Chuyên đề giá trị tuyệt đối bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 6 – 7

CHUYÊN ĐỀ: GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI A. Lý thuyết : + ĐN: Khoảng cách từ điểm a đến điểm 0 trên trục số là giá trị tuyệt đối của một số a ( a là số thực) – Giá trị tuyệt đối của số không âm là chính nó, giá trị tuyệt đối của số âm là số đối của nó. TQ: Nếu a  0  a = a Nếu a  0  a = −a Nếu x – a  0=> |x-a| = x – a Nếu x – a  0=> |x-a| = a – x +Tính chất: Giá trị tuyệt đối của mọi số đều không âm: a  0 với mọi a  R – Hai số bằng nhau hoặc đối nhau thì có giá trị tuyệt đối bằng nhau, và ngược lại hai số có giá trị tuyệt đối a = b bằng nhau thì chúng là hai số bằng nhau hoặc đối nhau. a = b   a = −b – Mọi số đều lớn hơn hoặc bằng đối của giá trị tuyệt đối của nó và đồng thời nhỏ hơn hoặc bằng giá trị tuyệt đối của nó: − a  a  a và − a = a  a  0; a = a  a  0 – Trong hai số âm số nào nhỏ hơn thì có giá trị tuyệt đối lớn hơn: Nếu a  b  0  a  b – Trong hai số dương số nào nhỏ hơn thì có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn: Nếu 0  a  b  a  b – Giá trị tuyệt đối của một tích bằng tích các giá trị tuyệt đối: a.b = a . b – Giá trị tuyệt đối của một thương bằng thương hai giá trị tuyệt đối: a a = b b – Bình phương của giá trị tuyệt đối của một số bằng bình phương số đó: a = a 2 2 – Tổng hai giá trị tuyệt đối của hai số luôn lớn hơn hoặc bằng giá trị tuyệt đối của hai số, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hai số cùng dấu: a + b  a + b và a + b = a + b  a.b  0 1 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức DẠNG 1: PHÁ GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Bài 1: Phá giá trị tuyệt đối: a, 2 x + 3 b, 4 x − 2 HD :  −3   2 x + 3  x  2    a, Ta có: 2 x + 3 =   −3    −2 x − 3  x   2    c, 3x − 5 d, 2 − x  1  4 x − 2  x  2    b, 4 x − 2 =   1  2 − 4 x  x   2    5  3 x − 5  x  3  2 − x ( x  2)   c, 3x − 5 =  d, 2 − x =   5   x − 2 ( x  2 ) 5 − 3 x  x   3   Bài 2: Phá giá trị tuyệt đối: a, 2x − 4 + x − 3 b, x − 5 + x + 6 HD : a, Ta có bẳng sau : x 2 3 2x-4 0 + / + x-3 / 0 + Khi đó ta có : Nếu x  2 = 2x − 4 + x − 3 = ( 4 − 2 x ) + (3 − x ) = −3x + 7 Nếu 2  x  3 = 2x − 4 + x − 3 = 2x − 4 + 3 − x = x −1 Nếu x  3 = 2x − 4 + x − 3 = 2 x − 4 + x − 3 = 3x − 7 b, Ta có bẳng sau : x -6 5 x-5 / 0 + x+6 0 + / + Khi đó ta có : Nếu x  −6 = x − 5 + x + 6 = 5 − x − x − 6 = −2x − 1 Nếu −6  x  5 = x − 5 + x + 6 = 5 − x + x + 6 = 11 Nếu x  5 = x − 5 + x + 6 = x − 5 + x + 6 = 2 x + 1 Bài 3: Rút gọn các biểu thức sau: a, 3( 2 x − 1) − x − 5 b, 2 x + 3 + x + 2 HD: a, Nếu x  5 = 3 ( 2 x −1) − x − 5 = 6 x − 3 − ( x − 5) = 5x + 2 Nếu x  5 = 3 ( 2 x −1) − x − 5 = 6 x − 3 − (5 − x ) = 7 x − 8 −3 = 2 x + 3 + x + 2 = 2 x + 3 + x + 2 = 3x + 5 2 −3 = 2 x + 3 + x + 2 = −2 x − 3 + x + 2 = − x − 1 Nếu x  2 Bài 4: Rút gọn các biểu thức sau: a, 3x −1 + 1 − 3x b, 3( x −1) − 2 x + 3 HD: b, Nếu x  2 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức a, Nếu : x  Nếu x  1 = 3x − 1 + 1 − 3x = 3x − 1 + 1 − 3x = 0 3 1 = 3x − 1 + 1 − 3x = 3x − 1 + ( 3x − 1) = 6 x − 2 3 b, Nếu x  −3 = 3 ( x −1) − 2 x + 3 = 3x − 3 − 2 ( x + 3) = x − 9 Nếu x  −3 = 3( x −1) − 2 x + 3 = 3x − 3 + 2 ( x + 3) = 5x + 3 Bài 5: Tính giá trị của biểu thức: a, A = 3x 2 − 2 x + 1 , Với x = 0,5 b, B = 3x − 1 + x − 3 với x = 1 3 HD:  x = 0,5 a, Vì x = 0,5 =   x = −0,5 2 1 3 1 TH1 : x = 0,5 = A = 3.   − 2. + 1 = 2 4 2 −1 3 11  −1  TH2 : x = −0,5 = A = 3   − 2. + 1 = + 2 = 2 4 4  2  1  x =  1 3 b, Vì x = =  3  x = −1  3 1 1 1 −8 TH1 : x = = B = 3. − 1 + − 3 = 3 3 3 3 −1 −1 −1 −10 −7 = B = 3. + − 3 = 1 + = TH2 : x = 3 3 3 3 3 Bài 6: Tính giá trị của biểu thức: −2 1 a, A = 6 x3 − 3×2 + 2 x + 4 với x = b, 2 x − 3 y với x = ; y = −3 3 2 HD: 3 2 52 −2 −2 2 2 2 2 a, Với x = = x = = = A = 6.   − 3.   + 2. + 4 = 9 3 3 3 3 3 3 1 1 1 b, Với x = = x = , y = −3 = y = 3 = B = 2 x − 3 y = 2. − 3.3 = 1 − 9 = −8 2 2 2 Bài 7: Tính giá trị của biểu thức: 1 5×2 − 7 x + 1 a, 2 x − 2 − 31 − x với x = 4 b, D = với x = 2 3x − 1 HD: a, Với x = 4 = A = 2 x − 2 − 3 1 − x = 2. 2 − 3 −3 = 4 − 9 = −5 2  x = 1/ 2 1 =  2  x = −1/ 2 1 1 5. − 7. + 1 1 −5 2 = TH1 : x = = D = 4 1 2 2 3. − 1 2 b, Với x = −1 = D = TH2 : x = 2 1 1 5. + 7. + 1 −23 4 2 = −1 10 3. − 1 2 3 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức DẠNG 2: A ( x ) = k ( k  0 ) Bài 1: Tìm x biết: a, 2 3x −1 + 1 = 5 b, 3x − 2 1 4 = +2 5 35 7 c, x + 5 − 4 = 3 HD: 3 x − 1 = 2 a, 2 3x − 1 + 1 = 5 = 2 3x − 1 = 4 = 3x − 1 = 2 =  3x − 1 = −2 2 13  3x − =  2 1 4 2 13 5 5 b, 3x − = + 2 = 3x − = =  5 35 7 5 5 3x − 2 = −13  5 5  x+5 −4 = 3 c, x + 5 − 4 = 3 =   x + 5 − 4 = −3 Bài 2: Tìm x biết: a, 3x + 1 − 11 = 3 b, x + 3 − 8 = 20 HD :  3x + 1 − 11 = 3 a, Ta có : 3x + 1 − 11 = 3 =   3x + 1 − 11 = −3  x + 3 − 8 = 20 b, Ta có : x + 3 − 8 = 20 =   x + 3 − 8 = −20 Bài 3: Tìm x nguyên biết : a, 5 ( 2 x + 3) + 2 ( 2 x + 3) + 2 x + 3 = 16 b, x 2 + 6 x − 2 = x 2 + 4 HD : 2 x + 3 = 2 a, VT = 5 2 x + 3 + 2 2 x + 3 + 2 x + 3 = 16 = 8 2 x + 3 = 16 = 2 x + 3 = 2 =  2 x + 3 = −2  x2 + 6 x − 2 = x2 + 4 2 2 2 b, Vì x + 4  0 = x + 6 x − 2 = x + 4 =  2 2  x + 6 x − 2 = − x − 4 Bài 4: Tìm x biết: 1 1 21 a, 3 : 2 x − 1 = b, 2 2 x − 3 = c, 7,5 − 3 5 − 2x = −4,5 2 22 2 Bài 5: Tìm x biết: 1 5 1 a, x − 1 + 2 = 3 b, 2 x − 5 = 4 c, − − 2 x = 3 4 4 Bài 6: Tìm x, y biết: 3 7 1 1 1 1 a, x + − 4 = −2 b, − x + = c, − 2 x + 1 = 4 8 5 2 5 3 Bài 7: Tìm x biết: 3 1 1 4 a, 2 x − 1 + = b, x2 + 2 x − = x 2 + 2 c, x 2 x + = x 2 4 2 5 2 Bài 8: Tìm x biết: 4 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức a, 2 x − 1 − 1 1 = 2 5 Bài 9: Tìm x biết: 1 3 3  a,  x +  2 x − = 2 x − 2 4 4  Bài 10: Tìm x biết: a, x − 1 − 1 = 2 Bài 11: Tìm x biết: 4 − − 3,75 = − − 2,15 a, x + 15 Bài 12: Tìm x biết: 2 1 a, − x + + = 3,5 5 2 Bài 13: Tìm x biết: 3 4 3 7 a, + x − = 2 5 4 4 Bài 14: Tìm x biết: 9 1 a, 6,5 − : x + = 2 4 3 Bài 15: Tìm x biết: 21 x 2 + 3: − = 6 a, 5 4 3 b, 1 3 2 x +1 − = 2 4 5 b, x − 1 3 3 2x − = 2x − 2 4 4 c, x x 2 + 3 =x 4 c, 2 x − 3 − x + 1 = 4 x − 1 b, 3x + 1 − 5 = 2 c, 5 − 3 2 x − 1 = 7 b, 2 3x − 1 + 1 = 5 c, b) x − x −1 = 3 2 1 1 =2 3 5 b, 4,5 − 31 5 5 x+ = 4 2 3 6 c, 2 − c, x + 3 1 −5 x− = 2 4 4 1 3 − = 5% 4 4 b, 11 3 1 7 + : 4x − = 4 2 5 2 c, 15 3 1 − 2,5 : x + = 3 4 4 2 b, −2 1 1 :x+ = 3 6 12 c, 9 91 1 2 3 : − x = 4 2 2 2 4 5 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức DẠNG 3: A ( x ) = B ( x ) Phương pháp: Chia khoảng phá GTTĐ Bài 1: Tìm x biết: a, 2 x + 3 = x + 2 b, x − 1 4 2 + = ( −3,2) + 3 5 5 HD: −3 = 2 x + 3 = x + 2 = x = −1 (t/m) 2 −3 −5 = −2 x − 3 = x + 2 = x = TH2 : x  (t/m) 2 3  1 x − 3 = 2 1 4 14 1 14 4 x − + = = x − = − = 2 =  b, 3 5 5 3 5 5  x − 1 = −2  3 Bài 2: Tìm x biết: a, 4 − x + 2 x = 3 b, x − 7 + 2 x + 5 = 6 c, 3x − 2 x + 1 = 2 HD: a, TH1 : x  4 = ( 4 − x ) + 2 x = 3 = x = −1( t / m) a, TH 1 : x  7 (l ) 3 8 b, TH1 : x  7 = x − 7 + 2 x + 5 = 6 = x = (loại) 3 TH2 : x  7 = 7 − x + 2x + 5 = 6 = x = −6 (t/m) −1 = 3x − ( 2 x + 1) = 2 = x = 3 (t/ m) c, TH1 : x  2 −1 1 = 3x + ( 2 x + 1) = 2 = x = (loại) TH2 : x  2 5 Bài 3: Tìm x biết: a, 2 x − 3 = x − 3 b, 5x − 3 − x = 7 HD : 3 TH 1: x  = 2 x − 3 = x − 3 = x = 0 ( l ) a, 2 3 TH 2 : x  = 3 − 2 x = x − 3 = x = 2 ( l ) 2 3 5 TH 1: x  = 5 x − 3 − x = 7 = x = (t/m) b, 5 2 3 −2 TH 2 : x  = 3 − 5 x − x = 7 = x = (t/m) 5 3 2 9 TH 1: x  = 3x − 2 = x + 7 = x = (t/m) c, 3 2 2 −5 TH 2 : x  = 2 − 3x = x + 7 = x = (t/m) 3 4 TH2 : x  4 = ( x − 4 ) + 2 x = 3 = x = c, 3x − 2 = x + 7 6 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức Bài 4 : Tìm x biết : a, 4 x + 3 − x = 15 HD: b, 2 5x − 3 − 2 x = 14 −3 = 4 x + 3 − x = 15 = x = … 4 −3 TH 2 : x  = −4 x − 3 − x = 15 = x = … 4 3 TH 1: x  = 2 ( 5 x − 3) − 2 x = 14 = x = … b, 5 3 TH 2 : x  = 2 ( 3 − 5 x ) − 2 x = 14 = x = … 5 2 TH1: x  = 3x − 2 + 5 x = 4 x − 10 = x = … c, 3 2 TH 2 : x  = 2 − 3x + 5 x = 4 x − 10 = x = … 3 Bài 5: Tìm x biết: a, x − 2016 = x − 2012 b, x + 1 − 5 = 0 HD: a, TH1: x  2016 = x − 2016 = x − 2012 = x = … a, c, 3x − 2 + 5x = 4 x − 10 TH1: x  b, TH 2 : x  2016 = 2016 − x = x − 2012 = x = … x + 1 = 5 = x + 1 = 5 = x = … c, x + 4 = 7 = x + 4 = 7 = x = … Bài 6: Tìm x biết: a, x − 20 = 11 b, x − 5 = x − 5 HD: a, x − 20 = 11 = x − 20 = 11 b, x − 5 = x − 5 = x − 5  0 = x  5 c, x − 6 = 6 − x = x − 6  0 = x  6 c, x + 4 = 7 c, x − 6 = 6 − x Bài 7: Tìm x biết: a, x − 7 + x − 7 = 0 b, 17 − x + x − 4 = 0 c, x − 3 + x − 3 = 0 HD: a, x − 7 + x − 7 = 0 = x − 7 = 7 − x = x − 7  0 = x  7 17 − x + ( x − 4 ) = 0 ( x  4 ) 17 − x + x − 4 = 0 =  17 − x + ( 4 − x ) = 0 ( x  4 ) c, x − 3 + x − 3 = 0 = x − 3 = 3 − x = x − 3  0 = x  3 Bài 8: Tìm x biết: a, x + 2 − x = 2 b, x − 3 = 21 c, 2 x + 3 − x − 3 = 0 HD: a, x + 2 − x = 2 = x + 2 = x + 2 = x + 2  0 = x  −2 b, b,  x − 3 = 21 x − 3 = 21 =   x − 3 = −21 c, 2 x − 3 = x − 3 2 x + 3 − x − 3 = 0 = 2 x − 3 = x − 3 =  2 x − 3 = 3 − x 7 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức Bài 9: Tìm x biết: a, 2 x + 3 = x + 2 HD: a, b, x − 7 + 2x + 5 = 6  −3   2 x + 3 = x + 2  x  2    2 x + 3 = x + 2 =   −3    −2 x − 3 = x + 2  x   2     x − 7 + 2x + 5 = 6 ( x  7) x − 7 + 2 x + 5 = 6 =  7 − x + 2 x + 5 = 6 ( x  7 ) Bài 10: Tìm x biết: a, 5x = x − 12 b, 9 + x = 2 x c, 5x − 3x = 2 Bài 11: Tìm x biết: a, x − 5 + 5 = x b, x + 7 − x = 7 c, 3x − 4 + 4 = 3x Bài 12: Tìm x biết: 1 a, x = 3 − 2 x b, x − 1 = 3x + 2 c, 7 − x = 5x + 1 2 Bài 13: Tìm x biết: a, 4 + 2 x = −4 x b, 3x − 1 + 2 = x c, x + 15 + 1 = 3x Bài 14: Tìm x biết: a, 2 x − 5 = x + 1 b, 3x − 2 − 1 = x c, 3x − 7 = 2 x + 1 Bài 15: Tìm x biết: a, 4 − x + 2 x = 3 b, 3x − 4 + 4 = 3x c, 7 − 2x + 7 = 2x b, Bài 16: Tìm x biết: a. 2 x − 5 = x + 1 Bài 17: Tìm x biết: a, 2 x − 3 = x − 5 Bài 18: Tìm x biết: a. 2 − x = 2 x −1 Bài 19: Tìm x biết: a. x − 2 = 2 − x d, x + 6 − 9 = 2 x d, 7 − 2 x + 7 = 2 x d, 2 x − 3 + x = 21 d, 2 x − 5 = x + 2 d, 2 x − 1 + 1 = x d, 6 x − 2 − 5 = 2016 x − 2017 b. 6 x − 2 = 3x − 4 c. 3x − 2 = x − 2 d, 2 x − 3 = 3x + 2 b. 3x + 2 = x + 1 c. 2 x + 1 = 7 − x d. 2 x + 3 = 1 b. 2 x − 1 = x − 3 c. 2 x −1 = x + 2 d, x − 1 = 2 x − 1 8 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức DẠNG 4: A ( x ) = B ( x ) Phương pháp: Cách 1: Tách 2 TH: TH1: A ( x ) = B ( x ) TH2: A ( x ) = − B ( x ) Cách 2: Xét khoảng bằng cách lập bẳng xét dấu: Bài 1: Tìm x biết: x − 2 − 2 x + 3 − x = −2 HD: Lập bảng xét dấu ta có: x x-2 2x+3 – 3/2 / 0 – Khi đó ta có : TH1 : x  TH2 : − + 2 0 / + + −3 = ( 2 − x ) − ( −2 x − 3) − x = −2 2 3  x  2 = ( 2 − x ) − ( 2 x + 3) − x = −2 2 TH3 : x  2 = ( x − 2) − ( 2x + 3) − x = −2 Bài 2: Tìm x biết: a, 2 x − 3 − x = 2 − x HD : a, Ta có bẳng xét dấu : x 2x – 3 2-x b, 2 x − 3 − 4x −1 = 0 3/2 0 / + Khi đó ta có : TH 1: x  + + 2 / 0 + – 3 = ( 3 − 2 x ) − x = 2 − x 2 3 TH 2 :  x  2 = ( 2 x − 3) − x = ( 2 − x ) 2 TH 3: x  2 = ( 2 x − 3) − x = x − 2  2 ( x − 3) = 4 x − 1 b, 2 x − 3 − 4 x − 1 = 0 = 2 x − 3 = 4 x − 1 =   2 ( x − 3) = 1 − 4 x Bài 3: Tìm x biết: a, 3x − 5 + 2x + 3 = 7 b, x + x + 2 = 3 HD : a, Ta có bằng xét dấu : x 3x – 5 2x + 3 -3/2 / 0 – Khi đó ta có : TH 1: x  + 5/3 0 / c, 3x − 5 = x + 2 + + −3 = ( 5 − 3x ) + ( −2 x + 3) = 7 2 9 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 3 5 TH 2 : −  x  = ( 5 − 3x ) + ( 2 x + 3) = 7 2 3 5 TH 3: x  = 3x − 5 + 2 x + 3 = 7 3 b, Ta có bẳng xét dấu : x -2 0 x / 0 + x+2 0 + / + Khi đó ta có : TH1: x  −2 = ( − x ) + ( − x − 2) = 3 TH 2 : −2  x  0 = ( − x ) + ( x + 2) = 3 TH 3: 2  x = x + ( x + 2) = 3 3 x − 5 = x + 2 c, Ta có : 3x − 5 = x + 2 =  3 x − 5 = − x − 2 Bài 4: Tìm x biết: a, x − 1 + x + 3 = 4 b, 2 x + 3 − 2 4 − x = 5 HD : a, Ta có bẳng sau : x -3 1 x-1 / 0 + x+3 0 + / + Khi đó ta có : TH1: x  −3 = (1 − x ) + ( − x − 3) = 4 TH 2 : −3  x  1 = (1 − x ) + x + 3 = 4 TH 3: x  1 = ( x −1) + x ( x + 3) = 4 b, Ta có bẳng sau : x 2x+3 4-x – -3/2 0 / + – 4 / 0 + + −3 = ( −2 x − 3) − 2 ( x − 4 ) = 5 2 −3 TH 2 :  x  4 = ( 2 x + 3) − 2 ( x − 4 ) = 5 2 Khi đó ta có : TH 1: x  TH 3: x  4 = ( 2 x + 3) − 2 ( 4 − x ) = 5 Bài 5: Tìm x biết: a, x + 8 − x = 0 b, x + − x = 3 − x HD : a, Ta có bảng xét dấu : x 0 8 x 0 + / 8-x + / + 0 Khi đó ta có : TH1: x  0 = ( − x ) + (8 − x ) = 0 c, 2 x − 3 − x = 2 − x + – TH 2 : 0  x  8 = x + 8 − x = 0 TH 3: x  8 = x + ( x − 8) = 0 b, Ta có − x = x = x + − x = 3 − x = 2 x = 3 − x TH1: x  0 = 2.x = 3 − x TH 2 : x  0 = 2 ( − x ) = 3 − x 10 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức c, Ta có bảng xét dấu ta có : x 3/2 2 2x – 3 0 + / + 2-x + / + 0 3 Khi đó ta có : TH 1: x  = ( 3 − 2 x ) − x = 2 − x 2 3 TH 2 :  x  2 = ( 2 x − 3) − x = ( 2 − x ) 2 TH 3: x  2 = ( 2 x − 3) − x = x − 2 Bài 6: Tìm x biết: x − 2011 + x − 2010 = 2012 HD : Ta có bảng xét dấu : x 2010 2011 x – 2011 / 0 + x – 2010 0 + / + Khi đó ta có : TH1: x  2010 = ( 2011 − x ) + ( 2010 − x ) = 2012 TH 2 : 2010  x  2011 = ( 2011 − x ) + ( x − 2010 ) = 2012 TH 3: ( x − 2011) + ( x − 2010) = 2012 Bài 7: Tìm x biết: x −1,5 + 2,5 − x = 0 HD:   x − 1,5 = 0  x − 1,5  0 = x − 1,5 + 2,5 − x = 0 =  Vì  2,5 − x = 0   2,5 − x  0 Bài 8: Tìm x, y biết : a, x + x + 2 = 0 b, x −1,38 + 2 y + 4,2 = 0 HD:  x = 0 x 0 = x + x + 2 = 0 =  a, Vì  x + 2 = 0   x+2 0 c, 5x − 4 = x + 2  x − 1,38  0  x − 1,38 = 0 = x − 1,38 + 2 y + 4, 2 = 0 =  b, Vì  2 y + 4, 2 = 0  2 y + 4, 2  0 5 x − 4 = x + 2 c, 5 x − 4 = x + 2 =  5 x − 4 = − x − 2 Bài 9: Tìm x biết: x + x − 1 = 1 HD : Ta có bảng xét dấu : x 0 1 x 0 + / + x-1 / 0 + Khi đó ta có : TH1: x  0 = ( − x ) + (1 − x ) = 1 TH 2 : 0  x  1 = x + (1 − x ) = 1 TH 3: x  1 = x + ( x −1) = 1 11 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức Bài 10: Tìm x, y biết: 4 x + 3 − x −1 = 7 HD : a, Ta có bảng xét dấu : x -3/4 1 4x + 3 0 + / + x-1 / 0 + −3 = ( −4 x − 3) − (1 − x ) = 7 Khi đó ta có : TH 1: x  4 −3 TH 2 :  x  1 = ( 4 x + 3) − (1 − x ) = 7 4 TH 3: x  1 = ( 4 x + 3) − ( x −1) = 7 Bài 11: Tìm x biết : 2 x − 3 − x = 2 − x HD : Ta có bẳng xét dấu : x 3/2 2 2x – 3 0 + / + 2-x + / + 0 Khi đó ta có : 3 TH 1: x  = ( 3 − 2 x ) − x = 2 − x 2 3 TH 2 :  x  2 = ( 2 x − 3) − x = ( 2 − x ) 2 TH 3: x  2 = ( 2 x − 3) − x = x − 2 Bài 12: Tìm x biết: a, 2 x − 3 − 3x + 2 = 0 b, 7 x + 1 − 5x + 6 = 0 c, 5 7 5 3 x− − x+ =0 4 2 8 5 Bài 13: Tìm x biết: 7 3 5 1 1 a, x + − x + 5 = 0 b, 2 + 3x = 4 x − 3 c, x + = 4 x − 1 8 2 6 2 2 7 2 4 1 Bài 14: Tìm x biết: x + = x − 3 3 3 4 Bài 15: Tìm x biết : a, x − 1 − x − 3 = 2 x − 1 b, 4 3x − 1 + x − 2 x − 5 + 7 x − 3 = 12 Bài 16: Tìm x biết: 1 1 1 a, 2 − x + x − + 8 = 1,2 b, 3 x + 4 − 2 x + 1 − 5 x + 3 + x − 9 = 5 5 5 5 Bài 17: Tìm x biết: 1 1 1 a, 2 x + 3 + x − 3 = 2 − x b, 2 x − 6 + x + 3 = 8 2 2 5 Bài 18: Tìm x biết: a, x + 5 + x − 3 = 9 b, x + 1 + x − 2 + x + 3 = 6 Bài 19: Tìm x biết: a, x − 2 + x − 3 + x − 4 = 2 b, 2 x + 2 + 4 − x = 11 Bài 20: Tìm x biết: a, x + 5 + 3 − x = 8 b, x − 2 + x − 5 = 3 c, 3x − 5 + 3x + 1 = 6 Bài 21: Tìm x biết: a, 2 x − 3 + 2 x = 5 = 11 b, x + 1 + 2 x − 3 = 3x − 2 c, x − 3 + 5 − x + 2 x − 4 = 2 12 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức Bài 22: Tìm x biết: a, x − 4 + x − 6 = 2 Bài 23: Tìm x biết: a, 5x + 1 + 3 − 2 x = 4 − 3x Bài 24: Tìm x biết: a, 5x − 4 = x + 2 Bài 25: Tìm x biết: a, 7 x + 1 − 5x + 6 = 0 b, Bài 26: Tìm x biết: 7 2 4 1 a, x + = x − 5 3 3 4 b, x + 1 + x + 5 = 4 c, 3x + 7 + 3 2 − x = 13 b, x + 2 + 3x − 1 + x − 1 = 3 c, x − 2 + x − 7 = 4 b, 2 x − 3 − 3x + 2 = 0 c, 2 + 3x = 4 x − 3 3 1 x + = 4x − 1 2 2 b, c, 5 7 5 3 x− − x+ =0 4 2 8 5 7 5 1 x+ − x+5 = 0 8 6 2 13 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức DẠNG 5: BIỂU THỨC CÓ NHIỀU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Phương pháp: Lập bảng xét dấu Bài 1: Tìm x biết: a, 4 3x − 1 + x − 2 x − 5 + 7 x − 3 = 12 Bài 2: Tìm x biết: 1 1 1 a, 2 − x + x − + 8 = 1,2 5 5 5 Bài 3: Tìm x biết: a, 2x − 6 + x + 3 = 8 Bài 4: Tìm x biết: a, x − 2 + x − 3 + x − 4 = 2 b, 3 x + 4 − 2x + 1 − 5 x + 3 + x − 9 = 5 b, 2 x + 3 1 1 1 + x −3 = 2 − x 2 2 5 b, x + 5 + x − 3 = 9 b, x +1 + x − 2 + x + 3 = 6 Bài 5: Tìm x biết: a, 2 x + 2 + 4 − x = 11 b, x − 2 + x − 3 + 2 x − 8 = 9 Bài 6: Tìm x biết: a, 3x x + 1 − 2x x + 2 = 12 b, x − 1 + 3 x − 3 − 2 x − 2 = 4 Bài 7: Tìm x biết: a, x + 5 − 1 − 2x = x b, x − 2 x + 3 = x − 1 Bài 8: Tìm x biết: a, x + 1 − x = x + x − 3 b, x − 2 + x − 5 = 3 Bài 9: Tìm x biết: a, x − 3 + x + 5 = 8 b, 2 x − 1 + 2 x − 5 = 4 Bài 10: Tìm x biết: a, x − 3 + 3x + 4 = 2x + 1 Bài 11: Tìm x biết: a, x − 2 x + 3 = x − 1 Bài 12: Tìm x biết: a, x + 5 − 1 − 2 x = x b, 3x x + 1 − 2 x x + 2 = 12 b, x + 1 − x = x + x − 3 14 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức DẠNG 6: A ( x )  a hoặc A ( x )  a Phương pháp: Với A ( x )  a = −a  A ( x )  a  A( x )  a Với A ( x )  a =   A ( x )  −a Bài 1: Tìm x biết: a, x − 2  4 b, 5x − 3  2 HD : a, x − 2  4 = −4  x − 2  4 c, 3x + 1  4 b, 5x − 3  2 = −2  5x − 3  2 3 x + 1  4 c, 3x + 1  4 =  3x + 1  −4 Bài 2: Tìm x biết: a, 3x − 2 − x  1 b, 3x − 2  x + 1 HD: 2 TH 2 : x  a, TH 1: x  = 3x − 2 − x  1 3 2 TH 2 : x  b, TH 1: x  = 3x − 2  x + 1 3 c, 2 x + 3  5 = −5  2 x + 3  5 Bài 3: Tìm x biết: a, 2 x − 3  5 b, 3x − 1  7 HD: 2 x − 3  5 a, 2 x − 3  5 =   2 x − 3  −5 b, 3x −1  7 = −7  3x −1  7  2 x + 5  10 c, = 2 x + 5  10 =   2 x + 5  −10 Bài 4: Tìm x biết: a, 2 x + 3 − 4 x  9 b, x − 1  4 HD: −3 = ( 2 x + 3) − 4 x  9 a, TH 1: x  2 c, 2 x + 3  5 2 = 2 − 3x − x  1 3 2 = 2 − 3x  x + 1 3 c, 3 + 2 x + 5  13 c, x − 2001  2002 TH 2 : x  −3 = −2 x − 3 − 4 x  9 2 15 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức DẠNG 7: SỦ DỤNG TÍNH CHẤT: A + B  A + B Bài 1: Tìm x nguyên biết: a, x −1 + x − 3 + x − 5 + x − 7 = 8 b, x − 2010 + x − 2012 + x − 2014 = 2 HD : a, Ta có : = ( x − 1 + x − 7 ) + ( x − 3 + x − 5 ) = x − 1 + 7 − x + x − 3 + 5 − x  x −1 + 7 − x + x − 3 + 5 − x = 6 + 2 = 8 ( x − 1)( 7 − x )  0 Dấu bằng xảy ra khi  = 3  x  5 ( x − 3)( 5 − x )  0 b, ta có : VT = x −1010 + 2014 − x + x − 2012  x − 2010 + 2014 − x + x − 2012 = 2 + x − 2012  2  ( x − 2010 )(1014 − x )  0 Vì x − 2012  0 , dấu bằng khi  = x = 2012   x − 2012  0 Bài 2: Tìm x nguyên biết: x −1 + x − 2 + x − 3 + … + x −100 = 2500 HD : Ta có : VT = ( x − 1 + 100 − x ) + ( x − 2 + 99 − x ) + … + ( x − 50 + 51 − x ) VT  ( x −1 + 100 − x ) + ( x − 2 + 99 − x ) + … + ( x − 50 + 51 − x ) = 99 + 97 + 95 + … + 1 = 2500 Dấu bằng xảy ra khi : ( x −1)(100 − x )  0, ( x − 2)(99 − x )  0,… ( x − 50 )(51 − x )  0  x = 50 =   x = 51 Bài 3: Tìm x nguyên biết: a, x −1 + x − 2 + y − 3 + x − 4 = 3 HD : a, Ta có : Đặt A = x −1 + x − 2 + y − 3 + x − 4 Ta có : x −1 + x − 4 = x −1 + 4 − x  3 Nên A=3 khi và chỉ khi x − 2 = y − 3 = 0 và ( x −1)( 4 − x )  0 = x = 2, y = 3 Bài 4: Tìm x nguyên biết: a, 2004 = x − 4 + x −10 + x + 101 + x + 990 + x + 1000 HD : a, Ta có VP = 4 − x + x + 1000 + 10 − x + x + 990 + x + 101 VP  1004 + 1000 + x + 101  2004 ( 4 − x )( x + 1000 )  0  Dấu bằng khi (10 − x )( x + 990 )  0 = x = −101  x + 101 = 0  Bài 5: Tìm x nguyên biết: x − 2005 + x − 2006 + y − 2007 + x − 2008 = 3 HD : Đặt A = x − 2005 + x − 2006 + y − 2007 + x − 2008 Khi đó ta có : A = x − 2005 + 2008 − x + x − 2006 + y − 2007  3 + x − 2006 + y − 2007   x = 2006 ( x − 2005)( 2008 − x )  0 =  Dấu bằng xảy ra khi :   y = 2007   x − 2006 = y − 2007 = 0 16 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức Bài 6: Tìm x biết: 2 x − 3 + 2 x + 4 = 7 HD : 3  3 − 2 x  0 x  Ta có: 3 − 2 x + 2 x + 4  3 − 2 x + 2 x + 4 = 7 dấu bằng xảy ra khi  =  2 2 x + 4  0   x  −2 Bài 7: Tìm x biết: x + 2,5 + x + 6,5 + x + 9,5 = 7 HD: x + 2,5  − x − 2,5 , x + 6,5  0 và x + 9,5  x + 9,5 Nên: VT  − x − 2,5 + x + 9,5 = 7 , dấu bằng xảy ra khi x = −6,5 Bài 8: Tìm x nguyên biết: x + 1 + x + 2 + x + 3 + … + x + 100 = 605x HD : Vì x + 1  0, x + 2  0,… x + 100  0 = VT  0 = 605x  0 = x  0 Với x  0 = VT = ( x + 1) + ( x + 2) + ( x + 3) + … + ( x + 100) = 605x = 100x + 5050 = 605x Bài 9: Tìm biết: x + 3 + x + 1 = 3x HD : Vì x + 3  0, x + 1  0 = 3x  0 = x  0   x+3 = x+3 Với x  0 =  = ( x + 3) + ( x + 1) = 3x x + 1 = x + 1   Bài 10: Tìm x, biết x + 1 + x + 3 + … + x + 2019 = 2020x . Bài 11: Tìm x biết: x + 11 2 4 + x+ + x+ = 4x 17 17 17 HD : 11 2 4  0, x +  0, x +  0 = VT  0 = 4 x  0 = x  0 17 17 17 2  4  11   Khi đó :  x +  +  x +  +  x +  = 4 x  17   17   17  Bài 12 : Tìm x biết : a, x + 0,8 + x + 5, 2 + x + 9,7 = 4 x HD: a, Vì x + 0,8  0, x + 5, 2  0, x + 9,7  0 = 4 x  0 = x  0 Vì x + Khi đó: ( x + 0,8) + ( x + 5, 2) + ( x + 9,7 ) = 4 x Bài 13: Tìm x biết : a, x − 2 + x − 3 + 2 x − 8 = 9 b, x − 1 + 3 x − 3 − 2 x − 2 = 4 Bài 14: Tìm x biết: a, x + 1 + x + 2 + x + 3 = 4 x b, x + 1 + x + 2 + x + 3 + x + 4 = 5x − 1 Bài 15: Tìm x biết: 3 1 a, x + 2 + x + + x + = 4 x b, x + 1,1 + x + 1,2 + x + 1,3 + x + 1,4 = 5x 5 2 Bài 16: Tìm x biết: 1 2 3 100 + x+ + x+ + … + x + = 101x a, x + 101 101 101 101 1 1 1 1 + x+ + x+ + … + x + = 100 x Bài 17: Tìm x biết: x + 1.2 2.3 3.4 99.100 17 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức Bài 18: Tìm x biết: a, x − 2 + x − 5 = 3 Bài 19: Tìm x biết: a, x + 5 + 3 − x = 8 b, 2 x − 1 + 2 x − 5 = 4 b, x − 2 + x − 5 = 3 Bài 20: Tìm x biết: a, 2 x − 3 + 2 x + 5 = 11 Bài 21: Tìm x biết: a, x − 4 + x − 6 = 2 Bài 22: Tìm x biết: a, 5x + 1 + 3 − 2x = 4 + 3x Bài 23: Tìm x, y thoả mãn : c, 3x − 5 + 3x + 1 = 6 b, x + 1 + 2x − 3 = 3x − 2 c, x − 3 + 5 − x + 2 x − 4 = 2 b, x + 1 + x + 5 = 4 c, 3x + 7 + 3 2 − x = 13 b, x + 2 + 3x − 1 + x − 1 = 3 c, x − 2 + x − 7 = 4 a) (x − 1) + ( y + 3) = 0 Bài 24: Tìm x, y thoả mãn: 2 a) 2 x − 2007 + y − 2008  0 Bài 25: Tìm x thoả mãn: a) x + 5 + 3 − x = 8 1 1 1 + x+ + … + x + = 50 x 1.3 3.5 97.99 1 1 1 + x+ + … + x + = 101x Bài 27: Tìm x biết: x + 1.5 5.9 397.401 Bài 28: Tìm x biết: x + 5 + x + 3 + x − 2 = 8 ( x − 3) Bài 26: Tìm x biết: x + Bài 29: Tìm x biết c, 2 x + 5 + 2 x − 3 = 8 Bài 30: Tìm x nguyên biết: a, x − 1 + 4 − x = 3 Bài 31: Tìm số nguyên x, y biết: a, x+y=4 và x + 2 + y = 6 Bài 32: Tìm số nguyên x, y biết: a, x-y =3 và x + y = 3 Bài 33: Tìm số nguyên x, y biết: a, x+y=5 và x + 1 + y − 2 = 4 Bài 34: Tìm số nguyên x, y biết: a, x-y=2 và 2 x + 1 + 2 y + 1 = 4 b, x + 2 + x − 3 = 5 c, x + 1 + x − 6 = 7 b, x+y=4 và 2 x + 1 + y − x = 5 b, x-2y=5 và x + 2 y − 1 = 6 b, x-y=3 và x − 6 + y − 1 = 4 b, 2x+y=3 và 2 x + 3 + y + 2 = 8 Bài 35: Tìm x biết : x − 2014 + x − 2015 + x − 2016 = 2 18 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức DẠNG 8: Tìm x, y nguyên thỏa mãn đẳng thức : A + B = m Phương pháp : A = 0 + Nếu m = 0 =  B = 0 + Nếu m  0……..Do A  0 = 0  B  m = Tìm B rồi suy ra tìm A Bài 1: Tìm các cặp số nguyên x, y thỏa mãn : a, x − 2007 + x − 2008 = 0 b, x − y − 2 + y + 3 = 0 Bài 2: Tìm các cặp số nguyên x, y thỏa mãn : 4 5 a, x − 3 y + y + 4 = 0 b, x − y − 5 + ( y − 3) = 0 Bài 3: Tìm cặp số nguyên (x ;y) thỏa mãn : a, x + 4 + y − 1 = 3 b, 2 x + 1 + y − 1 = 4 HD : a, Do x + 4  0 = 0  y − 2  3 = y − 2 0;1;2;3 Bài 4: Tìm cặp số nguyên x, y thỏa mãn : a, 5x + 2 y + 3 = 7 b, 3 x − 5 + y + 4 = 5 Bài 5: Tìm cặp số nguyên (x ;y) thỏa mãn : a, 2 3x + y + 3 = 10 b, 3 4 x + y + 3 = 21 Bài 6: Tìm cặp số nguyên (x ;y) thỏa mãn : a, y 2 = 3 − 2 x − 3 b, 2 y 2 = 3 − x + 4 Bài 7: Tìm x, y biết : a, 3x − 4 + 5 y + 5 = 0 b, 3x − 4 + 3 y + 5 = 0 HD:  3x − 4 = 0  3x − 4  0 = 3x − 4 + 5 y + 5 = 0 =  a, Vì  5 y + 5 = 0   5y + 5  0 c, ( x + 2 ) + 2 y − 1 = 0 2 c, x + 3 y − 1 + 3 y + 2 = 0 c, 3x + y + 5 = 5 c, x + 6 + 4 2 y − 1 = 12 c, y 2 = 5 − x − 1 c, 3 y 2 = 12 − x − 2   x − 1,5 = 0  x − 1,5  0 = 3x − 4 + 3 y + 5  0 =  b, Vì  3 y + 5 = 0   3y + 5  0 Bài 8: Tìm x, y biết : 2012 a, x −1006 y + x − 2012  0 b, x + 5 + ( 3 y − 4 ) =0 HD :  x − 1006 y = 0 a, x − 1006 y + x − 2012  0 =   x − 2012 = 0  x + 5  0 x + 5 = 0 2012 = x + 5 + ( 3 y − 4 ) = 0 =  b, Vì  2012 3 y − 4 = 0 ( 3 y − 4 )  0 Bài 9: Tìm x nguyên biết: 2 2012 a, ( 2 x − 1) + 2 y − x − 8 = 12 − 5.22 b, x − 2011y + ( y − 1) = 0 HD: 2 x + 1 = 0 2 a, ( 2 x − 1) + 2 y − x = 0 =  2 y − x = 0 b, x − 2011y + ( y − 1) 2012  x = 2011y = 0 =   y −1 = 0 19 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức Bài 10: Tìm x, y biết: b, x − y + y + a, 3x − 4 + 3 y + 5 = 0 9 =0 25 c, 3 − 2 x + 4 y + 5 = 0 Bài 11: Tìm x,y biết: 2 1 3 3 2 11 23 y = 0 c, x − 2007 + y − 2008 = 0 a, 5 − x + y − 3 = 0 b, − + x + 1,5 − + 3 2 4 4 7 17 13 Bài 12: Tìm x,y biết: a, 5x + 1 + 6 y − 8  0 b, x + 2 y + 4 y − 3  0 c, x − y + 2 + 2 y + 1  0 Bài 13: Tìm x,y biết: a, 12x + 8 + 11y − 5  0 b, 3x + 2 y + 4 y − 1  0 c, x + y − 7 + xy − 10  0 Bài 14: Tìm x,y biết: 2007 2008 a, x − y − 2 + y + 3 = 0 b, x − 3 y + y+4 =0 Bài 15: Tìm x,y biết: a, (x + y )2006 + 2007 y − 1 = 0 b, x − y − 5 + 2007( y − 3)2008 = 0 Bài 16: Tìm x,y biết: 2 2 a, (x − 1) + ( y + 3) = 0 b, 2(x − 5) + 5 2 y − 7 = 0 5 4 Bài 17: Tìm x,y biết: a, 3(x − 2 y )2004 + 4 y + 1 =0 2 1 b, x + 3 y − 1 +  2 y −   2000 2 =0 Bài 18: Tìm x,y biết: a, x − 2007 + y − 2008  0 7 b, 3 x − y 5 + 10 y + 2  0 3 Bài 19: Tìm x,y biết: 1 3 1 a,  x −  24 2 2006 + 2007 4 6 y+ 0 2008 5 25 b, 2007 2 x − y 2008 + 2008 y − 4 2007 0 20 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức DẠNG 9: A + B  m, ( m  0) A + B 0  Phương pháp : Vì  A  0 = A + B  0 = 0  A + B  m , Đưa về dạng 4  B 0 Bài 1: Tìm x y nguyên thỏa mãn : a, x + y  3 b, x + 5 + y − 2  4 HD : x + y 3  a, Vì  x  0 = x + y = 0 = 0  x + y  3   y 0  x  0 TH1 : x + y = 0 TH2 : x + y = 1 =  0  y  1 Bài 2: Tìm x, y nguyên sao cho : a, 3x + y + 5  4 b, 5 x + 1 + y − 2  7 Bài 3 : Tìm x, y nguyên sao cho : a, 3 x + 5 + 2 y − 1  3 b, 3 2 x + 1 + 4 2 y − 1  7 c, 2 x + 1 + y − 4  3 TH3 : x + y = 2 c, 4 2 x + 5 + y + 3  5 21 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức DẠNG 10: A ( x ) .B ( x ) = C ( y ) Phương pháp : Vì A ( y )  0 = A ( x ) .B ( x )  0 = n  x  m = Tìm được x Bài 1: Tìm các số cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn : a, ( 2 − x )( x + 1) = y + 1 b, ( x + 3)(1 − x ) = y HD : a, y + 1  0 = ( 2 − x )( x + 1)  0 = −1  x  2 = y = … Bài 2: Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: a, ( x + 1)( 3 − x ) = 2 y + 1 b, ( x − 2 )(5 − x ) − y + 1 = 1 Bài 3: Tìm các số nguyên x thỏa mãn: a, (x + 2)(x − 3)  0 b, (2 x − 1)(2 x − 5)  0 Bài 4: Tìm các số nguyên x thỏa mãn: a) (2 − x)(x + 1) = y + 1 b, (x + 3)(1 − x) = y Bài 5: Tìm các số nguyên x thỏa mãn: a) (x + 1)(3 − x ) = 2 y + 1 b, (x − 2)(5 − x) − y + 1 = 1 Bài 6: Tìm các số nguyên x thỏa mãn: a, (3x + 1)(5 − 2 x )  0 c, ( x − 2)(5 − x ) = 2 y + 1 + 2 c, ( x − 3)( x − 5) + y − 2 = 0 c, (3 − 2 x )( x + 2)  0 c, (x − 2)(5 − x ) = 2 y + 1 + 2 c, (x − 3)(x − 5) + y − 2 = 0 22 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức DẠNG 11: Sử dụng phương pháp đối lập 2 vế của đẳng thức: A  m A = m = A = B =  A = B , trong đó:  B  m B = m Bài 1: Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: a, x + 2 + x − 1 = 3 − ( y + 2 ) 2 b, x − 5 + 1 − x = 12 y +1 + 3 c, y + 3 + 5 = 10 ( 2 x − 6) 2 +2 HD: a, Vì x + 2 + 1 − x  x + 2 + 1 − x = 3  x + 2 + x − 1 = 3  −2  x  1 2 2 = Mặt khác: 3 − ( y + 2 )  3 , Để x + 2 + x − 1 = 3 − ( y + 2 ) =   2  y = −2 3 − ( y + 2 ) = 3 Bài 2: Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: 8 6 a, x − 1 + 3 − x = b, 2 x + 3 + 2 x − 1 = 2 y+3 +3 2 ( y − 5) + 2 Bài 3: Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: 12 16 a, 3x + 1 + 3x − 5 = b, x + 3 + x − 1 = 2 y−2 + y+2 ( y + 3) + 2 Bài 4: Tìm các cặp số nguyên x, y thỏa mãn: x − 2 y − 1 + 5 = 10 y−4 +2 23 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức DẠNG 12: TÌM MIN MAX CỦA BIỂU THỨC GTTD Bài 1: Tìm GTNN hoặc GTLN của : a, A = 2 3x −1 − 4 b, B = 1,5 − 2 − x HD : a, Ta có: 3x −1  0 = 2 3x −1 − 4  −4 = A  −4 c, C = x − 3 Khi đó A đạt GTNN bằng -4 khi 3x − 1 = 0 = x = b, c, 1 3 Ta có: 2 − x  0 = − 2 − x  0 = B = 1,5 − 2 − x  1,5 Khi đó B đặt GTLN bằng 1,5 khi x = 2 Ta có: C = x − 3  0 khi đó đạt GTNN bằng 0 kho x = 3 Bài 2: Tìm GTNN hoặc GTLN của : a, A = 0,5 − x − 3,5 b, E = − 1,4 − x − 2 HD : a, Ta có: A = 0,5 − x − 3,5  0,5 = MaxA = 0,5 khi x=3,5 b, B = − 1, 4 − x − 2  −2 = MaxB = −2 khi x=1,4 c, F = 5,5 − 2 x −1,5  5,5 = MaxF = 5,5 khi x = c, F = 5,5 − 2 x −1,5 1,5 3 = 2 4 Bài 3: Tìm GTNN hoặc GTLN của : a, G = − 10,2 − 3x −14 b, A = − 2,5 − x − 5,8 c, K = 10 − 4 x − 2 HD : a, Ta có: G = − 10, 2 − 3x −14  −14 = MaxG = −14 khi 10, 2 − 3x = 0 b, A = − 2,5 − x − 5,8  −5,8 = MaxA = −5,8 , khi 2,5 − x = 0 c, K = 10 − 4 x − 2  10 = MaxK = 10 khi x − 2 = 0 Bài 4: Tìm GTNN hoặc GTLN của : a, H = 4 − 5x − 2 − 3 y + 12 b, M = 5 − 2 x − 1 HD: c, A = 1,7 + 3,4 − x 5 x − 2 = 0 3 y + 12 = 0 a, H = 4 − ( 5 x − 2 + 3 y + 12 )  4 = MaxH = 4 khi  b, M = 5 − 2 x −1  5 = MaxM = 5 khi 2x −1 = 0 c, A = 1,7 + 3, 4 − x  1,7 = MinA = 1,7 khi 3, 4 − x = 0 Bài 5: Tìm GTNN hoặc GTLN của : a, A= x + 2,8 − 3,5 b, A = 3,7 + 4,3 − x HD: a, A = x + 2,8 − 3,5  −3,5 = MinA = −3,5 khi x + 2,8 = 0 b, A = 3,7 + 4,3 − x  3,7 = MinA = 3,7 khi 4,3 − x = 0 c, N = 2,5 − x + 5,8  5,8 = MinN = 5,8 khi 2,5 − x = 0 Bài 6: Tìm GTNN hoặc GTLN của : a, B = 4x − 3 + 5 y + 7,5 + 12,5 b, A = 4,9 + x − 2,8 HD: c, N = 2,5 − x + 5,8 c, A = −4 + 2 3x −1 4 x − 3 = 0 5 y + 7,5 = 0 a, B = 4x − 3 + 5 y + 7,5 + 12,5  12,5 = MinB = 12,5 khi  b, A = 4,9 + x − 2,8  −2,8 = MinA = −2,8 khi 4,9 + x = 0 c, A = −4 + 2 3x −1  −4 = MinA = −4 khi 3x −1 = 0 24 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức Bài 7: Tìm GTNN hoặc GTLN của : a, A= 2 3x − 2 + 1 b, A = 2 x + 4,5 + x − 2,7 HD: a, A = 2 3x − 2 + 1  1 = MinA = 1 khi 3x − 2 = 0 b, c, B = − 2 x − 3 − 4 y − 5 − 17 2 x + 4,5 = 0  x − 2, 7 = 0 A = 2x + 4,5 + x − 2,7  0 Dấu = xảy ra khi  => Không tồn tại x để xảy ra dấu bằng Bài 8: Tìm GTNN hoặc GTLN của : 2 b, B = 3x − 5 a, A = x + 1 2 4 1  c, C =  x +  − 7 2  HD: a, b, c, A = x 2 + 1  1 = MinA = 1 khi x=0 B = 3x 4 − 5  −5 = MinB = −5 khi x=0 2 −1 1  C =  x +  − 7  −7 = MinC = −7 khi x = 2 2  Bài 9: Tìm GTNN hoặc GTLN của : 2 a, A= x + 5 − 12 b, B= x + 2 + x + y + 5 − 17 c, C = ( x + 1) + 2 x − 3 − y + 30 HD: a, A = x + 5 −12  −12 = MinA = −12 khi x + 5 = 0 x + 2 = 0 x + y + 5 = 0 b, B = x + 2 + x + y + 5 −17  −17 = MinB = −17 dấu bằng khi:  c, C = ( x + 1) + 2 x − 3 − y + 30  30 = MinC = 30 2 x +1 = 0 Dấu bằng khi  2 x − 3 − y = 0 Bài 10: Tìm GTNN hoặc GTLN của : 4 2 a, A = 100 − x b, B = c, A = x2 + 3 y − 2 −1 x+4 +2 HD: A = 100 − x 2  100 = MaxA = 100 , Dấu bằng khi x = 0 a, 4 4 b, Ta có: x + 4 + 2  2 =  = 2 = B  2 = MaxB = 2 x+4 +2 2 Dấu bằng khi: x + 4 = 0 x = 0 c, A = x2 + 3 y − 2 −1  −1 = MinA = −1 , Dấu bằng khi  y − 2 = 0 Bài 11: Tìm GTNN hoặc GTLN của : 2 a, B = x + x b, C = x − x c, D = −10 − ( x − 3) − y − 5 HD: a, Xét: x  0 = B = x + x + 2x  0 với x  0 = B = x − x = 0 = B  0 = MinB = 0 , dấu bằng khi x  0 b, Xét x  0 = C = x − ( − x ) = 2x  0 Xét x  0 = C = x − x = 0 = C  0 = MaxC = 0 dấu bằng khi x  0 x − 3 = 0 2 c, D = −10 − ( x − 3) − y − 5  −10 = MaxD = −10 , Dấu bằng khi  y −5 = 0 25 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức Bài 12: Tìm GTNN hoặc GTLN của : 2 2 1  b, M = ( x + 2 ) +  y −  − 8 c, N = ( x 2 − 9 ) + y − 2 + 10 5  a, E = ( 2 x + 1) − 3 2 4 HD: a, E = ( 2 x + 1) − 3  −3 = MinE = −3 , dấu bằng khi 2x + 1 = 0 4 x + 2 = 0 2 1   M = ( x + 2 ) +  y −  − 8  −8 = MinM = −8 , dấu bằng khi  b, 1 5   y − 5 = 0 2  x2 − 9 = 0 N = ( x 2 − 9 ) + y − 2 + 10  10 = MinN = 10 Dấu bằng khi  c, y − 2 = 0 Bài 13: Tìm GTNN hoặc GTLN của : 2 2012 a, P = y 2 + x −10 + 9 b, P = ( x − 2 y ) + ( y − 2002 ) HD:  x − 10 = 0 a, P = y 2 + x −10 + 9  9  MinP = 9 , dấu bằng khi  y = 0 2 b, P = ( x − 2 y ) + ( y − 2002 ) 2 2012 Bài 14: Tìm GTNN hoặc GTLN của : 4 2 a, Q = ( x + y − 3) + ( x − 2 y ) + 2012 x − 2 y = 0  y − 2002 = 0  0 = MinP = 0 dấu bằng khi:  b, A = ( x − 2 ) + y − x + 3 2 HD: x + y − 3 = 0 x − 2 y = 0 a, Q = ( x + y − 3) + ( x − 2 y ) + 2012  2012 = MinQ = 2012 , dấu bằng khi:  b, A = ( x − 2 ) + y − x + 3  3 = MinA = 3 , Dấu bằng khi  4 2 x − 2 = 0 y − x = 0 2 Bài 15: Tìm GTNN hoặc GTLN của : 2 2 a, B = ( x + 1) + ( y + 3) + 1 b, A = x + 5 −12 HD: x +1 = 0 y +3 = 0 a, B = ( x + 1) + ( y + 3) + 1  1 = MinB = 1 , dấu bằng khi  b, A = x + 5 −12  −12 = MinA = −12 dấu bằng khi x + 5 = 0 2 2 Bài 16: Tìm GTNN hoặc GTLN của : a, B = − 2 x + 20 −18 b, C = x + 2 + x + y − 5 − 17 HD : a, Ta có: B = − 2x + 20 −18  −18 = MaxB = −18 Dấu bằng khi 2x + 20 = 0 x + 2 = 0 Ta có : C = x + 2 + x + y − 5 −17  −17 = MinC = −17 , Dấu bằng khi  x + y − 5 = 0 2 Bài 17: Tìm GTNN hoặc GTLN của : D = ( x + 1) + 2 x − 3 − y + 30 b, HD : x +1 = 0 2 x − 3 − y = 0 D = ( x + 1) + 2 x − 3 − y + 30  30 = MinD = 30 , Dấu bằng khi  2 Bài 18: Tìm GTNN của : 6 a, A = x −3 HD : b, A = 1 x−2 +3 c, B = 5,8 2,5 − x + 5,8 26 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 6 6  = −2 = A  −2 = MaxA = −2 , Dấu bằng khi x = 0 x − 3 −3 1 1 1 1 b, Ta có : x − 2 + 3  3 =  = A  = MaxA = , Dấu bằng khi x = 2 x−2 +3 3 3 3 5,8 c, Ta có : 2,5 − x + 5,8  5,8 =  1 = B  1 = MaxB = 1 , Dấu = khi x = 2,5 2,5 − x + 5,8 Bài 19: Tìm GTNN của : 2 x +3 3 x +2 12 a, C = 2 + b, D = c, E = 3 x −1 4 x −5 3 x+5 +4 a, Ta có : x − 3  −3 = a, Ta có : 3 x + 5 + 4  4 = HD : b, 12 12  = 3 = C  2 + 3 = 5 = MaxC = 5 , 3 x+5 +4 4 Dấu bằng khi x = – 5 12 x + 8 12 x − 15 + 23 23 = = 3+ Ta có : 4 D = 4 x −5 4 x −5 4 x −5  4 x − 5  0 Để D đạt min thì  = 4 x  5 = x  1 = x = 1 4 x − 5, min   4 x − 5  0 Để D đạt max thì  = 4 x  5 = x  1 = x = 2 4 x − 5, min Bài 20: Tìm GTNN của : 2 y + 7 + 13 15 x + 1 + 32 2 7 x + 5 + 11 a, F = b, G = b, A = 2 2y + 7 + 6 6 x +1 + 8 7x + 5 + 4 HD : 2 7x + 5 + 8 + 3 3 = 2+ , 7x + 5 + 4 7x + 5 + 4 3 3 3 11 Mà 7 x + 5 + 4  4 =  = F  2 + = 7x + 5 + 4 4 4 4 11 = MaxF = , Dấu bằng khi 7 x + 5 = 0 4 2 2 y + 7 + 26 20 2G = = 1+ b, 2 2y + 7 + 6 2 2y + 7 + 6 20 20 10 10 Mà : 2 2 y + 7 + 6  6 =  = = 2G  1 + 2 2y + 7 + 6 6 3 3 13 MaxG = , Dâu bằng khi 2y + 7 = 0 20 30 x + 1 + 32 30 x + 1 + 40 − 8 8 2A = = = 5− c, 6 x +1 + 8 6 x +1 + 8 6 x +1 + 8 8 8 Mà 6 x + 1 + 8  8 =  1 = 5 −  5 − 1 = 4 => 2 A  4 = A  2 6 x +1 + 8 6 x +1 + 8 = MinA = 2 , khi x + 1 = 0 Bài 21: Tìm GTNN của : 21 4 x + 6 + 33 −8 6 14 a, B = 5 + b, C = − c, D = 3 4x + 6 + 5 4 5 x + 7 + 24 5 5 6 y − 8 + 35 a, Ta có : F = 27 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức HD: a, 4 5 x + 7 + 24  24 = −8 −8 −1 −1 14  = = B  5 + = 4 5 x + 7 + 24 24 3 3 3 14 , Dấu bằng khi 5x + 7 = 0 3 14 14 2 6 2 8 b, 5 6 y − 8 + 35  35 = −  = = C  + = 5 6 y − 8 + 35 35 5 5 5 5 8 Khi đó : MinC = , Dấu bằng khi 6 y − 8 = 0 5 21 4 x + 6 + 35 − 2 −2 D= =7+ d, 3 4x + 6 + 5 3 4x + 6 + 5 −2 −2 −2 33 mà 3 4 x + 6 + 5  5 =  = D  7 + = 3 4x + 6 + 5 5 5 5 33 Hay MinD = , dấu bằng khi 4 x + 6 = 0 5 Bài 22: Tìm GTNN của : −15 x + 7 − 68 6 y + 5 + 14 a, E = b, F = 2 y + 5 + 14 3 x + 7 + 12 HD : 6 y + 5 + 42 − 28 −28 = 3+ a, Ta có: E = 2 y + 5 + 14 2 y + 5 + 14 −28 −28 Mà 2 y + 5 + 14  14 =  = −2 = E  3 + ( −2 ) = 1 2 y + 5 + 14 14 Hay MinE = 1 , Dấu bằng khi y + 5 = 0 −15 x + 7 − 60 − 8 −8 = −5 + b, Ta có: F = 3 x + 7 + 12 3 x + 7 + 12 −8 −8 −2 −17 Mà 3 x + 7 + 12  12 =  = F  −5 + = 3 x + 7 + 12 12 3 3 −17 Hay MinF = , Dấu bằng khi x + 7 = 0 3 Bài 23: Tìm GTNN của : −3 15 28 a, C = − b, H = 2 12 3 x − 3 y + 2 x + 1 + 35 ( x + 2) + 4 Khi đó : MinB = HD : a, Ta có: 3 x − 3 y + 2 x + 1 + 35  35 = −28 −28 −4 15 −4 9  = = C  + = 3 x − 3 y + 2 x + 1 + 35 35 5 12 5 20 x − 3y = 0  2 x + 1 = 0 −3 −3 −3 −3 2  = H  b, Ta có: ( x + 2 ) + 4  4 = hay MinH = , 2 4 4 ( x + 2) + 4 4 Hay MinC = 9 , Dấu bằng khi 20 Dấu bằng khi x + 2 = 0 Bài 24: Tìm GTLN của: 15 a, A = 5 + 4 3x + 7 + 3 b, B = −1 21 + 3 8 15 x − 21 + 7 28 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức HD : a, b, 15 15  = 5 = A  5 + 5 = 10 4 3x + 7 + 3 3 Hay MaxA = 10 , Dấu bẳng khi 3x + 7 = 0 21 21 −1 5 Ta có: 8 15 x − 21 + 7  7 =  = 3 = B  + 3 = 8 15 x − 21 + 7 7 3 3 Ta có: 4 3x + 7 + 3  3 = Hay MaxB = 5 , Dấu bằng khi 15x − 21 = 0 3 Bài 25: Tìm GTLN của: 4 20 a, C = + 5 3x + 5 + 4 y + 5 + 8 b, D = −6 + 24 2 x − 2 y + 3 2x +1 + 6 HD: a, Ta có: 3x + 5 + 4 y + 5 + 8  8 = Hay MaxC = b, 33 Dấu bằng khi 10, 20 20 5 4 5 33  = = C  + = 3x + 5 + 4 y + 5 + 8 8 2 5 2 10 3x + 5 = 0  4 y + 5 = 0 Ta có: 2 x − 2 y + 3 2 x + 1 + 6  6 = 24 24  = 4 = D  −6 + 4 = −2 2 x − 2 y + 3 2x +1 + 6 6 x − 2 y = 0 Hay MaxD = −2 , Dấu bằng khi  2 x + 1 = 0 Bài 26: Tìm GTLN của: 2 21 1 a, E = + b, F = 2 3 ( x + 3 y ) + 5 x + 5 + 14 x −1 + 3 HD : a, Ta có: ( x + 3 y ) + 5 x + 5 + 14  14 = 21 2 ( x + 3y) 2 + 5 x + 5 + 14  21 3 2 3 13 = = E  + = 14 2 3 2 6 x + 3y = 0 13 , Dấu bằng khi  6 x + 5 = 0 1 1 1 b, Ta có: x − 1 + 3  3 =  = F  x −1 + 3 3 3 1 Hay MaxF = , Dâu bằng khi x −1 = 0 3 Bài 27: Tìm GTLN của: 1 3 a, A = b, B = 2 2 2x + 5 ( x − 2) + 5 Hay MaxE = HD : 3 3 3 = A  5 5 a, Ta có: ( x − 2 ) + 5  5 = b, 3 Hay MaxA = , Dấu bằng khi x − 2 = 0 5 1 1 1 2  = B  Ta có: 2 x + 5  5 = 2 2x + 5 5 5 1 Hay MaxB = , dấu bằng khi x = 0 5 2 ( x − 2) 2 +5  29 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức Bài 28: Tìm GTLN của: A = 2016 ( x − 2) + ( x − y ) 2 4 +3 HD : Ta có: ( x − 2 ) + ( x − y ) + 3  3 = 2 2016 4 ( x − 2) + ( x − y ) 2 4 +3  2016 = 672 = A  672 3 x − 2 = 0 Hay MaxA = 672 , Dấu bằng khi  x − y = 0 Bài 29: Tìm GTNN của các biểu thức sau: a, A = x + 5 + 2 − x b, B = x − 7 + 6 − x c, C = 2x −1 + 2x + 6 HD: a, với x + 5  0 = x  −5 = A = x + 5 + 2 − x = 7 (1) Với x  −5 = A = − x − 5 + 2 − x = −2x − 3 Mà x  −5 = −2x  10 = −2x − 3  10 − 3 = 7 = A  7 (2) Từ (1) và (2) ta cosL A  7 = MinA = 7 , Dâu bằng khi x  −5 b, Với x − 7  0 = x  7 = B = x − 7 + 6 − x = −1 (1) Với x  7 = B = 7 − x + 6 − x = −2x + 13 mà x  7 = −2x  −14 = −2x + 13  −1 = B  −1 (2) Từ (1) và (2) ta có : B  −1 = MinB = −1 , Dấu bằng khi x  7 1 c, Với 2 x − 1  0 = x  = C = 2 x − 1 + 2 x + 6 = 4 x + 5 2 1 1 Mà x  = 4 x + 5  4. + 5 = 7 = C  7 (1) 2 2 1 Với x  = C = 1 − 2 x + 2 x + 6 = 7 (2) 2 1 Từ (1) và (2) ta có : C  7 = MinC = 7 , Dấu bằng khi x  2 Bài 30: Tìm GTNN của các biểu thức sau: a, E = 4x + 3 + 4x − 5 b, F = 5x − 6 + 3 + 5x c, G = 2 x + 7 + 5 − 2 x HD: −3 = E = 4 x + 3 + 4 x − 5 = 8 x − 2 a, Với 4 x + 3  0 = x  4 −3 −3 = 8 x − 2  8. − 2 = −8 => E  −8 Mà x  (1) 4 4 −3 = E = −4 x − 3 + 4 x − 5 = −8 Với x  (2) 4 −3 Từ (1) và (2) ta có : E  −8 = MinE = −8 , Dấu bằng khi x  4 6 b, Với 5 x − 6  0 = x  = F = 5 x − 6 + 3 + 5 x = 10 x − 3 5 6 6 Mà x  = 10 x − 3  10. − 3 = 9 = F  9 (1) 5 5 6 Với x  = E = 6 − 5 x + 3 + 5 x = 9 (2) 5 6 Từ (1) và (2) ta có : F  9 = MinF = 9 , Dâu bằng khi x  5 −7 = G = 2 x + 7 + 5 − 2 x = 12 c, Với 2 x + 7  0 = x  (1) 2 30 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức −7 = G = −2 x − 7 + 5 − 2 x = −4 x − 2 2 −7 −7 = −4 x − 2  −4. − 2 = 12 => G  12 Mà x  2 2 Với x  (2) Từ (1) và (2) ta có : G  12 = MinG = 12 , Dấu bằng khi x  −7 2 Bài 31: Tìm GTNN của các biểu thức sau: a, H = 2 x − 3 + 2 x + 5 b, I = 3 x −1 + 4 − 3x c, J = 4 x + 5 + 4x −1 HD: a, Với x − 3  0 = x  3 = H = 2 ( x − 3) + 2 x + 5 = 4 x −1 Mà x  3 = 4.x −1  11 = H  11 (1) Với x  3 = H = 2 (3 − x ) + 2 x + 5 = 11 (2) b, Từ(1) và (2) ta có : H  11 = MinH = 11 , Dấu bằng khi x  3 Với x −1  0 = x  1 = I = 3 ( x −1) + 4 − 3x = 1 (1) c, Với x  1 = I = 3(1 − x ) + 4 − 3x = −6x + 7 Mà x  1 = −6x + 7  −6.1 + 7 = 1 = I  1 (2) Từ (1) và (2) ta có : I  1 = MinI = 1, Dấu bằng khi x  1 Với x + 5  0 = x  −5 = J = 4 ( x + 5) + 4 x −1 = 8x + 19 Mà x  −5 = 8x + 19  8. ( −5) + 19 = −21 = J  −21 (1) Với x  −5 = J = 4 ( − x − 5) + 4x −1 = −21 (2) Từ (1) và (2) ta có : J  −21 = MinJ = −21, Dấu bằng khi x  −5 Bài 32: Tìm GTNN của các biểu thức sau: 1 2 a, D = 3x + 5 + 8 − 3x b, B = x + − x − 2 3 HD: −5 = D = 3x + 5 + 8 − 3x = 13 a, Với 3x + 5  0 = x  ( 1) 3 −5 = D = −3x − 5 + 8 − 3x = −6 x + 3 Với x  3 −5 −5 = −6 x + 3  −6. + 3 = 13 = D  13 Mà x  (2) 3 3 −5 Từ (1) và (2) ta có : D  13 = MinD = 13 , Dấu bằng khi x  3 2 2 1  2 7 b, Với x −  0 = x  = B = x + −  x −  = (1) 3 3 2  3 6 2 1 2  −1 Với x  = B = x + −  − x  = 2 x + 3 2 3  6 2 −1 2 −1 7 7  2. + = = B  Mà x  = B = 2 x + (2) 3 6 3 6 6 6 2 7 7 Từ (1) và (2) => B  = MaxB = , Dấu bằng khi x  3 6 6 Bài 33: Tìm GTLN của: a, A = − x − 5 + x + 4 b, B = − 2 x + 3 + 2 x + 4 c, C = − 3x −1 + 7 − 3x HD: a, Với x − 5  0 = x  5 = A = − ( x − 5) + x + 4 = 9 (1) Với x  5 = A = − ( 5 − x ) + x + 4 = 2x −1 31 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức Mà x  5 = A = 2x −1  2.5 −1 = 9 (2) Từ (1) và (2) ta có : A  9 = MaxA = 9 , Dấu bằng khi x  5 −3 = B = − ( 2 x + 3) + 2 x + 4 = 1 b, Với 2 x + 3  0 = x  (1) 2 −3 = B = − ( −2 x − 3) + 2 x + 4 = 4 x + 7 Với x  2 −3 −3 = B = 4 x + 7  4. + 7 = 1 Mà x  (2) 2 2 −3 Từ (1) và (2) ta có : B  1 = MaxB = 1 , Dấu bằng khi x  2 1 c, Với 3x − 1  0 = x  = C = − ( 3x − 1) + 7 − 3x = −6 x + 8 3 1 1 Mà x  = −6 x + 8  −6. + 8 = 6 = C  6 3 3 1 Với x  = C = − (1 − 3x ) + 7 − 3x = 6 (2) 3 1 Từ (1) và (2) ta có : C  6 = MaxC = 6 , Dấu bằng khi x  3 Bài 34: Tìm GTLN của: a, D = −2 x − 5 + 2 x + 6 b, E = −3 x − 4 + 8 − 3x c, F = −5 5 − x + 5x + 7 HD: a, Với x − 5  0 = x  5 = D = −2 ( x − 5) + 2x + 6 = 16 (1) (1) Với x  5 = D = −2 ( 5 − x ) + 2x + 6 = 4 x − 4 Mà x  5 = D = 4x − 4  16 (2) Từ (1) và (2) ta có : D  16 = MaxD = 16 , Dấu bằng khi x  5 b, Với x − 4  0 = x  4 = E = −3 ( x − 4) + 8 − 3x = −6 x + 20 Mà x  4 = E = −6x + 20  −6.4 + 20 = −4 (1) Với x  4 = E = −3 ( 4 − x ) + 8 − 3x = −4 (2) Từ (1) và (2) ta có : E  −4 = MaxE = −4 , Dấu bằng khi x  4 c, Với 5 − x  0 = x  5 = F = −5 (5 − x ) + 5x + 7 = 10 x − 18 Mà x  5 = F = 10x −18  10.5 −18 = 32 (1) Với x  5 = F = −5 ( x − 5) + 5x + 7 = 32 (2) Từ (1) và (2) ta có : F  32 = MaxF = 32 , Dấu bằng khi x  5 Bài 35: Tìm GTNN của biểu thức a, A = x + 1 + x − 5 b, B = x − 2 + x − 6 + 5 c, C = 2 x − 4 + 2 x + 1 HD a, Ta có : A = x + 1 + x − 5 = x + 1 + 5 − x  x + 1 + 5 − x = 6 = 6 Hay A  6 = MinA = 6 , Dấu bằng khi ( x + 1)( 5 − x )  0 b, Ta có : B = x − 2 + x − 6 + 5 = x − 2 + 6 − x + 5  x − 2 + 6 − x + 5 = 9 Hay B  9 = MinB = 9 , Dấu bằng khi ( x − 2)( 6 − x )  0 c, Ta có : C = 2x − 4 + 2x + 1 = 4 − 2x + 2x + 1  4 − 2x + 2x + 1 = 5 Hay C  5 = MinC = 5 , Dấu bằng khi ( 4 − 2 x )( 2 x + 1)  0 Bài 36: Tìm GTNN của biểu thức a, D = x + 2 + x − 3 b, E = 2 x − 4 + 2 x + 5 c, F = 3 x − 2 + 3x + 1 HD : a, Ta có : D = x + 2 + x − 3 = x + 2 + 3 − x  x + 2 + 3 − x = 5 32 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức Hay D  5 = MinD = 5 , Dấu bằng khi ( x + 2)(3 − x )  0 b, Ta có : E = 2x − 4 + 2x + 5 = 4 − 2 x + 2 x + 5  4 − 2 x + 2 x + 5 = 9 Hay E  9 = MinE = 9 , Dấu bằng khi ( 4 − 2 x )( 2 x + 5)  0 c, Ta có : F = 3 x − 2 + 3x + 1 = 3 ( x − 2 ) + 3x + 1 = 6 − 3x + 3x + 1  6 − 3x + 3x + 1 = 7 Hay F  7 = MinF = 7 , Dấu bằng khi ( 6 − 3x )(3x + 1)  0 Bài 37: Tìm GTNN của biểu thức a, G = x + 5 + x + 1 + 4 b, H = 3x − 7 + 3x + 2 + 8 c, I = 4 x + 3 + 4x − 5 + 12 HD : a, Ta có : G = x + 5 + x + 1 + 4 = x + 5 + − x −1 + 4  x + 5 − x − 1 + 4 = 8 Hay G  8 = MinG = 8 , Dấu bằng khi ( x + 5)( − x − 1)  0 b, Ta có : H = 3x − 7 + 3x + 2 + 8 = 7 − 3x + 3x + 2 + 8  7 − 3x + 3x + 2 + 8 = 17 Hay H  17 = MinG = 17 , Dấu bằng khi ( 7 − 3x )( 3x + 2)  0 c, Ta có : I = 4 ( x + 3) + 4 x − 5 + 12 = 4 x + 12 + 5 − 4 x + 12  4 x + 12 + 5 − 4 x + 12 = 29 Hay I  29 = MinI = 29 , Dấu bằng khi ( 4 x + 12)( 5 − 4 x )  0 Bài 38: Tìm GTNN của biểu thức a, M = x − 2002 + x − 2001 b, N = x − 2006 + 2007 − x HD : a, Ta có : M = x − 2002 + 2001 − x  x − 2002 + 2001 − x = 1 Hay M  1 = MinM = 1, Dấu bằng khi ( x − 2002)( 2001 − x )  0 b, Ta có : N = x − 2006 + 2007 − x  x − 2006 + 2007 − x = 1 Hay N  1 = MinN = 1, Dấu bằng khi ( x − 2006)( 2007 − x )  0 Bài 39: Tìm GTNN của biểu thức a, A = x − 2012 + 2011 − x b, B = x − 456 + x − 789 HD : a, Ta có : A = x − 2012 + 2011 − x  x − 2012 + 2011 − x = 1 = A  1 b, Vậy MinA = 1, Dáu bằng khi ( x − 2012)(2011 − x)  0 Ta có : B = x − 456 + 789 − x  x − 456 + 789 − x = 333 = B  333 Vậy MinB = 333 Dấu bằng khi ( x − 456)( 789 − x )  0 Bài 40: Tìm GTNN của biểu thức: a, A = x + 3 + 2 x − 5 + x − 7 b, B = x + 1 + 3x − 4 + x − 1 + 5 HD : a, Ta có : A = x + 3 + x − 7 + 2 x − 5  x + 3 + x − 7 + 2 x − 5 = 2 x − 4 + 5 − 2 x ( x + 3)( x − 7 )  0 => A  1 ( 2 x − 4 )( 5 − 2 x )  0 A  2 x − 4 + 5 − 2 x = 1Dấu bằng khi :  b, Ta có : B = x + 1 + 1 − x + 3x − 4 + 5  x + 1 + 1 − x + 3x − 4 + 5  2 + 0 + 5 = 7  ( x + 1)(1 − x )  0 Dấu bằng khi :  = x  , Vậy không tồn tại giá trị nhỏ nhất 3 x − 4 = 0   Bài 41: Tìm GTNN của biểu thức: a, C = x + 2 + 4 2 x − 5 + x − 3 b, D = x + 3 + 5 6 x + 1 + x −1 + 3 HD : a, Ta có : C = x + 2 + 3 − x + 4 2x − 5  x + 2 + 3 − x + 4 2 x − 5  5 + 0 = 5 = C  5 33 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức b,  5 ( x + 2 )( 3 − x )  0 Dấu bằng khi :  = x = thỏa mãn : 2  2 x − 5 = 0 D = x + 3 + 1 − x + 5 6x + 1 + 3  x + 3 + 1 − x + 5 6x + 1 + 3  4 + 0 + 3 = 7  −1 ( x + 3)(1 − x )  0 Dấu bằng khi  thỏa mãn : = x = 6  6 x + 1 = 0 Bài 42: Cho x + y = 5. Tìm GTNN của A = x + 1 + y − 2 HD : Từ x + y = 5 = y = 5 − x = A = x + 1 + 5 − x − 2 = x + 1 + 3 − x  x + 1+ 3 − x = 4  −1  x  3 ( x + 1)( 3 − x )  0 Dấu bằng khi :  =   x + y = 5 x + y = 5 Bài 43: Cho x – y = 3. Tìm GTNN của B = x − 6 + y + 1 HD : Từ x − y = 3 = x = y + 3 = B = y + 3 − 6 + y + 1 = 3 − y + y + 1  3 − y + y + 1 = 4  ( 3 − y )( y + 1)  0 −1  y  3 Dấu bằng khi :  =   x − y = 3 x − y = 3 Bài 44: Cho x – y =2. Tìm GTNN của C = 2 x + 1 + 2 y + 1 HD : Ta có : C = 2 x + 1 + −2 y − 1  2 x + 1 − 2 y − 1 = 2 ( x − y ) = 4  ( 2 x + 1)( −2 y − 1)  0 Dấu bằng khi :   x − y = 2 Bài 45: Cho 2x+y=3. Tìm GTNN của D = 2 x + 3 + y + 2 + 2 HD : Ta có : D = 2x + 3 + y + 2 + 2  2x + 3 + y + 2 + 2 = 3 + 5 + 2 = 10  ( 2 x + 3)( y + 2 )  0 Dấu bằng khi :   2 x + y = 3 Bài 46: Cho 3x – 4y=0. Tìm GTNN của M = x2 + y2 HD : 4 16 25 y 2 Ta có : x = y = M = y 2 + y 2 =  0 . Dấu bằng khi x = y = 0 3 9 9 Bài 47: Số giá trị của x thỏa mãn : x + 1 + x −1012 + x + 3 + x + 1003 = 2013 HD : Ta có : VT = x + 1 + 1012 − x + x + 3 + −1003 − x  x + 1 + 1012 − x + x + 3 −1003 − x  −1  x  1012 ( x + 1)(1012 − x )  0 =  = x   −1003  x  −3  ( x + 3)( −1003 − x )  0 = 1013 + 1000 = 2013 , Dấu bằng xảy ra khi :  Vậy không có giá trị nào của x x+2 x −y = =? Bài 48: Cho = 2 3 3− y HD : Ta có : x+2 2 x −y x 2 x+2 = = = = = = 2 3 −y 3 3− y 3− y 3 34 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức Bài 49: Tìm GTNN của: A = x −1 + x − 2 + x − 3 + … + x −100 HD : Ta có : A = ( x − 1 + 100 − x ) + ( x − 2 + 99 − x ) + … + ( x − 50 + 51 − x ) 1  x  100 2  x  99  = 50  x  51 , Dấu bằng khi : = A  99 + 97 + … + 3 + 1 = 2500 = A  2500  …  50  x  51 Bài 50: Tìm GTNN của: A = ( x − 2 ) + y − x + 3 HD : 2  x = 2 ( x − 2 )  0 = A  3 , hay MinA = 3 Dấu bằng khi  Ta có :  y − x = 0   y−x 0 2011 Bài 51: Tìm GTNN của: B = 2012 − x − 1010 HD : 2011 2011 Ta có : x − 1010  0 = 2012 − x − 1010  2012 = B =  2012 − x − 1010 2012 Dấu bằng khi : x = 1010 7 21 ( 2 x − 3) + − 8 2 Bài 52: Tìm GTLN của: C ( x) = 2 với x nguyên 2x − 3 HD : 7 5 5 Ta có : C ( x ) = + , để C ( x ) Đặt GTLN thì là số dương lớn nhất 2 2 ( 2 x − 3) 2 ( 2 x − 3) 2 Hay 2 ( 2 x − 3) là số dương nhỏ nhất mà x nguyên nên : 7 2 ( 2 x − 3)  Z = 2 ( 2 x − 3) = 1 = 4 x − 6 = 1 = x = (l ) 4 Khi đó : 2 ( 2 x − 3) = 2 = 4 x − 6 = 2 = x = 2 ( t / m) Bài 53: Tìm GTNN của: A = 3( x − 5) − 2 x − 5 + 1 HD : 2 2  1 2 2 Ta có : A = 3 ( 5 − x ) − 2 x − 5 + 1 , Đặt 5 − x = t = A = 3t − 2t + 1 = 3  t −  +   3 3 3 1  x −5 =  1 1 3 Dấu bằng khi : t = = x − 5 = =  3 3  x − 5 = −1  3 2 2 2 xy + y ( y − x ) + 1 Bài 54: Cho A = 2 4 . Rút gọn A và tìm x để A đạt GTLN x y + 2 y 4 + x2 + 2 HD : xy 2 + y 4 − xy 2 + 1 y4 +1 1 = = 2 Ta có : A = 2 4 4 2 2 4 4 x y + 2 y + x + 2 x ( y + 1) + 2 ( y + 1) x + 2 2 2 Ta có : x + 2  2 = A = 2 1 1 1  => MaxA = , Dấu bằng khi x = 0 x +2 2 2 2 35 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức Bài 55: Tìm x  Z , để biểu thức: A = x − 2 + x − 4 đạt GTNN HD : Ta có : A = x − 2 + x − 4 = x − 2 + 4 − x  x − 2 + 4 − x = 2 dấu bàng khi : ( x − 2)( 4 − x )  0 Bài 56: Tìm x  Z , để biểu thức: B = x − 2 + x − 3 + x − 4 đạt GTNN HD : Ta có : A = x − 2 + x − 4 + x − 3  x − 2 + 4 − x + x − 3  2 + x − 3 = 2  ( x − 2 )( 4 − x )  0 Dấu bằng khi :  = x = 3  x − 3 = 0 Bài 57: Tìm Min của: A = x + 8 + x + 13 + x + 50 HD : Ta có: A = − x − 8 + x + 13 + x + 50  − x + 8 + 0 + x + 50 = 42 dấu bằng xảy ra khi : − x − 8  0   x + 13 = 0 = x = −13  x + 50  0  Bài 58: Tìm Min của : B = x + 1 1 1 + x+ + x+ 2 3 4 HD : 1 1 1 1 1 1 + − −x + x+  x+ − −x +0= 2 4 3 2 4 2  1  1   x + 2  − 4 − x   0 1    = x = − Dấu bằng khi :  3  x + 1  = 0    3  Bài 59: Tìm Min của các biểu thức: B = x+ a, A = ( 2 x + 1) − 3 b, B = ( x 2 − 9 ) + y − 2 − 1 c, B = ( x − 1) + ( y + 5) + 1 Bài 60: Tìm Min của : 2 2 a, A = ( x + 1) + ( y − 1) − 20 (Min) 2 b, B = − x + 2 x + 1 (Max) c, C = x −1 + x − 2 (Min) b, E = ( x 2 − 9 ) + y − 2 − 1 c, C = 9 − x 2 − 5 4 4 Bài 61: Tìm Min của : 2 a, C = x − 2014 + x − 2015 2 2 Bài 62: Tìm Min của : a, D = x −1 + x − 10 + x − 20 biết x  Z b, E = 8 ( x − 1) 2 +4 c, K = 421 − 124 − x Bài 63: Tìm GTNN của: P = ( x − 3 + 2 ) + y + 3 + 2007 2 HD: Ta có: ( x − 3 + 2 )  2, x = ( x − 3 + 2 )  4 , Dấu “=” xảy ra khi x=3và y + 3  0, y , 2 “=” khi y= – 3, Vậy P = ( x − 3 + 2 ) + y + 3 + 2007  4 + 2007 = 2011 , Dấu ‘=’ khi x=3 và y=-3 2 Bài 64: Tìm GTNN của A = x − 2010 + ( y + 2011) + 2011 và giá trị của x, y tương ứng x+2 Bài 65: Tìm GTLN của C = với x là số nguyên x HD: Xét các Th: 2010 36 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức Xét x  −2 thì C  1 Xét x = −1 thì C=1 x+2 2 2 = 1 + và C lớn nhất khi lớn nhất, khi x nhỏ nhất tức là x=1 khi đó C=3 Xét x  1 thì A = x x x Vậy Max C=3 khi x=1 Bài 66: Cho x+2y=1, Tìm Min của: A = x2 + y 2 + xy Bài 67: Tìm Min của : M = x − 2 + x − 9 + x + 1945 Bài 68: Tìm GTNN của: D = x −1 + x − 10 + x − 20 biết x là số nguyên Bài 69: Tìm Min của: A = 3x − 2 + 5 − 3x Bài 70: Tìm Max của: 2009 2 x + 1 + 2010 Bài 71: Tìm min của: 7 a, C = 2 2 + 4 ( x − 2) a, A = (x b, B = b, D = 2 − 4 ) + 2010 2 −2009 ( x − 2) 2 + 12 Bài 72: (l7) Tìm min của: P = x − 2015 + x − 2016 + x − 2017 Bài 73: Cho số tự nhiên n có hai chữ số, chữ số hàng chục là x, hàng đơn vị là y, Gọi M = a, Tìm n để M=2 HD: n x+ y b, Tìm n để M nhỏ nhất 10 x + y = 2 = y = 8x , Mà x, y là các chữ số nên x=1 và y=8 x+ y y x + y + 9x 9x 9 b, M = để M nhỏ nhất thì 1 + lớn nhất hay y lớn nhất và x nhỏ = 1+ = 1+ y x x+ y x+ y 1+ x nhất 3 − 4x Bài 74: Tìm GTNN của : D = 2 x +1 Bài 75: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x − 2015 + x − 2016 + x − 2017 a, Ta có: HD: P = x − 2015 + x − 2016 + x − 2017 = ( x − 2015 + 2017 − x ) + x − 2016 Ta có : x − 2015 + 2017 − x  x − 2015 + 2017 − x = 2 Dấu « = » xảy ra khi 2015  x  2017 Lại có : x − 2016  0 , Dấu ‘=’ khi x=2016 Từ đó ta có : MinP = 2 , Dấu bằng xảy ra khi x=2016 x − 2016 + 2017 Bài 76: Tìm GTNN của biểu thức : A = x − 2016 + 2018 HD: A= x − 2016 + 2018 − 1 1 = 1− x − 2016 + 2018 x − 2016 + 2018 Do x − 2016 + 2018  2018, x dấu bằng khi x=2016. Vậy B đạt GTNN bằng 2017 2018 Bài 77: Tìm giá trị nhỏ nhất cảu biêu thức: A = 2014 − x + 2015 − x + 2016 − x Bài 78: Tìm giá trị nhỏ nhất cảu A biết: A = 7 x − 5 y + 2 z − 3x + xy + yz + zx − 2000 Bài 79: Tìm giá trị nhỏ nhất cảu biểu thức : P = x − 2012 + x − 2013 37 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức Bài 80 : Tìm GTLN của các biểu thức : B = 421 − 124 − x Bài 81: Cho x+y=1, với giá trị nào của x và y thì biểu thức A = 5 + 7 (2 − x + y) 2 +8 đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó? 38 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức