Chuyên đề giới hạn dãy số, giới hạn hàm số và hàm số liên tục

Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam GIỚI HẠN DÃY SỐ A. LÝ THUYẾT I. DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN 0 . 1. Định nghĩa Ta nói rằng dãy số  un  có giới hạn 0 ( hay có giới hạn là 0 ) nếu với mỗi số dương nhỏ tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số dương đó. Kí hiệu: lim un  0 . Nói một cách ngắn gọn, lim un  0 nếu un có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi. Từ định nghĩa suy ra rằng: a) lim un  0  lim un  0 . b) Dãy số không đổi  un  , với un  0 , có giới hạn là 0 . c) Dãy số  un  có giới hạn là 0 nếu un có thể gần 0 bao nhiêu cũng được, miễn là n đủ lớn. 2. Một số dãy số có giới hạn 0 Định lí 4.1 Cho hai dãy số  un  và  vn  . Nếu un  vn với mọi n và lim vn  0 thì lim un  0 . Định lí 4.2 Nếu q  1 thì lim q n  0 . Người ta chứng mình được rằng 1 0. a) lim n 1 b) lim 3  0 n 1 c) lim k  0 với mọi số nguyên dương k cho trước. n 1 Trường hợp đặc biệt : lim  0 . n nk  0 với mọi k  * và mọi a  1 cho trước. an II. DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN HỮU HẠN. 1. Định nghĩa d) lim Ta nói rằng dãy số  un  có giới hạn là số thực L nếu lim un  L   0 . Kí hiệu: lim un  L . Dãy số có giới hạn là một số thực gọi là dãy số có giới hạn hữu hạn. a) Dãy số không đổi  un  với un  c , có giới hạn là c . b) lim un  L khi và chỉ khi khoảng cách un  L trên trục số thực từ điểm un đến L trở nên nhỏ bao nhiêu cũng được miễn là n đủ lớn; nói một cách hình ảnh, khi n tăng thì các điểm un “ chụm lại” quanh điểm L . Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam c) Không phải mọi dãy số đều có giới hạn hữu hạn. 2. Một số định lí Định lí 4.3 Giả sử lim un  L . Khi đó a) lim un  L và lim 3 un  3 L . b) Nếu un  0 với mọi n thì L  0 và lim un  L . Định lí 4.4 Giả sử lim un  L , lim vn  M và c là một hằng số. Khi đó a) lim un  vn   L  M . b) lim un  vn   L  M . c) lim unvn   LM . D) lim  cun   cL . e) lim un L  (nếu M  0 ). vn M 3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn Định nghĩa Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân có công bội q thỏa q  1 . Công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: u S  u1  u1q  u 1q 2  …  1 1 q III. DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN VÔ CỰC. 1. Dãy số có giới hạn  Ta nói rằng dãy số  un  có giới hạn  nếu với mỗi số dương tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó. Kí hiệu: lim un   . Nói một cách ngắn gọn, lim un   nếu un có thể lớn hơn một số dương lớn tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi. Người ta chứng minh được rằng: a) lim un   . b) lim 3 un   c) lim nk   với một số nguyên dương k cho trước. Trường hợp đặc biệt : limn   . d) lim q n   nếu q  1 . 2. Dãy số có giới hạn  Ta nói rằng dãy số  un  có giới hạn  nếu với mỗi số âm tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều nhỏ hơn số âm đó. Kí hiệu: lim un   . Nói một cách ngắn gọn, lim un   nếu un có thể nhỏ hơn một số âm nhỏ tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi. Nhận xét: a) lim un    lim  un    . Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam 1 1  trở un un 1 nên nhỏ bao nhiêu cũng được, miễn n đủ lớn. Nói cách khác, nếu lim un   thì lim  0 . un b) Nếu lim un   thì un trở nên lớn bao nhiêu cũng được miễn n đủ lớn. Đo đó Định lí 4.5 Nếu lim un   thì lim 1 0. un 3. Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực Quy tắc 1 Nếu lim un   và lim v n   thì lim  unvn  được cho trong bảng sau: lim u n lim v n lim  unvn              Quy tắc 2 Nếu lim un   và lim v n  L  0 thì lim  unvn  được cho trong bảng sau: lim u n Dấu của L lim  unvn              Quy tắc 3 Nếu lim un  L  0 và lim v n  0 và vn  0 hoặc vn  0 kể từ một số hạng nào đó trở đi thì u lim n được cho trong bảng sau: vn Dấu của L Dấu của v n        lim    B. CÁC DẠNG TOÁN VỀ GIỚI HẠN DÃY SỐ DẠNG 1. TÍNH GIỚI HẠN DÃY SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC Câu 1: un vn   lim  n3  2n  1 bằng A. 0 . Đáp án D. B. 1 . C.  . Lời giải D.  . Chuyên đề giới hạn và liên tục Câu 2: Hội toán Bắc Nam 2 1  Ta có: n3  2n  1  n3 1  2  3  .  n n  2 1  Vì lim n3   và lim 1  2  3   1  0 nên theo quy tắc 2, lim  n3  2n  1    n n  lim  5n  n2  1 bằng A. . B. . C. 5. Hướng dẫn giải D. 1. Chọn B. 5 1   Ta có 5n  n 2  1  n 2  1   2  . n n   5 1   Vì lim n2   và lim  1   2   1  0 nên lim  5n  n2  1   (theo quy tắc 2). n n   Câu 3: lim un , với un  A. 0. 5n 2  3n  7 bằng: n2 B. 5. C. 3. Hướng dẫn giải D. 7. Chọn B.  5n2 3n 7  3 7  Ta có: lim un  lim  2  2  2   lim  5   2   5 . n n  n n    n Câu 4: lim un , với un  A. 3. 2n3  3n 2  n  5 bằng n3  n 2  7 B. 1. C. 2. Hướng dẫn giải D. 0. Chọn C. Chia cả tử và mẫu của phân thức cho n3 ( n3 là lũy thừa bậc cao nhất của n trong phân thức), ta 3 1 5 2  2  3 n n n . Vì lim  2  3  1  5   2 và lim 1  1  7   1  0 nên được: un     3  1 7 n n 2 n3    n n  1  3 n n 3 2 2n  3n  n  5 2 lim   2. n3  n 2  7 1 Ví dụ 5: Giới hạn của dãy số un  , với un  A. 1. n3  2n  1 bằng n 4  3n3  5n 2  6 C. . B. 0. D. 1 . 3 Hướng dẫn giải Chọn B. Chia cả tử và mẫu của phân thức cho n 4 ( n 4 là bậc cao nhất của n trong phân thức), ta được 1 2 1  3 4 3 n  2n  1 n n n  0  0. lim un  lim 4  lim 3 2 3 5 6 n  3n  5n  6 1  2  3 1 n n n Ví dụ 6: Giới hạn của dãy số  un  với un  3n3  2n  1 , bằng 2n 2  n Chuyên đề giới hạn và liên tục 3 A. . 2 Hội toán Bắc Nam C. . B. 0. D. 1. Hướng dẫn giải Chọn C. Chia cả tử và mẫu cho n 2 ( n 2 là lũy thừa bậc cao nhất của n trong mẫu thức), ta được 2 1 3n   2 3 3n  2n  1 n n . Vậy lim u  lim  3n    . un   n   2 1 2n  n  2  2 n sin  n ! Ví dụ 7: lim 2 bằng n 1 A. 0. B. 1. C. . D. 2. Hướng dẫn giải Chọn A. Ta có sin  n ! 1 1  2 mà lim 2  0 nên chọn đáp án A. 2 n 1 n 1 n 1  1 n  n  1 n Ví dụ 8: lim bằng A. 1. C. . Hướng dẫn giải B. 1. D. 0. Chọn D.  1 n  n  1 n Ta có 1 1 1  1  0 1    2 mà lim 2  0 nên suy ra lim n  n  1 n.n n n  n  1 n n Ví dụ 9: Tính giới hạn I  lim  A. I  1. n2  2n  3  n  B. I  1. C. I  0. Hướng dẫn giải Chọn B. Ta có I  lim  n  2n  3  n 2    lim n2  2n  3  n  D. I  . n2  2n  3  n  n2  2n  3  n 3 2  n 2  2n  3   n 2  2 2n  3 n  lim  lim   1.  lim 2 3 1 1 n 2  2n  3  n n 2  2n  3  n 1  2 1 n n   Ví dụ 10: lim n  3 8n3  3n  2 bằng: B. . A. . C. 1. Hướng dẫn giải D. 0. Chọn B.    3 2  Ta có lim n  3 8n3  3n  2  lim n 1  3 8  2  3  . n n      3 2  Vì lim n  , lim 1  3 8  2  3   1  3 8  1  0 nên lim n  3 8n3  3n  2   . n n   Chuyên đề giới hạn và liên tục  Hội toán Bắc Nam  Ví dụ 11: lim n  n 4n  1 bằng: 2 A. 1. D. . C. . Hướng dẫn giải B. 3. Chọn C.  4 1  Ta có n2  n 4n  1  n 2 1   . n n2    4 1  Vì lim n2   và lim 1   2   1  0 nên theo quy tắc 2, lim n2  n 4n  1  . n n       Ví dụ 12. lim n  3 n3  3n2  1 bằng : A. 1. C.  . Hướng dẫn giải B. 1 . D.  . Chọn A. Ta tiến hành nhân chia với biểu thức liên hợp (bậc ba) của n  3 n3  3n2 1 n3   n3  3n2  1 3 3 2 lim n  n  3n  1  lim 2   2 3 3 2 3 2 3  n  n n  3n  1   n  3n  1    1 3  2 n  lim  1 .   3 1  3 1 1  1   3  3 1   3  n n  n n  2 3 Ví dụ 13. lim A.   n2  n  1  3 n3  3n  2 bằng : 1 . 2 C.  . B. 0 . D.  . Hướng dẫn giải Chọn A.    n2  n  1  3 n3  3n  2  lim   Ví dụ 14. lim  5n  2n  bằng : lim A.  . B. 3 .    1 n2  n  1  n  n  3 n3  3n  2    2 C.  . D. 5 . 2 Hướng dẫn giải Chọn C.   2 n  Ta có 5  2  5 1      5      2 n  Vì lim5n   và lim 1      1  0 nên theo quy tắc 2, lim 5n  2n     5    n 1 n Ví dụ 15. lim  3.2  5.3  7n  bằng : n A.  . n n B.  . C. 3 . Hướng dẫn giải Chọn A. n  n 2 lim  3.2n 1  5.3n  7n   3n  5  6    7 n     3  3  D. 5 . Chuyên đề giới hạn và liên tục Ví dụ 16. lim Hội toán Bắc Nam n 1 4.3  7 bằng : 2.5n  7n n A. 1 . 3 . 5 Hướng dẫn giải B. 7 . C. D. 7 . 5 C. 36 . D. 4 . 5 Chọn B. n lim Ví dụ 17. lim 4.3n  7n 1 2.5n  7n 3 4.    7 7 7  lim   n  7. 1 5 2.    1 7 4n 1  6n  2 bằng : 5n  8n A. 0 . B. 6 . 8 Hướng dẫn giải Chọn A. n lim 4n1  6n  2 5n  8n n 4 6 4.    36.   8 8  lim   n    0 . 5   1 8 2n  3n bằng : 2n  1 3 A.  . 2 Ví dụ 18. lim C.  . B. 0 . D.  . Hướng dẫn giải Chọn C. n 2   1 n n 2 3 3 n Chia cả tử và mẫu cho 3 ta được n   n 2  1  2   1 n      3  3 n n n n  2     2   1 n   2 1 Mà lim     1  1  0, lim         0 và       0 với mọi n nên theo  3    3   3    3  3     2n  3n lim   . quy tắc 3, 2n  1 Dạng 2. Tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi. 2  2un  1 Ví dụ 19. Cho dãy số  un  được xác định bởi u1  1, un1  với mọi n  1. Biết dãy số  un  có un  3 giới hạn hữu hạn, lim un bằng: 2 A. 1. B. 2 . C. 4 . D. . 3 Hướng dẫn giải Chọn B. Bằng phương pháp quy nạp, dễ dàng chứng minh được un  0 với mọi n Đặt lim un  L  0 . Ta có lim un1  lim 2  2 L  1 2  2un  1 hay L  L3 un  3 Chuyên đề giới hạn và liên tục L  2  L2  L  2  0    L  1 Vậy lim un  2 . Hội toán Bắc Nam (n) (l ) 1 2 Ví dụ 20. Cho dãy số  un  được xác định bởi u1  1, un1   un   với mọi n  1. Tìm giới hạn của 2 un   un  . A. lim un  1 . B. lim un  1 . C. lim un  2 . Hướng dẫn giải D. lim un   2 . Chọn C. Bằng phương pháp quy nạp, dễ dàng chứng minh được un  0 với mọi n Đề bài không cho biết dãy số  un  có giới hạn hữu hạn hay không, tuy nhiên các đáp án đề bài cho đều là các giới hạn hữu hạn. Do đó có thể khẳng định được dãy số  un  có giới hạn hữu hạn. Đặt lim un  L  0 1 2 lim un1  lim  un   2 un  1 2 2 Hay L   L    L   L2  2  L  2 2 L L Vậy lim un  2 ( loại trường hợp L   2 ). Vậy lim un  2 . 1 với mọi n  1. Khi nó lim un bằng: 2 1 1 C.  . D. . 2 2 Ví dụ 21. Cho dãy số  un  xác định bởi u1  1 và un1  2un  1 B.  . 2 A. 0 . Đáp án C. Giả sử dãy có giới hạn hữu hạn là L . Ta có: lim un1  2lim un  1 1 1  L  2L   L   . 2 2 2 Đến đây có thể kết luận là lim un   1 được không? Câu trả lời là không? 2 Vì không khó để chứng minh được rằng un  0 với mọi n . Do đó nếu dãy số có giới hạn L thì L  0 . Từ đó suy ra dãy không có giới hạn, mà trong bốn đáp án trên chỉ có đáp án C là vô cực. Vậy ta chọn đáp án C. Ta xét hai cách giải sau: Đặt vn  un  1 1 1 1 1  . Ta có: vn 1  un 1   2un    2  un    2vn 2 2 2 2 2  Vậy  vn  là cấp số nhân có v1  3 3 và q  2 . Vậy vn  .2n1  3.2n2 . 2 2 Chuyên đề giới hạn và liên tục Do đó lim vn  lim 3.2 n 2    . Suy ra lim u Hội toán Bắc Nam n   . Ví dụ 22. Cho dãy số  un  xác định u1  0 , u2  1 , un1  2un  un 1  2 với mọi n  2 . Tìm giới hạn của dãy số  un  . A. 0 . C.  . B. 1 . D.  . Đáp án D. Giả sử dãy có giới hạn hữu hạn là L . Ta có: lim un 1  2lim un  lim un 1  2  L  2 L  L  2  0  2 (Vô lý) Vậy có thể dự đoán dãy có giới hạn vô cực. Tuy nhiên có hai đáp án vô cực (  và  ), vậy chưa thể đoán là đáp án nào. Ta xem hai cách giải sau. Ta có u1  0 , u2  1 , u3  4 , u4  9 . Vậy ta có thể dự đoán un   n  1 với mọi n  1. Khi đó 2 un1  2un  un1  2  2  n  1   n  2   2  n2   n  1  1 . 2 2 2 Vậy un   n  1 với mọi n  1. Do đó lim un  lim  n 1   . 2 2 Dạng 3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn. Ví dụ 23. Cho số thập phân vô hạn tuần hoàn a  2,151515… (chu kỳ 15 ), a được biểu diễn dưới dạng phân số tối giản, trong đó m, n là các số nguyên dương. Tìm tổng m  n . A. m  n  104 . B. m  n  312 . C. m  n  38 . D. m  n  114 . Đáp án A. Ta có a  2,151515…  2  15 15 15    … 2 100 100 1003 15 15 15 15 , công    … là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu u1  2 3 100 100 100 100 15 71 1 bội q  nên a  2  100  . 1 100 33 1 100 Vì Vậy m  71, n  33 nên m  n  104 . Ví dụ 24. Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,32111… được biểu diễn dưới dạng phân số tối giản đó a, b là các số nguyên dương. Tính a  b . A. a  b  611 . B. a  b  611 . C. a  b  27901. Đáp án B. Lời giải Ta có: 1 3 32 1 1 1 32 289 . 0,32111…   3  4  5  …   10  100 10 10 10 100 1  1 900 10 a , trong b D. a  b  27901 . Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam Vậy a  289, b  900 . Do đó a  b  289  900  611. Dạng 4. Tìm giới hạn của dãy số mà tổng là n số hạng đầu tiên của một dãy số khác. 1 1 1 Ví dụ 25. Tổng S  1     … bằng: 2 4 8 A. 1 . B. 2 . C. 2 . 3 D. 3 . 2 D. 3 . 4 Đáp án B. Lời giải S là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có u1  1 và q  Do đó S  1 1 1 2 Ví dụ 26. Cho dãy số  un  A. 1 . 2  2.  1 1 1 1 với un     …  2 4 8 2n 1 . 3 n 1 B. 1 . . Khi đó lim un bằng: C. 2 . 3 Đáp án A. Lời giải un là tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân có u1  1 1 và q   . 2 2 n 1 1   n n 1 1 1  1 1  1 2  Do đó un  .  1     . Suy ra lim un  lim 1      . 3   2   3 2  1  3   2   1     2  1  1 1 Ví dụ 27. Tính lim    …   bằng: 1.3 3.5 2 n  1 2 n  1      A. 0 . B. 1 . C. 1 . 2 D. 1 . 3 Đáp án C. Lời giải Ta có: 1 1 1 1 1 1 1 1 1  1 1    …   1     …     1   1.3 3.5 2n 1 2n  1  2  2n  1   2n 1 2n  1 2  3 3 5  1  1 1 1 1 Vậy lim    …    lim 1  2  2 n 1 2 n 1 2 n 1   1.3 3.5  1  .  2 Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam 1  2  …  n Ví dụ 28. Cho dãy số  un  với un  . Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng? n2  1 1 A. lim un  0 . B. lim un  . C. lim un  1 . D. Dãy số  un  không 2 có giới hạn khi n  . Đáp án B. Lời giải Ta có: 1  2  …  n  Do đó lim un  lim n  n  1 1  2  …  n n  n  1 . Suy ra .  2 n2  1 2  n2  1 n  n  1 2  n  1 2  1 . 2 1  5  9  …  4n  3 bằng: 2  7  12  …  5n  3 4 3 A. . B. . 5 4 Ví dụ 1: lim C. 2 . 3 D. 5 . 6 Hướng dẫn giải Chọn A Tử thức là tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng  un  với n  1 , un  4n  3 và công bội d  4. Do đó 1  5  9  …  4n  3  n 1  4n  3 n  4n  2   . 2 2 Tương tự ta có: 2  7  12  …  5n  3  Vậy lim Ví dụ 2: lim n  2  5n  3 n  5n  1  . 2 2 n  4n  2  4 1  5  9  …  4n  3  lim  . 2  7  12  …  5n  3 n  5n  1 5 3  32  33  …  3n bằng: 1  2  22  …  2n A.  . B. 3 . C. 3 . 2 D. 2 . 3 Hướng dẫn giải Chọn A Ta có tử thức là tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân  un  với u1  3 và q  3 . Do đó 3  32  33  …  3n  3. 3n  1 3 n   3  1 . 3 1 2 Mẫu thức là tổng của n+1 số hạng đầu tiên của cấp số nhân  vn  với vn  1 và q  2 . Do đó 1  2  22  …  2n  2. 2n1  1  2.  2n 1  1 . 2 1 Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam n n  3 1     3  3  3  …  3 3 3 1 3 2 3 Vậy lim  lim . n1  lim    n   . 2 n 1  2  2  …  2 4 2 1 4 1 2   3 2 3 n n 2 n   1 Ví dụ 3: lim  2  2  …  2  bằng n n  n 1 n  2 A. 0. B. 1 . 2 C. 1 . 3 D.  . Hướng dẫn giải Chọn B Ta có 1  2  …  n 1 2 n 1  2  …  n  2  2  …  2  . 2 n n n 1 n  2 n n n2  1 n  n  1 n  n  1 1  2  …  n 1 1  2  …  n 1  lim 2 2  ; lim  lim 22  . Mà lim 2 2 n n n n 2 n 1 n 1 2 2 n  1  1  2  …  2 Vậy lim  2  . n n  2  n 1 n  2 C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG DẠNG 1: BÀI TẬP LÝ THUYẾT Câu 1: Chọn khẳng định đúng. A. lim un  0 nếu un có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. B. lim un  0 nếu un có thể lớn hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. C. lim un  0 nếu un có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. D. lim un  0 nếu un có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Câu 2: Chọn khẳng định đúng. A. lim un   nếu un có thể bé hơn một số dương lớn tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. B. lim un   nếu un có thể lớn hơn một số dương lớn tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. C. lim un   nếu un có thể bé hơn một số dương lớn tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. D. lim un   nếu un có thể lớn hơn một số dương lớn tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Câu 3: Chọn khẳng định đúng. A. lim un  a nếu un  a có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. B. lim un  a nếu un  a có thể lớn hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. C. lim un  a nếu un  a có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. D. lim un  a nếu un  a có thể lớn hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Câu 4: Chọn khẳng định đúng. A. lim q n  0 nếu q  1 . B. lim q n  0 nếu q  1 . C. lim q n  0 nếu q  1 . D. lim q n  0 nếu q  1 . Chuyên đề giới hạn và liên tục Câu 5: Câu 6: Hội toán Bắc Nam Chọn khẳng định đúng. A. lim q n   nếu q  1 . C. lim q n   nếu q  1 . B. lim q n   nếu q  1 . D. lim q n   nếu q  1 Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào sai? A. Nếu q  1 thì limq n  0 . B. Nếu lim un  a , lim vn  b thì lim(un vn )  ab . 1  0. nk D. Nếu lim un  a  0 , lim vn   thì lim(un vn )   . C. Với k là số nguyên dương thì lim Câu 7: Biết lim un  3 . Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau. A. lim Câu 8: C. lim 3un  1  2. un  1 B. lim 3un  1  1 . un  1 D. lim 3un  1  1. un  1 D. lim un  1   . 3un2  5 Biết lim un   . Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau. A. lim Câu 9: 3un  1 3. un  1 un  1 1  . 3un2  5 3 C. lim 1 1.3 Cho dãy số un với un A. 1 . 2 Câu 10: lim 3n B. un  1 0. 3un2  5 1 3.5 B. lim un  1 1  . 3un2  5 5 1 … 2n 1 2n 1 1 . 4 . Ta có lim un bằng: C. 1 . D. 2 . C. 0 . D. 4.2n 1 3 bằng 3.2n 4n A. B. 1 . . n3 2n bằng 1 3n 2 1 A. . 3 Câu 11: lim B. . C. Câu 12: Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng A. lim 2n 2 3 . 2n 3 4 B. lim 2n 2 3 . 2n 2 1 0 thì lim un Câu 14: Cho dãy số un với un A. . Câu 15: Nếu lim un B. 1 . L thì lim un D. Nếu lim un 2n n 4 2 n 2 1 8 2 . 3 D. lim bằng bao nhiêu? . 2n 3 3 . 2n 2 1 a thì lim un thì lim un . Chọn kết quả đúng của lim un C. 1 3 2n 2 3 . 2n 3 2n 2 B. Nếu lim un 0. n 1 D. 1? C. lim Câu 13: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: A. Nếu lim un thì lim un . C. Nếu lim un . D. 0 . a. . Chuyên đề giới hạn và liên tục A. 1 . L 2 3 Câu 16: lim n 1 Hội toán Bắc Nam C. B. . C. . D. 0 . B. . C. . D. C. un 1 2n . 5n 5n2 D. un 3 1 . L 8 1 B. 1 L 8 D. L 8 n là: A. 1 . Câu 17: L  lim  5n  n3  là: 4. A. Câu 18: Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 1 2n 2 . 5n 5 A. un Câu 19: lim n  B. un n 2 2n . 5n 5n 2 B. 1 . 2 C. n 1 . 3 D. 1 . 4 n 1 . Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề n  n 1 2 sau? A. lim un  0 . B. lim un  0 không tồn tại. C. lim un  2 . D. lim un  1 . lim 1 2n . 5n 5  Câu 20: Cho dãy số  un  xác định bởi un   1   n2  2n  n2  2n có kết quả là A. 4 . Câu 22: 1 ? 5 n  1  n bằng A. 0 . Câu 21: 6. B. 2 . C. 1 . D.  . B. 1. C.  . D. lim  34.2n1  5.3n  bằng 2 . 3 A. Câu 23: lim n A.    n2  1  n2  2 bằng: 1 . 2 B.   Câu 24: Cho dãy số un với un  A. 4 . Câu 25: lim  3 1 . 3 1 . 2 C. 3 . 2 D. 1 . 4n 2  n  2 . Để  un  có giới hạn bằng 2 , giá trị của a là: an2  5 B. 3 . C. 4 . D. 2 .  n3  1  3 n3  2 bằng: A. 0 . B. 3 . C. 1 . D. 2 . Câu 26: Dãy số  un  với un  3 n3  1  n có giới hạn bằng: A. 1. B. 2 . C. 1 . D. 0 . Chuyên đề giới hạn và liên tục Câu 27: Nếu L  lim n   Hội toán Bắc Nam  n2  n  1  n2  n  6  thì L bằng  B.  . A. 3 . C. 7 . 2 D. 7 1. DẠNG 2: BÀI TẬP TÍNH GIỚI HẠN DÃY SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC Câu 28: Trong các dãy số sau đây, dãy số nào có giới hạn? A. (sin n) . C. ((1)n ) . B. (cos n) . Câu 29: Trong các dãy số sau đây, dãy số nào có giới hạn khác 0? A. ((0,98)n ) . C. ((0,99)n ) . B. ((0,99)n ) . 1 D. ( ) . 2 D. ((1, 02) n ) . A. lim un  1 . 1 . Tính lim un . n3 B. lim un  0 . C. lim un  1 . D. Không đủ cơ sở để kết luận về giới hạn của dãy số (u n ) . Câu 30: Biết dãy số (u n ) thỏa mãn un  1  Câu 31: Giới hạn nào dưới đây bằng  ? A. lim(3n 2  n3 ) . C. lim(3n 2  n) . B. lim(n 2  4n3 ) . D. lim(3n3  n 4 ) . C. 0. D.  . (2n  1) 2 ( n  1) Câu 32: lim 2 bằng bao nhiêu? (n  1)(2n  1) A. 1. B. 2. Câu 33: Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào là  ? A. lim n 2  3n3  2 . n2  n C. lim 2n 2  3n . n3  3n B. lim n 3  2n  1 . n  2n 3 D. lim n2  n  1 . 1  2n Câu 34: Trong các giới hạn hữu hạn sau, giới hạn nào có giá trị khác với các giới hạn còn lại A. lim(1  n 2 sin 3n ). n3  1 C. lim n 2  sin 2 3n . n2  5 B. lim 2n  cos 5n . 5n D. lim 3n  cos n . 3n 1 Câu 35: Để tính lim( n2 1  n2  n ) , bạn Nam đã tiến hành các bước như sau: Bước 1: lim( n 2  n  n 2  1)  lim(n 1  Bước 2: lim(n 1  1 1  n 1 ) . n n 1 1 1 1  n 1  )  lim n( 1   1  ) . n n n n Bước 3: Ta có limn   ; lim( 1  1 1  1 )  0 . n n Bước 4: Vậy lim( n2 1  n2  n )  0 . Hỏi bạn Nam đã làm sai từ bước nào? A. Bước 1. B. Bước 2. C. Bước 3. D. Bước 4. C.  . D.  . Câu 36: lim( 3n  1  2n  1) bằng? A. 1. B. 0. Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam n 1  n 1 bằng? 3n  2 2 Câu 37: lim A. 0. B. 1 . 3 n3 bằng? n  n 1 B. -2. Câu 38: lim(1  2n) C.  . D.  . C.  . D.  . 3 A. 0. Câu 39: Trong các giới hạn sau, giới hạn nào là hữu hạn? C. lim( n2  n  2  n  1) . A. lim( n  1  n )n . 1 B. lim . n  2  n 1 D. lim( n2  n  1  n) . Câu 40: Trong các giới hạn sau, giới hạn nào là không hữu hạn? n2  1  n 3 A. lim 3 n . n 1  3 n C. lim B. lim( 3 1  n3  n) . Câu 41: Biết lim 3 n3  n  n D. lim( 3 n2  n3  n) . n2  4n  4n2  1  6 3 m m  , trong đó là phân số tối giản, m và n là các số 2 n n 3n2  1  n nguyên dương. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau: A. m.n  10 . C. m.n  15 . B. m.n  14 . Câu 42: Tìm lim . D. m.n  21 . 1  2.3n  6n : 2n (3n1  5) 1 . C. 1. 2 DẠNG 2: TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN A.  . B. D. 1 . 3 1 1 1 1 m Câu 43: Cấp số nhân lùi vô hạn 1,  , ,  ,…, ( )n1 ,… có tổng là một phân số tối giản . Tính 2 4 8 2 n m  2n . A. m  2n  8 . C. m  2n  7 . B. m  2n  4 . D. m  2n  5 . Câu 44: Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0, 27323232… được biểu diễn bởi phân số tối giản m ( m , n là n các số nguyên dương). Hỏi m gần với số nào nhất trong các số dưới đây? A. 542. B. 543. C. 544. D. 545. Câu 45: Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn là 2, tổng của 3 số hạn đầu tiên của nó là của cấp số nhân đó là? A. 4. B. 5. Câu 46: Phương trình 2 x  1  x 2  x3  x 4  x5  …  C. 3. D. 9 . 4 5 , trong đó x  1 , có tập nghiệm là: 4 9 . Số hạn đầu 4 Chuyên đề giới hạn và liên tục   7  97   A. S   . 24     Hội toán Bắc Nam   3  41   C. S   . 16       7  97   B. S   . 24       3  41   D. S   . 16     Câu 47: Cho tam giác đều A1 B1C1 cạnh a . Người ta dựng tam giác đều A2 B2C2 có cạnh bằng đường cao của tam giác A1 B1C1 ; dựng tam giác đều A3 B3C3 có cạnh bằng đường cao của tam giác A2 B2C2 và cứ tiếp tục như vậy. Tính tổng diện tích S của tất cả các tam giác đều A1 B1C1 , A2 B2C2 , A3 B3C3 ,… 3a 2 3 3a 2 3 . B. . C. a 2 3 . D. 2a 2 3 . 4 2 DẠNG 4: TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ CHO BỞI HỆ THỨC TRUY HỒI A. Câu 48: Cho số thực a và dãy số (u n ) xác định bởi: u1  a và un 1  1  un với mọi n  1. Tìm giới hạn 2 của dãy số (u n ) . A. a . B. a . 2 C. 1. D. 2. Câu 49: Cho dãy số (u n ) xác định bởi u1  3, 2un 1  un  1 với mọi n  1. Gọi S n là tổng n số hạng đàu tiên của dãy số (u n ) . Tìm lim S n . A. lim Sn   . C. lim S n  1. B. lim Sn   . D. lim Sn  1 . un1  un với mọi n  1. Tìm lim un . 2 5 4 C. . D. . 3 3 Câu 50: Cho dãy số (u n ) xác định bởi u1  1, u2  2, un 2  A.  . B. 3 . 2 u 1 Câu 51: Cho dãy số (u n ) xác định bởi u1  , un1  un2  n với mọi n  1. Tìm lim un . 4 2 1 1 A. lim un  . C. lim un  . B. lim un  0 . D. lim un   . 4 2 Câu 52: Cho dãy số (u n ) xác định bởi u1  1, un 1  un  2n  1 với mọi n  1. Khi đó lim A.  . B. 0. C. 1. DẠNG 5: TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ CÓ CHỨA THAM SỐ un 1 bằng. un D. 2. un1  un với mọi n  1, trong đó a và 2 b là các số thực cho trước, a  b . Tìm giới hạn của (un ) . Câu 53: Cho dãy số (u n ) được xác định bởi u1  a, u2  b, un2  A. lim un  a . C. lim un  Câu 54: Cho dãy số (u n ) với un  a  2b . 3 B. lim un  b . D. lim un  2a  b . 3 3n  m , trong đó m là tham số. Để dãy (u n ) có giới hạn hữu hạn thì: 5n  2 A. m là số thực bất kỳ. B. m nhận giá trị duy nhất bằng 3. C. m nhận giá trị duy nhất bằng 5. D. Không tồn tại số m . Chuyên đề giới hạn và liên tục Câu 55: Cho dãy số (u n ) với un  Hội toán Bắc Nam 4n  n  2 , trong đó a là tham số. Để (u n ) có giới hạn bằng 2 thì an 2  5 2 giá trị của tham số a là? A. -4. B. 2. C. 4. D. 3. Câu 56: Tìm tất cả các giá trị của tham số thực a để dãy số (u n ) với un  2n2  n  a 2n2  n có giới hạn hữu hạn. A. a  . C. a  (1; ) . D. a  1 . B. a  (;1) . Câu 57: Tìm hệ thức liên hệ giữa các số thực dương a và b để: lim( n2  an  5  n2  bn  3)  2 . A. a  b  2 . B. a  b  2 . C. a  b  4 . D. a  b  4 . Câu 58: Tìm số thực a để lim A. a  10 . an 2  1  4n  2  2. 5n  2 B. a  100 . Câu 59: Tìm số thực a để lim(2n  a  3 8n3  5)  6 . A. a  2 . B. a  4 . C. a  14 . D. a  144 . C. a  6 . D. a  8 . Câu 60: Tìm các số thực a và b sao cho lim( 3 1  n3  a n  b)  0 . a  1 a  1 a  1 a  0 A.  . B.  . C.  . D.  . b  0 b  0 b  1 b  1 DẠNG 6: TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ MÀ SỐ HẠNG TỔNG QUÁT LÀ TỔNG CỦA N SỐ HẠNG ĐẦU TIÊN CỦA MỘT DÃY SỐ KHÁC 1  2  3  …  n bằng: 2  4  6  …  2n 1 2 A. . B. . 2 3 Câu 61: lim D.  . C. 1. 1  2  22  …  2n Câu 62: lim bằng: 1  5  52  …  5n A. 0. B. 1. C. 1 1 1   Câu 63: Tìm lim (1  2 )(1  2 )…(1  2 )  ta được: 2 3 n   1 A. 1. B. . 2 Câu 64: lim 2 . 5 D. 5 . 2 C. 0. D. 2. C. 1. D. n! bằng: (1  1 ).(1  22 )…(1  n2 ) 2 B.  . A. 0. n Câu 65: Cho dãy số (u n ) . Biết  uk  k 1 A. 1. B. 1 3n 2  9n với mọi n  1. Tìm nun 2 1 . 2 C. 0. 1 . 2 n u k 1 k . D.  . Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam 1  3  3  …  3 bằng: 5k  2 k 1 2 n Câu 66: lim  k A. 0. B. 17 . 100 C. 17 . 200 D. 1 . 8 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ A. LÝ THUYẾT I. Định nghĩa giới hạn của hàm số tại một điểm 1. Giới hạn hữu hạn tại một điểm Định nghĩa 1: Cho  a; b  là một khoảng chứa điểm x0 và hàm số y  f  x  xác định trên  a; b  hoặc trên f  x   L  với mọi dãy số  xn  mà  a; b  x0 . xlim x xn   a; b x0 , xn  x0 ta có lim f  xn   L. 0 Nhận xét: – Giới hạn của hàm số được định nghĩa thông qua khái niệm giới hạn của dãy số. – Hàm số không nhất thiết phải xác định tại x0 . Định nghĩa 2 (Giới hạn một bên): Cho hàm số y  f  x  xác định trên khoảng  x0 ; b  . lim f  x   L  với mọi dãy số  xn  mà x  x0 x0  xn  b, xn  x0 ta có lim f  xn   L. Cho hàm số y  f  x  xác định trên khoảng  a; x0  . lim f  x   L  với mọi dãy số  xn  mà x  x0 a  xn  x0 , xn  x0 ta có lim f  xn   L. Định lí 1 lim f  x   L  lim f  x   lim f  x   L. x  x0 x  x0 x  x0 2. Giới hạn vô cực tại một điểm Định nghĩa 3 Cho  a; b  là một khoảng chứa điểm x0 và hàm số y  f  x  xác định trên  a; b  hoặc trên f  x      a; b  x0 . xlim x với mọi dãy số  xn  mà xn   a; b x0 , xn  x0 ta có f  xn   . 0 Lưu ý: Các định nghĩa lim f  x   ; lim f  x   ; lim f  x   ; lim f  x   ; lim f  x    được x  x0 x  x0 x  x0 phát biểu hoàn toàn tương tự. 3. Lưu ý: a) f  x  không nhất thiết phải xác định tại điểm x0 . x  x0 x  x0 Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam b) Ta chỉ xét giới hạn của f  x  tại điểm x0 nếu có một khoảng  a; b  (dù nhỏ) chứa x0 mà f  x  xác định trên  a; b  hoặc trên  a; b x0. Chẳng hạn, hàm số f  x   x có tập xác định là D  0;   . Do đó ta không xét giới hạn của hàm số tại điểm x0  0 , do không có một khoảng  a; b  nào chứa điểm 0 mà f  x  xác định trên đó cả. Tương tự vậy ta cũng không xét giới hạn của f  x  tại mọi điểm x0  0. c) Ta chỉ xét giới hạn bên phải của f  x  tại điểm x0 nếu có một khoảng  x0 ; b  (khoảng nằm bên phải x0 ) mà f  x  xác định trên đó. Tương tự, ta chỉ xét giới hạn bên trái của f  x  tại điểm x0 nếu có một khoảng  a; x0  (khoảng nằm bên trái x0 ) mà f  x  xác định trên đó. Chẳng hạn, với hàm số f  x   x 1 , tại điểm x0  1 , ta chỉ xét giới hạn bên phải. Với hàm số g  x   1  x , tại điểm x0  1 , ta chỉ xét giới hạn bên trái. d) lim f ( x )    lim f ( x )  lim f ( x )   x  xo xx xx o o lim f ( x )    lim f ( x )  lim f ( x )   x  xo xx o xx o II. Định nghĩa giới hạn của hàm số tại vô cực 1. Giới hạn hữu hạn tại vô cực Định nghĩa 4 Cho hàm số y  f ( x ) xác định trên khoảng  a;   . lim f ( x)  L  với mọi dãy số x , x n x  n  a và xn   ta đều có lim f ( x)  L . LƯU Ý: Định nghĩa lim f ( x )  L được phát biểu hoàn toàn tương tự. x  2. Giới hạn vô cực tại vô cực Định nghĩa 5 Cho hàm số y  f ( x ) xác định trên khoảng  a;   . lim f ( x )    với mọi dãy số x , x n x  n  a và xn   ta đều có lim f ( x)   . LƯU Ý: Các định nghĩa: lim f ( x)  , lim f ( x)  , lim f ( x)   được phát biểu hoàn toàn tương x  x  tự. III. Một số giới hạn đặc biệt a) lim x  xo . x  xo b) lim c  c; lim c  c ( c là hằng số ) x  xo x  c  0 ( c là hằng số, k nguyên dương ). x  x k c) lim x  Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam d) lim x   với k nguyên dương; lim x   nếu k là số nguyên lẻ; lim x k   k k x  x  x  nếu k là số nguyên chẵn. Nhận xét: lim f ( x)    lim  f ( x)   . x  x  IV. Định lí về giới hạn hữu hạn Định lí 2 Giả sử lim f ( x )  L và lim g( x )  M . Khi đó x  xo x  xo a) lim  f ( x )  g( x )  L  M . x  xo b) lim  f ( x )g( x )  LM ; lim cf ( x )  cL với c là một là một hằng số. x  xo x  xo f (x) L  ( M  0) . g( x ) M c) lim x  xo Định lí 3 Giả sử lim f ( x )  L . Khi đó x  xo a) lim f ( x )  L . x  xo b) lim 3 f ( x)  3 L . x  xo c) Nếu f ( x)  0 với mọi J xo  , trong đó J là khoảng nào đó chứa x o , thì L  0 và lim x  xo f ( x)  L . LƯU Ý: Định lí 2, định lí 3 vẫn đúng khi thay x  xo bởi x  x o , x  x o . V. Quy tắc về giới hạn vô cực Các định lí và quy tắc dưới đây được áp dụng cho mọi trường hợp: x  xo , x  x o , x  x o , x   và x   . Tuyên nhiên, để cho gọn, ta chỉ phát biểu cho trường hợp x  xo . Quy tắc 1 ( Quy tắc tìm giới hạn của tích ). L  lim f ( x ) x  xo lim g( x ) x  xo L0 L0     lim  f ( x )g( x ) x  xo     STUDY TIP: Giới hạn của tích hai hàm số – Tích của một hàm số có giới hạn hữu hạn khác 0 với một hàm số có giới hạn vô cực là một hàm số có giới hạn vô cực. Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam – Dấu của giới hạn theo quy tắc dấu của phép nhân hai số. Quy tắc 2 (Quy tắc tìm giới hạn của thương) L  lim f ( x ) Dấu của g( x ) lim g( x ) x  xo x  xo L L0 f (x) x  xo g( x ) 0   lim  0 Tùy ý + 0 + L0 ( Dấu của g  x  xét trên một khoảng K nào đó đang tính giới hạn, với x  xo ).   0  , ,0. và    . 0  VI. Các dạng vô định: Gồm B. Các dạng toán về giới hạn hàm số Dạng 1: Tìm giới hạn xác định bằng cách sử dụng trực tiếp các định nghĩa, định lí và quy tắc Phƣơng pháp: – chọn hai dãy số khác nhau  an  và  bn  thỏa mãn a n và bn thuộc tập xác định của hàm số y  f ( x) và khác x0 ; an  x0 ; bn  x0 . – Chứng minh lim f  an   lim f bn  hoặc chứng minh một trong hai giới hạn này không tồn tại. – Từ đó suy ra xlim f ( x ) không tồn tại. TH x  x0 hoặc x   chứng minh tương tự. x o Ví dụ 1: Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau: B. lim sin x  1 A. lim sin x  1 x  x  C. lim sin x  0 x  Đáp án D Lời giải Xét dãy số ( xn ) với xn   2  2n .   Ta có xn   và limsin xn  limsin   2n   1 . 2   Lại xét dãy số ( yn ) với yn    2 1  2n .    Ta có yn   và limsin yn  limsin    2n   1 .  2   2 Từ 1 và  2 suy ra lim sin x không tồn tại. Vậy chọn đáp án D. x  D. lim sin x không tồn tại. x  Chuyên đề giới hạn và liên tục Ví dụ 2: Cho hàm số f ( x)  Hội toán Bắc Nam x 1 , lim f ( x) bằng: x 3 2 x 2 A.  . B. 0 . C. 5 3 . 3 D. Đáp án C. Lời giải Hàm số đã cho xác định trên  0; . Giải sử ( xn ) là một dãy số bất kỳ, thỏa mãn xn  0, xn  3 và xn  3 khi n  . Ta có lim f ( xn )  lim lim f ( x)  x 3 xn2  1 32  1 5 3 ( áp dụng quy tắc về giới hạn hữu hạn của dãy số). Do đó   3 2 xn 2 3 5 3 . 3 Ví dụ 3: Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây ? A. lim x2 1. x2 B. lim C. lim x2  1 . x2 D. Hàm số f  x   x 3 x 3 x 3 x2  5. x2 x2 không có giới hạn khi x  3 . x2 Đáp án B Lời giải Hàm số f  x   x2 xác định trên các khoảng  ;2 và  2;   . Ta có 3   2;   . x2 lim f  x   f  3  x 3 Ví dụ 4: 3 2  5. 3 2 lim  2 x3  5 x  bằng: x  A. 2 . B. 3 . C.  . D.  . Đáp án C. Lời giải 5   Ta có 2 x3  5 x  x3  2  2  . x   5  5    Vì lim x3   và lim  2  2   2  0 nên lim x3  2  2    . x  x  x  x  x    5   Vậy theo Quy tắc 1, lim  2 x3  5 x   lim x3  2  2    . Do đó chọn C. x  x  x   Ví dụ 5: lim  3x 4  2 x 2  1 bằng: x  1 . 2 Chuyên đề giới hạn và liên tục A.  . B.  . Hội toán Bắc Nam C. 3. D. 2. Đáp án A Lời giải   Cách 1: Theo nhận xét trên thì lim 3x 4  2 x 2  1   ( x  , k chẵn và ak  0 ). Thật x  2 1   vậy, ta có 3x 4  2 x 2  1  x 4  3  2  4  . x x   2 1   Vì lim x4   và lim  3  2  4   3  0 nên lim 3x 4  2 x 2  1   . x  x  x  x x     Ví dụ 6: Cho hàm số f  x   x2  2 x  5 . Khẳng định nào dưới đây đúng ? A. lim f  x    . B. lim f  x    . C. lim f  x   1. D. lim f  x  không tồn tại. x  x  x  x  Đáp án B. Lời giải Hàm số f  x   x2  2 x  5 xác định trên . Có thể giải nhanh như sau : Vì x2  2 x  5 là một hàm đa thức của x nên có giới hạn tại vô cực. Mà x2  2x  5  0 với mọi x nên giới hạn của f  x   x2  2x  5 tại  chắc chắn là  . Thật vậy, ta có 2 5  2 5 x 2  2 x  5  x 2 1   2   x 1   2 . x x  x x  Vì lim x   và lim 1  x  x  2 5   1  0 nên lim x 2  2 x  5   . x  x x2 Ví dụ 7: Giới hạn của hàm số f  x   x2  x  4 x 2  1 khi x   bằng: A.  . B.  . C. 1. Đáp án A. Lời giải Ta có: 1 1 1  1  x 2  x  4 x 2  1  x 2 1    x 2  4  2   x 1   x 4  2 x  x x  x   1 1   x  1   4  2  x x   D. 3. Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam  1 1  Mà lim x   và lim  1   4  2   1  2  1  0 . x  x  x x   Vậy lim x  Ví dụ 8: lim x  A.    1 1  x 2  x  4 x 2  1  lim  x  1   4  2     . x  x x      2017 bằng: 3×3  5 x5 2017 . 3 C.  . B.  . D. 0. Đáp án D. Lời giải   2017 0. x  3×3  5 x5 Vì lim 3×3  5 x5   nên theo quy tắc 2, lim x  Ví dụ 9: Giới hạn bên phải của hàm số f  x   A.  . B.  . 3x  7 khi x  2 là x2 C. 3. D. 7 . 2 Đáp án B. Lời giải 3x  7 xác định trên  ;  2 . x2 Hàm số f  x   Ta có lim  x  2   0, x  2  0 với mọi x  2 và lim  3x  7   3.2  7  1  0 . Do đó theo x 2 x 2 quy tắc 2 thì lim x 2 3x  7   . x2 Ví dụ 10: Xét bài toán “Tìm lim x 2 3x 2  x  1 ”, bạn Hà đã giải như sau: 2 x2  5x  2   Bước 1: Vì lim 2 x 2  5 x  2  0 . x 2 Bước 2: 2 x2  5x  2  0 với x  2 và x đủ gần 2,   Bước 3: lim 3x 2  x  1  13  0 x 2 Bước 4: nên theo quy tắc 2, lim x 2 3x 2  x  1   . 2 x2  5x  2 Hỏi lời giải trên của bạn Hà đã sai từ bước thứ mấy ? A. Bước 1. B. Bước 2. C. Bước 3. Đáp án B Lời giải D. Bước 4. Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam Xét dấu biểu thức g  x   2x  5x  2 ta thấy g  x   0 với mọi x 1;2 . 2 Vậy lời giải sai từ bước 2. (Lời giải đúng cho ra kết quả lim x 2 Ví dụ 11: Giới hạn lim x 4 1 x  x  4 2 bằng: B. 3 . A. 0. 3x 2  x  1   ). 2 x2  5x  2 C.  . D.  . Đáp án C. Lời giải Ta có lim 1  x   3  0, lim  x  4   0 và  x  4   0 với mọi x  4 nên theo quy tắc 2, 2 x 4 lim x 4 1 x  x  4 2 x 4 2   . Vậy chọn đáp án C. 5 x  2 khi x  1 Ví dụ 12: Cho hàm số f  x    2 . Khẳng định nào dưới đây là đúng ?  x  3 khi x  1 A. lim f  x   7 . B. lim f  x   2 . C. lim f  x   7 . D. lim f  x   7 . x 1 x 1 x 1 x 1 Đáp án D. Lời giải Ta có lim f  x   lim  5x  2  5.1  2  7 . Vì chỉ có một đáp án đúng nên chọn đáp án D. x1 x 1  x 2  5 khi x  3  Ví dụ 13: Cho hàm số f  x    x 2  5 khi x  3   x2 1  2 . Trong biểu thức (2) ở trên, cần thay số 5 bằng số nào để hàm số f  x  có giới hạn khi x  3 ? A. 19. B. 1. C. 1. D. Không có số nào thỏa mãn. Đáp án C. Lời giải Hàm số đã cho các định trên 2 . Cách 1: Ta có lim f  x   lim x 2  5  32  5  2 . x 3 Đặt f  x   x 3 x2  m khi x  3 ( m là tham số, m  0 ). x2 Chuyên đề giới hạn và liên tục Ta có lim f  x   lim  x 3 x 3 Hội toán Bắc Nam x m 3 m 9m   . x2 3 2 5 2 2 Để hàm số f  x  có giới hạn khi x  3 thì lim f  x   lim f  x   x 3 Cách 2: Sử dụng MTCT tính giá trị biểu thức x 3 9m  2  m  1 . 5 X 2  5 khi X  3 được kết quả bằng 2. Sử X2 A khi X  3 và lần lượt nhận các giá trị bằng 19,1 và dụng MTCT tính giá trị biểu thức X 2 1. Ta thấy khi A  1 thì biểu thức nhận giá trị bằng 2. Vậy chọn đáp án C. Ví dụ 14: Cho hàm số f  x  có đồ thị như hình dưới đây: Quan sát đồ thị và cho biết trong các giới hạn sau, giới hạn nào là  ? A. lim f  x  . x  B. lim f  x  . x  C. lim  f  x  . x  3 D. lim f  x  . x 3 Đáp án C. Lời giải Khi x  3 , đồ thị hàm số là một đường cong đi lên từ phải qua trái. Do đó lim  f  x    . x  3 Tương tự như vậy ta có lim f  x   lim f  x   0 ; lim f  x    . x x x 3 Do đó chọn đáp án C. DẠNG 2: TÌM GIỚI HẠN VÔ ĐỊNH DẠNG 0 0 1. Bài toán: Tính lim x  x0 f  x khi lim f  x   lim g  x   0 , trong đó f  x  và g  x  là các đa thức hoặc căn thức. x  x0 x  x0 g  x Phương pháp giải (tự luận) Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam  Phân tích tử và mậu thành tích các nhân tử và giản ước. Cụ thể, vì lim f  x   lim g  x   0 nên x  x0 x  x0 f  x  và g  x  cùng có nghiệm x  x0 . Do đó ta phân tích được f  x    x  x0  A x  và g  x    x  x0  B  x  . Khi đó ta có: lim x  x0 f  x  x  x0  A  x   lim A  x  và công việc còn lại  lim g  x  xx0  x  x0  B  x  xx0 B  x  A x . B  x là đi tính lim x  x0  Nếu f  x  và g  x  có chứa căn thức thì có thể nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp trước khi phân tích chúng thành tích để giản ước. Ví dụ 1. Tính lim x 2 x2  4 . x 2  3x  2 A. 1. C. 2 . B. 4. D. 4 . Lời giải Ta có lim x 2  x  2 x  2  lim x  2  2  2  4 . x2  4  lim 2 x  3x  2 x2  x  2  x  1 x2 x  1 2  1 Ví dụ 2. Tính giới hạn lim x 1 xm  xn  m, n  * , ta được kết quả: x 1 B. m  n . A.  . C. m . D. 1 . Lời giải Ta có lim x 1  xm 1 xn 1  xm  xn  lim   . x 1 x 1  x 1 x 1   x 1  x xm 1 Lại có lim  lim x 1 x  1 x 1 m1  x m2  …  x  1 x 1  lim  x m1  x m2  …  x  1  m . x 1 xn 1  n. Tương tự: lim x 1 x  1  x m  1 x n 1  xm  xn x m 1 x n 1  lim   lim  mn. Vậy lim   lim x 1 x 1 x 1  x 1 x 1  x 1 x 1 x 1 x 1 Ví dụ 3. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau: A. lim x32  0. x  3x  2 B. lim x3 2   . x  3x  2 C. lim x3 2   . x  3x  2 D. lim x3 2 không tồn tại. x  3x  2 x 1 x 1 3 3 x 1 x 1 3 3 Chuyên đề giới hạn và liên tục Phân tích: Vì lim x 1  Hội toán Bắc Nam  x 1  x  3  2 là 0 . Tuy 0 x  3  2 thành nhân tử mà phải nhân cả tử và mẫu với biểu nhiên ta chưa thể phân tích ngay thức liên hợp của  x  3  2  0 và lim x3  3x  2  0 nên đây là dạng vô định x3 2. Lời giải Cách 1: Ta có x3 2  x  3x  2 3  Mà lim x 1       x  3  2 x  3  2   x  3x  2  x3 2 3 x 1 x  3  2  x  1  x  2  1 x  3  2  x  1 x  2  Do đó lim x 1 Suy ra lim x 1      ; lim x 1 1     1 x  3  2  x  1 x  2  1 x  3  2  x  1 x  2  .   . không tồn tại. x  3  2  x  1 x  2  x3 2 không tồn tại. Vậy chọn đáp án D. x  3x  2 3 Ví dụ 4. Giới hạn lim x 1 2 x  1  3 3x  2 bằng: x 1 C.  . B. 0 . A. 1 .  2 D. 1 . 2 Lời giải Ta có 2 x  1  3 3x  2 2 x  1  1 1  3 3x  2   x 1 x 1 x 1    2x  2  2 x  1  1  x  1  x 1 2 x  1  3 3x  2  0. x 1 3  3x  2  3  3x  22   x  1 2 3  . 3 2 x  1  1 1  3x  2  3  3x  22    2 3   0. Tac có: lim  x 1  2 x  1  1 2  3 3 1  3x  2   3x  2    Do đó lim 1 3  3x Chuyên đề giới hạn và liên tục Ví dụ 5. Tính giới hạn lim 3 Hội toán Bắc Nam 6x  5  4x  3  x  1 x 1 2 . C.  . B. 2 . A. 0 . D.  . Lời giải Đặt t  x 1 thì x  t  1, lim t  0 và x 1 3 6x  5  4x  3  x  1  2  3 6t  1  8t 3  12t 2  6t  1 2 2 t 2  3  6t  1   2t  1 . 3 6t  1   2t  1    8t  12  3 3 Vậy lim 3 6t  1   2t  1  2t  1  4t  1 6t  1  4t  1   2 t2 t2 t  6t  1 6x  5  4 x  3  x  1 x 1 2 2   2t  1 . 3 6t  1   2t  1  6t  1 t 0 3 3 Vậy lim 2   2t  1 . 3 6t  1   2t  1 6x  5  4 x  3 x 1  x  1 2 2  4t  1   4t  1  t 2 2t  1  4t  1 4 . 2t  1  4t  1 2  4 4 12   2.  4 ; lim t 0 2t  1  4t  1 2 3  4  2  2 . x2   a  2 x  a  1 Ví dụ 6. Giới hạn của hàm số f  x   khi x  1 bằng x3  1 a A.  . 3 B. a . 3 C. a  2 . 3 D. 2a . 3 Lời giải lim x 1 x2   a  2 x  a  1  x  1 x  a  1  lim x  a  1   a  lim 3 x 1 x  1 x 2  x  1 x 1 x 2  x  1 x 1 3    Ví dụ 7. Giả sử lim x 0 A. 6 .  1  ax  1  L . Hệ số a bằng bao nhiêu để L  3 ? 2x C. 12 . B. 6 . D. 12 . Lời giải Ta có lim x 0    8t  12 4  .  lim  2 2 t 0  3 3 2t  1  4t  1    6t  1   2t  1 . 6t  1   2t  1  8t  12 Mà lim 2   4t  1  ax  1  lim x 0 2x 2x  ax  1  ax  1  lim x 0 2  a  1  ax  1  a 4 Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam a a Vậy L  . Do đó L  3   3  a  12 . Đáp án đúng là D. 4 4 2. Các i toán iên quan đến giới hạn đặc iệt Trong sách giáo khoa đại số và giải tích có nêu một giới hạn đặc biệt dạng 0 0 sin x  1. Sau đây ta xét một số ví dụ áp dụng kết quả này. x 0 x Đó là lim ax bằng x 0 sin bx a C. . b Ví dụ 8: Cho a và b là các số thực khác 0. Khi đó lim B. b . A. a . D. b . a Lời giải Đáp án C. ax bx a a bx  lim .  .lim x 0 sin bx x 0 sin bx b b x0 sin bx Ta có lim bx t  lim 1 x 0 sin bx x 0 sin t Đổi biến t  bx ta thấy khi x  0 thì t  0 . Do đó lim Vậy lim x 0 ax a  . sin bx b x2 Ví dụ 9: Cho số thực a khác 0. Khi đó lim bằng x 0 1  cos ax A. 2 . a2 B. 2 . a 2 C. 2a . D. 2a . Lời giải Đáp án A Ta có: 2   ax 2  ax        x2 x2 2 2 2 2 2   lim  lim  lim . 2  2 lim  2   2 .12  2 . x 0 1  cos ax x 0 ax x0  2 ax a  a x0 ax a  sin  a 2sin 2 sin   2 2 2     sin x  sin a bằng xa xa Ví dụ 10: lim A. tana . B. cot a . C. sin a . Lời giải D. cosa . Đáp án D sin x  sin a  lim x a x a xa Ta có lim 2cos xa xa xa   sin sin  2 2  lim 2 .cos x  a    x a xa xa 2   2. 2 2   Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam xa 2  1 (xem STUDY TIP trên), limcos x  a  cos a . Mà lim x a x a xa 2 2 sin sin x  sin a  cos a . Do đó chọn đáp án x a xa Vậy lim Ví dụ 11: Biết lim x8 D. x  1  3 x  19 a a  trong đó là phân số tối giản, a và b là các số nguyên 4 b b x 8 2 dương. Tổng a  b bằng A. 137. B. 138. C. 139. Lời giải D. 140. Đáp án C. Với những bài dạng này, s khó sử dụng MTCT để tìm đáp án đúng. Đặt t  x  8 . Suy ra x  t  8 . lim t  0 và x8 x  1  x  19 t  9  t  27  4  4 x8 2 t  16  2 3 1  3 2 3 t t  33 1 9 27 t 24 1  2 16 3 1 t t 1 3 1  1 9 27  t t  g t  t 4 1 16  1 t x  1  3 x  19  lim g (t ) . p dụng ví dụ 3 Ta có: Do đó lim 4 x 8 t 0 x 8 2 t t t 1 1 1 3 1 4 1 1 1 1 1 1 1 9 27 16 lim  9  ;lim  27  ;lim  16  t 0 t 2 18 t 0 t 3 81 t 0 t 4 64 1 1  3 18 81 112 Vậy lim g (t )  .  t 0 1 2 27 64 1 Do đó lim x8 x  1  3 x  19 112  . Vậy a  112, b  27 và a  b  139 4 27 x 8 2 *** Tính giới hạn vô định dạng Ví dụ 12: 0 bằng đạo hàm (Quy tắc ‟Hôpital). 0 x3  3x  1 bằng: x  5  2x Giới hạn lim Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam 3 B. 2 A. 0 C.  D.  Đáp án D x3  3x  1 1   lim x 2   Theo kết quả đã nêu ở trên thì lim x  5  2x 2 x Ví dụ 3 : Trong các giới hạn sau, giới hạn nào bằng  ? x5  x3  7 lim 3 2 A. x 2 x  3x  1 Đáp án C 1  3x 2  x3 lim 2 B. x 4 x  1 x3  3x 4  5 lim 3 C. x x  x  1 3x 2  x 6 lim 2 D. x  1  x  5 x Lời giải Cách 1 : Theo cách ghi kết quả ở trên thì x5  x3  7 1 1  3x 2  x3 1 2  lim x   ; lim   lim x 2  ; 3 2 2 x  2 x  3 x  1 x  2 x 4x 1 4 x lim x3  3x 4  5 3x 2  x 6 1  3 lim x   ; lim  lim x 4  ; x  x  x 3  1 x  x  1  x  5 x 5 5 x lim Cách 2 : sử dụng MTCT tính lần lượt các giới hạn x3  3x 4  5  3 lim x   nên dừng lại và chọn đáp án C Khi đến C thấy lim x  x  x 3  1 x  Ví dụ 4 : Giới hạn lim x  A. 2 Đáp án B 4 x2  x  1 bằng : x 1 B. -2 C. 1 D. -1 Lời giải : Cách 1 : 1 1 1 1 1 1 x 4  2 x 4   2  4  2 4x  x 1 x x  lim x x  lim x x  2  lim x  x  x  1 x 1 x 1 x 1 1 x 2 lim x  Vậy chọn đáp án B Cách 2 : Sử dụng MTCT Ví dụ 5 : Giới hạn lim x  1 2 Đáp án B A.  x2  x  4 x2  1 bằng : 2x  3 B. 1 2 C.  ời giải : D.  Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam Cách 1 : Theo ví dụ đã trình bày ở dạng thì lim ( x  x  4 x  1)   2 2 x  Ta đưa x ra ngoài căn rồi chia cả tử và mấu cho x. Cụ thể như sau : 1 1 x 1  x 4  2 x2  x  4×2  1 x x lim  lim x  x  2x  3 2x  3 1 1 1 1 x 1  x 4  2  1  4  2 x x  lim x x 1  lim x  x  3 2x  3 2 2 x Vậy đáp án đúng là B Cách 2 : Sử dụng máy tính tính giá trị hàm số tại x  1010 ta được kết quả như hình bên. Vậy chọn đáp án B Cách 3 : Ta có thể giải bài này bằng phương pháp loại trừ như sau : 2 Vì lim ( x 2  x  4 x 2  1)  ; lim (2 x  3)   nên giới hạn cần tìm phải mang dấu x  x  dương. Mặt khác bậc tử và bậc mẫu bằng nhau nên giới hạn cần tìm là hữu hạn. Đáp án cần tìm là đáp án B 2x 1 a  Ví dụ 6 : Biết lim x trong đó a, b là các số nguyên dương. Giá trị nhỏ nhất của tích 3 2 x  3x  x  2 b ab bằng : A. 6 Đáp án C B. 12 C. 18 D. 24 ời giải : 2x  1 2x  x2 6  lim  3 2 3 2 3x  x  2 x 3x  x  2 3 3 Ta có : lim x x  a 6  Dễ dàng suy ra được tích của ab là 8. b 3 Chú ý : Nếu sử dụng MTCT tính giá trị hàm số tại x  1010 thì ta thu được kết quả như hình bên. Do đó, nếu không có kiến thưc về giới hạn hàm số, rất khó tìm ra được đáp án đúng nếu chỉ dùng MTCT. Ngược lại nếu có kiến thức vững vàng, bạn đọc s nhanh chóng tìm ra đáp án, thậm chí là trong chớp mắt ! Vì vậy, tôi xin nhắc lại, tôi khuyến nghị các bạn đọc nên giải bài tập theo kiểu tự luận một cách căn cơ để có thể đối mặt với các bài toán „‟chống MTCT‟‟ STUDY TIP Vậy Dạng 4 : Dạng vô định 0. Bài toán : Tính giới hạn lim [u( x)v( x)] khi lim [u( x)]  0 và lim [v( x)]   x  x0 x  x0 x  x0 0 u ( x) để đưa về dạng hoặc x  x0 1 0 v( x) Phương pháp : Ta có thể biến đổi lim [u(x)v( x)]  lim x  x0  u ( x) để đưa về dạng . x  x0 1  v( x) lim [u(x)v( x)]  lim x  x0 Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam Tuy nhiên, trong nhiều bài tập, ta chỉ cần biến đổi đơn giản như đưa biểu thức vào trong/ ra ngoài dâu căn, quy đồng mẫu thức …. à đưa được về dạng quen thuộc. 1 1  1) bằng : Ví dụ 1 : Giới hạn lim ( x 0 x x  1 A. 0 Đáp án B B. -1 Phân tích : Ta có lim x 0 D.  C. 1 1 1  ; lim(  1)  0 nên chưa có thể áp dụng các định lí, qui tắc để  x 0 x  1 x tính giới hạn. ời giải : 1 1 1  ( x  1) x 1  1)  lim  lim  lim  1 Cách 1 : Ta có lim ( x 0 x x  1 x 0 x  0 x  0 x( x  1) x( x  1) x 1 Cách 2 : Sử dụng MTCT tính giá trị hàm số tại 0,00000001 ta được kết quả như hình bên. Do 1 1  1)  1 đó chọn đáp án B, tức lim ( x 0 x x  1 STUDY TIP Ví dụ 2 : Giới hạn lim ( x  2) x2 A.  x bằng : x 4 2 B.  C. 0 D. 1 Đáp án C Phân tích : Vì lim ( x  2)  0; lim x2 x2 x   nên chưa có thể áp dụng các định lý và qui tắc x 4 2 để tính giới hạn. ời giải : x ( x  2)2 x ( x  2) x   2 2 x 4 x 4 x2 x ( x  2) x  lim  0 . Vậy chọn đáp án C Do đó lim ( x  2) 2 x 2 x  4 x 2 x2 Cách 2: Sử dụng MTCT 2x 1 Ví dụ 3: Giới hạn lim ( x  1) bằng: x  5 x3  x  2 Cách 1 : Với mọi x  2 ta có : ( x  2)  A. 2 2  B. 10 5  C. 5 5 Đáp án B Phân tích: Ví dụ tương tự đã được nghiên cứu trong phần dạng vô định D.  2   2x 1 ( x  1)  ; lim  0 nên giới hạn này cũng có thể coi như dạng Tuy nhiên vì xlim  x  5 x 3  x  2 0. ời giải Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam Cách : Với x  1 ta có x  1  0 nên x  1   ( x  1) . Do đó 2 2x 1 ( x  1)2 (2 x  1) 10   lim  3 3 x  x  5x  x  2 5x  x  2 5 Vậy chọn đáp án B 10 Cách 2: Sử dụng MTCT. Tính giá trị hàm số tại x  10 ta được kết quả như hình bên. So sánh các đáp số A, B, C, D ta chọn đáp án đúng là B. STUDY TIP 3 2 2 2 Ta chỉ quan tâm đến lũy thừa bậc cao nhất là x . Hệ số của x trong ( x  1) là 1 do lim ( x  1)  x 1 2  x2  2x  1 . Hệ số của x trong 2x + 3 2 là 2 nên hệ số của x trên tử là 1 .2 . Ở đây 3 không nhất thiết phải khai triển tích thành đa thức để tìm hệ số của x . 1 (xsin ) bằng Ví dụ 4: Giới hạn xlim  x A. 0 C.  B. 1 D. Không tồn tại Đáp án B 1 1  0 nên lim sin  0 . Ta có dạng 0. . ời giải như sau : x  x x ời giải : 1 sin 1 x ( x sin )  lim Cách 1 : Ta có : xlim  x  1 x x 1 sint 1 1 t  0 thì lim ( x sin )  lim Đặt t  và xlim x  x   x t x Cách 2: Sử dụng MTCT ( ưu ý chuyến máy về chế độ Radian) STUDY TIP 0 sinx 1 Ở ví dụ 4 ta đã chuyển dạng 0. thành do ta liên tưởng đến giới hạn đặc biệt lim x  0 0 x  (  x)tanx bằng Ví dụ 5: Giới hạn lim    x   2 Phân tích: Vì xlim  2 A. 1 Đáp án A C.  B. 0 D. Không tồn tại  s inx (  x)  0; lim  tanx= lim    nên ta có dạng 0. Phân tích: vì lim        x   2 x   x   cos x 2 2 2 ời giải : Chuyên đề giới hạn và liên tục Cách 1 : Đặt t   2  x thì x  Hội toán Bắc Nam   t , lim  t  0 và  2   x   2  sin(  t ) t 2 (  x) tan x  t tan(  t )  t  cos t . Do đó  2 2 sin t cos(  t ) 2  t lim  (  x) t anx= lim cost  1 t  o   sin t x   2   2 Cách 2 : Sử dụng MTCT STUDY TIP lim  tanx=+; lim  tanx=+ . ưu ý để tránh nhầm lẫn giữa hai giới hạn này     x   2 x   2 Dạng 5 : Dạng    u( x)  v( x)] khi lim u( x)   và limv( x)   Hoặc tính Bài toán : Tính xlim[  x0 x  x0 x  x0 lim[u( x)  v( x)] khi lim u( x)   và limv( x)   x  x0 x  x0 x  x0 Phương pháp : Nhân hoặc chia với biểu thức liên hợp (nếu có căn thức) hoặc qui đồng để đưa về cùng một phân thức ( nếu chứa nhiều phân thức). Ví dụ 1 : Giới hạn xlim    x2  x  x2  1 bằng 1 2 Đáp án A A. B. 1 4 C.  D.  Lời giải : Cách 1: x 2  x  ; lim x 2  1   nên bài này thuộc dạng    . Tương Phân tích: Ta thấy xlim  x  tự như giới hạn dãy số, ta nhân chia với biểu thưc liên hợp. Lời giải cụ thể như sau: Ta có: xlim    x 2  x  x 2  1  lim x  x 1 x2  x  x2  1 1  lim x  1 1 x 1 1  1 2 x x  Cách 2: Sử dụng MTCT Ví dụ 2: Giới hạn xlim  2 A. 3 Đáp án D   9 x2  x  1  3x bằng  B. 2 3 1 C. 6  D. 1 6 ời giải: 9 x  x  1  ; lim (3x)   nên bài này thuộc dạng vô Phân tích: Ta có xlim  x  2 1 2 Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam định    (mặc dù biểu thức của hàm số lấy giới hạn có hạng tổng). Ta tiến hành nhân chia với biểu thức liên hợp. Lời giải cụ thể như sau: Ta có: lim   9 x 2  x  1  3x  lim 1  lim x  1 x 1 1  9  2 3 x x  x 1 9 x 2  x  1  3x  lim x 1 1 1  x 9   2  3x x x 1 1  . Vậy chọn đáp án D. 3  3 6 Cách 2: Sử dụng MTCT tính giá trị hàm số tại x  1010 ta được kết quả như hình bên. Sử 1 dụng ki thuật tìm dạng phân số của một số thập phân vô hạn tuần hoàn ta được 0,1 6   6 (xem lại phần giới hạn dãy số). Vậy chọn đáp án D. Studytip: Ví dụ 3. Giới hạn lim x A.   4 x2  3x  3 8×3  2 x2  1 bằng: 13 24 B. 7 12 C.  13 24 D.  7 12 Lời giải Cách 1: Phân tích: Vì lim 4 x 2  3x  ; lim 3 8 x3  2 x 2  1   nên đấy cũng là dạng vô định   . Tuy x  x  nhiên vì là hiệu của hai căn thức không cùng bậc nên ta chưa thể nhâ chia với biểu thức liên hợp luôn được. Nhận thấy x  0 thì hợp. Với x  0 :  4 x 2  3x  3 8 x 3  2 x 2  1  3x 4 x 2  3x  2 x Do đó lim x 4×2  3 8×3  2x nên ta thêm bớt 2x rồi nhân chia liên   2    4 x 2  3x  2 x  2 x  3 8 x 3  2 x 2  1 1 x2 2 1 2 1  4  2 8   3  3 8   3  x x x x   3 4 x 2  3x  3 8 x 3  2 x 2  1  2  Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam  1  2 2 3  x  lim   2 x   4  3  2 4  23 8  2  1  3 8  2  1     x x x3 x x3      3 2 7    2  2  4  4  4  12 .    Do đó chọn B. Cách 2: Sử dụng MTCT tính giá trị hàm số tại x  1010 ta được kết quả như hình bên. Sử dụng ki thuật tìm dạng phân số của một số thập phân vô hạn tuần hoàn ta được 0,58 3  7 . 12 (xem lại phần giới hạn dãy số). Vậy chọn đáp án D. Studytip: Lƣu ý: Ta xem lại một Ví dụ đã trình bày ở dạng như sau: Ví dụ 4. Giới hạn của hàm số f  x   x 2  x  4 x 2  1 khi x  bằng: A.  B.  C. 1 D. 3 Phân tích: Ví dụ này cũng thuộc dạng    nhưng lại không phải là dạng vô định. Bằng các định lí và quy tắc, ta tính được giới hạn hàm số mà không cần phải nhân chia với biểu thức liên hợp. Ta xem cách giải cho tiết dưới đây. Lời giải 1 1  1   1  x 2  x  4 x 2  1  x 2 1    x 2  4  2   x  1    x  4  2  x  x   x   x    1 1    x  1     4  2   .   x x     1  1  Ta có lim x   và lim 1     4  2   1  2  1  0. x  x  x   x  Vậy lim x      1 1    x2  x  4 x2  1  lim  x  1     4  2    . x  x       x   Studytip: Cũng là    nhưng khi nào là xác định, khi nào là vô định? Khi nào phải nhân chia liên hợp, khi nào thì đưa x n ra ngoài căn rồi đặt nhân tử chung như Ví dụ 4? Để có câu trả lời mời quý độc giả hãy đọc lại phần giới hạn dãy số có chứa căn. Ví dụ 5. Trong các giới hạn sau giới hạn nào là hữu hạn: A. lim x    4 x2  4 x  3  2 x . B. lim x    2 x 2  x  1  3x . Chuyên đề giới hạn và liên tục   C. lim x  1  x  2 x . x 2 Hội toán Bắc Nam   D. lim x  x  3x  2 . x 2 Lời giải Cách 1: Với các kết quả đã biết phần giới hạn dãy số có chứa căn, ta thấy ngay đáp án là D. Thật vậy:  lim 4×2  4x  3  ; lim  2x     lim  4×2  4x  3  2 x  . lim 2×2  x  1  ; lim  3x     lim  2×2  x  1  3x  . x x x x x x      1 1 lim x  1  x  2 x 2  lim x 1  2   2    x  x  x x     1 1 do lim x  ; lim 1  2   2   1  2  0. x  x  x x     lim x  x 2  3x  2  lim x  x  2 3 x  lim  . x 2  3x  2  x x 1  3  2  1 2 x x2 3 3x  2 Cách 2: Sử dụng MTCT để tìm lần lượt các giới hạn. 1   1  Ví dụ 6. Giới hạn lim  2  bằng: x 2  x  4 x2 A.  B.  Cách 1: Vì lim x 2 C. 3 Lời giải D. 2 1 1  ; lim   nên ta có dạng   . x 2 x  2 x 4 2 Theo phương pháp đã nêu từ đầu, ta đi quy đồng mẫu số các phân thức.  1  1 1   x 1  1 Ta có lim  2   lim    lim .   x 2  x  4 x  2  x2   x  2  x  2   x  2   x2  x  2  x  2  Vì lim x 2  x  1 3   0, lim  x  2   0 và x  2  0 với mọi x  2 nên theo quy tắc 2, x 2  x  2 4 1   x 1  1 lim  2   lim  . Do đó chọn B  x2  x  4 x  2  x2  x  2 x  2 Cách 2: Sử dụng MTCT tính giá trị hàm số tại x  2,00000001 ta được kết quả như hình bên. 1   1  Do đó chọn đáp án B, tức là lim  2   . x 2  x  4 x2 Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam Ví dụ 7. Cho a và b là các số thực khác 0. Tìm hệ thức liên hệ giữa a và b để giới hạn: a b   lim  2  2  là hữu hạn: x 2  x  6 x  8 x  5x  6  A. a  4b  0. Cách 1: Ta có  B. a  3b  0. C. a  2b  0. Lời giải D. a  b  0. a b a b  2   x  6 x  8 x  5 x  6  x  2  x  4   x  2  x  3 2 a  x  3  b  x  4 g  x  .  x  2 x  3 x  4  x  2 x  3 x  4 Ta có lim  x  2  0; lim  x  3  1; lim  x  4   2; lim g  x   2b  a. x 2 x 2 x 2 x 2 Do đó nếu lim g  x   0  2b  a  0 thì giới hạn cần tìm là vô cực theo quy tắc 2. x 2 Từ đó chọn được đáp án đúng là C. (Thật vậy, nếu lim g  x   2b  a  0 thì x 2 a b bx  2b b  2   x  6 x  8 x  5 x  6  x  2  x  3 x  4   x  3 x  4  2 a b b b   Và do đó lim  2  2  lim  .  x2  x  6 x  8 x  5x  6  x2  x  3 x  4  2 Cách 2: Sử dụng MTCT. Với mỗi đáp án, lấy các giá trị cụ thể của a và b , thay vào hàm số rồi tính giới hạn. Từ đó chọn được đáp án là C. C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG DẠNG 1. BÀI TẬP TÍNH GIỚI HẠN BẰNG CÁCH SỦ DỤNG ĐỊNH NGHĨA, ĐỊNH LÍ, QUY TẮC. Câu 1: Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để B  7 với B  lim  x3  3x  m2  2m  . x 1 A. m  1 hoặc m  3 Câu 2: Câu 3: B. m  1 hoặc m  3 C. 1  m  3  x2  1 khi x  1  Cho hàm số f  x    1  x . Khi đó lim f  x  bằng: x 1  2 x  2 khi x  1  A. 0 B. 2 C.  Trong các hầm số sau, hàm số nào có giới hạn tại điểm x  1? D. 1  m  3. D.  Chuyên đề giới hạn và liên tục 1 A. f  x   x 1 Câu 4: Câu 5: Hội toán Bắc Nam B. g  x   1 x 1 Chọn khẳng định đúng. 1 1 A. limcos  0 B. lim cos  1 x 0 x 0 x x tại. Trong các giới hạn sau, giới hạn nào bằng  ? D. lim  3x  x5  2  .  C. lim  x D. limcos 1 không tồn x x   4 x2  4 x  3  2 x .   4x  4x  3  2x . D. lim  x  4 x  4 x  3  . 2 B. lim x  4 x2  4 x  3  x . 2 x Trong các giới hạn sau, giới hạn nào bằng  ? A. lim  x   3  6  x2 . 9  3x B. lim  x  1 1 2x . 5  5x C. lim x 2 5  3×3  x  2 . 4 D. lim x 1 2 x3  4  x  1 2 Trong các giới hạn sau, giới hạn nào là vô cực? A. lim 3 x2  x  1 . x2  2 x B. lim  C. lim 9×2  x .  2 x  1  x 4  3 D. lim x 2 x 3 Câu 9: 1 x 1 x  Trong các giới hạn sau, giới hạn nào bằng  ? x  D. t  x   x 0 C. lim  4 x2  7 x3  2  . A. lim Câu 8: x 0 1 1 x B. lim  2 x 4  3x  1 . x  Câu 7: C. lim cos A. lim  5 x3  x2  x  1 . x  Câu 6: 1 C. h  x   1 x x  2  x 1 x3  2 x 2 x 2  x  6 2 . x 2  2 x  1 . x4  x  1 Trong các giới hạn sau, giới hạn nào là vô cực? A. lim x  C. lim  x  1  x  2 B. lim 3 3 5×2  x  2  4 x . x 0 x2  x  2  3  x . x4  x 8 x . 5 . x  4 x  x 3  2 D. lim 3 Câu 10: Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho hàm số f  x   mx  9 x 2  3x  1 có giới hạn hữu hạn khi x . A. m  3 B. m  3 DẠNG 2. GIỚI HẠN VÔ ĐỊNH DẠNG lim Câu 11: Giới hạn x 2 A. Bằng 3 C. m  0 D. m  0 C. Bằng 0 D. không tồn tại 0 . 0 3x  6 x2 B. Bằng 3 Câu 12: Cho a là một số thực khác 0. Kết quả đúng của lim x a x4  a4 bằng: xa Chuyên đề giới hạn và liên tục A. 3a 3 Hội toán Bắc Nam B. 2a 3 C. a 3 x 2  mx  m  1 , m là tham số thực. Tìm m để C  2. Câu 13: Cho C  lim x 1 x2 1 A. m  2 B. m  2 C. m  1 D. 4a3 D. m  1 x 2  ax  b  6 thì a  b bằng: Câu 14: Cho a và b là các số thực khác 0. Nếu lim x 2 x2 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 Câu 15: Cho a và b là các số thực khác 0. Giới hạn lim x 0 a 2b A. B.  a 2b 1  ax  1 bằng: sin bx 2a C. b D.  2a b Câu 16: Cho a, b,c là các số thực khác 0,3b  2c  0. Tìm hệ thức liên hệ giữa a, b, c để: lim x 0 A. a 1  3b  2c 10 B. tan ax 1  . 3 1  bx  1  cx 2 a 1  3b  2c 6 C. a 1  3b  2c 2 D. a 1  3b  2c 12 sin  x  1 bằng: x 1 x m  x n 1 1 C. D. mn nm Câu 17: Cho m và n là các số nguyên dương phân biệt. Giới hạn lim A. m  n B. n  m Câu 18: Để tính giới hạn lim x 1 5x  4  2 x  1 , bạn Bính đã trình bày bài giải như sau: x 1 Bước 1: Ta có: lim x 1 5x  4  2 x  1 5x  4 1 2x 1 1  lim  lim . x  1 x  1 x 1 x 1 x 1 Bước 2: lim 5  x  1 5x  4  1 5 5  lim  lim  . x 1 x 1  x 1 5x  4  1 x1 5x  4  1 2 Bước 3: lim 2  x  1 2x 1 1 2  lim  lim  1. x 1 x 1  x 1 2x 1  1 x1 2x 1  1 Bước 4: lim 5x  4  2 x 1 5 3  1  . x 1 2 2 x 1 x 1 x 1     Hỏi lời giải của bạn Bính đã mắc lỗi sai ở bước nào? A. Bước 1. B. Bước 2. C. Bước 3. D. Bước 4. 8 x  11  x  7 m m  trong đó là phân số tối giản, m và n là các số nguyên 2 x  3x  2 n n dương. Tổng 2m  n bằng: 3 Câu 19: Biết lim x 2 Chuyên đề giới hạn và liên tục A. 68 Hội toán Bắc Nam B. 69 C. 70 D. 71 6 x  9  3 27 x  54 m m là phân số tối giản, m và n là các số nguyên  , trong đó 2 x 3 x  3 n    x  3x  18 n Câu 20: Biết lim dương. Khi đó 3m  n bằng: A. 55 B. 56 3x  2  3 5 x  4 Câu 21: Giới hạn lim  x  1 x 1 2 C. 57 D. 58 bằng: A.  B.  C. 0 Câu 22: Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 0? x2 1 . B. lim  2 x  2  x  3 x  2 x 1 A. lim 3 . x 1 x  1 D. 1  x2  x  6 . C. lim x 3 x 2  3x D. x lim 2  x  6 2 x3  2 x 2 x 2 . Câu 23: Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào khác 0? A. lim x2 x 2  3x  2 . 2 x C. lim  x 2  3x  2 x2  2 x  1 x  1 x2  9 B. lim  x2  1 3  x  x 3 D. lim . x3  1 x 1 x2  1 . . Câu 24: Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào không tồn tại? x3  8 . A. lim 2 x 2 x  11x  18  x  3 B. lim 3 x 0  27 x . C. lim x 0 3x 2  x 4 . 2x D. lim  x  2  x x2 . x  3x  2 2 Câu 25: Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào không hữu hạn? 2 x 2  x  10 . A. lim x 2 x3  8 x2  4 x  3 . B. lim 2 x 3 x  6 x  9 DẠNG 3: GIỚI HẠN VÔ ĐỊNH DẠNG C. lim x 2 x2 x 5 3 2 D. lim . x 3 1 x  2 . x2  9  .  Câu 26: Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 1? x2 1 x3  x 2  3 2x  3 . . A. lim B. lim C. lim 2 . x  x  1 x  5 x 2  x 3 x  x  5 x 2×2  x 1 . x  3 x  x 2 D. lim Câu 27: Trong các giới hạn hữu hạn sau đây, giới hạn nào là lớn nhất? A. lim  x  1  3  2 x  5 x3  x  x3  1 x  C. x lim x  2  1 2 x 2  x  4  x3  3x  1  2 x  1 2 x  x  . lim  2 x  x   x  1  3x  1 2  x  . lim  2 x  x   x  1 2 . B. x  2 4 2 . D. x  3 4 Câu 28: Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào là  ? 2 x 2  x  1 . x  3 x A. lim 3x 2  x  5 . x  1  2x B. lim 1  3×3  x 2 . x  5  x  2 x 2 C. lim 3x 2  x 4  1 . x  2  x  x 2 D. lim Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam x  2 x  3x 2 Câu 20. Tính giới hạn lim . 4 x2  1  x  2 1 2 2 A. . B. . C.  . 2 3 3 Câu 21. Cho a , b , c là các số thực khác 0 . Tìm hệ thức liên hệ giữa a , b , c để x  ax  b 9 x 2  2 5. x  cx  1 a  3b a  3b  5.  5 . A. B. c c 1 D.  . 2 lim C. a  3b  5. c D. a  3b  5 . c  4 x 2  3x  1    ax  b   0, a và b thỏa mãn Câu 22. Cho a và b là các tham số thực . Biết rằng lim  x   cx  1  hệ thức nào trong các hệ thức dưới đây ? A. a  b  9. B. a  b  9. C. a  b  9. D. a  b  9.  Câu 23. Trong các giới hạn sau , giới hạn nào là ? 4 2x  x 1 x2  5x  2 A. lim 2 . B. lim . x  x  x  2 x  1  2 x 3 3 x 5  x  11 x  2 x2  1 . D. . lim x  2 x 2  x  1 x  1  2x Câu 24. Tìm giới hạn nhỏ nhất trong các giới hạn hữu hạn sau. C. lim A. lim x  x6  2 . 3×3  1 B. lim x  x x . x  x  x  2 C. lim 3 D. lim 2 2 x  x2 . 8×2  x  3 2 x 3 . x2  x  5 Câu 25. Trong các giới hạn hữu hạn sau , giới hạn nào là lớn nhất? A. lim 3  2 x  51  x  x  2 . 3×3  x  1 x  C. lim x  x4  x2  2 .  x3  1  3x  1 B.  2 x 1 lim x2  3 . x  5×2 x  D. lim x  3 2 x x2  1  x . Câu 26. Trong các giới hạn hữu hạn sau , giới hạn nào là nhỏ nhất? A. lim x2  x  2x . 3 4 x B. lim 1  2 x  C. lim x2  x  4 x2  1 . 2x  3 D. lim x  x  x  x  x . x 1 3 3x 4  4 x 5  2 . 9 x5  5 x 4  4 DẠNG 4: Giới hạn vô định dạng 0. 1 1 1 Câu 27. Cho a là một số thực dương. Tính giới hạn lim    . x a x a   x  a 2  1 . B. là  . C. là  . D. không tồn tại. a2 Câu 28. Trong các giới hạn sau , giới hạn nào là hữu hạn ? 3x x3 A. lim  x  1 . B. lim  x  1 2 . 4 2 x  x  x 1 2x  x  1 A. bằng  Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam x 1 x . D. lim  x 2  1 . 3 4 x  x  x x 2x  x 1 Câu 29. Trong các giới hạn hữu hạn sau , giới hạn nào là nhỏ nhất? 2x 1 3x  11 A. lim  x  1 3 . B. lim 1  2 x  . x  x  x x2 x3  1 C. lim  x  2  C. lim  x3  1 x 1 x . x 1 D. lim  2  3 x  2 x   x2 x3  3 Câu 30. Tính giới hạn lim x 2  . x  x x   1 A. . B. 0. 2   Câu 31. Tính giới hạn lim tan 2 x tan   x  .  x 4  4 A. 2 . x 1 . 5x  2 x  1 3 D.  C.  . B. 0. C. DẠNG 5: Dạng vô định    1 . 2 D. 1 4 1   n  Câu 32. Cho n là một số nguyên dương. Tính giới hạn lim  . n x 1 1  x 1 x   n n 1 n 1 n2 A. . B. . C. . D. 2 2 2 2 3  1  3 khi x  1  Câu 33. Cho hàm số f  x    x  1 x  1 . Với giá trị nào của m thì hàm số f  x  có giới hạn  khi x  1 mx  2 tại điểm x  1 A. 2. B. -1. C. 1. D. 3 1 k Câu 34. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực k sao cho giới hạn lim(  2 ) là hữu hạn. x 1 x  1 x 1 A. k  2 . B. k  2 . C. k  2 . D. k  2 . Câu 35. Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào là 1? A. lim ( x 2  2 x  x) . B. lim ( x 2  2 x  x) . C. lim( x2  2x  x) . D. lim ( x 2  2 x  x) . x  x  x  x Câu 36. Giới hạn lim ( x 2  3x  5+ax) = + nếu. x  A. a  1 . B. a  1 . C. a  1 . D. a  1 . Câu 37. Cho a và b là các số thực khác 0 . Biết lim (ax  x 2  bx  2)  3 , thì tổng a  b bằng x  A. 2 . B. 6 . C. 7 . D. 5 . Câu 38. Cho a và b là các số thực khác 0 . Biết lim (ax+b- x 2  6 x  2)  5 số lớn hơn trong hai số x  a và b là số nào trong các số dưới đây? A. 4 . B. 3 . C. 2 . Câu 39. Trong các giới hạn dưới đây, giới hạn nào là vô cực? A. lim ( 2 x 2  x  2 x 2  3) . x  D. 1 . B. lim ( 4 x 2  x  1  2 x) . x  Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam C. lim ( 9 x  3x  1  5 x) . D. lim ( 3x  1  3x 2  5 x ) . 2 2 x  x  m m trong đó là phân số tối giản, m và n là các x  n n số nguyên dương. Tìm bội số chung nhỏ nhất của m và n . A. 135 . B. 136 . C. 138 . D. 140 . Câu 40. Biết lim ( 9 x 2  2 x  3 27 x3  4 x 2  5)   Câu 41. Cho a và b là các số nguyên dương. Biết lim ( 9 x 2 + ax  3 27 x3  bx 2  5)  x  thỏa mãn hệ thức nào dưới đây? A. a  2b  33 . B. a  2b  34 . C. a  2b  35 . H Ố LI N 7 , hỏi a và b 27 D. a  2b  36 . C A. LÝ THUYẾT 1. Định nghĩa Định nghĩa 1 Cho hàm số y  f  x  xác định trên khoảng  a, b  và x0   a; b  . Hàm số y  f  x  được gọi là iên t c tại x0 nếu lim f  x   f  x0  . xx0 Hàm số y  f  x  không liên tục tại x0 được gọi là gián đoạn tại điểm đó. STUDY TIP Khi xét tính liên tục của hàm số tại một điểm, đặc biệt lưu ý đến điều kiện hàm số xác định trên một khoảng (dù nhỏ) chứa điểm đó. Định nghĩa 2 Hàm số y  f  x  được gọi là i n n h ảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó. Hàm số y  f  x  được gọi là i n ạn a, b nếu nó liên tục trên khoảng  a; b  n và lim f  x   f  a  ; lim f  x   f  b  xa xb Khái niệm liên tục của hàm số trên nửa khoảng như a; b  ,  a; b , a;   ,  ; b được định nghĩa một cách tương tự. STUDY TIP Đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng là một “đường liền” trên khoảng đó y y aObx a Obx Chuyên đề giới hạn và liên tục Đồ thị của hàm số liên tục trên khoảng  a; b  . Hội toán Bắc Nam Đồ thị của hàm số không liên tục trên khoảng  a; b  . Định ý 2 Giả sử y  f  x  và y  g  x  là hai hàm số liên tục tại điểm xo . Khi đó: a) Các hàm số y  f  x   g  x  , y  f  x   g  x  , y  f  x  .g  x  liên tục tại điểm xo . b) Hàm số y  f  x g  x liên tục tại điểm xo nếu g  x   0. STUDY TIP Tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số liên tục tại một điểm là những hàm số liên tục tại điểm đó (trong trường hợp thương, giá trị của mẫu tại điểm đó phải khác 0). 2. ột ố định í cơ ản Định í 1 a) Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực . b) Hàm số phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức), các hàm số lượng giác, hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng. (Các hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit s được học trong chương trình lớp 2) STUDY TIP Các hàm số sơ cấp liên tục trên từng khoảng xác định của chúng Định lí 3 Nếu hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn a; b và f  a  . f b   0 thì tồn tại ít nhất một điểm c   a; b sao cho f  c   0 . Nói cách khác: Nếu hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn a; b và f  a  . f b   0 thì phương trình f  x   0 có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng  a; b . STUDY TIP Một phương pháp chứng minh phương trình f  x   0 có nghiệm trên khoảng  a; b : – Chứng minh hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn a; b . – Chứng minh f  a  . f b   0 . B. CÁC DẠNG TOÁN VỀ HÀM SỐ LIÊN T C DẠNG 1. XÉT TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam Phương pháp chung: Cho hàm số y  f  x  xác định trên khoảng  a; b và x0   a; b  . Để xét tính liên tục của hàm số y  f  x  tại x0 ta làm như sau: – Tính f  x0  ; – Tính lim f  x  . – Nếu lim f  x   f  x0  thì kết luận hàm số liên tục tại x0 . – Nếu lim f  x  không tồn tại hoặc lim f  x   f  x0  thì kết luận hàm số không liên tục tại x  x0 x  x0 x  x0 x  x0 x0 . Khi xét tính liên tục của hàm số trên một tập, ta sử dụng Định lí , Định lí 2 đã nêu trong phần Lí thuyết. Câu 1: Hàm số y  f  x  có đồ thị dưới đây gián đoạn tại điểm có hoành độ bằng bao nhiêu? A. 0 . Đáp án B. B. 1 . D. 3 . C. 2 . Lời giải Quan sát đồ thị ta thấy lim f  x   3; lim f  x   0 . Vậy lim f  x   lim f  x  nên lim f  x  x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 không tồn tại. Do đó hàm số gián đoạn tại điểm x  1 . Câu 2: Cho hàm số f  x   A.  ;3 . x2  1 . Hàm số f  x  liên tục trên khoảng nào sau đây? x 2  5x  6 B.  2;3 . C.  3;2 . D.  3;   . Đáp án B. Lời giải Hàm số có dạng phân thức hữu tỉ xác định trên tập hợp D   ;  3   3;  2   2;   nên theo Định lí , hàm số liên tục trên các khoảng  ;  3 ;  3;  2 ;  2;   . Vì  2;3   2;   nên đáp án đúng là B. Câu 3: STUDY TIP Các hàm số sơ cấp liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng. x2 Cho hàm số f  x   2 . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau: x  3x  2 A. f  x  liên tục trên . Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam B. f  x  liên tục trên các khoảng  ;1 và 1;  . C. f  x  liên tục trên các khoảng  ;2 và  2;   . D. f  x  liên tục trên các khoảng  ;1 , 1;2 và  2;   . Đáp án D. Lời giải f  x  là hàm phân thức hữu tỉ, có tập xác định là  ;1  1;2   2;   nên theo Định lí , f  x  liên tục trên các khoảng  ;1 , 1;2 và  2;  . STUDY TIP x2 1  Thật ra rút gọn ta được f  x   nhưng không vì thế mà kết luận f  x   x  1 x  2  x  1 trên các khoảng  ;1 và 1;  . Chú ý: Không được rút gọn biểu thức của hàm số trước khi tìm tập xác định! Câu 4:  x  5 khi x  5 Cho hàm số f  x    . Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau? khi x  0  1 A. f  x  liên tục tại x  7 . B. f  x  liên tục tại x  0 . C. f  x  liên tục trên 5;  . D. f  x  liên tục trên  5;   . Đáp án B. Lời giải Hàm số f  x  xác định trên D  5;   0 . Theo định lí 1 , f  x  liên tục trên 5;  . Do đó f  x  liên tục trên  5;   và tại x  7 . Vậy A, C, D đúng suy ra B sai . Thật vậy, vì không tồn tại khoảng  a; b nào chứa điểm x  0 mà f  x  xác định trên  a; b nên không thể xét tính liên tục của f  x  tại x  0 . Do đó không thể khẳng định f  x  liên tục tại x  0 . Câu 5: 3x  2 khi x  1 Cho hàm số f  x    2 . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.  x  1 khi x  1 A. f  x  liên tục trên . B. f  x  liên tục trên  ; 1 . C. f  x  liên tục trên 1;  . D. f  x  liên tục tại x  1 . Đáp án C. Lời giải Trên 1;  , f  x   x 1 nên theo định lí , f  x  liên tục trên 1;  . Vậy chọn đáp án 2 đúng là C. Giải thích thêm: Ta có lim  f  x   lim   3x  2   1 , lim  f  x   lim   x 2  1  0 . x  1 x  1 x  1 Vậy lim   lim  nên lim không tồn tại. x  1 x  1 x 1 Do đó f  x  không liên tục tại x  1 nên A, D sai. x  1 Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam Mặt khác f  1   1  1  0 . Vậy lim   f  1 nên f  x  không liên tục trên  ; 1 . 2 x  1 Do đó B sai. Câu 6:  x3  8 khi x  2  Cho hàm số f  x    x  2 . Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số  mx  1 khi x=2  liên tục tại x  2 . 17 15 13 11 A. m  . B. m  . C. m  . D. m  . 2 2 2 2 Đáp án D. Lời giải f  x  xác định trên . x3  8  lim  x 2  2 x  4   12 . x2 x2 x  2 x2 (có thể dùng MTCT để tính giới hạn của hàm số) Ta có f  2  2m 1 và lim f  x   lim Để f  x  liên tục tại x  2 thì lim f  x   f  2   2m  1  12  m  x2 Câu 7: 11 . 2   x  3 2  Chon hàm số f  x    x  3 khi x  3. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm  khi x  3  m số liên tục tại x  3 . A. m . B. m . C. m  1. D. m  1 . Đáp án A. Lời giải Hàm số đã cho xác định trên .  x  3 x 3   x  3  lim  lim  1  1 . x3 x3 x3 x  3 x3 x3 x 3 x 3 Tương tự ta có lim f  x   1 .(có thể dùng MTCT để tính giới hạn của hàm số) Ta có lim f  x   lim 2  lim x3 Vậy lim f  x   lim f  x  nên lim f  x  không tồn tại. Vậy với mọi m , hàm số đã cho không x3 x3 x3 liên tục tại x  3 . Do đó đáp án đúng là A. Ta có thể tam khảo thêm đồ thị của hàm số khi x  3 để hiểu rõ hơn. Chuyên đề giới hạn và liên tục Câu 8: Hội toán Bắc Nam Cho a và b là các số thực khác 0 . Tìm hệ thức liên hệ giữa a và b để hàm số  ax  1  1 khi x  0  liên tục tại x  0 . f  x   x  4 x 2  5b khi x  0  A. a  5b . B. a  10b . C. a  b . D. a  2b . Đáp án B. Lời giải ax  1  1 a  . Mặt khác f  0  5b . Để hàm x 0 x 0 x 2 a số đã cho liên tục tại x  0 thì lim f  x   f  0    5b  a  10b . Vậy đáp án đúng là B. x 0 2 Cách 2: Sử dụng MTCT. Chọn các giá trị cụ thể của a và b thỏa mãn từng hệ thức rồi tính Cách : Theo kết quả đã biết thì lim f  x   lim toán cho đến khi được kết quả lim f  x   f  0  . Chẳng hạn với hệ thức ở đáp án A, chọn x 0 a  5; b  1 ta tìm được lim x 0 5x  1 1 5  ; f  0   5 nên không thỏa mãn. Với hệ thức ở đáp x 2 án B, chọn a  10; b  1 ta được lim x 0 10 x  1  1  5; f  0   5 nên thỏa mãn lim f  x   f  0  . x 0 x Do đó đáp án là B. STUDY TIP n lim x 0 Câu 9: ax  1  1 a  . x n  2x  4  3 khi x  2  Cho hàm số f  x    . Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để x 1 khi x  2  2  x  2mx  3m  2 hàm số liên tục trên . A. m  3 . B. m  4 . C. m  5 . D. m  6 . Đáp án C. Lời giải Cách : Hàm số xác định trên , liên tục trên khoảng  2;   . Ta có f  2   3; lim f  x   lim x 2 x 2   2x  4  3  3 . x 1   nên hàm số không liên tục tại x  2 . x 2 x 2 x  12 x  20 x 1 3 Nếu m  6 thì ta có lim f  x   lim 2 .  x 2 x 2 x  2mx  3m  2 6m 3 Để hàm số liên tục tại x  2 thì  3  6  m 1 m  5. 6m x 1 Với m  5 thì khi x  2 , f  x   2 liên tục trên  ;2 . x  10 x  17 Tóm lại với m  5 thì hàm số đã cho liên tục trên . Nếu m  6 thì lim f  x   lim 2 Cách 2: Hàm số xác định trên , liên tục trên khoảng  2;   . Ta có f  2   3; lim f  x   lim x 2 x 2   2x  4  3  3 . Thử lần lượt các giá trị từ A dến C thấy m  5 thỏa mãn lim f  x   3 . Do đó chọn đáp án C. x 2 Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam DẠNG 2. CHỨNG MINH PHƢƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM Phương pháp chung: Một phương pháp chứng minh phương trình f  x   0 có nghiệm trên khoảng  a; b : – Chứng minh hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn a; b . – Chứng minh f  a  . f b   0 . – Từ đó kết luận phương trình f  x   0 có ít nhất một nghiệm trên khoảng  a; b . Để chứng minh phương trình f  x   0 có ít nhất một nghiệm ta cần tìm được hai số a và b sao cho hàm số liên tục trên đoạn a; b và f  a  . f b   0 . Ví dụ 1. Cho hàm số f  x  xác định trên đoạn a; b . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? A. Nếu hàm số f  x  liên tục trên đoạn a; b và f  a  . f b   0 thì phương trình f  x   0 không có nghiệm trong khoảng  a; b . B. Nếu f  a  . f b   0 thì phương trình f  x   0 có ít nhất một nghiệm trên khoảng  a; b . C. Nếu phương trình f  x   0 có nghiệm trong khoảng  a; b thì hàm số y  f  x  phải liên tục trên khoảng  a; b . D. Nếu hàm số y  f  x  liên tục, tăng trên đoạn a; b và f  a  . f b   0 thì phương trình f  x   0 không thể có nghiệm trong khoảng  a; b . Đáp án D. Lời giải A sai. Chẳng hạn xét hàm số f  x   x2  5 . Hàm số này xác định trên đoạn  3;3 và liên tục trên đó, đồng thời f  3 . f 3  4.4  16  0 nhưng lại có hai nghiệm x1   5; x2  5 thuộc vào khoảng  3;3 . B sai . vì thiếu điều kiện f  x  liên tục trên đoạn a; b .  x  1 khi x  0 C sai. Chẳng hạn xét hàm số f  x    . Hàm số này xác định trên đoạn  3;3 ,  x  2 khi x  0 có nghiệm x  1 thuộc vào khoảng  3;3 nhưng gián đoạn tại điểm x  0   3;3 , tức là không liên tục trên  3;3 . Vậy D đúng. Thật vậy: – Vì hàm số y  f  x  liên tục, tăng trên đoạn a; b nên giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn a; b là f  a  , giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn a; b là f b . – Nếu f  a   0 thì giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn a; b là một số dương nên không có giá trị nào của x trên khoảng  a; b làm cho f  x   0 . Do đó phương trình f  x   0 không thể có nghiệm trong khoảng  a; b  . Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam + Nếu f  a   0, do f  a  . f b   0 nên suy ra f  b   0. Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn a; b là một số âm nên không có giá trị nào của x trên khoảng  a; b làm cho f  x  0 . Do đó phương trình f  x   0 không thể có nghiệm trong khoảng  a; b . Câu 10: Cho phương trình x3  ax2  bx  c  0 1 trong đó a, b, c là các tham số thực. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau A. Phương trình 1 vô nghiệm với mọi a, b, c . B. Phương trình 1 có ít nhất một nghiệm với mọi a, b, c . C. Phương trình 1 có ít nhất hai nghiệm với mọi a, b, c . D. Phương trình 1 có ít nhất ba nghiệm với mọi a, b, c . Lời giải Đáp án B. Dễ thấy a  b  c  0 thì phương trình 1 trở thành x3  0  x  0. Vậy A, C, D sai. Do đó B đúng. Giải hí h h : Xét bài toán “Chứng minh rằng phương trình x3  ax2  bx  c  0 1 luôn có ít nhất một nghiệm với mọi a, b, c ”. Ta có lời giải cụ thể như sau: Đặt f  x   x3  ax2  bx  c. Ta có: + lim  x3  ax 2  bx  c    với mọi a, b, c nên tồn tại một giá trị x  x1 sao cho f  x1   0 . x  + lim  x3  ax 2  bx  c    với mọi a, b, c nên tồn tại một giá trị x  x2 sao cho f  x2   0 x  . Vậy f  x1  . f  x2   0 mà f  x  liên tục trên nên suy ra f  x   0 có ít nhất một nghiệm trên khoảng  x1; x2  . Từ đó suy ra ĐPCM. Phương trình đa thức bậc lẻ a2 n 1 x 2 n 1 STUDY TIP  a2 n x 2 n  …  a1 x  a0  0 trong đó a2 n 1  0 luôn có ít nhất một nghiệm với mọi giá trị của ai , i  2n 1,0. Câu 11: Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình:  m2  3m  2 x3  3x  1  0 có nghiệm. A. m1;2 . B. m . C. m 1;2 . D. m . Lời giải Đáp án B. 1 Nếu m2  3m  2  0 : Phương trình đã cho trở thành 3x  1  0  x  . 3 2 Nếu m  3m  2  0 : theo STUDY TIP vừa nêu thì phương trình đã cho luôn có nghiệm. Tóm lại với mọi m thì phương trình đã cho luôn có nghiệm. Do đó B đúng. 1 Câu 12: Cho phương trình x 4  3×3  x   0 1 . Chọn khẳng định đúng: 8 A. Phương trình 1 có đúng một nghiệm trên khoảng  1;3 . B. Phương trình 1 có đúng hai nghiệm trên khoảng  1;3 . Chuyên đề giới hạn và liên tục C. Phương trình 1 có đúng ba nghiệm trên khoảng  1;3 . Hội toán Bắc Nam D. Phương trình 1 có đúng bốn nghiệm trên khoảng  1;3 . Lời giải Đáp án D. 1 Cách 1: Sử dụng chức năng Table trên MTCT: f  X   X 4  3 X 3  X  , Start: 1, End: 3, 8 Step: 0.2 ta được kết quả như sau: Quan sát kết quả ta thấy giá trị của f  x  tại các điểm trong khoảng  1;3 đổi dấu 4 lần. Mà phương trình bậc 4 thì có tối đa 4 nghiệm thực. Vậy phương trình 1 có đúng bốn nghiệm trên khoảng  1;3 . Do đó D là đáp án đúng. Cách 2: Sử dụng chức năng Shift Calc (Solve) của MTCT để tìm nghiệm xáp xỉ của phương trình trong khoảng  1;3 . Tuy nhiên cách này tiềm ẩn nhiều may rủi hơn cách sử dụng chức năng Table như trên. STUDY TIP Nếu f  x  liên tục trên đoạn a; b và f  x  đổi dấu khi x từ a qua b thì phương trình f  x   0 có ít nhất một nghiệm trên khoảng  a; b . Câu 13: Cho phương trình 2×4  5×2  x  1  0 1 . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau: A. Phương trình 1 không có nghiệm trong khoảng  1;1 . B. Phương trình 1 không có nghiệm trong khoảng  2;0 . C. Phương trình 1 chỉ có một nghiệm trong khoảng  2;1 . D. Phương trình 1 có ít nhất hai nghiệm trong khoảng  0;2 . Lời giải Đáp án D. Cách 1: Sử dụng chức năng Table trên MTCT: f  X   2 X 4  5 X 2  X 1, Start: 2, End: 2, Step: 0.2 ta được kết quả như sau: Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam Quan sát kết quả ta thấy trên khoảng  1;1 phương trình có ít nhất hai nghiệm, trên khoảng  2;0 phương trình có ít nhất hai nghiệm, trên khoảng  2;1 phương trình có ít nhất ba nghiệm, trên khoảng  0;2 phương trình có ít nhất hai nghiệm. Vậy D là đáp án đúng. C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG Câu 1. Cho hàm số y  f  x  có đồ thị như hình dưới đây: Chọn khẳng định đúng: A. Hàm số liên tục trên . C. Hàm số liên tục trên 1; . Câu 2. Cho hàm số B. Hàm số liên tục trên  ;4 . D. Hàm số liên tục trên 1;4 . Chuyên đề giới hạn và liên tục  x3 2 ,  x  1  1 f  x   , 4  x2 1 ,  2  x  7x  6 Hội toán Bắc Nam x 1 x 1 x  1. Chọn khẳng định đúng: A. f  x  liên tục tại x  6 và không liên tục tại x  1 . B. f  x  liên tục tại x  6 và tại x  1 . C. f  x  không liên tục tại x  6 và liên tục tại x  1 . D. f  x  liên tục tại x  6 và tại x  1 . Câu 3.  x4  4 x2  khi x  0 . Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm Cho hàm số f  x    x m  3 khi x  0  số liên tục tại x  0. A. Không có giá trị nào của m thỏa mãn. B. m  5 . D. m1;5 . C. m  1. Câu 4. Cho a và b là các số thực khác 0. Tìm hệ thức liên hệ giữa a và b để hàm số sau liên tục tại x  0.  ax  1 3 bx  1  1 khi x  0  f  x   . x a  b khi x  0  A. a  b  0 . B. 2a  b  0 . Câu 5. A. m1;2 . Câu 7. D. 3a  2b  0 .  3 1     khi x  1 3 . Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để Cho hàm số f  x    1  x 1  x  m3 x  3  3m khi x  1  hàm số liên tục trên Câu 6. C. 3a  4b  0 . . B. m1; 2 . C. m1;2 . D. m1; 2 .  x6 a khi x  3  . Trong đó a và b là các tham số thực. Biết hàm Cho hàm số f  x    x  1  2  x3   2b  1 x khi x  3  số liên tục tại x  3. Số nhỏ hơn trong hai số a và b là A. 2 . B. 3 . C. 4. D. 5 . 2   x sin Cho hàm số f  x    x  a cos x  5 hàm số liên tục trên . A. a  5 . 11 C. a  . 2 khi x  0 . Tìm tất cả các giá trị của tham số thực a để khi x  0 B. a  7 . D. Không có giá trị nào của a thỏa mãn. Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam 1. Chọn khẳng định đúng: A. Phương trình 1 vô nghiệm trên khoảng  1;1 . B. Phương trình 1 có đúng một nghiệm trên khoảng  1;1 . C. Phương trình 1 có đúng hai nghiệm trên khoảng  1;1 . D. Phương trình 1 có ít nhất hai nghiệm trên khoảng  1;1 . Câu 8. Cho phương trình 4x  2x  x  3  0 Câu 9. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho phương trình  m2  5m  4 x5  2 x2  1  0 4 2 có nghiệm. A. m 1;4 . B. m  ;1   4;  . C. m1;4 . D. m . Câu 10. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho phương trình sau có nghiệm  2m 2  5m  2  x 1 1   ; 2 . 2  1  C. m   ; 2 . 2  A. m  2017 x 2018  2  2 x  3  0. 1  B. m   ;    2;   . 2  D. m .