Chuyên đề hệ thức lượng trong tam giác vuông – Lư Sĩ Pháp

I Love Math

HÌNH HOÏC 9

HỆ THỨC
LƯỢNG TRONG
TAM GIÁC
VUÔNG
0916620899
[email protected]

Trọng tâm toán 9

I Love Math

GV. Lư Sĩ Pháp

CHƯƠNG I. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
—0o0–§1. MỘT SỐ HỆ THỨC VỂ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM
Quy ước
Cho ∆ABC vuông tại A, có đường cao AH.
Cạnh huyền BC = a
Cạnh góc vuông AB = b; AC = c
Hình chiếu của cạnh AB trên BC là
BH = b′
Hình chiếu của cạnh AC trên BC là
CH = c′
Đường cao AH = h
1. Hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền
Định lí 1.
Trong một tam giác vuông, bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và hình chiếu
của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền
 AC 2 = BC.CH hay c 2 = ac′
Tức là:
 AB 2 = BC.BH hay b 2 = ab′
Định lí Py – ta – go
Trong một tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương của hai cạnh góc vuông
Tức là :
 AB 2 + AC 2 = BC 2 hay a 2 = b 2 + c 2
2. Một số hệ thức liên quan tới đường cao
Định lí 2.
Trong một tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của
hai cạnh của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền
Tức là:
 AH 2 = BH .HC hay h 2 = b′.c′
Định lí 3.
Trong một tam giác vuông, tích hai cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và đường cao tương ứng
Tức là:
 AB. AC = BC. AH hay b.c = a.h
Định lí 4.
Trong một tam giác vuông, nghịch đảo của bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tổng các
nghịch đảo của bình phương hai cạnh góc vuông.
1
1
1
1
1 1
Tức là:

=
+
hay 2 = 2 + 2
2
2
2
AH
AB
AC
h
b c
B. BÀI TẬP
Bài 1.
Tính chiều cao của cây trong hình bên, biết rằng người đo
đứng cách cây 2,25m và khoảng cách từ mắt người đo đến
mặt đất là 1,5m.

HD Giải
Xét tam giác ACD vuông tại D có đường cao BD và AB = 1,5m

Trọng tâm toán 9

1

I Love Math _0916620899

Trọng tâm toán 9

I Love Math

GV. Lư Sĩ Pháp

Ta có: BD 2 = AB.BC ⇔ (2, 25) 2 = 1, 5.BC  BC = 3, 375 m
Vậy chiều cao của cây là AC = AB + BC = 1,5 + 3,375 = 4,875 m
Bài 2. Cho tam giác ABC vuông tại A , có AB = 6cm , AC = 8cm. Tính độ dài cạnh huyền và đường
cao AH .
HD Giải
Xét tam giác ABC vuông tại A , ta có
A
BC 2 = AB 2 + AC 2 = 6 2 + 82 = 100
Suy ra: BC = 10 cm
8cm

6cm

AB 2 AC 2
AB 2 + AC 2

1
1
1
=
+
 AH =
Ta lại có:
2
2
AH
AB
AC 2
62.82
= 4,8 cm
6 2 + 82
Bài 3. Hãy tìm x và y trong mỗi hình sau
a)
b)

B

Vậy AH =

8

6

A

y

x

C

H

d)

B

C

H 20

e)

1

y
y

x
7

4

B

g)

H

h)
A

C A

B

B
x

x
B

C

y

k)

y
9

4

x

2

x
A

C

H

2

C

4
H

B

A

5

1
B

f)

B
H

y

x

12

y

x
B

c)
A

A

C

H

H

C

16

H

y

x

2

H
12

A

x

C

y

A

y

C

Bài 4. Trong một tam giác vuông với các cạnh góc vuông có độ dài là 3 và 4, kẻ đường cao ứng với
cạnh huyền. Tính độ dài đường cao và các đoạn thẳng mà nó định ra trên cạnh huyền.
Bài 5. Đường cao của tam giác vuông chia cạnh huyền thành hai đoạn thẳng có độ dài là 1 và 2. Tính
các cạnh góc vuông của tam giác này.
Bài 6. Cho hình vuông ABCD. Gọi I là một điểm cố định giữa A và B . Tia DI và CB cắt nhau tại
K . Kẻ đường thẳng qua D vuông góc với DI và cắt BC tại L. Chứng minh rằng
a) Tam giác DIL là tam giác cân
1
1
b) Tổng
không đổi khi I thay đổi trên cạnh AB .
+
2
DI
DK 2
Bài 7. Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH . Hãy tính lần lượt độ dài các đoạn
BH , CH , AH , AC nếu biết:
a. AB = 6cm; BC = 10cm.
b. AB = 20cm; BC = 25cm.
Trọng tâm toán 9

2

I Love Math _0916620899

Trọng tâm toán 9

I Love Math

GV. Lư Sĩ Pháp

d. AB = 3cm; BC = 2cm.

c. AB = 12cm; BC = 13cm.

e. AB = 5cm; BC = 1dm.
f. AB = 2 2cm; BC = 4cm.
Bài 8. Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH . Hãy tính lần lượt độ dài các đoạn
BC , AH , BH , CH nếu biết:
a. AB = 3cm; AC = 4cm.
b. AB = 12cm; AC = 9cm.
d. AB = 2cm; AC = 2cm.

c. AB = 12cm; AC = 5cm.

e. AB = 3cm; AC = 1cm.
6. AB = 3a; AC = 4 a (với a là độ dài cho trước, a > 0 ).
Bài 9. Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH . Hãy tính lần lượt độ dài các đoạn
AH , BC , AB , AC nếu biết:
b. BH = 2cm; CH = 2cm.
a. BH = 9cm; CH = 16cm.
c. BH = 1cm; CH = 3cm.
d. BH = 25cm; CH = 144cm.
e. BH = 16 a; CH = 9 a (với a là độ dài cho trước, a > 0 ).
f. BH = 144 a , CH = 25a (với a là độ dài cho trước, a > 0 ).
Bài 4. Cho tam giác DEF vuông tại D có DI là đường cao. Tính độ dài DI nếu biết:
a. DE = 15cm, DF = 20cm.
b. DE = 1cm, DF = 1cm.
c. DE = 7 cm , DF = 24cm.
d. DE = 12cm , EF = 15cm.
f. EI = 9cm , EF = 25cm.
e. DF = 3cm, EF = 2cm.
Bài 5. Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH . Hãy điền các số thích hợp vào ô trống. (Sử
dụng máy tính bỏ túi để làm tròn các kết quả đến chữ số hàng phần trăm).

AB

AC

3

4

5

12

7

24

9

40

BC

20

29

60

61

84

85

AH

BH

CH

9

16

3,2

1,8

1,96

23,04

Bài 6. Giả sử tam giác ABC không có góc tù. Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông nếu biết:
a. AB = 6cm, AC = 8cm , BC = 10cm.
b. AB = 15cm, AC = 20cm, AH = 12cm.
c. AH = 12cm, BH = 16cm , CH = 9cm.
d. AH = 30cm, BH = 36cm, CH = 25cm.
e. AB = 2cm , BH = 1cm , BC = 4cm.
f. AC = 24cm , BH = 1,96cm, BC = 25cm.

Trọng tâm toán 9

3

I Love Math _0916620899

Trọng tâm toán 9

I Love Math

GV. Lư Sĩ Pháp

§2. TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM
1. Khái niệm tỉ số lượng giác của một góc nhọn
a. Mở đầu
Cho tam giác ABC vuông tại A . Xét góc nhọn B của nó.
Cạnh AB được gọi là cạnh kề của góc B
Cạnh AC được gọi là cạnh đối của góc B

b. Định nghĩa
Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền
được gọi là sin của góc α , kí hiệu là
sin α
Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyền được
gọi là cosin của góc α , kí hiệu là
cos α
Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề được
gọi là tang của góc α , kí hiệu là tan α

sin α =

caïnh ñoái
caïnh huyeàn

cạnh kề

cos α =

caïnh keà
caïnh huyeàn

α

tan α =

A
cạnh đối

B

cạnh huyền

caïnh ñoái
caïnh keà
caïnh keà
cot gα =
caïnh ñoái

C

Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối được
gọi là côtang của góc α , kí hiệu là
cot gα (cot α )
2. Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau
a. Định lí: Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia
A

α

Cho tam giác ABC vuông tại A . Ta có: α , β là hai góc phụ nhau.
sin α = cos β
cos α = sin β

tan α = cot β

β

cot gα = tan β

C

B

b. Bảng giá trị lượng giác các đặc biệt
α
00
TSLG

sin α

cosα

0

300
π
6

450
π
4

600
π
3

0

1
2

2
2

1

3
2

2
2

3
2
1
2

0

3
3

1

tan α
cot α

3

||

1

3
3
3

900
π
2
1
0
||
0

c. Tỉ số lượng giác của góc nhọn: 0 < sin α < 1;0 < cos α < 1 . Ta có: tan α = sin α cos α tan α .cot α = 1 Trọng tâm toán 9 cot α = cos α sin α 1 + tan 2 α = sin 2 α + cos 2 α = 1 1 cos 2 α 4 1 + cot 2 α = 1 sin 2 α I Love Math _0916620899 Trọng tâm toán 9 I Love Math Bài 1. Tìm tỉ số lượng giác của góc B . GV. Lư Sĩ Pháp B. BÀI TẬP Ta có: sin B = sin 450 = AC a 2 = = BC a 2 2 AB a 2 = = BC a 2 2 AC a tan B = tan 450 = = =1 AB a AB a cot gB = cot g 450 = = =1 AC a Ta có: cos B = cos 450 = HD Giải Bài 2. Tìm tỉ số lượng giác của góc B . AC a 3 3 = = BC 2a 2 AB a 1 cos B = cos 60 0 = = = BC 2 a 2 sin B = sin 60 0 = tan B = tan 60 0 = AC a 3 = = 3 AB a cot gB = cot g 60 0 = HD Giải Bài 3. Trong hình tìm y AB a 3 = = AC a 3 3 HD Giải Ta có: cos30 0 = Bài 4. Dựng góc nhọn α biết tan α = y 17 3  y = 17.cos 30 0 = ≈ 14,7 17 2 2 3 HD Giải Dựng góc vuông xOy . Trên tia Ox, lấy điểm A sao cho OA = 2 Trên tia Oy , lấy điểm B sao cho OB = 3 Suy ra góc OBA = α . Thật vậy, ta có: OA 2 tan α = tan BOA = = OB 3 Bài 5. Dựng góc nhọn β biết sin β = 1 2 HD Giải Dựng góc vuông xOy . Trên tia Oy , lấy điểm M sao cho OM = 1 Trên tia Ox, lấy điểm N sao cho MN = 2 Suy ra góc MNO = β . Thật vậy, ta có: OM 1 = MN 2 Bài 6. Vẽ một tam giác vuông có một góc nhọn 34 0 rồi viết các tỉ số lượng giác của góc 34 0 . Bài 7. Cho tam giác ABC vuông tại C , trong đó AC = 0,9 m, BC = 1, 2 m. Tính các tỉ số lượng giác của sin β = sin MNO = Trọng tâm toán 9 5 I Love Math _0916620899 Trọng tâm toán 9 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp góc B, từ đó suy ra các tỉ số lượng giác của góc A. Bài 8. Dựng góc nhọn α , biết 2 3 3 b) cos α = 0,6 c) tan α = d) cot α = a) sin α = 3 4 2 Bài 9. Cho tam giác ABC vuông tại A . Biết cos B = 0,8 , hãy tính các tỉ số lượng giác của góc C . Bài 10. Cho tam giác vuông có một góc 60 0 và cạnh huyền có độ dài là 8. Hãy tính độ dài của cạnh đối diện với góc 60 0 Bài 11. Tìm x trong hình bên Bài 12. Tìm x; y trong các hình sau: Bài 13. Cho tam giác ABC vuông tại A . Đường cao AH . Tính sin B và sin C trong mỗi trường hợp sau: a) AB = 13; BH = 5. b) BH = 3; CH = 4. Bài 14. Cho hình vẽ. Biết AB = 9cm; AC = 6, 4cm; AN = 36cm ; AND = 900 và DAN = 340 . Hãy tính: Độ dài đoạn CN ; AD ; Góc ABN và CAN . Bài 15. Cho hình vẽ bên. Biết AB = BC = CD = DE = 2cm . Hãy tính: a) Độ dài đoạn AD và BE b) Góc DAC và BXD Bài 16. Cho tam giác ABC vuông tại A , có AB = 6cm , AC = 8cm . Tính các tỉ số lượng giác của góc B . Từ đó suy ra tỉ số lượng giác của góc C . Trọng tâm toán 9 6 I Love Math _0916620899 Trọng tâm toán 9 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp 1 Bài 17. Tìm sin α ,cot α , tan α biết cos α = . 5 Bài 18. Cho tam giác ABC vuông tại A , C = 300 và BC = 10cm a) Tính độ dài đoạn AB, AC b) Kẻ từ A các đường thẳng AM , AN lần lượt vuông góc với các đường phân giác trong và ngoài của góc B . Chứng minh MN = AB . c) Chứng minh hai tam giác MAB và ABC đồng dạng. Tìm tỉ số đồng dạng. 5 Bài 19. Cho tam giác ABC vuông tại A . Biết AB = 30cm , B = α , tan α = . Tính cạnh BC và AC . 12 Bài 20. Tính sin L trong hình dưới Bài 21. Tìm x trong hình dưới Bài 22. Trong hình bên. Hãy tính a) Độ dài cạnh BC b) góc ADC Bài 23. Trong hình bên. Hãy tính a) Độ dài cạnh PT c) Khoảng cách từ điểm B đến cạnh AD b) Diện tích tam giác PQR Bài 24. Trong hình bên dưới, cho tam giác BCD là tam giác đều cạnh 5cm và góc DAB = 400 . Hãy tính AD và AB . Bài 25. Cho tam giác ABC có BC = 12cm, B = 600 và C = 400 . Tính: Trọng tâm toán 9 7 I Love Math _0916620899 Trọng tâm toán 9 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp a) Đường cao CH và cạnh AC . b) Diện tích tam giác ABC . Bài 26. Tính giá trị biểu thức: a) A = cos 2 52 0.sin 450 + sin 2 52 0.cos 450 b) B = tan 600.cos 2 47 0 + sin 2 47 0.cot 300 1 Bài 27. Tìm cos α , tan α ,cot α . biết sin α = 5 Bài 28. Không dùng máy tính hoặc bảng số, hãy tính: a) A = cos 2 200 + cos 2 300 + cos 2 400 + cos 2 500 + cos 2 600 + cos 2 700 b) B = sin 2 50 + sin 2 250 + sin 2 450 + sin 2 650 + sin 2 850 c) C = tan10. tan 20.tan 30. tan 40…tan 880. tan 890 . Bài 29. Cho tam giác ABC vuông tại A. Đặt ABC = x với 0° < x < 90°. Chứng minh rằng: a. sin x = cos ( 90° − x ) . b. cos x = sin ( 90° − x ) c. tan x = cot ( 90° − x ) . d. cot x = tan ( 90° − x ) . Bài 30. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 2a với a > 0 và đường cao AH .
a. Tính BH , AH theo a.
b. Tính tỉ số lượng giác của góc 30° và góc 60°.
Bài 31. Cho tam giác ABC vuông cân tại A có BC = 2a với a > 0.
a. Tính AB và AC theo a.
b. Tính tỉ số lượng giác của góc 45°.
Bài 32. Cho tam giác ABC vuông tại A. Hãy tính tỉ số lượng giác của góc B và góc C nếu biết:
a. AB = 3cm, AC = 4cm.
b. AB = 6cm, BC = 10cm.
d. AB = 5cm, BC = 1dm.

c. AC = 5cm , BC = 12cm.

f. AB = 3 3cm, AC = 3cm.
e. AC = 2cm, BC = 2cm.
Bài 33. Tính các tỉ số lượng giác của các góc sau (Sử dụng máy tính bỏ túi để làm tròn các kết quả đến chữ
số hàng phần nghìn)
a. sin1°, sin 23°, sin 45°, sin 67°, sin89°.
b. cos1°, cos 23°, cos 45°, cos 67°, cos89°.
c. tan1°, tan 23°, tan 45°, tan 67°, tan 89°.
d. cot1°, cot 23°, cot 45°, cot 67°, cot 89°.
Bài 34. Cho tam giác ABC vuông tại A. Hãy điền các số thích hợp vào ô trống (Sử dụng máy tính bỏ túi
để làm tròn các kết quả đến chữ số hàng phần trăm và đổi kết quả đo góc sang độ, phút, giây)
Góc C
AC
BC
Góc B
AB
3
5

4
12
2

2

30°

3

40°

20

15°

1

18°

5

54°
22°30′

30
100

7°30′

2

Bài 35. Cho tam giác ABC vuông tại A. Đặt ABC = x với 0° < x < 90°. Chứng minh rằng: a. sin 2 x + cos 2 x = 1. b. tan x = d. tan x.cot x = 1. e. c. cot x = 1 = 1 + tan 2 x; 2 cos x Bài 36. Tính giá trị các biểu thức sau: a. A = sin 23° − cos 67°. Trọng tâm toán 9 sin x ; cos x f. cos x ; sin x 1 = 1 + cot 2 x. 2 sin x b. B = cos 34° − sin 56°. 8 I Love Math _0916620899 Trọng tâm toán 9 I Love Math c. C = tan18° − cot 72°. Bài 37. Tính giá trị các biểu thức sau: a. A = sin10° + sin 40° − cos 50° − cos80°. GV. Lư Sĩ Pháp d. D = cot 36° − tan 54°. b. B = cos15° + cos 35° − sin 55° − sin 75°. tan 27°.tan 63° c. C = . cot 63°.cot 27° d. D = Bài 38. Tính giá trị các biểu thức sau: a. A = sin 2 22° + cos 2 22° c. C = cos 2 20° + cos 2 70°. e. E = tan18°.tan 72°. Bài 39. Tính giá trị các biểu thức sau: a. A = sin 2 15° + sin 2 35° + sin 2 55° + sin 2 75°. c. C = tan15°.tan 35°.tan 55°.tan 75°. Bài 40. Cho x là góc nhọn. cot 20° cot 45° cot 70° . tan 20° tan 45° tan 70° b. B = sin 2 40° + sin 2 50°. d. D = tan15°.cot15°. f. F = cot16°.cot 74°. b. B = cos 2 15° + cos 2 35° + cos 2 55° + cos 2 75°. d. D = cot15°.cot 35°.cot 55°.cot 75°. 3 5 c. Tính sin x,cos x, cot x nếu biết tan x = 3. 12 . 13 d. Tính sin x,cos x, tan x nếu biết cot x = 1. a. Tính cos x, tan x, cot x nếu biết sin x = . b. Tính sin x, tan x, cot x nếu biết cos x = Bài 41. Sắp xếp theo thứ tự tăng dần các tỉ số lượng giác sau: a. sin15°, sin 30°, sin 45°, sin 60°, sin 75°. b. cos15°, cos 30°, cos 45°, cos 60°, cos 75°. c. tan15°, tan 30°, tan 45°, tan 60°, tan 75°. d. cot15°, cot 30°, cot 45°, cot 60°, cot 75°. Bài 42. Sắp xếp theo thứ tự tăng dần các tỉ số lượng giác sau: a. sin11°, sin 33°,cos55°,cos77°. b. tan 22°, tan 44°, cot 66°, cot 88°. c. sin15°, cos80°, tan 25°, cot 75°. d. sin10°, cos10°, tan 45°, cot 33°. Bài 43. Cho 0° < x < 90° . Chứng minh các đẳng thức sau: a. sin 4 x + cos 4 x = 1 − 2 sin 2 x cos 2 x. b. sin 6 x + cos 6 x = 1 − 3sin 2 x cos 2 x. 1 − cos x sin x = . sin x 1 + cos x sin x + cos x − 1 2cos x f. = . 1 − cos x sin x − cos x + 1 c. sin 4 x − cos 4 x = 1 − 2 cos 2 x. d. sin x 1 + cos x 2 + = . 1 + cos x sin x sin x Bài 44. Cho 0° < x < 90° . Chứng minh các đẳng thức sau: a. tan 2 x − sin 2 x = tan 2 x.sin 2 x. b. cot 2 x − cos 2 = cot 2 x.cos 2 x. 1 1 cos x sin x 1 + cot 2 x c. + = 1. d. + = . tan x + 1 cot x + 1 sin x − cos x sin x + cos x 1 − cot 2 x e. 2 2  1 + sin x  1 + cos x 1 − sin x  1 − cos x  2 2 e.  f.  − −  = 4 tan x.  = 4cot x. 1 + sin x  1 + cos x   1 − sin x  1 − cos x Bài 45. Cho 0° < x < 90° . Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến: a. A = cos 4 x + sin 2 x cos 2 x + sin 2 x. b. B = cos 4 x − sin 4 x + 2 cos 2 x. c. C = 2 sin 6 x + cos 6 x − 3 sin 4 x + cos 4 x . ( ) ( ) d. D = sin 6 x + cos 6 x − 2sin 4 x − cos 4 x + sin 2 x. e. E = sin 6 x + cos 6 x + sin 4 x + cos 4 x + 5sin 2 x cos 2 x. ( f. F = 2 sin 4 x + cos 4 x + sin 2 x cos 2 x ) − ( sin 2 8 x + cos8 x ) . Bài 46. Tính giá trị các biểu thức sau: a. A = ( sin1° + sin 2° + sin 3° + … + sin 88° + sin 89° ) − ( cos1° + cos 2° + cos3° + … + 88° + cos89° ) b. B = tan1°.tan 2°.tan 3°….tan 87°.tan 88°.tan 89°. Trọng tâm toán 9 9 I Love Math _0916620899 Trọng tâm toán 9 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp c. C = cot1°.cot 2°.cot 3°….cot 87°.cot 88°.cot 89°. d. D = sin 2 1° + sin 2 2° + sin 2 3° + … + sin 2 87° + sin 2 88° + sin 2 89° e. E = cos 2 1° + cos 2 2° + cos 2 3° + … + cos 2 87° + cos 2 88° + cos 2 89° Bài 47. Tính kết quả của biểu thức a) A = sin 2 10o + sin 2 20o + sin 2 30o + sin 2 80o + sin 2 70o + sin 2 60o . b) B = cos 2 12o + cos 2 78o + cos 2 1o + cos 2 89o c) C = sin 2 3o + sin 2 15o + sin 2 75o + sin 2 87 o . tan 64o e) E = d) D = cos 45o.cos 2 23o + sin 45o.cos 2 67 o . −1 cot 26o 1 Bài 49. a) Biết cos x = , tính P = 3sin 2 x + 4 cos 2 x . 2 1 b) Cho góc nhọn β mà sin β = .Tính cos β và tan β 4 1 1 c) Cho góc α mà cos α = − cosα = – . Tính sin α , tan α và cot α . 3 3 d) Cho tan x = 2 2 . Tính sin x và cos x . Trọng tâm toán 9 10 I Love Math _0916620899 Trọng tâm toán 9 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp §3. MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VUÔNG A. KIẾN THỨC CẦN NẮM 1. Các hệ thức Cho tam giác ABC vuông tại A , có BC = a, AB = c và A AC = b Định lí: Trong tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng: b c a) Cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với cos góc kề b) Cạnh góc vuông kia nhân với tang góc đối hoặc nhân với côtang góc kề C a B Nghĩa là:  b = a.sin B = a.cos C  c = a.sin C = a.cos B  b = c.tan B = c.cot C  c = b.tan C = b.cot B 2. Các công thức tính diện tích: a) Tam giác: 1 1 1 1 1 1 S = a.ha = b.hb = c.hc S = bc sin A = ca.sin B = ab sin C 2 2 2 2 2 2 ha , hb , hc các đường cao tương ứng a+b+c abc S = p ( p − a )( p − b )( p − c ) S= ; 2 4R Công thức Hê-rông p : nữa chu vi; r , R : bán kính đường tròn nội, ngoại tiếp tam giác a2 3 a 3 ∆ABC vuông tại A: S = 1 . AB. AC = 1 .BC. AH ∆ABC đều, cạnh a: S = , đường cao AH = 2 2 4 2 2 b) Hình vuông: S=a (a: cạnh hình vuông) c) Hình chữ nhật: S = a.b (a, b: hai kích thước) S = pr ; p= S = đáy × cao = AB. AD.sinBAD 1 S = AB. AD.sinBAD = AC.BD 2 d) Hình bình hành: e) Hình thoi: f) Hình thang: S = 1 ( a + b ) .h 2 (a, b: hai đáy, h: chiều cao) g) Tứ giác có hai đường chéo vuông góc ( AC ⊥ BD ) : S= 1 AC.BD 2 Lưu ý: – Trong một tam giác vuông, nếu cho biết trước hai cạnh hoặc một cạnh và một góc nhọn thì ta sẽ tìm được tất cả các cạnh và góc còn lại của nó. – Bài toán đặt ra như vậy gọi là bài toán “Giải tam giác vuông” B. BÀI TẬP Bài 1. Cho tam giác ABC vuông tại A ,có AB = 5, AC = 8. Hãy giải tam giác vuông ABC . HD Giải Áp dụng định lý Py-ta-go, ta có: C BC = AB 2 + AC 2 = 52 + 82 ≈ 9, 434 Ta lại có: AB 5 tan C = = = 0, 625  C ≈ 320 AC 8 B + C = 900  B ≈ 900 − 32 0 = 580 8 A 5 B Bài 2. Cho tam giác OPQ vuông tại O ,có P = 360 , PQ = 8. Hãy giải tam giác vuông OPQ HD Giải Trọng tâm toán 9 11 I Love Math _0916620899 Trọng tâm toán 9 I Love Math Ta có: P + Q = 900  Q = 900 − P = 900 − 360 = 540 Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giác vuông, ta có: OP = PQ.sin Q = 7.sin 540 ≈ 5, 663 GV. Lư Sĩ Pháp P 360 OQ = PQ.sin P = 7.sin 360 ≈ 4,114 O 7 Q Bài 3. Cho tam giác LMN vuông tại L ,có M = 510 , LM = 2,8. Hãy giải tam giác vuông LMN HD Giải 0 0 0 0 N Ta có: N = 90 − M = 90 − 51 = 39 Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giác vuông, ta có: LN = LM . tan M = 2,8.tan 510 ≈ 3, 458 LM 2,8 MN = ≈ ≈ 4, 449 0 510 cos 51 0, 6293 M L 2,8 Bài 4. Một chiếc máy bay bay lên với vận tốc 500 km / h. Đường bay lên tạo với phương nằm ngang một góc 30 0 . Hỏi sau 1, 2 phút máy bay lên cao được bao nhiêu kilômét theo phương thẳng đứng? HD Giải 1 Ta có: 1, 2 phút = giờ 50 500 Đoạn đường AB = = 10 km 50 Do đó: BH = AB sin A = 10.sin 300 = 5 km Bài 5. Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi BC = a, AC = b, AB = c. Giải tam giác ABC, biết: a) b = 10cm , C = 30 0 = 30° ; b) a = 20cm , B = 350 = 35°; c) a = 15cm, b = 10cm ; d) b = 12cm, c = 7 cm . e) c = 10cm , C = 45° ; f) a = 11cm , C = 60 0 Bài 6. Cho tam giác ABC có BC = 11 cm, ABC = 38° và ACB = 30°. Gọi N là chân đường vuông góc kẻ từ A đến cạnh BC . Hãy tính: a) Độ dài đoạn thẳng AN; b) Độ dài đoạn thang AC. (Kẻ BK vuông góc với AC ) Bài 7. Các tia nắng mặt trời tạo với mặt đất một góc xấp xỉ bằng 34 0 và bóng của một tháp trên mặt nước dài 86m . Tính chiều cao của tháp Bài 8. Một cột đèn cao 7m có bóng trên mặt đất dài 4m . Hãy tính góc (làm tròn đến phút) mà tia sáng mặt trời tạo với mặt đất góc α . Trọng tâm toán 9 12 I Love Math _0916620899 Trọng tâm toán 9 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp Bài 9. Một khúc sông rộng khoảng 250m . Một chiếc đò chèo qua sông bị dòng nước đẩy xiên nên phải chèo khoảng 320m mới sang được bờ bên kia. Hỏi dòng nước đã đẩy chiếc đò lệch đi một góc α bằng bao nhiêu độ? Bài 10. Trong hình bên, có AC = 8cm, AD = 9, 6cm, ABC = 900 , ACB = 540 và ACD = 740 . Hãy tính: a) Độ dài AB b) Góc ADC Bài 11. Tượng đài chiến thắng là một công trình kiến trúc độc đáo được thi công nhằm kỷ niệm ngày giải phóng thị xã Long Khánh, ngày 21 – 4 – 1975 thể hiện ý chí quyết thắng của quân và dân ta. Em hãy tính chiều cao của công trình này biết rằng khi tia nắng của mặt trời tạo với mặt đất một góc 520 thì bóng của nó trên mặt đất là 16m. (Giả sử chu vi mặt đáy của khối chóp tam giác không đáng kể) A 52° B C Bài 12. Hằng ngày hai anh em An và Bình cùng đi bộ từ nhà ở A để đến trường. Trường của An ở vị trí B , trường của Bình ở vị trí C theo hai hướng vuông góc với nhau. An đi với vận tốc 4km / h và đến trường sau 15 phút. Bình đi với vận tốc 3km / h và đến trường sau 12 phút.Tính khoảng cách BC giữa hai trường (làm tròn đến mét). Bài 13. Một người A đang ở trên khinh khí cầu ở độ cao 150m nhìn thấy một vật B trên mặt đất cách hình chiếu của khí cầu xuống đất một khoảng 285m . Tính góc hạ của tia AB . Nếu khinh khí cầu tiếp tục bay lên thẳng đứng thì khi góc hạ của tia AB là 46° thì độ cao của khinh khí cầu là bao nhiêu? (làm tròn đến mét). Trọng tâm toán 9 13 I Love Math _0916620899 Trọng tâm toán 9 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp Bài 14. Một người có mắt cách mặt đất 1, 4m , đứng cách tháp Eiffel 400m nhìn thấy đỉnh tháp với góc nâng 39° . Tính chiều cao của tháp (làm tròn đến mét). Bài 15. Một cột đèn cao 8m . Tính góc tạo bởi tia nắng mặt trời và mặt đất lúc nó có bóng trên mặt đất là 5m . Bài 16. Một cái thang dài 4m đang dựa vào tường, chân thang cách chân tường 2m .Tính góc tạo bởi thang với mặt đất và với mặt tường. Bài 17. Tính chiều cao của một ngọn núi cho biết tại hai điểm cách nhau 1km trên mặt đất người ta nhìn thấy đỉnh núi với góc nâng lần lượt là 40° và 32° . D A 40° 32° 1km B C Bài 18. Tính chiều cao của một cái tháp, cho biết khi các tia nắng mặt trời tạo với mặt đất một góc 42° thì bóng của tháp trên mặt đất có chiều dài 150m . Bài 19. Để đo chiều rộng AB của một con sông mà không phải băng ngang qua sông, một người đi từ A đến C đo được AC = 50 m và từ C nhìn thấy B với góc nghiêng 62° với bờ sông. Tính bề rộng của con sông. Bài 20. Một người quan sát đứng cách một tòa nhà 25m. Góc nâng từ chỗ anh ta đứng đến nóc tòa nhà là 36° . a. Tính chiều cao của tòa nhà (làm tròn đến mét). Trọng tâm toán 9 14 I Love Math _0916620899 Trọng tâm toán 9 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp b. Nếu anh ta dịch chuyển sao cho góc nâng là 32° thì anh ta cách tòa nhà bao nhiêu mét? Khi đó anh ta tiến lại gần hay cách ra xa tòa nhà (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai). Bài 21. Từ trên tháp quan sát của một ngọn hải đăng cao 28 m , người ta nhìn thấy một chiếc thuyền cứu hộ với góc hạ 20° . Tính khoảng cách từ chân tháp đến thuyền. . Bài 22. Đài quan sát Toronto, Ontario (canada) cao 533 m . Ở một thời điểm vào ban ngày, mặt trời chiếu tạo thành bóng dài 1100 m . Hỏi lúc đó góc tạo bởi tia sát mặt trời và mặt đất là bao nhiêu (làm tròn đến độ). Bài 23. Hai ngư dân đứng ở một bên bờ sông cách nhau 250 m cùng nhìn thấy một cù lao trên sông với các góc nâng lần lượt là 30° và 40° .Tính khoảng cách d từ bờ sông đến cù lao. Bài 26. Lúc 6 giờ sáng, bạn An đi xe đạp từ nhà (điểm A ) đến trường (điểm B ) phải leo lên và xuống một con dốc (như hình vẽ). Cho biết đoạn thẳng AB dài 762 m , góc A bằng 6° , góc B bằng 4° . C h A 6° 4° B H 762 m a. Tính chiều cao h của con dốc. b. Hỏi bạn An đến trường lúc mấy giờ ? Biết rằng tốc độ trung bình lên dốc là 4 km/h và tốc độ trung bình xuống dốc là 19 km/h . Bài 27. Từ đỉnh một tòa nhà cao 54 m , người ta nhìn thấy một ô tô đang đỗ dưới một góc nghiêng xuống là 40° . Hỏi ô tô đang đỗ cách tòa nhà đó bao nhiêu mét ? Trọng tâm toán 9 15 I Love Math _0916620899 Trọng tâm toán 9 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp Bài 28. Một học sinh đứng ở mặt đất cách tháp ăng ten cao 150 m nhìn thấy đỉnh tháp theo một góc nghiêng lên là 20° và khoảng cách từ mắt đến mặt đất là 1m . Tính khoảng cách từ học sinh đó đến tháp (làm tròn đến mét). Bài 29. Một cái thang dài 4,8 m dựa vào tường làm thành một góc 58° so với mặt đất. Tính chiều cao của thang so với mặt đất (làm tròn đến mét). Bài 30. Một người quan sát ở đài hải đăng cao 800 feet (đơn vị đo lường Anh) so với mực nước biển nhìn thấy một con tàu ở xa với một góc nghiêng xuống là 1°42 ‘ . Hỏi khoảng cách từ tàu đến chân ngọn hải đăng là bao nhiêu hải lý (1 hải lý = 5280 feet )? Bài 31. Một người quan sát ở đài hải đăng cao 149 m so với mực nước biển nhìn thất một con tàu ở xa với một góc nghiêng xuống là 27° . Hỏi tàu đang đứng cách chân hải đăng là bao nhiêu mét? Bài 32. Một học sinh thả diều ngoài đồng, cho biết đoạn dây đã thả dài 100 m và có góc nâng 52° . Tính độ cao của diều so với mặt đất (làm tròn đến mét). Bài 33. Một chiếc thuyền thả neo trên sông. Cho biết dây neo dài 30 m và có góc nghiêng lên là 39° . Tính độ sâu của mực nước chỗ thuyền đang đậu (làm tròn đến mét). Bài 34. Một người đứng trên đỉnh tháp cao 325 m nhìn thấy 2 điểm A và B với hai góc hạ lần lượt là 37° và 72° .Tính khoảng cách AB . Trọng tâm toán 9 16 I Love Math _0916620899 Trọng tâm toán 9 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp Bài 35. Một người đứng cách chân tháp 14 m nhìn thấy đỉnh tháp theo góc nghiêng 60° . Tính chiều cao của tháp. Bài 36. Một máy bay cất cánh theo phương có góc nâng 23° .Hỏi muốn đạt độ cao 2500 m , máy bay phải bay một đoạn đường là bao nhiêu mét? Bài 37. Một cái cây có bóng trên mặt đất dài 20 m .Cho biết tia nắng qua ngọn cây nghiêng một góc 31° so với mặt đất. Tính chiều cao của cây. Bài 38. Một cái cây cao 6 m đang có bóng dài 3, 2 m . Tính góc hợp bởi tia nắng với thân cây. Bài 39. Một người đứng cách chân tháp 14 m nhìn thấy đỉnh tháp theo góc nghiêng 60° . Tính chiều cao của tháp. Bài 40. Ban Hùng có tầm mắt cao 1,5 m đang C đứng gần một cao ốc cao 30 m thì nhìn thấy nóc tòa nhà với góc nâng 30° . Hùng đi về phía tòa nhà cho đến khi nhìn thấy nóc tòa nhà với góc 30m nâng 60° . Tính quãng đường mà bạn Hùng đã đi 60o 30o được. A B 1,5m D K Trọng tâm toán 9 17 I Love Math _0916620899 Trọng tâm toán 9 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp Bài 41. Một học sinh có tầm mắt cao 1,5 m đứng trên sân thượng của một căn nhà cao 15 m nhìn thấy bạn mình với góc nghiêng xuống 49° . Hỏi cô bạn đang ở cách căn nhà bao nhiêu mét? Bài 42. Một máy bay thể thao đang bay ngang ở độ cao 3000 m nhìn thấy một cái cây với góc nghiêng xuống 15° . Hỏi máy bay phải bay một đoạn đường là bao nhiêu mét thì sẽ ở ngay trên ngọn cây? Bài 43. Từ nóc một cao ốc cao 50 m người ta nhìn thấy chân và đỉnh một ăng-ten với các góc hạn lần lượt là 62° và 34° . Tính chiều cao cột ăng-ten. E 50 B 340 620 A D C Bài 44. Một cái diều đang bay ở độ cao 60 m. Sợi dây cột diều nghiêng với mặt đất một góc 60° . Tính chiều dài của sợi dây (làm tròn đến mét) khi nó căng thẳng (không có chỗ bị võng). Bài 45. Tháp Capital Gate tại Abu Dhabi cao 160 m và nghiêng 18° . Nếu không nghiêng thì tháp cao bao nhiêu mét? Bài 46. Tính chiều cao của một ngọn núi, cho biết tại hai điểm cách nhau 500 m , người ta nhìn thấy hai đỉnh núi với góc nâng lần lượt là 34° và 38° . Trọng tâm toán 9 18 I Love Math _0916620899 Trọng tâm toán 9 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp Bài 47. Một cái tháp được dựng bên bờ một con sông, từ một điểm đối diện với tháp ngay bờ bên kia người ta nhìn thấy đỉnh tháp với góc nâng 60° . Từ một điểm khác cách điểm ban đầu 20 m, người ta cũng nhìn thấy đỉnh tháp với góc nâng 30° . Tính chiều cao của tháp. Bài 48. Một bức tượng cao 1, 6 m được đặt trên một cái bệ. Tại một điểm trên mặt đất người ta nhìn thấy nóc tượng và nóc bệ với các góc nâng lần lượt là 60° và 45° . Tính chiều cao của cái bệ. Bài 49. Một nhà trẻ muốn thiết kế hai cái cầu tuột trong sân chơi. Đối với trẻ dưới 5 tuổi, cầu tuột cao 1,5 m và nghiêng với mặt đất một góc 30° . Đối với trẻ trên 5 tuổi cầu tuột cao 1,5 m và nghiêng với mặt đất một góc 45° . Tính chiều dài của mỗi máng tuột. A 2m 30° E 45° B C Bài 50. Từ chân một cái tháp cao 50 m người ta nhìn thấy đỉnh một tòa nhà với góc nâng 30° . Trong khi đó từchân tòa nhà lại nhìn thấy đỉnh tháp với góc nâng 60° . Tính chiều cao của tòa nhà. Bài 51. Hai trụ điện có cùng chiều cao đặt cách nhau 80 m . Một người đứng ở xa (thẳng hàng với hai trụ điện, không đứng giữa hai trụ điện) nhìn đỉnh hai trụ điện với góc nâng lần lượt là 60° và 30° . Tính chiều cao trụ điện và khoảng cách từ người đó đến chân các trụ điện. Biết mắt người đó cách mặt đất 1, 2 m . Trọng tâm toán 9 19 I Love Math _0916620899 Trọng tâm toán 9 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp Bài 52. Từ trên một ngọn hải đăng cao 75 m , người ta quan sát hai lần thấy một chiếc thuyền đang hướng về phía hải đăng với góc hạ lần lượt là 30° và 45° . Hỏi chiếc thuyền đi được bao nhiêu mét giữa hai lầnquan sát? Bài 53. Một thủy thủ lái thuyền ra biển hướng về hướng đông bắc với góc nghiêng so với phương bắc là 41° . Đi được 2,8 km anh ta phát hiện sắp hết nhiên liệu nên vội quay thuyền vào bờ, đi được 1,8 km thì thuyền tắt máy. Hỏi lúc đó thuyền cách bờ bao xa? Bài 54. Từ trên đỉnh một tòa nhà cao 7 m , người ta nhìn thấy đỉnh một tháp truyền hình với góc nâng 60° và nhìn thấy chân của tháp với góc hạ 45° . Tính chiều cao của tháp truyền hình? Bài 55. Một học sinh có khoảng cách từ mặt đến mặt đất là 1, 2 m bắt đầu quan sát một trái bóng bay với góc nâng 60° . Một lúc sau lại nhìn thấy quả bóng bay với góc nâng 30° . Hỏi giữa hai lần quan sát quả bóng đã bay được bao nhiêu mét? Cho biết độ cao của quả bóng luôn luôn không đổi và bằng 88, 2 m . Bài 56. Một người đang ở trên một cái tháp có chiều cao h =100 m nhìn xuống một con đường chạy thẳng đến chân tháp. Anh ta nhìn thấy một chiếc xe máy với góc hạ 30° . Sáu phút sau lại nhìn thấy nó với góc hạ 60° . Hỏi sau bao nhiêu phút thì xe máy đến chân tháp? Cho biết vận tốc xe máy không đổi. Trọng tâm toán 9 20 I Love Math _0916620899 Trọng tâm toán 9 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp Bài 57. Để đo chiều cao một cái cây AB . Người ta đặt gương phẳng tại vị trí C . Người đo đi lùi lại (thẳng người) cho đến khi nhìn thấy bóng ngọn cây A (lúc này là F ). Biết khoảng cách từ gương đến gốc cây là BC = 30 mét, khoảng cách từ gương đến chỗ đứng là CD = 1,5 mét. Khoảng cách từ mắt người đo E đến mặt đất là ED = 1, 6 mét. Tính chiều cao của cây? (biết BCA = DCE ). Bài 58. Quan sát hình vẽ dưới đây. Giả sử CD = h là chiều cao của tháp trong đó C là chân tháp. Chọn hai điểm A , B trên mặt đất sao cho ba điểm A , B và C thẳng hàng. Ta đo khoảng cách AB và các góc CAD , CBD . Chẳng hạn ta đo được AB = 24 m, CAD = α = 63° , CBD = β = 48° . Hãy tính chiều cao h của tháp. Bài 59. Một hình chữ nhật có kích thước là 20 cm và 30 cm . Người ta tăng mỗi kích thước thêm x cm. Gọi y là chu vi của hình chữ nhật mới. a. Hãy tính y theo x . b. Tính giá trị của y tương ứng với x = 3 cm; x = 5 cm. Bài 60. Một thửa đất hình chữ nhật có chiều dài 32 m là 32 m và chiều rộng là 24 m. Người ta định làm một vườn cây cảnh có con đường đi xung quanh, x có bề rộng x(m) (hình vẽ bên). Hỏi bề rộng của x mặt đường là bao nhiêu để diện tích phần đất còn x 24 m lại là 560 m2. x Bài 61. Một căn phòng hình vuông được lát bằng những viên gạch men hình vuông cùng kích cỡ, vừa hết 441 viên (không viên nào bị cắt xén). Gạch gồm 2 loại men trắng và men xanh, loại men trắng nằm trên 2 đường chéo của nền nhà còn lại là loại men xanh. Tính số viên gạch men xanh. Trọng tâm toán 9 21 I Love Math _0916620899 Trọng tâm toán 9 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp Bài 62. Bạn Nam đi xe đạp từ nhà (điểm A) đến trường (điểm B) gồm đoạn lên dốc và đoạn xuống dốc, A = 5° , B = 4° , đoạn lên dốc dài 325 m. a. Tính chiều cao của dốc và chiều dài quãng đường từ nhà đến trường. b. Biết vận tốc trung bình lên dốc là 8 km/h và vận tốc trung bình xuống dốc là 15 km/h. Tính thời gian (phút) bạn Nam đi từ nhà đến trường. (Lưu ý kết quả của phép tính làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất) Bài 63. Một bức tượng cao 1,6 m được đặt trên một cái bệ. Tại một điểm trên mặt đất người ta nhìn thấy nóc tượng và nóc bệ với các góc nâng lần lượt là 60° và 45° . Tính chiều cao cái bệ. Bài 64. Một cây có chiều cao 14 m mọc ở phía sau một bức tường cao 8 m và cách bức tường 12 m. Hỏi người quan sát có chiều cao 1,8 m phải đứng cách bức tường bao nhiêu mét để có thể nhìn thấy ngọn cây. Bài 65. Nhà bạn An ở vị trí A , nhà bạn Bình ở vị trí B cách nhau 1200 m. Trường học ở vị trí C cách nhà bạn An 500m và AB vuông góc với AC . An đi bộ đến trường với vận tốc 4 km/h, Bình đi xe đạp đến trường với vận tốc 12 km/h. Lúc 6 giờ 30 phút, cả hai cùng xuất phát đến trường. Hỏi bạn nào đến trường trước? Bài 66. Bóng của tháp Bình Sơn (Vĩnh Phúc) trên mặt đất có độ dài 20 m. Cùng thời điểm đó, một cột sắt cao 1, 65 m cắm vuông góc với mặt đất có bóng dài 2 m. Tính chiều cao của tháp. Bài 67. Một con đê được đắp chắn sóng theo hình dưới, độ dốc của con đê phía sông dài 7 m. Hỏi độ dốc còn lại của con đê dài bao nhiêu mét? Bài 68. Xem hình vẽ sau, người ta có thể dùng giác kế để đo được góc CAB = 43° và CBA = 38° . Hỏi tàu đang ở vị trí điểm H sẽ chạy với vận tốc bao nhiêu km/h để sau 5 phút sẽ đến vị trí điểm C . Biết khoảng cách từ vị trí điểm A đến vị trí điểm B là 300 m và vị trí 3 điểm A , H , B thẳng hàng (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai). C A H B Trọng tâm toán 9 22 I Love Math _0916620899 Trọng tâm toán 9 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp Bài 69. Ba An muốn mua một cái thang dùng để lên mái nhà. Ba hỏi An phải mua cái thang dài bao nhiều mét để đảm bảo sự an toàn và có thể leo lên được mái nhà cao 4,5 m so với mặt đất. Em hãy giúp An tính chiều dài thang cần mua, biết góc kê thang an toàn là 75° so với phương ngang (làm tròn đến số thập phân thứ nhất). Bài 70. Một chiếc máy bay bay lên cao với vận tốc 520 km / h . Đường bay lên tạo với phương nằm ngang một góc 24° . Hỏi sau 90 giây máy bay lên cao được bao nhiêu km theo phương thẳng đứng? (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất) Bài 71. Từ đài quan sát cao 10 m, Nam có thế nhìn thấy 2 chiếc thuyền dưới góc 45° và 30° so với phương ngang. Hãy tính khoảng cách 2 chiếc thuyền, làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất. (điều kiện lý tưởng: vị trí 2 chiếc thuyền và vị trí đài quan sát thẳng hàng). Bài 72. Hình ảnh mặt cắt một quả đồi được minh họa là một ∆ABC với các chi tiết như sau: cạnh đáy là AC , BH ⊥ AC , BAC = 45° , AH = 200 m, HC = 210 m. Một nhóm học sinh đi dã ngoại đi từ đỉnh A lên đỉnh B rồi xuống dốc trở về C . Hãy tính quãng đường này? Bài 73. Hai chiếc thuyền A và B ở vị trí được minh họa như trong hình vẽ. Tính khoảng cách giữa chúng (kết quả là tròn đến mét). Bài 74. Lúc 6h45 phút sáng bạn Nam đi xe đạp điện từ nhà tới trường với vận tốc trung bình là 15 km/h bạn đi theo con đường từ A ֏ B ֏ C ֏ D ֏ E ֏ G ֏ H (như trong hình). Nếu có 1 con đường thẳng từ A ֏ H và đi theo con đường đó với vận tốc trung bình 15 km/h, bạn Nam sẽ tới trường lúc mấy giờ? Trọng tâm toán 9 23 I Love Math _0916620899 Trọng tâm toán 9 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp Trường học H 500m E C 400m G 300m 600m D 700m 1000m A Nhà B Bài 75. Hai ngư dân đứng ở một bên bờ sông cách nhau 50 m cùng nhìn thấy một cù lao trên sông với các góc nâng lần lượt là 30° và 40° . Tính khoảng cách d từ bờ sông đến cù lao. Bài 76. Một người đi xe máy lên dốc có độ nghiêng 5° so với phương ngang với vận tốc trung bình lên dốc là 18 km/h. Hỏi người đó mất bao lâu để lên tới đỉnh dốc? Biết đỉnh dốc cách mặt đất 18 m. Bài 77. Từ vị trí xuất phát A , hai xe cùng một lúc đi thẳng theo hai hướng khác nhau, tạo một góc A = 70° . Xe thứ nhất đi với vận tốc 40 km/h và xe thứ hai đi với vận tốc 50 km/h. Sau 1 giờ 30 phút, hai xe cách nhau bao nhiêu km? (làm tròn đến 2 chữ số thập phân). Bài 78. Một máy kéo nông nghiệp có bánh xe sau to hơn bánh xe trước. Bánh xe sau có đường kính 124 cm và bánh xe trước có đường kính 80 cm. Hỏi khi bánh xe sau lăn được 20 vòng thì xe di chuyển được bao nhiêu mét (làm tròn một chữ số) và khi đó bánh xe trước lăn được mấy vòng? Bài 79. Trong hình vẽ dưới đây, hai địa điểm A , B cách nhau 100 km. Một xe ô tô khởi hành từ B đến A với vận tốc 40 km/h. Cùng lúc đó, một xe đạp điện cũng khởi hành từ A trên đoạn đường vuông góc với AB với vận tốc 20 km/h. Hỏi sau 90 phút thì hai xe cách nhau bao xa. Bài 80. Với số liệu ghi trên hình (biết tứ giác EFHI là hình chữ nhật và A , I , H thẳng hàng). Cây trong hình cao bao nhiêu mét? (làm tròn kết quả đến chữ số hàng đơn vị). Bài 81. Một người quan sát đứng cách một tòa nhà khoảng 25 m (điểm A ). Góc nâng từ chỗ anh ta đứng đến nóc tòa nhà (điểm C ) là 36° . Trọng tâm toán 9 24 I Love Math _0916620899 Trọng tâm toán 9 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp a. Tính chiều cao tòa nhà (làm tròn đến 0,5 mét) b. Nếu anh ta đi thêm 5 m nữa, đến vị trí D nằm giữa A và B thì góc nâng từ D đến nóc nhà là bao nhiêu? (làm tròn đến phút). Bài 82. Một người đo chiều cao của một cây nhờ một cọc chôn xuống đất,cọc cao 2 m và đặt xa cây 15 m. Sau khi người ấy lùi ra xa cách cọc 0,8 m thì nhìn thấy đầu cọc và đỉnh cây cùng nằm trên một đoạn đường thẳng. Hỏi cây cao bao nhiêu, biết rằng khoảng cách từ chân đến mắt người ấy là 1, 6 m? Bài 83. Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB < AC ) có đường cao AH và đường trung tuyến AM . Đặt ACB = x ( 0° < x < 90° ) . Đặt BC = a, AC = b, AB = c. a. Tính độ dài các cạnh của tam giác AHM theo a, b, c. b. Tính tỉ số lượng giác của góc x và góc 2x theo a, b, c. c. Chứng minh: ii) tan 2 x = i) sin 2 x = 2sin x cos x 2 tan x 1 − tan 2 x iii) cos 2 x = 2 cos 2 x − 1 = cos 2 x − sin 2 x = 1 − 2sin 2 x Bài 84: Cho tam giác ABC nhọn có đường phân giác trong AD. Đặt BC = a, AC = b, AB = c và p = a. sin BAC = 2sin b. S ∆ABC = c. a+b+c . Chứng minh rằng: 2 BAC BAC cos 2 2 1 1 BAC AB. AC.sin BAC và S∆ABD = AB. AD.sin . 2 2 2 S ∆ABD BD c = = . S ∆ABC BC b + c d. AD = 2bc cos b+c A 2 Bài 85. Cho tam giác ABC nhọn có đường phân giác trong AD. Đặt BC = a, AC = b, AB = c, p= a+b+c . Chứng minh rằng: 2 a. 2 AD.c.cos c. AD = BAC = c 2 + AD 2 − BD 2 . 2 2 p( p − a) ( b + c ) cos BAC 2 . b. 2 AD.b.cos d. AD = BAC = b 2 + AD 2 − CD 2 . 2 2 bcp ( p − a ) b+c Bài 86. Cho tam giác ABC có AB = 2, BAC = 60°, ACB = 45°. Kẻ các đường cao AH và BK của tam giác ABC. 1. Tính AK , BK , CK , BC , AH . Trọng tâm toán 9 2. Tính tỉ số lượng giác của góc 15° và góc 75°. 25 I Love Math _0916620899 Trọng tâm toán 9 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp ÔN TẬP CHƯƠNG I 1. Hệ thức lượng trong tam giác: Cho ∆ABC vuông tại A, có đường cao AH.  AB 2 + AC 2 = BC 2  AB 2 = BC .BH  AC 2 = BC.CH 1 1 1 = +  2 2 AH AB AC 2  AB = BC .sin C = BC .cos B  AB = AC.tan C = AC.cot B A b c B C a H 2. Tỉ số lượng giác của góc nhọn: 0 < sin α < 1;0 < cos α < 1 . Ta có: tan α = sin α cos α cot α = tan α .cot α = 1 cos α sin α 1 + tan 2 α = Bảng giá trị lượng giác các đặc biệt α 00 TSLG sin α cosα sin 2 α + cos 2 α = 1 1 cos 2 α 1 + cot 2 α = 0 300 π 6 450 π 4 600 π 3 0 1 2 2 2 1 3 2 2 2 3 2 1 2 0 3 3 1 tan α cot α 3 || 3 3 3 1 3. Các công thức tính diện tích: a) Tam giác: 1 1 1 S = a.ha = b.hb = c.hc 2 2 2 a+b+c abc p= S= ; S = pr ; 2 4R 1 sin 2 α 900 π 2 1 0 || 0 1 1 1 S = bc sin A = ca.sin B = ab sin C 2 2 2 S = p ( p − a )( p − b )( p − c ) a2 3 a 3 ∆ABC vuông tại A: S = 1 . AB. AC = 1 .BC. AH , đường cao AH = 2 2 4 2 2 S=a (a: cạnh hình vuông) S = a.b (a, b: hai kích thước) ∆ABC đều, cạnh a: S = b) Hình vuông: c) Hình chữ nhật: S = đáy × cao = AB. AD.sinBAD 1 S = AB. AD.sinBAD = AC.BD 2 d) Hình bình hành: e) Hình thoi: f) Hình thang: S = 1 ( a + b ) .h 2 (a, b: hai đáy, h: chiều cao) g) Tứ giác có hai đường chéo vuông góc: Trọng tâm toán 9 S= 1 AC.BD 2 26 I Love Math _0916620899 Trọng tâm toán 9 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp BÀI TẬP Bài 1. Cho một tam giác có một góc bằng 450 . Đường cao chia một cạnh kề với góc đó thành các phần 20cm và 21cm . Tính cạnh lớn trong hai cạnh còn lại (lưu ý có hai trường hợp) Bài 2. Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 4,5cm, BC = 7, 5cm. a) Chứng minh rằng tam giác ABC vuông tại A. Tính các góc B, C và đường cao AH . b) Hỏi rằng điểm M mà diện tích tam giác MBC bằng diện tích tam giác ABC nằm trên đường nào? Bài 3. Hai chiếc thuyển A và B ở vị trí được minh họa như trong hình. Tính khoảng cách giữa chúng (làm tròn đến mét) Bài 4. Tìm khoảng cách giữa hai cọc để căng dây vượt qua vực, minh họa trong hình. Bài 5. Tính chiều cao của cây trong hình dưới Trọng tâm toán 9 27 I Love Math _0916620899 Trọng tâm toán 9 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp Bài 6. Cho tam ABC vuông tại A, đường cao AH. Trong các đoạn thẳng AB, AC, BC, AH, HB, HC, hãy tính độ dài các đoạn thẳng còn lại nếu biết: a) AB = 6cm, AC = 9cm ; b) AB = 15cm, HB = 9cm . Bài 7. Cho tam giác ABC có đường cao CH, BC = 12 cm, B = 600 và C = 400 . Tính: a) Độ dài các đoạn thẳng CH và AC; b) Diện tích tam giác ABC. Bài 8. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có đường cao AH và AH = 12 cm, BC = 25 cm. a) Tìm độ dài các đoạn thẳng BH, CH, AB và AC. b) Vẽ trung tuyến AM. Tìm số đo của AMH . c) Tính diện tích tam giác AHM. Bài 9. Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH, AB = 3cm, AC = 4cm . a) Tính độ dài các đoạn thẳng BC và AH. b) Tính số đo B và C . c) Đường phân giác trong A cắt cạnh BC tại E. Tính độ dài các đoạn thẳng BE, CE và AE. Bài 10. Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AH. Từ H kẻ HF vuông góc với AB (F thuộc AB) và kẻ HE vuông góc vói AC (E thuộc AC). a) Chứng minh AFE = ACB . b) Đường thẳng EF cắt BC tại M. Chứng minh ME.MF = MBMC. Bài 11. Hình thang MNEF vuông tại M, F có EF là đáy lớn. Hai đường chéo ME và NF vuông góc với nhau tại O. a) Cho biết MN = 9cm và MF = 12cm . Hãy: i) Giải tam giác MNF; ii) Tính độ dài các đoạn thẳng MO, FO ; iii) Kẻ NH vuông góc với EF tại H. Tính diện tích tam giác FNE. Từ đó tính diện tích tam giác FOH. b) Chứng minh MF 2 = MN .FE. Bài 12. Không dùng máy tính, sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự từ bé đến lớn: a) sin 24°, cos 35°,sin 54°, cos 70°,sin 78°; b) cot 24°, tan l 6°, cot 57°67’, cot 30°, tan 80°. Bài 13. Không dùng máy tính, sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự tăng dần: a) sin 40°, cos 28°,sin 65°, cos 88°, cos 20°; b) tan 32°48’, cot 28°36’, tan 56°32’, cot 67°18’ . Bài 14. Cho 0 < x < 900 . Chứng minh các đẳng thức sau: a) sin 4 x + cos 4 x = 1 − 2sin 2 x cos 2 x ; 1 − cos x sin x c) = sin x 1 + cos x b) sin 6 x + cos6 x = 1 − 3sin 2 x cos 2 x . sin x 1 + cos x 2 d) + = 1 + cos x sin x sin x Bài 15. Cho tam giác DEF biết DE = 6 cm, DF = 8 cm và EF = 10 cm. a) Chứng minh DEF là tam giác vuông. b) Vẽ đường cao DK. Hãy tính DK, FK. c) Giải tam giác vuông EDK. d) Vẽ phân giác trong EM của DEF. Tính các độ dài các đoạn thẳng MD, MF, ME. e) Tính sinE trong các tam giác vuông DFK và DEF. f) Từ đó suy ra ED.DF = DK.EF. Bài 16. Cho tam giác ABC vuông tại A. Trọng tâm toán 9 28 I Love Math _0916620899 Trọng tâm toán 9 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp a) Biết B = 60° và BC = 6 cm. i) Tính độ dài các cạnh AB, AC. AB AC = BD CD 1 1 1 b) Đường thẳng song với phân giác CBD kẻ từ A cắt CD tại H. Chứng minh: = + 2 2 AH AC AD 2 Bài 17. Cho hình vuông ABCD và điểm E tùy ý trên cạnh BC. Tia Ax vuông góc với AE tại A cắt CD kéo dài tại F. Kẻ trung tuyên AI của tam giác AEF và kéo dài cắt cạnh CD tại K. a) Chứng minh AE = AF. ii) Trên tia đối của tia BA lấy điểm D sao cho BD = BC. Chứng minh: b) Chứng minh các tam giác AKF, CAF đồng dạng và AF2=KF.CF; 3 c) Cho AB = 4 cm, BE = BC. Tính diện tích tam giác AEF. 4 d) Khi E di động trên cạnh BC, tia AE cắt CD tại J. Chứng minh biểu thức AE.AJ có giá trị không phụ thuộc vị trí của E. FJ Bài 18. a) Tính sin sin α , tan α , cot α biêt cos α = b) Tính cos α , tan α , cot α biết sin α = 1 . 5 2 . 3 c) Cho tan α = 2 . Tính sin α , cos α , cot α d) Cho cot α = 3 . Tính sin α , cos α , tan α e) Tính giá trị biểu thức: A = cos 2 20° + cos 2 40° + cos 2 50° + cos 2 70°. f) Rút gọn biểu thức: B = sin 6 a + cos 6 a + 3sin 2 a.cos 2 a . Trọng tâm toán 9 29 I Love Math _0916620899 Trọng tâm toán 9 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1: Câu 2: Câu 3: Câu 4: Câu 5: Hãy chọn câu Sai A. Trong một tam giác vuông, bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và hình chiếu của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền. B. Trong một tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền. C. Trong một tam giác vuông, độ dài một cạnh góc vuông bằng tổng độ dài cạnh huyền với cạnh góc vuông còn lại. D. Trong một tam giác vuông, nghịch đảo của bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tổng các nghịch đảo của bình phương hai cạnh góc vuông. Hãy chọn câu đúng A. Bình phương cạnh huyền bằng tổng nghịch đảo bình phương hai cạnh góc vuông. B. Cạnh góc vuông nào có hình chiếu trên cạnh huyền lớn hơn thì lớn hơn. C. Cạnh góc vuông nào có hình chiếu trên cạnh huyền lớn hơn thì bé hơn. D. Tỉ số hai cạnh góc vuông bằng tỉ số của cạnh huyền với đường cao ứng với cạnh huyền. Cho tam giác MPQ vuông tại M. Khi đó A. MP là cạnh kề của góc Q. C. MP là cạnh đối của góc Q. Cho hình vẽ, hãy chọn câu đúng 5 32 A. x = B. x = 32 5 18 18 C. y = D. x = 5 5 B. PQ và PM là hai cạnh góc vuông. D. MQ là cạnh kề của góc P. 8 6 x y x Cho hình vẽ. Hãy chọn câu đúng A. x = 80 B. x = 80 C. x = 48 D. x = 48 10 6 8 Câu 6: Cho hình vẽ. Hãy chọn câu đúng A. x = 5 B. x = 4 C. x = 3 B D 2 D. x = 3 1 2 2 C A Câu 7: E x Cho hình vẽ. Hãy chọn câu đúng A. x = 9, y = 14 B. x = 15, y = 13 C. x = 15, y = 9 D. x = 9, y = 15 16 12 Câu 8: Cho hình vẽ, biết AC = 3cm , BD là phân giác của B . Hãy chọn câu Sai A. AB = 3cm B. BC = 2 3cm C. x = 1 D. x = y B AB 5 2 300 x A Trọng tâm toán 9 30 x D I Love Math _0916620899 C Trọng tâm toán 9 Câu 9: I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp Cho hình vẽ. Hãy chọn câu đúng A. x = 32 B. x = 40 C. x = 30 D. x = 64 A x 18 B Câu 10: Cho hình vẽ. Hãy chọn câu đúng A. x = 13 B. x = 14 C. x = 15 D. x = 12 32 H A C x 7 1200 8 B Câu 11: Cho hình vẽ, hãy chọn câu đúng A. x = 5cm; y = 4cm x y B. x = 6cm; y = 2 5cm C. x = 2 5cm; y = 5cm 1 cm D. x = 5cm; y = 2 5cm Câu 12: Cho hình vẽ, hãy chọn câu đúng A. x = 15cm 4 cm B 7 cm B. x = 2cm C. x = 18cm D. x = 7cm x A 18 cm C x Câu 13: Cho hình vẽ, hãy chọn câu đúng A. x = 4cm B. x = 5cm C. x = 6cm D. x = 7cm A 16cm 14 cm 60° B Câu 14: Cho hình vẽ, hãy chọn câu đúng A. x = 7, 2cm; y = 10cm x C 12 cm B. x = 2,8cm; y = 12,8cm C. x = 8cm; y = 12,8cm y x D. x = 7, 2cm; y = 12,8cm 20 cm Câu 15: Cho hình vẽ, hãy chọn câu đúng A. x = 10cm; y = 25cm B. x = 20cm; y = 15cm y C. x = 30cm; y = 25cm 9 cm D. x = 15cm; y = 20cm Trọng tâm toán 9 x 31 16 cm I Love Math _0916620899 C Trọng tâm toán 9 I Love Math Câu 16: Cho hình vẽ, hãy chọn câu đúng A. x ≈ 5cm; y ≈ 9, 6cm GV. Lư Sĩ Pháp 5cm B. x ≈ 6cm; y ≈ 10, 6cm 7cm x C. x ≈ 4cm; y ≈ 8, 6cm D. x ≈ 3cm; y ≈ 7, 6cm y Câu 17: Cho hình vẽ, hãy chọn câu đúng A. x = 3cm; y = 4 5cm B. x = 5cm; y = 3 5cm y 2 cm C. x = 2cm; y = 5cm 1 cm x D. x = 4cm; y = 2 5cm Câu 18: Cho hình vẽ, hãy chọn câu đúng A. a = 6cm B. a = 7cm C. a = 8cm D. a = 9cm 4 cm 2 cm a Câu 19: Cho hình vẽ, hãy chọn câu đúng A. x = 5cm B. x = 6cm C. x = 13cm D. x = 36cm x Câu 20: Cho hình vẽ, hãy chọn câu đúng A. x = 49cm B. x = 8cm C. x = 9cm D. x = 7cm Trọng tâm toán 9 9 cm 4 cm A 9 cm B 32 11 cm x 3 cm D C I Love Math _0916620899