Chuyên đề giải phương trình bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8

Giới thiệu Chuyên đề giải phương trình bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8

Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và bạn đọc Chuyên đề giải phương trình bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8.

Tài liệu môn Toán sẽ luôn được cập thường xuyên từ nguồn đóng góp của quý bạn đọc và hoctoanonline.vn sưu tầm, các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán mới nhất nhé.

Hơn nữa, Hoctoanonline.vn còn cung cấp file WORD Tài liệu môn Toán miễn phí nhằm hỗ trợ thầy, cô trong quá trình dạy học, biên soạn đề thi.

Tài liệu Chuyên đề giải phương trình bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8

Tips: thầy cô có thể tìm thêm tài liệu với google tại đây.

Text Chuyên đề giải phương trình bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8
CHUYÊN ĐỀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH DẠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH CÓ HỆ SỐ ĐỐI XỨNG Phương pháp giải: 2 Do x = 0 không phải là nghiệm của phương trình nên chia cả hai vế cho x , rồi đặt ẩn phụ Bài 1: Giải phương trình: x + 3x + 4 x + 3x + 1 = 0 HD: 2 Thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình: Chia hai vế cho x ta được: 3 1 1    x2 + 3x + 4 + + 2 = 0 =  x 2 + 2  + 3  x +  + 4 = 0 x x x   x  1 1 Đặt x + = y = x 2 + 2 = y 2 − 2 , Thay vào phương trình ta có: x x 2 y − 2 + 3y + 4 = 0 4 3 2 Bài 2: Giải phương trình: 6 x + 25x + 12 x − 25x + 6 = 0 HD: Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình, chia cả hai vế của PT 2 x  0 ta được:   25 6 1 1 6 x 2 + 25x + 12 − + 2 = 0 = 6  x 2 + 2  + 25  x −  + 12 = 0 x x x x    4 3 2 1 1 = t = x 2 + 2 = t 2 + 2 , Thay vào phương trình ta được: x x 6 t 2 + 2 + 25t + 12 = 0 = 6t 2 + 25t + 24 = 0 Đặt: x − ( ) Bài 3: Giải phương trình: x + 5x − 12 x + 5x + 1 = 0 HD: 2 Nhận thấy x=0 không phải nghiệm của PT, chia cả hai vế của PT cho x  0 , ta được:  5 1 1  1 x 2 + 5x − 12 + + 2 = 0 =  x 2 + 2  + 5  x +  − 12 = 0 x x x x    4 3 2 1 1 = t = x 2 + 2 = t 2 − 2 , Thay vào phương trình ta được: x x 2 t + 5t − 14 = 0 = ( t + 7)( t − 2 ) Đặt: x + 4 3 2 Bài 4: Giải phương trình: x + 2 x + 4 x + 2 x + 1 = 0 Bài 5: Giải phương trình: x − 3x − 6 x + 3x + 1 = 0 HD: 2 Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm của PT, chia cả hai vế của PT cho x  0 , ta được:  3 1 1  1 x 2 − 3x − 6 + + 2 = 0 =  x 2 + 2  − 3  x −  − 6 = 0 x x x x    4 Đặt x − 3 2 1 2 = t , Phương trình tương đương với: t − 3t − 4 = 0 x 4 3 2 Bài 6: Giải phương trình: 2 x − 9 x + 14 x − 9 x + 2 = 0 HD: GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 1 Nhận thấy x=0 không phải là nghiệm của phương trình , chia cả hai vế của PT cho x  0 ta được:  9 2 1  1 2 x 2 − 9 x + 14 − + 2 = 0 = 2  x 2 + 2  − 9  x +  + 14 = 0 x x x x    2 Đặt: x + 1 2 = t , phương trình trở thành: 2t − 9t + 10 = 0 x 4 3 2 Bài 7: Giải phương trình: x − 3x + 4 x − 3x + 1 = 0 4 3 2 Bài 8: Giải phương trình: 3x − 13x + 16 x − 13x + 3 = 0 4 3 2 Bài 9: Giải phương trình: 6 x + 5x − 38x + 5x + 6 = 0 4 3 2 Bài 10: Giải phương trình: 6 x + 7x − 36 x − 7x + 6 = 0 4 3 2 Bài 11: Giải phương trình: 2 x + x − 6 x + x + 2 = 0 4 3 2 Bài 12: Giải phương trình: 2 x − 5x + 6 x − 5x + 2 = 0 4 3 2 Bài 13: Chứng minh phương trình sau vô nghiệm: x − x + 2 x − x + 1 = 0 Bài 14: Chứng minh phương trình sau vô nghiệm: x + x + x + x + 1 = 0 HD: Nhân hai vế của phương trình với x-1 ta được: ( x − 1) x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 = x 5 − 1 = 0 = x 5 = 1 = x = 1 4 ( Cách 2: Đặt y = x + 3 2 ) 1 x 4 3 2 Bài 15: Chứng minh phương trình sau vô nghiệm: x − 2 x + 4 x − 3x + 2 = 0 HD: Biến đổi phương trình thành: x 2 − x + 1 x 2 − x + 2 = 0 ( )( ) GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 2 DẠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH DẠNG ( x + a )( x + b )( x + c )( x + d ) = k Phương pháp: Nhận xét về tích a + d = b + c , rồi nhóm hợp lý tạo ra biểu thức chung để đạt ẩn phụ Đôi khi ta phải nhân thêm với các hệ số để có được biểu thức chung Bài 1: Giải phương trình: ( x − 7)( x − 5)( x − 4 )( x − 2 ) = 72 HD: Phương trình tương đương với ( x − 7)( x − 2)( x − 5)( x − 4) = 72 = x 2 − 9x + 14 x 2 − 9x + 20 − 72 = 0 ( )( ) Đặt x − 9 x + 14 = t , khi đó phương trình trở thành: t ( t + 6) − 72 = 0 = ( t + 12 )( t − 6) = 0 2 2  9  23 =0 Với t = −12 = x − 9 x + 14 = −12 =  x −  + 2 4  Với t = 6 = x 2 − 9x + 14 = 6 = ( x − 1)( x − 8) = 0 2 Bài 2: Giải phương trình: ( x − 1)( x − 3)( x + 5)( x + 7) = 297 HD: Phương trình tương đương với: ( x − 1)( x + 5)( x − 3)( x + 7) − 297 = 0 = x 2 + 4 x − 21 x 2 + 4 x − 5 − 297 = 0 ( )( ) 2 Đặt x + 4 x − 5 = t khi đó phương trình trở thành: ( t − 16) t − 297 = 0 = ( t − 8) 2 − 192 = 0 = ( t − 27)( t + 11) = 0 Với t = 27 = x 2 + 4 x − 5 = 27 = ( x + 8)( x − 4 ) = 0 Với t = −11 = x 2 + 4 x − 5 = −11 = ( x + 2 ) + 2 = 0 2 Bài 3: Giải phương trình sau: ( x − 7)( x − 5)( x − 4 )( x − 2 ) = 72 HD: ( )( ) Biến đổi phương trình thành: x 2 + x x 2 + x − 2 = 24 Đặt x 2 + x − 1 = y , Khi đó phương trình trở thành: ( y + 1)( y − 1) = 24 = y − 1 = 24 = y = 25 Bài 4: Giải phương trình: ( x + 1)( x + 2)( x + 4 )( x + 5) = 40 Bài 5: Giải phương trình: x ( x + 1)( x − 1)( x + 2 ) = 24 Bài 6: Giải phương trình: ( x − 4 )( x − 5)( x − 6)( x − 7) = 1680 Bài 7: Giải phương trình: x ( x − 1)( x + 1)( x + 2 ) = 24 Bài 8: Giải phương trình: ( x − 1)( x − 3)( x + 5)( x + 7) = 297 2 2 Bài 9: Giải phương trình: x ( x + 1)( x + 2)( x + 3) = 24 Bài 10: Giải phương trình: ( x + 2)( x − 2) ( x 2 ) − 10 = 72 HD: GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 3 Đặt x 2 − 4 = y . Phương trình trở thành: y ( y − 6 ) = 72 = y 2 − 6 y + 9 = 81 = ( y − 3) − 92 = 0 2 Bài 11: Giải phương trình: 2 x ( 8x − 1) ( 4 x − 1) = 9 2 HD: Nhân 8 vào hai vế ta được: 8x ( 8x − 1) ( 8 x − 2 ) = 72 2 ( )( ) Đặt 8x − 1 = y , ta được : ( y + 1) y 2 ( y − 1) = 72 = y 2 − 9 y 2 + 8 = 0 Bài 12: Giải phương trình: (12 x + 7) ( 3x + 2 )( 2 x + 1) = 3 2 HD: Nhân hai vế với 24 ta được: (12 x + 7) (12 x + 8)(12 x + 6 ) = 72 2 Đặt 12 + 7 = y Bài 13: Giải phương trình: HD: ( 2 x + 1)( x + 1) ( 2 x + 3) = 18 2 Nhân hai vế với 4 ta được: ( 2 x + 1)( 2 x + 2 ) ( 2 x + 3) = 0 , Dặt 2 x + 2 = y 2 Bài 14: Giải phương trình: ( 6 x + 7) ( 3x + 4 )( x + 1) = 6 2 HD: Nhân hai vế với 12 ta được: ( 6 x + 7) ( 6 x + 8)( 6 x + 6 ) = 72 2 Đặt y = 6 x + 7 Bài 15: Giải phương trình: ( 4 x + 1)(12 x − 1)( 3x + 2 )( x + 1) − 4 = 0 HD : Phương trình = ( 4 x + 1)( 3x + 2 )(12 x − 1)( x + 1) − 4 = 0 = 12 x 2 + 11x + 2 12 x 2 + 11x − 1 − 4 = 0 ( )( ) Đặt 12 x + 11x − 1 = t khi đó phương trình trở thành: (t + 3) t − 4 = 0 = (t + 4)(t − 1) = 0 2 2 2 Với t = −4 = 12 x + 11x − 1 = −4 = 12 x + 11x + 3 = 0 Với t = 1 = 12 x 2 + 11x − 1 = 1 = ( 3x − 2 )( 4 x + 1) = 0 ( ) Bài 16: Giải phương trình: ( x + 1) 4 x 2 + 8x + 3 = 18 2 HD: Biến đổi phương trình thành: ( x + 1) 2 ( ) 2 2  4 x 2 + 2 x + 1 − 1 = 18 = ( x + 1)  4 ( x + 1) − 1 = 18     Đặt ( x + 1) = t , ( t  0 ) , Thay vào phương trình ta được: 2 t ( 4t − 1) = 18 = 4t 2 − t − 18 = 0 Bài 17: Giải phương trình: ( x + 2)( x − 3)( x + 4)( x − 6) + 6 x2 = 0 HD: GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 4 Vì x = 0 không là nghiệm của phương trình nên chia hai vế phương trình cho x 2 ta được: 12  12  12   x − − 4  x − + 1 + 6 = 0 . Đặt t = x − x , ta có: x x    t = 1 ( t − 4)( t + 1) + 6 = 0  t 2 − 3t + 2 = 0   t = 2 x = 4 12 Với t = 1  x − = 1  x 2 − x − 12 = 0   x  x = −3 Với t = 2  x2 − 2x −12 = 0  x = 1 13 Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm: x = −3; x = 4; x = 1  13 DẠNG 3: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA ĐƯỢC VỀ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG ( x + a) + ( x + b) 4 Bài 1: Giải phương trình: HD: ( x + 1) + ( x + 3) 4 4 =c = 82 Đặt y = x + 2 , ta có: ( y + 1) + ( y − 1) = 82 = y 4 + 6 y 2 − 40 = 0 4 Bài 2: Giải phương trình: HD: 4 4 ( x − 6 ) + ( x − 8) 4 4 = 16 Đặt x − 7 = y , phương trình trở thành: ( y − 1) + ( y + 1) = 16 4 4 Rút gọn ta được: 2y4 + 12 y2 + 2 = 16 = y4 + 6y2 − 7 = 0 Bài 3: Giải phương trình: Bài 4: Giải phương trình: Bài 5: Giải phương trình: Bài 6: Giải phương trình: Bài 7: Giải phương trình: Bài 8: Giải phương trình: Bài 9: Giải phương trình: ( x − 2 ) + ( x − 6) = 82 ( x + 3) + ( x + 5) = 2 ( x + 3) + ( x + 5) = 16 ( x − 2 ) + ( x − 3) = 1 ( x + 1) + ( x − 3) = 82 ( x − 2,5) + ( x − 1,5) = 1 ( 4 − x ) + ( x − 2 ) = 32 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 Bài 10: Giải phương trình: ( x + 1) + ( x + 3) = 2 4 4 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 5 DẠNG 4: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH ĐẶT ẨN PHỤ Bài 1: Giải phương trình: Bài 2: Giải phương trình: Bài 3: Giải phương trình: HD : (2x + 3x − 1) − 5(2x + 3x + 3) + 24 = 0 ( x + x ) + 4 ( x + x ) = 12 ( x − 6x + 9) − 15( x − 6x + 10) = 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Đặt : x 2 − 6 x + 9 = ( x − 3) = t , ( t  0 ) , Thay vào phương trình ta được : 2 t 2 − 15 ( t + 1) = 1 = t 2 − 15t − 16 = 0 = ( t + 1)( t − 16) = 0 Bài 4: Giải phương trình: (x 2 ) − 4 x + 2 ( x − 2 ) = 43 HD : 2 2 ( Biến đổi phương trình : x 2 − 4 x Bài 5: Giải phương trình: HD : (2x 2 ) 2 ( ) + 2 x 2 − 4 x + 4 = 43 . Đặt x 2 + 4 x = y − 3) − 16 ( x + 3) = 0 2 2 Ta có: PT = ( 2 x 2 − 3) − ( 4 x + 12 ) = 0 2 2 = ( 2 x 2 − 3 − 4 x − 12 )( 2 x 2 − 3 + 4 x + 12 ) = 0 = ( 2 x 2 − 4 x − 15)( 2 x 2 + 4 x + 9 ) = 0 4 3 Bài 6: Giải phương trình sau: x − 4 x + 8x − 5 = 0 HD: Biến đổi phương trình thành: x 4 − 4 x 3 + 4 x 2 − 4 x 2 + 8x − 5 = 0 ( ( ) ( 2 ) ) = x 2 − 2 x − 4 x 2 − 2 x − 5 = 0 Bài 7: Giải phương trình: ( 3 − x ) + ( 2 − x ) = ( 5 − 2 x ) 4 4 4 HD: 3 − x = y = 5 − 2 x = y + z , phương trình trở thành: Đặt  2 − x = z ( ) y4 + z 4 + ( y + z ) = yz 2y2 + 3yz + 2z 2 = 0 4 Bài 8: Giải phương trình: ( x − 7) + ( x − 8) = (15 − 2 x ) 4 4 4 HD: 4   3 Đặt x − 7 = a, x − 8 = b = a 4 + b 4 − ( a + b ) = 0 = 4ab  a2 + ab + b2  = 0 2   Bài 9: Giải phương trình: ( x + 1) + ( x − 2 ) = ( 2 x − 1) 3 3 3 HD: x + 1 = y = 1 − 2 x = t thì ta có: x + y + z = 0 Đặt  x − 2 = z Phương trình trở thành: y3 + z3 + t 3 = 0 vậy yzt = 0 ( x + 1)( x − 2 )(1 − 2 x ) = 0 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 6 Bài 10: Giải phương trình: HD: ( x + 1) + ( x − 2 ) = ( 2 x − 1) 3 3 3 Đặt x + 1 = a, x − 2 = b,1 − 2 x = c = a + b + c = 0 Phương trình tương đương với ( x + 1) + ( x − 2 ) + (1 − 2 x ) = 0 = a3 + b 3 + c 3 = 0 3 ( x + 1) 2 Bài 11 : Giải phương trình: HD: 2 3 ( 3 ) + 3x x 2 + 1 + 2 x 2 = 0 Đặt x 2 + 1 = y = y2 + 3xy + 2 x 2 = 0 = ( x + y )( y + 2 x = 0 ) Bài 12: Giải phương trình: x 4 − 4 x 2 ( 2 x − 1) − 12 ( 2 x − 1) = 0 2 HD :  x 2 = a Đặt  . Khi đó phương trình trở thành: ( 2 x − 1) = b a2 − 4ab − 12b2 = 0 = ( a − 6b )( a + 2b ) = 0 Với a = 6b = x 2 = 6 ( 2 x − 1) = x 2 − 12 x + 6 = 0 = ( x − 6 ) = 30 2 Với a = −2b = x 2 + 4 x − 2 = 0 = ( x + 2 ) = 2 ( )( ) ( 6) 2 Bài 13: Giải phương trình: 3x 2 − 8x + 4 x 2 − 4 + 12 x 4 = 0 HD: Phương trình tương đương với:  ( 3x − 2 )( x − 2 )( x − 2 )( x + 2 ) + 12 x 4 = 0 ( ) ( )  3x 2 + 4 x − 4 ( x − 2) + 12 x 4 = 0  4 x 2 − x 2 + 4 x − 4 ( x − 2) + 12 x 4 = 0 2 2 2 2 2 2   4 x 2 − ( x − 2 )  ( x − 2 ) + 12 x 4 = 0  4 x 2 ( x − 2 ) − ( x − 2 ) + 12 x 4 = 0   x2 = a Đặt:  , Khi đó phương trình trở thành: 2 x − 2 = b ( )   2 12a + 4ab − b2 = 0  12a2 + 6ab − 2ab − b2 = 0  6a ( 2a + b ) − b ( 2a + b ) = 0  ( 6a − b )( 2a + b  6a = b  6a − b = 0    6 x 2 = x 2 − 4 x + 4  5x 2 + 4 x − 4 = 0 a = b = 0 l ()   2a + b = 0 −2  2 6 5 2 Bài 14: Giải phương trình: x − 1 x 2 + 4 x + 3 = 192 Giải pt trên ta được: x = ( )( ) HD: (x Biến đổi phương trình thành: 2 ) − 1 ( x + 1)( x + 3) = 192 = ( x − 1)( x + 1) ( x + 3) = 192 2 ( ) Đặt x + 1 = y = Phương trình trở thành: ( y − 2 ) y 2 ( y + 2 ) = 192 = y 2 y 2 − 4 = 192 Đặt y2 − 2 = z , Phương trình trở thành: ( z + 2)( z − 2 ) = 192 = z = 14 Bài 15: Giải phương trình: x 3 + ( x + 1) + ( x + 2 ) = ( x + 3) 3 3 3 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 7 HD: Đặt x = y + 3 , Phương trình trở thành: ( y + 3) + ( y + 4 ) + ( y + 5) = ( y + 6 ) 3 ( 3 3 3 ) = 2 y y 2 + 9 y + 21 = 0 Bài 16: Giải phương trình: 3 ( x 2 − x + 1) − 2 ( x + 1) = 5 ( x3 + 1) 2 2 HD : Vì x = −1 không là nghiệm của phương trình nên chia cả hai vế cho x 3 + 1 ta được: x2 − x + 1 x +1 −2 2 . Đặt x +1 x − x +1 x2 − x + 1 2 1 t=  3t − = 5  3t 2 − 5t − 2 = 0  t = 2, t = − x +1 t 3 3  13 t = 2  x 2 − 3x − 1 = 0  x = 2 3 1 t = −  3x 2 − 2 x + 4 = 0 phương trình vô nghiệm 3 Bài 17: Giải phương trình: ( x + 1)( x + 2 )( x + 3) ( x + 4 )( x + 5) = 360 2 HD: ( )( )( ) Phương trình  x 2 + 6 x + 5 x 2 + 6 x + 8 x 2 + 6 x + 9 = 360 Đặt t = x + 6 x , ta có phương trình: ( y + 5)( y + 8)( y + 9) = 360 2 x = 0  y y 2 + 22 y + 157 = 0  y = 0  x 2 + 6 x = 0    x = −6 Vậy phương trình có hai nghiệm: x = 0; x = −6 . ( ) Bài 18: Giải phương trình: ( x3 + 5 x + 5 ) + 5 x3 + 24 x + 30 = 0 3 HD: ( ) Ta có: x3 + 5x + 30 = 5 x3 + 5x + 5 − x + 5 nên phương trình tương đương (x 3 ) 3 ( ) + 5 x + 5 + 5 x3 + 24 x + x3 + 24 x + 30 = 0 . Đặt u = x3 + 5 x + 5 . Ta được hệ: 3  u + 5u + 5 = x  ( u − x ) u 2 + ux + x 2 + 6 = 0  u = x .  3   x + 5x + 5 = u  x3 + 4 x + 5 = 0  ( x + 1) ( x 2 − x + 5) = 0  x = −1 . ( ) Vậy x = −1 là nghiệm duy nhất của phương trình. Bài 19: Giải phương trình: ( x 2 + x + 2 )( x 2 + x + 3) = 6 HD: t = 2 Đặt x 2 + x + 2 = t . Phương trình đã cho thành t ( t + 1) = 6   . t = −3 Với t = 2 thì x 2 + x + 2 = 2  x 2 + x = 0  x = 0 hoặc x = −1 . −1  21 Với t = −3 thì x 2 + x + 2 = −3  x 2 + x + 5 = 0  x = . 2  −1 − 21 −1 + 21    Vậy tập nghiệm của phương trình là S = −1;0; ; . 2 2     Bài 20: Giải phương trình: ( 6 x + 7 ) (3x + 4)( x + 1) = 1 2 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 8 HD: Biến đổi phương trình thành ( 36 x 2 + 84 x + 49 )( 36 x 2 + 84 x + 48) = 12 . t = 3 Đặt t = 36 x 2 + 84 x + 48 thì phương trình trên thành t ( t + 1) = 12   . t = −4 5 3 Với t = 3 thì 36 x 2 + 84 x + 48 = 3  36 x 2 + 84 x + 45 = 0  x = − hoặc x = − . 6 2 2 2 t = − 4 Với thì 36 x + 84 x + 48 = −4  36 x + 84 x + 52 = 0 , phương trình này vô nghiệm.  5 3 Vậy tập nghiệm của phương trình là S = − ; −  .  6 2 Bài 21: Giải phương trình: ( x −1) + ( x + 3) 4 4 = 82 HD: y =1 x = 0  Đặt y = x + 1 thì phương trình đã cho thành 24 y 4 + 48 y 2 + 216 = 82   .  y = −1  x = −2 Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = −2;0 . Bài 22: Giải phương trình: HD: ( x + 1)( x + 2)( x + 4)( x + 5) = 10 x +1+ x + 2 + x + 4 + x + 5 = x + 3 thì phương trình trở thành: 4 y = − 6 x = − 6 − 3 . y 2 − 4 y 2 − 1 = 10  y 4 − 5 y 2 − 6 = 0     y = 6  x = 6 − 3 Đặt y = ( )( )   Vậy tập nghiệm của phương trình là S = − 6 − 3; 6 − 3 . Bài 23: Giải phương trình: (x 2 + x + 2 )( x 2 + 2 x + 2 ) = 2 x 2 HD: Do x = 0 không phải là nghiệm của phương trình, chia hai vế cho x 2 ta được: 2  2 2    x + + 1 x + + 2  = 2 . Đặt y = x + x thì phương trình trở thành. x  x   2  x+ =0  y = 0  x = −1 x   ( y + 1)( y + 2 ) = 2    y = −3  x + 2 = −3  x = −2  x Bài 24: Giải phương trình: ( x − 2)( x −1)( x − 8)( x − 4) = 4×2 HD: Biến đổi phương trình thành: (( x − 2)( x − 4)) (( x −1)( x − 8)) = 4×2  ( x2 − 6x + 8)( x2 − 9 x + 8) = 4 x2 . Do x = 2 không là nghiệm nên chia hai vế của phương trình cho x 2 ta được: GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 9 8 8  8    x + − 6  x + − 9  = 4 . Đặt y = x + x thì phương trình trở thành x x    y = 5 . ( y − 6 )( y − 9 ) = 4  y 2 − 15 y + 50 = 0    y = 10 8 Với y = 5 thì x + = 5  x 2 − 5 x + 8 = 0 (vô nghiệm). x  x = 5 − 17 8 Với y = 10 thì x + = 10  x 2 − 10 x + 8 = 0   . x  x = 5 + 17 ( ) Vậy tập nghiệm của phương trình là S = 5 − 17;5 + 17 . Bài 25: Giải phương trình: 3 ( x 2 + 2 x − 1) − 2 ( x 2 + 3x − 1) + 5 x 2 = 0 2 HD: 2 Do x = 0 không là nghiệm của phương trình, chia hai vế của phương trình cho x 2 ta được 2 2 1 1 1     3  x − + 2  − 2  x − + 3  + 5 = 0 . Đặt y = x − , phương trình trở thành: x x x     y =1 2 2 3 ( y + 2 ) − 2 ( y + 3) + 5 = 0  y 2 − 1 = 0   . Suy ra  y = −1  1 −1  5  x = x − x = 1 2 .   1  1 5  x − = −1 x =  x  2   −1  5 1  5   Vậy tập nghiệm của phương trình là S =  ; . 2 2     4 3 2 Bài 26: Giải phương trình: 3x − 4 x − 5 x + 4 x + 3 = 0 HD: Phương trình không nhận x = 0 là nghiệm, chia hai vế cho x 2 được : 1  1 1  3  x 2 + 2  − 4  x −  − 5 = 0 . Đặt t = x − thì phương trình trở thành x x   x  2 3t − 4t + 1 = 0 1 3t 2 − 4t + 1 = 0  t = 1 hoặc t = . 3 1 1+ 5 1− 5 Với t = 1 thì x − = 1  x 2 − x − 1 = 0  x = hoặc x = . x 2 2 1 1 1 + 37 1 − 37 1 Với t = thì x − =  3x 2 − x − 3 = 0  x3 = hoặc x4 = . 3 x 3 2 2  1 + 5 1 − 5 1 + 37 1 − 37   Vậy tập nghiệm của phương trình là S =  ; ; ; . 2 2 2    2  Bài 27: Giải phương trình: 2 x 4 − 21×3 + 34 x 2 + 105 x + 50 = 0 (1) HD: GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 10 105 50 = 25 nên phương trình là phương trình bậc bốn có = −5 và k 2 = −21 2 25  5 5   hệ số đối xứng tỉ lệ. (1)  2  x 2 + 2  − 21 x −  + 34 = 0 . Đặt t = x − suy ra x x  x   25 9 t 2 = x 2 + 2 − 10 . Phương trình trở thành 2t 2 − 21t + 54 = 0  t = 6 hoặc t = . x 2 5 Với t = 6 thì x − = 6  x 2 − 6 x − 5  x 2 − 6 x − 5 = 0 . x Phương trình có hai nghiệm x1 = 3 + 14; x2 = 3 − 14 . 5 9 9 Với x = thì x − =  2 x 2 − 9 x − 10 = 0 . x 2 2 9 + 161 9 − 161 Phương trình có hai nghiệm x3 = . ; x4 = 4 4  9 + 161 9 − 161    Vậy PT (1) có tập nghiệm S = 3 + 14;3 − 14; ; . 4 4     1 1 1 1 1 Bài 28: Giải phương trình: + + + + =0 x x +1 x + 2 x + 3 x + 4 HD: Điều kiện x −1; −2; −3; −4;0 . Ta biến đổi phương trình thành: Ta thấy k = 2 ( x + 2) 2 ( x + 2) 1   1 1  1 1 1 + =0 2 + 2 + =0  + + + x + 4x x + 4x + 3 x + 2  x x + 4   x +1 x + 3  x + 2 1 1 1  2 + 2 + = 0 . Đặt u = x 2 + 4 x , phương trình trở thành 2 x + 4 x x + 4 x + 3 2( x + 4 x + 4)  −25 + 145 u = 2 1 1 1 10 + + = 0  5u + 25u + 24 = 0   . u u + 3 2 (u + 4) 2u ( u + 3)( u + 4 )  −25 − 145 u =  10  2 −25 + 145  x + 4x = 10 Do đó  . Tìm được tập nghiệm của phương trình là  2 −25 − 145  x + 4x = 10   15 + 145 15 + 145 15 − 145 15 − 145    S = −2 − ; −2 + ; −2 + ; −2 − . 10 10 10 10     x + 4 x − 4 x +8 x −8 8 Bài 29: Giải phương trình: + − − =− x −1 x + 1 x − 2 x + 2 3 HD: 5 −5 10 10 8 10 40 8 Biến đổi phương trình thành + − + =−  2 − 2 =− x −1 x +1 x − 2 x + 2 3 x −1 x − 4 3 2 . Đặt u = x ( u  1, u  4; u  0) dẫn đến phương trình GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 11 u = 16 4u − 65u + 16 = 0   . bTìm được tập nghiệm của phương trình là u = 1  4 1   1 S = − ; −4; ;4 . 2   2 x +1 x+6 x+2 x+5 + 2 = 2 + 2 Bài 30: Giải phương trình: x ( x + 2 ) x + 12 x + 35 x + 4 x + 3 x + 10 x + 24 2 HD: Điều kiện x −7; −6; −5; −4; −3; −2; −1;0 . Biến đổi phương trình thành x +1 x+6 x+2 x+5 + = + x ( x + 2 ) ( x + 5)( x + 7 ) ( x + 1)( x + 3) ( x + 4 )( x + 6 ) x +1  1 1  x+6 1 1  −  − +   2  x x+2 2  x+5 x+7  x+2 1 1  x+5 1 1  = − −  +   2  x +1 x + 3  x  x+4 x+6 1 1 1 1 1 1 1 1  + + + = + + + x x + 2 x + 5 x + 7 x +1 x + 3 x + 4 x + 6 1   1 1   1 1   1 1  1  + + + + + = +   x x + 7   x + 2 x + 5   x + 1 x + 6x   x + 3 x + 4  1 1 1  1   ( 2x + 7)  2 + 2 − 2 − 2 =0  x + 7 x + 7 x + 10 x + 7 x + 6 x + 7 x + 12  7  x = − 2  . 1 1 1  1 + + − = 0(*)  x 2 + 7 x x 2 + 7 x + 10 x 2 + 7 x + 6 x 2 + 7 x + 12 Đặt u = x 2 + 7 x thì phương trình (*) có dạng 1 1 1 1 1   1 1  1 + + + =0 − − + =0 u u + 10 u + 6 u + 12  u u + 6   u + 10 u + 12   u 2 + 18u + 90 = 0 . 2 Mặt khác u 2 + 18u + 90 = ( u + 9 ) + 9  0 với mọi u . Do đó phương trình (*) vô nghiệm. 7 Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = − . 2 2 2 2 x + x + 1 x + 2 x + 2 x + 3x + 3 x 2 + 4 x + 4 + − − =0 Bài 31: Giải phương trình: x +1 x+2 x+3 x+4 HD: Điều kiện x −4; −3; −2; −1 . Biến đổi phương trình thành  1 2 3 4 4   2 3   1 + − − =0 − − + =0 x +1 x + 2 x + 3 x + 4  x +1 x + 4   x + 2 x + 3  x = 0 3 1    .  x 2 + 2 3 1 =0   + = 0(*)  x + 5x + 4 x + 5x + 6   x2 + 5x + 4 x2 + 5x + 6 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 12 Đặt u = x 2 + 5x thì phương trình (*) trở thành Từ đó ta có 2 x2 + 10 x + 11 = 0  x = 3 1 11 + =0u=− . u+4 u+6 2 −5  3 . 2  −5 − 3 −5 + 3  Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = 0; ; . 2 2   4x 3x Bài 32: Giải phương trình: + 2 =1 2 4 x − 8 x + 7 4 x − 10 x + 7 HD: Do x = 0 không là nghiệm của phương trình nên chia cả tử và mẫu của mỗi phân thức 7 ở vế trái của phương trình cho x , rồi đặt y = 4 x + ta được x 4 3 + =1. y − 8 y − 10 Phương trình trên có 2 nghiệm y = 16, y = 9 . 7 = 9  4 x 2 − 9 x + 7 = 0 . Phương trình này vô nghiệm. x 7 Với y = 16 thì 4 x + = 16  4 x 2 − 16 x + 7 = 0 . Phương trình này có hai nghiệm x 1 7 x1 = ; x2 = . 2 2 1 7  Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S =  ;  . 2 2 2 2 Bài 33: Giải phương trình: 2 x − 3x + 1 2 x + 5 x + 1 = 9 x 2 Với y = 9 thì 4 x + ( )( ) HD: Đặt t = 2 x 2 + x + 1 , phương trình (1) thành (t − 4x )(t + 4x ) = 9×2  t 2 −16×2 = 9×2  t 2 = 25×2  t = −5x hoặc t = 5x . −3  7 . 2 2 2 Với t = 5x thì 2 x2 + x + 1 = 5x  2 x 2 − 4 x + 1 = 0  x = . 2   −3  7 2  2   Vậy tập nghiệm của phương trình (1) là  ;  2    2  Với t = −5x thì 2 x 2 + x + 1 = −5x  2 x 2 + 6 x + 1 = 0  x = Bài 34: Giải phương trình: HD: (x 2 − 5 x + 1)( x 2 − 4 ) = 6 ( x − 1) 2 Đặt u = x −1 đưa phương trình (2) về dạng tổng quát ( u 2 − 7u − 3)( u 2 − 2u − 3) = 6u 2 . Bạn đọc giải tiếp theo phương pháp đã nêu. Ta có thể giải bằng cách khác như sau ( )( ) 2 2 Viết phương trình đã cho về dạng x − 4 − 5 x + 5 x − 4 − 6 ( x − 1) = 0 . 2 Đặt t = x 2 − 4 , Phương trình thành t 2 + ( −5x + 5) t + ( −6x + 6)( x −1) = 0  ( t − 6 x + 6)(t + x −1) = 0 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 13 x = 3  7  x2 − 4 = 6x − 6  x2 − 6x + 2 = 0 t = 6 x − 6    2  2  −1  21 . x − 4 = − x + 1 x + x − 5 = 0 t = − x + 1    x = 2   −1 + 21  −1 − 21  Vậy tập nghiệm của PT(2) là S =  ;3 − 7; ;3 + 7  . 2 2     4 3 2 Bài 35: Giải phương trình: x − 9 x + 16 x + 18 x + 4 = 0 HD: PT tương đương với x 4 − 9 x x 2 − 2 + 16 x 2 + 4 = 0 ( ) Đặt t = x 2 − 2 thì t 2 = x 4 − 4 x 2 + 4 , PT trên thành: t 2 − 9xt + 20×2 = 0  (t − 4x )(t − 5x ) = 0 x = 2  6  x2 − 2 = 4x  x2 − 4x − 2 = 0 t = 4 x    2  2  5  33 . t = 5 x x =  x − 2 = 5x  x − 5x − 2 = 0  2  5 − 33 5 + 33    Vậy tập nghiệm của phương trình là 2 − 6; ;2 + 6; . 2 2     2 x − 12 = 3x 2 − 6 x − 3 Bài 36: Giải phương trình: 2 ( x + 2) HD: Điều kiện x  −2 . Khử mẫu thức ta được phương trình tương đương: 3x 4 + 6 x3 − 16 x 2 − 36 x − 12 = 0  3x 4 + 6 x ( x 2 − 6 ) − 16 x 2 − 12 = 0 . Đặt t = x 2 − 6 thì t 2 = x 4 − 12 x 2 + 36 , suy ra 3x 4 = 3t 2 + 36 x 2 − 108 , PT trên thành: 3t 2 + 6 xt + 20t = 0  t (3t + 6 x + 20) = 0  t = 0 hoặc 3t = −6 x − 20 . Với t = 0 thì x 2 − 6 = 0 , suy ra x =  6 (thỏa mãn đk). Với 3t = −6 x − 20 ta có 3x 2 − 18 = −6 x − 20 hay 3x 2 + 6 x + 2 = 0 suy ra x = −3  3 3   −3 + 3  −3 − 3  (thỏa mãn ). Vậy tập nghiệm của PT(4) là S =  ; − 6; ; 6 . 3    3  2x 13 x Bài 37: Giải phương trình: + 2 =6 2 3x − 5 x + 2 3x + x + 2 HD: 2x 13 x Đặt t = 3x 2 + 2 PT(5) trở thành + = 6 . ĐK: t  5 x, t  − x . t − 5x t + x Khử mẫu thức ta được PT tương đương 2t 2 −13tx + 11×2 = 0  (t − x )( 2t −11x ) = 0 11  t = x hoặc t = x (thỏa mãn ĐK) 2 2 Với t = x thì 3x + 2 = x  3x 2 − x + 2 = 0 .Phương trình vô nghiệm. 11 11 1 4 Với t = x thì 3x 2 + 2 = x  6 x − 11x + 2 = 0  x = hoặc x = .Vậy tập 2 2 2 3 1 4   nghiệm của PT(5) là  ;  . 2 3 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 14 Bài 38: Giải phương trình: x 2 ( x 4 − 1)( x 2 + 2 ) + 1 = 0 HD: Lời giải: PT  x 2 ( x 2 + 1)( x 2 − 1)( x 2 + 2 ) + 1 = 0  ( x4 + x 2 )( x 4 + x 2 − 2 ) + 1 = 0  ( x4 + x2 ) − 2 ( x4 + x2 ) + 1 = 0 2  ( x 4 + x 2 − 1) = 0  x 4 + x 2 − 1 = 0 . 2   −   Giải phương trình trùng phương trên ta được tập nghiệm của PT là 5 −1 5 −1   ; . 2 2   x2 − 4  x−2  x+2 Bài 39: Giải phương trình: 20  + 5 − 20 =0    x2 −1  x +1   x −1  HD: Điều kiện x  1 . x−2 x+2 Đặt = y; = z , PT có dạng: x +1 x −1 2 20 y 2 + 5z 2 − 20 yz = 0  5 ( 2 y − z ) = 0  2 y = z 2 2 x−2 x+2 =  2 ( x − 2 )( x − 1) = ( x + 2 )( x + 1) x + 1 x −1 9 + 73 9 − 73  2 x 2 − 6 x + 4 = x 2 + 3x + 2  x 2 − 9 x + 2 = 0  x = hoặc x = 2 2 Dẫn đến 2.   9 − 73 9 + 73   (thỏa mãn ). Vậy tập nghiệm của PT(2) là  ; . 2    2  4 3 2 Bài 40: Giải phương trình: x − 4 x − 19 x + 106 x − 120 = 0 4 3 2 Bài 41: Giải phương trình: 4 x + 12 x + 5x − 6 x − 15 = 0 4 Bài 42: Giải phương trình : x = 8x + 7 HD : ( )  x 4 + 2 x 2 + 1 = 2 x 2 + 8x + 8  x 2 ( ) 2 ( + 2 x 2 + 12 = 2 x 2 + 4 x 2 + 22 )  x 2 + 1 = 2 ( x + 2)  x 2 + 1 = 2 x + 2 2 2  x 2 + 1 = 2 x + 2  x 2 + 1 = 2.x + 2 2 2 x2 + 1 = 2.x + 2 2  x2 − 2.x = 2 2 − 1  x − 2.x + 1 1 =2 2− 2 2 2  2 4 2 −1 x−  =   2  2  Bài 43: Giải phương trình: 2 x ( 8x − 1) ( 4 x − 1) = 9 2 Bài 44: Giải phương trình: 2 x − x − 5x + x + 2 = 0 HD: 2 Thấy x = 0 khoong phải là nghiệm của phương trình nên chia cả hai vế cho x  0 ta được: 4 3 2 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 15  1  1 1 2 + 2 = 0 = 2  x 2 + 2  −  x −  − 5 = 0 x x x x    1 1 Đặt: x − = t = x 2 + 2 = t 2 + 2 , Thay vào phương trình ta được: x x 2 2t − t − 1 = 0 = ( 2t + 1)( t − 1) = 0 2×2 − x − 5 + 4 3 2 Bài 45: Giải phương trình: x − 4 x + 6 x − 4 x − 24 = 0 Bài 46: Giải phương trình: ( x − 4 ) − x ( x − 2 )( x + 8) + 96 = 0 3 ( ) Bài 47: Giải phương trình: x 4 + ( x − 1) x 2 − 2 x + 2 = 0 HD: 2 Biến đổi phương trình thành: x 4 + ( x − 1) ( x − 1) + 1 = 0   Đặt: y = x − 1 = x = y + 1 , Thay vào phương trình ta được: ( y + 1) 4 ( ) + y y2 + 1 = 0 = y4 + 5y3 + 6y2 + 5y + 1 = 0 Thấy y = 0 không phải là nghiệm nên chia cả hai vế cho y2  0 , ta được: 5 1 y 2 + 5y + 6 + + 2 = 0 y y 2   1 1 =  y +  + 5  y +  − 2 = 0 y y   ( ) 2 ( ) ( 2 ) Bài 48: Giải phương trình: 2 x 2 + x + 1 − 7 x − 1 = 13 x 3 − 1 HD: ( ) ( 2 ) 2 ( )( 13 ( x − 1) = ) Biến đổi phương trình thành: 2 x 2 + x + 1 − 7 x − 1 = 13 x − 1 x 2 + x + 1 2  x −1  2 Chia hai vế cho x + x + 1 , ta được: 2 − 7  2  x2 + x + 1  x + x +1 x −1 = y , phương trình trở thành: 2 − 7y2 − 13y = ( y + 2 )(1 − 7y ) = 0 Đặt: 2 x + x +1 ( ) 3 ( Bài 49: Giải phương trình: x 2 − 3x + 2 = x 6 − 3x − 2 HD: ( ) ( 3 ) 3 ) ( ) 3 Biến đổi phương trình thành: x 2 − 3x + 2 + 3x − 2 = x 2 3 2 2 Dễ thấy: x − 3x + 2 + 3x − 2 = x , Thay vào phương trình trên ta được: (x 2 ) ( ) − 3 x + 2 + ( 3 x − 2 ) =  x 2 − 3x + 2 + ( 3 x − 2 )    ( 3 3 ) ( ) 3 ( ) ( ) = x 2 − 3x + 2 + ( 3x − 2) = x 2 − 3x + 2 + ( 3x − 2) + 3 x 2 − 3x + 2 (3x − 2) x 2 3 3 3 3 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 16 x = 1   x − 3x + 2 = 0 x = 2  = 3 x 2 − 3x + 2 ( 3x − 2 ) x 2 = 0 = 3x − 2 = 0 =  2 x =  x2 = 0 3    x = 0 2 ( ) ( )( ) Bài 50: Giải phương trình: x 2 + 9 x 2 + 9x = 22 ( x − 1) HD: 2 ( )( ) Đặt y = x − 1 , Phương trình trở thành: y 2 + 2 y + 10 y 2 + 11y + 10 = 22 y 2 Vì y = 0 không phải là nghiệm của PT nên chia cả hai vế của phương trình cho y2  0 .  10  10  Phương trình trở thành:  y + 2 +  y + 11 +  = 22 y  y  t = 2 10 Đặt: y + + 2 = t , Phương trình: t ( t + 9) = 22 = t 2 + 9t − 22 = 0 =  y t = −11 10 y2 + 10 + 2 = 2 = = 0 ( Vô lý) y y 10 Với t = -11, ta được : y + + 2 = −11 = y2 + 13y + 10 = 0 y Với t = 2, ta được: y + ( )( ) Bài 51: Giải phương trình: x 2 − 3x + 3 x 2 − 2 x + 3 = 2 x 2 HD: 2 Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình, chia cả hai vế cho x  0 ta được:   3  3 3  x + x − 3  x + x − 2  = 2 , Đặt: x + x = t , phương trình trở thành:    (t − 3)(t − 2) = 2 = t 2 − 5t + 4 = 0 ( ) 2 ( ) Bài 52: Giải phương trình: x 2 + 1 + 3x x 2 + 1 + 2 x 2 = 0 HD: Đặt x 2 + 1 = t , ( t  1) , Khi đó phương trình trở thành: t = − x t 2 + 3xt + 2 x 2 = 0 = ( t + x )( t + 2 x ) = 0 =  t = −2 x 2  1 3 Với t = − x = − x = x + 1 =  x +  + = 0 ( Vô nghiệm) 2 4  2 Với t = −2 x = −2 x = x 2 + 1 = ( x + 1) = 0 = x = −1 2 ( ) 2 Bài 53: Giải phương trình: x 2 − 9 = 12 x + 1 HD: 2 Cộng cả hai vế với 36x ta được: (x 2 ) 2 ( ) − 9 + 36 x 2 = 36 x 2 + 12 x + 1 = x 2 2 + 18x 2 + 81 + 36 x 2 = ( 6 x + 1) 2 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 17 ( ) + 18x + 81 = (6x + 1) = ( x + 9) − (6x + 1) = ( x + 9 − 6 x − 1)( x + 9 + 6 x + 1) = 0 2 = x 2 2 2 2 2 2 =0 2 Bài 54: Giải phương trình: ( x − 7) + ( x − 8) = (15 − 2 x ) 2 HD: 2 2 2 Nhận thấy: ( x − 7) + ( x − 8) = 2 x − 15 , Thay vào phương trình ta được: ( x − 7) + ( x − 8) = ( 7 − x + 8 − x ) = ( x − 7) + ( x − 8) = ( 7 − x ) + ( 8 − x ) = 2 ( 7 − x )( 8 − x ) = 0 2 2 2 2 2 2 2 + 2 ( 7 − x )( 8 − x ) = 0 1 3 3 2 Bài 56: Giải phương trình: 4 x − 6 x + 12 x − 8 = 0 3 2 Bài 55: Giải phương trình: x − x + x = Bài 57: Giải phương trình: (x 2 ) 2 − 9 = 12 x + 1 HD: ( ) 2 2 Cộng thêm 36x vào hai vế ta được: x 2 − 9 + 36 x 2 = 36 x 3 + 12 x + 1 x x x−1 Bài 58: Giải phương trình : 6 + 1 = 8 − 27 HD : 2x.3x = 23x − 3 ( ) − 1 2 x = a 3 3 Đặt  x −1 , Phương trình trở thành : a3 + ( −b ) + ( −1) = 3a ( − b )( −1) 3 = b 3 x −1 ( ) Vì x 3 + y3 + z 3 − 3xyz = ( x + y + z ) x 2 + y 2 + z 2 − xy − yz − zx , x x−1 Khi đó : 2 = 3 + 1 Bài 59: Giải phương trình: 8x − 4 x 2 − 1 x 2 + 2 x + 1 = 4 x 2 + x + 1 ( )( ) ( ) HD: Nhận thấy x = −1 không phải là nghiệm của phương trình 8x − 4 x 2 − 1 x 2 + x + 1 = 2 Với x  −1 , phương trình đã cho tương đương với 4 x + 2x + 1 Ta có: 2 2 3 x2 + 2x + 1 + x2 − 2x + 1 x + x +1 4×2 + 4x + 4 3 ( x − 1) 3 = = = +  2 2 2 2 4 4 ( x + 1) 4 x + 2x + 1 4 x + 2x + 1 4 x + 2x + 1 ( ) ( ( ) ( ) ) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x − 1 = 0 = x = 1 (1) 2 2 2 8x − 4 x − 1 3 − 4 x − 2 x + 1 3 3 = = − ( x − 1)  Lại có: 4 4 4 4 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x − 1 = 0 = x = 1 (2) Từ (1) và (2) suy ra phương trình có nghiệm khi x = – 1 ( ( ) ) 2 ( ) Bài 60: Giải các phương trình sau: x 2 + x + 4 + 8x x 2 + x + 4 + 16x 2 = 0 HD: Đặt x 2 + x + 4 = t , ta có: t 2 + 8xt + 16 x 2 = 0 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 18 = ( t + 4 x ) = 0 = x 2 + x + 4 + 4 x = 0 = x 2 + 5x + 4 = 0 2 ( x + 1)( x + 4) = 0 ( Bài 61: Giải các phương trình sau: x 2 + x HD: 2 ( ) + 4 x 2 + x = 12 Đặt y = x 2 + x , Phương trình trở thành: y2 + 4 y − 12 = 0 = ( y + 6)( y − 2 ) = 0 ( Bài 62: Tìm x biết: x 2 + x HD: ) ) 2 ( ) + 4 x 2 + x = 12 Đặt x 2 + x = t , Phương trình trở thành: t 2 + 4t − 12 = 0 = ( t + 6)( t − 2 ) = 0 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 19 DẠNG 5 : NHẨM NGHIỆM ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH Phương pháp : + Nếu phương trình có tổng các hệ số bằng 0 thì phương trình có một nhân tử là : ( x − 1) ( x + 1) + Nếu phương trình có hiệu hệ số bậc chẵn với bậc lẻ bằng 0 thì có một nhân tử là : + Nếu phương trình có nghiệm nguyên thì nghiệm đó là ước của hệ số tự do + Nếu phương trình có nghiệm phân số, thì tử là ước của hệ số tự do, mẫu là ước của hệ số bậc cao nhất + Sửa dụng phương pháp đồng nhất để tách phương trình bậc 4 thành hai phương trình bậc 2 Bài 1: Giải phương trình: x + 2 x + 5x + 4 x − 12 = 0 HD: Phương trình tương đương với ( x − 1)( x + 2 ) x 2 + x + 6 = 0 4 3 2 ( ) 4 3 2 Bài 2: Giải phương trình: x + 2 x − 4 x − 5x − 6 = 0 HD: Phương trình tương đương với: ( x − 2 )( x + 3) x 2 + x + 1 = 0 ( ) Bài 3: Giải phương trình: x + x + 6 x − 8 = 0 HD: Phương trình tương đương với ( x − 1)( x + 2 ) x 2 − x + 4 = 0 4 2 ( ) 4 3 2 Bài 4: Giải phương trình: 6 x − x − 7x + x + 1 = 0 HD: Phương trình tương đương với: x 2 − 1 ( 2 x − 1)( 3x + 1) = 0 ( ) Bài 5: Giải phương trình: x − 2 x + 4 x − 3x + 2 = 0 HD: Phương trình tương đương với x 2 − x + 1 x 2 − x + 2 = 0 4 3 2 ( )( ) Bài 6: Giải phương trình: 2 x + 3x + 8x + 6 x + 5 = 0 HD : Phương trình tương đương với x 2 + x + 1 2 x 2 + x + 5 = 0 4 3 2 ( ( Bài 7: Giải phương trình sau: x 2 − 4 ) 2 )( ) = 8x + 1 HD : (x 2 Thêm 16x vào hai vế ta được : 2 ) ( )( ) + 4 = ( 4 x + 1) = x 2 + 4 x + 5 x 2 − 4 x + 3 = 0 2 2 4 2 Bài 8: Giải phương trình sau: x − 4 x + 12 x − 9 = 0 HD: Biến đổi phương trình x 4 − ( 2 x − 3) = 0 2 Bài 9: Giải phương trình: x 4 − 10 x 2 − x + 20 = 0 HD: GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 20 Biến đỏi phương trình thành :  ( x2 − x − 5)( x 2 + x − 4) = 0  x = −1  17 2 và 1  21 2 Bài 10: Giải phương trình: x 4 − 22 x 2 − 8 x + 77 = 0 HD: x=  x = −1  2 2 Biến đổi phương trình thành:  ( x 2 + 2 x − 7)( x 2 − 2 x − 11) = 0    x = 1  2 3 Bài 11: Giải phương trình: x 4 − 6 x3 + 8x 2 + 2 x − 1 = 0 HD: x = 2 +  x = 2 − 2 2 Biến đổi phương trình thành:  ( x − 4 x + 1)( x − 2 x − 1) = 0   x = 1+ x = 1+  3 3 , 2 2 Bài 12: Giải phương trình: x + 2 x − 5 x + 6 x − 3 = 0 HD: 4 3 2  −3 + 21 x = 2 Biến đổi phương trình thành:  ( x 2 + 3x − 3)( x 2 − x + 1) = 0    −3 − 21 x =  2 4 2 Bài 13: Giải phương trình : x − 4 x + 12 x − 9 = 0 HD : Biến đổi phương trình thành:  x2 + 2 x − 3 = 0  ( x2 + 2 x − 3)( x 2 − 2 x + 3) = 0   2  x = 1; x = 3 x − 2 x + 3 = 0  4 2 Bài 14: Giải phương trình : x − 13x + 18x − 5 = 0 HD: Biến đổi phương trình thành:  ( x 4 − 4 x 2 + 4 ) − ( 9 x 2 − 18x + 9 ) = 0 Bài 15: Giải phương trình : 2 x 4 − 10 x3 + 11x 2 + x − 1 = 0 HD: Biến đổi phương trình thành: 2 2 1 1 2 3 9 1 3 1  2 5    x − x −  = x + x + =  x +    x 2 − 2 x +  ( x 2 − 3x − 1) = 0 2 4 4 4 16  2 4 2    2 2 x = 2  2 x − 4 x + 1 = 0 2  2   3  13  x − 3x − 1 = 0 x =  2 Bài 16: Giải phương trình: x + x + 2 x − 4 = 0 HD: Phương trình = x 4 + x 3 + 2 x − 4 = 0 = ( x − 1)( x + 2 ) x 2 + 2 = 0 4 3 ( ) 4 2 Bài 17: Giải phương trình: x − 30 x + 31x − 30 = 0 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 21 HD: ( ) x 4 − 30 x 2 + 31x − 30 = 0 = x 4 + x − 30 x 2 − x + 1 = 0 ( ) ( ) ( ) ( ) = x x 3 + 1 − 30 x 2 − x + 1 = 0 = x ( x + 1) x 2 − x + 1 − 30 x 2 − x + 1 = 0 ( )( ) = x 2 − x + 1 x 2 + x − 30 = 0 , 2  1 3 2 Vì x − x + 1 =  x −  +  0 = x + x − 30 = 0 = ( x + 6 )( x − 5) = 0 2 4  2 Bài 18: Cho đa thức: P ( x ) = x 4 + x 3 + 6 x 2 − 40 x + m − 1979 a) Tìm m sao cho P(x) chia hét cho x-2 b) Với m tìm được, hãy giải phương trình P(x) =0 HD: a, P ( x ) = ( x − 2 ) x 3 + 3x 2 + 12 x − 16 + m − 2011 , Do p ( x ) chia hết cho x − 2 nên ( ) m − 2011 = 0 = m = 2011 ( b, Với m=2011=> P ( x ) = ( x − 2 ) x 3 + 3x 2 + 12 x − 16 ) Do đó: P ( x ) = 0 = ( x − 2 ) x 3 + 3x 2 + 12 x − 16 = 0 = ( x − 2 )( x − 1) x 2 + 4 x + 16 = 0 ( ) ( ) x = 2 = ( x − 2)( x − 1) = 0 Vì x 2 + 4 x + 16  0 =  x = 1 ( ) ( ) ( 2 Bài 19: Giải bất phương trình: 2 x 2 + 3x + 4 − x 2 + x + 4 HD: ( ) 2 0 ) Biến dổi phương trình về dạng: x ( x + 2 ) 3x 2 + 4 x + 8  0 Nhận thấy: 3x 2 + 4 x + 8 = ( x + 2 ) + 2 x 2 + 4  0 = x ( x + 2 )  0 = x  −2 hoặc 2 x0 Bài 21: Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn bất phương trình: 10×2 + 20y2 + 24xy + 8x − 24y + 51  0 HD: Biến đổi thành: ( 3x + 4 y ) + ( x + 4 ) + ( 2 y − 6 ) − 1  0 2 2 2 3x + 4 y = 0  x = −4  =  x + 4 = 0 =  y = 3 2 y − 6 = 0  GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 22 DẠNG 6 : PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO Bài 1: Giải phương trình: x − x + 3x + 3x − x + 1 = 0 HD: Nhận thấy x = −1 là 1 nghiệm của phương trình ta có: ( x + 1) x 4 − 2 x 3 + 5x 2 − 2 x + 1 = 0 5 4 3 ( ( x + 1) 2 2 2 ) ( ) − x x2 + 1 = 0 Bài 2: Giải phương trình: x = x + x + x + x + 2 HD: Phương trình tương đương với x 5 − 1 − x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 = 0 = ( x − 2 ) x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 = 0 5 ( 4 3 ) ( 2 ) ( ) 4 3 2 Ta thấy phương trình x + x + x + x + 1 vô nghiệm Bài 3: Giải phương trình sau: x 5 + x 3 + 3x = 2 x 4 + x 2 + 3 ( HD: ) ( ) Phương trình tương đương với 2 ( x − 2 ) x 4 + x 2 + 3 = 0 Bài 4: Chứng minh phương trình sau vô nghiệm: x + x + x + x + x + x + 1 = 0 HD: 7 Nhân hai vế với x − 1 ta được: x − 1 = 0 = x = 1 Bài 5: Giải phương trình: x5 + x 2 + 2 x = −2 HD : Ta có: PT = x5 + x 2 + 2 x + 2 = 0 = ( x5 + x 2 ) + ( 2 x + 2 ) = 0 6 5 4 3 2 = x 2 ( x 3 + 1) + 2 ( x + 1) = 0 = x 2 ( x + 1) ( x 2 − x + 1) + 2 ( x + 1) = 0 = ( x + 1)  x 2 ( x 2 − x + 1) + 2  = 0 Ta thấy x 2  0, x 2 − x + 1  0 = x 2 ( x 2 − x + 1) + 2  2 vậy PT có 1 nghiệm x = −1 Bài 6: Giải phương trình: x + 2 x + 3x + 3x + 2 x + 1 = 0 HD: Phương trình có 1 nghiệm x = -1 Bài 7: Giải phương trình: x6 + 3×5 − 6 x 4 − 21×3 − 6 x 2 + 3x + 1 = 0 HD : Đây là phương trình bậc 6 và ta thấy các hệ số đối xứng do đó ta có thể áp dụng cách giải mà ta đã giải đối với phương trình bậc bốn có hệ số đối xứng. Ta thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình. Chia 2 vế của phương trình cho x 3 ta được: 1 1  1 1  x3 + 3 + 3  x 2 + 2  − 6  x +  − 21 = 0 . Đặt t = x + , t  2 . Ta có: x x x   x  1 1 x 2 + 2 = t 2 − 2; x3 + 3 = t ( t 2 − 3) nên phương trình trở thành: x x 2 2 t ( t − 3) + 3 ( t − 2 ) − 6t − 21 = 0 5 4 3 3 t = 3 2  t 3 − 3t 2 − 9t − 27 = 0  ( t + 3) ( t − 3) = 0   t = −3 1 3 5 t = 3  x + = 3  x 2 − 3x + 1 = 0  x = x 2 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 23 t = −3  x2 + 3x + 1 = 0  x = x= −3  5 . Vậy phương trình có bốn nghiệm : 2 −3  5 3 5 . ;x = 2 2 Bài 8: Giải phương trình: x − 7x − 8 = 0 HD: 3 Đặt x = t , phương trình trở thành: t 2 − 7t − 8 = 0 = ( t + 1)( t − 8) = 0 6 3 Bài 9: Tìm x, y, z biết: 10x 2 + y2 + 4z2 + 6x − 4y − 4xz + 5 = 0 HD : = 9×2 + 6x + 1 + y2 − 4y + 4 + 4z2 − 4xz + x 2 = 0 = ( 3x + 1) + ( y − 2 ) + ( 2 z − x ) = 0 2 2 2 Do đó : 3x + 1 = 0 và y − 2 = 0 và 2z − x = 0 Bài 10: Tìm x, y, z biết: 9x 2 + y2 + 2z2 − 18x + 4z − 6y + 20 = 0 HD: = 9 x 2 − 18x + 9 + y 2 − 6 y + 9 + 2 z 2 + 2 z + 1 = 0 ( ) ( ) ( ) = 9 ( x − 1) + ( y − 3) + 2 ( z + 1) = 0 , 2 2 2 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 24 DẠNG 7: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU Bài 1: Tìm x biết: x +1 x + 3 x + 5 x + 7 x −3 x −3 x −3 x −3 + + = = + + a, b, 65 13 63 14 61 15 59 16 HD: x −3 x −3 x −3 x −3 1 1 1 1 a, = + − − = 0 = ( x − 3)  + − −  = 0 13 14 15 16  13 14 15 16  1 1 1 1 1 1 1 1 −  0 và −  0 nên + − − 0 => x = 3 vì 13 15 14 16 13 14 15 16 b, x + 66 x + 66 x + 66 x + 66  x +1   x + 3   x + 5   x + 7  =  + 1 +  + 1 =  + 1 +  + 1 = + = + 65 63 61 59  65   63   61   59  1 1 1 1  1 1 1 1  + − − 0 => ( x + 66)  + − −  = 0 = x = −61 vì 65 63 61 59  65 63 61 59  Bài 2: Tìm x, biết: 29 − x 27 − x 25 − x 23 − x 21 − x + + + + = −5 a, b, 21 23 25 27 29 x − 10 x − 14 x − 5 x − 148 + + + =0 30 43 95 8 HD:  29 − x   27 − x   25 − x   23 − x   21 − x  a, =  + 1 +  + 1 +  + 1 +  + 1 +  + 1 = 0  21   23   25   27   29  50 − x 50 − x 50 − x 50 − x 50 − x + + + + = 0 => => 21 23 25 27 29 1 1 1 1 1 ( 50 − x )  + + + +  = 0  21 23 25 27 29   x − 10   x − 14   x − 5   x − 148  b, =>  − 3 +  − 2 +  − 1 +  + 6 = 0  30   43   95   8  x − 100 x − 100 x − 100 x − 100 + + + = 0 => => 30 43 95 8 1 1 1 1 ( x − 100)  + + +  = 0  30 43 95 8  Bài 3: Tìm x, biết: x − 5 x − 4 x − 3 x − 100 x − 101 x − 102 x − 2 x −1 x − 4 x − 3 + + = + + + = + a, b, 100 101 102 5 4 3 7 8 5 6 HD: a,  x − 5   x − 4   x − 3   x − 100   x − 101   x − 102  =  − 1 +  − 1 +  − 1 =  − 1 +  − 1 +  − 1  100   101   102   5   4   3  x − 105 x − 105 x − 105 x − 105 x − 105 x − 105 + + = + + => 100 101 102 5 4 3 => x −105 = 0 = x = 105 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 25 b, => x −9 x −9 x −9 x −9  x − 2   x −1   x − 4   x − 3  − 1 +  − 1 =  − 1 +  − 1 = + = +  7 8 5 6  7   8   5   6  => x − 9 = 0 = x = 9 Bài 4: Tìm x, biết: x +1 x + 2 x + 3 x + 4 x + 5 x + 6 + + = + + a, b, 94 93 92 91 90 89 2 x + 19 2 x + 17 2 x + 7 2 x + 5 − = − 21 23 33 35 HD:  x +1   x + 2   x + 3   x + 4   x + 5   x + 6  a, =>  + 1 +  + 1 +  + 1 =  + 1 +  + 1 +  + 1  94   93   94   91   90   89  x + 95 x + 95 x + 95 x + 95 x + 95 x + 95 + + = + + => 94 93 92 91 90 89 => x + 95 = 0 = x = −95  2 x + 19   2 x + 17   2 x + 7   2 x + 5  b, =>  + 1 −  + 1 =  + 1 −  + 1  21   23   33   35  2 x + 40 2 x + 40 2 x + 40 2 x + 40 = + = + 21 35 33 23 = 2x + 40 = 0 = x = −20 Bài 5: Tìm x, biết: x −1 x − 2 x − 3 x − 4 x − 5 x − 6 x +1 x + 2 x + 3 x + 4 + + + = = + + + a, b, 59 15 58 14 57 56 13 55 12 54 HD:  x −1   x − 2   x − 3   x − 4   x − 5   x − 6  a, =>  − 1 +  − 1 +  − 1 =  − 1 +  − 1 +  − 1  59   58   57   56   55   54  x − 60 x − 60 x − 60 x − 60 x − 60 x − 60 = + + = + + 59 58 57 56 55 54 => x − 60 = 0 = x = 60  x +1   x + 2   x + 3   x + 4  b, =  + 1 +  + 1 =  + 1 +  + 1  15   14   13   12  x + 16 x + 16 x + 16 x + 16 = + = + 15 14 13 12 => x + 16 = 0 = x = −16 Bài 6, Tìm x, biết: x − 5 x − 15 x − 1990 x − 1980 x −1 x − 3 x − 5 x − 7 + = + + = + a, b, 1990 1980 5 15 2015 2013 2011 2009 HD:  x − 5   x − 15   x − 1990   x − 1980  a, =>  − 1 +  − 1 =  − 1 +  − 1 5  1990   1980     15  x − 1995 x − 1995 x − 1995 x − 1995 = + = + 1990 1980 5 15 = x −1995 = 0 = x = 1995  x −1   x − 3   x − 5   x − 7  b, =  − 1 +  − 1 =  − 1 +  − 1  2015   2013   2011   2009  GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 26 = x − 2016 x − 2016 x − 2016 x − 2016 + = + = x − 2016 = 0 = x = 2016 2015 2013 2011 2009 Bài 7, Tìm x, biết: x +1 x +1 x +1 x +1 x +1 + + = + a, b, 10 11 12 13 14 315 − x 313 − x 311 − x 309 − x + + + = −4 101 103 105 107 HD: 1 1 1 1 1 a, = ( x + 1)  + + − −  = 0 = x + 1 = 0 = x = −1  10 11 12 13 14   315 − x   313 − x   311 − x   309 − x  b, =  + 1 +  + 1 +  + 1 +  + 1 = 0  101   103   105   107  416 − x 416 − x 416 − x 416 − x + + + = 0 = 416 − x = 0 = x = 416 => 101 103 105 107 Bài 8: Giải phương trình: 315 − x 313 − x 311 − x 309 − x 307 − x + + + + +5= 0 101 103 105 107 109 HD: Phương trình tương đương với :  315 − x   313 − x   311 − x   309 − x   307 − x  + 1 +  + 1 +  + 1 +  + 1 +  + 1 = 0 <=>   101   103   105   107   109  416 − x 416 − x 416 − x 416 − x 416 − x + + + + =0 101 103 105 107 109  1 1 1 1 1  = ( 416 − x )  + + + + =0  101 103 105 107 109  = = 416 − x = 0 = x = 416 x − 90 x − 76 x − 58 x − 36 x − 15 + + + + = 15 10 12 14 16 17 x + 1 x + 3 x + 5 x + 7 x + 9 x + 11 x + 13 x + 15 + + + = + + + Bài 10: Giải phương trình: 65 63 61 59 57 55 53 51 315 − x 313 − x 311 − x 309 − x 307 − x + + + + +5= 0 Bài 11: Giải phương trình: 101 103 105 107 109 Bài 9: Giải phương trình: x x+3 x+4 + 2 + 2 =1 x + 2 x + 5x + 6 x + 6 x + 8 1 1 1 3 + 2 + 2 = Bài 13: Giải phương trình: 2 x + 5x + 4 x + 11x + 28 x + 17 x + 70 4 x − 2 HD: Phương trình tương đương với: 1 1 1 3 + + = ( x + 1)( x + 4) ( x + 4)( x + 7) ( x + 7)( x + 10) ( 4 x − 2) Bài 12: Giải phương trình: x + Bài 14: Giải phương trình: 1 1 1 1 − = − 2008x + 1 2009 x + 2 2010 x + 4 2011x + 5 HD: Phương trình tương đương với: 1 1 1 1 + = + 2008x + 1 2011x + 5 2010 x + 4 2009 x + 2 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 27 = 4019 x + 6 4019 x + 6 = ( 2008x + 1)( 2011x + 5) ( 2010 x + 4)( 2009x + 2) TH1: 4019x + 6 = 0 TH2: ( 2008x + 1)( 2011x + 5) = ( 2010 x + 4)( 2009x + 2) = 2 x 2 + 5x + 3 = 0 Bài 15: Giải phương trình: 2 13 6 + 2 = 3x − 4 x + 1 3x + 2 x + 1 x 2 HD: Điều kiện: x  0, x  1, x  1 3 Biến đổi phương trình thành: 2 3x − 4 + 1 x 13 + 3x + 2 + 1 x = 6 x 1 2 13 − 4 = t , Khi đó phương trình trở thành: + = 6 = 2t 2 + 7t − 4 = 0 x t t+6 x−b−c x−c−a x−a−b + + =3 Bài 16: Giải phương trình: a b c HD: Phương trình tương đương với: 1 1 1 x−b−c−a x−a−b−c x−a−b−c + + = 0 = ( x − a − b − c )  + +  = 0 , a b c a b c Đặt: 3x + 1 1 1 + +  0 = x = a + b + c a b c 1 1 1 TH2: Nếu + + = 0 , phương trình có nghiệm với mọi x a b c x +1 x −1 3 + 2 = Bài 17: Giải phương trình: 2 4 x + x + 1 x − x + 1 x x + x2 + 1 TH1: Nếu ( HD: ( )( ) ) Phân tích x 4 + x 2 + 1 = x 2 + x + 1 x 2 − x + 1 Bài 18: Giải phương trình: x2 + 2x + 1 x2 + 2x + 2 7 + = x2 + 2x + 2 x2 + 2x + 3 6 HD: 2   x + 2 x + 2  0, x Vì  2 , đặt x 2 + 2 x + 2 = y , Khi đó phương trình trở thành:   x + 2 x + 3  0, x y −1 y 7 + = = 5y2 − 7y − 6 = 0 y y +1 6 Bài 19: Giải phương trình: x 2 + 2 x + 2 x 2 + 8x + 20 x 2 + 4 x + 6 x 2 + 6 x + 12 + = + x +1 x+4 x+2 x+3 HD: Biến đổi phương trình thành: ( x + 1) + x 1+ 1 + ( x + 4 ) + x +4 4 = ( x + 2 ) + x +2 2 + ( x + 3) + x 3+ 3 Bài 20: Giải phương trình: 21 − x2 + 4x − 6 = 0 x − 4 x + 10 2 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 28 HD: 2 Điều kiện: x − 4 x + 10  0 2 Đặt x − 4 x + 10 = t khi đó phương trình trở thành: 21 − t + 4 = 0 = −t 2 + 4t + 21 = 0 = t 2 − 4t − 21 = 0 = ( t − 7)( t + 3) = 0 t Với t = 7 = x 2 − 4 x + 10 = 7 = ( x − 1)( x − 3) = 0 Với t = −3 = x 2 − 4 x + 10 = −3 = ( x − 2 ) + 9 = 0 2 Bài 21: Giải phương trình: 1 18 18 + 2 = 2 x + 2x − 3 x + 2x + 2 x + 2x + 1 2 HD: 2 Đặt x + 2 x + 1 = t , Khi đó phương trình trở thành: 1 18 18 + = = t ( t + 1) + 18t ( t − 4 ) = 18 ( t − 4 )( t + 1) t − 4 t +1 t = t 2 − 18t + 72 = 0 = ( t − 12)( t − 6) = 0 ( ) = 6 = ( 6) Với t = 12 = x 2 + 2 x + 1 = 12 = ( x + 1) = 12 = 2 3 2 Với t = 6 = x 2 + 2 x + 1 = 6 = ( x + 1) 2 2 2 2 2 2 2   2 1  2 1  1 1 Bài 22: Giải phương trình sau: 8  x +  + 4  x + 2  − 4  x + 2   x +  = ( x + 4 ) x x x  x     HD: Điều kiện x  0 2 2 2   2 1   2 1   1 1  Phương trình = 8  x +  + 4  x + 2   x + 2  −  x +   = ( x + 4 ) x x  x   x       2 2 2   1 1  = 8  x +  − 8  x 2 + 2  = ( x + 4 ) = ( x + 4 ) = 16 x x    2 x − 1 1 − x 2 x − 1 2a ( x − 1) Bài 23: Giải phương trình: + − = a − 1 1 + a 1 − a4 a4 − 1 ( ) 1 1 1 1 + 2 + 2 = x + 2 x x + 6 x + 8 x + 10 x + 24 9 x2 + x − 5 3x + 2 +4=0 Bài 25: Giải phương trình : x x + x−5 Bài 24: Giải phương trình : 2 HD: ĐK: x  0, x2 + x − 5  0 Đặt t = t+ x2 + x − 5 3x 3 = 2 = , Thay vào phương trình ta được: x x + x−5 t 3 = 4 = ( t + 3)( t + 1) = 0 t 2 2  x + 2   x − 2  5 x2 − 4 =0 Bài 26: Giải phương trình:   +  − . 2  x +1   x −1  2 x −1 HD: GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 29 Nhận thấy: x2 − 4 x − 2 x + 2 x+2 x−2 = a, = b . Thay vào = . , Đặt hai ẩn phụ: 2 x +1 x −1 x −1 x −1 x +1 phương trình:  a = 2b 5 a2 − ab + b 2 = 0 = ( a − 2b )( 2a − b ) = 0 =  2  2a = b Với x + 2 2 ( x − 2) = = ( x + 2 )( x − 1) = 2 ( x − 2 )( x + 1) = − x 2 + 3x + 2 = 0 x +1 x −1 Với 2 ( x + 2) x − 2 2a = b = = = 2 ( x + 2 )( x − 1) = ( x − 2 )( x + 1) = x 2 + 3x − 2 = 0 x +1 x −1 25x 2 2 = 11 Bài 27: Giải phương trình: x + 2 ( x + 5) HD: Điều kiện x  −5 a = 2b = 2  x2  10 x2 5x  10 x2  Ta viết lại phương trình thành  x − − 11 = 0   − 11 = 0  +  + x+5 x+5   x+5 x+5 2 . t = 1 x2 Đặt t = thì phương trình có dạng t 2 + 10t − 11 = 0   x+5 t = −11 x2 x2 1  21 = −11 . Nếu t = −11  = 1  x2 − x − 5 = 0  x = x+5 2 x+5  x 2 + 11x + 55 = 0 phương trình vô nghiệm. Nếu t = 1 ta có:  5 − x  5− x  x+ =6 Bài 28: Giải phương trình: x   x + 1   x + 1  HD: ĐK: x  −1 2  5− x   5− x  + x Phương trình tương đương với: x    −6=0  x +1   x +1  2 = x 2 ( 5 − x )( x + 1) + x ( 5 − x ) − 6 ( x + 1) = 0 2 2 ( ) = x 4 − 5x 3 + 11x 2 − 13x + 6 = 0 = ( x − 1)( x − 2 ) x 2 − 2 x + 3 = 0 Bài 29: Giải phương trình: x 2 + HD: x2 ( x + 1) 2 =8 ĐK: x  −1 Phương trình tương đương với: x 2 ( x + 1) + x 2 = 8 ( x + 1) = x 4 + 2 x 3 − 6 x 2 − 16 x − 8 = 0 2 2 ( ) = ( x + 2) x 2 − 2 x − 2 = 0 2 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 30 2 2  x   x  Bài 30: Giải phương trình:   +  = 90  x +1  x −1 HD: ĐK: x  1 x 2 ( x − 1) + x 2 ( x + 1) 2 Phương trình tương đương với : = x 4 − 2×3 + x2 + x 4 + 2×2 + x2 (x 2 ) −1 2 ( x + 1) ( x − 1) 2 2 2 = 90 ( ) 4 2 4 2 = 90 = 2 x + 2 x = 90 x − 2 x + 1 = 44 x 4 − 91x 2 + 45 = 0 ( x + 1) Bài 31: Giải phương trình: ( x + 1) + ( x + 2) 2 2 2 =8 HD: Phương trình tương đương với: 2 2 2  ( x + 1)2  x + 1) (  x +1  x +1  x + 1 − x + 2  + 2 ( x + 1) . x + 2 = 8 =  x + 2  + 2. x + 2 − 8 = 0       Đặt ( x + 1) x+2 2 = y , Phương trình trở thành: y2 + 2 y − 8 = 0 Bài 32: Giải phương trình: HD: 12 x 3x − 2 =1 x + 4x + 2 x + 2x + 2 2 Để ý rằng nếu x là nghiệm thì x  0 nên ta chia cả tử số và mẫu số vế trái cho x thì 12 3 2 − = 1 . Đặt t = x + + 2 thì phương trình trở thành: thu được: 2 2 x x+4+ x+2+ x x t = 1 12 3 − = 1  12t − 3t − 6 = t 2 + 2t  t 2 − 7t + 6 = 0   . t+2 t t = 6 2 Với t = 1 ta có: x + + 2 = 1  t 2 + t + 2 = 0 vô nghiệm. x 2 Với t = 6 ta có: x + + 2 = 6  x 2 − 4 x + 2 = 0  x = 2  2 . x Bài 33: Giải phương trình: x2 ( x + 2) 2 = 3x 2 − 6 x − 3 HD: Biến đổi phương trình: 2 2  x   x  x  − ( x + 2 )  − ( 2 x − 1) = 0   + x − 3  − 3 x − 1 = 0   x+2   x+2  x + 2  Giải 2 phương trình ta thu được các nghiệm là x =  6; x = −3  3 . 3 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 31 3 Bài 34: Giải phương trình: x + x3 ( x − 1) 3 + 3x 2 −2=0 x −1 HD: 3 Sử dụng HĐT a3 + b3 = ( a + b ) − 3ab ( a + b ) ta viết lại phương trình thành: 3 3x 2 x  x2  x  3x 2  x + + − 2 = 0  x + −3 − 2 = 0 hay x+ + 3 x − 1 x −1  x −1  x −1  ( x − 1) x − 1 x3 3 3 2 3  x2   x 2  3x 2  x2  x2 − 3 + − 2 = 0  − 1 = 1  − 1 = 1  x2 − 2 x + 2 = 0 .       x −1  x −1   x −1  x −1  x −1  Suy ra phương trình đã cho vô nghiệm. 1 1 1 1 + 2 + 2 = Bài 35: Giải phương trình: 2 x + 9 x + 20 x + 11x + 30 x + 13x + 42 18 HD: ĐKXĐ: x  −4, x  −5, x  −6, x  −7 1 1 1 1 + + = Phương trình trở thành: ( x + 4)( x + 5) ( x + 5)( x + 6) ( x + 6)( x + 7) 18 1 − x+4 1 = − x+4 = 1 1 1 1 1 1 + − + − = x + 5 x + 5 x + 6 x + 6 x + 7 18 1 1 = = ( x + 13)( x − 2 ) = 0 x + 7 18 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 32 DẠNG 8: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI I, Phương trình dạng: f ( x ) = g ( x )  f ( x) = g( x) Phương pháp:  ,  f ( x ) = − g ( x ) Bài 1: Giải phương trình sau: 2 x + 3 = x − 3 Bài 2: Giải phương trình sau: x2 − x + 2 − x =0 x +1 Bài 3: Giải phương trình sau: 2 x − 1 = x − 1 Bài 4: Giải phương trình sau: 2 x + 1 = x 2 − 3x − 4 HD: Phương trình tương đương với:  5 3 5 2 x =  2 x + 1 = x 2 − 3x − 4  x − 5x − 5 = 0 2 =  2 =   2   2 x + 1 = − x − 3x − 4 1  13 x − x − 3 = 0 x = 2  ( ) Bài 5: Giải phương trình: 2 x − 5 + 2 x 2 − 7 x + 5 = 0 HD: Vì 2 x − 5  0, 2 x 2 − 7x + 5  0, Nên suy ra: 2 x − 5 + 2 x 2 − 7 x + 5  0  5 2 x − 5 = 0 5 x = 2 =  = x = Dấu bằng xảy ra khi:  2 2 2 x − 7x + 5 = 0 ( x − 1)( 2 x + 5) = 0  Bài 6: Giải phương trình: x 3 − 1 = x 2 − 3x + 2 HD:  x 3 − 1 = x 2 − 3x + 2 Phương trình tương đương với:  3 = x = 1, x = −1  2 2 x − 1 = 3 x − x − 2  2 Bài 7: Giải phương trình: x − 6 = x − 5 x + 9 HD:  x − 6 = x 2 − 5x + 9 x = 1  x − 6 = x 2 − 5x + 9   , Vậy: x= 1; x= 3  2 x = 3 x − 6 = − x + 5 x − 9   2 Bài 8: Giải phương trình : x − x + 2 x − 4 = 3 (1) HD: Lập bảng xét dấu. Từ đó ta có 3 trường hợp: x  0 3 5 TH 1:  ta có: (1)  x2 − 3x + 4 = 3  x 2 − 3x + 1 = 0  x = . 2 1  x  2 Hai giá trị này đều không thuộc khoảng đang xét nên trường hợp này phương trình vô nghiệm. GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 33 TH 2: 0  x  1 ta có (1)  − x 2 − x + 4 = 3  x 2 + x − 1 = 0  x = x= −1 + 5 2 TH 3: x > 2 ta có (1)  x 2 + x − 4 = 3  x 2 + x − 7 = 0  x = x= −1 − 5 (l) hoặc 2 −1 − 29 (l) hoặc 2 −1 + 29 2  −1 + 5 x = 2 Vậy phương trình có hai nghiệm  .  −1 + 29 x = 2  Bài 9: 2 x − 1 + 2 x + 1 = 4 Bài 10: Giải phương trình : x − 2 + x − 3 = 4 Bài 11: Giải phương trình : 2 x + 2 + 2 x − 1 = 5 Bài 12: Giải phương trình : 3x + 4 = x − 2 Bài 13: Giải phương trình : x 2 − 1 + x = 1 Bài 14: Giải phương trình : x 2 − x − 2 = x 2 + 2 x Bài 15: Giải phương trình : x 2 − 2 x = 2 x 2 − 1 Bài 16: Giải phương trình : ( x = 1) 1 9 (x = ; ) 2 2 1 ( x = −3; − ) 2 ( x = 0; 1) 2 −1  17 ; ) 3 4 1 ( x = 1; − ; − 1  2) 3 (x = − 3x − 5 = 2 x + 1 Bài 17: Giải phương trình : 7 x − 4 = 3x − 4 Bài 18: Giải phương trình : 2x + 1 = x Bài 19: Giải phương trình : 3x + 4 = x − 2 Bài 20: Giải phương trình : x − 3 = 2x −1 Bài 21: Giải phương trình : 2x + 5 = 3x − 2 Bài 22: Giải phương trình : x − 3 = 2x −1 2x + 7 = 3x − 1 x −1 3x − 1 = x −3 Bài 24: Giải phương trình : x+2 5x − 2 = x−2 Bài 25: Giải phương trình : x+3 Bài 26: Giải phương trình : x 2 − 4 + x = 2 Bài 23: Giải phương trình : Bài 27: Giải phương trình : x − 1 + 2 x + 3 = 0 Bài 28: Giải phương trình : x − 1 + x 2 − 1 = 0 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 34 Bài 29: Giải phương trình : x 2 − 1 + x 2 − 3x + 2 = 0 Bài 30: Giải phương trình : 5x + 2 + 3x − 4 = 4 x + 5 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 35 II, PHƯƠNG TRÌNH DẠNG: f ( x ) = g ( x ) Phương pháp: Cách 1: Phá giá trị tuyệt đối  f ( x) = g( x) Cách 2: Điều kiện g ( x )  0 =  ,  f ( x ) = − g ( x ) Bài 1: Giải phương trình: 2 x + 1 = x + 2 Bài 2: Giải phương trình sau: x + 4 + 3x = 5 Bài 3: Giải phương trình: x 2 + x − 1 = 1 HD: x 2 + x −1 = 1  x − 1 = 1 − x2 −1  x  1 −1  x  1 1 − x 2  0 x = 1      x − 1 = 1 − x2   x = 0  x = 1   2  x − 1 = (1 − x ) x = 0   x − 1 = −1 + x 2   x = 1  x = −2    Vậy x=1; x= 0 Bài 4: Giải phương trình sau: x − 1 = x 3 + x + 1 Bài 5: Giải phương trình sau: 4 x 2 − 2 x + 1 = 2 x Bài 6: Giải phương trình sau: x 2 − 5x + 4 = x + 4 Bài 7: Giải phương trình: x 2 − 4 x − 5 = 4 x − 17 HD: Với 4 x − 17  0 = x  17 , Khi đó: VT  0,VP  0 , suy ra phương trình vô nghiệm 4 17 , Khi đó phương trình tương đương với 4 ( x − 2 )( x − 6) = 0  x 2 − 4 x − 5 = 4 x − 17  x 2 − 8x + 12 = 0 =  2 =   2  x =  22  x − 4 x − 5 = 17 − 4 x  x − 22 = 0 Với x  ( ) 2 Bài 8: Giải phương trình: x + 1 = 4 x + 9 HD: ( x + 1) ( t + 1) 2 2 = 4 x + 9 , Đặt t = x , ( t  0 ) , Phương trình trở thành: t = 4 = 4t + 9 = t 2 − 2t − 8 = 0 =  t = −2(l) Bài 9: Giải phương trình sau: ( x + 1) − 3 x + 1 + 2 = 0 2 HD: t = 1 Đặt: x + 1 = t , ( t  0 ) , Khi đó phương trình trở thành: t 2 − 3t + 2 = 0 =  t = 2 Bài 10: Giải phương trình: 4 x ( x − 1) = 2 x − 1 + 1 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 36 HD: Đặt: 2 x − 1 = t, ( t  0 ) = t 2 = 4 x 2 − 4 x + 1 = 4 x 2 − 4 x = t 2 − 1 , Thay vào phương trình ta được: t = −1(l) 4 x 2 − 4 x − 2 x − 1 − 1 = 0 hay t 2 − 1 − t − 1 = 0 = t 2 − t − 2 = 0 =  t = 2 9 x2 − 2x − 2 Bài 11: Giải phương trình: x 2 + + 1 = 2 x + 7 2 x −1 ( x − 1) HD: ĐKXD: x  1 , Phương trình tương đường với: ( x − 1) + 9 2 Đặt: x − 1 − = 7 x −1− 3 x −1 3 = t , ( t  0 ) , suy ra: x −1 t 2 = ( x − 1) + 2 ( x − 1) 2 9 ( x − 1) − 6 = ( x − 1) + 9 2 2 ( x − 1) 2 = t2 + 6 t = 1 Phương trình trở thành: t 2 + 6 = 7t =  t = 6 Bài 12: Giải phương trình: 3x − 2 = x 2 + 2 x + 3 HD:  3x − 2 = x 2 + 2 x + 3 Vì x + 2x + 3  0, x , Nên phương trình =  2 3x − 2 = − x + 2 x + 3  x  2  x − x + 5 = 0 =   x = −5  21 =  2  2  x + 5x + 1 = 0 2 ( ) Bài 13: Giải phương trình: x2 − x − 2 = 0 Bài 14: Giải phương trình: x2 + 2x + x + 1 − 5 = 0 Bài 15: Giải phương trình: x2 + 2 x − 5 x + 1 + 5 = 0 Bài 16: Giải phương trình: 4×2 − 20 x + 4 2 x − 5 + 13 = 0 Bài 17: Giải phương trình: x2 − 4x + 2 x − 2 + 1 = 0 Bài 18: Giải phương trình: x2 − 2 x + 5 x −1 + 5 = 0 Bài 19: Giải phương trình sau: ( 2 x − 1) − 3 2 x − 1 − 4 = 0 2 HD: t = −1(l) Đặt: t = 2 x − 1 , ( t  0 ) , Phương trình trở thành: t 2 − 3t − 4 = 0 =  t = 4 x 4 − 6×2 + 4 x2 − 2 = Bài 20: Giải phương trình: x x2 HD: GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 37 ĐKXĐ: x  0 , đặt t = x2 − 2 , (t  0) x t = −1 Khi đó phương trình trở thành: t 2 − t − 2 = 0 =  t = 2 Bài 21: Giải phương trình: x 2 − 1 = x 2 − 2 x + 8 Bài 22: Giải phương trình: x 2 − 3x + 2 = 2 x + 1 Bài 23: Giải phương trình : Bài 24: Giải phương trình: Bài 25: Giải phương trình: x2 −1 =x x−2 1 3 ) 2 23 3 (x = − ; ) 9 23 (x = 3 − 2x − x 2 + 3x + x − 2 x2 − 1 + x + 1 x ( x − 2) 9 (x = ) 2 ( x = 5  21) =5 =2 Bài 26: Giải phương trình: x 2 + x − 12 = x 2 − x − 2 ( x = 5) ( x = 5;  7) Bài 27: Giải phương trình: x 2 − 3x + 2 − 2 x = 1 ( x = 5  21) Bài 28: Giải phương trình: x2 − 4 x + 3 = x + 3 ( x = 0; 5) Bài 29: Giải phương trình: 2x − 3 = ( x = 1; Bài 30: Giải phương trình: 1 x 2 x −1 = 1 − 4x Bài 31: Giải phương trình: 4 x + 1 = x2 + 2 x − 4 Bài 32: Giải phương trình: 3x − 5 = 2 x 2 + x − 3 Bài 33: Giải phương trình: x2 + 5x − 3x − 2 − 5 = 0 Bài 34: Giải phương trình: x2 − 2 x + 8 = x2 − 1 Bài 35: Giải phương trình: x2 − 5 x −1 −1 = 0 Bài 36: Giải phương trình: 3x 2 − 2 = 6 − x 2 Bài 37: Giải phương trình: x − 1 −3x + 1 = 2x − 3 x +1 Bài 38: Giải phương trình: Bài 39: Giải phương trình: Bài 40: Giải phương trình: Bài 41: Giải phương trình: 1 3 + 17 ; ) 2 4 x 2 − x − 12 = 2x x −3 2x − 3 3 = x + 2 x −1 x + 2 −x + 3 = 2x −1 2x + 1 2 x −3 2 x + 2 x − 15 =1 HD: GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 38 Ta có: 2 x −3 x 2 + 2 x − 15 = 1 = 2 x −3 ( x + 5)( x − 3) = 1 , ĐKXĐ: x  −5, x  −3 2 = 1 = x = −3(l) x+5 −2 = 1 = x = −7 Xét x  3 và x  −5 phương trình = x+5 Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = −7 Bài 42: Giải phương trình: 4 x 2 − 4 x − 5 2 x − 1 − 5 = 0 Xét x  3 , Phương trình = HD: 1 , Phương trình trở thành: 2 x ( 2 x − 7) = 0 2 1 Nếu x  phương trình trở thành: ( 2 x + 5)( x − 1) = 0 2 Nếu x  Bài 43: Giải phương trình: x − 3 = x + 1 HD: Xét x  0 phương trình đã cho trở thành: x − 3 = x + 1 Với x  3 = x − 3 = x + 1 vô nghiệm Với 0  x  3 = x = 1 thỏa mãn: Xét x < 0 phương trình đã cho trở thành: x + 3 = x + 1 Với −3  x  0 = x + 3 = x + 1 vô nghiệm Với x  −3 = x = −2 không thỏa mãn: GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 39 III, PHƯƠNG TRÌNH DẠNG: f ( x ) + g ( x ) + h ( x ) = t ( x ) Phương pháp: Lập bảng xét dấu: Sử dụng tính chất: a + b = a + b = a.b  0 hoặc: a − b = a − b = b ( a − b )  0 Bài 1: Giải phương trình sau: x − 1 − 2 x − 2 + 3 x − 3 = 4 Bài 2: Giải phương trình sau: HD: x +1 3 + =2 3 x +1 Điều kiện: x  −1 Đặt x + 1 = t ( t  0 ) , Phương trình trở thành: 3 t + = 2 = t 2 − 2t + 1 = 0 t 3 Bài 3: Giải phương trình sau: x 2 − 4 x + 3 + x 2 − 4 x = 3 HD: Biến đổi phương trình về: ( x − 3)( x − 1) + x ( x − 4 ) = 3 Bài 4: Giải phương trình sau: HD: x −1 +1 − x −1 −1 = 2 Sử dụng tính chất a − b = a − b = b ( a − b )  0 x −1 +1− Phương trình tương đương với: Dấu bằng khi: 2 ( ) ( ) x − 1 − 1 = 2 = 2 = 2, x − 1 − 1  0 = x  2 Vậy phương trình có nghiệm x  2 Bài 5: Giải phương trình sau: x + 1 + 3 x − 1 = x + 2 + x + 2 x − 2 Bài 6: Giải phương trình sau: x + 2a x + a x a2 = ( x  0) x HD: Phương trình đã cho = x 2 + 2a x + a − a2 = 0 TH1: x  −a , phương trình trở thành: x 2 − 2ax − 3a2 = 0 = ( x + a )( x − 3a ) = 0 2 2 TH2: x  −a , phương trình trở thành : x + 2ax + a = 0 = x = − a Bài 7: Giải phương trình sau: x − 3 + x + 2 = 7 Bài 8: Giải phương trình sau: x − 2x + 3 = x − 1 Bài 9: Giải phương trình sau: x + 1 − x = x + x − 3 , (1  x  3) Bài 10: Giải phương trình sau: x − 3 = x +1 HD: Xét x  0 , phương trình có dạng x − 3 = x + 1 , Giải phương trình bình thường Xét x  0 , Phương trình tương đương với − x − 3 = x + 1 , Giải phương trình bình thường Bài 11: Giải phương trình sau: x − 2 x − 2 + 3 x − 3 = 4 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 40 Bài 12: Giải phương trình sau: x − 2 x −1 + 3 x − 2 = 4 Bài 13: Giải phương trình sau: x + 1 + x + 2 + x + 3 = 4x Bài 14: Giải phương trình sau: x x + 3 − x 2 + x + 1 = 1 3 Bài 15: Giải phương trình sau: x − 3 x + 2 = 0 x − 1 1  x − 5 14 − 2 x  x − 9 7 −  − − =  4 8  5 5 2 8  Bài 17: Giải phương trình sau: x + x + 1 = 3 − 2 x Bài 16: Giải phương trình sau: Bài 18: Giải phương trình sau: 5 − x + x − 1 = x − 6 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 41 IV. GIẢI VÀ BIỆN LUẬN Bài 1: Giải và biện luận các phương trình sau: mx + 2m = mx + x + 1 HD:  mx + 2m = mx + x + 1 Phương trình : mx + 2m = mx + x + 1 =   mx + 2m = − ( mx + x + 1)  x = 2m − 1 =  ( 2m + 1) x = −2m − 1(1) Với (1): −1 Nếu 2 m + 1 = 0 = m = , Phương trình có nghiệm đúng với mọi x 2 −1 Nếu 2 m + 1  0 = m  , phương trình tương đương với x = −1 2 Kết luận: −1 Với m = , Phương trình có nghiệm đúng với mọi x 2 −1 Với m  , Phương trình có hai nghiệm là x=-1 và x=2m-1 2 Bài 2: Giải và biện luận phương trình sau: mx + 2 x − 1 = x − 1 HD: ( m + 1) x = 0(2)  mx + 2 x − 1 = x − 1 =  Ta có: mx + 2 x − 1 = x − 1 =  ( m + 3) x = 2(3)  mx + 2 x − 1 = 1 − x Với phương trình (2) ta có: Nếu m = −1 , Thì phương trình (2) có nghiệm đúng với mọi x Nếu m  −1 , Thì phương trình có nghiệm x = 0 Với phương trình (3) ta có : Nếu m = −3 , thì phương trình (3) vô nghiệm 2 Nếu m  −3 , thì phương trình (3) có nghiệm x = m+3 Kết luận : Với m = −1 , Phương trình có nghiệm đúng với mọi x Với m = −3 , Phương trình có nghiệm x = 0 Với m  −1, m  −3 , Phương trình có nghiệm x=0 và x = 2 m+3 Bài 3 : Tìm m để phương trình x 2 + x = mx 2 − ( m + 1) x − 2m − 1 , có 3 nghiệm phân biệt : HD : Phương trình tương đương với : x ( x + 1) = ( x + 1)( mx − 2m − 1)  mx = −1 (4) = x + 1 x − mx − 2m − 1 = 0 =   x = mx − 2m − 1 ( m − 1) x = 1 = 2m(1)  mx − 2m − 1 = x =  Với (4) tương đương với :  ( m + 1) x = 1 + 2m(2)  mx − 2m − 1 = − x Nếu m = 1 , thì phương trình (1) vô nghiệm, Khi đó PT ban đầu không thể có ba nghiệm phân biệt ( ) GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 42 Nếu m = −1 , thì phương trình (2) vô nghiệm, Khi đó PT ban đàu không có ba nghiệm phân biệt  1 + 2m x = m −1 Nếu m  1 , thì (4) =   x = 1 + 2m  m +1 1 + 2m 1 + 2m 1 + 2m 1 + 2m   −1 và  −1 và Để có ba nghiệm phân biệt thì : m −1 m +1 m −1 m +1  2 1 Hay m   0; − ; −  3 2   −1 −2  Kết luận : Vậy với m    −1; ; ;0;1 , thì phương trình có 3 nghiệm phân biệt 2 3   2 Bài 4: Giải và biện luận |x – 2x +m|+x=0 HD : Ta có: |x2 – 2x +m|+x=0  x 2 − 2 x + m = − x x  0 − x  0   2    x 2 − 3x + m = 0 (1) Ta có : 1 = 9 − 4m và 2 = 1 − 4m x − 2x + m =  x   x 2 − x + m = 0 (2)  Biện luận 3 − 9 − 4m 1 − 1 − 4m + m0 x= x = 2 2 + m > 0: Vô nghiệm Bài 5: Cho phương trình : x 2 − 2 x − 2 x − 1 + m + 3 = 0 a, Giải phương trình khi m= -2 b, Tìm m để phương trình sau có nghiệm HD: Phương trình = ( x − 1) − 2 x − 1 + m + 2 = 0 2 2 Đặt t = x − 1 , ( t  0 ) , ta có phương trình: t − 2t + m + 2 = 0 (1) t = 0 A, Khi m= -2, ta có : t 2 − 2t = 0 =  t = 2 B, Phương trình đã cho có nghiệm <=> phương trình (1) có nghiệm với t  0 = m = −t 2 + 2t − 2 có nghiệm t  0 = đồ thị hàm số f ( x ) = −t + 2t − 2 , với t  0; + ) , cắt trục hoành hay m  −2 Bài 6: Giải và biện luận phương trình : mx + 2m = x + 1 HD : ( m − 1) x = 1 − 2m (1)  mx + 2m = x + 1 =  Ta có PT =  ( m + 1) x = −2m − 1 ( 2 )  mx + 2m = − ( x + 1) Giải (1) : Với m = 1 , Phương trình trở thành : 0 x = −1 , Vô nghiệm GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 43 Với m  1 , Phương trình tương đương với x = 1 − 2m m −1 Giải (2) : Với m = −1 , Phương trình trở thành : 0 x = 1 , phương trình vô nghiệm −2 m − 1 Với m  −1 , Phương trình tương đương với : x = m +1 Kết luận : −3 Với m = 1 , Phương trình có nghiệm là x = 2 −2 m − 1 1 − 2m Với m  1 , Phương trình có nghiệm là : x = và x = m +1 m −1 Bài 7: giải và biện luận phương trình: mx + 2 x = mx − 1 HD :  −1  mx + 2 x = mx − 1 x=  2 = Ta có : mx + 2 x = mx − 1 =    mx + 2 x = − ( mx − 1) ( 2m + 2 ) x = 1 Với phương trình : ( 2m + 2 ) x = 1 (*) , ta có : Nếu m = −1 thì phương trình (*) vô nghiệm Nếu m  −1 thì phương trình (*) có nghiệm x = 1 2m + 2 Kết luận : −1 2 1 −1 và x = m  −1 , Phương trình có nghiệm x = 2m + 2 2 Bài 8: Giải và biện luận phương trình sau: 3x + m = x − 1 m = −1 , Phương trình có nghiệm x = Bài 9: Giải và biện luận phương trình sau: x 2 + 4 x − 2 x − m + 2 − m = 0 Bài 10: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: |x2 – 2x + m| = x2 + 3x – m – 1 Bài 11: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 4 x − 3m = 2 x + m Bài 12: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 3x + 2m = x − m Bài 13: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 2 x + m = x − 2m + 2 Bài 14: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x2 − 2 x + m = x Bài 15: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 3mx − 1 = 5 Bài 16: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 2 x + m = 2 x + 2m −1 Bài 17: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 3x − m = 2x + m + 1 Bài 18: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x − m = x +1 Bài 19: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 3x + m = 2x − 2m Bài 20: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 3x + m = x − 1 Bài 21: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x − m = x −1 Bài 22: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x2 + 2a x + a − a 2 = 0 Bài 23: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: mx + 1 = 2 x − m − 3 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 44 Bài 24: Cho phương trình: x − 3 + 2 x + 1 = 4 a, Giải phương trình b, Tìm nghiệm nguyên nhỏ nhất của phương trình. GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 45
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments

Bài viết tương tự

Scroll to Top