Chuyên đề liên hệ giữa phép nhân – phép chia và phép khai phương

Giới thiệu Chuyên đề liên hệ giữa phép nhân – phép chia và phép khai phương

Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và bạn đọc Chuyên đề liên hệ giữa phép nhân – phép chia và phép khai phương.

Tài liệu môn Toán sẽ luôn được cập thường xuyên từ nguồn đóng góp của quý bạn đọc và hoctoanonline.vn sưu tầm, các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán mới nhất nhé.

Hơn nữa, Hoctoanonline.vn còn cung cấp file WORD Tài liệu môn Toán miễn phí nhằm hỗ trợ thầy, cô trong quá trình dạy học, biên soạn đề thi.

Tài liệu Chuyên đề liên hệ giữa phép nhân – phép chia và phép khai phương

Các em học sinh Đăng ký kênh youtube để học thêm nhé

Text Chuyên đề liên hệ giữa phép nhân – phép chia và phép khai phương

CHUYÊN ĐỀ
LIÊN HỆ GIỮA PHÉP NHÂN – PHÉP CHIA VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
I. Với A  0, B  0 thì:

A.B  A. B và ngược lại

 A

Đặc biệt, khi A  0 , ta có:

A

B

II. Với A  0, B  0 thì

2

A. B  A.B

 A2  A .

A
và ngược lại
B

A

B

A
B

III. Bổ sung

Với A1 , A2 ,…, An  0 thì:

Với a  0; b  0 thì:

Với a  b  0 thì:

A1 . A2 … An  A1. A2 … An

a  b  a  b (dấu “=” xảy ra  a  0 hoặc b  0 ).
a  b  a  b (dấu “=” xảy ra  a  b hoặc b  0 ).

B. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Thực hiện phép tính
Ví dụ minh họa 1. Tính:
a)

b)

810.40

c)

24. 12. 0,5

125
35.43

d)

180 : 5
200 : 8

Hướng dẫn giải:
a) Ta có:
810.40  81.100.4  81. 100. 4

 92 . 102 . 22  9.10.2  180 . Vậy biểu thức có giá trị là: 180
b) Ta có:

24. 12. 0,5  24.12.0,5  144  122  12 .

c) Ta có:

125

35.43

 3.4 

5

35.43

35.45
 42  4
35.43

Vậy biểu thức có giá trị là: 4
d) Ta có

180 : 5
180 : 5
36 6


  1, 2
200 : 8
200 : 8
25 5

Vậy biểu thức có giá trị là: 1,2
Ví dụ minh họa 2.
b) Với a  0 ; b  0 . Chứng minh

a) So sánh: 16  4 và 16  4

Hướng dẫn giải:
a) Ta có:
1. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com

ab  a  b

16  4  4  2  6  36

1

16  4  20  36

 2

Từ 1 và  2  suy ra: 16  4  16  4
b) Với a  0 ; b  0 , giả sử a  b  a 2  b 2
a  b với

Để so sánh
ta so sánh


Ta có:

ab

ab

2

a b

2

với

a b

a b

2

 ab

2

 a  b  2 ab

Vì 2 ab nên suy ra

ab

 
2

a b

2

ab  a  b

Do đó

Ví dụ minh họa 3. Thực hiện phép tính
a) A 

18  32  50 . 2

b) B  50 – 18  200  162

Hướng dẫn giải:
a) Áp dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng và phép nhân các căn thức bậc hai của
các số không âm, ta có:
A

18  32  50 . 2

 18. 2  32. 2  50. 2
 18.2  32.2  50.2
 36  64  100

 6  8  10
4
b) Sử dụng phép khai phương một tích của các số không âm, ta có:

B  50 – 18  200  162
 25.2  9.2  100.2  81.2
 25. 2  9. 2  100. 2  81. 2
 2.

25  9  100  81

 2.  5  3  10  9 

3 2
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Tính:
a)

49.36.100

b)

0, 45.0, 3.6

Bài 2: Thực hiện các phép tính sau:
2. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com

c) 147.75

d)

4, 9.1200.0, 3

5. 45

a)

b) 13. 52

c) 12, 5. 0, 2. 0,1

b) 13 : 468

c)

d)

48, 4. 5. 0, 5

d)

288
8
:
169
225

Bài 3: Tính:
a)

45 : 80

3
36
:
15 45

Bài 4: Thực hiện các phép tính sau:

c)

72
: 8
9

a)

 1

16
d) 

 7  : 7
7
 7

125  245  5 : 5

Bài 5: Thực hiện các phép tính sau:
a) 12  27  3

b)

252  700  1008  448

c)

b) 7 48  3 27  2 12 : 3

d)

12  2 75
3

3

12  27  3

Bài 6: Thực hiện các phép tính sau:

c)

3 5  3 5

2

d) 15  216  33  12 6
HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài 1: Thực hiện các phép tính sau:
a) Biến đổi biểu thức:

49.36.100  49. 36. 100

 7 2 . 62 . 102  7.6.10  420
b) Biến đổi biểu thức:

0, 45.0,3.6  0,81  0,92  0,9

c) Biến đổi biểu thức: 147.75  49.3.3.25
 49.9.25  49. 9. 25  7.3.5  105
d) Biến đổi biểu thức:

4,9.1200.0, 3  49.0,1.12.100.3.0,1

 49.36  49. 36  7.6  42
Bài 2: Thực hiện các phép tính sau:
a)

5. 45  5.45  225  152  15

b) 13. 52  13.52  676  26
c) 12, 5. 0, 2. 0,1  12, 5.0, 2.0,1  0, 25  0, 5
d)

48, 4. 5. 0, 5  48, 4.5.0,5  122  11

Bài 3: Tính:
a)

45 : 80 

b) 13 : 468 



b) 1  3  2 1  3  2

2 3  2 3

a)

45
45
9 3



80
16 4
80
13
13
1 1



468
36 6
468

3. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com

c)

3
36
3 36
3 45
1 1
:

:

.


15 45
15 45
15 36
4 2

d)

288
8
288 8
288 225
:

:

.
169
225
169 225
169 8

36.225
36. 225 6.15 90



169
13 13
169

Bài 4: Thực hiện các phép tính sau:

72
72
72 1
: 8
:8 
.  1 1
9
9
9 8

a) Biến đổi biểu thức:

Vậy biểu thức có giá trị là: 1

b) Biến đổi biểu thức: 7 48  3 27  2 12 : 3

 28 3  9 3  4 3 : 3  33 3 : 3  33
Vậy biểu thức có giá trị là: 33
c) Biến đổi biểu thức:

125  245  5 : 5  5 5  7 5  5 : 5  11 5 : 5  11

Vậy biểu thức có giá trị là: 11
 1

 7 4 7

16
4 7
4
d) Biến đổi biểu thức: 
: 7

 7  : 7  

 7  : 7 
7
7
7
7
 7

 7

4
7
Bài 5: Thực hiện các phép tính sau:

Vậy biểu thức có giá trị là:

a) Ta có: 12  27  3
 2 3  3 3  3  3  2  3  1  0
b) Ta có:

12  2 75

3  12. 3  2 75. 3

 36  2 225  6  2.15  24
c) Ta có:

252  700  1008  448

 6 7  10 7  12 7
  6  10  12  7  8 7
d) Biến đổi biểu thức

 3 2 3 3 3  3

3

12  27  3

 3.4 3  3.4  12
Bài 6: Thực hiện các phép tính sau:
a) Biến đổi biểu thức

2 3  2 3

4. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com

42 3
42 3



2
2

3 1

2

2

3 1

2

2

3 1

2

3 1
3 1
3 1 3 1


2
2
2

2
 2
2

Vậy biểu thức có giá trị là:

2

3 1

2

2

3 1
2

3 1

2



b) Biến đổi biểu thức 1  3  2 1  3  2

  1 3


   2    1  2
2

2

2

3  3  2

 42 3 2  22 3
Vậy biểu thức có giá trị là: 2  2 3

c) Biến đổi biểu thức

3 5

2

3 5  3 5

 2 3  5. 3  5 

 3 5  2

2

3 5

2

3  5 .3  5   3  5 
2

 3  5  2 32  5  3  5
 6  2 9  5  6  4  10
Vậy biểu thức có giá trị là: 10
d) Biến đổi biểu thức 15  216  33  12 6
 15  6 6  33  12 6 

 15  6 6  3  2 6  3 

3  6   3  2 6 
6    2 6  3
2

 6
Vậy biểu thức có giá trị là:

6.

5. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com

2

Dạng 2. Rút gọn biểu thức và tính giá trị biểu thức
Ví dụ minh họa 1. Rút gọn các biểu thức sau:
a) 5 25a 2  25a với a  0

b)

49a 2  3a với a  0

c) 16a 4  6a 2 với a bất kì

d) 3 9a 6  6a 3 với a bất kì.
Hướng dẫn giải:

a) Biểu thức 5 25a 2  25a  5. 5a  25a vì a  0 nên 5a  0 , do đó 5a  5a .
Vậy 5 25a 2  25a  5.  5a   25a  25a  25a  50a.
b) Biểu thức

49a 2  3a  7a  3a.

Với a  0 nên 7a  0 , do đó 7a  7a .
Vậy

49a 2  3a  7a  3a  10a.

c) Biểu thức 16a 4  6a 2  4a 2  6a 2
Với mọi a ta đều có 4a 2  0 nên 4a 2  4a 2
Vậy 16a 4  6a 2  4a 2  6a 2  10a 2
d) Biểu thức 3 9a 6  6a 3  3. 3a 3  6a 3
Nếu a  0 thì 3a 3  0 nên 3a 2  3a 2 , ta có: 3 9a 6  6a 3  3.3a 3  6a 3  3a 2
Nếu a  0 thì 3a 3  0 nên 3a 2  3a 2 , ta có: 3 9a 6  6a 3  3.  3a 3   6a 3  15a 2 .
Ví dụ minh họa 2. Rút gọn các biểu thức sau:
a) 4 x  x 2  4 x  4 với x  2

b) 3x  9  6 x  x 2 với x  3

x  0
x6 x 9
với 
c)
x 9
x  9

d)

x2  4x  4
với x  2
x2

Hướng dẫn giải:
a) Biểu thức 4 x  x 2  4 x  4  4 x 

 x  2

2

 4x  x  2

2

 3x  3  x

Vì x  2 nên x  2  0 , do đó x  2  x  2 .
Vậy 4 x  x 2  4 x  4  4 x   x  2   3x  2
b) Biểu thức 3x  9  6 x  x 2  3x 

3  x 

Vì x  3 nên 3  x  0 , do đó 3  x    3  x 
Vậy 3x  9  6 x  x 2  3x   3  x   2 x  3
c) Biểu thức

x6 x 9

x 9

x 3

x 3



2

x 3

6. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com

x 3
x 3

 x  2

x2  4x  4

x2

d) Biểu thức

x2

2

x2
x2

Với x  2 thì x  2  0 nên x  2  x  2 .
Vậy

x2  4x  4 x  2

1
x2
x2

Với x  2 thì x  2  0 nên x  2    x  2  .
Vậy

x2  4x  4   x  2

 1
x2
x2
BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Rút gọn các biểu thức:
a)
c)

15  6
35  14
2 15  2 10  6  3
2 5  2 10  3  6

b)

10  15
8  12

d)

2  3  6  8  16
2 3 4

b)

 a  0; b  0
a a b  b b a
với 
ab  1
 ab  1

d)

x  2 x 1
x  2 x 1

Bài 2: Rút gọn các biểu thức sau:
a)

c)

x  xy
y  xy

với  x  0; y  0 

x xy y
x y

x 1
e)
y 1

y2

x y

y 1

 x  1

2

 x  0

2

4

 x  1, y  1, y  0 

Bài 3: Rút gọn và tính:
a)

a 1
:
b 1

b 1
với a  7, 25; b  3, 25
a 1

c) 10a 2  4a 10  4 với a 

2
5

5
2

b) 15a 2  8a 15  16 với a 
d)

a 2  2 a 2  1  a 2  2 a 2  1 với a  5

HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1: Rút gọn các biểu thức:
a) Biểu thức:

3
15  6

35  14
7

Biểu thức rút gọn là:

b) Biểu thức:



2

5 2
5

3
3

7
7

3
7

5 2 3
10  15
5


2
8  12
2 2 3

7. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com

3
5

5
3

5
2

Biểu thức rút gọn là:
c) Biểu thức:

  2  3  2 5  3  2   3  3  2 
2 5 1  2   3 1  2 
 2 5  3 1  2 
 2 5  3  3  2 

 2 5  3 1  2 

2 5

2 15  2 10  6  3
2 5  2 10  3  6

3 2  3

3 2
1 2
3 2
1 2

Biểu thức rút gọn là:

2  3  6  8  16
2 3 4

d) Biểu thức:

2 3 6 84
2  3 22 6  8

2 3 4
2 3 4

2 32
2 6  8

2 3 4
2 3 4

2 3 4
4 6 8

2 3 4
2 3 4

2

 1

2 3 4
2 3 4

  1

2

Biểu thức rút gọn là: 1  2
Bài 2: Rút gọn các biểu thức:
a) Với  x  0; y  0  thì

 a  0; b  0
b) Với 
thì
 ab  1

y  xy


y

x


x

x y
y

x
y

Biểu thức rút gọn là:

x  xy

a  a b  b b a
ab  1

  1  ab 
 ab  1 ab  1
 ab  1

a 1  ab  b 1  ab


ab  1

a b

a b
ab  1

8. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com

x
y

a b
ab  1

Biểu thức rút gọn là:

x xy y

c) Biểu thức
3

x  y

3

x y

 x  2 xy  y

x y

x y

 x 

x y

xy  y

x y



2

x  2

xy  y

 x  xy  y  x  2 xy  y
 xy
xy

Biểu thức rút gọn là:

x  2 x 1

x  2 x 1

d) Với  x  0  nên

x 1
y 1

x 1
y 1

y 1

 x  1

4

2

y2

y 1

 x  1

2

x 1
x 1

2

 x  1, y  1, y  0 

4

y 1
x 1
.
2
y  1  x  1
y 1  

y 1 ,

y 1
x 1
x 1  y 1
1
.
.


2
2
x 1
y  1  x  1
y  1  x  1

Nếu y  1  y  1  0 
Thì

2

x 1

Nếu 0  y  1  y  1  0 
Thì


x  1
x 1

x 1

Biểu thức rút gọn là:

e) Biểu thức


y 1 

y 1 ,

y 1
y 1
x 1
x 1
1
.

.

2
2
x 1
y  1  x  1
y  1  x  1

Bài 3: Rút gọn và tính:
a) Ta có

a 1
.
b 1

a 1
:
b 1
a 1

b 1

b 1
a 1



b  1

a 1


b  1
a 1

9. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com

a 1
b 1

x 1
x 1

Với a  7, 25; b  3, 25 thay vào ta được
Vậy biểu thức có giá trị

7, 25  1
6, 25
25 5



6, 25  1
2, 25
9 3

5
.
3

b) Ta có 15a 2  8a 15  16 

15a  4

2

 15a  4

3
5

thay vào ta được
5
3

Với a 

 3
5
15a  4  15 

4
3 
 5
3
5
 15.  4  3  5  4  4
5
3

 15.

a

c) Ta có 10a 2  4a 10  4 
Với a 

2

 a 10  2

 2
2
5
5

thay vào ta được a 10  2  

 10  2
5
2
5
2

a2  2 a2 1  a2  2 a2 1

a

2

a2 1  1 

a2 1  1 

 1  2 a 2  1  1 

 

a

2

2

5 1 1 

4 1 

 1  2 a 2  1  1

2

a2 1 1

2

a2 1 1

Với a  5 thay vào ta được

2
5
. 10 
. 10  2  2  5  2  5
5
2

d) Ta có

10  2

a2 1  1 

2

5 1 1 

a2 1 1

5 1  1  5 1 1

4 1  2 1  2 1

 3 1  2

10. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com

Dạng 3. Giải phương trình
Ví dụ minh họa 1. Giải các phương trình sau:
a)

2.x  5  5

c) 10  x  3  20

x7 3 0

b)

d)

Hướng dẫn giải:
5
a) Điều kiện xác định là 2 x  5  0  x  
2
Khi đó, phương trình được đưa về dạng:
2 x  5  25  2 x  20  x  10 thỏa mãn điều kiện
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x  10 .
b) Điều kiện xác định là x  7 .
x  7  3  0  x  7  3
với mọi x  7 ta có

x  7  0 và 3  0 . Vậy phương trình vô nghiệm.

c) Điều kiện xác định là x  3
Khi đó, phương trình được đưa về dạng:

10  x  3  20  x  3  2  x  5 .
Vậy x  5 là nghiệm của phương trình.
d) Với x  2  0  x  2 thì

3x 2  x  2  3x 2   x  2   3x 2  x 2  4 x  4
2

 2  x2  2 x  2  0  x2  2 x  2  0



  x  1  3  0  x  1  3 x  1  3  0
2

 x  1  3  0
x  1 3

(thỏa mãn điều kiện)

 x  1  3  0
 x  1  3
Vậy nghiệm của phương trình là x  1  3; x  1  3 .
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a) 3 x  1  10
c)

b) 16  7 x  11

x 2  6 x  9  3x  6

d)

x2  4 x  4  2 x  5  0

HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a) Điều kiện có nghĩa: 3 x  1  0  x  
Khi đó, phương trình

1
3

3 x  1  10  3 x  1  10  x  3 (thỏa điều kiện)

Vậy nghiệm của phương trình là: x  3 .
b) 16  7 x  11
Điều kiện có nghĩa: 16  7 x  0  x 

16
7

11. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com

3x 2  x  2

Khi đó, phương trình 16  7 x  11  16  7 x  11  x 
5
7

Vậy nghiệm của phương trình là: x 
c)

x 2  6 x  9  3x  6 

 x  3

2

5
(thỏa điều kiện)
7

 3x  6  x  3  3x  6

x  2

3 x  6  0
  x  9 TM 

  x  3  3x  6   
2
  x  3  3 x  6

3

 x   L 
4
 

Vậy nghiệm của phương trình là: x 
d)

x2  4 x  4  2 x  5  0 

9
2

 x  2

2

 2x  5  x  2  2x  5

5

x  2
2 x  5  0


   x  3  2 x  5    x  8 TM 
  x  3  2 x  5


 x  2  L 
3
 

12. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com

Dạng 4:Nâng cao phát triển tư duy
Ví dụ minh họa 1: Rút gọn các biểu thức sau: P  2  2  2 . 4  8 . 2  2  2 .
Giải
Tìm cách giải. Quan sát kĩ đề bài, ta thấy có hai biểu thức trong căn có dạng
dùng tính chất giao hoán và thực hiện phép tính.

a  b và

a  b nên ta

Trình bày lời giải
P  2  2  2 . 4  8. 2  2  2  2  2  2 . 2  2  2 . 4  8
P  4  2  2. 4  2 2 

 2  2 .

2  2. 2

P  4  2. 2  2 .
Ví dụ minh họa 2:: Rút gọn biểu thức: A  2  3  4  2 3  21  12 3
Giải
Tìm cách giải. Với những bài toán có nhiều căn “chồng chất”, ta có thể giảm bớt số căn, bằng cách đưa
các căn ở phía trong về dạng

A2  A và giải như các ví dụ

a  2 b sau đó dùng hằng đẳng thức

trên.
Trình bày lời giải
Ta có A  2  3  4  2 3  21  12 3

 2 3  42 3 

2

3 3

2

 2 3  42 3 2 3 3

 2 3  44 3 3  2 3 

2  3 

2

 2 32 3  4 .

Suy ra A  2 .
Ví dụ minh họa 3: Rút gọn: C  2  2 5  2  2  2 5  2
Giải
Tìm cách giải.
Ví dụ này không thể biến đổi để đưa về dạng

a2 b 

x y

2

.

Do vậy để rút gọn biểu thức dạng C  x  y  x  y ta thường tính C 2 sau đó nhận xét dấu của C,
từ đó tìm được C.
13. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com

Trình bày lời giải

2 

Xét C 2  2  2 5  2  2  2 5  2  2
C2  4  2 4  2 5  2  4  2
C2  6  2 5 

5 1

2

 42



2 5 2 2 2 5 2

5 1

2

5  1 . Vì C  0 nên C  1  5 .

Ví dụ minh họa 4: Cho x, y thỏa mãn

x  1  x 2  y  1  y 2 . Chứng minh rằng: x  y .
Giải

Tìm cách giải. Nhận xét giả thiết x, y có vai trò như nhau. Phân tích từ kết luận để có x  y , chúng ta cần
phân tích giả thiết xuất hiện nhân tử  x  y  .
Dễ thấy x 2  y 2 có chứa nhân tử  x  y  , do vậy phần còn lại để xuất hiện nhân tử  x  y  chúng ta vận
dụng

a b



a  b  a  b từ đó suy ra:

a b

a b
. Lưu ý rằng mẫu số khác 0. Từ đó
a b

chúng ra có lời giải sau:
Trình bày lời giải
Từ đề bài ta có điều kiện: x  1; y  1 .
– Trường hợp 1: Xét x  1; y  1  x  y .
– Trường hợp 2: Xét ít nhất x hoặc y khác 1. Ta có:

x2  y 2  x 1  y  1  0
  x  y  x  y  

 x  1   y  1  0
x 1  y 1



1
  x  y x  y 
0

x  1  y  1 

Vì x  y 

1
0 x y 0 x  y.
x 1  y 1

Ví dụ minh họa 5: Cho a 

1 2
. Tính giá trị biểu thức 16a8  51a
2

Giải
1 2
vào biểu thức thì khai triển dài dòng, dễ dẫn đến sai
2
lầm. Do vậy chúng ta nên tính từ từ, bằng cách tính a 2 ; a 4 và a 8 bằng hằng đẳng thức. Bài toán sẽ đơn
giản và không dễ mắc sai lầm.

Tìm cách giải. Để thay giá trị trực tiếp a 

14. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com

Trình bày lời giải

2a  1  2  2a  1   2  4a 2  4a  1  2

 4a 2  1  4a  1  2 1  2  3  2 2  16a 4  9  12 2  8  17  12 2
 256a 8  289  408 2  288  577  408 2  16a 8 

Xét 16a8  51a 

577  408 2 51 1  2

16
2

577  408 2
16

577  408 2  408  408 2 169

16
16

Vậy 16a8  51a 

169 13
 .
16
4

Ví dụ minh họa 6: Tính giá trị S 

6 2
6 2
1
1
.
; b
 7 với a 
7
a b
2
2

Giải
Tìm cách giải. Nếu thay giá trị của a và b vào biểu thức và biến đổi thì bài toán sẽ phức tạp, có thể dẫn
đến sai lầm. Bài toán có dạng đối xứng cơ bản, ta có thể tính tổng và tích của a và b, sau đó dùng các
hằng đẳng thức để tính dần dần.
Trình bày lời giải
Từ đề bài suy ra: a  b  6; ab  1
Ta có: a 2  b 2   a  b   2ab  4 ;
2

a 3  b3   a  b   3ab  a  b   6 6  3.1. 6  3 6
3

Xét  a 2  b 2  a 3  b3   a 5  a 2b3  a 3b 2  b5  a 5  b5  a 2b 2  a  b 
4.3 6  a 5  b5  1 6
Từ đó tính được: a 5  b5  11 6
Xét  a 2  b 2  a 5  b5   a 7  a 2b5  a 5b 2  b 7  a 7  b 7  a 2b 2  a 3  b3 
Suy ra: 4.11 6  a 7  b 7  1.3 6  a 7  b 7  41 6
S

1 1
  b 7  a 7  41 6 .
a 7 b7

Ví dụ minh họa 7: Cho b  0; a  b . Chứng minh đẳng thức:

15. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com

a  a2  b
a  a2  b

2
2

a b 

Giải
Đặt vế phải là: B 

a  a2  b
a  a2  b

2
2

Ta có B  0
a  2 a2  b
Xét B 
 2.
2
2

B  a  2.
2

a2  a2  b
4

a 

a2  b
2

 . a 

a2  b
2

  a

a2  b
2

; B2  a  b

Vì B  0 nên B  a  b .
Vế phải bằng vế trái. Suy ra điều phải chứng minh.

Ví dụ minh họa 8: Cho các số thực x; y thỏa mãn: x  x 2  2

 y  1 

Chứng minh rằng: x3  y 3  3 xy  1
Giải

Đặt y  1  z từ giả thiết ta có: x  x 2  2

2

 

 2  x2  z  z 2  2  2

 

 2 z  z2  2  2

x2  2  x

x2  2

 z

2

 2  z2   2

 x  x2  2 2  2

x 2  2  x  z  z 2  2  x 2  2  x 1
z 2  2  z ta được

Nhân hai vế của đẳng thức (*) với

x 

z 2  2  2  *

x 2  2  x ta được

Nhân hai vế với

x

 z 

z2  2  z

z2  2  z

 x  x2  2  z 2  2  z  2
Từ (1) và (2) cộng vế với vế, rút gọn ta được:
x  z  0  x  y 1  0  x  y  1

16. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com

y2  2 y  3  2

Xét x 3  y 3  3 xy   x  y   x 2  xy  y 2   3 xy  x 2  xy  y 2  3 xy
 x 2  2 xy  y 2   x  y   1
2

Vậy x 3  y 3  3 xy  1 . Điều phải chứng minh.

BÀI TỰ LUYỆN
Bài 1. Chứng minh rằng các số sau là số tự nhiên.

a) A  3  5. 3  5



10  2 ;

b) B  2



3 1

2 3 .

Bài 2. Rút gọn biểu thức:
a) P 

3 10  20  3 6  12
;
5 3

b) Q 

2 3 6 84
.
2 3 4

Bài 3. Rút gọn các biểu thức:
a) C 

b) D 

62

6  3  2  62

6 3 2

2

;

96 2  6
.
3

Bài 4. Cho x  3  2 . Tính giá trị B  x 5  3 x 4  3 x 3  6 x 2  20 x  2018 .
Bài 5. Tính giá trị biểu thức A  x 2  2002 x  2003 với

x

 27  10 2 

27  10 2  27  10 2
13  3 

13  3 :

27  10 2

13  2

Bài 6. a) Giả sử a và b là hai số dương khác nhau và thỏa mãn:

a  b  1  b2  1  a 2
Chứng minh rằng a 2  b 2  1 .
b) Chứng minh rằng số

20092  20092.20102  20102 là số nguyên dương.

Bài 7. Cho b  0; a  b . Chứng minh đẳng thức:

a  b  a  b  2 a  a2  b

Bài 8. Cho x1  3  5 và x2  3  5 . Hãy tính: A  x1.x2 ; B  x12  x22 ; C  x13  x23 ; D  x15  x25
Bài 9. Rút gọn biểu thức: A 

7 5  7 5
7  2 11

17. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com

 3 2 2 .

Bài 10. Cho x, y là các số thực thỏa mãn:

x  1  y y  y  1  x x .Tìm giá trị nhỏ nhất của

S  x  3 xy  2 y  8 y  12 .
2

2

Bài 11. Rút gọn các biểu thức sau:

P  4  5 3  5 48  10 7  4 3 ;
Q

3 1

6  2 2. 3 

2  12  18  128 .

Bài 12. Rút gọn biểu thức:
a) A 

6  2 5  13  48

b) T 

3 1

2 3  3  13  48
6 2

2 10  30  2 2  6
2
:
.
2 10  2 2
3 1

Bài 13. Rút gọn biểu thức: A 

Bài 14. Biết x  2  2  3  6  3 2  3 .Tính giá trị biểu thức: S  x 4  16 x 2 .

Bài 15. Cho x  2019 

 x  2019 

2

 2020

  y  2019 

 y  2019 

2

 2020  2020 .Tính giá trị của

A x y.

Bài 16. Rút gọn biểu thức: A 

x2  5x  6  x 9  x2
3x  x 2   x  2  9  x 2

: 2 1

2x
3 x

Bài 17. Cho biểu thức P   a 2013  8a 2012  11a 2011    b 2013  8b 2012  11b 2011  . Tính giá trị biểu thức của P
với a  4  5 và b  4  5 .
Bài 18. Cho

3
3
 x  ; x  0 và
2
2

3  2 x  3  2 x  a .Tính giá trị của biểu thức P 

6  2 9  4 x2
x

theo a.
Bài 19. Tính giá trị của biểu thức: A  2 x 3  3 x 2  4 x  2 Với

x  2

5 5
5 5
 2
 3  5 1.
2
2

Bài 20. Đố. Căn bậc hai của 64 có thể viết dưới dạng như sau: 64  6  4 . Hỏi có tồn tại hay không
các số có hai chữ số có thể viết căn bậc hai của chúng dưới dạng như trên.
HƯỚNG DẪN
Bài 1. Chứng minh rằng các số sau là số tự nhiên.

18. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com

a) A  3  5. 3  5
b) B  2

10  2 ;





3 1

2 3 .
Hướng dẫn giải – đáp số

 

a) Ta có A  3  5. 3  5 . 2

 



2

5 1 .

5  1  6  2 5.

 

5 1 . 3  5 



 





5 1 . 3  5



5 1 .

5 1 . 3  5



 5  2 5  1 . 3  5  2 3  5 . 3  5  2.  9  5   8 .
Vậy A là số tự nhiên.
b) Ta có B 
B

3 1 . 4  2 3 



3 1 .

 

3 1 .

3 1

2

3 1  3 1  2 .

Vậy B là số tự nhiên.
Bài 2. Rút gọn biểu thức:
a) P 

3 10  20  3 6  12
;
5 3

b) Q 

2 3 6 84
.
2 3 4
Hướng dẫn giải – đáp số

P

10 3  2  6 3  2

a) Ta có: P 

5 3

3  2 . 2 

5 3

5 3

  3  2 

 3

2  2.



2  3  4 1 2
2 3 4

Bài 3. Rút gọn các biểu thức:
a) C 

b) D 

62

5 3

2  3 22 6  8

2 3 4

b) Ta có Q 

10  6

6  3  2  62

6 3 2

2

96 2  6
.
3

19. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com

;

  1

2.

Hướng dẫn giải – đáp số
a) C 

1 

C

C

1 2  3  2 2  2 3  2 6  1 2  3  2 2  2 3  2 6
2
2 3

2

1 

2 3

2

1 2  3  1 2  3

2

2

2 2
 2.
2

b) D 

3. 3  2 2  6
3


3

3. 2  2 2  1  6
3

2

2 1  2 
 3
3

2 1 2
3

  1 .

Bài 4. Cho x  3  2 . Tính giá trị B  x 5  3 x 4  3 x 3  6 x 2  20 x  2018 .
Hướng dẫn giải – đáp số
Từ x  2   3 , bình phương hai vế ta được:

x 2  4 x  4  3  x 2  4 x  1  0 *
Ta có B  x 3  x 2  4 x  1  x 2  x 2  4 x  1  5  x 2  4 x  1  2013
Kết hợp với (*) ta có: B  2013 .
Bài 5. Tính giá trị biểu thức A  x 2  2002 x  2003 với

x

 27  10 2 

27  10 2  27  10 2
13  3 

13  3 :

27  10 2 

27  10 2 

5  2 

5  2 

2

 

2

 5 2 .

 5 2

 

2

 
2

Tử số là: 5  2 . 5  2  5  2 . 5  2

 5  2 .23  5  2 .23  46 2 .
Xét a 

13  3 

13  3; a  0 .

20. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com

27  10 2

13  2

Hướng dẫn giải – đáp số
Ta có:

 a 2  13  3  13  3  2
 a 2  2 13  4  a  2

Do đó x 
2

13  3

13  3

13  2 .

46 2
13  2 :



13  2

 46 .

Vậy giá trị biểu thức A  46 2  2002.46  2003  92205 .
Bài 6. a) Giả sử a và b là hai số dương khác nhau và thỏa mãn:

a  b  1  b2  1  a 2
Chứng minh rằng a 2  b 2  1 .
b) Chứng minh rằng số

20092  20092.20102  20102 là số nguyên dương.
Hướng dẫn giải – đáp số

a) Ta có a  1  a 2  b  1  b 2 .
Bình phương hai vế không âm, ta được:

a 2  2a 1  a 2  1  a 2  b 2  2b 1  b 2  1  b 2  a 1  a 2  b 1  b 2 .
Bình phương hai vế không âm, ta được:
a 2 1  a 2   b 2 1  b 2   a 4  b 4  a 2  b 2  0
  a 2  b 2  a 2  b 2  1  0

Do a, b là hai số dương khác nhau nên a 2  b 2  0
 a 2  b 2  1  0 hay a 2  b 2  1 . Điều phải chứng minh.

b) Đặt a  2009 , ta có:

a 2  a 2  a  1   a  1  a 2  a 4  2a 3  a 2   a  1
2

2

 a 4  2a 2  a  1   a  1 
2

a

2

 a  1

2

2

  a 2  a  1  2009 2  2009  1 là số nguyên dương.

Bài 7. Cho b  0; a  b . Chứng minh đẳng thức:

Hướng dẫn giải – đáp số
Đặt A  a  b  a  b ta có A  0 .
21. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com

a  b  a  b  2 a  a2  b

Xét A2  a  b  2.

 a  b  a  b   a 

 A2  2a  2 a 2  b  A2  2. a  a 2  b

b

Vì A  0 nên A  2 a  a 2  b . Suy ra điều phải chứng minh.
Bài 8. Cho x1  3  5 và x2  3  5 . Hãy tính: A  x1.x2 ; B  x12  x22 ; C  x13  x23 ; D  x15  x25
Hướng dẫn giải – đáp số
Ta có: A  x1.x2  3  5. 3  5  9  5  2 .
Ta có: B  x12  x22  3  5  3  5  6 .
Ta có: C   x1  x2   x12  x1 x2  x22  


C
C

C 

3 5  3 5

  6  2

3  5  3  5 .4

6  2 5  6  2 5 .2. 2

5  1  5  1 .2 2  4 10 .

Xét  x12  x22  x13  x23   x15  x12 x23  x13 x23  x25
 6.4 10  x15  x25  x12 x22  x1  x2 
 24 10  x15  x25  4

3 5  3 5


 24 10  x15  x25 

6  2 5  6  2 5 .2. 2

 24 10  x15  x25 

5  1  5  1 .2 2

 D  x15  x25  20 10 .
Bài 9. Rút gọn biểu thức: A 

7 5  7 5
7  2 11

 3 2 2 .

Hướng dẫn giải – đáp số
Xét B  7  5  7  5
 B2  7  5  2

 7  5  7  5   7 

5

22. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com

 B 2  14  2 49  5  14  4 11
Mà B  0 nên B  14  4 11 .
Từ đó suy ra: A 

14  4 11
7  2 11

2

2 1  A  2 

2 1  1 .

x  1  y y  y  1  x x .Tìm giá trị nhỏ nhất của

Bài 10. Cho x, y là các số thực thỏa mãn:
S  x 2  3 xy  2 y 2  8 y  12 .

Hướng dẫn giải – đáp số
Tập xác định x  1; y  1 .
 Trường hợp 1: Xét x  y  1 suy ra:

P  12  3.1.1  2.12  8.1  12  6 1
 Trường hợp 2: Xét ít nhất x  1 hoặc y  1 . Ta có:

x x  y y  x 1  y 1  0





x 1  y  1
0
x 1  y 1

x  y . x  xy  y 

x  y . x  xy  y 


x y 
x  y .  x  xy  y 
0

x  1  y  1 

x y

x y

x 1  y 1

 0

Mà x  1; y  1 nên x  xy  y 
Suy ra



x y
x 1  y 1

0

x y 0 x y

Ta có: S  x 2  3 x 2  2 x 2  8 x  12
 S  2 x 2  8 x  12  S  2.  x  2   4  0
2

Dấu bằng xảy ra khi x  2 .
Do đó giá trị nhỏ nhất của S là 4 khi x  2  2  .
Từ (1) và (2) vậy giá trị nhỏ nhất của S là 4 khi x  2 .
Bài 11. Rút gọn các biểu thức sau:

P  4  5 3  5 48  10 7  4 3 ;
23. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com

Q

3 1

6  2 2. 3 

2  12  18  128 .

Hướng dẫn giải – đáp số
a) Ta có: P  4  5 3  5 48  10 4  4 3  3

2  3

P  4  5 3  5 48  10

P  4  5 3  5 48  10 2  3

2

P  4  5 3  5 28  10 3
P  4  5 3  5 25  10 3  3

5  3 

P  4 5 3 5

P  4 5 3 5 5 3

2

P  4  5 3  25  5 3  4  25  9  3 .

b) Q 

3 1

6  2 2. 3 

2  12  16  8 2  2

Q

3 1

6  2 2. 3 

2  12 

Q

3 1

6  2 2. 3 

2 2 34 2

Q

3 1

6  2 2 3  3  2 3 1

Q

3 1

6  2 2 3  3 1 

Q

3 1

62 42 3 

Q

3 1

42 3 



3 1

4  2 

2

3 1

62 2 2 3

3 1

62

3 1  2 .

Bài 12. Rút gọn biểu thức:

24. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com

3 1

a) A 

6  2 5  13  48

b) T 

3 1

2 3  3  13  48
6 2

Hướng dẫn giải – đáp số
a) Ta có: A 

A

A

A

A

b) Ta có T 

6  2 5  12  4 3  1
3 1

2

6 2 5

3 1

2

3 1

6  2 3  2 3 1

3 1

62



3 1

3 1

3 1

62

6  2 5  2 3 1
3 1

3 1

3 1

3  2 3 1
3 1

2

3 1

3 1
 1.
3 1

2 3  3  13  4 3
6 2

2

2 3 3

2. 2  3

3 1

3 1

2

6 2

3 1
2 3  3  2 3 1 2 3 
T

6 2
6 2
T

2

2

2 3  3 1
2

42 3
3 1

 1.
3 1
3 1

Bài 13. Rút gọn biểu thức: A 

2 10  30  2 2  6
2
:
.
2 10  2 2
3 1
Hướng dẫn giải – đáp số

Ta có: A 


2

10 2  3  2 2  3
2

10 

.

3 1
2

25. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com

3 1

A

2

10  2

.

3 1
2

2  3 3 1
4  2 3 3 1
.

.
2
2
4
2

A

A



10  2 . 2  3

3 1

2

4

.

3 1
3 1 3 1 3 1 1

.

 .
2
2
2
4
2

Bài 14. Biết x  2  2  3  6  3 2  3 .Tính giá trị biểu thức: S  x 4  16 x 2 .
Hướng dẫn giải – đáp số
Xét x 2  2  2  3  6  3 2  3  2

 x2  8  2 2  3  2 3 4  2  3

2 



2 3 63 2 3

 x2  8  2 2  3  2 6  3 3

 8  x2  2

2 3  63 3 .

Bình phương hai vế ta được:

64  16 x 2  x 4  4  2  3  6  3 3  2

 2  3  6  3 3  

 64  16 x 2  x 4  32
 x 4  16 x 2  32 .

Bài 15. Cho x  2019 

 x  2019 

2

 2020

  y  2019 

 y  2019 

2

A x y.

Hướng dẫn giải – đáp số
Đặt x  2019  a; y  2019  b .



Đẳng thức đã cho có dạng: a  a 2  2020 . b  b 2  2020  2020 *
Nhân hai vế của đẳng thức (*) với

a

2

 

 2020  a 2  b  b 2  2020 

a 2  2020  a , ta được:

a 2  2020  a .2020

 b  b 2  2020  a 2  2020  a 1
26. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com

 2020  2020 .Tính giá trị của

Nhân hai vế của đẳng thức (*) với

a 

b 2  2020  b , ta được:

a 2  2020  b 2  2020  b 2   2020.

b 2  2020  b

 a  a 2  2020  b 2  2020  b  2 
Từ (1) và (2) cộng vế với vế và rút gọn ta được:
a  b  0  x  2019  y  2019  0

Vậy A  x  y  4038 .
Bài 16. Rút gọn biểu thức: A 

x2  5x  6  x 9  x2
3x  x   x  2  9  x
2

2

: 2 1

2x
3 x

Hướng dẫn giải – đáp số
Ta có: A 

 x  2  x  3  x  3  x  3  x 
:2
x  3  x    x  2   3  x  3  x 

3  x  2x
3 x

Điều kiện xác định 3  x  3 ,
A


3 x x

A

x 3 1 3 x 1
.
 .
3 x 2 3 x 2

 :2
x  3

x  3  x  2 x  3  x 3  x
3  x   x  2

3 x
3 x

Bài 17. Cho biểu thức P   a 2013  8a 2012  11a 2011    b 2013  8b 2012  11b 2011  . Tính giá trị biểu thức của P
với a  4  5 và b  4  5 .
Hướng dẫn giải – đáp số
Xét a  4  5 bình phương hai vế ta được:
a 2  8a  16  5  a 2  8a  11  0

Xét b  4   5 bình phương hai vế ta được:
b 2  8b  16  5  b 2  8b  11  0 .

P  a 2011  a 2  8a  11  b 2011  b 2  8b  11

 P 0.
Bài 18. Cho

3
3
 x  ; x  0 và
2
2

3  2x  3  2x  a .

27. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com

Tính giá trị của biểu thức P 

6  2 9  4x 2
theo a.
x
Hướng dẫn giải – đáp số

3  2x  2

Ta có: P 

P
P

 3  2 x  3  2 x   3  2 x
x

3  2x  3  2x

2

x

3  2x   3  2x 

x

3  2x  3  2x

 x

3  2x  3  2x
x
4x
3  2x  3  2x

4
.
a

Bài 19. Tính giá trị của biểu thức: A  2 x 3  3 x 2  4 x  2 Với

x  2

5 5
5 5
 2
 3  5 1.
2
2
Hướng dẫn giải – đáp số

Đặt a  2 

5 5
5 5
 2
,a  0 .
2
2

Xét a 2  4  2 4 

5 5
 4 62 5  4
2

5 1

2

 3 5

 a  3 5

 x  3  5  3  5 1 

62 5
62 5

1
2
2

5 1
5 1

1  2 1
2
2

x  2  1  x  1  2   x  1  2  x 2  2 x  1  0 .
2

Ta có: A  2 x 3  3 x 2  4 x  2
A  2 x  x 2  2 x  1   x 2  2 x  1  1  1 .

Bài 20. Đố. Căn bậc hai của 64 có thể viết dưới dạng như sau: 64  6  4 . Hỏi có tồn tại hay không
các số có hai chữ số có thể viết căn bậc hai của chúng dưới dạng như trên.
Hướng dẫn giải – đáp số
Đặt số đó là ab . Theo đầu bài, ta có:

28. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com

ab  a  b  ab  a 2  2a b  b
 10a  a 2  2a b  a  2 b  10
 a chẵn. Đặt a  2 K  K     2 K  2 b  10  K  b  5 .
Do b  9 nên b  0;1; 4;9 .
 Nếu b  0  K  5  a  10 (loại)
 Nếu b  1  K  4  a  8  Số đó là 81
 Nếu b  4  K  3  a  6  Số đó là 64 (đã cho)
 Nếu b  9  K  2  a  4  Số đó là 49.

II.TRẮC NGHIỆM RÈN PHẢN XẠ CÁC DẠNG
Câu 1. Cho a là số không âm b , c là số dương. Khẳng định nào sau đây là
đúng?
a
a
.
=
b
b

A.

B.

ab
c

=

ab
.
c

C.

a
bc

=

ab
c

.

D. Cả A, B đều đúng.

Câu 2. Cho a, b là hai số không âm. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. ab = a b .

B. a b = b a .

C. a . b = ab .

D. ab =

Câu 3. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.

2018 + 2019 = 2018 + 2019 .

B.

C.

2018. 2019 = 2018.2019 .

D. 2018.2019 =

Câu 4. Kết quả của phép tính
A. 32 .

A. 36 .

C. 64 .

2019
2019
2018

.

.

D. 8 .

2, 5. 14, 4 là?

B. 6 .

Câu 6. Kết quả của phép tính

2018

1, 25. 51, 2 là?

B. 16 .

Câu 5. Kết quả của phép tính

2018.2019 =

C. 18 .
81
là?
169

29. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com

D. 9 .

a
b

.

A.

9
.
13

B.

9
.
169

Câu 7. Kết quả của phép tính
A.

1,1
.
240

B.

25
.
27

D.

13
.
9

C.

11
.
240

D.

240
.
11

625
-729

25
.
27

B. –

Câu 9. Kết quả của phép tính
A. 9 .

3
.
13

1,21
là?
576

11
.
24

Câu 8. Kết quả phép tính:
A.

C.

5
C. – .
7

D. Không tồn tại.

C. -3 .

D. Không tồn tại.

-999
là?
111

B. -9 .

Câu 10. Phép tính 122.(-11)2 có kết quả là?
A. -33 .

B. -132 .

A. a (2a – 1) .

B. (1 – 2a )a 2 .

C. 132 .
1
Câu 11. Rút gọn biểu thức a 4 .(2a – 1)2 với a ³ ta được
2
C. (2a – 1)a 2 .

Câu 12. Rút gọn biểu thức a 2 .(2a – 3)2 với 0 £ a < A. a (2a – 3) . B. (3 – 2a )a 2 . A. 29 . D. (3 – 2a )a . C. 0, 9(x – 3) . D. 0,1(x – 3) . x – 2. x + 2 khi x = 29 là B. 5 . Câu 15. Rút gọn biểu thức D = A. a + b . 3 ta được 2 C. (2a – 3)a 2 . B. 0, 3(3 – x ) . Câu 14. Giá trị biểu thức D. (1 – 2a )a . 0, 9.0,1.(3 – x )2 với x > 3

Câu 13. Rút gọn biểu thức
A. 0, 3(x – 3) .

D. Không tồn tại.

C. 10 .
2(a + b)
b

B. 2 .

Câu 16. Rút gọn biểu thức E =

b
với a, b > 0 ta được
a + 2ab + b 2
2

C.

a -b
2 a

D. 25 .

b
.
2

D. 2 b .

ab
với 0 < a < b ta được (a – b)2 30. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com A. a . 2 b . 2 B. a2 . b B. a . b 1 b 5 . B. C. a2 . b 1 . b5 D. m . n a2 b D. – C. b 5 . 9 ab 8 4 D. . m . n x 3 + 2x 2 x +2 B. -x . 11 . b5 với ab ¹ 0 ta được. C. 6 . B. 12 . Câu 21. Rút gọn biểu thức A. x . a2 . b a 2 121 . với ab ¹ 0 ta được: 11 a 4b10 Câu 20. Rút gọn biểu thức 4a 4b 2 . A. D. a b . 64n 2 với m > 0; n < 0 ta được: 9m 2 B. 1 . Câu 19. Rút gọn biểu thức A. C. – 3m 8n Câu 18. Rút gọn biểu thức A. -1 . – b . 2 a4 với b ¹ 0 ta được b2 Câu 17. Rút gọn biểu thức A. C. D. 36 . với x > 0 ta được
C.

é x =0
ê
Câu 22. Rút gọn biểu thức  ê

ê2 x – 1 = 0
ë

x.

D.

éx = 0
ê
ê
ê x =1
êë
2

x +2.

9x 5 + 33x 4
3x + 11

với x > 0 ta được:
A.

x2 .

B. x 4 .

Câu 23. Với x > 0 cho biểu thức A =

C. 3x 2 .

2x 2 + 12x
x +6

D.

3x + 11 .

và B = 2x . Có bao nhiêu

giá trị của x để A = B .
A. 1 .

B. 2 .

C. 0 .

31. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com

D. Vô số.

Câu 24. Với x > 5 cho biểu thức A =

x 2 – 5x

Và B = x .

x -5

Có bao nhiêu giá trị của x để A = B .
A. 1 .

C. 0 .

B. 2 .

D. Vô số.

Câu 25. Với x , y ³ 0; 3x ¹ y , rút gọn biểu thức B =

A.

3x
3x – y

.

B.

1
3 x- y

.

3x

C.

Câu 26. Với x , y ³ 0; x ¹ y, rút gọn biểu thức
x
x- y

.

B.

y
x- y

Câu 27. Giá trị của biểu thức
A. 7 .

.

.

3x + y

A=

A.

3x – 3xy
ta được:
3x – y

C.

D.

3 x

.

3 x + y

x – xy
x – y ta được
1

.

x- y

D.

x
x + y

.

252 – 700 + 1008 – 448 là:
C. 4 7 .

B. 0 .

Câu 28. Với a ³ 0, b ³ 0, a ¹ b, rút gọn biểu thức

D. 5 7 .

a -b
a- b

a3 + b3
ta
a -b

được.
A.

ab
a- b

.

B.

ab – 2b
a- b

.

C.

2b
a- b

.

D.

ab – 2a
a- b

.

Câu 29. Khẳng định nào sau đây đúng về nghiệm x 0 của phương trình

9x – 7
7x + 5

= 7x + 5 .

A. x 0 < 5 . B. x 0 > 8 .

Câu 30. Nghiệm của phương trình
A. x = -9 .

B. x = 5 .

C. x 0 > 9 .
4x – 20 + x – 5 –

D. 5 < x 0 < 7 . 1 9x – 45 = 4 là 3 C. x = 8 . HƯỚNG DẪN Câu 1. Đáp án D. 32. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com D. x = 9 . a a = b b Với số a không âm và số b dương , ta có ab c Từ đó suy ra Câu 2. Đáp án C. = ab c với c > 0

Với hai số a, b không âm, ta có ab = a . b
Câu 3. Đáp án C.
Ta có

2018. 2019 = 2018.2019

Câu 4. Đáp án D.

1,25. 51,2 = 1,25.51,2 = 64 = 82 = 8 .
Câu 5. Đáp án B.

2, 5. 14, 4 = 2, 5.14, 4 = 36 = 62 = 6 .
Câu 6. Đáp án A.
81
81
92
9
.
=
=
=
169
13
169
132

Câu 7. Đáp án C.

1,21
1,12
1,21
1,1
11
=
=
=
=
.
2
576
24
240
576
24
Câu 8. Đáp án D.
-729 < 0;625 > 0 


Câu 9. Đáp án D.

Vì -999 < 0;111 > 0 

625
<0 -729 nên không tồn tại căn bậc hai của số âm. -999 < 0 nên không tồn tại căn bậc hai của số âm 111 Câu 10. Đáp án C. 122.(-11)2 = 122 . (-11)2 =| 12 | . | -11 |= 12.11 = 132 . Câu 11. Đáp án C. a 4 .(2a – 1)2 = a 4 . (2a – 1)2 = (vì a ³ (a ) . 2 2 (2a – 1)2 =∣a 2 ∣. | 2a – 1 |= a 2 .(2a – 1) 1  2a – 1 ³ 0  2a – 1 = 2a – 1 ) 2 33. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com Câu 12. Đáp án D. a 2 .(2a – 3)2 = a 2 . (2a – 3)2 =| a | . | 2a – 3 |= a.(3 – 2a ) (vì 0 £ a < 3  2a – 3 £ 0  2a – 3 = 3 – 2a ) 2 Câu 13. Đáp án A. Ta có 0, 9.0,1.(3 – x )2 = 0, 09.(3 – x )2 = 0, 09. (3 – x )2 = 0, 3. | 3 – x | Mà x > 3  3 – x < 0 | 3 – x |= x – 3 0, 9.0,1.(3 – x )2 = 0, 3.(x – 3) . Nên Câu 14. Đáp án B. Ta có x – 2. x + 2 = x 2 – 4 với x ³ 2 Thay x = 29 (TMĐK) Vào biểu thức ta được Câu 15. Đáp án B. 2(a + b ) D= = b 2 = 25 = 5 . b 2(a + b) b 2(a + b) b = . = . 2 a + 2ab + b b b a 2 + 2ab + b 2 (a + b)2 2 b 2(a + b) ( 29 ) – 4 x2 – 4 = . b 2(a + b) b = . =2 |a +b | a +b b (vì a, b > 0  a + b > 0  a + b = a + b )
Câu 16. Đáp án C.

E=

a -b
2 a

ab
a -b
ab
a -b a. b
(a – b) b
=
=
=
.
.
2
2
2 | a -b |
(a – b)
2 a
2 a | a -b |
(a – b)

Mà 0 < a < b nên a – b < 0 | a – b |= -(a – b ) . Khi đó E= (a – b) b – b = -2(a – b) 2 Câu 17. Đáp án D 4 Ta có 4 a a = = 2 b b2 (a ) 2 b2 2 = a2 b = a2 b Câu 18. Đáp án A. 34. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com Ta có: 64n 2 3m (8n )2 3m | 8n | 3m.(-8n ) = = = = -1 . 2 2 8n (3m ) 8n | 3m | 8n.3m 9m 3m 8n (vì m > 0; n < 0) . Câu 19. Đáp án A. a2 121 a2 . = . 11 a 4 . b 10 11 112 (a ) . (b ) 2 2 2 5 a 2 11 1 . 2 5 = 5 11 a . b b = Câu 20. Đáp án B. 4a 4b 2 . 9 9 3 = 4a 4b 2 . = 4a 4b 2 . = 8 4 ab a 8b 4 a 8 . b4 12a 4b 2 (a ) . (b ) 4 2 2 2 12a 4b 2 = 12 a 4 .b 2 = Câu 21. Đáp án A. Ta có x 3 + 2x 2 x +2 x 2 (x + 2) = x +2 = x2. x + 2 x +2 = x 2 = x mà x > 0 nên x = x

x 3 + 2x 2

=x.
x +2
Câu 22. Đáp án C.

Từ đó

Ta có

9x 5 + 33x 4

=

3x + 11

3x 4 (3x + 11)
3x + 11

=

3. x 4 . 3x + 11
3x + 11

( )

= 3. x 2

2

= 3. x 2 = 3x 2

Câu 23. Đáp án A.

A=

2x 2 + 12x
x +6

=

x (x + 6)
x +6

=

x x +6
x +6

= x

é x =0
ê
A
=
B

x
=
2
x

2
x
x
=
0

x
2
x
1
=
0
ê

Để
ê2 x – 1 = 0
ë

(

éx = 0(L)
ê
ê
êx = 1 (N )
êë
4
Câu 24. Đáp án C.
A=

x 2 – 5x
x -5

=

x (x – 5)
x -5

=

x x -5
x -5

= x

Để A = B
35. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com

)

éx = 0
ê
ê
ê x =1
êë
2

 x =x x- x =0 x

é x =0
ê
x -1 = 0  ê

ê x -1 = 0
ë

(

éx = 0
ê

ê
êë x = 1

)

éx = 0
ê
êx = 1 (loại vì x > 5 )
êë

Vậy không có giá trị nào của x thỏa mãn điều kiện đề bài.
Câu 25. Đáp án C.

( 3x ) – 3x . y =
3x – 3xy
=
B=
3x – y
( 3x ) – ( y ) (
2

2

2

x ) – x. y
(
x – xy
=
=
A=
x -y
x
y
( ) ( ) (
2

2

2

x

3x

(

3x – y

3x – y

(

x- y

)(

x- y

)(

)

3x + y

)

x + y

3x + y

x

=

)

)

3x

=

x + y

Câu 26. Đáp án D.

.

Câu 27. Đáp án B.

252 – 700 + 1008 – 448 = 36.7 – 100.7 + 144.7 – 64.7
= 6 7 – 10 7 + 12 7 – 8 7 = 7(6 – 10 + 12 – 8) = 0
Câu 28. Đáp án B.
Ta có

a -b
a- b

a -b
a- b

=

a -b
a- b

(

a 3 + b3
a -b

é
a+ b ê a
ê
ë

2

2

2

ù

) ( ) – a . b + ( b ) úúû
( a) -( b)

a – ab + b
a- b

=

2

=

a – b – a + ab – b
a- b

a -b
a- b

=

(

(

a-

ab – 2b
a- b

Câu 29. Đáp án D.
Điều kiện 7x + 5 > 0  x > Với điều kiện trên ta có

5
7

9x – 7
7x + 5

= 7x + 5  9x – 7 =

 9x – 7 = 7x + 5  2x = 12  x = 6 (TM)
Vậy nghiệm của phương trình là x 0 = 6  5 < x 0 < 7 . Câu 30. Đáp án D. 36. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com ( )( b )( a + b a – ab + b 7x + 5 ) 2 a+ b ) ) ìï4x – 20 ³ 0 ìïx – 5 ³ 0 ïï ïï ï Điều kiện íx – 5 ³ 0  ï í4(x – 5) ³ 0  x – 5 ³ 0  x ³ 5 ïï ïï ïï9x – 45 ³ 0 ïï9(x – 5) ³ 0 î î Với điều kiện trên ta có 4x – 20 + x – 5 – 1 1 9(x – 5) = 4 9x – 45 = 4.  4(x – 5) + x – 5 3 3 1 1  4. x – 5 + x – 5 – . 9. x – 5 = 4  2 x – 5 + x – 5 – .3. x – 5 3 3 = 4  2 x -5 = 4  x -5 = 2  x – 5 = 22  x – 5 = 4  x = 9(TM ) Vậy nghiệm của phương trình là x = 9 . ————————- Toán Học Sơ Đồ ————————- 37. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com

guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments

Bài viết tương tự

Scroll to Top