Chuyên đề hình thang cân

HÌNH THANG CÂN
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Khái niệm
Hình thang cân là hình thang có

A

B

hai góc kề một đáy bằng nhau.
2. Tính chất
– Trong hình thang cân, hai cạnh bên
bằng nhau.
– Trong hình thang cân, hai đuờng chéo
bằng nhau.
3. Dấu hiệu nhận biết
– Hình thang có hai góc kề một cạnh đáy bằng nhau là hình thang cân.
– Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.
Chú ý: Hình thang có hai cạnh bên bằng nhau không phải luôn là hình thang cân.
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
A.CÁC DẠNG BÀI MINH HỌA
Dạng 1. Tính số đo góc, độ dài cạnh và diện tích hình thang cân
Phương pháp giải: Sử dụng tính chất hình thang cân về cạnh góc, đường chéo và công thức
tính diện tích hình thang để tính toán.

 . Tính các góc của hình thang cân.
1. Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) có A  2C
 . Tính các góc của hình thang cân.
2. Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) có 
A  3D
3. Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) có AH và BK là hai đường cao của hình thang.

1. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ – THCS.TOANMATH.com

a) Chứng minh DH =

CD  AB
.
2

b) Biết AB = 6 cm, CD = 14 cm, AD = 5 cm, tính DH, AH và diện tích hình thang cân ABCD.

  600 , AB = 4,5cm; AD = BC = 2 cm. Tính độ
4. Cho hình thang cân ABCD (AB//CD) có A  B
dài đáy CD và diện tích hình thang cân ABCD.
Dạng 2. Chứng minh hình thang cân
Phương pháp giải: Sử dụng dấu hiệu nhận biết hình thang cân.
5. Cho tam giác ABC cân tại A có BD và CE là hai đường trung tuyến của tam giác. Chứng
minh BCDE là hình thang cân.
6. Cho tam giác ABC cân tại A có BH và CK là hai đường cao của tam giác. Chứng minh
BCHK là hình thang cân.
Dạng 3. Chứng minh các cạnh bằng nhau, các góc bằng nhau trong hình thang cân
7. Cho hình thang cân ABCD (AB // CD, AB < CD ). Gọi O là giao điểm của AD và BC; Gọi E là giao điểm của AC và BD. Chứng minh: a) Tam giác AOB cân tại O; b) Các tam giác ABD và BAC bằng nhau; c) EC = ED; d) OE là trung trực chung của AB và CD. 8. Cho tam giác ABC cân tại A và điểm M tùy ý nằm trong tam giác. Kẻ tia Mx song song    900  A . vói BC cắt AB ở D, tia My song song với AC cắt BC ỏ E. Chứng minh DME 2 HƯỚNG DẪN 1.   2D    1800 và  Ta có A  D A  2C 2. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ – THCS.TOANMATH.com D   600 , A  B   1200 Suy ra C D   450 ,    1350 2. Tương tự bài 1. Ta có: C AB 3. a) Chứng minh ADH = BCK (ch-gnh)  DH = CK Vận dụng nhận xét hình thang ABKH (AB//KH) có AH//BK  AB = HK b) Vậy DH  CD  AB 2 c) DH = 4cm, AH = 3cm; SABCD = 30cm2 4. Hạ CH và DK vuông góc với AB Ta có: AK  BH  1 AD  1cm 2 Từ đó: CD = 2,5cm CH  3cm S ABCD   AB  CD  .CD  7 2 3 2 cm 2 5. Sử dụng tính chất đường trung bình, ta chứng minh được DE//BC. 6. Chứng minh BKC = CHB (ch-gnh) Suy ra CK = BH & AK = AH. 3. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ – THCS.TOANMATH.com  1800  KAH  Từ đó AKH   ABC hay KH / / BC. 2   OBA  7. a) OAB suy ra OAB cân tại O. b) HS tự chứng minh.  , suy ra EDC   ECD  hay c)  ADB  BCA ECD cân tại E. d) ta có: OA = OB, EA = EB, suy ra OE là đường trung trực của đoạn AB. Tương tự có OE cũng là đường trung trực của đoạn CD. Vậy OE là đường trung trực chung của AB và CD.   MEB   1800 8. Do MD / / BC  DME   1800  MEB  Suy ra DME  A  1800   ACB  90 0  2 B.PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN PHIẾU SỐ 1 PHIẾU BÀI TẬP HÌNH THANG CÂN – SỐ 2 Câu 1: Trong các hình vẽ sau, hình nào là hình thang cân. Giải thích. R A D B AB //CD C H U G E EF//GH F I L J I J//KL 4. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ – THCS.TOANMATH.com K M N Q P 58° S 122° T Câu 2: Cho hình thang cân ABCD  AB //CD  có A  1100 . Tính các góc còn lại của hinh thang ABCD . Câu 3: Cho tam giác ABC cân tại A . Đường thẳng song song với BC cắt hai cạnh AB; AC lần lượt tại M ; N . Chứng minh BCNM là hình thang cân. Câu 4: Cho hình thang cân ABCD  AB //CD  có các đường cao AE ; BF . Chứng minh DE  CF . Câu 5: Cho hình thang cân ABCD  AB //CD  có hai đường chéo cắt nhau tại O . Chứng minh OA  OB; OC  OD . Câu 6: Cho tam giác ABC cân tại A . Trên tia đối của tia AB lấy điểm D ; trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AD  AE . Tứ giác BCDE là hình gì? Vì sao?   700 . Chứng minh rằng: Câu 7: Tứ giác ABCD có AB  BC  AD ;  A  1100 ; C a) DB là tia phân giác góc D. b) ABCD là hình thang cân. Câu 8: Tính chiều cao của hình thang cân ABCD biết rằng cạnh bên BC  25cm ; các cạnh đáy AB  10cm và CD  24cm . Câu 9: Cho tam giác đều ABC , điểm M nằm trong tam giác đó. Qua M , kẻ các đường thẳng song song với AC cắt BC ở D , kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC ở E , kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB ở F . Chứng minh rằng:   EMF   DMF  a) DME b) Trong ba đoạn MA; MB; MC đoạn lớn nhất nhỏ hơn tổng hai đoạn kia. Câu 10: Chứng minh rằng trong một hình thang cân, đường chéo luôn lớn hơn đường trung bình. HƯỚNG DẪN Câu 1: 5. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ – THCS.TOANMATH.com a) Xét tứ giác ABCD có AB //CD và AC  BD nên là hình thang cân(hình thang có hai đường chéo bằng nhau).  G  nên là hình thang cân(hình thang có hai góc kề đáy b) Tứ giác EFGH có EF //GH và H bằng nhau là hình thang cân) c) Tứ giác I JKL là hình thang có hai cạnh bên bằng nhau nên chưa thể khẳng định là hình thang cân. P   900 nên là hình thang d) Tứ giác MNPQ có MN //PQ (cùng vuông góc với MQ ) và Q cân.   S nên là hình thang e) Tứ giác RSTU có RS //UT (hai góc trong cùng phía bù nhau) và R cân. Câu 2: A B D C  Ta có ABCD là hình thang cân nên B A  1100 (hai góc kề đáy)   1800 (hai góc trong cùng phía) nên D   700 Mà AB //CD nên A  D D   700 C Câu 3: A M B 6. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ – THCS.TOANMATH.com N C  C  (tam giác ABC cân tại A ) nên Ta có MN //BC (gt) nên BCNM là hình thang. Mà B BCNM là hình thang cân. Câu 4: A D B E C F  C  ( ABCD là hình thang cân) Xét hai tam giác vuông AED và BFC có: AD  BC và D nên AED  BFC (ch-gn).  DE  FC Câu 5: A B O D C  Xét hai tam giác BDC và ACD có: cạnh DC chung; BCD ADC và AD  BC (tính chất hình thang cân)  BDC  ACD (c-g-c)   BDC ACD  ODC cân tại O  OD  OC Chứng minh tương tự ta có OB  OC . Câu 6: 7. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ – THCS.TOANMATH.com E D A B C  1800  EAD  Theo giá thiết ta có các tam giác ABC và ADE là các tam giác cân nên AED  2  1800  BAC và  ACB  2   BAC  (đối đỉnh) nên  Mặt khác EAD AED   ACB Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên DE //BC  BCDE là hình thang Lại có EC  EA  AC  DA  AB  DB nên BCDE là hình thang cân. Câu 7: A E D B F C a) Kẻ BE vuông góc với tia DA ; BF vuông góc với tia DC   BCF   700 và AB  BC nên chúng Khi đó do hai tam giác vuông BEA và BFC có: BAE bằng nhau. Do đó: BE  BF  B thuộc tia phân giác  ADC hay DB là tia phân giác của  ADC .   1100 nên  b) tam giác ADB cân tại A có DAB ADB  350  ADC  700 ( DB là tia phân giác  ADC ) 8. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ – THCS.TOANMATH.com   700  1100  1800  ADC  DAB  AB //DC  C   700 nên ABCD là hình thang cân. Mà D Câu 8: A D B E F C Kẻ các đường cao AE ; BF của hình thang. Khi đó hình thang ABFE có hai cạnh bên song song nên hai cạnh đáy EF  AB  10cm Mặt khác theo câu 4 thì DE  CF nên DE  CF  24  10  2cm 2 Áp dụng định lí Pytago trong tam giác tính được BF  3 69cm Câu 9: A E F M B D C a) Các tứ giác AEM F ; BDMF ; CDME có một cặp cạnh đối song song và có các góc ở đáy đều bằng 60 0 nên chúng là các hình thang cân.   EMD   DMF  Do đó: EMF A  600 9. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ – THCS.TOANMATH.com b) Vì các tứ giác AEM F ; BDMF ; CDME là các hình thang cân nên MA  EF ; MB  FD; MC  ED MA; MB; MC bằng độ dài ba cạnh của một tam giác nên suy ra đpcm Câu 10: A D E B F Xét hình thang cân ABCD có hai cạnh đáy AB và CD C  AB  CD  , kẻ các đường cao AE và BF . Ta có hình thang ABFE có hai cạnh bên song song(cùng vuông góc với DC ) nên suy ra hai cạnh đáy bằng nhau. Dó đó EF  AB và DE  CF  Ta có EC  EF  FC  AB  CD  AB 2 CD  AB AB  CD  2 2  EC bằng độ dài đường trung bình của hình thang ABCD Lại xét trong tam giác vuông AEC vuông tại E ta có: EC  AC Vậy, trong hình thang cân, độ dài đường trung bình luôn bé hơn đường chéo. PHIẾU SỐ 2 Bài 1: Hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau tại O, biết OA=OC, OB=OD. Tứ giác ACBD là hình gì ? Bài 2: Cho hình thang cân ABCD ( AB // CD) 10. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ – THCS.TOANMATH.com  ACD  BDC a) Chứng minh:  b) Gọi E là giao điểm của AC và BD. Chứng minh EA = EB Bài 3: Hình thang cân ABCD ( AB// CD) , có góc C = 600, DB là tia phân giác của góc D; chu vi hình thang bằng 20cm. a)Tính các cạnh của hình thang. b) Tính diện tích tam giác BDC. Bài 4 : Cho hình thang MNPQ (MN là đáy nhỏ) có 2 đường chéo MP và NQ cắt nhau tại O và . Qua O vẽ đường thẳng EF//QP ( E  MQ, F  NP ) . CMR các tứ giác MNPQ, MNFE, FEQP là những hình thang cân.   600 , đáy nhỏ AD bằng cạnh bên của hình thang. Bài 5. Cho hình thang cân ABCD có C Biết chu vi của hình thang bằng 20cm. a) Tính các cạnh của hình thang. b) Tính chiều cao của hình thang. D   900 và AD = BC thì tứ giác đó là hình thang cân. Bài 6. CMR tứ giác ABCD có C Bài 7*. Cho ABC đều. Lấy điểm O nằm trong tam giác. Kẻ OI//AB (I thuộc AC), OM//BC (M thuộc AB), OK//AC (K thuộc BC). Chứng minh rằng: Chu vi IMK bằng tổng khoảng cách từ O đến các đỉnh của ABC Bài 8*: Cho tam giác ABC cân tại A, M là điểm bất kì nằm giữa hai điểm A và B. Trên tia đối của tia CA lấy điểm N sao cho CN = BM. Vẽ ME và NF lần lượt vuông góc với đường thẳng BC. Gọi I là giao điểm của MN và BC. a) Chứng minh: IE = IF. b) Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho CD = CN. Chứng minh tứ giác BMDC là hình thang cân. 11. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ – THCS.TOANMATH.com Bài 9*. Cho  ABC đều, điểm M nằm trong tam giác đó. Qua M, kẻ đường thẳng song song với AC và cắt BC ở E, kẻ đường thẳng song song với AB và cắt AC ở F, kẻ đường thẳng song song với BC và cắt AB ở D. CMR: a) AFMD, BDME, CEMF là các hình thang cân.   FME   DMF  b) DME c) Điểm M phải ở vị trí nào để  DEF là tam giác đều? Trong trường hợp này, tính chu vi của  DEF theo chiều cao AH của  ABC.   1800 . CMR: AC Bài 10*: Cho tứ giác ABCD có AD = AB = BC và  a) Tia DB là phân giác của góc D. b) Tứ giác ABCD là hình thang cân. 12. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ – THCS.TOANMATH.com HƯỚNG DẪN Bài 1: A C O D B Vì OA=OC, OB=OD nên AB = CD (1); OA = OC; OB = OD nên  O  OBA  OAC và  OBD cân tại  1800   AOC  1800  DOC  (hai góc đối đỉnh) ; ODC  AOC  DOC mà  2 2   ODC  mà hai góc này so le trong nên AC // BD (2)  OBA Từ (1) và (2) suy ra tứ giác ACBD là hình thang cân. Bài 2: A B E D C  ADC  BCD a/ ABCD là hình thang cân nên AD = BC;   Dễ chứng minh:  ADC  BCD(c.g.c)   ACD  BDC  suy ra ACD  BDC b/ Theo câu a ta có   CED cân tại E => ED = EC mà AC = BD (do ABCD

là hình thang cân) => EA = EB.
Bài 3:

13. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ – THCS.TOANMATH.com

A

B

C

D

0

 C
  600  
  60  300
a/ Ta có : ABCD là hình thang cân nên D
ADB  CDB
2
  900 ; Tam giác CBD vuông tại B có CDB
  300 => BC = 1 DC hay 2AD = DC ;
 DBC
2

  300  
ABD  BDC
ABD  
ADB  300 => ∆ADB cân tại A nên AD = AB
AB // CD nên 
Từ đó suy ra chu vi hình thang bằng 5AD => 5.AD = 20cm => AD = 4cm.
Vậy AD = AB = BC = 4cm, CD = 8cm

 BCD vuông tại B . Áp dụng định lý Py – ta – go vào ∆BDC:

b/ Vì

BD2 = DC2 – BC2 hay DB2 = 82 – 42 = 48 => BD = 4 3 cm
Diện tích tam giác BDC là:

1
.4.4 3  8 3 cm2
2

Bài 4:

M

1

1

E

N
F

O
Q

1

1

P

P

M
1
1

 Q
 Q
P
 => Các
Vì MN // QP nên:  N
1
2
1
1
 
 M1  N1

 OMN và OPQ cân tại O

=> OM = ON, OP = OQ => MP = NQ mà MNPQ là hình thang => MNPQ là hình thang cân.
Do EF // QP (gt), mà QP // MN nên EF // QP // MN => Tứ giác MNEF và FEQP là hình thang.
14. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ – THCS.TOANMATH.com

  PNM
 => MNEF và FEQP là hình
và QMN

Do MNPQ là hình thang cân nên:
thang cân.
Bài 5.

A

B

D

600

H

K

C

a/ Đặt AD = AB = DC = x; Kẻ AH  BC , DK  BC ; ( H ; K  BC ) => AH // DK
=> Hình thang ADKH có hai cạnh bên song song nên AD = HK = x; AH = DK.
Có AHB  DKC (ch – gn) => BH = KC.

  600  BH  AB  x  x  2 BH
Xét  ABH có : B
2
2
=> Chu vi hình thang là 5x = 20 => x = 4 => AD = DC = AB = 4cm; BC = 8cm
b/ Từ câu a ta có BH = 2cm; Áp dụng định lý Pytago vào tam giác ABH vuông tại H ta có:
đường cao AH = 2 3

Bài 6.

15. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ – THCS.TOANMATH.com

A

B
1

1
1

O2
D

1

1

C

1  D
 1   OCD cân tạị O
Ta chứng minh được ADC  BCD (c  g  c)  AC = BD và C
2
1800  O

(1)
 C1 
2

 1   OBA cân tạị O
A1  B
Từ đây ta chứng minh được ABD  BAC (c  c  c )  
1
1800  O
(2)

A1 
2

1  O
 2 suy ra A1  C
 1 Mà 2 góc này ở vị trí so le trong nên AB //CD
Từ (1), (2) và O
D
 => ABCD là hình thang cân.
Suy ra ABCD là hình thang mà C
Bài 7*.

A
I
M
O
B

K

C

 C
  600 . Do OI // AB; OM // BC; OK // AB (gt)
A B
Có ABC đều  
=> các tứ giác OIAM, OMBK, OKCI là hình thang.


  MBK

ACB  600 (đồng vị, OK // AC) mà 
ABC  
ACB  600  OKB
Ta có: OKB
=> Hình thang OMBK là hình thang cân.
16. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ – THCS.TOANMATH.com

CM tương tự ta có OKCI, OIAM là các hình thang cân, do đó: OC = IK, OA = IM, OB = MK
=> CIMK = IK + IM + MK = OA+ OB + OC.
Bài 8*

a)

 MBE =  NCF (ch-gn) => ME = NF

Từ đó cm được
b) Do
=>

 MIE =  NIF (cgv-gnk)=> IE = IF.

 ABC là tam giác cân nên AB = AC, mà MB = DC ( = CN) nên AM = AD

180
 AMD cân tại A=> 
AMD 

0

 A

2

1800  A
ABC 
Xét  ABC có: 
=>
2
Do

=> MD // BC => MDCB là hình thang.

(  ABC cân tại A) => BMDC là hình thang cân. (đpcm)

Bài 9*

17. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ – THCS.TOANMATH.com

A

F

D
M
B

H

E

C



ABC Mà FM//AD  
ADM  
ABC (đồng vị)  BAC
ADM
a) Có  ABC đều  BAC
Xét tứ giác AFMD có
 AD / / FM ( gt )
=> AFMD là hình thang cân.
 
 ADM  BAC (cmt )

Chứng minh tương tự ta được BDME, CEMF là các hình thang cân.

  FME
  DMF
 = 600
b) DME
c)  DEF là tam giác đều  DE = DF = FE  AM = BM = CM
 M phải cách đều 3 đỉnh của tam giác ABC
Vậy M là giao của ba đường trung trực của  ABC.
Do  ABC đều nên M đồng thời là trọng tâm và AH là đường cao đồng thời là đường
trung tuyến nên AM 

2
2
2
AH  a  DE  DF  FE  a
3
3
3

Vậy chu vi tam giác DEF bằng DE + DF + EF = 2a.

18. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ – THCS.TOANMATH.com

Bài 10*

E

a) Trên tia DA lấy điểm E sao cho AE = CD.

  1800 (gt) suy ra BAE
  BCD
 (cùng bù với BAD
)
AC
Do 
Từ đây ta được BAE  BCD (c  g  c)

D
 2 ; BE  BD  BDE cân tại B
E

A

B

D
1  D
1  D
2
E
Vậy tia DB là phân giác của góc D.
b) Có AB = AD  ABD cân tại A

1

D

2

1  
2  
D
ABD  D
ABD mà 2 góc này ở vị trí so le trong nên AB//DC
  1800

ABC  BCD

  BCD
  1800 ( gt )  BAD
ABC . Vậy ABCD là hình thang cân.
Mà BAD
========== TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ==========

19. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ – THCS.TOANMATH.com

C