Chuyên đề Hình học không gian – Lưu Huy Thưởng

Giới thiệu Chuyên đề Hình học không gian – Lưu Huy Thưởng

Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và bạn đọc Chuyên đề Hình học không gian – Lưu Huy Thưởng CHƯƠNG MẶT NÓN – MẶT TRỤ – MẶT CẦU.

Chuyên đề Hình học không gian – Lưu Huy Thưởng

Tài liệu môn Toán 12 và hướng dẫn giải chi tiết các đề thi từ cơ bản đến vận dụng cao sẽ luôn được cập thường xuyên từ hoctoanonline.vn , các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán hay và mới nhất.

Tài liệu Chuyên đề Hình học không gian – Lưu Huy Thưởng

Các em học sinh và bạn đọc tìm kiếm thêm tài liệu Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng tại đây nhé.

Text Chuyên đề Hình học không gian – Lưu Huy Thưởng
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2013 – 2014 HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BIÊN SOẠN: LƯU HUY THƯỞNG HỌ VÀ TÊN: ………………………………………………………………… LỚP :…………………………………………………………………. TRƯỜNG :………………………………………………………………… HÀ NỘI, 8/2013 GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN PHẦN I: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN QUAN HỆ SONG SONG VÀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC §1: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN I/ KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Xác định một mặt phẳng • Ba điểm không thẳng hàng thuộc mặt phẳng. (mp(ABC), (ABC)) • Một điểm và một đường thẳng không đi qua điểm đó thuộc mặt phẳng. (mp(A,d)) • Hai đường thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng. (mp(a, b)) 2. Một số qui tắc vẽ hình biểu diễn của hình không gian • Hình biểu diễn của đường thẳng là đường thẳng, của đoạn thẳng là đoạn thẳng. • Hình biểu diễn của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song, của hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng cắt nhau. • Hình biểu diễn phải giữ nguyên quan hệ thuộc giữa điểm và đường thẳng. • Đường nhìn thấy vẽ nét liền, đường bị che khuất vẽ nét đứt. II/ CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP DẠNG TOÁN 1: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng Phương pháp: Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ta có thể tìm hai điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng. Khi đó giao tuyến là đường thẳng đi qua hai điểm chung đó. BÀI TẬP CƠ BẢN HT 1. Cho hình chóp S.ABCD. Đáy ABCD có AB cắt CD tại E, AC cắt BD tại F. a) Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng (SAB) và (SCD), (SAC) và (SBD). b) Tìm giao tuyến của (SEF) với các mặt phẳng (SAD), (SBC). HT 2. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CD, SO. Tìm giao tuyến của mp(MNP) với các mặt phẳng (SAB), (SAD), (SBC) và (SCD). HT 3. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC và BC. K là một điểm trên cạnh BD sao cho KD < KB. Tìm giao tuyến của mp(IJK) với (ACD) và (ABD). HT 4. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD và BC. a) Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (IBC) và (JAD). b) M là một điểm trên cạnh AB, N là một điểm trên cạnh AC. Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (IBC) và (DMN). HT 5. Cho tứ diện (ABCD). M là một điểm bên trong ∆ABD, N là một điểm bên trong ∆ACD. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng (AMN) và (BCD), (DMN) và (ABC). BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 1 GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 DẠNG TOÁN 2: Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng Phương pháp: Muốn tìm giao điểm của một đường thẳng và một mặt phẳng ta có thể tìm giao điểm của đường thẳng đó với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng đã cho. BÀI TẬP CƠ BẢN HT 6. Cho tứ diện ABCD. Trên AC và AD lần lượt lấy các điểm M, N sao cho MN không song song vói CD. Gọi O là một điểm bên trong ∆BCD. a) Tìm giao tuyến của (OMN) và (BCD). b) Tìm giao điểm của BC và BD với mặt phẳng (OMN). HT 7. Cho hình chóp S.ABCD. M là một điểm trên cạnh SC. a) Tìm giao điểm của AM và (SBD). b) Gọi N là một điểm trên cạnh BC. Tìm giao điểm của SD và (AMN). HT 8. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BC. K là một điểm trên cạnh BD và không trùng với trung điểm của BD. Tìm giao điểm của CD và AD với mặt phẳng (MNK). HT 9. Cho tứ diện ABCD. M, N là hai điểm lần lượt trên AC và AD. O là một điểm bên trong ∆BCD. Tìm giao điểm của: a) MN và (ABO). b) AO và (BMN). HT 10. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình thang, cạnh đáy lớn AB. Gọi I, J, K là ba điểm lần lượt trên SA, AB, BC. a) Tìm giao điểm của IK với (SBD). b) Tìm các giao điểm của mặt phẳng (IJK) với SD và SC. DẠNG TOÁN 3: Chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng qui Phương pháp: • Muốn chứng minh ba điểm thẳng hàng ta có thể chứng minh chúng cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt. • Muốn chứng minh ba đường thẳng đồng qui ta có thể chứng minh giao điểm của hai đường thẳng này là điểm chung của hai mặt phẳng mà giao tuyến là đường thẳng thứ ba. BÀI TẬP CƠ BẢN HT 11. Cho hình chóp S.ABCD. Gọi I, J là hai điểm cố định trên SA và SC với SI > IA và SJ < JC. Một mặt phẳng (P) quay quanh IJ cắt SB tại M, SD tại N. a) CMR: IJ, MN và SO đồng qui (O =AC∩BD). Suy ra cách dựng điểm N khi biết M. b) AD cắt BC tại E, IN cắt MJ tại F. CMR: S, E, F thẳng hàng. c) IN cắt AD tại P, MJ cắt BC tại Q. CMR PQ luôn đi qua 1 điểm cố định khi (P) di động. HT 12. Cho mặt phẳng (P) và ba điểm A, B, C không thẳng hàng ở ngoài (P). Giả sử các đường thẳng BC, CA, AB lần lượt cắt (P) tại D, E, F. Chứng minh D, E, F thẳng hàng. HT 13. Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F, G lần lượt là ba điểm trên ba cạnh AB, AC, BD sao cho EF cắt BC tại I, EG cắt AD tại H. Chứng minh CD, IG, HF đồng qui. HT 14. Cho hai điểm cố định A, B ở ngoài mặt phẳng (P) sao cho AB không song song với (P). M là một điểm di động trong không gian sao cho MA, MB cắt (P) tại A′, B′. Chứng minh A′B′ luôn đi qua một điểm cố định. HT 15. Cho tứ diện SABC. Qua C dựng mặt phẳng (P) cắt AB, SB tại B1, B′. Qua B dựng mặt phẳng (Q) cắt AC, SC tại C1, C′. BB′, CC′ cắt nhau tại O′; BB1, CC1 cắt nhau tại O1. Giả sử O′O1 kéo dài cắt SA tại I. HT 16. a) Chứng minh: AO1, SO′, BC đồng qui. b) Chứng minh: I, B1, B′ và I, C1, C′ thẳng hàng. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 2 GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 DẠNG TOÁN 4: Xác định thiết diện của một hình chóp với một mặt phẳng (đi qua 3 điểm) Phương pháp: Dạng 1: Ba điểm nằm trên ba cạnh không đồng phẳng của hình chóp : - Xác định mặt phẳng chứa hai điểm cho trước. - Xác định giao điểm của đường thẳng đi qua hai điểm đó với giai tuyến của mặt phẳng chứa nó với mặt phẳng chứa điểm còn lại - Nối các đoạn thẳng với các giao điểm và điểm cho trước để xác định mặt phẳng cắt các cạnh của hình chóp * Chú ý trong khi xác định thiết diện cần dự đoán mặt phẳng sẽ cắt những cạnh nào của hình chóp để dễ xác định Dạng 2: Có hai điểm nằm trên hai cạnh còn một điểm nằm trên một mặt của hình chóp - Xác định giao tuyến của các mặt. - Xác định giao điểm của đường nối hai điểm trên 2 cạnh đã cho với giao tuyến. - Xác định giao điểm của đường nối điểm đó với điểm thứ ba trên mặt đã cho với các cạnh của hình chóp. Chú ý: Nếu hai điểm trên hai cạnh không cùng thuộc một mặt bên thì tìm giao với các cạnh kéo dài và xác định các giao điểm thuộc mặt phẳng cắt. Đặc biệt hai điểm nằm trên hai đường chéo nhau cần xác định một mặt phẳng chứa một điểm trên cạnh và điểm trên mặt đã cho. Dạng 3: Có một điểm nằm trên cạnh còn hai điểm kia nằm trên hai mặt khác - Tìm mặt phẳng chứa hai trong ba điểm đã cho sau đó tìm giao điểm của đường thẳng nối hai điểm ấy với một mặt thích hợp của hình chóp. - Xác định giao điểm của các cạnh hình chóp với mặt phẳng thiết diện. BÀI TẬP CƠ BẢN HT 17. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, I là ba điểm trên AD, CD, SO. Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNI). HT 18. Cho tứ diện đều ABCD, cạnh bằng a. Kéo dài BC một đoạn CE = a. Kéo dài BD một đoạn DF=a. Gọi M là trung điểm của AB. a) Tìm thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (MEF). b) Tính diện tích của thiết diện. HD: b) a2 6 HT 19. Cho hình chóp S.ABC. M là một điểm trên cạnh SC, N và P lần lượt là trung điểm của AB và AD. Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNP). HD: Thiết diện là 1 ngũ giác. HT 20. Cho hình chóp S.ABCD. Trong ∆SBC, lấy một điểm M. Trong ∆SCD, lấy một điểm N. a) Tìm giao điểm của MN và (SAC). b) Tìm giao điểm của SC với (AMN). c) Tìm thiết diện của hình chóp S.ABCD với mặt phẳng (AMN). HD: a) Tìm (SMN)∩(SAC) b) Thiết diện là tứ giác. HT 21. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SB, SD và OC. a) Tìm giao tuyến của (MNP) với (SAC), và giao điểm của (MNP) với SA. b) Xác định thiết diện của hình chóp với (MNP) và tính tỉ số mà (MNP) chia các cạnh SA, BC, CD. HD: b) Thiết diện là ngũ giác. Các tỉ số là: 1/3; 1; 1. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 3 GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 HT 22. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SB, G là trọng tâm ∆SAD. a) Tìm giao điểm I của GM với (ABCD). Chứng minh (CGM) chứa CD. b) Chứng minh (CGM) đi qua trung điểm của SA. Tìm thiết diện của hình chóp với (CGM). c) Tìm thiết diện của hình chóp với (AGM). HD: b) Thiết diện là tứ giác c) Tìm (AGM)∩(SAC). Thiết diện là tứ giác. HT 23. Cho hình chóp S.ABCD, M là một điểm trên cạnh BC, N là một điểm trên cạnh SD. a) Tìm giao điểm I của BN và (SAC) và giao điểm J của MN và (SAC). b) DM cắt AC tại K. Chứng minh S, K, J thẳng hàng. c) Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD với mặt phẳng (BCN). HD: a) Gọi O=AC∩BD thì I=SO∩BN, J=AI∩MN b) J là điểm chung của (SAC) và (SDM) c) Nối CI cắt SA tại P. Thiết diện là tứ giác BCNP. HT 24. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình thang ABCD với AB//CD và AB > CD. Gọi I là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) quay quanh AI cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại M, N. a) Chứng minh MN luôn đi qua một điểm cố định. b) IM kéo dài cắt BC tại P, IN kéo dài cắt CD tại Q. Chứng minh PQ luôn đi qua 1 điểm cố định. c) Tìm tập hợp giao điểm của IM và AN. HD: a) Qua giao điểm của AI và SO=(SAC)∩(SBD). b) Điểm A. c) Một đoạn thẳng. BỂ HỌC VÔ BỜ – CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 4 GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 § 2: HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Định nghĩa a b P 2. Tính chất • Nếu ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau từng đôi một theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng qui hoặc đôi một song song. • Nếu hai mặt phẳng cắt nhau lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó. • Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau. II. CÁC DẠNG TOÁN DẠNG TOÁN 1: Chứng minh hai đường thẳng song song Phương pháp: Có thể sử dụng 1 trong các cách sau: 1. Chứng minh 2 đường thẳng đó đồng phẳng, rồi áp dụng phương pháp chứng minh song song trong hình học phẳng (như tính chất đường trung bình, định lí Talét đảo, …) 2. Chứng minh 2 đường thẳng đó cùng song song với đường thẳng thứ ba. 3. Áp dụng định lí về giao tuyến song song. BÀI TẬP CƠ BẢN HT 25. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC, ABD. Chứng minh IJ//CD. HT 26. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình thang với đáy lớn AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB. a) Chứng minh: MN // CD. b) Tìm giao điểm P của SC với (AND). Kéo dài AN và DP cắt nhau tại I. Chứng minh SI // AB // CD. Tứ giác SABI là hình gì? HT 27. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của AB, CD, BC, AD, AC, BD. a) Chứng minh MNPQ là hình bình hành. b) Từ đó suy ra ba đoạn MN, PQ, RS cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn. HT 28. Cho tam giác ABC nằm trong mặt phẳng (P). Gọi Bx, Cy là hai nửa đường thẳng song song và nằm về cùng một phía đối với (P). M, N là hai điểm di động lần lượt trên Bx, Cy sao cho CN = 2BM. a) Chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua 1 điểm cố định I khi M, N di động. 1 EA. IE cắt AN tại F. Gọi Q là giao điểm của BE và CF. CMR AQ song song với Bx, Cy và 3 (QMN) chứa 1 đường thẳng cố định khi M, N di động. b) E thuộc đoạn AM và EM = HT 29. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành. Gọi M, N, P, Q là các điểm lần lượt nằm trên BC, SC, SD, AD sao cho MN // BS, NP // CD, MQ // CD. a) Chứng minh: PQ // SA. b) Gọi K là giao điểm của MN và PQ. Chứng minh: SK // AD // BC. c) Qua Q dựng các đường thẳng Qx // SC và Qy // SB. Tìm giao điểm của Qx với (SAB) BỂ HỌC VÔ BỜ – CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN và của Qy với (SCD). Page 5 GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 DẠNG TOÁN 2: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng Phương pháp: • Tìm một điểm chung của hai mặt phẳng. • Áp dụng định lí về giao tuyến để tìm phương của giao tuyến. Giao tuyến sẽ là đường thẳng qua điểm chung và song song với đường thẳng ấy. BÀI TẬP CƠ BẢN HT 30. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình thang với đáy lớn AB. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD, BC và G là trọng tâm của ∆SAB. a) Tìm giao tuyến của (SAB) và (IJG). b) Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (IJG). Thiết diện là hình gì? Tìm điều kiện đối với AB và CD để thiết diện là hình bình hành. HT 31. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAB, SAD. M là trung điểm của CD. Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (IJM). HT 32. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình thang với các đáy AD = a, BC = b. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm các tam giác SAD, SBC. a) Tìm đoạn giao tuyến của (ADJ) với mặt (SBC) và đoạn giao tuyến của (BCI) với mặt (SAD). b) Tìm độ dài đoạn giao tuyến của hai mặt phẳng (ADJ) và (BCI) giới hạn bởi hai mặt phẳng (SAB) và (SCD). HD: b) 2 (a+b). 5 HT 33. Cho tứ diện đều ABCD, cạnh a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC, BC. Gọi K là một điểm trên cạnh BD với KB = 2KD. a) Xác định thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (IJK). Chứng minh thiết diện là hình thang cân. b) Tính diện tích thiết diện đó. HD: b) 5a 2 51 288 HT 34. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình vuông cạnh a, tâm O. Mặt bên SAB là tam giác đều. Ngoài ra SAD = 900. Gọi Dx là đường thẳng qua D và song song với SC. a) Tìm giao điểm I của Dx với mp(SAB). Chứng minh: AI // SB. b) Tìm thiết diện của hình chóp SABCD với mp(AIC). Tính diện tích thiết diện. HD: b) Tam giác AMC với M là trung điểm của SD. Diện tích a 2 14 8 BỂ HỌC VÔ BỜ – CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 6 GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 § 3: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Định nghĩa d // (P) ⇔ d ∩ (P) = ∅ 2. Tính chất • Nếu đường thẳng d không nằm trên mặt phẳng (P) và d song song với đường thẳng d′ nằm trong (P) thì d song song với (P). • Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) thì mọi mặt phẳng (Q) chứa d mà cắt (P) thì cắt theo giao tuyến song song với d. • Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng cũng song song với đường thẳng đó. • Nếu hai đường thẳng a và b chéo nhau thì có duy nhất một mặt phẳng chứa a và song song với b. II. CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN DẠNG TOÁN 1: Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng Phương pháp: Ta chứng minh d không nằm trong (P) và song song với một đường thẳng d′ nào đó nằm trong (P). BÀI TẬP CƠ BẢN HT 35. Cho hai hình bình hành ABCD va ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng. a) Gọi O, O′ lần lượt là tâm của ABCD và ABEF. Chứng minh OO′ song song với các mặt phẳng (ADF) và (BCE). b) M, N là 2 điểm lần lượt trên hai cạnh AE, BD sao cho AM = 1 1 AE, BN = BD. Chứng minh MN // (CDFE). 3 3 HT 36. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD. a) Chứng minh MN song song với các mặt phẳng (SBC), (SAD). b) Gọi P là trung điểm của SA. Chứng minh SB, SC đều song song với (MNP). c) Gọi G1, G2 là trọng tâm của các tam giác ABC, SBC. Chứng minh G1G2 // (SBC). HT 37. Cho tứ diện ABCD. G là trọng tâm của ∆ABD. M là 1 điểm trên cạnh BC sao cho MB = 2MC. Chứng minh MG // (ACD). HD: Chứng minh MG song song với giao tuyến của (BMG) và (ACD). HT 38. Cho tứ diện ABCD. Gọi O, O′ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác ABC, ABD. Chứng minh rằng: BC AB + AC a) Điều kiện cần và đủ để OO′ // (BCD) là = BD AB + AD b) Điều kiện cần và đủ để OO′ song song với 2 mặt phẳng (BCD), (ACD) là BC = BD và AC = AD. HD: Sử đụng tính chất đường phân giác trong tam giác. BỂ HỌC VÔ BỜ – CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 7 GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 HT 39. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD và G là trung điểm của đoạn MN. a) Tìm giao điểm A′ của đường thẳng AG với mp(BCD). b) Qua M kẻ đường thẳng Mx song song với AA′ và Mx cắt (BCD) tại M′. Chứng minh B, M′, A′ thẳng hàng và BM′ = M′A′ = A′N. c) Chứng minh GA = 3GA′. DẠNG TOÁN 2: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng Phương pháp: Tìm phương của giao tuyến. Từ đó xác định thiết diện của hình chóp tạo bởi mặt phẳng song song với một hoặc hai đường thẳng cho trước. BÀI TẬP CƠ BẢN HT 40. Cho hình chóp S.ABCD. M, N là hai điểm trên AB, CD. Mặt phẳng (P) qua MN và song song với SA. a) Tìm các giao tuyến của (P) với (SAB) và (SAC). b) Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P). c) Tìm điều kiện của MN để thiết diện là hình thang. HD: c) MN // BC HT 41. Trong mặt phẳng (P), cho tam giác ABC vuông tại A, B = 600, AB = a. Gọi O là trung điểm của BC. Lấy điểm S ở ngoài (P) sao cho SB = a và SB ⊥ OA. Gọi M là 1 điểm trên cạnh AB. Mặt phẳng (Q) qua M và song song với SB và OA, cắt BC, SC, SA lần lượt tại N, P, Q. Đặt x = BM (0 < x < a). a) Chứng minh MNPQ là hình thang vuông. b) Tính diện tích hình thang đó. Tìm x để diện tích lớn nhất. HD: b) SMNPQ = x (4a − 3x ) 2a . SMNPQ đạt lớn nhất khi x = 4 3 HT 42. Cho hình chóp S.ABCD. M, N là hai điểm bất kì trên SB, CD. Mặt phẳng (P) qua MN và song song với SC. a) Tìm các giao tuyến của (P) với các mặt phẳng (SBC), (SCD), (SAC). b) Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P). HT 43. Cho tứ diện ABCD có AB = a, CD = b. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Mặt phẳng (P) đi qua một điểm M trên đoạn IJ và song song với AB và CD. a) Tìm giao tuyến của (P) với (ICD). b) Xác định thiết diện của tứ diện ABCD với (P). HT 44. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành. Gọi C′ là trung điểm của SC, M là 1 điểm di động trên cạnh SA. Mặt phẳng (P) di động luôn đi qua C′M và song song với BC. a) Chứng minh (P) luôn chứa một đường thẳng cố định. b) Xác định thiết diện mà (P) cắt hình chóp SABCD. Xác định vị trí điểm M để thiết diện là hình bình hành. c) Tìm tập hợp giao điểm của 2 cạnh đối của thiết diện khi M di động trên cạnh SA. HD: a) Đường thẳng qua C′ và song song với BC. b) Hình thang. Hình bình hành khi M là trung điểm của SA. c) Hai nửa đường thẳng. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 8 GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 § 4: HAI MẶT PHẲNG SONG SONG I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Định nghĩa (P) // (Q) ⇔ (P) ∩ (Q) = ∅ 2. Tính chất • Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng a, b cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) song song với (Q). • Nếu đường thẳng d song song với mp(P) thì có duy nhất một mp(Q) chứa d và song song với (P). • Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau. • Cho một điểm A ∉ (P). khi đó mọi đường thẳng đi qua A và song song với (P) đều nằm trong một mp(Q) đi qua A và song song với (P). • Nếu một mặt phẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song thì cũng cắt mặt phẳng kia và các giao tuyến của chúng song song với nhau. • Hai mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến song song những đoạn thẳng bằng nhau. • Định lí Thales: Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kì những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ. • Định lí Thales đảo: Giả sử trên hai đường thẳng d và d′ lần lượt lấy các điểm A, B, C và A′, B′, C′ sao cho: II. CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN DẠNG TOÁN 1: Chứng minh hai mặt phẳng song song Phương pháp: Chứng minh mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với hai đường thẳng trong mặt phẳng kia. BÀI TẬP CƠ BẢN HT 45. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SD. a) Chứng minh (OMN) // (SBC). b) Gọi P, Q là trung điểm của AB, ON. Chứng minh PQ // (SBC). HT 46. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J là hai điểm di động lần lượt trên các cạnh AD, BC sao cho luôn có: IA JB . = ID JC a) CMR: IJ luôn song song với 1 mặt phẳng cố định. b) Tìm tập hợp điểm M chia đoạn IJ theo tỉ số k cho trước. HD: a) IJ song song với mp qua AB và song song CD. b) Tập hợp điểm M là đoạn EF với E, F là các điểm chia AB, CD theo tỉ số k. HT 47. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và CD. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 9 GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 a) CMR: (OMN) // (SBC). b) Gọi I là trung điểm của SD, J là một điểm trên (ABCD) và cách đều AB, CD. Chứng minh IJ song song (SAB). c) Giả sử hai tam giác SAD, ABC đều cân tại A. Gọi AE, AF là các đường phân giác trong của các tam giác ACD và SAB. Chứng minh EF // (SAD). HD: c) Chú ý: ED = EC FS FB HT 48. Cho hai hình vuông ABCD và ABEF ở trong hai mặt phẳng khác nhau. Trên các đường chéo AC và BF lần lượt lấy các điểm M, N sao cho: AM = BN. Các đường thẳng song song với AB vẽ từ M, N lần lượt cắt AD, AF tại M′, N′. a) Chứng minh: (CBE) // (ADF). b) Chứng minh: (DEF) // (MNN′M′). c) Gọi I là trung điểm của MN, tìm tập hợp điểm I khi M, N di động. HD: c) Trung tuyến tam giác ODE vẽ từ O. DẠNG TOÁN 2: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng Phương pháp: • Tìm phương của giao tuyến bằng cách sử dụng định lí: Nếu 2 mặt phẳng song song bị cắt bởi 1 mặt phẳng thứ ba thì 2 giao tuyến song song. • Sử dụng định lí trên để xác định thiết diện của hình chóp bị cắt bởi 1 mặt phẳng song song với 1 mặt phẳng cho trước. BÀI TẬP CƠ BẢN HT 49. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành tâm O với AC = a, BD = b. Tam giác SBD đều. Một mặt phẳng (P) di động luôn song song với mp(SBD) và đi qua điểm I trên đoạn AC. a) Xác định thiết diện của hình chóp với (P). b) Tính diện tích thiết diện theo a, b và x = AI. HD: a) Xét 2 trường hợp: I ∈ OA, I ∈ OC . Thiết diện là tam giác đều.  2 2 b x 3  2 b) Sthieát dieän =   2a b (a − x )2 3   a2 neáu 0 < x < neáu a 2 a < x 0) SA = a, SB = a 3, BAC = 600 , mặt phẳng (SAB) vuông góc với đáy. M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC. Tính thể tích khối tứ diện NSDC. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SM và DN. a3 5 ; cos α = 4 4 7 Đ/s:V = HT25. Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = 2a, tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD). Gọi M là trung điểm của SD, mặt phẳng (ABM) vuông góc với mặt phẳng (SCD) và đường thẳng AM vuông góc với đường thẳng BD. Tính thể tích khối chóp S.BCM và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SBC). HT26. Cho hình chóp S .ABCD có các cạnh bên SA = SB = SD = a; đáy ABCD là hình thoi có góc BAD = 600 và mặt 3 3a 3 16 HT27. Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC. Đ/s: phẳng (SDC ) tạo với (ABCD) một góc 300. Tính thể tích hình chóp S.ABCD. Đ/s: V = V = a3 3 a 21 ;R = 6 6 HT28. Cho lăng trụ đứng ABC .A1B1C1 có (A1BC ) tạo với đáy góc 600 , tam giác A1BC có diện tích bằng 8 3. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BB1 và CC1. Tính thể tích khối tứ diện A1AMN . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A1B và AC . Đ/s: V = 16 3; d = 3 HT29. Cho hình chóp S .ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, 2AC = BC = 2a. Mặt phẳng (SAC) tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 600. Hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của BC. Tính thể tích khối chóp S.ABC a3 3 3a ;d = 4 4 Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình vuông. SA = a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). M, N lần lượt và khoảng cách giữa hai đường thẳng AH và SB. Đ/s: V = HT30. là trung điểm của AD, DC. Góc giữa mặt phẳng (SBM) và mặt phẳng (ABC) bằng 450. Tính thể tích khối chóp S.ABNM và khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBM). Đ/s: V = 25a 3 a ;d = 24 2 HT31. Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình thang vuông tại A, B; AB = BC = a. SA vuông góc với mặt phẳng a3 2 HT32. Cho hình chóp S .ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BA = a . Tam giác SAC cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, BC biết góc giữa MN với mặt phẳng (ABC) (ABCD), SA = a. Khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SAC) bằng a 2. Tính thể tích khối chóp S.ABCD. Đ/s: V = BỂ HỌC VÔ BỜ – CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 44 GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AC, MN theo a . Đ/s: a 30 30a 3 ;d = 12 16 HT33. Cho hình chóp S .ABCD có SA vuông góc với đáy, ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong đường tròn đường V = 3a 3 . Tính thể tích khối 8 chóp S.ABCD theo a và cosin của góc tạo bởi hai đường thẳng SO, AD, với O là giao điểm của AC và BD. Đ.s: kính AD, AD = 2a. Gọi I là trung điểm của AB, biết khoảng cách từ I tới mặt phẳng (SCD) bằng V = a3 3 21 ; cos α = 4 7 HT34. Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh 4a và ABC = 600. Hình chiếu của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của OA. Góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng đáy bằng 600. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a và cosin góc tạo bởi đường thẳng OA và mặt phẳng (SCD). Đ/s: V = 12 3a 3 ; cos α = 7 4 HT35. Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 có độ dài cạnh bằng 3 và điểm M thuộc cạnh CC 1 sao cho CM = 2. Mặt phẳng (P) đi qua A, M và song song với BD chia khối lập phương thành hai khối đa diện. Tính thể tích hai khối đa diện đó. Đ/s: V1 = 9;V2 = 18 HT36. Cho hình lăng trụ ABC .A1B1C1 có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, BC = 2a. Hình chiếu vuông góc của điểm A1 trên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm của AC. Góc giữa hai mặt phẳng (BCC1B1 ) và (ABC) bằng 600 . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách giữa hai đường thẳng AA1 và BC theo a . Đ/s: V = 3a 3 3 3a ;d = 8 4 HT37. Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 có các cạnh bằng a . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh A1B1 và B1C1. Tính thể tích khối tứ diện AD1MN theo a . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và D1N . Đ/s: V = a3 3a ;d = 8 21 HT38. Cho hình lăng trụ đứng ABC .A1B1C1 có AB = a, AC = 2a, AA1 = 2a 5 và BAC = 1200. Gọi K là trung điểm của CC1. Tính thể tích khối chóp A.A1BK . Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A1B1BK . Gọi I là trung điểm của BB1, tính khoảng cách từ I đến mặt phẳng (A1BK ). Đ/s: V = a 3 15 a 21 a 5 ;R = ;d = 3 2 6 HT39. Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 có đoạn nối hai tâm của hai mặt bên kề nhau có độ dài bằng a . Tính theo a thể tích khối lập phương ABCD.A1B1C1D1 và khoảng cách giữa hai đường thẳng AC1 và B1D1. Đ/s: V = 2 2a 3 ; d= a 3 HT40. Cho hình lăng trụ đứng ABC .A1B1C1 có đáy là tam giác đều. Gọi M là trung điểm của cạnh BB1. Biết đường thẳng A1B,CM vuông góc với nhau và cách nhau một khoảng bằng a 3 . Tính theo a thể tích khối lăng trụ 10 ABC .A1B1C1. Đ/s: V = 2a 3 3 HT41. Cho lăng trụ đứng ABC .A1B1C1, có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a . Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, biết rằng khoảng cách từ điểm G đến mặt phẳng (A1BC ) bằng a 15 . Tính thể tích của khối lăng trụ ABC .A1B1C1 và cosin góc giữa hai đường thẳng A1B và AC 1. BỂ HỌC VÔ BỜ – CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 45 GV.Lưu Huy Thưởng Đ/s: V = 0968.393.899 3a 3 5 ; cos α = 4 8 BỂ HỌC VÔ BỜ – CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 46 GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 TUYỂN TẬP ĐỀ THI ĐẠI HỌC CÁC NĂM HT 1. AA1 – 13 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, ABC = 300 , SBC là tam giác đều cạnh a và mặt bên SBC vuông góc với đáy. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB ). Đ/s: V = a3 a 39 ;d = 16 13 HT 2. B – 13 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD). Đ/s: V = a3 3 a 21 ;d = 6 7 D – 13 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, BAD = 1200, M là HT 3. trung điểm của cạnh BC và SMA = 450. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm D đến mặt a3 a 6 ;d = 4 4 AA1 – 12 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) phẳng (SBC). Đ/s: V = HT 4. là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 600 . Tính thể tích khối chóp S .ABC và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a. Đ/S: V = a3 7 a 42 ; d(SA, BC ) = 12 8 HT 5. B – 12 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với SA = 2a, AB = a . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên cạnh SC. Chứng minh rằng SC vuông góc với (ABH). Tính thể tích của khối chóp S.ABH theo a. Đ/s: V = 7 11a 3 96 HT 6. D – 12 Cho hình hộp đứng ABCD.A ‘ B ‘ C ‘ D ‘ có đáy là hình vuông, tam giác A ‘ AC vuông cân, A ‘C = a . Tính thể tích khối tứ diện ABB ‘C ‘ và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD’) theo a. Đ/s: V = a3 2 a 6 ; d (A,(BCD ‘)) = 48 6 HT 7. A – 11 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm của AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a. Đ/s: V = a 3 3;d (AB, SN ) = 2a 39 13 HT 8. B – 11 Cho lăng trụ ABCD.A ‘ B ‘ C ‘ D ‘ có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = a 3. Hình chiếu vuông góc của điểm A’ trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD. Góc giữa hai mặt phẳng (ADD’A’) và (ABCD) bằng 600. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ điểm B’ đến mặt phẳng (A’BD) theo a. Đ/s: V = HT 9. 3a 3 a 3 ;d = 2 2 D – 11 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a; mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết SB = 2a 3 và SBC = 300. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a. Đ/s: V = 2a 3 3; d (B,(SAC )) = 6a 7 7 HT 10. A – 10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh BỂ HỌC VÔ BỜ – CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 47 GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 AB và AD; H là giao điểm của CN với DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH = a 3. Tính thể tích khối chóp S.CDNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a. Đ/s: V = 5 3a 3 2 3a ;d = 24 19 HT 11. B – 10 Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC .A ‘ B ‘C ‘ có AB = a, góc giữa hai mặt phẳng (A ‘ BC ) và (ABC) bằng 600 . Gọi G là trọng tâm tam giác A’BC. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện G.ABC theo a. Đ/s: V = 3a 3 3 7a ;R = 8 12 HT 12. D – 10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a; hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ACBD) là điểm H thuộc đoạn AC, AH = AC . Gọi CM là đường cao tam giác SAC. Chứng minh M là trung 4 điểm của SA và thể tích khối tứ diện SMBC theo a. Đ/s: V = a 3 14 48 HT 13. A – 09 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D; AB = AD = 2a;CD = a, góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600. Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích khối chóp S.ABCD. Đ/s: V = 3 15a 3 5 HT 14. B – 09 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có BB ‘ = a, góc giữa đường thẳng BB’ và mặt phẳng (ABC) bằng 600 ; tam giác ABC vuông tại C và BAC = 600. Hình chiếu vuông góc của điểm B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể tích khối tứ diện A’ABC theo a. Đ/s: V = 9a 3 208 HT 15. D – 09 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông tại B. Giả sử AB = a ; AA ‘ = 2a; AC ‘ = 3a. Gọi M là trung điểm của A’C’ và I là giao điểm của AM và A’C. Tính thể tích tứ diện IABC. Tìm khoảng cách từ A tới (IBC). Đ/s: V = 4a 3 2a 5 ;d = 9 5 HT 16. (A–08) Cho lăng trụ ABC. A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a 3 và hình chiếu vuông góc của A’ trên (ABC) là trung điểm của BC. Tính theo a thể tích của khối chóp A’.ABC và cosin của góc giữa 2 đường thẳng AA’ và B’C’. HD: V = a3 1 ;cos ϕ = 2 4 HT 17. (B–08): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB = a 3 và (SAB) vuông góc mặt đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB, BC. Tính theo a thể tích của khối chóp S.BMDN và cosin của góc giữa hai đường thẳng SM và DN. HD: V = a3 3 ; 3 cos ϕ = 5 5 HT 18. (D–08): Cho lăng trụ đứng ABC. A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên AA’ = a 2 . Gọi M là trung điềm của BC. Tính theo a thể tích của lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa 2 đường thẳng AM, B′C. HD: 2a 3 a 7 ; d= 2 7 HT 19. (A–07): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong V = BỂ HỌC VÔ BỜ – CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 48 GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm SB, BC, CD. Chứng minh AM ⊥ BP và tính thể tích khối 3a 3 96 HT 20. (B–07): Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA; M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh MN ⊥ BD và tính khoảng cách giữa hai CMNP. HD: V = đường thẳng MN và AC. HD: d= a 2 4 HT 21. (D–07): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với ABC = BAD = 900 , BC = BA = a, AD = 2a. SA⊥(ABCD), SA = a 2 . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB. Chứng minh tam giác SCD vuông và tính khoảng a cách từ H đến (SCD). HD: d= 3 HT 22. (A–06): Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O′, bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a. Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm O′ lấy điểm B sao cho AB = 2a. Tính thể tích của khối tứ diện OO′AB. HD: V = 3a 3 12 HT 23. (B–06): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = a 2 , SA = a và SA ⊥ (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, SC; I là giao điểm của BM và AC. Chứng minh rằng (SAC) ⊥ (SMB). Tính thể tích a3 2 36 HT 24. (D–06): Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA ⊥ (ABC ) . Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC. Tính thể tích của hình chóp A.BCMN. của khối tứ diện ANIB. HD: HD: V = V = 3 3a 3 50 HT 25. (Dự bị 1 B–07): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA ⊥ (ABCD). AB = a, SA = a 2 . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SD. Chứng minh SC⊥(AHK) và tính thể tích của tứ diện OAHK. HD: V = 2a 3 27 HT 26. (Dự bị 2 B–07): Trong mặt phẳng (P), cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R và điểm C thuộc nửa đường ( ) tròn đó sao cho AC = R. Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại A lấy điểm S sao cho (SAB),(SBC) = 600 . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SC. Chứng minh tam giác AHK vuông và tính thể tích tứ diện SABC. HD: V = R3 6 12 HT 27. (Dự bị 1 D–07): Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có đáy ABC là tam giác vuông, AB = AC = a, AA1 = a 2 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm đoạn AA1 và BC1. Chứng minh MN là đường vuông góc chung của AA1 và BC1. Tính thể tích của tứ diện MA1BC1. HD: V = a3 2 12 HT 28. (Dự bị 2 D–07): Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có tất cả các cạnh đều bằng a. M là trung điểm của đoạn AA1. Chứng minh BM ⊥ B1C và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BM và B1C. HD: d= a 30 10 a 3 và BAD = 600 . Gọi M, 2 N lần lượt là trung điểm của các cạnh A’D’ và A’B’. Chứng minh AC’ ⊥ (BDMN). Tính thể tích khối chóp A.BDMN. HT 29. (Dự bị 1 A–06): Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh AB = AD = a, AA’ = HD: V = 3a 3 16 HT 30. (Dự bị 2 A–06): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a, cạnh SA vuông góc BỂ HỌC VÔ BỜ – CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 49 GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 với đáy, cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy một góc 600. Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho AM = a 3 . Mặt phẳng (BCM) cắt 3 cạnh SD tại N. Tính thể tích khối chóp S.BCNM. HD: V = 10 3 3 a 27 HT 31. (Dự bị 1 B–06): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, BAD = 600 , SA ⊥ (ABCD), SA = a. Gọi C’ là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) đi qua AC’ và song song với BD, cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại B’, D’. Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’. HD: V = a3 3 18 HT 32. (Dự bị 2 B–06): Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có A’ABC là hình chóp tam giác đều, cạnh đáy AB = a, cạnh bên AA’ = b. Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (A’BC). Tính tanα và thể tích khối chóp A’.BB’C’C. HD: tanα = 2 3b 2 − a 2 ; a V = a 2 3b 2 − a 2 6 HT 33. (Dự bị 1 D–06): Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Gọi SH là đường cao của hình chóp. Khoảng cách từ trung điểm I của SH đến mặt phẳng (SBC) bằng b. Tính thể tích khối chóp S.ABCD. HD: V = 2 a 3b . 3 a 2 − 16b 2 2 a 3 . Mặt phẳng (α) đi qua A, K và song song với BD, chia khối lập phương thành hai khối đa diện. Tính thể tích của hai khối đa diện đó. HT 34. (Dự bị 2 D–06): Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ có cạnh bằng a và điểm K thuộc cạnh CC′ sao cho CK = HD: V1 = a3 ; 3 V2 = 2a 3 3 HT 35. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, cạnh bên SA = 5 . Một mặt phẳng (P) đi qua AB và vuông góc với mp(SCD) lần lượt cắt SC và SD tại C′ và D′. Tính thể tích của khối đa diện ADD′.BCC′. HD: V = 5a 3 3 6 HT 36. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB =a, AD = a 2 , SA ⊥ (ABCD). Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AD và SC, I là giao điểm của BM và AC. a) Chứng minh mp(SAC) ⊥ BM. b) Tính thể tích của khối tứ diện ANIB. HT 37. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, cạnh bên SA = a 5 . Một mặt phẳng (P) đi qua AB và vuông góc với mp(SCD) lần lượt cắt SC và SD tại C′ và D′. Tính thể tích của khối đa diện ADD′.BCC′. HD: Ghép thêm khối S.ABC’D’ vào khối ADD’.BCC’ thì được khối SABCD ⇒V = 5a 3 3 6 HT 38. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA ⊥ (ABC).Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của A trên các đường thẳng SB và SC. Tính thể tích khối chóp A.BCNM.  2 2 SA SM SN 16  SA  3a 3 3 HD: = . . =  ⇒ V =  =  SB 2  VSABC SA SB SC 25 50 VSAMN BỂ HỌC VÔ BỜ – CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 50 GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 PHẦN III: KHỐI TRÒN XOAY I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ I. Mặt cầu – Khối cầu: 1. Định nghĩa • Mặt cầu: S (O; R) = {M OM = R} • Khối cầu: V (O; R) = {M OM ≤ R} 2. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng Cho mặt cầu S(O; R) và mặt phẳng (P). Gọi d = d(O; (P)). • Nếu d < R thì (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn nằm trên (P), có tâm H và bán kính r = R2 − d 2 . • Nếu d = R thì (P) tiếp xúc với (S) tại tiếp điểm H. ((P) đgl tiếp diện của (S)) • Nếu d > R thì (P) và (S) không có điểm chung. Khi d = 0 thì (P) đi qua tâm O và đgl mặt phẳng kính, đường tròn giao tuyến có bán kính bằng R đgl đường tròn lớn. 3. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng Cho mặt cầu S(O; R) và đường thẳng ∆. Gọi d = d(O; ∆). • Nếu d < R thì ∆ cắt (S) tại hai điểm phân biệt. • Nếu d = R thì ∆ tiếp xúc với (S). (∆ đgl tiếp tuyến của (S)). • Nếu d > R thì ∆ và (S) không có điểm chung. 4. Mặt cầu ngoại tiếp – nội tiếp Mặt cầu ngoại tiếp Tất cả các đỉnh của hình đa diện đều nằm trên mặt cầu Hình trụ Hai đường tròn đáy của hình trụ nằm trên mặt cầu Hình nón Mặt cầu đi qua đỉnh và đường tròn đáy của hình nón 5. Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện Hình đa diện Mặt cầu nội tiếp Tất cả các mặt của hình đa diện đều tiếp xúc với mặt cầu Mặt cầu tiếp xúc với các mặt đáy và mọi đường sinh của hình trụ Mặt cầu tiếp xúc với mặt đáy và mọi đường sinh của hình nón • Cách 1: Nếu (n – 2) đỉnh của đa diện nhìn hai đỉnh còn lại dưới một góc vuông thì tâm của mặt cầu là trung điểm của đoạn thẳng nối hai đỉnh đó. • Cách 2: Để xác định tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. – Xác định trục ∆ của đáy (∆ là đường thẳng vuông góc với đáy tại tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy). – Xác định mặt phẳng trung trực (P) của một cạnh bên. – Giao điểm của (P) và ∆ là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. II. Diện tích – Thể tích Cầu Diện tích S = 4πR 2 Trụ Sxq = 2πRh BỂ HỌC VÔ BỜ – CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Nón Sxq = πRl Page 51 GV.Lưu Huy Thưởng Thể tích 0968.393.899 V = 4 πR 3 3 Stp = Sxq + 2Sñaùy Stp = Sxq + Sñaùy V = πR2h V = 1 πR2h 3 II. CÁC DẠNG TOÁN DẠNG TOÁN 1: Mặt cầu – Khối cầu HT 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và SA ⊥ (ABC ) . a) Gọi O là trung điểm của SC. Chứng minh: OA = OB = OC = SO. Suy ra bốn điểm A, B, C, S cùng nằm trên mặt cầu tâm O bán kính R = SC . 2 b) Cho SA = BC = a và AB = a 2 . Tính bán kính mặt cầu nói trên. HT 2. Trong mặt phẳng (P), cho đường thẳng d và một điểm A ngoài d. Một góc xAy di động quanh A, cắt d tại B và C. Trên đường thẳng qua A vuông góc với (P) lấy điểm S. Gọi H và K là các hình chiếu vuông góc của A trên SB và SC. a) Chứng minh A, B, C, H, K thuộc cùng một mặt cầu. b) Tính bán kính mặt cầu trên, biết AB = 2, AC = 3, BAC = 600 . HT 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD ) và SA = a 3 . Gọi O là tâm hình vuông ABCD và K là hình chiếu của B trên SC. a) Chúng minh ba điểm O, A, K cùng nhìn đoạn SB dưới một góc vuông. Suy ra năm điểm S, D, A, K B cùng nằm trên mặt cầu đường kính SB. b) Xác định tâm và bán kính mặt cầu nói trên. HT 4. Cho mặt cầu S(O; a) và một điểm A, biết OA = 2a. Qua A kẻ một tiếp tuyến tiếp xúc với (S) tại B và cũng qua A kẻ một cát tuyến cắt (S) tại C và D, biết CD = a 3 . a) Tính AB. b) Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng CD. HT 5. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, có cạnh đáy bằng a và góc hợp bởi mặt bên và đáy bằng 600. Gọi O là tâm của tam giác ABC. Trong tam giác SAO dựng đường trung trực của cạnh SA, cắt SO tại K. a) Tính SO, SA. b) Chứng minh ∆SMK ∼ ∆SOA ( với M là trung điểm của SA). Suy ra KS. c) Chứng minh hình chóp K.ABC là hình chóp đều. suy ra: KA = KB +KC. d) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. HT 6. Cho hình chóp S.ABC. biết rằng có một mặt cầu bán kính R tiếp xúc với các cạnh của hình chóp và tâm I của mặt cầu nằm trên đường cao SH của hình chóp. a) Chứng minh rằng S.ABC là hình chóp đều. b) Tính chiều cao của hình chóp, biết rằng IS = R 3 HT 7. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh là a. a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện. b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu đó. HT 8. Cho một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy là a, cạnh bên hợp với mặt đáy một góc 600. a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu đó. HT 9. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đi qua năm điểm S, A, B, C, D. HT 10. Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là 13, 14, 15. Một mặt cầu tâm O, bán kính R = 5 tiếp xúc với ba cạnh của tam giác ABC tại các tiếp điểm nằm trên ba cạnh đó. Tính khoảng cách từ tâm mặt cầu tới mặt phẳng chứa tam giác. HT 11. Hình chóp S.ABC có đường cao SA = a, đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. BỂ HỌC VÔ BỜ – CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 52 GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 HT 12. Cho hình chóp từ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và góc hợp bởi mặt bên và đáy bằng 600. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. HT 13. Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy a và đường cao h. Gọi O là tâm của ABCD và H là trung điểm của BC. Đường phân giác trong của góc SHO cắt SO tại I. Chứng minh rằng I là tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp. Tính bán kính mặt cầu này. HT 14. Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) và tam giác ABC vuông tại B. Gọi AH, AK lần lượt là các đường cao của các tam giác SAB và SAC. a) Chứng minh rằng năm điểm A, B, C, H, K cùng ở trên một mặt cầu. b) Cho AB = 10, BC = 24. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu đó. HT 15. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA = a 7 và SA ⊥ (ABCD). Một mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với SC, cắt SB, SC, SD lần lượt tại H, M, K. a) Chứng minh rằng bảy điểm A, B, C, D, H, M, K cùng ở trên một mặt cầu. b) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu đó. DẠNG TOÁN 2: Mặt trụ – Hình trụ – Khối trụ HT 16. Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O′, bán kính đáy bằng 2 cm. Trên đường tròn đáy tâm O lấy hai điểm A, B sao cho AB = 2 cm. Biết rằng thể tích tứ diện OO′AB bằng 8 cm3. Tính chiều cao hình trụ và thể tích khối trụ. HT 17. Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O′, bán kính đáy bằng 2 cm. Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A sao cho AO′ hợp với mặt phẳng đáy một góc 600 . Tính chiều cao hình trụ và thể tích khối trụ. HT 18. Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O′, bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a. Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm O′ lấy điểm B sao cho AB = 2a. Tính thể tích của khối tứ diện OO′AB. HT 19. Một khối trụ có chiều cao bằng 20 cm và có bán kính đáy bằng 10 cm. Người ta kẻ hai bán kính OA và O’B’ lần lượt trên hai đáy sao cho chúng hợp với nhau một góc 300. Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng chứa đường thẳng AB’ và song song với trục OO’ của khối trụ đó. Hãy tính diện tích của thiết diện. HT 20. Một hình trụ có bán kính đáy R = 53 cm, khoảng cách giữa hai đáy h = 56 cm. Một thiết diện song song với trục là hình vuông. Tính khoảng cách từ trục đến mặt phẳng thiết diện. HT 21. Cho hình trụ bán kính đáy R, chiều cao OO′ = h, A và B là hai điểm thay đổi trên hai đường tròn đáy sao cho độ ( ) dài AB = a không đổi h > a < h 2 + 4R2 . a) Chứng minh góc giữa hai đường thẳng AB và OO’ không đổi. b) Chứng minh khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và OO’ không đổi. HT 22. Trong không gian cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi I và H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Khi quay hình vuông đó xung quanh trục IH ta được một hình trụ tròn xoay. a) Tính diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay được tạo nên. b) Tính thể tích của khối trụ tròn xoay được tạo nên bởi hình trụ tròn xoay đó. HT 23. Một hình trụ có bán kính đáy R và có thiết diện qua trục là một hình vuông. a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ. b) Tính thể tích của khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp trong khối trụ đã cho. HT 24. Một hình trụ có bán kính đáy R và đường cao bằng R 3 ; A và B là hai điểm trên hai đường tròn đáy sao cho góc hợp bởi AB và trục của hình trụ là 300. a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ. b) Tính khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ. HT 25. Cho hình trụ bán kính đáy R, chiều cao h. Gọi A và B là hai điểm lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy (O, R) và (O′, R) sao cho OA và O′B hợp với nhau một góc bằng x và và hai đường thẳng AB, O′O hợp với nhau một góc bằng y. a) Tính bán kính R theo h, x, y. b) Tính Sxq, Stp và thể tích V của hình trụ theo h, x, y. HT 26. Cho hình trụ bán kính đáy bằng a và trục OO’ = 2a. OA và OB’ là hai bán kính của hai đường tròn đáy (O), (O’) sao cho góc của OA và OB’ bằng 300. a) Tính độ dài đoạn thẳng AB’. b) Tính tang của góc giữa AB’ và OO’. c) Tính khoảng cách giữa AB’ và OO’. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 53 GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 HT 27. Một khối trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O’, bán kính R và có đường cao h = R 2 . Gọi A là một điểm trên đường tròn tâm O và B là một điểm trên đường tròn tâm O’ sao cho OA vuông góc với O’B. a) Chứng minh rằng các mặt bên của tứ diện OABO’ là những tam giác vuông. Tính tỉ số thể tích của khối tứ diện OABO’ và khối trụ. b) Gọi (α) là mặt phẳng qua AB và song song với OO’. Tính khoảng cách giữa trục OO’ và mặt phẳng (α) . R 2 c) Chứng minh rằng (α) là tiếp diện của mặt trụ có trục OO’ và có bán kính đáy bằng . 2 MẶT NÓN – HÌNH NÓN – KHỐI NÓN HT1. Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A′B′C′D′ có cạnh đáy bằng a, chiều cao 2a. Biết rằng O′ là tâm của A′B′C′D′ và (C) là đường tròn nội tiếp đáy ABCD. Tính thể tích khối nón có đỉnh O′ và đáy (C). HT2. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có cạnh đáy bằng a và chiều cao 2a. Biết rằng O′ là tâm của A′B′C′ và (C) là đường tròn nội tiếp đáy ABC. Tính thể tích khối nón có đỉnh O′ và đáy (C). HT3. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với đáy một góc 600 . Gọi (C) là đường tròn ngoại tiếp đáy ABCD. Tính thể tích khối nón có đỉnh S và đáy (C). HT4. Trong không gian cho tam giác OIM vuông tại I, góc IOM bằng 300 và cạnh IM = a. Khi quay tam giác OIM quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OMI tạo thành một hình nón tròn xoay. a) Tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay tạo thành. b) Tính thể tích của khối nón tròn xoay tạo thành. HT5. Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a. a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón. b) Tính thể tích của khối nón tương ứng. c) Một thiết diện qua đỉnh và tạo với đáy một góc 600. Tính diện tích của thiết diện này. HT6. Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO, A và B là hai điểm thuộc đường tròn đáy sao cho khoảng cách từ điểm O đến AB bằng a và SAO = 300 , SAB =600 . Tính độ dài đường sinh của hình nón theo a. HT7. Thiết diện qua trục của một khối nón là một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng a. Tính thể tích khối nón và diện tích xung quanh của hình nón đã cho. HT8. Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’ cạnh a. Tính diện tích xung quanh của hình nón có đỉnh là tâm O của hình vuông ABCD và đáy là hình tròn nội tiếp hình vuông A’B’C’D’. HT9. Cắt một hình nón bằng một mặt phẳng đi qua trục của nó, ta được thiết diện là một tam giác đều cạnh 2a. Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình và thể tích của khối nón. HT10. Cho hình chóp tam giác đều S. ABC có cạnh bên bằng a và góc giữa các mặt bên và mặt đáy là α . Một hình nón đỉnh S có đường tròn đáy nội tiếp tam giác đều ABC, Hãy tính diện tích xung quanh của hình nón này theo a và α . HT11. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có chiều cao SO = h và SAB = α ( α > 450). Tính diện tích xung quanh của hình nón đỉnh S và có đường tròn đáy ngoại tiếp hình vuông ABCD. HT12. Một hình nón có độ dài đường sinh bằng 1 và góc giữa đường sinh và đáy là α . a) Tình diện tích xung quanh và thể tích của khối nón. b) Gọi I là điểm trên đường cao SO của hình nón sao cho SI = k (0 < k < 1) . Tính diện tích của thiết diện qua I và SO vuông góc với trục. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 54