Chuyên đề mặt nón – mặt trụ – mặt cầu – Trần Đình Cư

Giới thiệu Chuyên đề mặt nón – mặt trụ – mặt cầu – Trần Đình Cư

Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và bạn đọc Chuyên đề mặt nón – mặt trụ – mặt cầu – Trần Đình Cư CHƯƠNG MẶT NÓN – MẶT TRỤ – MẶT CẦU.

Chuyên đề mặt nón – mặt trụ – mặt cầu – Trần Đình Cư

Tài liệu môn Toán 12 và hướng dẫn giải chi tiết các đề thi từ cơ bản đến vận dụng cao sẽ luôn được cập thường xuyên từ hoctoanonline.vn , các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán hay và mới nhất.

Tài liệu Chuyên đề mặt nón – mặt trụ – mặt cầu – Trần Đình Cư

Các em học sinh và bạn đọc tìm kiếm thêm tài liệu Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng tại đây nhé.

Text Chuyên đề mặt nón – mặt trụ – mặt cầu – Trần Đình Cư
Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 456: NÓN-TRỤ-CẦU Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 1 Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 456: NÓN-TRỤ-CẦU MỤC LỤC CHỦ ĐỀ 4. HÌNH NÓN, MẶT NÓN, KHỐI NÓN ………………………………………………………. 3 CHỦ ĐỀ 5. MẶT TRỤ – HÌNH TRỤ VÀ KHỐI TRỤ ………………………………………………….. 17 CHỦ ĐỀ 6. MẶT CẦU – HÌNH CẦU VÀ KHỐI CẦU…………………………………………………. 30 Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 2 Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 456: NÓN-TRỤ-CẦU CHỦ ĐỀ 4. HÌNH NÓN, MẶT NÓN, KHỐI NÓN A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. Định nghĩa mặt nón Cho đường thẳng  . Xét một đường thẳng d cắt  tại O và không vuông góc với  (Hình 1). Mặt tròn xoay sinh bởi đường thẳng dnhư thế khi quay quanh  gọi là mặt nón tròn xoay (hay đơn giản là mặt nón).  gọi là trục của mặt nón. d gọi là đường sinh của mặt nón. O gọi là đỉnh của mặt nón. Nếu gọi  là góc giữa d và  thì 2 gọi là góc ở   đỉnh của mặt nón 00  2  1800 . 2. Hình nón tròn xoay Cho ΔOIM vuông tại I quay quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OIM tạo thành một hình, gọi là hình nón tròn xoay(gọi tắt là hình nón) (hình 2). Đường thẳng OI gọi là trục, O là đỉnh, OI gọi là đường cao và OM gọi là đường sinh của hình nón. Hình tròn tâm I, bán kính r = IM là đáy của hình nón. 3. Công thức diện tích và thể tích của hình nón Cho hình nón có chiều cao là h, bán kính đáy r và đường sinh là ℓ thì có: Diện tích xung quanh: Sxq=π.r.l Diện tích đáy (hình tròn): Sd  r 2 Diện tích toàn phần hình tròn: S  Sd  Sxq 1 V  r 2 .h 3 Thể tích khối nón: 4. Tính chất Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra: Mặt phẳng cắt mặt nón theo 2 đường sinh→Thiết diện là tam giác cân. Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 3 Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 456: NÓN-TRỤ-CẦU Mặt phẳng tiếp xúc với mặt nón theo một đường sinh. Trong trường hợp này, người ta gọi đó là mặt phẳng tiếp diện của mặt nón. Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng không đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra: + Nếu mặt phẳng cắt vuông góc với trục hình nón→giao tuyến là một đường tròn. + Nếu mặt phẳng cắt song song với 2 đường sinh hình nón→giao tuyến là 2 nhánh của 1 hypebol. + Nếu mặt phẳng cắt song song với 1 đường sinh hình nón→giao tuyến là 1 đường parabol. B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1. Gọi l,R,h lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính đáy của hình nón. Đẳng thức nào sau đây luôn đúng 2 2 2 1 1 1 A. l  h  R B. 2  2  2 l h R 2 2 2 C. R  h  l 2 D. l  hR Hướng dẫn giải Áp dụng định lý Pitago trong tam giác S vuông SOA ta có 2 2 2 SA2  SO2  OA2 hay l  h  R l h Vậy chọn đáp án A. O R A Câu 2. Gọi l,R,h lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính đáy của hình nón (N). Diện tích xung quanh S xq của hình nón (N) là A. S xq   Rl C. S xq  2 Rl B. S xq   Rh 2 D. S xq   R h Hướng dẫn giải Áp dụng công thức S xq   Rl . Vậy ta chọn đáp án A. Câu 3. Gọi l , h, R lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính đáy của hình nón (N). Diện tích toàn phần Stp của hình nón (N) là A. Stp  Rl  R2 2 B. Stp  2 Rl  2 R 2 C. Stp   Rl  2 R 2 D. Stp   Rh   R Hướng dẫn giải Stp  Sxq  Sd  Rl  R2 . Vậy ta chọn đáp án A. Câu 4. Gọi l , h, R lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính đáy của khối nón (N). Thể tích V của khối nón (N) là 2 A. V   R h 1 2 B. V   R h 3 2 C. V   R l 1 2 D. V   R l 3 Hướng dẫn giải Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 4 Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 456: NÓN-TRỤ-CẦU 1 2 Áp dụng công thức V   R h . Vậy ta chọn đáp án B. 3 Câu 5. Cho hình nón có bán kính đáy là 4a, chiều cao là 3a. Diện tích xung quanh hình nón là A. 40 a 2 B. 20 a 2 D. 12 a 2 C. 24 a 2 Hướng dẫn giải S Áp dụng công thức Sxq  Rl  4a.5a  20a2 . 3a Vậy chọn đáp án B. O 4a A Câu 6. Cho hình nón có bán kính đáy là 3a, chiều cao là 4a. Thể tích của hình nón là A. 12 a3 C. 15 a3 B. 36 a3 D. 12 a3 Hướng dẫn giải S Áp dụng công thức 1 1 V  R2 h  .9a2 .4a  12a3 . 3 3 4a Vậy chọn đáp án A. O 3a A Câu 7. Cho hình nón có bán kính đáy là 4a, chiều cao là 3a. Diện tích toàn phần hình nón là 2 A. 38 a 2 B. 32 a 2 C. 36 a 2 D. 30 a Hướng dẫn giải Áp dụng công thức Stp  Sxq  Sd  Rl  R2 3a  .4a.5a  .16a2  36a2 . Vậy chọn đáp án C O 4a A Câu 8. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và góc giữa một cạnh bên 0 và đáy bằng 60 , diện tích xung quanh của hình nón đỉnh S và đáy là hình tròn nội tiếp tam giác ABC là A. 13a2 12 B. a2 13 12 C. a2 12 D. a2 13 12 Hướng dẫn giải Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 5 Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 456: NÓN-TRỤ-CẦU Áp dụng công thức Sxq  Rl S Với A 1 1 a 3 a 3 R  OH  AH  .  3 3 2 6 600 l  SH  SO2  OH2   AO.tan 60  0 2 a O O C A B H H C B  OH 2 2 2 2 a 3  a 3 a2 a 13   . . 3     a2  3 2   6  12 2 3     Vậy Sxq   a 3 a 13 a2 13 . Vậy chọn đáp án B. .  6 2 3 12 Câu 9. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và góc giữa mặt bên và đáy 0 bằng 60 , diện tích xung quanh của hình nón đỉnh S và đáy là hình tròn nội tiếp tam giác ABC là A.  a2 4 B.  a2 6 C.  a2 3 D. 5 a 2 6 Hướng dẫn giải Áp dụng công thức S Sxq  Rl A Với 1 1 a 3 a 3 R  OH  AH  .  3 3 2 6 O a A C 600 O B H H C B a l  SH  Vậy Sxq OH a 2 3  1 3 cos60 2 0 a 3 a a2 . Vậy chọn đáp án B.  .  6 6 3 Câu 10. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và góc giữa mặt bên và 0 đáy bằng 60 . Thể tích khối nón nội tiếp trong hình chóp là: A. a3 36 B. a3 72 a3 48 Hướng dẫn giải C. D. a3 24 Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 6 Chuyên đề: Hình học không gian Áp dụng công thức Chủ đề 456: NÓN-TRỤ-CẦU S 1 V  R2 h 3 A Với O a 1 1 a 3 a 3 R  OH  AH  .  3 3 2 6 h  SO  OH tan 600  A C 600 O B C H H B a 2 1 1  a 3  a a 3 Vậy V  R 2h    . Vậy chọn đáp án B. .  3 3  6  2 72 Câu 11. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và góc giữa cạnh bên và 0 đáy bằng 60 , diện tích xung quanh của hình nón đỉnh S và đáy là hình tròn ngoại tiếp hình chóp là A. 3a2 B. a2 3 2a2 3 Hướng dẫn giải D. 2a2 C. Áp dụng công thức Sxq  Rl S 2 a 3 a 3  Với R  AH  . 3 2 3 l  SA  AH a 3 2a 3   1 cos60 3 3. 2 Vậy Sxq   600 A a 3 2a 3 2a2 .  3 3 3 C a H I B Vậy chọn đáp án C. Câu 12. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Diện tích xung quanh của hình nón ngoại tiếp hình chóp là A. a2 2 B. a2 2 4 a2 2 Hướng dẫn giải C. D. a2 2 2 Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 7 Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 456: NÓN-TRỤ-CẦU Hình nón ngoại tiếp hình S chóp tứ giác đều có đỉnh là S và đáy là đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD. Lúc đó: R  AH  A a 2 và l  SA  a 2 D B H C Vậy Sxq  . a 2 a2 2 .a  .Vậy chọn đáp án D. 2 2 Câu 13. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng 2a. Diện tích xung quanh của hình nón đỉnh S và đáy là hình tròn nội tiếp ABCD là A.  a 2 17 B. 8  a 2 15 4 C.  a 2 17 D. 6  a 2 17 4 Hướng dẫn giải Với R  OH  a và 2 S 2 l 2 2 a 2 a 2a   4a    2 4   A 2a A 2 17a a 17   4 2 D a O H O B D C B C a a 17 a2 17  Vậy Sxq   . 2 2 4 Vậy chọn đáp án D. Câu 14. Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a. Diện tích xung quanh của hình nón là A. B. 2 a 2  a2 2 2 C.  a2 2 D. 3  a2 2 4 Hướng dẫn giải S Áp dụng công thức Sxq  Rl  . a 2 a2 2 .a  2 2 a B Vậy chọn đáp án A O A Câu 15. Cho hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân có cạnh huyền 2a. Thể tích của khối nón bằng A.  a3 3 B. 2 a 3 3 3 C.  a 3 D. 2 a Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 8 Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 456: NÓN-TRỤ-CẦU Hướng dẫn giải Áp dụng công thức S 1 1 a3 V  R2 h  .a2 .a  3 3 3 B Vậy chọn đáp án A a O A Câu 16. Diện tích toàn phần của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến đường sinh bằng 3 và thiết diện qua trục là tam giác đều là A. 6 B. 12 C. 18 D. 16 Hướng dẫn giải Đặt cạnh của tam giác đều SAB là a. S Ta có: 1 1 1 1   2 2 3  OH2 SO2 OB2 a a 3      2  2   1 4 4 1 16      a4 2 2 3 3a 3 3a2 a  1  1  H 3 B O Vậy Stp  .2.4  .22  12 . A Vậy chọn đáp án B. Câu 17. Cho hình nón có đường sinh l, góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy là 300 . Diện tích xung quanh của hình nón này là A.  3l 2 4 B.  3l 2 2 C.  3l 2 8  3l 2 D. 6 Hướng dẫn giải S Ta có Sxq  Rl  .l.cos300.l  l2 3 . 2 l 300 Vậy chọn đáp án B. O Câu 18. Thể tích V của khối nón (N) có chiều cao bằng a và độ dài đường sinh bằng a 5 là 4 3 A. V   a 3 3 B. V  4 a 5 3 C. V   a 3 2 3 D. V   a 3 Hướng dẫn giải Ta có: R  5a2  a2  2a 2 1 4a3 Vậy V  .  2a  .a  . 3 3 S a 5 a Vậy chọn đáp án A. O Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 9 Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 456: NÓN-TRỤ-CẦU Câu 19. Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a. Một thiết diện qua đỉnh tạo với đáy một góc 600 . Diện tích của thiết diện này bằng A. a2 2 2 B. C. 2a 2 a2 2 3 D. a2 2 4 Hướng dẫn giải 1 Diện tích thiết diện là SSCD  SH.CD 2 Ta có: AB  a 2  R  S a 2  SO 2 a 2 SO a 2 SH   2  3 3 sin 600 2 a O A a2 CD  2CH  2 R  OH  2  SO.tan 300 2 2  2 Vậy diện tích SSCD  B 600  2 D H C 2 a2  a 2 3  2 3 2  . a     2  2 3  3 1a 2 2 3 2a2 . Chọn đáp án B. . a 2 3 3 3 Câu 20. Hình nón có đường cao 20cm, bán kính đáy 25cm. Một mặt phẳng (P) qua đỉnh của hình nón và có khoảng cách đến tâm là 12cm. Diện tích thiết diện tạo bởi (P) và hình nón là A. 450(cm2 ) B. 500(cm2 ) C. 600(cm2 ) D. 550(cm2 ) Hướng dẫn giải Theo đề: S h  20,R  25,OH  12 Ta có: 1 OH  2  1 1 SO 2  2  1 1 H OM OM OH  OM  15 2  2 1 SO 2  1 OM 2  1 12 2  1 20 2  1 225 O M D C SM  SO2  OM2  202  152  25 CD  2CM  2 R2  OH2  2 252  152  40 1 1 Vậy SSCD  SM.CD  .40.25  500 . Chọn đáp án B. 2 2 Câu 21. Khối nón (N) có chiều cao bằng 3a . Thiết diện song song và cách mặt đáy một 64 2  a . Khi đó, thể tích của khối nón (N) là đoạn bằng a, có diện tích bằng 9 Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 10 Chuyên đề: Hình học không gian 3 A. 48 a B. Chủ đề 456: NÓN-TRỤ-CẦU C. 16 a 25 3 a 3 3 D. 16 3 a 3 Hướng dẫn giải Diện tích của thiết diện S  r 2  S 64 2 8 a  r  a 9 3 O r 2 3 3 8 Ta có:   R  r  . a  4a R 3 2 2 3 r O Vậy thể tích khối chóp là: R 1 1 V  R2 h  .16a2 .3a  48a3 . Vậy chọn đáp án A. 3 3 Câu 22. Một khối nón có thể tích bằng 4 và chiều cao là 3 . Bán kính đường tròn đáy của hình nón là A. 2 B. 2 3 3 C. 4 3 D. 1 Hướng dẫn giải 1 12 12   4  R  2 . Vậy chọn đáp án A. Ta có: V  R2 h  4  R2  3 h 3 Câu 23. Cho khối nón có chu vi đường tròn đáy là 6 , chiều cao bằng 7 . Thể tích của khối nón là A. 12 B. 9 7 C. 3 7 D. 36 Hướng dẫn giải Chu vi đường tròn đáy là: 2R  6  R  3 . 1 9 7  3 7 . Vậy chọn đáp án C. Thể tích khối nón là: V  .9. 7  3 3 Câu 24. Cho hình nón có diện tích xung quanh 25 , bán kính đường tròn đáy bằng 5 . Độ dài đường sinh bằng A. 5 B. 1 C. 3 D. 5 2 Hướng dẫn giải Ta có: Sxq  Rl  25  l  25 25   5 . Vậy chọn đáp án A. R 5 Câu 25. Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng 2 3 . Thể tích của khối nón này là A. 3 3 B.  3 C. 3 D. 3 2 Hướng dẫn giải Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 11 Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 456: NÓN-TRỤ-CẦU Ta có: l S 2 3 2  6 và R  3 Suy ra: h  6  3  3. 1 Do đó: V  . 3  3 . 3   2 3 R O Vậy chọn đáp án B. Câu 26. Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có diện tích bằng 4 . Diện tích xung quanh của hình nón là A. 8 B. 8 2 C. 2 2 D. 4 2 Hướng dẫn giải Ta có: S 1 SSPQ  4  .l2  4  l  2 2 2 Và R  2 Suy ra: Sxq  Rl  .2.2 2  4 2 Q R O Vậy chọn đáp án D. P Câu 27. Một khối nón có thể tích bằng 30 , nếu giữ nguyên chiều cao và tăng bán kính khối nón đó lên 2 lần thì thể tích của khối nón mới bằng A. 60 C. 40 B. 120 D. 480 Hướng dẫn giải 1 Gọi V1  R12 h1 là thể tích khối nón ban đầu. 3 2 1 1 4 Gọi V2  R22 h1    2R1  h1  R12 h1 3 3 3 Như vậy V2  4V1  120 . Vậy chọn đáp án B. Câu 28. Cho hình nón có đáy là đường tròn có đường kính 10 . Mặt phẳng vuông góc với trục cắt hình nón theo giao tuyến là một đường tròn như hình vẽ. Thể tích của khối nón có chiều cao bằng 6 là A. 8 B. 24 00 C. 9 D. 96 6 15 P 9 O 10 Hướng dẫn giải Ta có: r 6 6 6   r  R  .10  4 R 15 15 15 Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 12 Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 456: NÓN-TRỤ-CẦU 1 1 Vậy thể tích khối chóp là: V  r 2 h1  .16.6  96 . Vậy chọn đáp án D. 3 3 Câu 29. Cho hình nón N có bán kính đáy bằng 10, mặt phẳng vuông góc với trục của hình nón cắt hình nón theo một x đường tròn có bán kính bằng 6, khoảng cách giữa mặt 6 phẳng này với mặt phẳng chứa đáy của hình nón  N  là 5. 5 Chiều cao của hình nón  N  là 10 A. 12,5 B. 10 C. 8,5 D. 7 Hướng dẫn giải Ta có: x 6   x  7,5 . Chiều cao của hình nón là: 7,5  5  12,5 x  5 10 Vậy ta chọn đáp án A. Câu 30. Cho hình nón có đường sinh bằng a và góc ở đỉnh bằng 600 . Diện tích xung quanh của hình nón là a2 A. 2 3a2 B. 2 5a2 C. 2 a2 D. 3 Hướng dẫn giải Vì góc ở đỉnh 600 nên thiết diện đi qua trục là tam giác S đều cạnh a. 600 a a a2 Do đó: R  . Vậy Sxq  Rl  . .a  . 2 2 2 a Q R Vậy chọn đáp án A. O P Câu 31. Cho hình nón có chiều cao h và đường sinh hợp với trục một góc 450 . Diện tích xung quanh của hình nón là: A. 2h2 3 B. 2h2 C. 2h2 4 D. 3h2 3 Hướng dẫn giải Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 13 Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 456: NÓN-TRỤ-CẦU Vì hình nón có chiều cao h và đường sinh hợp với trục S một góc 450 nên góc ở đỉnh hình nón là 900 , nên thiết 900 diện đi qua trục là tam giác vuông cân. Do đó: R  h. và l  h 2 . h Q Diện tích xung quanh của hình nón là: R Sxq  Rl  h.h 2  2h2 . O P Vậy chọn đáp án B. Câu 32. Cho hình chóp lục giác đều S.ABCDEF có cạnh bên bằng 2a và tạo với đáy một góc 600 . Diện tích xung quanh của hình nón ngoại tiếp hình chóp là A. 2a2 . B. 4a2 . C. 6a2 . D. a2 . Hướng dẫn giải Từ giả thiết suy ra mặt chéo của hình chóp S là tam giác đều. Do đó hình nón ngoại tiếp hình chóp có bán kính đáy R  HA  a và đường sinh l  SA  2a . 2a Vậy diện tích xung quanh của hình nón F A 600 ngoại tiếp hình chóp là B E H 2 Sxq  Rl  2a . D C Vậy chọn đáp án A. Câu 33. Cho hình chóp lục giác đều S.ABCDEF có cạnh bên bằng 2a và tạo với đáy một góc 600 . Diện tích xung quanh của hình nón ngoại tiếp hình chóp là A. 3a2 2 B. 3a2 4 C. a2 4 D. a2 2 Hướng dẫn giải a 3 Bán kính đáy của khối nón là R  HI  2 S (Do tam giiacs HDE đều). Chiều cao của hình nón SH  SE2  HE2  2  2a  a2  a 3. Vậy thể tích khối nón là: 600 B E H 2 1 2 1 a 3 3a2 V  R h  .   .a 3  3 3  2  4 2a l F A I C a D Vậy chọn đáp án B. Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 14 Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 456: NÓN-TRỤ-CẦU Câu 34. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Hãy tính diện tích xung quanh của hình nón có đỉnh là tâm O của hình vuông A’B’C’D’ và đáy là hình tròn nội tiếp hình vuông ABCD. Đáp án là: A. 5a2 2 B. a2 4 C. 5a2 4 D. a2 2 Hướng dẫn giải Bán kính đáy hình nón là R  a 2 C’ O Đường sinh của hình nón là 2 B’ D’ A’ 2 a 5a a 5 l     a2   4 2 2 C B Diện tích xung quanh của hình nón là: Sxq I a a 5 5a2  Rl   .  2 2 4 D A Vậy chọn đáp án C. Câu 35. Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO. ọi A và B là hai điểm thuộc đường tròn đáy của hình nón sao cho khoảng cách từ O đến AB bằng a và SAO  300 , SAB  600 . Diện tích xung quanh của hình nón là A. a2 C. 3a2 3 B. 3a2 D. a2 3 Hướng dẫn giải ọi I là trung điểm của AB, ta có S OI  AB, SI  AB, OI  a , AO  SA.cosSAO  SA.cos300  3 SA 2 1 và AI  SA.cosSAI  SA.cos600  SA . 2 O AI 1 .   AO 3 Mà B 30° A I 6 OI a AI 1  sin IAO    .  cos IAO  cos IAO  3 OA OA AO 3 Vậy OA  3a 6  a 6 . 2 Xét tam giác vuông SAO, ta có: SA  OA cos30 0  a 6 2 . a 2 2 3 Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 15 Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 456: NÓN-TRỤ-CẦU Vậy diện tích xung quanh của hình nón đ cho là: Sxq  .OA.SA  . a 6 .a 2  a2 3 . 2 Vậy chọn đáp án D. Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 16 Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 456: NÓN-TRỤ-CẦU CHỦ ĐỀ 5. MẶT TRỤ – HÌNH TRỤ VÀ KHỐI TRỤ A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I. Mặt trụ 1. Định nghĩa Định nghĩa 1: Mặt trụ là hình tròn xoay sinh bởi đường thẳng l khi xoay quanh đường thẳng  song song và cách l một khoảng R. Lúc đó,  được gọi là trục, R gọi là bán kính, l gọi là đường sinh. Định nghĩa 2: Mặt trụ là tập hợp tất cả những điểm cách đường thẳng  cố định một khoảng R không đổi. Đường thẳng  được gọi là trục của mặt trụ, R được gọi là bán kkinhs của mặt trụ. 2. Tính chất II. Hình trụ Hình trụ là hình giới bạn bởi mặt trụ và hai đường tròn bằng nhau, là giao tuyến của mặt trụ và 2 mặt phẳng vuông góc với trục. Hình trụ là hình tròn xoay khi sinh bởi bốn cạnh của hình một hình chữ nhật khi quay xung quanh một đường trung bình của hình chữ nhật đó. Diện tích xung quanh của hình trụ: Sxq = 2π.R.l Diện tích toàn phần hình trụ: Stp = 2π.R.l+2π.R2 III. Khối trụ Khối trụ là hình trụ cùng với phần bên trong của hình trụ đó. Thể tích khối trụ tròn xoay có bán kính R và đường cao h là: V = pR2.h. B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1. Gọi l , h, R lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính đáy của hình trụ. Đẳng thức luôn đúng là: A. l  h B. R  h 2 2 2 C. l  h  R 2 2 2 D. R  h  l Hướng dẫn giải Rõ ràng l  h . Như vậy ta chọn đáp án A. Câu 2. Gọi l , h, R lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính đáy của hình trụ (T). Diện tích xung quanh S xq của hình trụ (T) là 2 A. S xq   R h B. S xq   Rh C. S xq   Rl D. S xq  2 Rl Hướng dẫn giải Áp dụng công thức S xq  2 Rl . Vậy chọn đáp án D. Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 17 Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 456: NÓN-TRỤ-CẦU Câu 3. Gọi l , h, R lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính đáy của hình trụ (T). Diện tích toàn phần Stp của hình trụ (T) là 2 A. Stp   Rl   R 2 B. Stp  2 Rl  2 R 2 C. Stp   Rl  2 R 2 D. Stp   Rh   R Hướng dẫn giải 2 Ta có: Stq  Sxq  S2d hay Stp  2 Rl  2 R . Vậy chọn đáp án B Câu 4. Gọi l , h, R lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính đáy của khối trụ (T). Thể tích V của khối trụ (T) là 1 2 A. V   R l 3 2 C. V   R h 3 B. V  4 R 4 2 D. V   R h 3 Hướng dẫn giải Áp dụng công thức V  Bh  R2 h . Vậy chọn đáp án C. Câu 5. Cho hình trụ có bán kính đáy 5 cm chiều cao 4 cm. Diện tích toàn phần của hình trụ này là: 2 A. 90 (cm ) 2 B. 92 (cm ) 2 C. 94 (cm ) 2 D. 96 (cm ) Hướng dẫn giải 2 Ta có: R  5, h  4 . Áp dụng công thức Stp  2 Rl  2 R S  25.4  2.52  90 . Vậy chọn đáp án A. Câu 6. Cho hình trụ có bán kính đáy 3 cm, đường cao 4cm. Diện tích xung quanh của hình trụ này là 2 A. 24 (cm ) 2 B. 22 (cm ) 2 C. 20 (cm ) 2 D. 26 (cm ) Hướng dẫn giải Ta có: R  3, h  4  l . Áp dụng công thức Sxq  2Rl  2.3.4  24 Vậy chọn đáp án A. Câu 7. Một hình trụ có bán kính đáy 6 cm, chiều cao 10 cm. Thể tích của khối trụ này là 3 A. 320 (cm ) 3 B. 360 (cm ) 3 C. 340 (cm ) 3 D. 300 (cm ) Hướng dẫn giải Ta có: R  6, h  10 . Áp dụng công thức V  R2 h  .62.10  360 Vậy chọn đáp án B. Câu 8. Thể tích V của khối trụ có chiều cao bằng a và đường kính đáy bằng a 2 là 1 3 A. V   a 2 C. 2a3 1 3 B. V   a 3 1 3 D. V   a 6 Hướng dẫn giải Ta có : d  a 2  R  a 2 a , ha .  2 2 Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 18 Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 456: NÓN-TRỤ-CẦU 2  a  a3 Áp dụng công thức V  R h  .  .a   2 .  2 2 Vậy chọn đáp án A. Câu 9. Hình trụ (T) được sinh ra khi quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh AB. Biết 0 AC  a 2 và ACB  45 . Diện tích toàn phần Stp của hình trụ (T) là 2 B. Stp  10 a A. Stp  4a2 2 C. Stp  12 a 2 D. Stp  8 a Hướng dẫn giải Stp  2Rl  2R2 . Như vậy ta cần tìm bán kính và độ A D dài đường sinh. Tam giác ABC vuông cân tại B  BC  a và AB  a . a 2 Như vậy: Stp  2a.a  2a2  4a2 450 B Vậy chọn đáp án A. Câu 10. Cho hình trụ có bán kính đáy bằng R và chiều cao bằng song với trục của hình trụ và cách trục một khoảng bằng C 3R . Mặt phằng   song 2 R . Diện tích thiết diện của hình 2 trụ với mp   là: A. 3R 2 3 2 B. 2R2 3 3 C. 3R 2 2 2 D. 2R2 2 3 Hướng dẫn giải Theo đề ta có h  3R R ; OH  2 2 O’ B A 3R 2 Diện diện là hình chữ nhật ABCD SABCD 2  R  3R 3 3R2  DC.AB  2HC.AB  2 R    .  2 2 2 2 R O D H C Vậy chọn đáp án A. Câu 11. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có cạnh bên AA’ = 2a. Tam giác ABC vuông tại A có BC  2a 3 . Thể tích của hình trụ ngoại tiếp khối lăng trụ này là: 3 A. 6 a 3 B. 4 a 3 C. 2 a 3 D. 8 a Hướng dẫn giải Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 19 Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 456: NÓN-TRỤ-CẦU Ta có: R  a 3 và h  2a. A’ C’ B’ O’ Áp dụng công thức   2a 2 2 3 V  R h  . a 3 .2a  6a . A Vậy chọn đáp án A. O B 2a 3 C Câu 12. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a, mặt bên là các hình vuông. Diện tích toàn phần của hình trụ ngoại tiếp khối lăng trụ là 2 A. 4 a B. 2 C. 2 a 2 a 2 ( 3  1) 3 D. 3 a 2 2 Hướng dẫn giải 2 a 3 a 3  Ta có: R  AO  . 3 2 3 Stp  2Rl  2R 2  2.    2 1  3 a A’ C’ O’ B’ a 3 a 3 .a  2   3  3   2 a A 2 O a C B 3 Vậy chọn đáp án B. Câu 13. Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB = 2a, AD = 4a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Quay hình chữ nhật ABCD quanh trục MN ta được khối trụ tròn xoay. Thể tích khối trụ là: A. 4a3 B. 2a3 C. a3 D. 3a3 Hướng dẫn giải Ta có: R  a và h  4a . B M Áp dụng công thức 2a A V  R2 h  a2 .4a  4a3 . 4a Vậy chọn đáp án A. C D N Câu 14. Cắt một khối trụ bởi một mặt phẳng qua trục của nó, ta được thiết diện là một hình vuông có cạnh bằng 3a. Diện tích toàn phần của khối trụ là: A. a2  3 B. 27a2 C. a2  3 2 D. 13a2  6 Hướng dẫn giải Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 20 Chuyên đề: Hình học không gian Ta có: R  Chủ đề 456: NÓN-TRỤ-CẦU 3a và l  3a . 2 B O A Áp dụng công thức 3a 2 3a Stp  2. .3a  2.  3a   27a2 . 2 C Vậy chọn đáp án B. N D 3a Câu 15. Cắt một khối trụ bởi một mặt phẳng qua trục ta được thiết diện là hình chữ nhật ABCD có AB và CD thuộc hai đáy của khối trụ. Biết AB = 4a, AC = 5a. Thể tích của khối trụ là: A. 16a3 B. 8a3 C. 4a3 D. 12a3 Hướng dẫn giải Ta có: B O AB  4a,AC  5a  BC  3a  h và R  2a 4a A Áp dụng công thức 5a V  R2 h  .4a2 .3a  12a2 . C Vậy chọn đáp án D. D O’ Câu 16. Cho một khối trụ có chiều cao bằng 8cm, bán kính đường tròn đáy bằng 6cm. Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục 4cm. Diện tích của thiết diện được tạo thành là: A. 16 5cm B. 32 3cm C. 32 5cm D. 16 3cm Hướng dẫn giải B Diện tích thiết diện O SABCD  BC.CD  BC.2CH  8.2.2 5  32 5 . A 8 Vậy chọn đáp án C. C 6 O’ 4 H D Câu 17. Cắt một khối trụ bởi một mặt phẳng qua trục ta được thiết diện là hình chữ nhật ABCD có AB và CD thuộc hai đáy của khối trụ. Biết AD = 12 và góc ACD bằng 600. Thể tích của khối trụ là: A. 1296 B. C. 24 D. 112 Hướng dẫn giải Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 21 Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 456: NÓN-TRỤ-CẦU Áp dụng công thức V  R2 h B O A Với h  12 R  CD AD tan 300 12. 3   6 3 2 2 2   12 2 C 600 Vậy V   6 3 .12  1296 O’ D Vậy chọn đáp án A. Câu 19. Cho một khối trụ có bán kính đường tròn đáy bằng 6. Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục ta được thiết diện là hình chữ nhật ABCD có A, B thuộc cùng một đáy của khối trụ. Biết AB = 10. Khoảng cách từ trục của khối trụ đến thiết diện được tạo thành là: A. 15 C. 2 5 B. 11 41 D. Hướng dẫn giải Khoảng cách từ trục đến mặt phẳng thiết B O diện là 10 A OH  R2  CH2  62  52  11 Vậy chọn đáp án B. C 6 O’ H D Câu 20. Cho một khối trụ có khoảng cách giữa hai đáy bằng 10, biết diện tích xung quanh của khối trụ bằng 80 . Thể tích của khối trụ là: A. 160 B. 164 C. 64 D. 144 Hướng dẫn giải Ta có: h  10  l;Sxq  2Rl  80  R  4 . Áp dụng công thức V  R2 h  .16.10  160 Vậy chọn đáp án A. Câu 21. Cho một khối trụ có độ dài đường sinh bằng 10, biết thể tích của khối trụ bằng 90 . Diện tích xung quanh của khối trụ là: A. 81 B. 60 C. 78 D. 36 Hướng dẫn giải Ta có: l  10  h và V  R2 h  90  R2 .10  R  3. Áp dụng công thức Sxq  2Rl  2.3.10  60 . Vậy chọn đáp án B. Câu 22. Cho hình chữ nhật ABCD có AB=2AD=2. Quay quanh hình chữ nhật ABCD lần lượt quanh AD và AB ta được 2 hình trụ tròn xoay có thể tích V1,V2 . Hệ thức nào sau đây đúng Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 22 Chuyên đề: Hình học không gian A. V1  V2 B. V2  2V1 Chủ đề 456: NÓN-TRỤ-CẦU C. V1  2V2 D. 2V1  3V2 Hướng dẫn giải  Quay hình chữ nhật quanh AD thì ta được hình 1 A D trụ có bán kính R1  AB  2, h1  1  V1  R12 h1  4  2 Quay hình chữ nhật quanh AB thì ta được hình trụ có bán kính R2  BC  1, h2  2  V2  R22 h1  .1.2  2 B C Vậy chọn đáp án C. Câu 23. Cho hình trụ tam giác đều, có tất cả các cạnh bằng a. Xét hình trụ tròn xoay ngoại tiếp hình trụ đó. Xét hai mệnh đề sau: I) Thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông II) Thể tích hình trụ là V  a3 . 3 Hãy chọn câu đúng A. Chỉ I) B. Chỉ (II) C. Cả 2 câu sai D. Cả 2 câu đều đúng Hướng dẫn giải Xét đáy của hình trụ là đường tròn có bán kính R  a 3  PQ  2a 3 N A’ C’ O’ , NP  a M B’ Như vậy thiết diện qua trục là hình chữ a nhật MNPQ. P Suy ra: Mệnh đề I) đúng. Mặt khác: Vtru A a2 a3  R h  . .a  3 3 2 O C a B Q Vậy chọn đáp án B. Câu 24. Một hình trụ tròn xoay, bán kính đáy bằng R, trục OO’  R 6 . Một đoạn thẳng 2 AB  R 2 với A   O  ,B  O’  . Góc giữa AB và trục hình trụ là: A. 300 B. 450 C. 600 D. 750 Hướng dẫn giải Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 23 Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 456: NÓN-TRỤ-CẦU óc giữa AB và trục hình trụ BAC A O R 6 AC 3 Ta có: cosA   2  AB R 2 2 R 6 2 R 2 Vậy chọn đáp án A. C O’ B   Câu 25. Một hình trụ tròn xoay bán kính R  1 . Trên 2 đường tròn  O  và O’ lấy điểm A và B sao cho AB  2 và góc giữa AB và trục OO’ bằng 300 . Xét hai mệnh đề sau: I) Thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông II) Thể tích hình trụ là V  a3 . Hãy chọn câu đúng A. Chỉ I) B. Chỉ (II) C. Cả 2 câu sai D. Cả 2 câu đều đúng Câu 26. Cho ABB’A’ là thiết diện song song với trục OO’ của hình trụ (A,B thuộc đường tròn tâm O). Cho biết AB  4,AA’  3 và thể tích của hình trụ bằng 24. Khoảng cách d từ O đến mặt phẳng là: A. d  3 C. d  2 B. d  2 D. d  5 3 Hướng dẫn giải Khoảng cách d từ O đến mặt phẳng thiết B’ O’ diện là OH . A’ Ta có: h  AA’  3 Áp dụng công thức V  R2 h  24  R2  8  R  2 2 B O Lúc đó: OH  8  4  2 H A Vậy chọn đáp án C. Câu 27. Thiết diện qua trục của hình trụ (T) là một hình vuông có cạnh bằng a. Diện tích xung quanh S xq của hình trụ (T) là 2 A. S xq   a 1 2 B. S xq   a 2 2 C. S xq  2 a 2 D. S xq  a Hướng dẫn giải Ta có : R  a a và l  a . Nên Sxq  2Rl  2. .a  a2 . Vậy chọn đáp án A. 2 2 Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 24 Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 456: NÓN-TRỤ-CẦU Câu 28. Một hình trụ T  có diện tích xung quanh bằng 4 và thiết diện qua trục của hình trụ này là một hình vuông. Diện tích toàn phần của T  là A. 6 B. 12 D. 8 C. 10 Hướng dẫn giải a Gọi a là cạnh của hình vuông. Lúc đó: R  ,l  a 2 a Áp dụng công thức Sxq  4  2Rl  4  .a  2  a  2 2 Diện tích toàn phần: Stp  4  2  6 . Vậy chọn đáp án A. Câu 29. Một hình trụ có bán kính 5cm và chiều cao 7cm. Cắt khối trụ bằng một mặt phẳng song song với trục và cách trục 3cm. Diện tích thiết diện tạo bởi khối trụ và mặt phẳng bằng A. 56cm2 B. 54cm2 C. 52cm2 D. 58cm2 Hướng dẫn giải Ta có: OH  3 , h  7  AA’ và R  5 B’ O’ Thiết diện là hình chữ nhật ABB’A’ A’ Lúc đó: SABB’A’  AB  AA’  2 HB.AA’  2. 52  32 .7  2.4.7  56 B O Vậy chọn đáp án A. H A Câu 30. Một hình trụ có chu vi của đường tròn đáy 4 a , chiều cao a . Thể tích của khối trụ này bằng 3 A. 4 a C. 16 a 3 B. 2 a 3 D. 4 3 a 3 Hướng dẫn giải Ta có 2R  4a  R  2a . Áp dụng công thức V  R2 h  .4a2 .a  4a3 . Vậy chọn đáp án A. Câu 31. Hình trụ có bán kính đáy bằng 2 3 và thể tích bằng 24 . Chiều cao hình trụ này bằng A. 2 D. 6 C. 2 3 D. 1 Hướng dẫn giải   Ta có: V  R2 h  . 2 3 2 h  24  h  2 . Vậy chọn đáp án A. Câu 32. Một hình trụ có chu vi của đường tròn đáy là c , chiều cao của hình trụ gấp 4 lần chu vi đáy. Thể tích của khối trụ này là A. c3  D. 2c 3  3 C. 4 c D. 2c 2 2 Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 25 Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 456: NÓN-TRỤ-CẦU Hướng dẫn giải Ta có: c  2R  R  c , h  4c . 2 Áp dụng công thức V  R2 .h  . c2 .4c  c3 . Vậy chọn đáp án A  42 Câu 33. Một khối trụ có thể tích là 20 . Nếu tăng bán kính lên 2 lần thì thể tích của khối trụ mới là A. 80 D. 40 C. 60 D. 120 Hướng dẫn giải Gọi V1 là thể tích khối trụ ban đầu. Ta có V1  R12 h1 2 Gọi V2 là thể tích khối trụ lúc sau. Ta có V2    2R1  h1  4R12 h1 Như vậy thể tích sẽ tăng lên 4 lần. Do đó, vậy chọn đáp án A. Câu 34. Một hình trụ có đường kính của đáy bằng với chiều cao của nó. Nếu thể tích của khối trụ bằng 2 thì chiều cao của hình trụ là A. 2 D. 3 24 C. 2 D. 3 4 Hướng dẫn giải 2 h Ta có: V  R h  .   .h  2  h3  8  h  2 . Vậy chọn đáp án A 2 2 Câu 35. Cho hình trụ có trục O1O2 . Một mặt phẳng    song song với trục O1O2 , cắt hình trụ theo thiết diện là hình chữ nhật ABCD. ọi O là tâm của thiết diện đó, bán kính đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD bằng bán kính đường tròn đáy hình trụ. óc O1OO2 bằng A. 300 D. 600 C. 450 D. 900 Hướng dẫn giải C ABCD là hình chữ nhật có tâm O  O là trung điểm của AC. ọi M là trung điểm của AB, ta có O1M  AB, OM  AB và O2 D theo giả thiết AO  AO1 . O  Hai tam giác vuông MAO và MAO1 có MA chung, H OA  O1A nên chúng bằng nhau.  OM  O1M 1 Ta có OM / /BC  OM   O1AB  Tam giác OMO1 vuông tại M B M O1 A (2) Từ (1) và (2)  Tam giác OMO1 vuông cân tại M Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 26 Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 456: NÓN-TRỤ-CẦU  3  OO1M  450  OO1O2  450 ọi H là trung điểm của OO1 , ta có MO  1 1 BC  O1O2  O1H 2 2  OMO1H là hình chữ nhật  OH  OO1  Tam giác OO1O2 cân tại O (4) Từ (3) và (4)  Tam giác OO1O2 vuông cân tại O  OO1O2  900 . Vậy chọn đáp án D. Câu 36. Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn tâm O và O’, bán kính r và chiều cao hr 2. ọi A là một điểm trên đường tròn tâm O và B là một điểm trên đường tròn tâm O’ sao cho OA vuông góc với O’B. ọi    là mặt phẳng qua AB và song song với OO’. Khoảng cách giữa trục OO’ và    là A. r 2 2 D. r 2 3 C. r 2 4 D. r 2 Hướng dẫn giải Vì trục OO’ vuông góc với hai đáy nên O’ OO’  OA và OO’  O’B . B Vậy tam giác AOO’ vuông tại O và BO’O vuông tại O’. Theo giả thiết ta có AO  O’B mà AO  OO’ O  AO   OO’ B A B’ H  AO  OB  Tam giác AOB vuông tại O. Tương t , tam giác AO’B vuông tại O’. Ta có BB’/ /OO’   ABB’  / / OO’    Vậy mp    chính là mặt phẳng (ABB’) và d OO’,     d O,     OH  AB’ ọi H là trung điểm của AB’, ta có  OH  BB’ (vì OO’/ /    ).     OH   ABB’      OH  d O,     d OO’,     1 r 2 Tam giác AOB’ vuông cân tại O và OA  OB’  r nên OH  AB’  2 2   Vậy d OO’,     r 2 . Vậy chọn đáp án A. 2 Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 27 Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 456: NÓN-TRỤ-CẦU Câu 37. Cho hình trụ T có bán kính R và chiều cao c ng bằng R. Một hình vuông ABCD có hai cạnh AB và CD lần lượt là hai dây cung của hai đường tròn đáy, cạnh AD và BC không phải là đường sinh của hình trụ T. Độ dài cạnh của hình vuông đó theo R là A. R 5 5 D. R 5 2 C. R 5 2 D. R 5 Hướng dẫn giải Vẽ hai đường sinh CC’ và DD’ của hình trụ, ta có: D’C’/ /DC D và O’ D’C’  DC C ABCD là hình vuông nên AB/ /DC và AB  DC  AB/ /D’C’ và AB  D’C’ D’ A  ABC’D’ là hình bình hành. O Mà ABC’D’ nội tiếp đường tròn (O) B C’ nên ABC’D’ là hình chữ nhật.  AC’ là đường kính của (O)  AC’  2R ọi a là cạnh của hình vuông ABCD, ta có AC  a 2 Tam giác ACC’ vuông tại C’  AC2  AC’2  CC’2  2a2  4R2  R2  5R2  a  R 5 . 2 Vậy chọn đáp án C Câu 38. Cho hình trụ có hai đáy là hai đường tròn tâm O và O’, bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a. Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm , trên đường tròn đáy tâm O’ lấy điểm B sao cho AB  2a . Tính thể tích của khối tứ diện OO’AB. a3 A. 12 a3 3 D. 12 a3 3 C. 24 a3 3 D. 6 Hướng dẫn giải Vẽ đường sinh AA’ và gọi D là điểm đối xứng của A’ qua O’, H là hình A’ O’ chiếu vuông góc của B trên A’D , ta đường cao của khối chóp B.AOO’ Vậy VOO’AB  VB.AOO’ 1  BH.SAOO’ 3 D B có BH  AO (vì BH  A’D / /AO ) và BH  OO’  BH   OO’ A   BH H là A O C Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 28 Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 456: NÓN-TRỤ-CẦU Tam giác AA’B vuông ở A’ nên 2  2a A ‘ B  AB2  A ‘ A2   a2  a 3 Tam giác A’BD vuông ở B nên 2  2a BD  A ‘ D2  A ‘ B2     a 3 2 a  BD  O’D  O’B  a  Tam giác BO’D là tam giác đều cạnh a  BH  a 3 2 Vậy thể tích khối tứ diện OO’AB là: 1 1 1 1 a 3 a2 a3 3 VOO’AB  BH.S AOO’  BH. OA.OO’  . .  . 3 3 2 3 2 2 12 Vậy chọn đáp án B. Câu 39. Cho một hình trụ tròn xoay và hình vuông ABCD cạnh a có hai đỉnh liên tiếp A, B nằm trên đường tròn đáy thứ nhất của hình trụ, hai đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy thứ hai của hình trụ. Mặt phẳng (ABCD) tạo với đáy hình trụ góc 450 . Thể tích của khối trụ là A. a3 16 D. 3a3 16 C. 2a3 16 D. 3 2a3 16 Hướng dẫn giải ọi M, N theo thứ t là trung điểm của AB D và CD. N O’ Khi đó OM  AB và O’N  CD . C iả s I là giao điểm của MN và OO’. I Đặt R  OA và h  OO’ . Khi đó IOM A vuông cân tại O nên: 2 h 2 a 2 OM  OI  IM   . h a 2 2 2 2 2 O M B Ta có: 2 2 a a 2  a2 a2 3a2 R  OA  AM  MO          4 8 8  2   4  2 2 2 2 3a2 a 2 3 2a3  V  R h  . .  (đvtt) 8 2 16 2 Vậy chọn đáp án D. Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 29 Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 456: NÓN-TRỤ-CẦU CHỦ ĐỀ 6. MẶT CẦU – HÌNH CẦU VÀ KHỐI CẦU A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I. ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC KHÁI NIỆM Kí hiệu : S  O;R  là mặt cầu S tâm O, bán kính R. 1. Định nghĩa mặt cầu: S O,R   M | OM  R 2. Các thuật ngữ:  Bán kính: A  S(O;R)  OA là một bán kính của mặt cầu.  Đường kính: A, B S(O;R) và O, A, B thẳng hàng  đoạn thẳng AB là một đường kính của mặt cầu.  Điểm trong: Nếu OE  R  E là điểm trong của mặt cầu.  Điểm ngoài: Nếu OF > R  F là điểm ngoài của mặt cầu.  Mặt phẳng qua tâm mặt cầu gọi là mặt kính . Giao tuyến của mặt cầu và mặt kính là đường tròn C(O,R) – gọi là đường tròn lớn.  Khối cầu S(O;R) hoặc hình cầu S(O,R) là tập hợp các điểm thuộc mặt cầu S(O,R) và các điểm nằm trong mặt cầu đó. Ta có thể định nghĩa : Khối cầu S(O,R)  M | OM  R 3. Yếu tố xác định mặt cầu: Biết tâm và bán kính hoặc biết một đường kính của mặt cầu.   Chú ý: Mặt cầu đường kính AB: S(AB)  M | MA.MB  0 II. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG Kí hiệu: d(O, (P)) = OH là khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng (P). C  H, r  là đường tròn (C) tâm H bán kính r. OH  R  mặt phẳng không cắt mặt cầu OH  R  mặt phẳng xúc với mặt cầu tiếp OH  R  mặt phẳng cắt mặt cầu theo thiết diện là đường tròn tâm H bán kính r  R 2  OH2 III. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA MẶT CẦU VÀ ĐƯỜNG THẲNG 1. Xét mặt cầu S(O; R) và đường thẳng (). Gọi H là hình chiếu của O lên () và d  OH. Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 30 Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 456: NÓN-TRỤ-CẦU d  R  d không cắt d Rd mặt cầu với mặt cầu tại một cầu tại hai điểm phân tiếp xúc điểm dRd cắt mặt biệt Chú ý:  Đường thẳng (d) tiếp xúc với S(O;R) tại H  (d)  OH .  Có vô số đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu tại H và các đường thẳng này nằm trên tiếp diện của mặt cầu tại H. 2. Định lí: Nếu A là điểm ngoài của mặt cầu thì qua A có vô số tiếp tuyến với mặt cầu. Khi đó:  Độ dài các đoạn thẳng nối A với các tiếp điểm là bằng nhau.  Tập hợp các tiếp điểm này là một đường tròn. IV. CÔNG THỨC  Diện tích mặt cầu: S  4R2  Thể tích khối cầu: V  R3 4 3 ( R là bán kính mặt cầu) V. MỘT SỐ ĐIỂM CẦN LƯU Ý  Điều kiện để một hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp là đa giác đáy nội tiếp được trong đường tròn.  Hình lăng trụ đứng có đáy nội tiếp được trong đường tròn thì có mặt cầu ngoại tiếp nó.  Tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là giao điểm của trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy và mặt phẳng trung tr c của một cạnh bên. VI. MỘT SÔ DẠNG MẶT CẦU NGOẠI TIẾP THƯỜNG GẶP DẠNG 1. Hình chóp có các đỉnh nhìn hai đỉnh còn lại dưới 1 góc vuông Phương pháp 0 Chẳng hạn cho tứ diện ABCD có ABD  ACD  90 . A Lúc đó mặt cầu ngoại tiếp ABCD có: O AD Tâm O ( O là trung điểm của AD ) và bán kính R  . Thật 2 vậy, hai tam giác vuông ABD và ACD có chung cạnh huyền AD AD . Nên OA  OB  OC  OD  . 2 B D C DẠNG 2. Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau Phương pháp Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 31 Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 456: NÓN-TRỤ-CẦU S S M I M A O A B O C Hình chóp S.ABC… có các cạnh bên bằng nhau  SA  SB  SC  …  Vẽ SO   ABC… , SO là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC  Trong mặt phẳng  SOA  , đường trung tr c của SA cắt SO tại I  I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC…  Bán kính của mặt cầu nói trên là R  IA  IS và ta có: SA.SM  SO.SI ( Hai tam giác SAO và SIM đồng dạng), do đó: R  SI  SM.SA SA 2  SO 2SO DẠNG 3. Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy Phương pháp Hình chóp S.ABC … có * Moät caïnh beân vuoâng goùc vôùi ñaùy, chaúng han  SA   ABC   * ABC… noäi tieáp ñöôøng troøn(O)  S d Vẽ trục đường tròn ngoại tiếp ABC … I đó là đường thẳng d qua O và vuông góc với  ABC .  A Trong  d,SA  , đường trung tr c của SA cắt d C O tại I  I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC … B  Bán kính mặt cầu là R  IA  AO2  OI2  AO2  SA2 4 DẠNG 4. Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có mặt bên vuông góc với mặt đáy Phương pháp Cách xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có một mặt bên vuông góc với mặt đáy(  SAB   ABCD ) ta th iả s S là 1 c hiện như sau: 2  D ng trục 1 của đường tròn nội tiếp SAB O G D ng trục  2 của đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD D A I Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 H B C Page 32 Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 456: NÓN-TRỤ-CẦU  Ta có 1 và  2 cùng thuộc mặt phẳng trung tr c của đoạn thẳng AB  1  2  O , O là tâm mặt cầu ngoại tiếp.  Trong cách d ng ta có SGO vuông tại G và R  OS B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a , SA  2a và vuông góc với  ABCD  . Thể tích của khối cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD là: A. a3 6 B. a3 3 a3 D. 4 6 4 6 3 a C. 3 6 Hướng dẫn giải ọi O là trung điểm SC . S Các SAC , SCD; SBC lần lượt vuông tại A,D,B . Ta có: R SC 1  2 2 a 6 2 SA2  AB2  BC2 = O 2a 3 4 a 6  Suy ra: V =     a3 6 .  3  2  A Vậy chọn đáp án A. D B a C Câu 2. Cho tứ diện ABCD có DA  5a và vuông góc với  ABC , ABC vuông tại B và AB  3a , BC  4a . Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là: A. 36a2 B. 25a2 C. 50a2 D. 100a2 . Hướng dẫn giải ọi O là trung điểm của CD. D  DAC vuông tại A  OA = OC = OD = 1 CD (1) 2 O 1 CD (2) 2  DBC vuông tại B  OB = 5a Từ (1) và (2) ta được : OA = OB = OC = OD = C A 1 CD 2 3a  A, B, C, D thuộc mặt cầu S(O; 4a B CD ) 2 Ta có R= CD 1 = 2 2 AD2  AC2 = 1 2 AD2  AB2  BC2 = 1 2 25a2  9a2  16a2  5a 2 . 2 Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 33 Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 456: NÓN-TRỤ-CẦU 2  5a 2  Tứ đó: S = 4    50a2 . Vậy chọn đáp án C  2    Câu 3. Cho hình chóp S.ABC có SA = 2a và SA (ABC). Tam giác ABC vuông cân tại B, AB  a 2 . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là A. 2a B. C. 2a 2 a 2 2 D. a 2 Hướng dẫn giải ọi I là trung điểm SC S SA AC nên A thuộc mặt cầu đường kính SC BC  SA và BC  AB nên BC  SB  B thuộc mặt I cầu đường kính SC. Như vậy tâm mặt cầu là trung 2a SC điểm I của SC còn bán kính mặt cầu là R  . 2 Ta có C A AC  2a2  2a2  2a a 2 SC  SA2  AC2  4a2  4a2  2a 2  R  a 2 B Vậy chọn đáp án D. Câu 4. Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a , cạnh bên hợp với đáy một góc 300. Thể tích mặt của ngoại tiếp hình chóp là A. 8 6 3 a 27 B. 6 3 a 27 C. 4 6 3 a 27 D. 27 6 a3 Hướng dẫn giải Theo đề S SA,  ABCD   SAO  300   ọi M là trung điểm của SA . Trung M I tr c của SA cắt SO tại I ⇒ I là tâm A mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. 300 B O Ta có: SI.SO = SM.SA ⇒ SI= SM.SA SO a D C Với AO = a 2 , 2 a a 2 3 AS = AO  2 a 2  a 2 , SO = SA sin30o = a ⇒SI = 6 =a 2 . o 2 3 a 3 3 6 cos30 6 8 6 3 a . Do đó: V = 4 a3 2 2  8 2 a3  3 3 3 9 3 27 Vậy chọn đáp án A. Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 34 Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 456: NÓN-TRỤ-CẦU Câu 5. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 2 và cạnh bên bằng 2 3 . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC A. 3 6 2 B. 3 6 4 C. 3 6 6 D. 3 6 8 Hướng dẫn giải Áp dụng công thức giải nhanh: R  2 3  32 3  2 R 2 3 2   22 b2 3 2 2 3b  a với a  2,b  2 3 ta được 2 3 6 . Vậy chọn đáp án B. 4 Công thức tính nhanh: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng b. Lúc đó bán kính mặt cầu ngoại tiếp được tính theo công thức: R  b2 3 2 2 3b  a 2 . Chứng minh ọi O là hình chiếu của S lên mp(ABC) thì O là tâm S của đường tròn ngọai tiếp ABC . Mặt phẳng trung tr c của SA cắt SA tại I và cắt SO tại I K. Khi đó SK = KA = KB = KC và do đó K là tâm của b K mặt cầu ngọai tiếp . C A Hai tam giác đồng dạng SIK và SOA cho ta: a SK SI SI.SA SA 2   SK   SA SO SO 2SO O B 2 a 3 a2 Tam giác vuông SOA: SO2 = SA2 – AO2 = b2 –    b2  .  3  3   Suy ra: SO = b  a2 . Vậy SK = R = 3 b2 2 b2  a2 3  b2 3 2 3b2  a2 Từ đó ta suy ra được công thức tính nhanh thể tích khối cầu và diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đều tam giác cạnh đáy là a, cạnh bên là b như sau: 4 4  b2 3 V = .R3  . 3 3  2 3b2  a2 S = 4.. b4 2(b2  a2 ) 3  3  b6 3   ;   2( 3b2  a2 )3  6 b 4 3b2  a2 Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 35 Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 456: NÓN-TRỤ-CẦU Câu 6. Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC vuông tại A, AB  a, AC  2a, SA  SB  SC và mặt bên  SAB hợp với đáy  ABC một góc 600 . Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là: A. 48 2 a 489 B. 289 2 a 48 C. 489 3 a 24 D. 389 2 a 12 Hướng dẫn giải Nhận xét: Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp trùng với tâm của đường tròn ngoại tiếp của tam giác SBC. Ta có SA  SB  SC nên S nằm trên trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. S ọi O là trung điểm của BC. Vì tam giác ABC vuông tại A nên O là tâm của I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. J Do đó: SO chính là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC hay SO   ABC . A K Theo đề:  SAB ,  ABC  SIO  600 , với K là trung điểm của AB. Ta có OK  C 600 O B AC  a . Trong tam giác vuông SKO có 2 SO  KOtan600  a 3 Trong mặt phẳng  SBC  , đường trung tr c của SC cắt SO tại J  J là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC. Mặt khác:   JS  JB  JC  Vì J laø taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc SBC     JA  JB  JC  Vì J thuoäc truïc ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc ABC   JS  JA  JB  JC  J laø taâm cuûa maët caàu ngoaïi tieáp hình choùp Lúc đó, bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là R  SJ . SIJ đồng dạng SOC ( I là trung điểm của SC)  JS SI CS.SI 1 SC2 1 SO2  OC2   JS    CS SO SO 2 SO 2 SO 5a2  2 BC AB2  AC2 a 5 3a  OC    1 4  17a  R  17 3a . với  2 2 2  JS  2 a 3 24 8 3  SO  a 3 2  17a  289 2 a . Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là S  4R  4    48 8 3 2 Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 36 Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 456: NÓN-TRỤ-CẦU Câu 7. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Bán kính của mặt cầu nội tiếp tứ diện đều ABCD là A. a 6 12 B. a 12 C. a 3 12 D. a 6 Hướng dẫn giải ọi O là hình chiếu của D lên mp(ABC), D O là trọng tâm của tam giác đều ABC. Mặt phẳng trung tr c của đọan AD cắt AD tại E và cắt E DO tại K. Ta có KD = KA = KB = KC nên K là tâm của mặt cầu nội tiếp tứ diện đều vì :     d  K,  ABC    OK   d K,  DAB  d K,  DBC   d K,  DAC  Ta có : AO =  C O I B 2 a 3 AI  , OD = 3 3 DA2  AO2  Vì DEK đồng dạng DOA ta có : Vậy OK = OD – DK = K A a 6 3 DK DE a a 6 6 a 6   :   DK  DA DO 2 3 4 4 a 6 a 6 a 6   . Vậy chọn đáp án A. 3 4 12 Câu 8. Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên 2a. Thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp trên là : A. 448a3 14 1029 B. 448a3 1029 C. D. 448a3 14 a3 14 1029 Hướng dẫn giải Ta có : SO2 = SC2 – 2a2 a2 7a2 a 14 = 4a2  =  SO = 4 2 2 2 D ng trục đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD  SO  (ABCD) S D ng trung tr c của SA  d  SA tại trung điểm M. Xét (SAO) có d cắt SO M I tại I, ta có : C B SI = IA; IA = IB = IC = ID  IS = IA = IB = IC = ID O A D  Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD có tâm là I và bán kính r  SI. SIM SAO  SI SM SM.SA 2a 14 =  SI = . SA SO SO  SI = 7 Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 37 Chuyên đề: Hình học không gian Vậy : r = SI = Chủ đề 456: NÓN-TRỤ-CẦU 2a 14 4 448a3 14 . Suy ra V = r3 = . Chọn đáp án A 7 3 1029 Câu 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SAB là tam giác đều và vuông góc với đáy. Xác định bán kính hình cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD . A. R  a 21 B. R  6 a 21 3 C. R  a 21 6 D. R  2a 21 6 Hướng dẫn giải ọi I là tâm hình vuông, là S trọng tâm của tam giác SAB ( G  SH ). 1 Ta dễ dàng chứng minh được IH   SAB . G O 2 D ng trục 1 của đường tròn D A ngoại tiếp hình vuông ABCD H (với 1 đi qua I) I D ng trục  2 của đường tròn B C ngoại tiếp tam giác SAB (với  2 đi qua )  1 và  2 cùng thuộc mặt phẳng trung tr c của đoạn thẳng AB O  1 OA  OB  OC  OD   1   2  O    O   2 OA  OB  OS   O cách đều các đỉnh của hình chóp S.ABCD  O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. Ta coù: OS  SG2  OG2  a 21 a 21 . Vaäy: R  . Vậy chọn đáp án C. 6 6 Câu 10. Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác cân AB  AC  SA  SB  a ;   SC  b 0  b  3a , (SBC)  (ABC). Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC theo a và b. A. R  b2 3a2  b2 B. R  a2 a2  3b2 C. R  a2 3a2  b2 D. R  a2 3a2  b2 Hướng dẫn giải Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 38 Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 456: NÓN-TRỤ-CẦU ọi D là trung điểm BC  AD  BC (Vì ABC cân tại A)  AD  (SBC). S ọi E trung điểm SB  AE  SB (Vì SAB đều) E  DE  SB (Định lý 3 đường vuông góc) SC//DE (DE đường trung bình tam giác) B  SC  SB. Vậy tam giác SBC vuông tại S D C AD là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác SB nên tâm O mặt cầu ngoại tiếp SABC thuộc AD.Mặt khác A O cách đều A; B; C nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Vậy bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC BC = a2  b2  cosC= R DC a2  b 2 3a2  b2   sinC  ; AC 2a 2a AB a2  . 2sinC 3a2  b2 Vậy chọn đáp án D. Câu 11. Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA vuông góc với, góc giữa cạnh bên SB với đáy là 600. ABC vuông tại B, AB  a 3, ACB  300 . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là A. 21a 2 B. 21a 4 C. 21a D. 21a 2 Hướng dẫn giải ọi I là trung điểm cạnh AC. Trong mp(SAC) kẻ Ix // SA. S x Ta có Ix là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, Ix cắt SC tại O. Ta có O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. O J Bán kính R  OA .   SBA  SB,  ABC   600 A  SA  AB.tan 600  3a, AC  AB sin 300  2 3a I 30° C 60° B ọi J là trung điểm của SC  AIOJ là hình chữ nhật  R  AO  AJ2  AI2  21a . Vậy chọn đáp án A. 2 Câu 12. Cho hình chóp S.ABCD. Hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy. Đáy ABCD là tứ giác nội tiếp trong đường tròn tâm O, bán kính r, SA  h . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 39 Chuyên đề: Hình học không gian A. 2 4r 2  h B. Chủ đề 456: NÓN-TRỤ-CẦU 4r 2  h 2 C. 4r 2  h D. 4r 2  h 2 Hướng dẫn giải ọi M là trung điểm của SA,    là mặt phẳng trung S tr c của SA,  là trục đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD và I       M  I    IA  IB  IC  ID   I      IS  IA I D A  IS  IA  IB  IC  ID nên I chính là tâm mặt cầu O B C ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Tứ giác MAOI là hình chữ nhật nên OI  AM  IA2  OA2  OI2  r2  SA h  2 2 h2 h2 4r 2  h .  R  IA  r 2   4 4 2 Vậy chọn đáp án B. Câu 13. Trong mặt phẳng (P) cho n a lục giác đều ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AD  2R . Qua A kẻ đường thẳng Ax vuông góc với (P), trên Ax lấy điểm S sao cho góc giữa hai mặt phẳng (SDC) và (P) bằng 600 . Bán kính hình cầu đi qua năm điểm S, A, B, C, D là A. 2 13R B. 13R 4 C. 13R 2 D. 13R 2 Hướng dẫn giải ọi O là trung điểm đoạn thẳng S AD, ta có O là tâm đường tròn x ngoại tiếp tứ giác ABCD. Kẻ Ox song song với SA, ta có Ox là trục J y B I C đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD. Trong tam giác SAD, từ trung điểm A O D J của SA, kẻ Jy song song với AD, ta có Jy là đường trung tr c của cạnh SA. ọi I là giao điểm của Ox và Jy. Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 40 Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 456: NÓN-TRỤ-CẦU I  Ox  IA  IB  IC  ID Ta có   I là tâm mặt cầu đi qua năm điểm S, A, B, C, D, bán I  Jy  IS  IA kính hình cầu này là r  IA .   SCA   SCD ,  P   600  AC  AD.sin 600  3R, SA  AC.tan 600  3R 13R 2 Tứ giác AOIJ là hình chữ nhật nên AI  AJ2  AO2  13R . Vậy chọn đáp án C. 2 Vậy bán kính mặt cầu là r  Câu 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D, AB  AD  a , CD  2a . Cạnh bên SD   ABCD  và SD  a . Gọi E là trung điểm của DC. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.BCE là A. 2 11a 11 B. 2 a 11 a 4 C. D. 11 a 2 Hướng dẫn giải AB  DE  AD  a Vì và S DAB  900 nên ABED là hình I vuông. N Tam giác BDC có EB  ED  EC  a nên vuông E D C tại B, BE  CD nên trung M điểm M của BC là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BEC. A B D ng  là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác EBC thì  song song với SD. D ng mặt phẳng trung tr c cạnh SC, cắt  tại I. Điểm I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.BCE. Kẻ SN // DM cắt MI tại N, ta có SDMN là hình chữ nhật với SD  a và DB2  DC2 BC2 AB2  AD2  DC2 EC2  EB2 5a2 DM      2 4 2 4 2 2 2 2 5 Ta có SI2  SN2  NI2  SN2   NM  IM   a2   a  IM  2 a2 Mà IC  IM  MC  IM  và R  IC  IS nên 2 2 2 2 2 2 5 2 a2 3 a   a  IM   IM2   IM  a 2 2 2 Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 41 Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 456: NÓN-TRỤ-CẦU Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.BCE là: R  IM2  a2 11  a . Vậy chọn đáp án D. 2 2 Câu 15. Cho hình chóp S.ABC có SA   ABC . Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SC. Biết BAC  , BC  a . Diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện ABCMN là A. 4 2 sin  a2 B. 4 2 cos  a2 C. 2 2 cos  Hướng dẫn giải Vì tam giác AMB vuông tại M nên tâm a2 D. 2 a2 2 sin  S mặt cầu đi qua ba điểm A, M, B nằm N trên 1 là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác AMB, tức là trung tr c của M A C AB (xét trong mp(ABC)) I Tương t tâm mặt cầu đi qua A, C, N B nằm trên  2 là trung tr c của AC trong mặt phẳng (ABC). Gọi I  1  2 thì I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và I cách đều tất cả các điểm A, B, C, M, N nên các điểm đó nằm trên mặt cầu (S) tâm I, bán kính R. Với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC  R  cầu S  4R2  4 2 BC a  . Diện tích mặt sin A sin  a2 . Vậy chọn đáp án A. sin  Câu 16. Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy AB  a , cạnh bên hợp với mặt đáy một góc 600 . Bán kính hình cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là A. R  4a 3 B. R  2a 3 C. R  2a 3 3 D. R  2a 3 Hướng dẫn giải ọi H là hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC), ta có H S là tâm của ABC . Nên SH là trục của đường tròn ngoại tiếp ABC . Trong SAH d ng đường trung tr c Ix của cạnh SA. ọi O  Ix  SH O  SH OA  OB  OC   O là tâm mặt cầu ngoại  O  Ix OS  OA tiếp hình chóp S.ABC. I O A 60° C H M B Bán kính R  SO . Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 42 Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 456: NÓN-TRỤ-CẦU Ta có 2 2 3a a 3 (M là trung điểm cạnh BC) SAH  SA,  AC   600 , AH  AM  .  3 3 2 3    SH  AH.tan 600  a 3 AH 2 3a . 3  a, SA   0 3 3 cos60 Do SIO ∽ SHA  SI SO SA.SI SA2 2a   SO    SH SA SH 2SH 3 Vậy bán kính hình cầu ngoại tiếp hình chóp là R  2a . Vậy chọn đáp án B. 3 Câu 17. Cho tứ diện đều ABCD có tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện là O và H là hình chiếu của A lên mặt phẳng (BCD). Tỉ lệ k  A. k  2 OA là OH B. k  3 D. k  5 C. k  4 Hướng dẫn giải Do tứ diện ABCD đều nên các khối chóp O.ABC, A O.ACD, O.ABD, O.BCD có thể tích bằng nhau. 1 1 VA.BCD  4VO.BCD  AH.SBCD  4. OH.SBCD 3 3 OA AH  OH 3OH  AH  4OH  k    3 OH OH OH M O B Vậy chọn đáp án B. D H K C Câu 18. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đường cao SO  h, SAB  450 . Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đ cho. A. R  3h B. R  3h C. R  2 h 3 D. R  3 h 2 Hướng dẫn giải ọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác S ABC thì ta có SO   ABC . Trong mặt phẳng (SOA) d ng đường trung E tr c (d) của SA cắt SO tại I thì I là tâm mặt I cầu ngoại tiếp hình chóp. Thật vậy, I  SO là trục của tam giác ABC nên SA  SB  SC I   d   IA  IS  IA  IB  IC  IS A M 45° C 45° O B SOA ∽ SEI (E là trung điểm của AB) Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 43 Chuyên đề: Hình học không gian  Chủ đề 456: NÓN-TRỤ-CẦU SO SA SA.SE 1 SA2   R  SI   . SE SI SO 2 SO Tam giác SAB cân tại S có SAB  450  Tam giác này vuông cân tại S. Đặt SA  x , khi đó AB  x 2, OA  AB 3 x 6  3 3 Trong tam giác vuông SOA: SA2  OA2  SO2  x2  6×2 1 3h2 3h .  h2  x2  3h2  R  .  9 2 h 2 Vậy chọn đáp án D. Câu 19. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh bên bằng 2a, mặt bên tạo với đáy một góc 600 . Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là A. 4a3 63 B. a3 C. 63 21 4a3 D. 63 21 4a3 21 Hướng dẫn giải Đặt AB  x . Gọi O là tâm của đáy, suy ra SO   ABC S Gọi M là trung điểm đoạn BC, suy ra BC   SAM  nên góc giữa mặt bên và mặt đáy là SMA  600 F Gọi F là trung điểm của cạnh SA, trong mặt phẳng (SAM), I đường trung tr c của SA cắt SO tại I. Ta có I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC và bán kính A C 60° O là R  SI . Ta có: AM  x 3 2 x 3 1 x 3 , OA  AM  , OM  AM  2 3 3 3 6 Trong tam giác SAO, ta có: SO2  SA2  AO2  4a2  Trong tam giác SOM, ta có: SO  OM.tan 600  Từ đó suy ra: M B x2 3 x 2 x2 x2 7×2 4a 21  4a2    4a2  x  4 3 12 7 SI SF SA 2 2a2 a   SI    Ta có SFI ∽ SOA , suy ra: SA SO 2SO 2a 21 21 7 Vậy thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp là V  4 3 4a3 . R  3 63 21 Vậy chọn đáp án C. Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 44 Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 456: NÓN-TRỤ-CẦU Câu 20. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, BAD  600 và các cạnh bên SA  SB  SD , BSD  900 . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình tứ diện SBCD là A. 6 a 4 B. 6 a 2 3 a 4 C. D. 2 a 4 Hướng dẫn giải Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình thoi ABCD. S Theo bài ra ta có tam giác ABD là tam giác đều cạnh a  BD  a . 2 a a, SO  . 2 2 Mà tam giác SBD vuông tại S nên SB  SD  I Gọi H là hình chiếu của S trên mặt phẳng đáy thì H là tâm A đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD ( do các cạnh bên SA  SB  SD ) D H O K B C Ta có SH  SO2  OH2  6 6 a, SC  SH2  HC2  a 6 2 Gọi K là tâm của tam giác đều BCD thì K là trung điểm của HC, trục đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD đi qua K và song song với SH nên là trung tr c của HC cắt SC tại I. Ta có I là trung điểm của SC nên IS  IC , do đó I chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình tứ diện 1 6 a . Vậy chọn đáp án B. SBCD. Bán kính của mặt cầu là R  SC  2 4 Câu 21. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên tạo với đáy một góc bằng 450 . Một mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng (ABC) tại A và tiếp xúc với cạnh bên BS kéo dài tại H. Gọi    là mặt phẳng đi qua tâm I của mặt cầu và trung điểm đường cao BD của đáy. Bán kính mặt cầu đó là A. R  C. R   a 2 2 3  3 a 2 2 3   2  B. a 2 2  3 D. R    a 2 2 3  4 Hướng dẫn giải Gọi R là bán kính của mặt cầu. H Ta có: IA   ABC , BS  IH, IA  IH  R . Gọi O là tâm của đó, hạ S I K 45° A O Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 D M C B Page 45 Chuyên đề: Hình học không gian IK  SO. SBO  450  SO  OB  IA  OK  R; IK  OA  SK  SO  IA  Chủ đề 456: NÓN-TRỤ-CẦU a 3 a 6 Tứ giác IAOK là hình chữ nhật nên , SB  3 3 a 3 3 a 3 R ; 3 HS  BH  BS  BA  BS  a  a 6 3 Vì IH2  HS2  IK2  SK2 nên suy ra   2 2 2 a 2 2 3       a 6 a 3 a 3 . R2   a   R  Ta tìm được R         3   3  3 2       Vậy chọn đáp án C. Câu 22. Cho tứ diện ABCD có AB  AC  AD  a, BAC  1200 , CAD  600 , DAB  900 . Xác định bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện. A. a 1 2  3 B. a  2 1 2  3  C. 2a D. 1 2  3 2a  2 1 2  3  Hướng dẫn giải Áp dụng định lý cosin cho tam giác ABC, ta có: BC2  AB2  AC2  2AB.AC.cos1200  3a2 A  BC  3a 120° 60° Tam giác ACD đều nên CD  a . Vì ABD vuông cân tại A nên BC  2a . Ta có: BC2  CD2  3a2  BC2  BCD vuông tại D. Gọi H là trung điểm của BC thì AH  BC B D H a BC a 3 AH  AB.sin 300  ; DH   2 2 2 2 2 2 2  AH  DH  a  AD  AH  HD C Do đó AH   BCD  nên AH là đường cao của tứ diện ABCD. 1 a3 2 Thể tích tứ diện: V  AH.SBCD  3 12 Diện tích toàn phần của tứ diện:  S  SABC  SABD  SBCD 1    2  3 a2 2 Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 46 Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 456: NÓN-TRỤ-CẦU Gọi r là bán kính mặt cầu nội tiếp, ta có: r  3V 2a .   S 2 1 2  3   Vậy chọn đáp án D. Câu 23. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và ASB   . Bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp là: A. C. a sin     2  sin  cos  2 2  B. a cos    sin  cos 2 2 D. a cos     2  sin  cos  2 2  a sin    sin  cos 2 2 Hướng dẫn giải Ta có tâm I của mặt cầu nội tiếp thuộc đường thẳng SH. S ọi M là trung điểm của AB, ta có AB   SHM  tại M. N O ọi I là chân đường phân giác trong của D góc SMH  I  SH  I A M H Ta có I là tâm của mặt cầu nội tiếp hình C B chóp. Bán kính r  IH . Để tính bán kính r ta có thể tính theo hai cách sau: Cách 1. D a vào tính chất của đường phân giác, ta có: IS MS SH MS  MH SH.MH     IH  ; IH MH IH MH MS  MH a  a SM  .cot , MH  2 2 2 Vậy bán kính mặt cầu nội tiếp là: r  IH  a cos     2  sin  cos  2 2  Vậy chọn đáp án C. Cách 2. D a vào công thức r  3V . S 1 a3 cos  Thể tích khối chóp: V  SH.SABCD   3 3.2sin 2 Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 47 Chuyên đề: Hình học không gian  S  4SSAB  SABCD Bán kính r  Chủ đề 456: NÓN-TRỤ-CẦU    a2  sin  cos  2 2 1  4. SM.AB  a2    2 sin 2 3V a cos   S    2  sin  cos  2 2  Lưu ý: Cho hình chóp có thể tích là V và diện tích toàn phần là S. Trong hình chóp nội tiếp 3V một hình cầu có bán kính r. Chứng minh rằng: r  . S Giải Gọi O là tâm hình cầu nội tiếp hình chóp S.ABCDE. S Hình cầu tiếp xúc với mặt đáy và tất cả các mặt bên. Vẽ OF, O , OH … OK vuông góc với mặt đáy và các mặt bên. Ta có: OF  OG  OH  …  OK  r . Vậy, thể tích hình chóp S.ABCDE bằng tổng các thể tích của hình chóp con có chung đỉnh O và có đáy lần lượt là đáy hình chóp lớn và các mặt bên. Ta có: I G H O E D M F C J A VO.ABCDE  VO.SBC  VO.SCD  …  VO.SAB  VS.ABCDE 1 1 1 1 S ABCDE .r  SSBC .r  S SCD .r  …  S SAB .r  V 3 3 3 3 1   S ABCDE  SSBC  SSCD  …  S SAB   V 3 r 3V  .S  V  r  3 S  B Câu 24. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đường cao SO  1 và cạnh đáy của tam giác ABC bằng 2 6 . Điểm M, N lần lượt là trung điểm của cạnh AB, AC tương ứng. Bán kính hình cầu nội tiếp hình chóp S.AMN là A. 2  3 2 3  B. 2  1 2 3  C. 3 D. 2 3 2 3 Hướng dẫn giải Ta có MN là đường trung bình của tam giác đều nên: S 1 1 3 3 3 SAMN  SABC  . AB2  4 4 4 2 Thể tích hình chóp S.AMN: 1 3 V  .SO.SAMN  3 2 A C M O N B Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 48 Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 456: NÓN-TRỤ-CẦU Bán kính r của mặt cầu nội tiếp hình chóp S.AMN. Ta có:  S  SAMN  SSAN  SSAM  SSMN  1 3V Mà V  r.  S  r   3 S 2  3 2 3  14 3  9 2 4 . Vậy chọn đáp án A. Câu 25. Cho tứ diện ABCD, biết AB  BC  AC  BD  a, AD  b, hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) vuông góc với nhau. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo a và b là A. 4a2 B. 3a2  b2 a2 C. 3a2  b2 4 D. 3a2  b2 4a 2 3a 2  b2 Hướng dẫn giải Gọi I là trung điểm của CD, ta có BI  CD (vì tam giác B BCD cân tại B)  BCD   ACD theo giao tuyến CD, BI   BCD  và a BI  CD J O  BI   ACD  Hai tam giác vuông AIB và DIB bằng nhau vì có cạnh góc vuông chung BI, BA  BD  AI  ID  AI  IC  ID  b A D a CD 2 I C  Tam giác ACD vuông tại A. Ta có I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD và BI   ACD  , suy ra BI là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD. Trong mp(BCD), đường trung tr c của BD cắt BI tại O, ta có: OB  OD (vì O ôû treân ñöôøng trung tröïc cuûa BD)  OA  OC  OD (vì O  BI)  OA  OB  OC  OD  O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD, bán kính của mặt cầu này là R  OB . Ta có BJO ∽ BID (J là trung điểm của BD)  OB BJ DB.BJ BD2 a2   OB     DB BI BI 2BI 2 AB2  AI 2 a2  CD  2 a2     2  2 Tam giác ACD vuông tại A  CD2  AC2  AD2  a2  b2  OB  a2 a 2  b2 2 a2  4  a2 3a 2  b2 0  b  a 3  Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 49 Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 456: NÓN-TRỤ-CẦU a2 Vậy R  3a 2  b2 Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là: S  4R 2  0  b  a 3  4a 2 3a 2  b2 Vậy chọn đáp án A. Câu 26. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, SA  SB  a , ASB   và mặt bên SAB nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy (ABC). Bán kính mặt cầu ngoại tiếp S.ABC là a A. R  sin a B. R   2 2 sin  2 a C. R  2 cos D. R   2 a cos  2 Hướng dẫn giải S S I I O C α 2 O B H A H B A ọi H là trung điểm của AB.  H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (vì tam giác ABC vuông tại C) và SH  AB (vì tam giác SAB cân tại S)  SAB   ABC theo giao tuyến AB, SH   SAB và SH  AB  SH   ABC   SH là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Trong mp(SAB), đường trung tr c của SA cắt SH tại O, ta có: OS  OA (vì O ôû treân ñöôøng trung tröïc cuûa SA)  OA  OB  OC (vì O  SH)  O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC, bán kính mặt cầu này là R  OS  OA  … (O c ng là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB) Tam giác SAH vuông tại H  SH  SA.cos ASH  a cos SIO ∽ SHA   SO  a2  2a cos 2  2 SO SI SA.SI SA2   SO   (I là trung điểm của SA) SA SH SH 2SH  a  2cos 2 . Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 50 Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 456: NÓN-TRỤ-CẦU Vậy mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC có bán kính R  a  2 cos 2 . Vậy chọn đáp án C. Cách hác Bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC c ng là bán kính R đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB. Theo định lí cosin, ta có: AB2  SA2  SB2  2SA.SB.cos   2a 2 1  cos    4a 2 sin 2 AB AB Theo định lí sin, ta có:  2R  R   sin  2sin   2 2a sin  2   2.2sin .cos 2 2 a  2cos  2 Câu 27. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB  a , AD   SAB   ABCD và 2a 6 , 3 SA  SB  a . Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABD là A. 4a 3 B. 4 3 a 3 C. 3 3 a 4 D. 3a 3 Hướng dẫn giải Vì tam giác SAB cân tại S và  SAB   ABCD nên gọi H là S trung điểm của AB thì SH   ABCD  . ọi O là tâm hình chữ nhật ABCD thì O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD, trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD là đường thẳng  đi qua O và song song với SH. ọi I G A D H là trọng tâm tam giác SAB. O Vì HO   SAB nên trục đường tròn ngoại tiếp tam giác B C SAB là đường thẳng qua và song song với HO, cắt  tại I thì I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABD. Tứ giác HOI là hình chữ nhật. 1 3 Ta có GH  SH  3 a 6 AC2 a2   Nên IA  IO  OA  GH  4 12 2 2 2 8 a2  a2 3 a 4 Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABD là R  IA nên thể tích khối cầu là 4 4 3 V  R 3  a . Vậy chọn đáp án B. 3 3 Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 51 Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 456: NÓN-TRỤ-CẦU Câu 28. Cho tứ diện SABC có cạnh SA   ABC  , hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) vuông góc   với nhau. Biết SB  a 2 , BSC  450 , ASB   0    900 . Bán kính hình cầu ngoại tiếp tứ diện SABC là A. a B. 2a C. 3a D. 4a Hướng dẫn giải  SBC   SAB Theo giả thiết, ta có và  ABC   SAB (vì S SA   ABC  ) α Mà BC là giao tuyến của hai mặt phẳng (ABC) và (SBC) nên BC   SAB  A  BC  SB  SAC  SBC  900 C  A và B ở trên mặt cầu đường kính SC. Do đó mặt cầu ngoại tiếp SABC có tâm là trung điểm của SC và bán kính là R B SC . 2 Tam giác SBC vuông cân tại B (vì SB  BC và BSC  450 )  SC  SB 2  a 2. 2  2a Vậy bán kính của hình cầu ngoại tiếp tứ diện SABC là R  SC a. 2 Vậy chọn đáp án A. Câu 29. Trong mặt phẳng    cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Trên đường thẳng Ax vuông góc với    ta lấy điểm S tùy ý, d ng mặt phẳng    đi qua A và vuông góc với đường thẳng SC. Mặt phẳng    cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’. Diên tích mặt cầu ngoại tiếp đa diện ABCDB’C’D’ là A. 4a 2 B. a 2 C. 2a 2 D. 3a 2 Hướng dẫn giải Ta có: BC  AB   BC   SAB   BC  AB’ (1) BC  SA  Ta lại có AB’  SC x S (2) C’ Từ (1) và (2) suy ra: AB’   SBC   AB’  B’C B’ Chứng minh tương t ta có AD’  D’C . A Vậy ABC  AB’C  AC’C  AD’C  ADC  900  Năm điểm B, B’, C’, D’, D cùng nằm trên mặt cầu đường D’ D O B C kính AC. Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 52 Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 456: NÓN-TRỤ-CẦU  Bảy điểm A, B, C, D, B’, C’, D’ cùng nằm trên mặt cầu đường kính AC ọi R là bán kính mặt cầu, ta có: R  AC a 2  2 2 2 a 2  2 Diện tích của mặt cầu là: S  4R  4    2a . Vậy chọn đáp án C  2    2 Câu 30. Cho hình chóp S.ABC có các mặt SBC và ABC là các tam giác đều cạnh bằng a, SA  a 2 . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là A. a 2 B. C. a 2 a 2 2 a D. 2 Giải Theo giả thiết, ta có: S SB  SC  BC  AC  AB  a và SA  a 2 SA2  AB2  SB2  2 2 2 SA  AC  SC M  Tam giác SAB vuông tại B và tam giác SAC vuông tại C  MB  MC  A C SA  MA  MS và 2 B SA  MA  MS 2  MS  MA  MB  MC  M là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC, bán kính của mặt cầu này là R SA a 2  . Vậy chọn đáp án B. 2 2 Câu 31. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có chiều cao SH  3a và cạnh đáy bằng a. Bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp là A. 2  37 a 12 B. 1  37 a 12 C. 1  37 a 12 D. 2  37 a 12 Hướng dẫn giải Áp dụng công thức giải nhanh: r  Ta được: R  a.3a 2 a  4  3a   a2  xh 2 x  4h  x 2 với h  3a, x  a 1  37 a . Vậy chọn đáp án C. 12 Công thức giải nhanh: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có chiều cao SH  h và cạnh đáy bằng x . Lúc đó bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp được tính theo công thức: r xh x  4h2  x2 Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 53 Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 456: NÓN-TRỤ-CẦU Chứng minh ọi H là tâm của hình vuông cạnh x, SH = h. ọi I S là trung điểm của BC. Trong SHI phân giác của SIH ắt SH tại O, từ O kẻ OK  SI , ta có OK  (SBC), và OH = OK nên O cách đều mặt đáy và K O D mặt bên (SBC). C I H Tương t O c ng cách đều các mặt bên còn lại. B A Vậy O là tâm của mặt cầu nội tiếp hình chóp và OH  OK  r . Ta có: OH IH OH IH IH.SH     OH  OS IS OS IS  IH SI  IH Trong SHI có: SI2  SH2  HI2  h2  Vậy : r  OH  x h 2 x 1  4h2  x2 2 2  x2 x2 1  SI  h2   4h2  x2 4 4 2 xh x  4h2  x2 Câu 32. Cho hình chóp S.ABC có 4 đỉnh đều nằm trên một mặt cầu, SA  1, SB  2, SC  3 và ba cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là A. 14 2 B. 14 4 C. 14 6 D. 14 8 Hướng dẫn giải Áp dụng công thức giải nhanh R  Ta tìm được R  a2  b2  c2 1 2  a  b2  c2 4 2 1 2 2 2 14 1 2 3  . Vậy chọn đáp án A. 2 2 Công thức giải nhanh: Cho hình chóp S.ABC có 4 đỉnh đều nằm trên một mặt cầu, SA = a, SB = b, SC = c và ba cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp là: R   a2  b2  c2 1 2  a  b2  c2 4 2 S   a2  b2  c2 Diện tích mặt cầu ngoại tiếp:  1 6 Thể tích khối cầu ngoại tiếp: V  (a2  b2  c2 ) a2  b2  c2 Chứng minh Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 54 Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 456: NÓN-TRỤ-CẦU ọi I là trung điểm AB. Kẻ  vuông góc với C mp(SAB) tại I . D ng mp trung tr c của SC cắt  tại O  OC = OS (1). I là tâm đường c tròn ngoại tiếp  SAB (vì  SAB vuông tại S)  OA = OB = OS (2) O Từ (1) và (2)  OA = OB = OC = OS. S b B Vậy: A, B, C, S thuộc S(O; OA) 2 a 2 2 2 2  SC   AB  a b c R  OI2  AI2       4  2   2   a2  b2  c2 S  4   4  A 2    (a2  b2  c2 ) ;   4  a2  b2  c2 V   3  4  3  1   (a2  b2  c2 ) a2  b2  c2 .  6  Câu 33. Cho lăng trụ tam giác đều có đáy là tam giác đều có cạnh đáy bằng 2 3 , cạnh bên bằng 5 . Thể tích mặt cầu ngoại tiếp khối lăng trụ là A. 19 273 15 B. 71 273 35 C. 92 273 53 D. 91 273 54 Hướng dẫn giải Áp dụng công thức giải nhanh: V  V 1 .  4a2  3b2     18 3  3 với a  2 3 và b  5 ta được: 3 2 2 91 273 . .  4  2   3  5   54  18 3  1 Vậy chọn đáp án D. Công thức tính nhanh: Cho lăng trụ tam giác đều có đáy là tam giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng b. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp Thể tích mặt cầu ngoại tiếp 2 2 R  4a  3b 2 3 V 1 .  4a2  3b2     18 3  A C O 3 A1 B b I A’ C’ O’ a A1′ B’ Chứng minh Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 55 Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 456: NÓN-TRỤ-CẦU Gọi O và O’ là tâm của ∆ABC và ∆A’B’C’ thì OO’ là trục của đường tròn ngoại tiếp ∆ABC và ∆A’B’C’. ọi I là trung điểm của OO’ thì IA = IB =IC = IA’ = IB’ = IC’ hay I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình trụ. Bán kính mặt cầu là R = IA Tam giác vuông AOI có: AO = 2 AA  2 a 3  a 3 ; OI  1 OO’  1 AA’  b 1 3 3 2 3 2 2 2 2 2 2 ⇒ AI2  OA2  OI2  a  b  7a ⇒ AI  a 7 3 4 12 2 3 3 3 3 3 7 V  4 R3  4  a . 7 7  a .28 7  7a  21.a 3 3 8 3 3 72 3 18 3 54 2 2 2 2 AI2  4a  3b  AI  4a  3b  R 12 2 3 V  4 R3  4  1 3 3 8.3 3 3 (4a2  3b2 ) 2  3 3 1 .(4a2  3b2 ) 2  1 .  4a2  3b2     18 3 18 3  Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 56 Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 456: NÓN-TRỤ-CẦU Để sử dụng file word, quý thầy cô vui lòng đóng góp chút inh phí để tạo động lực cho tác giả ra đời những chuyên đề hác hay hơn STT 1 TÊN TÀI LIỆU GIÁ KĨ THUẬT GIẢI NHANH TRẮC NGHIỆM SỐ PHỨC_123 MÃ SỐ 60K SO PHUC_123 50K HHKG_KDD 110 K HHKG_TTKC 70K HHKG_TTLT 110 K HHKG_NTC 130 K HHKG_KC 50K HHKG_GOC Tặng 6 đề word thi thử THPT Quốc gia 2017 (có đáp án và lời giải chi tiết) {Đề 1-6} 2 CHỦ ĐỀ 1_KHỐI ĐA DIỆN {26 Trang} Tặng 5 đề word thi thử THPT Quốc gia 2017 (có đáp án và lời giải chi tiết) {Đề 7-11} 3 CHỦ ĐỀ 2_THỂ TÍCH KHỐI CHÓP {59 Trang} Tặng 10 đề word thi thử THPT Quốc gia 2017 (có đáp án và lời giải chi tiết) {Đề 12-21} 4 CHỦ ĐỀ 3_THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ {34 Trang} Tặng 5 đề word thi thử THPT Quốc gia 2017 (có đáp án và lời giải chi tiết) {Đề 22-26} 5 CHỦ ĐỀ 456_NÓN TRỤ CẦU {56 Trang} Tặng 10 đề word thi thử THPT Quốc gia 2017 (có đáp án và lời giải chi tiết) {Đề 27-36} 6 CHỦ ĐỀ 7_KHOẢNG CÁCH {68 Trang} Tặng 12 đề word thi thử THPT Quốc gia 2017 (có đáp án và lời giải chi tiết) {Đề 37-49} 7 CHỦ ĐỀ 8_GÓC {21 Trang} Tặng 5 đề word thi thử THPT Quốc gia 2017 (có đáp án và lời giải chi tiết) {Đề 50-54} 8 CHỦ ĐỀ 9_CỰC TRỊ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN VÀ CÁC 80k KHỐI LỒNG NHAU {29 Trang} HHKG_CT Tặng 8 đề word thi thử THPT Quốc gia 2017 (có đáp án và lời giải chi tiết) {Đề 55-63} Hướng dẫn thanh toán Quý thầy cô thanh toán cho mình qua ngân hàng. Sau khi chuyển khoản, mình sẽ lập tức g i tài liệu cho quý thầy cô. Nếu trong ngày mà thầy cô chưa nhận được thì vui lòng gọi điện tr c tiếp cho mình. Thầy cư. SĐT: 01234332133 NGÂN HÀNG TÊN TÀI KHOẢN TRẦN ĐÌNH CƯ TRẦN ĐÌNH CƯ TRẦN ĐÌNH CƯ SỐ TÀI KHOẢN 4010205025243 0161000381524 55110000232924 CHI NHÁNH THỪA THIÊN HUẾ THỪA THIÊN HUẾ THỪA THIÊN HUẾ Nội dung: Họ và tên_email_ma tai liệu Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 57 Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 456: NÓN-TRỤ-CẦU Ví dụ: Nguyễn Thị [email protected]_HHKG_TTKC Lưu ý: Thầy cô đọc kỹ file PDF trước khi mua, tài liệu mua chỉ dùng với mục đích cá nhân, hông được bán lại hoặc chia sẻ cho người khác. CHÚC QUÝ THẦY CÔ DẠY TỐT VÀ THÀNH CÔNG TRONG SỰ NGHIỆP TRỒNG NGƯỜI Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 58
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments

Bài viết tương tự

Scroll to Top