Chuyên đề góc với đường tròn

1

Chủ đề

Chủ đề 2: Góc với đường tròn

2

GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN
GÓC Ở TÂM – GÓC NỘI TIẾP – GÓC TẠO BỞI TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG
GÓC CÓ ĐỈNH BÊN TRONG, BÊN NGOÀI ĐƯỜNG TRÒN

B. GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN
MỤC LỤC
B. GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN ……………………………………………………………………………………. 1
. GÓC Ở TÂM ………………………………………………………………………………………………………. 2
. Lý thuyết ………………………………………………………………………………………………………….. 2
. Bài tập ………………………………………………………………………………………………………………. 3
. GÓC NỘI TIẾP – GÓC TẠO BỞI TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG……………………. 5
. Lý thuyết ………………………………………………………………………………………………………….. 5
. Bài tập. ……………………………………………………………………………………………………………… 7
. GÓC CÓ ĐỈNH BÊN TRONG VÀ BÊN NGOÀI ĐƯỜNG TRÒN …………………. 12
. Lý thuyết ………………………………………………………………………………………………………… 12
. Bài tập. ……………………………………………………………………………………………………………. 13
. MỘT SỐ BÀI TẬP ……………………………………………………………………………………………. 14
DẠNG 1: GÓC NỘI TIẾP – GÓC TẠO BỞI TIA TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG . 14
HƯỚNG DẪN GIẢI DẠNG 1 ……………………………………………………………………………… 17
DẠNG 2: GÓC CÓ ĐỈNH Ở BÊN TRONG VÀ BÊN NGOÀI ĐƯỜNG TRÒN …. 23
HƯỚNG DẪN GIẢI DẠNG 2 ……………………………………………………………………………… 25

Chủ đề bài toán về Góc với đường tròn hệ thống lại kiến thức góc ở tâm, góc nội tiếp,
góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung, góc có đỉnh ở bên trong và bên ngoài đường tròn
nhằm cung cấp cho các em học sinh một số phương pháp giải toán hình học.
Chủ đề có được sự đóng góp bài tập bởi cô Nguyễn Thu Huyền – GV Toán trường
THCS Phúc Đồng.
Chân thành cảm ơn cô!
Chúc các em học sinh học tập tốt!
Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp.

2

Chủ đề 2: Góc với đường tròn
. GÓC Ở TÂM
. Lý thuyết
A. Kiến thức cần nhớ
1. Góc ở tâm là góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn.
Ví dụ : 
AOB là góc ở tâm.
 Nếu 00 < α < 180° thì cung nằm bên trong góc được gọi là cung nhỏ và cung nằm bên ngoài góc được gọi là cung lớn. O α  Nếu α = 180 thì mỗi cung là một nửa đường tròn. ° B A  Cung nằm bên trong góc gọi là cung bị chắn 2. Số đo cung  Số đo cung nhỏ bằng số đo góc ở tâm chắn cung đó.  Số đo cung lớn bằng hiệu giữa 360° và số đo cung nhỏ (có chung hai đầu mút với cung lớn).  Số đo của nửa đường tròn bằng 180° . Chú ý : “Cung không” có số đo bằng 00 và cung cả đường tròn có số đo bằng 360° . 3. So sánh hai cung Trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau :  Hai cung được gọi là bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau.  Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn được gọi là cung lớn hơn.  ? 4. Khi nào thì sđ  AB = sđ  AC + sđ CB  . AB = sđ  Nếu điểm C là một điểm nằm trên cung AB thì : sđ  AC + sđ CB 5. Định lý 1: Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau : a) Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau. D b) Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau. C  ⇔ AB = CD. Trong hình bên :  AB = CD O 6. Định lý 2: Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau : a) Cung lớn hơn căng dây lớn hơn. b) Dây lớn hơn căng cung lớn hơn.  ⇔ AB < CD Trong hình bên :  AB < CD Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp. B A 3 Chủ đề 2: Góc với đường tròn 7. Định lí bổ sung  Trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau.  Đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thỡ qua trung điểm của dây căng cung ấy ( đảo lại không đúng)  Đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy và ngược lại. PHƯƠNG PHÁP GIẢI: Để tính số đo của góc ở tâm, số đo của cung bị chắn, ta sử dụng các kiến thức sau:  Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.  Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa 3600 và số đo của cung nhỏ (có chung hai đầu mút với cung lớn).  Số đo của nửa đường tròn bằng 1800 . Cung cả đường tròn có số đo 3600 .  Sử dụng tỉ số lượng giác của một góc nhọn để tính góc.  Sử dụng quan hệ đường kính và dây cung. . Bài tập  = 550 . Tính Bài 1: Hai tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O) cắt nhau tại P. Biết APB số đo cung lớn AB. Hướng dẫn giải Tìm cách giải. Tính góc ở tâm trước, rồi tính số đo cung nhỏ AB. Cuối cùng tính số đo cung lớn. Trình bày lời giải A °   90 = OAP = ;OBP 90° ( vì PA, PB là tiếp Tứ giác APBO có tuyến), APB = 550 nên:  AOB = 360° − 90° − 90° − 550 = 125° (tổng các góc trong tứ O P giác AOBP) suy ra số đo cung nhỏ AB là 1250. Vậy số đo cung lớn AB là: 3600 –1250 = 2350 . Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp. B 4 Chủ đề 2: Góc với đường tròn Bài 2: Cho hai tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O) cắt nhau tại M, biết  AMB = 400 . a) Tính  AMO và  AOM . b) Tính số đo cung AB nhỏ và số đo cung AB lớn. Hướng dẫn giải Tìm cách giải. Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau từ đó tính ra góc ở tâm. Cuối cùng tính số đo cung lớn. Trình bày lời giải a) Do MA và MB là hai tiếp tuyến cắt nhau tại M nên A 1  MO là tia phân giác của  AMB hay = AMO = AMB 200 . 2 Tam giác AMO vuông tại A, tính được  AOM = 700. m M O   OM là tia phân giác của  AOB nên= AOB 2.= AOM 1400 B n b) sđ  AmB = sđ  AOB = 1400 sđ  AnB = 3600 − 1400 = 2200. Bài 3: Trên một đường tròn (O) có cung AB bằng 140o . Gọi A’. B’ lần lượt là điểm đối xứng của A, B qua O; lấy cung AD nhận B’ làm điểm chính giữa; lấy cung CB nhận A’ làm điểm chính giữa. Tính số đo cung nhỏ CD . Hướng dẫn giải Tìm cách giải. OA và OA’ là hai tia đối nhau nên sđ  AA ‘ = 1800 . Do AD nhận B’ là điểm ’ = 1800 ’ sd A ‘ B = sd A’C từ đó chính giữa cung nên sđ sd AB ‘ = sd B’D . Tương tự sđ BA tính được số đo cung DC Trình bày lời giải ’ (hai góc đối đỉnh) Ta có  AOB ‘ = BOA ⇒ sd AB’ = sd A’B A B’ và C’ lần lượt là điểm chính giữa cung AD và  AB ‘ sd = B ‘ D; sd  A ‘ B sd  A’C cung BC nên= ta có sd   = 140° mà A’ là điểm đối xứng với A qua O nên sđ AB sđ  AOA ‘ = 1800 B O B’ A’ D C 0  ’ = 40° = sđ  AB + s® BA’=180 ⇒ sđ BA lại có s®  AB ‘ = 40°  = 80° ⇒ sđ  AC = 40° ⇒ sđ CB ′ = 40° ⇒ sđ B’D  = 40° ⇒ sđ CD  =1800 – sđ BC  – sđ B  sđ AB ‘ D = 180° − 40° − 80° = 60° . Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp. 5 Chủ đề 2: Góc với đường tròn Bài 4: Cho đường tròn (O; R), lấy điểm M nằm ngoài (O) sao cho OM = 2 R. Từ M kẻ tiếp tuyến MA và MB với (O) (A, B là các tiếp điểm). a) Tính  AOM ; b) Tính  AOB và số đo cung AB nhỏ; c) Biết OM cắt (O) tại C. Chứng minh C là điểm chính giữa của cung nhỏ AB. Hướng dẫn giải Tìm cách giải. Vận dụng tỉ số lượng giác trong tam giác vuông khi biết độ dài hai cạnh (theo bán kính) từ đó tính ra được góc ở tâm. Trình bày lời giải a) Do MA và MB là các tiếp tuyến của (O) nên MA ⊥ AO và MB ⊥ BO Xét tam giác vuông MAO có AO 1  AOM = 600 ; MO = = ⇒ AMO = sin A 300 ⇒  MO 2 A C M O AOB = 1200 , sđ  AB = 1200 ; b) Tương tự bài 1 tính được  B     c) AOC = BOC ⇒ AC = BC. . GÓC NỘI TIẾP – GÓC TẠO BỞI TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG . Lý thuyết A 1. Định nghĩa .  Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó. O Cung nằm bên trong góc được gọi là cung bị chắn. Trong hình bên thì B C  là góc nội tiếp BAC  là cung bị chắn BC x  Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và một cạnh là một tia tiếp tuyến còn cạnh kia chứa dây cung của đường tròn đó. Theo hình bên thì  là hai góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung.  và BAy BAx Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp. B A O y 6 Chủ đề 2: Góc với đường tròn 2. Định lý .  Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.  Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo góc của cung bị chắn. 3. Hệ quả 1. Trong một đường tròn : a) Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau. b) Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau. c) Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng 900 ) có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung. d) Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông. 4. Hệ quả 2. Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau. 5. Thêm dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến. Cho tam giác ACD. Trên tia đối của tia CD lấy điểm P. Tia AP là tiếp tuyến của đường tròn A ngoại tiếp tam giác ACD nếu thoả mãn một trong hai điều kiện sau : ; a)  ADC= PAC b) PA2 = PC.PD . D C P PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN  Điểm nằm chính giữa cung chia cung đó thành 2 cung có số đo bằng nhau. Hai góc nội tiếp chắn hai cung đó thì bằng nhau.  Để chứng minh đẳng thức hình học, suy nghĩ quy về chứng minh tam giác đồng dạng dựa vào các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc hai cung bằng nhau trong một đường tròn.  Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.  Góc nội tiếp ( nhỏ hơn bằng 900 ) có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp. 7 Chủ đề 2: Góc với đường tròn . Bài tập. Bài 1: Cho đường tròn (O) có các dây cung AB, BC, CA. Gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AB. Vẽ dây MN song song với BC và gọi S là giao điểm của MN và AC. Chứng minh SM = SC và SN = SA. Hướng dẫn giải A Tìm cách giải. Vận dụng tính chất trong một đường tròn, góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau thì bằng nhau từ đó chỉ ra các tam giác ASN và MSC cân tại S S M N O Trình bày lời giải  = sđ MA  Do M là điểm chính giữa cung nhỏ AB nên sđ MB B C   = sđ NC  = MCB  ⇒ sđ MB Do MN // BC nên NMC  = sđ MA  sđ NC  Vậy sđ MB =  = ANS  (hai góc nội tiếp cùng chắn hai cung bằng nhau) NAS  = SCM  (hai góc nội tiếp cùng chắn hai cung bằng nhau) SMC Vậy các tam giác ASN và MSC cân tại C ⇒ SN = SA; SM = SC Nhận xét: Ở bài toán này học sinh có thể nhớ tới bài toán: Trong một đường tròn, hai  = CN  cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau từ đó nhìn ra MB Bài 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Tia phân giác góc A cắt BC tại D và cắt đường tròn tại điểm thứ hai là M. Kẻ tiếp tuyến AK với đường tròn (M, MB), K là tiếp điểm. Chứng minh rằng DK vuông góc với AM. Hướng dẫn giải  = 90° nên DK ⊥ AM ⇔ ∆DMK ” ∆ KMA . Mặt khác hai tam giác Tìm cách giải. Ta có: AKM AMK chung. Do yêu cầu chứng minh về góc nên để chứng minh hai tam giác đồng có  dạng ta nên dùng c.g.c. Do vậy cần chứng minh Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp. MD MK . = MK MA 8 Chủ đề 2: Góc với đường tròn Trình bày lời giải:  =A  mà B  =A  =A .  ( góc nội tiếp) nên B A 1 2 1 1 1 2 A MD MB MD MK ∆MBD ∽ ∆MAB (g.g) ⇒ = ⇒ = MB MA MK MA = AMK (góc chung) Kết hợp với DMK 1 2 K O B 1 C D  = 90°  = MKA ta có: ∆DMK ” ∆ KMA (c.g.c) ⇒ MDK M Vậy DK ⊥AM. Bài 3: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AH và nội tiếp đường tròn tâm O, đường kính AM. a) Tính  ACM ;  = OCA ; b) Chứng minh BAH c) Gọi N là giao điểm AH với đường tròn (O). Tứ giác BCMN là hình gì? Vì sao? Hướng dẫn giải Tìm cách giải. Ta có:  ACM = 900 , góc nội tiếp chắn nửa đường tròn. Nhận định tam  = OCA  ta sẽ có BAH  = CAO  từ đó tìm ra tam giác giác AOC là tam giác cân nên nếu BAH đồng dạng để giải toán. Trình bày lời giải  = 90 0 (góc nội tiếp). a) Ta có ACM b) Vì  ABC =  AMC (cùng chắn cung AC) và A  = AHB  ACM = 900 Nên ∆ABH và ∆AMC đồng dạng ( g-g) ⇒  = OAC  BAH   OCA   ⇒ BAH =   OCA = OAC   = 90 0 AN ⊥ NM và AN ⊥ BC nên MN // BC c) ANM , ⇒ MNBC là hình thang  = sđ CM  (xem chứng minh Bài 1) BC / / MN ⇒ sđ BN  = sđ CN  ⇒ BM = ⇒ sđ BM CN ⇒ MNBC là hình thang cân. Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp. O B C H N M 9 Chủ đề 2: Góc với đường tròn Bài 4: Cho đường tròn tâm O và một dây AB của đường tròn đó. Các tiếp tuyến vẽ từ A và B của đường tròn cắt nhau tại C. Gọi D là một điểm trên đường tròn có đường kính OC ( D khác A và B). CD cắt cung AB của đường tròn (O) tại E. (E nằm giữa C và D). Chứng minh rằng: =D  a) BED AE . b) DE 2 = DA.DB. Hướng dẫn giải Tìm cách giải – Trong quá trình chứng minh về góc, nên sử dụng tính chất về góc nội tiếp, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng hệ quả của chúng. – Để chứng minh DE 2 = DA.DB. , nên ghép chúng vào hai tam giác có cạnh là DA, DB và DE là cạnh chung của hai tam giác, rồi chứng minh chung đồng dạng. Do đó ta chọn ∆BED và ∆EAD. A Trình bày lời giải  = EAB  nên  ; DCB = DAB a) Ta có : EBC  + DCB  = EAB  + DAB . EBC  +=  BED,  EAB  +=  DAE  . DCB DAB Mặt khác : EBC D E C O B =D  AE . Vậy BED  =D     mà theo câu a): BED AE , suy ra: b) Ta có : ADE = ABC = CAB = EDB ∆BED ∽ ∆EAD (g-g) ⇒ DE DB = ⇒ DE 2 = DA.DB DA DE Bài 5: Tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Các điểm M, N, P là điểm chính giữa của các cung AB, BC, CA. Gọi D là giao điểm của MN và AB, E là giao điểm của PN và AC. Chứng minh rằng DE song song với BC. Hướng dẫn giải Tìm cách giải. Khai thác điểm chính giữa của một cung , ta nhận được các tia phân giác của góc. Do vậy nếu khai thác tính chất đường phân giác của tam giác, ta được các tỉ số. Với suy luận đó, để chứng minh DE // BC ta cần vận dụng định lý Ta-lét đảo. Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp. 10 Chủ đề 2: Góc với đường tròn Trình bày lời giải: A AN   ⇒ NE là đường phân giác của ∆ANC ⇒ AE = (1) AP = PC EC NC P M AN   ⇒ ND là đường phân giác của ∆ANB ⇒ AD = (2) AM = MB DB NB D E O B C   ⇒ NB = NC (3) BN = NC Từ (1), (2) và (3) suy ra N AE AD = , do đó DE // BC. EC DB Bài 6: Từ điểm M ở ngoài đường tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến MA, MB và một cát tuyến MCD. Gọi I là giao điểm của AB và CD. Chứng minh rằng: IC MC = . ID MD Hướng dẫn giải Tìm cách giải. Khai thác góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung dễ dàng chỉ ra ∆MAC ∽ ∆MDA và ∆MBC ∽ ∆MDB . Từ đó biến đổi các hệ thức để giải bài toán. Trình bày lời giải  chung. Suy ra = Ta có MAC ADC (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung); AMD ∆MAC ∽ ∆MDA (g-g) suy ra: MA2 = MC.MD và Tương tự: ∆MBC ∽ ∆MDB suy ra: Xét MA AC = MD AD MB BC = MD BD B 2 MC MC.MD MA MA MB AC BC = = = ⋅ = ⋅ (1) 2 2 MD MD MD MD MD AD BD Mặt khác : ∆IAC ∽ ∆IDB suy ra: IC AC = IB BD IB BC = ; ∆IBC ∽ ∆IDA suy ra: ID AD Do đó: M C I O D A AC BC AC BC IC IB IC ⋅ = ⋅ = ⋅ = (2) AD BD BD AD IB ID ID Từ (1) và (2) suy ra: IC MC = . ID MD Bài 7: Gọi CA, CB lần lượt là các tiếp tuyến của đường tròn (O; R) với A, B là các tiếp điểm. Vẽ đường tròn tâm I qua C và tiếp xúc với AB tại B. Đường tròn (I) cắt đường tròn (O) tại M. Chứng minh rằng đường thẳng AM đi qua trung điểm của BC. Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp. 11 Chủ đề 2: Góc với đường tròn Hướng dẫn giải Tìm cách giải. Chỉ ra KB2 = KM.KA và KC2 = KM.KA từ đó suy ra KA = KB (K là giao điểm của AM và BC) Trình bày lời giải Gọi K là giao điểm của AM và BC.   = KAB  ( góc tạo bởi tia tiếp tuyến, dây cung và Xét ∆KBM và ∆KAB có: K chung; KBM  của (O) ) góc nội tiếp chắn cùng chắn cung BM Do đó: ∆KBM” ∆KAB ⇒ KB KM = ⇒ KB2 = KM.KA (1) KA KB  = MBA  (góc tạo bởi tia tiếp tuyến dây cung và MCK  của (I)). góc nội tiếp cùng chắn cung BM  = MBA  (góc tạo bởi tia tiếp tuyến dây cung và KAC AM cuả (O)). góc nội tiếp cùng chắn cung  A M C O K   = KAC  . Xét ∆KCM và ∆KAC có: K Do đó: MCK  = KAC  . Do đó chung , MCK ∆KCM” ∆KAC ⇒ I B KC KM = ⇒ KC2 = KM.KA (2). KA KC Từ (1) và (2) ta có: KC2 = KB2 ⇒ KC = KB . Vậy AM đi qua trung điểm K của BC. Bài 8: Cho hình bình hành ABCD, góc A < 900. Đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD cắt AC ở E. Chứng mình rằng BD là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AEB. Hướng dẫn giải B Gọi I là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành. C O IA = IC ⇒ IE.IA = IE.IC ∆IBE ” ∆ICD (g.g) ⇒ IE.IC = IB.ID A E I D IB IA Từ đó suy ra: IE.IA = IE.IC = IB.ID = IB2 ⇒ =. IE IB Ta có ∆IBE và ∆IAB có IB IA  chung , suy ra ∆IBE   ” ∆IAB (c.g.c) nên IBE  = IAB  = và BIA . IE IB Suy ra BD là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AEB( định lí bổ sung) Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp. 12 Chủ đề 2: Góc với đường tròn . GÓC CÓ ĐỈNH BÊN TRONG VÀ BÊN NGOÀI ĐƯỜNG TRÒN . Lý thuyết 1. Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn A D Trong hình bên thì : E  có đỉnh E nằm bên trong đường tròn (O) gọi là góc có BEC đỉnh ở bên trong đường tròn. Định lí : Số đo góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn. O B C  = 1 (sđ  ) AD + sđ BC sđ BEC 2 2 . Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn. C C D E C D O A E O E O A B B B H×nh b H×nh a H×nh c Trong hình (a,b,c) thì :  gọi là góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn. BEC Định lí : Số đo của góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn. PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN  Gặp bài toán tiên quan đến những góc có đỉnh ở bên trong hay bên ngoài đường tròn ta thường tính số đo của chúng theo số đo các cung bị chắn rồi biến đổi tổng hoặc hiệu của hai cung thành một cung  Số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung  Số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp. 13 Chủ đề 2: Góc với đường tròn . Bài tập. Bài 1: Cho tứ giác ABCD có bốn đỉnh thuộc đường tròn . Gọi M, N, P, Q lần lượt là điểm chính giữa các cung AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng : MP ⊥ NQ . Hướng dẫn giải Tìm cách giải. Để chứng minh MP ⊥ NQ ta gọi I là giao điểm của MP và NQ và cần chứng  = 90° . Nhận thấy MIQ  là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn, do vậy ta cần biểu minh MIQ  theo các cung của đường tròn và biến đổi các cung ấy. diễn góc MIQ Trình bày lời giải Gọi I là giao điểm của MP và NQ. Ta có.  = 1(sđ MQ  + sđ NP ) MIQ b M A C I 2 1 1  + sđ CD  ). AB + sđ  AD + sđ BC = . (sđ  2 2 = N o Q 1 . 360o = 90o . Vậy MP ⊥ NQ. 4 P d Bài 2: Cho đường tròn (O), hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau, điểm M thuộc cung nhỏ BC. Gọi E là giao điểm của MA và CD, F là giao điểm của MD và AB. Chứng minh rằng: = AFD ; a) DAE b) Khi M di động trên cung nhỏ BC thì diện tích tứ giác AEFD không đổi. Hướng dẫn giải   = sdDBM a) DAE (góc nội tiếp) . 2  + sd MB  sdDBM   sdDB = AFD = ( góc có đỉnh ở bên trong đường tròn) 2 2 = AFD DAE Suy ra C E 1 A 1 °  A    = = b) Ta có: D 1 1 ( 45 ) và E1 = ADF ( cách chứn minh tương tự câu a) nên ∆DAE ∽ ∆ADF ( g.g ) ⇒ DE AD =⇒ AF .DE = AD 2 . AD AF Mặt khác AEFD là tứ giác có hai đường chéo AF, DE vuông góc với nhau. Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp. M O 1 D F B 14 Chủ đề 2: Góc với đường tròn Do đó S AEFD = 1 1 AF ⋅ DE = AD 2 , không đổi. 2 2 . MỘT SỐ BÀI TẬP DẠNG 1: GÓC NỘI TIẾP – GÓC TẠO BỞI TIA TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG I. Trắc nghiệm: Câu 1: Mỗi khẳng định sau đúng hay sai: A. Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung luôn nhỏ hơn 900. B. Trong một đường tròn, các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau. C. Góc vuông nội tiếp thì chắn nửa đường tròn. D. Góc tù nội tiếp thì có số đo bằng nửa số đo góc ở tâm cùng chắn một cung. Câu 2: Cho hình vẽ, biết AB là đường kính của đường tròn (O), x xy là tiếp tuyến của đường tròn tại A. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai? C A. Góc CAx là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung. B. Góc BAy là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung. C. Góc ACB là góc tù. A  < BCO  D. CAx O y Câu 3: Ghép mỗi ý ở cột bên trái với mỗi ý ở cột bên phải để được khẳng định đúng A. Góc nội tiếp là góc 1) có số đo bằng 900 B. Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn 2) bằng nhau. C. Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì 3) có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn. D. Trong một đường tròn, hai góc nội tiếp không bằng nhau, góc lớn hơn thì 4) chắn dây lớn hơn. 5) có cung bị chắn lớn hơn. II. Tự luận: A. Dạng cơ bản: Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp. B 15 Chủ đề 2: Góc với đường tròn Bài 1: Tam giác ABC nội tiếp (O;R). Tia phân giác của góc A cắt (O) tại M. Tia phân giác góc ngoài tại đỉnh A cắt (O) tại N. CMR: a) Tam giác MBC cân. b) 3 điểm M, O, N thẳng hàng. Bài 2: Cho (O) và hai dây AB, CD bằng nhau và cắt nhau tại M. ( C thuộc cung nhỏ AB, B thuộc cung nhỏ CD). a) CMR: cung AC = cung DB. b) CMR: ∆MAC = ∆MDB. c) Tứ giác ACBD là hình gì? CM? Bài 3: Cho (O) và hai dây MA và MB vuông góc với nhau. Gọi I, K lần lượt là điểm chính giữa của các cung nhỏ MA, MB. Gọi P là giao điểm của AK và BI. a) CMR: A, O, B thẳng hàng. b) CMR: P là tâm đường tròn nội tiếp ∆MBA. c) Giả sử MA = 12cm, MB = 16cm, tính bán kính đường tròn nội tiếp ∆MBA. Bài 4 : Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Tia phân giác của góc A cắt (O) tại M. a) CMR : tam giác BMC cân. b) CMR : góc BMC = góc ABC + góc ACB. c) Gọi D là giao điểm của AM và BC. CMR : AB. AC = AD. AM; MD. MA = MB2. Bài 5: Cho nửa đường tròn (O) đường kính CB, A thuộc nửa đường tròn sao cho AB < AC. Tiếp tuyến tại A cắt đường thẳng BC ở I. Kẻ AH vuông góc với BC. CMR: a) AB là tia phân giác của góc IAH. b) IA2 = IB. IC. Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Vẽ (I) đường kính BH cắt AB ở M. Vẽ (K) đường kính CH cắt AC ở N. a) Tứ giác AMHN là hình gì ? CM ? b) CMR : MN là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (I) và (K) ? c) Vẽ tiếp tuyến Ax của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. CMR : Ax // MN. Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp. 16 Chủ đề 2: Góc với đường tròn Bài 7 : Trên nửa đường tròn (O) đường kính AB, lấy hai điểm M và N sao cho cung AM = cung MN = cung NB. Gọi P là giao điểm của AM và BN ; H là giao điểm của AN với BM. CMR : a) Tứ giác AMNB là hình thang cân. b) 4 điểm P, M, H, N cùng thuộc một đường tròn. c) PH vuông góc với AB. d) ON là tiếp tuyến của đường tròn đường kính PH. B. Bài tập nâng cao : Bài 1: Cho (O) và (O’) bằng nhau, cắt nhau tại A và B. Qua B vẽ một cát tuyến cắt các đường tròn (O) và (O’) lần lượt tại C và D. a) CMR : AC = AD. b) Tìm quỹ tích trung điểm M của CD khi cát tuyến CBD quay quanh B. Bài 2: Cho (O) đường kính AB; C chạy trên một nửa đường tròn. Vẽ đường tròn tâm I tiếp xúc với đường tròn (O) tại C, tiếp xúc với đường kính AB tại D. Đường tròn này cắt CA, CB lần lượt tại M và N. a) CMR: 3 điểm M, I, N thẳng hàng . b) CMR:ID vuông góc với MN . c) CMR: đường thẳng CD đi qua một điểm cố định. d) Suy ra cách dựng đường tròn (I) nói trên. Bài 3 : Cho đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC, từ điểm M trên cung BC không chứa điểm A, hạ các đường vuông góc với BC; CA; AB lần lượt tại D; H; K. BC MD Chứng minh rằng: = CA AB + MH MK Bài 4: Hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Các điểm M và N theo thứ tự di chuyển trên các đường tròn (O) và (O’) sao cho chiều từ A đến M và từ A đến N trên các đường tròn (O) và (O’) đều theo chiều quay của kim đồng hồ và các cung AM và AN có số đo bằng nhau. Chứng minh rằng đường trung trực của MN luôn đi qua một điểm cố định. Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp. 17 Chủ đề 2: Góc với đường tròn HƯỚNG DẪN GIẢI DẠNG 1 I. Trắc nghiệm: Câu 1: A. S B. Đ C. Đ D. S B. Đ C. S D. S Câu 2: A. Đ Câu 3: Nối: A – 3; B – 1; C – 2; D – 5 II. Tự luận: A. Dạng cơ bản: Bài 1: a) Chứng minh rằng tam giác MBC cân  . Mà  =B  . Vậy tam giác MBC cân ;  Có  A2 = B A1 =  A2 => C
A1 = C
1
1
1
1

tại M.
b) Chứng minh ba điểm M; O; N thẳng hàng:
Có AM và AN là 2 tia phân giác của hai góc kể bù
 = 900 => MN là đường kính của (O)
=> AM ⊥ AN => MAN

=> M; O; N thẳng hàng.
Bài 2:

a) Chứng minh rằng: 
AC = DB

–

 = sđ 
AB
Có sđ 
AC + sđ CB

C

–

 + sđ CB
 = sđ DC

Có sđ BD

1

.
 
AC = DB

a) Chứng minh ∆MAC = ∆MDB.
–

=B

 ; AC = BD; 
Có C
A1 = D
1
1
1

⇒ ∆MAC = ∆MDB

Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp.

A

1

M
O

1

B

1

D

18

Chủ đề 2: Góc với đường tròn
Bài 3:
a) Chứng minh rằng 3 điểm A; O; B thẳng
hàng.

A

b) CMR: P là tâm đường tròn nội tiếp ∆MBA.
–

Có I là điểm chính giữa cung nhỏ AM; K là
điểm chính giữa cung nhỏ BM => AK; BI lần

O

I

lượt là tia phân giác của các góc MAB và

P

MBA của tam giác MBA => P là tâm đường

B

M

tròn nội tiếp tam giác MBA.

K

c) Giả sử MA = 12cm, MB = 16cm, tính bán
kính đường tròn nội tiếp ∆MBA.
Giả sử r là bán kính đường tròn nội tiếp
∆MBA, a là độ dài cạnh huyền, p là nửa chu
vi ∆MBA. Ta có: r = p – a
Bài 4:
a) Chứng minh rằng : tam giác BMC cân
–

A

Có AM là tia phân giác của góc BAC =>
 = MC
 => BM = MC => tam giác BMC cân
BM

b) Chứng minh rằng: BMC
= 
ABC + 
ACB

–


+
Có BMC
= BMA
AMC

 
=
BMA
ACB
=
;
AMC 
ABC
Mà:

 BMC
= 
ABC + 
ACB
c) Gọi D là giao điểm của AM và BC. CMR :

AB. AC = AD. AM; MD. MA = MB2.
–

∆ABD ~ ∆AMC => AB. AC = AD. AM

–

∆MBD ~ ∆MAB => MD. MA = MB2

Bài 5:

Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp.

O

B

C
M

19

Chủ đề 2: Góc với đường tròn

a) CMR: AB là tia phân giác của IAH

–

A

=
IAB
ACB ( góc nội tiếp, góc tạo bởi tia

tiếp tuyến và dây cung)

I

B

=
ABH )
 BAH
ACB (cùng phụ với 

C

O

H

 = BAH

 IAB

b) CMR: IA2 = IB. IC: Có ∆IAB ~ ∆ICA => IA2 = IB. IC
Bài 6:
a) Tứ giác AMHN là hình gì ? CM ?
–

Tứ giác AMHN là hình chữ nhật.

A

M

b) CMR: MN là tiếp tuyến chung của hai đường
tròn (I) và (K).
–

Có AMHN là hình chữ nhật

N
B

H K

I

=
=> NMH
AHM

 => MN là tiếp tuyến của (I)
=> 
NMH = MBH

– Chứng minh tương tự ta có MN là tiếp tuyến
của (K).
=
c) Có Ax là tiếp tuyến của (O) => xAB
ACB


 => xAB
 = NMA
 => Ax // MN
=> 
ACB
= NHA
= NMA

Bài 7 :
a) Tứ giác AMNB là hình thang cân.
–

P

Tứ giác AMNB có MN // AB => AMNB là hình
thang.
Lại có: AN = BM => AMNB là hình thang

H

cân.
A

Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp.

N

M

O

B

C

20

Chủ đề 2: Góc với đường tròn
b) 4 điểm P, M, H, N cùng thuộc một đường tròn.
–

=
Có 
900 =
900 => P; M; H cùng thuộc đường tròn đường kính PH.
AMB =
> PMH

–

=
Có 
ANB =
900 =
> PNH
900 => P; N; H cùng thuộc đường tròn đường kính PH.

 P; M; N; H cùng thuộc đường tròn đường kính PH.
c) PH vuông góc với AB
–

Có H là trực tâm tam giác PAB => PH vuông góc với AB.
d) ON là tiếp tuyến của đường tròn đường kính PH.

–

1


 của đường tròn đi qua 4 điểm P; M; H; N mà cung NH
Có ONA
= NPH
=
sđ NH
2

nằm trong góc ONH => góc ONH là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn
cung NH => ON là tia tiếp tuyến của đường tròn đi qua 4 điểm P; M; H; N.
B. Bài tập nâng cao
Bài 1:
a) CMR : AC = AD.
–

(O) có góc ACB là góc nội tiếp chắn
cung nhỏ AmB.

–

(O’) có góc ADB là góc nội tiếp chắn
cung nhỏ AnB

–

A

C

O

O’
M

B
D

(O) và (O’) bằng nhau
 
ACB = 
ADB => ∆ACD cân tại A
 AC = AD.
b) Tìm quỹ tích trung điểm M của CD khi cát tuyến CBD quay quanh B.

–

Tam giác ACD cân tại A có M là trung điểm của CD => AM vuông góc với CD
 
AMB = 900 => M thuốc đường tròn đường kính AB.

Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp.

21

Chủ đề 2: Góc với đường tròn
Bài 2:
a) CMR: 3 điểm M, I, N thẳng hàng
–

C

 = 900 => MN là
Có 
ACB = 900 => MCN

M

đường kính của (I) => M; I; N thẳng hàng.
b) CMR:ID vuông góc với MN.
–

Có AB là tiếp tuyến của (I) tại D => ID

A

N

I

B

O D

vuông góc với AB.
–

Có MN // AB => ID vuông góc với MN.
c) CMR: đường thẳng CD đi qua một điểm cố định.

–

Chứng minh CD là tia phân giác của góc ACB => CD đi qua điểm chính giữa
của cung AB.
d) Suy ra cách dựng đường tròn (I) nói trên

Bài 3 :
–

Từ A kẻ đường thẳng song song với BC

A

=
cắt (O) tại N => AB = NC => BMN
AMC

–

N

Gọi E là giao điểm của BC và MN;

(

 CAM

 1 sđ BM
 + CN

=
CBM
=
; BEM
2

(

)
K

)

1
+

= sđ BM
AB =
ACM
2

O

B
D

H

E

C

M

 ∆BME ~ ∆AMC, có MH và MD là 2 đường cao tương ứng=>

AC
BE
=
MH MD

(1)

(

 MAB

 
 
-=
MCB
=
; CMN
AMB
=
NC
AB

)

 ∆CME ~ ∆AMB; có MD; MK là 2 đường cao tương ứng =>

Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp.

CE
AB
=
(2)
MD MK

22

Chủ đề 2: Góc với đường tròn
–

Từ (1) và (2) =>

AC AB
BE CE BC
+
=
+
=
MH MK MD MD MD

Bài 4: Kẻ các đường kính BOC, BO’D thì C; A; D thẳng hàng, CAD là cát tuyến
chung cố định.

I

C

A

I

C

D

N

A

D

N
O

O’

O

B

B

M
Ha

M O’

Hb

ABM
Trường hợp M thuộc cung BC không chứa A ( Ha): 
ACM bù 
ABN = 
ACM , 

ABM , do đó M; B; N thẳng hàng.
nên 
ABN bù 

Trường hợp M thuộc cung BC có chứa A (Hb): 
ABN = 
ABM nên M; B; N thẳng
hàng.
Trong cả hai trường hợp, ta có CM và DN cùng vuông góc với MN. Do đó đường
trung trực của MN luôn đi qua trung điểm I của CD, đó là điểm cố định.

Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp.

23

Chủ đề 2: Góc với đường tròn
DẠNG 2: GÓC CÓ ĐỈNH Ở BÊN TRONG VÀ BÊN NGOÀI ĐƯỜNG TRÒN
I.
Trắc nghiệm: Cho hình vẽ, hãy điền dấu (x) vào ô thích hợp trong bảng sau:
TT

Khẳng định

Đúng

1

 = BMD

A

2

 + sđ A

sđ BC
D

BMC =
2

3

1 
+N
=
ABN
sđ BD
2

4

 = 1 (sđ BD
 − sđ AC
)
N
2

B

Sai

C
O
D

M
A

II. Tự luận:
Bài 1. Cho đường tròn (O) trong đó có ba dây bằng nhau AB, AC, BD sao cho hai dây
AC, BD cắt nhau tại M tạo thành góc vuông AMB. Tính số đo các cung nhỏ AB, CD.
Bài 2. Cho đường tròn (O) và dây AB. Vẽ tiếp tuyến xy // AB có M là tiếp điểm. Chứng
minh rằng ∆MAB là tam giác cân.
Bài 3. Từ một điểm A ở bên ngoài đường tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường
tròn (B và C là các tiếp điểm). Vẽ dây CD // AB. Đường thẳng AD cắt đường tròn tại
một điểm thứ hai là E. Tia CE cắt AB tại M. Chứng minh:
a) MB2 = MC.ME;

b) M là trung điểm của AB

Bài 4. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Vẽ dây AC của đường tròn
(O) tiếp xúc với đường tròn (O’). Vẽ dây AD của đường tròn (O’) tiếp xúc với đường
tròn (O). Chứng minh rằng:
a) AB = BC.BD
2

BC AC2
b)
=
BD AD 2

Bài 5. Cho đường tròn (O) và hai đường kính vuông góc AB và CD. Trên cung BD lấy
một điểm M. Tiếp tuyến của (O) tại M cắt AB ở E ; CM cắt AB tại F. Chứng tỏ EF = EM.

Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp.

N

24

Chủ đề 2: Góc với đường tròn
Bài 6. Cho tam giác ABC, phân giác trong AD. Đường tròn (O) đi qua A, tiếp xúc với
BC tại D. Đường tròn (O) cắt AB, AC tương ứng tại M và N. Chứng minh MN // BC.
Bài 7. Từ một điểm A ở bên ngoài đường tròn (O), vẽ tiếp tuyến AB và cát tuyến ACD
với đường tròn (B là tiếp điểm, C nằm giũa A và D). Tia phân giác của góc CBD cắt
đường tròn tại m, cắt CD tại E và cắt tia phân giác của góc BAC tại H. Chứng minh rằng:
a) AH ⊥ BE ;

b) MD2 = MB . ME

Bài 8. Cho đường tròn (O) và dây AB. Gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AB và C
là điểm nằm giữa A và B. Tia MC cắt đường tròn tại một điểm thứ hai là D.
a) Chứng minh rằng MA2 = MC . MD.
b) Vẽ đường tròn (O’) ngoại tiếp tam giác ACD. Chứng minh rằng AM là tiếp tuyến của
đường tròn (O’).
c) Vẽ đường kính MN của đường tròn (O). Chứng minh ba điểm A, O’, N thẳng hàng.
Bài 9. Cho đường tròn (O) và một dây AB. Vẽ đường kính CD ⊥ AB (D thuộc cung nhỏ
AB). Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M. Các đường thẳng CM và DM cắt đường thẳng
AB lần lượt tại E và F. Tiếp tuyến của đường tròn tại M cắt đường thẳng AB tại N.
Chứng minh rằng N là trung điểm của EF.

Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp.

25

Chủ đề 2: Góc với đường tròn
HƯỚNG DẪN GIẢI DẠNG 2
I. Trắc nghiệm:
1. sai

2. đúng

3. đúng

4. đúng

II. Tự luận:
Bài 1. Đường tròn (O) có dây: AB = AC = BD

A

 = sđ BD
 = sđ AC

Suy ra sđ AB

 – sđ CD

 = sđ AC
Do đó: sđ AD

D

 = sđ BC

 – sđ DC
= sđ BD

O

M

Theo định lý góc có đỉnh bên trong đường tròn, ta có:

 = 2. sđ BMC

 + sđ BC
sđ AD
= 2.90
= 180
0

B

C

0

 = 900
 = sđ BC
nên sđ AD
 = 2. sđ ABC
 = 1800
 + sđ CD
Lại có: sđ AB

 = 900 + sđ DC

 + sđ DC
 = sđ BD
 = sđ BC
Hơn nữa sđ AB
 = 450; sđ AB
 = 900 + 450 = 1350
Suy ra: sđ DC

Bài 2. Ta có OM ⊥ xy (tính chất của tiếp tuyến)

B

A

Mà xy // AB nên

O

 = MB
 (định lý đường kính vuông góc
Suy ra MA
với dây cung)
Do đó MA = MB (hai cung bằng nhau căng hai dây
bằng nhau)

Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp.

y

x

M

26

Chủ đề 2: Góc với đường tròn
Bài 3.
a) ∆MBE và ∆MCB có

B

 chung; B
 =C
 (góc tạo bởi tia tiếp
M
1
1
2
tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng
chắn cung BE)

M

O

A

Nên ∆MBE # ∆MCB (g.g)
Suy ra

E

MB ME
=
MC MB

Do đó MB2 = MC.ME

C
(1)

 =D
 (cặp góc so le trong)
b) Ta có CD // AB nên A
1
1

 (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung
 =D
Mặt khác C
1
1
CE).

 =C

 A
1
1
 chung; A
 (chứng minh trên)
 =C
Xét ∆MAE và ∆MCA có: M
1
1
2
Vậy ∆MAE # ∆MCA (g.g). Suy ra
Do đó MA2 = MC.ME

MA ME
=
MC MA

(2)

Từ (1) và (2) suy ra MA2 = MB2 do đó MA = MB

Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp.

27

Chủ đề 2: Góc với đường tròn
Bài 4.a) ∆ABC và ∆DBA có

A

 =D
; C
 =A

A
2
1
1
(góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và

O’

O

góc nội tiếp cung chắn cung AB)

B

Do đó ∆ABC # ∆DBA (g.g)
Suy ra

C

AB CB
=
.Vậy AB2 = BC.BD
BD AB

b) ∆ABC # ∆DBA (chứng minh trên) =>

D

AB CB AC
= =
BD AB DA

AB CB AC AC
BC AC2
.
=
.
. Vậy
Do đó
=
BD AB DA DA
BD AD 2
Bài 5.
C

Đường tròn (O) có:

 = 1 sđ CBM
 (góc giữa tiếp tuyến và dây đi qua
EMF
2
tiếp điểm)

1
=


⇒ EMF
(sđ M
B + sđ BC)
2

 = 1 (sđ MB
 + sđA

EFM
C) (góc có đỉnh ở trong đường
2
tròn (O)


Mà: sđ B
C = sđ 
AC = 90o (vì CD ⊥ AB ).


 ⇒ ∆EFM cân tại E. Vậy: EF = EM.
Do đó: EMF
= EFM

Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp.

A

B

O

D

M

E

28

Chủ đề 2: Góc với đường tròn
Bài 6. Chứng minh ∆BMD # ∆BDA , suy ra

A

BD2 = BM . BA
Tương tự, cũng có CD2 = CN . CA, suy ra

BD 2 BM.BA
=
CD 2 CN.CA

BD AB
AB2 BM.BA
=
, suy ra
nên
Mà
=
CD CA
CA 2 CN.CA
BM BA
=
⇒ MN // BC
CN CA

O

M
B

N
C

D

Bài 7.

 nên MC
 = DBM
 = MD

a) Vì CBM

B

(hai góc nội tiếp bằng nhau thì hai cung bị chắn
bằng nhau)
Góc AEB là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn

O

H

D

nên



 = sđ BC + sđ MD
AEB
2

C
M

 sđ B

 + sđ MC
sđ BC
CM
=
(1)
2
2
=
Góc ABM là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung nên sđ ABM


sđ BCM
(2)
2

 = ABM
 , do đó ∆ABE cân tại A.
Từ (1) và (2) suy ra AEB
Có AH là tia phân giác của góc A nên AH ⊥ BE
b) ∆MDE và ∆MBD có

 = MBD
 (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau); M
 chung.
MDE
Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp.

A

29

Chủ đề 2: Góc với đường tròn
nên ∆MDE # ∆MBD (g. g).
Suy ra

MD ME
=
, do đó MD2 = MB. ME
MB MD

Bài 8.

M

 chung;
a) ∆MAC và ∆MDA có: M
1

 = MDA
 (hai góc nội tiếp chắn hai
MAC

A

cung bằng nhau).
Vậy ∆MAC # ∆MDA (g. g).
Suy ra

MA MC
=
.
MD MA

Do đó MA2 = MC . MD.

B

C
O

D

N



sđ AC
sđ AC




b) Ta có: MAC = D (chứng minh trên), mà D =
, nên MAC =
2
2
 AM là một tia tiếp tuyến của đường tròn (O’) (Định lí đảo của định lí về góc tạo
bởi tia tiếp tuyến và dây cung)

 = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính MN).
c) Ta có MAN
Suy ra NA ⊥ AM . Mặt khác O’A ⊥ AM (tính chất của tiếp tuyến).
Qua điểm A chỉ vẽ được một đường thẳng vuông góc với AM, do đó ba điểm A, O’, N
thẳng hàng

Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp.

30

Chủ đề 2: Góc với đường tròn
Bài 9 . Ta sẽ chứng minh NE = NF bằng cách
dùng NM làm trung gian.

D

 = CB

 = DB
 và CA
Ta có CD ⊥ AB nên DA
(định lí đường kính vuông góc với dây cung).

F

O
M

Góc F1 là góc có đỉnh ở bên trong một đường
tròn nên:

N

B

A

C

 + sđ AD
 sđ BM
 + sđ B


sđ BM
D sđ M
BD
(1)
F 1 = =
=
2
2
2

sđ MBD


(2)
M 3 là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung nên M 3 =
2
 =M
 do đó ∆NMF cân tại N, suy ra NF = NM.
Từ (1) và (2) suy ra F
1
3
Góc E là góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn nên:


E

 − sđ BM
 sđ BC
 − sđ BM
 sđ MC

sđ AC
= =
(3)
2
2
2


sđ MC

. (4)
Góc M2 là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung nên M 2 =
2
 )
 =M
 , dẫn tới E
 =M
 =M
 (vì M
Từ (3) và (4) suy ra E
1
2
2
1
Do đó ∆NME cân, suy ra NE = NM tại N. Do vậy NE = NF. Vậy N là trung điểm của EF

Ngày 10/1/2019
Tổng hợp: TOÁN HỌA
0986 915 960

Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp.