Chuyên đề hình thang

HÌNH THANG
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
* Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song.
Hình thang ABCD (AB // CD):
AB: đáy nhỏ
CD: đáy lớn
AD, BC: cạnh bên.
* Nhận xét:
– Nếu một hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh bên bằng nhau.
– Nếu một hình thang có hai cạnh đáy bằng nhau thì hai cạnh bên song song và bằng nhau.
Hình thang ABCD (AB // CD):
AD//BC  AD = BC; AB = CD
AB = CD  AD // BC; AD = BC.

* Hình thang vuông là hình thang có một góc vuông.

II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
A.CÁC DẠNG BÀI MINH HỌA
Dạng 1. Tính số đo góc
Phương pháp giải: Sử dụng tính chất hai đường thẳng song song và tổng bốn góc của một tứ giác.
Kết hợp các kiến thức đã học và tính chất dãy tỉ số bằng nhau, toán tổng hiệu … để tính ra số đo các
góc.
1. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ – THCS.TOANMATH.com

  600.
Bài 1. Cho hình thang ABCD (AB//CD) có D
a) Tính chất
b) Biết

 4
B
 và C
.
 . Tính B

5
D

  200 , B
  2C
 . Tính các góc của hình thang.
Bài 2. Cho hình thang ABCD (AB//CD) có 
A D
Dạng 2. Chứng minh hình thang, hình thang vuông
Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa hình thang, hình thang vuông.

 . Chứng minh rằng ABCD là hình thang
Bài 3. Tứ giác ABCD có BC = CD và DB là tia phân giác D
và chỉ rõ cạnh đáy và cạnh bên của hình thang.
Bài 4. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Vẽ về phái ngoài tam giác ACD vuông cân tại D. Tứ
giácABCD là hình gì ? Vì sao?
Dạng 3. Chứng minh mối liên hệ giữa các cạnh, tính diện tích của hình thang, hình thang vuông

 và C
 cắt nhau ở I. Qua
Bài 5. Cho hình thang ABCD (AB//CD, AB < CD) hai tia phân giác của B I kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB, CD lần lượt ở E và F. a) Tìm các hình thang. b) Chứng minh rằng tam giác BEI cân ở E và tam giác IFC cân ở F. c) Chứng minh EF = BE + CF.   900 , AB = AD = 2 cm, DC = 4 cm và BH vuông Bài 6. Cho hình thang vuông ABCD có A  D góc với CD tại H. a) Chứng minh ∆ABD = ∆HDB. b) Chứng minh tam giác BHC vuông cân tại H. c) Tính diện tích hình thang ABCD. HƯỚNG DẪN Bài 1. 2. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ – THCS.TOANMATH.com a) HS tự làm> Tìm được  = 1200

  480 và C
  1320
b) HS tự làm. Tìm được B
, C
 là các cặp góc trong cùng phía. 
  800 , B
  1200 ,
Bài 2. Chú ý 
A, 
D và B
A  1000 , D
  600
C
Bài 3. Chú ý tam giác CBD cân tại C. Khi đó cùng với DB là phân giác góc S ta chứng minh được


.
ADB  CBD
Bài 4.HS tự chứng minh tứ giác ABCD là hình thang vuông.
Bài 5.
a) HS tự tìm
b) Sử dụng các cặp góc so le trong của hai đường thẳng song song và tính chất tia phân giác.
c) Suy ra từ b)

Bài 6. HS tự chứng minh.
B.PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN
Bài 1. Cho ABC . Trên tia AC lấy điểm D sao cho AD  AB . Trên tia AB lấy điểm E sao cho

AE  AC . Chứng minh tứ giác BECD là hình thang
Bài 2. Cho ABC vuông cân tại A . Ở phía ngoài ABC vẽ BCD vuông cân tại B . Chứng minh
tứ giác ABDC là hình thang.

D  2x  9,A  8x  9 và góc ngoài tại đỉnh A là 
Bài 3. Cho tứ giác ABCD có 
A1  3x  9 .
a) Tứ giác ABCD là hình gì? Vì sao?
b) Phân giác của B và C cắt nhau ở I . Cho biết B  C  320 . Tính các góc của BIC .
3. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ – THCS.TOANMATH.com

Bài 4. Cho hình thang ABCD có đáy AB và CD , biết AB  4cm , CD  8cm , BC  5cm ,

AD  3cm . Chứng minh: ABCD là hình thang vuông.
Bài 5. Cho hình thang ABCD  AB  CD  . Biết AB  CD, AD  BC . Chứng minh :
a) AD  BC  CD  AB .
b) BC  AD  CD  AB .
Bài 6. Cho hình thang ABCD  AB  CD  có M là trung điểm của BC và 
AMD  90 . Chứng
minh: DM là phân giác của 
ADC .
Bài 7. Cho hình thang ABCD  AB  CD 
a) Phân giác của A và D cắt nhau tại điểm I trên cạnh BC . Chứng minh: AD  AB  CD .
b) Cho AD  AB  CD . Chứng minh: phân giác của A và D cắt nhau tại điểm I trên cạnh BC .
HƯỚNG DẪN
Bài 1.
AB  AD  ABD cân tại A

ABD 


180 
BAC
2

A

 1

AE  AC  AEC cân tại A
ACE  
AEC 


180 
BAC
2

D

2

B

Từ  1 ,  2   
AEC  
ABD
 BD  EC
 BDCE là hình thang

Bài 2.

4. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ – THCS.TOANMATH.com

E

C


BAC  90
ABC vuông cân tại A  
ABC  45


C

D

BCD vuông cân tại B  
BCD  45
 
ABC  
BCD   45 
 AB  CD
A

 ABDC là hình thang

B

Mà 
BAC  90
 ABDC là hình thang vuông

Bài 3.
a) Ta có A  
A1  180

A

 8x  9  3x  9  180

1

 x  18


D  45

 A  135

 A1  45

I

D

D 
A1
 
 AB  CD
 ABCD là hình thang

b) ABCD là hình thang
C  180
 B  
mà B  
C  32
C  32  C  180
 
C  74
 
 B  106 


ABC
ABI  
IBC 
ABC  
ABI  
IBC  53
BI là tia phân giác của 

2

5. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ – THCS.TOANMATH.com

B

C


DCB
DCI  
ICB 
CI là tia phân giác của 
DCB  
DCI  
ICB  37

2





BIC  180 0  
IBC  
ICB  180  530  37 0  90
Xét BIC có: 
BIC  
IBC  
ICB  180  





Bài 4.
Qua B , kẻ BE  AD

 E  DC 

A

B

4cm

Hình thang ABCD có đáy AB và

CD
 AB  CD

5cm

3cm

 AB  DE
 ABED là hình thang

D

Mà BE  AD

E
8cm

C

 AD  BE , AB  DE (theo tính

chất hình thang có hai cạnh bên song
song)
Mà AD  3cm , AB  4cm
 BE  3cm , DE  4cm

Có DC  DE  EC , DC  8cm , DE  4cm
 EC  4cm

Có

BE 2  CE 2  3 2  4 2  25 
2
2
2
  BC  BE  CE  BEC vuông tại E (theo định lý Pytago
2
2
BC  5  25


đảo)
BEC  90

Mà 
ADC  
BEC  BE  AD 
ADC  90

Mà ABCD là hình thang
 ABCD là hình thang vuông

Bài 5:
6. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ – THCS.TOANMATH.com

Qua B kẻ BE  AD

 E  DC 

B

A

Hình thang ABCD có đáy AB và CD
 AB  CD
 AB  DE
 ABED là hình thang

E

D

Mà BE  AD

C

 AD  BE , AB  DE (theo tính chất hình

thang có hai cạnh bên song song)
Có DC  DE  EC  DC  DE  EC  DC  AB  EC  DE  AB  (1)
a) Xét BEC có BE  BC  EC (bất đẳng thức tam giác)  AD  BC  EC  BE  AD  (2)
Từ (1) và (2)  AD  BC  DC  AB
b) Xét BEC có BC  BE  EC (bất đẳng thức tam giác)  BC  AD  EC  BE  AD  (3)
Từ (1) và (3)  BC  AD  DC  AB
Bài 6. Gọi E là giao điểm của AB và DM
Có AB  CD

A


AEM  
MDC

B
E

 

EBM  
DCM


Xét BEM và CDM có:


BME  
CMD (2 góc đối đỉnh)

M

BM  CM (M là trung điểm BC )


EBM  
DCM (so le trong)
 BEM  DCM  g.c.g 

C

D

 EM  MD
 M là trung điểm của ED

Xét AED có:



AMD  90
AM là đường cao AM  DE do 



AM là đường trung tuyến ( M là trung điểm của ED )
7. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ – THCS.TOANMATH.com

 AED cân tại A

AED  
ADM
 

Mà 
AEM  
MDC



ADM  
CDM  
AEM




ADC .
 DM là phân giác của 

A

Bài 7.

E

a) Trên cạnh AD lấy điểm E sao cho 
AIE  
AIB

BAI  
DAI 
AI là tia phân giác của 
BAD  


BAD
2

B

I

(1)


ADC
ADI  
CDI 
ADC  
(2)
DI là tia phân giác của 
2
mà 
BAD  
ADC  180

 AB 

CD  (3)


BAD 
ADC
DAI  
ADI 

 90
Từ (1), (2) và (3)  
2
2
Mà AID : 
DAI  
AID  
AID  180
AID  90
 
Mà 
BIA  
AID  
DIC  180
BIA  
DIC  90
 





AIE  
EID  90 
AID  90 và 
Mà 
AIE  
AIB
DIE  
DIC
 
Xét AIE và AIB có:


EAI  
BAI
AI chung


AIE  
AIB
8. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ – THCS.TOANMATH.com

D

C

 AEI  BAI  g.c.g 
 AE  BD (4)

Chứng minh tương tự có DEI  DCI  g.c.g   DE  DC (5)
Mà AD  AE  DE (6)
Từ (4), (5) và (6)  AD  AB  DC
b) Gọi I là trung điểm của BC  BI  CI

A

Gọi H là giao điểm của DI và AB

B
H

Xét BIH và CID có:


BIH  
CID (2 góc đối đỉnh)
I

BI  CI


IBH  
ICD  AB  CD 
 BIH  CID  g .c.g 
 BH  CD

D

 AB  BH  AB  CD
 AH  AD
 AHD cân tại A

ADI  
AHD Mà 
 
AHD  
IDC  AB  CD 

ADI  
IDC
 
ADC
 DI là tia phân giác của 
Có ID  IC  BIH  CID 
 I là trung điểm của DH
 AI là đường trung tuyến của ADH

Mà AHD cân tại A
DAB .
 AI là tia phân giác của 

========== TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ==========

9. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ – THCS.TOANMATH.com

C