Chuyên đề hình học bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7

Giới thiệu Chuyên đề hình học bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7 Toán 7

Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và bạn đọc Chuyên đề hình học bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7.

Tài liệu môn Toán sẽ luôn được cập thường xuyên từ hoctoanonline.vn, các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán hay và mới nhất.

Tài liệu Chuyên đề hình học bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7

Tips: thầy cô có thể tìm thêm tài liệu với google tại đây.

Text Chuyên đề hình học bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7
CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC 7 Bài 1: Cho Tam giác ABC nhọn, AH là đường cao, về phía ngoài của tam giác vẽ các  ABE vuông cân ở B và  ACF vuông cân tại C, Trên tia đối của tia AH, lấy điểm I sao cho AI=BC. CMR: a,  ABI=  BEC b, BI = CE và BI vuông góc với CE c, Ba đường thẳng AH, CE, BF cắt nhau tại 1 điểm Bài làm : I a, Ta có : ( IAB = 1800 − BAH = 1800 − 900 − ABC ) = 900 + ABC = EBC Và AB = BE , AI = BC = ABI = BEC (c.g.c) b, Theo câu a ta có : F ABI = BEC = BI = EC, ECB = BIA A hay ECB = BIH , Gọi M là giao điểm của của CE và BI, Ta có : MBC + MCB = BIH + IBH = 900 => CE ⊥ BI c, Chứng minh tương tự: BF ⊥ AC , Trong BIC có AH, CE,BF là đường cao Nên đồng quy tại 1 điểm. E M B C H Bài 2: Cho  ABC có ba góc nhọn, trung tuyến AM, trên nửa mặt phẳng chứa điểm C bờ là đường thẳng AB, vẽ AE vuông góc với AB và AE=AB, trên nửa mặt phẳng bờ AC chứa điểm B vẽ AD vuông góc với AC và AD=AC a, CMR: BD=CE b, Trên tia đối của tia MA lấy điểm N sao cho MN=MA, CMR :  ADE=  CAN AD2 + IE 2 =1 c, Gọi I là giao của DE và AM, CMR: A DI 2 + AE 2 a, Chứng minh ABD = AEC ( c.g.c ) => BD=EC b, Chứng minh CMN = BMA( c.g.c ) Bài làm: E I D =>CN=AB và ABC = NCM , có: DAE = DAC + BAE − BAC = 900 + 900 − BAC = 1800 − BAC (1) Và ACN = ACM + MCN = ACB + ABC = 1800 − BAC (2) Từ (1) và (2) ta có: DAE = ACN CM : ADE = CAN ( c.g.c ) B C M N c, ADE = CAN ( cmt ) = ADE = CAN mà DAN + CAN = 900 = DAN + ADE = 900 Hay DAI + ADI = 900 = AI ⊥ DE Áp dụng định lý py-ta-go cho AID và AIE có: AD2 + IE 2 AD2 − DI 2 = AE 2 − EI 2 = AD2 + EI 2 = AE 2 + DI 2 = 2 =1 DI + AE 2 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 1 Bài 3: Cho  ABC, trung tuyến AM, vẽ ra ngoài tam giác này các tam giác vuông cân ở A là  ABD và  ACE a, Trên tia đối của tia MA lấy điểm F sao cho MF=AM, CMR: ABF = DAE b, CMR: DE = 2. AM Bài làm: E a, Cm: AMC = FMB ( c.g.c ) = CAM = BFM = AC / / BF Do đó: ABF + BAC = 1800 (1) Và DAE + BAC = 1800 , do DAB + EAC = 1800 Từ (1) và (2) ta có: ABF = DAE D (2) A b, Chứng minh: ABF = DAE ( c.g.c ) = AF = CE ta có: AF = 2. AE = DE = 2. AM B C M Bài 4: Cho  ABC có A  1200 , Dừng bên ngoài các tam giác đều ABD, ACE F a, Gọi là giao điểm của BE và CD, Tính BMC b, CMR: MA+MB=MD c, CMR: AMC = BMC Bài làm : E a, Ta có : ADC = ABE ( c.g.c ) = ADC = ABE Gọi F là giao điểm của AB và CD Xét ADF và BMF có : A D D = B, AFD = BFM = BMF = FAD = BMF = 600 P => BMC = 1200 F M b, Trên tia MD lấy điểm P sao cho BM=MP => BMP đều=> BP = BM , MBP = 600 B C Kết hợp với ABD = 600 = MBA = PBD = PDB = MBA ( c.g.c ) => AM = DP => AM + MB = DP + PM = DM c, Từ PBD = MBA = AMB = DPB , mà BPD = 1200 = BMA = 1200 => AMC = 1200 = AMC = BMC GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 2 Bài 5: Cho  ABC nhọn, trên nửa mp bờ AB không chứa C, dựng đoạn thẳng AD vuông góc với AB và AD= AB, trên nửa mp bờ AC không chứa B, dừng AE vuông góc AC và AE=AC, vẽ AH vuông góc với BC, đường thẳng HA cắt DE ở K, CMR: K là trung điểm của DE Bài làm : Trên AK lấy điểm H sao cho AH=BC Ta có : H KAE = ACH Vì cùng phụ với góc HAC Nên EHA = ABC ( c.g.c ) E K = AB = HE ( Hai cạnh tương ứng) D Và HEA = BAC , A mà : BAC + DAE = 1800 = HEA + DAE = 1800 Do đó : AD//HE Khi đó : KAD = KHE ( g.c.g ) = KD = KE B C H Bài 6: Cho  ABC có góc A nhọn, về phía ngoài tam giác ABC vẽ  BAD vuông cân tại A và  CAE vuông cân tại A, CMR: a, DC=BE và DC vuông góc với BE b, BD 2 + CE 2 = BC 2 + DE 2 c, Đường thẳng qua A và vuông góc với DE cắt BC tại K, CMR: K là trung điểm của BC a, ABE = ADC =>DC=BE Tự chứng minh DC ⊥ BE Bài làm: b, ta có: CE 2 = ME 2 + MC 2 = DB 2 = MD 2 + MB 2 DE 2 = MD 2 + ME 2 = BC 2 = MB 2 + MC 2 => BD 2 + CE 2 = ( MD 2 + MB 2 ) + ( ME 2 + MC 2 ) E Q D A => BC 2 + DE 2 = ( MB 2 + MC 2 ) + ( MD 2 + ME 2 ) M => BD 2 + CE 2 = BC 2 + DE 2 c, Trên AC lấy điểm P sao cho AP=DE, Ta cm: ADE = CPA => CP = AD = CP = AB, Chứng minh : P = BAK = ABK = PCK => CPK = BAK = BK = KC B C K P GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 3 Bài 7: Cho  ABC có A  900 , vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB, AE vuông góc và bằng AC, CMR: DC=BE và DC vuông góc BE D Bài làm: Ta có: 1 E EAB = A1 + A2 = A2 + A3 = CAD => AEB = ACD ( c.g.c ) =>BE=CD A 1 Gọi I là giao của CD với AB, K là giao của CD với BE Từ AEB = ACD ( c.g.c ) = D1 = B1 3 2 1 I K mà D1 + I1 = B1 + I 2 = 900 => IK ⊥ KB = CD ⊥ BE 1 B C Bài 8: Cho  ABC có A  900 , vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB, AE vuông góc và bằng AC, Gọi M là trung điểm của DE, kẻ MA, CMR: MA vuông góc với BC Bài làm: F Gọi H là giao điểm của AM và BC Trên AM lấy điểm F sao cho MA= MF AME = FMD ( c.g.c ) = AE = DF D M =>DF//AE=> FDA + DAE = 1800 Mà: DAE + BAC = 1800 = FDA = BAC E = FDA = CAB ( c.g.c ) = DAM = ABC A Mà DAM + HAB = 900 = ABH + HAB = 900 => AHB vuông tại H C B H Bài 9: Cho  ABC có A  900 , vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB, AE vuông góc và bằng AC, Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BC, CMR: HA đi qua trung điểm của DE Bài làm: D R Kẻ DR ⊥ AM , EQ ⊥ AM Chứng minh EQA = AHC = AH = EQ (1) M E Chứng minh DRA = AHB = AH = DR (2) Q Từ (1) và (2) suy ra EQ=RD => EQM = DRM = ME = MD (đpcm) A C GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức H B 4 Bài 10: Cho  ABC có A  900 , vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB, AE vuông góc và bằng AC, Gọi H là trung điểm của BC, CMR: HA vuông góc với DE Bài làm: D Trên AH lấy N sao cho AH=HN => AHC = NHB ( c.g.c ) = BN = AC = AE ta có: EAD + CAB = 1800 , ABN + CAB = 1800 M E => EAD = NBA => EAD = NBA = N = E = A1 2 A1 Mà A1 + A2 = 900 = E + A2 = 900 = M = 900 = AM ⊥ ED C B H N Bài 11: Cho  ABC có ba góc nhọn, đường cao AH, ở miền ngoài tam giác ta vẽ các tam giác vuông cân  ABE và  ACF đều nhận A làm đỉnh góc vuông, kẻ EM, FN cùng vuông góc với AH, (M, N thuộc AH) a, CMR: EM+HC=NH b, EN//FM Bài làm: a, Ta chứng minh  NAF=  HCA (Cạnh huyền góc nhọn) nên FN=AH và NA=CH (1) Tương tự ta chứng minh  AHB=  EMA (Cạnh huyền góc nhọn) => AH=ME, F Nên EM+HC=AH+NA=NH( đpcm) b, Từ AH=FN =>ME=FN =>  FNI=  EMI (g.c.g) => IM=IN và IF=IE M I N 1 A =>  FIM=  EIN( c.g.c)=> F1 = E1 , lại ở vị trí so le nên EN//FM C GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức E 1 B H 5 Bài 12: Cho  ABC có góc A  900 , B, C nhọn, đường cao AH, vẽ các điểm D và E sao cho AB là trung trực HD, AC là trung trực của HE, Gọi I, K lần lượt là giao của DE với AB, AC a, CMR:  ADE cân tại A b, Tính số đo AIC, AKB E Bài làm: A K 2 1 a, Chứng minh AD=AH, và AH=AE =>AD=AE=>  ADE cân tại A b,  IHK có IB là tia phân giác góc ngoài và KC là tia phân giác góc ngoài cắt nhau tại A Nên AH là tia phân giác góc trong, 5 I 4 G1 3 1 2 D J1 hay AH là tia phân giác góc IHK = H1 = H 2 Lại có: 1 2 B C H H1 = H 2 , H1 + H 2 + KHC + CHx = 180 , H 2 + KHC = 90 0 0 = KHC = CHx => HC là tia phân giác góc ngoài  IHK KC là tia phân giác góc ngoài  IHK=> IC là tia phân giác góc trong hay I 3 = I 4 = I 3 + I 2 = 900 hay AIC = 900 Chứng minh tương tự AKB = 900 Bài 13: Cho  ABC đường cao AH, vẽ ra ngoài tam giác ấy các tam giác vuông cân  ABD,  ACE cân tại B và C a, Qua điểm C vẽ đường thẳng vuông góc với BE cắt HA tại K, CMR : DC ⊥ BK b, 3 đường thẳng Ah, BE và CD đồng quy Bài làm: a, Ta có: B1 = K1 ( Cùng phụ với BCK ) K Tương tự ta cũng có : C1 = E ( cùng phụ với C2 ) =>  ECB=  CAK (g.c.g)=> AK=BC Chứng minh tương tự ta có : 1 2  DBC=  BAK => C3 = K2 mà : C3 + I1 = K2 = I 2 = 900 => KM ⊥ MI hay DC ⊥ BK E A b,  KBC có ba đường cao nên đồng quy. D M I 2 1 1 B GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 2 3 1 H C 6 Bài 14: Cho  ABC có A  900 , vẽ ra phía ngoài các tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB, AE vuông góc và bằng AC a, CMR: DC=BE và DC vuông góc BE b, Gọi N là trung điểm của DE, trên tia đối của tia NA, lấy M sao cho NA=NM, CMR: AB=ME và  ABC =  EMA M c, CMR: MA ⊥ BC E N D A C B H Bài 15: Cho  ABC cân tại A và cả ba góc đều là góc nhọn a, Về phía ngoài cảu tam giác vẽ  ABE vuông cân ở B, Gọi H là trung điểm của BC, trên tia đối của tia HA lấy điểm I sao cho AI=BC, CMR:  ABI=  BEC và BI ⊥ CE b, Phân giác của ABC, BDC cắt AB và BC lần lượt tại D và M, Phân giác BDA cắt BC tại N, CMR: 1 BD = MN 2 I HD: Xét hai  AIB và  BCE có: AI=BC(gt) BE=BA(gt) A IAB là góc ngoài của  ABH nên: IAB = ABH + AHB = ABH = 900 D E Ta có: EBC = EBA + ABC = ABC = 900 , Do đó: IAB = EBC Do đó:  ABI=  BEC(c.g.c) F C B H M Do  ABI=  BEC(c.g.c) nên AIB = BCE Trong  IHB vuông tại H có AIB + IBH = 900 do đó: BCE + IBH = 900 vậy CE vuông góc với BI b, Do tính chất của đường phân giác ta có: DM ⊥ DN Gọi F là trung điểm của MN, ta có: FM=FD=FN  FDM cân tại F nên FMD = MDF FMD = MBD + BDM (Góc ngoài của  ) = MBD + CDM => MBD = CDF (1) ta có: MBD = CDF + CFD (2) Do  ABC cân tại A nên MCD = 2MBD (3) 1 Từ (1), (2) và (3) suy ra: MBD = DFC hay  DBF cân tại D, do đó: BD = DF = MN 2 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức N 7 Bài 16: Cho  ABC. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó các  ABM và  CAN vuông cân ở A, Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của Mb, BC và CN, CMR: a, BN=CM N b, BN vuông góc với CM c,  DEF là tam giác vuông cân M A F I D B C E Bài 17: Cho  ABC có đường cao AH, trên nửa mp bờ BC có chứa điểm A, lấy hai điểm D và E sao cho  ABD và  ACE vuông cân tại B và C, trên tia đối của tia AH lấy điểm K sao cho AK=BC, CMR: a,  ABK=  BDC K b, CD ⊥ BK và BE ⊥ CK c, Ba đường thẳng AH, BE và CD đồng quy E A N D M B C H Bài 18: Cho  ABC, vẽ ra phía ngoài tam giác đó  ABM và  ACN vuông cân ở A, gọi D, E, F lần lượt là trung điểm cảu MB, BC, CN, CMR: N a, BN=CM b, BN vuông góc với CM c,  DEF là tam giác vuông cân M A F D B GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức E C 8 Bài 19:  ABC vuông tại A, đường cao AH, trung tuyến AM, trên tia đối của tia MA lấy điểm D Sao cho DM=MA, trên tia đối của CD lấy I sao cho CI=CA, Qua I vẽ đường thẳng song song với AC, cắt AH tại E, CMR : AE =BC Bài làm: E Đường thẳng AB cắt EI tại F, ABM = DCM , vì: F AM=DM(gt), MB=MC(gt) và AMB = DMC (đ2) => BAM = CDM = FB / / ID = ID ⊥ AC và FAI = CIA (so le) (1) I (2) IE / / AC = FAI = CIA Từ (1) và (2) => CIA = FIA vì có AI chung => IC = AC = AF (3) A 0 Và EFA = 90 (4) 2 Mặt khác : EAF = BAH (đ ) M (5) BAH = ACB ( cùng phụ ABC ) => EAF = ACB C B H Từ (3),(4) và (5) ta có : AFE = CAB = AE = BC D Bài 20: Cho  ABC đều, trong tam giác lấy điểm M sao cho MB=MC và BMC = 900 a, CMR:  AMB=  AMC b, trong  BMC lấy điểm E sao cho EBC = ECM = 300 , CMR:  MCE cân c, Giả sử điểm M nằm trong tam giác ABC sao cho MA:MB:MC=3:4:5, Tính AMB Bài làm: a, AMB = AMC ( c.c.c ) A b, Từ câu a suy ra: BAM = CAM = 30 => CAM = EBC (1) 0 Do MBC vuông cân nên MBC = 450 , ECB = 150 nên ECB = 15 = ECB = MCA (2) Lại có: AC=BC nên ACM = BCE ( c.g.c) N 0 M => CE = CM , hay MCE cân ở C c, Vẽ MBN đều, Đặt MA=3a, MB=4a. MC=5a => MN=BN=4a Ta được : ABN = CBM ( c.g.c ) = AN = CM = 5a Xét AMN có AM=3a, AN=5a, MN=4a nên AMN vuông tại M, mà BMN = 600 = AMB = 1500 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức C B 9 Bài 21: Cho  ABC, M là trung điểm của BC, trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME=MA. CMR: a, AC=EB và AC//BE b, Gọi I là 1 điểm trên AC, K là 1 điểm trên EB sao cho AI=EK, CMR: I, M, K thẳng hàng c, Từ E kẻ EH vuông góc với BC , biết HBE = 500 , MEB = 250 , Tính HEM , BME Bài làm: A a, AMC = EMB có AM=EM(gt)=> AMC = EMB (đ ) BM=MC(gt) nên AMC = EMB ( c.g.c ) =>AC=EB 2 I Vì AMC = EMB = MAC = MEB = AC / / BE b, Xét AMI và EMK có AM=EM(gt) MAI = MEK , AI = EK ( gt ) = AMI = EMK (c.g.c) B M H C => AMI = EMK , mà AMI + IME = 1800 = EMK + IME = 1800 Vạy I, M, K thẳng hàng ( ) c, Trong BHE H = 900 , HBE = 500 = HBE = 900 − HBE = 400 K => HEM = HEB − MEB = 400 − 250 = 150 BME là góc ngoài tại đỉnh M của HEM nên BME = HEM + MHE = 150 + 900 = 1050 E Bài 22: Cho  ABC cân tại A, trên cạnh BC lần lượt lấy hai điểm M và N sao cho BM=MN=NC, Gọi H là trung điểm của BC a, CMR: AM=AN và AH vuông góc với BC A b, Tính độ dài AM khi AB=5cm, BC=6cm c, CM: MAN  BAM = CAN Bài làm: a, Cm: ABM = ACN = AM = AN => AHB = AHC = 900 B M H C N b, Tính AH 2 = AB 2 − BH 2 = 16 = AH = 4 Tính AM 2 = AH 2 + MH 2 = 17 = AM = 17 c, Trên AM lấy điểm K sao cho AM=MK => AMN = KMB ( c.g.c ) K => MAN = BKM và AN=AM=BK Do BA>AM=>BA>BK=> BKA  BAK = MAN  BAM = CAN GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 10 Bài 23: Cho  ABC cần tại A, trên BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD=CE, các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt AB, AC lần lượt ở M và N a, CMR: DM=EN b, Đường thẳng BC cắt MN tại trung điểm I của MN c, Đướng thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua 1 điểm cố định khi D thay đổi trên BC Bài làm: A a, Tự chứng minh b, Cứng minh IDM = IEN ( g.c.g = MI = NI ) c, Gọi H là chân đường vuông góc kẻ tử A xuống BC, O là giao AH với đường vuông góc MN tại I CM: OAB = OAC ( c.g.c ) , OBM = OCN ( c.c.c ) M => OBA = OCA, OBM = OCN = OCA = OCN => OCA = OCN = 900 = OC ⊥ AN => Điểm O cố định C I B D E H N O Bài 24: Cho  ABC, đường trung tuyến BD, trên tia đối của tia DB lấy điểm E sao cho DE=DB, gọi M,N theo thứ tự là trung điểm của BC và CE, Gọi I, K theo thứ tự là giao điểm của AM, AN với BE, CMR: BI=IK=KE Bài làm : Theo bài ra ta có : I là trọng tậm của  ABC nên 2 BI = BD 3 tương tự K là trọng tâm của  ACE nên: 2 KE = DE mà BD=DE=> BI=KE 3 Ta lại có A E K N D I B C M 1 1 1 1 2 ID = BD, DK = DE = IK = BD + DE = BD = KE , Vậy BI=IK=KE 3 3 3 3 3 Bài 25: Cho  ABC, M là trung điểm của AB, N là trung điểm của AC, trên tia đối của tia NM, lấy điểm D sao cho NM=ND A a, CMR:  AMN=  CDN=> MB=CD b, CMR: MN//BC và MN=1/2 BC c, CMR: BD đi qua trung điểm của MC N M D I B GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức C 11 Câu 26: Cho  ABC vuông tại A , K là trung điểm của BC, trên tia đối của tia KA lấy D sao cho KD=KA a, CMR : CD//AB b, Gọi H là trung điểm của AC, BH cắt AD tại M, DH cắt BC tại N, CMR :  ABH=  CDH c, CMR :  HMN cân B BG : a, Xét ABK và DCK có : BK=CK (gt), BKA = CKD (đối đỉnh) AK=DK(gt) =>  ABK=  DCK(c.g.c) => DCK = DBK , mà ABC = ACB = 900 = ACD = ACB + BCD = 900 D K N M A C H => ACD = 90 = BAC = AB / /CD( AB ⊥ AC, CD ⊥ AC ) b, Xét hai  ABH và  CDH vuông có: BA=CD( Do  ABK=  DCK) AH=CH=>  ABH=  CDH (c.g.c) c, Xét hai tam giác vuông  ABC và  CDA có : AB=CD, ACD = 900 = BAC , AC là cạnh chung =>  ABC=  CDA(c.g.c) => ACB = CAD 0 mà AH=CH(gt) và MHA = NHC (Vì  ABH=  CDH) =>  AMH=  CNH (g.c.g) => MH=NH Vậy  HMN cân tại H Bài 27: Cho  ABC cân tại A, trung tuyến AM, trên tia đối của tia BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD= CE a, CMR :  ADE cân tại A b, CM: AM là phân giác DAE c, Từ B và C hạ BH, CJ theo thứ tự vuông góc với AD và AE, CMR:  AHB=  AKC d, CM: HK//DE e, Gọi I là giao điểm của HB và AM, CM: AB vuông góc với DI f, CM: HB, AM và CK cùng đi qua 1 điểm A K H D B M E C I GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 12 Bài 28: Cho  ABC cân tại A, trên cạnh AB lấy D, trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho BD=CE, kẻ DH và EK vuông góc với đường thẳng BC ( H và K thuộc đường thẳng BC) a, CM:  BDH=  CEK, từ đó suy ra BC= HK b, DE cắt BC tại I, CM I là trung điểm của DE A c, So sánh BC và DE d, Chứng minh chu vi của  ABC < chu vi  ADE D B ( I H C ) K E Bài 29: Cho  ABC cân tại A A  900 , trên cạnh BC lấy hai điểm D và E sao cho BD=DE=EC. Kẻ BH ⊥ AD, CK ⊥ AE ( H  AD, K  AE ) , BH cắt CK tại G, CM: a,  ADE cân b, BH=CK c, Gọi M là trung điểm của BC, CM: A, M, G thẳng hàng d, CM: AC> AD A g, CM: DAE  DAB D M E B C H K G Bài 30: Cho  ABC có B  C , kẻ AH vuông góc với BC a, So sánh BH và CH b, Lấy điểm D thuộc tia đối của tia BC sao cho BD=BA, lấy điểm E thuộc tia đối của tia CB sao cho CE=CA, CM: ADE  AED từ đó so sánh AD và AE c, Gọi G và K lần lượt là trung điểm của AD và AE, đường BG là các đường gì đối với  ABD? d, Gọi I là giao điểm BG và CK, CM AI là phân giác góc BAC e, CM đường trung trực của DE đi qua I A K G D GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức B E C H I 13 Bài 31: Cho  ABC có trung tuyến AD, đường thẳng qua D và song song với AB cắt đường thẳng qua B song song với AD tại E, AE cắt BD tại I, Gọi K là trung điểm của đoạn EC a, CMR :  ABD =  EDB b, IA=IE A c, Ba điểm A, D, K thẳng hàng B I C D K E Bài 32: Cho  ABC đường trung tuyến AI, trên tia dối của tia IA lấy điểm D sao cho ID=IA, Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và CD, Gọi E, F lần lượt là giao của, BN với AD CM: AE=EF= FD A M E C I B N F D Bài 33: Cho  ABC cân tại A, trên cạnh BC lấy điểm D và E sao cho BD=CE ( D nằm giữa B và E) a, CMR:  ABD=  ACE b, kẻ DM ⊥ AB và EN ⊥ AC, CMR : AM=AN A c, Gọi K là giao điểm của đường thẳng DM và EN, BAC = 1200 , CMR  DKE đều M N B D E C K GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 14 Bài 34: Cho  ABC cân tại A, Từ A hạ AH vuông góc với BC, Trên tia đối của HA lấy điểm M sao cho HM=HA, Trên tia đối của tia CB lấy điểm N sao cho CN=BC a, Chứng minh C là trọng tâm của  AMN b, Gọi I là trung điểm của MN, CMR: A, C, I thẳng hàng A B N C H I M Bài 35: Cho  ABC vuông ở A (AB H trùng I và K trùng I Hay Ax vuông góc với BC GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức D E A M N K C B H x 15 Bài 37: Cho  ABC vuông cân tại A, M là trung điểm của BC, lấy điểm D bất kỳ thuộc cạnh BC, H và I theo thứ tự là hình chiếu của B và C xuống AD, đường thẳng AM cắt CI tại N, CMR: a, BH=AI b, BH 2 + CI 2 có giá trị không đổi c, DN vuông góc với AC d, IM là tia phân giác HIC Bài làm: a, Chứng minh AHB = CIA (Cạnh huyền góc nhọn) =>BH=AI B H b, Áp dụng định lý Py-ta-go vào  ABH vuông tại H ta có: BH 2 + AH 2 = AB 2 = BH 2 + IC 2 = AB 2 mà AB không đổi nên BH 2 + CI 2 không đổi D M c, Vì  ABC vuông cân tại A nên AM là trung truyến và cũng là đường cao  ABC Xét  ADC có hai đường cao IC và AM cắt nhau tại N Nên N là trực tâm khi đó DN ⊥ AC I N d, IAM = ICM , mà ICM = HBM = HBM = IAM Chứng minh HBM = IAM ( c.g.c ) = MH = MI C A Có HMI = AMI + IMB = 900 => HMK vuông cân tại M=> HIM = 450 mà HIC = 900 nên IM là phana giác góc HIC Bài 38: Cho  ABC vuông cân tại B, có trung tuyến BM, gọi D là một điểm bất kỳ thuộc cạnh AC, kẻ AH và CK vuông góc với BD (H, K thuộc BD), CMR: a, BH=CK b,  MHK vuông cân Bài làm: a, ABH = BCK = BH = CK b, KBM = KCA , mà KCA = HAM = HAM = KBM Chứng minh HAM = KBM ( c.g.c ) = MH = MK A Có HMK = AMK + KMB = 900 => HMK vuông cân tại M H D M K N B GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức C 16 Bài 39: Cho  ABC vuông cân ở A, M là trung điểm của BC, điểm E nằm giữa M và C, kẻ BH, CK vuông góc với AE, CMR: a, BH=AK b,  MBH=  MAK B c,  MHK vuông cân Bài làm: 2 1 a, Ta có: B1 + A1 = 900 , A1 + A2 = 900 = B1 = A2 =>  BHA=  AKC ( cạnh huyền- góc nhọn) =>BH=AK b,  ABC vuông cân tại A=>AM=MB=MC Ta có: B2 + B1 = 450 , MAH + A2 = 450 mà B1 = A2 = B2 = MAH = BMH = AMK (c.g.c) c, Theo câu b,  BMH=  AMK=> MH=MK =>  MHK cân tại M và  MHA=  MKC (c.c.c) M 1 3 2 K H 1 2 A C => M1 = M 2 ,mà M1 = M 3 = 900 =>  MHK vuông cân tại M. Bài 40: Cho  ABC vuông tại A, M là trung điểm của BC, trên tia đối của tia MA, lấy điểm D sao cho AM= MD, gọi I và K lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ B và C xuống AD, N là chân đường vuông góc hạ từ M xuống AC a, CMR : BK=CI và BK//CI b, CMR : KN BK//CI M b, Chỉ ra được AM = MC = AMC cân tại M => MN là đường cao, trung tuyến của AMC I Nên N là trung điểm của AC H AKC vuông tại K, có KN là đường trung tuyến 1 1 C A N => KN = AC , Mặt khác MC = BC 2 2 Lại có ABC vuông cân tại A 1 1 => BC  AC = BC  AC = MC  KN O 2 2 c, Theo câu a, IM=MK mà AM=MD(gt)=>AI=KD, vậy để AI=IM=MK=KD thì cần AI=IM Mặt khác BI ⊥ AM =>Khi đó Bi là đường trung tuyến, là đường cao ABM => ABM cân tại B (1) Mà ABC vuông tại A, trung tuyến AM nên ABM cân tại M (2) 0 Từ (1) và (2) => ABM là tam giác đều=> ABM = 60 Vậy ABC cần điều kiện ABM = 600 d, Xảy ra 2 TH TH1 : Nếu I thuộc AM=> H  MC =>BI và DH cắt MN Gọi O là giao của BI và MN và O’ là giao của DH và MN CMR: AIO = MHO ‘ = MO = MO ‘ hay O trùng O’ => BI, DH, MN đồng quy TH2: Nếu I  MD = H  MB = BI , BH cắt tia đối tia MN, chứng minh tương tự TH1 Vậy BI, DH, MN đồng quy GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 17 Bài 41: Cho  ABC vuông tại A, vẽ AH vuông góc với BC, trên BC lấy điểm N sao cho BN=BA, trên cạnh BC lấy điểm M sao cho CM=CA, Tia phân giác của ABC cắt AM tại I và cắt AN tại D, tia phân giác ACB cắt AN tại K và cắt AM tại E, gọi O là giao điểm của BD và CE a, CMR: BD vuông góc với AN, CE vuông góc với AM b, BD//MK A c, IK=OA Bài làm: 1 2 a, Xét ABN có BA=BN=> Cân =>BD là đường phân giác, đường cao => BD ⊥ AN D E Tương tự : CAM có CA=CM=> CE là đường cao K => CE ⊥ AM O I b, Vì CAM cân, có CE vừa là đường cao, phân giác nên là đường trung trực 2 1 1 B => KA=KM và A2 = M 2 = M1 = A1 M H N C Xét MKN có : M1 + N1 = A1 + BAN = 900 = MKN vuông => MK ⊥ MN = BD / / MK vì cùng vuông góc với AN c, Ta có: MAK vuông cân tại K nên KE vừa là đường cao, trung tuyến=> KE=AE=ME AIK có ID, KE là hai đường cao nên AO ⊥ IK = OAI + AIK = 900 , EKI + EIK = 900 = OAI = EKI Xét AEO và KEI có :  AEO = KEI = 900  = AEO = KEI ( g.c.g ) = Ao = IK  AE = KE  OAE = EKI Bài 42: Cho  ABC vuông tại A, đường cao AH, Trên tia đối AH lấy điểm D sao cho AD=AH, Gọi E là trung điểm HC, F là giao điểm của DE và AC a, CMR: H, F và trung điểm M của DC là ba điểm thẳng hàng 1 D b, CMR: HF = .DC 3 c, Gọi P là trung điểm AH, CMR: EP vuông góc AB d, CMR: BP vuông góc DC và CP vuông góc với DB Bài làm: a, DHC , DE, CA là hai đường trung tuyến cắt nhau tại F A M nên F là trọng tâm, nên H, F và trung điểm M của DC thẳng hàng 2 b, Ta có : HF = .HM F P 3 mà DHC vuông tại H có HM là đường trung tuyến ứng 1 với cạnh huyền nên HM=MD=MC=> HM = DC C B 2 H E 2 1 DC => HF = . DC = 3 2 3 c, Vì PE là đường trung bình của AHC = PE / / AC mà AC ⊥ AB = PE ⊥ AB d, Theo câu c=> P là trực tâm của ABE = BP ⊥ AE, AE / / DC = BP ⊥ DC Xét DBC có AH và BP là hai đường cao nên Plaf trực tâm=> CP ⊥ AB GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 18 Bài 43: Cho  ABC vuông tại A, đường cao AH, trên tia đối của tia AH lấy điểm D sao cho AD=AH, Gọi E là trung điểm của đoạn thẳng HC, F là giao điểm của DE và AC a, Chứng minh: 3 điểm H, F và trung điểm M của đoạn CD là ba điểm thẳng hàng 1 b, CM: HF = DC 3 c, Gọi P là trung điểm của đoạn thẳng AH, CM: EP ⊥ AB D d, CM: BP ⊥ DC, CP ⊥ DB M A F P B H C E Bài 44: Cho  ABC vuông tại A, đường cao AH, trên tia đối của tia AH lấy điểm D sao cho AD=AH, Gọi E là trung điểm của đoạn thẳng HC, F là giao điểm của DE và AC a, CMR: H, F và trung điểm M của đoạn thẳng DC là ba điểm thẳng hàng 1 b, CMR: HF = DC 3 c, Gọi P là trung điểm của AH, CM EP ⊥ AB, B P ⊥ DC d, Tính CA2 + DE 2 theo DC D M A F P B GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức H E C 19 Bài 45: Cho  ABC vuông cân tại A, vẽ tia Cx ⊥ BC cắt tia phân giác góc B tại F, BF cắt AC tại E, kẻ CD ⊥ EF , kéo dài BA và CD giặp nhau tại S a, CM: ABC = ACF và CD là tia phân giác ECF b, CM : DE=DF, và SE=CF S c, CM : SE//CF và AE M = 900 = DM ⊥ BC N 2 Chứng minh tương tự: 1 N = 900 = EN ⊥ BC = EN / / DM I c,  IBA=  IBM E =>IA=IM=>  IAM cân O M 2 A 1 C D Bài 47: Cho  ABC vuông tại A, đường cao AH, Tia phân giác HAB cắt BC tại D, tia phân giác HAC cắt BC tại E, CMR : giao điểm các đường phân giác của  ABC là giao điểm các đường trung trực của  ADE Bài làm : A Theo bài ra ta có : 4 B1 + B2 = A3 + A4 = B1 = B2 = A3 = A4 => B1 + BAP = A4 + BAP = 900 => BP ⊥ AE  ABP Có BP vừa là đường phân giác vừa là đường cao nên là tam giác cân. =>BP là đường trung trực của AE Chứng minh tượng tự : CK là đường trung trực của AD, 1 2 3 P K M 1 1 2 B 2 D H C E mà BP cắt CK tại M=> M là giao 2 đường trung trực của  ADE GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 20 Câu 48: Cho  ABC có AB AIB = DIC ( c.c.c ) Q b, Chứng minh DAI = D, AIB = DIC (Theo câu a) E => BAI = D => DAI = BAI Vậy AI là tia phân giác của góc BAC c, Kẻ IE ⊥ AB , ta có:  AIE=  AIP =>AE=AP 1 mà AP = AD ( Vì P là trung điểm AD) 2 1 => AE = AD 2 D I Bài 49: Cho  ABC các đường phân giác của góc ngoài tại B và C cắt nhau ở E, gọi G, H, K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ E đến đường thẳng BC, AB, AC a, Có nhận xét gì về độ dài EH, EG, EK b, CM AE là phân giác BAC c, Đường phân giác góc ngoài tại đỉnh A của  ABC cắt các đường thẳng BE, CE theo thứ tự tại D và F, CM : EA ⊥ DF d, CM điểm cách đều các cạnh của  ABC cũng chính là trực tâm của  DEF F A D O B G C K H E GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 21 Bài 50: Cho  ABC (AB là tam giác cân b, Vì ABI cân=> BD là đường trung trực => KA=KI=> AKI cân tại K 1 D K 1 2 3 mà ABC cân => B = 400 = B1 = 200 = D1 = 600 Mà D1 = 2.K1 = K1 = 300 , mà KD là tia phân giác => AKI = 600 nên đều 1 1 B C I c, Vì AKI đều có DA=DK=> D nằm trên đường trung trực, cao => DI = AK => D là trọng tâm, trực tâm=> AC là đường trung trực KI=> CK=CI => CKI cân tại C=> K3 = I1 = 1800 − KIB ( ) ta có : KIB = 1800 − K 2 + B1 = 1800 − ( 300 + 200 ) = 1300 = I = 500 => K3 = 500 = CKB = 500 + 300 = 800 = KCB = 800 Bài 55: Cho  ABC có A = 1200 , các đường phân giác AD, BE, CF a, CMR DE là phân giác góc ngoài của  ADB b, Tính EDF Bài làm : a, Ta có : A1 = A2 = A3 = 60 nên AE là tia phân giác ngoài của  ABD, BE là tia phân giác góc B , Và AE cắt BE tại E nên DE là tia phân giác góc ngoài  ADB 0 B 1 2 D 4 3 1 2 F 1 b, Chứng minh tương tự FD là phân giác góc ngoài  ADC Khi đó : D1 = D2 , D3 = D4 = D1 + D3 = 900 1 2 2 A C E Bài 56: Cho  ABC cân tại A, đường cao AH, K là trung điểm của AB, J là trung điểm của AC, đường trung trực của đoạn AB cắt AH tại I, lấy D trên AB, E trên AC sao cho AD =CE, CM: a, IA=IC A b, ID=IE c,  HJK cân d, Cho biết A = 400 , tính các góc của  HJK D J K E I B GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức H C 24 Bài 57: Cho  ABC, Gọi O là giao điểm các đường phân giác của tam giác đó, từ O kẻ OD, OE, OF lần lượt vuông góc với BC, CA, AB, Trên tia đối của tia AC, BA, CB lấy theo thứ tự 3 điểm A1, B1, C1 , sao cho: AA1 = BC, BB1 = AC,CC1 = AB , CMR: a, AE=AF, BD=BF, CD=CE b, EA1 = FB1 = DC1 A1 c, O là giao điểm các đường trung trực của A1B1C1 A E F O B D C C1 B1 1 AB , qua D kẻ đường thẳng vuông 3 góc với AB cắt BC ở E, qua E kẻ đường vuông góc với BC cắt AC ở F a, CMR: DF ⊥ AC b, CM  DEF đều c, Trên tia đối của các tia DE, FD, EF lần lượt lấy các điểm P, M, N sao cho DP=FM=EN, Hỏi  MNP là  gì vì sao? d, Chứng minh rằng  ABC,  DEF,  MPN có cùng trọng tâm Bài 58: Cho  ABC đều, trên cạnh AB lấy điểm D sao cho BD = A M F P D B C E N GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 25 Bài 59: Cho  ABC, các đường phân giác của góc ngoài tại B và C cắt nhau ở E, gọi G, H, K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ E đến các đường thẳng BC, AB, AC a, Có nhận xét gì về độ dài EH, EG, EK b, Chứng minh AE là phân giác BAC c, đường phân giác góc ngoài tại đỉnh A của  ABC cắt các đường thẳng BE, CE theo thứ tự tại D và F, CMR: EA ⊥ DF d, Chứng minh điểm cách đều các cạnh của  ABC cũng chính là trực tâm của  DEF F F A A D D G C O B K G C B K H E H E Bài 60: Cho  ABC nhọn có ABHD c, Đường thẳng vuông góc với AK tại A cắt tia phân giác HKC tại I,  AKI là tam giác gì? d,  ABC phải có thêm điều kiện gì để BH=AK A I H B K D C Bài 65: Cho  ABC vuông tại A(AB DA=DH c, ABB ‘ cân tại A nên B ‘ = B = 2.C => B ‘ = A1 + C = 2.C = A1 + C = C = A1 = AB ‘ C cân tại B’ 2 B 1 H B’ C E d, AB=AB’=CB’, BE=BH=B’H Có AE=AB+BE, HC=CB’+B’H=>AE=HC GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 30 Bài 70: Cho  ABC có góc B là góc nhọn, và B = 2.C , Dựng đường cao AH, trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho BE=BH, CMR: a, BHE = C b, Đường thẳng EH di qua trung điểm AC A Bài làm: 1 M a, Ta có: B1 là góc ngoài của BEH => B1 = E + H = 2.H1 = 2.C = H1 = C B 3 1 2 1 C H E b, Giả sử EH cắt AC tại M => H1 = H 2 (đ2)=> MHC cân Lại có : H 2 + H 3 = 900 , A1 + C = 900 = A1 + H 2 = 900 => A1 = H3 = AMH cân=> MA=MH=>MA=MH=MC Bài 71: Cho  ABC có B  900 và B = 2.C , kẻ đường cao AH, trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho BE=BH, đường thẳng HE cắt AC tại D a, CMR: BEH = ACB b, CMR: DH=DC=DA c, Lấy B’ sao cho H là trung điểm của BB’, CMR:  AB’C cân Bài làm: a, Ta có: B1 = E1 + H1 = 2.E1 , mà B1 = 2.C = E1 = C 3 b, Ta có : E1 = H1 = H 2 = C = DH = DC mà A1 + C = 900 , H3 + H 2 = 900 = H3 + C = 900 1 => A1 = H 3 = DA = DH Vậy DA=DH=DC c, ABB ‘ cân => B1 = B1 ‘ = B ‘ AC + B ‘CA = 2C = B ‘ AC = C => AB ‘ C cân GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 31 Bài 72: Cho  ABC vuông tại A, K là trung điểm của BC, qua K kẻ đường thẳng vuông góc với AK, đường thẳng này cắt các đường thẳng AB, AC lần lượt ở D và E, Gọi I là trung điểm của DE a, CMR : AI vuông góc với BC b, Có thể nói DE< BC được không? Bài làm: A a, ADE vuông tại A có đường trung tuyến AI => AIE cân tại I D và ACK cân tại K=> A = E, C = CAK 1 1 C mà E + CAK = 90 = A1 + C1 = 900 = AH ⊥ CK 0 H b, Để so sánh DE với BC ta so sánh IE với CK và AI với AK AKI vuông => AI  AK=>DE=BC khi K trùng với I hay ABC vuông cân tại A B K I E Bài 73: Cho  ABC (AB >AC), M là trung điểm BC, đường thẳng đi qua M và vuông góc với tia phân giác góc A tại H cắt hai tia AB và AC lần lượt ở E và F, CMR: EF 2 A + AH 2 = AE 2 a, 4 b, 2.BME = ACB − B c, BE=CF Bài làm: 1 a, AFH vuông tại H => HF 2 + AH 2 = AF 2 (1) EF mà AHE = AHF = HF = , AE = AF 2 2  FE  2 2 Thay vào (1) =>   + AH = FA  2  1 M E 2 C 1 1 H D F b, Ta có: E1 = F , ta có: CMF có C1 là góc ngoài nên : C1 = CMF + F = CMF = C1 − F B ( ) ( BME có E1 là góc ngoài=> M 2 = E1 − B = 2.M 2 = M 1 + M 2 = C1 − F + E1 − B ) => 2.M 2 = C1 − B c, Từ C vẽ CD//AB=> BME = CMD ( g.c.g ) = BE = CD mà E1 = D1 = D1 = F = CDF cân => CF=CD Từ (1) và (2) => BE=CF GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức (1) (2) 32 Bài 74: Cho  ABC có AB AE=AF b, Từ B kẻ đường thẳng // AC cắt EF tại I Khi đó: I1 = F1 , F1 = E1 = I1 = E1 = BEI cân tại B =>BE=BI  MBI=  MCF(g.c.g)=>FC=BI Từ hai điều trên ta có: FC=BI=BE c, Ta có : 2.AE=AE+AE=(AB+BE)+AE =AB+(BE+AE)=AB+(FC+AF)=AB+AC => AE = F 1 B N 1 I C M 1 E AB + AC 2 Bài 75 : Cho  ABC (ABAB+AC b, CM: BDM = CEN ( g.c.g ) = BM = CN c, Vì BM=CN=> AB+AC=AM+AN, có BD=CE (gt), =>BC=DE Gọi O là giao của Mn và BC OM  OD = MO + ON  OD + OE = MN  DE = MN  BC =>  ON  OE từ (1) và (2) ta có : chu vi của  ABC nhỏ hơn chu vi của  AMN (2) Bài 78: Cho  ABC vuông tại C, kẻ CH vuông góc vói AB, trên các cạnh AB, AC lấy tương ứng hai điểm M, N sao cho BM=BC và Cn=CH, CMR: a, MN vuông góc với AC b, AC+BC < AB+CH Bài làm: a, Có BC=BM (gt)=> CBM cân tại B 0   MCB + ACM = 90 => MCB = CMB =  = ACM = MCH 0 CMB + MCH = 90   MNC = MHC ( c.g.c ) = MNC = MCH mà MCH = 900 = MNC = 900 hay MN, AC vuông góc với nhau b, Ta có: BM=BC, CN=CH AMN có N = 900 => AM là cạnh lớn nhất => MB+MA+CH>BC+CN+NC=>BA+CH>BC+CA A N H C GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức M B 34 Bài 79: Cho  ABC vuông tại A, có B = 600 , vẽ AH ⊥ BC a, Tính số đo HAB b, Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho AD=AH, gọi I là trung điểm của HD, CMR:  AHI=  ADI c,Tia AI cắt HC tại K, CMR:  AHK=  ADK, từ đó =>AB//KD d, Trên tia đối của tia AH, lấy điểm E sao cho HE=AH, CM H là trung điểm của BK và 3 điểm D, K, E thẳng hàng A 3 1 2 D I B H C K E Bài 80: CHo  ABC có 3 góc nhọn(ABAC+AD – 2AB D A C H Bài 82: Cho  ABC có AB < AC, phân giác AD, trên tia AC lấy điểm E sao cho: AE=AB GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 35 a, CMR: BD=DE b, Gọi M là giao điểm của AB, ED, CMR:  BDM=  EDC c, So sánh DE và DC từ đó so sánh BD và DC d,  AMC là tam giác gì? Vì sao ? e, CHứng minh AD vuông góc với MC A E B C D M Bài 83: Cho  ABC vuông tại A, đường phân giác BD, kẻ DE vuông góc với BC (E  BC), trên tia đối của tia AB lấy điểm F sao cho AF=CE, CM: a,  ABD=  EBD b, BD là đường trung trực của AE c, ADAB d, Gọi S là giao điểm của HD và AB, Chứng minh D là trọng tâm của  SAC S B D A H C Bài 85: Cho  ABC vuông tại A, tia phân giác của ABC cắt AC tại D, Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với BD, cắt BD tại H, cắt BC tại E GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 36 a, CMR:  ABE cân b, CM: DE ⊥ BC c, Tia BA cắt tia ED tại F, CMR: AE//FC d, Kẻ Cx // DE, đường thẳng Cx cắt AE tại K, CMR: CK BAE = DAC = ABE = ADC b, BMC = MCE + CEM = C1 + C2 + M1 = E1 + C2 + M1 = AEC + ACE = 600 + 600 = 1200 Bài 97: Cho  ABC có A = 90 , AC  AB , Kẻ AH vuông góc với BC, trên tian HC lấy điểm D sao cho HD= HB, kẻ CE vuông góc với AD kéo dài (E  AD) , CM: a,  ABD cân b, DAH = ACB c, CB là tia phân giác ACE d, CM: DI ⊥ AC ( I  AC ) , chứng minh ba đường AH, ID và CE đồng quy 0 e, So sánh AC và CD g, Tìm điều kiện của  ABC để I là trung điểm của AC A I B H C D E GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 41 Bài 98: Cho  ABC vuông ở A, trên tia đối của tia BA lấy điểm D sao cho BD =BA. Trên cạnh BC lấy 1 điểm G sao cho BG = BC , Gọi E là giao điểm của AG và CD 3 a, CMR: DE=EC b, Lấy I thuộc AE sao cho E là trung điểm của AI, CM  DAI là tam giác vuông 1 c, CM: AE = DC 2 A d, Cho AC= 6cm, CM: AE+BC> 9 cm B C G E D I Bài 99: Cho  ABC có A = 750 , C = 350 , M là trung điểm của BC, đường thẳng qua M và vuông góc với phan giác góc A cắt tia AB, AC lần lượt tại E và F a, CMR:  AEF cân AB + AC b, CMR: BE=CF từ đó suy ra AE = 2 c, So sánh EF và BC d, Phân giác góc ngoài A( của  ABC) cắt BC tại I, CMR: Chu vi  ABC bằng CI A F I B M C E GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 42 Bài 100: Cho  ABC có AB DAB = DAC M b, ABC cân tại A, A = 200 = ABC = 800 = ACB DBC đếu nên DBC = 600 = Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC => ABD = 200 Xét ABM và BDA có : AB cạnh chung, BAM = ABD = 200 ABM = DAB = 100 = ABM = BAD =>AM=BD và BD=BC=> AM=BC D B GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức C 43 Bài 102: Cho  ABC cân tại A, Có A = 200 , Từ B và C kẻ các đường thẳng BD, CF và CE cắt các cạnh đối diện tại D và E, biết CBD = 600 , BCE = 500 , và CF=BD a, Tính BEC b, Tính BDE B F E 1 1 2 A 20 1 1 O 1 Bài làm: 1 I D 1 2 C a, Vì ABC cân tại A => B = C = 800 , Mà BCE = 500 => BEC = 1800 − (800 + 500 ) = 500 b, Gọi O là giao của BD và CF Ta cần cm: DE là đường trung trực của FO Ta có : ODF cân vì OD=OF và DOF = 600 = ODF đều=> DO=DF (1) BOC cân có B1 = 60 = BC = BO = BE , Vì BEC cân => BE = BO = BEO cân tại B 0 => O1 = 800 = O2 = 400 , và F1 = DFE − 600 = 1000 − 600 = 400 = F1 = O2 => EFO cân=> EO=EF (2) Từ (1) và (2) ta có : DE là đường trung trực nên DE đi qua trung điểm của FO mà DFO cân tại D=> DE là tia phân giác=> D1 = 300 Bài 103: Cho  ABC vuông tại A (AB>AC) tia phân giác góc B cắt AC ở D, kẻ DH vuông góc với BC, trên AC lấy điểm E sao cho AE=AB, đường thẳng vuông góc với AE tại E cắt DH ở K, CMR: a, BA=BH b, DBK = 450 I B c, Cho AB=4cm, Tính chu vi  DEK 4 3 Bài làm: 1 2 K a,  BAD=  BHD( cạnh huyền -góc nhọn) =>BA=BH b, Từ B kẻ đường thẳng // AE cắt EK tại I Khi đó BI vuông góc với AB và IE Nên ABIE là hình chữ nhật lại có AE=AB nên là hình vuông, khi đó BI=AB=BH  BKH=  BKI( cạnh huyền góc nhọn) H A D C E => B3 = B4 , = B2 + B3 = B1 + B4 = 450 c, Theo câu a và câu b ta có: DH=DA và IK=HK nên chu vi  DEK là: DE+EK+DK=DE+EK+DH+HK=DE+EK+DA+IK=AE+IE=8CM GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 44 Bài 104: Cho  ABC vuông cân tại A, M là trung điểm của BC, trên tia BC lấy điểm D với D khác B và M, kẻ BK ⊥ AD tại K, CMR : KM là phân giác trong hoặc ngoài của  BKD tại K Từ M hạ MH ⊥ BK , MI ⊥ KD = MH / / KD Bài làm: B = M1 = 900 − AMH = BMH = M 2 =>  BMH=  AMI =>MI=MH (Do M cách đều KB và KD ) =>KM là phân giác BKD H M C K A I D Câu 105: a, Cho đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mp có bờ là đường thẳng AB vẽ hai tia Ax và By lần lượt vuông góc với AB tại A và B, Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB. trên Ax lấy điểm C và trên tia By lấy điểm D sao cho góc COD = 900 x y a, CMR: AC+BD=CD AB2 b, CMR: AC.BD = C 4 HD: D a,Vẽ CO cắt tia đối của tia By tại E. CM AOC = BOE ( g.c.g ) = AC = BE, CO = EO CM DOC = DOE ( c.g.c ) = CD = ED mà EB=EB+BD=AC+BD Từ đó=> CD=AC+BD (đpcm) A b, Áp dụng đinh lí Py-Ta-Go vào các tam giác vuông  BOE và  BOD: OE 2 = OB2 + EB2 = OE 2 + OD2 = 2.OB2 + EB2 + DB2  2 2 2 OD = OB + DB Mà OE 2 + OD2 = DE 2 = DE 2 = 2.OB2 + EB2 + DB2 = 2.OB + EB ( DE − BD) + DB ( DE − BE ) O B E 2 = 2.OB2 + EB.DE − EB, BD + DB.DE − DB.BE = 2.OB2 + ( EB.DE + DB, DE ) − 2BD.DE = 2.OB2 + DE ( EB + DB ) − 2BD.BE = 2.OB 2 + DE 2 − 2.BD.BE => 2.OB 2 − 2.BD.BE = 0 = BD.BE = OB 2 2 AB AB 2  AB  BE = AC ; OB = = AC . BD = = Mà   2 4  2  b, Cho  ABC nhọn có trực tâm H, CMR: HA + HB + BC  GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 2 ( AB + BC + CA) 3 45 Bài 106: Cho  ABC vuông cân tại A, lấy điểm M bất kỳ trên cạnh BC, kẻ MH, MK lần lượt vuông góc với AB, AC, Gọi O là giao điểm của AM và HK a, CMR: AM=HK và O là trung điểm của AM và HK b, lấy trung điểm D của BC, CM  DHK vuông cân tại D c, Điểm M ở vị trí nào trên BC thì HK có độ dài nhỏ nhất d, So sánh HK và AB A K O H B M C D Câu 107: a. Cho xAy = 60 , vẽ tia phân giác Az của góc đó, từ 1 điểm B trên Ax vẽ đường thẳng // với Ay cắt Az tại C, vẽ BH ⊥ Ay, CM ⊥ Ay, BK ⊥ AC , CMR : a, K là trung điểm cảu AC x z AC b, BH = 2 C B c,  KMC là tam giác đều HD : 0 a, Vì BC//Ay nên BCA = CAy( sole) mà CAy = xAC ( AC là tia phân giác xAy K A H M y => xAC = BCA = BAC = BCA = BAC cân tại B, lại có BK ⊥ AC nên Bk vừa là đường cao vừa là AC trung tuyến => K là trung điểm AC=> AK = 2 1 b, Ta có : BAK = xAy = 300 ; ABH = 900 − BAH = 900 − 600 = 300 2 Xét  HAB và  KBA vuông có : AB là cạnh chung BAK = ABH ( cmt ) =>  BAK=  KBA(c.h-g.n) =>BH=AK=AC/2 c, Vì BC//Ay nên BH=CM( Cùng bằng khoẳng cách giữa BC và Ay) mà BH=KC nên KC=CM =>  CKM cân tại C Lại có: KCM = 900 − CAM = 900 − 300 = 600 nên  CKM là tam giác đều GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 46 Bài 108: Cho  ABC vuông cân tại A, trung tuyến AM. Kẻ đường thẳng d đi qua A sao cho B và C nằm cùng phía đối với d, kẻ BH và CK vuông góc với d (H và K thuộc d) a, CM: AH=CK b, CM:  MHK vuông cân c, Gọi P là giao điểm của AB và MH, Q là giao điểm của AC và MK, CM: PQ// d K A H Q d P B C M Bài 109: Cho  ABC vuông tại A, có AB=AC, qua A kẻ đường thẳng xy sao cho B và C nằm cùng phía đối với đường thẳng xy, vẽ BD ⊥ xy tại D, CE ⊥ xy tại E a, CMR:  ABD=  ACE b, CM: DE=BD+CE E A D x B C Bài 110: Cho  ABC có A = 600 , tia phân giác góc B cắt AC tại D, tia pân giác góc C cắt AB tại E, các tia phân giác đó cắt nhau tại I, CMR: ID=IE Bài làm: B Kẻ IH là tia phân giác BIC 1 2 ta chứng minh : BIC = 2. A = 1200 H 0 0 0 0 E => BIH = 60 = BIE = 180 − BIC = 60 = CID = 60 1 3 2 Xét BIE và BIH có : I B1 = B2 , I1 = I 3 và Bi cạnh chung 1 2 =>IE=IH C A Chưng minh tương tự: IH=ID nên IE=ID D GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 47 y Bài 111: Cho  ABC có tia phân giác góc ABC cắt cạnh AC ở D, tia phân giác ACB cắt cạnh AB ở E, Tính số đo góc A biết BE+CD=BC A Trên BC lấy điểm I sao cho BI =BE Do BE+CD=BC nên IC=DC D E Ta có:  EOB=  IOB(c-g-c)=> EOB = IOB O Và  DOC =  IOC (c-g-c)=> DOC = IOC Mà EOB = DOC (đ2)=> EOB = IOB = DOC = IOC 1800 = 600 = BOC = 1200 Vậy thì : IOB = DOC = IOC = 3 B C I Tính góc A = 600 Bài 112: Cho  ABC cân ở A có A = 1000 , M là một điểm nằm trong tam giác sao cho MBC = 100 , MCB = 200 , trên CA lấy điểm E sao cho CE =CB a, CMR:  MCB =  MCE b, Chứng minh  EMB là tam giác đều E c, Tính AMB A M 20 10 B C Bài 113: Cho  ABC vuông tại A, vẽ AH vuông góc với BC tại H, Tia phân giác của BAH cắt Bh tại D, CMR: CAD = CDA A B GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức D H C 48 Bài 114: Cho  ABC có BAC = 750 , ABC = 350 , phân giác của BAC cắt BC tại D, đường thẳng qua A và vuông góc với AD cắt BC tại E, Gọi M là trung điểm của DE, CMR: a,  ACM là tam giác cân AD + AE b, AB  A 2 c, Chu vi  ABC bằng độ dài đoạn thẳng BE E M D 35 C B Bài 115: Cho  ABC cân tại A có A = 300 , M là 1 điểm nằm trong tam giác sao cho ABM = ACM = 150 , CMR: a,  MBC đều b, AM là phân giác BAC A c, M là giao điểm 3 đường trung trực của  ABC M B C Bài 116: Cho  ABC vuông tại A, trên cạnh CB lấy điểm D sao cho CD=CA, tia phân giác C cắt AB tại E a, CMR:  ACE=  DCE, So sánh FA và ED A b, CMR: BED = ACB và tia phân giác BED ⊥ EC E 2 1 1 2 B C D x GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 49 Bài 117: Cho  ABC vuông tại A, vẽ AH ⊥ BC , tia phân giác HAC cắt HC tại D, E là điểm trên cạnh AB sao cho BE=BH CMR: EH//AD A 3 1 2 E 1 B H C D Bài 118: Cho  ABC (AB MD + ME = BF + BH Mà BH không đổi nên MD+ME không đổi H F D Q B P c, Vẽ DP ⊥ BC, KQ ⊥ BC , Gọi I là giao điểm của DK và BC Chứng minh BD=FM=EH=CK Chứng minh  BDP=  CKQ(ch-gn)=>DP=KQ M I C K Chứng minh IDP = IKQ = DPI = KQI (g.c.g)=>ID=IK.(dpcm) Bài 126: Cho  ABC, gọi G, H, O lần lượt là trọng tâm, trực tâm và giao của ba đường trung trực của ba cạnh tam giác, chứng minh rằng: a, Độ dài AH bằng 2 lần khoảng cách từ O đến BC b, Ba điểm H, G, O thẳng hàng và GH=2GO A H G O B GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức C 53 Bài 127: Cho  ABC cân tại A, A  900 , trên tia đối của tia AB, lấy D sao cho AD=AB, kẻ đường cao AF của  ACD, AC cắt BF tại G a, CMR: F là trung điểm của DC và G là trọng tâm của  BDC, CMR: BD=6. AG b, Kẻ CH ⊥ BD, DK ⊥ CA , chứng minh các đoạn thẳng AF, CH và DK đồng quy c, KF cắt AD tại I, biết: BAC = 45 , So sánh các đoạn thẳng: CH, HI và ID D K I A F G H C B Bài 128: Cho  ABC vuông tại A, Đường cao AH, gọi E, I, K theo thứ tự là giao điểm các đường phân giác của  ABC,  ABH,  ACH, CMR: a, ABH = CAH A b, BI ⊥ AK E K I B C H Bài 129: Cho  ABC cân tại A, Trung tuyến BB’ và CC’ cắt nhau ở M, Kẻ BH ⊥ CC ‘, CK ⊥ BB ‘ . Gọi giao điểm của tia BH và CK là D, CMR: a,  BHC’=  CKB’ A b,  HMK cân và HK//BC c, Trọng tâm  ABC đồng thời là trực tâm của  BDC d, Tìm điều kiện của  ABC để  DHK đều D C’ B’ K H M B GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức C 54 Bài 130: Cho  ABC vuông tại A, có ABC = 750 , trên cạnh AC lấy 2 điểm E và P sao cho ABE = EBP = PBC , Gọi I là chân đường vuông góc hạ từ C xuống đường thẳng BP, đường thẳng CI cắt BE ở F a, CMR:  ECF cân b, Trên tia đối tia EB lấy điểm K sao cho EK=BC, tính số đo các góc của  BCK c, Gọi H là hình chiếu vuông góc vủa C trên BK, D là trung điểm của đoạn CH, L là hình chiếu vuông góc của H trên BD, CM KL vuông góc với LC K F H I A E D P L B C Bài 131: Cho  ABC và điểm M bất kỳ nằm trong tam giác: CMR: 2(MA+MB+MC)>AB+AC+BC Bài làm: Ta có: MBC có: MB+MC>BC A Tương tự : MC+MA>AC, MA+MB>AB Cộng theo vế ta được: 2 ( MA + MB + MC )  AB + AC + BC M C B Bài 132: Cho  ABC, AN, BP và CQ là ba đường trung tuyến, CMR: 4 ( AN + BP + CQ )  AB + AC + BC 3 Bài làm: Gọi M là trọng tâm của tam giác, Theo bài 21 ta có: A 2 (GA + GB + GC )  AB + AC + BC Mà, GA = 2 2 2 AN ,GB = BP, GC = CQ 3 3 3 2 2 2  Thay vào trên ta có: 2  AN + BP + CQ   AB + AC + BC 3 3 3  4 = ( AN + BP + CQ )  AB + AC + BC 3 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức G B C 55 Bài 133: Nếu M là 1 điểm nằm trong tam giác ABC thì: 1 ( AB + BC + CA)  MA + MB + MC  AB + BC + CA 2 Bài làm : A AMB = MA + MB  AB AMC = MA + MC  AC BMC = MB + MC  BC Cộng theo vế ta được: 2(MA+MB+MC)>AB+AC+BC 1 => ( AB + AC + BC )  MA + MB + MC 2 Mặt khác : MAMA+MB+MC AE 2 + BF 2 + CP 2 = ( AO 2 + BO 2 + CO 2 ) − (OE 2 + OF 2 + OP 2 ) B F C AP 2 = AO 2 − OP 2 Và : BE 2 = BO 2 − OE 2 => AP2 + BE 2 + CF 2 = ( AO 2 + BO 2 + CO 2 ) − (OP 2 + OE 2 + FO 2 ) CF 2 = CO 2 − OF 2 Từ đó suy ra điều phải chứng minh : b, Chứng minh giống bài 27 Bài 135: Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, CMR: a, HA+HB+HC BH ⊥ HN Do đó: BH 4.GM Bài 149: Cho  ABC có AB>AC, từ trung điểm M của BC vẽ 1 đường thẳng vuông góc với tia phân giác của A , đường thẳng này cắt AB, AC lần lượt tại E và F, Qua C kẻ CK//AB ( K  EF ) a, CMR: CK=BE b, CMR: BE=CF và AE = AB + AC 2 ACB − B 2 Bài 150: Cho  ABC (AB=AC) đường cao AH, từ điểm D thuộc BC kẻ DE ⊥ AB, DF ⊥ AC và DK ⊥ BH c, CMR: BME = a, CMR: KDB = ACB b, CMR:  EBD=  KDB c, CMR: DE+DF=BH d, Trên tia đối của tia CA lấy điểm P sao cho CP=HF, CMR: trung điểm của EP nằm trên BC GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 59 e, Cho A = 400 , kẻ đường cao AH, trên các đoạn AH, AC lấy lần lượt E và F sao cho ABE = CBF = 300 Tính AEF Bài 151: Cho  ABC có A = 500 và 7B = 6C a, Tính các góc của  ABC b, Kẻ phân giác BD và đường thẳng đi qua A, song song với BD, cắt CB tại E, CMR:  ABE có hai góc chụ bằng nhau c, Kẻ tia phân giác của ABE cắt AE tại H, CMR: BH vuông góc với AE Bài 152: Cho  ABC cân có A = 1000 , trên BC lấy D sao cho BAD = 600 , trên nửa mp bờ BC chứa A vẽ tia Cx//AD, trên Cx lấy điểm M sao cho CM=BD a, Tính các góc của  ABD b, CMR:  ABD=  ACM c, Kẻ BH ⊥ AD ( H  AD ) , MN ⊥ BC ( N  BC ) , CMR:  HBD=  NMC 1 AC 2 Bài 153: Cho  ABC nhọn (ABAC), tia phân giác ACB cắt cạnh Ab tại D, trên cạnh BC lấy điểm E sao cho CE=CA a, CMR:  CDA=  CDE và DE ⊥ BC b, Vẽ đường thẳng d vuông góc với AC tại C, Qua A vẽ đường thẳng song song với CD cắt d tại M, CMR: AM=CD c, Qua B vẽ đường thẳng vuông góc với CD tại N, cắt AC tại K, CMR: KE ⊥ BC và 3 điểm K, D, E thẳng hàng Bài 156: Cho  ABC cân tại A, cso A = 300 , kẻ đường phân giác của góc A cắt BC tại H, lấy điểm I thuộc AH sao cho ABI = 150 , trên nửa mp bờ BC có chứa điểm A kẻ hai tia Bx và Cy cùng vuông góc với BC, trên Bx lấy điểm D sao cho BD=BC, trên Cy lấy điểm E sao cho CE=CB a, CMR:  IBC là tam giác đều b, CMR :  ADB=  AIB c, Tính DIC d,  ADE là tam giác gì? Vì sao ? Bài 157 : Cho  ABC có ABBC GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 61
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments

Bài viết tương tự

Scroll to Top