Chuyên đề hai góc đối đỉnh

CHƯƠNG 1: ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG
BÀI 1: HAI GÓC ĐỐI ĐỈNH
Mục tiêu
 Kiến thức
+ Phát biểu được khái niệm hai góc đối đỉnh.
+ Nắm vững tính chất cơ bản của hai góc đối đỉnh.
 Kĩ năng
+

Nhận biết được hai góc đối đỉnh.

+

Vận dụng được tính chất của hai góc đối đỉnh vào tính số đo góc.

Trang 1

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
Định nghĩa
Hai góc đối đỉnh là hai góc mà mỗi cạnh của góc
này là tia đối của một cạnh của góc kia.
Tính chất của hai góc đối đỉnh
Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau.

  x
Oy 
xOy

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Nhận biết hai góc đối đỉnh
Phương pháp giải
Nhận dạng hai góc đối đỉnh dựa vào định nghĩa:

Ví dụ:

Hai góc đối đỉnh là hai góc mà mỗi cạnh của góc Hai đường thẳng xx và yy cắt nhau tại O, hãy
này là tia đối của một cạnh của góc kia.

xác định các cặp góc đối đỉnh.

Muốn nhận biết hai góc đối đỉnh:

Hướng dẫn giải

Bước 1. Xác định hai góc có chung đỉnh không.
Bước 2. Xác định mỗi cạnh của góc này có là tia
đối của một cạnh góc kia không.

 và 
 và
Các cặp góc đối đỉnh là xOy
xOy  ; xOy
Oy .
x

Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho ba đường thẳng xx , yy và zz  cắt nhau tại O. Kể tên các cặp góc đối đỉnh.
Hướng dẫn giải

Ba đường thẳng xx , yy và zz  cắt nhau tại O tạo thành 6 cặp góc đối đỉnh, tên 6 cặp góc đối đỉnh là
Trang 2

 và 
1) xOy
xOy  ;

2) 
yOz và 
yOz  ;

 và xOz
 ;
3) zOx

 và x
Oz  ;
4) xOz

5) 
yOx và 
yOx ;

6) 
yOz  và 
yOz .

Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1: Cho hai đường thẳng xx và yy cắt nhau tại O, hãy kể tên các cặp góc đối đỉnh.
Câu 2: Có n đường thẳng cắt nhau tại một điểm. Tính số cặp góc đối đỉnh tạo thành (không tính góc bẹt).
Dạng 2: Tính số đo góc
Phương pháp giải
Để xác định số đo của các góc, ta sử dụng các tính Ví dụ: Cho hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại
chất:

O tạo thành bốn góc (không tính góc bẹt). Biết

– Hai góc đối đỉnh bằng nhau.

  60 , tính số đo các góc còn lại.
BOC

– Hai góc kề bù có tổng bằng 180° .

Hướng dẫn giải

Vì


BOC

và


AOC

kề

bù

nhau

nên


  180
AOC  BOC
  180  60  120

AOC  180  BOC

Vậy BOD
AOC  120 (hai góc đối đỉnh);

  60 (hai góc đối đỉnh).
AOD  BOC
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại O tạo thành bốn góc, không tính góc bẹt. Biết


 , tính số đo các góc.
AOC  4 BOC
Hướng dẫn giải

 kề bù nên 
  180 .
Vì 
AOC và BOC
AOC  BOC
Trang 3

 nên ta có:
Mà 
AOC  4 BOC
  BOC
  180  5 BOC
  180  BOC
  36 .
 4 BOC

  144 .
Suy ra 
AOC  4.BOC
  144 (hai góc đối đỉnh); BOC

Vậy 
AOC  BOD
AOD  36 (hai góc đối đỉnh).
Ví dụ 2. Cho hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại O tạo thành bốn góc, không tính góc bẹt. Biết

  100 , tính số đo các góc tạo thành.
AOD  BOC
Hướng dẫn giải

 đối đỉnh nên 
.
Vì 
AOD và BOC
AOD  BOC
  100 nên 
  100 : 2  50 .
Mà 
AOD  BOC
AOD  BOC
 và BOC
 kề bù nên BOD
  BOC
  180 .
Lại có BOD
  180  BOC
  180  50  130 .
Suy ra BOD

  130 (hai góc đối đỉnh).
Suy ra 
AOC  BOD
Bài tập tự luyện dạng 2

 cùng kề bù với xOy
  80 . Hai góc 
 . Hãy xác định các cặp góc đối đỉnh
Câu 1: Cho xOy
yOz và xOt
không kể góc bẹt và tính số đo của các góc còn lại.
Câu 2: Cho hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại O tạo thành bốn góc khác góc bẹt. Biết tổng của ba
trong số bốn góc tạo thành là 300°. Tính số đo của bốn góc tạo thành.
Câu 3: Cho hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại O tạo thành bốn góc khác góc bẹt. Biết

 . Tính số đo của bốn góc tạo thành.
AOC  5 BOC
Dạng 3: Chứng minh hai góc đối đỉnh
Phương pháp giải

 và 
Các phương pháp chứng minh xOy
xOy  là Ví dụ: Cho đường thẳng xx và một điểm O nằm
trên đường thẳng xx . Trên nửa mặt phẳng bờ xx ,
đối đỉnh.
  140 . Trên nửa mặt
vẽ tia OM sao cho xOM
phẳng bờ xx không chứa tia OM vẽ tia ON sao cho

  40 . Chứng minh 
OM là hai
xON
xON và x
góc đối đỉnh.
Trang 4

Hướng dẫn giải

Vì O nằm trên đường thẳng xx nên hai tia Ox và

Cách 1. Áp dụng định nghĩa:
Chứng minh rằng tia Ox là tia đối của tia Ox

Ox là hai tia đối nhau. 1

(hoặc Oy ) và tia Oy là tia đối của tia Oy (hoặc Do ON và OM thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau
Ox ), tức là hai cạnh của một góc là hai tia đối của bờ Ox nên tia Ox nằm giữa ON và OM. Suy ra


  140  40  180 .
xOM  xON

hai cạnh của góc kia.

Vậy 
xOM và 
xON là hai góc kề bù. Suy ra hai tia
OM và ON đối nhau.  2 
OM là hai góc
Từ 1 và  2  , suy ra 
xON và x

đối đỉnh.
  x
Oy  , tia Ox và tia
Cách 2. Chứng minh xOy
Ox đối nhau còn hai tia Oy và Oy nằm trên hai

nửa mặt phẳng đối nhau có bờ là đường thẳng
xOx .

Ví dụ mẫu
Ví dụ: Trên đường thẳng xx lấy một điểm O. Trên nửa mặt phẳng bờ xx , vẽ tia OM sao cho


xOM  45 . Trên nửa mặt phẳng bờ xx không chứa tia OM, vẽ tia ON sao cho 
xON  90 . Gọi OP là
 đối đỉnh x
ON . Chứng minh xOM
OP .
tia phân giác của x
Hướng dẫn giải
ON  180 . Mà 
Vì 
xON và 
xON kề bù nên 
xON  x
xON  90

nên 
xON  90 .
Vì

tia

OP

là

tia

phân

giác

của

góc

ON
x

nên

  1 x
OP  PON
ON  45 .
x
2
Mặt khác hai tia OP và OM thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ
xx nên

Trang 5

  PON
  xON
  xOM
  45  90  45  180 .
MOP
Suy ra hai tia OP và OM là hai tia đối nhau.
Mà Ox và Ox là hai tia đối nhau.

OP là hai góc đối đỉnh.
Do đó hai góc 
xOM và x
Bài tập tự luyện dạng 3

 trong đó 
Câu 1: Cho hai góc kề bù 
AOM và BOM
AOM  150 . Trên nửa mặt phẳng bờ AB không
 có phải là hai góc đối đỉnh không?
chứa tia OM, vẽ tia ON sao cho 
AON  30 . Hỏi góc 
AON và BOM
Vì sao?

Câu 2: Cho hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại O. Gọi OM, ON lần lượt là tia phân giác của BOC
 . Trên nửa mặt phẳng bờ OM không chứa ON dựng tia OP vuông góc OM. Chứng minh hai góc
và BOD

 và DON
 là hai góc đối đỉnh.
COP

Trang 6

ĐÁP ÁN
Dạng 1. Nhận biết hai góc đối đỉnh
Câu 1.

 và 
Các cặp góc đối đỉnh là: xOy
xOy  ; 
yOx và 
yOx .
Câu 2.
Với n đường thẳng cắt nhau tại một điểm, ta được 2n tia chung gốc.
Chọn 1 tia trong 2n tia chung gốc đã cho tạo với 2n  1 tia còn lại, ta được 2n  1 (góc).
Làm như vậy với 2n tia chung gốc, ta được 2n  2n  1 (góc).
Nhưng vì mỗi góc đã được tính hai lần nên số góc thực tế là

2n  2n  1
 n  2n  1 (góc).
2

Vì có n đường thẳng nên sẽ có n góc bẹt. Do đó số góc khác góc bẹt là n  2n  1  n  n  2n  2  .
Mỗi góc trong số n  2n  2  đều có một góc đối đỉnh với nó.
Suy ra số cặp góc đối đỉnh là

n  2n  2 
 n  n  1 .
2

Vậy với n đường thẳng cắt nhau tại một điểm, ta được n  n  1 cặp góc đối đỉnh.
Dạng 2. Tính số đo góc
Câu 1.

 là hai góc kề bù với xOy
 và 
 nên xOz
Ta có 
yOz và xOt
yOt là hai góc cặp tia Ox và Oz; Oy và Ot
là các cặp tia đối nhau.

 và zOt
, 
.
Vậy các cặp góc đối đỉnh là xOy
yOz và xOt

  xOy
  80 (hai góc đối đỉnh);
Ta có zOt
 nên xOy

Vì 
yOz kề bù với xOy
yOz  180 .
  80 nên 
  180  80  100 .
Mà xOy
yOz  180  xOy

Suy ra xOt
yOz  100 (hai góc đối đỉnh).
Câu 2.
Hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại O tạo thành bốn góc có tổng số đo bằng 360°
Trang 7

  BOD
  DOA
  360 .

AOC  COB
Mặt khác tổng số đo ba trong bốn góc bằng 300° (như hình vẽ)





  BOD
  DOA
  360  300  60 .

AOC  360  COB

  180
Ta có 
AOC kề bù với BOC
AOC  BOC
  180  
 BOC
AOC  180  60  120 .

Do
đó
(hai
BOD
AOC  60

  120 (hai góc đối đỉnh).
AOD  BOC

góc

đối

đỉnh);

Câu 3.

 kề bù nên 
  180 .
Vì 
AOC và BOC
AOC  BOC
 nên 5 BOC
  BOC
  180  6 BOC
  180  BOC
  30 .
Mà 
AOC  5 BOC

  150 .
Suy ra 
AOC  5.BOC

  30 (hai góc đối đỉnh).
Do đó BOD
AOC  150 (hai góc đối đỉnh); 
AOD  BOC
Dạng 3. Chứng minh hai gốc đối đỉnh
Câu 1

Vì 
AOM và 
AON kề nhau nên 
AOM  
AON  150  30  180 .
Suy ra 
AOM và 
AON là hai góc kề bù. Suy ra hai tia OM và ON là hai tia đối nhau.

 kề bù nên hai tia OA và OB đối nhau.
Mặt khác 
AOM và BOM
 là hai góc đối đỉnh.
Do đó hai góc 
AON và BOM
Câu 2.

 và BOD
 là hai góc kề bù nên BOC
  BOD
  180 .
Có BOC

 nên COM
  MOB
  1 BOC
;
Vì OM là tia phân giác của BOC
2

Trang 8

ON

là

tia

phân

giác

của

góc


BOD

nên

  NOB
  1 BOD
.
DON
2
Mà tia OB nằm giữa tia OM và ON.
Suy ra





  MOB
  NOB
  1 BOC
  BOD
  1 .180  90 .
MON
2
2
  90 (tia OP vuông góc OM).
Mặt khác MOP
  MOP
  90  90  180 .
Suy ra MON
Mà hai tia OP và ON nằm trên hai nửa mặt phẳng bờ OM nên hai tia OP và ON là hai tia đối.

 và DON
 là hai góc đối đỉnh.
Kết hợp OC và OD là hai tia đối nên suy ra COP

Trang 9