Chuyên đề dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân – Nguyễn Bảo Vương

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học: 2020-2021 Chương 3 PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH QUY NẠP Bài 1 Lý thuyết. Phương pháp quy nạp toán học Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n  * là đúng với mọi n mà không thể thử trực tiếp thì có thể làm như sau:  Bước 1. Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n  1.  Bước 2. Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì n  k  1 (gọi là giả thiết quy nạp), chứng minh rằng nó cũng đúng với n  k  1. Đó là phương pháp quy nạp toán học, hay còn gọi tắt là phương pháp quy nạp. Một cách đơn giản, ta có thể hình dung như sau: Mệnh đề đã đúng khi n  1 nên theo kết quả ở bước 2, nó cũng đúng với n  1  1  2. Vì nó đúng với n  2 nên lại theo kết quả ở bước 2, nó đúng với n  2  1  3,… Bằng cách ấy, ta có thể khẳng định rằng mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên n  * . 2. Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề là đúng với mọi số tự nhiên n  p ( p là một số tự nhiên) thì:  Bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n  p;  Bước 2, giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên bất kì n  k  p và phải chứng minh rằng nó cũng đúng với n  k  1. DẠNG: ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP ĐỂ CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC, TÍNH CHIA HẾT, HÌNH HỌC… A. Phương pháp giải Giả sử cần chứng minh đẳng thức P(n)  Q(n) (hoặc P (n)  Q (n) ) đúng với n  n0 , n0   ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính P(n0 ), Q (n0 ) rồi chứng minh P(n0 )  Q (n0 ) Bước 2: Giả sử P(k )  Q(k ); k  , k  n0 , ta cần chứng minh P (k  1)  Q(k  1) . B. Bài tập tự luận n(n  1) 2 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. Câu 1. Chứng mình với mọi số tự nhiên n  1 ta luôn có: 1  2  3  …  n  Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Câu 2. Chứng minh với mọi số tự nhiên n  1 ta luôn có: 1  3  5  …  2n  1  n 2 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 1.3.5…  2n  1 1 Câu 3. Chứng minh rằng với n  1 , ta có bất đẳng thức:  2.4.6.2n 2n  1 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 2 n 1 x n ( x n 1  1)  x  1  Câu 4. Chứng minh rằng với n  1, x  0 ta có bất đẳng thức:   . Đẳng thức xảy xn  1  2  ra khi nào? ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. Câu 5. Cho hàm số số nguyên. Chứng minh rằng nếu f :  , n  2 là f ( x)  f ( y )  x y  f  x, y  0 (1)thìta có 2  2  f ( x1 )  f ( x2 )  …  f ( xn )  x  x  …  xn   f 1 2  xi  0 , i  1, n (2). n n   ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. Câu 6. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n  1 , ta luôn có n(n  1)(2n  1) a. 12  2 2  …  (n  1)2  n 2  6 1 2 n 3 2n  3 b.  2  …  n   3 3 3 4 4.3n ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Câu 7. a. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n  1 ta có: 2  2  2  …  2  2  2 cos  2n 1 (n dấu căn) nx (n  1) x sin 2 2 b. Chứng minh các đẳng thức sin x  sin 2 x  …sin nx  với x  k 2 với n  1 . x sin 2 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Câu 8. Chứng minh rằng với mọi n  1 ta có bất đẳng thức: sin sin nx  n sin x x   ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. Câu 9. n  1 a. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n  1 , ta có :  1    3  n b. 3n  3n  1 với mọi số tự nhiên n  2 ; 2.4.6.2n c.  2n  1 với mọi số tự nhiên n  1 ; 1.3.5…  2n  1 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Câu 10. Cho hàm số f xác định với mọi x và thoả mãn điều kiện: f ( x  y )  f ( x). f ( y ), x, y   (*). Chứng minh rằng với mọi số thực x và mọi số tự 2n   x  nhiên n ta có: f  x    f  n     2  ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Câu 11. Cho n là số tự nhiên dương. Chứng minh rằng: an  16 n –15n –1 225 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. Câu 12. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n  1 thì A(n)  7 n  3n  1 luôn chia hết cho 9 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. Câu 13. Cho n là số tự nhiên dương. Chứng minh rằng: Bn   n  1 n  2  n  3 .  3n  3n ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. Câu 14. Trong mặt mặt phẳng cho n điểm rời nhau (n > 2) tất cả không nằm trên một đường thẳng. Chứng minh rằng tất cả các đường thẳng nối hai điểm trong các điểm đã cho tạo ra số đường thẳng khác nhau không nhỏ hơn n. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 7 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Câu 15. Chứng minh rằng tổng các trong một n – giác lồi (n  3) bằng (n  2)1800 . ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Câu 16. a. Chứng minh rằng với n  2 , ta luôn có an   n  1 n  2  …  n  n  chia hết cho 2n . b. Cho a, b là nghiệm của phương trình x 2  27 x  14  0 Đặt S  n   a n  b n . Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì S (n) là một số nguyên không chia hết cho 715. c. Cho hàm số f :    thỏa f (1)  1, f (2)  2 và f (n  2)  2 f (n  1)  f (n) . Chứng minh rằng: f 2 (n  1)  f (n  2) f (n)  (1) n n d. Cho pn là số nguyên tố thứ n . Chứng minh rằng: 22  pn . e. Chứng minh rằng mọi số tự nhiên không vượt qua n ! đều có thể biểu diễn thành tổng của không quá n ước số đôi một khác nhau của n ! . ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 9 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Câu 17. Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình: x 2  6 x  1  0 . Đặt an  x1n  x2n . Chứng minh rằng: a. an  6an 1  an 2 n  2 . b. an là một số nguyên và an không chia hết cho 5 với mọi n  1 . ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Câu 18. a. Trong không gian cho n mặt phẳng phân biệt ( n  1 ), trong đó ba mặt phẳng luôn cắt nhau và không có bốn mặt phẳng nào có điểm chung. Hỏi n mặt phẳng trên chia không gian thành bao nhiêu miền? b. Cho n đường thẳng nằm trong mặt phẳng trong đóhai đường thẳng bất kì luôn cắt nhau và không có ba đường thẳng nào đồng quy. Chứng minh rằng n đường thẳng này chia mặt phẳng n2  n  2 miền. 2 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… thành Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. Câu 19. a. Cho a, b, c, d , m là các số tự nhiên sao cho a  d , (b  1)c , ab  a  c chia hết cho m . Chứng minh rằng xn  a.b n  cn  d chia hết cho m với mọi số tự nhiên n . b. Chứng minh rằng từ n  1 số bất kì trong 2n số tự nhiên đầu tiên luôn tìm được hai số là bội của nhau. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Câu 1. C. Bài tập trắc nghiệm Một học sinh chứng minh mệnh đề ”8n  1 chia hết cho 7, n  * ” * như sau:  Giả sử * đúng với n  k , tức là 8k  1 chia hết cho 7.  Ta có: 8k 1  1  8  8k  1  7 , kết hợp với giả thiết 8k  1 chia hết cho 7 nên suy ra được 8k 1  1 chia hết cho 7. Vậy đẳng thức * đúng với mọi n  * . Câu 2. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Học sinh trên chứng minh đúng. B. Học sinh chứng minh sai vì không có giả thiết qui nạp. C. Học sinh chứng minh sai vì không dùng giả thiết qui nạp. D. Học sinh không kiểm tra bước 1 (bước cơ sở) của phương pháp qui nạp. 1 1 1 1 Cho S n  với n  * . Mệnh đề nào sau đây đúng?    …  1 2 2  3 3  4 n.  n  1 1 1 2 1 B. S 2  . C. S 2  . D. S3  . . 12 6 3 4 1 1 1 1    …  Cho S n  với n  * . Mệnh đề nào sau đây đúng? 1 2 2  3 3  4 n.  n  1 A. S3  Câu 3. n 1 n n 1 n2 B. S n  C. S n  D. S n  . . . . n n 1 n2 n3 1 1 1   …  Cho S n  với n  * . Mệnh đề nào sau đây đúng? 1 3 3  5 2 n  1  2 n  1    A. S n  Câu 4. n 1 n n n2 B. S n  C. S n  D. S n  . . . . 2n  1 2n  1 3n  2 2n  5 1  1  1   Cho Pn  1  2   1  2  …  1  2  với n  2 và n  . Mệnh đề nào sau đây đúng?  2  3   n  A. S n  Câu 5. A. P  Câu 6. n 1 . n2 B. P  n 1 . 2n C. P  n 1 . n D. P  n 1 . 2n Với mọi n  * , hệ thức nào sau đây là sai? n  n  1 A. 1  2  …  n  2 B. 1  3  5  …   2n  1  n 2 . n  n  1 2n  1 6 2n  n  1 2n  1 2 D. 22  42  62     2n   . 6 Xét hai mệnh đề sau: I) Với mọi n  * , số n3  3n 2  5n chia hết cho 3. C. 12  22  …  n 2  Câu 7. II) Với mọi n  * , ta có Câu 8. 1 1 1 13   …   . n 1 n  2 2n 24 Mệnh đề nào đúng? A. Chỉ I. B. Chỉ II. C. Không có. D. Cả I và II. * Với n   , hãy rút gọn biểu thức S  1.4  2.7  3.10  …  n  3n  1 . 2 A. S  n  n  1 . 2 B. S  n  n  2  . Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 C. S  n  n  1 . Câu 9. D. S  2n  n  1 . Kí hiệu k !  k  k  1 …2.1, k  * . Với n  * , đặt S n  1.1! 2.2! …  n.n !. Mệnh đề nào dưới đây là đúng? A. S n  2.n !. B. S n   n  1! 1 . C. S n   n  1! . D. S n   n  1! 1 . 2 2 Câu 10. Với n  * , đặt Tn  12  22  32  …   2n  và M n  22  4 2  62  …   2n  . Mệnh đề nào dưới đây là đúng? T 4n  1 A. n  . M n 2n  2 B. Tn 4n  1 .  M n 2n  1 C. Tn 8n  1 .  Mn n 1 D. Tn 2n  1 .  Mn n 1 Câu 11. Tìm số nguyên dương p nhỏ nhất để 2n  2n  1 với mọi số nguyên n  p . A. p  5 . C. p  4 . B. p  3 . D. p  2 . Câu 12. Tìm tất cả các giá trị của n   sao cho 2  n . A. n  5 . B. n  1 hoặc n  6 . C. n  7 . D. n  1 hoặc n  5 . 1 1 1 an  b Câu 13. Với mọi số nguyên dương n , ta có: , trong đó a, b, c là   …    3n  1 3n  2  cn  4 2.5 5.8 * n 2 các số nguyên. Tính các giá trị của biểu thức T  ab 2  bc 2  ca 2 . A. T  3 . B. T  6 . C. T  43 . D. T  42 . 1  an  2  1  1   Câu 14. Với mọi số nguyên dương n  2 , ta có:  1   1   … 1  2   , trong đó a, b là các số  4   9   n  bn  4 nguyên. Tính các giá trị của biểu thức T  a 2  b 2 . A. P  5 . B. P  9 . C. P  20 . 3 3 3 4 3 2 Câu 15. Biết rằng 1  2  …  n  an  bn  cn  dn  e, n  * . D. P  36 . Tính giá trị biểu thức M  abcd e. 1 1 . D. M  . 4 2 3 Câu 16. Biết rằng mọi số nguyên dương n , ta có 1.2  2.3  …  n  n  1  a1n  b1n 2  c1n  d1 và A. M  4 . C. M  B. M  1 . 1.2  2.5  3.8  …  n  3n  1  a2 n3  b2 n 2  c2 n  d 2 . Tính giá trị biểu thức T  a1a2  b1b2  c1c2  d1d 2 . 4 2 . D. T  . 3 3 k k k Câu 17. Biết rằng 1  2  …  n , trong đó n, k là số nguyên dương. Xét các mệnh đề sau: A. T  2 . C. M  B. T  1 . 2 n 2  n  1 n  n  1 2n  1  3n 2  3n  1 n  n  1 n  n  1 2n  1 S1  , S2  , S3  và S 4  . 30 4 2 6 Số các mệnh đề đúng trong các mệnh đề nói trên là: A. 4 . B. 1 . C. 2 . 2 D. 3 . 2 n  n  1 là sai. 4 Câu 18. Xét Câu toán: “Kiểm nghiệm với số nguyên dương n bất đẳng thức n !  2n 1 ”. Một học sinh đã trình bày lời giải Câu toán này bằng các bước như sau: Bước 1: Với n  1 , ta có: n !  1!  1 và 2n1  211  20  1 . Vậy n !  2n 1 đúng. Câu 1, chúng ta thấy ngay được chỉ có S3  Bước 2 : Giả sử bất đẳng thức đúng với n  k  1 , tức là ta có k !  2k 1 . Ta cần chứng minh bất đẳng thức đúng với n  k  1 , nghĩa là phải chứng minh  k  1 !  2k . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Bước 3 : Ta có  k  1 !   k  1 .k !  2.2k 1  2k . Vậy n !  2n 1 với mọi số nguyên dương n . Chứng minh trên đúng hay sai, nếu sai thì sai từ bước nào ? A. Đúng. B. Sai từ bước 2. C. Sai từ bước 1. D. Sai từ bước 3. 2 1 1 1 an  bn   …   2 , trong đó a, b, c, d và n là các số 1.2.3 2.3.4 n  n  1 n  2  cn  dn  16 nguyên dương. Tính giá trị của biểu thức T   a  c  b  d  . Câu 19. Biết rằng là : A. T  75 . B. T  364 . C. T  300 . D. T  256 . Câu 20. Tam giác ABC là tam giác đều có độ dài cạnh là 1. Gọi A1 , B1 , C1 lần lượtlà trung điểm BC , CA, AB . Gọi A2 , B2 , C2 lần lượtlà trung điểm B1C1 , C1 A1 , A1 B1 …Gọi An , Bn , Cn lần lượtlà trung điểm Bn 1Cn 1 , Cn 1 An 1 , An 1 Bn 1 . Tính diện tích tam giác An Bn Cn ? 1 . 4n 1 . 3n n 1 . 2n 3 D.   . 4 Câu 21. Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh là 1. Gọi A1 , B1 , C1 , D1 lần lượtlà trung điểm A. AC , BC , CD, DA . Gọi B. C. A2 , B2 , C2 , D2 lần lượtlà trung điểm A1 B1 , B1C1 , C1 D1 , D1 A1 …Gọi An , Bn , Cn , Dn lần lượtlà trung điểm An 1 Bn 1 , Bn 1Cn 1 , Cn 1 Dn 1 , Dn 1 An 1 . Tính diện tích tứ giác An Bn Cn Dn ? n 1 1 1 3 . B. n . C. n . D.   . 4n 3 2 4 Câu 22. Trên một mặt phẳng cho n đường tròn phân biệt, đôi một cắt nhau và không có ba đường tròn nào giao nhau tại một điểm. Các đường tròn này chia mặt phẳng thành 92 các miền rời nhau. Tìm n . A. 10 . B. 12 . C. 9 . D. 11 . Câu 23. S n  (n  1)(n  2)(n  3)…( n  n) luôn chia hết cho A. A. 2n . B. 3n . C. 4n . D. 2n1 . n Câu 24. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của n, n  100 để un 2  3   2  3  2 n  1 là số chính phương? A. 50 . B. 30 . C. 49 . D. 49 . Câu 25. Trên một mặt phẳng cho n đường thẳng phân biệt cùng đi qua 1 điểm phân biệt, này chia mặt phẳng thành 100 phần rời nhau. Tìm n . A. 50 . B. 40 . C. 20 . D. 25 . Câu 26. Bài toán chứng minh A  4 n  15n  1 chia hết cho 9 bằng phương pháp nào dưới đây là thích hợp nhất? A. Đồng dư thức. B. Quy nạp. C. Tách hạng tử. D. Sử dụng dấu hiệu chia hết cho 9. 2n2  32 n 1 .  5 (1) với n là số nguyên dương. Một học sinh đã giải như sau: Câu 27. Chứng minh. B  7.2 Bước 1: Xét với n  1 ta có B  10  5 Bước 2: Giả sử (1) đúng với n  k (k  , k  1) , khi đó: Bk  7.22 k  2  32 k 1  5 . Bước 3: Chứng minh (1) đúng với n  k  1 , hay ta cần chứng minh Bk 1  7.2 2( k 1)  2  32( k 1) 1  5 Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 Thật vậy Bk 1  7.2 2( k 1)  2  32( k 1) 1  5  7.22 k  2  2  32 k 1 2  7.22 k  2.4  32 k 1.9  4(7.2 2 k  2.4  32 k 1 )  5.32 k 1  5  4 Bk  5.32 k 1  5 ( Bk  5 ) Vậy Bk 1  5 Bước 4: Vậy B  7.22 n  2  32 n 1  5 với n là số nguyên dương. Lập luận trên đúng đến bước nào? A. Bước 1. B. Bước 2. C. Bước 3. D. Bước 4. n Câu 28. Cho C  7  3n  1 ,Trong quy trình chứng minh C 9 theo phương pháp quy nạp, giá trị của a trong biểu thức Ck 1  7.Ck  a (2k  1) là: A. 9. B. 0. C. 9. D. 18. 3 Câu 29. Với mọi số nguyên dương n thì S n  n  11n chia hết cho số nào sau đây? A. 6 . B. 4 . C. 9 . D. 12 . 3 2 Câu 30. Với mọi số nguyên dương n thì S n  n  3n  5n  3 chia hết cho số nào sau đây? B. 4 . A. 3 . C. 5 . D. 7 . 2n Câu 31. Với mọi số nguyên dương n , a là số nguyên dương cho trước, D  a  1 chia hết cho: A. a . B. a 2  1 . C. a 2 . D.  a 2  1 . Câu 32. Cho E  4k  a.k  1 , với a là số tự nhiên. Giá t m  a  1 rị nhỏ nhất của a để E 9 là: A. 0 . B. 3 . C. 6 . D. 9 . n Câu 33. Với mọi số nguyên dương n thì S n  4  15n  1 chia hết cho số nào sau đây? A. 4 . B. 6 . C. 9 . D. 7 . 2 2 2 2 Câu 34. Với mọi n  N * , tổng S n  1  2  3  …  n thu gọn có dạng là biểu thức nào sau đây? A. n  n  1 n  2  6 . B. n  n  2  2n  1 6 . n 2  n  1 . 2 6 Câu 35. Với mọi số nguyên dương n thì S n  4 2 n  32 n  7 chia hết cho số nào sau đây? C. n  n  1 2n  1 . D. A. 23.3 . B. 22.3.7 . C. 2.32.7 . Câu 36. Với mọi n  * biểu thức S  n   1  2  3  …  n bằng A. n  n  1 2 . B. n  n  1 . C. n  n  1 2 D. 2.3.7 2 . . D. n  n  1 n  2  Câu 37. Biết rằng với mọi số nguyên dương n ta có 1  2  3  …..  n  an 2  bn . Tính A. 2 . B. 1 . C. 3 . Câu 38. Tổng các góc trong một đa giác lồi n cạnh  n  3 là: A. n.1800 . B.  n  11800 . C.  n  2 1800 . 6 . a . b D. 6 . D.  n  31800 . Câu 39. Mệnh đề nào là mệnh đề đúng? A. 2n  n 2 , n  * . B. 2n  n 2 , n  * 1; 2;3; 4 . C. 2n  n 2 , n  * D. 2n  n 2 , n   . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Câu 40. Với mọi n  N * , tổng S n  1.2  2.3  3.4  …  n.  n  1 thu gọn có dạng là biểu thức nào sau đây? n  n  1 n  2  n  3 . A. 6 C. n  n  1 n  2  2 D. B. n  n  1 n  2  . 3 n 2  3n  1 . 4 2 Câu 41. Với mọi n  N * , tổng S n  12  32  52  …   2n  1 thu gọn có dạng là biểu thức nào sau đây? n  n 2  1 n  2n 2  1 n  4n 2  1 . B. . C. D. Đáp số khác. 3 3 3 Câu 42. Giả sử với mọi n nguyên dương ta có: 1.4  2.7  …..  n  3n  1  An3  Bn 2  Cn . Tính A. A B C ? A. 1 . B. 2 . Câu 43. Mệnh đề nào là mệnh đề đúng? C. 3. D. 4 . A. Với mọi số tự nhiên n , tồn tại một đa thức P  n  sao cho cos n  Pn  cos   . n  n  1 , n  * . 2 C. 2n  n 2 , n  * B. 1  2  ….  n  n D.  n  1  n n 1 , n  * . Câu 44. Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho 2n 1  n 2  3n. A. n  3 . B. n  5 . C. n  6 . D. n  4 . Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học: 2020-2021 Chương 3 PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH QUY NẠP Bài 1 Lý thuyết. Phương pháp quy nạp toán học Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n  * là đúng với mọi n mà không thể thử trực tiếp thì có thể làm như sau:  Bước 1. Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n  1.  Bước 2. Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì n  k  1 (gọi là giả thiết quy nạp), chứng minh rằng nó cũng đúng với n  k  1. Đó là phương pháp quy nạp toán học, hay còn gọi tắt là phương pháp quy nạp. Một cách đơn giản, ta có thể hình dung như sau: Mệnh đề đã đúng khi n  1 nên theo kết quả ở bước 2, nó cũng đúng với n  1  1  2. Vì nó đúng với n  2 nên lại theo kết quả ở bước 2, nó đúng với n  2  1  3,… Bằng cách ấy, ta có thể khẳng định rằng mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên n  * . 2. Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề là đúng với mọi số tự nhiên n  p ( p là một số tự nhiên) thì:  Bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n  p;  Bước 2, giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên bất kì n  k  p và phải chứng minh rằng nó cũng đúng với n  k  1. DẠNG: ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP ĐỂ CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC, TÍNH CHIA HẾT, HÌNH HỌC… A. Phương pháp giải Giả sử cần chứng minh đẳng thức P(n)  Q(n) (hoặc P (n)  Q (n) ) đúng với n  n0 , n0   ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính P(n0 ), Q (n0 ) rồi chứng minh P(n0 )  Q (n0 ) Bước 2: Giả sử P(k )  Q(k ); k  , k  n0 , ta cần chứng minh P (k  1)  Q(k  1) . B. Bài tập tự luận Câu 1. Chứng mình với mọi số tự nhiên n  1 ta luôn có: 1  2  3  …  n  n(n  1) 2 Lời giải Đặt P (n)  1  2  3  …  n : tổng n số tự nhiên đầu tiên : n(n  1) 2 Ta cần chứng minh P (n)  Q (n) n  , n  1 . Q ( n)  Bước 1: Với n  1 ta có P(1)  1, Q (1)  1(1  1) 1 2  P(1)  Q(1)  (1) đúng với n  1 . Bước 2: Giả sử P(k )  Q (k ) với k  , k  1 tức là: 1  2  3  …  k  k (k  1) (1) 2 Ta cần chứng minh P (k  1)  Q(k  1) , tức là: Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 1  2  3  …  k  (k  1)  (k  1)(k  2) (2) 2 Thật vậy: VT (2)  (1  2  3  …  k )  (k  1) k ( k  1)  (k  1) (Do đẳng thức (1)) 2 k (k  1)(k  2)  (k  1)(  1)   VP(2) 2 2 Vậy đẳng thức chođúng với mọi n  1 .  Câu 2. Chứng minh với mọi số tự nhiên n  1 ta luôn có: 1  3  5  …  2n  1  n 2 Lời giải 2  Với n  1 ta có VT  1, VP  1  1 Suy ra VT  VP  đẳng thức cho đúng với n  1 .  Giả sử đẳng thức chođúng với n  k với k  , k  1 tức là: 1  3  5  …  2k  1  k 2 (1) Ta cần chứng minh đẳng thức chođúng với n  k  1 , tức là: 2 1  3  5  …  (2k  1)  (2k  1)   k  1 (2) Thật vậy: VT (2)  (1  3  5  …  2k  1)  (2k  1)  k 2  (2k  1) (Do đẳng thức (1))  (k  1)2  VP(1.2) Vậy đẳng thức chođúng với mọi n  1 . Câu 3. Chứng minh rằng với n  1 , ta có bất đẳng thức: 1.3.5…  2n  1 1  2.4.6.2n 2n  1 Lời giải 1 1 * Với n  1 ta có đẳng thức chotrở thành:   2  3 đúng. 2 3  đẳng thức chođúng với n  1 . * Giả sử đẳng thức chođúng với n  k  1 , tức là: 1.3.5…  2k  1 1 (1)  2.4.6…2k 2k  1 Ta phải chứng minh đẳng thức chođúng với n  k  1 , tức là: 1.3.5…  2k  1 2k  1 1 (2)  2.4.6….2k  2k  2  2k  3 Thật vậy, ta có: VT (2)  1.3.5…(2k  1) 2k  1 1 2k  1 2k  1 .   2.4.6…2k 2k  2 2k  1 2k  2 2 k  2 2k  1 1   (2k  1)(2k  3)  (2k  2)2 2k  2 2k  3  3  1 (luôn đúng) Vậy đẳng thức chođúng với mọi số tự nhiên n  1 . Ta chứng minh: Câu 4. x n ( x n 1  1)  x  1  Chứng minh rằng với n  1, x  0 ta có bất đẳng thức:   xn  1  2  ra khi nào? Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 2 n 1 . Đẳng thức xảy TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 Lời giải 3  Với n  1 ta cần chứng minh: x( x 2  1)  x  1  2 4    8 x( x  1)  ( x  1) x 1 2   Tức là: x 4  4 x3  6 x 2  4 x  1  0  ( x  1) 4  0 (đúng) Đẳng thức xảy ra khi x  1 . x k ( x k 1  1)  x  1   Giả sử   xk  1  2   x 1  Thật vậy, ta có:    2  2 k 3 2 k 1 x k 1 ( x k  2  1)  x  1  , ta chứng minh   x k 1  1  2  2  x 1  x 1      2   2  2 k 1 2 k 3 (*) 2 k k 1  x  1  x ( x  1)   xk  1  2  2 k k 1 k 1 k 2  x  1  x ( x  1) x ( x  1) Nên để chứng minh (*) ta chỉ cần chứng minh    xk  1 x k 1  1  2  2  x  1  k 1 2 k 2 k Hay   ( x  1)  x( x  1)( x  1) (**)  2  Khai triển (**), biến đổi và rút gọn ta thu được x 2 k  2 ( x  1)2  2 x k 1 ( x  1)2  ( x  1) 2  0  ( x  1)2 ( x k 1  1) 2  0 BĐT này hiển nhiên đúng. Đẳng thức có  x  1 . Vậy Câu toán được chứng minh. Chú ý: Trong một số trường hợp để chứng minh mệnh đề P (n) đúng với mọi số tự nhiên n ta có thể chứng minh theo cách sau Bước 1: Ta chứng minh P (n) đúng với n  1 và n  2k Bước 2: Giả sử P (n) đúng với n  k  1 , ta chứng minh P (n) đúng với n  k . Cách chứng minh trên được gọi là quy nạp theo kiểu Cauchy (Cô si). Câu 5. Cho hàm số f :  , n  2 là số nguyên. Chứng minh rằng nếu f ( x)  f ( y )  x y  f  x, y  0 (1)thìta có 2  2  f ( x1 )  f ( x2 )  …  f ( xn )  x  x  …  xn   f 1 2  xi  0 , i  1, n (2). n n   Lời giải k Ta chứng minh (2) đúng với n  2 , k  1 * Với k  1 thì (8.2) đúng (do (1)) * Giả sử (2) đúng với n  2k , ta chứng minh (2) đúng với n  2 k 1  x1  …  x2k  Thật vậy: f ( x1 )  … f ( x2k )  2 k f   2k    x k  …  x k 1  f ( x2k 1 )  … f ( x2k 1 )  2 k f  2 1 k 2  2    x1  …  x2k Do đó: f ( x1 )  … f ( x2k 1 )  2k f  2k   x1  …  x2k  x2k 1  …  x2k 1  2k 1 f  2k 1   k 2   x k  …  x k 1  f  2 1 k 2  2    .  Do vậy (2) đúng với mọi n  2k .  Giả sử (2) đúng với mọi n  k  1  3 , tức là Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 f ( x1 )  f ( x2 )  …  f ( xk 1 )  x  x  …  xk 1   f 1 2  (3) k 1 k 1   Ta chứng minh (8.2) đúng với n  k , tức là f ( x1 )  f ( x2 )  …  f ( xk )  x  x  …  xk   f 1 2  (4) k k   x  x  …  xk x Thật vậy: đặt xk 1  1 2  , áp dụng (3) ta có k k  x x  f ( x1 )  f ( x2 )  …  f ( xk )  f   x1  x2  …    k f k   k 1 k  1     f ( x1 )  f ( x2 )  …  f ( xk )  x  x  …  xk  Hay  f 1 2 . k k   Vậy Câu toán được chứng minh. Chú ý: Chứng minh tương tự ta cũng có Câu toán sau f ( x1 )  f ( x2 )  …  f ( xn ) f ( x)  f ( y )  f ( xy ) x, y  0 (a) thì ta có  f Nếu 2 n  n xi  0, i  1, n (b). Câu 6. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n  1 , ta luôn có n(n  1)(2n  1) a. 12  22  …  (n  1) 2  n 2  6 1 2 n 3 2n  3 b.  2  …  n   3 3 3 4 4.3n Lời giải a. Bước 1: Với n  1 ta có: 1(1  1)(2.1  1) VT  12  1, VP   1  VT  VP 6  đẳng thức cho đúng với n  1 . Bước 2: Giả sử đẳng thức chođúng với n  k  1 , tức là: k (k  1)(2k  1) (1) 12  22  …  (k  1) 2  k 2  6 Ta sẽ chứng minh đẳng thức cho đúng với n  k  1 , tức là cần chứng minh: ( k  1)(k  1)(2k  3) 12  22  …  ( k  1) 2  k 2  ( k  1) 2  (2). 6 Thật vây: do (1) k (k  1)(2k  1)  ( k  1) 2 VT (2)  12  22  …  k 2   (k  1) 2  6  2k 2  k  (k  1)(2k 2  7 k  6)  (k  1)   k  1  6  6  (k  1)(k  2)(2k  3)   VP(2) 6  (2) đúng  đẳng thức chođúng với mọi n  1 . b. * Với n  1 ta có VT  1  VP  đẳng thức cho đúng với n  1 1 2 k 3 2k  3 * Giả sử đẳng thức cho đúng với n  k  1 , tức là:  2  …  k   (1) 3 3 3 4 4.3k Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/  x1 x2 …xn với TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 Ta sẽ chứng minh đẳng thức chođúng với n  k  1 , tức là cần chứng minh 1 2 k k  1 3 2k  5 (2).  2  …  k  k 1   3 3 3 3 4 4.3k 1 3 2k  3 k  1 3 2k  5 Thật vậy: VT (2)    k 1    VP (2) 4 4.3k 3 4 4.3k 1  (2) đúng  đẳng thức cho đúng. Câu 7. a. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n  1 ta có: 2  2  2  …  2  2  2 cos  2 n 1 (n dấu căn) sin b. Chứng minh các đẳng thức sin x  sin 2 x  …sin nx  nx (n  1) x sin 2 2 với x  k 2 với n  1 . x sin 2 Lời giải a. * Với n  1  VT  2, VP  2 cos   2 4  VT  VP  đẳng thức cho đúng với n  1 . * Giả sử đẳng thức chođúng với n  k , tức là: 2  2  2  …  2  2  2 cos  2 k 1 Ta sẽ chứng minh đẳng thức chođúng với n  k  1 , tức là: 2  2  2  …  2  2  2 cos  2k  2 (k dấu căn)(1) ( k  1 dấu căn)(2).  Thật vậy: VT (2)  2  2  2  …  2  2  2  2 cos k 1    2 k dau can  2(1  cos  2 k 1 )  4 cos 2  2 k 2  2 cos  2k  2  VP(2) (Ở trên ta đã sử đụng công thức 1  cos a  2 cos 2 a ). 2  (2) đúng  đẳng thức chođúng. x sin sin x 2 b.  Với n  1 ta có VT  sin x, VP   sin x nên đẳng thức chođúng với n  1 x sin 2  Giả sử đẳng thức chođúng với n  k  1 , tức là: kx (k  1) x sin sin 2 2 sin x  sin 2 x  …sin kx  (1) x sin 2 Ta chứng minh (4) đúng với n  k  1 , tức là Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 sin sin x  sin 2 x  …sin( k  1) x  (k  1) x (k  2) x sin 2 2 (2) x sin 2 kx (k  1) x sin 2 2 Thật vậy: VT (2)   sin(k  1) x x sin 2 kx (k  1) x x  sin  2 cos sin  (k  1) x  2 2 2  sin   x 2   sin  2  (k  1) x (k  2) x sin sin 2 2   VP(2) x sin 2 Nên (2) đúng. Suy ra đẳng thức chođúng với mọi n  1 . sin Câu 8. Chứng minh rằng với mọi n  1 ta có bất đẳng thức: sin nx  n sin x x   Lời giải * Với n  1 ta có: VT  sin1.  1. sin   VP nên đẳng thức cho đúng. * Giả sử đẳng thức cho đúng với n  k  1 , tức là: sin kx  k sin x (1) Ta phải chứng minh đẳng thức chođúng với n  k  1 ,tức là: sin(k  1)   k  1 sin  (2) Thật vậy: sin  k  1   sin k cos   cos k sin   sin k . cos   cos k . sin   sin k  sin   k sin   sin    k  1 . sin  Vậy đẳng thức chođúng với n  k  1 , nên đẳng thức chocũng đúng với mọi số nguyên dương n . Câu 9. n  1 a. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n  1 , ta có :  1    3  n b. 3n  3n  1 với mọi số tự nhiên n  2 ; 2.4.6.2n c.  2n  1 với mọi số tự nhiên n  1 ; 1.3.5…  2n  1 Lời giải k 2 n n  1 a. Ta chứng minh  1    2   1 ,1  k  n (1) bằng phương pháp quy nạp theo k . Sau đó n k k   cho k  n ta có (7). 1 1 1 * Với k  1  VT (1)  1   2   1  VP(1) n n n  (1) đúng với k  1 . * Giải sử (1) đúng với k  p, 1  p  n , tức là: Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 p 2 p p  1  1    2   1 (2). n n  n Ta chứng minh (1) đúng với k  p  1 , tức là  1 1    n  1 Thật vậy:  1    n p 1  1  1    n p p 1  ( p  1) 2 p  1   1 (3). n2 n 2 p  1   1  p .  1     2   1  1   n  n   n  n  p2 p2  p p  1 p p2  p p  1    1    1 n3 n2 n n2 n2 n  p2  2 p 1 p 1 ( p  1) 2 p  1  1    1  (3) đúng  đpcm. 2 n n n2 n n Cách khác: Khi n  1  2  3 (đúng) dễ thấy khi n  1  1  1 tiến dần về 0  1   tiến gần về n  n n  1 1 .Vậy n  1 ta luôn có  1    3  n b. Với n  2 ta có: VT  32  9  VP  3.2  1  7 nên đẳng thức chođúng với n  1  Giả sử đẳng thức chođúng với n  k  2 , tức là: 3k  3k  1 (1) Ta chứng minh đẳng thức chođúng với n  k  1 , tức là: 3k 1  3(k  1)  1  3k  4 (2) Thật vậy: 3k 1  3.3k  3(3k  1)  3k  4  (6k  1)  3k  4 nên (2) đúng. Vậy Câu tóan được chứng minh. 2 c. Với n  1 ta có: VT   2, VP  3  đẳng thức chođúng với n  1 1  Giả sử đẳng thức chođúng với n  k  1 , tức là: 2.4.6.2k  2k  1 (1) 1.3.5…  2k  1 Ta chứng minh đẳng thức chođúng với n  k  1 , tức là: 2.4.6.2k (2k  2)  2k  3 (2) 1.3.5…  2k  1 (2k  1) Thật vậy: 2.4.6.2k (2k  2) 2 k  2 2k  2  2k  1.  1.3.5…  2k  1 (2k  1) 2k  1 2k  1 2k  2 2  2k  3   2k  2   (2k  1)(2k  3) 2k  1  4  3 hiển nhiên đúng. Vậy Câu toán được chứng minh. Nên ta chứng minh Câu 10. Cho hàm số f xác định với mọi x và thoả mãn điều kiện: f ( x  y )  f ( x). f ( y ), x, y   (*). Chứng minh rằng với mọi số thực x và mọi số tự   x  nhiên n ta có: f  x    f  n     2  2n Lời giải a. Trong BĐT f ( x  y )  f ( x). f ( y ) thay x và y bằng x , ta được: 2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 7 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 2  x x  x  x  x  f     f   . f    f  x    f ( ) 2 2 2 2  2  Vậybất đẳng thức đã chođúng với n  1 . Giả sử bất đẳng thức đúng với n  k  1 . Ta có 2k   x  f  x    f  k    2  Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n  k  1 , tức là:   x  f  x    f  k 1     2  (1) 2 k 1 (2)  x   x x    x  Thật vậy ta có: f   f   f    2k   2k  1 2k  1    2k  1   k 2k  2 2   x    x   f    f       2k  1      2k         x  f     2k   2k   x  f     2k  1   2 2k  1 2 k 1   x  Do tính chất bắc cầu ta có được: f  x    f  k 1     2  Bất đẳng thức đúng với n  k  1 nên cũng đúng với mọi số tự nhiên n. Câu 11. Cho n là số tự nhiên dương. Chứng minh rằng: an  16 n –15n –1 225 Lời giải  Với n  1 ta có: a1  0  a1  225 .  Giả sử ak  16k  15k  1 225 , ta chứng minh ak 1  16 k 1  15(k  1)  1 225 Thậ vậy: ak 1  16.16k  15k  16  16k  15k  1  15 16k  1  ak  15 16k  1 Vì 16k  1  15. 16k 1  16k  2  …  115 và ak  225 Nên ta suy ra ak 1  225 . Vậy Câu toán được chứng minh Câu 12. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n  1 thì A(n)  7 n  3n  1 luôn chia hết cho 9 Lời giải * Với n  1  A(1)  7  3.1  1  9  A(1) 9 1 * Giả sử A(k ) 9 k  1 , ta chứng minh A(k  1) 9 Thật vậy: A(k  1)  7 k 1  3(k  1)  1  7.7 k  21k  7  18k  9  A( k  1)  7 A(k )  9(2k  1) Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021  A(k ) 9 Vì   A(k  1) 9 9(2k  1) 9 Vậy A(n) chia hết cho 9 với mọi số tự nhiên n  1 . Câu 13. Cho n là số tự nhiên dương. Chứng minh rằng: Bn   n  1 n  2  n  3 .  3n  3n Lời giải  Với n  1 , ta có: B1  2.3 3  Giả sử mệnh đề đúng với n = k, tức là: Bk   k  1 k  2  k  3  3k  3k Ta chứng minh: Bk 1   k  2  k  3 k  4   3  k  1   3k 1 Bk 1  3  k  1 k  2  k  3  3k  3k  1 3k  2   3Bk  3k  1 3k  2  Mà Bk  3k nên suy ra Bk 1  3k 1 . Vậy Câu toán được chứng minh. Câu 14. Trong mặt mặt phẳng cho n điểm rời nhau (n > 2) tất cả không nằm trên một đường thẳng. Chứng minh rằng tất cả các đường thẳng nối hai điểm trong các điểm đã cho tạo ra số đường thẳng khác nhau không nhỏ hơn n. Lời giải Giả sử mệnh đề đúng với n  k  3 điểm. Ta chứng minh nó cũng đúng cho n  k  1 điểm. Ta có thể chứng minh rằng tồn tại ít nhất một đường thẳng chỉ chứa có hai điểm. Ta kí hiệu đường thẳng đi qua hai điểm An và An 1 là An An 1 . Nếu những điểm A1 , A2 ,…, An nằm trên một đường thẳng thì số lượng các đường thẳng sẽ đúng là n  1 : Gồm n đường thẳng nối An 1 với các điểm A1 , A2 ,…, An và đường thẳng chúng nối chung. Nếu A1 , A2 ,…, An không nằm trên một đường thẳng thì theo giả thiết quy nạp có n đường thẳng khác nhau. Bây giờ ta thêm các đường thẳng nối An 1 với các điểm A1 , A2 ,…, An . Vì đường thẳng An An 1 không chứa một điểm nào trong A1 , A2 ,…, An 1 , nên đường thẳng này khác hoàn toàn với n đường thẳng tạo ra bởi A1 , A2 ,…, An . Như vậy số đường thẳng tạo ra cũng không nhỏ hơn n  1 . Câu 15. Chứng minh rằng tổng các trong một n – giác lồi (n  3) bằng ( n  2)1800 . Lời giải  Với n  3 ta có tổng ba góc trong tam giác bằng 1800  Giả sử công thức đúng cho tất cả k-giác, với k  n , ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng cho n-giác. Ta có thể chia n-giác bằng một đường chéo thành ra hai đa giác. Nếu số cạnh của một đa giác là k+1, thì số cạnh của đa giác kia là n – k + 1, hơn nữa cả hai số này đều nhỏ hơn n. Theo giả thiết quy nạp tổng các góc của hai đa giác này lần lượt là  k  11800 và  n  k  11800 . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 9 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Tổng các góc của n-giác bằng tổng các góc của hai đa giác trên, nghĩa là  k –1  n k –11800   n  2 1800 . Suy ra mệnh đề đúng với mọi n  3 . Câu 16. a. Chứng minh rằng với n  2 , ta luôn có an   n  1 n  2  …  n  n  chia hết cho 2n . b. Cho a, b là nghiệm của phương trình x 2  27 x  14  0 Đặt S  n   a n  b n . Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì S (n) là một số nguyên không chia hết cho 715. c. Cho hàm số f :    thỏa f (1)  1, f (2)  2 và f (n  2)  2 f (n  1)  f (n) . Chứng minh rằng: f 2 (n  1)  f (n  2) f (n)  (1) n n d. Cho pn là số nguyên tố thứ n . Chứng minh rằng: 22  pn . e. Chứng minh rằng mọi số tự nhiên không vượt qua n ! đều có thể biểu diễn thành tổng của không quá n ước số đôi một khác nhau của n ! . Lời giải a. * Với n  2 , ta có: a2   2  1 2  2   12  a2  4  22 . * Giả sử ak  2k ta chứng minh ak 1  2k 1 . Thật vậy: ak 1   k  1  1 k  1  2  …  k  k  1  1   k  2  k  3 …  k  k  2    k  2  k  3 …  k  k  k  k  1 k  k  2    k  1 k  2  k  3 …  k  k   .2.  k  k  1  2ak .(k 2  k  1)  ak Do ak  2k  2ak  2k 1  ak 1  2k 1 đpcm. b. Ta có: S (n)  27 S (n  1)  14 S (n  2) rồi dùng quy nạp để chứng minh S (n) chia hết cho 751 . c.  Ta có: f (3)  2 f (2)  f (1)  5 , nên f 2 (2)  f (3) f (1)  22  5.1  (1)1 Suy ra đẳng thức cho đúng với n  1 .  Giả sử đẳng thức cho đúng với n  k , tức là: f 2 (k  1)  f (k  2) f (k )  (1) k (1) Ta chứng minh đẳng thức cho đúng với n  k  1 , tức là: f 2 (k  2)  f (k  3) f (k  1)  (1) k 1 (2) Ta có: f 2 (k  2)  f (k  3) f (k  1)  f 2 (k  2)   2 f (n  2)  f (n  1) f (k  1)  f (k  2)  f (k  2)  2 f (k  1)  f 2 (k  1)  f (k  2) f (k )  f 2 (k  1)  (1)k  (1)k 1 Vậy Câu toán được chứng minh. d. Trước hết ta có nhận xét: p1. p2 … pn  1  pn 1 1  Với n  1 ta có: 22  4  p1  2 k  Giả sử 22  pk k  n , ta cần chứng minh 2 2 k 1  pk 1 Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 21 22 Thật vậy, ta có: 2 .2 …2 1 Suy ra 22  2 2 … 2k 2 pk  1  p1. p2 … pk  1  pk 1  pk 1  22 2k 11  1  pk 1  2 2 k 1  pk 1 Vậy Câu toán được chứng minh e.  Với n  1 Câu toán hiển nhiên đúng.  Giả sử Câu toán đúng với n  k , ta chứng minh Câu toán đúng với n  k  1 Nếu a  (k  1)! thì Câu toán hiển nhiên đúng Ta xét a  (k  1)! , ta có: a  (k  1)d  r với d  k !, r  k  1 Vì d  k ! nên d  d1  d 2  …  d k với d i (i  1, k ) là các ước đôi một khác nhau của k ! Khi đó: a  (k  1)d1  (k  1)d 2  …  (k  1)d k  r Vì (k  1)d i , r là các ước đôi một khác nhau của (k  1)! Vậy Câu toán được chứng minh. Câu 17. Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình: x 2  6 x  1  0 . Đặt an  x1n  x2n . Chứng minh rằng: a. an  6an 1  an 2 n  2 . b. an là một số nguyên và an không chia hết cho 5 với mọi n  1 . n 1 1 a. Ta có: an  ( x1  x2 )( x n 1 2 x n2 1 )  x1 x2 ( x Lời giải  x1n  2 ) x  x  6 Theo định lí Viét:  1 2 nên ta có:  x1 x2  1 an  6( x1n1  x2n 1 )  ( x1n  2  x1n 2 )  6an 1  an  2 . b. * Với n  1  a1  x1  x2  6  a1   Và a1 không chia hết cho 5 * Giả sử ak   và ak không chia hết cho 5 với mọi k  1 . Ta chứng minh ak 1   và ak 1 không chia hết cho 5. Do ak 1  6ak  ak 1 Mà ak , ak 1    ak 1   . Mặt khác: ak 1  5ak  (ak  ak 1 )  5ak  5ak 1  ak  2 5ak  5 Vì ak  2 không chia hết cho 5 và  nên suy ra ak 1 không chia hết cho 5. 5ak 1  5 Câu 18. a. Trong không gian cho n mặt phẳng phân biệt ( n  1 ), trong đó ba mặt phẳng luôn cắt nhau và không có bốn mặt phẳng nào có điểm chung. Hỏi n mặt phẳng trên chia không gian thành bao nhiêu miền? b. Cho n đường thẳng nằm trong mặt phẳng trong đóhai đường thẳng bất kì luôn cắt nhau và không có ba đường thẳng nào đồng quy. Chứng minh rằng n đường thẳng này chia mặt phẳng thành n2  n  2 miền. 2 Lời giải a. Giả sử n mặt phẳng chia không gian thành an miền Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Ta chứng minh được: an 1  an  n2  n  2 2 (n  1)(n 2  n  6) . 6 b. Gọi an là số miền do n đường thẳng trên tạo thành. Từ đó ta tính được: an  Ta có: a1  2 . Ta xét đường thẳng thứ n  1 (ta gọi là d ), khi đó d cắt n đường thẳng đã cho tại n điểmvà bị n đường thẳng chia thành n  1 phần đồng thời mỗi phần thuộc một miền của an . Mặt khác với mỗi đoạn nằm trong miền của an sẽ chia miền đó thành 2 miền, nên số miền có thêm là n  1 . Do vậy, ta có: an 1  an  n  1 Từ đây ta có: an  n2  n  2 . 2 Câu 19. a. Cho a, b, c, d , m là các số tự nhiên sao cho a  d , (b  1)c , ab  a  c chia hết cho m . Chứng minh rằng xn  a.b n  cn  d chia hết cho m với mọi số tự nhiên n . b. Chứng minh rằng từ n  1 số bất kì trong 2n số tự nhiên đầu tiên luôn tìm được hai số là bội của nhau. Lời giải a.  Với n  0 ta có x0  a  d  m  Giả sử xk  a.b k  ck  d  m với k  0, k   , ta chứng minh xk 1  a.b k 1  c(k  1)  d  m . Thật vậy: xk 1  xk  a.b k 1  a.b k  c  b k  ab  a  c   c.b k  c  b k  ab  a  c   c(b  1)  b k 1  b k  2  …  1 Mà xk , ab  a  c, c(b  1) m  xk 1  m Vậy Câu toán được chứng minh. b.  Với n  1 ta thấy Câu toán hiển nhiên đúng  Giả sử Câu toán đúng với n  1 , có nghĩa là: từ n số bất kì trong 2n  2 số tự nhiên đầu tiên luôn tìm được hai số là bội của nhau. Ta chứng minh Câu toán đúng với n , tức là: từ n  1 số bất kì trong 2n số tự nhiên đầu tiên luôn tìm được hai số là bội của nhau. Ta chứng minh bằng phản chứng: Giả sử tồn tại một tập con X có n  1 phần tử của tập A  1, 2,…, 2n sao cho hai số bất kì trong X không là bội của nhau. Ta sẽ chứng minh rằng có một tập con X ‘ gồm n phần tử của tập 1, 2,…, 2n  2 sao cho hai phần tử bất kì của X ‘ không là bội của nhau Để chứng minh điều này ta xét các trường hợp sau đây TH 1: X không chứa 2n và 2n  1 Ta bỏ đi một phần tử bất kì của tập X ta được một tập X ‘ gồm n phần tử và là tập con của 1, 2,…, 2n  2 mà hai phần tử bất kì thuộc X ‘ không là bội của nhau. TH 2: X chứa 2n mà không chứa 2n  1 Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 Ta bỏ đi phần tử 2n thì ta thu được tập X ‘ gồm n phần tử và là tập con của 1, 2,…, 2n  2 mà hai phần tử bất kì thuộc X ‘ không là bội của nhau. TH 3: X chứa 2n  1 mà không chứa 2n Ta bỏ đi phần tử 2n  1 thì ta thu được tập X ‘ gồm n phần tử và là tập con của 1, 2,…, 2n  2 mà hai phần tử bất kì thuộc X ‘ không là bội của nhau. TH 2: X chứa 2n và 2n  1 Vì X không chứa hai số là bội của nhau nên X không chứa n và ước của n (Vì nếu chứa ước của n thì số đó là ước của 2n ) Bây giờ trong X , ta bỏ đi hai phần tử 2n  1 và 2n rồi bổ sung thêm n vào thì ta thu được tập X ‘ gồm n phần tử và là tập con của 1, 2,…, 2n  2 mà hai phần tử bất kì thuộc X ‘ không là bội của nhau. Như vậy ta luôn thu được một tập con X ‘ gồm n phần tử của tập 1, 2,…, 2n  2 mà các phần tử không là bội của nhau. Điều này trái với giả thiết quay nạp. Vậy Câu toán được chứng minh theo nguyên lí quy nạp. C. Bài tập trắc nghiệm Câu 1. Một học sinh chứng minh mệnh đề ”8n  1 chia hết cho 7, n  * ” * như sau:  Giả sử * đúng với n  k , tức là 8k  1 chia hết cho 7.  Ta có: 8k 1  1  8  8k  1  7 , kết hợp với giả thiết 8k  1 chia hết cho 7 nên suy ra được 8k 1  1 chia hết cho 7. Vậy đẳng thức * đúng với mọi n  * . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Học sinh trên chứng minh đúng. B. Học sinh chứng minh sai vì không có giả thiết qui nạp. C. Học sinh chứng minh sai vì không dùng giả thiết qui nạp. D. Học sinh không kiểm tra bước 1 (bước cơ sở) của phương pháp qui nạp. Lời giải. Thiếu bước 1 là kiểm tra với n  1 , khi đó ta có 81  1  9 không chi hết cho 7. Câu 2. Cho S n  A. S3  1 1 1 1 với n  * . Mệnh đề nào sau đây đúng?    …  1 2 2  3 3  4 n.  n  1 1 . 12 1 B. S 2  . 6 Nhìn vào đuôi của Sn là Cho S n  A. S n  1 D. S3  . 4 1 1 1   cho n  2 , ta được  . n.  n  1 2.  2  1 2  3 Do đó với n  2 , ta có S 2  Câu 3. 2 C. S 2  . 3 Lời giải. 1 1 2   . 1 2 2  3 3 1 1 1 1 với n  * . Mệnh đề nào sau đây đúng?    …  1 2 2  3 3  4 n.  n  1 n 1 . n B. S n  n . n 1 C. S n  n 1 . n2 D. S n  n2 . n3 Lời giải. Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 1 2 3 Cách trắc nghiệm: Ta tính được S1  , S 2  , S3  . Từ đó ta thấy quy luật là từ nhỏ hơn 2 3 4 mẫu đúng 1 đơn vị. Chọn B. 1 2 3 n Cách tự luận. Ta có S1  , S 2  , S3    dự đoán S n  . 2 3 4 n 1 1 1 : đúng.   Với n  1 , ta được S1  1.2 1  1 1 1 1 k  Giả sử mệnh đề đúng khi n  k  k  1 , tức là   …   . 1.2 2.3 k  k  1 k  1  Ta có Câu 4. 1 1 1 k   …   1.2 2.3 k  k  1 k  1  1 1 1 1 k 1   …     1.2 2.3 k  k  1  k  1 k  2  k  1  k  1 k  2   1 1 1 1 k 2  2k  1   …    1.2 2.3 k  k  1  k  1 k  2   k  1 k  2   1 1 1 1 k 1   …    . Suy ra mệnh đề đúng với n  k  1 . 1.2 2.3 k  k  1  k  1 k  2  k  2 Cho S n  A. S n  1 1 1 với n  * . Mệnh đề nào sau đây đúng?   …  1 3 3  5  2n  1   2n  1 n 1 . 2n  1 B. S n  n . 2n  1 C. S n  n . 3n  2 D. S n  n2 . 2n  5 Lời giải. 1   S1  n  1  3  6   S 2  . Kiểm tra các đáp án chỉ cho B thỏa. Cho n  2  15  3   S3  n  3  7  Câu 5. 1  1  1   Cho Pn  1  2   1  2  …  1  2  với n  2 và n  . Mệnh đề nào sau đây đúng?  2  3   n  n 1 n 1 n 1 n 1 A. P  B. P  C. P  D. P  . . . . n2 2n n 2n Lời giải.  1  3   P2   1  2   n  2    2  4 Vì n  2 nên ta cho  . 1 1 2     n  3   P3  1  2  .  1  2     2  3  3 Kiểm tra các đáp án chỉ cho D thỏa. Câu 6. Với mọi n  * , hệ thức nào sau đây là sai? n  n  1 A. 1  2  …  n  2 B. 1  3  5  …   2n  1  n 2 . Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 n  n  1 2n  1 C. 12  2 2  …  n 2  6 2n  n  1 2n  1 2 D. 22  42  62     2n   . 6 Lời giải. Bẳng cách thử với n  1 , n  2 , n  3 là ta kết luận được. Câu 7. Xét hai mệnh đề sau: I) Với mọi n  * , số n3  3n 2  5n chia hết cho 3. II) Với mọi n  * , ta có Mệnh đề nào đúng? A. Chỉ I. 1 1 1 13 .   …   n 1 n  2 2n 24 B. Chỉ II. C. Không có. Lời giải. D. Cả I và II.  Ta chứng minh I) đúng. Với n  1 , ta có u1  13  3.12  5.1  9 3 : đúng. Giả sử mệnh đề đúng khi n  k  k  1 , tức là uk  k 3  3k 2  5k 3 . Ta có uk 1   k 3  3k 2  5k   3k 2  9k  9  uk  3  k 2  3k  3 3. Kết thúc chứng minh.  Mệnh đề II) sai vì với n  1, ta có VT  Câu 8. 1 1 12 13 : Vô lý.    1  1 2 24 24 Với n  * , hãy rút gọn biểu thức S  1.4  2.7  3.10  …  n  3n  1 . 2 A. S  n  n  1 . B. S  n  n  2  . 2 C. S  n  n  1 . D. S  2n  n  1 . Lời giải Chọn A Để chọn được S đúng, chúng ta có thể dựa vào một trong ba cách sau đây: Cách 1: Kiểm tra tính đúng –sai của từng phương án với những giá trị của n . Với n  1 thì S  1.4  4 (loại ngay được phương án B và C); với n  2 thì S  1.4  2.7  18 (loại được phương án D). Cách 2: Bằng cách tính S trong các trường hợp n  1, S  4; n  2, S  18; n  3, S  48 ta dự 2 đoán được công thức S  n  n  1 . Cách 3: Ta tính S dựa vào các tổng đã biết kết quả như 1  2  …  n  12  22  …  n 2  Câu 9. n  n  1 và 2 n  n  1 2n  1 2 . Ta có: S  3 12  22  …  n 2   1  2  …  n   n  n  1 . 6 Kí hiệu k !  k  k  1 …2.1, k  * . Với n  * , đặt S n  1.1! 2.2! …  n.n !. Mệnh đề nào dưới đây là đúng? A. S n  2.n !. B. S n   n  1! 1 . C. S n   n  1! . D. S n   n  1! 1 . Lời giải Chọn B Chúng ta có thể chọn phương án đúng dựa vào một trong hai cách sau đây: Cách 1: Kiểm nghiệm từng phương án đúng đối với những giá trị cụ thể của n . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Với n  1 thì S1  1.1!  1 (Loại ngay được các phương án A, C, D). Cách 2: Rút gọn Sn dựa vào việc phân k .k !   k  1  1 .k !   k  1 .k ! k !   k  1 ! k ! . tích phần tử đại diện Suy ra: S n   2! 1!   3! 2!  …    n  1 ! n !   n  1! 1 . 2 2 Câu 10. Với n  * , đặt Tn  12  22  32  …   2n  và M n  2 2  42  62  …   2n  . Mệnh đề nào dưới đây là đúng? A. Tn 4n  1 .  M n 2n  2 B. Tn 4n  1 .  M n 2n  1 C. Tn 8n  1 .  Mn n 1 D. Tn 2n  1 .  Mn n 1 Lời giải Chọn A Chúng ta có thể chọn phương án đúng dựa vào một trong hai cách sau đây: Cách 1: Kiểm nghiệm từng phương án đúng đối với những giá trị cụ thể của n . T1 5  (loại ngay được các phương án B, C, D). M1 4 Với n  1 thì T1  12  22  5; M 1  22  4 nên Cách 2: Chúng ta tính Tn , M n Tn  dựa vào những tổng đã biết kết quả. Cụ thể dựa vào T 2n  2n  1 4n  1 2n  n  1 2n  1 4n  1 . Suy ra n  . ; Mn  M n 2n  2 6 3 Câu 11. Tìm số nguyên dương p nhỏ nhất để 2n  2n  1 với mọi số nguyên n  p . A. p  5 . C. p  4 . B. p  3 . D. p  2 . Lời giải Chọn B Dễ thấy p  2 thì bất đẳng thức 2 p  2 p  1 là sai nên loại ngay phương án D. Xét với p  3 ta thấy 2 p  2 p  1 là bất đửng thức đúng. Bằng phương pháp quy nạp toán học chúng ta chứng minh được rằng 2n  2n  1 với mọi n  3 . Vậy p  3 là số nguyên dương nhỏ nhất cần tìm. Câu 12. Tìm tất cả các giá trị của n  * sao cho 2n  n 2 . A. n  5 . B. n  1 hoặc n  6 . C. n  7 . D. n  1 hoặc n  5 . Lời giải Chọn D Kiểm tra với n  1 ta thấy bất đẳng thức đúng nên loại ngay phương án A và C. Kiểm tra với n  1 ta thấy bất đẳng thức đúng. Bằng phương pháp quy nạp toán học chúng ta chứng minh được rằng 2n  n 2 , n  5 . Câu 13. Với mọi số nguyên dương n , ta có: 1 1 1 an  b , trong đó a, b, c là   …    3n  1 3n  2  cn  4 2.5 5.8 các số nguyên. Tính các giá trị của biểu thức T  ab 2  bc 2  ca 2 . A. T  3 . B. T  6 . C. T  43 . D. T  42 . Lời giải Chọn B Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 1 1 1 1     Cách 1: Với chú ý , chúng ta có:  3k  1 3k  2  3  3k  1 3k  2  1 1 1 11 1 1 1 1 1    …        …     3n  1 3n  2  3  2 5 5 8 2.5 5.8 3n  1 3n  2  1 3n n  = . .   3 2 3n  2 6n  4 Đối chiếu với đẳng thức đã cho, ta có: a  1, b  0, c  6 . Suy ra T  ab 2  bc 2  ca 2  6 . Cách 2: Cho n  1, n  2, n  3 ta được: a  b 1 2a  b 1 3 x  b 3 .  ;  ;  c  4 10 2c  4 8 3c  4 22 Giải hệ phương trình trên ta được a  1, b  0, c  6 . Suy ra T  ab 2  bc 2  ca 2  6 . 1  an  2  1  1   Câu 14. Với mọi số nguyên dương n  2 , ta có:  1   1   … 1  2   , trong đó a, b là các số  4   9   n  bn  4 nguyên. Tính các giá trị của biểu thức T  a 2  b 2 . A. P  5 . B. P  9 . C. P  20 . D. P  36 . Lời giải Chọn C 1 k 1 k  1 . Suy ra  . k2 k k 1  1 3 2 4 n  1 n  1 n  1 2n  2  1  1   . .    1   1   …  1  2   . . . …  4  9   n  2 2 3 3 n 2n 2n 4n Cách 1: Bằng cách phân tích số hạng đại diện, ta có: 1  Đối chiếu với đẳng thức đã cho ta có: a  2, b  4 . Suy ra P  a 2  b 2  20 . Cách 2: Cho n  2, n  3 ta được a  1 3 3a  2 2  ;  . Giải hệ phương trình trren ta được b 4 3b 3 a  2; b  4 . Suy ra P  a 2  b 2  20 . Câu 15. Biết rằng 13  23  …  n3  an 4  bn3  cn 2  dn  e, n  * . Tính giá trị biểu thức M  abcd e. A. M  4 . B. M  1 . C. M  1 . 4 D. M  1 . 2 Lời giải Chọn B Cách 1: Sử dụng kết quả đã biết: 13  23  …  n3  2 n 2  n  1 n 4  2n3  n 2  . So sánh cách hệ số, 4 4 1 1 1 ta được a  ; b  ; c  ; d  e  0 . 4 2 4 Cách 2: Cho n  1, n  2, n  3, n  4, n  5 , ta được hệ 5 phương trình 5 ẩn a, b, c, d , e . Giải hệ 1 1 1 phương trình đó, ta tìm được a  ; b  ; c  ; d  e  0 . Suy ra M  a  b  c  d  e  1 . 4 2 4 Câu 16. Biết rằng mọi số nguyên dương n , ta có 1.2  2.3  …  n  n  1  a1n3  b1n 2  c1n  d1 và 1.2  2.5  3.8  …  n  3n  1  a2 n3  b2 n 2  c2 n  d 2 . Tính giá trị biểu thức T  a1a2  b1b2  c1c2  d1d 2 . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 17 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 A. T  2 . C. M  B. T  1 . 4 . 3 D. T  2 . 3 Lời giải Chọn C Cách 1: Sử dụng các tổng lũy thừa bậc 1 và bậc 2 ta có: 1 2 +) 1.2  2.3  …  n  n  1  12  2 2  …  n 2   1  2  …  n   n3  n 2  n . 3 3 1 2 Suy ra a1  ; b1  1; c1  ; d1  0 . 3 3 +) 1.2  2.5  3.8  …  n  3n  1  3 12  22  …  n 2   1  2  …  n   n3  n2 . Suy ra a2  b2  1; c2  d 2  0 . Do đó T  a1a2  b1b2  c1c2  d1d 2  4 . 3 Cách 2: Cho n  1, n  2, n  3, n  4 và sử dụng phương pháp hệ số bất đinh ta cũng tìm được 1 2 a1  ; b1  1; c1  ; d1  0 ; a2  b2  1; c2  d 2  0 . 3 3 Do đó T  a1a2  b1b2  c1c2  d1d 2  4 . 3 Câu 17. Biết rằng 1k  2k  …  n k , trong đó n, k là số nguyên dương. Xét các mệnh đề sau: 2 n  n  1 2n  1  3n 2  3n  1 n  n  1 n  n  1 2n  1 n 2  n  1 S1  , S2  , S3  và S 4  . 30 4 2 6 Số các mệnh đề đúng trong các mệnh đề nói trên là: A. 4 . B. 1 . C. 2 . D. 3 . Lời giải Chọn D Bằng các kết quả đã biết ở Câu 1, chúng ta thấy ngay được chỉ có S3  2 n 2  n  1 là sai. 4 Câu 18. Xét Câu toán: “Kiểm nghiệm với số nguyên dương n bất đẳng thức n !  2n 1 ”. Một học sinh đã trình bày lời giải Câu toán này bằng các bước như sau: Bước 1: Với n  1 , ta có: n !  1!  1 và 2n1  211  20  1 . Vậy n !  2n 1 đúng. Bước 2 : Giả sử bất đẳng thức đúng với n  k  1 , tức là ta có k !  2k 1 . Ta cần chứng minh bất đẳng thức đúng với n  k  1 , nghĩa là phải chứng minh  k  1 !  2k . Bước 3 : Ta có  k  1 !   k  1 .k !  2.2k 1  2k . Vậy n !  2n 1 với mọi số nguyên dương n . Chứng minh trên đúng hay sai, nếu sai thì sai từ bước nào ? A. Đúng. B. Sai từ bước 2. C. Sai từ bước 1. D. Sai từ bước 3. Lời giải Chọn A 1 1 1 an 2  bn   …   2 , trong đó a, b, c, d và n là các số 1.2.3 2.3.4 n  n  1 n  2  cn  dn  16 nguyên dương. Tính giá trị của biểu thức T   a  c  b  d  . Câu 19. Biết rằng là : Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 A. T  75 . B. T  364 . C. T  300 . D. T  256 . Lời giải Chọn C Phân tích phần tử đại diện, ta có: 1 1 1 1  .    k  k  1 k  2  2  k  k  1  k  1 k  2   1 1 1   …   1.2.3 2.3.4 n n  1 n  2  Suy ra:  1 1 1 1 1 1 1    .  …         2 1.2 2.3 2.3 3.4 n n 1 n  1 n  2   1 1 1 n 2  3n 2n 2  6n  = .   2  2  n  1 n  2   4n 2  12n  8 8n 2  24n  16 Đối chiếu với hệ số, ta được: a  2; b  6; c  8; d  24 . Suy ra: T   a  c  b  d   300 . Câu 20. Tam giác ABC là tam giác đều có độ dài cạnh là 1. Gọi A1 , B1 , C1 lần lượtlà trung điểm BC , CA, AB . Gọi A2 , B2 , C2 lần lượtlà trung điểm B1C1 , C1 A1 , A1 B1 …Gọi An , Bn , Cn lần lượtlà trung điểm Bn 1Cn 1 , Cn 1 An 1 , An 1 Bn 1 . Tính diện tích tam giác An Bn Cn ? A. 1 . 4n B. 1 . 3n 1 . 2n Lời giải C. n 3 D.   . 4 Chọn A S A1B1C1  1 1 1 1 S ABC , S A2 B2C2  S A1B1C1  2 S ABC ,…, S An BnCn  n S ABC 4 4 4 4 Câu 21. Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh là 1. Gọi A1 , B1 , C1 , D1 lần lượtlà trung điểm AC , BC , CD, DA . Gọi A2 , B2 , C2 , D2 lần lượtlà trung điểm A1 B1 , B1C1 , C1 D1 , D1 A1 …Gọi An , Bn , Cn , Dn lần lượtlà trung điểm An 1 Bn 1 , Bn 1Cn 1 , Cn 1 Dn 1 , Dn 1 An 1 . Tính diện tích tứ giác An Bn Cn Dn ? A. 1 . 4n B. 1 . 3n 1 . 2n Lời giải C. n 3 D.   . 4 Chọn C S A1B1C1D1  1 1 1 1 S ABCD , S A2 B2C2 D2  S A1B1C1  2 S ABC ,…, S An BnCn  n S ABC 2 2 2 2 Câu 22. Trên một mặt phẳng cho n đường tròn phân biệt, đôi một cắt nhau và không có ba đường tròn nào giao nhau tại một điểm. Các đường tròn này chia mặt phẳng thành 92 các miền rời nhau. Tìm n . A. 10 . B. 12 . C. 9 . Lời giải D. 11 . Chọn A Chứng minh bằng phương pháp quy nạp ta được số miền tạo thành là n 2  n  2 n 2  n  2  92  n  10 Câu 23. S n  (n  1)(n  2)(n  3)…( n  n) luôn chia hết cho A. 2n . B. 3n . C. 4n . D. 2 n1 . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 19 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Lời giải Chọn A Chứng minh bằng phương pháp quy nạp S n  (n  1)(n  2)(n  3)…( n  n) luôn chia hết cho 2n Giả sử S k  (k  1)(k  2)(k  3)…(k  k )  2k k 1 Ta chứng minh S k 1  ( k  1  1)(k  1  2)( k  3)…(k  1  k  1) 2 S k 1  2 S k  2k  1  S k 1  2 k 1  S k  2k  . n Câu 24. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của n, n  100 để un 2  3   2  3   2 n  1 là số chính phương? A. 50 . B. 30 . C. 49 . Lời giải D. 49 . Chọn A n Chứng minh un 2  3   2  3  2 2  3  Hay chứng minh un 2 n 1  n  1 là số chính phương khi n lẻ  2 3 2  2 n 1  1, n   * là số chính phương u1  1 là số chính phương uk 2  3  CM: uk 1 2 k 1   2 3 2 2  3   2 k 1  2 k 1  1, n   * là số chính phương   2 3 2  2 k 1  1, n   * Là số chính phương Từ đó ta có u1 , u3 , u 5 ,…, u99 là số chính phương nên có 50 giá trị của n . Câu 25. Trên một mặt phẳng cho n đường thẳng phân biệt cùng đi qua 1 điểm phân biệt, này chia mặt phẳng thành 100 phần rời nhau. Tìm n . A. 50 . B. 40 . C. 20 . Lời giải D. 25 . Chọn A Trên một mặt phẳng cho n đường thẳng phân biệt cùng đi qua 1 điểm phân biệt, này chia mặt phẳng thành 2n phần rời nhau. Câu 26. Bài toán chứng minh A  4 n  15n  1 chia hết cho 9 bằng phương pháp nào dưới đây là thích hợp nhất? A. Đồng dư thức. B. Quy nạp. C. Tách hạng tử. D. Sử dụng dấu hiệu chia hết cho 9. Lời giải Chọn B Do A vừa chứa lũy thừa vừa chứa đơn thức nên sử dụng phương pháp quy nạp là thích hợp. Câu 27. Chứng minh. B  7.22 n  2  32 n 1 .  5 (1) với n là số nguyên dương. Một học sinh đã giải như sau: Bước 1: Xét với n  1 ta có B  10  5 Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 Bước 2: Giả sử (1) đúng với n  k (k  , k  1) , khi đó: Bk  7.22 k  2  32 k 1  5 . Bước 3: Chứng minh (1) đúng với n  k  1 , hay ta cần chứng minh Bk 1  7.2 2( k 1)  2  32( k 1) 1  5 Thật vậy Bk 1  7.2 2( k 1)  2  32( k 1) 1  5  7.22 k  2  2  32 k 1 2  7.22 k  2.4  32 k 1.9  4(7.2 2 k  2.4  32 k 1 )  5.32 k 1  5  4 Bk  5.32 k 1  5 ( Bk  5 ) Vậy Bk 1  5 Bước 4: Vậy B  7.22 n  2  32 n 1  5 với n là số nguyên dương. Lập luận trên đúng đến bước nào? A. Bước 1. B. Bước 2. C. Bước 3. Lời giải D. Bước 4. Chọn B Ở bước 3: Bk 1  7.22( k 1)  2  32( k 1) 1  7.22 k  2  2  32 k 1 2  7.22 k  2.4  32 k 1.9  4(7.22 k  2  32 k 1 )  5.32 k 1  5  4 Bk  5.32 k 1  5 ( Bk  5 ) Câu 28. Cho C  7 n  3n  1 ,Trong quy trình chứng minh C 9 theo phương pháp quy nạp, giá trị của a trong biểu thức Ck 1  7.Ck  a (2k  1) là: A. 9. B. 0. C. 9. Lời giải D. 18. Chọn C Ck 1  7 k 1  3(k  1)  1  7.7 k  3k  2  7(7 n  3n  1)  9(2k  1)  7.Ck  9(2k  1) Vậy a  9 . Câu 29. Với mọi số nguyên dương n thì S n  n3  11n chia hết cho số nào sau đây? A. 6 . B. 4 . C. 9 . Lời giải D. 12 . Chọn A Ta chứng minh bằng qui nạp: Với mọi số nguyên dương n thì S n  n3  11n chia hết cho số 6 1 . – Với n  1  S1  12  6 ( luôn đúng ). – Giả sử 1 đúng với n  k ta có: S k  k 3  11k  6 . 3 Ta chứng minh: S k 1   k  1  11 k  1  6 . 3 Thật vậy ta có: S k 1  S k   k  1  11 k  1  k 3  11k  3k 2  3k  12  3k  k  1  12 . Vì k ,  k  1 là hai số tự nhiên liên tiếp nên k .  k  1  2  3k .  k  1  6  S k 1  Sk  6 mà S k  6  S k 1  6 . Do đó 1 đúng với n  k  1 . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 21 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Vậy theo nguyên lí qui nạp thì 1 đúng với mọi số nguyên dương n . Đáp án B,C,D sai vì với n  2  S2  30 không chia hết cho 4,9,12 . Câu 30. Với mọi số nguyên dương n thì S n  n3  3n 2  5n  3 chia hết cho số nào sau đây? A. 3 . B. 4 . C. 5 . Lời giải D. 7 . Chọn A Ta chứng minh bằng qui nạp: Với mọi số nguyên dương n thì S n  n3  3n 2  5n  3 chia hết cho số 3 1 . – Với n  1  S1  12  6 ( luôn đúng ). – Giả sử 1 đúng với n  k ta có: S k  k 3  3k 2  5k  3  6 . 3 2 Ta chứng minh: S k 1   k  1  3  k  1  5  k  1  3  3 . 3 2 Thật vậy ta có: S k 1  S k   k  1  3  k  1  5  k  1  3   k 3  3k 2  5k  3  3k 2  9k  9  3  S k 1  Sk  3 mà Sk  3  S k 1  3 . Do đó 1 đúng với n  k  1 . Vậy theo nguyên lí qui nạp thì 1 đúng với mọi số nguyên dương n . Đáp án B,C,D sai vì với n  2  S 2  33 không chia hết cho 4,5, 7 . Câu 31. Với mọi số nguyên dương n , a là số nguyên dương cho trước, D  a 2 n  1 chia hết cho: A. a . B. a 2  1 . C. a 2 . D.  a 2  1 . Lời giải Chọn B Sử dụng phương pháp quy nạp Giả sử D m Với n  k hay Dk  a 2 k  1  m (k  , k  1) Với n  k  1 : Dk 1  a 2( k 1)  1  a 2 .a 2 k  a 2  a 2  1  a 2 (a 2 k  1)  a 2  1  a 2 .Dk  a 2  1 hay Dk 1  a 2 .Dk  a 2  1 Do Dk 1  m, Dk  m nên a 2  1 m Suy ra hoặc m  a  1 hoặc m  a 2  1 Câu 32. Cho E  4 k  a.k  1 , với a là số tự nhiên. Giá t m  a  1 rị nhỏ nhất của a để E 9 là: A. 0 . B. 3 . C. 6 . D. 9 . Lời giải Chọn C Sử dụng phương pháp quy nạp Để E 9 thì Ek  4k  a.k  1 9 , Ek 1  4 k 1  a.(k  1)  1  9 (k  , k  1) Ek 1  4k 1  a.( k  1)  1  4.4k  a.k  a  1  4(4k  a.k  1)  3a.k  3  a  4.Ek  3a.k  3  a  3a  9 Do Ek 1  9 , Ek  9 nên (3a.k  3  a) 9    a  9t  3 với (t  , k  0) (a  3) 9 Vậy giá trị nhỏ nhất của a là 6 ( t  1 ). Câu 33. Với mọi số nguyên dương n thì S n  4 n  15n  1 chia hết cho số nào sau đây? A. 4 . B. 6 . C. 9 . D. 7 . Trang 22 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 Lời giải Chọn C Ta chứng minh bằng qui nạp: Với mọi số nguyên dương n thì S n  4 n  15n  1 chia hết cho số 9 1 . – Với n  1  S1  18  9 ( luôn đúng ). – Giả sử 1 đúng với n  k ta có: S k  4k  15k  1  9 . Ta chứng minh: S k 1  4k 1  15  k  1  1  9 . Thật vậy ta có: S k 1  S k  4k 1  15  k  1  1   4 k  15k  1  3.4k  15  3  4k  15k  1  45k  18 mà S k  4k  15k  1  9  S k 1  Sk  9  S k 1  9 . Do đó 1 đúng với n  k  1 . Vậy theo nguyên lí qui nạp thì 1 đúng với mọi số nguyên dương n . Đáp án A,B,D sai vì vì với n  2  S2  45 không chia hết cho 4, 6, 7 . Câu 34. Với mọi n  N * , tổng S n  12  22  32  …  n 2 thu gọn có dạng là biểu thức nào sau đây? A. C. n  n  1 n  2  6 . n  n  1 2n  1 6 B. . D. n  n  2  2n  1 6 . n 2  n  1 . 2 Lời giải Chọn D. Ta chứng minh bằng qui nạp: Với mọi số nguyên dương n thì S n  n  n  1 2n  1 1 . 6 – Với n  1  S1  1 ( luôn đúng ). – Giả sử 1 đúng với n  k ta có: S k  Ta chứng minh: S k 1  k  k  1 2k  1 6  k  1 k  2   2  k  1  1 6 . .  k  1  2k 2  k  6k  6  k  k  1 2k  1 2 Thật vậy ta có: S k 1  S k   k  1    k  1  6 6 2   k  1 k  2  2k  3   k  1 k  2   2  k  1  1 . 6 Do đó 1 đúng với n  k  1 . 6 Vậy theo nguyên lí qui nạp thì 1 đúng với mọi số nguyên dương n . Câu 35. Với mọi số nguyên dương n thì S n  4 2 n  32 n  7 chia hết cho số nào sau đây? A. 23.3 . B. 22.3.7 . C. 2.32.7 . Lời giải D. 2.3.7 2 . Chọn B Ta chứng minh bằng qui nạp: Với mọi số nguyên dương n thì S n  4 2 n  32 n  7 chia hết cho số 22.3.7 1 . – Với n  1  S1  0  22.3.7 ( luôn đúng ). Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 23 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 – Giả sử 1 đúng với n  k ta có: S k  42 k  32 k  7  22.3.7 . Ta chứng minh: S k 1  42 k  2  32 k  2  7  22.3.7 . Thật vậy ta có: S k 1  S k  42 k  2  32 k  2  7   4 2 k  32 k  7   15.42 k  8.32 k  15  4 2 k  32 k  7   7.32 k  15.7 mà S k  42 k  32 k  7  22.3.7  S k 1  S k  3, 7  2  Và: Sk 1  Sk  15.42 k  8.32 k  4  3 Từ  2  ;  3 mà các số 3, 4, 7 đôi một nguyên tố cùng nhau do đó:  S k 1  Sk  4.3.7  S k 1  4.3.7 .Do đó 1 đúng với n  k  1 . Vậy theo nguyên lí qui nạp thì 1 đúng với mọi số nguyên dương n . Câu 36. Với mọi n  * biểu thức S  n   1  2  3  …  n bằng A. n  n  1 . 2 B. n  n  1 . Chọn A Với n  1 ta có S 1  1 nên loại đáp án B và n  n  1 . 2 Lời giải C. D. n  n  1 n  2  . 6 C. Với n  2 ta có S  2   3 nên loại đáp án D. Câu 37. Biết rằng với mọi số nguyên dương n ta có 1  2  3  …..  n  an 2  bn . Tính A. 2 . Chọn B. 1 . C. 3 . Lời giải D. 6 . A. Áp dụng công thức tổng đặc biệt: 1  2  3  …..  n  Vậy a . b n  n  1 2 . Suy ra a  b  1 . 2 a 1. b Câu 38. Tổng các góc trong một đa giác lồi n cạnh  n  3 là: B.  n  11800 . A. n.1800 . C.  n  2 1800 . D.  n  31800 . Lời giải Chọn C. 0 Áp dụng trong trường hợp tam giác: n  3 ta có tổng ba góc là 180 . 0 Áp dụng trong trường hợp tứ giác: n  4 ta có tổng 4 góc là 360 . Tổng quát ta chọn phương án C. Câu 39. Mệnh đề nào là mệnh đề đúng? A. 2n  n 2 , n  * . B. 2n  n 2 , n  * 1; 2;3; 4 . C. 2n  n 2 , n  * D. 2n  n 2 , n   . Lời giải Chọn B Với n  0 ta thấy đáp án D sai. Với n  2 ta thấy đáp án B và C sai. Với n  5 ta có 25  32  52  25 . Do đó bất đẳng thức đúng cho trường hợp n  5 . Trang 24 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 Giả sử rằng bất đẳng thức đúng cho các trường hợp 5  n  k . Chúng ta sẽ chứng minh bất đẳng thức đúng cho trường hợp n  k  1. Thực vậy, theo giả thiết quy nạp thì bất đẳng thức đúng cho trường hợp n  k , nên chúng ta có 2k  k 2 . Do đó 2k 1  2  2k  2k 2  (k  1) 2  (k  1) 2  2. Vì k  5 nên  k  1 2  2  0 , do đó 2k 1  (k  1) 2 . Vậy bất đẳng thức đúng cho trường hợp n  k  1 . Theo nguyên lý quy nạp thì bất đẳng thức 2n  n 2 đúng với mọi số tự nhiên n  5 . Câu 40. Với mọi n  N * , tổng S n  1.2  2.3  3.4  …  n.  n  1 thu gọn có dạng là biểu thức nào sau đây? n  n  1 n  2  n  3 A. . 6 n  n  1 n  2  C. 2 n  n  1 n  2  B. 3 . n 2  3n  1 D. . 4 Lời giải Chọn B. Ta chứng minh bằng qui nạp: Với mọi số nguyên dương n thì S n  n  n  1 n  2  1 . 3 – Với n  1  S1  2 ( luôn đúng ). – Giả sử 1 đúng với n  k ta có: S k  Ta chứng minh: S k 1  k  k  1 k  2  3 .  k  1 k  2  k  3 . 3 k  k  1 k  2   k  1 k  2  k  3   k  1 k  2   3 3 Thật vậy ta có: S k 1  S k   k  1 k  2   Do đó 1 đúng với n  k  1 . Vậy theo nguyên lí qui nạp thì 1 đúng với mọi số nguyên dương n . 2 Câu 41. Với mọi n  N * , tổng S n  12  32  52  …   2n  1 thu gọn có dạng là biểu thức nào sau đây? A. n  n 2  1 3 . B. n  2n 2  1 3 . C. n  4n 2  1 3 D. Đáp số khác. Lời giải Chọn C. Ta chứng minh bằng qui nạp: Với mọi số nguyên dương n thì S n  n  4n 2  1 3 1 . – Với n  1  S1  1 ( luôn đúng ). – Giả sử 1 đúng với n  k ta có: S k  Ta chứng minh: S k 1  k  4k 2  1  k  1  4  k  1 3 3 2 . . 1 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 25 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 2 Thật vậy ta có: Sk 1  Sk   2  k  1  1  k  4k 2  1 3 2   2k  1  4k 3  k  12k 2  12k  3 3 3 4  k  1   k  1 . 3 Do đó 1 đúng với n  k  1 .  Vậy theo nguyên lí qui nạp thì 1 đúng với mọi số nguyên dương n . Câu 42. Giả sử với mọi n nguyên dương ta có: 1.4  2.7  …..  n  3n  1  An3  Bn 2  Cn . Tính A B C ? A. 1 . B. 2 . D. 4 . C. 3. Lời giải Chọn D. Xét A  n   1.4  2.7  …..  n  3n  1 . 2 Ta có A 1  4  1.22 ; A  2   18  2.32 ; A  3  48  3.42 . Dự đoán A(n)  n  n  1 . Ta chứng minh bằng quy nạp. Có A 1  4 đúng. 2 Giả sử đúng với n  k , tức là A  k   k  k  1 . 2 2 Ta có A(k  1)  A(k )   k  1  3  k  1  1  k  k  1   k  1  3  k  1  1   k  1 k  2  . Vậy đẳng thức đúng với n  k  1 . Ta có đpcm. 2 Ta có A(n)  n  n  1  n3  2n 2  n . Vậy A  B  C  4 . Câu 43. Mệnh đề nào là mệnh đề đúng? A. Với mọi số tự nhiên n , tồn tại một đa thức P  n  sao cho cos n  Pn  cos   . B. 1  2  ….  n  n  n  1 2 , n  * . C. 2n  n 2 , n  * n D.  n  1  n n 1 , n  * . Lời giải Chọn A Với n  1 đáp án B sai. Với n  2 đáp án C sai. n  3 đáp án D sai Ta chứng minh đáp án A đúng Với n  0 , chúng ta có cos 0  1 do đó chúng ta có thể chọn đa thức P0  x   1 và mệnh đề đúng với trường hợp n  0 . Mệnh đề hiển nhiên đúng với trường hợp n  1 với đa thức P1  x   x . Giả sử mệnh đề đúng với các trường hợp 0  n  k trong đó k  1 . Chúng ta sẽ chứng minh mệnh đề cũng đúng với trường hợp n  k  1 . Chúng ta có cos(k  1)  cos(k  1)  2 cos k cos  Do đó cos(k  1)  2 cos k cos   cos( k  1) Trang 26 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 Vì 0  k  1  k , theo giả thiết quy nạp thì mệnh đề đúng cho trường hợp n  k  1 , cho nên sẽ tồn tại một đa thức Pk 1  x  để cos(k  1)  Pk 1 (cos  ) Cũng theo giả thiết quy nạp thì mệnh đề đúng cho trường hợp n  k , do đó sẽ tồn tại một đa thức Pk  x  để cos k  Pk (cos  ) . Suy ra cos(k  1)  2 Pk (cos  ) cos   Pk 1 (cos  ) Do đó nếu chúng ta chọn đa thức Pk 1  x   2 Pk  x  x  Pk 1  x  thì cos  k  1   Pk 1  cos   . Như vậy thì mệnh đề đúng cho trường hợp n  k  1 . Theo nguyên lý quy nạp thì mệnh đề đúng với mọi n. Câu 44. Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho 2n 1  n 2  3n. A. n  3 . B. n  5 . C. n  6 . D. n  4 . Lời giải Đáp án D. Kiểm tra tính đúng – sai của bất đẳng thức với các trường hợp n  1, 2, 3, 4, ta dự đoán được 2n 1  n 2  3n, với n  4. Ta chứng minh bất đẳng thức này bằng phương pháp quy nạp toán học. Thật vây: -Bước 1: Với n  4 thì vế trái bằng 24 1  25  32, còn vế phải bằng 42  3.4  28. Do 32  28 nên bất đẳng thức đúng với n  4. -Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng với n  k  4, nghĩa là 2k 1  k 2  3k . Ta phải chứng minh bất đẳng thức cũng đúng với n  k  1, tức là phải chứng minh 2 k 1 1 2   k  1  3  k  1 hay 2k  2  k 2  5k  4. Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có 2k 1  k 2  3k . Suy ra 2.2k 1  2  k 2  3k  hay 2k  2  2k 2  6k Mặt khác 2k 2  6k   k 2  5k  4   k 2  k  4  42  4  4  16 với mọi k  4. Do đó 2k  2  2  k 2  3k   k 2  5k  4 hay bất đẳng thức đúng với n  k  1. Suy ra bất đẳng thức được chứng minh. Vậy phương án đúng là D. Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 27 TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học: 2020-2021 Chương 3 Bài 2 SỐ HẠNG CỦA DÃY SỐ Lý thuyết 1. Định nghĩa dãy số Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương * được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số). Kí hiệu: u : *   n  u n. Người ta thường viết dãy số dưới dạng khai triển u1 , u2 , u3 , …, un , …, trong đó un  u n  hoặc viết tắt là un , và gọi u1 là số hạng đầu, un là số hạng thứ n và là số hạng tổng quát của dãy số. 2. Định nghĩa dãy số hữu hạn Mỗi hàm số u xác định trên tập M  1,2,3,…, m với m   * được gọi là một dãy số hữu hạn. Dạng khai triển của nó là u1 , u2 , u3 , …, un , trong đó u1 là số hạng đầu, um là số hạng cuối. II. CÁCH CHO MỘT DÃY SỐ 1. Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát 2. Dãy số cho bằng phương pháp mô tả 3. Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi Cách cho một dãy số bằng phương pháp truy hồi, tức là: a) Cho số hạng đầu (hay vài số hạng đầu). b) Cho hệ thức truy hồi, tức là hệ thức biểu thị số hạng thứ trước nó. n qua số hạng (hay vài số hạng) đứng DẠNG 1: TÌM SỐ HẠNG CỦA DÃY SỐ A. Phương pháp giải Bài toán 1: Cho dãy số (un ) : un  f (n) (trong đó f (n) là một biểu thức của n ). Hãy tìm số hạng uk . Phương pháp: Thay trực tiếp n  k vào un . u1  a Bài toán 2: Cho dãy số (un ) cho bởi  (với f (un ) là một biểu thức của un ). Hãy tìm un1  f (un ) số hạng uk . Phương pháp: Tính lần lượt u2 ; u3 ;…; uk bằng cách thế u1 vào u2 , thế u2 vào u3 , …, thế uk 1 vào uk 1 . u1  a, u2  b Bài toán 3: Cho dãy số (un ) cho bởi  . Hãy tìm số hạng uk . un 2  c.un 1  d .un  e Phương pháp: Tính lần lượt u3 ; u4 ;…; uk bằng cách thế u1 , u2 vào u3 ; thế u2 , u3 vào u4 ; …; thế uk 2 , uk 1 vào uk . Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 u1  a Bài toán 4: Cho dãy số (un ) cho bởi  . Trong đó f un 1  f n, un  thức un 1 tính theo un và n . Hãy tìm số hạng uk . n, u  n là kí hiệu của biểu Phương pháp: Tính lần lượt u2 ; u3 ;…; uk bằng cách thế 1,u1 vào u2 ; thế 2,u2  vào u3 ; …; thế k  1, uk 1 vào uk . B. Bài tập tự luận Câu 1. Cho dãy số (un ) biết un  n n 1  1  5   1  5        . Tìm số hạng u6 . 5  2   2     ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 2n  1 167 Câu 2. Cho dãy số (un ) có số hạng tổng quát un  . Số là số hạng thứ mấy? n2 84 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………  u1  1  Câu 3. Cho dãy số (un ) biết  u n  2 . Tìm số hạng u10 .  u n 1  u  1 n  ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… u1  1 Câu 4. Cho dãy số (un ) được xác định như sau:  . Tìm số hạng u50 . un1  un  2 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… u1  1; u2  2 Câu 5. Cho dãy số (un ) được xác định như sau:  . Tìm số hạng u8 . un 2  2un1  3un  5 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… u1  0  Câu 6. Cho dãy số (un ) được xác định như sau:  . Tìm số hạng u11 . n un 1  n  1  un  1 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 Câu 7. 1  u1  Cho dãy số (un ) được xác định bởi:  . Tìm số hạng u50 . 2 un 1  un  2n ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. C. Bài tập trắc nghiệm Câu 1. Câu 2. DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH – KHÁ 2 n 2 1 Cho dãy số un , biết un  2 . Tìm số hạng u5 . n 3 1 17 7 71 A. u5  . B. u5  . C. u5  . D. u5  . 4 12 4 39 Cho dãy số  un  , biết un   1 .2 n. Mệnh đề nào sau đây sai? n A. u1  2. Câu 3. Cho dãy số un , biết un  1 . n 8 A. u3  . 3 Câu 4. Cho dãy số A. 0. Câu 6. C. u3  6. D. u4  8. 2n . Tìm số hạng u3 . n B. u3  2. C. u3  2. 8 D. u3   . 3 n . Chọn đáp án đúng. 2n 1 1 1 B. u5  . C. u5  D. u3  . . 16 32 8 n un , biết un  n( 1)n sin( ) . Số hạng thứ 9 của dãy số đó là: 2 B. 9. C. 1. D. 9. 1 . Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó lần lượt là những số nào dưới un , biết un  n1 Cho dãy số un , biết un  1 A. u4  . 4 Câu 5. B. u2  4. Cho dãy số đây? 1 1 1 A. ; ; . 2 3 4 Câu 7. Câu 8. Câu 9. 1 1 1 1 1 1 1 B. 1; ; . C. ; ; . D. 1; ; . 2 3 2 4 6 3 5 2n  1 Cho dãy số un , biết un  . Viết năm số hạng đầu của dãy số. n2 3 7 3 11 5 7 3 11 A. u1  1, u2  , u3  , u4  , u5  . B. u1  1, u2  , u3  , u4  , u5  . 4 5 2 7 4 5 2 7 5 8 3 11 5 7 7 11 C. u1  1, u2  , u3  , u4  , u5  D. u1  1, u2  , u3  , u4  , u5  . 4 5 2 7 4 5 2 3 n Cho dãy số un , biết un  n . Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó là 3 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 2 3 A. ; ; . B. ; ; . C. ; ; . D. ; ; . 2 4 8 2 4 26 2 4 16 2 3 4 8 n 1 Cho dãy số un , biết un  . Số là số hạng thứ mấy của dãy số? 15 2n  1 A. 8. B. 6. C. 5. D. 7. Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 2n  5 7 . Số là số hạng thứ mấy của dãy số? 5n  4 12 A. 6. B. 8. C. 9. D. 10. 2 n 1 Câu 11. Cho dãy số un , biết un  2 là số hạng thứ mấy của dãy số? . Số 13 n 1 A. Thứ 3. B. Thứ tư. C. Thứ năm. D. Thứ 6. 3 2 Câu 12. Cho dãy số un , biết un  n  8n  5n  7. Số  33 là số hạng thứ mấy của dãy số? Câu 10. Cho dãy số un , biết un  A. 5. B. 6. C. 8. D. 9. C. u2 n1  32 n  1.  D. u2 n1  3 Câu 13. Cho dãy số un  với u n  3 . Tìm số hạng u2 n 1. n A. u2 n1  32.3n  1. B. u2 n1  3n.3n1. 2 n1 . Câu 14. Cho dãy số un  với u n  3n. Số hạng un 1 bằng: A. 3n  1 . B. 3n  3 . C. 3n.3 . D. 3(n  1) . 1 1 1 1 . Số hạng thứ 4 của dãy (un) là:    …  n1 n2 n 3 2n 1 1 1 1 533 A. . B. .    n1 n2 n3 n4 840 1 C. . D. Một kết quả khác. 8 n1 Câu 16. Cho dãy số  un  với un  . Tính u5 . n 6 5 A. 5. B. . C. . D. 1. 5 6 Câu 15. Cho dãy ( un) với un  Câu 17. Cho dãy số  un  với un  A. un1  Câu 18. Câu 19. Câu 20. Câu 21. Câu 22. a.  n  1 an2 ( a hằng số). Tìm số hạng thứ un 1 . n1 2 . B. un1  a.  n  1 2 . C. un 1  a.n2  1 . n1 D. un1  an2 . n2 n1 n 2 Xét dãy các số tự nhiên lẻ. Số 2017 là số hạng thứ mấy? A. 2017 . B. 1008 . C. 1009 . D. 2015 . 9 2n Số là số hạng thứ bao nhiêu của dãy số un  2 ? 41 n 1 A. 7. B. 8. C. 9. D. 10. 2n  1 3 Cho dãy số  un  biết un  . Số là số hạng thứ mấy của dãy số trên. n1 2 A. 3. B. 4. C. 5. D. 6. n . Năm số hạng đầu tiên của dãy số đó lần lượt là những số nào Cho dãy số  un  , biết un  n 1 dưới đây? 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 A.  ;  ;  ;  ;  . B.  ;  ;  ;  ;  . 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 C. ; ; ; ; . D. ; ; ; ; . 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 n Cho dãy số  un  , biết un  n . Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó lần lượt là những số nào 3 1 dưới đây? Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 1 1 1 1 1 3 1 1 1 A. ; ; . B. ; ; . C. ; ; . 2 4 8 2 4 26 2 4 16 n Câu 23. Cho dãy số  un  , biết un  2 . Tìm số hạng un 1. A. un1  2n.2. B. un 1  2n  1. C. un 1  2  n  1 . D. 1 2 3 ; ; . 2 3 4 D. un1  2n  2. Câu 24. Cho dãy số  un  , với un  5n1. Tìm số hạng un 1. A. un1  5n 1. B. un1  5n.  n 1  Câu 25. Cho dãy số  un  , với un     n 1  n 1  A. un1     n 1 2 n 1  3  n  C. un1    n2 C. un1  5.5n 1. D. un1  5.5n 1. 2 n 3 . Tìm số hạng un 1.  n 1  . B. un1     n 1 2 n 3 2 n 1  3 . 2 n 5  n  . D. un1    . n2 n Câu 26. Cho dãy số  un  , biết un  n . Ba số hạng đầu tiên của dãy số là 2 1 1 2 3 1 1 1 1 2 3 A. ; ; . B. 1; ; C. 1; ; D. 1; ; . 2 3 4 2 16 4 8 3 7 n Câu 27. Cho dãy số  un  có số hạng tổng quát un  1  2 (với n* ). Số hạng đầu tiên của dãy là: n 1 3 1 A. 2 . B. . C. 0 . D. . 5 2 2 Câu 28. Cho dãy số  un  có un  n  n  1 . Số 19 là số hạng thứ mấy của dãy? A. 5 . B. 7 . C. 6 . D. 4 . Câu 29. Cho dãy số un  xác định bởi u n   1 cos n  . Giá trị u99 bằng n A. 99 . B.  1 . C. 1. Câu 30. Cho dãy số  un  với un  2n  1 số hạng thứ 2019 của dãy là D. 99 . A. 4039 . B. 4390 . C. 4930 . n Câu 31. Cho dãy số  un  với un  1  2 . Khi đó số hạng u2018 bằng D. 4093 . A. 22018 . B. 2017  2 2017 . C. 1  22018 . D. 2018  2 2018 . n2 Câu 32. Cho dãy số  un  với un  , n  1. Tìm khẳng định sai. 3n  1 1 8 19 47 A. u3  . B. u10  . C. u21  . D. u50  . 10 31 64 150 n 2  2n  1 Câu 33. Cho dãy số un  . Tính u11 . n 1 182 1142 1422 71 A. u11  . B. u11  . C. u11  . D. u11  . 12 12 12 6 2n  1 39 Câu 34. Cho dãy số  un  có số hạng tổng quát là un  2 . Khi đó là số hạng thứ mấy của dãy số? n 1 362 A. 20 . B. 19 . C. 22 . D. 21 . Câu 35. Cho dãy số  un  DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ – GIỎI n 2  3n  7 với un  . n1 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Hỏi dãy số trên có bao nhiêu số hạng nhận giá trị nguyên. A. 2. B. 4. C. 1. D. Không có. u1  2  Câu 36. Cho dãy số un  xác định bởi  . Tìm số hạng u4 . un 1  1 un  1 3  5 2 14 A. u4  . B. u4  1. C. u4  . D. u4  . 9 3 27 u1  3 Câu 37. Cho dãy số un  xác định bởi  . Mệnh đề nào sau đây sai? un 1  un  2 2  5 15 31 63 A. u2  . B. u3  . C. u4  . D. u5  . 2 4 8 16 u  7 Câu 38. Cho dãy số un  xác định bởi  1 khi đó u5 bằng: un1  2un  3 A. 317. B. 157. C. 77. D. 112. u  1 Câu 39. Cho dãy số un  xác định bởi  1 . Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó là un1  un  3 A. 1; 2; 5. B. 1; 4; 7. C. 4; 7;10 D. 1; 3; 7. u1  3 Câu 40. Cho dãy số un  xác định bởi  . Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó là un1  un  5 A. 3; 6; 9. B. 3;  2;  7. C. 3; 8;13 . D. 3; 5;7. u1  2 (n  2) . Số hạng thứ tư của dãy số đó bằng Câu 41. Cho dãy số un  xác định bởi  2 u  2 u  n n n  1  A. 0. B. 93. C. 9. D. 34. Câu 42. u1  0  Cho dãy số  un  :  . Tính tổng số hạng thứ ba và thứ tư của dãy số đã cho 2 un  u2  1 khi n  2 n 1  A. 308 . 145 Câu 43. Cho dãy số  un  A. un1 B. C.  n1  biết un     n 2   n1     n 2  Câu 44. Cho dãy số  un  12 . 5 2 n 3 64 . 35 D. 2. 2 n1 . Tìm số hạng un1 .  n    n3 2 n 3 2 n1 2 n 2  n   n  . B. un1 . C. un1   . D. un1   .   n3  n 3  n   n  xác định bởi un  2017 sin    2018 cos   . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 2    3  A. un  9  un , n   * . B. u n 15  un , n   * . C. un 12  un , n  * . D. u n  6  un , n   * . Câu 45. Cho dãy số  un  có u1  u2  1 và un  2  un 1  un , n   * . Tính u4 . A. 5 . B. 3 . C. 2 . D. 4 . u1  5 . Số 20 là số hạng thứ mấy trong dãy? un 1  un  n Câu 46. Cho dãy số  un  :  Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 A. 5 . B. 6 . C. 9 . u1  4 Câu 47. Cho dãy số  . Tìm số hạng thứ 5 của dãy số. un1  un  n A. 16 . B. 12 . C. 15 . D. 10 . D. 14 . DẠNG 2. XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC CỦA DÃY SỐ (UN) A. Phương pháp giải Ta có thể lựa chọn một trong các cách sau: Cách 1. Sử dụng biến đổi đại số để thu gọn và đơn giản biểu thức của un Cách 2. Sử dụng phương pháp quy nạp bằng việc thực hiện theo các bước sau: Bước 1. Viết một vài số hạng đầu của dãy, từ đó dự đoán công thức cho un Câu 1. Bước 2. Chứng minh công thức dự đoán bằng phương pháp quy nạp B. Bài tập tự luận Tìm 5 số hạng đầu và tìm công thức tính số hạng tổng quát un theo n của các dãy số sau : u  3 a).  1 un 1  un  2 u  2 b).  1 un 1  2un . ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. u1  1 n  1. Câu 2. Dãy số  un  được xác định bằng cộng thức:  3 un 1  un  n a). Tìm công thức của số hạng tổng quát. b). Tính số hạng thứ 100 của dãy số. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 7 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Câu 3. Cho dãy số  un  xác định bởi: u1  2 và un 1  5un với mọi n  1. a). Hãy tính u2 , u4 và u6 . b). Chứng minh rằng un  2.5n 1 với mọi n  1. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Câu 4. Cho dãy số  un  xác định bởi: u1  1 và un 1  un  7 với mọi n  1 a) Hãy tính u2 , u4 và u6 . b) Chứng minh rằng: un  7 n  6 1 với mọi n 1 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 Câu 5. Cho dãy số  un  với u1  1 và un 1  3un  10 với mọi n  1. Chứng minh rằng: un  2.3n  5 n  1. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. Câu 6. Cho dãy số  un  , biết u1  3, un 1  1  un2 với n  1, n   a). Viết năm số hạng đầu tiên của dãy số. b). Dự đoán công thức số hạng tổng quát un và chứng minh bằng phương pháp quy nạp. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. Câu 7. Tìm 5 số hạng đầu và tìm công thức tính số hạng tổng quát un theo n của các dãy số sau : u1  1 u1  1  a).  với n  1, n   un ,n   * b).  un 1  un  3 un 1  1  u n  ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 9 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… u1  1 Câu 8. Cho dãy số (un ) xác định bởi:  . un  2un 1  3 n  2 1. Viết năm số hạng đầu của dãy; 2. Chứng minh rằng un  2n 1  3 ; ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 Câu 9. un 1  un2  2vn2 Cho hai dãy số (un ),(vn ) được xác định như sau u1  3, v1  2 và  với n  2 . vn1  2un .vn 2 n 2 n 1. Chứng minh: u  2v  1 và un  2vn    2n 2 1 với n  1 ; 2. Tìm công thức tổng quát của hai dãy (un ) và (vn ) . ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. C. Bài tập trắc nghiệm Câu 1. DÀNH CHO HỌC SINH TRUNG BÌNH – KHÁ Cho dãy số viết dưới dạng khai triển là 1, 4,9,16, 25, n. Trong các công thức sau, công thức nào là công thức tổng quát của dãy số trên. A. un  3n  2. Câu 2. B. un  n  3. C. un  n2 . D. un  2n2  1. Cho dãy số có các số hạng đầu là: 8,15, 22, 29, 36,… .Tìm số hạng tổng quát của dãy số đã cho. A. un  7 n  7. B. un  7 n. C. un  7 n  1. D. un  7 n  3. 1 3 2 5 , , , ,… . Công thức tổng quát un nào là của dãy số đã cho? 2 5 3 7 n n 1 2n n A. un  n  * . B. u n  n n   * . C. un  n   * . D. un  n  * . 2 n 1 n3 2n  1 Câu 3. Cho dãy số Câu 4. Cho dãy số có các số hạng đầu là: 5;10;15; 20; 25;… Số hạng tổng quát của dãy số này là: A. un  5(n  1) . Câu 5. B. un  5n . C. un  5  n . D. un  5.n  1 . 1 2 3 4 Cho dãy số có các số hạng đầu là: 0; ; ; ; ;… .Số hạng tổng quát của dãy số này là: 2 3 4 5 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 n2  n n 1 n n 1 . B. un  . C. un  . D. un  . n 1 n n 1 n Cho dãy số có các số hạng đầu là: 1;1; 1;1; 1;… .Số hạng tổng quát của dãy số này có dạng A. un  Câu 6. A. u n  1 . Câu 7. B. u n  1 . n 1 . B. u n   2   n . C. u n   2 (n  1) . D. un   2   2  n  1 . 1 1 1 1 1 ; ; ; ; ; ….Số hạng tổng quát của dãy số này là? 3 3 2 33 3 4 35 1 1 1 B. u n  n 1 . C. u n  n . D. u n  n 1 . 3 3 3 Cho dãy số có các số hạng đầu là: A. u n  Câu 9. D. un   1 Cho dãy số có các số hạng đầu là: 2; 0; 2; 4; 6;… .Số hạng tổng quát của dãy số này có dạng? A. u n  2n . Câu 8. C. u n  (1) n . 1 1 . 3 3 n 1 DÀNH CHO HỌC SINH KHÁ – GIỎI u  1 Cho dãy số  un  xác định bởi  1  n  1 . Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số trên. un 1  3un A. un  3n . B. un  3n 1 . C. un  3n1  2 . D. un  3n  2 . Câu 10. Cho dãy số có các số hạng đầu là: 0.1;0.01;0.001;0.0001… . Số hạng tổng quát của dãy số này có dạng? A. un  0.00…01   . n sè 0 B. un  0.00…01   . n 1 sè 0 1 1 . D. un  n 1 . n 1 10 10 Câu 11. Cho dãy số có 4 số hạng đầu là: 1,3,19,53 . Hãy tìm một quy luật của dãy số trên và viết số hạng C. un  thứ 10 của dãy với quy luật vừa tìm. A. u10  97 B. u10  71 C. u10  1414 D. u10  971 u1  5 Câu 12. Cho dãy số u n  với  .Số hạng tổng quát u n của dãy số là số hạng nào dưới đây? u n 1  u n  n (n  1) n ( n  1) n A. u n  . B. u n  5  . 2 2 ( n  1) n ( n  1)( n  2) C. u n  5  . D. u n  5  . 2 2 u1  1 Câu 13. Cho dãy số  un  với  2 n . Số hạng tổng quát u n của dãy số là số hạng nào dưới un 1  un   1 đây? A. un  1  n . B. un  1  n . 2n C. un  1   1 . D. un  n . u1  1 Câu 14. Cho dãy số  un  với  2 n 1 . Số hạng tổng quát u n của dãy số là số hạng nào dưới un 1  un   1 đây? A. un  2  n . B. un không xác định. C. un  1  n . D. un  n với mọi n . u1  1 Câu 15. Cho dãy số  un  với  . Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới đây? 2 un 1  un  n Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 n  n  1 2n  1 n  n  1 2n  2  A. un  1  . B. un  1  . 6 6 n  n  1 2n  1 n  n  1 2n  2  C. un  1  . D. un  1  . 6 6 u1  2 Câu 16. Cho dãy số  un  với un 1  un  2n  1 . Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới đây? 2 A. un  2   n  1 . 2 B. u n  2  n 2 . C. un  2   n  1 . 2 D. un  2   n  1 . u1  2  Câu 17. Cho dãy số  un  với  1 . Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là: un 1  2  u n  n 1 n 1 n 1 n A. un   . B. un  . C. un   . D. un   . n n n n 1 1  u1  Câu 18. Cho dãy số  un  với  . Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là: 2 un 1  un  2 1 1 1 1 A. un   2  n  1 . B. un   2  n  1 . C. un   2n . D. un   2n . 2 2 2 2 u1  1  Câu 19. Cho dãy số  un  với  un . Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là: un 1  2 n 1 A. un   1 .   . 2 1 B. un   1 .   2 n 1 . 1 C. un    2 n 1 . 1 D. un   1 .   2 n 1 . u1  2 Câu 20. Cho dãy số  un  với  . Công thức số hạng tổng quát của dãy số này: un1  2un A. u n  n n 1 . B. un  2 n . C. u n  2 n 1 . D. un  2 . 1  u1  Câu 21. Cho dãy số  un  với  . Công thức số hạng tổng quát của dãy số này: 2 un 1  2un 1 1 A. u n  2 n 1 . B. un  n 1 . C. un  n . D. u n  2 n  2 . 2 2 u1  1 Câu 22. Cho dãy số (un ) xác định bởi  . Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho 3 * u  u  n ,  n   n  n 1 un  1  2039190 . A. n  2017 . B. n  2019 . C. n  2020 . D. n  2018 . u1  1 Câu 23. Cho dãy số  un  xác định bởi  . Giá trị của n để un  2017n  2018  0 un 1  un  2n  1, n  1 là A. Không có n . B. 1009 . C. 2018 . D. 2017 . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 u1  1 Câu 24. Cho dãy số  un  xác định bởi:   n  1 . Xác định công thức của số hạng tổng quát. un 1  un  2 A. un  2n  1 . B. un  3n  2 . C. un  4 n  3 . D. un  8n  7 . Câu 25. Cho dãy số  un  với un  1 và dãy số  vn  xác định bởi n  n  1 v1  u1  n  1 . Xác định  vn 1  vn  un 1 công thức tổng quát của dãy  vn  . n 1 . n3 n2 C. vn  . n4 A. vn  Câu 26. Cho dãy số  un  2n . 3n  1 n D. vn  . n 1 u1  u2  1 xác định bởi   n  3 . Tìm công thức số hạng tổng quát của un  2un 1  un 2  2 B. vn  dãy số đó. A. un  n2  3n  2 . B. un  n2  4n  3 . C. un  n2  3n  2 . D. un  n2  3n  3 . u  5 Câu 27. Tìm công thức tổng quát của dãy số cho bởi  1 un 1  2un  3  3n A. un  2 n  3 . B. un  3n  2 . C. un  3n  2 . D. un  2n  3n . u1  3  Câu 28. Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi công thức truy hồi sau  1 un 1  2  2 n 1 2 A. un  4  n . B. un  4  n . 2 2 1 1 C. un  4  n 2 . D. un  4  n 1 . 2 2 u1  2 1  un  Câu 29. Cho dãy số  un  xác định bởi  . Tìm công thức số hạng tổng quát un . Đặt vn  un un 1  1  u n  của dãy số  vn  . 6 . 11  n 2 C. vn  . 1  2n A. vn  2 . 1  3n 3 D. vn   n . 2 B. vn  u1  3 Câu 30. Xác định công thức tính số hạng tổng quát un theo n của dãy số sau:  . un 1  un  2 A. un  2n  1 . B. un  2n  1 . C. un  2n  1 . D. un  2n  1 . Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 u1  1 n  1. Câu 31. Xác định công thức tính số hạng tổng quát un theo n của dãy số sau:  3 un 1  un  n 2 n 2  n  1 B. un  1  . 4 2 n 2  n  1 D. un  1  . 4 n 2  n  1 A. un  . 4 n 2  n  1 C. un  . 4 2 2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15 TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học: 2020-2021 Chương 3 Bài 2 SỐ HẠNG CỦA DÃY SỐ Lý thuyết 1. Định nghĩa dãy số Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương * được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số). Kí hiệu: u : *   n  u n. Người ta thường viết dãy số dưới dạng khai triển u1 , u2 , u3 , …, un , …, trong đó un  u n  hoặc viết tắt là un , và gọi u1 là số hạng đầu, un là số hạng thứ n và là số hạng tổng quát của dãy số. 2. Định nghĩa dãy số hữu hạn Mỗi hàm số u xác định trên tập M  1,2,3,…, m với m   * được gọi là một dãy số hữu hạn. Dạng khai triển của nó là u1 , u2 , u3 , …, un , trong đó u1 là số hạng đầu, um là số hạng cuối. II. CÁCH CHO MỘT DÃY SỐ 1. Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát 2. Dãy số cho bằng phương pháp mô tả 3. Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi Cách cho một dãy số bằng phương pháp truy hồi, tức là: a) Cho số hạng đầu (hay vài số hạng đầu). b) Cho hệ thức truy hồi, tức là hệ thức biểu thị số hạng thứ trước nó. n qua số hạng (hay vài số hạng) đứng DẠNG 1: TÌM SỐ HẠNG CỦA DÃY SỐ A. Phương pháp giải Bài toán 1: Cho dãy số (un ) : un  f (n) (trong đó f (n) là một biểu thức của n ). Hãy tìm số hạng uk . Phương pháp: Thay trực tiếp n  k vào un . u1  a Bài toán 2: Cho dãy số (un ) cho bởi  (với f (un ) là một biểu thức của un ). Hãy tìm un1  f (un ) số hạng uk . Phương pháp: Tính lần lượt u2 ; u3 ;…; uk bằng cách thế u1 vào u2 , thế u2 vào u3 , …, thế uk 1 vào uk 1 . u1  a, u2  b Bài toán 3: Cho dãy số (un ) cho bởi  . Hãy tìm số hạng uk . un 2  c.un 1  d .un  e Phương pháp: Tính lần lượt u3 ; u4 ;…; uk bằng cách thế u1 , u2 vào u3 ; thế u2 , u3 vào u4 ; …; thế uk 2 , uk 1 vào uk . Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 u1  a Bài toán 4: Cho dãy số (un ) cho bởi  . Trong đó f un 1  f n, un  thức un 1 tính theo un và n . Hãy tìm số hạng uk . n, u  n là kí hiệu của biểu Phương pháp: Tính lần lượt u2 ; u3 ;…; uk bằng cách thế 1,u1 vào u2 ; thế 2,u2  vào u3 ; …; thế k  1, uk 1 vào uk . B. Bài tập tự luận Câu 1. n n 1  1  5   1  5   Cho dãy số (un ) biết un       . Tìm số hạng u6 . 5  2   2     Lời giải 6 6  1 1  5  1 5         8 . Thế trực tiếp: u6   5  2   2     Câu 2. Cho dãy số (un ) có số hạng tổng quát un  Giả sử un  Vậy Câu 3. Câu 4. 2n  1 167 . Số là số hạng thứ mấy? n2 84 Lời giải 167 2n  1 167    84(2n  1)  167(n  2)  n  250 . 84 n2 84 167 là số hạng thứ 250 của dãy số (un ) . 84  u1  1  Cho dãy số (un ) biết  u n  2 . Tìm số hạng u10 . u  n  1  un  1  Lời giải 7 3 2 2 u3  2 5 u2  2 2 7 17 u1  2 1  2 3 u3    ; u4    ; u2    ; u2  1 3  1 5 u3  1 7  1 12 u1  1 1  1 2 2 5 41 99 17 2 2 2 u5  2 29 u6  2 70 u4  2 12 41 99 239 u5    ; u6    ; u7    17 41 99 u4  1 u5  1 u6  1  1 29  1 70  1 169 12 29 70 239 577 1393 2 2 2 u7  2 169 u8  2 408 u9  2 985 577 1393 3363 ; u9  ; u10  u8        u7  1 239  1 408 u8  1 577  1 985 u9  1 1393  1 2378 169 408 985 u1  1 Cho dãy số (un ) được xác định như sau:  . Tìm số hạng u50 . un1  un  2 Lời giải Từ giả thiết ta có: Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 u1  1 u2  u1  2 u3  u2  2 … u50  u49  2 Cộng theo vế các đẳng thức trên, ta được: u50  1  2.49  99 Câu 5. u1  1; u2  2 Cho dãy số (un ) được xác định như sau:  . Tìm số hạng u8 . un  2  2un 1  3un  5 Lời giải u3  2u2  3u1  5  12 u4  2u3  3u2  5  35 u5  2u4  3u3  5  111 u6  2u5  3u4  5  332 u7  2u6  3u5  5  1002 u8  2u7  3u6  5  3005 Câu 6. Câu 7. u1  0  Cho dãy số (un ) được xác định như sau:  . Tìm số hạng u11 . n un 1  n  1  un  1 Lời giải 1 1 2 3 3 4 u2  (u1  1)  u3  (u2  1)  1 u4  (u3  1)  u5  (u4  1)  2 2 2 3 4 2 5 5 5 6 7 7 8 u6  (u5  1)  u7  (u6  1)  3 u8  (u7  1)  u9  (u8  1)  4 6 2 7 8 2 9 9 9 10 u10  (u9  1)  u11  (u10  1)  5 10 2 11 1  u1  Cho dãy số (un ) được xác định bởi:  . Tìm số hạng u50 . 2 un 1  un  2n Lời giải Từ giả thiết ta có: 1 u1  2 u2  u1  2.2 u3  u2  2.3 … u50  u49  2.50 Cộng theo vế các đẳng thức trên, ta được: 50 1 1 u50   2.(2  3  …  50)   2. x  2548,5 2 2 x2 C. Bài tập trắc nghiệm DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH – KHÁ Câu 1. 2 n 2 1 . Tìm số hạng u5 . n2  3 17 7 B. u5  . C. u5  . 12 4 Cho dãy số un , biết un  1 A. u5  . 4 D. u5  71 . 39 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Lời giải Chọn C Ta có u5  Câu 2. 2.52  1 7  52  3 4 Cho dãy số  un  , biết un   1 .2n. Mệnh đề nào sau đây sai? n A. u1  2. B. u2  4. C. u3  6. D. u4  8. Lời giải Chọn D 4 Vì u4   1 .2.4  8 Câu 3. Cho dãy số un , biết un  1 . n 8 A. u3  . 3 2n . Tìm số hạng u3 . n B. u3  2. C. u3  2. 8 D. u3   . 3 Lời giải Chọn D Ta có u3   1 Câu 4. 3 23 8  3 3 n . Chọn đáp án đúng. 2n 1 1 B. u5  . C. u5  . 16 32 Lời giải Cho dãy số un , biết un  1 A. u4  . 4 1 D. u3  . 8 Chọn A Ta có u4  Câu 5. 4 1  24 4 Cho dãy số un , biết un  n( 1)n sin( A. 0. B. 9. n ) . Số hạng thứ 9 của dãy số đó là: 2 C. 1. D. 9. Lời giải Chọn D Câu 6. 9  9 Ta có u9  9.  1 .sin   2    9  Cho dãy số un , biết un  1 . Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó lần lượt là những số nào dưới n1 đây? 1 1 1 A. ; ; . 2 3 4 1 1 B. 1; ; . 2 3 1 1 1 ; ; . 2 4 6 Lời giải C. 1 1 D. 1; ; . 3 5 Chọn A 1 1 1 Ta có u1  , u2  , u3  2 3 4 Câu 7. Cho dãy số un , biết un  2n  1 . Viết năm số hạng đầu của dãy số. n2 Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 3 7 3 11 A. u1  1, u2  , u3  , u4  , u5  . 4 5 2 7 5 8 3 11 C. u1  1, u2  , u3  , u4  , u5  4 5 2 7 5 7 3 11 , u3  , u4  , u5  . 4 5 2 7 5 7 7 11 D. u1  1, u2  , u3  , u4  , u5  . 4 5 2 3 Lời giải B. u1  1, u2  Chọn B Câu 8. n . Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó là 3 1 1 1 3 1 1 1 1 2 3 B. ; ; . C. ; ; . D. ; ; . 2 4 26 2 4 16 2 3 4 Lời giải Cho dãy số un , biết un  A. 1 1 1 ; ; . 2 4 8 n Chọn B Câu 9. 8 n 1 . Số là số hạng thứ mấy của dãy số? 15 2n  1 B. 6. C. 5. D. 7. Lời giải Cho dãy số un , biết un  A. 8. Chọn D Ta có un  8 n 1 8    n  *   15n  15  16n  8  n  7 15 2n  1 15 2n  5 7 là số hạng thứ mấy của dãy số? . Số 5n  4 12 B. 8. C. 9. D. 10. Lời giải Câu 10. Cho dãy số un , biết un  A. 6. Chọn B Ta có un  7 2n  5 7    n  *   24n  60  35n  28  11n  88  n  8 12 5n  4 12 2 n 1 . Số là số hạng thứ mấy của dãy số? 2 13 n 1 B. Thứ tư. C. Thứ năm. D. Thứ 6. Lời giải Câu 11. Cho dãy số un , biết un  A. Thứ 3. Chọn C n  5  n  2 n 1 2 * 2 2 Ta có un   2   n     13n  13  2n  2  2n  13n  15  0   n  3  l  13 n  1 13  2 Câu 12. Cho dãy số un , biết un  n 3  8n 2  5n  7. Số 33 là số hạng thứ mấy của dãy số? A. 5. B. 6. C. 8. Lời giải D. 9. Chọn C n  8  n  Ta có un  33  n3  8n 2  5n  7  33  n  *   n3  8n 2  5n  40  0    n   5  l  Câu 13. Cho dãy số un  với u n  3n. Tìm số hạng u2 n 1. A. u2 n1  32.3n  1. B. u2 n1  3n.3n1. C. u2 n1  32 n  1. D. u2 n1  3  2 n1 . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Lời giải Chọn B Ta có u2 n1  32 n 1  3n.3n 1 Câu 14. Cho dãy số un  với u n  3n. Số hạng un 1 bằng: A. 3n  1 . B. 3n  3 . C. 3n.3 . D. 3(n  1) . Lời giải Chọn C Ta có un 1  3n 1  3n.3 1 1 1 1 . Số hạng thứ 4 của dãy (un) là:    …  n1 n2 n 3 2n 1 1 1 1 533 A.    . B. . n1 n2 n3 n4 840 1 C. . D. Một kết quả khác. 8 Lời giải Chọn A Câu 15. Cho dãy ( un) với un  Câu 16. Cho dãy số  un  với un  A. 5. n1 . Tính u5 . n 6 B. . 5 5 . 6 Lời giải: D. 1. C. Chọn B Thay n  5 vào un  n1 51 6  . ta được u5  n 5 5 Câu 17. Cho dãy số  un  với un  A. un1  a.  n  1 n1 an2 ( a hằng số). Tìm số hạng thứ un 1 . n1 2 . B. un1  a.  n  1 n 2 2 . C. un1  a.n2  1 . n1 D. un1  Lời giải: Chọn B Ta có un 1  a.  n  1 2  a  n  1  n  1  1  n  2  2 2 . Câu 18. Xét dãy các số tự nhiên lẻ. Số 2017 là số hạng thứ mấy? A. 2017 . B. 1008 . C. 1009 . Lời giải Chọn C. Ta có: un  2 n  1, un  2017  n  1009 . 9 2n là số hạng thứ bao nhiêu của dãy số un  2 ? 41 n 1 A. 7. B. 8. C. 9. Lời giải: Chọn C D. 2015 . Câu 19. Số D. 10. Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ an2 . n2 TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 n  * 2n 9 Xét 2   2  n  9. n  1 41 9n  82 n  9  0 2n  1 3 . Số là số hạng thứ mấy của dãy số trên. n1 2 B. 4. C. 5. D. 6. Lời giải: Câu 20. Cho dãy số  un  biết un  A. 3. Chọn C Nhập vào máy tính biểu thức CALC 5  2X  1 2X  1 , sử dụng chức năng CALC tại các đáp án, ta được X 1 X 1 3 2 Câu 21. Cho dãy số  un  , biết un  n . Năm số hạng đầu tiên của dãy số đó lần lượt là những số nào n 1 dưới đây? 1 2 3 4 5 A.  ;  ;  ;  ;  . 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 C. ; ; ; ; . D. ; ; ; ; . 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 B.  ;  ;  ;  ;  . 3 4 5 6 7 Lời giải 1 2 3 4 5 Ta có u1   ; u2   ; u3   ; u4   ; u5   . Chọn A. 2 3 4 5 6 Nhận xét: (i) Dùng MTCT chức năng CALC để kiểm tra (tính) nhanh. (ii) Ta thấy dãy  un  là dãy số âm nên loại các phương án C,D. Đáp án đúng là A hoặc B. Ta chỉ cần kiểm tra một số hạng nào đó mà cả hai đáp án khác nhau là được. Chẳng hạng kiểm tra u1 thì thấy u1   1 nên 2 ChọnA. Câu 22. Cho dãy số  un  , biết un  dưới đây? 1 1 1 A. ; ; . 2 4 8 B. n . Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó lần lượt là những số nào 3 1 n 1 1 3 ; ; . 2 4 26 1 1 1 ; ; . 2 4 16 Lời giải C. D. Dùng MTCT chức năng CALC: ta có 1 2 2 1 3 3 u1  ; u2  2   ; u3  3  . Chọn 2 3 1 8 4 3  1 26 1 2 3 ; ; . 2 3 4 B. Câu 23. Cho dãy số  un  , biết un  2n. Tìm số hạng un 1. A. un1  2n.2. B. un 1  2n  1. C. un 1  2  n  1 . D. un1  2n  2. Lời giải Thay n bằng n  1 trong công thức un ta được: un1  2n1  2.2n . Chọn A. Câu 24. Cho dãy số  un  , với un  5n1. Tìm số hạng un 1. A. un1  5n 1. B. un1  5n. C. un1  5.5n 1. D. un1  5.5n 1. Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 7 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Lời giải un  5 n 1  n 1 1 n  n 1  un 1  5  5 . Chọn  n 1  Câu 25. Cho dãy số  un  , với un     n 1  n 1  A. un 1     n 1 2 n 1  3  n  C. un 1    n2 n 2 n 3 . Tìm số hạng un1.  n 1  . B. un1     n 1 2 n 3 . B. 2 n 1  3  n  D. un1    n2 . 2 n 5 . Lời giải  n 1  un     n 1  2 n 3   n  1  1   un 1      n  1  1  n  n 1 1 2 3 ; ; . 2 3 4 Chọn  n    n2 2 n 5 . Chọn D. n . Ba số hạng đầu tiên của dãy số là 2 1 1 1 1 1 B. 1; ; C. 1; ; 2 16 4 8 Lời giải Câu 26. Cho dãy số  un  , biết un  A. 2 n 1  3 n 2 3 D. 1; ; . 3 7 D. 2 3 u1  1, u2  , u3  . 3 7 n (với n* ). Số hạng đầu tiên của dãy là: n 1 1 C. 0 . D. . 2 Lời giải Câu 27. Cho dãy số  un  có số hạng tổng quát un  1  A. 2 . B. 3 . 5 2 Chọn D Ta có u1  1  1 1  . 1 1 2 2 Câu 28. Cho dãy số  un  có un  n 2  n  1 . Số 19 là số hạng thứ mấy của dãy? A. 5 . B. 7 . C. 6 . Lời giải D. 4 . Chọn A Giả sử un  19 ,  n   *  . Suy ra  n 2  n  1  19   n 2  n  20  0 n  5 .   n  4  l  Vậy số 19 là số hạng thứ 5 của dãy. Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 Câu 29. Cho dãy số un  xác định bởi u n   1 cos n  . Giá trị u99 bằng n B.  1 . A. 99 . D. 99 . C. 1. Lời giải Chọn C Ta có: u99   1 cos 99    cos 98      cos    1. 99 Câu 30. Cho dãy số  un  với un  2n  1 số hạng thứ 2019 của dãy là A. 4039 . Chọn B. 4390 . C. 4930 . Lời giải D. 4093 . A. Ta có: u2019  2.2019  1  4039 . Câu 31. Cho dãy số  un  với un  1  2 n. Khi đó số hạng u2018 bằng A. 22018 . B. 2017  2 2017 . C. 1  2 2018 . Lời giải D. 2018  2 2018 . Chọn C Ta có u2018  1  2 2018. n2 , n  1. Tìm khẳng định sai. 3n  1 8 19 B. u10  . C. u21  . 31 64 Lời giải Câu 32. Cho dãy số  un  với un  A. u3  1 . 10 D. u50  47 . 150 D. u11  71 . 6 Chọn D Ta có: u50  50  2 48  . 3.50  1 151 Câu 33. Cho dãy số un  A. u11  182 . 12 n 2  2n  1 . Tính u11 . n 1 1142 B. u11  . 12 C. u11  1422 . 12 Lời giải Chọn D Ta có: u11  112  2.11  1 71  . 11  1 6 2n  1 39 . Khi đó là số hạng thứ mấy của dãy số? 2 n 1 362 C. 22 . D. 21 . Lời giải Câu 34. Cho dãy số  un  có số hạng tổng quát là un  A. 20 . B. 19 . Chọn B  n  19 2n  1 39 2 Ta có 2 , do n  * nên n  19 .  39n  724n  323  0     n   17 n  1 362 39  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 9 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ – GIỎI n2  3n  7 . n1 Hỏi dãy số trên có bao nhiêu số hạng nhận giá trị nguyên. A. 2. B. 4. C. 1. Lời giải Chọn C Câu 35. Cho dãy số  un  với un  D. Không có. n 2  3n  7 5  n2 n  *   n 1 n 1 5 Để un nhận giá trị nguyên thì  n  *  là số nguyên hay n  4 n 1 Vậy dãy số  un  chỉ có một số hạng nhận giá trị nguyên. Ta có un  Câu 36. Cho dãy số un  5 A. u4  . 9 u1  2 xác định bởi  . Tìm số hạng u4 . un 1  1 un  1 3  B. u4  1. 2 C. u4  . 3 Lời giải D. u4  14 . 27 Chọn A Ta có u2  1 1 2 1 2 5  2  1  1, u3  1  1  , u4    1  3 3 3 3 3  9 u1  3 u Câu 37. Cho dãy số  n  xác định bởi  . Mệnh đề nào sau đây sai? un 1  un  2  2 5 15 31 63 A. u2  . B. u3  . C. u4  . D. u5  . 2 4 8 16 Lời giải Chọn A 3 7 Vì u2   2  2 2 u  7 Câu 38. Cho dãy số un  xác định bởi  1 khi đó u5 bằng: un1  2un  3 A. 317. B. 157. C. 77. D. 112. Lời giải Chọn B Ta có u2  2.7  3  17, u3  2.17  3  37, u4  2.37  3  77, u5  2.77  3  157 u  1 Câu 39. Cho dãy số un  xác định bởi  1 . Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó là un1  un  3 A. 1; 2; 5. B. 1; 4; 7. C. 4; 7;10 D. 1; 3; 7. Lời giải Chọn A Ta có u1  1, u2  1  3  2, u3  2  3  5 Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 Câu 40. Cho dãy số un  u1  3 xác định bởi  . Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó là un1  un  5 A. 3; 6; 9. B. 3;  2;  7. C. 3; 8;13 . D. 3; 5;7. Lời giải Chọn C Ta có u1  3, u2  3  5  8, u3  8  5  13 u1  2 (n  2) . Số hạng thứ tư của dãy số đó bằng Câu 41. Cho dãy số un  xác định bởi  2 un  2un1  n A. 0. B. 93. C. 9. Lời giải D. 34. Chọn D Ta có u2  2.  2   22  0, u3  2.0  33  9, u4  2.9  42  34 Câu 42. u1  0  Cho dãy số  un  :  . Tính tổng số hạng thứ ba và thứ tư của dãy số đã cho 2 un  u2  1 khi n  2 n 1  A. 308 . 145 B. 12 . 5 64 . 35 Lời giải: D. 2. C. Chọn A Ta có: u2  2 2 2 2 2 2 2 50  2  2 ; u3  2  2  ; u4  2   2 29 u 1 0 1 u2  1 2  1 5 u3  1  2   5 1   2 1 Do đó u3  u4  2 50 308   . 5 29 145  n1  Câu 43. Cho dãy số  un  biết un     n 2  A. un1  n1    n2 2 n 3 . B. un1 2 n1 . Tìm số hạng un1 .  n    n3 2 n 3 . C. un1  n    n3 2 n1 . D. un1  n    n3 2 n 2 . Lời giải: Chọn B un1   n  1  1      n  1  2    2  n 1  1  n     n3 2 n 3 .  n   n Câu 44. Cho dãy số  un  xác định bởi un  2017 sin    2018 cos   2   3 * * A. u n 9  un , n   . B. u n 15  un , n   . C. u n 12  un , n   * .   . Mệnh đề nào dưới đây đúng?  D. un  6  un , n   * . Lời giải Chọn C   n  12      n  12    Ta có: un12  2017sin    2018cos   2 3     Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489  n  2017 sin   2  n  2017 sin   2   n   6   2018 cos   4    3    n  *   2018 cos    u n , n   . 3    Câu 45. Cho dãy số  un  có u1  u2  1 và un  2  un 1  un , n   * . Tính u4 . A. 5 . B. 3 . C. 2 . Lời giải D. 4 . Chọn B Ta có u3  u2  u1  2 . u 4  u3  u 2  3 . u1  5 . Số 20 là số hạng thứ mấy trong dãy? un 1  un  n Câu 46. Cho dãy số  un  :  A. 5 . B. 6 . C. 9 . Lời giải D. 10 . Chọn B Cách 1: u1  5, u2  6, u3  8, u4  11, u5  15, u6  20 Vậy số 20 là số hạng thứ 6 . Cách 2: Dựa vào công thức truy hồi ta có u1  5 u2  5  1 u3  5  1  2 u4  5  1  2  3 …..  un  5  1  2  …  n  1  5   20  5  n  n  1 2 n  n  1 n  6  n   *  n 2  n  30  0   2  n  5(lo¹i) Vậy 20 là số hạng thứ 6 . Cách 3: Sử dụng máy tính CASIO fx – 570VN PLUS 1 SHIFT STO A 5 SHIFT STO B Ghi vào màn hình C = B + A: A = A + 1: B = C Ấn CALC và lặp lại phím = Ta tìm được số 20 là số hạng thứ 6 u1  4 Câu 47. Cho dãy số  . Tìm số hạng thứ 5 của dãy số. un1  un  n A. 16 . B. 12 . C. 15 . Lời giải D. 14 . Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 Ta có u2  u1  1  5 ; u3  u2  2  7 ; u4  u3  3  10 . Do đó số hạng thứ 5 của dãy số là u5  u4  4  14 . DẠNG 2. XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC CỦA DÃY SỐ (UN) A. Phương pháp giải Ta có thể lựa chọn một trong các cách sau: Cách 1. Sử dụng biến đổi đại số để thu gọn và đơn giản biểu thức của un Cách 2. Sử dụng phương pháp quy nạp bằng việc thực hiện theo các bước sau: Bước 1. Viết một vài số hạng đầu của dãy, từ đó dự đoán công thức cho un Bước 2. Chứng minh công thức dự đoán bằng phương pháp quy nạp B. Bài tập tự luận Câu 1. Tìm 5 số hạng đầu và tìm công thức tính số hạng tổng quát un theo n của các dãy số sau : u  3 a).  1 un 1  un  2 u  2 b).  1 un 1  2un . Lời giải u  3 a).  1 un 1  un  2 Ta có: u2  u1  2  3  2  5. u3  u2  2  5  2  7. u4  u3  2  7  2  9. u5  u4  2  9  2  11. Từ các số hạng đầu trên, ta dự đoán số hạng tổng quát un có dạng: un  2n  1 n  1* Ta dùng phương pháp chứng minh quy nạp để chứng minh công thức * đúng. Với n  1; u1  2.1  1  3 (đúng). Vậy * đúng với n  1. Giả sử * đúng với n  k . Có nghĩa ta có: uk  2k  1  2 Ta cần chứng minh * đúng với n  k  1. Có nghĩa là ta phải chứng minh: uk 1  2  k  1  1  2k  3. Thật vậy từ hệ thức xác định dãy số và theo  2  ta có: uk 1  uk  2  2k  1  2  2k  3. Vậy * đúng khi n  k  1. Kết luận * đúng với mọi số nguyên dương n. u  2 b).  1 un 1  2un . Ta có: u2  2u1  2.2  4  22 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 u3  2u2  2.4  8  23 u4  2u3  2.8  16  24 u5  2u4  2.16  32  25 Từ các số hạng đầu tiên, ta dự đoán số hạng tổng quát un có dạng: un  2n n  1* Ta dùng phương pháp chứng minh quy nạp để chứng minh cộng thức * đúng. Với n  1, có: u1  21  2 (đúng). Vậy * đúng với n  1 Giả sử * đúng với n  k , có nghĩa ta có: uk  2k  2 Ta cần chứng minh * đúng với n  k  1. Có nghĩa là ta phải chứng minh: uk 1  2k 1 . Thật vậy từ hệ thức xác định dãy số và theo  2  ta có: uk 1  2.uk  2.2k  2k 1. Vậy * đúng với n  k  1. Kết luận * đúng với mọi số nguyên dương n. Câu 2. u1  1 Dãy số  un  được xác định bằng cộng thức:  n  1. 3 un 1  un  n a). Tìm công thức của số hạng tổng quát. b). Tính số hạng thứ 100 của dãy số. Lời giải 3 3 a). Ta có: un 1  un  n  un 1  un  n . Từ đó suy ra: u1  1 u2  u1  13 u3  u2  23 u4  u3  33 ………….. un 1  un 2   n  2  3 3 un  un1   n  1 Cộng từng vế n đẳng thức trên: 3 3 u1  u2  u1  u3  u2  …  un 1  un 2  un  un 1  1  13  23  33  …   n  2    n  1 3 3  un  1  13  23  33  …   n  2    n  1 . 3 3 3 Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được: 1  2  3  …   n  1 Vậy un  1  n 2  n  1 3  n  1  2 4 2 b). u100  1  Câu 3. 100 .992  24502501. 4 Cho dãy số  un  xác định bởi: u1  2 và un 1  5un với mọi n  1. a). Hãy tính u2 , u4 và u6 . Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 4 2 .n 2 TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 b). Chứng minh rằng un  2.5n 1 với mọi n  1. Lời giải a). Ta có: u2  5u1  5.2  10. u3  5.u2  5.10  50. u4  5.u3  5.50  250. u5  5.u4  5.250  1250. u6  5.u5  5.1250  6250. b). Ta sẽ chứng minh: un  2.5n 1 1 với mọi n  1 , bằng phương pháp quy nạp Với n  1, ta có: u1  2.50  2 (đúng). Vậy 1 đúng với n  1.   Giả sử 1 đúng với n  k k  N * . Có nghĩa là ta có: uk  2.5k 1. Ta phải chứng minh 1 đúng với n  k  1. Có nghĩa ta phải chứng minh: uk 1  2.5k . Từ hệ thức xác định dãy số:  un  và giả thiết quy nạp ta có: uk 1  5.uk  2.5k 1.5  2.5k (đpcm). Câu 4. Cho dãy số  un  xác định bởi: u1  1 và un 1  un  7 với mọi n  1 a) Hãy tính u2 , u4 và u6 . b) Chứng minh rằng: un  7 n  6 1 với mọi n 1 Lời giải a). Ta có: u2  u1  7  1  7  8. u3  u2  7  8  7  15. u4  u3  7  15  7  22. u5  u4  7  22  7  29. u6  u5  7  29  7  36. b). Với n  1 , ta có: u1  7.1  6  1 (đúng). Vậy 1 đúng với n  1.   Giả sử 1 đúng với n  k k  N * . Có nghĩa là ta có: uk  7 k  6. Ta phải chứng minh 1 đúng với n  k  1 . Có nghĩa ta phải chứng minh: uk 1  7  k  1  6. Từ hệ thức xác định dãy số  un  và giả thiết quy nạp ta có: uk 1  uk  7   7 k  6   7  7  k  1  6 (đúng). Câu 5. Cho dãy số  un  với u1  1 và un 1  3un  10 với mọi n  1. Chứng minh rằng: un  2.3n  5 n  1. Lời giải Ta sẽ chứng minh un  2.3  5 1 bằng phương pháp quy nạp. n Với n  1 , ta có: u1  2.31  1  1 (đúng). Vậy 1 đúng với n  1. Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489   Giả sử 1 đúng với n  k k  N * . Có nghĩa là ta có: uk  2.3k  5  2 Ta phải chứng minh 1 đúng với n  k  1. Có nghĩa ta phải chứng minh: un 1  2.3k 1  5. Từ hệ thức xác định dãy số  un  và từ (2) ta có:   uk 1  3uk  10  3. 2.3k  5  10  2.3k .3  15  10  2.3k 1  5 (đpcm). Câu 6. Cho dãy số  un  , biết u1  3, un 1  1  un2 với n  1, n   a). Viết năm số hạng đầu tiên của dãy số. b). Dự đoán công thức số hạng tổng quát un và chứng minh bằng phương pháp quy nạp. Lời giải a). Ta có: u2  1  u12  10 u3  1  u22  11 u4  1  u32  12 u5  1  u42  13 b). Ta có: u1  1  8, u2  2  8, u3  3  8, u4  4  8, u5  5  8 . Ta dự đoán un  n  8 1 Với n  1, có: u1  1  8  3 (đúng). Vậy (1) đúng với n  1 Giả sử (1) đúng với n  k , có nghĩa ta có: uk  k  8  2 Ta cần chứng minh (1) đúng với n  k  1. Có nghĩa là ta phải chứng minh: uk 1  k  9 Thật vậy từ hệ thức xác định dãy số và theo  2  ta có: uk 1  1  uk2  1  ( k  8) 2  k  9 Vậy (1) đúng với n  k  1. Kết luận * đúng với mọi số nguyên dương n. Câu 7. Tìm 5 số hạng đầu và tìm công thức tính số hạng tổng quát un theo n của các dãy số sau : u1  1 u1  1  a).  với n  1, n   un ,n   * b).  un 1  un  3 un 1  1  u n  Lời giải a). Ta có: 1 u2 1 u1 1 1 u2    . u3   2  . 1  u2 1  1 3 1  u1 1  1 2 2 1 1 u3 1 u 1 u4   3  . u5  4  4  . 1  u3 1  1 4 1  u4 1  1 5 3 4 Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 1 Từ các số hạng đầu trên, ta dự đoán số hạng tổng quát un có dạng: un  , n  1.* n Ta dùng phương pháp quy nạp để chứng minh công thức * Đã có: * đúng với n  1 Giả sử * đúng khi n  k . Nghĩa là ta có: uk  1 k Ta chứng minh * đúng khi n  k  1. Nghĩa là ta phải chứng minh: uk 1  1 . k 1 Thật vậy từ hệ thức xác định dãy số và giả thiết quy nạp ta có: 1 1 uk 1 uk 1   k  k  . 1 k  1 1  uk 1  k 1 k k Kết luận: * đúng khi n  k  1 ,suy ra * đúng với mọi số nguyên dương n. b). Ta có : u2  u1  3  2  3.2  4 u3  u2  3  5  3.3  4 u4  u3  3  8  3.4  4 u5  u4  3  11  3.5  4 Từ các số hạng đầu trên, ta dự đoán số hạng tổng quát un có dạng: un  3n  4, n  1. * Ta dùng phương pháp quy nạp để chứng minh công thức * Đã có: * đúng với n  1 Giả sử * đúng khi n  k . Nghĩa là ta có: uk  3k  4 Ta chứng minh * đúng khi n  k  1. Nghĩa là ta phải chứng minh: uk 1  3(k  1)  4 Thật vậy từ hệ thức xác định dãy số và giả thiết quy nạp ta có: uk 1  uk  3  3k  4  3  3(k  1)  4 Kết luận: * đúng khi n  k  1 ,suy ra * đúng với mọi số nguyên dương n. Câu 8. u1  1 Cho dãy số (un ) xác định bởi:  . un  2un 1  3 n  2 1. Viết năm số hạng đầu của dãy; 2. Chứng minh rằng un  2n 1  3 ; Lời giải. 1. Ta có 5 số hạng đầu của dãy là: u1  1; u2  2u1  3  5 ; u3  2u2  3  13; u4  2u3  3  29 u5  2u4  3  61 . 2. Ta chứng minh bài toán bằng phương pháp quy nạp * Với n  1  u1  211  3  1  bài toán đúng với N  1 * Giả sử uk  2k 1  3 , ta chứng minh uk 1  2k  2  3 Thật vậy, theo công thức truy hồi ta có: uk 1  2uk  3  2(2k 1  3)  3  2k  2  3 đpcm. Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 17 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Câu 9. un 1  un2  2vn2 Cho hai dãy số (un ),(vn ) được xác định như sau u1  3, v1  2 và  với n  2 . vn1  2un .vn 2 n 2 n 1. Chứng minh: u  2v  1 và un  2vn    2n 2 1 với n  1 ; 2. Tìm công thức tổng quát của hai dãy (un ) và (vn ) . Lời giải. 1. Ta chứng minh bài toán theo quy nạp a) Chứng minh: un2  2vn2  1 (1)  Ta có u12  2v12  32  2.22  1 nên (1) đúng với n  1  Giả sử uk2  2vk2  1 , khi đó ta có: 2 2 uk21  2vk21   uk2  2vk2   2  2uk vk    uk2  2vk2   1 Từ đó suy ra (1) đúng với n  1 . b) Chứng minh un  2vn    2n 2 1 (2)  Ta có: un  2vn  un21  2vn21  2 2un 1vn 1  un 1  2vn 1  Ta có: u1  2v1  3  2 2   Giả sử uk  2vk    2 1    2 2 2 1 nên (2) đúng với n  1 2k , ta có: 2  uk 1  2vk 1  uk  2vk    2 k 1 2 1 Vậy (2) đúng với n  1 . 2. Theo kết quả bài trên và đề bài ta có: un  2vn  n  2 1 n 2 2  2un  2  1  2  1 Do đó ta suy ra  2n  2 2v  2  1  2  1 n    2n        2n 2n 2n   1 u  2  1  2  1 n   2    Hay  . n n v  1  2  1 2  2  1 2    n 2 2   C. Bài tập trắc nghiệm         DÀNH CHO HỌC SINH TRUNG BÌNH – KHÁ Câu 1. Cho dãy số viết dưới dạng khai triển là 1, 4,9,16, 25, n. Trong các công thức sau, công thức nào là công thức tổng quát của dãy số trên. A. un  3n  2. B. un  n  3. C. un  n2 . D. un  2n2  1. Lời giải: Chọn C Thử từng đáp án với n  1, 2, 3, 4,5 ta thấy đáp án C đúng. Câu 2. Cho dãy số có các số hạng đầu là: 8,15, 22, 29, 36,… .Tìm số hạng tổng quát của dãy số đã cho. A. un  7 n  7. B. un  7 n. C. un  7 n  1. D. un  7 n  3. Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 Lời giải: Chọn C Ta có: 8  7.1  1 15  7.2  1 22  7.3  1 29  7.4  1 36  7.5  1 Suy ra số hạng tổng quát un  7 n  1 . Câu 3. 1 3 2 5 , , , ,… . Công thức tổng quát un nào là của dãy số đã cho? 2 5 3 7 n n 1 2n n A. un  n  * . B. u n  n n   * . C. un  n   * . D. un  n  * . n 1 n3 2n  1 2 Cho dãy số Lời giải Viết lại dãy số:  un  Câu 4. 2 3 4 5 , , , ,… 4 5 6 7 n 1 n    . n3 Cho dãy số có các số hạng đầu là: 5;10;15; 20; 25;… Số hạng tổng quát của dãy số này là: A. un  5(n  1) . B. un  5n . C. un  5  n . D. un  5.n  1 . Lời giải Chọn B. Ta có: 5  5.1 10  5.2 15  5.3 20  5.4 25  5.5 Suy ra số hạng tổng quát un  5n . Câu 5. 1 2 3 4 Cho dãy số có các số hạng đầu là: 0; ; ; ; ;… .Số hạng tổng quát của dãy số này là: 2 3 4 5 n2  n n 1 n n 1 A. un  . B. un  . C. un  . D. un  . n n 1 n n 1 Lời giải Chọn B. Ta có: 0 0 0 1 1 1  2 11 2 2  3 2 1 3 3  4 3 1 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 19 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 4 4  5 4 1 Suy ra un  Câu 6. n . n 1 Cho dãy số có các số hạng đầu là: 1;1; 1;1; 1;… .Số hạng tổng quát của dãy số này có dạng A. u n  1 . C. u n  (1) n . B. u n  1 . D. un   1 n 1 . Lời giải Chọn Ta có: C. 1 2 3 4 5 n Các số hạng đầu của dãy là  1 ;  1 ;  1 ;  1 ;  1 ;…  un   1 . Câu 7. Cho dãy số có các số hạng đầu là: 2; 0; 2; 4; 6;… .Số hạng tổng quát của dãy số này có dạng? B. u n   2   n . A. u n  2n . C. u n   2 (n  1) . D. un   2   2  n  1 . Lời giải Chọn D. Dãy số là dãy số cách đều có khoảng cách là 2 và số hạng đầu tiên là  2 nên un   2   2.  n  1 . Câu 8. 1 1 1 1 1 ; ; ; ; ; ….Số hạng tổng quát của dãy số này là? 3 3 2 33 3 4 35 1 1 1 B. u n  n 1 . C. u n  n . D. u n  n 1 . 3 3 3 Lời giải Cho dãy số có các số hạng đầu là: A. u n  1 1 . 3 3 n 1 Chọn C. 5 số hạng đầu là 1 1 1 1 1 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ;… nên un  n . 3 31 3 3 3 3 DÀNH CHO HỌC SINH KHÁ – GIỎI Câu 9. u  1 Cho dãy số  un  xác định bởi  1  n  1 . Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số trên. un 1  3un A. un  3n . B. un  3n 1 . C. un  3n1  2 . D. un  3n  2 . Lời giải Chọn B Ta có u1  1  30 u2  31 u3  32 … Dự đoán un  3n1 , n  * . Ta dễ dàng chứng minh được công thức này bằng quy nạp + với n  1  u1  1 suy ra khẳng định đúng + Giả sử n  k  2 ta có uk  3k 1 . Ta phải chứng minh uk 1  3k Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 Thật vậy, theo công thức truy hồi ta có uk 1  3.uk  3.3k 1  3k Vậy theo nguyên lý quy nạp ta dã chứng minh được un  3n1 , n  * Câu 10. Cho dãy số có các số hạng đầu là: 0.1;0.01;0.001;0.0001… . Số hạng tổng quát của dãy số này có dạng? A. un  0.00…01   . B. un  0.00…01   . n 1 sè 0 n sè 0 C. un  1 . 10n 1 D. un  1 . 10n1 Lời giải Chọn A Ta có u1  0.1  1 10 1 10 2 1 u3  0.001  3 10 … 1 Dự đoán un  n  0.00…01   . 10 n sè 0 u2  0.01  Câu 11. Cho dãy số có 4 số hạng đầu là: 1,3,19,53 . Hãy tìm một quy luật của dãy số trên và viết số hạng thứ 10 của dãy với quy luật vừa tìm. A. u10  97 B. u10  71 C. u10  1414 D. u10  971 Lời giải: Chọn A. Xét dãy (un ) có dạng: un  an3  bn2  cn  d a  b  c  d  1 8a  4b  2c  d  3  Ta có hệ:  27 a  9b  3c  d  19 64a  16b  4c  d  53 Giải hệ trên ta tìm được: a  1, b  0, c  3, d  1  un  n3  3n  1 là một quy luật. Số hạng thứ 10: u10  971 . u1  5 Câu 12. Cho dãy số u n  với  .Số hạng tổng quát u n của dãy số là số hạng nào dưới đây? u n 1  u n  n ( n  1) n ( n  1) n A. u n  . B. u n  5  . 2 2 ( n  1) n ( n  1)( n  2) C. u n  5  . D. u n  5  . 2 2 Lời giải Chọn B. Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 21 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Ta có un  5  1  2  3  …  n  1  5  n  n  1 . 2 u1  1 Câu 13. Cho dãy số  un  với  2 n . Số hạng tổng quát u n của dãy số là số hạng nào dưới un 1  un   1 đây? A. un  1  n . 2n C. un  1   1 . B. un  1  n . D. un  n . Lời giải Chọn Ta có: D. u n 1  un   1 2n  un  1  u 2  2; u3  3; u4  4;… Dễ dàng dự đoán được un  n . Thật vậy, ta chứng minh được un  n * bằng phương pháp quy nạp như sau: + Với n  1  u1  1 . Vậy * đúng với n  1 + Giả sử * đúng với mọi n  k  k  *  , ta có: uk  k . Ta đi chứng minh * cũng đúng với n  k  1 , tức là: uk 1  k  1 2k + Thật vậy, từ hệ thức xác định dãy số  un  ta có: u k 1  uk   1  k  1 . Vậy * đúng với mọi n  * . u1  1 Câu 14. Cho dãy số  un  với  2 n 1 . Số hạng tổng quát u n của dãy số là số hạng nào dưới un 1  un   1 đây? A. un  2  n . B. un không xác định. D. un  n với mọi n . C. un  1  n . Lời giải Chọn A. Ta có: u2  0; u3  1; u4  2 ,. Dễ dàng dự đoán được un  2  n . u1  1 Câu 15. Cho dãy số  un  với  . Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới đây? 2 un 1  un  n A. un  1  C. un  1  n  n  1 2n  1 6 n  n  1 2n  1 6 . B. un  1  . D. un  1  n  n  1 2n  2  6 n  n  1 2n  2  6 . . Lời giải Chọn C. u1  1  2 u2  u1  1  Ta có: u3  u2  22 . …  u  u   n  12 n 1  n 2 Cộng hai vế ta được un  1  12  2 2  …   n  1  1  n  n  1 2n  1 6 Trang 22 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 u1  2 với un 1  un  2n  1 . Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới Câu 16. Cho dãy số  un  đây? 2 A. u n  2   n  1 . 2 B. u n  2  n 2 . C. u n  2   n  1 . 2 D. un  2   n  1 . Lời giải A. u1  2 u  u  1 1  2 2 Ta có: u3  u2  3 . Cộng hai vế ta được un  2  1  3  5  …   2n  3  2   n  1 …  un  un1  2n  3 Chọn u1  2  Câu 17. Cho dãy số  un  với  1 . Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là: un 1  2  u n  n 1 n 1 n 1 n A. un   . B. un  . C. un   . D. un   . n n n n 1 Lời giải Chọn C. 3 4 5 n 1 Ta có: u1   ; u2   ; u3   ;… Dễ dàng dự đoán được un   . 2 3 4 n 1  u  Câu 18. Cho dãy số  un  với  1 2 . Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là: un 1  un  2 1 1 1 1 A. un   2  n  1 . B. un   2  n  1 . C. un   2n . D. un   2n . 2 2 2 2 Lời giải Chọn B. 1  u1  2  u2  u1  2 1 1  Ta có: u3  u2  2 . Cộng hai vế ta được un   2  2…  2   2  n  1 . 2 2 …  un  un 1  2  u1  1  Câu 19. Cho dãy số  un  với  un . Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là: u  n  1  2 n 1 A. un   1 .   . 2 Chọn 1 B. un   1 .   2 n 1 1 . C. un    2 Lời giải n 1 . 1 D. un   1 .   2 n 1 . D. Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 23 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 u1  1  u2  u1 2   u Ta có: u3  2 . 2  …   un  un 1 2  u .u .u …u 1 1 Nhân hai vế ta được u1.u2 .u3 …un   1 . 1 2 3 n 1  un   1 . n 1   1 .   2.2.2…2 2 2    n 1 n 1 lan u1  2 Câu 20. Cho dãy số  un  với  . Công thức số hạng tổng quát của dãy số này: un1  2un A. u n  n n 1 . B. un  2 n . C. u n  2 n 1 . D. un  2 . Lời giải B. u1  2 u  2u 1  2 Ta có: u3  2u2 . Nhân hai vế ta được u1.u2 .u3 …un  2.2 n 1.u1.u2 …un 1  un  2 n …  un  2un1 Chọn Câu 21. Cho dãy số  un  1  u1  với  . Công thức số hạng tổng quát của dãy số này: 2 un 1  2un A. u n  2 n 1 . B. un  1 . 2n 1 C. un  1 . 2n D. un  2 n  2 . Lời giải Chọn D. 1  u1  2  u2  2u1 1  Ta có: u3  2u2 . Nhân hai vế ta được u1.u2 .u3 …un  .2n 1.u1.u2 …un1  un  2n  2 2 …  un  2un 1  u1  1 Câu 22. Cho dãy số (un ) xác định bởi  . Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho 3 * un 1  un  n , n   un  1  2039190 . A. n  2017 . B. n  2019 . C. n  2020 . D. n  2018 . Lời giải Theo hệ thức đã cho ta có: Trang 24 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 un  un 1  (n  1)3  un 2  (n  2)3  (n  1)3  …  u1  13  23  …  (n  1)3 . Lại có 13  23  …  (n  1)3  (1  2  …  (n  1)) 2  Suy ra: un  1  (n  1)2 n 2 . 4 n 2 (n  1) 2 n(n  1) .  un  1  4 2 Sử dụng mode 7 cho n chạy từ 2017 đến 2020 , ta được kết quả n  2020 . u1  1 Câu 23. Cho dãy số  un  xác định bởi  . Giá trị của n để un  2017n  2018  0 un 1  un  2n  1, n  1 là A. Không có n . B. 1009 . C. 2018 . D. 2017 . Lời giải 2 Với n  1 ta có: u 2  u1  3  4  2 . Với n  2 ta có: u3  u 2  2.2  1  9  32 . Với n  3 ta có: u 4  u3  2.3  1  16  4 2 . Từ đó ta có: u n  n 2 .  n  1  L  Suy ra un  2017 n  2018  0   n 2  2017 n  2018  0   .  n  2018  N  u  1 Câu 24. Cho dãy số  un  xác định bởi:  1  n  1 . Xác định công thức của số hạng tổng quát. un 1  un  2 A. un  2 n  1 . B. un  3n  2 . C. un  4 n  3 . D. un  8n  7 . Lời giải Chọn A Ta có u1  1 u2  3 u3  5 … Dự đoán un  2n  1, n  * . Ta dễ dàng chứng minh được công thức dự đoán bằng quy nạp Câu 25. Cho dãy số  un  với un  1 và dãy số  vn  xác định bởi n  n  1 v1  u1  n  1 . Xác định  vn 1  vn  un 1 công thức tổng quát của dãy  vn  . n 1 . n3 n2 C. vn  . n4 A. vn  2n . 3n  1 n D. vn  . n 1 B. vn  Lời giải Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 25 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Chọn D Ta có v1  v1  1 và vn 1  vn  un 1 2 1 2 1 2.3 1 v3  v2  3.4 … v2  v1  vn  vn 1  1 n  n  1 Cộng vế theo vế các đẳng thức trên ta được 1 1 1 1 vn     …  2 2.3 3.4 n  n  1 1  1 n  1 1 1 1 1 1   1            …     1   n 1 n 1  2   2 3  3 4   n n 1  u  u2  1 Câu 26. Cho dãy số  un  xác định bởi  1  n  3 . Tìm công thức số hạng tổng quát của un  2un 1  un 2  2 dãy số đó. A. un  n2  3n  2 . B. un  n2  4n  3 . C. un  n2  3n  2 . D. un  n2  3n  3 . Lời giải Chọn D Ta có un  2un 1  un 2  2  un  un 1  un 1  un 2  2, n  3 u3  u2  u2  u1  2   u4  u3  u3  u2  2    un  u2  un 1  u1  2  n  2   un  un 1  2 n  4 *  …  un  un 1  un 1  un  2  2  Từ  *  và giả thiết ta lại có u2  u1  0   u3  u2  2   u4  u3  4   un  u1  0  2  4  …  2 n  4  …  un  un 1  2 n  4  n  un  u1    2 k  4   n 2  3n  2  un  n 2  3n  3 k 2 u  5 Câu 27. Tìm công thức tổng quát của dãy số cho bởi  1 un 1  2un  3  3n A. un  2 n  3 . B. un  3n  2 . C. un  3n  2 . D. un  2n  3n . Trang 26 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 Lời giải Chọn D Ta có u2  10  2 2  3.2 u3  17  23  3.3 u4  28  2 4  3.4 … un  2 n  3n Ta có thể chứng minh công thức dự đoán trên bằng quy nạp u1  3  Câu 28. Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi công thức truy hồi sau  1 un 1  2  2 n 1 2 A. un  4  n . B. un  4  n . 2 2 1 1 C. un  4  n 2 . D. un  4  n1 . 2 2 Lời giải Chọn B Ta có u2  3  1 1  1  3  1    4  2 2  2 u3  3  3 1  1  3  1    4  4 4  4 u4  3  7 1  1  3  1    4  8 8  8 … 2 2 2n Ta có thể chứng minh công thức dự đoán trên bằng quy nạp un  4  1 n 1  4 Câu 29. Cho dãy số  un  u1  2 1  un  xác định bởi  . Tìm công thức số hạng tổng quát un . Đặt vn  un un 1  1  u  n của dãy số  vn  . 6 . 11  n 2 C. vn  . 1  2n A. vn  2 . 1  3n 3 D. vn   n . 2 B. vn  Lời giải Chọn D Cách 1: Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 27 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Ta có vn  1  un 1  un 1  vn 1  un un 1 un 1  un 1 1 1  un    vn1  vn    1 un un un un 1  un 1 Khi đó v2  v1  1   v3  v2  1  1  u1 1  2 1     vn  v1  1  n  1  vn  1  n  v1 . Ta lại có v1  u1 2 2 …  vn  vn1  1 1 3 Vậy vn  1  n    n 2 2 Cách 2:Tìm un rồi suy ra vn 2 3 2 u3   5 2 u4   7 …      2  1  2n  1  3  n   vn  2 2  2n  1   2  un   2n  1   u2   u1  3 Câu 30. Xác định công thức tính số hạng tổng quát un theo n của dãy số sau:  . un 1  un  2 A. un  2n  1 . B. un  2n  1 . C. un  2n  1 . D. un  2n  1 . Lời giải Chọn A Ta có: u2  u1  2  3  2  5. u3  u2  2  5  2  7. u4  u3  2  7  2  9. u5  u4  2  9  2  11. Từ các số hạng đầu trên, ta dự đoán số hạng tổng quát un có dạng: un  2n  1 n  1  Ta dùng phương pháp chứng minh quy nạp để chứng minh công thức   đúng. Với n  1; u1  2.1  1  3 (đúng). Vậy   đúng với n  1. Giả sử   đúng với n  k . Có nghĩa ta có: uk  2k  1  2 Ta cần chứng minh   đúng với n  k  1. Có nghĩa là ta phải chứng minh: uk 1  2  k  1  1  2k  3. Thật vậy từ hệ thức xác định dãy số và theo  2  ta có: Trang 28 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 uk 1  uk  2  2k  1  2  2k  3. Vậy   đúng khi n  k  1. Kết luận   đúng với mọi số nguyên dương n . u1  1 n  1. Câu 31. Xác định công thức tính số hạng tổng quát un theo n của dãy số sau:  3 u  n  u n n  1  2 A. un  n 2  n  1 . 4 C. un  n 2  n  1 . 4 2 B. un  1  n 2  n  1 . 4 2 2 D. un  1  n 2  n  1 . 4 Lời giải Chọn B Ta có: un 1  un  n3  un1  un  n3 . Từ đó suy ra: u1  1 u2  u1  13 u3  u2  23 u4  u3  33 ………….. un 1  un 2   n  2  un  un 1   n  1 3 3 Cộng từng vế n đẳng thức trên: 3 u1  u2  u1  u3  u2  …  un1  un 2  un  un1  1  13  23  33  …   n  2    n  1 3 3 3  un  1  13  23  33  …   n  2    n  1 . 3 Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được: 13  23  33  …   n  1  2  n  1 2 .n 2 4 2 n  n  1 4 Mở rộng phương pháp: Nếu dãy số  un  được cho dưới dạng liệt kê thì ta có thể thử giá trị n vào từng đáp án. Vậy un  1  Nếu dãy số  un  được cho bởi một hệ thức truy hồi tính vài số hạng đầu của dãy số sau đó ta có thể thử giá trị n vào từng đáp án. Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 29 TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học: 2020-2021 Chương 3 DÃY SỐ TĂNG, GIẢM VÀ DÃY SỐ BỊ CHẶN Bài 1 Lý thuyết DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM VÀ DÃY SỐ BỊ CHẶN 1. Dãy số tăng, dãy số giảm Dãy số un  được gọi là dãy số tăng nếu ta có un1  un với mọi n   * . Dãy số un  được gọi là dãy số giảm nếu ta có un1  un với mọi n   * . Chú ý: Không phải mọi dãy số đều tăng hoặc giảm. Chẳng hạn, dãy số un  với un  3n tức là dãy 3, 9, 27,81,… không tăng cũng không giảm. 2. Dãy số bị chặn Dãy số un  được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho * un  M , n   . Dãy số un  được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho un  m, n   * . Dãy số un  được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số m, M sao cho m  un  M , n   * . Lưu y: + Dãy tăng sẽ bị chặn dưới bởi u1 + Dãy giảm sẽ bị chặn trên bởi u1 DẠNG 1: XÉT TÍNH TĂNG, GIẢM CỦA DÃY SỐ A. Phương pháp giải. Cách 1: Xét hiệu un 1  un Nếu un 1  u n  0 n   * thì (un ) là dãy số tăng. Nếu un 1  u n  0 n  * thì (un ) là dãy số giảm. Cách 2: Khi un  0 n  * ta xét tỉ số Nếu un 1  1 thì (un ) là dãy số tăng. un Nếu un 1  1 thì (un ) là dãy số giảm. un un 1 un Cách 3: Nếu dãy số (un ) được cho bởi một hệ thức truy hồi thì ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh u n 1  u n n  * (hoặc u n 1  u n n  * ) * Công thức giải nhanh một số dạng toán về dãy số Dãy số (un ) có un  an  b tăng khi a  0 và giảm khi a  0 Dãy số (un ) có un  q n Không tăng, không giảm khi q  0 Giảm khi 0  q  1 Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Tăng khi q  1 Dãy số (un ) có un  an  b với điều kiện cn  d  0 n  * cn  d Tăng khi ad  bc  0 Giảm khi ad  bc  0 Dãy số đan dấu cũng là dãy số không tăng, không giảm Nếu dãy số (un ) tăng hoặc giảm thì dãy số  q n .un  (với q  0 ) không tăng, không giảm a  0 Dãy số (un ) có un 1  aun  b tăng nếu  ; giảm nếu u2  u1  0 a  0 và không tăng không  u2  u1  0 giảm nếu a  0 aun  b  un1  cu  d Dãy số (un ) có  tăng nếu n c, d  0, u  0 n  * n  ad  bc  0 và giảm nếu  u2  u1  0 ad  bc  0  u2  u1  0 aun  b  un1  cu  d Dãy số (un ) có  không tăng không giảm nếu ad  bc  0 n c, d  0, u  0 n  * n  (un )  Nếu  thì dãy số  un  vn   (vn )  (un )  Nếu  thì dãy số  un  vn   (vn )  (un ) ; un  0 n  * Nếu  thì dãy số  un .vn   * (vn ) ; vn  0 n   (un ) ; un  0 n  * Nếu  thì dãy số  un .vn   * (vn ) ; vn  0 n   Nếu (u n )  và un  0 n  * thì dãy số  u  n và dãy số  (un ) m   m  *    1 Nếu (un )  và un  0 n  * thì dãy số   un Xét tính tăng giảm của các dãy số sau: 1). Dãy số  un  với un  2n3  5n  1 2). Dãy số  un  với un  3n  n. 3). Dãy số  un  với un  4). Dãy số  un  với un  5). Dãy số  un  với un  n . n 1 2 n 2n 3n n2 6). Dãy số  un  : Với un  7). Dãy số  un  với un   u  n và dãy số  (un )m   m  * 1 Nếu (u n )  và un  0 n  * thì dãy số   un B. Bài tập tự luận Câu 1. Nếu (un )  và un  0 n  * thì dãy số 3n 2  2n  1 n 1 n2  n  1 2n 2  1 Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/    TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 2 8). Dãy số  un  với un  n  n  1 n  1 1 n ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. 9). Dãy số  un  với un  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 Câu 2. Xét tính tăng giảm của các dãy số  un  được cho bởi hệ thức truy hồi sau: u1  3 u2  2  a).  b).  2un * un 1  2un  3, n  N un 1  3  u n  ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. u  5 Câu 3. Cho dãy số  un  xác định bởi:  1 un 1  un  3n  2. a). Tìm công thức của số hạng tổng quát. b). Chứng minh dãy số tăng. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 0  an  1; n  N *  Câu 4. Cho dãy số  an  định bởi:  1 an1 1  an   4 ; n  N * 1 1 a). Chứng minh: an   , n  N * 1 2 2n b). Xét tính đơn điệu của dãy số  an  . ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… u1  a 2 Câu 5. Cho a  2 . Xét dãy U n  xác định bởi  . Xét tính đơn điệu của dãy U n  2 un 1   un  a  n  N * ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. a.n 4  2 Câu 6. Cho dãy số (un ) định bởi: un  4 ; n  N * . Định a để dãy số (un ) tăng. 2n  5 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. C. Bài tập trắc nghiệm Câu 1. Câu 2. Câu 3. Câu 4. DÀNH CHO HỌC SINH TRUNG BÌNH – KHÁ Cho dãy số (un ) biết un  3n  6 . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm C. Dãy số không tăng, không giảm D. Cả A, B, C đều sai n5 Cho dãy số (un ) biết un  . Mệnh đề nào sau đây đúng? n2 A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm n5 C. Dãy số không tăng, không giảm D. Có số hạng un 1  1 n2 5n . Mệnh đề nào sau đây đúng? n2 A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm C. Dãy số không tăng, không giảm D. Dãy số là dãy hữu hạn Trong các dãy số  un  cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào tăng? Cho dãy số (un ) biết un  A. un  Câu 5. Câu 6. Câu 7. n . 2n B. un  n 2n 2  1 . C. un  n2  1 . 3n  2 D. un  (2)n n 2  1. Cho dãy số (un ) biết un  5n  2 . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm C. Dãy số không tăng, không giảm D. Cả A, B, C đều sai 1 Cho dãy số (un ) biết un  . Mệnh đề nào sau đây đúng? 3n  2 A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm C. Dãy số không tăng, không giảm D. Cả A, B, C đều đúng 10 Cho dãy số (un ) biết un  n . Mệnh đề nào sau đây đúng? 3 A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 7 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 10 3 1 2 Cho dãy số (un ) biết u n  2 n  3n  1 . Mệnh đề nào sau đây đúng? D. un1  C. Dãy số không tăng, không giảm Câu 8. A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm D. un1  2  n  12   3  n  1  1 C. Dãy số không tăng, không giảm Câu 9. n n Cho dãy số (un ) biết un   1  n 2  1 . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm C. Dãy số không tăng, không giảm D. Dãy số là dãy hữu hạn 2 Câu 10. Cho dãy số (un ) biết un  n  400n . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm C. Dãy số không tăng, không giảm D. Mọi số hạng đều âm Câu 11. Trong các dãy số  un  cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào tăng? 1 1 n 1 4n  2 . . . . B. un  C. un  D. un  n 3 2n  1 3n  2 n3 Câu 12. Trong các dãy số  un  cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào giảm? A. un  n 4 A. un    . 3 n B. un   1  5n  1 . C. u n  3n. D. un  n  4. Câu 13. Trong các dãy số  un  cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào không tăng, không giảm? 1 A. un  n  . B. un  5n  3n. C. u n  3n. n Câu 14. Cho dãy số (un ) biết u n  5n  4 n . Mệnh đề nào sau đây đúng? n D. un   3 . n 2  1 A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm C. Dãy số không tăng, không giảm D. Dãy số có số hạng thứ 100 bé hơn 1 an  2 Câu 15. Cho dãy số (un ) biết un  . Tìm tất cả các giá trị của a để dãy số tăng. 3n  1 A. a  6 B. a  6 C. a  6 D. a  6 n Câu 16. Cho dãy số (un ) biết u n  2  an . Tìm tất cả các giá trị của a để dãy số tăng. A. a  2 B. a  2 C. a  2 D. a  2 n 3 . Tìm tất cả các giá trị của a để dãy số tăng. an B. Không tồn tại a C. a  * D. a  0 Câu 17. Cho dãy số (un ) biết un  A. a  0 Câu 18. Cho dãy số (un ) biết un  3n  2  3n  1 . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm C. Dãy số không tăng, không giảm D. Cả A, B, C đều đúng Câu 19. Cho dãy số (un ) biết un  n  n2  1 . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm C. Dãy số không tăng, không giảm D. Các số hạng đều dương 2 2n  n  1 . Mệnh đề nào sau đây đúng? n2 A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm C. Dãy số không tăng, không giảm D. Có số hạng âm Câu 21. Trong các dãy số có công thức tổng quát sau, dãy số nào là dãy số tăng? Câu 20. Cho dãy số (un ) biết un  Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 n n 2 2n  1 A. un   1 B. un   1 C. un  D. un   1 .3n 2 n 5n  2 Câu 22. Trong các dãy số  un  cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào là dãy số giảm? 1 3n  1 . B. un  . C. un  n 2 . n 2 n 1 Câu 23. Trong các dãy số sau, dãy số nào là dãy số giảm A. un  n3 n A. un  . B. un  . n 1 2 Câu 24. Dãy số nào sau đây là dãy số giảm? 5  3n ,  n   * . A. un  2n  3 C. un  2n3  3,  n   * . D. un  n  2 . 2 C. un  2 . n D. un  1  n . 3n n5 ,  n   * . 4n  1 D. un  cos  2n  1 ,  n   * . B. un  Câu 25. Cho các dãy số sau. Dãy số nào là dãy số tăng? 1 1 1 1 A. 1; 1; 1; 1; 1; 1; B. 1;  ; ;  ; ; 2 4 8 16 1 1 1 1 C. 1; 3; 5; 7; 9; D. 1; ; ; ; ; 2 4 8 16 Câu 26. Trong các dãy số  un  cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào là dãy số tăng? 1 1 n5 2n  1 . . . B. un  . C. un  D. un  n 2 n 3n  1 n 1 Câu 27. Trong các dãy số  un  cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào là dãy số tăng? A. un  2 3 B. un  . C. un  2n. . n 3 n Câu 28. Trong các dãy số sau, dãy số nào là dãy số giảm? n D. un   2  . A. un  A. un  n2 . Câu 29. Trong các dãy số  un  2n  1 . n 1 cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào là dãy số giảm? C. un  n3  1 . B. un  2n . A. un  sin n. n2  1 B. un  . n C. un  n  n  1. D. un   1 .  2n  1 . D. un  n Câu 30. Mệnh đề nào sau đây đúng? 1 A. Dãy số un   2 là dãy tăng. n n 1 C. Dãu số un  là dãy giảm. n 1 Câu 31. Mệnh đề nào sau đây sai? 1 n A. Dãy số un  là dãy giảm. n n B. Dãy số un   1  2n  1 là dãy giảm. D. Dãy số un  2n  cos 1 là dãy tăng. n B. Dãy số un  2n2  5 là dãy tăng. n  1 C. Dãy số un  1   là dãy giảm.  n D. Dãy số un  n  sin 2 n là dãy tăng. DÀNH CHO HỌC SINH KHÁ – GIỎI Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 9 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 u1  2  Câu 32. Cho dãy số (un ) biết (un ) :  . Mệnh đề nào sau đây đúng? 3un 1  1 n  2 un  4 A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm C. Dãy số không tăng, không giảm D. Cả A, B đều đúng Câu 33. Trong các dãy số  un  cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào tăng? A. un  sin n . n B. un  n2  1 . 2n  1 C. un  3n . n2 D. u n  4 n 3  3n 2  1. u1  1  Câu 34. Cho dãy số (un ) biết  1 5 . Mệnh đề nào sau đây đúng? un  3 un 1  3 A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm C. Dãy số không tăng, không giảm D. Cả A, B, C đều sai u1  1 Câu 35. Cho dãy số (un ) biết  . Mệnh đề nào sau đây đúng? 2  un 1  un  3, n   A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm C. Dãy số không tăng, không giảm D. Cả A, B, C đều đúng u1  3  Câu 36. Cho dãy số (un ) biết  3un . Mệnh đề nào sau đây đúng? un 1  3  u n  A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm C. Dãy số không tăng, không giảm D. Có u10  2 1 1 1 . Mệnh đề nào sau đây đúng?   …  n 1 n  2 nn A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm C. Dãy số không tăng, không giảm D. Có hữu hạn số hạng u1  1, u2  2 Câu 38. Cho dãy số (un ) biết  . Tìm tất cả các giá trị của a để (un ) tăng? * un  2  aun 1  1  a  un n   A. a  0. B. 0  a  1. C. a  1. D. a  1. an  b Câu 39. Cho (un ) biết un  và c  0, d  0 . Khi đó điều kiện đủ để dãy số (un ) tăng là? cn  d A. a  0, b  0. B. a  0, b  0. C. a  0, b  0. D. a  0, b  0. Câu 37. Cho dãy số (un ) biết un  u1  2   2 Câu 40. Cho dãy số (un ) biết  Mệnh đề nào sau đây đúng? un  1 n  * un 1   4 A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm C. Dãy số không tăng, không giảm D. Là dãy số không đổi na  2 Câu 41. Với giá trị nào của a thì dãy số  un  , với un  , là dãy số tăng? n1 A. a  2 . B. a  2 . C. a  2 . D. a  2 . Câu 42. Gọi A là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của a thuộc đoạn   5; 5  sao cho dãy số (un ) với un  an2  1 là một dãy số tăng. Hỏi tập hợp A có bao nhiêu phần tử? 2n 2  3 Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 A. 6 . B. 11 . C. 5 . D. Vô số. a b n n1 a b Câu 43. Cho dãy số  un  với un  n . Biết hiệu un1  un  c n c trong đó , là các phân số tối c c 3 3 a b giản. Tính tổng  . c c 1 A. 1. B. -1. C.  . D. 3 . 3 an  3 Câu 44. Cho dãy số tăng  un  với un  , với a , b là hai số thực dương. Mệnh đề nào dưới đây bn  1 đúng? A. 3b  a  0 . B. a  3b . C. a  3b  0 . D. a  3b  6  0 . Câu 45. dãy số (un ) xác định bởi un  2010  2010  …  2010 (n dấu căn)Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Tăng B. Giảm C. Không tăng, không giảm D. Bị chặn DẠNG 2: XÉT TÍNH BỊ CHẶN CỦA DÃY SỐ A. Phương pháp giải Phương pháp 1: Chứng minh trực tiếp bằng các phương pháp chứng minh bất đẳng thức Cách 1: Dãy số (un ) có un  f (n) là hàm số đơn giản. Ta chứng minh trực tiếp bất đẳng thức u n  f ( n)  M , n  * hoặc u n  f ( n)  m, n  * Cách 2: Dãy số (un ) có un  v1  v2  …  vk  …  vn (tổng hữu hạn) Ta làm trội vk  ak  ak 1 Lúc đó un   a1  a2    a2  a3   …  an  an 1  Suy ra u n  a1  an 1  M , n  * Cách 3: Dãy số (un ) có un  v1.v2 v3 …vn với vn  0, n  * (tích hữu hạn) Ta làm trội vk  ak 1 ak Lúc đó un  a2 a3 an 1 . … a1 a2 an Suy ra un  an 1  M , n  * a1 Phương pháp 2: Dự đoán và chứng minh bằng phương pháp quy nạp. Nếu dãy số (un ) được cho bởi một hệ thức truy hồi thì ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh Chú ý: Nếu dãy số (un ) giảm thì bị chặn trên, dãy số (un ) tăng thì bị chặn dưới * Công thức giải nhanh một số dạng toán về dãy số bị chặn Dãy số (un ) có un  q n  q  1 bị chặn Dãy số (un ) có un  q n  q  1 không bị chặn n Dãy số (un ) có un  q với q  1 bị chặn dưới Dãy số (un ) có un  an  b bị chặn dưới nếu a  0 và bị chặn trên nếu a  0 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Dãy số (un ) có un  an 2  bn  c bị chặn dưới nếu a  0 và bị chặn trên nếu a  0 Dãy số (un ) có u n  am n m  am 1n m 1  …  a1n  a0 bị chặn dưới nếu am  0 và bị chặn trên nếu am  0 Dãy số (un ) có un  q n  am n m  am 1nm 1  …  a1n  a0  với am  0 và q  1 không bị chặn Dãy số (un ) có un  am n m  am 1n m 1  …  a1n  a0 bị chặn dưới với am  0 Dãy số (un ) có un  3 am n m  am 1n m 1  …  a1n  a0 bị chặn dưới nếu am  0 và bị chặn trên nếu am  0 Dãy số (un ) có un  P n trong đó P  n  và Q  n  là các đa thức, bị chặn nếu bậc của P  n  nhỏ Q n hơn hoặc bằng bậc của Q  n  Dãy số (un ) có un  P n Q n trong đó P  n  và Q  n  là các đa thức, bị chặn dưới hoặc bị chặn trên nếu bậc của P  n  lớn hơn bậc của Q  n  B. Bài tập tự luận Câu 1. Xét tính bị chặn của các dãy số sau 1 nx a) un  2 . b) un  3.cos . c) un  2n3  1 . 2n  1 3 1 n 2  2n . e) un  n  . 2 n n  n 1 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 2n  1 ;n N * Câu 2. Xét tính tăng hay giảm và bị chặn của dãy số: un  n3 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… d) un  Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. Câu 3. Cho dãy số  un  với un  1   n  1 .2 n a). Viết 5 số hạng đầu của dãy số. b). Tìm công thức truy hồi. c). Chứng minh dãy số tăng và bị chặn dưới. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. u1  2  Câu 4. Cho dãy số  un  xác định bởi  un2 un 1  2u  1 , n  1, n    n 1) Chứng minh rằng dãy số  un  giảm và bị chặn. 2) Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số  un  . ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… n2  1 Câu 5. Chứng minh rằng dãy số  un  , với un  2 là một dãy số bị chặn. 2n  3 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 7n  5 Câu 6. Chứng minh dãy số  un  , với un  là một dãy số tăng và bị chặn. 5n  7 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Câu 7. Cho dãy số  un  với un  n 2  4n  3. a). Viết công thức truy hồi của dãy số. b). Chứng minh dãy số bị chặn dưới. c). Tính tổng n số hạng đầu của dãy số đã cho. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. n  1 Xét tính bị chặn của dãy số: un  1   ; n  N *  n ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. 1 1 1 Câu 9. Cho U n  1  5  5  …  5 n  N *. Chứng minh U n  bị chặn trên. 2 3 n ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. u1  1  Câu 10. Cho dãy số  un  định bởi  n  N * 2 un 1  3 un  5 Câu 8. a). Chứng minh un  15, n  N * . b). Chứng minh dãy số  un  tăng và bị chặn dưới ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Câu 11. Xét tính bị chặn của các dãy số sau: 1 1 1 1 1 1 1 a). un  b). un  2  2  2  …  2   …  1 2 3 n 1.2 2.3 n  n  1 c). un  1 1 1 1 1 1 d). un    …    …  1.3 2.5 1.4 2.5 n  n  3  2n  1 2n  1 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… C. Bài tập trắc nghiệm Câu 1. Câu 2. DÀNH CHO HỌC SINH TRUNG BÌNH – KHÁ 1 Cho dãy số (un ) biết un  . Mệnh đề nào sau đây đúng ? 2n  3 A. Dãy số bị chặn. B. Dãy số bị chặn trên. C. Dãy số bị chặn dưới. D. Không bị chặn 4n  5 Cho dãy số (un ) biết un  . Mệnh đề nào sau đây đúng ? n 1 Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 A. Dãy số bị chặn. B. Dãy số bị chặn trên. C. Dãy số bị chặn dưới. D. Không bị chặn Câu 3. Câu 4. n3 . Mệnh đề nào sau đây đúng ? n2  1 A. Dãy số bị chặn. B. Dãy số bị chặn trên. C. Dãy số bị chặn dưới. D. Không bị chặn Trong các dãy số sau dãy số nào bị chặn ? Cho dãy số (un ) biết un  A. Dãy  an  , với an  n 3  n , n   * . B. Dãy  bn  , với bn  n 2  1 , n   * . 2n C. Dãy  cn  , với cn  (2) n  3, n   * . D. Dãy  d n  , với d n  3n , n   * . n 2 3 Câu 5. Cho dãy số (un ) biết un  a sin n  b cos n . Mệnh đề nào sau đây đúng ? Câu 6. A. Dãy số không bị chặn. B. Dãy số bị chặn. C. Dãy số bị chặn dưới. D. Dãy số bị chặn trên Xét tính bị chặn của các dãy số sau: un  (1)n Câu 7. A. Bị chặn. B. Không bị chặn. C. Bị chặn trên. Xét tính bị chặn của các dãy số sau: un  3n  1 A. Bị chặn. Câu 8. Câu 9. D. Bị chặn dưới. B. Bị chặn trên. Trong các dãy số un  C. Bị chặn dưới. D. Không bị chặn dưới. cho bởi số hạng tổng quát un  sau, dãy số nào bị chặn? 1 C. un  . D. un  n  1. n Trong các dãy số  un  cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào bị chặn? A. u n  n 2 . B. u n  2 n. 1 . 2n B. u n  3n. A. un  D. u n  n 2  1. C. un  n  1. 2n  1 n2 A. Bị chặn. B. Không bị chặn. C. Bị chặn trên. 2n  13 Câu 11. Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un ) , biết: un  3n  2 A. Dãy số tăng, bị chặn. B. Dãy số giảm, bị chặn. C. Dãy số không tăng không giảm, không bị chặn. D. Cả A, B, C đều sai. n 1 Câu 12. Xét tính bị chặn của các dãy số sau: un  n2  1 A. Bị chặn. B. Không bị chặn. C. Bị chặn trên. Câu 13. Xét tính bị chặn của các dãy số sau: un  4  3n  n 2 Câu 10. Xét tính bị chặn của các dãy số sau: un  A. Bị chặn. B. Không bị chặn. C. Bị chặn trên. Câu 14. Trong các dãy số (un ) sau, dãy số nào bị chặn? A. un  n  1 . n B. un  n  1 . C. un  n 2 2n  1 D. Bị chặn dưới. D. Bị chặn dưới. D. Bị chặn dưới. . 2 D. un  n  n  1 . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 17 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Câu 15. Trong các dãy số (un ) sau, dãy số nào bị chặn? A. un  n  sin 3n B. un  n2  1 . n C. un  1 . n  n  1 D. un  n.sin  3n  1 . Câu 16. Trong các dãy số  un  cho dưới đây dãy số nào là dãy số bị chặn ? A. un  n3 . n2  1 B. u n  n 2  2017. C. u n  ( 1) n ( n  2). D. un  n . n 1 2 n 1 n2 A. Tăng, bị chặn. B. Giảm, bị chặn. C. Tăng, chặn dưới. D. Giảm, chặn trên. Câu 18. Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un ) , biết: (un ) : un  n3  2n  1 Câu 17. Xét tính tăng giảm và bị chặn của dãy số sau: (un ) : un  A. Tăng, bị chặn. B. Giảm, bị chặn. C. Tăng, chặn dưới. D. Giảm, chặn trên. 3n  1 Câu 19. Cho dãy số (un ) : un  . Dãy số un  bị chặn trên bởi số nào dưới đây? 3n  1 1 1 A. . B. 1. C. . D. 0. 3 2 Câu 20. Khẳng định nào sau đây là sai? A. Mỗi dãy số tăng là một dãy số bị chặn dưới. B. Mỗi dãy số giảm là một dãy số bị chặn trên. C. Mỗi hàm số là một dãy số. D. Mọi dãy số hữu hạn đều bị chặn. Câu 21. Trong các dãy số (un ) sau, dãy số nào bị chặn? 2 . C. un  n  sin n . D. un  sin 2 n . 3n n2  n  1 Xét tính bị chặn của dãy số sau un  2 n n1 A. Bị chặn B. Không bị chặn C. Bị chặn trên D. Bị chặn dưới n Cho dãy số  un  với un  . Khẳng định nào sau đây đúng? n 1 A. Là dãy số không bị chặn. 1 2 3 5 5 B. Năm số hạng đầu của dãy là: ; ; ; ; . 2 3 4 5 6 C. Là dãy số tăng. 1 2 3 4 5 D. Năm số hạng đầu của dãy là: ; ; ; ; . 2 3 4 5 6 Trong các dãy số sau, dãy nào là dãy số bị chặn? 2n  1 A. un  . B. un  2n  sin  n  . C. un  n 2 . D. un  n3  1 . n 1 Chọn kết luận sai:  1  A. Dãy số 2n 1 tăng và bị chặn trên. B. Dãy số  giảm và bị chặn dưới.  n  1 A. un  n2  1 . Câu 22. Câu 23. Câu 24. Câu 25. B. un  1   1 C. Dãy số   tăng và bị chặn trên.  n   1  D. Dãy số  n  giảm và bị chặn dưới.  3.2  Câu 26. Cho dãy số  un  , biết un  cos n  sin n. Dãy số  un  bị chặn trên bởi số nào dưới đây? A. 0. B. 1. C. 2. D. Không bị chặn trên. Câu 27. Cho dãy số  un  , biết un  sin n  cos n. Dãy số  un  bị chặn dưới bởi số nào dưới đây? Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 A. 0. B. 1. C.  2. D. Không bị chặn dưới. Câu 28. Cho dãy số  un  , biết un  3 cos n  sin n. Dãy số  un  bị chặn dưới và chặn trên lần lượt bởi các số m và M nào dưới đây? 1 B. m   ; M  3  1. 2 A. m  2; M  2. 1 1 D. m   ; M  . 2 2 C. m   3  1; M  3  1. n Câu 29. Cho dãy số  un  , biết un   1 .52 n5. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Dãy số  un  bị chặn trên và không bị chặn dưới. B. Dãy số  un  bị chặn dưới và không bị chặn trên. C. Dãy số  un  bị chặn. D. Dãy số  un  không bị chặn. Câu 30. Cho dãy số  un  , với un  1 1 1   …  , n  1; 2; 3. Mệnh đề nào sau đây đúng? 1.4 2.5 n  n  3 A. Dãy số  un  bị chặn trên và không bị chặn dưới. B. Dãy số  un  bị chặn dưới và không bị chặn trên. C. Dãy số  un  bị chặn. D. Dãy số  un  không bị chặn. 1 1 1  2  …  2 , n  2; 3; 4;. Mệnh đề nào sau đây đúng? 2 2 3 n bị chặn trên và không bị chặn dưới. Câu 31. Cho dãy số  un  , với un  A. Dãy số  un  B. Dãy số  un  bị chặn dưới và không bị chặn trên. C. Dãy số  un  bị chặn. D. Dãy số  un  không bị chặn. Câu 32. Trong các dãy số  un  sau đây, dãy số nào là dãy số bị chặn? 1 n . B. un  n  . C. un  2n  1. D. un  n n 1 u1  6 Câu 33. Cho dãy số  un  , xác định bởi  . Mệnh đề nào sau đây đúng? * un 1  6  un , n   5 A. 6  un  . B. 6  un  3. 2 A. un  n 2  1. C. 6  un  2. D. 6  un  2 3. Câu 34. Cho dãy số  un  , với un  sin  n 1 . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Số hạng thứ n  1 của dãy là un1  sin  n 1 . B. Dãy số  un  là dãy số bị chặn. C. Dãy số  un  là một dãy số tăng. Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 19 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 D. Dãy số  un  không tăng không giảm. DÀNH CHO HỌC SINH KHÁ – GIỎI u1  1  Câu 35. Cho dãy số (un ) biết  . Mệnh đề nào sau đây đúng ? 1 un 1  2 un  1 A. Dãy số bị chặn. B. Dãy số bị chặn trên. C. Dãy số bị chặn dưới. D. Không bị chặn 1 1 1   …  Câu 36. Xét tính bị chặn của các dãy số sau un  1.3 2.4 n.(n  2) A. Bị chặn B. Không bị chặn C. Bị chặn trên D. Bị chặn dưới 1 1 1 Câu 37. Xét tính bị chặn của các dãy số sau un    …  1.3 3.5  2n  1 2n  1 A. Bị chặn B. Không bị chặn C. Bị chặn trên D. Bị chặn dưới 1.3.5…  2n  1 Câu 38. Cho dãy số (un ) biết u n  . Mệnh đề nào sau đây đúng ? 2.4.6.2n A. Dãy số bị chặn dưới. B. Dãy số bị chặn trên. C. Dãy số không bị chặn. D. Dãy số bị chặn n 2  3n  1 n 1 A. Tăng, bị chặn trên. B. Tăng, bị chặn dưới. C. Giảm, bị chặn trên. D. Cả A, B, C đều sai. 1 Câu 40. Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un ) , biết: un  1  n  n2 A. Tăng, bị chặn trên. B. Tăng, bị chặn dưới. C. Giảm, bị chặn. D. Cả A, B, C đều sai. Câu 39. Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un ) , biết: un  2n n! A. Tăng, bị chặn trên. B. Tăng, bị chặn dưới. C. Giảm, bị chặn. D. Cả A, B, C đều sai. Câu 42. Cho dãy số un  , biết un  cos n  sin n. Dãy số un  bị chặn dưới bởi số nào dưới đây? Câu 41. Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un ) , biết: un  A. 0. B. 1 . C.  2 . D. Không bị chặn dưới. Câu 43. Cho dãy số un  , biết un  3 cos n  sin n. Dãy số un  bị chặn dưới và chặn trên lần lượt bởi các số m và M nào dưới đây? A. m  2; M  2. 1 B. m   ; M  3 1. 2 1 1 D. m   ; M  . 2 2 1 1 1 Câu 44. Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un ) , biết: un  1  2  2  …  2 . 2 3 n A. Dãy số tăng, bị chặn. B. Dãy số tăng, bị chặn dưới. C. Dãy số giảm, bị chặn trên. D. Cả A, B, C đều sai. u1  2  Câu 45. Xét tính tăng giảm và bị chặn của dãy số sau: (un ) :  un  1 un 1  2 , n  2 A. Tăng, bị chặn. B. Giảm, bị chặn. C. Tăng, chặn dưới, không bị chặn trên. D. Giảm, chặn trên, không bị chặn dưới. C. m   3  1; M  3 1. Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 x  x  1  x2 n 1 n 1  x  3  n 1 Câu 46. Cho hai dãy số ( xn ); ( y n ) xác định:  và  , n  2 . Mệnh đề nào sau yn  1  yn   y1  3 2 1  1  y n 1  đây đúng? A. 1  xn yn  2, n  2. B. 3  xn yn  4, n  2. C. 4  xn y n  5, n  2. D. 2  xn y n  3, n  2. Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 21 TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học: 2020-2021 Chương 3 DÃY SỐ TĂNG, GIẢM VÀ DÃY SỐ BỊ CHẶN Bài 1 Lý thuyết DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM VÀ DÃY SỐ BỊ CHẶN 1. Dãy số tăng, dãy số giảm Dãy số un  được gọi là dãy số tăng nếu ta có un1  un với mọi n   * . Dãy số un  được gọi là dãy số giảm nếu ta có un1  un với mọi n   * . Chú ý: Không phải mọi dãy số đều tăng hoặc giảm. Chẳng hạn, dãy số un  với un  3n tức là dãy 3, 9, 27,81,… không tăng cũng không giảm. 2. Dãy số bị chặn Dãy số un  được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho * un  M , n   . Dãy số un  được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho un  m, n   * . Dãy số un  được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số m, M sao cho m  un  M , n   * . Lưu y: + Dãy tăng sẽ bị chặn dưới bởi u1 + Dãy giảm sẽ bị chặn trên bởi u1 DẠNG 1: XÉT TÍNH TĂNG, GIẢM CỦA DÃY SỐ A. Phương pháp giải. Cách 1: Xét hiệu un 1  un Nếu un 1  u n  0 n   * thì (un ) là dãy số tăng. Nếu un 1  u n  0 n  * thì (un ) là dãy số giảm. Cách 2: Khi un  0 n  * ta xét tỉ số Nếu un 1  1 thì (un ) là dãy số tăng. un Nếu un 1  1 thì (un ) là dãy số giảm. un un 1 un Cách 3: Nếu dãy số (un ) được cho bởi một hệ thức truy hồi thì ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh u n 1  u n n  * (hoặc u n 1  u n n  * ) * Công thức giải nhanh một số dạng toán về dãy số Dãy số (un ) có un  an  b tăng khi a  0 và giảm khi a  0 Dãy số (un ) có un  q n Không tăng, không giảm khi q  0 Giảm khi 0  q  1 Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Tăng khi q  1 Dãy số (un ) có un  an  b với điều kiện cn  d  0 n  * cn  d Tăng khi ad  bc  0 Giảm khi ad  bc  0 Dãy số đan dấu cũng là dãy số không tăng, không giảm Nếu dãy số (un ) tăng hoặc giảm thì dãy số  q n .un  (với q  0 ) không tăng, không giảm a  0 Dãy số (un ) có un 1  aun  b tăng nếu  ; giảm nếu u2  u1  0 a  0 và không tăng không  u2  u1  0 giảm nếu a  0 aun  b  un1  cu  d Dãy số (un ) có  tăng nếu n c, d  0, u  0 n  * n  ad  bc  0 và giảm nếu  u2  u1  0 ad  bc  0  u2  u1  0 aun  b  un1  cu  d Dãy số (un ) có  không tăng không giảm nếu ad  bc  0 n c, d  0, u  0 n  * n  (un )  Nếu  thì dãy số  un  vn   (vn )  (un )  Nếu  thì dãy số  un  vn   (vn )  (un ) ; un  0 n  * Nếu  thì dãy số  un .vn   * (vn ) ; vn  0 n   (un ) ; un  0 n  * Nếu  thì dãy số  un .vn   * (vn ) ; vn  0 n   Nếu (u n )  và un  0 n  * thì dãy số  u  n và dãy số  (un ) m   m  *    1 Nếu (un )  và un  0 n  * thì dãy số   un Xét tính tăng giảm của các dãy số sau: 1). Dãy số  un  với un  2n3  5n  1 2). Dãy số  un  với un  3n  n. 3). Dãy số  un  với un  4). Dãy số  un  với un  5). Dãy số  un  với un  n . n 1 2 n 2n 3n n2 6). Dãy số  un  : Với un  7). Dãy số  un  với un   u  n và dãy số  (un )m   m  * 1 Nếu (u n )  và un  0 n  * thì dãy số   un B. Bài tập tự luận Câu 1. Nếu (un )  và un  0 n  * thì dãy số 3n 2  2n  1 n 1 n2  n  1 2n 2  1 Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/    TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 2 8). Dãy số  un  với un  n  n  1 9). Dãy số  un  với un  n  1 1 n Lời giải 3 1). Dãy số  un  với un  2n  5n  1 3 Với mỗi n  N * , ta có: un 1  un   2  n  1  5  n  1  1   2n3  5n  1    2n3  6n2  6n  2  5n  5  1  2n3  5n  1  6n 2  6n  3  6n 2  3n   3n  3  0 ( đúng ) do n  1. Vì thế dãy số  un  là một dãy số tăng. 2). Dãy số  un  với un  3n  n.   Với mỗi n  N * , ta có: un 1  un  3n 1   n  1   3n  n . n n  3.3  n  1  3  n  2.3n  3n  3n  1  2.3n  1  0 (đúng) (vì n  1. ) Kết luận dãy số  un  là một dãy số tăng. 3). Dãy số  un  với un  n . n 1 2 Với mỗi n  N * , ta có: 2  n  1 n 2  1  n  n  1  1 n un1  un   2  2  n  12  1 n 2  1  n  1  1 n  1    n 1     n 3  n  n 2  1  n 3  2 n 2  2n  n  12  1 n 2  1   n 2  n  1  0.  n  12  1 n 2  1     n  1 , và  n  1  1  n  1  0 n  1.    Vì n 2  n  1  0    2 2 Kết luận: dãy số  un  là một dãy số giảm. 4). Dãy số  un  với un  n 2n Dễ thấy un  0 n  N * . Xét tỉ số: Ta có: un un1 un n 2n 1 2 n  n .   1  n  1 un 1 2 n 1 n 1 Thật vậy: 2 n 4n 1  1  4n  n  1  3n  1 ( đúng n  1 ) n 1 n 1 Kết luận:  un  là một dãy số giảm. 5). Dãy số  un  với un  3n n2 Dễ thấy un  0 n  N * . Xét tỉ số: un un 1 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 2 un 3n  n  1 1  n 1  2 . n 1  .   un 1 n 3 3  n  2 Nếu 2 2 1  n 1   n 1    1   3 3 n   n  n 1  3  n  1  3.n  3.n  n  1 n 1  3 1 n  1  n   n 1 3 1    2 Nếu 2 1  n 1  n 1  n 1  3  n  1  3.n    1   3 3 n  n  n  n   3 1 n  1 1  n  2. 3 1 6). Dãy số  un  : Với un  3n 2  2n  1 n 1 6 n 1 * Với mọi n  N ta có: Ta có: un  3n  5  6   6  6 6  un 1  un  3  n  1  5    3n  5    3  n  2  n 1  n  2  n 1   3  n 2  3n    n  1 n  2   2  n  1  2  n  2    3   0. n  1.   n  2  n  1    n  2  n  1 Kết luận  un  là dãy số tăng. 3 n n2  n  1 1   2 2 7). Dãy số  un  với un  2n 2  1 2 2n  1 * Với mọi n  N , xét hiệu số: 5 3 3 3   n n n 1 n   1 1 2 2 2   2  un 1  un      2 2  n  12  1  2 2n 2  1  2n 2  2n  3 2n 2  1   5 3   2 2  n   2 n  1   n   2n  2 n  3 2 2    2n 2  2n  3 2n 2  1          5n  2  0 n  1. 2 n  2 n  3 2n 2  1 2   Vậy dãy số  un  là dãy số giảm. 8). Dãy số  un  với un  n  n2  1 2 Ta có: un  n  n  1  Dễ dàng ta có:  n  1   1  n  1   n  1 2  2 n  n 1  n  1  1  n2  n2  1 2 1 n  n2  1  1  n  n2  1 1 n  n2  1  un 1  un Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 Từ đó suy ra dãy số  un  là dãy số giảm. 9). Dãy số  un  với un  Ta có: un   n  1  1 n  Dễ dàng ta có:  un  Câu 2.  n 1 1 n  1 1 n  1 n 1 1  n  1  1  1  n 1 1  1  n  1  1  1  1  un 1  un . Vậy dãy số n 1 1 là dãy số giảm. Xét tính tăng giảm của các dãy số  un  được cho bởi hệ thức truy hồi sau: u1  3 u2  2  a).  b).  2un * un 1  2un  3, n  N un 1  3  u n  Lời giải u2  2 a).  * un 1  2un  3, n  N Vì u2  2u1  3  7  u1 , ta dự đoán un 1  un * với mọi n  1. Ta có * đúng với n  1. Giả sử ta có: uk  uk 1. Khi đó ta có: uk 1  2uk  3  2uk 1  3  uk ( do uk  uk 1 ) Suy ra * đúng với mọi n  N * , suy ra  un  là dãy số tăng. u1  3  b).  2un un 1  3  u n  Từ hệ thức truy hồi đã cho, dễ thấy un  0 với mọi n  N * Ta có: u2  2u1 6   1  u1. 3  u1 6 Ta dự đoán un 1  un ** với mọi n  N * . Ta có ** đúng khi n  1. Giả sử có uk  uk 1 Khi đó uk 1  2uk 2u  6  6 6  k  2 . 3  uk 3  uk uk  3 Vì uk  uk 1 nên 6 6 6   uk 1  2   uk . uk  3 uk 1  3 uk 1  3 Suy ra ** đúng với mọi n  N * . Vậy  un  là dãy số giảm. Câu 3. u  5 Cho dãy số  un  xác định bởi:  1 un 1  un  3n  2. a). Tìm công thức của số hạng tổng quát. b). Chứng minh dãy số tăng. Lời giải Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 a)Ta có: un1  un  3n  2  un 1  un  3n  2. Từ đó suy ra: u1  5. u2  u1  3.1  2. u3  u2  3.2  2. u4  u3  3.3  2. ………… un 1  un  2  3  n  2   2. un  un 1  3  n  1  2. Cộng từng vế của n đẳng thức trên và rút gọn, ta được: un  5  3 1  2  3  …   n  1   2  n  1 .  un  5   un  5  3  n  1 .n  2  n  1  5  3  n  1 .n  4  n  1 2  n  1 3n  4  Vậy: un  5  2 2  n  1 3n  4  . 2 b) Ta có: un 1  un  3n  2  0 n  1.  un1  un n  1. Kết luận dãy số  un  là một dãy số tăng. Câu 4. 0  an  1; n  N *  Cho dãy số  an  định bởi:  1 an1 1  an   4 ; n  N * 1 1 a). Chứng minh: an   , n  N * 1 2 2n b). Xét tính đơn điệu của dãy số  an  . Lời giải a). Ta có: 0  an  1  a1  0  1 1  : 1 đúng khi n=1 2 2.1 Giả sử 1 đúng khi n=k  N * , nghĩa là: ak  1 1  ;k  N * 2 2k Ta cần chứng minh 1 đúng khi n  k  1 , nghĩa là chứng minh: ak 1  Ta có: ak  1 1  ;k  N * 2 2  k  1 1 1  2 2k 1 1 1 1 1 1 k 1 1 2k  ak     1  ak  1        2 2k 2 2 k 2 2k 2k 1  ak k  1 Theo giả thiết: ak 1 1  ak   1 4 Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021  2k  2   2  1  1 : 1 đúng khi 1 2k  ak 1    n  k 1  4 1  ak  4  k  1 4  k  1 2 2  k  1 Vậy: an  1 1  , n  N *. 2 2n 2 1  1 1 1   an    0  an  an  1   0   an 1  an  4  2 4 4 b). Ta có: an2  an  Từ giả thiết suy ra: an 1 1  an   1  an 1  an   an 1  an ; n  N * 4 Vậy:  an  tăng. Câu 5. u1  a 2 Cho a  2 . Xét dãy U n  xác định bởi  . Xét tính đơn điệu của dãy U n  2 un 1   un  a  n  N * Lời giải 2 Ta có u1  a  2a (do a  2 ) 2 Giả sử uk  2a khi đó uk  a  a  uk 1   uk  a   a 2  2a . Vậy un  2a; n  N * 2 un 1  un   un  a   un  un2   2a  1 un  a 2     un  2a  un  1  a 2  2a  0; n  N *   un  đơn điệu tăng. Câu 6. Cho dãy số (un ) định bởi: un  Ta có: un  un 1  un  a.n 4  2 ; n  N * . Định a để dãy số (un ) tăng. 2n 4  5 Lời giải a.n 4  2 a 4  5a   ;n N * 4 2n  5 2 2 2 n 4  3  4  5a 4 2  2  n  1  5     4  5a 4  5a  1 1    4   4 4 2  2  n  1  5 2n  5  2  2n  5   4 2n 4  5  2  n  1  5 4  5a  un 1  un  2  2  n  14  5  2  n  14  5      4  5a  Mà: n 4   n  1 4  2  n  14  5  2  n  14  5    n 4   n  1 4  2  n  14  5  2  n  14  5     0; n  N * Nên:  un  tăng  un 1  un  0; n  N *  4  5a  0  a  4 5 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 7 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 C. Bài tập trắc nghiệm DÀNH CHO HỌC SINH TRUNG BÌNH – KHÁ Câu 1. Cho dãy số (un ) biết un  3n  6 . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Dãy số tăng C. Dãy số không tăng, không giảm B. Dãy số giảm D. Cả A, B, C đều sai Lời giải Chọn A Ta có un  3n  6  un 1  3  n  1  6  3n  9 Xét hiệu un1  un   3n  9    3n  6   3  0 n  * Vậy (un ) là dãy số tăng Giải nhanh: Dãy này có dạng un  an  b ; a  3  0 nên dãy số tăng Câu 2. Cho dãy số (un ) biết un  A. Dãy số tăng n5 . Mệnh đề nào sau đây đúng? n2 B. Dãy số giảm C. Dãy số không tăng, không giảm D. Có số hạng un1  n5 1 n2 Lời giải Chọn B n5 3 3  1  un1  1  n2 n2 n3 3 3 3    0 n  * Xét hiệu un1  un  n  3 n  2  n  2  n  3 Ta có un  Vậy (un ) là dãy số giảm an  b cn  d * Mẫu n  2  0 n   và ad  bc  2  5  3  0 nên (un ) là dãy số giảm Giải nhanh: Dãy này có dạng un  Câu 3. 5n . Mệnh đề nào sau đây đúng? n2 A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm C. Dãy số không tăng, không giảm D. Dãy số là dãy hữu hạn Lời giải Chọn A Cho dãy số (un ) biết un  Ta có un  Xét tỉ số 5n 5n 1 *  0,  n    u  n  1 2 n2  n  1 un1 5n 1 n 2 5n 2 n 2  2n  1  4 n 2  2 n  1  .   2 n 2 un n 2  2n  1  n  1 5 n  2n  1 2n  n  1  2n 2  1  1, n  * n 2  2n  1 Vậy (un ) là dãy số tăng  1 Câu 4. Trong các dãy số  un  cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào tăng? Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 n A. un  n . 2 B. un  n 2n 2  1 . C. un  n2  1 . 3n  2 D. un  (2)n n 2  1. Lời giải Chọn C 1  u1  2 n Ta xét đáp án A un  n    u1  u2  Loại A 2 u  2  2 4 1  u1  3 Ta xét đáp án B un  2 .    u1  u2  Loại B 2n  1 u  2  2 9 n 2 16  u1  5  40 n2  1 Ta xét đáp án C un  ..    u1  u2  Xét tiếp 3n  2 u  5  25  2 8 40 Ta xét đáp án D un   2  n u1  0  n 2  1.  u2  4 3  u1  u2  u3  Loại D  u3  8 8 Có thể dùng Table trong casio để nhập hàm rồi loại trừ với Start 1; End 20; Step 1 Chú ý: Nếu bài này mà giải theo tự luận thì rất dài ta phải xét un 1  un của 4 dãy số Câu 5. Cho dãy số (un ) biết un  5n  2 . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Dãy số tăng C. Dãy số không tăng, không giảm B. Dãy số giảm D. Cả A, B, C đều sai Lời giải Chọn A * Trắc nghiệm: Tính vài số hạng đầu của dãy số rồi suy ra kết quả * Tự luận: Ta có un 1  un  5  n  1  2  5n  2  5n  7  5n  2  0  un 1  un Câu 6. 1 . Mệnh đề nào sau đây đúng? 3n  2 A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm C. Dãy số không tăng, không giảm D. Cả A, B, C đều đúng Lời giải Chọn B 1 1 1 1 3 Ta có un 1  un       0. 3  n  1  2 3n  2 3n  5 3n  2  3n  5 3n  2  Cho dãy số (un ) biết un  Vậy un 1  un  0  un 1  un , n  * Câu 7. 10 . Mệnh đề nào sau đây đúng? 3n B. Dãy số giảm Cho dãy số (un ) biết un  A. Dãy số tăng C. Dãy số không tăng, không giảm D. un1  10 3 1 n Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 9 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Lời giải Chọn B 10 10 10 10 20     0 3n 1 3n 3.3n 3n 3.3n Vậy un1  un  0  un1  un , n  * Ta có un1  un  Câu 8. Cho dãy số (un ) biết u n  2 n 2  3n  1 . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm C. Dãy số không tăng, không giảm D. un1  2  n  12   3  n  1  1 Lời giải Chọn A 2 Ta có un1  un  2  n  1  3  n  1  1  2n 2  3n  1  4n  5  0, n  * Vậy un1  un  0  un1  un , n  * Câu 9. n Cho dãy số (un ) biết un   1  n 2  1 . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm C. Dãy số không tăng, không giảm D. Dãy số là dãy hữu hạn Lời giải Chọn C Dãy không tăng, không giảm vì các số hạng đan dấu Câu 10. Cho dãy số (un ) biết un  n 2  400n . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm C. Dãy số không tăng, không giảm D. Mọi số hạng đều âm Lời giải Chọn C 2 Ta có un1  un   n  1  400  n  1  n2  400n  2n  399 399 399 và 2n  399  0 khi n  . 2 2 Vậy dãy số đã cho không tăng, không giảm Do 2n  399  0 khi n  Câu 11. Trong các dãy số  un  cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào tăng? A. un  1 . 3n B. un  1 . 2n  1 C. un  n 1 . 3n  2 D. un  Lời giải Chọn D Ta có: 1 1 1 1 2  n   n  n  0  loại A n 1 n 3 3 3.3 3 3.3 1 1 1 1 2 un 1  un       0  loại B 2  n  1  1 2n  1 2n  3 2n  1  2n  3 2n  1 un1  un  un 1  un  n2 n 1 1    0  loại C 3n  5 3n  2  3n  5 3n  2  un 1  un  4 n  2 4n  2 14    0  Chọn D n4 n  3  n  4  n  3 Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 4n  2 . n3 TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 Câu 12. Trong các dãy số  un  cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào giảm? n 4 A. un    . 3 n B. un   1  5n  1 . C. u n  3n. D. un  n  4. Lời giải Chọn C Ta có:  4 un 1  un     3 n 1 n n n n 4 4 4 1 4 4     .       .    0  loại A 3 3 3 3 3 3 n Dãy  un  với un   1  5n  1 . có các số hạng đan dấu nên dãy không tăng, không giảm  loại B un1  un  3n 1  3n  3.3n  3n  2.3n  0  Chọn C un1  un  n  5  n  4  1  0  loại D n5  n4 Câu 13. Trong các dãy số  un  cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào không tăng, không giảm? 1 A. un  n  . n B. un  5n  3n. C. u n  3n. n D. un   3  . n 2  1 Lời giải Chọn D Dãy không tăng, không giảm vì các số hạng đan dấu Dãy trong đáp án A và B tăng, dãy trong đáp án C là dãy giảm Câu 14. Cho dãy số (un ) biết u n  5n  4 n . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm C. Dãy số không tăng, không giảm D. Dãy số có số hạng thứ 100 bé hơn 1 Lời giải Chọn A Ta có un 1  un  5n 1  4n 1  5n  4n  4  5n  4n   0, n  * Vậy un1  un  0  un 1  un , n  * an  2 . Tìm tất cả các giá trị của a để dãy số tăng. 3n  1 B. a  6 C. a  6 D. a  6 Lời giải Câu 15. Cho dãy số (un ) biết un  A. a  6 Chọn B Ta có un 1  un  an  a  2 an  2 a6   , n  * 3n  4 3n  1  3n  4  3n  1 Để dãy số tăng thì un 1  un  a6  0, n  *  a  6  3n  4  3n  1 Câu 16. Cho dãy số (un ) biết u n  2 n  an . Tìm tất cả các giá trị của a để dãy số tăng. A. a  2 B. a  2 C. a  2 Lời giải D. a  2 Chọn C Ta có un1  un  2n 1  an  a  2n  an  2n  a, n  * Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Để dãy số tăng thì un1  un  2n  a  0, n  *  a  2n , n  *  a  2, n  * 3n . Tìm tất cả các giá trị của a để dãy số tăng. an B. Không tồn tại a C. a  * D. a  0 Lời giải Câu 17. Cho dãy số (un ) biết un  A. a  0 Chọn D n 3n 1 3n a.3  2n  1   2 2 , n  * Ta có un 1  un  an  a an a  n  n  Để dãy số tăng thì un1  un  a.3n  2n  1 a  n  n 2 2  0, n  *  a  0 Câu 18. Cho dãy số (un ) biết un  3n  2  3n  1 . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm C. Dãy số không tăng, không giảm D. Cả A, B, C đều đúng Lời giải Chọn B Ta có un  3n  2  3n  1  1 3n  2  3n  1 Khi đó 1 1  3n  5  3n  4 3n  2  3n  1 un 1  un      3n  1  3n  4  3n  2  3n  2  3n  5   3n  5  3n  4 3n  1    0,n   * Câu 19. Cho dãy số (un ) biết un  n  n2  1 . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm C. Dãy số không tăng, không giảm D. Các số hạng đều dương Lời giải Chọn A Ta có un  n  n2  1  1 n  n2  1 Khi đó 1 un 1  un  n 1  n  1 2  1 1 1 2 n  n 1    n 1  n  1 2  n  1 2  1  n2  1    1 n  n2  1 dãy số đã cho là dãy tăng 2n 2  n  1 . Mệnh đề nào sau đây đúng? n2 A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm C. Dãy số không tăng, không giảm D. Có số hạng âm Lời giải Chọn A Câu 20. Cho dãy số (un ) biết un  Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/   0, n  * Vậy TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 2n 2  3n 2n 2  n  1 2n 2  10n  3 Ta có un 1  un     0, n  * n3 n2 n  3 n  2    Vậy dãy số đã cho là dãy tăng Câu 21. Trong các dãy số có công thức tổng quát sau, dãy số nào là dãy số tăng? n n 2 2n  1 A. un   1 B. un   1 C. un  D. un   1 .3n 2 n 5n  2 Lời giải: Chọn A Thử từng đáp án với n=1,2 ta được: 1 A. u1   ; u2  0  tăng 2 B. u1  3; u2  2  giảm ( loại) 3 5 ; u2   giảm (loại) 7 12 D. u1  3; u2  9  tăng. Tính thêm u3  27 giảm (loại) C. u1  Câu 22. Trong các dãy số  un  cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào là dãy số giảm? A. un  1 . 2n B. un  3n  1 . n 1 C. un  n 2 . D. un  n  2 . Lời giải Ta có un  1 1  n 1  un 1 n  * . n 2 2 Câu 23. Trong các dãy số sau, dãy số nào là dãy số giảm n3 A. un  . n 1 n B. un  . 2 2 C. un  2 . n Lời giải D. un  1  3n n . Xét A: Ta có un  n 3 n2 n2 n3 4 ; un 1  . Khi đó: u n 1  un     0 n   n 1 n2 n  2 n  1  n  1 n  2  Vậy  un  là dãy số tăng. Xét B: n n 1 n 1 n 1 Ta có un  ; un 1  . Khi đó: un 1  un     0 n   2 2 2 2 2 Vậy  un  là dãy số tăng. Xét C: Ta có un  2 2 , un 1  2 2 n  n  1 un 1 n2 n2    1, n    . Vậy  un  là dãy giảm. 2 2 un n  n  1 Xét D: Ta có u1  1 1 1 ; u2  ; u3  . Vậy  un  là dãy số không tăng không giảm. 3 9 27 Câu 24. Dãy số nào sau đây là dãy số giảm? Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 5  3n ,  n   * . 2n  3 C. un  2n3  3,  n   * . n5 ,  n   * . 4n  1 D. un  cos  2n  1 ,  n   * . A. un  B. un  Lời giải 5  3  n  1 5  3n 5  3n 2  3n 5  3n  Xét un  ,  n   * , ta có un1  un    2n  3 2  n  1  3 2n  3 2n  5 2n  3   2  3n  2n  3   2n  5 5  3n   2n  5 2n  3  4n  6n 2  6  9n  10n  6n 2  25  15n 19   0, n   * .  2n  5 2n  3  2n  5  2n  3 Vậy un  5  3n ,  n   * là dãy giảm. 2n  3 Câu 25. Cho các dãy số sau. Dãy số nào là dãy số tăng? 1 1 1 1 ; A. 1; 1; 1; 1; 1; 1; B. 1;  ; ;  ; 2 4 8 16 1 1 1 1 C. 1; 3; 5; 7; 9; D. 1; ; ; ; ; 2 4 8 16 Lời giải Xét đáp án A: 1; 1; 1; 1; 1; 1; đây là dãy hằng nên không tăng không giảm. 1 1 1 1 Xét đáp án B: 1;  ; ;  ; ;   u1  u2  u3   loại B. 2 4 8 16 Xét đáp án C: 1; 3; 5; 7; 9;   un  un1 , n  *   Chọn C. Xét đáp án D: 1; 1 1 1 1 ; ; ; ;   u1  u2  u3   un     loại D. 2 4 8 16 Câu 26. Trong các dãy số  un  cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào là dãy số tăng? A. un  1 . 2n 1 B. un  . n C. un  n5 . 3n  1 D. un  2n  1 . n 1 Lời giải Vì 2 n ; n là các dãy dương và tăng nên 1 1 ; là các dãy giảm, do đó loại các đáp án A và 2n n 3  u1   n5  2 Xét đáp án C: un      u1  u2   loại C. 7 3n  1 u   2 6 Xét đáp án D: un  2n  1 3 1   1  2  un 1  un  3    Chọn D.   0  n 1 n 1  n 1 n  2  Câu 27. Trong các dãy số  un  cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào là dãy số tăng? A. un  2 . 3n 3 B. un  . n n  un 1  un  2 Xét đáp án C: un  2  C. un  2n. n 1 Lời giải  2n  2n  0   Chọn n D. un   2  . C. Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ B. TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 1 1 Vì 2 ; n là các dãy dương và tăng nên n ; là các dãy giảm, do đó loại các đáp án A và 2 n u2  4 n Xét đáp án D: un   2      u2  u3   loại D. u3  8 n B. Câu 28. Trong các dãy số sau, dãy số nào là dãy số giảm? A. un  n2 . C. un  n3  1 . B. un  2n . D. un  2n  1 . n 1 Lời giải 2 3 n  * ta có: n 2   n  1 nên A sai; 2n  2  n  1 nên B sai; n3  1   n  1  1 nên C sai. Với un  3 2n  1 2n  1  0 nên dãy un  thì un 1  un  giảm. n 1 n 1  n  1 .n Câu 29. Trong các dãy số  un  cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào là dãy số giảm? n2  1 . n A. un  sin n. B. un  C. un  n  n  1. D. un   1 .  2n  1 . n Lời giải 1 1  A. un  sin n  un 1  un  2 cos  n   sin có thể dương hoặc âm phụ thuộc n nên đáp án A 2 2  sai. Hoặc dễ thấy sin n có dấu thay đổi trên * nên dãy sin n không tăng, không giảm. B. un  n2  1 1 1 1 n2  n  1  n   un 1  un  1     0 nên dãy đã cho tăng nên B sai. n n n  1 n n  n  1 1 C. un  n  n  1  Chọn n  n 1 , dãy n  n  1  0 là dãy tăng nên suy ra un giảm. C. n D. un   1  2n  1 là dãy thay dấu nên không tăng không giảm. Cách trắc nghiệm. A. un  sin n có dấu thay đổi trên * nên dãy này không tăng không giảm. B. un  n2  1 , ta có n n  1  u1  2 n2  1    u  u   u  không giảm.  5 1 2 n n n  2  u  2  2 n  1  u1  1   u1  u2 nên dự đoán dãy này giảm. C. un  n  n  1 , ta có  n  2  u2  2  1 n D. un   1  2n  1 là dãy thay dấu nên không tăng không giảm. Cách CASIO. n  Các dãy sin n;  1  2n  1 có dấu thay đổi trên * nên các dãy này không tăng không giảm nên loại các đáp án A, D.  Còn lại các đáp án B, C ta chỉ cần kiểm tra một đáp án bằng chức năng TABLE. Chẳng hạn kiểm tra đáp án B, ta vào chức năng TABLE nhập F  X   X 2 1 với thiết lập X Start  1, End  10, Step  1. Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Nếu thấy cột F  X  các giá trị tăng thì loại B và chọn C, nếu ngược lại nếu thấy cột F  X  các giá trị giảm dần thị chọn B và loại C. Câu 30. Mệnh đề nào sau đây đúng? 1 A. Dãy số un   2 là dãy tăng. n n 1 C. Dãu số un  là dãy giảm. n 1 n B. Dãy số un   1  2n  1 là dãy giảm. D. Dãy số un  2n  cos 1 là dãy tăng. n Lời giải 1 1 1  un 1  un    0   loại A. Xét đáp án A: un   2  n n 1 n n Xét đáp án B: un   1  2n  1 là dãy có dấu thay đổi nên không giảm nên loại B. n 1 2 1   1  1   un 1  un  2    loại C.   0  n 1 n 1  n 1 n  2  1 1  1   un 1  un   2  cos  0 nên Chọn D. Xét đáp án D: un  2n  cos    cos n n 1 n2  Xét đáp án C: un  Câu 31. Mệnh đề nào sau đây sai? 1 n A. Dãy số un  là dãy giảm. n B. Dãy số un  2n2  5 là dãy tăng. n  1 C. Dãy số un  1   là dãy giảm.  n D. Dãy số un  n  sin 2 n là dãy tăng. Lời giải 1 n 1 1 1 Xét A: un    n   un 1  un    n  n  1  0 nên dãy  un  là dãy n n n 1 n giảm nên C đúng. Xét đáp án B: un  2n2  5 là dãy tăng vì n2 là dãy tăng nên B đúng. Hoặc un 1  un  2  2n  1  0 nên  un  là dãy tăng. n n n u n2 n2  1   n 1  Xét đáp án C: un   1      n 1  .   un  là dãy tăng   0    1  un n 1  n   n  n  nên Chọn C. Xét đáp án D: un  n  sin 2 n   un 1  un  1  sin 2  n  1   sin 2 n  0 nên D đúng. DÀNH CHO HỌC SINH KHÁ – GIỎI u1  2  Câu 32. Cho dãy số (un ) biết (un ) :  . Mệnh đề nào sau đây đúng? 3un 1  1 n  2 un  4 A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm C. Dãy số không tăng, không giảm D. Cả A, B đều đúng Lời giải Chọn B (Dãy số này cho bởi công thức truy hồi nên ta làm theo cách 3) Ta dự đoán dãy số giảm sau đó ta sẽ chứng minh nó giảm 3u  1 1  un 1  un 1  Ta có un  un 1  n 1 4 4 Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 Do đó, để chứng minh dãy (un ) giảm ta chứng minh un  1 n  1 bằng phương pháp quy nạp toán học. Thật vậy Với n  1  u1  2  1 3uk  1 3  1  1 4 4 Theo nguyên lí quy nạp ta có un  1 n  1 Giả sử uk  1  uk 1  Suy ra un  un 1  0  un  un 1 n  2 hay dãy (un ) giảm Giải nhanh: Dãy (un ) có dạng un 1  aun  b 3 7 1  0 và u2  u1   2    0 Suy ra dãy số giảm 4 4 4 u1  c  1  Tổng quát ta có thể chứng minh dãy số (un ) :  giảm tương tự như aun 1  b un  a  b ,  a,b>0  n  2 trên. Ở đây a  Câu 33. Trong các dãy số  un  cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào tăng? n2  1 . B. un  2n  1 sin n A. un  . n C. un  3n . n2 D. u n  4 n 3  3n 2  1. Lời giải Chọn D sin n 0 n sin n và n     k 2 ; 2  k 2  , k    sin n  0   0 . Suy ra dãy số trong đáp án A không n tăng, không giảm  loại A * Với n   k 2 ;   k 2  , k    sin n  0  * Ta có un  vn 1  vn  n2  1  2n  1 n2  1  2n  1 2 . Xét dãy  vn  với vn  n2  1  2n  1 2 n 2  2n  2 n2  1 4n 2  2n  7   4n 2  12n  9 4n 2  4n  1  2n  3 2  2n  1 2 Do vn 1  vn vừa nhận giá trị âm lẫn dương nên dãy số  vn  không tăng, không giảm  loại B n 2 3n 3  2n  2n  1 * un 1  un   2  . Do un 1  un nhận giá trị âm lẫn dương nên dãy đã 2 2  n  1 n  n  1 n 2 3.3n cho không tăng, không giảm  loại C * Theo phương pháp loại trừ ta chọn D u1  1  Câu 34. Cho dãy số (un ) biết  1 5 . Mệnh đề nào sau đây đúng? un  3 un 1  3 A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm C. Dãy số không tăng, không giảm D. Cả A, B, C đều sai Lời giải Chọn A Ta có u1  u2  u3 . Dự đoán dãy số đã cho tăng, ta chứng minh bằng quy nạp Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 17 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Từ giả thiết thì un  0, n  * Giả sử uk  uk 1 , k  2 . Ta chứng minh uk 1  uk Thật vậy: uk 1  uk  1  uk  uk 1   0  uk 1  uk . Vậy dãy đã cho là dãy tăng 3 u1  1 Câu 35. Cho dãy số (un ) biết  . Mệnh đề nào sau đây đúng? 2  un 1  un  3, n   A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm C. Dãy số không tăng, không giảm D. Cả A, B, C đều đúng Lời giải Chọn A Ta có 0  u1  u2  u3 . Dự đoán dãy số đã cho tăng, ta chứng minh bằng quy nạp Từ giả thiết thì un  0, n  * Giả sử uk  uk 1 , k  2 . Ta chứng minh uk 1  uk Thật vậy: uk 1  uk  uk2  3  uk21  3   uk  uk 1  uk  uk 1   0  u uk2  3  uk21  3 k 1  uk . vậy dãy đã cho là dãy tăng u1  3  Câu 36. Cho dãy số (un ) biết  3un . Mệnh đề nào sau đây đúng? un 1  3  u n  A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm C. Dãy số không tăng, không giảm D. Có u10  2 Lời giải Chọn B Ta có u1  u2  u3 . Dự đoán dãy số đã cho giảm, ta chứng minh bằng quy nạp Từ giả thiết thì un  0, n  * Giả sử uk  uk 1 , k  2 . Ta chứng minh uk 1  uk Thật vậy: uk 1  uk  9  uk  uk 1  3uk 3uk 1    0  uk 1  uk . vậy dãy đã cho là dãy 3  uk 3  uk 1  3  uk  3  uk 1  giảm 1 1 1 . Mệnh đề nào sau đây đúng?   …  n 1 n  2 nn A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm C. Dãy số không tăng, không giảm D. Có hữu hạn số hạng Lời giải Chọn A 1 1 1 4n 2  3n  1 Xét hiệu un 1  un      0 n  * 2n  1 2n  2 n  1 2  2n  1 n  12 Câu 37. Cho dãy số (un ) biết un  u1  1, u2  2 Câu 38. Cho dãy số (un ) biết  . Tìm tất cả các giá trị của a để (un ) tăng? * un  2  aun 1  1  a  un n   A. a  0. B. 0  a  1. C. a  1. D. a  1. Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 Lời giải Chọn D Xét hiệu un 2  un 1  aun 1  1  a  un  un 1   a  1 un1  un   u3  u2   a  1 u2  u1    a  1  u4  u3   a  1 u3  u2    a  1 2 …  un 1  un   a  1 n 1 0 Để dãy số (un ) tăng suy ra a  1 . Câu 39. Cho (un ) biết un  A. a  0, b  0. an  b và c  0, d  0 . Khi đó điều kiện đủ để dãy số (un ) tăng là? cn  d B. a  0, b  0. C. a  0, b  0. D. a  0, b  0. Lời giải Chọn C Xét hiệu un 1  un  ad  bc c  n  1  d   cn  d  u1  2   Câu 40. Cho dãy số (un ) biết  Mệnh đề nào sau đây đúng? un2  1 n  * un 1   4 A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm C. Dãy số không tăng, không giảm D. Là dãy số không đổi Lời giải Chọn B Dự đoán dãy giảm sau đó chứng minh un 1  un  0 bằng quy nạp toán học Chú ý: Từ giả thiết suy ra un  0 n  * 5 3 2  0 4 4 Giả sử uk 1  uk  0, k  1 Ta có u2  u1  uk21  1 uk2  1 1    uk 1  uk  uk 1  uk   0 4 4 4 Theo nguyên lý quy nạp suy ra un 1  un  0, n  * Xét hiệu uk  2  uk 1  Vậy dãy số (un ) giảm na  2 , là dãy số tăng? n1 C. a  2 . D. a  2 . Lời giải: Câu 41. Với giá trị nào của a thì dãy số  un  , với un  A. a  2 . Chọn B. a  2 . D. Ta có: un 1  un  a2 0a2.  n  2  n  1 Câu 42. Gọi A là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của a thuộc đoạn 5; 5  sao cho dãy số (un ) với un  an2  1 là một dãy số tăng. Hỏi tập hợp A có bao nhiêu phần tử? 2 n2  3 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 19 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 A. 6 . C. 5 . Lời giải: B. 11 . D. Vô số. Chọn C. Ta có un  a 2  3a 2  3a  1 1   nên u  u   , với mọi n  1, 2, n 1 n 2 2 2n2  3 2  2  n  1 2  3 2n 2  3     Với n* thì  1 2 2  n  1  3  2 1  0 nên dãy số tăng khi un1  un  0 hay a  . 3 2n  3 2 Trên đoạn   5; 5  , ta có 5 giá trị nguyên của a là 1; 2; 3; 4; 5. a b n n1 a b Câu 43. Cho dãy số  un  với un  n . Biết hiệu un1  un  c n c trong đó , là các phân số tối c c 3 3 a b giản. Tính tổng  . c c 1 A. 1. B. -1. C.  . D. 3 . 3 Lời giải Chọn B. n  2 n  1 2n  1 Cách 1: Ta có un 1  un  n1  n   3 3 3.3n a b   1. c c 2 1  n 3 3 . Do đó a   2 , b   1 , suy ra n c 3 c 3 3 a b n a b Cách 2: Thay n  1 vào un1  un  c n c , ta có   3  u2  u1   1. c c 3 Câu 44. Cho dãy số tăng  un  với un  đúng? A. 3b  a  0 . Chọn an  3 , với a , b là hai số thực dương. Mệnh đề nào dưới đây bn  1 B. a  3b . C. a  3b  0 . Lời giải: D. a  3b  6  0 . A. Ta có: un 1  un   = a  n  1  3 b  n  1  1  an  3  an  a  3  bn  1   an  3  bn  b  1  bn  1  bn  b  1 bn  1  abn2  an  abn  3bn  a  3  abn2  abn  an  3bn  3b  3   bn  b  1 bn  1 a  3b .  bn  b  1 (bn  1) Do đó dãy  un  tăng khi a  3b  0.  3b  a  0 Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 Câu 45. dãy số (un ) xác định bởi un  2010  2010  …  2010 (n dấu căn)Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Tăng sai B. Giảm C. Không tăng, không giảm D. Bị chặn Lời giải: Chọn A. Ta có un21  2010  un  un1  un  un21  un1  2010 1  8041 n 2 Suy ra un1  un  0  dãy (un ) là dãy tăng Bằng quy nạp ta chứng minh được un  DẠNG 2: XÉT TÍNH BỊ CHẶN CỦA DÃY SỐ A. Phương pháp giải Phương pháp 1: Chứng minh trực tiếp bằng các phương pháp chứng minh bất đẳng thức Cách 1: Dãy số (un ) có un  f (n) là hàm số đơn giản. Ta chứng minh trực tiếp bất đẳng thức u n  f ( n)  M , n   * hoặc u n  f ( n)  m, n   * Cách 2: Dãy số (un ) có un  v1  v2  …  vk  …  vn (tổng hữu hạn) Ta làm trội vk  ak  ak 1 Lúc đó un   a1  a2    a2  a3   …  an  an 1  Suy ra u n  a1  an 1  M , n  * Cách 3: Dãy số (un ) có un  v1.v2 v3 …vn với vn  0, n   * (tích hữu hạn) Ta làm trội vk  ak 1 ak Lúc đó un  a2 a3 an 1 . … a1 a2 an Suy ra un  an 1  M , n  * a1 Phương pháp 2: Dự đoán và chứng minh bằng phương pháp quy nạp. Nếu dãy số (un ) được cho bởi một hệ thức truy hồi thì ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh Chú ý: Nếu dãy số (un ) giảm thì bị chặn trên, dãy số (un ) tăng thì bị chặn dưới * Công thức giải nhanh một số dạng toán về dãy số bị chặn Dãy số (un ) có un  q n  q  1 bị chặn Dãy số (un ) có un  q n  q  1 không bị chặn n Dãy số (un ) có un  q với q  1 bị chặn dưới Dãy số (un ) có un  an  b bị chặn dưới nếu a  0 và bị chặn trên nếu a  0 Dãy số (un ) có un  an 2  bn  c bị chặn dưới nếu a  0 và bị chặn trên nếu a  0 Dãy số (un ) có u n  am n m  am 1n m 1  …  a1n  a0 bị chặn dưới nếu am  0 và bị chặn trên nếu am  0 Dãy số (un ) có un  q n  am n m  am 1nm 1  …  a1n  a0  với am  0 và q  1 không bị chặn Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 21 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Dãy số (un ) có un  am n m  am 1n m 1  …  a1n  a0 bị chặn dưới với am  0 Dãy số (un ) có un  3 am n m  am 1n m 1  …  a1n  a0 bị chặn dưới nếu am  0 và bị chặn trên nếu am  0 Dãy số (un ) có un  P n Q n trong đó P  n  và Q  n  là các đa thức, bị chặn nếu bậc của P  n  nhỏ hơn hoặc bằng bậc của Q  n  Dãy số (un ) có un  P n trong đó P  n  và Q  n  là các đa thức, bị chặn dưới hoặc bị chặn trên Q n nếu bậc của P  n  lớn hơn bậc của Q  n  B. Bài tập tự luận Câu 1. Xét tính bị chặn của các dãy số sau 1 nx a) un  2 . b) un  3.cos . c) un  2n3  1 . 2n  1 3 d) un  1 n 2  2n . e) un  n  . 2 n n  n 1 Lời giải a) un  1 Có 2n2  1  1  un = 1  1, n  1 . Vậy dãy số bị chặn trên bởi 1. 2n  1 2n  1 nx nx nx b) un  3.cos có 1  cos  1  3  3.cos  3 . 3 3 3 Vậy dãy số bị chặn dưới bởi 3 ; chặn trên bởi 3 . c) un  2n3  1 có 2n3  1  3, n  1 . Vậy dãy số bị chặn dưới bởi 3 . 2 2 n 2  2n n 2  2n n 1 u   1 2  1 , n  1 . có n 2 2 n  n 1 n  n 1 n  n 1 Vậy dãy số bị chặn dưới bởi 1. d) un  e) un  n  Câu 2. 1 1 1 có un  n   2 n.  2 , n  0 . Vậy dãy số bị chặn bởi 2 . n n n 2n  1 ;n N * n3 Lời giải Xét tính tăng hay giảm và bị chặn của dãy số: un  Ta có: un1  un  2n  1 2n  1 2n 2  7 n  3  2n 2  7 n  4 7     0; n  N * n4 n3  n  4  n  3  n  4  n  3 Vậy:  un  là dãy số tăng. Ta có un  2n  1 2(n  3)  7 7 , suy ra:   2 n3 n3 n3 n  *, un  2 nên  un  bị chặn trên. Vì  un  là dãy số tăng n  *, u1  1  un Nên  un  bị 4 chặn dưới. Vậy  un  bị chặn. Trang 22 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 Câu 3. Cho dãy số  un  với un  1   n  1 .2 n a). Viết 5 số hạng đầu của dãy số. b). Tìm công thức truy hồi. c). Chứng minh dãy số tăng và bị chặn dưới. Lời giải a).Ta có: u1  1  1  1 .21  1 u2  1   2  1 .22  5 u3  1   3  1 .23  17 u4  1   4  1 .2 4  49 u5  1   5  1 .25  129  b). Xét hiệu: un1  un  1  n.2n 1  1   n  1 .2n n n n   2n.2   n  1 .2   2n  n  1 .2   n  1 .2  un 1  un   n  1 2n. u1  1 Vậy công thức truy hồi:  n un1  un   n  1 .2 n n  1. c). Ta có: un 1  un   n  1 .2n  0 n  1. Từ đó suy ra dãy số  un  là dãy số tăng. Ta có: un  1   n  1 .2 n  1 n  1. Kết luận  un  là dãy số bị chặn dưới. Câu 4. Cho dãy số  un  u1  2  xác định bởi  un2 u   n 1 2u  1 , n  1, n    n 1) Chứng minh rằng dãy số  un  giảm và bị chặn. 2) Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số  un  . Lời giải 4  1. 3 Giả sử uk  1, k  2 (giả thiết quy nạp) 1) Ta có u1  2; u2  Ta sẽ chứng minh uk 1  1  * Theo công thức truy hồi *   uk2  1  uk2  2uk  1 vì ( 2uk  1  0 ) 2uk  1 2  uk2  2uk  1  0   uk  1  0 đúng (vì uk  1) Vậy un  1, n   * , suy ra  un  bị chặn dưới. +) Xét hiệu un 1  un  u 1  un  un2  un  n  0 (vì uk  1)   un  giảm 2un  1 2un  1  2  u1  u2  u3  …  …   un  bị chặn trên. Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 23 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Vậy dãy số  un  giảm và bị chặn. 2 1 2  1  un2 1 2 1    2    2   1     1 . 2) Từ un 1    2un  1 un1 un un  un   un un  Đặt vn  1 1 1  1  v1   1   và vn 1  vn2 . 2 2 un Từ đó suy ra v1  21; v2  22 ; v3  24 ; v4  28 . n 1 Giả sử vn  2 2 , n  4 (giả thiết quy nạp).   vn 1   22 n1  2 n n  22 . Do đó vn  2 2 , n n1 1 1 1 22 Mà vn   1  un  .  n1  n1 un 1  vn 1  22 22  1 Vậy số hạng tổng quát của dãy số  un  là un  Câu 5. Chứng minh rằng dãy số  un  , với un  Công thức un được viết lại: un  Câu 6. n1 n 1 22  1 . n2  1 là một dãy số bị chặn. 2n 2  3 Lời giải 1 5  2 2 2n 2  3   1 1 1  . Do đó từ 1 suy ra 2  un  1  n  1 2n  3 5 là một dãy số bị chặn. Dễ thấy n  1 ta có: 1  Từ đó suy ra  un  22 2 Chứng minh dãy số  un  , với un  Công thức un được viết lại: un  7n  5 là một dãy số tăng và bị chặn. 5n  7 Lời giải 7 24  5 5  5n  7  7  7  24 24 Xét hiệu số: un 1  un          5 5 5  n  1  7   5 5  5n  7          24  1 1     0 n  1.  un 1  un . Vậy dãy số  un  là dãy số tăng. 5  5n  7 5  n  1  7  Ta có: 0  1 1  5n  7 12 n  1  0   24 2 7 7 24 7 2       5  5n  7  5 5 5 5  5n  7  5 5 7  1  un  . Suy ra  un  là một dãy số bị chặn. 5 Kết luận  un  là một dãy số tăng và bị chặn. Câu 7. Cho dãy số  un  với un  n 2  4n  3. a). Viết công thức truy hồi của dãy số. b). Chứng minh dãy số bị chặn dưới. Trang 24 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 c). Tính tổng n số hạng đầu của dãy số đã cho. Lời giải a).Ta có: u1  12  4.1  3  0. 2 Xét hiệu: un 1  un   n  1  4  n  1  3   n 2  4n  3  2n  3  un1  un  2n  3.   u  0 Vậy công thức truy hồi:  1 un1  un  2n  3 n  1. 2 b). Ta có: un  n 2  4n  4  1   n  2   1  1 n  1. Vậy dãy số bị chặn dưới, nhưng không bị chặn trên. c). Ta có: u1  12  4.1  3   u2  22  4.2  3  u3  32  4.2  3    …  un  n 2  4.n  3    Sn  12  22  32  …  n 2  4 1  2  3  …  n   3n    n  n  1 2n  1 4n  n  1  3n 2 n  n  1 2n  1  12n  n  1  18n 6  6 n  n  1 2n  11  18n 6 n Câu 8.  1 Xét tính bị chặn của dãy số: un  1   ; n  N *  n Lời giải n  1 Ta có: un  1    0; n  N * nên  un  bị chặn dưới (1).  n n k n n   n!  1 k 1 Lại có: un  1     Cn      k   n  k 0  n  k 0  k ! n  k  !n  n  1  n  k  1  n  k  2   n  k  k   n 1   . . …    ;n N * n n n k 0  k !  k 0 k ! n Mà: 1 1 1 1 1  k !  1  1  1.2  2.3  3.4  …   n  1 .n k 0 1 1  1 1 1  1  2  1        …      3   3; n  N * n  2  2 3  n 1 n  Suy ra: un  3, n  N * nên dãy số (un ) bị chặn trên (2). Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 25 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Từ (1) và (2)  dãy số (un ) bị chặn. Câu 9. Cho U n  1  1 1 1  5  …  5 n  N *. Chứng minh U n  bị chặn trên. 5 2 3 n Lời giải   Với k  2,3,…, n ta có k 5  k  k  1  0 (do k 5  k  k  1  k 2 k 3  1  k  0)  1 1 1 1    5 k k  k  1 k  1 k Do đó: 11 1 1  1 5 2 2 1 1 1   35 2 3 ………………. 1 1 1   5 n n 1 n 1  U n  2   2n  N *  U n  bị chặn trên n u1  1  Câu 10. Cho dãy số  un  định bởi  n  N * 2 u  u  5  n 1 3 n a). Chứng minh un  15, n  N * . b). Chứng minh dãy số  un  tăng và bị chặn dưới Lời giải 2 2 a). Ta có u1  1  15 , giả sử uk  15 , khi đó uk 1  uk  5  . 15   5  15 3 3 Vậy un  15, n  N * 1 15  un 2 b). Ta có un 1  un  un  5  un   0, n  N *  do 1  3 3  dãy số  un  tăng  un  u1  1   un  bị chặn dưới. Câu 11. Xét tính bị chặn của các dãy số sau: 1 1 1 1 1 1 1 a). un  b). un  2  2  2  …  2   …  1 2 3 n 1.2 2.3 n  n  1 c). un  1 1 1 1 1 1 d). un    …    …  1.3 2.5 1.4 2.5 n  n  3  2n  1 2n  1 Lời giải a). Rõ ràng un  0, n   * nên  un  bị chặn dưới. Trang 26 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 1 1 1 Lại có: . Suy ra   k  k  1 k k  1 1  1  1 1 1 1 un  1        …     1, n   * nên  un  bị chặn trên.   1 n 1  2  2 3  n n 1  Kết luận  un  bị chặn. b). Rõ ràng un  0, n   * nên  un  bị chặn dưới. Có 1 1 1 1    , k  2, k   . Do đó: 2 k k  k  1 k  1 k 1 1  1  1 1 1 1  1 un  1  1            …      2   2 với mọi số nguyên dương n, nên n  2  2 3 3 4  n 1 n   un  bị chặn trên. Kết luận  un  bị chặn. c). Rõ ràng un  0, n   * nên  un  bị chặn dưới. Lại có: un  1 1 1 1     . Suy ra  2k  1 2k  1 2  2k  1 2k  1  1  1   1 1  1   1  1        …      2  3   2 5   2n  1 2 n  1   1 1  1 1    với mọi số nguyên dương n, 2  2n  1  2 nên  un  bị chặn trên. Kết luận  un  bị chặn. d). Rõ ràng un  0, n   * nên  un  bị chặn dưới. Lại có: 1  1 1 1 1 1 1 1 1 1      . Suy ra un  [1           k  k  3 3  k k  3  3  4  2 5 3 6 1  1 1   1 1  1 1  1 1  1      …          ] 4 7  n  3 n   n  2 n 1   n 1 n  2   n n  3  1 1 1 1 1 1  11 un   1      với mọi số nguyên dương n, nên  un  bị chặn trên.  3  2 3 n  1 n  2 n  3  18 Kết luận  un  bị chặn. C. Bài tập trắc nghiệm DÀNH CHO HỌC SINH TRUNG BÌNH – KHÁ Câu 1. 1 . Mệnh đề nào sau đây đúng ? 2n  3 A. Dãy số bị chặn. B. Dãy số bị chặn trên. C. Dãy số bị chặn dưới. D. Không bị chặn Lời giải Chọn A 1 1 1 1 Ta có 2n  3  5, n  *  0   , n  *     0, n  * 2n  3 5 5 2n  3 1    un  0 5 Suy ra dãy số (un ) bị chặn Cho dãy số (un ) biết un  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 27 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Giải nhanh: dãy số (un ) có un có bậc của tử thấp hơn bậc của mẫu nên bị chặn Câu 2. 4n  5 . Mệnh đề nào sau đây đúng ? n 1 A. Dãy số bị chặn. B. Dãy số bị chặn trên. C. Dãy số bị chặn dưới. D. Không bị chặn Lời giải Chọn A 4n  5 Ta có un   0, n  * n 1 4n  5 4(n  1)  1 1 1 9 9 un    4  4    un  , n  * n 1 n 1 n 1 2 2 2 9 Suy ra 0  un  , n  * 2 Vậy dãy số (un ) bị chặn Cho dãy số (un ) biết un  Giải nhanh: dãy số (un ) có un có bậc của tử bằng bậc của mẫu nên bị chặn Câu 3. n3 . Mệnh đề nào sau đây đúng ? n2  1 A. Dãy số bị chặn. B. Dãy số bị chặn trên. C. Dãy số bị chặn dưới. D. Không bị chặn Lời giải Chọn C Cho dãy số (un ) biết un  Ta có un  n3  0, n  *  (un ) bị chặn dưới (không bị chặn do bậc của tử cao hơn bậc 2 n 1 mẫu) Câu 4. Trong các dãy số sau dãy số nào bị chặn ? A. Dãy  an  , với an  n3  n , n   * . B. Dãy  bn  , với bn  n 2  1 , n   * . 2n C. Dãy  cn  , với cn  ( 2) n  3, n   * . D. Dãy  d n  , với d n  3n , n   * . n 2 3 Lời giải Chọn D Xét dãy  an  , có an  n3  n  0, n   * bị chặn dưới Xét dãy  bn  , có bn  n 2  1  0, n   * bị chặn dưới 2n Xét dãy  cn  , có cn  ( 2) n  3, n   * không bị chặn 2 3n , n   * Ta có n3  3n  2   n  1  n  2   0, n   * n 2 3 n  n3  2  3n  0  3  1   d n  bị chặn. n 2 Xét dãy  d n  , có d n  3 Cách khác: n3  2  n3  1  1  3 3 n3 .1.1  3n Trang 28 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 Giải nhanh: Ta dễ thấy dãy số  d n  có bậc của tử thấp hơn bậc của mẫu. Suy ra dãy  d n  bị chặn Cách khác: Dãy đã cho là dãy số giảm nên bị chặn trên bởi u1  1 Câu 5. Cho dãy số (un ) biết un  a sin n  b cos n . Mệnh đề nào sau đây đúng ? A. Dãy số không bị chặn. B. Dãy số bị chặn. C. Dãy số bị chặn dưới. D. Dãy số bị chặn trên Lời giải Chọn B Xét un  a sin n  b cos n  a  b    a  b   un  a  b Vậy (un ) bị chặn Câu 6. Xét tính bị chặn của các dãy số sau: un  (1)n A. Bị chặn. B. Không bị chặn. C. Bị chặn trên. Lời giải D. Bị chặn dưới. Chọn A Câu 7. Xét tính bị chặn của các dãy số sau: un  3n  1 A. Bị chặn. B. Bị chặn trên. C. Bị chặn dưới. Lời giải D. Không bị chặn dưới. Chọn C Ta có un  2, n  *  Dãy bị chặn dưới Khi n tiến tới dương vô cực thì un cũng tiến tới dương vô cực nên dãy số không bị chặn trên Vậy dãy đã cho bị chặn dưới Câu 8. Trong các dãy số un  cho bởi số hạng tổng quát un  sau, dãy số nào bị chặn? A. u n  n 2 . B. u n  2 n. 1 C. un  . n Lời giải D. un  n  1. Chọn C 1  1 với mọi n  * nên dãy un  bị chặn. n Nhận xét: Các dãy số n 2 ; 2 n ; n  1 là các dãy tăng đến vô hạn khi n tăng lên vô hạn nên chúng không bị chặn trên (có thể dùng chức năng TABLE của MTCT để kiểm tra). Ta có: 0  un  Câu 9. Trong các dãy số  un  cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào bị chặn? A. un  1 . 2n B. u n  3n. C. un  n  1. D. u n  n 2  1. Lời giải Chọn A Ta có: 0  un  1 1  với mọi n  * nên dãy un  bị chặn. n 2 2 2n  1 n2 B. Không bị chặn. C. Bị chặn trên. Lời giải Câu 10. Xét tính bị chặn của các dãy số sau: un  A. Bị chặn. D. Bị chặn dưới. Chọn A Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 29 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Ta có 0  un  2n  1 2n  4 2(n  2)    2 n nên dãy (un ) bị chặn. n2 n2 n2 Câu 11. Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un ) , biết: un  2n  13 3n  2 A. Dãy số tăng, bị chặn. B. Dãy số giảm, bị chặn. C. Dãy số không tăng không giảm, không bị chặn. D. Cả A, B, C đều sai. Lời giải Chọn A 2n  11 2n  13 34    0 với mọi n  1 . Ta có: un1  un  3n  1 3n  2 (3n  1)(3n  2) 9 Suy ra un 1  un n  1  dãy (un ) là dãy tăng  dãy bị chặn dưới bởi u1   . 4 2 35 9 2 Mặt khác: un      un  n  1 3 3(3n  2) 4 3 Vậy dãy (un ) là dãy bị chặn. Câu 12. Xét tính bị chặn của các dãy số sau: un  n 1 n2  1 B. Không bị chặn. C. Bị chặn trên. Lời giải A. Bị chặn. D. Bị chặn dưới. Chọn A n 1 Ta có: 0  un  n2  1  n 2  2n  1 2n 2n  1 2  1  2 , n  (un ) bị chặn. 2 n 1 n 1 2n Câu 13. Xét tính bị chặn của các dãy số sau: un  4  3n  n 2 A. Bị chặn. B. Không bị chặn. C. Bị chặn trên. Lời giải D. Bị chặn dưới. Chọn C 2 Ta có: un  25  3  25 n     (un ) bị chặn trên; dãy (un ) không bị chặn dưới. 4  2 4 Câu 14. Trong các dãy số (un ) sau, dãy số nào bị chặn? 1 n B. un  n  1 . A. un  n  . C. u n  n 2 2n  1 . 2 D. un  n  n  1 . Lời giải Chọn C Câu 15. Trong các dãy số (un ) sau, dãy số nào bị chặn? A. un  n  sin 3n B. un  n2  1 . n C. un  1 . n  n  1 D. un  n.sin  3n  1 . Lời giải Chọn C Ta có 0  un  1 1 1 bị chặn  ,n  *  Dãy (un ) với un  n  n  1 2 n  n  1 Trang 30 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 Câu 16. Trong các dãy số  un  cho dưới đây dãy số nào là dãy số bị chặn ? A. un  n3 . n2  1 C. u n  ( 1) n ( n  2). B. u n  n 2  2017. D. un  n . n 1 2 Lời giải Chọn D Ta có 0  un  n 1 n  ,n  *  Dãy (un ) với un  2 bị chặn n 1 2 n 1 2 n 1 n2 B. Giảm, bị chặn. C. Tăng, chặn dưới. Lời giải Câu 17. Xét tính tăng giảm và bị chặn của dãy số sau: (un ) : un  A. Tăng, bị chặn. D. Giảm, chặn trên. Chọn A n  2 n  1 (n  2)2  (n  3)(n  1) 1     0, n . n3 n2 (n  2)(n  3) (n  2)(n  3) n 1 n  2   1,n  * Và 0  un  n2 n2 Vậy dãy (un ) là dãy tăng và bị chặn. Ta có un1  un  Câu 18. Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un ) , biết: (un ) : un  n3  2n  1 A. Tăng, bị chặn. B. Giảm, bị chặn. C. Tăng, chặn dưới. Lời giải D. Giảm, chặn trên. Chọn C Ta có: un1  un  (n  1)3  2(n  1)  n3  2n  3n 2  3n  3  0, n Mặt khác: un  1, n và khi n càng lớn thì un càng lớn. Vậy dãy (un ) là dãy tăng và bị chặn dưới. Câu 19. Cho dãy số (un ) : un  A. 1 . 3 3n  1 . Dãy số un  bị chặn trên bởi số nào dưới đây? 3n  1 1 B. 1. C. . D. 0. 2 Lời giải Chọn B 5 1 1 3n 1 2  1  1. Mặt khác: u2     0 nên suy ra dãy un  bị chặn 7 2 3 3n  1 3n  1 trên bởi số 1. Ta có un  Câu 20. Khẳng định nào sau đây là sai? A. Mỗi dãy số tăng là một dãy số bị chặn dưới. B. Mỗi dãy số giảm là một dãy số bị chặn trên. C. Mỗi hàm số là một dãy số. D. Mọi dãy số hữu hạn đều bị chặn. Lời giải Chọn C Mọi dãy số là một hàm số, điều ngược lại không đúng (khác nhau tập xác định). Câu 21. Trong các dãy số (un ) sau, dãy số nào bị chặn? A. un  n2  1 . B. un  1  2 . 3n C. un  n  sin n . D. un  sin 2 n . Lời giải: Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 31 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Chọn D. Với mọi n   * , ta có 1  sin n  1  0  sin2 n  1 nên dãy số đã cho bị chặn. n2  n  1 n2  n  1 B. Không bị chặn C. Bị chặn trên Lời giải: Câu 22. Xét tính bị chặn của dãy số sau un  A. Bị chặn D. Bị chặn dưới Chọn A. Ta có: 1  un  2 n  (un ) bị chặn n . Khẳng định nào sau đây đúng? n 1 A. Là dãy số không bị chặn. 1 2 3 5 5 B. Năm số hạng đầu của dãy là: ; ; ; ; . 2 3 4 5 6 C. Là dãy số tăng. 1 2 3 4 5 D. Năm số hạng đầu của dãy là: ; ; ; ; . 2 3 4 5 6 Câu 23. Cho dãy số  un  với un  Lời giải Chọn D Năm số hạng đầu của dãy là: 1 2 3 4 5 ; ; ; ; . 2 3 4 5 6 Câu 24. Trong các dãy số sau, dãy nào là dãy số bị chặn? 2n  1 A. un  . B. un  2n  sin  n  . C. un  n 2 . D. un  n3  1 . n 1 Lời giải 2n  1 Xét dãy số un  ta có: n 1 2n  1 * un   0; n  *  dãy  un  bị chặn dưới bởi giá trị 0 . n 1 2n  1 1  2  2; n  *  dãy  un  bị chặn trên bởi giá trị 2 . * un  n 1 n 1  dãy  un  là dãy bị chặn. Câu 25. Chọn kết luận sai: A. Dãy số 2n 1 tăng và bị chặn trên.  1  B. Dãy số  giảm và bị chặn dưới.  n  1  1 C. Dãy số   tăng và bị chặn trên.  n   1  D. Dãy số  n  giảm và bị chặn dưới.  3.2  Lời giải  1  Đáp án B đúng vì dãy số  giảm và bị chặn dưới bởi 0.  n  1  1 Đáp án C đúng vì dãy số   tăng và bị chặn trên bởi 0.  n  Trang 32 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021  1  Đáp án D đúng vì dãy số  n  giảm và bị chặn dưới bởi 0.  3.2  Đáp án A sai vì dãy số 2n 1 tăng nhưng không bị chặn trên. Chọn A Câu 26. Cho dãy số  un  , biết un  cos n  sin n. Dãy số  un  bị chặn trên bởi số nào dưới đây? A. 0. B. 1. D. Không bị chặn trên. Lời giải MTCT Ta có un  u1  sin1  cos1  1  0 nên loại các đáp án A và B (dùng TABLE của MTCT để C. 2. kiểm tra, chỉ cần 1 số hạn nào đó của dãy số lớn hơn  thì dãy số đó không thể bị chặn trên bởi . )   Ta có un  cos n  sin n  2 sin  n    2   Chọn 4  C. Câu 27. Cho dãy số  un  , biết un  sin n  cos n. Dãy số  un  bị chặn dưới bởi số nào dưới đây? A. 0. B. 1. D. Không bị chặn dưới. Lời giải MTCT un  u5  sin 5  cos 5  1  0   loại A và B (dùng TABLE của MTCT để kiểm tra, chỉ C.  2. cần có một số hạng nào đó của dãy số nhỏ hơn  thì dãy số đó không thể bị chặn dưới với số  . )    Chọn Ta có un  2 sin  n     2  4  C. Câu 28. Cho dãy số  un  , biết un  3 cos n  sin n. Dãy số  un  bị chặn dưới và chặn trên lần lượt bởi các số m và M nào dưới đây? 1 B. m   ; M  3  1. 2 A. m  2; M  2. 1 1 D. m   ; M  . 2 2 Lời giải C. m   3  1; M  3  1.   un   u1  3  1  MTCT TABLE 1   loại C và D. 2 1 MTCT TABLE  un   u4     loạiB. Vậy Chọn A. 2  3  1   sin n  cos n   2sin  n     2  un  2. Nhận xét: un  2  2 6   2  n Câu 29. Cho dãy số  un  , biết un   1 .52 n5. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Dãy số  un  bị chặn trên và không bị chặn dưới. B. Dãy số  un  bị chặn dưới và không bị chặn trên. C. Dãy số  un  bị chặn. D. Dãy số  un  không bị chặn. Lời giải Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 33 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Nếu n chẵn thì un  52 n 1  0 tăng lên vô hạn (dương vô cùng) khi n tăng lên vô hạn nên dãy  un  không bị chặn trên. Nếu n lẻ thì un  52 n 1  0 giảm xuống vô hạn (âm vô cùng) khi n tăng lên vô hạn nên dãy  un  không bị chặn dưới. Vậy dãy số đã cho không bị chặn. Chọn D. Câu 30. Cho dãy số  un  , với un  1 1 1   …  , n  1; 2; 3. Mệnh đề nào sau đây đúng? 1.4 2.5 n  n  3 A. Dãy số  un  bị chặn trên và không bị chặn dưới. B. Dãy số  un  bị chặn dưới và không bị chặn trên. C. Dãy số  un  bị chặn. D. Dãy số  un  không bị chặn. Lời giải Ta có un  0    un  bị chặn dưới bởi 0. Mặt khác 1 1 1 1    k  *  nên  k  k  3 k  k  1 k k  1 suy ra: un  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1      1         1 1 1.2 2.3 3.4 n  n  1 2 2 3 2 4 n n 1 n 1 nên dãy  un  bị chặn trên, do đó dãy  un  bị chặn. Chọn C. 1 1 1  2  …  2 , n  2; 3; 4;. Mệnh đề nào sau đây đúng? 2 2 3 n bị chặn trên và không bị chặn dưới. Câu 31. Cho dãy số  un  , với un  A. Dãy số  un  B. Dãy số  un  bị chặn dưới và không bị chặn trên. C. Dãy số  un  bị chặn. D. Dãy số  un  không bị chặn. Lời giải Ta có un  0    un  bị chặn dưới bởi 0. Mặt khác 1 1 1 1     k  * , k  2  nên 2 k  k  1 k k  1 k suy ra: un  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1      1         1 1 1.2 2.3 3.4 n  n  1 2 2 3 2 4 n n 1 n 1 nên dãy  un  bị chặn trên, do đó dãy  un  bị chặn. Chọn C. Câu 32. Trong các dãy số  un  sau đây, dãy số nào là dãy số bị chặn? 1 B. un  n  . n A. un  n2  1. C. un  2n  1. D. un  n . n 1 Lời giải Các dãy số n ; n; 2 dương và tăng lên vô hạn (dương vô cùng) khi n tăng lên vô hạn, nên các 2 n 1 n 2  1; n  ; 2n  1 cũng tăng lên vô hạn (dương vô cùng), suy ra các dãy này không bị n chặn trên, do đó chúng không bị chặn. Chọn D. dãy Trang 34 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 n 1  1  1. Nhận xét: 0  un  n 1 n 1 u1  6 Câu 33. Cho dãy số  un  , xác định bởi  . Mệnh đề nào sau đây đúng? * un 1  6  un , n   5 A. 6  un  . B. 6  un  3. 2 C. D. 6  un  2. 6  un  2 3. Lời giải Ta có u2  12  3  5  2 nên loại các đáp án A, B, 2 C. Chọn D. Nhận xét: Ta có u1  6 u1  6 u  6   1   un  0     un  6.  un 1  6  un un 1  0 un 1  6  un  6 Ta chứng minh quy nạp un  2 3. u1  2 3; uk  2 3   uk 1  6  uk 1  6  2 3  6  6  2 3. Câu 34. Cho dãy số  un  , với un  sin  n 1 . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Số hạng thứ n  1 của dãy là un1  sin  n 1 . B. Dãy số  un  là dãy số bị chặn. C. Dãy số  un  là một dãy số tăng. D. Dãy số  un  không tăng không giảm. Lời giải un  sin un  sin  n 1  n 1   un 1  sin   n  1  1  sin  n2   A sai.   1  un  1   B đúng. Chọn un1  un  sin  n2  sin B.       0 0       C, D sai. n 1 n  2 n 1 2   DÀNH CHO HỌC SINH KHÁ – GIỎI u1  1  Câu 35. Cho dãy số (un ) biết  . Mệnh đề nào sau đây đúng ? 1 un 1  2 un  1 A. Dãy số bị chặn. B. Dãy số bị chặn trên. C. Dãy số bị chặn dưới. D. Không bị chặn Lời giải Chọn A Ta dự đoán dãy số này bị chặn (dùng máy casio để tính một vài số hạng). Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp: 2  un  1, n   * Với n  1 ta có 2  u1  1 (đúng) Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 35 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Giả sử mệnh đề trên đúng với n  k  1 : 2  uk  1 1 1 1 1  1  uk   2  uk  1   2 2 2 2  2  uk 1  1 Theo nguyên lí quy nạp ta đã chứng minh được 2  un  1, n   * Vậy (un ) bị chặn Câu 36. Xét tính bị chặn của các dãy số sau un  A. Bị chặn 1 1 1   …  1.3 2.4 n.(n  2) B. Không bị chặn C. Bị chặn trên D. Bị chặn dưới Lời giải Chọn A. Ta có: 0  un  1 1 1 1   …   1  1 Dãy (un ) bị chặn. 1.2 2.3 n.(n  1) n1 Câu 37. Xét tính bị chặn của các dãy số sau un  A. Bị chặn 1 1 1   …  1.3 3.5  2n  1 2n  1 B. Không bị chặn C. Bị chặn trên D. Bị chặn dưới Lời giải Chọn A. n Ta có: un   0  un  1 , dãy (un ) bị chặn. 2n  1 1.3.5…  2n  1 . Mệnh đề nào sau đây đúng ? 2.4.6.2n A. Dãy số bị chặn dưới. B. Dãy số bị chặn trên. C. Dãy số không bị chặn. D. Dãy số bị chặn Lời giải Chọn D Câu 38. Cho dãy số (un ) biết u n  2k  1 2k  1 Xét   2k 4k 2  1 2  2k  1   2k  1 2k  1 2k  1 , k  1 2k  1 1 3 5 2n  1 1 1 . . …   , n  * 3 5 7 2n  1 2n  1 3 1  0  un  , n  * 3  un  Vậy (un ) bị chặn n 2  3n  1 n 1 B. Tăng, bị chặn dưới. C. Giảm, bị chặn trên. D. Cả A, B, C đều sai. Lời giải Câu 39. Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un ) , biết: un  A. Tăng, bị chặn trên. Chọn B Ta có: un 1  un  (n  1) 2  3(n  1)  1 n 2  3n  1 n 2  5n  5 n 2  3n  1    n2 n 1 n2 n 1 Trang 36 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 (n2  5n  5)(n  1)  (n 2  3n  1)(n  2) n 2  3n  3    0 n  1 (n  1)(n  2) (n  1)(n  2)  un 1  un n  1  dãy (un ) là dãy số tăng. un  n 2  2n  1  n  1  2  dãy (un ) bị chặn dưới. n 1 Câu 40. Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un ) , biết: un  A. Tăng, bị chặn trên. 1 1  n  n2 B. Tăng, bị chặn dưới. C. Giảm, bị chặn. Lời giải D. Cả A, B, C đều sai. Chọn C Ta có: un  0 n  1 un 1 n2  n  1 n2  n  1    1 n   * un n 2  3n  3 ( n  1) 2  ( n  1)  1  un 1  un ,n  1  dãy (un ) là dãy số giảm. Mặt khác: 0  un  1  dãy (un ) là dãy bị chặn. 2n n! B. Tăng, bị chặn dưới. C. Giảm, bị chặn. Lời giải Câu 41. Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un ) , biết: un  A. Tăng, bị chặn trên. D. Cả A, B, C đều sai. Chọn C Ta có: un 1 2n 1 2n 2n 1 n ! 2  :  . n   1 n  1 un (n  1)! n ! (n  1)! 2 n 1 Mà un  0 n  un 1  un n  1  dãy (un ) là dãy số giảm. Vì 0  un  u1  2 n  1  dãy (un ) là dãy bị chặn. Câu 42. Cho dãy số un  , biết un  cos n  sin n. Dãy số un  bị chặn dưới bởi số nào dưới đây? A. 0. B. 1 . C.  2 . Lời giải D. Không bị chặn dưới. Chọn C MTCT u n    u5  sin 5  cos 5  1  0   loại A và B (dùng TABLE của MTCT để kiểm tra, chỉ cần có một số hạng nào đó của dãy số nhỏ hơn  thì dãy số đó không thể bị chặn dưới bởi  )   Ta có un  2 sin n     2  4 Câu 43. Cho dãy số un  , biết un  3 cos n  sin n. Dãy số un  bị chặn dưới và chặn trên lần lượt bởi các số m và M nào dưới đây? A. m  2; M  2. 1 B. m   ; M  3 1. 2 C. m   3  1; M  3  1. 1 1 D. m   ; M  . 2 2 Lời giải Chọn A Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 37 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 MTCT TABLE  un   u1  3 1  1   loại C và D 2 1 MTCT TABLE  un    u4     loại B 2  3   1  Nhận xét: un  2  sin n  cos n  2sin n    2  un  2.   2 2 6  Câu 44. Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un ) , biết: un  1  1 1 1  2  …  2 . 2 2 3 n A. Dãy số tăng, bị chặn. B. Dãy số tăng, bị chặn dưới. C. Dãy số giảm, bị chặn trên. D. Cả A, B, C đều sai. Lời giải Chọn A 1  0  dãy (un ) là dãy số tăng. Ta có: un1  un  (n  1)2 Do un  1  1 1 1 1   …   2 1.2 2.3 (n  1)n n  1  un  2, n  1  dãy (un ) là dãy bị chặn. u1  2  Câu 45. Xét tính tăng giảm và bị chặn của dãy số sau: (un ) :  un  1 un 1  2 , n  2 A. Tăng, bị chặn. B. Giảm, bị chặn. C. Tăng, chặn dưới, không bị chặn trên. D. Giảm, chặn trên, không bị chặn dưới. Lời giải Chọn B Trước hết bằng quy nạp ta chứng minh: 1  un  2, n Điều này đúng với n  1 , giả sử 1  un  2 ta có: un  1  2 nên ta có đpcm. 2 1  un  0, n . Mà un1  un  2 Vậy dãy (un ) là dãy giảm và bị chặn. 1  un1  x  x  1  x2 n 1 n 1  x  3  n 1 Câu 46. Cho hai dãy số ( xn ); ( y n ) xác định:  và  , n  2 . Mệnh đề nào sau yn  1  y1  3  yn  2 1  1  y n 1  đây đúng? A. 1  xn yn  2, n  2. B. 3  xn yn  4, n  2. C. 4  xn yn  5, n  2. D. 2  xn y n  3, n  2. Lời giải: Chọn D Trang 38 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 Ta có: x1  3  cot  6  x2  cot  6  1  cot Bằng quy nạp ta chứng minh được: xn  cot Tương tự, ta cũng có: yn  tan Đặt  n   2n.3 2  6  n1 2 .6 cos   6 sin 1   cot  2.6 6 .  n1 2 .3  xn  cot  n ; yn  tan 2 n  xn .yn  tan 2 n .cot  n 2 2t 1 .  . 2 1  t t 1  t2  2  1   1  t2  1 Vì n  2  0   n   0  t  tan  6 3 6 3 Đặt t  tan  n  tan 2 n .cot  n  2 2  3  2  xn yn  3, n  2 . 1  t2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 39 TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học: 2020-2021 Chương 3 CẤP SỐ CỘNG Bài 4 Lý thuyết 1. Cấp số cộng là một dãy số (vô hạn hay hữu hạn) mà trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó và một số d không đổi, nghĩa là: ( un ) là cấp số cộng  n  2, un  un 1  d Số d được gọi là công sai của cấp số cộng. 2. Định lý 1: Nếu ( un ) là một cấp số cộng thì kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng ( trừ số hạng cuối đối với cấp số cộng hữu hạn) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề nó trong dãy, tức là u u uk  k 1 k 1 2 Hệ quả: Ba số a, b, c (theo thứ tự đó) lập thành một cấp số cộng  a  c  2b . 3. Định lý 2: Nếu một cấp số cộng có số hạng đầu u1 và công sai d thì số hạng tổng quát un của nó được xác định bởi công thức sau: un  u1   n  1 d 4. Định lý 3: Giả sử  un  là một cấp số cộng có công sai d . n Gọi Sn   uk  u1  u2  …  un k 1 ( Sn là tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng). Ta có: Sn  n  u1  un  2 n  2u1   n  1 d    . 2 DẠNG 1: CHỨNG MINH MỘT DÃY SỐ  un  LÀ CẤP SỐ CỘNG. A. Phương pháp giải Để chứng minh dãy số  un  là một cấp số cộng, ta xét A  un 1  un • Nếu A là hằng số thì  un  là một cấp số cộng với công sai d  A . • Nếu A phụ thuộc vào n thì  un  không là cấp số cộng. Câu 1. Trong các dãy số sau, dãy nào là cấp số cộng. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó: a). Dãy số  un  với un  19n  5 b). Dãy số  un  với un  3n  1 n c). Dãy số  un  với un  n2  n  1 d). Dãy số  un  với un   1  10n ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Câu 2. Định x để 3 số 10  3 x, 2 x 2  3, 7  4 x theo thứ tự đó lập thành 1 cấp số cộng. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Câu 3. Một tam giác vuông có chu vi bằng 3a, và 3 cạnh lập thành một CSC. Tính độ dài ba cạnh của tam giác theo a. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Câu 4. Ba góc của một tam giác vuông lập thành một CSC. Tìm số đo các góc đó. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… C. Bài tập trắc nghiệm Câu 1. DÀNH CHO HỌC SINH TRUNG BÌNH – KHÁ Dãy số nào sau đây là một cấp số cộng? u1  1 u1  3   A.  un  :  . B.  un  :  . un1  un  2, n  1 un1  2un  1, n  1 C.  un  : 1; 3 ; 6 ; 10 ; 15 ;  . Câu 2. D.  un  : 1 ; 1; 1 ; 1; 1 ;  . Trong các dãy số sau, có bao nhiêu dãy số là cấp số cộng? a) Dãy số  un  với un  4n . b) Dãy số  vn  với vn  2n 2  1 . b) Dãy số  wn  với wn  Câu 3. A. 4 . B. 2 . C. 1 . Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số cộng? A. 1; 2; 4; 6; 8 . B. 1; 3; 6; 9; 12. C. 1; 3; 7; 11; 15. Câu 4. n  7 . d) Dãy số  tn  với tn  5  5n . 3 D. 3 . D. 1; 3; 5; 7; 9 . Trong các dãy số sau, dãy số nào không phải cấp số cộng? Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 Câu 5. 1 3 5 7 9 A. ; ; ; ; . B. 1;1;1;1;1 . C. 8; 6; 4; 2; 0 . D. 3;1; 1; 2; 4 . 2 2 2 2 2 Xác định a để 3 số 1  2 a; 2a 2  1; 2a theo thứ tự thành lập một cấp số cộng? B. a   A. Không có giá trị nào của a . Câu 6. 3 . 4 3 . 2 Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là cấp số cộng? C. a  3 . D. a   A. u n  3n 2  2017 . B. un  3n  2018 . C. un  3n . Câu 7. Dãy số nào sau đây là cấp số cộng? 1 A.  un  : un  . B.  un  : un  un 1  2, n  2 . n C.  un  : un  2n  1 . D.  un  : un  2un 1 , n  2 . Câu 8. Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là một cấp số cộng? B. u n  2 n , n  1 . A. un  n 2  1, n  1 . C. un  n  1, n  1 D. un   3 . n 1 . D. un  2n  3, n  1 Trong các dãy số sau, dãy nào là cấp số cộng: 2 5n  2 A. u n  3 n 1 . B. un  . C. un  n 2  1 . D. un  . n 1 3 Câu 10. Các dãy số có số hạng tổng quát un . Trong các dãy số sau, dãy số nào không phải là cấp số cộng? Câu 9. B. 49 , 43 , 37 , 31 , 25 .C. un  1  3n . A. un  2n  5 . 2 D. un   n  3  n 2 . Câu 11. Dãy số nào dưới đây là cấp số cộng?     A. un  n  2n , n  * . B. un  3n  1, n  * . 3n  1 ,  n  *  . n2 Câu 12. Dãy số nào sau đây là cấp số cộng ? A. 1; 2;3; 4;5 . B. 1; 2; 4;8;16 . C. 1;  1;1;  1;1 . D. 1;  3;9;  27;81 . Câu 13. Dãy số nào sau đây là một cấp số cộng? u1  1 u1  3   A.  un  :  . B.  un  :  . un1  un  2, n  1 un 1  2un  1, n  1   C. un  3n , n  * . D. un  C.  un  : 1 ; 3 ; 6 ; 10 ; 15 ;  . D.  un  : 1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 1 ;  . DÀNH CHO HỌC SINH KHÁ – GIỎI Câu 14. Tam giác ABC có ba cạnh a , b , c thỏa mãn a 2 , b 2 , c 2 theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau A. tan 2 A , tan 2 B , tan 2 C theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. B. cot 2 A , cot 2 B , cot 2 C theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. C. cos A , cos B , cos C theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. D. sin 2 A , sin 2 B , sin 2 C theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. Câu 15. Biết bốn số 5 ; x ; 15 ; y theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Giá trị của biểu thức 3 x  2 y bằng. A. 50 . B. 70 . C. 30 . D. 80 . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 Câu 16. Cho tam giác ABC, có ba cạnh a, b, c theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. Tính giá trị biểu thức P  cot A C .cot . 2 2 A. P  1. B. P  2. C. P  3. D. P  4. Câu 17. Với giá trị nào của a, ta có thể tìm được các giá trị của x để các số: a 5x 1  51 x , , 25x  25 x lập thành một cấp số cộng? 2 A. 2. B. 12. C. 4. D. 24. Câu 18. Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh a, b, c theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. Đẳng thức nào sau đây là đúng? A C 1 A C 1 A. tan .tan  . B. tan .tan  2 2 3 2 2 2 A C A C C. tan .tan  3 D. tan . tan  2 2 2 2 2 Câu 19. Cho tam giác ABC biết ba góc tam giác lập thành cấp số cộng và sin A  sin B  sin C  3 3 2 tính các góc của tam giác A. 30 0 ,60 0 ,90 0 B. 20 0 , 60 0 ,100 0 C. 10 0 , 50 0 ,120 0 D. 40 0 , 60 0 ,80 0 1 Câu 20. Cho x 2 ; ; y 2 theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá 2 trị nhỏ nhất của biểu thức P  3xy  y 2 . Tính S  M  m A. 1 . B. 2 . C. 3 . Câu 21. Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên k sao cho C14k , C14k 1 , C14k  2 cấp số cộng. Tính tổng tất cả các phần tử của S . A. 12 . B. 8 . C. 10 . 3 1  . 2 2 theo thứ tự đó lập thành một D. D. 6 . Câu 22. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a thuộc đoạn  0;2018 sao cho ba số 5 x 1  51 x ; a ; 25 x  25 x , 2 theo thứ tự đó, lập thành một cấp số cộng? A. 2008 . B. 2006 . C. 2018 . D. 2007 . Câu 23. Biết x thỏa mãn x 2  2, x , 5  6 x lập thành cấp số cộng. Tính tổng bình phương các giá trị x tìm được. A. 12 B. 17. C. 26 . D. 10 . Câu 24. Tìm x biết x 2  1, x  2,1  3 x lập thành cấp số cộng. A. x  4, x  3. B. x  2, x  3. C. x  2, x  5. D. x  2, x  1. 1 1 1 , , theo thứ tự lập thành một cấp số cộng bc c a ab thì các số nào sau đây theo thứ tự cũng lập thành một cấp số cộng? A. a , b , c. B. a2 , b 2 , c 2 . C. a3 , b 3 , c 3 . D. a 4 , b 4 , c 4 . Câu 25. Cho các số dương a , b , c . Nếu các số Câu 26. Cho tam giác ABC biết 3 góc của tam giác lập thành một cấp số cộng và có một góc bằng 25  .Tìm 2 góc còn lại? Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 A. 65 ; 90 . B. Câu 27. Cho tứ giác ABCD biết sn  các góc còn lại? A. 75 120 ; 165 . C. 70 ; 110 ; 150 . 75 ; 80 . C. 60 ; 95 . D. 60 ; 90 .  bằng 30  . Tìm góc của tứ giác lập thành một cấp số cộng và góc A B. 72 ; 114 ; 156 . D. 80 ; 110 ; 135 . DẠNG 2: TÌM SỐ HẠNG ĐẦU TIÊN, CÔNG SAI CỦA CẤP SỐ CỘNG, TÌM SỐ HẠNG THỨ K CỦA CẤP SỐ CỘNG, TÍNH TỔNG K SỐ HẠNG ĐẦU TIÊN. A. Phương pháp giải Ta thiết lập một hệ phương trình gồm hai ẩn u1 và d. Sau đó giải hệ phương trình này tìm được u1 và d . Muốn tìm số hạng thứ k , trước tiên ta phải tìm u1 và d . Sau đó áp dụng công thức: uk  u1   k  1 d . Muốn tính tổng của k số hạng đầu tiên, ta phải tìm u1 và d . Sau đó áp dụng công thức: Sk  k  u1  uk   k  2u1  (k  1)d  2 2 B. Bài tập tự luận Câu 1. Tìm số hạng đầu tiên, công sai, số hạng thứ 20 và tổng của 20 số hạng đầu tiên của các cấp số cộng sau, biết rằng: u6  8 u  19 u  u  u  10 u  u  14 a)  5 b)  2 3 5 c)  3 5 d)  2 2 u2  u4  16 u9  35 u4  u6  26  s12  129 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. Câu 2. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng, biết: u  27 u  5u2 u  u  u  7 a).  7 b).  9 c).  2 4 6 u15  59 u13  2u6  5 u8  u7  2u4 2 2 2 u  u  8 u  u2  u3  155 d).  3 7 e).  1  s3  21 u2 .u7  75 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 Câu 3. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng, biết: u1  u2  u3  9 u1  u2  u3  u4  16  S  12 1)  3 2)  2 3)  2 2 2 2 2 2 u1  u2  u3  35 u1  u2  u3  u4  84  S5  35  S 4  20  S5  5  4)  5)  1 1 1 1 25 u1.u2 .u3 .u4 .u5  45  u  u  u  u  24 2 3 4  1 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 7 NGUYỄN BẢO VƯƠNG – 0946798489 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Câu 4. Xác định số hạng đầu, công sai và số hạng thứ n của các cấp số cộng sau, biết rằng:  S  34 u  10  S  2 S10 S S S a).  12 b).  5 c). 20  10  5 d).  20 5 3 2  S18  45  S10  5  S15  3S5 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 Câu 5. Cho cấp số cộng: u1 ; u2 ; u3 ;…. có công sai d. 1). Biết u2  u22  40. Tính S23 2). Biết u1  u4  u7  u10  u13  u16  147. Tính u6  u11  u1  u6  u11  u16 4). Biết u4  u8  u12  u16  224. Tính: S19 5). Biết u23  u57  29 . Tính: u10  u70  u157  3u1 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………R