Chuyên đề hình học bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 6

Giới thiệu Chuyên đề hình học bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 6 Toán 6

Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và bạn đọc Chuyên đề hình học bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 6.

Tài liệu môn Toán sẽ luôn được cập thường xuyên từ hoctoanonline.vn, các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán hay và mới nhất.

Tài liệu Chuyên đề hình học bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 6

Text Chuyên đề hình học bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 6
CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC 6 DẠNG 1: Khi nào thì xÔy +yÔz = xÔz Bài 1: Cho góc xÔy= 130, vẽ tia Ot nằm giữa hai tia Ox và Oy. Tính số đo góc xÔt biết : 2 a, xÔt = yÔt b, xÔt – yÔt = 30 c, xÔt = yÔt 3 Bài 2: Trên đường thẳng (d) từ trái sang phải lấy các điểm A, D, C, B và điểm O nằm ngoài đường thẳng ˆ = 300 , DOC ˆ = 40o , AOB ˆ = 900 . Tính AOC, COB, DOB (d), biết AOD Bài 3: Gọi Ot và Ot’ là hai tia nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng xy đi qua O, Biết xOt = 300 , yOt = 600 . Tính số đó yOt , tOt ‘ Bài 4: Cho góc AOB và hai tia OC và OD nằm trong góc đó sao cho AOC + BOD  AOB . Trong ba tia OA, OC, OD tia nào nằm giữa hai tia còn lại? Bài 5: Cho góc xOy = 1300 , ở trong góc đó vẽ hai tia Om và On sao cho xOm + yOn = 1000 , a, Trong ba tia Ox, Om, On tia nào nằm giữa hai tia còn lại? b, Tính mOn =? Bài 6: Cho 3 góc AOB, BOC, COD theo thứ tự đó sao cho AOB = 300 , BOC = 600 , COD = 900 a, Chứng minh rằng: hai tia OA và OD đối nhau b, Lấy B’ thuộc tia đối của tia OB. Tính COB ‘, AOB ‘ Bài 7: Cho đường thẳng AOB và tia OC, Tính góc AOC, BOC biết: a, AOC − BOC = 900 b, 2.AOC = 3BOC Bài 8: Cho hai tia Ox, Oy đối nhau, trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Ox, vẽ các tia Oz, Ot sao cho xoz = 400 , yot = 600 a, Chứng minh rằng Oz nằm giữa hai tia Ox và Ot b, Tính zot c, Tính zot biết xoz =  , yot =  Bài 9: Từ điểm O trên đường thẳng a, lấy hai tia đối nhau, OM và ON, vẽ tia OA sao cho AON = 1500 , Vẽ tia OB nằm giữa OA và ON sao cho AOB = 900 , Tính BON , AOM , MOB Bài 10: Trên tia Ox lấy hai điểm M và N soa cho OM=3cm, ON=7cm, điểm P nằm ngoài đường thẳng Ox, vẽ các tia PO, PM, PN biết NPO = 1200 , NPM = 700 . Tính góc MPO Bài 11: Trên đường thẳng a lấy các điểm M, N, P, Q Sao cho điểm P nằm giữa 2 điểm M và Q, điểm N nằm giữa hai điểm M và P, từ điểm O nằm ngoài đường thẳng a kẻ OM, ON, OP, OQ biết MON = 200 , NOP = 300 , MOQ = 800 , Tính MOP, POQ Bài 12: Cho AOB = 1090 vex tia OC nằm giữa hai tia OA,OB sao cho BOC = 3.COA , tính COA, BOC Bài 13: Trên đường thẳng (d) lấy theo thứ tự các điểm A,B,C,D và điểm O nằm ngoài đường thẳng (d) biết AOB = 400 , BOC = 500 , AOD = 1200 , Tính góc AOC, COD Bài 14: Cho góc AOB = 1350 , C là 1 điểm nằm trong góc AOB , biết BOC = 900 , Tính AOC Gọi OD là tia đối của tia OC, So sánh 2 góc AOD, và BOD Bài 15: Cho tam giác ABC có ABC = 1250 và BC=3cm a, Trên tia đối của tia BC, xác định điểm M sao cho BM=2cm, Tính MC b, Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia BA, có bờ là đường thẳng BC, vẽ tia BN sao cho góc ABN = 800 , Tính MBN = ? 1 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức Bài 16: Cho hai tia Ox và Oy là hai tía đối nhau, Trên cùng 1 nửa mp bờ chứa tia Ox vẽ các tia Ot, Oz sao cho yOt = 900 , xOz = 400 , Trên nửa mp bờ xy, không chứa Oz vẽ tia Om sao cho xOm = 1400 a/ trong ba tia Oz, Ox, Ot tia nào nằm giữa hai tia còn lại? b/ CMR: hai tia Oz và Om là hai tia đối nhau c/ Trên hình vẽ có mấy cặp góc phụ nhau ? Bài 17: Cho tam giác ABC có BC=5cm, Điểm M thuộc tia đối của tia CB sao cho CM=3cm, a/ Tính độ dài BM, b/ Biết BAM = 800 , BAC = 600 , Tính góc CAM c/ Tính độ dài BK thuộc đoạn BM biết CK=1cm 2 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức DẠNG 2: Tia phân giác của 1 góc Bài 1: Cho góc bẹt xOy , trên cùng 1 nửa mặt phẳng bờ xy, vẽ hai tia OM, ON sao cho xOm = 600 , yOn = 1500 a, Tính mOn b, Tia On có là tia phân giác của góc xOm không? Bài 2: Cho góc xOy = 900 tia Oz nằm giữa hai tia Ox và Oy. Tính góc xOz và yOz biết 1 1 xOz = yOz 4 5 Bài 3: Cho góc tù xOy trong góc xOy vẽ tia Oz sao cho xOy + yOz = 1800 , Gọi tia Ot là tia phân giác của góc xOz , hỏi yOt là góc gì? Bài 4: Trên cùng 1 nửa mặt phẳng bờ chứa tia OA, vẽ các tia OB và OC sao cho AOB = 300 , AOC = 750 a, Tính BOC b, Gọi OD là tia đối của tia OB. Tính số đo của góc kề bù với BOC Bài 5: Cho góc AOB = 1400 vẽ tia OC bất kì nằm trong góc đó, Gọi OM,ON theo thứ tự là các tia phân giác góc AOC, BOC , Tính MON Bài 6: Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia OA, vẽ các tia OB, OC sao cho AOB  AOC . Vẽ tia phân giác CM của AOB a, Trong ba tia OB, OC, OM tia nào nằm giữa hai tia còn lại? AOC + BOC b, CMR: MOC = 2 Bài 7: Cho góc AOB = 1000 và OC là tia phân giác của góc đó. Trong góc AOB , vẽ các tia OD, OE sao cho AOD = BOE = 200 . CMR: OC là tia phân giác của góc DOE Bài 8: Trên đường thẳng xx’ lấy O tùy ý , trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng xx’ vẽ hia tia Oy,Oz sao cho xOz = 300 , x ‘ Oy = 4.xOz a, Trong ba tia Ox, Oy, Oz tia nào nằm giữa hia tia còn lại b, CMR: Oz là tia phân giác của góc xOy , c, Gọi Oz’ là phân giác góc x ‘ Oy , Tính zOz ‘ Bài 9: Cho góc AOB và tia OC nằm trong góc đó, Gọi OE, OD theo thứ tự là tia phân giác của góc AOC, BOC , a, Tính DOE , biết AOB = 1200 b, Hai tia OA,OB có tính chất gì nếu DOE = 900 Bài 10: Cho AOB gọi OZ là tia phân giác của góc AOB , OD là tia phân giác của góc AOZ , Tìm giá trị lớn nhất của góc AOD Bài 11: Trên đường thẳng x’Ox , trên cùng 1 nửa mặt phẳng bờ x’Ox, người ta lấy ba tia Oa, Ob, Oc sao cho xOc = 2.xOb = 3.xOa a, Tìm giá trị lớn nhất của góc xOa b, Gọi Om là phân giác của góc aOc , trong ba tia Ob, Oc, Om tia nào nằm giữa hai tia còn lại c, Cho xOc = 1200 , tính bOm , Tia Oa là tia phân giác của góc nào? Bài 12: Cho xOy = 1200 kề bù yOt a, Tính số đo yOt b, Vẽ phân giác Om của góc xOy , Tính mOt =? c, Vẽ phân giác On của góc tOy , Tính mOn =? 3 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức Bài 13: Vẽ hai tia Oy và Oz trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox, sao cho xOy = 400 , xOz = 800 a, Tính số đo góc yOz , từ đó suy ra Oy là tia phân giác xOz b, Vẽ tia Om là tia đối của tia Ox, tính mOy c, Trên nửa mặt phẳng bờ Ox, không chứa tia Oz,vẽ Op sao cho xOp = 1000 , CMR Op, Oz đối nhau Bài 14: Cho xOy tù , bên trong góc đó vẽ tia Om sao cho xOm = 900 , vẽ tia On sao cho yOn = 900 a, CMR: xOn = yOm b, Gọi Ot là phân giác của xOy , CMR Ot là phân giác mOn Bài 15. Cho góc xoy có số đo 1000. Vẽ tia oz sao cho góc zoy = 350. Tính góc xoz trong từng trường hợp. Bài 16. Cho tam giác ABC và BC = 5cm. Điểm M thuộc tia đối của tia CB sao cho CM = 3 cm. a, Tình độ dài BM b, Cho biết góc BAM = 800 , góc BAC = 600 . Tính góc CAM. c, Vẽ các tia Ax, Ay lần lượt là tia phân giác của góc BAC và CAM . Tính góc xAy. d, Lấy K thuộc đoạn thẳng BM và CK = 1 cm. Tính độ dài BK. Bài 17. Cho góc xOy có số đo bằng 1200 . Điểm A nằm trong góc xOy sao cho: AOy =750 . Điểm B nằm ngoài góc xOy mà : BOx =1350 . Hỏi 3 điểm A,O,B có thẳng hàng không? Vì sao? Bài 18. Trên đường thẳng xx’ lấy một điểm O. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng xx’ vẽ 3 tia Oy, Ot, Oz sao cho: Góc x’Oy = 400; xOt = 970; xOz = 540. a, Chứng minh tia Ot nằm giữa hai tia Oy và Oz. b, Chứng minh tia Ot là tia phân giác của góc zOy. Bài 19. Cho góc AMC = 600. Tia Mx là tia đối của tia MA, My là phân giác của góc CMx , Mt là tia phân giác của góc xMy . a, Tính góc AMy b, Chứng minh rằng MC vuông góc với Mt. Bài 20. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Vẽ điểm N nằm giữa M và B. Cho biết MN = a (cm); NB = b (cm). a, Tính AB. b, Lấy điểm O nằm ngoài đ¬ờng thẳng AB. Giả sử AOB = 1000 ; AOM = 600; MON = 200 . Hỏi tia ON có phảI là tia phân giác của góc MOB không ? Vì sao. Bài 21. Cho hai góc xOy và yOz kề bù sao cho xOy = 4 yOz . a, Tính số đo mỗi góc có trên hình vẽ? b, Vẽ tia Ot sao cho xOt =108 0 . Tính tOy ? c, Trên mỗi tia Ox, Oy, Oz, Ot vẽ 10 điểm phân biệt khác điểm O. Hỏi trên hình vẽ có tất cả bao nhiêu tia? Bài 22. Trên đoạn thẳng AB = 5cm, lấy điểm M. Trên tia đối của tia AB lấy điểm N sao cho AM = AN a, Tính độ dài đoạn thẳng BN khi BM = 2cm . 0 0 b, Trên cùng nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB vẽ hai tia Ax, Ay sao cho BAx = 40 , BAy = 110 . Chứng tỏ rằng Ay là tia phân giác của NAx . c, Hãy xác định vị trí của M trên đoạn AB để BN có độ dài lớn nhất Bài 23. Cho 2 góc xOy và xOz , Om là tia phân giác của góc yOz . Tính góc xOm trong các trường hợp sau : a, Góc xOy bằng 1000 ; góc xOz bằng 600. b, Góc xOy bằng  ; góc xOz bằng  (    ). 4 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức Bài 24: Cho hai góc kề bù xOy, yOz sao cho xOy = 1200 a, Tính yOz = ? 1 xOy 4 Bài 25: Cho hai tia Oy, Oz nằm trên cùng 1 nửa mặt phẳng có bờ là tia Ox, sao cho góc b, Gọi Ot là tia phân giác của yOz , CMR: zOt = xOy = 750 , xOz = 250 a, Trong ba tia Ox, Oy, Oz tia nào nằm giữa hai tia còn lại b, Tính yOz c, Gọi Om là tia phân giác của góc yOz , tính góc xOm Bài 26: Trên cùng 1 nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox, xác định hai tia Oy và Ot sao cho xOy = 300 , xOt = 700 a, Tia nào nằm giữa hai tia còn lại? b, Tính yOt = ? Tia Oy có là tia phân giác của xOt không,Vì sao? c, Gọi Om là tia đối của tia Ox, Tính mOt Bài 27: Cho tia Ox, trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ Ox, Vẽ hai tia Oy và Oz sao cho xOy = xOz = 1200 , CMR: a, Góc xOy = xOz = yOz b, Tia đối của tia Ox, Oy, Oz là phân giác của góc hợp bởi hai tia còn lại Bài 28: Cho góc AOB = 1350 , C là 1 điểm nằm trong góc đó biết BOC = 900 a, Tính AOC = ? b, Gọi OD là tia đối của tia OC. So sánh hai góc AOD, BOD Bài 29: Cho 4 tia OA,OB,OC,OD tạo thành các góc AOB, BOC, COD, DOA không có điểm trong chung, Tính số đo mỗi góc biết BOC = 3AOB, COD = 5 AOB, DOA = 6. AOB Bài 30: Cho 5 điểm A,B,C,D,E theo thứ tự đó nằm trên đường thẳng a và điểm O nằm ngoài đường thẳng a sao cho 4. AOB = 3.BOC,5.COD = 4.BOC,6.DOE = 5.BOC và DOE − AOB = 50 , Tính các góc AOB, BOC, COD, DOE Bài 31: Cho ba đường thẳng a, b, c cùng đi qua điểm O sao cho tia Ob và tia Oc cùng nằm trong nửa mp bờ a, gọi Oa’ và Oc’ lần lượt là tia đối của tia Oa và Oc, Biết aOc = 800 , bOa ‘ = 500 a/ Tính số đo bOc ‘ b/ Tia Ob có là tia phân giác của góc cOa ‘ không? Bài 32: Cho AMC = 600 , tia Mx là tia đối của tia MA, My là tia phân giác của CMx , Mt là tia phân giác của xMy a/ Tính AMy b/ CMR MC vuông góc với Mt Bài 33: Cho hai góc kề bù xOy, yOx ‘ , trong đó góc xOy = 5. yOx ‘ a/ Tính số đo các góc xOy, yOx ‘ b/ Trên nửa mp có bờ là xx’ chứa Oy, vẽ tia Om sao cho xOm = 1200 , Tia Oy có là tia phân giác của góc x ‘ Om không? c/ Tính các góc có trên hình vẽ 5 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức DẠNG 3: Tính số góc, Số tam giác tạo thành Bài 1: a, Cho đường thẳng xy, trên đó lấy ba điểm A,B,C mà AB=5, AC=3cm. Tính BC b, Trên xy lấy các điểm M, N, K, Q (không trùng với A,B,C ) và 1 điểm O không nằm trên đường thẳng xy,vẽ được tất cả bao nhiêu tam giác có đỉnh là ba trong các điểm đã có trên hình vẽ Bài 2: Cho hai điểm M, N nằm cùng phía đối với A, nằm cùng phía đối với B,Điểm M nằm giữa hai điểm A và B. Biết AB=5cm, AM= 3cm, BN=1cm. CMR: a, Bốn điểm A, B, M, N thẳng hằng b, Điểm N là trung điểm của đoạn thẳng AB c, Vẽ đường tròn tâm N đi qua B và đường trong tâm A đi qua N, chúng cắt nhau tại C, Tính chu vi tam giác CAN Bài 3: Cho n tia chung gốc tạo thành tất cả 190 góc, Tính n? Bài 4: Cho 10 điểm thuộc đường thẳng a và 1 điểm nằm ngoài đường thẳng ấy, Có bao nhiêu tam giác có các đỉnh là ba trong 11 điểm trên? Bài 5: Cho 2016 tia chung gốc , có bao nhiêu góc trong hình vẽ ? Bài 6: a, Cho 6 tia chung gốc. Có bao nhiêu góc trong hình vẽ ? Vì sao. b, Vậy với n tia chung gốc. Có bao nhiêu góc trong hình vẽ. Bài 7: Cho tam giác ABC, lấy điểm O nằm bên trong tam giác. Vẽ tia AO cắt BC tại H, tia Bo cắt AC tại I, Tia CO cắt AB tại K, Trong hình đó có bao nhiêu tam giác Bài 8: Trên 1 mặt phẳng cho 100 đường thẳng, hỏi có thể chia mặt phẳng đó thành nhiều nhất bao nhiêu miền. 6 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức DẠNG 4:Tính số điểm, đường thẳng, đoạn thẳng Bài 1: Cho 5 điểm A, B, C, D, E trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng,kẻ các đường thẳng đi qua các cặp điểm. Hỏi vẽ được bao nhiêu đường thẳng? HD: Vì không có ba điểm nào thẳng hàng nên: Chọn điểm A: Từ điểm A ta vẽ được 4 đường thẳng đến 4 điểm B, C, D, E còn lại Tương tự chọn điểm B ta cũng vẽ được 4 đường thẳng đến các điểm còn lại Tương tự với các điểm C, D, E qua mỗi điểm ta cũng vẽ được 4 đường thẳng đến các điểm còn lại A Do đó ta vẽ được 5.4=20 đường thẳng Tuy nhiên do mỗi đường thẳng được tính 2 lần, nên số đường thẳng thực tế vẽ được là: 20:2=10 đường thẳng Vậy số đường thẳng vẽ được là: 10 đường thẳng B C D E Bài 2: Cho 100 điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng, cứ qua hai điểm ta vẽ được 1 đường thẳng, có tất cả bao nhiêu dường thẳng? HD: Tương tự với bài trên Vì không có ba điểm nào thẳng hàng nên: Chọn 1 điểm bất kỳ, qua điểm này ta vẽ được 99 đường thẳng đến 99 điểm còn lại, Tương tự như vậy, A Với 100 điểm thì số đường thẳng vẽ được là: 99.100=9900 (đường thẳng) Tuy nhiên, do mỗi đường thẳng được vẽ hai lần, Nên số đường thẳng vẽ được là: 9900:2=4950 (đường thẳng) Vậy số đường thẳng vẽ được là: 4950 (đường thẳng) 99 Bài 3: Cho 200 điểm trong đó có đúng 10 điểm thẳng hàng, vẽ các đường thẳng đi qua các cặp điểm, hỏi vẽ được tất cả bao nhiêu đường thẳng? HD: A Giả sử trong 200 điểm trên không có 3 điểm nào thẳng hàng, Khi đó: 200.199 = 19900 , ( đường thẳng ) qua 200 điểm ta vẽ được 2 Và qua 10 điểm không có ba điểm nào thẳng hàng thì số đường thẳng vẽ được là: 7 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 10.9 = 45 , ( đường thẳng ) 2 Nhưng vì 10 điểm thẳng hàng nên sô đường thẳng vẽ được là: 1 đường thẳng Nên số đường thẳng bị giảm đi là: 45 – 1 = 44 ( đường thẳng ) Vậy số đường thẳng thực tế vẽ được là: 19900 – 44 = 19856 ( đường thẳng ) Bài 4: Cho trước 1 số điểm, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng, cứ qua hai điểm ta vẽ 1 đường thẳng, biết có 105 đường thẳng. hỏi ban đầu có bao nhiêu điểm? HD: Gọi số điểm ban đầu là a (ĐK: a  N , a  3 ) Vì trong a điểm không có ba điểm nào thẳng hàng nên số đường thảng vễ được là : a ( a − 1) , ( đường thẳng ) 2 a(a − 1) = 105 = a ( a − 1) = 210 = 14.15 Theo yêu cầu bài toán ta có : 2 Vì a và (a-1) là hai số tự nhiên liên tiếp nên a=15 Vậy có 15 điểm ban đầu Bài 5: Cho trước 1 số điểm, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng,cứ qua hai điểm ta vẽ được 1 đường thẳng, biết vẽ được 1128 đường thẳng, Tính số điểm ban đầu? HD : Gọi số điểm ban đầu là a (ĐK: a  N , a  3 ) Vì trong a điểm không có ba điểm nào thẳng hàng nên số đường thảng vễ được là : a ( a − 1) , ( đường thẳng ) 2 a(a − 1) = 1128 = a ( a − 1) = 2256 = 47.48 Theo yêu cầu bài toán ta có : 2 Vì a và (a – 1) là hai số tự nhiên liên tiếp nên a = 48 Vậy có 48 điểm ban đầu Bài 6: Cho trước 1 số điểm, trong đó có 10 điểm thẳng hàng, cứ qua hai điểm ta vẽ 1 đường thẳng, biết số đường thẳng vẽ được là: 1181 đường thẳng.Tính số điểm ban đầu ? HD : Gọi số điểm ban đầu là a (ĐK: a  N , a  3 ) Giả sử trong a điểm đó không có ba điểm nào thẳng hàng, Khi đó số đường thẳng vẽ được là : a ( a − 1) ( đường thẳng ) 2 Nhưng vì có 10 điểm thẳng hàng nên số đường thẳng bị giảm đi là : 10.9 − 1 = 44 ( đường thẳng ) 2 a ( a − 1) Vậy số đường thẳng thức tế vẽ được là : − 44 , ( đường thẳng ) 2 Theo yêu cầu bài toán ta phải có : a ( a − 1) a ( a − 1) − 44 = 1181 = = 1181 + 44 = 1225 = a ( a − 1) = 2450 = 49.50 2 2 Vì a và ( a – 1) là hai số tự nhiên liên tiếp nên a = 50 Vậy có 50 điểm ban đầu Bài 7: Cho trước 1 số điểm, trong đó có 15 điểm thẳng hàng, cứ qua hai điểm ta vẽ được 1 đường thẳng, biết số đường thẳng vẽ được là : 4846 đường thẳng HD : Gọi số điểm ban đầu là a (ĐK: a  N , a  3 ) Giả sử trong a điểm đó không có ba điểm nào thẳng hàng, Khi đó số đường thẳng vẽ được là : 8 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức a ( a − 1) ( đường thẳng ) 2 Nhưng vì có 15 điểm thẳng hàng nên số đường thẳng bị giảm đi là : 15.14 − 1 = 104 ( đường thẳng ) 2 a ( a − 1) Vậy số đường thẳng thức tế vẽ được là : − 104 ( đường thẳng ) 2 Theo yêu cầu bài toán ta phải có : a ( a − 1) a ( a − 1) − 104 = 4846 = = 4846 + 104 == a ( a − 1) = 9900 = 99.100 2 2 Vì a và ( a – 1) là hai số tự nhiên liên tiếp nên a = 100 Vậy có 100 điểm ban đầu Bài 8: Cho 2017 điểm trong đó không có ba điểm nào thảng hàng, qua các điểm ta vẽ các đoạn thẳng, hỏi vẽ được bao nhiêu đoạn thẳng? HD : Tương tự với bài trên Vì không có ba điểm nào thẳng hàng nên: Chọn 1 điểm bất kỳ, qua điểm này ta vẽ được 2016 đường thẳng đến 2016 điểm còn lại, Tương tự như vậy, Với 2017 điểm thì số đường thẳng vẽ được là: 2017.2016 = 4066272 ( đoạn thẳng) Tuy nhiên, do mỗi đường thẳng được vẽ hai lần, Nên số đường thẳng vẽ được là: 4066272 : 2 = 2033136 ( đoạn thẳng) Vậy số đường thẳng vẽ được là: 2033136 ( đoạn thẳng) Bài 9: Cho 2016 điểm trong đó có 215 điểm thẳng hàng, nối các điểm ta được các đoạn thẳng, hỏi ta vẽ được tất cả bao nhiêu đoạn thẳng? HD : Vì số đoạn thẳng không ảnh hưởng đến các số điểm thẳng hàng nên ta có : Chọn 1 điểm bất kỳ, qua điểm này ta vẽ được 2015 đoạn thẳng đến 2015 điểm còn lại, Tương tự như vậy, Với 2016 điểm thì số đoạn thẳng vẽ được là: 2015.2016 = 4062240 ( đoạn thẳng) Tuy nhiên, do mỗi đoạn thẳng được vẽ hai lần, Nên số đoạn thẳng vẽ được là: 4062240 : 2 = 2031120 ( đoạn thẳng) Vậy số đường thẳng vẽ được là: 2031120 ( đoạn thẳng) Bài 10: Cho trước 1 số điểm, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng, cứ qua hai điểm ta vẽ được 1 đoạn thẳng biết có 1225 đoạn thẳng, tính số điểm ban đầu? HD : Gọi số điểm ban đầu là a (ĐK: a  N , a  3 ) Vì trong a điểm không có ba điểm nào thẳng hàng nên số đoạn thẳng vẽ được là : a ( a − 1) , ( đoạn thẳng) 2 a(a − 1) = 1225 = a ( a − 1) = 2450 = 49.50 ( đoạn thẳng) Theo yêu cầu bài toán ta có : 2 Vì a và (a – 1) là hai số tự nhiên liên tiếp nên a = 50 Vậy có 50 điểm ban đầu Bài 11: Cho trước 1 số điểm, trong đó có đúng 199 điểm thẳng hàng, cứ hai điểm ta vẽ 1 đoạn thẳng, biết vẽ được tất cả 19900 đoạn thẳng, tính số điểm ban đầu? HD : Vì số đoạn thẳng không ảnh hưởng đến các số điểm thẳng hàng nên : Giả sử số điểm ban đầu là a (ĐK: a  N , a  199 ) Chọn 1 điểm bất kỳ, qua điểm này ta vẽ được a-1 đoạn thẳng đến a-1 điểm còn lại, Tương tự như vậy, Với a điểm thì số đoạn thẳng vẽ được là: a( a – 1) ( đoạn thẳng) 9 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức Tuy nhiên, do mỗi đoạn thẳng được vẽ hai lần, Nên số đoạn thẳng vẽ được là: a ( a − 1) ( đoạn thẳng) 2 a ( a − 1) Theo yêu cầu của bài toán thì ta có : = 19900 = a ( a − 1) = 39800 = 199.200 2 Do a và a – 1 là hai số tự nhiên nên ta có a = 200 Vậy có 200 điểm ban đầu Bài 12: Cho n điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng, cứ qua hai điểm ta vẽ được 1 đường thẳng , biết vẽ được 105 đường thẳng , Tính n? HD : Vì trong n điểm không có ba điểm nào thẳng hàng nên số đường thẳng vẽ được là : n ( n − 1) , ( đoạn thẳng) 2 n ( n − 1) Theo yêu cầu bài toán ta có : = 105 = n ( n − 1) = 210 = 14.15 ( đoạn thẳng) 2 Vì n và ( n – 1) là hai số tự nhiên liên tiếp nên n = 15 Vậy có 15 điểm ban đầu Bài 13: Cho 20 điểm trong đó có a điểm thẳng hàng, cứ hai điểm ta vẽ được 1 đường thẳng, tìm a biết vẽ được 170 đường thẳng? HD : Giả sử trong 20 điểm không có 3 điểm nào thẳng hàng, 20.19 = 190 ,( đường thẳng) Khi đó số đường thẳng vẽ được là : 2 Nhưng vì có a điểm thẳng hàng nên số đường thẳng bị giảm đi là : a ( a − 1) − 1 ( đường thẳng ) 2 Theo yêu cầu của bài toán thì ta phải có : a ( a − 1)  a ( a − 1)  190 −  − 1 = 170 = = 21 = a ( a − 1) = 42 = 6.7 2 2   Do a và a-1 là hai số tự nhiên liên tiếp nên ta có : a = 7 Vậy có trong 20 điểm thì có tới 7 điểm thẳng hàng Bài 14: Cho 96 điểm trong đó có a điểm thẳng hàng, cứ qua hai điểm ta vẽ được 1 đường thẳng, tìm a biết vẽ được tất cả 3336 đường thẳng HD : Giả sử trong 96 điểm đó không có 3 điểm nào thẳng hàng, thì số đường thẳng vẽ được là : 96.95 = 4560 , ( đường thẳng ) 2 a ( a − 1) Nhưng vì có a điểm thẳng hàng nên số đường thẳng bị giảm đi là : − 1 ,( đường thẳng ) 2 Theo yêu cầu bài toán thì a ( a − 1) a ( a − 1) − 1 = 4560 − 3336 = 1224 = = 1225 = a ( a − 1) = 2450 = 49.50 2 2 Vì a và a – 1 là hai số tự nhiên liên tiếp nên a = 50, Như vậy trong 96 điểm có 50 điểm thẳng hàng Bài 15: Cho 2016 điểm, trong đó chỉ có 16 điểm thẳng hàng, qua hai điểm ta vẽ các đường thẳng, hỏi vẽ được tất cả bao nhiêu đường thẳng, cũng như vậy nếu là đoạn thẳng? HD : Với 2016 điểm mà không có 3 điểm nào thẳng hàng thì số đường thẳng vẽ được là : 2016.2015 = 2031120 ( đường thẳng ) 2 10 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức Nhưng vì có 16 điểm thẳng hàng nên số đường thẳng bị giảm đi là : 16.15 − 1 = 119 ( đường thẳng ) 2 Như vậy số đường thẳng vẽ được là : 2031120-119=2031001 ( đường thẳng ) Với trường hợp là đoạn thẳng : Vì số đoạn thẳng không phụ thuộc vào số điểm thẳng hàng, Nên số đoạn thẳng vẽ được là 2031120 đoạn thẳng Bài 16: Cho n điểm (n>1). Nối từng cặp điểm trong n điểm đó thành các đoạn thẳng a, Hỏi có bao nhiêu đoạn thẳng, nếu n điểm đó không có ba điểm nào thẳng hàng b, Hỏi có bao nhiêu đoạn thẳng nếu có đúng 3 điểm thẳng hàng c, Tính n biết vẽ được tất cả 1770 đoạn thẳng HD : a, Với n điểm không có ba điểm nào thẳng hàng thì số đường thẳng vẽ được là : n ( n − 1) ( đường thẳng ) 2 b, Vì số đoạn thẳng không ảnh hưởng đến số điểm thẳng hàng, nên với n điểm có 3 điểm thằng n ( n − 1) hàng thì ta vẫn vẽ được đoạn thẳng 2 c, Theo yêu cầu bài toán và kết qua câu c thì ta có : n ( n − 1) = 1770 = n ( n − 1) = 3540 = 59.60 , đoạn thẳng 2 Vì n, n – 1 là hai số tự nhiên liên tiếp nên n = 60 Bài 17: Cho 20 điểm, trong đó có a điểm thẳng hàng. Cứ 2 điểm, ta vẽ một đường thẳng. Tìm a , biết vẽ được tất cả 170 đường thẳng HD : Giả sử trong 20 điểm đó không có 3 điểm nào thẳng hàng, thì số đường thẳng vẽ được là : 20.19 = 190 , đường thẳng 2 Nhưng vì có a điểm thẳng hàng nên số đường thẳng bị giảm đi là : a ( a − 1) − 1 , Theo yêu cầu bài toán thì : 2 a ( a − 1) a ( a − 1) − 1 = 190 − 170 = 20 = = 21 = a ( a − 1) = 42 = 6.7 2 2 Vì a và a-1 là hai số tự nhiên liên tiếp nên a=7, Như vậy trong 20 điểm có 7 điểm thẳng hàng Bài 18: Cho n điểm trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng . Cứ qua hai điểm ta vẽ 1 đường thẳng. Biết rằng có tất cả 105 đường thẳng. Tính n? HD: Vì trong n điểm không có ba điểm nào thẳng hàng nên số đường thẳng vẽ được là : n ( n − 1) , đoạn thẳng 2 n ( n − 1) Theo yêu cầu bài toán ta có : = 105 = n ( n − 1) = 210 = 14.15 đoạn thẳng 2 Vì n và (n-1) là hai số tự nhiên liên tiếp nên n=15 Vậy có 15 điểm ban đầu Bài 19: Cho 25 điểm trong đó không có 3 điểm thẳng hàng. Cứ qua 2 điểm ta vẽ một đường thẳng. Hỏi có tất cả bao nhiêu đường thẳng? Nếu thay 25 điểm bằng n điểm thì số đường thẳng là bao nhiêu. HD: Tương tự với bài trên Vì không có ba điểm nào thẳng hàng nên: Chọn 1 điểm bất kỳ, qua điểm này ta vẽ được 24 đường thẳng đến 24 điểm còn lại, 11 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức Tương tự như vậy, Với 24 điểm thì số đường thẳng vẽ được là: 24.25=600 đường thẳng Tuy nhiên, do mỗi đường thẳng được vẽ hai lần, Nên số đường thẳng vẽ được là: 600:2=300 đường thẳng Vậy số đường thẳng vẽ được là: 300 đường thẳng n ( n − 1) Tổng quát nếu là n thì số đường thẳng vễ được là: đường thẳng 2 Bài 20: Cho trước n điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Vẽ các đường thẳng đi qua các cặp điểm . Tìm n biết rằng nếu có thêm 1 điểm không thẳng hàng với bất kì 2 điểm nào trong số n điểm đã cho thì số đường thẳng vẽ được tăng thêm 8 HD: Theo bài ra ta có: n ( n − 1) Với n điểm ban đầu, ta có: đường thẳng 2 Nhưng vì có thểm 1 điểm và điểm này không thẳng hằng với bất kì hai đường thẳng khác, Nên số điểm lúc này là n+1 điểm n(n + 1) Nên số đường thẳng vẽ được là: đường thẳng 2 n ( n + 1) n ( n − 1) n2 + n − n2 + n Theo bài ra ta có: − = 8 = = 8 = n = 8 2 2 2 Vậy số điểm ban đầu là 8 điểm Bài 20: Cho trước n điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Vẽ các đường thẳng đi qua các cặp điểm . Tìm n biết rằng nếu có thêm 1 điểm không thẳng hàng với bất kì 2 điểm nào trong số n điểm đã cho thì số đường thẳng vẽ được tăng thêm 2017 HD: Theo bài ra ta có: n ( n − 1) Với n điểm ban đầu, ta có: đường thẳng 2 Nhưng vì có thểm 1 điểm và điểm này không thẳng hằng với bất kì hai đường thẳng khác, Nên số điểm lúc này là n+1 điểm n(n + 1) Nên số đường thẳng vẽ được là: đường thẳng 2 n ( n + 1) n ( n − 1) n2 + n − n2 + n Theo bài ra ta có: − = 2017 = = 2017 = n = 2017 2 2 2 Vậy số điểm ban đầu là 2017 điểm Bài 22: Trên đường thẳng a đặt n điểm đếm được 2002 đoạn thẳng bằng nhau. Tìm giá trị nhỏ nhất của n HD: Vì có 2002 đoạn thẳng nên n  2003. Xét n=2003 Nếu trên đường thẳng a đặt liên tiếp các điểm M1,M2 ,…M2003 sao cho các đoạn thẳng M1M2 , M2M3 ,…M2002M2003 bằng nhau, Vậy giá trị nhỏ nhất của n là 2003 ( kết quả chưa khả quan lắm) 12 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức DẠNG 4: Tính số giao điểm Bài 1: Cho 101 đường thẳng, trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, không có ba đường thẳng nào cũng đồng quy. Tính số giao điểm của chúng HD: Theo yêu cầu của bài toán, ta làm như sau: Vẽ 1 đường thẳng thì số giao điểm là 0 giao điểm Vẽ thêm 1 đường thẳng thứ hai , đường thẳng này cắt 1 đường thẳng trước nó, cho ta thêm 1 giao điểm Vẽ đường thẳng thứ ba, đường thẳng này cắt hai đường thẳng trước nó cho ta thêm hai giao điểm Cứ làm như vậy, nếu vẽ đến đường thẳng thứ 101, đường thẳng này cắt 100 đường thẳng trước đó cho ta thêm 100 giao điểm Như vậy với 101 đường thẳng , bất kỳ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, không có ba điểm đồng 100.101 = 5050 , giao điểm quy thì số đường thẳng vẽ được là: 0+1+2+3+4+…+100= 2 Bài 2: Cho n đường thẳng, trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, không có ba đường thằng đồng quy, biết rằng số giao điểm của các đường thẳng đó là 780, Tính n? HD: Lập luận theo cách ở trên ta có: Vẽ 1 đường thẳng thì số giao điểm là 0 giao điểm Vẽ thêm 1 đường thẳng thứ hai , đường thẳng này cắt 1 đường thẳng trước nó, cho ta thêm 1 giao điểm Vẽ đường thẳng thứ ba, đường thẳng này cắt hai đường thẳng trước nó cho ta thêm hai giao điểm Cứ làm như vậy, nếu vẽ đến đường thẳng thứ n, đường thẳng này cắt n-1 đường thẳng trước đó cho ta thêm n-1 giao điểm Như vậy với n đường thẳng , bất kỳ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, không có ba điểm đồng n ( n − 1) quy thì số đường thẳng vẽ được là: 0+1+2+3+4+…+(n-1) = ( giao điểm) 2 n ( n − 1) Theo yêu cầu bài toán thì = 780 = n ( n − 1) = 1560 = 40.39 2 Vì n và n-1 là hai số tự nhiên liên tiếp nên n=40 Vậy có 40 đường thẳng ban đầu Bài 3: Cho 2017 đường thẳng, trong đó bất kì hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, không có ba đường thằng nào đồng quy, Tính số giao điểm của chúng? HD: Theo yêu cầu của bài toán, ta làm như sau: Vẽ 1 đường thẳng thì số giao điểm là 0 giao điểm Vẽ thêm 1 đường thẳng thứ hai , đường thẳng này cắt 1 đường thẳng trước nó, cho ta thêm 1 giao điểm Vẽ đường thẳng thứ ba, đường thẳng này cắt hai đường thẳng trước nó cho ta thêm hai giao điểm Cứ làm như vậy, nếu vẽ đến đường thẳng thứ 2017, đường thẳng này cắt 2016 đường thẳng trước đó cho ta thêm 2016 giao điểm Như vậy với 2017 đường thẳng , bất kỳ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, không có ba điểm 2016.2017 = 2033136 , giao điểm đồng quy thì số đường thẳng vẽ được là: 0+1+2+3+4+…+2016= 2 Bài 4: Cho 217 đường thẳng, Tính số giao điểm nhiều nhất có thể của 217 đường thẳng trên HD: Để số giao điểm được nhiều nhất thì bất kỳ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, và không có 3 đường thẳng nào đồng quy Áp dụng theo công thức tính số giao điểm nhiều nhất có thể của các đường thẳng là: 217.216 = 23436 ( giao điểm) 2 13 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức Bài 5: Cho 100 đường thẳng, trong đó có 20 đường thẳng đồng quy, tính số giao điểm nhiều nhất có thể ? HD: Để số giao điểm được nhiều nhất thì bất kỳ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, và không có 3 đường thẳng nào đồng quy Giả sử trong 100 điểm trên không có ba đường thẳng nào đồng quy và bất kỳ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau: 100.99 = 4950 ( giao điểm) Khi đó số giao điểm có được là: 2 Tuy nhiên, Vì có 20 đường thẳng đồng quy, nên số giao điểm bị giảm đi là: 20.19 = 190 giao điểm Nếu 20 đường thẳng mà không đồng quy thì số giao điểm là: 2 Nhưng vì chúng đồng quy nên chỉ có 1 giao điểm: Nên số giao điểm bị giảm đi khi có 20 đường thẳng đồng quy là: 190-1=189 giao điểm Vậy số giao điểm nhiều nhất có được là: 4950- 189=4761 (giao điểm) Bài 6: Cho trước 1 số đường thẳng, trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau và không có ba đường thẳng nào đồng quy, biết số giao điểm nhiều nhất có được là 5050, tính số đường thẳng? HD: Gọi số đường thẳng cho trước là n,( n là số tự nhiên và n>2) Vì bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau và không có ba đường thẳng nào đồng quy nên số n ( n − 1) giao điểm vẽ được là: ( giao điểm) 2 n ( n − 1) Theo yêu cầu của đầu bài thì ta phải có: = 5050 = n ( n − 1) = 10100 = 101.100 2 Vậy n=101 đường thẳng Bài 7: Cho trước 1 số đường thẳng, trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau và có 15 đường thẳng đồng quy, biết số giao điểm nhiều nhất có thể vẽ được là 1121 giao điểm. HD: Gọi số đường thẳng cho trước là n,( n là số tự nhiên và n>2) Giả sử trong n đường thẳng, bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau và không có ba đường n ( n − 1) thẳng nào đồng quy nên số giao điểm vẽ được là: ( giao điểm) 2 15.14 − 1 = 104 giao điểm Do có 15 đường thẳng đồng quy nên số đường thẳng bị giảm đi là: 2 n ( n − 1) Theo yêu cẩu của bài toán thì ta phải có: -104=1121=> 2 n ( n − 1) = 1225 = n ( n − 1) = 2450 = 49.50 => n=50 2 Vậy n=50 đường thẳng Bài 9: Cho n đường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, không có ba đường thẳng nào đồng quy, biết rằng số giao điểm của các đường thẳng đó là 780, 210 tính n HD: TH1: Với số giao điểm có được là 780 thì ta có: Với n đường thẳng, bất kỳ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau và không có ba đường thẳng nào n ( n − 1) đồng quy thi số giao điểm có được là: 2 n ( n − 1) Theo yêu cầu của bài toán thì = 780 = n ( n − 1) = 1560 = 39.40 2 Vậy n=40 đường thẳng TH2: Với số giao điểm có được là 210 thì ta có: 14 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức Với n đường thẳng, bất kỳ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau và không có ba đường thẳng nào n ( n − 1) đồng quy thi số giao điểm có được là: 2 n ( n − 1) Theo yêu cầu của bài toán thì = 210 = n ( n − 1) = 420 = 20.21 2 Vậy n=21 đường thẳng Bài 10: Có 1 số con đường, chúng cắt nhau đôi 1 và không có ba đường thẳng nào đồng quy, các con đường đó cắt nhau tạo thành 300 ngã tư, hỏi có tất cả bao nhiêu con đường HD: Gọi số con đường là n Vì chúng cắt nhau đôi 1 và không có ba đường nào đồng quy nên số ngã tư (giao điểm) có được n ( n − 1) là: 2 n ( n − 1) Theo yêu cẩu của bài toán thì =300=> n ( n −1) = 600 == 24.25 2 Vậy n=25 con đường Bài 11: Bảy đường thẳng đôi 1 cắt nhau có thể cắt nhau ít nhất, nhiều nhất tại bao nhiêu điểm? HD: Với 7 đường thẳng đôi 1 cắt nhau muốn số giao điểm ít nhất thì chúng phải đồng quy tại 1 điểm, Khi đó số giao điểm là 1 Ngược lại nếu muốn số giao điểm nhiều nhất thì bất kỳ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, và 7.6 = 21 ( giao điểm) không có ba đường thẳng nào đồng quy, khi đó số giao điểm là: 2 Bài 12: Cho 3 đường thẳng m,a,b đồng quy tại O, ba đường thẳng n,a,b cũng đồng quy a, CMR cả 4 đường thẳng m,n,a,b đồng quy tại O b, Vẽ thêm hai đường thẳng c,d không đi qua O.Hỏi 6 đường thẳng m,n,a,b,c,d có nhiều nhất bao nhiêu giao điểm HD: b a n m O a, Vì 3 đường thẳng m, a, b đồng quy tại O nên O là giao điểm của a và b Mà n, a, b đồng quy thì đường thẳng n phải đi qua O, Khi đó cả 4 đường thẳng a,b,m,n đồng quy tại 1 điểm b, b a m n c d 15 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức Khi có thêm 2 đường thẳng c và d, để số giao điểm được nhiều nhất thì đường thẳng d phải cắt cả 4 đường thẳng a,b,m,n tạo thêm 4 giao điểm Và đường thẳng c phải cắt cả 5 đường thẳng a,b,m,n,c tao thêm 5 giao điểm Như vậy có nhiều nhất 1+4+5=10 giao điểm Bài 13: Cho 11 đường thẳng đôi 1 cắt nhau: a, Nếu trong số đó không có ba đường thảng nào đồng quy thì có tất cả bao nhiêu giao điểm của chúng b, Nếu trong 11 đường thẳng đó có đúng 5 đường thẳng đồng quy thì có bao nhiêu giao điểm của chúng HD: a, Vì không có ba đường thẳng nào đồng quy, thì số giao điểm có thể vẽ được là nhiều nhất và 11.10 = 55 giao điểm bằng: 2 b, Nếu có đúng 5 đường thẳng đồng quy thì số giao điểm giảm bớt đi là: (5.4):2-1 =9 giao điểm Vậy số giao điểm có được là 55- 9= 46 giao điểm Bài 14: Cho 5 đường thẳng đôi một cắt nhau, gọi m là số giao điểm có được tạo thành a, Tính giá trị lớn nhất của m b, Tính giá trị nhỏ nhất của m HD: a, Với 5 đường thẳng cắt nhau, để có số giao điểm m lớn nhất thì không có ba đường thẳng nào đồng quy, khi đó số giao điểm là: m= (5.4):2=10 giao điểm b, Với 5 đường thẳng cắt nhau, để số giao điểm n nhỏ nhất thì cả 5 đường thẳng đó phải đồng quy, Khi đó số giao điểm n=1 giao điểm 16 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức DẠNG 5: Các bài toán về tính toán Bài 1: Cho đoạn thẳng AB= 5cm, điểm C nằm giữa A và B, các điểm D và E theo thứ tự là trung điểm của AC và CB. TÍnh dộ dài DE HD: A B D C E Vì C nằm giữa A và B nên CA và CB là hai tia đối nhau Hai điểm D và E nằm trên bai tia đối nhau CA và CB có chung góc C nên C nằm giữa D và E Ta có: 1 1 1 1 5 DC + CE = DE = DE = AC + CB = ( AC + CB ) = AB = 2 2 2 2 2 Bài 2: Trên tia Ox lấy hai điểm M, N sao cho OM = 3cm và ON = 7cm, a, Tính độ dài đoạn thẳng MN b, Lấy điểm P trên tia Ox sao cho MP =2cm. Tính độ dài đoạn thẳng OP c, Trong trường hợp M nằm giữa O và P, chứng minh rằng P là trung điểm của MN HD: O M N x a, Trên cùng 1 tia Ox Vì OM=3cm P nằm giữa O và N Ta có: OP + PN = ON = 5cm + PN = 7cm = PN = 2cm = PM (1) Mà ta lại có: OM P nằm giữa M và N (2) Từ (1) và (2) ta có: P là trung điểm của MN Bài 3: Cho đoạn thẳng AB = 8cm và C là trung diểm của nó, lấy điểm D là trung điểm của CB, E là trung điểm của CD, Tính độ dài đoạn thẳng EB HD: A B C E D Vì C là trung điểm của AB nên C nằm giữa A và B và CB=4cm Và D là trung điểm của BC nên D nằm giữa B và C và DC=DB=2cm Đồng thời DC và DB là hai tia đối nhau 17 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức Mà E là trung điểm của DC nên ED = EC = 1cm và DE và DB là hai tia đối nhau Khi đó ta có: D là điểm nằm giữa E và B BD + DE = BE = BE = 2cm + 1cm = 3cm Bài 4: Cho đoạn thẳng AB= 7cm, trên tia AB lấy điểm I sao cho AI = 4cm, trên tia BA lấy điểm K sao cho BK=2cm a, Chứng minh rằng I nằm giữa A và K b, Tính IK HD: 2 4 A I K B a, Ta có: K nằm trên AB nên AK + KB = AB => AK=7cm-2cm=5cm Trên tia AB ta lại có AI = 3cm < AK =5cm Nên I nằm giữa A và K b, Vì I nằm giữa A và K nên ta có: AI + IK = AK = IK = 5cm − 3cm = 2cm Bài 5: Trên tia Ox cho 4 điểm A, B, C, D biết rằng A nằm giữa B và C, B nằm giữa C và D, OA =5cm, OD =2cm, BC =4cm và độ dài AC giấp đôi độ dài BD. Tìm độ dài các đoạn BD và AC HD: D O B A x C Vì A nằm giữa B và C nên ta có: BA + AC = BC => BA + AC = 4 (1) Vì B nằm giữa C và D, Giả sử C nằm giữa A và D => B không nằm giữa C và D => B nằm giữa A và D Theo giả thiết ta có: OD < OA => D nằm giữa O và A => DA = 3cm Ta có: DB + BA = DA => DB + BA = 3cm (2) Từ (1) – (2) ta có: AC – BD = 1cm và AC = 2BD => 2BD – BD = 1cm => BD = 1cm => AC =2cm Bài 6: Gọi A và B là hai điểm trên tia Ox sao cho OA = 4cm và OB = 6cm, Trên tia BA lấy điểm C sao cho BC =3cm, so sánh AB và AC HD: x O C A B Trên tia Ox, ta thấy OA= 4cm < OB =6cm nên A nằm giữa hai điểm O và B Khi đó: OA+AB=OB=>AB=6cm -4cm =2cm Ta lại có trên tia BA có BA=2cm AC=3cm-2cm=1cm Vậy AB=2cm >AC =1cm Bài 7: Trên tia Ox cho 4 điểm A,B,C,D biết rằng A nằm giữa B và C, B nằm giữa C và D sao cho OA=7cm, OD=3cm, BC=8cm và AC = 3BD a, Tính AC b, Chứng minh B là trung điểm của AD HD: x O D x B A 3x C a, 18 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức Đặt: BD=x (cm), AC =3x (cm) Vì D nằm giữa O và A => OD +DA=OA=>DA=4cm B nằm giữa C và D=> B nằm giữa D và A=>DB+BA=4cm=>x+BA=4cm (1) Và A nằm giữa B và C=>BA+AC=BC=>3x+BA=8cm (2) Lấy (2)-(1) theo vế ta được: 2x=4=> x=2 hay AC=6cm b, Ta có: x=2cm=> BA =4cm -2cm =2cm Khi đó B là trung điểm của AD Bài 8: Cho 4 điểm A,B,C,D cùng nằm trên một đường thẳng. Biết AB=12cm, BC=7cm và AD= 15cm, D nằm giữa A và C. Tính độ dài BD? HD: A B D C Vì AB < AD ta sẽ có hai TH A nằm giữa B và D hoặc B nằm giữa A và D Nếu A nàm giữa B và D=> BD=DA+AB=12+15=27cm Mà BC=7cm=> D không thể nàm giữa A và C Như vậy B nằm giữa A và D và D nằm giữa A và C (Như hình vẽ) => AB+BD=AD=>12+BD=15=>BD=3cm Bài 9 : Cho đoạn thẳng EF và điểm A nằm giữa E và F sao cho 3AE = 4AF. Tính AE và AF biết EF = 21 cm HD: E F A Vì A nằm giữa E và F Nên EA+AF=EF=21cm => 3AE+3AF=63cm Mà 3AE=4AF=> 4AF+3AF=63=>AF=9cm vàAE=12cm Bài 10: Cho đoạn thẳng GH và A, B là 2 điểm nằm giữa G và H sao cho AG = HB. So sánh BG và AH HD: GH TH1: GA  khi đó ta có: 2 G H A B B nằm giữa G và H nên ta có: GB+BH=GH=> GB=GH-BH Và A nằm giữa G và H nên ta có: GA+AH=GH=> AH=GH-BH (2) Từ (1) và (2) ta có: BG=AH GH TH2: GA  , Khi đó ta có: 2 G (1) H B A B nằm giữa G và H nên ta có: GB+BH=GH=> GB=GH-BH (1) Và A nằm giữa G và H nên ta có: GA+AH=GH=> AH=GH-BH (2) Từ (1) và (2) ta có: BG=AH Như vậy ta luôn có: BG=AH Bài 11: Cho AB = 12cm, điểm D nằm giữa A và B. Tính độ dài đoạn thẳng DA và DB biết DA – DB = 2cm HD: A B D Ta có: Vì D nằm giữa A và A và B nên ta có: AD+DB=AB=12cm 19 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức Mà AD-BD=2cm 12 − 2 12 + 2 = 7cm , và BD = = 5cm Nên AD = 2 2 Bài 12: Cho ba điểm A, M, B thẳng hàng và AM =3cm; AB= 8cm. Tính độ dài đoạn thẳng MB HD: TH 1: M nằm giữa A và B khi đó ta có: A B M AM+MB=AB=>MB=8cm-3cm =5cm TH 2: A nằm giữa B và M M B A Khi đó ta có: MA+AB=MB=>MB=3cm+5cm=11cm TH 3: B nằm giữa A và M M A B Khi đó ta có: MB+BA=MA=>MB+8cm =3cm ( Vô lý) 1 3 Bài 13: Cho AB= 10cm. Trên đoạn AB lấy điểm I sao cho BI = IA . Tính độ dài IA, IB HD: B I A Ta có: I nằm giữa A và B nên ta có: BI+IA=AB=10cm 5 5 15 Và 3BI=IA=> BI+3BI=10cm =>BI= cm và IA=10- = cm 2 2 2 Bài 14: Cho đoạn thẳng AB. Trên tia đối của tia AB lấy điểm C , trên tia đối của tia BA lấy điểm D sao cho BD = AC. Chứng tỏ rằng CB = AD HD: C A B D Vì C nằm trên tia đối của tia AB nên A nằm giữa C và B, Khi đó ta có: CA+AB=CB Tương tự D nằm trên tia đối của tia BA nên B nằm giữa A và D , khi đó ta có: AD=AB+BD, Mà BD=CA Nên CB=AD Bài 15: Cho đoạn thẳng AB có độ dài 10 cm. Trên tia AB lấy điểm C sao cho AC = 4cm, trên tia BA lấy điểm D sao cho BD = 4cm., Tính độ dài đoạn CD HD: A B C D Ta có: C nằm trên AB nên ta có: AC+CB=AB=>BC=10-4=6cm Trên tia BA ta có BC=6cm, BD=4cm nên D nằm giữa B và C, khi đó ta có: BD+DC=BC=>CD=6cm -4cm =2cm Bài 16: Cho đoạn thẳng AB và trung điểm M của nó. Lấy điểm O thuộc tia đối của tia BA (O  B). Hãy so sánh OM với trung bình cộng của hai đoạn thẳng OA và OB HD: 20 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức A M B O Ta có: Vì O nằm trên tia đối của tia BA nên cũng nằm trên tia đối của tia OM Hay B nằm giữa M và O, Khi đó ta có: OM=OB+BM Và trung bình cộng của hai đoạn OA và OB là: OA + OB OB + 2 BM + OB = = OB + OM = OB + OB + BM  OB + BM 2 2 Bài 17: Cho 6 điểm A,B,C,O,M,N sao cho A ,B, C không thẳng hàng, A,B,O thẳng hàng và O,C, M thẳng hàng, C, M, N thẳng hàng.Cứ qua hai điểm ta vẽ được 1 đường thẳng. Có bao nhiêu đường thẳng vẽ được, liệt kê HD: C A B O N M Từ A ta kẻ được các đường thẳng: AB, AC, AN, AM Từ B ta kẻ được các đường thẳng: BC, BN, BM Từ C ta kẻ được CN Vì O, C, M thẳng hàng và C, M, N thẳng hàng => C, O, M ,N thẳng hàng Bài 18: Cho đoạn thẳng AB và trung điểm M của nó. CA + CB a, Chứng tỏ rằng nếu C là điểm thuộc tia đối của tia BA thì CM = 2 CA − CB b, Chứng tỏ rằng nếu C là điểm nằm giữa M và B thì CM = . 2 HD: A M B C a, Vì C là điểm thuộc tia đối của tia BA nên B nằm giữa M và C AB 2 BC + AB AB + BC + BC AC + BC = = = Khi đó ta có: Cm = CB + BM = CB + 2 2 2 2 b, A M Nếu C nằm giữa MB thì ta có: CM = MB − BC = CM = AB − 2 BC AB − BC − BC AC − BC = = 2 2 2 C B AB − BC 2 Bài 19: a, Trên tia Ox lấy hai điểm M và N, sao cho OM = 3cm và ON = 7cm. b, Tính độ dài đoạn thẳng MN. c, Lấy điểm P trên tia Ox, sao cho MP = 2cm. Tính độ dài đoạn thẳng OP. d, Trong trường hợp M nằm giữa O và P. Chứng tỏ rằng P là trung điểm của đoạn thẳng MN. 21 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức e, Cho 2014 điểm, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Có bao nhiêu tam giác mà các đỉnh là 3 trong 2014 đỉnh đó HD: a, O x M N b, Trên cùng 1 tia Ox, ta có: OM=3cm MN=7cm -3cm =4cm c, O M P x N TH1: P nằm bên phải của M khi đó ta có M nằm giữa O và P Ta có: OM+MP=OP=> OP=3cm +2cm =5cm TH2: O x P M N P nằm bên phải của M, Khi đó P nằm giữa O và M Ta có: OP+PM=OM=>OP=3cm -2cm =1cm d, Ở trường hợp 1, M nằm giữa O và P, ta tính được OP=5cm Trên cùng 1 tia Ox, ta có OP=5cm < ON=7cm => P nằm giữa O và N Ta có: OP + PN = ON = 5cm + PN = 7cm = PN = 2cm = PM (1) Mà ta lại có: OM P nằm giữa M và N (2) Từ (1) và (2) ta có: P là trung điểm của MN e, 2012.2013 Ta chọn 1 điểm, còn lại 2013 điểm, Từ 2013 điểm này ta vẽ được đoạn thẳng 2 2012.2013 2012.2013 Nối điểm đã chọn đến đoạn thẳng này ta được tam giác 2 2 2012.2013 .2014 tam giác, Tương tự như vậy đến điểm thứ 2014, thì ta vẽ được 2 Nhưng vì mỗi tam giác này được tính ba lần, nên số tam giác thực tế vẽ được là: 2012.2013.2014 , (tam giác) 6 Bài 20: Cho 2 điểm M và N nằm cùng phía đối với A, nằm cùng phía đối với B. Điểm M nằm giữa A và B. Biết AB = 5cm; AM = 3cm; BN = 1cm. Chứng tỏ rằng: a, Bốn điểm A,B,M,N thẳng hàng b, Điểm N là trung điểm của đoạn thẳng MB c, Vẽ đường tròn tâm N đi qua B và đường tròng tâm A đi qua N, chúng cắt nhau tại C, tính chu vi của tam giác CAN. HD: A M N B a, Vì M, N nằm cùng phía đối với A nên 3 điểm A, M, N thẳng hàng=> A, M, N nàm trên đường thẳng a Tương tự M, N nằm cùng phía đối với B nên B, M, N thẳng hàng hay điểm B cũng nằm trên đường thẳng a Khi đó 4 điểm A, B, M ,N thẳng hàng b, Vì M, N nằm cùng phía với A, và cũng nàm cũng phía với B nên M, N nằm trong đoạn thẳng AB, Khi đó ta có: AM+MB=AB=>BM=5cm-3cm=2cm 22 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức Và N nằm giữa A và B nên ta có: AN+NB=AB=>AN=5cm-1cm =4cm Trên tia BA ta có: BM=2cm >BN=1cm => N nằm giữa B và M và BN+NM+BM=> MN =1cm Vậy N là trung điểm của BM c, C A M N B Đường tròn tâm N đi qua B nên có bán kính là NB=1cm, khi đó NC =1cm Đường tròn tâm A đi qua N nên có bán kính AN=4cm, Khi đó AC= 4cm Vậy chu vi tam giác CAN =4cm +4cm +1cm =9cm Bài 21: Cho đoạn thẳng AB dài 7cm. Trên tia AB lấy điểm I sao cho AI = 4 cm. Trên tia BA lấy điểm K sao cho BK = 2 cm. a, Hãy chứng tỏ rằng I nằm giữa A và K. b, Tính IK. HD: A B I K a, K nằm trên AB nên AK + KB = AB => AK=7cm-2cm=5cm Trên tia AB ta lại có AI = 3cm < AK =5cm Nên I nằm giữa A và K b, Vì I nằm giữa A và K nên ta có: AI + IK = AK = IK = 5cm − 3cm = 2cm Bài 22: Gọi A và B là hai điểm trên tia Ox sao cho OA = 4 cm ; OB = 6 cm. Trên tia BA lấy điểm C sao cho BC = 3 cm .So sánh AB với AC HD: O C A B Trên tia Ox, ta thấy OA= 4cm < OB =6cm nên A nằm giữa hai điểm O và B Khi đó: OA+AB=OB=>AB=6cm -4cm =2cm Ta lại có trên tia BA có BA=2cm AC=3cm-2cm=1cm Vậy AB=2cm >AC =1cm Bài 23: Trên đoạn thẳng AB lấy 2006 điểm khác nhau đặt tên theo thứ từ từ A đến B là A1; A2; A3; …; A2004. Từ điểm M không nằm trên đoạn thẳng AB ta nối M với các điểm A; A1; A2; A3; …; A2004 ; B. Tính số tam giác tạo thành. HD: M A A1 A2 A2004 B 23 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức Trên đoạn thẳng AB lúc này sẽ có tất cả 2006 điểm vì tính cả hai đầu mút A và B Nối các đoạn thẳng từ M đến điểm A, chưa cho ta tam giác nào, Nối M đến A1 tạo với 1 đoạn thẳng MA cho ta thêm 1 tam giác Nối M đến A2 tạo với 2 đoạn thẳng trước đó cho ta thếm 2 tam giác Làm tương tự như vậy đến đểm thứu A2004 cho ta thêm 2004 tam giác, Và cuối cùng nối M đến B cho ta thêm 2005 tam giác Vậy tất cả vẽ được số tam giác là: 0+1+2+…+2005=2011015 tam giác Bài 24: a. Vẽ tam giác ABC biết BC = 5cm; AB = 3cm ;AC = 4cm. b. Lấy điểm O ở trong tam giác ABC nói trên.Vẽ tia AO cắt BC tại H, tia B0 cắt AC tại I,tia CO cắt AB tại K. Trong hình đó có có bao nhiêu tam giác. HD: A I K 3 4 O C B H 5 Có 6 tam giác đơn là:  OKA,  OAI,  OIC,  OCH,  OHB,  OBK Có 3 Tam giác gép đôi là:  OBC,  OBA,  OAC Có 6 tam giác gép ba là:  ABH,  AHC,  BAI,  BCI,  CAK,  CKB Và có 1 tam giác gép 6, đó là  ABC Vậy ta có tất cả: 6+3+6+1=16 tam giác Bài 25: Trên tia Ox cho các điểm A, B, C sao cho OA=1cm, OB=5cm, AC=2cm a/ Trên hình vẽ có bao nhiêu tia b/ CMR điểm C nằm giữa điểm A và B c/ Điểm C có là trung điểm cảu AB không ? d/ Lấy điểm D sao cho B là trung điểm của CD, Tính độ dài đoạn OD HD: 5cm x O 1cm A C 2cm B a, Với điểm O cho ta duy nhất 1 tia, còn lại mỗi điểm A, B, C đều cho ta hai tia đối nhau có chúng gốc, Như vậy ta có tất cả 7 tia b, Vì AC =2cm và C nằm trên tia Ox nên A nằm giữa O và C, khi đó ta có: OC=OA+AC =1cm+2cm =3cm Trên cùng 1 tia ta có OAA nằm giữa O và B, Khi đó OA+AB=OB=> AB=5cm-1cm =4cm Vì C nằm giữa A và B nên ta có: AC+CB=AB=>CB=4cm-2cm =2cm, Vậy C là trung điểm của AB 5cm d, x O 1cm A 2cm C B D 24 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức Vì B là trung điểm của CD nên BC=BD=2cm Và D nằm trên tia đối của tia BC, hay B nằm giữa O và D nên ta có: OD=OB+BD= 5cm +2cm =7cm 25 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 1: Cho góc bẹt xOy , trên tia Ox, lấy điểm A sao cho OA=2cm, trên Oy lấy hai điểm M và B sao cho OM=1cm, OB=4cm, a/ CMR: Điểm M nằm giữa hai điểm O và B, Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB b/ Từ O kẻ hai tia Ot, Oz sao cho tOy = 1300 , zOy = 300 , Tính số đo tOz Bài 2: Trên đường thẳng xx’ lấy điểm O tùy ý, Vẽ hai tia Ox, Oy nằm trên cùng 1 nửa mặt phẳng có bờ x’x sao cho, xOz = 400 , x ‘ Oy = 3.xOz 1/ Trong ba tia Ox, Oy, Oz tia nào nằm giữa hai tia còn lại? 2/ Gọi Oz’ là tia phân giác của x ‘ Oy , Tính zOz ‘ Bài 3: Cho điểm O nằm trên đường thẳng xy, Trên 1 nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng xy vẽ tia Oz sao cho xOz nhỏ hơn 900 1/ Vẽ tia Om,On lần lượt là tia phân giác của các góc: xOz, yOz , Tính số đo góc mOn 2/ Tính số đo các góc nhọn trong hình vẽ, nếu số đo góc mOx = 350 3/ Vẽ đường tròn (O;2cm) cắt các tia Ox, Om, Oz, On,Oy lần lượt tại A,B,C,D,E, với các điểm O,A,B,C,D kẻ được bao nhiêu đường thẳng phân biệt qua các cặp điểm? kể tên những đường thẳng đó? Bài 4: Cho xOy = 600 , và Om là tia phân giác của góc đó, Vẽ tia Oz sao cho góc xOz = 450 , Tính số đo góc mOz Bài 5: Cho xOy , vẽ tia phân giác Oz của góc đó, Vẽ tia Ot là tia phân giác của góc xOz , vẽ tia Om là tia phân giác của góc xOt 1/ Giả sử xOm = 120 , Tính xOy 2/ Tính giá trị lớn nhất của xOm Bài 6: Cho hai góc kề AOB, BOC có tổng là 1600 , Trong đó góc AOB bằng 7 lần góc BOC 1/ Tính số đo mỗi góc: 2/ Trong góc AOC vẽ tia OD sao cho COD = 900 , CMR: OD là tia phân giác của AOB 3/ Vẽ tia OC’ là tia đối của tia OC, So sánh AOC, BOC ‘ Bài 7: Trên cùng 1 nửa mp bờ chứa tia Ox, vẽ hai tia Oy, Oz sao cho: xOy = 800 , xOz = 1300 1/ CMR: Oy nằm giữa hai tia Ox, Oz 2/ Gọi Ot là tia đối của tia Ox, Tia Oz có phải là tia phân giác của tOy không? 3/ Lấy các điểm A thuộc tia Ot, B thuộc tia Oz, C thuộc tia Oy, D thuộc tia Ox ( các điểm đó khác O), Qua 5 điểm phân biệt vẽ được tât cả bao nhiêu đường thẳng phân biệt Bài 8: Trên tia Ox lấy các điểm A, B sao cho OA=2cm, AB=6cm 1/ Tính khoảng cách giữa trung điểm I của đoạn OA và trung điểm K của đoạn thẳng AB 2 2/ M là một điểm bên ngoài đường thẳng AB, Biết OMB = 1000 , OMA = AMB Tính số đo AMB 3 Bài 9: Cho tam giác ABC có BC=4cm, trên tia đối của tia BC lấy điểm D sao cho BD=2cm, 1/ Tính CD 2/ Gọi M là trung điểm của CD, Tính độ dài BM 3/ Biết góc DAC = 1120 , Ax và Ay thứ tự là tia phân giác của góc BAC và góc BAD , Tính số đo góc xAy 4/ Trên nửa mp bờ là đường thẳng AC có chứa điểm D, nếu vẽ thêm n tia gốc A phân biệt không trùng với các tia AC, Ax, AB, Ay, AD thì có tất cả bao nhiêu góc đỉnh A 26 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức Bài 10: Cho tam giác ABC có diện tích 900cm2 , trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD= AC lấy điểm E sao cho AE = 2 AB, Trên cạnh 3 2 AC , Tính diện tích tam giác ADE 3 Bài 11: 1/ vẽ AOB = 1300 , AOC = 300 , Tính BOC 2/ Cho xOy = 900 , vẽ Ox1 là phân giác xOy , vẽ Ox 2 là phân giác xOx1 , vẽ Ox3 là phân giác xOx2 ,… Vẽ Ox2010 là phân giác xOx2009 , Tính số đo xOx2010 Bài 12: Cho tam giác ABC, Có BC=5cm, Trên tia đối của tia CB lấy điểm M sao cho CM=3cm, 1/ Tính độ dài BM 2/ Cho biết BAM = 800 , BAC = 600 , Tính CAM 3/ Lấy K thuộc đoạn thẳng BM sao cho CK=1cm, Tính BK Bài 13: Cho góc AOB, BOC` là hai góc kề bù, biết góc BOC = 5.AOB 1/ Tính số đo mỗi góc? 2/ Gọi OD là tia phân giác của BOC , Tính số đo AOD 3/ Trên cùng 1 nửa mp bờ là đường thẳng AC chứa tia OB, OD vẽ thêm n tia phân biệt ( không trùng với các tia đã cho) hỏi có tất cả bao nhiêu góc? Bài 14: Trên đường thẳng xy lấy 1 điểm O,trên 1 nửa mp bờ là đường thẳng xy vẽ các tia Om và On sao cho mOx = a0 , mOn = b0 , vẽ tia Ot là tia phân giác xOn 1/ Tính số đo mOt theo a và b, trong hai trường hợp ( Tia On nằm giữa hai tia Ox và Om, Tia Om nằm giữa hai tia Ox và On) 2/ trên nửa mp bờ là đường thẳng xy, có chưa Ot vẽ tia Ot’ vuông góc với Ot, CMR trong cả hai TH thì Ot’ đều là tia phân giác góc nOy Bài 15: Cho tam giác ABC có ABC = 550 , trên cạnh AC lấy điểm D (D không trùng với A và C) 1/ Tính độ dài AC biết AD=4cm, CD=3cm 2/ Tính DBC , biết ABD = 300 3/ Từ B dựng tia Bx sao cho DBx = 900 , tính ABx 4/ Trên cạnh AB lấy điểm E( không trùng với A,B) CMR hai đoạn thẳng BD và CE cắt nhau 27 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments

Bài viết tương tự

Scroll to Top