Chuyên đề nguyên hàm – tích phân và ứng dụng dành cho học sinh TB – yếu – Dương Minh Hùng

Giới thiệu Chuyên đề nguyên hàm – tích phân và ứng dụng dành cho học sinh TB – yếu – Dương Minh Hùng

Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và bạn đọc Chuyên đề nguyên hàm – tích phân và ứng dụng dành cho học sinh TB – yếu – Dương Minh Hùng CHƯƠNG NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN.

Chuyên đề nguyên hàm – tích phân và ứng dụng dành cho học sinh TB – yếu – Dương Minh Hùng

Tài liệu môn Toán 12 và hướng dẫn giải chi tiết các đề thi từ cơ bản đến vận dụng cao sẽ luôn được cập thường xuyên từ hoctoanonline.vn , các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán hay và mới nhất.

Tài liệu Chuyên đề nguyên hàm – tích phân và ứng dụng dành cho học sinh TB – yếu – Dương Minh Hùng

Các em học sinh và bạn đọc tìm kiếm thêm tài liệu Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng tại đây nhé.

Text Chuyên đề nguyên hàm – tích phân và ứng dụng dành cho học sinh TB – yếu – Dương Minh Hùng
Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung St-bs: Duong Hung 1 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung Full Chuyên đề 12 new 2020-2021 CHƯƠNG ③: FB: Duong Hung Bài ❶: NGUYÊN HÀM  Dạng ①: Nguyên hàm theo định nghĩa và tính chất cơ bản .Phương pháp: . Định nghĩa: Hàm số được gọi là nguyên hàm của hàm số với mọi x thuộc trên nếu . . Tính chất:  . .  .  . Bảng nguyên hàm:  ▪  ▪  ▪  ▪   ▪  ▪  ▪  ▪   ▪  ▪ Phương pháp: Casio. ⬧ Xét hiệu: Nhấn shift ⬧ Calc hay ,…. St-bs: Duong Hung là mệnh đề đúng. 2 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung A – Bài tập minh họa: Câu 1: Tất cả nguyên hàm của hàm số f ( x ) = Ⓐ. 1 ln 2 x + 3 + C . 2 Ⓒ. ln 2 x + 3 + C . 1 là 2x + 3 Ⓑ. 1 ln ( 2 x + 3) + C . 2 Ⓓ. 1 ln 2 x + 3 + C . ln 2 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm Chọn A  Casio: 1  1 1  f ( x ) dx =  2 x + 3 dx = 2  2 x + 3 d ( 2 x + 3 ) 1 = ln 2 x + 3 + C 2 Calc: x= 2.5 Lưu ý: Gặp ln thì có trị tuyệt đối, rắt dễ chọn nhằm đáp án B Câu 2: Câu 2: Nếu  f ( x )dx = 4 x 3 + x 2 + C thì hàm số f ( x ) bằng x3 Ⓐ. f ( x ) = x + + Cx . 3 Ⓑ. f ( x ) = 12 x 2 + 2 x + C . Ⓒ. f ( x ) = 12 x 2 + 2 x . Ⓓ. f ( x ) = x 4 + 4 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm Chọn B  Thử đạo hàm  Ta có:  Casio f ( x) = (  f ( x )dx ) = ( 4x 3 x3 . 3 + x 2 + C ) = 12 x 2 + 2 x Chú ý dễ chọn nhằm câu B Câu 3: Cho hàm số f ( x ) có f ‘ ( x ) = Ⓐ. ln 2 . Ⓑ. ln 3 . St-bs: Duong Hung 1 1 với mọi x  và f (1) = 1 . Khi đó giá trị của f ( 5) bằng 2 2x −1 Ⓒ. ln 2 + 1 . Ⓓ. ln 3 + 1. 3 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung Lời giải PP nhanh trắc nghiệm Chọn D  Ta có: . Tư duy Casio  f ‘ ( x ) dx = f ( x ) + C nên 1 1 d ( 2 x − 1) 1 f ( x) =  dx =  = ln 2 x − 1 + C 2x −1 2 2x −1 2 Mặt khác theo đề ra ta có: f (1) = 1 1 ln 2.1 − 1 + C = 1  C = 1 nên 2 1 f ( x ) = ln 2 x − 1 + 1 2  5  f  ( x )dx = f ( 5) − f (1) 1 5 5 1 1  f ( 5 ) = f (1) +  f  ( x )dx = 1 +  f  ( x )dx . Tổng quát: b  f  ( x )dx = f ( b ) − f ( a ) a b Do vậy 1 1 f ( 5 ) = ln 2.5 − 1 + 1 = ln 9 + 1 = ln 3 + 1 2 2  • f ( b ) = f ( a ) +  f  ( x )dx; a b • f ( a ) = f ( b ) −  f  ( x )dx a B – Bài tập rèn luyện: Câu 1: Khẳng định nào sau đây là sai? Ⓐ. Nếu  f ( x ) dx = F ( x ) + C thì  f ( u ) du = F ( u ) + C. Ⓑ. .  kf ( x ) dx = k  f ( x ) dx ( k là hằng số và k  0 ). Ⓒ. Nếu F ( x ) và G ( x ) đều là nguyên hàm của hàm số f ( x ) thì F ( x ) = G ( x ) . Ⓓ.   f1 ( x ) + f 2 ( x ) dx =  f1 ( x ) dx +  f 2 ( x ) dx. Câu 2: Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của hàm số f ( x ) = ( x − 3) ? 4 Ⓐ. F ( x ) ( x − 3) = Ⓒ. F ( x ) = Câu 3: 5 5 5 ( x − 3) Ⓑ. F ( x ) + x. ( x − 3) = + 2020 . Ⓓ. 5 Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? F ( x) = Ⓐ.  0dx = C ( C là hằng số). 1 x 5 5 5 ( x − 3) 5 . −1 . Ⓑ.  dx = ln x + C ( C là hằng số). x +1 + C ( C là hằng số). Ⓓ.  dx = x + C ( C là hằng số).  +1 Cho hai hàm số f ( x ) , g ( x ) là hàm số liên tục. Xét các mệnh đề sau: Ⓒ.  x dx = Câu 4: 1  f ( x ) dx với k là hằng số thực khác 0 bất kỳ. k (II).   f ( x ) − g ( x )  dx =  f ( x ) dx −  g ( x ) dx . (III).   f ( x ) .g ( x )  dx =  f ( x ) dx.  g ( x ) dx . (I). k .  f ( x ) dx = (IV).  f  ( x ) dx = f ( x ) + C . Số mệnh đề đúng là Ⓐ. 1 . Câu 5: Ⓑ. 2 . Ⓒ. 3 . Ⓓ. 4 . Cho hàm số f ( x ) xác định trên K và F ( x ) , G ( x ) là nguyên hàm của f ( x ) trên K . Khẳng định nào dưới đây đúng? St-bs: Duong Hung 4 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung Câu 6: Ⓐ. G ( x ) = F ( x ) , x  K. Ⓑ. G ( x ) = f  ( x ) , x  K. Ⓒ. F ( x ) = G ( x ) + C , x  K. Ⓓ. F  ( x ) = f  ( x ) , x  K . Mệnh đề nào sau đây sai? Ⓐ. Nếu F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) trên ( a; b ) và C là hằng số thì  f ( x ) dx = F ( x ) + C Ⓑ. Mọi hàm số liên tục trên ( a; b ) đều có nguyên hàm trên ( a; b ) . F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) trên ( a; b )  F / ( x ) = f ( x ) , x  ( a; b ) Ⓒ. (  f ( x ) dx ) Ⓓ. Câu 7: Hàm số f ( x ) = = f ( x) / 1 có nguyên hàm trên: cos x   Ⓑ.  − ;  Ⓐ. ( 0;  ) Câu 8:   Ⓓ.  − ;  Ⓒ. ( ; 2 )  2 2  2 2 4 Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của hàm số f ( x ) = ( x − 3) ? Ⓐ. F ( x ) ( x − 3) = 5 5 Ⓑ. F ( x ) +x ( x − 3) = 5 5 5 x − 3) x − 3) ( ( Ⓒ. Ⓓ. F ( x ) = F ( x) = + 2017 −1 5 5 3 Hàm số F ( x ) = e x là một nguyên hàm của hàm số 5 Câu 9: Ⓐ. f ( x ) = e x Ⓑ. 3 3 ex Ⓒ. f ( x ) = 2 3x Câu 10: Nếu  f ( x ) dx = 3 x3 + e x + C thì f ( x ) bằng 3 x4 + ex 3 x4 f ( x) = + ex 12 Ⓒ.  f ( x ) dx = 3x 2 + Ⓒ.  f ( x ) dx = 3x 2 − f ( x ) = 3x 2 + e x Ⓑ. Ⓓ. f ( x ) = x 2 + e x Câu 11: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x3 + Ⓐ. 3 Ⓓ. f ( x ) = x3 .e x −1 f ( x) = Ⓐ. f ( x ) = 3x 2 .e x 1 +C . x2 1 +C . x2 1 x Ⓑ.  f ( x ) dx = Ⓓ.  x4 + ln x + C . 4 f ( x ) dx = x4 + ln x + C . 4 Câu 12: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? 1 2 Ⓐ.  cos 2 xdx = sin 2 x + C . St-bs: Duong Hung e +1 Ⓑ.  x e dx = x + C e +1 5 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung 1 x Ⓒ.  dx = ln x + C . Ⓓ.  x e dx = x e +1 +C x +1 Câu 13: Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 3x 2 + sin x là Ⓐ. x3 + cos x + C . Ⓑ. 6x + cos x + C . Ⓒ. x3 − cos x + C . Ⓓ. 6x − cos x + C . Câu 14: Tất cả nguyên hàm của hàm số f ( x ) = Ⓐ. 1 là 2x + 3 1 ln 2 x + 3 + C . 2 Ⓒ. ln 2 x + 3 + C . Ⓑ. 1 ln ( 2 x + 3) + C . 2 Ⓓ. 1 ln 2 x + 3 + C . ln 2 Câu 15: Giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa công thức nào sau đây sai? Ⓐ. 1  cos 2 x dx = tan x + C . 1 x Ⓒ.  lnxdx = + C . Ⓑ.  e dx = e Ⓓ.  sinxdx = − cos x + C . x x +C . Câu 16: Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = e2 x + x 2 là e2 x x3 + +C . 2 3 Ⓑ. F ( x ) = e2 x + x3 + C . Ⓒ. F ( x ) = 2e + 2 x + C . x3 Ⓓ. F ( x ) = e + + C . 3 Ⓐ. F ( x ) = 2x 2x Câu 17: Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x3 + 3x + 2 là hàm số nào trong các hàm số sau ? Ⓐ. F ( x ) = 3x 2 + 3x + C . Ⓒ. F ( x ) = x 4 3x 2 + + 2x + C . 4 2 Ⓑ. F ( x ) = x4 + 3x 2 + 2 x + C . 3 Ⓓ. F ( x ) = x4 x2 + + 2x + C . 4 2 Câu 18: Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = e x (3 + e− x ) là Ⓐ. F ( x) = 3e x − 1 +C . ex Ⓒ. F ( x) = 3e x + e x ln e x + C . Ⓑ. F ( x) = 3e x − x + C . Ⓓ. F ( x) = 3e x + x + C . Câu 19: Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = e x + cos x là 1 x +1 e + sin x + C . x +1 Ⓐ. e x − sin x + C . Ⓑ. Ⓒ. xex−1 − sin x + C . Ⓓ. e x + sin x + C . St-bs: Duong Hung 6 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung Câu 20: Nguyên hàm của hàm số f x x2 2 Ⓐ. F x x2 2 Ⓒ. F x 3x ln 3 3x x 3x là C. C. Ⓑ. F x 1 Ⓓ. F x x2 2 3x ln 3 C. 3x.ln 3 C . BẢNG ĐÁP ÁN 1.C 2.A 3.C 4.B 5.C 6.D 7.D 8.D 9.A 10.C 11.D 12.D 13.C 14.A 15.C 16.A 17.C 18.D 19.D 20.A  Dạng ②: Tìm nguyên hàm của hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước thức chứa lũy thừa. -Phương pháp: Xác định là một nguyên hàm của hàm số Tìm nguyên hàm sao cho . Thế điều kiện tìm hằng số C  Kết luận cho bài toán. A – Bài tập minh họa: Câu 1: Cho hàm số f ( x ) có f ‘ ( x ) = Ⓐ. ln 2 . 1 1 với mọi x  và f (1) = 1 . Khi đó giá trị của f ( 5) bằng 2x −1 2 Ⓑ. ln 3 . Ⓒ. ln 2 + 1 . Ⓓ. ln 3 + 1. PP nhanh trắc nghiệm Lời giải Chọn D  Ta có:  Casio  f ‘ ( x ) dx = f ( x ) + C nên 1 1 d ( 2 x − 1) 1 f ( x) =  dx =  = ln 2 x − 1 + C 2x −1 2 2x −1 2 Mặt khác theo đề ra ta có: f (1) = 1 1 1  ln 2.1 − 1 + C = 1  C = 1 nên f ( x ) = ln 2 x − 1 + 1 2 2 b  f ( x )dx = F ( b ) − F ( a ) a b  • F ( b ) = F ( a ) +  f ( x )dx; a b • F ( a ) = F ( b ) −  f ( x )dx a 1 1 Do vậy f ( 5 ) = ln 2.5 − 1 + 1 = ln 9 + 1 = ln 3 + 1 . 2 2 St-bs: Duong Hung 7 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung Câu 2: Biết F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 2 x + 2 x thoả mãn F ( 0 ) = 0 . Ta có F ( x ) bằng Ⓐ. x 2 + 2x − 1 . ln 2 Ⓑ. x 2 + 1 − 2x . ln 2 Ⓒ.1 + ( 2 x − 1) ln 2 . Ⓓ. x2 + 2x − 1 . PP nhanh trắc nghiệm Lời giải Chọn A  Casio: Thử đáp án 2x + C . Do đó . ln 2 20 1 2 +C = 0  C = − Theo giả thiết F ( 0 ) = 0  0 + . ln 2 ln 2 2x 1 2x −1 − = x2 + Vậy F ( x ) = x 2 + . ln 2 ln 2 ln 2  Ta có:  ( 2 x + 2 x ) dx = x 2 + Câu 3: Tìm nguyên hàm F x của hàm số f x Ⓐ. F ( x) cos( 2 Ⓒ. F ( x) cos( 2 x) 2 2 x) 1 . 2 1. sin  2 x thỏa mãn F 1 . 2 Ⓓ. F ( x) cos( 2 x) 2 1 . 2 PP nhanh trắc nghiệm  Casio: Thử đáp án sin   F x 2 1. cos( 2 x) 2 Chọn B  2 Ⓑ. F ( x) Lời giải  F  1  Vậy F ( x) 1 2 2 x dx C 1 cos( 2 x) 2 cos  2 x 2 C C 1 2 1 2 B – Bài tập rèn luyện: Câu 1. Câu 2. Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = 4 x3 − 4 x + 5 thỏa mãn F (1) = 3 Ⓐ. F ( x) = x 4 − 2 x 2 + 5x − 1. Ⓑ. F ( x) = x4 − 4 x2 + 5x + 1 . Ⓒ. Ⓓ. F ( x) = x 4 − 2 x 2 + 5 x + 3 . Hàm số f ( x ) = −5 x 4 + 4 x 2 − 6 có một nguyên hàm F ( x ) thỏa F ( 3) = 1 . Tính F ( −3) . Ⓐ. F ( −3) = 226 . Câu 3. 1 F ( x) = x 4 − 2 x 2 − 5 x + . 2 Ⓑ. F ( −3) = −225 . Ⓒ. F ( −3) = 451 . F ( −3) = 225 . Ⓓ.     Biết F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = sin 2 x và F   = 1 . Tính P = F   . 4 6 St-bs: Duong Hung 8 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung 5 4 Ⓐ. P = . Câu 4. Ⓑ. 1 2 Ⓒ. P = . P =0. Ⓒ. Câu 6. 3 . 4 F ( x ) = 2 + cos x + 2sin x . Ⓑ. F ( x ) = x 2 − cos x + 2sin x . Ⓓ. F ( x ) = x 2 − cos x + 2sin x + 2 . Tìm một nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = sin x + 2 1   thỏa mãn F   = . 2 cos x 4 2 Ⓐ. F ( x ) = − cos x + tan x + C . Ⓑ. F ( x ) = − cos x + tan x − 2 + 1 . Ⓒ. F ( x ) = cos x + tan x + 2 − 1 . Ⓓ. F ( x ) = − cos x + tan x + 2 − 1 . 3 1 Biết F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = e2 x thỏa F (0) =  Giá trị của F   2 2 bằng Ⓐ. Câu 7. P= Tìm một nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = 2 x + sin x + 2cos x thỏa mãn F ( 0 ) = 1 . Ⓐ. F ( x ) = x 2 + cos x + 2sin x − 2 . Câu 5. Ⓓ. 1 e+2. 2 Ⓑ. 1 e +1 . 2 Ⓒ. 1 1 e+ 2 2 Ⓓ. 2e + 1 . Kí hiệu F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = ( x 2 + 1) và F (1) = 28  Khẳng định 15 2 nào sau đây là đúng? Ⓐ. F ( x ) = x5 2 x3 + + x. 5 3 Ⓑ. F ( x ) = x5 2 x3 + x + 1. Ⓓ. F ( x ) = + 5 3 Ⓒ. F ( x ) = 4 x ( x + 1) . 2 Câu 8. Biết F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 1 2 Ⓐ. F ( 3) =  Câu 9. 7 4 Ⓑ. F ( 3) =  Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = Ⓐ. F ( x ) = 2 2 x − 1 . Ⓒ. x5 2 x3 + + x + C. 5 3 F ( x ) = 2x −1 + 4 . 1 và F ( 2 ) = 1. Tính F ( 3) . x −1 Ⓒ. F ( 3) = ln 2 − 1. Ⓓ. F ( 3) = ln 2 + 1. 2 thỏa mãn F ( 5) = 7 . 2x −1 Ⓑ. F ( x ) = 2 2x −1 + 1 . Ⓓ. F ( x ) = 2 x − 1 − 10 . 1 2 Câu 10. Gọi F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = ( 2 x − 3) thỏa F ( 0 ) = . Tính giá trị 3 của biểu thức T = log 2 3F (1) − 2 F ( 2 )  . Ⓐ. T = 2 . Ⓑ. T = 4. Ⓒ. T = 10 . Ⓓ. T = −4 . BẢNG ĐÁP ÁN St-bs: Duong Hung 9 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung 1.A 2.C 3.D 4.D 5.D 6.B 7.A 8.D 9.B 10.A  Dạng ③: Phương pháp đổi biến số. có đạo hàm và liên tục trên trên -Định lí: Cho hàm số xác định trên liên tục sao cho . Khi đó nếu hàm số và hàm số là một nguyên hàm của , tức là: -Phương pháp: Từ đó ta có hai cách đổi biến số trong việc tính nguyên hàm như sau:  Đặt biến số: rồi đưa về việc tính nguyên hàm  Suy ra: đơn giản hơn.  A – Bài tập minh họa: Câu 1: Tìm họ nguyên hàm  cos 2 x sin x dx ta được kết quả là Ⓐ. − cos2 x + C . Ⓑ. 1 cos3 x + C . 3 1 3 Ⓒ. − cos3 x + C . Chọn C  cos 2  Casio: xét hiệu 1 x sin x dx = −  cos 2 x d ( cos x ) = − cos3 x + C . 3 Câu 2: Nguyên hàm 1 x 1 x Ⓐ. − sin + C . 2 1 cos dx bằng x 1 x Ⓑ. sin + C . Lời giải Chọn A 1 x Ⓒ. −2sin + C . 1 x Ⓓ. 2sin + C . PP nhanh trắc nghiệm  Casio: xét hiệu 1 1 1 1 cos dx = −  cos d   = − sin + C . x x x x 1 dx . Câu 3: Tính nguyên hàm I =  x ln x + 1  Ta có 1 3 sin x + C . 3 PP nhanh trắc nghiệm Lời giải  Ⓓ. 1 x 2 Ⓐ. I = Ⓒ. I = 2 (ln x + 1)3 + C . 3 1 (ln x + 1) 2 + C . 2 St-bs: Duong Hung Ⓑ. I = ln x + 1 + C . Ⓓ. I = 2 ln x + 1 + C . 10 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung PP nhanh trắc nghiệm Lời giải Chọn D  Casio: xét hiệu −1 1 dx =  (ln x + 1) 2 d(ln x + 1) = 2 ln x + 1 + C.   x ln x + 1 Câu 4: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = sin x 1 + 3cos x . 1 Ⓑ.  f ( x) dx = ln 1 + 3cos x + C . Ⓒ.  f ( x) dx = 3ln 1 + 3cos x + C . Ⓓ.  f ( x) dx = Ⓐ.  f ( x) dx = 3 ln 1 + 3cos x + C . −1 ln 1 + 3cos x + C . 3 PP nhanh trắc nghiệm Lời giải Chọn D  Casio: xét hiệu  Ta có: sin x 1 1 1  1 + 3cos x dx = − 3  1 + 3cos x d (1 + 3cos x ) = − 3 ln 1 + 3cos x + C B – Bài tập rèn luyện: Câu 1: Biết  f ( u ) du = F ( u ) + C. Mệnh đề nào sau đây đúng? Câu 2: Ⓐ.  f ( 2 x − 1) dx = 2 F ( 2 x − 1) + C. Ⓑ.  f ( 2 x − 1) dx = 2F ( x ) − 1 + C. Ⓒ.  f ( 2 x − 1) dx = F ( 2 x − 1) + C. Ⓓ.  f ( 2 x − 1) dx = F ( 2 x − 1) + C. Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x ( x 2 + 1) là 9 Ⓐ. (x 2 ) +1 10 Ⓑ. 2 ( x2 + 1) + C . 10 + C. ( ( ) Ⓐ.  f ( x ) dx = − 1 2 x − 1 + C. 3 1 ( 2 x − 1) 2 x − 1 + C. 3 2 Câu 4: Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = xe x là Ⓒ .  f ( x ) dx = Ⓐ. 1 x2 e +C 2 2 1 2 x − 1 + C. 2 2 Ⓓ.  f ( x ) dx = ( 2 x − 1) 2 x − 1 + C. 3 Ⓑ.  f ( x ) dx = Ⓑ. e x + C. 2 Ⓒ. 2e x + C.2e x + C Câu 5: ) 10 10 1 2 1 2 Ⓓ. x + 1 + C. x + 1 + C. 20 20 Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 2 x − 1 là Ⓒ. − Câu 3: 1 2 2 Ⓓ. ( 2 x2 + 1) e x + C. 2 Biết rằng hàm số F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = St-bs: Duong Hung ln x và thỏa mãn F ( e 2 ) = 4. x 11 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung Mệnh đề nào sau đây là đúng? ln 2 x − 3. 2 ln 2 x −2 Ⓒ. F ( x ) = 2 ln 2 x + 3. 2 ln 2 x F ( x) = +2 2 Ⓑ. F ( x ) = Ⓐ. F ( x ) = Ⓓ x3 dx và F ( 0 ) = 1 . Câu 6: Tìm hàm số F ( x ) biết F ( x ) =  4 x +1 Ⓐ. F ( x ) = ln ( x 4 + 1) + 1 . Ⓑ. F ( x ) = ln ( x 4 + 1) + . Ⓒ. F ( x ) = ln ( x 4 + 1) + 1 . Ⓓ. F ( x ) = 4ln ( x 4 + 1) + 1 . 1 4 1 4 Câu 7: Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = Ⓐ. − ln cos x − 3 + C . sin x là cos x − 3 Ⓑ. 2ln cos x − 3 + C . ln cos x − 3 +C . Ⓓ. 4ln cos x − 3 + C . 2 2 Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = sin 2 x.esin x là Ⓒ. Câu 8: 3 4 − esin x +1 Ⓑ. +C. sin 2 x + 1 2 esin x −1 Ⓓ. +C . sin 2 x − 1 2 Ⓐ. sin x.e 2 sin 2 x −1 +C . Ⓒ. esin x + C . 2 Câu 9: Xét nguyên hàm I =  1 − x 2 dx với phép đặt x = sin t . Khi đó Ⓑ. I =  2 sin t cos 2 tdt . Ⓐ. I =  2 cos t cos tdt . Ⓒ. I =  cos t cos tdt . Ⓓ. I =  4 sin t cos tdt .   Câu 10: Xét nguyên hàm I =  4 − x 2 dx với phép đặt x = 2sin t với t   0;  . Khi đó  2 Ⓑ. I =  2 (1 + cos 3t )dt Ⓐ. I =  2 (1 + cos 2t )dt . Ⓒ. 1.D I =  2 ( 4 + cos 2t )dt 2.D 3.D Ⓓ. I =  2 (1 + 2 cos 2t )dt 4.A St-bs: Duong Hung BẢNG ĐÁP ÁN 5.D 6.C 7.A 8.C 9.C 12 10.A Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung  Dạng ④: Phương pháp từng phần -Phương pháp:  Cho hai hàm số 𝑢 và 𝑣 liên tục trên đoạn ሾ𝑎; 𝑏ሿ và có đạo hàm liên tục trên đoạn ሾ𝑎; 𝑏ሿ.  Khi đó:∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢. ሺ∗ሻ  Để tính nguyên hàm ∫ 𝑓ሺ𝑥ሻ𝑑𝑥 bằng từng phần ta làm như sau: Bước 1. Chọn 𝑢, 𝑣 sao cho 𝑓ሺ𝑥ሻ𝑑𝑥 = 𝑢𝑑𝑣 (chú ý 𝑑𝑣 = 𝑣′ሺ𝑥ሻ𝑑𝑥).  Sau đó tính 𝑣 = ∫ 𝑑𝑣 và 𝑑𝑢 = 𝑢′. 𝑑𝑥. Bước 2. Thay vào công thức ሺ∗ሻ và tính ∫ 𝑣𝑑𝑢. ①.Dạng 1. , trong đó ⬧.Đặt: . ②. Dạng 2. ⬧.Đặt: , trong đó . Casio: Xét hiệu là đa thứ . ③. Dạng 3. ⬧.Đặt: là đa thức , trong đó là đa thức . , calc x= {-5,….,5} một cách thích hợp Sẽ thu kết quả bảng 0 hoặc xấp xỉ 0 là đáp án đúng. A – Bài tập minh họa: Câu 1. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x cos 2 x là Ⓐ. x sin 2 x cos 2 x + +C . 2 4 Ⓒ. x sin 2 x + cos 2 x +C . 2 Ⓑ. x sin 2 x − Ⓓ. Lời giải cos 2 x +C . 2 x sin 2 x cos 2 x − +C . 2 4 PP nhanh trắc nghiệm Chọn A  I =  x cos 2 xdx .  Casio St-bs: Duong Hung 13 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung du = dx u = x   Đặt  . 1 dv = cos 2 xdx v = sin 2 x  2 Khi đó 1 1 1 1 I = x sin 2 x −  sin 2 xdx = x sin 2 x + cos 2 x + C 2 2 2 4 Calc x=3.5 Chọn A Câu 2: Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x ln 2 x là x2  1 Ⓐ.  ln 2 x −  + C . 2 2 Ⓒ. Ⓑ. x 2 ln 2 x − x2 ( ln 2 x − 1) + C . 2 Ⓓ. Lời giải x2 +C . 2 x2 ln 2 x − x 2 + C . 2 PP nhanh trắc nghiệm Chọn A Casio 1  du =  u = ln 2 x  x →  Đặt  . 2 dv = xdx v = x   2 Calc x=1 x2 1 x2 F ( x ) =  f ( x ) dx = .ln 2 x −  . dx 2 x 2  . 2 2 2 x x x  1 = ln 2 x − + C =  ln 2 x −  + C 2 4 2 2 Chon A Câu 3: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x.e2 x . Ⓐ. F x 1 2x e x 2 1 2 C. Ⓑ. F x Ⓒ. F x 2e2x x 1 2 C. Ⓓ. F x Lời giải 2e2x x 1 2x e x 2  Casio Calc: x=2 Đặt du = dx u = x    1 2x 2x dv = e dx v = e  2 1 1 1  1  F ( x ) = xe2 x −  e2 x dx = e 2 x  x −  + C 2 2 2  2 B – Bài tập rèn luyện: St-bs: Duong Hung 2 C. PP nhanh trắc nghiệm Chọn A Ta có: F ( x ) =  x.e2 x dx . C. 2 14 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung Câu 1: Biết rằng hàm số F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = ln x và thỏa mãn F (1) = 3. Giá trị của F ( e 2 ) bằng Ⓐ. 4. Câu 2: Câu 3: Ⓑ. −e2 + 4. Ⓒ. e2 + 4 . Ⓓ. 3e2 + 4. Nguyên hàm của hàm f ( x ) = 4 x (1 + ln x ) là Ⓐ. 2 x 2 ln x + 2 x 2 . Ⓑ. 2 x2 ln x + 3x 2 . Ⓒ. 2 x2 ln x + x2 + C Ⓓ. 2 x2 ln x + 3×2 + C. Biết rằng hàm số F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = ( x − 1) e − x và thỏa mãn F ( 0 ) = 2020. Khẳng định nào sau đây đúng? Ⓐ. F ( x ) = e− x + 2019. Ⓑ. F ( x ) = xe− x + 2020 . Ⓒ. F ( x ) = − xe− x + 2020 . Ⓓ. F ( x ) = − xe x + 2020 . Câu 4: Biết rằng hàm số F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x cos 2 1 x và thỏa mãn F ( 0 ) =  2 2 Giá trị của F ( ) bằng 2 Câu 5: 2 1 1 − . +  Ⓐ. Ⓑ. 4 2 2 2 2 1 2 Ⓒ. +  . Ⓓ. + 1. 4 4 2 x Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = e sin x là Ⓑ.  e x sin xdx = Ⓒ. F (x ) Câu 8: Câu 9: ) Hàm số f ( x) = ( x + 1)sin x có các nguyên hàm là: Ⓐ. F ( x) Câu 7: ) ( Ⓒ.  e x sin xdx = e x cos x + C. Câu 6: ( 1 x e sin x + e x cos x + C 2 1 Ⓓ.  e x sin xdx = e x sin x − e x cos x + C . 2 Ⓐ.  e x sin xdx = e x sin x + C . Tính Ⓑ. F(x ) ( x 1) cos x sinx C . (x 1)cos x s inx (x 1)cos x s inx Ⓓ. F ( x) = ( x + 1) cos x − sinx + C C  x cos xdx , ta được kết quả là: Ⓐ. F ( x ) = x sin x + cos x + C Ⓑ. F ( x ) = x sin x − cos x + C . Ⓒ. F ( x ) = − x sin x + cos x + C . Ⓓ. F ( x ) = − x sin x − cos x + C ( ) Một nguyên hàm của hàm số f ( x) = x 2 + 2 x e x Ⓐ. F ( x) = (2 x + 2).e x Ⓑ. F ( x) = x 2e x . Ⓒ. F(x ) Ⓓ. F ( x) = ( x 2 − 2 x).e x . (x 2 x ).e x . Kết quả nào sai trong các kết quả sau ? St-bs: Duong Hung 15 C Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung xe3 x 1 3 x − e +C 3 9 2 x x xe xdx .e C. 2 Ⓐ.  xe3 x dx = Ⓑ.  xe xdx = xe x − e x + C . Ⓒ. Ⓓ.  x −x 1 dx = x − x + C . x e e e x Câu 10: Cho f ( x) =  ln tdt . Đạo hàm f ‘( x) là hàm số nào dưới đây? 0 1 . Ⓑ. ln x . x Câu 11: Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x sin x là Ⓐ. 1 2 Ⓒ. ln 2 x . Ⓓ. ln x . Ⓐ. – x cos x + sin x + C . Ⓑ. x sin x + cos x + C . Ⓒ. x cos x + sin x + C . Ⓓ. x cos x − sin x + C . Câu 12: Kết quả của I =  xe x dx là x2 x x Ⓐ. I = e + e + C . 2 Ⓒ. I = Ⓑ. I = e x + xe x + C . x2 x e +C . 2 Ⓓ. I = xe x − e x + C . Câu 13: Tính F ( x) =  x sin 2 xdx . Chọn kết quả đúng? 1 4 Ⓐ. F ( x) = (2 x cos 2 x + sin 2 x) + C . 1 4 Ⓒ. F ( x) = − (2 x cos 2 x − sin 2 x) + C . 1 4 Ⓑ. F ( x) = − (2 x cos 2 x + sin 2 x) + C . 1 4 Ⓓ. F ( x) = (2 x cos 2 x − sin 2 x) + C . Câu 14: Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = ( x + 1) e x là Ⓐ. xe x + C . Ⓑ. ( x + 2 ) e x + C . Ⓒ. ( x − 1) e x + C . Ⓓ. 2 xe x + C . Câu 15: Họ các nguyên hàm của f ( x ) = x ln x là Ⓐ. x2 1 ln x + x 2 + C. 2 4 x2 1 Ⓒ. ln x − x 2 + C. 2 4 1 2 Ⓑ. x 2 ln x − x 2 + C. 1 2 Ⓓ. x ln x + x + C. Câu 16: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x ln ( x + 2 ) . x2 x2 + 4x ln x + 2 − +C . ( )  2 2 x2 − 4 x2 + 4x ln ( x + 2 ) − +C . Ⓑ.  f ( x ) dx = 2 2 x2 x2 + 4x +C . Ⓒ.  f ( x ) dx = ln ( x + 2 ) − 2 4 Ⓐ. f ( x ) dx = St-bs: Duong Hung 16 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung x2 − 4 x2 − 4x ln x + 2 − +C . ( )  2 4 Câu 17: Cho hàm số y =  x sin 2 xdx . Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau f ( x ) dx = Ⓓ.   3  3   Ⓑ. y   = . 6 6   Ⓒ. y   = . Ⓓ. y   = .  6  24  6  12 Câu 18:  Ⓐ. y   = .  6  12 Gọi F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = xe− x . Tính F ( x ) biết F ( 0 ) = 1 Ⓐ. F ( x ) = ( x + 1) e− x + 2 . Ⓑ. F ( x ) = − ( x + 1) e− x + 1 . Ⓒ. F ( x ) = − ( x + 1) e− x + 2 . Ⓓ. F ( x ) = ( x + 1) e− x + 1 . Câu 19: Tìm họ nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = x.e2 x . 1 2 Ⓐ. F ( x ) = 2e2 x ( x − 2 ) + C . Ⓑ. F ( x ) = e2 x ( x − 2 ) + C . 1 Ⓒ. F ( x ) = 2e2 x  x −  + C . Ⓓ. F ( x ) = e2 x  x −  + C . 2 2  1 1  2  Câu 20: Cho F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = ( 5 x + 1) e x và F ( 0 ) = 3 . Tính F (1) . Ⓐ. F (1) = e + 2 . Ⓑ. F (1) = 11e − 3 . Ⓒ. F (1) = e + 3 . Ⓓ. F (1) = e + 7 . BẢNG ĐÁP ÁN 1.C 2.C 3.C 4.B 5.D 6.B 7.A 8.B 9.C 10.B 11.A 12.D 13.C 14.A 15.C 16.D 17.C 18.C 19.D 20.D St-bs: Duong Hung 17 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung Full Chuyên đề 12 new 2020-2021 CHƯƠNG ③: FB: Duong Hung Bài 2: TÍCH PHÂN DÙNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT  Dạng ①: Tích phân dùng định nghĩa .Phương pháp:  Nhận xét: Tích phân của hàm số từ a đến b có thể kí hiệu bởi hay Tích phân đó chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số. . Chú ý: Học thuộc bảng nguyên hàm của các hàm số cơ bản thường gặp. A – Bài tập minh họa: b Câu 1: Tính tích phân  dx . a Ⓐ. a − b . Ⓑ. a.b . Ⓒ. b − a . Ⓓ. a + b . PP nhanh trắc nghiệm Lời giải  Chọn C b  Ta có:  dx = x a b =b−a a 0 Câu 2: Giá trị của e x +1 dx bằng −1 Ⓐ. 1 − e . Ⓑ. e − 1. Ⓒ. −e . Ⓓ. e . PP nhanh trắc nghiệm Lời giải  Chọn B 0  Ta có e 0 x +1 −1 dx = e x+1 = e − 1 . −1 1 Câu 3: Tích phân I =  x 2020dx bằng 0 Ⓐ. 1 . 2021 Ⓑ. 0 . Lời giải St-bs: Duong Hung Ⓒ. 1 . 2019 Ⓓ. 1 . PP nhanh trắc nghiệm 18 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung  Chọn A 1 1  Ta có I =  x 2020 0 x 2021 1 dx = = . 2021 0 2021 B – Bài tập rèn luyện: Câu 1: Biết  f ( x ) dx = F ( x ) + C .Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? b Ⓐ.  f ( x ) dx = F ( b ) − F ( a ) . Ⓑ. a b Ⓒ.  f ( x ) dx = F ( a ) − F ( b ) . b  f ( x ) dx = F (b ) .F ( a ) . a b  f ( x ) dx = F (b ) + F ( a ) . Ⓓ. a a Câu 2: Trong các phép tính sau đây, phép tính nào sai? 2  x2  Ⓐ.  ( x + 1) dx =  + x  .  2 1 1 2 −2 1 x −3 Ⓑ. 2  cos xdx = ( sin x )   3 . Ⓓ.  e x dx = ( e x ) . −2 Ⓒ.  dx = ( ln x ) −3 . Câu 3: 2 3 1 1 Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm trên đoạn 1;3 , f ( 3) = 5 và 3  f  ( x ) dx = 6 . Khi đó f (1) bằng 1 Ⓐ. Câu 4: Ⓑ. 11. −1 . Ⓒ.1. F ( x ) là nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 2 3 + x x2 Ⓓ. 10. ( x  0 ) , biết rằng F (1) = 1 . Tính F ( 3) . Ⓐ. F ( 3) = 3ln 3 + 3 . Ⓑ. F ( 3) = 2ln 3 + 2 . Ⓒ. F ( 3) = 2ln 3 + 3 . Ⓓ. F ( 3) = 3 . Câu 5: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm trên 3 , f ( −1) = −2 và f ( 3) = 2 . Tính I =  f ‘ ( x )dx. −1 Ⓐ. I = 4. Câu 6: Cho các số thực a , b b Ⓐ.  Ⓑ. I = 3. ( a  b ) . Nếu hàm số f ( x ) dx = f  ( a ) − f  ( b ) . Ⓒ. I = 0. y = f ( x ) có đạo hàm là hàm liên tục trên Ⓑ. a b Ⓒ.  f  ( x ) dx = f ( a ) − f ( b ) .  f  ( x ) dx = f (b ) − f ( a ) . a b Ⓓ.  f ( x ) dx = f  (b ) − f  ( a ) . a PT 1.2 Cho F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) . Khi đó hiệu số F (1) − F ( 2 ) bằng Ⓐ. 2  − f ( x ) dx . 1 Câu 8: thì b a Câu 7: Ⓓ. I = −4. 1 Ⓑ.  F ( x ) dx . 2 2 Ⓒ.   − F ( x )  dx . Ⓓ. 1  f ( x ) dx . 1 Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f  ( x ) liên tục trên  a ; b  , f ( b ) = 5 và b  f  ( x ) dx = 1 , khi đó a f ( a ) bằng Ⓐ. −6 . 2 Ⓑ. 6 . St-bs: Duong Hung Ⓒ. −4 . Ⓓ. 4 . 19 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung Câu 9: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên  0;1 và thoản mãn Ⓑ. 1 . −2 .  f  ( x ) dx = −3 . Giá trị của 0 biểu thức f ( 0 ) − f (1) Ⓐ. 1 Ⓒ. 3 . Ⓓ. −3 . Câu 10: Cho hàm số y = x3 có một nguyên hàm là F ( x ) . Khẳng định nào sau đây là đúng? Ⓐ. F ( 2 ) − F ( 0 ) = 16 . Ⓑ. F ( 2 ) − F ( 0 ) = 1 . Ⓒ. F ( 2 ) − F ( 0 ) = 8 . Ⓓ. F ( 2 ) − F ( 0 ) = 4 . Câu 11: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn 1;3 thỏa mãn f (1) = 2 và f ( 3) = 9. Tính 3 I =  f  ( x ) dx . 1 Ⓐ. Ⓑ. I = 11 . 3 Câu 12: Tính tích phân I =  0 Ⓐ. I = − Ⓑ. I = ln . 2 Câu 13: Tính tích phân I =  1 Ⓓ. I = 18 . dx . x+2 5 2 21 . 100 Ⓐ. I = ln 3 −1. Ⓒ. I = 7 . I =2. 5 2 Ⓒ. I = log . Ⓓ. I = Ⓒ. I = ln 2 + 1 . Ⓓ. 4581 . 5000 1 dx . 2x −1 Ⓑ. I = ln 3 . I = ln 2 − 1 . Câu 14: Cho các số thực a, b ( a  b ) . Nếu hàm số y = F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số y = f ( x ) thì b Ⓐ.  b f ( x ) dx = F ( a ) − F ( b ) . Ⓑ.  F ( x ) dx = f ( a ) − f ( b ) . a b Ⓒ.  F ( x ) dx = f ( a ) − f ( b ) . Ⓓ.  f ( x ) dx = F (b ) − F ( a ) . a a Câu 15: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên tập F (1) = −3 và F ( 0 ) = 1 . Giá trị a b , một nguyên hàm của f ( x ) là F ( x ) thoả mãn 1  f ( x ) dx bằng 0 Ⓐ. −4 . Ⓑ. −3 . Ⓒ. −2 . Câu 16: Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn f ( 0 ) = 1 , f  ( x ) liên tục trên Ⓓ. 4. 3 và 0 f ( 3) là Ⓐ. 6 . Ⓑ. 3 . Ⓒ. 10 . Câu 17: Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn f ( 0 ) = 1 , f  ( x ) liên tục trên Ⓓ. 9 . 3 và  f  ( x ) dx = 9 . Giá trị của 0 f ( 3) là Ⓐ. 6 .  f  ( x ) dx = 9 . Giá trị của Ⓑ. 3 . St-bs: Duong Hung Ⓒ. 10 . Ⓓ. 9 . 20 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung 1 Câu 18: Tích phân  x(x ) + 3 dx bằng 2 0 Ⓐ. 2. 2 Câu 19: Ⓑ. 1. Ⓒ. . 4 7 Ⓓ. 7 . 4 Ⓒ. ln 2 . Ⓓ. 1 ln 2 . 3 dx  3x − 2 bằng 1 Ⓐ. 2ln 2 . Ⓑ. 2 ln 2 . 3 1   Câu 20: Cho hai số thực a, b   0;  thỏa mãn  dx = 10 . Giá trị của tan a − tan b bằng cos 2 x  2 a 1 1 Ⓐ. 10 . Ⓑ. − . Ⓒ. −10 . Ⓓ. . 10 10 BẢNG ĐÁP ÁN b 1.A 11.C 2.C 12.B 3.A 13 4.C 14.D 5.A 15.A 6.B 16.C 7.A 17.C 8.D 18.D 9.C 19.B 10.D 20.C  Dạng ②: Tích phân dùng tính chất .Phương pháp: Giả sử cho hai hàm số và liên tục trên ①. ②. ③. ④. ⑤. là ba số bất kỳ thuộc . Khi đó ta có . . . A – Bài tập minh họa: 2 Câu 1: Cho biết  f ( x ) dx = 3 và 0 Ⓐ. 2 2 0 0  g ( x ) dx = −2 . Tính tích phân I =  2 x + f ( x ) − 2 g ( x )dx . Ⓑ. I = 18 . I = 11 . Ⓒ. I = 5 . Ⓓ. I = 3 . PP nhanh trắc nghiệm Lời giải  Chọn A 2 Ta có I =   2 x + f ( x ) − 2 g ( x )dx  0 2 2 2 0 0 0 =  2 xdx +  f ( x ) dx − 2 g ( x )dx = 4 + 3 − 2. ( −2 ) = 11 . St-bs: Duong Hung 21 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung Câu 2: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên 2 và có  0 9 4 Ⓐ. I = . 4 4 2 0 f ( x )dx = 9;  f ( x )dx = 4 . Tính I =  f ( x )dx ? Ⓑ. I = 36 . Ⓒ. I = 13 . Ⓓ. I = 5 . PP nhanh trắc nghiệm Lời giải  Chọn C  Ta có 4 2 4 0 0 2  f ( x ) dx =  f ( x )dx +  f ( x )dx = 9 + 4 = 13 . 1 5 5 0 1 0  f ( x ) dx = −2 và  ( 2 f ( x ) ) dx = 6 khi đó  f ( x ) dx bằng Câu 3: Cho Ⓐ. 1 . Ⓑ. 2 . Ⓒ. 4 . Ⓓ. 3 . PP nhanh trắc nghiệm Lời giải  Chọn A  5 5 1 1  ( 2 f ( x ) ) dx = 6   f ( x ) dx = 3 5 1 5 0 0 1   f ( x ) dx =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx = −2 + 3 = 1 B – Bài tập rèn luyện: 2 Câu 1:  Nếu f ( x ) dx = 3, 1 Ⓐ. Câu 2: 5  5  f ( x ) dx f ( x ) dx = −1 thì Ⓑ. 2. Ⓒ. 3 . −2 . Cho f ( x ) , g ( x ) là hai hàm số liên tục trên b  Ⓐ. a b b a a Ⓒ.  f ( x ) dx = 0 . Ⓓ. a Cho f ( x ) , g ( x ) là hai hàm số liên tục trên Ⓐ. Ⓑ. b a a b b Ⓑ.  ( f ( x ) − g ( x ) ) dx =  f ( x ) dx −  g ( x ) dx . f ( x ) dx =  f ( y ) dy . b Ⓓ. 4 . . Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau. a Câu 3: bằng 1 2 a a b b b a a a  ( f ( x ) .g ( x )) dx =  f ( x ) dx. g ( x ) dx . . Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau?  f ( x ) dx =  f ( y ) dy . b b b a a a  ( f ( x ) − g ( x )) dx =  f ( x ) dx −  g ( x ) dx . Ⓒ. a f ( x ) dx = 0 . a St-bs: Duong Hung 22 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung b b b a a a Ⓓ.   f ( x ) g ( x ) dx =  f ( x ) dx. g ( x ) dx . Câu 4: 1 1 1 0 0 0  f ( x ) dx = 2 và  g ( x ) dx = 5 , khi đó   f ( x ) + 2 g ( x ) dx bằng Cho Ⓐ. −3 . Câu 5: Ⓑ. −8 . 1 1 0 0 0   f ( x ) − 2 g ( x ) dx = 12 và  g ( x ) dx = 5 , khi đó  f ( x ) dx bằng Cho 1  Cho Ⓑ. 12 . f ( x ) dx = 2 và Ⓓ. 2 .  1   f ( x ) − 7 g ( x ) dx bằng  g ( x ) dx = −7 , khi đó −1 Ⓑ. Ⓒ. 3 . c c a a b b Ⓓ. 1 .  f ( x ) dx = 50 ,  f ( x ) dx = 20 . Tính  f ( x ) dx . Cho Ⓐ. −30 . 1  Cho Ⓑ. 0 . f ( x ) dx = 2 và 0 1 Ⓒ. 70 .  g ( x ) dx = 5 , khi đó 0 Ⓐ. −3 . Câu 9:  1 1 Ⓐ. −3 . Câu 8: Ⓒ. 22 . −1 −1 Câu 7: Ⓓ. 1 . 1 Ⓐ. −2 . Câu 6: Ⓒ. 12 . 1   f ( x ) − 2 g ( x ) dx bằng 0 Ⓑ. 12 . Cho hàm số f ( x ) liên tục trên Ⓓ. 30 . Ⓒ. −8 . 6 thỏa mãn  0 Ⓓ. 1 . 10 6 3 3 f ( x )dx = 7,  f ( x )dx = 8,  f ( x )dx = 9 . Giá trị của 10 I =  f ( x )dx bằng 0 Ⓐ. I = 5 . Ⓑ. I = 6 . Ⓒ. I = 7 . 2 Câu 10: Cho hàm số f ( x) liên tục trên tập và thỏa mãn  Ⓓ. I = 8 . f ( x ) dx = 3 , 1 2  f ( x ) dx = −5 . Giá trị của biểu 0 1 thức  f ( x ) dx bằng 0 Ⓐ. 8 . Ⓑ. −11 . Câu 11: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên 1 Ⓐ.  f ( x )dx = 0 2 1 f ( x )dx . 2 0 1 Ⓒ.  f ( x )dx = 0 . −1 Ⓒ. −8 . Ⓓ. −2 . . Mệnh đề nào sau đây đúng? Ⓑ. 1  −1 1 1 f ( x )dx = 2 f ( x )dx . 0 1 Ⓓ.  f ( x )dx =  f (1 − x )dx . 0 0 Câu 12: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn 1; 4 , biết f ( 4 ) = 3, f (1) = 1 . Tính 4  2 f  ( x ) dx 1 St-bs: Duong Hung 23 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung Ⓐ. 10 . Ⓑ. 8 . Ⓒ. 4 . Ⓓ. 5 . 3 Câu 13: Cho các hàm số f ( x ) , g ( x ) liên tục trên có  3 f ( x ) + 2 g ( x ) dx = 1; 1 3 1  2 f ( x ) − g ( x ) dx = −3 . Tính  f ( 2 x + 1) dx . 1 0 −5 Ⓐ. . 7 10 Ⓑ. − . 7 Ⓒ. 11 . 14 Ⓓ. − 5 . 14 Câu 14: Cho f ( x ) và g ( x ) là các hàm số liên tục bất kì trên đoạn  a; b . Mệnh đề nào sau đây đúng ? b b b a a a  f ( x ) − g ( x ) dx =  f ( x ) dx −  g ( x ) dx . Ⓐ. b b b a a a Ⓑ. Ⓒ.  ( f ( x ) − g ( x ) ) dx =  f ( x ) dx −  g ( x ) dx . Ⓓ. 5 Câu 15: Biết  f ( x ) dx = 3 , 2 5  g ( x ) dx = 9. Tích phân 2 Ⓐ. 10 . Câu 16: Cho b a a a  ( f ( x ) − g ( x ) ) dx =  f ( x ) dx −  g ( x ) dx . b  ( f ( x ) − g ( x ) ) dx = a b  a b f ( x ) dx −  g ( x ) dx . a   f ( x ) + g ( x ) dx bằng 2 Ⓒ. 6 . 0 3 3 −1 0 −1 Ⓓ. 12 .  f ( x)dx = 3 f ( x)dx = 3 . Tính tích phân  f ( x)dx ? Ⓑ. 4 .  f ( x)dx = −2 và  g ( x)dx = −5 . Khi đó 0 0 Ⓐ. −10 . 0  −2 Ⓒ. 2 . 1 1 Câu 18: Cho b 5 Ⓑ. 3 . Ⓐ. 6 . Câu 17: Cho b 1   f ( x) + 3g ( x)dx Ⓒ. −17 . 2 f ( x)dx = 2,  f ( x)dx = 2 . Tích phân 0 Câu 19: Cho  f ( x ) dx = −1 và −1 Ⓐ. I = −4 .  f ( x)dx bằng −2 Ⓒ. 6 . 4 4 0 −1 Ⓓ. 1 .  f ( x ) dx = 3 . Khi đó, I =  f ( x ) dx bằng Ⓑ. I = 2 . Ⓒ. I = 4 . Câu 20: Cho hàm số f ( x) liên tục trên đoạn  0;3 và Ⓐ. I = 5 . Ⓓ. 1 . 2 Ⓑ. 3 . 0 bằng 0 Ⓑ. 12 . Ⓐ. 4 . Ⓓ. 0 . Ⓑ. I = −3 . Ⓓ. I = −2 . 2 2 3 0 3 0  f ( x)dx = 1 ,  f ( x)dx = 4 . Tính I =  f ( x)dx . Ⓒ. I = 3 . Ⓓ. I =4. BẢNG ĐÁP ÁN 1.A 11.D 2.D 12.C 3.D 13.D 4.C 14.B St-bs: Duong Hung 5.C 15.D 6.C 16.B 7.A 17.C 8.C 18.A 9.B 19.B 24 10.C 20.B Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung  Dạng ③: Tích phân sử dụng định nghĩa chứa tham số a, b, c -Phương pháp: ①. Dạng 1:I  Chú ý: . (với a≠0) I = ②. Dạng 2: ( với mọi ),é . • ,thì • thì thì I = • thì Đặt ③. Dạng 3: .( • Bằng phương pháp đồng nhất hệ số, ta tìm liên tục trên đoạn và sao cho: • Ta có I= Tích phân Tích phân = thuộc dạng 2. St-bs: Duong Hung 25 ) Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung A – Bài tập minh họa: 1 Câu 1: Cho biết x −1 3  x + 2dx = a + b ln 2 , với a , b là các số nguyên. Giá trị của biểu thức a − 2b bằng 0 Ⓐ. 6 Ⓑ. 3 . Ⓒ. −5 . Ⓓ. 7 . PP nhanh trắc nghiệm Lời giải Chọn D Casio: 1 x −1 3   = x − 3ln x + 2  Ta có:  dx =  1 − d x ( )  0 x+2 x+2 0 0 3 = (1 − 3ln 3) − ( 0 − 3ln 2 ) = 1 − 3ln . 2  Bước 1: Tính tích phân rồi lưu lại là A . a = 1  Suy ra  . Vậy a − 2b = 7 . b = −3 Bước 3: Table nhập f ( x ) = A − x ln 1 1 Bước 2: Rút a = A − b ln 3 . 2 với Start: −9 , End: 9, Step: 1 . 3 2 Được cặp số x = −3 , f ( x ) = 1 thỏa mãn. Suy ra a = 1 , b = −3 . 1 Câu 2: Cho xdx  ( 2 x + 1) 2 = a + b ln 2 + c ln 3 với a, b, c là các số hữu tỉ. Giá trị của a + b + c bằng 0 1 . 12 Ⓐ. Ⓑ. 5 . 12 1 3 Ⓒ. − . Ⓓ. PP nhanh trắc nghiệm Lời giải Chọn A 1  0 xdx ( 2 x + 1) 2 1 . 4  Đặt t = 2 x + 1  x = 1 1  1 ( 2 x + 1 − 1) dx 1  1 1 =  =  − d ( 2 x + 1) 2 2 2 0 ( 2 x + 1) 4 0  2 x + 1 ( 2 x + 1)  1 1  1 1 1  1 1 =  ln 2 x + 1 +  0 =  ln 3 + − 1 = ln 3 − . 4 2x +1  4 3  4 6 t −1 1 , dx = dt 2 2 t −1 1 3 1 1 1 dt =  ln t +  = ln 3 − 2 4t 4t  1 4 6 4 1 3 I =  Vậy: a + b + c = 1 12 1 1 1 Vậy a + b + c = − + = . 6 4 12 3 Câu 3: Cho  9x 2 2 Ⓐ. 15 . 1 − 5x dx = a ln b + c , với a, b, c là các số hữu tỷ. Giá trị của 9a + 11b + 22c bằng − 24 x + 16 Ⓑ. −10 . Ⓒ. 7 . Ⓓ. 9 . PP nhanh trắc nghiệm Lời giải  Chọn C St-bs: Duong Hung 26 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung  Ta có 1 − 5x 1 − 5x 2 9 x 2 − 24 x + 16dx = 2 ( 3x − 4 )2 dx = 2 3 3 3 − 5 17 ( 3x − 4 ) − 3 3 dx 2 ( 3x − 4 ) 5 dx 17 dx 5 d ( 3x − 4 ) 17 d ( 3x − 4 ) =−  −  =−  −  2 3 2 3x − 4 3 2 ( 3x − 4 ) 9 2 3x − 4 9 2 ( 3x − 4 )2 3 3 5 5 5 17 1  5 2 17  5 =  − ln 3x − 4 + .  = ln − 9 3x − 4  2 9 11 22  9 5 2 17  a = ,b = ,c = − 9 11 22 5 2 17  9a + 11b + 22c = 9. + 11. − 22. = −10 9 11 22 B – Bài tập rèn luyện: Câu 1: Tìm số thực a  0 thỏa mãn a (x 3 − 6 x ) dx = 1 Ⓐ. a = −4 . Ⓑ. a = −5 . 2 Câu 2: Giá trị của tích phân dx  2 x + 5 là 1 Ⓐ. 18. Giả sử Ⓒ. a = −6 . Ⓓ. a = −3 . 1 b ln ,. Tổng a + b + c bằng a c Ⓑ. 14. 5 Câu 3: 875 . 4 Ⓒ.16. Ⓓ. 10. dx  2 x − 1 = a + ln(b+ 1) , với a, b là các số nguyên không âm. Tính T = a + b ? 1 Ⓐ. 9. Ⓑ. 2. Ⓒ.-1. Ⓓ. 1. 1 2 Câu 4: Biết 2x −1 dx = a ln 3 + b ln 2 + c ( a, b, c là các số nguyên). Giá trị a + b − c bằng x +1 0  Ⓐ. 2 . Ⓑ. −4 . Ⓒ. 3 . Ⓓ. −1 .  2 Câu 5:  ( 4 − sin x ) dx = a + b , với a, b là các số nguyên. Giá trị của biểu thức a + b bằng Cho biết 0 Ⓐ. Ⓑ. 6 . −4 . Ⓒ. 1 . Ⓓ. 1 .  8 Câu 6: Cho I =  cos 2 2 xdx = 0  b b + , với a , b , c là các số nguyên dương, tối giản. Tính P = a + b + c c a c . Ⓐ. P = 15 . 1 Câu 7: Cho Ⓑ. P = 23 . x2 + 2 x  ( x + 1) 3 Ⓒ. P = 24 . Ⓓ. P = 25 . dx = a + b ln 2 với a , b là các số hữu tỷ. Giá trị của 16a + b là 0 Ⓐ. 17 . Ⓑ. 10 . St-bs: Duong Hung Ⓒ. −8 . Ⓓ. −5 . 27 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung 3 Câu 8: Cho x 1 2 2x + 1 dx = a ln 2 + b ln3 + c ln 5, (a, b, c  ) . Giá trị của a + b + c bằng + 3x + 2 Ⓐ. -1 Ⓑ. 4 Ⓒ.1 Ⓓ. 7 b Câu 9: Với a, b là các tham số thực. Giá trị tích phân  ( 3x 2 − 2ax − 1) dx bằng 0 Ⓐ. b − b a − b . 3 Ⓑ. b + b a + b . 3 2 Câu 10: Cho I =  Ⓒ. b3 − ba 2 − b . 2 x dx = a − ln b với a, b là các số nguyên dương. Giá trị a + b bằng x +1 1 0 Ⓐ. 3 . Ⓑ. 4 . Ⓒ. 5 . Ⓓ. 6 . 1 Câu 11: Có bao nhiêu số thực a  ( 0; 2π  sao cho  cos 2 ( ax ) dx = 0 Ⓐ. 2 . Ⓑ. 4 . 3 Câu 12: Cho x 2 1 1 1 + . 2 4a Ⓒ. 3 . Ⓓ. 1 . x+3 dx = a ln 2 + b ln 3 + c ln 5 , với a, b, c là các số nguyên. Giá trị của a + b + c bằng + 3x + 2 Ⓐ. 0 . Ⓑ. 2 . 1 Câu 13: Cho Ⓓ. 3b2 − 2ab − 1 . x  ( x + 2) 2 Ⓒ. 3 . Ⓓ. 1 . dx = a + b ln 2 + c ln 3 với a, b, c là các số hữu tỷ. Giá trị của 6a + b + c bằng 0 Ⓐ. 4 . Ⓑ. −2 . 3 Câu 14: Biết I =  1 Ⓒ. 2 . Ⓓ. 1. x+2 dx = a + b ln c , với a , b , c  , c  9 . Tính tổng S = a + b + c . x Ⓐ. S = 7 . Ⓑ. S = 5 . Ⓒ. S = 8 . Ⓓ. S = 6 . 2 x  10 a  Câu 15: Cho   x 2 +  dx = + ln với a, b  x +1 b b 1 Ⓐ. P = 1 . 2 Câu 16: Giả sử x 0 2 Ⓑ. P = 5 . 1 Ⓒ. P = 7 . Ⓓ. P = 2 . x −1 dx = a ln 5 + b ln 3 ; a, b  Q . Tính P = a 2 − 2b . + 4x + 3 Ⓐ. P = 10 . Câu 17: Cho . Tính P = a + b ? Ⓑ. P = 8 . xdx  ( x + 2) 2 Ⓒ. P = 3 . Ⓓ. P = 1 . = a + b ln 2 + c ln 3 với a, b, c là các số hữu tỷ. Giá trị của 3a + b + c bằng: 0 Ⓐ. −2 . 4 Câu 18: Cho Ⓑ. 2 . 1 1 a Ⓒ. 1 . Ⓓ. −1 . 1  x ( x + 2) dx = 4 ln b − c , với a, b, c là các số hữu tỷ. Giá trị của a + b − c bằng 2 3 Ⓐ. 7 . Ⓑ. −5 . Ⓒ. 14 . Ⓓ. 9 . BẢNG ĐÁP ÁN 1.C 2.A 3.B 4.D St-bs: Duong Hung 5.C 6.D 7.D 8.A 9.A 28 10.A Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung 11.A 12.B 13.B 14.A 15.B 16.A 17.D 18.B Hướng dẫn giải Câu 1: a  x4  a4 11 Ta có  ( x − 6 x ) dx =  − 3x 2  = − 3a 2 + . 4  4 1 4 1 a 3 Từ giả thiết ta có phương trình:  a 2 = 36 a4 11 875 − 3a 2 + = .  a4 − 12a2 − 864 = 0   2 4 4 4 a = − 24  Do a  0 nên a = −6 . Câu 2: 2 dx 1 d ( 2 x + 5) 1 1 9 =  = ( ln 2 x + 5 ) = ln . Ta có  1 2x + 5 2 1 2x + 5 2 2 7 1 2 2 Vậy a + b + c = 2 + 9 + 7 = 18 . Câu 3: 5 Ta có dx 1  2 x − 1 = 2 ln 2 x − 1 5 1 1 1 = (ln 9 − ln1) = ln 3 = ln(2 + 1) . 2 Vậy a = 0, b = 2  a + b = 2 . Câu 4: 1 2 1 2 1 3  2x − 1 3  2 d x = = 1 − 3ln = −3ln 3 + 3ln 2 + 1 . dx =   2 − 2 x − 3ln x + 1 ( )  0 2 x +1 0 0 x +1 Ta có:  Do đó: a = −3 , b = 3 , c = 1 . Vậy a + b − c = −1. Câu 5:    2 2 2 0 0 0   Ta có  (4 − sin x)dx = 4  dx −  sin x dx = 4 x 02 + cos x 02 = 2 − 1 . a = 2  a + b = 2 −1 = 1 . Suy ra  b = −1 Câu 6:      1 1 1 18  1 + cos 4 x   I =  cos 2 xdx =   d x = (1 + cos 4 x ) dx =  x + sin 4 x  8 = + .   2 4 2 20  0 16 8  0 0 8 8 2  a = 16 , b = 1, c = 8 . Vậy P = a + b + c = 16 + 8 + 1 = 25 . Câu 7: St-bs: Duong Hung 29 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung ( x + 1) − 1 dx = 1 1 dx − 1 x + 1 −3 dx = ln x + 1 1 − ( x + 1) d x = 0 ( x + 1)3 0 ( x + 1)3 0 x + 1 0 ( ) 0 −2 x2 + 2 x 1 Ta có 2 1 −2 1 0 3 = − + ln 2 8 . 3 Vậy a = − ; b = 1 và 16a + b = −5 . 8 Câu 8: 3 Ta có: 3 3 3 3 2x + 1 3 1 1 x 2 + 3x + 2 dx = 1 x + 2dx − 1 x + 1 dx = 3ln x + 2 1 − ln x + 11 = 3ln 5 − 3ln3 − ln 2 Vậy: a = −1; b = −3; c = 3  a + b + c = −1 . Câu 9: b  ( 3x 2 − 2ax − 1) dx = ( x3 − ax 2 − x ) = b3 − ab2 − b . b 0 0 Câu 10: Ta có: I =  1 0 1 1 x 1  dx =  1 − dx = ( x − ln x + 1 ) = 1 − ln 2.  0 0 x +1  x +1  Vậy: a = 1, b = 2  a + b = 3. 1 + cos ( 2ax ) cos ( 2ax ) 1 dx =  dx +  dx Câu 11: Ta có:  cos ( ax ) dx =  2 2 2 0 0 0 0 1 1 1 1 2 1 1 1 Mà  dx = và 2 2 0 1   cos 2 ( ax ) dx = 0 cos ( 2ax ) 1 0 2 dx = 4a sin ( 2ax ) 1 1 0 = 1 sin ( 2a ) . 4a 1 1 + sin ( 2a ) . 2 4a 1 Theo đề bài ta có:  cos 2 ( ax ) dx = 0 Nên sin ( 2a ) = 1  2a = Do a  ( 0;2   0  Với k = 0  a = π . 4 Với k = 1  a = 5π . 4 1 1 + . 2 4a π π + k 2π  a = + kπ, ( k  ) 2 4 π 1 7 + kπ  2π  −  k   k   0;1. 4 4 4 Vậy có 2 giá trị a  ( 0; 2π  thỏa mãn đề bài. Câu 12: St-bs: Duong Hung 30 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung x+3 x+3 2 1 1 x 2 + 3x + 2 dx = 1 ( x + 1)( x + 2 ) dx = 1 x + 1dx − 1 x + 2dx 3  3 3 3 3 = ( 2 ln x + 1 − ln x + 2 ) = 2 ln 2 + ln 3 − ln 5 1 Suy ra a = 2 , b = 1 , c = −1 . Nên a + b + c = 2 + 1 − 1 = 2 . Câu 13: 1  1 2  2  1  dx =   − = − − ln 2 + ln 3 .  dx =  ln x + 2 + Ta có   2 2  x + 2 ( x + 2)  x+20 3  0 ( x + 2) 0  1 Suy ra a = − , b = −1, c = 1 . 3 Vậy 6a + b + c = −2 . 3 3 3 x+2  2 Câu 14: Ta có I =  dx =  1 + dx = ( x + 2ln x ) = 2 + 2ln 3 . 1 x x 1 1 1 1 x Mà I = a + b ln c , với a , b , c  , c  9 . Suy ra a = 2 , b = 2 , c = 3 . Vậy S = a + b + c = 7 . Câu 15: x  1    2 x +1−1  2 Ta có   x 2 +  dx =   x +  dx =   x + 1 −  dx x +1 x +1  x +1 1 1 1 2 2 2 2  x3  10 10 2 10 a =  + x − ln x + 1  = + ln 2 − ln 3 = + ln = + ln . 3 3 b b  3 1 3 Suy ra a = 2; b = 3 . Vậy a + b = 5 . Câu 16: x −1 2   −1 0 x2 + 4 x + 3 dx = 0  x + 1 + x + 3  dx = − ln x + 1 + 2 ln x + 3  2 Ta có 2 2 0 = 2ln5 − 3ln3 .  a = 2 , b = −3 . Vậy P = a 2 − 2b = 10 . 1 Câu 17:   0 1 xdx ( x + 2) 2 = 0 1 dx dx −1 1 − 2 = ln x + 2 0 − 2. = − − ln 2 + ln 3 . 2 x + 2 0 ( x + 2) x+2 0 3 1 1 1 3   a = − ; b = −1; c = 1  3a + b + c = −1 . Câu 18: Ta có: 1 A Bx + C = +  1  Ax 2 + ( Bx + C )( x + 2 ) 2 x ( x + 2) x + 2 x 2 Khi đó, dùng kỹ thuật đồng nhất hệ số ta được St-bs: Duong Hung 31 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung 1  A = 4 1 1  A + B = 0  4 4 − x+   1 1 1   dx =   + 4 2 2 dx  2 B + C = 0   B = −   2 4 x ( x + 2) 4 x + 2) x 3 3 ( 2C = 1      1  C = 2  1 1  4 4 4 4 4 − x+   1 1 dx 1 dx 1 dx  1 x + 2 1  4 2 + − + = ln −  Khi đó ta có:   dx =  4 x + 2) x2 4 3 x + 2 4 3 x 2 3 x 2  4 x 2x  3 3 (      a = 9, b = 10, c = 24  a + b − c = −5 . St-bs: Duong Hung 32 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung Full Chuyên đề 12 new 2020-2021 CHƯƠNG ③: FB: Duong Hung Bài 3: TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ  Dạng ①: Phương pháp tích phân bằng cách đổi biến số cơ bản .Phương pháp: Cho hàm số liên tục trên đoạn Giả sử hàm số liên tục trên đoạn và Giả sử có thể viết tục trên đoạn Khi đó, ta có . Để tính tích phân:  .Bước 1: có đạo hàm với liên ta thực hiện các bước: Biến đổi để chọn phép đặt . Bước 2. Thực hiện phép đổi cận:  Với thì ; . Bước 3. Đưa về dạng thì . (Ghi Nhớ : đổi biến phải đổi cận) đơn giản và dễ tính hơn. . Dấu hiệu nhận biết và cách đặt. Dấu hiệu Có thể đặt . Có căn . Có ngoặc . Có mũ . Có . Có hoặc biểu thức chứa hoặc biểu thức chứa . Có . Có . Có . Có . Có mẫu: St-bs: Duong Hung mẫu 33 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung A – Bài tập minh họa: 1 Câu 1: Tính tích phân I =  x(1 + x 2 )4 dx 0 Ⓐ. I = 16 5 Ⓑ. I = 31 10 Lời giải Ⓒ. I = 1 10 Ⓓ. I = − 1 10 PP nhanh trắc nghiệm Chọn B  Casio:  Đặt t = 1 + x2  dt = 2 xdx . Đổi cận x = 0  t = 1 ; x = 1  t = 2 2 t4 31 Nên I =  dt = 2 10 1 2 Câu 2: Tính tích phân I =  2 x x 2 − 1dx bằng cách đặt u = x 2 − 1, mệnh đề nào dưới đây đúng? 1 2 3 Ⓑ. I =  udu Ⓐ. I = 2 udu 1 0 3 Ⓒ. I =  udu Ⓓ. I = 0 Lời giải 2 1 udu 2 1 PP nhanh trắc nghiệm Chọn C  Casio: xét hiệu bằng 0 2  I =  2 x x 2 − 1dx 1 Đặt u = x 2 − 1  du = 2 xdx . Đổi cận x = 1  u = 0 ; x = 2  u = 3 3 Nên I =  udu 0  Câu 3: Tính tích phân I =  cos3 x.sin xdx . 0 1 4 Ⓐ. I = −  4 Ⓑ. I = − 4 Lời giải Ⓒ. I = 0 Ⓓ. I = − 1 4 PP nhanh trắc nghiệm Chọn C  Ta có: I =  cos3 x.sin xdx .  Sử dụng máy tính, tính tích phân hàm lượng giác phải chuyển về đơn vị radian. 0 St-bs: Duong Hung 34 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung Đặt t = cos x  dt = − sin xdx  −dt = sin xdx Đổi cận: với x = 0  t = 1 ;với x =   t = −1 . −1 1 t4 Vậy I = −  t dt =  t dt = 4 1 −1 3 14 ( −1) = − = 0. 4 4 −1 1 3 4 B – Bài tập rèn luyện: 1 Câu 1: Cho tích phân I =  x (1 − x ) dx . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 5 0 0 0 Ⓑ. I = −  ( t 6 − t 5 ) dt . Ⓐ. I = −  t 5 (1 − t ) dt . −1 −1 0 1 Ⓓ. I = −  ( t 6 − t 5 ) dt . Ⓒ. I =  t 5 (1 − t ) dt . −1 0 4 Câu 2: Cho I =  x 1 + 2 x dx và u = 2 x + 1 . Mệnh đề nào dưới đây sai? 0 3 1  u5 u3  Ⓐ. I =  −  . 2  5 3 1 3 Ⓑ. I =  u 2 ( u 2 − 1) du . 1 3 3 1 Ⓓ. I =  u 2 ( u 2 − 1) du . 21 1 Ⓒ. I =  x 2 ( x 2 − 1) dx . 21 3 Câu 3: x dx . x −1 Tính K =  2 2 Ⓐ. 1 2 8 3 Ⓑ. K = ln . K = ln 2 . Ⓒ. K = 2 ln 2 . 8 3 Ⓓ. K = ln .  Câu 4: Tích phân  cos2 x.sin x dx bằng 0 3 Ⓐ. − . 2 Ⓑ. 2 . 3 3 2 2 3 Ⓒ. − . Ⓓ. . 2 Câu 5: Cho I =  2 x x 2 − 1dx và u = x 2 − 1. Mệnh đề nào dưới đây sai? 1 3 Ⓐ. I =  udu . 0 2 Ⓑ. I = 27 . 3 2 Ⓒ. I =  u du . 1 2 32 Ⓓ. I = 3 . 3  cot 3 x Cho I =  2 dx và u = cot x . Mệnh đề nào dưới đây đúng  sin x 2 Câu 6: 4  2 Ⓐ. I =  u 3du .  1 Ⓑ. I =  u 3du . 0 1 Ⓒ. I = − u 3du . 0 1 Ⓓ. I =  udu . 0 4 ln 5 Câu 7: Cho I =  ln 2 (e x + 1) e x e −1 x dx . Đặt t = e x − 1 . Chọn mệnh đề đúng. St-bs: Duong Hung 35 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung 4 ln 5 Ⓐ. I = 2 ( t 2 + 2 )dt . Ⓑ. I =  (t 2 + 2)dt . 1 ln 2 4 2 Ⓓ. I =  ( t 2 + 2 )dt . Ⓒ. I = 2 ( t 2 + 2 )dt . 1 1 4 Câu 8: Cho I =  x 1 + 2 x dx và u = 2 x + 1 . Mệnh đề nào dưới đây sai? 0 3 1  u5 u3  Ⓐ. I =  −  . 2  5 3 1 Ⓒ. I = 1 1 2 2 x ( x − 1) dx . 2 1 Ⓓ. I = 3 1 2 2 u ( u − 1) du . 2 1 x dx . x −1 Tính K =  2 2 Ⓐ. Ⓑ. I =  u 2 ( u 2 − 1) du . 3 3 Câu 9: 3 1 2 8 3 Ⓑ. K = ln . K = ln 2 . Ⓒ. K = 2 ln 2 . 8 3 Ⓓ. K = ln .  cot 3 x Câu 10: Cho I =  2 dx và u = cot x . Mệnh đề nào dưới đây đúng  sin x 2 4  1 2 Ⓐ. I =  u 3du . Ⓑ. I =  u 3du .  0 1 Ⓒ. I = − u 3du . 0 1 Ⓓ. I =  udu . 0 4 ln 5 Câu 11: Cho I =  (e x + 1) e x e −1 x ln 2 4 dx . Đặt t = e x − 1 . Chọn mệnh đề đúng. ln 5 Ⓐ. I = 2 ( t 2 + 2 )dt . Ⓑ. I =  (t 2 + 2)dt . 1 ln 2 4 2 Ⓓ. I =  ( t 2 + 2 )dt . Ⓒ. I = 2 ( t 2 + 2 )dt . 1 1  3 Câu 12: Cho I =  sin x cos 2 xdx , khẳng định nào sau đây đúng? 0 Ⓐ. 1 3 1 1 I . 3 2 Ⓑ. 0  I  . Ⓒ. 1 2 I . 2 3 2 3 Ⓓ.  I  1 . 1 dx , m là số thực dương. Tìm tất cả các giá trị của m để I  1 . 2x + m 0 1 1 1 1 Ⓐ. 0  m  . Ⓑ. m  . Ⓒ. m  0 . Ⓓ.  m  . 4 8 4 4 Câu 13: Cho I =  2 2 Câu 14: Cho tích phân I =  16 − x 2 dx và x = 4sin t . Mệnh đề nào sau đây đúng? 0  4 Ⓐ. I = 8 (1 + cos 2t ) dt . 0 St-bs: Duong Hung  4 Ⓑ. I = 16 sin 2 tdt . 0 36 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung   4 4 Ⓒ. I = 8 (1 − cos 2t ) dt . Ⓓ. I = −16 cos2 tdt . 0 0 BẢNG ĐÁP ÁN 1.C 11.C 2.B 12.B 3.B 13.A 4.B 14.A 5.C 6.B 7.C 8.B 9.B 10.B  Dạng ②: Tích phân đổi biến chứa tham số a, b, c cơ bản -Phương pháp: . Để tính tích phân:  .Bước 1: ta thực hiện các bước: Biến đổi để chọn phép đặt . Bước 2. Thực hiện phép đổi cận:  Với thì ; . Bước 3. Đưa về dạng thì đơn giản và dễ tính hơn. A – Bài tập minh họa: 1 Câu 1: Cho biết x x 2 + 1dx = 0 Ⓐ. − 5 . a 2 −1 với a , b là các số tự nhiên. Giá trị của a 2 − b2 bằng b Ⓑ. 5. Ⓒ. 2. PP nhanh trắc nghiệm Lời giải Chọn A  Đặt Tính tích phân rồi lưu lại là A . x 2 + 1 = t  x 2 + 1 = t 2  x dx = t dt . Rút b = Ta có x = 0  t = 1, x = 1  t = 2 . 1 Khi đó: x Ⓓ.7. 2 x 2 + 1dx = t 2 1 0 dt = 2 t 2 2 −1  a = 2, b = 3. = 31 3 3 Câu 2: Cho x 2 −1 với Start: A 0 , End: 18 , Step: 1 .  table f ( x ) = Được cặp số x = 2 , f ( x ) = 3 Vậy a 2 − b2 = −5 . e a 2 −1 . A thỏa mãn. Suy ra a = 2 , b = 3 . ln x  x ( ln x + 2) dx = a + b ln 2 + c ln 3 2 với a , b , c là các số hữu tỷ. Giá trị của 3a + b + c 1 bằng Ⓐ. −2 . Ⓑ. St-bs: Duong Hung −1 . Ⓒ. 2. Ⓓ. 1 . 37 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung PP nhanh trắc nghiệm Lời giải  Chọn B 1 dx . x  Đặt t = ln x  dt = Đổi cận: x = 1  t = 0 ; x = e  t = 1 . Khi đó: e I = 1 1 ln x x ( ln x + 2 ) t dx =  2 0 (t + 2) 2 dt 1  t +2−2 1 2  = d t = −  2 0  t + 2 ( t + 2 )2  dt 0 (t + 2)   1 1 1  1  =  ln t + 2 + 2.  = − − ln 2 + ln 3 . t+20 3  1 Suy ra: a = − ; b = −1 ; c = 1 . 3 Do đó: 3a + b + c = −1 . ln 6 Câu 3: Biết  1+ 0 ex ex + 3 Ⓐ. T = −1 . dx = a + b ln 2 + c ln 3 với a , b , c là các số nguyên. Tính T = a + b + c . Ⓑ. T = 0 . Ⓓ. T = 1 . Ⓒ. T = 2 . PP nhanh trắc nghiệm Lời giải  Chọn B ln 6  Xét I =  1+ 0 x ex e +3 x dx . Đặt t = e x + 3  t 2 = e x + 3  2tdt = e dx . Đổi cận x = 0  t = 2 , x = ln 6  t = 3 . 3 2t 2   dt =   2 −  dt = ( 2t − 2 ln t + 1 ) 2 t +1 t +1  2 2 = 2 − 4ln 2 + 2ln 3 . 3 Khi đó I =  3 Suy ra a = 2 , b = −4 , c = 2 nên T = a + b + c = 0 . B – Bài tập rèn luyện: St-bs: Duong Hung 38 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung 5 Câu 1: Tính tích phân I =  1 dx ta được kết quả I = a ln 3 + b ln 5. Giá trị S = a 2 + ab + 3b2 là x 3x + 1 Ⓐ. 0 . Ⓑ. 4 . e Câu 2: c dx = a ln 3 + b ln 2 + , với a, b, c  . Khẳng định nào sau đâu đúng. 3 x ( ln x + 2 ) 2 Ⓐ. a2 + b2 + c2 = 1 . 4 Cho  3x 3 Ⓐ. Ⓒ. 14 . Ⓓ. 9 . dx = a ln 2 + b ln 3 + c ln 5 , trong đó a, b, c  . Tính giá trị của T = a + b + c . x +x 2 3 Câu 5: Ⓑ. −15 . −12 . Biết I =  Ⓐ. Ⓑ. a2 + b2 + c2 = 11 . Ⓒ. a2 + b2 + c2 = 9 . Ⓓ. a 2 + b2 + c2 = 3 . 2x +1 3 dx = a ln + b ln c , với a, b, c là các số hữu tỷ. Giá trị của 5a + 15b −11c bằng 2 − x−2 2 4 Câu 4: Ⓓ. 5 . ln x Cho I =  1 Câu 3: Ⓒ. 1 . T = 2. Giả sử tích phân I =  Ⓒ. 1 dx = a + b ln 3 + c ln 5 ( a, b, c  5 1 1 + 3x + 1 4 3 8 3 Ⓐ. a + b + c = . Ⓓ. T = 5 . Ⓑ. T = 3 . Ⓑ. a + b + c = . T = −1 . 5 3 Ⓒ. a + b + c = . ) . Khi đó: 7 3 Ⓓ. a + b + c = .  2 + 3tan x dx = a 5 + b 2, với a, b  . Tính giá trị biểu thức A = a + b. 1 + cos 2 x 0 1 2 4 7 Ⓐ. . Ⓑ. . Ⓒ. . Ⓓ. . 12 3 3 3 e ln x Cho  dx = a + b ln 2 + c ln 3 với a , b , c là các số hữu tỷ. Giá trị của 3a + b + c bằng 2 1 x ( ln x + 2 ) 4 Câu 6: Câu 7: Cho  Ⓐ. −2 . 3 Câu 8: Cho Ⓑ. ln x  ( x + 1) 2 dx = 1 −1 . Ⓒ. 2. Ⓓ. 1 . a a  ln 3 − c  ln 2 với a, b, c  * và phân số tối giản. Giá trị của a + b + c b b bằng Ⓐ. 8 . Ⓑ. 7 . ln 6 Câu 9: Biết  1+ 0 ex ex + 3 e  1 thức Ⓓ. 9 . dx = a + b ln 2 + c ln 3 với a , b , c là các số nguyên. Tính T = a + b + c . Ⓐ. T = −1 . Câu 10: Cho biết Ⓒ. 6 . Ⓑ. T = 0 . Ⓒ. T = 2 . Ⓓ. T = 1 . ln x + 3 a dx = + b 3 , với a , b là các số nguyên. Giá trị của biểu x 3 1 + log 2 a bằng 2b Ⓐ. -1. Ⓑ. 1 Câu 11: Cho biết x 0 x 2 + 1dx = 7 . 2 Ⓒ. 8. Ⓓ.6. a 2 −1 với a , b là các số tự nhiên. Giá trị của a 2 − b2 bằng b St-bs: Duong Hung 39 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung Ⓐ. − 5 . Ⓑ. 5. Ⓒ. 2. Ⓓ.7. BẢNG ĐÁP ÁN 1.D 2.D 3.A 4.A 5.B 6.A 7.B 8.A 9.B 10.C 11.A  Dạng ③: Tích phân hàm ẩn đổi biến số cơ bản -Phương pháp: Tính tích phân .Giả sử được viết dưới dạng ,trong đó hàm số có đạo hàm trên , hàm số y=f(u) liên tục sao cho hàm hợp xác định trên và là hai số thuộc . Khi đó Chú ý: Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ số thay cho . Như vậy tích phân không phụ thuộc vào biến tức là A – Bài tập minh họa: Câu : Biết f ( x ) là hàm liên tục trên Ⓐ. 0 . Ⓑ. 27 . và 9 4 0 1  f ( x )dx = 9 . Khi đó giá trị của  f ( 3x − 3)dx là Ⓒ. 3 . Ⓓ. 24 . PP nhanh trắc nghiệm Lời giải Chọn C m  Đặt u = 3x − 3 , suy ra du = 3dx .  Đổi cận: x = 1 thì u = 0 ; x = 4 thì u = 9 .  Ta có: 4 9 9 9 1 1 1 1 1 f ( 3x − 3)dx = 0 3 f ( u )du = 3 0 f ( u )du = 3 0 f ( x )dx = 3 .9 = 3. . 4  Vậy  f ( 3x − 3)dx = 3 . 1  Nếu có  f ( x )dx = M thì n   f ( ax + b )dx =  M ; a n = a. + b, m = a. + b  Áp dụng: 9 =3 3 Câu 2: Cho hàm số f ( x) liên tục trên R và thỏa mãn f ( x3 + 2 x − 2) = 3x − 1 với x  R . Tính 10 tích phân I =  f ( x)dx 1 St-bs: Duong Hung 40 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung Ⓐ. 151 . Ⓒ. 121 . Ⓑ. 27 . 4 Ⓓ. 4 105 . 6 PP nhanh trắc nghiệm Lời giải  Chọn A Đặt x = t 3 + 2t − 2  dx = ( 3t 2 + 2t ) dt ,    x = 1  t + 2t = 3  t = 1  Đổi cận :  3   x = 10  t + 2t = 12  t = 2 3 2 2 Ta có I =  f (t + 2t − 2). ( 3t + 2t )dt =  ( 3t − 1) ( 3t 2 + 2t )dt 3 2 1 1 2  9t  151 + t3 − t2  = =  ( 9t 3 + 3t 2 − 2t ) dt =  4  4 1 1 2 4 Câu 3: Cho Cho hàm số f ( x) liên tục trên R và thỏa mãn 2021  f ( x)dx = 2 . Tính tích phân 0 e2021 −1  x . f ( ln( x 2 + 1) ) .dx x +1 Ⓐ. 3 . Ⓑ. 5 . I= 2 0 Ⓓ. −3 . Ⓒ. 1 . PP nhanh trắc nghiệm Lời giải  Chọn C  Đặt t = ln ( x 2 + 1)  dt = 2x x 1 dx  2 dx = dt , x +1 x +1 2 2  x = 0  t = 0  Đổi cận :  2021   x = e − 1  t = 2021  Ta có I = 1 2 2021  f (t )dt = 0 1 2 2021  0 1 f ( x)dx = .2 = 1 2 B – Bài tập rèn luyện: Câu 1: Cho  f ( x )dx = 4 , khi đó  f ( 2 x + 1) dx 1 3 1 0 Ⓐ. 8 . Câu 2: Ⓑ. 2 . Cho hàm số f ( x ) liên tục trên bằng Ⓒ. 1 . 2 3 2 Ⓓ. . 3 và thỏa mãn  f ( x ) dx = 2 . Tính 1 1 I =   f ( 2 x + 1) + 2 x + 1 dx . 0 Ⓐ. I = 11 . Ⓑ. I = 3 . St-bs: Duong Hung Ⓒ. I = 14 . Ⓓ. I = 6 . 41 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung 1 9 Câu 3: f ( x )dx = 10 . Tính tích phân J =  f ( 5 x + 4 )dx .  Cho 0 4 Ⓐ. J = 2 . Câu 4: Ⓑ. J = 10 . Cho hàm số f ( x ) liên tục trên Ⓒ. J = 50 . 8  và 2 Ⓐ. 30 . Câu 5: Ⓓ. J = 4 . 3 3 f ( x ) dx = 10 . Tính I =  f ( 3x − 1) dx . 21 Ⓑ. 10 . Ⓒ. 20 . Ⓓ. 5 . 2 Cho f ( x ) là hàm số chẵn, liên tục trên . Biết rằng  f ( x )dx = 8 và −1 3  f ( 2 x )dx = 3 . Tính 1 6 tích phân  f ( x )dx . −1 Ⓐ. 14 . 4 Câu 6:  Cho 0 Ⓑ. 11 . 4  Biết 2 0 Ⓒ. I = 4036 . Ⓑ. I = 2018 . f ( x ) dx = 5 và 5  f ( x ) dx = 20 . Tính 4 1 15 Ⓐ. I = . 4 Cho Câu 9: Ⓓ. I = 1009 . ln 2  f ( 4 x − 3) dx −  f ( e ) e 2x Ⓑ. I = 15 . 2x dx . 0 5 Ⓒ. I = . 2 Ⓓ. I = 25 . 2 f x dx 2018 . Tính tích phân I f (4 2 x) dx . f (2 x) 0 Ⓐ. I 2 1 4 Câu 8: Ⓓ. 2 . f ( x)dx = 2018 . Tính tích phân I =   f (2 x) + f (4 − 2 x) dx Ⓐ. I = 0 . Câu 7: Ⓒ. 5 . 0 Ⓑ. I 0. Ⓒ. I 2018 . 4036 . Giả sử hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn 0; 2 thỏa mãn Ⓓ. I 1009 . 2  f ( x )dx = 6 . Tính tích phân 0  2 I =  f ( 2sin x ) cos xdx. 0 Ⓑ. −3 . Ⓐ. 3 . Ⓓ. −6 . Ⓒ. 6 . 4 1 1 0 Câu 10: Cho I =  f ( t )dt = 9 . Tính tích phân J =  f ( 3x + 1)dx . Ⓐ. 9. Ⓑ. 27. Ⓒ. 3. Ⓓ.1.  1 Câu 11: Cho  0 Ⓐ. 4 f ( x ) dx = 2019 . Giá trị của I =  f ( cos 2 x ) sin 2 xdx bằng 0 2019 . 4 Ⓑ. − 2019 . 2 Ⓒ. 4038 . 4 2 0 0 Ⓓ. 2019 . 2 Câu 12: Cho tích phân I =  f ( x ) dx = 32. Tính tích phân J =  f ( 2 x ) dx. Ⓐ. J = 32. Ⓑ. J = 64. St-bs: Duong Hung Ⓒ. J = 8. Ⓓ. J = 16. 42 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung 1 có  2 f ( x ) dx = 2 và Câu 13 ho hàm số f x liên tục trên 0 Ⓐ. I = 5. Ⓑ. I = 4. 2 3 0 0  f ( x + 1) dx = 4 . Tính I =  f ( x ) dx . Ⓒ. I = 6. Ⓓ.I = 7.  2 Câu 14: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên và  f ( x ) dx = 2018 . Tính I =  xf ( x ) dx . 2 0 0 Ⓐ. I = 1008 . Ⓑ. I = 2019 . Ⓒ. I = 2017 . 1 Câu 15: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên và có  0 2 Câu 16: Cho  Ⓑ. I = . 4 f ( x )dx = 2 Khi đó I =  Ⓐ. 4. 8  Ⓑ. 1 0 −1 Ⓒ. I = 5 . Ⓓ. I = Ⓒ. 1. Ⓓ.2. 3 2 ( x )dx bằng x 1 1 Câu 17: Cho f 3 f ( x ) dx = 2;  f ( x ) dx = 8. Tính I =  f ( 2 x − 1 ) dx 2 3 Ⓐ. I = 6 . Ⓓ. I = 1009 . 1 . 2 1 f ( x + 1) dx = 10 . Tính J =  f ( 5x + 4 ) dx . 0 3 Ⓒ. J = 50 . Ⓑ. J = 10 . Ⓐ. J = 4 . Ⓓ. J = 2 BẢNG ĐÁP ÁN 1.B 11.D 2.B 12.D 3.A 13.A 4.D 14.D St-bs: Duong Hung 5.A 15.C 6.B 16.A 7.A 17.D 8.B 9.A 43 10.C Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung Full Chuyên đề 12 new 2020-2021 CHƯƠNG ③: FB: Duong Hung Bài 5: DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG  Dạng ①: Phương pháp tính phân từng phần cơ bản . Định lí:  Nếu và là các hàm số có đạo hàm liên tục trên thì: . Hay .Phương pháp chung: • Bước 1: Viết làm dưới dạng bằng cách chọn một phần thích hợp của và phần còn lại • Bước 2: Tính và • Bước 3: Tính và .Cách đặt u và dv trong phương pháp tích phân từng phần. Đặt u theo thứ tự ưu tiên: Lô-đa-lượng-mũ u P(x) dv .Chú ý: Nên chọn phần của là phần của lnx P(x) P(x)dx cosxdx cosxdx mà khi lấy đạo hàm thì đơn giản, chọn là vi phân một hàm số đã biết hoặc có nguyên hàm dễ tìm.  Dạng ①: Tích phân chứa đa thức với lượng giác hoặc mũ ①. Loại 1: .Phương pháp: Đặt: . St-bs: Duong Hung 44 là Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung A – Bài tập minh họa: 2 Câu 1: Tính tích phân I =  xe x dx . 1 Ⓐ. I = e2 . Ⓑ. I = −e2 . Ⓒ. I = e . Ⓓ. I = 3e2 − 2e . Lời giải PP nhanh trắc nghiệm  Tính tích phân Chọn A u = x du = dx  Đặt  x x dv = e dx v = e 2 I =  xe x dx = xe x 2 2 1 1 −  e x dx = 2e 2 − e − e x 2 1 1 = 2e 2 − e − ( e 2 − e ) = e 2 . + Kiểm tra các đáp án: A − e2 = 0 (đúng). 1 Câu 2: Tính tích phân I =  ( x − 2)e2 x dx . 0 Ⓐ. I = 5 − 3e2 . 4 Ⓑ. I = 5 − 3e2 . 4 Ⓒ. I = Lời giải 5 − 3e2 . 4 Ⓓ. I = 5 − 3e2 . 4 PP nhanh trắc nghiệm Chọn B du = dx u = x − 2    Đặt  1 2 x (chọn C = 0 ) 2x dv = e dx v = e  2  Tính tích phân: 1 2x 1 2x 5 − 3e2 .  I = ( x − 2) e −  e dx = 2 20 4 0 1 1 +Kiểm tra các đáp án:  Câu 3: Tích phân  (3x + 2) cos 2 x dx bằng 0 3 4 Ⓐ.  2 −  . 3 4 Ⓑ.  2 +  . St-bs: Duong Hung 1 4 Ⓒ.  2 +  . 1 4 Ⓓ.  2 −  . 45 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung Lời giải PP nhanh trắc nghiệm Chọn B   Tính tích phân:  Đặt I =  ( 3x + 2 ) cos2 x dx . Ta có: 0  = = 1 ( 3x + 2)(1 + cos 2 x ) dx 2 0    1 1 3 x + 2 d x + ) ( 3x + 2 ) cos 2 x dx  = ( I1 + I 2 ) .  (  2 0 0  2   3 3   I1 =  ( 3x + 2 ) dx =  x 2 + 2 x  =  2 + 2 . 2 0 2 0  Kiểm tra các đáp án:  I 2 =  ( 3x + 2 ) cos 2 x dx . Dùng tích phân từng phần 0 du = 3dx u = 3x + 2   Đặt  . 1 dv = cos 2 x dx v = sin 2 x  2 Khi đó   1 3 I 2 = ( 3x + 2 ) sin 2 x −  sin 2 x dx 2 20 0  3 = 0 + ( cos 2 x ) = 0 . 4 0 13  3 Vậy I =   2 + 2  =  2 +  22  4 B – Bài tập rèn luyện: 1 2 2x Câu 1: Xét tích phân I =  (2 x − 4)e dx Nếu đặt u = 2 x 2 − 4, v ‘ = e2 x , ta được tích phân: 0 1 I =  ( x) 0 −  2 xe2 x dx , trong đó: 1 0 Ⓐ.  ( x) = ( x 2 − 2)e2 x . Ⓑ.  ( x) = (2 x 2 − 4)e2 x . Ⓒ.  ( x) = ( x2 − 2)e x .Ⓓ. 1 2  ( x) = (2 x 2 − 4)e x .  2 Câu 2: Tính tích phân I =  x cos xdx 0  2 Ⓐ. I = .  2  3  3 Ⓒ. I = . Ⓓ. I = − . Ⓑ. e − 1. Ⓒ. 1 . Ⓓ. 1 x Câu 3: Tính  xe dx 0 Ⓐ. e . 1 2 Ⓑ. I = + 1 . St-bs: Duong Hung 1 e −1 . 2 46 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung  Câu 4: L =  x sin xdx 0 Ⓐ. L =  . Ⓑ. L = −2 . Ⓒ. L = 0 . Ⓓ. L = − .  Câu 5:  ( x + 2) cos 2xdx 0 1 4 Ⓐ. 0 . Ⓑ. − . Ⓒ. 1 . 4 Ⓓ. 1 . 2  4 Câu 6:  xcos2xdx bằng 0 Ⓐ. −2 . 8 Ⓑ.  −1 . 4  2 Ⓒ. 3 − . Ⓓ. 2 −  2 1 3x Câu 7: Tính tích phân I =  ( x + 1)e dx 0 5 9 2 5 9 9 2 9 Ⓐ. I = e3 − . Ⓑ. I = − e3 . 2 9 5 9 5 9 2 9 5 9 2 9 Ⓒ. I = e3 − . Ⓓ. I = e3 + . Ⓒ. 1 − e . Ⓓ. −1 . 1 1− x Câu 8: Tính tích phân I =  xe dx 0 Ⓐ. 1 . Ⓑ. e − 2 . 1 3x Câu 9: Tính tích phân I =  ( x + 1)e dx 0 5 9 2 5 9 9 2 9 Ⓐ. I = e3 − . Ⓑ. I = − e3 . 2 9 5 9 Ⓒ. I = e3 − . Ⓓ. I = e3 + . Ⓒ. 1 − e . Ⓓ. −1 . 1 1− x Câu 10: Tính tích phân I =  xe dx 0 Ⓐ. 1 . Ⓑ. e − 2 . BẢNG ĐÁP ÁN 1.A 2.C 3.C 4.A St-bs: Duong Hung 5.A 6.A 7.A 8.D 9.A 47 10.D Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung  Dạng ②: Tích phân chứa đa thức và ln ②. Loại 2: -Phương pháp: .Đặt: A – Bài tập minh họa: e Tích phân  x ln xdx bằng Câu 1: 1 2 e2 − 1 Ⓒ. . 4 e2 Ⓑ. − 1 . 4 e 1 Ⓐ. + . 4 4 Lời giải 1 e2 Ⓓ. − . 2 4 PP nhanh trắc nghiệm Chọn D  Casio: x2 x x2 x2 e2 + 1 e e x ln xdx = ln x − dx = ( − + ln x) = 1 1 1 1 2 2 4 2 4 e e 5 Câu 2: Tính tích phân I =  ( x + 1) ln ( x − 3) dx ? 4 Ⓐ. 10ln 2 . Ⓑ. 10 ln 2 + 19 . 4 Ⓒ. 19 − 10 ln 2 . 4 Lời giải  Chọn D Ⓓ. 10 ln 2 − PP nhanh trắc nghiệm  Casio: 1  du = dx u = ln ( x − 3)  x −3 Đặt  .  dv = x + 1 v = 1 x 2 + x  2 1 2 5 x +x 5 1   I =  x 2 + x  ln ( x − 3) −  2 dx 4 4 x −3 2  = 35 1 x2 − 9 + 9 x −3+3 ln 2 −  dx −  dx 2 2 4 x −3 x −3 4 = 35 19  ln 2 −  + 3 + 9 ln 2  − (1 + 3ln 2 ) 2 22  5  Kiểm tra các đáp án: 5 St-bs: Duong Hung 19 . 4 48 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung = 10 ln 2 − 19 . 4 e Câu 3: Tính  x2 ln xdx 1 Ⓐ. 2e 3 + 1 . 9 Ⓑ. 2e 3 − 1 . 9 Ⓒ. e3 − 2 . 9 Lời giải Ⓓ. e3 + 2 . 9 PP nhanh trắc nghiệm Chọn A  Casio  1 du = dx u = ln x  x   2 1 dv = x dx v = x 3  3 e e 1  1 1 1  I =  x 3 ln x  −  x 2 dx = e 3 − x 3 3 9 1 3 1 3 1 1 e 3 − 1 2e 3 + 1 = e3 − = 3 9 9 e B – Bài tập rèn luyện: e Câu 1: Tính tích phân I =  ( x + 2) ln xdx 1 1 2 Ⓐ. I = . Ⓑ. I = e2 − 2 . 2 Ⓒ. I = e2 + 1 . 4 Ⓓ. I = e2 − 1 . 4 e  u = ln x Câu 2. Nếu đặt  thì tích phân I =  ( 2 x + 1) ln xdx trở thành dv = ( 2 x + 1) dx 1 e Ⓐ. I = ( x 2 + x ) 1 −  ( x + 1) dx . e e 1 1 e e Ⓓ. I = ( x + x ) ln x 1 +  ( x + 1) dx . Ⓒ. I = x ln x 1 +  xdx . e 2 e Ⓑ. I = x 2 ln x 1 −  ( x + 1) dx . 2 e 1 1 0 Câu 3: Tính tích phân J =  x ln ( x + 1) dx 0 5 3 4 3 Ⓐ. J = ln 3 . Ⓑ. J = ln 3 . 2 3 Ⓒ. J = ln 3 . 3 4 Ⓓ. J = ln 3 . 5 Câu 4: Tính tích phân I =  ( x + 1) ln ( x − 3) dx ? 4 Ⓐ. 10ln 2 . Ⓑ. 10 ln 2 + 19 . 4 Ⓒ. 19 − 10 ln 2 . 4 Ⓓ. 10 ln 2 − 3 Câu 5: Tích Phân I =  ln( x 2 − x)dx là 2 St-bs: Duong Hung 49 19 4 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung Ⓐ. 3ln 3 . Ⓑ. 2ln 2 . Ⓒ. 3ln 3 − 2 . Ⓓ. 2 − 3ln 3 . 2 ln x dx bằng x2 1 Câu 6: Tích phân I =  Ⓐ. 1 (1 + ln 2 ) . 2 Ⓑ. 1 (1 − ln 2 ) . 2 Ⓒ. 1 ( ln 2 − 1) . 2 Ⓓ. 1 (1 + ln 2 ) . 4 b Câu 7: Cho a  b  −1 . Tích phân I =  ln ( x + 1) dx bằng biểu thức nào sau đây? a Ⓐ. I = ( x + 1) ln ( x + 1) a − a + b . Ⓑ. I = ( x + 1) ln ( x + 1) a − b + a . b b b 1 Ⓒ. I = . ( x + 1) a b Ⓓ. I = x ln ( x + 1) a +  b a x dx . x +1 BẢNG ĐÁP ÁN 1.C 2.D 3.C 4.D 5.C 6.A 7B  Dạng ③: Tích phân chứa từng phần chứa tham số a, b, c -Phương pháp: Tích phân từng phần. ①. ②. A – Bài tập minh họa: e Câu 1: Cho I =  x ln xdx = 1 a.e 2 + b với a , b , c  . Tính T = a + b + c . c Ⓐ. 5 . Ⓑ. 3 . Ⓒ. 4 . Lời giải Ⓓ. 6 . PP nhanh trắc nghiệm  Casio  Chọn D 1  du = dx  u = ln x   x  Ta có:  nên  . 2 dv = xdx v = x  2 e + Thử C=1,2,3,4,5,6.. giải hệ tìm a,b nguyên. x2 1 e2 + 1 I =  x ln xdx = ln x −  xdx = . 2 21 4 1 1 e e St-bs: Duong Hung 50 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung a = 1   b = 1 . c = 4  Vậy T = a + b + c = 6 . B – Bài tập rèn luyện: e 3ea + 1 Câu 1: Cho  x3 ln xdx = với a, b  . Tổng a + b bằng b 1 Ⓐ. 20 . Ⓑ. 10 . Ⓒ. 17 . Ⓓ. 12 . 2 ln x b dx = + a ln 2 trong đó a  2 x c 1 Tính giá trị của 2a + 3b + c . Câu 2: Biết  Ⓐ. 6 . Ⓑ. 5 . ; b , c là các số nguyên dương và nguyên tố cùng nhau. Ⓒ. 4 . Ⓓ. −6 . 2 ln x b b dx = + a ln 2 với a là số thực, b và c là các số dương, đồng thời là 2 x c c 1 phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức P = 2a + 3b + c . Câu 3: Cho tích phân I =  Ⓐ. P = 6 . Ⓑ. P = 5 . 2 Câu 4: Cho  ( x + 1) e dx = ae x 2 Ⓒ. P = −6 . Ⓓ. P = 4 . + be + c với a , b , c là các số nguyên. Tính a + b + c . 1 Ⓐ. 3. Ⓑ. 4. Ⓒ. 1. Ⓓ. 0. e Câu 5: Biết I =  x 2 ln xdx = ae3 + b với a , b là các số hữu tỉ. Giá trị của 9 ( a + b ) bằng 1 Ⓐ. 3 . Ⓑ. 10 . Ⓒ. 9 . Ⓓ. 6 . e Câu 6: Biết I =  x 2 ln xdx = ae3 + b với a , b là các số hữu tỉ. Giá trị của 9 ( a + b ) bằng 1 Ⓐ. 3 . Ⓑ. 10 . 2 Ⓒ. 9 . Ⓓ. 6 . ln x a a dx = ln 2 − ln c với a, b, c là các số nguyên dương và là phân số tối giản. b b 1 ( x + 1) a+b Tính giá trị của biểu thức S = . c Câu 7: Cho I =  2 5 3 8 3 Ⓐ. S = . Ⓑ. S = . 2 Câu 8: Biết  ( 2 x + e ) e dx = a.e x x 4 6 5 Ⓒ. S = . Ⓓ. S = + b.e2 + c với a, b, c là các số hữu tỉ. Giá trị của 2a + 3b + 2c bằng 0 Ⓐ. 9. 10 . 3 Ⓑ. 10. St-bs: Duong Hung Ⓒ. 8. Ⓓ. 7. 51 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung 2 Câu 9: Biết ln x b dx = + a ln 2 . Giá trị của 2a + 3b + c bằng. 2 c 1 x  Ⓐ. −6 . Ⓑ. 4 . Ⓒ. 5 . Ⓓ. 6 . 5 Câu 10. Cho  ln ( x 2 − x )dx = a ln 5 + b ln 2 + c với a , b , c là các số nguyên. Tính S = a + 2b − c . 2 Ⓐ. S = 23 . Ⓑ. S = 20 . Ⓒ. S = 17 . Ⓓ. S = 11 . BẢNG ĐÁP ÁN 1.A Câu 1: 2.C 3.D  Đặt u = ln x  du = 4.C 5.A 6.A Hướng dẫn giải 7.B 8.B 9.B 1 x4 dx ; dv = x 3 dx  v = . 4 x e e e  x4  1 e4  1  e 4 e 4 1 3e 4 + 1 .  I =  ln x.  −  x3dx = −  x 4  = − + = 4 1 4 1 4  16  1 4 16 16 16  a=4   a + b = 20 . b = 16 Câu 2: 1  du = dx u = ln x    x Đặt  .  1 dv = x 2 dx v = − 1  x 2 2 ln x 1 1 1 1 1  1  = − ln 2 + . Ta có  2 dx =  − ln x  +  2 dx = − ln 2 − x 2 x1 2 2  x 1 1 x 1 2 2 1 Theo đề ta có a = − , b = 1, c = 2 . 2 Do đó 2a + 3b + c = 4 . Câu 3: dx   u = ln x du = 2 − ln x 2 1    − ln x −1  2 1 ln 2 x Đặt  I = +  2 dx =  +  = − dx   −1 x 1 1x x x 1 2 2 dv = 2    v= x   x  −1  b = 1, c = 2, a =  P = 2a + 3b + c = 4 . 2 Câu 4: St-bs: Duong Hung 52 10.A Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung u = x + 1 Đặt  ta được du = dx, v = e x . x dv = e dx 2  ( x + 1) e dx = ( x + 1) e x 2 x 2 1 1 −  e x dx = xe x 2 1 = 2e2 − e . 1  a = 2, b = −1, c = 0  a + b + c = 1 . Câu 5: 1  du = x dx  3 v = x  3 u = ln x Đặt  ta có 2 dv = x dx e e e x3 ln x x2 e3 x 3 2 1 −  dx = − = .e3 + . Suy ra I = 3 1 1 3 3 9 1 9 9 Vậy a = 1 2 , b = nên 9 ( a + b ) = 3 . 9 9 Câu 6: 1  du = dx  u = ln x  x Đặt  ta có  2 3 dv = x dx v = x  3 e e e x3 ln x x2 e3 x 3 2 1 −  dx = − = .e3 + . Suy ra I = 3 1 1 3 3 9 1 9 9 Vậy a = 1 2 , b = nên 9 ( a + b ) = 3 . 9 9 Câu 7: Ta có: 2 2 1 1 1   1   1 2 1 I = dx = −  ln xd  ln x  +  dx = − ln 2 +   −  = − dx 2 3 x x +1   x +1   x +1  1 1 ( x + 1) x 1 ( x + 1) 1 1 2 ln x 2 a = 5 2 5 1 a+b 8  = − ln 2 + ( ln x − ln x + 1 ) = ln 2 − ln 3  b = 3  S = = . 1 3 3 c 3 c = 3  Câu 8: St-bs: Duong Hung 53 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung x  u = 2 x + e Đặt:  ta được x  dv = e dx x  du = ( 2 + e ) dx .  x v = e   2 Khi đó:  ( 2 x + e )e dx = ( 2 x + e ) e x x x 2 x 2 0 0 −  ( 2e x + e2 x )dx 0 2 1 3 1   = ( 2.2 + e ) e − ( 2.0 + e ) e −  2e x + e2 x  = e 4 + 2e 2 + . 2 2 0 2  2 2 0 0 1 3 Theo bài ra ta có a = ; b = 2; c = 2 2 1 3 Vậy: 2a + 3b + 2c = 2. + 3.2 + 2. = 10 . 2 2 Câu 9: 2 ln x dx . 2 1 x Gọi I =  Áp dụng phương pháp nguyên hàm từng phần ta có: 1  du = dx u = ln x    x Đặt   1 dv = x 2 dx v = − 1  x 2 2 ln x ln 2 1 1 1 1  1 1 1  1 1 I =− −   −  . dx = − +  2 dx = − ln 2 − = − ln 2 −  − 1 = − ln 2 x 1 1 x x 2 2 x1 2 2  2 2 1 x 2 2 1  a = − ; b = 1; c = 2 . 2 Vậy 2a + 3b + c = 4 . Câu 10. 2x −1  u = ln ( x 2 − x ) dx du = 2 Đặt   x −x . dv = dx v = x 5 5 5 2x −1 dx Khi đó  ln ( x 2 − x )dx = x ln ( x 2 − x ) −  2 x − 1 2 2 5 5 1   2 = 5ln 20 − 2 ln 2 −   2 + dx = 5ln ( 5.2 ) − 2ln 2 − ( 2 x + ln x − 1 ) 2 x −1  2 = 5ln 5 + 8ln 2 − (10 − 4 + ln 4 − ln1) = 5ln 5 + 6ln 2 − 6 . Suy ra a = 5 , b = 6 , c = −6  S = a + 2b − c = 5 + 2.6 + 6 = 23 . St-bs: Duong Hung 54 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung  Dạng ④: Tích phân chứa từng phần hàm ẩn . Phương pháp: Tích phân từng phần. . Viết dưới dạng bằng các hợp của làm và phần còn lại . Tính và . Tính và A – Bài tập minh họa: Câu 1: Cho f ( x ) là hàm số có đạo hàm trên 1; 4 , biết 4  f ( x ) dx = 20 và f ( 4 ) = 16 , f (1) = 7 . Tính 1 4 I =  xf  ( x ) dx . 1 Ⓐ. I = 37 . Ⓑ. I = 47 . Ⓒ. I = 57 . Ⓓ. I = 67 . PP nhanh trắc nghiệm Lời giải  Chọn A 4  Xét I =  xf  ( x ) dx , dùng phương pháp tích phân từng phần : 1   u = x du = dx    dv = f  ( x ) dx  v = f ( x ) 4 4 1 1  Do đó: I = xf ( x ) 1 −  f ( x ) dx = 4 f ( 4 ) − f (1) −  f ( x ) dx 4 = 4.16 − 7 − 20 = 37 Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn Câu 2: 2  ( 2 x − 4) . f ‘ ( x ) dx = 4 . Tính tích phân 0 Ⓐ. I = 2 . Ⓑ. I = −2 . 0; 2 và thỏa mãn f ( 0 ) = 2 , 2 I =  f ( x ) dx . 0 Ⓒ. I = 6 . Ⓓ. I = −6 . PP nhanh trắc nghiệm Lời giải  Chọn B 2  Ta có:  ( 2 x − 4) . f ‘ ( x ) dx = 4 . 0 u = 2 x − 4 du = 2dx Đặt   v = f ( x ) dv = f ‘ ( x ) dx St-bs: Duong Hung 55 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung 2 Nên  ( 2 x − 4) . f ‘ ( x ) dx = ( 2 x − 4) . f ( x ) 0 2 0 2 − 2 f ( x )dx 0 = 4. f ( 0 ) − 2 I = 8 − 2I .  Theo giả thiết ta có: 4 = 8 − 2I  2I = 4  I = 2 . B – Bài tập rèn luyện: Câu 1: Cho f ( x ) có đạo hàm liên tục trên và thỏa mãn f ( 2 ) = 16, 1  f ( 2 x )dx = 6 . Tính 0 2 I =  x. f  ( x )dx ta được kết quả 0 Ⓐ. I = 14 . Ⓑ. I = 20 . Ⓒ. I = 10 . Câu 2: Cho f ( x ) có đạo hàm liên tục trên Ⓓ. I = 4 . và thỏa mãn f ( 2 ) = 16, 1  f ( 2 x )dx = 6 . Tính 0 2 I =  x. f  ( x )dx ta được kết quả 0 Ⓐ. I = 14 . Câu 3: Ⓑ. I = 20 . Ⓒ. I = 10 . Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm trên Ⓓ. I = 4 . 3 và thỏa mãn  x  f  ( 2 x − 4) dx = 8 ; f ( 2 ) = 2 . Tính 0 1 I=  f ( 2 x ) dx . −2 Ⓐ. I = −5 . Ⓑ. I = −10 . Ⓒ. I = 5 . Ⓓ. I = 10 . 1 1 Câu 4: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên  0;1 . Biết   x. f  (1 − x ) − f ( x ) dx = . Tính f ( 0 ) . 2 0 Ⓐ. f ( 0 ) = −1 . 1 2 Ⓑ. f ( 0 ) = . Câu 5: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên 1 2 Ⓒ. f ( 0 ) = − . và f ( 3) = 21 , Ⓓ. f ( 0 ) = 1 . 3 1 0 0  f ( x ) dx = 9 . Tính tích phân I =  x. f  (3x ) dx . Ⓐ. I = 15 . Ⓑ. I = 12 . Ⓒ. I = 9 . Câu 6: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục và có đạo hàm trên 1 , x  . Biết rằng tích phân I =  x. f ‘ ( x )dx = − 0 Ⓐ. T = 1 . Ⓑ. T = 0 . St-bs: Duong Hung Ⓓ. I = 6 . thỏa mãn 5 f ( x ) − 7 f (1 − x ) = 3 ( x 2 − 2 x ) a . Tính T = 8a − 3b . b Ⓒ. T = 16 . Ⓓ. T = −16 . 56 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung 2 Câu 7: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên tập hợp thỏa mãn  f ( 3x − 6 ) dx = 3 và f ( −3) = 2 1 0 . Giá trị của  x f  ( x ) dx bằng −3 Ⓐ. − 3 . Câu 8: Ⓑ. 11 . Ⓒ. 6 . Ⓓ. 9 . Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f  ( x ) liên tục trên 0; 2 và f ( 2 ) = 3 , 2  f ( x ) dx = 3 . 0 2 Tính  x. f  ( x ) dx . 0 Ⓐ. −3 . Câu 9: Ⓑ. 3 . Ⓒ. 0 . Ⓓ. 6 . Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm là f ‘ ( x ) liên tục trên đoạn [0; 1] và f (1) = 2 . Biết 1  0 1 f ( x ) dx = 1 , tính tích phân I =  x. f ‘ ( x ) dx . 0 Ⓐ. I = 1 . Ⓑ. I = −1 . Câu 10: Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn Ⓐ. I = 8 . Ⓒ. I = 3 . Ⓓ. I = −3 . 1 1 0 0  ( x + 1) f ‘ ( x ) dx = 10 và 2 f (1) − f ( 0 ) = 2 . Tính I =  f ( x ) dx . Ⓑ. I = −8 . Ⓒ. I = 4 . Ⓓ. I = −4 . Câu 11: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn  0; 2 và thỏa mãn f ( 2 ) = 16 , 2 1 0 0  f ( x ) dx = 4 . Tính tích phân I =  x. f  ( 2 x ) dx . Ⓐ. I = 12 . Ⓑ. I = 7 . Ⓒ. I = 13 . Ⓓ. I = 20 . và thỏa mãn f ( −2 ) = 1 , Câu 12: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên 2  f ( 2 x − 4 ) dx = 1 . 1 0 Tính  xf  ( x ) dx . −2 Ⓐ. I = 1 . Ⓑ. I = 0 . Ⓒ. I = −4 . Ⓓ. I = 4 . 5 Câu 13: Cho hàm số y f x thỏa mãn f x 3 3x 1 3x 2, x . Tính I x. f x dx . 1 Ⓐ. 5 . 4 Ⓑ. 17 . 4 Ⓒ. 33 . 4 Ⓓ. −1761 . BẢNG ĐÁP ÁN 1.B 2.B 3.B 4.C 5.D 6.B 7.A 8.B 9.A 10.B 11.B Lời giải chi tiết Câu 1: 1 Ta có  0 f ( 2 x )dx = 6  1 2 1 f ( 2 x )d ( 2 x ) = 6   f ( x )dx = 12 . 2 0 0 St-bs: Duong Hung 57 12.B 13.C Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung 2 Xét I =  x. f  ( x )dx 0   u = x du = dx Đặt    dv = f  ( x ) dx  v = f ( x ) 2 2 Khi đó I = xf ( x ) −  f ( x ) dx = 2 f ( 2 ) − 12 = 20 . 0 0 Câu 2: 1 Ta có  0 1 2 1 f ( 2 x )dx = 6   f ( 2 x )d ( 2 x ) = 6   f ( x )dx = 12 . 20 0 2 Xét I =  x. f  ( x )dx 0   u = x du = dx Đặt    dv = f  ( x ) dx  v = f ( x ) 2 2 Khi đó I = xf ( x ) −  f ( x ) dx = 2 f ( 2 ) − 12 = 20 . 0 0 Câu 3: 3  Xét J =  x  f  ( 2 x − 4 ) dx = 8 . 0 1 1 Đặt u = x và dv = f  ( 2 x − 4 ) dx = d  f ( 2 x − 4 )  , ta được du = dx và v = f ( 2 x − 4 ) . 2 2  J = 2 3 3 13 3 1 1 1 x. f ( 2 x − 4 ) −  f ( 2 x − 4 ) dx = f ( 2 ) −  f ( 2 x − 4 ) dx = 3 −  f ( 2 x − 4 ) dx . 0 20 2 2 20 20 3 3 1 Vì J = 8  3 −  f ( 2 x − 4 ) dx = 8   f ( 2 x − 4 ) dx = −10 . 20 0 Đặt 2t = 2 x − 4  2dt = 2dx  dt = dx Đổi cận: 1 I1 =  f ( 2t ) dt = −2 x 0 3 t −2 1 1  f ( 2 x ) dx = −10 . −2 Vậy I = −10 . Câu 4: 1 1 1 0 0 0  Ta có A =   x. f  (1 − x ) − f ( x ) dx =  x. f  (1 − x ) dx −  f ( x ) dx . 1 Đặt I =  x. f  (1 − x ) dx . 0 St-bs: Duong Hung 58 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung   u = x du = dx Đặt    dv = f  (1 − x ) dx  v = − f (1 − x ) 1 1 0 0 Khi đó I = − f (1 − x ) .x +  f (1 − x ) dx = − f ( 0 ) +  f ( x ) dx 1 0 1 1 0 0 Do đó A = − f ( 0 ) +  f ( x ) dx − f ( x ) dx = 1 1  f (0) = − . 2 2 Câu 5: du = dx u = x  Đặt  .  1 dv = f (3x)dx v = f (3x) 3  3 1 11 1 1 1 Suy ra I = x. f (3x) −  f (3x)dx = f (3) −  f ( x)dx = 6 . 0 03 3 3 90 Vậy I = 6 . Câu 6: Ta có : 5 f ( x ) − 7 f (1 − x ) = 3 ( x 2 − 2 x ) Lần lượt chọn x = 0, x = 1 , ta có hệ sau : 5  f 1 = ( )  5 f ( 0 ) − 7 f (1) = 0  8   5 f (1) − 7 f ( 0 ) = −3  f 0 = 7 ( )  8 1 Tính I =  x. f ‘ ( x )dx 0 u=x   du = dx Đặt :  Chọn  v = f ( x ) dv = f ‘ ( x ) dx 1 1 5  I = x. f ( x ) 0 −  f ( x )dx = − J 8 0 0 1 1 1 0 0 ( ) 2 Đặt x = 1 − t  J = −  f (1 − t ) dt =  f (1 − x ) dx = K . Suy ra 5J − 7 K = 3 x − 2 x dx = −2 J =K   J = K =1 Ta có :  5 J − 7 K = −2 5 −3 a = 3  Vậy I = − 1 =  T = 8a − 3b = 0 8 8 b = 8 Câu 7: St-bs: Duong Hung 59 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung Đặt t = 3x − 6  dt = 3dx . Đổi cận: x = 1  t = −3 , x = 2  t = 0 . 2 0 0 0 1   f ( 3x − 6 ) dx =  f ( t )dt = 3   f ( t ) dt = 9   f ( x ) dx = 9 . 3 −3 1 −3 −3   u = x du = dx Đặt    dv = f  ( x ) dx  v = f ( x ) 0 0  x f  ( x ) dx = xf ( x ) −3 −  f ( x ) dx = 0. f ( 0) + 3. f ( −3) − 9 = −3 . Khi đó 0 −3 −3 Câu 8: 2 2 2 0 0 0  x. f  ( x ) dx =  xd ( f ( x ) ) = x. f ( x )  Ta có 2 −  f ( x ) dx = 2 f ( 2 ) − 3 = 3 . 0 1 Ta có: I =  x. f ‘ ( x ) dx Câu 9: 0 Đặt u = x  du = dx , dv = f ‘ ( x ) dx chọn v =  f ‘ ( x ) dx = f ( x ) 1 1 0 0   I = x. f ( x ) 0 −  f ( x ) dx = 1. f (1) − 0. f ( 0 ) −  f ( x ) dx = 2 − 1 = 1 1 Chọn A Câu 10: 1  A =  ( x + 1) f ‘ ( x ) dx Đặt u = x + 1  du = dx , dv = f ‘ ( x ) dx chọn v = f ( x ) 0 1 1 1 1 0 0 0 0   A = ( x + 1) . f ( x ) 0 −  f ( x ) dx = 2 f (1) − f (0) −  f ( x ) dx = 2 −  f ( x ) dx = 10   f ( x ) dx = −8 1 Câu 11: du = dx u = x   Đặt  f ( 2x) . dv = f  ( 2 x ) dx v =  2 1 1 x. f ( 2 x ) f ( 2) 1 2 1 16 1 −  f ( 2 x ) dx = −  f ( t ) dt = − .4 = 7 . Khi đó: I = 2 20 2 40 2 4 0 Câu 12: Đặt t = 2 x − 4  dt = 2dx , đổi cận x = 1  t = −2 , x = 2  t = 0 . 2 0 0 0 1  1 =  f ( 2 x − 4 ) dx =  f ( t ) dt   f ( t ) dt = 2   f ( x ) dx = 2 . 2 −2 1 −2 −2  d v = f x d x  v = f x ( ) ( ). Đặt u = x  du = dx , 0 Vậy  xf  ( x ) dx = xf ( x ) −2 0 −2 0 −  f ( x ) dx = 2 f ( −2 ) − 2 = 2.1 − 2 = 0 . −2 Câu 13: Đặt u x dv Từ f x 3 du f x dx 3x 1 v 3x 5 dx I f x 2 xf x 5 f x dx . 1 1 f 5 5 x 1 f 1 2 x 0 St-bs: Duong Hung 5 , suy ra I 23 f x dx. 1 60 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung Đặt t x 3 3x 2 dt 3x 1 f t Đổi cận: Với t 1 1 x 3 3x 23 2 3x 1 5 Khi đó I 3 dx x 0 và t 5 1 f x dx 23 1 St-bs: Duong Hung 3x 0 2 3x 2 x3 Casio 3 dx 3x 1 33 4 5 x 1. 61 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung Full Chuyên đề 12 new 2020-2021 CHƯƠNG ③: FB: Duong Hung Bài 5: DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG  Dạng ①: Ứng dụng của tích phân tính diện tích hình phẳng. ①. Hình phẳng giới hạn bởi  Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số trục hoành và hai đường thẳng liên tục trên đoạn được tính theo công thức , (1) ②. Phương pháp trắc nghiệm: Tính chất: Hàm số liên tục trên K (khoảng đoạn, nửa khoảng) và là ba số bất kỳ thuộc K. Khi đó, ta có  Xác định các yếu tố cần thiết như công thức Sử dụng chức năng tính tích phân có sẵn trong máy tính Casio để tính. Chú ý: Nếu đề bài chưa cho giao điểm ( cận tích phân) thì ta cần giải phương trình hoành độ để tìm cận tích phân. A – Bài tập minh họa: Câu 1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = cos 2 x , trục hoành, đường thẳng x = 0 và x =  là Ⓐ.  . 8  6 Ⓑ. . Lời giải Chọn D  Ⓒ.  . 4  2 Ⓓ. . PP nhanh trắc nghiệm  Casio Diện tích S cần tìm:   0 0 S =  cos 2 xdx =  1 + cos 2 x 1  sin 2 x   dx = x + = . 2 2 0 4 0 2 Câu 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x3 − 4 x , trục hoành, đường thẳng x = −2 và x = 4 là. St-bs: Duong Hung 62 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung Ⓐ. 44. Ⓑ.24. Ⓒ. 48. Ⓓ.28. PP nhanh trắc nghiệm Lời giải Chọn A  Casio 4  Diện tích cần tìm S =  x 3 – 4 x dx -2  x=0 Ta có: x3 − 4 x = x x 2 − 4 = 0    x = 2 ( ) 0 2 4 -2 0 2 Vậy S =  x 3 − 4 x dx +  x 3 − 4 x dx +  x 3 − 4 x dx  x4 x2  0  x4 4×2  2  x4 x2  4 =  −4  + − + − 4    = 44 2  −2  4 2 0  4 2 2  4 x −1 , trục hoành, hai đường x Câu 3: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số f ( x) = thẳng x = 1 và x = 2 là. Ⓐ. Ⓑ. ln 2 − 1 . ln2 . Ⓒ. ln 2 + 1 . Ⓓ. 1 − ln 2 . PP nhanh trắc nghiệm Lời giải Chọn D  Casio  Phương trình hoành độ giao điểm: x −1 = 0  x =1 x Suy ra 2 S= 1 x −1 dx = x 2 2 x −1  1 dx = 1 x 1 1 − x  = ( x − ln x ) 1 = 1 − ln 2 . 2 B – Bài tập rèn luyện: Câu 1: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f ( x ) liên tục, trục hoành và hai đường thẳng x = a , x = b được tính theo công thức: b b Ⓐ. S =  f ( x ) dx . Ⓑ. S =  f ( x ) dx . a 0 b a 0 Ⓒ. S =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx . Câu 2: a 0 b a 0 Ⓓ. S =  f ( x ) dx −  f ( x ) dx . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x 2 − x, y = 0, x = 0 và x = 2 được tính bởi công thức: Ⓐ. Ⓒ. 2 0 1 (x 0 2 2 2 1 1 1 0 Ⓑ.  ( x 2 − x )dx −  ( x 2 − x )dx . 2  ( x − x ) dx . − x )dx +  ( x 2 − x )dx . 1 St-bs: Duong Hung Ⓓ.  ( x 2 − x ) dx . 0 63 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung Câu 3: Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = x 2 , trục hoành và hai đường thẳng x = −1, x = 3 là. 28 28 1 4 Ⓐ. Ⓑ. Ⓒ. Ⓓ. 3 3 9 3 Câu 4: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = sin x + 1, trục hoành và hai đường thẳng 7 là. x = 0 và x = 6 3 7 3 7 3 7 3 7 + + −1 . +1. Ⓐ. Ⓑ. + + 1 . Ⓒ. Ⓓ. + − 1 . 2 2 2 4 6 6 6 3 Câu 5: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hàm số y = x x2 + 1 , trục Ox và đường thẳng x = 1 là. Ⓐ. Câu 6: 2 2+1 3 Ⓑ. 3 2 −1 3 Ⓒ. 2 2 −1 3 Ⓓ. 3− 2 3 Tính diện tích S của hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x.ln ( 3x + 1) , trục hoành và hai đường thẳng x = 0; x = 1 4 2 1 1 Ⓐ. S = ln 2 − . Ⓑ. S = ln 2 − . 9 9 12 12 7 9 Ⓒ. S = ln 2 − 1 . 12 8 9 Ⓓ. S = ln 2 − 1 . 12 Câu 7: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = ln x , trục Ox và đường thẳng x = e là. 1 Ⓐ. 1. Ⓑ. − 1 . Ⓒ. e . Ⓓ.2. e Câu 8: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = e x , trục Ox , trục Oy và đường thẳng x = 2 là. e2 2 Ⓐ. e + 4 . Ⓑ. e − e + 2 . Ⓒ. + 3 . Ⓓ. e2 −1 . 2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x 4 − 2 x 2 + 1 và trục Ox 16 1 Ⓐ. S = 1 . Ⓑ. S = 2 . Ⓒ. S = . Ⓓ.S = . 15 2 3 2 Câu 10: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = − x + 3x và trục hoành là. 27 24 5 4 Ⓐ. . Ⓑ. . Ⓒ. . Ⓓ. . 9 6 7 4 Câu 9: Câu 11: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = − x 2 + 2 x và trục hoành là 29 20 8 4 Ⓐ. . Ⓑ. . Ⓒ. . Ⓓ. . 3 3 3 3 Câu 12: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x 4 − 1 và trục hoành là 7 8 1 Ⓐ. . Ⓑ. . Ⓒ. . Ⓓ. 1 . 4 5 2 BẢNG ĐÁP ÁN 1.A 2.B 3.B 4.B 5.C St-bs: Duong Hung 6.D 7.A 8.A 9.D 10.A 64 11.A 12.B Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung  Dạng ②: Ứng dụng của tích phân tính diện tích hình phẳng. -Phương pháp: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị: thẳng , và hai đường được xác định bởi công thức: . Chú ý: Để phá bỏ dấu giá trị tuyệt đối ta thường làm như sau: * Giải phương trình: tìm nghiệm , . Tính: . Ngoài cách trên, ta có thể dựa vào đồ thị để khử dấu giá trị tuyệt đối. A – Bài tập minh họa: Câu 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 2 − x 2 và y = x. 11 9 Ⓐ. . Ⓑ. 7 . Ⓒ. 5 . Ⓓ. . 2 2 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm Chọn A  Casio:  Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là  x = −2 2 − x2 = x  x2 + x − 2 = 0   . x = 1  Diện tích của hình phẳng cần tìm là 1 S=  1 − x 2 − x + 2 dx = −2  (− x 2 − x + 2)dx −2 1  x3 x 2  9 =  − − + 2x  = .  3 2  −2 2 Câu 2: Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường y = ln x , y = 0 , x = 1 , x = e . Mệnh x2 đề nào dưới đây đúng? St-bs: Duong Hung 65 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung e e ln x dx . 2 x 1 ln x dx . 2 x 1 Ⓐ. S =   Ⓑ. S =  Ⓒ. S =   2 ln x  dx . 2  x   1 e Ⓓ. S =    2 ln x  dx 2  x   1 e . PP nhanh trắc nghiệm Lời giải Chọn B  Casio e  Ta có S =  1 ln x dx . x2 e ln x ln x  Vì x  [1;e], ln x  0  2  0  S =  2 dx . x x 1 Câu 3: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y = ( x + 1) ln x , trục hoành và đường thẳng x = e . Ⓐ. S = e2 + 5 . 4 Ⓑ. S = e2 + 7 . 6 Ⓒ. S = Lời giải Chọn C e2 + 3 . 2 Ⓓ. S = e2 + 9 . 8 PP nhanh trắc nghiệm  Casio  Xét phương trình hoành độ giao điểm: ( x + 1) ln x = 0 (Điều kiện: x  0 ). x +1 = 0  x = −1   . ln x = 0 x =1  Vì x  0 nên x = 1 . e e 1 1  Ta có: S =  ( x + 1) ln x dx =  ( x + 1) ln xdx . 1  du = dx  u = ln x    x  Đặt  .  2  dv = ( x + 1) dx v = x + x   2 e e e  x2   x2 1 e2 x  S =  + x  ln x −   + x  dx = + e −   + 1 dx 2 2 2   2  x 1 1 1 e  x2  e2 e2 + 5 = + e − + x = 2 4  4 1 B – Bài tập rèn luyện: Câu 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = − x 2 + 4 và y = − x + 2 ? 5 8 9 Ⓐ. . Ⓑ. . Ⓒ. . Ⓓ. 9 . 7 3 2 St-bs: Duong Hung 66 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung Câu 2: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số ( H ) : y = x −1 và các trục tọa x +1 độ. Khi đó giá trị của S bằng Ⓐ. Câu 3: Câu 4: Câu 5: Câu 6: Ⓑ. ln 2 + 1 . 2 ln 2 − 1 . Ⓒ. ln 2 − 1 . Ⓓ. 2 ln 2 + 1 . Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x 2 + 1 và đường thẳng y = x + 3 . 13 11 9 7 Ⓐ. . Ⓑ. . Ⓒ. . Ⓓ. . 2 2 3 3 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y = x ; y = 6 − x và trục hoành. 16 22 23 Ⓐ. . Ⓑ. . Ⓒ. 2 . Ⓓ. . 3 3 3 2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x − x và y = 3x . 16 32 5 Ⓐ. S = . Ⓑ. S = . Ⓒ. S = 9 . Ⓓ. S = . 3 3 3 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol ( P ) : y = x 2 − 2 x và đường thẳng ( d ) : y = x bằng Ⓐ. 17 . 6 Ⓑ. 11 . 2 9 . 2 Ⓒ. Ⓓ. 23 . 6 Câu 7: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y = − x 2 và đường thẳng y = − x − 2 bằng 1 11 9 5 Ⓐ. . Ⓑ. . Ⓒ. . Ⓓ. − 2 . 2 2 2 2 Câu 8: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x 2 và đường thẳng y = 2 x là 23 5 4 3 Ⓐ. . Ⓑ. . Ⓒ. . Ⓓ. . 3 3 2 15 Câu 9: Tính diện tích S của hình phẳng ( H ) giới hạn bởi các đường cong y = − x3 + 12 x và y = − x 2 . 937 397 343 793 Ⓐ. S = . Ⓑ. S = . Ⓒ. S = . Ⓓ. S = . 12 12 4 4 1 Câu 10: Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng ( H ) xác định bởi các đường y = x 3 − x 2 , y = 0 3 , x = 0 và x = 3 quanh trục Ox là 81 71 81 71 Ⓐ. . Ⓑ. . Ⓒ. . Ⓓ. . 35 35 35 35 Câu 11: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = − x 2 + 2 x + 1, y = 2 x 2 − 4 x + 1 là Ⓐ. 8 . Ⓑ. 5 . Ⓒ. 4 . Câu 12: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai parabol y = Ⓐ.  3x 2  −2  2 − 6  dx . 2 2  3x 2  − 6  dx . Ⓒ. −   2   −2 Ⓑ. Ⓓ. 10 . 1 2 x và y = 6 − x 2 bằng 2  x2    2 − 6  dx . −2 3 2 3 Ⓓ. −  x2    2 − 6  dx . −2 3 2 3 Câu 13: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = − x 3 và y = x 2 − 2 x là 9 7 37 4 Ⓐ. S = . Ⓑ. S = . Ⓒ. S = . Ⓓ. S = . 4 3 12 3 St-bs: Duong Hung 67 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung Câu 14: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số: y = x3 − 3x; y = x . Tính S ? Ⓐ. S = 4 . Ⓑ. S = 8 . Ⓒ. S = 2 . Ⓓ. S = 0 . Câu 15: Hình phẳng giới hạn bởi các đường cong y = x (1 − x ) và y = x3 − x có diện tích bằng Ⓐ. 37 . 12 Ⓑ. 5 . 12 Ⓒ. 8 . 3 Câu 16: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường Ⓐ. S = 9 . Câu 17: Tính diện tích Ⓑ. S = −9 . 9 4 Ⓓ. . y = x2 − 2 x − 1 và y = − x 2 + 3 là Ⓒ. S = 3 . Ⓓ. S = 9 . 2 S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y = x3 − 3x + 2 và y = x + 2. Ⓐ. S = 8 . Ⓑ. S = 4 . Ⓒ. S = 12 . Ⓓ. S = 16 . Câu 18: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y = x 2 − 3x + 1 và đường thẳng y = x + 1 được tính theo công thức nào dưới đây? Ⓐ. 4 (x 2 − 4 x ) dx . 4 Ⓑ.  ( − x + 4 x ) dx . 2 Ⓒ. 0 0 4 (x 2 4 Ⓓ.  ( − x 2 − 2 x ) dx . + 4 x ) dx . 0 0 Câu 19: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y 2 + x − 5 = 0, x + y − 3 = 0 . 19 15 37 9 Ⓐ. . Ⓑ. . Ⓒ. . Ⓓ. . 2 6 2 6 Câu 20: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x3 , y = 10 − x và trục Ox là Ⓐ. 32 . Ⓑ. 26 . Ⓒ. 36 . Ⓓ. 40 . BẢNG ĐÁP ÁN 1.C 11.C 2.A 12.C 3.A 13.C 4.A 14.B 5.D 15.A 6.C 16.A 7.A 17.A 8.A 18.B 9.A 19.D 10.A 20.C  Dạng ③: Diện tích hình phẳng thông qua đồ thị -Phương pháp: .Minh họa các dạng thường gặp: có hai loại dấu trên . Ghi nhớ:  Quan sát hình phẳng mang dấu + hay St-bs: Duong Hung 68 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung A – Bài tập minh họa: Câu 1: Cho hàm số y = f ( x ) và y = g ( x ) có đồ thị giao nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ a và b . Gọi ( H ) là hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số này (phần tô đậm ở hình vẽ). Diện tích của ( H ) được tính theo công thức b b Ⓑ. S =   g ( x ) − f ( x ) dx . Ⓐ. S =   f ( x ) − g ( x ) dx . a a b b Ⓒ. S =   f ( x ) + g ( x ) dx . Ⓓ. S = −   f ( x ) + g ( x ) dx . a a PP nhanh trắc nghiệm Lời giải  Quan sát nhanh g ( x )  f ( x ) Chọn B b Áp dụng công thức S =  f ( x ) − g ( x ) dx .  a  Quan sát hình vẽ ta thấy g ( x )  f ( x ) trên  a, b b b a a  Vậy S =  f ( x ) − g ( x ) dx =  ( g ( x ) − f ( x ) )dx . b  S =  ( g ( x ) − f ( x ) )dx a Câu 2: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn  a; b . Gọi D là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị ( C ) : y = f ( x ) , trục hoành, hai đường thẳng x = a , x = b (như hình vẽ dưới đây). Giả sử S D là diện tích hình phẳng D . Chọn công thức đúng trong các phương án A, B, C, D cho dưới đây? 0 b a 0 0 b a 0 Ⓐ. SD =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx . 0 b a 0 Ⓑ. SD = − f ( x ) dx +  f ( x ) dx . Ⓒ. SD =  f ( x ) dx −  f ( x ) dx . Lời giải Chọn B 0 b a 0 Ⓓ. SD =  f ( x ) dx −  f ( x ) dx PP nhanh trắc nghiệm  Quan sát dấu của hình phẳng  St-bs: Duong Hung 69 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung b 0 b a 0 S D =  f ( x ) dx =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx a 0 b a 0 = −  f ( x ) dx +  f ( x ) dx Câu 3: Cho hình thang cong ( H ) giới hạn bởi các đường y = e x , y = 0 , x = 0 , x = ln 4 . Đường thẳng x = k ( 0  k  ln 4 ) chia ( H ) thành hai phần có diện tích là S1 và S2 như hình vẽ bên. Tìm k để S1 = 2S2 . 2 3 Ⓐ. k = ln 4 . Ⓑ. k = ln 2 . 8 3 Ⓒ. k = ln . Ⓓ. k = ln 3 . PP nhanh trắc nghiệm Lời giải Chọn D A  e dx x k  Ta có S1 =  e x dx = ek = ek − 1 và k  Tính Nhập vào máy 0 ln 4 và  e dx 0 x 0 k ln 4 ln 4  S2 =  e dx = e x k CALC với các giá trị của A lần lượt ở 4 phương án. Giá trị nào cho kết quả bằng 2 thì chọn. = 4 − ek x 0 Ta có S1 = 2S2  ek − 1 = 2 ( 4 − ek )  k = ln 3 . B – Bài tập rèn luyện: Câu 1: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình dưới đây. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x ) và trục Ox là 2 0 0 −1 Ⓐ. S =  f ( x ) dx −  f ( x ) dx . 2 Ⓑ. S =  f ( x ) dx . −1 2 Ⓒ. S =  − f ( x ) dx . −1 0 2 −1 0 Ⓓ. S =  f ( x ) dx −  f ( x ) dx . St-bs: Duong Hung 70 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung Câu 2: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên và có đồ thị ( C ) là đường cong như hình bên dưới. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị ( C ) , trục hoành và hai đường thẳng x = 0 , x = 2 là Ⓐ. 1  0 Ⓑ. 2 f ( x ) dx −  f ( x ) dx . 1 2  f ( x ) dx . 0 1 2 0 1 Ⓒ. − f ( x ) dx +  f ( x ) dx . Ⓓ. 2  f ( x ) dx . 0 Câu 3: Cho đồ thị hai hàm số y = x3 − 3x 2 + x + 3 và y = − x 2 + 2 x + 1 như hình sau Diện tích phần hình phẳng được gạch sọc tính theo công thức nào dưới đây? Ⓐ. 1 2 −1 2 1 3 2 3 2  ( x − 2 x − x + 2) dx +  ( − x + 2 x + x − 2) dx . Ⓑ.  ( x3 − 2 x 2 − x + 2 ) dx . Ⓒ. −1 1 2 3 2 3 2  ( − x + 2 x + x − 2) dx +  ( x − 2 x − x + 2) dx . −1 2 1 Ⓓ.  ( − x3 + 2 x 2 + x − 2 ) dx . −1 Câu 4: Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên và có đồ thị là đường cong như hình bên. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 2 là 1 2 Ⓐ. S = − f ( x)dx +  f ( x)dx . 0 1 1 2 Ⓑ. S =  f ( x)dx −  f ( x)dx . 0 Ⓒ. S = 1 2  f ( x)dx . 0 2 Ⓓ. S =  f ( x)dx . 0 Câu 5: Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ được tính theo công thức nào dưới đây? Ⓐ. 2 2  ( 2 x − 2 x − 4 ) dx . −1 2 Ⓒ.  ( 2 x − 2 ) dx . −1 St-bs: Duong Hung 2 Ⓑ.  ( −2 x + 2 ) dx . −1 2 Ⓓ.  ( −2 x 2 + 2 x + 4 ) dx . −1 71 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung Câu 6: Cho đồ thị hàm số y = f ( x ) như hình vẽ.Diện tích S của hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x ) và trục Ox được tính bởi công thức 3  f ( x ) dx . Ⓐ. S = −3 3 Ⓑ. S =  f ( x ) dx . −3 1 3 Ⓒ. S =  f ( x ) dx −  f ( x ) dx . −3 1 3 −3 1 1 Ⓓ. S =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx . Câu 7: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y = ( x − 2)2 , đường cong y = x3 và trục hoành bằng 11 . 2 7 Ⓒ. . 12 73 . 12 5 Ⓓ. . 2 Ⓐ. Câu 8: Ⓑ. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x ) và trục hoành gồm hai phần, phần nằm phía trên trục hoành có diện 8 tích S1 = và phần nằm phía dưới trục hoành có diện tích 3 0 5 S 2 = . Tính I =  f ( 3x + 1)dx . 12 −1 5 3 37 Ⓒ. I = . 36 Ⓐ. I = . Câu 9: 3 4 27 Ⓓ. I = . 4 Ⓑ. I = . Diện tích phần tô đậm trong hình bên được tính theo công thức nào trong các công thức sau? Ⓐ. 1  (−x 3 + 3 x 2 − 2 x ) dx . 0 1 Ⓑ.  ( x3 − 3 x 2 + 2 x ) dx . 0 Ⓒ. 2  (−x 3 + 3 x 2 − 2 x ) dx . 0 2 Ⓓ.  ( x3 − 3 x 2 + 2 x ) dx . 0 St-bs: Duong Hung 72 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung Câu 10: Gọi ( H ) là phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ dưới đây được giới hạn bởi đồ thị của các hàm số y = 3x 2 , y = 4 − x và trục hoành. Diện tích của ( H ) là bằng bao nhiêu? Ⓐ. Ⓒ. Ⓑ. 11 . 2 13 . 2 Ⓓ. 9 . 2 7 . 2 Câu 11: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Biết diện tích hai phần A và B lần lượt là 16 63 và , 3 4 3 2 tính  f ( 2 x + 1) dx . −1 Ⓐ. Ⓒ. 253 . 12 125 . − 24 Ⓑ. 253 . 24 125 Ⓓ. − . 12 Câu 12: Tính diện tích S của hình phẳng (phần gạch sọc) giới hạn bởi hai đồ thị hàm số f ( x ) = x ; g ( x ) = x − 2 trong hình sau y Ⓐ. Ⓒ. 12 Ⓑ. . 3 10 Ⓓ. . 3 8 . 3 7 . 3 2 O 4 2 x Câu 12: Gọi S là diện tích hình phẳng ( H ) giới hạn bởi các đường y = f ( x ) , trục hoành và 2 đường thẳng x = −1, x = 2 trong hình vẽ bên. 0 2 −1 0 Đặt S1 =  f ( x ) dx, S2 =  f ( x ) dx . Mệnh đề nào sau đây đúng? Ⓐ. S = S1 + S2 . Ⓑ. S = −S1 − S2 . Ⓒ. S = S1 − S2 . Ⓓ. S = S2 − S1 . St-bs: Duong Hung 73 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung Câu 13: Diện tích hình mặt phẳng gạch sọc trong hình vẽ bên bằng 3 3 Ⓑ.  ( 2 − 2 x ) dx . Ⓐ.  2 x dx . Ⓒ. 1 3  (2 1 − 2 ) dx . x 3 Ⓓ.  ( 2 x + 2 ) dx . 1 1 Câu 14: Diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x ) , trục hoành và hai đường thẳng x = a , x = b ( a  b ) tính theo công thức nào dưới đây ? c b a c Ⓐ. S =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx . b Ⓑ. S =  f ( x ) dx . a c b a c Ⓒ. S = − f ( x ) dx +  f ( x ) dx . Ⓓ. S = b  f ( x ) dx . a Câu 15: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Diện tích hình phẳng được tính bằng công thức nào? y 0 b a 0 b Ⓐ. S =  f ( x)dx –  f ( x)dx . 0 Ⓑ. S =  f ( x)dx +  f ( x)dx . a 0 b Ⓒ. S = 2 f ( x)dx . a O b 0 b Ⓓ. S =  f ( x)dx . a St-bs: Duong Hung 74 x Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung Câu 16: Cho đồ thị hàm số y = f ( x ) . Diện tích hình phẳng là: 0 4 -3 0 y Ⓐ. S =  f ( x )dx +  f ( x )dx . Ⓑ. S = 4  4 O1 -3 f ( x ) dx . -3 4 Ⓒ. S =  f ( x ) dx . -3 0 4 -3 0 Ⓓ. S =  f ( x ) dx −  f ( x ) dx . Câu 17: Cho đồ thị hàm số y = f ( x ) trên đoạn  0; 4 như hình vẽ và có 4 11 9 diện tích S1 = , S 2 = . Tính tích phân I =  f ( x )dx 6 2 0 19 . 3 19 8 Ⓒ. I = . Ⓓ. I = − . 3 3 Câu 19: Cho đồ thị hàm số y = f ( x ) trên đoạn  −2; 2 như hình vẽ ở bên và có diện tích 8 3 Ⓐ. I = − . Ⓑ. I = 2 22 76 S1 = S2 = , S3 = . Tính tích phân I =  f ( x )dx 15 15 -2 32 . 15 18 Ⓒ. I = . 5 Ⓐ. I = Ⓑ. I = 8 . Ⓓ. I = − 32 . 15 BẢNG ĐÁP ÁN 1.D 11.C 2.A 12.D 3.A 13.D 4.B 14.C St-bs: Duong Hung 5.D 15.C 6.C 16.A 7.C 17.D 8.B 18.D. 9.B 19.A 75 10.A x Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung St-bs: Duong Hung 76 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung Full Chuyên đề 12 new 2020-2021 CHƯƠNG ③: FB: Duong Hung Bài 6: THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY  Dạng ①: Bài toán Thể tích vật thể: . Phương pháp:  Gọi là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b; là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm , . Giả sử là hàm số liên tục trên đoạn .  Khi đó, thể tích của vật thể B được xác định: A – Bài tập minh họa: Câu 1: Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x = 1 và x = 3 , biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x ( 1  x  3 ) thì 2 được thiết diện là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là 3x và 3x − 2 . Ⓐ. V = 32 + 2 15. Ⓑ. V = 124 . Ⓒ. V = 124 . Ⓓ. V = (32 + 2 15) . 3 3 PP nhanh trắc nghiệm Lời giải Chọn C  Ta nhập biểu thức 3  3x.  Diện tích thiết diện là: S ( x) = 3x. 3x − 2 2 3x 2 − 2dx như sau : 1 3  Thể tích vật thể là: V =  3x. 3x 2 − 2dx = 1 124 . 3 y3Q(s3Q(dp2R1E3=  Màn hình hiển thị : Chọn C St-bs: Duong Hung 77 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = 0 và x = 3 . Biết rằng thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x ( 0  x  3) là một hình vuông cạnh là Ⓐ. V = 171 9 − x 2 . Tính thể tích V của vật thể. Ⓑ. V = 171 . Ⓒ. V = 18 . Ⓓ. V = 18 . PP nhanh trắc nghiệm Lời giải Chọn C  Casio 3  Ta có thể tích của vật thể là V =  0 ( ) dx 2 9− x 2 3  x3  =  ( 9 − x )dx =  9 x −  = 18 . 3 0  0 3  Chú ý: Diện tích hình vuông 2 B – Bài tập rèn luyện: Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho vật thể ( H ) giới hạn bởi hai mặt phẳng có phương trình x = a , x = b ( a  b ) . Gọi S ( x ) là thiết diện của ( H ) cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ là x với a  x  b . Giả sử hàm số y = S ( x ) liên tục trên đoạn  a; b . Khi đó thể tích V của vật thể ( H ) được cho bởi công thức b b b b a a a a Ⓐ. V =    S ( x )  2 dx . Ⓑ. V =   S ( x ) dx . Ⓒ. V =   S ( x )  2 dx . Ⓓ. V =  S ( x ) dx . Câu 2: Trong không gian Oxyz , cho vật thể được giới hạn bởi hai mặt phẳng ( P ) , ( Q ) vuông góc với trục Ox lần lượt tại x = a , x = b ( a  b ) . Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với Ox tại điểm có hoành độ x, a x b cắt vật thể theo thiết diện có diện tích là S x với y S x là hàm số liên tục trên  a; b . Thể tích V của thể tích đó được tính theo công thức z S(x) y O a b Ⓐ. V =  S 2 ( x ) dx . a x b x b Ⓑ. V =  S ( x ) dx . a b Ⓒ. V =   S ( x ) dx . a b Ⓓ. V =   S 2 ( x ) dx . a Câu 3: Cho phần vật thế  được giới hạn bởi hai mặt phẳng ( P ) và ( Q ) vuông góc với trục Ox tại x = 0 , x = 3 . Cắt phần vật thể  bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ bằng x ( 0  x  3) ta được thiết diện là hình chữ nhật có kích thước lần lượt là x và 3 − x . Thể tích phần vật thể  bằng St-bs: Duong Hung 78 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung Ⓐ. 27 . 4 Ⓑ. 12 3 . 5 Ⓒ. 12 3 . 5 Ⓓ. 27 . 4 Câu 4: Cho phần vật thể (  ) giới hạn bởi hai mặt phẳng có phương trình x = 0 và x = 2 . Cắt phần vật thể (  ) bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x ( 0  x  2 ) , ta được thiết diện là một tam giác đều có độ dài cạnh bằng x 2 − x . Tính thể tích V của phần vật thể (  ) Ⓐ. V = 4 . Ⓑ. V = 3 3 . 3 Ⓒ. V = 4 3. Ⓓ. V = 3. Câu 5: Cho vật thể có mặt đáy là hình tròn có bán kính bằng 1 (hình vẽ). Khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x ( −1  x  1) thì được thiết diện là một tam giác đều. Tính thể tích V của vật thể đó. Ⓐ. V = 3 . Ⓑ. V = 3 3 . Ⓒ. V = 4 3 . 3 Ⓓ. V =  . Câu 6: Cho phần vật thể B giới hạn bởi hai mặt phẳng có phương trình x = 0 và x =  3 . Cắt phần   vật thể B bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x  0  x   ta 3  được thiết diện là một tam giác vuông có độ dài hai cạnh góc vuông lần lượt là 2x và cos x . Thể tích vật thể B bằng 3 + 3 3 − 3 3 − 3 3 Ⓐ. . Ⓑ. . Ⓒ. . Ⓓ. . 6 3 6 6 Câu 7: Tính thể tích V của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = 0 và x =  , biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x ( 0  x   ) là một tam giác đều cạnh 2 sin x . Ⓐ. V = 3 . Câu 8. Ⓑ. V = 3 . Ⓓ. V = 2 3 . Tính thể tích vật thể giới hạn bởi các mặt phẳng x = 0 và x = 1 , biết thiết diện của vật thể khi cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (0  x  1) là một hình vuông có độ dài cạnh  Ⓐ. V = . x ( e x − 1) . Ⓑ. V = 2 Câu 9. Ⓒ. V = 2 3 . e −1 . 2 1 2 Ⓒ. V = . Ⓓ. V =  (e − 1) 2 . Cắt một vật thể V bởi hai mặt phẳng song song P , Q lần lượt vuông góc với trục Ox    . Một mặt tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm x  −  x   cắt V 2 2 2  2 2 theo thiết diện có diện tích là S ( x ) = (1 + sin x ) cosx . Tính thể tích vật thể V giới hạn bởi tại x = −  , x=  hai mặt phẳng P , Q . St-bs: Duong Hung 79 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung Ⓐ. 3,14 . Câu 10. Ⓑ. 8 . 3 13 . 6 Ⓒ. Ⓓ. 8 . 3 Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = −1 và x = 1 , biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x ( −1  x  1) là một tam giác 4 vuông cân có cạnh huyền bằng 1 − x . 2 5 3 4 Ⓐ. . Ⓑ. . Ⓒ. 4 . Ⓓ. . 1 4 BẢNG ĐÁP ÁN 1.D 2.B 3. C 4.B 5.C 6.C 7.D 8.C 9.B Hướng dẫn giải Lời giải Câu 3. Chọn C Ta có diện tích thiết diện là S ( x ) = x 3 − x . 3 3 0 0 Vậy thể tích phần vật thể  là: V =  S ( x )dx =  x 3 − xdx = 12 3 . 5 Câu 4. Lời giải Chọn B x2 ( 2 − x ) 3 Diện tích thiết diện: S  = . 4 2 2 x2 ( 2 − x ) 3 32 3 1 4 3 3 2 3 2 dx =  V =  . x ( 2 − x ) dx = x ( 2 − x ) dx =  x − x  =   4 3 4 0 3 4 0 4 0 4 0 2 2 Câu 5. Lời giải Chọn C Tại vị trí có hoành độ x ( −1  x  1) thì tam giác thiết diện có cạnh là 2 1 − x 2 . ( Do đó tam giác thiết diện có diện tích S ( x ) = 2 1 − x 2 = 3 (1 − x 2 ) . 1 Vậy thể tích V của vật thể là  −1 3 (1 − x 2 ) dx = ) 2 3 4 4 3 . 3 Câu 6. Lời giải Chọn C St-bs: Duong Hung 80 10.B Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung  3  3  3 0   Thể tích vật thể B là V =  x cos xdx = x sin x −  sin xdx = x sin x 03 + cos x 03 = 0 0 3 − 3 . 6 Câu 7. Lời giải Chọn D ( 3 2 sin x Diện tích tam giác đều S ( x ) =   0 0 ) 4 2 = 3 sin x . Vậy thể tích V =  S ( x ) dx =  3 sin xdx = 2 3 . Câu 8. Chọn C Lời giải 1 1 0 0 1 Ta có: V =  S ( x)dx =   x ( e x − 1)  dx =  x ( e x − 1) dx .   2 0 u = x du = dx  Đặt:  . x x dv = ( e − 1) dx v = e − x 1  x2  1 1 Do đó: V = x ( e − x ) −  ( e − x )dx = e − 1 −  e x −  = e − 1 − e + + 1 = . 0 2 0 2 2  0 x 1 1 x Câu 9. Chọn B Lời giải   2  (1 + sin x ) cosxdx . Ta có thể tích vật thể V cần tính là: V =  S ( x ) dx = −  2 2 2 − 2 Đặt t = sinx  dt = cosx dx . Đổi cận: x = −  2  t = −1; x =  2  t = 1. 1  t3  8  V =  (1 + t ) dt =  t +  = . 3  −1 3  −1 1 2 Câu 10. Chọn B Lời giải St-bs: Duong Hung 81 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung 2 1  1 − x4 Ta có diện tích thiết diện được cho bằng: S ( x ) =  2  2  1  = (1 − x 4 )  4  1  1 − x4 Ta có diện tích thiết diện được cho bằng: S ( x ) =  2  2  1  = (1 − x 4 )  4  1  Thể tích vật thể cần tìm là: V =  S ( x ) .dx = −1 1 2  4 (1 − x ) dx = 5 . 1 2 4 −1  Dạng ②: Bài toán Thể tích vật thể tròn xoay quanh trục Ox . Phương pháp:  Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi miền khi quay quanh trục giới hạn bởi ; và .  Phương pháp giải: áp dụng công thức: A – Bài tập minh họa: Câu 1: Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên đoạn a ;b  . Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x) , trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b (a  b) . Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành được tính theo công thức b b b b a a a a Ⓐ. V =  2  f 2 ( x)dx . Ⓑ. V =   f 2 ( x)dx . Ⓒ. V =  2  f ( x)dx . Ⓓ. V = 2  f 2 ( x)dx . PP nhanh trắc nghiệm Lời giải Chọn B  Công thức b  x  [a; b] ta có V =   f 2 ( x)dx a Câu 2: Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay quanh trục hoành hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số y = 2ln x, y = 0, x = 1, x = e . Ⓐ.  . Ⓑ. e − 2 . St-bs: Duong Hung Ⓒ.  ( e − 2 ) . Ⓓ. 4 ( e − 2 ) . 82 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung PP nhanh trắc nghiệm Lời giải Chọn D  Casio e  Có V = 4  ln 2 xdx = 4 I 1 1  u = ln 2 x du = 2 ln x dx   Đặt  x d v = d x  v = x e  Suy ra I = x ln x 1 − 2 ln xdx = e − 2I’ e 2 1 1  u = ln x du = dx   Đặt  x dv = dx v = x  e  Suy ra I’ = x ln x 1 −  dx = e − e + 1 = 1 e 1  Suy ra I = e − 2  Vậy V = 4 ( e − 2 ) Câu 3: Gọi ( H ) là hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = sin x ; Ox ; x = 0 ; x =  . Quay ( H ) xung quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là Ⓐ. 2 2 Ⓑ. .  2 . Ⓒ.  . Ⓓ.  2 . PP nhanh trắc nghiệm Lời giải  Chọn A  Thể tích khối tròn xoay là  V =   sin 2 x.dx = 0  2   (1 − cos2 x ).dx = 0 2 1   x − sin 2 x = .  0 2 2 2   B – Bài tập rèn luyện: Câu 1. Gọi ( H ) là hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x ln x, trục Ox, x = 1, x = e . Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng ( H ) quanh trục Ox . Ⓐ.  ( e2 + 1) 4 .  ( e − 1) Ⓑ. . 3 St-bs: Duong Hung Ⓒ.  ( e + 1) 3 . Ⓓ.  ( e2 − 1) 4 83 . Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung Câu 2. Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi y x 2 quay xung quanh trục Ox . Ⓐ. 2ln 2 1 . Câu 3. 4 3 Ⓑ. V = 2 Ⓓ. 2ln 2 1 . Ⓒ. V = 4 3 Ⓓ. V = 2 Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y = 2 + sin x , trục hoành và các đường thẳng x = 0 , x =  . Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quay quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu? Ⓐ. V = 2 2 . Câu 5. Ⓒ. 2 ln 2  . Cho hình phẳng D giới hạn với đường cong y = x 2 + 1 , trục hoành và các đường thẳng x = 0, x = 1 . Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu? Ⓐ. V = Câu 4. Ⓑ. 2 ln 2  . ln x , trục Ox và đường thẳng Ⓑ. V = 2 ( + 1) . Ⓒ. V = 2 . Ⓓ. V = 2 ( + 1) . Cho hình phẳng ( H ) giới hạn bởi các đường y = x 2 + 3 , y = 0 , x = 0 , x = 2 . Gọi V là thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay ( H ) xung quanh trục Ox . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 2 2 Ⓐ. V =   ( x + 3) dx . Ⓑ. V =   ( x 2 + 3) dx . 2 2 0 2 0 2 Ⓒ. V =  ( x 2 + 3) dx . Ⓓ. V =  ( x2 + 3) dx . 2 0 Câu 6: 0 Cho hình phẳng ( H ) giới hạn bởi các đường thẳng y = x 2 + 2, y = 0, x = 1, x = 2 . Gọi V là thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay ( H ) xung quanh trục Ox . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 2 2 2 2 Ⓐ. V =   ( x + 2 ) dx . Ⓑ. V =  ( x + 2 ) dx . Ⓒ. V =   ( x + 2 ) dx . Ⓓ. V =  ( x 2 + 2 ) dx . 2 2 2 1 1 Câu 7: 2 2 1 1 Viết công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong, giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x ) , trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b ( a  b ) , xung quanh trục Ox . b Ⓐ. V =   f ( x )dx . 2 a Câu 8: b Ⓑ. V =  f ( x )dx . 2 a b b a a Ⓒ. V =   f ( x )dx . Ⓓ. V =  f ( x ) dx . Kí hiệu ( H ) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 2( x − 1)e x , trục tung và trục hoành. Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình ( H ) xung quanh trục Ox Ⓐ. Câu 9: V = 4 − 2e . Ⓑ. V = ( 4 − 2e )  . Ⓒ. V = e2 − 5 . Ⓓ. V = ( e2 − 5 )  . Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay quanh trục hoành hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số y = 3x − x 2 , y = 0 . 16 16 81 16 Ⓐ. . Ⓑ.  . Ⓒ.  . Ⓓ. . 15 15 10 15 St-bs: Duong Hung 84 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung Câu 10: Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay quanh trục hoành hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số y = x3 , y = 0, x = 1 . 4    Ⓐ. . Ⓑ. . Ⓒ. . Ⓓ. . 7 7 4 2 Câu 11: Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay quanh trục hoành hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số xy = 9, y = 0, x = 1, x = 3 . Ⓐ. 54 . Ⓑ. 6 . Ⓒ. 12 . Ⓓ. 6 . Câu 12: Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay quanh trục hoành hình phẳng giới 1 hạn bởi đồ thị của các hàm số y = cos ( x ) , y = 0, x = 0, x = .  ( + 2 )  ( sin 2 + 2 ) . 4  sin 2 + 2  +2 . Ⓓ. . 8 8 4 Câu 13: Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay quanh trục hoành hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số y = cos2 x, y = 0, x = 0, x =  . Ⓐ. Ⓑ. . 3 Ⓑ. . 8 2 Ⓐ. . 2 1.D 2.C 3. A 11.A 12.B 13.C 4. B Ⓒ.  2 3 2 Ⓒ. . 8 BẢNG ĐÁP ÁN 5. A 6. A 7.A Ⓓ. . 8.D 9.C 10.D  Dạng ③: Bài toán Thể tích vật thể tròn xoay quanh trục Ox . Phương pháp:  Tính thể tích vật thể tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi: trục ; quay quanh .  Phương pháp giải: ①. Giải phương trình: có nghiệm ②. Khi đó thể tích cần tìm : ③. Casio: A – Bài tập minh họa: St-bs: Duong Hung 85 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung Câu 1: Thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi Parabol ( P ) : y = x 2 và đường thẳng d : y = 2 x quay quanh trục Ox bằng 2 2 2 Ⓑ.   ( x2 − 2 x ) dx . Ⓐ.   4x dx −   x dx . 2 4 0 0 0 2 2 2 Ⓓ.   ( x 2 − 2 x ) dx . Ⓒ.   4x dx +   x dx . 2 4 0 2 0 0 PP nhanh trắc nghiệm Lời giải  Chọn B  Phương trình hoành độ giao điểm của ( P ) và d là x = 0 . x2 = 2 x   x = 2 2 ( ) 2 2 Thể tích của khối tròn xoay là   ( 2x ) − x 2  dx   0 2 2 0 0 =   4x 2dx −   x 4dx Câu 2: Thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = x 2 − 2 x , y = 4 − x 2 khi nó quanh quanh trục hoành là: Ⓐ. 421 . 15 Ⓑ. 27 . Ⓒ. 125 . 3 Ⓓ. 30 . PP nhanh trắc nghiệm Lời giải  Chọn B  Xét phương trình hoành độ giao điểm:  x = −1  x2 − 2x = 4 − x2  2×2 − 2x − 4 = 0   . x = 2  Do khi quay quanh trục hoành thì khối sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x 2 − 2 x , trục hoành, x = 0; x = 2 sẽ nằm trong khối sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 4 − x 2 , trục hoành, x = 0; x = 2 .  Vậy thể tích cần tính bằng: 0 2  0  2 2 2 2 V =    4 − x dx −   x − 2 x dx  +   4 − x 2 −1 0  −1  203 38 256 421 = − + =  15 15 15 15 ( ) ( ) ( )  Chú ý phần rất dễ thiếu phần 2 V1 =   ( 4 − x 2 ) dx 2 0 2 dx B – Bài tập tham khảo rèn luyện: St-bs: Duong Hung 86 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung Cho hình phẳng trong hình (phần tô đậm) quay quanh trục hoành. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành được tính theo công thức nào? Câu 1: b Ⓐ. V =   f12 ( x ) − f 22 ( x ) dx . a b Ⓑ. V =    f12 ( x ) − f 22 ( x ) dx . a b Ⓒ. V =    f 22 ( x ) − f12 ( x ) dx . a b Ⓓ. V =    f1 ( x ) − f 2 ( x ) dx . 2 a Lời giải Chọn B Do f1 ( x )  f 2 ( x ) x  ( a; b ) nên Chọn B Câu 2: Tìm công thức tính thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi parabol ( P ) : y = x 2 và đường thẳng d : y = 2 x quay xung quanh trục Ox . 2 Ⓐ.   ( x2 − 2 x ) dx . 0 2 2 0 0 2 2 0 2 0 Ⓑ.   4 x 2dx −   x 4dx . 2 Ⓓ.   ( 2 x − x 2 ) dx . Ⓒ.   4 x 2dx +   x 4dx . 0 Lời giải Chọn A x = 0 Phương trình hoành độ giao điểm: x 2 − 2 x = 0   . x = 2 2 Vậy thể tích khối tròn xoay được tính: V =   ( x 2 − 2 x ) dx . 2 0 Cho hình ( H ) giới hạn bởi trục hoành, đồ thị của một Parabol Câu 3: và một đường thẳng tiếp xúc với Parabol đó tại điểm A ( 2; 4 ) , như hình vẽ bên. Thể tích vật thể tròn xoay tạo bởi khi hình ( H ) quay quanh trục Ox bằng Ⓐ. Ⓒ. 16 . 15 2 . 3 32 . 5 22 Ⓓ. . 5 Ⓑ. Lời giải Chọn A 2 Parabol có đỉnh là gốc tọa độ như hình vẽ và đi qua A ( 2; 4 ) nên có phương trình y = x . Tiếp tuyến của Parabol đó tại A ( 2; 4 ) có phương trình là y = 4 ( x − 2 ) + 4 = 4 x − 4 . 2 Suy ra thể tích vật thể tròn xoay cần tìm là V =   ( x 0 2 (x ) 0 2 2 5 2 x dx = 5 0 32 ; = 5 ) 2 2 2 dx −   ( 4 x − 4 ) dx . 2 1 2  x3  16 2 1 ( 4 x − 4 ) dx = 161 ( x − 2 x + 1) dx = 16  3 − x + x  = 3 . 1 2 2 2 St-bs: Duong Hung 2 87 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung 2 Vậy V =   ( x 0 ) 2 2 2  32 16  16 . dx −   ( 4 x − 4 ) dx =   −  =  5 3  15 1 2 Gọi ( H ) là hình phẳng được giới hạn bởi các đồ thị hàm 1− x số y = 2 x, y = , y = 0 (phần tô đậm màu đen ở hình vẽ bên). x Thể tích của vật thể tròn xoay tạo thành khi quay ( H ) quanh trục hoành bằng. 5 5 Ⓐ. V =   − 2ln 2  . Ⓑ. V =   + 2ln 2  . 3 3   2 2 Ⓒ. V =   2 ln 2 −  . Ⓓ. V =   2 ln 2 +  . 3 3   Lời giải Chọn A 1− x Phương trình hoành độ giao điểm của y = 2 x và y = là: x x  0  x  0 1− x 1  1  2x =  2 x= .    x = x 2 2 2 x + x − 1 = 0    x = −1 x  0 Phương trình hoành độ giao điểm của y = 2 x và y = 0 là: 2 x = 0   2  x = 0. 2 x + x − 1 = 0 1− x Phương trình hoành độ giao điểm của y = 0 và y = là: x x  0 x  0 1− x   x = 1. =0  x x = 1 1 − x = 0 Câu 4: 1 2 1 1 1 4 x3 2  1− x   1 2  1  d x =  . +  − 1 dx =  +    2 − + 1 dx  V =   4 x 2 dx +       6 x  3 0  1 x  1 x 1 x 0 2 1 2 2 2 1 2 2 Tính thể tích của khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x − 4 , y = 2 x − 4 , x = 0 , x = 2 quanh trục Ox. 32π 32π 32π 22π Ⓐ. . Ⓑ. . Ⓒ. . Ⓓ. . 15 7 5 5 Lời giải Chọn A Câu 5: 2 2 Ta có V1 = π  ( x 2 − 4 ) dx = 256 32 2 π , V2 = π  ( 2 x − 4 ) dx = π . 15 3 0 0 32π Vậy thể tích cần tìm V = V1 − V2 = . 5 Câu 6: 2 2 Cho hình phẳng ( H ) giới hạn bởi các đường y = x , y = 2 x . Thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay ( H ) xung quanh trục Ox bằng: 32 Ⓐ. . 15 Ⓑ. 64 . 15 St-bs: Duong Hung 88 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung Ⓒ. 21 . 15 Ⓓ. 16 . 15 Lời giải Chọn B x = 0 Xét phương trình hoành độ giao điểm: x 2 − 2 x = 0   . x = 2  y = x2   y = 2x Khi quay ( H ) xung quanh trục Ox ta được khối tròn xoay giới hạn bởi  . x = 0   x = 2 2 2 64 2 Do đó thể tích của khối tròn xoay là: V =   ( x 2 ) − ( 2 x ) dx = . 15 0 Tính thể tích V của vật tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng ( H ) giới hạn bởi các đường Câu 7: y = x 2 ; y = x quanh trục Ox . 9 3 Ⓐ. V = . Ⓑ. V = . 10 10 Ⓒ. V =  10 Ⓓ. V = . 7 . 10 Lời giải Chọn B 2 Phương trình hoành độ giao điểm x = x  x4 − x = 0  x ( x − 1) ( x 2 + x + 1) = 0  x = 0 hoặc x = 1 Khi đó: Thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình ( H ) là 1 V = 0 ( x ) dx −   ( x ) dx = 310 1 2 2 2 0 Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y = e x −1 , các trục tọa độ và phần đường thẳng y = 2 − x với x  1. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành. Câu 8: 1 e2 − 1 Ⓐ. V = + 2 . 3 2e Ⓑ. V =  ( 5e2 − 3) 6e2 . Ⓒ. V = + 1 2 e −1 . e 1 2 Ⓓ. V = + e2 − 1 . 2e 2 Lời giải Chọn B Phương trình hoành độ giao điểm của đường cong y = e x −1 và đường thẳng y = 2 − x : e x−1 = 2 − x  x = 1 . (Vì y = e x −1 là hàm đồng biến và nên phương trình có tối đa y = 2 − x là hàm nghịch biến trên tập xác định 1 nghiệm. Mặt khác x = 1 thỏa mãn pt nên đó là nghiệm duy nhất của pt đó). Đường thẳng y = 2 − x cắt trục hoành tại x = 2 . 1 V =   (e 0 ) x −1 2 2 dx +   ( 2 − x ) dx 2 1  ( 5e 2 − 1)  x3  +   − 2x + 4  = 0 6e 2  3 1 2 = e 2 x−2 1 Câu 9: Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị y = x 2 − 4 x + 6 và y = − x 2 − 2 x + 6 . Ⓐ.  . Ⓑ.  −1 . St-bs: Duong Hung Ⓒ. 3 . Ⓓ. 2 . 89 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung Lời giải Chọn C x = 0 Xét phương trình hoành độ giao điểm x2 − 4 x + 6 = − x 2 − 2 x + 6  2 x 2 − 2 x = 0   . x = 1 Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị là 1 1 V =   ( x − 4 x − 6 ) − ( − x − 2 x + 6 ) dx =   −12 x3 + 36 x 2 − 24 x dx 2 2 2 2 0 0 = 1  ( −12 x 3 ( + 36 x 2 − 24 x ) dx =  −3×3 + 12 x3 − 12 x 2 ) 0 1 0 = 3 . 2 Câu 10: Gọi ( H ) là hình được giới hạn bởi nhánh parabol y = 2 x (với x  0 ), đường thẳng y = − x + 3 và trục hoành. Thể tích của khối tròn xoay tạo bởi hình ( H ) khi quay quanh trục Ox bằng Ⓐ. V = 52 . 15 Ⓑ. V = 17 . 5 Ⓒ. V = 51 . 17 Ⓓ. V = 53 . 17 Lời giải Chọn A x = 1 Phương trình hoành độ giao điểm: 2 x = − x + 3   x = − 3 2  2 3 1 Thể tích khối tròn xoay tạo bởi ( H ) : V =   ( − x + 3) dx +   4 x 4dx = 2 1 0 52 . 15 Câu 11: Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường x + y − 2 = 0 ; y = x ; y = 0 quay quanh trục Ox bằng 6 2 5 5 Ⓐ. . Ⓑ. . Ⓒ. . Ⓓ. . 5 3 6 6 Lời giải Chọn D Hình phẳng đã cho được chia làm 2 phần sau: Phần 1 : Hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x ; y = 0 ; x = 0 ; x = 1 . 1 Khi quay trục Ox phần 1 ta được khối tròn xoay có thể tích V1 =   x dx =  . 0 x2 2 1 0 =  2 . Phần 2 : Hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2 − x ; y = 0 ; x = 1 ; x = 2 . Khi quay trục Ox phần 2 ta được khối tròn xoay có thể tích V2 =   ( 2 − x ) 1 ( x − 2) dx =  . 3 2 2 3 2 1 =  3 . Vậy thể tích khối tròn xoay cần tính là V = V1 + V2 = 5 . 6 Câu 12: Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi các đường x = y , y = − x + 2 và x = 0 quay quanh trục Ox có giá trị là kết quả nào sau đây? Ⓐ. V = 1  . 3 Ⓑ. V = 3  . 2 Ⓒ. V = 32  . 15 Ⓓ. V = 11  . 6 Lời giải Chọn C St-bs: Duong Hung 90 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung x = y  y = x2 ( x  0)   Gọi ( H ) là hình phẳng giới hạn bởi các đường:  y = − x + 2   y = − x + 2 x = 0 x = 0    x = 1 ( nhaän ) Phương trình hoành độ giao điểm: x 2 = − x + 2  x2 + x − 2 = 0    x = −2 ( loaïi ) Thể tích vật tròn xoay sinh ra khi hình ( H ) quay quanh trục Ox là: 1 ( ) 1  V =   ( − x + 2 ) − ( x 2 ) dx =   ( x 2 − 4 x + 4 − x 4 ) dx = 0 2 2 0 32  (đvtt) 15 Câu 13: Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x , cung tròn có phương trình y = 6 − x 2 (− ) 6  x  6 và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ bên). Tính thể tích V của vật thể tròn xoay sinh bởi khi quay hình phẳng D quanh trục Ox . Ⓐ. V = 8 6 − 2 . Ⓑ. V = 8 6 + 22 . 3 Ⓒ. V = 8 6 − 22 . 3 Ⓓ. V = 4 6 + 22 . 3 Lời giải Chọn D Cách 1. Cung tròn khi quay quanh Ox tạo thành một khối cầu có thể tích 3 4 V =  6 = 8 6 . 3 Thể tích nửa khối cầu là V1 = 4 6 . ( ) x  0 x = 6 − x2   2  x = 2. x + x − 6 = 0 Thể tích khối tròn xoay có được khi quay hình phẳng ( H ) giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x , cung Xét phương trình: tròn có phương trình y = 6 − x 2 , và hai đường thẳng x = 0, x = 2 quanh Ox là 2 V2 =   ( 6 − x 2 − x ) dx = 0 22 . 3 22 . 3 Cách 2. Cung tròn khi quay quanh Ox tạo thành một khối cầu có thể tích 3 4 V1 =  6 = 8 6 . 3 x  0  Xét phương trình: x = 6 − x 2   2  x = 2. x + x − 6 = 0 Vậy thể tích vật thể tròn xoay cần tìm là V = V1 + V2 = 4 6 + ( ) Thể tích khối tròn xoay có được khi quay hình phẳng ( H ) giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x , cung 2 tròn có phương trình y = 6 − x và đường thẳng y = 0 quanh Ox là V2 =   xdx +  2 0 = 2 + 6  ( 6 − x ) dx 2 2 12 6 − 28 22  = 4 6 − . 3 3 St-bs: Duong Hung 91 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung 22   22 Vậy thể tích vật thể tròn xoay cần tìm là V = V1 − V2 = 8 6 −  4 6 − .  = 4 6 + 3 3   Câu 14: Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo bởi phép quay xung quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 0 , y = x , y = x − 2 . Ⓐ. 8 . Ⓑ. 16 . 3 3 Ⓒ. 10 . Ⓓ. 8 . Lời giải Chọn B 0 = x  x = 0  Ta có: 0 = x − 2  x = 2   x = x−2 x = 4 Dựa vào hoành độ giao điểm của ba đường ta có diện tích hình phẳng gồm hai phần. Phần thứ nhất giới hạn bởi y = x , y = 0 và x = 0; x = 2 . Phần thứ hai giới hạn bởi y = x , y = x − 2 và x = 2; x = 4 . Thể tích vật thể bằng: 2 V = ( ) 2 x 0 4 2 4 ( ) dx +   ( x − 2 ) − x dx =   xdx +   x − ( x − 2 ) dx 2 2 2 0 2 2 4 2  x 2 ( x − 2 )3  x2 16 . = +  −  =  2  2 0 3 3  2 2 Câu 15: Cho ( H ) là hình phẳng giới hạn bởi parabol y = x và đường tròn x 2 + y 2 = 2 (phần tô đậm trong hình bên). Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay ( H ) quanh trục hoành. Ⓐ. V = 44 . Ⓒ. 15 5 . V = 3 Ⓑ. V = 22 .  15 Ⓓ. V = . 5 Lời giải Chọn A  x2 = 1 x = 1 2 Với y = x thay vào phương trình đường tròn ta được x 2 + x 4 = 2   2 .  x = − 1 x = − 2    y = − 2 − x2 Hơn nữa x 2 + y 2 = 2   .  y = 2 − x 2  y = 2 − x2   x = −1 Thể tích cần tìm chính là thể tích vật thể tròn xoay ( H1 ) :  quay quanh Ox bỏ đi phần thể x = 1  Ox   y = x2   x = −1 tích ( H 2 ) :  quay quanh Ox . x = 1  Ox St-bs: Duong Hung 92 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung 1 Do đó V =     −1 ( 2 − x2 ) 2 1  44 2 . dx −  ( x 2 ) dx  = −1  15 Câu 16: Cho hình phẳng ( H ) (phần gạch chéo trong hình vẽ). Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình ( H ) quanh trục hoành. Ⓐ. V = 8 . Ⓑ. V = 10 . 8 . 3 Ⓒ. V = Ⓓ. V = 16 . 3 Lời giải Chọn D Gọi là hình phẳng giới hạn bởi các đường x = 0 , x = 4 , f ( x ) = x và trục hoành. ( D2 ) là hình phẳng giới hạn bởi các đường x = 2 , x = 4 , g ( x ) = x − 2 và trục hoành. Kí hiệu V1 , V2 tương ứng là thể tích của các khối tròn xoay tạo thành khi quay ( D1 ) , ( D2 ) quanh trục hoành. 4 4 4 4 Khi đó, V = V1 − V2 =   f 2 ( x ) dx −   g 2 ( x ) dx =   xdx −   ( x − 2 ) dx = 8 − 2 0 0 2 2 8 16 . = 3 3 Câu 17: Thể tích V của khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường tròn ( C ) : x 2 + ( y − 3) 2 = 1 xung quanh trục hoành là Ⓐ. 6 2 . Ⓑ. 6 3 . Ⓒ. 3 2 . Ⓓ. 6 . Lời giải Chọn A ( C ) : x 2 + ( y − 3) 2 = 1  ( y − 3) = 1 − x 2 2  y − 3 = 1 − x2  y = 3 + 1 − x2    y − 3 = − 1 − x 2  y = 3 − 1 − x 2 Thể tích V của khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường tròn ( C ) : x 2 + ( y − 3) 1 ( 2 = 1 xung quanh trục hoành là V =   3 + 1− x −1 ) dx −   (3 − 2 2 −1 St-bs: Duong Hung ) dx =  .6 = 6 2 1 1− x 2 2 . 93 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu quả cao – FB Duong Hung St-bs: Duong Hung 94
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments

Bài viết tương tự

Scroll to Top