Chuyên đề nguyên hàm, tích phân và ứng dụng – Lư Sĩ Pháp

Giới thiệu Chuyên đề nguyên hàm, tích phân và ứng dụng – Lư Sĩ Pháp

Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và bạn đọc Chuyên đề nguyên hàm, tích phân và ứng dụng – Lư Sĩ Pháp CHƯƠNG NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN.

Chuyên đề nguyên hàm, tích phân và ứng dụng – Lư Sĩ Pháp

Tài liệu môn Toán 12 và hướng dẫn giải chi tiết các đề thi từ cơ bản đến vận dụng cao sẽ luôn được cập thường xuyên từ hoctoanonline.vn , các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán hay và mới nhất.

Tài liệu Chuyên đề nguyên hàm, tích phân và ứng dụng – Lư Sĩ Pháp

Các em học sinh và bạn đọc tìm kiếm thêm tài liệu Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng tại đây nhé.

Text Chuyên đề nguyên hàm, tích phân và ứng dụng – Lư Sĩ Pháp
Giáo Viên Trường THPT Tuy Phong GIAÛI TÍCH 12 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG LỜI NÓI ĐẦU Quý đọc giả, quý thầy cô và các em học sinh thân mến! Nhằm giúp các em học sinh có tài liệu tự học môn Toán, tôi biên soạn cuốn giải toán trọng tâm của lớp 12. Nội dung của cuốn tài liệu bám sát chương trình chuẩn và chương trình nâng cao về môn Toán đã được Bộ Giáo dục và Đào tạo quy định. NỘI DUNG 1. Lí thuyết cần nắm ở mỗi bài học 2. Bài tập trắc nghiệm 3. Bổ sung đầy đủ các dạng đề thi THPT QG. Cuốn tài liệu được xây dựng sẽ còn có những khiếm khuyết. Rất mong nhận được sự góp ý, đóng góp của quý đồng nghiệp và các em học sinh để lần sau cuốn bài tập hoàn chỉnh hơn. Mọi góp ý xin gọi về số 0939989966 – 0916 620 899 Email: [email protected] Chân thành cảm ơn. Lư Sĩ Pháp GV_ Trường THPT Tuy Phong MỤC LỤC PHẦN TỰ LUẬN NGUYÊN HÀM ————————————————————— 01 – 19 TÍCH PHÂN ——————————————————————- 20 – 46 ỨNG DỤNG ——————————————————————- 47 – 51 ÔN TẬP CHƯƠNG III —————————————————— 52 – 75 PHẦN TRẮC NGHIỆM NGUYÊN HÀM ————————————————————— 01 – 15 TÍCH PHÂN ——————————————————————- 16 – 30 ỨNG DỤNG ——————————————————————- 31 – 38 ÔN TẬP CHƯƠNG III —————————————————— 39 – 60 ÔN TẬP THI THPT ——————————————————— 61 – 76 ĐÁP ÁN————————————————————————- 77 – 81 Toán 12 GV. Lư Sĩ Pháp CHƯƠNG III NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN – ỨNG DỤNG —0O0— §1. NGUYÊN HÀM A. KIẾN THỨC CẦN NẮM I. Nguyên hàm và tính chất 1. Nguyên hàm a) Định nghĩa: Cho hàm số f ( x) xác định trên K. Hàm số F ( x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f ( x) trên K nếu F ‘( x) = f ( x) với mọi x ∈ K . b) Định lí Nếu F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G ( x) = F ( x) + C cũng là một nguyên hàm của f ( x) trên K. Nếu F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) trên K thì mọi nguyên hàm của f ( x) trên K đều có dạng F ( x) + C , với C là một hằng số. Họ tất cả các nguyên hàm của f ( x) trên K được kí hiệu: Vậy: ∫ f ( x)dx . ∫ f ( x)dx = F ( x) + C 2. Tính chất của nguyên hàm a) ∫ f ‘( x )dx = f ( x) + C b) ∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx (với k là một hằng số khác 0) c) ∫ [ f ( x) ± g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx 3. Sự tồn tại của nguyên hàm Định lí: Mọi hàm số f ( x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K Bảng nguyên hàm của một số hàm thường gặp Bảng 1 Nguyên hàm của hàm sơ cấp Nguyên hàm của hàm số hợp (với u = u( x ) ) 1. ∫ 0dx = C 1. ∫ 0du = C 2. ∫ dx = x + C 2. ∫ du = u + C 3. α ∫ x dx = 1 xα +1 + C (α ≠ −1) α +1 3. ∫ u α du = 1 uα +1 + C (α ≠ −1) α +1 ∫ x dx = ln x + C 5. ∫ e dx = e + C ∫ u du = ln u + C 5. ∫ e du = e + C 6. ∫ a x dx = ax + C (a ≠ 1, a > 0) ln a 7. ∫ cos xdx = sin x + C au + C (a ≠ 1, a > 0) ln a 7. ∫ cos udu = sin u + C 8. ∫ sin xdx = − cos x + C 8. ∫ sin udu = − cos u + C 4. x 9. u x 1 ∫ cos 10. 4. 2 x 2 6. ∫ a u du = dx = tan x + C 1 ∫ sin x 9. 1 ∫ cos 10. ∫ dx = − cot x + C Chương III. Nguyên hàm, Tích phân u 1 2 u du = tan u + C 1 du = − cot u + C sin 2 u và Ứng dụng. SyPhap 0939989966 Toán 12 GV. Lư Sĩ Pháp Bảng 2 1. ∫ cos kxdx = 3. ∫ e kx dx = sin kx +C k 2. ∫ sin kxdx = − e kx +C k dx 1 ∫ ax + b = a .ln ax + b + C 4. 1 ( ax + b ) 1. ∫ ( ax + b ) dx = . + C (n ≠ −1) a n +1 1 1 1 2. ∫ dx = − . +C 2 a ax + b ax + b ( ) cos kx +C k Bảng 3 Với a ≠ 0 n +1 1 1 dx = .ln ax + b + C ax + b a 1 6. ∫ e ax + b dx = .e ax + b + C a n 5. ∫ 1 3. ∫ cos ( ax + b ) dx = .sin ( ax + b ) + C a 1 1 4. ∫ dx = .tan ( ax + b ) + C 2 a cos ( ax + b ) 1 7. ∫ sin ( ax + b ) dx = − .cos ( ax + b ) + C a 1 1 8. ∫ 2 dx = − .cot ( ax + b ) + C a sin ( ax + b ) II. Phương pháp tính nguyên hàm 1. Phương pháp biến đổi Nếu ∫ f (u)du = F (u) + C và u = u( x ) là hàm số có đạo hàm liên tục thì ∫ f (u( x ))u ‘( x )dx = F(u( x )) + C . Lưu ý: Đặt t = u( x ) ⇒ dt = u ( x )dx . Khi đó: ∫ f (t)dt = F(t) + C , sau / đó thay ngược lại t = u( x ) ta được kết quả cần tìm. Với u = ax + b(a ≠ 0) , ta có 1 ∫ f (ax + b)dx = a F(ax + b) + C 2. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần Nếu hai hàm số u = u( x ) và v = v( x ) có đạo hàm liên tục trên K thì ∫ u( x )v ‘( x )dx = u( x ).v( x ) − ∫ u ‘( x )v( x )dx Đặt u = f ( x ) ⇒ du = f / ∫ udv = uv − ∫ vdu ( x )dx và dv = g( x )dx ⇒ v = ∫ g( x )dx = G( x ) (chọn C = 0) Lưu ý: Với P( x ) là đa thức N.Hàm P( x )e x dx ∫ Đặt u P(x) dv e x dx Hay ∫ P( x ) cos xdx hay ∫ P( x )sin xdx ∫ P( x ) ln xdx P(x) cos xdx hay sin xdx lnx P( x )dx Lưu ý: Cách đặt u: “Nhất logarit (ln) – Nhì đa – Tam lượng (giác) – Tứ mũ” và phần còn lại là dv. Yêu cầu tìm nguyên hàm của một hàm số được hiểu là tìm nguyên hàm trên từng khoảng xác định của nó. Chương III. Nguyên hàm, Tích phân 2 và Ứng dụng. SyPhap 0939989966 Toán 12 GV. Lư Sĩ Pháp B. BÀI TẬP Dạng 1. Tìm nguyên hàm bằng cách sử dụng bảng các nguyên hàm Phương pháp: Dùng thành thạo các bảng nguyên hàm Bài 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: d) f ( x ) = x 2 + 2 x a) ∫ 4 x 4 dx = b) e) f ( x ) = x2 + 2 3 −1+ 2 f) f ( x ) = x x HD Giải x 4 5 x +C 5 1 2 ∫ x 2 ( 2 x − 1)( x + 1) c) f ( x ) = cos b) f ( x ) = x a) f ( x ) = 4 x 4 xdx = ∫ x dx = x c) ∫ cos dx = 2 1 +1 2 3 2 x x 2 3 +C = +C = x +C 1 3 3 +1 2 2 x 2 + C = 2sin x + C 1 2 2 sin 1 1  x − 2  x 2 1 1 1 1 1 3 d) ∫  + dx + ∫ dx = ∫ x 2 dx + 2 ∫ x 2 dx = x 3 + 4 x 2 + C = x + 4 x +C  dx = ∫  2  2 2 3 3 x x   2  x +2  3  2 3  x2 3 e) ∫  − 1 + 2  dx = ∫  x + − 1 + 2  dx = + 2 ln x − x − + C 2 x x x  x    x 1 1  ( 2 x − 1)( x + 1)   23 −   1  2 2  dx = ∫  2 x x + x − f) ∫  x dx x x x = 2 + −   dx  ∫   x x       1 2 5 2 3 4 2 = 2. x 2 + x 2 − 2 x 2 + C = x 2 x + x x − 2 x + C 5 3 5 3 Bài 2. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 2 1 a) f ( x ) = 3sin x + b) f ( x ) = 2 x 2 + c) f ( x ) = 3 cos x − 3x −1 3 2 x x ( d) f ( x ) = ( x − 1) x 4 + 3 x a) b) c) d) e) ) e) f ( x ) = sin 2 x f) f ( x ) = cos2 x HD Giải   2 1 ∫  3sin x + x  dx = 3∫ sin xdx +2∫ x dx = −3 cos x + 2 ln x + C 2 1  2 − 1  2 3 2 2 3 3 x + dx = x dx + x dx = x + x + C = x3 + 33 x + C 2 2 3  ∫  ∫ ∫ 3 2  3 3 x   1 x 1 3x 3x −1 x −1 3 cos x − 3 = 3 cos xdx − 3 dx = 3sin x − + C = 3sin x − +C ∫ ∫ 3∫ 3 ln 3 ln 3 x6 x5 3 4 5 4 2 x − 1 x + 3 x dx = x − x + 3 x − 3 x dx = − + x3 − x2 + C ( ) ∫ ∫ 6 5 2 1 − cos 2 x 1 1 1 1 2 ∫ sin xdx = ∫ 2 dx = 2 ∫ dx − 2 ∫ cos 2 xdx = 2 x − 4 sin 2 x + C ( ) ( ) ( Chương III. Nguyên hàm, Tích phân ) 3 và Ứng dụng. SyPhap 0939989966 Toán 12 GV. Lư Sĩ Pháp 1 + cos 2 x 1 1 1 1 dx = ∫ dx + ∫ cos 2 xdx = x + sin 2 x + C 2 2 2 2 4 Bài 3. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: e− x  e− x  x  x  a) f ( x ) = e  7 − b) f ( x ) = e  2 + 2   cos2 x  sin x    f) ∫ cos2 xdx = ∫ d) f ( x ) = cos3 x cos x + 1 c) f ( x ) = 1 − cos 2 x cos2 x HD Giải e) f ( x ) = 1 sin x.cos2 x f) f ( x ) = 2 1 2x + 1   x e− x  1  x a) ∫ e  7 −  dx = ∫  7e −  dx = 7e − tan x + C 2 2 cos x  cos x    −x    e 1  b) ∫ e x  2 + 2  dx = ∫  2e x + 2  dx = 2e x − cot x + C sin x  sin x    x 1 sin 2 x + cos2 x 1 1 dx = ∫ sin2 x.cos2 x ∫ sin2 x.cos2 x dx = ∫ cos2 x dx + ∫ sin2 x dx = tan x − cot x + C   3     cos x 1 1 2 d) ∫ dx = ∫  cos2 x − cos x + 1 −  dx  dx = ∫  cos x − cos x + 1 − x cos x + 1 cos x + 1    2 cos2   2 3 1 x = x + sin 2 x − sin x − tan + C 2 4 2 2  1  1 − cos 2 x 2sin x e) ∫ dx = ∫ dx = 2 ∫  − 1 dx = 2 ( tan x − x ) + C 2 2 2 cos x cos x  cos x  c) 1 dx = 2 x + 1 + C 2x + 1 Dạng 2. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số Phương pháp: Nếu ∫ f (t )dt = F (t ) + C và t = ϕ ( x ) có đạo hàm liên tục, thì f) ∫ Lưu ý: ∫ f (ϕ ( x )) ϕ ( x )dx = F (ϕ ( x )) + C / t = ϕ ( x ) ⇒ dt = ϕ / ( x )dx g(t ) = ϕ ( x ) ⇒ g / (t )dt = ϕ / ( x )dx Sau khi tính ∫ f (t )dt theo t, ta phải thay lại t = ϕ ( x ) Bài 4. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) ∫ esin x .cos xdx b) ∫ e cos x .sin xdx 2 d) ∫ ecos x .sin 2 xdx 2 c) ∫ esin x .sin 2 xdx e) ∫ sin 2 x cos xdx a) Đặt t = sin x ⇒ dt = cos xdx . Vậy ∫ e sin x f) ∫ cos2 x sin xdx HD Giải .cos xdx = ∫ et dt = et + C = esin x + C b) Đặt t = cos x ⇒ dt = − sin xdx . Vậy ∫ e cos x .sin xdx = − ∫ et dt = −et + C = −e cos x + C 2 2 c) Đặt t = sin 2 x ⇒ dt = 2sin x cos xdx = sin 2 xdx . Vậy ∫ esin x .sin 2 xdx = ∫ et dt = et + C = esin x + C d) Đặt t = cos2 x ⇒ dt = −2 sin x cos xdx = − sin 2 xdx . 2 2 Vậy ∫ ecos x .sin 2 xdx = − ∫ et dt = −et + C = −ecos x + C Chương III. Nguyên hàm, Tích phân 4 và Ứng dụng. SyPhap 0939989966 Toán 12 GV. Lư Sĩ Pháp 1 1 e) Đặt t = sin x ⇒ dt = cos xdx . Vậy ∫ sin 2 x cos xdx = ∫ t 2 dt = t 3 + C = sin 3 x + C 3 3 1 1 f) Đặt t = cos x ⇒ dt = − sin xdx . Vậy ∫ cos2 x sin xdx = − ∫ t 2 dt = − t 3 + C = − cos3 x + C 3 3 Bài 5. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: etan x a) ∫ tan xdx b) ∫ cot xdx c) ∫ dx cos2 x sin ( ln x ) 1 + tan x dx d) ∫ dx e) dx f) ∫ ∫ 2 x cos x x ln x ln ( ln x ) HD Giải sin x dx . Đặt t = cos x ⇒ dt = − sin xdx . cos x dt Vậy ∫ tan xdx = − ∫ = − ln t + C = − ln cos x + C t cos x b) ∫ cot xdx = ∫ dx . Đặt t = sin x ⇒ dt = cos xdx . sin x dt Vậy ∫ cot xdx = ∫ = ln t + C = ln sin x + C t 1 e tan x c) Đặt t = tan x ⇒ dt = dx . V ậ y dx = ∫ et dt = et + C = e tan x + C ∫ 2 2 cos x cos x 1 d) Đặt t = 1 + tan x ⇒ t 2 = 1 + tan x ⇒ 2tdt = dx . cos2 a) ∫ tan xdx = ∫ 3 1 + tan x 2 2 2 dx = ∫ t.2tdt = t 3 + C = 1 + tan x ) + C = (1 + tan x ) 1 + tan x + C ( 2 3 3 3 cos x sin ( ln x ) 1 e) Đặt t = ln x ⇒ dt = dx . Vậy ∫ dx = ∫ sin tdt = − cos t + C = − cos ( ln x ) + C x x Vậy ∫ f) Đặt t = ln ( ln x ) ( ln x ) ⇒ dt = ln x / dx = 1 dx . Vậy x ln x dx ∫ x ln x ln ( ln x ) = ∫ dt = ln t + C = ln ln ( ln x ) + C t Bài 6. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) ∫ (1− x ) dx d) ∫e 9 x dx + e− x + 2 ( b) 2 ∫ x 1+ x e) ∫ xe − x2 ) 3 2 c) ∫ cos3 x sin xdx dx f) dx ∫ cos x + sin x HD Giải a) Đặt t = 1 − x thì dt = −dx ⇒ dx = − dt . 9 9 t10 (1 − x )10 9 Vậy ∫ (1 − x ) dx = − ∫ t dt = − + C . Vậy ∫ (1 − x ) dx = − +C 10 10 dt . b) Đặt t = 1 + x 2 thì dt = 2 xdx ⇒ dx = 2x 3 3 1 3 1 5 1 Vậy ∫ x 1 + x 2 2 dx = ∫ t 2 dt = t 2 + C . Vậy ∫ x 1 + x 2 2 dx = 1 + x 2 2 5 5 1 c) Đặt t = cos x ⇒ dt = − sin xdx . Khi đó ∫ cos3 x sin xdx = − cos4 x + C 4 ( ) Chương III. Nguyên hàm, Tích phân ( 5 ) ( sin x − cos x ) và Ứng dụng. 5 2 dx +C SyPhap 0939989966 Toán 12 GV. Lư Sĩ Pháp dx −1 = +C −x + e + 2 1 + ex 2 1 2 e) Đặt t = x 2 ⇒ dt = 2 xdx . Khi đó ∫ xe− x dx = − e− x + C 2 cos x + sin x f) Đặt t = sin x − cos x ⇒ dt = ( cos x + sin x ) dx . Khi đó ∫ dx = 2 sin x − cos x + C sin x − cos x Bài 7. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 3 4 2x a) ∫ ( 2 x + 1) dx b) ∫ 2 x x 2 + 1 dx c) ∫ dx 3 x2 + 4 d) Đặt t = e x + 1 ⇒ dt = e x dx . Khi đó ∫e x ( d) ∫ cos(7 x + 5)dx g) ∫ 9×2 1− x 3 ) e) ∫ esin x cos xdx ∫ h) dx 1 ( ) x 1+ x 2 dx 1+ x 2 f) ∫ xe i) ∫x 4 dx 1− x 2 dx HD Giải 5 1 a) Đặt t = 2 x + 1 ⇒ dt = 2dx . Khi đó ∫ ( 2 x + 1) dx = ( 2 x + 1) + C 10 3 4 1 b) Đặt t = x 2 + 1 ⇒ dt = 2 xdx . Khi đó ∫ 2 x x 2 + 1 dx = x 2 + 1 + C 4 2 2x 3 c) Đặt t = x 2 + 4 ⇒ dt = 2 xdx . Khi đó ∫ dx = x 2 + 4 3 + C 3 2 x2 + 4 4 ( ) ( ( ) ) 1 d) Đặt t = 7 x + 5 ⇒ dt = 7dx . Khi đó ∫ cos(7 x + 5)dx = sin(7 x + 5) + C 7 sin x e) Đặt t = sin x ⇒ dt = cos xdx . Khi đó ∫ e cos xdx = esin x + C 1+ x 2 f) Đặt t = 1 + x 2 ⇒ dt = 2 xdx . Khi đó ∫ xe g) Đặt t = 1 − x 3 ⇒ dt = −3 x 2 dx . Khi đó h) Đặt t = 1 + x ⇒ dt = 1 2 x . Khi đó i) Đặt t = 1 − x 2 ⇒ dt = −2 xdx . Khi đó ∫ dx = 9×2 ∫ 1− x 1 ( 3 1 1+ x2 e +C 2 dx = −6 1 − x 3 + C x 1+ x ) 2 dx = − 4 2 ∫ x 1 − x dx = − 2 1+ x 2 1− x2 5 ( ) 5 4 Bài 8. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: ex e x − e− x a) ∫ x dx b) ∫ x dx e +1 e + e− x d) ∫x 3 x 4 + 3dx ∫x e) 3 x 2 + 7dx +C +C c) ∫x x 2 − 5dx f) ∫x x + 1dx HD Giải e dt a) Đặt t = e x + 1 ⇒ dt = e x dx . Vậy ∫ x dx = ∫ = ln t + C = ln e x + 1 + C t e +1 x e − e− x dt b) Đặt t = e x + e − x ⇒ dt = e x − e − x dx . Vậy ∫ x − x dx = ∫ = ln t + C = ln e x + e− x + C t e +e ( x ( ) ( ) ) c) Đặt t = x 2 − 5 ⇒ t 2 = x 2 − 5 ⇒ 2tdt = 2 xdx ⇒ tdt = xdx Chương III. Nguyên hàm, Tích phân 6 và Ứng dụng. SyPhap 0939989966 Toán 12 GV. Lư Sĩ Pháp (x 1 Vậy: ∫ x x − 5dx = ∫ t dt = t 3 + C = 3 2 2 2 −5 ) (x +C = 3 3 2 −5 ) x2 − 5 3 +C d) Đặt t = x 4 + 3 ⇒ t 2 = x 4 − 5 ⇒ 2tdt = 4 x 3 dx ⇒ tdt = 2 x 3 dx Vậy: e) ∫x 4 ) ∫x 3 x 2 + 7dx = ∫ x 2 x 2 + 7.xdx . Đặt t = x 2 + 7 ⇒ t 2 = x 2 + 7 ⇒ x 2 = t 2 − 7 ⇒ xdx = tdt 1 5 7t 3 3 2 2 2 2 2 4 2 x x + dx = x x + xdx = t − t dt = t − t dt = t − +C 7 7. 7 7 ∫ ∫ ∫ ∫ 5 3 ( Vậy: (x = ( x4 + 3 x4 + 3 1 1 2 1 3 x + 3dx = ∫ t.tdt = ∫ t dt = t + C = +C 2 2 6 6 3 2 +7 ) 2 x2 + 7 − 5 ( 7 x2 + 7 ) x2 + 7 3 ) ( ) +C f) Đặt t = x + 1 ⇒ x = t 2 − 1 ⇒ dx = 2tdt . Vậy ∫x ( ) ( ) x + 1dx = ∫ t 2 − 1 2t 2 dt = 2 ∫ t 4 − t 2 dt =  x +1 2  2 4 2 3 t − t + C = 2 ( x + 1) x + 1  − +C 5 3 3  5 Bài 9. Tính: sin3 x b) B = ∫ dx cos4 x e) E = ∫ cos 6 x.cos 2 xdx a) A = ∫ cos xdx 4 d) D = ∫ sin 4 x.sin 6 xdx c) C = ∫ sin 3 x.cos 5 xdx f) F = ∫ sin x (1 + sin x ) dx HD Giải 2  1 + cos 2 x  1 2 a) A = ∫ cos4 xdx = ∫   dx = ∫ 1 + 2 cos 2 x + cos 2 x dx 2 4    1 1 1 = ∫ ( 3 + 4 cos 2 x + cos 4 x ) dx =  3 x + 2 sin 2 x + sin 4 x  + C 8 8 4  b) B = ∫ ( )  1 sin3 x 1  dx = ∫  −  sin xdx . Đặt t = cos x ⇒ dt = − sin xdx . 4 4 2 cos x  cos x cos x  1 1 sin3 x 1 1 1 1 1 dx = − ∫  4 − 2  dt = . 3 − + C = − +C 4 3 3 t t cos x 3 cos x cos x t t   1 1 1 c) C = ∫ sin 3 x.cos 5 xdx = ∫ ( sin 8 x − sin 2 x ) dx =  − cos8 x + cos 2 x  + C 2 4 4  Khi đó, ta có: B = ∫  1 1 1 cos 2 x − cos10 x ) dx =  sin 2 x − sin10 x  + C ( ∫ 2 4 5   1 1 1 e) E = ∫ cos 6 x.cos 2 xdx = ∫ ( cos8 x + cos 4 x ) dx =  sin 8 x + sin 4 x  + C 2 8 2  d) D = ∫ sin 4 x.sin 6 xdx =  1 − cos 2 x  f) F = ∫ sin x (1 + sin x ) dx = ∫ sin x + sin 2 x dx = ∫  sin x +  dx 2    1 1 1 = ∫ ( 2sin x − cos 2 x + 1) dx =  −2 cos x − sin 2 x + x  + C 2 2 2  ( ) Dạng 3. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp tính nguyên hàm từng phần Phương pháp: Nếu hai hàm số u = u( x ) và v = v( x ) có đạo hàm liên tục trên K thì ∫ u( x )v ‘( x )dx = u( x ).v( x ) − ∫ u ‘( x )v( x )dx Chương III. Nguyên hàm, Tích phân Hay ∫ udv = uv − ∫ vdu 7 và Ứng dụng. SyPhap 0939989966 Toán 12 GV. Lư Sĩ Pháp / u = f ( x ) ⇒ du = f ( x )dx Lưu ý: Đặt  . Ta thường chọn C = 0 ⇒ v = G ( x ) dv = g( x )dx ⇒ v = ∫ g( x )dx = G( x ) + C Các dạng cơ bản: Cho P( x ) là một đa thức u = P ( x ) . Đặ t P ( x )sin( ax + b ) dx  ∫ dv = sin(ax + b)dx u = P ( x ) 2. ∫ P( x ) cos(ax + b)dx . Đặt  dv = cos(ax + b)dx 1. u = P( x ) ax + b P ( x ) e dx . Đặ t  ∫ ax + b dv = e dx u = ln(ax + b) 4. ∫ P( x ) ln(ax + b)dx . Đặt  dv = P ( x )dx 5. ∫ e ax + b sin( Ax + B )dx hoặc ∫ e ax + b cos( Ax + B)dx . Dùng nguyên hàm từng phần hai lần với u = e ax + b 3. Bài 10. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) A = ∫ x cos xdx b) B = ∫ x 2 sin xdx c) C = ∫ 2 x ln ( x − 1) dx e) E = ∫ (1 + x ) ln xdx d) D = ∫ ( ln x ) dx 2 f) F = ∫ ln x ( x + 1) 2 dx HD Giải u = x ⇒ du = dx a) Đặt:  . dv = cos xdx ⇒ v = sin x Vậy A = ∫ x cos xdx = ∫ udv = uv − ∫ vdu = x sin x − ∫ sin xdx = x sin x + cos x + C u = x 2 ⇒ du = 2 xdx b)  . Vậy B = ∫ x 2 sin xdx = − x 2 cos x + ∫ 2 x cos xdx = − x 2 cos x + B1 dv = sin xdx ⇒ v = − cos x u = 2 x ⇒ du = 2dx Tính B1 = ∫ 2 x cos xdx . Đặt  . dv = cos xdx ⇒ v = sin x Do đó B1 = 2 x sin x − 2 ∫ sin xdx = 2 x sin x + 2 cos x + C Vậy: B = ∫ x 2 sin xdx = − x 2 cos x + B1 = − x 2 cos x + 2 x sin x + 2 cos x + C  1 dx x2 u = ln ( x − 1) ⇒ du = 2 c) Đặt:  dx x − 1 . Vậy: C = ∫ 2 x ln ( x − 1) dx = x ln( x − 1) − ∫ x −1 dv = 2 xdx ⇒ v = x 2   1  x2 2 ln( 1) = x 2 ln( x − 1) − ∫  x + 1 + dx = x x − − − x − ln x − 1 + C  x −1 2  2  2 ln x 2 2 2 dx u = ( ln x ) ⇒ du = d) Đặt:  . Vậy: D = ∫ ( ln x ) dx = x ( ln x ) − 2 ∫ ln xdx = x ( ln x ) − 2 D1 x dv = dx ⇒ v = x   1 u = ln x ⇒ du = dx Tính D1 = ∫ ln xdx . Đặt  x . D1 = ∫ ln xdx = x ln x − ∫ dx = x ln x − x + C dv = dx ⇒ v = x  Vậy: D = ∫ ( ln x ) dx = x ( ln x ) − 2 x ln x + 2 x + C 2 2 Chương III. Nguyên hàm, Tích phân 8 và Ứng dụng. SyPhap 0939989966 Toán 12 GV. Lư Sĩ Pháp  1 ⇒ du = dx u = ln x x . e) Đặt:  2 dv = (1 + x ) dx ⇒ v = x + x  2 2     x x  x2  x2  Vậy: E = ∫ (1 + x ) ln xdx =  x +  ln x − ∫  1 +  dx =  x +  ln x −  x +  + C 2  2  4   2     1 ⇒ du = dx u = ln x x  f) Đặt:  1 1 . dx ⇒ v = − dv = 2 x +1  + 1 x ( )  1 ln x ln x dx ln x 1  ln x x Vậy: F = ∫ dx = − +∫ =− + ∫ − + ln +C  dx = − 2 x + 1 x + 1 x x + 1 x + 1 x + 1 x x + 1 ( )   x + 1 ( ) Bài 11. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: ( a) A = ∫ x ln (1 + x )dx ) b) B = ∫ x 2 + 2 x − 1 e x dx c) C = ∫ x sin ( 2 x + 1) dx d) D = ∫ (1 − x ) cos xdx HD Giải  1 du = dx u = ln (1 + x )  1 + x a) Đặt:  . ⇒ 2 v = x dv = xdx  2 1 1 x2 1 1  1  Vậy A = ∫ x ln (1 + x )dx = x 2 ln (1 + x ) − ∫ dx = x 2 ln (1 + x ) − ∫  x − 1 + dx 2 2 x +1 2 2  x +1  1 1  x2 1 1 1 = x 2 ln (1 + x ) −  − x + ln (1 + x )  + C = x 2 − 1 ln (1 + x ) − x 2 + x + C 2 2 2 2 4 2  ( ) u = x 2 + 2 x − 1 du = ( 2 x + 2 ) dx . b) Đặt:  ⇒ x x dv = e dx v = e ( ) ( ) ( ) Vậy B = ∫ x 2 + 2 x − 1 e x dx = e x x 2 + 2 x − 1 − ∫ e x ( 2 x + 2 ) dx = e x x 2 + 2 x − 1 + I u = 2 x + 2 du = 2dx Với I = ∫ e x ( 2 x + 2 ) dx . Đặt:  ⇒ x x dv = e dx v = e I = e x ( 2 x + 2 ) − 2 ∫ e x dx = e x ( 2 x + 2 ) − 2e x = 2 xe x + C ( ) ( ) Vậy: B = e x x 2 + 2 x − 1 − 2 xe x = e x x 2 − 1 + C du = dx u = x  c) Đặt:  . ⇒ 1 dv = sin 2 x + 1 dx ( )  v = − cos ( 2 x + 1)  2 1 1 1 1 C = ∫ x sin ( 2 x + 1) dx = − x cos ( 2 x + 1) + ∫ cos ( 2 x + 1) dx = − x cos ( 2 x + 1) + sin ( 2 x + 1) + C 2 2 2 4 u = 1 − x du = −dx d) Đặt:  ⇒ . dv = cos xdx v = sin x Vậy: D = (1 − x ) sin x + ∫ sin xdx = (1 − x ) sin x − cos x + C Chương III. Nguyên hàm, Tích phân 9 và Ứng dụng. SyPhap 0939989966 Toán 12 GV. Lư Sĩ Pháp Bài 12. Tìm nguyên hàm các hàm số sau: a) f ( x ) = x sin x c) f ( x ) = b) f ( x ) = xe x x 2x e 3 d) f ( x ) = x sin f) f ( x ) = e 3 x −9 g) f ( x ) = x 3 ln(2 x ) HD Giải a) Đặt u = x và dv = sin xdx ta có du = dx và v = − cos x Do vậy ∫ x sin xdx = − x cos x + ∫ cos xdx = − x cos x + sin x + C e) f ( x ) = x 2 cos x b) Đặt u = x , dv = e x dx khi đó du = dx , v = e x . Do đó ∫ xe dx = xe x x x 2 h) f ( x ) = x ln x − ex + C x 1 1 x 1 1 , dv = e2 x dx . Khi đó, ta có du = , v = e2 x . Do đó ∫ e2 x dx = xe2 x − e2 x + C 3 3 2 3 6 12 x x x x x d) Đặt u = x, dv = sin dx , ta có du = dx , v = −2 cos . Do đó ∫ x sin dx = −2 x cos + 4sin + C 2 2 2 2 2 2 e) Đặt u = x , dv = cos xdx khi đó du = 2 xdx , v = sin x . Do đó: ∫ x 2 cos xdx = x 2 sin x − 2 ∫ x sin dx = x 2 sin x − 2I , với I = ∫ x sin dx . Tính I bằng công thức lấy c) Đặt u = nguyên hàm từng phần, đặt u = x , dv = sin xdx khi đó du = dx , v = − cos x . Do vậy I = ∫ x sin dx = − x cos x + sin x + C Vậy ∫x 2 cos xdx = x 2 sin x + 2 x cos x − 2 sin x − 2C 3dx 2u 2 hay dx = du . Vậy ∫ e 3 x −9 dx = ∫ ueu du 2u 3 3 2 2 2 Áp dụng kết câu b), ta được ∫ e 3 x − 9 dx = ∫ ueu du = ueu − eu + C = 3x − 9.e 3 x −9 − e 3 x − 9 + C 3 3 3  1 u = ln(2 x ) ⇒ du = x dx x 4 ln(2 x ) x 4 3 g) Đặt  . V ậ y x ln(2 x ) dx = − +C ∫ 4 4 16 dv = x 3 dx ⇒ v = x  4  1 u = ln x ⇒ du = x dx 2 3 2 1 2 3 4 3  x ln xdx = x 2 ln x − ∫ x 2 dx = x 2 ln x − x 2 + C h) Đặt  3 .Vậy ∫ 3 3 3 9  2x 2 dv = xdx ⇒ v =  3  Bài 13. Tính các nguyên hàm sau: f) Đổi biến u = 3 x − 9 . Ta có du = ( ( b) B = ∫ 2 x − 3x a) A = ∫ xe− x dx e) E = ∫ x ln ( ) 2 ) ( c) C = ∫ cos xdx dx ) 1+ x dx f) F = ∫ ln x + 1 + x 2 dx 1− x g) G = ∫ ) d) D = ∫ (1 − 2 x )e x dx x +1 ln(sin x ) dx h) H = ∫ dx 2 cos x ( x − 2 )( x + 3) HD Giải ⇒ du = dx u = x a) Đặt:  . Vậy: A = ∫ xe − x dx = − xe − x + ∫ e − x dx = − xe − x − e x + C −x −x dv = e dx ⇒ v = −e 2 4x 6x 9x b) B = ∫ 2 x − 3x dx = ∫ 4 x − 2.6 x + 9 x dx = −2 + +C ln 4 ln 6 ln 9 1 c) Đổi biến, đặt t = x ⇒ dt = dx hay dx = 2 xdt . ∫ cos xdx = 2 ∫ t cos tdt 2 x Áp dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, ta có ∫ t cos tdt = t sin t − ∫ sin tdt =t sin t + cos t + C ( ) ( ) Chương III. Nguyên hàm, Tích phân 10 và Ứng dụng. SyPhap 0939989966 Toán 12 GV. Lư Sĩ Pháp Vậy ∫ cos xdx = 2 x sin x + 2 cos x + C u = 1 − 2 x ⇒ du = −2dx d) Đặt  . Do vậy: ∫ (1 − 2 x )e x dx = (1 − 2 x )e x + 2 ∫ e x dx = (3 − 2 x )e x + C x x dv = e dx ⇒ v = e  1+ x 2 dx u = ln 1 − x ⇒ du = 1− x2 . e) Đặt  2 dv = xdx ⇒ v = x  2 2  1+ x x 1+ x x2 x2 1+ x 1  Do đó ∫ x ln dx = .ln dx −∫ = .ln − ∫  −1 +  dx 2 1− x 2 1− x 2 1− x 1− x 1− x2   x2 1+ x 1 1+ x 1− x2 1+ x .ln + x − ln = x− ln +C 2 1− x 2 1− x 2 1− x  1 2 dx u = ln x + 1 + x ⇒ du = f) Đặt  1+ x2 dv = dx ⇒ v = x  = ) ( ) ∫ ln ( x + ) ( 1 + x 2 dx = x ln x + 1 + x 2 − ∫ x. Với I = ∫ x. ( 1 1+ x 2 Vậy ∫ ln x + 1 + x ( 1 1+ x dx . Áp dụng phương pháp đổi biến, ta được I = ∫ x. 2 ) dx = x ln ( x + 1+ x 2 )− ) dx = x ln x + 1 + x 2 − I 2 1 1+ x 2 dx = 1 + x 2 + C 1+ x + C 2  cos x u = ln(sin x ) ⇒ du = sin x dx g) Đặt  . dv = 1 dx ⇒ v = tan x  cos2 x ln(sin x ) Do đó: ∫ dx = tan x.ln(sin x ) − ∫ dx = tan x.ln(sin x ) − x + C cos2 x   3 2 x +1 3 2 1  dx = ln  x − 2 ( x + 3)  + C h) H = ∫ dx = ∫  +     5  ( x − 2 )( x + 3)  5 ( x − 2 ) 5 ( x + 3)  Dạng 4. Tìm nguyên hàm thỏa mãn điều kiện cho trước Phươn pháp: Nếu F / ( x ) = f ( x ) thì F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) và ∫ f ( x )dx = F ( x ) + C Bài 14. Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số: a) f ( x ) = x + 1 e2 biết F (e) = x 2 b) f ( x ) = sin x + π  1 2 biết F   = 2 cos x 4 2 HD Giải  x2 1 x f ( x ) dx = x + dx = + ln x + C ⇒ F ( x ) = + ln x + C ∫ ∫  x  2 2 e2 e2 e2 Mặt khác: F (e) = ⇔ + ln e + C = ⇔ 1 + C = 0 ⇔ C = −1 . 2 2 2 x2 Vậy F ( x ) = + ln x − 1 2 2 a) Ta có: Chương III. Nguyên hàm, Tích phân 11 và Ứng dụng. SyPhap 0939989966 Toán 12 GV. Lư Sĩ Pháp  1  b) Ta có: ∫  sin x +  dx = − cos x + tan x + C ⇒ F ( x ) = − cos x + tan x + C cos2 x   π  2 2 π π Mặt khác: F   = ⇔ − cos + tan + C = ⇔ C = 2 −1. 4 4 2 4 2 Vậy F ( x ) = − cos x + tan x + 2 − 1 Bài 15. Tìm hàm số f ( x ) biết f / ( x ) = e2 x − 1 và f ( ln 2 ) = 1 ex HD Giải e2 x − 1 −x −x x x x −x ∫ e x dx = ∫ e − e dx = e + e + C ⇒ f ( x ) = e + e + C 1 3 Mặt khác: f ( ln 2 ) = 1 ⇔ eln 2 + e− ln 2 + C = 1 ⇔ 2 + + C = 1 ⇔ C = − 2 2 3 Vậy: f ( x ) = e x + e− x − 2 ( Ta có: ) ( ) Bài 16. Cho f ( x ) = x 2 e x . Định a, b, c để hàm số F ( x ) = ax 2 + bx + c e x là một nguyên hàm của f ( x ) HD Giải F ( x ) là nguyên hàm của f ( x ) ⇔ F / ( x ) = f ( x ), ∀x ( ) ⇔ ( 2ax + b ) e x + ax 2 + bx + c e x = x 2 e x ⇔ ax 2 + ( 2a + b ) x + b + c = x 2 , ∀x , vì e x > 0 a = 1 a = 1   ⇔ 2a + b = 0 ⇔ b = −2 b + c = 0 c = 2   Dạng 5. Tìm nguyên hàm của các hàm số thường gặp 1. Nguyên hàm của hàm hữu tỉ. P( x ) Nguyên hàm dạng: I = ∫ dx , trong đó P(x), Q(x) là các đa thức Q( x ) 1. Nếu bậc của P(x) ≥ bậc của Q(x) thì ta thực hiện phép chia đa thức. 2. Nếu bậc của P(x) < bậc của Q(x) và Q(x) có dạng tích nhiều nhân tử thì ta phân tích P( x ) Q( x ) thành tổng của nhiều phân thức (bằng phương pháp hệ số bất định). Xét các dạng sau: P( x ) P( x ) A B a) I = ∫ dx . Xác định các số A, B sao cho: = + (ax + b)(cx + d ) (ax + b)(cx + d ) ax + b cx + d b) I = ∫ P( x ) dx . Ta xét ∆ = b 2 − 4ac 2 ( x − α )(ax + bx + c) Nếu ∆ > 0 . Xác định A, B, C sao cho: P( x ) A B C = + + , với x1 , x2 là 2 ( x − α )(ax + bx + c) x − α x − x1 x − x2 hai nghiệm cùa phương trình ax 2 + bx + c = 0 Nếu ∆ = 0 . Xác định A, B, C sao cho: P( x ) A B C = + + , với x0 là 2 2 x − x0 ( x − α )(ax + bx + c) x − α ( x − x ) 0 nghiệm kép của phương trình ax 2 + bx + c = 0 P( x ) A B Nếu ∆ < 0 . Xác định A, B sao cho: = + 2 2 ( x − α )(ax + bx + c) x − α ax + bx + c Chương III. Nguyên hàm, Tích phân 12 và Ứng dụng. SyPhap 0939989966 Toán 12 c) I = ∫ GV. Lư Sĩ Pháp A1 A2 An P( x ) P( x ) dx . Xác định A1 , A2 ,... An sao cho: = + + ... + n n 2 ax + b (ax + b) (ax + b) (ax + b) (ax + b)n 2. Nguyên hàm của hàm vô tỉ  ax + b  a) Nguyên hàm dạng: I = ∫ R  x , n dx , với ad − bc ≠ 0 . cx + d   ax + b b − dt n ta được x = n = ϕ (t ) là một hàm hữu tỉ của t cx + d ct − a  π π b) Nguyên hàm dạng J = ∫ R x, a2 − x 2 dx . Đặt x = a sin t, t ∈  − ;   2 2 Đặt t = n ( ) ( )  π π c) Nguyên hàm dạng K = ∫ R x, a2 + x 2 dx . Đặt x = a tan t , t ∈  − ;   2 2 a π d) Nguyên hàm dạng H = ∫ R x , x 2 − a2 dx . Đặt x = , t ∈  0; π  , t ≠ cos t 2 ( e) Nguyên hàm dạng L = ∫ R ( x , Nếu a > 0 ta đặt ) ) ax 2 + bx + c dx , a ≠ 0 ax 2 + bx + c = ( t − x ) a ⇒ x = at 2 − c = ϕ (t ) 2at + b b − 2 ct = ϕ (t ) t2 − a (mx + n) 1 f) Nguyên hàm dạng L = ∫ dx . Đặt x − α = t ( x − α ) ax 2 + bx + c 3. Nguyên hàm của hàm lượng giác. Loại 1. Nguyên hàm dạng ∫ cos ax.cos bxdx , ∫ sin ax.sin bxdx , ∫ sin ax.cos bxdx Nếu c > 0 ta đặt ax 2 + bx + c = xt + c ⇒ x = Dùng công thức biến đổi tích thành tổng rồi tính tích phân Loại 2. Nguyên hàm dạng ∫ sin n x.cosm xdx . Xét các trường hợp Nếu n lẻ: Biến đổi và đặt t = cos x Nếu m lẻ: Biến đổi và đặt t = sin x Nếu n, m đều chẵn: Biến đổi và đặt t = tan x Nếu n, m đều chẵn và dương, ta dùng công thức hạ bậc Loại 3. Nguyên hàm dạng ∫ R ( sin x , cos x ) dx , R là hàm số hữu tỉ với sinx và cosx x 2 2t 1 − t2 2dt ,cos Khi đó: sin x = x = và dx = 2 2 1+ t 1+ t 1 + t2 Trường hợp khác: Nếu R(− sin x , cos x ) = − R(sin x ,cos x ) thì đặt t = cosx Nếu R(sin x , − cos x ) = − R(sin x ,cos x ) thì đặt t = sinx Nếu R(− sin x , − cos x ) = − R(sin x , cos x ) thì đặt t = tanx (hoặc t = cotx) Trường hợp chung, ta đặt t = tan Bài 17. Tính các nguyên hàm sau: x 2 x 2 + 41x − 91 a) A = ∫ b) B = ∫ dx dx ( x + 1)(2 x + 1) ( x − 1) x 2 − x − 12 ( Chương III. Nguyên hàm, Tích phân ) 13 c) C = ∫ và Ứng dụng. 3 x 2 + 11x + 9 dx ( x + 1)( x + 2)2 SyPhap 0939989966 Toán 12 d) D = ∫ GV. Lư Sĩ Pháp x ( x + 1) 7 e) E = ∫ dx x2 ( x − 1) 5 f) F = ∫ dx ( 3 x x +4 3 ) dx HD Giải 1 x A B với x ≠ −1, x ≠ − = + 2 ( x + 1)(2 x + 1) x + 1 2 x + 1 a) Phân tích: 2 A + B = 1  A = 1 ⇒ x = A(2 x + 1) + B( x + 1) ⇔ x = (2 A + B) x + A + B ⇔  ⇔ A + B = 0  B = −1 x 1 1 Do vậy: = − ( x + 1)(2 x + 1) x + 1 2 x + 1  1 x 1  1 Vậy: A = ∫ dx = ∫  −  dx = ln x + 1 − ln 2 x + 1 + C ( x + 1)(2 x + 1) 2  x +1 2x + 1  ( ) b) Ta có: ( x − 1) x 2 − x − 12 = ( x − 1)( x − 4 )( x + 3) Phân tích: 2 x 2 + 41x − 91 ( x − 1) ( x 2 − x − 12 ) = A B C + + (với x ≠ 1, x ≠ 4, x ≠ −3 ) x −1 x − 4 x + 3 ⇔ 2 x 2 + 41x − 91 = ( A + B + C ) x 2 + (− A + 2 B − 5C ) − 12 A − 3B + 4C A + B + C = 2 A = 4 2 x 2 + 41x − 91 4 5 7   ⇔ − A + 2 B − 5C = 41 ⇔  B = 5 . Do đó: = + − 2 ( x − 1) x − x − 12 x − 1 x − 4 x + 3 −12 A − 3B + 4C = −91 C = −7   ( B=∫ 2 x 2 + 41x − 91 )  4 5 7  dx = ∫  + −  dx = 4 ln x − 1 + 5ln x − 4 − 7 ln x + 3 + C  x −1 x − 4 x + 3  ( x − 1) x − x − 12 ( ) 2 3 x + 11x + 9 A B C (với x ≠ −1, x ≠ −2 ) = + + 2 2 x + 1 ( x + 2) x+2 ( x + 1)( x + 2) 2 c) Phân tích: A + C = 3 A = 1   ⇒ 3 x + 11x + 9 = ( A + C ) x + (4 A + B + 3C ) x + 4 A + B + 2C ⇔ 4 A + B + 3C = 11 ⇔  B = 1 4 A + B + 2C = 9 C = 2   2 Do đó: 2 3x 2 + 11x + 9 1 1 2 = + + 2 2 x + 1 ( x + 2) x + 2 ( x + 1)( x + 2)   3 x 2 + 11x + 9 1 1 2  1  Vậy: C = ∫ dx = ∫ + + dx = ln x + 1 − + 2 ln x + 2 + C 2 2  x +1 x + 2 x+2 x+2 ( x + 1)( x + 2) ( )   d) Đặt t = x + 1 ⇒ x = t − 1 ⇒ dx = dt  1 1  x t −1 1 1 1 1 D=∫ dx = ∫ 7 dt = ∫  6 − 7  dt = − 5 + 6 + C = − + +C 7 5 6 t x x 5 t 6 t   x + 1 5 x + 1 6 x + 1 ( ) ( ) ( ) e) Đặt t = x − 1 ⇒ x = t + 1 ⇒ dx = dt E=∫ =− x2 ( x − 1) dx = ∫ 5 1 2 ( x − 1) 2 − ( t + 1) t5 2 3 ( x − 1) 3 − 2 dt = ∫ 1 2 1 t 2 + 2t + 1 1 2 1 dt = ∫  3 + 4 + 5  dt = − 2 − 3 − 4 + C 5 t t  2t 3t 4t t t 1 4 ( x − 1) 4 +C Chương III. Nguyên hàm, Tích phân 14 và Ứng dụng. SyPhap 0939989966 Toán 12 f) F = ∫ F=∫ GV. Lư Sĩ Pháp ( 3 x x +4 3 ) 3x 2 dx = ∫ ( x x +4 3 3 ) dx . Đặt t = x 3 ⇒ dt = 3 x 2 dx dt 1 1 1  1 1 t 1 x3 = ∫ − + C = ln 3 +C  dt =  ln t − ln t + 4  + C = ln 4 4 t+4 4 x +4 t (t + 4) 4  t t + 4  Bài 18. Tính các nguyên hàm sau: a) A = ∫ x −1 dx x ( x + 1)2 x −1 dx x +1 b) B = ∫ 1 c) C = ∫ x 2 + a2 HD Giải dx , ( a > 0 ) d) D = ∫ sin 2 x dx cos x x −1 A B C = + + ta tìm được A = −1, B = 1, C = 2 2 x x + 1 ( x + 1)2 x ( x + 1) a) Phân tích: Do đó: A=∫  1 x −1 1 2  2 x +1 2 dx = ∫  − + + dx = − ln x + ln x + 1 − + C = ln − +C 2 2  x +1 x x +1 x( x + 1)  x x + 1 ( x + 1)  b) Đặt t = x −1 t2 + 1 4t ⇒x= ⇒ dx = 2 x +1 1− t 1 − t2 Vậy: B = ∫ c) Đặt ( x −1 4t 2 dx = ∫ x +1 1 − t2 ( x 2 + a2 = 1 − x ⇒ x = Vậy: C = ∫ 1 2 x +a 2 dx = ∫ ) 2 ) 2 dt  1 1 1 1  1− t 2t dt = ∫  − + + dt = ln − 2 +C 2 2  1+ t t −1  1 − t 1 − t (1 + t ) (1 − t )  t 2 − a2 t 2 + a2 ⇒ dx = dt 2t 2t 2 ( ) dt = ln t + C = ln x + x 2 + a + C t sin 2 x sin 2 x t2 cos dx = ∫ xdx = ∫ 1 − t 2 dt cos x cos2 x  1  1 1+ t 1 1 + sin x = ∫ − 1 dt = ln − t + C = ln − sin x + C 2 2 1− t 2 1 − sin x  1− t  d) Đặt t = sin x ⇒ dt = cos xdx . Ta có: D = ∫ Bài 19. Tính các nguyên hàm sau: 1 xdx a) A = ∫ b) B = ∫ c) C = ∫ x 2 3 1 + x 3 dx ,( x > −1) dx x 1− x 2x + 1 + 1 1 sin x cos x + sin x d) D = ∫ dx e) E = ∫ dx f) F = ∫ dx 3 2 (1 − x ) x sin x − cos x cos x HD Giải a) Đặt t = x + 1 ⇒ x = t 2 − 1 ⇒ dx = 2tdt A=∫ 1 x 1− x dx = ∫ ( 2tdt  1 1  t −1 = ∫ − + C = ln  dt = ln t − 1 − ln t + 1 + C = ln t +1 t −1 t  t −1 t +1  2 b) Đặt t = 2 x + 1 ⇒ x = B=∫ ) x + 1 −1 x +1 +1 +C 1 2 t − 1 ⇒ dx = tdt 2 ( ) 1 2 t − 1 .t 1 1 =∫2 dt = ∫ (t − 1)tdt = ∫ t 2 − t dt t +1 2 2 2x + 1 + 1 xdx ( ) Chương III. Nguyên hàm, Tích phân ( 15 ) và Ứng dụng. SyPhap 0939989966 Toán 12 GV. Lư Sĩ Pháp 1  t3 t2  =  − +C = 2 3 2  1  (2 x + 1)3 2 x + 1   +C − 2 3 2    dt 3 1 4 1 1 1 4 1 4 1 C = ∫ x 2 3 1 + x 3 dx = ∫ 3 tdt = ∫ t 3 dt = . t 3 + C = t 3 + C = 1 + x 3 3 3 3 3 4 4 c) Đặt t = 1 + x 3 ⇒ x 3 = t − 1 ⇒ 3 x 2 dx = dt ⇒ x 2 dx = ( ) 4 3 +C d) Đặt t = x ⇒ x = t 2 ⇒ dx = 2tdt  1 1 2tdt 2dt 1  D=∫ dx = ∫ =∫ = ∫ +  dt = ln 1 + t − ln 1 − t + C 2 2 1− t 1 − t .t (1 − x ) x  1+ t 1− t  ( ) 1+ t 1+ x + C = ln +C 1− t 1− x e) Đặt t = cos x ⇒ dt = − sin xdx 1 sin x dt dt E=∫ dx = − ∫ = − ∫ 2 = −3t 3 + C = −3 3 cos x + C 3 3 2 2 cos x t t3 = ln f) Đặt t = sin x − cos x ⇒ dt = ( cos x + sin x ) dx F=∫ cos x + sin x dx = ∫ dt − 1 1 = ∫ t 2 dt = 2t 2 + C = 2 sin x − cos x + C sin x − cos x t Bài 20. Tính các nguyên hàm sau: 1 1 a) A = ∫ dx b) B = ∫ dx sin x sin x cos x d) D = ∫ cos3 x.sin 8 xdx e) E = ∫ sin 4 x.cos xdx sin 4 x .sin 3 x dx tan x + cot 2 x f) F = ∫ sin3 x.cos5 xdx c) C = ∫ HD Giải x 2dt ⇒ dx = 2 1 + t2 1 1 2 dt x Ta có: A = ∫ dx = ∫ . dt = ∫ = ln t + C = ln tan + C 2 2t 1 + t sin x 2 t 2 1+ t 1 b) Đặt t = tan x ⇒ dt = dx . cos2 x 1 1 dt Ta có: A = ∫ dx = ∫ dx = ∫ = ln t + C = ln tan x + C 2 sin x cos x t tan x cos x 1 d (2 x ) Hay B = ∫ dx = ∫ = ln tan x + C (xem câu a)) sin x cos x sin 2 x sin x cos 2 x sin x.sin 2 x + cos x.cos 2 x 1 c) Ta có: tan x + cot 2 x = + = = cos x sin 2 x cos x sin 2 x sin 2 x sin 4 x.sin 3 x 1 C=∫ dx = ∫ sin 4 x sin 3 x.sin 2 xdx = ∫ sin 4 x ( cos x − cos 5 x ) dx tan x + cot 2 x 2  1 1 1 1 = ∫ ( sin 4 x cos x − sin 4 x cos 5 x ) dx = ∫  ( sin 5 x + sin 3 x ) − ( sin 9 x − sin x )  dx 2 2 2 2  a) Đặt t = tan =  1 11 1 1  − sin 9 x + sin 5 x + sin 3 x + sin x  dx =  cos 9 x − cos 5 x − cos3 x − cos x  + C ∫ 4 49 5 3  Chương III. Nguyên hàm, Tích phân 16 và Ứng dụng. SyPhap 0939989966 Toán 12 GV. Lư Sĩ Pháp 1 1 cos3 x + 3 cos x ) .sin 8 xdx = ∫ ( cos3 x sin 8 x + 3 cos x sin 8 x ) dx ( ∫ 4 4  1 1 3 1 = ∫  ( sin11x + sin 5 x ) + ( sin 9 x + sin 7 x )  dx = ∫ ( sin11x + 3sin 9 x + 3sin 7 x + sin 5 x ) dx 4 2 2 8  d) D = ∫ cos3 x.sin 8 xdx =  1 1 1 3 1 =  − cos11x − cos 9 x − cos 7 x − cos 5 x  + C 8  11 3 7 5  t5 sin 5 x +C = +C 5 5 1 − cos2 x .cos5 x sin xdx e) Đặt t = sin x ⇒ dt = cos xdx . Do đó E = ∫ sin 4 x.cos xdx = ∫ t 4 dt = f) F = ∫ sin3 x.cos5 xdx = ∫ sin 2 x.sin x.cos5 xdx = ∫ Đặt t = cos x ⇒ dt = − sin xdx . ( ) ( ) Do vậy F = − ∫ 1 − t 2 t 5 dt = ∫ t 7 − t 5 dt = ( ) t8 t6 cos8 x sin x 6 − +C = − +C 8 6 8 6 Bài 21. Tính các nguyên hàm sau: sin x + sin3 x dx cos 2 x 1 dx e) E = ∫ 2 f) F = ∫ dx 2 4sin x + 3 cos x + 5 sin x + 2sin x cos x − cos x HD Giải a) A = ∫ cos4 xdx d) D = ∫ b) B = ∫ sin 2 x cos4 xdx cos3 x dx 4 sin 2 x − 1 2 c) C = ∫  1 + cos 2 x  1 1  1 + cos 4 x  2 a) A = ∫ cos xdx = ∫   dx = ∫ 1 + 2 cos 2 x + cos 2 x = ∫  1 + 2 cos 2 x +  dx 2 4 4  2     1 1 1 = ∫ ( 3 + 4 cos 2 x + cos 4 x ) dx =  3 x + 2sin 2 x + sin 4 x  + C 8 8 4  ( 4 ) 2 1   1 + cos2 x  1 2 b) B = ∫ sin x cos xdx = ∫ ( sin x cos x ) cos xdx = ∫  sin 2 x    dx = ∫ sin 2 x(1 + cos2 x )dx 2 8 2    1 1 = ∫ (1 − cos 4 x )(1 + cos 2 x )dx = ∫ (1 − cos 4 x + cos 2 x − cos 4 x.cos 2 x ) dx 16 16  1  1 1 = ∫  1 − cos 4 x + cos 2 x − ( cos 6 x + cos 2 x )  dx = ( 2 − 2 cos 4 x + cos 2 x − cos 6 x ) dx 16  2 32 ∫  2 = 2 4 2  1  1 1 1 2 x − sin 4 x + sin 2 x − sin 6 x  + C  32  2 2 6  ( ) ( ) 1 + sin 2 x sin x 2 − cos2 x sin x sin x + sin3 x c) C = ∫ dx = ∫ dx == ∫ dx cos 2 x 2 cos2 x − 1 2 cos2 x − 1 Đặt t = cos x ⇒ dt = − sin xdx 2 − t 2 dt t2 − 2 1 3 dt 1 3  1 1  Vậy: C = ∫ = dt = ∫ dt − ∫ 2 = ∫ dt − ∫  −  dt ∫ 2 2 2 2 2t − 1 2 2  2t − 1 2t − 1 2t − 1 2t + 1   1 3 1 1 = t−  ln 2t − 1 − ln 2t + 1  + C 2 4 2 2  ( = ) 1 3 t− ln 2 4 2 2t − 1 2t + 1 ( +C = 1 3 cos x − ln 2 4 2 2 cos x − 1 2 cos x + 1 +C ) 1 − sin 2 cos x cos3 x d) D = ∫ dx = ∫ dx . Đặt t = sin x ⇒ dt = cos xdx 4 sin 2 x − 1 4sin 2 x − 1 Chương III. Nguyên hàm, Tích phân 17 và Ứng dụng. SyPhap 0939989966 Toán 12 GV. Lư Sĩ Pháp ( t − t ) dt = 2 Vậy: D = ∫ 4t − 1 2  1 3 1 3 1  1 3 3 ∫  − 4 + 8 . 2t − 1 − 8 . 2t + 1  dt = − 4 t + 16 ln 2t − 1 − 16 ln 2t + 1 + C 1 3 2t − 1 1 3 2sin x − 1 = − t + ln + C = − sin x + ln +C 4 16 2t + 1 4 16 2sin x + 1 e) E = ∫ dx dx 1 . Đặt t = tan x ⇒ dt = =∫ dx 2 2 2 sin x + 2sin x cos x − cos x cos2 x tan x + 2 tan x − 1 cos x Vậy: E = ∫ = ( 2 )  dt dt 1  1 1 =∫ = +   dt ∫ t + 2t − 1 2 2  t +1− 2 t +1+ 2  t +1− 2 t +1+ 2 ( 2 1 2 2 ln t +1− 2 t +1+ 2 )( +C = 1 2 2 ) ln tan x + 1 − 2 tan x + 1 + 2 +C x 1 x 1 2dt 2t 1 − t2 .Ta có: sin x = , cos x = ⇒ dt =  1 + tan 2  dx = 1 + t 2 dx ⇒ dx = 2 2 2 2 1 + t2 1+ t2 1 + t2 2dt 1 2dt 1 + t2 dx = ∫ =∫ 2 Vậy: F = ∫ 2 4sin x + 3cos x + 5 2t 1− t 2t + 8t + 8 4 +3 +5 2 2 1+ t 1+ t dt 1 1 =∫ =− +C = − +C 2 x (t + 2) t + 2 tan + 2 2 ( f) Đặt t = tan ) C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 22. Tìm nguyên hàm các hàm số sau a) f ( x ) = 3 x 7 − 3 x 2 b) f ( x ) = cos ( 3 x + 4 ) x x d) f ( x ) = sin .cos 3 3 Bài 23. Hãy tính:  x3  e) f ( x ) = x  − 1  18  a) A = ∫ 2 x x 2 + 1dx b) B = ∫ 3 x 2 x 3 + 1dx 5 2x + 4 dx x + 4x − 5 Bài 24. Hãy tính: 1 a) A = ∫ 3 dx sin x 1 d) D = ∫ dx cos x sin 2 x Bài 25. Hãy tính: a) A = ∫ x 2 e x dx d) D = ∫ 2 d) D = ∫ x 2 cos(3 x )dx Đáp số Bài 22. 1 a) − 7 − 3 x 2 3 ( ) 3 2 f) f ( x ) = 1 1 1 sin cos 2 x x x c) C = ∫ dx x ln 2 x ( 3x 2 f) F = ∫ 2 xe x b) B = ∫ sin 3 x cos4 xdx e) E = ∫ 1 cos ( 3 x + 2 ) 5 2 e) E = ∫ c) f ( x ) = 1 + sin x dx 1 + cos x 2 +9 +4 ) 4 dx dx c) C = ∫ sin 4 x cos4 xdx f) F = ∫ sin 3 x dx cos2 x b) B = ∫ 3 x 2 cos(2 x )dx c) C = ∫ x 3 ln(2 x )dx e) E = ∫ e x cos xdx f) F = ∫ e x sin xdx + C ( HD Đặt t = 7 − 3 x 2 ) Chương III. Nguyên hàm, Tích phân b) 18 1 sin ( 3 x + 4 ) + C (HD Đặt t = 3 x + 4 ) 3 và Ứng dụng. SyPhap 0939989966 Toán 12 c) GV. Lư Sĩ Pháp 1 tan ( 3 x + 2 ) + C (HD Đặt t = 3 x + 2 ) 3 6 3 3 x  x e)  − 1  + C (HD Đặt t = − 1 ) 18  18  Bài 23. 3 2 2 a) A = x + 1 2 + C ( HD Đặt t = x 2 + 1 ) 3 −3 1 c) C = − 3 x 2 + 9 + C (HD Đặt t = 3 x 2 + 9 ) 8 e) E = ln ln x (HD Đặt t = ln x ) ( ) ( ) d) 1 6 x x sin   + C (HD Đặt t = sin ) 3 2 3 1 sin 2    x  + C (HD Đặt t = sin 1 ) f) − 2 x 3 2 b) B = x 3 + 1 2 + C (HD Đặt t = x 3 + 1 ) 3 ( ) d) D = ln x 2 + 4 x − 5 + C (HD Đặt t = x 2 + 4 x − 5 ) f) F = e x 2 +4 + C (HD Đặt t = x 2 + 4 ) Bài 24. 1 1 x cos x 1 a) A = ln tan − + C (HD Đặt t = cot x ) b) B = cos5 x  cos2 x −  + C (HD Đặt t = cos x ) 2 2 2 2sin x 5 7 c) C =  1  1 1 4 4 2  3 x − sin 4 x + sin 8 x  + C ( sin x cos = 4 sin 2 x 128  8 2  ( ) 2 = 2 1 1 − cos 4 x ) ) 6 ( 2 x π 1 sin 2 x + cos2 x 1 = d) D = ln tan  +  − + C ( HD ) cos x sin 2 x cos x sin 2 x  2 4  sin x x sin 1 + sin x 1 x x 2 ) = + e) E = tan − 2 ln cos + C ( HD Đặt x 1 + cos x 2 2 2 x 2 cos cos 2 2 1 f) F = cos x + + C (HD Đặt t = cos x ) cos x Bài 25. a) A = x 2 − 2 x + 2 e x + C (HD Đặt u = ln x , dv = e x ) ( ) 3 2 x cos 2 x − sin 2 x + 2 x 2 sin 2 x + C (HD Đặt u = x 2 , dv = cos(2 x )dx ) 4 x 4 ln(2 x ) x 4 c) C = − + C (HD Đặt u = ln(2 x ), dv = x 3 ) 4 16 6 x cos3 x − 2sin 3 x + 9 x 2 sin 3 x d) D = + C ( HD u = x 2 , dv = cos(3 x )dx ) 27 1 x e) E = e ( sin x + cos x ) + C (HD nguyên hàm từng phân hai lần Đặt u = e x , dv = cos xdx và 2 x u = e , dv = sin xdx ) 1 f) F = e x ( sin x − cos x ) + C (HD nguyên hàm từng phân hai lần Đặt u = e x , dv = sin xdx và 2 x u = e , dv = cos xdx ) b) B = ( ) Chương III. Nguyên hàm, Tích phân 19 và Ứng dụng. SyPhap 0939989966 Toán 12 GV. Lư Sĩ Pháp §2. TÍCH PHÂN A. KIẾN THỨC CẦN NẮM I. Khái niệm về tích phân Định nghĩa: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn  a; b  . Giả sử F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) trên đoạn  a; b  .Hiệu số F (b) − F (a) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f ( x ) . Kí hiệu ∫ b a b f ( x )dx . Ta dùng kí hiệu F ( x ) a để chỉ hiệu số F (b) − F (a) b Vậy ∫ f ( x )dx = F( x ) b a = F (b) − F (a) a Chú ý: b 1. Khi a = b ta định nghĩa ∫ a f ( x )dx = ∫ f ( x )dx = 0 a b 2. Khi a > b , ta đinh nghĩa ∫ a a f ( x )dx = − ∫ f ( x )dx a b 3. Tích phân không phụ thuộc vào chữ dùng làm biến số trong dấu tích phân, tức là b ∫ b f ( x )dx hay ∫ a f (t )dt,… , đều tính bằng F (b) − F (a) hay b ∫ a b f ( x )dx = ∫ f (t )dt a a II Tính chất của tích phân b b a a Tích chất 1. k ∫ f ( x )dx = k ∫ f ( x )dx (k là hằng số) b Tích chất 2. b a Tính chất 3. b ∫  f ( x ) ± g( x ) dx = ∫ f ( x )dx ± ∫ g( x )dx a a b c b a a c ∫ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx, a 0) b a) ∫ a  π π 1− x 2 dx . Đặt x = sin t, t ∈  − ;   2 2 b Mở rộng: a 1  π π ∫a 1− x 2 dx . Đặt x = sin t, t ∈  − 2 ; 2  Mở rộng: b  π π 1 c) ∫ 2 dx . Đặt x = tan t , t ∈  − ;   2 2 a x +1 b b) b Mở rộng: ∫x 2 a a 1 (α x + β ) b ∫f 2 a b ∫ a  π π k 2 − x 2 dx . Đặt x = k sin t, t ∈  − ;   2 2 1  π π dx . Đặt x = k sin t, t ∈  − ;   2 2 k2 − x2  π π 1 dx . Đặt x = k tan t , t ∈  − ;  2 +k  2 2 b ∫ ∫ 2  π π dx . Đặt α x + β = k tan t , t ∈  − ;   2 2 + k2  π π 1 dx . Đặt f ( x ) = k tan t , t ∈  − ;  2 (x) + k  2 2 2. Chú ý: x = φ (t ) ⇒ dx = φ / (t )dt f ( x ) = φ (t ) ⇒ f / ( x )dx = φ / (t )dt Để có kết quả nhanh, ta có thể dùng các công thức: dx dx 1 x 1. ∫ = arcsin x + C 2. ∫ = arcsin + C (a > 0) 2 2 2 a a 1− x a −x dx dx 1 x 3. ∫ = arctan x + C 4. ∫ 2 = arctan + C (a > 0) 2 2 a a 1+ x a +x Với arcsin 0 = 0 arcsin 1 π = 2 6 arctan1 = π 4 arcsin1 = arcsin π arcsin 2 3 π = 2 3 arctan 3 = π 3 2 π = 2 4 arctan 0 = 0 arctan 3 π = 3 6 Bài 11. Tính các tích phân sau: Chương III. Nguyên hàm, Tích phân 32 và Ứng dụng. SyPhap 0939989966 Toán 12 GV. Lư Sĩ Pháp 1 a) A = ∫ 1 − x 2 dx b) B = ∫ 4 − x 2 dx 0 1 4− x 0 1 a) A = ∫ 0 c) C = ∫ 0 1 dx d) D = ∫ 1 2 1 e) E = ∫ 2 0 0 2 3 dx 2 x +1 f) F = ∫ 0 HD Giải   π π  1 − x 2 dx . Đặt x = sin t,  t ∈  − ;   ⇒ dx = cos tdt   2 2  1 1− x2 dx dx x +4 2 x =0⇒t =0 Đổi cận: x =1⇒ t = 1 π π π π 2 2 2 2 0 0 0 π 2 Vậy A = ∫ 1 − x 2 dx = ∫ 1 − sin 2 t cos tdt = ∫ cos2 t cos tdt = ∫ cos t cos tdt = ∫ cos2 tdt 0 0 π = π 2 π 12 1 1 1 + cos 2t ) dt =  t + sin t  = (vì trên đoạn ( ∫ 20 2 2 0 4  π  0; 2  thì cos t ≥ 0 )   1   π π  b) B = ∫ 4 − x 2 dx . Đặt x = 2sin t,  t ∈  − ;   ⇒ dx = 2 cos tdt Đổi cận: 0   2 2  x =0⇒t =0 x =1⇒ t = 1 π π π π 6 6 6 6 0 0 0 π 6 Vậy B = ∫ 4 − x 2 dx = ∫ 4 − 4sin 2 t .2 cos tdt = 4 ∫ cos2 t cos tdt = ∫ cos t cos tdt = 4 ∫ cos2 tdt 0 0 π π 6 6 π 1 1 3 = 2 ∫ (1 + cos 2t ) dt =  t + sin 2t  = + 2 2 0 3 2 0 1 2 c) C = ∫ 0 1   π π  dx . Đặt x = sin t,  t ∈  − ;   ⇒ dx = cos tdt 1− x2   2 2  Đổi cận: x =0⇒t =0 x= 1 2 Vậy C = ∫ 0 1 π 1 1− x2 π 6 cos tdt 0 1 − sin 2 t dx = ∫ 6 =∫ 0 π π cos tdt 6 π = ∫ dt = t 06 = 6 cos t 0   π π  . Đặt Đặt x = 2 sin t ,  t ∈  − ;   ⇒ dx = 2 cos tdt 4 − x2   2 2  dx d) D = ∫ 0 1 π ⇒t= 2 6 Đổi cận: x =0⇒t =0 x =1⇒ t = 1 Vậy D = ∫ π dx 2 cos tdt 0 6 π π 2 cos tdt 6 π = ∫ dt = t 06 = 2 cos t 6 0 0 6 =∫ 4 − 4 sin 2 t 1   π π  dx e) E = ∫ 2 . Đặt x = tan t ,  t ∈  − ;   ⇒ dx = 1 + tan 2 t dt Đổi cận: 0 x +1   2 2  0 4 − x2 6 =∫ π π ( ) x =0⇒t =0 x =1⇒ t = Chương III. Nguyên hàm, Tích phân 33 và Ứng dụng. π 4 SyPhap 0939989966 Toán 12 GV. Lư Sĩ Pháp π ( ) π 2 π 4 1 + tan t dt 4 π dx 4 = Vậy E = ∫ 2 =∫ = = dt t ∫ 2 0 4 tan t + 1 0 x +1 0 0 1 2 3 f) F = ∫ 0   π π  dx 2 . Đặ t x = 2 tan t ,  t ∈  − ;   ⇒ dx = 2 1 + tan t dt 2 x +4   2 2  ( ) x =0⇒t =0 Đổi cận: x=2 3⇒t= π ( ) π 3 π 3 2 1 + tan 2 t dt dx 13 1 π3 π =∫ = = Vậy E = ∫ 2 dt t = 2 2 ∫0 2 0 6 0 x +4 0 4 tan t + 1 1 ( ) Bài 12. Tính các tích phân sau: 0 dx a) A = ∫ 2 −1 x + 2 x + 2 1 b) B = ∫ 0 x3 dx x8 + 1 HD Giải 0 0   π π  dx dx a) A = ∫ 2 =∫ . Đặt x + 1 = tan t,  t ∈  − ;   ⇒ dx = 1 + tan 2 t dt 2 −1 x + 2 x + 2 −1 ( x + ) + 1   2 2  ( x = −1 ⇒ t = 0 Đổi cận: x =0⇒t = 0 Vậy A = ∫ −1 1 b) B = ∫ 0 ) π 4 π 4 dx ( x +) 2 +1 =∫ ( ) 1 + tan 2 t dt tan t + 1 2 0 π π 4 = ∫ dt = t 04 = 0 π 4 1 x3 x3 dx = ∫0 4 2 dx . x8 + 1 x +1 ( )   π  1 Đặt x 4 = tan t ,  t ∈  0;   ⇒ 4 x 3 dx = 1 + tan 2 t dt ⇒ x 3 dx = 1 + tan 2 t dt 4   2  ( x =1⇒ t = x = 0 ⇒ t = 0, Đổi cận: 1 Vậy B = ∫ 0 ) ( ) π 4 π π π 1 4 1 + tan 2 t 14 1 4 π dx = dt = dt = t = ∫ ∫ 2 2 4 0 1 + tan t 40 4 0 16 x4 + 1 x3 ( ) Dạng 4. Tính tích phân bằng phương pháp từng phần Phương pháp: 1. Công thức tích phân từng phần Nếu hai hàm số u = u( x ) và v = v( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn  a; b  thì b b b b b b ∫ u( x )v ‘( x )dx = u( x ).v( x ) a − ∫ u ‘( x )v( x )dx Hay ∫ udv = uv a − ∫ vdu a a a a u = f ( x ) ⇒ du = f ( x )dx Lưu ý: Đặt  . Ta thường chọn C = 0 ⇒ v = G ( x ) dv = g( x )dx ⇒ v = ∫ g( x )dx = G( x ) + C 2. Các dạng cơ bản: Cho P( x ) là một đa thức / u = P ( x ) 1. ∫ P( x )sin(ax + b)dx . Đặt  dv = sin(ax + b)dx Chương III. Nguyên hàm, Tích phân u = P ( x ) 2. ∫ P( x ) cos(ax + b)dx . Đặt  dv = cos(ax + b)dx 34 và Ứng dụng. SyPhap 0939989966 Toán 12 GV. Lư Sĩ Pháp u = ln(ax + b) u = P( x ) 3. ∫ P( x )eax + b dx . Đặt  4. ∫ P( x ) ln(ax + b)dx . Đặt  ax + b dv = e dx dv = P ( x )dx 5. ∫ e ax + b sin( Ax + B )dx hoặc ∫ e ax + b cos( Ax + B)dx . Dùng nguyên hàm từng phần hai lần với u = eax + b / u = f ( x)  du = f ( x)dx Chú ý:  và chọn C = 0 ⇒ dv = g ( x)dx v = ∫ g ( x)dx = G ( x) + C Bài 13. Tính các tích phân sau: 1 π 2 2 c) C = ∫ x sin xdx b) B = ∫ x ln xdx a) A = ∫ xe x dx 0 0 1 1 2 π e) E = ∫ ( x + 1) e x dx d) D = ∫ x 5 ln xdx 1 f) F = ∫ e x cos xdx 0 0 HD Giải 1 a) A = ∫ xe x dx . Đặt u = x ⇒ du = dx 0 dv = e x dx ⇒ v = e x 1 ( ) Vậy A = ∫ xe x dx = xe x 0 2 b) B = ∫ x ln xdx . 1 0 1 ( ) − ∫ e x dx = xe x 0 1 0 1 − ex = 1 0 1 dx x Đặt u = ln x ⇒ du = 1 x2 2 dv = xdx ⇒ v = 2 2 2 2 2  x2   x2  1 1 3 Vậy B = ∫ x ln xdx =  ln x  − ∫ xdx =  ln x  − x 2 = 2 ln 2 − 4 1  2 1 2 1  2 1 4 1 π 2 c) C = ∫ x sin xdx . 0 Đặt u = x ⇒ du = dx dv = sin xdx ⇒ v = − cos x π π 2 π π 2 π Vậy C = ∫ x sin xdx = ( − x cos x ) 2 + ∫ cos xdx = ( − x cos x ) 2 + sin x 02 = 1 0 0 2 d) D = ∫ x 5 ln xdx . Đặt u = ln x ⇒ du = 1 dv = x 5 dx ⇒ v = 2 0 0 2 1 dx x x6 6 2 2 2  x 6 ln x   x 6 ln x  1 5 1 6 32 7 Vậy D = ∫ x ln x =  x = ln 2 −  − ∫ x dx =   − 4 1  6 1 6 1  6  1 36 1 3 1 5 e) E = ∫ ( x + 1) e x dx . Đặt u = x + 1 ⇒ du = dx 0 dv = e x dx ⇒ v = e x Chương III. Nguyên hàm, Tích phân 35 và Ứng dụng. SyPhap 0939989966 Toán 12 GV. Lư Sĩ Pháp 1 Vậy E = ∫ ( x + 1) e x dx = 0 1 ( ( x + 1) e ) − ∫ e dx = ( ( x + 1) e ) 1 x x 0 π f) F = ∫ e x cos xdx . x 0 1 0 1 − ex = e 0 Đặt u = cos x ⇒ du = − sin xdx 0 dv = e x dx ⇒ v = e x π ( 0 π π ) + ∫e π Do vậy F = ∫ e x cos xdx = e x cos x 0 x sin xdx = −1 − eπ + I 0 Đặt u = sin x ⇒ du = cos xdx I = ∫ e x sin xdx . 0 dv = e x dx ⇒ v = e x π ( Do đó: I = ∫ e sin xdx = e sin x x 0 x π ) − ∫e π 0 Như vậy: F = −1 − eπ − F ⇒ F = − x cos xdx = − F 0 1 + eπ 2 Bài 14. Tính các tích phân sau: π π 2 4 a) A = ∫ x cos xdx π 2 b) B = ∫ x cos 2 xdx 0 c) C = ∫ x 2 cos xdx 0 0 1 e d) D = ∫ x 2 ln xdx e) E = 1 2 ∫ ( x + 3) e dx f) F = ∫ ( 2 x − 1) ln xdx x −1 1 HD Giải π 2 a) A = ∫ x cos xdx . Đặt u = x ⇒ du = dx 0 dv = cos xdx ⇒ v = sin x π π π 2 π 2 π Vậy A = ∫ x cos xdx = ( x sin x ) 2 − ∫ sin xdx = ( x sin x ) 2 + cos x 02 = 0 0 0 0 π 2 −1 π 4 b) B = ∫ x cos 2 xdx . Đặt u = x ⇒ du = dx 0 1 dv = cos 2 xdx ⇒ v = sin 2 x 2 π π π π π 4 1  1 4 1 14 π 1 Vậy B = ∫ x cos 2 xdx =  x sin 2 x  − ∫ sin 2 xdx =  x sin 2 x  + cos 2 x = − 8 4 2 0 2 0 2 0 4 0 0 4 4 π 2 c) C = ∫ x 2 cos xdx . Đặt u = x 2 ⇒ du = 2 xdx 0 dv = cos xdx ⇒ v = sin x π 2 ( Ta có: C = ∫ x 2 cos xdx = x 2 sin x 0 ) π 2 0 π 2 ( − 2 ∫ x sin xdx = x 2 sin x Chương III. Nguyên hàm, Tích phân 0 36 ) π 2 0 − 2I = π2 4 và Ứng dụng. −2 SyPhap 0939989966 Toán 12 GV. Lư Sĩ Pháp π 2 (vì I = ∫ x sin xdx = 1 bài 13c)) 0 e Đặt u = ln x ⇒ du = d) D = ∫ x 2 ln xdx . 1 dv = x 2 dx ⇒ v = 1 dx x x3 3 e e e e 1  1  1 1 2e3 + 1 Vậy D = ∫ x ln xdx = x 3 ln x − ∫ x 2 dx =  x 3 ln x  −  x 3  = 3 31 9 3 1  9 1 1 1 e 2 1 e) E = ∫ ( x + 3) e dx . Đặt u = x + 3 ⇒ du = dx x −1 dv = e x dx ⇒ v = e x 1 Vậy E = x x ∫ ( x + 3) e dx = ( x + 3) e −1 2 f) F = ∫ ( 2 x − 1) ln xdx . 1 1 −1 − ∫ e x dx = ( x + 3 ) e x −1 Đặt u = ln x ⇒ du = 1 1 − ex −1 1 −1 = 3e2 − 1 e 1 dx x dv = ( 2 x − 1) dx ⇒ v = x 2 − x 2 Vậy F = ∫ ( 2 x − 1) ln xdx = 1 (( x 2 2 ) ) − ∫ ( x − 1) dx = ( ( x − x ln x 2 1 2 1 ) ) − x ln x 2 1 2  x2  1 −  − x  = 2 ln 2 − 2  2 1 Bài 15. Tính các tích phân sau: 1 2 e a) A = ∫ ( 2 x + 2 ) e x dx b) B = ∫ x ln xdx 0 c) C = ∫ 1 π 1 5 2 e) E = ∫ 2 x ln ( x − 1) dx d) D = ∫ x 2 sin xdx 0 2 e ln x dx x3 f) F = ∫ ( ln x ) dx 2 1 HD Giải 1 a) A = ∫ ( 2 x + 2 ) e x dx . Đặt u = 2 x + 2 ⇒ du = 2dx 0 dv = e x dx ⇒ v = e x 1 Vậy A = ∫ ( 2 x + 2 ) e dx = ( 2 x + 2 ) e x x 0 e b) B = ∫ x ln xdx . 1 0 1 − 2 ∫ e x dx = ( 2 x + 2 ) e x − e x = 2e 0 Đặt u = ln x ⇒ du = 1 dv = xdx ⇒ v = e 1 1 0 0 1 dx x x2 2 e e 1 1 1 x2 e2 + 1 Vậy B = ∫ x ln xdx = x 2 ln x − ∫ xdx = x 2 ln x − = 2 21 2 4 1 4 1 1 1 e 2 c) C = ∫ 1 ln x dx . x3 e Đặt u = ln x ⇒ du = dv = Chương III. Nguyên hàm, Tích phân 1 dx x 1 1 dx ⇒ v = − 2 3 x 2x 37 và Ứng dụng. SyPhap 0939989966 Toán 12 GV. Lư Sĩ Pháp 2 2 2 2 2 ln x ln x 1 dx ln x 1 3 − 2 ln 2 Vậy C = ∫ 3 dx = − 2 + ∫ 3 = − 2 − 2 = 16 2x 1 2 1 x 2x 1 4x 1 1 x π 2 d) D = ∫ x 2 sin xdx . Đặt u = x 2 ⇒ du = 2 xdx 0 dv = sin xdx ⇒ v = − cos x π 2 ( Ta có: D = ∫ x 2 sin xdx = − x 2 cos x 0 π 2 I = ∫ x cos xdx = π 0 2 ) π 2 0 π π 2 2 0 0 + 2 ∫ x cos x = 2 ∫ x cos xdx = 2 I = π − 2 − 1 (Xem câu 14a)). 5 e) E = ∫ 2 x ln ( x − 1) dx . Đặt u = ln( x − 1) ⇒ du = 2 1 dx x −1 dv = 2 xdx ⇒ v = x 2 5 5 5  x2 1  2 Vậy E = ∫ 2 x ln ( x − 1) dx = x ln( x − 1) − ∫ dx = 25 ln 4 − ∫  x + 1 +  dx 2 x −1 x −1  2 2 2 5 ( ) 5  x2  27 = 25ln 4 −  + x + ln x − 1  = 24 ln 4 − 2  2 2 e f) F = ∫ ( ln x ) dx . Đặt u = ( ln x ) ⇒ du = 2 2 1 2 ln x dx x dv = dx ⇒ v = x e Ta có: F = ∫ ( ln x ) dx = x ( ln x ) 2 1 e J = ∫ ln xdx . 2 e 1 e − 2 ∫ ln xdx = e − 2 J 1 1 dx x Đặt u = ln x ⇒ du = 1 dv = dx ⇒ v = x e e e e Ta có: J = ∫ ln xdx = x ln x − ∫ dx = e − x = 1 . Vậy F = e − 2 J = e − 2.1 = e − 2 1 1 1 1 Bài 16. Tính các tích phân sau: 3 a) A = ∫ 1 2 π 3 + ln x ( x + 1) 2 eπ 2 b) B = ∫ e sin xdx c) C = ∫ cos(ln x )dx x dx 0 1 π  1 d) D = ∫ x ln  1 +  dx  x 1 3 e) E = ∫ sin x ln(cos x )dx 2 0 e3 f) F = ln(ln x ) dx x 2 e ∫ HD Giải 3 a) A = ∫ 1 3 + ln x ( x + 1) 2 dx . Đặt u = 3 + ln x ⇒ du = dv = Chương III. Nguyên hàm, Tích phân dx ( x + 1) 38 2 1 dx x ⇒v=− 1 x +1 và Ứng dụng. SyPhap 0939989966 Toán 12 GV. Lư Sĩ Pháp 3 3 3 3 1 3 + ln x dx 3 − ln 3 1  Vậy A = ∫ dx = − +∫ = + ∫ −  dx 2 x + 1 1 1 x ( x + 1) x x +1 4 1 ( x + 1) 1 = 3 + ln x 3 − ln 3 + ln x − ln x + 1 4 ( ) 3 1 1 27  =  3 + ln  4 16  π 2 b) B = ∫ e x sin xdx . Đặt u = e x ⇒ du = e x dx 0 dv = sin xdx ⇒ v = − cos x π π 2 π 2 Ta có: B = ∫ e sin xdx = −e cos x 2 + ∫ e x cos x = 1 + K x x 0 0 0 π 2 K = ∫ e x cos x . Đặt u = e x ⇒ du = e x dx 0 dv = cos xdx ⇒ v = sin x π π 2 π π 2 Vậy K = ∫ e x cos x = e x sin x 2 − ∫ e x sin xdx = e 2 − B . 0 0 π 0 π 1+ e2 Vậy B = 1 + K = 1 + e 2 − B ⇒ B = 2 eπ Đặt u = cos(ln x ) ⇒ du = − c) C = ∫ cos(ln x )dx . 1 sin(ln x ) dx x dv = dx ⇒ v = x eπ eπ eπ Ta có: C = ∫ cos(ln x )dx = x cos(ln x ) 1 + ∫ sin(ln x )dx = −eπ − 1 + M 1 1 eπ M = ∫ sin(ln x )dx . Đặt u = sin(ln x ) ⇒ du = 1 cos(ln x ) dx x dv = dx ⇒ v = x eπ eπ eπ Ta có: M = ∫ sin(ln x )dx = x sin(ln x ) 1 − ∫ cos(ln x )dx = −C 1 1 Vậy C = −eπ − 1 + M = −eπ − 1 − C ⇒ C = − 2  1 d) D = ∫ x 2 ln  1 +  dx .  x 1 2 eπ + 1 2  1 1 Đặt u = ln  1 +  ⇒ du = − dx x x ( x + 1)  x3 dv = x 2 dx ⇒ v = 3 2 2  1 8 3 1 1 x3  1  1 x2 Ta có: D = ∫ x ln  1 +  dx = ln  1 +  + ∫ dx = ln − ln 2 + 3  x  1 3 1 x +1 3 2 3 3  x 1 2 2 2   1  8 3 1 1  x2 10 1 +∫  x −1+ dx = ln − ln 2 +  − x + ln x + 1  = 3ln 3 − ln 2 +  x +1 3 2 3 3 2 3 6 1 1 Chương III. Nguyên hàm, Tích phân 39 và Ứng dụng. SyPhap 0939989966 Toán 12 GV. Lư Sĩ Pháp π sin x dx cos x dv = sin xdx ⇒ v = − cos x 3 e) E = ∫ sin x ln(cos x )dx . Đặt u = ln(cos x ) ⇒ du = − 0 π π 3 3 π π π Vậy E = ∫ sin x ln(cos x )dx = − cos x ln(cos x ) 03 − ∫ sin xdx = − cos x ln(cos x ) 03 + cos x 03 = 0 0 3 ln(ln x ) dx . x e2 e f) F = Đặt u = ln(ln x ) ⇒ du = ∫ 1 dx x ln x 1 dx ⇒ v = ln x x dv = e3 e3 e3 e3 ln(ln x ) 1 Vậy F = ∫ dx = ln x ln(ln x ) e2 − ∫ dx = ln x ln(ln x ) e2 − ln x x x e2 e2 Bài 17. Tính các tích phân sau: 1 2 a) A = ∫ x log2 xdx b) B = ∫ 1 ln 2 ∫ d) D = (x 2 ) + 1 ex ( x + 1) 0 3 0 e3 e2 = 3 ln 3 − 2 ln 2 − 1 1 c) C = ∫ dx 0 2  1  x+ 1 e) E = ∫  1 + x −  e x dx x 1 xe −2 x dx 1 ( ln 2 − 1) 2 (x 2 ) + 1 ex ( x + 1) 2 dx 1 + x ln x x e dx x 1 e f) F = ∫ 2 HD Giải 2 a) A = ∫ x log2 xdx = 1 2 1 x ln xdx . ln 2 ∫1 Đặt u = ln x ⇒ du = dv = xdx ⇒ v = 1 dx x x2 2 2 2 2 2 2 1 1  x2  1 1  x2  1  x2  3 x ln xdx = ln − xdx = ln − Vậy A =       =2− ∫ ∫ ln 2 1 ln 2  2  2 ln 2 1 ln 2  2  2 ln 2  2  4 ln 2 1 1 1 1 b) B = ∫ 0 (x ) + 1 ex 2 ( x + 1) 3 ( dv = 1 Vậy B = ∫ (x c) C = ∫ 0 (x ) + 1 ex ( x + 1) 0 1 2 2 ) +1 e ( x + 1) 2 (x dx = − 2 ) + 1 ex 2 ( x + 1) 3 1 2 0 x Ta có: C = ∫ 0 (x 2 ) ( x + 1) 2 ( x + 1) 3 ( ⇒v=− ) 1 2 ( x + 1) 2 1 0 ( ) Đặt u = x 2 + 1 e x ⇒ du = ( x + 1) e x dx dx . + 1 ex dx 2 1 1 x 2 + 1 ex 1 x 1 x 1 + ∫ e dx = − + e = e 2 20 2 0 4 2 ( x + 1) dv = 1 ) Đặt u = x 2 + 1 e x ⇒ du = ( x + 1) e x dx dx . (x dx = − 2 ) + 1 ex x +1 Chương III. Nguyên hàm, Tích phân 1 dx ( x + 1) 2 2 ⇒v=− 1 x +1 1 + ∫ ( x + 1) e x dx = −e + 1 + I 0 0 40 và Ứng dụng. SyPhap 0939989966 Toán 12 GV. Lư Sĩ Pháp 1 I = ∫ ( x + 1) e x dx . Đặt u = x + 1 ⇒ du = dx 0 dv = e x dx ⇒ v = e x 1 1 Do đó: I = ∫ ( x + 1) e x dx = ( x + 1) e x − ∫ e x dx = ( x + 1) e x − e x = e 1 0 0 0 Vậy C = −e + 1 + I = −e + 1 + e = 1 ln2 ∫ xe d) D = −2 x 1 1 0 0 Đặt u = x ⇒ du = dx dx 0 1 dv = e−2 x dx ⇒ v = − e−2 x 2 Vậy D = ln2 ∫ xe −2 x 0 1 dx = − xe−2 x 2 ( 2  1 e) E = ∫  1 + x −  e x 1 x+ 1 x 2 dx = ∫ e M = ∫e x+ 1 x ) 0 x+ 1 x 1 2 2 2 ln 2 ln2 1 + 2 ∫e 0 −2 x 1 dx = − xe−2 x 2 ( 2  1 dx + ∫  x −  e x 1 x+ 1 x ) ln2 0 1 − e−2 x 4 ln 2 0 1  3 ln 2  =  −  44 2  dx = M + N . 2 Đặt u = e dx . 1 2 x+ 1 x  1  x + 1x ⇒ du =  1 − 2  e dx  x  dv = dx ⇒ v = x 2 Do đó: M = ∫ e x+ 1 x dx = xe 1 2 x+ 1 x 2 1 2 2 1 x+  1  x+ 1 − ∫  x −  e x dx = xe x x 1 2 2 1 2 3 5 − N = e2 − N 2 3 5 3 5 Vậy E = M + N = e 2 − N + N = e 2 2 2 e e x e 1 + x ln x x e f) F = ∫ e dx = ∫ dx + ∫ e x ln xdx = K + L x x 1 1 1 e ex dx x 1 K=∫ Đặt u = e x ⇒ du = e x dx dv = e 1 dx ⇒ v = ln x x e e ex dx = e x ln x − ∫ e x ln xdx = ee − L 1 x 1 1 Do đó: K = ∫ Vậy F = K + L = ee − L + L = ee Dạng 5. Kết hợp giữa phương pháp đổi biến loại I và tích phân từng phần Phương pháp: Vận dụng linh hoạt và thành thạo ở cả hai phương pháp trên. Bài 18. Tính các tích phân sau:  3 a) A = ∫  2 x −  ln xdx x 1 e π 3 x dx d) D = ∫ 2 0 cos x π ( ) b) B = ∫ e cos x + x sin xdx 0 π e) E = ∫ x sin x cos2 xdx 0 Chương III. Nguyên hàm, Tích phân 41 c) C = π2 4 ∫ sin xdx 0 π 2 2 f) F = ∫ esin x sin x cos3 xdx 0 và Ứng dụng. SyPhap 0939989966 Toán 12 GV. Lư Sĩ Pháp ln2 g) G = ∫e 0 x dx + e− x + 2 x HD Giải  3 ln x a) A = ∫  2 x −  ln xdx = ∫ 2 x ln xdx − 3∫ dx = I − 3J x x 1 1 1 e e e e Đặt u = ln x ⇒ du = Tính I = ∫ 2 x ln xdx . 1 1 dx x dv = 2 xdx ⇒ v = x 2 e x2 e2 + 1 Ta có: I = ∫ 2 x ln xdx = x ln x − ∫ xdx = x ln x − = 1 1 2 1 2 1 1 e ( ) 2 ( ) 2 e 1 dx x Đổi cận: x = 1 ⇒ t = 0 ; x = e ⇒ t = 1 ln x dx . x 1 e Đặt t = ln x ⇒ dt = Tính J = ∫ 1 ln x t2 Ta có: J = ∫ dx = ∫ tdt = x 2 1 0 e e e 1 = 0 1 2 e2 + 1 3 e2 Vậy A = I − 3J = − = −1 2 2 2 π ( ) π π 0 0 b) B = ∫ e cos x + x sin xdx = ∫ e cos x sin xdx + ∫ x sin xdx = M + N 0 π Tính M = ∫ ecos x sin xdx . Đặt t = cos x ⇒ dt = − sin xdx 0 Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1 ; x = π ⇒ t = −1 1 1 Ta có: M = ∫ ecos x sin xdx = − ∫ et dt = ∫ et dt = et = e − −1 e 0 1 −1 −1 π 1 π Tính N = ∫ x sin xdx . Đặt u = x ⇒ du = dx 0 dv = sin xdx ⇒ v = − cos x π π π π π Ta có: N = ∫ x sin xdx = − x cos x 0 + ∫ cos xdx = − x cos x 0 + sin x 0 = π 0 0 1 Vậy B = M + N = e − + π e c) C = π2 4 ∫ sin Đặt t = x ⇒ t 2 = x ⇒ 2tdt = dx xdx . 0 Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0 ; x = Do đó: C = π2 4 ∫ sin 0 π 2 π2 4 ⇒t= π 2 π 2 xdx = 2 ∫ t sin tdt = 2 K Tính K = ∫ t sin tdt 0 Đặt u = t ⇒ du = dt 0 Chương III. Nguyên hàm, Tích phân dv = sin tdt ⇒ v = − cos t 42 và Ứng dụng. SyPhap 0939989966 Toán 12 GV. Lư Sĩ Pháp π 2 π 2 π 2 0 π π Ta có: K = ∫ t sin tdt = −t cos t + ∫ cos t = −t cos t 02 + sin t 02 = 1 0 0 Vậy C = 2 K = 2.1 = 2 π 3 d) D = ∫ 0 x dx . cos2 x Đặt u = x ⇒ du = dx dv = π 3 1 dx ⇒ v = tan x cos2 x π 3 x π 3 dx = x tan x − ∫ tan xdx = −L 2 3 cos x 0 π 3 0 Ta có: D = ∫ 0 π 3 π 3 sin x dx cos x 0 Tính L = ∫ tan xdx = ∫ 0 Đặt t = cos x ⇒ dt = − sin xdx Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1 ; x = π 3 1 2 1 sin x dt dt Ta có: L = ∫ dx = − ∫ = ∫ = ln t t 1 t cos x 0 1 1 1 2 π 3 ⇒t= 1 2 = ln 2 2 Vậy D = π 3 3 −L = π 3 3 − ln 2 π e) E = ∫ x sin x cos2 xdx . Đặt u = x ⇒ du = dx 0 dv = sin x cos2 xdx ⇒ v = ∫ sin x cos2 xdx Tính ∫ sin x cos2 xdx . Đặt t = cos x ⇒ dt = − sin xdx t3 cos3 x cos3 x +C = − + C . Chọn C = 0 ⇒ v = − 3 3 3 π π π 1 1 π 1 Vậy E = ∫ x sin x cos2 xdx = − ∫ x cos3 x + ∫ cos3 xdx = + P 30 30 3 3 0 2 2 ∫ sin x cos xdx = −∫ t dt = − π π 0 0 ( ) Tính P = ∫ cos3 xdx = ∫ 1 − sin 2 x cos xdx . π ( 0 ) Đặt t = sin x ⇒ dt = cos xdx Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0 ; x = π ⇒ t = 0 ( ) Do đó: P = ∫ 1 − sin 2 x cos xdx = ∫ 1 − t 2 dt = 0 0 Như vậy: E = π 2 0 1 π 1 π + P = + .0 = 3 3 3 3 3 π π 2 2 2 f) F = ∫ esin x sin x cos3 xdx = ∫ esin x sin x cos x cos2 xdx . 0 Đặt 0 u = cos x ⇒ du = 2sin x cos xdx 2 2 2 dv = esin x sin x cos xdx ⇒ v = ∫ esin x sin x cos xdx Chương III. Nguyên hàm, Tích phân 43 và Ứng dụng. SyPhap 0939989966 Toán 12 GV. Lư Sĩ Pháp 2 Tính ∫ esin x sin x cos xdx . ∫e sin 2 x sin x cos xdx = π 2 sin2 x 0 ∫ g) G = 0 π π π 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 e sin x cos x cos xdx = cos2 xesin x + ∫ esin x sin x cos xdx = cos2 xesin x + esin x = − 1 2 2 2 2 0 1 1 1 2 2 x dx = x e + e− x + 2 ln2 ∫ 0 xe x (e x ) +1 2 dx . u = x ⇒ du = dx ex 1 dv = dx ⇒ v = − x . 2 x e + 1 e +1 Đặt ( ) ln 2 x + Suy ra: G = − x e +1 0 ln 2 G1 = 1 dt 2 1 t 1 1 2 1 2 e dt = et + C = esin x + C . Chọn C = 0 ⇒ v = esin x ∫ 2 2 2 2 π Vậy: F = ∫ e ln 2 Đặt t = sin 2 x ⇒ dt = 2sin x cos xdx ⇒ sin x cos xdx = ∫e 0 x ln 2 ∫ 0 1 ln 2 dx = − + x 3 e +1 ln2 ∫e 0 x 1 ln 2 dx = − + G1 3 +1 1 dt dx. Đặt t = e x ⇒ dt = e x dx ⇒ dx = ; x = 0 ⇒ t = 1, x = ln 2 ⇒ t = 2 t +1 2 2 2 2 2 dt dt dt = ∫ −∫ = ln t 1 − ln(1 + t ) 1 = 2 ln 2 − ln 3 t(t + 1) 1 t 1 t + 1 1 Suy ra: G1 = ∫ 5 Vậy: G = ln 2 − ln 3. 3 C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 19. Tính các tích phân sau: 2 3 2 1 ln x ) dx ( x 1 3 a) A = ∫ x 2 e x dx b) B = ∫ 1 c) C = 1 f) F = ∫ x 2 − 1 dx e) E = ∫ 0 x 2 + 1dx 2 cos x dx 1 + sin x 0 2 3 ∫x 0 π d) D = ∫ x 2 e3 x dx 3 0 Bài 20. Tính các tích phân sau: 2 π a) A = ∫ cos x dx 16 b) B = ∫ 1 − x dx 0 c) C = ∫ 0 0 12 e d) D = ∫ ln x dx e) E = 1 e 2x + 1 ∫10 x 2 + x − 2 dx dx x+9 − x π 1 dx 1 + cos x 0 2 f) F = ∫ Bài 21. Tính các tích phân sau: π 2 a) A = ∫ ( 2 x − 1) cos xdx 0 π d) D = 3 ∫π − x sin x dx cos2 x π 1 3 ( ) c) C = ∫ x ln 1 + x 2 dx b) B = ∫ x sin xdx 0 0 π 3 e) E = ∫  ln( x − 1) − ln( x + 1) dx 2 2 f) F = ∫ x cos x sin 2 xdx 0 3 Kết quả Bài 19. Chương III. Nguyên hàm, Tích phân 44 và Ứng dụng. SyPhap 0939989966 Toán 12 GV. Lư Sĩ Pháp 2 3 a) A = ∫ x 2 e x dx = 1 e8 − e . HD đổi biến, đặt t = x 3 3 2 ( ln 3) . HD đổi biến, đặt t = ln x 1 b) B = ∫ ( ln x ) dx = x 3 1 3 3 3 x 2 + 1dx = ∫x c) C = 0 1 3 d) D = ∫ x 2 e3 x dx = 0 7 . HD đổi biến, đặt t = x 2 + 1 3 e3 − 1 . HD đổi biến, đặt t = 3 x 3 9 π cos x dx = ln 2 . HD đổi biến, đặt t = 1 + sin x 1 + sin x 0 2 e) E = ∫ 2 2 1 0 0 0 ( 2 ) ( ) f) F = ∫ x 2 − 1 dx = 2 . HD F = ∫ x 2 − 1 dx = ∫ 1 − x 2 dx + ∫ x 2 − 1 dx 1 Bài 20. π π 0 0 π 2 π 0 π a) A = ∫ cos x dx = 2 . HD A = ∫ cos x dx = ∫ cos xdx − ∫ cos xdx 2 2 2 1 2 0 0 0 1 b) B = ∫ 1 − x dx = 1 . HD B = ∫ 1 − x dx = ∫ (1 − x ) dx + ∫ ( x − 1) dx 16 dx c) C = ∫ x+9 − x 0 = 12 . HD e d) D = ∫ ln x dx = 2 − 1 e x+9 − x = 1 9 ( x+9 + x ) 1 2 . HD D = ∫ ln x dx = ∫ ln xdx − ∫ ln xdx . Nguyên hàm của ln x trên từng e 1 1 1 e e e e khoảng xác định của nó là x ( ln x − 1) . 12 2x +1 dx = ln 77 − ln 54 . HD đổi biến, đặt t = x 2 + x − 2 10 x + x − 2 e) E = ∫ 2 π 1 x dx = 1 . HD đổi biến, đặt t = tan ⇒ dt = 2 1 + cos x 0 2 f) F = ∫ Bài 21. π 2 a) A = ∫ ( 2 x − 1) cos xdx = 0 π 3 dx 2 cos2 x 2 ⇒ dx = 2dt . 1 + t2 . HD Phương pháp tích phân từng phần với u = 2 x − 1, dv = cos xdx π b) B = ∫ x 3 sin xdx = π 3 − 6π . HD Phương pháp tích phân từng phần với u = x 3 , dv = sin xdx 0 1 1 c) C = ∫ x ln 1 + x 2 dx = ln 2 − . HD Trước hết đổi biến với t = 1 + x 2 . 2 0 1 ( ( ) ) C = ∫ x ln 1 + x 2 dx = 0 2 1 ln tdt . Sau đó sử dụng tích phân từng phần với u = ln t, dv = dt 2 ∫1 Chương III. Nguyên hàm, Tích phân 45 và Ứng dụng. SyPhap 0939989966 Toán 12 GV. Lư Sĩ Pháp π 3 ( − ) x sin x 3 dx = π − ln 7 + 4 3 . HD Trước tiên sử dụng tích phân từng phần với 2 4 x ∫π cos d) D = 3 u = x , dv = sin x dx . Tính cos2 x π Khi đó D = 3 ∫π − sin x 1 . dx ⇒ v = 2 cos x x ∫ cos x sin x x dx = 2 cos x cos x 3 biến với t = sin x . π π 3 − π 3 − 3 ∫π − π π dx x = cos x cos x 3 3 − π 3 − K . Tính K = 3 dx ∫π cos x − bằng phương pháp đổi 3 3 e) E = ∫  ln( x − 1) − ln( x + 1) dx = 3 ln 3 − 6 ln 2 2 π 2 f) F = ∫ x cos x sin 2 xdx = 0 2 − . HD Phương pháp tích phân từng phần với u = x, dv = cos x sin2 xdx . 6 9 π Tính ∫ cos x sin 2 xdx . Chương III. Nguyên hàm, Tích phân 46 và Ứng dụng. SyPhap 0939989966 Toán 12 GV. Lư Sĩ Pháp §3. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC A. KIẾN THỨC CẦN NẮM 1. Diện tích hình phẳng Nếu hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số f ( x) , liên tục trên đoạn [ a; b ] , trục hoành và b hai đường thẳng x = a, x = b thì diện tích S của nó được tính theo công thức: S = ∫ f ( x ) dx a Như vậy: y y = f (x) c1 a O c2 c3 y  y (H )  x  x b x = f (x) =0 = a b S = ∫ f ( x ) dx a = b b Chú ý: Nếu trên [ a; b ] hàm số f ( x) giữ nguyên một dấu thì: S = ∫ f ( x)dx = a b ∫ f ( x)dx a Nếu hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị của hai hàm số y = f ( x) , y = g ( x) liên tục trên đoạn [ a; b] và hai đường thẳng x = a, x = b thì diện tích S của nó được tính theo công b thức: S = ∫ f ( x ) − g ( x)dx . a Như vậy: y  ( C 1 ) : y = f1 ( x )   (C ) : y = f 2 ( x ) (H )  2 x = a x = b  (C 1 ) (C 2 ) b a O c2 c1 S = x b ∫ f1 ( x ) − f 2 ( x ) d x a Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường x = g ( y ) , x = h( y ) và hai đường thẳng y = c , y = d d được xác định: S =ò g ( y ) – h( y ) dy. c Chú ý: Nếu trên đoạn [α ; β ] biểu thức f ( x) − g ( x) không đổi dấu thì: β ∫ f ( x) − g ( x)dx = α β ∫ [ f ( x) − g ( x)]dx α 2. Thể tích vật thể Giới hạn vật thể V bởi hai mặt phẳng song song, vuông góc với trục hoành, cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ x = a, x = b và S ( x) là diện tích thiết diện của V vuông góc với Ox tại x ∈ [ a; b] . Thể tích b của V được cho bởi công thức: V = ∫ S(x )dx . ( S ( x) là hàm số không âm, liên tục trên đoạn [ a; b ] ) a Như vậy: (V ) O b x a b x V = ∫ S ( x )dx a S(x) 3. Thể tích khối tròn xoay Chương III. Nguyên hàm, Tích phân 47 và Ứng dụng. SyPhap 0939989966 Toán 12 GV. Lư Sĩ Pháp Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số f ( x) , liên tục trên đoạn [ a; b ] , trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b quay quanh trục Ox, ta được khối tròn xoay. Thể tích của khối tròn xoay này được b cho bởi công thức S = π ∫ f 2 ( x )dx a Như vậy: y y = f (x) O a (C ) : y = f ( x )  b 2 (Ox ) : y = 0 V = π  x ∫a [ f ( x )] dx x x = a  x = b b Lưu ý: Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường x = g ( y ) , trục hoành và hai đường thẳng y = c , y = d quanh trục Oy: y (C ) : x = g( y )  (Oy ) : x = 0  y = c  y = d d c d V y = π ∫ [ g ( y ) ] dy 2 c x O Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f ( x) , y = g ( x) b và hai đường thẳng x = a , x = b quanh trục Ox: V = pò f 2 ( x) – g 2 ( x) dx a B. BÀI TẬP DẠNG 1. Tính diện tích hình phẳng (C ) : y = f ( x ) b  Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:  y = 0 . Công thức S = ∫ f ( x ) dx a  x = a, x = b  (C1 ) : y = f ( x ) b  Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: (C2 ) : y = g( x ) . Công thức S = ∫ f ( x ) − g( x ) dx a  x = a, x = b  Bài 1. Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = x 3 , trục hoành và hai đường thẳng x = −1, x = 2 HD Giải Gọi S là diện tích cần tìm Diện tích hình phẳng: S = ∫ 2 −1 0 2 y dx = ∫ x 3 dx −1 3 2 3 0 3 = ∫ x dx + ∫ x dx = − ∫ x dx + ∫ −1 0 −1 2 0 x4 x dx = − 4 3 0 2 x4 17 + = 4 0 4 −1 Bài 2. Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = x 3 − 4 x , y = 0 và hai đường thẳng x = −2, x = 4 Chương III. Nguyên hàm, Tích phân 48 và Ứng dụng. SyPhap 0939989966 Toán 12 GV. Lư Sĩ Pháp HD Giải Gọi S là diện tích cần tìm. Diện tích hình phẳng: S = ∫ 4 −2 4 y dx = ∫ x 3 − 4 x dx −2 3 Xét phương trình: x − 4 x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2 hoặc x = −2 . Xét dấu: −2 x 0 2 4 x − 4x 0 + 0 − 0 + 3 0 3 ∫ x = ∫ (x Khi đó: S = −2 0 −2 3 2 4 − 4 x dx + ∫ x 3 − 4 x dx + ∫ x 3 − 4 x dx 0 ) 2 ( 2 ) 4 ( ) − 4 x dx − ∫ x 3 − 4 x dx + ∫ x 3 − 4 x dx  x4  =  − 2×2   4  0 0 2 2 4  x4   x4  −  − 2 x 2  +  − 2 x 2  = 44  4 0  4 2 −2 Bài 3. Cho hàm số y = x 3 − 6 x 2 + 9 x (C) a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C) b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành. HD Giải x = 0 b) Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và trục hoành: x 3 − 6 x 2 + 9 x = 0 ⇔  x = 3 Gọi S là diện tích cần tìm, ta có: 3 3 2 S = ∫ x − 6 x + 9 x dx = ∫ 0 3 0 ( 3  x4 9×2  27 3 x − 6 x + 9 x dx =  − 2 x +  = 2  4  4 0 3 ) 2 x Bài 4. Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = xe 2 , y = 0 và hai đường thẳng x = 0; x = 1 HD Giải x Gọi S là diện tích cần tìm, ta có: xe 2 > 0, ∀x ∈  0;1 . Khi đó: S = ∫ 1 0 x 1 x xe 2 dx = ∫ xe 2 dx 0 1 1 x x 1 x   1 Đặt: u = x ⇒ du = dx; dv = e ⇒ v = 2e . Vậy S =  2 xe 2  − 2 ∫ e 2 dx = 2e 2 − 4e 2 = 4 − 2 e   0  0 0 Bài 5. Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = cos x , y = 0 và hai đường x 2 thẳng x = − π 2 x 2 ,x = π . HD Giải Gọi S là diện tích cần tìm, ta có: S = x y = cos x − π 2 | π + 2 0 π ∫ π cos x dx . Xét dấu: − 2 π . Khi đó: S = − | ∫ π π π cos xdx − ∫π cos xdx = sin x 2 − 2 2 π π 2 − π 2 − sin x π = 3 2 Bài 6. Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị của hàm số y = cos x , y = sin x và hai đường thẳng x = 0, x = π . HD Giải Gọi S là diện tích cần tìm. Đặt y = f ( x ) = cos x , y = g( x ) = sin x Chương III. Nguyên hàm, Tích phân 49 và Ứng dụng. SyPhap 0939989966 Toán 12 GV. Lư Sĩ Pháp Ta có: f ( x ) − g( x ) = 0 ⇔ cos x − sin x = 0 ⇔ x = Khi đó: S = ∫ π 0 cos x − sin x dx = ∫ π 4 0 π 4 ∈  0; π  (cos x − sin x )dx + π ∫π (cos x − sin x )dx 4 π = ( sin x + cos x ) 4 + ( sin x + cos x ) π = 2 2 π 0 4 Bài 7. Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị của hàm số y = x 3 − x và y = x − x 2 HD Giải 3 Gọi S là diện tích cần tìm. Đặt y = f ( x ) = x − x , y = g( x ) = x − x 2 ( ) ( 3 Ta có: f ( x ) − g( x ) = 0 ⇔ x − x − x − x Khi đó: S = ∫ 1 −2 x 3 + x 2 − 2 x dx = ∫ (x 0 −2 3 2 )  x = −2  = 0 ⇔ x + x − 2x = 0 ⇔  x = 0 x = 1  3 ) 2 + x 2 − 2 x dx + ∫ (x 1 0 3 ) + x 2 − 2 x dx 0 1  x 4 x3   x 4 x3  8 5 37 =  + − x2  +  + − x2  = + = 4 3 4 3 3 12 12   −2  0 Bài 8. Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đường cong y = x 2 + 1 , tiếp tuyến với đường thẳng ( ) này tại điểm M 2;5 và trục tung. HD Giải Phương trình tiếp tuyến của đường cong (P): y = x 2 + 1 tại điểm M 2;5 là y = 4 x − 3 ( ) Gọi S là diện tích cần tìm. Ta có: S = ∫ 2 0 2 8  x 2 + 1 − ( 4 x − 3)  dx = ∫ x 2 − 4 x + 4 dx =   0 3 ( ) Bài 9. a) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x 2 + 2 x và y = x + 2 x b) Tính thể tích của hình phẳng (H) quay quanh trục Ox, biết (H) giới hạn bởi các đường y = xe 2 , y = 0, x = 1, x = 2 HD Giải  x = −2 a) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường: x 2 + 2 x − x − 2 = 0 ⇔  x = 1  x3 x 2 1 1 1   −8  9 2 ( x + x − 2) dx = + − 2 x   −2 =  + − 2  −  + 2 + 4  = ∫−2 3 2   3  2  3 2  2 u = x ⇒ du = dx b) Thể tích cần tìm là V = π ∫ xe x dx . Đặt  x x 1 dv = e dx ⇒ v = e 1 Diện tích cần tìm là S = 2 2 2 2 ⇒ V = π ∫ xe x dx = π xe x − π ∫ e x dx = π e x ( x − 1) = e 2 . Vậy V = π e 2 1 1 1 1 Bài 10. Tìm thể tích vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2 x 2 và y = x 3 xung quanh trục Ox. HD Giải Chương III. Nguyên hàm, Tích phân 50 và Ứng dụng. SyPhap 0939989966 Toán 12 GV. Lư Sĩ Pháp 2 x = 0 ⇒ y = 0  y = 2 x Giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của hệ phương trình  ⇔ 3 x = 2 ⇒ y = 8  y = x Với x ∈  0;2  , ta có 2x 2 ≥ x 3 nên thể tích của vật thể tròn xoay là: 2 π ( ) − ( x )  dx = 256 35 V = π ∫  2 x 2 0 2 2 3 Bài 11. Cho tam giác vuông OPM có cạnh OP nằm trên trục Ox. Đặt OM = R , POM = α   π  0 ≤ α ≤ ,R > 0  3  a) Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay tam giác đó quanh trục Ox theo α và R b) Tìm α sao cho thể tích V lớn nhất. HD Giải a) Thể tích V của khối tròn xoay : V =π R cosα ∫ 2 y dx = π 0 R cosα ∫ 0 x3 x tan α dx = π tan α . 3 2 2 R cosα 2 = 0 π R3 3 ( cosα − cos α 3 1   π π R3 b) Đặt t = cos α ⇒ t ∈  ;1 (vì α ∈  0;  ). Ta có V = t − t3 3 2   3  1 t = 3 πR 3 V/ = 1 − 3t 2 , V / = 0 ⇔   3 1 (loaïi) t = − 3  ( ( ) )  1  2 3π R 3 1 1 = Vậy max V (α ) = max V (t ) = V  ( trong đó cos α = ⇒ α = arccos )   π 1  27 3 3 3    0;   ;1 3 2     C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường sau: a) y = x 2 − 2 x và y = x b) y = 2 x − x 2 , x + y = 2 c) y = x 3 − 12 x , y = x 2 Bài 2. Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đường cong y = x 2 − 2 x + 2 , tiếp tuyến với đường ( ) thẳng này tại điểm M 3;5 và trục tung. Kết quả Bài 1. 3 9 . HD: S = ∫ x 2 − 2 x − x dx 0 2 0 4 1 937 b) S = c) S = HD: S = ∫ x 3 − 12 x − x 2 dx + ∫ x 2 + 12 x − x 3 dx −3 0 6 12 2 Bài 2. Phương trình tiếp tuyến của đường cong (P): y = x − 2 x + 2 tại điểm M ( 2;5 ) là y = 4 x − 7 a) S = ( ) ( Gọi S là diện tích cần tìm. Ta có: S = ∫ 2 0 Chương III. Nguyên hàm, Tích phân ) ( ) ( ) x 2 − 2 x + 2 − ( 4 x − 7 ) dx = ∫ x 2 − 6 x + 9 dx = 9 2 0 51 và Ứng dụng. SyPhap 0939989966 Toán 12 GV. Lư Sĩ Pháp ÔN TẬP CHƯƠNG III A. KIẾN THỨC CẦN NẮM §1. NGUYÊN HÀM 1. Định nghĩa: Cho hàm số f ( x) xác định trên K. Hàm số F ( x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f ( x) trên K nếu F ‘( x) = f ( x) với mọi x ∈ K . ∫ f ( x)dx =F ( x) + C ⇔ F ′( x) = f ( x) Như vậy: 2. Tính chất ∫ f ′( x)dx = f ( x) + C ∫ [ f ( x) ± g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx ∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx 3. Bảng nguyên hàm Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp thường gặp ∫ 0dx = C 2. ∫ dx = x + C Nguyên hàm của những hàm số hợp đơn giản ∫ 0dt = C ∫ dt = t + C 1. xα +1 + C (α ≠ −1) α +1 1 1 +C 4. ∫ α dx = − x (α − 1) xα −1 3. α ∫ x dx = 5. ∫ xdx = 3 2 2 2 3 x +C = x +C 3 3 1 6. ∫ x dx = ln x + C 7. ∫x 8. ∫ 9. ∫ e dx = e 1 2 1 dx = − + C x 1 dx = 2 x + C , x > 0 x x ∫ 10. a x dx = x +C ax + C(a ≠ 1, a > 0) ln a ∫ kdx = kx + C ∫ ( ax + b ) dx = α 1 ( ax + b ) a α +1 α +1 1 + C (α ≠ 1) 1 ∫ ( ax + b )α dx = − a (α − 1)( ax + b )α ∫ ax + bdx = 1 −1 2 (ax + b)3 + C 3a 1 1 2 dx = − 1 +C a (ax + b) 1 2 ax + b ∫ ax + b dx = a + C , ax + b > 0, a ≠ 0 1 ax +b ax + b ∫ e dx = a .e + C 1 aα x + β α x+ β a d x = . + C (a ≠ 1, a > 0) ∫ α ln a 1 ∫ cos xdx = sin x + C ∫ cos ( ax + b ) dx = a .sin ( ax + b ) + C ∫ ∫ sin ( ax + b ) dx = − a .cos ( ax + b ) + C 13. ∫ tan xdx = − ln cos x + C ∫ tan(ax + b)dx = − a ln cos x + C 14. ∫ cot xdx = ln sin x + C ∫ cot(ax + b)dx = a ln sin x + C 15. ∫ cos 11. 12. sin xdx = − cos x + C 1 2 x dx = tan x + C +C ∫ ax + b dx = a .ln ax + b + C ∫ ( ax + b ) 2 3 2 3 t dt = t 2 + C = t +C 3 3 ∫ 1 ∫ t dt = ln t + C 1 1 dt = − + C t ∫t 2 ∫ 1 dt = 2 t + C , t > 0 t ∫ e dt = e t t +C at +C ln a (a ≠ 1, a > 0) t ∫ a dt = ∫ cos tdt = sin t + C ∫ sin tdt = − cos t + C 1 ∫ tan tdt = − ln cos t + C 1 ∫ cos ( ax + b ) dx = a . tan ( ax + b ) + C 2 Chương III. Nguyên hàm, Tích phân t α +1 + C (α ≠ −1) α +1 1 1 ∫ tα dt = − (α − 1)t α −1 + C α ∫ t dt = 1 1 1 Nguyên hàm của những hàm số hợp(với t = t ( x) ) 52 và Ứng dụng. ∫ cot tdt = ln sin t + C 1 ∫ cos 2 t dt = tan t + C SyPhap 0939989966 Toán 12 16. 1 ∫ sin 2 x GV. Lư Sĩ Pháp 17. ∫ tan 2 xdx = tan x − x + C 18. ∫ cot 2 xdx = − cot x − x + C 19. ∫x 20. ∫ ln xdx = x ln x − x + C 21. ∫ log 2 1 dx = − cot x + C xdx = 1 ∫ sin 1 tan(ax + b) − x + C a 1 2 ∫ cot (ax + b)dx = − a cot(ax + b) − x + C 1 1 ax + b ∫ (ax + b)(cx − d ) dx = ad − bc ln cx − d + C (ax + b) ln(ax + b) − ax +C ∫ ln(ax + b)dx = a (mx + n) ln(mx + n) − mx +C ∫ log a (mx + n)dx = m ln a 2 ∫ tan 1 1 x−a +C dx = ln 2 −a 2a x + a a 1 ∫ sin ( ax + b ) dx = − a .cot ( ax + b ) + C x ln x − x +C ln a 2 (ax + b)dx = dt = − cot t + C 2 t ∫ tan 2 tdt = tan t − t + C ∫ cot 2 tdt = − cot t − t + C 4. Phương pháp tính nguyên hàm a. Phương pháp biến đổi Nếu ∫ f (u )du = F (u ) + C và u = u ( x ) là hàm số có đạo hàm liên tục thì ∫ f (u( x))u ‘( x)dx = F (u ( x)) + C . Lưu ý: Đặt t = u ( x) ⇒ dt = u ( x)dx . Khi đó: ∫ f (t )dt = F (t ) + C , sau / đó thay ngược lại t = u ( x) ta được kết quả cần tìm. 1 Với u = ax + b(a ≠ 0) , ta có ∫ f (ax + b)dx = F (ax + b) + C a b. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần Nếu hai hàm số u = u ( x ) và v = v( x) có đạo hàm liên tục trên K thì ∫ u ( x)v ‘( x)dx = u( x).v( x) − ∫ u ‘( x)v( x)dx Đặt u = f ( x) ⇒ du = f / ∫ udv = uv − ∫ vdu ( x)dx và dv = g ( x)dx ⇒ v = ∫ g ( x)dx = G ( x) (chọn C = 0) hay Lưu ý: Với P ( x) là đa thức N.Hàm P ( x ) e x dx ∫ ∫ P( x) cos xdx hay ∫ P( x) sin xdx ∫ P( x) ln xdx Đặt u P(x) P(x) lnx x dv P ( x)dx cos x d x hay sin x d x e dx Yêu cầu tìm nguyên hàm của một hàm số được hiểu là tìm nguyên hàm trên từng khoảng xác định của nó. §2. TÍCH PHÂN I. Khái niệm về tích phân b Định nghĩa: ∫ f ( x)dx = F ( x) b a = F (b) − F (a ) a Chú ý: b 1. Khi a = b ta định nghĩa ∫ f ( x)dx = ∫ a a f ( x )dx = 0 a b 2. Khi a > b , ta đinh nghĩa ∫ a f ( x)dx = − ∫ f ( x )dx a b 3. Tích phân không phụ thuộc vào chữ dùng làm biến số trong dấu tích phân, tức là b ∫ a b f ( x)dx hay ∫ b f (t )dt ,… , đều tính bằng F (b) − F (a) hay a ∫ b f ( x)dx = ∫ f (t )dt a a II Tính chất của tích phân Chương III. Nguyên hàm, Tích phân 53 và Ứng dụng. SyPhap 0939989966 Toán 12 GV. Lư Sĩ Pháp b b a a Tích chất 1. k ∫ f ( x )dx = k ∫ f ( x)dx (k là hằng số) b Tích chất 2. b ∫ [ f ( x) ± g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx a Tính chất 3. b a a b c b a a c ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx, a GV. Lư Sĩ Pháp 1 ⇒ C = 2 nên f ( 3) = 2 + ln 5 . 2 Vậy f ( −1) + f ( 3) = 3 + ln15 Bài 22. Cho ( H ) là hình phẳng giới hạn bởi parabol y = 3 x 2 , cung tròn có phương trình y = 4 − x 2 (với 0 ≤ x ≤ 2 ) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của ( H ) bằng HD Giải Phương trình hoành độ giao điểm giữa parabol và cung tròn ta được 3 x 2 = 4 − x 2 ⇔ x = 1 với 0 ≤ x ≤ 2 , Ta có diện tích 1 2 S = ∫ 3 x dx + ∫ 0 2 1 1 2 2 3 3 3 4 − x dx = x + ∫ 4 − x 2 dx = + ∫ 4 − x 2 dx 3 3 1 1 2 0 Đặt: x = 2 sin t ⇒ dx = 2 cos tdt; x = 1 ⇒ t = π 6 ;x = 2⇒ t = π 2 π  1  2 4π − 3 3 ⇒S= + 2  t + sin 2t  = 3 6  2 π 6 Bài 23. Một chất điểm A xuất phát từ O , chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi 1 2 11 quy luật v ( t ) = t + t ( m s ) , trong đó t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc A bắt đầu chuyển 180 18 động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm B cũng xuất phát từ O , chuyển động thẳng cùng hướng với A nhưng chậm hơn 5 giây so với A và có gia tốc bằng a ( m s2 ) ( a là hằng số). Sau khi B xuất phát được 10 giây thì đuổi kịp A . Tính vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A . HD Giải Tính từ lúc chất điểm A bắt đầu chuyển động cho đến khi bị chất điểm B bắt kịp thì A đi được 15 giây, B đi được 10 giây. Ta có: vB ( t ) = ∫ adt = at + C , do vB ( 0 ) = 0 suy ra vB ( t ) = at . Chất điểm A bắt đầu chuyển động cho đến khi bị chất điểm B bắt kịp thì quãng đường hai chất điểm 15 đi được là bằng nhau. Vì vậy: 10 3  1 2 11  ∫0  180 t + 18 t  dt = ∫0 at dt ⇔ 75 = 50a ⇔ a = 2 . 3 Vậy vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A bằng vB (10 ) = .10 = 15 ( m s ) . 2 Bài 24. Cho hai hàm số f ( x ) = ax 2 + bx 2 + cx − 2 và g ( x ) = dx 2 + ex + 2 ( a , b , c , d , e ∈ ℝ ). Biết rằng đồ thị của hàm số y = f ( x ) và y = g ( x ) cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là −2 ; −1 ; 1. Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng bao nhiêu ? HD Giải Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị f ( x ) và g ( x ) là ax 3 + bx 2 + cx − 2 = dx 2 + 3x + 2 ⇔ a 3 + ( b − d ) x 2 + ( c − e ) x − 4 = 0 (*) Do đồ thị của hai hàm số cắt nhau tại ba điểm suy ra phương trình (*) có ba nghiệm x = −2 ; x = −1 ; x = 1 . Ta được ax3 + ( b − d ) x 2 + ( c − e ) x − 4 = k ( x + 2 )( x + 1)( x − 1) . Chương III. Nguyên hàm, Tích phân 70 và Ứng dụng. SyPhap 0939989966 Toán 12 GV. Lư Sĩ Pháp 1 Ta có: −4 = −2k ⇒ k = 2 . Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là ∫ 2 ( x + 2 )( x + 1)( x − 1) dx = −2 37 . 6 1 và g ( x ) = dx 2 + ex + 1 2 a , b , c , d , e ∈ ℝ . Bi ế t r ằ ng đồ th ị c ủ a hàm s ố y = f ( x ) và y = g ( x ) cắt ( ) Bài 25. Cho hai hàm số f ( x ) = ax3 + bx 2 + cx − nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là −3 ; −1 ; 1 (tham khảo hình vẽ). Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng bao nhiêu ? HD Giải Diện tích hình phẳng cần tìm là −1 1 −3 −1 S = ∫  f ( x ) − g ( x )  dx + ∫  g ( x ) − f ( x )  dx −1 1 3 3   = ∫  ax 3 + ( b − d ) x 2 + ( c − e ) x −  dx − ∫  ax 3 + ( b − d ) x 2 + ( c − e ) x −  dx . 2 2 −3  −1  3 Trong đó phương trình ax 3 + ( b − d ) x 2 + ( c − e ) x − = 0 (*) là phương trình hoành độ giao điểm của 2 hai đồ thị hàm số y = f ( x ) và y = g ( x ) . Phương trình (*) có nghiệm −3 ; −1 ; 1 nên ta có: 3 3 1    −27 a + 9 ( b − d ) − 3 ( c − e ) − 2 = 0 −27 a + 9 ( b − d ) − 3 ( c − e ) = 2 a = 2    3 3 3    ⇔ − a + ( b − d ) − ( c − e ) = ⇔ ( b − d ) = . − a + ( b − d ) − ( c − e ) − = 0 2 2 2    3 3 1    a + ( b − d ) + ( c − e ) − 2 = 0 a + ( b − d ) + ( c − e ) = 2 ( c − e ) = − 2    −1 1 3 1 3 3 1 3 1 1 Vậy S = ∫  x 3 + x 2 − x −  dx − ∫  x3 + x 2 − x −  dx = 2 − ( −2 ) = 4 . 2 2 2 2 2 2 2 2 −3  −1  Bài 26. Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn f ( 2 ) = − của f (1) . 2 2 và f ′ ( x ) = 2 x  f ( x )  với mọi x ∈ ℝ . Tính giá trị 9 HD Giải  1 ′ 1 Ta có f ′ ( x ) = 2 x  f ( x )  ⇔ = 2x ⇔  = − x2 + C .  = −2 x ⇔ 2 f ( x)  f ( x )   f ( x)  2 1 1 2 Theo giả thiết, ta có: f ( 2 ) = − suy ra C = − . Do đó f (1) = =− . 9 2 3  1 −12 +  −   2 2 2 Bài 27. Biết ∫ ( x + 1) 1 f ( x )≠0 f ′( x) dx dx = a − b − c với a, b, c là các số nguyên dương. Tính x + x x +1 P = a + b + c. HD Giải Chương III. Nguyên hàm, Tích phân 71 và Ứng dụng. SyPhap 0939989966 Toán 12 GV. Lư Sĩ Pháp 2 2 2 dx dx ∫1 ( x + 1) x + x x + 1 dx = ∫1 x( x + 1) x + 1 + x = ∫1 ( 2 =∫ 1 ) 2 ( ( 1  x +1 − x  1 dx = ∫  −  dx = 2 x − 2 x + 1 x( x + 1) x x +1  1 x +1 + x x( x + 1) ) 2 1 ( )( x +1 − x x +1 + x ) )dx = 2 2 − 2 − 2 3 + 2 2 = 32 − 12 − 2 Suy ra : P = a + b + c = 32 + 12 + 2 = 46. Bài 28. Cho hàm số f ( x ) liên tục trên R và có 1 ∫ f ( x ) dx = 2; 0 Tính I = 3 ∫ f ( x ) dx = 6 . 0 1 ∫ f ( 2 x − 1 ) dx . −1 HD Giải 1 Có I = ∫ −1 Tính I1 = ⇒ I1 = f ( 2 x − 1 ) dx = ∫ −1 1 f (1 − 2 x ) dx + ∫ f ( 2 x − 1) dx = I1 + I 2 1 2 1 2  x = −1 ⇒ u = 3  f 1 − 2 x d x . Đặ t . Đổ i c ậ n : . u = 1 − 2 x ⇒ d u = − 2 d x )  1 ∫−1 ( x = ⇒ u = 0  2 0 3 −1 1 f ( u ) du = ∫ f ( u ) du = 3 ∫ 2 3 20 x = 1 ⇒ u = 1  . f ( 2 x − 1) dx . Đặt u = 2 x − 1 ⇒ du = 2 dx . Đổi cận :  1  x = 2 ⇒ u = 0 1 Tính I 2 = ∫ 1 2 ⇒ I2 = 1 2 1 1 1 1 f ( u ) du = ∫ f ( u ) du = 1 . Vậy I = I1 + I 2 = 4 . ∫ 20 20 Bài 29. Cho hàm số f ( x ) liên tục trong đoạn [1;e ] , biết e ∫ 1 f ( x) dx = 1 , f ( e ) = 1 . x e Tính I = ∫ f ′ ( x ) .ln xdx. 1 HD Giải dx  u = ln x  du = x . Đặt  → dv = f ′ ( x ) dx v = f ( x )  e e Suy ra I = ∫ f ′ ( x ) .ln xdx = f ( x ) ln x 1 − ∫ e 1 1 f ( x) dx = f ( e ) − 1 = 1 − 1 = 0 . x Bài 30. Cho hình ( H ) giới hạn bởi trục hoành, đồ thị của một Parabol và một đường thẳng tiếp xúc với Parabol đó tại điểm A ( 2; 4 ) , như hình vẽ bên. Thể tích vật thể tròn xoay tạo bởi khi hình ( H ) quay quanh trục Ox . HD Giải Chương III. Nguyên hàm, Tích phân 72 và Ứng dụng. SyPhap 0939989966 Toán 12 GV. Lư Sĩ Pháp y Parabol có đỉnh là gốc tọa độ như hình vẽ và đi qua A ( 2; 4 ) nên 4 có phương trình y = x 2 . Tiếp tuyến của Parabol đó tại A ( 2; 4 ) có phương trình là 2 y = 4 ( x − 2) + 4 = 4x − 4 . Suy ra thể tích vật thể tròn xoay cần tìm là 1 O 2 2 2 2 V = π ∫ ( x 2 ) dx − π ∫ ( 4 x − 4 ) dx . ∫ ( x 2 ) d x = x 2 0 2 2 1 2 0 2 x5 32 ; = 5 0 5 2 2  x3  16 2 4 x − 4 d x = 16 x − 2 x + 1 d x = 16 ( ) ( )  − x + x = . ∫1 ∫1  3 1 3 2 2 2 2  32 16  16π . V ậ y V = π ∫ ( x 2 ) dx − π ∫ ( 4 x − 4 ) dx = π  −  =  5 3  15 0 1 2 2 Bài 31. Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ và thỏa mãn π 4 ∫ f ( tan x ) dx = 4 và 0 x2 f ( x ) ∫0 x2 + 1 dx = 2 . Tính 1 1 tích phân I = ∫ f ( x ) dx . 0 HD Giải π 4 Xét ∫ f ( tan x ) dx = 4 . Đặt t = tan x ⇒ dt = 0 Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0 . x = π 4 ∫ π 4 π 4 1 dt dx ⇒ = dx . cos 2 x 1+ t2 ⇒ t = 1. 1 f ( x) f (t) d t = 4 ⇒ dx = 4 . 2 ∫ 1+ t 1 + x2 0 0 1 f ( tan x ) dx = ∫ f ( tan x ) dx = ∫ 0 0 1 2 1 1 f ( x) x f ( x) f ( x) 2 d x + d x = 1 + x d x = ( ) ∫0 1 + x2 ∫0 x2 + 1 ∫0 1 + x 2 ∫0 f ( x ) dx = 4 + 2 = 6 1 Khi đó, ta có: Bài 32. Xét hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn [ 0;1] và thỏa 2 f ( x ) + 3 f (1 − x ) = 1 − x 2 .Tính 1 ∫ f ( x ) dx . 0 HD Giải 1 Ta có: 1 2 ∫ 2 f ( x ) + 3 f (1 − x ) dx = ∫ 1 − x dx ⇔ A + B = C . 0 0 1 Tính: C = ∫ 1 − x 2 dx . Đặt x = sin t suy ra dx = cos t dt . Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0 ; x = 1 ⇒ t = 0 π 2 π 2 π 2 . π 1 + cos2t 1 1 2 π Vậy: C = ∫ cos t dt = ∫ dt =  t + sin 2t  = . 2 2 4 0 4 0 0 2 Chương III. Nguyên hàm, Tích phân 73 và Ứng dụng. SyPhap 0939989966 Toán 12 GV. Lư Sĩ Pháp 1 Tính: B = ∫ 3 f (1 − x ) dx . Đặt: Đặt t = 1 − x ⇒ dt = −dx . Đổi cận: x = 0 ⇒ t = −1 ; x = 1 ⇒ t = 0 . 0 1 1 0 0 Vậy: B = ∫ 3 f ( t ) dt = ∫ 3 f ( x ) dx . π 1 Do đó: π 1 π 1 ∫0 2 f ( x ) + 3 f ( x ) dx = 4 ⇒ 5∫0 f ( x ) dx = 4 ⇒ ∫0 f ( x ) dx = 20 . 2 ∫ f ( x ) dx = 4 . Tính tích phân Bài 33. Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ và f ( 2 ) = 16 , 0 1 I = ∫ x. f ′ ( 2 x ) dx . 0 HD Giải  du = dx u = x  Đặt  ⇒ . 1 dv = f ′ ( 2 x ) dx v = f ( 2 x )  2 1 Khi đó, I = x. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 f ( 2 x ) − ∫ f ( 2 x ) dx = f ( 2 ) − ∫ f ( 2 x ) dx = 8 − ∫ f ( 2 x ) dx = 8 − H . 2 20 2 20 20 2 0 1 Tính H = ∫ f ( 2 x ) dx. Đặt t = 2 x ⇒ dt = 2dx . Với x = 0 ⇒ t = 0 ; x = 1 ⇒ t = 2 . 0 Suy ra I = 8 − 2 1 f ( t ) dt = 8 − 1 = 7 . 4 ∫0 Bài 34. Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ thỏa mãn 16 ∫ f ( x ) dx = 6 và x 1 π 2 ∫ f ( sin x ) cos xdx = 3 . Tính 0 4 tích phân I = ∫ f ( x ) dx . 0 16 • Xét I = ∫ 1 f ( x ) dx = 6 , đặt x HD Giải x =t⇒ dx = dt 2 x 4 4 1 1 Đổi cận: x = 1 ⇒ t = 1 ; x = 16 ⇒ t = 4 . I = 2 ∫ f ( t ) dt = 6 ⇒ ∫ f ( t ) dt = 6 = 3. 2 π 2 • J = ∫ f ( sin x ) cos xdx = 3 , đặt sin x = u ⇒ cos xdx = du 0 Đổi cận: x = 0 ⇒ u = 0 ; x = π 2 1 ⇒ u = 1 . J = ∫ f ( u ) du = 3 0 4 1 4 0 0 1 Vậy I = ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = 3 + 3 = 6 . Bài 35. Một vật chuyển động với vận tốc 10 m/s thì tăng tốc với gia tốc được tính theo thời gian là a ( t ) = t 2 + 3t . Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 6 giây kể từ khi vật bắt đầu tăng tốc. Chương III. Nguyên hàm, Tích phân 74 và Ứng dụng. SyPhap 0939989966 Toán 12 GV. Lư Sĩ Pháp HD Giải t  t 3 3t 2  1 3 3 2 Ta có v ( 0 ) = 10 m/s và v ( t ) = ∫ a ( t ) dt = ∫ ( t + 3t ) dt =  +  = t + t . 2  3 2 0 3 0 0 t t 2 6 6 6 3  1  1 1 Quãng đường vật đi được là S = ∫ v ( t ) dt = ∫  t 3 + t 2  dt =  t 4 + t 3  = 216 m . 3 2  2 0  12 0 0 Bài 36. Cho hàm số y = f ( x ) là hàm lẻ và liên tục trên [ −4; 4] biết 0 ∫ f ( − x ) dx = 2 và −2 2 ∫ 4 f ( −2 x ) dx = 4 . Tính I = ∫ f ( x ) dx . 1 0 HD Giải 0 Xét tích phân ∫ f ( − x ) dx = 2 . Đặt − x = t ⇒ dx = −dt . −2 Đổi cận: khi x = −2 thì t = 2 ; khi x = 0 thì t = 0 do đó 0 ∫ −2 0 2 2 2 2 0 0 0 f ( − x ) dx = − ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( t ) dt ⇒ ∫ f ( t ) dt = 2 ⇒ ∫ f ( x ) dx = 2 . Do hàm số y = f ( x ) là hàm số lẻ nên f ( −2 x ) = − f ( 2 x ) . Do đó 2 2 2 1 1 1 ∫ f ( −2 x ) dx = − ∫ f ( 2 x ) dx ⇒ ∫ f ( 2 x ) dx = −4 . 2 Xét 1 ∫ f ( 2 x ) dx . Đặt 2x = t ⇒ dx = 2 dt . 1 Đổi cận: khi x = 1 thì t = 2 ; khi x = 2 thì t = 4 do đó 2 ∫ f ( 2 x ) dx = 1 4 4 1 f ( t ) dt = −4 2 ∫2 4 ⇒ ∫ f ( t ) dt = −8 ⇒ ∫ f ( x ) dx = −8 . 2 2 4 2 4 0 0 2 Vậy I = ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = 2 − 8 = −6 . Bài 37. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và thỏa mãn f ( 4 − x ) = f ( x ) . Biết 3 ∫ xf ( x ) dx = 5 . 1 3 Tính I = ∫ f ( x ) dx . 1 HD Giải Áp dụng: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên [ a; b] và thỏa mãn điều kiện f ( a + b − x ) = f ( x ) , ∀x [ a; b ] . b Khi đó ∫ xf ( x ) dx = a a+b f ( x ) dx 2 ∫a b Ta có: f ( x ) liên tục trên [ a; b] và thỏa mãn f (1 + 3 − x ) = f ( x ) . 3 Khi đó ∫ xf ( x ) dx = 1 3 3 1+ 3 5 f ( x ) dx ⇒ ∫ f ( x ) dx = . ∫ 4 1 2 1 Chương III. Nguyên hàm, Tích phân 75 và Ứng dụng. SyPhap 0939989966 Toán 12 GV. Lư Sĩ Pháp CHƯƠNG III NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN —0O0— §1. NGUYÊN HÀM A. KIẾN THỨC CẦN NẮM 1. Định nghĩa: Cho hàm số f ( x) xác định trên K. Hàm số F ( x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f ( x) trên K nếu F ‘( x) = f ( x) với mọi x ∈ K . Như vậy: ∫ f ( x)dx =F ( x) + C ⇔ F ′( x) = f ( x) 2. Tính chất ∫ f ′( x)dx = f ( x) + C ∫ [ f ( x) ± g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx ∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx 3. Bảng nguyên hàm Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp thường gặp ∫ 0dx = C 2. ∫ dx = x + C Nguyên hàm của những hàm số hợp đơn giản ∫ 0dt = C ∫ dt = t + C 1. xα +1 + C (α ≠ −1) α +1 1 1 4. ∫ α dx = − +C x α − 1 ( ) xα −1 3. α ∫ x dx = 2 32 2 3 xdx = x + C = x +C 3 3 5. ∫ 6. ∫ x dx = ln x + C 7. ∫x 8. ∫ 9. ∫ e dx = e 1 1 2 1 dx = − + C x 1 dx = 2 x + C , x > 0 x x x +C ax + C(a ≠ 1, a > 0) ln a ∫ kdx = kx + C ∫ ( ax + b ) α 1 ( ax + b ) dx = a α +1 α +1 1 + C (α ≠ 1) 1 ∫ ( ax + b )α dx = − a (α − 1)( ax + b )α −1 ∫t 2 1 2 ax + b dx = + C , ax + b > 0, a ≠ 0 a ax + b 1 ax +b ax + b ∫ e dx = a .e + C 1 aα x + β α x+ β a d x = . + C (a ≠ 1, a > 0) ∫ α ln a ∫ 1 dt = 2 t + C , t > 0 t ∫ ∫ cos xdx = sin x + C ∫ cos ( ax + b ) dx = a .sin ( ax + b ) + C 12. ∫ sin xdx = − cos x + C ∫ sin ( ax + b ) dx = − a .cos ( ax + b ) + C 13. ∫ tan xdx = − ln cos x + C ∫ tan(ax + b)dx = − a ln cos x + C 14. ∫ cot xdx = ln sin x + C ∫ cot(ax + b)dx = a ln sin x + C 15. ∫ cos x 2 32 2 3 t dt = t + C = t +C 3 3 ∫ 11. dx = tan x + C t α +1 + C (α ≠ −1) α +1 1 1 ∫ tα dt = − (α − 1)t α −1 + C α ∫ t dt = 2 (ax + b)3 + C ∫ 3a 1 1 ∫ ax + b dx = a .ln ax + b + C 1 1 ∫ ( ax + b )2 dx = − a(ax + b) + C x ∫ a dx = 2 +C ax + bdx = 10. 1 Nguyên hàm của những hàm số hợp(với t = t ( x) ) 1 1 dt = − + C t ∫ e dt = e t t +C at +C ln a (a ≠ 1, a > 0) t ∫ a dt = ∫ cos tdt = sin t + C ∫ sin tdt = − cos t + C 1 ∫ tan tdt = − ln cos t + C 1 ∫ cos ( ax + b ) dx = a . tan ( ax + b ) + C 2 Chương III. Nguyên hàm, Tích phân 1 1 1 1 1 ∫ t dt = ln t + C 1 và Ứng dụng. ∫ cot tdt = ln sin t + C 1 ∫ cos 2 t dt = tan t + C SyPhap 0939989966 Toán 12 1 16. ∫ sin 17. GV. Lư Sĩ Pháp dx = − cot x + C 2 x ∫ tan 2 xdx = tan x − x + C 18. ∫ cot 2 xdx = − cot x − x + C 19. ∫x 20. ∫ ln xdx = x ln x − x + C 21. ∫ log 2 1 1 x−a dx = ln +C 2 2a x + a −a a xdx = x ln x − x +C ln a 1 1 1 ∫ sin ( ax + b ) dx = − a .cot ( ax + b ) + C ∫ sin 1 tan(ax + b) − x + C a 1 2 ∫ cot (ax + b)dx = − a cot(ax + b) − x + C 1 1 ax + b ∫ (ax + b)(cx − d ) dx = ad − bc ln cx − d + C (ax + b) ln(ax + b) − ax +C ∫ ln(ax + b)dx = a (mx + n) ln(mx + n) − mx +C ∫ log a (mx + n)dx = m ln a 2 2 ∫ tan (ax + b)dx = dt = − cot t + C 2 t ∫ tan 2 tdt = tan t − t + C ∫ cot 2 tdt = − cot t − t + C 4. Phương pháp tính nguyên hàm a. Phương pháp biến đổi Nếu ∫ f (u )du = F (u ) + C và u = u ( x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì ∫ f (u ( x))u ‘( x)dx = F (u ( x)) + C . Lưu ý: Đặt t = u( x) ⇒ dt = u ( x)dx . Khi đó: ∫ f (t )dt = F (t ) + C , sau đó / thay ngược lại t = u ( x) ta được kết quả cần tìm. 1 Với u = ax + b(a ≠ 0) , ta có ∫ f (ax + b)dx = F (ax + b) + C a b. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần Nếu hai hàm số u = u ( x) và v = v( x) có đạo hàm liên tục trên K thì ∫ u ( x)v ‘( x)dx = u ( x).v( x) − ∫ u ‘( x)v( x)dx Đặt u = f ( x) ⇒ du = f / ∫ udv = uv − ∫ vdu ( x)dx và dv = g ( x)dx ⇒ v = ∫ g ( x)dx = G ( x) (chọn C = 0) hay Lưu ý: Với P ( x) là đa thức x N.Hàm ∫ P( x)e dx ∫ P( x) cos xdx hay ∫ P( x) sin xdx ∫ P( x) ln xdx Đặt u P(x) P(x) lnx x dv hay cos x d x sin x d x P ( x)dx e dx Yêu cầu tìm nguyên hàm của một hàm số được hiểu là tìm nguyên hàm trên từng khoảng xác định của nó. Lưu ý: Cách đặt u: “Nhất logarit (ln) – Nhì đa – Tam lượng (giác) – Tứ mũ” và phần còn lại là dv. B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 2 Câu 1: Tìm một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 3sin x + . x A. ∫ f ( x )dx = −3 cos x + 2 ln x + C . B. ∫ f ( x )dx = 3sin x + 2 ln x. C. ∫ f ( x )dx = −3 cos x + 2 ln x. ∫ f ( x )dx = 3sin x + 2 ln x + C. D. Câu 2: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = (1 + cos x ) . 2 3x 1 − 2 sin x − sin 2 x + C . 2 4 3x 1 f ( x )dx = + 2sin x + sin 2 x + C. 2 4 3x 1 + 2 cos x + cos 2 x + C . 2 4 1 f ( x )dx = 2sin x + sin 2 x + C. 4 A. ∫ f ( x )dx = B. ∫ f ( x )dx = C. ∫ D. ∫ x Câu 3: Tìm một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = cos . 2 Chương III. Nguyên hàm, Tích phân 2 và Ứng dụng. SyPhap 0939989966 Toán 12 GV. Lư Sĩ Pháp 1 x A. ∫ f ( x )dx = 2 sin 2 + C. C. ∫ f ( x )dx = 2 sin 2 + C. x Câu 4: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = A. C. x B. ∫ f ( x )dx = 2 sin 2 . D. ∫ f ( x )dx = 2 sin 2 . 1 x x3 + 1 . x2 −1 f ( x )dx = x2 + ln x − 1 + C. 2 ∫ f ( x )dx = x 2 + ln x − 1 + C . B. ∫ ∫ f ( x )dx = x2 − ln x − 1 + C . 2 D. ∫ f ( x )dx = ln x − 1 + C. Câu 5: Hãy tính H = ∫ x +1 dx . ( x − 2)( x + 3) 3 2 1 A. H = ln  x − 2 ( x + 3)  + C .   3  3 2 1 C. H = ln  x − 2 ( x + 3 )  + C.  15  Câu 6: Hãy tính M = ∫ A. M = ln C. M = 1 x 1− x x +1 +1 x +1 −1 1 ln 2 3 2 B. H = ln  x − 2 ( x + 3 )  + C.   3 2 1 D. H = ln  x − 2 ( x + 3 )  + C.  5  dx . + C. x +1 −1 x +1 +1 B. M = ln + C. D. M = 1 ln 2 x +1 −1 + C. x +1 +1 x +1 +1 x +1 −1 + C. Câu 7: Tính I = ∫ cot xdx. A. I = − ln cos x + C . B. I = ln cos x + C . Câu 8: Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = A. F ( x ) = ln e x + C . ( ) C. I = ln sin x + C . ex . ex + 1 B. F ( x ) = ln ( e + 1) + C . ( C. F ( x ) = ln e x + 1 + C. D. I = − ln sin x + C . ) D. F ( x ) = x ln e x + 1 + C . 3 Câu 9: Tính H = ∫ x (1 + x ) 2 dx. A. H = 1 1+ x2 5 ( ) 5 2 ( + C . B. H = 1 + x 2 ) 5 2 + C. Câu 10: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = ∫ f ( x )dx = ln cos x + C. C. ∫ f ( x )dx = ln sin x + C . A. C. H = 1 1 + x2 5 ( ) 2 5 ( + C . D. H = 1 + x 2 ) 2 5 + C. 1 . sin x cos x B. ∫ f ( x )dx = ln cot x + C . D. ∫ f ( x )dx = ln tan x + C. x Câu 11: Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = x sin . 2 x x x x A. F ( x ) = − x cos + 4 sin + C . B. F ( x ) = −2 x cos + 4 sin + C . 2 2 2 2 Chương III. Nguyên hàm, Tích phân 3 và Ứng dụng. SyPhap 0939989966 Toán 12 GV. Lư Sĩ Pháp x x C. F ( x ) = −2 cos + 4sin + C. 2 2 x x D. F ( x ) = 2 x cos + 4sin + C. 2 2 Câu 12: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 1 x −1 1 x +3 + C. x −1 A. ∫ f ( x )dx = 2 ln x + 3 + C. C. ∫ f ( x )dx = 4 ln 1 . x + 2x − 3 2 1 x −1 3 x +3 + C. x −1 B. ∫ f ( x )dx = 4 ln x + 3 + C. D. ∫ f ( x )dx = 4 ln Câu 13: Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = sin x + π  2 1 biết F   = . 2 cos x 4 2 A. F ( x ) = − cos x + tan x + 2 − 1. B. F ( x ) = sin x + cot x + 2 − 1. C. F ( x ) = − cos x + tan x + 2. D. F ( x ) = cos x − tan x + 2 − 1. 1 e2 Câu 14: Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = x + biết F (e) = . x 2 3 2 x x x2 A. F ( x ) = + ln x + 1 B. F ( x ) = + ln x − 1 C. F ( x ) = x 2 + ln x − 1 D. F ( x ) = + ln x 3 2 2 Câu 15: Tìm hàm số f ( x ) biết f / ( x ) = A. f ( x ) = 5 x 3 23 + . 7 7 B. f ( x ) = 15 x và f (1) = 4. 14 5 x 3 23 − . 7 7 C. f ( x ) = x 3 23 − . 7 7 7 Câu 16: Tìm hàm số f ( x ) biết f / ( x ) = 2 − x 2 và f ( 2 ) = . 3 3 x x3 A. f ( x ) = 2 x − x 3 + 1. B. f ( x ) = 2 x + + 1. C. f ( x ) = 2 − + 1. 3 3 Câu 17: Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = x 3 x 4 + 3. ( (x C. F ( x ) = 4 ) + 3) 4 A. F( x ) = x + 3 4 x4 + 3 4 Câu 18: Tính K = ∫ A. K = x + 3 + C. + C. (x B. F ( x ) = D. F ( x ) = (x 4 +3 D. f ( x ) = D. f ( x ) = 2 x − ) x4 + 3 ) x4 + 3 6 4 +3 x 3 23 + . 7 7 3 x3 + 1. 3 + C. + C. 1 + tan x dx . cos2 x 2 (1 + tan x ) 1 + tan x + C. 3 C. K = (1 + tan x ) 1 + tan x + C . 1 (1 + tan x ) 1 + tan x + C. 3 2 D. K = (1 + cot x ) 1 + tan x + C . 3 B. K = Câu 19: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = ( x − 1) ( x 4 + 3 x ) . x6 x5 3 − + x 3 − x 2 + C. ∫ ∫ 6 5 2 5 4 x x 3 C. ∫ f ( x )dx = x 6 − x 5 + x 3 − x 2 + C . D. ∫ f ( x )dx = − + x 2 − x + C. 5 4 2 Câu 20: Cho f ( x ), g( x ) là hai hàm số liên tục trên K và k ≠ 0 . Mệnh đề nào dưới đây sai ? A. f ( x )dx = x6 x5 3 − + x3 − x2 . 6 5 2 Chương III. Nguyên hàm, Tích phân B. 4 f ( x )dx = và Ứng dụng. SyPhap 0939989966 Toán 12 GV. Lư Sĩ Pháp ∫ f ′( x )dx = f ( x ) + C. C. ∫  f ( x ).g( x )dx = ∫ f ( x )dx.∫ g( x )dx. ∫  f ( x ) ± g( x )dx = ∫ f ( x )dx ± ∫ g( x )dx. D. ∫ kf ( x )dx = k ∫ f ( x )dx. A. Câu 21: Hãy tính K = ∫ A. K = 2 ln C. K = B. sin 2 x dx . cos x 1 + sin x − sin x + C . 1 − sin x B. K = 2 ln 1 1 + sin x ln − sin x + C . 2 1 − sin x D. K = 1 + cos x + cos x + C . 1 − cos x 1 1 + cos x ln − cos x + C . 2 1 − cos x Câu 22: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = sin 2 x. 1 1 1 1 A. ∫ f ( x )dx = 2 x − 4 cos 2 x + C. C. ∫ f ( x )dx = 2 x + 4 cos 2 x + C. ( 1 1 1 1 B. ∫ f ( x )dx = 2 x − 4 sin 2 x + C. D. ∫ f ( x )dx = 2 x + 4 sin 2 x + C. ) Câu 23: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 1 − x 2 e2 x . 1 A. ∫ f ( x )dx = 4 (1 − 2 x + 2 x ) e C. ∫ f ( x )dx = (1 + 2 x − 2 x ) e 2 2 2x 2x + C. + C. 1 2 1 2 B. ∫ f ( x )dx = 4 (1 + 2 x − 2 x ) e D. ∫ f ( x )dx = 2 (1 + 2 x − 2 x ) e 2x 2x + C. + C. Câu 24: Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = xe x . A. F ( x ) = xe x + e x + C . B. F ( x ) = x − e x + C . C. F ( x ) = xe x + C . D. F ( x ) = xe x − e x + C . Câu 25: Hãy tính E = ∫ (1 + x ) ln xdx.  x2   x2  A. E =  x +  −  x +  + C. 2   4   2  x  C. E =  x +  ln x + C . 2     x2  x2  B. E =  x +  ln x −  x +  + C. 2  4    2   x  x2  D. E =  x +  ln x +  x +  + C. 2  4    Câu 26: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = 3cos x − 3x −1. A. ∫ C. ∫ 3x −1 + C. ln 3 3x −1 f ( x )dx = −3cos x − + C. ln 3 f ( x )dx = 3sin x + B. ∫ D. ∫ 3x −1 + C. ln 3 3x −1 f ( x )dx = 3cos x − + C. ln 3 f ( x )dx = 3sin x − Câu 27: Tìm một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 4 x 4 . A. 5 5 ∫ f ( x )dx = 4 x . B. 5 ∫ f ( x )dx = 4 x 5 + C . C. 4 ∫ f ( x )dx = 5 x 5 + C . D. 4 5 ∫ f ( x )dx = 5 x . Câu 28: Tính K = ∫ ( ln x ) dx. 2 A. K = ( ln x ) − 2 x ln x + 2 x + C . B. K = x ( ln x ) − 2 x ln x + x + C . C. K = x ( ln x ) − x ln x + 2 x + C . D. K = x ( ln x ) − 2 x ln x + 2 x + C . ln(sin x ) dx . cos2 x A. G = ln(sin x ) − x + C . C. G = tan x.ln(sin x ) + x + C . B. G = tan x.ln(sin x ) + C . D. G = tan x.ln(sin x ) − x + C . 2 2 2 2 Câu 29: Hãy tính G = ∫ Chương III. Nguyên hàm, Tích phân 5 và Ứng dụng. SyPhap 0939989966 Toán 12 GV. Lư Sĩ Pháp Câu 30: Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = e ( ) 2 3 x − 9.e 3 x −9 − e 3 x −9 + C. 3 2 C. F ( x ) = 3 x − 9.e 3 x −9 + C . 3 A. F ( x ) = Câu 31: Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = 1 3 x x + sin 2 x − sin x − tan + C. 2 4 2 3 1 x C. F ( x ) = x + sin 2 x − sin x − tan + C . 2 4 2 A. F ( x ) = 3 x −9 . B. F ( x ) = ( 3x − 9 − 1 e ) D. F ( x ) = 2 3 ( 3 x − 9.e 3 x −9 3 x −9 + C. +e 3 x −9 ) + C. cos3 x . cos x + 1 3 1 x x + sin 2 x + sin x − tan + C. 2 4 2 3 1 x D. F ( x ) = x − sin 2 x − sin x − tan + C . 2 4 2 B. F ( x ) = Câu 32: Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = x x 2 − 5. (x A. F ( x ) = ( 2 ) x2 − 5 ) x − 5 + C. −5 3 C. F( x ) = x − 5 2 + C. 2 B. F ( x ) = x2 x2 − 5 + C. 2 (x D. F ( x ) = 2 −5 ) x2 − 5 4 + C. Câu 33: Tính I = ∫ (1 − x ) dx. 9 A. I = − (1 − x )10 + C. 9 Câu 34: Tính H = ∫ B. I = −(1 − x )10 + C . C. I = (1 − x )10 + C. 10 D. I = − (1 − x )10 + C. 10 e tan x dx . cos2 x A. H = ecot x + C. 1 tan x e + C. 2 B. H = etan x + C. C. H = D. H = e− tan x + C. B. I = − ln sin x + C . C. I = ln cos x + C . D. I = ln sin x + C . C. I = esin x .cos x + C. D. I = esin x + C. Câu 35: Tính I = ∫ tan xdx. A. I = − ln cos x + C . Câu 36: Hãy tính I = ∫ esin x cos xdx. A. I = −esin x + C. B. I = ecos x + C. Câu 37: Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = A. F ( x ) = tan x + cot x + C . C. F ( x ) = tan x − cot x + C . 1 . sin x cos2 x B. F ( x ) = sin x + cos x + C . D. F ( x ) = sin x.cos x + C . 2 2 Câu 38: Hàm số F( x ) = e x là một nguyên hàm của hàm số nào dưới đây ? 2 2 A. f ( x ) = x 2e x − 1. B. f ( x ) = e2 x . C. f ( x ) = ex . 2x 2 D. f ( x ) = 2 xe x .  e− x  Câu 39: Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = e x  2 + 2  . sin x   A. F ( x ) = 2e x + tan x + C . B. F ( x ) = 2e x + cot x + C . C. F ( x ) = 2e x − tan x + C . D. F ( x ) = 2e x − cot x + C . 2 Câu 40: Hãy tính I = ∫ esin x .sin 2 xdx. 2 A. I = e cos x + C . Chương III. Nguyên hàm, Tích phân 2 B. I = esin x + C . 6 và Ứng dụng. SyPhap 0939989966 Toán 12 GV. Lư Sĩ Pháp 2 2 C. I = −esin x + C . D. I = esin x .cos2 x + C. ( Câu 41: Hãy tính J = ∫ 2 x − 3x ) 2 dx . 2x 6x 3x −2 + + C. ln 2 ln 6 ln 3 4x 6x 9x C. J = − 2. + + C. ln 4 ln 6 ln 9 4x 6x 9x − + + C. ln 4 ln 6 ln 9 4x 6x 9x D. J = − + + C. ln 4 ln 3 ln 9 A. J = B. J = Câu 42: Hãy tính M = ∫ (1 − 2 x )e x dx. A. M = (3 − 2 x )e x + C . B. M = (2 x − 3)e x + C . Câu 43: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = 2 x 2 + C. M = (3 + 2 x )e x + C . 1 3 x2 . 3 3 + 3 3 x + C. B. ∫ f ( x )dx = 3 x 1 3 + 3 3 x + C. D. ∫ f ( x )dx = 3 x A. ∫ f ( x )dx = 2 x C. ∫ f ( x )dx = 3 x D. M = 2 xe x + C. 2 3 + 3 x + C. 2 3 + 3 3 x + C. Câu 44: Tính H = ∫ cos3 x sin xdx. 1 A. H = − sin 4 x + C. 4 B. H = 1 4 sin x + C. 4 C. H = 1 cos4 x + C. 4 1 D. H = − cos4 x + C. 4 1 có nguyên hàm F( x ) là biểu thức nào dưới đây, nếu biết đồ thị của hàm số sin 2 x π  F( x ) đi qua điểm M  ; 0  . 6  Câu 45: Hàm số y = A. F( x ) = 3 − cot x. 3 B. F( x ) = − 3 + cot x. C. F( x ) = 3 − cot x. 3 D. F( x ) = − 3 + cot x.  e− x  Câu 46: Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = e x  7 − . cos2 x   A. F ( x ) = 7e x + tan x + C . B. F ( x ) = 7e x − cot x + C . C. F ( x ) = 7e x − tan x + C . D. F ( x ) = 7e x + cot x + C . Câu 47: Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = x x + 1.  x +1 2   x +1 2  A. F ( x ) = 2 x + 1  B. F ( x ) = 2 ( x + 1) x + 1  −  + C. −  + C. 3 3  5  5  x +1 2  C. F ( x ) = 2 ( x + 1)  −  + C. 3  5 Câu 48: Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = 1 ( 2 x + 1) + C. 2 1 C. F ( x ) = 2 x + 1 + C. 2 A. F ( x ) =  x +1 2  D. F ( x ) = ( x + 1) x + 1  −  + C. 3  5 1 2x + 1 . B. F ( x ) = 2 2 x + 1 + C. D. F ( x ) = 2 x + 1 + C. Câu 49: Hãy tính P = ∫ x sin ( 2 x + 1) dx. Chương III. Nguyên hàm, Tích phân 7 và Ứng dụng. SyPhap 0939989966 Toán 12 GV. Lư Sĩ Pháp 1 1 A. P = − cos ( 2 x + 1) + sin ( 2 x + 1) + C. 2 4 1 1 C. P = − x cos ( 2 x + 1) + sin ( 2 x + 1) + C. 2 4 1 1 x cos ( 2 x + 1) + sin ( 2 x + 1) + C. 2 4 1 D. P = x cos ( 2 x + 1) + sin ( 2 x + 1) + C. 4 B. P = Câu 50: Hãy tính I = ∫ x 2 sin xdx. A. I = − x 2 cos x + 2 x sin x + 2 cos x + C. C. I = − cos x + 2 x sin x + 2 cos x + C. B. I = x 2 cos x + 2 x sin x + 2 cos x + C. D. I = cos x + 2 x sin x + 2 cos x + C. Câu 51: Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = x ln x . 2 23 4 23 x ln x − x + C . 3 9 3 2 4 3 C. F ( x ) = x 2 ln x − x 2 + C . 3 9 3 32 4 23 x ln x − x + C . 2 9 3 2 4 3 D. F ( x ) = x 2 ln x + x 2 + C. 3 9 A. F ( x ) = B. F ( x ) = Câu 52: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 2 A. ∫ f ( x )dx = C. ∫ f ( x )dx = −2 A. H = − 1− x . C + C. B. ∫ f ( x )dx = 1 − x + C. D. ∫ f ( x )dx = C 1− x Câu 53: Tính H = ∫ 1 . 1− x 1− x. 1 dx . e + e− x + 2 x 1 + C. 1 + ex B. H = 1 + C. 1 + ex C. H = − 1 + C. 1 + e− x D. H = 1 + C. 1 + e− x 2 Câu 54: Tính H = ∫ xe− x dx. A. H = 1 x2 e + C. 2 Câu 55: Tính H = ∫ 1 2 B. H = e − x + C. 2 cos x + sin x sin x − cos x 1 2 C. H = − e x + C. 2 1 2 D. H = − e − x + C . 2 dx . A. H = 2 sin 2 x + C. B. H = 2 sin x + cos x + C. C. H = 2 cos x − sin x + C. D. H = 2 sin x − cos x + C. Câu 56: Tìm một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = A. ∫ f ( x )dx = C. ∫ f ( x )dx = 3 x 3 + 4 x + C. 1 x 3 + 4 x + C. Câu 57: Cho hàm số f ( x ) = 2 ∫ f ( x)dx = 2 C. ∫ f ( x)dx = 2 A. 2 x + . 2 x x +1 x x ln x x B. ∫ f ( x )dx = x3 + 4 x . D. ∫ f ( x )dx = 3 1 x3 + 4 x . . Mệnh đề nào dưới đây sai ? + C. +C Câu 58: Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = Chương III. Nguyên hàm, Tích phân ∫ f ( x)dx = 2 ( 2 D. ∫ f ( x)dx = 2 ( 2 B. x ( x + 1) 8 7 x x ) + 1) + C. −1 + C . và Ứng dụng. SyPhap 0939989966 Toán 12 GV. Lư Sĩ Pháp A. F ( x ) = − C. F ( x ) = 1 5 ( x + 1) 1 5 ( x + 1) 5 + 5 1 6 ( x + 1) 1 + 6 ( x + 1) 6 6 + C. B. F ( x ) = − + C. D. F ( x ) = 5 6 ( x + 1) 1 5 ( x + 1) 5 6 + 6 5 ( x + 1) 1 − 6 ( x + 1) 6 5 + C. + C. Câu 59: Hãy tính I = ∫ cos(7 x + 5)dx. 1 A. I = sin(7 x + 5) + C. 7 1 C. I = − sin(7 x + 5) + C. 7 1 B. I = cos(7 x + 5) + C. 7 1 D. I = − cos(7 x + 5) + C. 7 Câu 60: Tìm hàm số f ( x ) biết f / ( x ) = 4 x − x và f ( 4 ) = 0. A. f ( x ) = 8 x x x 2 40 + − . 3 2 3 B. f ( x ) = x x x 2 40 − + . 3 2 3 C. f ( x ) = 8 x x x 2 40 − − . 3 2 3 D. f ( x ) = x x x 2 40 − − . 3 2 3 Câu 61: Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = A. F ( x ) = 2 ln e x + C . ( ) e x − e− x . e x + e− x B. F ( x ) = 2 ln e − x + C . ( C. F ( x ) = ln e x + e − x + C. ) D. F ( x ) = ln e x − e − x + C. Câu 62: Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = x 2x e . 3 1 2x 1 2x 1 1 xe − e + C. B. F ( x ) = e2 x − e2 x + C. 6 12 6 12 1 1 1 1 C. F( x ) = xe2 x + e2 x + C. D. F( x ) = xe2 x − e2 x + C. 6 12 6 2 Câu 63: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x cos x. A. F ( x ) = ∫ C. ∫ A. x 2 sin x + C. 2 f ( x )dx = − x cos x + sin x + C . f ( x )dx = − ( ) ∫ D. ∫ B. x 2 cos x + C. 2 f ( x )dx = x sin x + cos x + C . f ( x )dx = 3 Câu 64: Hãy tính I = ∫ 2 x x 2 + 1 dx. A. I = 4 1 2 x + 1 + C. 8 ( ) ( ) 4 B. I = x 2 + 1 + C. C. I = 4 1 2 x + 1 + C. 4 ( ) D. I = 4 1 2 x + 1 + C. 2 ( ) Câu 65: Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = x 3 x 2 + 7. (x A. F ( x ) = (x B. F ( x ) = C. F ( x ) = 2 2 +7 +7 ) ) 2 x2 + 7 5 2 3 x2 + 7 + − ( ) x2 + 7 ) x2 + 7 7 x2 + 7 ( 3 7 x2 + 7 5 + C. + C. x2 + 7 7 x2 + 7 − + C. 5 3 Chương III. Nguyên hàm, Tích phân 9 và Ứng dụng. SyPhap 0939989966 Toán 12 GV. Lư Sĩ Pháp (x D. F ( x ) = 2 +7 ) 2 x2 + 7 5 Câu 66: Hãy tính I = ∫ ) x2 + 7 + C. 3 x −1 dx . x ( x + 1)2 x +1 2 − + C. x x +1 B. I = ln x +1 1 + + C. x x +1 2 x +1 − ln + C. x +1 x D. I = ln x +1 1 − + C. x x +1 A. I = ln C. I = − ( 7 x2 + 7 Câu 67: Hãy tính I = ∫ cos2 x sin xdx. 1 A. I = − sin3 x + C. 3 1 B. I = − cos3 x + C. 3 Câu 68: Tìm một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 1 1 C. I = sin3 x + C . 3 sin3 x . cos4 x 1 . x cos x 1 1 f ( x )dx = − + C. 3 cos x cos x A. ∫ f ( x )dx = 3cos C. ∫ − 3 1 D. I = cos3 x + C. 3 Câu 69: Tính K = ∫ x cos xdx. A. K = x sin x + cos x + C. C. K = sin x + cos x + C. 1 1 + C. x cos x 1 1 f ( x )dx = + . 3 3cos x cos x B. ∫ f ( x )dx = 3cos D. ∫ − 3 B. K = x sin x − cos x + C. D. K = − x sin x + cos x + C. Câu 70: Hãy tính I = ∫ ( 2 x + 1) dx. 4 A. I = 5 1 2 x + 1) + C. ( 2 B. I = 5 1 2 x + 1) + C. ( 4 Câu 71: Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = A. F ( x ) = 2 ln 1 x +1 − + C. x+2 x+2 C. F ( x ) = ln x + 1 − 1 − 2 ln x + 2 + C . x+2 Câu 72: Hãy tính F = ∫ A. F = 5 5 1 1 2 x + 1) + C. D. I = ( 2 x + 1) + C . ( 10 5 3 x 2 + 11x + 9 . ( x + 1)( x + 2)2 B. F ( x ) = ln x + 1 − D. F ( x ) = − 1 + 2 ln x + 2 + C. x+2 1 x+2 + 2 ln + C. x+2 x +1 ln x dx . (1 + x )2 ln x x + ln + C. x +1 x +1 C. F = − C. I = x ln x − ln + C. x +1 x +1 B. F = − D. F = ln x x + ln + C. x +1 x +1 x ln x − ln + C. x +1 x +1 Câu 73: Hãy tính M = ∫ x ln (1 + x )dx . 1 2 1 1 x − 1 − x 2 + x + C. 2 4 2 1 1 1 C. M = ln (1 + x ) − x 2 + x + C. 2 4 2 A. M = ( ) Chương III. Nguyên hàm, Tích phân 1 2 1 1 x − 1 ln (1 + x ) − x 2 + x + C. 2 4 2 1 1 D. M = x 2 − 1 ln (1 + x ) − x 2 + x + C. 4 2 ( B. M = ( 10 ) ) và Ứng dụng. SyPhap 0939989966 Toán 12 GV. Lư Sĩ Pháp Câu 74: Hãy tính I = ∫ xe − x dx. A. I = − xe− x + C. B. I = − xe− x + e x + C.  a x b C. I = xe− x − e x + C. D. I = − xe− x − e x + C.  ∫ ( x + 1)(2 x + 1) dx = ∫  x + 1 + 2 x + 1  dx. . Tích của P = a.b. Câu 75: Biết A. P = 1. B. P = 0. ( C. P = −1. 1 D. P = . 2 C. N = e x x 2 − 1 + C. D. N = e x − x + C. ) Câu 76: Hãy tính N = ∫ x 2 + 2 x − 1 e x dx. ( ) B. N = e x + C. A. N = e x x 2 − 1 + C. Câu 77: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 2 x − 1 . 2 A. ∫ f ( x )dx = 3 ( 2 x − 1) C. ∫ f ( x )dx = 3 ( 2 x − 1) 1 Câu 78: Hãy tính I = ∫ ( A. I = x 2 + 4 ) 2 3 B. ∫ f ( x )dx = − 3 2 x − 1 + C. D. ∫ f ( x )dx = 2 2x 3 + C. 1 2 x − 1 + C. x2 + 4 2 x − 1 + C. 1 2 x − 1 + C. dx . B. I = 3 2 x +4 2 ( ) 2 3 + C. C. I = 3 2 x +4 2 ( ) 3 2 + C. D. I = 1 2 x +4 2 ( ) 2 3 + C. Câu 79: Hãy tính I = ∫ sin 2 x cos xdx. A. I = sin3 x + C. B. I = cos3 x + C. 1 C. I = sin3 x + C . 3 1 D. I = cos3 x + C . 3 π  Câu 80: Gọi F ( x ) là nguyên hàm của hàm số f ( x ) = (1 − x ) cos x và F   = 1 . Tìm hằng số C. 2 A. C = 1 − π 2 B. C = 0. . C. C = π 2 . D. C = π . Câu 81: Hàm số nào dưới đây không là nguyên hàm của hàm số f ( x ) = A. F ( x ) = x2 . x +1 B. F ( x ) = x2 + x + 1 . x +1 C. F ( x ) = x (2 + x ) ( x + 1) x2 − x −1 . x +1 2 . D. F ( x ) = x2 + x −1 . x +1 Câu 82: Tìm một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x . 2 A. ∫ f ( x )dx = 3 C. ∫ f ( x)dx = 2 x 3 + C. 1 . x Câu 83: Hãy tính N = ∫ A. N = B. ∫ f ( x )dx = 2 D. ∫ f ( x )dx = 3 2 1 x + C. x3 . x dx . 2x + 1 + 1 (2 x + 1)3 2 x + 1 − + C. 3 2 1  (2 x + 1)3 2 x + 1   + C. − C. N =  2 3 2    Chương III. Nguyên hàm, Tích phân 1  (2 x + 1)3 2 x + 1   + C. + B. N =  2 3 2     (2 x + 1)3 2 x + 1   + C. − D. N = 2   3 2    11 và Ứng dụng. SyPhap 0939989966 Toán 12 GV. Lư Sĩ Pháp ( A. F = x ln ( x + 1 + x ) − C. F = x ln ( x + 1 + x ) + ) Câu 84: Hãy tính F = ∫ ln x + 1 + x 2 dx. ( ) 2 1 + x 2 + C. B. F = ln x + 1 + x 2 − 1 + x 2 + C . 2 1 + x 2 + C. D. F = x ln x + 1 + x 2 + C . ( ) Câu 85: Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = x 3 ln(2 x ) . x 4 ln(2 x ) x 4 − + C. 4 16 x ln(2 x ) x 4 C. F ( x ) = − + C. 4 16 ln(2 x ) x 4 − + C. 4 16 4 x ln(2 x ) x 4 D. F ( x ) = + + C. 4 16 A. F ( x ) = B. F ( x ) = e2 x − 1 và f ( ln 2 ) = 1. ex 3 3 3 A. f ( x ) = e x + e − x − . B. f ( x ) = e x + e− x + . C. f ( x ) = e x − e − x − . 2 2 2 Câu 86: Tìm hàm số f ( x ) biết f / ( x ) = Câu 87: Hãy tính L = ∫ A. L = 3 3 sin x + C. sin x 3 cos2 x 3 D. f ( x ) = e x − e − x + . 2 dx . B. L = −3 3 cos x + C. C. L = −3 3 sin x + C. D. L = 3 3 cos x + C. Câu 88: Tính J = ∫ 2 x ln ( x − 1) dx. A. J = x ln( x − 1) − C. J = ln( x − 1) − x2 − x − ln x − 1 + C . 2 B. J = x 2 ln( x − 1) − x 2 − x − ln x − 1 + C . x2 − x − ln x − 1 + C . 2 D. J = x 2 ln( x − 1) − x2 − x − ln x − 1 + C. 2 Câu 89: Hãy tính K = ∫ cos x dx. A. K = 2 x sin x + 2 cos x + C. B. K = x sin x + cos x + C. C. K = 2 x sin x + cos x + C. D. K = 2 x cos x + 2sin x + C. Câu 90: Tính J = ∫ dx . x ln x ln(ln x ) A. J = ln ln ( ln x ) + C . B. J = ln x ln x + C . Câu 91: Hãy tính E = ∫ x ln C. J = ln ln x + C . 1+ x dx . 1− x 1 − x2 1 + x ln + C. 2 1− x 1 1+ x C. E = x − ln + C. 2 1− x D. J = x ln ln x + C . 1− x2 1+ x ln + C. 2 1− x x2 1+ x D. E = x − ln + C. 2 1− x A. E = x − B. E = x + Câu 92: Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = x 2 cos x . A. F ( x ) = x 2 sin x + 2 x cos x − 2 sin x − 2C . B. F ( x ) = sin x + 2 x cos x − 2 sin x − 2C . C. F ( x ) = x cos x + 2 x sin x − 2 sin x − 2C . D. F ( x ) = x sin x + 2 x cos x − 2 sin x − 2C . 2 Câu 93: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = cos 2 x. A. 1 1 ∫ f ( x )dx = 2 x − 4 cos 2 x + C. Chương III. Nguyên hàm, Tích phân B. 12 1 1 ∫ f ( x )dx = 2 x + 4 sin 2 x + C. và Ứng dụng. SyPhap 0939989966 Toán 12 C. GV. Lư Sĩ Pháp 1 1 ∫ f ( x )dx = 2 x − 4 sin 2 x + C. D. Câu 94: Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = 1 1 ∫ f ( x )dx = 2 x + 4 cos 2 x + C. 2 x 2 + 41x − 91 ( x − 1) ( x 2 − x − 12 ) . A. F ( x ) = 5 ln x − 1 + 7 ln x − 4 − 4 ln x + 3 + C . B. F ( x ) = 4 ln x − 1 + 5 ln x − 4 − 7 ln x + 3 + C . C. F ( x ) = 4 ln x − 1 + 7 ln x − 4 − 5 ln x + 3 + C . D. F ( x ) = 7 ln x − 1 + 4 ln x − 4 − 5 ln x + 3 + C . Câu 95: Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = x . ( x + 1)(2 x + 1) 1 A. F ( x ) = ln x + 1 + ln 2 x + 1 + C . 2 x +1 1 C. F ( x ) = ln + C. 2 2x + 1 1 B. F ( x ) = ln x + 1 − ln 2 x + 1 + C . 2 x +1 D. F ( x ) = ln + C. 2x + 1 Câu 96: Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = x sin x . A. F ( x ) = x cos x + sin x + C . B. F ( x ) = − x sin x + cos x + C . C. F ( x ) = − x cos x + sin x + C . D. F ( x ) = − x cos x − sin x + C . 2 Câu 97: Hãy tính I = ∫ xe1+ x dx. 2 1 B. I = e1+ x + C . 2 2 A. I = e1+ x + C . Câu 98: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 1 A. ∫ f ( x )dx = 3 ln C. ∫ f ( x )dx = ln 1 2 C. I = e x + C . 2 1 . (1 + x )(1 − 2 x ) 1− 2x + C. 1+ x 1 − 2x + C. 1+ x Câu 99: Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = A. F ( x ) = 3 2 ( x − 1) C. F ( x ) = − 2 − 3 2 ( x − 1) 2 2 3 ( x − 1) − 3 − 1 3 ( x − 1) 3 1 4 ( x − 1) − 4 4 ( x − 1) 4 D. ∫ f ( x )dx = 3 ln 1 − 2 x + C. 1 B. F ( x ) = x3 + C. x3 + 4 ( 1+ x . 5 1 2 ( x − 1) + C. D. F ( x ) = − 1 x3 ln 3 + C. 4 x +4 C. F ( x ) = 4 − ln ∫ f ( x )dx = ln 1 − 2 x + C. ( x − 1) + C. 1 1+ x B. x2 Câu 100: Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = A. F ( x ) = 1 D. I = e + C . 2 3 3 x x +4 ) + 1 2 ( x − 1) 2 2 3 ( x − 1) − 3 + 2 3 ( x − 1) 3 1 4 ( x − 1) − 4 + C. 1 4 ( x − 1) 4 + C. . B. F ( x ) = ln D. F ( x ) = 2 x3 + C. x3 + 4 1 x3 − ln 3 + C. 4 x +4 Câu 101: Tìm hàm số f ( x ) biết f / ( x ) = 2 x + 1 và f (1) = 5. A. f ( x ) = x3 x + + 3. 3 2 B. f ( x ) = x 2 + x + 3. Chương III. Nguyên hàm, Tích phân C. f ( x ) = 13 x2 + x + 3. 2 và Ứng dụng. D. f ( x ) = x 2 + x − 3. SyPhap 0939989966 Toán 12 GV. Lư Sĩ Pháp 1 Câu 102: Hãy tính J = ∫ x 2 + a2 dx . ) x − a ) + C. ( C. J = ln ( x + ( D. J = ln ( A. J = ln x + x 2 + a 2 + C . 2 ) − x ) + C. B. J = ln x − x 2 + a 2 + C . 2 x 2 + a2 Câu 103: Hãy tính I = ∫ e cos x .sin xdx. A. I = esin x + C. B. I = −esin x + C. Câu 104: Tìm hàm số f ( x ) biết f / ( x ) = x − C. I = esin x .sin x + C. D. I = ecos x + C. 1 + 2 và f (1) = 2. x2 3 43 x 4 x + + x + 1. 4 4 4 3 x4 C. f ( x ) = x 3 + + x + 1. 4 4 3 43 x 4 x + + x. 4 4 3 4 x4 D. f ( x ) = x 3 + + x . 4 4 A. f ( x ) = B. f ( x ) = Câu 105: Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = A. F ( x ) = 2 ( tan x + x ) + C . C. F ( x ) = 2 ( tan x − x ) + C . 1 − cos 2 x . cos2 x B. F ( x ) = tan x + x + C . D. F ( x ) = tan x − x + C . Câu 106: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 2 x + 1. A. C. ∫ f ( x )dx = ( 2 x + 1) 2 3 ∫ f ( x )dx = + C. B. x2 + x + C . Câu 107: Hãy tính Q = ∫ A. Q = 3 D. 1 (1 − x ) x 1+ x 1− x x 2 + x + C. ( 2 x + 1) ∫ f ( x )dx = 3 3 + C. dx . 1 1+ x ln + C. 2 1− x C. Q = ln ∫ f ( x )dx = B. Q = ln + C. D. Q = 1− x 1+ x + C. 1 1− x ln + C. 2 1+ x Câu 108: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x 2 . f ( x )dx = A. ∫ C. ∫ f ( x )dx = x 2 +1 2 +1 2x + C. 2 +1 + C. f ( x )dx = x B. ∫ D. ∫ f ( x )dx = x 2 −1 2 −1 2 −1 + C. + C. 2 Câu 109: Hãy tính I = ∫ ecos x .sin 2 xdx 2 A. I = −e cos x sin 2 x + C . 2 C. I = −esin x + C . 2 ( B. I = e cos x + C. 2 D. I = −e cos x + C . ) Câu 110: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = e x 1 − 2017e −2 x . A. ∫ f ( x )dx = e x + 2017e − x + C . Chương III. Nguyên hàm, Tích phân B. 14 ∫ f ( x )dx = e x − 2017e− x + C . và Ứng dụng. SyPhap 0939989966 Toán 12 C. GV. Lư Sĩ Pháp ∫ f ( x )dx = e x + 2017e −2 x + C . D. Câu 111: Hãy tính Q = ∫ (1 − x ) cos xdx. A. Q = (1 − x ) cos x − sin x + C . ∫ f ( x )dx = e − 2017e −2 x + C . x B. Q = (1 − x ) sin x + cos x + C . D. Q = (1 − x ) sin x − cos x + C . C. Q = x sin x − cos x + C . Câu 112: Một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = cos4 x là. 1 1  A. ∫ f ( x )dx = 8  3 x + 2 sin 2 x + 4 sin 4 x  + C. C. ∫ f ( x )dx = 3 x + 2 sin 2 x + 4 sin 4 x. 1 sin(ln x ) dx . x A. H = cos ( ln x ) + C . 1 1  B. ∫ f ( x )dx = 8  3x + 2 sin 2 x + 4 sin 4 x  . D. ∫ f ( x )dx = 3x + 2 sin 2 x + 4 sin 4 x + C. 1 Câu 113: Tính H = ∫ B. H = − cos ( ln x ) + C . C. H = − sin ( ln x ) + C . D. H = sin ( ln x ) + C . Câu 114: Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = 3 x 2 biết F (1) = −1. A. F ( x ) = x3 + 2. 3 Câu 115: Biết B. F ( x ) = x 3 + 2. B. P = 4. A. S = 4. x3 − 2. 3  a 3 x 2 + 11x + 9 b c  ∫ ( x + 1)( x + 2)2 dx = ∫  x + 1 + ( x + 2)2 + x + 2  dx. Tính P = abc. A. P = 2. Câu 116: Biết D. F ( x ) = C. F ( x ) = x 3 − 2. 1 D. P = . 2 C. P = 8.   x −1  a + b + c  dx. Tính S = a + b + c. d x = ∫ x( x + 1)2 ∫  x x +1 x +1 2  ( )  B. S = 2. C. S = 3. D. S = 1. Câu 117: Hãy tính F = ∫ 3 x 2 cos(2 x )dx. A. F = 3 2 x cos 2 x − sin 2 x + 2 x 2 sin 2 x + C. 4 ( ) C. F = 2 x cos2 x − sin 2 x + 2 x 2 cos2 x + C. 1 2 x cos 2 x − sin 2 x + 2 x 2 sin 2 x + C. 4 3 D. F = 2 x sin 2 x − cos 2 x + 2 x 2 cos 2 x + C . 4 B. F = ( ) ( ) Câu 118: Hãy tính P = ∫ x 2 3 1 + x 3 dx ,( x > −1). A. P = 1 1 + x3 4 ( ) 4 3 + C . B. P = 1 1 + x3 4 ( Chương III. Nguyên hàm, Tích phân ) 1 4 + C. C. P = 15 3 1 + x3 4 ( ) 4 3 + C. và Ứng dụng. D. P = 4 1 + x3 3 ( ) 3 4 + C. SyPhap 0939989966 Toán 12 GV. Lư Sĩ Pháp §2. TÍCH PHÂN A. KIẾN THỨC CẦN NẮM I. Khái niệm về tích phân b ∫ f ( x)dx = F ( x) Định nghĩa: b a = F (b) − F (a ) a Chú ý: b ∫ 1. Khi a = b ta định nghĩa a b 2. Khi a > b , ta đinh nghĩa ∫ a f ( x)dx = ∫ f ( x)dx = 0 a a f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx a b 3. Tích phân không phụ thuộc vào chữ dùng làm biến số trong dấu tích phân, tức là b ∫ b f ( x)dx hay a ∫ b f (t )dt ,… , đều tính bằng F (b) − F (a) hay ∫ a b f ( x)dx = ∫ f (t )dt a a II Tính chất của tích phân b b a a Tích chất 1. k ∫ f ( x)dx = k ∫ f ( x)dx (k là hằng số) b Tích chất 2. Tính chất 3. b b ∫ [ f ( x) ± g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx a b c a b a a a c ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx, a J . C. I < J . D. I = 2 J . B. P = ln 2. C. P = 2ln 2. D. P = 2 + ln 2. dx ∫ x ln x . Câu 3: Tính P = e A. P = 2. 1 Câu 4: Biết ∫ 0 dx 4 − x2 = α và 1 ∫x 0 dx = β . Tính sin (α + β ) . +1 2 3+ 2 . 4 3 +1 D. sin (α + β ) = . 2 2 − 1. 2 6+ 2 C. sin (α + β ) = . 4 A. sin (α + β ) = B. sin (α + β ) = π 2 Câu 5: Tính tích phân N = ∫ e x sin xdx. 0 1 + eπ A. N = . 2 b Câu 6: Biết A. b ≥ 0. Câu 7: Biết ∫ x log 2 3 , với b ∈ ℤ. Tìm b. 4 ln b B. −2 ≤ b < 0. C. b ≤ 1. ∫ 0 π 1+ e 2 D. N = . 2 xdx = b − 1 1 2 1 + e2 C. N = . 2 1+ e B. N = . 2 1 1 − x2 D. −2 < b ≤ 4. dx = α . Tính S = sin α + cos α . 1 A. S = − . 2 B. S = 3 . 2 C. S = 1− 3 . 2 D. S = 1+ 3 . 2 1 3   Câu 8: Hãy tính M = ∫  e 2 x + dx. x +1 0 A. M = e2 1 1 + 3ln 2 − . B. M = e2 + 3ln 2 − . 2 2 2 7 3 Câu 9: Tính tích phân J = ∫ 0 3 C. M = e2 + 3ln 2 − 1. 2 D. M = e2 − 1 + ln 2. 2 x +1 dx bằng cách đặt t = 3 3 x + 1 . Mệnh đề nào dưới đây sai ? 3x + 1 Chương III. Nguyên hàm, Tích phân 17 và Ứng dụng. SyPhap 0939989966 Toán 12 GV. Lư Sĩ Pháp 2  1  t5 A. J =  + t 2  . 3 5 1 2 B. J = ∫ ( t 4 + 2t ) dt. 2 C. J = 1 1 (t 4 + 2t ) dt. 3 ∫1 D. J = 46 . 15 4 1  Câu 10: Biết ∫  x +  dx = 6 + ln b . Tìm b. x 2 A. b = 2. B. b = 5. C. b = 3. D. b = 7. e Câu 11: Tính tích phân M = ∫ x 2 ln xdx. Mệnh đề nào dưới đây đúng ? 1 e e 1  1  A. M =  x ln x  −  x 3  . 3 1  3 1 e e 1 D. M = 2e − 1 . 9 C. I = − 1 . 10 e 1  1 C. M =  x 2 ln x  − ∫ x 2 dx. 3  1 3 1 0 e B. M = ( 3x 2 ln x ) − 3∫ x 2 dx. 1 3 Câu 12: Tính I = ∫ x 2 ( x + 1) dx. 3 −1 A. I = 2 . 15 B. I = 2 D. I = − 1 . 60 4 − x 2 dx = α . Tính cos2α . ∫ Câu 13: Cho 1 . 60 0 A. cos2α = 1. B. cos2α = 0. 1 C. cos 2α = . 2 D. cos2α = −1. 2 Câu 14: Tính H = ∫ 3 x.e x dx. 2 −1 3 A. H = ( e 4 + e ) . 2 5 1 4 (e − e). 2 C. H = 3 4 (e − e). 2 D. H = 3 ( e 4 − e ) . dx ∫ 2 x − 1 = ln c . Tìm c. Câu 15: Giả sử 1 A. c = 81. 3 ∫x Câu 16: Biết B. H = 2 B. c = 3. C. c = 9. D. c = 8. − 3 x + 2dx = a . Mệnh đề nào dưới đây đúng ? a A. a ∈ ( −2;1) B. a < −1. C. a > 0. D. a ≥ 0. 2 Câu 17: Tính tích phân I = ∫ 2 x x 2 − 1dx bằng cách đặt u = x 2 − 1 . Mệnh đề nào dưới đây sai ? 1 2 A. I = u 3 3 2 3 3 . B. I = ∫ udu. 0 0 2 2 27. 3 C. I = ∫ udu. D. I = 3 C. I = . 2 2 D. I = . 3 1 π Câu 18: Tính tích phân I = ∫ cos2 x.sin xdx. 0 A. I = 0. 2 B. I = − . 3 π Câu 19: Tính tích phân I = ∫ sin 5 xdx bằng cách đặt u = cos x. Mệnh đề nào dưới đây đúng ? 0 Chương III. Nguyên hàm, Tích phân 18 và Ứng dụng. SyPhap 0939989966 Toán 12 GV. Lư Sĩ Pháp 1 A. I = 1 ∫ (1 − u ) 2 2 du. −1 B. I = ∫ (1 − u 2 ) du. 1 0 dx ∫−1 x 2 + 2 x + 2 = α và α 1 = . β 2 1 C. I = ∫ (1 + u 2 ) du. 0 Câu 20: Biết A. log 2 2 2 D. I = ∫ (1 + u ) 2 2 du. −1 0 α x3 ∫0 x8 + 1dx = β . Tính log 2 β . B. log 2 1 α = 2. β C. log 2 α = π. β D. log 2 α = 4. β π Câu 21: Tính 1 − 2sin 2 x ∫0 1 + sin 2 x dx = a ln b, với a, b là các số hữu tỉ. Mệnh đề nào dưới đây đúng ? 4 5 C. a + 2b = . 2 Câu 22: Trong các tính chất dưới đây, có bao nhiêu tính chất đúng ? A. 2a + b = 3. b Tính chất 1. ∫ a f ( x )dx = − ∫ f ( x )dx , a > b. a b b b b a a a ∫ c b a c b b a a Tính chất 2. k ∫ f ( x )dx = k ∫ f ( x )dx. Tính chất 3. ∫  f ( x ) ± g( x ) dx = ∫ f ( x )dx ± ∫ g( x )dx. b 1 D. a.b = . 2 B. 2a + 3b = 0. chất Tính 4. f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx, a < c < b. a A. 2. B. 3. 2 Câu 23: Tính tích phân E = ∫ 1 C. 4. 1 + x2 1 dx bằng cách đặt t = . Mệnh đề nào dưới đây đúng ? 4 x x 1 2 1 2 B. E = ∫ t 1 + t dt. A. E = ∫ t 1 + t dt. 2 2 1 2 D. 1. C. E = ∫ 1 1 1+ t2 dt. t4 1 D. E = ∫ 1 2 1+ t2 dt. t2 0 Câu 24: Hãy tính J = ∫ 3 x +1dx. −1 A. J = 2 . ln 3 B. J = 2. e Câu 25: Biết 1 . ln 3 D. J = 1 ln 3. 2 e ln 7 x ∫1 x dx = b . Tính S = a + b. ln x ∫1 x dx = a và 1 A. S = . 8 C. J = 5 B. S = . 8 8 C. S = . 5 1 D. S = . 2 2 Câu 26: Tính tích phân J = ∫ x ln xdx bằng cách đặt u = ln x, dv = xdx. Mệnh đề nào dưới đây sai ? 1 2 2  x2  1 B. J =  ln x  − x 2 . 2  1 4 1 3 A. J = 2 ln 2 − . 4 2 2 2  x2  C. J =  ln x  − ∫ xdx.  2 1 1 1  x2  1 D. J =  ln x  + ∫ xdx.  2 1 2 2 π 6 Câu 27: Tính tích phân F = ∫ 2 1 + 4sin 3 x cos 3 xdx bằng cách đặt u = 1 + 4sin 3x. Mệnh đề nào dưới đây 0 sai ? Chương III. Nguyên hàm, Tích phân 19 và Ứng dụng. SyPhap 0939989966 Toán 12 GV. Lư Sĩ Pháp ( 5 A. F = 1 u du. 12 ∫1 ) 1 5 5 −1 . 9 B. F = 5 5 C. F = 1 2 u du. 12 ∫1 D. F = 1 12 u du. 6 ∫1 C. A = 8π . 15 D. A = 2π . 15 1 1 + 2e C. K = + ln . 3 3 D. K = 1 1 1 + 2e + ln . 3 2 3 π Câu 28: Tính A = ∫ ( cos3 x − 1) cos 2 xdx. 2 0 A. A = 8 π − . 15 4 B. A = 1 Câu 29: Tính K = ∫ 0 x 2 + e x + 2 x 2e x dx. 1 + 2e x 1 1 + 2e A. K = ln . 2 3 1 1 + 2e B. K = ln . 3 3 π Câu 30: Biết 8 π + . 15 4 ∫ x sin x cos 2 xdx = α . Tính P = sin 2α + cos 2α . 0 A. P = 3 +1 . 2 B. P = 4 ( 3 − 1. 2 ) C. P = 2 3 −3 . 6 D. P = 3 −1 . 2 2 Câu 31: Cho E = ∫ x 2 + 3 x dx và F = ∫ ( x 2 − 3 x −4 ) dx . Tìm mối liên hệ giữa E và F . 1 A. E = F . 1 B. E < F . C. E = 1 F. 2 D. E > F . 1 Câu 32: Tính tích phân I = ∫ x ln (1 + x ) dx. 0 1 A. I = . 4 1 B. I = . 2 2x +1 1 Câu 33: Hãy tính K = A. K = 2 ( ) ∫ −1 x2 + x + 1 3 +1 . 3 C. I = . 4 1 D. I = − . 4 C. K = 2 3. D. K = 2 3 − 1. C. N = 17. D. N = 15. dx. B. K = 2 ( ) 3 −1 . 3 Câu 34: Hãy tính N = ∫ ( x + 1 + x − 2 ) dx. −2 A. N = 31. B. N = 71. 5 Câu 35: Tính tích phân E = ∫ 2 x ln ( x − 1) dx bằng cách đặt u = ln( x − 1), dv = 2 xdx . Mệnh đề nào dưới 2 đây sai ? 5 1   A. E = 25ln 4 − ∫  x + 1 +  dx. x −1  2 5 x2 C. E = ( x ln( x − 1) ) − ∫ dx. 2 x −1 2 5 2 B. E = 24 ln 4 − 27 . 2 5  x2  D. E = 25ln 4 −  + x + ln x + 1  .  2 2 π Câu 36: Tính tích phân J = ∫ ( ecos x + x ) sin xdx. 0 1 A. J = e − + π . e 1 B. J = e + + π . e 1 C. J = + π . e 1 π D. J = e − + . e 2 b Câu 37: Biết ∫x 2 − 1dx = b . Tìm b. 0 Chương III. Nguyên hàm, Tích phân 20 và Ứng dụng. SyPhap 0939989966 Toán 12 GV. Lư Sĩ Pháp A. b = 3. B. b = 2. C. b = 5. D. b = 4. π 2 Câu 38: Tính tích phần K = ∫ sin 2 x cos xdx bằng cách đặt u = sin x. Mệnh đề nào dưới đây đúng ? 0 π 1 2 A. K = ∫ u 2 du. B. K = ∫ udu. 0 C. K = 0 1 1 1 2 u du. 2 ∫0 D. K = ∫ u 2 du. 0 π 12 ∫ cos Câu 39: Tính tích phân K = 0 2 1 dx bằng cách đặt u = 1 + tan 3x. Mệnh đề nào dưới đây 3 x (1 + tan 3 x ) đúng ? 2 2 1 A. K = ∫ du. u 1 1 du. 3u 1 B. K = ∫ C. K = 1+ 3 ∫ 1 1 du. u D. K = 1+ 3 ∫ 1 1 du. 3u π Câu 40: Tính tích phân F = ∫ e x cos xdx bằng cách đặt u = cos x, dv = e x dx. Mệnh đề nào dưới đây đúng ? 0 π π A. F = e cos x − ∫ e sin xdx. 0 x π x 0 0 π π π B. F = e sin x + ∫ e x cos xdx. 0 x π C. F = e x cos x + ∫ e x sin xdx. π D. F = e x sin x − ∫ e x cos xdx. 0 0 0 0 π 3sin x − 4sin 3 x ∫0 1 + cos 3x dx = a ln b, với a, b là các số hữu tỉ. Mệnh đề nào dưới đây sai ? 6 Câu 41: Biết 5 A. a + b = . 3 5 C. a − b = − . 3 B. 3a + b = 3. D. a − 3b = − 17 . 3 ln x + 1 dx = a ln b + c, với a, b, c là các số nguyên. Mệnh đề nào dưới đây đúng ? x ln x 2 A. abc = 1. B. ac + b = 4. C. 2a − bc = 0. D. a + b + c = 4. 4 Câu 42: Biết ∫ 3 dx . e −1 1 Câu 43: Tính G = ∫ x A. G = 2 − ln ( e 2 + e + 1) . B. G = ln ( e 2 + e + 1) . C. G = 2 ln ( e 2 + e + 1) . D. G = ln ( e 2 + e + 1) − 2. 1 Câu 44: Tính tích phân I = ∫ xe x dx bằng cách đặt u = x, dv = e x dx. Mệnh đề nào dưới đây sai ? 0 1 A. I = ( xe x ) + ∫ e x dx. 1 0 B. I = ( xe x ) − e x . 0 3 Câu 45: Tính tích phân M = ∫ 1 3 + ln x ( x + 1) 2 1 1 0 0 C. I = 1. 1 D. I = ( xe x ) − ∫ e x dx. 1 0 0 dx. 1 27  1 27  1 27  1 27  A. M =  3 − ln  . B. M =  3 + ln  . C. M =  3 − ln  . D. M =  3 + ln  . 2 16  2 16  4 16  4 16  Câu 46: Diện tích hình phẳng tô đậm trong hình bên được tính theo công thức nào sau đây ? Chương III. Nguyên hàm, Tích phân 21 và Ứng dụng. SyPhap 0939989966 Toán 12 GV. Lư Sĩ Pháp 2 4 0 2 A. S = − ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx. 4 C. S = ∫ f ( x )dx. e 4 0 2 2 4 0 2 D. S = ∫ f ( x )dx − ∫ f ( x )d x. 0 Câu 47: Tính 2 B. S = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx. 3 dx ∫ x ln x ln(ln x) = a ln 2 + b ln 3, với a, b là các số nguyên. Mệnh đề nào dưới đây đúng ? e2 A. a + 3b = −1. B. 2a + b = 0. C. a − 2b = 0. D. a + b = 0. 1 ∫ ( x + 1) e dx = a , với a ∈ ℝ. Tính ln a. Câu 48: Biết x 0 A. ln a = 10. C. ln a = e. C. ln a = 0. B. ln a = 1. 1 Câu 49: Tính tích phân I = ∫ x3 x 2 + 1dx bằng cách đặt u = x 2 + 1. Mệnh đề nào dưới đây sai ? 0 A. I = 2 2+2 . 15 2 ∫ Câu 50: Biết −2 2 B. I = ∫ ( u 4 − u 2 ) du. 2 C. I = 1 ∫ (u 4 − u 2 ) du. 2 D. I = 1 5 ∫ g( x )dx = 6. . Với mọi 2 2 − 1) u.udu. 1 5 f ( x )dx = 4, ∫ f ( x )dx = 3 và ∫ (u −2 x ∈  −2;5 , mệnh đề nào dưới đây đúng ? 5 A. ∫ g( x )dx > −2 5 ∫ f ( x )dx. B. f ( x ) ≤ g( x ). −2 5 C. f ( x ) > g( x ). D. ∫ f ( x )dx ≥ −2 2 3 ∫ Câu 51: Biết 0 dx = α . Tính cos 2α . x +4 B. cos 2α = ln xdx ∫ x ( 2 + ln x ) Câu 52: Biết ∫ g( x )dx. −2 2 1 A. cos 2α = . 2 e 5 2 3 . 2 C. cos 2α = −1. D. cos 2α = 0. = a + b ln 2 + c ln 3, với a, b, c là các số hữu tỉ. Mệnh đề nào dưới đây đúng ? 1 2 A. a + 2b + 3c = . 3 4 B. a + bc = . 3 3 C. ( a + b)c = − . 4 D. 1 1 1 + + = 3. a b c π 2 Câu 53: Tính tích phân P = ∫ cos5 x sin 3 xdx bằng cách đặt u = cos x. Mệnh đề nào dưới đây đúng ? 0 1 A. P = ∫ u (1 − u ) du. 5 3 1 B. P = ∫ u (1 + u ) du. 0 5 2 0 C. P = ∫ u (1 − u ) du. 5 −1 0 e Câu 54: Tính F = ∫ 1 2 1 D. P = ∫ u 5 (1 − u 2 ) du. 0 ln x dx. x 1 + ln x Chương III. Nguyên hàm, Tích phân 22 và Ứng dụng. SyPhap 0939989966 Toán 12 A. F = GV. Lư Sĩ Pháp 2 2 . 3 B. F = 4 2 . 3 C. F = 4−2 2 . 3 D. F = 4+2 2 . 3 1 Câu 55: Tính tích phân J = ∫ x3 3 x 4 + 1dx bằng cách đặt u = 3 x 4 + 1. Mệnh đề nào dưới đây đúng ? 0 3 A. J = 2 3 3 B. J = 4 ∫ u du. 3 1 2 ∫ u du. 3 1 1 C. J = 4 3 3 2 ∫ u du. 2 D. J = 3 ∫ u 3du. 3 1 1 e Câu 56: Tính tích phân I = ∫ x ln xdx. 1 A. I = e −1 . 4 2 B. I = 1 Câu 57: Tính tích phân E = ∫ 0 e2 + 1 . 4 x x +1 2 B. E = e2 − 2 . 2 D. I = e2 . 4 dx bằng cách đặt u = x 2 + 1. Mệnh đề nào dưới đây đúng ? 2 A. E = 2 + 1 C. I = ∫ du. 2 2 C. E = 2 ∫ du. 1 D. E = 1 ∫ udu. 1 1 Câu 58: Tính tích phân I = ∫ x x 2 + 1dx bằng cách đặt u = x 2 + 1. Mệnh đề nào dưới đây sai ? 0 2 3 −1 A. I = 3 2 B. I = 2 ∫ u du. 2 2 C. I = 1 1 ∫ u du. D. I = − ∫ u 2 du. 2 1 2 π 3 Câu 59: Tính tích phân L = ∫ 0 x dx. cos 2 x π 3 − ln 2 π 3 π 3 C. L = D. L = . − 3ln 2. − ln 2. 3 3 3 3 π π  sin  x −  4 4  Câu 60: Tính tích phân I = ∫ dx bằng cách đặt u = sin x + cos x. Mệnh đề nào sin 2 x + 2 1 + sin x + cos x ) ( 0 dưới đây đúng ? 2 2 2 1 1 A. I = − du. B. I = − 2 ∫ du. 2 2 ∫ 2 1 (1 + u ) 1 (1 + u ) A. L = π 3 2 C. I = + 2 ln 2. 1 ∫ (1 + u ) B. L = D. I = − du. 2 1 2 2 2 2 1 ∫ (1 + u ) 2 du. 2 2  1 Câu 61: Tính tích phân H = ∫ x 2 ln 1 +  dx.  x 1 2 1 A. H = 3ln 3 + ln 2 + . 3 6 10 1 C. H = 2 ln 2 − ln 3 + . 3 6 1 B. H = 3ln 3 − 2 ln 2 + . 6 10 1 D. H = 3ln 3 − ln 2 + . 3 6 1 + x ln x x e dx. x 1 e Câu 62: Tính tích phân F = ∫ 1 A. F = e 2 . 3 B. F = e 2 . Chương III. Nguyên hàm, Tích phân C. F = eπ . 23 và Ứng dụng. D. F = ee . SyPhap 0939989966 Toán 12 GV. Lư Sĩ Pháp 25 1 dx. x ∫ Câu 63: Hãy tính L = 1 A. L = 2 2. B. L = 8. C. L = 16. D. L = 4. π 4 Câu 64: Tính tích phân I = ∫ x cos 2 xdx. Mệnh đề nào dưới đây sai ? 0 π 4 π 4 1 1  A. I =  x cos 2 x  − ∫ sin 2 xdx. 2 0 2 0 π B. I = 1 − . 8 4 π 2π ∫ π π 1  4 1 4 C. I =  x sin 2 x  +  cos 2 x  . 2 0 4 0 Câu 65: Hãy tính F = π 4 1 4 1 D. I =  x sin 2 x  − ∫ sin 2 xdx. 2 0 2 0 1 + sin xdx. 0 A. F = 4π 2. B. F = 2π 2 . 3 C. F = 4 2. D. F = 2. 1 Câu 66: Tính tích phân J = ∫ x x + 1dx bằng cách đặt u = x + 1. Mệnh đề nào dưới đây đúng ? 0 2 A. J = 2 ∫ ( u − u ) du. B. J = 4 2 4 ( 1 3 Câu 67: Cho biết 3x ∫ x2 + 1 0 dx = a và ) 2 −1 D. J = 2 ∫ ( u 4 − u 2 ) du. C. J = 2 ∫ ( u − u ) du. 4 15 π 2 2 1 2 0 0 1 − cos x dx = b . Tính P = a.b. ∫ π sin x (1 + cos x ) 3 10 A. P = . 3 B. P = 1. 1 C. P = . 3 D. P = 3. 9 x dx = a + b ln c, với a, b, c là các số nguyên. Mệnh đề nào dưới đây đúng? x −1 4 A. ab + c = 9. B. ab + c = 15. C. ac + b = 17. D. a + bc = 11. Câu 68: Biết ∫ π Câu 69: Tính tích phân I = ∫ cos3 x.sin xdx. 0 1 A. I = − . 4 B. I = −π 4 . 1 D. I = − π 4 . 4 C. I = 0. π 2 Câu 70: Tính tích phân J = ∫ x 2 sin xdx bằng cách đặt u = x 2 , dv = sin xdx . Mệnh đề nào dưới đây sai ? 0 π 2 A. J = π − 2 B. E = 2 ∫ x cos xdx. 0 π 2 π 2 C. E = ( x 2 cos x ) − 2 ∫ x cos xdx. 0 π 2 π 2 D. E = ( − x 2 cos x ) + 2 ∫ x cos xdx. 0 0 0  π π Câu 71: Tính tích phân I = ∫ 1 − x 2 dx bằng cách đặt x = sin t , t ∈  − ;  . Mệnh đề nào dưới đây sai ?  2 2 0 1 Chương III. Nguyên hàm, Tích phân 24 và Ứng dụng. SyPhap 0939989966 Toán 12 GV. Lư Sĩ Pháp π 1 1 1 2 A. I =  t + sin t  . 2 2 0 B. I = ∫ 1 − sin 2 t cos tdt. 0 π 2 C. I = ∫ cos 2 t cos tdt. D. I = π 0 4 . 2 1  x+ 1  Câu 72: Tính tích phân E = ∫  1 + x −  e x dx. x 1 2 A. E = 5 2 2 e . 5 B. E = 3 52 e . 2 C. E = 3 52 e . 2 D. E = 1 + e. 2 C. I = e −1 . 2 D. I = 1 − e 2 . 2 52 e . 3 1 Câu 73: Tính I = ∫ ( x − 1)e x dx. 0 A. I = 2 − e. B. I = 2 Câu 74: Biết ∫x 5 ln xdx = a ln 2 + b, với a , b là số hữu tỉ. Tính S = 3a + 4b. 1 A. S = 25. B. S = 107 . 12 C. S = 39. D. S = 575 . 12  π π Câu 75: Tính tích phân J = ∫ 4 − x 2 dx bằng cách đặt x = 2 sin t , t ∈  − ;  .  2 2 0 1 Mệnh đề nào dưới đây sai ? π 6 π 6 A. J = 4 ∫ cos 2 tdt. B. J = ∫ 4 − sin 2 t .2 cos tdt. 0 0 π 6 1 1  C. J =  t + sin 2t  . 2 2 0 Câu 76: Hãy tính P = π 2 ∫π − A. P = π 2 D. J = π 6 3 + 3 . 2 2 (1 − cos 2 x )dx. 2 B. P = 4 + . π π . 3 1 . Tìm n. 64 B. n = 5. π C. P = 4. D. P = C. n = 6. D. n = 3. 4 . Câu 77: Biết ∫ sin n x cos xdx = 0 A. n = 4. π 2 Câu 78: Tính tích phân F = ∫ esin x sin x cos3 xdx. 2 0 A. F = e + 1. 2 Câu 79: Cho B. F = e − 1. 2 C. F = 1− e . 2 D. F = 1 1 1 0 0 0 e −1 . 2 ∫ ( 2 f ( x ) − g( x )) dx = 5 và ∫ (3 f ( x ) + g( x )) dx = 10. Tính ∫ f ( x )dx. Chương III. Nguyên hàm, Tích phân 25 và Ứng dụng. SyPhap 0939989966 Toán 12 1 A. ∫ GV. Lư Sĩ Pháp 1 f ( x )dx = 10. B. 0 1 f ( x )dx = 5. ∫ C. 0 a ∫ ( 3x Câu 80: Biết 2 ∫ 1 f ( x )dx = 15. D. 0 ∫ f ( x )dx = 3. 0 + 2 ) dx = a 3 + 2 , với a ∈ ℤ. Tìm a. 0 A. 2 ≤ a < 5. B. a ≥ 4. C. −3 < a ≤ 0. D. −1 ≤ a ≤ 1. 1 Câu 81: Tính tích phân K = ∫ x 2 8 1 − xdx bằng cách đặt t = 1 − x . Mệnh đề nào dưới đây sai ? 0 A. K = 1 B. K = ∫ (1 − t 2 ) 8 t dt. 1024 . 3825 0 1 C. K = ∫ (1 − t 2 ) 8 t dt. 1 0 1 D. K = ∫ (1 − t 2 ) t 8 dt. 0 2 Câu 82: Hãy tính I = ∫ x + 2dx. 1 16 3 A. I = . 3 13 − 3 3 . 3 C. I = 16 − 6 3 . 3 D. I = 2 ln 2 − 1 . 2 C. I = ln 2 − 1 . 2 1 D. I = . 2 4 B. I = 2 + 3ln . 3 C. I = 1 4 + 3ln . 2 3 D. I = 2. B. I = −6 3 . 3 1 Câu 83: Tính I = ∫ x ln (1 + x 2 ) dx. 0 2 ln 2 + 1 A. I = . 2 B. I = 1 2x + 9 dx. x +3 0 Câu 84: Hãy tính I = ∫ 4 A. I = ln . 3 b Câu 85: Tìm tập hợp các giá trị của b sao cho A. b = {4} . B. b = {−1; 4} . 2 Câu 86: Tính tích phân I = ∫ 1 2 A. I = 3 10 x2 x +2 3 2 B. I = 3 ∫ dt . 3 ( ∫ ( 2 x − 4 ) dx = 5. C. b = {5} . 0 D. b = {−1;5} . dx bằng cách đặt t = x3 + 2 . Mệnh đề nào dưới đây sai ? ) 10 − 3 . 2 C. I = t 3 10 3 D. I = 2 . 3 10 ∫ dt . 3 π 2 Câu 87: Tính tích phân I = ∫ x 2 cos xdx. Mệnh đề nào dưới đây đúng ? 0 π 2 π 2 A. I = ( x 2 sin x ) + 2 ∫ x cos xdx. 0 π 2 π 0 Câu 88: Biết A. K = 9.  ∫  4 − e −2  0 D. I = 0 x − 2   dx = K − 2e. Tìm K .  B. K = 10. Chương III. Nguyên hàm, Tích phân π 2 B. I = ( x 2 cos x ) − 2 ∫ x sin xdx. 0 C. I = ( x 2 sin x ) 2 − 2 ∫ x sin xdx. 0 π 2 π2 + 2. 4 C. K = 12,5. 26 0 và Ứng dụng. D. K = 11. SyPhap 0939989966 Toán 12 GV. Lư Sĩ Pháp e3 ln(ln x) dx. x e2 A. F = 3ln 3 + 2 ln 2 + 1 B. F = 2ln 2 − 3ln 3 − 1 C. F = 3ln 3 − 2ln 2 − 1 D. F = 2ln 2 + 3ln 3 − 1 ∫ Câu 89: Tính tích phân F = ln x 3 − a ln a với a ∈ ℤ. Tìm a. dx = 3 x 8a 1 A. −1 ≤ a ≤ 3. B. 2 < a ≤ 5. C. −3 ≤ a ≤ 0. a Câu 90: Biết ∫ D. 0 ≤ a < 2. e Câu 91: Tính tích phân I = ∫ x ln xdx. Mệnh đề nào dưới đây sai ? 1 e e e e 1  1 A. I =  x 2 ln x  − ∫ xdx. 2 1 2 1 1  1 B. I =  x ln x  − ∫ xdx. 2 1 2 1 e2 + 1 C. I = . 4 2 1  x  D. I =  x 2 ln x  −   . 2 1  4 1 a Câu 92: Biết e e 1 ∫ ( 2 x − 1) ln xdx = a ln a − a , với a ∈ ℤ. Tìm a. 1 A. −3 < a < 1. B. a < 0. C. a ≥ 1. D. a > 1. e Câu 93: Tính tích phân F = ∫ ( ln x ) dx. Mệnh đề nào dưới đây sai ? 2 1 e B. F = x ( ln x ) A. F = x ln x 1 − ∫ dx. e 2 e 1 D. F = x ( ln x ) C. F = e − 2. 1 2 e 1 e   e − 2  x ln x 1 − ∫ dx  .  1  e − 2 ∫ ln xdx. 1 e ln ex dx. 1 + x ln x 1 Câu 94: Tính K = ∫ A. K = e. B. K = ln(1 + e). a Câu 95: Tìm a để 1 ∫x 1 A. a = 3. 2 1 dx = . a B. a = 4. 1 ln (1 + e ) . 2 C. K = 1 + e. D. K = C. a = 2. D. a = 1. C. I = −1. D. I = e − 2. 1 Câu 96: Tính tích phân I = ∫ xe1− x dx. 0 A. I = 1. B. I = 1 − e. 2  1 ln 1 +  dx = a ln 2 + b ln 3 + c, với a, b, c là số hữu tỉ. Tính S = 3a + 2b + c.  x 1 23 41 1 A. S = − . B. S = − . C. S = 2. D. S = − . 6 6 6 Câu 98: Mệnh đề nào dưới đây sai ? Câu 97: Biết 1 ∫x 2 2 1  1− x  A. ∫ e dx > ∫   dx. 1+ x  0 0 −x 1 2 1 3 C. ∫ e− x dx > ∫ e− x dx. 0 0 Chương III. Nguyên hàm, Tích phân 1 1 B. ∫ ln (1 + x ) dx > ∫ 0 0 π 4 π 4 0 0 x −1 dx. e −1 D. ∫ sin2 xdx < ∫ sin 2 xdx. 27 và Ứng dụng. SyPhap 0939989966 Toán 12 GV. Lư Sĩ Pháp π Câu 99: Hãy tính E = ∫ 1 + cos 2 xdx. 0 B. E = 2π 2. A. E = 2 2. C. E = 2 2 + 1. D. E = 2 − 2. π 2 Câu 100: Tính tích phân I = ∫ (1 − x ) sin x cos xdx. 0 A. I = 1 (4 − π ). 3 π . 8 B. I = C. I = 1 (4 − π ). 8 D. I = 1 (4 + π ). 2 π 2 Câu 101: Biết ∫ sin 4 xdx = α . Tính P = sin 8α + cos8α . 0 3 B. P = . 2 A. P = 1. Câu 102: Tính tích phân H = C. P = 2. D. P = −1. π2 4 ∫ sin xdx. 0 B. H = 2 2. A. H = 2. C. H = π2 . 4 D. H = π 3 Câu 103: Tính tích phân E = ∫ sin x ln(cos x)dx bằng cách đặt u = ln(cos x), dv = 0 đây đúng ? 1 A. E = ( ln 2 + 1) . 2 π π (x + 1) e ∫ ( x + 1) 0 3 x 0 a dx = . Tính P = a + ln a. 4 A. P = 3. B. P = e + 1. 1 Câu 105: Tính tích phân K = ∫ 0 (x A. K = − 2 + 1) e x x +1 C. K = ( x + 1) e x 1 0 1 (x 2 + 1) e ( x + 1) C. P = 2e + ln 2. D. P = 4 + ln 3. x 2 dx . Mệnh đề nào dưới đây đúng ? 1 + ∫ ( x + 1) e x dx. 0 1 3 D. E = − sin x ln(sin x) 03 − ∫ cos xdx. 0 1 π π π 3 C. E = − cos x ln(cos x) 03 + ∫ sin xdx. Câu 104: Biết 1 dx. Mệnh đề nào dưới x B. E = ( − cos x ln(cos x) ) 03 + cos x 03 . π 2 2π . 3 B. K = −e + 1. 0 D. K = 2. − ∫ e x dx. 0 ln 2 Câu 106: Tính tích phân L = ∫ xe −2 x dx. 0 1  3 ln 2  A. L =  − . 44 2  1  3 ln 2  B. L =  + . 3 4 2  C. L = 3 − ln 2 . 4 3 ln 2 D. L = − . 8 16 2 Câu 107: Tính I = ∫ 2e2 x dx. 0 4 A. I = 3e − 1. B. I = e4 − 1. Chương III. Nguyên hàm, Tích phân C. I = 4e4 . 28 và Ứng dụng. D. I = e4 . SyPhap 0939989966 Toán 12 GV. Lư Sĩ Pháp 5 1 Câu 108: Hãy tính K = ∫ dx. x 3 A. K = 1 3 ln . 2 5 d Câu 109: Nếu ∫ 1 5 B. K = ln . 2 3 d f ( x )dx = 5, ∫ f ( x )dx = 2 với a < d < b thì a b A. ∫ 3 C. K = ln . 5 b b ∫ f ( x )dx bằng: a b f ( x )dx = 7. 5 D. K = ln . 3 f ( x )dx = −2. ∫ B. a b C. a ∫ f ( x )dx = 8. a b D. ∫ f ( x )dx = 3. a π e Câu 110: Tính tích phân P = ∫ cos(ln x)dx. 1 A. P = π e +1 . 2 B. P = 1 − eπ . 2 C. P = e2 + 1 . 2 D. P = − C. I = e2 − 1. 2 D. I = eπ + 1 . 2 e 3  Câu 111: Tính tích phân I = ∫  2 x −  ln xdx. x 1 e2 − 1 1 + e2 A. I = B. I = . . 2 2 1 Câu 112: Tính tích phân I = ∫ 0 A. I = 3 + 1. 1 3 − 2x e2 + 1. 2 dx . B. I = 1. C. I = 3 − 1. D. I = 3. 1 Câu 113: Biết ∫ ( 2 x + 2 ) e dx = 2a với a ∈ ℝ. Tìm a. x 0 A. a > 2. B. 0 < a < 2. C. a ≤ 1. D. a < 1. 2 4 1  Câu 114: Biết ∫  x +  dx = 2a + 5 . Tìm a. x 2 512 215 A. a = B. a = . . 12 12 C. a = 215 . 24 D. a = 251 . 24 π 6 Câu 115: Tính tích phân I = ∫ 0 A. I = 3 3 4 u ∫0 1 + u 2 du. tan 4 x dx bằng cách đặt u = tan x. Mệnh đề nào dưới đây đúng ? cos 2 x B. I = 3 3 u4 ∫0 1 − u 2 du. 3 C. I = u4 ∫0 1 − u 2 du. 3 D. I = u4 ∫0 1 + u 2 du. 4 Câu 116: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm trên đoạn [1; 4] , f (1) = 1 và f (4) = 4. Tính I = ∫ f ′( x)dx. A. I = −3. B. I = 5. C. I = 3. D. I = 4. 1 ln 2 Câu 117: Tính H = ∫ e x − 1dx. 0 π A. H = 2 − e 2 . B. H = 2 + eln 2 . C. H = 2 − π 2 . D. H = 2 + π 2 . π 3 Câu 118: Tính tích phân E = ∫ π 1 dx bằng cách đặt u = tan x. Mệnh đề nào dưới đây đúng ? sin 2 x 4 Chương III. Nguyên hàm, Tích phân 29 và Ứng dụng. SyPhap 0939989966 Toán 12 GV. Lư Sĩ Pháp 3 1 A. E = 2 ∫ du. u 1 1 B. E = − 2 3 ∫ 1 1 du. u 1 C. E = 2 3 ∫ 1 1 1 du. u 1 du. u 3 D. E = 2 ∫ π 2 Câu 119: Tính tích phân bằng phương pháp từng phần K = ∫ x sin xdx. Mệnh đề nào dưới đây đúng ? 0 π π 2 A. K = ( − x cos x ) 02 + ∫ cos xdx. B. K = 0. 0 π π 2 C. K = ( x sin x ) 02 + ∫ cos xdx. 0 Chương III. Nguyên hàm, Tích phân π  x2 2 D. K =  cos x  .  2 0 30 và Ứng dụng. SyPhap 0939989966 Toán 12 GV. Lư Sĩ Pháp §3. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC A. KIẾN THỨC CẦN NẮM 1. Diện tích hình phẳng Nếu hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số f ( x) , liên tục trên đoạn [ a; b ] , trục hoành và hai b đường thẳng x = a, x = b thì diện tích S của nó được tính theo công thức: S = ∫ f ( x)dx a Như vậy: y y = f (x) c1 a O c2 c3 y  y (H )  x  x b x = f (x) =0 =a =b b S= ∫ f ( x ) dx a b Chú ý: Nếu trên [ a; b ] hàm số f ( x) giữ nguyên một dấu thì: S = ∫ f ( x)dx = a b ∫ f ( x)dx a Nếu hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị của hai hàm số y = f ( x) , y = g ( x) liên tục trên đoạn [ a; b ] hai đường và x = a, x = b thì diện tích S của nó được tính theo công thẳng b thức: S = ∫ f ( x ) − g ( x)dx . a Như vậy: y (C1 ) : y = f1 ( x )  (C ) : y = f2 ( x ) (H )  2 x = a x = b  (C1 ) (C 2 ) b c2 a c1 O S = ∫ f 1 ( x ) − f 2 ( x ) dx x b a Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường x = g ( y ) , x = h( y ) và hai đường thẳng y = c , y = d d được xác định: S =ò g ( y ) - h( y ) dy. c Chú ý: Nếu trên đoạn [α ; β ] biểu thức f ( x) − g ( x) không đổi dấu thì: β ∫ β f ( x) − g ( x)dx = α ∫ [ f ( x) − g ( x)]dx α 2. Thể tích vật thể Giới hạn vật thể V bởi hai mặt phẳng song song, vuông góc với trục hoành, cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ x = a, x = b và S ( x) là diện tích thiết diện của V vuông góc với Ox tại x ∈ [ a; b] . Thể tích của V được cho bởi công thức: V = ∫ S ( x )dx . ( S ( x) là hàm số không âm, liên tục trên đoạn [ a; b ] ) b a Như vậy: (V ) O b x a b x V = ∫ S ( x )dx a S(x) Chương III. Nguyên hàm, Tích phân 31 và Ứng dụng. SyPhap 0939989966 Toán 12 GV. Lư Sĩ Pháp 3. Thể tích khối tròn xoay Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số f ( x) , liên tục trên đoạn [ a; b ] , trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b quay quanh trục Ox, ta được khối tròn xoay. Thể tích của khối tròn xoay này được cho b bởi công thức V = π ∫ f 2 ( x )dx a Như vậy: y y = f (x) O a (C ) : y = f ( x )  b (Ox ) : y = 0 2 Vx = π ∫ [ f ( x )] dx  x x = a a  x = b b Lưu ý: Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường x = g ( y ) , trục hoành và hai đường thẳng y = c , y = d quanh trục Oy: y (C ) : x = g( y )  (Oy ) : x = 0  y = c  y = d d c d V y = π ∫ [ g ( y )] dy 2 c x O Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f ( x) , y = g ( x) b và hai đường thẳng x = a , x = b quanh trục Ox: V = pò f 2 ( x) - g 2 ( x) dx a B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Tính thể tích V của hình phẳng (H) quay quanh trục Ox, biết (H) giới hạn bởi các đường x y = xe 2 , y = 0, x = 1, x = 2. A. V = π e. B. V = π e 2 . C. V = π e3 . D. V = π . e2 Câu 2: Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục tung mỗi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x 2 , trục tung và hai đường thẳng y = 0, y = 4. 1 A. V = 8 + π . B. V = π . C. V = 8π . D. V = 2π . 8 Câu 3: Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = x 2 và y = 6 − x . Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo được khi quay hình (H) xung quanh trục tung. 20π 27π 32π 32π A. V = B. V = C. V = D. V = . . . . 3 3 4 3 Câu 4: Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số f ( x) = e x , trục Ox và hai đường thẳng x = 0 và x = 1 . Tìm thể tích V khối tròn xoay khi quay hình (H) xung quanh trục hoành cho bởi công thức. 1 A. V = π ∫ e dx. 2x 0 B. V = π 2 1 2 ∫e 0 Chương III. Nguyên hàm, Tích phân 2x dx.  1  C. V =  π ∫ e 2 x dx  .  0  32 và Ứng dụng. 2 1  D. V = π  ∫ e 2 x dx  . 0  SyPhap 0939989966 Toán 12 GV. Lư Sĩ Pháp Câu 5: Cho hình (H) giới hạn bởi các đường y = 0, x = 4 và y = x − 1 . Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình (H) quanh trục hoành. 7π 17π 24π 5π A. V = B. V = C. V = D. V = . . . . 6 16 25 6 Câu 6: Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục hoành mỗi hình phẳng giới hạn các đường y = sin x.cos x, y = 0, x = 0, x = A. V = π2 9 . B. V = π2 4 π 2 . . C. V = π2 16 . D. V = π2 25 . Câu 7: Tìm diện tích hình phẳng S được giới hạn bởi các đường cong y = x 3 , y = 2 − x và x = 0. 17 17 12 A. S = 0. B. S = − . C. S = . D. S = . 12 12 17 Câu 8: Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục hoành mỗi hình phẳng giới hạn bởi 1 đồ thị hàm số y = , trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 2. x π ln 2 π π π ln 2 A. V = B. V = . C. V = . D. V = . . 4 4 2 2 Câu 9: Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi đồ thị các hàm số f ( x) = x 3 − x 2 − 2 x trên [ −1; 2] và trục hoành. 37 37 12 1 A. S = . B. S = − . C. S = . D. S = . 12 12 37 2 Câu 10: Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = 0 và x = π , biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (0 ≤ x ≤ π ) là một hình vuông cạnh là 2 sin x . A. V = 8π . B. V = 8. C. V = 16π . D. V = 12. Câu 11: Tìm diện tích hình phẳng S nằm trong góc phần tư thứ nhất, giới hạn bởi các đường thẳng y = 8 x, y = x và đồ thị hàm số y = x 3 . 64 63 36 4 A. S = . B. S = . C. S = . D. S = . 3 4 4 63 Câu 12: Cho tam giác vuông OPM có cạnh OP nằm trên trục Ox. Đặt OM = R , POM = α π    0 ≤ α ≤ , R > 0  . Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay tam giác đó quanh trục Ox theo 3   α và R. π R3 π R3 A. V = B. V = sin α + sin 3 α ) . cos α + cos3 α ) . ( ( 3 3 3 πR π R3 3 C. V = sin α − sin α . D. V = cos α − cos3 α ) . ( ) ( 3 3 Câu 13: Tìm diện tích hình phẳng S nằm trong góc phần tư thứ nhất, giới hạn bởi các đường thẳng y = 4 x và đồ thị hàm số y = x 3 . A. S = 7. B. S = 12. C. S = 5. D. S = 4. Câu 14: Tính S diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x 3 − x và đồ thị hàm số y = x − x 2 . 81 4 37 A. S = . B. S = . C. S = 13. D. S = . 12 9 12 Câu 15: Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = ln x , trục hoành, hai đường thẳng x = 1 và x = 2 . Tính thể V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng đó xung quanh trục hoành. A. V = 2π ( ln 2 2 + 2 ln 2 + 1) . B. V = π ( ln 2 2 − 2 ln 2 + 1) . Chương III. Nguyên hàm, Tích phân 33 và Ứng dụng. SyPhap 0939989966 Toán 12 GV. Lư Sĩ Pháp C. V = 2π ( ln 2 2 − 2 ln 2 + 1) . D. V = 2π ( ln 2 2 − 2 ln 2 ) . x2 +4. 2 65 15 64 1 A. S = . B. S = . C. S = . D. S = . 4 14 3 12 Câu 17: Tìm thể tích V của khối tròn xoay tạo bởi một hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox, hai đường thẳng x = a, x = b, ( a < b) quay quanh trục Ox. Câu 16: Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x 2 − 4 , y = A. V = π b 2 ∫f b 2 ( x)dx. B. V = ∫ f ( x)dx. 2 a b C. V = π ∫ f ( x)dx. 2 a b D. V = π ∫ f ( x)dx. a a Câu 18: Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi các đường cong y = x , x + 2 y = 3 và trục hoành. 1 25 A. S = 12. B. S = . C. S = . D. S = 2. 2 2 2 Câu 19: Cho hình (H) giới hạn bởi các đường x = , y = 0 và y = 4 . Tính thể tích V của khối tròn xoay y tạo thành khi quay hình (H) quanh trục tung. A. V = 5π . B. V = 3π . C. V = 7π . D. V = 9π . Câu 20: Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục tung mỗi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 3 − x 2 , trục tung và đường thẳng y = 1. 2 π B. V = π − 2. C. V = 2π . D. V = π . . 2 Câu 21: Tính diện tích S của hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị của hàm số y = cos x, y = sin x và hai đường thẳng x = 0, x = π . A. V = A. S = 2 + 2. B. S = 2. C. S = 2 2. D. S = 2 − 2. 4000 Câu 22: Một đám vi trùng tại ngày thứ t có số lượng là N ( t ) . Biết rằng N ' ( t ) = và lúc đầu vi 1 + 0,5t trùng có 250000 con. Hỏi sau 10 ngày số lượng vi trùng là bao nhiêu?(kết quả làm tròn) A. 8000 ln 6 + 250000. B. 8000ln 6. C. 4000ln 6 + 250000. D. 258000. Câu 23: Cho hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = sin x , trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = π . Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình này xung quanh trục Ox. π2 3π 2 1 π A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 2 2 2 2 Câu 24: Kí hiệu (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 2 ( x − 1) e x , trục tung và trục hoành. Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình (H) xung quanh trục Ox . A. V = ( 4 − 2e ) π . B. V = 4 − 2e. C. V = e 2 − 5. D. V = ( e2 − 5 ) π . Câu 25: Tính thể tích V của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = 0 và x = 3 , biết thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng (P) vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (0 ≤ x ≤ 3 ) là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là x và 1 + x 2 . 7 B. V = . 3 A. V = 7. C. V = 3. 3 D. V = . 7 Câu 26: Cho hàm số f ( x) = x ( x − 1)( x − 2 ) . Tìm diện tích hình phẳng S giới hạn bởi đồ thị hàm số, trục Ox và hai đường thẳng x = 0, x = 2. 2 A. S = ∫ 2 f ( x)dx . B. S = ∫ f ( x)dx. 0 Chương III. Nguyên hàm, Tích phân 0 34 và Ứng dụng. SyPhap 0939989966 Toán 12 GV. Lư Sĩ Pháp 1 2 0 1 1 D. S = C. S = ∫ f ( x )dx − ∫ f ( x)dx. ∫ f ( x)dx . 0 Câu 27: Tính diện tích S của hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = x 3 , trục hoành và hai đường thẳng x = −1, x = 2. 19 17 17 21 A. S = . B. S = . C. S = . D. S = . 2 4 2 23 x Câu 28: Cho hình (H) giới hạn bởi các đường y = xe 2 , y = 0, x = 0 và x = 1 . Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình (H) quanh trục hoành. A. V = π (e − 2). B. V = π e − 2. C. V = 2π − e. D. V = 2eπ . Câu 29: Xét hình phẳng H giới hạn bởi y = 2 1 − x 2 và y = 2 (1 − x ) . Quay hình H xung quanh trục Ox. Tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo thành. 1 4 1 4 A. V( H ) = π . B. V( H ) = π 2 . C. V( H ) = π 2 . D. V( H ) = π . 3 3 3 3 Câu 30: Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = 2 x , y = 3 − x , trục hoành và trục tung. 1 1 A. S = B. S = 2. C. S = D. S = ln 2 + 2. − 2. + 2. ln 2 ln 2 2 3 Câu 31: Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi các đường cong x = y , x + y 4 = 2 và trục hoành. 9 7 6 5 A. S = . B. S = . C. S = . D. S = . 8 3 5 6 Câu 32: Tìm diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x) , trục hoành và 2 đường thẳng x = a, x = b. b A. S = π ∫ f ( x)dx. b B. S = ∫ f ( x)dx. a b b C. S = ∫ f ( x)dx. D. S = 2 ∫ f ( x)dx. a 0 a Câu 33: Cho hàm số y = x 3 − 6 x 2 + 9 x (C). Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành. 25 4 1 27 A. S = . B. S = . C. S = . D. S = . 36 27 24 4 Câu 34: Cho hai hàm số y = f1 ( x) và y = f 2 ( x) liên tục trên [a; b]. Tìm diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số và các đường thẳng x = a, x = b. b b A. S = ∫ f1 ( x)dx − ∫ f 2 ( x)dx. a a b b a a C. S = ∫ f1 ( x)dx + ∫ f 2 ( x)dx. b B. S = ∫ ( f1 ( x) − f 2 ( x) )dx. a b D. S = ∫ f1 ( x) − f 2 ( x)dx. a Câu 35: Tìm thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x = 0 và x = 3 , biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x, ( 0 ≤ x ≤ 3) là một hình chữ nhật có hai kích thước là x và 2 9 − x 2 . 9 A. V = . B. V = 18. 2 C. V = 9. D. V = 18 . 5 Câu 36: Cho hình (H) giới hạn bởi các đường x = 5 y 2 , x = 0, y = −1 và y = 1 . Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình (H) quanh trục tung. A. V = 6π . B. V = 8π . C. V = 2π . D. V = 4π . Chương III. Nguyên hàm, Tích phân 35 và Ứng dụng. SyPhap 0939989966 Toán 12 GV. Lư Sĩ Pháp Câu 37: Tính thể tích V của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = −1 và x = 1 , biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (−1 ≤ x ≤ 1) là một hình vuông cạnh là 2 1 − x 2 . 10 25 16 A. V = . B. V = . C. V = 16. D. V = . 3 3 3 Câu 38: Tính thể tích V của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = 0 và x = π , biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (0 ≤ x ≤ π ) là một tam giác đều cạnh là 2 sin x . A. V = 2 3. B. V = 3. C. V = 2 + 3. D. V = 3 − 2. Câu 39: Tìm thể tích V của khối tròn xoay tạo nên bởi phép quay xung quanh trục Ox của một hình phẳng x −1 1 giới hạn bởi các đường y = , y = và x = 1. x x A. V = π (1 − 2ln 2 ) . B. V = π ( 2 ln 2 − 1) . C. V = −π . D. V = 0. Câu 40: Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục hoành mỗi hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x , trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 2. A. V = 2 + π . B. V = 2π . C. V = π . D. V = 2 − π . Câu 41: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x 3 + 2 x + 1 , trục hoành, x = 1 và x = 2. 21 39 3 31 A. S = . B. S = . C. S = . D. S = . 4 4 4 4 π Câu 42: Cho hình (H) giới hạn bởi các đường x = 2sin 2 y , x = 0, y = 0 và y = . Tính thể tích của 2 khối tròn xoay tạo thành khi quay hình (H) quanh trục tung. A. V = π B. V = 2π . C. V = π . D. V = 32π . 3 D. V = π . 2 3 4 Câu 43: Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục hoành mỗi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x ( 4 − x ) và trục hoành. A. V = . 23π . 3 B. V = 512π . 15 C. V = 1 152π . 15 x Câu 44: Cho hình (H) giới hạn bởi các đường y = x 2 e 2 , x = 1, x = 2 và y = 0 . Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình (H) quanh trục hoành. π e2 A. V = π e 2 . B. V = e 2 . C. V = π ( e 2 + 1) . D. V = . 2 Câu 45: Tìm diện tích hình phẳng S nằm trong góc phần tư thứ nhất, giới hạn bởi các đường thẳng y = 2 x và đồ thị hàm số y = x 2 . 3 5 4 23 A. S = . B. S = . C. S = . D. S = . 2 3 3 15 Câu 46: Tìm thể tích vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2 x 2 và y = x 3 xung quanh trục Ox. 56π 26π 356π 256π A. V = B. V = C. V = D. V = . . . . 35 35 35 35 x Câu 47: Tính diện tích S của hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = xe 2 , y = 0 và hai đường thẳng x = 0; x = 1. A. S = 2 − 4 e . B. S = 4 − 2 e . Chương III. Nguyên hàm, Tích phân C. S = 4 − e . 36 và Ứng dụng. D. S = 4 + 2 e . SyPhap 0939989966 Toán 12 GV. Lư Sĩ Pháp Câu 48: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2 + sin x, y = 1 + cos 2 x, x = 0 và x = π . π π 3π A. S = + 3. B. S = + 2. C. S = π + 2. D. S = . 2 2 4 Câu 49: Một ô tô đang chạy với vận tốc 20(m / s ) thì người người đạp phanh (còn gọi là “thắng”). Sau khi đạp phanh, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v ( t ) = −40t + 20(m / s) trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bằng đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển một quãng đường s bao nhiêu mét? A. s = 5m. B. s = 10m. C. s = 15m. D. s = 2m. Câu 50: Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục hoành mỗi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = e x , trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 3. A. V = π e6 2 . (e B. V = 6 − 1) π 2 . (e C. V = 6 + 1) π 4 . (e D. V = 6 − 1) π 4 . Câu 51: Một vật đang chuyển động với vận tốc 10 ( m / s ) thì tăng tốc với gia tốc a ( t ) = 3t + t 2 ( m / s 2 ) . Tính quãng đường s vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc. 4300 400 3400 A. s = 100(m). B. s = C. s = D. s = ( m). ( m). ( m). 3 3 3 Câu 52: Tính diện tích S của hình phẳng được giới hạn bởi đường cong y = x 2 + 1 , tiếp tuyến với đường thẳng này tại điểm M ( 2;5 ) và trục tung. 8 8 3 5 A. S = . B. S = . C. S = . D. S = . 3 5 8 8 Câu 53: Tìm diện tích hình phẳng S giới hạn bởi các đường cong y = x + sin x và y = x , (0 ≤ x ≤ 2π ). A. S = 4. B. S = −4. C. S = 1. D. S = 0. Câu 54: Viết công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tọa ra khi quay hình thang cong, giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x ) , trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b ( a < b ) , xung quanh trục Ox . b A. V = π ∫ f ( x) dx. a b B. V = ∫ f 2 ( x)dx. b b C. V = π ∫ f 2 ( x) dx. D. V = π ∫ f ( x) dx. a a a Câu 55: Xét hình phẳng H giới hạn bởi y = 2 1 − x 2 và y = 2 (1 − x ) . Tính diện tích S của hình H A. S ( H ) = π 2 − 1. B. S ( H ) = π +1 2 . C. S ( H ) = π 2 + 1. D. S ( H ) = π −1 2 . Câu 56: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y 2 = 4ax, a > 0 và đường thẳng x = a bằng ka 2 . Tìm k . 5 3 8 8 A. k = . B. k = . C. k = . D. k = . 8 8 5 3 Câu 57: Tìm diện tích hình phẳng S giới hạn bởi các đường cong y = x 3 và y = x 5 . 1 A. S = . B. S = −4. C. S = 2. D. S = 0. 6 Câu 58: Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục hoành mỗi hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2 x − x 2 , y = 0. 15π 16 16π 16π A. V = B. V = . C. V = D. V = . . . 16 15 25 15 Câu 59: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y = x và y = x quay xung quanh trục Ox. Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành . A. V = π 6 . B. V = π . Chương III. Nguyên hàm, Tích phân C. V = −π . 37 và Ứng dụng. D. V = 0. SyPhap 0939989966 Toán 12 GV. Lư Sĩ Pháp Câu 60: Tính diện tích S của hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = x 3 − 4 x , y = 0 và hai đường thẳng x = −2, x = 4. A. S = 48. B. S = 84. C. S = 44. D. S = 24. Câu 61: Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục hoành mỗi hình phẳng giới hạn các đường y = ln x, y = 0, x = 2. A. V = 2π ( ln 2 2 + 2 ln 2 + 1) . B. V = 2π ( ln 2 2 − 2 ln 2 + 1) . C. V = π ( ln 2 2 − 2 ln 2 + 1) . D. V = 2 ( ln 2 2 − 2 ln 2 + 1) . Câu 62: Tìm thể tích V của khối tròn xoay tạo nên do quay xung quanh trục Ox hình phẳng (H) giới hạn 2 bởi các đường y = (1 − x ) , y = 0, x = 0 và x = 2. A. V = 5π . 2 B. V = 8π 2 . 3 C. V = 2π . 5 D. V = 2π . Câu 63: Tính diện tích S của hình phẳng được giới hạn bởi đường cong y = x 2 − 2 x + 2 , tiếp tuyến với đường thẳng này tại điểm M ( 3;5 ) và trục tung. 9 A. S = . B. S = 27. C. S = 18. D. S = 9. 2 Câu 64: Tính diện tích S của hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = cos x , y = 0 và hai đường thẳng x = − π 2 A. S = 3. , x = π. B. S = 8. D. S = 3 2. C. S = 2 3. Câu 65: Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi đồ thị các hàm số f ( x) = x − 3 x và g ( x ) = x. A. S = 0. B. S = 12. C. S = 16. D. S = 8. 3 Câu 66: Cho hình (H) giới hạn bởi các đường y = cos x, y = 0, x = 0 và x = tròn xoay tạo thành khi quay hình (H) quanh trục hoành. π (π + 2) π +2 π (π − 2) A. V = B. V = C. V = . . . 16 8 16 π 4 . Tính thể tích V của khối D. V = π (π + 2) 8 . 3 ( m / s 2 ) . Vận tốc ban đầu t +1 của vật là 6 ( m / s ) . Hỏi vận tốc v của vật sau 10 giây (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị). Câu 67: Một vật chuyển động với vận tốc v ( t )( m / s ) có gia tốc v ‘ ( t ) = A. v = 13(m / s ). B. v = 12( m / s ). C. v = 9( m / s ). D. v = 15( m / s ). Câu 68: Một vật chuyển động với vận tốc v ( t ) = 1 − 2sin 2t (m / s ) .Tính quãng đường s vật di chuyển trong khoảng thời gian từ thời điểm t = 0 ( s ) đến thời điểm t = 3π (s) 4 3π 3π 3π π B. s = C. s = D. s = − 1. − 1. + 1. . 4 4 4 4 Câu 69: Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục tung mỗi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = ln x , trục tung và hai đường thẳng y = 0, y = 1. A. s = (e A. V = 2 − 1) π 2 . (e B. V = 2 + 1) π 2 Chương III. Nguyên hàm, Tích phân (1 − e ) π . C. V = 2 . 2 38 và Ứng dụng. (1 + e ) π . D. V = 2 2 SyPhap 0939989966 Toán 12 GV. Lư Sĩ Pháp ÔN TẬP CHƯƠNG III NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG §1. NGUYÊN HÀM 1. Định nghĩa: Cho hàm số f ( x) xác định trên K. Hàm số F ( x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f ( x) trên K nếu F ‘( x) = f ( x) với mọi x ∈ K . Như vậy: ∫ f ( x)dx =F ( x) + C ⇔ F ′( x) = f ( x) 2. Tính chất ∫ f ′( x)dx = f ( x) + C 3. Bảng nguyên hàm Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp thường gặp ∫ [ f ( x) ± g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx ∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx Nguyên hàm của những hàm số hợp đơn giản 1. ∫ 0dx = C 2. ∫ dx = x + C xα +1 + C (α ≠ −1) α +1 1 1 4. ∫ α dx = − +C x (α − 1) xα −1 3. α ∫ x dx = 2 3 2 3 xdx = x 2 + C = x +C 3 3 5. ∫ 6. ∫ x dx = ln x + C 7. ∫x 8. ∫ 1 1 2 1 dx = − + C x 1 dx = 2 x + C , x > 0 x 9. ∫ e x dx = e x + C 10. ∫ a xdx = ax + C(a ≠ 1, a > 0) ln a ∫ 0dt = C ∫ dt = t + C ∫ kdx = kx + C ∫ ( ax + b ) α 1 ( ax + b ) dx = a α +1 α +1 1 + C (α ≠ 1) 1 ∫ ( ax + b )α dx = − a (α − 1)( ax + b )α −1 2 (ax + b)3 + C ∫ 3a 1 1 ∫ ax + b dx = a .ln ax + b + C 1 1 ∫ ( ax + b )2 dx = − a(ax + b) + C 1 2 ax + b ∫ ax + b dx = a + C , ax + b > 0, a ≠ 0 1 ax +b ax + b ∫ e dx = a .e + C 1 aα x + β α x+ β a d x = . + C (a ≠ 1, a > 0) ∫ α ln a 1 ∫ cos ( ax + b ) dx = a .sin ( ax + b ) + C 12. ∫ sin xdx = − cos x + C ∫ sin ( ax + b ) dx = − a .cos ( ax + b ) + C ∫ tan xdx = − ln cos x + C 14. ∫ cot xdx = ln sin x + C 1 15. ∫ cos 16. ∫ sin 2 x 1 2 x +C ax + bdx = 11. ∫ cos xdx = sin x + C 13. ∫ 1 ∫ t dt = ln t + C 1 1 dt = − + C t ∫t 2 ∫ 1 dt = 2 t + C , t > 0 t ∫ e dt = e t t +C at +C ln a (a ≠ 1, a > 0) t ∫ a dt = ∫ cos tdt = sin t + C 1 ∫ tan tdt = − ln cos t + C 1 1 dx = tan x + C ∫ cos ( ax + b ) dx = a . tan ( ax + b ) + C dx = − cot x + C ∫ sin ( ax + b ) dx = − a .cot ( ax + b ) + C 2 1 2 Chương III. Nguyên hàm, Tích phân 2 3 2 3 t dt = t 2 + C = t +C 3 3 ∫ sin tdt = − cos t + C ∫ cot(ax + b)dx = a ln sin x + C 1 t α +1 + C (α ≠ −1) α +1 1 1 ∫ tα dt = − (α − 1)t α −1 + C α ∫ t dt = 1 ∫ tan(ax + b)dx = − a ln cos x + C 1 Nguyên hàm của những hàm số hợp(với t = t ( x) ) 39 và Ứng dụng. ∫ cot tdt = ln sin t + C 1 ∫ cos 2 t 2 t 1 ∫ sin dt = tan t + C dt = − cot t + C SyPhap 0939989966 Toán 12 17. ∫ tan 2 GV. Lư Sĩ Pháp 1 tan(ax + b) − x + C a 1 2 ∫ cot (ax + b)dx = − a cot(ax + b) − x + C 1 1 ax + b ∫ (ax + b)(cx − d ) dx = ad − bc ln cx − d + C (ax + b) ln(ax + b) − ax +C ∫ ln(ax + b)dx = a (mx + n) ln(mx + n) − mx +C ∫ log a (mx + n)dx = m ln a xdx = tan x − x + C 2 ∫ tan (ax + b)dx = 18. ∫ cot 2 xdx = − cot x − x + C 19. ∫x 2 1 1 x−a dx = ln +C 2 −a 2a x + a 20. ∫ ln xdx = x ln x − x + C 21. ∫ log a xdx = x ln x − x +C ln a ∫ tan 2 tdt = tan t − t + C ∫ cot 2 tdt = − cot t − t + C 4. Phương pháp tính nguyên hàm a. Phương pháp biến đổi Nếu ∫ f (u )du = F (u ) + C và u = u ( x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì ∫ f (u ( x))u ‘( x)dx = F (u ( x)) + C . Lưu ý: Đặt t = u ( x) ⇒ dt = u ( x)dx . Khi đó: ∫ f (t )dt = F (t ) + C , sau đó / thay ngược lại t = u ( x) ta được kết quả cần tìm. 1 Với u = ax + b(a ≠ 0) , ta có ∫ f (ax + b)dx = F (ax + b) + C a b. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần Nếu hai hàm số u = u ( x) và v = v( x) có đạo hàm liên tục trên K thì ∫ u ( x)v ‘( x)dx = u ( x).v( x) − ∫ u ‘( x)v( x)dx Đặt u = f ( x) ⇒ du = f / ∫ udv = uv − ∫ vdu ( x)dx và dv = g ( x)dx ⇒ v = ∫ g ( x)dx = G ( x) (chọn C = 0) hay Lưu ý: Với P ( x) là đa thức x N.Hàm ∫ P( x)e dx ∫ P( x) cos xdx hay ∫ P( x) sin xdx ∫ P( x) ln xdx Đặt u P(x) P(x) lnx x dv hay P ( x)dx cos x d x sin x d x e dx Yêu cầu tìm nguyên hàm của một hàm số được hiểu là tìm nguyên hàm trên từng khoảng xác định của nó. Lưu ý: Cách đặt u: “Nhất logarit (ln) – Nhì đa – Tam lượng – Tứ mũ” và phần còn lại là dv. §2. TÍCH PHÂN I. Khái niệm về tích phân b Định nghĩa: ∫ f ( x)dx = F ( x) b a = F (b) − F ( a ) a Chú ý: b ∫ f ( x)dx = ∫ 1. Khi a = b ta định nghĩa a a f ( x)dx = 0 2. Khi a > b , ta đinh nghĩa a b a a b ∫ f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx 3. Tích phân không phụ thuộc vào chữ dùng làm biến số trong dấu tích phân, tức là b ∫ b f ( x)dx hay a ∫ f (t )dt ,… , đều tính bằng F (b) − F (a) hay a b ∫ a b f ( x)dx = ∫ f (t )dt a II Tính chất của tích phân b b a a Tích chất 1. k ∫ f ( x)dx = k ∫ f ( x)dx (k là hằng số) Chương III. Nguyên hàm, Tích phân 40 và Ứng dụng. SyPhap 0939989966 Toán 12 GV. Lư Sĩ Pháp b Tích chất 2. Tính chất 3. b b ∫ [ f ( x) ± g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx a b c a b a a a c ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx, a g(1). D. g(3) = g(−3) < g(1). Chương III. Nguyên hàm, Tích phân 47 và Ứng dụng. SyPhap 0939989966 Toán 12 GV. Lư Sĩ Pháp π 2 a (a, b ∈ ℤ) . Tính S = 2a + 3a − 1. b 0 A. S = 8. B. S = 4. C. S = 12. D. S = 10. Câu 60: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = tan x , trục hoành và các đường thẳng Câu 59: Biết x = 0, x = ∫ cos x sin 2 xdx = π . 3 1 A. S = ln 2. 2 Câu 61: Biết B. S = ln 2. C. S = 1 ln 2. 2 D. S = 2 + ln 2. ∫ ( sin 2 x + cos 3x ) dx = m cos 2 x + n sin 3x + C. Tính S = m + n. 1 1 5 A. S = − . B. S = . C. S = 5. D. S = − . 6 6 6 Câu 62: Kí hiệu (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = ln x , trục hoành và các đường thẳng x = 1, x = e. Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình (H) xung quanh trục Ox. A. V = ( e − 1) π . B. V = ( e − 2 ) π . C. V = ( 4 + 2e ) π . D. V = ( e + 2 ) π . 1 xe x + 1 dx . 2 0 ( x + 1) Câu 63: Tính I = ∫ A. I = e2 − 1 . 2 B. I = e −1 . 2 C. I = e2 + 1 . 3 D. I = e −1 . 4 Câu 64: Gọi S là diện tích hình (H) giới hạn bởi các đường y = f ( x) , trục hoành và hai đường thẳng x = −1; x = 2 (như hình vẽ bên). Đặt a = 0 ∫ −1 2 f ( x)dx; b = ∫ f ( x)dx. Mệnh đề nào dưới đây đúng ? 0 A. S = −b − a. C. S = b + a. B. S = a − b. D. S = b − a. Câu 65: Tính diện tích hình phẳng S được giới hạn bởi đường y = y = 0, x = 1. A. S = ( 2 3−2 2 3 1 ). B. S = ( 2 3−2 2 ln 3 ). C. S = (3 3x − 1 −x 2 2 . ln 3 a ln a − 1 (a ∈ ℕ* ) . Tính S = Ca0 + Ca1 + Ca2 . a 0 A. S = 24. B. S = 6. C. S = 12. Câu 67: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = cos 2 x. Câu 66: Biết ) +1 3x + 1 D. S = và các đường thẳng 3−2 2 . ln 3 ∫ x ln (1 + x ) dx = 2 1 A. ∫ f ( x )dx = − 2 sin 2 x + C. C. ∫ f ( x )dx = 2 sin 2 x + C. 1 D. S = 4. B. ∫ f ( x )dx = 2 sin 2 x + C. D. ∫ f ( x )dx = −2 sin 2 x + C. Câu 68: Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x = 1 và x = 3 , biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x(1 ≤ x ≤ 3) thì được một thiết diện là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là 3x và Chương III. Nguyên hàm, Tích phân 3x 2 − 2. 48 và Ứng dụng. SyPhap 0939989966 Toán 12 A. V = GV. Lư Sĩ Pháp 124 . 3 B. V = 124π . 3 ( ) C. V = 32 + 2 15 π . D. V = 32 + 2 15. 1 Câu 69: Cho I = ∫ x x 2 + 1dx và đặt t = x 2 + 1 . Khẳng định nào dưới đây là đúng ? 0 2 2 1 A. I = ∫ t dt. 21 2 1 1 D. I = ∫ tdt. 21 1 C. I = ∫ t dt. 20 B. I = ∫ t dt. 1 Câu 70: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên khoảng (−2;3). Gọi F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) trên khoảng (−2;3). Tính I = 2 ∫ ( f ( x ) + 2 x ) dx , biết F(−1) = 1 và F (2) = 4. −1 A. I = 9. B. I = 10. C. I = 6. D. I = 12. Câu 71: Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường y = ( ) A. S = 3 − 2 2 ln 3. B. S = ( 2 3+2 2 ln 3 ). ( 3 −1 x ( 2 3−2 2 C. S = ln 3 ) 3 +1 −x ). 3x + 1 , y = 0 và x = 1. D. S = 3−2 2 . ln 3 3 . 3 π 3 ( ) Câu 72: Tính tích phân I = ∫ tan 2 x + tan 4 x dx. . 0 A. I = π B. I = 3. + 1. 3 5 Câu 73: Tính I = ∫ 1 1 5 A. I = + ln . 27 9 C. I = 2π . 3 D. I = C. I = 10 9 + ln . 27 5 D. I = 100 5 − ln . 27 9 D. I = 1 2 x2 + 1 dx x 3x + 1 B. I = 100 9 + ln . 27 5 π Câu 74: Tính I = ∫ cos 2 x sin xdx. 0 3 A. I = . 2 2 B. I = . 3 2 C. I = − . 3 Câu 75: Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = e2 x , biết rằng đồ thị hàm số y = F ( x ) đi qua điểm ( ) M ln 2;2 . A. F ( x ) = 1 2x e . 2 B. F ( x ) = e2 x + 1. 1 C. F ( x ) = e2 x + 1. 2 1 D. F ( x ) = e2 x + C . 2 b 2 a − x 2 (a, b cho trước và a, b > 0 ) a trục hoành và các đường thẳng x = −a, x = a. Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình (H) xung quanh trục Ox. 1 4 4 1 A. V = a 2 bπ . B. V = ab 2π . C. V = a 2 bπ . D. V = ab 2π . 3 3 3 3 Câu 76: Kí hiệu (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = Câu 77: Kí hiệu ( H ) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x và y = x. Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình ( H ) xung quanh trục Ox . A. V = π 6 . B. V = 2π . Chương III. Nguyên hàm, Tích phân C. V = 49 2π . 3 và Ứng dụng. D. V = 3π . 4 SyPhap 0939989966 Toán 12 GV. Lư Sĩ Pháp Câu 78: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = A. S = 1 4 + ln . 2 3 9 Câu 79: Cho A. I = 27. ∫ 0 3 B. I = 3. ∫e 0 A. S = 1. 4 Câu 81: Cho A. I = 16. ∫ 0 4 C. S = 4 ln − 1. 3 f ( x )dx = 9 . Tính I = ∫ f (3x )dx. 1 Câu 80: Cho 3 B. S = 2 ln . 4 −3x − 1 và hai trục tọa độ. x −1 3 D. S = 2 − 4 ln . 4 0 C. I = 1. D. I = 9. dx 1+ e , với a , b là các số hữu tỉ. Tính S = a 3 + b3 . = a + b ln 2 +a B. S = 2. C. S = 0. D. S = −2. x 2 f ( x )dx = 16. Tính I = ∫ f (2 x )dx. B. I = 32. 0 C. I = 4. D. I = 8. Câu 82: Tìm hàm số f ( x ) biết F ( x ) = cos x là một nguyên hàm của f ( x ). 3 A. f ( x ) = −3sin 2 x. B. f ( x ) = −3sin x cos2 x . C. f ( x ) = −3sin x cos2 x + C . D. f ( x ) = 3 cos2 x. Câu 83: Cho hình cong (H) giới hạn bởi đường y = e x , trục hoành và các đường thẳng x = 0 và x = ln 4. Đường thẳng x = k (0 < k < ln 4) chia (H) thành hai phần có diện tích là S1 và S2 như hình vẽ bên. Tìm k để S1 = 2S2 . A. k = ln 3. B. k = ln 2. 8 C. k = ln . 3 Câu 84: Cho F ( x ) = f (x) 1 là một nguyên hàm của ham số . Tìm nguyên hàm của hàm sô f ′( x ) ln x. 2 x 2x  ln x A. ∫ f ′( x ) ln xdx = −  C. ∫ f ′( x ) ln xdx = −  x 2  ln x ln 2 Câu 85: Cho ∫e 0 5 3 x x 2 + 1 2x2 + 1   + C. x2    + C.  B. ∫ f ′( x ) ln xdx = ln x 1 + 2 + C. 2 x 2x D. ∫ f ′( x ) ln xdx = ln x 1 + 2 + C. 2 x 2x x dx = a ln 2 + b ln 3 với a, b là các số hữu tỉ. Mệnh đề nào dưới đây sai ? + e− x + 2 2 3 A. a.b = . 2 D. k = ln 4. 3 B. a + b = . 1 3 C. a + 2 b = − . D. 3a − b = 7. Câu 86: Kí hiệu (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 2( x − 1)e x , trục tung và trục hoành. Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình (H) xung quanh trục hoành. A. V = 4 − 2e. B. V = ( 4 − 2e ) π . C. V = e 2 − 5. D. V = ( e2 − 5) π . c Câu 87: Nếu ∫ a A. −2. c f ( x)dx = 7 và ∫ b f ( x)dx = 5 với a < c < b thì b B. 2. ∫ f ( x)dx bằng ? a C. 35. D. 12. Câu 88: Cho hình D giới hạn bởi đường cong y = x 2 + 1 , trục hoành và các đường thẳng x = 0, x = 1. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu ? Chương III. Nguyên hàm, Tích phân 50 và Ứng dụng. SyPhap 0939989966 Toán 12 GV. Lư Sĩ Pháp 4 A. V = . 3 B. V = 2π . C. V = 4π . 3 D. V = 2. Câu 89: Tính diện tích hình phẳng S được giới hạn bởi đường y = x 2 x − x 2 và trục hoành. A. S = π 2 C. S = 2π + 1. B. S = 2. . D. S = 3π . 2 Câu 90: Tính diện tích hình phẳng S được giới hạn bởi đường y = ( x − 1) 3 3 − 4 x và trục hoành. 3 A. S = . 8 B. S = 25 . 44 9 . 448 C. S = D. S = 19 . 32 3 ln x dx dx bằng cách đặt u = ln x và dv = . Mệnh đề nào dưới đây 2 ( x + 1) ( x + 1) 2 1 Câu 91: Tính tích phân I = ∫ đúng ? 3 3 ln x dx A. I = − −∫ . x + 1 1 1 x( x + 1) 3 3 3 3 3 ln x dx B. I = − +∫ . x − 1 1 1 x( x − 1) 3 ln x dx C. I = −∫ . x + 1 1 1 x( x + 1) ln x dx D. I = − +∫ . x + 1 1 1 x ( x + 1) e Câu 92: Tính I = ∫ x ln xdx. 1 1 A. I = . 2 B. I = e2 − 1 . 4 C. I = e2 + 1 . 4 D. I = e2 − 2 . 2 Câu 93: Kí hiệu S là diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số liên tục y = f ( x ) , trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b. Như hình vẽ bên, khẳng định nào dưới đây là sai ? b b B. S = ∫ ( − f ( x ) ) dx. A. S = ∫ f ( x )dx. a a b b C. S = ∫ f ( x ) dx. D. S = a ∫ f ( x )dx . a 2 Câu 94: Tính tích phân I = ∫ ln xdx bằng cách đặt u = ln x và dv = dx. Mệnh đề nào dưới đây đúng ? 1 2 2 2 A. I = ln x 1 + ∫ xdx. 1 3 Câu 95: Cho  2 2 B. I = x ln x 1 − ∫ dx. 2 1 2 1 C. I = x ln x 1 − ∫ dx. 2 2  ∫  x + 1 − 2 x + 1  dx = a ln 2 + b ln3 + c ln 5 + d ln 7 2 D. I = x ln x 1 + ∫ xdx. 1 với a, b, c, d là các số nguyên. Mệnh đề nào 2 dưới đây đúng ? A. abcd = −8. B. a + b + c + d = 1. C. ad − bc = 2. D. ab + cd = −9. Câu 96: Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 1 x, y = 0, x = 1 4 và x = 4 quanh trục Ox. 21 23 23π 21π A. V = . B. V = . C. V = D. V = . . 16 16 16 16 Câu 97: Ông an có một mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn bằng 16m và độ dài trục nhỏ bằng 10 m. Ông muốn trồng hoa trên một dải đất rộng 8m và nhận trục bé của elip làm trục đối xứng (như hình vẽ bên). Biết kinh phí trồng hoa là 100.000 ñoàng/1m 2 . Hỏi ông An cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó ?(Số tiền làm tròn đến hàng nghìn). Chương III. Nguyên hàm, Tích phân 51 và Ứng dụng. SyPhap 0939989966 Toán 12 GV. Lư Sĩ Pháp A. 7.862.000 ñoàng. B. 7.826.000 ñoàng. C. 7.653.000 ñoàng. D. 7.128.000 ñoàng. 2 Câu 98: Biết ∫ x ln xdx = a ln a + b. Tính S = a + b. 1 3 3 5 A. S = − . B. S = − . C. S = 2. D. S = . 2 4 4 Câu 99: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường π , x = π , y = 0 và y = 1 + cos4 + sin 4 . 2 5π 2 7π 2 A. V = . B. V = . 8 8 thẳng x = b Câu 100: Biết ∫ b ∫ 5π . 8 b f ( x )dx = 10 và a A. C. V = ∫ B. ∫ g ( x)dx. a a a b f ( x)dx = 5. C. ∫ a 7π . 8 b ∫ ( 3 f ( x) − 5 g ( x) ) dx = 5 . Tính b f ( x)dx = −5. D. V = b f ( x)dx = 15. D. a ∫ f ( x)dx = 0. a Câu 101: Cho hàm số f ( x) liên tục trên ℝ thỏa mãn f ( x ) + f ( − x ) = 2 + 2 cos 2 x , ∀x ∈ ℝ. Tính Tính I= 3π 2 ∫π f ( x)dx. 3 − 2 A. I = 6. B. I = −6. 5 Câu 102: Cho ∫ f ( x)dx = 5. C. I = 0. D. I = −2. ln 2 Tính I = ∫e x f (4e x − 3)dx. 0 1 5 I= . 8 A. 5 I= . 4 B. 5 I= . 2 D. C. I = 20. Câu 103: Cho hình D giới hạn bởi đường cong y = 2 + cos x , trục hoành và các đường thẳng x = 0, x = π . Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu ? 2 A. V = (π + 1)π . B. V = π + 1. C. V = (π − 1)π . D. V = π − 1. 6 Câu 104: Cho ∫ 2 f ( x)dx = 12. Tính I = ∫ f (3 x)dx. 0 0 A. I = 2. B. I = 6. C. I = 4. D. I = 36. 1 dx xe x dx bằng cách đặt u = xe x và dv = . Mệnh đề nào dưới đây 2 ( x + 1) ( x + 1) 2 0 Câu 105: Tính tích phân I = ∫ đúng ? 1 1 xe x A. I = − + e x dx. x + 1 0 ∫0 1 1 xe x C. I = + ∫ xe x dx. x +1 0 0 Chương III. Nguyên hàm, Tích phân 1 1 1 1 xe x ex B. I = − −∫ dx. x +1 0 0 x +1 xe x D. I = − − ∫ e x dx. x +1 0 0 52 và Ứng dụng. SyPhap 0939989966 Toán 12 GV. Lư Sĩ Pháp 2 Câu 106: Cho ln 2 ∫ f ( x)dx = 16. Tính I = ∫e 1 x f (4e x − 3)dx. 0 A. I = 4. B. I = 32. C. I = 16. D. I = 8. 1 Câu 107: Tính tích phân I = ∫ x x 2 + 1dx. . 0 ( ) ( ) 2 2 1 1 − 1. C. I = 2 2 − 1 . D. I = 2 2 + 1 . 3 3 3 Câu 108: Cho hàm số y = f ( x ). Đồ thị của hàm số y = f ′( x ) như hình bên. Đặt h( x ) = 2 f ( x ) − x 2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. h(2) > h(4) > h(−2). B. h(4) = h(−2) > h(2). A. I = 2 2 − 1. B. I = C. h(4) = h(−2) < h(2). D. h(2) > h(−2) > h(4). Câu 109: Thể tích V của vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường y = cos4 x + sin 4 x , y = 0, x = A. V = 3π . 2 π 2 và x = π khi quay quanh trục Ox bằng. B. V = 5π 2 . 8 C. V = 5π . 8 D. V = 3π 2 . 8 1 Câu 110: Cho 2 ∫ x ln xdx = a ln 2 + b với a, b là các số hữu tỉ. Mệnh đề nào dưới đây sai ? 1 2 1 4 3 8 A. a + b − = − . 1 8 1 8 B. a + b = − . 1 2 C. 2a − b = . D. 4a + 8b = − . Câu 111: Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x (4 − x ) và y = 0 quanh trục Ox . 512 32 32 512 A. V = B. V = π . C. V = . D. V = . π. 15 3 3 15 2 Câu 112: Cho ∫ −1 5 A. I = . 2 f ( x )dx = 2 và 2 2 −1 −1 ∫ g( x )dx = −1. Tính I = ∫  x + 2 f ( x ) − 3g( x ) dx. 11 B. I = . 2 7 2 C. I = . D. I = Câu 113: Diện tích hình phẳng (phần gạch chéo) trong hình là? 3 A. S = B. S = ∫ f ( x)dx. −2 0 C. S = ∫ −2 3 f ( x)dx − ∫ f ( x)dx. D. S = 0 −2 3 0 0 17 . 2 ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx. 0 ∫ −2 3 f ( x)dx + ∫ f ( x)dx. 0 Câu 114: Cho hàm số y = f ( x ). Đồ thị của hàm số y = f ′( x ) như hình bên. Đặt g( x ) = 2 f ( x ) + x 2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. g(−3) < g(3) < g(1). B. g(1) < g(−3) < g(3). C. g(3) < g(−3) < g(1). D. g(1) < g(3) < g(−3). Chương III. Nguyên hàm, Tích phân 53 và Ứng dụng. SyPhap 0939989966 Toán 12 GV. Lư Sĩ Pháp 2 Câu 115: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm trên đoạn [1;2] , f (1) = 1 và f (2) = 2 . Tính I = ∫ f ′( x )dx. 1 7 A. I = . 2 B. I = 3. C. I = 1. D. I = −1. Câu 116: Cho hàm số f ( x ) = − x ( x − 1)( x − 2 ) . Diện tích hình phẳng S giới hạn bởi đồ thị hàm số, trục Ox và hai đường thẳng x = 0, x = 2 là. 1 2 0 1 A. S = − ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx. 2 D. S = 0 1 ∫ 2 0 1 1 C. S = ∫ f ( x )dx. Câu 117: Biết 1 B. S = ∫ f ( x )dx − ∫ f ( x )dx. ∫ f ( x )dx . 0 1 − x 2 dx = α . . Tính P = 0 tan α − 2 . tan α + 2 1 1 C. P = . D. P = − . 3 3 3 2 Câu 118: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x − 6 x + 9 x , trục tung và tiếp tuyến tại điểm có hoành độ thỏa mãn y ′′ = 0 được tính bằng công thức ? A. P = 0. B. P = −3. 3 2 A. S = ∫ (− x3 + 6 x 2 − 10 x + 5)dx. B. S = ∫ ( x3 − 6 x 2 + 12 x − 8)dx. 0 3 0 2 C. S = ∫ ( x3 − 6 x 2 + 10 x − 5)dx. D. S = ∫ (− x3 + 6 x 2 − 12 x + 8)dx. 0 0 1 Câu 119: Tính tích phân I = ∫ 0 2 A. I = ∫ (u 2 x 3 4− x 2 dx bằng cách đặt u = 4 − x 2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng ? 3 − 4 ) du. B. I = 3 ∫ ( 4 − u ) du. C. I = 2 0 2 3 ∫ ( 4 − u ) du. 2 2 D. I = ∫ ( 4 − u ) du. 2 3 Câu 120: Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v(km/h) phụ thuộc thời gian t(h) có đồ thị của vận tốc như hình bên. Trong khoảng thời gian 3 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh I (2;9) và trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành. Tính quãng đường s mà vật di chuyển trong 4 giờ đó. A. s = 26,5(km). B. s = 24(km). C. s = 28,5(km). Câu 121: Cho F ( x) = − f ′( x ) ln x. D. s = 27(km). 1 f ( x) là một nguyên hàm của hàm số . Tìm nguyên hàm của hàm số 3 3x x ln x 1 + 3 + C. 3 x 3x ln x 1 f ′( x ) ln xdx = 3 + 3 + C . x 3x ln x 1 + 5 + C. 3 x 5x ln x 1 f ′( x ) ln xdx = 3 − 5 + C . x 5x A. ∫ f ′( x) ln xdx = − B. ∫ f ′( x ) ln xdx = C. ∫ D. ∫ Câu 122: Biết x  a b  ∫ ( x + 1)(2 x + 1) dx = ∫  x + 1 + 2 x + 1  dx . Tính P = a.b . Chương III. Nguyên hàm, Tích phân 54 và Ứng dụng. SyPhap 0939989966 Toán 12 GV. Lư Sĩ Pháp 1 A. P = . 2 B. P = −1. e2 Câu 123: Cho ∫ 0 ln x + ln 2 x ( ) x ln e2 x A. a + b = 4. C. P = 0. D. P = 1. dx = a ln b với a, b là các số nguyên. Mệnh đề nào dưới đây đúng ? B. a + 2 b = 5. C. a − b = 1. 2 Câu 124: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = x 2 + 2 . x 3 x 1 A. ∫ f ( x)dx = + + C. B. ∫ f ( x)dx = 3 x x3 2 C. ∫ f ( x)dx = − + C. D. ∫ f ( x)dx = 3 x π Câu 125: Cho 2 ∫ 0 D. a.b = 12. x3 2 + + C. 3 x x3 1 − + C. 3 x π 2 f ( x )dx = 5. Tính I = ∫  f ( x ) + 2sin x  dx . A. I = 7. 0 B. I = 3. π D. I = 5 + . C. I = 5 + π . 2 π  Câu 126: Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = sin x + cos x thỏa mãn F   = 2. 2  A. F ( x ) = − cos x + sin x + 1. C. F ( x ) = c os x − sin x + 3. Câu 127: Tìm hàm số f ( x ) biết  B. F ( x ) = − cos x + sin x + 3. D. F ( x ) = − cos x + sin x − 1. ∫ f ( x)dx = sin 2 x + cos 2 x − e A. f ( x ) = 2 cos 2 x − 2 sin 2 x − e x + C . C. f ( x ) = 2 cos 2 x − 2 sin 2 x − e x . x + C. 1 1 B. f ( x ) = − cos 2 x + sin 2 x − e x . 2 2 D. f ( x ) = 2 sin 2 x − 2 cos 2 x − e x . 2 Câu 128: Biết ∫ (2 x − 1) ln xdx = a ln a + b. Tính P = ab. 1 3 1 C. P = . D. P = − . 2 2 4 x3 − 5 x 2 − 1 Câu 129: Tìm nguyên hàm của hàm số y = . x2 1 1 1 A. 2 x 2 − 5 x + + C . B. x 2 − 5 x + + C. C. −2 x 2 + 5 x − + C. D. 2 x 2 − 5 x + ln x + C . x x x Câu 130: Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn f ′( x ) = 3 − 5sin x và f (0) = 10. Mệnh đề nào dưới đây đúng ? A. f ( x ) = 3 x − 5 cos x + 15. B. f ( x ) = 3 x + 5 cos x + 2. C. f ( x ) = 3 x − 5 cos x + 2. D. f ( x ) = 3 x + 5 cos x + 5. A. P = −1. B. P = 2. 2 Câu 131: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm trên đoạn 1;2  , f (1) = 1 và f (2) = 2. Tính I = ∫ f ′( x )dx. 1 A. I = 3. B. I = 1. C. I = −1. 7 D. I = . 2 1 và F (2) = 1. Tính F (3). x −1 1 7 C. F (3) = . D. F (3) = . 2 4 Câu 132: Biết F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = A. F (3) = ln 2 + 1. B. F (3) = ln 2 − 1. Chương III. Nguyên hàm, Tích phân 55 và Ứng dụng. SyPhap 0939989966 Toán 12 GV. Lư Sĩ Pháp 4 Câu 133: Cho 2 ∫ f ( x )dx = 16. Tính I = ∫ f (2 x )dx. 0 0 A. I = 32. B. I = 8. 9 Câu 134: Cho C. I = 16. D. I = 4. C. I = 27. D. I = 81. 3 ∫ f ( x )dx = 81 . Tính I = ∫ f (3x )dx. 0 A. I = 9. 0 B. I = 3. 1 Câu 135: Cho hình D giới hạn bởi đường cong y = , trục hoành và các đường thẳng 1 + 4 − 3x x = 0, x = 1. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu ? π π 3 2π  3  π 3  A. V = . B. V = ln . C. V = D. V =  6 ln − 1 .  ln − 1 . 9 9 2 3  2  9 2  Câu 136: Cho F ( x) = x 2 là một nguyên hàm của hàm số f ( x)e2 x . Tìm nguyên hàm của hàm số f ′( x)e 2 x . ∫ f ′( x )e C. ∫ f ′( x )e A. 2x dx = −2 x 2 + 2 x + C . 2x dx = 2 x 2 − 2 x + C . ∫ f ′( x )e D. ∫ f ′( x )e B. 2x dx = − x 2 + x + C . 2x dx = − x 2 + 2 x + C . π 4 Câu 137: Biết x ∫ cos 0 2 x dx = π a − ln b (a, b ∈ ℕ) . Tính P = a.b. B. P = 4. A. P = 2 2. C. P = 4 2. Câu 138: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 2 x − 1. 1 A. ∫ f ( x)dx = (2 x − 1) 2 x − 1 + C. B. 3 1 C. ∫ f ( x)dx = − D. 2 x − 1 + C. 3 D. P = 2. 2 ∫ f ( x)dx = 3 (2 x − 1) 1 ∫ f ( x)dx = 2 2 x − 1 + C. 2 x − 1 + C. π Câu 139: Tính I = ∫ cos3 x.sin xdx. 0 A. I = −π . 1 4 1 4 C. I = − . B. I = 0. 4 D. I = − π 4 . Câu 140: Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai ? b b b A. ∫ ( f ( x) + g ( x))dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx. C. a b c a b a a c B. a ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx. D. b b a a a ∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx. ∫ f ( x)dx = 1. a Câu 141: Tìm tất cả hàm số f ( x ) thỏa mãn f ′( x ) = 3 4 x + 1. (4 x + 1) 3 4 x + 1 +C 4 3 4 D. f ( x ) = (4 x + 1)3 + C 16 16 3 (4 x + 1)4 + C 3 3 3 C. f ( x ) = (4 x + 1)4 + C 16 B. f ( x ) = A. f ( x ) = d Câu 142: Nếu ∫ a A. 7. d f ( x)dx = 5 và ∫ b f ( x)dx = 2 với a < d < b thì b B. 3. Chương III. Nguyên hàm, Tích phân ∫ f ( x)dx bằng ? a C. −2. 56 và Ứng dụng. D. 8. SyPhap 0939989966 Toán 12 GV. Lư Sĩ Pháp 1 x Câu 143: Thể tích vật thể tròn xoay được giới hạn bởi các đường y = x 2 e 2 , x = 1, x = 2, y = 0 khi quay quanh trục hoành là V = π ( ae 2 + be). Khi đó a + b bằng? A. 2. B. 1. C. 0. D. −2. 1  1 1  −  dx = a ln 2 + b ln3 với a, b là các số nguyên. Mệnh đề nào dưới đây đúng ? x + 1 x + 2 0 A. a − 2 b = 0. B. a + 2 b = 0. C. a + b = −2. D. a + b = 2. Câu 144: Cho ∫  4  Câu 145: Biết ∫  3 x 2 + dx = a 3 x 5 + b ln x + C. Tính S = a + b. x  23 3 A. S = . B. S = 5. C. S = . 5 5 5 Câu 146: Tính tích phân I = D. S = x2 + 4 dx bằng cách đặt u = x 2 + 4. Mệnh đề nào dưới đây đúng ? x ∫ 1 5 5 4   ∫1 1 + u 2 + 4  du. 3 4   C. I = ∫ 1 + 2  du. u + 4   5 A. I = B. I =  ∫ 1 − u 1 3 D. I = 2 4   du. −4  ∫ 1 − u 2 5 Câu 147: Tính tích phân I = 24 . 5 ln 2 4   du. −4 5e 2 x − 2e3 x dx bằng cách đặt u = 5 − 2e x . Mệnh đề nào dưới đây đúng ? ∫ 0 2 A. I = ∫ u 2 du. B. I = 1 ∫x 2 A. I = ∫ C. I = u 2 du. 0 2 Câu 148: Tính I = 2 ln 2 5π . 12 1 x2 − 1 2 1 2 u du. 2 ∫1 D. I = ∫ u du. 1 dx B. I = 1 . 12 C. I = π 12 . D. I = π +1 12 . Câu 149: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 2 x − 1. 2 1 A. ∫ f ( x)dx = ( 2 x − 1) 2 x − 1 + C. B. ∫ f ( x)dx = − 2 x − 1 + C. 3 3 1 1 C. ∫ f ( x )dx = D. ∫ f ( x )dx = ( 2 x − 1) 2 x − 1 + C . 2 x − 1 + C. 2 3 Câu 150: Một người chạy trong 1 giờ với vận tốc v(km/h) phụ thuộc thời gian t(h) có đồ thị là một 1  phần của đường parabol có đỉnh I  ;8  và trục đối xứng song song với trục tung như hình bên. Tính 2  quãng đường s người đó chạy trong khoảng thời gin 45 phút, kể từ khi bắt đầu chạy. A. s = 2,3(km). B. s = 4,5(km). C. s = 4,0(km). D. s = 5,3(km). 3 2 Câu 151: Cho F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = e x + 2 x thỏa mãn F (0) = . Tìm F ( x ). 1 2 A. F ( x ) = 2e x + x 2 − . 5 2 B. F ( x ) = e x + x 2 + . Chương III. Nguyên hàm, Tích phân 3 2 C. F ( x ) = e x + x 2 + . 57 và Ứng dụng. 1 2 D. F ( x ) = e x + x 2 + . SyPhap 0939989966 Toán 12 GV. Lư Sĩ Pháp 4 Câu 152: Tính tích phân I = ∫ x 3 x 2 + 9dx bằng cách đặt u = x 2 + 9. Mệnh đề nào dưới đây sai ? 0 5 5 A. I = ∫ ( u + 9 ) u du. B. I = ∫ ( u 2 − 9 ) u 2 du. 1412 C. I = . 5 D. I = ∫ u 4 du − 9 ∫ u 2 du. 2 2 3 3 5 5 3 3 e Câu 153: Tính tích phân I = ∫ x ln xdx. 1 e2 − 1 2e2 + 1 1 − e2 e2 + 1 A. I = B. I = C. I = D. I = . . . . 4 3 4 4 Câu 154: Cho hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = sin x , trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = π . Tính thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình này xung quanh trục Ox. A. V = 1 2 B. V = 3 Câu 155: Tính tích phân I = −1 π 3 A. I = 3 ∫x 2 π2 C. V = 2 D. V = 2 3π 2 2 1 dx bằng cách đặt x = 3 tan t. Mệnh đề nào dưới đây đúng ? +3 π 3 3 1 ∫π 1 + tan 2 t dt. − π B. I = 3 ∫ cos tdt. − 6 π 6 π 3 1 D. I = 3 3 C. I = dt . 3 −∫1 3 ∫π dt. − 6 x +1 , trục hoành và các đường thẳng y = 0, x = 3. x2 + 3 Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu ? Câu 156: Cho hình D giới hạn bởi đường cong y = A. V = ( 4 + ln 3 ) π − C. V = 4 + ln 3 + 3 2 π . 3 1 B. V = ( 4 + ln 3) π − π 2 . 3 3 2 π . 3 D. V = ( 4 + ln 3) π 2 . 1 Câu 157: Tính tích phân I = ∫ 0 x2 4 − x2 dx bằng cách đặt x = 2sin t. Mệnh đề nào dưới đây đúng ? π π 6 A. I = 2 ∫ (1 − cos 2t ) dt. 6 B. I = 2 ∫ (1 + cos 2t ) dt. 0 0 π C. I = π 16 (1 − cos 2t ) dt. 2 ∫0 2 Câu 158: Biết ∫x 1 A. S = − 10 . 3 2 2 D. I = 2 ∫ (1 − cos 2t ) dt. 0  1 ln  1 +  dx = a ln 2 + b ln 3 + c, với a, b, c là các số hữu tỷ. Tính S = a + b + c. x  1 1 B. S = − . C. S = . D. S = 3. 6 6 Chương III. Nguyên hàm, Tích phân 58 và Ứng dụng. SyPhap 0939989966 Toán 12 GV. Lư Sĩ Pháp  π π Câu 159: Cho f ( x ) là hàm số có đạo hàm f ′( x ) liên tục trên đoạn  0;  thỏa mãn điều kiện f (0) = và 2  2 π 2 ∫ f ′( x )dx = 2π . Tính 0 π  f  . 2  π  5π π  π  π  3π  π  3π A. f   = B. f   = . C. f   = D. f   = . . . 2 2 2 2 2 4 2 2 Câu 160: Cho f ( x ), g( x ) là hai hàm số liên tục trên K và k ≠ 0 . Khẳng định nào sau đây là sai ? ∫  f ( x ) ± g( x )dx = ∫ f ( x )dx ± ∫ g( x )dx. C. ∫  f ( x ).g( x )dx = ∫ f ( x )dx.∫ g( x )dx. ∫ f ′( x )dx = f ( x ) + C. D. ∫ kf ( x )dx = k ∫ f ( x )dx. Câu 161: Kí hiệu (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 2 ( x − 1) e A. B. x , trục tung và trục hoành. Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình (H) xung quanh trục Ox. A. V = 4 − 2e. B. V = e2 − 5. C. V = ( 4 − 2e ) π . ( ) D. V = e 2 − 5 π . Câu 162: Cho hình D giới hạn bởi đường cong y = 1 + 2 x .e3 x và các trục tọa độ. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu ? 1 1 1 1  1  1  1 1 A. V = π 2  + C. V = + D. V = π  − . B. V = π  + . . . 3  3  3  3 9 18e  9 18e   9 18e   9 18e  Câu 163: Khẳng định nào dưới đây là sai ? 1 A. ∫ sin ( ax + b ) dx = − cos ( ax + b ) + C.(a ≠ 0) B. ∫ tan xdx = − ln cos x + C . a 1 C. ∫ e kx dx = e kx + C.(k ≠ 0) D. ∫ sin xdx = cos x + C k 1 và F (2) = 1 . Tính F (3). x −1 1 C. F (3) = . D. F (3) = ln 2 + 1. 2 Câu 164: Biết F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = A. F (3) = ln 2 − 1. 7 B. F (3) = . 4 π 2 Câu 165: Cho tích phân I = ∫ sin x 8 + cos xdx và đặt t = 8 + cos x. Khẳng định nào dưới đây là đúng ? 0 9 A. I = 729 − 512. π 2 Câu 166: Cho 2 2 B. I = t 3 . 3 8 9 C. I = ∫ t dt. 8 D. I = ∫ t dt. 8 sin 2 x + 5 cos x ∫ 3 + 5sin x − cos 2 x dx = a ln 2 + b ln 3 9 với a, b là các số hữu tỉ. Mệnh đề nào dưới đây 0 đúng ? A. 1 1 + = 4. a b B. 2 1 +b= . a 3 5 3 C. a − 2b = . D. 1 1 − = 4. a b Câu 167: Cho F ( x) = ( x − 1)e x là một nguyên hàm của hàm số f ( x)e2 x . Tìm nguyên hàm của hàm số f ′( x)e 2 x . A. ∫ f ′( x )e 2x dx = (4 − 2 x )e x + C . B. ∫ f ′( x )e 2x dx = (2 − x )e x + C . 2− x x e + C. 2 Câu 168: Một ô tô đang chạy với vận tốc 10 m / s thì người lái đạp phanh; từ thời điểm đó, ô tô chuyển C. ∫ f ′( x )e 2x dx = ( x − 2)e x + C . Chương III. Nguyên hàm, Tích phân D. 59 ∫ f ′( x )e 2x dx = và Ứng dụng. SyPhap 0939989966 Toán 12 GV. Lư Sĩ Pháp động chậm dần đều với vận tốc v(t ) = −5t + 10(m / s), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây (s), kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dứng hẳn, ô tô còn di chuyển được một quãng đường s bằng bao nhiêu mét ? A. s = 0,2m. B. s = 20 m. C. s = 2 m. D. s = 10 m. Câu 169: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y = x 3 − x và y = x − x 2 . A. S = 81 . 12 B. S = 12. 6 Câu 170: Biết ∫ f ( x )dx = 10 và 0 ∫ ∫ B. 4 ∫ 7 D. S = . 2 ∫ f ( x)dx. 4 6 f ( x)dx = −3. 37 . 12 6 f ( x)dx = 7 . Tính 0 6 A. 4 C. S = f ( x)dx = 4 10 . 7 6 C. ∫ 6 f ( x)dx = 17. D. 4 ∫ f ( x)dx = 3. 4 π Câu 171: Tính tích phân I = ∫ cos3 x.sin xdx . 0 A. I = −1. B. I = −π 4 . 1 C. I = − π 4 . 4 D. I = 0. Câu 172: Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x 3 , trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 2, biết rằng mỗi đơn vị dài trên các trục tọa độ là 2cm. 15 17 A. S = 17cm2 . B. S = cm2 . C. S = 15cm2 . D. S = cm 2 . 4 4 Câu 173: Tính diện tích hình phẳng S được giới hạn bởi các đường y = A. S = 15 − 2 ln 2. 8 B. S = 15 − ln 2. 8 C. S = 15 + 2 ln 2. 8 3x x2 và y = . 4 x +1 D. S = 2 ln 2 − 15 . 8 2 Câu 174: Tính tích phân I = ∫ 2 x x 2 − 1dx bằng cách đặt u = x 2 − 1. Mệnh đề nào dưới đây đúng ? 1 3 A. I = 2 ∫ u du. 2 3 B. I = ∫ u du. C. I = ∫ u du. 1 0 0 2 D. I = 1 u du. 2 ∫1 Câu 175: Cho hàm số y = f ( x ). Đồ thị của hàm số y = f ′( x ) như hình bên. Đặt g( x ) = 2 f ( x ) − ( x + 1) . 2 Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. g(1) > g(3) > g(−3). B. g(−3) > g(3) > g(1). C. g(1) > g(−3) > g(3). D. g(3) > g(−3) > g(1). Chương III. Nguyên hàm, Tích phân 60 và Ứng dụng. SyPhap 0939989966 Toán 12 GV. Lư Sĩ Pháp Câu 1: Tìm nguyên hàm F ( x ) ÔN TẬP THI THPT của hàm số f ( x ) = x3 + x 2 . A. F ( x) = 3 x 2 + 2 x + C. 1 1 C. F ( x) = x 4 + x 3 + C. 4 3 B. F ( x) = x 3 + x 2 + C. D. F ( x) = x 4 + x 3 + C. Câu 2: Cho hình phẳng ( H ) giới hạn bởi các đường y = x 2 + 3, y = 0, x = 0, x = 2. Gọi V là thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay ( H ) xung quanh trục Ox . Mệnh đề nào sau đây đúng? 2 A. V = ∫ ( x 2 + 3) dx. 2 2 2 B. V = ∫ ( x 2 + 3) dx. 0 C. V = π ∫ ( x 2 + 3) dx. 0 2 D. V = π ∫ ( x 2 + 3) dx. 0 Câu 3: Cho F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = đề nào dưới đây đúng? A. F ( 2 ) = 2 − 2ln 2. 2 B. F ( −3) = 2. 0 1 thỏa mãn F ( 5 ) = 2 và F ( 0 ) = 1 . Mệnh x −1 C. F ( −1) = 2 − ln 2. D. F ( 3) = 1 + ln 2. Câu 4: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y = e x , y = 0, x = 0, x = 2. Mệnh đề nào dưới đây đúng ? 2 A. S = π ∫ e x dx. 2 0 0 ∫ f ( 3x ) dx = 6 x ln ( 9 x − 1) + C. C. ∫ f ( 3 x ) dx = 3 x ln ( 9 x − 1) + C. A. Câu 6: Xét hàm số 2 D. S = ∫ e x dx. 0 ∫ f ( x ) dx = 2 x ln ( 3x − 1) + C Câu 5: Biết 2 C. S = π ∫ e 2 x dx. B. S = ∫ e 2 x dx. 0 1  với x ∈  ; +∞  . Khẳng định nào dưới đây đúng ? 9  B. ∫ f ( 3 x ) dx = 2 x ln ( 9 x − 1) + C . D. f ( x ) liên tục trên đoạn ∫ f ( 3x ) dx = 6 x ln ( 3x − 1) + C. [0;1] và thỏa 2 f ( x ) + 3 f (1 − x ) = 1 − x 2 .Tính 1 I = ∫ f ( x ) dx. . 0 A. I = π 4 B. I = . π 6 C. I = . π 20 . D. I = π 16 . Câu 7: Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = 3x 2 + 1 là x3 B. x3 + x + C. C. 6 x + C. D. x3 + C . + x + C. 3 Câu 8: Diện tích S của hình phẳng phần gạch chéo trong hình vẽ bên được tính bởi công thức nào dưới đây ? A. 2 2 A. S = ∫ (2 x − 2)dx. B. S = ∫ ( − 2 x + 2)dx. C. S = ∫ ( − 2 x 2 + 2 x + 4)dx. D. S = ∫ (2 x 2 − 2 x − 4)dx. −1 2 −1 2 −1 4 Câu 9: Cho −1 4 4 ∫ f ( x ) dx = 10 và ∫ g ( x ) dx = 5 . Tính I = ∫ 3 f ( x ) − 5 g ( x ) dx 2 A. I = −5. 2 B. I = 15. 2 C. I = 5. D. I = 10. Câu 10: Tính diện tích S của hình phẳng ( H ) giới hạn bởi đường cong y = − x 3 + 12 x và y = − x 2 . A. S = 397 . 4 B. S = 793 . 4 Chương III. Nguyên hàm, Tích phân C. S = 61 937 . 12 và Ứng dụng. D. S = 343 . 12 SyPhap 0939989966 Toán 12 GV. Lư Sĩ Pháp Câu 11: Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y = 2 + cos x , trục hoành và các đường thẳng π x = 0 , x = . Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu? 2 A. V = π (π + 1) . B. V = π + 1. C. V = π (π − 1) . D. V = π − 1. 2000 và lúc đầu số 1+ x lượng vi khuẩn là 5000 con. Vậy ngày thứ 12 số lượng vi khuẩn (sau khi làm tròn) là bao nhiêu con? A. 5130. B. 10130. C. 10132. D. 5154. Câu 12: Một đám vi khuẩn ngày thứ x có số lượng là N ( x ) . Biết rằng N ′ ( x ) = 2 Câu 13: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn [1;2] và a và biết b = f ( 2 ) . A. I = a + b. ∫ ( x − 1) f ′ ( x ) dx = a . Tính 2 I = ∫ f ( x ) dx theo 1 B. I = b − a. 1 C. I = −a − b. D. I = a − b. Câu 14: Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = xe x , y = 0 , x = 0 , x = 1 xung quanh trục Ox. 1 1 A. V = ∫ x e dx. B. V = π ∫ x e dx. . 0 0 2 2x 1 C. V = π ∫ x e dx. 2 2x 2 x 1 D. V = ∫ xe x dx. 0 0 1 Câu 15: Tính I = ∫ e3 x +1dx. 0 A. I = e 4 − e. 1 B. I = ( e 4 − e ) . 3 1 C. I = ( e 4 + e ) . 3 Câu 16: Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn f ( 2 ) = − của f (1) . A. f (1) = − 1 . 10 B. f (1) = − 41 . 400 D. I = e3 − e. 2 1 và f ′ ( x ) = 4 x 3  f ( x )  với mọi x ∈ R . Tính giá trị 25 C. f (1) = − 1 . 40 D. f (1) = − 391 . 400 1 và các đường thẳng y = 0 , x = 1 , x = 4 . x Thể tích V của khối tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng ( H ) quay quanh trục Ox . Câu 17: Cho hình phẳng ( H ) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 3 B. V = . 4 Câu 18: Khẳng định nào dưới đây sai ? x5 A. ∫ x 4 dx = + C. B. ∫ 0 dx = C. 5 A. V = 2π ln 2. C. V = 2ln 2. C. Câu 19: Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn f (−2) = − 2 A. f (1) = − . 3 B. f (1) = − 19 . 36 1 ∫ x dx = ln x + C. D. V = 3π . 4 D. ∫ e x dx = e x + C . 2 và f ′( x) = 2 x[ f ( x)]2 với mọi x ∈ ℝ. Tính f (1). 9 2 35 C. f (1) = − . D. f (1) = − . 15 36 Câu 20: Cho hình phẳng ( H ) giới hạn bởi các đường thẳng y = x 2 + 2, y = 0, x = 1, x = 2 . Gọi V là thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay ( H ) xung quanh trục Ox . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 2 A. V = ∫ ( x 2 + 2 ) dx. 1 2 B. V = ∫ ( x 2 + 2 ) dx. 2 2 C. V = π ∫ ( x 2 + 2 ) dx. 1 1 Câu 21: Một chiếc ô tô chuyển động với vận tốc v ( t ) ( m/s ) , có gia tốc a ( t ) = Chương III. Nguyên hàm, Tích phân 62 và Ứng dụng. 2 D. V = π ∫ ( x 2 + 2 ) dx. 2 1 3 ( m/s 2 ) . Biết vận tốc t +1 SyPhap 0939989966 Toán 12 GV. Lư Sĩ Pháp của ô tô tại giây thứ 6 bằng 6 ( m/s ) . Tính vận tốc của ô tô tại giây thứ 20 . A. v = 26. B. v = 3ln 3. C. v = 14. D. v = 3ln3 + 6. Câu 22: Gọi V là thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi parabol ( P ) : y = x 2 và đường thẳng d : y = 2 x quay xung quanh trục Ox . Mệnh đề nào dưới đây đúng ? 2 A. V = π ∫ ( x 2 − 2 x ) dx. 2 0 2 2 0 0 2 2 0 0 B. V = π ∫ 4 x 2 dx − π ∫ x 4 dx. 2 D. V = π ∫ ( 2 x − x 2 ) dx. C. V = π ∫ 4 x 2 dx + π ∫ x 4 dx. 0 Câu 23: Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2 x , y = 0 , x = 0 , x = 2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 2 2 A. S = π ∫ 2 x dx. 2 0 2 C. S = π ∫ 22 x dx. B. S = ∫ 2 x dx. 0 D. S = ∫ 2 2 x dx. 0 Câu 24: Biết f ( x ) làm hàm liên tục trên ℝ và 0 9 ∫ f ( x ) dx = 9 . Tính I = ∫ f ( 3 x − 3) dx. 1 0 A. I = 3. 4 B. I = 27. C. I = 0. Câu 25: Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = 1 A. F ( x ) = ln 2 x + 1 + . 2 1 C. F ( x ) = 2 ln 2 x + 1 − . 2 D. I = 24. 1  e −1  3 , biết F  = . 2x +1  2  2 1 B. F ( x ) = ln 2 x + 1 + 1. 2 D. F ( x ) = 2ln 2 x + 1 + 1. [0;10] Câu 26: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn 6 10 và ∫ f ( x ) dx = 7 và 2 10 0 6 ∫ f ( x ) dx = 3 . Tính 2 0 P = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx . A. P = −4. B. P = 4. C. P = 10. D. P = 7. Câu 27: Xét hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn [ 0;1] và thỏa mãn điều kiện 2 f ( x ) − 3 f (1 − x ) = x 1 − x . 1 Tính tích phân I = ∫ f ( x ) dx . 0 1 A. I = . 25 B. I = − 1 . 15  2  Câu 28: Cho hàm số y = f ( x ) =  x + 1  2 x − 1 C. I = − khi 0 ≤ x ≤ 1 A. ∫ f ( x ) dx = 6 + ln 2. C. ∫ 4 . 75 ∫ f ( x ) dx . 0 3 B. 0 3 D. I = 3 . Tính tích phân khi 1 ≤ x ≤ 3 3 4 . 15 ∫ f ( x ) dx = 2 + 2 ln 2. 0 f ( x ) dx = 4 + ln 4. 3 D. 0 ∫ f ( x ) dx =6 + ln 4. 0 Câu 29: Tính thể tích V của vật thể tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = y = 0 , x = 1 , x = a , ( a > 1) quay xung quanh trục Ox . Chương III. Nguyên hàm, Tích phân 63 và Ứng dụng. 1 , x SyPhap 0939989966 Toán 12 GV. Lư Sĩ Pháp  1 A. V =  1 +  π .  a  1 B. V =  1 −  π .  a  1 C. V =  1 +  .  a  1 D. V =  1 −  .  a Câu 30: Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn đồng thời các điều kiện f ′ ( x ) = x + sin x và f ( 0 ) = 1 . Tìm f ( x ) . x2 − cos x + 2. 2 x2 C. f ( x ) = + cos x. 2 Câu 31: Mệnh đề nào dưới đây đúng? 32 x 9x A. ∫ 32 x dx = B. ∫ 32 x dx = + C. + C. ln 3 ln 3 A. f ( x ) = 9 Câu 32: Cho ∫ f ( x ) dx = 37 và 0 C. ∫ 32 x dx = 0 9 0 B. I = 58 . π C. I = 143 . π 2 32 x +1 32 x + C. D. ∫ 32 x dx = + C. 2x +1 ln 9 ∫ g ( x ) dx = 16 . Tính I = ∫ 2 f ( x ) + 3g ( x) dx. 9 A. I = 122 . Câu 33: Biết x2 − cos x − 2. 2 x2 1 D. f ( x ) = + cos x + . 2 2 B. f ( x ) = 1 ∫ ( 2 x − 1 − sin x ) dx = π  a − b  − 1 D. I = 26 . với a , b ∈ ℤ . Khẳng định nào dưới đây là sai ? 0 A. a − b = 2. B. a + b = 5. C. a + 2b = 8. D. 2a − 3b = 2. Câu 34: Một ô tô đang chạy với tốc độ 10 ( m s ) thì người lái đạp phanh, từ thời điểm đó ô tô chuyển động chậm dần đều với v ( t ) = −5t + 10 ( m s ) , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét ? A. 8m. B. 20 m. C. 5m. D. 10m. Câu 35: Một chất điểm A xuất phát từ O , chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi 1 2 59 quy luật v ( t ) = t + t ( m / s ) , trong đó t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc a bắt đầu chuyển 150 75 động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm B cũng xuất phát từ O , chuyển động thẳng cùng hướng với A nhưng chậm hơn 3 giây so với A và có gia tốc bằng a ( m / s 2 ) ( a là hằng số). Sau khi B xuất phát được 12 giây thì đuổi kịp A . Tính vận tốc VB của B tại thời điểm đuổi kịp A . A. VB = 16 ( m / s ) . B. VB = 13 ( m / s ) . C. VB = 20 ( m / s ) . D. VB = 15 ( m / s ) . Câu 36: Cho hàm số y = f ( x) = ax3 + bx 2 + cx + d ( a, b, c, d ∈ ℝ, a ≠ 0 ) có đồ thị là ( C ) . Biết rằng đồ thị ( C ) đi qua gốc tọa độ và đồ thị hàm số y = f ‘( x ) cho bởi hình vẽ bên. Tính giá trị H = f (4) − f (2). A. H = 45. B. H = 64. y 4 C. H = 51. -1 O D. H = 58. x 1 Câu 37: Tính diện tích S hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số ( H ) : y = A. S = ln 2 − 1. B. S = 2 ln 2 − 1. 4 Câu 38: Biết ∫ x ln ( x 2 C. S = ln 2 + 1. x −1 và các trục tọa độ. x +1 D. S = 2 ln 2 + 1. + 9 ) dx = a ln 5 + b ln 3 + c , trong đó a , b , c là các số nguyên. Tính T = a + b + c. 0 A. T = 10. B. T = 25. Chương III. Nguyên hàm, Tích phân C. T = 8. 64 và Ứng dụng. D. T = −9. SyPhap 0939989966 Toán 12 GV. Lư Sĩ Pháp Câu 39: Cho các số thực a , b khác 0. Xét hàm số f ( x ) = f ′ ( 0 ) = −22 và a ( x + 1) 3 + bxe x với mọi x khác −1 . Biết 1 ∫ f ( x ) dx = 5 . Tính a + b ? 0 A. a + b = 7. B. a + b = 10. C. a + b = 8. D. a + b = 19. 2 x − 13 Câu 40: Cho biết ∫ dx = a ln x + 1 + b ln x − 2 + C . Mệnh đề nào dưới đây đúng? ( x + 1)( x − 2) A. a + 2b = 8. B. a + b = 8. C. a − b = 8. D. 2a − b = 8. Câu 41: Diện tích S của hình phẳng ( H ) được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x ) , trục hoành và hai đường thẳng x = a , x = b ( a < b ) (phần tô đậm trong hình vẽ) tính theo công thức nào dưới đây ? c b a c A. S = − ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx. b C. S = ∫ b B. S = ∫ f ( x ) dx. a f ( x ) dx . c b a c D. S = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx. a Câu 42: Một chất điểm A xuất phát từ O , chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi 1 2 58 quy luật v ( t ) = t + t ( m / s ) , trong đó t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc A bắt đầu chuyển 120 45 động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm B cũng xuất phát từ O , chuyển động thẳng cùng hướng với A nhưng chậm hơn 3 giây so với A và có gia tốc bằng a m / s 2 ( a là hằng số). Sau khi B xuất phát được ( ) 15 giây thì đuổi kịp A . Tính vận tốc VB của B tại thời điểm đuổi kịp A. A. . VB = 25 ( m / s ) . 2 Câu 43: Cho ∫ B. VB = 21( m / s ) . f ( x ) dx = 2 và −1 5 A. I = . 2 C. VB = 30 ( m / s ) . 2 2 −1 −1 D. VB = 36 ( m / s ) . ∫ g ( x ) dx = −1 . Tính I = ∫  x + 2 f ( x ) + 3g ( x ) dx. 7 B. I = . 2 C. I = 17 . 2 D. I = 11 . 2 x2 + x + 1 b ∫3 x + 1 dx = a + ln 2 với a , b là các số nguyên. Tính S = a − 2b . A. S = 5. B. S = 2. C. S = −2. D. S = 10. 5 Câu 44: Biết Câu 45: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ bên. Hình phẳng được đánh dấu trong hình vẽ bên có diện tích S được tính bởi công thức nào dưới đây ? b c b c y y = f ( x) A. S = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx. B. S = − ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx. a b b c a b a C. S = ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx. b O a b b b a c D. S = ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx. c x Câu 46: Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 4 x (1 + ln x ) là A. 2 x 2 ln x + x 2 + C. B. 2 x 2 ln x + x 2 . Chương III. Nguyên hàm, Tích phân C. 2 x 2 ln x + 3 x 2 + C. 65 và Ứng dụng. D. 2 x 2 ln x + 3x 2 . SyPhap 0939989966 Toán 12 GV. Lư Sĩ Pháp e ∫ (1 + x ln x ) dx = ae Câu 47: Cho 1 A. a + b = −c. 2 + be + c với a , b , c là các số hữu tỉ. Mệnh đề nào dưới đây đúng? B. a − b = −c. Câu 48: Cho hai hàm số F ( x ) = ( x + ax + b ) e 2 một nguyên hàm của hàm số f ( x ) . A. a = −1 , b = −7. C. a + b = c. −x D. a − b = c. và f ( x ) = ( − x + 3 x + 6 ) e . Tìm a và b để F ( x ) là B. a = 1 , b = −7. 2 −x C. a = −1 , b = 7. D. a = 1 , b = 7. 2 ln x b b là phân số tối dx = + a ln 2 (với a là số thực, b , c là các số nguyên dương và 2 x c c 1 giản). Tính giá trị của T = 2a + 3b + c. A. T = −6. B. T = 4. C. T = 5. D. T = 6. Câu 50: Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = xe x , trục hoành và đường thẳng x = 1. π 1 π 1 A. V = ( e 2 + 1) . B. V = ( e 2 + 1) . C. V = ( e 4 − 1) . D. V = ( e 4 − 1) . 4 4 4 4 Câu 51: Một vật chuyển động vận tốc tăng liên tục được biểu thị bằng đồ thị là đường cong parabol có hình bên dưới. Biết rằng sau 10 s thì vật đó đạt đến vận tốc cao nhất và bắt đầu giảm tốc. Hỏi từ lúc bắt đầu đến lúc đạt vận tốc cao nhất thì vật đó đi được quãng đường bao nhiêu mét? 1000 1400 A. B. m. m. 3 3 1100 C. D. 300m. m. 3 Câu 49: Biết ∫ Câu 52: Tính thể tích V của vật tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng ( H ) giới hạn bởi các đường y = x2 ; y = x quanh trục Ox . y A. V = y = x2 y= 1 9π . 10 3π D. V = . 10 B. V = . 10 7π C. V = . 10 x 1 O π x Câu 53: Cho f , g là hai hàm liên tục trên [1;3] thỏa mãn điều kiện 3 ∫  f ( x ) + 3g ( x ) dx = 10 và 1 3 3 1 1 ∫ 2 f ( x ) − g ( x ) dx = 6 . Tính I = ∫  f ( x ) + g ( x )  dx. . A. I = 12. B. I = 9. C. I = 3. D. I = 6. Câu 54: Cho hình phẳng ( H ) giới hạn bởi các đường y = x , y = 2 x . Thể tích V của khối tròn xoay 2 được tạo thành khi quay ( H ) xung quanh trục Ox. A. V = 21π . 15 B. V = 32π . 15 C. V = 64π . 15 D. V = 16π . 15 Câu 55: Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn f ′ ( x ) = 3 − 5cos x và f ( 0 ) = 5 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. f ( x ) = 3x − 5sin x + 5. Chương III. Nguyên hàm, Tích phân B. f ( x ) = 3x + 5sin x + 2. 66 và Ứng dụng. SyPhap 0939989966 Toán 12 GV. Lư Sĩ Pháp C. f ( x ) = 3x − 5sin x − 5. D. f ( x ) = 3x + 5sin x + 5. Câu 56: Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = e2 x , biết F ( 0 ) = 1 . A. F ( x ) = e2 x . B. F ( x ) = e2 x 1 + . 2 2 C. F ( x ) = 2e2 x − 1. D. F ( x ) = e x . 2 Câu 57: Tính H = ∫ e3 x −1dx. 1 1 A. H = e5 − e 2 . 3 1 C. H = (e5 − e 2 ). 3 1 D. H = (e5 + e 2 ). 3 f ( x) + 1 Câu 58: Hàm số y = f ( x ) có một nguyên hàm là F ( x ) = e2 x . Tìm nguyên hàm của hàm số . ex f (x) + 1 1 f (x) + 1 A. ∫ B. ∫ dx = e x − e − x + C . dx = 2e x + e − x + C . x 2 ex e f (x) + 1 f (x) + 1 C. ∫ D. ∫ dx = 2e x − e− x + C . dx = e x − e − x + C . x x e e B. H = e5 − e 2 . Câu 59: Biết F ( x ) là một nguyên hàm của của hàm số f ( x ) = sin x và đồ thị hàm số y = F ( x ) đi qua π  điểm M ( 0;1) . Tính F   . 2 π  π  A. F   = 2. B. F   = −1. 2 2 2 π  C. F   = 0. 2 π  D. F   = 1. 2 2 Câu 60: Cho I = ∫ f ( x ) dx = 3 . Tính J = ∫  4 f ( x ) − 3 dx. 0 A. J = 2. 0 B. J = 6. C. J = 4. D. J = 8. Câu 61: Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x) = x + x. A. F ( x) = x3 + x + C . B. F ( x) = x 4 + x 2 + C. 1 1 C. F ( x) = x 4 + x 2 + C . D. F ( x ) = 3 x 2 + 1 + C . 4 2 3 Câu 62: Cho hai hàm số f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + 3 3 và g ( x ) = dx 2 + ex − , ( a, b, c, d , e ∈ ℝ ) . Biết rằng 4 4 đồ thị của hàm số y = f ( x ) và y = g ( x ) cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là −2 ; 1; 3 (tham khảo hình vẽ). Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho. A. S = 125 . 24 B. S = 253 . 24 C. S = 125 . 48 D. S = 253 . 48 Câu 63: Tìm một nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = ax + và f (1) = 0 . A. F ( x ) = 3x 2 3 1 − − . 2 2x 2 Chương III. Nguyên hàm, Tích phân b x2 B. F ( x ) = 67 ( x ≠ 0) biết rằng F ( −1) = 1 ; F (1) = 4 3x 2 3 7 − − . 4 2x 4 và Ứng dụng. SyPhap 0939989966 Toán 12 C. F ( x ) = GV. Lư Sĩ Pháp 2 3x 3 7 + − . 2 4x 4 D. F ( x ) = 2 3x 3 7 + + . 4 2x 4 1 và g ( x) = dx 2 + ex + 1 ( a, b, c, d , e ∈ ℝ ). Biết rằng đồ 2 thị của hàm số y = f ( x ) và y = g ( x ) cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là −3; −1;1 (tham khảo hình vẽ bên). Tìm diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho. Câu 64: Cho hai hàm số f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx − A. S = 8. B. S = 4. 9 C. S = . 2 D. S = 5. Câu 65: Cho hình ( H ) giới hạn bởi các đường y = − x 2 + 2 x , trục hoành. Quay hình phẳng ( H ) quanh trục Ox ta được khối tròn xoay. Tính thể tích V của khối tròn xoay đó. 32π 496π 4π A. V = B. V = C. V = . . . 15 15 3 D. V = 16π . 15 Câu 66: Cho F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) = e3 x thỏa mãn F ( 0 ) = 1 . Mệnh đề nào sau đây là đúng? 1 1 4 1 2 1 A. F ( x ) = e3 x + 1. B. F ( x ) = − e3 x + . C. F ( x ) = e3 x + . D. F ( x ) = e3 x . 3 3 3 3 3 3 Câu 67: Cho F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x ln x . Tính F ′′ ( x ) . A. F ′′ ( x ) = x + ln x. 1 B. F ′′ ( x ) = . x C. F ′′ ( x ) = 1 − ln x. D. F ′′ ( x ) = 1 + ln x. Câu 68: Cho hai hàm số f ( x ) = ax 2 + bx 2 + cx − 2 và g ( x ) = dx 2 + ex + 2 ( a , b , c , d , e ∈ ℝ ). Biết rằng đồ thị của hàm số y = f ( x ) và y = g ( x ) cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là −2 ; −1; 1. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho. 9 37 A. S = . B. S = . 2 12 C. S = 37 . 6 D. S = 13 . 2 Câu 69: Cho F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = ( 5 x + 1) e x và F ( 0 ) = 3 . Tính F (1) . A. F (1) = 11e − 3. B. F (1) = e + 2. C. F (1) = e + 3. D. F (1) = e + 7. Câu 70: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục và có đạo hàm trên ℝ thỏa mãn f ( 2 ) = −2 ; 2 ∫ f ( x )dx = 1 . Tính 0 4 tích phân I = ∫ f ′ 0 ( x )dx . Câu 71: Một chất điểm A xuất phát từ điểm O , chuyển động với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi Chương III. Nguyên hàm, Tích phân 68 và Ứng dụng. SyPhap 0939989966 Toán 12 GV. Lư Sĩ Pháp 1 2 11 t + t ( m / s ), trong đó t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc A bắt đầu chuyển 180 18 động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm B cũng xuất phát từ O , chuyển động cùng hướng với A nhưng chậm hơn 5 giây so với A và có gia tốc bằng a (m / s 2 ) (a là hằng số). Sau khi B xuất phát được 10 giây thì đuổi kịp A . Tìm vận tốc vB của B tại thời điểm đuổi kịp A. quy luật v(t ) = A. vB = 10( m / s ). 1  1 B. vB = 7( m / s ). 1  ∫  x + 1 − x + 2  dx = a ln 2 + b ln 3 Câu 72: Cho C. vB = 22( m / s ). D. vB = 15( m / s). với a , b là các số nguyên. Mệnh đề nào dưới đây 0 đúng ? A. a + 2b = 0. B. a − 2b = 0. C. a + b = −2. D. a + b = 2. Câu 73: Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = x + x. 4 1 5 1 2 x + x + C. 5 2 4 D. F ( x) = x + x + C . A. F ( x) = x 5 + x 2 + C. B. F ( x) = C. F ( x ) = 4 x 3 + 1 + C. Câu 74: Cho 1 2 π 12 0 0 ∫ f ( x ) dx = 2018 . Tính I = ∫ cos 2 x. f ( sin 2 x ) dx. A. I = 4036. B. I = 1009 . 2 C. I = 1009. D. I = 2018. Câu 75: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) liên tục trên [ 0;2] và f ( 2 ) = 3 , 2 ∫ f ( x ) dx = 3 . Tính 0 2 J = ∫ x. f ′ ( x ) dx. . 0 A. J = 0. B. J = −3. Câu 76: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên R và có C. J = 3. 1 ∫ f ( x ) dx = 2; 0 2 A. I = . 3 B. I = 6. D. J = 6. 3 ∫ f ( x ) dx = 6 . Tính I = ∫ f ( 2 x − 1 ) dx . −1 0 3 C. I = . 2 1 D. I = 4. Câu 77: Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn f ′ ( x ) = 2018x ln 2018 − cos x và f ( 0 ) = 2 . Phát biểu nào sau đúng? 2018 x A. f ( x ) = B. f ( x ) = 2018x − sin x + 1 . + sin x + 1 . ln 2018 2018 x C. f ( x ) = D. f ( x ) = 2018x + sin x + 1 − sin x + 1 . ln 2018 Câu 78: Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = x 4 + x 2 . A. F ( x) = 4 x 3 + 2 x + C . B. F ( x) = x 4 + x 2 + C. 1 1 C. F ( x ) = x 5 + x 3 + C . D. F ( x) = x 5 + x 3 + C . 5 3 Câu 79: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên R và có đồ thị ( C ) là đường cong như hình bên. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị ( C ) , trục hoành và hai đường thẳng x = 0 , x = 2 là phần tô đen như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng? Chương III. Nguyên hàm, Tích phân 69 và Ứng dụng. SyPhap 0939989966 Toán 12 GV. Lư Sĩ Pháp y A. S = 3 B. S = ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx. ∫ f ( x ) dx . 1 2 C. S = ∫ f ( x ) dx. 1 D. S = − ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx. 2 1 0 O 2 0 0 2 0 1 x 2 1 2 2 Câu 80: Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn f ( 2 ) = − f (1) . A. f (1) = − 79 . 20 2 1 và f ′ ( x ) = x 3  f ( x )  với mọi x ∈ ℝ . Tính giá trị của 5 4 B. f (1) = − . 5 C. f (1) = − Câu 81: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên [ −4; + ∞ ) và ∫f( 5 B. I = 4. Câu 82: Cho hàm số D. f (1) = − ) 2 3 C. I = −16. f ( x ) liên tục trong đoạn 71 . 20 x + 4 dx = 8 . Tính I = ∫ x. f ( x ) dx . 0 A. I = 8. 4 . 35 [1; e] , D. I = −4. e ∫ biết 1 f ( x) x dx = 1 , f ( e ) = 1 . Tính e I = ∫ f ′ ( x ) .ln xdx. 1 A. I = 4. B. I = 1. Câu 83: Cho hàm số C. I = 0. f ( x ) liên tục trên ℝ và D. I = 3. 2 f ( 2 ) = 16 , ∫ f ( x ) dx = 4 . Tính tích phân 0 1 I = ∫ x. f ′ ( 2 x ) dx . 0 A. I = 20. B. I = 12. C. I = 7. D. I = 13. B. I = 3. C. I = 10. D. I = 20. Câu 84: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ −1;3] và thỏa mãn f ( −1) = 4 ; f ( 3) = 7 . 3 Tính I = ∫ 5 f ′ ( x ) dx . −1 A. I = 15. 21 Câu 85: Cho ∫x 5 dx x+4 A. a − b = −2c. Câu 86: Cho F ( x ) = 3 − e2 A. I = . 2e 2 6 Câu 87: Cho ∫ = a ln 3 + b ln 5 + c ln 7 , với a , b, c là các số hữu tỉ. Mệnh đề nào sau đây đúng? B. a + b = c. C. a + b = −2c. D. a − b = −c. 1 f ( x) là một nguyên hàm của hàm số . Tính 2 2x x e2 − 3 B. I = . 2e 2 e ∫ f ′( x) ln xdx. 1 e2 − 2 C. I = 2 . e D. I = 2 − e2 . e2 2 f ( x ) dx = 12 . Tính I = ∫ f ( 3 x ) dx . 0 A. I = 4. 0 B. I = 36. C. I = 2. Câu 88: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên [ 0;1] thỏa mãn D. I = 6. 1 ∫ x  f ′ ( x ) − 2 dx = f (1) . Giá trị của 0 1 I = ∫ f ( x ) dx bằng 0 Chương III. Nguyên hàm, Tích phân 70 và Ứng dụng. SyPhap 0939989966 Toán 12 GV. Lư Sĩ Pháp A. I = −2. B. I = −1. C. I = 2. D. I = 1. 1 Câu 89: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 3x + 2 . x x 3 1 1 A. ∫ f ( x ) dx = B. ∫ f ( x ) dx = 3x − + C . + + C. ln 3 x x x 3 1 1 C. ∫ f ( x ) dx = − + C. D. ∫ f ( x ) dx = 3x + + C. ln 3 x x 2 Câu 90: Cho A. I = −1. ∫ 5 f ( x 2 + 1) xdx = 2 . Tính I = ∫ f ( x )dx. 1 2 B. I = 4. C. I = 4. D. I = 1. Câu 91: Cho phần vật thể ( ℑ) giới hạn bởi hai mặt phẳng có phương trình x = 0 và x = 2 . Cắt phần vật thể ( ℑ) bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x ( 0 ≤ x ≤ 2 ) , ta được thiết diện là một tam giác đều có độ dài cạnh bằng x 2 − x . Tính thể tích V của phần vật thể ( ℑ) . 4 B. V = . 3 A. V = 4 3. C. V = 3 . 3 D. V = 3 . 2 π  π  Câu 92: Biết F ( x ) là một nguyên hàm của hàm f ( x ) = sin 2 x và F   = 1 . Tính F   . 4 6 π  5 π  1 π  3 π  A. F   = . B. F   = . C. F   = . D. F   = 0. 6 4 6 2 6 4       6 Câu 93: Cho hình phẳng ( H ) giới hạn bởi các đường y = x − 1 , trục hoành và đường thẳng x = 4 . Tính thể tích V của hối tròn xoay tạo thành khi quay ( H ) quanh trục hoành. A. V = 7π . 6 B. V = 4π . 3 C. V = π 3 D. V = . 7π . 3 2 3 x khi 0 ≤ x ≤ 1 Câu 94: Cho hàm số y = f ( x ) =  . Tính tích phân ∫ f ( x ) dx . 4 − x khi 1 ≤ x ≤ 2 0 2 2 2 2 7 5 3 A. ∫ f ( x ) dx = . B. ∫ f ( x ) dx = 1. C. ∫ f ( x ) dx = . D. ∫ f ( x ) dx = . 2 2 2 0 0 0 0 2 3 Câu 95: Cho ∫ 4+2 x 0 A. S = 2. a + b ln 2 + c ln 3 với a , b , c là các số nguyên. Tính S = a + b + c. 3 x +1 B. S = 9. C. S = 1. D. S = 7. dx = 3 3 Câu 96: Cho ∫ f ( x)dx = a , 0 2 A. H = b − a. 1 Câu 97: Cho A. S = 1. B. H = a + b. xdx ∫ ( x + 2) 0 ∫ 2 2 f ( x)dx = b . Tính H = ∫ f ( x)dx. 0 C. H = −a − b. D. H = a − b. = a + b ln 2 + c ln 3 với a , b, c là các số hữu tỷ. Tính S = 3a + b + c. B. S = −1. C. S = 2. Câu 98: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên [ a; b] , biết D. S = −2. d d a b ∫ f ( x ) dx = 5 và ∫ f ( x ) dx = 2 (với a < d < b ). b Tính ∫ f ( x ) dx. a Chương III. Nguyên hàm, Tích phân 71 và Ứng dụng. SyPhap 0939989966 Toán 12 GV. Lư Sĩ Pháp b A. b ∫ f ( x ) dx = 3. B. a b 2 ∫ f ( x ) dx = 5 . C. a b ∫ f ( x ) dx = 7. D. a ∫ f ( x ) dx = 10. a Câu 99: Cho hình thang cong ( H ) giới hạn bởi các đường y = e , y = 0 , x = 0 , x = ln 8 . Đường thẳng x x = k ( 0 < k < ln 8 ) chia ( H ) thành hai phần có diện tích là S1 và S 2 . Tìm k để S1 = S 2 . 9 B. k = ln . 2 A. k = ln 4. 2 C. k = ln 4. 3 Câu 100: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ thỏa 1 ∫ D. k = ln 5. f ( x ) dx = 10 . Tính 0 2 A. ∫ 0 2 x f   dx = 5. 2 B. ∫ 0 5  x f   dx = . 2 2 2 x ∫ f  2  dx . 0 2 C. 2 x f   dx = 10. 2 ∫ 0 D. x ∫ f  2  dx = 20. 0 Câu 101: Cho hàm số y = f ( x ) thoả mãn điều kiện f (1) = 12 , f ′ ( x ) liên tục trên ℝ và 4 ∫ f ′ ( x ) dx = 17 . Tính f ( 4) . 1 A. f ( 4 ) = −4. B. f ( 4 ) = 5. C. f ( 4 ) = 21. Câu 102: Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = A. F ( x) = x2 + ln x −1 + C. 2 C. F ( x) = x + Câu 103: Cho x2 − x + 1 . x −1 B. F ( x) = 1 + 1 + C. x −1 D. f ( 4 ) = 29. . 1 ( x − 1) 2 D. F ( x) = x 2 + ln x − 1 + C. 2 7 −1 −1 ∫ f ( x ) dx = 2 , ∫ f ( t ) dt = 9 . Tính 7 J = ∫ f ( z ) dz. 2 A. J = 18. B. J = 7. C. J = 5. Câu 104: Tích diện tích S của hình phẳng (phần tô màu) trong hình bên. 7 8 y A. S = . B. S = . 3 3 11 10 C. S = . D. S = . f(x) = x 3 3 O D. J = 11. 4 x 2 g( x ) = x + C. 2 1 và F ( 2 ) = 1 . Tính F ( 3) . x −1 1 7 A. F ( 3) = ln 2 − 1. B. F ( 3) = . C. F ( 3) = . D. F ( 3) = ln 2 + 1. 2 4 Câu 106: Gọi S là diện tích miền hình phẳng được tô đậm trong hình vẽ bên. Công thức tính S là Câu 105: Biết F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = y A. S = y = f ( x) −1 O C. S = 1 2 x Chương III. Nguyên hàm, Tích phân 1 2 −1 2 1 ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx. ∫ f ( x ) dx. −1 72 1 B. S = 2 ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx. −1 1 2 D. S = − ∫ f ( x ) dx. −1 và Ứng dụng. SyPhap 0939989966 Toán 12 GV. Lư Sĩ Pháp Câu 107: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ và 2π 3 1 ∫ f ( x ) dx = 12 . Tính I = π∫ f ( 2 cos x ) sin xdx. −1 A. I = 6. B. I = 12. 3 C. I = −1. f ( x ) là hàm số liên tục trên ℝ và Câu 108: Cho 1 ∫ D. I = 3. f ( x) d x = 4 , 0 3 ∫ f ( x) d x = 6 . Tính 0 1 I= ∫ f ( 2x +1 ) d x . −1 A. I = 5. B. I = 3. C. I = 6. D. I = 4. Câu 109: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x thẳng x = 1 , x = 2. 8 A. S = . B. S = 7. C. S = 8. 3 2 1 Câu 110: Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn f (2) = − và f ′( x) = x [ f ( x)] với 3 f (1). 11 7 2 A. f (1) = − . B. f (1) = − . C. f (1) = − . 6 6 9 , trục hoành Ox , các đường 2 7 D. S = . 3 mọi x ∈ ℝ. Tính giá trị của 2 D. f (1) = − . 3 π 2 Câu 111: Tính tích phân I = ∫ ecos x .sin xdx. 0 π 2 A. I = e . B. I = 1 − e. C. I = e − 1. D. I = 1 + e. Câu 112: Một chiếc xe đua đang chạy 180 km/h . Tay đua nhấn ga để về đích kể từ đó xe chạy với gia tốc a ( t ) = 2t + 1 ( m/s 2 ). Hỏi rằng 5 s sau khi nhấn ga thì xe chạy với vận tốc bao nhiêu km/h . A. 300. B. 288. C. 243. Câu 113: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên [1; +∞ ) và ∫ ( 3 f ) B. I = 8. 2 x + 1 dx = 8 . Tích phân I = ∫ xf ( x ) dx. 0 A. I = 4. D. 200. 1 C. I = 1. Câu 114: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên [0; 4] D. I = 12. và 2 4 0 ;0 ∫ f ( x ) dx = 1 ; ∫ f ( x ) dx = 3 . Tính 1 I= ∫ f ( 3x − 1 )dx. . −1 A. I = 4. B. I = 2. 1 Câu 115: Cho ∫ 1 1 0 0 B. J = −8. C. J = 1. f ( x ) dx = 2 và 0 A. J = −3. C. I = 1. 4 D. I = . 3 ∫ g ( x ) dx = 5 . Tính J = ∫  f ( x ) − 2 g ( x ) dx. D. J = 12. Câu 116: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên ℝ và thỏa mãn f ( −2 ) = 1 , 2 ∫ f ( 2 x − 4 ) dx = 1 . 1 0 Tính ∫ xf ′ ( x ) dx . −2 A. I = 0. B. I = 1. C. I = −4. D. I = 4. Câu 117: Một chất điểm A xuất phát từ O , chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi Chương III. Nguyên hàm, Tích phân 73 và Ứng dụng. SyPhap 0939989966 Toán 12 GV. Lư Sĩ Pháp 1 2 13 t + t ( m/s ) , trong đó t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc A bắt đầu chuyển 100 30 động Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm B cũng xuất phát từ O , chuyển động thẳng cùng hướng với A nhưng chậm hơn 10 giây so với A và có gia tốc bằng a ( m/s 2 ) ( a là hằng số). Sau khi B xuất phát được quy luật v ( t ) = 15 giây thì đuổi kịp A . Tính vận tốc VB của B tại thời điểm đuổi kịp A . A. VB = 25( m / s ) . B. VB = 42( m / s ) . C. VB = 9 ( m / s ) . D. VB = 15( m / s ) . 3 Câu 118: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục, luôn dương trên [ 0;3] và thỏa mãn I = ∫ f ( x ) dx = 4 . Tính 0 3 ( 1+ ln ( f ( x ) ) K =∫ e 0 ) + 4 dx. A. K = 3 + 14e. B. K = 4 + 12e. 5 Câu 119: Cho C. K = 14 + 3e. D. K = 12 + 4e. 2 ∫ f ( x ) dx = 4 . Tính I = ∫ f ( 2 x + 1) dx . −1 −1 5 B. I = . 2 3 D. I = . 2 2 Câu 120: Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = 6 x + sin 3x , biết F ( 0 ) = . 3 cos 3 x cos 3 x 2 2 2 A. F ( x ) = 3 x − B. F ( x ) = 3 x − − 1. + . 3 3 3 cos 3 x cos 3 x C. F ( x ) = 3 x 2 − D. F ( x ) = 3 x 2 + + 1. + 1. 3 3 A. I = 2. C. I = 4. b Câu 121: Biết ∫ ( 2 x − 1) dx = 1 . Khẳng định nào dưới đây là đúng ? a A. a − b = a − b − 1. 2 2 B. b 2 − a 2 = b − a + 1. C. b − a = 1. D. a − b = 1. Câu 122: Cho y = f ( x ) , y = g ( x ) là các hàm số có đạo hàm liên tục trên [ 0;2] và 2 2 ∫0 g ( x ) . f ′ ( x ) dx = 2 , 2 ′ ∫ g ′ ( x ) . f ( x ) dx = 3 . Tính tích phân I = ∫  f ( x ) .g ( x ) dx . 0 0 A. I = 1. B. I = 5. C. I = 6. D. I = −1. Câu 123: Cho hình phẳng ( D ) được giới hạn bởi các đường x = 0 , x = 1 , y = 0 và y = 2 x + 1 . Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay ( D ) xung quanh trục Ox được tính theo công thức? 1 A. V = π ∫ 2 x + 1dx. 0 1 B. V = ∫ 2 x + 1dx. 1 C. V = ∫ ( 2 x + 1) dx. 0 0 1 D. V = π ∫ ( 2 x + 1) dx. 0 1 . Biết rằng đồ thị hàm số 2 y = f ( x ) và y = g ( x ) cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là −3 ; −1 ; 2 . Câu 124: Cho hai hàm số f ( x ) = ax3 + bx 2 + cx − 1 và g ( x ) = dx 2 + ex = Tính diên tích S của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số đã cho. 253 253 A. S = B. S = . . 12 48 125 125 C. S = D. S = . . 48 12 Chương III. Nguyên hàm, Tích phân 74 và Ứng dụng. SyPhap 0939989966 Toán 12 GV. Lư Sĩ Pháp 3 Câu 125: Cho hàm số f ( x ) có f ′ ( x ) liên tục trên đoạn [ −1;3] , f ( −1) = 3 và ∫ f ′( x ) dx = 10 . Tính −1 f ( 3) . A. f ( 3) = −7. B. f ( 3) = −13. 4 1 Câu 126: Biết ∫ f ( x)dx = và. 2 −1 A. I = 4e8 . C. f ( 3) = 7. D. f ( 3) = 13. −1 2x ∫−1 f ( x)dx = 2 . Tính tích phân I = ∫0 4e + 2 f ( x)  dx . 4 0 B. I = 4e8 − 2. C. I = 2e8 . D. I = 2e8 − 4. Câu 127: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ thỏa mãn f ( 2 x ) = 3 f ( x ) , ∀x ∈ ℝ . Biết rằng 1 ∫ f ( x ) dx = 1 . 0 2 Tính I = ∫ f ( x ) dx. 1 A. I = 5. B. I = 3. C. I = 8. D. I = 2. 1 Câu 128: Cho hình phẳng D giới hạn bởi parabol y = − x 2 + 2 x , cung tròn có phương trình 2 y = 16 − x 2 , với ( 0 ≤ x ≤ 4 ), trục tung (phần tô đậm trong hình vẽ). Tính diện tích của hình D . y 16 16 A. S = 2π − . B. S = 8π − . 4 2 3 3 y = 16 − x 16 16 C. S = 4π + . D. S = 4π − . 3 3 x 1 2 y = − x + 2x 2 4 O π 1 Câu 129: Cho 3 ∫ f ( 2 x + 1) dx = 12 và ∫ f ( sin x ) sin 2 xdx = 3 . Tính I = ∫ f ( x ) dx. . 2 2 0 0 0 A. I = 15. B. I = 22. C. I = 26. D. I = 27. π Câu 130: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên R và A. I = 3. B. I = 2. 1 4 ∫ f ( tan x ) dx = 4 ∫ 0 0 C. I = 6. 1 x2 f ( x ) . Tính d x = 2 I = ∫0 f ( x ) dx . x2 + 1 D. I = 1. Câu 131: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ 0; 2] và thỏa mãn f ( 2 ) = 16 , 2 ∫ f ( x ) dx = 4 . 0 1 Tính tích phân I = ∫ x. f ′ ( 2 x ) dx . 0 A. I = 20. Câu 132: Cho B. I = 12. 2 ∫ f ( x ) dx = 2 . Tính I = ∫ 1 1 A. I = 1. 4 f B. I = 2. C. I = 13. D. I = 7. 1 C. I = . 2 D. I = 4. ( x ) dx bằng x Câu 133: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ và F ( x ) là nguyên hàm của f ( x ) , biết F ( 0 ) = 3 . Tính F ( 9 ) . A. F ( 9 ) = −6. 9 ∫ f ( x ) dx = 9 và 0 B. F ( 9 ) = 12. Chương III. Nguyên hàm, Tích phân C. F ( 9 ) = −12. 75 và Ứng dụng. D. F ( 9 ) = 6. SyPhap 0939989966 Toán 12 GV. Lư Sĩ Pháp Câu 134: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ thỏa e 2018 −1 2018 0 A. I = 3. B. I = 2. ( ) x f ln ( x 2 + 1) dx. x +1 0 D. I = 4. ∫ f ( x ) dx = 2 . Tính I = ∫ C. I = 1. 2 có đạo hàm cấp hai f ′′ ( x ) liên tục trên đoạn [ 0;1] thoả Câu 135: Cho hàm số f ( x ) mãn f (1) = f ( 0 ) = 1 , f ′ ( 0 ) = 2018 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 1 1 A. ∫ f ′′ ( x )(1 − x ) dx = −2018. B. ∫ f ′′ ( x )(1 − x ) dx = −1. 0 0 1 1 C. ∫ f ′′ ( x )(1 − x ) dx = 2018. D. ∫ f ′′ ( x )(1 − x ) dx = 1. 0 0 2 Câu 136: Tính tích phân I = ∫ 3xe x dx. −1 3e3 + 6 A. I = . −e B. I = 3e3 + 6 . e C. I = 3e3 + 6 . e −1 D. I = 3e3 − 6 . e −1 Câu 137: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn [ a; b] . Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x ) , trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b ( a < b ) . Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành được tính theo công thức: b A. V = π ∫ f 2 ( x )dx. b B. V = 2π ∫ f 2 ( x )dx. a a 2 Câu 138: Tính tích phân I = ∫ 0 5 A. I = log . 3 Câu 139: Biết b C. V = π 2 ∫ f 2 ( x )dx. ∫ xe 1 A. ab = . 4 a a dx . x+3 5 B. I = ln . 3 2x b D. V = π 2 ∫ f ( x )dx. C. I = 16 . 225 D. I = 2 . 15 dx = axe 2 x + be 2 x + C ( a , b ∈ ℚ ) . Tính tích ab . 1 B. ab = − . 4 1 C. ab = − . 8 1 D. ab = . 8 e Câu 140: Cho ∫ ( 2 + x ln x )dx = ae 1 A. a + b = −c. 2 + be + c với a , b, c là các số hữu tỉ. Mệnh đề nào sau đây đúng? B. a − b = −c. Chương III. Nguyên hàm, Tích phân C. a + b = c. 76 và Ứng dụng. D. a − b = c. SyPhap 0939989966 Toán 12 GV. Lư Sĩ Pháp ĐÁP ÁN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM §1. NGUYÊN HÀM 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 10 1 10 2 10 3 10 9 11 0 A B C D A B C D A B C D A B C D 99 100 A B C D 10 4 10 5 10 6 10 7 10 8 11 1 11 2 11 3 11 4 11 5 11 6 11 7 11 8 A B C D Chương III. Nguyên hàm, Tích phân 77 và Ứng dụng. SyPhap 0939989966 Toán 12 GV. Lư Sĩ Pháp §2. TÍCH PHÂN 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 10 2 10 3 10 4 10 5 11 6 11 7 11 8 A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D 10 1 10 6 10 7 10 8 10 9 11 0 11 1 11 2 11 3 11 4 11 5 11 9 A B C D Chương III. Nguyên hàm, Tích phân 78 và Ứng dụng. SyPhap 0939989966 Toán 12 GV. Lư Sĩ Pháp §3. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 A B C D A B C D A B C D 64 65 66 67 68 69 A B C D ÔN TẬP CHƯƠNG III NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 A B C D A B C D A B C D Chương III. Nguyên hàm, Tích phân 79 và Ứng dụng. SyPhap 0939989966 Toán 12 GV. Lư Sĩ Pháp 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 A B C D A B C D 10 1 10 2 10 3 10 4 10 5 10 6 10 7 10 8 10 9 11 0 11 1 11 2 11 3 11 4 11 5 11 6 11 7 11 8 11 9 12 0 12 1 12 2 12 3 12 4 12 5 12 6 12 7 12 8 12 9 13 0 13 1 13 2 13 3 13 4 13 5 13 6 13 7 13 8 13 9 14 0 14 1 14 2 14 3 14 4 14 5 14 6 14 7 14 8 14 9 15 0 15 1 15 2 15 3 15 4 15 5 15 6 15 7 15 8 15 9 16 0 A B C D A B C D A B C D 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 A B C D Chương III. Nguyên hàm, Tích phân 80 và Ứng dụng. SyPhap 0939989966 Toán 12 GV. Lư Sĩ Pháp ÔN THI THPT 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D 10 1 10 2 10 3 10 4 10 5 10 6 10 7 10 8 10 9 11 0 11 1 11 2 11 3 11 4 11 5 11 6 11 7 11 8 11 9 12 0 12 1 12 2 12 3 12 4 12 5 12 6 12 7 12 8 12 9 13 0 13 1 13 2 13 3 13 4 13 5 13 6 13 7 13 8 13 9 14 0 A B C D A B C D Chương III. Nguyên hàm, Tích phân 81 và Ứng dụng. SyPhap 0939989966
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments

Bài viết tương tự

Scroll to Top