Chuyên đề nguyên hàm – tích phân và ứng dụng – Bùi Trần Duy Tuấn

Giới thiệu Chuyên đề nguyên hàm – tích phân và ứng dụng – Bùi Trần Duy Tuấn

Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và bạn đọc Chuyên đề nguyên hàm – tích phân và ứng dụng – Bùi Trần Duy Tuấn CHƯƠNG NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN.

Chuyên đề nguyên hàm – tích phân và ứng dụng – Bùi Trần Duy Tuấn

Tài liệu môn Toán 12 và hướng dẫn giải chi tiết các đề thi từ cơ bản đến vận dụng cao sẽ luôn được cập thường xuyên từ hoctoanonline.vn , các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán hay và mới nhất.

Tài liệu Chuyên đề nguyên hàm – tích phân và ứng dụng – Bùi Trần Duy Tuấn

Các em học sinh và bạn đọc tìm kiếm thêm tài liệu Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng tại đây nhé.

Text Chuyên đề nguyên hàm – tích phân và ứng dụng – Bùi Trần Duy Tuấn
H O T Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna “Nơi nào có ý chí, nơi đó có con đường.” Tài liệu gồm 321 trang bao gồm các chủ đề sau: Chủ đề 1. Nguyên hàm Chủ đề 2. Tích Phân Chủ đề 3. Ứng dụng của Tích Phân Bố cục của các chủ đề gồm các phần sau: 1. Kiến thức cơ bản cần nắm 2. Các dạng toán và phương pháp giải (kèm theo các bài toán minh họa) 3. Thủ thuật Casio giải nhanh 3. Bài tập trắc nghiệm rèn luyện (có lời giải chi tiết) Tài liệu được tôi sưu tầm và biên soạn để làm tư liệu cho các em lớp 12 ôn thi kỳ thi THPT Quốc gia tham khảo, giúp các em ôn lại kiến thức nhanh chóng và hiệu quả hơn. Trong quá tình tổng hợp và biên soạn không tránh khỏi những sai sót đáng tiếc do số lượng kiến thức và bài tập khá nhiều. Mong các đọc giả thông cảm và đóng góp ý kiến để những tài liệu sau của tôi được chỉnh chu hơn! Mọi đóng góp và liên hệ về tài liệu xin gửi về: Facebook: https://web.facebook.com/duytuan.qna. Gmail: [email protected] Truy cập Website: https://toanhocplus.blogspot.com/ để xem thêm các chuyên đề luyện thi đại học khác của tôi biên soạn. Xin chân thành cảm ơn!!! Quảng Nam – 18.05.2018 Tác giả: Bùi Trần Duy Tuấn  https://toanhocplus.blogspot.com Lời nói đầu Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna MỤC LỤC CHỦ ĐỀ 1: NGUYÊN HÀM ………………………………………………………………………………………….. 6 A. KIẾN THỨC CẦN NẮM………………………………………………………………………………………………………. 6 I. NGUYÊN HÀM………………………………………………………………………………………………………………….. 6 II. TÍNH CHẤT ……………………………………………………………………………………………………………………… 6 III. SỰ TỒN TẠI CỦA NGUYÊN HÀM ………………………………………………………………………………….. 6 IV. BẢNG NGUYÊN HÀM CỦA MỘT SỐ THƯỜNG GẶP…………………………………………………….. 6 B. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM VÀ NHỮNG DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ……. 8 I. TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… 8 1. Phương pháp chung …………………………………………………………………………………………………………. 8 2. Một số dạng toán và bài toán minh họa ……………………………………………………………………………….. 8 a. Tìm nguyên hàm các đa thức, lũy thừa, mũ, các hàm chứa căn …………………………………………. 8 b. Tìm nguyên hàm của hàm hữu tỉ ……………………………………………………………………………….. 10 c. Tìm nguyên hàm của hàm lượng giác………………………………………………………………………….. 13 3. Bài tập tự luyện …………………………………………………………………………………………………………….. 15 II. TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ …………………………………………… 17 1. Phương pháp đổi biến số dạng 1……………………………………………………………………………………….. 17 2. Phương pháp đổi biến số dạng 2……………………………………………………………………………………….. 22 3. Bài tập tự luyện …………………………………………………………………………………………………………….. 24 III. TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN …………………………………………. 28 1. Phương pháp ………………………………………………………………………………………………………………… 28 2. Một số bài toán minh họa và các kĩ thuật tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần………….. 28 Kỹ thuật chọn hệ số …………………………………………………………………………………………………… 30 Kỹ thuật tích phân từng phần bằng phương pháp đường chéo ………………………………………….. 31 3. Bài tập tự luyện …………………………………………………………………………………………………………….. 37 IV. TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG TỔNG HỢP CÁC PHƯƠNG PHÁP ……………………………………. 39 1. Một số bài toán minh họa ………………………………………………………………………………………………… 39 2. Bài tập tự luyện …………………………………………………………………………………………………………….. 42 C. THỦ THUẬT CASIO TÌM NHANH NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ …………………………………… 43 I. KIẾN THỨC CẦN NẮM …………………………………………………………………………………………………… 43 II. MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA ĐIỂN HÌNH ………………………………………………………………… 43 D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM …………………………………………………………………………………………………… 50 I. ĐỀ BÀI……………………………………………………………………………………………………………………………… 50 II. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT ……………………………………………………………………. 71  https://toanhocplus.blogspot.com Mục lục Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna CHỦ ĐỀ 2: TÍCH PHÂN …………………………………………………………………………………………….. 104 A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM ……………………………………………………………………………………. 104 I. ĐỊNH NGHĨA ………………………………………………………………………………………………………………… 104 II. TÍCH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN……………………………………………………………………………………… 104 B. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN………………………………………………………………………… 105 I. PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH, DÙNG VI PHÂN VÀ SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN ……………………………………………………………………………………………………………………………….. 105 1. Kiến thức và kỹ năng ……………………………………………………………………………………………………. 105 2. Một số bài toán minh họa ………………………………………………………………………………………………. 105 3. Bài tập tự luyện …………………………………………………………………………………………………………… 109 II. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN …………………………………………………………………………………………… 110 1. Phương pháp đổi biến số dạng 1……………………………………………………………………………………… 110 Bài tập tự luyện ………………………………………………………………………………………………………. 114 2. Phương pháp đổi biến số dạng 2……………………………………………………………………………………… 117 Bài tập tự luyện ………………………………………………………………………………………………………. 119 3. Phương pháp đổi biến cho một số hàm đặc biệt………………………………………………………………….. 122 Bài tập tự luyện ………………………………………………………………………………………………………. 125 III. PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN ……………………………………………………………………………………. 128 1. Phương pháp ………………………………………………………………………………………………………………. 128 2. Một số bài toán minh họa và các kĩ thuật tính tích phân từng phần ……………………………………… 128 3. Bài tập tự luyện …………………………………………………………………………………………………………… 135 C. TÍNH TÍCH PHÂN CÁC DẠNG HÀM SỐ THƯỜNG GẶP ……………………………………………….. 138 I. HÀM HỮU TỈ …………………………………………………………………………………………………………………. 138 1. Phương pháp ………………………………………………………………………………………………………………. 138 2. Một số bài toán minh họa ………………………………………………………………………………………………. 139 3. Bài tập tự luyện …………………………………………………………………………………………………………… 146 II. HÀM LƯỢNG GIÁC ……………………………………………………………………………………………………… 148 1. Biến đổi và đổi biến cơ bản đưa về tích phân cơ bản …………………………………………………………… 148 2. Hữu tỉ hóa tích phân hàm lượng giác ………………………………………………………………………………. 154 3. Bài tập tự luyện …………………………………………………………………………………………………………… 157 III. HÀM VÔ TỶ ………………………………………………………………………………………………………………… 160 1. Phương pháp ………………………………………………………………………………………………………………. 160 2. Một số bài toán minh họa ………………………………………………………………………………………………. 161 3. Bài tập tự luyện …………………………………………………………………………………………………………… 166 IV. HÀM CHỨA TRỊ TUYỆT ĐỐI ………………………………………………………………………………………. 168 1. Phương pháp ………………………………………………………………………………………………………………. 168 2. Một số bài toán minh họa ………………………………………………………………………………………………. 168 3. Bài tập tự luyện …………………………………………………………………………………………………………… 171  https://toanhocplus.blogspot.com Mục lục Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna D. THỦ THUẬT CASIO TÍNH NHANH BÀI TOÁN TÍCH PHÂN …………………………………………. 172 I. TÍNH NHANH TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH………………………………………………………………………… 172 1. Lệnh tính tích phân ………………………………………………………………………………………………………. 172 2. Một số bài toán minh họa ………………………………………………………………………………………………. 172 II. GIẢI NHANH BÀI TOÁN TÍCH PHÂN CHỐNG CASIO……………………………………………….. 176 1. Kiến thức nền tảng ………………………………………………………………………………………………………. 176 2. Một số bài toán minh họa ………………………………………………………………………………………………. 176 E. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM …………………………………………………………………………………………………. 188 I. ĐỀ BÀI……………………………………………………………………………………………………………………………. 188 II. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT ………………………………………………………………….. 210 CHỦ ĐỀ 3. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN ……………………………………………………….. 243 A. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG……………………………………… 243 I. LÝ THUYẾT CẦN NẮM …………………………………………………………………………………………………. 243 II. MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA…………………………………………………………………………………… 245 1. Một số bài toán về tính diện tích giới hạn bởi các đường cho trước ………………………………………. 245 2. Một số bài toán về ứng dụng tích phân tính diện tích trong thực tế ……………………………………… 250 B. TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ VÀ THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY ………………………………………… 255 I. LÝ THUYẾT CẦN NẮM …………………………………………………………………………………………………. 255 1. Tính thể tích vật thể ……………………………………………………………………………………………………… 255 2. Tính thể tích khối tròn xoay …………………………………………………………………………………………… 255 II. MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA…………………………………………………………………………………… 256 1. Một số bài toán tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường cho trước …… 256 2. Một số bài toán tính thể tích vật thể và thể tích khối tròn xoay trong thực tế …………………………. 259 C. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG CÁC LĨNH VỰC KHÁC ……………………………………. 264 I. MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN LƯU Ý…………………………………………………………………………………. 264 II. MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA…………………………………………………………………………………… 264 D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM …………………………………………………………………………………………………. 268 I. ĐỀ BÀI……………………………………………………………………………………………………………………………. 268 1. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH ……………………………………………………………. 268 2. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍCH THỂ TÍCH ………………………………………………………………. 276 3. ỨNG DỤNG KHÁC CỦA TÍCH PHÂN …………………………………………………………………….. 284 II. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI ………………………………………………………………………………….. 289 1. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH ……………………………………………………………. 289 2. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍCH THỂ TÍCH ………………………………………………………………. 305 3. ỨNG DỤNG KHÁC CỦA TÍCH PHÂN …………………………………………………………………….. 315  https://toanhocplus.blogspot.com Mục lục Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Chuû ñeà 1 NGUYEÂN HAØM  A. KIẾN THỨC CẦN NẮM I. NGUYÊN HÀM 1. Định nghĩa: Cho hàm số f  x  xác định trên K ( K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số F  x  được gọi là nguyên hàm của hàm số f  x  trên K nếu F ‘  x   f  x  với mọi x  K . 2. Định lí: Giả sử hàm số F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  trên K . Khi đó: 1) Với mỗi hằng số C , hàm số F  x   C cũng là một nguyên hàm của f  x  trên K . 2) Ngược lại, với mỗi nguyên hàm G  x của f  x trên K thì tồn tại một hằng số C sao cho G  x  F  x  C với mọi x  K . Do đó F  x   C , C   là họ tất cả các nguyên hàm của f  x  trên K . Ký hiệu  f  x  dx  F  x   C Nhận xét: Nếu F  x  và G  x  cùng là nguyên hàm của hàm số f  x  trên K thì: (i) F   x   G  x  , x  K (ii) F  x   G  x   C , với C là hằng số nào đó II. TÍNH CHẤT    f   x  dx  f  x   C  k. f  x  dx  k  f  x  dx  k  0  •   f  x  dx   f  x  •   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx 1  f  x  dx  F  x   C . Khi đó:  f  ax  b  dx  a F  ax  b   C  a  0   Cho III. SỰ TỒN TẠI CỦA NGUYÊN HÀM Định lí: Mọi hàm số f  x  liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K . IV. BẢNG NGUYÊN HÀM CỦA MỘT SỐ THƯỜNG GẶP Nguyên hàm của hàm số Nguyên hàm của hàm số sơ cấp hợp u  u  x     dx  x  C  du  u  C x 1 x dx   C   1   1 u 1 u du   C   1   1  1  x dx  ln x  C  1  u du  ln u  C  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 6 Nguyên hàm của hàm số hợp  u  ax  b; a  0   d  ax  b   ax  b  C  1 1  ax  b  ax  b dx   C   1    a  1 1 1  ax  b dx  a .ln ax  b  C  Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn 1 1 dx    C x x 2  x dx  x 1 2 x x C 3  e dx  e x https://facebook.com/duytuan.qna 1 du    C u 2  2 u du  u u  C 3 u C  e du  e ax  C  a  0, a  1 ln a  u u 1  ax  b  e au  C  a  0, a  1 ln a 1 1 du   . C a ax  b 1 2 ax  b dx  .  ax  b  ax  b  C a 3  C 2 ax  b 1 dx  e ax  b  C a  sin xdx   cos x  C  sin udu   cos u  C  cos xdx  sin x  C  cos udu  sin u  C  tan x.dx   ln cos x  C  tan u.du   ln cos u  C  cot x.dx  ln sin x  C  cot u.du  ln sin u  C 1 a mx  n  C m ln a 1  sin  ax  b  dx   a cos  ax  b   C 1  cos  ax  b  dx  a  sin  ax  b   C 1  tan  ax  b  dx   a ln cos  ax  b   C 1  cot  ax  b  dx  a ln sin  ax  b   C 1  sin 2 x dx   cot x  C 1  sin 2 u du   cot u  C  sin  ax  b  dx   a cot  ax  b   C x  a dx  1  cos 2 x 1 dx  tan x  C 1 u  a du   cos x u 1 1 1 1  cos  ax  b  dx  a tan  ax  b   C 2 u dx 1 dx 1  sin  ax  b   a ln tg  sin u du  ln tan 2  C x   1 2 du  tan u  C 1  sin x dx  ln tan 2  C 1 2 mx  n  a dx  u   ax  b C 2  cos x dx  ln tan  2  4   C  cos u du  ln tan  2  4   C  cos  ax  b   a ln tan ax  b   C 2 4 * Một số công thức tìm nhanh nguyên hàm của các hàm phức tạp:  1 1 dx   2 ax  b  C a ax  b  dx 1 x  arctg  C 2 a a x  arcsin a dx  x arcsin a  dx 1 ax  ln C 2 2a a  x x  arccos a dx  x arccos a  a 2 a 2   dx 2 x a 2 dx 2 a x 2  ln  x  x 2  a 2   C  arcsin x C a x x a2  x2  C x x a2  x2  C x x a 2  x2   C x x a 2  x2   C 1 a  x2  a2 C  x x2  a2   a ln x dx x 2 a x  a  ln x  x 2  a  C 2 2  https://toanhocplus.blogspot.com n x n xm  C mn  arc cot a dx  xarc cot a  2 ln  a 1 x  x x2  a2  a arccos a  C x 2  a dx  x m dx   arctan a dx  x arctan a  2 ln  a dx  n  Trang 7 a2  x 2 dx  x a2  x2 a2 x  arcsin  C 2 2 a Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna B. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM VÀ NHỮNG DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP I. TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH 1. Phương pháp chung + Biến đổi các hàm số dưới dấu nguyên hàm về dạng tổng, hiệu của các biểu thức chứa x. Lúc này, mỗi biểu thức chứa x là những dạng cơ bản có trong bảng nguyên hàm. + Áp dụng các công thức nguyên hàm trong bảng nguyên hàm cơ bản để tìm nguyên hàm. 2. Một số dạng toán và bài toán minh họa a. Tìm nguyên hàm các đa thức, lũy thừa, mũ, các hàm chứa căn Tổng quát cách tìm nguyên hàm:  PP  khai triễn. Tích của đa thức hoặc lũy thừa   PP  khai triển theo công thức mũ. Tích các hàm mũ   PP  chuyển về lũy thừa. Chứa căn  Bài toán 1: Tìm các nguyên hàm sau đây: 1   a)   4 x5  2 x 3  x 3  dx     b)  x 3 x  2 dx c)  4×2  x  6 dx 2x Lời giải: 1 1 3 1   x6 x 2 x 2 1 3   C  x6  2  x 3 x  C . a)   4 x 5  2 x 3  x 3  dx  4  2 1 6 2 3 x 4   1 3 5  b)  x 3 c)  4×2  x  6 1 3 dx    2 x    dx  x 2  x  3 ln x  C .  2x 2 x x  x  2 dx     3  x2 x2 6 3 x x  2 x dx    3 x 2  2 x  dx  3  2  C  x 2 x  x 2  C . 5 2 5   2  Bài toán 2: Tìm các nguyên hàm sau: a)  ( x  1)( x  2)dx. 9 b)  x  x  2  dx. c)  1 dx. . e 1 2x Lời giải: a) Ta có thể lựa chọn hai cách trình bày sau: Cách 1: Ta biến đổi:  ( x  1)( x  2)dx   ( x 2  3 x  2)dx  1 3 3 2 x  x  2 x  C. 3 2 Cách 2: Ta biến đổi:  ( x  1)( x  2)dx   ( x  1)[( x  1)  1]dx   [( x  1)2  ( x  1)]dx 1 1   [( x  1)2  ( x  1)]d( x  1)  ( x  1)3  ( x  1)2  C. 3 2  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 8 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna b) Sử dụng đồng nhất thức x   x  2   2 , ta được: 9 9 10 9 x  x  2   [ x  2   2 ]  x  2    x  2   2  x  2  . Khi đó:  f ( x)dx   x( x  2)9 dx   ( x  2)10  2( x  2)9  dx   1 ( e 2 x  1)  e 2 x e2x   1  . e2x  1 e2x  1 e2x  1  c) Sử dụng đồng nhất thức 1  e 2 x  1  e 2 x , ta được: Suy ra:  ( x  2)11 2( x  2)10  C . 11 10  e2x  d( e 2 x  1) f ( x)dx    1  2 x dx  dx   x  ln e 2 x  1  C .    2x e  1 e  1   a Chúng ta có thể tổng quát với nguyên hàm: I   x  ax  b  dx , với a  0 bằng việc sử dụng đồng nhất thức: x = 1 1 . ax =  ax  b   b  . a a Bài toán 3: Tìm các nguyên hàm sau:  e x  3e  x  5x  dx c)   x x  2x  1 b)  x dx . e a)  10 2 x dx . d)    ex ex  1 2 dx 2e x Lời giải: x 100 C . ln 100 a) Ta có  10 2 x dx   100 x dx  x 2 x e x x 2x 2 1 2 1 2  e x  C . b) Ta có  x dx   x dx   x dx     dx   e  x dx     e  x  C  x 2 e e ln 2  1 e e e     ln e c) ex x  3e  x   3  3 5  5 xe x  dx    2  5e 2 x  dx    e 2 x  C  x 2  x  x  d) e  x ( e x  1)2 e 2 x  2e x  1  1 x x  x 1 2 x 2 x  . dx   2e x  2e 2 x dx    2  e  21 e  dx  2  e  4 e  C . a) Bài toán 4: Tìm các nguyên hàm sau:  1 2x  1  2x  1 dx b)  x x2  1  x dx Lời giải: a) Ta có:  dx 2x  1  2x  1   b) Ta có:  xdx x2  1  x x     2 x  1  2 x  1 dx 2x  1  2x  1 1 1 3 3   1  1 2  2 x  1 2 dx  2  2x  1 2  C 2 x  1 2 x  1              2  6    x 2  1  x dx 2 x  1 x  https://toanhocplus.blogspot.com 2 Trang 9 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna 1 3 1 1 2 1 2 2 2 2 2   x x  1dx   x dx   x  1 d( x  1)   x dx  x  1  x 3  C . 2 3 3 Nhận xét: Để tìm nguyên hàm của các hàm số ở ví dụ trên chúng ta đều sử dụng phép nhân liên hợp 2  2 bậc hai, cụ thể: A  B có liên hợp là    A  B và ngược lại. b. Tìm nguyên hàm của hàm hữu tỉ Bài toán: Tìm nguyên hàm I   Phương pháp giải: Tách P( x)  dx , với P( x) và Q( x) là các đa thức không căn. Q( x) P( x) thành các phân số có thể lấy nguyên hàm theo bảng nguyên hàm. Q( x) PP  Chia đa thức.  Nếu bậc của tử số P( x)  bậc của mẫu số Q( x)  PP  Xem xét mẫu số và khi đó:  Nếu bậc của tử số P( x)  bậc của mẫu số Q( x)  o Nếu mẫu số phân tích được thành tích số, ta sẽ sử dụng đồng nhất thức để đưa về dạng tổng của các phân số. Một số trường hợp đồng nhất thức thường gặp: • • 1 1  a c      ( ax  b)  (cx  d) ad  bc  ax  b cx  d  ( Ac  Ba)x  Ad  Bb mx  n A B =    ax  b  cx  d  ax  b cx  d (ax  b)(cx  d) Ta được đồng nhất thức mx  n   Ac  Ba  x  Ad  Bb (1)  Ac  Ba  m Cách 1: (P/p đồng nhất hệ số): Đồng nhất đẳng thức,ta được:  . Suy ra A , B.  Ad  Bb  n b d Cách 2: (P/p trị số riêng): Lần lượt thay x   ; x   vào 2 vế của (1), tìm được A , B. a c mx  n A B •   2 2  ax  b  ax  b  ax  b  • mx  n 2  A 2  B C  . cx  d ax  b  ax  b   cx  d   ax  b   mx  n  A  cx  d   B  ax  b  2  C  ax  b  cx  d  *  b d Tìm A , B, C : Lần lượt thay x   ; x   ; x  0 vào 2 vế của  *  . a c 1 A Bx  C    2 , với   b 2  4ac  0. 2 ( x  m)  ( ax  bx  c) x  m ax  bx  c • 1 A B C D      2 2 x  a ( x  a) x  b ( x  b) 2 ( x  a)  ( x  b) 2 o Nếu mẫu số không phân tích được thành tích số (biến đổi và đưa về dạng lượng giác bằng phương pháp đổi biến dạng 2 sẽ trình bày ở phần sau).  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 10 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Bài toán 5: Tìm các nguyên hàm sau đây a)  x2  2 x  2 11  x dx b)  dx x1  2 x  1 3x  2  c)  2 x3  6 dx x2  2 x  3 Lời giải: 2 a)  x  2x  2  5  1 dx    x  3  dx  x 2  3 x  5 ln x  1  C  x1 x 1 2  x2  2x  2 5  x3 Nhận xét: Phép biến đổi quyết định trong bài giải trên đây là thông x1 x1   qua thực hiện phép chia đa thức x 2  2 x  2 cho đa thức  x  1 . b) 11  x  3 5 3  5   2 x  1 3x  2  dx    2x  1  3x  2  dx  2 ln 2 x  1  3 ln 3x  2  C . Nhận xét: Phép biến đổi quyết định trong bài giải trên đây là Ở bài này trước tiên ta viết Rồi quy đồng vế phải 11  x 3 5    2 x  1 3x  2  2 x  1 3x  2 11  x A B .    2 x  1 3x  2  2 x  1 3x  2 A B 3 Ax  2 A  2 Bx  B  3 A  2 B  x  2 A  B    2 x  1 3x  2  2x  1 3x  2   2x  1 3x  2  3 A  2 B  1 Đồng nhất tử thức, tức là cho  ta được 2 A  B  11 A  3   B  5 11  x 3 5 Viết A , B tìm được vào phép biến đổi đầu tiên, tức là: .    2 x  1 3x  2  2 x  1 3x  2 c)  2×3  6  14 x  6  14 x  6   x2  2x  3 dx    2 x  4  x2  2 x  3  dx    2x  4   x  1 x  3   dx    2 12  2    2x  4    dx  x  4 x  2 ln x  1  12 ln x  3  C x  1 x  3   Nhận xét: Câu c bài này là sự tổng hợp cả hai kỹ thuật giải của câu a và câu b. Bài toán 6: Tìm các nguyên hàm sau đây: a) x 2 2x  1 dx  6x  9 b)  6x  3 dx x  3x  2 3 Lời giải: a)  2 2x  1 2x  1 5  5  dx  dx    x2  6x  9  x  3 2   x  3 x  3 2  dx  2 ln x  3  x  3  C      Chú ý: Ta phân tích phân số như sau: 2x  1  x  3 2  2  x  3  5  x  3  https://toanhocplus.blogspot.com 2  2  x  3  x  3 2  5  x  3 Trang 11 2  2 5  x  3  x  3 2 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn b) https://facebook.com/duytuan.qna  3 6x  3 6x  3 1 1  x 1 3  dx  dx     x3  3x  2  x  1 2 x  2   x  1 2 x  2 x  1  dx  ln x  2  x  1  C .       Bài toán 7: Tìm các nguyên hàm sau: a) 3x  1  4×3  28×2  65x  50 dx b) 3×2  3x  5  3×3  3x  2 dx . Lời giải: a) Ta phân tích: 3x  1 3x  1 A B C     2 2 2 x  2 2x  5 4 x  28 x  65x  50  2 x  5   x  2   2 x  5  3 2  3 x  1  A  x  2   B  2 x  5   C  x  2  2 x  5  *   A  13 5  Lần lượt thay x  2; x   ; x  0 vào  *  , ta được  B  5 2 C  10  Nên: 3x  1 13 5 10    2 2 4 x  28 x  65x  50  2 x  5  x  2 2 x  5 3   3x  1  13 5 10     3 dx       2x  5 2 x  2 2x  5 dx 2  4 x  28 x  65x  50      13  5 ln x  2  5 ln 2 x  5 . 2  2x  5 b) Ta phân tích: 3x 2  3x  5 3×2  3x  5 A B C     3 2 2 x 1 x  2 3x  3 x  2  x  1  x  2   x  1 2  A  x  2   B  x  1 x  2   C  x  1  3x 2  3 x  5 Với x  1  A  11 11 ; Với x  2  C  3 9 Với x  0  2 A  2 B  C  5  B   * 16 3x 2  3x  5 11 16 11 . Suy ra:    3 2 9 3 x  3 x  2 3  x  1 9  x  1 9  x  2   11 3×2  3x  5 16 11   dx      3 x  1 2 9  x  1 9  x  2  dx 3x 3  3x  2     11 16 11   ln x  1  ln x  2  C 9 3  x  1 9 Phần tìm nguyên hàm, tính tích phân của hàm hửu tỷ sẽ được trình bày chi tiết và cụ thể hơn ở chủ đề 2 ( Tích Phân ) khi ta đã học hết các phương pháp thì ta sẽ có thêm nhiều công cụ để tìm nguyên hàm, tích phân của hàm hữu tỉ.  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 12 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna c. Tìm nguyên hàm của hàm lượng giác Đối với những bài toán tìm nguyên hàm của các hàm số có chứa các công thức lượng giác, các em phải nắm vững các kiến thức công thức cộng, công thức nhân đôi, công thức nhân ba, công thức biến đổi tổng thành tích, công thức biến đổi tích thành tổng, công thức hạ bậc,…để đưa hàm số dưới dấu tích phân thành tổng hiệu các biểu thức có thể lấy nguyên hàm dựa vào bảng nguyên hàm cơ bản. PP  khai triễn theo công thức tích thành tổng. * Tích lượng giác bậc một của sin và cosin  1 sin( a  b)x  sin( a  b)x  2 1  cos ax.cos bx  cos( a  b)x  cos( a  b)x  2  sin ax.cos bx   sin ax.sin bx  1  cos( a  b)x  cos( a  b)x  2 PP  Hạ bậc: * Bậc chẵn của sin và cosin  1  cos 2 x 2 1 1 3  sin 4 x  cos 4 x  1  sin 2 2 x  cos 4 x  2 4 4  sin 2 x  1  cos 2 x ; 2 cos2 x  3 3 5  sin 6 x  cos6 x  1  sin 2 2 x  cos 4 x  4 8 8 Bài toán 8: Tìm các nguyên hàm sau đây a)   2 cos x  3 cos 5x  dx b)  sin 5 x sin 2 x dx c)  sin 3 x cos 5 x dx Lời giải: a) 3   2 cos x  3 cos 5x  dx  2 sin x  5 sin 5x  C b)  sin 5 x sin 2 x dx  1 11 1  cos 3 x  cos 7 x  dx   sin 3 x  sin 7 x   C   2 23 7  c)  sin 3x cos 5 x dx  1 1  cos 8 x cos 2 x  sin 8 x  sin 2 x  dx      C.   2 2 8 2  Bài toán 9: Tìm các nguyên hàm sau đây 2 b)   1  2 sin x  dx a)  4 cos 2 x dx c)   sin x  cos x  sin x dx Lời giải: a) Ta có  4 cos 2 x dx   4  b) Ta có  1  2 sin x  2  sin 2 x  1  cos 2 x  C  2 x  sin 2 x  C. dx  2  1  cos 2 x  dx  2  x  2 2     dx   1  4 sin x  4 sin 2 x dx  1  cos 2 x     1  4 sin x  4   dx    3  4 sin x  2 cos 2 x  dx 2    3 x  4 cos x  sin 2 x  C. c)   sin x  cos x  sin x dx    sin 2  x  sin x cos x dx  1  cos 2 x sin 2 x     dx  2 2    https://toanhocplus.blogspot.com Trang 13 1 1 1  x  sin 2 x  cos 2 x   C .  2 2 2  Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Bài toán 10: Tìm các nguyên hàm sau: a)  sin 2 1 dx x cos 2 x b)  4 cos 4 1 dx x  4 cos 2 x  1 c)  cos 3 xdx d)   tan x  dx 3 Lời giải: a) Cách 1: Ta có : Cách 2: Ta có: b) Ta có  4 cos 4  sin 2 1 4 1  1  dx   dx  4  dx  4   cot 2 x   C  2 cot 2 x  C. 2 2 2 x cos x sin 2 x sin 2 x  2  1 sin 2 x  co s 2 x  1 1  dx   sin 2 x.co s2 x  sin 2 x.co s2 x dx    co s2 x  sin 2 x  dx  tan x  cot x  C. 1 1 1 tan 2 x dx   dx   dx  C . 2 2 2 2 x  4 cos x  1 cos 2 x 2 cos 2 x  1   c) Ta có thể trình bày theo hai cách sau: Cách 1: Ta biến đổi:  cos 3 xdx  1 1 1  3 cos x  cos 3 x  dx   3 sin x  sin 3 x   C .   4 4 3  Cách 2: Ta biến đổi:  cos 3 xdx   cos 2 x.cos x.dx   (1  sin 2 x) cos x.dx   cos x.dx   sin 2 x.d  sin x   sin x  1 sin 3 x  C. 3  1  1 d) Sử dụng đồng nhất thức: tan 3 x  tan 2 x.tan x    1  tan x  tan x.  tan x . 2 cos 2 x  cos x  1 sin x  1  Ta được:   tan x.  tan x  dx   tan x. dx   dx 2 2 cos x cos x cos x     tan x.d(tan x)   d(cos x) 1  tan 2 x  ln cos x  C . cos x 2 Ở câu d) chúng ta có thể tổng quát với I n   cot n dx (hoặc I n   tan n dx ), với n  2. Bài toán 11: Tìm các nguyên hàm sau đây a)  tan 2 x  cos2 x dx sin 2 x b)  cos x  2 dx 1  cos x c) 1  sin 4 2x dx   d)  tan 2 2 x  cot 2 2 x dx Lời giải: a)  1 tan 2 x  cos 2 x  1   sin2 x dx    cos2 x   sin 2 x  1  dx  tan x  cot x  x  C b)  cos x  2  3  dx    1   dx   dx   1  cos x  1  cos x  3 x dx  x  3 tan  C . x 2 2 cos 2 2 dx 1   d(cot 2 x) , ta được: 2 2 sin 2 x dx 1 dx 1 1 1 2 3  sin 4 2x   sin 2 2 x . sin 2 2 x   2  (1  cot 2x)d(cot 2x)   2 cot 2 x  6 cot 2 x  C . c) Sử dụng kết quả  1 1  1 d) Ta có:  tan 2 2 x  cot 2 2 x dx    1   1  dx  2 x  tan 2 x  cot 2 x  C . 2 2 2 sin 2 x   cos 2 x    https://toanhocplus.blogspot.com Trang 14 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna 3. Bài tập tự luyện Bài tập 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau (giả sử điều kiện được xác định): x3  8 x  C. 3 a) f ( x)  6 x 5  12 x 3  x2  8. ĐS: F( x)  x6  3x 4  b) f ( x)  ( x2  3x)  ( x  1)  ĐS: F( x)  1 1  x2   2 3 x x1 d) f ( x)  2  x x e) f ( x)  2 sin 2  2 1 x3 x ĐS: F( x)      C. x 3 3 1 ĐS: F( x)  ln x   C. x f) f ( x)  tan 2 x. ĐS: F ( x )  tan x  x  C . g) f ( x)  2 sin 3x cos 2 x. 1 ĐS: F( x)   cos 5 x  cos x  C. 5  ex  h) f ( x)  e x   2   cos2 x   ĐS: F( x)  2e x  tan x  C. c) f ( x)  ĐS: F ( x)  x  sin x  C . 3 i) I   ( x  x )  dx. j) I   1 2 x  3 3 x  5 5 x4 2 x3 3×2    C. 4 3 2 x  dx  3 23 ĐS: I   x  C. 2 9 25 5 4 x  C. ĐS: F( x)  x  3 x2  2 4 3 x 1  C. ln 3 k) I   (3 cos x  3 x 1 )  dx  ĐS: I  3 sin x  l) I   (tan x  2 cot x)2 .dx. ĐS: I  tan x  4 cot x  9 x  C. m) I   3 u.(u  4).du. ĐS: I  33 7 u  3 3 u4  C . 7 Bài tập 2: Tìm F  x    f  x  dx . Biết: a) f ( x)  x x  1 x , F(1)  2.   b) I   sin 2 x.cos x.dx , biết F     0. 3 ĐS: F( x)  2 5 22 x 2 x   5 5 1 1 7 ĐS: F( x)   cos x  cos x   6 2 12 c) I   3x 4  2 x 3  5  dx , biết F (1)  2. x2 ĐS: F( x)  x3  x2   7. d) I   x 3  3×2  3x  7  dx , biết F (0)  8. ( x  1)2 ĐS: F( x)  x2 8 x  2 x1 ĐS: F( x)  x sin x 1    2 2 2 e) I   sin 2 x     dx , biết F     2 2 4  1 7 f) I   x   x    dx , biết F(1)   2 x   https://toanhocplus.blogspot.com 5 x 1 x2 ĐS: F( x)   3x   3 ln x  1. x 2 Trang 15 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Bài tập 3: Tính các nguyên hàm sau: x 4  3x 2  2 x  1  dx  x2 x2  x  1  dx  b) I   x2 a) I   ĐS: I  x3 1  3x  2 ln x   C. 3 x ĐS: I  x2  x  3 ln x  2  C. 2 c) I   4×2  6x  1  dx  2x  1 1 ĐS: I  x 2  2 x  ln 2 x  1  C. 2 d) I   4 x3  4×2  1  dx  2x  1 ĐS: I  2 x3 x 2 x 1    ln 2 x  1  C. 3 2 2 2 e) I   dx  x 4 ĐS: I  1 x2 ln  C. 4 x2 2 dx  x  6x  9 4x  5 g) I   2  dx  x x2 1  2x  dx  h) I   2 x  2x f) I   2 ĐS: I   1  C. x3 ĐS: I  ln x  2  3 ln x  1  C . 1 3 ĐS: I   ln x  ln x  2  C. 2 2 i) I   x 2 dx  x 2  7 x  12 ĐS: I  x  16 ln x  4  9 ln x  3  C. j) I   x2  1  dx  x2  1 ĐS: I  x  ln k) I   l) I   3x  2  dx  4x  4x  1 2 x2  x  dx  ( x  2)2 m) I   x 2 .dx  (1  x 2 )2 ĐS: I  x 1  C. x1 3 7 ln 2 x  1   C. 4 4(2 x  1) ĐS: I  x  3 ln x  2  2  C. x2 ĐS: I  1  x 1 1 1     ln   C. 4  x 1 x 1 x 1 3 5 ln x  2 ln x  1  ln x  2  C. 2 2 Bài tập 4: Tính các nguyên hàm sau: a) I   2 x2  5x  3  dx  x3  x2  2 x ĐS: I  b) I   2 x 2  8 x  10  dx  x3  x2  4x  4 1 20 17 ĐS: I  ln x  2  ln x  1  ln x  2  C. 6 3 2 x3  1  dx  x 3  5x 2  6 x 3 x 2  3x  3 I  d)  x3  3x  2  dx  dx  e) I   x  ( x3  1) c) I    https://toanhocplus.blogspot.com 1 9 28 ĐS: I  x  ln x  ln x  2  ln x  3  C. 6 2 3 ĐS: I  2 ln x  1  ln x  2  3  C. x 1 1 ĐS: I  ln x  ln( x 3  1)  C. 3 Trang 16 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna II. TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ 1. Phương pháp đổi biến số dạng 1 Có 2 loại phương pháp đổi biến (dạng 1 và dạng 2). Nhưng thông thường ta hay gặp những dạng toán đổi biến dạng 1 để tìm nguyên hàm của hàm số.   Giả sử ta cần tìm họ nguyên hàm I   f  x  dx , trong đó ta có thể phân tích f  x   g u  x  u ‘  x  thì ta thực hiện phép đổi biến số t  u  x  , suy ra dt  u ‘  x  dx . Khi đó ta được nguyên hàm:  g  t  dt  G  t   C  G u  x    C. Chú ý: Sau khi tìm được họ nguyên hàm theo t thì ta phải thay t  u  x  . Các cách đặt cho các dạng toán thường gặp:    PP  I  f ( ax  b)n  xdx   t  ax  b  dt  a.dx   m   xn  PP n 1 n  I    n1   dx  t  ax  1  dt  (n  1).a.x .dx , với m , n  .   ax  1   2 n PP 2  I   f ( ax  b)  xdx  t  ax  b  dt  2ax.dx PP  Đặt t  I   n f ( x)  f ( x)  dx  n f ( x) , trừ một số trường hợp đổi biến dạng 2.  1  I   f (ln x)  x  dx t  ln x PP   Đặt     I  f ( a  b ln x)  1  dx t  a  b ln x   x • I f   x f  x PP dx   Đặt t  f  x  .  PP  Đặt t  e x  dt  e x . I   f ( e x )  e x  dx   PP  Đặt t  cos x  dt   sin xdx. I   f (cos x)  sin xdx   PP  Đặt t  sin x  dt  cos xdx. I   f (sin x)  cos xdx   I   f (tan x)   1 1 PP  Đặt t  tan x  dt  dx  dx  (1  tan 2 x)dx. 2 cos x cos 2 x 1 1 PP  Đặt t  cot x  dt   I   f (cot x)  dx   dx  (1  cot 2 x)dx. 2 sin x sin 2 x  t  sin 2 x  dt  sin 2 xdx PP  Đặt   I   f (sin 2 x; cos 2 x)  sin 2 xdx  2 t  cos x  dt   sin 2 xdx  PP  Đặt t  sin x  cos x. I   f (sin x  cos x)  (sin x  cos x)  dx   I  x  a  0 t  x  a  x  b khi  dx  x  b  0 PP    Đặt  ( x  a)( x  b) t   x  a   x  b khi  x  a  0   x  b  0  n n PP  I   R  1 ax  b ,…, k ax  b   dx   Đặt t n  ax  b với n  B.C .N .N n1 ; n2 ; …; nk      https://toanhocplus.blogspot.com Trang 17 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Một số bài toán minh họa Bài toán 1: Tìm các họ nguyên hàm sau đây: x3 b)  dx 1  x2 2 sin x a)  dx 1  3cos x c) x  x  1 2 3  2x  3 dx Lời giải: 1 a) Đặt t  1  3 cos x , suy ra dt  3 sin x dx   dt  sin x dx 3 2 sin x 1 2 2 2 dx    dt   ln t  C   ln 1  3 cos x  C Khi đó  1  3 cos x 3 t 3 3 2 sin x 2 1 2 Cách dùng vi phân:  dx    d  1  3 cos x    ln 1  3 cos x  C . 1  3 cos x 3 1  3 cos x 3 b) Xét x3 x2 dx   1  x2  1  x2  xdx Đặt t  1  x 2 , suy ra dt  2 xdx  Khi đó 1 dt  xdx và x 2  t  1 2 x2 1 t 1 1  1 1  1  x2  xdx  2  t dt  2   1  t  dt  2 t  ln t  C  Như vậy  x3 1 1 2 2 2 2  1  x 2 dx  2 1  x  ln 1  x  C  2 1  x  ln(1  x )   C  x3 x2 1  1 dx   1  x2  1  x2  xdx  2   1  1  x2 Cách dùng vi phân:  x  1   1 2 2 2  d 1  x  2 1  x  ln(1  x )  C .      3 x2  2x  1 dx   2   x  1 dx c) Xét  2 x  2x  3 x  2x  3 Đặt t  x2  2 x  2, suy ra dt   2 x  2  dx  Khi đó 1 dt   x  1 dx 2 x2  2 x  1 1 t4 1  4 1  x2  2x  3   x  1 dx  2  t dt  2   1  t  dt  2 t  4 ln t  C Như vậy  x  x  1 2 3  2x  3 Cách dùng vi phân: dx  x 1 2 x  2 x  3  4 ln x 2  2 x  3  C 2   x  1 2   3  2x  3 dx   x2  2x  1 1  4    x  1 dx    1  2  d x2  2x  3  2 2  x  2x  3 x  2x  3  1  x 2  2 x  3  4 ln x2  2 x  3  C . 2     Phương pháp vi phân: (Sử dụng nhanh cho một số bài toán thay cho đổi biến)   Giả sử ta cần tìm nguyên hàm I   f  x  dx , trong đó ta có thể phân tích f  x   g u  x  u ‘  x  ,ta có thể trình bày gọn bài toán bằng công thức vi phân u  x  dx  d u  x   . Khi đó, nếu G  x  là một nguyên hàm của g  x  và u  u  x  là một hàm số theo biến x thì: I   f  x  dx   g u  x   d u  x    G u  x    C  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 18 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Bài toán 2: Tìm các họ nguyên hàm sau đây e tan x  cos2 x dx a) b)  xe x2 2 c)  e sin x sin 2 x dx dx Lời giải: a) e tan x 1  cos2 x dx . Đặt t  tan x, suy ra dt  cos2 x dx Khi đó e tan x t t tan x  cos2 x dx   e dt  e  C  e  C e tan x tan x tan x  cos2 x dx   e d  tan x   e  C 2 1 b)  xe x dx . Đặt t  x 2 , suy ra dt  2 xdx  dt  xdx 2 2 1 1 1 2 Khi đó  xe x dx   e t dt  e t  C  e x  C 2 2 2 2 2 1 1 2 Cách dùng vi phân:  xe x dx   e x d x 2  e x  C 2 2 Cách dùng vi phân:   2 c)  esin x sin 2 x dx . Đặt t  sin 2 x , suy ra dt  2 sin x cos dx  dt  sin 2 x dx 2 2 Khi đó  e sin x sin 2 x dx   e t dt  e t  C  e sin x  C Cách dùng vi phân: e sin 2 x 2   2 sin 2 x dx   e sin x d sin 2 x  e sin x  C . Bài toán 3: Tìm các họ nguyên hàm sau đây a)  x  2 x  1 dx 3 b)  5 3  x 1 x  6 dx c) x3  1  x4  x dx Lời giải: a) Xét  x  2x  1 dx  3 1 2x 2dx .  4  2 x  13 Đặt t  2 x  1, suy ra dt  2dx Khi đó Vậy  1 2x 1 t 1 1 1   2dx   3 dt    2  t 3  dt  3  4  2 x  1 4 t 4 t  x  2 x  1 3 dx  Cách dùng vi phân: 1 8  2 x  1  x  2x  1 3 2  1 C . 4  2 x  1 dx   b) Xét  5 3  x 1 x  6  dx   x 3 1  x 3   https://toanhocplus.blogspot.com 1 1 1    C 4  t 2t 2  6  1 2x 1  1 1   d  2 x  1  d 2 x  1     4   2 x  13 4    2 x  1 2  2 x  1 3     1  1 1 1 1  C     C 2 2 4  2 x  1 2  2 x  1  4  2 x  1 8 2 x  1     x 2 dx . Trang 19 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna 1 Đặt t  1  x 3 , suy ra dt  3 x 2 dx   dt  x 2 dx 3  Khi đó  x 3 1  x 3  x 1  x  5 Vậy c) Xét 3 6  6 1 1  t7 t8 6 1  t t dt       3 3 7 8 x 2 dx   7 1  x   1  x  dx   3 3 21  C  8 C . 24 x3  1 x3  1 x3  1 2 dx  dx   x4  x  x x3  1  x3 x3  1  x dx    1 dt  x 2 dx 3 Đặt t  x 3 +1, suy ra dt  3 x 2 dx  Khi đó x3  1  x x 3 3 1   x 2 dx    1 t2 1 2 1  1 t2 dt   dt  ln C. 3   t  1 t 3   t t  1  3 t 1 x3  1 x3  1 1 dx  ln Vậy  4 3 3 x x x  2 C . Bài toán 4: Tìm các họ nguyên hàm sau đây: a) x 4 1 x 2 dx b) x 1 x1 c)  x 3 x 2  9 dx dx Lời giải: a) Xét x 4 1  x 2 dx . Đặt t  4 1  x 2  t 4  1  x2 , suy ra 4t 3dt  2 xdx  2t 3dt  xdx   2 1  x2 4 1  x2 2t 5 Khi đó  x 1  x dx  2  t.t dt   C   C 5 5 1 dx . b) Xét  x x 1 4 2 3 2tdt  dx Đặt t  x  1  t 2  x  1 . Suy ra  2  x  t  1 Khi đó c) Xét x x 3 1 x1 dx   2t t 2  1 t dt   2  1 1  t 1 dt     dt  ln  C  ln  t 1 t 1  t 1 t 1 2 x 1 1 x1 1 C x 2  9 dx   x 2 x 2  9.xdx . tdt  xdx Đặt t  x 2  9  t 2  x2  9 . Suy ra  2 2  x  t  9     Khi đó  x 2 x 2  9.xdx   t 2  9 t.tdt   t 4  9t 2 dt  Như vậy x 3  x  9 dx  2 x2  9 5  https://toanhocplus.blogspot.com  t5  3t 3  C. 5 5 3  x2  9 3  C . Trang 20 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Bài toán 5: Tìm các họ nguyên hàm sau đây ln 2 x  1 dx a)  x ln x b)   x ln x 2  1 x2  1  dx c) x ln 2 x 1  ln x  1  dx Lời giải: 2 a) Xét  ln x  1 1 dx . Đặt t  ln x , suy ra dt  dx x ln x x Khi đó b) Xét   x ln x 2  1 2 x 1 Khi đó c) Xét ln 2 x  1 t2  1  1 t2 ln 2 x dx  dt  t  dt   ln t  C   ln ln x  C .  x ln x  t   t  2 2 x   dx . Đặt t  ln  x ln x 2  1 2 x 1 ln x  1   2  dx  1 ln 2 x 1  x  1  dt  1 tdt  t 2 4 2 C  2x 1 x dx  dt  2 dx . 2 x 1 x 1 2 1 2 2 ln x  1  C . 4   dx . 2 Đặt t  1  1  ln x   t  1  1  ln x  ln x  t 2  2t  Khi đó x ln 2 x  1  ln x  1  dx   t 2  2t t 2    2t  2  dt    2  t 4  5t 3  8t 2  4t dt  Như vậy Bài toán 6: x dx   2t  2  dt . x 2 5 5 4 16 3 t  t  t  4t 2  C . 5 2 3 ln 2 x  2 5 16 dx  t 5  t 4  t 3  4t 2  C với t  1  ln x  1 . 5 2 3 1  ln x  1   f  x  dx  2 x ln  3x  1  C. Tìm  f  3x  dx ? b) Cho hàm số f  x   3 2  sin x . Tìm họ nguyên hàm  f   2 x  1 dx a) Biết Lời giải: a) Xét 1  f  3x  dx . Đặt t  3x , suy ra dt  3dx  3 dt  dx . 1 1 1  f  3x  dx  3  f  t  dt  3 2t ln  3t  1  C  3 2.3x ln  3.3x  1  C Như vậy  f  3 x  dx  2 x ln  9 x  1  C . Khi đó Cách dùng vi phân: b) Xét 1 1  f  3x  dx  3  f  3x  d  3x   3 .2  3x  ln 3  3x   1  C  2 x ln  9x  1  C 1  f   2 x  1 dx . Đặt t  2x  1, suy ra dt  2dx  2 dt  dx . Khi đó 1 1 3  f   2 x  1 dx  2  f   t  dt  2 f  t   C  2  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 21 2  sin t  C  3 2  sin  2 x  1  C . 2 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Nhận xét: Với đề bài này nếu không nắm tốt để sử dụng được tính chất nguyên hàm  f   t  dt  f  t   C , mà lại tính f   2 x  1 để thay vào tính  f   2 x  1 dx , việc thực hiện bài giải sẽ gặp nhiều khó khăn và rất dễ dẫn đến nhiều sai sót. 2. Phương pháp đổi biến số dạng 2 Dấu hiệu Cách đặt a2  x 2   x  a sin t víi   x  a cos t víi  x 2  a2  a     víi t   ;  0 x  sin t  2 2   a   x  víi t  0;      cos t 2 a2  x 2      ;   x  a tan t víi t   2 2    x  a cot t víi t   0;    ax hoặc ax     t ;   2 2 t  0;     x  a.cos 2t với t   0;   2 ax ax   x  a   b  a  sin2 t với t   0;   2  x  a  b  x  Một số bài toán minh họa Bài toán 7: Tìm các nguyên hàm sau ( với a  0 ): a) I   dx b) I   a2  x2 dx 2 a  x2 x2 c) I   4  x2 dx d) I   x 3 dx 1  x2 Lời giải: a) I   x    . Đặt x  a sin t , t    ;   cos t  0 ,  dx  a cos tdt , t  arcsin   a  2 2 a x dx 2 2 dx Do đó: I   Vậy I   b) I   a2  x2  a cos tdt a2  a 2 sin 2 t   dt  t  C. dx x  arcsin    C . a a x 2 2    dt dx . Đặt x  tan t , t    ;  ,  dx   tan 2 t  1 dt , t  arctan x 2 2 2 2 a x cos t    2 Do đó: I    dx a(tan 2 t  1)dt dt t      C.  2 2 2 2 2 a a a x a  a tan t  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 22 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn dx arctan x  C 2 a a x Vậy I   2 x2 c) I   dx . Đặt x  2 cos t với t  0;   , dx  2 sin tdt 4  x2 x2 I https://facebook.com/duytuan.qna 4  x2 dx    4 cos 2 t.2 sin tdt  4 1  cos 2 t    4 cos 2 t.2 sin tdt    2 cos 2 tdt 2 sin t  2  (1  cos 2t )dt  2t  sin 2t  C. Ta có: x  2 cos t với t  0;    sin t  0 . Nên sin 2t  2 sin t.cos t  2 1  x2  x  x 4  x2 dx  2 arccos    C . 2 2 4  x2 Vậy I   x 3dx d) I   1 x 2 . Đặt x  sin t  dx  cos dt với x 3dx I x2 x x 4  x2 .  4 2 2 1  x2     t   cos t  0  cos t  1  x2 2 2 sin 3 t.cos t dt   sin 3 tdt   sin 2 t.sin t dt   (1  cos2 t )d(cos t ) cos t     cos t  Vậy I   1 x 1  x  2 x3 dx 2   1  x2  3 Bài toán 8: Tìm họ nguyên hàm của 1 a) f ( x)  1  x  2 1  x2  C. ( có thể giải bằng cách đặt t = 1  x2 )  f  x  . Biết: 1 b) f ( x )  3 cos3 t  C. 3 1  x  2 c) I   3 dx 4  x  2 4  x2 Lời giải: a)  dx 1  x  2 Khi đó: Vậy b)  3  f ( x).dx    dx  1  x  2 dx 1  x  I . Đặt x  cos t , 0  t    dx   sin t.dt ; 2 3 3  sin t.dt dt x     d  cot t   cot t  C  C 3 2 sin t sin t 1  x2 x 1  x2 C . . Đặt x  tan t ,  dx 1  x  2 3   2 t dt  1  cos 2 t  2   cos t   https://toanhocplus.blogspot.com 3  2  cost  0 , dx  dt cos 2 t   cos tdt  sin t  C Trang 23 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna  x sin 2 t  cos 2 t  1  sin t       1  x2 Ta có:  víi t   ;  cos t  0   sin t  2 2 1 x    cos t  cos t   1  x2 dx Vậy I   c) I   1  x  2 3 dx 4  x  2 Vậy I   4x 2 x  1  x2  C. . Đặt x  2 sin t , 2 cos tdt  4  4 sin t  2 4  4 sin 2 t     t  ; dx  2 cos tdt 2 2 2 cos tdt 4 cos2 t 4 cos 2 t  dt 1 1  x  tan t  tan  arcsin   C . 2 4 2 4 cos t 4  3. Bài tập tự luyện Bài tập 1: Tính các nguyên hàm sau: a) I   x  (1  x)2015  dx  ĐS: I   b) I   x 2  ( x  1)9  dx  ĐS: I  c) I   x 3  (2  3 x 2 )8  dx  ĐS: I  xdx  x2  2 2x dx  e) I   ( x  1)2 d) I   f) I   x  dx  ( x  1)5 ( x  1)12 2( x  1)11 ( x  1)10    C. 12 11 10 (2  3x 2 )10 (2  3×2 )9   C. 180 81 1 ĐS: I  ln x 2  2  C. 2 2  C. ĐS: I  2 ln x  1  x1 ĐS: I  1 1 1 1      C. 3  ( x  1)  4 x  1 3  3  x  g) I    dx  2   1 x  h) I   xdx  (2 x  1)3 (1  x)2016 (1  x)2017   C. 2016 2017 ĐS: I   ĐS: I  1 1   C. 2 2(1  x ) 4(1  x2 )2  1  1 1     C. 2 2  4(2 x  1) 2(2 x  1)  Bài tập 2: Tính các nguyên hàm sau: ( x  1)dx a) I   2  x  2x  4 b) I   x. 2  x 2 .dx. c) I   d) I   ĐS: I  x2  2 x  4  C. 2 xdx 3  2 x 4 x 2 dx 1 x   https://toanhocplus.blogspot.com ĐS: I   ĐS: I  (2  x 2 )3  C. 3 33 2 ( x  4)2  C. 2 ĐS: I   Trang 24 2(3x 2  4 x  8) 1  x  C. 15 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn 3 4 15 2 3 ĐS: I   (1  x )  C. 8 2 e) I   5x. 1  x .dx. 4x  1 f) I   2x  1  2 x3 g) I   https://facebook.com/duytuan.qna ĐS: I  2 x  1  4 2 x  1  5ln 2 x  1  2  C. dx. (4  x 2 )3  4 4  x 2  C. 3 dx. ĐS: I   ĐS: I  1 ln 4 dx. ĐS: I  2 ( x 2  x  1)3  2 x 2  x  1  C. 3 j) I   sin 3 x. cos x .dx. ĐS: I  2 (cos 3 x  7 cos x) cos x  C. 21 ĐS: I  1 ln 2 ĐS: I  ( x 2  1)3 x3   C. 3 3 ĐS: I  ln 3 x  C. 3 4  x2 dx h) I   i) I   x x2  4 2 x3  3×2  x x2  x  1 dx k) I   l) I   x ln x. 1  3 ln 2 x xdx x  x2  1   x2  4  2 x2  4  2  C. 1  3 ln 2 x  1 1  3 ln 2 x  1  C. Bài tập 3: Tính các nguyên hàm sau: 1 a) I   ln 2 x  dx  x 3 ln x  1 dx  b) I   x ln x ĐS: I  3 ln x  ln ln x  C . 1 c) I   (1  ln x)  dx  x d) I   1  dx  1  ln x x e) I   ln x. 3 2  ln 2 xdx  x f) I   ln x log 32 x x 1  3 ln 2 x  dx  ĐS: I  (1  ln x)2  C. 2 2 (1  ln x)3  2 1  ln x  C. ĐS: I  3 ĐS: I  33 (2  ln 2 x)4  C. 8 ĐS: I  2 3  1  (1  3 ln x) 2    C.  1  3 ln x  3 9 ln 3 2    Bài tập 4: Tính các nguyên hàm sau: a) I   dx  x e 1 ĐS: I  ln ex  1  C. ex b) I   dx  x e  2e  x  3 ĐS: I  ln ex  2  C. ex  1 c) I   dx  x e  4.e  x ĐS: I   https://toanhocplus.blogspot.com 1 ex  2 ln  C. 4 ex  2 Trang 25 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna d) I   (1  e x )3  dx  ex ĐS: I  e) I   e 2 x  3e x  dx  e 2 x  3e x  2 1 3 ex  1  C. ĐS: I  ln( e 2 x  3e x  2)  ln x 2 2 e 2 e2x f) I   ex  1 g) I    dx  dx ex  ex  (1  e x )2 1  2(1  e x )  3x  x  C. 2 e 2 ( e x  1)3  e x  1  C. 3 ĐS: I  x  x   ĐS: I  2  e 2  ln e 2  1   C.     Bài tập 5: Tính các nguyên hàm sau: cos xdx  1  sin x (2 sin x  3) cos x b) I    dx  2 sin x  1 3 cos xdx  c) I   (1  sin x)2 a) I   ĐS: I  ln 1  sin x  C. 1 ĐS: I  (2 sin x  1)  4 ln 2 sin x  1  C. 2 3  C. ĐS: I  1  sin x d) I   2 cos xdx  3  2 sin x  3 ĐS: I  ln  sin x    C. 2  e) I   1  2 sin 2 x  dx  1  sin 2 x ĐS: I  f) I   sin 2 x  dx  (2  sin x)2 ĐS: I  2 ln(2  sin x)  g) I   (cos 3 x  1).cos 2 x.dx. h) I   cos xdx  11  7 sin x  cos2 x ĐS: I  1 ln 1  sin 2 x  C. 2 4  C. 2  sin x sin 5 x 2 sin 3 x 2 sin 2 x   sin x    C. 5 3 x 4 1 5  sin x ĐS: I  ln  C. 3 2  sin x Bài tập 6: Tính các nguyên hàm sau: a) I   4 sin 3 x  dx  1  cos x b) I   cos 2 x sin 3 xdx sin 2 x cos x  dx  1  cos x sin 4 x  dx  d) I   1  cos2 x c) I   ĐS: I  2(1  cos x)2  C. cos5 x cos 3 x   C. 5 3 cos x  cos 2 x  ln cos x  1  C. ĐS: I  2 ĐS: I  ĐS: I  6 ln(3  cos 2 x)  2 cos 2 x  6  C. e) I   sin x  sin 3 x  dx  cos 2 x ĐS: I  f) I   sin 3 x  dx  cos4 x ĐS: I  2 ln 2 2 cos x  1 2 cos x  1  2 cos x  C. 1 1   C. 3 3 cos x cos x Bài tập 7: Tính các nguyên hàm sau:  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 26 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna a) I   sin 4 x  dx  cos6 x ĐS: I  b) I   tan 4 x  dx  cos 2 x ĐS: I   c) I   dx  5 cos x  8 sin x cos x  3 sin 2 x ĐS: I  1 3 tan x  5 ln  C. 2 tan x  1 d) I   (1  sin 2 x)  dx  2 sin x cos 3 x  cos4 x ĐS: I  tan 2 x 3 tan x 1   ln 2 tan x  1  C. 4 4 8 ĐS: I  tan 3 x 1  2 tan x   C. 3 tan x 2 dx  4 cos x sin 2 x dx f) I      cos x cos  x   4  e) I   g) I     tan  x    4 dx  cos 2 x tan 5 x  C. 5 tan 3 x 1 tan x  1  tan x  ln  C. 3 2 tan x  1 ĐS: I   2 ln 1  tan x  C. ĐS: I  1  C. 1  tan x Bài tập 8: Tính các nguyên hàm sau: a) I   cos2 x  dx  sin 4 x cos2 x b) I    dx  sin8 x dx  c) I   2 sin x  4 cot x dx  cos x sin 3 x sin x.dx  e) I   (sin x  cos x)3 d) I   cos 2 xdx  sin x  cos x  2 cos 2 x  dx  g) I   (sin x  cos x  2)3 f) I   1 ĐS: I   cot 3 x  C. 3 ĐS: I  15 cot 7 x  42 cot 5 x  35cot 3 x  C. 105 ĐS: I   44 cot 3 x  C. 3 1 ĐS: I   ln cot x  cot 2 x  C. 2 1  C. ĐS: I  2(1  cot x)2 ĐS: I  sin x  cos x  2  2 ln sin x  cos x  2 ĐS: I  1 1   C. 2 (sin x  cos x  2) sin x  cos x  2 Bài tập 9: Tính các nguyên hàm sau: a) I   b) I   dx x2 9  x2 x3 1 x 2  dx  ĐS: I   9  x2  C. 9x 1 ĐS: I  ( x 2  2) 1  x 2  C. 3 3 c) I   d) I   1  x2 dx  x4 dx  x2  4  https://toanhocplus.blogspot.com (1  x2 ) 2  C. ĐS: I   3x 3 ĐS: I  ln x  x 2  4  C. Trang 27 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna III. TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN 1. Phương pháp Thuật toán:  Bước 1: Ta biến đổi bài toán về dạng : I   f ( x)dx   f1  x  . f2  x  dx du  f ‘1 ( x)dx u  f1 ( x)   Bước 2: Đặt :  dv  f2 ( x) v   f2 ( x)dx  Bước 3: Khi đó :  u.dv  u.v   v.du Chú ý: Cần phải lựa chọn u và dv hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm được v và nguyên hàm  vdu dễ tính hơn  udv . THỨ TỰ ƯU TIÊN ĐẶT u : NHẤT – LOG; NHÌ – ĐA, TAM – LƯỢNG; TỨ – MŨ ln x và dv  còn lại. Nếu không ln a có ln; log thì chọn u  đa thức và dv  còn lại. Nếu không có log, đa thức, ta chọn u  lượng Nghĩa là nếu có ln hay log a x thì chọn u  ln hay u  log a x  giác,….cuối cùng là mũ. Ta thường gặp các dạng sau: (Với P  x  là đa thức) sin x  I   P  x   dx cos x  I   P  x  e ax  b dx I   P  x  ln  mx  n  dx sin x  x I    e dx cos x  u P  x P x ln  mx  n  sin x    cos x  dv sin x    dx cos x  dv  e ax b dx P  x  dx e x dx Dạng Đặt – Lưu ý rằng bậc của đa thức và bậc của ln tương ứng với số lần lấy nguyên hàm. – Dạng mũ nhân lượng giác là dạng nguyên hàm từng phần luân hồi. 2. Một số bài toán minh họa và các kĩ thuật tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần Bài toán 1: Tìm các họ nguyên hàm sau đây a)  x  2 e 2x b) dx   2 x  1 cos x dx c)   3x 2   1 ln x dx d)   4 x  1 ln  x  1 dx Lời giải: a) Xét du  dx u  x  2  2x . Đặt  x  2 e dx   1 2x   2x dv  e dx  v  e  2 Khi đó Vậy   x  2 e   x  2 e 2x 2x dx  dx  1 1 1 1 x  2  e 2 x   e 2 x dx   x  2  e 2 x  e 2 x  C  2 2 2 4 1  2x  3 e2 x  C . 4  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 28 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn u  2 x  1 du  2dx   2 x  1 cos x dx . Đặt dv  cos x dx  v  sin x b) Xét Khi đó Vậy c) Xét https://facebook.com/duytuan.qna   2 x  1 cos x dx   2 x  1 sin x   2 sin x dx   2 x  1 sin x  2 cos x  C   x  2 e  2x dx  1 2x  3 e2 x  C  4  1 u  ln x du  dx  3 x  1 ln x dx . Đặt  x dv  3x 2  1 dx  3  v  x  x Khi đó 2   3x  2   1   1 ln x dx  x 3  x ln x   x 2  1 dx  x 3  x ln x   x 3  x   C . 3          1 u  ln  x  1 dx du   d) Xét   4 x  1 ln  x  1 dx . Đặt  x1 dv   4 x  1 dx v  2 x 2  x  Khi đó   2   4 x  1 ln  x  1 dx  2 x  x ln  x  1   2×2  x dx x 1  3   2 x 2  x ln  x  1    2 x  3  dx x  1        2x     2 x 2  x ln  x  1  x 2  3 x  3 ln  x  1  C 2 Bài toán 2: Hàm số y  f ( x) thỏa mãn   x  3 ln  x  1  x 2  3 x  C .  f ( x) sin dx   f ( x) cos x    x cos xdx . Tìm y  f ( x) ? Lời giải: Áp dụng công thức nguyên hàm từng phần ta có:  u  f  x  du  f   x  dx  Đặt  dv  sin xdx  v   cos x  f ( x) sin xdx   f  x  cos x   f   x  cos xdx Mà theo giả thiết  f ( x) sin xdx   f ( x) cos x    Suy ra f ‘( x)   x  f ( x)    x dx  x cos xdx . x C . ln    Bài toán 3: Tìm nguyên hàm I   x ln 2  x 2 dx Lời giải: Cách giải thông thường:   2x u  ln 2  x 2 du  2  x 2 Đặt   2 dv  xdx   v x   2    https://toanhocplus.blogspot.com Trang 29 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Khi đó: I  x2 x3 x2 ln 2  x 2   dx  ln 2  x 2  I1 . 2 2 2 2x + Tìm I1   x3 dt dx . Đặt t  2  x 2  dt  2 xdx  xdx  2 2 2x  I1       t  2 dt 1  2  1 1 .    1   dt  t  2 ln t  C   2  x 2  2 ln 2  x 2   C.  t 2 2  t 2 2       x2 x2 1 ln 2  x 2  I1  ln 2  x 2   2  x 2  2 ln 2  x 2   C1  2 2 2 2 2 2 2x 2x 2x x2  ln 2  x 2   C1  ln 2  x 2   C. 2 2 2 2 Cách giải theo “kĩ thuật chọn hệ số”: I            2x u  ln 2  x 2  du  2  x 2  Đặt  2 2 dv  xdx  v  x  1  2  x   2 2     ( v   xdx   x2 x2  C và ta chọn C  1 nên v   1 ) 2 2 2  x2 2  x2 x2 ln 2  x 2   xdx  ln 2  x2   C. 2 2 2 Nhận xét: Qua bài toán trên các em được làm quen thêm một kĩ thuật chọn hệ số cho phương  Khi đó: I     pháp tích phân từng phân. Kĩ thuật này được trình bày sau đây. Kĩ thuật chọn hệ số  u  f  x  du  f   x  dx  Khi đi tính tích phân từng phần, ở khâu đặt  với C là hằng số bất dv  g  x  dx  v  G  x   C kỳ ( chọn số nào cũng được ). Và theo một “thói quen” thì chúng ta thường chọn C  0 . Nhưng việc chọn C  0 lại làm cho việc tìm nguyên hàm (tích phân)  vdu không được “đẹp” cho lắm. Vì ta có quyền chọn C là số thực bất kì nên ta sẽ chọn hệ số C thích hợp mà ở đó biếu thức vdu là đơn giản nhất. Cách làm như thế được gọi là “kĩ thuật chọn hệ số”. Bài toán 4: Tìm nguyên hàm của  ln  sin x  2 cos x  cos2 x dx . Lời giải: Cách giải thông thường: u  ln  sin x  2 cos x   cos x  2 sin x dx  du   Đặt  sin x  2 cos x dx dv    v  tan x  cos2 x   I  tan x ln  sin x  2 cos x    Khi đó việc đi tìm  tan x  cos x  2 sin x  sin x  2 cos x tan x  cos x  2 sin x  sin x  2 cos x của “kĩ thuật chọn hệ số”.  https://toanhocplus.blogspot.com dx . dx sẽ trở nên rất khó khăn. Lúc này cần sự “lên tiếng” Trang 30 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Cách giải theo “kĩ thuật chọn hệ số”: cos x  2 sin x u  ln  sin x  2 cos x   du  dx    sin x  2 cos x Đặt    dx dv   v  tan x  C  sin x  C cos x 2 cos x   cos x sin x  C cos x cos x  2 sin x . dx . Để nguyên hàm này đơn giản ta “Chọn C  2 ” cos x sin x  2 cos x cos x  2 sin x dx . lúc này ta được  vdu   cos x cos x  2 sin x  I  tan x ln  sin x  2 cos x    dx  tan x ln  sin x  2 cos x   x  2 ln cot x  C. cos x Khi đó:  vdu   Bài toán 5: Tìm họ nguyên hàm  x 2 sin  1  3 x  dx Lời giải: + Xét I   x sin  1  3 x  dx 2 du  2 xdx u  x 2   Đặt  . 1 dv  sin  1  3x  dx v  3 cos  1  3x  Khi đó thì I   x 2 sin  1  3 x  dx  1 2 2 x cos  1  3 x    x cos  1  3 x  dx 3 3 2 + Xét J   x cos  1  3 x  dx 3  2  2 du  dx  u  x   3  Đặt lại  . 3 dv  cos  1  3x  dx v   1 sin  1  3 x    3 2 2 2 2 2 J   x cos  1  3 x  dx   x sin  1  3 x    sin  1  3 x  dx   x sin  1  3 x   cos  1  3 x   C 3 9 9 9 27 1 2 2 Vậy, I   x 2 sin  1  3 x  dx  x 2 cos  1  3 x   x sin  1  3 x   cos  1  3 x   C . 3 9 27 Lưu ý: Trên đây là bài giải chuẩn, tuy nhiên, nếu chỉ cần tìm đáp số cuối cùng ta có thể thực hiện theo phương pháp từng phân theo sơ đồ đường chéo. Phương pháp từng phần bằng sơ đồ đường chéo: Bước 1: Chia thành 2 cột: + Cột 1: Cột u luôn lấy đạo hàm đến 0 . + Cột 2: Cột dv luôn lấy nguyên hàm cho đến khi tương ứng với cột 1. Bước 2: Nhân chéo kết quả của 2 cột với nhau. Dấu của phép nhân đầu tiên sẽ có dấu    , sau đó đan dấu    ,    ,    ,… Bước 3: Kết quả bài toán là tổng các phép nhân vừa tìm được.  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 31 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Áp dụng cho bài toán ở trên: (Lấy đạo hàm) Dấu u  x2  dv  sin  1  3x   1 cos  1  3 x  3  1  sin  1  3 x  9 2x 2 (Lấy nguyên hàm)  0 1 cos  1  3 x  27 1 2 2 2 x cos  1  3 x   x sin  1  3 x   cos  1  3 x   C . 3 9 27 Tiếp theo là một bài toán sử dụng phương pháp từng phần bằng sơ đồ đường chéo: Kết quả: I   x 2 sin  1  3 x  dx  Bài toán 6: Tìm họ nguyên hàm:  x 5 e x dx Lời giải: Nhận xét: Về mặt lý thuyết bài này ta hoàn toàn có thể giải bằng phương pháp tích phân từng phần. Song ta phải sử dụng tới 5 lần tích phân từng phần ( vì bậc của đa thức x 5 là 5 —khá dài ). Lúc này ta sẽ làm theo sơ đồ tích phân đường chéo: Đạo hàm Dấu Nguyên hàm u  x5 Kết quả tìm được: 5 x 5 x  x e dx  x e dv  e x 5x 4  ex 20x 3  ex 60x 2  ex 120x  ex 120  ex 0  ex  5 x 4 e x  20 x 3 e x  60 x 2 e x  120 xe x  120 e x  C    x 5  5 x 4  20 x 3  60 x 2  120 x  120 e x  C . Cách 2: Ta sử dụng công thức:   f  x   f   x  e dx  f  x  e x x C *   Thật vậy:  f  x  e x  C   f   x  e x  f  x  e x   f  x   f   x   e x (đpcm)  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 32 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Áp dụng công thức  *  ta được: 1 1         I   x 5 e x dx    x 5  5 x 4  5 x 4  20 x 3  20 x 3  60 x 2  60 x 2  120 x   120 x  120   120  e x dx   0 1 0  1   1    1  1  1   x 5  5x 4 e x dx  5 x 4  4 x 3 e x dx  20  x 3  3x 2 e x dx  60  x 2  2 x e x dx  120   x  1 e x dx  120  x dx 0 0 0   0 0 0 1 = x 5  5x 4  20 x 3  60 x 2  120 x  120 e x  120  44e. 0 Tích phân đường chéo Nguyên hàm lặp: Nếu ta tính tích phân theo sơ đồ đường chéo mà lặp lại nguyên hàm ban đầu cần tính (không kể dấu và hệ số) thì dừng lại luôn tại dòng đó, không chia dòng nữa. Cách tính: các dòng vẫn nhân chéo như các trường hợp trên, nhưng thêm   tÝch cña 2 phÇn tö dßng cuèi cïng  vẫn sử dụng quy tắc đan dấu. Sau đây là ví dụ minh họa: Bài toán 7: Tìm nguyên hàm: I   e 2 x cos3 xdx Lời giải: Đạo hàm Dấu u  cos 3x Nguyên hàm  3 sin 3x 9 cos 3x dv  e 2 x  1 2x e 2  1 2x e 4 1 2x 1 1 1 3 9 e cos 3 x   3 sin 3x  e 2 x    9 cos 3 x  e 2 x dx  e 2 x cos3 x  e 2 x sin3x  I 2 4 4 2 4 4 13 1 3 2 3  I  e 2 x cos 3 x  e 2 x sin 3 x  C  I  e 2 x cos 3 x  e 2 x sin 3 x  C . 4 2 4 13 13 Ta có I  Bài toán 8: Tìm họ nguyên hàm  e x sin x dx Lời giải: Cách 1: Cách giải từng phần thông thường u  sin x  + Xét F  x    e x sin x dx . Đặt  x dv  e dx du  cos x dx .  x v  e Khi đó: F  x   e x sin x   e x cos x dx  e x sin x  G  x  (1)  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 33 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna du   sin x dx u  cos x   + Với G  x    e x cos x dx . Đặt  . x x v  e dv  e dx Khi đó: G  x   e x cos x   e x sin x dx  C   e x cos x  F  x   C  (2) Từ (1) và (2) ta có F  x   e sin x  e cos x  F  x   C  F  x   x Vậy F  x    e x sin x dx  Ghi nhớ: Gặp e mx  n x e x  sin x  cos x  2 e x  sin x  cos x  C  2 2 C . .sin  ax  b  dx hoặc e mx  n .cos  ax  b  dx ta luôn thực hiện phương pháp nguyên hàm từng phần 2 lần liên tiếp. Cách 2: (Phương pháp tích phân đường chéo) Đạo hàm Dấu Nguyên hàm u  dv  sin x ex  ex cos x   sin x ex  Kết quả: I  e sinx e cos x   e sin xdx  I  e  sin x  cos x   I  I  x x x x e x  sin x  cos x  2  C. Bài toán 9: Tìm nguyên hàm I   e x 1 .cos  2 x  1 .dx Lời giải: Cách 1: Cách giải từng phần thông thường u  cos  2 x  1 du  2 sin  2 x  1 dx  Đặt:  x 1 v  e x 1  dv  e dx  Khi đó: I  e x 1 cos  2 x  1  2  e x 1 sin  2 x  1 dx  e x 1 cos  2 x  1  2 J Xét tích phân J =  e x 1 .sin(2 x  1).dx u  sin(2 x  1) du  2 cos  2 x  1 dx  Đặt:  x 1 v  e x 1 dv  e dx  Khi đó: J  e x 1 sin  2 x  1  2  e x 1 cos  2 x  1 dx  e x 1 sin  2 x  1  2 I  C Suy ra : I  e x 1 cos  2 x  1  2 J  e x 1 cos  2 x  1  2  e x 1 sin  2 x  1  2 I   C  5 I  e x 1 cos  2 x  1  2 e x 1 sin  2 x  1  I  1 x1 e cos  2 x  1  2 sin  2 x  1  C. 5   Cách 2: (Phương pháp đường chéo)  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 34 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Đạo hàm Dấu Nguyên hàm u  dv  cos  2 x  1 e x 1  2 sin  2 x  1 e x 1  4 cos  2 x  1 e x 1  Kết quả: I  e x 1 cos  2 x  1  2 e x 1 sin  2 x  1  4  e x 1 cos  2 x  1  e x 1 cos  2 x  1  2 sin  2 x  1   4 I I e x 1  cos  2 x  1  2 sin  2 x  1  5  C.  f  x  ln  ax  b  dx Đối với dạng bài tìm nguyên hàm  f  x  ln  ax  b  dx Phương pháp đường chéo dạng: n n vì vậy ưu tiên đặt u  ln n  ax  b  vì vậy khi đạo hàm ” u ” sẽ không bằng 0 được, vì vậy phải chuyển một lượng t  x  từ cột đạo hàm sang cột nguyên hàm để giảm mũ của ln đi 1 bậc ở cột đạo hàm. Tiếp tục làm tương tự cho đến khi cột đạo hàm bằng 0 thì dừng lại. Nhân chéo từ hàng đạo hàm đã thực hiện chuyển t  x  sang hàng kề dưới của cột nguyên hàm, vẫn sử dụng quy tắc đan dấu bình thường. Bài toán 10: Tìm nguyên hàm: I   x ln 2 xdx Lời giải: Cách 1: Phương pháp từng phân thông thường  2 ln x u  ln 2 x du  x dx x2 2 x2 2 Đặt  . Khi đó: I  ln x   x ln xdx  ln x  I1 .  2 2 2 dv  x v  x  2 + Tìm I1   x ln xdx :  dx du  2 2 2 u  ln x  x . Khi đó: I  x ln x  x dx  x ln x  x  C.  Đặt  1 2 2 2 2 4 dv  x v  x  2 I  x2  x2  x2 2 x2 1 ln x   ln x   C    ln 2 x  ln x    C. 2 4 2  2  2  Cách 2: Phương pháp đường chéo  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 35 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn Chuyển ( Chia) https://facebook.com/duytuan.qna Đạo hàm Dấu ln 2 x 2 x hàm (nhân) x2 2 ln x 2 x x  1 x x2 2 1 x 2  1 x x2 4 0 Kết quả: I  Nhận x  2 ln x x 1 x Nguyên x2 2 x2 x2 x2  1 ln x  ln x   C   ln 2 x  ln x    C. 2 2 4 2  2   Bài toán 11: Tìm nguyên hàm: I   x 2  4 x  3 ln 2  x  1 dx Lời giải: Đặt t  x  1  dt  dx; x  4 x  3   x  1 x  3   t  t  2   t 2  2t 2      I   x 2  4 x  3 ln 2  x  1 dx   t 2  2t ln 2 tdt Cách 1: Phương pháp từng phần thông thường  2 ln t du  dx  u  ln t  t Đặt  .  3 2 dv  t  2t v  t  t 2  3 2  t3   t3  ln t  t3   t2   t3  dt    t 2  ln 2 t  2    t  ln tdt    t 2  ln 2 t  2 I 1 Khi đó: I    t 2  ln 2 t  2    t 2  3  3  t 3  3  3  *   dt u  ln t du    t2    t + Tính I1     t  ln tdt. Đặt  .  t2   3 2 dv   t dt t t   3   v   3    9 2  t3 t2   t2 t   t3 t2  t3 t2   C. Khi đó: I1     ln t      dt     ln t  27 4 9 2  9 2 9 2  t3   2t 3 2  2t 3 t 2  t  ln t   C Thay I1 vào  *  , ta được: I    t 2  ln 2 t   27 2 3   9   * *   Thay t  x  1 vào  * *  ta được nguyên hàm  x 2  4 x  3 ln 2  x  1 dx . Cách 2: Phương pháp đường chéo:  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 36 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Chuyển Đạo hàm (Chia) u Dấu Nguyên Nhận hàm  dv  (Nhân) ln2 t t 2  2t  2 t 1 t 2 ln t t t3 2 t 3 ln t 2t 2  2t 3  1 t 2t 3 2 t 9 1 2t 2 t 9  2 t 1 t 2t 3 t 2  27 2 0  t3   2t 3 2  2t 3 t 2  t  ln t   C Kết quả: I    t 2  ln 2 t   27 2 3   9  * *  .   Thay t  x  1 vào  * *  ta được nguyên hàm  x 2  4 x  3 ln 2  x  1 dx . 3. Bài tập tự luyện Bài tập 1: Tính các nguyên hàm sau: a) I   x  sin x  dx  ĐS: I  sin x  cos x  C. b) I   (1  2 x)  e x  dx  ĐS: I  (3  2 x)  e x  C. c) I   (2 x  1)  ln x  dx  ĐS: I  ( x 2  x)ln x  d) I   x  e 3x  dx  ĐS: I  e) I   x 2  ln 2 x  dx  ĐS: I  x2  x  C. 2 xe 3 x e 3 x   C. 3 9 x g) I   x  sin  dx  2 x 3 ln 2 x x 3   C. 3 9 x 1 1 cos 2 x  sin 2 x  C. ĐS: I   2 4 x x ĐS: I  2 x cos  4 sin  C. 2 2 h) I   x  ln(1  x)  dx  ĐS: I  x2 ln(1  x) (1  x)2 ln(1  x)    C. 2 2 4 i) I   x  sin 2 x  dx  ĐS: I  x 2 x sin 2 x cos 2 x    C. 4 4 8 j) I   ln( x  1  x 2 )  dx  ĐS: I  x ln( x  1  x 2 )  1  x 2  C. f) I   ( x  1)  sin 2 x  dx   https://toanhocplus.blogspot.com Trang 37 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn 1 x  dx  1 x k) I   x  ln ln x  dx  x3 l) I   https://facebook.com/duytuan.qna ĐS: m) I   x  sin x  cos x  dx  ĐS: n) I   e 2 x  cos 3 x  dx  ĐS: x  dx  1  cos 2 x ĐS: p) I   x  (2 cos 2 x  1)  dx  ĐS: o) I   q) I   x  dx  sin 2 x x2  1 1  x ln  C. 2 1 x ln x 1 I   2  2  C. 2x 4x 1 1 I   x cos 2 x  sin 2 x  C. 4 8 1 I  e 2 x (3 sin 3 x  2 cos 3 x)  C. 13 1 1 I  x tan x  ln cos x  C. 2 2 x 1 I   sin 2 x  cos 2 x  C. 2 4 ĐS: I  x  ĐS: I   x cot x  ln sin x  C. r) I   ( x  2)  e 2 x  dx  1 1 ĐS: I  ( x  2)e 2 x  e 2 x  C. 2 4 Bài tập 2: Tính các nguyên hàm sau: a) I   x2  1  ln x  dx  x2  1 1 ĐS: I   x    ln x  x   C. x x  b) I   cos x  dx  ĐS: I  2 x sin x  2 cos x  C. c) I   sin x  dx  ĐS: I  2 x cos x  2 sin x  C. 2 d) I   (8 x3  2 x)  e x  dx  2 2 ĐS: I  (4 x 2  1)  e x  4e x  C. f) I   x 5  e x  dx  1 2 x2 1 x2 x e  e  C. 2 2 3 1 1 3 ĐS: I  x 3 e x  e x  C. 3 3 g) I   e sin x  sin 2 x  dx  ĐS: I  2 sin x.e sin x  2e sin x  C. 2 e) I   x 3 .e x  dx  3 h) I   x  e x  dx  i) I   x  ln( x 2  1)  dx  j) I   1  ln( x  1)  dx  x2 k) I   e x  ln( e x  1)  dx  l) I   ln(4 x 2  8 x  3)  dx  ( x  1)3  1  m) I    1    ln( x  x  1)  dx  2 x   https://toanhocplus.blogspot.com ĐS: I  ĐS: I  2 xe x  4 xe x  4e x  C. 1 ĐS: I  ( x 2  1) ln( x 2  1)  x2  x  C. 2 1 1 x ĐS: I    ln x  1  ln  C. x x x1 ĐS: I  ( e x  1) ln( e x  1)  e x  C. ĐS: 4 x2  8 x  3 ln 4 x 2  8 x  3  4 ln x  1  C. 2( x  1)2 ĐS: I  ( x  x  1)ln x  x  1  x  x  C. Trang 38 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna IV. TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG TỔNG HỢP CÁC PHƯƠNG PHÁP + Một số dạng nguyên hàm cần tách ra giải hai bài toán nguyên hàm riêng. + Một số dạng toán nguyên hàm mà khi giải cần vận dụng phối hợp hai phương pháp nguyên hàm đổi biến và nguyên hàm từng phần, thậm chí các phép biến đổi lượng giác, phân thức. 1. Một số bài toán minh họa Bài toán 1: Tìm các họ nguyên hàm sau đây a) x  e x  xe x  1  e x dx b)  1  x ln x dx x2 c)  x 4   x 3 e 4 x dx Lời giải: x  x  e  xe e  ex x2 ex a) Ta có  dx    x  dx   dx .  dx   x dx   2  1  ex 1  ex 1  ex  1  ex  Xét x x ex x x  1  e x dx. Đặt t  1  e , suy ra dt  e dx Khi đó ex dt x  1  e x dx   t  ln t  C  ln 1  e  C  Như vậy  x  e x  xe x x2 dx   ln 1  e x  C  1  ex 2   1  x ln x  1 ln x  1 ln x dx    2  dx     dx .  2 x  x x x x ln x 1 dx. Đặt t  ln x , suy ra dt  dx Xét  x x b) Ta có  Khi đó ln x t2 ln 2 x dx  tdt   C  C  x  2 2 1  x ln x 1 ln 2 x Như vậy  dx    C x 2 x2 c) Ta có  x 4   x 3 e 4 x dx   x 4 e 4 x dx   x 3 e 4 x dx . u  x 4 Xét  x 4 e 4 x dx . Đặt  ta có 4x dv  e dx Khi đó : Như vậy 4 4x x e  x 4 dx  du  4 x 3dx   1 4x . v  e  4 1 4 4x x e   x 3 e 4 x dx 4   x 3 e 4 x dx   x 4 e 4 x dx   x 3 e 4 x dx  1 4 4x x e C . 4 Bài toán 2: Tìm các họ nguyên hàm sau đây a)  e x dx b) x sin x dx 3 x  cos c)  1  x sin x dx cos 2 x Lời giải:  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 39 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna a) Xét  e x dx . Đặt t  x  t 2  x , suy ra 2tdt  dx . e Khi đó: x dx   2tet dt với t  x u  2t , ta có Lại đặt  t dv  e dt Từ đó : t du  2dt .  t v  e t t  2te dt  2te   2e dt  2te   Tóm lại  e x dx  2 x  2 e x sin x dx . Đặt b) Xét  cos 3 x x t  2 e t  C   2t  2  e t  C C u  x du  dx   .   sin x 1 dx  v   dv  3 2 cos x 2 cos x   x sin x x 1 x 1 dx    dx    tan x  C 3 2 2 2 x 2 cos x 2 cos x 2 cos x 2 sin x Lưu ý: v  v  x  là một nguyên hàm của hàm số g  x   được tìm như sau cos 3 x sin x dx . Đặt t  cos x , suy ra dt   sin x dx  dt  sin x dx Xét  cos 3 x Khi đó :  cos sin x dt t 2 1 3 dx     t dt  C  C  cos3 x  t3  2 2 cos 2 x u  x du  dx x sin x   c) Xét  dx . Đặt   sin x 1 . 2 cos x dx v   dv  2 cos x cos x   x sin x x 1 dx    dx Khi đó :  2 cos x cos x cos x 1 cos x cos x Xét  dx   dx   dx . Đặt t  sin t  dt  cos x dx . 2 cos x cos x 1  sin 2 x cos x 1 1  1 1  1 1 t 1 1  sin x Khi đó:  dx   dt     dt  ln  C  ln C  2 2 2  1 t 1 t  2 1t 2 1  sin x 1  sin x 1 t Từ đó Như vậy x sin x x 1 1  sin x dx    ln C . 2 cos x 2 1  sin x x  cos Bài toán 3: Tính F( x)   1  x sin x dx . Chọn kết quả đúng. cos 2 x A. F( x)  tan x  x 1 sin x  1  ln C. cos x 2 sin x  1 B. F( x)  tan x  x 1 sin x  1  ln C . cos x 2 sin x  1 C. F( x)  tan x  x 1 sin x  1  ln C . cos x 2 sin x  1 D. F( x)  tan x  x 1 sin x  1  ln C . cos x 2 sin x  1 Lời giải: dx x sin x  dx  tan x  I ( x) . 2 cos x cos 2 x x sin x Tính I ( x)   dx : cos 2 x Biến đổi F( x)    https://toanhocplus.blogspot.com Trang 40 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna u  x  du  dx   Đặt  1 sin x d  cos x    v   dv   cos x  cos 2 x cos 2 x  Suy ra: I ( x)  J ( x)    x dx x    J  x . cos x cos x cos x dx cos xdx d(sin x) 1 1 1       d  sin x  2 cos x (sin x  1)(sin x  1) 2  sin x  1 sin x  1  sin x  1 . 1 sin x  1  ln C 2 sin x  1 Kết quả F( x)  tan x  Bài toán 4: Biết x 2 x 1 sin x  1  ln  C . Chọn C. cos x 2 sin x  1 x3 4 3 x1 dx  a ln x 2  2 x  4  arctan  C .Tính giá trị biểu thức a  b b  2x  4 3  A. a  b  5 .  B. a  b   13 . 4 5 C. a  b   . 2 D. a  b  1 . Lời giải: Ta có x 2 x3 dx    2x  4 1  2x  2   4 2 dx   x2  2 x  4 dx x2  2x  4 m  2x  2   n   2 1 2x  2 dx 1 d x  2x  4 dx   2 dx  4  2   2  4 2 2 x  2x  4 x  2x  4 2 x  2x  4 x  2x  4 1 dx 1  ln x 2  2 x  4  4  2  ln x 2  2 x  4  4 J . 2 x  2x  4 2 dx dx  Tính J   2 2 x  2x  4  x  1  3  Đặt x  1  3 tan t , J   3  1  tan t  3 1  tan 2 t dt Vậy I  2    3dt    3 1  tan 2 t dt .  t   dx  2 2 2 cos t   3 3 3 x1 dt  C  arctan C .  3 3 3 3  1 4 3 x1 1 ln x 2  2 x  4  arctan  C , suy ra a  và b  3 . 2 3 2 3  Hay ta có a  b   1 5  3   . Chọn C. 2 2  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 41 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna 2. Bài tập tự luyện Tìm các nguyên hàm sau đây: a) I   x.(4 x 2  e 2 x )dx b) I   ( x  sin x)2 dx. c) I   ( x 2  x.e x )dx d) I   (2  x 3  x.e x )dx e) I   (1  ln x).xdx f) I   x.( x 2  sin x)dx g) I   x.sin x cos 2 xdx h) I   ( x  2 cos 2 x) xdx i) I   2 x(2 x 2  ln x)dx j) I   ( e x  3 x 2  1) xdx k) I   ( x  cos 2 x) sin xdx  1 l) I    x   ln xdx x  m) I   x  2 tan 2 x dx cos 2 x p) I   cos xdx 2 2 2 n) I   (sin 2 x  e x )xdx o) I   ( e x  cos 3 x)xdx q) I   sin xdx r) I   sin 2 x.ln(1  cos x)dx 3 2 s) I   x 3 .e x dx t) I   x 5 e x dx u) I   (8 x 3  2 x)e x dx v) I   x ln( x 2  1)dx w) I   x ln( x 2  5)dx x) I    https://toanhocplus.blogspot.com Trang 42 ln(1  ln 2 x) dx x Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna C. THỦ THUẬT CASIO TÌM NHANH NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ Việc sử dụng Casio dể tính nguyên hàm đặc biệt hữu ích đối với với những bài phức tạp, áp dụng nhiều công thức tính đạo hàm cùng một lúc , và tránh nhầm lẫn trong việc tính toán !! I. KIẾN THỨC CẦN NẮM Nhắc lại : o o  f  x  dx  F  x   C  F ‘  x   f  x  Nếu F  x  là 1 nguyên hàm của f  x  thì F  x   C cũng là 1 nguyên hàm của hàm f  x  vì  F  x   C  ‘  F ‘  x   C ‘  F ‘  x   0  F ‘  x   f  x  Cách bước tìm nguyên hàm bằng CASIO: Bài toán: Tìm nguyên hàm của hàm số y  f  x  ? Bước 1: Tính giá trị f  x  tại điểm x0 thuộc TXĐ, ta được f  x0  . Bước 2: Nhập lệnh tìm đạo hàm của hàm số tại 1 điểm: qy Bước 3: Nhập lần lượt các hàm số nguyên hàm F  x  mà đề bài cho, và cho giá trị đạo hàm d F x dx  tại x0 ta thu được  . x  x0 So sánh các kết quả: + Nếu + Nếu d F x dx  d F x dx     f  x0  thì hàm số F  x  trên là 1 nguyên hàm của f  x  . x  x0  f  x0  thì hàm số F  x  trên không là nguyên hàm của f  x  . x  x0 II. MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA ĐIỂN HÌNH Bài toán 1: Nguyên hàm của hàm số y  x.e 2 x là : A. 2 e 2 x  x  2   C B. 1 2x  1 e x C 2 2   1 C. 2 e 2 x  x    C 2  D. 1 2x e  x  2  C 2 Lời giải: o Ta biết F ‘  x   f ( x) việc này đúng với mọi x thuộc tập xác định. o Vậy sẽ đúng với x  1 chẳng hạn . Khi đó F ‘  1  f  1 o Tính giá trị f  1  7, 3890… Q)QK^2Q)r1= o Tính đạo hàm F ‘  1 với từng đáp án , bắt đầu từ đáp án A là F  x   2 e 2 x  x  2   https://toanhocplus.blogspot.com Trang 43 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna qy2QK^2Q)$(Q)p2)$1= Vậy ta được kết quả F ‘  1  14.7781… đây là 1 kết quả khác với f 1  Đáp án A sai o Tính đạo hàm F ‘  1 của đáp án B với F  x   1 2x  1 e x  2 2  qya1R2$QK^2Q)$(Q)pa1R2$)$1 = Ta thu được kết quả giống hệt f  x  vậy F ‘  x   f  x  hay F  x   1 2x  1 e  x   là nguyên hàm 2 2  của f  x   Đáp án B là đáp án chính xác. Bài toán 2: [ĐỀ MINH HỌA 2017] Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   2 x  1 : 2 A.  f  x  dx  3  2 x  1 C.  f  x  dx   3 1 2x  1  C 2x  1  C 1 B.  f  x  dx  3  2x  1 D.  f  x  dx  2 1 2x  1  C 2x  1  C Lời giải: o Nhắc lại 1 lần nữa công thức quan trọng của chúng ta. Nếu F  x  là 1 nguyên hàm của f  x  thì F ‘  x   f  x  . Khi đó ta chọn 1 giá trị x  a bất kì thuộc tập xác định thì F  a   f  a  o Chọn giá trị x  2 chẳng hạn (thỏa điều kiện 2 x  1  0  x  1 ) 2 Khi đó f  2   1,732… s2Q)p1r2=n o Theo đúng quy trình ta sẽ chọn đáp án F  x  ở 4 đáp án A, B, C, D nếu đáp án nào thảo mãn F ‘  2   f  2   1,732… 2  2 x  1 2 x  1 3 qya2R3$(2Q)p1)s2Q)p1$$2= Thử với đáp án A khi đó F  x    https://toanhocplus.blogspot.com Trang 44 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Vậy F ‘  2   3, 4641… là một giá trị khác f  2   1,732… điều đó có nghĩa là điều kiện F ‘  x   f  x  không được đáp ứng. Vậy đáp án A là sai . 1  2 x  1 2 x  1 3 qya1R3$(2Q)p1)s2Q)p1$$2= o Ta tiếp tục thử nghiệm với đáp án B. Khi này F  x   Ta được F ‘  2   1,732… giống hệt f  2   1,732… có nghĩa là điều kiện F ‘  x   f  x  được thỏa mãn. Vậy đáp án chính xác là B. Bài toán 3: Một nguyên hàm của hàm số f  x   x 2  3x  2 là : x A. 2 x 2  3x  2 ln x C. x2  3 x  2 ln x  1 2 B. x2 3x   ln x 2 2 D. x2  x x2 Lời giải: o Ta chọn 1 giá trị x thuộc tập xác định  x  0  là x  5 Khi đó f  5   7.6 aQ)d+3Q)p2RQ)r5=n x2  3x  2 ln x  1 có 2 qyaQ)dR2$+3Q)p2hQ))+1$5= o Với đáp án C ta có F  x   Ta được F ‘  5   7.6  f  5  . Vậy đáp án C là đáp án chính xác. Bài toán 4: Nguyên hàm A. tan 2 x  C sin 2 x  cos4 x dx bằng : 1 B. tan x  C 3 C. 3 tan 3 x  C D. 1 tan 3 x  C 3 Lời giải:  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 45 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna o Chọn chế độ Radian cho máy tính Casio rồi chọn giá trị x   6 chẳng hạn. sin 2 x   4 o Ta có f  x   và F    4 cos x 6 9 qw4ajQ))dRkQ))^4rqKP6= 1  4 tan 3 x tại x  ta được F  x   0, 44  4   3 6 9 qya1R3$lQ))^3$$aqKR6= o Tính đạo hàm của F  x   o Vậy F ‘  x   f  x   4  D là đáp án chính xác. 9 Bài toán 5: Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của hàm số f  x   A. x2  x  1 x1 B. x2  x  1 x1 C. x2  x  1 x1 D. x  x  2  x  1 2 : x2 x1 Lời giải: o Chọn giá trị x  2 chẳng hạn. o Ta có f  x   x  x  2  x  1 2 và f  2   8 9 aQ)(Q)+2)R(Q)+1)dr2= x2  x  1 10 tại 2 ta được F ‘  2   1.11  1  9 x 1 qyaQ)d+Q)p1RQ)+1$$2= o Tính đạo hàm của F  x   o Vậy F ‘  x   f  x  x2  x  1 không phải là nguyên hàm của f  x  x1  A là đáp án chính xác.  F  x   https://toanhocplus.blogspot.com Trang 46 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna  3  Bài toán 6: Tìm nguyên hàm của hàm số   x 2   2 x dc x   A. x3 4 3  3 ln x  x C 3 3 B. x3 4 3  3 ln x  x C 3 3 C. x3 4 3  3 ln x  x C 3 3 D. x3 4 3  3 ln x  x C 3 3 Lời giải: o Chọn giá trị x  2 chẳng hạn. 11  4 2 3  2 x và f  2   2 x Q)d+a3RQ)$p2sQ)r2= o Ta có f  x   x 2  11  4 2 x3 4 3  3 ln x  x tại 2 ta được F ‘  2   2.6715…  2 3 3 qyaQ)^3R3$+3hQ))pa4R3$sQ)^ 3$$$2= o Tính đạo hàm của F  x   11  4 2 x3 4 3  F  x    3 ln x  x là nguyên hàm của f  x  2 3 3  B là đáp án chính xác. o Vậy F ‘  x   f  x   Bài toán 7:  ln x dx bằng : x 1 A. 2  ln x  2  C B. 2 3  ln x  3 C. C 1 2 ln x C D. 3 2  ln x  3 C Lời giải: o Chọn giá trị x  2 chẳng hạn. ln x và f  2   0.4162… x ashQ))RQ)r2= o Ta có f  x   3 2 ln x  tại 2 ta được F ‘  2   0.4612…  3 qya2R3$shQ))^3$$$2= o Tính đạo hàm của F  x    https://toanhocplus.blogspot.com Trang 47 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna o Vậy F ‘  x   f  x   0.4162…  F  x   2 3  ln x  3 là nguyên hàm của f  x   B là đáp án chính xác. Bài toán 8: Nguyên hàm của hàm số f  x   e x 1  2017e 2 x  là : A. e x  2017 e  x  C B. e x  2017 e  x  C C. e x  2017  x e C 2 D. e x  2017 x e C 2 Lời giải: o Chọn giá trị x  2 chẳng hạn.   o Ta có f  x   e x 1  2017 e 2 x và f  2   265.5822… QK^Q)$(1p2017QK^p2Q)$)r2= o Tính đạo hàm của F  x   e x  2017 e  x tại 2 ta được F ‘  2   265.5822… qyQK^Q)$+2017QK^pQ)$$2= o Vậy F ‘  x   f  x   265.5822…  F  x   e x  2017 e  x là nguyên hàm của f  x   A là đáp án chính xác. Bài toán 9: Họ nguyên hàm của 2x  3 dx : 2  x 1  2x 2 5 ln 2 x  1  ln x  1  C 3 3 2 5 C. ln 2 x  1  ln x  1  C 3 3 A. 2 5 B.  ln 2 x  1  ln x  1  C 3 3 1 5 D.  ln 2 x  1  ln x  1  C 3 3 Lời giải: o Chọn giá trị x  2 chẳng hạn. 2x  3 7 và f  2   2 5 2x  x  1 a2Q)+3R2Q)dpQ)p1r2= o Ta có f  x    https://toanhocplus.blogspot.com Trang 48 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna 2 5 7 o Tính đạo hàm của F  x    ln 2 x  1  ln x  1 tại 2 ta được F ‘  2   1.4  3 3 5 qyap2R3$h2Q)+1)+a5R3$hQ)p1 )$2= 7 2 5  F  x    ln 2 x  1  ln x  1 là nguyên hàm của f  x  5 3 3  B là đáp án chính xác. o Vậy F ‘  x   f  x    https://toanhocplus.blogspot.com Trang 49 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 1. ĐỀ BÀI Câu 1. Giả sử hàm số F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  trên K . Khẳng định nào sau đây đúng. A. Chỉ có duy nhất một hằng số C sao cho hàm số y  F( x)  C là một nguyên hàm của hàm f trên K. B. Với mỗi nguyên hàm G của f trên K thì tồn tại một hằng số C sao cho G( x)  F ( x)  C với x thuộc K . C. Chỉ có duy nhất hàm số y  F( x) là nguyên hàm của f trên K. D. Với mỗi nguyên hàm G của f trên K thì G( x)  F ( x )  C với mọi x thuộc K và C bất kỳ. Câu 2. Cho hàm số F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) trên K . Các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai. A. Câu 3.  f ( x)dx F( x)  C. B.   f (x)dx   f ( x).   f ( x)dx   f (x). D.   f ( x)dx   F( x). Các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai.  kf ( x)dx  k  f ( x)dx ,( k  ) . C.   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx . A. Câu 4. C.  f  x  .g  x  dx   f  x  dx.  g  x  dx . D.   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx . B. Cho hai hàm số f ( x), g( x) là hàm số liên tục, có F ( x ), G( x ) lần lượt là nguyên hàm của f ( x), g( x) . Xét các mệnh đề sau: (I). F ( x )  G( x) là một nguyên hàm của f ( x)  g( x). (II). k.F ( x ) là một nguyên hàm của kf ( x) với k  . (III). F ( x ).G( x) là một nguyên hàm của f ( x).g( x). Các mệnh đúng là A. (I). Câu 5. B. (I) và (II). C. Cả 3 mệnh đề. D. (II). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai. A.   f ( x)  g( x) dx   f ( x)dx   g( x)dx . B. Nếu F ( x ) và G( x) đều là nguyên hàm của hàm số f ( x) thì F ( x)  G( x)  C là hằng số. C. F( x)  x là một nguyên hàm của f ( x)  2 x . D. F( x)  x 2 là một nguyên hàm của f ( x)  2 x. Câu 6. Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng. 2 2    1 1  A.   2 x  1   dx     2 x  1   dx  . x x     2  1  1 B.   2 x  1   dx  2   2 x  1   dx . x x     https://toanhocplus.blogspot.com Trang 50 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna 2  1  1  1 C.   2 x  1   dx    2 x  1   dx.  2 x  1  dx . x x x    2  1 1 2 D.   2 x  1   dx  4  x 2 dx   dx   2 dx  4  xdx   dx  4  dx x x x   f ( x)dx  F( x)  C . Khi đó với a  0 , ta có  f ( ax  b)dx bằng: Câu 7. Cho Câu 8. 1 1 B. F ( ax  b)  C . C. F( ax  b)  C. F( ax  b)  C . 2a a Trong các khẳng định sau khẳng định nào sai. A. D. a.F ( ax  b)  C . A. F( x)  2017  cos 2 x là một nguyên hàm của hàm số f ( x)   sin 2 x . B. Nếu F ( x ) và G( x) đều là nguyên hàm của hàm số f ( x) thì   F( x)  g( x) dx có dạng h( x )  Cx  D với C , D là các hằng số, C  0. C. u ‘( x) 2 u( x) D. Nếu Câu 9. dx  u( x)  C.  f (t)dt  F(t )  C thì  f [u( x)]dx  F[u( x)]  C . (Đại Học Vinh lần 3) Khẳng định nào sau đây là đúng. x x B.  sin dx  2 cos  C. 2 2 x x D.  cos dx  2 sin  C. 2 2 A.  tan xdx   ln cos x  C . C.  cot xdx   ln sin x  C . Câu 10. (Chuyên Hưng Yên lần 3) Nếu 1  f  x dx  x  ln 2 x  C 1 1  . x2 x 1 1 1 C. f  x   2  ln  2 x  . D. f  x    2  . x x 2x Câu 11. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai. A. f  x   x  Câu 12. Câu 13. 1 . 2x thì hàm số f  x  là B. f  x    A.  x e dx  x e 1 C . e 1 B.  cos 2 xdx  C.  e x dx  e x 1 C . x1 D. 1 sin 2 x  C . 2 1  x dx  ln x  C . (TPHCM cụm 1) Biết một nguyên hàm của hàm số y  f  x  là F  x   x  4 x  1 . Khi đó, giá trị của hàm số y  f  x  tại x  3 là A. f  3   6 . B. f  3   10 . C. f  3   22 . D. f  3   30 . (Quảng Xương- Thanh Hóa lần 1)Tìm một nguyên hàm F  x  của hàm số 2 f  x   ax  A. F  x   b  x  0  , biết rằng F  1  1, F 1  4, f  1  0 x2 3×2 3 7   . 4 2x 4  https://toanhocplus.blogspot.com B. F  x   Trang 51 3×2 3 7   . 4 2x 4 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna 3x 2 3 7   . 2 4x 4 Câu 14. Xét các mệnh đề sau, với C là hằng số: C. F  x   D. F  x   3x 2 3 1   . 2 2x 2 (I)  tan x dx   ln  cos x   C . 1 (II)  e 3cos x sin x dx   e 3cos x  C . 3 cos x  sin x dx  2 sin x  cos x  C . (III)  sin x  cos x Số mệnh đề đúng là: A. 0 . B. 1 . D. 3 . C. 2 . Câu 15. Cặp hàm số nào sau đây có tính chất: Có một hàm số là nguyên hàm của hàm số còn lại? 1 . cos 2 x 2 A. f  x   sin 2 x và g  x   cos 2 x . B. f  x   tan 2 x và g  x   C. f  x   e x và g  x   e  x . D. f  x   sin 2 x và g  x   sin 2 x . 4 Câu 16. Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của hàm số f  x    x  3  ? A. F  x   x  3  C. F  x   x  3  5 5 5  x. B. F  x  D. F  x   x  3  . 5 5  2017 . 5  x  3  5 5 1 Câu 17. (THPT Nguyễn Thị Minh Khai Hà Nội lần 1) Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)  ( x  1)2 A. F( x)  x 3  3 x 2  3x  C. C. F( x)  B. F( x)  x3  x 2  x  C. 3 x3  x 2  x  C. 3 D. F( x)  x 3  x 2  x  C. Câu 18. (Sở GDĐT Hải Phòng) Tìm nguyên hàm của hàm số y  2 x ? A.  2 x dx  2x  C. ln 2 C.  2 x dx  ln 2.2 x  C . D.  2 x dx  B.  2 x dx  2 x  C . 2x  C. x1 Câu 19. (Sở GDĐT Hải Phòng) Tìm hàm số F  x  , biết F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   x và F  1  1. A. F  x   2 1 x x . 3 3 B. F  x   Câu 20. (Chuyên Hưng yên lần 3) Nếu A. f  x   x  C. f  x   1 1  . 2 x 2 C. F  x   x x . 3 1 x x . 2 2 1  f  x  dx  x  ln 2x  C thì hàm số f(x) là: 1 . 2x 1 1  . x2 x 1 1 D. f  x    2  . x 2x B. f  x    1  ln  2 x  . x2  https://toanhocplus.blogspot.com D. F  x   Trang 52 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Câu 21. (THPT Nguyễn Thị Minh Khai Hà Nội lần 1) Cho hàm số f ( x)  4m   sin 2 x . Giá trị của    tham số để nguyên hàm Fx của hàm số fx thỏa mãn điều kiện F (0)  1 và F    là 4 8 4 A. m   . 3 3 B. m  . 4 3 C. m   . 4 4 D. m  . 3 2 Câu 22. (Sở Bình Thuận) Cho hàm số f ( x)  cos x. Tìm nguyên hàm của hàm số y   f ( x)  . x 1 A.  ydx  2  4 sin 2x  C. C.  ydx  x  2 sin 2 x  C. 1 Câu 23. (KHTN lần 5) Nguyên hàm x 1 B.  ydx  2  4 sin 2x  C. D.  ydx  x  2 sin 2 x  C. 1 sin 4 x  sin x  cos x dx bằng A.  2  3 cos  3 x  3  4      2 cos  x    C .   4 B.  2  3 sin  3 x  3  4      2 sin  x    C .   4 C.  2  3 sin  3 x  3  4      2 sin  x    C .   4 D.  2  3 sin  3 x  3  4      2 cos  x    C .   4 Câu 24. Nguyên hàm dx  2 tan x  1 bằng? x 2  ln 2 sin  cos x  C. 5 5 x 1 C.  ln 2 sin x  cos x  C. 5 5 2x 1  ln 2 sin x  cos x  C . 5 5 x 1 D.  ln 2 sin x  cos x  C. 5 5 1 Câu 25. (Thi thử chuyên KHTN –HN lần 4 năm 2017) Tìm nguyên hàm  dx . 1  2x A. 1 1 B. 1 A.  1  2 xdx  2 ln 1  2 x  C. C.  1  2 xdx  ln 1  2x  C. 1 1 1 B.  1  2 xdx  2 ln 1  2x  C. D.  1  2 xdx  ln 1  2x  C. 1 1 Câu 26. (Thi thử chuyên LÊ KHIẾT –QUẢNG NGÃI năm 2017) Tính    x 2 3    2 x  dx ta được x  kết quả là A. x3 4 3  3 ln x  x  C. 3 3 B. x3 4 3  3 ln x  x  C. 3 3 C. x3 4 3  3 ln x  x  C. 3 3 D. x3 4 3  3 ln x  x  C. 3 3 Câu 27. (Đề thử nghiệm BGD và ĐT cho 50 trường) Biết F  x  là một nguyên hàm của f  x   1 x 1 và F  2   1 . Tính F  3  . A. F  3   ln 2  1 . B. F  3   ln 2  1.  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 53 C. F  3   1 . 2 D. F  3   7 . 4 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Câu 28. (THI HỌC KỲ I LỚP 12 CHUYÊN HẠ LONG) Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)  f ( x)dx  3×4  C. 2 x4  6 A.  C.  f ( x)dx  x 3 ln( x 4  1)  C.  f ( x)dx  ln( x D.  f ( x)dx  4 ln( x 1  2  3x  2  C. B.  3  2  3x  Câu 30. Nguyên hàm của hàm số y  A. x3  x  ln x  C. 3 B. 2 C. 4 dx  1)  C.  2  3x bằng: 1 ln 2  3 x  C. 3 C. x 3  x  ln x  C. D. x3  x  ln x  C. 3 x 2  2x  3 là : x 1 x2 x2 x2  3x  6 ln x  1 . B.  3x+6 ln x  1 . C.  3x-6 ln x  1 . A. 2 2 2 Câu 32. Một nguyên hàm của f ( x)  1 D.  ln 3 x  2  C. 3 x3  x  1 là: x x 3 x2   ln x  C . 3 2 Câu 31. Một nguyên hàm của f  x   C.  1)  C. 1 Câu 29. (PT DÂN TỘC NỘI TRÚ TỈNH BÌNH ĐỊNH) Kết quả của A. 4 B. x3 . x4  1 x2  3x+6 ln x  1 . D. 2 e3x  1 là: ex  1 1 2x x e  e  x. 2 1 C. F( x)  e 2 x  e x . 2 1 2x x e e . 2 1 D. F( x)  e 2 x  e x  1. 2 A. F( x)  B. F( x)  Câu 33. (Sở GD và ĐT Quảng Ninh năm 2017) Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x)  x3  1 , biết x2 F (1)  0 . x2 1 1   . A. F( x)  2 x 2 x2 1 1   . C. F( x)  2 x 2 1 Câu 34. ( Chuyên Vĩnh Phúc – lần 3) Nguyên hàm của f  x   là: 2  3 x  1 B. 1 C . 3x  1  https://toanhocplus.blogspot.com C. Trang 54 1 C . 9x  3 x2 1 3   . D. F(x)  2 x 2 1 C . 9x  3 x3 dx . Câu 35. (Thi thử chuyên KHTN –HN lần 4 năm 2017) Tìm nguyên hàm  2 x  3x  2 x3 x3 dx  2 ln x  2  ln x  1  C . B.  2 dx  2 ln x  1  ln x  2  C . A.  2 x  3x  2 x  3x  2 x3 x3 dx  2 ln x  1  ln x  2  C . dx  ln x  1  2 ln x  2  C . C.  2 D.  2 x  3x  2 x  3x  2 Câu 36. (Chuyên Biên Hòa- Hà Nam lần 2) Hàm số nào dưới đây không là 1 nguyên hàm của hàm A. 3 C. 1  3x x2 1 3   . B. F( x)  2 x 2 D. Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn số f  x   A. x  x  2  x  1 2 https://facebook.com/duytuan.qna . x2  x  1 . x1 B. x2  x  1 . x 1 x2 . x1 C. Câu 37. (Sở GD và ĐT Bình Thuận – HK2)Cho hàm số f  x   D. x2  x  1 . x1 x2 . Khẳng định nào sau đây x  4x  5 2 là sai? 1 1 2  4 x  5  C. B.  f  x  dx  ln  2 x 1 2  4 x  5  C. D.  f  x  dx  2 ln  x A.  f  x  dx  2 ln x C.  f  x  dx  2 ln x Câu 38. (THPT Thanh Oai B- lần 1) Tìm F  x  =  1 2 2   4 x  5   C.    4 x  5  C. dx ? x x2 2 A. F  x  = 1 x2 ln  C. 3 x1 B. F  x  = C. F  x  = 1 x1 ln  C. 3 x2 D. F  x  = ln Câu 39. (THPT Phả Lại – Hải Dương –lần 2) Kết quả x 2 1 x 1 ln  C. 3 x2 x2  C. x1 5x  7 dx bằng:  3x  2 A. 2 ln x  2  3 ln x  1  C . B. 3 ln x  2  2 ln x  1  C . C. 2 ln x  1  3 ln x  2  C . D. 3 ln x  2  2 ln x  1  C . Câu 40. (Chuyên Lê Thánh Tông – Quảng Nam) Biết  x1 dx  a ln x  1  b ln x  2  C .  x  1 2  x  Tính giá trị biểu thức a  b A. a  b  5. B. a  b  1. C. a  b  5. D. a  b  1. Câu 41. Khi tìm nguyên hàm  x x 2  1dx bằng cách đổi biến u  x 2  1 , bạn An đưa ra các khẳng định sau: + Khẳng định 1: du  dx + Khẳng định 2: x 2 A. 0. x  1dx  x 2  1 3 C 6 Hỏi có tất cả bao nhiêu khẳng định đúng? + Khẳng định 3: x x 2  1dx   u2 du B. 1. Câu 42. Thầy giáo cho bài toán “ Tìm C. 2. D. 3 cos x dx ”. Bạn An giải bằng phương pháp đổi biến như 2 x  sin sau: + Bước 1: Đặt u  sin x , ta có du  cos xdx + Bước 2: cos x du 1 dx   2    C 2 u x u  sin  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 55 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna cos x 1 dx    C 2 x x Hỏi bạn An sai ở bước nào? + Bước 3: Kết luận  sin A. Bước 1 B. Bước 2 C. Bước 3 Câu 43. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   A. C.  f  x  dx  ln  x  2 D. Không sai. x x 1 2 1 1 C  B.  f  x  dx  2 ln  x x2 C 2 D. f  x  dx  ln x  f  x  dx  ln x  Câu 44. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   A.  f  x  dx  C. 1  f  x  dx  3  ln x  3  x2 C 2 C . B. F  0   2 ln 2 3 B.  f  x  dx   ln x  3  D. 2  f  x  dx  3  ln x  3  Câu 45. Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   A. F  0   2 ln 2  2 .  1 C ln x  3 x ln x  3  C . 3  2 3 C . sin 2 x   thỏa mãn F    0 . Tính F  0  1  cos x 2 C. F  0   ln 2 . Câu 46. Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   C . D. F  0   2 ln 2  2 . 1    thỏa mãn F  0   . Tính F   1  tan x 4 2 .    A. F    . 2 2 Câu 47. Cho  dx 2x  1  4    B. F     2 2  a 2 x  1  b ln A. M  3 Câu 48. Cho   sin x  cos x  2     D. F     . 4 2  2 x  1  4  C với a , b   . Tính M  a  b . B. M  3 C. M  0 D. M  2 . m cos 2 x A. A  5 .     C. F    . 2 4 3 dx    sin x  cos x  1  sin x  cos x  2  n  C với m, n  . Tính A  m  n . C. A  3 . B. A  2 D. A  4 . Câu 49. Để tính  sin 4 x.cos xdx thì nên: A. Dùng phương pháp đổi biến số đặt t  cos x . u  sin 4 x B. Dùng phương pháp nguyên hàm từng phần đặt  . dv  cos xdx C. Dùng phương pháp đổi biến số đặt t  sin x . u  cos x D. Dùng phương pháp nguyên hàm từng phần đặt  . 4 dv  sin xdx Câu 50. Tính I   2 x x 2  1dx bằng cách đặt u  x 2  1 , mệnh đề nào dưới đây đúng?  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 56 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna A. I  2  udu .  Câu 51. Kết quả của I   x x2  7 A. 1 2 x 7 32  16  C. I   udu . B. I   udu . C . B.  15 sin x  2  cos x  C. f  x    2 1 2 x 7 32   16 . C. 1 2 x 7 16  16  . 1 2 x 7 2  D.  2  sin x  C . B. f  x   sin x C. 2  sin x D. f  x   1 C . 2  cos x  e2x ? ex  1   A. F  x   e x  ln e x  1  C . B. F  x   e x  1  ln e x  1  C . x C. F  x   e  ln x  C . x D. F  x   e  ln x  C . A.  f  x  dx  1 2 2 2  C . Khi đó: x 1 C . 1 B.  f  2 x  dx bằng: C . 2 8 C. 4x  1 x 1 C . 2 Câu 53. Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số y  Câu 54. Cho 16  cos x 1 C . 2  sin x  1 udu . 2 dx là Câu 52. Tìm các hàm số f  x  biết rằng f ‘  x   A. f  x   D. I  2 C . D. 4x  1 2 2 C . x 1 ln x và F e 2  4 . Tính F  e  ? x 1 5 3 1 A. F  e   . B. F  e   C. F  e    D.  e 2 2 2 2 1 Câu 56. (Quốc Học Huế) Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   x thỏa mãn e 1   Câu 55. F  x  là một nguyên hàm của hàm số y    F  0    ln 2 . Tìm tập nghiệm S của phương trình F  x   ln e x  1  3 A. S  3 . B. S  3 . Câu 57. Nếu một nguyên hàm của hàm số y = f(x) là F(x) thì A. 1 F  ax  b   C a B. 1 F  ax  b  a Câu 58. (Sở Phú Yên- Lần 2- 16-17): Biết D. S  3 C. S    f  ax  b dx bằng 1 D.  F  ax  b   C . a C. F  ax  b   C  f  u  du  F  u   C. Khẳng định nào sau đây là đúng. 1  f  2 x  3  dx  2 F  2 x  3   C. D.  f  2 x  3  dx  2 F  2 x  3   3  C .  f  2 x  3  dx  F  2 x  3   C. C.  f  2 x  3  dx  2 F  x   3  C. A. B. Câu 59. Tính tích phân I   2 x x 2  1dx bằng cách đặt u  x 2  1 , mệnh đề nào dưới đây đúng? A. I  2 udu B. I   https://toanhocplus.blogspot.com  udu Trang 57 C. I   udu D. I  1 udu 2 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Câu 60. Nguyên hàm của hàm số y  e cos x sin x là: A. y  e Câu 61. cos x B. y  e .  x  2 Nguyên hàm   x  1 C. y  e . sin x 11 B.  1  x2  C. 11  x  1  11 C. Câu 63.  1 x2  C. 3  x  1  D. e2x ? ex  1   A. F  x   e x  ln e x  1  C . B. F  x   e x  1  ln e x  1  C . C. F  x   e x  ln x  C . D. F  x   e x  ln x  C . 10 12 dx bằng 11 A. 1  x2  C. 11  x  1  11 B.  Câu 64. Cho Nguyên hàm I   A. I   . 11 1  x2  C. 33  x  1  Câu 62. Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số y   x  2 Nguyên hàm   x  1 cos x dx bằng 11 1  x2  C. 11  x  1   D. y  e . 10 12 A. sin x dt . 2t 2  1 1  x2  C. 11  x  1  11 C. 1  x2  C. 33  x  1  11 D. 1 x2  C. 3  x  1  sin 2 xdx . Nếu đặt t  cos2 x thì mệnh đề nào sau đây đúng ? cos4 x  sin 4 x B. I   dt . 2t 2  1 C. I  1 dt . 2  t2  1 D. I   2dt . t2  1 Câu 65. Nguyên hàm của hàm số f  x   e 2 x là A. e 2x  C . B. 2e 2 x  C . C. e2 x C . 2 D. 1 C . e2 x Câu 66. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   cos 2 x . 1  f  x  dx  2 sin 2x  C . C.  f  x  dx  2 sin 2 x  C . A. 1  f  x  dx   2 sin 2 x  C . D.  f  x  dx  2 sin 2 x  C . B. Câu 67. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   (3  2 x)5 A. 6 1 3  2x   C  12 B.  6 1 3  2x   C  12 C.  4 1 3  2x   C  12 D. 4 1 3  2x   C  12 Câu 68. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   2 x  1 . 2 A.  f  x dx  3  2x  1 C.  f  x dx   3 1 2x  1  C 2x  1  C 2 1 B.  f  x dx  3  2x  1 D.  f  x dx  2 1 Câu 69. Biết nguyên hàm F ( x ) của hàm số  x.e x 1dx và F(0)  1 2 A. F(1)  e  e. 2 1 B. F(1)   e 2  e. 2  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 58 2x  1  C 2x  1  C 3 e. Tính F(1) 2 C. F(1)  e 2  e. D. F(1)  e 2  3e. Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Câu 70. Biết F  x  là một nguyên hàm của f  x   dx và F  1  0 . Tính F  e  . x 1  ln x 1 1 C. F  e    . D. F  e    . 2 2 Câu 71. Một ô tô đang chạy với tốc độ 10m / s thì người lái đạp phanh ; từ thời điểm đó, ô tô chuyển A. F  e   2 . B. F  e   2 . động chậm dần đều với v  t   5t  10  m / s  , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét ? B. 2m A. 0, 2m C. 10m D. 20m Câu 72. Một chiếc ô tô đang đi trên đường với vận tốc v  t   2 t  0  t  30  m / s  . Giả sử tại thời điểm t=0 thì s=0. Phương trình thể hiện quãng đường theo thời gian ô tô đi được là A. s  4 3 t  m 3 B. s  2 t  m  C. s  4 3 t  m 3 D. 2t  m    Câu 73. ( TIÊN LÃNG LẦN 2) Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)  cos  3 x   . 6  1   A.  f ( x)dx  6 sin  3x  6   C . C.  f ( x)dx   3 sin  3x  6   C . 1     B.  f ( x).dx  sin  3x  6   C . D.  f ( x)dx  3 sin  3x  6   C . 1   Câu 74. ( HƯNG YÊN LẦN 1) Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)  3 x  2 . A. C. 2  f  x  dx  3  x  2   f  x  dx  x2 . B. 3  x  2 3 x  2  C . 4 D. 3  f  x  dx   4  x  2   f  x  dx  3 x2 C . 2  1 x  2 3  C .  3 Câu 75. ( HẢI HẬU LẦN 2) Kết quả tính  2 x 5  4 x 2 dx bằng A.  C. 1 6 1 12  5  4x  2  5  4x  2 3 3 3 8 1 D.  6 C . B.  C .  5  4x   C 2  5  4x  2 3 C cos x có một nguyên hàm F ( x ) bằng sin 5 x 1 1 4 4 A. . B.  . C. . D. . 4 4 4 4 sin x 4 sin x sin x sin 4 x 1 Câu 77. ( SỞ BÌNH PHƯỚC) Nếu F  x  là một nguyên hàm của hàm số f ( x)  và F  2   1 thì x 1 Câu 76. ( LỤC NGẠN LẦN 2) Hàm số f ( x)  F  3  bằng A. ln 2 . 3 B. ln . 2 C. ln 2  1 . D. 1 . 2 Câu 78. (SỞ NINH BÌNH ) Biết F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   ln 2 x  1.  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 59 ln x thoả x Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn mãn F  1  A. 1 . 3 https://facebook.com/duytuan.qna 1 . Giá trị của F 2  e  là 3 1 B. . 9 C. 8 . 3 D. 8 . 9 Câu 79. ( QUỐC HỌC HUẾ LẦN 2) Hàm số f  x   x x  1 có một nguyên hàm là F  x  . Nếu F  0   2 thì F  3  bằng 146 116 886 105 . B. . C. . D. . 15 15 105 886 Câu 80. ( CHUYÊN HÀ NAM LẦN 3) Biết hàm số F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số A. f ( x)  ln x x ln 2 x  3 có đồ thị đi qua điểm  e ; 2016  . Khi đó F 1 là 3  2014 . A. 3  2016 . B. C. 2 3  2014 . D. 2 3  2016 . Câu 81. Cho I    2 x  3  e dx . Khẳng định nào sau đây đúng. x A. I   2 x  3  e x  C . B. I   2 x  1 e x  C . Câu 82. Tìm một nguyên hàm F  x  của hàm số y  C. I   2 x  1 e x  C . D. I   2 x  1 e x . ln 2x ? x2 1  ln 2x  1 x 1 C. F  x     ln 2 x  1 . x 1  ln 2x  1 x 1 D. F  x     1  ln 2 x  x A. F  x    B. F  x   Câu 83. Tìm một nguyên hàm F  x  của hàm số y  x sin 2 x ? x 1 cos 2 x  sin 2 x 2 4 x 1 C. F  x    cos 2 x  sin 2 x 2 2 x 1 B. F  x    cos 2 x  sin 2 x 2 2 x 1 D. F  x    cos 2 x  sin 2 x 2 4 A. F  x   Câu 84. Biết F  x  là một nguyên hàm của f  x   x sin 2 x và thỏa F  0   F    A.  B.  4 Câu 85. (Chu Văn AN –  C. 4 HN)  f  x  sin x dx  – f  x  cos x    Cho x hàm 1 4 số    . Tính F   2 4 D.  y  f x thỏa 1 4 mãn hệ thức cosx dx . Hỏi y  f  x  là hàm số nào trong các hàm số sau? x . ln  C. f  x    x .ln  x ln  D. f  x    x .ln  A. f  x    B. f  x   Câu 86. Biết rằng I   e 2 x cos3 xdx=e 2 x  a cos 3 x  b sin 2 x   c , trong đó a, b , c là các hằng số. Khi đó, tổng a  b có giá trị là: A.  1 . 13 B.   https://toanhocplus.blogspot.com 5 . 13 C. Trang 60 5 13 D. 1 13 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn Câu 87. Cho F  x    A. x 1  x  xe x 1  x  2 dx , biết F  0   2 . Tìm F  x  . x 2 https://facebook.com/duytuan.qna  xe  2 xe x ex x B.   x  1 e  1 C. 1 1 x 1 x 2e x D. 1 x Câu 88. Một nguyên hàm của hàm số: f ( x)  x sin 1  x 2 là: A. F( x)   1  x 2 cos 1  x 2  sin 1  x 2 . B. F( x)   1  x 2 cos 1  x 2  sin 1  x 2 . C. F( x)  1  x 2 cos 1  x 2  sin 1  x 2 . D. F( x)  1  x 2 cos 1  x 2  sin 1  x 2 . Câu 89. Cho là hai hàm số u, v có đạo hàm liên tục trên K . Khẳng định nào sau đây đúng ? A.  u( x)v ‘( x)dx  u( x).v( x)   v( x)dx B.  u( x)v ‘( x)dx  u( x).v( x)   v( x)u ‘( x)dx C.  u( x)v ‘( x)dx  u( x).v( x)   v( x)u( x)dx D.  u( x)v ‘( x)dx  u( x).v( x)   u( x)dx Câu 90. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)  x cos x. A. B.  f ( x)dx  x sin x  cos x  C C.  f ( x)dx   x sin x  cos x  C  f ( x)dx   x sin x  cos x  C D.  f ( x)dx  x sin x  cos x  C Câu 91. Một nguyên hàm của hàm số f ( x)  xe x là: x2 x e 1 B. F ( x)   x  1 e x C. F( x)  xe x  e x  2 2 Câu 92. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? A. F( x)  A. 2  x ln xdx  x3 x3 ln x   C 3 9 B. C. 2  x ln xdx  x2 C 3 D.  x 2 ln xdx  2  x ln xdx  D. F( x)  x  e x  1 x3 x3 ln x   C 3 9 x3 x4 ln x  ln x  C 3 12 Câu 93. Tìm một nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x)   4 x  1 e x thỏa mãn điều kiện F (1)  e. A. F( x)   4 x  3  e x B. F( x)   4 x  5  e x  9 e C. F( x)   4 x  3  e x  e D. F( x)   4 x  5  e x Câu 94. Cho F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x)  x cos 3 x thỏa mãn điều kiện F (0)  1. Tính  F( ). 3   A. F( )  1. 3  7 C. F( )  . 3 9 B. F( )  1. 3   7 D. F( )   . 3 9 2  Câu 95. Cho F( x)  ax 2  bx  c e x là một nguyên hàm của hàm số f ( x)   x  3  e x . S  a  b  c. A. S  12. Câu 96. Cho F( x)  A. S  0. B. S  0. C. S  10. Tính D. S  14. a 1  ln x Tính S  a  b. (ln x  b) là một nguyên hàm của hàm số f ( x)  x x2 B. S  2. C. S  2. D. S  1. Câu 97. Nếu u( x ), v( x ) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì:  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 61 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna A.  u( x)v ‘( x)dx  u( x)v( x)   u ‘( x)v( x)dx B.  u( x)v ‘( x)dx  u( x)v( x)   u( x)v ‘( x)dx C.  u( x)v ‘( x)dx  u( x)v ‘( x)   u( x)v( x)dx D.  u( x)v ‘( x)dx  u ‘( x)v( x)   u ‘( x)v( x)dx Câu 98. Tìm tất cả các hàm số f ( x) thỏa mãn điều kiện f ‘( x)  xe x x2 x e C 2 A. f ( x)  xe x  C B. f ( x)  C. f ( x)  e x ( x  1)  C D. f ( x)  e x ( x  1)  C  Câu 99. Cho hàm số f ( x) biết f ‘( x)  x sin x và f ( )  0 . Tính f ( ) 6  3 7  A. f ( )  3 2 6  3 7  B. f ( )   3 2 6  3 7  C. f ( )   3 2 6  3 7  D. f ( )  3 2 6 Câu 100. Biết  ln 2 xdx  x( a ln 2 x  b ln x  c )  d . Tính P  abc A. P  2 B. P  2 C. P  4 D. P  4 Câu 101. Tìm tất cả nguyên hàm của hàm số f ( x)  sin x.ln(cosx) A.  sin x.ln(cos x)dx  cos x.ln(cos x)  cos x  C B.  sin x.ln(cos x)dx  cos x.ln(cos x)  cos x  C C.  sin x.ln(cos x)dx  cos x.ln(cos x)  s inx  C D.  sin x.ln(cos x)dx   cos x.ln(cos x)  cos x  C Câu 102. Phát biểu nào sau đây đúng? A. x x 2 x2 x (sin  cos ) dx   x cos x  s inx  C  2 2 2 x x x2 B.  x(sin  cos )2 dx   x cos x  s inx  C 2 2 2 C. x x 2 x2 x (sin  cos ) dx   x cos x  s inx  C  2 2 2 x x x2 D.  x(sin  cos )2 dx   x cos x  s inx  C 2 2 2 Câu 103. Tìm họ các nguyên hàm của hàm số f ( x)  x ln 1 x 1  x2 1  x dx  x  ln C A.  x ln 1 x 2 1 x C.  x ln 1 x 1  x2 1  x dx   x  ln C 1 x 2 1 x 1 x 1 x 1 x 1  x2 1  x dx  x  ln C B.  x ln 1 x 2 1 x D.  x ln 1 x 1  x2 1  x dx   x  ln C 1 x 2 1 x Câu 104. Tìm họ các nguyên hàm của hàm số f ( x)  cos 2 x.e 3 x A.  cos 2 x.e 3 x dx  e3x (3 cos 2 x  2 sin 2 x)  C 13  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 62 B.  cos 2 x.e 3 x dx  e 3x ( 3 cos 2 x  2 sin 2 x)  C 13 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn C.  cos 2 x.e 3 x dx  https://facebook.com/duytuan.qna e3x (3 cos 2 x  2 sin 2 x)  C 13  x ln  2  x  dx Câu 105. Để tính Câu 106. Để tính x 2 e3x (3 cos 2 x  2 sin 2 x)  C 13 theo phương pháp tính nguyên hàm từng phần, ta đặt: u  ln  2  x  B.  dv  xdx u  x A.  dv  ln  2  x  dx D.  cos 2 x.e 3 x dx   u  x ln  2  x  C.   dv  dx u  ln  2  x  D.  dv  dx cos x dx theo phương pháp tính nguyên hàm từng phần, ta đặt: u  x 2 B.  dv  cos xdx u  x A.  dv  x cos xdx u  cos x C.  2 dv  x dx u  x 2 cos x D.  dv  dx C. I  xe x  e x  C . D. I  Câu 107. Kết quả của I   xe x dx là A. I  e x  xe x  C . B. I  x2 x e C . 2 x2 x x e  e C . 2 Câu 108. Kết quả của F( x)   x sin xdx là A. F ( x)  sin x  x cos x  C . B. F ( x)  x sin x  cos x  C . C. F ( x)  sin x  x cos x  C . Câu 109. Tính F  x    (2 x  1)e 1 x A. 3 . D. F ( x )  x sin x  cos x  C . dx  e 1 x ( Ax  B)  C . Giá trị của biểu thức A  B bằng: B. 3 . C. 0 . D. 5 . Câu 110. Một nguyên hàm của f  x   x ln x là kết quả nào sau đây, biết nguyên hàm này triệt tiêu khi x  1 ? 1 2 1 x ln x  x 2  1 . 2 4 1 1 C. F  x   x ln x  x 2  1 . 2 2  A. F  x   1 2 1 x ln x  x  1 . 2 4 1 1 D. F  x   x ln x  x2  1 . 2 2   B. F  x      x Câu 111. Biết F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   xe 2 và f  0   1. Tính F  4  . A. F  4   3. B. F  4   7 2 3 e  . 4 4 C. F  4   4 e 2  3. D. F  4   4 e 2  3. Câu 112. Tính F ( x)   x sin x cos xdx . Chọn kết quả đúng: 1 x A. F( x)  sin 2 x  cos 2 x  C . 8 4 1 x C. F( x)  sin 2 x  cos 2 x  C . 4 8 Câu 113. Tính  x ln 2 1 x cos 2 x  sin 2 x  C . 4 2 1 x D. F( x)  sin 2 x  cos 2 x  C . 4 8 B. F( x)  xdx . Chọn kết quả đúng: 1 2 x 2 ln 2 x  2 ln x  1  C . 4 1 C. x 2 2 ln 2 x  2 ln x  1  C . 4 A.     1 2 x 2 ln 2 x  2 ln x  1  C . 2 1 D. x 2 2 ln 2 x  2 ln x  1  C . 2 B.     Câu 114. Tính F ( x)   x 2 cos xdx A. F( x)  ( x 2  2) sin x  2 x cos x  C .  https://toanhocplus.blogspot.com B. F( x)  2 x 2 sin x  x cos x  sin x  C . Trang 63 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna C. F( x)  x 2 sin x  2 x cos x  2 sin x  C . D. F( x)  (2 x  x 2 ) cos x  x sin x  C . Câu 115. Họ nguyên hàm của hàm số f  x   x ln x là: 1 2 1 x ln x  x 2  C. 2 4 1 1 C. F  x   x  ln x  1  C . D. F  x   x ln x  x 2  C. 2 4 1 Câu 116. Gọi F  x  là 1 nguyên hàm của hàm số f  x   x cos 2 x. Biết rằng F  0   , giá trị F   là: 4 1 1 A. F    1. B. F    . C. F    . D. F    0. 4 2 A. F  x   1 2 1 x ln x  x 2  C. 2 4 B. F  x   1 Câu 117. Gọi F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   xe 2 x thỏa F    0. Khi đó F  x  là 2 A. F  x   1  2 x  1 e 2 x . 4 B. 1  2 x  1 e 2 x . 2 1 C. F  x    2 x  1 e 2 x  1. 2 F x  D. F  x   1  2 x  1 e 2 x . 2  f  x  dx   x  1 ln  x  1  1  C. Giá trị f  0  là B. f  0   0. C. f  0   e. f  0   1. Câu 118. Biết A. 1   x 3 x  3  ln  x  x  3   C. A. F  x   2 2 x 3 C. F  x    x  3  ln  x  x  3   C. 2 2 Câu 119. Biết rằng  2 x 3 D. f  0   ln 2. dx  ln x  x 2  3  C. Họ nguyên hàm của hàm số f  x   x 2  3 là 2 2   B. F  x   x x 2  3  3 ln x  x 2  3  C. 2 D. F  x   2 x 3  x 2  3  ln x  x2  3  C. 2 2   Câu 120. Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số f  x   x cos x ?  x sin x  cos x   1. x  6  x cos x  sin x   1. x  6  x sin x  cos x  . x  6  x cos x  sin x  . A. F  x   x x sin x  3x cos x  6 B. F  x   x x cos x  3x sin C. F  x   x x sin x  3x cos D. F  x   x x cos x  3x sin Câu 121. Hàm số nào dưới đây không tồn tại nguyên hàm?  x cos x khi x  0 B. f  x    . 2 x sin x khi x  0 A. f  x   x  sin 2 x  1 . C. f  x   x2e x 2 x e D. f  x    0  sin 5x.  x  2 Câu 122. Biết rằng  x  ln x  2    https://toanhocplus.blogspot.com Trang 64 2 khi x   . khi x    dx x 3 a ln 2 x  b ln x  c . Giá trị biểu thức P  ab  c là: Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna 2 . 27 Câu 123. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng 4 . 27 A. P  0. B. P  C. P  D. P  1. A.  udv  uv   vdu B.  udv  uv   udv C.  udv  uv   vdu D.  udv  uv   vdv Câu 124. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)  ( x  1).sin 2 x 1 A.  f ( x)dx  2 (sin 2x  cos 2x  x)  C C.  f ( x)dx  2 (sin 2 x  cos 2 x  x)  C 1 B.  f ( x)dx  sin 2 x  cos 2 x  x  C D.  f ( x)dx   2 ( x 1 2  x) cos 2 x  C Câu 125. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)  x.e x . A. 2  f ( x)dx x .e x x B. C  f ( x)dx e ( x  1)  C D.  f ( x)dx e  C C. e x ( x  1)  C x Câu 126. Cho F ( x ) là một hàm số f ( x)  x.ln x , biết F(1)  x3 A. F( x)  x .ln x   1 3 x3 2 B. F( x)  x .ln x   3 3 2 C. F( x)  x 2 .ln x  2 . Tìm F ( x ) 3 2 x3 2  3 3 D. F( x)  x 2 .ln x  x3 1 3 x 1 thỏa F(0)   Tính F ( ). 2 2 1 C. F( )    D. F ( )  1. 2 Câu 127. Biết F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x)  x cos 2 A. F( )  1  2 Câu 128. Cho hàm số 1 B. F( )    2 f ( x)  ( ax  b).cosx thỏa mãn  f ( x)dx  x.sin x  2 sin x  cosx  C . Tính S  a2  b2 ? A. S  3 B. S  4 C. S  5 Câu 129. Cho F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x)  x.e D. S  6 x thỏa mãn điều kiện F (0)  1. Tính tổng S các nghiệm của phương trình F ( x)  x  1  0. A. S  3. B. S  0. C. S  2. D. S  1. Câu 130. Gọi f ( x)  ( ax 2  bx  c).e  x là một nguyên hàm của hàm số g( x)  x(1  x).e  x . Tính A  a  2b  3c. A. A  6. B. A  3. C. A  9. D. A  4.  x ln  2  x dx theo phương pháp nguyên hàm từng phần, ta đặt: u  x ln  x  2  u  ln  x  2  u  x ln  x  2  u  ln  x  2  A.  B.  C.  D.  dv  xdx dv  dx dv  dx dv  ln  x  2  dx Câu 132. Tính   1  x  cos xdx . A.  1  x  sin x  cos x  C . B.  1  x  sin x  cos x  C . C.  1  x  sin x  cos x  C . D.  1  x  sin x  sin x  C . Câu 131. Để tính  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 65 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Câu 133. Họ nguyên hàm của hàm số f  x   xe x là: A. xe x  e x  C. B. xe x  e x  C . C. x2 x e  C. 2 D. e x  C. Câu 134. Tính  x sin  2 x  1 dx . x 1 A.  cos  2 x  1  sin  2 x  1  C. 2 4 x C.  cos  2 x  1  sin  2 x  1  C. 2 x 1 B.  cos  2 x  1  sin  2 x  1  C. 2 2 x 1 D.  cos  2 x  1  sin  2 x  1  C. 2 4 Câu 135. Cho  x.e 2 x dx  a.x.e 2 x  b.e 2 x  C . Mệnh đề nào dưới đây là đúng A. 2b  a  0. B. b  2a  0. Câu 136. Tính nguyên hàm I   ln  ln x  C. b  a. D. b  a. dx được kết quả nào sau đây: x A. I  ln x.ln  ln x   C . B. I  ln x.ln  ln x   ln x  C. C. I  ln x.ln  ln x   ln x  C. D. I  ln  ln x   ln x  C . Câu 137. Tính I   sin 2 x.e sin x dx : A. e sin x  cos 2 x  1  C B. e sin x  sin 2 x  1  C C. e sin x  sin x  1  C Câu 138. Cho 1  2x 1 x  D. e sin x  sin x  1  C x  1  cos x dx  m  2  x  tan 2  n.ln cos 2  C  m, n   . Tính 2m+ 3n? A. – 4. B. 0. C. – 8. D. 16.—–   Câu 139. Biết F  x  là một nguyên hàm của f  x   sin 3 x cos x và F  0    . Tính F   . 2   A. F     . 2   1 B. F      . 4 2   1 C. F      . 4 2   D. F     . 2 Câu 140. Tìm nguyên hàm F  x  của hàm f  x   3 x 2  2 x  1 biết đồ thị hàm số F  x  cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng e . A. F  x   x 2  x  e . B. F  x   cos 2 x  e  1 . C. F  x   x 3  x 2  x  1 . D. F  x   x 3  x 2  x  e . Câu 141. Biết a, b là các số thực thỏa mãn A. P   Câu 142. Tính 16 . 9 B. P  3 b 2 x  1dx  a  2 x  1  C. Tính P  a.b . 1 . 2 C. P  16 . 9 D. P  9 . 16 3  x  1  x  dx . 2 3 2 2 3 3 2 A.  x 1  x  dx  5 1  x  C.  x  1  x  dx  5  1  x  2 Câu 143. Tính  2 1  1  x  x 5 5 3 5 2 3 1 2 5 C . B.  x  1  x  dx  2  1  x  C . D.  x 1  x  dx  5 1  x  2 2 5 C . C . dx .  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 66 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn 1 A.  1  x  C.  1  x  1 x 1 Câu 144. Tính  1 x 1 dx  dx  2  1 x Câu 145. Tính B.  1  x  1 1 x ln C. 2 1 x D.  1  x  x Câu 146. Tính x  ln 1  23  2  5x   2  5x  x A.  C.  C.   Câu 149. Tính 1  x 3 dx  cos x  sin x cos x  sin x sin x  cos x  sinx 3 cos 2 x sinx 3 3 3 C . C .     4 1 1 x ln C . 2 1 x 1  1 x dx  2 3 8  30 x 2  5x   C .  375 3 30 x  8 2  5x   C . D.  x 2  5 xdx   375 B. x 2  5xdx  4 33 1  x3 4 1 D.  x 2 3 1  x 3 dx  3 1  x3 3 C . B. C . 2  dx  3 sin x  cos x  C . D.  B.  dx  3 3 cos x  C . D. cos x  x 3  x 23 1  x 3 dx  cos x  sin x sin x  cos x cos x  sin x sin x  cos x 5  sinx 3 sinx 3 4 C . dx  2 sin x  cos x  C . dx  3 sin x  cos x  C . cos x dx  x  3  x 5 6  3x 1 dx   3  x    C . 3  7 D.  x  3  x  x  3  x  dx  3 3 cos 2 x  C . 2 B. C.  C . cos x 6  3x 1 dx   3  x    C . 2  7  x 3  x  dx  3 3 cos 2 x  C . 2 5 A. 4  dx cos x 2 x B. dx  3 3 cos x  C . sinx 3 x dx   x  ln 1  x   C . 1 dx  3  x  ln 1  x   C . D.  1 x B. dx  2 sin x  cos x  C . sin x  cos x Câu 148. Tính A. 23 1 C . 1 x 1  x 3 dx . 43 1  x3 3 1 C.  x 2 3 1  x 3 dx  3 1  x 3 4 cos x  sin x dx . Câu 147. Tính  sin x  cos x A. x 1 x 2  5xdx . 2  5 xdx  x  x C . x  ln 1  x  C . 30 x  8 375 30 x  8 C.  x 2  5 xdx  375 A. dx  ln dx .  x 1 dx  3  C.  1 x A. 1 1 x C . 1 x dx  ln x https://facebook.com/duytuan.qna  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 67 5 6  3x 1 dx   3  x    C . 2  7 5 6  3x 1 dx   3  x    C . 3  7 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna dx  ex  2 dx 1 A.  x  x  x C . e  e  2 e 1 dx 2  x C . C.  x  x e e 2 e 1 x dx Câu 151. Tính  2 2 1 x Câu 150. Tính e x  A.  C.  A. C. 2 dx  2 dx  1  x  2 x 1  x  2 e 1  2 1 x 2  C . 1 C. 1  x2 1 ex  1 dx  ln C .  ex  ex ex  1  B. 1 1 ex  1 dx   e x  e  x 2 ln e x  1  C . D. 1 ex  1 dx  ln C .  ex  ex ex  1 1  x  2 2 dx   2 dx   x 1  x  2 1  2 1  x2  C. 1 C . 1  x2 D. sin 3 x 1  cos2 x dx  cos x  cos x  C . dx  2e  x  C . B.  xe 1 2 dx   e  x  C . 2 D.  xe  xe A.  xe  x2 C.  xe  x2 Câu 155. Tính D. x sin 3 x 1 dx  sin x  C . B.  2 cos x cos x sin 3 x 1  cos2 x dx  cos x  cos x  C . Câu 154. Tính  sin 3 x  cos2 x dx sin 3 x 1 dx  sin x  C . A.  2 cos x cos x C. B. x 1 dx  ex x 1 1 ex  1 dx   e x  e  x 2 ln e x  1  C . Câu 153. Tính e  x Câu 152. Tính dx 2  x C . x  e  2 e 1 dx 1  x C . D.  x  x e e 2 e 1 B.  x2 dx 2  x2 2 dx  2e  x  C .  x2 dx  1  x2 e C . 2 ln 2 x  x dx A. ln 2 x 1 3  x dx   3 ln x  C . B. ln 2 x 1 3  x dx  3 ln x  C . C. ln 2 x 3  x dx  3 ln x  C . D. ln 2 x 3  x dx  3 ln x  C . Câu 156. Tính  cos x sin 3 xdx 1 cos4 x  C . 4 1 C.  cos x sin 3 xdx  sin 4 x  C . 4 1 B.  cos x sin 3 xdx   cos 4 x  C . 4 1 D.  cos x sin 3 xdx   sin 4 x  C . 4 A.  cos x sin 3 xdx   https://toanhocplus.blogspot.com Trang 68 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna 1 sin dx . x 1 1 1 A.  2 sin dx  sin  C . x x x 1 1 1 C.  2 sin dx   cos  C . x x x Câu 158. Tính. Câu 157. Tính 1 x 2 1 1 sin dx   sin  C . x x 1 1 1 D.  2 sin dx  cos  C . x x x B. 1 x 2  cos 2 x 1   C . A.  sin 3 x cos 4 xdx  cos 5 x  5  7  cos 2 x 1   C . B.  sin 3 x cos 4 xdx  cos 5 x  5  7  sin 2 x 1   C . C.  sin 3 x cos 4 xdx  sin 5 x  5  7  sin 2 x 1   C . D.  sin 3 x cos 4 xdx  sin 5 x  5  7 Câu 159. Tính  x.sin  2 x  1 dx . x 1 A.  x sin  2 x  1 dx  2 cos  2 x  1  4 sin  2 x  1  C . B.  x sin  2x  1 dx   2 cos  2 x  1  4 sin  2x  1  C . C.  x sin  2x  1 dx   2 cos  2x  1  4 sin  2x  1  C . D.  x sin  2 x  1 dx  Câu 160. Tính x 1 x 1 x 1 cos  2 x  1  sin  2 x  1  C . 2 4  1  x  cos xdx .  1  x  cos xdx  1  x  sin x  cos x  C . C.   1  x  cos xdx   1  x  sin x  cos x  C . Câu 161. Tính   2  x  sin xdx . A.   2  x  sin xdx   x  2  cos x  sin x  C . C.   2  x  sin xdx   x  2  sin x  cos x  C . A. Câu 162. Tính x  sin 2 x A.  sin C.  sin 2 x 2 x x  1  x  cos xdx  1  x  cos x  sin x  C . D.   1  x  cos xdx   1  x  cos x  sin x  C . B.   2  x  sin xdx   x  2  cos x  sin x  C D.   2  x  sin xdx   x  2  sin x  cos x  C . B. dx . x dx  x cot x  ln sin x  C . B. dx   x cot x  ln sin x  C . D.  sin B.  cos D.  cos x x Câu 163. Tính  dx . cos 2 x x dx  x tan x  ln cos x  C . A.  cos2 x x dx  x tan x  ln cos x  C . C.  cos 2 x  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 69  sin 2 x dx   x cot x  ln sin x  C . x 2 x x 2 x x 2 x dx  x cot x  ln sin x  C . dx  x tan x  ln sin x  C . dx  x tan x  ln sin x  C . Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn Câu 164. Tính A.  x sin 2 https://facebook.com/duytuan.qna xdx . 2  x sin xdx  x2 x 1  sin 2 x  cos 2 x  C . 4 4 8 B. x2 x 1 C.  x sin xdx   sin 2 x  cos 2 x  C . 4 4 8 2  x sin xdx  x2 x 1  sin 2 x  cos 2 x  C . 4 4 8 x2 x 1 D.  x sin xdx   sin 2 x  cos 2 x  C . 4 4 8 2 2 Câu 165. Tính  cos xdx . A.  cos xdx  2 x sin x  2 cos x  C . B.  cos xdx  2 x sin x  2 cos x  C . C.  cos xdx  2 x sin x  2 cos x  C . D.  cos xdx  2 x sin x  2 cos x  C . Câu 166. Tính 2  x .cos 2 xdx . 1 2 1 2 1 A.  x .cos 2xdx  2 x .sin 2x  2 x.cos 2 x  4 sin 2x  C . B.  x .cos 2 xdx  2 x .sin 2 x  2 x.cos 2 x  4 sin 2 x  C . C.  x .cos 2 xdx  2 x .sin 2 x  2 x.cos 2 x  4 sin 2 x  C . 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 D.  x .cos 2xdx  2 x .sin 2x  2 x.cos 2 x  4 sin 2x  C . Câu 167. Tính   1  2 x  .e dx . A.   1  2 x  .e dx   3  2 x  e  C . B.   1  2 x  .e dx   3  2 x  e  C . C.   1  2 x  .e dx   3  x  e  C . D.   1  2 x  .e dx   3  x  e  C . x x x x Câu 168. Tính  x.e A. dx    1  x  e  x  C . x 2x x 2x 3e C. 3e Câu 170. Tính 2 2 B. x dx   1  x  e  x  C . x dx    1  x  e  x  C .  x.e D.  x.e dx . dx  1 2x  1 e x C . 6 2  B. 3e dx  1 2x  1 e x C . 4 2  D. 3e x x C.   x A. 2x 2 x dx . x x x x dx   1  x  e  x  C . 3e A. x x  x.e C.  x.e Câu 169. Tính x x x 2x x 2x dx  dx  1 2x  1 e x C . 3  2 1 2x  1 e x C . 5  2   2 x  1 e x dx .    2 x  1 e dx  e  x   2  C .  2 x  1 e x dx  e x x 2  1  C . x x 2  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 70   x  2 x  1 e dx  e  x  1  C . D.   x  2 x  1 e dx  e  x  1  C . B. 2 x x 2 2 x x 2 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna 2. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 1B 2C 3B 4B 5C 6D 7C 8D 9A 10B 11C 12B 13A 14D 15D 16A 17B 18A 19A 20B 21C 22A 23B 24A 25A 26B 27B 28D 29D 30D 31D 32A 33D 34D 35B 36B 37B 38A 39B 40A 41B 42C 43B 44D 45A 46A 47B 48C 49C 50C 51A 52C 53B 54A 55B 56B 57A 58B 59C 60A 61C 62B 63C 64A 65C 66A 67B 68B 69A 70D 71C 72A 73D 74C 75D 76B 77C 78D 79A 80A 81B 82C 83D 84C 85B 86C 87C 88B 89B 90D 91C 92A 93A 94C 95C 96D 97A 98C 99A 100B 101D 102C 103A 104A 105B 106B 107C 108A 109A 110A 111B 112D 113A 114A 115A 116B 117A 118B 119A 120A 121D 122A 123A 124C 125B 126D 127B 128C 129D 130A 131A 132A 133B 134D 135A 136C 137D 138C 139C 140D 141B 142D 143A 144B 145D 146C 147A 148C 149C 150C 151B 152A 153D 154C 155D 156C 157D 158A 159C 160C 161A 162B 163C 164A 165D 166B 167A 168C 169A 170B Câu 1. Chọn B.  Trắc nghiệm: Phương án A. Sai. Vì C là bất kỳ. Đáp án B. Vì theo định lý. Phương án C. Sai. Vì y  F( x)  C cũng là nguyên hàm với C là hằng số bất kỳ. Phương án D. Sai. Vì hai hàm G( x ) và F ( x ) chỉ sai khác một hằng số tức C là duy nhất. Câu 2. Chọn C. Ta có Câu 3.  f ( x)dx F( x)  C  F ‘  x   f  x  nên phương án A, B,D đúng Chọn B.  Trắc nghiệm: Các khẳng định ở A, C, D đúng theo tính chất nguyên hàm. Không có tính chất: Nguyên hàm của một tích bằng tích các nguyên hàm. Câu 4. Chọn B.  Trắc nghiệm: Mệnh đề (III) sai vì không có tính chất: Nguyên hàm của một tích bằng tích các nguyên hàm. Câu 5. Chọn C.  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 71 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna  Trắc nghiệm: Khẳng định C sai vì: nếu F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x) thì  F( x)   f ( x) . Mà :  F( x)    Câu 6.  1 x   2 x  f ( x). 2 x  Chọn D.  Trắc nghiệm: n   f ( x)  Phương án B: Sai. Vì không có tính chất:   f ( x)  Phương án A: Sai. Vì không có tính chất Phương án C: Sai. Sai lầm như phương án A. dx  n n   f ( x)dx  . dx  n f ( x)dx   f ( x)  n dx  n   f ( x)dx  . 2  1 1 2 Phương án D.Đúng. Vì  2 x  1    4 x 2  1  2  4 x   4 và sử dụng tính chất x x x    f ( x)  g( x) dx   f ( x)dx   g( x)dx;   f ( x)  g( x) dx   f ( x)dx   g( x)dx . Câu 7. Chọn C.  Tự luận: vì  f ( x)dx  F( x)  C nên ta có F ‘( x)  f ( x) .  1  1 1 1 Phương án A: sai. Vì:  F( ax  b)  C   .F ‘( ax  b)  . f ( ax  b).( ax  b)’  f ( ax  b). 2a 2  2a  2a Phương án B: sai. Vì:  F( ax  b)  C   F ‘( ax  b)  . f ( ax  b).( ax  b)’  f ( ax  b).a . 1  1 1 Phương án C: đúng. Vì:  F( ax  b)  C   .F ‘( ax  b)  . f ( ax  b).( ax  b)’  f ( ax  b). a a  a Phương án D: sai. Vì:  aF( ax  b)  C   aF ‘( ax  b)  af ( ax  b).( ax  b)’  a 2 . f ( ax  b). Câu 8. Chọn D.  Trắc nghiệm:  Phương án A: đúng. Vì:  F( x)   2017  cos2 x  2.cos x.(  sin x)   sin 2 x  f ( x) .   Phương án B: đúng.Vì: nếu F ( x ), G( x) cùng là nguyên hàm của hàm số f ( x) thì F ( x )  G( x)  C , và  Cdx  Cx  D . Phương án C: đúng. Vì: Phương án D: sai. Vì Câu 9.   u ‘( x) u( x)  C  2 u( x)   f [u( x)]u ‘( x)dx  F[u( x)]  C . Chọn A.   +/ Xét  ln cos x  C ‘    cos x  ‘  sin x  tan x. Suy ra khẳng định A đúng. cos x cos x Câu 10. Chọn B. Có 1 1  1  f  x dx  x  ln 2x  C  f ( x)   x  ln 2x  C  ‘   x 2 1  . Vậy đáp án B. x Câu 11. Chọn C.  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 72 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Dễ thấy khẳng định C sai vì  e x dx  e x  C . Câu 12. Chọn B. + Ta có: y  f  x   F ‘( x)  2 x  4. + f (3)  2.3  4  10. Câu 13. Chọn A. b a b dx  x 2   C. 2 2 x x a  3 2  b  C  1 a  2  F  1  1    3 3×2 3 7 a    Ta có:  F  1  4    b  C  4  b   . Vậy F  x   2 4 2x 4  2   f  1  0 a  b  0  7  c  4   +/ F( x)   f  x  dx   ax  Câu 14. Chọn D.   +/Xét (I): Ta có  ln cos x  C ‘    cos x  ‘  sin x  tan x. Do đó (I) đúng. cos x cos x  1  1 +/Xét (II):   e 3cos x  C  ‘   .  3 cos x  ‘ e 3cos x  e 3cos x sin x. Do đó (II) đúng. 3  3    +Xét (III): Đặt 2 sin x  cos x  C ‘  2  sin x  cos x  ‘ 2 sin x  cos x  cos x  sin x sin x  cos x . Do đó (III) đúng. Câu 15. Chọn D.   / Vì sin 2 x  2 sin x cos x  sin 2 x . Câu 16. Chọn A. 4 Vì F ‘  x    x  3   1  f  x  . Câu 17. Chọn B. x3  x2  x  C 3 Cách 2 : Ta đi tính đạo hàm 4 đáp án A, B, C, D để tìm xem đâu là kết quả của đề bài Cách 1 : Tìm trực tiếp:  (x  1)2 dx   (x2  2 x 1)dx  Bước 1: Khai triển (x  1)2  x 2  2 x  1 Bước 2: Lần lượt đạo hàm các đáp án A, B, C, D A. F ’  x   3 x 2  6 x  3  loại A B. F ’  x   x 2  2 x  1  Vậy B là đáp án C. F’  x   x 2  2 x  1  Loại C D. F ’  x   3 x 2  2 x  1  Loại D (Ta chỉ cần kiểm tra đến phương án B là biết kết quả nên các phương án còn lại sẽ không phải kiểm tra ) Cách 3 : Sử dụng Casio Câu 18. Chọn A.  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 73 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna ax  C  Chọn A. ln a Cách 2: Ta đi tính đạo hàm 4 đáp án A, B, C, D để tìm xem đâu là kết quả của đề bài Cách 1: Nhớ công thức  ax dx  Câu 19. Chọn A. Cách 1: Tìm nguyên hàm 3 1 2 2x 2 2 xdx  x dx   x x C   3 3 2 2 1 F(1)  1   C  1  C  1   3 3 3 2 1 Thay trở lại ta được F(x)  x x  3 3 Câu 20. Chọn B. Cách 1: F(x)  F ‘(x)   1  ln 2 x  C là nguyên hàm của f  x  nên F’(x) = f( x ) x 1 1  C x2 x Cách 2: Tìm nguyên hàm của f  x  trong các phương án A, B, C, D. Câu 21. Chọn C. 4m (   sin 2 x)dx   4m 4m 1 1 dx   sin 2 xdx  x  x  sin 2 x  C   2 4  F(0)  1 C  1 C  1    Giải hệ      4m  1  1    3 F( 4 )  8   . 4  2 . 4  4 sin 2  8  m   4   Câu 22. Chọn A. f ‘( x)  (cos x)’   sin x ; y  ( f ‘( x))2  (  sin x)2  sin 2 x   ydx   1  cos 2 x 2 1  cos 2 x x 1 dx   sin 2 x  C 2 2 4 Câu 23. Chọn B. Cách 1: sin 4 x 2 sin 2 x cos 2 x   4 sin x cos x(cosx sinx)  4 sinxcos 2 x  4 cos x sin 2 x sin x  cos x sin x  cos x sin 4 x 4 2 2 3 3  sin x  cos xdx  4 sin x cos xdx  4  cos x sin xdx   3 (cos x sin x)  C 1 2 3    (c os3x-sin3x)  (cosx sin x)  C   sin(3 x )  2 sin(x  )  C 3 3 4 4   Cách 2: Đặt t  sin x  cos x  2 sin  x    t 2  1  sin 2 x  sin 2 x  t 2  1  4 Suy ra t.dt  cos 2 xdx  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 74 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn Ta có I   https://facebook.com/duytuan.qna 2  t 2  1 .tdt 2 = 2   t 2  1 dt = t 3  2t  C = t 3 2  3     2 sin 3  x    2 2 sin  x    C 3  4  4 1 Áp dụng công thức nhân ba sin 3a  4 sin 3 a  3 sin a  sin 3 a   3 sin a  sin 3a  4 * Vậy I  4 2 1    3 .  3 sin  x    sin  3x  3 4  4  4   2  3 sin  3 x  = 2 sin  x     4 3  4 = 2  3 sin  3 x  3  4       2 2 sin  x    C   4      2 2 sin  x    C   4      2 sin  x    C   4 Cách 3: Lấy đạo hàm các phương án A, B, C, D xem đâu là kết quả đúng Câu 24. Chọn A. dx cos x 1 2 cos x  sin x  sin x  dx   dx 2 tan x  1 2 sin x  cos x 2 2 sin x  cos x 1 2 cos x  sin x 1 sin x 1 1   dx   dx  ln 2 sin x  cos x  J 2 2 sin x  cos x 2  2 sin x  cos x  2 2 Cách 1 :Biến đổi I   J 1 * Ta tính 2 J  I   1.dx  x  C , suy ra J   x  I  C  2 1 1 * Thế kết quả trên trở lại đề: I  ln 2 sin x  cos x   x  I  C  2 4 I  4 1 1  2 1 ln 2 sin x  cos x  x   C   I  ln 2 sin x  cos x  x  C   5 2 4  5 5 Cách 2:Lấy đạo hàm các phương án A, B, C, D xem đâu là kết quả đúng Câu 25. Chọn A. Cách 1 : Tự luận 1 1 d(1  2 x) 1 1 1 1   ln|1  2 x | C  ln|1  2 x |1 C  ln| | C. 1  2x 2 2 2 1  2x Cách 2 : CASIO  1  2 x dx   2  Câu 26. Chọn B. Cách 1 : Tự luận 1  2 3  1 x3 4 23 2 2 x   2 x dx  x dx  3 dx  2 x dx   3 ln x  x C    x  x  3 3  x3 4 3   3 ln x  x  C. 3 3 Câu 27. Chọn B. Cách 1 : Tự luận F( x)   f ( x)dx   1 dx  ln x  1  C . F (2)  1  ln 1  C  1  C  1 . x 1  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 75 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Vậy F ( x)  ln x  1  1 . Suy ra F (3)  ln 2  1 . Cách 2 : CASIO Câu 28. Chọn D. Cách 1 : Tự luận Đặt u  x 4  1  du  d( x 4  1)  4 x 3 dx  dx  du 4×3 x3 1 x 3du 1 du 1 1 1 4 4 dx   x4  1 4  u.x3  4  u  4 ln|u| C  4 ln| x  1|C  4 ln( x  1)  C. Cách 2 : CASIO Câu 29. Chọn D. Cách 1 : Tự luận dx 1 d(2  3 x) 1 1   ln|2  3 x | C   ln 3 x  2  C. 2  3x 3 3 Cách 2 : CASIO  2  3x   3  Câu 30. Chọn D. Cách 1 : Tự luận 3 3 x  x1 1 x 2  x dx   x dx   dx   x dx  3  x  ln| x| C. Cách 2 : CASIO Câu 31. Chọn D. Cách 1 : Tự luận 2 x  2x  3 6 1 x2 dx  ( x  3  ) dx  ( x  3) dx  6 dx   3x+6 ln x  1  C.  x1    x1 x1 2 Cách 2 : CASIO Câu 32. Chọn A. Cách 1 : Tự luận Đặt u  e x  du  udx  dx   du . u e3x  1 u3  1 (u  1)(u2  u  1) 1 u2 dx  du  du  ( u  1  ) du   u  ln|u| C  (u  1)u  u(u  1)  u 2 ex  1 1 1  e 2 x  e x  ln e x  C  e 2 x  e x  x  C. 2 2 Cách 2 : CASIO Câu 33. Chọn D. f ( x)  x  1 x2 1 3  F x    C ; F(1)  0  C     2 2 x 2 x Ta có F( x)  x2 1 3   . 2 x 2 Câu 34. Chọn A. Sử dụng máy tính Casio  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 76 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn Ta có: f  1  https://facebook.com/duytuan.qna 1  3  1  Dùng lệnh SHIFT 2 1 . 4  thử với các đáp án:  d  3   2, 25 loại đáp án A. dx  1  3 x  x 1 d  1  3  loại đáp án B.   dx  1  3 x  x 1 4 d  1  1 loái đáp án C    dx  3  9 x  x 1 4 d  1  1  Đáp án D thỏa mãn   dx  3  9 x  x 1 4 Tự luận:  1  3 x  1 2 dx  2 1 1 1 3 x  1 d  3 x  1  C   C   3 9x  3 3  3 x  1 Câu 35. Chọn B. Sử dụng máy tính Casio Ta có: f  0   3 2 Dùng lệnh SHIFT  thử với các đáp án: d 2 ln x  2  ln x  1 dx  d 2 ln x  1  ln x  2 dx     0 loại đáp án A. x 0  x 0 3 đáp án B. 2 Tự luận: x 2 x3  2 1  dx     dx  2 ln x  1  ln x  2  C  3x  2  x 1 x  2  Câu 36. Chọn B. Sử dụng máy tính Casio Ta có: f  0   0 Dùng lệnh SHIFT  thử với các đáp án: d  x2  x  1     0 loại đáp án A. dx  x  1  x0 d  x2  x  1     2 đáp án B. dx  x  1  x 0  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 77 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn Tự luận: https://facebook.com/duytuan.qna  x  x  2 1  1 1 dx   x1 2   x  2 2  dx  x  x  1  C       Đáp án A loại Đáp án B: x2  x  1 1  x không phải là nguyên hàm của f  x  x 1 x1 Câu 37. Chọn B. Sử dụng máy tính Casio Ta có: f  0   2 5 Dùng lệnh SHIFT thử với các đáp án:  d 1  2 ln x 2  4 x  5   loại đáp án A. dx  2  x 0 5 d  1 2   ln  x  4 x  5    0,8  0, 4 đáp án B. dx   2   x 0 Tự luận:   ‘ dx  1 ln x 2 x2 1  x  4 x  5  x 2  4 x  5 dx   2  x 2  4 x  5  2 2    4x  5  C Đáp án A loại 1  1 Đáp án B: ln  x 2  4 x  5   ln  ln x 2  4 x  5 . không phải là nguyên hàm của f  x  2 2  Câu 38. Chọn A. Sử dụng máy tính Casio Ta có: f  0    1 2 Dùng lệnh SHIFT thử với các đáp án:  d  1 x2   ln   0,5 đáp án A. dx  3 x  1  x0 Tự luận: F  x  =  dx 1  1 1  1 x2    dx  ln C  3 x1 x  x 2 3  x 2 x 1 2 Câu 39. Chọn B. Sử dụng máy tính Casio Ta có: f  0   3, 5 Dùng lệnh SHIFT  thử với các đáp án: d 2 ln x  2  3 ln x  1 dx    4 loại đáp án A. x 0  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 78 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn d 3 ln x  2  2 ln x  1 dx  Tự luận: x 2 https://facebook.com/duytuan.qna   x 0 7 đáp án B. 2 5x  7  2 3  dx     dx  2 ln x  1  3 ln x  2  C . Đáp án B.  3x  2  x1 x 2  Câu 40. Chọn A. Tự luận: x 1  2 3    x  1 2  x  dx    x  1  2  x dx  2 ln x  1  3 ln x  2  C Vậy a  2; b  2  a  b  5 . Câu 41. Chọn B. Tự luận: u  x 2  1  u2  x2  1  2udu  2 xdx  udu  xdx x u3 Khi đó:  x x  1dx   u du   C  3 Vậy KĐ1 sai, KĐ2 đúng, KĐ3 sai. 2 2 2  1 3 3 C Trắc nghiệm: + KĐ1: du  dx khi và chỉ khi u  x  C  sai +KĐ2: Thêm cận vào 2 vế để tính tích phân bằng MTCT 2 vế bằng nhau Đúng +KĐ3: x x 2  1 CACL 3 9,48   d / dx    x 2 1 6  3    tại x=3 4,7 Sai   Câu 42. Chọn C. Tự luận: Dễ thấy bước 1,2 đúng. Bước 3 sai vì đưa về biến cũ sai, đúng phải là cos x 1 1 dx    C   C 2 u sin x x  sin Câu 43. Chọn B. Tự luận: Đặt u  x 2  1  du  2 xdx   2 du  dx 2  ln x  1 x 1 du ln u dx    C  C  x2  1 2 u 2 2 x Trắc nghiệm: + f  x   2 CACL 3 0,3 x 1    + Kiểm tra các đáp án: d / dx ln x2  1 tại x=3 0,6A sai 1 d / dx  ln x 2  1 2    tại x=3 0,3 B đúng. Câu 44. Chọn D. Tự luận: Đặt u  ln x  3  u2  ln x  3  2udu   https://toanhocplus.blogspot.com Trang 79 dx x Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna ln x  3 2u3 2 dx   2u2 du  C  x 3 3  Trắc nghiệm: + f  x    ln x  3  3 3 C ln x  3 CACL 3 0,6748 x + Kiểm tra các đáp án: d / dx  d / dx    ln x  3    ln x  3 tại x=3 0,08 A sai   tại x=3 1,01 B sai.  1 d / dx  3  ln x  3 2 d / dx  3  ln x  3  3   tại x=3 0,337 C sai.  3   tại x=3 0,6748 D đúng.  Câu 45. Chọn A. sin 2 x 2 sin x.cos x  1  cos x 1  cos x Đặt u  1  cos x  du   sin xdx Tự luận: f  x    2  u  1 2 sin x.cos x 2  dx   du     2 du  2 ln u  2u  C  2 ln  1  cos x   2  1  cos x   C 1  cos x u u        F    0  2 ln  1  cos   2  1  cos   C  0  C  2  F  x   2 ln  1  cos x   2 cos x 2  2 2  Vậy F  0   2 ln 2  2 Trắc nghiệm:  + Tính tích phân 2 0  sin 2 x     dx  0,613  F    F  0   F  0   F    0,613  0,613 1  cos x 2 2 + Đổi các đáp án ra số gần đúng  Chọn A. Câu 46. Chọn A. Tự luận: f  x  1 cos x 1  sin x  cos x cos x  sin x  1  cos x  sin x       1  1  tan x sin x  cos x 2  sin x  cos x sin x  cos x  2  sin x  cos x  Suy ra  1 1  cos x  sin x  x 1 cos x  sin x dx    1  dx    dx  1  tan x 2  sin x  cos x  2 2 sin x  cos x §Æt u  sin x  cos x  du   cos x  sin x  dx 1 cos x  sin x 1 du 1 1 dx    ln u  C  ln sin x  cos x  C  2 sin x  cos x 2 u 2 2 1 x 1 Vậy  dx   ln sin x  cos x  C 1  tan x 2 2  F 0   4 C   4  F  x       x 1   ln sin x  cos x  . Vậy F      2 2 4 2 4 4 2 Trắc nghiệm:  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 80 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna  1  dx MTCT báo lỗi do tại x  thì tan x không xác định. 1  tan x 2  10 Ta thay cận trên x  thành một số gần đúng là x  2 21 + Tính tích phân 10 21 0  2 0  1      dx  0,7827  F    F  0   F    0,7827  F  0   0,7827   1, 568 1  tan x 4 2 2 + Đổi các đáp án ra số gần đúng ,chỉ có đáp án A là gần với 1,568 nhất. Câu 47. Chọn B. Tự luận: Đặt u  2 x  1  u2  2 x  1  udu  dx  dx 2x  1  4  u  4  du    1  du  u  4 ln  u  4   C  2 x  1  4 ln u4  u4    2x  1  4  C Vậy a  1; b  4  M  3 Câu 48. Chọn C.  cos x  sin x  sin x  cos x   sin x  cos x  2   sin x  cos x  2  Đặt u  sin x  cos x  2  du   cos x  sin x  dx  u  2 du   1  1  C   u  1  C   sin x  cos x  1 cos 2 x dx   sin x  cos x  2  u u u u    sin x  cos x  2  cos 2 x Tự luận: 3 3  3 3 2 2 2 C  m  1; n  2  A  3 Câu 49. Chọn C. Câu 50. Chọn C. I   2 x x 2  1dx . Đặt u  x2  1  du  2 xdx Vậy I   udu Câu 51. Chọn A.  I   x x2  7  15 dx Đặt u  x 2  7  du  2 xdx1  xdx  1 du 2 1 15 1 1 2 u du  u16  C  x 7  2 32 32 Câu 52. Chọn C.  Vậy I  Ta tính: Vậy:   cos x  2  sin x  cos x  2  sin x  2 2 16  C dx . Đặt t  2  sin x  dt  cos xdx dx   dt 1 1   C   2 t t  2  sin x  Câu 53. Chọn B. Tính: e2x e x .e x dx   e x  1  e x  1 dx  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 81 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna x dt  e dx Đặt t  e x  1   x e  t  1 Ta được: e2x e x .e x t 1  1 x x dx   e x  1  e x  1 dx   t dt    1  t  dt  t  ln t  C  e  1  ln e  1  C   Câu 54. Chọn A. 1  f  2 x  dx . Đặt t  2dx  dt  2dx  dx  2 dt Ta được: 1 1  f  2 x  dx  2  f  t  dt  2  f  x  dx  1 2 C x 1 Câu 55. Chọn B.  ln x 1 dx . Đặt t  ln x  dt  dx x x Ta được: ln x t2 ln 2 x dx  tdt   C  C  x  2 2   Mà: F e 2  4  Vậy: F  x   ln 2 e 2 C  4 C  2 2 ln 2 x 5  2  F e  2 2 Câu 56. Chọn B. Tựluận:  dt  e x dx 1 x t  e  1  dx . Đặt  x  ex  1 e  t  1 1 ex dt  1 1 dx  dx       dt  ln t  1  ln t  C  x x x t  t  1 e 1 e e 1  t 1 t     ln Mà: F  0    ln 2  ln t 1 ex  C  ln x C t e 1 ex e0  C   ln 2  C  0 F x  ln . Vậy:   ex  1 e0  1 ex  ln e x  1  3  ln e x  3  x  3 Giải pt: F  x   ln e  1  3  ln x e 1  x    Trắc nghiệm: Sau khi tìm được nguyên hàm F  x   ln  ex . Ta có thể giải nhanh ex  1  phương trình: F  x   ln e x  1  3 bằng cách dùng máy tính Casio để thử nghiệm Nhập vào máy tính Sau đó bấm phím Calc để thử đáp án. Ta thử đáp án B. Nhấn Calc nhập X  3 ta được  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 82 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Vậy x  3 là nghiệm của phương trình. Tương tự thử với các đáp án còn lại ta thấy chỉ có đáp án B thỏa. Câu 57. Chọn A. 1 1 Tự luận: Đặt t=ax +b ta có dt= dx nên  f  ax  b dx  F( ax  b)  C a a Câu 58. Chọn B. 1 Tự luận: áp dụng  f  ax  b dx  F( ax  b)  C a Câu 59. Chọn C. 2 I   2 x x 2  1dx 1 3 Đặt u  x2  1  du  2 xdx . Đổi cận x  1  u  1 ; x  2  u  3 . Nên I   udu 0 Câu 60. Chọn A. Xét   e cos x sin xdx bằng cách đặt t = cosx ta có dt= -sinxdx Nên   e cos x sin xdx   e t dt  e t  C  e cos x  C Câu 61. Chọn C.  x  2 Ta có:   x  1 10 12  x2 dx      x 1  10 1  x  1 3 x2 dx nên Đặt t  thì dt  2 x1  x  1 2 dx  x  2  x1   10 12 11 1 1 t 11 1  x2 dx   t 10 dt  C   C 3 3 11 33  x  1  Câu 62. Chọn B. Đặt t  e x  1  dt  e x dx e2x t 1 x x  e x  1 dx   t dt  t  ln t  C  e  1  ln e  1  C Câu 63. Chọn C. Ta có  x  2  x 1   10 12  x2 dx      x 1  10 1  x  1 2 dx 3 x2 dx nên Đặt t  thì dt  2 x1  x  1  x  2  x1   10 12 11 1 1 t 11 1  x2 dx   t 10 dt  C   C 3 3 11 33  x  1  Câu 64. Chọn A. 1 Đặt t  cos2 x  dt  2 sin 2 xdx  sin 2 xdx   dt 2 2 1 1 1 1 sin 4 x  cos 4 x  sin 2 x  cos 2 x  sin 2 2 x  1  1  cos2 2 x  1  1  t 2   t 2 2 2 2 2  Vậy I        sin 2 xdx 1 dt dt     . 4 4 2 1 2 cos x  sin x 1  2t 2 t 2  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 83 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Câu 65. Chọn C. Tự luận: 1 Áp dụng công thức  e ax  b dx  e ax  b  C với a  0 ; thay a  2 và b  0 để có kết quả a Trắc nghiệm: Sử dụng máy tính casio: cú pháp f  A   d F  x dx 1   x A Biến A được nhập từ bàn phím để kiểm tra, A là hằng số thỏa mãn tập xác định và có giá trị nhỏ. Nếu kết quả cho ít nhất một giá trị khác 0 thì loại phương án đó. Nếu kết quả luôn cho giá trị bằng 0 với một dãy giá trị của A thì chọn phương án đó. Chú ý: để dễ đọc kết quả ta nên chọn máy tính ở chế độ fix – 9 (shift-mod-6-9). Nhập vào biểu thức vào máy tính 1 shift Sto A. e 2A  e 2A  d 2x e dx    7, 389 loại x A d  e2 x   0 chọn   dx  2  x  A Câu 66. Chọn A. 1 Tự luận: Áp dụng công thức  cos( ax  b)dx  sin( ax  b)  C với a  0 ; thay a  2 và a b  0 để có kết quả. Trắc nghiệm: Nhập vào biểu thức vào máy tính  3 shift Sto A. cos2 A  d 1  sin 2 x   0 chọn  dx  2  x A Câu 67. Chọn B. 1 (3  2 x)51 1  C   (3  2 x)6  C 5 1 2 12 Trắc nghiệm: TXĐ của hàm số là R Tự luận:  (3  2 x)5 dx  Nhập vào biểu thức vào máy tính ( cho A tùy ý ) 5 2 shift sto A.  3  2A   6 d  1   3  2x    0 chọn  dx  12  x A Câu 68. Chọn B. 1 Tự luận: Ta có: 3 2  f  x  dx   2 x  1dx    2 x  1 2 dx 1  2 x  1 1 2  . C  . . 3 2 2 3 2  2 x  1 3 1  C  .  2 x  1 . 2 x  1  C . 3 1  Trắc nghiệm: TXĐ D   ;   2   https://toanhocplus.blogspot.com Trang 84 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn Cho A  https://facebook.com/duytuan.qna 1 1 , shift sto A. 2 2 2A  1  d 1  2 x  1 2 x  1  0   dx  3  x A Câu 69. Chọn A. 1 dt 2 2 1 1 1 1 2 F  x    x.e x 1dx   e t dt   e t dt  e t  c  e x 1  c 2 2 2 2 1 3 1 2 F(0)  2e.  e 1  C  e  C= e vậy F  x   e x 1  e 2 2 2 2 1 1 F  1  e1 1  e  e 2  e 2 2 2 1 2 1 2 Trắc nghiệm: F  x    x.e x 1dx   e x 1d x 2  1  e x 1  c 2 2 1 3 1 2 F(0)  2e.  e 1  C  e  C= e vậy F  x   e x 1  e 2 2 2 1 2 1 F  1  e1 1  e  e 2  e 2 2 Câu 70. Chọn D. Tự luận : Đặt t  x 2  1  dt  2xdx  xdx   Tự luận Đặt t  1  ln x  t 2  1  ln x  2tdt= F  x   dx x 1  ln x   1 1 dx  dx  2tdt x x 2tdt   2dt  2t  C  2 1  ln x  C t F  1  0  2. 1  ln1  C  0  C  2 Vậy F  x   2 1  ln x  2 F  e   2 1  ln e  2  2 Trắc nghiệm: F  x    dx x 1  ln x   2d  1  ln x   2 1  ln x  C F  1  0  2. 1  ln1  C  0  C  2 Vậy F  x   2 1  ln x  2 F  e   2 1  ln e  2  2 Câu 71. Chọn C. Tự luận: Quãng đường vật di chuyển s  t    v  t dt    5t  10  dt  Tại thời điểm t  0 thì s  t   0 , do đó C  0 và s  t   5t 2  10t  C 2 2 5t 2 5  10t  t  2   10  10  2 2 Xe dừng hẳn khi được quãng đường 10  m  kể từ lúc đạp phanh Trắc nghiệm: Khi vật dừng lại thì v  0  5t  10  0  t  2  s  Quãng đường vật đi được trong thời gian này là : 2 2 2  5t 2  s  t    v  t  dt    5t  10 dt    10t   10  m   2 0 0 0 Câu 72. Chọn A.  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 85 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna 1 1 2 1 t2 4 3 Tự luận: s  t    v  t dt   2 t dt   2t dt  2.  t C 1 3 1 2 Câu 73. Chọn D. Cách 1: 1     1    f ( x)dx  3  cos  3x  6  d  3x  6   3 sin  3x  6   C . Cách 2: sử dụng casio bấm shift Thay x   3     nhập f ( x)  cos  3 x   tại x  3 6  vào 4 đáp án rồi so sánh kết quả, suy ra đáp án D. Câu 74. Chọn C. Cách 1: Đặt t  3 x  2  dx  3t 2 dt . Khi đó  3 x  2dx  Cách 2: sử dụng casio bấm shift  3 x  2 3 x  2  C 4 nhập f ( x)  3 x  2 tại x = 10 Thay x = 10 vào 4 đáp án rồi so sánh kết quả, suy ra đáp án C. Câu 75. Chọn D. Cách 1 :Đặt t  5  4 x 2  tdt  4 xdx Ta có  2 x 5  4 x 2 dx   1 2 1 1 t dt   t 3  C    2 6 6 Cách 2: sử dụng casio bấm shift   5  4x  2 3 C nhập  2 x 5  4 x 2 dx tại x = 10 Thay x = 10 vào 4 đáp án so sánh rồi suy ra đáp án là D. Câu 76. Chọn B. cos x 1 1 dx   d(sin x)   C 5 5 x sin x 4 sin 4 x Cách 2: sử dụng máy tính. Cách 1:  f ( x)dx   sin Câu 77. Chọn C. 1  x  1 dx  ln x  1  C , vì F  2   1 nên C  1 . F  x   ln x  1  1 , thay x  3 ta có đáp án. Câu 78. Chọn D. Đặt t  ln 2 x  1  tdt  Vì F  1  ln x dx x 3  ln 2 x  1. ln x t dx   t 2 dt   C  x 3  ln 2 x  1 3  3 C . 1 8 nên C  0 . Vậy F 2  e   . 3 9 Câu 79. Chọn A. Đặt t  x  1  2tdt  dx   4 2  x x  1dx   2t  2t dt   https://toanhocplus.blogspot.com 2 5 2 3 2 t  t C  5 3 5 Trang 86   5 x1  2 3  x 1  3 C Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn Vì F  0   2 nên C  https://facebook.com/duytuan.qna 34 . Thay x  3 ta được đáp án. 15 Câu 80. Chọn A. Đặt t  ln 2 x  3 và tính được F  x   ln 2 x  3  C . F  e   2016  C  2014  F  x   ln 2 x  3  2014  F  1  3  2014 Câu 81. Chọn B. u  2 x  3 Đặt  ta có x dv  e dx du  2dx . Khi đó I   2 x  3  e x   2 e x dx   2 x  1 e x  C  x v  e  Câu 82. Chọn C. Tự luận:Ta có :  ln 2x dx x2  1 u  ln 2 x du  dx    x Đặt :   1 dv  2 dx v   1 x   x ln 2 x 1 1 1 1 1 dx   ln 2 x   2 dx   ln 2 x   c    ln 2 x  1  C . 2 x x x x x x Trắc nghiệm: Khi đó :  Cách 1: Thử phương án A SHIFT e d  1  ln 2 x   ln 2 x  1   2 CALC x  nếu kết quả  2 dx  x x  xX bằng 0 thì chọn. Tương tự với các phương án khác. Cách 2: “Đổ cận vào nguyên hàm” e 2 Bằng máy tính Casio tính ln 2 x kết quả gán vào biến A (Shift Sto A) 2 1 x  2  e  1  Kiểm tra phương án A : Tính A   F    F    nếu kết quả bằng 0 thì chọn. Tương tự  2   2 với các phương án khác. Câu 83. Chọn D. Tự luận:Ta có :  x sin 2 xdx du  dx u  x  Đặt :   1 dv  sin 2 xdx  v   cos 2 x  2 Khi đó : 1 1 x 1  x sin 2 x   2 x cos 2x  2  cos 2xdx   2 cos 2x  4 sin 2x  C . Trắc nghiệm: Thử phương án A SHIFT d x 1  cos 2 x  sin 2 x   x sin 2 x CALC x = 0  dx  2 4  xX nếu kết quả bằng 0 thì chọn. Tương tự với các phương án khác. Câu 84. Chọn C.  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 87 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna du  dx u  x  Đặt  ta có  . 1 dv  sin 2 xdx   v   cos 2 x  2 1 1 1 1 Khi đó  x sin 2 xdx   x cos 2 x   cos 2 xdx   x cos 2 x  sin 2 x  C 2 2 2 4 1 1 Vậy F  x    x cos 2 x  sin 2 x  C . 2 4      Ta có F  0   F     C     C     2C . Mà F  0   F    nên C  0 2 2  2    1 Do đó F    4 4 Câu 85. Chọn B. Ta có  f  x  sinxdx =   f  x  d  cos x  Áp dụng công thức nguyên hàm từng phần ta có:  f  x  sinxdx =   f  x  d  cos x    f  x  cos x   cos xd  f  x     f  x  cos x   f   x  cosxdx Mà theo giả thiết  f  x  sin x dx  – f  x  cos x    cosx dx x Suy ra f   x    x  f  x     x dx  x C ln  Câu 86. Chọn C.  Tự luận: Ta có: I   e 2 x cos3 xdx  1 1 1 cos3 xd e 2 x  e 2 x cos 3 x   e 2 x d  cos 3 x  (t/phần)  2 2 2   1 2x 3 1 3 e cos 3 x   e 2 x sin 3 xdx  e 2 x cos 3 x   sin 3xd e 2 x 2 2 2 4 1 3 9  e 2 x cos 3 x  e 2 x sin 3 x  I 2 4 4    (từng phần lần 2)  2 3  2 3 5  ab  Suy ra I  e 2 x  cos 3 x  sin 3 x   a  , b  13 13 13 13  13  Câu 87. Chọn C. 1  x  1 e dx   1 x  1 x     xe x 2 2 x  1 1 dx      1  x  1  x 2   x ex  e x dx  e dx   1  x  1  x 2 dx .      1 1 dx u  1  x  du   2 Đặt  1  x  .  x x dv  e dx  v  e Ta có ex ex ex dx    1  x 1  x  1  x 2 dx , suy ra   Vậy F  x    xe x 1  x dx  2 ex  C  F  x , F 0  2  C  1. 1 x ex 1. 1 x  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 88 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Câu 88. Chọn B. Đặt I   ( x sin 1  x 2 )dx Dùng phương pháp đổi biến, đặt t  1  x 2 ta được I   t sin tdt Dùng phương pháp nguyên hàm từng phần, đặt u  t, dv  sin tdt Ta được I  t cos t   cos tdt   1  x 2 cos 1  x 2  sin 1  x 2  C . Câu 89. Chọn B. Theo định lý về nguyên hàm từng phần ta chọn B. Câu 90. Chọn D. u  x du  dx  Tự luận: Đặt  dv  cos xdx v  sin x   x cos xdx  x sin x –  sin xdx x sin x  cos x  C . Trắc nghiệm: d  x sin x  cos x  xX  x.cos x CALC dx x = 0 nếu kết quả bằng 0 thì chọn. Tương tự với các phương án khác. Kiểm tra phương án A đúng hay sai ta bấm SHIFT Câu 91. Chọn C. u  x du  dx  Đặt  x x dv  e dx v  e   xe x dx  xe x –  e x dx  xe x  e x  C . Chon C  2 ta được F( x)  xe x  e x  2 Câu 92. Chọn A.  1 du  x dx u  ln x x3 x2 x3 x3 2  I  x ln dx  ln x dx  ln x   C.     3 2 3 3 3 9 dv  x dx v  x  3 Câu 93. Chọn A. u  4 x  1 du  4dx  Đặt  x x dv  e dx v  e    4 x  1 e x dx   4 x  1 e x –  4 e x dx   4 x  1 e x  4 e x  C   4 x  3  e x  C Mà F (1)  e  C  0 nên F( x)   4 x  3  e x Câu 94. Chọn C. du  dx u  x  Đặt   1 dv  cos 3 xdx  v  sin 3 x 3  x 1 x 1 sin 3 x –  sin 3 xdx  sin 3 x  cos3x  C. 3 3 3 9 8  7 Mà F(0)  1  C  nên F( )  9 3 9 Câu 95. Chọn C.   x cos 3 xdx   https://toanhocplus.blogspot.com Trang 89 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna 2 u   x  3  du  3  x  3  dx  Đặt  x x v  e dv  e dx 2 2    x  3  e x dx   x  3  e x – 2   x  3  e x dx u  x  3 du  dx Đặt   x x dv  e dx v  e 2 2 2    x  3  e x dx   x  3  e x – 2   x  3  e x dx   x  3  e x  2  x  3  e x   e x dx     x2  8 x  17 e x  C Mà a  1; b  8; c  17  S  10 . Câu 96. Chọn D.  1  ln x 1 ln x 1 ln x dx   2 dx   2 dx     2 dx 2 x x x x x  1 u  ln x du  x dx  Đặt   1 dv  2 dx v   1 x  x  1  ln x 1 ln x 1 1 1 1 1 1 1 dx     2 dx    ln x   2 dx    ln x   C   ln x  2   C 2 x x x x x x x x x x  a  1; b  2  S  1  Câu 97. Chọn A. Áp dụng công thức nguyên hàm từng phần ta có đáp án đúng là A. Câu 98. Chọn C. Ta có f ( x)   xe x dx   xde x  xe x   e x dx  xe x  e x  C . Chọn đáp án C. Câu 99. Chọn A. f ( x)   x sin xdx   xd(  cos x)   x cos x  sin x  C , f ( )  0  C    f ( x)   x cos x  sin x    3 7  Nên f ( )  . 3 2 6 Câu 100. Chọn B.  ln 2 xdx  x ln 2 x   x.(ln 2 x)’ dx  x ln 2 x   2 ln xdx  x ln 2 x  2 x ln x  x  d  x(ln 2 x  2 ln x  1)  d Suy ra a  1, b  2, c  1 Vậy P  2 Câu 101. Chọn D. F( x)   sin x.ln(cos x)dx    ln(cos x)d(cos x)   cos x.ln(cos x)   sin xdx   cos x.ln(cos x)  cos x  C Câu 102. Chọn C. x x 2 x2  x(sin 2  cos 2 ) dx   x(1  s inx)dx   xdx   x sin xdx  2  x cos x  s inx  C Câu 103. Chọn A.  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 90 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn u  ln https://facebook.com/duytuan.qna 2 x2 1 x , v  , dv  xdx suy ra du  1 x 2 1  x2 1 x x2 1  x x2 x2 1  x 1 dx  ln  dx  ln   (1  )dx 2 1 x 2 1 x 2 1 x 1 x 1  x2 x2 1  x 1 1 1  ln   (1  (  ))dx 2 1 x 2 x 1 x 1 1  x2 1  x  x ln C 2 1 x Câu 104. Chọn A.  x ln e3x 1 2 1 2 e 3x )  e 3 x cos 2 x   sin 2 xe 3 x dx  e 3 x cos 2 x   sin 2 xd( ) 3 3 3 3 3 3 1 2 4 1 2 4  e 3 x cos 2 x  e 3 x sin 2 x   cos 2 x.e 3 x dx  e 3 x cos 2 x  e 3 x sin 2 x  I 3 9 9 3 9 9 3x e I (3 cos 2 x  2 sin 2 x)  C 13 I   cos 2 x.e 3 x dx   cos 2 xd( Câu 105. Chọn B. Câu 106. Chọn B. Câu 107. Chọn C. u  x du  dx   Tự luận: Đặt  x x dv  e dx v  e Theo công thức tính nguyên hàm từng phần, ta có :   I   xe x dx  xe x   e x dx  xe x   d e x  xe x  e x  C .  Trắc nghiệm: Cách 1:Dùng định nghĩa, sử dụng máy tính nhập d  F( x)   f ( x) , CALC ngẫu nhiên tại dx một số điểm x0 thuộc tập xác định, kết quả bằng 0 chọn. Cách 2: Dùng phương pháp đường chéo. Câu 108. Chọn A. u  x du  dx  Tự luận: Đặt  dv  sin xdx v   cos x Theo công thức tính nguyên hàm từng phần, ta có F ( x)   x cos x   cos xdx   x cos x  sin x  C Trắc nghiệm: Cách 1: Dùng định nghĩa, sử dụng máy tính nhập d  F( x)   f ( x) , CALC ngẫu nhiên tại dx một số điểm x0 thuộc tập xác định, kết quả bằng 0 chọn. Cách 2: Sử dụng phương pháp đường chéo. Vậy F ( x )  sin x  x cos x  C . Câu 109. Chọn A. Tự luận: F  x    (2 x  1)e 1 x dx  e 1 x ( Ax  B)  C  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 91 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna u  2 x  1 du  2dx  Đặt  1 x 1 x dv  e dx v   e Theo công thức tính nguyên hàm từng phần, ta có F ( x)    2 x  1 e 1 x   2 e 1 x dx    2 x  1 e 1 x  2 e 1 x  C   2 x  1 e 1 x  C Vậy A  B  3 . Trắc nghiệm:Sử dụng phương pháp đường chéo Câu 110. Chọn A. Tự luận: Ta có F  x     dx du  x u  ln x  f  x  dx   x ln xdx . Đặt  2 dv  xdx v  x  2 Theo công thức tính nguyên hàm từng phần, ta có: 1 2 1 1 1 x ln x   xdx  x 2 ln x  x 2  C . 2 2 2 4 1 1 1 Theo bài ra, có: F  1  0  .1.ln 1  .12  C  0  C  . 2 4 4 1 1 1 Vậy F  x   x 2 ln x  x 2  . 2 4 4 Trắc nghiệm: F  x  Cách 1:Dùng định nghĩa, sử dụng máy tính nhập d  F( x)   f ( x) , CALC ngẫu nhiên tại dx một số điểm x0 thuộc tập xác định, kết quả bằng 0 chọn. Cách 2: Dùng phương pháp bảng Câu 111. Chọn B. u  x du  dx x    Cách 1: F  x    xe 2 dx. Đặt  x x dv  e 2 dx v  2e 2 x 2 x 2 x 2 x 2 Khi đó: F  x   2 xe  2  e dx  2 xe  4 e  C . Theo giả thiết: F  0   1  4  C  1  C  3 . x x F  x   2 xe 2  4 e 2  3  F  4   8 e 2  4 e 2  3  4e 2  3 . 4 x 4 x Cách 2:  xe 2 dx  F(4)  F(1)  F(4)   xe 2 dx  F  1  32, 556224  4 e 2  3 0 0 Câu 112. Chọn D. 1  Tự luận: F( x)   x sin x cos xdx   x sin 2 xdx 2  1  1 du  dx  u  x  2 Đặt   2 dv  sin 2 xdx v   1 cos2 x   2  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 92 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna 1 1 1 1 x cos 2 x   cos2 xdx  x cos 2 x  sin 2 x  C 4 4 4 8  Trắc nghiệm: F ( x)  Cách 1: Sử dụng định nghĩa F ‘( x)  f ( x)  F ‘( x)  f ( x)  0 d  F( x)   f ( x) . CALC x tại một số giá trị ngẫu nhiên x0 trong tập xác dx định, nếu kết quả bằng 0 thì chọn. Nhập máy tính Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng. Câu 113. Chọn A. Tự luận: Dùng nguyên hàm từng phần 2 lần. Trắc nghiệm: Cách 1: Sử dụng định nghĩa F ‘( x)  f ( x)  F ‘( x)  f ( x)  0 . d  F( x)   f ( x) . CALC x tại một số giá trị ngẫu nhiên x0 trong tập xác dx định, nếu kết quả bằng 0 thì chọn. Nhập máy tính Do đó  x ln 2 xdx  1 2 2 1 1 1 x ln x  x 2 ln x  x 2  C = x 2 2 ln 2 x  2 ln x  1  C . 2 2 4 4   Câu 114. Chọn A. 2 du  2 xdx u  x  Tự luận: F ( x)   x 2 cos xdx . Đặt  dv  cos xdx v  sin x F ( x)  x 2 sin x   2 x sin xdx u  2 x du  2dx  Đặt  dv  sin xdx v   cos x   F ( x)  x 2 sin x  2 x cos x   2 cos xdx  x 2 sin x  2 x cos x  2 sin x  C Trắc nghiệm: Cách 1: Sử dụng định nghĩa F ‘( x)  f ( x)  F ‘( x)  f ( x)  0 d  F( x)   f ( x) . CALC x tại một số giá trị ngẫu nhiên x0 trong tập xác dx định, nếu kết quả bằng 0 thì chọn. Nhập máy tính Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng. Câu 115. Chọn A. u  ln x Tự luận: Đặt  suy ra dv  xdx  dx du  x .  2 v  x  2 1 2 x 1 x2 x ln x   dx  x 2 ln x   C. 2 2 2 4 Trắc nghiệm: Sử dụng chức năng CALC kết hợp với shift+ Tích phân để tính đạo hàm Khi đó F  x    x ln xdx  để kiểm tra tại một số điểm x0 , x1 ,… nếu thấy kết quả trùng hợp thì lựa chọn. Câu 116. Chọn B.  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 93 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna du  dx u  x  Tự luận: Đặt  suy ra  sin 2 x . dv  cos 2 xdx  v   2 Khi đó F  x    x cos 2 xdx  x sin 2 x sin 2 x x sin 2 x cos 2 x  dx.    C. 2 2 2 4 1 Do F  0   . nên C  0. 4 1 Từ đó suy ra F    . 4  4 Trắc nghiệm: Dùng máy tính, tính giá trị tích phân  x cos 2 xdx . Mặt khác, ta có 0   4 4   0 x cos 2xdx  F  4   F  0  . Từ đó suy ra    x cos 2 xdx  F  4  . 0 Câu 117. Chọn A. u  x  Tự luận: Đặt  suy ra 2x dv  e dx Khi đó F  x    xe 2 x dx  du  dx   e2x . v    2 xe 2 x e2 x xe 2 x e 2 x  dx.    C. 2 2 2 4 1 Do F    0 nên C  0. 2 xe 2 x e 2 x 1    2 x  1 e 2 x . 2 4 4  Trắc nghiệm: Sử dụng chức năng CALC kết hợp với shift+ Tích phân để tính đạo hàm Suy ra F  x   để kiểm tra tại một số điểm x0 , x1 ,… nếu thấy kết quả trùng hợp thì lựa chọn. Câu 118. Chọn B. Tự luận: Ta có  f  x  dx   x  1 ln  x  1  1  C.   f  x    x  1 ln  x  1  1  C   ln  x  1 . Từ đó ta có f  0   0.   Trắc nghiệm: Sử dụng chức năng shift+ Tích phân để tính đạo hàm tính đạo hàm hàm số y   x  1  ln  x  1  1 tại điểm 0. Câu 119. Chọn A. Tự luận: Ta có I   x 2  3dx   Lại có J   x2 x2  3 dx   x.x x2  3 u  x  Đặt  suy ra x dx dv  2 x 3   https://toanhocplus.blogspot.com x2  3 2 x 3 dx   x2 2 x 3 dx   3 2 dx. x 3 dx. du  dx .  2 v  x  3 Trang 94 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna   Suy ra J  x x 2  3  I . Vậy nên 2 I  x x 2  3  3 ln x  x 2  3  C. x 2 3 x  3  ln x  x 2  3  C. 2 2 Trắc nghiệm: Sử dụng chức năng CALC kết hợp với shift+ Tích phân để tính đạo hàm   Vậy F  x   để kiểm tra tại một số điểm x0 , x1 ,… nếu thấy kết quả trùng hợp thì lựa chọn. Câu 120. Chọn A.  Tự luận: Đặt t  x suy ra I   t 3 cos tdt. u  t 3 Đặt  suy ra dv  cos tdt du  3t 2 dt .  v  sin t Suy ra I  t 3 sin t  3  t 2 costdt. Tiếp tục tích phân từng phần 2 lần nữa ta được F  t   t 3 sin t  3 x 2 cos t – 6  t sin t  cos t   C . Vậy F  x   x x sin x  3x cos x  6   x sin x  cos x  1.  Trắc nghiệm: Sử dụng chức năng CALC kết hợp với shift+ Tích phân để tính đạo hàm để kiểm tra tại một số điểm x0 , x1 ,… nếu thấy kết quả trùng hợp thì lựa chọn. Câu 121. Chọn D. Chú ý sử dụng mệnh đề hàm số không liên tục trên R thì không tồn tại nguyên hàm. Câu 122. Chọn A. u   ln x 2 Đặt  suy ra 2 dv  x dx  ln x du  2 x dx .  3 v  x  3 2 Khi đó F  x    x  ln x  dx  2 x 3  ln x  2 3 u  ln x Xét  x 2 ln xdx. Ta đặt  suy ra 2 dv  x dx Suy ra 2  x ln xdx  Do vậy F  x   Hay a   2 2 x ln xdx. 3  1 du  x dx .  3 v  x  3 x3 x2 x3 x3 ln x   dx  ln x  3 3 3 9 x3  ln x  3 2  ln x 2 2 2 3 2 3 2  3  x ln x  x x  ln x   .  3 9 27 9 27    1 2 2 , b   , c . . Từ đó suy ra P  0. 3 9 27 Câu 123. Chọn A. Câu 124. Chọn C.  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 95 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna du  dx u  x  1  Đặt   1 dv  sin 2 xdx   v   cos2x  2 1 1 1 1 Khi đó  ( x  1).sin 3 xdx   .( x  1) cos 2 x   cos 2 xdx   ( x  1) cos 2 x  sin 2 x  C 2 2 2 2 1  (sin 2 x  cos 2 x  x)  C 2 Câu 125. Chọn B. du  dx u  x  Đặt  . Khi đó  x.e x dx  x.e x   e x dx  x.e x  e x  c  e x ( x  1)  C x x dv  e dx v  e   Câu 126. Chọn D.  1 u  ln x x3 du  dx 2 2 2  Đặt  x . Khi đó  x.ln xdx  x .ln x   x dx  x .ln x   C 3 dv  xdx v  x2  Vì F(1)  x3 2 1 2 ta có F(1)    C   C  1 . Vậy F( x)  x 2 .ln x   1 3 3 3 3 Câu 127. Chọn B. x 1  cos x 1 1  x.  ( x  1).cos x  F( x)   f ( x)dx   ( x  1) cos xdx 2 2 2 2 u  x  1 du  dx  Đặt  dv  cos xdx v  sin x 1 1 1 1 1  F( x)   f ( x)dx   ( x  1) cos xdx  ( x  1) sin x   sin xdx  ( x  1) sin x  cos x  C 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 Vì F(0)    C   C  0 . Vậy F( x)  ( x  1) sin x  cos x 2 2 2 2 2 1 Do đó F( )   . 2 Câu 128. Chọn C. f ( x)  x cos 2 u  ax  b du  adx  Đặt  dv  cos xdx v  sin x Khi đó  f ( x)dx  ( ax  b).sin x   a sin xdx  ( ax  b) sin x  acosx  C  ax.sin x  b sin x  a cos x  C  a  1, b  2 Vậy S  a 2  b2  5 Câu 129. Chọn D. u  x du  dx  Đặt  . Khi đó F( x)   x.e  x   e  x dx   x.e  x  e  x  C x x dv  e v   e   Vì F(0)  1  1  C  1  C  0  F( x)   x.e  x  e  x Phương trình F( x)  x  1  0   x.e  x  e  x  x  1  0  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 96 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna  x  1  x  1  e  x ( x  1)  ( x  1)  0  ( x  1)( e  x  1)  0    x  . Vậy S  1  0  1 e  1 x  0 Câu 130. Chọn A. Ta có f ( x)   g( x)dx   x(1  x).e  x dx   ( x  x 2 ).e  x dx. 2 u  ( x  x ) du  (1  2 x)dx  Đặt  x x v  e dv  e dx Khi đó f ( x)  ( x  x  )e  x   (1  2 x).e  x dx u ‘  (1  2 x) du  2dx  Đặt  x x dv ‘  e dx v  e Khi đó f ( x)  ( x  x  )e  x  (1  2 x).e  x  2  e  x dx   f ( x)  ( x  x  )e  x  (1  2 x).e  x  2.e  x  C  e  x x 2  x  1  C a  1  Suy ra b  1 . Vậy A  a  2b  3c  6 c  1  Câu 131. Chọn A. Câu 132. Chọn A. u  1  x du  dx   Tự luận: Đặt  dv  cos xdx v  sin x    1  x  cos xdx   1  x  sin x   sin xdx   1  x  sin x  cos x  C . d  1  x  sin x  cos x xX  1  x  cos x CALC x dx = 0 nếu kết quả bằng 0 thì chọn. Tương tự với các phương án khác.   Trắc nghiệm: Thử phương án A SHIFT  Câu 133. Chọn B. u  x du  dx  Tự luận: Đặt  x x dv  e dx v  e   x.e x dx  x.e x   e x dx x.e x  e x  C. d x.e x  e x dx bằng 0 thì chọn. Tương tự với các phương án khác. Trắc nghiệm: Thử phương án A SHIFT   xX  x.e x CALC x = 0 nếu kết quả Câu 134. Chọn D. du  dx u  x  Tự luận: Đặt   1 dv  sin  2 x  1 dx v  2 cos  2 x  1 1 1   x sin  2 x  1 dx   x.cos  2 x  1   cos  2 x  1 dx 2 2 1 1   x.cos  2 x  1  sin  2 x  1  C. 2 4  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 97 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Trắc nghiệm: Thử phương án A SHIFT d  x 1   cos  2 x  1  sin  2 x  1   x.sin  2 x  1 CALC x = 0 nếu kết quả bằng 0 thì  dx  2 4  xX chọn. Tương tự với các phương án khác. Câu 135. Chọn A. du  dx u  x  Đặt   1 2x 2x dv  e dx  v  e  2 1 2x 1 2x 1 1 1 1 xe   e dx  xe 2 x  e 2 x  C  a  ; b    2b  a  0. 2 2 2 4 2 4 Câu 136. Chọn C. I Tự luận: Đặt t  ln x  I   ln tdt.  1 u  ln t du  dt Đặt   t  I  t ln t   dt  t ln t  t  C  ln x.ln  ln x   ln x  C. dv  dt  v  t  Trắc nghiệm:Thử phương án A SHIFT CALC x = 2 nếu kết quả bằng 0 thì chọn. Tương tự với các phương án khác. Câu 137. Chọn D. Trắc nghiệm: Thử phương án A SHIFT CALC x = 2 nếu kết quả bằng 0 thì chọn. Tương tự với các phương án khác. Câu 138. Chọn C. Câu 139. Chọn C. Có F  x    f  x dx   sin 3 x cos xdx   sin 3 xd  sin x   sin 4 x C . 4 sin 4  C    C   . 4  sin 4 sin 4 x   2   1 . F x    F   4 4 4 2 F 0    Câu 140. Chọn D.   F  x    f  x dx   3 x 2  2 x  1 dx  x 3  x 2  x  C Đồ thị hàm số F  x  cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng e  F  0   e  C  e .  F  x   x3  x2  x  e Câu 141. Chọn B.  3 2 x  1dx  1 3 1  2 x  1  d  2 x  1 2 1  2 x  1  2 4 3 4 3 C  3  2 x  1 8 4 3  a   C.   b   3 8  P  a.b  1 4 2 3 Câu 142. Chọn D.  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 98 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna 1 3 3 2 2 2  1 1 x 5 2  x  1  x  dx  2   1  x  d  1  x   2 2 2  5 2 C  1 5 1  x  2 5 C Câu 143. Chọn A. x  t  x  t 2 , dx  2tdt Đặt  1 1  x  dx   x 1 1  t  t 2 2tdt   2  1  t 1  t  dt  1 1  1 t 1 x   + dt  ln  C  ln C  1 t 1 x  1 t 1 t  Câu 144. Chọn B. x  t  x  t 2 , dx  2tdt Đặt  1 1 x dx   2tdt  1   2   1   dt  2 t  ln 1  t  C  2 1 t  1 t      x  ln 1  x  C Câu 145. Chọn D. 2  5x  t  2  5 x  t 2 ,  5dx  2tdt Đặt   x 2  5xdx    2  t2 2 2 2  t5 t3  4 2 t. tdt  t  2 t d t   2  C 5 5 25  25  5 3  2 2t 3  3t 2  10  C  375     2  5x  3 375 x8  2  5x   3  2  5x   10   C  30375 3 C Câu 146. Chọn C. Đặt 3 1  x 3  t  1  x 3  t 3 , 3x 2 dx  3t 2 dt t4 1 3  x 1  x dx   t.t dt   t dt  C  4  C  4 3 1  x Câu 147. Chọn A. 23 Đặt  3 2  3  4 C sin x  cos x  t  sin x  cos x  t 2 ,  cos x  sin x  dx  2tdt cos x  sin x sin x  cos x dx   2t dt  2  dt  2t  C  2 sin x  cos x  C t Câu 148. Chọn C. Đặt cos x  t   sin xdx  dt 1 2 3 t3  dx      t dt    C  3 3 t  C  3 3 cos x  C . 3 3 2 1 cos2 x t 3 Câu 149. Chọn C. sin x dt  Đặt 3  x  t  dx  dt 5     x  3  x  dx    3  x  t 5 dt   t 6  3t 5 dt   https://toanhocplus.blogspot.com Trang 99 t7 t6  C 7 2 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn 7  3  x   3  x  7 6 2 https://facebook.com/duytuan.qna 6  3x 1   3  x    C 2  7 Câu 150. Chọn C. dx  ex  ex  2   dx e x dx e x dx   2x  1 e  1  2e x  e x  1 ex  x  2 e   2 Đặt e x  1  t  e x dx  dt  e x dx e x 1  2  1 1 1 dt    C   x C . 2 t t e 1 Câu 151. Chọn B. Đặt 1  x2  t  2 xdx  dt  x 1  x  2 2 dx  1 1 1 1 dt    C   C . 2  2 t 2t 2 1  x2   Câu 152. Chọn A. 1  e x  e  x dx   1 ex  1 ex dx   ex dx e2x  1 Đặt e x  t  e x dx  dt   ex 1 1 1  1 1  dx   2 dt      dt 2x e 1 t 1  t  1 t  1 2  t  1 t  1  1 1 t 1 1 t 1 1 ex  1 ln t  1  ln t  1  C  ln  C  ln  C  ln x C . 2 2 t 1 2 t 1 2 e 1   Câu 153. Chọn D.   1  cos 2 x sin x sin 3 x sin 2 x sin x dx  dx  dx  cos3 x  cos2 x  cos 2 x Đặt cos x  t   sin xdx  dt 1  cos x  sin xdx   2  2 cos x 1  t2 t2  1  1 dt   t2  t 2 dt    1  t 2 1 1  dt  t  t  C  cos x  cos x  C .  Câu 154. Chọn C. Đặt  x 2  t  2 xdx  dt 1 t 1 1 2 e dt   e t  C   e  x  C  2 2 2 2 2 1 1 2 Cách khác  xe  x dx    e  x d  x 2   e  x  C . 2 2 Câu 155. Chọn D. 2   xe  x dx     Đặt ln x  t   1 dx  dt . x ln 2 x t3 1 dx   t 2 dt   C  ln 3  C x 3 3  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 100 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn Cách khác: https://facebook.com/duytuan.qna ln 2 x 1 3 2  x dx   ln xd  lnx   3 ln  C Câu 156. Chọn C. Đặt sin x  t  cos xdx  dt t4 1  C  sin 4 x  C 4 4 1 Cách khác:  cos x sin 3 xdx   sin 3 xd  sin x   sin 4 x  C . 4 Câu 157. Chọn D.   cos x sin 3 xdx   t 3 dt  Đặt: 1 1  t   2 dx  dt  x x Cách khác: 1 x 2 1 x 2 1 1 sin dx    sin tdt  cos t  C  cos  C . x x 1 1 1 1 sin dx    sin d    cos  C . x x x x Câu 158. Chọn A. Đặt: cos x  t   sin xdx  dt .  sin 3     x cos4 xdx   sin 2 x sin x cos4 xdx    1  t 2 t 4 dt    t 4  t 6 dt   t2 1  t7 t 5   C  t5     C 7 5  7 5  cos 2 x 1    sin 3 x cos 4 xdx  cos 5 x   C 5  7 Câu 159. Chọn C. dx  du  x  u  Đặt:   1  v   cos  2 x  1 sin  2 x  1 dx  dv  2 x 1 x 1   x.sin  2 x  1 dx   cos  2 x  1   cos  2 x  1 dx   cos  2 x  1  sin  2 x  1  C 2 2 2 4 Câu 160. Chọn C. 1  x  u dx  du  Đặt:  cos xdx  dv v  sin x    1  x  cos xdx   1  x  sin x   sin xdx   1  x  sin x  cos x  C Câu 161. Chọn A. 2  x  u dx  du Đặt:   sin xdx  dv v   cos x    2  x  sin xdx    2  x  cos x   cos xdx   x  2  cos x  sin x  C Câu 162. Chọn B. x  u dx  du  Đặt:  1   v   cot x  2 dx  dv  sin x  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 101 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn  https://facebook.com/duytuan.qna d  sin x  x cos x dx  x cot x   cot xdx   x cot x   dx   x cot x   2 sin x sin x sin x   x cot x  ln sin x  C Câu 163. Chọn C. x  u dx  du  Đặt:  1  dx  dv v  tan x   cos 2 x  d  cos x  x sin x dx   x tan x  tan xdx   x tan x  dx   x tan x    cos x  cos x cos 2 x   x tan x  ln cos x  C Câu 164. Chọn A.  x sin 2  1  cos 2 x  1 1 1 xdx   x  dx    x  x cos 2 x  dx   xdx   x cos 2 xdx  2 2 2 2   2 x 1   x cos 2 xdx 4 2 dx  du x  u  Đặt:   1 cos 2 xdx  dv  v  2 sin 2 x  1 1 1 1  1 1 1  x cos 2 xdx   x sin 2 x   sin 2 xdx    x sin 2 x  cos 2 x   C  2 2 2 2 4  2 2  1 1  x sin 2 x  cos 2 x  C 4 8   x sin 2 xdx  x2 x 1  sin 2 x  cos 2 x  C 4 4 8 Câu 165. Chọn D. Đặt: x  t  x  t 2  dx  2dt   cos xdx  2  t costdt t  u dt  du  Đặt:  cos tdt  dv v  sin t 2  t costdt  2 t sin t   sin tdt   2 t sin t  cos t   C    2  x sin x  cos x   C  2 x sin x  2 cos x  C   Câu 166. Chọn B.  2 xdx  du  x 2  u 1  Đặt     x 2 cos 2 xdx  x 2 sin 2 x   x sin 2 xdx 1 2 cos 2 xdx  dv  v  sin 2 x  2 dx  du x  u  Đặt   1 sin 2 xdx  dv  v   cos 2 x  2 1 1 1 1   x sin 2 xdx   x cos 2 x   cos 2 xdx   x cos 2 x  sin 2 x 2 2 2 4  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 102 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn   x 2 cos 2 xdx  https://facebook.com/duytuan.qna 1 2  1 1  x sin 2 x    x cos 2 x  sin 2 x   C 2 4  2  1 2 1 1 x sin 2 x  x cos 2 x  sin 2 x  C . 2 2 4 Câu 167. Chọn A.  1  2 x  u 2dx  du  Đặt  x x e dx  dv v  e    1  2 x  e x dx   1  2 x  e x  2  e x dx   1  2 x  e x  2 e x  C   3  2 x  e x  C . Câu 168. Chọn C.  x  u dx  du Đặt   x  x e dx  dv v   e   xe  x dx   xe  x   e  x dx   xe  x  e  x  C    1  x  e  x  C . Câu 169. Chọn A. dx  du  x  u  Đặt  2 x  1 2x  e dx  dv  v  e  2 x 3e 2x dx  1 1 1 1  1  1 xe 2 x dx   xe 2 x  e 2 x   C  e 2 x  x    C .  3 3 2 4  6 2  Câu 170. Chọn B.  x 2  2 x  1  u  2 x  2  dx  du     x 2  2 x  1 e x dx   x 2  2 x  1 e x    2 x  2  e x dx Đặt  x x e dx  dv v  e 2 x  2  u 2dx  du  Đặt  x x e dx  dv v  e    2 x  2  e x dx   2 x  2  e x  2  e x dx   2 x  2  e x  2 e x  C  2 xe x  C         x 2  2 x  1 e x dx  x 2  2 x  1 e x  2 xe x  C  e x x 2  1  C .  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 103 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Chuû ñeà 2 TÍCH PHAÂN  A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I. ĐỊNH NGHĨA Cho f là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử F là một nguyên hàm của f trên [a; b]. Hiệu số F ( b)  F ( a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a; b] của hàm số b f ( x), kí hiệu là  f ( x)dx. a b b Ta dùng kí hiệu F( x) a  F(b)  F( a) để chỉ hiệu số F ( b)  F ( a) . Vậy  f ( x)dx  F( x) b a  F ( b)  F ( a ) . a b Nhận xét: Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu bởi b  f ( x)dx hay a  f (t)dt. Tích phân a đó chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số. Ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu hàm số f liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì tích phân b  f ( x)dx là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f ( x) , trục Ox và hai a b đường thẳng x  a , x  b. Vậy S   f ( x)dx. a II. TÍCH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN Giả sử cho hai hàm số f và g liên tục trên K ; a , b, c là ba số bất kỳ thuộc K . Khi đó ta có: a 1. b  f  x  dx  0 a b 2. 5. b c a a b  kf  x  dx  k. f  x  dx . a a b b  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx a b a b  f  x  dx   f  x  dx b 3. a a a b 4.   f  x   g  x   dx   f  x dx   g  x  dx . 6. Nếu f  x   0 x   a; b  thì: c  f  x  dx  0 x   a; b  a b b 7. Nếu: x   a; b  : f  x   g  x    f  x  dx   g  x  dx . (Bất đẳng thức trong tích phân) a a 8. Nếu: x   a; b  và với hai số M , N ta luôn có: M  f  x   N . Thì: b M  b  a    f  x  dx  N  b  a  . (Tính chất giá trị trung bình của tích phân) a  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 104 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna B. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN Thực ra việc đi tính tích phân chính là việc đi tìm nguyên hàm rồi thay cận vào. Các em có thể xem lại bảng nguyên hàm của các hàm số thường gặp thầy đã đưa ra ở lý thuyết phần nguyên hàm. I. PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH, DÙNG VI PHÂN VÀ SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN 1. Kiến thức và kỹ năng: Kỹ năng: Cần biết phân tích f  x  thành tổng, hiệu, tích, thương của nhiều hàm số khác, mà ta có thể sử dụng được trực tiếp bảng nguyên hàm cơ bản tìm nguyên hàm của chúng, kết hợp với các tính chất của tích phân để tính. Phương pháp vi phân: Một bài toán có thể làm ngắn gọn không cần đưa ra biến mới (phương pháp đổi biến); tức là không cần đặt t  t  x  , biến lấy tích phân vẫn là biến x , như vậy cận lấy tích phân không đổi. b   Giả sử ta cần tìm tích phân I   f  x  dx , trong đó ta có thể phân tích f  x   g u  x  u ‘  x  ,ta có a thể trình bày gọn bài toán bằng công thức vi phân u  x  dx  d u  x   . Khi đó, nếu G  x  là một nguyên hàm của g  x  và u  u  x  là một hàm số theo biến x thì: b b I   f  x  dx   g u  x   d u  x    G u  x   a a b a 2. Một số bài toán minh họa a. Sử dụng tích chất của tích phân Bài toán 1: Tính các tích phân sau: 1  2  1 b) I    3 x   dx x 1  a) I   4 x 3  e x dx 0  2  2 2 t u u d) I   sin ln tdt   sin  ln u  sin  du 2 2 2   c ) I   e x ln xdx   e t  1  ln t  dt 1 1 2 Lời giải: 1  1  1 1 1 0 0 a) I   4 x 3  e x dx   4 x 3dx   e x dx  x 4  e x  1   e  1  2  e. 0 0 2 2 0 2 2 2  1 1 3x 1 6 b) I    3x   dx   3x dx   dx   ln x  9  3   ln 2   ln 2.  1 x x ln 3 1 ln 3 ln 3 1 1 1 2 2 2 2 2 c ) I   e x ln xdx   e t  1  ln t  dt   e x ln xdx   e x  1  ln x  dx   e x dx  e 2  e. 1 1 1 1 1     2 2 2 2 t u u x x x d) I   sin ln tdt   sin  ln u  sin  du   sin ln xdx   sin  ln x  sin  dx 2 2 2 2 2 2      https://toanhocplus.blogspot.com Trang 105 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna     2 2 x 1  cos x 1 1  1   sin dx   dx  x  sin x   .  2 2 2  2 4 2   2 2 2 Bài toán 2: Cho biết  2 5 f ( x)dx  4 , 1  1 5 5 f ( x)dx  6 ,  g( x)dx  8 . Tính: 1  5 f ( x)dx , 2  4 f ( x)  g( x) dx ? 1 Lời giải: 5 a) Ta có:  1 2 5 5 5 2 f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx  10. 1 2 5 2 5 1 1 5 b) Ta có:   4 f ( x)  g( x)  dx  4  f ( x)dx   g( x)dx  4.6  8  16. 1 1 1 3 là hai hàm liên tục trên 1; 3 thỏa:   f  x   3 g  x   dx  10 ; f ,g Bài toán 3: Cho 1 3 3   2 f  x   g  x  dx  6 . Tính   f  x   g  x  dx . 1 1 Lời giải: 3 3 3 Ta có   f  x   3 g  x   dx  10   f  x  dx  3 g  x  dx  10 . 1 1 3 1 3 3 Tương tự   2 f  x   g  x   dx  6  2  f  x  dx   g  x  dx  6 . 1 1 1 3 3 u  3v  10 u  4 Xét hệ phương trình  , trong đó u   f  x  dx , v   g  x  dx .  2u  v  6 v  2 1 1 3 3 3 Khi đó   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx  4  2  6 . 1 1 1 b. Sử dụng phương pháp phân tích và phương pháp vi phân Bài toán 4: Tính các tính phân sau: 1 1 dx a) I   . 3 0 (1  x) 2 2x  9 b) I   dx . x3 0  x 2 x4  1  1 c) I   1 x2  1 dx . 1 d) I   0 x2  x  1 3 dx Lời giải: 1 1 1 dx d(1  x) 1 3    . 3 3 2 2(1  x) 0 8 0 (1  x) 0 (1  x) a) I   1 1 0 1 2x  9  3  dx    2  dx   2 x  3 ln( x  3)   3  6 ln 2  3 ln 3 .  0 x3 x3 0 2 x 2 x4  1  1 b) I   c) I   1  x2  1 dx  2  2 x x2  1 x2  1  x  x  2    dx  2 x x  1   dx 1    2 2 2  x  1 x  1 x  1 1     2  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 106 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna 2  2 1  2 2   2 x 1 d 2 x 1  3   2   2 x 1  d 1 2 x 1  3 2  x2  1 2 1 1  2 3  5  2.  x  1  1 I dx    x  1  x  1 1 d) 1 x2 3 0 2 3 0   x  1 2 x 1 1  dx     2  dx 3 3 3  x  1 x  1 0   x  1       1 1 1 1 d  x  1 d  x  1 1 d  x  1 1 1 1    2  dx   2 2 3 0 x  1 0 x  1 2  0 x  1 3 x1  x  1 x  1 0            1 1 1 1 1  ln x  1  2  0 x  1 0 2  x  1 2 1 1 Bài toán 5: Tính các tích phân sau:  ln 2  3 8 0 1 ( x 2  3x  10)dx . x2  2x  9 0 (4 x  11)dx . 2 0 x  5x  6 a) I   b) I   Lời giải: a) Biến đổi: 4 x  11 4 x  11 A B ( A  B)x  3 A  2 B     . ( x  2)( x  3) x  5x  6 ( x  2)( x  3) x  2 x  3 2 A  B  4 A  3 4 x  11 3 1   2   Đồng nhất đẳng thức, ta được:  . x  5x  6 x  2 x  3 3 A  2 B  11  B  1 1  3 1   dx  3 ln x  2  ln x  3 Do đó: I    x  2 x  3  0 b) Biến đổi:   1 0 9  ln . 2 x2  3x  10 x 1 1 2x  2 .  1 2  1 . 2 2 2 x  2x  9 x  2x  9 x  2x  9   1 2 1 1  1 2x  2  1 d x  2x  9  1  1 4 2 dx   dx   2   x  ln x  2 x  9   1  ln . Khi đó: I    1  . 2  2 x  2x  9  2 0 x  2x  9 2 2 3  0 0 0 1 Nhận xét: Như vậy, để tính được các tích phân trên chúng ta phân tích hàm phân thức hữu tỉ thành những hàm nhỏ (phương pháp này đã được trình bày trong chủ đề về nguyên hàm). Bài toán 6: Tính các tích phân sau:    /4 2 a) I  sin 7 x sin 2 xdx   b) I   0 2   sin 2   x  dx 4  c) I   0 x 2  sin 2 x  sin x dx x  cos x 2 Lời giải:  1 a) Ta có: I  2   11 1 2 1 2 (cos 5 x  cos 9 x ) dx  sin 5 x  sin 9 x  9 sin 5 x  5 sin 9 x       2  5 9 90   2 2  2 2   https://toanhocplus.blogspot.com Trang 107 1 4   9  5    9  5    .  45 90  Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna    14   14 b) Ta có: I   1  cos   2 x   dx   (1  sin 2 x)dx  20 20 2    1 1  4 1   2 x  cos 2 x    1  .   2 2 8 0 4 2   2 x  cos x   x  cos x   1sin x dx x  sin x  sin x x  cos x  1  sin x dx   dx   x  cos x x  cos x x  cos x 0 0 2 2 c) I   0 2 2 2 2     2 2 d x  cos x   1  sin x    x  cos x  dx   dx    x  cos x  dx   x  cos x x  cos x 0 0 0 0 2 2   x2  2 2     sin x  ln x  cos x    1  ln 8 2  2 0 Bài toán 7: Tính các tích phân sau:   0 2 1  sin 2 x  cos 2 x a) I   dx sin x  cos x  b) I    6 2 4 sin 2 x  2  sin x  2 c) I   tan 3 xdx dx 0 Lời giải:   2 2 1  sin 2 x  cos 2 x  1  sin 2 x cos 2 x  dx     dx sin x  cos x sin x  cos x     sin x  cos x a) I   6 6    sin x  cos x 2 cos 2 x  sin 2 x   dx    sin x  cos x    sin x  cos x   6 2   2 2    (sin x  cos x  cos x  sin x)dx  2  cos xdx  2 sin x 2  1 . 0 b) I    2  2  sin x  2 dx    2 2   4 4 6  2  sin x  0   6 2 cos x  2  sin x   4 cos x 0 sin 2 x   d  2  sin x  2  sin x 2 2 d  2  sin x  dx  4   0   0 2 0 dx   2  sin x   2 2 cos x cos x dx  4  dx 2 2  sin x   2  sin x   2 0  4    2 ln 2  sin x   2 ln 2  2. 2  sin x     2   4  6    4 c) I   tan 3 xdx   tan x  tan 3 x  tan x dx   tan x 1  tan 2 x dx   tan xdx 0 0 0  4  0 0    4 d cos x   tan x sin x dx  dx  tan xd tan x       2 cos cos cos x 0 0 0 4 4  tan 2  2  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 108  4  ln cos x 0 4 0  1 1  ln 2. 2 2 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Bài toán 8: Tính các tích phân sau: 1 a) I   c) I   b) x 1  x 0 e e dx    2  x ln x e dx  1  x ln x 1 2 x 3  1  x 4  1 ln x 1  x  1  x 2  1 ln x dx 1  x 2 ln x dx x  x 2 ln x d) I   1 Lời giải: 1 a) I   0 e b)  3 3  2 4   ( x  1  x )dx   x  1 2  x 2   3 x1 x 0 0 3   x  1  x 2  1 ln x 1  x ln x 1 1 1 dx e dx   x  1  x ln x   1  ln x 1  x ln x 1 c) I     2 x 3  1  x 4  1 ln x 2  x ln x 1 e dx   e 3   x dx   1  1 e e e2  1 e2  1  ln 1  x ln x   ln  e  1 1 2 2 2  x ln x e  e x 3  2  x ln x   1  ln x 1 2 1 e d  1  x ln x  1  ln x x2 dx   xdx   dx   1  x ln x 2 1 1 1  x ln x 1 1 e  e  e  1  ln x  dx    x 3  dx 2  x ln x  1 e d  2  x ln x   x4  e2  1 e2 dx    ln 2  x ln x    ln . 2  x ln x 4 2  4 1  e x  x 2 ln x  1  x e 1  x 2 ln x  1 x  d) I   dx  dx  1   dx 2 2   x  x ln x x  x 2 ln x  1 x  x ln x 1 1 e    1 1   e  1  1 1  e  ln x     e e  d 2   dx   x  ln 1  ln x   e  ln e  1 . x x  dx  dx    x     1 1  1 1  x  1  ln x   ln x  x  x    3. Bài tập tự luyện Tính các tích phân sau: 0 I dx 1 2 x2  x  3 1 I 0  x  1 2 ĐS:  ln 6 5 2 I 1 ĐS: 3 7 ln 3  2 6 1 dx sin x ĐS: 1 ln 3 2  2 x 1 3x  2 dx 4x  4x  1 2 2 dx ĐS: 1  ln 2 I  3  4 I   tan 2 xdx 0  4  ĐS: 4 2 I   cos 2 xdx 0 2   4   I   cot 3 xdx ĐS: ĐS: 1 1  ln 2 2 2 2 dx 1  sin x 0 I ĐS: 1 4  1  2 sin 2 x I dx 1  sin 2 x 0 4 1 ĐS: ln 2 2  https://toanhocplus.blogspot.com 1 I 0 Trang 109 x2  e x  2 x2 e x dx 1  2e x ĐS: 1 1 2e  1  ln 3 2 3 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna II. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN 1. Phương pháp đổi biến số dạng 1 Phương pháp: b   Giả sử ta cần tính tích phân I   f  x  dx , trong đó ta có thể phân tích f  x   g u  x  u ‘  x  thì a ta thực hiện phép đổi biến số t  u  x  , suy ra dt  u ‘  x  dx .  x  a  t  u  a  Đổi cận:  .  x  b  t  u  b  u b  b Khi đó : I   f  x  dx  a  g  t  dt  G  t  u a  u b  u a  ( với G  x  là nguyên hàm của g  x  ). Các cách đặt cho các dạng toán tích phân thường gặp:    n PP  I   f ( ax  b) xdx  t  ax  b  dt  adx   m   n   x PP I  dx   t  ax n1  1  dt  (n  1)ax ndx , với m, n  .    axn1  1     2 n PP 2  I   f ( ax  b) xdx  t  ax  b  dt  2ax.dx     PP  Đặt t  I   n f ( x). f ( x)dx  n f ( x) , trừ một số trường hợp đổi biến dạng 2.     dx  I   f (ln x) x t  ln x PP      Đặt    t  a  b ln x dx   I   f ( a  b ln x) x    • I  f   x f  x PP dx   Đặt t  f  x  .   PP  Đặt t  e x  dt  e x . I   f ( e x )e x dx     PP  Đặt t  cos x  dt   sin xdx. I   f (cos x) sin xdx     PP  Đặt t  sin x  dt  cos xdx. I   f (sin x) cos xdx     I   f (tan x)    I   f (cot x)  1 1 PP dx   Đặt t  tan x  dt  dx  (1  tan 2 x)dx. 2 cos x cos 2 x 1 1 PP  Đặt t  cot x  dt   dx   dx  (1  cot 2 x)dx. 2 2 sin x sin x  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 110 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn  https://facebook.com/duytuan.qna  t  sin 2 x  dt  sin 2 xdx PP   Đặt  I   f (sin 2 x; cos 2 x) sin 2 xdx  2 t  cos x  dt   sin 2 xdx    PP  Đặt t  sin x  cos x. I   f (sin x  cos x)(sin x  cos x )dx     I   x  a  0 t  x  a  x  b khi  dx  x  b  0  PP   Đặt  ( x  a)( x  b) t   x  a   x  b khi  x  a  0   x  b  0    n n PP I   R  1 ax  b ,…, k ax  b  dx   Đặt t n  ax  b với n  B.C .N .N n1 ; n2 ;…; nk      Bài toán 1: Hãy tính các tích phân sau: 1 a)   2x  1 5 e2 dx b)  x ln x e dx 0 1 4x  2 dx c)  2 0 x  x 1 2 3 2 dx d)  2 1 (2 x  1) e)  cos(3x   2 )dx 3 3 Lời giải: x  0  u  1 a) Đặt u  2 x  1  du  2dx . Đổi cận:  . x  1  u  3 1 3 1 5 u6 3 1 6 2  (3  1) = 60 . Do đó:   2 x  1 dx   u du  21 12 1 12 3 0 5 b) Đặt u  ln x  du  e2 Do đó:  e dx . Đổi cận x  xeu1 .  2 x  e  u  2 2 2 dx du   ln u  ln 2  ln 1  ln 2 . 1 x ln x 1 u x  0  u  1 c) Đặt u  x 2  x  1  du   2 x  1 dx . Đổi cận:  . x  1  u  3 1 Do đó: 3 3 4x  2 2du dx  0 x2  x  1 1 u  2 ln u 1  2(ln 3  ln 1)  2 ln 3 . x 1 u 1 d) Đặt u  2 x  1  du  2dx . Đổi cận:  . x  2  u  3 2 Do đó: 3 dx 1 du 1 3 1 1 1  1 (2 x  1)2 2 1 u2   2u 1   2 ( 3  1)  3 . 2 e) Đặt u  3 x   du  3dx . Đổi cận: 3  https://toanhocplus.blogspot.com     x  3  u  3 .   x  2  u  4  3 3 Trang 111 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn 2 3 Do đó:  cos(3 x   https://facebook.com/duytuan.qna 2 1 )dx  3 3 4 3  4 1 1 4  sin u 3   sin  sin   3 3 3 3 3 cos udu   3 1 3 3 3      3 2 2  3 3 3 Bài toán 2: Tính các tích phân sau: x a) 1 3 2 1  x dx b) 0 x 5 2 1  x dx c) e 0 0 dx 3 2x Lời giải: a) Ta có thể trình bày theo các cách sau:  x  0  u  1 Cách 1: Đặt u  x2  1  u2  x 2  1  2udu  2 xdx  udu  xdx. Đổi cận:   x  3  u  2 3 Từ đó:  0 2 1 2 7 x 1  x 2 dx   u2 du  u3  . 3 1 3 1  x  0  u  1 Cách 2: Đặt u  x2  1  du  2dx. Đổi cận:   x  3  u  4 3 Từ đó:  0 4 4 1 1 7 x 1  x dx   udu  u3/ 2  . 1 21 3 3 2 Cách 3: Thực hiện phép biến đổi: 3  x 1  x 2 dx  0 3 1 2  1  x 2 d(1  x 2 )  0 1 2 3 1 1 2 2 (1  x ) d(1  x 2 )  (1  x 2 )3/2 0 3 3 0  7 . 3 Cách 3 được trình bày dựa trên ý tưởng đổi biến của cách 2.  x  0  u  1 b) Đặt u  1  x 2  u2  1  x2  2udu  2 xdx  udu  xdx. Đổi cận:   x  3  u  2 3 Khi đó: x 0 2 5 2 2 1 2 1  848 1  x dx   (u  1) u du   (u  2u  u )du   u7  u5  u3   . 5 3  1 105 7 1 1 2 2 2 2 6 c) Đặt u  e 2 x  3  du  2 e 2 x dx  2(u  3)dx  dx  1 dx 1   2x  3 2 0 e e2  3  4 du 1  u(u  3) 6 e2  3  4 4 2 du . Đổi cận: 2(u  3)  1 1 1  u  3  u  du  6 ln u  3  ln u      x0u4  2 x  1  u  e  3 e2 3 4 1 u3  ln 6 u e2 3 4 1 1 4   ln 2 . 3 6 e 3 5 Bài toán 3: Cho biết  1 2 f ( x)dx  15 . Tính giá trị của P   [ f (5  3x)  7]dx 0 Lời giải: Để tỉnh P ta đặt t  5  3 x  dx   dt . 3  x0t5 Đổi cận:   x  2  t  1  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 112 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn 1 P   [ f (t )  7](  5 https://facebook.com/duytuan.qna 5 5 5  1 dt 1 1 1 )   [ f (t )  7]dt    f (t )dt  7  dt   .15  .7.(6)  19 . 3 3 1 3  1 3 1  3 ln 2 Bài toán 4: Biết rằng:    x  2e 0 1  1 a 5  dx  2 ln 2  b ln 2  c ln 3 . Trong đó a , b , c là những số 1 x nguyên. Khi đó S  a  b  c bằng? Lời giải: ln 2 ln 2 1   dx   xdx  1 0    x  2e x 0 ln 2 Tính   xdx  0 ln 2 Tính  ln 2  2e 0 x2 2 ln 2  0  1 dx . 2e  1 x 0 ln 2 2 2 1 dx 1 x Đặt t  2 e x  1  dt  2e x dx  dx  ln 2  0 ln 2 5  x  ln 2  t  5 dt . . Đổi cận :  t 1  x0t 3 5 1 dt  1 1 dx      dt  ln t  1  ln t x t 2e  1 3 t  t  1 3  t 1    x  2e   5 3 5  ln 4  ln 5  ln 2  ln 3  ln 2  ln . 3 1  1 2 5  dx  2 ln 2  ln 2  ln 3  a  2, b  1, c  1 . 1 x 0 Vậy a  b  c  4 . a Bài toán 5: Cho I  x 5 dx 2  x 4 A. 2 3. 1 5 ln , a  5 . Khi đó giá trị của số thực a là? 4 3   C. 3 2. B. 2 5. D. 2 2. Lời giải:  x  5  t  3 Đặt t  x 2  4  t 2  x 2  4  tdt  xdx. Đổi cận:  . 2  x  a  t  a  4 a I x xdx 2 5 1  4 a2  4  3 Ta có: I  2 a2  4  x 4  3 dt  2 t 4 a2  4  3 dt (t  2)(t  2)  1 1  1 t2  t  2  t  2  dt  4 ln t  2   a2  4 3 1  a2  4  2  .  ln  5  4  a2  4  2  1 5 1  a2  4  2  1 5   ln , a  5 ln  ln  5  4 3 4  a2  4  2  4 3   a2  4  2 2 a 4 2  1 3 3  https://toanhocplus.blogspot.com    a 2  4  2  a2  4  2  a  2 3. Chọn A. Trang 113 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Bài tập tự luyện Bài tập 1: Tính các tích phân sau: 1 I   2  x(1  x 2 ) dx I 1 1 660 1 11 ĐS: I  0 0 I   x 2 ( x  1)9 dx ĐS: I  I   (1  3x)(1  2 x  3x 2 )10 dx ĐS: I  0 Bài tập 2: Tính các tích phân sau (đặt t  6 1 22 n 9 I   x 3 1  xdx ĐS: I   1 7 I  x. 3 1  x dx 7 x 3dx  3 0 ĐS: I  x2  1 1 I   x15 1  3 x 8 dx ĐS: I  0 5 ĐS: I  1 168 ĐS: I  1 1 ln 2  2 4 0 1 0 x5 dx x2  1 1 I   x(1  x 2 )n dx, (n   * ) ĐS: I  0 1 2n  2 f ( x)  t n  f ( x)  nt n1dt  f ( x)dx và đổi cận) 468 7 3 I   x 3 x 2  1dx ĐS: I  14 3 5 ĐS: I  46 15 ĐS: I  64 105 1 7 3 45 ĐS: I  8 2 0 I 1 1 120 I   x(1  x)19 dx ( x  2)dx I 3 0 3x  1 3 93 10 I x 5 1  x 2 dx 0 6 29 270 2dx I ĐS: I  4  ln 3 4x  1  1 0 Bài tập 3: Tính các tích phân sau (đổi biến của hàm logarit): e e 1  2 ln x I dx x 1 e ln x I dx 2 1 x(2  ln x ) 1 I 0 x ln( x 2  4) dx x2  4 e ln 2 x I dx 1 x(1  2 ln x) e3 I 1 e I 1 e I 1 5 I 2 ln 3 x x 1  ln x dx 1  ln 2 x ln x dx x log 32 x x 3  ln 2 x 1  ln 4 x dx x 1 ĐS: I  2 dx ln( x  1  1) x 1 x 1 1 3 ĐS: I    ln 3 2 ĐS: I  ln 2 5  ln 2 4 4 e2 ĐS: I  2 ln 2  ln 3 ln x  1 dx x ln x  1 ĐS: I  ln(1  e ) e e I 1 4  ln x dx x I 1 e 15  ln 2 ĐS: I  4 I 2 2 1 ĐS: I  3 I 4 27 ln 3 2 I x 1 e dx ĐS: I  2 1  ln x 2 dx x 1  3 ln x 1 ĐS: I  10 5 16  3 3  6 4 2  27 3 ln 2 1 ln 2 2 ln(3  x)  ln(3  x) dx I  ĐS: 12 9  x2 0 2 ĐS: I  ln 3  ln 2  https://toanhocplus.blogspot.com ĐS: I  dx ln 3 x  2 log 2 x e 2 6 5 dx x ln x.ln ex I e ln 3 ĐS: I  8 ĐS: I  ĐS: I  I I 1 Trang 114 xe x  1 dx x( e x  ln x) ĐS: I  ln ee  1 e Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn e2 I e 1 19 2 ln x  1 dx ĐS: I  ln 2 8 3 x(8 ln x  8 ln x  3)  1 e e I https://facebook.com/duytuan.qna  3  2 ln x x 1  2 ln x 1 1 e 5 ĐS: I  3 dx 1  3 ln x ln x dx x I I 1 dx x 3 1  ln x ĐS: I  116 135 ĐS: I  33 4  3 2 ĐS: I  4 3 ĐS: I  80 9 Bài tập 4: Tính các tích phân sau (liên hợp và biến đổi): 1 2 2 x 3  3x I ĐS: I  2  4 ln 2 dx 2 x x 3 4 0 1 1 2 1 ĐS: I  1 I 1 x  x 1 0 1 I 0 4 I 1 32 2 ln 3 2 ĐS: I  dx x2  1 x dx x2 ln( x  x 2  9)  3×3 x2  9 0 2 dx x  x1 0 x dx 3 x 1 I 2 x3  3x 2  x I 4 x2 I dx 1 x x 0 3  2  ln( 2  1) 2 3 1 ĐS: I  4 ln   3 ln(2  3) 2 2 ĐS: I  dx ln 2 9  ln 2 3  44 2  2  cos 2 x  I   sin x  sin x   dx 1  3cos x   0 2 2 I  3 ĐS: I  x4 dx  1 2 x x  x 1   ĐS: I   4  118 405 19 2 94 2  ln 3 4 7 Bài tập 5: Tính các tích phân sau (đổi biến của hàm số mũ): 1 2 I   (2 x  1)e x x dx ln 2 ĐS: I  0 I 0 3 I 1 1 I 0 dx x e 1 ĐS: I  (1  e x )3 I dx ex 0 ln 3  0 ln 5 I  ln 2 ln 6 I 3 0 e x dx x I e2 x 1 6e ln 2 10 e  5 e x ln 3 ln 2 I  0 ln 2 e 3  6e 2  e  2 ĐS: I  2e I ĐS: I  2  2 I  0 dx  2e  x  3 ĐS: I  3 dx ĐS: I  3ln 3  4 ln 2 e 2 x  3e x dx e 2 x  3e x  2 ĐS: I  3ln 3  4 ln 2 e 1 e x dx 3  e x  2e x  7 e x ln6 ĐS: I  ln  https://toanhocplus.blogspot.com I 5  e x dx dx  x e 3 0 80 63 ln16 I  0 Trang 115 3 2 2e x  1 dx ex  1 ĐS: I  0 20 ĐS: I  3 1 6 ĐS: I  ln ln 2 ( e  1) x e2  e  1 e2 ln 5 2 1 I 0 ĐS: I  ln dx 2x e 5  e x dx ( e x  1)2 dx 4 ex  4 ĐS: I  16 2 3 3 3 ln 2  3 3 ĐS: I  ln   3 5 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna PP  đặt t  sin x hoặc t  a  b sin x ,dạng Bài tập 6: Tính các tích phân sau (dạng f (sin x).cos x  PP f (cos x).sin x   đặt t  cos x hoặc t  a  b cos x ) :   2 2 sin 2 x dx 1  sin x 0 ĐS: I  2  2ln 2 I I   (1  sin x)2 cos xdx 0 0  2 2 3 I   sin 2 x(1  sin x) dx 0 I 15 ĐS: I  4 2 (2 sin x  3) cos x dx 2 sin x  1 0 4 sin 3 x dx 1  cos x 0 0 ĐS: I  ln 2  0 3 8  sin 2 x dx 3cos2 x  1 ĐS: I  2 ln 4 3 sin 2 x dx 4  cos2 x I 0 ĐS: I  ln 4 3   sin 3 x dx 2 0 1  cos x 2 I ĐS: I   2 6 sin 3x  sin 3 3x dx 1  cos 3x 0 I 1  1 ln 2 ĐS: I    6 3  2 sin x I dx cos 2 x  3cos x  2 0 2 sin xdx 2 0 1  cos x 3 ĐS: I  ln 2 I Bài tập 7: Tính các tích phân sau (dạng f (tan x)  ĐS: I   4 1 PP   đặt t  tan x ) : 2 cos x   (1  tan x)2 I dx cos2 x 0 4 ĐS: I  4 7 3 2  3 tan x dx 1  cos 2 x I 0 ĐS: I  5 52 2 9   3 tan x (cos x  e )sin x I dx cos3 x 0 dx sin x cos 3 x I ĐS: I  2  1 ĐS: I  1  ln 3 2 4  0 17 12 3 I   sin 2 x tan xdx ĐS: I  2  I 2 I   sin x cos x(1  cos x)2 dx ĐS: I  2 4 ĐS: I  2ln 2  2  I 4 dx 2 ĐS: I  1  2 ln 3  0 2 7 3  I 2 sin 2 x  (2  sin x)   I ĐS: I   3 2(1  tan 3 x) dx   cos x cos  x –   4 4 ĐS: I  5 I   3 1 I dx    sin x sin  x   6 6   sin x(2  sin 2 x) dx cos 3 x ĐS: I    4 4  3 ĐS: I  2 ln 2 2 I  sin x dx (sin x  cos x)3 ĐS: I  3 8 4 PP  đặt t  sin x  cos x ) : Bài tập 8: Tính các tích phân sau (dạng f (sin x  cos x)  (sin x  cos x)    4 sin x  cos x dx sin x  cos x  3 0 I ĐS: I  ln  https://toanhocplus.blogspot.com 4 3 2 2 cos 2 x dx 3 0 (sin x  cos x  3) I Trang 116 ĐS: I  1 32 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna   2 1  sin 2 x  cos 2 x dx sin x  cos x  4 2(sin x  cos x) 42 2 I dx ĐS: I  sin 2 x  2(1  sin x  cos x) 4 0 ĐS: I  1 I 4   4 4 cos 2 x I dx 3 (sin x  cos x  2) 0 I 13  9 2 ĐS: I  18 0  cos 2 x   (1  sin 2 x) cos  x   4  dx ĐS: I  2  1  4 sin 4 x I dx 2 0 1  cos x 2 4 ĐS: I  2  6 ln 3 I   sin 2 x(1  sin 2 x)3 dx ĐS: I  0 15 4 2. Phương pháp đổi biến số dạng 2 Dấu hiệu Cách đặt a2  x 2      x  a sin t víi t    ;   2 2   x  a cos t víi t   0;      x 2  a2  a     víi t   ;  0 x  sin t  2 2   a   x  víi t  0;      cos t 2 2 a x ax hoặc ax   x  a tan t víi   x  a cot t víi  2 ax ax  x  a  b  x  1 n 2 ( x  a) . ax  bx  c    t   ;   2 2 t   0;     x  a.cos 2t với t   0;   2   x  a   b  a  sin2 t với t   0;   2 1 dt x  a   dx   2  t t Lưu ý: Chỉ nên sử dụng phép đặt này khi 3 dấu hiệu đầu đi với x mũ chẵn. Ví dụ, để tính tích phân 3 I  0 x 2 dx x2  1 thì phải đổi biến dạng 2 còn với tích phân I   3 0 x 3 dx x2  1 thì nên đổi biến dạng 1. 2/ 3 1/ 2 Bài toán 1: Tính các tích phân sau: a) I   1  x 2 dx 0 b) I   2 dx x x2  1 Lời giải: a) Ta có thể trình bày theo hai cách sau:  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 117 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna  x0t 0     Cách 1: Đặt x  sin t , t    ;  suy ra dx  cos tdt . Đổi cận:  1  . 2 2   x  2  t  6   /6 Khi đó: I    /6 2 1  sin t .cos t.dt  0  0 1 cos t.dt  2 2  /6  0  /6 1 1  1 3 (1  cos 2t ).dt   t  sin 2t     . 2 2 2  6 4  0    x  0  t  2 Cách 2: Đặt x  cos t  dx   sin tdt , t  0;   . Đổi cận:  . 1  x   t   2 3  /3 I  /2  /3  /3  /3 1 1 1  1 3 1  cos t .sin tdt    sin tdt    (1  cos 2t )dt    t  sin 2t     . 2  /2 2 2   /2 2  6 4   /2 2 2 b) Ta có thể trình bày theo hai cách sau: Cách 1: Đặt x  1   , t   0;  , sin t  2   x2t   cos t  6 suy ra dx   . dt . Đổi cận:  2 sin t x  2  t   3  3 1 cos tdt  /3 2  /3  sin t Khi đó: I      dt   t  /6   . 6 1 1  /6  /6 1 2 sin t sin t  /3 Cách 2: Đặt x   1   , t   0;  , co s t  2   x2t   sin t  3 dt . Đổi cận:  suy ra dx  . 2 2  co s t x  t  6  3 1 sin tdt  /6 2  /6  Khi đó: I   co s t   dt  t  / 3   . 6 1 1  /3  /3  1 co s t co s 2 t  /6 1 1 Bài toán 2: Tính các tích phân sau: a) I   x 1  x 2 dx b) I   0 0 dx 2 x 1 1 c) I   x 2 1  x 2 dx 0 Lời giải: x  0  t  0 dt     a) Đặt x  tan t , t    ;  suy ra dx  . Đổi cận:  . 2 2 2 cos t    x  1  t  4  /4 Khi đó: I   0 dt tan t. 1  tan t .  cos2 t 2  /4  0  /4  /4 sin xdt d(cos t ) 1 2 2 1    . 4 4 3 3 cos t cos t 3 cos t 0 0 x  0  t  0 dt     2 b) Đặt x  tan t , t    ;  suy ra dx  . Đổi cận:  1  tan t dt  . 2 2 2 cos t   x  1  t   4   https://toanhocplus.blogspot.com Trang 118  Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn  /4 Khi đó: I   0 (1  tan 2 t )dt  tan 2 t  1 https://facebook.com/duytuan.qna  /4  dt  t  /4 0   4 0 .    c) Đặt: t  sin x , t    ;  , suy ra dt  cos xdx . Đổi cận:  2 2  /2 1 Do đó: 2 2  x 1  x dx  0  x  0  t  0   .  x  1  t  2  /2 sin 2 t. 1  sin 2 t cos tdt  0   sin 2 t cos 2 tdt  0 1 4  /2  1  cos 4t  dt 2    0  12 1 1 2 1    I    1  cos 4t  dt   t  sin 4t   .  . 80 8 4  0 8 2 16 0 Bài toán 3: Tính các tích phân sau: a) I  3/ 2 1 x dx 1 x  1 b) I   ( x  1)(2  x)dx 5/ 4 Lời giải:   x  1  t      2. a) Đặt x  cos 2t , t   0;  suy ra dx  2 sin 2tdt . Đổi cận:   2  x0t  4 Ta có: 1 x dx = 1 x 1  cos 2t 2 sin 2tdt   cot t  2 sin 2tdt   4 cos 2 tdt  2  1  cos 2t  dt .  1  cos 2t  /2  /2  1    Khi đó: I  2  (1  cos 2t )dt  2  t  sin 2t   2  1   . 4  2   /4   /4   b) Đặt x  1  sin 2 t , t  0;  khi đó dx  sin 2tdt . Đổi cận:  2 Ta có   x   x   5  t 4 6. 3  t 2 4 ( x  1)(2  x)dx  sin 2 2tdt   1  cos 4t  dt.  /4  /4   1  3 Khi đó: I   (1  cos 4t )dt   t  sin 4t     .  4   /6  12 8   /6 Bài toán 4: Tính các tích phân sau: 1 2 a) I   1  2x 0 2 1 2 dx b) I   1 2 1 1 3  2x  x 2 dx c) I   1 dx 2 x  2x  3 Lời giải: 1 1    sin t , t    ;   dx  cos tdt . Đổi cận: a) Đặt: x  2 2  2 2  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 119 x  0  t  0  1 .  t  x  2 2  Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn 1 1 2 I https://facebook.com/duytuan.qna  1  2×2 0  2 1 dx   0 1 1 2  1  2  x  2 dx  1  2 1  2 1 0 1 2 1  sin 2 t 2 1 cos tdt  2  2  dt  0 1 2  2 t  0 2 2 2 b) Vì: 3  2 x  x 2  4   x  1 . Cho nên:    Đặt: x  1  2 sin t , t    ;   dx  2 cos tdt ;  2 2 2 2 1 Do đó: I   3  2x  x2 1  /6 1 dx   4   x  1 1 x 1 sin t  . Đổi cận: 2 2 dx   /6 1   4 1  sin 2 t 0 x  1  t  0    x  2  t  6   2 cos tdt    dt  6 0      t   0;   cos t  0  .   6  2 1 c) I  2 1 dx   2 x  2x  3 1 dx   x  1 1 2   2 2    dt Đặt x  1  2 tan t , t    ;   dx  2 . Đổi cận: cos2 t  2 2 2 1 I  2  x  1  1  1 2  /4 dx  /4  0   2  2   /4 2dt     2 1  tan 2 t cos 2 t 0 0 dt  cos t  x  1  t  0    .  x  2  1  t  4  /4 cos tdt  1  sin 0 2 t  /4  /4 d  sin t  1   cos t cos t  1  d  sin t  1  dt        sin t  1 sin t  1   2  0 sin t  1 sin t  1    0 1 sin t  1   ln 2 sin t  1  /4 1   ln 3  2 2 . 2  0  Bài tập tự luyện Bài tập 1: Tính các tích phân sau: a I  x 2 a  x dx , (a   ) 2 2  ĐS: I  0 a 2  a4 I 16 0 2 2 2 I  x 2 2 4  x dx ĐS: I   I 0 0 2 I   2 x  x 2 dx  ĐS: I  0 0  https://toanhocplus.blogspot.com a x 2 , ( a  0) x 2 dx 1 x 2 ĐS: I  ĐS: I  2  I   ( x  1) 4  x 2 dx 2 0 1 2 I   1  2 x 1  x 2 dx dx 2 ĐS: I   12  Trang 120 ĐS: I   6  2 8 8  3 3 1  8 8 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna 3 1  2016 x 6 x  x 2 dx 2016 x 0 ĐS: I  I 1 1 x1 I     4  x2 0  1 x x   x 2 dx   ĐS: I  1  2016 3 9  ln 2016 4  3  27 3  50 2  16 18 Bài tập 2: Tính các tích phân sau: a dx I  , ( a  0) ĐS: I  ln 1  2 x2  a2 0 a  I   a 2  x 2 dx 0 1 x3 dx 8 0 1 x I ĐS: I  2  16 2 ĐS: I  6 2  2 ln(1  2) x  4dx I  3 3 0 3 x2  3  x2 0 3 2 2 ĐS: I  2 2  ln 2 2 dx 1 1   2  1   3 1 2 dx ĐS: I  (1  x 2 )3 e I a2  2  ln 2  ĐS: I  ln(1  2) x2  4 0 3 I  x I dx I 2 2 ĐS: I  dx ĐS: I  x 1  3 ln 2 x 3 ln 2  3 3   Bài tập 3: Tính các tích phân sau: 2a I dx  x2  a2 a  ĐS: I  ln 2  3 , ( a  0) 2a I  1  ĐS: I  a 2  3  ln 2  3  2    x 2  a2 dx , ( a  0)  a 3 I dx   ĐS: I  ln 1  2 x2  1 2 2 x2  1 dx x2 I 1  ĐS: I     3  ln 2  3 2   Bài tập 4: Tính các tích phân sau: 2 I 0 2 I 1 1 I 1 2 1 I 0 1 2x dx x2 1 x2 ĐS: I    2 0 2x dx 2x ĐS: I  dx (1  x ) 1  x 1 3 3  6 I 0 1 ( 2  1)2 ĐS: I  ln 3 2 x dx 3 x 1 3 3 I 3 ĐS: I  1 3 2  https://toanhocplus.blogspot.com 1 I 0 1 I 0 Trang 121 1 x 1 x dx ĐS: I  2  3x dx 1 x ĐS: I  dx n n (1  x ) 1  x n xdx 3x  1  2 x  1 ĐS: I  ĐS: I   3  2  3 2 1 n 2 17  9 3 9 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna 3. Phương pháp đổi biến cho một số hàm đặc biệt Đây là phương pháp đổi biến được sử dụng khi phương pháp đổi biến số dạng 1 và dạng 2 không dùng được, phương pháp này ít được sử dụng hơn nhưng đặc biệt hiệu quả với các lớp hàm số có dạng đặc biệt, phức tạp và có cận đặc biệt. Nhận xét: Các bài toán dưới đây đều có một cách làm chung là đổi biến x  a  b  t với a , b là 2 cận. a 1. Hàm số f  x  liên tục trên   a; a  . Khi đó :  a a f  x  dx    f  x   f   x   dx  1 0 a   f  x  dx  0 1.1 . Nếu f  x  là hàm số lẻ, khi đó: a     Nếu f  x  là hàm số chẳn, khi đó:     a a  f  x  dx  2  f  x  dx a a 1.2  0 f  x a 1  a 1  c x dx  2 0 f  x  dx  0  c  1  *  Chú thích: – Trắc nghiệm: Các em được dùng các kết quả  1 ,  1.1 ,  1.2  ,  *  . – Tự luận: Trong quá trình làm bài các em không cần sử dụng các kết quả  1 ,  1.1 ,  1.2  ,  *  mà các hệ thức này sẽ xuất hiện trong quá trình giải bằng việc đổi biến x   t (tổng quát đặt x  a  b  t ). Một số bài toán minh họa Bài toán 1 : Tính các tích phân sau:  2 a) I    2 xdx 4  sin 2 x b) I  x4 dx x  2 1  2018 2 Lời giải:  2 a) I    2    x t  xdx  2 2 . Đặt x  t  dx  dt  xdx  tdt . Đổi cận:  2 4  sin x x    t     2 2  Do đó : I      2 2 2 2   tdt tdt xdx     I  2I  0  I  2 2 2 4  sin t  4  sin t  4  sin x  2 2 b) I  x 4  1  2018 x 2 2 I  t  2  2 x  0. 2  x  2  t  2 dx . Đặt x  t  dx  dt . Đổi cận:   x  2  t  2 4  1  2018 2  2 xdx  4  sin 2 t dt   2 t4 1 1 2018t   2 t 4 . 1  2018t  1 t 4 .2018t dt   dt   dt t 1  2018t 2 1  2018 2  https://toanhocplus.blogspot.com 2 Trang 122 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna 2  t4    t4  1  2018t 2   2I   t5 dt   5  2 2 t4 64 dt   I. t 5 2 1  2018  2 64 32 I . 5 5 Bài toán 2 : Tính các tích phân sau:  1 1 x4 b) I   x dx 1 2  1 cos x a) I   x dx 1 e  1 2 c)   1  sin x sin 2 x dx 1  ex 2 Lời giải: 1 a) I  cos x dx . Đặt x  t  x  dt , cos x  cost . Đổi cận: x 1 1 e 1  I   1 1 1 1 cos t cos t e t .cos t e x .cos x dt  dt  dt  1 1 et  1 1 e x  1 dx e t  1 1   1 et 1  2I  I  I  1 1 1 cos xdx e x cos xdx  1 e x  1 1 e x  1  1 cos xdx  sin x 1  2 sin 1  I  sin 1. 1 b) I   x  1  t  1 .   x  1  t  1 x4 1 2x  1 dx . Đặt x  t  x  dt . Đổi cận:   x  1  t  1 .   x  1  t  1  1 1 1 2t  1 t 4  t 4 1 1 1 x4 t4 2t.t 4 t4 4 I   x dx   t dt   t dt   dt   t dt   t dt   x 4 dx  I t 1 2 1 1 2  1 1 2 1` 2  1 1` 1 1 2  1 1 1 1 1 1 1 1 x5  2 I   x dx  I   x 4 dx  2 1 2 5 1 4  2 c)    1  sin x sin 2 x dx  1  ex 2 2   2 + Tính A    1 2 1 dx  1  ex   2 *   ex 2  1 1  ex x dx    x  d e  ln  1  ex  1  ex e  2  e 1  e  x  sin x sin 2 x dx  A  B 1  ex 2  1 dx  1  ex 1 . 5  2   x 2   2  2 + Tính B    sin x sin 2 x dx . Đặt x  t  dx  dt . Đổi cận: 1  ex 2  2 B    sin  t  sin  2t  1 e t 2 dt    2   e t sin t sin 2t dt  1  et 2   2 2   2  https://toanhocplus.blogspot.com sin t sin 2tdt    2   1  e t 2     2 1 2     x   2  t  2 .  x    t     2 2   1 sin t sin 2t 1  et dt 2  sin t sin 2t 1 dt  t 2 1 e 2 Trang 123 2   cos t  cos 3t  dt  B  2 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna  1 sin 3t  2 4   sin t   B   B.  2 3   3 2 Suy ra: B  4 4 2  B  2B   B  3 3 3  2  . Thay 1 ,  2  vào  *  ta được: I  2  23 . b 2. Hàm số f  x  liên tục trên  a; b  , khi đó ta có: b  f  x  dx   f  a  b  x  dx  *  a a   2 Hệ quả: Hàm số f  x  liên tục trên  0;1 , khi đó:  0 2 f  sin x  dx   f  cos x  dx * *  0 Chú thích: – Trắc nghiệm: Các em được dùng các kết quả  *  ,  * *  . – Tự luận: Trong quá trình làm bài các em không cần sử dụng các kết quả  *  ,  * *  mà các hệ thức này sẽ xuất hiện trong quá trình giải bằng việc đổi biến x  a  b  t . Bài toán minh họa Bài toán: Tính các tích phân sau:   n 2 cos 3 x b)  dx sin x  cos x 0 2 sin x a) I   dx n n 0 sin x  cos x Lời giải:   x0t  sin x   2. a) I   dx . Đặt x   t  dx  dt . Đổi cận:  n n 2 0 sin x  cos x x    t  0  2  n 2     sin n   t  n 2 2   2 cos t sin n t   I dt   dt  1  dt  n n n n     sin t  cos t  n  n  0 0 cos t  sin t 0 sin   t   cos   t  2  2   2  2    dt  I  t 02  I  0 I   I  2I   I  2 I  . 2 2 4 Nhận xét: Như vậy từ ví dụ trên với cách gán n một giá trị cụ thể ta tạo ra được vô số bài toán  2  2018  2 2 2018 sin x cos x sin x dx I  dx I  dx ;… ; ;   2018 2018 2018 x  cos x sin x  cos x sin x  2018 cos x 0 sin 0 0 kiểu như: I    https://toanhocplus.blogspot.com Trang 124 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna  cos 3 x  b)  dx . Đặt x   t  dx  dt . Đổi cận: sin x  cos x 2 0 2    x  0  t  2 .  x    t  0  2     cos 3   t  3 2 2 sin t sin 3 t  cos 3 t  cos 3 t 2  I dx   dt   dt cos t  sin t sin t  cos t     0 0 0 sin   t   cos   t  2  2   2     2 cos 3 t  1   1 2  1    1  sin t cos t  dt   dt    1  sin 2t  dt  I   t  cos 2t   I  . sin t  cos t 2 2   4 0 0 0 0 2 I 2  1 2  I  2I   1 2 I  1 4 . b b ab f  x  dx 3. Hàm số f  x  liên tục trên  a; b  và f  a  b  x   f  x  , khi đó:  xf  x  dx  2 a a *  Hệ quả: Nếu hàm số f  x  liên tục trên  0;1 , thì:     xf  sin x  dx      2 2       f  sin x  dx  , đặc biệt   0 thì  xf  sin x  dx  0 2   xf  cos x  dx       2 0 2 f  cos x  dx , đặc biệt   0 thì   f  sin x  dx  1 2 xf  cos x  dx   0  f  cos x  dx  2  0 Chú thích: – Trắc nghiệm: Các em được dùng các kết quả  1 ,  2  . – Tự luận: Trong quá trình làm bài các em không cần sử dụng các kết quả  1 ,  2  mà các hệ thức này sẽ xuất hiện trong quá trình giải bằng việc đổi biến x  a  b  t . Bài toán minh họa Bài toán: Tính các tích phân sau:  2 3 a) I   x  tan x  cot x  dx  b)  0 x sin x dx 3  cos x  x sin x dx 2 0 cos x  4 c) I   6 Lời giải:    x t    6 3. a) I   x  tan x  cot x  dx . Đặt x   t  dx  dt . Đổi cận:  2  x    t   6  3 6  3  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 125 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna   3 3          I     t   tan   t   cot   t   dt     t   cot t  tan t  dt  2   2     2  2 6 6   3 3    sin t     cot t  tan t  dt   t  tan t  cot t  dt    dt   dt   I 2 2   sin t   cos t  6 6 6 6     I 2 b)   3 d  sin t  2   sin t 6  2  3 dt     sin t  dt   I  ln cos t 2 cos t   d  cos t   6 ln 3  I  2 I    3 cost  2 ln 3  I   4 3  3 I    2 ln 3  I 6 ln 3.  x  0  t  2 x sin x  3  cos x dx . Đặt x  2  t  dx  dt . Đổi cận: x  2  t  0 . 0 2 I  0  2  t  sin  2  t  dt    2  t  sin t dt  2  sin t dt   t sin t dt  3  cos  2  t   3  cos t  3  cos t  3  cos t  d  3  cost    2  dt  I  2 ln 3  cos t  I  0  I   I 3  cos t x sin x dx  3  cos x 2 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 0  I  I  I  0  x  0  t   x sin x dx . Đặt x    t  dx  dt . Đổi cận :  2 x    t  0 0 cos x  4 c) I    0   (  t ) sin(  t ) (  t ) sin t sin t t sin t dt   dt    dt   dt 2 2 2 2  cos (  t )  4 0 cos t  4 0 cos t  4 0 cos t  4  I      sin x x sin x sin x dx   dx    dx  I 2 2 2 0 cos x  4 0 cos x  4 0 cos x  4     sin x  d(cos x)  cos x  2 I  dx     ln 2 2 2 0 cos x  4 2 0 cos x  4 8 cos x  2   0  4 ln 3 . Bài tập tự luyện Tính các tích phân sau:  4 I   x7  x 5  x 3  x dx cos 4 x ĐS: I  0 Gợi ý: Đặt x  t 4  4 I   ln  1  tan x  dx 0  https://toanhocplus.blogspot.com ĐS: I   8 .ln 2 Trang 126 Gợi ý: Đặt x   4 t Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn 1 2 I x 2 ln 1  2 1 I  e 1 x dx 1 x ĐS: I  0 dx x 1  ĐS: I   2 https://facebook.com/duytuan.qna 1 x 1 Gợi ý: Đặt x  t  Gợi ý: Đặt x  t 4  2 I  cos x ln  x   ĐS: I  0 Gợi ý: Đặt x  t ĐS: I  0 Gợi ý: Đặt x  t 2 1 2 I  1  x 2 dx  1 x   cos x ln  1  x  dx 1  2  ln x 2  1 1 I  x e 1 1  dx ĐS: I  ln 2  2   2 Gợi ý: Đặt x  t  2   1 2 I    tan sin x  dx   2  0   cos  cos x  ĐS: I   Gợi ý: Đặt x  2  2 t  sin 6 x  cos6 x dx 6x  1 4 I   ĐS: I  5 32 Gợi ý: Đặt x  t 4  sin 2012 x  cos 2 x dx 2012 x  cos 2012 x 0 1  sin 2 I ĐS: I   Gợi ý: Đặt x  4  2 t  2 ĐS: I  I   cos x sin 2 xdx 0  I 0 x[(3 cos x  4 sin x) sin 2 x  4] 3  Gợi ý: Đặt x  4 dx ĐS: I  2 2  2 t Gợi ý: Đặt x    t 1  sin x  sin 3 x dx sin x  cos x 0 2 I  https://toanhocplus.blogspot.com ĐS: I   1 4 Trang 127 Gợi ý: Đặt x   2 t Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna III. PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN 1. Phương pháp Thuật toán: b b  Bước 1: Ta biến đổi tích phân ban đầu về dạng : I   f ( x)dx   f1 ( x). f2 ( x)dx a a du  f ‘1 ( x)dx u  f1 ( x)   Bước 2: Đặt :  dv  f2 ( x) v   f2 ( x)dx b b b  Bước 3: Khi đó : I   udv  u.v a   v.du a a Chú ý: Cần phải lựa chọn u và dv hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm được v và tích phân b b  vdu dễ tính hơn  udv . a a THỨ TỰ ƯU TIÊN ĐẶT u : NHẤT – LOG; NHÌ – ĐA, TAM – LƯỢNG; TỨ – MŨ ln x và dv  còn lại. Nếu không ln a có ln; log thì chọn u  đa thức và dv  còn lại. Nếu không có log, đa thức, ta chọn u  lượng Nghĩa là nếu có ln hay log a x thì chọn u  ln hay u  log a x  giác,….cuối cùng là mũ. Ta thường gặp các dạng sau: (Với P  x  là đa thức) b sin x  I   P  x   dx cos x  a I   P  x  e ax  b dx I   P  x  ln  mx  n  dx b sin x  x I    e dx cos x  a  u P  x P x ln  mx  n  sin x    cos x  dv sin x    dx cos x  dv  e ax b dx P  x  dx e x dx Dạng Đặt b b a a – Lưu ý rằng bậc của đa thức và bậc của ln tương ứng với số lần tích phân từng phần. – Dạng mũ nhân lượng giác là dạng tích phân từng phần luân hồi. – Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm, tích phân bằng sơ đồ đường chéo; sử dụng “kĩ thuật chọn hệ số” đã trình bày ở phần nguyên hàm (trang …) 2. Một số bài toán minh họa và các kĩ thuật tính tích phân từng phần Bài toán 1: Tính các tích phân sau:  e 1 2 a) I   x sin xdx. 0 b) I  1  x ln( x  1)dx . 0 1 2 c)  x ln(1  x )dx 0 d) I   x tan 2 x.dx 0 Lời giải:  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 128 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna u  x du  dx  a) Đặt  . dv  sin xdx v   cos x    2  2 Do đó I   x sin xdx   x cos x |02   cos xdx  0  sin x|02  1. 0 0  1 du  dx u  ln( x  1)  x1 .  b) Đặt  2 dv  xdx v  x  1  2 Khi đó : e 1 I  0 e 1 e 1   x2  1  1 e 2  2e  2 1  x2 x ln( x  1)dx  ln( x  1)  ( x  1) dx     x  0e 1    2 0 2 0 2 2 2  2 2 e  2e  2 1 e  4e  3 e 2  1    . 2 2 2 4  2 xdx du  2 u  ln(1  x )  1  x2 . c) Đặt:   dv  xdx v  1 x 2  2 Khi đó: 1 I  x 2 ln 1  x 2 2     1 x x2  1  x 1 x3 ln 2   dx  ln 2   x  x  dx  dx    2 2 0 2 0  1  x2 1  x2  0 1 x 0 1 1 1 ln  1 1  1    x 2  ln 1  x 2   ln 2  . 2 2 2 2 0  1 1  1 1 1 xdx x2 1  1) dx   xdx  I   I1  . d) Biến đổi I về dạng: I   x( 1   2 2 2 0 2 cos x 0 0 cos x    0 I1 u  x du  dx  Tính I1 : Đặt  . dx   v  tan x dv  2 cos x  1 1  Khi đó: I1  x tan x 0   tan xdx  x tan x  ln cos x 0  1 0  tan1  ln  cos1 . 1 Suy ra: I  tan1  ln  cos1  . 2  /4 Bài toán 2: Tính tích phân: I   0 x 2 dx  x sin x  cos x  2 Lời giải:  /4 Ta có: I   0  /4 x 2 dx  x sin x  cos x  2   0 x cos x  x sin x  cos x   https://toanhocplus.blogspot.com 2 . x dx cos x Trang 129 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna  x  cos x  x sin x dx u  cos x du  cos 2 x   Đặt  d  x sin x  cos x    d  x sin x  cos x  x cos x 1 dv  v   dx   2 2 2 x sin x  cos x  x sin x  cos x  x sin x  cos x   x sin x  cos x      /4 x Khi đó: I    x sin x  cos x  cos x  /4   0 0   /4 dx 2 2 4    tan x 0   1 . 2 4  4  4  cos x Nhận xét: Do  x sin x  cos x   sin x  x cos x  sin x  x cos x nên ta tách x2  x sin x  cos x   2 x cos x  x sin x  cos x   /4 Bài toán 3: Cho tích phân I   0 2 . x cos x ln(sin x  cos x)  3 dx    ln  b  . Tính a  2b ? 2 a 2 cos x Lời giải:  /4 I  0 ln(sin x  cos x ) dx  cos 2 x  /4  ln  cos x.(1  tan x )  2 cos x 0  /4 dx  0  /4   ln(cos x ) ln(1  tan x)    dx cos 2 x cos 2 x     0 ln(cos x) dx  cos 2 x  /4  0 ln(1  tan x) dx  I  J . cos 2 x  sin x u  ln cos x  du   cos x dx Đặt  . dv  1 dx , v  tan x  cos 2 x  /4 I  0  ln(cos x) 4  dx  tan x .ln(cos x ) 0 cos 2 x  /4 + Tính J   0  /4  0   1  tan 2 xdx  tan x.ln cos x 04    x  tan x  4   ln 2   1 0 2 4 1 ln(1  tan x) dx. Đặt t  1  tan x  dt  dx. 2 cos2 x cos x Đổi cận: x  0  t  1, x   4 t 2  1 2 1 2 2 2 u  ln t  du  dt  J  ln t dt  t ln t  dt   t ln t  t   2 ln 2  1 J   ln t dt . Đặt  t   1 1 1 1 1 dv  dt , v  t   /4 Vậy  0 ln(sin x  cos x)  3 dx    ln 2  a  4; b  2  a  2b  0. 2 4 2 cos x  /4 Bài toán 4: Tính tích phân  0 ln(sin x  cos x) dx cos 2 x Lời giải:  /4 Ta có:  0 ln(sin x  cos x) dx  cos 2 x  /4  ln  cos x.(1  tan x)  0  https://toanhocplus.blogspot.com 2 cos x  /4 dx  Trang 130  ln(cos x) ln(1  tan x)    dx cos 2 x cos 2 x    0 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna  /4   0  /4 + Tính I  ln(cos x) dx : Đặt cos 2 x  0  /4 I  0 u  ln cos x   1 dx dv  cos 2 x   ln(cos x) 4  dx  tan x .ln(cos x ) 0 cos2 x  0 ln(1  tan x) dx  I  J . cos 2 x   /4 0  1   1  dx x  0   /4 1   tan x.ln cos x 0   x  tan x  4   ln 2   1 0 2 4 tan 2 xdx  tan x.ln(cos x) 04    cos 2 x  0  t  1 ln(1  tan x) 1  dx . t  1  tan x  dt  dx . Đặt Đổi cận: .   2 2 cos x cos x x   t  2  4  /4 + Tính J   /4  sin x dx du    cos x .   v  tan x  /4  ln(cos x) dx  cos 2 x  0  1 2 u  ln t du  dt   J   ln t dt . Đặt  t 1 dv  dt v  t  2 2 2  J  t ln t 1   dt   t ln t  t   2 ln 2  1 1 1  /4 Vậy  0 ln(sin x  cos x)  3 dx    ln 2. 2 4 2 cos x 1 Bài toán 5: Tính tích phân sau: I   0  ln 4 x 2  8 x  3  x  1 3  dx Lời giải: Cách giải thông thường:  8x  8 u  ln 4 x 2  8 x  3 du  4 x2  8 x  3 dx    Đặt  dx 1 3 dv  v   2  x  1  2  x  1   Khi đó: I  0   ln 4 x 2  8 x  3 1 Tính I1    2  x  1  1 1  4 2 0 0 dx  x  1  4 x 2  8x  3   ln 15 ln 3   4 I1 8 2 *  dx  x  1  4x Ta phân tích: 2  8x  3 1   1 A B C    .  x  1 2 x  1 2 x  3  x  1 2 x  1 2 x  3  x  1  4 x  8 x  3   A  2 x  1 2 x  3   B  x  1 2 x  3   C  x  1 2 x  1  1 2 2  *  A  1 1 3 Chọn x lần lượt là các giá trị 1;  ;  thay vào 2 * ta được:  2 2 B  C  1    https://toanhocplus.blogspot.com Trang 131 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna 1 1  1 1 1   1  1 15   dx    ln x  1  ln 4 x 2  8 x  3    ln 2  ln Khi đó: I1     x  1 2x  1 2x  3  2 2 3  0 0 Thay  * *  vào  *  ta được: I  * *  15 3 ln15  ln 3  4 ln 2. 8 2 Cách giải theo “kĩ thuật chọn hệ số”:  8x  8 u  ln 4 x 2  8 x  3 du  2 dx  4x  8x  3    Đặt  dx 1 4 x2  8x  3 3 dv  v    2  2 2  x  1   2  x  1 2  x  1  (v   dx  x  1 3   1 2  x  1 2  C và chọn C  2 ) 1 I 4 x2  8 x  3 2  x  1 3  2 ln 4 x  8 x  3 1   4 0 0 1 dx 15 3 15 3  ln 15  ln 3  4 ln x  1  ln 15  ln 3  4 ln 2. 0 x1 8 2 8 2 b Bài tập: Tính các tích phân sau ( kĩ thuật chọn hệ số C phù hợp để  v.du đơn giản hơn): a 1 I   (2 x  1) ln( x  1)dx ĐS: I  0 1 3  2 ln 2. 2 I   x.ln(2  x 2 )dx 0 ĐS: I  3 1 ln 3  ln 2  2 2 ln 2  I 4 ln(sin x  2 cos x) 5  I dx ĐS: I  3 ln 3  ln 2  2 2 4 cos x 0 e x ln( e x  1).dx. ĐS: I  3ln 3  2 ln 2  1 0 1 3 I   ln  2  x( x 2  3)  dx ĐS: I  5ln 5  4 ln 2  3 I 4  1  I   1  ln( x  x  1)dx 2 x 1 I 0 2 5 x  3 ln( x  2) 9 5 dx ĐS: I  ln 3  4 ln 2  2 2 2 ( x  1) 2 3 ĐS: I  ln 3  ln 2. 2 ln x.dx 2 1 ( x  2) ĐS: I  5ln 5  4  2 I  log 2 (3 sin x  cos x) dx sin 2 x ĐS: I  1  23  ln 2  3 ln 3    ln 2  2 4 4 1 ln(4 x 2  8 x  3) dx  ( x  1)3 0 I ĐS: I  15 3 ln15  ln 3  4 ln 2. 8 2 1 Bài toán 6: Tích phân I   e x sin 2 ( x)dx  0 a 2  e  1  2 b a  1  . Tính a 2  3b ? Lời giải: Cách 1: Cách giải tích phân từng phần thông thường 1 Ta có: I  1 1 1 x 1 1 1 1 1 e  1 I1 e 1  cos  2 x   dx   e x dx   e x cos  2 x  dx  e x  I1    20 20 20 2 0 2 2 2  (*) I1  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 132 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna du  2 sin  2 x  .dx u  cos  2 x  Tính I1 bằng pp từng phần: Đặt   x x dv  e dx v  e 1 1 Khi đó: I1  e x cos  2 x   2   e x sin  2 x  dx  e  1  2 I 2 0 0     1 I2 u  sin  2 x  du  2 cos  2 x  dx Tính I 2 bằng pp từng phần: Đặt:    x x dv  e dx v  e 1 1 Khi đó: I 2  e sin  2 x   2  e x cos  2 x  dx  2 I1 0 0  x  2 I1 Từ (1) và (2) suy ra: I1  e  1  4 2 I1  I1  e 1 4 2  1 4 2  e  1 e 1 e 1    a  4; b  2  a2  3b  10. Thay I 1 vào (*) ta được: I  2 2 4 2  1 2 4 2  1     Cách 2: Cách giải tích phân từng phần theo sơ đồ đường chéo   1 1   1 1 1 1 1 e  1 I1  Ta có: I   e x 1  cos  2 x   dx    e x dx   e x cos  2 x  dx   e x  I1  20 2 0 2 2  2 0 2 0    I1   1 (*) 1 Tính I1   e x cos  2 x  dx bằng sơ đồ đường chéo: 0   1  I1  cos  2 x  e x  2 sin  2 x  e x   0 1 Đạo hàm  4 2  e x cos  2 x  dx Dấu Nguyên hàm 0 1 u  cos  2 x   cos  2 x   2 sin  2 x   e x  4 2 I1 0  e  1  4 2 I1 e 1  I1  4 2  1 Thay vào (*) ta được: I  2 sin  2 x  4 2  e  1   2 4 2  1 4 2 cos  2 x  .    dv  e x ex ex  a  4; b  2  a2  3b  10. Nhận xét: Bài toán trên dùng phương pháp sơ đồ đường chéo cho bài toán tích phân lặp. e/3 Bài toán 7: Tính tích phân: I    2x  1 ln  3x  dx 3 1/3 Lời giải: Cách 1: Cách giải từng phần thông thường  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 133 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna  3 ln 2  3x  u  ln 3  3x  du  dx  Đặt:  x dv   2 x  1 dx v  x 2  x  e/3 e2 e  I  x  x ln  3 x   3   x  1 ln  3 x  dx    3 J 1/ 3 9 3 1/ 3   2 e/3 3 2  2 ln  3 x  2 du  dx   u  ln 3 x     2 x  Tính J    x  1 ln  3x  dx . Đặt :  2 1/ 3 dv   x  1 dx v  x  x  2 e /3 e/3 e/3  x2  e2 e  J    x  ln 2  3x     x  2  ln  3x  dx   K 18 3  2  1/3 1/ 3  dx du  x u  ln  3 x   Tính K    x  2  ln  3 x  dx . Đặt:  2 dv  x  2 dx   1/3 v  x  2 x   2 e/3 e/3 e /3 e /3  x 2    x  e 2 2e  x2 e 2 25  K    2 x  ln  3 x       2  dx      2x    18 3  4    1/ 3 36 36  2  1/3 1/ 3  2 I  e2 e  e2 e  e 2 e e 2 25  e 2 2e 25 e2 e e2 e   3J    3   K     3       . 9 3 9 3  18 3  9 3  18 3 36 36  36 3 12 Cách 2: Cách giải theo sơ đồ đường chéo Chuyển Đạo hàm (Chia) u Dấu ln 3 3x  3 x 3 ln 2 3x x ln 2 3x 2 x 1 x Nhận hàm  dv  (Nhân) 2x  1 x2  x   3×2  6x 2 1 3 x6 2 1 x 3×2  6x 4 0  https://toanhocplus.blogspot.com 2 x 3x  6 1 x  3 x 3x  3 3×2  3x 2 2 ln 3x x ln 3x Nguyên Trang 134 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna e /3    3x 2   3×2  3×2  3x   ln 3x   6x    6x Kết quả: I  ln 3 3x x 2  x  ln 2 3x   2   2  4   1/ 3    e 2 e   e 2   1   e2  e2  e 2 2e 25        e     2 e    2 e      2     .  9 3   6   12  36 3 12  6  12 Chú ý: Nếu các em không nhớ kiến thức về kĩ thuật chọn hệ số và tích phân từng phần bằng phương pháp đường chéo thì các em có thể xem lại kiến thức này đã trình bày ở phần nguyên hàm. 3. Bài tập tự luyện Bài tập 1: Tính các tích phân sau (dạng tích phân từng phần cơ bản):  4 xdx I 2 0 cos x 1 I 0 2  2 ĐS: I   ln 4 2 3x  1 dx e2x ĐS: I  I 1 1 5 11  4 4e 2 I 0  I   x.sin 2 xdx ĐS: I  0 ln( x + 1) dx ( x + 2)2 ln 2 I e x 0 x dx  ex  2 ĐS: I  ĐS: I  4 2 4 I 16 0 I= ĐS: I  5 3 ln 2  2 2 x1 dx e2x ĐS: I  3  5e 2 4 ln(cos x) dx cos2 x ĐS: I  ln  2 1 x2  1 ln xdx x2 0 3 5 ln 2  ln 3 3 I   2 x (3x  1)dx 2 x I   ( x  2 x)e dx 5 ln 2  ln 3 3 0 e  1 2   I   cos(ln x)dx ĐS: I   2 ĐS: I  e I   e x cos 2 xdx 0 ĐS: I  0 1 I   e x sin 2 ( x)dx ĐS: I  0 1 I   x ln( x 2  x  1)dx ĐS: I  0 52 12  2 ln 2 ln 2 e 1 2 ĐS: I  2   1 2 4 2 2 ( e  1) 1  4 2 I 3  3 ln 3  4 12 I 1 0 e 1 e2 2 5 x.ln( x  1  x 2 ) dx ĐS: I  2 ln(1  2)  1 1  x2 x2  2x  3 ln xdx x2  2x  1 ĐS: I  3e  1 e 1  2 ln e 1 2 Bài tập 2: Tính các tích phân sau (tách ra 2 tích phân A và B, với A sử dụng đổi biến, B sử dụng từng phần):  e e 2 13  1  ln x  I   ĐS: I  x  ln xdx x  4 12 1 2 I   x.( x  1  ln x)dx ĐS: I  1  e x ( x  e x  1)dx ĐS: I  2 ln 2  0  https://toanhocplus.blogspot.com 1 3 ĐS: I    11 6 ĐS: I  1  ln 2 5 0 16 3  2 ln 2  15 4 ln 2 I 2 I   (sin 5 x  2 x)cos xdx 1  x4  I    xe x  5  dx x 1 0 e   e 2 19  8 2 1 I    x  ln xdx ĐS: I   4 12  1  x 1  ln x Trang 135 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn 0 I   x( e 2 x  x  1) dx ĐS: I  1 https://facebook.com/duytuan.qna 1 3 31  4 e 2 60 I   x( e x  x 2  1)dx ĐS: I  2 2 2 3 ĐS: I  22  6 3 3 0  e 4 2 I   ( x  2  tan x)sin xdx ĐS: I  2  0 1 I   ( 1  3x 2  e x )xdx ĐS: I  0 8 0 16 9 I e ln x  x 2 ln( x 2  2) dx x 1 I ĐS: I  2 ĐS: I  I   x( x  1  ln x)dx  3  ln x  I    2 ln x  dx   x 1   2 1 x2  x  1 ln(1  x)dx 1 ĐS: I  2 ln 2  ln 2 2 5  2 4 e2  2 3 ln 3 e 2  2 ln( e 2  2)   2 2 2 8 3 4 2 3   2 ln 2  5 15 4  2  1  I   x 2  sin 2 x  dx  0  x 1 1 2 4 2 1   ĐS: I  ln 2 4 16 4 e  ln x  I    3x 2 ln x  dx  1  x 1  ln x ĐS: I  5  2 2  2e 3 3 Bài tập 3: Tính các tích phân (Sử dụng đổi biến trước, rồi tính tích phân từng phần sau):   2 cos x ln(sin x) I dx sin 2 x  2 ĐS: I  1  2ln 2 I   sin 2 x ln(1  cos 2 x)dx 6 3 1 I 27 I  sin 3 ĐS: I  3  6 xdx   2 0 I 4 2  (tan 3 x  tan x )dx ĐS: I  0  2 1   4 tan x ln(cos x) I dx cos x 0 e 1 0 ĐS: I    2 cos 1  xdx 2 16 e 1 ĐS: I  2 2 I   e sin x sin x cos3 xdx   1 0 I ĐS: I  2 ln 2  1 0 3 2 x 1  ln ( x  1) dx x2  1 e 2 3 2 ln 2 ĐS: I  2  1  2 1 x I   ln( 1  ln x  ln x) dx ĐS: I  I  ln(tan x) dx cos 2 x ĐS: I  3 ln 3  3 1 2 4 1 ln 4 ( e 2  2e  2) ln( e 2  2 e  2)  2 8 ĐS: I  ln( 2  1)  1  2 1 Bài tập 4: Tính các tích phân sau (loại phân số hỗn tạp): e ( x 3  1) ln x  2 x 2  1 I dx 2  x ln x 1 ĐS: I  e3  1 e2  ln 3 2  4 I 0 x sin x  ( x  1)cos x dx x sin x  cos x  https://toanhocplus.blogspot.com ĐS: I   2    ln   1  4    2  4  Trang 136 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna  2 ( x  1)(sin x  cos x)  cos x dx ( x  1) sin x  cos x 0 I ĐS: I   2  ln  2 2   2 I   1     ln   1  4  2   2 2 x cos x  ( x  2) sin x dx x cos x  sin x ĐS: I  x  1  ( x 2  1) ln x dx 1  x ln x ĐS: I  e2  1  ln( e  1) 2 2 x 3  1  ( x 4  1) ln x dx 2  x ln x ĐS: I  e2  1 e2  ln 4 2 ln 2 x  x(2 ln x  1)  2 x 2 dx ( x ln x  x2 )2 ĐS: I  2e 2  1 e2  e x sin x  ( x  1)sin 2 x dx 2 cos x  1 ĐS: I  I  x 2  1  2 sin x  4 cos 2 x dx 2 cos x  x ĐS: I   4 e I 1 e I 1 e I 1  3 I 0 3 1  1 3   ln 2 6 2 2  2 I 0 2 8  ln  4 2 e (2 x 2  3) ln x  2 x  3 dx x ln x  1 1 ĐS: I  e 2  1  3 ln( e  1) I  sin 2 x  sin x  x 2 2  I dx ĐS: I   1  ln x  cos x 8 2 0 2 1 I 0 x3 e x  2 x( e x  1) dx x2  2 1 x  ln( x  1) I dx ( x  2)2 0 ĐS: I  1  ln 1 x 2 e 2 x  3xe x  e x  1 I dx ĐS: I  2  ln( e  1) xe x  1 0 e 3 2 I 1 ( x 2 e x  2 x  1)e x dx xe x  1 0 I 2 1 7 (ln x  1) x  3 ln x dx ĐS: I   ln 2 3 2 2 6 x  3x 1 1 I I 1 0 x2  e x  2 x 2 e x dx 1  2e x ĐS: I  0 1 1 2e  1  ln 3 2 3  https://toanhocplus.blogspot.com ĐS: I  e  ln( e  1) 1 2 1 ĐS: I  ln 2  3 3 I 1  x 2 ln x dx x  x 2 ln x 1 I Trang 137 0 ĐS: I  1  ln( e  1) 2 xe x  1 dx 1  x2e x ĐS: I  ln( e  1)  1 x2  e x x  x dx ( x  1)e x 2  ĐS: I  3   e 2 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna C. TÍNH TÍCH PHÂN CÁC DẠNG HÀM SỐ THƯỜNG GẶP Đối với những dạng hàm số khác nhau sẽ có những hướng đi khác nhau, cho nên trong phần này thầy sẽ chia ra một số dạng hàm số thường gặp để các em khi gặp một bài toán tích phân bất kỳ nào sẽ có cách giải kết hợp với các phương pháp ở phần B để tìm ra nhanh lời giải. I. HÀM HỮU TỈ 1. Phương pháp  P( x)  dx với P ( x ) và Q( x) là các đa thức không căn.  Q( x ) Bài toán tổng quát: Tính tích phân I    PP  Xem xét mẫu số , ta có các trường hợp Nếu bậc của tử số P( x )  bậc của mẫu số Q( x)  phổ biến sau:   1  axA b dx  Aa ln ax  b   Aa ln aa  bb    2     1 A A 1  Quay Ve   0 : I   dx     1     a  x2  x1    x  x2 x  x1    a  x  x1  x  x2       A Adx A I 2   …  2.1   0 : I   2 a  x  x0   ax  bx  c  a  x  x0       dx A A  §Æt x  x0  k tan t   0 : I  A  I  dt  t  =…  2.2      2    t  ;  a   x  x   k2 ka  ka 2 2   o   3    C  x  x1   D  x  x2  1  C D  Quay Ve   0 : I  dx     1    dx    a   x  x2 x  x1  a  x  x1  x  x2       Ax  B 1 A  x  x0   C   0 : I  dx   dx  2  a  a  x  x 2  a  x  x0  0      Ax  B 1  A C   dx   1 &  2.1 I 2 dx    2   a x  x ax  bx  c   0  x  x0       k ax 2  bx  c   h  d ax 2  bx  c   dx dx  k   h 2   0 : I   2 2 ax  bx  c ax  bx  c    ax  bx  c     ln ax 2  bx  c  TH  2.2          4  Q  x  có bậc lớn hơn 2, ta thực hiện giảm bậc ( bằng cách đổi biến, tách ghép, nhân, chia,…) để đưa bài toán về các trường hợp  1 ,  2  ,  3  .  PP  Chia đa thức (đã học ở lớp 8). Nếu bậc của tử số P( x )  bậc của mẫu số Q( x )     R  x  R  x  I : TÝch ph©n c¬ b¶n I   H  x  dx  I1  I 2  1 dx   H  x  dx   Q  x     I 2 : Quay vÒ Th bËc tö b. 3 2  f  x  dx  2 0 D. 1 . dx  e. Mệnh đề nào sau đây là đúng? Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna 1 A. 1  f  x  dx  1. B. 0 e  f  x  dx  e. C. 0 e  f  x  dx  1. D. 0  f  x  dx  e. 0 1 dx    bằng cách đặt x  tan t , t    ;  , mệnh đề sau đây đúng? 2  2 2 0 1 x Câu 73. Tính tích phân I      4 4 4 dt . 2 0 1 t dt . t 1 B. I   A. I    4 C. I   dt . 0 D. I   tdt . 0 2 Câu 74. (Đề minh họa lần 3-Bộ GD&ĐT) Tính tích phân I   2 x x 2  1dx bằng cách đặt u  x 2  1 , 1 mệnh đề nào dưới đây đúng? 3 A. I  2  udu . 0 2 3 B. I   udu . C. I   udu . Câu 75. Tích phân I   1 8 ln x  1 dx bằng: x A. 2 . B. 13 . 6 1 2 6 . B.  4 3 . 4 3 D. ln 3  . 5 dx là: 1  x2 0  C. ln 2  1 Câu 76. Giá trị của tích phân I   A. 0 1 e 2 1 D. I   udu . 21 . C.  3 . D.  2 .. 1 Câu 77. Tích phân I   x 2 x 3  5dx có giá trị là: 0 A. 4 10 6 3. 3 9 B. 4 10 7 5. 3 9 C. 4 10 6 5. 3 9 D. 2 10 6 5. 3 9 2 Câu 78. Tích phân  4  x 2 dx có giá trị là: 0 A.  4 . B. 2 Câu 79. Cho tích phân I  x 0 2  2 .  3 D.  . . 1 dx . Khẳng định nào sau đây đúng? 2  24 dt . A. I  2 0 C.   24 tdt . B. I  2 0 4  C. I  2  dt . 2 4 dt D. I  . 2 0 t C. S  10  4 3 . D. S  0  3 Câu 80. Biết I    dx 1   (ln a  ln b) . Tính S  a  b sin x 2 6 A. S  10  4 3 . B. S  22 4 3 . 3  /4 Câu 81. Cho hàm số f(x) liên tục trên R và  1 f (tan x)dx  4 ; 0  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 196 22 4 3. 3 x 2 f ( x) 0 x2  1 dx  2 . Tính tích phân 1  f ( x)dx 0 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn A. 6. https://facebook.com/duytuan.qna B. 2. C. 3. 9 Câu 82. Cho hàm số f(x) liên tục trên R ; có  f ( x) x 1 A. 2. D. 1.  /2  4 và 3 f (sin x) cos xdx  2 . Tính  0 B. 6.  f ( x)dx 0 C. 4. D. 10.  1 Câu 83. Cho  0 4 f  x dx  2 . Giá trị của I   f  cos 2 x  sin x cos xdx bằng: 0 1 A. . 2 B. 1 . 4 1 C.  . 2 1 D.  . 4 Câu 84. Cho hàm số f  x  liên tục trên  và thoả mãn f  x   f   x   2  2 cos 2 x , x   . Tính 3 2 I   f  x  dx. 3 2 A. I  6 . B. I  0 . C. I  2 . D. I  6 . 4 Câu 85. (Đề minh họa lần 2-Bộ GD&ĐT) Cho  0 A. I  32 . 2 f  x  dx  16 . Tính tích phân I   f  2 x  dx. 0 B. I  8 . C. I  16 . 2 Câu 86. (Chuyên Lào Cai) Tính tích phân   x  1 2 D. I  4 . x 2017 dx được kết quả là 0  4 1 1  A. 2 2017    .  2020 2019 2018   4 2 1  C. 2 2018    .  2020 2019 2018  B. 33 22018 . 3 2018  4 4 1  D. 2 2018    .  2020 2019 2018   x sin x dx là: 2 0 1  cos x Câu 87. Giá trị của tích phân: I   A. 2 . 2 B. 2 6 . C. 2 8 2 . D. 3 . 4 D. I  4 .  2 Câu 88. Giá trị của tích phân I   0 A. I   2 . sin 2007 x dx là sin 2007 x  cos2007 x B. I   4 . C. I  5 . 4 2 Câu 89. Giá trị của tích phân I  2  6 1  cos 3 x .sin x.cos 5 xdx là 1 A. 21 . 91 B. 12 . 91 C. 21 . 19 D. 12 . 19  xdx là sin x  1 0 Câu 90. Giá trị của tích phân I   A. I   4 . B. I   https://toanhocplus.blogspot.com  2 . C. I  Trang 197  3 . D. I   . Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna 2 Câu 91. Tích phân  4  x 2 dx có giá trị là 0 A.  4 . B.  2 . C. 8 Câu 92. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên  và  2 A. 10  3 D.  . . 3 3 f ( x)dx  10 . Tính I   f (3 x  1)dx 21 B. 20 C. 5 D. 30 1 Câu 93. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên  và  f (2x  1)dx  3 . Đẳng thức nào sau đây là đúng. 0 1 A.  f ( x  1)dx  1 1 3 2 B.  f ( x  1)dx   1 a Câu 94. [Lương Thế Vinh lần 1]. Biết e a A. T  10 . 3 B. T  1 3 2 1 C.  f ( x  1)dx  6 D.  f ( x  1)dx  6 1 1 2 x 1 dx  9 , a   . Tính giá trị của biểu thức T  a  . a 1 x 5 . 2 C. T  0. D. T   10 . 3  2 x Câu 95. Đặt I   e cos 2 xdx. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? 0   x x A. I  e sin 2 x 02   e sin 2 xdx B. I  0    2 2 1 x e sin 2 x   e x sin 2 xdx 2 0 0 2    2 1 x 12 x C. I  e sin 2 x   e sin 2 xdx 2 20 0 12 x x D. I  e sin 2 x 02   e sin 2 xdx 20 Câu 96. [Sở Lâm Đồng] Cho hàm số y  cos x có đạo hàm liên tục trên K (K là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng của ) thỏa mãn hệ thức  f ( x)sin xdx   f ( x)cos x   cos x. x dx. Hỏi y  f ( x) là hàm số nào trong các hàm số sau. A. f ( x)  x ln  x B. f ( x)   ln  x C. f ( x)   ln  D. f ( x)   x ln  1 Câu 97. [Đề minh họa lần 3 -BGD] Cho hàm số f  x  thỏa mãn   x  1 f ‘  x  dx  10 và 0 1 2 f  1  f  0   2 . Tính I   f  x  dx 0 A. -12. B. 8 C. 12. D. -8. 3 Câu 98. Cho f  x  là hàm lẻ, liên tục trên R. Khi đó  f  x dx có giá trị bằng? 3 A. 0. B. -6. C. 6. D. 9. 3 3 Câu 99. Cho f  x  là hàm chẵn, liên tục trên R và  f  x dx  6 . Khi đó 0 A. 0 B. 6  https://toanhocplus.blogspot.com C. 6 Trang 198  f  x dx có giá trị bằng? 0 D. 3 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna 4 2  f  x  dx  16 . Tính I   f  2 x  dx Câu 100. [Đề thử nghiệm lần 2 – Bộ giáo dục]. Cho 0 A. 32 Câu 101. Cho 0 B. 16 C. 8 2 4 4 2 2 2 D. 4  f  x  dx  1,  f  t  dt  4 . Tính  f  y  dy A. -5. B.5 C.3. D.-3.  2 Câu 102. Đổi biến t  1  3 cos x thì tích phân I   0 2 sin 2 x  sin x 1  3 cos x 2 1 A. I   4t 2  2 dt 91 2 C. I   1 B. I   4t 2  2 dt 31  2 1 2t 2  4 dt  91  dx được viết lại  D. I    1 4t 2  4 dt  91     Câu 103. Cho hàm số f  x  thỏa mãn: f ‘  x   2  cos 2 x và f    2 . Mệnh đề nào dưới đây sai? 2 sin 2 x  A. f  0    B. f  x   2 x  2 sin 2 x    C. f  x   2 x  D. f     0 2  2  4 Câu 104. Cho I   0 x cos x b c dx  ln( a   )  ln 2 , với a , b , c   , tối giản. Khi đó a  b  c =? x sin x  cos x c d A. a  b  c  11. B. a  b  c  10 C. a  b  c  9. D. a  b  c  8  1 Câu 105. Cho hàm f ( x) liên tục trên  và  1 3 A. I = 8 3 2 f (3x)  2 và  0 B. I = 4 f (sin x) cos xdx  2 . Tính I   f ( x)dx . 0 C. I = 8/3 D. I = – 2  sin 2018 x dx 2018 x  cos 2018 x 0 sin 2 Câu 106. Tính tích phân I   A. I   2 B. I  .  4 C. I  .  6 . D. I   8 .  4 Câu 107. Biết   ln(1  tan x)dx  a ln b , a   , b   * * . Tính giá trị của a.b 0 A. a.b = 16. B. a.b = 18 C. a.b = 12. D. a.b = 10.     Câu 108. Biết F ( x) là một nguyên hàm của f ( x) trên  0;  , thỏa mãn F( )  2 và 4  4 4 F ( x) dx  4 2 x  cos 0  4 . Khi đó tích phân  tan x. f ( x)dx có giá trị: 0 A. – 2 B. -4  https://toanhocplus.blogspot.com C. -1 Trang 199 D.-3 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn 1 Câu 109.  3 x  2x  2 https://facebook.com/duytuan.qna dx bằng 0 4 10 3 4 10 3 4 10 3 4 10 3         . B. . C. . D. . ln 3 ln 6 2 ln 2 ln 3 ln 6 2 ln 2 ln 3 ln 6 2 ln 2 ln 3 ln 6 2 ln 2 A. 2 Câu 110.  x  x  1 2 dx bằng 0 1 1 A. 11 . B. 11 . 4 3 2  x  1 x  2  x  3  dx bằng Câu 111.  x2 1 21  11.ln 2 . 3 A. 1 Câu 112.  1  3x  3 2 B. 11  1 C. 11 . 5 21 ln 2 . 2 C. 1 D. 11 . 2 21  11.ln 2 . 2 D. 1  2.ln11 . 12 dx bằng 0 1 A. 5 . 4 B. 4 1 2 Câu 113. 1 . 25 2 C. 14 . 5 D. 4 2 . 15 2  1  x  dx bằng 3 1 2 A. 3 10 3 3 4 3  9 1 . B. 3 10 3 3 5 3  7 1 . C. 3 4 3 3 10 3  52 . D. 3 10 3 3 2 3  6 8 . 1 2 Câu 114. x2  x  1 0 x  1 dx bằng. A. 1 3  ln . 8 2 m Câu 115. Nếu B. 1 1 2  ln . 8 3 C. 1 3  ln . 8 2 D. 1 3  ln . 3 8 thì m bằng.  x  x  1 dx  ln 2 0 m  2 A.  . m  2  5  m  2 B.  . m   2  5  m  2 C.  . m  2  5 m  2 D.  . m   2  5 C.  3 39 . D. C. 9  3ab . D. 3  ab . m Câu 116. Nếu 2  x dx  4 thì m bằng. 3 A. 3 B.  3 39 . 39 . 39 . b Câu 117. Nếu b  a  3 thì  x 2 dx có giá trị bằng. a A. 3  ab . B. 9  3ab . m Câu 118. Tích phân e 0  dx bằng 1 x   A. m  ln e m  1  ln 2 .  https://toanhocplus.blogspot.com  B. m  ln e m  1  ln 2 . Trang 200 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn  https://facebook.com/duytuan.qna   C. m  ln e m  1  ln 2 . e x 1  x  m Câu 119. Tích phân  1  xe x 0  D. m  ln e m  1  ln 2 . dx bằng A. ln 1  me m . B. ln 1  me m . D. ln 3  me m . C. ln 3  me m . 1 Câu 120. Tích phân 1  x 2 dx bằng  0    2 2 2 A.   sin 2 t.dx . B.  sin 2 t.dx . 0 a 2 Câu 121. Tích phân D. 0 2  cos t.dx . 0 với a  0 bằng 2 a  x2 0 2 C.   cos2t.dx . 0 dx       4 3 6 12 A.  dt . B.  dt . C.  dt . 0 0 3 5 Câu 122. Tích phân dx    34 A.  dt . 5 6 x  0 3 3 4 1  x   2 6 6 dx bằng 4  3 54 D.   dt . 3 2 3 6  34 C.   dt . 5 6 Câu 123. Tích phân 0  54 B.  dt . 3 3  dt . bằng 9  x2 25 3 5 D. 0 3  4  3 3  1 6  3 4   A. 3  t  2t  1 dt . B. 3  t  2t  1 dt . C. 3  t  2t  1 dt . D. 3  t 6  2t 3  1 dt . 1 6 1 1 1 1 0 Câu 124. Tích phân x 3 1  xdx bằng 1 1  6 1 1 B.  t 6  t 3 dt . 30  3 A. 3 t  t dt . 0 e3 Câu 125. Tích phân x ln 2 x ln x  1 1 2    0  x x1 2  1 e x 1 ln x  2  ln x  2     D. 3  t 6  t 3 dt . 0 2   C. 2  t 4  2t 2  1 dt . 1 2   D. 2  t 4  2t 2  1 dt . 1 dx bằng A. 3  t 2  1 dt . Câu 127.  1 3 2  B. 2  t 4  2t 2  1 dt . 1 Câu 126. Tích phân  dx bằng 2 A. 2  t 4  2t 2  1 dt .  1 C.  t 6  t 3 dt . 30  2  B. 3  t 2  1 dt . 1   C. 2  t 2  1 dt . 1 2   D. 2  t 2  1 dt . 1 dx bằng  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 201 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn A. https://facebook.com/duytuan.qna 1 5  ln . 6 6 1 5 B.   ln . 6 6 1 3 C.   ln . 3 2 1 3 D.   ln . 3 2  3 Câu 128. dx  cos x 1  tan x  2 bằng 0 1 3 A.  0 1 3 dt . t B.   0 1 3 dt . t C. 2  0 1 3 dt . t D. 2  0 dt . t  4 Câu 129. 2x  1 dx bằng 2 x  cos 0  A.  4  d  cos x  4  1  2 cos x 0 . B.  4 4  1  2  d  cos x  cos x 0 . C.  2  d  cos x  4  1  2 cos x 0 . D.  2 4  1  2 d  cos x  cos x 0 .  2 Câu 130.   x  2  sin 2xdx bằng 0   2  12 B.  2   cos 2 xdx . 2 20  1 A.  2   cos 2 xdx . 2 20   12 C.  2   cos 2 xdx . 2 20 12 D.  2   cos 2 xdx . 2 20    4 Câu 131.  x cos xdx bằng 0  A.  2 18  4  3  sin xdx . B.  2 8 0  4   sin xdx . C.  2 3 0  4   sin xdx . D. 0  2 4 4   sin xdx . 0 0 Câu 132.   2x  3 e x dx bằng 1 0 0 A. e  3   e  x dx . 1 0 B. e  3  2  e  x dx . 1 0 C. e  3   e  x dx . 1 D. e  3  2  e  x dx . 1 1 Câu 133.   x  2 e 3x dx bằng 0 1 A. 2  e3 1 3x   e dx . 5 30 1 B. 2  e3 1 3x   e dx . 3 30 1 C. 2  e3 1 3x   e dx . 5 30 1 D. 2  e3 1 3x   e dx . 3 30 ln 2 Câu 134.  xe 2 x dx bằng 0 ln 2ln2 1 A. e . ln 2ln2 1 B. e . C. e ln  ln 2 1 ln ln2 1 D. e . . e Câu 135.  x ln xdx bằng A. 2 3 3 21 e   x dx . 3 21 1 e e B. 3 3 2 12 e   x dx . 2 31  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 202 e C. 2 3 2 12 e   x dx . 3 31 e D. 3 3 3 21 e   x dx . 2 21 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna e Câu 136. x 2 ln xdx bằng 1 e e e3 1 2 A.  x dx . 6 3 1 e3 1 2 B.  x dx . 2 3 1 e e e3 1 2 C.  x dx . 3 3 1 e3 1 2 D.  x dx . 9 3 1 1 Câu 137.  ln  2x  1 dx bằng 0 1 1  1  dx . A. ln 3    1  2 x  1  0  1  dx . B. ln 3    1  2 x  1  0 1 C. 1 3  1  ln 3    1  dx . 2 2 x  1  0 D. 3  1  ln 3    1  dx . 2 2 x  1  0  2 Câu 138.  cos x.ln  sin x  dx bằng  4 2 2 2 ln 1 . 2 2 2 A. 2 2 2 ln 1 . 2 2 2 B.  2 2 2 2 2 2 ln 1 ln 1  .D. . 2 2 2 2 2 2 C.  b Câu 139. Cho 0  a  1  b , khi đó x 2  x dx bằng a 1  b   1  A.   x 2  x dx   x 2  x dx . a 1 1 C.  a B.  b  a 1  x 2  x dx   x 2  x dx .    1   b   D.   x 2  x dx   x 2  x dx . 1 a 2 Câu 140. Cho hàm số f  x  liên tục trên  , 1 3 3  f  x  dx  3,  f  x  dx  5 . Biểu thức  f  x  dx  bằng 1 A. 3 .  b x 2  x dx   x 2  x dx . 1 B. 8 . 2 D. 15 . C. 2 . 2 Câu 141. Tìm hai số thực A , B sao cho f ( x)  A sin  x  B , biết rằng f ‘(1)  2 và  f ( x)dx  4 . 0  A  2  A.  2. B     A  2  B.  2. B      A  2  C.  2 . B    2 Câu 142. Giá trị của a để đẳng thức 4 2 3  a  (4  4a)x  4 x  dx   2 xdx là đẳng thức đúng 1 A. 4. Câu 143. Giá trị của tích phân I   0 A.  4a 2 B. 3. a . B.  2 A   D.  . B  2  C. 5. D. 6. dx ( a  0) là x  a2 2 2 4a  https://toanhocplus.blogspot.com C.  . Trang 203 2 4a . D.   4a . Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna  3 cos x Câu 144. Giá trị của tích phân I   2  cos 2 x 0 A.  4 2 .  B. 2 2 dx là . C. 4 2 . D.  2 . 1 dt . Tích phân nào sau đây có giá trị bằng với giá trị của tích phân đã cho. 2 x 1 t Câu 145. Cho I   x 1 x x dt A.   . 2 1 1 t dt B.  . 2 1 1 t 1 x dt C.  . 2 1 1 t dt . 2 1 1 t D.    2 Câu 146. Giá trị của tích phân I    1 ln(sin x)dx là sin 2 x 6 A  3 ln 2  3   3 . B. 3 ln 2  3  2   3 . C.  3 ln 2  3   3 . D.  3 ln 2  3   3 .  Câu 147. Giá trị của tích phân I   min 1, x 2 dx là 0 A. 4 . B. 3 . 4 3 Câu 148. Giá trị của tích phân I  x 8 2 A. ln . 3 C. dx 1 x a 1 D.  3 . 4 dx là B. 2 . Câu 149. Biết I   4 . 3 C.  ln 2 . D. 2 ln 2 . x 3  2 ln x 1 dx   ln 2 . Giá trị của a là 2 2 x A. 2. C.  . B. ln 2 .   2 2 D. 3. sin 2 x dx . Khẳng định nào sau đây là sai ? 2 0 (sin x  2) Câu 150. Cho I1   cos x 3sin x  1dx , I 2   0 A. I1  14 . 9 3 3 C. I 2  2 ln  . 2 2 B. I1  I 2 . 3 2 D. I 2  2 ln  . 2 3 m Câu 151. Tất cả các giá trị của tham số m thỏa mãn   2 x  5 dx  6 là 0 A. m  1, m  6 . B. m  1, m  6 . C. m  1, m  6 . D. m  1, m  6 .  Câu 152. Cho hàm số h( x)  2 sin 2 x a cos x b cos x I  h ( x )   . Tìm để và tính 0 h(x)dx (2  sin x)2 (2  sin x)2 2  sin x 2 3  2 ln . 3 2 1 3 C. a  2, b  4; I    4 ln . 3 2 2 3 B. a  4, b  2; I    2 ln . 3 2 1 3 D. a  2, b  4; I   4 ln . 3 2 A. a  4, b  2; I   https://toanhocplus.blogspot.com Trang 204 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Câu 153. Giá trị trung bình của hàm số y  f  x  trên  a; b  , kí hiệu là m  f  được tính theo công b thức m  f   A. 4 1 f  x  dx . Giá trị trung bình của hàm số f  x   sin x trên  0;   là b  a a .  B. 3  . C. 1  . D. 2  .  1 2 4 dx 21 ; J   sin 4 x  cos 4 x dx ; K   x 2  3 x  1 dx . Tích phân nào bằng ? 2 3x  1 1 0 0  Câu 154. Cho I   A. K.   B. I. C. J. a Câu 155. Với 0  a  1 , giá trị của tích phân sau x 2 0 A. ln a2 . 2a  1  B. ln D. J và K. dx dx là:  3x  2 a2 . a1 C. ln a2 . 2  a  1 D. ln a2 . 2a  1 1 4×3 dx  0 . Khi đó giá trị của 144m2  1 bằng 4 2 ( x  2) 0 Câu 156. Cho 2 3m   2 3 2 3 . D.  . 3 3 Câu 157. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [ a ; b] và có đạo hàm liên tục trên  a; b  , đồng thời thỏa A. 2 . 3 B. 4 3  1 . C. mãn f ( a)  f (b) . Lựa chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau b A. b  f ‘( x).e f ( x) dx  2 . B. a b  f ‘( x).e f ( x) dx  1 . C. a b  f ‘( x).e f ( x) dx  1 . D. a 5 Câu 158. Kết quả phép tính tích phân I   1 dx f (x) dx  0 . a có dạng I  a ln 3  b ln 5 ( a , b   ) . Khi đó x 3x  1 a 2  ab  3b 2 có giá trị là A. 1. B. 5.  f ‘( x).e C. 0. D. 4.  2 n Câu 159. Với n   , n  1 , tích phân I    1  cos x  sin xdx có giá trị bằng 0 A. 1 . 2n B. 1 . n1 C. 1 . n1 D. 1 . n  2 Câu 160. Với n   , n  1 , giá trị của tích phân  0 A.   4 . B.  4 n n sin x cos x  n sin x . C. dx là 3 . 4 D.  3 . 4 2017  Câu 161. Giá trị của tích phân  1  cos 2xdx là 0 A. 3034 2 . B. 4043 2 . C. 3043 2 . D. 4034 2 .  2  (1  sin x)1cos x  Câu 162. Giá trị của tích phân  ln   dx là  1  cos x  0  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 205 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn A. 2 ln 3  1 . https://facebook.com/duytuan.qna B. 2 ln 2  1 . D. 2 ln 3  1 . C. 2 ln 2  1 . b Câu 163. Có mấy giá trị của b thỏa mãn  (3x 2  12 x  11)dx  6 0 A. 4. B. 2. b C. 1. D. 3. a Câu 164. Biết rằng  6dx  6 và  xe x dx  a . Khi đó biểu thức b 2  a 3  3a2  2a có giá trị bằng 0 0 A. 5. B. 4. Câu 165. Biết rằng x 0 C. 7. D. 3. b a 2 dx B  A ,  2dx  B (với a , b  0 ). Khi đó giá trị của biểu thức 4 aA  bằng 2 2 b a 0 B.  . A. 2 . C. 3 . D. 4 . 1 Câu 166. Cho f ( x), g( x) là các hàm số có đạo hàm liên tục trên 0; 1 và  g( x) f ‘( x) dx  1 , 0 1 1 ‘  g ‘( x) f ( x) dx  2 . Tính I    f ( x)g( x) dx . 0 0 A. I  3 . B. I  1 . C. I  1 . D. I  2 . 3 Câu 167. Cho f ( x), g( x) là các hàm số liên tục trên 1; 3  và thỏa mãn   f ( x)  3g( x) dx  10 , 1 3 3 .   2 f ( x)  g( x)  dx  6 . Tính . I    f ( x)  g( x)  dx 1 1 A. I  6 . C. I  8 . B. I  7 . D. I  9 . 10 Câu 168. Cho hàm số f  x  liên tục trên  0;10  và thỏa mãn 4  f ( x)dx  7 ,  f ( x)dx  3 . Tính I  0 2 2 10  f ( x)dx   f ( x)dx . 0 4 A. I  3 . Câu 169. Biết B. I  2 . C. I  1 . D. I  4 . 1 2 2  2 f ( x)dx  6 ,   2 f ( x)  g( x) dx  5 ,   3 f ( x)  g( x) dx  35 .Tính I   f ( x)dx . 0 A. I  2 . 0 2 0 B. I  3 . 1 C. I  5 . D. I  6 . 1 2 Câu 170. Cho hàm số chẵn f ( x) liên tục trên R và thỏa mãn  2 A. I  1 . 2 B. I  2 . f ( x)dx  2 .Tính I   f (2 x)dx . 0 C. I  4 . 0 2 B. I  10 . 3 3 Câu 171. Cho hàm số lẻ f ( x) liên tục trên R và  f ( x)dx  15 và A. I  10 . D. I  1 .  2 C. I  20 . f ( x)dx  5 . Tính I   f ( x)dx . 0 D. I  20 . 2 Câu 172. Cho hàm số f  x  liên tục trên R và thỏa mãn  1 f ( x)dx  3 . Tính I  0 A. I  3 . 2 B. I  3 .  https://toanhocplus.blogspot.com C. I  2 . Trang 206  f  2 x  dx . 1 D. I  2 . 3 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna 1 Câu 173. Cho hàm số f  x  liên tục trên  0;1 và f ( x)  2 f (1  x)  3x với x  R Tính I   f ( x)dx. 0 A. I  2 . B. I  1 . 2 C. I  1  Câu 174. Cho hàm số f ( x) liên tục trên  ; 2  và f ( x)  2  3 . 2 D. I  1 . 2 f ( x) 1 dx. f    3 x với x  R* . Tính I   x x 1 2 A. I  4 . 9 B. I  9 . 4 4 C. I   . 9 9 D. I   . 4  1 4 Câu 175. Cho hàm số f  x  liên tục trên  và  xf  x  dx  3 . Tính K   f  cos 2 x  sin 4 x dx . 0 0 A. K  3 . B. K  3 . ln 2 4    Câu 176. Biết 0 f e 2 x dx  10 . Tính I   1 A. I  10 . C. K  2 . f  x x D. K  4 . dx . B. I  5 . C. I  20 . f 4 Câu 177. Cho hàm số f  x  liên tục trên  và thỏa mãn  D. I  15 .  x  dx  6 và x 1  2  f  cos x  sin x dx  1 . 0 2 Tính K   f  x  dx . 0 A. K  3 . C. K  13 . B. K  2 . 3 Câu 178. Cho hàm số f  x  liên tục trên 1;   và thỏa mãn  f  1 B. I  8 . A. I  2 . D. K  4 . 2  x  1 dx  8 . Tính I   xf  x  dx . C. I  4 . 1 D. I  16 . 2 Câu 179. Tính tích phân I   2 x x 2  1 dx bằng cách đặt t  x 2  1 mệnh đề nào dưới đây đúng? 1 2 3 B. I   t dt . C. I   t dt . 3 A. I  2  t dt . 1 0 1 e Câu 180. Cho hàm số f  x  liên tục trên  và  1 1 A.  f  ln x  x 0 B.  e f  x  dx  e . 0 C.  e f  x  dx  1 . 0 Câu 181. Cho hàm số f  x  liên tục trên  a; b  và thỏa mãn  f  x  dx  e . b  f  x  dx  7 . Tính I   f  a  b  x  dx . a B. I  a  b  7 . D. 0 b A. I  7 . 1 t dt . 2 1 dx  e . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 1 f  x  dx  1 . 2 D. I  a C. I  a  b  7 . D. I  7  a  b . Câu 182. Cho hàm số f  x  liên tục trên  và thỏa mãn f  x   f   x   2  2 cos 2 x , x   . Tính 3 2 K   f  x  dx . 3 2 A. K  6 . B. K  0 .  https://toanhocplus.blogspot.com C. K  2 . Trang 207 D. K  6 . Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna f  x 1 Câu 183. Cho hàm số chẵn f  x  liên tục trên  và thỏa mãn  1 e x 1 A. I  0 . 1 dx  4 . Tính I   f  x  dx . C. I  8 . B. I  2 . D. I  4 . b Câu 184. Cho a , b là các số thực dương thỏa mãn a  b  6 và ln(9  x)  b x a A. I   12  2 dx  1 . Tính ln(9  x)  ln( x  3) a I   x.sin 0 dx . . B. I   14  . C. I  12  . D. I  14  . 3 Câu 185. Cho F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x) trên R , F (5)  5 ,  F( x  2) dx  1 . Tính 2 5 J   x. f ( x) dx . 0 A. J  28 . B. J  19 . C. J  29 . D. J  26 . e Câu 186. Biết F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x) trên R thỏa mãn 1  x .F( x) dx  1 và F( e )  3 . Tính 1 e I   ln x. f ( x) dx . 1 A. I  3 . B. I  3 . C. I  2 . D. I  2 .  1 Câu 187. Cho hàm số f ( x) liên tục trên R và  0 A. I  0 . 2 f ( x) dx  1, f (1)  1 . Tính I   sin 2 x. f ‘(sin x) dx . B. I  1 . 0 C. I  2 . D. I  4 . 2 Câu 188. Cho hàm số f ( x) liên tục và có đạo hàm trên R và thỏa mãn  f ( x) dx  3, f (2)  2 . Tính 0 1 I   x. f ‘(2 x)dx . 0 A. I  20 . B. I  5 . 7 C. I  7 . 4 D. I  5 . 1 1 Câu 189. Cho hàm số f ( x) thỏa mãn  ( x  1) f ‘( x) dx  10, 2 f (1)  f (0)  2 . Tính I   f ( x) dx . 0 A. I  12 . 0 B. I  8 . D. I  8 . C. I  12 . 1 Câu 190. Biết F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x) trên R thỏa mãn  F ( x) dx  1 và F(1)  1 . Tính 0 1 I   x. f ( x) dx . 0 A. I  0 . 1 Câu 191. Biết  0 B. I  1 . C. I  2 . D. I  2 . 3x  1 a 5 a dx  3 ln  ; trong đó a , b là hai số nguyên dương và là phân số tối b b 6 x  6x  9 2 giản. Mệnh đề nào dưới đây đúng?  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 208 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn A. ab  5 . 1 Câu 192. Biết  x.e x 0 B. ab  12 . 2  x B. M  6 . 2x 1 2 dx  x 1 A. S  8. 1 Câu 194. Biết e 0 C. M  7 . D. M  3 . C. S  2. D. S  4. dx 1 e  a  b.ln với a , b , c là các số hữu tỉ. Tính S  a 3  b 3 . 2 1 x B. S  2. 1  x cos 2 x dx  0 A. a  b  c  1. 1 3 x Câu 196. Biết  3e C. S  0. dx  0 C. a  2b  c  0. D. 2a  b  c  1. a 2 b b c e  e  c với a , b , c là các số hữu tỉ. Tính S  a   . 5 3 2 3 A. S  10. B. S  5. 5 C. S  6. D. S  9. 1  f  x  dx  m. Tính I   x. f  x 2 A. I   D. S  1. 1  a sin 2  b cos 2  c  với a, b, c  . Mệnh đề nào dưới đây đúng ? 4 B. a  b  c  0. 1 Câu 197. Cho D. ab  a 2 b  a, b, c    . Tính S  a  b. 3 B. S  0. A. S  2. Câu 195. Biết 5 . 4 C. ab  6 . b dx  a  . Tính M  a  2b . e A. M  5 . Câu 193. Biết https://facebook.com/duytuan.qna 2  1 dx theo m. 2 m . 3 B. I  2m. C. I  m . 2 D. I   m . 2 a Câu 198. Tìm a  0 sao cho A. a  5. x2  2x  2 a2 dx   a  ln 3 . 0 x  1 2 B. a  4. C. a  3. D. a  2. C. n  3. D. n  6.  6 Câu 199. Tìm n thỏa mãn  sin n x.cosx dx  0 A. n  5. 1 . 128  n  1 B. n  4.  2 Câu 200. Cho hai số thực a , b thỏa mãn 3a  2b  1 và   ax  b  sin x dx  4. Tính P  a  b . 0 A. P  11. B. P  7.  https://toanhocplus.blogspot.com C. P  4. Trang 209 D. P  18. Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna II. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 1.A 2.A 3.C 4.C 5.B 6.C 7.A 8.D 9.B 10.A 11.B 12.D 13.B 14.B 15.C 16.C 17.A 18.B 19.B 20.C 21.D 22.A 23.A 24.D 25.B 26.A 27.A 28.D 29.D 30.A 31.D 32.B 33.B 34.D 35.B 36.A 37.D 38.C 39.A 40.D 41.A 42.B 43.A 44.A 45.C 46.C 47.A 48.C 49.A 50.B 51.D 52.C 53.A 54.B 55.C 56.C 57.D 58.C 59.B 60.B 61.A 62.A 63.A 64.C 65.C 66.B 67.D 68.C 69.A 70.B 71.D 72.B 73.C 74.C 75.B 76.A 77.C 78.D 79.A 80.C 81.A 82.C 83.A 84.D 85.B 86.D 87.D 88.B 89.D 90.D 91.D 92.C 93.D 94.A 95.B 96.A 97.D 98.A 99.B 100.C 101.A 102.A 103.C 104.A 105.C 106.B 107.A 108.A 109.A 110.B 111.C 112.D 113.A 114.C 115.D 116.A 117.C 118.C 119.A 120.D 121.C 122.B 123.C 124.D 125.A 126.C 127.D 128.B 129.C 130.D 131.B 132.D 133.B 134.A 135.C 136.C 137.B 138.C 139.A 140.C 141.D 142.B 143.A 144.A 145.C 146.D 147.B 148.A 149.A 150.D 151.A 152.A 153.D 154.A 155.B 156.A 157.D 158.B 159.C 160.B 161.D 162.C 163.D 164.C 165.A 166.B 167.A 168.D 169.C 170.A 171.A 172.B 173.B 174.B 175.A 176.C 177.D 178.C 179.C 180.B 181.A 182.B 183.D 184.A 185.D 186.C 187.D 188.C 189.D 190.C 191.B 192.A 193.B 194.C 195.B 196.A 197.D 198.D 199.D 200.D Câu 1. Chọn A. 2 2 I   f ( x)dx  f ( x) 1  f (2)  f (1)  2  1  1 . 1 Câu 2. Chọn A. b b Theo định nghĩa và tính chất tích phân ta có:  kf  x  dx = kF(x)  k F  b  – F  a  . a a Câu 3. Câu 4.  Chọn C. Chọn C. 10 Ta có:  0 Câu 5.  2 6 10 10 f  x  dx =  f  x  dx +  f  x  dx +  f  x  dx  P  0 2 6  0 6 f  x  dx –  f  x  dx = 7 – 3 = 4 2 Chọn B. 2 2 2   f  x   g  x  dx   f ( x)dx   g( x)dx 3 (1) 0 0  https://toanhocplus.blogspot.com 0 Trang 210 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn 2 https://facebook.com/duytuan.qna 2 2   f  x   g  x  dx   f ( x)dx   g( x)dx 7 (2) 0 0 0 2 Từ (1) và (2) suy ra: 2 f ( x)dx  5,   g( x)dx 2 0 2  0 Câu 6. 1 0 2 2 2 1 f  x  dx =  f  x  dx +  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  5 – 3 = 2 0 1 1 0 0 Chọn C. 3 Ta có: 3  f'(x)dx  f ( x) 0  f (3)  f (0)  9  f (3)  9  1  10 . 0 Câu 7. Chọn A. 4 4 I   f ( y )dy  2 Câu 8. Câu 9.  2 2 4 f ( y )dy   f ( y )dy  2  2 2 f (t )dt   f ( x)dx  5 2 Chọn D. Chọn B. b Theo tính chất tích phân ta có:  a a f  x  dx    f  x  dx b Câu 10. Chọn A. b b b Theo tính chất tích phân ta có   f  x   g  x   dx   f  x dx   g  x  dx a a a Câu 11. Chọn B. Câu 12. Chọn D. 1 Ta có :  xdx  0 x2 1 1 | 2 0 2 Câu 13. Chọn B. 6 3 6 Ta có I   f  x  dx   f  x  dx   f  x dx  3  4  1 1 1 3 Câu 14. Chọn B. c Theo tính chất tích phân, ta có.  a b c f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx a b Câu 15. Chọn C. 4 4 4 Ta có: I    f  x   g  x   dx   f  x dx   g  x dx  2  2  4 2 2 2 Câu 16. Chọn C. 3 3 Ta có: I   2 f  x  dx  2  f  x dx  2.3  6 1 1 Câu 17. Chọn A. 1 1 3 1 I1   4 xf ( x 2 )dx. Đặt t  x 2  dt  2 xdx . Suy ra: I1  2 I  3I   3xdx   I  . 2 2 0 0 Câu 18. Chọn B.  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 211 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna 3 Đặt t  x  1 . Suy ra: f 0 2  x  1 dx  8   2tf  t  dx  I  4 1 Câu 19. Chọn B. 2 Đặt t  2 tan 3 x , dt  1 2 6 dx . I   f (t )dt  I  2 60 3 cos 3 x Câu 20. Chọn C. 2 Đặt t  x 2  dt  2 xdx . Khi đó: I   4 f (t )dt  28 1 Câu 21. Chọn D. 1 Ta có: 1  cos 4 x  2 cos 2 2 x . Đặt t  tan 2 x  dt  1 2017 2 dx. Vậy I   f (t )dt  2 4 4 cos 2 x 0 Câu 22. Chọn A. 2 Đặt t  3 x  1  2tdt  3dx. Vậy I   1 2 20 f (t )dt  3 3 Câu 23. Chọn A. Đặt t  ln( x 2  1)  dt  2x dx. Vậy I  2 x 1 2017  0 1 f (t )dt  1 2 Câu 24. Chọn D. 1 2  1 4 1 f (2 x)dx  10   f ( x)dx  20 1 2 1 Đặt t  sin x  dt  cos xdx. Vậy I   f (t )dt  23. 0 Câu 25. Chọn B. 2     1  3 I  sin x  1dx  1 a  b ,  a , b,c    c 2    Đặt t  x  1  t =x+1  2tdt  dx . Đổi cận: x  1  t  0; x     1  t  . 3 3 2   3 3   3 I  2  t .sin tdt  2  t dcost   2t.cos t  3  2  cost dt   0 0 0 0  3    2 sin t  3  0 3 3  . 3 Suy ra a  1; b  27; c  3 . Suy ra abc  81. Câu 26. Chọn A.  du  dx u  x  I   x cos 2 xdx . Đặt  . Suy ra  1 0 dv  cos 2 xdx  v  sin 2 x  2 4    1 4 14  1  1 1 1 I   x sin 2 x    sin 2 xdx    cos 2 x  4    b  ; a    S  a  2b  0 . 0 8 4 8 4 8 4 2 0 2 0 Câu 27. Chọn A.  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 212 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna x3 1 2 Đặt u  ln x  du  dx và dv  x dx  v  . x 3 e e e x 3 ln x x2 e 3 x3 e3 e3 1 1 I   dx       2e 3  1 . 3 1 1 3 3 9 1 3 9 9 9   Câu 28. Chọn D. 2  ln  x  1 x2 1 u  ln  x  1 du  1 dx   x1  dx  a ln 2  b ln 3 . Đặt  . 1  1 dv  dx  v  x2   x 2 2 2  1  1 1 1 1  1 x  I    ln  x  1    dx  ln 2  ln 3     dx  ln 2  ln 3  ln  2 x x 1 2 x 1  x  1 1 x  x  1 1 3  3 ln 2  ln 3 2 3 Suy ra a  3; b   . Suy ra a  4b  3. 2 Câu 29. Chọn D. 2 1 x f ( x)   t sin tdt. x x f  x  x  t .sin tdt    t dcost   t.cos t  x x x x x   cost dt  2 x cos x   sin t  x x x  2 sin x  2 x cos x   f   x   2 x sin x  f      . 2 Câu 30. Chọn A. 2 ln x b dx   a ln 2 2 c 1 x I  1 2 2 u  ln x 2 du  x dx  1  1 1 1 1 1    ln 2  . Đặt  . Suy ra I    ln x    2 dx   ln 2   1 2 x 1 2 2  x 1 1 x dv  2 dx v  1 x  x  1 Suy ra a  ; b  1; c  2. Suy ra 2a  3b  c  4. 2 Câu 31. Chọn D.  3 dx u  ln  3x  1 du  Đặt  .  3x  1 v  x dv  dx  1   I   ln  3x  1 dx  x.ln  3x  1 0 1    3x3x 1 dx 1 0 0 1 1  1   1  8  2 ln 2    1  dx  2 ln 2   x  ln 3x  1   ln 2  1  3x  1  3  0 3 0 Suy ra a  8 , b  1 . Vậy S  3a  b  9 3  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 213 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Câu 32. Chọn B.  2 x u  ln 9  x 2 dx du   . Đặt . I   ln 9  x dx  a ln 5  b ln2  c 9  x2   dv  dx 1 v  x   2  2      I  x ln 9  x 2  2 2 1  2  2 x2 x2  9  9 dx  2 ln 5  ln 8  2 1 9  x2 dx 2 1 9x 2 2  1 1  2  2 ln 5  ln 8  2  dx  3    dx  2 ln 5  ln 8  2  3 ln 9  x 3  x 3  x  1 1 2 1  5 ln 5  4 ln 8  2 Suy ra a  5; b  4; c  2 . Suy ra S  a  b  c  13 . Câu 33. Chọn B. 2 I   f (2 x)dx. Đặt t  2 x  dt  2dx . Đổi cận: x  0  t  0; x  2  t  4. 0 4 I 4 1 1 f (t )dt   f ( x)dx  8.  20 20 Câu 34. Chọn D. 1 1 1 1  Ta có 10    x  1 f  x  dx    x  1 d f  x    x  1 f  x    f  x  d  x  1 0 0 0 0   1 1  2 f  1  f  0    f  x  dx  2   f  x  dx 0 0 1 Vậy  f  x  dx  8 . 0 Câu 35. Chọn B. Đặt t  x , x  1  t  1 , x  9  t  3 , 2dt  1 x 9 dx nên ta có  1 f ( x) x 3 dx   f (t )2dt  4 1 3 Suy ra  f (t)dt  2 1 Mặt khác đặt t  sin x , x  0  t  0 , x   2  t  1 , d  sin x   cos xdx  1 2 Nên ta có  0 3 f (sin x).cos x.dx   f (t )dt  2 0 1 3 Vậy I   f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx  6 0 0 1 Câu 36. Chọn A.  4 Xét 1  f (tan x)dx  4 . Đặt t  tan x  dt  cos 0 2 x   dx  tan 2 x  1 dx  4 1 1 f (t ) f ( x) d t  dx.  2 2 0 t 1 0 x 1 Khi đó 4   f (tan x)dx   0  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 214 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna   1 x 2  1  1 f ( x) x 2 f ( x) d x  2  dx  2 Do đó  2  2 x  1 x  1 0 0 1 1  0 1 1 f ( x) f ( x)dx   2 dx  2   f ( x)dx  2  4  I  6. 0 x 1 0 Câu 37. Chọn D. du  dx u  x  Đặt   1 dv  f   2 x  dx  v  f  2 x   2 1 1 Do đó I   x. f (2 x)dx  0 1 1 1 1 1 1 1 1 xf (2 x) 0   f (2 x)dx  f (2)   f (2 x)dx  8   f (2 x)dx. 2 20 2 20 20 2 Mặt khác  f ( x)dx  4. 0 Đặt t  2 x  dt  2dx 1 Suy ra 2 f (2 x)dx   0 1 1 f (t )dt   20 2 2 1  f ( x)dx  2. Vậy I  8  2 .2  8  1  7. 0 Câu 38. Chọn C. u  x du  dx  Đặt  . Áp dụng công thức tích phân từng phần ta được dv  f ( x)dx  v  f ( x) 2 2 2 I   xf ( x)    f ( x)dx  2 f (2)  f (1)   f ( x)dx  2.2  0  1  3. 1 1 1 Câu 39. Chọn A. Đặt t  a  b  x  dt  dx . Đổi cận x  b  t  a; x  a  t  b b a b Nên I   f ( a  b  x)dx    f  t  dt   f  t  dt  7 . a b a Câu 40. Chọn D. 3 Xét tích phân K   f ( 2 x)dx  3. 1 Đặt u  2 x  du  2dx  dx   6 du . Đổi cận: Khi x  1  u  2; x  3  u  6 2 2 1 1 Vậy, K    f  u  du   f  x  dx . Mà K  3 , nên 2 2 2 6 6 Vì f là hàm chẵn trên   6; 6  nên  6  2 f  x  dx  1  1  f  x  dx  6 . 6 2 f  x  dx  2 I 2  f  x  dx  6 . Từ đó suy ra 6 6 f  x  dx   f  x  dx  8  6  14 . 2 Câu 41. Chọn A. 4 I 0 4 3 1 2 26 2 x  1dx  .  2 x  1 2  . 2 3 3 0  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 215 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Câu 42. Chọn B.   3 x   x  3  1 I   sin    dx  2 cos     2  0    1. 2 2 3 2 30  0 Câu 43. Chọn A. x 2  1  t2 = x2 + 1  2tdt = 2xdx  tdt = xdx. Cách 1: Đặt t = Đổi cận:x = 0  t = 1; x = 1  t = 2 I 2  t dt  1 t3 3 2. 1  (2 2  1) . 3 2 1 1 Cách 2: Bấm máy tính x x 2  1dx = 0.6094757082 rồi so sánh đáp án. 0 Câu 44. Chọn A. Cách 1:Đặt t  cos x  dt   sin xdx . Đổi cận : x = 0  t = 1; x =   t = -1.  1 1 2 2 2  cos x sin xdx   t (dt)   t dt  0 1 1 t3 3 1 1  2 3 Cách 2: Ấn shift + mode +4 chuyển chế độ máy sang radian.  Bấm máy tính  cos2 x sin xdx = 0 2 rồi so sánh đáp án. 3 Câu 45. Chọn C. 3 Đặt u  x2  1 ta được du  2 xdx . Suy ra I   udu . 0 Câu 46. Chọn C. Đặt t  2 x  1 ta có t 2  2 x  1  tdt  dx và x  3 t2  1 1 . Suy ra I   (t 3  3)dt . 21 2 Câu 47. Chọn A. 2 5 Tự luận: Tính tích phân I    2 x  1 dx . 1 3 Đặt u  2 x  1  1 1 182 . du  dx . Đổi cận x  1  u  1 ; x  2  u  3 . Nên I   u5 du  2 21 3 2 5 Trắc nghiệm: Bấm MTCT I    2 x  1 dx  1 1 82 . 3 Câu 48. Chọn C. Khi đặt t  ( x  1)2 với 2  x  1 thì không suy ra t  x  1 được, vì x  1 có thể bị âm khi 2  x  1 . Câu 49. Chọn A. Ta có t  cos x  dt   sin xdx . Khi x  0 thì t  1 , khi x   3 Vậy I  sin 2 x  3  1  cos x dx   0 0 12  3 thì t  1 . 2 1 2 sin x cos x 2t 2t dx    dt   dt . 1  cos x 1 t 1 t 1 12  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 216 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Câu 50. Chọn B. [Phương pháp tự luận] Đặt u  1  ln x  u2  1  ln x  dx  2udu . Với x  1  u  1 , x  e  u  0 . x 0 Khi đó I    u2 du . 1 [Phương pháp trắc nghiệm]. e Bước 1: Bấm máy tính để tính 1  ln x dx . 2x  1 Bước 2: Bấm SHIFT STO A để lưu vào biến A.  0  Bước 3: Bấm A     u2 du   0 . Vậy đáp án là B.  1  Câu 51. Chọn D. [Phương pháp tự luận]   1 3 2 sin x (1  cos2 x)sin x 1  u2 3 dx   dx . Đặt t  cos x  I    Ta có I   sin 2 x. du  ln 2  . cos x cos x u 8 0 0 1 3 [Phương pháp trắc nghiệm].  3  3 2 I  Bấm máy tính 0 sin x tan xdx   ln 2  8  được đáp số là 0. 3 Vậy đáp án là ln 2  . 8 Câu 52. Chọn C. Cách1: Bấm máy tính  Cách 2.  cos 0  2  2 1 x.sinxdx    cos 2 x d(cosx)=- cos 3 x  0 3 3 0 Câu 53. Chọn A. Cách1: Bấm máy tính Cách 2. Đặt t  5x 2  4  t 2  5x 2  4  tdt  5xdx 1 Khi x : 0  1 thì t : 2  3 . Ta có xdx  4  5x 2 0  3 1 1 3 1 dt  t   52 5 2 5 Câu 54. Chọn B. 1 1 x Đặt t   dx  2dt. Khi đó K  2  f (t )dt  2  f ( x)dx  2. 2 0 0 Câu 55. Chọn C. e Đặt t  ln x  1  dt  2 2 1 1 1 dx. Khi đó I   dx   dt  ln t 1  ln 2. x(ln x  1) t x 1 1 Do đó a  2, b  1. Vậy S  3. Câu 56. Chọn C. Cách 1:  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 217 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Đặt t = 1  x 2  t2 = 1 – x2  2tdt = – 2xdx  tdt = -xdx. Đổi cận:x = 0  t = 1, x = 1  t = 0. 1 0 1 I   x 5 1  x 2 dx   (1  t 2 )2 t( tdt )   t 2 (1  t 2 )2 dt . 0 1 0 1 Cách 2: Bấm máy tính I   x 5 1  x 2 dx = 0.07619047619. 0 1  1 0  2  t 1  t dt = 0.25;  t 1  t  dt =0 1 1 ;  t2 1  t2 6 0   2 dt = 0.07619047619. Câu 57. Chọn D. Đặt x  2 tan t  dx = 2 (1 + tan 2 t )dt. Đổi cận : x= 0  t = 0 ; x = 2  t =  2 I 0 4  4 .  2 1 2(1  tan t )dt 4 1 dx  0 4 tan 2 t  4  0 2dt . x2  4 Vậy đáp án A, B, C đúng. Chọn đáp án D. 2 Cách 2: Bấm máy tính I   0 1  dx = .Đáp án D sai. 8 x 4 2 Câu 58. Chọn D. 1 Đặt t  x ta được dt  4 x dx . Suy ra I  4 4 3 625  0 1 2 625  1 2 625  1 2 dt  .  . 4 ln 2 ln 16 t Câu 59. Chọn C. Đặt t  sin x hoặc sử dụng vi phân: F  x    f  x dx   sin 3 x.cos x.dx   sin 3 x.d  sin x   F 0    C    F  x  1 sin 4 x  C . 4 1   1 sin 4 x    F      . 4 2 4 Câu 60. Chọn B.  2 sin 2x.dx 2 0 1  sin x Tự luận: Tính tích phân I   Đặt u  1  sin 2 x  du  sin 2 xdx . Đổi cận x  0  u  1 ; x   2 2 du  ln 2 . 1 u  u  2 . Nên I    2 sin 2x.dx  ln 2 . 2 0 1  sin x Trắc nghiệm: Bấm MTCT I   Câu 61. Chọn A. e Tự luận: Biết ln x dx  a  ln b với a , b là các số nguyên dương. Tính giá trị a  2b : x 2  đặt u  ln x  du  1 dx . Đổi cận x  2  u  ln 2 ; x  e  u  1 . x  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 218 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn e https://facebook.com/duytuan.qna 1 ln x 1 Ta được  dx   udu  1  ln 2 2 . Nên a  2b  5 . x 2 2 ln 2   Câu 62. Chọn A. [Phương pháp tự luận]. dx  2udu . Với x  1  u  1 , x  e  u  0 . x Đặt u  1  ln x  u2  1  ln x  0 Khi đó I    u2 du . 1 [Phương pháp trắc nghiệm]. e Bước 1: Bấm máy tính để tính 1  ln x dx . 2x  1 Bước 2: Bấm SHIFT STO A để lưu vào biến A.  0  Bước 3: Bấm A     u2 du   0 . Vậy đáp án là A.  1  Câu 63. Chọn A. 2 Đặt t  1  x2  dt  2 xdx . Đổi cận: x  0  t  1; x  1  t  2 . Vậy I  1 (t  1)3 dt . 2 1 t 5 Câu 64. Chọn C. Đặt u  3 cos x  1  2udu  3 sin xdx . Khi x  0  u  2; x   2  u  1. 2 2 2 2 Khi đó I   u2 du  u3 . 31 9 1 Câu 65. Chọn C.    Đặt x  tan t , t    ;   dx  (tan 2 x  1)dt .  2 2   4 tan 2 t  1  dt  dt  . Đổi cận x  0  t  0, x  1  t  , suy ra I    2 4 4 0 1  tan t 0 4  Câu 66. Chọn B. Đặt t  1  tan x  dt   1 dx cos2 x  0 4 1 1 dx   t 4 dt   t 4 dt Khi x : 0  thì t : 1  0 . Ta có  (1  tan x) 2 4 cos x 0 1 10  4 Câu 67. Chọn D. Đặt t  f ( x)  dt  f ‘( x)dx Khi x : a  b thì t : f ( a)  f (b) . . b Ta có  f x f   x  e   dx  a f ( b)  e t dt  e t f (a) f ( b) f ( a) f b f a  e   e   0 Câu 68. Chọn C. Đặt t  sin 2 x  dt  2 cos 2 xdx  cos 2 x.dx   https://toanhocplus.blogspot.com 1 dt. . 2 Trang 219 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna  1 1 12 n 1 t n1 1 1 1 n sin 2 x cos 2 xdx   t dt     n  . 0  128 20 128 2(n  1) 128 2 (n  1) 64 12 Do đó 2 n.(n  1)  32  n  3. Câu 69. Chọn A. Cách 1: Đặt t = 4 – x2  dt = -2xdx. Đổi cận: x = 0  t = 4, x = 1  t = 3. 1 1 3 xdx 1 1 4 I  I   2 dt  ln t 43  ln . Suy ra a = 4, b = 3 Vậy a2 – b = 13. 2 t 2 2 3 0 4x 4 Cách 2: Nhận xét a, b  Q. 1 Bước 1: Dùng máy tính I   0 xdx = 0.1438410362 Shift sto A. 4  x2 Bước 2: Thử đáp án:. Với đáp án A a2 – b = 13 rút b = a2 – 13. 1 x ln 2 A. 2 x  13 Ấn shift slove dò nghiệm nếu nghiệm là số hữu tỷ chọn đáp án này nếu không dò đáp án khác. Câu 70. Chọn B. Cách 1: Đặt t = x2 + 2  dt = 2xdx. Đổi cận: x= -1  t = 3, x = 2  t = 6. Nhập vào màn hình chính phương trình: 2 I 6 xdx 0.5 1 1 x2  2  3 t dt  2 ln t 6 3  1 ln 2 .Suy ra a = 2 , b = 2. 2 Chọn đáp án B. 2 Cách 2: Bước 1: Dùng máy tính I  xdx  4x 2 = 0.2350018146 Shift sto A. 1 Bước 2: Thử đáp án:. 6 . a Với đáp án A a.b= 6 rút b = 1 6 ln  A . x x Ấn shift slove dò nghiệm nếu nghiệm là số hữu tỷ chọn đáp án này nếu không dò đáp án khác. Câu 71. Chọn D. Nhập vào màn hình chính phương trình: 3      ;x  t  0. Đặt t  sin  2 x    dt  2 cos  2 x   dx , đổi cận: x  0  t  2 3 3 3   0 Suy ra I   3 2 1 1 f  t  dt   2 2 3 2  f  t  dt  1 . 0 Câu 72. Chọn B.  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 220 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna 1 1 Đặt t  ln x ta được dt  dx . Suy ra e   f (t )dt . x 0 Câu 73. Chọn C. 1 dx    bằng cách đặt x  tan t , t    ;  , mệnh đề nào 2  2 2 0 1 x Tự luận: Tính tích phân I   dưới đây đúng?   Đặt x  tan t  dx  1  tan 2 t dt .  Đổi cận x  0  t  0 ; x  1  t   4 4 . Nên I   dt . 0 1 dx    0,785 2 4 0 1 x Trắc nghiệm: Bấm MTCT I      4 4 4 dt  0,665 . B. I   2 0 1 t dt A. I    0, 24 . t 1  4 C. I   dt  0,785 . 0 D. I   tdt  0, 308 . 0 Câu 74. Chọn C. 2 Tự luận: I   2x x 2  1dx . 1 2 đặt u  x  1  du  2xdx . 3 Đổi cận x  1  u  1 ; x  2  u  3 . Nên I   udu . 0 Trắc nghiệm: 2 Bấm MTCT I   2x x 2  1dx  3, 464 1 3 2 A. I  2 udu  6, 9 . B. I  0  udu  1,21 . 1 3 C. I   2 1 D. I   udu  0, 69 . 2 1 udu  3, 464 . 0 Câu 75. Chọn B. [Phương pháp tự luận]. Đặt t  8 ln x  1  tdt  4 dx . Với x  1  t  1, x  e  t  3 . x 3 3 1 t3 13 2 I  t dt   Vậy .  4 1 12 1 6 [Phương pháp trắc nghiệm]. e Bấm máy tính I   1 8 ln x  1 13 13 dx được đáp số là . Vậy đáp án là . x 6 6 Câu 76. Chọn A.  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 221 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna    1  Đặt x  sin t, t   ;   dx  cos tdt . Đổi cận : x  0  t  0, x   t  . 2 6  2 2  6 Vậy I   6 cos t  2 1  sin t 0 dt   0 cos t dt  cos t  6  dt  t 0  6 0    0  . 6 6 Câu 77. Chọn C. 3 2 Ta có t  x  5  dt  3x dx . Khi x  0 thì t  5 ; khi x  1 thì t  6 .. 1 Vậy I  6 x 2 3 x  5dx  0  5 1 1 6 1 6 4 dt 1 1 (t )2 6 2 10 t   t 2 dt   t t  6 5. 5 9 5 3 3 3 5 31 9 1 2 Câu 78. Chọn D.     Đặt x  2 sin t, t   ;  . Khi x = 0 thì t = 0. Khi x  2 thì t  .. 2  2 2 Từ x  2 sin t  dx  2 cos tdt .  2 2 Vậy  4  x 2 dx  0  2  4  4 sin2 t .2 cos tdt  4  cos2 tdt   . 0 0 Câu 79. Chọn A. Đặt x  2 tan x  dx  I  2 2  4  tan dt 2 0  2  dt . Khi x : 0  2 thì t : 0  . 2 cos t 4 2 t  1 cos t  2 2  4  dt 0 Câu 80. Chọn C. 2 2 Đặt t = cosx  dt   sin xdx và sin x  1  t , đổi cận     3  1   x   t  ; x   t     6 2 3 2        3 Khi đó I    6 dx  s inx  3 3 2 sin x 3 2 1  1  cos x dx   1  t 2  6 1 2 2 1 t 1 dt  .ln 2 t 1  1 1 ln(7  4 3)  ln 2 2 2 1 2   1 1 a  7  4 3   a  b  10  4 3 Suy ra I   ln(7  4 3)  ln 3   (ln a  ln b)     2 2 b3    Câu 81. Chọn A.  /4 Đặt t = tanx   1 f (tan x )dx  0 1 1  f (x )dx   x 0 0  0 1 1 f (t ) f (x) dt   2 dt  4 . 2 t 1 x  1 0 2 f (x ) x f (x )  2  6. 2 1 x 1 0 Câu 82. Chọn C.  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 222 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn x  dt  Đặt t = https://facebook.com/duytuan.qna 9 1 2 x dx    x dx  2 f x 1    Đặt t = sinx x   ;   dt  cos xdx   2 2 Vậy 3 1 0 0 3 3 1 1  f t dt  4   f t dt  2 .  /2 1 0 0  f s inx cos xdx   f t dt  2 . 3  f (x )dx =  f t dt  f t dt + = 4. 1 Câu 83. Chọn A. Đặt x  cos 2t ta được dx  2 sin 2tdt  4 sin t cos tdt . 1  0 Do đó 2   f (x )dx  4   f (cos 2t )sin t cos tdt  4  4 f (cos 2t ) sin t cos tdt .  Suy ra I  0 4 0  4 0 f (cos 2t )sin t cos tdt  1 . 2 Câu 84. Chọn D. 0  Đặt x  t ta được 0 f (x )dx  3  2 I  3 2 3  2  Hay I  f (x )dx   3 2 0  0 3 2 3 2 0  f (t )d(t )   f (t )dt   f (x )dx . 3 2 f (x )dx   3 2 0  2  2 cos 2xdx  2  3  f (x )dx  2 0 3 2  3 2 0 0 f (x )dx   0 3 2 f (x )dx . cos x dx  6 . Câu 85. Chọn B. 4 Cho  f x  dx  16 . Tính tích phân I  2  f 2x  dx. 0 0 2 I   f (2x )dx . Đặt t  2x  dt  2dx . Đổi cận: x  0  t  0; x  2  t  4. . 0 4 Khi đó: I  4 1 1 f (t )dt   f (x )dx  8.  2 0 2 0 Câu 86. Chọn D. 2 Tính tích phân  x  1 2 x 2017dx được kết quả là. 0 2 I   x 2019  2.x 2018 x 2017  0 2  x 2020  2.x 2019 x 2018  4 1  2018  4 . dx      2      2020 2019 2018  2020 2019 2018  0 Câu 87. Chọn D.  x    t  dx  dt  I    2I    0  0    t  sin t 2 1  cos t   sin t d (cos t ) dt       2 2 1  cos t 1  cos t 4 0  https://toanhocplus.blogspot.com sin t dt  I 1  cos2 t 0  2    I  4  4 dt    Trang 223 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Câu 88. Chọn B.     t  dx  dt . Đổi cận x  0  t  , x   t  0 . 2 2 2     sin2017   t  0 2 cos2017 t 2  dx   dx  J (1). Suy ra: I       sin2017 t  cos2017 t 2017   2017      0 sin   t   cos   t  2    2  2 Đặt x   2 Mặt khác I  J    dx  2 (2). Từ (1) và (2) suy ra I  0  2 Tổng quát:  0 sinn x dx  sinn x  cosn x  2  0  . 4 cosn x  dx  , n   . n n 4 sin x  cos x Câu 89. Chọn D. 6 3 6 3 5 2 Đặt t  1  cos x  t  1  cos x  6t dt  3 cos x sin xdx . 1 t 7 t 13  1 12 2t 5dt 6 6      dx   I  2 t 1  t dt  2  2  7 13  0 91 . cos x sin x   0   Câu 90. Chọn D. Đặt: x    t  dx  dt . Đổi cận: x  0  t  , x    t  0 . 0  I      (  t )dt  sin(  t )  1   t 0  dt  dt I  I   . sin t  1 2 0 sin t  1   0      sin t  1  sin t  1dt     dt  dt      2   2 0 2 0  t 4 0 t   sin  cos t  cos2       2 4   2 2   t   d      t    2 4     tan      .   2 4    2 2 t 0 cos     2 4   Tổng quát:  xf (sin x )dx  0  f (sin x )dx . 2 0 Câu 91. Chọn D.     Đặt x  2 sin t, t   ;  . Khi x = 0 thì t = 0. Khi x  2 thì t  . 2 2 2   Từ x  2 sin t  dx  2 cos tdt .  2 2 Vậy  0 4  x 2 dx    2 4  4 sin2 t .2 cos tdt  4  cos2 tdt   . 0 0 Câu 92. Chọn C. 8  x  1  t  2 1 I  f (t )dt  5 Đặt t  3x  1  dt  3dx và đổi cận  . Khi đó   x  3t 8 2 2    https://toanhocplus.blogspot.com Trang 224 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Câu 93. Chọn D.  x  0, t  1  1 Đặt t  1  2x  1  dt  2dx     x  1, t  1  1   1 Khi đó  1 f (2x  1)dx  0 1 1 1 f (t  1)dt  3   f (t  1)dt  6   f (x  1)dx  6 2 1 1 1 Câu 94. Chọn A. a Đặt t  x => I  a a t 2 et x2 e x dt   t  x dx => a e  1 a e  1 a a x2 x2 e x x3 2I   x dx   x dx   x2 dx  3 a e  1 a e  1 a a  a 2a3 a3 1 10   9 => a  3  T  a   . 3 3 a 3 Câu 95. Chọn B.   du  e x dx 2 u  e x 1 x 12    I  e sin 2 x   e x sin 2 xdx Đặt  1 2 20 dv  cos 2 xdx v  sin 2 x 0  2 Câu 96. Chọn A. Từ hệ thức  f ( x)sin xdx   f ( x)cos x    x cos xdx  f ‘( x)   x  f ( x)  x ln  Câu 97. Chọn D. 1 Tự luận: 1   x  1 f ‘  x  dx  10 và 2 f 1  f  0   2 . Tính I   f  x  dx 0 0 du  dx u  x  1   dv  f   x  dx v   f   x  dx  f  x  1 1 1 1  I   x  1 f  x    f  x  dx  10  2 f  1  f  0    f  x  dx  10   f  x  dx  8 . 0 0 0 0 Trắc nghiệm: Cho f  x  là một hàm chẵn bất kỳ, ví dụ f  x   4 x dùng máy tính tích 3 phân Câu 98. Chọn A. 3 Tự luận: Do f  x  là hàm lẻ, nên f   x    f  x  hay 3  f  x dx    f  x  dx 3 3 3   f ( x)dx  F  3   F  3  3 3  f ( x)dx  F  3  F  3  3 3 3 3 2  f ( x)dx    f ( x)dx   f (  x)dx  F  3   F  3   F  3   F  3   0 3 3  3 3  f ( x)dx  0 3  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 225 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Trắc nghiệm: Cho f  x  là một hàm lẻ bất kỳ, ví dụ f  x   4 x 3 dùng máy tính tích phân Câu 99. Chọn B. a Ta có tính chất: f  x  là một hàm chẵn, khi đó a  a f  x  dx  2  f  x  dx 0 Câu 100. Chọn C. 4  Cho 0 2 f  x  dx  16 . Tính I   f  2 x  dx 0 Đặt t  2 x 2 4 I   f  2 x  dx  0 1 f  t  dt  8 2 0 Câu 101. Chọn A. 2  f  x  dx  1  F  2   F  2   1  f  t  dt  4  F  4   F  2   4  f  y  dy  F  4   F  2   F  4   F  2    F  2   F  2   4  1  5 2 4 2 4 2 Câu 102. Chọn A.  2 I sin x(1  2 cos x) 1  3 cos x 0 dx , đặt t  1  3 cos x  2tdt  3 sin xdx , khi đó 12 2  (4t  2)dt . 91 Câu 103. Chọn C. 1  1 Ta tìm được f ( x)  2 x  sin 2 x  C , do điều kiện f ( )  2 nên f ( x)  2 x  sin 2 x   2 2 2 Câu 104. Chọn A.  4 d( x sin x  cos x) 4  ln( ) x sin x  cos x 4 2 0 Ta có: I   Câu 105. Chọn C. 3 3 3 Đặt t  3x  dt  3dx , khi đó 2  3  f (t )dt   f (t )dt  1 1 1 2 2   f ( x)dx  3 3 1 1 Đặt t  sin x  dt  cos xdx , khi đó: 2   f (t )dt   f ( x)dx  2 . Do đó ta tìm được: 0 3 1 3 0 8  f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx  3 0 0 1  Trắc nghiệm: thế đáp án vào đẳng thức trên mà hai vế giống nhau ta được đáp án. Câu 106. Chọn B.   2 cos 2018 t cos2018 x dt  Đặt x   t , khi đó I   0 sin2018 x  cos2018 xdx 2018 2 t  cos 2018 t 0 sin 2   2 Nên 2 I   dx  I  0  4  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 226 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Câu 107. Chọn A.  Đặt x  4   t , khi đó I được viết lại :  ln( 4 0 2   )dx  ln 2  I , từ đó tìm được I  ln 2 1  tan x 4 8 Do đó a.b = 16. Câu 108. Chọn A.  u  F( x) 4  du  f ( x)dx  Đặt  . Do đó: 4  t an x.F( x) 04   tan xf ( x)dx . dx   v  tan x 0 dv  cos 2 x  Từ đó ta tìm được đáp án A. Câu 109. Chọn A. 1  3 x 2  x 2 0 1 dx   1  0  9x 6x 4x  4 10 3 9  2.6  4 dx    2.    .   ln 6 ln 4  0 ln 3 ln 6 2 ln 2  ln 9 x x x  Câu 110. Chọn B. 2  x  x  1 2 2  2  2 dx   x x  2 x  1 dx   0 0 2  0  x 4 2 x3 x 2  34 1 x  2 x  x dx        11 . 3 2 0 3 3  4 3  2 Câu 111. Chọn C. 2   x  1 x  2  x  3  dx  x 1 2 2 x 3  6 x 2  11x  6  11 6 dx    x  6   2 2 1 x x x 1 2   dx  2  x2 6 21    6 x  11.ln x     11.ln 2 x1 2  2 Câu 112. Chọn D. 1   1  3x  2 1  3x  1 1  3x  d 1  3x     30 15 1 3 2 dx  0 3 2 5 2 1  62 2 4 25 15 0 Câu 113. Chọn A. 1 2 1 2 2  1  x  dx    1  x   Cách 1: 3 1 2 1 2 2 3 5 3 d 1  x   1  x3  5 1 2  1 2 3 10 3 3 4 3  9 1  Cách 2: Đặt 1  x  t  dx  dt 1 3 1 1  t  và x   t  . Đổi cận: Với x  2 2 2 2 1 2 2  1  x  dx   3 Khi đó, 1 2 1 2 3 2 1 2 3 3 35 t dt    t dt  t 5 3 2 2 3 2 1 2  3 2 3 10 3 3 4 3 9 1  Câu 114. Chọn C. 1 2 1 1 1 2 x x1 1   dx  2  x  1  dx  x2  ln x  1 2  1  ln 3 x2  x  1 dx  0 x  1 0 x  1 0  x  1  2 8 2 0 Câu 115. Chọn D.  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 227 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn m m 2 2 https://facebook.com/duytuan.qna m 1 1 1 1 3 m 1 x  x  1 dx  1 x  x  1 dx  ln x  ln x  1 21  ln m  ln m  1  ln 2  ln 2  ln 3 m  1  m m  2 2 3  3m  2 m  2 m m ln 3  ln 2  3  2   m1   m   2 m1 m1  3 m  2  3m  2 m  2  5  m  1 Câu 116. Chọn A. m x3 x dx  3 3 m 2  3 m 3 33 m3   9 3 3 3 m3  9  4  m  3 39 3  Câu 117. Chọn C. b 3 x a x dx  3 b 3 3 b a   3 2 a  b  a   a  b  2  3ab  3.  32  3ab      9  3ab 3 3 Câu 118. Chọn C. Đặt e x  t  e x dx  dt , t : 1  e m . m m dx e x dx  x  x x  e 1 0 e 1 0 e     em 0 dt  t  t  1  em em 1 1   d t  ln t  ln t  1   0  t t  1  1      ln e m  ln e m  1  ln 2  m  ln e m  1  ln 2 . Câu 119. Chọn A. Đặt t  1  xe x  dt  e x  1  x  dx  dt , t : 1  1  me m . m  0 e x 1  x  1  xe x 1 me m dx   0 1  me m dt  ln t  ln 1  me m . t 0 Câu 120. Chọn D. Đặt x  sin t  dx  cos tdt , t : 0  1  2   2 2   1  x 2 dx   1  sin 2 t .cos tdt   cos 2 tdt . 0 0 0 Câu 121. Chọn C. Đặt x  a sin t  dx  a cos tdt , t : 0  a 2  0 dx a2  x2  6 .    6 6 6  0 a cos tdt a2  a2 sin 2 t  0 a cos tdt  a2 1  sin 2 t   0  a cos tdt 6   dt . a cos t 0 Câu 122. Chọn B. 3 3 1   Đặt x  tan t  dx  . dt , t :  . 2 5 5 cos t 6 4 3    3 1 3 1 5 4 4 4 2 2 dx 5 5 cos t 5 cos t    dt   dt   dt . 9 9 9 9 3  3  x2   tan 2 t 1  tan 2 t 6 6 6 5 25 25 25 25   https://toanhocplus.blogspot.com Trang 228  Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Câu 123. Chọn C. Đặt t  3 1  x  t 3  1  x  3t 2 dt  dx , t : 1  3 4 . 3 3 x2  0 3 1  x  2 dx  4  t 3 1  2 3t dt  t2 1 3 2 4  t 6   2t 3  1 dt . 1 Câu 124. Chọn D. Đặt t  3 1  x  t 3  1  x  3t 2 dt  dx , t : 1  1 . 0 1  1      x 3 1  xdx   t 3  1 .t.3t 2 dt  3  t 6  t 3 dt . 1 0 0 Câu 125. Chọn A. Đặt t  ln x  1  t 2  ln x  1  2tdt  e3  x ln 2 x ln x  1 Câu 126. Chọn C. 1 2 dx   t 2  2  1 2t t 1 2 1 dx , t : 1  2 . x   2 2   dt  2  t 2  1 dt  2  t 4  2t 2  1 dt 1 1 Đặt t  x  1  t 2  x  1  2tdt  dx , t : 1  2 . 3  0 2 x x1 2 t2  1 2tdt  2  t 2  1 dt . t 1 1 dx     Câu 127. Chọn D. Đặt 2  ln x  t  e  1 3 ln x x  2  ln x  dx  dt , t : 2  3 , x 2 3 t2 1 2 dx   2 dt     2 t t 2 t 2 3 3  2 1 3  dt  ln t 2  t   3  ln 2 .  2 Câu 128. Chọn B.  Đặt 1  tan x  t   3 dx dx  dt , t : 1  1  3    2 2 cos x 0 cos x  1  tan x  1 3  0 dt .. t Câu 129. Chọn C. 2 x  1  u  2dx  du  Đặt  dx   dv  v  tan x   cos 2 x     4 d cos x  . 2x  1  sin x  4 d x  2 x  1 tan x  2 tan x d x   1  2 d x   1  2      2 0 2 cos x 2 cos x 0 cos x 0 0 0  4 4 4  Câu 130. Chọn D.  dx  du x  2  u  Đặt   1 sin 2 xdx  dv  v   cos 2 x  2  2    x  2  sin 2 xdx   0    1 1  12 x  2  cos 2 x   cos 2 xdx   2   cos 2 xdx  2 20 2 20 0  https://toanhocplus.blogspot.com 2 2 Trang 229 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Câu 131. Chọn B. x  u dx  du  Đặt  cos xdx  dv v  sin x   4  4    x cos xdx  x sin x 04   sin xdx  0 0  2 8 4   sin xdx . 0 Câu 132. Chọn D. 2 x  3  u 2dx  du  Đặt   x x e dx  dv v   e 0  x x   2 x  3  e dx    2 x  3  e 1 0 0 1 0  2  e  x dx  e  3  2  e  x dx . 1 1 Câu 133. Chọn B. 2dx  du  x  2  u  Đặt  3 x  1 3x  e dx  dv  v  e 3  1 1 1 1 1 1 2  e3 1 3x    x  2  e 3 x dx   x  2  e 3 x   e 3 x dx    e dx . 3 30 3 30 0 0 Câu 134. Chọn A.  x  u dx  du  Đặt  x x e dx  dv v  e ln 2   xe x dx  xe x 0 ln 2 0 ln 2  x  e dx  2 ln 2  e 0 x ln 2 0 ln 2ln 2 1  2 ln 2  1  e  . Câu 135. Chọn C.  dx  du ln x  u  x Đặt   3  xdx  dv v  2 x 2  3 e  1 e e e 2 3 2 3 1 2 3 2 12 x ln xdx  x 2 ln x   x 2 . dx  e   x dx . 3 3 x 3 31 1 1 Câu 136. Chọn C.  dx e e  x  du e 2 e x3 1 e3 1 2 ln x  u 3    x ln xdx  x ln x   . dx    x dx Đặt  2 3 1 3 x 3 31  x dx  dv v  x 1 1  3 Câu 137. Chọn B.  2dx  du ln  2 x  1  u  Đặt    2x  1 v  x dx  dv  1 1 1 2  1    ln  2 x  1 dx  x ln  2 x  1   x. dx  ln 3    1  dx . 0 2x  1 2 x  1  0 0 0 1 Câu 138. Chọn C.  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 230 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna ln  sin x   u  cos xdx  du Đặt    sin x cos xdx  dv  v  sin x    2   4 2   cos x ln  sin x  dx  sin x ln  sin x  2   sin x.  4  cos x 2 2 dx   ln  sin x 2 sin x 2 2 4 4 2 2 2 ln 1 2 2 2  Câu 139. Chọn A. Ta có sơ đồ dấu của x 2  x như sau x  0 1 x2  x 0 + 0 —  + 2 Với 0  a  1  b thì ta có sơ đồ dấu của x  x trên các đoạn  a;1 và 1; b  như sau x   0 a 1 b x2  x + 0 — 0 + 2   Như vậy, trên đoạn  a;1 thì x  x  0  x  x   x 2  x , trên đoạn 1; b  thì  x2  x  0  x2  x  x2  x b 2  1 b 1  b      x 2  x dx   x 2  x dx   x 2  x dx    x 2  x dx   x 2  x dx . a a 1 a 1 Câu 140. Chọn C. 2 Ta có  1 3 3 3 3 f  x  d x   f  x  dx   f  x  dx  3   f  x  dx  5   f  x  dx  2 . 2 1 2 2 Câu 141. Chọn D. f ( x)  A sin  x  B  f ‘( x)  A cos  x f ‘(1)  2  A cos   2  A   2 2  2 A A  f ( x)dx  4   ( A sin  x  B)dx  4    cos 2  2 B   cos 0  4  B  2 0 0 Câu 142. Chọn B. 2 2 12    a 2  (4  4 a) x  4 x 3  dx   a 2 x  (2  2 a)x 2  x 4  1  a  3. 1 Câu 143. Chọn A.    Đặt x  a tan t ; t   ;    dx  a(1  tan 2 t )dt . Đổi cận 2 2  x  0  t  0   .  x  a  t  4  a(1  tan 2 t ) 14  dt  dt  Vậy I   2 . 2 2  a0 4a 0 a tan t  a 4 Câu 144. Chọn A.  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 231 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna x  0  t  0  Đặt t  sin x  dt  cos xdx . Đổi cận :   3. x   t  3 2   3 3 2 cos x Vậy I   2  cos 2 x 0 dx  dt  3  2t 2 0  3 2 1 2  0 dt 3 2 t 2 .   t 0u  3 3  2 Đặt t  cos u  dt   sin udu . Đổi cận :  , suy ra 2 2 3  t  u  2 4  1 I 2  0  3 2 sin udu 4 1 1  2  du  u   3 2 2 4 2  1  cos 2 u 4 2 4  3 2 dt 3 2 t 2 1  2 2    4  Câu 145. Chọn C. 1 1 1 1 Đặt u   t   dt   2 du . Đổi cận t  x  u  ; t  1  u  1 t u x u 1 1 1 du 1 1 1  1 x dt du x du dt dt u2      x 1  t 2 1 1 1 u2  1 1 u2  1 x 1  t 2 1 1  t 2 1 2 x x u Câu 146. Chọn D. u  ln(sin x)  du  cot 2 xdx   1 dx  v   cot x dv  sin 2 x     2 1 2 I ln(sin x ) dx   cot x ln(sin x )  cot 2 xdx   2 sin x   6 2 6 6    1 2    3 ln  cot x   x 2   3 ln 2  3  2 3   6 6 Câu 147. Chọn B.   Xét hiệu số 1  x 2 trên đoạn [0; 2] để tìm min 1, x 2 . 2 1 2 2 2 x3 4 x1  . Vậy I   min 1, x dx   x dx   dx  3 0 3 0 0 1  2  2 Câu 148. Chọn A.  x  8  t  3 Đặt t  1  x  x  1  t 2  dx  2tdt . Đổi cận  .  x  3  t  2 3 Vậy I  x 8 dx 1 x 2 dx   3 2tdt 1  t  t  https://toanhocplus.blogspot.com 2 3  2 2 3 tdt  dt t 1  2  ln 2 2 t 1 1 t t 2 1t  Trang 232 3 2 2  ln . 3 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Câu 149. Chọn A. a a a x 3  2 ln x 1 ln x 1 dx   ln 2   xdx  2  2 dx   ln 2 2 2 2 x 1 1 x I 1  a2 1   1 1  1      2  ln a   1    ln 2  a  2 a  2  2 2 a 2 HD casio: Nhập x 3  2 ln x 1 1 x2 dx  2  ln 2  0 nên a  2 . Câu 150. Chọn D.  4 2 t 14 dt  3 9 I1   cos x 3 sin x  1dx   0 1  3 2 sin 2 x 1 2  3 2 dx  2    2  dt  2 ln  2 t t  2 3 0 (sin x  2) 2 I2   Câu 151. Chọn A. m   2x  5  dx  6  ( x 2 m  5x)  6  m2  5m  6  0  m  1, m  6. 0 0 Hướng dẫn casio: Thay m  1 và m  6 vào thấy thỏa mãn. Câu 152. Chọn A. Sử dụng đồng nhất thức, ta thấy h( x)  b  a  4 a cos x b cos x a cos x  b cos x(2  sin x) sin 2 x  1      . 2 2 2 2 (2  sin x) 2  sin x (2  sin x) (2  sin x)  a  2b  0 b  2   2 2   4 cos x 2 cos x   4 2   2 ln 2  sin x  Vậy  h( x)dx     dx    2 2  sin x   2  sin x 0 0 0  (2  sin x) 4 2 3    2 ln 3  2  2 ln 2   2 ln . 3 3 2 Câu 153. Chọn D.  m f   1 2 sin xdx  .   0 0  Câu 154. Chọn A. 1 1 I 0 dx 1 1  ln 3x  1  ln 4 3x  1 3 4 0   4  4    J   sin 4 x  cos4 x dx    cos2 x  sin 2 x dx  0 0 2 K  x 2   3 x  1 dx  1 1 2 21 . 2 Câu 155. Chọn B. a a a dx  1 1  x2 a2 0 x2  3x  2  0  x  2  x  1  dx  ln x  1 0  ln a  1  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 233 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Câu 156. Chọn A. 1 1 d( x 4  2) 1 1 1 1  0  2 3.m  4  0  2 3m    0  m  . 4 2 3 2 ( x  2) ( x  2) 12 3 0 0 2 3.m   2  1  2 Vậy 144m2  1  144   1  3 .  12 3  Câu 157. Chọn D. b b b f (x) f ( x) f (x) f ( b) f ( a)  e f ‘( x)dx   e d( f ( x))  e  e  e  0. a a a Câu 158. Chọn B. 5 Ta có I   1 4 dx x 3x  1 4 1  1 1  dt     dt  2 ln 3  ln 5 , suy ra a  2, b  1 . 2 t  1 t  1  2 t 1 2  2 2 Vậy a  ab  3b2  4  2  3  5 . Câu 159. Chọn C.  1 t n 1 1 I    1  cos x  sin xdx   t dt   . 0 n1 0 n1 0 2 1 n n Câu 160. Chọn B. Đặt t   2  x  dx  dt  2  0   0 2 2    f (sin x)dx    f  sin   t   dt   f (cos t )dt   f (cos x)dx  2    0 0 2   2  0 n n 2 sin x cos x  n sin x dx  2 I   dx  I  0  4 Câu 161. Chọn D. Do hàm số f ( x)  1  cos 2 x là hàm liên tục và tuần hoàn với chu kì T   nên ta có T 2T  f ( x)dx   0  f ( x)dx  T  nT f ( x)dx  …  2T T 2T  f ( x)dx   f ( x)dx   0 2017   0 f ( x)dx  ( n 1)T nT 0  3T nT f ( x)dx  …  T  ( n 1)T T f ( x)dx  n f ( x)dx 0   1  cos 2 xdx  2017  1  cos 2 xdx  2017 2  sin xdx  4034 2 0 0 Câu 162. Chọn C.    2 2 2 1 cos x  ln(1  sin x)  ln(1  cos x) dx   (1  cos x) ln(1  sin x)dx   ln(1  cos x)dx 0 Đặt x  0  2  t  dx  dt . Đổi cận x  0  t   https://toanhocplus.blogspot.com 0  2 Trang 234 ;x   2 t 0 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna    0 2 2 2    I   ln  1  cos x dx    ln  1  cos   t  dt   ln  1  sin t dt   ln(1  sin x)dx  2    0 0 0 2    2 2 2  I   (1  cos x)ln(1  sin x)dx   ln(1  sin x)dx   cos x ln(1  sin x)dx  2 ln 2  1 0 0 0 Câu 163. Chọn D. b  (3x 2  3 2  12 x  11)dx  x  6 x  11x b  0 0 b  1   b  6b  11b  6  0  b  2 . b  3 3 2 Câu 164. Chọn C. b +Ta có  6dx  6  b  1 . 0 a u  x du  dx  +Tính  xe x dx . Đặt  . x x 0 dv  e dx v  e a Khi đó,  xe x dx  xe x 0 a 0 a   e x dx  e a  e a  1  a  a  1 . Vậy b2  a3  3a 2  2a  7 . 0 Câu 165. Chọn A. a +Tính x 0 2 dx  a2    Đặt t  a tan x; a   ;    dx  a(1  tan 2 t )dt 2 2   a(1  tan 2 t ) 14  dt  dt  Đổi cận : x  0  t  0; x  a  t  . Vậy  2 2 2  a0 4a 4 0 a tan t  a 4  b  2dx  2b , suy ra +Tính: 0 B  2b Câu 166. Chọn B. 1 1 ‘ ‘ 1 1 I    f ( x) g( x) dx = I    f ( x) g( x) dx =  g( x) f ‘( x) dx   g ‘( x) f ( x) dx  1  2  1 0 0 0 0 Câu 167. Chọn A. 3 3 3 3    f ( x)  3 g( x) dx  10   f ( x)dx  3 g( x)dx  10   f ( x)dx  4 1 1  1  3   31 Ta có  3 3   2 f ( x)  g( x) dx  6 2 f ( x)dx  g( x)dx  6  g( x)dx  2        1 1  1 1 3 3 3  I    f ( x)  g( x) dx   f ( x)dx   g( x)dx  6 1 1 1 Câu 168. Chọn D. 10 Ta có  0 2 f ( x)dx  7   f ( x)dx  0  https://toanhocplus.blogspot.com 4  2 10 f ( x)dx   f ( x)dx  7 4 Trang 235 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn 2 https://facebook.com/duytuan.qna 10 2 10   f ( x)dx  3   f ( x)dx  7   f ( x)dx   f ( x)dx  4 0 4 0 4 Câu 169. Chọn C. 1 1 +)  2 f ( x)dx  6   f ( x)dx  3 0 0 2 2 +)   2 f ( x)  g( x) dx    3 f ( x)  g( x) dx  5  35  40 0 0 2    2 f ( x)  g( x)  3 f ( x)  g( x) dx  40 0 2 2  5 f ( x)dx  40  0 1  f ( x)dx  8  0  2 2 f ( x)dx   0 1 f ( x)dx  8  3   f ( x)dx  8  I  5 . 1 Câu 170. Chọn A. 2 Đặt 2 x  t  2dx  dt , x : 0  1  t : 0  2  I  1 f (t )dt . 2 0 2 2 Mặt khác vì f ( x) là hàm chẵn nên ta có  2 Vậy ta có I  1 f ( x)dx  2  2  f ( x)dx  2   f ( x)dx  1 0 0 1 . 2 Câu 171. Chọn A. 3 2 2 3 I   f ( x)dx I   f ( x)dx   f ( x)dx =  f ( x)dx  5 0 0 0 2 Mặt khác Đặt x  t  dx   dt , x : 2  0  t : 2  0. 0  2 0 2 f ( x)dx  15    f ( t )dt  15   f ( t )dt  15   f (  x)dx  15  2 0 2 2 0 2    f ( x)dx  15   f ( x)dx  15 ( Vì f ( x) là hàm lẻ nên f (  x)   f ( x) ) 0 0  I  15  5  10 . Câu 172. Chọn B. 1 +) I  1 0    f 2 x dx = 1    f 2 x dx     0 1 1 0 f 2 x dx =  f  2 x  dx  1  f  2x  dx 0 +) Đặt 2 x  t  2dx  dt , x : 1  0  t : 2  0. 2 0 0 1 3 1   f  2 x  dx    f (t )dt   f (t )dt  20 2 22 1 +) Đặt 2 x  t  2dx  dt , x : 0  1  t : 0  2. 1 2 1 3   f  2 x  dx   f (t )dt  20 2 0 Vậy I  3 3  3. 2 2 Câu 173. Chọn B.  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 236 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Từ f ( x)  2 f (1  x)  3x  f ( x)  3x  2 f (1  x) 1 1 1  I   f ( x)dx.    3x  2 f (1  x) dx  0 0 3  2  f (1  x)dx 2 0 Đặt 1  x  t  dx  dt , x : 0  1  t : 1  0. 1 0 1  2  f (1  x)dx  2  f (t )dt  2  f (t )dt  2 I 0 1 Vậy ta có I  0 3 1  2I  I  . 2 2 Câu 174. Chọn B. 2 1 3x  f   2 f ( x)  x  dx  9  dx   x x 2 1 1 2 I 1 2 2 1 f   x  dx x 2 1 1 1 1  t   2 dx  dt , x :  2  t : 2  . x 2 2 x 1 1 1 2 2 f  2 x. f    2 x x   dx   f (t ) dt  f (t ) dt  I     dx    1 t 2 t x x2 1 1 Đặt 2 2 2 9 9 I  I  . 2 4 Câu 175. Chọn A. Vậy I    4 4 0 0 K   f  cos 2 x  sin 4 x dx   f  cos 2 x  2 sin x cos x dx 0 1 1 Đặt cos 2 x  t  2 sin 2 x dx  dt , t : 1  0  K    f  t  t dt   f  t  t dt   f  x  x dx  3 . 1 0 0 Câu 176. Chọn C. dt dt  , x : 0  ln 2 thì t : 1  4 2x 2t 2e 4 4 f t  f x 1 f  t  dt  10   dt  20    20 . 2t t x 1 1 Đặt e 2 x  t  2 e 2 x dx  dt  dx  ln 2  4    0 f e 2 x dx  10   1 Câu 177. Chọn D. x t Đặt 4  f 1 2 x dx  dt , x : 1  4 thì t : 1  2  x  dx  6  2 x 1 2  1 2 2 f  t  dt  6   f  t  dt  3   f  x  dx  3 . 1 1 Đặt cos x  t   sin x dx  dt , x : 0   2 thì t : 1  0  2 1 0 0 1   f  cos x  sin x dx  1   f  t  dt  1   f  x  dx  1  https://toanhocplus.blogspot.com 0 Trang 237 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn 2 https://facebook.com/duytuan.qna 1 2 Vậy K   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  1  3  4 . 0 0 1 Câu 178. Chọn C. x  1  t  x  1  t 2 , dx  2dt , x : 0  3 thì t : 1  2 Đặt 3  f  2  2 2 x  1 dx  8  2  tf  t  dt  8   tf  t  dt  4   xf  x  dx  4 . 0 1 1 1 Câu 179. Chọn C. 2 3 2 2 Đặt t  x  1  dt  2 x dx , t : 0  3  I   2 x x  1 dx   t dt . 1 0 Câu 180. Chọn B. Đặt ln x  t  f  ln x  e Vì  x 1 1 dx  dt , t : 0  1 ; x e  f  ln x  x 1 1 1 dx   f  t  dt   f  x  dx 0 0 1 dx  e   f  x  dx  e . 0 Câu 181. Chọn A. Đặt t  a  b  x  dt  dx , t : b  a b a b b I   f  a  b  x  dx    f  t  dt   f  t  dt   f  x  dx  7 . a b a a Câu 182. Chọn B. Đặt x  t  dx  dt , x :  3 2 K   3 3 3 3   thì t : 2 2 2 2 3 2 3 2 3 2  f  x  dx    f  t  dt   f  t  dt   f  x  dx 3 2 3 2  3 2 KK     f  x  dx   f  x  dx 3 2  3 2 3 2 3 2   f  x   f  x  dx   3  2 2  2 cos 2 x dx  3  2 3 2 4 cos 2 x dx  2 3  2     2  2 2 cos 2 x  1 dx 3  2 3 2  3 2 3 2 3 2  2K  3 2 3 2 3  2 cos x dx  2sin x 3  2  0. Câu 183. Chọn D. Đặt x  t  dx  dt , x : 1  0 thì t : 1  0 1 Ta có: f x  1 e x 0 dx  4  1 1  0 et f t  1  et f x  1 e 1 x 1 dx   0 f  x 1 e x 1 dx  4  f  t   1 e 1 t 1 dt   0 f t  1  et dt  4 1 t 1 e f t  f t    dt  4   dt  4   0 f  t  dt  4 . t 0  1  et 1  e t  0 1 e   1 dt   f t   https://toanhocplus.blogspot.com Trang 238 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Câu 184. Chọn A. Đặt: 6  x  t  dx  dt . Với x  a  t  b; x  b  t  a ( vì a  b  6) b a ln(9  x) J ln(9  x)  ln( x  3) a b ln(3  x)  ln(3  x)  ln(9  x) a b  J  J  1 1   a b  ( a b  a b ln(3  t ) dx    ln(3  t )  ln(9  t ) b ln(3  t ) dt   ln(3  t )  ln(9  t ) a dx dx b ln(9  x) ln(9  x)  ln( x  3) ln(3  x) ln(3  x)  ln(9  x) ln(3  x)  ln(9  x) ln(3  x)  ln(9  x)  dx   a ln(3  x) ln(3  x)  ln(9  x) ln(3  x) ln(3  x)  ln(9  x) dx  2 ) dx  2 b dx  2   dx  2  b  a  2. a a  b  6 a  2  Như vậy ta có:  b  a  2 b  4 b  I   x.sin a x 2 4 dx   x.sin x 2 2 dx    12 (SD Casio) Câu 185. Chọn D. Đặt: x  2  t  dx  dt Với x  2  t  0; x  3  t  5 3 Do đó 5  F( x  2) dx  1   F(t ) dt  1 2 0 5 5 x  u du  dx 5  J  x.F( x) 0   F( x) dx  5.F(5)   F(t ) dt  5.5  ( 1)  26.  Đặt   f ( x) dx  dv v  F( x) 0 0 Câu 186. Chọn C.  1 e e ln x  u e 1 u  dx Đặt   I   ln x. f ( x) dx  ln x.F ( x) 1   F ( x) dx  3  1  2  x x 1 1  f ( x) dx  dv  v  F( x)  Câu 187. Chọn D.   2 2 I   sin 2 x. f ‘(s inx) dx   2 sin x.cosx. f ‘(s inx) dx 0 0 Đặt sinx  t  cos x dx  dt với x  0  t  0; x   2 1  t  1  I   t. f ‘(t ) dt 0 t  u du  dt  Đặt  .  f ‘(t ) dt  dv v  f (t ) 1 1     1  I  2 t. f (t ) 0   f (t ) dt   2  f (1)   f ( x) dx   2 1  ( 1)  4. 0 0     Câu 188. Chọn C.  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 239 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna du  dx x  u  Đặt:   1 f ‘(2 x ) dx  dv   v  f (2 x)  2 1 I 1 1 1 1 1 1 1 1 x. f (2 x) 0   f (2 x) dx  f (2)   f (2 x) dx  1   f (2 x) dx 2 20 2 20 20 Đặt 2 x  t  2 dx  dt với x  0  t  0; x  1  t  2 . 1  2 2 1 1 1 1 1 3 3 7 f (2 x) dx  .  f (t ) dt   f ( x) dx  ( 3)    I  1  (  )  .  20 2 20 40 4 4 4 4 Câu 189. Chọn D. x  1  u du  dx  Đặt   f ‘( x) dx  dv v  f ( x) 1 1 1   ( x  1) f ‘( x) dx  10  ( x  1) f ( x) 0   f ( x) dx  10 0 0 1 1  2 f (1)  f (0)   f ( x) dx  10   f ( x) dx  8 0 0 Câu 190. Chọn C. 1 1 x  u du  dx 1   I   x. f ( x) dx  x.F ( x) 0   F( x) dx  F(1)  ( 1)  1  1  2 . Đặt   f ( x) dx  dv  v  F ( x) 0 0 Câu 191. Chọn B. 1 Ta có:  0 1 1 1 3x  1 3x  1 3( x  3)  10 3 10 dx   dx   dx   (  ) dx 2 2 2 x  3 ( x  3)2 x  6x  9 ( x  3) 0 ( x  3) 0 0 1 10 4 5  3 ln( x  3 ) 0   3 ln  . x3 0 3 6 1 4 5 a 5 Đồng nhất 3 ln  với 3 ln   a  4, b  3  ab  12 3 6 b 6 Câu 192. Chọn A. 1 1 1 1  x  u du  dx 1 1 1 2 x x   x . e dx   x . e  e  x dx    e  x     1  1  . Đặt   x   x 0 0 e e e e e dx  dv v  e 0 0 2 b Đồng nhất 1  với a   a  1; b  2  M  a  2b  5 . e e Câu 193. Chọn B. 2 Ta có :  x 2x 2 x 1 1 2 I1   1 2 2   dx   2 x x  x 2  1 dx  2×3 2 x dx  3 1 2 2  2 2 x 2 dx  1  2x x 2  1 dx  I1  I 2 . 1 4 2 2 . 3  1 2 Đặt t  x  1  x 2  1  t 2  2 xdx  2tdt . Đổi cận : x  1  t  0; x  2  t  1. 2  I2   1 1 2t 3 2 x x  1 dx  2  t dt  3 0 2 1 2  0 2  3 2  x 1 2x 2 x 1 dx  I1  I 2  4 2 4 3  a  4; b  4  S  a  b  0.  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 240 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Câu 194. Chọn C. Đặt t  e x  e x dx  dt. Đổi cận : x  0  t  1; x  1  t  e . 1 1 e e e e e x dx dx 1 1  dt    0 e x  1 0 e x e x  1 1 t  t  1 1  t  t  1  dt  ln t 1  ln  t  1 1  1  ln  e  1  ln 2   1  ln  e1  a  1; b  1  S  0 . 2 Câu 195. Chọn B. dx  du u  x    Đặt  1 dv  cos2 x dx  v  sin 2 x  2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 x cos 2x dx  2 x sin 2 x 0  2 0 sin 2x dx  2 sin 2  4 cos2x 0  2 sin 2  2 cos2  4  1  2 sin 2  cos2  1 4  a  2, b  1, c  1  a  b  c  0 . Câu 196. Chọn A. Đặt t  3x  1  t 2  3 x  1  2tdt  3dx . Đổi cận : x  0  t  1; x  1  t  2 . 1 1 3 x  3e 0 2 u  t dt  du  dx  2  t.e t dt . Đặt  t t 1 dv  e dt v  e 1 2   2 2 dx  2 t.e t   e t dt   2  2e 2  e  e t   2e 2 .  1 1  0 1    a  10, b  0, c  0  S  10. Câu 197. Chọn D.   3e 1 3 x Đặt t  x2  1  dt  2 x dx . Đổi cận : x  2  t  5; x  1  t  2 . 1 2 5 5 1 1 1 m I   x. f x  1 dx   f  t  dt    f  t  dt    f  x  dx   25 22 22 2 2  2  Câu 198. Chọn D. 2 a  x  1  1 dx   x  1  1  dx  x2  x a  ln x  1 a x2  2 x  2 dx   0 0 x  1 0 x  1 0  0 x  1  2 0 a a 1  a2  a  ln  a  1 2  a1  3  a  2 . Câu 199. Chọn D. Đặt t  sin x  dt  cos x dx . Đổi cận : x  0  t  0; x   1 2  6 t 1 . 2 1 t n1 2 1    sin x.cosx dx   t dt  . n  1 0  n  1 .2 n1 0 0 6 n n  6   sin 0 n x.cosx dx  1 1 1    2n1  128  n  1  7  n  6 . n 1 128  n  1 128 n  1    n  1 .2  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 241 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Câu 200. Chọn D. u  ax  b du  a dx  Đặt  dv  sin x dx v   cos x  2   2     ax  b  sin x dx    ax  b  . cosx 02  a  cosx dx  b  a sin x 02  b  a . 0 0  2    ax  b  sin x dx  4  b  a  4 . 0  3 a  2 b  1  a  7   P  a  b  18 . Như vậy ta có  a  b  4 b  11  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 242 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Chuû ñeà 3 ÖÙNG DUÏNG CUÛA TÍCH PHAÂN  A. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG I. LÝ THUYẾT CẦN NẮM Trước khi vào lý thuyết của phần ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng, ta sẽ chứng minh tính chất được dùng trong phần này. b Tính chất: Nếu trên đoạn [a; b] , hàm số f ( x) không đổi dấu thì: b f ( x) dx   a  f ( x)dx *  a Chứng minh: Hàm số f  x  không đổi dấu trên đoạn  a; b  , nghĩa là f  x  luôn dương hoặc luôn âm x   a; b  . Trường hợp 1: f  x   0 x   a; b  : Gọi F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  .  F   x   f  x   0 x   a; b   F  x  luôn đồng biến trên  a; b   F  b   F  a   F  b   F  a   0. b Ta có:  a b b f ( x) dx   f  x  dx  F  x   F  b   F  a  a a b  f ( x)dx  F  x  a b a b  1  F b  F  a  F  b  F  a 2 b Từ  1 ,  2    f ( x) dx  a  f ( x)dx a b Trường hợp 2: f  x   0 x   a; b  : Chứng minh tương tự, suy ra:  b f ( x) dx  a  f ( x)dx a Qua hai trường hợp, ta suy ra được điều phải chứng minh. 1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f ( x) liên tục trên đoạn  a; b  , trục hoành b và hai đường thẳng x  a , x  b được xác định: S   f ( x) dx a y y  f (x) O a c1 c2 c3 b x  https://toanhocplus.blogspot.com y  f  x   H  :  y  0  xa  xb  Trang 243 b S   f  x  dx a Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Phương pháp giải: b Cách 1: Tính S   f ( x) dx theo phương pháp đã trình bày ở phần tích phân hàm trị tuyệt đối. a Cách 2: Áp dụng tính chất  *  đã được chứng minh ở trên. o Giải phương trình f ( x)  0 (1) trên đoạn  a; b  . b b o Nếu (1) vô nghiệm thì S   f ( x) dx  a  f  x  dx . a o Nếu (1) có nghiệm thuộc  a; b  , giả sử có duy nhất 1 nghiệm là  thì:  b  b S   f ( x) dx   f ( x) dx   f ( x) dx  a  a  b f  x  dx   f  x  dx  a 2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f ( x) , y  g( x) liên tục trên đoạn  a; b  và b hai đường thẳng x  a , x  b được xác định: S   f ( x)  g( x) dx a y (C1 ) (C 2 ) O c2 a c1 x b  C1  : y  f  x   C : y  g  x  H  :  2  xa   xb  b S   f  x   g  x  dx a Phương pháp giải: b Cách 1: Tính S   f ( x)  g( x) dx theo pp đã trình bày ở phần tích phân hàm trị tuyệt đối. a Cách 2: Áp dụng tính chất  *  đã được chứng minh ở trên. o Giải phương trình f ( x)  g( x) (1) trên đoạn  a; b  . b b o Nếu (1) vô nghiệm thì S   f  x   g  x  dx  a   f ( x)  g( x)  dx . a o Nếu (1) có nghiệm thuộc  a; b  , giả sử có duy nhất 1 nghiệm là  thì:  b S   f  x   g  x  dx  a b   f ( x)  g( x)  dx    f ( x)  g( x)  dx  a Chú ý: Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường x  g( y) , x  h( y) và hai đường thẳng d y  c , y  d được xác định: S   g( y)  h( y) dy . c  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 244 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna II. MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA 1. Một số bài toán về tính diện tích giới hạn bởi các đường cho trước Trong phần này, tôi sẽ trình bày hướng đi hơn là tập trung giải chi tiết các tích phân hàm trị tuyệt đối; vấn đề này đã được đề cập trước đó, các em có thể xem lại trong phần C- IV (chủ đề 2). Bài toán 1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y   x2  4 , đường thẳng x  3 , trục tung và trục hoành là : A. 22 3 B. 32 3 C. 25 3 D. 23 3 Lời giải: Chọn D. 3 Theo công thức ta có S    x 2  4 dx 0 2 Xét phương trình  x  4  0 trên đoạn 0; 3 có nghiệm x  2 . 3 2 3 2   3   Suy ra S    x 2  4 dx    x 2  4 dx    x 2  4 dx    x 2  4 dx   4  x 2 dx  0 0 3 2 2 Hoặc S    x 2  4 dx  0   x 2 0 3   4 dx  0   x 2 2   4 dx  2 23 . 3 23 . 3 Bài toán 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y  x 3  4 x , trục hoành và hai đường thẳng x  3; x  4 là A. 202 3 B. 203 4 C. 201 5 D. 201 4 Lời giải: Chọn D. Xét phương trình x 3  4 x  0 trên đoạn   3; 4  có nghiệm x  2; x  0; x  2 . 2 Suy ra S  0 x 3 3 2 3 4 3  4 x dx   x  4 x dx   x  4 x dx   x 3  4 x dx  2 0 2 201 4 Nhận xét: Dùng bảng xét dấu để bỏ trị tuyệt đối, sau đó tính tích phân cơ bản nếu làm tự luận. Đối với trắc nghiệm, các em có thể sử dụng máy tính cầm tay để bấm kết quả. Bài toán 3: Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y  2 x 3  3×2  1 và y  x 3  4 x2  2 x  1 là A. 37 13 B. 37 12 C. 3 D. 4 Lời giải: Chọn B. Phương trình hoành độ giao điểm :  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 245 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna 2 x3  3x 2  1  x3  4 x 2  2 x  1      2 x3  3x 2  1  x 3  4 x2  2 x  1  x 3  x2  2 x  0  x  2   x  x  1 x  2   0   x  0  x  1 1 Nên S   0 x 3  x 2  2 x dx  2 1 3 2 3 2  ( x  x  2 x)dx   ( x  x  2x)dx 2 0 0 1  x4 x3   x4 x3  37     x2      x 2   .  4 3  2  4 3  0 12 b Nhận xét: Áp dụng nếu trên đoạn [a; b] , hàm số f ( x) không đổi dấu thì:  b f ( x) dx  a  f ( x)dx a Bài toán 4: Hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y  x 2  1 , y  x  5 . Diện tích của (H) bằng A. 71 3 73 3 B. C. 70 3 D. 74 3 Lời giải: Chọn B. Xét phương trình x 2  1  x  5 có nghiệm x  3, x  3 3   3    Suy ra S   x 2  1  x  5 dx  2  x 2  1   x  5  dx (vì hàm số x 2  1  x  5 là hàm số chẳn -3 0 nên đồ thị đối xứng qua trục tung). Bảng xét dấu x2  1 trên đoạn 0; 3 x 0 2 1 – x 1 3 0 + 3 3 1  1 2  73 2 2 Vậy S  2    x  x  4 dx   x  x  6 dx   2   x  x  4 dx    x 2  x  6 dx   . 1 1 0  0  3    3 1 1  Hoặc S  2    x 2  x  4 dx   x 2  x  6 dx   2    x 2  x  4 dx  1 0   0    3  x 1 2  73  x  6 dx   .  3  Bài toán 5: Hình phẳng  H  được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y  x 2  4 x  3 , y  x  3 . Diện tích của (H) bằng A. 108 5 B. 109 5 C. 109 6 D. 119 6 Lời giải: Chọn C.  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 246 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Xét phương trình x 2  4 x  3  x  3 có nghiệm x  0, x  5 5 5  S    x 2  4 x  3   x  3   dx   x 2  4 x  3  x  3 dx   0 0 x  1 Ta có x 2  4 x  3  0   . x  3 5 1   3  5    Suy ra S   x 2  4 x  3  x  3 dx   x 2  5 x dx    x 2  3 x  6 dx   x 2  5 x dx  0 0 1 3 109 . 6 1 2 27 bằng x ; y 27 x D. 29 ln 3 Bài toán 6: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y  x 2 ; y  A. 27 ln 2 B. 27 ln 3 C. 28 ln 3 Lời giải: Chọn B. Xét các pthđgđ x 2  x2 27 x 2 27  0  x  0; x 2   0  x  3;  0x9 27 x 27 x Suy ra 3 9   27 x 2  x2  S    x 2  dx      dx  27 ln 3 . 27  x 27  0 3 Bài toán 7: (CHU VĂN AN – HN) Cho hàm số y  x 4  3 x 2  m có đồ thị  C m  với m là tham số y thực. Giả sử  Cm  cắt trục Ox tại bốn điểm phân biệt như C  hình vẽ . m Gọi S1 , S2 và S3 là diện tích các miền gạch chéo được cho trên hình vẽ. Tìm m để S1  S2  S3 . 5 A. m   . 2 5 C. m  . 2  https://toanhocplus.blogspot.com 5 B. m   . 4 5 D. m  . 4 Trang 247 S3 S1 O S2 x Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna y Lời giải: Chọn D. Đặt f  x; m   x 4  3 x 2  m Giả sử a, b  a  b là nghiệm dương của phương trình S3 x 4  3x 2  m  0 . Khi đó ta có: b 4  3b 2  m  0 (1) S1 O S2 x Vì x 4  3x 2  m  0 là hàm trùng phương nên có tính chất đối xứng:  S1  S2  S1  S2  S3  2S2  S3  a  0 b 1 S  S2 . 2 3 a b f  x , m  dx   f  x , m  dx   f  x , m  dx    f  x , m  a 0 a a b b   f  x , m  dx   f  x , m  dx  0   f  x , m  dx  0 0 b x 4 a 0 5   3x 2  m dx  0  0 4 b b  b3  mb  0   b2  m  0 (2)  do b  0  5 5 4 4 5 b  2b2  0  b2  (do b  0) . 5 2 5 Thay trở ngược vào (1) ta được m  . 4 Từ (1) và (2), trừ vế theo vế ta được x4  2m2 x 2  2 . Tập hợp tất cả các 2 giá trị của tham số thực m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có cực đại và cực tiểu, đồng thời Bài toán 8: (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ LẦN 8) Cho hàm số y  đường thẳng cùng phương với trục hoành qua điểm cực đại tạo với đồ thị một hình phẳng có diện tích bằng 64 là: 15 B. 1 . A.  .  2  ; 1 . C.   2   1  D.  ; 1 . 2   Lời giải: Chọn B. Tập xác định D   . x  0  y  2 x 3  4 m 2 x  2 x x 2  2 m 2 ; y  0   x  2 m   x   2m   Đồ thị của hàm số đã cho có cực đại và cực tiểu  m  0 1  0 nên hàm số đạt cực đại tại x  0 suy ra điểm cực đại của đồ thị hàm số là A  0; 2  2 Đường thẳng cùng phương với trục hoành qua điểm cực đại có phương trình là d : y  2 . Vì a   https://toanhocplus.blogspot.com Trang 248 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Phương trình hoành độ giao điểm của  C m  và d là: x  0 2   x  0 x  2m2 x2  2  2   2  x  2 m 2 2  x  4 m   x  2 m 4 Diện tích hình phẳng cần tìm là: (chú ý rằng hàm số đã cho là hàm chẵn) 2m S  2 m Ta có S  2m x4 x4  2m2 x2 dx  2   2m2 x2 dx  2 2 2 0 2m  0 2m  x4  x5 2 2 3  2 2   2m x  dx  2   m x   2   10 3 0  64 5 m 15 m  1 64  m 1  . 15  m  1 Bài toán 9: (THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN) Cho hàm số y  f  x  có đồ thị trên đoạn   1; 4  4 như hình vẽ dưới. Tính tích phân I   f ( x)dx 1 5 . 2 C. I  5 . 11 . 2 D. I  3 . A. I  B. I  Lời giải: Chọn A. Gọi A  1; 0  , B  0; 2  , C  1; 2  , D  2; 0  , E  3;  1 , F  4;  1 , H  1; 0  , K  3; 0  , L  4; 0  . 4 Khi đó I   0 f ( x)dx  1 0   1  1 1 1 2 3 4 f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx 0 2 1 3 2 3 4 f ( x) dx   f ( x) dx   f ( x) dx   f ( x) dx   f ( x) dx 0 1 2 3 ( do f  x   0 , x    1; 2  và f  x   0 , x   2; 4  ) 1 1 1 5  SABO  SOBCH  SHCD  SDKE  SEFLK = 2  1  2  1   2  1  1  1  1  1  . 2 2 2 2  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 249 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna 2. Một số bài toán về ứng dụng tích phân tính diện tích trong thực tế Bài toán 1: (CHUYÊN VINH – L2) Trong Công viên Toán học y có những mảnh đất mang hình dáng khác nhau. Mỗi mảnh được trồng một loài hoa và nó được tạo thành bởi một trong những đường cong đẹp trong toán học. Ở đó có một mảnh đất x mang tên Bernoulli, nó được tạo thành từ đường Lemmiscate   có phương trình trong hệ tọa độ Oxy là 16 y 2  x 2 25  x 2 như hình vẽ bên. Tính diện tích S của mảnh đất Bernoulli biết rằng mỗi đơn vị trong hệ tọa độ Oxy tương ứng với chiều dài 1 mét. A. S  125 m2 6   B. S  125 4 m  2 C. S  250 3 m  2 D. S  125 3 m  2 Lời giải: Chọn D. Vì tính đối xứng trụ nên diện tích của mảnh đất tương ứng với 4 lần diện tích của mảnh đất thuộc góc phần tư thứ nhất của hệ trục tọa độ Oxy .  x  5 1  2 Từ giả thuyết bài toán, ta có y   x 25  x  y  0   x  0 . 4  x  5 Góc phần tư thứ nhất y  1 x 25  x 2 ; x  0; 5  4 5 Nên S( I )  1 125 125 3 x 25  x 2 dx  S (m ) .  40 12 3 Bài toán 2: Ông An có một mảnh vườn hình Elip có độ dài trục lớn bằng 16m và độ dài trục bé bằng 10m . Ông muốn trồng hoa trên một dải đất rộng 8m và nhận trục bé của elip làm trục 8m đối xứng (như hình vẽ). Biết kinh phí để trồng hoa là 100.000 đồng/ 1m 2 . Hỏi ông An cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn.) A. 7.862.000 đồng. B. 7.653.000 đồng. C. 7.128.000 đồng. D. 7.826.000 đồng. Lời giải: Chọn B. x2 y 2  1. a 2 b2 Từ giả thiết ta có 2a  16  a  8 và 2b  10  b  5 Giả sử elip có phương trình  5 2  y   8 64  y ( E1 ) x2 y2   1  Vậy phương trình của elip là 64 25  y  5 64  y 2 ( E ) 1  8  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 250 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Khi đó diện tích dải vườn được giới hạn bởi các đường ( E1 ); ( E2 ); x  4; x  4 và diện tích của 4 4 5 5 64  x 2 dx   64  x 2 dx dải vườn là S  2  8 20 4  3 Tính tích phân này bằng phép đổi biến x  8 sin t , ta được S  80    4  6  3 Khi đó số tiền là T  80    .100000  7652891, 82  7.653.000 . 4  6 Bài toán 3: Vòm cửa lớn của một trung tâm văn hoá có dạng hình Parabol. Người ta dự định lắp cửa kính cường lực cho vòm cửa này. Hãy tính diện tích mặt kính cần lắp vào biết rằng vòm cửa cao 8m và rộng 8m (như hình vẽ) A. 28 2 m 3   B. 26 2 m 3   C. 128 2 m 3   D. 131 2 m 3   Lời giải: Chọn D. Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ. Ta có Gọi  P1  : y  ax 2  c là Parabol đi qua hai điểm A  4; 0  , B  0; 8  Nên ta có hệ phương trình sau:  1 0  a.16  c 1 2 a    2   P1  : y   x  8  2 c  8 c  8 4 S 1  2x 2 8  4 128 2 m . 3   Bài toán 4: Một công ty quảng cáo X muốn làm một bức tranh trang trí hình MNEIF ở chính giữa 12 m I A của một bức tường hình chữ nhật ABCD có chiều B E F 6m cao BC  6 m , chiều dài CD  12 m (hình vẽ bên). Cho biết MNEF là hình chữ nhật có MN  4 m ; cung EIF có hình dạng là một phần của cung parabol có đỉnh I là trung điểm của cạnh AB và đi M D 4m N C qua hai điểm C, D. Kinh phí làm bức tranh là 900.000 đồng/ m2 . Hỏi công ty X cần bao nhiêu tiền để làm bức tranh đó ? A. 20.400.000 đồng. B. 20.600.000 đồng. C. 20.800.000 đồng. D. 21.200.000 đồng. Lời giải: Chọn D.  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 251 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna – Nếu chọn hệ trục tọa độ có gốc là trung điểm O của MN, trục hoành trùng với đường thẳng 1 MN thì parabol có phương trình là y   x2  6 . 6 2  1  208 2 – Khi đó diện tích của khung tranh là S     x 2  6  dx  m 6 9  2  – Suy ra số tiền là: 208  900.000  20.800.000 đồng. 9 Bài toán 5: Một Chi đoàn thanh niên đi dự trại ở một đơn vị bạn, họ dự định dựng một lều trại có dạng parabol (nhìn từ mặt trước, lều trại được căng thẳng từ trước ra sau, mặt sau trại cũng là parabol có kích thước giống như mặt trước) với kích thước: nền trại là một hình chữ nhật có chiều rộng là 3 mét, chiều sâu là 6 mét, đỉnh của parabol cách mặt đất là 3 mét. Hãy tính thể tích phần không gian phía trong trại để cử số lượng người tham dự trại cho phù hợp. A. 60( m3 ) B. 36( m3 ) C. 40( m3 ) D. 48( m3 ) Lời giải: Chọn A. Giả sử nền trại là hình chữ nhật ABCD có AB  3 mét, BC  6 mét, đỉnh của parabol là I . Chọn  3  3  hệ trục tọa độ Oxy sao cho: O là trung điểm của cạnh AB , A   ; 0  , B  ; 0  , I  0; 3  , phương  2  2  4 trình của parabol có dạng : y  ax 2  b  a  0  , do I , A , B thuộc  P  nên ta có: y   x2  3 . 3 3 2  4  Vậy thể tích phần không gian phía trong trại là : V  6.2    x 2  3  dx  36( m 3 ) . 3  0 Bài toán 6: Một sân chơi cho trẻ em hình chữ nhật có chiều dài 100m và chiều rộng là 60m người ta làm một con đường nằm trong sân (Như hình vẽ). Biết rằng viền ngoài và viền trong của con đường là hai đường elip, Elip của đường viền ngoài có trục lớn và trục bé lần lượt song song với các cạnh hình chữ nhật và chiều rộng của mặt đường là 2m . Kinh phí cho mỗi m2 làm đường 600.000 đồng. Tính tổng số tiền làm con đường đó. (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn). 100m 2m 60m A. 293904000. B. 283904000. C. 293804000. D. 283604000. Lời giải: Chọn A.  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 252 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Xét hệ trục tọa độ Oxy đặt gốc tọa độ O vào tâm của hình Elip. y2 x2 Phương trình Elip của đường viền ngoài của con đường là  E1  : 2  2  1 . Phần đồ thị của 50 30  E  nằm phía trên trục hoành có phương trình y  30 1 1 x2  f1  x  . 50 2 Phương trình Elip của đường viền trong của con đường là  E2  :  E2  nằm phía trên trục hoành có phương trình y  28 1  y2 x2   1 . Phần đồ thị của 48 2 28 2 x2  f2  x  . 48 2 Gọi S1 là diện tích của  E1  và bằng hai lần diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi trục hoành và đồ thị hàm số y  f1  x  . Gọi S2 là diện tích của  E2  và bằng hai lần diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi trục hoành và đồ thị hàm số y  f 2  x  . Gọi S là diện tích con đường. 50 48 Khi đó: S  S1  S2  2  30 1  50 a Tính tích phân I  2  b 1  a x2 x2 dx  2 28 1  dx .  502 48 2 48 x2 dx , a , b    . a2        Đặt x  a sin t ,    t    dx  a cos tdt . Đổi cận x  a  t   ; x  a  t  . 2 2 2 2     2 2   2  sin 2t  2 Khi đó I  2  b 1  sin t .a cos t dt  2 ab  cos t dt  ab   1  cos 2t  dt  ab  t   ab . 2           2 2 2 2 2 2 Do đó S  S1  S2  50.30  48.28  156 . Vậy tổng số tiền làm con đường đó là 600000.S  600000.156  294053000 (đồng). Bài toán 7: Một mảnh vườn hình tròn tâm O bán kính 6m . Người ta cần trồng cây trên dải đất rộng 6m nhận O làm tâm đối xứng, biết kinh phí trồng cây là 70000 đồng / m 2 . Hỏi cần bao nhiêu tiền để trồng 6m cây trên dải đất đó (số tiền được làm tròn đến hàng đơn vị) A. 8412322 đồng. B. 8142232 đồng. C. 4821232 đồng. D. 4821322 đồng. O Lời giải: Chọn D. Xét hệ trục tọa độ oxy đặt vào tâm khu vườn , khi đó phương trình đường tròn tâm O là x 2  y 2  36 . Khi đó phần nửa cung tròn phía trên trục Ox có phương trình: y  36  x 2  f ( x)  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 253 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Khi đó diện tích S của mảnh đất bằng 2 lần diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục hoành, đồ thị y  f ( x) và hai đường thẳng x  3; x  3 3  S  2  36  x 2 dx 3 Đặt x  6 sin t  dx  6 cos tdt . Đổi cận : x  3  t    ; x3t  6  6    6 6 6 2  18 3  12  S  2  36 cos tdt  36  (cos 2t  1)dt  18(sin 2t  2t )   6   6   6 Do đó số tiền cần dùng là 70000.S  4821322 đồng.  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 254 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna B. TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ VÀ THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY I. LÝ THUYẾT CẦN NẮM 1. Tính thể tích vật thể Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b; S( x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x , ( a  x  b) . Giả sử S( x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b] . (V ) b V   S( x)dx x a O b x a S(x) b Khi đó, thể tích của vật thể B được xác định: V   S( x)dx a 2. Tính thể tích khối tròn xoay – Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f ( x) , trục hoành và hai đường thẳng x  a , x  b quanh trục Ox: y y  f (x) O a b x  C  : y  g  x     Ox  : y  0  xa   xb  b 2 Vx     f  x   dx a Tương tự: – Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường x  g( y) , trục hoành và hai đường thẳng y  c , y  d quanh trục Oy: y d x  g y c O  C  : x  g  y     Oy  : x  0  yc   yd  d 2 Vy     g  y   dy c x  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 255 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna – Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f ( x) , y  g( x) và hai đường thẳng x  a , x  b quanh trục Ox: b V    f 2 ( x)  g 2 ( x) dx a II. MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA 1. Một số bài toán tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường cho trước Bài toán 1: Cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường y 2  4 x và đường thẳng x  4 . Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi D xoay quanh trục Ox là: A. 32 B. 64 C. 16 D. 4 Lời giải : Chọn A. Giao điểm của đường y 2  4 x với trục hoành là : O  0; 0  . Phần phía trên Ox của đường y 2  4 x có phương trình y  2 x . 4 Suy ra thể tích khối tròn xoay sinh ra khi D xoay quanh trục Ox là: V    .(2 x )2 dx  32 . 0 Bài toán 2: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y  ln x , y  0, x  2 quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:  B.  2 ln 2 2  4 ln 2  2 A. 2 ln 2 2  4 ln 2  2  C. 2 ln 2 2  2 ln 2  1   D.   2 ln 2  1 Lời giải : Chọn C. Tọa độ giao điểm của hai đường y  ln x và y  0 là điểm C (1; 0) . 2 Nên thể tích của khối tròn xoay cần tính là: V    .ln 2 xdx. 1  2 ln x 2 2 2 dx u   ln x du   Đặt  . Suy ra : V   x ln 2 x  2  ln xdx  2 ln 2 2  2 I . x 1 dv  dx 1 v  x   dx 2 u  ln x du  2  Tính I   ln xdx . Đặt  x . Nên I  x ln x 1   dx  2 ln 2  1. dx  dx v  x 1 1  2   Vậy V  2 ln 2 2  2  2 ln 2  1  2 ln 2 2  2 ln 2  1 .  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 256 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Bài toán 3: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y  a.x 2 , y  bx ( a , b  0) quay xung quanh trục Ox . Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng: A. V   . b3  1 1     a3  3 5  B. V   . b5 5a 3 C. V   . b5 3a 3 D. V   . b5  1 1     a3  3 5  Lời giải : Chọn D. b b2 Tọa độ giao điểm của hai đường y  ax 2 và y  bx là các điểm O(0; 0) và A( ; ) . a a b a b a Vậy thể tích của khối tròn xoay cần tính là: V    .b2 x 2 dx    .a2 x 4 dx   . 0 0 b5 1 1 (  ). a3 3 5 Bài toán 4: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x 3  6 x 2  9 x , y  0 quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng: A. 729 35 B. 27 4 C. 256608 35 D. 7776 5 Lời giải : Chọn A. Tọa độ giao điểm của đường y  x 3  6 x 2  9 x với y  0 là các điểm O(0; 0) và A(3; 0) . 3   2 Vậy thể tích của khối tròn xoay cần tính là: V    x 3  6 x 2  9 x dx  0 729 . 35 Bài toán 5: Một vật có kích thước và hình dáng y như hình vẽ dưới đây. Đáy là hình tròn giới hạn bởi đường tròn x 2  y 2  16 (nằm trong mặt phẳng Oxy), cắt vật bởi các mặt phẳng x O vuông góc với trục Ox ta được thiết diện là tam giác đều. Thể tích của vật thể là: A. V  256 3 . 3 B. V  256 . 3 C. V  32 3 . 3 D. V  32 . 3 Lời giải : Chọn A. Giao điểm của thiết diện và Ox là H. Đặt OH  x suy ra cạnh của thiết diện là 2 16  x 2 . Diện tích thiết diện tại H là S( x)  3 4(16  x 2 ) . 4 4 Vậy thể tích của vật thể là V   4  https://toanhocplus.blogspot.com 3(16  x 2 )dx  256 3 . 3 Trang 257 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Bài toán 6: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y  2 x 2 , y 2  4 x quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng: A. V  88 . 5 B. V  9 . 70 C. V  4 . 3 D. V  6 . 5 Lời giải : Chọn A. Với x  0; 2  thì y 2  4 x  y  4 x Tọa độ giao điểm của đường y  2 x2 với y 2  4 x là các điểm O(0; 0) và A(1; 2) . Vậy thể tích của 1   khối tròn xoay cần tính là: V    2 x 2 0 2 1    4 x dx    4 x  4 x 2 dx  0 6 . 5   Bài toán 7: Thể tích khối tròn xoay được giới hạn bởi các đường y  1  x 2 , y  0, x  0 và x  2 khi quay quanh trục Ox bằng: A. 8 2 . 3 B. 2  . C. 46 . 15 D. 5 . 2 Lời giải : Chọn A.   Thể tích khối tròn xoay được giới hạn bởi các đường y  1  x 2 , y  0, x  0 và x  2 khi quay 2  quanh trục Ox là: V    1  x 0 2  2 2 dx     https://toanhocplus.blogspot.com 0 2   2×3 x5  46    . 1  2 x  x dx    x  3 5  0 15  2 Trang 258 4  Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna 2. Một số bài toán tính thể tích vật thể và thể tích khối tròn xoay trong thực tế Bài toán 1: (CHU VĂN AN – HN) Cho hai mặt cầu  S1  ,  S2  có cùng bán kính R thỏa mãn tính chất: tâm của  S1  thuộc  S2  và ngược lại. Tính thể tích phần chung V của hai khối cầu tạo bởi (S1 ) và (S2 ) . A. V   R3 . B. V   R3 2 C. V  . 5 R3 . 12 D. V  2 R3 . 5 Lời giải: Chọn C. y Gắn hệ trục Oxy như hình vẽ 2 (C ) : x  y 2  R 2 Khối cầu S  O , R  chứa một đường tròn lớn. Đường tròn lớn có phương trình là:  C  : x 2  y 2  R 2  y  x   R2  x 2 C  O là phương trình nửa đường x R R 2 tròn nằm phía trên trục Ox . Quay hình phẳng giới hạn bởi phương trình  C  ; x R 1 ; x  R quanh trục hoành ta được V tạo thành từ phần chung của 2 quả cầu (S1 ) và (S2 ) . 2 2 R Vậy thể tích chung của hai quả cầu cần tính là: V  2  R  R 2  x3  5 R3 R  x dx  2  R2 x    . 3 R 12  2 2  2 Bài toán 2: Người ta dựng một cái lều vải (H) có dạng S hình “chóp lục giác cong đều” như hình vẽ bên. Đáy của (H) là một hình lục giác đều cạnh 3m. Chiều cao SO  6m (SO vuông góc với mặt phẳng đáy). Các cạnh bên của (H) là các sợi dây c1 , c2 , c3 , c4 , c5 , c6 nằm trên các c6 đường parabol có trục đối xứng song song với SO. Giả 1m c1 c5 sử giao tuyến (nếu có) của (H) với mặt phẳng (P) vuông c2 góc với SO là một lục giác đều và khi (P) qua trung điểm của SO thì lục giác đều có cạnh bằng 1m. Tính thể tích c3 c4 O phần không gian nằm bên trong cái lều (H) đó. A. 135 3 ( m3 ) 5 B. 96 3 ( m3 ) 5 C. 135 3 ( m3 ) 4 D. 135 3 ( m3 ) 8 3m Lời giải: Chọn D. Đặt hệ tọa độ như hình vẽ, ta có parabol cần tìm đi qua 3 điểm có tọa độ lần lượt là A(0; 6), B(1; 3), C(3; 0) nên có phương trình là y   https://toanhocplus.blogspot.com 1 2 7 x  x6 2 2 Trang 259 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Theo hình vẽ ta có cạnh của thiết diện là BM 2  7 1 7 1 Suy ra: 2 y  x 2  7 x  12   x    2 y   x   2 y  2 4 2 4  7 1 7 1 Vì x  0; 3    x  2 y   x   2 y  2 4 2 4 Nếu ta đặt t  OM thì BM  7 1  2t  2 4 Khi đó diện tích của thiết diện lục giác: 2 BM 2 3 3 3  7 1 S(t )  6.    2t   , với t  0; 6  4 2  2 4  ( Diện tích thiết diện lục giác bằng 6 lần diện tích tam giác đều nhỏ tạo nên nó) Vậy thể tích của túp lều theo đề bài là: 6 2 6 3 3 7 1 135 3 V   S(t )dt   .   2t   dt    2 2 4 8 0 0 4 cm Bài toán 3: Có một vật thể là hình tròn xoay có dạng giống như một cái ly như hình vẽ dưới đây. Người ta đo được đường kính của A O B miệng ly là 4cm và chiều cao là 6cm . Biết rằng thiết diện của chiếc  ly cắt bởi mặt phẳng đối xứng là một parabol. Tính thể tích V cm 3  6 cm của vật thể đã cho. A. V  12 . C. V  B. V  12 . 72 . 5 D. V  72 . 5 I Lời giải: Chọn A. Chọn gốc tọa độ O trùng với đỉnh I của parabol  P  . Vì parabol A  2; 6  , B  2; 6  và I  0; 0  nên parabol  P  có phương trình y  Ta có y   P đi qua các điểm 3 2 x . 2 3 2 2 x  x2  y . 2 3 6 2  Khi đó thể tích của vật thể đã cho là V     y  dy  12 cm3 . 3  0   Bài toán 4: (THPT Chuyên Lê Hồng Phong – Tp. HCM năm 2016 – 2017) Cho hình trụ có bán kính đáy bằng R. Tính thể tích vật thể tạo thành bởi đáy của hình trụ và mặt phẳng qua đường kính đáy, biết mặt phẳng tạo với đáy một góc 450. A. V  8 R3  3 B. V   https://toanhocplus.blogspot.com 2 R3  3 C. V  Trang 260 2 R3  3 D. V  8 R3  3 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Lời giải : Chọn C. Gắn trục tọa độ Ox như hình vẽ. Gọi BC là đường kính đáy Điểm A là điểm thuộc mặt phẳng cắt khối trụ sao cho OA  BC. D là hình chiếu vuông góc của A trên  BCD  Ta có:  ABC  ;  BCD   45  0   450.  AOD Gọi  P  là mặt phẳng vuông góc với trục Ox , cắt khối vật thể theo một thiết diện là hình chữ nhật FGHI ; M  OA  IF; N  OD  HG. Đặt ON  x . Ta có: IH  FG  MN  x.tan 450  x; HG  2 NH  2 OH 2  ON 2  2 R 2  x 2 Diện tích hình chữ nhật FGHI bằng: MN .HG  2 x R 2  x 2 Diện tích FGHI là một hàm liên tục trên đoạn  0; R  Thể tích khối vật thể tạo thành: R R   V   2 x R2  x 2 dx    R2  x 2 d R2  x 2   0 0 2 2 R  x2 3   R2  x 2 R  0 2 3 R . 3 Nhận xét: Học sinh có thể dùng phương pháp đổi biến số để tính tích phân trên bằng cách đặt: R 2  x 2  t. Công thức tổng quát khi mặt phẳng cắt khối trụ tạo với đáy góc  thì thể tích tạo thành: V 2 3 R tan  3 Bài toán 5: Một hình xuyến dạng cái phao có kích thước như hình vẽ. Tính thể tích của hình đó theo R và r . A. V  2 2 r 2 R. B. V  2 2 rR2 . C. V   2 r 2 R. D. V   2 rR2 .  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 261 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Lời giải: Chọn A. Xét hệ trục toạ độ Oxy như hình vẽ. 2  Phương trình đường tròn tâm I  R; 0  , bán kính r có phương trình là:  x  R   y 2  r 2 . x  R  r 2  y 2  xR  r y    x  R  r 2  y 2 2 2 Khi đó hình xuyến dạng cái phao được tạo ra khi ta quay đường tròn  I ; r  quanh trục Oy . Thể tích cái phao là: r  2  V   R r y r 2 2   R  2 r y 2  2 r dy  4 R  r 2  y 2 dy . r  r  2 2 2 Đặt y  r sin t  dy  r cos tdt    V  4 R  ( r cos t ) r  2 2   2  sin 2t  2 2 2  2 r 2 R  (1  cos 2t )dt  2 r 2 R  t    2 r R 2      2 2 Bài toán 6: Gọi  H  là phần giao của hai khối 1 hình trụ có bán kính a , hai trục hình trụ 4 vuông góc với nhau. Xem hình vẽ bên. Tính thể tích của  H  . A. V H   2a3 . 3 B. V H   3a3 . 4 C. V H   a3 . 2 D. V H    a3 4 . Lời giải: Ta gọi trục tọa độ Oxyz như hình vẽ. Khi đó phần giao  H  là một vật thể có đáy là một phần tư hình tròn tâm O bán kính a , thiết diện của mặt phẳng vuông góc với trục Ox là một hình vuông có diện tích S  x   a 2  x 2 a a   Thể tích khối  H  là  S  x  dx   a 2  x 2 dx  0 0  https://toanhocplus.blogspot.com 2a3 . 3 Trang 262 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna a a Bài toán 7: Một thùng rượu có bán kính các đáy là 30cm , thiết diện vuông góc với trục và cách đều hai đáy có bán kính là 40cm , chiều cao thùng rượu là 1m (hình vẽ). Biết rằng mặt phẳng chứa trục và cắt mặt xung quanh thùng rượu là các đường parabol, hỏi thể tích của thùng rượu ( đơn vị lít) là bao nhiêu ? A. 425, 2 lit. B. 425162 lit. C. 212581 lit. D. 212, 6 lit. Lời giải: y S A 0,4m 0,3m x O 0,5m Gọi  P  : y  ax 2  bx  c là parabol đi qua điểm A  0, 5; 0, 3  và có đỉnh S  0; 0, 4  (hình vẽ). Khi đó, thể tích thùng rượu bằng thể tích khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi  P  , trục hoành và hai đường thẳng x  0, 5 quay quanh trục Ox . 2 Dễ dàng tìm được  P  : y   x 2  0, 4 5 0 ,5 Thể tích thùng rượu là : V   2  2 2    5 x  0, 4  dx  2   0 ,5   https://toanhocplus.blogspot.com Trang 263 0 ,5  0 2  2 2  203   5 x  0, 4  dx  1500  425,5 (l)   Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna C. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG CÁC LĨNH VỰC KHÁC I. MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN LƯU Ý 1. Một vật chuyển động theo phương trình vận tốc v  t  trong khoảng thời gian từ t  a đến b t  b  a  b  sẽ di chuyển được quãng đường là : S   v  t  dt a 2. Một vật chuyển động có phương trình gia tốc a  t  thì vận tốc của vật đó sau khoảng thời t2 v   a  t  dt gian T  t2  t1 là: t1 3. Theo Định luật Hooke, lực cần dùng để giữ lò xo giãn thêm x mét từ độ dài tự nhiên là f  x   kx , với k  N /m  là độ cứng của lò xo. Công cần để kéo dãn lò xo từ độ dài l1 đến độ l2 A   f  x  dx dài l2 là: l1 4. Điện lượng chuyển qua tiết diện của dây dẫn của đoạn mạch trong thời gian từ t1 đến t 2 là: t2 Q   I  t  dt t1 II. MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA Bài toán 1: Một vật chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t)  160  10t (m / s) . Quãng đường mà vật chuyển động từ thời điểm t  0(s) đến thời điểm mà vật dừng lại là A. 1028 m. B. 1280 m. C. 1308 m. D. 1380 m. Lời giải: Chọn B. Khi vật dừng lại thì v  t   160  10t  0  t  16 16 Suy ra: S   v  t  dt  0 16  160  10t  dt  160t  5t  2 0 16 0  1280 m. Bài toán 2: Một chiếc ô tô chuyển động với vận tốc v  t  ( m / s) , có gia tốc 3 , ( m / s2 ) . Vận tốc của ô tô sau 10 giây (làm tròn đến hàng đơn vị) là 2t  1 A. 4,6 m / s . B. 7,2 m / s . C. 1,5 m / s . D. 2, 2 m / s . a(t )  v(t )  Lời giải: Chọn A. 10 10 3 3 3 dt  ln 2t  1  ln 21  4,6 ( m / s). Vận tốc của ô tô sau 10 giây là: v   2t  1 2 2 0 0  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 264 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Bài toán 3: Một hạt proton di chuyển trong điện trường có biểu thức gia tốc ( theo cm2 / s ) là a(t )  20 2 1  2t  v  30  cm / s  . A. (với t tính bằng giây). Tìm hàm vận tốc v theo t, biết rằng khi t  0 thì 10 1  2t B. 10  20 1  2t 3 C.  1  2t   30 D. 20 1  2t  2  30 Lời giải: Chọn B. v  t    a  t  dt   20 1  2t  Do v  0   30 , suy ra Vậy, hàm v  t   2 dt  10 C 1  2t 10  C  30  C  20 1  2.0 10  20 . 1  2t Bài toán 4: Một vật chuyển động với vận tốc 10 m / s thì tăng tốc với gia tốc a(t )  3t  t 2 . Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc. A. 4300 m. 3 B. 4300 m. C. 430 m. D. 430 m. 3 Lời giải: Chọn A.   Hàm vận tốc v  t    a  t  dt   3t  t 2 dt  3t 2 t 3  C 2 3 Lấy mốc thời gian lúc tăng tốc  v  0   10  C  10 Ta được: v  t   3t 2 t 3   10 . 2 3 10 10  3t 2 t 3   t3 t4  4300 Sau 10 giây, quãng đường vật đi được là: s      10  dt     10t   m. 2 3 3   2 12 0 0  Bài toán 5: Dòng điện xoay chiều hình sin chạy qua một đoạn mạch LC có có biểu thức cường   độ là i  t   I 0 cos  t   . Biết i  q với q là điện tích tức thời ở tụ điện. Tính từ lúc t  0 , điện 2  lượng chuyển qua tiết diện thẳng của dây dẫn của đoạn mạch đó trong thời gian bằng A.  2I 0 .  B. 0. C. 2I 0  . D.  I0  2  là  . Lời giải: Chọn C. Điện lượng chuyển qua tiết diện của dây dẫn của đoạn mạch trong thời gian từ 0 đến  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 265  là:  Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn   https://facebook.com/duytuan.qna    I       2I Q   I  t  dt   I 0 cos  t   dt  0 sin  t    0 . 2  2 0    0 0 Bài toán 6: Gọi h  t   cm  là mức nước trong bồn chứa sau khi bơm được t giây. Biết rằng 13 t  8 và lúc đầu bồn không có nước. Tìm mức nước ở bồn sau khi bơm nước được 6 5 giây (chính xác đến 0,01 cm ) h  t   A. 2,67 cm. B. 2,66 cm. C. 2,65 cm. D. 2,68 cm. Lời giải: Chọn B. Hàm h  t    13 3 t  8dt   t  8  3 t  8  C 5 20 Lúc t  0 , bồn không chứa nước. Suy ra h  0   0  12 12 C  0  C   5 5 3 12 t  8 3 t  8   20 5 Mức nước trong bồn sau 6 giây là h  6   2, 66 cm. Vậy, hàm h  t   Bài toán7 : Một đám vi trùng tại ngày thứ t có số lượng là N  t  . Biết rằng N   t   4000 và 1  0, 5t lúc đầu đám vi trùng có 250000 con. Hỏi sau 10 ngày số lượng vi trùng gần với số nào sau đây nhất ? A. 251000 con. B. 264334 con. C. 261000 con. D. 274334 con. Lời giải: Chọn B. N t    4000 dt  8000.ln 1  0, 5t  C 1  0, 5t Lúc đầu có 250000 con, suy ra N  0   250000  C  250000 Vậy N  t   8000.ln 1  0, 5t  250000  N  10   264334, 0758 . Bài toán 8: Để kéo căng một lò xo có độ dài tự nhiên từ 10cm đến 15cm cần lực 40N . Tính công ( A ) sinh ra khi kéo lò xo có độ dài từ 15cm đến 18cm . A. A  1, 56 ( J ) . B. A  1 ( J ) . C. A  2, 5 ( J ) . D. A  2 ( J ) . Lời giải: Chọn A. x f  x   k .x M O x  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 266 x Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Theo Định luật Hooke, lực cần dùng để giữ lò xo giãn thêm x mét từ độ dài tự nhiên là f  x   kx , với k  N /m  là độ cứng của lò xo. Khi lò xo được kéo giãn từ độ dài 10cm đến 15cm , lượng kéo giãn là 5 cm  0.05 m . Điều này có nghĩa f  0.05   40 , do đó: 0,05 k  40  k  40  800  N /m  0, 05 Vậy f  x   800 x và công cần để kéo dãn lò xo từ 15cm đến 18cm là: 0 ,08 A  800x dx  400 x 2 0 ,05  https://toanhocplus.blogspot.com 0 ,08 0 ,05 2 2  400  0,08    0,05    1, 56  J  .   Trang 267 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM I. ĐỀ BÀI 1. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH Câu 1. Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y  f ( x) , y  g( x) liên tục trên [a ; b] và hai đường thẳng x  a , x  b ( a  b) là: b b A. S    f ( x)  g( x) .dx . B. S   ( f ( x)  g( x))dx . a b a b 2 C. S   ( f ( x)  g( x)) .dx . D. S   f ( x)  g( x) .dx . a Câu 2. a Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f  x  , liên tục trên [a ; b] trục hoành và hai đường thẳng x  a , x  b  a  b  cho bởi công thức: b b A. S   f  x  dx. B. S   f  x dx. a Câu 3. a b b C. S    f  x  dx. D. S    f 2  x dx. a a 3 2 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x  11x  6, y  6 x , x  0, x  2 . (Đơn vị diện tích) A. Câu 4. 4 3 B. C. 8 3 D. 18 23 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y  x3 , y  4 x là: A. 8 Câu 5. 5 2 B. 9 C. 12 D. 13 Cho hàm số y  f ( x) liên tục và nhận giá trị không âm trên đoạn [a; b] . Diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của y  f ( x) , trục hoành và hai đường thẳng x  a , x  b được tính theo công thức b A. S   f ( x)dx. a Câu 6. b b B. S    f ( x)dx. C. S    f 2 ( x)dx. a b D. S   f 2 ( x)dx. a a Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị các hàm số y  f ( x) , y  g( x) liên tục trên đoạn [a; b] , trục hoành và hai đường thẳng x  a , x  b được tính theo công thức b b 2 A. S   f ( x)  g( x) dx. B. S   [f ( x)  g( x)]dx. a a b b a Câu 7. 2 D. S    f ( x)  g( x) dx. C. S   f ( x)  g( x) dx. a Cho đồ thị hàm số y  f ( x) . Diện tích hình phẳng (phần tô đậm trong hình) là: 0 A. S   2 2 C. S   0 1 f ( x)dx   f ( x)dx 1 B. S  0 1 f ( x)dx   f ( x)dx 0  https://toanhocplus.blogspot.com  f ( x)dx 2 0 D. S   2 1 f ( x)dx   f ( x)dx 0 Trang 268 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn Câu 8. https://facebook.com/duytuan.qna Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x3 , trục hoành và hai đường thẳng x  1 , x  3 là A. 19 Câu 9. B. 18 C. 20 D. 21 Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x , trục hoành và hai đường thẳng x  1 , x  4 là A. 4 B. 14 5 C. 13 3 D. 14 3 Câu 10. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y  3 x , trục hoành và hai đường thẳng x  1 , x  8 là 45 45 45 45 B. C. D. 2 4 7 8 Câu 11. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y  sin x , trục hoành và hai đường A. thẳng x   , x  3 là 2 1 3 C. 2 D. 2 2 Câu 12. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y  tan x , trục hoành và hai đường A. 1 B. thẳng x  A. ln  6 , x  4 là 3 3 B. ln 6 3 C.  ln 3 3 D.  ln 6 3 Câu 13. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y  e 2x , trục hoành và hai đường thẳng x  0 , x  3 là A. e6 1  2 2 B. e6 1  2 2 C. e6 1  3 3 D. e6 1  3 3 Câu 14. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x3  3×2 , trục hoành và hai đường thẳng x  1 , x  4 là A. 53 4 B. 51 4 C. 49 4 D. 25 2 Câu 15. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x 4  3×2  4 , trục hoành và hai đường thẳng x  0 , x  3 là A. 142 5 B. 143 5 C. 144 5 D. Câu 16. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y  141 5 x1 , trục hoành và đường x2 thẳng x  2 là A. 3  2 ln 2 B. 3  ln 2 C. 3  2 ln 2 D. 3  ln 2 Câu 17. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi parabol y  2  x2 và đường thẳng y  x là A. 7 2 B. 9 4  https://toanhocplus.blogspot.com C. 3 Trang 269 D. 9 2 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Câu 18. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y  cos 2 x , trục hoành và hai đường thẳng x  0, x   2 là A. 2 C. 3 B. 1 D. 4 4 Câu 19. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x  3x 2  4 , trục hoành và hai đường A. thẳng x  0 , x  3 là 71 5 B. 73 5 C. 72 5 D. 14 Câu 20. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x1 , trục hoành và đường x2 thẳng x  2 là A. 3  2 ln 2 B. 3  ln 2 C. 3  2 ln 2 D. 3  ln 2 Câu 21. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi parabol y  2  x2 và đường thẳng y  x là 9 9 7 B. C. 3 D. 2 4 2 Câu 22. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y  cos 2 x , trục hoành và hai đường A. thẳng x  0, x  A. 1  2 là C. 3 B. 2 D. 4 Câu 23. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y  x và y  3 x là A. 1 12 B. 1 13 C. 1 14 D. 1 15 Câu 24. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y 2  2 y  x  0, x  y  0 là 9 9 B. 4 2 Câu 25. Diện tích hình phẳng trong hình vẽ sau là A. C. 7 2 D. 11 2 8 11 7 10 B. C. D. 3 3 3 3 Câu 26. Diện tích hình phẳng nằm trong góc phần tư thứ nhất, giới hạn bởi các đường thẳng A. y  8 x , y  x và đồ thị hàm số y  x 3 là  https://toanhocplus.blogspot.com a . Khi đó a  b bằng b Trang 270 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn A. 68 https://facebook.com/duytuan.qna B. 67 C. 66 D. 65 Câu 27. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y  1, y  x và đồ thị hàm số y  a . Khi đó b  a bằng b B. 2 C. 3 x2 4 trong miền x  0, y  1 là A. 4 D. 1  x , nÕu x  1 10 Câu 28. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y   và y  x  x 2 là 3  x  2, nÕu x>1 a . Khi đó a  2b bằng b A. 16 B. 15 C. 17 D. 18 x2  4x  4 , tiệm cận xiêm của (C ) và hai x 1 đường thẳng x  0, x  a ( a  0) có diện tích bằng 5 Khi đó a bằng Câu 29. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số (C ) : y  A. 1  e 5 B. 1  e 5 C. 1  2e 5 D. 1  2e 5 Câu 30. (THPT QUẾ VÕ SỐ 3) Ông X muốn xây một cổng hình Parapol có chiều dài chân đáy của cổng là 3m và chiều cao của cổng là 2m như hình vẽ ở dưới đây. Ông X muốn tính diện tích của cổng để đặt cửa gỗ cho vừa kích thước. Diện tích của cổng là. A. 3,5 m2 . B. 4 m2 . C. 5,5 m2 . D. 6 m2 . Câu 31. Cổng trường ĐHBK Hà nội có hình dạng Parabol, chiều rộng 8m , chiều cao 12, 5m . Diện tích của cổng là: A. 100 m2 B. 200 m2 C. 100 2 m 3 D. 200 2 m 3 Câu 32. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x sin x , y  x , x  A. S  1 . B. S  3 .  bằng 2 D. S  8 . C. S  5 . Câu 33. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y  e x , y  e  x , x  1, x  2 bằng 1 1 e 4. 2 e e 1 1 C. S  e 2  2  e   4 . e e 1 1 e 4. 2 e e 1 1 D. S  e 2  2  e   4 . e e 1 1   ,y  , x  , x  bằng Câu 34. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y  2 2 6 3 sin x cos x 2 3 8 8 4. 4. 4 . 4. A. S  B. S  C. S  D. S  3 2 3 3 A. S  e 2  B. S  e 2  Câu 35. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x ln x , y  x , x  1, x  e bằng A. S  3 e2  . 4 4 B. S   https://toanhocplus.blogspot.com e2 4  . 4 3 C. S  Trang 271 3 e2  . 4 4 D. S  e2 3  . 4 4 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Câu 36. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y  5 x  2 , y  3  x , x  0, x  2 bằng A. S  4  24 . 25ln 5 B. S  4  24 . 25ln 5 C. S  5  24 . 25ln 5 D. S  5  24 . 25ln 5 Câu 37. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y  xe x , y  0, x  1, x  2 bằng e e . D. S  e 2  2  . 2 2 3 , x  3, x  4 và trục hoành Câu 38. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y  2x bằng: A. S  e 2  A. S  e . 2 406 . 15 B. S  e 2  B. S  e . 2 22 . 3 C. S  e 2  2  C. S  23 . 2 Câu 39. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y  D. S  32 . 3 3 , x  3, x  4 và trục hoành 2x bằng ? A. S  ln 8 . B. S  ln 9 . C. S  ln 2 . D. S  ln 5 . Câu 40. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y  x 2 , y  4 x 2 , x  1 bằng ? A. S  1 . B. S  3 . C. S  12 . D. S  8 . Câu 41. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y  x( e  1), y  x(1  e x ), x  1 bằng ? A. S  3 1. e B. S  3  1. e e C. S   1 . 2 2 D. S   1 . e Câu 42. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y  x 2 e x , y  0(Ox ), x  1 bằng ? A. S  e  2 . B. S  e  2 . C. S  e  3 . D. S  e  3 . 2 Câu 43. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y  x  x  3 , y  2 x  1 bằng ? 2 A. S  . 3 1 B. S  . 3 1 C. S  . 6 5 D. S  . 6 1 Câu 44. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y  , y  2 x  3 bằng ? x 4 4 3 3 A. S   ln 2 . B. S   ln 2 . C. S   ln 2 . D. S   ln 2 . 4 3 3 4 Câu 45. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y  1  x 2 , y  0 bằng ? A. S   2 . B. S    2 . C. S   4 . D. S    2 . Câu 46. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y  x3  4 x 2  x  6, y  0 bằng ? A. S  45 . 4 B. S  7 . 12 C. S  71 . 6 5 D. S  . 4 Câu 47. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y  2  x 2 , y  x , y   x bằng ? A. S  15 . 4 3 B. S  . 7 C. S  13 . 6 7 D. S  . 3 Câu 48. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x , y  2  x và trục hoành bằng.  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 272 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn 2 A. S    https://facebook.com/duytuan.qna 2  x  2  x dx .   B. S   2  x  x dx . 0 0 1 2 2 C. S   xdx    2  x  dx . 0 2 D. S   xdx    2  x  dx . 1 0 0 Câu 49. Để trang trí cho một phòng trong một tòa nhà, người ta vẽ lên tường một hình như sau: trên mỗi cạnh của hình lục giác đều có cạnh bằng 2 dm một cánh hoa hình parabol, đỉnh của parabol cách cạnh 3 dm và nằm phía ngoài hình lục giác, hai đầu mút của cạnh cũng là hai điểm giới hạn của đường parabol đó. Hãy tính diện tích của hình nói trên (kể cả hình lục giác đều) để mua sơn trang trí cho phù hợp.  A. 43, 39 dm2   B. 34 dm 2   C. 34, 39 dm2   D. 38, 39 dm 2  Câu 50. Bác Năm làm một cái cửa nhà hình parabol có chiều cao từ mặt đất đến đỉnh là 2,25 mét, chiều rộng tiếp giáp với mặt đất là 3 mét. Giá thuê mỗi mét vuông là 1500000 đồng. Vậy số tiền bác Năm phải trả là: A. 33750000 đồng. B. 12750000 đồng. C. 6750000 đồng. D. 3750000 đồng. Câu 51. Tìm m   sao cho hàm số y  x   m  2  x  m  1 cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt 4 2 2 2 sao cho hình phẳng giới hạn bởi hàm số với trục hoành phần phía trên Ox có diện tích 96 bằng . 15 A. m  2 B. m  2 C. m  2 D. m  1 Câu 52. Cho parabol ( P) : y  3x 2 và đường thẳng ( d ) đi qua M (1;5) có hệ số góc là k . Tìm k để hình phẳng giới hạn bởi ( P ) và ( d ) có diện tích nhỏ nhất. A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 Câu 53. Hàm số y  f  x  có đồ thị  C  là đường parabol bậc hai như hình vẽ. Hình phẳng giới hạn bởi  C  , trục Ox , đường x  3 có diện tích S . Đường thẳng x  k với k   0;3 chia S ra thành hai phần có diện tích là S1 và S 2 . Nếu S1  2S2 thì phát biểu nào sau đây đúng ? A. k   2, 2; 2,3 . B. k   2,3;2, 4  . C. k   2, 4;2,5 . D. k   2,5; 2,6  . Câu 54. Cho hàm số y  f  x   x 2 có đồ thị là đường parabol như hình bên. Biết đường tròn trong hình có tâm là gốc tọa độ và bán kính  https://toanhocplus.blogspot.com 2 . Diện tích phần hình phẳng được tô màu là Trang 273 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn A.   4 2 . 3 https://facebook.com/duytuan.qna 4 2 . 3 B.   C.  1  . 2 3 D.  1  . 2 3 Câu 55. (THPT TIÊN LÃNG) Gọi  H  là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x 2  4 x  4 , trục tung và trục hoành. Xác định k để đường thẳng  d  đi qua điểm A  0; 4  có hệ số góc k chia  H  thành hai phần có diện tích bằng nhau. A. k  4 . B. k  8 . C. k  6 . D. k  2 . Câu 56. (THI THỬ CỤM 6 TP. HỒ CHÍ MINH) Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (P) của hàm số y  6 x  x2 và trục hoành. Hai đường thẳng y  m, y  n chia hình (H) thành ba phần có diện tích bằng nhau. Tính P  (9  m)3  (9  n)3 y 9 y = 6x – x2 y=n y=m x O A. P  405 . 6 B. P  409 . C. P  407 . D. P  403 . Câu 57. (CỤM 2 TP.HCM) Biết diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường y  ln x và y  1 b là S  ae   c với a , b , c là các số nguyên. Tính P  a  b  c. e A. P  3. B. P  0. C. P  2. D. P  4. Câu 58. (THPT AN LÃO) Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường my  x 2 , mx  y 2  m  0  . Tìm giá trị của m để S  3 A. m  1 . B. m  2 . C. m  3 . D. m  4 . Câu 59. (SỞ GD VÀ ĐT TỈNH PHÚ THỌ) Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y  sin x , y  cos x và S1 , S 2 là diện tích của các phần được gạch chéo như hình vẽ. Tính S12  S22 ?.  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 274 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna A. S12  S22  10  2 2 . B. S12  S22  10  2 2 . C. S12  S22  1  12 2 . D. S12  S22  11  2 2 . Câu 60. (CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI) Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi nửa đường tròn x 2  y 2  2, y  0 và parabol y  x 2 bằng A.  2  1. B. 1 . 3 C.  2  1 . 3 D.  2 . x2 y 2   1 và S 2 9 1 là diện tích của hình thoi có các đỉnh là đỉnh của elip đó. Tính tỉ số giữa S1 và S 2 . Câu 61. (CHUYÊN SƠN LA) Gọi S1 là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi elip A. S1 2  . S2  B. S1 3  . S2  C. S1   . S2 3 D. S1   . S2 2 Câu 62. (THPT PHAN ĐÌNH TÙNG ) Cho hình phẳng  H  giới hạn bởi các đường y  x 2  1 và y  k , 0  k  1. Tìm k để diện tích của hình phẳng  H  gấp hai lần diện tích hình phẳng được kẻ sọc trong hình vẽ bên. A. k  3 4. 1 C. k  . 2 B. k  3 2  1. D. k  3 4  1. Câu 63. (CHUYÊN ĐH VINH – L4 – 2017) Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  và hàm số y  g  x   xf  x 2  có đồ thị trên đoạn 0; 2 như hình vẽ bên. 4 Biết diện tích miền tô màu là S  5 . 4 C. I  5 . A. I   https://toanhocplus.blogspot.com 5 , tính I   f  x  dx . 2 1 5 . 2 D. I  10 . B. I  Trang 275 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Câu 64. (THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN) Trong mặt phẳng tọa độ, cho hình chữ nhật  H  có một   cạnh nằm trên trục hoành, và có hai đỉnh trên một đường chéo là A  1;0  và C a; a , với a  0 . Biết rằng đồ thị hàm số y  x chia hình  H  thành hai phần có diện tích bằng nhau, tìm a . A. a  9 . B. a  4 . C. a  1 . 2 D. a  3 . 2. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍCH THỂ TÍCH Câu 1. Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường 4 , y  0 , x  1 , x  4 quanh trục ox là: x A. 6 B. 6 C. 12 y Câu 2. D. 6 Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f ( x), Ox , x  a , x  b quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng: b b A. V   2  f ( x)dx. a Câu 3. b B. V    f 2 ( x)dx. a b C. V    2 . f 2 ( x)dx. a D. V   f 2 ( x)dx. a Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x  1 ; trục Ox và đường thẳng x  3 quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng: A. Câu 4. 3  2 B. 3 D.  C. 2 Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x3  1, y  0, x  0, x  1 quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng: A. Câu 5. 79 63 B. 23 14 C. 5 4 D. 9 Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y 2  x , x  a , x  b (0  a  b) quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng: b A. V   2  xdx. a Câu 6. B. V    b a xdx. b C. V    xdx. a D. V   2  b a xdx. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y   x 2  2 x , y  0 quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng: A. Câu 7. 496 15 B. 4 3 C. 64 15 D. 16 15 Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y  1  x 2 , y  0 quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng: A. 3 2 B. 2 3  https://toanhocplus.blogspot.com C. Trang 276  2 D. 4  3 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn Câu 8. https://facebook.com/duytuan.qna Thể tích khối tròn xoay trong không gian Oxyz giới hạn bởi hai mặt phẳng x  0; x   và có thiết diện cắt bởi mặt phẳng vuông góc với Ox tại điểm ( x; 0; 0) bất kỳ là đường tròn bán kính sin x là: B. V   . A. V  2. Câu 9. C. V  4 . D. V  2 . Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y  tan x , y  0, x  0, x   3 quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:   A. V    3   3    B. V    3   3    C. V    3   3    D. V    3   3  Câu 10. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y  1  x , Ox , x  0, x  4 quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng: A.  2 28 3 B.  . 68 3 C.  28 3 D.  2 . 68 3 Câu 11. Một khối cầu có bán kính là 5  dm  , người ta cắt bỏ hai phần của khối cầu bằng hai mặt phẳng song song cùng vuông góc đường kính và cách tâm một khoảng 3  dm  để làm một chiếc lu đựng nước (như hình vẽ). Tính thể tích mà chiếc lu chứa được. A. 100  dm3 3   B. 43  dm3 3    C. 41 dm 3   D. 132 dm3  Câu 12. Thể tích khối tròn xoay sinh ra do quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x 3 , trục Ox , x  1 , x  1 một vòng quanh trục Ox là: A.  . B. 2 . C. 6 . 7 D. 2 7 Câu 13. Gọi  H  là hình phẳng giới hạn bởi các đường y  2 x  x2 ; Ox . Quay  H  xung quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích bằng? 16 4 4 A. . B. . C. . 15 3 3 D. Câu 14. Gọi  H  là hình phẳng giới hạn bởi các đường y  tan x; Ox; x  0; x  16 . 15  4 . Quay  H  xung quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích bằng? A. 1   4 . B.  2 .  https://toanhocplus.blogspot.com C.   Trang 277 2 4 . D. 2 4  . Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Câu 15. Gọi  H  là hình phẳng giới hạn bởi các đường y  1  x 2 ; Ox . Quay  H  xung quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích bằng? A. 16 . 15 B. 16 . 15 C. 4 . 3 D. 4 . 3 Câu 16. Cho hình (H) giới hạn bởi các đường y  x 2 ; x  1 ; trục hoành. Quay hình (H) quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là:   A. . B. . 5 3 C. 2 . 3 D. 2 . 5 1 Câu 17. Thể tích của khối tròn xoay được giới hạn bởi các đường y   2 x  1 3 , x  0 , y  3 , quay quanh trục Oy là: A. Câu 18. 50 . 7 B. 480 . 9 C. 480 . 7 D. 48 . 7 Thể tích của khối tròn xoay được giới hạn bởi các đường y  x.cos x  sin 2 x , y  0, x  0, x  A.   3  4  4 .  2 khi quay quanh trục Ox là: B.   5  4  4 . C.   3  4  4 . D.   3  4  5 2x  1 , trục Ox và trục Oy. Thể x1 tích của khối tròn xoay khi cho hình (H) quay quanh trục Ox là: Câu 19. Cho hình phẳng (H) được giới hạn bởi đường cong (C ) : y  A. 3 . B. 4 ln 2 . C. (3  4 ln 2) . D. (4  3 ln 2) . Câu 20. Hình phẳng giới hạn bởi đường cong y  x 2 và đường thẳng y  4 quay một vòng quanh trục Ox. Thể tích khối tròn xoay được sinh ra bằng: 64 128 256 152 . B. . C. . D. . 5 5 5 5 Câu 21. Cho hình phẳng (H) được giới hạn bởi đường cong (C ) : y  sin x , trục Ox và các đường A. thẳng x  0, x   . Thể tích của khối tròn xoay khi cho hình (H) quay quanh trục Ox là : A.  2 . B. 2 2 D.  2 . C.  . . Câu 22. Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường: y  3x  x 2 ; Ox . Quay (H) xung quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là: 81 83 A. B. . . 11 11 C. 83 . 10 D. 81 . 10 Câu 23. Gọi  H  là hình phẳng giới hạn bởi các đường: y  x  1; Ox ; x  4 . Quay  H  xung quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là: A. 7 . 6 B. 5 . 6  https://toanhocplus.blogspot.com C. Trang 278 7 2  . 6 D. 5 2  . 6 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Câu 24. Gọi  H  là hình phẳng giới hạn bởi các đường: y  3x ; y  x ; x  1 . Quay  H  xung quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là: 8 A. . 3 8 2 B. . 3 C. 8 2 . D. 8 . Câu 25. Cho hình  H  giới hạn bởi các đường y  x ; x  4 ; trục hoành. Quay hình  H  quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là: A. 15 . 2 B. 14 . 3 C. 8 . Câu 26. Cho hình  H  giới hạn bởi các đường y  x  1 ; y  D. 16 . 3 6 ; x  1 ; x  0 . Quay hình  H  quanh x trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là: A. 13 . 6 B. 125 . 6 C. Câu 27. Cho hình  H  giới hạn bởi các đường y  35 . 3 D. 18 . 4 và y   x  5 . Quay hình  H  quanh trục Ox x ta được khối tròn xoay có thể tích là: A. 9 . 2 B. 15  4 ln 4 . 2 C. 33  4 ln 4 . 2 D. 9 . x2 y2 Câu 28. Thể tích khối tròn xoay khi cho Elip 2  2  1 quay quanh trục Ox . a b 4 4 2 2 A.  a 2 b . B.  ab 2 . C.  a 2 b . D.   ab2 . 3 3 3 3 1 Câu 29. Thể tích vật thể tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường x  y 2  y  0  , 4 1 x   y 2  3 y ( y  2); x  0 quay quanh Ox: 2 A. 32  . C. 32 2 . B. 32 . Câu 30. Gọi  H  là hình phẳng giới hạn bởi  C  : y  x ; d : y  D. 33 . 1 x . Quay  H  xung quanh trục Ox 2 ta được khối tròn xoay có thể tích là: A. 8 . B. 16 . 3 C. 8 . 3 D. 8 . 15 Câu 31. Gọi  H  là hình phẳng giới hạn bởi  C  : y  x 3 ; d : y   x  2; Ox . Quay  H  xung quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là: A. 4 . 21 B. 10 . 21 C.  7 . D. Câu 32. Gọi  H  là hình phẳng giới hạn bởi  C  : y  2 x ; d : y   3 . 1 x; x  4 . Quay  H  xung quanh 2 trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là: A. 80 . 3 B. 112 . 3  https://toanhocplus.blogspot.com D. Trang 279 16 . 3 D. 32 . Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Câu 33. Hình  H  giới hạn bởi y  x 2  4 x  4, y  0, x  0, x  3 . Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình  H  quanh trục Ox . A. 33. B. 33 . 5 C. 33 . 5 D. 33 . Câu 34. Hình  S  giới hạn bởi y  3x  2, Ox , Oy . Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình  S  quanh trục Ox . 8 4 8 16 . B. . C. . D. . 3 3 9 3 Câu 35. Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên do quay xung quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi A. 2 các đường y   1  x  , y  0 , x  0 , x  2 bằng 2 8 2 5 . B. . C. . D. 2 . 3 5 2 Câu 36. Tính thể tích khối tròn xoay được tạo bởi phép quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn A. bởi các đường y  A.  2 . 1  , x  0 và x  . cos x 4 B.  C.  . . 3 D. 2 . Câu 37. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x và y  x quay xung quanh trục Ox . Thể tích của khối tròn xoay được tạo thành bằng: A.  . B.  . 3 C.  6 D.  . . Câu 38. Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  e x , trục Ox và hai đường thẳng x  0 , x  1 . Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng đó quanh trục Ox , được cho bởi công thức: 2 2 1  1  A.    e x dx  .    0  B.  2 1 1  C.    e x dx  .   0  x  e dx . 0 D.   e 2 x dx . 0 Câu 39. Thể tích khối tròn xoay sinh ra do quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x 3 , trục Ox , x  1 , x  1 một vòng quanh trục Ox là : 6 2 . D. . 7 7 Câu 40. Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi y  ln x , y  0, x  e quay quanh trục ox có kết quả là: A.  . B. 2 . C. A.  e . B.   e  1 . C.   e  2  . D.   e  1 . Câu 41. Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi y  ln x , y  0, x  1, x  2 quay quanh trục ox có kết quả là: 2 A. 2  ln 2  1 . 2 B. 2  ln 2  1 . 2 C.   2 ln 2  1 . 2 D.   2 ln 2  1 . Câu 42. Thể tích vật thể quay quanh trục Ox giới hạn bởi y  x 3 , y  8, x  3 có kết quả là: A.  3 7 7   9.2 5 . B.  3 7  https://toanhocplus.blogspot.com 7   9.2 6 . Trang 280 C.  3 7 7   9.27 . D.  3 7 7  9.28  . Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Câu 43. Cho a , b là hai số thực dương. Gọi (K) là hình phẳng nằm trong góc phần tư thứ hai, giới hạn bởi parabol y  ax 2 và đường thẳng y  bx . Biết thể tích khối tròn xoay tạo được khi quay (K) xung quanh trục hoành là một số không phụ thuộc vào giá trị của a và b . Khẳng định nào sao đây là đúng? A. b4  2a 5 . B. b 4  2a 2 . C. b 3  2 a 5 . D. b 5  2a 3 . Câu 44. Cho hình phẳng  H  giới hạn bởi các đường y  cos x , y  0, x  0, x   . Thể tích của 4 khối tròn xoay được tạo thành khi quay  H  xung quanh trục Ox bằng: A. 2 8 . B.  (  2) 8 . C.  2 1 4 . D. Kết quả khác. Câu 45. Cho hình phẳng  H  giới hạn bởi đồ thị hàm số y  e 2 x , y  0, x  0 và x  2. Thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay  H  xung quanh trục Ox bằng: A.  e 2 8  1 . B.  e 4 8  1 . C.  e 6 8  1 . D.  9 e 8  1 . Câu 46. Cho hình phẳng  H  giới hạn bởi các đường y  sin 2 x , y  0, x  0, x   . Thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay  H  xung quanh trục Ox bằng: A. 2 8 . B. 2 4 . C. 2 2 . D. 3 2 . 8 x Câu 47. Cho hình phẳng  H  giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x e 2 , y  0, x  0, x  1 . Thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay  H  xung quanh trục Ox bằng: A.  3 . B.  2 C.  . . D. 2  . x 2 Câu 48. Cho hình phẳng  H  giới hạn bởi các đường y  xe , y  0, x  0, x  1 . Thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay  H  xung quanh trục Ox bằng: B.   e  2  . A.  e . C.   e  4  . 1 D.  (e 1) . 2 x Câu 49. Cho hình phẳng  H  giới hạn bởi các đường y  x 2 e 2 , y  0, x  1, x  2. Thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay  H  xung quanh trục Ox bằng:   A.  e 2  e .   C.  e 2 . B.  e 2  e . D.  e . 2 Câu 50. Cho hình phẳng  H  giới hạn bởi các đường y   1 – x  , y  0, x  0 và x  2. Thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay  H  xung quanh trục Ox bằng: A. 2  . B. 8 2 . 3  https://toanhocplus.blogspot.com C. Trang 281 5 . 2 D. 2 . 5 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Câu 51. Cho hình phẳng  H  giới hạn bởi các đường y  x 2  4, y  2 x – 4, x  0, x  2 . Thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay  H  xung quanh trục Ox bằng: A.  32 . 5 B. 6 . C. 6 . D. 32 . 5 Câu 52. Cho hình phẳng  H  giới hạn bởi các đường y  x ln x , y  0, x  e. Thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay  H  xung quanh trục Ox bằng: A.   5e 3  2  B.   5e 3  2  27 . C.   5e 3  2  . D.   5e 3  2  . 27 25 2x  1 Câu 53. Cho hình phẳng  H  giới hạn bởi các đường y  , y  0 , x  1 . Thể tích của khối x 1 25 . tròn xoay được tạo thành khi quay  H  xung quanh trục Ox bằng:  15  A.    4 ln 2  .  2   15  B.    2 ln 2  .  2   15  C.    4 ln 2  .  4   13  D.    4 ln 2  .  2  Câu 54. Cho hình phẳng  H  giới hạn bởi các đường y  cos 4 x , y  0, x  0, x   8 . Thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay  H  xung quanh trục Ox bằng: A. 2 2 . B. 2 16 . C.  4 Câu 55. Cho hình phẳng  H  giới hạn bởi các đường y  . D.  3 . x , y  0, x  0, x  1 . Thể tích của khối x1 tròn xoay được tạo thành khi quay  H  xung quanh trục Ox bằng: A.  (3  4 ln 2) 2 . B.   ln 2  1 . C.   4  ln 2  . D. 2  . Câu 56. Cho hình phẳng  H  giới hạn bởi các đường y  x2 , y  2 x . Thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay  H  xung quanh trục Ox bằng: A. 16 . 15 B. 21 . 15 C. 32 . 15 D. 64 . 15 Câu 57. Gọi  H  là hình phẳng giới hạn bởi các đường y  1  x 2 ; Ox . Quay  H  xung quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích bằng ? 16 16 4 A. . B. . C. . 15 15 3 D. 4 . 3 Câu 58. Cho hình  H  giới hạn bởi các đường y  x 2 ; x  1 ; trục hoành; trục tung. Quay hình  H  quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là: 2 2 . D. . 5 3 3 5 Câu 59. Một bồn hình trụ đang chứa dầu, được đặt nằm ngang, có chiều dài bồn là 5m, có bán kính A.  . B.  . C. đáy 1m, với nắp bồn đặt trên mặt nằm ngang của mặt trụ. Người ta đã rút dầu trong bồn  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 282 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna tương ứng với 0,5m của đường kính đáy. Tính thể tích gần đúng nhất của khối dầu còn lại trong bồn (theo đơn vị m 3 ) A. 11,781 m 3 . B. 12,637 m 3 . C. 1 14,923 m3 . D. 8, 307 m3 . Câu 60. Một Bác thợ gốm làm một cái lọ có dạng khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x  1 và trục Ox quay quanh trục Ox biết đáy lọ và miệng lọ có đường kính lần lượt là 2dm và 4dm , khi đó thể tích của lọ là: A. 8 dm2 . B. 15  dm3 . 2 C. 14 15  dm2 . dm2 . D. 3 2 6 Câu 61. Cho hình  H  giới hạn bởi các đường y  x  1 ; y  ; x  1 . Quay hình  H  quanh trục x Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là: 13 . 6 B. 125 . 6 C. A. 35 . 3 Câu 62. Gọi  H  là hình phẳng giới hạn bởi  C  : y  x ; d : y  D. 18 . 1 x . Quay  H  xung quanh trục Ox 2 ta được khối tròn xoay có thể tích là: A. 8 . B. 16 . 3 C. 8 . 3 D. 8 . 15 Câu 63. Gọi  H  là hình phẳng giới hạn bởi  C  : y  x 3 ; d : y   x  2; Ox . Quay  H  xung quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là: A. 4 . 21 B. 10 . 21 C.  7 . D.  3 . Câu 64. Cho hình  H  giới hạn bởi đồ thị  C  : y  (2 x  1) ln x , trục hoành và đường thẳng x  2 . Thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình  H  quanh trục hoành là 3 5 143 . B.    ln 64 . C.  ln 64  4   . D. . 2 2 9 Câu 65. Một khối cầu có bán kính 5dm , người ta cắt bỏ hai phần bằng hai mặt phẳng vuông A. góc bán kính và cách tâm 3dm để làm một chiếc lu đựng. Tính thể tích mà chiếc lu chứa được.  A. 132 dm3   B. 41 dm 3  C. 100   dm3  3  D. 43 dm 3  Câu 66. Hình phẳng S1 giới hạn bởi y  f ( x), y  0, x  a , x  b ( a  b) quay quanh Ox có thể tích V1 . Hình phẳng S2 giới hạn bởi y  2 f ( x ), y  0, x  a, x  b ( a  b ) quay quanh Ox có thể tích V2 . Lựa chọn phương án đúng: A. V1  4V2 . B. V2  8V1 . C. 2V1  V2 . D. 4V1  V2 . Câu 67. Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y  3 x , y  0, x  1, x  8 xung quanh trục Ox A. V   2 . B. V   https://toanhocplus.blogspot.com 9 . 4 C. V  18,6 . Trang 283 D. V  93 . 5 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Câu 68. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y  4  x 2 , y  1 2 x quay xung quanh trục Ox . 3 Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng: 28 2 28 3 24 2 24 3 . B. V  . C. V  . D. V  . 5 5 5 5 Câu 69. Thể tích của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x  0 và x  3 , có thiết diện bị cắt bởi A. V  mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x  0  x  3  là một hình chữ nhật có hai kích thước bằng x và 2 9  x 2 , bằng: A. V  3 B. V  20. C. V  22. D. V  18. Câu 70. Kí hiệu V1 , V2 lần lượt là thể tích hình cầu bán kính đơn vị và thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng y  2 x  2 và đường cong y  2 1  x 2 xung quanh trục Ox . Hãy so sánh V1 , V2 . A. V1  V2 . B. V1  V2 . C. V1  V2 . D. V1  2V2 . 3. ỨNG DỤNG KHÁC CỦA TÍCH PHÂN Câu 1: Một tia lửa được bắn thẳng đứng từ mặt đất với vận tốc 15 m / s . Hỏi sau 2,5 giây, tia lửa ấy cách mặt đất bao nhiêu mét, biết gia tốc là 9,8 m / s2 ? A. 30,625 m. Câu 2: B. 37,5 m. C. 68,125 m. D. 6, 875 m. Trong mạch máy tính, cường độ dòng điện (đơn vị mA ) là một hàm số theo thời gian t , với I (t )  0, 3  0, 2t . Hỏi tổng điện tích đi qua một điểm trong mạch trong 0,05 giây là bao nhiêu? A. 0, 29975 mC. Câu 3: B. 0, 29 mC. C. 0,01525 mC. Một vật chuyển động với vận tốc v(t )  1  2 sin 2t ( m/s) . Quãng đường mà vật chuyển động trong khoảng thời gian t  0 (s) đến thời điểm t  A. Câu 4: D. 0, 01475 mC. 3  1. 4 B. 3  1 . 4 C. 3 (s) là 4 3  1 . 4 D. 3 1. 4 Hạt electron có điện tích âm là 1,6.1019 C . Nếu tách hai hạt eletron từ 1pm đến 4pm thì công W sinh ra là A. W  3,194.10 28 J. Câu 5: B. W  1,728.10 -16 J. C. W  1,728.10 28 J. D. W  3,194.10 16 J. Trong kinh tế học, thặng dư tiêu dùng của hàng hóa được tính bằng công thức a I    p( x)  P  .dx. 0 Với p( x) là hàm biểu thị biểu thị giá mà một công ty đưa ra để bán được x đơn vị hàng hóa ; a là số lượng sản phẩm đã bán ra ; P  p( a) là mức giá bán ra ứng với số lượng sản phẩm là a .  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 284 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Cho p  1200  0, 2 x  0,0001x 2 , (đơn vị tính là USD). Tìm thặng dư tiêu dùng khi số lượng sản phẩm bán là 500. A. 1108333,3 USD. Câu 6: B. 570833,3 USD. D. Đáp án khác. t2  2 ( m/s) . Quãng đường vật đó đi được t2 trong 4 giây đầu tiên bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm). Một vật chuyển động với vận tốc v(t )  1, 5  A. 12,60 m. Câu 7: C. 33333,3 USD. B. 12,59 m. C. 0,83 m. D. 6,59 m. Một ôtô đang chạy với vận tốc 18 m / s thì người lái hãm phanh. Sau khi hãm phanh, ôtô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v  t   36t  18 ( m / s ) trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu hãm phanh. Quãng đường ôtô di chuyển được kể từ lúc hãm phanh đến khi dừng hẳn là bao nhiêu mét ? A. 5, 5 m . Câu 8: B. 3, 5 m . C. 6, 5 m . D. 4, 5 m . Một vật chuyển động với vận tốc thay đổi theo thời gian được tính bởi công thức v  t   3t  2 , thời gian tính theo đơn vị giây, quãng đường vật đi được tính theo đơn vị Câu 9: m . Biết tại thời điểm t  2s thì vật đi được quãng đường là 10m . Hỏi tại thời điểm t  30s thì vật đi được quãng đường là bao nhiêu? A. 1410m B. 1140m C. 300m D. 240m Một ô tô đang chạy với vận tốc 20( m / s) thì người người đạp phanh (còn gọi là “thắng”). Sau khi đạp phanh, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v  t   40t  20( m / s) trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bằng đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét? A. 10( m) B. 5( m) C. 8( m) D. 15( m) Câu 10: Một vật đang chuyển động với vận tốc 10  m / s   a  t   3t  t 2 m / s2 . thì tăng tốc với gia tốc Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc. 4230 4100 4300 ( m) ( m) ( m) B. C. 1020( m) D. 3 6 3 Câu 11: Một chất điểm A xuất phát từ vị trí O, chuyển động thẳng nhanh dần đều; 8 giây sau nó A. đạt đến vận tốc 6  m / s  . Từ thời điểm đó nó chuyển động thẳng đều. Một chất điểm B xuất phát từ cùng vị trí O nhưng chậm hơn 12 giây so với A và chuyển động thẳng nhanh dần đều. Biết rằng B đuổi kịp A sau 8 giây (kể từ lúc B xuất phát). Tìm vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A. A. 24  m / s  B. 34  m / s  C. 30  m / s  D. 40  m / s  Câu 12: Một đám vi trùng tại ngày thứ t có số lượng là N  t  . Biết rằng N ‘  t   4000 và lúc 1  0, 5t đầu vi trùng có 250000 con. Hỏi sau 10 ngày số lượng vi trùng là bao nhiêu A. 624334 B. 334334  https://toanhocplus.blogspot.com C. 264334 Trang 285 D. 269334 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Câu 13: Một vật chuyển động với vận tốc v  t  ban đầu của vật là 6 3  m / s  có gia tốc v ‘  t   t  1  m / s  . Vận tốc 2  m / s  . Hỏi vận tốc của vật sau 10 giây (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị). A. 10  m / s  B. 11  m / s  C. 15  m / s  D. 13  m / s  Câu 14: Một vật chuyển động với vận tốc ban đầu 5m / s và có gia tốc được xác định bởi công thức a  2 m / s2 . Vận tốc của vật sau 10s đầu tiên là (làm tròn kết quả đến hàng t 1   đơn vị) A. 10m / s B. 9 m / s C. 11m / s Câu 15: Một vật di chuyển với gia tốc a  t   20  1  2t  2  m / s  . Khi 2 D. 12m / s t  0 thì vận tốc của vật là 30 m / s . Tính quãng đường vật đó di chuyển sau 2 giây(làm tròn kết quả đến hàng đơn vị) A. S  106m. B. S  107 m. C. S  108m. D. S  109m. Câu 16: Tập đoàn dầu khí Việt Nam PVC dự định đầu tư một khu sản xuất, chế biến dầu thô tại TP.Quảng Ngãi. Giả sử sau t năm đầu tư, dự án đầu tư lần một sẽ phát sinhlợi nhuận với tốc độ P1  t   50  t 2 trăm đôla/năm, tiếp sau đó dự án lần hai sẽ phát sinh lợi nhuận với tốc độ P2  t   200  5t trăm đôla/năm. Biết sau thời gian t năm thì tốc độ lợi nhuận của dự án hai bằng một nửa với tốc độ lợi nhuận với dự án một. Tính lợi nhuận vượt thực tế cho khoảng thời gian trên A. 6676, 4 đô B. 6576, 4 đô C. 5676, 4 đô D. 6679, 4 đô Câu 17: Trong giờ thực hành môn Vật Lí. Một nhóm sinh viên đã nghiên cứu về sự chuyển động của các hạt. Trong quá trình thực hành thì nhóm sinh viên này đã phát hiện một hạt prôton di chuyển trong điện trường với biểu thức gia tốc (theo cm / s2 ) là: a  20  1  2t  2 .Với t của ta được tính bằng giây. Nhóm sinh viên đã tìm hàm vận tốc v theo t , biết rằng khi t  0 thì v  30m / s2 . Hỏi biểu thức đúng là?  10  A. v    25  cm / s2  1  2t   10  B. v    20  cm / s2  1 t   10  C. v    10  cm / s2  1  2t   10  D. v    20  cm / s2  1  2t  Câu 18: Người ta tổ chức thực hành nghiên cứu thí nghiệm bằng cách như sau. Họ tiến hành quan sát một tia lửa điện bắn từ mặt đất bắn lên với vận tốc 15m / s. Hỏi biểu thức vận tốc của tia lửa điện là? A. v  9,8t  15 . B. v  9,8t  13 C. v  9,8t  15 D. v  9,8t  13 Câu 19: Người ta tổ chức thực hành nghiên cứu thí nghiệm bằng cách như sau. Họ tiến hành quan sát một tia lửa điện bắn từ mặt đất bắn lên với vận tốc 15m / s . Hỏi sau 2,5 giây thì tia lửa điện đấy có chiều cao là bao nhiêu? A. 6.235  m  B. 5.635  m   https://toanhocplus.blogspot.com C. 4.235  m  Trang 286 D. 6.875  m  Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Câu 20: Một vật chuyển động có phương trình v  5  at  m / s  .Hỏi sau thời gian 5 giây thì vật chuyển động quảng đường là? A. 147, 5  m  Câu 21: Gọi h  t  B. 157, 5  m  C. 137, 5  m   cm  là mức nước ở bồn chứa sau khi bơm nước được t D. 127, 5  m  giây. Biết rằng 13 t  8 và lúc đầu bồn không có nước. Tìm mức nước ở bồn sau khi bơm nước 5 được 6 giây (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm). h ‘ t   A. 2, 66  m  B. 0, 55  cm  C. 3,14  cm  D. 2,66  cm  Câu 22: Vi khuẩn HP (Helicobacter pylori) gây đau dạ dày tại ngày thứ m với số lượng là F(m), biết nếu phát hiện sớm khi số lượng vi khuẩn không vượt quá 4000 con thì bệnh nhân sẽ 1000 và ban đầu bệnh nhân có 2000 con vi khuẩn. Sau 15 2t  1 ngày bệnh nhân phát hiện ra bị bệnh. Hỏi khi đó có bao nhiêu con vi khuẩn trong dạ dày được cứu chữa. Biết F ‘  m   ( lấy xấp xỉ hàng thập phân thứ hai) và bệnh nhân có cứu chữa được không ? A. 5433,99 và không cứu được B. 1499,45 và cứu được C. 283,01 và cứu được D. 3716,99 và cứu được Câu 23: Một ô tô xuất phát với vận tốc v1  t   2t  10  m / s  sau khi đi được một khoảng thời gian t1 thì bất ngờ gặp chướng ngại vật nên tài xế phanh gấp với vận tốc v2  t   20  4t  m / s  và đi thêm một khoảng thời gian t 2 nữa thì dừng lại. Biết tổng thời gian từ lúc xuất phát đến lúc dừng lại là 4s. Hỏi xe đã đi được quãng đường bao nhiêu mét. A. 57m B. 64m C. 50m D. 47m   Câu 24: Một vật chuyển động với vận tốc v  t  m / s  có gia tốc a  t   3t 2  t m / s2 . Vận tốc ban đầu của vật là 2  m / s  . Hỏi vận tốc của vật sau 2s A. 10m / s B. 12m / s C. 16m / s D. 8 m / s Câu 25: Giả sử một vật từ trạng thái nghỉ khi t  0  s  chuyển động thẳng với vận tốc v  t   3t  4  t  m / s  . Tìm quãng đường vật đi được cho tới khi nó dừng lại. A. 130m B. 34m C. 32m D. 28m Câu 26: Một vật chuyển động với vận tốc ban đầu 5m / s và có gia tốc được xác định bởi công thức a  2 m / s2 . Vận tốc của vật sau 10s đầu tiên là( làm tròn kết quả đến hàng đơn t 1   vị) A. 10m / s B. 9 m / s C. 11m / s D. 12m / s Câu 27: Một vật xuất phát từ A chuyển động thẳng và nhanh dần đều với vận tốc v  t   1  2t  m / s  . Tính vận tốc tại thời điểm mà vật óó cách A 20cm? (Giả thiết thời điểm vật xuất phát từ A tương ứng với t  0 ) A. 6 m / s B. 7 m / s  https://toanhocplus.blogspot.com C. 8 m / s Trang 287 D. 9 m / s Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Câu 28: (THPT THUẬN THÀNH SỐ 2) Một ô tô đang chạy đều với vận tốc a (m / s) thì người đạp phanh , từ thời điểm đó , ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = -5t + a (m / s) , trong đó t là thời gian tính bằng giây, kể từ lúc đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến lúc dừng hẳn ô tô di chuyển được 40m thì vận tốc ban đầu a bằng bao nhiêu? A. a = 40 B. a = 80 C. a = 20 D. a = 25 Câu 29: (THPT LÝ THƯỜNG KIỆT) Một vật chuyển động với vận tốc v  t   m / s  có gia tốc 3  m / s  . Vận tốc ban đầu của vật là 6  m / s  . Hỏi vận tốc của vật sau 10 giây t 1 là bao nhiêu? a t   A. 3 ln11  6. B. 2 ln11  6. C. 3ln11  6. D. 3ln 6  6. Câu 30: Một ca nô đang chạy trên hồ Tây với vận tốc 20m / s thì hết xăng; từ thời điểm đó, ca nô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = -5t + 20 , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc hết xăng. Hỏi từ lúc hết xăng đến lúc ca nô dừng hẳn đi được bao nhiêu mét? A. 10m B. 20m C. 30m D. 40m Câu 31: Một ô tô đang đi với vận tốc lớn hơn 72km / h , phía trước là đoạn đường chỉ cho phép chạy với tốc độ tối đa là 72km / h , vì thế người lái xe đạp phanh để ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = 30 – 2t (m/s), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Từ lúc bắt đầu đạp phanh đến lúc đạt tốc độ 72km / h ô tô đã di chuyển quãng đường dài A. 100m B. 125m C. 150m D. 175m Câu 32: Người ta bơm nước vào một bồn chứa, lúc đầu bồn không chứa nước, mức nước ở bồn chứa sau khi bơm phụ thuộc vào thời gian bơm nước theo một hàm số h  h  t  trong đó h tính bằng cm, t tính bằng giây. Biết rằng h ‘  t   3 2t  1 và. Mức nước ở bồn sau khi bơm được 13s là 243 cm A. 4 B. 243 80cm C. 30cm D. 60cm Câu 33: Tại thành phố Hà Tĩnh nhiệt độ (theo 0 F ) sau t giờ, tính từ 8h  20h được cho bởi công thức f  t   50  14 sin A. 50   14 t 12 . Nhiệt độ trung bình trong khoảng thời gian trên là: B. 50   https://toanhocplus.blogspot.com 14 C. 50   Trang 288 14  D. 50   14 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna II. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI 1. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH 1D 2A 3B 4A 5A 6C 7D 8C 9D 10B 11A 12D 13B 14B 15C 16C 17D 18B 19C 20C 21A 22A 23A 24B 25D 26B 27D 28C 29A 30B 31D 32A 33D 34C 35D 36A 37C 38B 39A 40A 41C 42B 43C 44D 45A 46C 47D 48C 49C 50C 51C 52C 53C 54A 55C 56A 57B 58A 59D 60C 61D 62D 63C 64D Câu 1. Chọn D. Câu 2. Chọn A. Câu 3. Chọn B. Đặt h( x)  ( x 3  11x  6)  6 x 2  x 3  6 x 2  11x  6 h( x)  0  x  1  x  2  x  3 (loại). Bảng xét dấu: 0 x 1 h  x 1 0   3 2 2  2    S    x  6 x  11x  6 dx   x 3  6 x 2  11x  6 dx 0 1 1 2  x4   x4  11×2 11x 2 5     2×3   6x     2×3   6x   . 2 2  4 0  4 1 2 Câu 4. Chọn A. Ta có x 3  4 x  x  2  x  0  x  2 0 S  x 3   4 x dx  2 2  0 0 2  x4   x4  x 3  4 x dx    2 x2    2 x2   8 .  4   4    2  0  Vậy S  8 (đvdt). Chú ý:Nếu trong đoạn  ;   phương trình f ( x)  g( x) không còn nghiệm nào nữa thì  ta có thể dùng công thức   Câu 5.  f ( x)  g( x) dx    f ( x)  g( x) dx .  Chọn A. b Theo công thức (SGK cơ bản) ta có S   f ( x)dx. a Câu 6. Chọn C.  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 289 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna b Theo công thức (SGK cơ bản) ta có S   f ( x)  g( x) dx. a Câu 7. Chọn D. 0 Theo định nghĩa ta có S  1  f ( x)dx  f ( x)dx 2 Câu 8. 0 Chọn C. 3 3 x4 Ta có x  0 trên đoạn [1; 3] nên S   x dx   x dx  4 1 1 3 3 Câu 9. 3 3  20 1 Chọn D. Ta có 4 4 x  0 trên đoạn [1; 4] nên S   x dx   1 4 2 3 14 xdx  x 2  3 1 3 1 Câu 10. Chọn B. 8 Ta có 3 8 8 x  0 trên đoạn [1;8] nên S   3 1 x dx   1 3 3 4 45 xdx  x 3  4 1 4 Câu 11. Chọn A.  3  Ta có sin x  0 trên đoạn  ;  nên S   2  3 2  3 2 sin x dx     3 sin xdx  cos x 2  1  Câu 12. Chọn D.    4 4    6 Ta có tan x  0 trên đoạn  ;  nên S   tan x dx   tan xdx   ln(cos x) 4   ln 3 6 4   6 6 6 Câu 13. Chọn B. 3 Ta có e 2x  0 trên đoạn [0; 3] nên S   e 3 3 2x 0 1 e6 1 dx   e dx  e 2 x   2 2 2 0 0 2x Câu 14. Chọn B. Ta có x 3  3 x 2  0  x  3  [1; 4] Khi đó diện tích hình phẳng là 4 3 3 4 4  x4   x4  27 51 S   x  3 x dx   ( x  3x )dx   ( x  3x )dx    x 3     x 3   6   4 4  4 1  4 3 1 1 3 3 2 3 2 3 2 Câu 15. Chọn C. Ta có x 4  3 x 2  4  0  x  2  [0; 3] Khi đó diện tích hình phẳng là 3 2 3 S   x 4  3x 2  4 dx   ( x4  3x 2  4)dx   ( x 4  3x 2  4)dx 0 0 2 2 3  x5   x5  48 96 144    x3  4x     x3  4x     5 5 5  5 0  5 2  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 290 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Câu 16. Chọn C. 2 Ta có x  1  0  x  1 nên S   1 x1 dx  x2 2  1    1  x  2  dx   x  ln x  2  1 2 1  3  2 ln 2 Câu 17. Chọn D.  x  1 Ta có 2  x 2   x   và 2  x 2   x , x  [  1; 2] x  2 2 2  x2 x3  9 Nên S   (2  x  x )dx   2 x     2 3  1 2  1 2 Câu 18. Chọn B.     0;  4  2 Ta có cos 2 x  0  x     2 4 2   1 4 1 2 Nên S   cos 2 x dx   cos 2 xdx   cos 2 xdx   sin 2 x    sin 2 x   1 2 0 2   0 0 4 4 Câu 19. Chọn C. Ta có x 4  3 x 2  4  0  x  2  [0; 3] Khi đó diện tích hình phẳng là 3 2 4 3 2 4 S   x  3x  4 dx   ( x  3 x  4)dx   ( x 4  3x 2  4)dx 0 2 0 2 2 3  x5   x5  48 96 144    x3  4x     x3  4x     5 5 5  5 0  5 2 Câu 20. Chọn C. Ta có x  1  0  x  1 nên 2 S  1 x1 dx  x2 2  1  1  1  x  2  dx  x  ln x  2   2 1  3  2 ln 2 Câu 21. Chọn A.  x  1 Ta có 2  x 2   x   và 2  x 2   x , x  [  1; 2] x  2 2 2  x2 x3  9 Nên S   (2  x  x )dx   2 x     2 3  1 2  1 2 Câu 22. Chọn A. Ta có cos 2 x  0  x     [0; ] 4 2    2 4 2   1 4 1 2 Nên S   cos 2 x dx   cos 2 xdx   cos 2 xdx   sin 2 x    sin 2 x   1 2 0 2   0 0 4 4 Câu 23. Chọn A.  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 291 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn Ta có https://facebook.com/duytuan.qna x  0 x3x x  1 1 1 1 2 3 3 3 4  1 x  x dx   ( x  x )dx   x  x   4 3  0 12 0 3 Nên S   0 3 Câu 24. Chọn B. Biến đổi về hàm số theo biến số y là x   y 2  2 y , x   y Xét pt tung độ giao điểm (  y 2  2 y )    y   0 có nghiệm y  0, y  3 3 3   Vậy S    y 2  3 y dy    y 2  3 y dy  0 0 9 2 Câu 25. Chọn D. 2  y  1 10 Ta có y 2  y  2   , Nên S   ( y  2  y 2 )dy  3 y  2 0 Câu 26. Chọn B. x  0 x  0 ; x  x3  0   Ta có 8 x  x  0  x  0; 8 x  x 3  0   x  1  x  2 2 1 2 2 Nên S    8 x  x dx  0   8x  x  dx  3 1 63 4 Câu 27. Chọn D. Ta có x  1  0  x  1; x  x2 x2  0  x  0;1   0  x  2 4 4 1 2   x2  x2  5 Nên S    x  dx    1   dx  4  4  6 0 1 Câu 28. Chọn C. Ta có: 10 x  x 2   x  x  0; 3 1 10 x  x2  x  2  x  3 3 3  10   10  13 Nên S    x  x 2  x dx    x  x 2  x  2  dx  3 3 2   0 1 Câu 29. Chọn A. Ta có: TCX : y   x  3 0 a a  1   1  dx    dx  ln x  1  ln(1  a) Nên S( a)       0 x 1 x 1 a 0 Suy ra ln(1  a)  5  a  1  e 5 Câu 30. Chọn B. Giả sử parabol có phương trình y  ax 2  bx  c  a  0  3  Đi qua A  0; 2  , B  ; 0  nên ta có hệ phương trình : 2   https://toanhocplus.blogspot.com Trang 292 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna   c  2 c  2   8  b  0  y   x 2  2 b  0 9 9  8  a2  0 a   4 9  3 2 8  S  2   x 2  2 dx  4m2 9 0 Câu 31. Chọn D. Giả sử parabol có phương trình y  ax 2  bx  c  a  0   25  Đi qua C  0;  , D  4; 0  nên ta có hệ phương trình:  2   25  c  2 c  2   25 25  b  0  y   x2  b  0 32 2   25 25 16a   0 a 2 32   4 S  2  0 25 2 25 200 2 x  dx  m 32 2 3 Câu 32. Chọn A.   Xét phương trình x  sin x  x , x   ;    sin x  0  x   . 2        S   x  sin x  x dx   sin xdx   cos x     1  0  1 .   2 2 2 Câu 33. Chọn D. Xét phương trình e x  e  x , x    1; 2   x   x  x  0 . S 0 2  e x  e  x dx   e x  e  x dx  1 0 0   ex  ex  0 1   ex  ex  2 0  e x 2   e  x dx  1  2e  e x   e  x dx 0 1 1 1 1 1 1  e 2  2  2  2  e   e 2  2  2  e 2  2  e   4 e e e e e e Câu 34. Chọn C. Xét phương trình 1 1      , x   ;   sin x  cos x  tan x  1  x  . 2 2 4 sin x cos x 6 3   4 S   3 1 1 1 1  d x   dx 2 2 2  sin x cos x cos 2 x  sin x 6 4   6  1 1   1 1     d x      dx  2 2 2 cos x  cos 2 x    sin x   sin x 4 6 3      cot x  tan x  4    cot x  tan x  3  6  https://toanhocplus.blogspot.com 4 Trang 293 4 3 2  2 4 3  8 3 4 . Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Câu 35. Chọn D. Xét phương trình x ln x  x , x  1; e   x  ln x  1  0  ln x  1  x  e . e e  S   x ln x  x dx  1 e   x ln x  x  dx   x  ln x  1 dx 1 1 1 dx  du ln x  1  u  x  Đặt  2  xdx  dv v  x  2 e e   x  ln x  1 dx  1 S e e x2 x2 1 1 x2 3 e2 ln x  1  . d x       2 x 2 2 4 4 4 1 1 1 3 e2 e2 3    . 4 4 4 4 Câu 36. Chọn A. Xét phương trình 5 x  2  3  x , x   0; 2  . Bấm Casio, ta thấy phương trình có nghiệm duy nhất x  2 2 2  S   5x  2   3  x  dx  0 x2    3  x  dx 0 2 2 Ta có:  5  5 0 x2  5x2 x2   3  x  dx   3x 0  ln 5 0 2 2   0 24  4. 25 ln 5 24 24 4  4 25 ln 5 25 ln 5 Vậy S  Câu 37. Chọn C. Xét phương trình xe x  0, x    1; 2   x  0 . S 0 2  xe x  0 dx   xe x  0 dx  1 0 0 2 x x  xe dx   xe dx 1 0  x  u dx  du  x Đặt  x e dx  dv e  v 0 Suy ra x x  xe dx  xe 1 2 2 0 1   e x dx   e x 1 e 1 0 2 0 1  2 1 e 2 x x x 2 x 2  xe dx  xe   e dx  2e  e  e  1 0 0 S 0 0 2 2 2  1  e2  1  1   e2  1  e2   2 e e e Câu 38. Chọn B. Xét phương trình x 2  4  0, x    1;1  x  2, x  2 .  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 294 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn 1 S https://facebook.com/duytuan.qna 1 1 x 2   4 dx  1 1  x3  22 22 x  4 dx    4 x     . 3 3  3  1  2 Câu 39. Chọn A. Phương trình 4 s 3 3  0 vô nghiệm trên đoạn  3; 4  2x 4 d  2  x 4 3 d x   3  3 ln 2  x  ln 8 3 2  x 3 2  x 3 4 3 dx  2x Câu 40. Chọn A. Xét phương trình x2  4 x 2  3x 2  0  x  0 1 1 2 1 1 0 2  S   4 x  x dx   3x 2 dx  x 3 0 0 Câu 41. Chọn C. 1  1  1 1 1  S   x 1  e  x  e  1 dx   xe  xe dx  (xe  xe)dx  xe dx  e xdx x x 0 x 0 1 Ta có: e xdx  e 0 x 0 0 0 1 2 x 1 e  ; xex dx  1 ( Bấm Casio hoặc tính trực tiếp bằng phương pháp 2 0 2 0 tích phân từng phần) e e  1   1. 2 2 S  Câu 42. Chọn B. Xét phương trình x2 e x  0  x  0 1 1 1  S   x 2 e x  0 dx   x 2 e x dx  x 2 e x dx 0 0 0 1 1 Tính x 2 e x dx bằng phương pháp tích phân từng phần hai lần ta có kết quả x 2 e x dx  e  2 0 0 Câu 43. Chọn C. Xét phương trình x2  x  3  2 x  1  x 2  3x  2  0  x  1, x  2 2 2 2  S   x2  x  3   2 x  1 dx   x 2  3x  2 dx  1 1 2 Bấm Casio, ta được  x 1 2  x 2   3x  2 dx 1  x 3 3x 2 2 1  3x  2 dx     2x    . 2 6  3 1  Câu 44. Chọn D. Xét phương trình 1 S  1 2 1 1  2 x  3, x  0  2 x 2  3 x  1  0  x  1, x  x 2 1 1 1    2 x  3  dx     2 x  3  dx x  1 x 2  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 295 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna 1 3 1 3 1  2 Ta có    2 x  3  dx   ln x  x  3x  1    ln    ln 2 4 2 4  1 x 2 2 1 3 3  S    ln 2   ln 2 4 4 Câu 45. Chọn A. 1  x 2  0   1  x  1  1  x 2  0  x   1 Xét phương trình 1 s 1  1  x 2  0 dx  1 1 1  x 2 dx   1  1  x 2 dx 1 1 Bấm Casio ta được  1  x 2 dx  1  (Nếu tính tay thì đặt x  sin t ). 2 Câu 46. Chọn C. Xét phương trình x 3  4 x 2  x  6  0 ; Bấm Casio ta được x  1, x  2, x  3 2 S 3 x 1 3 2  4 x  x  6 d x   x 3  4 x 2  x  6 dx 2   x 3 2 3   4 x2  x  6 dx  1  x 3   4 x 2  x  6 dx 2 2 Bấm Casio ta được  x 3   4 x 2  x  6 dx  1 3 45 7 ,  x 3  4 x 2  x  6 dx  4 2 12   45 7 71   4 12 6 Câu 47. Chọn D. S Trước tiên, ta vẽ đồ thị của ba hàm số y  2  x 2 , y  x , y   x trên cùng một hệ tọa độ. Miền cần tính diện tích là miền gạch sọc ngang trong hình vẽ, nó có diện tích gấp đôi diện tích hình sọc ngang bên phải Oy, tức gấp đôi diện tích hình phẳng giới hạn bởi 4 đường y  2  x 2 , y  x , , x  0, x  1 1  S  2  2  x 2  x dx  2 0 1  2  x 0 2 7 7  x dx  2.  6 3  Câu 48. Chọn C.  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 296 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna y  2x 1 2 S 1 x  0 dx   2  x  0 dx   0 y x 1 0 2 1 2 x dx   2  x dx   xdx    2  x  dx 1 0 1 Câu 49. Chọn C. Giả sử ABCDEF là hình lục giác đều có cạnh bằng 2 dm, ta tính diện tích một cánh hoa: Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho O là trung điểm của cạnh AB , A  1; 0  , B  1; 0  , I  0; 3  và đỉnh I của parabol. Phương trình của parabol có dạng: y  ax 2  b  a  0  , Do I , A , B thuộc P 1 S1    3x 2 y  3x 2  3 nên ta có:    3 dx  4 dm2 . Do đó: diện tích mỗi cánh hoa là:  1  22 3   4   6 3  24  34, 39 dm2 Vậy : Diện tích của hình là: A  6   4      Câu 50. Chọn C. y B x O A  Gắn parabol  P  và hệ trục tọa độ sao cho  P  đi qua O(0; 0)  Gọi phương trình của parbol là (P):  P  : y  ax 2  bx  c Theo đề ra,  P  đi qua ba điểm O(0; 0) , A(3; 0) , B(1,5; 2, 25) . Từ đó, suy ra  P  : y   x 2  3 x 3  Diện tích phần Bác Năm xây dựng: S    x 2  3x dx  0 9 2 9  Vậy số tiền bác Năm phải trả là: .1500000  6750000 (đồng) 2 Câu 51. Chọn C. Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt  x 4  ( m2  2)x 2  m2  1  0  ( x 2  1)( x 2  m2  1)  0 có 4 nghiệm phân biệt  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 297 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna  x  1  với m  0 2  x   m  1 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hàm số và trục hoành phần phía trên trục hoành là 1 96 S  2   x 4  m2  2 x 2  m2  1dx    15   0  m  2 Câu 52. Chọn C. Phương trình (d) : y  kx  k  5 Phương trình hoành độ giao điểm của ( P) và (d) : 3 x 3  kx  k  5  0 (1) Ta có  (1)  k 2  12 k  60  0  ( d) luôn cắt ( P) tại 2 điểm phân biệt A , B có hoành độ là  k   xA  6   k   xB  6  xB S   kx  k  5  3x 2 xA  2  dx  ( k  12 k  60)  54  min S  k  6 Câu 53. Chọn C.  C  : y  f  x   ax nên  C  : y  2  bx  c  c  0  qua  0; 1 ,  2; 3  ,  2; 3  1 2 x 1 2 Khi đó k k 3 3  x3   x3  1  1  S1  2S2    x2  1  dx  2   x2  1  dx    x   2   x  2 2    6 0  6 k 0 k  k3  k3 1   k  15  2   k   k 3  3 k  15  0  k  2, 47 6 2  6  Câu 54. Chọn A. Phương trình đường tròn: x 2  y 2  2 . Phương trình nửa trên trục hoành của đường tròn: y  2  x2 . Phương trình hoành độ giao điểm của parabol và đường  x 2  2  l  2x  x  x x 2  0   2  x  1 .  x  1 2 tròn: 2 4 2 Diện tích phần hình phẳng không được tô đậm bên trong hình tròn là 2 S1  2  0   2 2 2  x2  x 2 dx  2  2  x2 dx  2  x 2 dx  I  J 0  https://toanhocplus.blogspot.com 0 Trang 298 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn 2    2 2 2 0 2 2 x3 J  2  x dx  2 3 0 2 S1  I  J      1 2 2  2 sin 2 t . 2 cos tdt  4  cos 2 tdt  2   1  cos 2t  dt  2  t  sin 2t     2 0 0 0 I  2  2  x2 dx  2  0 https://facebook.com/duytuan.qna  0 4 2 3 4 2 3 Diện tích cần tìm là Shp  Shtron  S1  2    4 2 4 2   3 3 Câu 55. Chọn C. y Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số 2 y  x 2  4 x  4 và trục hoành là: x  4 x  4  0  x  2 . 4 Diện tích hình phẳng  H  giới hạn bởi đồ thị hàm số: y  x 2  4 x  4 , trục tung và trục hoành là: 2 S 0 2 2  x3  8 x  4 x  4 dx    x  4 x  4  dx    2 x 2  4 x   . 0  3 0 3 2 2 O B1 I d x Phương trình đường thẳng  d  đi qua điểm A  0;4  có hệ số góc k có dạng: y  kx  4 .  4  Gọi B là giao điểm của  d  và trục hoành. Khi đó B  ;0  .  k  Đường thẳng  d  chia  H  thành hai phần có diện tích bằng nhau khi B  OI và S OAB  1 4 S . 2 3 4  0  k  2 k  2    k  6 . 1 1  4 4 k   6  S  OA.OB  .4.   OAB 2 2 k 3 Câu 56. Chọn A. Cách 1: (Dùng công thức diện tích theo biến y )  P  : y  6 x  x 2  + Gọi  H  : Ox : y  0 . Suy ra:  x  0, x  6  6   S  SH   6 x  x 2 dx  36 0 Ta có: x  3  9  y 2 y  6 x  x2   x  3  9  y   x  3  9  y   https://toanhocplus.blogspot.com Trang 299 P  P  1 2 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna  P  : x  3  9  y  1  + Gọi  H1  :  P2  : x  3  9  y .  y  n, y  9  9  9  Suy ra: S1  SH1   3  9  y  3  9  y dy  2  9  y dy  n Mà S1  n S 4  12 nên 3 3  9n  3 4 3  9n  3 3  12   9  n   81  P  : x  3  9  y  1  + Gọi  H 2  :  P2  : x  3   9  y .  y  m, y  9  9 Suy ra: S2  SH2  2  9  y dy  m 2S 4  24 nên 3 3 Vậy P  81  324  405 . Mà S2   9n 4 3  3  9m  3 3  24   9  n   324 Cách 2: (Dùng công thức diện tích theo biến x ) Từ điều kiện bài toán ta có : 0  m, n  9 . Xét các phương trình hoành độ giao điểm : 6 x  x2  0 x  3  9  m x  3  9  n 6x  x 2  m   và 6x  x2  n    x  3  9  m  x  3  9  n  y  6 x  x2  y  6x  x2 y  6x  x2    Gọi D Ox ; DM  y  m ; DN  y  n    x  0; x  6  x  3  9  m ; x  3  9  m x  3  9  n ; x  3  9  n Khi đó ta có : 6   SD   6 x  x 2 dx  36 . 0 3 9  m 3 9 m  6x  x SDM  2   m dx  3 9m 4 = . 3  3 9 m   9  m   x  3 3 9m 9m  2  3  x  3     dx =  9  m  x   3    3 9m 3 3 4 Chứng minh tương tự ta có : SDN  . 9  n 3 2 1 Theo bài ra ta có : SDM  .36  24 và SDN  .36  12 3 3  3  3 Do đó  9  m   324 và  9  n   81 . Vậy P  324  81  405 .  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 300 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Câu 57. Chọn B. Ta có phương trình hoành độ giao điểm:. x  e ln x  1 ln x  1    . x  1 ln x   1   e e  1  e S   1  ln x dx    1  ln x  dx    1  ln x  dx  I1  I 2 . 1 e 1 e 1  1 u  1  ln x du = dx  Tính I1    1  ln x  dx . Đặt  x . 1 dv = dx v  x  e 1 1  1 1  I1  x  1  ln x |11   dx  1  x|11  1   1    ..  e e 1 e e e  1 u  1  ln x du =  dx  Tính I 2    1  ln x  dx . Đặt  x .  dv = dx 1 v  x  e e  I 2  x  1  ln x |   dx  1  x|1e  1   e  1  e  2 .. e 1 1 1 b Suy ra S  e   2  ae   c  a  1 , b  1 , c  2 .. e e Vậy, P  a  b  c  0 . Câu 58. Chọn A. 2 my  x  Toạ độ giao điểm  x; y  thoả hệ PT  2 mx  y   x2 x2 2 y  y   x   m m y       m   x  0 2 2 m3 x  x 4  mx   x         x  m m x  0 x  m    . y  0 y  m  Với x  0; m  ,  m  0  thì đường mx  y 2  y  mx . Do đó diện tích hình phẳng m  x2  x3 2 m  x3 S     mx  dx  3m 3  0 m  Yêu cầu S  3  m  0 1 2 m . 3 1 2 m  3  m  1 (do m  0 ). 3 Câu 59. Chọn D. Ta có: cos x  0  x   2  k ,  k     https://toanhocplus.blogspot.com Trang 301 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna    sin x  cos x  sin  x    0  x   k ,  k    4 4  Dựa vào hình vẽ ta có S1 , S2 giới hạn bởi các giá trị x      cos x  sin x  dx  1   2 , x  4 , x 5 . 4 5 4 4 Vậy S1   2 ; S2    sin x  cos x  dx  2 2  2 4  Suy ra: S12  S22  1  2 2   2 2  2  11  2 2 . Câu 60. Chọn C.  x 2  y 2  2  x2  1 4 2  x  x  2  0   x  1 . Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ   2 2  x  2  y  x  x 2  y 2  2  y  2  x2 . Ta có   y  0 Diện tích hình phẳng 1 1 2 2 S   x  2  x dx  1  x 1 2  2 x 2 1  dx  2   x  2  2  x 2 dx  2 I  J . 0 1 1 x3 1  . Tính I   x dx  3 0 3 0 2 1 Tính J   2  x 2 dx bằng cách đặt x  2 sin t  dx  2 cos tdt và 0 x  0  t  0; x  1  t   4 .    4 4 4  1  cos 2t  1 4  1 dx   t  sin 2t    . 2  2 0 4 2 0 Khi đó J   2  2 sin 2 t . 2 cos tdt  2  cos 2 tdt  2  0 Vậy S  2 0 1  1  1     . 3 4 2 2 3 Câu 61. Chọn D. y 1 O y y  1 b x2 9 O 3 x a x Cách 1: Gọi T là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi elip và hai trục tọa độ bên góc 3 phần tư thứ nhất. Khi đó T   1  0  https://toanhocplus.blogspot.com x2 3 dx   S1  4T  3 . 9 4 Trang 302 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna S 1 3  Hơn nữa S2  .6.2  6 . Khi đó 1   . S2 6 2 2 Cách 2( tổng quát): Diện tích của elip ứng với hai bán trục a và b là S1   ab . Hình thoi có các đỉnh là đỉnh của elip có bán trục a và b có độ dài hai đường chéo là 2a và 2b nên có S  ab  1 diện tích là S2  .2 a.2b  2 ab . Khi đó 1   . S2 2 ab 2 2 Câu 62. Chọn D. Do đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng nên yêu cầu bài toán trở thành: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y  1  x 2 , y  k , x  0 bằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi : y  1  x 2 , y  x 2  1, y  k , x  0. 1 k  1  1  x 2  k dx  0   k  1  x 2 dx   k  x 2   1 dx. 1 1 k  1  k  1  k  1 k 1 1  k  1  k 3 1 1 1 1  1  k   1  k  1  k  1  k  1  k  1  k  1  k  1  k  1  k   1  k   3 3 3 3 3 2 4   1  k  1  k   1  k  2  k  3 4  1. 3 3 Câu 63. Chọn C.   2    Ta có S   xf x 2 dx . 1 1 dt . 2 Đổi cận x  1  t  1 , x  2  t  4 . Đặt x 2  t  xdx  4 Khi đó S   1 4 1 1 1 f  t  dt   f  x  dx  I  I  2S  5 . 2 21 2 Câu 64. Chọn D.  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 303 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna  Gọi ABCD là hình chữ nhật với AB nằm trên trục Ox , A  1; 0  và C a; a  Nhận thấy đồ thị hàm số y  x cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 0 và đi qua   C a; a . Do đó nó chia hình chữ nhật ABCD ra làm 2 phần là có diện tích lần lượt là S1 , S2 . Gọi S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x và trục Ox , x  0, x  a và S2 là diện tích phần còn lại. Ta lần lượt tính S1 , S2 . a Tính diện tích S1   xdx . 0 2 Đặt t  x  t  x  2tdt  dx ; Khi x  0  t  0; x  a  t  a . a a  2t 3  2a a Do đó S1   2t dt   .   3  3 0 0 2 Hình chữ nhật ABCD có AB  a  1; AD  a nên S2  SABCD  S1  a  a  1  2a a 1  a a a 3 3 Do đồ thị hàm số y  x chia hình  H  thành hai phần có diện tích bằng nhau nên S1  S2  2a a 1  a a  a  a a  3 a  a  3 (Do a  0 ). 3 3  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 304 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna 2. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍCH THỂ TÍCH 1C 2B 3C 4B 5C 6D 7D 8D 9D 10B 11D 12D 13D 14C 15B 16A 17C 18A 19C 20C 21B 22D 23A 24A 25C 26C 27D 28B 29A 30C 31B 32A 33C 34C 35B 36C 37C 38D 39D 40C 41A 42B 43D 44B 45B 46D 47C 48B 49C 50D 51D 52C 53A 54B 55A 56D 57B 58A 59B 60B 61C 62C 63B 64B 65A 66D 67D 68B 69D 70B Câu 1. Chọn C. 4 4 Theo công thức ta có thể tích của khối tròn xoay cần tính là: V    .( )2 dx  12 . x 1 Câu 2. Chọn B. b Theo công thức ta có thể tích của khối tròn xoay cần tính là: V    f 2 ( x)dx. a Câu 3. Chọn C. Giao điểm của hai đường y  x  1 và y  0 là A(1; 0) . Vậy thể tích của khối tròn xoay 3 cần tính là: V    ( x  1)dx  2 . 1 Câu 4. Chọn B. 1 Theo công thức ta có thể tích của khối tròn xoay cần tính là: V    ( x 3  1)2 dx  0 Câu 5. 23 . 14 Chọn C. Với x   a; b  thì y 2  x  y  x . b Theo công thức ta có thể tích của khối tròn xoay cần tính là: V    xdx. a Câu 6. Chọn D. Giao điểm của hai đường y 2   x 2  2 x và y  0 là O(0; 0) và A(2; 0) . Theo công thức ta có 2 thể tích của khối tròn xoay cần tính là: V    (  x 2  2 x)2 dx  0 Câu 7. 16 . 15 Chọn D. Giao điểm của hai đường y  1  x 2 và y  0 là B( 1; 0) và A(1; 0) . Theo công thức ta có 1 thể tích của khối tròn xoay cần tính là: V    (1  x 2 )dx  1 Câu 8. 4 . 3 Chọn D. Khối tròn xoay trong đề bài có được bằng cách quay hình phẳng tạo bởi các đường x  0; x   ; y  sin x ; Ox quay trục Ox.  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 305 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna  Theo công thức ta có thể tích của khối tròn xoay cần tính là: V    sin xdx  2 . 0 Câu 9. Chọn D.  3   Theo công thức ta có thể tích của khối tròn xoay cần tính là: V    tan 2 xdx    3   . 3  0 Câu 10. Chọn B. 4 Theo công thức ta có thể tích của khối tròn xoay cần tính là: V    .(1  x )2 dx  0 68 . 3 Câu 11. Chọn D. Cách 1: Trên hệ trục tọa độ Oxy , xét đường tròn (C ) : ( x  5)2  y 2  25 . Ta thấy nếu cho nửa trên trục Ox của  C  quay quanh trục Ox ta được mặt cầu bán kính bằng 5. Nếu cho hình phẳng  H  giới hạn bởi nửa trên trục Ox của  C  , trục Ox , hai đường thẳng x  0, x  2 quay xung quanh trục Ox ta sẽ được khối tròn xoay chính là phần cắt đi của khối cầu trong đề bài. Ta có ( x  5)2  y 2  25  y   25  ( x  5)2  Nửa trên trục Ox của  C  có phương trình y  25  ( x  5)2  10 x  x 2  Thể tích vật thể tròn xoay khi cho  H  quay quanh Ox là: 2 V1    2  0  x3  52 10 x  x dx    5x 2    3 0 3  2  4 500 Thể tích khối cầu là: V2   .53  3 3 500 52  2.  132 dm3 Thể tích cần tìm: V  V2  2V1  3 3 Cách 2: Hai phần cắt đi có thể tích bằng nhau, mỗi phần là một chỏm cầu có thể tích  R  5    V1    R2  x 2 dx    25  x 2 dx  d 3  52 3 4 52 Vậy thể tích của chiếc lu là V  Vc  2V1   .53  2   132 3 3 Câu 12. Chọn D. Thể tích khối tròn xoay được giới hạn bởi các đường y  x 3 , trục Ox , x  1 , x  1 một vòng quanh trục Ox là: 1   V    x3 1 2 1   dx    x6 dx   1 x7 7 1 2  . 7 1 Câu 13. Chọn D. x  0 Phương trình hoành độ giao điểm: 2 x  x 2  0   x  2  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 306 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn 2  Suy ra V    2 x  x https://facebook.com/duytuan.qna 2  2 0 2 2  2 3 dx    4 x  4 x  x 4  2 0  4 x 3 4 x 4 x5  16 dx         4 5  0 15  3 Câu 14. Chọn C. Thể tích khối tròn xoay được giới hạn bởi các đường y  tan x; Ox; x  0; x   4 2    4 4 4 0 0      4 V     tan x  dx    tan 2 xdx    tan 2 x  1 dx    dx   tan x 04   x 04    0 0 là: 2 4 Câu 15. Chọn B.  x  1 Phương trình hoành độ giao điểm: 1  x 2  0   x  1 1  Suy ra V    1  x 1 2  2 1 dx    1 1   2 x3 x 5  16 1  2 x  x dx    x      3 5  15  1 2 4  Câu 16. Chọn A. Phương trình hoành độ giao điểm: x 2  0  x  0 1   Suy ra V    x 0 2 2 1 1 x5  dx    x dx    5 0 5 0 4 Câu 17. Chọn C. 3 y   2 x  1  y 3  2 x  1  x  y3  1 2 y3  1 0 y 1 2 Phương trình tung độ giao điểm: 3 2 3 3  y3  1   y6  2 y3  1     y7 2 y4 480 Suy ra V      y    dy      dy    2  4 4 7 4 7 1 1  1 Câu 18. Chọn A.  2 V  0   x.cos x  sin 2 x  2 2   dx    x cos x  sin 2 x dx    3  4  0 4 Câu 19. Chọn C. Phương trình hoành độ giao điểm: 2x  1 1 0x x1 2 2 2 0 0   2x  1   1  4 1   d x   2  d x   4   1  x  1  1  x  1  1  x  1 x  1 2  dx        0 Suy ra V   2 2 2 0  1     4 x  4 ln  x  1     1  2  4 ln 2  2    3  4 ln 2   x  1   1  2  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 307 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Câu 20. Chọn C. Phương trình hoành độ giao điểm: x 2  4  x  2 Suy ra: 2 2 2  x5  V     4 2  x 2  dx    16  x 4 dx    16 x     5  2 2    2  2 256  5 Câu 21. Chọn B.  Thể tích khối tròn xoay được giới hạn bởi các đường y  sin x , trục hoành và hai đường   2 thẳng x  0 , x   là: V     sin x  dx    sin 2 xdx 0 0   1  cos 2 x 1 1  2  dx    x  sin 2 x   . 2 4 2 2 0 0 Câu 22. Chọn D. x  0 Phương trình hoành độ giao điểm: 3x  x 2  0   x  3 3  Suy ra: V    3x  x 2  2 0 3   dx    9 x 2  6 x 3  x 4 dx 0 3  9 x 3 6 x 4 x5   81  81          0  4 5 0  10  10  3 Câu 23. Chọn A. Phương trình hoành độ giao điểm: 4 Suy ra: V     1  4 2 x  1 dx    1 x 1  0  x  1. 4   x2 4  7 x  2 x  1 dx     x x  x   . 6  2 3 1  Câu 24. Chọn A. Phương trình hoành độ giao điểm: 3x  x  x  0 . 1 1 1 2 8 3 8 Suy ra: V     3x   x 2  dx    8 x 2 dx  . x    3 3 0 1 0 Câu 25. Chọn C. Phương trình hoành độ giao điểm: 4 Suy ra: V    xdx  0  2 x0 x0. 4 x 2  8 . 0 Câu 26. Chọn C. Phương trình hoành độ giao điểm: x  1   https://toanhocplus.blogspot.com 6  x2  x  6  0  x  2 . x Trang 308 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna 2  2 6  35 Suy ra: V     x  1     dx  . 3  x   1   2 Câu 27. Chọn D. Phương trình hoành độ giao điểm:  x  5  x  1 4  x 2  5x  4  0   . x x  4 2  2 4  Suy ra: V      x  5      dx  9 .  x   1   2 Câu 28. Chọn B. x2 y 2 b 2  2  1 y  a  x2 . 2 a a b Phương trình hoành độ giao điểm: y  0  x   a . Ta có: Suy ra: V  a  b2 a  a 2 2   x 2 dx  a 4 2 ab  . 3 Câu 29. Chọn A.  1 2  x  4 y  y  0   y  2 x  0; x  0 Ta có:  .  x   1 y 2  3 y  y  2   y  3  9  2 x  0; 0  x  4  2 Phương trình hoành độ giao điểm: 2 x  3  9  2 x  x  0 . 4 4 2  Ta có: V1    4 xdx  32 ; V2    3  9  2 x 0  dx  4 0 Suy ra: V  max V1 , V2   32 . Câu 30. Chọn C. Phương trình hoành độ giao điểm: x x  0 1 x . 2 x  4 4  1  8 Suy ra: V     x  x 2  dx  . 4  3 0 Câu 31. Chọn B. x3  x  2  x  1 Phương trình hoành độ giao điểm: x 3  0  x  0 . x  2  0  x  2 1 2 2 1 1 Ta có: V1    x dx   ; V2     2  x  dx   7 3 0 1 6 Suy ra: V  V1  V2  10 . 21 Câu 32. Chọn A. Phương trình hoành độ giao điểm: 2 x   https://toanhocplus.blogspot.com 1 x x0. 2 Trang 309 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna 1 Ta có: 2 x  0; x   0; 4  ; x  0; x   0; 4  2 4 4 1 16 V1    4 xdx  32 ; V2    x 2 dx   4 3 0 0 Suy ra: V  max V1 , V2   32 . Câu 33. Chọn C. 3 4 Ta có: V     x  2  dx  0 33 . 5 Câu 34. Chọn C. 2 Phương trình hoành độ giao điểm: 3 x  2  0  x   . 3 0 Suy ra: V     3x  2   2 dx  2 3 8 . 9 Câu 35. Chọn B. 2 4 Ta có: V     1  x  dx  0 2 . 5 Câu 36. Chọn C.  4 1 dx   . 2 cos x 0 Ta có: V    Câu 37. Chọn C. x  0 Phương trình hoành độ giao điểm: x  x   . x  1 1 Suy ra: V      x  x  dx  6 . 2 0 Câu 38. Chọn D. b 1 2 1 Ta có f  x   e x  V    f 2  x  dx     e x  dx    e 2 x dx . a 0 0 Câu 39. Chọn D. 1   V   x 1 3 2 x7 dx   7 1  1 2 . 7 Câu 40. Chọn C. Xét phương trình ln x  0, x  0  x  1 e 2 V     ln x  dx 1 Đặt u  ln 2 x  du  2ln x dx ; dv  dx  v  x x  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 310 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn 2 e https://facebook.com/duytuan.qna e V   x ln x  2  ln xdx 1 1 e   e  e  2  x ln x 1   dx   e  2  e  e  1   e  2     1   Câu 41. Chọn A. 2 2 V     ln x  dx 1 2 2 2 V   x ln x  2  ln xdx 1 1 2   2 2 2  2 ln 2  2  x ln x 1   dx   2 ln 2 2  2  2 ln 2  1  2  ln 2  1 1   Câu 42. Chọn B. Xét phương trình x3  8  x  2 3 3  x7   7 V    x  64 dx     64 x   3  9.26 7 7  2 2  6  Câu 43. Chọn D.  Gọi V1 là thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi các đường y  bx , trục hoành và hai b đường thẳng x  0, x   . Khi đó, V1   a 0 x3  bx d x   b . b   3  2 0 2   a b a  b5 3a3  Gọi V2 là thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi các đường y  ax 2 , trục hoành và hai b đường thẳng x  0, x   . Khi đó, V2   a 0   ax  2  b a 2 x5 dx   a . 5 0 2   b a  b5 5a3  Suy ra, thể tích khối tròn xoay khi quay hình  K  quanh trục Ox là : V  V1  V2   b5 3a 3   b5 5a 3  Để thể tích không phụ thuộc vào a và b thì tỉ số  2 b5 15 a3 b5 cố định. a3 Câu 44. Chọn B.  4 2 Thể tích cần tìm là V     cos x  dx   (  2) 8 0 . Câu 45. Chọn B. 2   2 Thể tích cần tìm là V    e 2 x dx  0  e 4 8  1 . Câu 46. Chọn D.    2 Thể tích cần tìm là V    sin 2 x dx  0  https://toanhocplus.blogspot.com 3 2 . 8 Trang 311 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Câu 47. Chọn C. 2 1 x   Thể tích cần tìm là V     xe 2  dx   . 0  Câu 48. Chọn B. Thể tích cần tìm là 1 2 1 1 1      1 1 1  x V     xe 2  dx    xe x dx    x2 e x  2  xe x dx     x 2 e x  2  xe x   e x dx      e  2      0 0 0  0 0 0 0       Câu 49. Chọn C. 2 2  1 x Thể tích cần tìm là V     x 2 e 2  dx   e 2 . (gợi ý: Tích phân từng phần) 1  Câu 50. Chọn D. 2 2 2 Thể tích cần tìm là V    1  x   dx  .   5 0 2 Câu 51. Chọn D. Vẽ hình 2   2 2 2 Suy ra thể tích cần tìm là V    x  4 dx     2 x  4  dx  2 0 0 32 . 5 Câu 52. Chọn C. Giải phương trình x ln x  0  x  1. e 2 Thể tích cần tìm là V     x ln x  dx    5e 3  2  27 1 . (gợi ý: tích phân từng phần hai lần) Câu 53. Chọn A. 2x  1 với y  0 là nghiệm của phương trình: x 1 2x  1 1 0x . x 1 2 Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y  Thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay  H  xung quanh trục Ox bằng 1 2 1 2 2   2x  1  4 1   V   d x   4    x  1 x  1 2  dx x  1  1  1     1  1 2  15     4 x  4 ln x  1      4 ln 2   x  1  1   2  Câu 54. Chọn B.    1  cos 8 x 1 1  8 2 dx    x  sin 8 x   Thể tích cần tìm là V     cos 4 x  dx    . 2 2 16 16   0 0 0 8 2 8 Câu 55. Chọn A.  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 312 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna 2 1  x  2 1   d x   1   Thể tích cần tìm là V     0  x  1 x  1 2  dx x  1  0    1 1   3  4 ln 2   1     x  2 ln x  1   .  x 1 0 2  Câu 56. Chọn D. Hoành độ giao điểm của đồ thị 2 hàm số y  x 2 và y  2 x là nghiệm của phương trình x  0 x2  2x   x  2 Thể tích của khối tròn xoay tạo thành là 2 2 2   V     2 x  dx    x 0 2 2 0 2 2  x5  4  64 dx    x 3       3 0  5  0 15 Câu 57. Chọn B. Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y  1  x 2 với trục Ox là nghiệm của phương x  1 trình: 1  x 2  0    x  1 Thể tích khối tròn xoay tạo thành là: 1  V    1 x 2  2 1 1 1 dx    1   2 x5  16 1  2 x  x dx    x  x 3    3 5  1 15  2 4  Câu 58. Chọn A. 1   Thể tích của khối tròn xoay tạo thành là V    x 2 2 0 1 1 x5  dx    x dx    . 5 0 5 0 4 Câu 59. Chọn B. H C B A D O O’  Thể tích của bồn (hình trụ) đựng dầu là: V   r 2 h   .12.5  5 ( m3 )  3 .5  3,070 ( m3 )  Thể tích phần đã rút dầu ra (phần trên mặt (ABCD)) là: V1     3 4     Vậy thể tích cần tìm là: V2  V  V1  5  3,07  12,637 ( m 3 ).  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 313 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Câu 60. Chọn B. y  r1  y1  1  x1  0  r2  y 2  2  x2  3 3 3 x O 3  x2  15 Suy ra: V    y dx     x  1 dx     x  30   2  2  0 0 2 Câu 61. Chọn C. Phương trình hoành độ giao điểm: x 1 x  2 6  x2  x  6  0  x  0    x  x  3  l  2 2 6  2 2 6 35 Vì  x  1  0 với x   1; 2  nên thể tích cần tính là V      dx     x  1 dx  . 1 1 x 3 x Câu 62. Chọn C. Phương trình hoành độ giao điểm: x 1 x  x  0; 4 . 2 Vẽ hình 4 Suy ra thể tích cần tìm là V      0 2 4 2 1  8 x dx     x  dx  . 2  3 0 Câu 63. Chọn B. Giải phương trình x3  0  x  0;  x  2  0  x  2; x3   x  2  x  1 Vẽ hình 1 2 2 Suy ra thể tích cần tìm là V    x 6 dx      x  2  dx  0 1 10 . 21 Câu 64. Chọn B. Giải phương trình (2 x  1) ln x  0  x  1 2 Thể tích cần tìm là V     1 2 5 (2 x  1) ln x dx     ln 64 2  Câu 65. Chọn A. Đặt hệ trúc với tâm O , là tâm của mặt cầu ; đường thẳng đứng là Ox , đường ngang là Oy ; đường tròn lớn có phương trình x 2  y 2  25 Thể tích là do hình giới hạn bởi Ox , đường cong y  25  x 2 , x  3, x  3 quay quanh 3   Ox là V    25  x 2 dx  132 . 3 Câu 66. Chọn D. b 2 b 2 Ta có V2     2 f ( x)  dx  4   f ( x)  dx  4V1 . a a Câu 67. Chọn D.  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 314 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna 8 Thể tích cần tìm là V    2  x  dx  18,6 . 3 1 Câu 68. Chọn B. Giải phương trình 4  x2  3 Thể tích cần tìm là V     3 1 2 x x 3 3  4x 2  2 2 3  x2  28 3 dx      dx  . 3  5  3 Câu 69. Chọn D. Diện tích thiết diện là S( x)  x. 2 9  x 2  2 x 9  x 2 3 3   Thể tích cần tìm là V   S( x)dx   2 x 9  x 2 dx  18 0 0 Câu 70. Chọn B. Giải phương trình 2 1  x 2  2 x  2  x  0;1 4 3 4 R  3 3 V1  1   2 1 2 V2    2 1  x 2 dx     2 x  2  dx  0 0 4 . 3 3. ỨNG DỤNG KHÁC CỦA TÍCH PHÂN 1C 2D 3A 4B 5C 6B 7D 8A 9B 10D 11A 12C 13D 14A 15C 16A 17D 18A 19D 20A 21D 22D 23A 24B 25C 26A 27D 28C 29A 30D 31B 32C 33B Câu 1: Chọn C.  Hàm vận tốc v  t   v0  at  15  9, 8t  Quãng đường tia lửa đi được sau 2,5 giây là: 2 ,5 s  15  9,8t  dt  15t  4, 9t  2 0 Câu 2: 0 68,125 m. Chọn D. 0 ,05 q 0 ,05  I  t  dt   0 Câu 3: 2,5 0 0 ,05  t2   0, 3  0, 2t  dt   0, 3t  10   0 Chọn A. 3 4 Quãng đường cần tìm s   1  2 sin 2t  dt   t  cos 2t  0 Câu 4:  0,01475 mC. 3 4 0  3 1. 4 Chọn B.  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 315 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna b  Áp dụng công thức A   a kq1q2 dx . x2 9 Trong đó: k  9.10 ; a  1 pm  10 12 m; b  4 pm  4.10 12 m ; q1  q2  1,6.10 19 C 4.10 12  Suy ra: A   1012 Câu 5:  9.10 9. 1, 6.10 19  2 x2 4.10 12  1 dx  2, 304.10 28     1,728.10 16 J . x  12   10 Chọn C. y Áp dụng công thức trên với a  500; P  p  a   p  500   1075 . Suy ra  500 I  0 Câu 6: b a x O 500  x2 x3  1200  0, 2 x  0,0001x  1075 dx   125x     33333, 3 USD. 10 30000  0   2 Chọn B.  Quãng đường trong 4 giây đầu tiên (từ t  0 đến t  4 ) là 4 4 4    t2 t2  2   6  s    1, 5  d t  1, 5 t   2t  6 ln t  2   12, 59 m.   dt    1, 5  t  2   t2  t2 2  0 0 0 Câu 7: Chọn D. Lấy mốc thời gian là lúc ô tô bắt đầu hãm phanh. Gọi T là thời điểm ô tô dừng. Ta có v T   0 . Suy ra 36T  18  0  T  0, 5 (s) Khoảng thời gian từ lúc hãm phanh đến lúc dừng hẳn ô tô là 0,5 s. Trong khoảng thời gian đó, ô tô di chuyển được quãng đường là 0,5 s   36t  18  dt   18t 2  18t 0 Câu 8:  0 ,5 0  4, 5( m) . Chọn A. 3 Quãng đường tại thời gian t : S  t     3t  2  dt  t 3  2t  c 2 3 Mà S  2   10  c  0  S  t   t 2  2t 2 Tại thời điểm t  30 s : S  30   1410 Câu 9: Chọn B. Lấy mốc thời gian là lúc ô tô bắt đầu được đạp phanh. Gọi T là thời điểm ô tô dừng. Ta có v T   0 suy ra 20  40T  T  0, 5 Như vậy, khoảng thời gian từ lúc đạp phanh đến  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 316 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna khi dừng hẳn của ô tô là 0,5 giây. Trong khoảng thời gian 0,5 giây đó, ô tô di chuyển 0 ,5 được quãng đường là L     20  40t  dt  20t  20t 2 0  0 ,5  5( m) 0 Câu 10: Chọn D. Gọi v  t  là vận tốc của vật. Ta có v ‘  t   a  t   3t  t 2 .Suy ra v  t   Vì v  0   10 nên suy ra C  10 . Vậy v  t   3t 2 t 3  C 2 3 3t 2 t 3   10 2 3 10  3t 2 t 3  4300   10  dt  ( m) Thành thử quãng đường vật đi được là S    2 3 3  0  Câu 11: Chọn A. Thời điểm A và B gặp nhau là 20 giây kể từ lúc A xuất phát. Đồ thị vận tốc của A là đường gấp khúc OMN. Quãng đường A đã đi được là diện tích hình thang OMNQ . Diện tích của nó là  20  12  6  96 , do 2 đó lúc gặp B, A đi được 96  m  . Đồ thị vận tốc của B là đường thẳng HP . Vì B xuất phát cùng vị trí với A nên quãng đường B đi được là 96  m  . Mặt khác, quãng đường B đã đi được bằng diện tích hình tam giác HPQ với HQ  8 và PQ chính là vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A . Suy ra 96  8 PQ  4 PQ nên 2 PQ  24 . Vậy vận tốc của B tại thời điểm nó đuổi kịp A là 24  m / s  . Câu 12: Chọn C. Ta có: N  t    4000 dt  8000 ln  1  0, 5t   C 1  0, 5t Ta có : N  0   250000  C  250000  N  t   8000 ln  1  0, 5t   250000 N  10   8000 ln 6  250000  264334 . Kết quả :  264334 Câu 13: Chọn D. Ta có: v  t    3 dt  3 ln  t  1  c mà t 1 v  0   6  c  6  v  t   3 ln  t  1  6 v  10   3 ln 11  6  13  m / s  . Kết quả:  13  m / s  Câu 14: Chọn A. Ta có v  t    2 dt  2 ln  t  1  c t 1  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 317 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Mà vận tốc ban đầu 5m/s tức là : v  0   5  2 ln  0  1  c  5  c  5 . Nên v  t   2ln  t  1  5 Vận tốc của vật sau 10s đầu tiên là : v  10   2 ln  11  5  9, 8 Câu 15: Chọn C. Ta có v  t    a  t  dt  10  C. 1  2t Theo đề ta có v  0   30  C  20 2  10   20  dt  5 ln 5  100  108m. Vậy quãng đường vật đó đi được sau 2 giây là : S    2t  1  0 Câu 16: Chọn A. Khoảng thời gian để tốc độ sinh lợi nhuận để dự án hai bằng một nửa dự án lần một khi: t  5  5 15  t  5  5 15 năm. P1  t   2 P2  t   50  t 2  400  10t  t 2  10t  350  0   t  5  5 15 Lợi nhuận vượt trong khoảng thời gian 0  t  5  5 15 sẽ xác định bằng tích phân sau: 5  5 15 L 5  5 15  P2  t   P1  t   dt   0 5  5 15    0   400  10t    50  t  dt 2 0  1  350  10t  t 2 dt   350t  5t 2  t 3  3    5  5 15  6674,6 0 Câu 17: Chọn D. Trước hết để giải bài toán này ta cũng chú ý. Biểu thức vận tốc v theo thời gian t có gia tốc a là: v   a.dt Áp dụng công thức trên , ta có : v   adt   Đến đây ta đặt : u  1  2t  du  2dt  dt  v 20  1  2t  2 dt du 2 10 10 10 du   10u2 du  K  K u u 1  2t Với t  0, v  30  K  20  10  Vậy biểu thức vận tốc theo thời gian là : v    20  cm / s2 .  1  2t  Nhận xét: dựa trên nội dung công thức trên ta có thể tính toán, trả lời các câu hỏi trong Vật Lí ứng dụng và trong đời sống. Ta theo dõi các ví dụ tiếp theo. Câu 18: Chọn A.  Tia lửa chịu sự tác động của trọng lực hướng xuống nên ta có gia tốc a  9, 8 m / s2  Ta có biểu thức vận tốc v theo thời gian t có gia tốc a là :  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 318 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna v   adt   9,8dt  9,8t  C Ở đây, với : t  0, v  15m / s  C  15 Vậy ta được biểu thức vận tốc có dạng : v  9,8t  15 Câu 19: Chọn D.  Tia lửa chịu sự tác động của trọng lực hướng xuống nên ta có gia tốc a  9,8 m / s 2  Ta có biểu thức vận tốc v theo thời gian t có gia tốc a là : v   adt   9,8dt  9,8t  C Ở đây, với t  0, v  15m / s  C  15 Vậy ta được biểu thức vận tốc có dạng: v  9,8t  15 Lấy tích phân biểu thức vận tốc, ta sẽ có được bểu thức quãng đường: s   vdt    9,8t  15  dt  4, 9 t 2  15t  K Theo đề bài, ta được khi t  0  s  0  K  0. Vậy biểu thức tọa độ của quảng đường là : s  4,9t 2  15t. Khi t  2, 5  s  , ta sẽ được s  6, 875  m  Câu 20: Chọn A. Muốn tìm quãng đường, ta lấy tích phân hàm vận tốc, ta được: s   vdt    v0  at  dt    5  at  dt 1 Do đó, quãng đường có biểu thức là : s  v0 t  at 2  C. 2 Khi t  0  s  0  C  0   1 .  Theo đề bài : t  5  s  , a  9, 8 m / s2 . Thay vào phương trình của  1 ta được : 1 s  5.5  9,8.52  147.5  m  2 Câu 21: Chọn D. Thời gian bơm nước được 6 giây. 6 6 Mức nước càn tìm là : h  t    h ‘  t  dt   0 0 4 13 3 t  8dt   t  8  3 5 20 6  0 4 3 12  14 3   2,66  cm  20 5 Câu 22: Chọn D. Vi khuẩn HP gây đau dạ dày tại ngày thứ m với số lượng là: F  m   1000 dt  500 ln 2t  1 2t  1 Suy ra số vi khuẩn trong dạ dày bệnh nhân sau 15 ngày bệnh nhân phát hiện ra bị bệnh là: F 15   500ln 31  2000  3716,99  4000  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 319 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Câu 23: Chọn A. Đến lúc phanh vận tốc của xe là : 2t1  10 đó cũng là vận tốc khởi điểm cho quãng đường đạp phanh ; sau khi đi thêm t 2 thì vận tốc là 0 nên 2t1  10  20  4t2  t1  2t2  5 t  3 s Lại có t1  t2  4 lập hệ được  1 t2  1s 2 1 Tổng quãng đường đi được là: S    2t  10  dt    20  4t  dt  57 m 0 0 Câu 24: Chọn B.   Ta có v  t    a  t  dt   3t 2  t dt  t 3  t2 C 2 Vận tốc ban đầu của vật là 2 m / s  v  0   2  C  2 Vậy vận tốc của vận sau 2s là: v  2   12 Câu 25: Chọn C. t  0 Thời điểm vật dừng lại khi đó ta có vận tốc: v  t   0  3t  4  t   0   t  4 Chúng ta nhận giá trị t  4 . Vậy vật chuyển động sau 4s thì dừng. 4 Quãng đường vật đi trong 4s là : S   3t  4  t  dt  32 0 Câu 26: Chọn A. Ta có v  t    2 dt  2 ln  t  1  c t 1 Mà vận tốc ban đầu 5m/s tức là: v  0   5  2 ln  0  1  c  5  c  5. Nên v  t   2 ln  t  1  5. Vận tốc của vật sau 10s đầu tiên là: v  10   2 ln  11  5  9,8 Câu 27: Chọn D. Ta có S  t     1  2t  dt  t  t 2  c Vật xuất phát từ A tương ứng với thời gian t  0 nên S  0   0  0  0 2  c  0  c  0 Suy ra : S  t   t  t 2 t  4 Vật cách A 20cm ta có : t 2  t  20   (nhận t  4 ). t  5 Vậy sau 4s thì vật cách A 20m và vận tốc tại thời điểm đó là : v  4   9 Câu 28: Chọn C. Thời điểm vật dừng lại khi vận tốc bằng 0: v  t   0  5t  a  0  t   https://toanhocplus.blogspot.com Trang 320 a 5 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna a 5  5  Ô tô di chuyển được 40 mét:   5t  a  dt    t 2  at   2  0 a 5  a2 a2 a2    40 . 10 5 10 0 Câu 29: Chọn A. Ta có hàm vận tốc là nguyên hàm của gia tốc: v  t    3 dt  3 ln t  1  C. t 1 Điều kiện vận tốc ban đầu 6(m/s): v  0   6  3 ln 0  1  C  6  C  6 Vậy hàm vận tốc là: v  t   3 ln t  1  6 Vận tốc của vật sau 10 giây là : v  10   3 ln 11  6 Câu 30: Chọn D. Khi ca nô dừng thì v  t   0  5t  20  0  t  4 Khi đó quãng đường đi được từ khi hết xăng là 4 4  5  Ta có s    5t  20  dt   t 2  20t   40m  2 0 0 Câu 31: Chọn B. Theo đề : v  72 km / h  20m / s , 5 Ta có : 30  2t  20  t  5  S    30  2t  dt  125 0 Câu 32: Chọn C. Ta có h  t    3 2t  1dt  3  2t  1  3 2t  1  C 8   Lúc đầu  t  0  bể không có nước h  0   0  C   3  h  13   30 . 8 Câu 33: Chọn B. 20 Nhiệt độ TB được tính theo công thức sau: 1  t  14 50  14.sin  dt  50  .   20  8 8  12   Xem thêm các chuyên đề của thầy tại toanhocplus.blogspot.com  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 321 Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments

Bài viết tương tự