Chuyên đề hình lăng trụ đứng

HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG
A. BÀI GIẢNG CỦNG CỐ KIẾN THỨC NỀN
1. HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG
Định nghĩa: Hình lăng trụ đứng là hình có các mặt bên đều là những hình chữ nhật.
Hình bên cho ta hình ảnh của hình lăng trụ đứng ABCD. A1 B1C1D1 , và ở đó:
1. Các điểm A, B, C, D, A1, B1, C1, D1 được gọi là các đỉnh.
2. Các đoạn AA1 , BB1 , CC1 , DD1 song song với nhau và bằng
nhau, chúng được gọi là các mặt bên.
3. Các mặt ABB1 A , BCC1 B1 , CDD1C1 , ADD1 A1 là những hình
chữ nhật, chúng được gọi là các mặt bên.
4. Hai mặt ABCD , A1 B1C1 D1 là hai đáy.
5. Hình lăng trụ này có đáy là tứ giác nên gọi là lăng trụ tứ giác.
Ví dụ 1: Cho một hình lăng trụ đứng:
– Hai mặt phẳng chứa hai đáy có song song với nhau hay không?
– Các cạnh bên có vuông góc với hai mặt phẳng đáy hay không?
– Các mặt bên có vuông góc với hai mặt phẳng đáy hay không?
 Giải
Ta lần lượt có:
– Hai mặt phẳng chứa hai đáy có song song với nhau, bởi chúng đều chứa hai cặp đường thẳng cắt nhau
và song song với nhau.
– Các cạnh bên có vuông góc với hai mặt phẳng đáy, bởi mỗi cạnh bên đều vuông góc với hai cạnh đáy
cắt nhau.
– Các mặt bên có vuông góc với hai mặt phẳng đáy, bởi chúng chứa cạnh bên vuông góc với đáy.
 Nhận xét: Như vậy:
 Hình hộp chữ nhật, hình lập phương cũng là những hình lăng trụ đứng.
 Hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành được gọi là hình hộp đứng.
2. THÍ DỤ
Với hình vẽ trong phần 1, ta nhận thấy:
– Hai mặt đáy ABCD và A1 B1C1 D1 là hai đa giác bằng nhau và nằm trên hai mặt phẳng song song.
– Độ dài mỗi cạnh bên được gọi là chiều cao, thí dụ chiều cao AA1 .
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
VÍ DỤ 1: ABC . A1B1C1 là một lăng trụ đứng tam giác.
a) Trong hình lăng trụ đó hãy chỉ ra những cặp mặt phẳng song song với nhau.
b) Trong hình lăng trụ đó hãy chỉ ra những cặp mặt phẳng vuông góc với nhau.
c) Sử dụng kí hiệu “//”, “  ”, và “  ” điền vào các ô trong bảng sau:

AA1

BB1

CC1

AB

BC

AC

A1 B1

B1C1

A1C1

 ABC 
 A1B1C1 
 ABB1 A1 
 Hướng dẫn: Sử dụng định nghĩa và tính chất của hình lăng trụ đứng.

 Giải
a) Ta chỉ có  ABC  / /  A1 B1C1  .
b) Ta có:
  AA1B1 B  ,  BB1C1C  ,  AA1C1C  cùng vuông góc với  ABC  .
  AA1B1 B  ,  BB1C1C  ,  AA1C1C  cùng vuông góc với  A1 B1C1  .
c) Ta có:
AA1

BB1

CC1

AB

BC

AC

A1 B1

B1C1

A1C1

 ABC 













//

//

//

 A1B1C1 







//

//

//







 ABB1 A1 





//





VÍ DỤ 2: Cho hình lăng trụ đứng ABCD. A1 B1C1D1 có đáy ABCD là hình thang cân  AB / /CD  có AC
vuông góc với BD.
a) Đường thẳng BD và A1C có cắt nhau không? Vì sao?
b) Đường thẳng AD song song với những mặt phẳng nào?
c) Đường thẳng AC vuông góc với những mặt phẳng nào?
d) Trong hình lăng trụ đó hãy chỉ ra những cặp mặt phẳng song song với nhau.
e) Trong hình lăng trụ đó hãy chỉ ra những cặp mặt phẳng vuông góc với nhau.
 Hướng dẫn: Sử dụng định nghĩa và tính chất của hình lăng trụ đứng.
 Giải
a) Đường thẳng BD và A1C không cắt nhau, bởi nếu chúng cắt nhau thì 4
điểm B, C, D, A1 cùng thuộc một mặt phẳng

 A1   BCD   A1   ABCD  , mâu thuẫn
b) Ta có:

AD / / A1 D1   A1 B1C1 D1   AD / /  A1B1C1D1  .

AD / / A1 D1   A1 D1 B   AD / /  A1D1 B 
AD / / A1 D1   A1 D1C   AD / /  A1D1C 
Vậy, có 3 mặt phẳng  A1 B1C1 D1  ,  A1 D1 B  ,  A1 D1C  song song với AD.
c) Ta có:

 AC  BD
 AC   BB1D1 D  .

 AC  BB1
Vậy có duy nhất mặt phẳng  BB1 D1 D  vuông góc với AC .
d) Ta có các cặp mặt phẳng song song với nhau là:

 ABCD  / /  A1B1C1 D1 

và  ABB1 A1  / /  CDD1C1  .

e) Dựa trên tính chất của hình lăng trụ đứng ta có ngay các mặt phẳng vuông góc với hai đáy  ABCD 
và  A1 B1C1 D1  là:

 AA1B1B  ,  BB1C1C  ,  CC1D1D  .
 AA1D1D  ,  AA1C1C  ,  BDD1 B1  .
Mặt khác:
 Vì AC   BB1 D1D  nên các mặt phẳng chứa AC đều vuông góc với mặt phẳng  BB1 D1D  , do đó ta
có:

 ACC1 A1    BB1D1D  ,  ACB1    BB1D1D  ,  ACD1    BB1D1D  .
 Vì BD   ACC1 A1  nên các mặt phẳng chứa BD đều vuông góc với mặt phẳng  ACC1 A1  , do đó ta
có:

 BDD1B1    ACC1 A1 

 BDA1    ACC1 A1 
 BDC1    ACC1 A1 
 Vì A1C1   BB1 D1 D  nên các mặt phẳng chứa A1C1 đều vuông góc với mặt phẳng  BB1D1 D  , do đó ta
có thêm:

 A1C1B    BB1 D1D  ,  A1C1 D    BB1D1D  .
 Vì B1D1   ACC1 A1  nên các mặt phẳng chứa BD đều vuông góc với mặt phẳng  ACC1 A1  , do đó ta
có thêm:

 B1D1 A   ACC1 A1  ,  B1D1C    ACC1 A1  .
PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN
Bài 1: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC .A ‘ B ‘C ‘.
a) Những cặp mặt phẳng nào song song với nhau?

b) Những cặp mặt phẳng nào vuông góc với nhau?
Bài 2: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.DEF. Trong các phát biểu sau phát biểu nào đúng ?
a) Các cạnh bên AB và AD vuông góc với nhau.
b) Các cạnh bên BE và EF vuông góc với nhau.
c) Các cạnh bên AC và DF vuông góc với nhau.
d) Các cạnh bên AC và DF song song với nhau.
e) Hai mặt phẳng ABC  và DEF  song song với nhau.
f) Hai mặt phẳng ACFD  và (BCFE ) song song với nhau.

g) Hai mặt phẳng ABED  và DEF  vuông góc với nhau.

Bài 3: Cho một hình hộp chữ nhật ABCD.A ‘ B ‘C ‘ D ‘
a) Những cặp mặt phẳng nào song song với nhau.
b) Mặt phẳng ABCD  vuông góc với những mặt phẳng nào.
Bài 4: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC .A ‘ B ‘C ‘ có hai đáy là hai tam giác vuông tại A, A ‘ .
Chứng minh
a) AB  mp  AA’C ‘ C 
b) mp  AA ‘ C ‘ C   mp  AA ‘ B ‘ B 
Bài 5: Một khối gỗ hình lập phương ABCD.A ‘ B ‘C ‘ D ‘, có cạnh bằng a. Người ta cắt khối gỗ theo
mặt ACC ’A’ được hai hình lăng trụ đứng bằng nhau. Tính diện tích xung quanh của mỗi hình lăng trụ

đó.
Bài 6: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC .A ‘ B ‘C ‘ , có đáy là tam giác ABC cân tại C, D là trung
điểm của cạnh AB. Tính diện tích toàn phần của hình lăng trụ.
Bài 7: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A ‘ B ‘C ‘ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B
với BA  BC  a ,biết A’B hợp với đáy ABC một góc 60 . Tính thể tích lăng trụ.
Bài 8: Cho hình lăng trụ có đáy là hình vuông cạnh a. Tính chiều cao (theo a) của hình lăng trụ, biết
1
diện tích xung quanh bằng
diện tích toàn phần.
2
Bài 9: Tính diện tích toàn phần (tổng diện tích các mặt) và thể tích
của hình sau
* Tính diện tích toàn phần hình lăng trụ HFG .JIK
Bài 10: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC .A ‘ B ‘C ‘ có đáy
là tam giác ABC cân tại A có các kích thước như hình vẽ. Tính
thể tích của hình lăng trụ.
Bài 11 : Một bình thủy tinh hình lăng trụ đứng ABC .A ‘ B ‘C ‘ ,
đáy là tam giác cân ABC có kích thước như hình vẽ. Mực nước
2
hiện tại trong bình bằng
chiều cao của lăng trụ. Bây giờ ta đậy
3
bình lại và lật đứng lên sao cho mặt BCC ‘ B ‘ là mặt đáy. Tính chiều cao

của mực nước khi đó.
Bài 12: Tính thể tích của khối lăng trụ đứng có đáy là tam giác và các mặt
bên là các hình vuông cạnh bằng a.
Bài 13: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC .A ‘ B ‘C ‘ có đáy là tam giác
ABC cân tại A. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và B ‘C ‘
a) Chứng minh AMNA ‘ là hình chữ nhật
b) Tính diện tích hình chữ nhật AMNA ‘ biết thể tích của hình lăng trụ bằng V và BC  a .
Bài 14:
Một bình thủy tinh hình lăng trụ đứng ABC .A ‘ B ‘C ‘ , đáy là tam giác ABC có
AB  6cm , BC  10cm , AC  8cm , chiều cao CC ‘  12cm . Mực nước trong bình hiện

2
chiều cao của hình lăng trụ. Bây giờ ta đậy bình lại và lật đứng lên sao cho mặt ACC ‘ A ‘
3
là mặt đáy. Tính chiều cao của mực nước khi đó.
Bài 15:
Một bình thủy tinh hình lăng trụ đứng ABC .A ‘ B ‘C ‘ , đáy là tam giác ABC có
AB  6cm , BC  10cm , AC  8cm , chiều cao CC ‘  12cm . Mực nước trong bình hiện
2
tại bằng chiều cao của hình lăng trụ. Bây giờ ta đậy bình lại và lật đứng lên sao cho mặt BCC ‘ B ‘
3
là mặt đáy. Tính chiều cao của mực nước khi đó.
Bài 16: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC .A ‘ B ‘C ‘ là tam giác ABC vuông cân tại A có cạnh
tại bằng

BC  a 2 và biết A ‘ B  3a . Tính thể tích khối lăng trụ.
Bài 17: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A ‘ B ‘C ‘ D ‘ có cạnh bên bằng 4a và đường chéo 5a. Tính thể
tích khối lăng trụ này.

TỰ LUYỆN
Bài 1: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.D EF có ABC vuông tại A.
a) Những cặp mặt phẳng nào song song với với nhau?
b) Những cặp mặt phẳng nào vuông góc với nhau?
c) Cho biết DF  2cm; AB  3cm, AD  5cm . Tính diện tích xung quanh,
diện tích toàn phần và thể tích của hình lăng trụ.
d) Gọi M là trung điểm của EF . Tính độ dài các đoạn thẳng BM , AM .
Bài 2: Cho hình lăng trụ đứng tam giác MNP.QRS . (Mỗi câu sau đây có giả thiết riêng)
a) Nếu MPN vuông tại P có PN  2cm; PS  5cm và thể tích
V  15cm3 .Tính diện tích xung quanh hình lăng trụ.
b) Nếu MPN cân ở M có MN  15cm; PN  8cm; PS  22cm . Tính
diện tích xung quanh và thể tích của hình lăng trụ.
c) Nếu MPN đều có cạnh là a (cm ) . Gọi H là trung điểm của cạnh
  600 . Tính độ dài MQ , diện tích xung quanh, toàn
SR và MHQ
phần và thể tích của hình lăng trụ theo a.
Bài 3: Cho hình lăng trụ đứng ABCD.EFGH , đáy ABCD là hình thang vuông ở A và B .
a) Hãy kể tên các cạnh song song với cạnh AD , song song với cạnh AB , các đường thẳng song song với
mp  EFGH  ; các đường thẳng song song với mp  DCGH  .

  450 .Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần
b) Cho biết AB  AD  4 cm ; BC  2AD và AFE
và thể tích của hình lăng trụ đứng.
Bài 4: Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A ‘ B’C’D ‘ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a  cm  và


ADC  600 và DD ‘  a  cm  .
a) Chứng minh mp  CB ‘ D ‘  // mp  A ‘ DB 
b) Chứng minh mp  AA ‘C ‘ C  // mp  DD ‘ B ‘ B  .
c) Tính diện tích toàn phần và thể tích của hình lăng trụ.

Bài 5: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có cạnh đáy AB  AC  10cm và BC  12cm . Gọi M
là trung điểm của B’C’.





a) Chứng minh rằng BC  mp AA M

b) Cho biết AM  17 cm , tính diện tích toàn phần của hình lăng trụ.
Bài 6: Một hình lăng trụ đều có tổng số mặt, số đỉnh và số cạnh là 26. Biết thể tích của hình lăng trụ là
540cm3, diện tích xung quanh là 360cm2. Tính chiều cao của hình lăng trụ đó.
Bài 7: Hình hộp đứng ABCD.A ‘ B ‘C ‘ D ‘ có đáy là hình thoi ABCD cạnh a, góc nhọn 30o. Cho biết
diện tích toàn phần của hình lăng trụ đứng bằng hai lần diện tích xung quanh của nó. Tính chiều cao của
hình lăng trụ đứng.
Bài 8: Hình lăng trụ đứng ABC .A ‘ B ‘C ‘ có AB  5cm , AC  12cm và chiều cao AA ‘  10cm .
Biết diện tích xung quanh của hình lăng trụ là 300cm2, tính thể tích của nó.
Bài 9: Một hình lăng trụ đứng có đáy là hình thoi với các đường chéo bằng 16cm và 30cm. Diện tích
toàn phần của hình lăng trụ này là 2680cm 2 , tính thể tích của nó.
Bài 10: Hình lăng trụ ngũ giác đều ABCDE .A ‘ B ‘C ‘ D ‘ E ‘ có cạnh đáy bằng a. Biết hiệu giữa các diện

tích xung quanh của hai hình lăng trụ đứng ABCE .A ‘ B ‘C ‘ E ‘ và CDE .C ‘ D ‘ E ‘ là 4a 2 . Tính diện
tích xung quanh của hình lăng trụ đã cho.
LỜI GIẢI PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN

Bài 1: a) Những cặp mặt phẳng song song là: mp ABC  //mp A’B’C ’
b) Những cặp mặt phẳng vuông góc nhau là:
mp(ABC )  mp AAB B
mp(ABC )  mp BB C C



mp(ABC )  mp AAC C 
mp A B C   mp AAC C 














mp A B C   mp AA B B 
mp AB C   mp BB C C















Bài 2: a) Sai vì AB và AD không phải là các cạnh bên.
b) Sai vì BE và EF không phải là các cạnh bên.
c) Sai vì AC và DF không phải là các cạnh bên.
d) Sai vì AC và DF không phải là các cạnh bên.
e) Đúng
f) Sai vì Hai mặt phẳng ACFD  và BCFE  vuông góc
g) Đúng
Bài 3: Bài giải
a) Những mặt phẳng song song với nhau là:
mp ABCD  //mp A ‘ B ‘C ‘ D ‘;
mp AA ‘ D ‘ D  //mp BB ‘C ‘C ;
mp DCC ‘ D ‘ //mp AA ‘ B ‘ B 



b) mp(ABCD )  mp AAB B



mp(ABCD )  mp AA D D 
mp(ABCD )  mp BCC B 








Bài 4: a) AB  AC ( ABC vuông tại A)



nhau

AB  AA ( AA ‘ B ‘ B là hình chữ nhật) nên AB vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau AC và AA ‘
của mặt phẳng AA ‘C ‘C .
Suy ra AB  mp  AA ‘ C ‘ C 

b) mp AA ‘ B ‘ B  chứa AB, mà AB vuông góc với mp AA ‘C ‘C  nên mp  AA ‘ C ‘ C   mp  AA ‘ B ‘ B 
Bài 5: HD:

Ta có AC  a  a 2  a 2cm
Chu vi đáy hình lăng trụ
a  a  a 2  (2  2)a
Diện tích xung quanh của hình lăng trụ
2(2  2) a  a
S xq  2 ph 
 (2  2) a 2 ( cm 2 )
2
Bài 6:
D là trung điểm AB, suy ra CD là chiều cao tam giác đáy
Vậy nên DB  52  42  25  16  9  3cm
BB  AB , áp dụng định lí py-ta-go, ta có

BB  52  32  25  9  16  4cm
Diện tích toàn phần của hình lăng trụ là
1

Stp  S xq  2Sd  (5  5  6)  4  2   4.6

 2

Stp  64  24  88 cm 2

Bài 7:
Ta có A A  ( ABC )  A A  AB và AB là hình chiếu
  60
của A ‘ B trên đáy ABC và ABA’
Trong ABA’ ta có
 AA  AB  tan 60  a 3
S ABC 

1
a2
BA  BC 
2
2

Vậy V  SABC  AA’ 

a3 3
2

Bài 8:
Diện tích xung quanh hình trụ
S xq  2( a  a)  h (cm)
Diện tích toàn phần của hình trụ
Stp  S xq  2 S d  2(a  a )  h  2a.a  Stp  4ah  2a 2  2a (2h  a)
Theo đề ta có S xq 

1
Stp
2

1
a
2 a ( a  2 h)  4h  a  2 h  2h  a  h 
2
2
a
Vậy chiều cao của hình trụ là (cm)
2

Hay 4ah 

Bài 9: Độ dài đường chéo của tam giác đáy là JK  HG  32  42  25  5cm

1
3.4  6cm 2
2
Diện tích toàn phần hình lăng trụ HFG .JIK
 3  4  5 
  3  2.6  48 cm 2
Stp1  S xq  2Sday  2 

2

* Tính diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật
ABCD.EFII ‘ (I’ là điểm phía dưới)
Stp 2  S xq  2 Sd  2(1  3).5  2.1.3  46 cm 2
Diện tích tam giác đáy S HFG  S TIK 

* S JIFH  3.3  9 cm 2
* Diện tích toàn phần của hình đã cho là
Stp  Stp1  Stp 2  S MFH  48  46  9  85 cm2
Thể tích hình lăng trụ V1  S d  h  6.3  18 cm 3
Thể tích hình hộp chữ nhật V2  S d  h  3.5  15cm3
Thể tích của hình đã cho là V  V1  V2  18  15  33cm3
Bài 10: Chiều cao của tam giác đáy

h ‘  133  52  169  25  h ‘  144  12cm
1
1
Diện tích tam giác ABC là S  h ‘.BC  12.10  60 cm 2
2
2
Thể tích của hình lăng trụ ABC .A ‘ B ‘C ‘ là V  S d  h  60.12  720 cm3
Bài
11
:
Chiều
cao
của
tam
giác
đáy h ‘  133  52  169  25  h ‘  144  12cm
1
1
Diện tích tam giác ABC là S  h ‘.BC  12.10  60cm 2
2
2
2
Thể tích nước hiện tại trong hình lăng trụ là V  60. .12  480 cm 3
3
Nếu chọn đáy là BCC ‘ B ‘ thì S d  10.12  120cm 2

V
480

 h ‘  4 cm
S d 120
Vậy chiều cao mực nước mới là 4cm.
Bài 12: Hình lăng trụ có đáy là tam giác đều cạnh a, đường cao tam giác đáy

Chiều cao mực nước mới là h ‘ 

là h 

a 3
cm
2

1a 3
a2 3
a
2 2
4
2
a 3
a3 3 3
Thể tích hình lăng trụ là V  S .h 
a
cm
4
4
Diện tích tam giác đáy là S 

Bài 13: a) Ta có A’N // AM và A ‘ N  AM nên A ‘ NMA
hình bình hành.
Mặt khác AN  mp CC ‘ B ‘ B  nên A ‘ N  NM
Vậy AMNA ‘ là hình chữ nhật
1
b) V  S d  h  AMBC  AA’
2

là

mà AA ‘  MN nên diện tích hình chữ nhật AMNA ‘ là S 

1
V
AM .AA ‘ 
cm 2
2
a

1
 8.6  24cm 2
2
2
Thể tích nước hiện tại trong hình lăng trụ là V  24. 12  192cm3
3
2
Nếu chọn đáy là ACC ‘ A ‘ thì S d  8.12  96cm

Bài 14: Diện tích tam giác đáy là S 

V 192

 h  2cm
Sd
96
Vậy chiều cao mực nước mới là 2cm.
Bài 15:
1
Diện tích tam giác đáy là S   8.6  24cm 2
2
2
Thể tích nước hiện tại trong hình lăng trụ là V  24. 12  192cm 3
3
2
Nếu chọn đáy là BCC ‘ B ‘ thì S d  6.12  72cm

Chiều cao mực nước mới là h 

V 192

 h  2, 7cm
Sd
72
Vậy chiều cao mực nước mới là 2,7cm.
Bài 16: Ta có ABC vuông cân tại A nên AB  AC  a
ABC .A ‘ B ‘C ‘ là lăng trụ đứng  AA  AB
AA B  AA 2  A B2  AB2  8a 2
 AA  2a 2

Chiều cao mực nước mới là h 

Vậy V  B  h  SABC  AA   a 3 2

Bài 17: ABCD.A ‘ B ‘C ‘ D ‘ là lăng trụ đứng nên

BD2  BD2  DD2  9a 2  BD  3a
3a
ABCD là hình vuông  AB 
2
9a 2
4
Vậy V  B  h  SABCD .AA  9a 3 .

Suy ra B  SABCD 

========== TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ==========



