parabol  P  có trục đối xứng vuông góc với trục hoành. Phần tô đậm của hình vẽ có diện tích bằng A. 37 . 12 B. 7 . 12 C. 11 . 12 D. 5 . 12 Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 38. x2 (Việt Đức Hà Nội -2019) Parabol y  chia hình tròn có tâm là gốc tọa độ, bán kính bằng 2 S 2 2 thành hai phần có diện tích S1 và S2 , trong đó S1  S2 . Tìm tỉ số 1 . S2 A. Câu 39. 3  2 . 12 B. 9  2 . 3  2 C. 3  2 . 9  2 Tìm số thực a để hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm y  diện tích lớn nhất. 1 A. 3 . 2 B. 1. C. 2. D. 3  2 . 21  2 x 2  2ax  3a 2 a 2  ax và có y  1  a6 1  a6 D. 3 3. Câu 40. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên  , đồ thị hàm số y  f  x  như hình vẽ. Biết diện tích hình phẳng phần sọc kẻ bằng 3 . Tính giá trị của biểu thức: 2 T  1 A. T  Câu 41. 9 . 2 3 4 f   x  1 dx   f   x  1 dx   f  2 x  8  dx B. T  6 . 2 3 C. T  0 . D. T  3 . 2 (THPT Yên Khánh – Ninh Bình – 2019) Cho hàm số y  x 4  6 x 2  m có đồ thị  Cm  . Giả sử  Cm  cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt sao cho hình phẳng giới hạn bởi  Cm  và trục hoành có phần phía trên trục hoành và phần phía dưới trục hoành có diện tích bằng nhau. Khi đó m  a (với b a là phân số tối giản). Giá trị của biểu thức S  a  b là: b B. 6. C. 5. D. 4. a , b là các số nguyên, b  0 , A. 7. Câu 42. Hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị (C) của hàm số đa thức bậc ba và parabol (P) có trục đối xứng vuông góc với trục hoành. Phần tô đậm như hình vẽ có diện tích bằng A. 37 . 12 B. 7 . 12 C. 11 . 12 D. 5 . 12 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Câu 43. (Chuyên Hạ Long – 2018) Cho các số p, q thỏa mãn các điều kiện: p  1 , q  1 , 1 1   1 và p q các số dương a, b . Xét hàm số: y  x p 1  x  0  có đồ thị là  C  . Gọi  S1  là diện tích hình phẳng giới hạn bởi  C  , trục hoành, đường thẳng x  a , Gọi  S 2  là diện tích hình phẳng giới hạn bởi  C  , trục tung, đường thẳng y  b , Gọi  S  là diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục hoành, trục tung và hai đường thẳng x  a , y  b . Khi so sánh S1  S2 và S ta nhận được bất đẳng thức nào trong các bất đẳng thức dưới đây? A. Câu 44. a p bq   ab p q B. a p 1 b q 1 a p 1 b q 1 a p bq   ab . C.   ab . D.   ab . p 1 q 1 p 1 q 1 p q (Hà Nội – 2018) Cho khối trụ có hai đáy là hai hình tròn  O; R  và  O; R  , OO  4 R . Trên đường tròn  O; R  lấy hai điểm A, B sao cho AB  a 3 . Mặt phẳng  P  đi qua A , B cắt đoạn OO và tạo với đáy một góc 60 ,  P  cắt khối trụ theo thiết diện là một phần của elip. Diện tích thiết diện đó bằng  4 3 2  A.  R . 2   3 Câu 45.  2 3 2  B.  R . 4   3  2 3 2  C.  R . 4   3  4 3 2  D.  R . 2   3 (Chuyên Hùng Vương – Gia Lai – 2018) Cho parabol  P  : y  x 2 và một đường thẳng d thay đổi cắt  P  tại hai điểm A , B sao cho AB  2018 . Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi  P và đường thẳng d . Tìm giá trị lớn nhất S max của S . A. S max  Câu 46. 20183  1 . 6 B. S max  20183 . 3 C. S max  20183  1 . 6 D. S max  20183 . 3 (Chuyên KHTN – 2018) Cho hàm số y  ax 4  bx 2  c có đồ thị  C  , biết rằng  C  đi qua điểm A  1;0  , tiếp tuyến d tại A của  C  cắt  C  tại hai điểm có hoành độ lần lượt là 0 và 2 và diện tích hình phẳng giới hạn bởi d , đồ thị  C  và hai đường thẳng x  0 ; x  2 có diện tích bằng 28 (phần tô màu trong hình vẽ). 5 Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi  C  và hai đường thẳng x  1 ; x  0 có diện tích bằng A. Câu 47. 2 . 5 B. 1 . 4 C. 2 . 9 D. 1 . 5 (THPT Tứ Kỳ – Hải Dương – 2018) Đặt S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y  4  x 2 , trục hoành và đường thẳng x  2 , x  m ,  2  m  2  . Tìm số giá trị của tham số m để S  A. 2 . Câu 48. 25 . 3 B. 3 . C. 4 . D. 1 . (THPT Mộ Đức – Quảng Ngãi – 2018) Trong hệ trục tọa độ Oxy , cho parabol  P  : y  x 2 và hai đường thẳng y  a , y  b  0  a  b  (hình vẽ). Gọi S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol  P  và đường thẳng y  a (phần tô đen);  S 2  là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol  P  và đường thẳng y  b (phần gạch chéo). Với điều kiện nào sau đây của a và b thì S1  S 2 ? A. b  3 4a . Câu 49. B. b  3 2a . C. b  3 3a . D. b  3 6a . 3 2 x2 x  y 2  1 , parabol y  2 4 a c 3 (với và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ) có diện tích T    b d a c a, c  ; b, d  * ; , là các phân số tối giản). Tính S  a  b  c  d . b d (THPT Yên Khánh A – 2018) Cho hình phẳng giới hạn bởi Elip Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 A. S  32 . Câu 50. B. S  10 . C. S  15 . D. S  21 . Cho hàm số y  x3  ax 2  bx  c  a, b, c    có đồ thị  C  và y  mx 2  nx  p  m, n, p    có đồ thị  P  như hình vẽ. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi  C  và  P  có giá trị nằm trong khoảng nào sau đây? A.  0;1 . B. 1; 2  . C.  2;3 . D.  3;4  . Dạng 2. Ứng dụng tích phân để tìm thể tích  Thể tích vật thể Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b, S ( x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x, (a  x  b). Giả sử S ( x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó, thể tích của vật thể B được b xác định: V   S ( x) dx . a  Thể tích khối tròn xoay a) Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f ( x), trục hoành và hai đường thẳng x  a, x  b quanh trục Ox : Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 y y  f ( x) O a b (C ) : y  f ( x )  b (Ox ) : y  0 2 Vx     f ( x ) dx  x x  a a  x  b b) Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường x  g ( y ), trục hoành và hai đường thẳng y  c, y  d quanh trục Oy : y d c (C ) : x  g ( y )  (Oy ) : x  0  y  c  y  d x O d 2 Vy    g (y ) dy c c) Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f ( x), y  g ( x) (cùng nằm một phía so với Ox) và hai đường thẳng x  a, x  b quanh trục Ox : b y V    f 2 ( x )  g 2 ( x ) dx . f ( x) a g ( x) O a Câu 1. x b (Đề Minh Họa 2017) Kí hiệu  H  là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  2( x  1)e x , trục tung và trục hoành. Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình  H  xung quanh trục Ox A. V   e 2  5   Câu 2. B. V   4  2e   D. V  4  2e (THPT An Lão Hải Phòng 2019) Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo thành do quay xung quanh trục hoành một elip có phương trình A. 550 Câu 3. C. V  e2  5 B. 400 x2 y 2   1 . V có giá trị gần nhất với giá trị nào sau đây? 25 16 C. 670 D. 335 (THPT Cẩm Giàng 2 2019) Cho hình phẳng  H  giới hạn bởi các đường y  x 2  2 x , trục hoành và đường thẳng x  1 . Tính thể tích V hình tròn xoay sinh ra bởi H  khi quay  H  quanh trục Ox . A. V  Câu 4. 4 . 3 B. V  16 . 15 C. V  7 . 8 D. V  15 . 8 (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2019) Cho hình phẳng  D  được giới hạn bởi hai đường y  2  x 2  1 ; y  1  x2 . Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành do  D  quay quanh trục Ox . A. 64 . 15 B. 32 . 15 C. 32 . 15 D. 64 . 15 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Câu 5. (Chuyên Bắc Giang -2019) Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y  tan x , y  0 , x  0 ,  quay xung quanh trục Ox . Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng: 4 3   1  A. 5 B.  1   C. D.      2  4 2  x Câu 6. (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định -2019) Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x  2 , y  0 và x  9 quay xung quanh trục Ox . Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành. A. V  Câu 7. 7 . 6 B. V  5 . 6 C. V  7 . 11 D. V  11 . 6 (Chuyên Lê Quý Dôn Diện Biên 2019) Tính thể tích của vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình  H  quanh Ox với  H  được giới hạn bởi đồ thị hàm số y  hoành. 31 A. . 3 Câu 8. B. 32 . 3 C. 34 . 3 (Chuyên Nguyễn Tất Thành Yên Bái 2019) Cho hình phẳng D. 4 x  x 2 và trục 35 . 3 H  giới hạn bởi đồ thị y  2 x  x2 và trục hoành. Tính thể tích V vật thể tròn xoay sinh ra khi cho  H  quay quanh Ox . 4 A. V   . 3 Câu 9. B. V  16 . 15 C. V  16 . 15 D. V  4 . 3 Tính thể tích vật tròn xoay tạo bởi miền hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x  3 , y   x  3 , x  1 xoay quanh trục Ox . A. Câu 10. 41 . 2 B. 43 . 2 C. 41 . 3 D. 40 . 3 (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Ký hiệu ( H ) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị 2 hàm số y  f ( x)  x .e x , trục hoành, đường thẳng x  1 . Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay ( H ) quanh trục hoành. A. V  e 2  1 .   B. V   e2  1 . 1 C. V   e2  1 . 4 1 D. V   e2  1 . 4 Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/   TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 11. (THPT Yên Khánh – Ninh Bình 2019) Cho vật thể T  giới hạn bởi hai mặt phẳng x  0; x  2 . Cắt vật thể T  bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại x  0  x  2  ta thu được thiết diện là một hình vuông có cạnh bằng  x  1 e x . Thể tích vật thể T  bằng A.  13e4  1 4 . 13e4  1 B. . 4 C. 2e2 . D. 2 e2 . Câu 12. Cho hai mặt cầu  S1  ,  S2  có cùng bán kính R  3 thỏa mãn tính chất tâm của  S1  thuộc  S2  và ngược lại. Tính thể tích V phần chung của hai khối cầu tạo bởi  S1  ,  S2  . 45 45 45 45 . B. V  . C. V  . D. V  . 8 4 4 8 (Toán Học Tuổi Trẻ – 2018) Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị y  x và y  x 2 quay quanh A. V  Câu 13. trục tung tạo nên một vật thể tròn xoay có thể tích bằng   2 A. . B. . C. . 6 3 15 Câu 14. D. 4 . 15 (Chuyên Nguyễn Thị Minh Khai – Sóc Trăng – 2018) Cho hình ( H ) giới hạn bởi đồ thị hàm 3 3 x , cung tròn có phương trình y  4  x 2 (với 0  x  2) và trục hoành (phần tô đậm 9 trong hình vẽ). số y  c  a Biết thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay ( H ) quanh trục hoành là V    3   , d  b a c trong đó a, b, c, d  * và , là các phân số tối giản. Tính P  a  b  c  d . b d A. P  52 . B. P  40 . C. P  46 . D. P  34 . Câu 15. (HSG Tỉnh Bắc Ninh 2019) Cho hình phẳng ( H ) được giới hạn bởi đường cong y  m 2  x 2 ( m là tham số khác 0 ) và trục hoành. Khi ( H ) quay xung quanh trục hoành được khối tròn xoay có thể tích V . Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để V  1000 . A. 18. B. 20. C. 19. D. 21. Câu 16. Cho hàm số y  f  x   ax 3  bx 2  cx  d ,  a, b, c, d  , a  0  có đồ thị  C  . Biết rằng đồ thị C  tiếp xúc với đường thẳng y  4 tại điểm có hoành độ âm và đồ thị của hàm số y  f ‘  x  cho bởi hình vẽ dưới đây. Tính thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị  C  và trục hoành khi quay xung quanh trục Ox . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 17 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 A. Câu 17. 725 . 35 B. 1 . 35 C. 6 . D. đáp án khác. (THPT Gang Thép Thái Nguyên 2019) Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x , y  0 và x  4 quanh trục Ox . Đường thẳng x  a  0  a  4  cắt đồ thị hàm số y  x tại M (hình vẽ). Gọi V1 là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay tam giác OMH quanh trục Ox . Biết rằng V  2V1 . Khi đó A. a  2 . Câu 18. B. a  2 2 . C. a  5 . 2 (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Cho hình phẳng D. a  3 .  D giới hạn bởi các đường y  x   , y  sin x và x  0 . Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo thành do  D  quay quanh trục hoành và V  p 4 ,  p   . Giá trị của 24 p bằng A. 8 . B. 4 . C. 24 . D. 12 .  x2 y   4  x 2  y 2  16  2  x  2 Câu 19. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ,  H1  :  y   ,  H 2  :  x 2   y  2   4 . Cho 4   2 2  x  4, x  4  x   y  2   4    H1  ,  H 2  xoay quanh trục Oy ta được các vật thể có thể tích lần lượt V1 ,V2 . Đẳng thức nào sau đây đúng. A. V1  V2 . Câu 20. 1 B. V1  V2 . 2 C. V1  2V2 . 3 D. V1  V2 . 2 (THPT Chu Văn An -Thái Nguyên – 2018) Cho hình thang ABCD có AB song song CD và AB  AD  BC  a, CD  2a . Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình thang ABCD quanh trục là đường thẳng AB . A. 5 3 a . 4 B. 5 3 a . 2 C. 3 2 2 3 a . 3 D.  a3 . Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 21. (Chuyên Lê Hồng Phong – Tphcm – 2018) Cho đồ thị  C  : y  f  x   x . Gọi  H  là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị  C  , đường thẳng x  9 và trục Ox . Cho điểm M thuộc đồ thị  C  và điểm A  9;0  . Gọi V1 là thể tích khối tròn xoay khi cho  H  quay quanh trục Ox , V2 là thể tích khối tròn xoay khi cho tam giác AOM quay quanh trục Ox . Biết rằng V1  2V2 . Tính diện tích S phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị  C  và đường thẳng OM . A. S  3 . B. S  27 3 . 16 C. S  3 3 . 2 D. S  4 . 3 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 19 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Chuyên đề 27 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM Dạng 1. Ứng dụng tích phân để giải bài toán chuyển động Câu 1. (Mã 103 2018) Một chất điểm A xuất phát từ O , chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo 1 2 13 thời gian bởi quy luật v  t   t  t m/s  , trong đó t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc 100 30 A bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm B cũng xuất phát từ O , chuyển động thẳng cùng hướng với A nhưng chậm hơn 10 giây so với A và có gia tốc bằng a m/s 2  ( a là hằng số). Sau khi B xuất phát được 15 giây thì đuổi kịp A . Vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A bằng A. 15 m/s  B. 9  m/s  C. 42 m/s  D. 25 m/s  Câu 2. (Mã 104 2018) Một chất điểm A xuất phát từ O , chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo 1 2 58 thời gian bởi quy luật v  t   t  t  m / s  , trong đó t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc 120 45 A bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm B cũng xuất phát từ O , chuyển động   thẳng cùng hướng với A nhưng chậm hơn 3 giây so với A và có gia tốc bằng a m / s 2 ( a là hằng số). Sau khi B xuất phát được 15 giây thì đuổi kịp A . Vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A bằng A. 21 m / s  B. 25  m / s  C. 36  m / s  D. 30  m / s  Câu 3. (Đề Minh Họa 2017) Một ô tô đang chạy với vận tốc 10m/s thì người lái đạp phanh; từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v  t   5t  10 (m/s), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét? A. 0,2m B. 2m C. 10m D. 20m Câu 4. (Mã 102 2018) Một chất điểm A xuất phát từ O , chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo 1 2 59 thời gian bởi quy luật v  t   t  t  m / s  , trong đó t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc 150 75 a bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm B cũng xuất phát từ O , chuyển động thẳng cùng hướng với A nhưng chậm hơn 3 giây so với A và có gia tốc bằng a  m / s 2  ( a là hằng số). Sau khi B xuất phát được 12 giây thì đuổi kịp A . Vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A bằng A. 15  m / s  B. 20  m / s  C. 16  m / s  D. 13  m / s  Câu 5. (Mã 101 2018) Một chất điểm A xuất phát từ O , chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo 1 2 11 t  t  m / s  , trong đó t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc thời gian bởi quy luật v(t )  180 18 A bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm B cũng xuất phát từ O , chuyển động thẳng cùng hướng với A nhưng chậm hơn 5 giây so với A và có gia tốc bằng a  m / s 2  ( a là hằng số). Sau khi B xuất phát được 10 giây thì đuổi kịp A . Vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A bằng Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 A. 15  m / s  Câu 6. B. 10  m / s  C. 7  m / s  D. 22  m / s  1 (Mã 105 2017) Một vật chuyển động theo quy luật s   t 3  6t 2 với t (giây) là khoảng thời 2 gian tính từ khi vật đó bắt đầu chuyển động và s  m  là quãng đường vật di chuyển được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 6 giây, kể từ khi bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bào nhiêu? A. 18  m/s  Câu 7. B. 108  m/s  C. 64  m/s  D. 24  m/s  (ĐHQG Hà Nội – 2020) Chất điểm chuyển động theo quy luật vận tốc v  t  m / s  có dạng đường Parapol khi 0  t  5  s  và v  t  có dạng đường thẳng khi 5  t  10  s  .Cho đỉnh Parapol là I  2,3 . Hỏi quãng đường đi được chất điểm trong thời gian 0  t  10  s  là bao nhiêu mét? A. Câu 8. 181 . 2 B. 90 . C. 92 . D. 545 . 6 (Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai 2019) Một ô tô đang chạy với tốc độ 20  m / s  thì người lái đạp phanh, từ thời điểm đó ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v  t   5t  20  m / s  , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét ( m )? A. 20 m . B. 30 m . C. 10 m . D. 40 m . Câu 9. (THPT Quỳnh Lưu 3 Nghệ An 2019) Một ô tô đang chạy với vận tốc là 12  m / s  thì người lái đạp phanh; từ thời điểm đó ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v  t   6t  12  m / s  , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến lúc ô tô dừng hẳn, ô tô còn di chuyển được bao nhiêu mét? A. 8m . B. 12m . C. 15m . D. 10m . Câu 10. (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Một chiếc ô tô đang chạy với vận tốc 15m/s thì người lái xe hãm phanh. Sau khi hãm phanh, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v  t   3t  15  m/s  , trong đó t (giây). Hỏi từ lúc hãm phanh đến khi dừng hẳn, ô tô di chuyển được bao nhiêu mét? A. 38m. Câu 11. B. 37,2m. C. 37,5m. D. 37m. (Chuyên Bắc Giang 2019) động chậm dần đều với vận tốc v  t   10t  20 (m/s), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét? A. 5 m B. 20 m C. 40 m D. 10 m Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 12. (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Một ô tô đang chạy với vận tốc 10m / s thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v  t   2t  10  m / s  , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Tính quãng đường ô tô di chuyển được trong 8 giây cuối cùng. A. 55m . B. 25m . C. 50m . D. 16m . Câu 13. (THPT Thực Hành – TPHCM – 2018) Một chất điểm bắt đầu chuyển động thẳng đều với vận tốc v0 , sau 6 giây chuyển động thì gặp chướng ngại vật nên bắt đầu giảm tốc độ với vận tốc 5 chuyển động v(t )   t  a (m / s ), (t  6) cho đến khi dừng hẳn. Biết rằng kể từ lúc chuyển 2 động đến lúc dừng thì chất điểm đi được quãng đường là 80m. Tìm v0 . A. v0  35 m / s . Câu 14. B. v0  25 m / s . C. v0  10 m / s . D. v0  20 m / s . (THPT Lương Thế Vinh – HN – 2018) Một ô tô chuyển động nhanh dần đều với vận tốc v  t   7t  m/s  . Đi được 5  s  người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc a  35  m/s 2  . Tính quãng đường của ô tô đi được từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn? A. 87.5 mét. B. 96.5 mét. Câu 15. C. 102.5 mét. D. 105 mét. (Chuyên Lê Hồng Phong – NĐ – 2018) Một chất điểm đang chuyển động với vận tốc   v0  15 m/s thì tăng tốc với gia tốc a  t   t 2  4t m/s 2 . Tính quãng đường chất điểm đó đi được trong khoảng thời gian 3 giây kể từ lúc bắt đầu tăng vận tốc. A. 70, 25 m . B. 68, 25 m . C. 67, 25 m . Câu 16. D. 69, 75 m . (THPT Hoàng Hoa Thám – Hưng Yên – 2018) Một chất điểm chuyển động theo phương trình s  t   10  t  9t 2  t 3 trong đó s tính bằng mét, t tính bằng giây. Thời gian để vận tốc của chất điểm đạt giá trị lớn nhất (tính từ thời điểm ban đầu) là A. t  6 s . Câu 17. B. t  3  s  . C. t  2  s . (Chuyên Vĩnh Phúc – 2018) Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc v1  t   7t  m/ s  . Đi được 5s , người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc a  70  m/ s  . Tính quãng đường S 2 lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn. A. S  96, 25  m  . B. S  87, 5  m  . C. S  94  m  . Câu 18. D. t  5  s  . đi được của ô tô từ D. S  95, 7  m  . (SGD Thanh Hóa – 2018) Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc v1  t   2t  m/s  . Đi được 12 giây, người lái xe gặp chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc a  12  m/s2  . Tính quãng đường s  m  đi được của ôtô từ lúc bắt đầu chuyển động đến khi dừng hẳn? A. s  168  m  . B. s  166  m  . C. s  144  m  . Câu 19. D. s  152  m  . (Chuyên Thái Bình – 2018) Để đảm bảo an toàn khi lưu thông trên đường, các xe ô tô khi dừng đèn đỏ phải cách nhau tối thiểu 1m . Một ô tô A đang chạy với vận tốc 16 m/s bỗng gặp ô tô B đang dừng đèn đỏ nên ô tô A hãm phanh và chuyển động chậm dần đều với vận tốc được biểu thị bởi công thức vA  t   16  4t (đơn vị tính bằng m/s ), thời gian tính bằng giây. Hỏi rằng để có 2 ô tô A và B đạt khoảng cách an toàn khi dừng lại thì ô tô A phải hãm phanh khi cách ô tô B một khoảng ít nhất là bao nhiêu? Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 A. 33 . Câu 20. B. 12 . C. 31 . D. 32 . (THPT Phan Đình Phùng – Hà Tĩnh – 2018) Một vật chuyển động với vận tốc 10 m/s thì tăng tốc với gia tốc được tính theo thời gian là a  t   t 2  3t . Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 6 giây kể từ khi vật bắt đầu tăng tốc. A. 136m . B. 126m . C. 276m . Câu 21. D. 216m . (Chuyên Phan Bội Châu – Nghệ An – 2018) Một chiếc máy bay chuyển động trên đường băng với vận tốc v  t   t 2  10t  m / s  với t là thời gian được tính theo đơn vị giây kể từ khi máy bay bắt đầu chuyển động. Biết khi máy bay đạt vận tốc 200  m / s  thì rời đường băng. Quãng đường máy bay đã di chuyển trên đường băng là 2500 A. B. 2000  m  .  m . 3 Câu 22. C. 500  m  . D. 4000  m . 3 (Sở Lào Cai – 2018) Một ôtô đang dừng và bắt đầu chuyển động theo một đường thẳng với gia tốc a  t   6  2t  m / s 2  , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc ôtô bắt đầu chuyển động. Hỏi quảng đường ôtô đi được từ lúc bắt đầu chuyển động đến khi vận tốc của ôtô đạt giá trị lớn nhất là bao nhiêu mét? A. 18m . B. 36m . C. 22,5m . D. 6, 75m . Câu 23. (Mã 123 2017) Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v( km / h ) phụ thuộc vào thời gian t( h) có đồ thị vận tốc như hình bên. Trong thời gian 1 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh I (2; 9) và trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành. Tính quãng đường s mà vật chuyển động được trong 3 giờ đó (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm). A. s  21, 58( km) Câu 24. B. s  23, 25( km) C. s  13, 83( km) D. s  15, 50( km) (Mã 104 2017) Một người chạy trong thời gian 1 giờ, vận tốc v (km/h) phụ thuộc vào thời gian t 1 (h) có đồ thị là một phần parabol với đỉnh I  ; 8  và trục đối xứng song song với trục tung như 2  hình bên. Tính quảng đường s người đó chạy được trong khoảng thời gian 45 phút, kể từ khi chạy? Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A. s  2,3 (km) Câu 25. B. s  4,5 (km) C. s  5,3 (km) D. s  4 (km) (Mã 110 2017) Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v  km/h  phụ thuộc thời gian t  h  có đồ thị là một phần của đường parabol có đỉnh I  2;9 và trục đối xứng song song với trục tung như hình bên. Tính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó. A. s  25, 25  km  Câu 26. B. s  24, 25  km  C. s  24,75  km  D. s  26,75  km  (Mã 105 2017) Một vật chuyển động trong 4 giờ với vận tốc v (km/h) phụ thuộc thời gian t (h) có đồ thị của vận tốc như hình bên. Trong khoảng thời gian 3 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh I  2; 9  với trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành. Tính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 4 giờ đó. A. s  24 (km) Câu 27. B. s  28, 5 (km) C. s  27 (km) D. s  26, 5 (km) (KTNL GV THPT Lý Thái Tổ 2019) Một vật chuyển động trong 6 giờ với vận tốc v  km / h  phụ thuộc vào thời gian t  h  có đồ thị như hình bên dưới. Trong khoảng thời gian 2 giờ Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị là một phần đường Parabol có đỉnh I  3;9  và có trục đối xứng song song với trục tung. Khoảng thời gian còn lại, đồ thị vận tốc là một đường thẳng có hệ số góc 1 bằng . Tính quảng đường s mà vật di chuyển được trong 6 giờ? 4 A. Câu 28. 130  km . 3 B. 9  km  . C. 40  km  . D. 134  km . 3 (THPT Thực Hành – TPHCM – 2018) Một người chạy trong 2 giờ, vận tốc v (km/h) phụ thuộc vào thời gian t (h) có đồ thị là 1 phần của đường Parabol với đỉnh I 1;5  và trục đối xứng song song với trục tung Ov như hình vẽ. Tính quảng đường S người đó chạy được trong 1 giờ 30 phút kể từ lúc bắt đầu chạy (kết quả làm tròn đến 2 chữ số thập phân). A. 2,11km . Câu 29. B. 6,67 km . C. 5, 63 km. D. 5, 63km . (SGD Đồng Tháp – 2018) Một người chạy trong thời gian 1 giờ, với vận tốc v  km/h  phụ 1  thuộc vào thời gian t  h  có đồ thị là một phần của parabol có đỉnh I  ;8  và trục đối xứng 2  song song với trục tung như hình vẽ. Tính quãng đường S người đó chạy được trong thời gian 45 phút, kể từ khi bắt đầu chạy. Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A. 5,3  km  . Câu 30. B. 4,5  km  . C. 4  km  . D. 2,3  km  . (Chuyên Hạ Long 2018) Một vật chuyển động trong 4 giờ với vận tốc v (km/ h) phụ thuộc thời gian t (h) có đồ thị là một phần của đường parabol có đỉnh I (1;1) và trục đối xứng song song với trục tung như hình bên. Tính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 4 giờ kể từ lúc xuất phát. 40 (km). 3 Dạng 2. Ứng dụng tích phân để giải một số bài toán thực tế A. s  6 (km). Câu 1. B. s  8 (km). C. s  D. s  46 (km). 3 (Đề Tham Khảo 2019) Một biển quảng cáo có dạng hình elip với bốn đỉnh A1 , A2 , B1 , B2 như hình vẽ bên. Biết chi phí để sơn phần tô đậm là 200.000 vnđ / m 2 và phần còn lại 100.000 vnđ / m 2 . Hỏi số tiền để sơn theo cách trên gần nhất với số tiền nào dưới đây, biết A1 A2  8m , B1 B2  6m và tứ giác MNPQ là hình chữ nhật có MQ  3m ? Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 7 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 A. 5.526.000 đồng. Câu 2. B. 5.782.000 đồng C. 7.322.000 đồng. D. 7.213.000 đồng. (Trần Phú – Quảng Ninh – 2020) Một cái cổng hình Parabol như hình vẽ sau. Chiều cao GH  4m , chiều rộng AB  4m , AC  BD  0,9m . Chủ nhà làm hai cánh cổng khi đóng lại là hình chữ nhật CDEF tô đậm có giá là 1200000 đồng /m2 , còn các phần để trắng làm xiên hoa có giá là 900000 đồng /m2 . Hỏi tổng số tiền để làm hai phần nói trên gần nhất với số tiền nào dưới đây? A. 11445000 đồng. Câu 3. B. 4077000 đồng. C. 7368000 đồng. D. 11370000 đồng. Một biển quảng cáo với 4 đỉnh A, B , C , D như hình vẽ. Biết chi phí để sơn phần tô đậm là 200.000(đ/m 2 ) sơn phần còn lại là 100.000đ/m 2 . Cho AC  8m; BD  10m; MN  4 m Hỏi số tiền sơn gần với số tiền nào sau đây: A. 12204000đ . Câu 4. . B. 14207000đ . . C. 11503000đ . . D. 10894000đ . Một họa tiết hình cánh bướm như hình vẽ bên. Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Phần tô đậm được đính đá với giá thành 500.000đ/m 2 . Phần còn lại được tô màu với giá thành 250.000 đ / m 2 . Cho AB  4dm; BC  8dm. Hỏi để trang trí 1000 họa tiết như vậy cần số tiền gần nhất với số nào sau đây. A. 105660667đ . Câu 5. B. 106666667đ . C. 107665667đ . D. 108665667đ . (Thanh Hóa 2019) Một khuôn viên dạng nửa hình tròn, trên đó người thiết kế phần để trồng hoa có dạng của một cánh hoa hình parabol có đỉnh trùng với tâm và có trục đối xứng vuông góc với đường kính của nửa hình tròn, hai đầu mút của cánh hoa nằm trên nửa đường tròn (phần tô màu) và cách nhau một khoảng bằng 4  m  . Phần còn lại của khuôn viên (phần không tô màu) dành để trồng cỏ Nhật Bản. Biết các kích thước cho như hình vẽ, chi phí để trồng hoa và cỏ Nhật Bản tương ứng là 150.000 đồng/m2 và 100.000 đồng/m2. Hỏi cần bao nhiêu tiền để trồng hoa và trồng cỏ Nhật Bản trong khuôn viên đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng đơn vị) 4m 4m A. 3.738.574 (đồng). Câu 6. 4m B. 1.948.000 (đồng). C. 3.926.990 (đồng). D. 4.115.408 (đồng). (THPT Ngô Sĩ Liên Bắc Giang 2019) Người ta cần trồng một vườn hoa Cẩm Tú Cầu ( phần được gạch chéo trên hình vẽ). Biết rằng phần gạch chéo là hình phẳng giới hạn bởi parabol y  2 x 2  1 và nửa trên của đường tròn có tâm là gốc tọa độ và bán kính bằng 2  m  Tính số tiền tối thiểu để trồng xong vườn hoa Cẩm Tú Cầu biết rằng để trồng mỗi m 2 hoa cần ít nhất là 250000 đồng. A. 3π  2  250000 . 6 B. 3π  10 3π  10 3π  2  250000 . C.  250000 . D.  250000 6 3 6 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 9 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Câu 7. (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định -2019) Nhà trường dự định làm một vườn hoa dạng elip được chia ra làm bốn phần bởi hai đường parabol có chung đỉnh, đối xứng với nhau qua trục của elip như hình vẽ bên. Biết độ dài trục lớn, trục nhỏ của elip lần lượt là 8 m và 4 m , F1 , F2 là hai tiêu điểm của elip. Phần A , B dùng để trồng hoa, phần C , D dùng để trồng cỏ. Kinh phí để trồng mỗi mét vuông hoa và cỏ lần lượt là 250.000 đ và 150.000 đ. Tính tổng tiền để hoàn thành vườn hoa trên (làm tròn đến hàng nghìn). A. 5.676.000 đ. B. 4.766.000 đ. C. 4.656.000 đ. D. 5.455.000 đ. Câu 8. (Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An -2019) Người ta xây một sân khấu với mặt sân có dạng hợp của hai hình tròn giao nhau. Bán kính của hai của hai hình tròn là 20 mét và 15 mét. Khoảng cách giữa hai tâm của hai hình tròn là 30 mét. Chi phí làm mỗi mét vuông phân giao nhau của hai hình tròn là 300 ngàn đồng và chi phí làm mỗi mét vuông phần còn lại là 100 ngàn đồng. Hỏi số tiền làm mặt sân của sân khấu gần với số nào trong các số dưới đây? A. 202 triệu đồng. B. 208 triệu đồng. C. 218 triệu đồng. D. 200 triệu đồng. Câu 9. (Chuyen Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Người ta xây một sân khấu với sân có dạng của hai hình tròn giao nhau. Bán kính của hai hình tròn là 20 m và 15 m. Khoảng cách giữa hai tâm của hai hình tròn là 30 m. Chi phí làm mỗi mét vuông phần giao nhau của hai hình tròn là 300 nghìn đồng và chi phí làm mỗi mét vuông phần còn lại là 100 nghìn đồng. Hỏi số tiền làm mặt sân khấu gần với số nào nhất trong các số dưới đây? A. 218 triệu đồng. B. 202 triệu đồng. C. 200 triệu đồng. D. 218 triệu đồng. Câu 10. Bác Năm làm một cái cửa nhà hình parabol có chiều cao từ mặt đất đến đỉnh là 2, 25 mét, chiều rộng tiếp giáp với mặt đất là 3 mét. Giá thuê mỗi mét vuông là 1500000 đồng. Vậy số tiền bác Năm phải trả là: A. 33750000 đồng. B. 3750000 đồng. C. 12750000 đồng. D. 6750000 đồng. Câu 11. (THPT Ngô Quyền – Quảng Ninh – 2018) Một người có miếng đất hình tròn có bán kính bằng 5 m. Người này tính trồng cây trên mảnh đất đó, biết mỗi mét vuông trồng cây thu hoạch được 100 nghìn. Tuy nhiên cần có 1 khoảng trống để dựng 1 cái chòi và để đồ dùng nên người này bớt lại 1 phần đất nhỏ không trồng cây (phần màu trắng như hình vẽ), trong đó AB  6m . Hỏi khi thu hoạch cây thì người này thu được bao nhiêu tiền ? A. 3722 nghìn đồng. Câu 12. D. 7445 nghìn đồng. C. 7446 nghìn đồng. B. 3723 nghìn đồng. (THPT Yên Lạc – 2018) Một mảnh vườn hình elip có trục lớn bằng 100  m  và trục nhỏ bằng 80  m  được chia làm hai phần bởi một đoạn thẳng nối hai đỉnh liên tiếp của elip. Phần nhỏ hơn trồng cây Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 con và phần lớn hơn trồng rau. Biết lợi nhuận thu được là 2000 mỗi m 2 trồng cây con và 4000 mỗi m 2 trồng rau. Hỏi thu nhập của cả mảnh vườn là bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến phần nghìn). A. 31904000 . B. 23991000 . C. 10566000 . D. 17635000 . Câu 13. (Chuyên Vinh – 2018) Một cổng chào có dạng hình Parabol chiều cao 18 m , chiều rộng chân đế 12 m . Người ta căng hai sợi dây trang trí AB , CD nằm ngang đồng thời chia hình giới hạn bởi Parabol và mặt đất thành ba phần có diện tích bằng nhau (xem hình vẽ bên). Tỉ số A. 1 . 2 B. 4 . 5 C. 1 . 2 3 D. AB bằng CD 3 . 1 2 2 Câu 14. (THPT Kinh Môn – 2018) Một hoa văn trang trí được tạo ra từ một miếng bìa mỏng hình vuông cạnh bằng 10 cm bằng cách khoét đi bốn phần bằng nhau có hình dạng parabol như hình bên. Biết AB  5 cm, OH  4 cm. Tính diện tích bề mặt hoa văn đó. A. Câu 15. 160 2 cm . 3 B. 140 2 cm . 3 C. 14 2 cm . 3 D. 50 cm 2 . (Chuyên Vinh – 2018) Một viên gạch hoa hình vuông cạnh 40cm . Người thiết kế đã sử dụng bốn đường parabol có chung đỉnh tại tâm viên gạch để tạo ra bốn cánh hoa (được tô mầu sẫm như hình vẽ bên). Diện tích mỗi cánh hoa của viên gạch bằng Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 A. 800 cm2 . Câu 16. B. 800 2 cm . 3 C. 400 2 cm . 3 D. 250 cm 2 . (THPT Cẩm Giàng 2 -2019) Trong chương trình nông thôn mới, tại một xã Y có xây một cây cầu bằng bê tông như hình vẽ. Tính thể tích khối bê tông để đổ đủ cây cầu. (Đường cong trong hình vẽ là các đường Parabol). y O A. 19 m3 . B. 21m3 . C. 18 m3 . x D. 40 m3 . Câu 17. Để kỷ niệm ngày 26-3. Chi đoàn 12A dự định dựng một lều trại có dạng parabol, với kích thước: nền trại là một hình chữ nhật có chiều rộng là 3 mét, chiều sâu là 6 mét, đỉnh của parabol cách mặt đất là 3 mét. Hãy tính thể tích phần không gian phía bên trong trại để lớp 12A cử số lượng người tham dự trại cho phù hợp. A. 30 m3 B. 36 m3 C. 40 m3 D. 41 m3 Câu 18. (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2019) Săm lốp xe ô tô khi bơm căng đặt nằm trên mặt phẳng nằm ngang có hình chiếu bằng như hình vẽ với bán kính đường tròn nhỏ R1  20cm , bán kính đường tròn lớn R2  30cm và mặt cắt khi cắt bởi mặt phẳng đi qua trục, vuông góc mặt phẳng nằm ngang là hai đường tròn. Bỏ qua độ dày vỏ săm. Tính thể tích không khí được chứa bên trong săm. A. 1250 2 cm 3 . Câu 19. B. 1400 2 cm 3 . C. 2500 2 cm3 . D. 600 2 cm3 . (Chuyên Đại Học Vinh 2019) Chuẩn bị cho đêm hội diễn văn nghệ chào đón năm mới, bạn An đã làm một chiếc mũ “cách điệu” cho ông già Noel có dáng một khối tròn xoay. Mặt cắt qua trục của chiếc mũ như hình vẽ bên dưới. Biết rằng OO  5 cm , OA  10 cm , OB  20 cm , đường cong AB là một phần của parabol có đỉnh là điểm A . Thể tích của chiếc mũ bằng Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 2750 A. 3  cm  3 2500 B. 3  cm  3 2050 cm3  C.  3 D. 2250 3  cm  3 Câu 20. Cho chiếc trống như hình vẽ, có đường sinh là nửa elip được cắt bởi trục lớn với độ dài trục lớn bằng 80 cm, độ dài trục bé bằng 60 cm và đáy trống là hình tròn có bán kính bằng 60 cm. Tính thể tích V của chiếc trống (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị). 3 A. V  344963cm 3 B. V  344964cm 3 C. V  208347cm 3 D. V  208346cm Câu 21. Cho một vật thể bằng gỗ có dạng hình trụ với chiều cao và bán kính đáy cùng bằng R . Cắt khối gỗ đó bởi một mặt phẳng đi qua đường kính của một mặt đáy của khối gỗ và tạo với mặt phẳng đáy của khối gỗ một góc 300 ta thu được hai khối gỗ có thể tích là V1 và V2 , với V1  V2 . Thể tích V1 bằng? A. V1  Câu 22. 2 3R 3 . 9 B. V1  3 R 3 . 27 C. V1  3 R 3 . 18 D. V1  3R 3 . 27 (THPT Lê Quý Đôn Đà Nẵng 2019) Cho một mô hình 3  D mô phỏng một đường hầm như hình vẽ bên. Biết rằng đường hầm mô hình có chiều dài 5  cm  ; khi cắt hình này bởi mặt phẳng vuông góc với đấy của nó, ta được thiết diện là một hình parabol có độ dài đáy gấp đôi chiều cao 2 parabol. Chiều cao của mỗi thiết diện parobol cho bởi công thức y  3  x  cm  , với x  cm  là 5 khoảng cách tính từ lối vào lớn hơn của đường hầm mô hình. Tính thể tích (theo đơn vị cm3 ) không gian bên trong đường hầm mô hình ( làm tròn kết quả đến hàng đơn vị ) A. 29 . B. 27 . C. 31 . D. 33 . Câu 23. Một chi tiết máy được thiết kế như hình vẽ bên. Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Các tứ giác ABCD, CDPQ là các hình vuông cạnh 2,5cm . Tứ giác ABEF là hình chữ nhật có BE  3,5 cm . Mặt bên PQEF được mài nhẵn theo đường parabol  P  có đỉnh parabol nằm trên cạnh E F . Thể tích của chi tiết máy bằng 395 3 50 A. B. cm . cm3 . 24 3 Câu 24. C. 125 3 cm . 8 D. 425 3 cm . 24 (THPT Lục Ngạn 2018) Bổ dọc một quả dưa hấu ta được thiết diện là hình elip có trục lớn 28 cm , trục nhỏ 25 cm . Biết cứ 1000 cm3 dưa hấu sẽ làm được cốc sinh tố giá 20000 đồng. Hỏi từ quả dưa hấu trên có thể thu được bao nhiêu tiền từ việc bán nước sinh tố? Biết rằng bề dày vỏ dưa không đáng kể. A. 183000 đồng. B. 180000 đồng. C. 185000 đồng. D. 190000 đồng. Câu 25. (THPT Thực Hành – TPHCM – 2018) Một cốc rượu có hình dạng tròn xoay và kích thước như hình vẽ, thiết diện dọc của cốc (bổ dọc cốc thành 2 phần bằng nhau) là một đường Parabol. Tính thể tích tối đa mà cốc có thể chứa được (làm tròn 2 chữ số thập phân) A. V  320cm3 . Câu 26. B. V  1005, 31cm 3 . C. V  251, 33cm 3 . D. V  502, 65cm 3 . (Chuyên Thoại Ngọc Hầu – 2018) Có một cốc nước thủy tinh hình trụ, bán kính trong lòng đáy cốc là 6cm , chiều cao lòng cốc là 10 cm đang đựng một lượng nước. Tính thể tích lượng nước trong cốc, biết khi nghiêng cốc nước vừa lúc khi nước chạm miệng cốc thì đáy mực nước trùng với đường kính đáy. Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A. 240 cm3 . Câu 27. C. 120 cm 3 . D. 120 cm3 . (Chuyên Thoại Ngọc Hầu — 2018) Cho vật thể đáy là hình tròn có bán kính bằng 1 (tham khảo hình vẽ). Khi cắt vật thể bằng mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x  1  x  1 thì được thiết diện là một tam giác đều. Thể tích V của vật thể đó là A. V  3 . Câu 28. B. 240 cm 3 . B. V  3 3 . C. V  4 3 . 3 D. V   . (THPT Bình Giang – Hải Dương – 2018) Sân vận động Sport Hub (Singapore) là sân có mái vòm kỳ vĩ nhất thế giới. Đây là nơi diễn ra lễ khai mạc Đại hội thể thao Đông Nam Á được tổ chức tại Singapore năm 2015 . Nền sân là một elip  E  có trục lớn dài 150m , trục bé dài 90m (hình 3). Nếu cắt sân vận động theo một mặt phẳng vuông góc với trục lớn của  E  và cắt elip ở M , N (hình 3) thì ta được thiết diện luôn là một phần của hình tròn có tâm I (phần tô đậm trong   900. Để lắp máy điều hòa không khí thì các kỹ sư hình 4) với MN là một dây cung và góc MIN cần tính thể tích phần không gian bên dưới mái che và bên trên mặt sân, coi như mặt sân là một mặt phẳng và thể tích vật liệu là mái không đáng kể. Hỏi thể tích xấp xỉ bao nhiêu? Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Hình 3 A. 57793m3 . B. 115586m3 . C. 32162m3 . D. 101793m3 . Câu 29. (Trần Phú – Hà Tĩnh – 2018) Một cái thùng đựng dầu có thiết diện ngang (mặt trong của thùng) là một đường elip có trục lớn bằng 1m , trục bé bằng 0,8m , chiều dài (mặt trong của thùng) bằng 3m . Đươc đặt sao cho trục bé nằm theo phương thẳng đứng (như hình bên). Biết chiều cao của dầu hiện có trong thùng (tính từ đáy thùng đến mặt dầu) là 0,6m . Tính thể tích V của dầu có trong thùng (Kết quả làm tròn đến phần trăm). A. V  1,52m3 . Câu 30. B. V  1,31m3 . C. V  1, 27m3 . D. V  1,19m3 . (Sở Yên Bái – 2018) Người ta thay nước mới cho một bể bơi có dạng hình hộp chữ nhật có độ sâu là 280 cm. Giả sử h  t  là chiều cao (tính bằng cm) của mực nước bơm được tại thời điểm t giây, biết rằng tốc độ tăng của chiều cao mực nước tại giây thứ t là h(t )  hồ bơi không có nước. Hỏi sau bao lâu thì bơm được số nước bằng đến giây)? A. 2 giờ 36 giây. Câu 31. B. 2 giờ 34 giây. C. 2 giờ 35 giây. 1 3 t  3 và lúc đầu 500 3 độ sâu của hồ bơi (làm tròn 4 D. 2 giờ 36 giây. (THPT Ngô Quyền – Quảng Ninh 2018) Một bác thợ xây bơm nước vào bể chứa nước. Gọi h  t  là thể tích nước bơm được sau t giây. Cho h  t   6at 2  2bt và ban đầu bể không có nước. Sau 3 giây thì thể tích nước trong bể là 90m3 , sau 6 giây thì thể tích nước trong bể là 504m3 . Tính thể tích nước trong bể sau khi bơm được 9 giây. A. 1458m3 . Câu 32. B. 600m3 . C. 2200m3 . D. 4200m3 . 1 hình 4 trụ có bán kính a , hai trục hình trụ vuông góc với nhau như hình vẽ sau. Tính thể tích của khối (Chuyên Nguyễn Trãi – Hải Dương – Lần 2 – 2020) Gọi  H  là phần giao của hai khối H  . Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 a3 3a 3 2a 3 . B. V H   . C. V H   . 2 4 3 Dạng 3. Ứng dụng tích phân để giải quyết một số bài toán đại số A. V H   Câu 1. D. V H    a3 4 . Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f   x  liên tục trên đoạn  0;5 và đồ thị hàm số y  f   x  trên đoạn  0;5 được cho như hình bên. Tìm mệnh đề đúng A. f  0   f  5   f  3 . B. f  3  f  0   f  5  . C. f  3  f  0   f  5  . D. f  3  f  5   f  0  . Câu 2. (Mã 110 B 2017) Cho hàm số y  f  x  . Đồ thị của hàm số y  f   x  như hình bên. Đặt 2 g  x   2 f  x    x  1 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. g 1  g  3  g  3 B. g 1  g  3  g  3