Chuyên đề nguyên hàm, tích phân và ứng dụng – Đặng Việt Đông

Giới thiệu Chuyên đề nguyên hàm, tích phân và ứng dụng – Đặng Việt Đông

Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và bạn đọc Chuyên đề nguyên hàm, tích phân và ứng dụng – Đặng Việt Đông CHƯƠNG NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN.

Chuyên đề nguyên hàm, tích phân và ứng dụng – Đặng Việt Đông

Tài liệu môn Toán 12 và hướng dẫn giải chi tiết các đề thi từ cơ bản đến vận dụng cao sẽ luôn được cập thường xuyên từ hoctoanonline.vn , các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán hay và mới nhất.

Tài liệu Chuyên đề nguyên hàm, tích phân và ứng dụng – Đặng Việt Đông

Các em học sinh và bạn đọc tìm kiếm thêm tài liệu Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng tại đây nhé.

Text Chuyên đề nguyên hàm, tích phân và ứng dụng – Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 0 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng MỤC LỤC 1.1 NGUYÊN HÀM ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ NG.H CƠ BẢN 1.2 NGUYÊN HÀM ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ NG.H CƠ BẢN 2. NGUYÊN HÀM ĐỔI BIẾN 3. NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN 4. TÍCH PHÂN ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ TP CƠ BẢN 5. TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN 6. TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 7. GTLN, GTNN – BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN 8.1 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ÁP DỤNG TÍNH CHẤT 8.2 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ÁP DỤNG ĐỔI BIẾN 8.3 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ÁP DỤNG TỪNG PHẦN 9.1 ỨNG DỤNG TÍNH DIỆN TÍCH GIỚI HẠN BỞI CÁC ĐƯỜNG 9.2 ỨNG DỤNG TÍNH DIỆN TÍCH CÓ ĐỒ THỊ ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG THỰC TẾ 10.1 ỨNG DỤNG TÍNH THỂ TÍCH GIỚI HẠN BỞI CÁC ĐƯỜNG 10.2 ỨNG DỤNG THỰC TẾ THỂ TÍCH BỞI CÁC ĐƯỜNG VÀ ỨNG DỤNG THỰC TẾ 11. ỨNG DỤNG THỰC TẾ VÀ LIÊN MÔN File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 1 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng NGUYÊN HÀM CƠ BẢN A – KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Nguyên hàm Định nghĩa: Cho hàm số f  x  xác định trên K ( K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số F  x  được gọi là nguyên hàm của hàm số f  x  trên K nếu F ‘  x   f  x  với mọi x  K . Định lí: 1) Nếu F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  trên K thì với mỗi hằng số C , hàm số G  x   F  x   C cũng là một nguyên hàm của f  x  trên K . 2) Nếu F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  trên K thì mọi nguyên hàm của f  x  trên K đều có dạng F  x   C , với C là một hằng số. Do đó F  x   C, C   là họ tất cả các nguyên hàm của f  x  trên K . Ký hiệu  f  x  dx  F  x   C . 2. Tính chất của nguyên hàm Tính chất 1:   f  x  dx   f  x  và  f ‘  x  dx  f  x   C Tính chất 2:  kf  x  dx  k  f  x  dx với k là hằng số khác 0 . Tính chất 3:   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx 3. Sự tồn tại của nguyên hàm Định lí: Mọi hàm số f  x  liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K . 4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp Nguyên hàm của hàm số sơ cấp Nguyên hàm của hàm số hợp u  u  x   dx  x  C  du  u  C x  dx  1  1 x  C   1  1 u  du  1 1  x dx  ln x  C  u du  ln u  C  e dx  e  e du  e x x u C ax  a dx  ln a  C  a  0, a  1 x 1  1 u  C   1  1 u C au  a du  ln a  C  a  0, a  1 u File Word liên hệ: 0978064165 – Email: dangvietdong.bacgian[email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 2 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng  sin xdx   cos x  C  sin udu   cos u  C  cos xdx  sin x  C  cos udu  sin u  C 1  cos 2 x 1  sin 2 x 1 dx  tan x  C  cos 2 u 1 dx   cot x  C  sin 2 u du  tan u  C du   cot u  C B – BÀI TẬP Câu 1. DẠNG 1:SỬ DỤNG LÍ THUYẾT Trong các khẳng định dưới đây, có bao nhiêu khẳng định đúng? (1): Mọi hàm số liên tục trên  a; b đều có đạo hàm trên  a; b . (2): Mọi hàm số liên tục trên  a; b đều có nguyên hàm trên  a; b . (3): Mọi hàm số đạo hàm trên  a; b đều có nguyên hàm trên  a; b . Câu 2. (4): Mọi hàm số liên tục trên  a; b đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên  a; b . B. 3 . C. 1 . D. 4 . A. 2 . Cho hai hàm số f  x  , g  x  liên tục trên  . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A.   f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx . B.   f  x  . g  x   dx   f  x  dx. g  x  dx . C.   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx . D.  kf  x  dx  k  f  x  dx  k  0;k    . Câu 3. Cho f  x  , g  x  là các hàm số xác định và liên tục trên  . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? B.  2 f  x  dx  2 f  x  dx . A.  f  x  g  x  dx   f  x  dx. g  x  dx . C. Câu 4.   f  x   g  x   dx  f  x  dx   g  x  dx .   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx . D. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? A.  kf  x  dx  k  f  x  dx với k   . B.   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx với f  x  ; g  x  liên tục trên  . 1  1 C.  x dx  x với   1 .  1  D.  f  x  dx  f  x  .  Câu 5.  Cho hai hàm số f  x  , g  x  là hàm số liên tục, có F  x  , G  x  lần lượt là nguyên hàm của f  x  , g  x  . Xét các mệnh đề sau:  I  . F  x   G  x  là một nguyên hàm của f  x   g  x  .  II  . k.F  x  là một nguyên hàm của k. f  x  với k   .  III  . F  x  .G  x  là một nguyên hàm của f  x  .g  x  . Các mệnh đề đúng là File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 3 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 6. Tích Phân và Ứng Dụng A.  II  và  III  . B. Cả 3 mệnh đề. C.  I  và  III  . D.  I  và  II  . Mệnh đề nào sau đây sai? A.   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx , với mọi hàm số f  x  , g  x  liên tục trên  . B.  f   x  dx  f  x   C với mọi hàm số f  x  có đạo hàm trên  . C.   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx , với mọi hàm số f  x  , g  x  liên tục trên  . D.  kf  x  dx  k  f  x  dx với mọi hằng số k và với mọi hàm số f  x  liên tục trên  . Câu 7. Cho hàm số f  x  xác định trên K và F  x  là một nguyên hàm của f  x  trên K . Khẳng định nào dưới đây đúng? A. f   x   F  x  , x  K . B. F   x   f  x  , x  K . C. F  x   f  x  , x  K . Câu 8. D. F   x   f   x  , x  K . Cho hàm số f  x  xác định trên K . Khẳng định nào sau đây sai? A. Nếu hàm số F  x  là một nguyên hàm của f  x  trên K thì với mỗi hằng số C , hàm số G  x   F  x   C cũng là một nguyên hàm của f  x  trên K . B. Nếu f  x  liên tục trên K thì nó có nguyên hàm trên K . C. Hàm số F  x  được gọi là một nguyên hàm của f  x  trên K nếu F   x   f  x  với mọi xK . D. Nếu hàm số F  x  là một nguyên hàm của f  x  trên K thì hàm số F   x  là một nguyên hàm của f  x  trên K . Câu 9. DẠNG 2: ÁP DỤNG TRỰC TIẾP BẢNG NGUYÊN HÀM. 1 Cho f  x   , chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau: x2 A. Trên  2;   , nguyên hàm của hàm số f  x  là F  x   ln  x  2   C1 ; trên khoảng  ; 2  , nguyên hàm của hàm số f  x  là F  x   ln   x  2   C2 ( C1 , C2 là các hằng số). B. Trên khoảng  ; 2  , một nguyên hàm của hàm số f  x  là G  x   ln   x  2   3 . C. Trên  2;   , một nguyên hàm của hàm số f  x  là F  x   ln  x  2  . D. Nếu F  x  và G  x  là hai nguyên hàm của của f  x  thì chúng sai khác nhau một hằng số. Câu 10. Khẳng định nào đây sai? A.  cos x dx   sin x  C . C.  2 x dx  x 2  C . Câu 11. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau x4  C A.  x3dx  . 4 C.  sin xdx  C  cos x . Câu 12. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A.  dx  x  2C ( C là hằng số). C.  0dx  C ( C là hằng số). B. 1  x dx  ln x  C . D.  e dx  e  C . x B. x 1  x dx  ln x  C . D.  2e dx  2  e  C  . x x xn 1  C ( C là hằng số; n   ). B.  x dx  n 1 D.  e x dx  e x  C ( C là hằng số). n File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 4 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng Câu 13. Tìm nguyên hàm F  x     2 dx . A. F  x    2 x  C . C. F  x   B. F  x   2 x  C . 3 C . 3 D. F  x   Câu 14. Họ nguyên hàm của hàm số f  x   e x  cos x  2018 là  2 x2 C . 2 A. F  x   e x  sin x  2018 x  C . B. F  x   e x  sin x  2018 x  C . C. F  x   e x  sin x  2018 x . D. F  x   e x  sin x  2018  C . Câu 15. Nguyên hàm của hàm số f  x   2 x 3  9 là: 1 4 1 x  9x  C . B. 4 x 4  9 x  C . C. x 4  C . 2 4 e Câu 16. Họ nguyên hàm của hàm số f  x   e.x  4 là A. D. 4 x3  9 x  C . xe 1  4x  C . A. 101376 . B. e .x  C . C. e 1 Câu 17. Họ các nguyên hàm của hàm số f  x   5 x 4  6 x 2  1 là 2 e.xe 1  4x  C . D. e 1 e 1 A. 20 x3  12 x  C . C. 20 x 5  12 x3  x  C . Câu 18. Khẳng định nào sau đây sai? B. x 5  2 x3  x  C . x4  2×2  2x  C . D. 4 x5 1  C . C.  dx  ln x  C . D.  e x dx  e x  C . 5 x 1 Câu 19. Nguyên hàm của hàm số y  x 2  3 x  là x 3 2 x 3x x3 3 x 2 1   ln x  C .   2 C . A. B. 3 2 3 2 x 3 2 3 2 x 3x x 3x   ln x  C .   ln x  C . D. C. 3 2 3 2 a b Câu 20. Cho hàm số f  x   2   2 , với a , b là các số hữu tỉ thỏa điều kiện x x A.  0 dx  C . B. 4  x dx  1  f  x  dx  2  3ln 2 . Tính T  a  b . 1 2 A. T  1 . B. T  2 . C. T  2 . D. T  0 . Câu 21. Họ nguyên hàm của hàm số f  x   3x 2  2 x  5 là A. F  x   x 3  x 2  5 . B. F  x   x 3  x  C . C. F  x   x 3  x 2  5 x  C . D. F  x   x 3  x 2  C . 5 Câu 22. Hàm số nào sau đây không phải là một nguyên hàm của hàm số f ( x)   3x  1 ? A. F  x   3 x  1  6 8. 18 6 3 x  1  C. F  x   . 18 B. F  x   3 x  1  6 2. 18 6 3 x  1  D. F  x   . 6 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 5 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 23. Họ nguyên hàm của hàm số f  x    x4  x 2  3 C . A. 3x Tích Phân và Ứng Dụng 1 1  x 2  là 2 x 3 2 B. 2  2x  C . x Câu 24. Họ nguyên hàm của hàm số f  x   7 x 6  x4  x2  3 C . C.  3x 1 1   2 là x x2 1 A. x 7  ln x   2 x . x 1 C. x 7  ln x   2 x  C . x Câu 25. Nguyên hàm của f  x   x 3  x 2  2 x là:  x3 1 x   C . D. 3 x 3 1  2x  C . x 1 D. x 7  ln x   2 x  C . x B. x 7  ln x  1 4 4 3 x  x3  x C . B. 4 3 1 2 3 C. x 4  x3  x C . D. 4 3 Câu 26. Họ nguyên hàm của hàm số f  x   3 x  x 2018 là A. 1 4 1 3 4 3 x  x  x C . 4 3 3 1 4 1 3 2 3 x  x  x C . 4 3 3 x 2019 x 2019 C. C . B. 2 x3  673 2019 1 1 x 2019  6054 x 2017  C . C.  C . D. 2 x x 673 x Câu 27. Hàm số F ( x)  e  tan x  C là nguyên hàm của hàm số f(x) nào 1 1 A. f ( x)  e x  2 B. f ( x)  e x  2 sin x sin x x   1 e D. f  x   e x  C. f ( x )  e x 1   2 cos 2 x  cos x  1 Câu 28. Nếu  f  x  dx   ln 2 x  C với x   0;   thì hàm số f  x  là x 1 1 1 A. f  x    2  . B. f  x   x  . x x 2x 1 1 1 C. f  x   2  ln  2 x  . D. f  x    2  . x x 2x 2 x  x 1 . Câu 29. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x   x 1 x2 1 1  ln x 1  C . D. x 2  ln x  1  C . A. x  C . B. 1   C . C. 2 x 1 2  x  1 A. x A. F  x   3 x  tan x  C . 1 là sin 2 x B. F  x   3 x  tan x  C . C. F  x   3 x  cot x  C . D. F  x   3 x  cot x  C . Câu 30. Nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   3  Câu 31. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   3cos x  A. 3sin x  1 C . x 1 B. 3sin x   C . x 1 trên  0;   . x2 1 C. 3cos x   C . x File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. 3cos x  ln x  C . Trang 6 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng Câu 32. Họ nguyên hàm của hàm số f  x   3 x 2  sin x là A. x 3  cos x  C . B. x 3  sin x  C . C. x 3  cos x  C . Câu 33. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)  3×2  8sin x . A.  f  x  dx  6 x  8 cos x  C . C.  f  x  dx  x  8cos x  C . 3 B.  f  x  dx  6 x  8cos x  C . D.  f  x  dx  x  8 cos x  C . 3  x Câu 34. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   cos2   2 A.  f  x  dx  x  sinx  C . B. C. x 1  f  x  dx  2  2 sinx  C . D. x2  sin x  C . 2 B. Câu 35. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x   x  cos x . A. C. Câu 36.  f  x  dx   f  x  dx  x sin x  cos x  C . x 2 D. 3 x3  sin x  C . D.  f  x  dx  x  sinx  C . x 1  f  x  dx  2  2 sinx  C .  f  x  dx  1  sin x  C .  x2 f  x  dx   sin x  C . 2 a 3 b 4 x  x  C , trong đó a, b là hai số hữu tỉ. Giá trị a bằng: 3 4 B. 1 . C. 9 . D. 32 .  2 x3  dx có dạng A. 2 . 1 1 3 5  a 4 b 6 Câu 37.   x3  x  dx có dạng x  x  C , trong đó a, b là hai số hữu tỉ. Giá trị a 5 12 6 3  bằng: 36 A. 1 . B. 12 . C. 1 3 . D. Không tồn tại. 5 Câu 38.    2a  1 x 3  bx 2  dx , trong đó a, b là hai số hữu tỉ. Biết rằng     2a  1 x 3  bx 2  dx  A. 1; 3 . 1 1 x sin 2 x  cos 2 x 4 2  3 4 x  x 3  C . Giá trị a, b lần lượt bằng: 4 1 B. 3; 1 . C.  ; 1 . 8 D.   Câu 39. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x  thỏa mãn điều kiện: f  x   2 x  3cos x, F    3 2 A. F ( x)  x2  3sin x  6  C. F ( x)  x 2  3sin x  2 4 2 4 Câu 40. Một nguyên hàm F(x) của hàm số f ( x )  2 x  A. F( x)  cotx  x2  C. F( x)  cotx  x 2 2 16 B. F ( x)  x 2  3sin x  2 4 D. F ( x)  x2  3sin x  6  2 4 1  thỏa mãn F( )  1 là: 2 sin x 4 2 16 2 2 D. F( x)  cotx  x  16 B. F( x)  cotx  x 2  File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 7 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 41. Nếu  f ( x)dx  e x  sin 2 x  C thì f ( x) là hàm nào? A. e x  cos 2 x B. e x  sin 2 x Câu 42. Tìm một nguyên hàm F(x) của f ( x)  x2 1 1   2 x 2 x2 1 1 C. F ( x)    2 x 2 Câu 43. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x)  A. 4 x  3ln x  C .  Câu 44. ( Tính 3  1  3ln x  C . C. e x  cos 2 x x3  1 biết F(1) = 0 x2 A. F ( x)  C. 4 x Tích Phân và Ứng Dụng D. e x  sin 2 x x2 1 3   2 x 2 x2 1 3 D. F (x)    2 x 2 B. F ( x)  2 3  là : x x B. 2 x  3ln x  C . D. 16 x  3ln x  C . 4 x 2  )dx x 33 5 x  4ln x  C . 5 5 3 C. 3 x5  4ln x  C . D. 3 x5  4ln x  C . 3 5 3 2 Câu 45. Nguyên hàm F(x) của hàm số f ( x)  4 x  3x  2 x  2 thỏa mãn F(1)  9 là: A.  33 5 x  4 ln x  C . 5 B. A. F( x)  x 4  x3  x2  2 . B. F( x)  x 4  x3  x2  10 . C. F( x)  x 4  x3  x2  2 x . D. F( x)  x4  x3  x2  2 x  10 . Câu 46. Họ nguyên hàm của hàm số y  (2 x  1)5 là: 1 1 A. (2 x  1)6  C . B. (2 x  1)6  C . 12 6 1 C. (2 x  1)6  C . D. 10(2 x  1)4  C . 2 Câu 47. Nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   2 x 2  x 3  4 thỏa mãn điều kiện F  0   0 là 2 3 x4 A. 2 x  4 x . B. x   4 x . C. x 3  x 4  2 x . 3 4 Câu 48. Tìm hàm số F(x) biết rằng F ’  x   4 x 3 – 3 x 2  2 và F  1  3 3 4 D. Đáp án khác. A. F  x   x 4 – x 3  2 x  3 B. F  x   x 4 – x 3 +2x  3 C. F  x   x 4 – x 3  2 x  3 D. F  x   x 4  x 3  2 x  3 Câu 49. Hàm số f  x  xác định, liên tục trên  và có đạo hàm là f   x   x  1 . Biết rằng f  0   3 . Tính f  2   f  4  ? A. 10 . B. 12 . C. 4 . D. 11 . Câu 50. Cho hàm số f  x  thỏa mãn đồng thời các điều kiện f   x   x  sin x và f  0   1 . Tìm f  x . x2  cos x  2 . 2 x2 C. f  x    cos x . 2 A. f  x   x2  cos x  2 . 2 x2 1 D. f  x    cos x  . 2 2 B. f  x   File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected]mail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 8 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng Câu 51. Cho hàm số f  x  thỏa mãn f   x   3  5cos x và f  0   5 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. f  x   3 x  5sin x  2 . B. f  x   3 x  5sin x  5 . C. f  x   3 x  5sin x  5 . D. f  x   3 x  5sin x  5 . Câu 52. Biết F  x  là một nguyên hàm của của hàm số f  x   sin x và đồ thị hàm số y  F  x  đi   qua điểm M  0;1 . Tính F   . 2         B. F    1 . C. F    0 . A. F    2 . D. F    1 . 2 2 2 2 2 Câu 53. Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   x  2 x  3 thỏa mãn F  0   2 , giá trị của F 1 bằng A. 4 . B. 13 . 3 C. 2 . Câu 54. Tìm một nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   ax  F 1  4 , f 1  0 D. 11 . 3 b  x  0  , biết rằng F  1  1 , x2 . 2 3x 3 7   . A. F  x   4 2x 4 3x 2 3 7   . B. F  x   4 2x 4 3x 2 3 7 3x 2 3 1   .   . C. F  x   D. F  x   2 4x 4 2 2x 2 Câu 55. Biết hàm số y  f  x  có f   x   3x 2  2 x  m  1 , f  2   1 và đồ thị của hàm số y  f  x  cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5 . Hàm số f  x  là A. x3  x 2  3x  5 . B. x 3  2 x 2  5 x  5 . C. 2 x3  x 2  7 x  5 . Câu 56. Gọi F  x  là nguyên hàm của hàm số f  x    2 x  3 2 D. x 3  x 2  4 x  5 . 1 thỏa mãn F  0   . Giá trị của biểu 3 thức log 2 3F 1  2 F  2   bằng A. 10 . B. 4 . C. 4 . D. 2 . 3 Câu 57. Gọi F  x  là nguyên hàm của hàm số f  x   4 x  2  m  1 x  m  5 , với m là tham số thực. Một nguyên hàm của f  x  biết rằng F 1  8 và F  0   1 là: A. F  x   x 4  2 x 2  6 x  1 B. F  x   x 4  6 x  1 . C. F  x   x 4  2 x 2  1 . D. Đáp án A và B File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 9 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng C – HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1. DẠNG 1:SỬ DỤNG LÍ THUYẾT Trong các khẳng định dưới đây, có bao nhiêu khẳng định đúng? (1): Mọi hàm số liên tục trên  a; b đều có đạo hàm trên  a; b . (2): Mọi hàm số liên tục trên  a; b đều có nguyên hàm trên  a; b . (3): Mọi hàm số đạo hàm trên  a; b đều có nguyên hàm trên  a; b . (4): Mọi hàm số liên tục trên  a; b đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên  a; b . A. 2 . B. 3 . C. 1 . Hướng dẫn giải D. 4 . Chọn B Khẳng định (1): Sai, vì hàm số y  x liện tục trên  1;1 nhưng không có đạo hàm tại x  0 nên không thể có đạo hàm trên  1;1 Khẳng định (2): đúng vì mọi hàm số liên tục trên  a; b đều có nguyên hàm trên  a; b . Khẳng định (3): Đúng vì mọi hàm số có đạo hàm trên  a; b thì đều liên tục trên  a; b nên đều có nguyên hàm trên  a; b . Khẳng định (4): Đúng vì mọi hàm số liên tục trên  a; b đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên  a; b . Câu 2. Cho hai hàm số f  x  , g  x  liên tục trên  . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A.   f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx . B.   f  x  . g  x   dx   f  x  dx. g  x  dx . C.   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx . D.  kf  x  dx  k  f  x  dx  k  0;k    . Câu 3. Hướng dẫn giải Chọn B Cho f  x  , g  x  là các hàm số xác định và liên tục trên  . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A.  f  x  g  x  dx   f  x  dx. g  x  dx . B.  2 f  x  dx  2 f  x  dx . C.   f  x   g  x   dx  f  x  dx   g  x  dx .   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx . D. Hướng dẫn giải Câu 4. Chọn A Nguyên hàm không có tính chất nguyên hàm của tích bằng tích các nguyên hàm. Hoặc B, C, D đúng do đó là các tính chất cơ bản của nguyên hàm nên A sai. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? A.  kf  x  dx  k  f  x  dx với k   . B.   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx với f  x  ; g  x  liên tục trên  . 1  1 C.  x dx  x với   1 .  1  D.  f  x  dx  f  x  .   File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 10 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng Hướng dẫn giải Chọn A Ta có  kf  x  dx  k  f  x  dx với k   sai vì tính chất đúng khi k   0 . Câu 5. Cho hai hàm số f  x  , g  x  là hàm số liên tục, có F  x  , G  x  lần lượt là nguyên hàm của f  x  , g  x  . Xét các mệnh đề sau:  I  . F  x   G  x  là một nguyên hàm của f  x   g  x  .  II  . k.F  x  là một nguyên hàm của k. f  x  với k   .  III  . F  x  .G  x  là một nguyên hàm của f  x  .g  x  . Các mệnh đề đúng là A.  II  và  III  . B. Cả 3 mệnh đề. C.  I  và  III  . D.  I  và  II  . Hướng dẫn giải Câu 6. Chọn D Theo tính chất nguyên hàm thì  I  và  II  là đúng,  III  sai. Mệnh đề nào sau đây sai? A.   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx , với mọi hàm số f  x  , g  x  liên tục trên  . B.  f   x  dx  f  x   C với mọi hàm số f  x  có đạo hàm trên  . C.   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx , với mọi hàm số f  x  , g  x  liên tục trên  . D.  kf  x  dx  k  f  x  dx với mọi hằng số k và với mọi hàm số f  x  liên tục trên  . Chọn D Mệnh đề: Hướng dẫn giải  kf  x  dx  k  f  x  dx  là mệnh đề sai vì khi k  0 thì Câu 7.  kf  x  dx  k  f  x  dx . Cho hàm số f  x  xác định trên K và F  x  là một nguyên hàm của f  x  trên K . Khẳng định nào dưới đây đúng? A. f   x   F  x  , x  K . B. F   x   f  x  , x  K . C. F  x   f  x  , x  K . Câu 8. với mọi hằng số k và với mọi hàm số f  x  liên tục trên D. F   x   f   x  , x  K . Hướng dẫn giải Chọn B  Ta có F  x    f  x  dx , x  K   F  x    f  x  , x  K . Cho hàm số f  x  xác định trên K . Khẳng định nào sau đây sai? A. Nếu hàm số F  x  là một nguyên hàm của f  x  trên K thì với mỗi hằng số C , hàm số G  x   F  x   C cũng là một nguyên hàm của f  x  trên K . B. Nếu f  x  liên tục trên K thì nó có nguyên hàm trên K . C. Hàm số F  x  được gọi là một nguyên hàm của f  x  trên K nếu F   x   f  x  với mọi xK . D. Nếu hàm số F  x  là một nguyên hàm của f  x  trên K thì hàm số F   x  là một nguyên hàm của f  x  trên K . Hướng dẫn giải Chọn D Dựa theo định lí 1 trang 95 SGK 12 CB suy ra khẳng định A đúng. File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 11 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng Dựa theo định lí 3 Sự tồn tại nguyên hàm trang 97 SGK 12 CB kết luận B đúng. Và C đúng dựa vào định nghĩa của nguyên hàm. File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 12 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 9. Tích Phân và Ứng Dụng DẠNG 2: ÁP DỤNG TRỰC TIẾP BẢNG NGUYÊN HÀM. 1 Cho f  x   , chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau: x2 A. Trên  2;   , nguyên hàm của hàm số f  x  là F  x   ln  x  2   C1 ; trên khoảng  ; 2  , nguyên hàm của hàm số f  x  là F  x   ln   x  2   C2 ( C1 , C2 là các hằng số). B. Trên khoảng  ; 2  , một nguyên hàm của hàm số f  x  là G  x   ln   x  2   3 . C. Trên  2;   , một nguyên hàm của hàm số f  x  là F  x   ln  x  2  . D. Nếu F  x  và G  x  là hai nguyên hàm của của f  x  thì chúng sai khác nhau một hằng số. Hướng dẫn giải Chọn D D sai vì F  x   ln  x  2  và G  x   ln   x  2   3 đều là các nguyên hàm của hàm số f  x  nhưng trên các khoảng khác nhau thì khác nhau. Câu 10. Khẳng định nào đây sai? 1 B.  dx  ln x  C . A.  cos x dx   sin x  C . x 2 C.  2 x dx  x  C . D.  e x dx  e x  C . Chọn A Ta có  cos x dx  sin x  C  A sai. Hướng dẫn giải Câu 11. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau x4  C A.  x3dx  . 4 C.  sin xdx  C  cos x . Chọn B Ta có B. 1  x dx  ln x  C . D.  2e dx  2  e  C  . x x Hướng dẫn giải 1  x dx  ln x  C . Câu 12. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A.  dx  x  2C ( C là hằng số). C.  0dx  C ( C là hằng số). xn 1  C ( C là hằng số; n   ). n 1 D.  e x dx  e x  C ( C là hằng số). B. n  x dx  Hướng dẫn giải Chọn B Đáp án B sai vì công thức trên chỉ đúng khi bổ sung thêm điều kiện n  1 . Câu 13. Tìm nguyên hàm F  x     2 dx . A. F  x    2 x  C . 3  C . C. F  x   3 B. F  x   2 x  C .  2 x2 C . D. F  x   2 Hướng dẫn giải Chọn A Ta có F  x     2 dx   2 x  C (vì  2 là hằng số). Câu 14. Họ nguyên hàm của hàm số f  x   e x  cos x  2018 là File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 13 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng A. F  x   e x  sin x  2018 x  C . B. F  x   e x  sin x  2018 x  C . C. F  x   e x  sin x  2018 x . D. F  x   e x  sin x  2018  C . Hướng dẫn giải Chọn A Câu 15. Nguyên hàm của hàm số f  x   2 x 3  9 là: A. 1 4 x  9x  C . 2 1 4 x C . 4 Hướng dẫn giải B. 4 x 4  9 x  C . Chọn A C. D. 4 x3  9 x  C . x4 x4   2 x  9dx  2. 4  9 x  C  2  9 x  C . Câu 16. Họ nguyên hàm của hàm số f  x   e.x e  4 là 3 A. 101376 . xe 1  4x  C . e 1 Hướng dẫn giải B. e 2 .x e1  C . Chọn D C. D. e.xe 1  4x  C . e 1 e.xe 1  4x  C .  e 1 Câu 17. Họ các nguyên hàm của hàm số f  x   5 x 4  6 x 2  1 là f  x  dx    e.xe  4  dx  Ta có B. x 5  2 x3  x  C . x4  2×2  2x  C . D. 4 Hướng dẫn giải A. 20 x3  12 x  C . C. 20 x 5  12 x3  x  C . Chọn B Ta có   5 x 4  6 x 2  1 dx  x 5  2 x3  x  C . Câu 18. Khẳng định nào sau đây sai? A.  0 dx  C . Chọn C Ta có: B. 4  x dx  x5 1  C . C.  dx  ln x  C . 5 x Hướng dẫn giải 1  x dx  ln x  C  C sai. Câu 19. Nguyên hàm của hàm số y  x 2  3 x  x3 3 x 2   ln x  C . A. 3 2 x3 3x 2   ln x  C . C. 3 2 Chọn D D.  e x dx  e x  C . 1 là x x3 3 x 2 1   2 C . B. 3 2 x 3 2 x 3x   ln x  C . D. 3 2 Hướng dẫn giải 1 x3 3x 2  Áp dụng công thức nguyên hàm ta có   x 2  3 x   dx    ln x  C . x 3 2  File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 14 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 20. Cho hàm số f  x   Tích Phân và Ứng Dụng a b   2 , với a , b là các số hữu tỉ thỏa điều kiện x2 x 1  f  x  dx  2  3ln 2 . Tính T  a  b . 1 2 A. T  1 . B. T  2 . C. T  2 . Hướng dẫn giải Chọn C Ta có 1  1 2 D. T  0 . 1 1 2 2  a b   a  f  x  dx    2   2  dx     b ln x  2 x   a  1  b ln 2 . x   x 1 1 x Theo giả thiết, ta có 2  3ln 2  a  1  b ln 2 . Từ đó suy ra a  1 , b  3 . Vậy T  a  b  2 . Câu 21. Họ nguyên hàm của hàm số f  x   3x 2  2 x  5 là A. F  x   x 3  x 2  5 . B. F  x   x 3  x  C . C. F  x   x 3  x 2  5 x  C . D. F  x   x 3  x 2  C . Hướng dẫn giải Chọn C Nguyên hàm của hàm số f  x   3x 2  2 x  5 là F  x   x 3  x 2  5 x  C . 5 Câu 22. Hàm số nào sau đây không phải là một nguyên hàm của hàm số f ( x)   3x  1 ? A. F  x   3 x  1  6 B. F  x  8. 18 6 3 x  1  C. F  x   . 18 Chọn D  3 x  1  6 2. 18 6 3 x  1  D. F  x   . 6 Hướng dẫn giải  1 1  ax  b  Áp dụng   ax  b  dx   C với   1 và C là hằng số. a  1 Vậy hàm số ở phương án D thỏa yêu cầu đề. 1 1 Câu 23. Họ nguyên hàm của hàm số f  x   2  x 2  là x 3 4 2 x  x  3 x4  x2  3  x3 1 x 2 C .  C . D.   C . A. B. 2  2x  C . C.  3x x 3x 3 x 3 Hướng dẫn giải Chọn D 1 1 1 x3 x  1  Ta có   2  x 2   dx    x 2  x 2   dx      C . 3 3 x 3 3 x  1 1 Câu 24. Họ nguyên hàm của hàm số f  x   7 x 6   2  2 là x x 1 1 A. x 7  ln x   2 x . B. x 7  ln x   2 x  C . x x  File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 15 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A C. x 7  ln x  1  2x  C . x Chọn D Tích Phân và Ứng Dụng D. x 7  ln x  Hướng dẫn giải 1  2x  C . x 1  2x  C . x Câu 25. Nguyên hàm của f  x   x 3  x 2  2 x là:  f  x  dx  x 7  ln x  1 4 4 3 x  x3  x C . 4 3 1 2 3 C. x 4  x3  x C . 4 3 A. Ta có: x 3   x 2  2 x dx  1 4 1 3 4 3 x  x  x C . 4 3 3 1 1 2 3 D. x 4  x3  x C . 4 3 3 Hướng dẫn giải B. 1 4 1 3 4 3 x  x  x C . 4 3 3 Chọn A Câu 26. Họ nguyên hàm của hàm số f  x   3 x  x 2018 là x 2019 C. 673 1 x 2019 C.  C . x 673 A. B. 2 x3  x Chọn B Ta có: D. 1 2 x Hướng dẫn giải x 2019 C . 2019  6054 x 2017  C . 3  12 x 2019 x 2 x 2019 3 2018 2018  2  x  C .  3.   C 3 x  x d x  3 x  x d x     3 2019 2019  2 x Câu 27. Hàm số F ( x)  e  tan x  C là nguyên hàm của hàm số f(x) nào 1 1 A. f ( x)  e x  2 B. f ( x)  e x  2 sin x sin x x   1 e C. f ( x )  e x 1  D. f  x   e x   2 cos 2 x  cos x  Hướng dẫn giải 1 Ta có:  e x  tan x  C   e x  . cos 2 x Chọn D 1 x   0;   f  x Câu 28. Nếu  f  x  dx   ln 2 x  C với thì hàm số là x 1 1 1 A. f  x    2  . B. f  x   x  . x x 2x 1 1 1 C. f  x   2  ln  2 x  . D. f  x    2  . x x 2x Hướng dẫn giải Chọn A Ta có  f  x  dx  F  x   C  F   x   f  x    File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 16 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 1  2 x  1 1 1   1    2  với x   0;   . Do đó f  x     ln 2 x       ln 2 x    2  x 2x x x x  x 2 x  x 1 Câu 29. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x   . x 1 x2 1 1  ln x 1  C . D. x 2  ln x  1  C . A. x  C . B. 1  C . C. 2 x 1 2  x  1 Hướng dẫn giải Chọn C x2  x  1 1  x x 1 x 1 2 x   f  x  dx   ln x  1  C . 2 Ta có f  x   A. F  x   3 x  tan x  C . 1 là sin 2 x B. F  x   3 x  tan x  C . C. F  x   3 x  cot x  C . D. F  x   3 x  cot x  C . Câu 30. Nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   3  Hướng dẫn giải Chọn C 1 là F  x   3 x  cot x  C . sin 2 x 1 Câu 31. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   3cos x  2 trên  0;   . x 1 1 1 A. 3sin x   C . B. 3sin x   C . C. 3cos x   C . x x x Hướng dẫn giải Chọn B b 1  1  Ta có  f  x  dx    3cos x  2  dx  3sin x   C . x  x a Nguyên hàm của hàm số f  x   3  D. 3cos x  ln x  C . Câu 32. Họ nguyên hàm của hàm số f  x   3 x 2  sin x là A. x 3  cos x  C . B. x 3  sin x  C . C. x 3  cos x  C . Hướng dẫn giải D. 3 x3  sin x  C . Chọn C Họ nguyên hàm của hàm số f  x   3 x 2  sin x là x 3  cos x  C . Câu 33. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)  3×2  8sin x . A.  f  x  dx  6 x  8 cos x  C . C.  f  x  dx  x  8cos x  C . 3 B.  f  x  dx  6 x  8cos x  C . D.  f  x  dx  x  8 cos x  C . 3 Hướng dẫn giải Chọn C Ta có:  f  x  dx    3 x 2  8sin x  dx  x 3  8 cos x  C .  x Câu 34. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   cos2   2 A.  f  x  dx  x  sinx  C . B.  f  x  dx  x  sinx  C . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 17 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A C. 1 x D.  f  x  dx  2  2 sinx  C . Lời giải Chọn C Tích Phân và Ứng Dụng x 1  f  x  dx  2  2 sinx  C . x 1  1  cos x   dx   sin x  C . 2 2 2  Câu 35. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x   x  cos x . Ta có A. C.   f  x  dx    f  x  dx  x2  sin x  C . 2 B.  f  x  dx  x sin x  cos x  C . Chọn A  f  x  dx  1  sin x  C . x2 D.  f  x  dx   sin x  C . 2 Hướng dẫn giải x2  sin x  C .  2 a b Câu 36.   x 2  2 x3  dx có dạng x 3  x 4  C , trong đó a, b là hai số hữu tỉ. Giá trị a bằng: 3 4 B. 1 . C. 9 . D. 32 . A. 2 . Hướng dẫn giải Cách 1: Theo đề, ta cần tìm   x 2  2 x3  dx . Sau đó, ta xác định giá trị của a . f  x  dx    x  cos x  dx  Ta có: x 2  2 x3  dx  Suy ra để x 2 1 3 1 4 x  x C . 3 2  x 3  dx có dạng a 3 b 4 x  x  C thì a  1, b  2. 3 4 Chọn B Cách 2:Dùng phương pháp loại trừ. Ta thay giá trị của a ở các đáp án vào lấy đạo hàm của Ví dụ: a 3 b 4 x  x C . 3 4 A. Thay a  2 vào : a 3 b 4 x  x  C . Sau đó, với mỗi a của các đáp án ta 3 4 a 3 b 4 b b 2 2 x  x  C ta được x3  x 4  C . Lấy đạo hàm của x3  x 4  C 3 4 3 4 3 4 2 3 b 4  2 3 x  x  C    2 x  bx , vì không tồn tại số hữu tỉ b sao cho 3 4   2 3 2 x  2 x  2 x  bx3 , x   nên ta loại đáp án A a b 1 b 1 b B. Thay a  1 vào x 3  x 4  C ta được x3  x 4  C . Lấy đạo hàm của x3  x 4  C 3 4 3 4 3 4 : 1 3 b 4  2 3 2 3 2 3 x  x  C    x  bx , vì tồn tại số hữu tỉ b sao cho x  2 x  2 x  bx , x   ( cụ 4 3  thể b  2   ) nên ta nhận đáp án B File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 18 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A C. Thay a  9 vào Tích Phân và Ứng Dụng a 3 b 4 b b x  x  C ta được 3 x 3  x 4  C . Lấy đạo hàm của 3 x 3  x 4  C : 3 4 4 4  3 b 4  2 3 sao cho  3 x  x  C   9 x  bx , vì không tồn tại số hữu tỉ b 4   9 x 2  2 x3  2 x2  bx3 , x   nên ta loại đáp án C a 3 b 4 32 3 b 4 D. Thay a  32 vào x  x  C ta được x  x  C . Lấy đạo hàm của 3 4 3 4 32 3 b 4 x  x C : 3 4  32 3 b 4  2 3 x  x  C    32 x  bx , vì không tồn tại số hữu tỉ b sao cho 3 4   2 3 2 32 x  2 x  2 x  bx3 , x   nên ta loại đáp án D Chú ý: Ta chỉ cần so sánh hệ số của x 2 ở 2 vế của đẳng thức x 2  2 x 3  2 x 2  bx3 ; 9 x 2  2 x 3  2 x 2  bx 3 ; 32 x 2  2 x 3  2 x 2  bx 3 và có thể loại nhanh các đáp án A, C, D Sai lầm thường gặp: A. Đáp án A sai. Một số học sinh không đọc kĩ đề nên tìm giá trị của b . Nên khoanh đáp ánA. C. Đáp án C sai. Một số học sinh sai lầm ở chỗ nhớ sai công thức nguyên hàm như sau: 2 3 3 4   x  2 x  dx  3x  8x  C . Vì thế, a  9 để x 2  2 x 3  dx  3x 3  8 x 4  C có dạng a 3 b 4 x  x C . 3 4 Học sinh khoanh đáp án C và đã sai lầm. D. Đáp án D sai. Một số học sinh sai lầm ở chỗ nhớ sai công thức nguyên hàm như sau: 2 3 3 4   x  2 x  dx  3x  8x  C . Học sinh không đọc kĩ yêu cầu đề bài nên tìm giá trị b . a b Để   x 2  2 x3  dx có dạng x 3  x 4  C thì b  32 . 3 4 Thế là, học sinh khoanh đáp án D và đã sai lầm. 1 1 3 5  a 4 b 6 Câu 37.   x3  x  dx có dạng x  x  C , trong đó a, b là hai số hữu tỉ. Giá trị a 12 6 5 3  bằng: 36 A. 1 . B. 12 . C. 1 3 . D. Không tồn tại. 5 Hướng dẫn giải Cách 1: 1 1 3 5  Theo đề, ta cần tìm   x3  x  dx . Sau đó, ta xác định giá trị của a . 5 3  Ta có:   File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 19 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng  1 3 1 3 5  1 4 1 3 6   3 x  5 x  dx  12 x  30 x  C .   1 1 3 1 3 5  a 4 b 6 Suy ra để   x3  x  dx có dạng x  x  C thì a  1 , b   . 12 6 5 5 3  Chọn D Cách 2: Dùng phương pháp loại trừ. a b Ta thay giá trị của a ở các đáp án vào x 4  x 6  C . Sau đó, với mỗi a của các đáp án ta 12 6 a 4 b 6 lấy đạo hàm của x  x  C . 12 6 Ví dụ: 1 4 b 6 a 4 b 6 A. Thay a  1 vào x  x  C ta được x  x  C . Lấy đạo hàm của 12 6 12 6 1 4 b 6 x  x C: 12 6  1 4 b 6  1 3 5 x  x  C    x  bx , vì không tồn tại số hữu tỉ b sao cho 6  12  3 1 3 1 3 5 1 3 x  x  x  bx5 , x   nên ta 3 5 3 loại đáp ánA. a 4 b 6 b b x  x  C ta được x 4  x 6  C . Lấy đạo hàm của x 4  x 6  C : B. Thay a  12 vào 12 6 6 6  4 b 6  3 5 sao cho x  x  C    4 x  bx , vì không tồn tại số hữu tỉ b 6   1 3 1 3 5 x  x  4 x3  bx 5 , x   nên ta loại đáp án B 3 5 C. Loại đáp án C 36 Ta có thể loại nhanh đáp án C vì 1  3   và a   . 5 Vậy đáp án chính xác là đáp án D Sai lầm thường gặp: A. Đáp án A sai. Một số học sinh không đọc kĩ đề nên sau khi tìm được giá trị của a ( không tìm giá trị của b ).Học sinh khoanh đáp án A và đã sai lầm. B. Đáp án B sai. Một số học sinh sai lầm ở chỗ nhớ sai công thức nguyên hàm và chỉ tìm giá trị của a như sau:     6 1 3 6  1 3 1 3 5  1 4 1 3 6 4 x  x dx  3  x  6  x  C  x  x C .    3 5 3 5 5     6 1 3 6 1 1 3 5  a 4 b 6 Vì thế, a  12 để   x3  x  dx  x 4  x  C có dạng x  x C. 3 5 5 12 6   Thế là, học sinh khoanh đáp án B và đã sai lầm. C. Đáp án C sai. Một số học sinh sai lầm ở chỗ nhớ sai công thức nguyên hàm và chỉ tìm giá trị của b do không đọc kĩ yêu cầu bài toán: File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 20 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng   6 1 3 6  1 3 1 3 5  1 4 1 3 6 4 x  x dx  3  x  6  x  C  x  x C .    3  5 3 5 5   Vì thế, b 36 1 3 5   để   6 1 3 6  1 3 1 3 5  4 x  x dx  x  x C    3  5 5   có dạng a 4 b 6 x  x C. 12 6 Thế là, học sinh khoanh đáp án C và đã sai lầm. Câu 38.    2a  1 x 3  bx 2  dx , trong đó a, b là hai số hữu tỉ. Biết rằng    2a  1 x 3  bx 2  dx  A. 1; 3 . 1 1 x sin 2 x  cos 2 x 4 2 Cách 1: Ta cần tìm Ta có:    2a  1 x 3 4 x  x 3  C . Giá trị a, b lần lượt bằng: 4 1 B. 3; 1 . C.  ; 1 . 8 D. Hướng dẫn giải 3  bx 2  dx . 1 1  2a  1 x 4  bx3  C . 4 3 3 1 1 Vì ta có giả thiết    2a  1 x 3  bx 2  dx  x 4  x 3  C nên  2a  1 x 4  bx 3  C có dạng 4 4 3 3 4 x  x3  C . 4 3 1 2a  1    a  1 1 1 3 4 4 Để  2a  1 x 4  bx 3  C có dạng x 4  x 3  C thì  , nghĩa là  . 4 3 4 b  3 1 b  1  3 Vậy đáp án chính xác là đáp ánA. Cách 2: Ta loại nhanh đáp án C vì giá trị a ở đáp án C không thỏa điều kiện a   .    2a  1 x 3  bx 2  dx  Tiếp theo, ta thay giá trị a, b ở các đáp án A, B vào    2a  1 x 3  bx 2  dx . Ta có: 3  3 x 2  dx   3x    2a  1 x 3  bx 2  dx và tìm 3 4 x  x3  C nên đáp án chính xác là đáp ánA. 4 Chú ý: Giả sử các giá trị a, b ở các đáp án A, B, C không thỏa yêu cầu bài toán thì đáp án chính xác là Chọn D. Sai lầm thường gặp: B. Đáp án B sai. Một số học sinh không chú ý đến thứ tự sắp xếp nên học sinh khoanh đáp án B và đã sai lầm. C. Đáp án C sai. Một số học sinh sai lầm ở chỗ: Ta có: File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 21 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A    2a  1 x 3 Tích Phân và Ứng Dụng  bx 2  dx   2a  1 x 4  bx 3  C . Vì ta có giả thiết    2a  1 x 3  bx 2  dx  3 4 x  x3  C . 4 3 4 x  x 3  C nên  2a  1 x 4  bx 3  C có dạng 4 3  1 1 3 3 4  2a  1  4 3 Để  2a  1 x  bx  C có dạng x  x  C thì  4, 4 3 4 b  1 1  a   nghĩa là  8. b  1   Câu 39. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x  thỏa mãn điều kiện: f  x   2 x  3cos x, F    3 2 A. F ( x)  x2  3sin x  6  C. F ( x)  x 2  3sin x  2 4 2 4 B. F ( x)  x 2  3sin x  2 4 D. F ( x)  x2  3sin x  6  Hướng dẫn giải Ta có: F  x     2 x  3cos x  dx  x  3sin x  C 2 4 2 2  2     F    3     3sin  C  3  C  6  2 4 2 2 Vậy F ( x)  x2  3sin x  6  Chọn D 2 4 Câu 40. Một nguyên hàm F(x) của hàm số f ( x )  2 x  A. F( x)  cotx  x2  2 16 1  thỏa mãn F( )  1 là: 2 sin x 4 2 16 2 D. F( x)  cotx  x2  16 B. F( x)  cotx  x 2  C. F( x)  cotx  x 2 Hướng dẫn giải 1   Ta có: F  x     2 x  2  dx  x 2  cot x  C sin x   2  2     F    1     cot  C  1  C  4 16 4 4 2 Vậy F( x)  cotx  x  16 2 Chọn A Câu 41. Nếu  f ( x )dx  e x  sin 2 x  C thì f ( x) là hàm nào? A. e x  cos 2 x B. e x  sin 2 x C. e x  cos 2 x Hướng dẫn giải D. e x  sin 2 x Ta có:  e x  sin 2 x  C   e x  sin 2 x Chọn D File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 22 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 42. Tìm một nguyên hàm F(x) của f ( x)  Tích Phân và Ứng Dụng x3  1 biết F(1) = 0 x2 x2 1 1   2 x 2 x2 1 1 C. F ( x)    2 x 2 x2 1 3   2 x 2 x2 1 3 D. F (x)    2 x 2 Hướng dẫn giải 3 x 1 1  x2 1  Ta có: F  x    2 dx    x  2  dx    C x x  2 x  2 1 1 3 F 1  0    C  0  C  2 1 2 2 x 1 3 Vậy F (x)    2 x 2 Chọn D 2 3  là : Câu 43. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x)  x x B. 2 x  3ln x  C . A. 4 x  3ln x  C . A. F ( x)  C. 4 x   1 B. F ( x)  D. 16 x  3ln x  C .  3ln x  C . Hướng dẫn giải  2 3 Ta có:     dx  4 x  3ln x  C .  x x Chọn A 4 Câu 44. Tính  ( 3 x 2  )dx x 33 5 3 A.  x  4 ln x  C . B. 3 x5  4ln x  C . 5 5 5 3 C. 3 x5  4ln x  C . D. 3 x5  4ln x  C . 3 5 Hướng dẫn giải 3 5 4 3 x  Ta có:   3 x 2   dx   4ln x  C . x 5  Chọn D Câu 45. Nguyên hàm F(x) của hàm số f ( x)  4 x3  3×2  2 x  2 thỏa mãn F(1)  9 là: A. F( x)  x 4  x3  x2  2 . B. F( x)  x 4  x3  x2  10 . C. F( x)  x 4  x3  x2  2 x . D. F( x)  x4  x3  x2  2 x  10 . Hướng dẫn giải 3 2 Ta có: F  x     4 x  3x  2 x  2  dx  x 4  x 3  x 2  2 x  C F 1  9  14  13  12  2.1  C  9  C  10  F( x)  x 4  x 3  x 2  2 x  10 . Chọn D Câu 46. Họ nguyên hàm của hàm số y  (2 x  1)5 là: 1 A. (2 x  1)6  C . 12 B. 1 (2 x  1)6  C . 6 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 23 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A C. 1 (2 x  1)6  C . 2 Ta có:   2 x  1 5 Tích Phân và Ứng Dụng D. 10(2 x  1)4  C . Hướng dẫn giải 6 1  2 x  1 1 6 dx  .   2 x  1  C . 2 6 12 Chọn A Câu 47. Nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   2 x 2  x 3  4 thỏa mãn điều kiện F  0   0 là 2 3 x4 B. x   4 x . C. x 3  x 4  2 x . A. 2 x  4 x . 3 4 Hướng dẫn giải 2 x3 x 4 2 3 F x  2 x  x  4 dx    4x  C Ta có:      3 4 3 4 2.0 0 2 x4 F  0  0    C  0  C  0  F  x   x3   4 x . 3 4 3 4 Chọn D Câu 48. Tìm hàm số F(x) biết rằng F ’  x   4 x 3 – 3 x 2  2 và F  1  3 3 4 A. F  x   x 4 – x 3  2 x  3 D. Đáp án khác. B. F  x   x 4 – x 3 +2x  3 C. F  x   x 4 – x 3  2 x  3 D. F  x   x 4  x 3  2 x  3 Hướng dẫn giải 3 Ta có: F  x    F   x dx    4x  3x 2  2  dx  x 4  x 3  2x  C 4 3 F  1  3   1   1  2.  1  C  3  C  3 Vậy F  x   x 4 – x 3 +2x  3 Chọn B f  x f  x  x 1 Câu 49. Hàm số xác định, liên tục trên  và có đạo hàm là . Biết rằng f 0  3 f 2  f  4 ? . Tính A. 10 . B. 12 . C. 4 . D. 11 . Hướng dẫn giải Chọn B khi x  1  x 1 Ta có f   x    .  x  1 khi x  1    x2  x  C1 . 2  x2  Khi x  1 thì f  x      x  1 dx     x   C2 .  2  Khi x  1 thì f  x     x  1 dx   x2   f  x     x   3 C 3  2  Theo đề bài ta có f  0   3 nên 2 khi x  1 . Mặt khác do hàm số f  x  liên tục tại x  1 nên lim f  x   lim f  x   f 1 x 1 x1  x  x     1 1   lim     x   3  lim   x   C1      1  3   1  C1  C1  4 . x 1 2 2    x1  2    2  x2 Vậy khi x  1 thì f  x    x  4  f  2   f  4   12 . 2 2 2 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 24 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng f  x f   x   x  sin x f 0  1 Câu 50. Cho hàm số thỏa mãn đồng thời các điều kiện . Tìm và f  x . x2 x2 A. f  x    cos x  2 . B. f  x    cos x  2 . 2 2 2 x x2 1 C. f  x    cos x . D. f  x    cos x  . 2 2 2 Hướng dẫn giải Chọn A x2 Ta có f   x   x  sin x  f  x    cos x  C ; f  0   1  1  C  1  C  2 . 2 2 x Vậy f  x    cos x  2 . 2 Câu 51. Cho hàm số f  x  thỏa mãn f   x   3  5cos x và f  0   5 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. f  x   3 x  5sin x  2 . B. f  x   3 x  5sin x  5 . C. f  x   3 x  5sin x  5 . D. f  x   3 x  5sin x  5 . Hướng dẫn giải Chọn C Ta có f  x     3  5 cos x  dx  3 x  5sin x  C . Lại có: f  0   5  3.0  5sin 0  C  5  C  5 . Vậy f  x   3 x  5sin x  5 . Câu 52. Biết F  x  là một nguyên hàm của của hàm số f  x   sin x và đồ thị hàm số y  F  x  đi   qua điểm M  0;1 . Tính F   . 2       A. F    2 . B. F    1 . C. F    0 . 2 2 2 Hướng dẫn giải Chọn A * Ta có F  x    cos x  C , với C là hằng số tùy ý.   D. F    1 . 2 * Đồ thị hàm số y  F  x  đi qua điểm M  0;1 nên   1   cos 0  C  C  2  F  x    cos x  2 . Do đó F    2 . 2 2 Câu 53. Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   x  2 x  3 thỏa mãn F  0   2 , giá trị của F 1 bằng A. 4 . B. Chọn B 13 . 3 C. 2 . Hướng dẫn giải D. 11 . 3 x3 Ta có:  x  2 x  3dx   x2  3x  C . 3 F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  có F  0   2  C  2 . 2 Vậy F  x   x3 13  x2  3x  2  F 1  . 3 3 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 25 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 54. Tìm một nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   ax  F 1  4 , f 1  0 Tích Phân và Ứng Dụng b  x  0  , biết rằng F  1  1 , x2 . 3x 2 3 7   . A. F  x   4 2x 4 3x 2 3 7 F x    . C.   2 4x 4 3x 2 3 7   . B. F  x   4 2x 4 3x 2 3 1 F x    . D.   2 2x 2 Hướng dẫn giải Chọn A . b  ax 2 bx 1 ax 2 b  2 F  x    f  x  dx    ax  2  dx    ax  bx  dx   C   C x  1 x 2 2  3 a  2  b  C 1 a  2  F  1  1    3x 2 3 7 3 a    . Ta có:  F 1  4    b  C  4  b   . Vậy F  x   4 2x 4 2 2    f 1  0    7 a  b  0   C  4   Câu 55. Biết hàm số y  f  x  có f   x   3x 2  2 x  m  1 , f  2   1 và đồ thị của hàm số y  f  x  cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5 . Hàm số f  x  là A. x3  x 2  3x  5 . B. x 3  2 x 2  5 x  5 . C. 2 x3  x 2  7 x  5 . Hướng dẫn giải D. x 3  x 2  4 x  5 . Chọn A Ta có f  x     3x 2  2 x  m  1 dx  x 3  x 2  1  m  x  C .  f  2   1 2 1  m   C  12  1 m  4 Theo đề bài, ta có     f  x   x3  x 2  3 x  5 C  5  f  0   5 C  5 . 1 2 Câu 56. Gọi F  x  là nguyên hàm của hàm số f  x    2 x  3 thỏa mãn F  0   . Giá trị của biểu 3 thức log 2 3F 1  2 F  2   bằng A. 10 . B. 4 . Chọn D Ta có: C. 4 . Hướng dẫn giải D. 2 . 1 2 2 0 1 3F 1  2 F  2   3  F 1  F  2    F  2   F  0   F  0   3 f  x  dx   f  x  dx   4 . 3  log 2 3F 1  2 F  2    log 2 4  2 . Câu 57. Gọi F  x  là nguyên hàm của hàm số f  x   4 x3  2  m  1 x  m  5 , với m là tham số thực. Một nguyên hàm của f  x  biết rằng F 1  8 và F  0   1 là: A. F  x   x 4  2 x 2  6 x  1 B. F  x   x 4  6 x  1 . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 26 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A C. F  x   x 4  2 x 2  1 . Tích Phân và Ứng Dụng D. Đáp án A và B Hướng dẫn giải Ta có: 3 4 2  4 x  2  m  1 x  m  5dx  x   m  1 x   m  5  x  C . Lại có: C  1  F  0   1 C  1    1  m  1  m  5  C  8 m  1  F 1  8 Vậy F  x   x 4  6 x  1 . Chọn B xn Câu 58. Tìm T   dx ? x 2 x3 xn 1  x    …  2! 3! n! 2  x xn  A. T  x.n ! n !ln 1  x   …    C . n!  2!   x2 xn  B. T  x.n ! n !ln  1  x   …    C . 2! n!    x2 xn  C. T  n !ln  1  x   …    C . 2! n!    x2 xn  D. T  n !ln 1  x   …    x n .n ! C . 2! n!   Hướng dẫn giải 2 3 4 x x x xn x 2 x3 x n 1 Đặt g  x   1  x     …   g   x   1  x    …  2! 3! 4! n! 2! 3!  n  1! xn  x n  n ! g  x   g   x   n! n !.  g  x   g      g  x   x2 xn  T    dx  n !  1  dx  n !. x  n !ln  n ! x  n !ln 1  x   …    C g  x 2! n!    g  x  Ta có: g  x   g   x   Chọn B File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 27 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng DẠNG 3:NGUYÊN HÀM CÁC PHÂN THỨC HỮU TỈ P( x ) f(x) là hàm hữu tỉ: f ( x)  Q( x ) – Nếu bậc của P(x)  bậc của Q(x) thì ta thực hiện phép chia đa thức. – Nếu bậc của P(x) < bậc của Q(x) và Q(x) có dạng tích nhiều nhân tử thì ta phân tích f(x) thành tổng của nhiều phân thức (bằng phương pháp hệ số bất định). 1 A B   Chẳng hạn: ( x  a )( x  b) x  a x  b A Bx  C 1   2 , vôùi   b2  4ac  0 2 ( x  m)(ax  bx  c) x  m ax  bx  c 1 A B C D     2 2 2 ( x  a ) ( x  b) x  a ( x  a ) x  b ( x  b) 2 BÀI TẬP 5  2x4 . Khi đó: x2 5  C x 5  C x Câu 59. Cho hàm số f ( x )  A. C.   2 x3 3 2 x3 f ( x )dx  3 f ( x )dx  B.  f ( x)dx  2 x D. f ( x)dx  2  3 5 C x  2 x3  5lnx 2  C 3  x2  1  Câu 60. Nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x )    là hàm số nào trong các hàm số sau?  x  x3 1 x3 1 A. F ( x )    2 x  C . B. F ( x )    2 x  C . 3 x 3 x x3 x C. F ( x)  3 2  C . x 2 3  x3   3 x D. F ( x )    C. 2  x     2  2x4  3 Câu 61. Nguyên hàm của hàm số y  là: x2 2 x3 3 3  C. A. B. 3x 3   C . C. 3 x x  1  Câu 62. Tính nguyên hàm    dx  2x  3  1 1 A. ln 2 x  3  C . B. ln  2 x  3  C . C. 2 2 1 Câu 63. Nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   , biết 2x 1 1 A. F  x   2ln 2 x  1  . B. 2 1 C. F  x   ln 2 x  1  1 . D. 2 2 x3 3  C . 3 x D. x3 3  C. 3 x 2 ln 2 x  3  C . D. ln 2 x  3  C .  e 1  3 F   là:  2  2 F  x   2 ln 2 x  1  1 . F  x   ln 2 x  1  1 . 2 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 28 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 1 và F  2   1 . Tính F  3 . x 1 1 7 C. F  3  . D. F  3  . 2 4 Câu 64. Biết F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   A. F  3  ln 2  1 . B. F  3  ln 2  1 . Câu 65. Biết F  x  là một nguyên hàm của f  x   A. ln 2 . B. 2  ln 2 . Câu 66. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x)  A. 1 2 3  2x  2 B. C . 1 1 và F  0   2 thì F 1 bằng. x 1 C. 3 . D. 4 . 2 là : (3  2 x)3 4 3  2x  C . C. 2 3  2x  2 C. Câu 67. Hàm số nào dưới đây không là nguyên hàm của hàm số f ( x)  x2  x 1 . x 1 1  x( x  3)dx Câu 68. Tính . 1 x C . A. ln 3 x 3 A. B. x2  x 1 . x 1 C. 1 x3 C. ln 3 x C. D. 1 2 3  2x  2 C . x(2  x ) ( x  1)2 x2  x  1 . x 1 D. x2 . x 1 1 x 1 x 3 C. C . ln D. ln 3 x3 3 x 1 b Câu 69. F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   3x 2  . Biết F  0   0 , F 1  a  ln 3 2x  1 c b trong đó a , b , c là các số nguyên dương và là phân số tối giản. Khi đó giá trị biểu thức c a  b  c bằng. A. 4 . B. 9 . C. 3 . D. 12 . 2 x  2x Câu 70. Hàm số nào sau đây không là nguyên hàm của hàm số f  x   . 2  x  1 B. x2  x  1 x2  x 1 x2  x  1 x2 A. F1  x   . B. F2  x   . C. F3  x   . D. F4  x   . x 1 x 1 x 1 x 1 2 x  13 dx  a ln x  1  b ln x  2  C . Mệnh đề nào sau đây đúng? Câu 71. Cho biết  ( x  1)( x  2) A. a  2b  8 . B. a  b  8 . C. 2a  b  8 . D. a  b  8 . 2x 1 Câu 72. Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   thỏa mãn F (2)  3 . Tìm F  x  2x  3 : A. F ( x )  x  4 ln 2 x  3  1 . B. F ( x)  x  2ln(2 x  3)  1 . C. F ( x )  x  2 ln 2 x  3  1 . 1 Câu 73. Tích phân I    x  1 D. F ( x)  x  2 ln | 2 x  3 | 1 . 2 dx  a ln b  c , trong đó a , b , c là các số nguyên. Tính giá trị của x2  1 biểu thức a  b  c ? A. 3 . B. 0 . C. 1. D. 2 . 1 Câu 74. Tính  2 dx , kết quả là: x  4x  3 0 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 29 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. 1 x 1 ln C . 2 x 3 Câu 75. Nguyên hàm x 2 B. 1 x 3 ln C . 2 x 1 Câu 77. Câu 78. Câu 79. Câu 80. C. ln x 2  4 x  3  C . D. ln 1 dx là:  7x  6 1 x 1 ln C . 5 x 6 1 C. ln x 2  7 x  6  C . 5 Câu 76. Tích Phân và Ứng Dụng x 3 C . x 1 1 x 6 ln C . 5 x 1 1 D.  ln x 2  7 x  6  C . 5 1 Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   , biết F  0   1 . Giá trị của F  2  2x 1 bằng 1 1 1 A. 1  ln 3 . B. 1  ln 5 . C. 1  ln 3 . D. 1  ln 3 . 2 2 2 1 dx. Tìm nguyên hàm I   4  x2 1 x2 1 x2 A. I  ln  C.  C. B. I  ln 2 x2 2 x2 1 x2 1 x2  C. D. I  ln  C. C. I  ln 4 x2 4 x2 x3 Tìm nguyên hàm  2 dx . x  3x  2 x3 A.  2 dx  2 ln x  2  ln x  1  C . x  3x  2 x3 B.  2 dx  2 ln x  1  ln x  2  C . x  3x  2 x3 C.  2 dx  2ln x  1  ln x  2  C . x  3x  2 x3 D.  2 dx  ln x  1  2ln x  2  C . x  3x  2 2 x3  6 x2  4 x  1 dx là: Nguyên hàm  x 2  3x  2 x 1 1 x2 C. B. x 2  ln C . A. x 2  ln x2 2 x 1 1 x 1 x2 C. x 2  ln C . D. x 2  ln C. 2 x2 x 1 3x  3 Nguyên hàm  2 dx là: x  x  2 A. 2 ln x  1  ln x  2  C . B. 2 ln x  1  ln x  2  C . A. B. C. 2 ln x  1  ln x  2  C . D. 2 ln x  1  ln x  2  C . Câu 81. Nguyên hàm của hàm số f ( x)  A. F  x   x2 2 13  x  . 2 x 1 6 x3  3 x 2  3 x  1 1 khi biết F 1  là 2 x  2x 1 3 2 x 2 13  . B. F  x    x  2 x 1 6 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 30 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A C. F  x   x2 2  x . 2 x 1 Tích Phân và Ứng Dụng D. F  x   x2 2 x  C. 2 x 1 ax  b  4a  b  0  là nguyên hàm của hàm số f  x  x4 và thỏa mãn: 2 f 2  x    F  x   1 f   x  . Khẳng định nào dưới đây đúng và đầy đủ nhất? A. a  1 , b  4 . B. a  1 , b  1 . C. a  1 , b   4 . D. a   , b   . Câu 82. Biết luôn có hai số a và b để F  x   DẠNG 4: NGUYÊN HÀM HÀM SỐ VÔ TỈ Câu 83. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x )  x  3x 3 x 2 là : A. 2 x 3 x 9x x2  C . 4 8 B. 5 x x 27 x 2 3 x 2  C . 3 8 C. 2x x 9x2 3 x  C. 3 5 D. 2 x x 9 x2 3 x2  C . 3 8 Câu 84. Nguyên hàm của f  x   1 2  3  3 là: x x A. 2 x  3 3 x 2  3 x  C . 1 x  3 3 x2  3x  C . 2 dx Câu 85. Tính  thu được kết quả là: 1 x C A. B. 2 1  x  C 1 x C. 43 2 x  3x  C . 3 1 4 D. x  3 x2  3x  C . 2 3 B. 2 x  2 C D. 1  x  C 1 x 1 Câu 86. Gọi F  x  là nguyên hàm của hàm số f  x   x  1  2 . Nguyên hàm của f  x  biết x F  3  6 là: 2 3 2 C. F  x   3 1 1   . x 3 1 1 3  x  1   . x 3 dx  a (x  2) x  2  b(x  1) Câu 87. Cho  x  2  x 1 2 1 . B. . A. 3 3 x 1 Q dx x  1 Câu 88. Tìm ? A. F  x    x  1 3 C. 2 3 2 D. F  x   3 B. F  x   1 1  . x 3 1 1 3  x  1   . x 3  x  1 3  x  1  C . Khi đó 3a  b bằng: C. 4 . 3 D. 2 . 3 A. Q  x 2  1  ln x  x 2  1  C . B. Q  x 2  1  ln x  x 2  1  C . C. Q  ln x  x 2  1  x 2  1  C . D. Cả đáp án B,C đều đúng. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 31 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 89. Biết F  x  là nguyên hàm của hàm số f  x   Tích Phân và Ứng Dụng 1  m  1 thỏa mãn F  0   0 và 2 x 1 F  3  7 . Khi đó, giá trị của tham số m bằng A. 2 . B. 3 . C. 3 . D. 2 . Câu 90. Hàm số F  x    ax  b  4 x  1 ( a, b là các hằng số thực) là một nguyên hàm của 12 x . Tính a  b . 4x 1 B. 1. C. 2 . D. 3 . A. 0 . 2 Câu 91. Biết F  x    ax  bx  c  2 x  3  a, b, c    là một nguyên hàm của hàm số f  x  f  x  20 x 2  30 x  11 2x  3 A. T  8 . 3  trên khoảng  ;   . Tính T  a  b  c . 2  B. T  5 . C. T  6 . D. T  7 . DẠNG 5: NGUYÊN HÀM HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Câu 92. Họ nguyên hàm của hàm số f  x   2 cos 2 x là B. sin 2x  C . C. 2sin 2x  C . A. 2sin 2x  C . Câu 93. Họ nguyên hàm của hàm số f  x   sin 5 x  2 là D. sin 2x  C . 1 1 B.  cos 5 x  2 x  C . C. cos 5 x  2 x  C . D. cos 5 x  2 x  C . 5 5 Câu 94. Họ nguyên hàm của hàm số f  x   2 x  sin 2 x là A. 5cos 5x  C . 1 1 A. x 2  cos 2 x  C . B. x 2  cos 2 x  C . C. x 2  2 cos 2 x  C . D. x 2  2 cos 2 x  C . 2 2 Câu 95. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x)  cos 2 2 x là: 1 cos 4 x x cos 4 x 1 cos 4 x x cos 4 x C . B.  C . C.  C . D.  C. A.  2 8 2 2 2 2 2 8   Câu 96. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   cos  3x   . 6   1    A.  f  x  dx  3sin  3x    C . B.  f  x  dx   sin  3x    C . 6 3  6   1    D.  f  x  dx  sin  3 x    C . C.  f  x  dx  6sin  3 x    C . 6 3  6  F  x   cos 2 x  sin x  C f x f π là nguyên hàm của hàm số   . Tính   . Câu 97. Cho A. f  π   3 . B. f  π   1 . C. f  π   1 . D. f  π   0 . dx Câu 98.  Tính: 1  cos x x A. 2 tan  C . 2 x B. tan  C . 2 C. 1 x tan  C . 2 2 D. 1 x tan  C . 4 2 2 . 3 cos 3x B. F  x   3x 2  1 . 3 Câu 99. Tìm nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   6 x  sin 3 x , biết F  0   A. F  x   3 x 2  cos 3x 2  . 3 3 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 32 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A cos 3x  1. 3 Câu 100. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x)  tan 2 x là: B. tan x  x  C . A. cot x  x  C . C. F  x   3x 2  Tích Phân và Ứng Dụng D. F  x   3x 2  cos 3x 1. 3 C.  cot x  x  C . D.  tan x  x  C . 1 Câu 101. Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số y   và F  0   1 . Khi đó, ta có F  x  là: cos2 x A.  tan x . B.  tan x  1 . C. tan x  1 . D. tan x  1 . 4 Câu 102. Cho hàm số f  x   sin 2 x . Khi đó: A. . C. . 1 1  B.  f  x  dx  8  3x  cos 4 x  8 sin 8 x   C 1 1  D.  f  x  dx  8  3x  sin 4 x  8 sin 8 x   C  f  x  dx  8  3x  sin 4 x  8 sin 8x   C .  f  x  dx  8  3x  cos 4 x  8 sin 8x   C . 1 1  1 1  1 Câu 103. Biết rằng F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   sin 1  2 x  và thỏa mãn F    1. 2 Mệnh đề nào sau đây là đúng? 1 3 A. F  x    cos 1  2 x   . B. F  x   cos 1  2 x  . 2 2 1 1 C. F  x   cos 1  2 x   1. D. F  x   cos 1  2 x   . 2 2 Câu 104. Nguyên hàm   sin 2 x  cos x  dx là: 1 cos 2 x  sin x  C . B.  cos 2 x  sin x  C . 2 1 C.  cos 2 x  sin x  C . D.  cos 2 x  sin x  C . 2 Câu 105. Nguyên hàm  sin  2 x  3  cos  3  2 x   dx là: A. A. 2 cos  2 x  3   2sin  3  2 x   C . B. 2 cos  2 x  3   2sin  3  2 x   C . C. 2 cos  2 x  3  2 sin  3  2 x   C . D. 2 cos  2 x  3   2 sin  3  2 x   C . Câu 106. Nguyên hàm  sin 2  3x  1  cos x dx là: 1 A. x  3sin  6 x  2   sin x  C . B. x  3sin  6 x  2   sin x  C . 2 1 1 C. x  3sin  3x  1  sin x  C . D. x  3sin  6 x  2   sin x  C . 2 2 Câu 107. Kết quả nào dưới đây không phải là nguyên hàm của   sin 3 x  cos3 x  dx ? 3 sin 2 x  sin x  cos x   C . 2     C. 3 2 sin 2 x sin  x    C . D. 3 2 sin x.cos x.sin  x    C . 4 4   Câu 108. Cho hàm số f  x   cos 3x.cos x . Một nguyên hàm của hàm số f  x  bằng 0 khi x  0 là: A. 3cos x.sin 2 x  3sin x.cos2 x  C . A. 3sin 3x  sin x B. sin 4 x sin 2 x  8 4 B. C. sin 4 x sin 2 x  2 4 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. cos 4 x cos 2 x  8 4 Trang 33 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng f x  cot 2 x của hàm số   là: B.  cot x  x  C C. cot x  x  C D. tan x  x  C sin 4 x   Câu 110. Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   thỏa mãn F    0 . Tính F  0  . 2 1  cos x 2 A. F  0   4  6 ln 2 . B. F  0   4  6 ln 2 . C. F  0   4  6 ln 2 . D. F  0   4  6 ln 2 . Câu 109. Họ nguyên hàm A. cot x  x  C F  x     Câu 111. Biết F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   tan 2 x và F    1 . Tính F    . 4  4            A. F      1 . B. F      1 . C. F     1 . D. F      1 .  4 4  4 2  4  4 2 2    3 Câu 112. Tìm một nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   1  sin x  biết F    2 4 3 1 3 1 A. F  x   x  2 cos x  sin 2 x. B. F  x   x  2cos x  sin 2 x. 2 4 2 4 3 1 3 1 C. F  x   x  2cos x  sin 2 x. D. F  x   x  2 cos x  sin 2 x. 2 4 2 4 3sin 3 x  2cos 3 x . Câu 113. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x   5sin 3 x  cos 3 x 17 7 17 7 A.  x  ln 5sin 3x  cos 3x  C . B.  x  ln 5sin 3 x  cos 3x  C . 26 78 26 78 17 7 17 7 C. x  ln 5sin 3 x  cos 3 x  C . D. x  ln 5sin 3 x  cos 3 x  C . 26 78 26 78 a a 2 Câu 114. Biết   sin 2 x  cos 2 x  dx  x  cos 4 x  C , với a , b là các số nguyên dương, là phân b b số tối giản và C   . Giá trị của a  b bằng A. 5 . B. 4 . C. 2 . D. 3 . Câu 115. Tính I   8sin 3 x cos xdx  a cos 4 x  b cos 2 x  C . Khi đó, a  b bằng A. 3 . B. 1 . C. 1. D. 2 . Câu 116. F  x  là một nguyên hàm của hàm số y  2sin x cos 3x và F  0   0 , khi đó cos 2 x cos 4 x 1   . 4 8 8 cos 2 x cos 4 x 1 cos 4 x cos 2 x 1   . D. F  x     . C. F  x   2 4 4 4 2 4 Câu 117. Cho    . Hàm số nào sau đây không phải nguyên hàm của hàm số f  x   sin x . A. F  x   cos 4 x  cos 2 x . A. F1  x    cos x . B. F2  x   2sin x  x  C. F3  x   2sin     sin     . 2  2  B. F  x   x  x  sin . 2 2 D. F4  x   2cos x  x sin . 2 2 1 Câu 118. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x   tan 2 2 x  . 2 1 1 x    A.   tan 2 2 x   dx  2 tan 2 x  2 x  C . B.   tan 2 2 x   dx  tan 2 x   C . 2 2 2   1 1 tan 2 x x   C.   tan 2 2 x   dx  tan 2 x  x  C . D.   tan 2 2 x   dx   C . 2 2 2 2   File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 34 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng Câu 119. Hàm số F  x   ln sin x  3cos x là một nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số sau đây? sin x  3cos x  cos x  3sin x A. f  x   . B. f  x   . cos x  3sin x sin x  3cos x cos x  3sin x C. f  x   . D. f  x   cos x  3sin x . sin x  3cos x 7 cos x  4sin x    3 Câu 120. Hàm số f  x   có một nguyên hàm F  x  thỏa mãn F    . Giá trị cos x  sin x 4 8   F   bằng? 2 3  11ln 2 3 3 3  ln 2 A. . B. . C. . D. . 4 4 8 4 sin x I  dx sin x  cos x ? Câu 121. Tìm 1 A. I   x  ln sin x  cos x   C . B. I  x  ln sin x  cos x  C . 2 1 D. I   x  ln sin x  cos x   C . C. I  x  ln sin x  cos x  C . 2 s inx  cos x  s inx  Câu 14. Biết I   dx   A  B  dx . Kết quả của A, B lần lượt là cos x  s inx  cos x  s inx  1 1 1 1 1 1 A. A  B  . B. A  B   . C. A   , B  . D. A  , B   . 2 2 2 2 2 2 4 cos x I  4 dx sin x  cos 4 x ? Câu 122. Tìm  2  sin 2 x    1 1 1 B. I  x  A. I   x  ln  C . ln     2  2 2  2  sin 2 x   2 2   2  sin 2 x    1 1 1 C. I   x  . D. ln   C I  x  ln    2  2 2  2  sin 2 x   2 2  Câu 123. Họ nguyên hàm của hàm số f  x   3sin 2 x  2 cos x  e x là 2  sin 2 x  C . 2  sin 2 x  2  sin 2 x  C . 2  sin 2 x  A. 6cos 2 x  2sin x  ex  C . 3 C. cos 2 x  2sin x  e x  C . 2 B. 6cos 2 x  2sin x  e x  C . 3 D. cos 2 x  2sin x  e x  C . 2   Câu 124. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn  0;     thỏa mãn f   x   tan x , 2   5      2    x    ;    , f  0   0 , f    1 . Tỉ số giữa f   và f   bằng:  4 4  2  3  4 11  ln 2  A. 2  log 2 e  1 . B. 2 . C. . D. 2 1  log 2 e  . 2  ln 2 DẠNG 6: NGUYÊN HÀM HÀM SỐ MŨ LÔGARIT Câu 125. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x   52 x . File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 35 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A.  52 x dx  2. 52 x C . ln 5 Câu 126. Tìm họ nguyên hàm của hàm số 1 f  x  dx  .e 2018 x  C  2018 A. .  f  x  dx  2018e Câu 127. Tìm nguyên hàm Câu 129. Câu 130. Câu 131. Câu 132. C f  x   e 2018 x . . của hàm số 2018 x f  x  e 2x f  x  dx  e B.  f  x  dx  e D.  , biết F  0  1 2018 x C . ln 2018  C . . 2x e 1  . C. F  x   2e2 x  1 . D. F  x   e x . 2 2 Cho F  x  là một nguyên hàm của f  x   e3 x thỏa mãn F  0   1 . Mệnh đề nào sau đây là đúng? 1 2 1 A. F  x   e3 x  . B. F  x   e3 x . 3 3 3 1 4 1 3x C. F  x   e  1 . D. F  x    e3 x  . 3 3 3 3 Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   e x  2 x thỏa mãn F  0   . Tìm F  x  . 2 5 1 A. F  x   e x  x 2  . B. F  x   2e x  x 2  . 2 2 3 1 C. F  x   e x  x 2  . D. F  x   e x  x 2  . 2 2 x Cho hàm số f  x  thỏa mãn f   x   2018 ln 2018  cos x và f  0   2 . Phát biểu nào sau đúng? 2018 x  sin x  1 . A. f  x   2018x  sin x  1 . B. f  x   ln 2018 2018 x  sin x  1 . C. f  x   D. f  x   2018x  sin x  1 . ln 2018 (2  e3 x ) 2 dx Tính  4 1 4 5 A. 3 x  e3 x  e 6 x  C B. 4 x  e3 x  e 6 x  C 3 6 3 6 4 1 4 1 C. 4 x  e3 x  e6 x  C D. 4 x  e3 x  e 6 x  C 3 6 3 6 x x Nếu F  x  là một nguyên hàm của f ( x)  e (1  e ) và F (0)  3 thì F ( x) là? A. F  x   e 2 x . Câu 128. 2018 x F  x 25 x C . 2 ln 5 25 x 1 C . D.  52 x dx  x 1 B.  52 x dx  C.  52 x dx  2.52 x ln 5  C . C. Tích Phân và Ứng Dụng B. F  x   A. e x  x B. e x  x  2 C. e x  x  C Câu 133. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x)  e x  e  x là : D. e x  x  1 A. e x  e x  C . B. e x  e x  C . C. ex  e x  C . D. e x  e x  C . Câu 134. Hàm số F ( x )  e x  e  x  x là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây? File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 36 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. f ( x)  e  x  e x  1 Tích Phân và Ứng Dụng 1 2 x 2 1 D. f ( x )  e x  e  x  x 2 2 là : B. f ( x )  e x  e  x  C. f ( x)  e x  e  x  1 Câu 135. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x)  e 2 x  e 3 x e3 x e 2 x  C. B. 3 2 e3 x e 3x  C. C. D. 2 2 Câu 136. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x)  32 x  23 x là : A. 32 x 23 x  C. 2.ln 3 3.ln 2 32 x 23 x  C. C. 2.ln 3 3.ln 2 e2 x e3 x  C . 2 3 e 2 x e3 x  C. 3 2 32 x 23 x  C . 2.ln 3 3.ln 2 32 x 23 x  C . D. 2.ln 3 3.ln 2 A. B. Câu 137. Hàm số y  f ( x) có một nguyên hàm là F  x   e 2 x . Tìm nguyên hàm của hàm số . f ( x)  1 dx  e x  e x  C . B. ex f ( x)  1 C.  dx  2e x  e  x  C . D. x e Câu 138. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   e x 1  e  x  . A.  A.  f  x  dx  e C.  f  x  dx  e x x   f ( x)  1 dx  2e x  e  x  C . ex f ( x)  1 1 dx  e x  e  x  C . x e 2 B. C .  f  x  dx  e D.  f  x  dx  e  e x  C . f ( x)  1 ex x  xC. x C . 2 Câu 139. F  x  là một nguyên hàm của hàm số y  xe x . Hàm số nào sau đây không phải là F  x  ? 1 x2 e 2. 2 1 2 C. F  x    e x  C . 2 1 x2 e 5 . 2 2 1 D. F  x    2  e x . 2  x Câu 140. Tìm nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   2 2 x  3x  x  . 4   12 x 2 x x A. F  x    C . B. F  x   12 x  x x  C . ln12 3 2x x 2  3 x x 22 x  3x x x ln 4  C. F  x    . D. F x         . ln 2  ln 3 4 x  ln 2  ln 3 4x  x  2018e  Câu 141. Tính nguyên hàm của hàm số f  x   e x  2017  . x5   B. F  x   A. F  x    f  x  dx  2017e C.  x   2018 C. x4 504,5 f  x  dx  2017e x  4  C . x A.    504,5 C . x4 2018 f  x  dx  2017e x  4  C . x B.  f  x  dx  2017e D.  x File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay  Trang 37 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 22 x.3x.7 x dx Câu 142. Tính  84 x 22 x.3x.7 x C C A. B. ln 84 ln 4.ln 3.ln 7 e 2 x 1  2 Câu 143. Nguyên hàm  dx là: 3 x e 5 5 x 1 2  x A. e 3  e 3  C . 3 3 5  x 1 5 3 2 3x  e C . C. e 3 3 Tích Phân và Ứng Dụng C. 84x  C D. 84 x ln 84  C 5 53 x 1 2 3x e  e C . 3 3 5  x 1 5 3 2  3x  e C . D. e 3 3 1 1 và F  0    ln 4 . Tập nghiệm S của Câu 144. Cho F  x  là nguyên hàm của hàm số f  x   x e 3 3 x phương trình 3F  x   ln  e  3  2 là A. S  2 . B. S  2; 2 . B. C. S  1; 2 . D. S  2;1 . 1 3x 1 e  9 x 2  24 x  17   C là nguyên hàm của hàm số nào dưới đây. 27 2 A. f  x    x  2 x  1 e3 x 1 . B. f  x    x 2  2 x  1 e3 x 1 . Câu 145. Hàm số F  x   C. f  x    x 2  2 x  1 e3 x 1 . D. f  x    x 2  2 x  1 e3 x 1 . Câu 146. Cho hai hàm số F  x    x 2  ax  b  e  x và f  x     x 2  3 x  6  e  x . Tìm a và b để F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  . A. a  1 , b  7 . B. a  1 , b  7 . C. a  1 , b  7 . D. a  1 , b  7 . n x F   x e dx ? Câu 147. Tìm n 1 n x  n A. F  e x  nx n 1  n  n  1 x n 2  ...  n ! 1 x  n ! 1   x n  C .   n  1 n B. F  e x  x n  nx n 1  n  n  1 x n  2  ...  n ! 1 x  n ! 1   C .   x C. F  n !e  C . n 1 n D. F  x n  nx n 1  n  n  1 x n  2  ...  n ! 1 x  n ! 1  e x  C . Câu 148. Giả sử  e 2 x (2 x 3  5 x 2  2 x  4)dx  (ax 3  bx 2  cx  d )e 2 x  C . Khi đó a  b  c  d bằng A. -2 B. 3 C. 2  2018e x Câu 149. Tính nguyên hàm của hàm số f  x   e x  2017  x5  D. 5  .  2018 504,5 C. B.  f  x  dx  2017e x  4  C . 4 x x 504,5 2018 C.  f  x  dx  2017e x  4  C . D.  f  x  dx  2017e x  4  C . x x 2x 3 2 3 2 2x Câu 150. Giả sử  e (2 x  5 x  2 x  4)dx  (ax  bx  cx  d )e  C . Khi đó a  b  c  d bằng A.  f  x  dx  2017e x  A. -2 B. 3 C. 2 D. 5 2 2x Câu 151. Cho F  x    ax  bx  c  e là một nguyên hàm của hàm số f  x    2018 x 2  3 x  1 e 2 x trên khoảng  ;   . Tính T  a  2b  4c . A. T  3035 . B. T  1007 . C. T  5053 . File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. T  1011 . Trang 38 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng Câu 152. Biết F  x    ax 2  bx  c  e  x là một nguyên hàm của hàm số f  x    2 x 2  5 x  2  e  x trên  . Tính giá trị của biểu thức f  F  0   . A. e1 . B. 20e2 . C. 9e . 2 2017  1 A. T  1009. . ln 2 22017  1 C. T  . ln 2 D. 3e . 1 Câu 153. Gọi F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   2 x , thỏa mãn F  0   . Tính giá trị ln 2 biểu thức T  F  0   F 1  F  2   ...  F  2017  . B. T  2 2017.2018 . File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay 22018  1 D. T  . ln 2 Trang 39 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A C.   2 x3 3 2 x3 f ( x)dx  3 f ( x)dx  HƯỚNG DẪN GIẢI 5  2x . Khi đó: x2 5  C x 5  C x Câu 59. Cho hàm số f ( x)  A. 4 Tích Phân và Ứng Dụng B.  f ( x)dx  2 x D. f ( x)dx   Hướng dẫn giải 5  2x 2 x3 5  5 2 Ta có:  dx    2  2 x  dx   C. x2 3 x x  Chọn A 3 5  C x 2 x3  5lnx 2  C 3 4 2  x2  1  Câu 60. Nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x )    là hàm số nào trong các hàm số sau?  x  x3 1 x3 1 A. F ( x)    2 x  C . B. F ( x)    2 x  C . 3 x 3 x x3 x C. F ( x)  3 2  C . x 2 2 3  x3   x D. F ( x)   3 2   C .  x     2  Hướng dẫn giải  x2  1  x 4  2x 2  1 1  x3 1  2 Ta có:   dx  d x  x  2    2x   C .   2 2    x x  3 x   x  Chọn A 2x4  3 Câu 61. Nguyên hàm của hàm số y  là: x2 2 x3 3 2 x3 3 x3 3 3  C.  C .  C . A. B. 3x 3   C . C. D. 3 x x 3 x 3 x Hướng dẫn giải 4 2x  3 2 x3 3  2 3  Ta có:  dx  2 x  dx   C .    x2 x2  3 x Chọn A  1  Câu 62. Tính nguyên hàm    dx  2x  3  1 1 A. ln 2 x  3  C . B. ln  2 x  3  C . C. 2ln 2 x  3  C . D. ln 2 x  3  C . 2 2 Hướng dẫn giải Chọn A 1  1  1  1  Ta có:    dx     d  2 x  3  ln 2 x  3  C 2  2x  3  2  2x  3  1  e 1  3 Câu 63. Nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   , biết F    là: 2x  1  2  2 1 A. F  x   2 ln 2 x  1  . B. F  x   2 ln 2 x  1  1 . 2 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 40 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A C. F  x   1 ln 2 x  1  1 . 2 Tích Phân và Ứng Dụng D. F  x   ln 2 x  1  Hướng dẫn giải 1 . 2 Chọn C Áp dụng công thức nguyên hàm mở rộng 1 1 F  x   dx  ln 2 x  1  C . 2x  1 2 1 3  e 1  3  e 1  Mà F   1  C   C  1.    ln 2   2 2  2  2  2  1 Câu 64. Biết F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   và F  2   1 . Tính F  3 . x 1 1 7 B. F  3  ln 2  1 . C. F  3  . D. F  3  . A. F  3  ln 2  1 . 2 4 Hướng dẫn giải Chọn B 1 Ta có: F ( x )   dx  ln x  1  C . x 1 Theo đề F  2   1  ln1  C  1  C  1 . Vậy F  3  ln 2  1 . 1 và F  0   2 thì F 1 bằng. x 1 B. 2  ln 2 . C. 3 . D. 4 . Hướng dẫn giải Câu 65. Biết F  x  là một nguyên hàm của f  x   A. ln 2 . Chọn B 1 dx  ln x  1  C mà F  0   2 nên F  x   ln x  1  2 . x 1 Do đó F 1  2  ln 2 . F  x   Câu 66. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x)  A. 1 2 3  2x  Ta có: 2 C . 2  3  2x  3 dx  B. 2 là : (3  2 x)3 1 C . 4 3  2x  2 3  2x  2 C . 2 Câu 67. Hàm số nào dưới đây không là nguyên hàm của hàm số f ( x)  x2  x 1 . x 1 1 2 3  2x  2 C . C . Chọn D x(2  x) ( x  1) 2 x2  x 1 x2  x  1 . C. . x 1 x 1 Hướng dẫn giải 1 1 2 1 1 1 1 x  2x   2 0 1 0 1 1 1  x  x 1  x2  2x  2 Ta có:    .  2 2  x  1  x  1  x 1  Chọn B A. D. Hướng dẫn giải 1 2 3  2x  C. B. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. x2 . x 1 Trang 41 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 1  x( x  3)dx Câu 68. Tính . 1 x C . A. ln 3 x 3 1 x 3 1 x 1 x 3 ln C. C. C . C. ln D. ln 3 x 3 x 3 3 x Hướng dẫn giải 1 1  1 1 1 x3 Ta có:  dx      dx  .ln C . x  x  3 3  x 3 x  3 x Chọn D 1 Câu 69. F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   3x 2  . Biết F  0   0 , 2x  1 b b F 1  a  ln 3 trong đó a , b , c là các số nguyên dương và là phân số tối giản. Khi đó c c giá trị biểu thức a  b  c bằng. B. 9 . C. 3 . D. 12 . A. 4 . Hướng dẫn giải Chọn A 1  1  3 Ta có F  x     3x 2   dx  x  ln 2 x  1  C . 2x 1  2  1 Do F  0   0  C  0  F  x   x3  ln 2 x  1 . 2 1 Vậy F 1  1  ln 3  a  1; b  1; c  2  a  b  c  4 . 2 x2  2 x Câu 70. Hàm số nào sau đây không là nguyên hàm của hàm số f  x   . 2  x  1 A. F1  x   B. x2  x 1 . x 1 Chọn C B. F2  x   x2  x 1 x2  x 1 x2 . C. F3  x   . D. F4  x   . x 1 x 1 x 1 Hướng dẫn giải x2  2x  , đáp án A là nguyên hàm của f  x  .  F1  x    2  x  1 2   x  2 x  2 , đáp án B không phải là nguyên hàm của f  x  . F x    2  2  x  1  F  x    x 3 2  2x  x  1 2 , đáp án C là nguyên hàm của f  x  . 2   x  2 x , đáp án D là nguyên hàm của f  x  . F x  4   2  x  1 Câu 71. Cho biết 2 x  13  ( x  1)( x  2) dx  a ln x  1  b ln x  2  C . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. a  2b  8 . Chọn D Ta có B. a  b  8 . C. 2a  b  8 . Hướng dẫn giải File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. a  b  8 . Trang 42 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 2 x  13  5 3  1 Tích Phân và Ứng Dụng 1  ( x  1)( x  2) dx    x  1  x  2  dx  5 x  1 dx  3 x  1 dx  5ln x  1  3ln x  2  C . a  5 Vậy   a b  8. b  3 Câu 72. Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   2x 1 thỏa mãn F (2)  3 . Tìm 2x  3 : A. F ( x)  x  4ln 2 x  3  1 . B. F ( x )  x  2 ln(2 x  3)  1 . C. F ( x)  x  2 ln 2 x  3  1 . D. F ( x)  x  2 ln | 2 x  3 | 1 . F  x Hướng dẫn giải Chọn C 4  2x 1  dx   1   dx  x  2 ln 2 x  3  C . 2x  3  2x  3  Lại có F (2)  3  2  2ln 1  C  3  C  1 . Ta có F  x    1 Câu 73. Tích phân I    x  12 dx  a ln b  c , trong đó x2  1 biểu thức a  b  c ? A. 3 . B. 0 . a , b , c là các số nguyên. Tính giá trị của 0 C. 1 . Hướng dẫn giải D. 2 . Chọn D 2 1 1 1 x  1  2x   I  2 dx   1  2 dx  x  ln x 2  1  1  ln 2 . 0 x 1 x 1  0 0 Khi đó a  1 , b  2 , c  1 . Vậy a  b  c  2 . 1 Câu 74. Tính  2 dx , kết quả là: x  4x  3 1 x 1 1 x3 x 3 C . C . C . A. ln B. ln C. ln x 2  4 x  3  C . D. ln 2 x3 2 x 1 x 1 Hướng dẫn giải dx dx 1  1 1  1 x 3 Ta có:  2     dx  ln C .  x  4x  3 2 x 1  x  1 x  3  2  x  3 x  1  Chọn B 1 Câu 75. Nguyên hàm  2 dx là: x  7x  6 1 x 1 1 x6 C . C . A. ln B. ln 5 x6 5 x 1 1 1 C. ln x 2  7 x  6  C . D.  ln x 2  7 x  6  C . 5 5 Hướng dẫn giải Ta có: 1 1 1  1 1  1 1 x6  x 2  7 x  6 dx    x  1 x  6  dx  5   x  6  x  1  dx  5  ln x  6  ln x  1   C  5 ln x  1  C .   File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 43 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chọn B Câu 76. Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   F  2  bằng 1 A. 1  ln 3 . 2 1 B. 1  ln 5 . 2 Chọn A Tích Phân và Ứng Dụng 1 , biết F  0   1 . Giá trị của 2x  1 C. 1  ln 3 . Hướng dẫn giải D. 1 1  ln 3 . 2 dx 1  ln 2 x  1  C . 2x 1 2 1 1 1 F  0   1  ln1  C  1  C  1  F  x   ln 2 x  1  1  F  2   1  ln 3 . 2 2 2 1 Câu 77. Tìm nguyên hàm I   dx. 4  x2 1 x2 1 x2  C.  C. A. I  ln B. I  ln 2 x2 2 x2 1 x2 1 x2  C.  C. C. I  ln D. I  ln 4 x2 4 x2 Hướng dẫn giải Chọn D 1 1  1 1  1 x2 Ta có I    dx      dx  ln  C.  4  x2 x2 4 x2  x  2  x  2  Ta có F  x    f  x  dx   Câu 78. Tìm nguyên hàm x 2 x3 dx .  3x  2 x3 dx  2 ln x  2  ln x  1  C .  3x  2 x3 B.  2 dx  2 ln x  1  ln x  2  C . x  3x  2 x3 C.  2 dx  2 ln x  1  ln x  2  C . x  3x  2 x3 D.  2 dx  ln x  1  2 ln x  2  C . x  3x  2 Hướng dẫn giải Chọn B x3 x3 1   2 Ta có  2 dx   dx      dx  2ln x  1  ln x  2  C . x  3x  2  x  1 x  2   x 1 x  2  A. x 2 2 x3  6 x2  4 x  1  x 2  3x  2 dx là: x 1 1 x2 C . C . A. x 2  ln B. x 2  ln x2 2 x 1 1 x 1 x2 C . C . D. x 2  ln C. x 2  ln 2 x2 x 1 Hướng dẫn giải Ta có: Câu 79. Nguyên hàm File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 44 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 2 x3  6 x 2  4 x  1 1 1 1  x2    2  x 2  3x  2 dx    2 x  x 2  3x  2  dx    2 x  x  2  x  1  dx  x  ln x  1  C Chọn D 3x  3 Câu 80. Nguyên hàm  2 dx là: x  x  2 A. 2ln x  1  ln x  2  C . B. 2ln x  1  ln x  2  C . C. 2ln x  1  ln x  2  C . D. 2ln x  1  ln x  2  C . Hướng dẫn giải Ta có: 3x  3 3x  3 1   2   x 2  x  2 dx   1  x  x  2 dx    1  x  x  2  dx  2ln x  1  ln x  2  C . Chọn B Câu 81. Nguyên hàm của hàm số f ( x)  x2 2 13  x  . 2 x 1 6 2 x 2 . C. F  x    x  2 x 1 A. F  x   Chọn A Ta có x3  3 x 2  3 x  1 1 khi biết F 1  là 2 x  2x 1 3 2 x 2 13  . B. F  x    x  2 x 1 6 2 x 2  C. D. F  x    x  2 x 1 Hướng dẫn giải  x 3  3x 2  3x  1 x2 2  2 d x  x  1  d x   x  C  F ( x) . 2   x2  2x 1   ( x  1)  2 x 1 x2 2 13 1 1 1 13  .  11 C   C   nên F  x    x  3 2 3 6 2 x 1 6 ax  b Câu 82. Biết luôn có hai số a và b để F  x    4a  b  0  là nguyên hàm của hàm số f  x  x4 và thỏa mãn: 2 f 2  x    F  x   1 f   x  . Mà F 1  Khẳng định nào dưới đây đúng và đầy đủ nhất? A. a  1 , b  4 . B. a  1 , b  1 . C. a  1 , b   4 . D. a   , b   . Hướng dẫn giải Chọn C Ta có F  x   f  x   2b  8a  x  4 Do đó: 2 f 2 3 ax  b x4 là nguyên hàm của f  x  nên f  x  F x  4a  b  x  4 2 và .  x    F  x   1 f   x   2  4a  b  4 2  ax  b  2b  8a   1 3  x4   x  4  x  4  4a  b    ax  b  x  4    x  4 1  a   0  a  1 (do x4 0) Với a  1 mà 4a  b  0 nên b  4 . Vậy a  1 , b   4 . Chú ý: Ta có thể làm trắc nghiệm như sau: File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 45 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng + Vì 4a  b  0 nên loại được ngay phương án A: a  1 , b  4 và phương án D: a   , b   . + Để kiểm tra hai phương án còn lại, ta lấy b  0 , a  1 . Khi đó, ta có x 4 8 F  x  , f  x  , f  x   . 2 3 x4  x  4  x  4 Thay vào 2 f 2  x    F  x   1 f   x  thấy đúng nên Chọn C File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 46 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng DẠNG 4: NGUYÊN HÀM HÀM SỐ VÔ TỈ Câu 83. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x )  x  3x 3 x 2 là : 2 x 3 x 9x x2  C . 4 8 2x x 9x2 3 x C.  C. 3 5 5 x x 27 x 2 3 x 2  C . 3 8 2 x x 9 x 2 3 x2 D.  C . 3 8 Hướng dẫn giải B. A. Ta có:   x  3 x 3 x 2 dx  Chọn D Câu 84. Nguyên hàm của f  x   2 x3 3 3 x8 2 x x 9 x2 3 x2  3. C   C . 3 8 3 8 1 2  3  3 là: x x 43 2 x  3x  C . 3 1 4 D. x  3 x 2  3x  C . 2 3 Hướng dẫn giải A. 2 x  3 3 x 2  3x  C . C. B. 2 x  1 x  3 3 x 2  3x  C . 2 Ta có: 1 2 1    12  2  1  3 3 2   3 dx  x  2 x  3 dx  2 x  3 x  3x  C  2 x  3 3 x 2  3 x  C .     x 3 x     Chọn A dx Câu 85. Tính  thu được kết quả là: 1 x C 2 C A. D. 1  x  C B. 2 1  x  C C. 1 x 1 x Hướng dẫn giải dx  2 1  x  C . Chọn B Ta có:  1 x 1 Câu 86. Gọi F  x  là nguyên hàm của hàm số f  x   x  1  2 . Nguyên hàm của f  x  biết x F  3  6 là: 2 3 2 C. F  x   3 A. F  x   1 1  . x 3 1 1 3  x  1   . x 3  x  1 3 Ta có: 1  2    x  1  x 2 dx  3  2 3 2 D. F  x   3 Hướng dẫn giải B. F  x   1 1  . x 3 1 1 3  x  1   . x 3  x  1 3  1  C . x 2 1 1 3 Theo đề bài, ta lại có: F  3  6   3  1   C  6  C  . 3 3 3 2 1 1 3 F  x   x  1   . 3 x 3 Chọn B  x  1 3 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 47 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng . dx  a(x  2) x  2  b(x  1) x  1  C . Khi đó 3a  b bằng: x  2  x 1 2 1 4 2 . B. . C. . D. . A. 3 3 3 3 Hướng dẫn giải Chọn C dx 2 2  x  2  x  1   ( x  2  x  1) dx  3 (x  2) x  2  3 (x  1) x  1  C 2 2 a ; b 3 3 4  3a  b  3 x 1 Q dx x 1 ? Câu 88. Tìm Câu 87. Cho  A. Q  x 2  1  ln x  x 2  1  C . B. Q  x 2  1  ln x  x 2  1  C . C. Q  ln x  x 2  1  x 2  1  C . D. Cả đáp án B,C đều đúng. Hướng dẫn giải x  1 x 1 0  x 1  x  1 Trường hợp 1: Nếu x  1 thì x 1 x 1 x 1 Q dx   dx   dx   dx  x 2  1  ln x  x 2  1  C 2 2 2 x 1 x 1 x 1 x 1 Trường hợp 2: Nếu x  1 thì x 1 1 x 1 x Q dx   dx   dx   dx  ln x  x 2  1  x 2  1  C 2 2 2 x 1 x 1 x 1 x 1 Chọn D 1  m  1 thỏa mãn F  0   0 và Câu 89. Biết F  x  là nguyên hàm của hàm số f  x   2 x 1 F  3  7 . Khi đó, giá trị của tham số m bằng Điều kiện: A. 2 . B. 3 . Chọn B C. 3 . Hướng dẫn giải D. 2 .  1  Ta có F  x      m  1 dx  x  1   m  1 x  C .  2 x 1   F  0   0 C  1  0 C  1 Theo giả thiết, ta có  .   C  3m  8 m  3  F  3  7 Vậy F  x   x  1  2 x  1 . Câu 90. Hàm số F  x    ax  b  4 x  1 ( a, b là các hằng số thực) là một nguyên hàm của f  x  12 x . Tính a  b . 4x 1 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 48 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. 0 . B. 1 . Tích Phân và Ứng Dụng C. 2 . Hướng dẫn giải Chọn B D. 3 . 2x 6ax  a  2b  . 4x 1 4x 1 6ax  a  2b 12 x 6a  12 a  2  Để F  x  là một nguyên hàm của f  x  thì   4x 1 4x 1 a  2b  0 b  1 . Do đó a  b  1 . Câu 91. Biết F  x    ax 2  bx  c  2 x  3  a, b, c    là một nguyên hàm của hàm số Ta có F   x   a 4 x  1   ax  b  . 20 x 2  30 x  11 trên khoảng 2x  3 B. T  5 . A. T  8 . f  x  Chọn D Ta có F   x   f  x  . 3   ;   . Tính T  a  b  c . 2  C. T  6 . Hướng dẫn giải 1 2x  3 2 5ax   3b  6a  x  3b  c D. T  7 . Tính F   x    2ax  b  2 x  3  ax 2  bx  c .    2ax  b  2 x  3  ax 2  bx  c 2x  3 2 5ax   3b  6a  x  3b  c   2x  3 2 20 x  30 x  11 Do đó  2x  3 2x  3 2 2  5ax   3b  6a  x  3b  c  20 x  30 x  11 . 5a  20 a  4    3b  6a  30  b  2  T  7 . 3b  c  11 c  5   File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 49 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng DẠNG 5: NGUYÊN HÀM HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Câu 92. Họ nguyên hàm của hàm số f  x   2cos 2 x là A. 2sin 2x  C . Chọn B Ta có B. sin 2x  C . C. 2sin 2x  C . Hướng dẫn giải D. sin 2x  C . 1  f  x  dx   2 cos 2 x dx  2. 2 sin 2 x  C  sin 2 x  C . Câu 93. Họ nguyên hàm của hàm số f  x   sin 5 x  2 là A. 5cos 5x  C . Chọn B Ta có 1 1 B.  cos 5 x  2 x  C . C. cos 5 x  2 x  C . D. cos 5 x  2 x  C . 5 5 Hướng dẫn giải 1  f  x  dx    sin 5x  2  dx   5 cos 5x  2 x  C . Câu 94. Họ nguyên hàm của hàm số f  x   2 x  sin 2 x là 1 A. x 2  cos 2 x  C . 2 Chọn A 1 B. x 2  cos 2 x  C . C. x 2  2 cos 2 x  C . 2 Hướng dẫn giải D. x 2  2 cos 2 x  C . 1  cos 2 x  C . 2 2 Câu 95. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x)  cos 2 x là: 1 cos 4 x x cos 4 x 1 cos 4 x x cos 4 x A.  C . B.  C . C.  C . D.  C. 2 8 2 2 2 2 2 8 Hướng dẫn giải x sin 4 x  1  cos 4 x  C . Ta có:  cos 2 2 x.dx     dx   2 2 8   Chọn D   Câu 96. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   cos  3x   . 6   1    A.  f  x  dx  3sin  3 x    C . B.  f  x  dx   sin  3 x    C . 3  6 6   1    C.  f  x  dx  6sin  3 x    C . D.  f  x  dx  sin  3 x    C . 6 3  6  Hướng dẫn giải Chọn D 1 Áp dụng công thức:  cos  ax  b  dx  sin  ax  b   C . a F  x   cos 2 x  sin x  C f  x f  π Câu 97. Cho là nguyên hàm của hàm số . Tính . A. f  π   3 . B. f  π   1 . C. f  π   1 . D. f  π   0 . Ta có  f  x dx    2 x  sin 2 x dx  x 2 Hướng dẫn giải Chọn B Ta có: f  x   F   x   f  x   2sin 2 x  cos x Do đó: f  π   1 . File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 50 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng dx Câu 98.  Tính: 1  cos x x 1 x C . C. tan  C . 2 2 2 Hướng dẫn giải dx dx x   tan  C . Ta có:  1  cos x  2cos2 x 2 2 Chọn B A. 2 tan x C . 2 B. tan D. 1 x tan  C . 4 2 2 . 3 cos 3x B. F  x   3x 2  1 . 3 cos 3x D. F  x   3x 2  1. 3 Hướng dẫn giải Câu 99. Tìm nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   6 x  sin 3 x , biết F  0   cos 3 x 2  . 3 3 cos 3x C. F  x   3x 2   1. 3 A. F  x   3 x 2  Chọn D Ta có: .  f  x  dx    6 x  sin 3x  dx  3x 2  cos 3x  C  F  x . 3 2 1 2  0  .1  C   C  1 . 3 3 3 cos 3 x Vậy F  x   3x 2  1. 3 Câu 100. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x)  tan 2 x là: A. cot x  x  C . B. tan x  x  C . C.  cot x  x  C . Hướng dẫn giải Ta có:  tan 2 xdx    tan 2 x  1  1 dx  tan x  x  C . F  0  Chọn B D.  tan x  x  C . 1 và F  0   1 . Khi đó, ta có F  x  là: cos 2 x B.  tan x  1 . C. tan x  1 . D. tan x  1 . Hướng dẫn giải Câu 101. Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số y   A.  tan x . dx   tan x  C . Mà F  0   1   tan 0  C  1  C  1 cos 2 x Vậy F  x    tan x  1 . Ta có: F  x     Chọn B Câu 102. Cho hàm số f  x   sin 4 2 x . Khi đó: A. . C. . 1 1  B.  f  x  dx  8  3x  cos 4 x  8 sin 8 x   C 1 1  D.  f  x  dx  8  3x  sin 4 x  8 sin 8 x   C  f  x  dx  8  3x  sin 4 x  8 sin 8x   C .  f  x  dx  8  3x  cos 4 x  8 sin 8x   C . 1 1  1 1  Hướng dẫn giải File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 51 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 1 1 2 1  cos 4x  dx   1  2 cos 4 x  cos 2 4 x  dx  4 4 1 1 1     3  4cos 4 x  cos8 x  dx   3 x  sin 4 x  sin 8 x   C . 8 8 8  Chọn D Ta có:  sin 4 2x.dx  1 Câu 103. Biết rằng F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   sin 1  2 x  và thỏa mãn F    1. 2 Mệnh đề nào sau đây là đúng? 1 3 A. F  x    cos 1  2 x   . B. F  x   cos 1  2 x  . 2 2 1 1 C. F  x   cos 1  2 x   1. D. F  x   cos 1  2 x   . 2 2 Hướng dẫn giải Chọn D 1 1 F  x    f  x  dx   sin 1  2 x  dx     cos 1  2 x    C  cos 1  2 x   C . 2 2 1 1 1 1 1 1 1  Mà F    1  cos  1  2.   C  1   C  1  C   F  x   cos 1  2 x   . 2 2 2 2 2 2  2  Câu 104. Nguyên hàm   sin 2 x  cos x  dx là: 1 cos 2 x  sin x  C . B.  cos 2 x  sin x  C . 2 1 C.  cos 2 x  sin x  C . D.  cos 2 x  sin x  C . 2 Hướng dẫn giải Ta có: 1   sin 2 x  cos x  dx   2 cos 2 x  sin x  C . Chọn C Câu 105. Nguyên hàm  sin  2 x  3   cos  3  2 x   dx là: A. A. 2 cos  2 x  3  2sin  3  2 x   C . B. 2 cos  2 x  3  2sin  3  2 x   C . C. 2cos  2 x  3  2sin  3  2 x   C . D. 2cos  2 x  3  2sin  3  2 x   C . Hướng dẫn giải Ta có:  sin  2 x  3  cos  3  2 x  dx  2 cos  2 x  3  2 sin 3  2 x   C . Chọn A Câu 106. Nguyên hàm  sin 2  3x  1  cos x dx là: 1 A. x  3sin  6 x  2   sin x  C . B. x  3sin  6 x  2   sin x  C . 2 1 1 C. x  3sin  3 x  1  sin x  C . D. x  3sin  6 x  2   sin x  C . 2 2 Hướng dẫn giải Ta có: File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 52 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 1  cos  6 x  2   1 1   cos x dx     cos  6 x  2   cos x dx 2 2 2   2  sin  3x  1  cos x dx    1 x  3sin  6 x  2   sin x  C 2 Chọn A Câu 107. Kết quả nào dưới đây không phải là nguyên hàm của  A. 3cos x.sin 2 x  3sin x.cos 2 x  C .   C. 3 2 sin 2 x sin  x    C . 4    sin 3 x  cos 3 x  dx ? 3 sin 2 x  sin x  cos x   C . 2   D. 3 2 sin x.cos x.sin  x    C . 4  Hướng dẫn giải B. Ta có: 3 3 2 2   sin x  cos x  dx  3cos x.sin x  3sin x.cos x  C 3 3 2    sin 2 x  sin x  cos x   C  sin 2 x sin  x    C 2 2 4  Chọn C Câu 108. Cho hàm số f  x   cos 3x.cos x . Một nguyên hàm của hàm số f  x  bằng 0 khi x  0 là: sin 4 x sin 2 x sin 4 x sin 2 x cos 4 x cos 2 x  C.  D.  8 4 2 4 8 4 Hướng dẫn giải 1 1 1 Ta có: F  x    cos 3 x.cos.dx    cos 2 x  cos 4 x  dx  sin 4 x  sin 2 x  C 2 8 4 1 1 F  0   0  sin 0  sin 0  C  0  C  0 8 4 cos 4 x cos 2 x Vậy F  x    8 4 Chọn D F  x f  x   cot 2 x Câu 109. Họ nguyên hàm của hàm số là: B.  cot x  x  C C. cot x  x  C D. tan x  x  C A. cot x  x  C Hướng dẫn giải 2 2 Ta có:  cot xdx    cot x  1  1 dx   cot x  x  C . A. 3sin 3 x  sin x Chọn B B. sin 4 x   thỏa mãn F    0 . Tính F  0  . 2 1  cos x 2 B. F  0   4  6ln 2 . C. F  0   4  6 ln 2 . D. F  0   4  6ln 2 . Câu 110. Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   A. F  0   4  6 ln 2 . Chọn A Cách 1. Ta có F  x    f  x  dx . Hướng dẫn giải ' 2.cos 2 x.  3  cos 2 x  sin 4 x 2sin 2 x.cos 2 x 4sin 2 x.cos 2 x F  x   d x  d x  d x  dx  1  cos 2 x  3  cos 2 x  1  cos2 x 3  cos 2 x 1 2 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 53 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng  3  cos 2 x   3 3   d  3  cos 2 x   2  1   d  3  cos 2 x  3  cos 2 x  3  cos 2 x   2  3  cos 2 x   6ln 3  cos 2 x  C .  2    Do F    0  2  3  cos    6 ln 3  cos   C  0  C  4  6ln 2 . 2  F  0   2  3  cos 0   6 ln 3  cos 0  4  6ln 2  4  6ln 2 . Cách 2:  2  sin 4 x   2  F x F x d     2   F  0   F  0 . 0 1  cos2 x 0    2 sin 4 x dx  0,15888 . 1  cos 2 x 0  F  0       Câu 111. Biết F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   tan 2 x và F    1 . Tính F    . 4  4            B. F      1 . C. F     1 . D. F      1 . A. F      1 .  4 4  4 2  4  4 2 Hướng dẫn giải Chọn B 2 2  tan xdx    tan x  1  1 dx  tan x  x  C .      Do F    1  tan   C  1  C   4 4 4 4         Vậy F     tan           1 .  4  4  4 4 2 2    3 Câu 112. Tìm một nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   1  sin x  biết F    2 4 3 1 3 1 A. F  x   x  2cos x  sin 2 x. B. F  x   x  2 cos x  sin 2 x. 2 4 2 4 3 1 3 1 C. F  x   x  2 cos x  sin 2 x. D. F  x   x  2cos x  sin 2 x. 2 4 2 4 Hướng dẫn giải Chọn B Ta có 1  cos 2 x  2  2  1  sin x  dx   1  2sin x  sin x dx   1  2sin x  2 dx 3 1  x  2 cos x  sin 2 x  c 2 4 3  1 3    3   2 cos  sin   c   c 0. F  22 2 4 4 2 4 3 1 Vậy F  x   x  2 cos x  sin 2 x . 2 4 3sin 3x  2 cos 3 x Câu 113. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x   . 5sin 3x  cos 3x File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 54 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 17 7 17 7 x  ln 5sin 3x  cos 3x  C . B.  x  ln 5sin 3 x  cos 3x  C . 26 78 26 78 17 7 17 7 C. x  ln 5sin 3 x  cos 3 x  C . D. x  ln 5sin 3 x  cos 3 x  C . 26 78 26 78 Hướng dẫn giải Chọn A 3sin 3 x  2cos 3x  A  5sin 3 x  cos 3x   B 15cos 3x  3sin 3 x  A.  17  A 5 A  3B  3  26    A  15 B  2  B  7  78 a a dx  x  cos 4 x  C , với a , b là các số nguyên dương, là phân b b số tối giản và C   . Giá trị của a  b bằng A. 5 . B. 4 . C. 2 . D. 3 . Hướng dẫn giải Chọn A 2 1 Ta có   sin 2 x  cos 2 x  dx   1  2sin 2 x cos 2 x  dx   1  sin 4 x  dx  x  cos 4 x  C . 4 a  1 a 2 Mà   sin 2 x  cos 2 x  dx  x  cos 4 x  C nên   a b  5. b b  4 Câu 115. Tính I   8sin 3 x cos xdx  a cos 4 x  b cos 2 x  C . Khi đó, a  b bằng Câu 114. Biết   sin 2 x  cos 2 x  A. 3 . 2 B. 1 . C. 1 . Hướng dẫn giải D. 2 . Chọn C I   8sin 3 x cos xdx  4  sin 4 x  sin 2 x  dx   cos 4 x  2 cos 2 x  C  a  1, b  2 . Câu 116. F  x  là một nguyên hàm của hàm số y  2 sin x cos 3x và F  0   0 , khi đó A. F  x   cos 4 x  cos 2 x . C. F  x   cos 2 x cos 4 x 1   . 2 4 4 Chọn C Ta có y  sin 4 x  sin 2 x  F  x    cos 2 x cos 4 x 1   . 4 8 8 cos 4 x cos 2 x 1 D. F  x     . 4 2 4 Hướng dẫn giải B. F  x   cos 4 x cos 2 x 1   C , vì F  0   0 nên C   . 4 2 4 cos 2 x cos 4 x 1   . 2 4 4 Câu 117. Cho    . Hàm số nào sau đây không phải nguyên hàm của hàm số f  x   sin x . Nên F  x   A. F1  x    cos x . B. F2  x   2sin x  x  sin . 2 2 x  x x  x  C. F3  x   2sin     sin     . D. F4  x   2cos sin . 2  2 2 2  Hướng dẫn giải Chọn A File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 55 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng Ta có  sin xdx   cos x  C . Đáp án A là nguyên hàm của hàm số f  x   sin x . x  x  sin  cos   cos x . Đáp án B là nguyên hàm của hàm số f  x   sin x . 2 2 x  x  2sin     sin      cos  2   cos x . Đáp án C là nguyên hàm của hàm số 2  2  f  x   sin x . 2sin x x .sin  sin   sin x . Đáp án D không phải là nguyên hàm của hàm số 2 2 f  x   sin x . 1 Câu 118. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x   tan 2 2 x  . 2 1 1 x   A.   tan 2 2 x   dx  2 tan 2 x  2 x  C . B.   tan 2 2 x   dx  tan 2 x   C . 2 2 2   1 1 tan 2 x x    C . D.   tan 2 2 x   dx  C.   tan 2 2 x   dx  tan 2 x  x  C . 2 2 2 2   Hướng dẫn giải Chọn D 1 1 tan 2 x x   1   dx   C . Ta có:   tan 2 2 x   dx    2 2 2 2   cos 2 x 2  Câu 119. Hàm số F  x   ln sin x  3cos x là một nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số sau đây? sin x  3cos x  cos x  3sin x A. f  x   . B. f  x   . cos x  3sin x sin x  3cos x cos x  3sin x C. f  x   . D. f  x   cos x  3sin x . sin x  3cos x Hướng dẫn giải Chọn C cos x  3sin x Ta có f  x   F   x    ln sin x  3cos x   . sin x  3cos x 7 cos x  4sin x    3 Câu 120. Hàm số f  x   có một nguyên hàm F  x  thỏa mãn F    . Giá trị cos x  sin x 4 8   F   bằng? 2 3  11ln 2 3 3 3  ln 2 A. . B. . C. . D. . 4 4 8 4 Hướng dẫn giải Chọn A 3 11  sin x  cos x     sin x  cos x  3 11  sin x  cos x 2 Ta có f  x   2   . cos x  sin x 2 2 cos x  sin x 3 11  sin x  cos x  3 11  sin x  cos x   F  x    f  x  dx     . dx  dx  x   . 2 2 cos x  sin x  2 2 cos x  sin x  3 11 1 3 11  x  d  cos x  sin x   x  ln cos x  sin x  C . 2 2 cos x  sin x 2 2 2cos File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 56 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 3 11 3 11    3 Mà F      ln 2  C   C   ln 2 8 2 8 4 4 8 3 11    3 C   ln 2 . Do đó F    4 4 2 4 sin x I  dx sin x  cos x ? Câu 121. Tìm 1 B. I  x  ln sin x  cos x  C . A. I   x  ln sin x  cos x   C . 2 1 C. I  x  ln sin x  cos x  C . D. I   x  ln sin x  cos x   C . 2 Hướng dẫn giải cos x Đặt: T   dx sin x  cos x sin x cos x sin x  cos x  I T   dx   dx   dx  x  C1 1 sin x  cos x sin x  cos x sin x  cos x Ta lại có: sin x cos x sin x  cos x I T   dx   dx   dx  sin x  cos x sin x  cos x sin x  cos x d  sin x  cos x   I  T     ln sin x  cos x  C2  2 sin x  cos x 1   I  2  x  ln sin x  cos x   C  I  T  x  C1 Từ 1 ;  2  ta có hệ:    I  T   ln sin x  cos x  C2 T  1  x  ln sin x  cos x   C  2 Chọn D s inx  cos x  s inx  dx   A  B  Câu 14. Biết I   dx . Kết quả của A, B lần lượt là cos x  s inx  cos x  s inx  1 1 1 1 1 1 A. A  B  . B. A  B   . C. A   , B  . D. A  , B   . 2 2 2 2 2 2 Hướng dẫn giải Chọn D Ta có: sin x  cos x  s inx  A  cos x  s inx   B  cos x  s inx   A B  cos x  sin x cos x  s inx  cos x  s inx   s inx =A  cos x  s inx   B  cos x  s inx   ( A  B) cos x  ( A  B) s inx 1   A  2 A  B  0 Do đó:   A  B  1 B   1  2 cos4 x I  4 dx sin x  cos 4 x ? Câu 122. Tìm  2  sin 2 x   1 1 A. I   x  ln    C . 2  2 2  2  sin 2 x   B. I  x  1  2  sin 2 x  ln  C . 2 2  2  sin 2 x  File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 57 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng  2  sin 2 x   2  sin 2 x   1 1 1 C. I   x  C . D. I  x  ln ln    C .  2  2 2  2  sin 2 x   2 2  2  sin 2 x  Hướng dẫn giải 4 sin x dx Đặt: T   4 sin x  cos 4 x cos 4 x sin 4 x sin 4 x  cos4 x  I T   4 dx  dx   sin 4 x  cos4 x  sin 4 x  cos4 xdx  x  C1 1 sin x  cos4 x Mặt khác: cos 4 x sin 4 x cos 4 x  sin 4 x I T   4 dx dx    sin 4 x  cos4 x  sin 4 x  cos 4 xdx sin x  cos 4 x cos 2 x  sin 2 x cos 2 x  I T   dx   dx 2 2 1 2 1  2 sin x.cos x 1  sin x 2  2  sin 2 x  2 cos 2 x 1 ln   I T   dx   2   C2 2 2  sin 2 x 2 2  2  sin 2 x  Từ 1 ;  2  ta có hệ:   2  sin 2 x   1 1 ln  I   x  I  T  x  C     C 1  2  2 2 2 sin 2 x       2  sin 2 x   1   2  sin 2 x    I  T  2 2 ln  2  sin 2 x   C2  1 1 T  x  ln        2  sin 2 x    C  2 2 2     Chọn C Câu 123. Họ nguyên hàm của hàm số f  x   3sin 2 x  2cos x  e x là A. 6 cos 2 x  2 sin x  e x  C . 3 C. cos 2 x  2sin x  e x  C . 2 Chọn D B. 6 cos 2 x  2 sin x  e x  C . 3 D. cos 2 x  2sin x  e x  C . 2 Hướng dẫn giải 3   3sin 2 x  2 cos x  e  dx  2 cos 2 x  2sin x  e x x C .   Câu 124. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn  0;     thỏa mãn f   x   tan x , 2   5      2    x    ;    , f  0   0 , f    1 . Tỉ số giữa f   và f   bằng:  4 4  2  3  4 11  ln 2  A. 2  log 2 e  1 . B. 2 . C. . D. 2 1  log 2 e  . 2  ln 2 Hướng dẫn giải Chọn A   khi 0  x   ln cos x  C1 2 Ta có f  x    tan x dx   ln cos x  C   .   ln   cos x   C khi  x  2  2 f  0   0  C1  0 và f    1  C2  1 . File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 58 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng   khi 0  x   ln cos x 2 . Khi đó f  x      ln   cos x   1 khi  x   2  2    1 Suy ra f     ln 2  1 và f    ln 2 . 4 2  3  Vậy tỉ số cần tìm là 2  log 2 e  1 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 59 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng DẠNG 6: NGUYÊN HÀM HÀM SỐ MŨ LÔGARIT Câu 125. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x   52 x . 52 x C . A.  5 dx  2. ln 5 25x C . B.  5 dx  2 ln 5 25x 1 C . D.  52 x dx  x 1 Hướng dẫn giải 2x 2x C.  52 x dx  2.52 x ln 5  C . Chọn B 25x 25x C  C . ln 25 2 ln 5 f  x   e 2018 x . Câu 126. Tìm họ nguyên hàm của hàm số 1 .e 2018 x  C f  x  dx   2018 . B. A. Ta có  52 x dx   25x dx  C.  f  x  dx  2018e 2018 x C . 2018 x  f  x  dx  e f  x  dx  e D.  2018 x C . ln 2018  C Hướng dẫn giải . Chọn A Theo công thức nguyên hàm mở rộng. F  x f  x   e2 x F 0  1 của hàm số , biết . Câu 127. Tìm nguyên hàm 2x e 1  . A. F  x   e 2 x . B. F  x   C. F  x   2e 2 x  1 . D. F  x   e x . 2 2 Hướng dẫn giải Chọn B 1 Ta có: F  x    f  x  dx   e 2 x dx  e 2 x  C . 2 e2 x 1 1  . Theo giả thiết: F  0   1  C  . Vậy F  x   2 2 2 Câu 128. Cho F  x  là một nguyên hàm của f  x   e3 x thỏa mãn F  0   1 . Mệnh đề nào sau đây là đúng? 1 2 1 A. F  x   e3 x  . B. F  x   e3 x . 3 3 3 1 1 4 C. F  x   e3 x  1 . D. F  x    e3 x  . 3 3 3 Hướng dẫn giải Chọn A 1 Ta có F  x    e3 x dx  e3 x  C . 3 1 2 Lại có F  0   1   C  1  C  3 3 3 Câu 129. Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   e x  2 x thỏa mãn F  0   . Tìm F  x  . 2 5 1 A. F  x   e x  x 2  . B. F  x   2e x  x 2  . 2 2 3 1 C. F  x   e x  x 2  . D. F  x   e x  x 2  . 2 2 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 60 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chọn D F  x     e x  2 x  dx  e x  x 2  C . Tích Phân và Ứng Dụng Hướng dẫn giải 3 3 1  e0  C   C  . 2 2 2 1 F  x   ex  x2  . 2 Câu 130. Cho hàm số f  x  thỏa mãn f   x   2018 x ln 2018  cos x và f  0   2 . Phát biểu nào sau F  0  đúng? 2018x  sin x  1 . B. f  x   ln 2018 A. f  x   2018  sin x  1 . x C. f  x   2018x  sin x  1 . ln 2018 D. f  x   2018 x  sin x  1 . Hướng dẫn giải Chọn D Ta có f  x     2018 x ln 2018  cos x  dx  2018 x  sin x  C Mà f  0   2  20180  sin 0  C  2  C  1 Vậy f  x   2018 x  sin x  1 . (2  e Câu 131. Tính  3x 2 ) dx 4 1 A. 3 x  e3 x  e6 x  C 3 6 4 3x 1 6 x C. 4 x  e  e  C 3 6 Ta có: 3x 2  2  e  dx    Chọn D 4 5 B. 4 x  e3 x  e6 x  C 3 6 4 3x 1 6 x D. 4 x  e  e  C 3 6 Hướng dẫn giải 4e3 x e6x 3x 6x 4  4e  e dx  4x   C. 3 6  x x Câu 132. Nếu F  x  là một nguyên hàm của f ( x)  e (1  e ) và F (0)  3 thì F ( x) là? A. e x  x B. e x  x  2 C. e x  x  C Hướng dẫn giải x x x Ta có: F  x    e . 1  e  dx    e  1 dx  e x  x  C D. e x  x  1 F  0   3  e0  0  C  3  C  2 Vậy F  x   e x  x  2 Chọn B Câu 133. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x)  e x  e x là : A. e x  e  x  C . B. e x  e  x  C . C. e x  e  x  C . D. e x  e x  C . Hướng dẫn giải x x x x Ta có:   e  e  dx  e  e  C . Chọn A Câu 134. Hàm số F ( x)  e x  e x  x là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây? File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 61 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 1 2 x 2 1 C. f ( x)  ex  e x  1 D. f ( x )  e x  e  x  x 2 2 Hướng dẫn giải Ta có:   e x  e  x  1 dx  e x  e  x  x  C . A. f ( x)  e x  e x  1 B. f ( x )  e x  e  x  Chọn C Câu 135. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x)  e2 x  e3x là : e3 x e2 x  C. A. 3 2 e3 x e3 x  C. C. 2 2 Ta có:  e 2x e 3 x e2 x e3 x  C . B. 2 3 e2 x e3 x  C. D. 3 2 Hướng dẫn giải e2 x e3 x  dx  2  3  C . Chọn B Câu 136. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x)  32 x  23 x là : 32 x 23 x  C. 2.ln 3 3.ln 2 32 x 23 x  C. C. 2.ln 3 3.ln 2 A. Ta có: 2x 3 x   3  2  dx  Chọn A 32 x 23 x  C . 2.ln 3 3.ln 2 32 x 23 x  C . D. 2.ln 3 3.ln 2 Hướng dẫn giải B. 32 x 23 x  C . 2.ln 3 3.ln 2 Câu 137. Hàm số y  f ( x ) có một nguyên hàm là F  x   e 2 x . Tìm nguyên hàm của hàm số . A.  C.  f ( x)  1 dx  e x  e  x  C . x e f ( x)  1 dx  2e x  e  x  C . x e Chọn B f ( x)  1 ex f ( x)  1 dx  2e x  e x  C . x e f ( x)  1 1 D.  dx  e x  e  x  C . x e 2 Hướng dẫn giải B.  Vì hàm số y  f ( x ) có một nguyên hàm là F  x   e 2 x nên ta có: f  x    F  x    2e2 x . f ( x)  1 2e2 x  1 x x x x d x   ex  e x dx    2e  e  dx  2e  e  C . Câu 138. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   e x 1  e  x  . Khi đó: A.  f  x  dx  e C.  f  x  dx  e x x B. C .  e x  C .  f  x  dx  e D.  f  x  dx  e x  xC . x C . Hướng dẫn giải Chọn B Ta có  f  x  dx    e x  1 dx  e x  x  C . File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 62 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 2 Câu 139. F  x  là một nguyên hàm của hàm số y  xe x . Hàm số nào sau đây không phải là F  x  ? 1 x2 e 2. 2 1 2 C. F  x    e x  C . 2 1 x2 e 5 . 2 2 1 D. F  x    2  e x . 2 Hướng dẫn giải A. F  x   B. F  x      Chọn C  2 2  1 2  Ta thấy ở đáp án C thì   e x  C    xe x  xe x nên hàm số ở đáp án C không là một  2  2 nguyên hàm của hàm y  xe x .  x Câu 140. Tìm nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   22 x  3x  x  . 4   12 x 2 x x  C . ln12 3 22 x  3x x x  C. F  x     . ln 2  ln 3 4 x  A. F  x   Chọn A B. F  x   12 x  x x  C . 22 x  3x x x ln 4  D. F  x      . ln 2  ln 3 4x  Hướng dẫn giải  x Ta có f  x   22 x  3x  x   12 x  x 4   12 x 2 x x Nên F  x    12  x dx   C . ln12 3  2018e x  Câu 141. Tính nguyên hàm của hàm số f  x   e x  2017  . x5   2018 504,5 B.  f  x  dx  2017e x  4  C . A.  f  x  dx  2017e x  4  C . x x 504,5 2018 C.  f  x  dx  2017e x  4  C . D.  f  x  dx  2017e x  4  C . x x Hướng dẫn giải Chọn B 504,5 x 5 x  f  x  dx    2017e  2018 x  dx  2017e  x 4  C . 22 x.3x.7 x dx Câu 142. Tính  84 x 22 x.3x.7 x  C C A. B. C. 84 x  C D. 84 x ln 84  C ln 84 ln 4.ln 3.ln 7 Hướng dẫn giải x 84 C . Ta có:  22 x.3x.7 x dx   84 x dx  ln 84 Chọn A e 2 x 1  2 Câu 143. Nguyên hàm  dx là: 3 x e  x  File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 63 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 5 53 x 1 2  3x e  e C . 3 3 5 5 x 1 2 x C. e 3  e 3  C . 3 3 Tích Phân và Ứng Dụng 5 53 x 1 2 3x e  e C . 3 3 5 5 x 1 2  x D. e 3  e 3  C . 3 3 Hướng dẫn giải A. B. Ta có:  e 2 x 1 2 e 2 x 1  2 dx   3 ex   x  x e3  e3 . Chọn D x x       2 x 1 3x  35 x 1 5 35 x1 2  3x 3 3 dx   e 2 2  e dx  e  e dx  e  e C       3 3    Câu 144. Cho F  x  là nguyên hàm của hàm số f  x   1 1 và F  0    ln 4 . Tập nghiệm S của e 3 3 x phương trình 3F  x   ln  e x  3  2 là A. S  2 . B. S  2; 2 . C. S  1;2 . D. S  2;1 . Hướng dẫn giải dx 1  e  1 x Ta có: F  x    x   1  x  dx  x  ln  e  3  C . e 3 3  e 3 3 x   1 1 Do F  0    ln 4 nên C  0 . Vậy F  x   x  ln  e x  3 . 3 3 x Do đó: 3F  x   ln  e  3  2  x  2   Chọn A 1 3 x 1 e  9 x 2  24 x  17   C là nguyên hàm của hàm số nào dưới đây. 27 B. f  x    x 2  2 x  1 e3 x 1 . A. f  x    x 2  2 x  1 e 3 x 1 . Câu 145. Hàm số F  x   C. f  x    x 2  2 x  1 e 3 x 1 . D. f  x    x 2  2 x  1 e3 x 1 . Hướng dẫn giải Chọn C  1  1  3 x 1  F   x    e3 x1  9 x 2  24 x  17    3.e  9 x 2  24 x  17   e 3 x 1  9 x 2  24 x  17     27  27   1 1 3 x 1 3.e3 x 1 9 x 2  24 x  17  e3 x 1 18 x  24     27 x 2  54 x  27  e3 x 1 x 2  2 x  1  27 e 27  . Câu 146. Cho hai hàm số F  x    x 2  ax  b  e  x và f  x     x 2  3 x  6  e  x . Tìm a và b để      F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  . A. a  1 , b  7 . B. a  1 , b  7 . C. a  1 , b  7 . D. a  1 , b  7 . Hướng dẫn giải Chọn B 2  a  3 a  1 Ta có F   x     x 2   2  a  x  a  b  e  x  f  x  nên  .  a  b  6 b  7 Câu 147. Tìm F   x n e x dx ? n 1 n A. F  e  x  nx n 1  n  n  1 x n  2  ...  n ! 1 x  n ! 1   x n  C .   x n File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 64  ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng n 1 B. F  e x  x n  nx n 1  n  n  1 x n  2  ...  n ! 1 x  n ! 1   C .   x C. F  n !e  C . n 1 n D. F  x n  nx n 1  n  n  1 x n  2  ...  n ! 1 x  n ! 1  e x  C . n Hướng dẫn giải  x x x x  e f  x    e . f  x   e . f   x   C  e  f  x   f   x    C Lưu ý: ta luôn có điều sau F   e x  x n  n.x n 1   n  x n 1   n  1 x n 2   n  n  1  x n  2   n  2  x n 3   ...  n ! 1  n 1 n  F  e x  x n  nx n 1  n  n  1 x n  2  ...  n ! 1 x  n ! 1    n 1  x  1  n !  Chọn B Câu 148. Giả sử  e 2 x (2 x 3  5 x 2  2 x  4)dx  (ax 3  bx 2  cx  d )e 2 x  C . Khi đó a  b  c  d bằng A. -2 B. 3 Chọn B Ta  (ax 3 có e 2x C. 2 Hướng dẫn giải D. 5 nên (2 x 3  5 x 2  2 x  4)dx  (ax 3  bx 2  cx  d )e 2 x  C  bx 2  cx  d )e2 x  C  '  (3ax 2  2bx  c)e 2 x  2e2 x (ax 3  bx 2  cx  d )   2ax 3  (3a  2b) x 2  (2b  2c) x  c  2d  e 2 x  (2 x3  5 x 2  2 x  4)e 2 x  2a  2 a  1 3a  2b  5 b  1   Do đó  . Vậy a  b  c  d  3 .  2b  2c  2 c  2 c  2d  4 d  3  2018e x Câu 149. Tính nguyên hàm của hàm số f  x   e x  2017  x5  2018 C. x4 504,5 f  x  dx  2017e x  4  C . x A.  f  x  dx  2017e C.  Chọn B  f  x  dx    2017e Câu 150. Giả sử  e (2 x  5 x x 3 A. -2 Chọn B Ta  (ax 3 có 504,5 C . x4 2018 D.  f  x  dx  2017e x  4  C . x Hướng dẫn giải B.  f  x  dx  2017e x  504,5 C . x4 2  2 x  4)dx  (ax 3  bx 2  cx  d )e 2 x  C . Khi đó a  b  c  d bằng x 2x   .   2018 x 5  dx  2017e x  B. 3 e 2x C. 2 Hướng dẫn giải D. 5 (2 x 3  5 x 2  2 x  4)dx  (ax 3  bx 2  cx  d )e 2 x  C nên  bx 2  cx  d )e2 x  C  '  (3ax 2  2bx  c)e 2 x  2e2 x (ax 3  bx 2  cx  d )   2ax 3  (3a  2b) x 2  (2b  2c) x  c  2d  e 2 x  (2 x3  5 x 2  2 x  4)e 2 x File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 65 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng  2a  2 a  1 3a  2b  5 b  1   Do đó  . Vậy a  b  c  d  3 .  2 b  2 c   2 c   2   c  2d  4 d  3 Câu 151. Cho F  x    ax 2  bx  c  e 2 x là một nguyên hàm của hàm số f  x    2018 x 2  3 x  1 e 2 x trên khoảng  ;   . Tính T  a  2b  4c . A. T  3035 . B. T  1007 . C. T  5053 . Hướng dẫn giải D. T  1011 . Chọn A Vì F  x    ax 2  bx  c  e 2 x là một nguyên hàm của hàm số f  x    2018 x 2  3 x  1 e 2 x trên khoảng  ;   nên ta có:  F  x    f  x  , với mọi x   ;   .   2ax 2  x  2b  2a   2c  b  e 2 x   2018 x 2  3 x  1 e2 x , với mọi x   ;   .   a  1009 2a  2018  2021    2b  2a  3  b   . 2 2c  b  1   2023  c   4  2021   2023  Vậy T  a  2b  4c  1009  2.     4.     3035 . 2  4    Câu 152. Biết F  x    ax 2  bx  c  e  x là một nguyên hàm của hàm số f  x    2 x 2  5 x  2  e  x trên  . Tính giá trị của biểu thức f  F  0   . B. 20e 2 . C. 9e . D. 3e . A.  e 1 . Hướng dẫn giải Chọn C Ta có F   x   ax 2  bx  c  e  x  ax 2  bx  c e  x    2ax  b  e  x  ax 2  bx  c e  x    2 F   x     ax   2a  b  x  b  c  e     x Vì F  x    ax 2  bx  c  e  x là một nguyên hàm của hàm số f  x    2 x 2  5 x  2  e  x trên  nên: F   x   f  x  , x      ax 2   2a  b  x  b  c  e x   2 x 2  5 x  2  e x , x   a  2  a  2    2a  b  5  b  1 .  c  1 b  c  2  Như vậy F  x    2 x 2  x  1 e  x  F  0    2.0 2  0  1 e 0  1 . Bởi vậy f  F  0    f  1   2.12  5.1  2  e  9e . Câu 153. Gọi F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   2 x , thỏa mãn F  0   biểu thức T  F  0   F 1  F  2   ...  F  2017  . File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay 1 . Tính giá trị ln 2 Trang 66 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. T  1009. 22017  1 . ln 2 B. T  22017.2018 . Chọn D Ta có: F  x    f  x  dx   2 x dx  C. T  Hướng dẫn giải Tích Phân và Ứng Dụng 22017  1 . ln 2 D. T  22018  1 . ln 2 2x C . ln 2 1 1 2x 1  C   C  0  F  x  . Mà F  0   ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 Khi đó: T  F  0   F 1  F  2   ...  F  2017  20 2 22 22017 1 1  22018 22018  1     ...   .  ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 1  2 ln 2 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 67 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG CÁCH ĐƯA VÀO VI PHÂN Câu 1. 2x . Khi đó: x2 1 f  x dx  2 ln 1  x 2   C . Cho hàm số f  x   A. B.  f  x dx  3ln 1  x   C .  D.  f  x dx  ln 1  x   C . C.  f  x dx  4 ln 1  x   C . Cho hàm số f  x   x  x  1 . Biết F(x) là một nguyên hàm của f ( x) đồ thị hàm số 2 2 Câu 2. 2 2 4 y  F  x đi qua điểm M 1;6  . Khi đó F(x) là: A. F  x  x  2 x 2 C. F  x   Câu 3. Câu 4.  1 4  1 4 5 2  . 5  15 . 8 10 2 x Tính  dx thu được kết quả là: 1  x2 1 x A. C. 1 x 1 C . C. 1 x Họ nguyên hàm của hàm số f ( x )  A. 2 ln x 2  x  4  C . C. Câu 5. ln x 2  x  4 2 B. F  x  D. F  x   B. 1 .ln x 2  4 x  4  C . 2 C. 2 ln x 2  4 x  4  C . Họ nguyên hàm của hàm số f ( x)  A. 3ln x 3  4  C 10  15 . 8 5 1 2 14 x  1  .  10 5 x C . 1 x D. 4 ln x 2  x  4  C . 2 x là : x  4x  4 2 B. ln x 2  4 x  4  C . D. 4 ln x 2  4 x  4  C . 2x là: x 4 2 B. ln x 2  4 C 2 D. 4 ln x 2  4  C C. ln x 2  4  C Họ nguyên hàm của hàm số f ( x)  5 2x 1 là: x  x4 B. ln x 2  x  4  C . A. 2 ln x 2  4  C Câu 7.  1 2 A. Câu 6. 2 D. ln 1  x 2  C . C . Họ nguyên hàm của hàm số f ( x )  x  3x2 là: x3  4 B. 3ln x3  4  C File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 68 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A C. ln x 3  4  C Câu 8. Câu 9. D.  ln x 3  4  C Một nguyên hàm của f ( x )  A. 1 ln x  1 2 Tính F ( x)   x là: x 1 2 B. 2 ln  x 2  1 A. F ( x )  ln x 4  1  C 1 C. F ( x )  ln x 4  1  C 2 Câu 10. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x )  C.  C. x3 dx x4 1 A.  ln cos x  3  C ln cos x  3 C 2 Tích Phân và Ứng Dụng sin x là: cos x  3 1 ln( x 2  1) 2 D. ln( x 2  1) 1 B. F ( x )  ln x 4  1  C 4 1 D. F ( x )  ln x 4  1  C 3 B. 2ln cos x  3  C D. 4ln cos x  3  C sin x   và F    2 . Tính F  0  . 1  3cos x 2 1 2 2 A. F  0    ln 2  2 . B. F  0    ln 2  2 . C. F  0    ln 2  2 . D. 3 3 3 1 F  0    ln 2  2 . 3 Nguyên hàm của hàm số: y  sin2 x.cos 3 x là: 1 1 1 1 A. sin 3 x  sin 5 x  C . B.  sin 3 x  sin 5 x  C . 3 5 3 5 3 5 3 5 D. sin x  sin x  C . C. sin x  sin x  C . 3 Nguyên hàm của hàm số: y  sin x.cosx là: 1 1 1 A. cos 4 x  C . B. sin 4 x  C . C. sin 3 x  C . D.  cos 2 x  C . 4 4 3 cos x.sin 2 x.dx Tính  3sin x  sin 3 x 3cos x  cos 3 x A. C B. C 12 12 sin 3 x C C. D. sinx .cos 2 x  C 3 1 Họ nguyên hàm của hàm số f  x   là: sin x x x A. ln cot  C B. ln tan  C 2 2 x C.  ln tan  C D. ln sin x  C 2 Họ nguyên hàm của hàm số f  x   tan x là: Câu 11. Biết F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   Câu 12. Câu 13. Câu 14. Câu 15. Câu 16. A. ln cos x  C B.  ln cos x  C File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 69 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A C. tan 2 x C 2 Tích Phân và Ứng Dụng D. ln  cos x   C Câu 17. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   1  2sin 2 x .  2 2sin  x    4 1 A.  f  x  dx  ln sin x  cos x  C . B.  f  x  dx  2 ln sin x  cos x  C . C.  f  x  dx  ln 1  sin 2 x  C . D.  f  x  dx  2 ln 1  sin 2 x  C . Câu 18. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x)  A. e x  3  C C. 2 ln e x  3  C Câu 19. Họ nguyên hàm của hàm số 1 B. A. 2  C ln 2.2 x Câu 20. Họ nguyên hàm của hàm số ex là: ex  3 f ( x)  2 xe x2 C. 1 ln 2 2 x2 2 D. ln 2.2x  C C 2 ex B. C . 2 2 D. e x  C . 1 x2 e C. 2 1 2 D. e x 1  C . 2 B. C . 1 x2 1 e C . 2 Câu 22. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   A.  f  x  dx  ln x  C . C.  f  x  dx  ln x  C ln x . x B. 2 Câu 23. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x)  A. ln 2x  C . ln 2 2 x C. C. 2 Câu 24. Nguyên hàm C. là: e C . A. 2 C. e x  C . 2 x.e x 1dx  Câu 21. Tính 2 B. 3e x  9  C D. ln e x  3  C 2 f ( x )  2 x 2 x là: 1 x2 .2  C ln 2 x A. e x 1  1 2  f  x  dx  2 ln x  C . D.  f  x  dx  e  C x ln 2 x là : x 1  ln x dx  x  0  bằng x 1 2 ln x  ln x  C . B. x  ln 2 x  C . 2 dx Câu 25. Tính F ( x)   x 2ln x  1 B. ln 2 x  C . ln x D. C . 2 1 D. x  ln 2 x  C . 2 A. C. ln 2 x  ln x  C . A. F ( x )  2 2ln x  1  C B. F ( x )  2ln x  1  C File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 70 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A C. F ( x)  1 2ln x  1  C 4 Câu 26. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x)  D. F ( x)  ln x là: x B. ln x  C A. ln x  C 2 Câu 27. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x)  1 2 2 ln ( x  1)  C 2 1 C. ln 2 ( x 2  1)  C 2 dx Câu 28. Tính  x.ln x A. ln x  C C. ln(lnx)  C Tích Phân và Ứng Dụng 1 2ln x  1  C 2 ln 2 x C C. 2 D. 2x ln( x 2  1) là: 2 x 1 ln x C 2 B. ln( x2  1)  C A. D. 1 2 2 ln ( x  1)  C 2 B. ln | x |  C D. ln | lnx |  C 2 Câu 29. Tìm nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   thỏa mãn F  5  7 . 2x 1 A. F  x   2 2 x  1 . B. F  x   2 2 x  1  1 . C. F  x   2 x  1  4 . Câu 30. Họ nguyên hàm  x. 3 D. F  x   2 x  1  10 . x 2  1dx bằng A. 1 3 2 . ( x  1)  C. 8 3 3 2 3 1 . ( x  1)  C. C. . 3 ( x 2  1)4  C. D. . 3 ( x 2  1)4  C. 8 8 8 1   Câu 31. Biết  f  x  dx  2 x ln  3x  1  C với x   ;   3  Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau. A.  f  3x  dx  2 x ln  9 x  1  C . B.  f  3x  dx  6 x ln  3x  1  C . C.  f  3x  dx  6 x ln  9 x  1  C . B. D.  f  3x  dx  3x ln  9 x  1  C . PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG CÁCH ĐỔI BIẾN SỐ HÀM ĐA THỨC, PHÂN THỨC Câu 32. Cho  f ( x )dx  F ( x)  C. Khi đó với a  0, ta có 1 F (a x  b)  C 2a 1 C. F (a x  b)  C a Câu 33. Hàm số f ( x)  x(1  x)10 có nguyên hàm là: A. ( x  1)12 ( x  1)11  C . A. F ( x)  12 11 ( x  1)11 ( x  1)10  C . C. 11 10  f (a x  b)dx bằng: B. a.F (a x  b)  C D. F (a x  b)  C ( x  1)12 ( x  1)11  C. B. F ( x)  12 11 ( x  1)11 ( x  1)10  C . D. F ( x)  11 10 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 71 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng dx thu được kết quả là: (1  x 2 ) x Câu 34. Tính  A. ln x  x 2  1  C . B. ln x 1  x 2  C . x 1 x2 C . D. .ln 2 1  x2 C. ln C . 1  x2 3 Câu 35. Tính  x  x  1 dx là :  x  1 A. 5 5  x  1  4 4 B. C x5 3x 4 x2 3   x  C C. 5 4 2 Câu 36. Tìm nguyên hàm  x ( x 2  7)15 dx A. . 16 1 2 x  7  C .  2 B.   x  1 5 5  x  1  4 4 C x5 3x 4 x2 3   x  C D. 5 4 2 16 16 1 2 1 2 x  7   C . C. x  7  C .   32 16 D. 16 1 2 x  7  C  32 5 Câu 37. Xét I   x 3  4 x 4  3  dx . Bằng cách đặt: u  4 x 4  3 , khẳng định nào sau đây đúng? A. I  Câu 38. Cho 1 u 5du .  16  2 x  3x  2  B. I  6 1 u 5du .  12 8 C. I   u 5 du . 7 1 ln t  C , với t  x 2  1 . 2 2x dx là: Câu 41. Tính  4 2  x  9 C. C.  1 5 5  x  9 2 4 x 2 5  9 C C 1 5 u du . 4 dx  A  3x  2   B  3x  2   C với A , B   và C   . Giá trị của biểu thức 12 A  7 B bằng 23 241 A. . B. . 252 252 a b 1  x  1  x   2017 Câu 39. Giả sử  x 1  x  dx   C a b 2a  b bằng: A. 2017 . B. 2018 . x Câu 40. Nguyên hàm của  2 dx là: x 1 A. ln t  C , với t  x 2  1 . A.  D. I  C. 52 . 9 D. 7 . 9 với a, b là các số nguyên dương. Tính C. 2019 . D. 2020 . B.  ln t  C , với t  x 2  1 . 1 D.  ln t  C , với t  x 2  1 . 2 B.  D.  1 3  x  9 2 1 x 2 3  9 3 C C 2017 Câu 42.  7 x  1 dx ? Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của K   2019  2 x  1 2018 2018 2018 18162  2 x  1   7 x  1 1  7x 1  A. . B. .  . 2018 18162  2 x  1  18162  2 x  1 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 72 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A C. 18162  2 x  1 2018   7 x  1 18162  2 x  1 2018 2018 D. . Câu 43. Với phương pháp đổi biến số  x  t  , nguyên hàm A. 1 2 t C. 2 Câu 44. Giả sử B.  2 x  3  dx 1 t C . 2 Tích Phân và Ứng Dụng 18162  2 x  1 2018   7 x  1 18162  2 x  1 x 1 . 2018 1 dx bằng: 1 2 C. t 2  C .  x  x  1 x  2  x  3  1   g  x   C 2018 D. t  C . ( C là hằng số). Tính tổng các nghiệm của phương trình g  x   0 . A. 1 . B. 1 . C. 3 . D. 3 . HÀM CHỨA CĂN THỨC Câu 45. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x   2 x  3 2 A.  f  x  dx  3 x C.  f  x  dx  3  2 x  3 2x  3  C . 2 2x  3  C . 1 B.  f  x  dx  3  2 x  3 D.  f  x  dx  2x  3  C . 2x  3  C . Câu 46. Hàm số F  x  nào dưới đây là nguyên hàm của hàm số y  3 x  1 ? F  x  4 3  x  1 3  C 8 . 43 4  x  1  C . 3 3 3 3 C. F  x    x  1 3 x  1  C . D. F  x   4  x  1  C . 4 4 Câu 47. Tìm hàm số F  x  biết F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   x và F 1  1 . A. 2 x x. 3 1 1  . C. F  x   2 x2 2 B. F  x   2 1 x x . 3 3 2 5 D. F  x   x x  . 3 3 1 Câu 48. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x   . 2 2x 1 1 A.  f  x dx  2x 1  C . B. 2 A. F  x   C.  f  x dx  2 B. F  x   2x 1  C . D. 2x 1  C .  f  x dx  1  f  x dx   2 x  1 Câu 49. Một nguyên hàm của hàm số: f ( x )  x 1  x 2 là: 3 1 1 A. F ( x)  1  x2 B. F ( x)  1  x2 3 3 2 x2 1 1  x2 D. F ( x)  1  x2 C. F ( x)  2 2       Câu 50. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x )  2 x x 2  1 là: 3 2 A. x 2  1  C B. 2  3 x 2 2x 1 C . 2   2 3  1  C File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 73 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A C. x 2 3 D.  1  C Tích Phân và Ứng Dụng 1 3 x 2 3  1  C Câu 51. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x )  2 x 1  x 2 là: 3 3 1 A. 1  x2   C B.  1  x 2   C  3 3 3 2 C. 2 1  x 2   C D.  1  x2   C  3 3 Câu 52. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x )  x 3x  1 là: 1 3 1 1 3 1 7 5 6 4 A. B.  3 x  1  3  3 x  1  C .  3x  1  3  3 x  1  C . 21 15 18 12 1 1 3 1 3 4 C. 3  3 x  1  3  3 x  1  C . D.  3 x  1  3  3 x  1  C . 9 12 3 3 Câu 53. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x )  2 x 1  2 x là: A.  C. 3 3 1  2 x  3  6 3 3 1  2 x  6 3  3 3 1  2 x  12 3 3 1  2 x  12 6 C B.  6 D. C 3 3 1  2 x  4  8 3 3 1  2 x  8 4  3 3 1  2 x  14 3 3 1  2 x  14 7 C 7 C Câu 54. Cho I   x3 x 2  5dx , đặt u  x 2  5 khi đó viết I theo u và du ta được A. I   (u 4  5u 2 )du. B. I   u 2 du. C. I   (u 4  5u 3 )du. D. I   (u 4  5u 3 )du. 4 Câu 55. Cho I   x 1  2 x dx và u  2 x  1 . Mệnh đề nào dưới đây sai? A. I  0 3 3 1 2 2 x  x  1 dx . 2 1 B. I   u 2  u 2  1 du . 1 3 3 1 D. I   u 2  u 2  1 du . 21 1  u5 u 3  C. I     . 2  5 3 1 Câu 56. Khi tính nguyên hàm  A.  2u  u 2  4 du . Câu 57. Cho f ( x )  x 2 x 1 2 x3 dx , bằng cách đặt u  x  1 ta được nguyên hàm nào? x 1 B.   u 2  4 du . C.  2  u 2  4 du . D.   u 2  3du .  x 2  1  5 , biết F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  thỏa 3 F  0   6 . Tính F   . 4 125 126 123 127 A. . B. . C. . D. . 16 16 16 16 5 dx Câu 58. Tính tích phân: I   được kết quả I  a ln 3  b ln 5 . Tổng a  b là 1 x 3x  1 A. 2 . B. 3 . C. 1 . D. 1 . 3 x Câu 59. Họ nguyên hàm của hàm số f  x   là: 1  x2 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 74 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 1 2 x  2  1  x2  C  3 1 2 C.  x  1 1  x 2  C 3 1 2 x  1 1  x 2  C  3 1 D.   x 2  2  1  x 2  C 3 A. Câu 60. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x)  A. B.  2x x2 1 là: B. x2  1  C C. 2 x 2  1  C Câu 61. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x)  A. 2 4  x 2  C . C.  4  x2 C . 2 Tích Phân và Ứng Dụng 4x 4  x2 1 2 x2  1 C D. 4 x 2  1  C là: B. 4 4  x 2  C . D. 4 4  x 2  C . Câu 62. Với phương pháp đổi biến số  x  t  , nguyên hàm I   1 dx bằng:  x  2x  3 A. sin t  C . B. t  C . C.  cos t  C . D. t  C . 2 20 x  30 x  7 3  Câu 63. Biết rằng trên khoảng  ;    , hàm số f  x   có một nguyên hàm 2x  3 2  F  x    ax 2  bx  c  2 x  3 ( a , b , c là các số nguyên). Tổng S  a  b  c bằng 2 A. 4 . B. 3 . C. 5 .  1 1 3  a 4 1 1 3 b Câu 64.   x 3  x  1  2  x  dx có dạng x   x 2  4 x 2 3  là hai số hữu tỉ. Giá trị b, a lần lượt bằng: A. 2; 1 . B. 1; 1 . C. a, b   dx T  n 1 n xn  1   Câu 65. Tìm ?  1  A. T   n  1 x  C. T   x n  1   1 n 1 n C D. 6 .  3  x  1  C , trong đó a, b D. 1; 2 . 1  1 n B. T   n  1  C x  1 C D. T   x n  1 n  C . 1 2 x dx ? x2 2  x tan 2t 1 1  sin 2t 1 x R  ln  C với t  arctan   . 2 4 1  sin 2t 2 2 tan 2t 1 1  sin 2t 1 x R  ln  C với t  arctan   . 2 4 1  sin 2t 2 2 tan 2t 1 1  sin 2t 1 x R  ln  C với t  arctan   . 2 4 1  sin 2t 2 2 tan 2t 1 1  sin 2t 1 x R  ln  C với t  arctan   . 2 4 1  sin 2t 2 2 Câu 66. Tìm R   A. B. C. D. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 75 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng HÀM LƯỢNG GIÁC Câu 67. Theo phương pháp đổi biến số với t  cos x, u  sin x , nguyên hàm của I    tan x  cot x  dx là: A.  ln t  ln u  C . B. ln t  ln u  C . C. ln t  ln u  C . D.  ln t  ln u  C .   F  Câu 68. Biết F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   sin 3 x.cos x và F  0    . Tính  2  .   F     A.  2  . Câu 69. Tìm nguyên hàm A.    B. F     . 2 sin 2 x dx . Kết quả là 1  sin 2 x 1   C. F       . 4 2   1 D. F      . 2 4 B. 1  sin 2 x  C . C.  1  sin 2 x  C . D. 2 1  sin 2 x  C . 1  sin 2 x C. 2   Câu 70. Nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   sin 2 2 x.cos3 2 x thỏa F    0 là 4 1 1 1 1 1 1 A. F  x   sin 3 2 x  sin 5 2 x  . B. F  x   sin 3 2 x  sin 5 2 x  . 6 10 15 6 10 15 1 3 1 1 1 1 4 C. F  x   sin 2 x  sin 5 2 x  . D. F  x   sin 3 2 x  sin 5 2 x  . 6 10 15 6 10 15 5 Câu 71. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x   tan x . 1 x  tan 2 x  ln cosx  C . 2 1 1 B.  f  x  dx  tan 4 x  tan 2 x  ln cosx  C . 4 2 1 1 C.  f  x  dx  tan 4 x  tan 2 x  ln cosx  C . 4 2 1 1 D.  f  x  dx  tan 4 x  tan 2 x  ln cosx  C . 4 2 A. 1  f  x  dx  4 tan 4 Câu 72. Theo phương pháp đổi biến số  x  t  , nguyên hàm của I   A. 2 3 t  C . B. 6 3 t  C . C. 3 3 t  C . 2sin x  2 cos x dx là: 3 1  sin 2 x D. 12 3 t  C . HÀM MŨ –LÔGARIT Câu 73. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x   x 2 e x 3 1 1 1  A.   t 5  2t 3   dt  t 4  t 2  ln t  C . t 4  1 3 C.  f  x  dx  e x 1  C . 3 dx Câu 74. Tìm nguyên hàm I   . 1  ex B.  f  x  dx  3e D. f  x  dx   x3 1 C . x3 x3 1 e C . 3 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 76 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng A. I  x  ln 1  e x  C . B. I  x  ln 1  e x  C . C. I   x  ln 1  e x  C . D. I  x  ln 1  e x  C . Câu 75. Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   . 1 thỏa mãn F  0   10 . Tìm F  x  2e  3 x 1 ln 5 1 x  ln  2e x  3  10  . B. F  x   x  10  ln  2e x  3 . 3 3 3 1 3   C. F  x    x  ln  e x     10  ln 5  ln 2 . D. 3 2   A. F  x      1 3  ln 5  ln 2  . F  x    x  ln  e x     10  3 2  3  Câu 76. Với phương pháp đổi biến số  x  t  , nguyên hàm   ln 2x dx bằng: x 1 2 t C. B. t 2  C . C. 2t 2  C . D. 4t 2  C . 2 Câu 77. Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số y  2sin x.2cos x  cos x  sin x  ? A. sin x cos x C . A. y  2 B. y  2sin x  cos x y C . ln 2 Câu 78. Cho hàm số f ( x)  2 x 2sin x.2cos x . ln 2 C. y  ln 2.2sin x cos x . ln 2 . Hàm số nào dưới đây không là nguyên hàm của hàm số f ( x) ? x  A. F ( x)  2 x  C .  C. F ( x)  2 2 x D. B. F ( x)  2 2  D. F ( x )  2 1  C . Câu 79. Nguyên hàm của f  x   x 1 x  1  C . C . 1  ln x là x.ln x 1  ln x dx  ln ln x  C . x.ln x 1  ln x C.  dx  ln x  ln x  C . x.ln x 1  ln x dx  ln x 2 .ln x  C . x.ln x 1  ln x D.  dx  ln x.ln x  C . x.ln x 2 2 a b Câu 80.   x  1 e x 5 x  4  e 7 x 3  cos 2 x dx có dạng e x 1  sin 2 x  C , trong đó a, b là hai số 6 2 hữu tỉ. Giá trị a, b lần lượt bằng: A. 3; 1 . B. 1; 3 . C. 3; 2 . D. 6; 1 . A. B.     Câu 81. Tìm I   e x  3x  2   x  1   x 1 ex . x 1 1 dx ? A. I  x  ln e x . x  1  1  C . B. I  x  ln e x . x  1  1  C . C. I  ln e x . x  1  1  C . D. I  ln e x . x  1  1  C .         x Câu 82. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   ln 1  x 2   2017 x x ln  e.x 2  e   2 1   ? File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 77 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng A. ln  x 2  1  1008 ln  ln  x 2  1  1 . B. ln  x 2  1  2016 ln  ln  x 2  1  1 . 1 ln  x 2  1  2016ln  ln  x 2  1  1 . 2 1 D. ln  x 2  1  1008ln ln  x 2  1  1 . 2 2 x 2  1  2 ln x  . x  ln 2 x Câu 83. Tìm G   dx ? 2 2 x  x ln x   C. 1 1  C . x x  ln x 1 1 C. G   C . x x  ln x 1 1  C . x x  ln x 1 1 D. G   C. x x  ln x 1  ln x Câu 84. Hàm số nào sau đây là nguyên hàm của h  x   1 n ? x .ln x.  x n  ln n x  A. G  1 1 ln x  ln x n  ln n x  2016 . n n 1 1 C.  ln x  ln x n  ln n x  2016 . n n A. B. G  1 1 ln x  ln x n  ln n x  2016 . n n 1 1 D.  ln x  ln x n  ln n x  2016 . n n B. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 78 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1. PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG CÁCH ĐƯA VÀO VI PHÂN 2x Cho hàm số f  x   2 . Khi đó: x 1 A.  f  x dx  2 ln 1  x 2   C . B.  f  x dx  3ln 1  x 2   C . C.  f  x dx  4 ln 1  x   C . D. 2  f  x dx  ln 1  x   C . 2 Hướng dẫn giải 2 Ta có: Câu 2. d  x  1 2x.dx   ln x 2  1  C . 2 2 1 x 1 x Chọn D 4 Cho hàm số f  x   x  x 2  1 . Biết F(x) là một nguyên hàm của f ( x) đồ thị hàm số y  F  x  đi qua điểm M 1;6  . Khi đó F(x) là: A. F  x  x  2 x 2 C. F  x    1 4  1 10 4 5 2  . 5  B. F  x  15 . 8 x  D. F  x   2  1 10 5  15 . 8 5 1 2 14 x  1  .  10 5 Hướng dẫn giải 4 5 1 1 Ta có F  x    x  x 2  1 dx    x 2  1 d  x 2  1   x 2  1  C 2 10 5 1 14 1 14 5 M 1; 6   (C ) : y  F ( x )  6  1  1  C  C   F  x    x 2  1  10 5 10 5 Chọn D 2 x Tính  dx thu được kết quả là: 1  x2 1 x x C. B. C . A. 1 x 1 x 1 C. C . D. ln 1  x 2  C . 1 x Hướng dẫn giải 2 d 1  x  2 x.dx Ta có:    ln 1  x 2  C . 2 1 x 1  x2 Chọn D 2x 1 Họ nguyên hàm của hàm số f ( x )  2 là: x  x4 A. 2 ln x 2  x  4  C . B. ln x 2  x  4  C . 4 Câu 3. Câu 4. C. ln x 2  x  4 2 D. 4 ln x 2  x  4  C . C . Hướng dẫn giải 2 Ta có: x Chọn B d  x  x  4 2x 1 dx    ln x 2  x  4  C .  x4 x2  x  4 2 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 79 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 5. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x )  1 .ln x 2  4 x  4  C . 2 C. 2 ln x 2  4 x  4  C . Tích Phân và Ứng Dụng 2 x là : x  4x  4 2 A. B. ln x 2  4 x  4  C . D. 4 ln x 2  4 x  4  C . Hướng dẫn giải x2 1 d  x  4 x  4 1 dx   . 2  .ln x 2  4 x  4  C . Ta có:  2 x  4x  4 2 x  4x  4 2 Chọn A 2x Họ nguyên hàm của hàm số f ( x)  2 là: x 4 ln x 2  4 A. 2 ln x 2  4  C B. C 2 C. ln x 2  4  C D. 4 ln x 2  4  C 2 Câu 6. Hướng dẫn giải 2 Ta có: x Chọn C Câu 7. d  x  4 2x   ln x 2  4  C 2 4 x 4 2 Họ nguyên hàm của hàm số f ( x)  3x2 là: x3  4 A. 3ln x 3  4  C B. 3ln x3  4  C C. ln x 3  4  C D.  ln x 3  4  C Hướng dẫn giải Ta có: x Chọn C Câu 8. Một nguyên hàm của f ( x )  A. Câu 9. 3 d  x  4 3 x .dx   ln x3  4  C 3 3 4 x 4 2 1 ln x  1 2 x là: x 1 2 1 ln( x 2  1) 2 Hướng dẫn giải B. 2 ln  x 2  1 2 x.dx 1 d  x  1 1 Ta có:  2    ln  x 2  1 2 x 1 2 x 1 2 Chọn C x3 Tính F ( x)   4 dx x 1 A. F ( x )  ln x 4  1  C C. D. ln( x 2  1) 1 B. F ( x )  ln x 4  1  C 4 1 D. F ( x )  ln x 4  1  C 3 1 C. F ( x )  ln x 4  1  C 2 1 d ( x 4  1) 1 x3  ln x 4  1  C Ta có:  4 dx   4 x 1 4 x 1 4 Hướng dẫn giải File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 80 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng x3 1 d ( x 4  1) 1 4 dx   x 4  1 4  x4  1  4 ln x  1  C Chọn B sin x Câu 10. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x )  là: cos x  3 A.  ln cos x  3  C B. 2ln cos x  3  C Ta có: C.  ln cos x  3 C 2 D. 4ln cos x  3  C Hướng dẫn giải d  cos x  3 sin x dx   cos x  3  cos x  3   ln cos x  3  C Chọn A sin x   và F    2 . Tính F  0  . Câu 11. Biết F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   1  3cos x 2 1 2 2 A. F  0    ln 2  2 . B. F  0    ln 2  2 . C. F  0    ln 2  2 . D. 3 3 3 1 F  0    ln 2  2 . 3 Hướng dẫn giải Chọn B sin x 1 d 1  3cos x  1 dx      ln 1  3cos x  C . Ta có:  1  3cos x 3 1  3cos x 3  2   Do F    2  C  2  F  0    ln 2  2 . 3 2 2 Câu 12. Nguyên hàm của hàm số: y  sin x.cos 3 x là: 1 1 1 1 A. sin 3 x  sin 5 x  C . B.  sin 3 x  sin 5 x  C . 3 5 3 5 C. sin 3 x  sin 5 x  C . D. sin 3 x  sin 5 x  C . Hướng dẫn giải 2 3 2 4 Ta có:  sin x.cos .dx    sin x  sin x  .cos x.dx Ta có:    sin2 x  sin 4 x .d  sin x   sin 3 x sin 5 x  C. 3 5 Chọn A Câu 13. Nguyên hàm của hàm số: y  sin3 x.cosx là: 1 1 1 A. cos 4 x  C . B. sin 4 x  C . C. sin 3 x  C . D.  cos 2 x  C . 4 4 3 Hướng dẫn giải sin 4 x C . Ta có:  sin 3 x.cos x.dx   sin 3 x.d  sin x   4 Chọn B cos x.sin 2 x.dx Câu 14. Tính  3sin x  sin 3 x 3cos x  cos 3 x A. C B. C 12 12 sin 3 x C C. D. sinx .cos 2 x  C 3 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 81 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng Hướng dẫn giải sin 3 x 2 2 x x dx  x d x  C cos .sin . sin . sin Ta có:     3 Chọn C 1 Câu 15. Họ nguyên hàm của hàm số f  x   là: sin x x x A. ln cot  C B. ln tan  C 2 2 x C.  ln tan  C D. ln sin x  C 2 Hướng dẫn giải d  cos x  1 cos x  1 dx sin x.dx  sin x.dx Ta có:      ln C 2 2 sin x 1  cos x cos x  1 cos 2 x  1 2 cos x  1 Chọn B Câu 16. Họ nguyên hàm của hàm số f  x   tan x là: A. ln cos x  C B.  ln cos x  C tan 2 x C 2 D. ln  cos x   C A.  f  x  dx  ln sin x  cos x  C . B.  f  x  dx  2 ln sin x  cos x  C . C.  f  x  dx  ln 1  sin 2 x  C . D.  f  x  dx  2 ln 1  sin 2 x  C . C. Hướng dẫn giải d  cosx  sin x.dx     ln cos x  C Ta có:  tan x.dx   cos x cos x Chọn B 1  2sin 2 x   Câu 17. Tìm nguyên hàm của hàm số f x  .  2 2sin  x    4 1 1 Hướng dẫn giải Chọn A  2  Áp dụng công thức 1  2 sin 2 x  cos 2 x  cos 2 x  sin 2 x và 2sin 2  x     sin x  cos x   4 cos x  sin x Hàm số được rút gọn thành f  x   sin x  cos x d  sin x  cos x  Nguyên hàm  f  x  dx   = ln sin x  cos x  C sin x  cos x ex Câu 18. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x)  x là: e 3 A. e x  3  C B. 3e x  9  C C. 2 ln e x  3  C D. ln e x  3  C Hướng dẫn giải d  e  3 ex x dx   e x  3  e x  3  ln e  3  C Chọn D x Ta có: File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 82 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 2 Câu 19. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x )  2 x 2 x là: 1 ln 2 1 x2 A. B. .2  C C. x2  C 2  C x ln 2 ln 2.2 2 Hướng dẫn giải 2 2 2 1 1 1 x2 2 x.2 x .ln 2  d 2x  .2  C Ta có:  2 x.2 x dx    ln 2 ln 2 ln 2 Chọn B 2 Câu 20. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x)  2 xe x là: 2 D. ln 2.2x  C   2 e x C . A. 2 C. e x  C . ex B. C . 2 2 D. e x  C . Hướng dẫn giải 2 2  e Ta có:  2 x.e x dx   d e x x2 C . Chọn D 2 x.e x 1dx  Câu 21. Tính A. e x C. 2 1 1 x2 e C. 2 1 2 D. e x 1  C . 2 Hướng dẫn giải B. C . 1 x2 1 e C . 2 2 Ta có: I   xe x 1dx  Chọn C 2 1 1 2 d (e x 1 )  e x 1  C .  2 2 Câu 22. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   A. ln x . x B.  f  x  dx  ln x  C . C.  f  x  dx  ln x  C Chọn B Ta có 1 2  f  x  dx  2 ln x  C . D.  f  x  dx  e  C 2 x Hướng dẫn giải 1  f  x  dx   ln xd  ln x   2 ln Câu 23. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x)  2 xC . ln 2 x là : x A. ln 2x  C . ln 2 2 x C. C. 2 B. ln 2 x  C . ln x D. C . 2 Hướng dẫn giải ln 2 x ln 2 2 x dx   ln 2 x.d  ln 2 x   C . Ta có:  x 2 Chọn C 1  ln x Câu 24. Nguyên hàm  dx  x  0  bằng x 1 A. ln 2 x  ln x  C . B. x  ln 2 x  C . C. ln 2 x  ln x  C . 2 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay 1 D. x  ln 2 x  C . 2 Trang 83 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng Hướng dẫn giải Chọn A 1 1 1  ln x 1 ln x Ta có  dx   dx   dx   dx   ln xd  ln x   ln x  ln 2 x  C . x x x x 2 dx F ( x)   x 2ln x  1 Câu 25. Tính A. F ( x )  2 2ln x  1  C B. F ( x )  2ln x  1  C 1 1 C. F ( x)  2ln x  1  C D. F ( x)  2ln x  1  C 4 2 Hướng dẫn giải Ta có: F ( x )   d ( 2 ln x  1)  2 ln x  1  C . Chọn B Câu 26. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x)  A. ln 2 x  C B. ln x  C ln x là: x ln 2 x C 2 Hướng dẫn giải C. D. ln x C 2 ln x ln 2 x dx  ln x . d lnx  C    x  2 Chọn C 2x Câu 27. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x)  2 ln( x 2  1) là: x 1 1 2 2 A. ln ( x  1)  C B. ln( x2  1)  C 2 1 2 2 1 C. ln ( x  1)  C D. ln 2 ( x 2  1)  C 2 2 Hướng dẫn giải 2x 1 Ta có:  2 ln( x 2  1)dx   ln( x 2  1) d(ln( x 2  1))  ln 2 ( x 2  1)  C x 1 2 Chọn D dx Câu 28. Tính  x.ln x A. ln x  C B. ln | x |  C C. ln(lnx)  C D. ln | lnx |  C Hướng dẫn giải d  ln x  dx   ln ln x  C Ta có:  x.ln x ln x Chọn D 2 Câu 29. Tìm nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   thỏa mãn F  5  7 . 2x 1 A. F  x   2 2 x  1 . B. F  x   2 2 x  1  1 . Ta có: C. F  x   2 x  1  4 . Chọn B Ta có  D. F  x   2 x  1  10 . Hướng dẫn giải d  2 x  1 2 dx  2   2 2x 1  C ; 2x 1 2 2x 1 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 84 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng Do F  5  7 nên 6  C  7  C  1 . Câu 30. Họ nguyên hàm A.  x. 1 3 2 . ( x  1)  C. 8 Chọn C 3 x 2  1dx bằng B. 3 3 2 3 . ( x  1)  C. C. . 3 ( x 2  1)4  C. 8 8 Hướng dẫn giải D. 1 3 2 . ( x  1)4  C. 8 1 4 4 1 3 2 3 2 2 3 Ta có  x. x  1dx    x  1 d  x  1   x  1 3  C  3  x 2  1  C . 2 8 8 1  Câu 31. Biết  f  x  dx  2 x ln  3x  1  C với x   ;   3  Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau. B.  f  3x  dx  6 x ln  3x  1  C . A.  f  3x  dx  2 x ln  9 x  1  C . 3 C. 2 D.  f  3x  dx  6 x ln  9 x  1  C . Lởi giải Chọn A Cách 1: 1  f  3x  dx  3x ln  9 x  1  C . 1  f  x  dx  2 x ln  3x  1  C   f  3x  dx  3  f  3x  d  3x   3 2.  3x  ln  3.3x  1  C  2 x ln  9 x  1  C Cách 2: Ta có   2 ln 3 x  1  6 x .   3x  1  f  x  dx  2 x ln  3x  1  C  f  x    2 x ln  3x  1  C  18 x . 9 x 1 18 x  2     f  3x  dx   2 ln  9 x  1  9 x  1 dx  2 ln  9 x  1 dx    2  9 x  1  dx 2 2   9 x  1 ln  9 x  1  9 x   2 x  ln  9 x  1  C  2ln  9 x  1  C . 9 9 Khi đó f  3x   2ln  9 x  1  File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 85 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG CÁCH ĐỔI BIẾN SỐ Nếu  f  x  dx  F  x   C Giả sử ta cần tìm họ thì  f u  x   .u '  x  dx  F u  x    C . nguyên hàm I   f  x  dx , trong đó ta có thể phân tích f  x   g  u  x   u '  x  thì ta thực hiện phép đổi biến số t  u  x  , suy ra dt  u '  x  dx . Khi đó ta được nguyên hàm:  g  t  dt  G  t   C  G u  x   C. Chú ý: Sau khi tìm được họ nguyên hàm theo t thì ta phải thay t  u  x  . HÀM ĐA THỨC, PHÂN THỨC Câu 32. Cho  f ( x )dx  F ( x)  C. Khi đó với a  0, ta có 1 F (a x  b)  C 2a 1 C. F (a x  b)  C a B. a.F (a x  b)  C A. Ta có: I   f  ax  b  dx Đặt: t  ax  b  dt  adx   f (a x  b)dx bằng: D. F (a x  b)  C Hướng dẫn giải 1 dt  dx . a 1 1 f  t  dt  F  t   C  a a 1 Suy ra: I  F  ax  b   C a Chọn C Câu 33. Hàm số f ( x)  x(1  x)10 có nguyên hàm là: Khi đó: I  ( x  1)12 ( x  1)11  C . 12 11 ( x  1)11 ( x  1)10  C . C. 11 10 ( x  1)12 ( x  1)11  C. 12 11 ( x  1)11 ( x  1)10  C . D. F ( x)  11 10 Hướng dẫn giải 10 Ta có: I   x. 1  x  .dx . Đăt: t  1  x   dt  dx , x  1  t . A. F ( x)  B. F ( x)  Khi đó I    t  1 .t10 .dt   (t11  t10 ).dt  Suy ra I  Chọn A Câu 34. Tính  1 1 12 11 1  x   1  x   C . 12 11 dx thu được kết quả là: (1  x 2 ) x A. ln x  x 2  1  C . C. ln 1 12 1 11 t  t c 12 11 x 1  x2 C . B. ln x 1  x 2  C . 1 x2 .ln C . 2 1  x2 Hướng dẫn giải D. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 86 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A dx Ta có: xdx  (1  x ) x   (1  x ) x 2 2 2 Tích Phân và Ứng Dụng 1 . Đặt: t  1  x 2  dt  x.dx , x 2  t  1 . 2 1 1 1 t 1 1 x2 Khi đó: I   . dt  .ln  C  I  ln  C. 2 t.  t  1 2 t 2 1  x2 Chọn D 3 x  x  1 dx  Câu 35. Tính là : A.  x  1 5 5   x  1 4 B. C 4 x5 3x 4 x2 3   x  C C. 5 4 2  x  1 5 5   x  1 4 4 C x5 3x 4 x2 3   x  C D. 5 4 2 Hướng dẫn giải 3 Ta có: I   x  x  1 dx Đặt: t  x  1  dt  dx , x  t  1  t5 t 4  Khi đó: I    t  1 .t .dt    t  t  dt      C 5 4 3 Suy ra:  x  1 I 5 Chọn B Câu 36. Tìm nguyên hàm A. . 5 4  x  1  4 C 4  x( x 16 1 2 x  7  C .  2 2 3  7)15 dx B.  16 16 1 2 1 2 x  7   C . C. x  7  C .   32 16 D. 16 1 2 x  7  C  32 Hướng dẫn giải Chọn D 1 Đặt t  x 2  7  dt  2 xdx  xdx  dt 2 1 15 1 t16 1 2 2 15 x 7 Ta có  x( x  7) dx   t dt  .  C  2 2 16 32  16  C . 5 Câu 37. Xét I   x 3  4 x 4  3  dx . Bằng cách đặt: u  4 x 4  3 , khẳng định nào sau đây đúng? A. I  1 u 5du .  16 B. I  Chọn A u  4 x 4  3  du  16 x 3dx  1 u 5du . C. I   u 5 du .  12 Hướng dẫn giải D. I  1 5 u du . 4 1 d u  x 3 dx . 16 1 u 5 du .  16 6 8 7 Câu 38. Cho  2 x  3x  2  dx  A  3x  2   B  3x  2   C với A , B   và C   . Giá trị của biểu I  thức 12 A  7 B bằng 23 A. . 252 Chọn D B. 241 . 252 52 . 9 Hướng dẫn giải C. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. 7 . 9 Trang 87 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng t2 1  dt  dx . 3 3 2 t8 4 t 7 2 t 2 6 2 1 4 8 7 7 6 Ta có:  .t dt    t +2t  dt  .  .  C  .  3 x  2   .  3 x  2   C . 3 3 9 9 8 9 7 36 63 1 4 1 4 7 Suy ra A  , B  , 12.  7.  . 36 63 36 63 9 Đặt t  3 x  2  x  Câu 39. Giả sử  x 1  x  2017 1  x  dx  a bằng: A. 2017 . a 1  x   b B. 2018 .  x 1  x  dx    x  1  11  x  2017  dx   1  x  Vậy a  2019, b  2018  2a  b  2020 . Chọn D x Câu 40. Nguyên hàm của  2 dx là: x 1 A. ln t  C , với t  x 2  1 . C. 1 ln t  C , với t  x 2  1 . 2 4 x 2 5  9 Ta có: I    1  x  2018  1  x  dx   2018 2018 1  x   B.  1 3  x  9 2 1 x 2 3  9 3 C C Hướng dẫn giải 2x 4 dx Đặt: t  x 2  9  dt  2 x.dx dt 1 Khi đó: I   4   t 4 .dt   3  C t 3t 1 Suy ra: I   C 3  x2  9  Chọn B Câu 42. Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của 2017  7 x  1 dx ? K  2019  2 x  1 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay 2019 2019 B.  ln t  C , với t  x 2  1 . D.  C  x2  9  2017 D. 2020 . 1 D.  ln t  C , với t  x 2  1 . 2 Hướng dẫn giải Đặt t  x 2  1  dt  2 xdx . x 1 1 1  2 dx  ...   dt  ln t  C . x 1 2 t 2 Chọn C 2x  x 2  9 4 dx   là: Câu 41. Tính 1 C A.  5 2 5  x  9 C.   C với a, b là các số nguyên dương. Tính 2a  b C. 2019 . Hướng dẫn giải Tacó: 2017 b Trang 88 C ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 1  7x 1  A. .  18162  2 x  1  C. 18162  2 x  1 2018 B. . 2018   7 x  1 18162  2 x  1 2018 D. . 2018 Đặt t  2018   7 x  1 18162  2 x  1 18162  2 x  1 2018 2018 . 2018   7 x  1 18162  2 x  1 2018 2018 . 2017 7 x  1  1  7 x 1  K  dx    dx  . 2019 2  2x 1   2 x  1  2 x  1 7 x 1 9 dt 1  dt  dx   dx 2 2x  1 9  98 x  12  2 x  1 1 2017 t 2018 1  7x 1  t dt  C  .   9 18162 18162  2 x  1  Chọn D 2018 K C Câu 43. Với phương pháp đổi biến số  x  t  , nguyên hàm A. 18162  2 x  1 Hướng dẫn giải 2017 Ta có: Tích Phân và Ứng Dụng 1 2 t C. 2 B. 1 t C . 2 x 1 dx bằng: 1 2 C. t 2  C . D. t  C . Hướng dẫn giải   1   dt . Ta đặt: x  tan t , t    ;   dx  cos2 t  2 2 1  2 dx  ...   dt  t  C . x 1 Chọn D  2 x  3  dx 1 Câu 44. Giả sử    C ( C là hằng số). x  x  1 x  2  x  3  1 g  x Tính tổng các nghiệm của phương trình g  x   0 . A. 1 . B. 1 . C. 3 . Hướng dẫn giải Chọn D D. 3 . 2 Ta có x  x  1 x  2  x  3  1   x 2  3x  x 2  3 x  2   1   x 2  3x   1 . Đặt t  x 2  3x , khi đó dt   2 x  3 dx . Tích phân ban đầu trở thành Trở lại biến x , ta có dt   t  1 2  1 C . t 1  2 x  3  dx  x  x  1 x  2  x  3  1   x 2 1 C .  3x  1 Vậy g  x   x 2  3x  1 . 3  5 3  5 hoặc x  . 2 2 Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình bằng 3 . g  x   0  x 2  3x  1  0  x  File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 89 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng HÀM CHỨA CĂN THỨC Câu 45. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x   2 x  3 2 A.  f  x  dx  3 x C.  f  x  dx  3  2 x  3 Chọn B Xét I   2x  3  C . 2  2x  3  C . 1 B.  f  x  dx  3  2 x  3 D.  f  x  dx  2x  3  C . 2x  3  C . Hướng dẫn giải 2 x  3 dx .  2 x  3  t  t 2  2 x  3  2tdt  2dx . 3 1 1 1 I   t.tdt   t 2 dt  t 3  C  2 x  3  C   f  x  dx   2 x  3 2 x  3  C . 3 3 3 3 Câu 46. Hàm số F  x  nào dưới đây là nguyên hàm của hàm số y  x  1 ? 4 3 F  x    x  1 3  C 4 4 8 A. . B. F  x   3  x  1  C . 3 3 3 3 D. F  x   4  x  1  C . C. F  x    x  1 3 x  1  C . 4 4 Hướng dẫn giải Chọn C Ta có: I   3 x  1dx . Đặt   Đặt: t  3 x  1  t 3  x  1  3t 2 dt  dx . 3 3 3 4  I   t.3t 2 dt   3t 3dt  t 4  C  3  x  1  C   x  1 3 x  1  C . 4 4 4 3 Vậy F  x    x  1 3 x  1  C . 4 F  x F  x f x  x F 1  1 Câu 47. Tìm hàm số biết là một nguyên hàm của hàm số   và . 2 2 1 A. F  x   x x . B. F  x   x x  . 3 3 3 1 1 2 5  . D. F  x   x x  . C. F  x   3 3 2 x2 2 Hướng dẫn giải Chọn B Ta có: F  x    x dx 2 2 Đặt t  x suy ra t 2  x và dx  2dt . Khi đó I   t.2tdt  t 3  C  I  x x  C . 3 3 1 2 1 Vì F 1  1 nên C  .Vậy F  x   x x  . 3 3 3 1 Câu 48. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x   . 2 2x 1 1 A.  f  x dx  2x 1  C . B.  f  x dx  2 x  1  C . 2 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 90 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A C.  f  x dx  2 2x 1  C . D. Tích Phân và Ứng Dụng 1  f  x dx   2 x  1 2x 1 C . Hướng dẫn giải Chọn A Đặt 2 x  1  t  2 x  1  t 2  dx  tdt . 1 1 tdt 1 1 1 Khi đó ta có  2 x  1dx      dt  t  C  2x 1  C . 2 2 t 2 2 2 Câu 49. Một nguyên hàm của hàm số: f ( x )  x 1  x 2 là: 3 1 1 B. F ( x)  A. F ( x)  1  x2 1  x2 3 3 2 x2 1 1  x2 C. F ( x)  1  x2 D. F ( x)  2 2 Hướng dẫn giải       2   2 Ta có: I   x 1  x 2 dx Đặt: t  1  x 2  t 2  1  x 2  t.dt  x.dx Khi đó: I   t.t.dt   t 2 dt  Suy ra: I  Chọn A 1 3  1  x2 3 t3 C 3  C Câu 50. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x )  2 x x 2  1 là: 3 2 A. x 2  1  C B. 2  3 3 1 C.  x 2  1  C D. 3 Hướng dẫn giải x 2 x 2 3  1  C 3  1  C Ta có: I   2 x x 2  1dx Đặt: t  x 2  1  t 2  x 2  1  2tdt  2 xdx . 2t 3 2 C Khi đó: I   t.2t.dt   2t .dt  3 3 2 Suy ra: I  x 2  1  C .  3 Chọn A Câu 51. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x )  2 x 1  x 2 là: 3 3 1 A. 1  x2   C B.  1  x 2   C  3 3 3 2 C. 2 1  x 2   C D.  1  x2   C  3 Hướng dẫn giải Ta có: I   2 x 1  x 2 dx Đặt: t  1  x 2  t 2  1  x 2  2tdt  2 xdx . 2t 3 K Khi đó: I   t.  2t  .dt   2t 2 .dt   3 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 91 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Suy ra: I   2 3 2 3 1  x  Tích Phân và Ứng Dụng C . Chọn D Câu 52. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x )  x 3 3x  1 là: 1 3 1 1 3 1 7 5 6 4 A. B.  3 x  1  3  3 x  1  C .  3x  1  3  3 x  1  C . 21 15 18 12 13 1 1 3 4 3 C. D.  3 x  1  3  3 x  1  C .  3 x  1  3  3 x  1  C . 9 12 3 Hướng dẫn giải Ta có: I   x 3 3 x  1dx . Đặt: t  3 3x  1  t 3  3x  1  t 2 .dt  dx t3 1 2 1 1  t 7 t5  6 4 Khi đó: I   .t.t .dt    t  t  dt      C 3 3 3 7 5  1 1 1 7 5  Suy ra I   3  3 x  1  3  3 x  1   C . 3 7 5  Chọn A Câu 53. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x )  2 x 3 1  2 x là: A.  C. 3 3 1  2 x  3 6 3 3 1  2 x  6 3   3 3 1  2 x  12 3 3 1  2 x  12 Ta có: I   2 x 1  2 xdx 6 B.  C 6 D. C 3 3 1  2 x   8 3 3 1  2 x  Hướng dẫn giải 4 8 4  3 3 1  2 x  7 14 3 3 1  2 x  C 7 14 C 3 3 Đặt: t  3 1  2 x  t 3  1  2 x   t 2 .dt  dx . 2 3 Mặt khác: 2 x  1  t 3 3 3  t4 t7  Khi đó: I    (1  t 3 )t t 2 .dt    (t 3  t 6 )dt       C 2 2 2 4 7  4 7  3 1  2 x   3  3 1  2 x  Suy ra: I    C .  2 4 7   Chọn B Câu 54. Cho I   x3 x 2  5dx , đặt u  x 2  5 khi đó viết I theo u và du ta được A. I   (u 4  5u 2 )du. I   (u 4  5u 3 )du. Chọn A B. I   u 2 du. C. I   (u 4  5u 3 )du. D. Hướng dẫn giải. Đặt u  x 2  5  u 2  x 2  5  udu  xdx Khi đó: I   x3 x 2  5dx   x 2 .x. x 2  5dx    u 2  5  .u.udu    u 4  5u 2  du 4 Câu 55. Cho I   x 1  2 x dx và u  2 x  1 . Mệnh đề nào dưới đây sai? 0 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 92 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. I  3 Tích Phân và Ứng Dụng 3 1 2 2 x  x  1 dx . 2 1 B. I   u 2  u 2  1 du . 1 3 1  u5 u 3  C. I     . 2  5 3 1 D. I  3 1 2 2 u  u  1 du . 2 1 Hướng dẫn giải Chọn B 4 I   x 1  2 x dx 0 Đặt u  2 x  1  x  3 1 2  u  1  dx  u du , đổi cận: x  0  u  1 , x  4  u  3 . 2 1 u 2  1 u 2 du .   21 x3 dx , bằng cách đặt u  x  1 ta được nguyên hàm nào? Câu 56. Khi tính nguyên hàm  x 1 A.  2u  u 2  4 du . B.   u 2  4 du . C.  2  u 2  4 du . D.   u 2  3du . Khi đó I  Hướng dẫn giải Chọn C dx  2u du . Đặt u  x  1 , u  0 nên u 2  x  1   2 x  u 1 x3 u 2 1  3 d x  .2u du   2  u 2  4 du . Khi đó   u x 1 x Câu 57. Cho f ( x )  2 x 2  1  5 , biết F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  thỏa 2 x 1 3 F  0   6 . Tính F   . 4 125 126 123 127 A. . B. . C. . D. . 16 16 16 16 Hướng dẫn giải Chọn A   Đặt t  x 2  1  tdt  xdx . x 2 2 2 2  f ( x)dx   x2  1 2 x  1  5 dx    2t  5dt  t  5t  C   x  1  5 x  1  C . F (0)  6  C  0 .  3  125 Vậy F    .  4  16 5 dx Câu 58. Tính tích phân: I   được kết quả I  a ln 3  b ln 5 . Tổng a  b là x 3 x  1 1 A. 2 . B. 3 . C. 1 . D. 1 . Hướng dẫn giải Chọn D 5 dx I  1 x 3x  1   File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 93 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng u 2 1 1  dx  2udu 3 3 Đổi cận: x  1  u  2 x  5  u  4 4 4 4 u  1   u  1 2 3 1 u 1 Vậy I   2 du   du  ln  ln  ln  2 ln 3  ln 5 u 1 2 5 3 2 u 1 2  u  1 u  1 Do đó a  2; b  1  a  b  1 . Đặt u  3x  1  x  Câu 59. Họ nguyên hàm của hàm số f  x   1 2  x  2  1  x2  C 3 1 C.  x 2  1 1  x 2  C 3 Ta có : I   1  x2 1  x2 là: 1 2  x  1 1  x 2  C 3 1 D.   x 2  2  1  x 2  C 3 Hướng dẫn giải B.  A. x3 x3 dx Đặt t  1  x 2  t 2  1  x 2  tdt  xdx (1  t 2 ) t3 2 tdt   (t  1)dt   t  C . Khi đó: I   t 3 Thay t  1  x 2 ta được I  Chọn D ( 1  x 2 )3 1  1  x 2  C    x2  2  1  x 2  C . 3 3 Câu 60. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x)  A. 2x x2 1 là: B. x2  1  C C. 2 x 2  1  C Ta có: I   1 2 x2  1 C D. 4 x 2  1  C Hướng dẫn giải 2x x2  1 dx Đặt: t  x 2  1  t 2  x 2  1  2t.dt  2 x.dx . 2t.dt Khi đó: I    2t  C t Suy ra: I  2 x 2  1  C . Chọn C Câu 61. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x)  A. 2 4  x 2  C . C.  4  x2 C . 2 Ta có: I   4  x2 là: B. 4 4  x 2  C . D. 4 4  x 2  C . Hướng dẫn giải 4x 4 x 4x 2 dx . Đặt: t  4  x 2  t 2  4  x 2  4tdt  4 xdx . File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 94 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khi đó: I   Chọn D Tích Phân và Ứng Dụng 4tdt  4t  C  I  4 4  x 2  C . t Câu 62. Với phương pháp đổi biến số  x  t  , nguyên hàm I   A. sin t  C . Ta biến đổi: I   1 dx bằng:  x  2x  3 B. t  C . C.  cos t  C . D. t  C . Hướng dẫn giải 1 dx . 2 4   x  1 2    Đặt x  1  2sin t , t    ,   dx  2 cos tdt .  2 2  I   dt  t  C . Chọn D 20 x 2  30 x  7 3  Câu 63. Biết rằng trên khoảng  ;    , hàm số f  x   có một nguyên hàm 2x  3 2  F  x    ax 2  bx  c  2 x  3 ( a , b , c là các số nguyên). Tổng S  a  b  c bằng B. 3 . A. 4 . C. 5 . Hướng dẫn giải D. 6 . Chọn B Đặt t  2 x  3  t 2  2 x  3  dx  tdt 2 Khi đó  t2  3   t2  3  20  30    7 2  2  20 x 2  30 x  7   tdt    5t 4  15t 2  7  dt  2 x  3 dx   t 5 3  2 x  3  5  2 x  3  7 2 x  3  C 2   2 x  3 2 x  3  5  2 x  3 2 x  3  7 2 x  3  C   4 x 2  2 x  1 Vậy F  x    4 x 2  2 x  1 2 x  3 . Suy ra S  a  b  c  3 .  t 5  5t 3  7t  C  Câu 64. 2x  3  C 3  3 1 1 3  a 4 1 1 3 b 1 x  x    dx có dạng x   x  x  1  C , trong đó a, b   2   x 2 4 x 2 3   là hai số hữu tỉ. Giá trị b, a lần lượt bằng: A. 2; 1 . B. 1; 1 . C. a, b   D. 1; 2 . Hướng dẫn giải Cách 1:  1 1 3  Theo đề, ta cần tìm   x 3  x  1  2   dx . Sau đó, ta xác định giá trị của a . x 2     Ta có:  3  3 1 1 3  1 1 3    x  x  1  x 2  2  dx    x  x 2  2  dx   x  1 dx .      1 1 3  Để tìm  2 x x 2  1  x ln x dx ta đặt I1    x 3  2   dx và I 2   x  1 dx và tìm 2  x  I1 , I 2 .   File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 95 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng  1 1 3  *Tìm I1    x 3  2   dx . x 2    1 1 3  1 4 1 1 3 I1    x 3  2  x  C1 , trong đó C1 là 1 hằng số.  dx  x   x 2 4 x 2   *Tìm I 2   x  1 dx . Dùng phương pháp đổi biến. Đặt t  x  1, t  0 ta được t 2  x  1, 2tdt  dx . 3 2 2 Suy ra I 2   x  1 dx   2t 2 dt  t 3  C2  x  1  C2 . 3 3  3 1 1 3  1 4 1 1 3 2   x  x  1  x2  2  dx  I1  I 2  4 x  x  2 x  C1  3      3  x  1  C2  1 4 1 1 3 x   x 4 x 2 3  3 a 4 1 1 3 b 1 1 3      có dạng x x 1 dx x   x  x  1  C thì    x2 4 x 2 3 2   a  1 , b  2  . Vậy đáp án chính xác là đáp án D Cách 2:Dùng phương pháp loại trừ. 3 1 1 3 a b Ta thay giá trị của a, b ở các đáp án vào x 4   x x  1  C . Sau đó, với 4 x 2 3 3 1 a b mỗi a, b ở các đáp án A, B, D ta lấy đạo hàm của x 2  1  x 2 ln x  x 2  C . 3 2 4 Sai lầm thường gặp: A. Đáp án A sai. Một số học sinh không chú ý đến thứ tự b, a nên học sinh khoanh đáp án A và đã sai lầm. B. Đáp án B sai. Một số học sinh chỉ sai lầm như sau: *Tìm I 2   x  1 dx .  Suy ra để     Dùng phương pháp đổi biến. Đặt t  x  1, t  0 ta được t 2  x  1, tdt  dx . 3 1 1 Suy ra I 2   x  1 dx   t 2 dt  t 3  C2  x  1  C2 . 3 3  3 1 1 3  1 4 1 1 3 1   x  x  1  x2  2  dx  I1  I 2  4 x  x  2 x  C1  3       3 x  1  C2   3 1 1 3  a 4 1 1 3 b x  x  1   x   dx có dạng x   2  x 2  4 x 2 3  a  1 , b  1  . Thế là, học sinh khoanh đáp án B và đã sai lầm. C. Đáp án C sai. Một số học sinh chỉ sai lầm như sau: *Tìm I 2   x  1 dx . Suy ra để I 2   x  1 dx    1 4 1 1 3 x   x 4 x 2 3  x  1  C thì 1  C2 . 2 x 1 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 96 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Suy Tích Phân và Ứng Dụng  3 1 1 3      x x 1   dx  x2 2   ra không 3 a 4 1 1 3 b x   x x  1  C , với a, b   . 4 x 2 3 Nên không tồn tại a, b thỏa yêu cầu bài toán. Thế là, học sinh khoanh đáp án C và đã sai lầm. dx T  n 1 n xn  1   ? Câu 65. Tìm   1  A. T   n  1 x  C. T   x n  1   1 n 1 n thể có dạng  1  1 n B. T   n  1  C x  C 1 D. T   x n  1 n  C . C Hướng dẫn giải Ta có: T   Đặt: t  dx n x n  1 n 1  dx  1  x n 1. n  n  1 x   n 1  x  n 1 1  1   n  1 x  1 n  1  dx   x  n 1  n  1 x  1 1 n dx 1 n  1  dt   n 1   nx  n 1 n x x 1 1 1 1 n1  1 n  T    t dt  t n  C   n  1  C n x  Chọn A 1 2 x R 2 dx x 2 x ? Câu 66. Tìm tan 2t 1 1  sin 2t 1 x  ln  C với t  arctan   . A. R   2 4 1  sin 2t 2 2 tan 2t 1 1  sin 2t 1 x  ln  C với t  arctan   . B. R   2 4 1  sin 2t 2 2 tan 2t 1 1  sin 2t 1 x  ln  C với t  arctan   . C. R  2 4 1  sin 2t 2 2 tan 2t 1 1  sin 2t 1 x  ln  C với t  arctan   . D. R  2 4 1  sin 2t 2 2 Hướng dẫn giải   Đặt x  2 cos 2t với t   0;   2 dx  4sin 2t.dt  Ta có:  2  x 2  2sin 2t 4sin 2 t sin t     2  2 cos 2t 4 cos 2 t cos t  2 x 1 sin t 2sin 2 t 1  cos 2t  R   . .4sin 2t.dt    dt    dt 2 2 4cos 2t cos t cos 2t cos 2 2t 1 1 tan 2t 1 1  sin 2t  R   dt   dt    ln C 2 cos 2t cos 2t 2 4 1  sin 2t File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 97 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng Chọn A HÀM LƯỢNG GIÁC Câu 67. Theo phương pháp đổi biến số với t  cos x, u  sin x , nguyên hàm của I    tan x  cot x  dx là: A.  ln t  ln u  C . B. ln t  ln u  C . C. ln t  ln u  C . D.  ln t  ln u  C . Hướng dẫn giải sin x cos x Ta có:   tan x  cot x  dx   dx   dx . cos x sin x sin x 1 dx . Đặt t  cos x  dt   sin xdx  I1    dt   ln t  C1 . Xét I1   cos x t 1 cos x Xét I 2   dx . Đặt u  sin x  du  cos xdx  I 2   du  ln u  C2 . sin x u  I  I1  I 2   ln t  ln u  C Chọn A   F  F  x f  x   sin x.cos x F  0   là một nguyên hàm của hàm số và . Tính  2  . Câu 68. Biết   F     1       1 A.  2  C. F       . D. F      . . B. F     . 4 2 2 2 4 Hướng dẫn giải Chọn D Đặt t  sin x  dt  cos xdx . t4 sin 4 x C . F  x    f  x  dx   sin 3 x cos xdx   t 3dt   C  4 4 sin 4  sin 4 x  C    C    F  x   . F  0    4 4  sin 4   2  1  . F  4 4 2 sin 2 x Câu 69. Tìm nguyên hàm  dx . Kết quả là 1  sin 2 x 3 A. 1  sin 2 x C. 2 B. 1  sin 2 x  C . Chọn D D. 2 1  sin 2 x  C . Hướng dẫn giải. Đặt t  1  sin 2 x  t 2  1  sin 2 x  2tdt  sin 2 xdx  C.  1  sin 2 x  C .  sin 2 x 1  sin x 2 dx   2t dt t   2dt  2t  C  2 1  sin 2 x  C   Câu 70. Nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   sin 2 2 x.cos3 2 x thỏa F    0 là 4 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 98 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 1 1 1 A. F  x   sin 3 2 x  sin 5 2 x  . 6 10 15 1 3 1 1 C. F  x   sin 2 x  sin 5 2 x  . 6 10 15 Chọn C Đặt t  sin 2 x  dt  2.cos 2 xdx  Ta có: F  x    sin 2 2 x.cos 3 2 xdx  Tích Phân và Ứng Dụng 1 1 1 B. F  x   sin 3 2 x  sin 5 2 x  . 6 10 15 1 3 1 4 D. F  x   sin 2 x  sin 5 2 x  . 6 10 15 Hướng dẫn giải 1 dt  cos 2 xdx . 2 1 2 1 1 1 t . 1  t 2  dt    t 2  t 4  dt  t 3  t 5  C  2 2 6 10 1 1  sin 3 2 x  sin 5 2 x  C . 6 10  1  1 1   F    0  sin 3  sin 5  C  0  C   . 6 2 10 2 15 4 1 1 1 Vậy F  x   sin 3 2 x  sin 5 2 x  . 6 10 15 Câu 71. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x   tan 5 x . 1 x  tan 2 x  ln cosx  C . 2 1 1 B.  f  x  dx  tan 4 x  tan 2 x  ln cosx  C . 4 2 1 1 C.  f  x  dx  tan 4 x  tan 2 x  ln cosx  C . 4 2 1 1 D.  f  x  dx  tan 4 x  tan 2 x  ln cosx  C . 4 2 Hướng dẫn giải Chọn D sin 5 x I   f  x  dx   tan 5 xdx   dx cos5 x 1  cos 2 x  .1  cos 2 x  .s inx dx sin 2 x.sin 2 .s inx  d x   cos 5 x cos5 x 1  t 2  . 1  t 2  dt  1  2t 2  t 4 dt Đặt t  cos x  dt   sin xdx I        t5 t5 1 1  1 2 1      5  3   dt    t 5  2t 3   dt  t 4  t 2  ln t  C t 4  t t t  1 1 1 1  cos x 4  cos x 2  ln cos x  C  .   ln cos x  C 4 4 4 cos x cos x 2 2 1  .  tan 2 x  1   tan 2 x  1  ln cos x  C 4 1   tan 4 x  2 tan 2 x  1   tan 2 x  1  ln cos x  C 4 1 1 1  tan 4 x  tan 2 x  ln cos x   C 4 2 4 1 1  tan 4 x  tan 2 x  ln cos x  C . 4 2 A. 1  f  x  dx  4 tan 4 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 99 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng Câu 72. Theo phương pháp đổi biến số  x  t  , nguyên hàm của I   A. 2 3 t  C . B. 6 3 t  C . C. 3 3 t  C . Hướng dẫn giải 2sin x  2 cos x dx là: 3 1  sin 2 x D. 12 3 t  C . Ta có: 2  sin x  cos x  2 sin x  2 cos x I  3 dx   dx . 2 3 1  sin 2 x  sin x  cos x  Đặt t  sin x  cos x  dt   sin x  cos x  dx . I  2 3 t2 dt  2. Chọn B 1 1 t3  C  63 t  C .  2 1     3 HÀM MŨ –LÔGARIT Câu 73. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x   x 2 e x 3 1 3 1 1  A.   t 5  2t 3   dt  t 4  t 2  ln t  C . B.  f  x  dx  3e x 1  C . t 4  x3 3 1 3 C.  f  x  dx  e x 1  C . D.  f  x  dx  e x 1  C . 3 3 Hướng dẫn giải Chọn C Đặt t  x 3  1  dt  3x 2 dx 3 1 1 1 3 Do đó, ta có  f  x  dx   x 2 e x 1dx   et . dt  et  C  e x 1  C . 3 3 3 1 x3 1 Vậy  f  x  dx  e  C . 3 dx Câu 74. Tìm nguyên hàm I   . 1  ex B. I  x  ln 1  e x  C . A. I  x  ln 1  e x  C . C. I   x  ln 1  e x  C . D. I  x  ln 1  e x  C . Hướng dẫn giải Chọn D dx e x dx . I   1  e x  e x 1  e x  Đặt t  e x  dt  e x dx e x dx dt 1 1  x x x I  x       ln t  ln t  1  C  ln e  ln e  1  C  x  ln e  1  C x t (1  t ) t t  1 e 1  e    1 thỏa mãn F  0   10 . Tìm F  x  . 2e  3 1 B. F  x   x  10  ln  2e x  3 . 3 Câu 75. Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   A. F  x   1 ln 5 x  ln  2e x  3  10  . 3 3   x  File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay  Trang 100 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 1 3   C. F  x    x  ln  e x     10  ln 5  ln 2 . D. 3 2   1 3  ln 5  ln 2  . F  x    x  ln  e x     10  3 2  3  Hướng dẫn giải Chọn A 1 ex F  x    f  x  dx   x dx   dx . 2e  3  2e x  3 e x Đặt t  e x  dt  e x dx . Suy ra 1 1 t 1  ex  1 x F  x    C  ln  x dt  ln   C  x  ln  2e  3  C . 3 2t  3 3  2e  3  3  2t  3 t   1 ln 5  0  ln 5  C  C  10  . 3 3 1 ln 5 Vậy F  x   x  ln  2e x  3  10  . 3 3 ln 2x Câu 76. Với phương pháp đổi biến số  x  t  , nguyên hàm  dx bằng: x 1 A. t 2  C . B. t 2  C . C. 2t 2  C . D. 4t 2  C . 2 Hướng dẫn giải 1 1 Đặt t  ln 2 x  dt  2. dx  dt  dx . 2x x ln 2 x 1  dx  ...   tdt  t 2  C . x 2 Chọn A Câu 77. Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số y  2sin x.2cos x  cos x  sin x  ? Vì F  0   10 nên 10    sin x cos x C . A. y  2 B. y  2sin x  cos x y C . ln 2 2sin x.2cos x . ln 2 C. y  ln 2.2sin x cos x . D. Hướng dẫn giải Chọn B Ta có: I   2sin x.2cos x  cos x  sin x  dx   2sin x cos x  cos x  sin x  dx . Đặt: t  sin x  cos x  dt   cos x  sin x  dx . 2t 2sin x cos x 2sin x.2cos x C  C  C . ln 2 ln 2 ln 2 2sin x.2cos x Vậy hàm số đã cho có 1 nguyên hàm là hàm số: y  . ln 2 ln 2 Câu 78. Cho hàm số f ( x)  2 x . Hàm số nào dưới đây không là nguyên hàm của hàm số f ( x) ? x  I   2t dt   A. F ( x)  2 x  C .  C. F ( x)  2 2 x B. F ( x)  2 2  1  C . D. F ( x )  2 x 1 x  1  C . C . Hướng dẫn giải File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 101 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chọn A Cách 1: Đặt t  x  2dt  F ( x )   f ( x )dx   2 x ln 2 x Ngoài ra: + D đúng vì F ( x)  2.2 + B đúng vì F ( x )  2.2 Tích Phân và Ứng Dụng 1 dx . x dx   2t 2.ln 2dt  2.2t  C  2.2 x C . x  2  C  2.2 x x  C nên A sai.  C . + C đúng vì F ( x )  2.2 x  2  C  2.2 x  C  . Cách 2: Ta thấy B, C, D chỉ khác nhau một hằng số nên theo định nghĩa nguyên hàm thì chúng phải là nguyên hàm của cùng một hàm số. Chỉ còn mình A “ lẻ loi” nên chắc chắn sai thì A sai thôi. Cách 3: Lấy các phương án A, B, C, D đạo hàm cũng tìm được A sai. 1  ln x f  x  x.ln x là Câu 79. Nguyên hàm của 1  ln x 1  ln x B.  A.  dx  ln ln x  C . dx  ln x 2 .ln x  C . x.ln x x.ln x 1  ln x 1  ln x C.  dx  ln x  ln x  C . dx  ln x.ln x  C . D.  x.ln x x.ln x Hướng dẫn giải Chọn D 1  ln x Ta có I   f  x  dx   dx . x.ln x 1  ln x 1 dx   dt  ln t  C Đặt x ln x  t   ln x  1 dx  dt . Khi đó ta có I   x.ln x t  ln x.ln x  C Câu 80.    x  1 e x2 5 x  4   e 7 x 3  cos 2 x dx có dạng tỉ. Giá trị a, b lần lượt bằng: A. 3; 1 . B. 1; 3 . Cách 1: Theo đề, ta cần tìm Ta có:    x  1 e x 2 5 x  4 .    x  1 e 2 x 1 a  x 12 b e  sin 2 x  C , trong đó a, b là hai số hữu 6 2 C. 3; 2 . Hướng dẫn giải D. 6; 1 .  cos 2 x dx . Sau đó, ta xác định giá trị của a .   x2 5 x  4 7 x 3  cos 2 x  dx  x  1 e x 12 dx  cos 2 x dx  e7 x3  cos 2 x dx     x  1 e         x  1 e x2 5 x  4  e7 x3  cos 2 x  dx ta đặt I  x  1 e x 12 dx và I  cos 2 x dx  1 2         và tìm I1 , I 2 . Để tìm 2 *Tìm I1    x  1 e x 1 dx . 2 Đặt t   x  1 ; dt  2  x  1 x  1 dx  2  x  1 dx . I1    x  1 e x 1 2 1 1 1 x 1 2 dx   et dt  et  C1  e   C1 , trong đó C1 là 1 hằng số. 2 2 2 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 102 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng *Tìm I 2   cos 2 x dx . 1 I 2   cos 2 x dx  sin 2 x  C2 . 2    x  1 e Suy ra x 2 5 x  4 để   e 7 x 3  cos 2 x dx  I1  I 2  1  x 12 1 1 x 1 2 1 e  C1  sin 2 x  C2  e   sin 2 x  C. 2 2 2 2 2 x 5 x  4  e 7 x 3  cos 2 x  dx    x  1 e có dạng a  x 12 b e  sin 2 x  C 6 2 thì a  3  , b  1 . Chọn A Cách 2: Sử dụng phương pháp loại trừ bằng cách thay lần lượt các giá trị a, b ở các đáp án vào a  x 12 b e  sin 2 x  C và lấy đạo hàm của chúng. 6 2 Sai lầm thường gặp B. Đáp án B sai. Một số học sinh sai lầm ở chỗ không để ý đến thứ tự sắp xếp b, a nên khoanh đáp án B và đã sai lầm. C. Đáp án C sai. Một số học sinh chỉ sai lầm ở chỗ: Tìm I 2   cos 2 x dx . I 2   cos 2 x dx  sin 2 x  C2 . 1  x12 1 x1 2 e  C1  sin 2 x  C2  e   sin 2 x  C . 2 2 2 2 a b x 1 e   sin 2 x  C thì Suy ra để   x  1 e x 5 x  4  e 7 x 3  cos 2 x dx có dạng 6 2 a  3  , b  2  . D. Đáp án D sai. Một số học sinh chỉ sai lầm ở chỗ:    x  1 e x2 5 x  4   e 7 x 3  cos 2 x dx  I1  I 2    2 Tìm I1    x  1 e x 1 dx . 2 Đặt t   x  1 ; dt   x  1 x  1 dx   x  1 dx . 2 2 I1    x  1 e x 1 dx   et dt  et  C1  e  x1  C1 , trong đó C1 là 1 hằng số. 1 Học sinh tìm đúng I 2  sin 2 x  C2 nên ta được: 2 2 1 1 x 1  C1  sin 2 x  C2  e   sin 2 x  C . 2 2 2 2 a b x 1 Suy ra để   x  1 e x 5 x  4  e 7 x 3  cos 2 x dx có dạng e   sin 2 x  C thì 6 2 a  6  , b  1  .    x  1 e x2 5 x  4   e 7 x 3  cos 2 x dx  I1  I 2  e  I  2  e x  3x  2   x  1   x 1 ex . x 1 1 dx Câu 81. Tìm ? x A. I  x  ln e . x  1  1  C .   C. I  ln e x . x  1  1  C .  x 1  B. I  x  ln e x . x  1  1  C .   D. I  ln e x . x  1  1  C .   File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 103 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng Hướng dẫn giải e  3x  2  x  1  I    x  1 ex . x 1  1  x  1 e x . x  1  1  e x  2 x  1 x dx     x  1 ex . x 1  1 dx   dx   e x  2 x  1   x  1 ex . x 1  1 e x  2 x  1  ex  Đặt: t  e x . x  1  1  dt   dx  e x x  1  dx  2 x 1  2 x 1  Vậy e x  2 x  1 1  I   dx   dx  x   dt  x  ln t  C  x  ln e x . x  1  1  C t x 1 ex x 1 1     Chọn A x Câu 82. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   ln 1  x 2   2017 x ln  e.x 2  e   x 2 1   ? A. ln  x 2  1  1008 ln  ln  x 2  1  1 . B. ln  x 2  1  2016 ln  ln  x 2  1  1 . 1 ln  x 2  1  2016ln  ln  x 2  1  1 . 2 1 D. ln  x 2  1  1008ln ln  x 2  1  1 . 2 Hướng dẫn giải C. x Đặt I   ln 1  x 2   2017 x +Ta I  x ln  e.x 2  e   ln 1  x 2 x  2 1  2017 x x ln  e.x 2  e   2 1     dx có: 2 2 dx   x ln 1  x   2017 x x 2  1  ln 1  x 2   lne  dx   x ln 1  x   2017  x 2  1  ln 1  x 2   1 dx 2x dx 1  x2 t  2016 1  2016  1 I  dt    1   dt  t  1008ln t  C 2t 2  t  2 1 1 1  I  ln  x 2  1   1008ln  ln  x 2  1  1  C  ln  x 2  1  1008ln  ln  x 2  1  1  C 2 2 2 + Đặt: t  ln 1  x 2   1  dt  Chọn D G Câu 83. Tìm 2 x 2  1  2 ln x  . x  ln 2 x x 2  x ln x  1 1  C . x x  ln x 1 1 C. G   C . x x  ln x A. G  2 dx ? 1 1  C . x x  ln x 1 1 D. G   C. x x  ln x Hướng dẫn giải B. G  File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 104 dx ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ta có: G 2 x 2  1  2 ln x  . x  ln 2 x x 2  x ln x  2 2  x 2  2 x ln x  ln 2 x   x  x 2 x  ln x   x  x  1   dx   dx   dx 2 2 x 2  x  ln x  x 2  x  ln x   1  x 1 x 1 1 1  G   2   dx     dx  J 2 2 x x x x  x  ln x   x  x  ln x   Xét nguyên hàm: J   Tích Phân và Ứng Dụng x 1 x  x  ln x  2   x 1 J  dx  2   x  x  ln x    dx 1 x 1  x x 1 1 1  J   2 dt  C  C t t x  ln x 1 1 1 Do đó: G  J   C x x x  ln x Chọn A + Đặt: t  x  ln x  dt  1  Câu 84. Hàm số nào sau đây là nguyên hàm của h  x   1 1 ln x  ln x n  ln n x  2016 . n n 1 1 C.  ln x  ln x n  ln n x  2016 . n n A. Ta L 1  ln x ? x .ln x.  x n  ln n x  1 n 1 1 ln x  ln x n  ln n x  2016 . n n 1 1 D.  ln x  ln x n  ln n x  2016 . n n Hướng dẫn giải B. có: 1  ln x 1  ln x 1 1  ln x 1 dx   dx   dx .  n 1 . 2 2 n n n n x x x .ln x.  x  ln x  x .ln x.  x  ln x  ln x  ln n x  1  n  x  x  1 n Đặt: t  ln x 1  ln x dt t n 1dt  dt  dx  L    t  t n  1  t n  t n  1 x x2 + Đặt u  t n  1  du  n.t n 1dt 1 du 1  1 1 1 1 u 1 L      du  . ln u  1  ln u   C  .ln C n u  u  1 n  u  1 u  n n u ln n x n 1 t 1 1 ln n x  L  .ln n  C  .ln nx  C  .ln n C ln x n t 1 n n ln x  x n 1 xn Chọn A n File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 105 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN Cho hai hàm số u và v liên tục trên đoạn  a; b và có đạo hàm liên tục trên đoạn  a; b . Khi đó:  udv  uv   vdu. * Để tính nguyên hàm  f  x  dx bằng từng phần ta làm như sau: Bước 1. Chọn u , v sao cho f  x  dx  udv (chú ý dv  v '  x  dx ). Sau đó tính v   dv và du  u '.dx . Bước 2. Thay vào công thức * và tính  vdu . Chú ý. Cần phải lựa chọn và dv hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm được v và tích phân  vdu dễ tính hơn  udv . Ta thường gặp các dạng sau sin x  ● Dạng 1. I   P  x    dx , trong đó P  x  là đa thức. u  cos x  u  P  x   Với dạng này, ta đặt  sin x  . dv   cos x  dx    ax  b ● Dạng 2. I   P  x  e dx , trong đó P  x  là đa thức. u  P  x  Với dạng này, ta đặt  . ax  b dv  e dx ● Dạng 3. I   P  x  ln  mx  n  dx , trong đó P  x  là đa thức. u  ln  mx  n  . Với dạng này, ta đặt  dv  P  x  dx sin x  x ● Dạng 4. I     e dx .  cos x   sin x  u    Với dạng này, ta đặt   cos x  .  x  d v  e dx BÀI TẬP DẠNG 1. Câu 1. Tìm  x sin 2 xdx ta thu được kết quả nào sau đây? A. x sin x  cos x  C C. x sin x  cos x Câu 2. Nguyên hàm của hàm số f  x   x sin x là: A. F  x    x cos x  sin x  C . 1 1 x sin 2 x  cos 2 x  C 4 2 1 1 D. x sin 2 x  cos 2 x 4 2 B. B. F  x   x cos x  sin x  C . File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 106 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A C. F  x    x cos x  sin x  C . Câu 3. Biết Câu 4. D. F  x   x cos x  sin x  C .  x cos 2 xdx  ax sin 2 x  b cos 2 x  C 1 A. ab  . 8 B. ab  1 . 4 Nguyên hàm của I   x sin 2 xdx là: 1 2 x 2  x sin 2 x  cos 2 x   C .  8 1 1  C.  x 2  cos 2 x  x sin 2 x   C . 4 2  Tìm nguyên hàm I    x  1 sin 2 xdx A. I  1  2 x  cos 2 x  sin 2 x  C . 2 1  2 x  cos 2 x  sin 2 x  C . C. I  4 Tìm nguyên hàm  sin x dx A.  sin xdx  1 cos x  C . 2 x C.  sin x dx  cos x  C . Câu 8. Câu 9. 2 1 D. ab   . 4 1 1 x sin 2 x  cos 2 x  C . 2 4 1 1 D. x sin 2 x  cos 2 x  C . 2 4 A. Câu 7. 1 C. ab   . 8 B. C. x sin x  cos x  C . Câu 6. với a , b là các số hữu tỉ. Tính tích ab ? x2  a   1 3 1 Cho biết F  x   x  2 x  là một nguyên hàm của f  x   . Tìm nguyên hàm 3 x x2 của g  x   x cos ax . A. x sin x  cos x  C . Câu 5. Tích Phân và Ứng Dụng Nguyên hàm của I   x sin x cos 2 xdx là: B. 1 1 cos 2 x   x 2  x sin 2 x   C . 8 4 D. Đáp án A và C đúng. B. I   2  2 x  cos 2 x  sin 2 x  C . 2  2  2 x  cos 2 x  sin 2 x  C D. I  . 4 B.  sin x dx   cos x  C . D.  sin xdx  2 x cos x  2sin x  C . 1 A. I1   x cos 3 x  t  t 3  C , t  sin x . 3 1 C. I1  x cos 3 x  t  t 3  C , t  sin x . 3 x Một nguyên hàm của f  x   là : cos 2 x A. x tan x  ln cos x B. x tan x  ln  cos x  C. x tan x  ln cos x D. x tan x  ln sin x Câu 10. Một nguyên hàm của f  x   A. x cot x  ln sinx C.  x tan x  ln cos x x là : sin 2 x 2 B. I1   x cos 3 x  t  t 3  C , t  sin x . 3 2 D. I1  x cos3 x  t  t 3  C , t  sin x . 3 B.  x cot x  ln  sin x  D. x tan x  ln sin x File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 107 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng x    trên   ;  và F  x  là một nguyên hàm của xf   x  thỏa mãn 2 cos x  2 2    F  0   0 . Biết a    ;  thỏa mãn tan a  3 . Tính F  a   10a 2  3a .  2 2 1 1 1 A.  ln10 . B.  ln10 . C. ln10 . D. ln10 . 2 4 2 Câu 11. Cho f  x   DẠNG 2. Câu 12. Họ nguyên hàm của  e x 1  x  dx là: B. I  e x  A. I  e x  xe x  C . 1 x xe  C . 2 1 C. I  e x  xe x  C . D. I  2e x  xe x  C . 2 Câu 13. Biết  xe 2 x dx  axe 2 x  be 2 x  C  a, b    . Tính tích ab . 1 A. ab   . 4 B. ab  1 . 4 1 C. ab   . 8 1 D. ab  . 8 1 dx  e 2 x  ax  b   C , trong đó a, b   và C là hằng số bất kì. Mệnh đề 4 nào dưới đây là đúng. A. a  2b  0 . B. b  a . C. ab . D. 2a  b  0 . x x Câu 15. Biết F  x    ax  b  e là nguyên hàm của hàm số y   2 x  3 e .Khi đó a  b là Câu 14. Cho biết  xe 2x A. 2. B. 3. C. 4. D. 5. 1 Câu 16. Biết   x  3 .e 2 x dx   e 2 x  2 x  n   C , với m, n   . Tính S  m 2  n 2 . m A. S  10 . B. S  5 . C. S  65 . D. S  41 . x Câu 17. Tìm nguyên hàm I    2 x  1 e dx . A. I    2 x  1 e  x  C . B. I    2 x  1 e  x  C . C. I    2 x  3 e  x  C . D. I    2 x  3 e  x  C . Câu 18. Cho F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f  x    5 x  1 e x và F  0   3 . Tính F 1 . A. F 1  11e  3 . B. F 1  e  3 . C. F 1  e  7 . D. F 1  e  2 . f  x    2 x  3 e x F  x    mx  n  e x  m, n    Câu 19. Cho hàm số . Nếu là một nguyên hàm của f  x thì hiệu m  n bằng A. 7. B. 3. C. 1 . D. 5. 3 Câu 20. Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   e x và F  0   2 . Hãy tính F  1 . 15 . e DẠNG 3. A. 6  Câu 21. Kết quả của  ln xdx là: B. 4  10 . e A. x ln x  x  C C. x ln x  C Câu 22. Nguyên hàm của I   x ln xdx bằng với: C. 15 4. e D. 10 . e B. Đáp án khác D. x ln x  x  C File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 108 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng x2 x2 1 ln x   xdx  C . ln x   xdx  C . B. 2 2 2 1 C. x 2 ln x   xdx  C . D. x 2 ln x   xdx  C . 2 Câu 23. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   x ln  x  2  . A. x2 x2  4x ln x  2  C .    2 4 x2  4 x2  4x C . ln  x  2   B.  f  x  dx  2 4 x2 x2  4x C . C.  f  x  dx  ln  x  2   2 2 x2  4 x2  4 x ln  x  2   C . D.  f  x  dx  2 2 A. f  x  dx  Câu 24. Hàm số nào sau đây là nguyên hàm của g  x    ln 2 x  x ln 2 x  ln  1999 . x 1 x 1 ln x x  ln  2016 . C. x 1 x 1 ln  cos x  dx là: Câu 25. Họ nguyên hàm của I   sin 2 x A. cot x.ln  cos x   x  C . A. C. cot x.ln  cos x   x  C . ln x  x  1 2 ?  ln x x  ln  1998 . x 1 x 1 ln x x  ln  2017 . D. x 1 x 1 B. B.  cot x.ln  cos x   x  C . D.  cot x.ln  cos x   x  C . Câu 26. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   x ln x . 1 32 f  x  dx  x  3ln x  2   C . 9 2 3 f  x  dx  x 2  3ln x  1  C . 9 2 32 A.  B.  f  x  dx  x  3ln x  2   C . 3 2 3 C.  D.  f  x  dx  x 2  3ln x  2   C . 9 ln  x  3 Câu 27. Giả sử F  x  là một nguyên hàm của f  x   sao cho F  2   F 1  0 . Giá trị x2 của F  1  F  2  bằng A. 10 5 ln 2  ln 5 . 3 6 B. 0 . C. 7 ln 2 . 3 D. 2 3 ln 2  ln 5 . 3 6  4  x2  Câu 28. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   x ln  ? 2   4 x   4  x2   x 4  16   4  x 2  2 A. x 4 ln  . B.  2 x  2x2 .   ln  2  2  4  x 4 4  x       2 4 2  4 x   x  16   4  x  C. x 4 ln  D.   2x2 .  2x2 .  ln  2  2   4 x   4   4 x  3 Câu 29. Tìm H   x 2 dx  x sin x  cos x  2 ? File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 109 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 30. A. H  x  tan x  C . cos x  x sin x  cos x  B. H  x  tan x  C . cos x  x sin x  cos x  C. H  x  tan x  C . cos x  x sin x  cos x  D. H  x  tan x  C . cos x  x sin x  cos x    2 x x 2  1  x ln x dx có dạng a 3 Tích Phân và Ứng Dụng 3 b 1 x 2  1  x 2 ln x  x 2  C , trong đó a, b là hai số 6 4   hữu tỉ. Giá trị a bằng: A. 3 . B. 2 . C. 1 . 1 f ( x) Câu 31. Cho F ( x )  2 là một nguyên hàm của hàm số . Tính 2x x 2 D. Không tồn tại.  f ( x) ln xdx bằng: 1 e 3 2e e 2 3  e2 I  I  I  . B. . C. . D. . 2e2 e2 e2 2e2 a 1  ln x Câu 32. Cho F  x    ln x  b  là một nguyên hàm của hàm số f  x   , trong đó a , b  . x x2 Tính S  a  b . A. S  2 . B. S  1 . C. S  2 . D. S  0 . a Câu 33. Cho các số thực a , b khác không. Xét hàm số f  x    bxe x với mọi x khác 1 . 3  x  1 A. I  2 e Biết f   0   22 và 2 1  f  x  dx  5 . Tính a  b ? 0 A. 19 . B. 7 . C. 8 . D. 10 . Câu 34. Cho a là số thực dương. Biết rằng F  x  là một nguyên hàm của hàm số 1  1 f  x   e x  ln  ax    thỏa mãn F    0 và F  2018   e 2018 . Mệnh đề nào sau đây x  a đúng? 1   1   ;1 . A. a   B. a   0; . C. a  1;2018  . D. a   2018;   .  2018   2018  DẠNG 4: Câu 35. Phát biểu nào sau đây là đúng? A.  e x sin xdx  e x cos x   e x cos xdx. . C.  e x sin xdx  e x cos x   e x cos xdx. . Câu 36. Tìm J   e x .sinxdx x D.  e x sin xdx  e x cos x   e x cos xdx. ? e  cos x  sin x   C . 2 ex C. J   sin x  cos x   C . 2 A. J  B.  e x sin xdx  e x cos x   e x cos xdx. . ex  sin x  cos x   C . 2 ex D. J   sin x  cos x  1  C . 2 B. J  File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 110 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1. DẠNG 1. Tìm  x sin 2 xdx ta thu được kết quả nào sau đây? 1 1 x sin 2 x  cos 2 x  C 4 2 1 1 D. x sin 2 x  cos 2 x 4 2 Hướng dẫn giải B. A. x sin x  cos x  C C. x sin x  cos x Ta có: I   x sin 2 xdx Câu 2. du  dx u  x  Đặt:   1 dv  sin 2 xdx v   cos 2 x  2 1 1 1 1 Khi đó: I  uv   vdu   x cos 2 x   cos 2 xdx   x cos 2 x  sin 2 x  C 2 2 2 4 Chọn B Nguyên hàm của hàm số f  x   x sin x là: A. F  x    x cos x  sin x  C . B. F  x   x cos x  sin x  C . C. F  x    x cos x  sin x  C . D. F  x   x cos x  sin x  C . Hướng dẫn giải Chọn C Ta có: I   f  x  dx   x sin x dx . u  x  du  dx Ta có  . Đặt  dv  sin x dx v   cos x I   f  x  dx   x sin x dx   x cos x   cos x dx   x cos x  sin x  C . Câu 3. Biết  x cos 2 xdx  ax sin 2 x  b cos 2 x  C 1 A. ab  . 8 Chọn A B. ab  1 . 4 với a , b là các số hữu tỉ. Tính tích ab ? 1 C. ab   . 8 Hướng dẫn giải 1 D. ab   . 4 du  dx u  x  Đặt   1 d v  cos 2 xdx v  sin 2 x  2 1 1 1 1 Khi đó  x cos 2 xdx  x sin 2 x   sin 2 xdx  x sin 2 x  cos 2 x  C 2 2 2 4 1 1 a , b . 2 4 1 Vậy ab  . 8 2 Câu 4. x2  a   1 3 1 Cho biết F  x   x  2 x  là một nguyên hàm của f  x   . Tìm nguyên hàm 3 x x2 của g  x   x cos ax . File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 111 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 1 1 x sin 2 x  cos 2 x  C . 2 4 1 1 D. x sin 2 x  cos 2 x  C . 2 4 Hướng dẫn giải A. x sin x  cos x  C . B. C. x sin x  cos x  C . Chọn C 2 2 1  x  a Ta có F   x   x  2  2  . Suy ra a  1 . x x2 Khi đó  g  x  dx   x cos xdx   xd sin x  x.sin x   sin xdx  x.sin x  cos x  C . 2 Câu 5. Nguyên hàm của I   x sin 2 xdx là: 1 2 x 2  x sin 2 x  cos 2 x   C .  8 1 1  C.  x 2  cos 2 x  x sin 2 x   C . 4 2  A. B. 1 1 cos 2 x   x 2  x sin 2 x   C . 8 4 D. Đáp án A và C đúng. Hướng dẫn giải biến đổi: 1 1 1 2 1  1  cos 2 x  I   x sin 2 xdx   x   dx   xdx   x cos 2 xdx  x   x cos 2 xdx  C1 2 2 2 4 2    Ta I1 I1   x cos 2 xdx . Câu 6. du  dx u  x  Đặt   . 1 dv  cos 2 x v  sin 2 x 2  1 1 1 1  I1   x cos 2 xdx  x sin 2 x   sin 2 xdx  x sin 2 x  cos 2 x  C . 2 2 2 4 1 2 1 1   I   x  cos 2 x  x sin 2 x   C   2 x 2  2 x sin 2 x  cos 2 x   C 4 2 8  . 1 1 2   cos 2 x   x  x sin 2 x   C 8 4 Chọn C Tìm nguyên hàm I    x  1 sin 2 xdx A. I  1  2 x  cos 2 x  sin 2 x  C . 2 1  2 x  cos 2 x  sin 2 x  C . C. I  4 Chọn D Câu 7. B. I   2  2 x  cos 2 x  sin 2 x  C . 2  2  2 x  cos 2 x  sin 2 x  C D. I  . 4 Hướng dẫn giải du  dx u  x  1  Đặt   1 dv  sin 2 xdx v   cos 2 x  2 Khi 1 1 1 1 I    x  1 sin 2 xdx    x  1 cos 2 x   cos 2 xdx    x  1 cos 2 x  sin 2 x  C 2 2 2 4 Tìm nguyên hàm  sin x dx File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay đó Trang 112 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A.  sin xdx  1 cos x  C . 2 x C.  sin x dx  cos x  C . Tích Phân và Ứng Dụng B.  sin x dx   cos x  C . D.  sin xdx  2 x cos x  2sin x  C . Hướng dẫn giải Chọn D Đặt t  x , ta có  sin x dx   2t sin tdt u  2t du  2dt ta có  Đặt  dv  sin tdt v   cos t  2t sin tdt  2t cos t   2 cos tdt   2t cos t  2sin t  C  2 x cos x  2 sin x  C Câu 8. Nguyên hàm của I   x sin x cos 2 xdx là: 1 2 A. I1   x cos 3 x  t  t 3  C , t  sin x . B. I1   x cos 3 x  t  t 3  C , t  sin x . 3 3 1 2 C. I1  x cos 3 x  t  t 3  C , t  sin x . D. I1  x cos3 x  t  t 3  C , t  sin x . 3 3 Hướng dẫn giải Ta đặt: u  x  du  dx .    2 3  du  sin x cos x u   cos xdx  I   x sin x cos 2 xdx   x cos3 x   cos3 xdx  C1 .   I1 Xét I1   cos xdx   cos x 1  sin x  dx . 3 2 Đặt t  sin x  dt  cos xdx . 1  I1   1  t 2  dt  t  t 3  C2 . 3 Câu 9. 1  I   x cos3 x  I1   x cos 3 x  t  t 3  C . 3 Chọn A x Một nguyên hàm của f  x   là : cos 2 x A. x tan x  ln cos x B. x tan x  ln  cos x  C. x tan x  ln cos x D. x tan x  ln sin x Hướng dẫn giải Ta có: I   x dx cos 2 x u  x du  dx  Đặt:   1 dv  cos 2 x dx v  tan x Khi đó: I  uv   vdu  x tan x   tan xdx  x tan x  ln cos x  C Chọn C Câu 10. Một nguyên hàm của f  x   A. x cot x  ln sinx x là : sin 2 x B.  x cot x  ln  sin x  File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 113 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A C.  x tan x  ln cos x Ta có: I   Tích Phân và Ứng Dụng D. x tan x  ln sin x Hướng dẫn giải x dx sin 2 x u  x du  dx  Đặt:   1 dv  sin 2 x dx v   cot x Khi đó: I  uv   vdu   x cot x   cot xdx   x cot x  ln sin x  C Chọn B x    trên   ;  và F  x  là một nguyên hàm của xf   x  thỏa mãn 2 cos x  2 2    F  0   0 . Biết a    ;  thỏa mãn tan a  3 . Tính F  a   10a 2  3a .  2 2 1 1 1 A.  ln10 . B.  ln10 . C. ln10 . D. ln10 . 2 4 2 Hướng dẫn giải Chọn C Ta có: F  x    xf   x  dx   xd f  x   xf  x    f  x  dx Câu 11. Cho f  x   Ta lại có: x  f  x  dx   cos 2 x dx =  xd  tan x   x tan x   tan xdx  x tan x   sin x dx cos x 1 d  cos x   x tan x  ln cos x  C  F  x   xf  x   x tan x  ln cos x  C cos x Lại có: F  0   0  C  0 , do đó: F  x   xf  x   x tan x  ln cos x .  x tan x    F  a   af  a   a tan a  ln cos a Khi đó f a  1 . 10  cos a  a  a 1  tan 2 a   10a 2 cos a Vậy F  a   10a 2  3a  10a 2  3a  ln DẠNG 2. Câu 12. Họ nguyên hàm của  e x 1  x  dx là: và 1 1  1  tan 2 a  10  cos 2 a  2 cos a 10 1 1  10a 2  3a  ln10 . 2 10 1 x xe  C . 2 A. I  e x  xe x  C . B. I  e x  1 C. I  e x  xe x  C . 2 D. I  2e x  xe x  C . Hướng dẫn giải Ta có: I   e x 1  x  dx   e x dx   e x xdx  e x  C1   xe x dx .  I1 Xét I1   e xdx . x u  x  du  x Đặt  .  x x  dv  e dx v  e File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 114 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A  I1  xe x   xe x dx  I1   I  ex  1 x xe  C . 2 Tích Phân và Ứng Dụng 1 x xe  C2 . 2 Chọn B Câu 13. Biết  xe 2 x dx  axe 2 x  be 2 x  C  a, b    . Tính tích ab . 1 A. ab   . 4 B. ab  Chọn C 1 . 4 1 C. ab   . 8 Hướng dẫn giải 1 D. ab  . 8 du  dx u  x  Đặt   1 2x 2x dv  e dx v  e 2  1 1 1 1 Suy ra:  xe 2 x dx  xe 2 x   e 2 x dx  xe 2 x  e 2 x  C 2 2 2 4 1 1 1 Vậy: a  ; b    ab   . 2 4 8 1 Câu 14. Cho biết  xe2 x dx  e 2 x  ax  b   C , trong đó a, b   và C là hằng số bất kì. Mệnh đề 4 nào dưới đây là đúng. A. a  2b  0 . B. b  a . C. ab . D. 2a  b  0 . Hướng dẫn giải Chọn A Đặt u  x  du  dx , e2 x dv  e2 x dx  v  . 2 xe2 x e2 x xe2 x e2 x e2 x 2x  dx   C  Ta có  xe dx   2 x  1  C . Suy ra a  2 , b  1 . 2 2 2 4 4 Câu 15. Biết F  x    ax  b  e x là nguyên hàm của hàm số y   2 x  3 e x .Khi đó a  b là A. 2. B. 3. C. 4. D. 5. Hướng dẫn giải Ta có:   2x+3 e x dx   ax+b  e x , nghĩa là:  ax+b  e x  '   2x+3 e x  a.e x  e x  ax  b  =  2x+3 e x  e x  ax  a  b  =  2x+3 e x Đồng nhất hệ số ta được: a=2 và b =1 Vậy a  b  3 . Chọn B 1 Câu 16. Biết   x  3 .e 2 x dx   e 2 x  2 x  n   C , với m, n   . Tính S  m 2  n 2 . m A. S  10 . B. S  5 . C. S  65 . D. S  41 . Hướng dẫn giải Chọn C du  dx u  x  3  Đặt   1 2 x 2 x d v  e d x  v   2 e File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 115 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 1 1 1 1 dx   e 2 x  x  3   e 2 x dx   .e 2 x  x  3  e 2 x  C 2 2 2 4 1 2 x 1 2 x   e .  2 x  6  1  C   e  2 x  7   C  m  4; n  7 . 4 4 S  m2  n 2  65. Câu 17. Tìm nguyên hàm I    2 x  1 e  x dx . Khi đó   x  3 .e 2 x A. I    2 x  1 e  x  C . B. I    2 x  1 e  x  C . C. I    2 x  3 e  x  C . D. I    2 x  3 e  x  C . Hướng dẫn giải Chọn A u  2 x  1 du  2dx Đặt  .  x x  dv  e dx v  e Ta có I    2 x  1 e  x   2.e  x dx    2 x  1 e  x  2e  x  C    2 x  1 e  x  C . Câu 18. Cho F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f  x    5 x  1 e x và F  0   3 . Tính F 1 . A. F 1  11e  3 . B. F 1  e  3 . C. F 1  e  7 . Hướng dẫn giải D. F 1  e  2 . Chọn C Ta có F  x     5 x  1 e x dx . u  5 x  1 du  5dx Đặt  .  x x  dv  e dx  ve F  x    5 x  1 e x   5e x dx   5 x  1 e x  5e x  C   5 x  4  e x  C . Mặt khác F  0   3  4  C  3  C  7 .  F  x    5x  4  e x  7 . Vậy F 1  e  7 . Câu 19. Cho hàm số f  x    2 x  3 e x . Nếu F  x    mx  n  e x  m, n    là một nguyên hàm của f  x thì hiệu m  n bằng A. 7. B. 3. C. 1 . Hướng dẫn giải: Chọn A D. 5. Tính   2 x  3 e x dx . Đặt u  2 x  3  du  2dx; dv  e x dx  v  e x . Suy ra:   2 x  3  e dx   2 x  3  e x x  2 e x dx  C   2 x  3  e x  2e x  C   2 x  5 e x  C Suy ra: m  2 ; n  5 Vậy m  n  7 . 3 F  x Câu 20. Cho là một nguyên hàm của hàm số f  x   e x và F  0   2 . Hãy tính F  1 . A. 6  15 . e B. 4  Chọn C 3 Ta có I   f  x  dx   e x dx . 10 . e 15 4. e Hướng dẫn giải C. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. 10 . e Trang 116 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Đặt 3 Tích Phân và Ứng Dụng 3 x  t  x  t 3  dx  3t 2 dt khi đó I   e x dx  3 et t 2dt . 2 2tdt  du t  u Đặt  t  t  I  3 et t 2  2  e t td t e dt  dv e  v Tính  et tdt .    3et t 2  6 et tdt . t  u  dt  du Đặt  t   e t tdt  t e t   e t dt  t e t  e t .  t  e dt  dv  e  v Vậy  I  3et t 2  6  et t  et   C  F  x   3e Theo giả thiết  F  1  ta có 3 x 3  x2  6 e F  0   2  C  4 3 x 3 x e  F  x   3e 3 3 x 3 x C . x  6 e 2 3 x 3 x e 3 x 4 15  4. e DẠNG 3. Câu 21. Kết quả của  ln xdx là: A. x ln x  x  C C. x ln x  C Ta có: I   ln xdx B. Đáp án khác D. x ln x  x  C Hướng dẫn giải dx  u  ln x du  Đặt:   x dv  dx v  x  Khi đó: I  uv   vdu  x ln x   dx  x ln x  x  C Chọn D Câu 22. Nguyên hàm của I   x ln xdx bằng với: x2 ln x   xdx  C . A. 2 1 C. x 2 ln x   xdx  C . 2 Ta đặt: x2 1 ln x   xdx  C . B. 2 2 D. x 2 ln x   xdx  C . Hướng dẫn giải 1   du dx  u  ln x x  .  2 dv  xdx v  x  2 x2 1  I   x ln xdx  ln x   xdx . 2 2 Chọn B Câu 23. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   x ln  x  2  . x2 x2  4x ln x  2  C .    2 4 x2  4 x2  4x ln  x  2   C . B.  f  x  dx  2 4 A. f  x  dx  File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 117 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng x2 x2  4x ln x  2  C .    2 2 x2  4 x2  4 x ln  x  2   C . D.  f  x  dx  2 2 Hướng dẫn giải Chọn B dx  d u  u  ln  x  2   x2 Đặt   2 dv  xdx v  x  2 1 x2 x2 dx suy ra  f  x  dx   x ln  x  2  dx  ln  x  2    2 2 x2 x2 1  4  x2  4 x2  4x  ln  x  2     x  2  C . ln  x  2    dx  2 2  x2 2 2 ln x Câu 24. Hàm số nào sau đây là nguyên hàm của g  x   ? 2  x  1 C. f  x  dx   ln 2 x  x ln 2 x  ln  1999 . x 1 x 1 ln x x  ln  2016 . C. x 1 x 1 A. 1  u  ln x du  dx    x 1 Đặt   dv  dx 2  v  1  x  1   x 1 S  ln x x  ln  1998 . x 1 x 1 ln x x  ln  2017 . D. x 1 x 1 Hướng dẫn giải B.  ln x 1  ln x 1   lnx 1 dx 1 dx         dx    dx  x 1 x  x  1 x 1 x 1 x x 1  x x 1  ln x  ln x x S   ln x  ln x  1   C   ln C x 1 x 1 x 1 Chọn A ln  cos x  dx là: Câu 25. Họ nguyên hàm của I   sin 2 x A. cot x.ln  cos x   x  C . B.  cot x.ln  cos x   x  C . C. cot x.ln  cos x   x  C . . D.  cot x.ln  cos x   x  C . Hướng dẫn giải Ta đặt: u  ln  cos x  du   tan xdx   .  dx v   cot x dv  2 sin x   I   cot x.ln  cos x    dx   cot x.ln  cos x   x  C . Chọn B Câu 26. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   x ln x . File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 118 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A.  C.  1 32 x  3ln x  2   C . 9 2 3 f  x  dx  x 2  3ln x  1  C . 9 f  x  dx  Chọn A I   f  x  dx   x ln x.dx . Đặt: t  x  dt  Tích Phân và Ứng Dụng 2 32 x  3ln x  2   C .  3 2 3 D.  f  x  dx  x 2  3ln x  2   C . 9 Hướng dẫn giải B. f  x  dx  1 dx  2tdt  dx . 2 x  I  2  t 2 ln t 2 .dt  4  t 2 ln t.dt . 1  du  dt   u ln t   t Đặt:   . 2 3 dv  t dt v  t  3 1 1 1  1  2  I  2  t 3 ln t   t 2dt   2  t 3 ln t  t 3  C   t 3  3ln t  1  C 3 9 3  3  9 3 2  x 2 3ln x  1  C 9 1 3  x 2  3ln x  2   C . 9 ln  x  3 Câu 27. Giả sử F  x  là một nguyên hàm của f  x   sao cho F  2   F 1  0 . Giá trị x2 của F  1  F  2  bằng  A.  10 5 ln 2  ln 5 . 3 6 B. 0 . 7 ln 2 . 3 Hướng dẫn giải C. D. 2 3 ln 2  ln 5 . 3 6 Chọn A Cách 1: Ta có hàm số f  x  liên tục trên các khoảng  3;0  và  0;  . Tính  ln  x  3 dx . x2 1 u  ln  x  3 du  dx 1   x 3 Đặt   (Chọn C   ) dx 3 dv  2 v   1  1   x  3 x   x 3 3x ln  x  3 x3 1 x3 1 dx   ln  x  3   dx   Suy ra: F  x    ln  x  3  ln x  C . 2 x 3x 3x 3x 3 1 2 Xét trên khoảng  3;0  , ta có: F  2   ln 2  C1 ; F  1  ln 2  C1 3 3 Xét trên khoảng  0;  , ta có: 4 8 5 1 F 1   ln 4  C2   ln 2  C2 ; F  2    ln 5  ln 2  C2 3 3 6 3 1 8 7     Suy ra: F  2   F 1  0   ln 2  C1     ln 2  C2   0  C1  C2  ln 2 . 3 3   3  File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected]mail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 119 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 1 2   5  Do đó: F  1  F  2    ln 2  C1     ln 5  ln 2  C2  3 3   6  2 5 1 7 10 5  ln 2  ln 5  ln 2  ln 2  ln 2  ln 5 . 3 6 3 3 3 6 Cách 2: (Tận dụng máy tính) Xét trên khoảng  3;0  , ta có: F  1  F  2   1 1 2 2  f  x  dx   ln  x  3 x2 dx  0, 231  A (lưu vào A ) 1 Xét trên khoảng  0;  , ta có: 2 2 ln  x  3 dx  0, 738  B (lưu vào A )  2  x2 1 F  2   F 1   f  x  dx   1 Lấy 1 cộng  2  theo vế ta được: F  1  F  2   F  2   F 1  A  B  F  1  F  2   A  B  0, 969 . So các phương án ta Chọn A  4  x2  Câu 28. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   x 3 ln  ? 2   4 x   4  x2  A. x 4 ln   2x2 . 2   4 x   4  x2  C. x 4 ln   2x2 . 2   4 x   x 4  16   4  x 2  B.   2x2 .  ln  2   4   4 x   x 4  16   4  x 2  D.   2x2 .  ln  2   4   4 x  Hướng dẫn giải x   4  x 2  du  16 4  u  ln   x  16 2  Đặt:   4 x    4 4  v  x  4  x  16 3 dv  x dx  4 4 2 4  4 x   x  16   4  x 2   x 4  16   4  x 2    x 4 ln  dx  ln  4 xdx   2x2  C      ln  2  2  2   4  x 4 4  x 4 4  x           Chọn B x 2 dx Câu 29. Tìm H   ? 2  x sin x  cos x  A. H  x  tan x  C . cos x  x sin x  cos x  B. H  x  tan x  C . cos x  x sin x  cos x  C. H  x  tan x  C . cos x  x sin x  cos x  D. H  x  tan x  C . cos x  x sin x  cos x  Hướng dẫn giải File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 120 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ta có: H   x2  x sin x  cos x  2 dx   Tích Phân và Ứng Dụng x cos x  x sin x  cos x  2 . x dx cos x x  x sin x  cos x  u  du dx    cos x   cos 2 x Đặt   d  x sin x  cos x   x cos x 1 dv  v   dx  2 2 x sin x  cos x   x sin x  cos x   x sin x  cos x   x 1 1 x H  .  dx   tan x  C 2 cos x x sin x  cos x cos x cos x  x sin x  cos x  Chọn C 3 a b 1 Câu 30.  2 x x 2  1  x ln x dx có dạng x 2  1  x 2 ln x  x 2  C , trong đó a, b là hai số 3 6 4 hữu tỉ. Giá trị a bằng: A. 3 . B. 2 . C. 1 . D. Không tồn tại. Hướng dẫn giải Cách 1:    Theo đề, ta cần tìm   2x   x 2  1  x ln x dx . Sau đó, ta xác định giá trị của a . Ta có:    2x x 2  1  x ln x dx   2 x x 2  1 dx   x ln x dx . Để tìm   2x  x 2  1  x ln x dx ta đặt I1   2 x x 2  1 dx và I 2   x ln x dx và tìm I1 , I 2 . * I1   2 x x 2  1 dx . Dùng phương pháp đổi biến. Đặt t  x 2  1, t  1 ta được t 2  x2  1, xdx  tdt . Suy ra: 3 2 2 I1   2 x x 2  1 dx   2t 2 dt  t 3  C1  x 2  1  C1 , trong đó C1 là 1 hằng số. 3 3 * I 2   x ln x dx .   Dùng phương pháp nguyên hàm từng phần. 1  du  dx  u  ln x  x Đặt   , ta được: dv  xdx 1 2  v  x  2 I 2   x ln x dx   udv  uv   vdu . 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2  x ln x   x  dx  x ln x   xdx  x ln x  x  C2 2 2 x 2 2 2 4 3 2 1 2 1 2 2 2  2 x x  1  x ln x dx  I1  I 2  3 x  1  C1  2 x ln x  4 x  C2 . 3 2 1 2 1 2 2  x  1  x ln x  x  C 3 2 4 3 a b 1 Suy ra để  2 x x 2  1  x ln x dx có dạng x 2  1  x 2 ln x  x 2  C 3 6 4 a  2  , b  3  . Chọn B           File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay thì Trang 121 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Cách 2:Dùng phương pháp loại trừ. Tích Phân và Ứng Dụng b 2 1 x ln x  x 2  C . Sau đó, với mỗi a 2 4 3 a b 1 của các đáp án ta lấy đạo hàm của x 2  1  x 2 ln x  x 2  C . 3 2 4 Không khuyến khích cách này vì việc tìm đạo hàm của hàm hợp phức tạp và có 4 đáp án nên việc tìm đạo hàm trở nên khó khăn. Sai lầm thường gặp: A. Đáp án A sai. Một số học sinh không đọc kĩ đề nên chỉ tìm giá trị của b . Học sinh khoanh đáp án A và đã sai lầm. C. Đáp án C sai. Một số học sinh chỉ sai lầm như sau: Ta thay giá trị của a ở các đáp án vào a 3    3 x2  1   * I1   2 x x 2  1 dx . Dùng phương pháp đổi biến. Đặt t  x 2  1, t  1 ta được t 2  x 2  1, tdt  2 xdx . Suy ra: 3 1 1 I1   2 x x 2  1 dx   t 2 dt  t 3  C1  x 2  1  C1 , trong đó C1 là 1 hằng số. 3 3 1 1 Học sinh tìm đúng I 2  x 2 ln x  x 2  C2 theo phân tích ở trên. 2 4 3 1 1 1 2 2 2 x x  1  x ln x dx  I  I  x  1  C1  x 2 ln x  x 2  C2 1 2  3 2 4 . 3 1 1 2 1 2 2  x  1  x ln x  x  C 3 2 4 3 1 a b Suy ra để  2 x x 2  1  x ln x dx có dạng x 2  1  x 2 ln x  x 2  C thì a  1, b  3 3 6 4 . Thế là, học sinh khoanh đáp án C và đã sai lầm. D. Đáp án D sai. Một số học sinh chỉ sai lầm như sau:             * I1   2 x x 2  1 dx . Dùng phương pháp đổi biến. Đặt t  x 2  1, t  1 ta được t 2  x 2  1, tdt  2 xdx . Suy ra: 3 1 1 I1   2 x x 2  1 dx   t 2 dt  t 3  C1  x 2  1  C1 , trong đó C1 là 1 hằng số. 3 3 1 1 Học sinh tìm đúng I 2  x 2 ln x  x 2  C2 theo phân tích ở trên. 2 4 3 1 1 1 2 2 2 x x  1  x ln x dx  I  I  x  1  C1  x 2 ln x  x 2  C2 1 2  3 2 4 . 3 1 1 2 1 2 2  x  1  x ln x  x  C 3 2 4 3 a b 1 Suy ra để  2 x x 2  1  x ln x dx có dạng x 2  1  x 2 ln x  x 2  C 3 6 4 1 a  1  , b    . 3             File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay thì Trang 122 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng Thế là, học sinh khoanh đáp án D và đã sai lầm do tính sai giá trị của b . e 1 f ( x) Câu 31. Cho F ( x )  2 là một nguyên hàm của hàm số . Tính  f ( x) ln xdx bằng: 2x x 1 e2  3 . A. I  2e2 2  e2 e2  2 B. I  2 . C. I  2 . e e Hướng dẫn giải Chọn A Do F ( x )  e Tính I   1 3  e2 D. I  . 2e2 1 f ( x) 1 f ( x)  1  là một nguyên hàm của hàm số nên   2   f  x   2 . 2 2x x x x  2x  1 ln x  u  dx  du  x . f ( x) ln xdx . Đặt   f   x  dx  dv  f  x   v  e e f  x e2  3 1 1 . dx   2 .ln  x   2  2 2e x x 2 x 1 1 1 a 1  ln x Câu 32. Cho F  x    ln x  b  là một nguyên hàm của hàm số f  x   , trong đó a , b  . x x2 Tính S  a  b . A. S  2 . B. S  1 . C. S  2 . D. S  0 . Hướng dẫn giải Chọn B  1  ln x  Ta có I   f  x  dx     dx . 2  x  1 1  ln x  u  x dx  du  Đặt  1  khi đó  1  v  x 2 dx  dv  x 1 1 1 1 1 I   1  ln x    2 dx   1  ln x    C    ln x  2   C  a  1; b  2 . x x x x x Vậy S  a  b  1 . a Câu 33. Cho các số thực a , b khác không. Xét hàm số f  x    bxe x với mọi x khác 1 . 3  x  1 e e Khi đó I  f  x  .ln  x  1   Biết f   0   22 và Ta có f   x    f  x  dx  5 . Tính a  b ? 0 A. 19 . Chọn D 1 3a  x  1 4 B. 7 . C. 8 . Hướng dẫn giải D. 10 .  be x  bxe x nên f   0   3a  b  22 1 . 1 1  1 1  a dx x f x d x   bx e d x  b  xe x dx  aI  bJ .   a 3 0   0   x  13  0  x  1 0  1 1 3 dx 1 Tính I     . 3 2 2  x  1 0 8 0  x  1 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 123 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 1 u  x  du  dx Tính J   xe x dx . Đặt  .  x x 0  dv  e dx  v  e 1 1 1 3 Khi đó J   xe x    e x dx  e x  e x  1 . Suy ra a  b  5  2  . 0 0 0 8 3a  b  22 a  8  Từ 1 và  2  ta có  3a . Vậy a  b  10 .  b  2  8  b  5 Câu 34. Cho a là số thực dương. Biết rằng F  x  là một nguyên hàm của hàm số 1  1 f  x   e x  ln  ax    thỏa mãn F    0 và F  2018   e 2018 . Mệnh đề nào sau đây x  a đúng? 1   1   ;1 . A. a   B. a   0; . C. a  1;2018  . D. a   2018;   .  2018   2018  Hướng dẫn giải Chọn A 1 ex  I   e x  ln  ax    dx   e x ln  ax  dx   dx (1) x x   Tính  e x ln  ax  dx : 1  u  ln  ax  du  dx ex x x  e ln ax d x  e ln ax  Đặt   x    dx     x x x dv  e dx v  e   Thay vào (1), ta được: F  x   e x ln  ax   C .  1  1a C  0 e F  a   0   e .ln1  C  0 a . Với     2018 ln  a.2018   1  F  2018   e2018 e2018 ln  a.2018   C  e 2018   1  ;1 .  Vậy a    2018  DẠNG 4: Câu 35. Phát biểu nào sau đây là đúng? A.  e x sin xdx  e x cos x   e x cos xdx. . C.  e x sin xdx  e x cos x   e x cos xdx. . B.  e x sin xdx  e x cos x   e x cos xdx. . D.  e x sin xdx  e x cos x   e x cos xdx. Hướng dẫn giải Chọn B Đặt u  e x  du  e x dx    dv  sin xdx v   cos x x   e sin xdx  e x cos x   e x cos xdx. . Câu 36. Tìm J   e x .sinxdx A. J  x ? e  cos x  sin x   C . 2 B. J  ex  sin x  cos x   C . 2 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 124 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A C. J  ex  sin x  cos x   C . 2 D. J  Hướng dẫn giải u  e du  e .dx Đặt:  1  1  dv1  sin x.dx v1   cos x  J   e x cos x   e x cos xdx  e x cos x  T x Tích Phân và Ứng Dụng ex  sin x  cos x  1  C . 2 x T   e .cos xdx  x Tính T   e x .cos xdx :  T  e x sin x   e x sin xdx  e x sin x  J  J  e x cos x  e x sin x  J  2 J  e x  sin x  cos x   J  Chọn C ex  sin x  cos x   C 2 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 125 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng TÍCH PHÂN A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.Định nghĩa Cho f là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử F là một nguyên hàm của f trên [a; b]. Hiệu số F (b)  F ( a ) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a; b] của hàm số f ( x), kí hiệu là b  f ( x)dx. a Ta dùng kí b  f ( x)dx  F ( x) b a hiệu F ( x ) a  F (b)  F (a ) b để chỉ hiệu số F (b )  F ( a ) . Vậy  F (b)  F (a) . a Nhận xét: Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu bởi b  f ( x)dx hay a b  f (t )dt. Tích phân a đó chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số. Ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu hàm số f liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì tích phân b  f ( x)dx là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f ( x ) , trục Ox và hai đường a b thẳng x  a, x  b. Vậy S   f ( x)dx. a 2.Tính chất của tích phân 1. 3. a  a b  f ( x )dx  0 2. b  a f ( x)dx    f ( x)dx a b c c b b a a f ( x )dx   f ( x)dx   f ( x )dx ( a  b  c )4.  k . f ( x)dx  k . f ( x )dx (k  ) a b b a b b a a 5.  [ f ( x )  g ( x )]dx   f ( x )dx   g ( x )dx . a B. BÀI TẬP ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ BẢNG NGUYÊN HÀM Câu 1: Cho hàm số y  f  x  , y  g  x  liên tục trên  a; b  và số thực k tùy ý. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A. b  a B. a f  x  d x    f  x  dx . b b b a a  xf  x  dx  x  f  x  dx . a C.  kf  x  dx  0 . a D. Câu 2: b b b a a a   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx . Khẳng định nào sau đây sai? File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 126 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. C. Câu 3: b b b a a a   f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx . b a a b B. D.  f  x  dx   f  x  dx . Tích Phân và Ứng Dụng b b c a c a b b a a  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx .  f  x  dx   f  t  dt . Cho hai hàm số f  x  và g  x  liên tục trên K , a, b  K . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? A. b b a C. b b b a a a   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx . B.  kf  x  dx  k  f  x  dx . a b b b a a a  f  x  g  x  dx   f  x  dx. g  x  dx . b b b a a a D.   f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx . Câu 4: Cho hai số thực a , b tùy ý, F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  trên tập  . Mệnh đề nào dưới đây là đúng? A. C. b  f  x  dx  f  b   f  a  . B.  f  x  dx  F  b   F  a  . a a b b  f  x  dx  F  a   F  b  . D. a Câu 5: b  f  x  dx  F  b   F  a  . a Cho f  x  là hàm số liên tục trên đoạn  a; b  và c   a; b  . Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau. A. C. c b a a c b b c c a c  f  x  d x   f  x  d x   f  x  dx .  a Câu 6: D. c b a a c b a b c c  f  x  d x   f  x  d x   f  x  dx .  a f  x  d x   f  x  d x   f  x  dx . Cho hàm số y  f  x  liên tục trên khoảng K và a, b, c  K . Mệnh đề nào sau đây sai? A. b  a C. b  a Câu 7: f  x  d x   f  x  d x   f  x  dx . B. b b c c a f  x  d x   f  x  d x   f  x  dx . a f  x  d x    f  x  dx . B. b  a D. b b f  x  dx   f  t  dt . a a  f  x  dx  0 . a Cho hàm số f  t  liên tục trên K và a, b  K , F  t  là một nguyên hàm của f  t  trên K . Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau. b A. F  a   F  b    f  t  dt . B. a b C.  a  f  t  dt  F  t  b a . a b   f  t  dt    f  t  dt  .  a b D. b  a b f  x  d x   f  t  dt . a File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 127 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 8: Tích Phân và Ứng Dụng Cho hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn  a; b  . Mệnh đề nào dưới đây sai? A. b  a B. b  a b f  x  d x   f  t  dt . a a f  x  d x    f  x  dx . b b C.  kdx  k  a  b  , k   . a D. Câu 9: b c b a a c  f  x  d x   f  x  d x   f  x  dx ,  c   a ; b  . Giả sử f là hàm số liên tục trên khoảng K và a, b, c là ba số bất kỳ trên khoảng K . Khẳng định nào sau đây sai? A. a  f  x  dx  1 . B. a C. b a a b  f  x  dx    f  x  dx . c b b b b a c a a a  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx, c   a; b  . D.  f  x  dx   f  t  dt . Câu 10: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn  a; b . Mệnh đề nào dưới đây sai? A. b a a b B.  f  x  dx    f  x  dx . b c b a a c  f  x  d x   f  x  dx   f  x  dx , c   . C. b  a b f  x  dx   f  t  dt .D. a a  f  x  dx  0 . a Câu 11: Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  . Khi đó hiệu số F  0   F 1 bằng A. 1  f  x  dx . 0 1 B.   F  x  dx . 0 1 C.   F  x  dx . 0 1 D.   f  x  dx . 0 Câu 12: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  a; b  , có đồ thị y  f   x  như hình vẽ sau: Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. b  a f   x  dx là diện tích hình thang ABMN . B. b  f   x  dx là dộ dài đoạn BP . a File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 128 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A C. b  f   x  dx D. là dộ dài đoạn MN . a Câu 13: Cho hai tích phân Tích Phân và Ứng Dụng b  f   x  dx là dộ dài đoạn cong AB . a a f  x  dx  m và  a là: A. m  n . định. a  a g  x  dx  n . Giá trị của tích phân a   f  x   g  x  dx a B. n  m . C. m  n . D. Không thể xác b a b a c c Câu 14: Cho tích phân I1   f  x  dx  m và I 2   f  x  dx  n . Tích phân I   f  x dx có giá trị là: A. m  n . định. Câu 15: Tích phân B. m  n . C.  m  n . D. Không thể xác b  f  x dx được phân tích thành: a A. C. b a c c b a c c  f  x     f  x dx .  f  x    f  x dx . 1 Câu 16: Cho B. b a  f  x     f  x dx . c c b a c c D.   f  x    f  x dx . 1  2 f  x  dx  3 . Tính tích phân I    2 f  x   1 dx . 2 A. 9 . B. 3 . C. 3 . D. 5 . Câu 17: Cho hàm f  x  có đạo hàm liên tục trên  2;3 đồng thời f  2   2 , f  3   5 . Tính 3  f   x  dx 2 bằng A. 3 . Câu 18: Cho  b a B. 7 . C. 10 D. 3 . f   x  dx  7 và f  b   5 . Khi đó f  a  bằng A. 12 . B. 0 . C. 2 . D. 2 . Câu 19: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  a ; b  và f  a   2 , f  b   4 . Tính b T   f   x  dx . a A. T  6 . B. T  2 . C. T  6 . D. T  2 . Câu 20: Cho hàm số f  x  liên tục trên 0;1 và f 1  f  0   2 . Tính tích phân 1  f   x  dx . 0 A. I  1 . B. I  1 . C. I  2 . File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. I  0 . Trang 129 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng Câu 21: Cho hàm số y  f ( x ) thoả mãn điều kiện f (1)  12 , f  ( x ) liên tục trên  và . Khi đó f (4) bằng A. 5 . B. 29 . C. 19 .  4 1 f  ( x)dx  17 D. 9 . Câu 22: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  1;3 và thỏa mãn f  1  4 ; f  3   7 . 3 Giá trị của I   5 f   x  dx bằng 1 A. I  20 . B. I  3 . C. I  10 . D. I  15 . a b Câu 23: Cho hàm số f  x   2   2 , với a , b là các số hữu tỉ thỏa điều kiện x x . Tính T  a  b . A. T  1 . B. T  2 . 3 0 4581 . 5000 Câu 25: Tính tích phân I   f  x  dx  2  3ln 2 1 2 C. T  2 . D. T  0 . 5 C. I  ln . 2 D. I   C. I  2018.ln 2 . C. I  2018 . C. 2  ln 3 . D. 1  ln 3 . dx . x2 Câu 24: Tính tích phân I   A. I  1 5 B. I  log . 2 22018  1 A. I  2018.ln 2  1 . 21 . 100 dx . x B. I  22018 . 1  1   3 x  dx . Câu 26: Tính I     0  2x 1 B. 4  ln 3 . A. 2  ln 3 . 1 Câu 27: Tính tích phân I   x 2018 1  x  dx 0 A. I  . 1 1  . 2018 2019 B. I  1 1  . 2020 2021 C. I  1 1 1 1   . D. I  2019 2020 2017 2018 3 x 2 khi 0  x  1 Câu 28: Cho hàm số y  f  x    . Tính tích phân 4  x khi 1  x  2 7 5 A. . B. 1 . C. . 2 2 2  f  x  dx . 0  2 khi 0  x  1  Câu 29: Cho hàm số y  f  x    x  1 . Tính tích phân 2 x  1 khi 1  x  3 A. 6  ln 4 . B. 4  ln 4 . C. 6  ln 2 . D. 3 . 2 3  f  x  dx . 0 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. 2  2 ln 2 . Trang 130 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 2 3 x 2 khi 0  x  1 Câu 30: Cho hàm số y  f  x    . Tính  f  x dx . 4  x khi 1  x  2 0 7 5 A. . B. 1 . C. . 2 2 D. 3 . 2 2 4 khi x  0 6 x Câu 31: Cho hàm số y  f  x    và I   f  x dx . Hỏi có tất cả bao nhiêu số 2 a  a x khi x  0 1 nguyên a để I  22  0 ? A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 5 . Câu 32: Biết b   2 x  1 dx  1 . Khẳng định nào sau đây là đúng? a A. b  a  1 . B. a 2  b 2  a  b  1 . C. b 2  a 2  b  a  1 . D. a  b  1 . 2 Câu 33: Đặt I    2mx  1 dx ( m là tham số thực). Tìm m để I  4 . 1 A. m  1 . Câu 34: Cho B. m  2 . C. m  1 . 3 3 2 0 2 0 D. m  2 .  f ( x)dx  a ,  f ( x)dx  b . Khi đó  f ( x)dx bằng: A. a  b . B. b  a . Câu 35: Giá trị nào của b để C. a  b . D. a  b . C. b  5 hoặc b  0 . D. b  1 hoặc b  5 . b   2 x  6  dx  0 ? 1 A. b  0 hoặc b  3 . B. b  0 hoặc b  1 Câu 36: Có bao nhiêu giá trị thực của AD để có a   2 x  5  dx  a  4 0 B. 0 . A. 1 . C. 2 . Câu 37: Xác định số thực dương m để tích phân m D. Vô số. 2   x  x  dx có giá trị lớn nhất. 0 A. m  1 . B. m  2 . Câu 38: Cho a là số thực thỏa mãn a  2 và C. m  3 . 2 D. m  4   2 x  1 dx  4 . Giá trị biểu thức 1  a 3 bằng. a A. 0 . B. 2 . C. 1 . D. 3 . C. I = 3. D. I = 4. C. I = 3. D. I = 4. 2 Câu 39: Tích phân I   2 x.dx có giá trị là: 1 A. I = 1. Câu 40: Tích phân I  B. I =2. 1  x 1 A. I = 1. 3  3x  2  dx có giá trị là: B. I = 2. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 131 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 41: Cho gá trị của tích phân I1  1  x 1 A. P   4 . 65 B. P  4  2 x dx  a , I 2  3 12 . 65 Tích Phân và Ứng Dụng 1  x 2 2  3 x dx  b . Giá trị của a là: b 12 . 65 D. P  4 . 65 C. I  7 a  . 4 2 D. I  9 a  . 4 2 C. I  a b  . 2 2 D. I  a b  . 3 2 C. P   0 Câu 42: Tích phân I    x 3  ax  2 dx có giá trị là: 1 A. I  7 a  . 4 2 B. I  9 a  . 4 2 1 Câu 43: Tích phân I    ax 2  bx dx có giá trị là: 0 A. I  a b  . 2 3 B. I  a b  . 3 3  1  Câu 44: Tích phân I    2  2 x dx có giá trị là:  2 x 1 1 3 1 A. I     a 2 . B. I     a 2 . 2 a 2 a a 5 1 C. I     a 2 . 2 a 7 1 D. I     a 2 . 2 a 2 Câu 45: Tích phân I   x 2  x dx có giá trị là: 1 A. I  3 . 2 B. I  1 . 6 C. I   3 . 2 1 D. I   . 6 C. I   4 . 3 D. I   1 . 2 D. I   17 . 6 1 Câu 46: Tích phân I   x 3  x 2  x  1dx có giá trị là: 1 A. I  4 . 3 Câu 47: Tích phân I  B. I  1  2 A. I   7 . 6 Câu 48: Tích phân I  x3  3x  2 x 1 dx có giá trị là: B. I  2  2 A. I  3  2ln 3 . 1 . 2 17 . 6 C. I  7 . 6 x2  x  2 dx có giá trị là: x 1 B. I  2 ln 3 . C. I  3  2 ln 3 . D. I  3  3ln 2 . 1 1  Câu 49: Tích phân I    2ax 3  dx có giá trị là: x 2  15a 15a  ln 2 .  ln 2 . A. I   B. I  16 16 C. I  15a  ln 2 . 16 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. I   15a  ln 2 . 16 Trang 132 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 1 2 0 a Tích Phân và Ứng Dụng Câu 50: Biết tích phân I1   2 xdx  a . Giá trị của I 2    x 2  2 x dx là: A. I 2  17 . 3 B. I 2  19 . 3 C. I 2  16 . 3 D. I 2  13 . 3 b Câu 51: Cho tích phân I    x 2  1 dx . Khẳng định nào dưới đây không đúng? a b b b a a a b A. I    x 2  1 dx   x 2 dx   dx . B. I   x3  x  . 1 1 C. I  b3  b  a 3  a . 3 3 D. Chỉ có A và C đúng. a Câu 52: Số nghiệm nguyên âm của phương trình: x3  ax  2  0 với a  3e 1  x dx là: 1 A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. 1 Câu 53: Số nghiệm dương của phương trình: x3  ax  2  0 , với a   2 xdx , a và b là các số hữu tỉ 0 là: A. 0. B. 1. Câu 54: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số k để có C. 2. D. 3. k   2 x  1 dx  4 lim x 0 1 k  1 A.  . k  2 k  1 B.  .  k  2 x 1 1 . x  k  1 C.  .  k  2  k  1 D.  . k  2 Câu 55: Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   1  x  1  x trên tập  và thỏa mãn F 1  3 . Tính tổng F  0   F  2   F  3  . A. 8 . B. 12 . Câu 56: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương n thỏa mãn D. 10 . C. 14 . 2  1  n 2  2 x  3 x 2  4 x 3  ...  nx n 1  dx  2 0 ? A. 1 . B. 2 . C. 0 . D. 3 . Câu 57: Cho hàm số y  f  x  . Hàm số y  f   x  có đồ thị như hình vẽ dưới đây File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 133 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng Biết rằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục Ox và đồ thị hàm số y  f   x  trên đoạn  2;1 và 1; 4  lần lượt bằng 9 và 12 . Cho f 1  3 . Giá trị biểu thức f  2   f  4  bằng B. 9 . A. 21 C. 3 . 2 1 0 0 D. 2 . Câu 58: Cho I    2 x 2  x  m  dx và J    x 2  2mx  dx . Tìm điều kiện của m để I  J . A. m  3 . B. m  2 . Câu 59: Biết rằng hàm số C. m  1 . f  x   ax 2  bx  c thỏa mãn 1  0 3  f  x  dx  0 1 2  f  x  dx  2 và 0 13 (với a , b , c   ). Tính giá trị của biểu thức P  a  b  c . 2 3 4 A. P   . B. P   . 4 3 TÍCH PHÂN HỮU TỈ Câu 60: Biết 7 f  x  dx   , 2 D. m  0 . x5  2 x  2 dx  a  ln b C. P  4 . 3 D. P  3 . 4 với a , b là các số thực. Mệnh đề nào dưới đây đúng? 1 3 A. ab  8 . 81 B. a  b  1 Câu 61: Tích phân I   0 A. a  ln 2 . 1  ln 2 7 . 24 C. ab  9 . 8 D. a  b  3 . 10 2ax dx  ln 2 . Giá trị của a là: x 1 B. a  ln 2 . 2  2 ln 2 C. a  ln 2 . 1  ln 2 D. a  ln 2 . 2  2 ln 2 1 1 dx   a  b  ln 2  b ln 3 . Giá trị a + b là: 2 0 3  2x  x Câu 62: Cho I   A. 1 . 4 Câu 63: Biết B. 1 . 2 C. 1 . 6 D. 1 . 3 2 x2 0 x  1 dx  a  ln b  a, b    . Gọi S  2a  b , giá trị của S thuộc khoảng nào sau đây? A.  8;10  . B.  6;8  . C.  4; 6  . D.  2; 4  . 2 x   Câu 64: Tích phân I    x 2   dx có giá trị là: x 1  1 10 10 10 A. I   ln 2  ln 3 . B. I   ln 2  ln 3 . C. I   ln 2  ln 3 . D. 3 3 3 10 I   ln 2  ln 3 . 3 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 134 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng Câu 65: Nhận xét: Không thể dùng máy tính để tính ra kết quả như trên mà ta chỉ có thể dùng để kiểm 2  1  I   2  2 x  dx có giá trị là:  tra mà Tích phân  1 x A. I  5 . 2 B. I  7 . 2 C. I  9 . 2 D. I  11 . 2 1  ax   2ax  dx có giá trị là: Câu 66: Tích phân I     0  x 1 A. I  a ln 2 . B. I  2 ln 2 . C. I  2 ln 2 . D. I  a ln 2 . a a x Câu 67: Tích phân I      dx ,với a  0 có giá trị là: a 1 x a2  1 . 2a a2  1 C. I  a ln a  . 2a A. I  a ln a  a2 1 . 2a a2 1 D. I  a ln a  . 2a B. I  a ln a  3 a2 x2  2x dx có giá trị nhỏ nhất khi số thực dương a có giá trị là: ax 2 Câu 68: Tích phân I   A. 2 5 . B. 2 . 5 C. 1 . 5 D. 5. 2 b  Câu 69: Tích phân I    ax 2   dx có giá trị là: x 1 7 A. I  a  b ln 2 . B. I  3a  b ln 2 . 3 C. I  7 a  b ln 2 . 3 D. I  3a  b ln 2 . C. I  a  b ln 3 . 2 D. I  b ln 3 . 1 b   Câu 70: Tích phân I    ax 3  dx có giá trị là: 2 x    1 a A. I  b ln 3 . B. I   b ln 3 . 2 e2 Câu 71: Tích phân I   e x 1 dx có giá trị là: x2 1 1 A. I  1   2 . e e 1 1 B. I  1   2 . e e 1 Câu 72: Giá trị của tích phân I   0 A. P  1  ln 2 . 1 1 C. I  1   2 . e e 1 1 D. I  1   2 . e e x dx  a . Biểu thức P  2a  1 có giá trị là: x 1 B. P  2  2 ln 2 . C. P  1  2 ln 2 . D. P  2  ln 2 . e2  1  x  x2  Câu 73: Giá trị của tích phân I    dx  a . Biểu thức P  a  1 có giá trị là: x  e  1 1 1 1 A. P  e  e 2  e4 . B. P  e  e 2  e 4 . 2 2 2 2 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 135 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 1 1 1 1 C. P  e  e 2  e 4 . D. P  e  e 2  e 4 . 2 2 2 2 0 3x2  5x  1 2 Câu 74: Biết I   dx  a ln  b , với a, b . Tính giá trị a  2b . 3 x2 1 A. 30 . B. 40 . 2 Câu 75: Tính tích phân: I   1 B. I  2 ln 2 . 1 0 D. I  ln 6 2 . 2 1 1 B. I   ln . 6 2 A. S  6 . B. S  2 . 5 x 1 2 2 x 2 C. S  2 . D. S  0. 3 dx  a ln 5  b ln 2  a, b  Z  . Mệnh đề nào sau đây đúng?  3x A. a  2b  0 . 0 1 C. I  ln 2 . 6 7 . 4 2 3 Câu 79: Giả sử D. I  dx  a ln 2  b ln 3  c ln 5, với a, b, c là các số nguyên. Tính S  a  b  c. x x Câu 77: Biết I   Câu 78: Biết rằng C. I  1  ln 2 . dx . x 9 1 1 A. I  ln . 6 2 4 D. 60 . x 1 dx . x A. I  1  ln 2 . Câu 76: Tính tích phân I   C. 50 . B. 2a  b  0 . C. a  b  0 . D. a  b  0 . x 1 dx  a ln 5  b ln 3; a, b   . Tính P  ab .  4x  3 A. P  8 . B. P  6 . D. P  5 . C. P  4 . 2 2 e x2  2 x 1 Câu 80: Cho giá trị của tích phân a  2, b  3 I1   dx  a , I 2   dx  b . Giá trị của biểu x 1 1 e x thức P  a  b là: 7 A. P   ln 2  ln 3 . 2 5 C. P   ln 2  ln 3 . 2 3  ln 2  ln 3 . 2 1 D. P   ln 2  ln 3 . 2 B. P  0 x 3  3x 2  2 dx gần nhất với gái trị nào sau đây? 2 x  x  2 1 Câu 81: Giá trị của tích phân I   A.  ln 2 . 2 B. ln 2  1 . 2 Câu 82: Tích phân I   1 A. a  1 . 5 C. 3  ln 4 . 2 D.  ln 3 . 3 ax  1 3 4 3 2 dx  ln  ln . Giá trị của a là: x  3x  2 5 3 5 3 2 B. a  2 . 5 C. a  3 . 5 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. a  4 . 5 Trang 136 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A a Câu 83: Tích phân I   1 A. a  1 . Câu 84: Biết x2  1 1 7 dx  ln . Giá trị của a là: 3 x  3x 3 2 B. a  2 . 1 x B. a  b  5 . D. a  b  5 . C. ab  6. D. ab  12. 3 x 2  3x  2 2 3 2 x 2  x  1 dx  a ln 7  b ln 3  c với a , b , c   . Tính T  a  2b  3c . B. T  6 . A. T  4 . B. 40. 5 x 1 2  2x 2 2 3 1 D. 60. B. 2a  b  0 . D. a  b  0 . x2 dx  a ln 5  b ln 3  3ln 2  a , b    thì giá trị của P  2a  b là  3x  1 B. P  7 . A. P  1 . x C. 50. 3 dx  a ln 5  b ln 2  a, b    . Mệnh đề nào sau đây đúng?  3x A. a  2b  0 . C. a  b  0 . 3 D. T  5 . 3x 2  5 x  1 2 1 x  2 dx  a.ln 3  b . Khi đó giá trị a  2b là: A. 30. Câu 88: Biết rằng C. T  3 . 0 Câu 87: Giả sử I  Câu 90: Cho C. a  b  1 . 3x  1 a 5 a dx  3ln  , trong đó a, b là hai số nguyên dương và là phân số tối  6x  9 b 6 b 2 giản. Tính ab ta được kết quả. A. ab  5. B. ab  27. Câu 89: Nếu D. a  4 . x 1 0 Câu 86: Biết C. a  3 .   x  1 2  x dx  a.ln x  1  b.ln x  2  C , a, b . Tính giá trị của biểu thức a  b . A. a  b  1 . Câu 85: Biết Tích Phân và Ứng Dụng 2 C. P   15 . 2 x3 dx  m ln 2  n ln 3  p ln 5 , với m , n ,  3x  2 p D. P  15 . 2 là các số hữu tỉ. Tính S  m  n  p2 . 2 A. S  6 . B. S  4 . C. S  3 . D. S  5 . 2 x2 dx  a  ln b với a , b  , b  0 . Hỏi giá trị 2a  b thuộc khoảng nào sau Câu 91: Biết rằng  0 x 1 đây? A.  8;10  . 4 Câu 92: Biết I   3 A. S  6 . B.  6;8  . C.  4; 6  . D.  2; 4  . dx  a ln 2  b ln 3  c ln 5 với a, b, c là các số nguyên. Tính S  a  b  c x x 2 B. S  2 . C. S  2 . File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. S  0 . Trang 137 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 93: Biết 2  4x 1 2 Tích Phân và Ứng Dụng dx 1 1   , với a , b là các số nguyên thuộc khoảng  7;3  thì a và b là  4x 1 a b nghiệm của phương trình nào sau đây? A. 2 x2  x  1  0 . Câu 94: Biết B. x2  4x  12  0 . D. x2  9  0 . 5 x2  x 1 b 3 x  1 dx  a  ln 2 với a , b là các số nguyên. Tính S  a  2b . A. S  2 . Câu 95: Biết C. x 2  5x  6  0 . 3 B. S  5 . C. S  2 . D. S  10 . dx   x  2  x  4   a ln 2  b ln 5  c ln 7 ,  a, b, c    . Giá trị của biểu thức 2a  3b  c 0 bằng A. 5 . B. 4 . Câu 96: Tìm giá trị của a để 4 D. 3 . C. 2 . 1   x  1 x  2  dx  ln a . 3 A. 12 . Câu 97: Cho 1 B.  1 4 . 3 1    x  1  x  2  dx  a ln 2  b ln 3 C. 1 . 3 D. 3 . 4 với a , b là các số nguyên. Mệnh đề nào dưới đây 0 đúng ? A. a  b  2 . Câu 98: Biết 3 x 2 B. a  2b  0 . 5 x  12 dx  a ln 2  b ln 5  c ln 6 . Tính S  3a  2b  c .  5x  6 B. 14 . 2 x 1 D. a  2b  0 . 2 A. 3 . Câu 99: Cho C. a  b  2 . 2 C. 2 . D. 11 . 1 dx  a ln 2  b ln 3  c ln 5 với a , b , c là các số nguyên. Mệnh đề nào dưới  5x  6 đây đúng? A. a  b  c  4 . B. a  b  c  3 . C. a  b  c  2 . D. a  b  c  6 . x2  1 m n p dx  ln  x  1  x  2   x  3  C . Tính 4  m  n  p  . Câu 100: Biết  3 2 x  6 x  11x  6 A. 5 . B. 0 . C. 2 . D. 4 . Câu 101: Cho 3 x 2 2 x 8 dx  a ln 2  b ln 5 với a , b là các số nguyên. Mệnh đề nào sau đây đúng?  x2 A. a  b  3 . Câu 102: Biết ab  8 B. a  2b  11 . C. a  b  5 . 1 x3  2 x2  3 1 3 0 x  2 dx  a  b ln 2 k dx  lim x  2  1 x  2017 x  2018  a, b  0  tìm các D. a  2b  11 . giá trị của k để . File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 138 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. k  0 . B. k  0 . TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈ Tích Phân và Ứng Dụng C. k  0 . D. k   . C. 4 . D. 2 Câu 103: Tính tích phân I   4 x  1 dx . 0 A. 13 . B. 1  13 . 3  Câu 104: Biết rằng I1   x  x  1 dx  0 A. – 1. 0 A. I  1  1 C. – 3. D. – 4. 1 dx bằng 2 x2 Câu 105: Tích phân I   Câu 106: Cho a 3  b 2 . Giá trị của a  b là: 6 4 B. – 2. 2 4 . 3 1 . 2 B. I  2 2 . 1 . 2 C. I  2  D. I  2  2 . dx 8 2 a b a  ,  a, b   *  . Tính a  2b . 3 3 x  2  x 1  0 A. a  2b  7 . B. a  2b  8 . 1 Câu 107: Biết tích phân C. a  2b  1. D. a  2b  5 . x a b 3 dx  với a , b là các số thực. Tính tổng T  a  b 9 3x  1  2 x  1  0 . A. T  10 . B. T  4 . C. T  15 . D. T  8 . a Câu 108: Tích phân I   x x  1dx có giá trị là: 0 A. I  C. I  2  a  1 2  a  1 5 1  1 4 2  2. 3 4 Câu 110: Biết rằng I   3 A. 39 .  5 Câu 109: Tích phân I  A. I  5 5  2  a  1 3 3 2  a  1 3 3 4  . 15 4  . 15 B. I  D. I  2 5  a  1  5 2  a  1 5 5  2  a  1 3 3 2  a  1  4 . 15  4 . 15 3 3 x dx có giá trị là: x  1 1 B. I  4 2 2. 3 C. I  4 2 1 . 3 D. I  4 2 1 . 3 x2  x  2 a4 b dx  . Với a , b , c là số nguyên dương. Tính a  b  c . c x x2 B. 27 . C. 33 . File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. 41 . Trang 139 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng dx  a  b  c với a, b, c là các số nguyên dương. Tính 1 x x  2   x  2 x P  abc . A. P  2 . B. P  8 . C. P  46 . D. P  22 . Câu 111: Biết  2 2 Câu 112: Biết I   1  x  1 dx  a  b  c với a , b , c là các số nguyên dương. Tính x  x x 1 P  abc . A. P  24 . B. P  12 . TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC C. P  18 . D. P  46 . 2 C.  . 3 D. C. I  0 . D. I  1 .  Câu 113: Tính tích phân  sin 3 xdx . 0 1 A.  . 3 B. 1 . 3 2 . 3  2   Câu 114: Tính tích phân I   sin   x  dx . 4  0 A. I   . 4 B. I  1 .  3 Câu 115: Tích phân I    4 A. cot Câu 116: Biết dx bằng? sin 2 x    cot . 3 4  2  cos xdx  a  b B. cot    cot . 3 4 C.  cot    cot . 3 4 D.  cot    cot . 3 4 3 , với a , b là các số hữu tỉ. Tính T  2a  6b .  3 A. T  3 . B. T  1 C. T  4 . D. T  2 . m   Câu 117: Số   cot  cot các số nguyên thỏa mãn  cos 2 x dx  0 là 3 4 0 A. 643 . B. 1284 . C. 1285 . D. 642 . C. I  1 . D. Cả A, B, C đều  2 Câu 118: Tích phân I   sin xdx có giá trị là: 0 A. I  1 . sai. B. I  0 . Câu 119: Có bao nhiêu số thực b thuộc khoảng  ;3  sao cho b  4 cos 2 xdx  1 ?  A. 8 . B. 2 . C. 4 . File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. 6 . Trang 140 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 120: Tích phân I   2   sin x  cos x  dx có giá trị là:   2 A. I  1 . Câu 121: Tích phân I  B. I  2 . C. I  2 . D. I  1 .  6   sin 2 x  cos 3x  dx có giá trị là:  A. I  Tích Phân và Ứng Dụng  2 2 . 3 3 . 4 B. I  Câu 122: Kết quả của tích phân C. I    2   2 x  1  sin x  dx 3 . 4 D. I   2 . 3 được viết ở dạng a , b  . Khẳng định nào sau 0 đây là sai? A. a  2b  8 . Câu 123: Cho tích phân B. a  b  5 .  2 cos 2 x  1  sin x dx  a  b C. 2a  3b  2 . D. a  b  2 . với a , b . Tính P  1  a3  b2 0 A. P  9 . Câu 124: Cho tích phân B. P  29 .  2 D. P  25 . C. P  11 .  1   4 x  1  cos x  dx    a  b   c ,  a, b, c    . Tính a  b  c 0 B. 1 . A. 3 Câu 125: Biết  6 2   3  4 sin x  dx  0 . A. 8 . C. 2 . D. 1 . 3 a c 3 a , trong đó a , b nguyên dương và tối giản. Tính a  b  c  b 6 b B. 16 . C. 12 . D. 14 .  3 Câu 126: Cho giá trị của tích phân I1    sin 2 x  cos x  dx  a , I   2  3 2    cos 2 x  sin x  dx  b . Giá trị   3 của a + b là: A. P  3  3. 4 B. P  Câu 127: Cho giá trị của tích phân I1  3 3  . 4 2 C. P  2 3 3  3. 4   sin 3x  cos 3x  dx  a ,   3 trịa.b gần nhất với giá trị nào sau đây? A. 8 . B. 16 . D. P  3 3  . 4 2 2e 1  1 1 I2     2   dx  b . Giá x x x 1  e  C. 10 . File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. 1 . Trang 141 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A  2   sin ax  cos ax  dx , với a  0 có giá trị là: Câu 128: Tích phân I    2 A. I  2 a         sin  a 2  4   sin  a 2  4   .      B. I  2 a         sin  a 2  4   sin  a 2  4   .      C. I  2 a         sin  a 2  4   sin   a 2  4   .      D. I  2 a           sin  a 2  4   sin  a 2  4   .      π 2 Câu 129: Biết I   0 Tích Phân và Ứng Dụng x  x cos x  sin 3 x π2 b dx   . Trong đó a , b , c là các số nguyên dương, phân số a c 1  cos x b tối giản. Tính T  a 2  b 2  c 2 . c A. T  16 . B. T  59 . C. T  69 .  Câu 130: Cho hàm số f  x   a sin 2 x  b cos 2 x thỏa mãn f '    2 và 2 bằng: A. 3. B. 4. Câu 131: Cho tích phân 0  cos 2 x cos 4 xdx  a  b D. T  50 . b  adx  3 . Tính tổng a  b a C. 5. D. 8. 3 , trong đó a , b là các hằng số hữu tỉ. Tính   3 e a  log 2 b . A. 2 . B. 3 . Câu 132: Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số y  C. 1 . 8 D. 0 . 1     k , k    , biết với x    1  sin 2 x  4      11  F  0   1 ; F ( )  0 . Tính P  F     F  .  12   12  A. P  2  3 . B. P  0 . C. Không tồn tại P . D. P  1 . Câu 133: Cho M , N là các số thực, xét hàm số f  x   M .sin πx  N .cos πx thỏa mãn f 1  3 và 1 2 1  f  x  dx   π . Giá trị của 0 A. 5π 2 . 2 1 f    bằng  4 B.  5π 2 . 2 C.  π 2 . 2 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. π 2 . 2 Trang 142 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng  2 Câu 134: Tích phân I    cos x  1 cos 2 xdx có giá trị là: 0 A. I   1  . 4 3 B. I    2  . 4 3 C. I   2 1 Câu 135: Biết tích phân I1   sin xdx  a . Giá trị của I 2    3 a và c là: A. – 2. B. – 4.  1  . 4 3 D. I    2  . 4 3 x2  1 dx  b ln 2  c ln 5 . Thương số giữa b x3  x C. 2. D. 4.  3  Câu 136: Cho I    sin 3x  cos 2 x  dx   a cos 3 x  bx sin  c sin 2 x  06 . Giá trị của 3a  2b  4c là: 0 A. – 1. B. 1. C. – 2. D. 2. Câu 137: Cho I n   tan n xdx với n   . Khi đó I 0  I1  2  I 2  I3  ...  I8   I 9  I10 bằng A. 9   tan x  r 1 r B. C. r 9   tan x  r 1 r 1 r 1 C . C. 10   tan x  r 1 r r C. D. 10   tan x  r 1 r 1 r 1 C . TÍCH PHÂN HÀM MŨ – LÔGARIT 1 Câu 138: Tích phân  e  x dx bằng 0 A. e  1 . B. Câu 139: Tích phân I  2018  1 1 . e C. e 1 . e D. 1 . e C. 22018 . ln 2 D. 22018 . 2 x dx bằng 0 A. 22018  1 . B. 4 1 Câu 140: Biết  f ( x)dx  và. 2 1 22018  1 . ln 2 0 4 1 2x 1 f ( x)dx  2 . Tính tích phân I  0 4e  2 f ( x)  dx . A. I  2e8 . B. I  4e8  2 . x2 C. I  4e8 . D. I  2e8  4 . C. F   2   4e16 . D. F   2   e 4 . 2 Câu 141: Cho F  x    et dt . Tính F   2  . 0 A. F   2   4e 4 . Câu 142: Cho hàm số g  x   B. F   2   8e16 . x2 1  ln t dt với x  0 . Đạo hàm của g  x  là x A. g   x   x 1 . ln x B. g   x   1 x . ln x C. g   x   1 . ln x File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. g   x   ln x . Trang 143 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 143:  3 2  f  x  dx  6 .Gọi S Tích Phân và Ứng Dụng là tập hợp tất cả các số nguyên dương k thỏa mãn 3  2 2 kx  e dx  1 2018.ek  2018 . Số phần tử của tập hợp S bằng. k B. 8 . A. 7 . C. Vô số. D. 6 . 1 e  nx dx với n   . 1  e x 0 Câu 144: Cho I n   Đặt un  1.  I1  I 2   2  I 2  I 3   3  I 3  I 4   ...  n  I n  I n 1   n . Biết lim u n  L . Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. L   1;0  . B. L   2; 1 . C. L   0;1 . File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. L  1;2  . Trang 144 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng C . HƯỚNG DẪN GIẢI ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ BẢNG NGUYÊN HÀM Câu 1. Cho hàm số y  f  x  , y  g  x  liên tục trên  a; b và số thực k tùy ý. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A. B. b a a b  f  x  d x    f  x  dx . b b a a  xf  x  dx  x  f  x  dx . a C.  kf  x  dx  0 . a D. Câu 2. b b b a a a   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx . Hướng dẫn giải Chọn B Dựa vào tính chất của tích phân, A, C, D đúng nên B sai. Khẳng định nào sau đây sai? A. C. b b b a a a b b c c a   f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx . B.  b a b b a b a a  f  x  dx   f  x  d x . D. a f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx .  f  x  dx   f  t  dt . Hướng dẫn giải Câu 3. Chọn C Cho hai hàm số f  x  và g  x  liên tục trên K , a, b  K . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? A. b b a C. b b b a a a   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx . B.  kf  x  dx  k  f  x  dx . a b b a a b  f  x  g  x  dx   f  x  dx. g  x  dx . D. a b b b a a a   f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx . Câu 4. Hướng dẫn giải Chọn C Cho hai số thực a , b tùy ý, F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  trên tập  . Mệnh đề nào dưới đây là đúng? A. b  f  x  dx  f  b   f  a  . B. a C. b  f  x  dx  F  a   F  b  . a Chọn B b  f  x  dx  F  b   F  a  . a D. b  f  x  dx  F  b   F  a  . a Hướng dẫn giải File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 145 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng b Theo định nghĩa, ta có  f  x  dx  F  b   F  a  . a Câu 5. Cho f  x  là hàm số liên tục trên đoạn  a; b  và c   a; b  . Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau. A. c b a c b b c c a a c  a C. f  x  d x   f  x  d x   f  x  dx .  a Câu 6. D. c b f  x  d x   f  x  d x   f  x  dx . a c b a b a c c  f  x  d x   f  x  d x   f  x  dx . Hướng dẫn giải a b c c f  x  d x   f  x  dx  F  b   F  a   F  a   F  c   F  b   F  c    f  x  d x . Cho hàm số y  f  x  liên tục trên khoảng K và a, b, c  K . Mệnh đề nào sau đây sai? A. b  a C. b c c a f  x  d x   f  x  d x   f  x  dx . b a a b B. b  a  f  x  d x    f  x  dx . D. b f  x  dx   f  t  dt . a a  f  x  dx  0 . a Hướng dẫn giải Chọn A b Mệnh đề đúng là:  a Câu 7.  a  f  x  d x   f  x  d x   f  x  dx . Chọn D b B. b c c b a f  x  d x   f  x  d x   f  x  dx . Cho hàm số f  t  liên tục trên K và a, b  K , F  t  là một nguyên hàm của f  t  trên K . Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau. b A. F  a   F  b    f  t  dt . B. a   C.  f  t  dt    f  t  dt  . a  a Bài giải Chọn A b Theo định nghĩa ta có:  f  t  dt  F  t   f  t  dt  F  t  b a . a b b b D. b  a b a b f  x  d x   f  t  dt . a  F  b   F  a  . Suy ra phương án A sai. a Câu 8. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn  a; b  . Mệnh đề nào dưới đây sai? A. b  a B. b f  x  d x   f  t  dt . a b a a b  f  x  d x    f  x  dx . b C.  kdx  k  a  b  , k   . a D. b c b a a c  f  x  d x   f  x  d x   f  x  dx ,  c   a ; b  . File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 146 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng Hướng dẫn giải Chọn C b Ta có:  kdx  kx a  kb  ka  k  b  a  . b a Câu 9. Giả sử f là hàm số liên tục trên khoảng K và a, b, c là ba số bất kỳ trên khoảng K . Khẳng định nào sau đây sai? A. a  f  x  dx  1 . b B.  f  x  dx    f  x  dx . a C. c  a b a a b b f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx, c   a; b  . D. c a b  a b f  x  dx   f  t  dt . a Hướng dẫn giải Chọn A a Ta có:  f  x  dx  F  a   F  a   0 . a Câu 10. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn  a; b . Mệnh đề nào dưới đây sai? A. b a a b  f  x  dx    f  x  dx . b c b a a c  f  x  d x   f  x  dx   f  x  dx , B. c   . C. b  a b f  x  dx   f  t  dt .D. a a  f  x  dx  0 . a Câu 11. Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  . Khi đó hiệu số F  0   F 1 bằng A. 1  f  x  dx . 0 1 B.   F  x  dx . 0 Ta có:   f  x  dx   F  x  0 0 1 D.   f  x  dx . 0 Hướng dẫn giải Chọn D 1 1 C.   F  x  dx . 1 0    F 1  F  0    F  0   F 1 . Câu 12. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  a; b  , có đồ thị y  f   x  như hình vẽ sau: Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. b  f   x  dx là diện tích hình thang ABMN . B. a C. a  f   x  dx là dộ dài đoạn BP . a b  f   x  dx b là dộ dài đoạn MN . D. b  f   x  dx là dộ dài đoạn cong AB . a Hướng dẫn giải File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 147 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng Chọn B b  f   x  dx  f  x  b a  f  b   f  a   BM  PM  BP . a a a Câu 13. Cho hai tích phân  f  x  dx  m và a là: A. m  n . định. a  g  x  dx  n . Giá trị của tích phân   f  x   g  x  dx a a B. n  m . C. m  n . D. Không thể xác Hướng dẫn giải a Cho hai tích phân a  f  x  dx  m và a a  g  x  dx  n . Giá trị của tích phân   f  x   g  x  dx a a là: a Ta có ngay kết quả: a a   f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx m  n . a a a Chọn A b a b a c c Câu 14. Cho tích phân I1   f  x  dx  m và I 2   f  x  dx  n . Tích phân I   f  x dx có giá trị là: A. m  n . định. B. m  n . C.  m  n . D. Không thể xác Hướng dẫn giải b a b Cho tích phân I1   f  x  dx  m và I 2   f  x  dx  n . Tích phân I   f  x dx có giá trị a c c là: b b a Quy tắc “nối đuôi” cho ta: I   f  x dx   f  x dx   f  x dx  m  n . c a c Chọn A Câu 15. Tích phân b  f  x dx được phân tích thành: a A. C. b a  f  x     f  x dx . c c b a  c f  x    f  x dx . c B. b a  f  x     f  x dx . c c b a c c D.   f  x    f  x dx . Hướng dẫn giải b Tích phân  f  x dx được phân tích thành: a b Ta có:  a b c c a Chọn A Câu 16. Cho 1  2 A. 9 . b a f  x dx   f  x dx   f  x dx   f  x dx   f  x dx . c c 1 f  x  dx  3 . Tính tích phân I    2 f  x   1 dx . B. 3 . 2 C. 3 . Hướng dẫn giải File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. 5 . Trang 148 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chọn C 1 1 1 2 2 2 Tích Phân và Ứng Dụng 1 Ta có I    2 f  x   1 dx  2  f  x  dx   dx  6  x 2  3 . Câu 17. Cho hàm f  x  có đạo hàm liên tục trên  2;3 đồng thời f  2   2 , f  3   5 . Tính 3  f   x  dx 2 bằng A. 3 . B. 7 . C. 10 Hướng dẫn giải Chọn D 3 D. 3 . 3  f   x  dx  f  x  2  f  3   f  2   3 . Ta có 2 Câu 18. Cho  b f   x  dx  7 và f  b   5 . Khi đó f  a  bằng a B. 0 . A. 12 . C. 2 . Hướng dẫn giải Chọn D  b a D. 2 . f   x  dx  7  f  b   f  a   7  f  a   f  b   7  2 . Câu 19. Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  a ; b  và f  a   2 , f  b   4 . Tính b T   f   x  dx . a A. T  6 . B. T  2 . Chọn D C. T  6 . Hướng dẫn giải D. T  2 . b Ta có: T   f   x  dx  f  x   f  b   f  a   2 . b a a Câu 20. Cho hàm số f  x  liên tục trên 0;1 và f 1  f  0   2 . Tính tích phân 1  f   x  dx . 0 A. I  1 . B. I  1 . Chọn C Ta có: C. I  2 . Hướng dẫn giải D. I  0 . 1 1  f   x  dx  f  x  0  f 1  f  0   2 . 0 Câu 21. Cho hàm số y  f  x  thoả mãn điều kiện f 1  12 , f   x  liên tục trên  và 4  f   x  dx  17 . Khi đó f  4  1 A. 5 . bằng B. 29 . C. 19 . Hướng dẫn giải Chọn B Ta có 4  f   x  dx  17  f  x  1 4 1 D. 9 .  17  f  4   f 1  17  f  4   29 . Câu 22. Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  1;3 và thỏa mãn f  1  4 ; f  3   7 . 3 Giá trị của I   5 f   x  dx bằng 1 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 149 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. I  20 . B. I  3 . C. I  10 . Hướng dẫn giải Chọn D 3 Tích Phân và Ứng Dụng D. I  15 . 3 I   5 f   x  dx  5 f  x  1  5 f  3   5 f  1  5.7  5.4  15 . 1 a b   2 , với a , b là các số hữu tỉ thỏa điều kiện x2 x Câu 23. Cho hàm số f  x   . Tính T  a  b . A. T  1 . B. T  2 . C. T  2 . Hướng dẫn giải Chọn C Ta có 1  1 2 1  f  x  dx  2  3ln 2 1 2 D. T  0 . 1 1  a   a b  f  x  dx    2   2  dx     b ln x  2 x   a  1  b ln 2 . x  x 1  1 x 2 2 Theo giả thiết, ta có 2  3ln 2  a  1  b ln 2 . Từ đó suy ra a  1 , b  3 . Vậy T  a  b  2 . 3 dx Câu 24. Tính tích phân I   . 0 x2 A. I  4581 . 5000 Chọn C 3 Ta có: I   0 5 5 B. I  log . C. I  ln . 2 2 Hướng dẫn giải dx  ln x  2 x2 Câu 25. Tính tích phân I  2 2018  1 A. I  2018.ln 2  1 . 3 0  ln 2 2018 1 21 . 100 5 . 2 dx . x B. I  22018 . Chọn C Ta có: I  ln x D. I   C. I  2018.ln 2 . Hướng dẫn giải C. I  2018 .  ln  22018   ln1  2018.ln 2 . 1  1   3 x  dx . Câu 26. Tính I     0  2x 1 B. 4  ln 3 . A. 2  ln 3 . Chọn A 1 1 C. 2  ln 3 . Hướng dẫn giải D. 1  ln 3 . 1 1  1   3 x  dx   dx  3 xdx Ta có I    2x 1 2x 1  0 0 0 1 1 1 2 1  ln 2 x  1  3. x x  ln 3  2  ln 3  2 . 2 3 2 0 0 1 Câu 27. Tính tích phân I   x 2018 1  x  dx 0 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 150 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. I  . 1 1  . 2018 2019 1 1  . 2020 2021 B. I  Tích Phân và Ứng Dụng C. I  1 1 1 1   . D. I  2019 2020 2017 2018 Hướng dẫn giải Chọn C 1 Ta có: I   x 2018 0 1 1 1  x  dx    x 2018 x 2019 0 x 2019 x 2020  1 1 .    dx   2019   2020  0 2019 2020  3 x 2 khi 0  x  1 Câu 28. Cho hàm số y  f  x    . Tính tích phân 4  x khi 1  x  2 7 5 A. . B. 1 . C. . 2 2 Hướng dẫn giải Chọn A Ta có 2 1 2 1 2  f  x  dx . 0 D. 2 2 2 3 . 2  7 3x 3 x2  f x d x  f x d x  f x d x  3 x d x  4  x d x 4 x       . 0   0   1   0   1   3 1  2 1 2  2 3 khi 0  x  1  Câu 29. Cho hàm số y  f  x    x  1 . Tính tích phân  f  x  dx . 0 2 x  1 khi 1  x  3 A. 6  ln 4 . B. 4  ln 4 . C. 6  ln 2 . D. 2  2 ln 2 . Hướng dẫn giải Chọn A 3 1 3 1 3 2 dx    2 x  1 dx Ta có:  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx   0 0 1 0 x 1 1 2 3 1  2 ln x  1 0   x 2  x   ln 4  6 . 1 Câu 30. 2 3 x 2 khi 0  x  1 Cho hàm số y  f  x    . Tính  f  x dx . 4  x khi 1  x  2 0 7 5 3 A. . B. 1 . C. . D. . 2 2 2 Hướng dẫn giải Chọn A 1 2 1 2 1  x2  2 5 7 2 3 Ta có,  f  x  dx   f  x  dx   3x dx    4  x  dx  x   4 x    1   . 0  2 1 2 2 0 1 0 1 2 4 khi x  0 6 x Câu 31. Cho hàm số y  f  x    và I   f  x dx . Hỏi có tất cả bao nhiêu số 2 a  a x khi x  0 1 nguyên a để I  22  0 ? A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 5 . Hướng dẫn giải Chọn C Ta có 0 4 0 4 4  a2 x2  2 I   f  x dx   f  x dx   6 x dx    a  a x dx  2 x   ax    2  4a  8a . 1 2 0  1 0 1 0 2 2 3 0 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 151 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 3 a I  22  0  2  4a  8a2  22  0  2a 2  a  6  0    a  2   a  1; 0;1; 2 . 2 Vậy có 4 giá trị nguyên của a thỏa mãn. b   2 x  1 dx  1 . Khẳng định nào sau đây là đúng? Câu 32. Biết a A. b  a  1 . B. a2  b2  a  b  1 . C. b2  a 2  b  a  1 . D. a  b  1 . Hướng dẫn giải Chọn C b Ta có: b  b2  b   a 2  a  . 2   2 x  1 dx   x  x  a a b   2 x  1 dx  1  b Mà 2  b  a2  a  1  b2  a2  b  a  1 . a 2 Câu 33. Đặt I    2mx  1 dx ( m là tham số thực). Tìm m để I  4 . 1 A. m  1 . Chọn C B. m  2 . 2 Ta có I    2mx  1 dx   mx 2  x  1 C. m  1 . Hướng dẫn giải 2   4 m  2    m  1  3m  1 . 1 I  4  3m  1  4  m  1 . 3 3 2 0 2 0  f ( x)dx  a ,  f ( x)dx  b . Khi đó  f ( x)dx bằng: Câu 34. Cho A. a  b . Chọn D Do D. m  2 . B. b  a . 3 2 0 0 C. a  b . Hướng dẫn giải D. a  b . 3 2 3 3 2 2 0 0 2 0  f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx  a  b Câu 35. Giá trị nào của b để A. b  0 hoặc b  3 . Chọn D Ta có b b   2 x  6  dx  0 ? 1 B. b  0 hoặc b  1 C. b  5 hoặc b  0 . Hướng dẫn giải D. b  1 hoặc b  5 . b 2 2 2   2 x  6  dx   x  6 x  1   b  6b   1  6  b  6b  5 . 1 b  1 Theo bài ra, có b 2  6b  5  0   . b  5 Câu 36. Có bao nhiêu giá trị thực của AD để có a   2 x  5  dx  a  4 0 B. 0 . A. 1 . C. 2 . Hướng dẫn giải Chọn A a Ta có   2 x  5  dx  a  4   x 0 2 D. Vô số. a  5x   a  4  H  y  x  1 0 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 152 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 37. Xác định số thực dương m để tích phân m Tích Phân và Ứng Dụng 2   x  x  dx có giá trị lớn nhất. 0 A. m  1 . B. m  2 . Chọn A C. m  3 . Hướng dẫn giải D. m  4 m  x2 x3  m 2 m3 P    x  x  dx       . 2 3 0  2 3 0 m 2 m 2 m3   f   m   m  m 2  f   m   0  m  0 hoặc m  1 2 3 Lập bảng biến thiên Đặt f  m   Vậy f  m  đạt GTLN tại m  1 . Câu 38. Cho a là số thực thỏa mãn a  2 và 2   2 x  1 dx  4 . Giá trị biểu thức 1  a 3 bằng. a A. 0 . B. 2 . Chọn B Ta có: 2   2 x  1 dx   x a 2 C. 1 . Hướng dẫn giải D. 3 .  a  2 2  a 1.  x   6  a 2  a . Theo đề:  2 a 6  a  a  4 Vậy 1  a3  2 . 2 Câu 39. Tích phân I   2 x.dx có giá trị là: 1 A. I = 1. B. I =2. 2 C. I = 3. Hướng dẫn giải D. I = 4. Tích phân I   2 x.dx có giá trị là: 1 2 2 2  x2  Cách 1: I   2 x.dx  2. x.dx   2.   3 .  2 1 1 1 Chọn C Cách 2: Kiểm tra bằng máy tính, dễ dàng thu được kết quả như cách 1. Câu 40. Tích phân I  1  x 3 1 A. I = 1. Tích phân I  B. I = 2. 1  x 1 1  3x  2  dx có giá trị là: 3 C. I = 3. Hướng dẫn giải D. I = 4.  3x  2  dx có giá trị là: 1 3 1  Cách 1: I    x  3 x  2  dx   x 4  x 2  2 x   4 . 2 4  1 1 3 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 153 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chọn D Cách 2: Dùng máy tính cầm tay. Câu 41. Cho gá trị của tích phân I1   x 4 1 4 A. P   . 65 3  2 x dx  a , I 2  12 B. P  . 65 Cho gá trị của tích phân I1  1  x 4 1 Ta có: 1 1 Tích Phân và Ứng Dụng 1  x 2 C. P   Hướng dẫn giải  2 x3 dx  a , I 2  1  x 2 2  3 x dx  b . Giá trị của 12 . 65 2 D. P  a là: b 4 . 65  3 x dx  b . Giá trị của a là: b 1 1  2 2 1 I1    x  2 x dx   x 5  x 4    a  . 2  1 5 5 5 1 4 3 1 1 3  13 13 1 I 2    x  3 x dx   x 3  x 2     b   . 2  2 6 6 3 2 a 12 P  . b 65 Chọn C 2 0 Câu 42. Tích phân I    x 3  ax  2 dx có giá trị là: A. I  7 a  . 4 2 1 B. I  0 9 a 7 a  . C. I   . 4 2 4 2 Hướng dẫn giải D. I  9 a  . 4 2 D. I  a b  . 3 2 Tích phân I    x 3  ax  2 dx có giá trị là: 1 0 0 a 7 a 1  I    x  ax  2 dx   x 4  x 2  2 x    . 2 4  1 4 2 1 Chọn A 3 1 Câu 43. Tích phân I    ax 2  bx dx có giá trị là: 0 A. I  a b  . 2 3 B. I  1 a b a b  . C. I   . 3 3 2 2 Hướng dẫn giải Tích phân I    ax 2  bx dx có giá trị là: 0 Ta có: 1 1 b  a b a I    ax  bx dx   x3  x 2    . 2 0 3 2 3 0 Chọn D a  1  Câu 44. Tích phân I    2  2 x dx có giá trị là:  2 x 1 1 3 1 5 1 A. I     a 2 . B. I     a 2 . C. I     a 2 . 2 a 2 a 2 a Hướng dẫn giải 2 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay 7 1 D. I     a 2 . 2 a Trang 154 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng  1  Tích phân I    2  2 x dx , với a  0 có giá trị là:  2 x Ta có: a a 1 7  1   1  I    2  2 x dx     x 2   a 2   . a 2   x 2 2 x Chọn D a 2 Câu 45. Tích phân I   x 2  x dx có giá trị là: 1 3 A. I  . 2 B. I  1 . 6 C. I   Hướng dẫn giải 2 3 . 2 1 D. I   . 6 Tích phân I   x 2  x dx có giá trị là: 1 Ta có: x2  x  0  x  0  x  2 .  f  x Từ bảng xét dấu ta được: 2 0 0 2 2 1  1  3 1  1 I   x  x dx    x  x dx     x  x dx   x 3  x 2     x 3  x 2   . 2  1  3 2 0 2 3 1 1 0 Chọn A 2 2 2 1 Câu 46. Tích phân I   x 3  x 2  x  1dx có giá trị là: 1 4 A. I  . 3 B. I  1 . 2 1 C. I   Hướng dẫn giải 4 . 3 D. I   1 . 2 Tích phân I   x 3  x 2  x  1dx có giá trị là: 1 Ta có: 2 2  x  1  0   x  1 x  1  0  x  1  x  1 x 3  x  f  x Từ bảng xét dấu ta được: 1 1 1 1 1 4 1  I   x  x  x  1dx     x  x  x  1dx    x 4  x 3  x 2  x   . 3 2 4  1 3 1 1 Chọn A 1 x3  3x  2 Câu 47. Tích phân I   dx có giá trị là: x 1 2 7 17 7 17 A. I   . B. I  . C. I  . D. I   . 6 6 6 6 Hướng dẫn giải 1 x3  3x  2 Tích phân I   dx có giá trị là: x 1 2 Ta có: 3 2 3 2 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 155 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 2 x 3  3x 2  0   x  1  x  2   0  x  1  x  2 .  f  x Từ bảng xét dấu ta được: 1 1 1 x3  3x  2 1 7 1  I dx    x 2  x  2 dx   x3  x 2  2 x   . x 1 2 3  2 6 2 2 Chọn C 2 x2  x  2 dx có giá trị là: Câu 48. Tích phân I   x 1 2 A. I  3  2ln 3 . Tích phân I  0  2 B. I  2 ln 3 . C. I  3  2 ln 3 . Hướng dẫn giải 2 x x2 dx có giá trị là: x 1 D. I  3  3ln 2 . Ta có: x2  x  2  f  x   0  x  1  x  2  x  1 x 1 Từ bảng xét dấu ta được: 1 0 0  x2  x  2  x2  x  2 x2  x  2 I dx     dx    x  1 dx . x 1 x 1  2 2  1 f  x  1 1 1  x2  x  2   x2  2  5  I1     dx    x  dx      2 ln x  1    2ln 2  2ln 3 .    x 1  x 1   2  2 2 2  2  0 0  x2  x  2   x2  1 I2    dx  ...    2 ln x  1    2 ln 2 . x 1   2  1 2 1   I  I1  I 2  3  2ln 3 . Chọn A 1 1  Câu 49. Tích phân I    2ax 3  dx có giá trị là: x 2  15a 15a 15a  ln 2 .  ln 2 .  ln 2 . A. I   B. I  C. I  16 16 16 Hướng dẫn giải 1 1  Tích phân I    2ax 3  dx có giá trị là: x 2  Ta có: D. I   15a  ln 2 . 16 1 1 1 15a  a  I    2ax3  dx   x 4  ln x     ln 2 . x 2 16     2 2 Chọn C 1 2 0 a Câu 50. Biết tích phân I1   2 xdx  a . Giá trị của I 2    x 2  2 x dx là: A. I 2  17 . 3 B. I 2  19 . 3 C. I 2  Hướng dẫn giải 16 . 3 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. I 2  13 . 3 Trang 156 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 1 2 0 a Tích Phân và Ứng Dụng Biết tích phân I1   2 xdx  a . Giá trị của I 2    x 2  2 x dx là: Ta có: 1 I1   2 xdx   x 0 2  2 1 0 Chọn C 2 2 16 1   1  I 2    x  2 x  dx    x  2 x  dx   x3  x 2   . 3 1 3 a 1 2 2 b Câu 51. Cho tích phân I    x 2  1 dx . Khẳng định nào dưới đây không đúng? a b b b a a a b A. I    x 2  1 dx   x 2 dx   dx . B. I   x3  x  . 1 1 C. I  b3  b  a3  a . 3 3 D. Chỉ có A và C đúng. a Hướng dẫn giải b Cho tích phân I    x 2  1 dx . Khẳng định nào dưới đây không đúng? a Ta có: b 1 1 1  I    x  1 dx   x 3  x   b3  b  a3  a . 3 3 a 3 a Phát biểu (A): đúng. Phát biểu (B): sai. Phát biểu (C): đúng. Phát biểu (D): đúng. Chọn B b 2 3 Câu 52. Số nghiệm nguyên âm của phương trình: x  ax  2  0 với a  A. 0. B. 1. 3e 1  x dx 1 C. 2. Hướng dẫn giải 3 Số nghiệm nguyên âm của phương trình: x  ax  2  0 với a  3e là: D. 3. 1  x dx là: 1 Ta có: a  Chọn B 3e 3e 1 2 dx  ln x  3  x 3  3 x  2  0   x  1  x  2   0  x  1  x  2 .   1 x 1 1 Câu 53. Số nghiệm dương của phương trình: x3  ax  2  0 , với a   2 xdx , a và b là các số hữu tỉ 0 là: A. 0. B. 1. C. 2. Hướng dẫn giải 3 D. 3. 1 Số nghiệm dương của phương trình: x  ax  2  0 , với a   2 xdx là: 0 1 1 Ta có: a   2 xdx   x 2   1  x 3  x  2  0   x  1  x 2  x  2   0  x  1 . 0 0 Chọn B File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 157 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 54. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số k để có Tích Phân và Ứng Dụng   2 x  1 dx  4 lim x 0 1 k  1 A.  . k  2 k  1 B.  .  k  2  k  1 C.  .  k  2 Hướng dẫn giải Chọn D  2 x  1 1 Ta có:   2 x  1 dx    2 x  1 d  2 x  1  21 4 1 k k Mà 4lim x 0 x  1 1  4 lim x0 x   x 1 1   x 1 1 2 k  k  1 D.  . k  2  2k  1  2 4 1   4lim x 1 1 x x 1 1 . x k x 0  1 4 1 2 x 1 1 2 x  1 1  2k  1  1  2  2k  1 2  9   k  2 .  Khi đó:   2 x  1 dx  4 lim    x 0 x 4  k  1 1 k Câu 55. Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   1  x  1  x trên tập  và thỏa mãn F 1  3 . Tính tổng F  0   F  2   F  3  . A. 8 . B. 12 . Chọn C Bảng khử dấu giá trị tuyệt đối: x Ta có:  1 1  1 x  0  |  1 x  |  0  f2  x  2x 2 2 f x d x  F 2  F 1  F 2        3 mà    1 1   f  x  dx  F 1  F  0   3  F  0  mà 0 2 2  1 f  x  dx   2dx  2 nên F  2   5 . 1 1 1  f  x  dx   2 xdx  x 0 0  f  x  dx  F  0   F  1  2  F  1  D. 10 . C. 14 . Hướng dẫn giải 2 1 0  1 nên F  0   2 . 0 0 0 1 1 mà 1  f  x  dx   2 xdx  x 2 0 1  1 nên F  1  3 .  1 1 1 3 3 3  f  x  dx  F  1  F  3  3  F  3 mà  f  x  dx   2dx  4 nên F  3  7 . Vậy F  0   F  2   F  3   2  5  7  14 . Câu 56. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương n thỏa mãn 2  1  n 2  2 x  3 x 2  4 x 3  ...  nx n 1  dx  2 0 ? A. 1 . Chọn C B. 2 . C. 0 . Hướng dẫn giải File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. 3 . Trang 158 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ta 2  1  n có: Tích Phân và Ứng Dụng 2  2 x  3 x 2  4 x 3  ...  nx n 1  dx  2 0 2   x  n 2 x  x 2  x3  x 4  ...  x n   2 0 2 2 3 4  2  2n  2  2  2  ...  2  2  1  2  22  ...  2n1  n2  1  2 n  1  n2  1  2 n  n 2  2  0 . Thử với các giá trị n  1; 2;3; 4 đều không thỏa mãn. n Với n   , n  5 ta chứng minh 2n  n2  2 1 . Dễ thấy n  5 thì 1 đúng. Giả sử 1 đúng với n  k với k  , k  5 . Khi đó 2k  k 2  2 . 2 Khi đó: 2k 1  2  k 2  2   k 2  k 2  2  2  k 2  2k  1  2   k  1  2 . Do đó 1 đúng với n  k  1 . Theo nguyên lý quy nạp thì 1 đúng. Vậy không tồn tại số nguyên n . Câu 57. Cho hàm số y  f  x  . Hàm số y  f   x  có đồ thị như hình vẽ dưới đây Biết rằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục Ox và đồ thị hàm số y  f   x  trên đoạn và 1; 4  lần lượt bằng 9 và 12 . Cho f 1  3 . Giá trị biểu thức f  2   f  4  bằng A. 21 B. 9 . C. 3 . D. 2 . Hướng dẫn giải Chọn C  2;1 Theo giả thiết ta có 1  f   x  dx  9 và 2 Dựa vào đồ thị 4  f   x  dx  12 . 1 ta 1 có:  2 1 1 f   x  dx    f   x  dx   f  x  2   f  1  f  2  2   f 1  f  2   9 . Tương tự ta có  f  4   f 1  12 . Như vậy   f 1  f  2      f  4   f 1   3  f  2   f  4   2 f 1  3  f  2   f  4   6  3  f   2   f  4   3 . 2 1 0 0 Câu 58. Cho I    2 x 2  x  m  dx và J    x 2  2mx  dx . Tìm điều kiện của m để I  J . A. m  3 . B. m  2 . Chọn A 2 C. m  1 . Hướng dẫn giải D. m  0 . 2  2 x3 x 2  10 Ta có I    2 x  x  m  dx     mx    2m . 2 0  3 0 3 2 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 159 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 1 1  x3  1 J    x  2mx  dx    mx 2    m . 0  3 0 3 10 1 Do đó I  J   2m   m  m  3 3 3 2 Câu 59. Biết rằng hàm số f  x   ax 2  bx  c thỏa mãn 1  0 3  f  x  dx  0 2  f  x  dx  2 và 0 13 (với a , b , c   ). Tính giá trị của biểu thức P  a  b  c . 2 3 A. P   . 4 4 B. P   . 3 Chọn B Ta có 7 f  x  dx   , 2 C. P  Hướng dẫn giải 4 . 3 D. P  3 . 4 d d  0 b a b a  f  x  dx   x3  x 2  cx   d 3  d 2  cd . 2 2 3 0 3 1 7 7 a b  f  x  dx    c    2  0 3 2 2 a  1   2  4 8  Do đó:  f  x  dx  2   a  2b  2c  2  b  3 . Vậy P  a  b  c   3  0 3 16 9 13 3   c 3   f  x  dx  13 9a  2 b  3c  2  2  0 TÍCH PHÂN HỮU TỈ 1 x5 Câu 60. Biết  dx  a  ln b với a , b là các số thực. Mệnh đề nào dưới đây đúng? 1 2x  2 3 A. ab  8 . 81 B. a  b  Chọn A 7 9 . C. ab  . 24 8 Hướng dẫn giải D. a  b  3 . 10 1 1 1 1 1 1 4 x5 1  6  Ta có:  dx    1   dx  2  x  6 ln x  1  1  2 1  6 ln 2  3  6 ln 3  2 1  x 1    1 2x  2 3 3 3 1 8 1 8 8   ln . Vậy ab  .  . 3 27 3 27 81 1 2ax dx  ln 2 . Giá trị của a là: Câu 61. Tích phân I   0 x 1 A. a  ln 2 . 1  ln 2 1 Tích phân I   0 B. a  ln 2 ln 2 . C. a  . 2  2 ln 2 1  ln 2 Hướng dẫn giải D. a  ln 2 . 2  2 ln 2 2ax dx  ln 2 . Giá trị của a là: x 1 Ta có: File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 160 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 1 Tích Phân và Ứng Dụng 1 1 2ax 1   I  dx  2a   1  dx  2 a x  ln x  1  2a 1  ln 2  .    0 x 1  0 x 1 0 ln 2 Mà I  ln 2  2a 1  ln 2   ln 2  a  . 2  2ln 2 Chọn B 1 1 I  Câu 62. Cho 0 3  2 x  x 2 dx   a  b  ln 2  b ln 3 . Giá trị a + b là: A. 1 . 4 B. 1 . 2 1 1 . 6 Hướng dẫn giải C. D. 1 . 3 1 dx   a  b  ln 2  b ln 3 . Giá trị a + b là: 2 0 3  2x  x Cho I   Ta có: 1   1 1 1  4  1 1 1 1 1 I  dx     4    ln x  1  ln x  3   ln 3  a  b   a  b  2 0 3  2x  x 4 4 2 x 1 3  x  4 0 0   . Chọn B 2 x2 Biết 0 x  1 dx  a  ln b  a, b    . Gọi S  2a  b , giá trị của S thuộc khoảng nào sau đây Câu 63. 1 ? A.  8;10  . B.  6;8  . Chọn D Ta C.  4; 6  . Hướng dẫn giải D.  2; 4  . có 2 2  x2  a  0 x2 1   x x x d   1  d  S 3.   x  ln  x  1   ln 3  a  ln b    0 x  1 0  x 1  b  3  2 0 2 Vậy S   2; 4  . 2 x   Câu 64. Tích phân I    x 2   dx có giá trị là: x 1  1 10 10 10 A. I   ln 2  ln 3 . B. I   ln 2  ln 3 . C. I   ln 2  ln 3 . D. 3 3 3 10 I   ln 2  ln 3 . 3 Hướng dẫn giải 2 x   Tích phân I    x 2   dx có giá trị là: x 1  1 2 2 2  x3  x  1    2 I    x2  dx  x  1  dx    x  ln x  1      x 1  x 1   3 1 1 1 Ta có: 8 1  10   2  ln 3    1  ln 2    ln 2  ln 3 3 3  3 Chọn A File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 161 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng Câu 65. Nhận xét: Không thể dùng máy tính để tính ra kết quả như trên mà ta chỉ có thể dùng để kiểm 2  1  tra mà Tích phân I    2  2 x  dx có giá trị là:  1 x 5 7 9 11 A. I  . B. I  . C. I  . D. I  . 2 2 2 2 Hướng dẫn giải 2  1  Tích phân I    2  2 x  dx có giá trị là:  1 x 2 2 7  1   1  Cách 1: I    2  2 x  dx     x 2   . x   x 1 2 1 Chọn B Cách 2: DÙng máy tính cầm tay. 1  ax   2ax  dx có giá trị là: Câu 66. Tích phân I     0  x 1 A. I  a ln 2 . B. I  2 ln 2 . C. I  2 ln 2 . Hướng dẫn giải 1  ax   2ax  dx có giá trị là: Tích phân I     0  x 1 1 1 D. I  a ln 2 . 1 1 1 x  ax  I    2ax  dx  a  dx  2a  xdx  a  x  ln x  1   a  x 2   a 1  ln 2   a   a ln 2 0 0  0  x 1 0 x 1 0 . Chọn A a a x Câu 67. Tích phân I      dx ,với a  0 có giá trị là: a 1 x 2 a 1 a2  1 A. I  a ln a  . B. I  a ln a  . 2a 2a a2  1 a2 1 C. I  a ln a  . D. I  a ln a  . 2a 2a Hướng dẫn giải a a x Tích phân I      dx , với a  0 có giá trị là: a 1 x Ta có: a  x2  a 1 a2 1 a x I      dx   a ln x    a ln a    a ln a  . x a 2a  1 2 2a 2a  1 Chọn C 3 2 2 a x  2x Câu 68. Tích phân I   dx có giá trị nhỏ nhất khi số thực dương a có giá trị là: ax 2 2 1 A. 2 5 . B. . C. . D. 5 . 5 5 Hướng dẫn giải 3 2 2 a x  2x Tích phân I   dx có giá trị nhỏ nhất khi số thực dương a có giá trị là: ax 2 Ta có: a File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 162 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 3 Tích Phân và Ứng Dụng 3 3 a2 x2  2x 2 2  5a 2  a I  dx    ax   dx   x 2  x    ax a 2 a 2 a     2 2 2 Vì a là số thực dương nên I  Chọn A 5a 2 5a 2  2 . 2 5. 2 a 2 a 2 b  Câu 69. Tích phân I    ax 2   dx có giá trị là: x 1 7 7 A. I  a  b ln 2 . B. I  3a  b ln 2 . C. I  a  b ln 2 . 3 3 Hướng dẫn giải 2 b  Tích phân I    ax 2   dx có giá trị là: x 1 Ta có: D. I  3a  b ln 2 . 2 2 b 7a  a  I    ax 2   dx   x 3  b ln x    b ln 2 . x 3 3 1 1 Chọn C 1 b   Câu 70. Tích phân I    ax 3  dx có giá trị là: x2 1  a a A. I  b ln 3 . B. I   b ln 3 . C. I   b ln 3 . 2 2 Hướng dẫn giải 1 b   Tích phân I    ax 3  dx có giá trị là: x2 1  Ta có: D. I  b ln 3 . 1 1 b   a 4  I    ax 3  dx   x  b ln x  2   b ln 3 . x2 4  1 1  Chọn D e2 Câu 71. Tích phân I   e x 1 dx có giá trị là: x2 1 1 A. I  1   2 . e e e2 Tích phân I   e e2 1 1 1 1 B. I  1   2 . C. I  1   2 . e e e e Hướng dẫn giải 1 1 D. I  1   2 . e e x 1 dx có giá trị là: x2 e2 e2 x 1 1 1 1 1 1   I   2 dx     2  dx   ln x    1   2 . x  xe e e  e x e  x Chọn D 1 x dx  a . Biểu thức P  2a  1 có giá trị là: Câu 72. Giá trị của tích phân I   0 x 1 A. P  1  ln 2 . B. P  2  2 ln 2 . C. P  1  2 ln 2 . Hướng dẫn giải File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. P  2  ln 2 . Trang 163 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 1 Giá trị của tích phân I   0 Tacó: 1 Tích Phân và Ứng Dụng x dx  a . Biểu thức P  2a  1 có giá trị là: x 1 1 1 x 1   I  dx   1   dx   x  ln x  1  0  1  ln 2  a  1  ln 2  P  2a  1  1  2 ln 2 x 1  0 x 1 0 . Chọn C e2  1  x  x2  Câu 73. Giá trị của tích phân I    dx  a . Biểu thức P  a  1 có giá trị là: x   e 1 1 1 1 A. P  e  e 2  e4 . B. P  e  e 2  e 4 . 2 2 2 2 1 2 1 4 1 2 1 4 C. P  e  e  e . D. P  e  e  e . 2 2 2 2 Hướng dẫn giải e2 2 1 x  x  Giá trị của tích phân I    dx  a . Biểu thức P  a  1 có giá trị là: x   e Ta có: e2 e2 e2 1 x  x   x  e 2 e4 1  I   dx     1  x dx   ln x  x    1  e   . x x 2 e 2 2    e  e  2  a  1 e  Chọn B 2 e 2 e4 e2 e4 e2 e4   a  1  e    P   e   . 2 2 2 2 2 2 0 3x2  5x  1 2 1 x  2 dx  a ln 3  b , với a, b . Tính giá trị a  2b . A. 30 . B. 40 . C. 50 . D. 60 . Hướng dẫn giải Chọn B Ta Câu 74. Biết I  0 0 có: 0  3x2  3x 2  5 x  1 21  2 19  d 3 11 d x  x   x   11x  21ln x  2   21.ln  .   1 x  2 1  x2 3 2  2  1 Vậy a  2b  40. 2 x 1 Câu 75. Tính tích phân: I   dx . x 1 7 A. I  1  ln 2 . B. I  2 ln 2 . C. I  1  ln 2 . D. I  . 4 Hướng dẫn giải Chọn C 2 2 2 x 1  1 Ta có I   dx    1   dx   x  ln x  1  1  ln 2 . x x 1 1 1 dx Câu 76. Tính tích phân I   2 . 0 x 9 I File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 164 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 1 1 A. I  ln . 6 2 1 1 1 B. I   ln . C. I  ln 2 . 6 2 6 Hướng dẫn giải Chọn A 1 1 1  1 1  dx 1 x3  I    Ta có: I   2  dx  ln 6 0  x 3 x 3 6 x 3 0 x 9 4 Câu 77. Biết I   3 Tích Phân và Ứng Dụng 1 0 D. I  ln 6 2 . 1 1  1 1   ln  ln1  ln . 6 2  6 2 dx  a ln 2  b ln 3  c ln 5, với a, b, c là các số nguyên. Tính S  a  b  c. x x 2 A. S  6 . B. S  2 . C. S  2 . Hướng dẫn giải D. S  0. Chọn B 4 dx 1 1 1 1 I  2    . Ta có: 2 . x  x x( x  1) x x  1 3 x  x Khi đó: 4 4 dx 1  1 4 I  2     dx   ln x  ln( x  1)  |3  (ln 4  ln 5)  (ln 3  ln 4)  4 ln 2  ln 3  ln 5. x  x x x  1  3 3 Suy ra: a  4, b  1, c  1. Vậy S  2. 5 3 dx  a ln 5  b ln 2  a, b  Z  . Mệnh đề nào sau đây đúng?  3x 1 A. a  2b  0 . B. 2a  b  0 . C. a  b  0 . D. a  b  0 . Hướng dẫn giải Chọn D 5 5 5 3 1  1 d x  1 x 2  3x 1  x  x  3  dx   ln x  ln x  3  1  ln 5  ln 2  a  1 và b  1. Ta có: a  b  0 . 2 x 1 dx  a ln 5  b ln 3; a, b   . Tính P  ab . Câu 79. Giả sử  2 x  4x  3 0 Câu 78. Biết rằng x 2 A. P  8 . B. P  6 . Chọn B BN 2 2 D. P  5 . C. P  4 . Hướng dẫn giải 2 2 M x 1 x 1 2   1 dx   dx     dx    ln x  1  2 ln x  3   2 ln 5  3ln 3 0  4x  3 x 3 0 0  x  1 x  3  0  x 1 Suy ra:. Do đó: P  ab  6 . x 2 2 e2 x2  2 x 1 Câu 80. Cho giá trị của tích phân a  2, b  3 I1   dx  a , I 2   dx  b . Giá trị của biểu x x 1 e 1 thức P  a  b là: 7 3 A. P   ln 2  ln 3 . B. P   ln 2  ln 3 . 2 2 5 1 C. P   ln 2  ln 3 . D. P   ln 2  ln 3 . 2 2 Hướng dẫn giải File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 165 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 2 2 e x2  2 x 1 Cho giá trị của tích phân I1   dx  a , I 2   dx  b . Giá trị của biểu thức P  a  b x 1 x 1 e có giá trị là: Ta có: 2 2 2  x2  x2  2x 1  5 5  I1   dx    x  1  dx    x  ln x  1    ln 2  ln 3  a   ln 2  ln 3  x 1 x 1  2  2 1 2 1 1 . e2 e2 1 I 2   dx   ln x   1  b  1 . e x e P  ab  Chọn B 3  ln 2  ln 3 . 2 0 x 3  3x 2  2 Câu 81. Giá trị của tích phân I   2 dx gần nhất với gái trị nào sau đây? 1 x  x  2 ln 2 3 ln 3 A.  . B. ln 2  1 . C.  ln 4 . D.  . 2 2 3 Hướng dẫn giải 0 3 2 x  3x  2 Giá trị của tích phân I   2 dx gần nhất với gái trị nào sau đây? 1 x  x  2 Ta có: 0 3 x  3x 2  2 I 2 dx x  x  2 1 0 0 0  x  1  x 2  2 x  2   x2  x2  2x  2 6  9   dx   dx    x  4  dx    4 x  6ln x  2   6 ln 2   x2 x2 2  x  1 x  2  2  1 1 1 1  0 Chọn A 2 ax  1 3 4 3 2 dx  ln  ln . Giá trị của a là: 5 3 5 3 1 x  3x  2 2 3 B. a  . C. a  . 5 5 Hướng dẫn giải 2 ax  1 3 4 3 2 I  2 dx  ln  ln . Giá trị của a là: 5 3 5 3 1 x  3x  2 Câu 82. Tích phân I   A. a  1 . 5 Tích phân Ta có: 2 2 2 D. a  4 . 5 2 ax  1 x 1 I  2 dx  a  2 dx   2 dx . 1 x  3x  2 1 x  3x  2 1 x  3x  2 2 2 2 x 1   2 dx  a    dx  a  2 ln x  2  ln x  1  1 2 x  3x  2 x  2 x 1  1 1 Xét . 4 2  a  2 ln 4  3ln 3  ln 2   2a ln  a ln 3 3 2 2 1 4 2 Xét I 2   2 dx   ln x  1  ln x  2    ln  ln . 1 3 3 1 x  3x  2 I1  a  File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 166 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 4 2  I  I1  I 2   2a  1 ln   a  1 ln 3 3 3 4 3 2 4 Theo đề bài: I  ln  ln  a  . 5 3 5 3 5 Chọn D a x2  1 1 7 Câu 83. Tích phân I   3 dx  ln . Giá trị của a là: 3 2 1 x  3x A. a  1 . B. a  2 . C. a  3 . Hướng dẫn giải a 2 x 1 1 7 Tích phân I   3 dx  ln . Giá trị của a là: 3 2 1 x  3x Ta có: x2  1 1 I  3 dx  3 x  3x 1 a Theo đề bài: Chọn B Câu 84. Biết a3  3 a  4 D. a  4 . a3  3 a 1 1 1 a3  3a dt   ln t   ln , với t  x3  3x . 4 3 3 4 t 1 a  3a 1 7 ln  ln  a 3  3a  14  0   a  2   a 2  2a  7   0  a  2 . 3 4 3 2 3 x 1   x  1 2  x dx  a.ln x  1  b.ln x  2  C , a, b  . Tính giá trị của biểu thức a  b . A. a  b  1 . B. a  b  5 . C. a  b  1 . Hướng dẫn giải: D. a  b  5 . Chọn C x 1 A B   .  x  1 x  2 x  1 x  2   x  1  A  x  2   B  x  1 .  A  B  1 A  2 .   2 A  B  1  B  3 x 1 3   2 Nên:  dx     dx .  x  1 2  x   x 1 x  2   2 ln x  1  3ln x  2  C . Vậy a  2 , b  3 . Vậy a  b  1 . 1 3x  1 a 5 a dx  3ln  , trong đó a, b là hai số nguyên dương và Câu 85. Biết  2 là phân số tối b 6 b 0 x  6x  9 giản. Tính ab ta được kết quả. A. ab  5. B. ab  27. C. ab  6. D. ab  12. Hướng dẫn giải Chọn D 1 1 3x  1 3x  1 d x  0 x 2  6 x  9 0  x  32 dx Đặt t  x  3  dt  dx; x  t  3 Đổi cận: x  0  t  3; x  1  t  4 Khi đó: File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 167 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 4 3  t  3 1 10  4  3 10   dx   dt     2  dt   3ln t   K  2 2 t t t  t 3  0  x  3 3 3 1 4 3x  1 5 4 5  3ln   a  4, b  3  a.b  12 . 6 3 6 3 2 x  3x  2 Câu 86. Biết  2 dx  a ln 7  b ln 3  c với a , b , c   . Tính T  a  2b 2  3c3 . 2 x  x 1 A. T  4 . B. T  6 . C. T  3 . D. T  5 . Hướng dẫn giải Chọn A  3ln 4  3ln 3  3 3 x 2  3x  2 2x 1   2 2 x 2  x  1 dx  2 1  x 2  x  1  dx  x  ln x  x  1   3 2 a  1    ln 7  ln 3  1 , suy ra b  1 . c  1  Vậy T  a  2b 2  3c3  4 . 0 3x 2  5 x  1 2 Câu 87. Giả sử I   dx  a.ln  b . Khi đó giá trị a  2b là: x2 3 1 A. 30. B. 40. C. 50. D. 60. Hướng dẫn giải Chọn B Ta có 0 0  3x 2 0 3x 2  5 x  1 21  2 19 I dx    3x  11  d x   11x  21ln x  2   21ln    1 x2 x2 3 2   2  1 1 Câu 88. 5 3 dx  a ln 5  b ln 2  a, b    . Mệnh đề nào sau đây đúng?  3x 1 A. a  2b  0 . B. 2a  b  0 . C. a  b  0 . D. a  b  0 . Hướng dẫn giải: Chọn D 5 5 3 1  1 d x  1 x 2  3x 1  x  x  3  dx Biết rằng x 2 5   ln | x |  ln | x  3 | 1  ln 5  ln 2 . Vậy a  1, b  1 . 3 x2 dx  a ln 5  b ln 3  3ln 2  a , b    thì giá trị của P  2a  b là  3x  1 2 15 15 A. P  1 . B. P  7 . C. P   . D. P  . 2 2 Hướng dẫn giải Chọn C Ta có Câu 89. Nếu  2x 2 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 168 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 3 3 Tích Phân và Ứng Dụng 3 x2 1 4x  3 11 1 2 2 x 2  3x  1 dx  4 2 2 x 2  3x  1 dx  4 2 2 x 2  3x  1 dx 3 3 1 1 11 1   2 d  2 x 2  3 x  1   dx 4 2 2 x  3x  1 4 2  x  1 2 x  1 3 3 1 11  1 2   ln 2 x 2  3 x  1      dx 4 4 2  x 1 2x  1  2 3 1 11 x 1  ln 2 x 2  3x  1  ln 4 4 2x 1 2 3  2 1 11 2 1  ln10  ln 3   ln  ln  4 4 5 3 1 10 11 6 1 11 5 5  ln  ln   ln 5  ln 2  ln 3   ln 2  ln 3  ln 5    ln 5  ln 3  3ln 2 . 4 3 4 5 4 4 2 2 5 5 15 Do đó a   , b  , P   . 2 2 2 3 x3 Câu 90. Cho  2 dx  m ln 2  n ln 3  p ln 5 , với m , n , p là các số hữu tỉ. Tính x  3 x  2 1 S  m2  n  p2 . A. S  6 . B. S  4 . Chọn A C. S  3 . Hướng dẫn giải D. S  5 . 3 3 2 x  4   x  1 x3 x3  d x  dx Ta có  2 dx   x  1 x  2 x  1 x  2 x  3 x  2       1 1 1 3 3   2x  4 x 1    dx x  2 x  1 x  2 x  1       1   3 3 3 3 2 1 dx   dx  2ln  x  1 1  ln  x  2  1  2 ln 4  2 ln 2   ln 5  ln 3  1 x 1 1 x2 m  2 2 4   2 ln    ln 5  ln 3  2 ln 2  ln 3  ln 5  n  1  S  22  1   1  6 . 2  p  1  2 2 x dx  a  ln b với a , b  , b  0 . Hỏi giá trị 2a  b thuộc khoảng nào sau Câu 91. Biết rằng  0 x 1 đây? A.  8;10  . B.  6;8  . Chọn D C.  4; 6  . Hướng dẫn giải D.  2; 4  . 2 2 2  x2  x2 1    a  0, b3 Ta có: d x x 1 d x x ln x 1           ln 3   0 x  1 0  x 1 2  0  2a  b  3 . 4 dx  a ln 2  b ln 3  c ln 5 với a, b, c là các số nguyên. Tính S  a  b  c Câu 92. Biết I   2 3 x  x A. S  6 . Chọn B B. S  2 . C. S  2 . Hướng dẫn giải File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. S  0 . Trang 169 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng Cách 1: 4 4 4 x 1 1 4 3 I  2  ln  ln  4 ln 2  ln 3  ln 5 . dx   dx  ln x 1 3 5 4 3 x  x 3 x  x  1 Suy ra a  4, b  c  1  S  2 . Cách 2: Ta có: 4 4 4 4 1 1 1 1 dx   dx   dx   dx  ln 4  ln 3  ln 5  ln 4  4 ln 2  ln 3  ln 5 I  2 3 x  x 3 x  x  1 3 x 3 x 1 Suy ra a  4, b  c  1  S  2 . 2 dx 1 1   , với a , b là các số nguyên thuộc khoảng  7;3 thì a và b là  4x 1 a b 1 nghiệm của phương trình nào sau đây? A. 2 x2  x  1  0 . B. x2  4x  12  0 . C. x 2  5x  6  0 . D. x2  9  0 . Hướng dẫn giải Chọn B Câu 93. Biết  4x 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 dx dx 1 2 Ta có  2    2 x  1 d  2 x  1   2  2 x  1      . 2  6 2 6 2 4 x  4 x  1 1  2 x  1 21 1 1 2 a  6 a  2 Suy ra  hoặc  và a , b là nghiệm của phương trình x2  4 x  12  0 . b  2 b  6 5 2 x  x 1 b dx  a  ln với a , b là các số nguyên. Tính S  a  2b . Câu 94. Biết  x 1 2 3 A. S  2 . B. S  5 . Chọn C 5 C. S  2 . Hướng dẫn giải D. S  10 . 5 5 x2  x 1 1  25 9 3  1 2  Ta có  dx    x   ln 6   ln 4  8  ln .  dx   x  ln x  1   2 2 x 1 x 1  2 3 2 3 3 Vậy a  8 , b  3 . Suy ra S  a  2b  8  2.3  2 . 3 dx  a ln 2  b ln 5  c ln 7 ,  a, b, c    . Giá trị của biểu thức 2a  3b  c Câu 95. Biết  0  x  2  x  4  bằng A. 5 . B. 4 . C. 2 . Hướng dẫn giải D. 3 . Chọn D 3 3 3 dx 1  1 1  1 1 1 1 0  x  2  x  4   2 0  x  2  x  4  dx  2  ln x  2  ln x  4  0  2 ln 5  2 ln 7  2 ln 2 . 1 1 1 Khi đó: 2a  3b  c  2.  3.   3 . 2 2 2 4 1 dx  ln a . Câu 96. Tìm giá trị của a để  3  x  1 x  2  A. 12 . Chọn B B. 4 . 3 1 . 3 Hướng dẫn giải: C. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. 3 . 4 Trang 170 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 4 1 Tích Phân và Ứng Dụng 4 4 1   1 x2 2 1 4 2 2 3  x  1 x  2 dx  3  x  2  x  1  dx  ln x  1  ln 3  ln 2  ln  3 . 1   ln 3  ln a 3 4 a 3 1 1   1  Câu 97. Cho    dx  a ln 2  b ln 3 với a , b là các số nguyên. Mệnh đề nào dưới đây x  1 x  2   0 đúng ? A. a  b  2 . B. a  2b  0 . C. a  b  2 . D. a  2b  0 . Hướng dẫn giải Chọn D 1 1 1 1 dx dx  ln x  1  ln 2 và   ln x  2  ln 3  ln 2 Ta có:  0 0 0 x 1 0 x2 1 1   1  Do đó    dx  ln 2   ln 3  ln 2   2 ln 2  ln 3  a  2 , b  1 . x2 0  x 1 Vậy a  2b  0 . 3 5 x  12 Câu 98. Biết  2 dx  a ln 2  b ln 5  c ln 6 . Tính S  3a  2b  c . x  5 x  6 2 A. 3 . B. 14 . C. 2 . D. 11 . Hướng dẫn giải Chọn D 5 x  12 5 x  12 A B  A  B  x  3 A  2B .    Ta có: 2  x  5 x  6  x  2  x  3 x  2 x  3 x2  5 x  6 A B  5 A  2 .   3 A  2 B  12 B  3 3 3 3 3 3 5 x  12 2 3 2 x2  5x  6 dx  2 x  2 dx  2 x  3 dx  2ln x  2 2  3ln x  3 2  3ln 6  ln 5  2ln 4  4ln 2  ln 5  3ln 6 . Vậy S  3a  2b  c  11 . 2 1 Câu 99. Cho  2 dx  a ln 2  b ln 3  c ln 5 với a , b , c là các số nguyên. Mệnh đề nào dưới 1 x  5x  6 đây đúng? A. a  b  c  4 . B. a  b  c  3 . C. a  b  c  2 . D. a  b  c  6 . Hướng dẫn giải Chọn C 2 2 2 1 1   1 Ta có:  2 dx      dx   ln x  2  ln x  3  1 x3 1 x  5x  6 1 x2   ln 4  ln 5    ln 3  ln 4   2 ln 4  ln 3  ln 5  4 ln 2  ln 3  ln 5 . Nên Vậy a  b  c  4   1   1  2 . x2  1 m n p  x3  6 x 2  11x  6 dx  ln  x  1  x  2   x  3  C . Tính 4  m  n  p  . A. 5 . B. 0 . C. 2 . D. 4 . Hướng dẫn giải Chọn D Câu 100. Biết File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 171 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng x2  1 x2 1 A B C     Ta có: 3 2 x  6 x  11x  6  x  1 x  2  x  3 x  1 x  2 x  3  A  x  2  x  3  B  x  1 x  3  C  x  1 x  2  x2 1   x  1 x  2  x  3  x  1 x  2  x  3  x 2  1  A  x  2  x  3   B  x  1 x  3   C  x  1 x  2  A  B  C 1 A 1     5 A  4 B  3C  0   B  5 . 6 A  3B  2C  1 C  5   x2  1 1 1 1  x3  6 x 2  11x  6 dx   x  1 dx  5 x  2 dx  5 x  3 dx 5 5  ln  x  1 x  2   x  3   C . Suy ra Vậy 4  m  n  p   4 . 3 x 8 dx  a ln 2  b ln 5 với a , b là các số nguyên. Mệnh đề nào sau đây đúng?  x2 2 A. a  b  3 . B. a  2b  11 . C. a  b  5 . D. a  2b  11 . Hướng dẫn giải Chọn B 3 3 3 3 x 8 2   3 Ta có  2 dx      dx  3ln x  1 2  2 ln x  2 2  7 ln 2  2ln 5 . x2 2 x  x2 2  x 1 a  7  a  2b  11 . Suy ra  b  2 Câu 101. Cho x 2 1 x3  2 x2  3 1 3 0 x  2 dx  a  b ln 2 Câu 102. Biết k ab  dx  lim 2  1 x  2017 x  2018 x  8 A. k  0 .  a, b  0  tìm các giá trị của k để . B. k  0 . Chọn B C. k  0 . Hướng dẫn giải D. k   . 1 1 1 1 3 1 3 x3  2 x 2  3 3   dx    x 2  Ta có:   dx  3 x  3ln x  2  3  3ln 2 x2 x2 0 0 0 9 a  3   dx   dx  1  b  3 8 8 ab Mà ab  k dx  lim 2 x  8 Mặt khác ta có 2 x  k  1  lim  1 x  2017 x  2018 2  k  1 x  2017 x   dx  lim 8 x  2018 k lim ab Vậy để  1 x  2017 x  2018 x  2  1 x  2017 x  2018  k2 1 . thì 1  k 2  1  k 2  0  k  0 . File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 172 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈ 2 Câu 103. Tính tích phân I   4 x  1 dx . 0 A. 13 . B. 13 . 3 C. 4 . Hướng dẫn giải Chọn B 2 2 Ta có I   4 x  1 dx    4 x  1 0 0 1  D. 1 2 4 . 3 2 3 1 2 13 dx  .  4 x  1 2  . 4 3 3 0 a 3  b 2 . Giá trị của a  b là: 6 4 B. – 2. C. – 3. Hướng dẫn giải a 3 x  x  1 dx   b 2 . Giá trị của a  b là: 6 4  Câu 104. Biết rằng I1   x  x  1 dx  A. – 1. 0 1 Biết rằng I1   0  D. – 4.  Ta có: 1 1  x2 2 1 4 2 4 3 3  I1   x  x  1 dx     a  1, b   a  b  2 .  x  1     6 3 3 4  2 3 0 0 Chọn B 2 1 dx bằng Câu 105. Tích phân I   2 x  2 0 1 1 A. I  1  . B. I  2 2 . C. I  2  . D. I  2  2 . 2 2 Hướng dẫn giải Chọn D 2 2 1 dx  x  2  2  2 . Ta có: I   0 0 2 x2   1 dx 8 2 a b a  ,  a, b  *  . Tính a  2b . 3 3 x  2  x 1 0 A. a  2b  7 . B. a  2b  8 . C. a  2b  1. Hướng dẫn giải Chọn B 1 1 dx 2  Ta có 0 x  2  x  1 0 x  2  x  1 dx  3 Câu 106. Cho    D. a  2b  5 .   x  2 3   x  1 3  1 0 8 2 2 . 3 3 Do đó a  2 , b  3 , a  2b  8 . 1 x a b 3 dx  Câu 107. Biết tích phân  với a , b là các số thực. Tính tổng T  a  b 9 3x  1  2 x  1 0 . A. T  10 . B. T  4 . C. T  15 . D. T  8 . Hướng dẫn giải Chọn D 2 3 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 173 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ta có 1  0 1 x x dx   3x  1  2 x  1 0  3x  1  2 x  1 x Tích Phân và Ứng Dụng  dx  1   3 x  1  2 x  1 dx 0 1 1 1 1 3 3 1   2     3x  1 2   2 x  1 2  dx    3 x  1 2   2 x  1 2  3  9 0 0  17  9 3  16   2 1  17    3     3  . 9 9   9 3 9 a Câu 108. Tích phân I   x x  1dx có giá trị là: 0 A. I  C. I  2  a  1 5  5 2  a  1 5 5  2  a  1 3 3 2  a  1 3 3 4  . 15 4  . 15 B. I  D. I  5 2  a  1  5 2  a  1 5 Hướng dẫn giải 5  2  a  1 3 3 2  a  1  4 . 15  4 . 15 3 3 a Tích phân I   x x  1dx có giá trị là: 0 Ta có: a a a a 0 0 3 a 1 I   x x  1dx    x  1 x  1dx   x  1dx    x  1 2 dx    x  1 2 dx 0 0 a 5 3 2 2 5 2  2  =   x  1 2     x  1 2  =  x  1  3 5  0 3 0 5 Chọn B 1 x Câu 109. Tích phân I   dx có giá trị là: x  1 1 1 A. I  4 2  2. 3 Tích phân I  1  1 Ta có: 0 a B. I  3  x  1 4 15  4 2 4 2 2. 1 . C. I  3 3 Hướng dẫn giải D. I  4 2 1 . 3 x dx có giá trị là: x  1 1 1 1 1 3 x x 4 2 2   x 1 1  I   dx   x  1  1 dx    x  1 2  x    2. 3 x  1 1 x 1 1 3  1 1 1 Chọn A 4 x2  x  2 a4 b dx  Câu 110. Biết rằng I   . Với a , b , c là số nguyên dương. Tính a  b  c . c x2 3 x A. 39 . B. 27 . C. 33 . D. 41 . Hướng dẫn giải Chọn A 4  4  x2 2 x2  x  2 Ta có  dx   x  x  2 dx    x2  2 3 3 x 3 Suy ra a  25 , b  8 , c  6 . Vậy a  b  c  39 .     4  25  8 2 25  4 8 x2    6 6 3 3  File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 174 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng dx  a  b  c với a, b, c là các số nguyên dương. Tính 1 x x  2   x  2 x P  abc . A. P  2 . B. P  8 . C. P  46 . D. P  22 . Hướng dẫn giải Chọn B Ta có Câu 111. Biết  2 1  2   x2 x 2 2 dx dx   1 2 x x  2 dx 1 x x  2   x  2 x x x2 x2  x   2 2 1 1     dx  x  x  2  2  3  3 .  1 1 2 x 2 x2  Vậy a  2 ; b  3 ; c  3 nên P  a  b  c  8 . 2 dx  a  b  c với a , b , c là các số nguyên dương. Tính Câu 112. Biết I   x  1 x  x x  1   1  P  abc . A. P  24 .  B. P  12 . C. P  18 . Hướng dẫn giải D. P  46 . Chọn D Ta có: x  1  x  0 , x  1; 2  nên: 2 I  1  x  1 2 dx dx  x  x x  1 1 x  x  1 x  1  x    x  x  1   x  x  1  x dx 2 x 1  1 2 2 x 1  x    1   x  1  x dx x  x  1 2 1   1     dx  2 x  2 x  1 1  4 2  2 3  2  32  12  2 . x x 1  1 a  32  Mà I  a  b  c nên b  12 . Suy ra: P  a  b  c  32  12  2  46 . c  2  TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC    Câu 113. Tính tích phân  sin 3 xdx . 0 1 A.  . 3 B. 1 . 3 Chọn D 2 C.  . 3 Hướng dẫn giải D. 2 . 3 1  1 2 Ta có  sin 3 xdx   cos 3 x 0    1  1  . 3 3 3 0   2   Câu 114. Tính tích phân I   sin   x  dx . 4  0 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 175 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. I   . 4 Tích Phân và Ứng Dụng C. I  0 . B. I  1 . D. I  1 . Hướng dẫn giải Chọn C  2   2       I   sin   x  dx  cos   x   cos     cos    0 . 4 0  4 4 4  0  3 Câu 115. Tích phân I    4 A. cot dx bằng? sin 2 x    cot . 3 4 B. cot Chọn C  3 Ta có I    4 Câu 116. Biết dx   cot x sin 2 x  2  cos xdx  a  b  3      cot . C.  cot  cot . 3 4 3 4 Hướng dẫn giải A. T  3 . .  4 B. T  1 Chọn B  2  cos xdx  sin x  3 Câu 117. Số   cot A. 643 .    cot . 3 4 3 , với a , b là các số hữu tỉ. Tính T  2a  6b .  3 Ta có: D.  cot  2  3  1 C. T  4 . Hướng dẫn giải D. T  2 . 3 . Vậy 2a  6b  2  3  1 . 2 m    cot các số nguyên thỏa mãn  cos 2 x dx  0 là 3 4 0 B. 1284 . C. 1285 . Hướng dẫn giải. Chọn B Ta D. 642 . có 1 m m  cos 2 x dx  0  2 sin 2 x 0 0 0 1 k sin 2m  0  sin 2m  0  2m  k  m  ,k  2 2 . k 4043  2017  0  k   1284, 06 . 2  Vì k    có tất cả 1284 số nguyên của m . Vì m   0;2017   0   2 Câu 118. Tích phân I   sin xdx có giá trị là: 0 A. I  1 . sai. B. I  0 . C. I  1 . D. Cả A, B, C đều Hướng dẫn giải File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 176 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng  2 Tích phân I   sin xdx có giá trị là: 0  2  Cách 1: I   sin xdx    cos x  02  1 . 0 Chọn A Cách 2: Dùng máy tính cầm tay. Câu 119. Có bao nhiêu số thực b thuộc khoảng  ;3  sao cho b  4 cos 2 xdx  1 ?  A. 8 . B. 2 . D. 6 . C. 4 . Hướng dẫn giải Chọn C   b   k  1 12 Ta có:  4 cos 2 xdx  1  2 sin 2 x b  1  sin 2b    . 2  b  5  k  12 Do đó, có 4 số thực b thỏa mãn yêu cầu bài toán. b Câu 120. Tích phân I   2   sin x  cos x  dx có giá trị là:  A. I  1 . Tích phân I   2 B. I  2 . C. I  2 . Hướng dẫn giải D. I  1 .  2   sin x  cos x  dx có giá trị là:   2 Cách 1 m   0; 2017  : I   2     sin x  cos x  dx    cos x  sin x  2  2 .   2 2 Chọn C Cách 2: Dùng máy tính cầm tay. Câu 121. Tích phân I   6   sin 2 x  cos 3x  dx có giá trị là:  A. I  2 . 3  2 B. I  Tích phân I  C. I   Hướng dẫn giải 3 . 4 D. I   2 . 3  6   sin 2 x  cos 3x  dx có giá trị là:   6 3 . 4  2  1 3  1 6 Cách 1: I    sin 2 x  cos 3 x  dx    cos 2 x  sin 3x    . 3 4  2     Chọn C 2 2 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 177 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng Cách 2: Dùng máy tính cầm tay. Câu 122. Kết quả của tích phân  2   2 x  1  sin x  dx được viết ở dạng a , b  . Khẳng định nào sau 0 đây là sai? A. a  2b  8 . B. a  b  5 . Chọn B  2 C. 2a  3b  2 . Hướng dẫn giải D. a  b  2 . 2   1  1      1 . 4 2  4 2 0 Vậy a  4 , b  2 . Suy ra a  b  6 . Vậy B sai.  2   2 x 1  sin x  dx   x  x  cos x  02 Câu 123. Cho tích phân A. P  9 .  2 cos 2 x  1  sin x dx  a  b 0 B. P  29 . Chọn D  2 cos 2 x  2 với a , b . Tính P  1  a3  b2 D. P  25 . C. P  11 . Hướng dẫn giải  2 2 1  2sin x 1   dx    2sin x  2   dx 1  sin x 1  sin x  0 0  1  sin x dx   0      1  dx .   2 cos x  2 x     2sin x  2      0 1  cos   x    2    1 x   2    .2 tan    2  3   . 2 2 4 0 Vậy a  3, b  1 .  2  2 0  2  0 1 dx  2 x 2 cos    2 4 P  1  a3  b2  25 . Câu 124. Cho tích phân  2  1   4 x  1  cos x  dx    a  b   c ,  a, b, c    . Tính a  b  c 0 B. 1 . A. 3 C. 2 . Hướng dẫn giải Chọn B Ta có  2   4 x  1  cos x  dx   2 x 2 0  x  sin x   2 0 D. 1 . 3  1       1.  2 2 Suy ra a  2 , b  2 , c  1 nên a  b  c  1 . Câu 125. Biết  6 2   3  4 sin x  dx  0 . A. 8 . a c 3 a , trong đó a , b nguyên dương và tối giản. Tính a  b  c  b b 6 B. 16 . C. 12 . Hướng dẫn giải File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. 14 . Trang 178 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng Chọn D Ta có:  6 2  6  6 0 0   3  4sin x  dx   3  2 1  cos 2 x  dx    5  2 cos 2 x  dx 0 5 3 3  . 6 6 Suy ra a  5 , b  6 , c  3 . Vậy a  b  c  14 .   3   sin 2 x  cos x  dx  a , I Câu 126. Cho giá trị của tích phân I1  của a + b là: 3 A. P   3 . 4 2    2 B. P    cos 2 x  sin x  dx  b . Giá trị   3 3 3 3  . C. P   3 . 4 2 4 Hướng dẫn giải  3 Cho giá trị của tích phân I1    sin 2 x  cos x  dx  a , I   2 của a + b là: Cách 1: Ta có:  3 3 3  . 4 2  3 2    cos 2 x  sin x  dx  b . Giá trị   3 D. P   3  3 3 3 3  1 3 I1    sin 2 x  cos x  dx    cos 2 x  sin x    a  .  2 4 2 4 2      2 2  3  3 3 1 3 I 2    cos 2 x  sin x  dx   sin 2 x  cos x   b .  2 2 2      3  P  ab  3 3  3. 4 Chọn A Cách 2: Dùng máy tính cầm tay vì các giá trị rất quen thuộc học sinh có thể nhận ra. Câu 127. Cho giá trị của tích phân I1  2 3   sin 3x  cos 3x  dx  a ,   3 trịa.b gần nhất với giá trị nào sau đây? A. 8 . B. 16 . 2e 1  1 1 I2     2   dx  b . Giá x x x 1  e  C. 10 . D. 1 . Ta có: 2 3 2 1 2 2  1  3 I1    sin 3x  cos 3 x  dx    cos 3 x  sin 3x     a   . 3 3 3  3     3 3 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 179 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 2e 2e 1  1 1 1 1 1   I2     2   dx   ln x   ln x  1   ln 2    ln  2e  1  ln  e  1 x x x 1  x 2e e  e e  1 1  b     ln 2  ln  2e  1  ln  e  1 2e e  a.b  0, 2198 . Chọn D Câu 128. Tích phân I   2   sin ax  cos ax  dx , với a  0 có giá trị là:   2 A. I  2 a         sin  a 2  4   sin  a 2  4   .      B. I  2 a         sin  a 2  4   sin  a 2  4   .      C. I  2 a         sin  a 2  4   sin   a 2  4   .      D. I  2 a           sin  a 2  4   sin  a 2  4   .      Hướng dẫn giải Tích phân I    sin ax  cos ax  dx có giá trị là:   2 Ta có:  2 I  2  1 1    sin ax  cos ax  dx    a cos ax  a sin ax    2  2   2   2   2    sin  ax    4     a  2 . 2        sin  a    sin  a     a   2 4  2 4  Chọn B  π 2 Câu 129. Biết I   0 x  x cos x  sin 3 x π2 b dx   . Trong đó a , b , c là các số nguyên dương, phân số 1  cos x a c b tối giản. Tính T  a 2  b 2  c 2 . c A. T  16 . B. T  59 . C. T  69 . Hướng dẫn giải Chọn C  2 Ta có I    2 0  2 D. T  50 .  2  x  x cos x  sin 3 x sin 3 x  dx    x   dx 1  cos x 1  cos x   0 2  2   1 2 1 2    cos x  cos x    .   xdx   1  cos x  sin xdx  8  2 8 2 0 0 0 Như vậy a  8 , b  1 , c  2 . Vậy T  a 2  b 2  c 2  69 . File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 180 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A  Câu 130. Cho hàm số f  x   a sin 2 x  b cos 2 x thỏa mãn f '    2 và 2 bằng: A. 3. B. 4. C. 5. Hướng dẫn giải Chọn C f '  x   2a cos 2 x  2b sin 2 x Tích Phân và Ứng Dụng b  adx  3 . Tính tổng a  b a D. 8.   f '    2   2 a  2  a  1 2 b b a 1  adx   dx  3  b  1  3  b  4 Vậy a  b  1  4  5. Câu 131. Cho tích phân 0  cos 2 x cos 4 xdx  a  b 3 , trong đó a , b là các hằng số hữu tỉ. Tính   3 e a  log 2 b . B. 3 . A. 2 . Chọn A 1 . 8 Hướng dẫn giải C. D. 0 . 0 1 0 11 1 1  Ta có:   cos 2 x cos 4 xdx     cos 6 x  cos 2 x dx   sin 6 x  sin 2 x   3.  2 3 2 6 2   8 3 0 3 1 1 Do đó ta có a  0 , b   . Vậy e a  log 2 b  e 0  log 2  2 . 8 8 1     k , k    , biết Câu 132. Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số y  với x    1  sin 2 x  4   11      F  0   1 ; F ( )  0 . Tính P  F     F  .  12   12  A. P  2  3 . B. P  0 . Chọn D C. Không tồn tại P . Hướng dẫn giải      11       11 Ta có P  F  F     F  0   F      F    F   12   12   12    12  0  1 1  dx   dx  1 .  1  sin 2 x 11 1  sin 2 x  12 Ta có D. P  1 .     F  0   F    12 1 1 1 nên   2  1  sin 2 x  sin x  cos x  2 2 cos  x   4  File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 181 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 0 0 1 1 1    1  sin 2 x dx  2 tan  x  4     2 1  3 ;    12 12 1  1    1  sin 2 x dx  2 tan  x  4  11 12  11 12  1 1  3 . 2   Vậy P  1 . Câu 133. Cho M , N là các số thực, xét hàm số f  x   M .sin πx  N .cos πx thỏa mãn f 1  3 và 1 2 1  f  x  dx   π . Giá trị của 0 A. 5π 2 . 2 1 f    bằng  4 B.  5π 2 . 2 π 2 . 2 Hướng dẫn giải C.  D. π 2 . 2 Chọn A Ta có f 1  3  M .sin π  N .cos π  3  N  3 . Mặt khác 1 2  0 1 f  x  dx    π 1 2 1   M .sin πx  3.cos πx  dx   π 0 1 2 3 1 3 M 1  M     cos πx  sin πx          M  2. π π π π π  π 0  1  5π 2 Vậy f  x   2sin πx  3cos πx nên f   x   2π cos πx  3π sin πx  f     . 2 4  2 Câu 134. Tích phân I    cos x  1 cos 2 xdx có giá trị là: 0 A. I   1  . 4 3 B. I    2  1  . C. I   . 4 3 4 3 Hướng dẫn giải D. I    2  . 4 3  2 Tích phân I    cos x  1 cos 2 xdx có giá trị là: 0 Ta  2 biến  2 đổi:  2  2 1  t3  1 1 2   I    cos x  1 cos xdx   cos x 1  sin x dx   cos xdx   t     x  sin 2 x    3 0 2 2 0 3 4  0 0 0 , với t  sin x . Chọn D 2  2 2 1 Câu 135. Biết tích phân I1   sin xdx  a . Giá trị của I 2   và c là: A. – 2.  3 a B. – 4. 2 x2  1 dx  b ln 2  c ln 5 . Thương số giữa b x3  x C. 2. Hướng dẫn giải File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. 4. Trang 182 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A  2 1 Biết tích phân I1   sin xdx  a . Giá trị của I 2    3 và c là: Ta có: a  2  2  3 I1   sin xdx   cos x    3 1 Tích Phân và Ứng Dụng x2  1 dx  b ln 2  c ln 5 . Thương số giữa b x3  x 1 . 2 1 2 x2 1 x2 1 1 4 1 4 1 b dx   3 dx   ln t  5  ln 2  ln 5  b  , c     4 .  I2   3 x x 3 3 3 3 3 c 1 x x 8 a 2 Chọn B  3  Câu 136. Cho I    sin 3x  cos 2 x  dx   a cos 3 x  bx sin  c sin 2 x  06 . Giá trị của 3a  2b  4c là: A. – 1. 0 B. 1. C. – 2. Hướng dẫn giải  3 D. 2.  Cho I    sin 3x  cos 2 x  dx   a cos 3 x  bx sin  c sin 2 x  06 . Giá trị của 3a  2b  4c là: 0 Ta có:  3  3  1  cos 2 x  1 1   1 3 I1    sin 3 x  cos 2 x  dx    sin 3 x   dx    cos 3x  x  sin 2 x  2 2 4   3 0 0 0 1 1 1  a   , b  , c   3a  2c  4c  1 3 2 4 Chọn B Câu 137. Cho I n   tan n xdx với n   . Khi đó I 0  I1  2  I 2  I3  ...  I8   I 9  I10 bằng A. . 9   tan x  r 1 r r C. B. 9  r 1  tan x  r 1 r 1 C . C. 10   tan x  r 1 r r C. D. 10   tan x  r 1 r 1 r 1 C Hướng dẫn giải Chọn A  1  I n   tan n 2 x.tan 2 xdx   tan n 2 x.   1 dx   tan n 2 x.  tan x  dx  I n 2 2  cos x  n 1 tan x   I n 2  C n 1 tan n 1 x  I n  I n 2  C . n 1 I 0  I1  2  I 2  I3  ...  I8   I 9  I10 =  I10  I8    I 9  I 7   ...   I 3  I1    I 2  I 0  9 tan 9 x tan 8 x tan 2 x tan r x   ....   tan x  C   C . 9 8 2 r r 1 TÍCH PHÂN HÀM MŨ – LÔGARIT  1 Câu 138. Tích phân  e  x dx bằng 0 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 183 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. e  1 . B. Chọn C  D. 1 . e  1  e 1     1  . 0 e e  0 2018 e 1 . e Hướng dẫn giải C. 1 1 Ta có:  e  x dx  e x Câu 139. Tích phân I  1 1 . e Tích Phân và Ứng Dụng 2 x dx bằng 0 A. 2 2018 22018  1 B. . ln 2 1. Chọn D 2018 I  0 Câu 140. Biết 4  2018 2x 2 dx  ln 2 0 x f ( x)dx  1 1 và. 2 22018 C. . ln 2 Hướng dẫn giải D. 22018 . 22018  1  . ln 2 0  f ( x)dx  1 A. I  2e8 . 4 1 . Tính tích phân I    4e 2 x  2 f ( x )  dx . 2 0 B. I  4e8  2 . C. I  4e8 . Hướng dẫn giải Chọn A D. I  2e8  4 . 4 1 4 e2 x 4 Ta có I    4e 2 x  2 f ( x )  dx  4.  2  f  x  dx  2  f  x  dx . 2 0 0 0 1 1 1  I  2  e8  1  2.  2.  2.e8 . 2 2 x2 2 Câu 141. Cho F  x    et dt . Tính F   2  . 0 A. F   2   4e 4 . B. F   2   8e16 . C. F   2   4e16 . D. F   2   e 4 . Hướng dẫn giải Chọn C 2 Gọi G  x  là nguyên hàm của hàm số et .  F  x   G  x2   G  0   F   x   2 x.G  x 2   2 x.e x . 4  F   2   4.e16 Câu 142. Cho hàm số g  x   x2 1  ln t dt với x  0 . Đạo hàm của g  x  là x A. g   x   x 1 . ln x Chọn A B. g   x   1 x 1 . C. g   x   . ln x ln x Hướng dẫn giải Giả sử F  t  là một nguyên hàm của hàm số Khi đó F   t   1 1 hay F   x   . ln t ln x D. g   x   ln x . 1 . ln t File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 184 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ta có g  x   x2 Tích Phân và Ứng Dụng 1  ln t dt  F  x   F  x  . 2 x 1 1 x 1  Suy ra g   x   F  x 2   F  x   F  x 2  F   x   . .2 x   2 ln x ln x ln x  v x   Chú ý: ta có công thức   f  t  dt   v  x  . f  v  x    u  x  . f u  x   u x      Câu 143.   3 2  f  x  dx  6 .Gọi S   là tập hợp tất cả các số nguyên dương k thỏa mãn 3  2 2 2018.ek  2018 . Số phần tử của tập hợp S bằng. 1 e dx  k A. 7 . B. 8 . C. Vô số. Hướng dẫn giải Chọn A 2 2 e2 k  ek  1 kx  kx . Ta có:  e dx   e   k  k 1 1 kx 2 kx  e dx  1 D. 6 . 2018.ek  2018 e 2 k  e k 2018.e k  2018   k k k  e k  e k  1  2018  e k  1 (do k nguyên dương).   e k  1 e k  2018   0  1  e k  2018  0  k  ln 2018  7.6 . Do k nguyên dương nên ta chọn được k  S (với S  1; 2;3; 4;5;6;7 ). Suy ra số phần tử của S là 7 . 1 e  nx Câu 144. Cho I n   dx với n   . x  1 e 0 Đặt un  1.  I1  I 2   2  I 2  I 3   3  I 3  I 4   ...  n  I n  I n 1   n . Biết lim u n  L . Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. L   1;0  . B. L   2; 1 . C. L   0;1 . D. L  1;2  . Hướng dẫn giải Chọn A 1 1 1 1 1  n 1 x e  nx .e  x e  nx e   nx  d x  e d x  dx   e  nx dx  I n d x x x x    1 e 1 e 0 1 e 0 0 0 0 Với n   , I n 1   1  I n 1   e nx dx  I n  I n 1  I n  0 1 1  e n   n Do đó un  1  e 1   1  e 2   1  e 3   ...  1  e  n   n  un  e 1  e 2  e 3  ...  e n 1 Ta thấy un là tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân lùi vô hạn với u1  e 1 và q  , nên e 1 e 1  L   1;0  . lim un  L 1 e 1 1 e File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 185 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 186 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 1 Cho hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử hàm số u  u ( x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b] và   u ( x)   . Giả sử có thể viết f ( x)  g (u ( x))u '( x), x [a;b], với g liên tục trên đoạn [ ;  ]. Khi đó, ta có b u (b ) a u (a) I   f ( x ) dx   g (u ) du. Dấu hiệu nhận biết và cách tính tính phân Dấu hiệu Có thể đặt Có 1 2 Có a Có I  t  f ( x) t  ln x hoặc biểu thức chứa ln x 5 Có e x dx t  e x hoặc biểu thức chứa e x 6 Có sin xdx t  cos x 7 Có cos xdx t  sin xdx 8 dx Có cos 2 x t  tan x 9 Có dx sin 2 x t  cot x 3 0 x dx x 1 . Đặt t  x  1 1 I   x ( x  1) 2016 dx . Đặt t  x  1 t  ax  b f ( x) dx và ln x x f ( x) t Có (ax  b)n 3 4 f ( x) Ví dụ 3 0 e tan x3 I  dx . Đặt t  tan x  3 cos2 x e ln xdx I  . Đặt t  ln x  1 1 x(ln x  1)  4 0 I  ln 2 2 x e 0 x 3e x  1dx . Đặt t  3e  1  I   2 sin 3 x cos xdx . Đặt t  sin x 0 I   0 sin 3 x dx Đặt t  2cos x  1 2cos x  1  1 1 2 dx  04 (1  tan x) cos2 x dx 0 cos4 x Đặt t  tan x  cot x e ecot x I  4 dx   dx . Đặt t  cot x 1  cos 2 x 2sin 2 x 6  I 4 BÀI TẬP Câu 1: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  a, b  . Giả sử hàm số u  u  x  có đạo hàm liên tục trên  a, b  và u  x    ,   x   a, b  , hơn nữa f  u  liên tục trên đoạn  ,   . Mệnh đề nào sau đây là đúng? x  a A. b  a C. b  ub b f u  x   u  x  dx   f  u  du . B. ub  f u  x  u   x  dx  f  u  du .  u a  a  u a  a D. b  a b f u  x  u   x  dx   f  u  du . a b f u  x   u  x  dx   f  x  du . a HÀM ĐA THỨC VÀ HÀM HỮU TỈ Câu 2: 3 1000 Tính tích phân I   x  x  1 dx. 1 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 187 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. I  Câu 3: 2003.21002 . 1003002 B. I  Giá trị của tích phân 1502.21001 . 501501 100  x  x  1 ...  x  100  dx Tích Phân và Ứng Dụng C. I  3005.21002 . 1003002 D. I  2003.21001 . 501501 bằng 0 B. 1. A. 0 . Câu 4: Tích phân 2 x 0 A. Câu 5: 1 7 log . 2 3 B. ln 5 2 1 Tích phân I   0 Câu 7: 0 x 1 7 ln . 2 3 D. 1 3 ln . 2 7 D. 5 16  D. 4 17 được kết quả I  a ln 2  b . Giá trị a+b là: 13 16 C. 14 17 2x dx có giá trị là: 1 2 B. I   ln 2 . A. I  ln 3 . C. I   ln 3 . D. I  ln 2 . 1 x2 1 Cho  3 dx  ln a ,a là các số hữu tỉ. Giá trị của a là: 3 0 x 1 A. 2. Câu 9: 3 B. Tích phân I  C. dx 5  a ln  b . Khi đó a  2b bằng 3 x x 8 5 5 B. C. 4 8 1 x2  7 . 3 5 x 5 dx 3 16 1 Câu 8: 2 1 A. D. một giá trị khác. x dx bằng 3 Cho tích phân I   A. Câu 6: 2 C. 100 . B. 3. Tích phân I  0 C. 4. D. 5. ax dx ,với a  2 có giá trị là: 2 2  ax 1 ln 2  ln a  2 ln 2  ln a  2 . B. I  . 2 2  ln 2  ln a  2  ln 2  ln a  2 . D. I  . C. I  2 2 A. I  5 5 dx dx  a ln 5  b ln 3  c ln 2.(a, b, c  )  2  a ln 5  b ln 3  c ln 2. Tính giá trị Câu 10: Giả sử  2 x x x x 3 3 biểu thức S  2 a  b  3c 2 . A. S  3. B. S  6. Câu 11: Biết C. S  0. D. S  2. 1 2 x 2  3x  3 2 2 0 x 2  2 x  1 dx  a  ln b với a , b là các số nguyên dương. Tính P  a  b . A. 13 . B. 5 . C. 4 . File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. 10 . Trang 188 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A b a  x2 a a  x  Câu 12: Tính I   A. I  2 2 Tích Phân và Ứng Dụng dx (với a , b là các số thực dương cho trước). 2b . a  b2 B. I  2 b . a  b2 C. I   4 Câu 13: Cho hàm số f  x  liên tục trên  và các tích phân   a  1 b  1 .  a  b2   a  1 D. I  f  tan x  d x  4 và 0 b . a b 2 x2 f  x  dx  2 . x2  1 1  0 1 Tính tích phân I   f  x  dx . 0 B. I  2 . A. I  6 . D. I 1. C. I  3 . Câu 14: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên  và có đồ thị hình bên. Tính tích phân 2 I   f   2 x  1 dx . 1 4 3 2 2 -1 O -1 1 3 2 B. I  1 . A. I   2 . HÀM VÔ TỈ Câu 15: Cho tích phân 1  3 1  x dx , với cách đặt C. I  1 . D. I  2 . t  3 1 x thì tích phân đã cho bằng với tích phân nào 0 sau đây? 1 1 B.  t dt . A. 3 tdt . 0 3 0 1 1 C. 3  t d t . D. 3  t 3 d t . 2 0 0 2 Câu 16: Trong các tích phân sau, tích phân nào có cùng giá trị với I   x3 x2  1dx 1 A. 1 t t  1dt . 2 1 2 3 B.  4 1 t t  1dt C. 3  t 0 2  1 t 2 dt .  D. 3  x 1 2  1 x 2 dx .  2 x Câu 17: Nếu  dx   f (t )dt , với t  1  x thì f (t ) là hàm số nào trong các hàm số dưới 0 1 1 x 1 đây ? A. f (t )  2t 2  2t B. f (t )  t 2  t C. f (t )  t 2  t File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. f (t )  2t 2  2t Trang 189 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 4 Câu 18: Kết quả của 1 dx bằng 2x 1  0 B. 5 . A. 4 . 1 Câu 19: Tích phân 4 . 3 Câu 20: Cho B. 3  42 C. 2 . x x 1 0 3 . 2 C. 1 . 3 D. 2 . 3 a  b ln 2  c ln 3 với a , b , c là các số nguyên. Giá trị của a  b  c 3 dx  bằng A. 1. B. 2 . 4 D. 3 . dx bằng 3x  1  0 A. Tích Phân và Ứng Dụng C. 7 . D. 9 . 1 dx  a  b ln 2 với a , b là số nguyên. Tính S  a  b . 2x 1  5 Câu 21: Biết I   0 A. S  3. B. S  3. Câu 22: Tính tích phân 5 C. S  5. D. S  7. dx được kết quả I  a ln 3  b ln 5 . Giá trị a 2  ab  3b 2 là 3x  1 B. 5 . C. 1 . D. 0 . x 1 A. 4 . 4 dx 2  a  b ln với a , b   . Mệnh đề nào sau đây đúng? 3 2x 1 0 3 Câu 23: Cho tích phân I   A. a  b  3 . Câu 24: Biết 3 B. a  b  5 . x2  1dx  x 1 a x  5 2 x 4 A. 2 3.  1 0 x x2  1  B. – 2. 1 Câu 28: Cho  1 C. 3 2. D. 2 2. C. 1. D. 2. 4  x2 b dx  a  ln . Giá trị của tính abc là : x c B. 2 3 3  dx  a 2  b . Giá trịa.b là: Câu 27: Với a, b, c  R . Đặt I   3 D. a  3b . 1 5 ln , a  5 . Khi đó giá trị của số thực a là 4 3 2 A. C. a  b . B. 2 5. Câu 26: Cho I   A. – 1.  B. a  b . dx D. a  b  3 . 2 a  b , với a , b là các số nguyên dương. Mệnh đề nào sau đây đúng. 3 A. a  2b . Câu 25: Cho I  C. a  b  5 . C. 2 3 D.  3 x2  1 c d với c nguyên dương và a , b , c , d , e là các số dx  a  b  ln x e nguyên tố. Giá trị của biểu thức a  b  c  d  e bằng. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 190 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. 14 . B. 17 . 7 Câu 29: Giá trị của I   x3dx C. 10 . 64 Câu 30: Giả sử I  A. 17 . 2 C. 0 .  b a 2a  c . B. 715 . A. 165 . Câu 32: Tập hợp nghiệm của bất phương trình C. 5456 . x  0 A.  ;   . Câu 33: Cho biết 7  0 x3 3 t t 2 1 B.  ;0  . 1  x2 dx  A. 0 . Câu 34: Biết D. 1. 1  x2 1 b  dx   a a  b  với a, b, c   ; 1  a, b, c  9 . Tính giá trị của biểu 4 x c bc  1 thức C 3 a ( a , b là các số nguyên b dx 2  a ln  b với a , b là số nguyên. Tính giá trị a  b . 3 3 x x B. 5. C. 5 . D. 17 .  1 Câu 31: Giả sử D. 24 . được viết dưới dạng phân số tối giản 1  x2 dương). Khi đó giá trị của a  7b bằng B. 1 . A. 2 . 0 Tích Phân và Ứng Dụng  3x  1 x 9x 1 2 dt  0 (ẩn x ) là: C.  ;   0 . D.  0;   . m m là một phân số tối giản. Tính m  7 n . với n n B. 1 . 2 D. 35 . C. 2 . D. 91 . dx  a  b 2  c 35 với a , b , c là các số hữu tỷ, tính P  a  2b  c  7 . 1 A.  . 9 Câu 35: Biết 2 x 1 B. 86 . 27 C. 2 . D. 67 . 27 dx  a  b  c với a , b , c là các số nguyên dương. Tính x  1   x  1 x P  abc . A. P  44 . B. P  42 . C. P  46 . D. P  48 . 3 1 2 x2  4x  1 4 2 Câu 36: Giả sử a , b , c là các số nguyên thỏa mãn  dx   au  bu  c du , trong 21 2x 1 0 4 đó u  2 x  1 . Tính giá trị S  a  b  c . A. S  3 . B. S  0 . 1 Câu 37: Tích phân I   a 2 x3  ax 0 A. I  a  a  2 . 4 ax 2  1  C. S  1 .  D. S  2 . dx , với a  0 có giá trị là: B. I  a  a  2 . 2 C. I  a a  2 . 4 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. I  a a  2 . 2 Trang 191 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 3 1 Câu 38: Tích phân I   2 x 9 0 A. I   ln 3 2 3 . 3 1 Câu 39: Tích phân I   0 A. I  a 3x 2  12 2 A. a  5 . A. 2 1 2 x 1 B. I   dx  ln B. 3 Câu 42: Tích phân I  7  0 Câu 43: Biết 3x 5 3 8  x3 87 . 5 4 D. a  8 . 5 . 2 C. 2 . 3 D. 3 . 2 dx có gái trị là: B. I  67 . 5 C. I  77 . 5 D. I  57 . 5 2 x  1dx 5  a  b ln 2  c ln  a, b, c    . Tính T  2a  b  c . 3 2x 1  3  2x  3 0 A. T  4 . Câu 44: Biết a 1 5 ln . 2 3 a 2 a ,a và b là các số hữu tỉ. Giá trị là: b 1 b 2 . 5 A. I  3  2 3 . 3 dx có giá trị là: dx  2 3  1 . Giá trị nguyên của a là: ax 2  4 x B. a  6 . C. a  7 . 1 1 D. I  ln ax  2 Câu 40: Tích phân I    3 2 3 3  2 3 . C. I  ln . 3 3 a 1 5 a 1 5 . D. I  . ln ln 2 2 3 3 C. I   Câu 41: Cho dx có giá trị là: B. I   ln a 1 5 ln . 2 3 Tích Phân và Ứng Dụng B. T  2 . 3 dx  1 x  1 C. T  1 . D. T  3 . 1  a 3  b 2  c  ln 3 2  3 với a , b , c là các số hữu tỷ. Tính 2 1 x  2  P  a bc . A. P  1 . 2 1 Câu 45: Biết rằng bằng A. 3 .  0 B. P  1. 1 2 C. P   . D. P  5 . 2 dx  2 a   2 ln   x2  4x  3  1  b  với a , b là các số nguyên dương. Giá trị của a  b B. 5 . C. 9 . File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. 7 . Trang 192 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 2  a 1 1 1  a Câu 46: Biết   3 x  2  2 3 8  11  dx  3 c , với a, b, c nguyên dương, tối giản và c  a . Tính b x x x  b 1 S  abc A. S  51 . B. S  67 . C. S  39 . D. S  75 . Câu 47: Cho số thực dương k  0 thỏa 2  dx  ln 2  5 . Mệnh đề nào sau đây đúng?  x2  k 1 B. 0  k  . 2 0 3 . 2 HÀM LƯỢNG GIÁC A. k   C. 1  k  1. 2 D. 1  k  3 . 2 Câu 48: Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau 1 1 0 0 A.  sin 1  x  dx   sin xdx .  2  1 1 0 0 B.  cos 1  x  dx    cos xdx .  2  x x C.  cos dx   cos xdx . D.  sin dx   sin xdx . 2 2 0 0 0 0 π 3 sin x dx . 3 0 cos x Câu 49: Tính tích phân I   A. I  5 . 2 B. I  3 . 2 C. I  π 9 .  3 20 D. I  9 . 4  3 b Câu 50: Cho I   sin 2 x tan xdx  ln a  . Chọn mệnh đề đúng: 8 0 A. a  b  4 Câu 51: Biết rằng I1  B. a  b  2 C. ab  6 D. a b  4 0 0 1 3 3 3 dx  a và I   1  cos 2 x 1 x  2dx  b 2  4 , a và b là các số hữu tỉ. Thương  4 số giữa a và b có giá trị là: 1 1 A. . B. . 2 3 C. 3 . 4 D. 2 . 3  a cos 2x 1 dx  ln 3 . Tìm giá trị của a là: 1  2 sin 2x 4 0 Câu 52: Cho I   A. 3 B. 2  4 C. 4 1 Câu 53: Biết I1   1  tan x  dx  a và I 2   2 0 trị của a + b + c là: A. 1. 0 B. 2. D. 6 1  1   x  x dx   bx 3  cx 3  , a và b là các số hữu tỉ. Giá  0 2  C. 3. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. 0. Trang 193 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A  3 Câu 54: Tích phân I   0 Tích Phân và Ứng Dụng sin 2 x dx có giá trị là: cos x  cos 3 x A. I  1  2 2 2 1   ln  ln . 2 2 22 2  1  B. I  1  2 2 2 1   ln  ln . 2 2 22 2  1  C. I  1  2 2 2 1   ln  ln . 2 2 22 2  1  D. I  1  22 2 1   ln  ln . 2 2 2 2 2  1   2 Câu 55: Tích phân I    4 2 x  cos x dx có giá trị là: x 2  sin x 2 2  2 A. I  ln   1  ln    .  4   16 2  2 2  2 B. I  ln   1  ln    .  4   16 2  2 2  2 C. I  ln   1  ln    .  4   16 2   2 2  2  1  ln   D. I  ln  . 2   4   16  4 1 1 Câu 56: Cho  sin 2 x ln  tan x  1 dx  a  b ln 2  c với a , b , c là các số hữu tỉ. Tính T    c a b 0 . A. T  2 . B. T  4 . Câu 57: Xét tích phân I   2  0 A. I  sin 2 x d x . Nếu đặt 1  cos x 1 4t 3  4t  t dt . 2 B. I  C. T  6 . D. T  4 . t  1cos x , khẳng định nào dưới đây là đúng? 1  4t 3  4t  t dt . 2 2 C. I  4   t 2  1 d t . D. C. n  5 . D. n  6 . 1 2 I   4  t 2  1 d t . 1  6 Câu 58: Cho  sin n x.cos xdx  1  n    . Tìm giá trị n . 64 0 A. n  3 . Câu 59: Cho tích phân B. n  4 .  2 sin x  cos x  2 dx  a ln 5  b ln 2 với a, b  . Mệnh đề nào dưới đây đúng?  3 A. 2a  b  0. B. a  2b  0.  2 Câu 60: Tích phân I    3 C. 2a  b  0. D. a  2b  0. cos x  sin x dx có giá trị là:  e cos x  1 cos x x File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 194 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng         e3  e3  2 e3  e3  2   . B. I  ln   . A. I  ln 2 2 e 3 2 e 3 2  3   3   3  3 e  e  2 e  e  2   . D. I  ln   . C. I  ln 2 2 e 3 2 e 3 2  6 sin 3 x dx có giá trị là: cos x Câu 61: Tích phân I    3 A. I  19  17 3 . 2  3 Câu 62: Tích phân I   19  17 4 3 . 2 sin x   3 A. I  B. I   cos x  3 sin x  2 19  17 3 . 2 D. I  19  17 4 3 . 2 dx có gái trị là: 3  32  3 ln   . 16   3  2  8 C. I   C. I  B. I  3  32  3 ln   . 8   3  2  8 3  32  3 ln   . 8   3  2  8 D. I   3  32  3 ln   . 16   3  2  8  4 1 dx có giá trị là: 9 cos x  sin 2 x 0 Câu 63: Tích phân I   2 1 A. I  ln 2 . 3 1 B. I  ln 2 . 2 a Câu 64: Tích phân I   0 A. a    sin x  cos x   . 2 Câu 65: Tích phân I    3   ln 12 2 dx  B. a    2 A. I  sin x  cos x  1 C. I  ln 2 . 6 D. I  ln 2 . 1 3 . Giá trị của alà: 1 3  . 4 C. a   . 3 D. a   . 6 sin x dx có giá trị là: sin x  cos x  3  1 . B. I   3 1  ln . 12 4 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 195 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng  3 1  ln   2   3 1   C. I   D. I   ln . 12 2 12 2 . Câu 66: Cho biết  4 cos x  sin x  cos x dx  a  b ln 2 với a và b là các số hữu tỉ. Khi đó 0 A. 1 . 4 Câu 67: Biết B. 3 . 8 C. 1 . 2 D. a bằng: b 3 . 4 x sin 2018 x a x d  trong đó a , b là các số nguyên dương. Tính P  2a  b . 0 sin 2018 x  cos2018 x b  A. P  8 . B. P  10 .  Câu 68: Cho tích phân I   0 A. 2. C. P  6 . sin xdx 1  2 cos x   2 B. D. P  12 . (với   1 ) thì giá trị của I bằng:  . 2 C. 2 . D. Câu 69: Có bao nhiêu giá trị của tham số m trong khoảng  0; 6  thỏa mãn m 2 .  sin x 1  5  4 cos x dx  2 ? 0 A. 6 . Câu 70: Cho B. 12 .  2  sin 0 2 C. 8 . cos x 4 dx  a ln  b, tính tổng S  a  b  c . x  5sin x  6 c A. S  1 . B. S  4 .  2 Câu 71: Cho tích phân I   0 C. S  3 .  2   cos x  0 S  abc. A. S  3 . Câu 73: Cho sin x 2 D. S  0 . x 2   2 x  cos x  cos x  1  sin x c dx  a 2  b  ln với a , b , c là các số x  cos x  hữu tỉ. Tính giá trị của biểu thức P  ac3  b. 5 A. P  3 . B. P  . 4 Câu 72: Cho D. 4 .  5cos x  6 dx  a ln C. P  3 . 2 D. P  2 . 4  b , với a , b là các số hữu tỉ, c  0 . Tính tổng c B. S  0 .  2 C. S  1 . a D. S  4 .   4 cos 2 x  3sin 2 x  ln  cos x  2sin x  dx  c ln 2  b , trong đó a , b , c   * , 0 số tối giản. Tính T  a  b  c . A. T  9 . B. T   11 . C. T  5 . File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay a là phân b D. T  7 . Trang 196 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A  3 Câu 74: Biết sin x   1  x 6  x3  3 dx  a b c  d . A. a  b  c  d  28 . a  b  c  d  22 .  6 Câu 75: Biết x cos x   1  x2  x  6 3 2 3   c  d 3 với a, b, c, d là các số nguyên. Tính a b B. a  b  c  d  16 . dx  a  A. M  35 . 1 2 Câu 76: Cho 0 A. I  1009 . 2 D. M  35 .  12 . Tính  cos 2 x. f  sin 2 x  dx 0 Câu 77: Cho f là hàm số liên tục thỏa . C. I  4036 . 1  2 0 0 D. I  2018 .  f  x  dx  7 . Tính I   cos x. f  sin x  dx . B. 9 . C. 3 . Câu 78: Cho hàm số f  x  liên tục trên  và D. 7 . 2 3 1  f  x  dx  12 ,  f  2cos x  sin xdx bằng 1 A. 12 . D. C. M  37 . B. I  1009 . A. 1 . C. a  b  c  d  14 . 2 3  với a , b , c , d là các số nguyên. Tính M  a  b  c . b c B. M  41 .  f  x  dx  2018 Tích Phân và Ứng Dụng B. 12 .  3 C. 6 . Câu 79: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  thỏa mãn 9 f  D. 6 .  x  dx  4 và x 1  /2  f  sin x  cos xdx  2. 0 3 Tích phân I   f  x  dx bằng 0 A. I  2 . B. I  6 . HÀM MŨ – LÔGARIT 1 2 Câu 80: Cho I   xe1 x dx . Biết rằng I  0 A. 1 . C. I  4 . ae  b . Khi đó, a  b bằng 2 B. 0 . Câu 81: Nguyên hàm của 2 sin 2 x 1 A. sin x.e 1 Câu 82: Biết rằng  3e 0 C. 2 . f  x   sin 2 x.esin 2 x 1 3 x dx  D. 4 . là 2 C. D. I  10 . esin x 1 B. C . sin 2 x  1 C. e sin 2 x 2 C . esin x 1 D. C. sin 2 x  1 a 2 b b c e  e  c  a, b, c   . Tính T  a   . 5 3 2 3 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 197 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. T  6 . B. T  9 . Câu 83: Tích phân I  ln12 Tích Phân và Ứng Dụng C. T  10 . D. T  5 . e x  4dx có giá trị là:  ln 5 B. I  2  2ln 3  2ln 5 . D. I  2  ln 3  2 ln 5 . A. I  2  ln 3  ln 5 . C. I  2  2ln 3  ln 5 . Câu 84: Tìm tất cả các giá trị dương của tham số m sao cho A. m  2 250 2500  2 . 3 Câu 85: Cho  e B. m  21000  1 .  m 0 xe x 2 1 dx  2500.e m 2 1 . C. m  2 250 2 500  2 . D. m  21000  1 . dx  a.e 2  b.e  c . Với a , b , c là các số nguyên. Tính S  a  b  c . x 1 x 1 0 A. S  1 . B. S  2 .  2 C. S  0 . D. S  4 . 2 Câu 86: Cho tích phân I   esin x sin x cos3 xdx . Nếu đổi biến số t  sin 2 x thì: 0 A. I  1 1 1  1 1 t B. I    e dt   tet dt  . 2 0 0   1 t t   e dt   te dt  . 2 0 0  1 1 1 t  1 t  t C. I  2   e dt   te dt  . D. I  2   e dt   tet dt  . 0 0 0  0  lim n 1 dx  1 e x  Câu 87: Tính A. 1. x . n Câu 88: Tính tích phân I  B. 1 . 2017 x 2e x   x  2 0 2 ln 6  1 0 T  abc. A. T  1 . 9 4 ex e 3 x  1 3 6 2017 C. 2 . 2018 x 2 sin   x 3  e D. 3 . dx  a  b ln 2  c ln 3 , với a , b , c là các số nguyên. Tính B. T  0 . 3 Câu 91: Giá trị I  20 18 D. I  2 . a a dx  .e  c với a , c là các số nguyên, b là số nguyên dương và là b b phân số tối giản. Tính a  b  c . A. 3 . B. 0 . Câu 90: Biết tích phân 2 017 C. I  2 . x 2016  e x  1 dx. 2 2018 B. I  2 . 1 D. 0. 2 A. I  0. Câu 89: Cho biết C. e . cos  x 3   C. T  2 . D. T  1 . dx gần bằng số nào nhất trong các số sau đây: File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 198 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. 0, 046 . Câu 92: Cho 1  0 x 2 B. 0, 036 .  x  ex x  e x 1  0 x C. 0, 037 . B. P  1 . 2  5x  6 e x x2e x dx  ae  b  ln C. P  0 . D. P   2 . ae  c với a , b , c là các số nguyên và e là cơ số của 3 logarit tự nhiên. Tính S  2a  b  c . A. S  10 . B. S  0 . Câu 94: D. 0, 038 . dx  a.e  b ln  e  c  với a , b , c   . Tính P  a  2b  c . A. P  1 . Câu 93: Biết Tích Phân và Ứng Dụng C. S  5 . D. S  9 . 1  x3  2 x  ex 3 .2 x 1 1 e   0   e.2x dx  m  e ln n ln  p  e    với m , n , p là các số nguyên dương. Tính tổng S  m  n  p . B. S  5 . C. S  7 . D. S  8 . A. S  6 . Câu 95: Cho tam thức bậc hai f  x   ax2  bx  c,  a, b, c  , a  0  có hai nghiệm thực phân biệt x1 , x2 . Tính tích phân I   x2 x1 A. I  x1  x2 . 2  2ax  b  e ax bx  c dx . B. I  x1  x2 . 4 Câu 96: Với cách đổi biến u  1  3ln x thì tích phân C. I  0 . e x 1 2 2 2 A.   u 2  1 du . 31 Câu 97: Biết e  1 A. 2 B.   u 2  1 du . 91 1  x ln x B. 1. Câu 98: Tính tích phân I   1 2 2 A. I  t 3 . 9 1 2 C. 2  u 2  1 du . 1 2 2 u2 1 du . D.  91 u C. 3 . D. 2 . 1  3ln x dx bằng cách đặt t  1  3ln x , mệnh đề nào dưới đây sai? x 2 2 B. I   tdt . 31 2 2 C. I   t 2dt . 31 D. I  14 . 9  3x  1  3x 1 ln x dx trở thành 1  3ln x a là   trong đó a , b là các số nguyên. Khi đó tỉ số b  e  e 2 x1  x2 . 2  x  1 ln x  2 dx  a.e  b ln  e  1  1 . 2 Câu 99: Biết D. I  2 ln b   a b c là các số nguyên dương và c  4 . Tổng dx  ln  a   với , ,  x ln x c   a  b  c bằng A. 6 . e Câu 100: Biết I   1 B. 9 . C. 7 . D. 8 . ln x 3 dx  a ln  b,  a, b  Q  . Mệnh đề nào sau đây đúng? x  ln x  2  2 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 199 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. a  b  1 . B. 2 a  b  1 . A. I   ln x 2 ln 2 x  1  1 1 x 4 2 3 . 3 C. a 2  b 2  4 . D. a  2b  0 .  dx có giá trị là: e Câu 101: Tích phân I   Tích Phân và Ứng Dụng B. I  4 2 1 . 3 C. I  4 2 5 . 3 D. I  4 2 3 . 3 e Câu 102: Tích phân I   x  ln 2 x  ln x  dx có giá trị là: 1 B. I  e . A. I  2e . 1 Câu 103: Biết I   0 1   ln 3 x  3 x  ln 2 x  x  2 3   dx  x 9 Giá trị của a là: A. 9. e 1 Câu 105: Tính I   A. B. I  1  ln x  B. Câu 106: Cho tích phân I   1 Câu 107: Biết 2 2 t dt . 3 1  1 4 2 2 . 3 1 . 3 C. I  C. 1  3 ln x dx , đặt x e e C. – 9. D. 6. 2 2 2 . 3 D. I  2 2 2 . 3 dx được kết quả là 13 . 3 A. I   1  ae  27e 2  27e3  3 3 , a là các số hữu tỉ. 2 x e D. I  2e . 2 ln x ln 2 x  1 dx có gái trị là: x 4 2 2 . 3 e2  B. – 6. Câu 104: Tích phân I   A. I  C. I  e . e B. I  2 2 tdt . 3 1 5 . 3 D. 4 . 3 t  13ln x . Khẳng định nào sau đây đúng? C. I  2 2 2 t dt . 3 1 D. I  2 tdt . 3 1 e 3  ln x a b c dx  , trong đó a , b , c là các số nguyên dương và c  4 . Tính giá 3 x trị S  a  b  c . A. S  13 . e Câu 108: Cho I   1 B. S  28 . ln x x  ln x  2  2 C. S  25 . D. S  16 . dx có kết quả dạng I  ln a  b với a  0 , b   . Khẳng định nào sau đây đúng? A. 2ab  1 . Câu 109: Biết 2 x 1 2 B. 2ab  1 . C. b  ln 3 1  . 2a 3 D. b  ln 3 1  . 2a 3 x 1 dx  ln  ln a  b  với a , b là các số nguyên dương. Tính P  a 2  b 2  ab .  x ln x File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 200 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. 10 . B. 8 . Câu 110: Cho tích phân I   e2 x e A. a  b  c  d Câu 111: Tính tích phân I  2018 2 Tích Phân và Ứng Dụng C. 12 .  1 ln x  1 D. 6 . ae4  be 2  c  d ln 2 . Chọn phát biểu đúng nhất: x ln x 2 1 B. a  b 2  c  C. A và B đúng D. A và B sai d dx  ln 1  2 x   1  2  log x 0 4e dx . A. I  ln 1  22018   ln 2 . B. I  ln 2 1  22018   ln 2 2 . C. I  ln 2 1  22018   ln 4 . D. I  ln 2 1  2 2018   ln 2 2 . Câu 112: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  và thỏa mãn e  1 A. 1 B.  f  x  dx  1. 0 Câu 113: Biết e4  e 1 C.  f  x  dx  e. 0 f  ln x  dx  e. Mệnh đề nào sau đây đúng? x e D.  f  x  dx  1. 0 e  f  x  dx  e. 0 4 1 f  ln x  dx  4 . Tính tích phân I   f  x  dx . x 1 A. I  8 . B. I  16 . C. I  2 . D. I  4 . PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 2 Cho hàm số f liên tục và có đạo hàm trên đoạn [a; b]. Giả sử hàm số x   (t) có đạo hàm và liên tục trên đoạn [ ;  ](*) sao cho  ( )  a, (  )  b và a   (t )  b với mọi t [ ;  ]. Khi đó: b  a   f ( x)dx   f ( (t )) '(t )dt. Một số phương pháp đổi biến: Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có dạng    1. a 2  x 2 : đặt x | a | sin t ; t    ;   2 2 |a|    ; t    ;  {0} 2. x 2  a 2 : đặt x  sin t  2 2    3. x 2  a 2 : x | a | tan t; t    ;   2 2 4. ax hoặc ax ax : đặt x  a.cos 2t ax Lưu ý: Chỉ nên sử dụng phép đặt này khi các dấu hiệu 1, 2, 3 đi với x mũ chẵn. Ví dụ, để tính tích phân I  3  0 biến dạng 1. x 2 dx x2  1 thì phải đổi biến dạng 2 còn với tích phân I   0 3 x3 dx x2  1 thì nên đổi 2 Câu 114: Khi tính I   4  x 2 dx, bằng phép đặt x  2 sin t , thì được 0 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 201 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A.  2  2 B.  2 1  cos 2t dt .  2 1  cos 2t dt . 0 Câu 115: Biết rằng 1 0 4  x 2 dx   1 B. 1 . 1 2 1 Câu 116: Cho tích phân I   1  x2 0 A. 1 . 2 Câu 117: Giá trị của  9  x 2 dx  0 biểu thức T  ab . A. T  35 . 1 . 3 1  0 Câu 119: Biết rằng dx 4  x2 C. 0 1 a b  dx  x2  6x  5 . Tổng a  b bằng A. 5 . B. 7 . 4 3 Câu 120: Tích phân I   1 . 4 D. 1 . 6  6  0 dt . t  6 D.  dt . 0  trong đó a , b là các số nguyên dương và 4  a  b  5 6 C. 4 .  x  1 3  x dx D. T  36 . trở thành B.  tdt . 0 3. C. T  12 .  3  tdt . D. 2 . 0 a a là phân số tối giản. Tính giá trị của  trong đó a, b   và b b Câu 118: Đổi biến x  2sin t thì tích phân A. C. 0 C. B. T  24 .  6 2 D.  2 cos2 tdt . dx  a ,a và b là các số hữu tỉ. Giá trị của a là: B. 3 2 C.  4 cos2 tdt . 2  a . Khi đó a bằng: 3 2. A. Tích Phân và Ứng Dụng D. 6 . có giá trị là: 5 2 A. I   3  . 6 4 1 Câu 121: Tích phân I   0 B. I  3  4x 3  2 x  x2 7  4 3 8. 6 7 C. I   4 3 8. 6 A. I  Câu 122: Tích phân I  1 2  1  3  . 3 8 C. I   3  . 6 8 D. I   3  . 3 8 dx có giá trị là: 7  4 3 8. 6 7 D. I   4 3 8. 6 B. I  4x  3 5  4 x  x2 dx có giá trị là: File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 202 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. I  5 . 3 B. I  5 . 6 Tích Phân và Ứng Dụng C. I   5 . 3 D. I   5 . 6 1 2 Câu 123: Cho I   1  2 x 1  x2 dc  a  b với a, b  R . Giá trị a  b gần nhất với 0 A. 1 10 B. 1 1 Câu 124: Tích phân I   0 A. I  C. 1 5 D. 2 1 dx có giá trị là: x 1 2  . 2 B. I   . 3 C. I   . 4 D. I   . 6 1 Câu 125: Cho hàm số f  x  liên tục trên  thỏa mãn f  tan x   cos 4 x , x   . Tính I   f  x  dx 0 . A.  2 . 8 B. 1 . C. 2 . 4 D.  . 4 Câu 126: Cho hàm số f liên tục trên đoạn  6;5 , có đồ thị gồm hai đoạn thẳng và nửa đường tròn như hình vẽ. Tính giá trị I  5   f  x   2 dx . 6 y 4 6 A. I  2  35 . B. I  2  34 . 1 0 A. I   3dt . 0  6 B. I   0 3 dt 3 5 x O 1 Câu 127: Khi đổi biến x  3 tan t , tích phân I    3 3 C. I  2  33 . D. I  2   32 . dx trở thành tích phân nào? x 3 2  6 C. I   3tdt . 0 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay  6 1 D. I   dt . t 0 Trang 203 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  a, b  . Giả sử hàm số u  u  x  có đạo hàm liên tục trên  a, b  và u  x    ,   x   a, b  , hơn nữa f  u  liên tục trên đoạn  ,   . Mệnh đề nào sau đây là đúng? x  a A. C. b  ub b B. f u  x   u   x  dx   f  u  du .  b f u  x  u   x  dx   f  u  du . a a u a  b ub  b b a u a  a a  f u  x  u  x  dx   f u  du . D. a  f u  x   u  x  dx   f  x  du . Hướng dẫn giải Chọn C Đặt u  x   t  u  x  dx  dt . Đổi cận Khi x  a thì t  u  x  ; khi x  b thì t  u  b  . b Do đó  ub f u  x  u   x  dx  ub  f t  dt   f  u  du . u a  a ua  HÀM ĐA THỨC VÀ HÀM HỮU TỈ Câu 2. 3 1000 Tính tích phân I   x  x  1 dx. 1 A. I  2003.21002 . 1003002 B. I  1502.21001 3005.21002 . . C. I  501501 1003002 Hướng dẫn giải D. I  2003.21001 . 501501 Đặt x  1  t , khi x  1  t  0; x  3  t  2. 2 2  t1002 t1001  Do đó I    t  1 t1000 d  t  1    t 1001  t1000  dt      1002 1001  0 0 21002 21001 1  1502.21001  2 .    21001    1002 1001 501501  1002 1001  Chọn B Câu 3. Giá trị của tích phân 100  x  x  1 ... x  100  dx 0 A. 0 . Chọn A Tính I  B. 1 . 2 0 bằng C. 100 . Hướng dẫn giải D. một giá trị khác. 100  x  x  1 ...  x  100 dx . 0 Đặt t  100  x  dx  dt . Đổi cận: Khi x  0 thì t  100 ; khi x  100 thì t  0 . Do x  x  1 ...  x  100   100  t  99  t  ... 1  t  t   t  t  1 ...  t  99  t  100  nên 100 I  0 100 x  x  1 ...  x  100  dx    t  t  1 ...  t  100  dt   I  2 I  0  I  0 . 0 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 204 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 4. Tích phân 2 x 0 A. 2 x dx bằng 3 1 7 log . 2 3 B. ln 7 . 3 Chọn C 2 Câu 5. Tích Phân và Ứng Dụng 1 7 ln . 2 3 Hướng dẫn giải C. D. 1 3 ln . 2 7 D. 5 16 2 2 x 1 1 1 1 7 Ta có:  2 dx   2 d  x 2  3   ln x 2  3  ln . x 3 2 0 x 3 2 3 2 0 0 2 5 dx Cho tích phân I   5  a ln  b . Khi đó a  2b bằng 1 x  x3 8 5 5 5 A. B. C. 2 4 8 Hướng dẫn giải Chọn B Ta có 2 2 2 dx dx x I  5  3 2  4 2 dx 3 1 x  x 1 x .  x  1 1 x .  x  1 1 dt  xdx . 2 Đổi cận x  1  t  2, x  2  t  5 . 51 1 Suy ra I   . dt . 2 2 2  t  1 .t Đặt t  x 2  1 , suy ra dt  2 xdx  Ta cần tách tiếp 1  t  1 2 .t về dạng mt  n  t  1 2  k để có thể lấy nguyên hàm được. Dễ dàng tìm t được m, n, k bằng phương pháp đồng nhất hệ số. Ta tìm được m  1, n  2, k  1 . Suy ra 5 5 5 1 5 1 2  t  1 1 1 1 1 5 1 1  1 1 5 3 I     ln t  1  ln  .   1  ln 4  ln  dt  ln x  . 2 2 2  t  t  1  2 2 t 1 2 2 2 2 2 4  2 2 8 8 2 2 1 3 5 , b   a  2b  . 2 8 4 Ta chọn phương án B. 1 x 5 dx Tích phân I   được kết quả I  a ln 2  b . Giá trị a+b là: 3 2 0 1 x Suy ra a  Câu 6.  A.  3 16 B. Chọn A 13 16 14 17 Hướng dẫn giải C. D. 4 17 2 1 1 2 1  1 5 đặt t  1  x   I     2  3 dt  ln 2  . 2 1t t t  2 16 2 Câu 7. Tích phân I  A. I  ln 3 . 0 x 1 2x dx có giá trị là: 1 B. I   ln 2 . C. I   ln 3 . Hướng dẫn giải 2 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. I  ln 2 . Trang 205 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng Ta nhận thấy:  x 2  1 '  2 x . Ta đặt: t  x 2  1  dt  2 xdx . 1 1 Câu 8. Câu 9. 1  x  1  t  2 Đổi cận:  .  I   dt   ln t    ln 2 . t x  0  t  1 2 2 Chọn B 1 x2 1 Cho  3 dx  ln a ,a là các số hữu tỉ. Giá trị của a là: x 1 3 0 A. 2. B. 3. C. 4. D. 5. Hướng dẫn giải 1 x2 1 Cho  3 dx  ln a . Giá trị của a là: x 1 3 0 Ta có: 1 2 2 x2 1 1 1 0 x3  1 dx  ...  1 3t dt  3  ln t  1  3 ln 2  a  2 . Chọn A 0 ax Tích phân I   2 dx ,với a  2 có giá trị là: ax  2 1 ln 2  ln a  2 ln 2  ln a  2 A. I  . B. I  . 2 2  ln 2  ln a  2  ln 2  ln a  2 C. I  . D. I  . 2 2 Hướng dẫn giải 0 ax Tích phân I   2 dx , với a  2 có giá trị là: 1 ax  2 Ta nhận thấy:  ax 2  2  '  2ax . Ta dùng đổi biến số. Đăt t  ax 2  2  dt  2axdx . x  0  t  2 Đổi cận  .  x  1  t  a  2 2 I 2 1 1 1 dt  ln t   ln 2  ln a  2  .   a 2 2t 2 a2 2 Chọn B 5 5 dx dx Câu 10. Giả sử  2  a ln 5  b ln 3  c ln 2.(a, b, c  )  2  a ln 5  b ln 3  c ln 2. Tính giá trị x x x x 3 3 biểu thức S  2a  b  3c 2 . A. S  3. B. S  6. Chọn B 5 5 5 5 C. S  0. Hướng dẫn giải D. S  2. 5 dx dx dx dx x 1 4 2 3 x 2  x  3 x  x  1  3 x  1  3 x  ln x  ln 5  ln 3  ln 4  ln 5  ln 2  ln 3  ln 2  ln 3  ln 5 3 suy ra a  1; b  1; c  1 Vậy S  2  1  3  6. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 206 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 1 2 x 2  3x  3 2 2 0 x 2  2 x  1 dx  a  ln b với a , b là các số nguyên dương. Tính P  a  b . A. 13 . B. 5 . C. 4 . D. 10 . Hướng dẫn giải Chọn A 1 2 x 2  3x  3 Ta có I   2 dx x  2x 1 0 Câu 11. Biết dt  dx suy ra Đặt t  x  1   x  t 1 Khi đó x  0  t  1  x  1  t  2 2 2 2 2  t  1  3  t  1  3 2t 2  t  2  1 2 dt    2   2  dt  I  dt   2 2 t t t  t 1 1 1 2  3  ln 2 . Suy ra P  32  22  13 . b a  x2 Câu 12. Tính I   dx (với a , b là các số thực dương cho trước). 2 2 a a  x  A. I  2b . a  b2 B. I  2 b . a  b2 C. I   a  1 b  1 . D.  a  b2   a  1 2 2   2t  ln t   t 1  I b . a b 2 Hướng dẫn giải Chọn C a 1 2 x dx . I  dx   2 2 2  a a a a  x   x  x   a a  a  Đặt t   x  dt    2  1 dx . Đổi cận: x  a  t  1  a ; x  b  t   b x b  x  b a  x2 Khi đó: I  b a b b  1 a a b 2 b a b b  a  b  b  1 1 1 b 1 1  dt     2 2 t a  b 1  a  a  b 2   a  1 t 1a t 1 a  k  1. Câu 13. Cho hàm số f  x  liên tục trên  và các tích phân  4  f  tan x  d x  4 và 0 1  0 x2 f  x  dx  2 . x2 1 1 Tính tích phân I   f  x  dx . 0 A. I  6 . B. I  2 . Chọn A Đặt t  tan x  d t  1  tan 2 x  d x  Đổi cận x  0  t  0 và x  Đó đó:  4 D. I 1. dt  dx 1  t2   t 1 4 1  f  tan x  dxdx  4  0 0 C. I  3 . Hướng dẫn giải: 1 f  t  dt f  x  dx 4 4 2 1 t 1  x2 0 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 207 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 1 Nên  0 f  x  dx 1 x 2 f  x  dx  42 1  x2 1  x2 0 Tích Phân và Ứng Dụng 1  f  x  dx  6 0 Câu 14. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên  và có đồ thị hình bên. Tính tích phân 2 I   f   2 x  1 dx . 1 4 3 2 2 -1 O -1 1 3 2 B. I  1 . A. I  2 . C. I  1 . Hướng dẫn giải D. I  2 . Chọn C Dựa vào đồ thị hàm số ta có đồ thị hàm số y  f  x  đi qua các điểm  1; 1 ,  0;3 ,  2; 1 ,  3;3 nên hàm số y  f  x   x 3  3 x 2  3 . 2 Ta có: I   f   2 x  1 dx  1 2 1 2 1 1 f   2 x  1 d  2 x  1  f  2 x  1 1   f  3   f 1  1  21 2 2 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 208 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A HÀM VÔ TỈ 1 Câu 15. Cho tích phân  3 1  x dx , với cách đặt Tích Phân và Ứng Dụng t  3 1 x thì tích phân đã cho bằng với tích phân nào 0 sau đây? 1 1 A. 3 tdt . 1 B.  t 3 dt . 0 0 1 C. 3  t 2 d t . D. 3  t 3 d t . 0 0 Hướng dẫn giải Chọn D t  3 1 x  x 1t3  dx  3t2dt , đổi cận: x  0  t  1 , x  1  t  0 . Đặt Khi đó ta có 1  0 3 1 1  x dx  3  t 3 dt . 0 2 Câu 16. Trong các tích phân sau, tích phân nào có cùng giá trị với I   x3 x2  1dx 1 1 2 A.  t t  1dt . 2 1 2 B.  4 1 t t  1dt C. 3  t 0 2  1 t 2 dt .  D. 3  x 1 2  1 x 2 dx .  Hướng dẫn giải. 2 2 Đặt t  x  1  t  x  1  tdt  xdx x 1  t  0 , x  2 t  3 2 I   x 3 x 2  1dx   1 0 Chọn C 3 3 t 2  1 t 2 dt  2 x 0 1  1  x dx  1 f (t )dt , với t  1 x thì f (t ) là hàm số nào trong các hàm số dưới đây ? B. f (t )  t 2  t C. f (t )  t 2  t D. f (t )  2t 2  2t A. f (t )  2t 2  2t Hướng dẫn giải Chọn D Đặt t  1 x , suy ra t 2  1  x , 2tdt  dx 3 2 2 2 2 x t 1 Ta có  dx   .2tdt   (t  1).2tdt   (2t 2  2t )dt 1 t 0 1 1 x 1 1 1 Câu 17. Nếu Câu 18. Kết quả của 4  0 A. 4 . 1 dx bằng 2x  1 B. 5 . C. 2 . Hướng dẫn giải D. 3 . Chọn C Đặt t  2x  1  t 2  2x  1  2tdt  2dx  tdt  dx . Đổi cận: x  0  t  1 , x  4  t  3 . 4 3 3 1 t dt 3 Khi đó, ta có  dx     dt  t 1  2 . t 2x 1 0 1 1 Câu 19. Tích phân 1  0 A. 4 . 3 dx bằng 3x  1 B. 3 . 2 1 . 3 Hướng dẫn giải C. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. 2 . 3 Trang 209 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chọn D Đặt t  3x  1  t 2  3 x  1  2tdt  3dx  Đổi cận: x  0  t  1 ; x  1  t  2 Khi đó 2 2 2 dx 2 1 2   .tdt   dt  t  . 31 3 1 3 3x  1 3 1 t  0 Cách khác: Sử dụng công thức Câu 20. Cho bằng A. 1 . 2t dt  dx 3 2 2 1 Tích Phân và Ứng Dụng 3  42 0 x x 1 dx   dx 2  ax  b  C thì ax  b a 1  0 1 dx 2 2  3x  1  . 3 3x  1 3 0 a  b ln 2  c ln 3 với a , b , c là các số nguyên. Giá trị của a  b  c 3 B. 2 . C. 7 . Hướng dẫn giải Chọn A Đặt t  x  1  t 2  x  1  x  t 2  1  dx  2tdt . Đổi cận: x  0  t  2 ; x  3  t  4 . Khi đó: 2 D. 9 . 2 2 3 2  t3 2  t 2 1 t t 6  7  2 .2 d d 2 3 d t t  t  t  t   t    t  3t  6 ln t  2    12 ln 2  6 ln 3  1 4  2t 1 t  2 1  t2 3 1 3 a  7  Suy ra b  12  a  b  c  1 . c  6  4 Câu 21. Biết I   0 A. S  3. 1 dx  a  b ln 2 với a, b là số nguyên. Tính S  a  b . 2x  1  5 B. S  3. C. S  5. D. S  7. Hướng dẫn giải: Chọn B t  2 x  1  t 2  2 x  1  2tdt  2dx x  0  t  1 x  4  t  3  4 3 3 3 1 t 5   I  dx   dt    1   dt   t  5ln t  5  1  2  5ln 2. t 5 t 5  2x 1  5 0 1 1 Suy ra: a  2; b  5  S  a  b  3. Câu 22. Tính tích phân A. 4 . Chọn B 5 x 1 dx được kết quả I  a ln 3  b ln 5 . Giá trị a 2  ab  3b 2 là 3x  1 B. 5 . C. 1 . D. 0 . Hướng dẫn giải t2 1 2tdt .  dx  3 3 Đổi cận: x  1  t  2; x  5  t  4. Khi đó Đặt t  3 x  1  t 2  3 x  1  x  File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected]l.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 210 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 4 4 a  2 2 1  t 1  1 I   2 dt      2 ln 3  ln 5 . Suy ra  .  dt  ln b   1 t  1 t  1 t  1 t  1    2 2 2 2 2 Do đó a  ab  3b  5 . 4 dx 2 Câu 23. Cho tích phân I    a  b ln với a, b   . Mệnh đề nào sau đây đúng? 3 2x 1 0 3 B. a  b  5 . C. a  b  5 . D. a  b  3 . A. a  b  3 . Hướng dẫn giải Chọn C Đặt t  2 x  1  t 2  2 x  1  dx  tdt . Đổi cận: x  0  t  1 ; x  4  t  3 3 3 4 3 tdt 3  dx 2     1  d t  t  3ln t  3  2  3ln Khi đó I      1 3t 1  t  3 3 0 3  2x 1 1 Do đó a  b  5 . 4 3 Câu 24. Biết x 2  1dx  x 1 A. a  2b . Chọn A 2 a  b , với a, b là các số nguyên dương. Mệnh đề nào sau đây đúng. 3 B. a  b . C. a  b . D. a  3b . Hướng dẫn giải   Đặt t  x 2  1  t 2  x 2  1  tdt  xdx . Đổi cận x  1  t  2; x  3  t  2 . 3 Khi đó t3 x x  1dx   t dt  3 2  1 Câu 25. Cho I  2 2 dx a x x2  4 5  2 2  2 2 4  2 . Vậy a  2b. 3   1 5 ln , a  5 . Khi đó giá trị của số thực a là 4 3 A. 2 3.   B. 2 5. C. 3 2. Hướng dẫn giải Chọn A D. 2 2. Đặt t  x 2  4  t 2  x 2  4  tdt  xdx. Đổi cận: x  5  t  3, x  a  t  a2  4 . I x 5 1  4 2 a2  4  3 a2  4 xdx a 2 x 4   3 dt  2 t 4 a2  4  3 dt (t  2)(t  2) 1  1 t 2  1    dt  ln 4 t2  t 2 t 2 a2  4 3 1  a2  4  2   ln  5  . 4  a 2  4  2  1 5 1  a2  4  2  1 5 Ta có, I  ln  ln  5    ln , a  5  4 3 4  a 2  4  2  4 3  3  a2  4  2  1 3  a2  4  2  a2  4  2  a  2 3 . 1 Câu 26. Cho I   A. – 1.  a2  4  2 0 1 Cho I   0 x 2 x 1 x 2 x 1 dx  a 2  b . Giá trịa.b là: B. – 2. C. 1. Hướng dẫn giải D. 2. dx  a 2  b . Giá trịa.b là: File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 211 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng Ta có: x  0  t  1 Đặt t  x 2  1  dt  2 xdx . Đổi cận  . x  1  t  2 2 1 1 I  dt  2  1  a  1, b  1  a.b  1 . 21 t Chọn A 2 4  x2 b Câu 27. Với a, b, c  R . Đặt I   dx  a  ln . Giá trị của tính abc là : x c 1 3 A. B. 2 3 C. 2 3 Hướng dẫn giải D.  3 Chọn D Đây là dạng toán tính tích phân để tránh tình trạng bấm máy tính nên chúng ta cần phải nhớ phương pháp làm. Có hai cách để làm bài toán này là chuyển về lượng giác hoặc phá căn. Dưới đây là một cách Đặt t  4  x 2  t 2  4  x 2  tdt   xdx 0 t (tdt ) I  4  t2 3 0 0 t2 4   t 2    t 2  4 dt   1  t 2  4  dt   t  ln t  2  3 3 0   3  ln 3 2 3 2 3 Suy ra abc   3(2  3)(2  3)   3 3 x2  1 c d 1 x dx  a  b  ln e với c nguyên dương và a , b , c , d , e là các số nguyên tố. Giá trị của biểu thức a  b  c  d  e bằng. B. 17 . C. 10 . D. 24 . A. 14 . Hướng dẫn giải Chọn C Câu 28. Cho 3 I  1 x2  1 dx  x 3  1 x2 1 xdx . x2 Đặt t  x 2  1  t 2  x 2  1  2tdt  2 xdx  tdt  xdx .  x  1  t  2 Đổi cận:  .  x  3  t  2 2 2 2 2 t2  1 1 1  1  1 1  I  2 dt   1       dt   dt     dt t 1 2  t  1 t  1  2 2  t 1 t 1  2 2 2 t 2 2 1 t 1  ln 2 t 1 2 2 3 8 1 1 1  2  2  ln  ln 3  2 2  2  2  ln 2 3 2 3   1 2 . 3 Vậy a  b  c  d  e  10 . 7 x3dx a Câu 29. Giá trị của I   được viết dưới dạng phân số tối giản ( a , b là các số nguyên 3 2 b 1  x 0 dương). Khi đó giá trị của a  7b bằng A. 2 . B. 1 . C. 0 . D. 1. Hướng dẫn giải  2  2  ln File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 212 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng Chọn B Cách 1: Tính I  7  0 x3dx 3 1  x2 3 Đặt u  3 1  x 2  u 2 du  xdx . Đổi cận: x  0  u  1 ; x  7  u  2 . 2 3 2 2 2 3  u  1 u 3 141 Vậy I   du    u 4  u  du  . u 21 21 20 Suy ra: a  141 , b  20 . Vậy a  7b  1. Cách 2: Dùng MTCT I  7  0 x 3dx 3 1 x 2  7.01  141 . 20 Suy ra: a  141 , b  20 . Vậy a  7b  1. 64 dx 2  a ln  b với a , b là số nguyên. Tính giá trị a  b . Câu 30. Giả sử I   3 3 x x 1 A. 17 . B. 5. C. 5 . D. 17 . Hướng dẫn giải Chọn C 6 Đặt x  t  x  t 6  d x  6 t 5 d t . Với x  1  t  1 , x  64  t  2 . Khi đó I  2 2 6t 5 1   2 3 2 1 t 3  t 2 dt  6 1  t  t  1  t  1 dt   2 t  3t  6t  6 ln t  1  2 1  6 ln 2  11 . 3  a  6 , b  11.Vậy a  b  5 . 2 1  x2 1 b  1 x4 dx  c  a a  b  c b  với a, b, c   ; 1  a, b, c  9 . Tính giá trị của biểu thức C2baac . B. 715 . C. 5456 . D. 35 . A. 165 . Hướng dẫn giải Chọn D 1 1 2 2 2 2 1 x x I  dx   dx x4 x3 1 1 1 2 1 Đặt t 2  1  2  2tdt   3 dx  tdt  3 dx x x x Câu 31. Giả sử 5 2 1 Ta được I    t dt  t 3 3 2 2 2 5 2 1 5   2 2  5. 3 53  Vậy a  2 , b  5 , c  3 , suy ra C2baac  C73  35 . Câu 32. Tập hợp nghiệm của bất phương trình x  0 A.  ;   . Chọn C B.  ;0  . t t2 1 dt  0 (ẩn x ) là: C.  ;   0 . Hướng dẫn giải File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D.  0;  . Trang 213 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A x Ta có t  t2 1 0 dt  0  Tích Phân và Ứng Dụng x 1 1 2 2 d  1  0   1  0  x2  1 1  0 t t 0 2 0 t 2  1 x    x2  1  1  x 2  0  x  0 Câu 33. Cho biết 7 x3  3 0 A. 0 . 1 x 2 dx  Chọn B m m với là một phân số tối giản. Tính m  7 n . n n B. 1 . C. 2 . D. 91 . Hướng dẫn giải 3t 2 dt . Đặt t  1  x  t  1  x  3t dt  2 xdx  xdx  2 Đổi cận: khi x  0  t  1 ; khi x  7  t  2 3 7  0 2 3 2 2 2 2 2 t 3  1 3t 2 3 3  t5 t 2  141 . dx   . dt  .  t 4  t dt  .     3 t 2 2 2 5 2 20 1  x2   1 1 1 x3  m  7 n  141  7.20  1 . Câu 34. Biết 2 x  3x  2 9x 1 1 . dx  a  b 2  c 35 với a , b , c là các số hữu tỷ, tính P  a  2b  c  7 1 A.  . 9 B. Chọn A Cách 1: Ta có 2  3x  1 2 2 1 1 86 . 27 C. 2 . Hướng dẫn giải 2 x 2 9x 1 D.   2   dx   x 3x  9 x  1 dx   3x 2  x 9 x 2  1 dx 1 2 2 67 . 27 2 2 1 1 1   3x2 dx   x 9 x2  1dx  x3   x 9 x 2  1dx  7   x 9 x2  1dx . Tính 2 x 1 9 x2  1dx . 1 t dt . 9 Khi x  1 thì t  2 2 ; khi x  2 thì t  35 . 9 x 2  1  t  9 x 2  1  t 2  xdx  Đặt 2 35 t dt t 3 Khi đó  x 9 x  1dx   t  9 27 2 1 2 2 2 2 35  2 35 16 35  2. 27 27 35 16 16 35 35  2  a  7, b  , c . 2 27 27 27 27 9x 1 1 32 35 1  7   . Vậy P  a  2b  c  7  7  27 27 9 2 2 1 3 2 1 35 35 16 2 1 2 2 2 2 2 Cách 2:  x 9 x  1dx    9 x  1 d  9 x  1  9 x  1 2    18 1 27 27 27 1 1 Vậy 2  1  3x  x x 3x  9 x 2  1 dx  7  dx  7  35 16 16 35 35  2  a  7, b  , c . 27 27 27 27 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 214 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Vậy P  a  2b  c  7  7  2 Tích Phân và Ứng Dụng 32 35 1  7   . 27 27 9 dx  a  b  c với a , b , c là các số nguyên dương. Tính x  1  x  1 x   1 P  abc . A. P  44 . B. P  42 . C. P  46 . D. P  48 . Hướng dẫn giải Chọn D 2 2 dx dx Đặt I   .  x  x  1 x  x  1 1 x x  1   x  1 x 1 Câu 35. Biết x  Đặt t  x  x  1  dt  x 1  x 2 x  x  1  dx dx  x  x  1 2 dt . t Khi x  1 thì t  2  1 , khi x  2 thì t  3  2 . 2 I  1 dx x  x  1  x  x 1  2 3 2  2 1 dt 1  2 2 t t 3 2 2 1 1 1    2    2 1   3 2  4 2  2 3  2  32  12  4  a  32 , b  12 , c  4 Vậy P  a  b  c  48 3 4 1 2 x2  4 x  1 Câu 36. Giả sử a , b , c là các số nguyên thỏa mãn  dx    au 4  bu 2  c  du , trong 21 2x  1 0 đó u  2 x  1 . Tính giá trị S  a  b  c . B. S  0 . C. S  1 . A. S  3 . Hướng dẫn giải Chọn D udu  dx  2 u  2x 1  u  2 x  1   u2 1 x    2 D. S  2 . 2  u 2 1   u2 1  2 4      1 3 4 3 2  2  1 2 x2  4 x  1   Khi đó  dx   u.du   u 4  2u 2  1 .du 21 u 2x  1 1 0 Vậy S  a  b  c  1  2  1  2 . 1 a 2 x 3  ax Câu 37. Tích phân I   dx , với a  0 có giá trị là: ax 2  1 0 a  a  2 a  a  2 a  a  2 a  a  2 A. I  . B. I  . C. I  . D. I  . 4 2 4 2 Hướng dẫn giải 1 2 3 a x  ax Tích phân I   dx , với a  0 có giá trị là: ax 2  1 0  1 Ta biến đổi: I   a 2 x 3  ax 1 dx   ax  ax 2  1 1 2   dx   ax ax 2  1 dx . ax  1 ax  1 0 0 2 Ta nhận thấy:  ax  1 '  2ax . Ta dùng đổi biến số. 0 2  File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 215 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng Đặt t  ax 2  1  dt  2axdx . x  0  t  1 Đổi cận  . x  1  t  a 1 a 1 a 1 1 1 1  I   tdt   t 2   a  a  2  . 2 4  4 1 1 Chọn C 3 1 Câu 38. Tích phân I   dx có giá trị là: 2 x  9 0 A. I   ln 3 2 3 . 3 3 Tích phân I   0 B. I   ln 1 3  2 3 32 3 . C. I  ln . 3 3 Hướng dẫn giải 3 3 2  Chọn C 3 x 9 3 3 du   ln u  3 u 1 Câu 39. Tích phân I   0 A. I  a 3 x 2  12 Tích phân I   0 Ta có: 1 0 3 x 2  12  2 Chọn D dx x2  9 .  B. I   D. I  a 1 5 ln . 2 3 a 1 5 ln . 2 3 Hướng dẫn giải a 2 3 x  12 dx  dx có giá trị là: a 1 dx .  2 3 0 x 4 x  x2  4 x2  4 1 5 1 a du   ln u  u 3 2 2 Câu 40. Tích phân I   A. a  5 . du  u 1 a 1 5 x2  9  dx có giá trị là: Đặt u  x  x 2  4  du  a I 3  udx  ln 1  2 . a 1 5 ln . 2 3 1 I  2 a 1 5 ln . 2 3 C. I   3  2 3 . 3 dx có giá trị là: 2  x  x  x2  9 Đặt u  x  x 2  9  du  1  dx  dx   2 2 x  9 x  9    x  0  u  3 Đổi cận  .  x  3  u  3  3 2 I D. I  ln 1  dx  du  u dx x2  4 . a 1 5 . ln 2 3 ax  2 dx  2 3  1 . Giá trị nguyên của a là: ax 2  4 x B. a  6 . C. a  7 . File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. a  8 . Trang 216 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 2 Hướng dẫn giải ax  2 Tích phân I   Tích Phân và Ứng Dụng dx  2 3  1 . Giá trị của a là: 2 ax  4 x 1 2 Ta có:  ax  4 x  '  2ax  4  2  ax  2  . 2 1 2ax  4 I  dx . 2 1 ax 2  4 x Đặt t  ax 2  4 x  dt   2ax  4  dx .  x  2  t  4a  8 . Đổi cận  x  1  t  a  4 4 a 8 4 a 8 1 1 I  dt  t  4a  8  a  4 a 4 2 a 4 t   Theo đề bài: I  2 3  1  4a  8  a  4  2 3  1  .....  a  5 . Câu 41. Cho 2  1 A. 2 . 5 Cho 2  1 1 2 x 1 dx  ln 2 a 1 b 5 . 2 B. 1 x2 1 dx  ln a b Ta đặt: t  x  x 2  1  ,a và b là các số hữu tỉ. Giá trị a là: b 2 . 3 Hướng dẫn giải C. D. 3 . 2 a là: b dx . x2  1 . Giá trị dt  t  x  1  t  1  2 Đổi cận  .  x  2  t  2  5 2 5 2 5 dt 2 5   ln t  ln . 1 2  t 1 2 1 2 Chọn B 3 7 3x 5 Câu 42. Tích phân I   dx có gái trị là: 3 3 8  x 0 87 67 77 A. I  . B. I  . C. I  . 5 5 5 Hướng dẫn giải  3 Tích phân I  7  0 3x 5 3 8  x3 D. I  57 . 5 dx có gái trị là: Cách 1: Ta nhận thấy:  8  x3  '  3 x 2 . Ta dùng đổi biến số. Đặt t  8  x 3  dt  3 x 2 dx .  x  0  t  8 Đổi cận  .  x  3 7  t  1 3 Ta có: I  7  0 3 x5 3 8  x3 3 7 dx    0 3 x 2 .x 3 3 8  x3 3 7 dx    0 3 x 2  8  t  3 8  x3 dx File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 217 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 1 1 1 1 2    2 3 5  t 8 87 .  I   3 dt    t 3  8.t 3 dt   t 3  12t 3   t  5 8 5 8 8 Chọn A Cách 2: Dùng máy tính cầm tay, tuy nhiên chờ máy giải cũng khá mất thời gian. 4 2 x  1dx 5 Câu 43. Biết   a  b ln 2  c ln  a, b, c    . Tính T  2a  b  c . 3 0 2x  3 2 x 1  3 A. T  4 . B. T  2 . C. T  1 . D. T  3 . Hướng dẫn giải Chọn C 4 4 4 2 2 x  1  1  2 x  1  2 dx 2 x  1dx 2 x  1dx I    2x  1 1 2x 1  2 2x  1  1 2x 1  2 0 2x  3 2x 1  3 0 0   4  0 4 2dx  2x 1  2    0  dx  2x 1 1        . Đặt u  2 x  1  udu  dx . Với x  0  u  1 , với x  4  u  3 . .3 .3 .3 .3 udu 2udu 4  1    I    2  d u  Suy ra 1 u  2 1 u  1 1  u  2  1 1  u  1 du 3 5   u  4 ln u  2  ln u  1   2  4ln  ln 2 1 3  a  2 , b  1 , c  1  T  2.1  1  4  1 . 3 Câu 44. Biết dx 1  a 3  b 2  c  ln 3 2  3 với a , b , c là các số hữu tỷ. Tính 2 1  x2  1 x  1  P  abc . 1 A. P  . 2 B. P  1. Hướng dẫn giải Ta có dx  1 x  1  1  x2 3   1  x   1  x 2 dx 2x 1 1 2 C. P   . Chọn C 3  D. P  3 1  1   ln x  x   2 1 2 3  1 5 . 2 x 1  x 2 dx . 2x2 1 3 1 ln 3  I 2 2 Xét I  3  1 x 1  x 2 dx 2 x2 Đặt t  1  x 2  tdt  xdx 2 2 2 t 2 dt 1 1  1 1   1  1 t 1 I   t      dt   2 t  2 ln t  1  2  2 2 t  1 t  1 2 t  1      2    2 2  1 1 1 1 2 1   2  2  ln  ln  2 2 3 2 2  1 2 1 1 1 1   2  2  ln 3  ln 2  1    2  2  ln 3  ln 2  1   2 2 2  2     File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 218 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Vậy 2 dx Tích Phân và Ứng Dụng 1 3 1 1  ln 3   2  2  ln 3  ln 2 2 2   2 1  2  1  x 1 1 1 3 1  3 2   ln 3 2  3 2 2 2 2 1 Vậy P  a  b  c   . 2 1  2 a  dx 0 x 2  4 x  3  2 ln  1  b    với a , b là các số nguyên dương. Giá trị của a  b Câu 45. Biết rằng bằng A. 3 . B. 5 . C. 9 . D. 7 . Hướng dẫn giải Chọn B 1 1 dx dx Ta có   x 2  4 x  3 0  x  1 x  3 0   1 x    Đặt t  x  3  x  1 1 1 1  1  x 1  x  3     dt    d x t  d   2 x3 2   x  1 x  3  x 1    1  dt   2   2dt  dx    t x  1 x  3    dx t  x  1 x  3 . Khi x  0 thì t  1  3 ; khi x  1 thì t  2  2 . 1  0 dx x2  4 x  3 2 2 2 2  1 dt  2 ln t t 3 2 2 1 3  2ln a  2 2 2   a b  5. 1 3 b  3 a 1 1 1  a tối giản và c  a .  2 3 8  11  dx  3 c , với a, b, c nguyên dương, 2 b x x x  b 1 Tính S  a  b  c A. S  51 . B. S  67 . C. S  39 . D. S  75 . Hướng dẫn giải Chọn C 2 2  1  2 1 1 1  3 3 Ta có   x  2  2 8  11  dx   3 x  2 1  3  dx . x  x  x x x  1 1 Câu 46. Biết    3 x Đặt t  3 x  2 2 1 1   t 3  x  2  3t 2 dt   1  3  dx . 2 x x  x  3 7 3 7 4 4  1 1 1  3 21 3 Khi đó:   3 x  2  2 3 8  11  dx   3t 3dt  t 4  14 . x x x 4 32 0 1 0  Vậy S  67 . 2 dx Câu 47. Cho số thực dương k  0 thỏa   ln 2  5 . Mệnh đề nào sau đây đúng? x2  k 0 3 1 1 3 A. k  . B. 0  k  . C.  k  1 . D. 1  k  . 2 2 2 2 Hướng dẫn giải   File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 219 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng Chọn C 1   Đặt t  ln x  x 2  k  dt  2 Ta có  0 dx x2  k  2 x x  k dx  dt  x  x2  k  2 x2  k dx   dt  t 0  ln x  x2  k   2 4k  ln 2  5 k 2 0    ln 2  4  k  ln k  ln 2  5  ln  1 2 0   ln 2  5    2 4k  2 5 k   2 4k  2 5 2  k  2  5  4  k  2  5  2  k   2 5    k  0  k  1    2   k  44 k 4 4 k  2 5 k  4k  2 5 k 2   2  k  2  5  2 2  2  5 2 k2  9  4 5 k  0 k 4 4 2 5 k        File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 220 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A HÀM LƯỢNG GIÁC Câu 48. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau 1 1 0 0 A.  sin 1  x  dx   sin xdx . Tích Phân và Ứng Dụng 1 1 0 0 B.  cos 1  x  dx    cos xdx .  2  x C.  cos dx   cos xdx . 2 0 0  D.  2 x  sin 2 dx   sin xdx . 0 0 Chọn A Hướng dẫn giải 1 Xét tích phân  sin 1  x  dx 0 Đặt 1  x  t  dx  dt . Khi x  0  t  1 ; Khi x  1  t  0 . 1 0 1 1 1 0 0 Do đó  sin 1  x  dx   sin t  dt    sin tdt   sin xdx . 0 π 3 sin x dx . cos 3 x 0 Câu 49. Tính tích phân I   A. I  5 . 2 B. I  3 . 2 C. I  Hướng dẫn giải π 9 .  3 20 D. I  9 . 4 Chọn B Đặt t  cos x  dt   sin xdx . π 1 Đổi cận: x  0  t  1 ; x   t  . 3 2 1 2 1 1 1 1 Khi đó: I   3 dt   3 dt  2 2t 1 t 1 t 2 1 1 2 1 3  2 . 2 2  3 b Câu 50. Cho I   sin 2 x tan xdx  ln a  . Chọn mệnh đề đúng: 8 0 A. a  b  4 B. a  b  2 Chọn C Đặt u  cos x  du  sin xdx  1   x u  Đổi cận   3 2   u  1 x  0 1 2 I 1 2 1  u   du   u C. ab  6 Hướng dẫn giải 1 1 2 2 D. a b  4  u2  3 1   u du  ln u   ln 2   1  u   2 1 8 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 221 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 0 0 1 3 3 3 dx  a và I   1  cos 2 x 1 x  2dx  b 2  4 , a và b là các số hữu tỉ. Câu 51. Biết rằng I1   4 Thương số giữa a và b có giá trị là: 1 1 B. . A. . 2 3 3 . 4 Hướng dẫn giải C. 0 D. 2 . 3 0 1 3 Biết rằng I1   dx  a và I   3 x  2dx  b 3 2  . Thương số giữa a và b có giá 4  1  cos 2 x 1  trị là: Ta có: 4 0 I1  1 1  1  cos 2 x dx  2  4 0 0    4 0 1 1 1 dx  ...   tdt  , với t  tan x . 2 cos x 2 1 2 0 3 3 3 4 I   x  2dx   3  x  2    3 2  .    1 2 4 4 1 1 3 a 1  a  ,b    . 2 2 b 3 Chọn B 3  a cos 2x 1 dx  ln 3 . Tìm giá trị của a là: 1  2 sin 2x 4 0 B. 2 C. 4 Hướng dẫn giải Câu 52. Cho I   A. 3 Chọn C 1 2 sin 2 1 Đặt t  1  2 sin 2 x đưa đến I = 4 1 suy ra 1  2 sin 2 / a  3 suy ra a = 4.  4 Câu 53. Biết I1   1  tan x  dx  a và I 2   0  0 trị của a + b + c là: A. 1.  4 B. 2. 1   x  x dx   bx 3  cx 3  , a và b là các số hữu tỉ. Giá  0 2  C. 3. Hướng dẫn giải 1 2 Biết I1   1  tan x  dx  a và I 2   0 0 Ta có:  4 dt 1 1 1 2 sin 2 / a = ln3 = lnt| 1 t 4 4 1 1 2 a D. 6  4 D. 0. 1  1   x  x dx   bx 3  cx 3  . Giá trị của a + b + c là:  0 2  1 1 I1   1  tan x  dx   dx  ...   tdt  1 , với t  tan x . cos2 x 0 0 0 1 2 1 1 2 1 I 2   x 2  x dx   x 3  x 3  . 3 0 3 0 1 2  a  1, b  , c   a  b  c  2 . 3 3   File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 222 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng Chọn B  3 sin 2 x dx có giá trị là: cos x  cos 3 x 0 Câu 54. Tích phân I   1  2 2 2 1   ln  ln . 2 2 22 2  1  1  2 2 2 1  C. I   ln  ln . 2 2 22 2  1  A. I  1  2 2 2 1   ln  ln . 2 2 22 2  1  1  22 2 1  D. I   ln  ln . 2 2 2 2 2  1  Hướng dẫn giải B. I   3 sin 2 x dx có giá trị là: cos x  cos 3 x 0 Tích phân I    3  1  3 3 sin 2 x sin x sin x 1  2t  1  2 I  dxI   dx   dx  ...  ln   cos x  cos 3x cos 2 x 2 cos 2 x  1 2 2  2t  1  1 0 0 0 , Ta biến đổi: 1  22 2 1    ln  ln  2 2 22 2  1  với t  cos x . Chọn C  2 Câu 55. Tích phân I    4 2 x  cos x dx có giá trị là: x 2  sin x 2 2  2 A. I  ln   1  ln    . 4 16 2     2 2    2 C. I  ln   1  ln   . 2   4   16  2 Tích phân I    4  2 Ta có: I    4 Chọn B 2 2  2 B. I  ln   1  ln    . 4 16 2     2 2    2 D. I  ln   1  ln   . 2   4   16 Hướng dẫn giải 2 x  cos x dx có giá trị là: x 2  sin x 2 1 4 2 2  2 x  cos x 1 2 2 dx  ...  dt  ln  1  ln    , với t  x  sin x .   2   x  sin x t 2   4   16 2 2  16 2  4 1 1 Câu 56. Cho  sin 2 x ln  tan x  1 d x  a  b ln 2  c với a , b , c là các số hữu tỉ. Tính T    c a b 0 . A. T  2 . B. T  4 . C. T  6 . D. T   4 . Hướng dẫn giải Chọn B File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 223 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ta có  4 1 0  4  4 1   cos 2 x ln  tan x  1 2  0 1 cos 2 xd ln  tan x  1  2 0  4  4 1 cos 2 x  sin 2 x 1 1 1 1  . dx cos 2 x . . d x 2   2 0 sin x  cos x cos 2 x 20 tan x  1 cos x cos x  4    4  sin 2 x ln  tan x  1 dx   2  ln  tan x  1 d  cos 2 x  0  Tích Phân và Ứng Dụng 1 1  sin x  1   dx  2 x  2 0  cos x   1  ln cos x 8 2  4  2  0 A. I   4  0 1 1 d  cos x   2 0 cos x 1 1    ln 2  T  8  4  0  4 . 8 4 0 Câu 57. Xét tích phân I   4 sin 2 x d x . Nếu đặt 1  cos x 1 4t 3  4t  t dt . 2 B. I  t  1cos x , khẳng định nào dưới đây là đúng? 1  4t 3  4t  t dt . 2 2 C. I  4   t 2  1 d t . D. 1 2 I   4  t 2  1 d t . 1 Hướng dẫn giải Chọn C Đặt t  1  cos x  dt   sin x sin x dx  dx  2dt 2 1  cos x 1  cos x  t 2  1  cos x  cos x  t 2  1 Đổi cận x  0  t  2; x   2 I  0 sin 2 x d x  1  cos x  2  0   t  1. 2 2 cos x sin x d x  1  cos x 1 1 2 2 2 1 2 2 2  2(t 1)(2)dt  4  (t 1)dt  4  (t 1)dt.  6 Câu 58. Cho  sin n x.cos xdx  1  n    . Tìm giá trị n . 0 64 A. n  3 . B. n  4 . Chọn A [Phương pháp tự luận] C. n  5 . Hướng dẫn giải Đặt t  sin x  dt  cos xdx . Với x  0  t  0 ; x  1 2  6  1 t . 6 2  n 1  1 Vậy  sin n x.cosxd x  1   t n dt   t  |02  1 .  1  0 64 0  n  1 D. n  6 . n 1  2  n 1 n 1 1 1    1  32 64  2 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay n Trang 224 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 1 Phương trình 1 là phương trình hoành độ giao điểm của y    là một hàm số giảm trên  2 n n 1  1   y   0  là một hàm số tăng trên  . 32  32  Vậy phương trình 1 có tối đa 1 nghiệm.  và y  3 31 1 ( đúng). Với n  3 thay vào phương trình 1 ta được:    32 2 Vậy n  3 là nghiệm duy nhất của phương trình 1 . [Phương pháp trắc nghiệm]  6 Thay n  3 vào bấm máy tính:  sin 3 x.cos xd x  1 . Ta chọn đáp ánA. 64 0 Câu 59. Cho tích phân A. 2a  b  0.  2 sin x  cos x  2 dx  a ln 5  b ln 2 với a, b  . Mệnh đề nào dưới đây đúng?  3 B. a  2b  0. C. 2a  b  0. Hướng dẫn giải D. a  2b  0. Chọn A Đặt t  cos x  2  dt   sin xdx  5  Đổi cận x   t  , x   t  2 3 2 2 5  2 2 2 5 sin x 1 1 5 2  ln d x   dt  dt  ln t  ln 2  ln 5  2ln 2  cos x  2 5 t 2 t 2 2 3 2 Vậy ta được a  1; b  2 .  2 Câu 60. Tích phân I    3 cos x  sin x dx có giá trị là:  e cos x  1 cos x x  3  3  e e  2  . A. I  ln 2 e 3 2  3  e e  2   . B. I  ln 2 e 3 2     e3 e3  2  . C. I  ln 2 e 3 2     e3 e3  2   . D. I  ln 2 e 3 2 Tích phân I  Hướng dẫn giải 2 3  e  3  3 x cos x  sin x dx có giá trị là: cos x  1 cos x File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 225 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A  2 Ta biến đổi: I    3 e x .  cos x  sin x  e cos x  1 e x cos x x Tích Phân và Ứng Dụng dx . Đặt t  e x cos x  dt  e x  cos x  sin x  dx .   1 3 x t e     3 2 Đổi cận  . 2  x  2  t   1 e 3  3 2 1  e 2 2 3 1   t  t  t  1 dt   ln t  1  I  1 3 e 2 1  e 2 2 3  1 3 e 2  3  e e  2 e e   .  ln 2  ln   ln 2 e 3 2 e3  2 e 3 2 2 3  3  3 Chọn A  6 Câu 61. Tích phân I    3 sin 3 x dx có giá trị là: cos x 19  17 3 . A. I  2  6 Tích phân I    3 19  17 4 3 19  17 3 B. I  . C. I  . 2 2 Hướng dẫn giải 19  17 4 3 D. I  . 2 sin 3 x dx có giá trị là: cos x Ta nhận thấy:  cos x  '   sin x . T dùng đổi biến số. Đặt t  cos x  dt   sin xdx .  1   x  3  t  2 Đổi cận  . x    t  3  6 2  2 I   3  2 1  cos 2 x sin x   dx sin 3 x dx   cos x cos x  3 3 2 I  1 2 t2 1 dt  t 3 2 3 2 1  23  12   2 52  19  17 4 3 2 1  t  t  dx   5 t  2t   2 1 2 2 Chọn D Câu 62. Tích phân I   3    3 sin x  cos x  3 sin x  2 dx có gái trị là: File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 226 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 3  32  3 ln   . 16   3  2  8 3  32  3 C. I   ln   . 8   3  2  8 3  32  3 ln   . 8   3  2  8 3  32  3 D. I   ln   . 16   3  2  8 Hướng dẫn giải A. I  Tích phân I   3    3    3 Ta có: I  3 cos x  3 sin x  2 dx có gái trị là:  3 sin x  B. I  sin x  cos x  3 sin x  2 dx  Tích Phân và Ứng Dụng    3  3 sin x 1  3 4  cos x  sin x  2 2  2 dxI     3    x  u   dx  du . 6 6     x   3  u   6 Đổi cận  x    u    3 2        sin cos u  2 sin  u  2 sin u.cos 1 6  6 6 I  du   du  2 2 4sin u 4sin u 8   sin x     4 sin  x    6    2 dx . Đặt u  x    6 6  2    6 3.sin u  cos u du sin 2 u   2  2 1 3 sin u cos u  du   du    2 2 8   1  cos u  sin u   6 6   2 Xét I1  3 sin u du . 2 u  1  cos   6 Đặt t  cos u, u   0;    dt   sin udu .   3 u    t  6 2 . Đổi cận   u   t  0  2 0 3dt 3  I1    2 1 t 2 3 2 Xét I 2  0 1  3  t 1   1   1  t  1  t dt  2  l n t  1  3 2  2 0  3 2 3  3 2  ln  . 2   3  2  cos u du . 2 u  sin   6 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 227 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng    Đặt t  sin u , u    ;   dt  cos udu .  2 2  1  u    t    6 2 . Đổi cận   u   t  1  2 1 1 1 3  32  3 1  1 I 2   2 du      3 .  I   I1  I 2    ln   . t  1 8 16   3  2  8  1 t  2 2 Chọn D  4 1 dx có giá trị là: 9cos x  sin 2 x 0 Câu 63. Tích phân I   2 1 A. I  ln 2 . 3 1 1 B. I  ln 2 . C. I  ln 2 . 2 6 Hướng dẫn giải D. I  ln 2 .  4 1 dx có giá trị là: 9cos x  sin 2 x 0 Tích phân I   2  4  4 1 1 dx   dx . 2 2 2 9 cos x  sin x 0 0 cos x  9  tan x  Ta biến đổi: I   2 1 . Ta dùng đổi biến số. cos 2 x 1 Đặt t  tan x  dt  dx . cos 2 x x  0  t  0  Đổi cận  .   x  4  t  1 Nhận thấy:  tan x  '  1 1 1 1 1  1 1   1 3t  1 I  dt     dt   ln  ln 2 .   2 9t 6 0  3t 3t   6 3t  0 6 0 Chọn C a sin x  cos x 1 3 dx  Câu 64. Tích phân I   . Giá trị của alà: 2 1  3 sin x  cos x   0 A. a    . 2 B. a    . 4 C. a   . 3 D. a  Hướng dẫn giải sin x  cos x 1 3 dx  Tích phân I   . Giá trị của alà: 2 1 3 0  sin x  cos x  Ta có:  . 6 a a I  0 sin a  cos a sin x  cos x  sin x  cos x  2  1 dx      t  1  1  1, t  sin x  cos x . cos a  sin a File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 228 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Theo đề bài, ta có: Chọn C  2 Câu 65. Tích phân I    3 A. I    ln 12  1 1  3 casio  1   a  . cos a  sin a 3 1 3 sin x dx có giá trị là: sin x  cos x  3 1 .  3 1 ln   2    C. I   12 2 .  2 Tích phân I    3  2 Xét I1    3 Tích Phân và Ứng Dụng B. I   3 1  ln . 12 4 D. I   3 1  ln . 12 2 Hướng dẫn giải sin x dx có giá trị là: sin x  cos x cos x dx sin x  cos x   2  I  I  I  1 1 3  dx  2 ln  I  I   2 , t  sin x  cos x . 3 I 2 3   Ta có:  1 2 12 2  1  I 3  I1  I   dt t 1 3    2 2 Chọn C Câu 66. Cho biết A. 1 . 4  4 cos x  sin x  cos x dx  a  b ln 2 với a và b là các số hữu tỉ. Khi đó 0 B. 3 . 8 1 . 2 Hướng dẫn giải C. Chọn C  4 D. a bằng: b 3 . 4  4 cos x sin x Xét I1   dx ; I 2   dx sin x  cos x sin x  cos x 0 0  4  I1  I 2   dx  0  4  4 ;  4  4 cos x  s inx d (sin x  cos x ) 1 dx    ln(sin x  cos x)  ln 2 sin x  cos x sin x  cos x 2 0 0 0  1 1 1 a 1  I1   ln 2  a  ; b    . 8 4 8 4 b 2 I1  I 2   File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 229 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Cách giải khác:Đặt x  Tích Phân và Ứng Dụng  t 4 x sin 2018 x a dx Câu 67. Biết  2018 trong đó a , b là các số nguyên dương. Tính P  2a  b . sin x  cos2018 x b 0 A. P  8 . B. P  10 . C.. P  6 . D. P  12 . Hướng dẫn giải Chọn A  x sin 2018 x dx. Xét tích phân I   2018 sin x  cos2018 x 0 Đặt x    t  d x   d t . Khi x  0 thì t   . Khi x   thì t  0 . 0   t  sin 2018   t  d t     x  sin 2018 x d x Ta có I   2018 0 sin 2018 x  cos 2018 x   t   cos 2018   t   sin  sin 2018 x x sin 2018 x    2018 d x   2018 dx sin x  cos 2018 x sin x  cos2018 x 0 0   sin 2018 x dxI . sin 2018 x  cos 2018 x 0    sin 2018 x dx. Suy ra I   2018 2 0 sin x  cos 2018 x  Xét tích phân J    2 sin 2018 x dx. sin 2018 x  cos 2018 x  u  d x  du . 2  Khi x  thì u  0 . 2  Khi x   thì t   . 2     sin 2018   u  0 2 cos 2018 x 2   J   d u Nên 0 2018    2018      sin 2018 x  cos 2018 x d x . sin   u   cos   u   2 2  2  cos 2018 x Vì hàm số f  x   là hàm số chẵn nên: sin 2018 x  cos 2018 x Đặt x  0    2  2 cos x cos 2018 x dx   2018 dx sin 2018 x  cos2018 x sin x  cos 2018 x 0 2018 Từ đó ta có:  2    sin x  sin 2018 x sin 2018 x  I   2018 d x    2018 d x   2018 d x 2018 2018 2018 2 0 sin x  cos x 2  0 sin x  cos x x  cos x   sin  2   2018 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 230 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng   2  2018 2 sin cos 2018 x  x     2018 d x   2018 d x 2018 2018 2  0 sin x  cos x sin x  cos x  0      2 sin 2018 x  cos 2018 x  2 2 d d   2018 x  x  . 2 0 sin x  cos 2018 x 2 0 4 Như vậy a  2 , b  4 . Do đó P  2a  b  2.2  4  8 .  sin xdx (với   1 ) thì giá trị của I bằng: Câu 68. Cho tích phân I   1  2 cos x   2 0  2 A. 2. B. . C. 2 . D. . 2  Hướng dẫn giải Chọn D t Đặt t  1  2 cos x   2  t 2  1  2 cos x   2  dt  sin xdx   1 1 tdt 1  1 2 Vậy I    .t    1 t   1  Câu 69. Có bao nhiêu giá trị của tham số m trong khoảng  0; 6  thỏa mãn A. 6 . B. 12 . C. 8 . Hướng dẫn giải m sin x 1  5  4cos x dx  2 ? 0 D. 4 . Chọn A m m 1 sin x 1 dx    d  cos x  Ta có   2 0 5  4cos x 5  4 cos x 0 1 1 1 d  5  4 cos x    ln 5  4cos x  4 0 5  4cos x 4 m 1 1   ln  5  4cos x  2 4 m m  Mà 5  4cos x  5  4  0  . 0 0 1 5  4cos m   ln 4 9 5  4 cos m 5  4 cos m 9e 2  5  2   e 2  cos m  9 9 4 2 9e  5  m   arccos  k 2  k    . 4  k  0 9e 2  5    arccos 4  k 2  0; 6    k  1   k  2 Theo đề bài m   0; 6    . k  1   2   arccos 9e  5  k 2  0; 6   k  2     4  k  3   ln Với mỗi giá trị k trong hai trường hợp trên ta được một giá trị m thỏa mãn. Vậy có 6 giá trị của m thỏa mãn bài toán. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 231 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng  2 cos x 4 dx  a ln  b, tính tổng S  a  b  c . x  5sin x  6 c 0 A. S  1 . B. S  4 . C. S  3 . Hướng dẫn giải Chọn B  Đặt t  sin x  dt  cos xdx . x  0  t  0 , x   t  1 . 2 Câu 70. Cho  sin 2  2 1 1 t 3 cos x 1 1   1 0 sin 2 x  5sin x  6 dx  0 t 2  5t  6 dt  0  t  3  t  2  dt  ln t  2  a  1, b  0, c  3  S  a  b  c  4 .  2 Câu 71. Cho tích phân I   0 D. S  0 . 1  ln 2  ln 0 3 4  ln 2 3 x 2   2 x  cos x  cos x  1  sin x c dx  a 2  b  ln với a , b , c là các số x  cos x  hữu tỉ. Tính giá trị của biểu thức P  ac3  b. 5 3 A. P  3 . B. P  . C. P  . 4 2 Hướng dẫn giải Chọn D  2  D. P  2 . 2 2 x 2   2 x  cos x  cos x  1  sin x  x  cos x   1  sin x dx dx   Ta có I   x  cos x x  cos x 0 0  2   x2  2 2 1  sin x   2 2     x  cos x  d x   sin x  ln x  cos x   1  ln   1  ln    x  cos x  8 2 8   2 0 0 1 1  a  , b  1 , c  2 . P  ac 3  b  .8  1  2 . 8 8 Câu 72. Cho  2   cos x  0 sin x 2  5cos x  6 S  abc. A. S  3 . dx  a ln B. S  0 . 4  b , với a , b là các số hữu tỉ, c  0 . Tính tổng c C. S  1 . Hướng dẫn giải D. S  4 . Chọn D Đặt t  cos x  dt   sin xdx .  Đổi cận: x  0  t  1 ; x   t  0 2 Ta có:  2   cos x  0 sin x 2  5 cos x  6 0 1 1 1  t 3  1 dt      dt  ln 2 t  5t  6 t 3 t  2  t 2 1 0 dx    1  ln 2  ln 0 3 2 4 4  a ln  b . 3 c a  1  Do đó:  c  3 . b  0   ln File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 232 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng Vậy S  a  b  c  4 .  2 a   4cos 2 x  3sin 2 x  ln  cos x  2sin x  dx  c ln 2  b , trong đó a , b , c   Câu 73. Cho * , 0 số tối giản. Tính T  a  b  c . A. T  9 . B. T  11 . C. T  5 . Hướng dẫn giải Chọn A a là phân b D. T  7 .  2 I    4cos 2 x  3sin 2 x  ln  cos x  2sin x  dx 0  2   2  cos x  2sin x  2 cos x  sin x  ln  cos x  2sin x  dx . 0 Đặt t  cos x  2sin x  dt    sin x  2 cos x  dx . Với x  0 thì t  1 .  Với x  thì t  2 . 2 2 2 1 1 Suy ra I   2t ln tdt   ln td t 2 2     t .ln t  2 1 2 2 t2   tdt  4 ln 2  2 1 1 3  4ln 2  . 2 a  3  Vậy b  2  T  a  b  c  9 . c  4   3 Câu 74. Biết sin x    3 1  x6  x3 dx  abcd . A. a  b  c  d  28 . a  b  c  d  22 . 3 3 2   c  d 3 với a, b, c, d là các số nguyên. Tính a b B. a  b  c  d  16 . I    3 sin x 6 1 x  x 3 dx  D. Hướng dẫn giải ChọnA.  3 C. a  b  c  d  14 .  3    3   1  x6  x3 sin x 6 1 x  x 6 dx   3   1  x6  x3 sin xdx .   3     x   3  t  3 Đặt t   x  dt  dx . Đổi cận  . x    t     3 3  I  3   3   3 1  t 6  t 3 sin  t  dt       3    3 1  t 6  t 3 sin tdt      3   1  x6  x3 sin xdx File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 233 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A  3 Suy ra 2I    2 x  3  3 Tích Phân và Ứng Dụng  3 sin x  dx  I    x3 sin xdx .   3 x 3 (+)  sin x 3x 2 (–)  cos x 6x (+)  sin x 6 (–)  cos x 0  sin x 3 2 3   2  6 3  27 3 3 Suy ra: a  27, b  3, c  2, d  6 . Vậy a  b  c  d  28 .  I   x 3 cos x  3 x 2 sin x  6 x cos x  6 sin x  3   6 Câu 75. Biết x cos x   1  x2  x  6 2 3  với a , b , c , d là các số nguyên. Tính M  a  b  c . b c dx  a  B. M  41 . A. M  35 . Chọn A  6 Ta có x cos x  1  x2  x   6 Xét I  0 x cos x   2 1 x  x  6 0 Suy ra I     6 Khi đó dx   6    6 1 x  x  6 x cos x 1  x2  x x cos x dx   1  x2  x 0 D. M  35 . dx  I  J dx . Đặt t   x  Cm  ; Đổi cận: x  0  t  0 ; x   0 1  x2  x 2    6 x cos x x cos x 0 C. M  37 . Hướng dẫn giải dx    6  6 dx   0  6 t cos  t  2 1   t   t  6  x cos x 2 1 x  x  6   dt    dx   0 0 x cos x 1  x2  x t cos t 1 t2  t  6 dt   0   t  . 6 6  x cos x 1  x2  x dx . dx  6   1 1   x cos x   d x  2 x 2 cos x dx .   2 2 1 x  x  0  1 x  x 0  6    6 x cos x 1  x2  x  6 2 dx   2 x sin x  4 x cos x  4sin x   2  0 2  3 .  36 3 Khi đó a  2 ; b  36 ; c  3 . Vậy M  a  b  c  35 . 1 2 Câu 76. Cho  f  x  dx  2018 0 A. I  1009 . 2  12 . Tính  cos 2 x. f  sin 2 x  dx 0 B. I  1009 . . C. I  4036 . D. I  2018 . Hướng dẫn giải File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 234 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng Chọn B  12 Xét I   cos 2 x. f  sin 2 x  dx . 0 Đặt u  sin 2 x  du  2cos 2 xdx . Đổi cận: x  0  u  0 và x  1 1  1 u  . 12 2 12 12 1 Khi đó I   f  u  du   f  x  dx  .2018  1009 . 20 20 2 Câu 77. Cho f là hàm số liên tục thỏa A. 1 .  2 1  f  x  dx  7 . Tính I   cos x. f  sin x  dx . 0 B. 9 . C. 3 . Hướng dẫn giải Chọn D 0 Đặt t  sin x  dt  cos xdx . Đổi cận x  0  t  0 , x   2 1 1 0 0 0 D. 7 .   t  1. 2 Ta có I   cos x. f  sin x  dx   f  t  dt   f  x  dx  7 . Câu 78. Cho hàm số f  x  liên tục trên  và 2 3 1  f  x  dx  12 ,  f  2cos x  sin xdx bằng 1 A. 12 . B. 12 . C. 6 . Hướng dẫn giải Chọn C Đặt t  2 cos x  dt  2sin xdx . Đổi cận 2 3   3 1  3 1 D. 6 . 1 1 1  1 f  2cos x  sin xdx   f  t     dt   f  t  dt   f  x  dx  6 . 2 1 2 1  2 1 Câu 79. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  thỏa mãn 9  1 f  x  dx  4 và x  /2  f  sin x  cos xdx  2. 0 3 Tích phân I   f  x  dx bằng A. I  2 . 0 B. I  6 . C. I  4 . Hướng dẫn giải Chọn C Đặt t  x  dt  1 2 x 9 dx   1 f  x  dx  2 x D. I  10 . 3 3 1 1  f  t  dt  4   f t  dt  2. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 235 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Đặt t  sin x  dt  cos dx  3 1 3 0 0 1  /2 1 0 0 Tích Phân và Ứng Dụng  f  sin x  cos xdx   f t  dt  2. I   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  2  2  4. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 236 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng HÀM MŨ – LÔGARIT 1 2 Câu 80. Cho I   xe1 x dx . Biết rằng I  0 A. 1 . Chọn C ae  b . Khi đó, a  b bằng 2 B. 0 . 1 2 Ta có I   xe1 x dx   0 C. 2 . Hướng dẫn giải D. 4 . 1 2 1 1 1 x2 1 e 1 e d 1  x 2    e1 x   0 20 2 2 ae  b Vì I   a  1; b  1 . Vậy a  b  2 . 2 2 f  x   sin 2 x.esin x Câu 81. Nguyên hàm của là 2 sin 2 x 1 2 A. sin x.e C . Chọn C esin x 1 sin 2 x . C. e B.  C C . sin 2 x  1 Hướng dẫn giải 2 esin x 1 D. C . sin 2 x  1 2 Ta có  sin 2 x.esin x dx   esin x d  sin 2 x   esin x  C 2 2 1 Câu 82. Biết rằng  3e A. T  6 . 13 x dx  0 a 2 b b c e  e  c  a, b, c   . Tính T  a   . 5 3 2 3 B. T  9 . C. T  10 . Hướng dẫn giải D. T  5 . Chọn C Đặt t  1  3x  t 2  1 3x  2tdt  3dx Đổi cận: x  0  t  1 , x  1  t  2 1   3e 0 1 3 x 2  2 2   2 2  dx 2  tet dt 2 tet 1   et dt  2 tet 1  et 1  2  2e 2  e  e 2  e   2e 2 . 1 1  a  10   T  10 nên câu C đúng. b  c  0 Câu 83. Tích phân I  ln12  e x  4dx có giá trị là: ln 5 B. I  2  2ln 3  2ln 5 . D. I  2  ln 3  2ln 5 . Hướng dẫn giải A. I  2  ln 3  ln 5 . C. I  2  2 ln 3  ln 5 . Tích phân I  ln12  e x  4dx có giá trị là: ln 5 Đặt: t  e x  4  t 2  e x  4  2tdt  e x dx  dx   x  ln 5  x  3 Đổi cận  .  x  ln12  x  4 4 2tdt . t2  4 4 2t 2  t2  I  2 dt  2  t  2 ln   2  2 ln 3  2ln 5 . t  4 t  2  3 3 Chọn B Câu 84. Tìm tất cả các giá trị dương của tham số m sao cho  m 0 xe x 2 1 dx  2500.e File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay m 2 1 . Trang 237 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. m  2250 2500  2 . B. m  21000  1 . C. m  2 250 2 500  2 . D. m  21000  1 . Hướng dẫn giải Chọn C Ta có  m 0 xe Theo bài ra x 2 1 dx   m 2 1 1  m 0 xe x 2 1 Tích Phân và Ứng Dụng te dt   te  e t dx  2500.e t m2 1 t  m 2 1 1  2500.e    m2 1  m2  1  1 e m2 1   m2  1  1 e m2 1  2500  m 2  1  1 2  m2  1   2500  1  m2  21000  2501  2500  2500  2   m  2 250 2500  2 . 3 Câu 85. Cho  e x 1 0 A. S  1 . Chọn C 3 dx  a.e 2  b.e  c . Với a , b , c là các số nguyên. Tính S  a  b  c . x 1 B. S  2 . C. S  0 . D. S  4 . Hướng dẫn giải dx 1 ; đặt u  x  1  du  dx . x  1 2 x  1 0 Đổi cận: x  0  u  1 ; x  3  u  2 2 2  I   eu 2du  2eu  2e 2  2e  a  2 , b  2 , c  0 , S  a  b  c  0 . 1 1 Xét I   e x 1  2 2 Câu 86. Cho tích phân I   esin x sin x cos3 xdx . Nếu đổi biến số t  sin 2 x thì: 0 1 1 1 1  1 t B. I    e dt   tet dt  . 2 0 0   1 A. I    et dt   tet dt  . 2 0 0  1 1  C. I  2   et dt   tet dt  . 0 0  1 1   I  2   et dt   tet dt  . 0 0  Chọn B  2 2 D. Hướng dẫn giải  2 2 x x Ta có I   esin sin x cos3 xdx   esin . 1  sin 2 x sin x.cos xdx . 0   0 1 Đặt t  sin 2 x  dt  2 sin x cos xdx  sin x cos xdx  dt . 2 Đổi cận  0 x 2 t 01 1 1 1  1 t 1 t Vậy I   e 1  t  dt    e dt   tet dt  . 20 2 0 0  n 1 dx lim  x  1  ex n Câu 87. Tính . A. 1. B. 1 . C. e . File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. 0. Trang 238 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chọn D Tích Phân và Ứng Dụng Hướng dẫn giải n1 dx n 1 ex  Tính I  n1  n exdx . ex 1 ex  Đặt t  e  d t  e d x . Đổi cận: x  n  t  e n , x  n  1  t  e n  1 . x x Khi đó I  en 1 dt  t  t  1  en en 1  en 1 1 n n 1 e 1 1   e .  t  t  1  dt   ln t  ln  t  1  en  1  ln 1   e n e 1  1 n  dx e  lim I  lim 1  ln Suy ra lim  x x  x  x  1 1 e n  e n e  2 2016 x Câu 88. Tính tích phân I   x dx. e 1 2 n 1 2018 B. I  2 . A. I  0. 2017     1 1  0 .   2 017 C. I  2 . Hướng dẫn giải. 20 18 D. I  2 . 2017 2018 Chọn C Đặt x  t  dx  dt . Đổi cận: Với x  2  t   2; x   2  t  2 2 2 2 x2017 22018 x 2016e x dx t 2016 2016 2 2017 .  , suy ra 2I   x dx  Khi đó: I    t dt    I  x 2017 2 2017 e 1 1 e 2017 2 2 2 2 Câu 89. Cho biết 1 x2 e x   x  2 0 2 a a dx  .e  c với a , c là các số nguyên, b là số nguyên dương và là b b phân số tối giản. Tính a  b  c . A. 3 . B. 0 . C. 2 . Hướng dẫn giải D. 3 . Chọn D Đặt t  x  2  dt  dx , đổi cận x  0  t  2 , x  1  t  3 . 1 Ta có I   0 3 x 2e x  x  2 3 2 dx   2  t  22 et 2 dt t2 3 3 3  4 4  4 4   1   2  et 2dt   et  2dt      2  et 2dt t t  t t  2 2 2 3 + Tính I1   et 2dt  et 2  e  1 . 2 3 2  4 4 + Tính I 2      2  et  2dt . t t  2 4 4 Đặt u   du   2 dt , dv  et  2 dt  v  et  2 t t 3 3 3 3 4 t 2 4 4 t 2 4  4 4   2 et  2dt  I 2      2  et  2dt   e  2 . Ta có  e dt  .e t t t t t  3 2 2 2 2 1 Suy ra I  e  1  a  1 , b  3 , c  1 . Vậy a  b  c  3 . 3 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 239 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 90. Biết tích phân ln 6  1 0 T  abc. A. T  1 . ex Tích Phân và Ứng Dụng dx  a  b ln 2  c ln 3 , với a , b , c là các số nguyên. Tính e 3 x B. T  0 . Chọn B C. T  2 . Hướng dẫn giải D. T  1 . Đặt t  e x  3  t 2  e x  3  2tdt  e x dx .  x  ln 6 t  3  Đổi cận  . x  0 t  2 3 ln 6 3 3 2  ex 2tdt   2 dt   2t  2ln t  1    6  2ln 4    4  2ln 3 dx   Suy ra   x 2 1 t 2  1 t  0 1 e  3 2 a  2   2  4ln 2  2ln 3  b  4 . c  2  Vậy T  0 . 9 4 3 Câu 91. Giá trị I  A. 0, 046 .  1 3 6 x 2 sin   x 3  e cos  x 3   dx gần bằng số nào nhất trong các số sau đây: B. 0, 036 . Chọn C C. 0, 037 . Hướng dẫn giải D. 0, 038 . Đặt u  cos   x3   d u  3 x 2 sin  x3  d x  x 2 sin   x 3  d x   1 du . 3 1 3 thì u  . 2 6 9 2 Khi x  3 thì u  . 2 4 Khi x  3 2 2 1 Ta có I   3 Câu 92. Cho 1  x 0 2  xe x  e x 3 2 1 u  e d u  3 3 1 u  e d u  3 e 2 2 2 x u B. P   1 . Chọn D Ta có: I   0 x 2 2 2  1 3  3  e 2  e  2 2    0, 037 .  dx  a.e  b ln  e  c  với a , b , c   . Tính P  a  2b  c . A. P  1 . 1 3 2  x  ex x  e x 1 dx   0 C. P  0 . Hướng dẫn giải D. P   2 .  x  1 e x xe x dx . xe x  1 Đặt t  xe x  1  dt  1  x  e x dx . Đổi cận: x  0  t  1 ; x  1  t  e  1 . e 1 e 1 e 1 t 1  1 dt   1   dt   t  ln t  Khi đó: I    e  ln  e  1 . 1 t t 1 1  File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 240 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng Suy ra: a  1 , b  1 , c  1 . Vậy: P  a  2b  c  2 . 1 x 2  5x  6 e x  ae  c Câu 93. Biết  với a , b , c là các số nguyên và e là cơ số của dx  ae  b  ln x x2e 3 0 logarit tự nhiên. Tính S  2a  b  c . A. S  10 . B. S  0 . C. S  5 . D. S  9 . Hướng dẫn giải Chọn D 1  x 2  5 x  6  e x dx  1  x  2  x  3 e2 x dx . Ta có : I   0  x  2  e x  1 x  2  e x 0 Đặt t   x  2  e x  dt   x  3 e x dx . Đổi cận : x  0  t  2 , x  1  t  3e . 3e 3e 3e tdt 1  3e  1  I   1  .  dt   t  ln t  1  2  3e  2  ln t 1 2  t 1  3 2 Vậy a  3 , b  2 , c  1  S  9 . 1  x3  2 x  ex 3.2 x 1 1 e   Câu 94.  dx   ln  p   với m , n , p là các số nguyên dương. Tính x   e.2 m e ln n e     0 tổng S  m  n  p . A. S  6 . B. S  5 . C. S  7 . D. S  8 . Hướng dẫn giải Chọn C 1 1 1  3  x 3  2 x  ex 3 .2 x 2x  1 2x 1 Ta có  dx    x  dx    dx   J . x x  x 4 0   e.2 4   e.2   e.2  0 0 1 1 2x dx . Đặt   e.2 x  t  e.2 x ln 2dx  dt  2 x dx  dt . x   e.2 e.ln 2 0 Tính J   Đổi cận: Khi x  0 thì t    e ; khi x  1 thì t    2e . 1   2e   2e 2x 1 1 1 1 e   J  dx  dt  ln t   e  ln 1  . x    e.2 e ln 2   e t e ln 2 e ln 2  e    0 Khi đó 1  x 3  2 x  ex 3.2 x 1 1 e  0   e.2 x dx  4  e ln 2 ln 1  e      m  4 , n  2 , p  1 . Vậy S  7 .  Câu 95. Cho tam thức bậc hai f  x   ax 2  bx  c,  a, b, c  , a  0  có hai nghiệm thực phân biệt x1 , x2 . Tính tích phân I   x2 x1 A. I  x1  x2 . 2  2ax  b  e ax bx  c dx . B. I  x1  x2 . C. I  0 . 4 Hướng dẫn giải D. I  x1  x2 . 2 Chọn C Đặt t  ax 2  bx  c  dt   2ax  b  dx 2 x2 0 2  x  x1  t  ax1  bx1  c  0 Khi  . Do đó I    2ax  b  e ax bx  c dx   et dt  0 . 2 x1 0  x  x2  t  ax2  bx2  c  0 e ln x dx trở thành Câu 96. Với cách đổi biến u  1  3ln x thì tích phân  1 x 1  3ln x File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 241 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 2 Tích Phân và Ứng Dụng 2 2 A.   u 2  1 du . 31 2 2 B.   u 2  1 du . C. 2  u 2  1 du . 91 1 Hướng dẫn giải Chọn B u  1  3ln x  u 2  1  3ln x  ln x  2 2 u 2 1 du . D.  91 u u2 1 dx 2u   du . 3 x 3 u2 1 2 ln x 2 2u 3 d x  u 2  1 du . Khi đó   du  91 u 3 1 x 1  3ln x 1 e  x  1 ln x  2 dx  a.e  b ln  e  1  a là Câu 97. Biết    trong đó a , b là các số nguyên. Khi đó tỉ số 1  x ln x b  e  1 1 A. . B. 1 . C. 3 . D. 2 . 2 Hướng dẫn giải Chọn B e  x  1 ln x  2 dx  e 1  x ln x  1  ln x dx  e dx  e d 1  x ln x  Ta có:  1 1  x ln x 1 1 1  x ln x 1  x ln x 1 e 1 .  x 1e  ln 1  x ln x  1e  e  1  ln 1  e   e  ln e a Suy ra a  b  1 . Vậy  1 . b 2 e e Câu 98. Tính tích phân I   1 2 2 A. I  t 3 . 9 1  1  3ln x dx bằng cách đặt t  1  3ln x , mệnh đề nào dưới đây sai? x 2 2 B. I   tdt . 31 C. I  Hướng dẫn giải Chọn B e  2 2 2 t dt . 3 1 D. I  14 . 9 1  3ln x 3 2t dx dx , đặt t  1  3ln x  t 2  1  3 ln x  2tdt  dx  dt  . x x 3 x I  1 Đổi cận: x  1  t  1 ; x  e  t  2 . 2 2t 2 2 2 14 dt  t 3  . 1 3 9 9 1 I  2  3x  1 ln b   a b c là các số nguyên dương và c  4 . Tổng dx  ln  a   với , ,  x ln x c   1 a  b  c bằng A. 6 . B. 9 . C. 7 . D. 8 . Hướng dẫn giải Chọn C 1 3 2 2 3 1 x    x dx . Đặt t  3 x  ln x , dt   3  1  dx Ta có  2 dx     x  1 3 x  x ln x 1 3 x  ln x Đổi cận x  1  t  3 , x  2  t  6  ln 2 . Câu 99. Biết  3x 2 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 242 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 1 6  ln 2 ln 2  dt 6 ln 2  x dx  1 3 x  ln x 3 t  ln t 3  ln  6  ln 2  ln 3  ln  2  3   a  2 , b  2 , c  3 . Vậy tổng a  b  c  7 . e ln x 3 Câu 100. Biết I   dx  a ln  b,  a, b  Q  . Mệnh đề nào sau đây đúng? 2 1 x  ln x  2  2 3 A. a  b  1 . B. 2 a  b  1 . C. a 2  b 2  4 . Hướng dẫn giải Chọn D D. a  2 b  0 . 1 x Đặt t  ln x  2 , suy ra dt  dx . Đổi cận: x  1  t  2 xet3 2 3 3 t 2 dt   t  2 ln t  2  1  2ln  1  2ln . 3 2 t 2 Vậy a  2; b  1 , nên a  2 b  0. 3 Khi đó, I   1 x 4 2 3 . 3 e B. I   1 x   dx  x 1 D. I  4 2 3 . 3  dx có giá trị là: ln x 2 ln 2 x  1  1 ln x 2 ln 2 x  1  1 I  4 2 1 4 2 5 . C. I  . 3 3 Hướng dẫn giải e Tích phân I   Ta có:  dx có giá trị là: ln x 2 ln 2 x  1  1 Câu 101. Tích phân I   A. I   e 2ln x ln 2 x  1 ln x dx   dx . 1 x x 1 e e 2 ln x ln 2 x  1 dx . x 1 2ln x Đặt t  ln 2 x  1  dt  dx . x e Xét I1   2 2 x  1  t  1 4 2 2 2 3 Đổi cận  .  I1   tdt   t   . 3 3 1 x  e  t  2 1 e ln x Xét I 2  dx . x 1 1 Đặt t  ln x  dt  dx . x 1 x  1  t  0 Đổi cận  .  I 2   dt  1 . x  e  t  1 0  I  I1  I 2  Chọn B 4 2 1 . 3 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 243 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng e Câu 102. Tích phân I   x  ln 2 x  ln x  dx có giá trị là: A. I  2e . 1 B. I  e . C. I  e . Hướng dẫn giải D. I  2e . e Tích phân I   x  ln 2 x  ln x  dx có giá trị là: 1 e e 1 1 Ta biến đổi: I   x  ln 2 x  ln x  dx   x ln x  ln x  1 dx . Đặt t  x ln x  dt   ln x  1 dx . e x  1  t  0 Đổi cận  .  I   dt  e . x  e  t  e 0 Chọn C 1   ln 3 x  3 x  ln 2 x  x  1 2 3   Câu 103. Biết I   dx  1  ae  27e 2  27e3  3 3 , a là các số hữu tỉ. x 9 0 Giá trị của a là: A. 9. B. – 6. C. – 9. D. 6. Hướng dẫn giải 1   ln 3 x  3 x  ln 2 x  x  e 2 3   dx  Biết I   1  ae  27e 2  27e3  3 3 . Giá trị của a là: x 9 1 Ta có: 1   ln 3 x  3x  ln 2 x  x  3 2 e e 1 ln x  3 x  3ln x  x  3   I  dx   dx 31 x x 1 3 Đặt t  ln 3 x  3x  dt  ln 2 x  1 x x  1  t  3 Đổi cận  .  x  e  t  1  3e 1 3e I   tdt  3 2 3 t 3 1 3e  3 2 3      1  3e  3  92  1  9e  27e  27e  3 3   a  9 3 3  2 3 . Chọn A e Câu 104. Tích phân I   1 A. I  4 2 2 . 3 2 ln x ln 2 x  1 dx có gái trị là: x B. I  4 22 2 2 2 . C. I  . 3 3 Hướng dẫn giải D. I  2 22 . 3 2 ln x ln 2 x  1 Tích phân I   dx có gái trị là: x 1 2ln x Ta nhận thấy:  ln 2 x  1 '  . Ta dùng đổi biến số. x e File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 244 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Đặt t  ln 2 x  1  dt  Tích Phân và Ứng Dụng 2ln x dx . x x  1  t  1 . Đổi cận  x  e  t  2 2 2  2 32  4 2 2 . I   tdx   t   3  3 1 1 Chọn A e2 Câu 105. Tính I   1  ln x  dx được kết quả là x e A. 2 13 . 3 B. Chọn B Đặt t  ln x  dt  e2 I 1  ln x  5 . 3 Hướng dẫn giải C. 2 2 dx   1  t  dt   1 e Câu 106. Cho tích phân I   1 2 A. I   t 2 dt . 31 e Chọn C Đặt t  1  3 ln x  2 2 Do đó I   t 2 dt 31 . D. 4 . 3 1 dx . Với x  e  t  1 ; x  e 2  t  2 x 2 x e 1 . 3 1 1 1 3 2 1  t  1   0  3 3 3 1  3ln x dx , đặt x t  13ln x . Khẳng định nào sau đây đúng? 2 2 2 2 B. I   tdt . C. I   t 2 dt . 31 31 Hướng dẫn giải 2 D. I   tdt . 31 e 2 1 td t  dx . Đổi cận x  e  t  2; x  1  t  1 3 x 3  ln x a b c dx  , trong đó a , b , c là các số nguyên dương và c  4 . Tính giá x 3 1 trị S  a  b  c . A. S  13 . B. S  28 . C. S  25 . D. S  16 . Hướng dẫn giải Chọn C dx Đặt t  3  ln x  2tdt  . x Đổi: Với x  1  t  3 ; x  e  t  2 . Câu 107. Biết e  e I  1 2 3  ln x 2 2 16  6 3 dx  2  t 2dt  t 3  . x 3 3 3 3  a  16 , b  6 , c  3  S  a  b  c  25 . e ln x dx có kết quả dạng I  ln a  b với a  0 , b   . Khẳng định nào sau Câu 108. Cho I   2 1 x  ln x  2  đây đúng? File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 245 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. 2ab  1 . B. 2ab  1 . C. b  ln Hướng dẫn giải Chọn A Tích Phân và Ứng Dụng 3 1  . 2a 3 D. b  ln 3 1  . 2a 3 1 dx  dt . x Đổi cận: khi x  1 thì t  2 ; khi x  e thì t  3 . Đặt ln x  2  t  ln x  t  2  3  a  t 2 2  3 1 1 2   2 Khi đó I   2 dt     2 dt   ln t    ln    . t t t  t 2 2 3  2 2 b   1  3 Vậy 2ab  1 . 2 x 1 dx  ln  ln a  b  với a , b là các số nguyên dương. Tính P  a 2  b 2  ab . Câu 109. Biết  2 x  x ln x 1 A. 10 . B. 8 . C. 12 . D. 6 . Hướng dẫn giải Chọn B 2 2 x 1 x 1 dx   Ta có  2 dx . x  x ln x x  x  ln x  1 1 3 3 3 x 1  1 dx . Đặt t  x  ln x  dt   1   dx  x  x Khi x  1  t  1 ; x  2  t  2  ln 2 . 2  ln 2 2 ln 2 a  2 dt  ln t 1 Khi đó I    ln  ln 2  2  . Suy ra  . b  2 t  1 Vậy P  8 . 2 e 2  x  1 ln x  1 ae 4  be 2 dx   c  d ln 2 . Chọn phát biểu đúng nhất: Câu 110. Cho tích phân I   e x ln x 2 1 A. a  b  c  d B. a  b 2  c  C. A và B đúng D. A và B sai d Hướng dẫn giải Chọn B Ta có 2 2 e 2  x  1 ln x  1 e2 x ln x  1  ln x I  dx   dx e e x ln x x ln x e2  e2  e2 1 1  1 1   x  dx  x  dx  dx      e e e x ln x x x ln x  x   e2  x2  1 e4  e2  Xét M    x   dx    ln x   1 e x 2 2   e e2 1 1 Xét N   dx , đặt t  ln x , suy ra dt  dx . e x ln x x Đối cận x  e  t  1 và x  e2  t  2 ta được 2 dt 2 N    ln t   ln 2  ln1  ln 2 . 1 t 1 e2 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 246 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A e4  e2  1  ln 2 . 2 Do đó a  b  c  d  1 . Ta chọn phương án 2018 ln 1  2 x  Câu 111. Tính tích phân I   dx . x 0 1  2  log 4 e Tích Phân và Ứng Dụng Vậy I  B. A. I  ln 1  2 2018   ln 2 . B. I  ln 2 1  22018   ln 2 2 . C. I  ln 2 1  22018   ln 4 . D. I  ln 2 1  22018   ln 2 2 . Hướng dẫn giải Chọn B Ta có I  2018 ln 1  2 x   1  2  log x 0 Do đó I  ln 2 1  2 x  2018 4 e dx  2 2018  0 2 x ln 2 ln 1  2  dx  2 1  2x x 0 Câu 112. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  và thỏa mãn A. B.  f  x  dx  1. 0 Đặt t  ln x  dt  e  1  1 1 C.  f  x  dx  e. 0 Chọn B  ln 1  2  d ln 1  2  x 0 f  ln x  dx  e. Mệnh đề nào sau đây đúng? x e  f  x  dx  1. 0 Hướng dẫn giải e  f  x  dx  e. 0 1 1 f  ln x  dx   f  t  dt  e   f  x  dx  e . x 0 0 4 1 Câu 113. Biết  f  ln x  dx  4 . Tính tích phân I   f  x  dx . x e 1 A. I  8 . B. I  16 . C. I  2 . Hướng dẫn giải Chọn D 1 Đặt t  ln x  dt  dx . x x e e4 t 4 1  D. e 1 dx. Cận: x  1  t  0; x  e  t  1 x e4 e4 x  ln 2 1  2 2018   ln 2 2 . e 1 2018 4 D. I  4 . 4 1 f  ln x  dx   f  t  dt   f  x  dx . x 1 1 4 Suy ra I   f  x  dx  4 . 1 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 247 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 2 Cho hàm số f liên tục và có đạo hàm trên đoạn [a; b]. Giả sử hàm số x   (t) có đạo hàm và liên tục trên đoạn [ ;  ](*) sao cho  ( )  a, (  )  b và a   (t )  b với mọi t [ ;  ]. Khi đó: b   f ( x) dx   f ( (t )) '(t )dt.  a Một số phương pháp đổi biến: Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có dạng    1. a 2  x 2 : đặt x | a | sin t ; t    ;   2 2 |a|    ; t    ;  {0} 2. x 2  a 2 : đặt x  sin t  2 2    3. x 2  a 2 : x | a | tan t; t    ;   2 2 ax hoặc ax 4. ax : đặt x  a.cos 2t ax Lưu ý: Chỉ nên sử dụng phép đặt này khi các dấu hiệu 1, 2, 3 đi với x mũ chẵn. Ví dụ, để tính 3 tích phân I  biến dạng 1.  0 x 2 dx x2  1 thì phải đổi biến dạng 2 còn với tích phân I   3 0 x3 dx x2  1 thì nên đổi 2 Câu 114. Khi tính I   4  x 2 dx, bằng phép đặt x  2 sin t , thì được 0 A.  2  2 1  cos 2t dt . 0  2 B.  2 1  cos 2t dt . 0 2 2 2 D.  2 cos 2 tdt . C.  4 cos tdt . 0 0 Hướng dẫn giải Chọn A Đặt x  2sin t  dx  2 cos tdt Đổi cận x 0t 0  2 x  2t   2  2 0 0 Khi đó I   4  4sin 2 t .2costdt   4 cos 2 tdt. Câu 115. Biết rằng 1  4  x 2 dx  1 A. 2. 2  a . Khi đó a bằng: 3 B. 1 . Chọn C Đặt x  2sin t  dx  2 cos tdt . Khi đó : 1  1   2t  sin 2t   6   6  C. 3 . Hướng dẫn giải 4  x 2 dx   6 D. 2 .  6  4cos t cos t dt   4cos  6  2 tdt  6  6   2  2 cos 2t  dt  6 2  3. 3 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 248 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 1 2 Câu 116. Cho tích phân I   0 A. 1 . 2 1 1  x2 B. 1 2 Cho tích phân I   0 Ta có: 1 1  x2 Tích Phân và Ứng Dụng dx  a ,a và b là các số hữu tỉ. Giá trị của a là: 1 . 3 1 . 4 Hướng dẫn giải C. D. 1 . 6 dx  a . Giá trị của a là:    Đặt x  sin t , t    ;   dx  cos tdt .  2 2 x  0  t  0  Đổi cận  1 . x t     2 6  6 I   dt  0  1 a . 6 6 Chọn D Câu 117. Giá trị của 3  0 a a 9  x 2 dx   trong đó a, b   và là phân số tối giản. Tính giá trị của b b biểu thức T  ab . A. T  35 . B. T  24 . Chọn D C. T  12 . Hướng dẫn giải D. T  36 . Đặt x  3sin t  dx  3cos tdt . Đổi cận: x  0  t  0; x  3  t   2 2  2  2 0 1 0  I   9   3sin t  .3cos tdt =  9cos 2 tdt   9. 0 Câu 118. Đổi biến x  2sin t thì tích phân dx  4  x2 0 A.  6  3 0 1  cos 2t 9 dt   . Vậy T  9.4  36 . 2 4 trở thành  6  6 dt . t 0 Hướng dẫn giải B.  tdt .  tdt .  . 2 C. 0 Chọn D D.  dt .  0 x  0  t  0 Đặt x  2sin t , khi đó dx  2cos tdt . Đổi cận   x  1 t  6  1 I  0 dx 4  x2  6  0 2 cos t 4  4sin 2 t  6 dt   0 2cos t 4cos 2 t  6 dt   0  6 2cos t dt   dt . 2cos t 0 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 249 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 1 a b Câu 119. Biết rằng  dx  x  6x  5 . Tổng a  b bằng A. 5 . B. 7 . 2 4  trong đó a , b là các số nguyên dương và 4  a  b  5 6 C. 4 . Hướng dẫn giải Chọn D Ta có 1 a b  4 x2  6x  5 dx  Tích Phân và Ứng Dụng 1 a b  4   x  3 4 2 D. 6 . dx .    Đặt x  3  2sin t , t    ;  , dx  2cos tdt .  2 2  a  b 3 Đổi cận x  4  t  , x  a  b  t  arcsin  m. 6 2 m m  2 cos t m  t d t  d t   m .  4  4sin 2 t  6 6  6 6   a b 3  a b 3 3   arcsin  a  b  3  3.    6 6 2 3 2 2 Do đó a  3 , b  3 , a  b  6 . Theo đề ta có m  3 Câu 120. Tích phân I    x  1 3  x dx có giá trị là: 5 2 A. I   3  . 6 4 3 Tích phân I   I  5 2  3  3  . C. I   . 3 8 6 8 Hướng dẫn giải  x  1 3  x dx D. I   3  . 3 8 có giá trị là: 5 2 Ta có: 3 B. I  3 3 2  x  1 3  x dx   2 3  x  2 xdx   1   x  2  dx . 5 2 5 2    Đặt x  2  sin t , t    ;   dx  cos tdt .  2 2 5    x  2  t  6 Đổi cận  .  x  3  t   2  2 I  6 Chọn C  2  2 6 6 1  cos 2t 1  sin 2 t .cos tdt   cos 2 tdt   dt  2   1 Câu 121. Tích phân I   0 3  4x 3  2 x  x2  1 1 3 2  .  x  sin 2t     2 2 6 8  6 dx có giá trị là: File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 250 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 7  4 3 8. 6 7 C. I   4 3 8. 6 7  4 3 8. 6 7 D. I   4 3  8. 6 Hướng dẫn giải A. I  1 Tích phân I   0 Tích Phân và Ứng Dụng B. I  3  4x dx có giá trị là: 3  2 x  x2 Ta có:  3  3x  x 2  '  3  2 x và 3  4 x  9  2  3  2 x  1 1 3  4x I  3  2x  x2 1 7 0 Xét I1   0 dx   3  2 x  x2 7  2  2  2x 3  2x  x2 1 7 0 dx   4   x  1 0 1 dx   0 2 1 7 3  2x  x2 dx   0 2 2  2x 3  2x  x2 dx . dx .    Đặt x  1  2sin t , t    ;   dx  2 cos tdt .  2 2   x  0  t   Đổi cận  6.  x  1  t  0 0  I1  14cos t    6 1 Xét I 2   2 4  4sin t dt  7 . 6 2 2  2x dx . 3  2x  x2 Đặt t  3  2 x  x 2  dt   2  2 x  dx . 0 x  0  t  3 . Đổi cận  x  1  t  4 4 4  1 2  I2   dt  4  t 2   4 2  3 . t  3 3 7 I  I1  I 2   4 3 8. 6 Chọn C Câu 122. Tích phân I  5 . A. I  3  1 2  1 4x  3 5  4 x  x2 dx có giá trị là: B. I  7 2 Tích phân I   1 2 4x  3 5  4 x  x2  5 . 6 C. I   Hướng dẫn giải 5 . 3 D. I   5 . 6 dx có giá trị là: Cách 1: Ta có:  5  4 x  x 2  '  4  2 x và 4 x  3  5  2  4  2 x  . File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 251 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 7 2 7 2 4x  3 I  5  4 x  x2 1 2 7 2 Xét I1   1 2 7 2 5 dx   5  4 x  x2 1 2 7 2 5 5  4x  x 1 2 5 dx   2 dx   9   x  2 1 2 2 2  4  2x 5  4 x  x2 Tích Phân và Ứng Dụng dx . dx .    Đặt x  2  3sin t , t    ;   dx  3cos tdt .  2 2 7    x  2  t  6 Đổi cận  . 1  x   t    2 6  6  I1  5.3cos t    6 7 2 Xét I 2   1 2 2 9  9sin t dt  2  4  2x 5  4 x  x2 5 . 3 dx . Đặt t  5  4 x  x 2  dt  4  2 x . 1 27  x   t   2 4 Đổi cận   I2  0 . 7 27 x   t   2 4 5 I . 3 Chọn A Cách 2: Dùng máy tính cầm tay. 1 2 Câu 123. Cho I   1  2 x 1  x 2 dc  a  b với a, b  R . Giá trị a  b gần nhất với A. 1 10 0 1 5 Hướng dẫn giải B. 1 C. D. 2 Đáp án: C Cũng như câu 25, câu 26 cũng là một câu tích phân đòi hỏi khả năng biến đổi của các thí sinh. Đối với câu này, chúng ta sử dụng phương pháp đưa về lượng giác.    Đặt x  sin t , t    ;  . I được viết lại là  2 2  6  6 0 0 I   1  2sin t cos t .cos tdt    6  6 0 0    sin t cos tdt   cos2 tdt   cos t  sin t  2  6 .cos tdt   (cos t  sin t ) cos tdt 0  6  6 1 1 sin 2td (2t )   (cos 2t  1)d (2t )  40 40 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 252 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A cos 2t I 4  6 sin 2t  2t  4 0  6  0 Tích Phân và Ứng Dụng  3 1  12 8  3 1   0,175 . 12 8 Nhận xét: Hai bài toán trên chính là cách hướng có thể ra đề để tránh tình trạng sử dụng máy tính Casio. Thí sinh hiểu bản chất và cách làm thực sự sẽ không gặp khó khăn nhiều khi giải quyết các bài toán này. 1 1 Câu 124. Tích phân I   2 dx có giá trị là: x 1 0 Suy ra A. I   . 2 B. I  1 Tích phân I   0 Ta có: 1 I  0  . 3 1 dx có giá trị là: x 1 C. I  Hướng dẫn giải  . 4 D. I   . 6 2 1 dx . Ta dùng đổi biến số. x 1 2 1    dt . Đặt x  tan t , t    ;   dx  cos2 t  2 2 x  0  t  0  Đổi cận  .  x  1  t  4  4   I   dt  t 04  0  . 4 Chọn C 1 Câu 125. Cho hàm số f  x  liên tục trên  thỏa mãn f  tan x   cos4 x , x   . Tính I   f  x  dx . A. 0  2 . 8 B. 1 . Chọn A Đặt t  tan x . Ta có 1 1 0 0 I   f  x  dx   2 . 4 Hướng dẫn giải C. D.  . 4 1 1 1  1  tan 2 x  1  t 2  cos 4 x   f t   2 2 2 2 cos x 1  t  1  t 2  1 2 2 1  x  dx .     Đặt x  tan u ,   x    dx  1  tan 2 u  du ; đổi cận: x  0  u  0 ; x  1  u  . 2 4  2  4 2 1  tan u  4 1  4  1 1 1  4 2 2 I  du  . d u  cos u d u  u  sin 2 u    2 0  1 2 cos2 u 0 2 4 8 2 0 0 1  tan u    2  cos u  File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 253 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng Câu 126. Cho hàm số f liên tục trên đoạn  6;5 , có đồ thị gồm hai đoạn thẳng và nửa đường tròn như hình vẽ. Tính giá trị I  5   f  x   2 dx . 6 y 4 6 Chọn D 1 khi  6  x  2 2 x  2  f  x   1  4  x 2 khi  2  x  2 2 1  x khi 2  x  5 3  3 5 I 5 x O 1 B. I  2  34 . C. I  2  33 . Hướng dẫn giải A. I  2  35 . Ta có 3 5 5 6 6 D. I  2  32 . .   f  x   2 dx   f  x  dx  2  dx 6 2 2 5 1 1  2    x  2  dx   1  4  x 2 dx    x   dx  22 2 3 3  6  2 2   2 5 x 1  1   x 2  2 x   J   x 2    22  J  28 . 32 4  6 3 2 Tính J   1   4  x2 dx 2 Đặt x  2 sin t  d x  2 cos t d t . Đổi cận: Khi x  2 thì t   2 J  1  2    ; khi x  2 thì t  . 2 2  2  2 4  x 2 dx  4  4  cos 2 tdt  4  2  1  cos 2t  dt  4  2 . Vậy I  32  2  .   2  1 Câu 127. Khi đổi biến x  3 tan t , tích phân I   0  3 A. I   3dt . 0  6 B. I   0  2 dx trở thành tích phân nào? x 3 2  6 3 dt C. I   3tdt . 3 0 Hướng dẫn giải  6 1 D. I   dt . t 0 Chọn B Đặt x  3 tan t  dx  3 1  tan 2 t  dt . Khi x  0 thì t  0 ; Khi x  1 thì t   . 6 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 254 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A  Tích Phân và Ứng Dụng  6 6 3 1  tan 2 t  dx 3   Ta có I   2 dt . d t  2 x  3 0 3 1  tan t  3 0 0 1 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 255 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau: b  P( x ).e x b dx a u dv b b  P( x).cos xdx  P( x ).sin xdx  P( x ).l n xdx a a a P(x) P(x) cos xdx x e dx P(x) sin xdx lnx P(x) BÀI TẬP DẠNG 1: Câu 1.  2 Tích phân I   x sin axdx, a  0 có giá trị là:  3 A. I  Câu 2. Biết  63 3 . 6a B. I   4 1 A. ab  32 . Câu 4.  ( a, b là các số nguyên khác 0). Tính giá trị ab . π A. I  1 2 x sin 2 x π0   x sin 2 xdx . 2 0 C. I  1 2 x sin 2 x π0  2  x sin 2 xdx . 2 0 π  2  2  6  6 π B. I  1 2 x sin 2 x π0  2  x sin 2 xdx . 2 0 D. I  1 2 x sin 2 x π0   x sin 2 xdx . 2 0 π Biết I   x cos 2 xdx  a 3  b  sin 2 xdx , a và b là các số hữu tỉ. Giá trị của 1 . 12 Biết rằng 1 . 24 B. 1 1 C.  1 . 12 D.  a là: b 1 . 24  x cos 2 xdx  4 (a sin 2  b cos 2  c) với a , b, c   . Mệnh đề nào sau đây là đúng? C. a  b  c  0 . D. a  b  c  1 . ( x  2)cos3x  b sin 3x  C . Tính M  a  27b . Tính nguyên hàm I   ( x  2)sin 3xdx   a Chọn đáp án đúng: A. 6 B. 14 C. 34 D. 22 B. a  2b  c  0 .  2   1 . Mệnh đề nào sau dưới đây đúng? 2 C. 3  m  6 . D. m  6 . Biết m là số thực thỏa mãn  x  cos x  2m  dx  2 2  0 A. m  0 . Câu 8.  3 3 3 . 6a C. ab  4 . D. ab  12 . 2 u  x Tính tích phân I   x 2 cos 2 xdx bằng cách đặt  . Mệnh đề nào dưới đây đúng? dv  cos 2 xdx 0 A. 2a  b  c  1 . Câu 7. D. I  B. ab  2 . 0 Câu 6.  63 3 . 6a π A. Câu 5. C. I   1  x  cos 2 xdx  a  b 0 Câu 3.  33 3 . 6a Tính tích phân B. 0  m  3 .   x  x  sin x  dx  a 3  b . Tính tích ab: 0 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 256 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. 3 Câu 9. B. Tích phân    3x  2  cos 2 1 3 Tích Phân và Ứng Dụng C. 6 D. 2 3 D. 1 2   . 4 x dx bằng 0 A. 3 2   . 4 B. 3 2   . 4 Câu 10. Cho số hữu tỷ dương m thỏa mãn C.  2m  x.cos mxdx  0 các khoảng dưới đây?  1  0;  B.  4  . 7  A.  ; 2  . 4  1 2   . 4  2 . Hỏi số m thuộc khoảng nào trong 2  6  1;  C.  5  . 5 8  ;  D.  6 7  . 1 I   f  x  dx 2 x 2  x khi x  0  Câu 11. Cho hàm số f  x    . Tích tích phân x .s i n x k hi x  0  7 2 1 2 A. I    . B. I    . C. I    3 . D. I   2 . 6 3 3 5 Câu 12. Tính   x 1  cos x  dx . Kết quả là 0 A. 2  2. 2 B. Câu 13. Tính tích phân  3 x  cos 0 A. 0 x 4 2 x 2  3. 3 C. 2 3. 3 D. 2 2. 2 dx  a  b . Phần nguyên của tổng a  b là ? B. -1 C. 1  2 Câu 14. Cho I   x tan xdx   ln b  khi đó tổng a  b bằng 32 a 0 A. 4 B. 8 C. 10 D. -2 2 D. 6  4 x dx có giá trị là: 1  cos x 0 Câu 15. Tích phân I       tan  2ln  cos  . 4 8 8      C. I  tan  2ln  cos  . 4 4 8  A. I  Câu 16. Tích phân A. 4.  4 x  1  cos 2 x dx  a  b ln 2 , với a , b 0 B. 5.  4 Câu 17. Tích phân I   0     tan  2ln  cos  . 4 8 8      D. I  tan  2ln  cos  . 4 4 8  B. I  là các số thực. Tính 16a  8b C. 2. D. 3. 2 x  sin x dx có giá trị là: 2  2cos x File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 257 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A  1 2 3 A. I      4 ln 2  ln 2  . 2 3   1 2 3 C. I      4 ln 2  ln 2  . 2 3   2 Câu 18. Tích phân I   x  2 x  cos x  x cos 2 x 3 cos x  6 Tích Phân và Ứng Dụng  1 2 3 B. I      2 ln 2  ln 2  . 2 3   1 2 3 D. I      2 ln 2  ln 2  . 2 3  dx có giá trị là: 5 4 2 2  3 5 4 2 2  3       . B. I  . 324 9 4 2 324 9 4 2 5 4 2 2  3 5 4 2 2  3       C. I  . D. I  . 324 9 4 2 324 9 4 2 2 a a   x  Câu 19. Cho 0  x  và  x tan xdx m Tính I     dx theo a và m. 2 cos x   0 0 2 A. I  a tan a  2m . B. I  a tan a  m . C. I  a 2 tan a  2m . D. I  a 2 tan a  m . A. I  Câu 20.  2 2   x  sin x  cos xdx . Kết quả là Tính 0 A.  2  . 2 3 B. Câu 21. Cho tích phân I   2 0 Chọn đáp án đúng: A. 7  2  . 2 3 C.  2  . 3 3 B. 10 A. 1. DẠNG 2: A. 0.  2  . 2 3 x .sin xdx  a 2  b . Tính A  a  b 1 C. 6 C. 3 . D. 2 I dx . Tính lim n 1 . n  I n D. 5 . C. 2. D. e. Câu 22. Với mỗi số nguyên dương n ta kí hiệu I n   x 2 1  x Câu 23. Cho D. 0 B. 2 . a  xe dx  1  a    . Tìm x 0  a? B. 1 . 1 2 n Câu 24. Cho I   xe 2 x dx  ae 2  b ( a , b là các số hữu tỷ). Khi đó tổng a  b là 0 A. 0 . B. Câu 25. Biết rằng tích phân A. 1 . 1 1 . 4 C. 1 .   2 x  1 e dx  a  b.e , tích ab x 0 B. 1 . 1 D. 1 . 2 bằng: C.  15 . D. 20 . Câu 26. Biết I    2 x  3 e x dx  ae  b , với a , b là các số hữu tỉ. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề 0 đúng? A. a  b  2 . B. a 3  b 3  28 . a C. ab  3 . D. a  2b  1 . x 2 Câu 27. Tìm a sao cho I   x.e dx  4 , chọn đáp án đúng 0 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 258 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. 1 B. 0 1 Tích Phân và Ứng Dụng C. 4 D. 2 Câu 28. Cho tích phân I    x  1  e x  3  dx . Kết quả tích phân này dạng I  e  a . Đáp án nào sau 0 đây đúng? 9 A. a  2 B. a  1 9 4 C. a  Câu 29. Tính tích phân I    a  x   b  e 2 x  dx  Chọn đáp án đúng: A. 27 0   mx  1 e dx  e D. a  15 1 1 2  e . Tính A  ab  a  b  12 4 4 B. 30 1 9 5 C. 16 8 3 D. 45 x Câu 30. Tìm m để 0 A. 0 ? B. -1 C. 1 2 D. 1 m Câu 31. Cho I    2 x  1 e2 x dx . Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để I  m là khoảng  a; b  0 . Tính P  a  3b . A. P  3 . B. P  2 . C. P  4 . D. P  1 . x  x  1 e Câu 32. Biết rằng tích phân  dx  ae4  b . Tính T  a 2  b 2 2x 1 0 3 5 A. T  1 . B. T  2 . C. T  . D. T  . 2 2 12 1 c 1  x a  Câu 33. Cho tích phân I   1  x   .e x .dx  .e d , trong đó a , b , c , d là các số nguyên dương x b 1  4 12 a c và các phân số , là các phân số tối giản. Tính bc  ad . b d 1 A. 24 . B. . C. 12 . 6 DẠNG 3. e a.e 2  b Câu 34. Cho I   x ln xdx  với a , b , c   . Tính T  a  b  c . c 1 A. 5 . B. 3 . C. 4 . D. 1. D. 6 . 1 Câu 35. Kết quả của phép tính tích phân  ln  2 x  1 dx được biểu diễn dạng a.ln 3  b , khi đó giá trị 0 3 của tích ab bằng A. 3. B. 1 Câu 36. Cho  ln  x  1 dx  a  ln b , 3 . 2  a, b    3 D.  . 2 C. 1. . Tính  a  3 b . 0 A. 25 . Câu 37. Biết tích phân B. 2 1 . 7 C. 16 .   4 x  1 ln xdx  a ln 2  b với a , b  Z . Tổng 2a  b D. 1 . 9 bằng 1 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 259 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. 5. Câu 38. Biết B. 8. 3 3  ln x   x  1 1 2 dx  A. 5 . 2 B. 35 . 2 D. 13. C. 11 . D. 48 .   2 x  1 ln xdx  a ln 2  b,  a; b    . Khi đó a  b ? 1 B. 2. Câu 40. Tính tích phân I  A. I  C. A 1;  2; 1 a  ln b  ln c với a , b , c là các số nguyên dương. Giá trị của biểu thức 4 P  a  b  c bằng? A. 46 . Câu 39. Giả sử Tích Phân và Ứng Dụng 2 ln 2  6 . 9 2  x 1 2 C. 1. D. 3 . 2 1 ln x dx . B. I  6 ln 2  2 . 9 C. I  2 ln 2  6 . 9 D. I  6 ln 2  2 . 9 a Câu 41. Tích phân I   x ln xdx có giá trị là: 1 a 2 ln a 1  a 2 a 2 ln a 1  a 2 A. I  . B. I  .   2 4 2 4 a 2 ln a 1  a 2 a 2 ln a 1  a 2   C. I  . D. I  . 2 4 2 4 Câu 42. Kết quả tích phân A. 3 2   2 x  ln  x  1 dx  3ln 3  b . Giá trị 3  b là: 0 2 B. 4 C. 5 Câu 43. Tính tích phân I   (4 x  3).ln xdx  7 ln a  b . Tính sin a  b 4 1 A. 1 B. -1 D. 7 : C. 0 D. 1 2 1 Câu 44. Cho tích phân I   3 x 2  2 x  ln(2 x  1)  dx . Xác định a biết I  b ln a  c với a,b,c là   các số hữu tỉ A. a=3 0 B. a=-3 C. a  2 3 2 3 D. a   . 3 3  ln x dx  a (ln 3  1)  ln b với a,b∈R. Tính giá trị biểu thức T  4a  2b 2 1 ( x  1) A. 4 B. 7 C. 5 D. 6   3 ln  sin x  Câu 46. Cho tích phân I  3 dx  a ln  3   b . Tính A  log 3 a  log 6 b 2 cos x 6  4 Chọn đáp án đúng: A.  3 B. 2 C.  1 D. 1 e ln x Câu 47. Biết  dx  a e  b với a, b   . Tính P  a.b . x 1 A. P  4 . B. P  8 . C. P   4 . D. P  8 . Câu 45. Cho I   Câu 48. Biết 2  2 x ln  x  1 dx  a.ln b , với a, b   0 A. 33 . B. 25 . * , b là số nguyên tố. Tính 6a  7b . C. 42 . File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. 39 . Trang 260 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 1 1  a 2 ln 2  bc ln 3  c  d Câu 49. Cho  x ln  x  2   x  với a , b , c   . Tính T  a  b  c .  2 4 x    0 B. T  15 . C. T  17 . D. T  11 . A. T  13 . Câu 50. Biết 3  ln  x 3 2  3x  2  dx  a ln 5  b ln 2  c , với a, b, c   . Tính S  a.b  c A. S  60 . B. S  23 . C. S  12 . D. S  2 . 7 Câu 51. Cho biết tích phân I    x  2  ln  x  1 dx  a ln 2  trong đó a , b là các số nguyên b 0 dương. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: A. a  b . B. a  b . C. a  b . D. a  b  3 . 2 x  ln x a 1 I  dx  ln 2  2 b c 1  x  1 Câu 52. Cho với a , b , m là các số nguyên dương và là phân số tối giản. a b S c . Tính giá trị của biểu thức 2 5 1 1 A. S  . B. S  . C. S  . D. S  . 3 6 2 3 1 b Câu 53. Cho a  b  1 . Tích phân I   ln  x  1 dx bằng biểu thức nào sau đây? a B. I   x  1 ln  x  1 a  b  a . A. I   x  1 ln  x  1 a  a  b . b b b 1 C. I  .  x  1 a Câu 54. Biết e2 e 2 2 2 b a x  1  ae  be+c , trong đó a , b , c là các số nguyên. Giá trị của  dx  ln x  2 2 a  b  c bằng A. 5 . Câu 55. Biết x dx . x 1 2  1   ln b D. I  x ln  x  1 a   3  x ln  x 2 B. 3 . C. 4 .  16  dx  a ln 5  b ln 2  0 D. 9 . c trong đó a, b, c là các số nguyên. Tính giá trị của 2 biểu thức T  a  b  c . A. T  2 . B. T  16 . C. T  2 . D. T  16 . 2 1  2018  Câu 56. Tính tích phân I    2019log 2 x   x dx . ln 2   1 2017 2019 A. I  2 . B. I  2 . C. I  22018 . D. I  22020 . 3 3  ln x Câu 57. Biết I   dx  a 1  ln 3  b ln 2 ,  a, b    . Khi đó a 2  b 2 bằng 2 1  x  1 A. a 2  b 2  2 7 . 16 B. a 2  b 2  16 . 9 C. a 2  b 2  25 . 16 D. a 2  b 2  3 . 4 b ln x b dx  a ln 2  (với a là số hữu tỉ, b , c là các số nguyên dương và là phân số 2 c c 1 x tối giản). Tính giá trị của S  2a  3b  c . A. S  4 . B. S  6 . C. S  6 . D. S  5 . Câu 58. Biết  File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 261 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 2 Câu 59. Biết rằng  ln  x  1 dx  a ln 3  b ln 2  c với a , b , c là các số nguyên. Tính S  a  b  c A. S  0 . 1 B. S  1 . 5 C. S  2 . D. S  2 . Câu 60. Tính tích phân I    x  1 ln  x  3 dx ? 4 A. 10 ln 2 . Câu 61. Biết rằng 3 19 . 4 C. 19  10ln 2 . 4  x ln x dx  m ln 3  n ln 2  p , trong đó m , n , D. 10ln 2  B. 18 . 4  x ln  x 2 19 . 4 p  . Khi đó số m là 2 9 A. . 2 Câu 62. Biết B. 10ln 2  C. 9 . 27 . 4 D.  9  dx  a ln 5  b ln 3  c , trong đó a , b , c là các số nguyên. Giá trị của biểu 0 thức T  a  b  c là A. T  10 . 1 A. I  2  1  ln 1  x 2  x dx có giá trị là:  2 1 . C. I   2  1  ln C. T  8 . D. T  11 .   Câu 63. Tích phân I   ln 0 B. T  9 .   B. I  2  1  ln  2 1 .  D. I   2  1  ln  2 1 .   2 1 . 1  Câu 64. Cho tích phân I    x   ln xdx  ae 2  b , a và b là các số hữu tỉ. Giá trị của 2a  3b là: x 1 13 13 13 13 A. . B. . C.  . D.  2 4 4 2  /4 ln(sin x  cos x) Câu 65. Tính tích phân  dx , ta được kết quả 2 cos x 0 e A.   1  ln 2. 4 2 B. 2  3  ln 2. 4 2 C.   3  ln 2. 4 2 D.   3  ln 2. 4 2 4ln x  1 dx  a ln 2 2  b ln 2 , với a , b là các số hữu tỷ. Khi đó tổng 4a  b bằng. x 1 B. 5 C. 7 . D. 9 . A. 3 . Câu 66. Giả sử  Câu 67. Tính tích phân I  21000   x  1 1 1000 ln x 2 dx. ln 2 2  1000 ln . 1000 1 2 1  21000 ln 21000 2 C. I   1000 ln . 1000 1 2 1  21000 A. I   1000 ln 2 21001  ln . 1  21000 1  21000 1000 ln 2 21000 D. I   ln . 1  21000 1  21000 B. I   File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 262 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A HƯỚNG DẪN GIẢI DẠNG 1: Câu 1. Tích Phân và Ứng Dụng  2 Tích phân I   x sin axdx, a  0 có giá trị là:  3 A. I   63 3 . 6a B. I   33 3  63 3 . C. I  . 6a 6a Hướng dẫn giải D. I   3 3 3 . 6a  2 Tích phân I   x sin axdx, a  0 có giá trị là:  3  du  dx u  x  Đặt  .  1  dv  sin axdx v   cos x a    3 3   3 3 2  1 2 1  1 2 1  2   63 3  I   x cos x    cos xdx   x cos x    sin x   . 6a  a  a  a  a  Chọn A Câu 2. Biết  4 1  ( a, b là các số nguyên khác 0). Tính giá trị ab .  1  x  cos 2 xdx  a  b 0 A. ab  32 . B. ab  2 . Chọn A  4 C. ab  4 . Hướng dẫn giải D. ab  12 .  sin 2 x cos 2 x  4 1  1   0 1  x  cos 2 xdx   1  x  2  4  0  4  8  a  b .  a  4; b  8  ab  32 . Câu 3. π u  x2 Tính tích phân I   x 2 cos 2 xdx bằng cách đặt  . Mệnh đề nào dưới đây đúng? d v  cos 2 x d x  0 π π 1 1 A. I  x 2 sin 2 x π0   x sin 2 xdx . B. I  x 2 sin 2 x π0  2  x sin 2 xdx . 2 2 0 0 π 1 C. I  x 2 sin 2 x π0  2  x sin 2 xdx . 2 0 Chọn A π 1 D. I  x 2 sin 2 x π0   x sin 2 xdx . 2 0 Hướng dẫn giải du  2 xdx u  x2  Ta có:   . 1 dv  cos 2 xdx v  sin 2 x  2 π π 1 Khi đó: I   x 2 cos 2 xdx  x 2 sin 2 x π0   x sin 2 xdx . 2 0 0 Câu 4.  2  2  6  6 Biết I   x cos 2 xdx  a 3  b  sin 2 xdx , a và b là các số hữu tỉ. Giá trị của File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay a là: b Trang 263 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. 1 . 12 1 . 24 B. 1 . 12 Hướng dẫn giải C.   2  2  6  6 Biết I   x cos 2 xdx  a 3  b  sin 2 xdx . Giá trị của Ta có:  2  2 Tính nguyên hàm I   ( x  2)sin 3xdx   Chọn đáp án đúng: A. 6 B. 14 a là: b I   x  2  cos 3x 3  D. 22 du  dx   cos 3x v   3 u  x  2 Đặt  .ta được: dv  sin 3 xdx Do đó: ( x  2)cos3x  b sin 3x  C . Tính M  a  27b . a C. 34 Hướng dẫn giải Chọn A Câu 7. 1 . 24  2 Vậy a  b  c  0 . Câu 6. D.  1  a  1  3 1  1  24  a  1 I   x cos 2 xdx   x sin 2 x    sin 2 xdx     sin 2 xdx   24 2  b 12 2  2  b   1 6 6 6 6  2 . Chọn A 1 1 Biết rằng  x cos 2 xdx  (a sin 2  b cos 2  c) với a , b, c   . Mệnh đề nào sau đây là đúng? 4 0 A. 2a  b  c  1 . B. a  2b  c  0 . C. a  b  c  0 . D. a  b  c  1 . Hướng dẫn giải Chọn C du  dx u  x  Đặt   sin 2 x . dv  cos 2 xdx v  2  1 1 x sin 2 x 1 1 1 |0   sin 2 xdx   2sin 2  cos 2  1 . Khi đó  x cos 2 xdx  2 20 4 0  2 Câu 5. Tích Phân và Ứng Dụng  x  2  cos 3 x 1 1 1 cos 3 xdx    sin 3 x  c  a  3; b   m  6  3 3 9 9  2   1 . Mệnh đề nào sau dưới đây đúng? 2 0 B. 0  m  3 . C. 3  m  6 . D. m  6 . Hướng dẫn giải Biết m là số thực thỏa mãn  x  cos x  2m  dx  2 2  A. m  0 . Chọn D  2  2  2 0 0 0  x  cos x  2m  dx   x.cos xdx   2mxdx  I  J File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 264 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng  2 +) I   x.cos xdx 0 u  x du  dx  Đặt  dv  cos xdx v  sin x Khi đó I  x.sin x  2 0  2  2   sin xdx  x.sin x 0 +) J   2mxdx  mx 2 0 0  x  cos x  2m  dx  0 Theo giả thiết ta có Câu 8. Tính tích phân 0  cos x  2  0  1 . 2 2  m. 4  2  2 Suy ra  2 2  m  1 4 2 2   m   1  2 2   1  m  8 . 4 2 2   x  x  sin x  dx  a 3  b . Tính tích ab: 0 A. 3 B. 1 3 C. 6 D. Hướng dẫn giải Chọn B     0 0 0 0 I   x 2 dx   x sin xdx   x 2 dx   xd  cos x   2 3   x3    x cos x    cos xdx 0 0 3 0 3  Câu 9.       sin x   3   0 3 3 Tích phân    3x  2  cos 2 x dx bằng 0 3 A.  2   . 4 B. 3 2   . 4 Chọn B 1 2   . 4 Hướng dẫn giải C. D. 1 2   . 4  Đặt I    3 x  2  cos 2 x dx . Ta có: 0    1 1 1 . I    3 x  2 1  cos 2 x  dx     3 x  2  dx    3x  2  cos 2 x dx    I1  I 2  . 2 0 20 0  2   3 3  I1    3 x  2  dx   x 2  2 x    2  2 . 2 0 2 0   I 2    3x  2  cos 2 x dx . Dùng tích phân từng phần 0 du  3dx u  3x  2  Đặt   . 1 dv  cos 2 x dx v  sin 2 x  2 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 265 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng  3 1 3 Khi đó I 2   3x  2  sin 2 x   sin 2 x dx  0   cos 2 x   0 . 2 20 4 0 0   Vậy I  13 2  3 2    2      . 22  4  2m  x.cos mxdx  Câu 10. Cho số hữu tỷ dương m thỏa mãn 0 các khoảng dưới đây?  1  0;  7  A.  ; 2  . B.  4  . 4  Chọn D  2 2 . Hỏi số m thuộc khoảng nào trong  6  1;  C.  5  . 5 8  ;  D.  6 7  . Hướng dẫn giải du  dx u  x   . Đặt  1 dv  cos mxdx v  sin mx m   2m    2m 2m x 1 2m  1  2 1 Suy ra  x.cos mxdx  sin mx   sin mxdx   2 .cos mx   . 2 . 2 m m 0 2m m  2  m 0 0 0  2 1  2 Theo giả thiết ta có   m  1 . . 2  2  2  m 5 8 m  1  ;  6 7. Vì m là số hữu tỷ dương nên 1 2 x 2  x khi x  0 f  x   I   f  x  dx   x.sin x khi x  0 . Tích tích phân Câu 11. Cho hàm số 7 2 1 2 A. I    . B. I    . C. I    3 . D. I   2 . 6 3 3 5 Hướng dẫn giải Chọn A Ta có: lim f  x   lim f  x   f  0   0 nên hàm số liên tục tại x  0 . Do đó hàm số liên tục x 0 x0 trên đoạn   ;1 . Ta có: I  1 0 1 0 1   0  0  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx   x.sin xdx    2 x 2  x  dx  I1  I 2 . 0  I1   x.sin xdx  u  x  du  dx Đặt   dv  sin xdx v   cos x 0 I1    x cos x    0  cos xdx    x cos x  0  0  sin x    .  1 1  2 x3 x 2  7  I 2    2 x  x  dx      . 2 0 6  3 0 2 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 266 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Vậy I  I1  I 2  Câu 12. Tích Phân và Ứng Dụng 7  . 6  Tính  x 1  cos x  dx . Kết quả là 0 A. 2  2. 2 B. 2  3. 3 2 3. 3 Hướng dẫn giải C. D. 2 2. 2 Chọn A u  x du  dx Đặt   dv  (1  cos x)dv v  x  sin x Khi đó: I  x  x  sin x  0 Câu 13. Tính tích phân  3 0 A. 0 x  cos 2 x   x2  2  2    x  sin x  dx      cos x    2    1  1  2  2 0  2  2 0   2 dx  a  b . Phần nguyên của tổng a  b là ? B. -1 C. 1 Hướng dẫn giải D. -2 Chọn B Đối với bài toán này, chúng ta sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần. du  dx  ux    Đặt  dx   sin x  dv  cos 2 x v  tan x  cos x  Áp dụng công thức tích phân từng phần ta có:  3 sin xdx I   x tan x  3   cos x 0 0   3   d  cos x     x tan x  3    I   x tan x  3  ln  cos x  3   ln 2 cos x 3 0 0 0 0 1 ; b   ln 2 . 3 1 Tổng a  b   ln 2  0,1157969114 3 Lưu ý khái niệm phần nguyên của x là số nguyên lớn nhất không vượt quá x, vậy đáp án đúng là đáp án B. Nhận xét: Bài toán trên đòi hỏi khả năng biến đổi của thí sính và nhắc lại kiến thức về khái niệm phần nguyên, sẽ có thí sinh khi đi thi đã tìm ra kết quả phân tích nhưng lúng túng trong việc lựa chọn đáp án vì không nhớ rõ khái niệm phần nguyên. Suy ra a  x 4 Câu 14. Cho I   x tan 2 xdx  A. 4 Chọn D 0  2  ln b  khi đó tổng a  b bằng a 32 B. 8 C. 10 Hướng dẫn giải File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. 6 Trang 267 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A  4  4 Tích Phân và Ứng Dụng  4 1  1  I   x  1 dx   x. 2 dx   xdx 2 cos x  cos x 0  0 0  4  xdx  0  4 I1   x. 0  2  4 0  2 32 1 dx . cos2 x u  x du  dx  Đặt  dx   v  tan x dv  cos 2 x I1  x tan x Vậy I   4  4 0    tan xdx   ln cos x 4 0  4 0    ln 2 4  2  ln 2  4 32  4 x dx có giá trị là: 1 cos  x 0 Câu 15. Tích phân I       tan  2ln  cos  . 4 8 8      C. I  tan  2ln  cos  . 4 4 8      tan  2ln  cos  . 4 8 8      D. I  tan  2ln  cos  . 4 4 8  Hướng dẫn giải A. I  B. I   4 x dx có giá trị là: 1  cos x 0 Tích phân I    4  1 4 x x Ta biến đổi: I   dx  I  dx . x 1  cos x 2 2 0 0 cos 2 u  x du  dx   Đặt   x. 2 x dv  cos dx v  2 tan   2 2   x      4 4 sin 4 1  x x  1  2 dx   I   2 x tan   2  tan dx    tan  2  x  2  20 2 2 2 8 0 0 cos     2 . cos   tan  4 2 8 Chọn B  Câu 16. Tích phân  4  8  1 1     dt  tan  2 ln  cos  t 4 8 8  x  1  cos 2 x dx  a  b ln 2 , với a , b là các số thực. Tính 16a  8b 0 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 268 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. 4. B. 5. Tích Phân và Ứng Dụng C. 2. Hướng dẫn giải D. 3. Chọn A u  x du  dx    . Ta có Đặt  dx 1 d v   v tan x  1  cos 2 x  2   1 1 4  1  1 1  1 1 1 I  x tan x 4   tan xdx   ln cos x 4   ln   ln 2  a  , b   2 2 0 8 2 8 2 8 4 2 8 4 0 0 Do đó, 16a  8b  4 .  4 Câu 17. Tích phân I   0 2 x  sin x dx có giá trị là: 2  2cos x   1 2 3 1 2 3  4 ln 2  ln 2  . B. I      2 ln 2  ln 2  . A. I     2 3 2 3     1 2 3 1 2 3 C. I      4 ln 2  ln 2  . D. I      2 ln 2  ln 2  . 2 3 2 3   Hướng dẫn giải  2 Tích phân I    3 2 x  sin x dx có giá trị là: 2  2cos x  4 Ta biến đổi: I    3  2  2 3 3 2 x  sin x x 1 sin x dx   dx   dx . 2  2cos x 2  1  cos x  1  cos x  2  2 x x 1 dx   dx . 2  sin 2 x  1  cos x 3 3 2 u  x du  dx   1 Đặt dv  x. dx   v  2 cot 2 x   sin  2  2     2  1  x2 x  1 2 3  I1   2 x.cot   2  cot dx       4ln 2  . 2  2 2 2 3     3 3  Xét I1   Xét I 2   2 1 sin x dx .  2  1  cos x 3 Đặt t  1  cos x  dt  sin xdx .  1   x  3  t  2 Đổi cận  . x    t  1  2 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 269 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 1 1 2 1 2 Tích Phân và Ứng Dụng 1 1 1 1  I 2   dt   ln t   ln 2 . 21t 2 2  1 2 3  4ln 2  ln 2  . I  I1  I 2     2 3  Chọn C  2 Câu 18. Tích phân I   x 3  2 x  cos x  x cos 2 x cos x  6 5 4 2 2  3    . 324 9 4 2 5 4 2 2  3    . C. I  324 9 4 2 5 4 2 2     324 9 4 4 2 5 2     D. I  324 9 4 Hướng dẫn giải A. I   2 Tích phân I   I  3 cos x  x3  2 x  cos x  x cos2 x cos x  6 B. I   2 x  cos x  x cos 2 x  6 Ta có:  2 x dx có giá trị là: 3 . 2 3 . 2 dx có giá trị là:  2  2  2  2 6 6 6 6 1  dx    x3  2 x  dx   x cos xdx   x 4  x 2    x cos xdx . 4      2 Xét I1   x cos xdx .  6 u  x du  dx Đặt  .  dv  cos xdx v  sin x  2  2  6  I1   x sin x    sin xdx   6  3  . 4 2  5 4 2 2  3 1 2  I   x4  x 2   I1     . 324 9 4 2 4  Chọn A 6 2 a a   x  và  x tan xdx m Tính I     dx theo a và m. 2 cos x   0 0 2 A. I  a tan a  2m . B. I  a tan a  m . C. I  a 2 tan a  2m . D. I  a 2 tan a  m . Hướng dẫn giải Chọn C u  x 2 du  2 xdx  Đặt   1 dx v  tan x dv  cos 2 x  Câu 19. Cho 0  x  File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 270 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 2 a Tích Phân và Ứng Dụng a a  x  2 2 I    dx  x tan x 0   2 x tan xdx a tan a  2m. 0  cos x  0 Câu 20. Tính  2 2   x  sin x  cos xdx . Kết quả là 0  2  . 2 3 A. B.  2  . 2 3 Chọn D  2  . 3 3 Hướng dẫn giải C. D.  2  . 2 3  2 Ta có: I   ( x  sin 2 x) cos xdx 0  2   ( x cos x  sin 2 x cos x)dx 0  2  2 0 0   x cos xdx   sin 2 x cos xdx  I 1  I 2 u  x Tính I1 : Đặt   dv  cos xdx  du  dx .  v  sin x  2 Nên I1   x cos xdx 0  2  2 0      x sin x  |   sin xdx   cos x |02   1 2 2 0 Tính I 2 : Đặt u  sin x. Ta có du  cos xdx. Đổi cận: x  0  u  0; x   2   u  1. 2  2 1 1 1  I 2   sin x cos xdx   u 2 du  u 3  . Vậy I  I1  I 2   . 3 0 3 2 3 0 0 1 2 Câu 21. Cho tích phân I   Chọn đáp án đúng: A. 7 2 0 x .sin xdx  a 2  b . Tính A  a  b B. 10 Chọn B * Đặt u  t 2  du  2tdt; C. 6 Hướng dẫn giải D. 2 dv  sin tdt chọn v   cos t     Vậy I  2 t 2 cos t  2  t cos tdt  0 0   Đặt u  t  du  dt dv  cos tdt chọn v  sin t     I1   t sin tdt  t sint   sin tdt  cost  2 0 0 0 0    * Do đó: I  2 t 2 cos t  4   2 2  8  a  2; b  8  A  10 0   File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 271 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 1 Tích Phân và Ứng Dụng I n 1 . n  I n D. 5 . n Câu 22. Với mỗi số nguyên dương n ta kí hiệu I n   x 2 1  x 2  dx . Tính lim A. 1. B. 2 . Chọn A Cách 1. Tự luận: 1 Xét I n   x 2 1  x 2 n  0 In  0  x 1  x 2  n 1 1 n 1 0 1 C. 3 . Hướng dẫn giải  du  dx u  x  n 1 dx . Đặt    1  x 2  . 2 n dv  x 1  x  dx v  2  n  1  1 1 n 1 n 1 1 1  1  x 2  dx  1  x 2  dx     2  n  1 0 2  n  1 0  I n 1  1 2 2 n 1 1  x 1  x    dx 2  n  2  0  I n 1  1 1  n 1 1 2 n 1 1  x d x  x 2 1  x 2  dx      2  n  2  0 0  1 I I 2n  1  2  n  1 I n  I n1   n 1   lim n 1  1 . 2  n  2 In 2n  5 n I n Cách 2. Trắc nghiệm: Ta thấy 0  1  x 2   1 với mọi x   0;1 , nên  I n 1  1 I n 1   x 2 1  x 2  0 suy ra n 1 1 n 1 n dx   x 2 1  x 2  1  x 2  dx   x 2 1  x 2  dx  I n , 0 0 I n 1 I  1 , nên lim n 1  1 . Dựa vào các đáp án, ta chọnA. In In File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 272 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng DẠNG 2: a Câu 23. Cho  xe dx  1  a    . Tìm x A. 0. 0 a? B. 1 . C. 2. Hướng dẫn giải Chọn B a  xe dx  1   x  1 e x 0 x a 0 D. e.   a  1 e a  1  1  a  1 . 1 Câu 24. Cho I   xe 2 x dx  ae 2  b ( a , b là các số hữu tỷ). Khi đó tổng a  b là 0 A. 0 . B. 1 . 4 C. 1 . D. Hướng dẫn giải Chọn D 1 . 2 du  dx   1 2x . v  2 e 1 1 1 1 1 2x 1 1 2x 1 1 1 1 1 1 2x Vậy I   xe dx  xe   e dx  e 2  e 2 x  e 2  e 2   e 2  . 0 20 0 2 2 2 4 4 4 4 4 0 u  x Đặt  ta có 2x dv  e dx 1  a  4 1  ab  . Suy ra  2 b  1  4 Câu 25. Biết rằng tích phân 1   2 x  1 e dx  a  b.e , tích ab x 0 A. 1 . B. 1 . C.  15 . Hướng dẫn giải Chọn A u  2 x  1 du  2dx  Đặt  . x x dv  e dx v  e 1 Vậy 1 bằng: 1 D. 20 . 1 x x x x   2 x  1 e dx   2 x  1 e 0  2 e dx   2 x  1 e 0  e  1 . 0 Suy ra a  1; b  1  ab  1 . 0 1 Câu 26. Biết I    2 x  3 e x dx  ae  b , với a , b là các số hữu tỉ. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề 0 đúng? A. a  b  2 . B. a 3  b 3  28 . C. ab  3 . Hướng dẫn giải Chọn D 1 1 0 0 1 D. a  2b  1 . 1 I    2 x  3 e xdx    2 x  3 d  e x    2 x  3 e x  2  e x dx  5e  3  2e  2  3e 1 . 0 Vậy a  3, b   1 nên a  2b  1 . a 0 x 2 Câu 27. Tìm a sao cho I   x.e dx  4 , chọn đáp án đúng 0 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 273 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. 1 B. 0 Tích Phân và Ứng Dụng C. 4 Hướng dẫn giải Chọn D D. 2 u  x  du  dx  Ta có: I   x.e dx . Đặt  x x 0 dv  e 2 dx v  2.e 2 a  I  2 x.e x 2 x a 2 0 a x 2 a 2  2  e dx  2ae  4.e x a 2 0 a 2  2 a  2 e  4 0 a Theo đề ra ta có: I  4  2  a  2  e 2  4  4  a  2 1 Câu 28. Cho tích phân I    x  1  e x  3  dx . Kết quả tích phân này dạng I  e  a . Đáp án nào sau 0 đây đúng? 9 A. a  2 B. a  9 4 C. a  Hướng dẫn giải Chọn A u  x  1 du  dx    x x x dv   e  3 dx v    e  3 dx   e  3x  1 1 0 0 9 5 D. a  8 3  I   x  1  e x  3x     e x  3 x  dx 1 3  9    x  1  e  3 x    e x  x 2   e  0 2 0 2  x 1 1 Câu 29. Tính tích phân I    a  x   b  e 2 x  dx  Chọn đáp án đúng: A. 27 0 B. 30 Chọn D Đặt 15 1 1 2  e . Tính A  ab  a  b  12 4 4 C. 16 Hướng dẫn giải D. 45 du   dx u  a  x    1 2x 2x dv   b  e  dx v  bx  2 e 1  1 b 1 1 1 1 1   I   a  x   bx  e 2 x  10   ab  b  a       a  1   e 2   e 2 2  2 2 4 2 4 4 4   1 b 1 1       ab b a  2 2 4 4  a  1  A  45   b  2  1  a  1  1  1  2 4 4 1   mx  1 e dx  e x Câu 30. Tìm m để A. 0 Chọn D 0 ? B. -1 1 2 Hướng dẫn giải C. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. 1 Trang 274 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng Ta có 1 1   mx  1 e dx    mx  1 dx(e )   mx  1 e x x 0 0 x 1 x 1 0 1  m  e d  mx  1   mx  1 e x 0 x 1 0 1  m  e x dx 0 x 1   mx  1 e    me    m  1 e  1  me  m  e  m  1 0 0 m Câu 31. Cho I    2 x  1 e2 x dx . Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để I  m là khoảng  a; b  0 . Tính P  a  3b . A. P  3 . B. P  2 . Chọn A C. P  4 . Hướng dẫn giải D. P  1 . m I    2 x  1 e2 x dx 0 du  2dx u  2 x  1  Đặt   e2 x . 2x v  x d e d v     2 m  2 x  1 e2 x m m 2 x  2m  1 e 2 m  1  1 e2 x m  me m  e 2m  1   e dx  I    2 x  1 e 2 x dx  2 0 0 0 2 2 2 0 I  m  me 2 m  e 2 m  1  m   m  1  e 2 m  1  0  0  m  1 . Suy ra a  0, b  1  a  3b  3 . Câu 32. Biết rằng tích phân 4   x  1 e x 2x 1 0 A. T  1 . dx  ae4  b . Tính T  a 2  b 2 B. T  2 . C. T  Hướng dẫn giải Chọn B 4 Ta có I   0 4 Xét I1   0 3 . 2 D. T  5 . 2 4 4 4  1 ex x 1 x 1 2x  2 x e dx   e dx    2 x  1.e x dx   dx  . 2 0 2 0 2x 1 2x 1  2x  1 0 x e dx . 2x 1 du  e x dx u  e  1   dx 1  2 x  1 2 Đặt  dx  v   .  2x  1 dv    2x 1 2 1 2x 1    2 x 4 4 Do đó I1  e . 2 x  1   e x . 2 x  1dx . x 0 0 4 3e  1 3 1 9 1 T    2. . Khi đó a  , b  2 2 2 4 4 12 1 c 1  x a  Câu 33. Cho tích phân I   1  x   .e x .dx  .e d , trong đó a , b , c , d là các số nguyên dương x b 1  Suy ra I  12 a c và các phân số , là các phân số tối giản. Tính bc  ad . b d File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 275 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. 24 . B. Chọn A 12 1 . 6 Tích Phân và Ứng Dụng C. 12 . D. 1. Hướng dẫn giải 12 1 12 1 1 x 1  x 1  x   - Ta có: I    1  x   .e x .dx   e x .dx    x   e x .dx  J  K x x 1  1 1  12 12 - Tính J   e 12 1 x x 12 .dx . 1 12 1  1  x  1x  x  d u  1  e .dx x   2   Đặt u  e  x  dv  dx v  x   x 1   J   x.e x    12 1 12 145 12 145 145 1 1 143 12 1  x  .e  K    x   .e x .dx  12.e 12  .e 12  K  x 12 12 1  12 143 145 .e 12 . I J K  12 a dc a c - Theo giả thiết: I  .e với a , b , c , d là các số nguyên dương và , là các phân số b b d a 143 c 145 và   a  143 , b  12 , c  145 , d  12 . tối giản nên  b 12 d 12 Vậy bc  ad  24 . DẠNG 3. e a.e 2  b Câu 34. Cho I   x ln xdx  với a , b , c   . Tính T  a  b  c . c 1 A. 5 . B. 3 . C. 4 . D. 6 . Hướng dẫn giải Chọn D 1  du  dx  u  ln x  x Ta có:  nên  . 2 x dv  xdx v   2 a  1 e e e x2 e2  1 1  I   x ln xdx  ln x   xdx  .  b  1 . 2 21 4 1 c  4 1  Vậy T  a  b  c  6 . 1 Câu 35. Kết quả của phép tính tích phân  ln  2 x  1 dx được biểu diễn dạng a.ln 3  b , khi đó giá trị 0 3 của tích ab bằng A. 3. B. Hướng dẫn giải Chọn D. 3 . 2 C. 1. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay 3 D.  . 2 Trang 276 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 2  dx u  ln  2 x  1 du  Đặt   2x 1 . dv  dx v  x 1 1 1 2x 1   dx  ln 3    1   dx 2x 1  0 2x 1 0 1 Ta có I   ln  2 x  1 dx  x ln  2 x  1 0   0 1 1 3    ln 3   x  ln 2 x  1   ln 3  1 . 2  0 2 3 3 Khi đó a  ; b  1 . Vậy ab3   . 2 2 b 1 a, b    a  3   Câu 36. Cho  ln  x  1 dx  a  ln b , . Tính . 0 B. A. 25 . 1 . 7 C. 16 . D. Hướng dẫn giải: Chọn C . 1 . 9 1 u  ln  x  1 du  dx Đặt   x 1 . dv  dx v  x  1 1 1 1 I   ln  x  1 dx   x  1 ln  x  1 0    x  1 . 0 0 1 1 dx  2 ln 2  x 0  2 ln 2  1  1  ln 4 . x 1  a  1, b  4   a  3  16 . b Câu 37. Biết tích phân 2   4 x  1 ln xdx  a ln 2  b với a , b  Z . Tổng 2a  b bằng 1 A. 5. B. 8. Chọn C 1  u  ln x  du  dx Đặt  x . dv   4 x  1 dx.  Ta có 2 C. A 1;  2; 1 Hướng dẫn giải 2 2 D. 13. 2 2   4 x  1 ln xdx  x  2 x  1 ln x 1    2 x  1 dx  6ln 2   x  x  1  6 ln 2  2 . 1 1 Vậy 2a  b  10 . 3 3  ln x a  ln b  ln c Câu 38. Biết  với a , b , c là các số nguyên dương. Giá trị của biểu thức dx  2 4 1  x  1 P  a  b  c bằng? A. 46 . Chọn A Ta có 3 C. 11 . Hướng dẫn giải D. 48 . 3 3  ln x 3 3 1  1  d x   3  ln x d    d  3  ln x      1  x  12 1 x  1 1 1 x  1  x 1  3  ln x 3  B. 35 . 3 3  ln 3 3 1 1 3  ln 3 1  3  ln 3 x 1 . dx        ln  dx  4 2 1 x 1 x 4 4 x x 1  x 1 1 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay 3 1 Trang 277 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 3  ln 3 3 1 3  ln 3 3  ln 3  ln  ln   ln 3  ln 4  ln 2   ln 3  ln 2 4 4 2 4 4 a  3 3  3ln 3  4 ln 2 3  ln 27  ln16     b  27  P  46 . 4 4 c  16   2   2 x  1 ln xdx  a ln 2  b,  a; b    . Khi đó a  b ? Câu 39. Giả sử 1 5 . 2 Hướng dẫn giải Chọn D A. B. 2. C. 1. D. 3 . 2 1  u  ln x  du  dx Đặt   x . dv   2 x  1 dx v  x 2  x  Ta có 2   2 x  1 ln xdx   x 1 2 2 2  x  ln x    x  1 dx 1 1 2 2 x  1  2ln 2    x   2ln 2  . 2  2 1 1 3 Khi đó a  2; b   . Vậy a  b  . 2 2 Câu 40. Tính tích phân I  A. I  2 ln 2  6 . 9 Chọn B Cách 1: I  2 2  x 2 1 1 ln x dx . B. I  6 ln 2  2 . 9 C. I  Hướng dẫn giải 2 ln 2  6 . 9 D. I  6 ln 2  2 . 9 2   x 1 ln x dx 1 dx  d u    u ln x   x Đặt   2 3 v  x  x d 1 d    v  x  x  3 2 2 2 2  x3   x2   x3   x3  6ln 2  2 . Do đó I    x  ln x     1 dx    x  ln x    x   3 3 9 9  3        1 1 1 1 Cách 2: 2 2 2 2  x3   x3   x3  x  1 ln x d x  ln x d  x   x ln x  1   1  3   3  1  3  x  d  ln x  1 2 2 2  x2   2 2  x3 2  6ln 2  ln 2     1 dx     x   . 3 3 3 9 9  1 1 a Câu 41. Tích phân I   x ln xdx có giá trị là: 1 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 278 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng a 2 ln a 1  a 2 a 2 ln a 1  a 2 . B. I  .   2 4 2 4 a 2 ln a 1  a 2 a 2 ln a 1  a 2   C. I  . D. I  . 2 4 2 4 Hướng dẫn giải A. I  a Tích phân I   x ln xdx có giá trị là: 1 1  du  dx  u  ln x  x Đặt   . 2 dv  xdx v  x  2 a a a a a 2 ln a 1  a 2  x2   x2   x2  x  I   .ln x    dx   .ln x       . 2 4  2 1 1 2  2 1  4 1 Chọn C Câu 42. Kết quả tích phân A. 3 2   2 x  ln  x  1 dx  3ln 3  b . Giá trị 3  b là: 0 B. 4 Chọn C C. 5 Hướng dẫn giải D. 7 2 I    2 x  ln  x  1  dx  A  B 0 2 2 Tính A   2 xdx  x 2  4 0 0 2 Tính B    ln  x  1 dx 0 dx   du  x 1  v  x  1 Dùng công thức tích phân từng phần 2 2 x 1 2 2 B    ln  x  1  dx   x  1 .ln  x  1 0   dx  3ln 3  x 0  3ln 3  2 0 0 x 1 u  ln  x  1 Xem:  ta chọn được dv  dx 2 Vậy: I    2 x  ln  x  1 dx  3ln 3  2 0 2 Câu 43. Tính tích phân I   (4 x  3).ln xdx  7 ln a  b . Tính sin 1 A. 1 Chọn B B. -1 a  b 4 : C. 0 Hướng dẫn giải D. 1 2   u  ln x  du  dx Đặt  . Khi đó  x  dv   4 x  3 dx v  2 x 2  3 x  2 2 2 2 x 2  3x I   2 x 2  3x  ln x   dx   2.22  3.2  ln 2   2.2  3. ln    2 x  3 dx   x  2  4 ln 2  0   x 2  3x   4 ln 2  0   2 2  3.2   2  3.   4 ln 2  0  4   4ln 2  6  File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 279 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 1 Câu 44. Cho tích phân I   3 x 2  2 x  ln(2 x  1)  dx . Xác định a biết I  b ln a  c với a,b,c là   0 các số hữu tỉ A. a=3 B. a=-3 C. a  Hướng dẫn giải Chọn A 1 1 2 3 2 3 D. a   . 1 I   3 x 2  2 x  ln(2 x  1) dx   3 x 2  2 x  dx    ln(2 x  1)  dx  I1  I 2 0 0 0 u  ln(2 x  1) Giải I 2 bằng phương pháp từng phần   dv  dx 3 ln3  1  a  3 2 I 3 3  ln x dx  a (ln 3  1)  ln b với a,b∈R. Tính giá trị biểu thức T  4a  2b 2 1 ( x  1) B. 7 C. 5 D. 6 Hướng dẫn giải Câu 45. Cho I   A. 4 Chọn A Ở bài toán này máy tính dường như không giúp được nhiều trong việc giải quyết bài toán, đây là bài toán sử dụng phương pháp tích phân thành phần ở mức độ vận dung. Đặt dx  u  3  ln x u    x dx    v   v  1  1  x ( x  1)2  x 1 x 1  b b Áp dụng công thức tính tích phân thành phần  udv  uv a   vdu thì ta được b a 3 I 3 a 3 (3  ln x) x (3  ln x) x dx 3    ln( x  1) 1 x  1 1 1 x 1 x 1 1  3  3  ln 3 3  I      ln 4  ln 2  4 2  3 3 1  (ln 3  1)  ln 2  (ln 3  1)  ln   4 4 2 3 1 Vậy a  ; b   T  4a  2b  3  1  4 4 2 Nhận xét: Điểm mấu chốt để xử lí nhanh bài toán nằm ở việc đặt v  1 x 1  . Một số x 1 x 1 3 thí sinh chọn đáp án B vì khi làm đến I  (ln 3  1)  ln 2 không để ý dấu nên suy ra luôn 4 3 a  ; b  2 dẫn đến kết quả sai. 4   3 ln  sin x  Câu 46. Cho tích phân I  3 dx  a ln  3   b . Tính A  log 3 a  log 6 b 2 cos x 6  4 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 280 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chọn đáp án đúng: A.  3 B. 2 Chọn C Đặt u  ln  sin x   du  dv  Tích Phân và Ứng Dụng C.  1 Hướng dẫn giải cosx dx sin x dx chọn v  tan x cos2 x  3 Vậy I    6  3 ln  sin x  dx   tan x.ln x  sin x     dx cos 2 x   3  6 6 ln x dx  a e  b với a, b   . Tính P  a.b . x 1 A. P  4 . B. P  8 . C. P   4 . Hướng dẫn giải Chọn B dx  u  ln x   du  Đặt  x dx    dv  x  dv  2 x   Câu 47. Biết D. 1 e  D. P  8 . e e e e  a  2 ln x dx . d x  2 x ln x  2  2 x ln x  4 x  2 e  4   1 x  1 1 1 x b  4 1 Vậy P  ab  8 . Suy ra Câu 48. Biết e 2  2 x ln  x  1 dx  a.ln b , với a, b   0 A. 33 . B. 25 . Chọn D * , b là số nguyên tố. Tính 6a  7b . C. 42 . Hướng dẫn giải D. 39 . 1  u  ln  x  1 dx  du  Xét I   2 x ln  x  1 dx  6 . Đặt   x 1 .  dv  2 xdx 0  v  x 2  1 2 2 2  x2  x2  1 Ta có I   x  1 ln  x  1   dx  3ln 3    x  1 dx  3ln 3    x   3ln 3 . 0  2 0 0 x 1 0 Vậy a  3 , b  3  6a  7b  39 . 1 1  a 2 ln 2  bc ln 3  c  Câu 49. Cho  x ln  x  2   với a , b , c   . Tính T  a  b  c .  dx  x  2 4   0 A. T  13 . B. T  15 . C. T  17 . D. T  11 . Hướng dẫn giải Chọn A 1  du   u  ln  x  2   x2  Đặt  . 2 x  4 dv  xdx v   2 2 1 2 2 1 1 1 1  x2  4 x2 x  0 x ln  x  2   x  2  dx  2 ln  x  2   0 2 dx  0 x  2 dx 0 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 281 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 1 1  3 1  x2  ln 3  2ln 2    2 x    x  2ln  x  2   0 2 2 2 0 14ln 3  16 ln 2  7  . Suy ra: 4 Vậy T  a  b  c  13 . Câu 50. Biết 3  ln  x 2 3 a  4  b  2 . c  7  B. S  23 . C. S  12 . Hướng dẫn giải Chọn B 3 3 Ta có  ln x  3 x  2 dx  x.ln x  3x  2 2  3 3 ln 3  2 ln 2   1  2  ln 3  ln 2  2 4  3x  2  dx  a ln 5  b ln 2  c , với a, b, c   . Tính S  a.b  c A. S  60 . 3   3  3ln 20  4ln 2    x  3x 2  3 2 3 3    xd ln  x 2 3 2 D. S  2 .  3x  2  dx  x  1  x  2  3 3 3 x  x  1 3  x  1 x  2   6  3ln 20  4 ln 2   dx  3ln 5  2 ln 2   dx x  1 x  2 x  1 x  2       2 2 2 3 3 1   1  3ln 5  2 ln 2   3x  2  2     dx  3ln 5  2 ln 2  3  2 ln x  1 2  2ln x  2 x 1 x  2  2  5ln 5  4ln 2  3 . Suy ra a  5; b  4; c  3 . Do đó S  ab  c  23 . 3 1 Câu 51. Cho biết tích phân I    x  2  ln  x  1 dx  a ln 2  0 3 2 7 trong đó a , b là các số nguyên b dương. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: A. a  b . B. a  b . C. a  b . Hướng dẫn giải Chọn A 1  d u  dx u  ln  x  1  x 1  Đặt  . 2 dv   x  2  dx v  x  2 x  2 D. a  b  3 . 1 1 1  x 2   1 x2  4 x 5 1  3  I    2 x  ln  x  1    dx  ln 2    x  3   dx 2 2 0 x 1    2  0 2 0 x 1 1  7 5 1  x2  ln 2    3x  3ln  x  1   4ln 2  . 2 2 2 4 0 Suy ra a  4 , b  4 . Vậy a  b . 2 x  ln x a 1 I  dx  ln 2  2 b c 1  x  1 với a , b , m là các số nguyên dương và là phân số tối giản. Câu 52. Cho a b S c . Tính giá trị của biểu thức File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 282 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. S  2 . 3 Chọn B Tính 2 I  1 B. S  x  ln x  x  1 5 . 6 C. S  Hướng dẫn giải Tích Phân và Ứng Dụng 1 . 2 1 D. S  . 3 dx 2 . 1  x  x  ln x  u  x dx  du    1 dx  dv  1  v   x  1 2  x  1 Đặt  . 2 2 2 2 x  ln x 1 1 x 1 I  d x   x  ln x  . dx   1  2  ln 2   1  1 dx    2 x 1 x x 1 1 3 2 1 x 1  x  1 1 Khi đó 2 1 1 2 1    2  ln 2    ln x 1  ln 2  3 2 3 6 a b 5 S  c 6. Vậy a  2; b  3; c  6 b Câu 53. Cho a  b  1 . Tích phân I   ln  x  1 dx bằng biểu thức nào sau đây? a A. I   x  1 ln  x  1 a  a  b . B. I   x  1 ln  x  1 a  b  a . b b b 1 C. I  .  x  1 a b D. I  x ln  x  1 a   b a x dx . x 1 Hướng dẫn giải Chọn B 1 u  ln  x  1 du  dx Đặt   x 1 dv  dx v  x  1 b b b b Do đó I   ln  x  1 dx   x  1 ln  x  1 a   dx   x  1 ln  x  1 a  x a a b a b   x  1 ln  x  1 a  b  a e2 1  ae 2  be+c  1 Câu 54. Biết   2  , trong đó a , b , c là các số nguyên. Giá trị của  dx  ln x ln x 2   e a2  b2  c 2 bằng A. 5 . Chọn A Xét tích phân: e2 B. 3 . C. 4 . Hướng dẫn giải D. 9 . 1  ln x dx . e 1 1 Đặt u   ; du   dx . dv  dx chọn v  x . ln x x ln 2 x e2 e2 e2 2 e 1 x 1 1  e 2  2e  1 Khi đó  . dx    2 dx    2  d x   ln x ln x ln x ln x ln x 2   e e e e File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 283 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng  a  1  Do đó b  2 . c  0  2 Vậy a  b 2  c 2  5 Câu 55. Biết 3  x ln  x 2  16  dx  a ln 5  b ln 2  0 biểu thức T  a  b  c . A. T  2 . B. T  16 . Chọn B c trong đó a, b, c là các số nguyên. Tính giá trị của 2 C. T  2 . Hướng dẫn giải D. T  16 . 2x  u  ln  x 2  16  du  x 2  16 dx Đặt   . 2 dv  xdx v  x  16  2 3 3 2 3 3 x 2  16 x2 3 x  16 2 2 2 Ta có:  x ln  x  16  dx  ln  x  16    x dx  ln  x  16   2 2 2 0 0 0 0 0 25 9 9  ln 25  8ln16   25ln 5  32ln 2  . Do đó a  25, b  32, c  9  T  16 . 2 2 2 2 1  2018  Câu 56. Tính tích phân I    2019log 2 x   x dx . ln 2  1 A. I  22017 . B. I  22019 . C. I  22018 . D. I  22020 . Hướng dẫn giải Chọn B 2 2 2 1 1  2018 1  2018 I2 . I    2019log 2 x  x 2018dx  2019 I1   x dx  2019  x log 2 xdx   ln 2 ln 2 ln 2   1 1 1 2 2 Trong đó I 2   x 1 2018 2 2019  1 x 2019  dx  . 2019 1 2019 1  du  dx  u  log 2 x  x.ln 2 2018 . và I1   x log 2 xdx . Đặt   2019 2018 x 1 dv  x dx v   2019 2 2  x 2019  22019 1 22019  1 22019 2 2019  1 1  .   Khi đó I1   I2  .log 2 x   . 2019 2019.ln 2 2019 2019 20192.ln 2  2019  1 2019.ln 2 Vậy I  22019 . 3 Câu 57. Biết I   1 3  ln x  x  1 A. a 2  b 2  Chọn C 7 . 16 2 dx  a 1  ln 3  b ln 2 ,  a, b    . Khi đó a 2  b 2 bằng B. a 2  b 2  16 25 . C. a 2  b 2  . 9 16 Hướng dẫn giải File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. a 2  b 2  3 . 4 Trang 284 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 1  u  3  ln x du  dx    x dx   Đặt:  dv  2  v   1  x  1   x 1 Khi  3 đó: 3 3  ln 3   ln x  ln x  1  1 4 3 3 3  ln 3 3 1  3  ln x 1 1 I   dx        dx x  1 1 1 x  x  1 4 2 1  x x 1 3  3  ln 3 3 25 a  2 2 .   ln 3  ln 4  ln 2  1  ln 3  ln 2   4  a b  4 4 16 b  1 2 b ln x b Câu 58. Biết  2 dx  a ln 2  (với a là số hữu tỉ, b , c là các số nguyên dương và là phân số c c 1 x tối giản). Tính giá trị của S  2a  3b  c . A. S  4 . B. S  6 . C. S  6 . D. S  5 . Hướng dẫn giải Chọn A 1  d u  dx u  ln x   x  . Đặt  1 1 d v  d x  v   x2  x Khi đó, ta có: 2 2 2 2 1 1 ln x ln x 1 1 1   ln 2  .   2 dx     2 dx   ln 2  2 2 x 1 1x 2 x1 1 x 1 Từ giả thiết suy ra a   , b  1 , c  2 . 2 Vậy giá trị của S  4 . 2 Câu 59. Biết rằng  ln  x  1 dx  a ln 3  b ln 2  c với a , b , c là các số nguyên. Tính S  a  b  c A. S  0 . 1 B. S  1 . Chọn A C. S  2 . Hướng dẫn giải D. S  2 . 1  dx u  ln  x  1 du  Đặt   x 1 dv  dx v  x 2 2 x Khi đó, ta có:  ln  x  1 dx  x ln  x  1   dx 1 1 x 1 1 2 2 1    2ln 3  ln 2   1   dx  2ln 3  ln 2   x  ln x  1  1 x 1  1  2 ln 3  ln 2   2  ln 3  1  ln 2   3ln 3  2 ln 2  1 . Suy ra S  a  b  c  3  2  1  0 . 2 5 Câu 60. Tính tích phân I    x  1 ln  x  3 dx ? 4 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 285 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. 10 ln 2 . B. 10ln 2  Chọn D Tích Phân và Ứng Dụng 19 19 . C.  10ln 2 . 4 4 Hướng dẫn giải D. 10ln 2  19 . 4 1  du  dx u  ln  x  3  x 3 Đặt   . 1 dv  x  1 2 v  x  x  2 1 2 5 2 5 5 5 2x x 1 2  I   x  x  ln  x  3   dx  35 ln 2  1 x  9  9 dx  x  3  3dx 4 x  3 4 4 x3 2  2 2 4 x  3  35 19 19  ln 2    3  9ln 2   1  3ln 2   10ln 2  . 2 22 4  Câu 61. Biết rằng A. 3  x ln x dx  m ln 3  n ln 2  p , trong đó m , n , p  . Khi đó số m là 2 9 . 2 B. 18 . C. 9 . D. Hướng dẫn giải Chọn A 27 . 4 du  dx u  ln x  Đặt   x2 d v  x d x v     2 3 3 3 x2 x2 9 x3 ln x   dx  ln 3  2ln 2    x ln x dx  2 2 2 6 2 2 2 Vậy m  Câu 62. Biết 4 9 . 2  x ln  x 2 3 2 9  m  2  9 19  ln 3  2ln 2   n  2 2 6  19 p   6   9  dx  a ln 5  b ln 3  c , trong đó a , b , c là các số nguyên. Giá trị của biểu 0 thức T  a  b  c là A. T  10 . Chọn C B. T  9 . C. T  8 . Hướng dẫn giải 2x  du  2 dx  u  ln  x  9  x  9   Đặt   dv  xdx x2  9  v  2 D. T  11 . 2 4 4 4 x2  9 x2  9 2x 2 Suy ra  x ln  x  9  dx  ln  x  9    . dx  25ln 5  9 ln 3  8 . 2 2 x2  9 0 0 0 Do đó a  25 , b  9 , c  8 nên T  8 . 2 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 286 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 1 1  x 2  x dx có giá trị là:  2 1 . 0 A. I  2  1  ln   Câu 63. Tích phân I   ln C. I   2  1  ln 1 Tích phân I   ln 0   Tích Phân và Ứng Dụng B. I  2  1  ln  2 1 .  D. I   2  1  ln  2 1 .   2 1 . Hướng dẫn giải   1  x 2  x dx có giá trị là: 1  u  ln 1  x 2  x dx  du   Đặt  1  x2 . dv  dx v  x  1 1 x 2 .ln 1 I x x  x  dx . 2 0 x  1 0 1 x Xét I1   dx . 2 x 1 0 Đặt t  x 2  1  dt  2 xdx . x  0  t  1 Đổi cận  . x  1  t  2      2 1 1  I1   dt  21 t    I  I1  x.ln  t 2 1  2 1. x2  1  x Chọn A  1 0  2  1  ln   2 1 . 1  Câu 64. Cho tích phân I    x   ln xdx  ae 2  b , a và b là các số hữu tỉ. Giá trị của 2a  3b là: x 1 13 13 13 13 A. . B. . C.  . D.  2 4 4 2 Hướng dẫn giải e 1  Cho tích phân I    x   ln xdx  ae 2  b . Giá trị của 2a  3b là: x 1 Ta có: e e e e e 1  x2  1 1 x e2 5  I    x   ln xdx   x ln xdx   ln xdx   ln x    dx   dt   , với t  ln x . x x 4 4  2 1 1 2 1 1 1 0 e 1 5 13  a  , b   2a  3b   . 4 4 4 Chọn C  /4 ln(sin x  cos x) Câu 65. Tính tích phân  dx , ta được kết quả cos 2 x 0 A.   1  ln 2. 4 2 B.  3  ln 2. 4 2 C.   3  ln 2. 4 2 Hướng dẫn giải D.  Chọn C Trắc nghiệm bấm máy tính tích phân trừ cho từng đáp án ta được đáp án File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay  3  ln 2. 4 2 C. Trang 287 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tự luận:  /4  0  /4   0 ln(sin x  cos x) dx  cos 2 x ln(cos x) dx  cos 2 x  /4  0  /4  Tích Phân và Ứng Dụng ln  cos x.(1  tan x )  2 cos x 0 dx   /4  ln(cos x) ln(1  tan x)    dx cos 2 x cos 2 x    0 ln(1  tan x ) dx  I  J . cos 2 x sin x  u  ln cos x  du   cos x dx Đặt  . dv  1 dx , v  tan x  cos 2 x  /4  /4    ln(cos x) 1  2 4  4    x  tan x  4   I  d x  tan x .ln(cos x ) tan x d x  tan x .ln cos x ln 2  1 2  0 0 0 cos x 2 4 0 0  /4 J  0 1 ln(1  tan x) dx. dx. Đặt t  1  tan x  dt  2 cos2 x cos x Đổi cận: x  0  t  1, x   t  2 4 1  2 2 2 u  lnt  du  dt J   ln t dt . Đặt   J  ln t dt   t ln t  t  1  2ln 2  1 t  1 1 dv  dt , v  t  /4 ln(sin x  cos x )  3 Vậy  dx    ln 2. 2 cos x 4 2 0 2 4ln x  1 2 1 x dx  a ln 2  b ln 2 , với a , b là các số hữu tỷ. Khi đó tổng 4a  b bằng. B. 5 C. 7 . D. 9 . A. 3 . Hướng dẫn giải 2 2 2 2 2 2 4ln x  1 1  4 ln x 1  2 d x  + d x  4 ln x d ln x  d x  2 ln x  ln x 1  2ln 2 2  ln 2 .   1 x 1  x x  1 1 x 1 Chọn D Câu 66. Giả sử Câu 67. Tính tích phân I  21000 ln x   x  1 1 2 dx. ln 21000 2  1000 ln . 1000 1 2 1  21000 ln 21000 2 C. I   1000 ln . 1000 1 2 1  21000 A. I   Ta có I  21000   x  1 1 ln 2  1  21000 1000  21000 ln x 21000  1 2 dx    1 1 ln x ln xd  x 1 x 1 1 1 1000ln 2 . dx    x 1 x 1  21000 1000ln 2    ln x  ln x  1  1  21000 Chọn B 1000 ln 2 21001  ln . 1  21000 1  21000 1000 ln 2 21000 D. I   ln . 1  21000 1  21000 Hướng dẫn giải B. I   21000 1 21000  1 21000 21000  1 1 d  ln x  x 1  1 1  1    dx  x x 1  1000ln 2 x   ln 1000 1 2 x 1 21000  1 1000ln 2 21001  ln . 1  21000 1  21000 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 288 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 1: Tích Phân và Ứng Dụng BĐT – GTLN, GTNN TÍCH PHÂN BÀI TẬP 2 Tích phân  min  x 2 ,3x  2 dx bằng 0 A. Câu 2: 2 . 3 B. Giá trị của tích phân 11 . 6 C.  2  max sin x; cos x dx 2 . 3 D. bằng 0 B. 1. A. 0 . Câu 3: 2  C. D. 2. 1 . 2  Tính I   min x; 3 2  x dx . 0 A. I  2 . Câu 4: 17 . 6 B. I  2 3 . 4 C. I  1 . D. I  5 . 4 Tính tích phân I   max  x; x3 dx. 0 A. Câu 5: 17 . 4 B. 2 . C. 15 . 4 D. 7 . 4 C. 275 . 12 D. 119 . 6 3 Tính tích phân I   max  x3 ; 4 x 2  3xdx. 0 117 . A. 2 B. 707 . 2 x Câu 6: Tìm giá trị lớn nhất của G  x     t 2  t  dt trên đoạn  1;1 . Câu 7: 1 5 5 A. . B. 2 . C.  . D. . 6 6 6 x2 3 Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   e  x  4 x  . Hàm số F  x  có bao nhiêu 1 điểm cực trị? A. 2 . Câu 8: C. 1. B. 3 . Biết rằng F  x  là một nguyên hàm trên  của hàm số f  x   D. 4 . 2017 x x 2  1 thỏa mãn 2018 F 1  0 . Tìm giá trị nhỏ nhất m của F  x  . 1 A. m   . 2 Câu 9: B. m  1  2 2017 . 22018 C. m  t 1 D. m  . 2 1  22017 . 22018 Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số f  t    2 3 cos 2 x  2sin 2 x dx trong khoảng  0;  . 0   C. M  2 3 . D. M  2 . 1 Câu 10: Cho hàm số f  x  liên tục trên   thỏa mãn f   x   x  , x    và f 1  1 . Tìm giá trị x nhỏ nhất của f  2  . A. M  3 3 . B. M  3 . A. 3 . B. 2 . C. 5  ln 2 . 2 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. 4 . Trang 289 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng Câu 11: Gọi x1 , x2 lần lượt là điểm cực đại và điểm cực tiểu của hàm số f  x   e2 x  t ln tdt . Tính ex S  x1  x2 . B. ln 2 . C.  ln 2 . D. 0 . A. ln 2e . Câu 12: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên 1;  thỏa mãn f 1  1 và f   x   3 x 2  2 x  5 trên 1;  . Tìm số nguyên dương lớn nhất m sao cho min f  x   m với mọi hàm số x3;10 y  f  x  thỏa điều kiện đề bài. A. m  15 . B. m  20 . C. m  25 . D. m  30 . x Câu 13: Xét hàm số F  x    f  t  dt trong đó hàm số y  f  t  có đồ thị như hình vẽ bên. Trong các 2 giá trị dưới đây, giá trị nào là lớn nhất? A. F 1 . B. F  2  . C. F  3 . D. F  0  . 1 Câu 14: Tìm giá trị nhỏ nhất của S   x 2  ax dx với a   0,1 0 A. 2 2 . 6 2 1 . 3 B. C. 2 2 . 3 2 1 6 D. b Câu 15: Cho a  b  ab  4 và a  b . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức I   x 2   a  b  x  ab dx a A. 4 3 . B. 12 . C. 2 3 . D. 48 b Câu 16: Tìm giá trị nhỏ nhất của I   x 2   2  m  x  2 dx trong đó a  b là hai nghiệm của phương a 2 trình x   2  m  x  2  0 A. 128 . 9 B. 8 2 . 3 C. 8 . D. 2 2 1 Câu 17: Tìm giá trị nhỏ nhất của S   x 3  ax dx với a   0,1 0 A. 2 2 . 6 B. 1 . 8 C. 1 . 4 D. b 2 2 8 2 Câu 18: Cho a  b  ab  4 và a  b . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức I    x  a   x  b  dx a A. 12. B. 0. C. 64 . 3 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. 49 3 Trang 290 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 19: Cho  a  b 2 2   a 2  b2   4 và Tích Phân và Ứng Dụng a  b . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức b I   x 2   a  b  x  ab dx a A. 16 . 9 B. 9 . 16 C. 4 . 3 Câu 20: Gọi a,b lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của S  D. 2m  3 4 x 3  4mx 2  5m 2 x  2m3 dx với m m  1;3 . Mệnh đề nào dưới đây đúng 41 21 . B. a  b  1 . C. a  b  . D. a  b  2 6 4 Câu 21: m là tham số thuộc đoạn 1;3 . Gọi a, b lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của A. a  b  2m P 2   x  m   x  2m  2 dx . Tính a  b  m A. 31 . B. 36 . Câu 22: Giá trị nhỏ nhất của P  2 m2  2  m dương và A. 7. C. 122 . 15 D. 121 4 a x 2  2  m 2  m  1 x  4  m3  m  dx là S  ; a, b nguyên b a tối giản. Tính T  a  b b B. 337. C. 25. D. 91 1 1   2 Câu 23: A là tập các hàm số f lien tục trên đoạn  0;1 . Tìm m  min x . f x d x  x 2018 . f  x  dx       f A  0 0  1 1 2017 1 . B. . C. . D. A. 2019 16144 2018 16140 Câu 24: A là tập các hàm số f lien tục trên đoạn  0;1 . Tìm 1  1  min    x. f 2  x  dx+  x 2013 . f  x  dx  M  f A  0 0  1 503 2012 1 A. . B. . C. . D. 2014 2014 2013 8.2013 Câu 25: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  thỏa mãn f  x   f   x   1 , x   và f  0   0 . Tìm giá trị lớn nhất của f 1 2e  1 e 1 . B. . C. e 1 . D. 2e  1 . e e Câu 26: A là tập các hàm số f lien tục trên đoạn  0;1 và nhận giá trị không âm trên đoạn  0;1 . Tìm A. m nhỏ nhất sao cho 1   f 0 2018  1 x dx  m. f  x  dx f  A 0 1 . D. 2018 2018 Câu 27: Cho hàm số y  f  x  nhận giá trị dương và có đạo hàm f '  x  liên tục trên đoạn  0;1 thỏa A. 2018 . B. 1. C. 1 mãn f 1  2018. f  0  . Tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức M   0 1 1  f  x   2 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay 2 dx    f '  x   dx 0 Trang 291 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng A. ln 2018 . B. 2ln 2018 . C. 2e . D. 2018e Câu 28: Cho hàm số y  f  x  nhận giá trị dương và có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 và thỏa mãn 2  f '  x  f 1  e. f  0   e;    dx  1 . Tìm mệnh đề đung f  x   0 1 1 1 1 1 A. f    e 2 . B. f    e . C. f    e . D. f     2  2e 2 2 2 ' Câu 29: Cho hàm số y  f  x  nhận giá trị dương và có đạo hàm f  x  liên tục trên đoạn  0;1 thỏa 1 mãn f 1  e. f  0  . Biểu thức 1   f  x  0 A. f 1  2e . e 1 1 1  B. f 1   2 2 dx    f '  x   dx  2 . Mệnh đề nào đúng 0 2e 2 . e2  1 2 e  2 C. f 1  e 1 . D. f 1  2  e  2 e2  1 2 Câu 30: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên  1;1 đồng thời thỏa mãn điều kiện f  x   1 với mọi x   1;1 và 1 1 1 1 2  f  x  dx  0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của  x f  x  dx ? 1 1 2 A.  B.  C.  D. 1 2 4 3 Câu 31: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên  0;1 đồng thời thỏa mãn f  x    8;8 với mọi x   0;1 và 1 1 0 0 3  xf  x  dx  3 . Tìm giá trị lớn nhất của  x f  x  dx ? A. 2 B. 31 16 C. 4 3 D. 17 8 Câu 32: Cho hàm số y  f  x  dương và liên tục trên 1;3 thỏa mãn max f  x   2; min f  x   1;3 1;3 3 3 1 1 biểu thức S   f  x  dx  A. 7 2 1 dx đạt giá trị lớn nhất. Khi đó tính f  x B. 5 2 C. 7 5 Khẳng định nào sau đây đúng? A. Phương trình f  x   0 có 1 nghiệm trên  0;1 . 3  f  x  dx ? 1 D. Câu 33: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên  và f   x   x 4  1 và 2 3 5 2  2 x x  0 và f 1  1 . x2 B. Phương trình f  x   0 có đúng 3 nghiệm trên  0;  . C. Phương trình f  x   0 có 1 nghiệm trên 1;2  . C. Phương trình f  x   0 có 1 nghiệm trên  2;5  . 2018 Câu 34: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 thỏa mãn 3 f  x   xf '  x   x với mọi x   0;1 . Giá trị nhỏ nhất của tích phân 1  f  x  dx bằng: 0 A. 1 2021 2022 B. 1 2018  2021 C. 1 2018  2019 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. 1 2019  2021 Trang 292 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 3 2  f   x  7 Câu 35: Cho hàm số f  x  thỏa mãn f   x   0 , x  1;2 và   4  dx  . Biết f 1  1 , x 375 1 2 22 , tính I   f  x  dx . 15 1 71 6 73 37 A. P  . B. P  . C. P  . D. P  . 60 5 60 30 Câu 36: Cho hàm số y  f  x  nhận giá trị không âm và liên tục trên đoạn  0;1 đồng thời ta đặt f 2  x 1 f  x  với mọi x   0;1 . Tích phân g  x   1   f  t  dt . Biết g  x   1  g  x dx 0 có giá trị 0 lớn nhất bằng: 1 2 1 A. B. 1 C. D. 3 2 2 Câu 37: Cho hàm số y  f  x  nhận giá trị không âm và liên tục trên đoạn  0;1 đồng thời ta đặt x g  x   1  3 f  t  dt . Biết g  x   f 2  x  với mọi x   0;1 . Tích phân 0 1 g  x dx có giá trị  0 lớn nhất bằng: 5 4 7 9 A. B. C. D. 2 3 4 5 Câu 38: Cho hàm số y  f  x  nhận giá trị không âm và liên tục trên đoạn  0;1 đồng thời ta đặt x2 1 g  x   1   f  t  dt . Biết g  x   2 xf  x 2  với mọi x   0;1 . Tích phân  g  x dx có giá trị 0 0 lớn nhất bằng: A. 2 B. 3 C. 4 D. 1 Câu 39: Cho hàm số f  x  có đạo hàm dương, liên tục trên đoạn  0;1 thỏa mãn f  0   1 và 1 1 2 1  3  f   x   f  x     dx  2  9 0  0 3 5 A. . B. . 2 4 1 3 f   x  f  x  dx . Tính tích phân   f  x   dx : 0 C. 5 . 6 D. 7 . 6 Câu 40: Cho hàm số y  f  x  liên tục, không âm trên  thỏa mãn f  x  . f   x   2 x  f  x  2  1 và f  0   0 . Giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y  f  x  trên đoạn 1;3 lần lượt là A. M  20 ; m  2 . B. M  4 11 ; m  3 . C. M  20 ; m  2 . D. M  3 11 ; m  3 . Câu 41: Cho hàm số y  f  x  nhận giá trị không âm và liên tục trên đoạn  0;1 đồng thời ta đặt x 3 g  x   1  2  f  t  dt . Biết g  x    f  x   với mọi x   0;1 . Tích phân 0 giá trị lớn nhất bằng: 5 A. 3 B. 4 C. 4 3 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay 1  0 3 2  g  x   dx có D. 5 Trang 293 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng Câu 42: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  0; 1 thỏa mãn 1  xf  x  dx  0 và 0 max f  x   1. Tích [0; 1] 1 phân I   e x f  x  dx thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây? 0 5  A.  ;   . 4  3  B.  ; e  1  . 2   5 3 C.   ;  .  4 2 D.  e  1;    . 1 Câu 43: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn  0;1 thoả mãn x 2 f  x  dx  0 và max f  x   6. [0;1] 0 1 Giá trị lớn nhất của tích phân x3 f  x  dx bằng 0 1 A. . 8 B.  3 2 3 4 4 . C. 2 3 4 . 16 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. 1 . 24 Trang 294 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 1. Tích Phân và Ứng Dụng HƯỚNG DẪN GIẢI 2 Tích phân  min  x 2 ,3x  2 dx bằng 0 A. 2 . 3 B. 11 . 6 2 . 3 Hướng dẫn giải C. Chọn B D. 17 . 6 x 1 Ta có x 2  3 x  2  x 2  3 x  2  0   . x  2 Suy ra x 2  3x  2 âm trên khoảng  0,1 ; dương trên 1, 2  . Vậy min  x 2 ,3x  2  3 x  2 , min  x 2 ,3x  2  x 2 [0,1] [1,2] 2 1 2 1 7 11 Vậy  min  x 2 ,3x  2dx    3x  2  dx   x 2dx     . 2 3 6 0 0 1 Câu 2. Giá trị của tích phân  2  max sin x; cos x dx bằng 0 B. 1. A. 0 . C. D. 2. Hướng dẫn giải Chọn C 1 . 2    Ta có phương trình sin x  cos x  0 có một nghiệm trên đoạn  0;  là x  . 4  2 Bảng xét dấu  4 0 x sin x  cos x Suy ra Tính 0   2  4  2 0 0  4     max sin x;cos x dx   cos xdx   sin xdx   sin x  04   cos x  2  2 . 2 Câu 3.  2   I   min x; 3 2  x dx 0 A. I  2 . . B. I  3 . 4 4 C. I  1 . Hướng dẫn giải Chọn D Ta xét dấu f  x   x  3 2  x trên đoạn  0;2 . D. I  5 . 4 Ta có x  3 2  x  0  x3  x  2  0   x  1  x 2  x  2   0  x  1 . Bảng xét dấu File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 295 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A khi x   0;1  x Do đó min x; 3 2  x   3  2  x  2    khi x  1; 2 1 2 0 1 . Suy ra I   min x; 3 2  x dx   x dx   3 2  xdx  0 Câu 4. Tích Phân và Ứng Dụng 1 3 5   . 2 4 4 2 Tính tích phân I   max  x; x3 dx. 0 A. 17 . 4 15 . 4 Hướng dẫn giải B. 2 . C. D. 7 . 4 D. 119 . 6 Chọn A x 0; 2 Trên đoạn  0; 2 , xét x  x 3  x  x  1 x  1  0   0  x  1. 3  x khi 0  x  1  x   0; 1  x  x Vậy   max  x; x 3    3 . 3  0; 2  x khi 1  x  2  x  1; 2  x  x 2 1 2 1 15 17 3 Suy ra I   max  x; x  dx   xdx   x 3dx    2 4 4 0 0 1 Câu 5. 3 Tính tích phân I   max  x3 ; 4 x 2  3xdx. 0 A. 117 . 2 B. 707 . 2 Chọn C Trên đoạn 0; 3 : 275 . 12 Hướng dẫn giải C. x 0; 3 Xét x 3  4 x 2  3 x  x  x  1 x  3  0  x   0; 1. 3 2 3 khi x   0; 1  x   0; 1  x  4 x  3 x  x 3 2 Vậy   max x ; 4 x 03 x  .    3 2 2 0; 3  x  1; 3  x  4 x  3 x 4 x  3x khi x  1; 3 3 1 3 275 3 2 3 Khi đó I   max  x ; 4 x  3x dx   x dx    4 x 2  3 x  dx  12 0 0 1 Câu 6. x Tìm giá trị lớn nhất của G  x     t 2  t  dt trên đoạn  1;1 . A. 1 1 . 6 B. 2 . 5 C.  . 6 Hướng dẫn giải D. 5 . 6 x  t3 t2  x3 x2  1 1  x3 x2 5 G  x     t  t  dt               3 2 1 3 2  3 2  3 2 6 1 x 2  G '  x   x 2  x  bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 296 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 7. Tích Phân và Ứng Dụng Chọn C 2 Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   e x  x 3  4 x  . Hàm số F  x  có bao nhiêu điểm cực trị? A. 2 . B. 3 . C. 1. Hướng dẫn giải D. 4 . Chọn B 2 Ta có F   x   f  x   e x .x  x  2  x  2  . F   x  đổi dấu qua các điểm x  0 ; x  2 nên hàm số F  x  có 3 điểm cực trị. Câu 8. Biết rằng F  x  là một nguyên hàm trên  của hàm số f  x   2017 x  x 2  1 thỏa mãn 2018 F 1  0 . Tìm giá trị nhỏ nhất m của F  x  . 1 A. m   . 2 B. m  Chọn B Ta có   f  x  dx   1 2  x 2  1 2017 x  x 2  1 2018 1 D. m  . 2 1  2 2017 1  22017 . C. m  2018 . 22018 2 Hướng dẫn giải 2017 2 2018 2017  x  1 2017 2 2 dx   x  1 d  x  1  2 . 2017 2  C  C  F  x 2017 1 1  C  0  C  2018 2017 2.2 2 1 1 Do đó F  x     2018 suy ra 2017 2 2.  x 2  1 Mà F 1  0   F  x  đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi 1 2  x  1 2 2017 lớn nhất   x 2  1 nhỏ nhất  x  0 1 1 1  22017 Vậy m    2018  2018 . 2 2 2 Câu 9. t Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số f  t    2 3 cos 2 x  2sin 2 x dx trong khoảng  0;  . 0 A. M  3 3 .   D. M  2 . B. M  3 . C. M  2 3 . Hướng dẫn giải Chọn B t   Ta có: f  t    2 3 cos 2 x  2sin 2 x dx  0  3 sin 2 x  cos 2 x  t 0  3 sin 2t  cos 2t  1 . File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 297 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng  3   1  f  t   2  sin 2t  cos 2t   1  2sin  2t    1  3 . 2 6   2   Dấu bằng xảy ra khi t  . 3 Vậy giá trị lớn nhất M của hàm số là 3. 1 Câu 10. Cho hàm số f  x  liên tục trên   thỏa mãn f   x   x  , x    và f 1  1 . Tìm giá trị x nhỏ nhất của f  2  . 5  ln 2 . 2 Hướng dẫn giải B. 2 . A. 3 . D. 4 . C. Chọn C 1 Theo giả thiết f   x   x  , x    nên lấy tích phân 2 vế với cận từ 1 đến 2 ta được x 2 2 1 3  1 f   x  dx  1  x  x  dx  2  ln 2 Mà 2  1 2 f   x  dx  f  x  1  f  2   f 1  f  2   1 nên f  2   1  3 5  ln 2  f  2    ln 2 2 2 1 x2 Đẳng thức xảy ra khi f   x   x  , x  0  f  x    ln x  C . x 2 2 1 x 1 Mà f 1  1  C  . Vậy f  x    ln x  . 2 2 2 x2 1 f  x   ln x  5 2 2. KL: giá trị nhỏ nhất của f  2  bằng  ln 2 khi 2 Câu 11. Gọi x1 , x2 lần lượt là điểm cực đại và điểm cực tiểu của hàm số f  x   e2 x  t ln tdt . Tính ex S  x1  x2 . A. ln 2e . B. ln 2 . Chọn C Đặt g   t   t ln t . Ta có f  x   e2 x C.  ln 2 . Hướng dẫn giải 2x D. 0 .  t ln tdt  g  e   g  e  x ex Ta có f   x    e 2 x  . g   e2 x    e x  .g   e x   2e 2 x .e 2 x .ln e 2 x  e x .e x .ln e x  4 xe 4 x  xe 2 x  xe2 x  4e 2 x  1 .  x1  0 . f  x  0    x2   ln 2 x1  x2   ln 2 . Câu 12. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên 1;  thỏa mãn f 1  1 và f   x   3 x 2  2 x  5 trên 1;  . Tìm số nguyên dương lớn nhất m sao cho min f  x   m với mọi hàm số x3;10 y  f  x  thỏa điều kiện đề bài. A. m  15 . B. m  20 . C. m  25 . File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. m  30 . Trang 298 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng Hướng dẫn giải Chọn C Ta có: f   x   3 x 2  2 x  5 trên 1;  Do 3 x 2  2 x  5  0 , x  1;   nên f   x   0 , x  1;   . Do đó hàm số f  x  đồng biến trên 1;  . Suy ra min f  x   f  3 . x3;10 Ta lại có: 3  1 3 3 f   x  dx    3 x 2  2 x  5  dx  f  x  1   x 3  x 2  5 x  1 3 1  f  3  f 1  24  f  3  25 Vậy min f  x   25 . Hay m  25 . x3;10 x Câu 13. Xét hàm số F  x    f  t  dt trong đó hàm số y  f  t  có đồ thị như hình vẽ bên. Trong các 2 giá trị dưới đây, giá trị nào là lớn nhất? A. F 1 . B. F  2  . C. F  3 . Hướng dẫn giải Chọn B D. F  0  . x  Ta có F   x     f  t  dt   f  x  . 2  Xét trên đoạn  0;3 , ta thấy F   x   0  f  x   0  x  2 . Dựa vào đồ thị, ta thấy trên  0;2 hàm số F  x  đồng biến nên F  0   F  2  . Dựa vào đồ thị, ta thấy trên  2;3 hàm số F  x  nghịch biến nên F  3  F  2  . Vậy F  2  là giá trị lớn nhất. 1 Câu 14. Tìm giá trị nhỏ nhất của S   x 2  ax dx với a   0,1 0 A. 2 2 . 6 B. 2 1 . 3 2 2 . 3 Hướng dẫn giải C. Phá dấu trị tuyệt đối ta có 1 S 0 1 D. a 2 1 6 1   x 3 ax 2   x3 ax 2  2a 3  3a  2 x  ax dx     x  ax  dx    x  ax  dx          3 0  3 3 a 6  3 0 a 2 a 2 2  1  2 2 S min  f   6  2 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 299 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng b Câu 15. Cho a  b  ab  4 và a  b . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức I   x 2   a  b  x  ab dx a B. 12 . A. 4 3 . Ta có  a  b  3  I  36.a 4 2 2  4ab 36 C. 2 3 . 3    ab  4 2  4ab 36 D. 48 3 2    ab  2   12 3 123   48 36 36 I 4 3 b Câu 16. Tìm giá trị nhỏ nhất của I   x 2   2  m  x  2 dx trong đó a  b là hai nghiệm của phương a 2 trình x   2  m  x  2  0 A. 128 . 9 2 3  36a 4 I 8 2 . 3 B.  2  m   8  3  36 C. 8 . D. 2 2 128 8 2 I 9 3 1 Câu 17. Tìm giá trị nhỏ nhất của S   x 3  ax dx với a   0,1 0 A. 2 2 . 6 1 . 8 B. C. 1 . 4 D. a 1  a. x 2 x 4   x 4 a.x 2  S    a.x  x  dx    x  a.x  dx        4 0  4 2   2 0 a a 3 2 2 2 8 1 3 2 2 a 2 2 a a  1 a a a  1 1 1 1 S          a     2  2 2 8 8  2 4  4 2 4 b 2 Câu 18. Cho a  b  ab  4 và a  b . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức I    x  a   x  b  dx a A. 12. B. 0. b C. b 2 64 . 3 D. b 2 49 3 2 S     x  a   x  a    a  b   dx     x  a   x  a  dx   a  b    x  a  dx a S a 1 1 4 2  a  b    a  b   4ab 12 12  Câu 19. Cho  a  b 2 2   a 2  b2   4  và 2  a 1 2  ab  4   4ab 12   2  2 1 2  ab  2   12  12 12   a  b . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức b I   x 2   a  b  x  ab dx a A. 16 . 9 B. 2 2 9 . 16 C. 2  4   a  b    a 2  b2    a  b  1   a  b  I2  3   36a 4  a  b 2  4ab 36 3    a  b  36 2 3   2 4 . 3   a  b D. 3 4 2 43 4  36 3 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 300 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng a  b  0  a  1  Khi đó  2 2 2 2 b  1  a  b    a  b   4 2m Câu 20. Gọi a,b lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của S   x 3  4mx 2  5m 2 x  2m3 dx với m m  1;3 . Mệnh đề nào dưới đây đúng A. a  b  2m S 41 . 6 B. a  b  1 . C. a  b  2m 2 21 . 4 D. a  b  2 2m 2 2   x  m   x  2m  dx     x  m   x  2m  dx     x  m    x  m   m  dx m m m 2m    x  m  4 m  x  m 3  m4 S     x  m  dx+m   x  m  dx=       4 3 12 m m  m 41 Thay m  1;3 vào ta có a  b  6 Câu 21. m là tham số thuộc đoạn 1;3 . Gọi a, b lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của 2m 2m 3 2m 2   x  m   x  2m  P 2 2 dx . Tính a  b  m A. 31 . P B. 36 . 122 . 15 D. 121 4 m5  1 35  35  1 122  ;  T   30  30 30  30 15 Câu 22. Giá trị nhỏ nhất của P  2 m2  2  m dương và A. 7. a x 2  2  m 2  m  1 x  4  m3  m  dx là S  ; a, b nguyên b a tối giản. Tính T  a  b b B. 337. Ta có: P  Câu 23. C. 4  m2  m  1 3 3 C. 25. Hướng dẫn giải D. 91 3 4 3 9  .     T  9  16  25 3  4  16 1 1  2 A là tập các hàm số f lien tục trên đoạn  0;1 . Tìm m  min x . f x d x  x 2018 . f  x  dx       f A  0 0  1 1 2017 1 . B. . C. . D. A. 2019 16144 2018 16140 Hướng dẫn giải Biểu thức đã cho là tam thức bậc 2 ẩn là f  x  có hệ số a  x; b   x 2018 ; c  0  b x 2017 f x      2a 2  Nên biểu thức Min tại  1 1 1 4036  x 4035 1 m   dx   x dx   min    4a 4.x 4 x 4036 0 16144 0 0  File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 301 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 24. là A tập các hàm số Tích Phân và Ứng Dụng lien f tục trên  0;1 . đoạn Tìm 1  1  min    x. f 2  x  dx+  x 2013 . f  x  dx  M  f A  0 0  1 503 2012 1 A. . B. . C. . D. 2014 2014 2013 8.2013 Hướng dẫn giải Biểu thức đã cho là tam thức bậc 2 ẩn là f  x  có hệ số a   x; b    x2013 ; c  0  b x 2013 x 2012 f x       2a 2x 2  Nên biểu thức Max tại  1 1 1 4026 x 4026 1 M   dx  x dx   max    4a 4.x 4.4026 0 4.4026 0 0  Câu 25. Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  thỏa mãn f  x   f   x   1 , x   và f  0   0 . Tìm giá trị lớn nhất của f 1 A. 2e  1 . e e 1 . e B. Chọn B Ta có x   , C. e 1 . D. 2e  1 . Hướng dẫn giải f  x   f   x   1  e x f  x   e x f   x   e x   e x f  x     e x  1 1 1 1 e 1   e f  x   dx    e x  dx  e x f  x    e x  e. f 1  e  1  f 1  . 0 0 e x 0 0 e 1 . e A là tập các hàm số f lien tục trên đoạn  0;1 và nhận giá trị không âm trên đoạn  0;1 . Tìm Do đó giá trị lớn nhất của f 1 là Câu 26. m nhỏ nhất sao cho 1 f 2018 0 Đặt t x dx  m. f  x  dx f  A 0 B. 1. A. 2018 . 2018  1  x  dx  2018.t 2017 C. dt nên 1 f 0 2018 1 . 2018  1 x dx=2018. t D. 2017 0 2018 1 . f  t  .dt  2018 f  t  .dt 0 Tìm m nhỏ nhất nên m  2018 . Ta sẽ Cm m  2018 là số cần tìm. Xét f  x   x n ta có 1 1 2018  n  1 2018 m  m n  2018 n  1 n  2018 0 0 Cho n   ta có m  2018 . Vậy m  2018 là hằng số nhỏ nhất cần tìm Câu 27. Cho hàm số y  f  x  nhận giá trị dương và có đạo hàm f '  x  liên tục trên đoạn  0;1 thỏa x n / 2018 dx  m  x n d x  1 mãn f 1  2018. f  0  . Tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức M   0 A. ln 2018 . 1 2 B. 2ln 2018 . C. 2e . Hướng dẫn giải 1 1  f  x   2 2 dx    f '  x   dx 0 D. 2018e 1 1  1  1 f  x f  x ' M=    f  x   dx  2  ' dx  2  ' dx  2 ln f  x   2 ln 2018 0 f  x f  x f  x 0  0 0  File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 302 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng Câu 28. Cho hàm số y  f  x  nhận giá trị dương và có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 và thỏa mãn 2  f '  x  f 1  e. f  0   e;    dx  1 . Tìm mệnh đề đung f  x   0 1 1 1 A. f    e 2 . B. f    e . C. f    e . 2 2 2 Hướng dẫn giải 1 1 f '  x f 1 Ta có  dx= ln f  x   lnf 1  ln f  0   ln  ln e  1 0 f 0 0 f  x 1 1 1 D. f     2  2e 2 2 1   f '  x   f '  x    Nên   d x  1   1  0  f  x   dx  0 f  x   0    1 2 1  f '  x   2  f '  x  f '  x  f '  x   0  f  x    2. f  x   1dx  0  0  f  x   1 dx  0  f  x   1  0      1 Vậy: f  x   A.e x . f 1  e. f  0   e Mà 1 f  x   ex  f    e 2 Nên f '  x f  x f 1  e. f  0   e 1 f  x   ex  f    e 2 Câu 29. Cho hàm số y  f  x  nhận giá trị dương và có đạo hàm f '  x  liên tục trên đoạn  0;1 thỏa mãn f 1  e. f  0  . Biểu thức 1   f  x  0 2e A. f 1  . e 1 1 1  2  2 dx    f '  x   dx  2 . Mệnh đề nào đúng 2e 2 B. f 1  2 . e 1 0 C. f 1  Hướng dẫn giải 1 2 e  2 e 1 . D. f 1  2  e  2 e2  1 2  1  Viết lại biểu thức cho dưới dạng    f '  x   dx  0 . Dấu bằng xảy ra khi f  x 0   1 1  f '  x  0   f '  x    1dx   f  x  .d  f  x   f  x f  x f 2  x  xc   f  x  2 x  c 2  f  0   2c f 1 2  2c 1  e c 2 Thay x  0 vào ta có  f  0 e 1 2c  f 1  2  2c 1 2e 2  f  x   2x  2  f 1  2 e 1 e 1 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 303 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 2 Câu 30. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên  1;1 đồng thời thỏa mãn điều kiện f  x   1 với mọi x   1;1 và A.  1  f  x  dx  0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 1 2 B.  1 1 4 2 Ta đặt I   x f  x  dx  I  1 1 2  x f  x  dx ? 1 2 3 Hướng dẫn giải D. 1 C.  1  x 2  a  f  x  dx  1 1 x 2 1  a f  x  dx  1 x 2  a dx a   . 1 1 Do đó ta suy ra I  min  x 2  a dx . Đến đây ta chia bài toán thành 3 trường hợp như sau: a 1 1 1 2  2 Trường hợp 1: Nếu a  0 thì min  x 2  a dx  min   x 2  a  dx  min   2a   . a a 0 a0 3  3 1 1 1 1 2 4  Trường hợp 2: Nếu a  1 thì min  x 2  a dx  min   a  x 2  dx  min  2a    . a a 1 a 1 3 3  1 1 Trường hợp 3: a   0;1 Nếu thì 1 a 1  a  min  x 2  a dx  min    x 2  a  dx    a  x 2  dx    x 2  a  dx  a a 0;1   1  a a  1  1  x 3  a   x3 1  x3  a  min  x 2  a dx  min   ax    ax      ax   a a 0;1 3 a  3  3  1   a  1 1  8a a 1 2 1  min  x 2  a dx  min   2 a    khi và chỉ khi a  . a a0;1 4 3 2 1  3 1 Kết luận: Như vậy min  x 2  a dx  a 1 1 1 1 do đó I   min I   . 2 2 2 Câu 31. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên  0;1 đồng thời thỏa mãn f  x    8;8 với mọi x   0;1 và A. 2 1 1 0 0 B. 1 31 16 4 3 Hướng dẫn giải Ta đặt I   x f  x  dx khi đó: I  3a  3 0 1 3  xf  x  dx  3 . Tìm giá trị lớn nhất của  x f  x  dx ? C. 1 x 0 3 D. 17 8 1  ax  f  x  dx   x 3  ax f  x  dx 0 1 1    I  3a  8 x 3  ax dx a    I  3a  8 x 3  ax dx a    I  min  3a  8 x 3  ax dx  a 0 0 0   . a0 Trường hợp 1: Nếu khi đó 1 1     min  3a  8 x 3  ax dx   min  3a  8  x 3  ax  dx   min  2  a   2 a a 0 a 0 0 0     File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 304 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng a 1 Trường hợp 2: Nếu 1 1     min  3a  8 x3  ax dx   min  3a  8  ax  x3  dx   min  7 a  2   5 a a 1 a 1 0 0     Trường hợp 3: Nếu a   0;1 khi đó ta có đánh giá sau: khi đó 1 a 1     31 min  3a  8 x 3  ax dx   min  3a  8   ax  x 3  dx  8   x3  ax  dx   min  4a 2  a  2   a a0;1   a 0;1 16  0  0 a   1   31 31 Kết luận: Vậy min  3a  8 x3  ax dx    I  . Đẳng thức xảy ra khi a 16 0   16 1 31 3 a  ;I   3a  . 8 12 8 1 Câu 32. Cho hàm số y  f  x  dương và liên tục trên 1;3 thỏa mãn max f  x   2; min f  x   và 1;3 1;3 2 3 3 3 1 dx đạt giá trị lớn nhất. Khi đó tính  f  x  dx ? biểu thức S   f  x  dx  1 1 f  x 1 A. 7 2 Ta có: B. 5 2 7 5 Hướng dẫn giải C. D. 1 5 1  f  x   2   2 f  x   1  f  x   2   0  f  x    2 f  x 2 3 3 5  1 5    f  x   S   f  x  dx    f  x  dx  . Ta tìm được f  x 2 1 1 2  3 3 5 max S  25 4 khi 5  f  x  dx  2 . 1 Câu 33. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên  và f   x   x 4  Khẳng định nào sau đây đúng? A. Phương trình f  x   0 có 1 nghiệm trên  0;1 . 2  2 x x  0 và f 1  1 . x2 B. Phương trình f  x   0 có đúng 3 nghiệm trên  0;  . C. Phương trình f  x   0 có 1 nghiệm trên 1;2  . C. Phương trình f  x   0 có 1 nghiệm trên  2;5  . Hươngd dẫn giải Chọn C 2 3 2 x 6  2 x 3  2  x  1  1 4 f  x  x  2  2x    0 , x  0 . x x2 x2  y  f  x  đồng biến trên  0;  .  f  x   0 có nhiều nhất 1 nghiệm trên khoảng  0;  1 . Mặt khác ta có: 2 2 2 2 21   4 f   x   x  2  2 x  0 , x  0   f   x  dx    x 4  2  2 x  dx  x x 5  1 1 21 17  f  2   f 1   f 2  . 5 5 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 305 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng Kết hợp giả thiết ta có y  f  x  liên tục trên 1; 2 và f  2  . f 1  0  2  . Từ 1 và  2  suy ra phương trình f  x   0 có đúng 1 nghiệm trên khoảng 1; 2  . 2018 Câu 34. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 thỏa mãn 3 f  x   xf '  x   x với mọi x   0;1 . Giá trị nhỏ nhất của tích phân 1  f  x  dx bằng: 0 1 1 C. 2018  2021 2018  2019 Hướng dẫn giải 2018 2 3 2020 Ta có: 3 f  x   x. f '  x   x  3 x f  x   x f '  x   x A. 1 2021 2022 B. D. 1 2019  2021 t 2018   x 3 f  x    x 2020    x3 f  x   dx   x 2020 dx t   0;1  f  t   2021 0 0 t 1 t 1 x 2018 1 dx  . Giá trị nhỏ nhất của tích phân Khi đó   f  x  dx   2021 2019.2021 0 0 1 . 2019.2021 Câu 35. Cho hàm số f  x f   x   0 x  1;2 thỏa mãn , và 2 22 f 2  , tính I   f  x  dx . 15 1 71 6 A. P  . B. P  . 60 5 C. P  Hướng dẫn giải 1  f  x  dx là 0 3 2  f   x   7 f 1  1 , 1 x4 dx  375 . Biết 73 . 60 D. P  37 . 30 Chọn A +) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: 3 3  f   x    f   x  x 2 x 2 3 f  x x2 x2 3      3 . . x4 125 125 x4 125 125 25 3 2 2  f   x  3 f  x x2 Lấy tích phân hai vế BĐT trên ta có:   4  dx  2 dx   dx x 125 25 1 1 1 2 3 2 3 2  f   x   f   x  7 3 7    4  dx  2.   f  2   f 1     4  dx  . x 375 25 x 375 1 1 Kết hợp với giả thiết ta có dấu “  ” của BĐT trên xảy ra 3  f   x   3 x2 x6 x2 x3    f   x     f  x   f  x   C . x4 125 125 5 15 1 14 x 3  14  C  C   f 1  15 15 15 2 3 x  14 71 +) Ta có I   . dx  15 60 1 Mà f 1  1  1  Câu 36. Cho hàm số y  f  x  nhận giá trị không âm và liên tục trên đoạn  0;1 đồng thời ta đặt x g  x   1   f  t  dt . Biết g  x   f  x  với mọi x   0;1 . Tích phân 0 1 1  g  x dx có giá trị 0 lớn nhất bằng: File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 306 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. 1 3 Tích Phân và Ứng Dụng 2 2 Hướng dẫn giải B. 1 C. Đặt x F  x    f  t  dt  g  x   1  F  x   f  x  x   0;1  0 D. F x  F  x   1 1 2  1  0 x   0;1 2  F x  1   h t     1 dx  1  t  là hàm số đồng biến trên  0;1 do vậy ta có 2   F t  1   F x  1 0       đánh giá: t h  x   h  0  x   0;1  1  x  1 1  0  1  x x  0;1  F  x 1 F  x 1 1 1 1  g  x dx  2 0 . Câu 37. Cho hàm số y  f  x  nhận giá trị không âm và liên tục trên đoạn  0;1 đồng thời ta đặt x g  x   1  3 f  t  dt . Biết g  x   f 2  x  với mọi x   0;1 . Tích phân 0 lớn nhất bằng: 5 A. 2 B. 1  g  x  dx có giá trị D. 9 5 0 4 3 7 4 Hướng dẫn giải C. Đặt x F  x    f  t  dt  g  x   1  3F  x   f 2  x  x   0;1  0 F  x 3F  x   1  1  0 x   0;1  F x  2 2  h t      1  dx  3F  t   1  t  là hàm số nghịch biến trên  0;1 do   3 3 0  3F  x   1  vậy ta có: 2 2 h  x   h  0  x   0;1  3F  x   1  t   0 3 3 t  3F  x   1  3 x  1 x   0;1  2 1  g  x dx  0 7 4 Câu 38. Cho hàm số y  f  x  nhận giá trị không âm và liên tục trên đoạn  0;1 đồng thời ta đặt x2 2 g  x   1   f  t  dt . Biết g  x   2 xf  x  với mọi x   0;1 . Tích phân 0 lớn nhất bằng: A. 2 B. 3 C. 4 Hướng dẫn giải Đặt F x 2 x2 2 2  g  x dx có giá trị 0 D. 1 2 xf  x 2     f  t  dt  g  x   1  F  x   2 xf  x  x  0;1  1  F 0 1 2 x  File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay  1  0 x  0;1 Trang 307 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng  2 xf  x 2    dx  ln 1  F  t    t là hàm số nghịch biến trên  0;1 do vậy ta  h t      1 2   0 1 F  x   có: t h  x   h  0  x   0;1  ln 1  F  x    x  0  1  F  x   e x x   0;1  1  g  x dx  2 0 . Câu 39. Cho hàm số f  x  có đạo hàm dương, liên tục trên đoạn  0;1 thỏa mãn f  0   1 và 1 1 1 2 1  3  f   x   f  x     dx  2  9 0  0 3 5 A. . B. . 2 4 3 f   x  f  x  dx . Tính tích phân   f  x   dx : 0 5 . 6 Hươngd dẫn giải C. D. 7 . 6 Chọn D Từ giả thiết suy ra: 1 1  3 f  x f x 2  2.3 f  x f x  1 dx  0  3 f  x f x  1 2 dx  0 .          0  0        1 1 Suy ra 3 f   x  f  x   1  0  f   x  f  x    f   x  . f 2  x   . 3 9 1 1 Vì  f 3  x    3. f 2  x  f   x  nên suy ra  f 3  x     f 3  x   x  C . 3 3 3 Vì f  0   1 nên f  0   1  C  1 .   1 Vậy  f 3  x   x  1 . 3 1 1 3 7 1  Suy ra   f  x   dx    x  1 dx  . 3 6  0 0 Câu 40. Cho hàm số y  f  x  liên tục, không âm trên  thỏa mãn f  x  . f   x   2 x  f  x  2  1 và f  0   0 . Giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y  f  x  trên đoạn 1;3 lần lượt là A. M  20 ; m  2 . B. M  4 11 ; m  3 . C. M  20 ; m  2 . Chọn D Ta có f  x  . f   x   2 x D. M  3 11 ; m  3 . Hướng dẫn giải  f  x  Lấy nguyên hàm hai vế ta có 2 1   f  x  2 f  x. f  x 2  f  x  1  2x .  1  x 2  C , do f  0   0 nên C  1 . Vậy f  x   x 4  2 x 2  x x 2  2 trên đoạn 1;3 . x2  0 với mọi x  1;3 nên f  x  đồng biến trên 1;3 . x2  2 Vậy M  f  3  3 11 ; m  f 1  3 . Ta có f   x   x 2  2  File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 308 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng Câu 41. Cho hàm số y  f  x  nhận giá trị không âm và liên tục trên đoạn  0;1 đồng thời ta đặt x 3 g  x   1  2  f  t  dt . Biết g  x    f  x   với mọi x   0;1 . Tích phân 0 giá trị lớn nhất bằng: 5 A. 3 4 3 Hướng dẫn giải B. 4 1  0 3 2  g  x   dx có D. 5 C. x 3 Ta đặt F  x    f  t  dt khi đó g  x   1  2 F  x    f  x   x   0;1 . 0 f  x Do vậy 3 1  2F  x  F  x  1  0 x   0;1  3 1  2F  x   1  0 x   0;1 .  F x  3  1 dx  3 1  2 F  t  Xét hàm số: h  t     3  4 0  1 2F  x  biến trên  0;1 t  h  t   h  0  t   0;1  Do đó:  3 g  x  3 4  3 1  2F t   2 t  3 0 4  1 2  3  2 t  3 t   0;1 là hàm nghịch 4 cho 1  2F t   2 nên 4  t  1 t  0;1 . 3 1 1 2 4 4  x  1 x   0;1   3  g  x   dx    x  1dx  3 3  0 0 . Chọn A Câu 42. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  0; 1 thỏa mãn 1  xf  x  dx  0 và 0  3 0 2 5  g  x   dx  3 max f  x   1. Tích [0; 1] 1 phân I   e x f  x  dx thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây? 0 5  A.  ;   . 4  Hươngd dẫn giải Chọn C 3  B.  ; e  1  . 2   5 3 C.   ;  .  4 2 1 1 1 0 0 0 D.  e  1;    . Với mọi a   0;1 , ta có 0   xf  x  dx  a  xf  x  dx   axf  x  dx 1 Kí hiệu I  a     e x  ax  dx . 0 Khi đó, 1   e x 0 Suy ra với mọi a   0;1 ta có 1 1 0 0 1 1 0 0 1 x x  e f  x  dx   e f  x  dx   axf  x  dx 0 1  ax  f  x  dx   e x  ax . f  x  dx   e x  ax .max f  x  dx   e x  ax dx  I  a  . x0;1 0 1 I a  e f  x  dx  min   x 0 a 0;1 Mặt khác File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 309 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 1 Tích Phân và Ứng Dụng 1 1 a  a  Với mọi a   0;1 ta có I  a    e  ax dx    e  ax  dx   e x  x 2   e   1 2 0 2  0 0 x min I  a   e  a 0;1 x 1 3 3   e x f  x  dx  e   1, 22 . 2 2 0  5 3 Vậy I    ;  .  4 2 1 Câu 43. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn  0;1 thoả mãn x 2 f  x  dx  0 và max f  x   6. [0;1] 0 1 Giá trị lớn nhất của tích phân x3 f  x  dx bằng 0 1 A. . 8 B.  3 2 3 4 4 . 2 3 4 . 16 Hướng dẫn giải Chọn B Cách 1: Ta có f  x   6, x   0;1 . 1 1 D. C. 1 1 1 . 24 1 Xét I   3 2 6 x3dx   1 6 x 3dx   x 3 f  x  dx   3 2 x 3  6  f  x   dx   1 x 3  6  f  x   dx . 0 3 Suy ra I   3 2 2 3  1 2 3 1 3 2 0  0 2 0 x 2  6  f  x   dx  1 2 3  1 1 3 2 3 2 x 2  6  f  x   dx 3 1 3 1 1 1   x f  x  d x  3  3 2 6 x 2 dx  3 0 0 2 2 2  1 1 3 2 6 x 2 dx   1 2 3  1 0 x 2 f  x  dx .  3 2 3 4 1 3 1 3 3  3    x f  x  dx  0   x f  x  dx  . 0 4 2 2 2 0 Cách 2: 3 1 Ta có với mọi số thực a   thì  ax 2 f  x  dx  0 do đó: 0 1 1 3  x f  x  dx    x 0 Do đó: 3  ax 2 0 1 1  f  x  dx   x  ax 2 0 1 3  x f  x  dx  min 6 x a 0 3 0 3 1 f  x  dx  6  x3  ax 2 dx a   0  ax 2 dx  min g  a  . Tới đây ta chia các trường hợp sau: a 3 2 2 Trường hợp 1: Nếu a  0 thì x  ax  x  x  a   0 x   0;1 . Khi đó: 1 1 3 1 a g  a   6  x3  ax 2 dx  6 x 3  ax 2 dx  6     min g  a   a 0 2 4 3 0 0 3 2 2 Trường hợp 2: Nếu a  1 thì x  ax  x  x  a   0 x   0;1 . Khi đó: 1 1 1 a 1 g  a   6  x  ax dx  6 ax 2  x 3dx  6     min g  a   a  1 2 3 4 0 0 3 2 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 310 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Trường hợp 3: Tích Phân và Ứng Dụng 1 a 1 0 0 a f  a   6 x 3  ax 2 dx  6  ax 2  x 3dx   x 3  ax 2 dx  Ta tìm min g  a   a Do 1  4 a  vậy . vậy: 3  x f  x  dx  min g  a    x f  x  dx  0 2a 4  4a  3 . 2  1 3 thì 3  2a 4  4 a  3  3 2  4 1 3 min g  a   min      a 0;1 a 0;1 2 4 2 2   được 3 2 3 4 a   0;1 Nếu 0  3 2 3 4 4   max 0;1 1 3  x f  x  dx  0 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay  3 2 3 4  4 Trang 311 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A BÀI TẬP Tích Phân và Ứng Dụng TÍCH PHÂN CỦA HÀM ẨN DẠNG 1: ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT NGUYÊN HÀM 1 f x  1 f 0  2017 f  2   2018 Câu 1: Cho hàm số   xác định trên thỏa mãn f   x   ,   , x 1 S  f  3   f   1 . Tính . A. S  1 . B. S  ln 2 . C. S  ln 4035 . D. S  4 . 2 1  Câu 2: Cho hàm số f  x  xác định trên    thỏa mãn f   x   và f  0   1 . Giá trị của 2x 1 2 biểu thức f   1  f  3  bằng B. 3  ln15 . C. 2  ln15 . D. ln15 . A. 4  ln15 . 1 2   Câu 3: Cho hàm số f ( x) xác định trên    thỏa mãn f ( x )  , f (0)  1 và f (1)  2 . Giá 2x 1 2 trị của biểu thức f ( 1)  f (3) bằng B. 2  ln15 . C. 3  ln15 . D. ln15. A. 4  ln 5 . Câu 4: Cho hàm số f  x  xác định trên  thỏa mãn f   x   2 x  1 và f 1  5 . Phương trình f  x   5 có hai nghiệm x1 , x2 . Tính tổng S  log 2 x1  log 2 x2 . A. S  1 . Câu 5: Câu 6: Câu 7: Câu 8: Câu 9: B. S  2 . C. S  0 . D. S  4 . 3  2 1  Cho hàm số f ( x) xác định trên    thỏa mãn f   x   , f  0   1 và f    2 . 3x  1  3 3  Giá trị của biểu thức f   1  f  3  bằng A. 3  5ln 2 . B. 2  5ln 2 . C. 4  5ln 2 . D. 2  5ln 2 . 4 f x   2; 2 f 0 1 Cho hàm số   xác định trên và thỏa mãn f   x   2 ; f  3  0 ;   x 4 f 3  2 P  f   4   f   1  f  4  và . Tính giá trị biểu thức . 3 5 5 A. P  3  ln . B. P  3  ln 3 . C. P  2  ln . D. P  2  ln . 25 3 3 1 Cho hàm số f  x  xác định trên   2;1 thỏa mãn f   x   2 ; f  3   f  3   0 x  x2 1 và f  0   . Giá trị của biểu thức f   4   f   1  f  4  bằng 3 1 1 1 4 1 8 A.  ln 2 . B. 1  ln 80 . C. 1  ln 2  ln . D. 1  ln . 3 3 3 5 3 5 1 Cho hàm số f  x  xác định trên   1;1 và thỏa mãn f   x   2 ; f  3   f  3   0 x 1  1 1 và f     f    2 . Tính giá trị của biểu thức P  f  0   f  4  .  2 2 3 3 1 3 1 3 A. P  2  ln . B. P  1  ln . C. P  1  ln . D. P  ln . 5 5 2 5 2 5 1 Cho hàm số f  x  xác định trên   1 thỏa mãn f   x   2 . Biết f  3   f  3   0 x 1  1 1 và f     f    2 . Giá trị T  f  2   f  0   f  4  bằng:  2 2 1 5 1 9 1 9 1 9 A. T  2  ln . B. T  1  ln . C. T  3  ln . D. T  ln . 2 9 2 5 2 5 2 5 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 312 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng Câu 10: Cho hàm số f  x  nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên  0;   thỏa mãn f  2   và f   x    2 x  4  f 2  x   0 . Tính f 1  f  2   f  3  . 1 15 7 11 11 7 . B. . C. . D. . 15 15 30 30 Câu 11: Cho hàm số f  x  xác định và liên tục trên  . Biết f 6  x  . f   x   12 x  13 và f  0   2 . A. Khi đó phương trình f  x   3 có bao nhiêu nghiệm? A. 2 . B. 3 . C. 7 . D. 1. Câu 12: Cho hàm số f  x  xác định trên  thỏa mãn f   x   e x  e x  2 , f  0   5 và  1 f  ln   0 . Giá trị của biểu thức S  f   ln16   f  ln 4  bằng  4 31 9 5 A. S  . B. S  . C. S  . D. f  0  . f  2   1 . 2 2 2   Câu 13: Cho hàm số f  x  liên tục, không âm trên đoạn  0;  , thỏa mãn f  0   3 và  2   f  x  . f   x   cos x. 1  f 2  x  , x   0;  . Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M  2    của hàm số f  x  trên đoạn  ;  . 6 2 21 5 A. m  , M  2 2 . B. m  , M  3 . 2 2 5 C. m  , M  3 . D. m  3 , M  2 2 . 2 Câu 14: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  và thỏa mãn f  x   0 , x   . Biết f  0   1 f ' x  2  2 x . Tìm các giá trị thực của tham số m để phương trình f  x   m có hai f  x nghiệm thực phân biệt. A. m  e . B. 0  m  1 . C. 0  m  e . D. 1  m  e . Câu 15: Cho hàm số f  x  liên tục trên  và f  x   0 với mọi x   . f   x    2 x  1 f 2  x  và và f 1  0, 5 . Biết rằng tổng f 1  f  2   f  3  ...  f  2017   tối giản. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. a  b  1 . B. a    2017; 2017  . C. Câu 16: Cho hàm số f  x   0 thỏa mãn điều kiện f f 1  f  2   ...  f  2017   f  2018   đề nào sau đây đúng? a A.  1 . b C. a  b  1010 . ' a a ;  a   , b    với b b a  1 . b  x    2 x  3. f 2  x  D. b  a  4035 . và f  0   1 . Biết tổng 2 a a với a  , b  * và là phân số tối giản. Mệnh b b a 1. b D. b  a  3029 . B. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 313 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng  f   x  . f  x   2  f   x   2  xf 3  x   0   Câu 17: Cho hàm số y  f  x  , x  0 , thỏa mãn  . Tính  f   0   0; f  0   1 f 1 . A. 2 . 3 B. 3 . 2 C. 6 . 7 D. Câu 18: Giả sử hàm số f ( x) liên tục, dương trên  ; thỏa mãn f  0   1 và 7 . 6 f  x x  2 . Khi đó f  x x 1 hiệu T  f 2 2  2 f 1 thuộc khoảng   A.  2;3  . Câu 19: Khi đó  4  0  0;   ; B.  7;9  . C.  0;1 . 1 f  tan t  dt   f  x  dx . Vậy cos 2t 0 D.  9;12  . 1  f  x  dx  6 .Cho hàm số y  f  x  đồng biến trên 0 y  f  x  liên tục, nhận giá trị dương trên  0;   và thỏa mãn f  3   2 2 và 3  f '  x     x  1 . f  x  . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. 2613  f 2  8   2614 . B. 2614  f 2  8   2615 . C. 2618  f 2  8   2619 . D. 2616  f 2  8   2617 . Câu 20: Giả sử hàm số y  f  x  liên tục, nhận giá trị dương trên  0;   và thỏa mãn f 1  1 , f  x   f   x  3 x  1 , với mọi x  0 . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 4  f  5   5 . B. 2  f  5   3 . C. 3  f  5   4 . D. 1  f  5   2 . Câu 21: Cho hàm số 2 thỏa mãn  f   x    f  x  . f   x   15 x 4  12 x , f  0   f   0   1 . Giá trị của f 2 1 bằng A. f  x 9 . 2 B. 5 . 2 C. 10 . Câu 22: Cho hàm số f  x  liên tục trên  và thỏa mãn f   x 1 x 1 x   và D. 8 .  dx  2  x 1  3 x5   C . Nguyên hàm của hàm số f  2 x  trên tập  là:  A. x3 C . 2  x2  4 B. x3 C . x2  4 C. 2x  3 C . 4  x 2  1 D. 2x  3 C. 8  x 2  1 DẠNG 2: ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT, GIẢI HỆ TÍCH PHÂN Câu 23: Cho 5  2 2 f  x  dx  10 . Kết quả   2  4 f  x   dx bằng: 5 A. 34 . Câu 24: Cho hàm số B. 36 . f  x liên tục trên  và C. 40 . F x là nguyên hàm của D. 32 . f  x , biết 9  f  x  dx  9 và 0 F 0  3 . Tính A. F  9   6 . F 9 . B. F  9   6 . C. F  9   12 . File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. F  9   12 . Trang 314 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 2 2 I   f  x  dx  3 Câu 25: Cho A. 2 . . Khi đó B. 6 . 0 4  f  x  dx  10 Câu 26: Cho 2 A. I  5 . 2 B. I  15 .  Câu 28: Nếu A. 2 . 1 5 ,  và B. I  58 . 9 2 2 Câu 29: Cho A. 1. B. 2 . 3  f  x  dx  1 5 thì  f  x  dx  2 và 1 I   3 f  x   5 g  x   dx . Tính  g  x  dx  16 f  x  dx  1 2 B. 3 . D. 4 . 4 2 C. I  5 . 0 0 f  x  dx  3 bằng: C. 8 . 0  g  x  dx  5 và  f  x  dx  37 2 J    4 f  x   3 dx 4 9 Câu 27: Giả sử A. I  26 . Tích Phân và Ứng Dụng D. I  10 . 9 I    2 f  x   3g ( x)  dx 0 . Khi đó, C. I  143 . bằng: D. I  122 .  f  x  dx bằng C. 3 . 1 D. 4 . 3  f  x  dx . Giá trị của 1 C. 1 . Câu 30: Cho hàm số f  x  liên tục trên đoạn  0;10  và 10 bằng  f  x  dx  7 D. 3 . 6 và  f  x  dx  3 . 2 10 0 6 Tính 2 0 P   f  x  dx   f  x  dx . A. P  7 . B. P  4 . 1 Câu 31: Cho  f  x  dx  2 0 , A. 6 .  f  x  dx  4 , khi đó B. 2 . Câu 32: Cho hàm số f  x  liên tục trên  và có A. I  8 . 2 Câu 33: Cho  f  x  dx  2 1 11 A. I  . 2 8 Câu 34: Biết A. C.  f  x  dx  2 1 8  f  x  dx  2 1 2 và 4 ;   g  x  dx  1 1 7 B. I  . 2 1 4 0 1  4 ; f  x  dx  2 ; . Tính 0 D. I  4 . I    x  2 f  x   3 g  x   dx 1 17 C. I  . 2  g  x  dx  7 1 bằng 5 D. I  . 2 . Mệnh đề nào sau đây sai? D. f  x 3 f  x  dx  6 . Tính I   f  x  dx . 2  f  x  dx  5 . Câu 35: Cho hàm số  D. 3 . C. I  36 . B.   f  x   g  x   dx  10 . 4 3 1  f  x  dx  1 . 4 8 D. P  10 . ? C. 1. 0 B. I  12 . f  x  dx  3 C. P  4 . 2 1 4  4 f  x   2 g  x  dx  2 . 1 có f  x liên tục trên đoạn  1;3 , f  1  3 và 3  f ( x) dx  10 giá trị 1 f 3 của   bằng A. 13 . B. 7 . C. 13 . File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. 7 . Trang 315 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 2  f  x  dx  3 Câu 36: Cho A. 4 . 0 Tích Phân và Ứng Dụng 2 . Tính   f  x   1 dx 0 B. 5 . ? D. 1. C. 7 . 2 Câu 37: Cho y  f  x  , y  g  x  là các hàm số có đạo hàm liên tục trên  0; 2  và 2 , 2 0 g  x  . f   x  dx  2   g  x  . f  x  dx  3 . Tính tích phân I    f  x  .g  x  dx . 0 A. I  1 . Câu 38: Cho hai tích phân 0 B. I  6 . 5  f  x  dx  8 2 A. I  11 . 2 và  g  x  dx  3 5 B. I  13 . D. I  1 . C. I  5 . . Tính I  C. I  27 . 5   f  x   4 g  x   1 dx . 2 D. I  3 . 1 Câu 39: Cho hàm số f  x   x 4  4 x 3  2 x 2  x  1 , x   . Tính  f 2  x  . f   x  dx . 0 A. 2 . 3 2 C.  . 3 B. 2 . 6 Câu 40: Cho hàm số f  x  liên tục trên đoạn [0; 6] thỏa mãn D. 2 . 4 f  x  dx  10 và   f  x  dx  6 . Tính 2 0 2 6 0 4 giá trị của biểu thức P   f  x  dx   f  x  dx . A. P  4 .` B. P  16 . C. P  8 . D. P  10 . 1 Câu 41: Cho hàm số f  x  liên tục trên đoạn [0; 1] và có  3  2 f  x   dx  5 . Tính A. 1 . 0 B. 2. C. 1. Câu 42: Cho hai hàm số f  x  và g  x  liên tục trên đoạn [0; 1], có 1  f  x  dx . 0 D. 2 . 1 1  f  x  dx  4 và  g  x  dx  2 0 0 . Tính tích phân I    f  x   3 g  x   dx . A. 10 . B. 10 . C. 2. D. 2 . 1 Câu 43: Cho hàm số f  x   ln x  x 2  1 . Tính tích phân I   f '  x  dx . 0 A. I  ln 2 . B. I  ln 1  2 .   C. I  ln 2 D. I  2ln 2 Câu 44: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn [1; ln3] và thỏa mãn f 1  e 2 , ln 3  f '  x  dx  9  e 2 . Tính I  f  ln 3  . 1 A. I  9  2e 2 . B. I  9 . C. I  9 . D. I  2e 2  9 . Câu 45: Cho hai hàm số y  f  x  và y  g  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 1] và thỏa mãn 1  0 f '  x  .g  x  dx  1 , A. I  2 . 1  0 1 / f  x  .g '  x  dx  1 . Tính I    f  x  .g  x  dx . B. I  0 . 0 C. I  3 . File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. I  2 . Trang 316 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 46: Cho hàm số f  x  liên tục trên  0;   và thỏa Tích Phân và Ứng Dụng x2  f  t  dt  x.cos  x . Tính f  4  . 0 2 B. f  4   . 3 A. f  4   123 . Câu 47: Cho hàm số f  x  thỏa mãn f  x  C. f  4   3 . 4 D. f  4   1 . 4 t 2 .dt  x.cos  x . Tính f  4  . 0 A. f  4   2 3 . B. f  4    1 . C. f  4   1 . 2 D. f  4   3 12 . x   Câu 48: Cho hàm số G  x    t.cos  x  t  .dt . Tính G '   . 2 0       B. G '    1 . A. G '    1 . C. G '    0 . 2 2 2   D. G '    2 . 2 x2 Câu 49: Cho hàm số G  x    cos t .dt ( x  0 ). Tính G '  x  . 0 B. G '  x   2 x.cos x . C. G '  x   cos x . A. G '  x   x .cos x . 2 D. G '  x   cos x  1 . x Câu 50: Cho hàm số G  x    1  t 2 dt . Tính G '  x  . 1 A. x 1 x 2 B. 1  x 2 . . Câu 51: Cho hàm số F  x   x 2  sin t .dt 1 B. A. sin x . 1 C. 1 x 2 D.  x 2  1 x 2  1 . . ( x  0 ). Tính F '  x  . sin x . 2 x C. 2sin x . x D. sin x . x Câu 52: Tính đạo hàm của f  x  , biết f  x  thỏa  t.e f  t  dt  e f  x  . 0 A. f '  x   x . Câu 53: Cho hàm số B. f '  x   x 2  1 . y  f  x C. f '  x   0;    liên tục trên  và 1 . x D. f '  x   x2  f  t  dt  x.sin  x  . Tính 1 . 1 x f 4 0   A. f    . 4 Câu 54: Cho hàm số f  x  B. f    . 2 liên tục trên khoảng 2  2; 3  . Tính khoảng A. I  6 . 2 Câu 55: Cho  f  x  dx  2 1 A. I  2 Câu 56: Cho 11 . 2 2 và B. I  10 .  g  x  dx  1 1 B. I   3 f  x   2 g  x  dx  1 1  2; 3  . Gọi F  x  I    f  x   2 x  dx 1 7 . 2 2 , C. f    , biết D. f    là một nguyên hàm của F   1  1 C. I  3 . và . Tính 1 . 2 f  x trên F 2  4 . D. I  9 . 2 I    x  2 f  x   3 g  x   dx 1 C. I  17 . 2  2 f  x   g  x   dx  3 1  . 4 . Khi đó, D. I  2  f  x  dx 1 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay 5 . 2 bằng Trang 317 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 11 5 6 16 . B.  . C. . D. . 7 7 7 7 Câu 57: Cho f  x  , g  x  là hai hàm số liên tục trên đoạn  1;1 và f  x  là hàm số chẵn, g  x  là A. hàm số lẻ. Biết 1  0 A. C. 1 f  x  dx  5 ;  g  x  dx  7 . Mệnh đề nào sau đây là sai? 0 1 1 B.  f  x  dx  10 . 1 1   f  x   g  x  dx  10 . 1 D.   f  x   g  x  dx  10 . 1 1  g  x  dx  14 . 1 Câu 58: Cho f  x  , g  x  là hai hàm số liên tục trên đoạn  1;1 và f  x  là hàm số chẵn, g  x  là hàm số lẻ. Biết 1  f  x  dx  5 ; 0 A. C. 1  g  x  dx  7 . Mệnh đề nào sau đây là sai? 0 1 1 B.  f  x  dx  10 . 1 1   f  x   g  x  dx  10 . 1 D.   f  x   g  x  dx  10 . 1 10  f  z  dz  17 Câu 59: Nếu A. 15 . 0 8 và 2 7  f  t  dt  12 0 B. 29 .  f  x  dx  2  f  t  dt  9 Câu 60: Cho A. 11 . , 1 1 B. 5 .  g  x  dx  14 . 1 10 thì 1  3 f  x  dx 8 7 . Giá trị của bằng C. 15 .  f  z  dz 2 C. 7 . D. 5 . là 3 D. 9 . Câu 61: Cho hàm số y  f  x  liên tục, luôn dương trên  0;3 và thỏa mãn I   f  x  dx  4 . Khi đó 0 3  1 ln  f  x   giá trị của tích phân K   e 0   4 dx là: A. 4  12e . B. 12  4e . C. 3e  14 . Câu 62: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên  thỏa D. 14  3e .  f  0   f   0   1; .   f  x  y   f  x   f  y   3xy  x  y   1, x,y   Tính 1  f  x  1dx . 0 A. 1 . 2 1 B.  . 4 Câu 63: Cho hàm số f  x  là hàm bậc nhất thỏa mãn C. 1 1 . 4   x  1 f   x  dx  10 D. 7 . 4 và 2 f 1  f  0   2 . 0 1 Tính I   f  x  dx . A. I  1 . 0 B. I  8 . C. I  12 . File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. I  8 . Trang 318 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 64: Cho hàm số f  x xác định trên  0 , thỏa mãn f   x   Tích Phân và Ứng Dụng 1 f 1 a f 2  b ,   và   5 x x 3 f 1  f  2  . Tính   . A. f   1  f  2    a  b . B. f  1  f  2   a  b . C. f  1  f  2   a  b . D. f  1  f  2   b  a . Câu 65: Cho hàm số f  x xác định trên  0 và thỏa mãn f   x   1 f 1  a f  2   b ,   , 4 x x 2 f 1  f  2  . Giá trị của biểu thức   bằng B. a  b . C. a  b . D. a  b . A. b  a .  Câu 66: Cho hàm số y  f  x  xác định và liên tục trên thỏa mãn đồng thời các điều kiện f  x   0 1 . Tính giá trị của f  ln 2  . 2 2 1 C. f  ln 2   . D. f  ln 2   . 3 3 định và liên tục trên  thỏa mãn đồng thời các , x   ; f   x    e x . f 2  x  , x   và f  0   2 2 . B. f  ln 2    . 9 9 Câu 67: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị  C  , xác A. f  ln 2   2 điều kiện f  x   0 x   , f   x    x. f  x   , x   và f  0   2 . Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x  1 của đồ thị  C  là. A. y  6 x  30 . B. y  6 x  30 . C. y  36 x  30 . Câu 68: Cho hàm số y  f  x   0 xác định, có đạo hàm trên đoạn x 1 g  x   1  2018 f  t  dt , g  x   f 2  x  . Tính  1011 A. . 2 C. 0 1009 B. . 2 D. y  36 x  42 .  0;1 và thỏa mãn: g  x dx . 0 2019 . D. 505 . 2 y  f  x 1;1 f x  0, x   Câu 69: Cho hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn  , thỏa mãn   f ' x  2 f  x  0 f 1 1 f 1 và   . Biết   , tính   . A. f  1  e 2 . B. f   1  e 3 . C. f   1  e 4 . D. f   1  3 . Câu 70: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 đồng thời thỏa mãn f   0   9 và 2 9 f   x    f   x   x   9 . Tính T  f 1  f  0  . 1  9 ln 2 . D. T  2  9ln 2 . 2 y  f  x f ' x . f x  x4  x2 f 0 2 f 2 2 Câu 71: Cho hàm số thỏa mãn     . Biết   . Tính . 313 332 324 323 A. f 2  2   . B. f 2  2   . C. f 2  2   . D. f 2  2   . 15 15 15 15 Câu 72: Cho f ( x) xác định, có đạo hàm, liên tục và đồng biến trên 1; 4  thỏa mãn A. T  2  9ln 2 . B. T  9 . 2 C. T  x  2 xf  x    f   x   , x  1; 4 , f 1  A. 391 18 Câu 73: Cho hàm số B. y  f  x 3 f  x   f   x   1  3.e 2 x 361 18 có f  x 3 . Giá trị f  4  bằng: 2 381 C. 18 liên tục trên nửa khoảng 371 18 0;   D. thỏa mãn . Khi đó: File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 319 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. e3 f 1  f  0   3 C. e f 1  f  0  1 2 e 3 e  2  1 . 2  3 e 2  3  8 3 Tích Phân và Ứng Dụng B. e3 f 1  f  0   1 2 2 e 3  1 . 4 D. e3 f 1  f  0    e 2  3  e 2  3  8 . . Câu 74: Cho hàm số f liên tục, f  x   1 , f  0   0 và thỏa f   x  x 2  1  2 x f  x   1 . Tính f  3 . A. 0 . B. 3 . C. 7 . D. 9 . 1 Câu 75: Cho hàm số f  x   0 thỏa mãn điều kiện f   x    2 x  3  f 2  x  và f  0    . Biết rằng 2 a a là phân số tổng f 1  f  2   f  3  ...  f  2017   f  2018   với  a  , b  *  và b b tối giản. Mệnh đề nào sau đây đúng? a a A.  1 . B.  1 . C. a  b  1010 . D. b  a  3029 . b b ax  b Câu 76: Biết luôn có hai số a và b để F  x    4a  b  0  là nguyên hàm của hàm số f  x  x4 và thỏa mãn: 2 f 2  x    F  x   1 f   x  . Khẳng định nào dưới đây đúng và đầy đủ nhất? A. a  1 , b  4 . B. a  1 , b  1 . C. a  1 , b   4 . D. a   , b   . y  f  x 1; 2 f 1  4 Câu 77: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên   thỏa mãn và 3 2 f  x   xf   x   2 x  3 x f 2 . Tính   A. 5 . B. 20 . C. 10 . D. 15 . x    Câu 78: Cho f  x   trên   ;  và F  x  là một nguyên hàm của xf   x  thỏa mãn 2 cos x  2 2    F  0   0 . Biết a    ;  thỏa mãn tan a  3 . Tính F  a   10 a 2  3a .  2 2 1 1 1 A.  ln10 . B.  ln10 . C. ln10 . D. ln10 . 2 4 2 Câu 79: Cho hàm số y  f  x  xác định và liên tục trên  thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau f  x   0 , x   , f   x    e x . f 2  x  x   và f  0   1 . Phương trình tiếp tuyến của 2 đồ thị tại điểm có hoành độ x0  ln 2 là A. 2 x  9 y  2 ln 2  3  0 . B. 2 x  9 y  2 ln 2  3  0 . C. 2 x  9 y  2 ln 2  3  0 . D. 2 x  9 y  2 ln 2  3  0 . Câu 80: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 , f  x  và f   x  đều nhận giá trị 1 1 2 dương trên đoạn  0;1 và thỏa mãn f  0   2 ,   f   x  .  f  x    1 dx  2    0 0 1 f   x  . f  x  dx 3 . Tính   f  x   dx . 0 A. 15 . 4 B. 15 . 2 C. 17 . 2 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. 19 . 2 Trang 320 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng Câu 81: Cho f ( x) không âm thỏa mãn điều kiện f ( x). f '( x )  2 x f 2 ( x)  1 và f (0)  0 . Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y  f ( x ) trên 1;3 là A. 22 B. 4 11  3 C. 20  2 D. 3 11  3 Câu 82: Cho hàm số f  x  có đạo hàm và đồng biến trên  thỏa mãn f  0   1 và 2  f   x    e x f  x  , x   . Tính tích phân 1  f  x  dx bằng 0 A. e  2 . B. e  1 . C. e 2  2 . D. e2  1 . y  f  x  0 thỏa Câu 83: Cho hàm số xác định và liên tục trên 2 2 2 x f  x    2 x  1 f  x   xf   x   1 x   0 f 1  2 với và   . Tính  f  x  dx . 1 A.   ln 2 . 2 Câu 84: Cho hàm số 3 ln 2 B.   ln 2 . C. 1  . 2 2 y  f  x  . Có đạo hàm liên tục trên mãn 1 3 ln 2 D.   . 2 2  . Biết f 1  e và  x  2  f  x   xf   x   x 3 , x   . Tính f  2  . B. 4e2  2e  1 . C. 2e3  2e  2 . D. 4e 2  4e  4 . A. 4e 2  4e  4 . Câu 85: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 và thỏa mãn f  0   0 . Biết 1  f 2  x  dx  0 9 và 2 1  1 x 3 dx  . Tích phân  f  x  dx bằng 2 4 0 4 6 2 B. . C. . D. .    f   x  cos 0 1 A. .  Câu 86: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn  0; 1 , thỏa mãn 1  0 1   f  x  0 2 1 1 f  x  dx   xf  x  dx  1 và 0 3 dx  4 . Giá trị của tích phân   f  x   dx bằng 0 A. 1. B. 8 . C. 10 . D. 80 . Câu 87: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn [1, 2] và thỏa mãn f  x   0 khi x  1, 2  . Biết 2  f '  x  dx  10 và 1 2 f' x    f  x  dx  ln 2 . Tính f  2  . 1 A. f  2   10 . B. f  2   20 . C. f  2   10 . D. f  2   20 . Câu 88: Cho hàm số f  x  có đạo hàm và liên tục trên đoạn  4;8 và f  0   0 với  x   4;8 . Biết 8 2  f   x   1 1 rằng   dx  1 và f  4   , f  8   . Tính f  6  . 4 4 2 4   f  x   5 2 3 1 . B. . C. . D. . 8 3 8 3 Câu 89: Cho hàm số f  x  có đạo hàm xác định, liên tục trên đoạn  0;1 đồng thời thỏa mãn các điều A. 2 kiện f   0    1 và  f   x    f   x  . Đặt T  f 1  f  0  , hãy chọn khẳng định đúng? A. 2  T  1 . B. 1  T  0 . C. 0  T  1 . D. 1  T  2 . File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 321 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng  f  x   0,  x ,  Câu 90: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm cấp 2 liên tục trên  thoả  f  0   f   0   1, .  2 2  xy  y   yy,  x  . Mệnh đề nào sau đây đúng? 1 1 3 3 A.  ln f 1  1 . B. 0  ln f 1  . C.  ln f 1  2 . D. 1  ln f 1  . 2 2 2 2 Câu 91: Cho f , g là hai hàm liên tục trên 1;3 thỏa mãn điều kiện 3   f  x   3g  x  dx  10 đồng 1 thời 3 3  2 f  x   g  x  dx  6 . Tính   f  x   g  x  dx . 1 A. 9 . 1 B. 6 . C. 7 . Câu 92: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  a; b  , nếu ) thì D. 8 . d d a b  f  x  dx  5 và  f  x  dx  2 (với a  d  b b  f  x  dx bằng. a 5 . 2 Câu 93: Cho f  x  và g  x  là hai hàm số liên tục trên đoạn 1;3 , thỏa mãn: A. 3 . 3 B. 7 .   f  x   3g  x  dx  10 và 1 C. 3 3 1 1 D. 10 .  2 f  x   g  x  dx  6 . Tính I    f  x   g  x   dx A. I  8 . B. I  9 . C. I  6 . D. I  7 . Câu 94: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f   x  liên tục trên đoạn  0;5 và đồ thị hàm số y  f   x  trên đoạn  0;5 được cho như hình bên. y 1 O 3 5 x 5 Tìm mệnh đề đúng A. f  0   f  5   f  3  . B. f  3   f  0   f  5  . C. f  3   f  0   f  5  . D. f  3   f  5   f  0  . Câu 95: Cho hàm số f  x  liên tục và có đạo hàm tại mọi x   0;   đồng thời thỏa mãn điều kiện: f  x   x  sin x  f '  x    cos x và nào? A.  6; 7  . 3 2  f  x  sin xdx  4. Khi đó, f   nằm trong khoảng  2 B.  5; 6  . C. 12;13  . File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. 11;12  . Trang 322 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 96: Cho  2 hàm số f  x xác Tích Phân và Ứng Dụng định   2  2 f  x  sin  x    d x  . Tích phân 4  2     f  x   2 2 0    0; 2    trên  2  f  xd x thỏa mãn bằng 0   . B. 0 . C. 1. D. . 4 2 2 Câu 97: Cho hàm số y  f ( x ) liên tục trên  thỏa mãn 3 f  x   f  2  x   2  x  1 e x  2 x 1  4 . Tính A. 2 tích phân I   f  x  dx ta được kết quả: 0 A. I  e  4 . 2 C. I  2 . B. I  8 . 2 D. I  e  2 . Câu 98: Suy ra 4 f  x  dx  8   f  x  dx  2 . Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  0;  1 thỏa 0 0 mãn điều kiện f 1  2 ln 2 và x  x  1 . f   x   f  x   x 2  x . Giá trị f  2   a  b ln 3 , với a, b   . Tính a 2  b 2 . 25 9 A. . B. . 4 2 C. 5 . 2 Câu 99: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên  và f   x   x 4  Khẳng định nào sau đây đúng? A. Phương trình f  x   0 có 1 nghiệm trên  0;1 . D. 13 . 4 2  2 x x  0 và f 1   1 . x2 B. Phương trình f  x   0 có đúng 3 nghiệm trên  0;   . C. Phương trình f  x   0 có 1 nghiệm trên 1; 2  . C. Phương trình f  x   0 có 1 nghiệm trên  2;5  . Hươngd dẫn giải Chọn C 2 3 x6  2 x3  2  x  1  1 2 f  x  x  2  2x    0 , x  0 . x x2 x2  y  f  x  đồng biến trên  0;   . 4  f  x   0 có nhiều nhất 1 nghiệm trên khoảng  0;   1 . Mặt khác ta có: 2 2 2 2 21   4 f   x   x  2  2 x  0 , x  0   f   x  dx    x 4  2  2 x  dx  x x 5  1 1 21 17  f  2   f 1   f 2  . 5 5 Kết hợp giả thiết ta có y  f  x  liên tục trên 1; 2  và f  2  . f 1  0  2  . Từ 1 và  2  suy ra phương trình f  x   0 có đúng 1 nghiệm trên khoảng 1; 2  . Câu 100: Cho hàm số f  x  có đạo hàm f   x  liên tục trên  và thỏa mãn f   x    1;1 với 2  x   0; 2  . Biết f  0   f  2   1 . Đặt I   f  x  dx , phát biểu nào dưới đây đúng? 0 A. I    ;0  . B. I   0;1 . C. I  1;   . File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. I   0;1 . Trang 323 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 101: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  0; 1 thỏa mãn Tích Phân và Ứng Dụng 1  xf  x  dx  0 và 0 max f  x   1. Tích [0; 1] 1 phân I   e x f  x  dx thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây? 0 5  3   5 3 A.  ;   . B.  ; e  1  . C.   ;  . D.  e  1;    . 4  2   4 2 Câu 102: Cho hàm số f  x  có đạo hàm dương, liên tục trên đoạn  0;1 thỏa mãn f  0   1 và 1 1 1 2 3 1  3  f   x   f  x     dx  2  f   x  f  x  dx . Tính tích phân   f  x   dx : 9 0  0 0 3 5 5 7 A. . B. . C. . D. . 2 4 6 6 Câu 103: Cho hai hàm số f  x  và g  x  có đạo hàm trên đoạn 1; 4  và thỏa mãn hệ thức  f 1  g 1  4   g  x    x. f   x  ; A. 8ln 2 . 4 . Tính I    f  x   g  x   dx . f  x    x.g   x  1 B. 3ln 2 . C. 6ln 2 . File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. 4ln 2 . Trang 324 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng HƯỚNG DẪN GIẢI DẠNG 1: ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT NGUYÊN HÀM 1 f x  1 f 0  2017 Câu 1: Cho hàm số   xác định trên thỏa mãn f   x   ,   , x 1 f  2   2018 S  f  3   f   1 . Tính . A. S  1 . B. S  ln 2 . C. S  ln 4035 . D. S  4 . Hươngd dẫn giải Chọn A 1 Cách 1: Ta có  f  x  dx   dx  ln  x  1   C . x 1  f  x   ln  x  1   2017 khi x  1 Theo giả thiết f  0   2017 , f  2   2018 nên  .  f  x   ln  x  1   2018 khi x  1 Do đó S  f  3   f   1  ln 2  2018  ln 2  2017  1 . Cách 2: 0 0  dx 1 f (0)  f (  1)  f '( x ) dx   ln x  1 |01  ln (1)    x  1 2  1 1 Ta có:  3 3  f (3)  f (2)  f '( x)dx  dx  ln x  1 |3  ln 2 (2) 2 2 2 x  1   Lấy (1)+(2), ta được f (3)  f (2)  f (0)  f ( 1)  0  S  1 . 2 1  Câu 2: Cho hàm số f  x  xác định trên    thỏa mãn f   x   và f  0   1 . Giá trị của 2x 1 2 biểu thức f   1  f  3  bằng A. 4  ln15 . B. 3  ln15 . C. 2  ln15 . D. ln15 . Hươngd dẫn giải Chọn C 1 2. d  2 x  1 2 Ta có f  x    f   x  dx   dx   2  ln 2 x  1  c . 2x 1 2x 1 f  0   1  c  1  f  x   ln 2 x  1  1 .  f  1  ln 3  1  f  1  f  3   2  ln15 .   f  3  ln 5  1 2 1  Câu 3: Cho hàm số f ( x) xác định trên    thỏa mãn f ( x )  , f (0)  1 và f (1)  2 . 2x 1 2 Giá trị của biểu thức f ( 1)  f (3) bằng A. 4  ln 5 . B. 2  ln15 . C. 3  ln15 . D. ln15. Hươngd dẫn giải Chọn C 2 1  Cách 1: • Trên khoảng  ;   : f ( x )   dx  ln(2 x  1)  C1. 2x 1 2  Lại có f (1)  2  C1  2. 1 2  • Trên khoảng  ;  : f ( x )   dx  ln(1  2 x)  C2 . 2 2x 1  File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 325 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng Lại có f (0)  1  C2  1. 1  ln(2 x  1)  2 khi x  2 Vậy f ( x )   . 1 ln(1  2 x)  1 khi x   2 Suy ra f ( 1)  f (3)  3  ln15. Cách 2: 0 0  2dx 1  ln 2 x  1 |01  ln (1)  f (0)  f (1)   f '( x )dx   3  1 1 2 x  1 Ta có:  3 3  f (3)  f (1)  f '( x)dx  2dx  ln 2 x  1 |3  ln 5 (2) 1 1 1 2 x  1   Lấy (2)-(1), ta được f (3)  f (1)  f (0)  f (1)  ln15  f (1)  f (3)  3  ln15 . Câu 4: Cho hàm số f  x  xác định trên  thỏa mãn f   x   2 x  1 và f 1  5 . Phương trình f  x   5 có hai nghiệm x1 , x2 . Tính tổng S  log 2 x1  log 2 x2 . A. S  1 . B. S  2 . C. S  0 . Hướng dẫn giải D. S  4 . Chọn A Ta có: f  x    f   x  dx    2 x  1 dx  x 2  x  C . Mà f 1  5  1  1  C  5  C  3  f  x   x 2  x  3 . x  1 Xét phương trình: f  x   5  x 2  x  3  5  x 2  x  2  0   .  x  2 S  log 2 x1  log 2 x2  log 2 1  log 2  2  1 . 3  2 1  Cho hàm số f ( x) xác định trên    thỏa mãn f   x   , f  0   1 và f    2 . 3x  1  3 3  Giá trị của biểu thức f   1  f  3  bằng A. 3  5ln 2 . B. 2  5ln 2 . C. 4  5ln 2 . D. 2  5ln 2 . Hươngd dẫn giải Chọn A  1  ln 3 x  1  C1 khi x   ; 3  3 3    Cách 1: Từ f   x   .  f  x   dx=  3x  1 3x  1 ln 3 x  1  C khi x   1 ;   1 3     Câu 5:  1  ln 3 x  1  1 khi x   ;   0  C1  1 C1  1 3     .  f  x   2 1  C2  2    2 0  C 2  2  ln 3 x  1  2 khi x   ;   3  3  Khi đó: f  1  f  3   ln 4  1  ln 8  2  3  ln 32  3  5 ln 2 . f  Ta có:  f  0  1 0 0  0 0 3 1 dx  ln 3x  1 1  ln 1  f  0   f  1  f  x  1   f   x  dx   4 1 1 3 x  1  Cách 2: Ta có  3 3 3 3 2 3  f  3  f    f  x  2   f   x  dx   dx  ln 3 x  1 2  ln 8  2   3 3 3 2 2 3x  1  3 3 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 326 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 2 Lấy  2   1 , ta được: f  3  f  1  f  0   f    ln 32  f  1  f  3  3  5 ln 2 . 3 4 f x   2; 2 Câu 6: Cho hàm số   xác định trên và thỏa mãn f   x   2 ; f  3  0 ; x 4 f 0  1 f 3 2 P  f   4   f   1  f  4  và   . Tính giá trị biểu thức . 3 5 5 A. P  3  ln . B. P  3  ln 3 . C. P  2  ln . D. P  2  ln . 25 3 3 Hươngd dẫn giải Chọn B  x2 ln x  2  C1 khi x   ; 2    x2 4 4dx 4dx Từ f   x   2  f  x   2   ln  C khi x   2; 2  x 4 x 4  x  2  x  2   x  2 2  x2  C3 khi x   2;   ln  x2  ln 5  C1  0  f   3  0 C1   ln 5     C2  1 Ta có  f  0   1  0  C2  1  1 C  2  ln 5   3  f 2  2 ln  C3  2  5  x2 khi x   ; 2  ln x  2 -ln5   x2  f  x   ln 1 khi x   2; 2  . x  2   x2  2  ln 5 khi x   2;   ln  x2 1 Khi đó P  f  4   f  1  f  4   ln 3  ln 5  ln 3  1  ln  2  ln 5  3  ln 3 . 3 1 Câu 7: Cho hàm số f  x  xác định trên   2;1 thỏa mãn f   x   2 ; f  3   f  3   0 x  x2 1 và f  0   . Giá trị của biểu thức f   4   f   1  f  4  bằng 3 1 1 1 4 1 8 A.  ln 2 . B. 1  ln 80 . C. 1  ln 2  ln . D. 1  ln . 3 3 3 5 3 5 Hươngd dẫn giải Chọn A  1 x 1  3 ln x  2  C1 khi x   ; 2   1 1 dx dx x 1 f  x  2  f  x   2    ln  C khi x   2;1 x  x2 x  x2  x  1 x  2   3 x  2 2  1 x 1  C3 khi x  1;    ln 3 x  2 1 1 2 1 Do đó f  3  f  3  0  ln 4  C1  ln  C3  C3  C1  ln10 . 3 3 5 3 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 327 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 1 1 1 1 1 1  ln  C2   C2   ln 2 . 3 3 2 3 3 3  1 x 1 ln  C1 khi x   ; 2   3 x2   1 x 1 1 1  f  x    ln   ln 2 khi x   2;1 .  3 x 2 3 3  1 x 1 1  C1  ln10 khi x  1;    ln 3 3 x  2 Khi đó: 1 1 1 1 5  1  1 1  1 1 f  4   f  1  f  4    ln  C1    ln 2   ln 2    ln  C1  ln10    ln 2 . 3 3 3 3 2  3  3 2  3 3 1 Câu 8: Cho hàm số f  x  xác định trên   1;1 và thỏa mãn f   x   2 ; f  3   f  3   0 x 1  1 1 và f     f    2 . Tính giá trị của biểu thức P  f  0   f  4  .  2 2 3 3 1 3 1 3 A. P  2  ln . B. P  1  ln . C. P  1  ln . D. P  ln . 5 5 2 5 2 5 Hươngd dẫn giải Chọn C 1 x 1  2 ln x  1  C1 khi x   ; 1  1;   1 dx dx  . f  x   2  2   x 1 x  1  x  1 x  1  1 x  1  C2 khi x   1;1 ln  2 x  1 1 1 1 Ta có f  3  f  3  0  ln 2  C1  ln  C1  0  C1  0 . 2 2 2 1 1 1  1 1 Và f     f    2  ln 3  C2  ln  C2  2  C2  1 . 2 2 3  2 2 Và f  0   1  2 ln  Suy ra f  x     1 ln  2 x 1 x 1 khi x   ; 1  1;   x 1  1 khi x 1 1 3 Vậy P  f  0   f  4  = 1  ln . 2 5 Câu 9: x   1;1 Cho hàm số f  x  xác định trên   1 thỏa mãn f   x    1 và f      2 1 5 A. T  2  ln . 2 9 Chọn B Ta có . 1 . Biết f  3   f  3   0 x 1 2 1 f    2 . Giá trị T  f  2   f  0   f  4  bằng: 2 1 9 1 9 B. T  1  ln . C. T  3  ln . 2 5 2 5 Hươngd dẫn giải  f   x  dx   x 1 9 D. T  ln . 2 5 1 1  1 1  1 x 1 dx     C .  dx  ln 1 2  x 1 x 1  2 x 1 2 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 328 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng  1 x 1  2 ln x  1  C1 khi x  1, x  1 Do đó f  x    .  1 ln 1  x  C khi  1  x  1 2  2 x  1  1 1 Do f  3   f  3   0 nên C1  0 , f     f    2 nên C2  1 .  2 2 1 x 1 khi x  1, x  1  2 ln x  1 1 9 Nên f  x    . T  f  2   f  0   f  4   1  ln . 2 5  1 ln 1  x  1 khi  1  x  1  2 x  1 Câu 10: Cho hàm số f  x  nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên  0;   thỏa mãn f  2  A. 7 . 15 Chọn D 1 và f   x    2 x  4  f 2  x   0 . Tính f 1  f  2   f  3  . 15 11 11 B. . C. . 15 30 Hươngd dẫn giải Vì f   x    2 x  4  f 2  x   0 và f  x   0 , với mọi x   0;   nên ta có  Suy ra D. 7 . 30 f  x   2x  4 . f 2  x 1 1 1  x 2  4 x  C . Mặt khác f  2   nên C  3 hay f  x   2 . f  x 15 x  4x  3 1 1 1 7  . Do đó f 1  f  2   f  3     8 15 24 30 Câu 11: Cho hàm số f  x  xác định và liên tục trên  . Biết f 6  x  . f   x   12 x  13 và f  0   2 . Khi đó phương trình f  x   3 có bao nhiêu nghiệm? A. 2 . B. 3 . C. 7 . D. 1. Hươngd dẫn giải Chọn A Từ f 6  x  . f   x   12 x  13   f 6  x  . f   x  dx   12 x  13 dx   f 6  x  df  x   6 x 2  13x  C f 7  x 2 f  0  2 C  .  6 x 2  13x  C  7 7 7 2 Suy ra: f  x   42 x  91x  2 .  Từ f  x   3  f 7  x   2187  42 x 2  91x  2  2187  42 x 2  91x  2185  0 *  . Phương trình *  có 2 nghiệm trái dầu do ac  0 . Câu 12: Cho hàm số f  x  xác định trên  thỏa mãn f   x   e x  e x  2 , f  0   5 và  1 f  ln   0 . Giá trị của biểu thức S  f   ln16   f  ln 4  bằng  4 31 9 5 A. S  . B. S  . C. S  . 2 2 2 Hươngd dẫn giải Chọn C File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. f  0  . f  2   1 . Trang 329 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A ex 1 Ta có f   x   e x  e x  2  ex  2x  2x e  e  x x e  2  e 2  khi x  0 Tích Phân và Ứng Dụng . khi x  0 x   2x 2 2e  2e  C1 khi x  0  . Do đó f  x    x x  2e 2  2e 2  C khi x  0  2 Theo đề bài ta có f  0   5 nên 2e0  2e0  C1  5  C1  1 .  f  ln 4   2e ln 4 2  2e  ln 4 2 1  6   1 Tương tự f  ln   0 nên 2e  4  f   ln16   2e    ln16  2  2e 1 ln   4 2   ln16 Vậy S  f   ln16   f  ln 4   2 5 . 2  2e 1 ln   4 2  C2  0  C2  5 . 7 5   . 2   Câu 13: Cho hàm số f  x  liên tục, không âm trên đoạn  0;  , thỏa mãn f  0   3 và  2   f  x  . f   x   cos x. 1  f 2  x  , x   0;  . Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M  2    của hàm số f  x  trên đoạn  ;  . 6 2 21 5 A. m  , M  2 2 . B. m  , M  3 . 2 2 5 , M  3. C. m  D. m  3 , M  2 2 . 2 Hươngd dẫn giải Chọn A Từ giả thiết f  x  . f   x   cos x. 1  f 2  x   f  x . f   x  1 f 2  x  cos x   f  x. f  x 1 f 2  x dx  sin x  C Đặt t  1  f 2  x   t 2  1  f 2  x   tdt  f  x  f   x  dx . Thay vào ta được  dt  sin x  C  t  sin x  C  1  f 2  x   sin x  C . Do f  0   3  C  2 . Vậy 1  f 2  x   sin x  2  f 2  x   sin 2 x  4 sin x  3    f  x   sin 2 x  4sin x  3 , vì hàm số f  x  liên tục, không âm trên đoạn  0;  .  2   1 Ta có  x    sin x  1 , xét hàm số g  t   t 2  4t  3 có hoành độ đỉnh t  2 loại. 6 2 2  1  21 Suy ra max g  t   g 1  8 , min g  t   g    . 1 1     2 4  ;1  ;1 2  2  File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 330 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 21     Suy ra max f  x   f    2 2 , min f  x   g    .       2 6 2   ; ;   6 2 6 2     Câu 14: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  và thỏa mãn f  x   0 , x   . Biết f ' x  2  2 x . Tìm các giá trị thực của tham số m để phương trình f  x   m f  x có hai nghiệm thực phân biệt. A. m  e . B. 0  m  1 . C. 0  m  e . D. 1  m  e . Hươngd dẫn giải Chọn C f  x f  x  2  2x   dx    2  2 x  d x . Ta có f  x f  x f  0   1 và 2 2  ln f  x   2 x  x 2  C  f  x   A.e 2 x  x . Mà f  0   1 suy ra f  x   e 2 x x . 2 2 Ta có 2 x  x 2  1   x 2  2 x  1  1   x  1  1 . Suy ra 0  e2 x  x  e và ứng với một giá trị thực t  1 thì phương trình 2x  x 2  t sẽ có hai nghiệm phân biệt. Vậy để phương trình f  x   m có 2 nghiệm phân biệt khi 0  m  e1  e . Câu 15: Cho hàm số f  x  liên tục trên  và f  x   0 với mọi x   . f   x    2 x  1 f 2  x  và f 1  0, 5 . Biết rằng tổng f 1  f  2   f  3  ...  f  2017   tối giản. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. a  b  1 . Ta có f   x    2 x  1 f 2  x    a  1 . b Hươngd dẫn giải B. a    2017; 2017  . Chọn D a a ;  a   , b    với b b C. D. b  a  4035 . f  x f  x   2 x  1   2 dx    2 x  1 dx 2 f  x f  x 1  x2  x  C f  x 1 1 1 1 nên C  0  f  x    2   . 2 x  x x 1 x 1  1  1 1 1 1  1 Mặt khác f 1  f  2   f  3  ...  f  2017     1          ...      2  3 2  4 3  2018 2017  1 2017  f 1  f  2   f  3  ...  f  2017   1    a  2017 ; b  2018 . 2018 2018 Khi đó b  a  4035 . 1 Câu 16: Cho hàm số f  x   0 thỏa mãn điều kiện f '  x    2 x  3  . f 2  x  và f  0   . Biết tổng 2 a a f 1  f  2   ...  f  2017   f  2018   với a  , b  * và là phân số tối giản. b b Mệnh đề nào sau đây đúng? a a A.  1 . B.  1 . b b C. a  b  1010 . D. b  a  3029 . Hươngd dẫn giải Chọn D Mà f 1   File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 331 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Biến đổi f  ' '  x  2x  3  2  f  x f  x    2 x  3 . f 2  x   f ' x  f 2  x Tích Phân và Ứng Dụng dx    2 x  3 dx 1 1 1  x 2  3x  C  f  x    2 . Mà f  0   nên  2 . f  x x  3x  C 2 Do đó f  x    1 1  . x  3x  2  x  1 x  2  2 a 1 1 1  1   f 1  f  2   ...  f  2017   f  2018       .....    b 2018.2019 2019.2020   2.3 3.4 1 1 1  1  1009 1 1 1 1 1        .....    .      2018 2019 2020  2 3 3 4  2 2020  2020 a  1009 Với điều kiện a, b thỏa mãn bài toán, suy ra:   b  a  3029 . b  2020  f   x  . f  x   2  f   x   2  xf 3  x   0   Câu 17: Cho hàm số y  f  x  , x  0 , thỏa mãn  . Tính  f   0   0; f  0   1 f 1 . Khi đó A. 2 . 3 B. 3 . 2 6 . 7 Hươngd dẫn giải C. Chọn C 2 Ta có: f   x  . f  x   2  f   x    xf 3  x  0  f   x  . f  x   2  f   x   f 3  x D. 7 . 6 2  x  f   x   f  x f   0 02 x2  2   x     C    C  C  0.  2 2 f x f x 2 f 0 2          f  x x2  Do đó 2 f  x 2 1 1 1 1 f  x  x3  x2 1 1 1 1 6  2 dx    dx       f 1  .      f  x 2 f 1 f  0  6 7 f  x 0  6  0 0 0 f  x x  2 . Khi đó Câu 18: Giả sử hàm số f ( x) liên tục, dương trên  ; thỏa mãn f  0   1 và f  x x 1 hiệu T  f 2 2  2 f 1 thuộc khoảng  A.  2;3  .  B.  7;9  . C.  0;1 . Hươngd dẫn giải Chọn C Ta có  f  x dx  f  x x  x 2  1 dx   d  f  x f  x D.  9;12  . 2 1 d  x  1   2 . 2 x 1 1 ln  x 2  1  C , mà f  0   1  C  0 . Do đó f  x   x 2  1 . 2 Nên f 2 2  3; 2 f 1  2 2  f 2 2  2 f 1  3  2 2   0;1 . Vậy ln  f  x        File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 332 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 19: Khi đó  4  0  0;   ; 1 f  tan t  d t  0 f  x  dx . Vậy cos 2t Tích Phân và Ứng Dụng 1  f  x  dx  6 .Cho hàm số y  f  x  đồng biến trên 0 y  f  x  liên tục, nhận giá trị dương trên  0;   và thỏa mãn f  3   2 2 và 3  f '  x     x  1 . f  x  . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. 2613  f 2  8   2614 . B. 2614  f 2  8   2615 . D. 2616  f 2  8   2617 . Hươngd dẫn giải C. 2618  f 2  8   2619 . Chọn A Hàm số y  f  x  đồng biến trên  0;   nên suy ra f   x   0, x   0;   . Mặt khác y  f  x  liên tục, nhận giá trị dương trên  0;   nên 2  f   x     x  1 f  x   f   x    x  1 f  x  , x   0;   f  x    x  1 , x   0;   ; f  x  f  x  f  x Từ f  3   dx    x  1dx  f  x  1 3  x  1 3 C ; 2 8 3 suy ra C   2 3 3 1 Như vậy f  x    3 Bởi thế: 2 8  x  1    3 3 2 3 2 2 4 1  2 8  2 8 2 8 3 f  8    8  1      9     f 2  8   9     2613, 26 . 3 3  3 3 3 3 3  Câu 20: Giả sử hàm số y  f  x  liên tục, nhận giá trị dương trên  0;   và thỏa mãn f 1  1 , f  x   f   x  3 x  1 , với mọi x  0 . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 4  f  5   5 . B. 2  f  5   3 . C. 3  f  5   4 . D. 1  f  5   2 . Hươngd dẫn giải Chọn C Cách 1: Với điều kiện bài toán ta có f  x f  x 1 1 f  x   f   x  3x  1    dx   dx f  x f  x 3x  1 3x  1  d  f   x  f  x  2 1 2 1  2  ln f x  3 x  1  C  f x  e 3 x  1 d 3 x  1     3     3 3 Khi đó f 1  1  e Vậy 3  f  5   4 . 4 C 3 2 4  1  C    f  x  e3 3 3 x 1  4 3 3 x 1 C . 4 3  f  5  e  3, 79   3;4  . File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 333 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chú ý: Các bạn có thể tính  Tích Phân và Ứng Dụng dx bằng cách đặt t  3x  1 . 3x  1 Cách 2: Với điều kiện bài toán ta có 5 5 5 d  f  x  4 f  x f  x 1 1 f  x   f   x  3x  1   dx   dx     f  x f  x 3 f  x 3x  1 3x  1 1 1 1 5  ln f  x   1 4 f  5 4 4  ln   f  5  f 1 .e 3  3, 79   3;4  . f 1 3 3 2 Câu 21: Cho hàm số f  x  thỏa mãn  f   x    f  x  . f   x   15 x 4  12 x , x   và f  0   f   0   1 . Giá trị của f 2 1 bằng 9 . 2 A. B. Chọn D 5 . 2 C. 10 . D. 8 . Hươngd dẫn giải 2 Ta có:  f   x    f  x  . f   x   15 x 4  12 x , x   .   f   x  . f  x    15 x 4  12 x , x    f   x  . f  x   3 x 5  6 x 2  C1 Do f  0   f   0   1 nên ta có C1  1. Do đó: f   x  . f  x   3 x 5  6 x 2  1 1    f 2  x    3 x5  6 x 2  1  f 2  x   x 6  4 x3  2 x  C2 . 2  Mà f  0   1 nên ta có C2  1. Do đó f 2  x   x 6  4 x 3  2 x  1 . Vậy f 2 1  8. Câu 22: Cho hàm số f  x  liên tục trên  và thỏa mãn f   x 1 x 1  dx  2  x 1  3 x5   C . Nguyên hàm của hàm số f  2 x  trên tập  là:  x3 C . 2  x2  4 A. B. x3 C . x2  4   x 1 x 1  dx  2  2x  3 C . 4  x 2  1 D. 2x  3 C. 8  x 2  1 Hươngd dẫn giải Chọn D Theo đề ra ta có: f C. x 1  3 x5  C  2   f   x 1 d  x 1  2   x 1  3  2  C . x 1  4 2  t  3 t 3  C   f  t  dt  2  C . 2 t 4 t 4  2x  3 1 1  2x  3 f  2 x  dx   f  2 x  d  2 x     C C  2 1  8x  8 2 2   2 x 2  4  Hay 2 f  t  dt  Suy ra  File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 334 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng DẠNG 2: ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT, GIẢI HỆ TÍCH PHÂN Câu 23: Cho 5  2 A. 34 . 2 f  x  dx  10 . Kết quả   2  4 f  x   dx bằng: 5 B. 36 . Chọn A 2 2 2 5 5 5 C. 40 . Hươngd dẫn giải 5 D. 32 . 5 Tacó   2  4 f  x   dx  2  dx  4  f  x  dx  2 x 2  4  f  x  dx  2.  5  2   4.10  34 . 2 Câu 24: Cho hàm số f  x  liên tục trên  và F  x  là nguyên hàm của f  x  , biết 9  f  x  dx  9 0 và F  0   3 . Tính F  9  . A. F  9   6 . Chọn C B. F  9   6 . 9 C. F  9   12 . Hươngd dẫn giải D. F  9   12 . 9 Ta có: I   f  x  dx  F  x  0  F  9   F  0   9  F  9   12 . 0 2 Câu 25: Cho A. 2 . Chọn B 2 I   f  x  dx  3 0 . Khi đó B. 6 . 2 J    4 f  x   3 dx 0 C. 8 . Hươngd dẫn giải 2 2 0 4 0 bằng: D. 4 . 2 Ta có J    4 f  x   3 dx  4  f  x  dx  3 dx  4.3  3 x 0  6 . 0 4 Câu 26: Cho A. I  5 . Chọn A  f  x  dx  10  g  x  dx  5 và B. I  15 . 2 2 4 4 . Tính I   3 f  x   5 g  x   dx 2 C. I  5 . Hươngd dẫn giải 4 4 2 0 2 D. I  10 . Có: I   3 f  x   5 g  x   dx  3 f  x  dx  5 g  x  dx  5 . 2 9 Câu 27: Giả sử A. I  26 . Chọn A  f  x  dx  37 0  g  x  dx  16 và B. I  58 . 9 9 9 I    2 f  x   3g ( x)  dx 0 . Khi đó, C. I  143 . Hươngd dẫn giải bằng: D. I  122 . 9 9 9 0 0 0 5 0 9 Ta có: I    2 f  x   3 g ( x)  dx   2 f  x  dx   3g  x  dx  2  f  x  dx  3 g  x  dx  26 . 0 2 Câu 28: Nếu A. 2 . Chọn B 5  f  x  dx  3  f  x  dx  1 1 , 2 B. 2 . thì  f  x  dx bằng C. 3 . Hươngd dẫn giải 1 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. 4 . Trang 335 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ta có 5 2  Chọn C 1 1 2 Câu 29: Cho A. 1.  5 f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  3  1  2 . 1 3 Tích Phân và Ứng Dụng 3  f  x  dx  1 3 1 2 3  f  x  dx  2 và B. 3 . 1 2 2  f  x  dx . Giá trị của 1 C. 1 . Hươngd dẫn giải 2 bằng D. 3 . f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  1 . Câu 30: Cho hàm số f  x  liên tục trên đoạn  0;10  và 10  f  x  dx  7 và 10 0 6  f  x  dx  3 . Tính 2 0 2 6 P   f  x  dx   f  x  dx . A. P  7 . Chọn C Ta có 10  0 B. P  4 . C. P  4 . Hươngd dẫn giải 2 6 10 0 2 6 D. P  10 . f  x  dx  7   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  7 2 10 0 6   f  x  dx   f  x  dx  7  3  4 . Vậy P  4 . Câu 31: Cho 1  f  x  dx  2 0 2 , Chọn A 2  0  f  x  dx  4 , khi đó 1 B. 2 . A. 6 . 1 2 0 1  f  x  dx  2 0 ? C. 1. Hươngd dẫn giải D. 3 . f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  6 . Câu 32: Cho hàm số f  x  liên tục trên  và có B. I  12 . A. I  8 . Chọn A 3 1 3 0 1 1 3 0 1 3  f  x  dx  2 ;  f  x  dx  6 . Tính I   f  x  dx . C. I  36 . Hươngd dẫn giải 0 D. I  4 . I   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  2  6  8 . 0 2 Câu 33: Cho 11 A. I  . 2 Chọn D  f  x  dx  2 1 2 và  g  x  dx  1 1 B. I  7 . 2 2 . Tính I    x  2 f  x   3 g  x   dx 1 C. I  Hươngd dẫn giải 17 . 2 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay bằng 5 D. I  . 2 Trang 336 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ta có: I  2 2 x2 2 3 5  2  f  x  dx  3  g  x  dx   4  3  . 2 1 1 2 2 1 8 Câu 34: Biết 4 ; 1 ; 1 4 B.   f  x   g  x   dx  10 .  f  x  dx  5 . D. 4 Chọn A Ta có 8 . Mệnh đề nào sau đây sai? 1  f  x  dx  1 . 4 8 C. 4  f  x  dx  2  f  x  dx  3  g  x  dx  7 8 A. Tích Phân và Ứng Dụng 1 4  4 f  x   2 g  x  dx  2 . 1 8 4 1 1 Hươngd dẫn giải f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  2  3  5  4 Câu 35: Cho hàm số f  x f  x có liên tục trên đoạn  1;3 , f  1  3 và 3  f ( x) dx  10 giá trị 1 của A. 13 . f  3 bằng B. 7 . C. 13 . Hươngd dẫn giải Chọn C Ta có 3  f ( x) dx  10  f  x  1 Câu 36: Cho A. 4 . 2  f  x  dx  3 0 Chọn B 3 1 D. 7 .  10  f  3   f   1  10  f  3   f  1  10  13 . 2 . Tính B. 5 .   f  x   1 dx 0 ? D. 1. C. 7 . Hươngd dẫn giải. 2 2 2 0 0 0 Ta có   f  x   1 dx   f  x  dx   dx  3  2  5 . Câu 37: Cho y  f  x  , y  g  x  là các hàm số có đạo hàm liên tục trên  0; 2  và 2  g  x  . f   x  dx  2 , 0 A. I  1 . Chọn C 2 2   g  x  . f  x  dx  3 . Tính tích phân I    f  x  .g  x  dx . 0 B. I  6 . 2 0 C. I  5 . Hươngd dẫn giải D. I  1 . 2 Xét tích phân I    f  x  .g  x   dx    f   x  .g  x   f  x  .g   x   dx 0 0 2 2 0 0   g   x  . f  x  dx   g  x  . f   x  dx  5 . 2 5 Câu 38: Cho hai tích phân A. I  11 . Chọn B  f  x  dx  8 2 B. I  13 . và  g  x  dx  3 5 . Tính I  C. I  27 . Hươngd dẫn giải 5   f  x   4 g  x   1 dx . 2 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. I  3 . Trang 337 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ta có: I  5   f  x   4 g  x   1 dx  2 5  2 Tích Phân và Ứng Dụng 2 5 f  x  dx  4  g  x  dx  x 2  8  4.3   5  2   13 . 5 1 Câu 39: Cho hàm số f  x   x 4  4 x 3  2 x 2  x  1 , x   . Tính  f 2  x  . f   x  dx . 0 A. 2 . 3 2 C.  . 3 Hươngd dẫn giải B. 2 . Chọn C Ta có 1 2 1  f  x  . f   x  dx   0 0 D. 2 . 1 f 3  x f 3 1  f 3  0  2 f  x  .d  f  x     .  3 0 3 3 2 Câu 40: Cho hàm số f  x  liên tục trên đoạn [0; 6] thỏa mãn 2 6 0 4 6 4 0 2  f  x  dx  10 và  f  x  dx  6 . Tính giá trị của biểu thức P   f  x  dx   f  x  dx . A. P  4 .` B. P  16 . C. P  8 . D. P  10 . Hươngd dẫn giải: 2 6 2 6  6 Ta có: P   f  x  dx   f  x  dx    f  x  dx   f  x  dx    f  x  dx 0 4 6 0  4 6 4 2 6 6 2     f  x  dx    f  x  dx   f  x  dx    f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  10  6  4 0 4 0 4 6  4 Chọn A 1 Câu 41: Cho hàm số f  x  liên tục trên đoạn [0; 1] và có  3  2 f  x   dx  5 . Tính A. 1 . Ta có: 0 B. 2. 1 1 1 0 0 0  3  2 f  x  dx  5   3dx  2 f  x  dx  5  3x 1 1 0 0 0  f  x  dx . 0 D. 2 . C. 1. Hươngd dẫn giải: 1 1 1  2 f  x  dx  5 0  2 f  x  dx  5  3  2   f  x  dx  1 Chọn A Câu 42: Cho hai hàm số f  x  và g  x  liên tục trên đoạn [0; 1], có 1 1 0 0  f  x  dx  4 và  g  x  dx  2 . Tính tích phân I    f  x   3 g  x   dx . A. 10 . B. 10 . 1 1 1 0 0 0 D. 2 . C. 2. Hươngd dẫn giải: I    f  x   3g  x   dx   f  x  dx  3 g  x  dx  4  3  2   10 Chọn B 1 Câu 43: Cho hàm số f  x   ln x  x  1 . Tính tích phân I   f '  x  dx . 2 0 A. I  ln 2 . B. I  ln 1  2 .   C. I  ln 2 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. I  2ln 2 Trang 338 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng Hươngd dẫn giải: 1 1 1 Ta có: I   f '  x  dx  f  x  0  ln x  x 2  1  ln 1  2 0 0   Chọn B Câu 44: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn [1; ln3] và thỏa mãn f 1  e 2 , ln 3  f '  x  dx  9  e 2 . Tính I  f  ln 3  . 1 B. I  9 . A. I  9  2e 2 . Ta có: ln 3  f '  x  dx  f  x  1 ln 3 C. I  9 . Hươngd dẫn giải: D. I  2e 2  9 .  f  ln 3  f 1  9  e2 (gt) 1  f  ln 3   e 2  9  e 2  f  ln 3   9 Chọn B Câu 45: Cho hai hàm số y  f  x  và y  g  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 1] và thỏa mãn 1  f '  x  .g  x  dx  1 , 0 1  0 A. I  2 . 1 0 B. I  0 . 1 D. I  2 . C. I  3 . Hươngd dẫn giải: 1 / / f  x  .g '  x  dx  1 . Tính I    f  x  .g  x  dx . I    f  x  .g  x   dx    f  x  .g '  x   f '  x  .g  x   dx 0 0 1 1 0 0   f  x  .g '  x  dx   f '  x  .g  x  dx  1  1  0 Chọn B Câu 46: Cho hàm số f  x  liên tục trên  0;   và thỏa x2  f  t  dt  x.cos  x . Tính f  4  . 0 A. f  4   123 . B. f  4   2 . 3 C. f  4   Hươngd dẫn giải: 3 . 4 D. f  4   1 . 4 Ta có: F  t    f  t  dt  F '  t   f  t  Đặt G  x   x2 2  f  t  dt  F  x   F  0  0 /  G '  x    F  x 2    2 x. f  x 2  (Tính chất đạo hàm hợp: f ' u  x    f '  u  .u '  x  ) Mặt khác, từ gt: G  x   x2  f  t  dt  x.cos  x 0  G '  x    x.cos  x  '   x sin  x  cos  x  2 x. f  x 2    x sin  x  cos  x (1) Tính f  4   ứng với x  2 Thay x  2 vào (1)  4. f  4   2 sin 2  cos 2  1  f  4   Chọn D 1 4 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 339 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 47: Cho hàm số f  x  thỏa mãn f  x  Tích Phân và Ứng Dụng t 2 .dt  x.cos  x . Tính f  4  . 0 A. f  4   2 3 . f  x  t 2 dt  0 3 f  x t 3 0 B. f  4    1 . C. f  4   Hươngd dẫn giải: 3 1 . 2 D. f  4   3 12 .  f  x   3   x cos  x   f  x    3 x.cos  x 3  f  x   3x cos  x  f  4   3 12 3 Chọn D x   Câu 48: Cho hàm số G  x    t.cos  x  t  .dt . Tính G '   . 2 0       C. G '    0 . A. G '    1 . B. G '    1 . 2 2 2 Hươngd dẫn giải: Cách 1: Ta có: F  t    t.cos  x  t  dt  F '  x   t.cos  x  t    D. G '    2 . 2 x Đặt G  x    t.cos  x  t  dt  F  x   F  0  0 / /    G '  x    F  x   F  0    F '  x   F '  0    x cos  x  x   0   x '  1  G '    1 2 Chọn B x Cách 2: Ta có G  x    t.cos  x  t  dt . Đặt u  t  du  dt , dv  cos  x  t  dx chọn 0 v   sin  x  t  x x x 0 0 x  G  x   t.sin  x  t  0   sin  x  t  dt   sin  x  t  dt  cos  x  t  0  cos 0  cos x  1  cos x     G '  x   sin x  G '    sin  1 2 2 Chọn B x2 Câu 49: Cho hàm số G  x    cos t .dt ( x  0 ). Tính G '  x  . 0 A. G '  x   x .cos x . 2 B. G '  x   2 x.cos x . C. G '  x   cos x . Hươngd dẫn giải: D. G '  x   cos x  1 . x2 Ta có F  t    cos tdt  F '  t   cos t  G  x    cos tdt  F  x 2   F  0  0 2 / 2 / / /  G '  x    F  x   F  0     F  x     F  0     F  x 2   2 x.F'  x 2   2 x.cos x 2  2 x.cos x Chọn B x Câu 50: Cho hàm số G  x    1  t 2 dt . Tính G '  x  . 1 A. x 1 x 2 . B. 1  x 2 . C. 1 1 x 2 . File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D.  x 2  1 x 2  1 . Trang 340 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng Hươngd dẫn giải: Đặt F  t    1  t dt  F '  t   1  t 2 2 x G  x    1  t 2 dt  F  x   F 1  G '  x   F '  x   F ' 1  F '  x   Chọn A 1 Câu 51: Cho hàm số F  x   x B. Đặt F  t    sin t dt , G  x   2  G ' x  F ' sin x . 2 x x 1  x2 ( x  0 ). Tính F '  x  .  sin t .dt 1 A. sin x . 2 x 2sin x . x Hươngd dẫn giải: D. sin x . C.  sin t dt  F  x   F 1 2 1  x   F ' 1  F '  x    x  '.sin  x  2 sin x 2 x  Chọn B x Câu 52: Tính đạo hàm của f  x  , biết f  x  thỏa  t.e f  t  dt  e f  x  . 0 B. f '  x   x 2  1 . A. f '  x   x . C. f '  x   Hươngd dẫn giải: 1 . x D. f '  x   1 . 1 x x Đặt F  t    t.e f  t  dt  F '  t   t.e f t   G  x    t.e f  t  dt  F  x   F  0  0  G ' x  F ' x   e e f  x  x. f '  x  .e f  x f  x / (gt)  x.e f  x   e f  x    x.e f  x     e f  x    f '  x  .e f  x  1  x. f '  x   f '  x   f '  x   Chọn D Câu 53: Cho hàm số y  f  x 0;    liên tục trên  và 1 1 x x2  f  t  dt  x.sin  x  . Tính f 4 0   A. f    . 4  B. f    . 2 Chọn B Ta có  f  t  dt  F  t   F   t   f  t  Khi đó x2  0 C. f    Hươngd dẫn giải  . 4 D. f    1 . 2 x2 f  t  dt  x.sin   x   F  t  0  x.sin   x   F  x 2   F  0   x.sin   x   F   x 2  .2 x  sin   x    x.cos  x   f  x 2  .2 x  sin   x    x.cos   x   f  4   . 2 Câu 54: Cho hàm số trên khoảng f  x liên tục trên khoảng 2  2; 3  . Tính  2; 3  . Gọi F  x  I    f  x   2 x  dx 1 , biết là một nguyên hàm của F   1  1 và F 2  4 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay f  x . Trang 341 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. I  6 . B. I  10 . C. I  3 . Hươngd dẫn giải Chọn A 2 2 I    f  x   2 x  dx  F  x  1  x 2 1 2 Câu 55: Cho 11 A. I  . 2  f  x  dx  2 1 1  g  x  dx  1 1 B. I  D. I  9 .  F  2   F  1   4  1  4  1  3  6 . 2 2 và Tích Phân và Ứng Dụng 7 . 2 2 . Tính I    x  2 f  x   3 g  x   dx 1 C. I  Hươngd dẫn giải Chọn C 2 2 2 17 . 2 D. I  2 2 x2 Ta có: I    x  2 f  x   3 g  x   dx   xdx  2  f  x  dx  3  g  x  dx  2 1 1 1 1 2 Câu 56: Cho 11 . A. 7 2  3 f  x   2 g  x  dx  1  2 f  x   g  x   dx  3 1 5 B.  . 7 , 1 6 . 7 Hươngd dẫn giải 43 2 . Khi đó, 1 17 . 2  f  x  dx 1 C. Chọn B 5 . 2 bằng 16 D. . 7 5  a  3 a  2 b  1   7 Đặt a   f  x  dx , b   f  x  dx , ta có hệ phương trình    2 a  b  3 1 1 b  11  7 2 5 Vậy  f  x  dx   . 7 1 Câu 57: Cho f  x  , g  x  là hai hàm số liên tục trên đoạn  1;1 và f  x  là hàm số chẵn, g  x  là 2 hàm số lẻ. Biết 2 1  0 A. C. 1 f  x  dx  5 ;  g  x  dx  7 . Mệnh đề nào sau đây là sai? 1  f  x  dx  10 . 0 B. 1 1 1   f  x   g  x  dx  10 . 1 D.   f  x   g  x  dx  10 . 1  g  x  dx  14 . 1 Hươngd dẫn giải Chọn D Vì f  x  là hàm số chẵn nên 1  1 Vì g  x  là hàm số lẻ nên 1 1 f  x  dx  2 f  x  dx  2.5  10 . 0 1  g  x  dx  0 . 1 1    f  x   g  x   dx  10 và 1 Vậy đáp án D sai. 1   f  x   g  x  dx  10 . 1 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 342 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng Câu 58: Cho f  x  , g  x  là hai hàm số liên tục trên đoạn  1;1 và f  x  là hàm số chẵn, g  x  là hàm số lẻ. Biết 1 1  f  x  dx  5 ;  g  x  dx  7 . Mệnh đề nào sau đây là sai? 0 A. C. 0 1 B.  f  x  dx  10 . 1 1 1   f  x   g  x  dx  10 . 1 D.   f  x   g  x  dx  10 . 1 1  g  x  dx  14 . 1 Hươngd dẫn giải Chọn D Vì f  x  là hàm số chẵn nên 1 1 1 0  f  x  dx  2 f  x  dx  2.5  10 . 1  g  x  dx  0 . Vì g  x  là hàm số lẻ nên 1 1 1    f  x   g  x   dx  10 và 1 10 Câu 59: Nếu A. 15 . f  z  dz  17    f  x   g  x  dx  10 . 1 8  và B. 29 . 0 10 f  t  dt  12 thì 0  3 f  x  dx 8 C. 15 . Hươngd dẫn giải Chọn A bằng D. 5 . 10 10 0  I  3  f  x  dx  3   f  x  dx   f  x  dx   3  12  17   15 . 8 0 8  2 Câu 60: Cho A. 11 . f  x  dx  2  1 Chọn C Ta có 7  f  t  dt  1 Vậy 7  f  t  dt  9 , B. 5 . 1 7  f  x  dx và 1 7 . Giá trị của  f  z  dz 2 C. 7 . Hươngd dẫn giải 7  2 7 7 2 1 f  z  dz   f  x  dx nên  là f  x  dx  D. 9 . 2  1 7 f  x  dx   f  x  dx . 2 7  f  z  dz  7 . 2 3 Câu 61: Cho hàm số y  f  x  liên tục, luôn dương trên  0;3 và thỏa mãn I   f  x  dx  4 . Khi 0 3  1 ln  f  x   đó giá trị của tích phân K   e 0 A. 4  12e . Chọn B 3 B. 12  4e .  1 ln  f  x   Ta có K   e 0  3 1 ln  f  x    4 dx   e 0   4 dx là: C. 3e  14 . Hươngd dẫn giải D. 14  3e . 3 3 3 0 0 0 dx   4dx  e. f  x  dx   4dx  4e  4 x|  4e  12 . Vậy K  4e  12 . Câu 62: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên  thỏa File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay 3 0 Trang 343 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng  f  0   f   0   1; .   f  x  y   f  x   f  y   3xy  x  y   1, x,y   Tính 1  f  x  1dx . 0 1 A. . 2 1 B.  . 4 1 . 4 Hươngd dẫn giải C. Chọn C Lấy đạo hàm theo hàm số y f   x  y   f   y   3 x 2  6 xy , x   . D. 7 . 4 Cho y  0  f   x   f   0   3 x 2  f   x   1  3 x 2 Vậy f  x    f   x dx  x3  x  C mà f  0   1  C  1 suy ra f  x   x 3  x  1 . 1  0 0 0 0  x4 x2  1 1 1 f  x  1dx   f  x dx    x  x  1dx     x      1  . 4 2 4  4 2  1 1 1 3 Câu 63: Cho hàm số f  x  là hàm bậc nhất thỏa mãn 1   x  1 f   x  dx  10 và 2 f 1  f  0   2 . 0 1 Tính I   f  x  dx . A. I  1 . 0 C. I  12 . Hươngd dẫn giải B. I  8 . Chọn D Gọi f  x   ax  b ,  a  0   f   x   a . Theo giả thiết ta có: +) 1 1 1 0 0 0   x  1 f   x  dx  10  a   x  1 dx  10    x  1 dx  10 3 10 20   a . a 2 a 3 34  20  +) 2 f 1  f  0   2  2.   b   b  2  b   . 3  3  20 34 Do đó, f  x   x . 3 3 1 1  20 34  Vậy I   f  x  dx    x   dx  8 . 0 0 3   3 f x  0 Câu 64: Cho hàm số   xác định trên , thỏa mãn f   x   f 1  f  2  . Tính   . A. f   1  f  2    a  b . D. I  8 . 1 f 1 a ,   và 5 x x 3 f  2   b B. f  1  f  2   a  b . C. f  1  f  2   a  b . D. f  1  f  2   b  a . Hươngd dẫn giải Chọn C 1 1 Ta có f    x    3   f   x  nên f   x  là hàm lẻ. 3 5 x  x5 x   x Do đó 2  2 f   x  dx  0  1  2 2 f   x  dx    f   x  dx . 1 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 344 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng Suy ra f  1  f   2    f  2   f 1  f   1  f  2   f  2   f 1  a  b . Câu 65: Cho hàm số f  2   b A. b  a . f  x . Giá trị của biểu thức B. a  b . Chọn A Ta có f    x   Do đó xác định trên 1 2 x  x 1 2 2 1 4   0 và thỏa mãn f   x   1 f 1 a ,   , 4 x x 2 f   1  f  2  bằng C. a  b . Hươngd dẫn giải D. a  b . 1  f   x  nên f   x  là hàm chẵn. x  x4 2  f   x  dx   f   x  dx . Suy ra f   1  f  2   f  1  f  2   f  2   f 1  f 1  f  2  1   2 2 f   x  dx  b  a   f   x  dx  b  a . 1 Câu 66: Cho hàm số y  f  x  xác định và liên tục trên  thỏa mãn đồng thời các điều kiện 1 . Tính giá trị của f  ln 2  . 2 2 2 1 B. f  ln 2    . C. f  ln 2   . D. f  ln 2   . 9 3 3 Hươngd dẫn giải f  x   0 , x   ; f   x    e x . f 2  x  , x   và f  0   A. f  ln 2   2 . 9 Chọn D ln 2 1 ln 2 f  x df  x  f  x x x  e   2 dx    e d x   2  e x f   x   e . f  x   2 f  x f  x f  x 0 0 0 x 2 ln 2 0 ln 2 1 1 1 1 1  1   3  f  ln 2   .   1  f  x 0 f  ln 2  f  0  f  ln 2  3 Câu 67: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị  C  , xác định và liên tục trên  thỏa mãn đồng thời các 2 điều kiện f  x   0 x   , f   x    x. f  x   , x   và f  0   2 . Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x  1 của đồ thị  C  là. A. y  6 x  30 . B. y  6 x  30 . C. y  36 x  30 . Hươngd dẫn giải Chọn C f   x    x. f  x    2 D. y  36 x  42 . 1 1 1 1 1 df  x  x3 f   x f  x 1 1  2  x2   2 dx   x 2 dx   2    f  x f  x f  x 3 0 f  x 0 3 0 0 0 1 1 1 1 1      f 1  6 . f 1 f  0  3 f 1 6 2 f  1  1. f 1   36 . Vậy phương trình tiếp tuyến cần lập là y  36 x  30 . Câu 68: Cho hàm số y  f  x   0 xác định, có đạo hàm trên đoạn  0;1 và thỏa mãn: x g  x   1  2018 f  t  dt , g  x   f 2  x  . Tính 0 1  g  x dx . 0 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 345 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. 1011 . 2 1009 . 2 B. Tích Phân và Ứng Dụng 2019 . 2 Hươngd dẫn giải C. Chọn A D. 505 . x Ta có g  x   1  2018 f  t  dt  g   x   2018 f  x   2018 g  x  g  x   g  x 2  0 t  2018   g  x  g  x 0 t dx  2018 dx  2 0  g  x  t 0  2018 x 0 t  g  t   1  2018t (do g  0   1 )  g  t   1009t  1 1 1 1011  1009 2  .   g  t dt   t t  2  2 0 0 y  f  x 1;1 f x  0, x   có đạo hàm và liên tục trên đoạn  , thỏa mãn   Câu 69: Cho hàm số f ' x  2 f  x  0 f 1 1 f 1 và   . Biết   , tính   . A. f  1  e 2 . B. f   1  e 3 . C. f   1  e 4 . D. f   1  3 . Hươngd dẫn giải Chọn C Biến đổi: 1 1 1 f ' x f ' x df  x  f ' x  2 f  x  0  dx   2dx    2    4  ln f  x  f  x f  x f  x 1 1 1 ln 1 1  4 f 1 f 1  4   e 4  f  1  f 1 .e 4  e 4 . f  1 f  1 Câu 70: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 đồng thời thỏa mãn f   0   9 và 2 9 f   x    f   x   x   9 . Tính T  f 1  f  0  . A. T  2  9ln 2 . B. T  9 . C. T  Hươngd dẫn giải Chọn C 2 1  9 ln 2 . 2 D. T  2  9ln 2 . f   x   1 2 Ta có 9 f   x    f   x   x   9  9  f   x   1    f   x   x     f   x   x  2  1 . 9 f   x   1 1 1 x dx   dx   C . 9 f  x  x 9  f '  x   x  1 9 9 Do f   0   9 nên C  suy ra f   x   x   f  x  x 9 x 1 x 1 Lấy nguyên hàm hai vế  1 2 1  x2  1  9   x  dx   9 ln x  1    9 ln 2  . Vậy T  f 1  f  0     x 1 2 0 2   0 y  f  x f ' x . f x  x4  x2 f 0 2 f 2 2 Câu 71: Cho hàm số thỏa mãn     . Biết   . Tính . 313 332 324 323 A. f 2  2   . B. f 2  2   . C. f 2  2   . D. f 2  2   . 15 15 15 15 Hươngd dẫn giải File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 346 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng Chọn B Ta có 2 2 2 f '  x  . f  x   x 4  x 2   f '  x  . f  x  dx    x 4  x 2  dx   f  x  df  x   0 2  2   4  136  0 0 f 2  x 136  15 2 2 0  136 15 332 . 2 15 15 Câu 72: Cho f ( x) xác định, có đạo hàm, liên tục và đồng biến trên 1; 4  thỏa mãn f f 2  2  3 . Giá trị f  4  bằng: 2 381 C. 18 Hươngd dẫn giải 2 x  2 xf  x    f   x   , x  1; 4 , f 1  A. 391 18 B. 361 18 Chọn A Biến đổi: D. 371 18 2  f   x   f  x x  2 xf  x    f   x    x 1  2 f  x     f   x      x  x. 1 2 f  x 1 2 f  x 2 4 4 f  x  1 2 f  x 1 2 4 dx   xdx  1  2 f  x   1 1 Chọn A 4 Chú ý: Nếu không nhìn được ra luôn I   1 14 14 391  1  2 f  4   2   f  4  . 3 3 18 f  x 1 2 f  x dx  1  2 f  x  4 1  1  2 f  4   2 thì ta có thể sử dụng kỹ thuật vi phân hoặc đổi biến (bản chất là một). 4 4 4 1 4 f ' x df  x   1 dx   + Vi phân:    1  2 f  x   2 d 1  2 f  x    1  2 f  x  . 1 21 1 1 2 f  x 1 1 2 f  x + Đổi biến: Đặt t  1  2 f  x   t 2  1  2 f  x   tdt  f   x  dx với x  1  t  1  2 f 1  2; x  4  t  1  2 f  4  . 1 2 f  4 Khi đó I   2 tdt  t 1 2 f  4 dt  t 2  2 1 2 f  4   1  2 f  4  2 . y  f  x f x 0;   Câu 73: Cho hàm số có   liên tục trên nửa khoảng  thỏa mãn 2 x 3 f  x   f   x   1  3.e . Khi đó: 1 1 1 1 A. e3 f 1  f  0   B. e3 f 1  f  0    .  . 2 2 e 3 2 2 e 3 4 3 C. e f 1  f  0  e  2  3 e 2  3  8 3 Chọn C Ta có: 3 f  x   f   x   1  3.e 2 x  . D. e3 f 1  f  0    e 2  3  e 2  3  8 . Hươngd dẫn giải e2 x  3  3e3 x f  x   e3x f   x   e2 x e2 x  3 . x e   e3 x f  x    e2 x e 2 x  3 . File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 347 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lấy tích phân từ 0 đến 1 hai vế ta được 1 1   e3 x f  x    0 3  2x e 3 3 1  1 1 0 0 Tích Phân và Ứng Dụng  3x 2x 2x  e f  x  dx   e e  3 dx  e3 f 1  f  0   e 2  3 e 2  3  8 3 0 . Câu 74: Cho hàm số f liên tục, f  x   1 , f  0   0 và thỏa f   x  x 2  1  2 x f  x   1 . Tính f  3 . A. 0 . B. 3 . C. 7 . Hươngd dẫn giải Chọn B Ta có f   x  x 2  1  2 x f  x   1  3  f  x  f  x 1 0  f dx   3  1  3  0 2x x2  1 dx  f  0  1  1  f  x f  x  1 f  x 1 f 3 0  D. 9 . 2x x2  1  x2  1 3 0  f  x 1 3 0 1  3  1  2  f  3   3 . 1 Câu 75: Cho hàm số f  x   0 thỏa mãn điều kiện f   x    2 x  3  f 2  x  và f  0    . Biết rằng 2 a a tổng f 1  f  2   f  3  ...  f  2017   f  2018   với  a  , b  *  và là phân b b số tối giản. Mệnh đề nào sau đây đúng? a a A.  1 . B.  1 . C. a  b  1010 . D. b  a  3029 . b b Hươngd dẫn giải Chọn D f  x Ta có f   x    2 x  3  f 2  x   2  2x  3 f  x  f  x 1 dx    2 x  3  dx    x 2  3x  C . f  x f  x 1 Vì f  0     C  2 . 2 1 1 1 Vậy f  x      .  x  1 x  2  x  2 x  1 Do đó f 1  f  2   f  3  ...  f  2017   f  2018  1 1 1009   . 2020 2 2020 Vậy a  1009 ; b  2020 . Do đó b  a  3029 . ax  b Câu 76: Biết luôn có hai số a và b để F  x    4a  b  0  là nguyên hàm của hàm số f  x  x4 và thỏa mãn: 2 f 2  x    F  x   1 f   x  . Khẳng định nào dưới đây đúng và đầy đủ nhất? A. a  1 , b  4 . B. a  1 , b  1 . Chọn C C. a  1 , b   4 . Hươngd dẫn giải File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. a   , b   . Trang 348 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ta có F  x   Do đó: 2 f 2 Tích Phân và Ứng Dụng ax  b 4a  b 2b  8a là nguyên hàm của f  x  nên f  x   F   x   và f   x   . 2 3 x4  x  4  x  4  x    F  x   1 f   x   2  4a  b  4 2  ax  b  2b  8a   1 3  x4   x  4  x  4  4 a  b    ax  b  x  4    x  4 1  a   0  a  1 (do x4 0) Với a  1 mà 4a  b  0 nên b  4 . Vậy a  1 , b   4 . Chú ý: Ta có thể làm trắc nghiệm như sau: + Vì 4a  b  0 nên loại được ngay phương án A: a  1 , b  4 và phương án D: a   , b   . + Để kiểm tra hai phương án còn lại, ta lấy b  0 , a  1 . Khi đó, ta có x 4 8 F  x  , f  x  , f  x   . 2 3 x4  x  4  x  4 Thay vào 2 f 2  x    F  x   1 f   x  thấy đúng nên Chọn C y  f  x 1; 2 f 1 4 Câu 77: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên   thỏa mãn   và 3 2 f  x   xf   x   2 x  3 x f 2 . Tính   A. 5 . B. 20 . C. 10 . D. 15 . Hươngd dẫn giải Chọn B xf   x   f  x   f  x   3 2 Do x  1; 2  nên f  x   xf   x   2 x  3 x   2x  3     2x  3 x2  x  f  x   x 2  3x  C . x Do f 1  4 nên C  0  f  x   x 3  3 x 2 . Vậy f  2   20 . x    trên   ;  và F  x  là một nguyên hàm của xf   x  thỏa mãn 2 cos x  2 2    F  0   0 . Biết a    ;  thỏa mãn tan a  3 . Tính F  a   10 a 2  3a .  2 2 1 1 1 A.  ln10 . B.  ln10 . C. ln10 . D. ln10 . 2 4 2 Hươngd dẫn giải Chọn C Ta có: F  x    xf   x  dx   xd f  x   xf  x    f  x  dx Câu 78: Cho f  x   Ta lại có: x  f  x  dx   cos 2 dx =  xd  tan x   x tan x   tan xdx  x tan x   sin x dx cos x x 1  x tan x   d  cos x   x tan x  ln cos x  C  F  x   xf  x   x tan x  ln cos x  C cos x Lại có: F  0   0  C  0 , do đó: F  x   xf  x   x tan x  ln cos x .  F  a   af  a   a tan a  ln cos a File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 349 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khi đó f  a    cos a  1 . 10 Tích Phân và Ứng Dụng 1 a 1  a 1  tan 2 a   10a và  1  tan 2 a  10  cos 2 a  2 2 cos a cos a 10 1 1  10a 2  3a  ln10 . 2 10 Câu 79: Cho hàm số y  f  x  xác định và liên tục trên  thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau Vậy F  a   10 a 2  3a  10a 2  3a  ln f  x   0 , x   , f   x    e x . f 2  x  x   và f  0   1 . Phương trình tiếp tuyến của 2 đồ thị tại điểm có hoành độ x0  ln 2 là A. 2 x  9 y  2 ln 2  3  0 . B. 2 x  9 y  2 ln 2  3  0 . C. 2 x  9 y  2 ln 2  3  0 . D. 2 x  9 y  2 ln 2  3  0 . Hươngd dẫn giải Chọn A ln 2 ln 2  f  x   1  f  x  Ta có f   x    e . f  x    2  e x    2 d x e x dx      f  x  f  x 0  0  f  x   ln 2  ex  2 x 1 1 1   1  f  ln 2   . f  ln 2  f  0  3 0 ln 2 0 2 2 1 Từ đó ta có f   ln 2    e ln 2 f 2  ln 2   2.     . 9 3 2 1 Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y    x  ln 2    2 x  9 y  2 ln 2  3  0 . 9 3 Câu 80: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 , f  x  và f   x  đều nhận giá trị dương trên đoạn  0;1 và thỏa mãn f  0   2 , 1 1  f   x  .  f  x   2  1 dx  2   0  0  15 A. . 4 15 B. . 2 Chọn D 1 1 2    f   x  .  f  x    1 dx  2    0 0 3   f  x  dx . 0 2 0  f   x  .  f  x    1 dx  20 1 1 17 C. . 2 Hươngd dẫn giải 1 Theo giả thiết, ta có 1 f   x  . f  x  dx . Tính D. 19 . 2 f   x  . f  x  dx f   x  . f  x  dx  0 1 2 2    f   x  .  f  x    2 f   x  . f  x   1 dx  0    f   x  . f  x   1 dx  0     0 0  f   x . f  x  1  0  f 2  x  . f   x   1  Vậy f 3  x   3 x  8 . 1 1 f 3  x 8  x  C . Mà f  0   2  C  . 3 3 1  3x 2  19 Vậy   f  x   dx    3x  8 dx    8x   .  2 0 2 0 0 3 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 350 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng Câu 81: Cho f ( x) không âm thỏa mãn điều kiện f ( x). f '( x )  2 x f 2 ( x)  1 và f (0)  0 . Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y  f ( x ) trên 1;3 là A. 22 B. 4 11  3 Chọn D Biến đổi: f ( x). f '( x)  2 x f 2 ( x )  1  Với f (0)  0  C  1  D. 3 11  3 C. 20  2 Hươngd dẫn giải f ( x ). f '( x) 2 f ( x)  1 f ( x ). f '( x )  2x   2 f ( x)  1 dx   2 xdx  f 2 ( x)  1  x 2  C f 2 ( x )  1  x 2  1  f 2 ( x )  x 4  2 x 2  g ( x) Ta có: g '( x )  4 x 3  4 x  0, x  1;3 . Suy ra g ( x) đồng biến trên 1;3 f ( x )0  3  f ( x)  3 11 Suy ra: g (1)  g ( x)  f 2 ( x)  g  3  3  f 2 ( x)  99  min f ( x)  3  1;3   Max f ( x )  3 11  3 Chú ý: Nếu không tìm được ra luôn  f ( x ). f '( x) 2 f ( x)  1 dx  f 2 ( x)  1  C thì ta có thể sử dụng kĩ thuật vi phân hoặc đổi biến (bản chất là một) 1 f ( x ). f '( x ) f ( x) 1 +) Vi phân:  dx   d  f ( x )     f 2 ( x)  1 2 d  f 2 ( x )  1  2 f 2 ( x)  1 f 2 ( x)  1 f 2 ( x)  1  C + Đổi biến: Đặt t  f 2 ( x )  1  t 2  f 2 ( x)  1  tdt  f ( x) f '( x)dx f ( x ). f '( x ) tdt Suy ra:  dx     dt  t  C  f 2 ( x)  1  C 2 t f ( x)  1 Câu 82: Cho hàm số f  x  có đạo hàm và đồng biến trên  thỏa mãn f  0   1 và  f   x 2 1  e x f  x  , x   . Tính tích phân  f  x  dx bằng 0 A. e  2 . B. e  1 . C. e 2  2 . Hươngd dẫn giải Chọn B 2 Biến đổi  f   x    e f  x   x 1  f   x   f  x x 2  ex  f  x f  x  ex   D. e2  1 . f  x f  x dx   e x dx x    f  x   2 df  x    e 2 dx  2 f  x   2e 2  C Vì f  0   1  C  0  Suy ra 1 f  x  e 0  f  x  ex 1 1  f  x  dx   edx  e 0 x 2  e 1 x 0 y  f  x  0 Câu 83: Cho hàm số xác định và liên tục trên thỏa mãn 2 2 x f  x    2 x  1 f  x   xf   x   1 x   0 f 1  2 với và   . Tính 1 A.   ln 2 . 2 3 B.   ln 2 . 2 ln 2 C. 1  . 2 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay 2  f  x  dx . 1 3 ln 2 D.   . 2 2 Trang 351 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng Hươngd dẫn giải Chọn A 2 Ta có x 2 f 2  x    2 x  1 f  x   xf   x   1   xf  x   1  f  x   xf   x * Đặt h  x   f  x   xf   x   h  x   f  x   xf   x  , khi đó *  có dạng h 2  x   h  x   h  x  h  x  dh  x  1  1  dx  1 dx   xC    xC 2 2 2    h  x h  x h  x h  x 1 1  xf  x   1   xC xC 1 Vì f 1   2 nên 2  1   C 0 1 C 1 1 1 Khi đó xf  x   1    f  x    2  x x x 2 2 2 1  1 1 1  Suy ra:  f  x  dx     2  dx    ln x     ln 2 2 x x x 1 1 1  h  x   Câu 84: Cho hàm số y  f  x  . Có đạo hàm liên tục trên  . Biết f 1  e và  x  2  f  x   xf   x   x 3 , x   . Tính f  2  . A. 4e 2  4e  4 . Chọn D B. 4e2  2e  1 . C. 2e3  2e  2 . Hươngd dẫn giải D. 4e 2  4e  4 .  e  x f  x   xf   x    x  2  f  x  x 1   Ta có:  x  2  f  x   xf   x   x   e 2 x3 x   2 2  e  x f  x   Suy ra   d x  e x dx  2  x 1  1  2 1 e f  2  e f 1      e 2  e1  22 12 e 2 f  2  e 1 f 1    e 1  e 2 4 1  f  2   4  ef 1  e  1  4e2  4e  4 . 3 Câu 85: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 và thỏa mãn f  0   0 . Biết 1  0 A. 9 f  x  dx  và 2 2 1 .  Chọn C Ta có 1 1 x 3 0 f   x  cos 2 dx  4 . Tích phân 4 6 B. . C. .   Hươngd dẫn giải 1  0 1  f  x  dx bằng 0 D. 2 .  1 1 x x x  x f   x  cos dx   cos d  f  x    cos . f  x    sin . f  x  dx 2 2 2 2 0 0 2 0 1   x sin .f  x  dx .  20 2 1 Suy ra  sin 0 x 3 . f  x  dx  2 2 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 352 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 2 1 1 x 1 1  Mặt khác   sin d  x 1- cos  x  dx  .   2  20 2 0 Do đó 1 2 1 1 x  x  f  x  dx  2  3sin f  x  dx   3sin dx  0 . 2 2  0 0  2  0 2 1 x x  hay   f  x   3sin . dx  0 suy ra f  x   3sin  2 2  0  1 Vậy  0 1 1 f  x  dx   3sin 0 x 6 x 6 dx   cos  .  2 2 0  Câu 86: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn  0; 1 , thỏa mãn 1 1  0 1   f  x  2 0 A. 1. 1 0 3 dx  4 . Giá trị của tích phân   f  x   dx bằng 0 B. 8 . Chọn C Xét f  x  dx   xf  x  dx  1 và 1 C. 10 . Hươngd dẫn giải 1 2 2 D. 80 . 1 1 2   f  x    ax  b  dx    f  x  dx  2  f  x  .  ax  b   dx    ax  b  dx 0 0 1 1 0 0 0 0 1  4  2a  xf  x  dx  2b  f  x  dx  2 a 1 3  ax  b   4  2  a  b    ab  b 2 . 3a 3 0 a2   2  b  a  b 2  2b  4  0 Cần xác định a, b để 3 2  b  2 4 2 2 Ta có:   b  4b  4   b  2b  4    0  b  2  a  6 . 3 3 1 Khi đó:   f  x    6 x  2  2 dx  0  f  x   6 x  2 0 1 1 1 1 4 Suy ra   f  x   dx    6 x  2  dx   6 x  2   10 . 24 0 0 0 3 3 Câu 87: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn [1, 2] và thỏa mãn f  x   0 khi x  1, 2  . Biết 2 2 1 1 A. f  2   10 . Ta có: 2  1 2  1 f' x    f '  x  dx  10 và  f  x  dx  ln 2 . Tính f  2  . B. f  2   20 . C. f  2   10 . Hươngd dẫn giải: D. f  2   20 . 2 f '  x  dx  f  x  1  f  2   f 1  10 (gt) 2 f ' x f 2 dx  ln  f  x    ln  f  2    ln  f 1   ln  ln 2 (gt) 1 f  x f 1  f  2   f 1  10  f  2   20  Vậy ta có hệ:  f  2    f 1 2  f 1  10    Chọn B File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 353 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng Câu 88: Cho hàm số f  x  có đạo hàm và liên tục trên đoạn  4;8 và f  0   0 với  x   4;8 . Biết 2 8 A. 5 . 8  f   x   1 1 dx  1 và f  4   , f  8   . Tính f  6  . rằng   4 4 2 4   f  x   B. 2 . 3 3 . 8 Hươngd dẫn giải C. Chọn D +) Xét 8  4 D. 1 . 3 8  1 f  x df  x  1 8 1  dx        4 f 2  x  f  x  4  f 8 f  4      2  4   2 . f 2  x   8 2  f  x  +) Gọi k là một hằng số thực, ta sẽ tìm k để   2  k  dx  0 . f  x 4  2 2 8 8 8 8  f   x    f  x  f  x 2 2   k  dx   Ta có:   2 dx  2k  2 dx  k  dx  1  4k  4k 2   2k  1 . 4  f  x f  x 4 4  4 4   f  x   2 8 6 6  f  x 1  f  x 1 f  x 1 1 Suy ra: k   thì   2   dx  0  2   2 dx   dx 2 f  x  2  f x 2 f  x 24 4 4 6 df  x  1 6 1 1 1 1  2 1  1  1 4   1  f  6  . f  x f  x 4 f  4  f  6 f  6 3 4 Chú ý: b  f  x  dx  0 không được phép suy ra f  x   0 , nhưng a b 2k  f  x  dx  0  f  x   0 . a Câu 89: Cho hàm số f  x  có đạo hàm xác định, liên tục trên đoạn  0;1 đồng thời thỏa mãn các 2 điều kiện f   0    1 và  f   x    f   x  . Đặt T  f 1  f  0  , hãy chọn khẳng định đúng? B. 1  T  0 . C. 0  T  1 . D. 1  T  2 . A. 2  T  1 . Hươngd dẫn giải Chọn A 1 Ta có: T  f 1  f  0    f   x  dx 0 2 Lại có:  f   x    f   x   1    x  c   1    1    2  f   x    f  x  f   x  1 1  f  x  . f  x x  c Mà f   0    1 nên c  1 . 1 1 0 0 Vậy T   f   x  dx   1 1 dx   ln  x  1 0   ln 2 . x 1  f  x   0,  x ,  Câu 90: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm cấp 2 liên tục trên  thoả  f  0   f   0   1, .  2 2  xy  y   yy,  x  . Mệnh đề nào sau đây đúng? File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 354 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. 1  ln f 1  1 . 2 Tích Phân và Ứng Dụng 1 3 . C.  ln f 1  2 . 2 2 Hươngd dẫn giải B. 0  ln f 1  Chọn D D. 1  ln f 1  3 . 2 f  x  x2 y y  y2  y  y x2  x    C hay  C .   x   y2 y 2 f  x 2  y Lại có f  0   f   0   1  C  1 . Ta có xy 2  y2  yy  1 1 f  x 1 f  x  x2  x2  7 7  1   dx     1 dx  ln  f  x     ln f 1  . 0 f  x 2 f  x 2 6 6  0 0 3  1  ln  f 1   . 2 Ta có Câu 91: Cho f , g là hai hàm liên tục trên 1;3 thỏa mãn điều kiện 3   f  x   3g  x  dx  10 đồng 1 thời 3 3  2 f  x   g  x  dx  6 . Tính   f  x   g  x  dx . 1 A. 9 . Chọn B 1 B. 6 . 3 3 1 1 C. 7 . Hươngd dẫn giải Đặt a   f  x  dx , b   g  x  dx . Khi đó D. 8 . 3   f  x   3g  x  dx  10  a  3b  10 , 1 3  2 f  x   g  x  dx  6  2a  b  6 . 1 a  3b  10 a  4 Do đó:  . Vậy   2a  b  6 b  2 3   f  x   g  x  dx  a  b  6 . 1 Câu 92: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  a; b  , nếu a  d  b ) thì d d a b  f  x  dx  5 và  f  x  dx  2 (với b  f  x  dx bằng. a A. 3 . B. 7 . 5 . 2 Hươngd dẫn giải C. D. 10 . Chọn A d  f  x  dx  5 b  F  d   F  a   5 a   F b  F a  3      d  a f  x  dx .  f x dx  2  F  d   F  b   2    b Câu 93: Cho f  x  và g  x  là hai hàm số liên tục trên đoạn 1;3 , thỏa mãn: 3 3 3   f  x   3g  x  dx  10 và  2 f  x   g  x  dx  6 . Tính I    f  x   g  x   dx 1 A. I  8 . Chọn C 1 B. I  9 . C. I  6 . Hươngd dẫn giải 1 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. I  7 . Trang 355 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 3 3  f x  3 g x  d x  10         f  x  dx  4  3 1 1  3 Ta có:  3  I    f  x   g  x   dx  6 . 1   g x dx  2   2 f  x   g  x   dx  6    1 1 Câu 94: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f   x  liên tục trên đoạn  0;5 và đồ thị hàm số y  f   x  trên đoạn  0;5 được cho như hình bên. y 1 O 3 5 x 5 Tìm mệnh đề đúng A. f  0   f  5   f  3  . B. f  3   f  0   f  5  . C. f  3   f  0   f  5  . D. f  3   f  5   f  0  . Hươngd dẫn giải Chọn C Ta có 5  f   x  dx  f  5  f  3  0 , do đó f  5   f  3 . 3 3  f   x  dx  f  3  f  0   0 , do đó f  3  f  0  0 5  f   x  dx  f  5  f  0   0 , do đó f  5   f  0  0 Câu 95: Cho hàm số f  x  liên tục và có đạo hàm tại mọi x   0;   đồng thời thỏa mãn điều kiện: f  x   x  sin x  f '  x    cos x và 3 2  f  x  sin xdx  4. Khi đó, f   nằm trong khoảng  2 nào? A.  6; 7  . B.  5; 6  . Chọn B Ta có: C. 12;13  . Hươngd dẫn giải D. 11;12  . f  x   x  sin x  f   x    cos x  f  x    1 f  x 1 f  x   xf   x  sin x cos x    cos x   cos x  c        x2 x x2 x x   x  x  f  x   cos x  cx Khi đó: 3 2 3 2  2  2  f  x  sin xdx  4    cos x  cx  sin xdx  4 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 356 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A  3 2 3 2  2  2 Tích Phân và Ứng Dụng  cos x sin xdx  c  x sin xdx  4  0  c  2   4  c  2  f  x   cos x  2 x  f     2  1   5; 6  .   Câu 96: Cho hàm số f  x  xác định trên  0;  thỏa mãn  2  2    f  x   2 2 0 A.   2  . Tích phân 2 f  x  sin  x    d x  4  2   . 4  f  xd x bằng 0 C. 1. B. 0 . D. Hươngd dẫn giải Chọn B Ta có:  2  2  2sin 0 2  2  . 2  2        x  4  d x   1  cos  2 x  2   d x   1  sin 2 x  d x     0  0  1   2  2 .   x  cos 2 x   2 2  0  2  2  2    2      Do đó:   f 2  x   2 2 f  x  sin  x    d x   2sin 2  x   d x   0 4 4 2 2       0 0  2          f 2  x   2 2 f  x  sin  x    2sin 2  x    d x  0 4 4    0   2 2        f  x   2 sin  x    d x  0 4   0      Suy ra f  x   2 sin  x    0 , hay f  x   2 sin  x   . 4 4   Bởi vậy:  2  2 0 0  f  x d x     2   2 sin  x   d x   2 cos  x    0 . 4 40   Câu 97: Cho hàm số y  f ( x ) liên tục trên  thỏa mãn 3 f  x   f  2  x   2  x  1 e x 2  2 x 1  4 . Tính 2 tích phân I   f  x  dx ta được kết quả: 0 A. I  e  4 . B. I  8 . C. I  2 . D. I  e  2 . Đề ban đầu bị sai vì khi thay x  0 và x  2 vào ta thấy mâu thuẫn nên tôi đã sửa lại đề Hươngd dẫn giải Chọn C Theo giả thuyết ta có 2 2  3 f  x   f  2  x   dx   2  x  1 e 0 Ta tính 0 2 2 2 0 0 0 x 2  2 x 1