Chuyên đề định lí Ta-lét trong tam giác

ĐỊNH LÍ TA-LÉT TRONG TAM GIÁC
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1.

Tỉ số của hai đoạn thẳng là tỉ số độ dài của chúng theo cùng đơn vị đo (tỉ số này

không phụ thuộc vào cách chọn đơn vị đo).
2.

Đoạn thẳng tỉ lệ

Hai đoạn thẳng AB và CD gọi là tỉ lệ với hai đoạn thẳng A B  và C D  nếu có tỉ lệ thức
AB
A B 
AB
CD
hay
.


CD
C D 
A B  C D 

3.

A

Định lí Ta-lét trong tam giác

D

E

Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và
cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn
thẳng tương tứng tỉ lệ.

B

Hình 259

 ABC
AD
AE DB
EC AD
AE



,

,

.

DE  BC
AB
AC BA
CA DB
EC


4.

Nhớ lại tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

a)

Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số

b)

Tính chất

a
c
 .
b
d

Tính chất 1 (Tính chất cơ bản của tỉ lệ thức): Nếu

a
c
 thì ad  bc .
b
d

Tính chất 2: Nếu ad  bc và abcd  0 thì ta có bốn tỉ lệ thức sau:
a
c a
b d
c d
b
 ;  ;  ;  .
b
d c
d b
a c
a

c)

Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

Từ dãy tỉ số bằng nhau
5.

a
c
e
a
c
e
a c e
a c e
  , suy ra   

.
b
d
f
b
d
f
b d  f
b d  f

Từ định lí Ta-lét ta thu được kinh nghiệm thứ năm

1. TOÁN

HỌC SƠ ĐỒ – THCS.TOANMATH.com

C

Cứ nói đến tỉ số của hai đoạn thẳng phải nghĩ đến định lí Ta-lét, ta cứ nói đến định lí Ta-lét phải
nghĩ đến đường thẳng song song.
Ý nghĩa của kinh nghiệm này là: Với các bài toán đề cập đến tỉ số của hai đoạn thẳng mà
phải vẽ thêm đường phụ, ta vẽ thêm đường thẳng song song để sử dụng định lí Ta-lét.
II.BÀI TẬP MINH HỌA
A. CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN
DẠNG 1. Tính tỉ số hai đoạn thẳng. Chia đoạn thẳng theo tỉ số cho trước
I.

PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1.

Sử dụng định nghĩa tỉ số của hai đoạn thẳng.

2.

Một điểm C thuộc đoạn thẳng AB (hoặc đường thẳng AB ), được gọi là chia đoạn

thẳng AB theo tỉ số
3.

Sử dụng kĩ thuật đại số hóa hình học:

Nếu ta có:
4.

m
CA
m
.
 1 ( m, n là các số dương), nếu ta có:

n
CB
n

CA  mt
CA
m
thì 
(với t  0 )

CB  nt
CB
n


Lập tỉ lệ thức giữa các đoạn thẳng tỉ lệ rồi áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng

nhau.
II.

VÍ DỤ

Ví dụ 1. Điểm C thuộc đoạn thẳng AB và chia AB theo tỉ số
AB AB
.
;
AC CB

3
. Hãy tính các tỉ số:
5

Lời giải (hình 260)
Vì C chia đoạn AB theo tỉ số

3
nên:
5

CA  3t
CA
3
  
với t  0 .
CB  5t
CB
5


Do đó AB  AC  CB  8t . Vậy
2. TOÁN

8

A

AB
8t
8 AB
8t
8

 ,

 .
AC
3t
3 CB
5t
5

HỌC SƠ ĐỒ – THCS.TOANMATH.com

3

C

5

Hình 260

B

Ví dụ 2. Cho đoạn thẳng AB  10cm .
CA
3
 . Tính độ dài CB .
CB
2

a)

Trên đoạn thẳng AB lấy điểm C sao cho

b)

Trên tia đối của tia BA lấy điểm D sao cho

DA
3
 . Tính độ dài CD .
DB
2

Lời giải (hình 261)
a)

A

C

B

Hình 261

Cách 1: Từ giả thiết:

CA  3t
CA
3
  
với t  0 ;
CB  2t
CB
2


Nên AB  10cm  CA  CB  5t  t  2cm . Vậy CB  4cm .
Cách 2: Từ giả thiết

CA
3
CA CB CA  CB
AB 10
 




 2.
CB
2
3
2
32
5
5

Vậy CB  4(cm ) .
Cách 3: Đặt CB  x thì CA  10  x .
Từ giả thiết và tính chất cơ bản của tỉ lệ thức ta có 3CB  2CA hay
3x  2(10  x )  5x  20  x  4(cm ) .

b)

Từ giả thiết

DA  3t
DA
3
  
.
DB  2t
DB
2


Mặt khác D thuộc tia đối của tia BA nên DA  DB .
Do đó AB  10cm  DA  DB  3t  2t  t  10cm , suy ra DB  20cm .
Vậy CD  20  4  24(cm ) .
Ví dụ 3. Đoạn thẳng AB  44dm được chia thành các đoạn thẳng liên tiếp AM , MN , NP và
PB lần lượt tỉ lệ với 10, 2, 3 và 5 .

a)

Tính độ dài mỗi đoạn thẳng đó.

b)

Chứng minh rằng hai điểm M và P chia đoạn AN theo cùng một tỉ số k và tính k .

c)

Còn hai điểm nào chia đoạn thẳng nào theo cùng một tỉ số nữa không?

3. TOÁN

HỌC SƠ ĐỒ – THCS.TOANMATH.com

Lời giải
a)

Từ giả thiết và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

AM
MN
NP
PB
AM  MN  NP  PB
44





 2, 2 .
10
2
3
5
10  2  3  5
20

Vậy AM  22dm, MN  4, 4dm, NP  6, 6dm, PB  11dm .
b)

Từ câu a) ta có

MA
22
PA
33

 5;

5.
MN
4, 4
PN
6, 6

Điều này chứng tỏ M và P chia đoạn AN theo cùng một tỉ số k  5 .
c)

Vì

AM
22
2 NM
4, 4
2

 ,

 ;
AP
33
3 NP
6, 6
3

Nên còn hai điểm A và N chia đoạn MP theo cùng một tỉ số

2
.
3

DẠNG 2.Tính độ dài đoạn thẳng, dựng đoạn thẳng tỉ lệ thứ tư
I.

PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1.

Tính độ dài đoạn thẳng:



Áp dụng định lí Ta-lét để lập hệ thức của các đoạn thẳng tỉ lệ.



Xác định đường thẳng song song với một cạnh của tam giác.



Thay số vào hệ thức rồi giải phương trình.

2.

Trong bốn đoạn thẳng tỉ lệ, dựng đoạn thẳng thứ tự khi biết độ dài của ba đoạn kia:



Đặt ba đoạn thẳng trên hai cạnh của một góc.



Dựng đường thẳng song song để xác định đoạn thẳng thứ tư.

II.

VÍ DỤ

Ví dụ 1. Tính x trong các trường hợp sau (h. 262), biết rằng các số trên hình có cùng đơn vị
đo là cm .
Lời giải (hình 262)

A
4

D
5

M

4. TOÁN

P

a) MN BC

x

Q

C

E

HỌC SƠ ĐỒ – THCS.TOANMATH.com

Hình 262

24

9

10,5

N

x

B

8,5

b) PQ EF

F

a)

Áp dụng định lí Ta-lét vào ABC có MN  BC , ta được:

BM
CN
x
8, 5  5
4.3, 5
hay 

x 
 2, 8 .
MA
NA
4
5
5

b)

Áp dụng định lí Ta-lét vào DFE có PQ  EF , ta được:

DP
DQ
x
24  9
10, 5.15

hay

x 
 17, 5 .
PE
QF
10, 5
9
9

O

Ví dụ 2. Tính x trên hình 263.

x

16

20

P

Q
15

Lời giải (hình 263).
M

Áp dụng định lí Ta-lét vào OMN có PQ  MN , ta được:

N
Hình 263

MP
NQ
x  16 15
3

hay

  x  16  12  x  28 .
PO
QO
16
20
4

Ví dụ 3. Cho ba đoạn thẳng có độ dài là m, n, p (cùng đơn vị đo). Hãy dựng đoạn thẳng có
độ dài x sao cho

m
n
 .
x
p

Lời giải (hình 264)


Vẽ góc zOt bất kì.



Trên tia Oz đặt các đoạn OA  n,OB  p .



Trên tia Ot đặt OC  m .



z

B
p

A

n

O

m

C

D

t

x
Hình 264

Vẽ BD  AC thì OD  x là đoạn thẳng cần dựng.

Thật vậy, áp dụng định lí Ta-lét vào OBD có AC  BD , ta được:
m
n
OA OC
hay
 .

x
p
OB
OD

DẠNG 3. Chứng minh các hệ thức hình học
I.

PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1.

Xác định đường thẳng song song với một cạnh của tam giác.

2.

Áp dụng định lí Ta-lét để lập hệ thức của các đoạn thẳng tỉ lệ.

3.

Sử dụng các tính chất của tỉ lệ thức hoặc cộng theo vế các đẳng thức hình học.

5. TOÁN

HỌC SƠ ĐỒ – THCS.TOANMATH.com

II.

VÍ DỤ

Ví dụ 1. Cho hình thang ABCD (AB  CD ) . Một đường thẳng song song với hai đáy, cắt
các cạnh bên AD và BC theo thứ tự ở M và N . Chứng minh rằng:
a)

AM
BN

MD
NC

b)

AM CN

 1.
AD
CB

Lời giải (hình 265)
a)

B

A

Gọi I là giao điểm của đường chéo AC với MN .

I

M

N

Áp dụng định lí Ta-lét vào hai tam giác ACD và ACB
có MI  CD, IN  AB , ta được:
AM
AI
BN
AI
(1);
(2).


MD
IC
NC
IC

Từ (1) và (2) suy ra:
b)

D

C

Hình 265

AM
BN
.

MD
NC

Áp dụng định lí Ta-lét vào hai tam giác ACD và ACB ta có MI  CD, IN  AB ta

được
AM
AI
CN
CI
(3);
(4).


AD
AC
CB
CA

Cộng theo vế các đẳng thức (3) và (4), thu được:
AM CN
CI  AI
CA



 1.
AD
CB
CA
CA

Ví dụ 2. Cho hình bình hành ABCD có M , N lần lượt là trung điểm của AB và CD . Gọi
P ,Q thứ tự là giao điểm của AN và CM với đường chéo BD . Chứng minh rằng:
DP  PQ  QB .

Lời giải (hình 266)
Áp dụng định nghĩa và giả thiết vào hình bình hành ABCDD,
ta được:

P

Q

N
Hình 266

AM  NC , AM  NC .

Tứ giác AMCN có hai cạnh đối song song và bằng nhau nên
nó là hình bình hành, do đó MC  AN , suy ra
6. TOÁN

M

A

HỌC SƠ ĐỒ – THCS.TOANMATH.com

C

B

MQ  AP , PN  QC .

Áp dụng định lí Ta-lét vào hai tam giác APB và DQC có MQ  AP , PN  QC , ta được:
BQ
BM

 1  BQ  QP (1).
QP
MA
DP
DN

 1  DP  PQ (2)
PQ
NC

Từ (1) và (2) ta có: DP  PQ  QB .
DẠNG 4*. Vẽ thêm đường thẳng song song để tính tỉ số hai đoạn thẳng
I.

PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1.

Vẽ thêm đường thẳng song song.

2.

Sử dụng kĩ thuật đại số hóa hình học.

3.

Áp dụng định lí Ta-lét.

II.

VÍ DỤ

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC . Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho
đoạn AD sao cho

BC
4
 . Điểm I thuộc
BD
1

AI
1
AK
.
 . Gọi K là giao điểm của BI và AC . Tính tỉ số
ID
2
KC

Lời giải (hình 267)

A
K

Kẻ thêm DE  BK thì DE  IK .
I

Áp dụng định lí Ta-lét vào tam giác ADE có IK  DE , ta được:
AK  1t
AK
AI
1

  
(với t  0 ).
KE  2t
KE
ID
2


Áp dụng định lí Ta-lét vào tam giác BCK có DE  BK , ta được:
KC
BC
4

  KC  4KE  8t
KE
BD
1

Vậy

AK
1t
1

 .
KC
8t
8

7. TOÁN

HỌC SƠ ĐỒ – THCS.TOANMATH.com

B

E

D
Hình 267

C

Ví dụ 2. Cho tam giác ABC . Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BC  2BD . Trên đoạn AD
lấy điểm O sao cho

AO
3
AI
.
 . Gọi I là giao điểm của CO và AB . Tính tỉ số
OD
2
IB

Lời giải (hình 268)
A

Kẻ thêm DH  CI thì DH  IO .
Áp dụng định lí Ta-lét vào tam giác ADH có DH  IO , ta được:

I

O

H

AI  3t
AI
AO
3

  
(với t  0 );
IH  2t
IH
OD
2


B

D

C

Hình 268

Áp dụng định lí Ta-lét vào tam giác BIC có DH  IC , ta được:
BI
BC
2
AI
3t
3

  BI  2IH  2.2t  4t . Vậy

 .
IH
CD
1
IB
4t
4

C.PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN DẠNG BÀI CƠ BẢN
Bài 1: Cho tam giác ABC , các trung tuyến AD, BE ,CF cắt nhau tại G .
a) Tính

AE
AC

b) Tính

AG
GD

b) Kể hai cặp đoạn thẳng tỉ lệ với AG và GD .
Bài 2: Cho đoạn thẳng AM , M là một điểm trên đoạn AB . Tính các tỉ số
nếu:
a)

MA
1

MB
2

b)

MA
7

MB
4

c)

AM
MB
và
AB
AB

MA
m

MB
n

Bài 3: Cho góc xOy . Trên tia Ox , lấy theo thứ tự 2 điểm A, B sao cho
OA  2cm, AB  3cm. Trên tia Oy , lấy điểm C với OC  3cm . Từ B , kẻ đường thẳng song

song với AC cắt Oy tại D . Tính độ dài CD .
Bài 4: Cho tam giác ACE có AC  11cm. Lấy điểm B trên cạnh AC sao cho BC  6cm . Lấy
điểm D trên cạnh AE sao cho DB  EC . Giả sử AE  ED  25,5cm . Hãy tính:
a) Tỉ số

DE
;
AE

8. TOÁN

HỌC SƠ ĐỒ – THCS.TOANMATH.com

b) Độ dài các đoạn thẳng AE,DE và AD.
Bài 5: Cho tam giác ABC và điểm D trên cạnh BC sao cho
sao cho

BD
3
 , điểm E trên đoạn AD
BC
4

AE 1
AK
.
 . Gọi K là giao điểm của BE và AC. Tính tỉ số
KC
AD 3

Bài 6: Cho tam giác ABC có AM là trung tuyến và điểm E thuộc đoạn thẳng MC. Qua E kẻ
đường thẳng song song với AC, cắt AB ở D và cắt AM ở K. Qua E kẻ đường thẳng song
song với AB, cắt AC ở F. Chứng minh CF  DK.
Bài 7: Cho ABC . Từ D trên cạnh AB , kẻ đường thẳng song song với BC cắt AC tại E .
Trên tia đối của tia CA , lấy điểm F sao cho CF  DB. Gọi M là giao điểm của DF và BC .
DM AC
Chứng minh

MF AB
Bài 8: Cho tam giác ABC có đường cao AH. Trên AH, lấy các điểm K, I sao cho

AK  KI  IH . Qua I, K lần lượt vẽ các đường thẳng EF //BC , MN //BC ( E, M  AB,

F, N  AC).
a) Tính

MN
EF
và
.
BC
BC

b) Cho biết diện tích của tam giác ABC là 90 cm2. Tính diện tích tứ giác MNFE .
LỜI GIẢI PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN DẠNG CƠ BẢN
Bài 1:
a) Có E là trung điểm của AC (vì BE là trung tuyến)
AE 1

 (tính chất trung điểm của đoạn thẳng)
AC 2
b) ABC có các trung tuyến AD, BE, CF cắt nhau tại G
 G là trọng tâm ABC
AG 2
  2 ( G là trọng tâm ABC )
GD 1

c) G là trọng tâm ABC 

AG BG CG


GD GE GF

 BG và GE là cặp đoạn thẳng tỉ lệ với AG và GD .
 CG và GF là cặp đoạn thẳng tỉ lệ với AG và GD .
9. TOÁN

HỌC SƠ ĐỒ – THCS.TOANMATH.com

Bài 2:

a)

MA 1
MA MB
MA  MB
AB
MA 1 MB
2
 




 ;

MB
2
1
2
12
3
AB
3 AB
3

b) Có
c)

B

M

A

MA 7
MA MB
MA  MB
AB
MA
7 MB
4
 




 ;

MB
4
7
4
74
11
AB
11 AB
11

MA m
MA MB
MA  MB
AB
MA
m
MB
n







;

MB
n
m
n
m n
m n
AB
m  n AB
m n

Bài 3:
Xét OBD có: AC / /BD (gt)


AO
OC
(định lí Ta-let trong tam giác)

AB
CD

 CD 

AB .OC
3.3

 4, 5(cm )
OA
2

Bài 4:
a) Theo định lý Ta-lét trong ACE , ta có:

DE BC
DE 6


 .
AE AC
AE 11

DE  AE 17

AE
11
Từ đó tính được AE  16,5cm; DE  9cm và AD  7, 5cm .

b) Cách 1. Theo tính chất của tỉ lệ thức ta có:

Cách 2. Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau
DE 6
Cách 3. Thay DE  25, 5  AE vào

AE 11
Bài 5: Kẻ DM / / BK ( M  AC )
Áp dụng định lý Ta-lét trong CBK , ta có:
KM BD
KM 3
(1)



KC BC
KC 4
AK 1
Tương tự với ADM ADM , ta có:
(2)

KM 2
10. TOÁN

HỌC SƠ ĐỒ – THCS.TOANMATH.com

A
K
E
M
B

D

C

AK 3

KC 8
Bài 6: Cho tam giác ABC có AM là trung tuyến và điểm E thuộc đoạn thẳng MC. Qua E kẻ

Từ (1) và (2), tìm được:

đường thẳng song song với AC, cắt AB ở D và cắt AM ở K. Qua E kẻ đường thẳng song
song với AB, cắt AC ở F. Chứng minh CF  DK.
Hướng dẫn giải
Chứng minh được ADEF là hình bình hành, từ đó: EF  AD (1)
Kẻ MG //AC (G AB), ta được G là trung điểm

của AB. Áp dụng định lý Ta-lét trong ABC , ta có:
CF AC
(2)

EF AB
Tương tự với AGM và ABC , ta có:
DK MG MG AC
(3)



AD AG BG AB
Từ (1), (2), (3) ta suy ra CF  DK

A

D
G
F

B

Bài 7:
Xét ABC có: DE / /BC


AC
AB
AC
EC
(định lí Ta-let trong tam giác) 1

hay

EC
BD
AB
BD

Xét DEF có: DE / /MC (vì DE / /BC )


DM
EC
(định lí Ta-let trong tam giác)  2 

MF
CF

Mà CF  DB (gt)  3 nên từ 1 ,  2  và  3 

DM
AC

MF
AB

Bài 8:

AK
AN
AN 1



AH
AC
AC 3
MN
AN
MN 1



MN //BC 
BC
AC
BC
3
AI
AF
AF 2



+) IF //CH 
AH
AC
AC 3
EF
AF
EF 2



EF //BC 
BC
AC
BC 3
11. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ – THCS.TOANMATH.com
a)

+) NK //CH 

M

E

C

b) MNFE có MN //FE và KI  MN . Do đó MNEF là hình thang có 2 đáy MN, FE, chiều
cao KI.

 S MNEF 

(MN FE). KI

2

1

 BC  2 BC. 1 AH


 3
3
 3
2

1
 .SABC  30(c m 2 )
3

========== TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ==========

12. TOÁN

HỌC SƠ ĐỒ – THCS.TOANMATH.com