Chuyên đề đoạn thẳng và độ dài đoạn thẳng Toán 6

CHUYÊN ĐỀ
BÀI 5. ĐOẠN THẲNG. ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG
Mục tiêu
 Kiến thức
+ Nhận biết được khái niệm đoạn thẳng, độ dài đoạn thẳng.
 Kĩ năng
+

Đếm được số đoạn thẳng tạo thành từ các điểm cho trước.

+ Chỉ ra được tính thẳng hàng và điểm nằm giữa hai điểm.
+

Tính được độ dài đoạn thẳng sử dụng công thức cộng độ dài đoạn thẳng.

Trang 1

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Đoạn thẳng
Định nghĩa
Đoạn thẳng AB là hình gồm
– Điểm A

Đoạn thẳng AB (đoạn thẳng BA )

– Điểm B

Hai điểm A , B là hai mút (hai đầu) của đoạn

– Tất cả các điểm nằm giữa A và B

thẳng AB .

2. Đoạn thẳng cắt đoạn thẳng, cắt tia, cắt
đường thẳng
Đoạn thẳng cắt đoạn thẳng

Trường hợp đặc biệt: hai đoạn thẳng cắt nhau có
Hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau tại I .

giao điểm là một trong các đầu mút.

Đoạn thẳng cắt tia

Trường hợp đặc biệt: đoạn thẳng cắt tia tại một
Đoạn thẳng MN cắt tia Ax tại điểm I .

trong các đầu mút.

Đoạn thẳng cắt đường thẳng

Trường hợp đặc biệt: đoạn thẳng cắt đường thẳng
Đoạn thẳng MN cắt đường thẳng x tại điểm I .

tại một trong các đầu mút.

3. Độ dài đoạn thẳng

AB  4 cm

Trang 2

Mỗi đoạn thẳng có một độ dài.
Độ dài đoạn thẳng là một số lớn hơn 0.
4. So sánh hai đoạn thẳng

So sánh hai đoạn thẳng bằng cách so sánh độ dài
của chúng.
Hai đoạn thẳng AB và CD bằng nhau. AB  CD .
Đoạn thẳng EG dài hơn đoạn thẳng CD .

EG  CD .
Đoạn thẳng AB ngắn hơn đoạn thẳng EG .
AB  EG .

5. Cộng độ dài đoạn thẳng

Nếu điểm M nằm giữa hai điểm A và B thì
AM  MB  AB .

Ngược lại, nếu AM  MB  AB thì điểm M nằm
giữa hai điểm A và B .
6. Vẽ đoạn thẳng cho biết độ dài
Vẽ đoạn thẳng trên tia

Trên tia Ox bao giờ cũng vẽ được một và chỉ một
điểm M sao cho OM  a (đơn vị độ dài).
Vẽ hai đoạn thẳng trên tia

Trên tia Ox vẽ hai đoạn thẳng OM  a ; ON  b .
Nếu 0  a  b thì điểm M nằm giữa hai điểm O
và N .
Trang 3

SỞ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

Trang 4

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Đếm số đoạn thẳng tạo thành từ các điểm cho trước
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Trên đường thẳng d lấy ba điểm A, B, C theo thứ tự đó. Hỏi có tất cả bao nhiêu đoạn thẳng?
Hãy kể tên các đoạn thẳng đó.
Hướng dẫn giải

Có tất cả ba đoạn thẳng là AB; BC ; AC .
Ví dụ 2. Cho hình vẽ bên

a) Ghi tên các đoạn thẳng đi qua hai điểm của hình vẽ?
b) Có tất cả bao nhiêu đoạn thẳng?
Hướng dẫn giải
a) Các đoạn thẳng là AB; BC ; CD; DE ; EF ;FA; AC ; AE ; BE ; CF .
b) Có tất cả 10 đoạn thẳng.
Ví dụ 3. Cho bốn điểm H , L, M , K trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng.
a) Vẽ các đoạn thẳng đi qua các cặp điểm. Ghi tên các đoạn thẳng vừa vẽ.
b) Với điều kiện gì của bốn điểm H , L, M , K thì ta chỉ vẽ được một đoạn thẳng?
Hướng dẫn giải

a) Các đoạn thẳng được vẽ là: HK ; HL; LM ; MK ; HM ; LK .
b) Điều kiện để bốn điểm H , L, M , K ta chỉ vẽ được một đoạn thẳng là trong số bốn điểm có hai cặp điểm
trùng nhau.
Bài tập tự luyện dạng 1
Trang 5

Bài tập cơ bản
Câu 1: Cho hình vẽ bên

a) Ghi tên các đoạn thẳng đi qua hai điểm của hình vẽ?
b) Có tất cả bao nhiêu đoạn thẳng?
Câu 2. Cho hình vẽ bên

a) Ghi tên các đoạn thẳng đi qua hai điểm của hình vẽ?
b) Có tất cả bao nhiêu đoạn thẳng?
Câu 3. Cho năm điểm A, B, C , D, E trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Vẽ các đoạn thẳng đi qua
các cặp điểm.
a) Vẽ được mấy đoạn thẳng?
b) Hãy kể tên các đoạn thẳng đó.

Dạng 2: Xét tính thẳng hàng và điểm nằm giữa hai điểm còn lại
Phương pháp giải
Điểm nằm giữa hai điểm
– Nếu OA và OB là hai tia đối nhau thì O nằm giữa
A và B .

– Nếu OA và OB là hai tia trùng nhau và OA  OB
thì A nằm giữa O và B .
– Nếu MA  MB  AB thì M nằm giữa A và B và
ngược lại.
– Điểm M thuộc đoạn thẳng AB thì M nằm giữa A
và B .

Trang 6

Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Vẽ ba điểm H , I , K không thẳng hàng. Lấy điểm M sao cho điểm K nằm giữa hai điểm I và
M . Vẽ điểm N sao cho N nằm giữa hai điểm I và K .

a) Bốn điểm M , N , I , K có thẳng hàng không? Vì sao?
b) Điểm K có nằm giữa hai điểm M và N không? Vì sao?
c) Vẽ tất cả các đoạn thẳng có hai đầu mút là hai trong năm điểm H , I , K , M , N .
Kể tên các đoạn thẳng đó.
Hướng dẫn giải

a) Điểm K nằm giữa hai điểm I và M nên K , I , M thẳng hàng. (1)
b) Điểm N nằm giữa hai điểm I và K nên N , I , K thẳng hàng. (2)
Từ (1) và (2) suy ra bốn điểm M , N , I , K thẳng hàng.
b)
Do K nằm giữa hai điểm I và M nên M , I nằm khác phía so với điểm K . (3)
Do N nằm giữa hai điểm I và K nên N , I nằm cùng phía so với điểm K . (4)
Từ (3) và (4) suy ra hai điểm M và N nằm khác phía so với điểm K , hay điểm K nằm giữa hai điểm
M và N .

c) Vẽ được tất cả 10 đoạn thẳng là: HI ; HN ; HK ; HM ; MK ; MN ; MI ; KN ; KI ; NI .
Ví dụ 2. Ba điểm D, E , F có thẳng hàng không? Biết DE  2 cm, DF  5 cm và EF  3 cm.
Hướng dẫn giải
Ta có DE  EF  2  3  5 cm nên DE  EF  DF . Do vậy ba điểm D, E , F thẳng hàng và điểm E nằm
giữa hai điểm D và F .
Ví dụ 3. Ba điểm C , I , K có thẳng hàng không? Biết CI  CK  3 cm và IK  5 cm.
Hướng dẫn giải
Nếu ba điểm C , I , K thẳng hàng thì có một điểm nằm giữa hai điểm còn lại.
Ta có
CI  CK  6  IK nên điểm C không nằm giữa hai điểm I và K ;

CI  IK  8  CK nên điểm I không nằm giữa hai điểm C và K ;
IK  CK  8  CI nên điểm K không nằm giữa hai điểm I và C ;

Trang 7

Vậy ba điểm C , I , K không thẳng hàng.
Ví dụ 4.
a) Vẽ đường thẳng AB .
b) Lấy điểm M thuộc đoạn thẳng AB .
c) Lấy điểm N thuộc tia AB nhưng không thuộc đoạn thẳng AB .
d) Lấy P thuộc tia đối của tia BN nhưng không thuộc đoạn thẳng AB .
e) Trong ba điểm A, B, M thì điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại?
Hướng dẫn giải
a) b)

c)

d)
e) Điểm M thuộc đoạn thẳng AB nên M nằm giữa hai điểm A và B .
Ví dụ 5. Trên tia Ox
a) Đặt OA  3 cm.
b) Trên tia Ax đặt AB  4 cm.
c) Trên tia BA đặt BC  3 cm.
d) Hỏi trong ba điểm A, C , B thì điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại?
Hướng dẫn giải
a)

b)

c)

d) Điểm C thuộc tia BA và BA  BC nên điểm C nằm giữa hai điểm A và B .
Trang 8

Bài tập tự luyện dạng 2
Bài tập cơ bản
Câu 1: Vẽ ba điểm A, B, C sao cho B nằm giữa A và C . Vẽ điểm D sao cho C nằm giữa B và D .
Vẽ điểm F sao cho D nằm giữa C và F . Vẽ điểm E sao cho A nằm giữa B và E .
a) Giải thích tại sao 6 điểm A, B, C , D, E , F thẳng hàng.
b) Trong các điểm đã cho thì điểm nào thuộc tia AD ? Điểm nào không thuộc tia AD ?
c) Những điểm nào thuộc đoạn AD ? Những điểm nào không thuộc đoạn AD ?
d) Kể tên những đoạn thẳng có hai đầu mút là hai trong các điểm đã cho. Có tất cả bao nhiêu đoạn thẳng?
Câu 2: Cho AB  3, 5 cm; BC  2 cm; CD  3 cm; BD  5 cm và AD  4 cm. Hỏi ba điểm nào trong bốn
điểm A, B, C , D thẳng hàng? Không thẳng hàng?
Câu 3: Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng. Hỏi điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại nếu
a) AC  CB  AB ;
b) AB  BC  AC ;
c) BA  AC  BC .
Dạng 3: Độ dài đoạn thẳng
Phương pháp giải
Tính độ dài đoạn thẳng
Khi điểm M nằm giữa hai điểm A và B thì

Ví dụ. Cho điểm C thuộc đoạn

AB biết

AC  3 cm; CB  4 cm. Tính AB .

MA  MB  AB và ngược lại.

Điểm C thuộc đoạn AB nên CA  CB  AB . Do
vậy AB  3  4  7 (cm).
Vẽ đoạn thẳng cho biết độ dài
Vẽ đoạn thẳng trên tia

Trên tia Ox bao giờ cũng vẽ được một và chỉ một
điểm M sao cho OM  a (đơn vị độ dài).
Vẽ hai đoạn thẳng trên tia

Trên tia Ox vẽ hai đoạn thẳng OM  a ; ON  b .
Trang 9

Nếu 0  a  b thì điểm M nằm giữa hai điểm O
và N .
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho đoạn thẳng AB  8 cm. Trên tia AB lấy điểm C sao cho AC  2 cm.
a) Tính CB .
b) Lấy điểm D thuộc tia đối của tia BC sao cho BD  4 cm. Tính CD .
Hướng dẫn giải

a) Điểm C thuộc tia AB và AC  AB nên điểm C nằm giữa hai điểm A và B .
Khi đó ta có CA  CB  AB hay 2  CB  8 .
Vậy CB  6 (cm).
b) Điểm D thuộc tia đối của tia BC nên điểm B nằm giữa hai điểm C và D .
Khi đó BC  BD  CD hay CD  6  4  10 (cm).
Vậy CD  10 (cm).
Ví dụ 2.
a) Vẽ đường thẳng xy , lấy điểm M  xy , lấy điểm B thuộc tia Mx , điểm C thuộc tia My sao cho
MB  3 cm; MC  2 cm.

b) Tính độ dài đoạn thẳng BC .
Hướng dẫn giải
a)

b) Mx và My là hai tia đối nhau ; điểm B thuộc tia Mx , điểm C thuộc tia My nên điểm M nằm giữa
hai điểm B và C .
Do vậy ta có BC  MB  MC  3  2  5 (cm).
Vậy BC =5cm.
Ví dụ 3. Gọi A và B là hai điểm nằm trên tia Ox sao cho OA  4 cm; OB  6 cm. Trên tia BA lấy điểm
C sao cho BC  3 cm. So sánh AB và AC .

Hướng dẫn giải

Trang 10

Hai điểm A, B cùng thuộc tia Ox và OA  OB nên điểm A nằm giữa hai điểm O và B .
Do vậy ta có OA  AB  OB suy ra AB  OB  OA  6  4  2 (cm).
Lại có điểm C thuộc tia BA và BA  BC nên điểm A nằm giữa hai điểm B và C .
Do vậy ta có AB  AC  BC suy ra AC  BC  AB  3  2  1 (cm).
Vậy AB  AC .
Ví dụ 4. Cho đoạn thẳng PQ  9 cm. Biết M nằm giữa P và Q và MP  MQ  5 cm. Tính độ dài các
đoạn thẳng MP; MQ .
Hướng dẫn giải
Do điểm M nằm giữa hai điểm P và Q nên MP  MQ  PQ  9 cm.
Lại có MP  MQ  5 cm nên MP   9  5  : 2  7 cm.
Từ đó ta tìm được MQ  2 cm.
Ví dụ 5.
a) Trên tia Ot vẽ các đoạn thẳng OA  2 cm, OB  3OA . Trên tia đối của tia Ot vẽ đoạn thẳng
OC  OB .

b) Tính độ dài các đoạn thẳng AB, BC và AC .
Hướng dẫn giải
a)

b) Ta có OB  3OA  3.2  6 (cm).
Hai điểm A, B cùng thuộc tia Ot và OA  OB nên điểm A nằm giữa hai điểm O và B .
Do đó OA  AB  OB hay AB  OB  OA  6  2  4 (cm).
Lại có điểm C thuộc tia đối của tia Ot và OC  OB nên điểm O nằm giữa hai điểm B và C và
OC  6 (cm).

Khi đó ta có OB  OC  BC hay BC  6  6  12 (cm).
Điểm A thuộc tia Ot , điểm C thuộc tia đối của tia Ot nên O nằm giữa A và C .
Do vậy OA  OC  AC hay AC  2  6  8 (cm).
Vậy AB  4 cm; BC  12 cm và AC  8 cm.
Ví dụ 6. Vẽ hai tia chung gốc Ox, Oy . Trên tia Ox lấy hai điểm A và B (điểm A nằm giữa O và B ).
Trên tia Oy lấy hai điểm M và N sao cho OM  OA; ON  OB .
a) Chứng tỏ rằng điểm M nằm giữa O và N .
Trang 11

b) So sánh AB và MN .
Hướng dẫn giải

a) Điểm A nằm giữa O và B nên OA  OB . Lại có OA  OM ; OB  ON suy ra OM  ON .
Hai điểm M , N cùng thuộc tia Oy và OM  ON nên điểm M nằm giữa hai điểm O và N .
b) Điểm A nằm giữa hai điểm O và B nên OA  AB  OB suy ra AB  OB  OA .
Điểm M nằm giữa hai điểm O và N nên OM  MN  ON suy ra MN  ON  OM . Mặt khác theo đề
bài OB  ON ; OA  OM nên AB  MN .
Vậy AB  MN .
Bài tập tự luyện dạng 3
Bài tập cơ bản
Câu 1: Trên tia Ox lấy hai điểm A và B sao cho OA  7 cm; OB  4 cm. Trên tia BO lấy điểm C sao
cho BC  2 cm.
a) Tính độ dài đoạn thẳng OC .
b) Trong ba điểm A, B, C điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại? Vì sao?
c) Tia BA và tia BC là hai tia trùng nhau hay đối nhau?
Câu 2.
Trên tia Ot vẽ các đoạn thẳng OA  3 cm, OB  2OA . Trên tia đối của tia Ot vẽ điểm C sao cho

3OC  OB . Tính độ dài các đoạn thẳng AB, BC và AC .
Câu 3.
a) Trên tia Ox lấy hai điểm A sao cho OA  5 cm.
b) Trên tia đối của tia Ax đặt AB  2 cm.
c) Trên tia AB đặt AC  7 cm.
d) Hỏi trong ba điểm A, C , B thì điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại?
Câu 4. Trên tia Ox xác định hai điểm P và Q sao cho OP  3 cm; OQ  6 cm.
a) Điểm P có nằm giữa hai điểm O và Q không? Vì sao?
b) So sánh độ dài hai đoạn thẳng OP và PQ .
Câu 5. Trên tia Ox lấy hai điểm M và N sao cho OM  4 cm; ON  2 cm. Trên tia NO lấy điểm P sao
cho NP  3 cm.
Trang 12

a) Tính độ dài đoạn OP .
b) Trong ba điểm M , N , P thì điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại? Vì sao?
c) Tia NM và tia NP trùng nhau hay đối nhau?
Câu 6. Trên tia Ox lấy hai điểm P và Q sao cho OP  8 cm; PQ  2 cm. Tính độ dài đoạn thẳng OQ .
Bài toán có mấy đáp số?
Câu 7. Cho đoạn thẳng AB dài 5cm. Điểm B nằm giữa hai điểm A và C sao cho BC  3 cm.
a) Tính AC .
b) Trên tia đối của tia BA lấy điểm D sao cho BD  5 cm. So sánh AB và CD .
Bài tập nâng cao
Câu 8. Vẽ đoạn thẳng AB =5cm. Lấy hai điểm E và F nằm giữa hai điểm A và B sao cho
AE  BF  7 cm. Chứng tỏ rằng điểm E nằm giữa hai điểm B và F .

Câu 9. Trên đường thẳng d lấy bốn điểm A, B, M , N sao cho điểm M nằm giữa hai điểm A, N và điểm
N nằm giữa hai điểm B, M . Biết rằng AB  7 cm, NB  2 cm và AM  BN . Tính độ dài đoạn thẳng
MN .

Câu 10. Trên tia Ox xác định ba điểm A, B, C sao cho OA  7 cm; OB  3 cm; OC  5 cm.
a) Tính AB, BC , CA .
b) Gọi M là điểm nằm giữa C và A . Chứng minh CM 

MB  MA
.
2

Câu 11. Cho ba điểm P, Q, R biết PQ  2, 5 cm; QR  3 cm và PR  5 cm.
Chứng tỏ rằng ba điểm P, Q, R không thẳng hàng.

ĐÁP ÁN
Dạng 1. Đếm số đoạn thẳng tạo thành từ các điểm cho trước
Bài tập cơ bản
Câu 1.

a) Các đoạn thẳng đi qua hai điểm của hình vẽ là OA; OB; OC ; OD; OE ; AB; BC ; CD; DE ; EA .
b) Có tất cả 10 đoạn thẳng.
Câu 2.
a) Các đoạn thẳng đi qua hai điểm của hình vẽ là AE ; AC ; BF ; BD; CE; DF .
Trang 13

b) Có tất cả 6 đoạn thẳng.
Câu 3.

a) Vẽ được tất cả 10 đoạn thẳng .
b) Các đoạn thẳng đó là: AB; AC ; AD; AE; BC ; BD; BE ; CD; CE ; DE .
Dạng 2. Xét tính thẳng hàng và điểm nằm giữa hai điểm còn lại
Bài tập cơ bản
Câu 1.

a) Điểm B nằm giữa hai điểm A và C nên ba điểm A, B, C thẳng hàng. (1)
Điểm C nằm giữa hai điểm B và D nên ba điểm C , B, D thẳng hàng. (2)
Điểm D nằm giữa hai điểm C và F nên ba điểm D, C , F thẳng hàng. (3)
Điểm A nằm giữa hai điểm B và E nên ba điểm A, B, E thẳng hàng. (4)
Từ (1), (2), (3) và (4) suy ra 6 điểm A, B, C , D, E , F thẳng hàng.
b) Các điểm thuộc tia AD là B; C ; F .
Điểm E không thuộc tia AD .
c) Có hai điểm thuộc đoạn AD là B và C .
Hai điểm E , F không thuộc đoạn AD .
d) Các đoạn thẳng có hai đầu mút là hai trong các điểm đã cho là
AB; AC ; AD; AE; AF ; BC ; BD; BE ; BF ; CD; CE; CF ; DE ; DF ; EF .

Có tất cả 15 đoạn thẳng.
Câu 2.
Ta có BC  CD  BD nên điểm C nằm giữa hai điểm B và D . Do vậy ba điểm B, C , D thẳng hàng.
Ta cũng suy ra được điểm A không thuộc đường thẳng trên.
Do vậy các bộ ba điểm không thẳng hàng là  A, B, C  ;  A, B, D  ;  A, C , D  .
Câu 3.
a) Nếu AC  CB  AB thì điểm C nằm giữa hai điểm A và B .
b) Nếu AB  BC  AC thì điểm B nằm giữa hai điểm A và C .
c) Nếu BA  AC  BC thì điểm A nằm giữa hai điểm B và C .
Trang 14

Dạng 3. Độ dài đoạn thẳng
Bài tập cơ bản
Câu 1.

a) Điểm C thuộc tia BO và BC  BO nên điểm C nằm giữa hai điểm O và B . Do đó CO  CB  OB
hay CO  OB  CB  4  2  2 (cm).
b) Hai điểm A và B cùng thuộc tia Ox và OB  OA nên điểm B nằm giữa hai điểm O và A hay O và
A là hai điểm khác phía so với điểm B . (1)

Lại có điểm C thuộc tia BO nên hai điểm O và C nằm cùng phía so với điểm B . (2)
Từ (1) và (2) suy ra A và C nằm khác phía so với điểm B hay điểm B nằm giữa hai điểm A và C .
c) Do điểm B nằm giữa hai điểm A và C nên tia BA và tia BC là hai tia đối nhau.
Câu 2.

Do OB  2OA nên OB  6 (cm).
Điểm B thuộc tia Ot và OA  OB nên A nằm giữa O và B .
Do đó OA  AB  OB hay AB  OB  OA  6  3  3 (cm).
Điểm C thuộc tia đối của tia BO nên O nằm giữa B và C .
Lại có 3OC  OB nên OC  6 : 3  2 (cm).
O nằm giữa B và C nên BC  OB  OC  6  2  8 (cm).
C thuộc tia đối của tia Ot nên O nằm giữa A và C , do vậy AC  OA  OC  3  2  5 (cm).

Vậy AB  3 cm; BC  8 cm và AC  5 cm.
Câu 3.
a)

b)

c)

Trang 15

d) Điểm C thuộc tia AB và AB  AC nên B nằm giữa A và C .
Câu 4.

a) Hai điểm P và Q cùng thuộc tia Ox và OP  OQ nên điểm P nằm giữa hai điểm O và Q .
b) Do P nằm giữa O và Q nên OP  PQ  OQ hay PQ  OQ  OP  6  3  3 (cm).
Vậy OP  PQ .
Câu 5.

a) Hai điểm O và P cùng thuộc tia NO và NO  NP nên điểm O nằm giữa N và P .
Do vậy ON  OP  NP suy ra OP  NP  ON  3  2  1 (cm).
Vậy OP  1 cm.
b) Hai điểm M và N cùng thuộc tia Ox và ON  OM nên điểm N nằm giữa hai điểm O và M hay
hai điểm M và O nằm khác phía so với điểm N . (1)
Mặt khác, điểm O nằm giữa N và P nên hai điểm O và P nằm cùng phía so với điểm N . (2)
Từ (1) và (2) suy ra hai điểm M và P nằm khác phía so với điểm N .
Vậy điểm N nằm giữa hai điểm M và P .
c) Do điểm N nằm giữa hai điểm M và P nên tia NM và tia NP là hai tia đối nhau.
Câu 6.
Có hai trường hợp của điểm Q :
Trường hợp 1. Q nằm giữa O và P . Khi đó OQ  QP  OP nên OQ  OP  PQ  8  2  6 (cm).

Trường hợp 2. P nằm giữa O và Q . Khi đó OP  PQ  OQ nên OQ  OP  PQ  8  2  10 (cm).

Câu 7.

Trang 16

a) Điểm B nằm giữa hai điểm A và C nên AB  BC  AC suy ra AC  5  3  8 (cm).
b) Điểm B nằm giữa hai điểm A và C nên A và C nằm khác phía so với điểm B . (1)
Điểm D thuộc tia đối của tia BA nên A và D nằm khác phía so với điểm B . (2)
Từ (1) và (2) suy ra hai điểm C và D nằm cùng phía so với điểm B . Hay điểm D thuộc tia BC .
Lại có BC  BD  3  5 nên điểm C nằm giữa hai điểm B và D .
Do đó BC  CD  BD hay CD  BD  BC  5  3  2 (cm).
Vậy AB  CD .
BÀI TẬP NÂNG CAO
Câu 8.

Hai điểm E và F nằm giữa A và B nên nếu điểm E không nằm giữa hai điểm B và F thì E nằm
giữa A và F .
Nếu E nằm giữa A và F thì ta có AB  AF  FB  AE  EF  FB vô lí vì AE  BF  7  2  AB .
Vậy điểm E nằm giữa hai điểm B và F .
Câu 9.

Điểm M nằm giữa hai điểm A và N nên AM  MN  AN . (1)
Điểm N nằm giữa hai điểm B và M nên N nằm giữa A và B . Do đó AN  NB  AB . (2)
Từ (1) và (2) suy ra
AM  MN  NB  AB

BN  MN  NB  AB
2  MN  2  7
MN  3 .

Vậy MN  3 (cm).
Câu 10.

a) Hai điểm A và B cùng thuộc tia Ox và OB  OA nên điểm B nằm giữa A và O .
Trang 17

Do đó BO  BA  OA hay BA  OA  OB  7  3  4 (cm).
Tương tự ta cũng chứng minh được điểm C nằm giữa hai điểm O và A nên CO  CA  OA hay
CA  OA  OC  7  5  2 (cm).

Điểm B nằm giữa hai điểm O và C nên BO  BC  OC hay BC  OC  OB  5  3  2 (cm).
b) Nhận xét thấy AB  BC  CA nên điểm C nằm giữa hai điểm A và B .
Lại có điểm M nằm giữa A và C nên C nằm giữa B và M .
Khi đó ta có MA  MC  AC ; CB  CM  BM .
Suy ra MA  AC  MC ; MB  BC  MC .
Xét hiệu MB  MA   BC  MC    AC  MC   BC  MC  AC  MC  2MC (do BC  AC )
Vậy MC 

MB  MA
.
2

Câu 11.
Ta có PQ  QR  5,5 (cm)  PR  5 (cm) nên điểm Q không nằm giữa hai điểm P và R .
PQ  PR  7,5 (cm)  QR  3 (cm) nên điểm P không nằm giữa hai điểm Q và R .
QR  PR  8 (cm)  PQ  2,5 (cm) nên điểm R không nằm giữa hai điểm P và Q .

Do đó trong ba điểm P, Q, R không có điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại.
Vậy P, Q, R không thẳng hàng.

Trang 18