Chuyên đề cực trị số phức

Giới thiệu Chuyên đề cực trị số phức

Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và bạn đọc Chuyên đề cực trị số phức CHƯƠNG SỐ PHỨC.

Chuyên đề cực trị số phức

Tài liệu môn Toán 12 và hướng dẫn giải chi tiết các đề thi từ cơ bản đến vận dụng cao sẽ luôn được cập thường xuyên từ hoctoanonline.vn , các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán hay và mới nhất.

Tài liệu Chuyên đề cực trị số phức

Các em học sinh và bạn đọc tìm kiếm thêm tài liệu Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng tại đây nhé.

Text Chuyên đề cực trị số phức
toanthaycu.com CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ SỐ PHỨC (TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM) A. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CẦN NHỚ. 1. Môđun của số phức:Số phức z  a  bi được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trên mặt phẳng Oxy. Độ  dài của véctơ OM được gọi là môđun của số phức z. Kí hiệu z = a + bi = a 2 + b 2  Tính chất   z  a 2  b 2  zz  OM  z  0, z   , z  0  z  0 z z  ,  z ‘  0  z  z ‘  z  z ‘  z  z ‘ z’ z’  z. z ‘  z . z ‘   kz  k . z , k   2 2  Chú ý: z 2  a 2  b 2  2 abi  (a 2  b 2 )2  4a 2b 2  a 2  b 2  z  z  z.z . Lưu ý:  z1  z2  z1  z2 dấu bằng xảy ra  z1  kz2  k  0   z1  z2  z1  z2 dấu bằng xảy ra  z1  kz2  k  0  .  z1  z2  z1  z2 dấu bằng xảy ra  z1  kz2  k  0   z1  z2  z1  z 2 dấu bằng xảy ra  z1  kz2  k  0  2  2 2  z1  z2  z1  z2  2 z1  z2 2  z  z z  z 2 2  z   2.Một số quỹ tích nên nhớ Biểu thức liên hệ x, y Quỹ tích điểm M ax  by  c  0 (1) (1)Đường thẳng :ax  by  c  0 z  a  bi  z  c  di (2) (2) Đường trung trực đoạn AB với  A  a, b  , B  c, d    x  a    y  b 2 2  R 2 hoặc Đường tròn tâm I  a; b  , bán kính R 2  R 2 hoặc Hình tròn tâm I  a; b  , bán kính R z  a  bi  R  x  a    y  b 2 z  a  bi  R r 2   x  a    y  b   R 2 hoặc 2 2 r  z  a  bi  R Hình vành khăn giới hạn bởi hai đường tròn đồng tâm I  a; b  , bán kính lần lượt là r , R  y  ax 2  bx  c  c  0  2  x  ay  by  c Parabol  x  a 1 Elip  2  Elip nếu 2  y  c  2  11 hoặc b2 d2 z  a1  b1i  z  a2  b2i  2a 2a  AB , A  a1 , b1  , B  a2 , b2  Đoạn AB nếu 2a  AB  x  a 2   y  c Hypebol 2 1 b2 d2 B. MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Dạng 1: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường thẳng. TQ1: Cho số phức z thỏa mãn z  a  bi  z , tìm z Min . Khi đó ta có  Quỹ tích điểm M  x; y  biểu diễn số phức z là đường trung trực đoạn OA với A  a; b  1 1 2  2  z Min  2 z0  2 a  b   z  a  b i  2 2 TQ2: Cho số phức thỏa mãn điều kiện z  a  bi  z  c  di . Tìm z min . Ta có  Quỹ tích điểm M  x; y  biểu diễn số phức z là đường trung trực đoạn AB với A  a; b  , B  c; d   z Min  d  O, AB   a 2  b2  c2  d 2 2  a  c   b  d  2 2 Lưu ý: Đề bài có thể suy biến bài toán thành 1 số dạng, khi đó ta cần thực hiện biến đổi để đưa về dạng cơ bản. Ví dụ 1:  Cho số phức thỏa mãn điều kiện z  a  bi  z  c  di . Khi đó ta biến đổi z  a  bi  z  c  di  z  a  bi  z  c  di .  Cho số phức thỏa mãn điều kiện iz  a  bi  z  c  di . Khi đó ta biến đổi iz  a  bi  iz  c  di  z   a  bi c  di  z  z  b  ai  z  d  ci . i i Dạng 2: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường tròn. TQ: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  a  bi  R  0  z  z0  R  . Tìm z Max , z Min . Ta có  Quỹ tích điểm M  x; y  biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I  a; b  bán kính R z  OI  R  a 2  b 2  R  z0  R  Max   2 2  z Min  OI  R  a  b  R  z0  R  Lưu ý: Đề bài có thể cho ở dạng khác, ta cần thực hiện các phép biến đổi để đưa về dạng cơ bản. a  bi R Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện iz  a  bi  R  z   (Chia hai vế cho i ) i i  z  b  ai  R Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  a  bi  R  z  a  bi  R (Lấy liên hợp 2 vế) Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện  c  di  z  a  bi  R  z  Hay viết gọn z0 z  z1  R  z  a  bi R R   c  di c  di c2  d 2 z1 R (Chia cả hai vế cho z0 )  z0 z0 Dạng 3: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là Elip. Trang 2 Toanthaycu.com TQ1: (Elip chính tắc). Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  c  z  c  2a ,  a  c  Khi đó ta có  Quỹ tích điểm M  x; y  biểu diễn số phức z là Elip: x2 y2  1 a2 a2  c2  z Max  a   2 2  z Min  a  c TQ2: (Elip không chính tắc). Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  z1  z  z2  2a Thỏa mãn 2a  z1  z2 . Khi đó ta thực hiện phép biến đổi để đưa Elip về dạng chính tắc Ta có Khi đề cho Elip dạng không chính tắc z  z1  z  z2  2a ,  z1  z2  2a  và z1 , z2  c,  ci ). Tìm Max, Min của P  z  z0 .  z1  z2  2c Đặt  2 2 2 b  a  c Nếu z0  z1  z2 0 2  PMax  a (dạng chính tắc)   PMin  b  z1  z2 a  z0  2 Nếu  z  z  k  z  z  0 2  0 1  z1  z2  PMax  z0  2  a    P  z  z1  z2  a 0  Min 2  z1  z2 a  z0  2 Nếu  z  z  k  z  z  0 2  0 1 Nếu z0  z1  z0  z2 PMax  z0  z1  z2 a 2 PMin  z0  z1  z2 b 2 C. BÀI TẬP ÁP DỤNG Câu 1: Cho số phức z thoả mãn z  2  3i  1 . Tìm giá trị lớn nhất của z  1  i . A. 13  3 . B. 13  5 . C. 13  1 . Lời giải D. 13  6 . Chọn C Ta có 1  z  2  3i   z  2  3i  . z  2  3i    z  2  3i  z  2  3i  2  1   z  2  3i  z  2  3i   z  2  3i  1  z  1  i  3  2i  1(*) . +Đặt w  z  1  i , khi đó  w  3  2i  1 . Trang 3 Tập hợp các điểm biểu diễn số phức w  z  1  i là đường tròn  I ;1 và w là khoảng cách từ gốc tọa độ đến 1 điểm trên đường tròn. Do đó giá trị lớn nhất của w chính là đoạn OQ  w max  1  32  22  1  13 . 2 Nhận xét: Ở đây ta sử dụng kiến thức sau: z.z  z , z1 .z2  z1 . z2 Câu 2: (Chuyên Hạ Long 2019) Cho số phức z thỏa mãn z  6  z  6  20 . Gọi M , n lần lượt là môđun lớn nhất và nhỏ nhất của z. Tính M  n C. M  n  7 . Lời giải Gọi z  x  yi ,  x, y    . Theo giả thiết, ta có z  6  z  6  20 . A. M  n  2 . B. M  n  4 .  x  6  yi  x  6  yi  20   x  6 2  y2   x  6 2  y 2  20 D. M  n  14 .  . Gọi M  x; y  , F1  6;0  và F2  6;0  . Khi đó    MF1  MF2  20  F1 F2  12 nên tập hợp các điểm E là đường elip  E  có hai tiêu điểm F1 và F2 . Và độ dài trục lớn bằng 20 . Ta có c  6 ; 2a  20  a  10 và b2  a 2  c2  64  b  8 . x2 y2   1. 100 64 Suy ra max z  OA  OA’  10 khi z  10 và min z  OB  OB ‘  8 khi z  8i . Do đó, phương trình chính tắc của  E  là Vậy M  n  2 . * Nhận xét: Ở trên ta đã sử dụng định nghĩa (E) để nhận dạng được phưng trình elip Câu 3: (Đề Tham Khảo 2018) Xét số phức z  a  bi  a, b  thỏa mãn z  4  3i  5 . Tính P  a  b khi z  1  3i  z  1  i đạt giá trị lớn nhất. A. P  8 B. P  10 C. P  4 Lời giải D. P  6 Chọn B Gọi M  a; b  là điểm biểu diễn của số phức z. Theo giả thiết ta có: z  4  3i  5   a  4    b  3   5  Tập hợp điểm biểu diễn số 2 2 phức z là đường tròn tâm I  4;3 bán kính R  5  A  1;3 Gọi:   Q  z  1  3i  z  1  i  MA  MB  B 1; 1 Trang 4 Toanthaycu.com Gọi E là trung điểm của AB, kéo dài EI cắt đường tròn tại D Ta có: Q 2  MA 2  MB 2  2 MA.MB   Q 2  MA 2  MB 2  MA2  MB 2  2 MA 2  MB 2  Vì ME là trung tuyến trong  MAB MA2  MB 2 AB 2 AB 2  ME 2    MA2  MB 2  2ME 2  2 4 2  AB 2  2 2  Q 2  2  2ME 2    4ME  AB . Mặt khác ME  DE  EI  ID  2 5  5  3 5 2      Q2  4. 3 5 2  20  200  MA  MB  Q  10 2  Qmax  10 2   M  D   4  2( xD  4)  xD  6  EI  2 ID     M  6; 4   P  a  b  10 2  2( yD  3)  yD  4 Cách 2:Đặt z  a  bi. Theo giả thiết ta có:  a  4    b  5   5. 2 2 a  4  5 sin t Đặt  . Khi đó: b  3  5 cos t Q  z  1  3i  z  1  i      a  1   b  3 2 5 sin t  5  5cos 2 t  2  2    2 5 sin t  3   a  1   b  1 2 5 cos t  4  2 2  30  10 5 sin t  30  2 5  3sin t  4 cos t  Áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có:     Q  2 60  8 5  2 sin t  cos t   2 60  8 5. 5  200  10 2  Q  10 2  Qmax  10 2  sin t  Dấu bằng xảy ra khi  cos t   Câu 4: 2 a  6 5   P  a  b  10. 1 b  4 5 (Đề Tham Khảo 2017) Xét số phức z thỏa mãn z  2  i  z  4  7i  6 2. Gọi m , M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của z  1  i . Tính P  m  M . A. P  5 2  2 73 2 B. P  5 2  73 C. P  5 2  73 2 D. P  13  73 Lời giải Chọn A Trang 5 8 D 6 4 A H 2 E 5 2 N Gọi A là điểm biểu diễn số phức z , E  2;1 , F  4;7  và N 1; 1 . Từ AE  A F  z  2  i  z  4  7i  6 2 và EF  6 2 nên ta có A thuộc đoạn thẳng EF . 5 2  2 73  3 3 Gọi H là hình chiếu của N lên EF , ta có H   ;  . Suy ra P  NH  NF  . 2  2 2 Câu 5: (THPT Cẩm Giàng 2 2019) Cho số phức z thỏa mãn z  2  2i  1 . Số phức z  i có môđun nhỏ nhất là: A. 52. B. 5 1. C. 5  1 . Lời giải D. 5 2. Cách 1: Đặt w  z  i  z  w  i . Gọi M  x; y  là điểm biểu diễn hình học của số phức w. Từ giả thiết z  2  2i  1 ta được: w  i  2  2i  1  w  2  i  1   x  2    y  1 i  1   x  2    y  1  1 . 2 2 Suy ra tập hợp những điểm M  x; y  biểu diễn cho số phức w là đường tròn  C  có tâm I  2;1 bán kính R  1 . Giả sử OI cắt đường tròn  C  tại hai điểm A, B với A nằm trong đoạn thẳng OI . Ta có w  OM Mà OM  MI  OI  OM  MI  OA  AI  OM  OA Trang 6 Toanthaycu.com Nên w nhỏ nhất bằng OA  OI  IA  5  1 khi M  A. Cách 2: Từ z  2  2i  1   a  2    b  2   1 với z  a  bi  a, b    2 2 a  2  sin x; b  2  cos x  a  2  sin x, b  2  cos x Khi đó: z  i  2  sin x   2  cos x  i  i   2  sin x   1  cos x  2 2  6   4sin x  2 cos x   6 4 2   2 2  sin 2 x  cos 2 x   6  2 5  Nên z  i nhỏ nhất bằng  5 1 2  5 1  2 5 sin x    4 cos x  2sin x   5 5  1 khi   4sin x  2 cos x  2 5 cos x   5  5  2 5  5 Ta được z   2     2  i 5   5   Cách 3: Sử dụng bất đẳng thức z1  z 2  z1  z2  z1  z2 z  i   z  2  2i    2  i   z  2  2i  2  i  5  1 Câu 6: (THPT Gia Lộc Hải Dương 2019) Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất 2z  i M của P  với z là số phức khác 0 và thỏa mãn z  2 . Tính tỉ số . z m A. M  3. m B. M 4  . m 3 C. M 5  . m 3 D. M  2. m Lời giải 2z  i 2z  i 2z  i 2z  i 1 1 3 5 Ta có P    P  2  P  2   P  . z z z z z z 2 2 Vậy Câu 7: M 5  . m 3 Xét tất cả các số phức z thỏa mãn z  3i  4  1 . Giá trị nhỏ nhất của z 2  7  24i nằm trong khoảng nào? A.  0;1009  . B. 1009; 2018 . C.  2018; 4036  . D.  4036;   . Lời giải Chọn B Ta có 1  z  3i  4  z  3i  4  z  5  1  z  5  1  4  z  6 . Đặt z0  4  3i  z0  5, z02  7  24i .  Ta có A  z 2  7  24i  z 2  zo 2   z 2  zo 2  z  zo 2 2 2 2  z 4 4   zo  z . zo  z o . z  2  2 z.zo 2 Trang 7   Mà  z  zo  z  zo  1  z.zo  zo .z  1  z  zo 4 2 4  2 Suy ra A  z  zo  1  z  zo   2 z.z 2 2 2 o 2 4 2  2 z  2 z  1201 . Hàm số y  2t 4  2t 2  1201 đồng biến trên  4;6 nên A  2.44  2.42  1201  1681.  z  4 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi  .  z  4  3i  1 Do đó z 2  7  24i nằm trong khoảng 1009; 2018  . Câu 8: (Chuyen Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Cho số phức z thỏa mãn z  z  z  z  4 . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P  z  2  2i . Đặt A  M  m . Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. A   34;6 .   B. A 6; 42 .    C. A 2 7; 33 .  D. A 4;3 3 . Lời giải Chọn A Giả sử: z  x  yi,  x, y     N  x; y  : điểm biểu diễn của số phức z trên mặt phẳng tọa độ Oxy . Ta có: • z  z  z  z  4  x  y  2  N thuộc các cạnh của hình vuông BCDF (hình vẽ). y I B 2 1 E F C O -2 1 x 2 D -2 • P  z  2  2i  P   x  2   y  2 2 2  P  d  I ; N  với I  2;2  Từ hình ta có: E 1;1 M  Pmax  ID  42  2 2  2 5 và m  Pmin  IE  Vậy, A  M  m  2  2 5  Câu 9:   2  1   2  1 2 2  2  34; 6 . (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Cho số phức z thỏa mãn z  3  4i  2 và w  2 z  1  i . Khi đó w có giá trị lớn nhất bằng Trang 8 Toanthaycu.com A. 4  74 . B. 2  130 . C. 4  130 . Lời giải D. 16  74 . Chọn C Theo bất đẳng thức tam giác ta có w  2 z  1  i   2 z  6  8i    7  9i   2 z  6  8i  7  9i  4  130 . Vậy giá trị lớn nhất của w là 4  130 . Câu 10: (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Xét số phức z và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn là M và M  . Số phức z  4  3i  và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn là N và N . Biết rằng M , M  , N , N là bốn đỉnh của hình chữ nhật. Tìm giá trị nhỏ nhất của z  4i  5 . A. 5 . 34 B. 2 . 5 C. 1 . 2 D. 4 . 13 Lời giải Chọn C Gọi z  x  yi , trong đó x, y   . Khi đó z  x  yi , M  x; y  , M   x;  y  . Ta đặt w  z  4  3i    x  yi  4  3i    4 x  3 y    3x  4 y  i  N  4 x  3 y;3 x  4 y  . Khi đó w  z  4  3i    4 x  3 y    3 x  4 y  i  N   4 x  3 y ;  3 x  4 y  . M và M  ; N và N từng cặp đối xứng nhau qua trục Ox . Do đó, để chúng tạo thành một hình chữ nhật thì yM  yN hoặc yM  yN . Suy ra y  3 x  4 y hoặc y   3 x  4 y . Vậy tập Ta có hợp các điểm M là hai đường thẳng: d1 : x  y  0 và d2 :3x  5 y  0 . Đặt P  z  4i  5   x  5   y  4  2 2 . Ta có P  MA với A  5; 4  . Pmin  MAmin  MA  d  A; d1  hoặc MA  d  A; d 2  . Mà d  A; d1   vậy Pmin  d  A; d1   1 5 , d  A; d2   , 2 34 1 . 2 Câu 11: Biết số phức z thỏa mãn iz  3  z  2  i và z có giá trị nhỏ nhất. Phần thực của số phức z bằng: A. 2 . 5 B. 1 . 5 2 C.  . 5 Lời giải 1 D.  . 5 Chọn D Trang 9 Đặt z  x  yi ( x , y  ). Khi đó iz  3  z  2  i  x 2    y  3  2  x  2   y 1 2 2  x  2 y  1  0  x  2 y  1 1 . 2 2 Lại có z  x  y  2  . Thay 1 vào  2  ta được: 2 z  x2  y 2  2 1 5 2   2 y 1  y2  5 y2  4 y 1  5 y     5 5 5  2 5 2 5 Dấu đẳng thức xảy ra khi y   0  y   . Thay y   2 1 vào 1 suy ra x   . 5 5 1 Vậy phần thực của số phức z là  . 5 Câu 12: (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương -2019) Xét các số phức z thỏa mãn z  1  3i  2 . Số phức z mà z  1 nhỏ nhất là A. z  1  5i . B. z  1  i . C. z  1  3i . Lời giải D. z  1  i . Gọi z  x  yi , x, y   . Khi đó M  x; y  là điểm biểu diễn của số phức z . Theo bài ra ta có z  1  3i  2   x  1   y  3   4 . 2 2 Suy ra tập hợp điểm M là đường tròn tâm I 1; 3 bán kính R  2 . Khi đó z  1   x  1 2  y 2  I M với I  1; 0 . z  1 nhỏ nhất khi I M ngắn nhất hay I , M , I  thẳng hàng, M nằm giữa I và I  . Trang 10 Toanthaycu.com Phương trình đường thẳng II  là x  1 . Tọa độ giao điểm của đường thẳng II  với đường tròn tâm I bán kính R  2 là M 1 1; 1 và M1 1; 5 . Thử lại ta thấy M1 1; 1 thỏa mãn. Vậy z  1  i . Câu 13: (Chuyên Phan Bội Châu -2019) Cho số phức z thỏa mãn z  z  z  z  4. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P  z  2  2i . Đặt A  M  m. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. A       B. A  6; 42 . 34; 6 .  C. A  2 7; 33 .  D. A   4;3 3 . Lời giải Chọn A Đặt z  x  iy và gọi M  x; y  là điểm biểu diễn của z  x  iy ta có: z  z  z  z  4  x  y  2 Gọi A  2; 2  và P  MA * Theo hình vẽ, min P  d  A,   , với  : x  y  2 và min P  222 2  2 max P  AE  22  42  2 5, với E  0; 2  Vậy M  m  2  2 5  5,88 Câu 14: (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Trong các số phức z thỏa mãn z  1  i  z  1  2i , số phức z có mô đun nhỏ nhất có phần ảo là 3 C.  . 5 Lời giải Gọi z  x  yi ,  x , y    được biểu diễn bởi điểm M  x ; y  . A. 3 . 10 B. 3 . 5 D.  3 . 10 z  1  i  z  1  2i   x  1   y  1 i   x  1   y  2  i   x  1 2   y  1  2  x  1 2   y  2   4 x  2 y  3  0  y  2 x  2 3 . 2 Cách 1: Trang 11 2 2 3 9 3 9 3 5   z  x 2  y 2  x 2   2 x    5 x 2  6 x   5  x     , x . 2 4 5  20 10   Suy ra min z  3 5 3 3 khi x   ; y   . 10 5 10 Vậy phần ảo của số phức z có mô đun nhỏ nhất là  3 . 10 Cách 2: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng d : 4x  2 y  3  0 . Ta có z  OM . z nhỏ nhất  OM nhỏ nhất  M là hình chiếu của O trên d . Phương trình đường thẳng OM đi qua O và vuông góc với d là: x  2 y  0 . 3  x 4 x  2 y  3  0  5 Tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:   x  2 y  0  y   3  10 3 3 3  3  M   ;   . Hay z    i . 5 10  5 10  3 . 10 Nhận xét: Ta có thể tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z như sau: Vậy phần ảo của số phức z có mô đun nhỏ nhất là  z  1  i  z  1  2i  z  1  i   z   1  2i   * Gọi M biểu diễn số phức z , điểm A 1;  1 biểu diễn số phức 1  i , điểm B  1;  2  biểu diễn số phức 1  2i . Khi đó *  MA  MB . Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường trung trực của đoạn thẳng AB có phương trình d : 4 x  2 y  3  0 . Câu 15: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn A. 2 2 . B. z1  i z i  1; 2  2 . Giá trị nhỏ nhất của z1  z2 là z1  2  3i z2  1  i 2. C. 1 . D. 2 1. Lời giải Chọn A Giả sử z1  x1  y1i với x1 ; y1   . Khi đó: z1  i  1  z1  i  z1  2  3i  x1   y1  1 i   x1  2    y1  3 i z1  2  3i  x12   y1  1  2  x1  2    y1  3 2 2  x1  y2  3  0 .  Quỹ tích điểm M biểu diễn số phức z1 là đường thẳng  : x  y  3  0 . Giả sử z2  x2  y2i với x2 ; y2   . Ta có: z2  i  2  z2  i  2 z 2  1  i  x2   y2  1 i  2  x2  1   y2  1 i z2  1  i Trang 12 Toanthaycu.com  x22   y2  1  2 2  x2  1   y2  1 2 2  x22  y22  4 x2  2 y2  3  0 .  Quỹ tích điểm N biểu diễn số phức z2 là đường tròn  C  : x 2  y 2  4 x  2 y  3  0 có tâm I  2; 1 và bán kính R  22   1  3  2 . 2 Khoảng cách từ I đến  là: d  I ;    2   1  3 12   1 2  3 2  R  đường thẳng  và đường tròn C không có điểm chung. Quỹ tích các điểm biểu diễn số phức z1  z2 là đoạn thẳng MN .  z1  z2 nhỏ nhất khi và chỉ khi MN nhỏ nhất. I N’ N M M’ Dễ thấy MN min  3 2  2  2 2 . Câu 16: (Sở Bình Phước 2019) Gọi S là tập hợp các số phức z thỏa mãn z  1  34 và z  1  mi  z  m  2i , (trong đó m   ). Gọi z1 , z2 là hai số phức thuộc S sao cho z1  z2 lớn nhất, khi đó giá trị của z1  z2 bằng A. 2 B. 10 C. 2 Lời giải D. 130 Chọn A Đặt z  x  yi ,  x , y    . Khi đó z  1  34   x  1  y 2  34 ; z  1  mi  z  m  2i  2  m  1 x  2  2  m  y  3  0 . 2 Do đó tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là giao điểm của đường tròn  C  :  x  1 2  y 2  34 và đường thẳng d : 2  m  1 x  2  2  m  y  3  0 . Gọi A , B là hai điểm biểu diễn z1 và z2 . Suy ra  C   d   A, B . Mặt khác z1  z2  AB  2 R  2 34 do đó max z1  z2  2 34  AB  2 R  I 1; 0   d . Từ đó ta có m    z1  6  3i 1 nên d : 3x  5 y  3  0   . 2  z2  4  3i Vậy z1  z2  2 . Trang 13 Câu 17: Cho hai số phức z , w thỏa mãn z  3 2  2 , w  4 2i  2 2 . Biết rằng z  w đạt giá trị nhỏ nhất khi z  z0 , w  w0 . Tính 3z0  w0 . A. 2 2 . B. 4 2 . D. 6 2 . C. 1. Lời giải Ta có: + z  3 2  2 , suy ra tập hợp điểm biểu diễn M biểu diễn số phức z là đường tròn có   tâm I 3 2 ;0 , bán kính r  2 . + w  4 2i  2 2 , suy ra tập hợp điểm biểu diễn N biểu diễn số phức w là đường tròn có tâm   J 0; 4 2 , bán kính R  2 2 . Ta có min z  w  min MN . + IJ  5 2; IM  r  2; NJ  R  2 2 . Mặt khác IM  MN  NJ  IJ  MN  IJ  IM  NJ hay MN  5 2  2  2 2  2 2 . Suy ra min MN  2 2 khi I , M , N , J thẳng hàng và M , N nằm giữa I , J (Hình vẽ). Cách 1:    1   3  Khi đó ta có: 3 z0  w0  3OM  ON và IN  3 2  IM  IJ ; IN  IJ . 5 5     3      3    1   Mặt khác ON  OI  IN  OI  IJ ; 3OM  3 OI  IM  3  OI  IJ   3OI  IJ . 5 5  5     3    3      Suy ra 3 z0  w0  3OM  ON  3OI  IJ   OI  IJ   2OI  6 2 . 5 5   Cách 2:      Ta có IN  3IM  3IM  IN  0 .        Do đó 3z0  w0  3OM  ON  3 OI  IM  OI  IN  2OI  2.OI  2.3 2  6 2.     Cách 3:  12 2  xM   IM   1  12 2 4 2  5 IJ  IM  IJ    z0   i. +) IM  IJ 5 5 5 4 2 y   M 5 Trang 14 Toanthaycu.com  6 2  xN   IN   3  6 2 12 2  5 IJ  IN  IJ    w0   i. +) IN  IJ 5 5 5  y  12 2  N 5 Suy ra 3 z0  w0  6 2  6 2 . Câu 18: Cho hai số phức z và w thỏa mãn z  2w  8  6i và z  w  4. Giá trị lớn nhất của biểu thức z  w bằng A. 4 6. B. 2 26. C. 66. Lời giải D. 3 6. Chọn C     Giả sử M , N lần lượt là các điểm biểu diễn cho z và w. Suy ra OM  ON  OF  2OI , z  w  MN  4 và OF  2OI  10. Đặt z  ON  a ; w  OM  b. Dựng hình bình hành OMFE 2 E F I N O a M b  a 2  b 2 ME 2  2  4  25 264  a 2  2b 2  Ta có  2 2 2 3  b  ME  a  16  2 4  z  w 2 2 a  1 1    b    a 2  2b 2      66 2  4 2 Suy ra a  b  66, dấu “=” xảy ra khi a  b  2 66 . 3 Vậy  a  b max  66. Câu 19: Cho số phức z thoả mãn z  1 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z  1  z 2  z  1 . Tính M .m A. 13 3 . 4 B. 39 . 4 C. 3 3 . D. 13 . 4 Lời giải Chọn A 2 Thay z  1 vào P ta có Trang 15 P  z 1  z2  z 1  z 1  z2  z  z 2  z  1  z 2  z  z.z  z  1  z z  z  1  z 1  z  z 1 .   Mặt khác z  1   z  1 z  1  2  z  z . 2 Đặt t  z  z do z  1 nên điều kiện t   2; 2  . Suy ra P  t  2  t  1 . Xét hàm số f  t   t  2  t  1 với t   2; 2  . 1  1 với t  1 . Suy ra f   t   0 với t  1 . 2 t2 1 7 f t    1 với t  1 . Suy ra f   x   0  x  . 4 2 t2 Ta có bảng biến thiên f  t   Từ bảng biến thiên suy ra M  Vậy M .m  Câu 20: 13 7 tại t  và m  3 tại t  2 . 4 4 13 3 . 4 (THPT Yên Khánh – Ninh Bình – 2019) Cho hai số phức z và   a  bi thỏa mãn z  5  z  5  6 ; 5a  4b  20  0 . Giá trị nhỏ nhất của z   là A. 3 . 41 B. 5 . 41 C. 4 . 41 D. 3 . 41 Lời giải Chọn A   Đặt F1  5 ; 0 , F2   5 ; 0 , vì 5  3 nên tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thuộc elip a  3 x2 y2  b 2  a 2  c 2  4 suy ra  E  :   1. có  9 4 c  5 Tập hợp các điểm N biểu diễn số phức  thuộc đường thẳng  : 5 x  4 y  20  0 . Yêu cầu bài toán trở thành tìm điểm M   E  và N   sao cho MN nhỏ nhất. Trang 16 Toanthaycu.com Đường thẳng d song song với  có dạng d : 5 x  4 y  c  0 ,  c  20  . c  17 2 d tiếp xúc với  E  khi và chỉ khi c 2  52.9   4  .4  289   . c  17 Với c  17  d  d ,    Với c  17  d  d ,    Vậy min  MN   Câu 21: 20  17 5   4  2 2  20  17 5 2   4  2 37 . 41  3 . 41 3 . 41 (KTNL GV THPT Lý Thái Tổ 2019) Gọi z  a  bi  a, b    là số phức thỏa mãn điều kiện z  1  2i  z  2  3i  10 và có mô đun nhỏ nhất. Tính S  7a  b ? A. 7 . B. 0 . C. 5 . Lời giải D.  12 . Chọn A 4 B M H 2 A O 2 4 Gọi M  a; b  là điểm biểu diễn số phức z  a  bi A 1;2  là điểm biểu diễn số phức 1  2i  B  2;3  là điểm biểu diễn số phức 2  3i  , AB  10 Trang 17 z  1  2i  z  2  3i  10 trở thành MA  MB  AB  M , A, B thẳng hàng và M ở giữa A và B Gọi H là điểm chiếu của O lên AB, phương trình  AB  : x  3y  7  0 ,  OH  : 3x  y  0     3 1    27 9   7 21  Tọa độ điểm H  ;  , Có AH    ;  , BH   ;   và BH  9 AH  10 10   10 10   10 10  Nên H thuộc đoạn AB z nhỏ nhất  OM nhỏ nhât, mà M thuộc đoạn AB  7 21   M H ;   10 10  Lúc đó S  7a  b  Câu 22: 49 21   7. 10 10 (KTNL GV Thuận Thành 2 Bắc Ninh 2019) Cho số phức z thỏa mãn z  z  2 z  z  8 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức P  z  3  3i . Tính M  m . A. 10  34 . B. 2 10 . C. Giải: 10  58 . D. 5  58 . Chọn D  x  4  Gọi z  x  yi, x, y   , ta có z  z  2 z  z  8  x  2 y  4   , tập hợp  y  2  K  x; y  biểu diễn số phức z thuộc cạnh các cạnh của trong hình thoi ABCD như hình vẽ. P  z  3  3i đạt giá trị lớn nhất khi KM lớn nhất, theo hình vẽ ta có KM lớn nhất khi K  D hay K  4;0  suy ra M  49  9  58 P  z  3  3i đạt giá trị nhỏ nhất khi KM nhỏ nhất, theo hình vẽ ta có KM nhỏ nhất khi K  F ( F là hình chiếu của E trên AB . Suy ra F  2;1 do AE  AB nên F là trung điểm của AB . Suy ra m  1  4  5 . Vậy M  m  58  5 Câu 23: (Chuyên Bắc Giang -2019) Cho số phức z có z  1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  z2  z  z2  z 1 . Trang 18 Toanthaycu.com A. 13 4 B. 3 C. 3 D. 11 4 Lời giải Chọn A P  z2  z  z2  z 1  z z 1  z2  z 1  z 1  z2  z 1 Do z  1 nên ta đặt z  cos x  i.sin x . Khi đó P  z  1  z 2  z  1  cos x  i.sin x  1  cos 2 x  i sin 2 x  cos x  i sin x  1   cos x  1 2  cos 2 x  cos x  1   sin 2 x  sin x  2  sin 2 x  2  2  2 cos x  3  4 cos x  2 cos 2 x  2  2 cos x  4 cos 2 x  4 cos x  1  2  2 cos x  2 cos x  1 Đặt t  cos x, t   1;1 . Xét hàm y  2  2t  2t  1 Với t   1 thì y  2  2t  2t  1, y ‘  2 1 2 2  2t 1 7 20t  8 2  2t  7  13  1  y 1  3; y    ; y     3 8 4  2 y’ 0  1 1 thì y  2  2t  2t  1, y ‘  2 2 2  2t 1 1 y’ 0   2  0  2  2t  (phương trình vô nghiệm) 2 2  2t Với t    1 y  1  3 ; y     3  2 13 13 Vậy max y  . Do đó giá trị lớn nhất của P  z 2  z  z 2  z  1 là . 1;1 4 4 Câu 24:   (Chuyên Đại Học Vinh -2019) Giả sử z1 , z 2 là hai trong các số phức thỏa mãn  z  6  8  zi là số thực. Biết rằng z1  z2  4 , giá trị nhỏ nhất của z1  3z2 bằng A. 5  21 B. 20  4 21 C. 20  4 22 Lời giải D. 5  22 Chọn C Trang 19 Giả sử z  x  yi , x, y   .Gọi A, B lần lượt là điểm biểu diễn cho các số phức z1 , z 2 . Suy ra AB  z1  z2  4 .   Theo giả thiết  z  6  8  zi  là số thực nên ta suy ra x * Ta có  z  6  8  zi   x  6   yi  .  8  y   xi    8 x  6 y  48    x 2  y 2  6 x  8 y  i . 2  y2  6x  8 y  0 . Tức là các điểm A, B thuộc đường tròn  C  tâm I  3; 4  , bán kính R  5 .       * Xét điểm M thuộc đoạn AB thỏa MA  3MB  0  OA  3OB  4OM .Gọi H là trung điểm AB . Ta tính được HI 2  R 2  HB 2  21; IM  HI 2  HM 2  22 , suy ra điểm M thuộc đường tròn  C  tâm I  3; 4  , bán kính r  22 .    * Ta có z1  3z2  OA  3OB  4OM  4OM , do đó z1  3 z2 nhỏ nhất khi OM nhỏ nhất. Ta có  OM min  OM 0  OI  r  5  22 . Vậy z1  3z2 min  4OM 0  20  4 22 . Câu 25: Trong các số phức z thỏa mãn z  3  4i  2 có hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  z2  1 . Giá trị 2 nhỏ nhất của z1  z 2 2 A. 10 bằng B. 4  3 5 C. 5 Lời giải D. 6  2 5 Chọn A Đặt z1  x1  y1i,  x1 , y1   và z2  x2  y2i,  x2 , y2   .  x1  3 2   y1  4 2  4 2 2 Khi đó  và  x1  x2    y1  y2   1 . 2 2  x2  3   y2  4   4 Ta có  x1  3    y1  4    x2  3    y2  3   x12  y12   x22  y 22   6  x1  x2   8  y1  y2  . 2 2 Suy ra z1  z2 2 2 2 2 2 2 2  2 3  x1  x2   4  y1  y2   2.  32  4 2   x1  x2    y1  y2    10 .   2 Do đó 10  z1  z 2  10 . Trang 20 Toanthaycu.com Câu 26: (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Cho hai số phức z1 , z2 thoả mãn z1  2  i  z1  4  7i  6 2 và iz2  1  2i  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T  z1  z2 . A. 2 1. B. 2  1. C. 2 2  1 . Lời giải D. 2 2  1 . Gọi M là điểm biểu diễn số phức z1 và A  2;1 ; B  4;7  lần lượt là hai điểm biểu diễn hai số phức 2  i , 4  7i . Ta có AB  6 2 . Phương trình đường thẳng AB là d : x  y  3  0 . +) z1  2  i  z1  4  7i  6 2  MA  MB  6 2  MA  MB  AB . Do đó tập hợp các điểm biểu diễn số phức z1 là đoạn thẳng AB . +) iz2  1  2i  1  iz2  1  2i i  1   z2  2  i  1 . Gọi N là điểm biểu diễn số phức  z 2 và I  2;1 là điểm biểu diễn số phức 2  i . Ta có IN  1 Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức  z 2 là đường tròn  C  có phương trình:  x  2    y  1  1 . d  I , AB   2 2  1 , suy ra AB không cắt đường tròn. Gọi K là hình chiếu của I  2;1 lên AB . Dễ thấy K nằm trên đoạn thẳng Gọi H là giao điểm của đoạn IK với đường tròn  C  . Ta có z1  z2  MN  KH  d  I , AB   R  2 2  1 . 2 2 AB . Suy ra min z1  z2  2 2  1. Câu 27: (Chuyên Nguyễn Tất Thành Yên Bái 2019) Cho z là số phức thỏa mãn z  z  2i . Giá trị nhỏ nhất của z  1  2i  z  1  3i là A. 5 2 . B. 13 . C. 29 . Lời giải D. 5. Đặt z  a  bi  a, b    . Trang 21 Ta có: z  z  2i  a 2  b 2  a 2   b  2   4b  4  0  b  1 2  z  ai. Xét: z  1  2i  z  1  3i  a  1  i  a  1  2i  1  a  2  12  1  a  2  22 . Áp dụng BĐT Mincôpxki: 1  a  2  12  1  a  2  22  2 2 1  a  1  a   1  2   4  9  13 . 1 . 3 Nhận xét: Bài toán trên có thể được giải quyết bằng cách đưa về bài toán hình học phẳng. Suy ra: z  1  2i  z  1  3i đạt GTNN là 13 khi 2 1  a   1  a  a  (Chuyên Hạ Long – 2018) Cho các số phức z1  2  i , z2  2  i và số phức z thay đổi thỏa Câu 28: 2 2 mãn z  z1  z  z2  16 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z . Giá trị biểu thức M 2  m2 bằng A. 15 . B. 7 . C. 11 . Lời giải D. 8 . Giả sử z  x  yi  x, y    . Ta có: z  z1  z  z2  16  x  yi  2  i  x  yi  2  i  16  x 2   y  1  4 . 2 2 2 2 2 Suy ra tập hợp điểm biểu diễn của số phức z là đường tròn tâm số phức I  0;1 bán kính R  2 . Do đó m  1 , M  3 . Vậy M 2  m2  8 . Câu 29: (Chuyên Quang Trung – 2018) Cho số phức z thỏa mãn z  2i  z  4i và z  3  3i  1 . Giá trị lớn nhất của biểu thức P  z  2 là: A. 13  1 . B. 10  1 . C. 13 . Lời giải D. 10 . Trang 22 Toanthaycu.com Gọi M  x; y  là điểm biểu diễn số phức z ta có: z  2i  z  4i  x2   y  2  x2   y  4 2 2  y  3 ; z  3  3i  1  điểm M nằm trên đường tròn tâm I  3;3 và bán kính bằng 1. Biểu thức P  z  2  AM trong đó A  2;0  , theo hình vẽ thì giá trị lớn nhất của P  z  2 đạt được khi M  4;3 nên max P   4  2  3  0 2 2  13 . Câu 30: Xét số phức z thỏa mãn z  2  2i  2 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z  1  i  z  5  2i bằng A. 1  10 . B. 4 . C. 17 Lời giải D. 5 . Gọi M  x; y  là điểm biểu diễn số phức z . Do z  2  2i  2 nên tập hợp điểm M là đường tròn  C  :  x  2    y  2   4 . 2 2 Các điểm A 1;1 , B  5; 2  là điểm biểu diễn các số phức 1  i và 5  2i . Khi đó, P  MA  MB . Nhận thấy, điểm A nằm trong đường tròn  C  còn điểm B nằm ngoài đường tròn  C  , mà MA  MB  AB  17 . Đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của đoạn AB với  C  . Ta có, phương trình đường thẳng AB : x  4 y  3  0 . Tọa độ giao điểm của đường thẳng AB và đường tròn  C  là nghiệm của hệ với 1  y  5 Trang 23  x  2 2   y  2 2  4  4 y  5 2   y  2 2  4     x  4 y  3  0  x  4 y  3 Ta có  4 y  5    y  2  2 2 Vậy min P  17 khi z  Câu 31:  22  59 N y  17 2   4  17 y  44 y  25  0   22  59  L y  17  37  4 59 22  59  i 17 17 (SGD Cần Thơ – 2018) Cho số phức z thỏa mãn z  3  4i  5 . Gọi M và m lần lượt là giá 2 2 trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z  2  z  i . Môđun của số phức w  M  mi là A. w  3 137 . B. w  1258 . C. w  2 309 . D. w  2 314 . Lời giải Chọn B – Đặt z  x  yi , với x, y   . Ta có: z  3  4i  5   x  3   y  4  i  5   x  3    y  4   5 , hay tập hợp các 2 2 điểm biểu diễn số phức z là đường tròn  C  có tâm I  3; 4  , bán kính r  5 . – Khi đó : P  z  2  z  i   x  2   y 2  x 2   y  1  4 x  2 y  3 2 2 2 2  4 x  2 y  3  P  0 , kí hiệu là đường thẳng  . – Số phức z tồn tại khi và chỉ khi đường thẳng  cắt đường tròn  C   d  I;   r  23  P  5  P  23  10  13  P  33 2 5 Suy ra M  33 và m  13  w  33  13i . Vậy w  1258 . Câu 32: (THPT Hậu Lộc 2 – 2018) Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  1  i  2 và z2  iz1 . Tìm giá trị nhỏ nhất m của biểu thức z1  z2 ? A. m  2  1 . C. m  2 . B. m  2 2 . D. m  2 2  2 . Lời giải Chọn D Đặt z1  a  bi; a, b   z2  b  ai  z1  z2   a  b    b  a  i . Nên z1  z2   a  b  b  a 2 2  2. z1 Ta lại có 2  z1  1  i  z1  1  i  z1  2  z1  2  2 . Suy ra z1  z2  2. z1  2 2  2 . Dấu ”  ” xảy ra khi a b   0. 1 1 Trang 24 Toanthaycu.com Vậy m  min z1  z2  2 2  2 .  z  3  2i  1 Câu 33: (SGD Bắc Giang – 2018) Hcho hai số phức z, w thỏa mãn  . Tìm giá trị  w  1  2i  w  2  i nhỏ nhất Pmin của biểu thức P  z  w . A. Pmin  3 2 2 . 2 C. Pmin  B. Pmin  2  1 . 5 2 2 . 2 D. Pmin  3 2 2 . 2 Lời giải Chọn C Giả sử z  a  bi  a, b    , w  x  yi  x, y    . z  3  2i  1   a  3   b  2   1 (1) 2 2 w  1  2i  w  2  i   x  1   y  2    x  2    y  1 . 2 2 2 2 Suy ra x  y  0 . P  zw  a  x 2  b  y   2  a  x   b  x  2 2 . Từ (1) ta có I  3; 2  , bán kính r  1 . Gọi H là hình chiếu của I trên d : y   x . x  3  t Đường thẳng HI có PTTS  . y  2t M  HI  M  3  t ; 2  t  1  t  2 M   C   2t 2  1   1  t   2 1 1  5 2  t  2  M 3 ;2   , MH  2 2 2  1 1  5 2  t  3  M 3 ;2   , MH  2 2 2  Vậy Pmin  Câu 34: 5 2 2 . 2 (Chuyên Lê Hồng Phong – TPHCM – 2018) Cho số phức z thỏa z  1 . Gọi m , M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức P  z 5  z 3  6 z  2 z 4  1 . Tính M  m . A. m  4 , n  3 . B. m  4 , n  3 2 Vì z  1 và z.z  z nên ta có z  C. m  4 , n  4 . Lời giải D. m  4 , n  4 . 1 . z Trang 25 Từ đó, P  z 5  z 3  6 z  2 z 4  1  z z 4  z 4  6  2 z 4  1  z 4  z 4  6  2 z 4  1 . Đặt z 4  x  iy , với x, y   . Do z  1 nên z 4  x 2  y 2  1 và 1  x, y  1 . Khi đó P  x  iy  x  iy  6  2 x  iy  1  2 x  6  2  2x  6  2 2x  2     x  1 2  y2 2 2x  2 1  3 . Do đó P  3 . Lại có 1  x  1  0  2 x  2  2  1  2 x  2  1  1  P  4 . 1 3 Vậy M  4 khi z 4  1 và m  3 khi z 4    i . Suy ra M  m  1 . 2 2 Câu 35: (Chuyên Đh Vinh – 2018) Cho các số phức w , z thỏa mãn wi  3 5 5 và 5w   2  i  z  4  . Giá trị lớn nhất của biểu thức P  z  1  2i  z  5  2i bằng A. 6 7 . B. 4  2 13 . C. 2 53 . Lời giải D. 4 13 . Chọn C Gọi z  x  yi , với x, y   . Khi đó M  x; y  là điểm biểu diễn cho số phức z . Theo giả thiết, 5w   2  i  z  4   5  w  i    2  i  z  4   5i   2  i  w  i   z  3  2i  z  3  2i  3 . Suy ra M  x; y  thuộc đường tròn  C  :  x  3    y  2   9 . 2 2 Ta có P  z  1  2i  z  5  2i  MA  MB , với A 1; 2  và B  5; 2  . Gọi H là trung điểm của AB , ta có H  3; 2  và khi đó: P  MA  MB  2  MA2  MB 2  hay P  4MH 2  AB 2 . Mặt khác, MH  KH với mọi M   C  nên P  4 KH 2  AB 2  4  IH  R   AB 2 2  2 53 . M  K 3 11 Vậy Pmax  2 53 khi  hay z  3  5i và w   i . 5 5  MA  MB Câu 36: (Kim Liên – Hà Nội – 2018) Xét các số phức zV  a  bi ( a, b   ) thỏa mãn z  3  2i  2 . Tính a  b khi z  1  2i  2 z  2  5i đạt giá trị nhỏ nhất. Trang 26 Toanthaycu.com A. 4  3 . B. 2  3 . Cách 1: Đặt z  3  2i  w với w  x  yi D. 4  3 . C. 3 . Lời giải  x, y    . Theo bài ra ta có  x  4 Ta có P  z  1  2i  2 z  2  5i  w  4  2 w  1  3i   20  8 x  2 2   x  1   y  3 2 x2  y2  2x 1  2  2 5  2x  2  x  1   y  3 2 2   2 w  2  x2  y2  4 . 2  x  1   y  3 2  x  1 2  y2   y2  2  x  1   y  3 2 2 2  x  1   y  3 2 2   2 y  y  3   2 y  3  y  6 .  x  1   x  1 . P  6   y 3  y   0   y  3    2 2 x  y  4   Vậy GTNN của P là bằng 6 đạt được khi z  2  2  3 i . Cách 2: z  3  2i  2  MI  2  M   I ; 2  với I   3; 2  . P  z  1  2i  2 z  2  5i  MA  2MB với A  1; 2  , B   2;5  . Ta có IM  2 ; IA  4 . Chọn K  2; 2  thì IK  1 . Do đó ta có IA.IK  IM 2  IA IM  IM IK AM IM   2  AM  2 MK . MK IK Từ đó P  MA  2MB  2  MK  MB   2BK .  IAM và IMK đồng dạng với nhau  Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M , K , B thẳng hàng và M thuộc đoạn thẳng BK .   Từ đó tìm được M  2; 2  3 . Cách 3: Gọi M  a; b  là điểm biểu diễn số phức z  a  bi. Đặt I   3; 2  , A  1; 2  và B  2;5  . Ta xét bài toán: Tìm điểm M thuộc đường tròn  C  có tâm I , bán kính R  2 sao cho biểu thức P  MA  2MB đạt giá trị nhỏ nhất. Trước tiên, ta tìm điểm K  x; y  sao cho MA  2MK M   C  .   2   2 Ta có MA  2 MK  MA2  4 MK 2  MI  IA  4 MI  IK     Trang 27         MI 2  IA2  2 MI .IA  4 MI 2  IK 2  2 MI .IK  2 MI IA  4 IK  3R 2  4 IK 2  IA2  * .     IA  4 IK  0 . * luôn đúng M   C    2 2 2 3R  4 IK  IA  0        4  x  3  4 x  2 IA  4 IK  0    . y  2 4  y  2   0 Thử trực tiếp ta thấy K  2; 2  thỏa mãn 3R 2  4 IK 2  IA2  0 . Vì BI 2  12  32  10  R 2  4 nên B nằm ngoài  C  . Vì KI 2  1  R 2  4 nên K nằm trong  C  . Ta có MA  2MB  2MK  2MB  2  MK  MB   2 KB . Dấu bằng trong bất đẳng thức trên xảy ra khi và chỉ khi M thuộc đoạn thẳng BK . Do đó MA  2MB nhỏ nhất khi và chỉ khi M là giao điểm của  C  và đoạn thẳng BK . Phương trình đường thẳng BK : x  2 . Phương trình đường tròn  C  :  x  3    y  2   4 . 2 2  x  2  x  2  x  2 Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ  hoặc  .  2 2  y  2  3  y  2  3  x  3   y  2   4   Thử lại thấy M 2; 2  3 thuộc đoạn BK . Vậy a  2 , b  2  3  a  b  4  3 . Câu 37: (Liên Trường – Nghệ An – 2018) Biết rằng hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  3  4i  1 và 1 . Số phức z có phần thực là a và phần ảo là b thỏa mãn 3a  2b  12 . Giá trị 2 nhỏ nhất của P  z  z1  z  2 z2  2 bằng: z2  3  4i  A. Pmin  9945 . 11 B. Pmin  5  2 3 . C. Pmin  9945 . 13 D. Pmin  5  2 5 . Lời giải Chọn C Gọi M 1 , M 2 , M lần lượt là điểm biểu diễn cho số phức z1 , 2z2 , z trên hệ trục tọa độ Oxy . Khi đó quỹ tích của điểm M 1 là đường tròn  C1  tâm I  3; 4  , bán kính R  1 ; quỹ tích của điểm M 2 là đường  C2  tròn tâm I  6;8  , bán kính R  1 ; quỹ tích của điểm M là đường thẳng d : 3x  2 y  12  0 . Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của MM 1  MM 2  2 . Trang 28 Toanthaycu.com y I2 8 4 O I1 B A 3 I3 M x 6  138 64  ;  , R  1 là đường tròn đối xứng với  C2  qua d . Khi đó Gọi  C3  có tâm I 3   13 13  min  MM 1  MM 2  2   min  MM 1  MM 3  2  với M 3   C3  . Gọi A , B lần lượt là giao điểm của đoạn thẳng I1 I 3 với  C1  ,  C3  . Khi đó với mọi điểm M1   C1  , M 3   C3  , M  d ta có MM 1  MM 3  2  AB  2 , dấu “=” xảy ra khi M 1  A, M 3  B . Do đó Pmin  AB  2  I1 I 3  2  2  I1I 3  Câu 38: 9945 . 13 (Chuyên Lê Quý Đôn – Điện Biên – 2019) Trong các số phức thỏa mãn: z  1  i  z  1  2 i , số phức A. z có mô đun nhỏ nhất có phần ảo là 3 . 10 3 . 5 B. 3 5 C.  . D.  3 . 10 Lời giải Chọn D + Gọi số phức cần tìm là z  a  bi , ( a , b   ) .  z  a  bi + z  1  i  z  1  2i  a  bi  1  i  a  bi  1  2i  a  1   b  1 i  a  1   b  2  i .   a 1   b  1 2 2   a  1   b  2  4a  2b  3  0  b   2 2 4a  3 3  2a  2 2 2 3 9 9 9   2 6 2 + z  a  b  a   2a    5a  6a   5  a  a    2 4 5 25  20   2 2 2  3 9  5a     5 20  z nhỏ nhất bằng Câu 39: 2 9 3 5  20 10 3 3 3 5 khi a    b   . 5 10 10 (Chuyên Bắc Giang 2019) Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị lớn nhất của P  z 5  z 3  6 z  2 z 4  1 . Tính M  m . Trang 29 A. M  m  1 . B. M  m  7 . C. M  m  6 . Lời giải D. M  m  3 . Chọn A 2 Ta có: zz  z  1  z  Suy ra P  z 5  1 . z 1 1  6 z  2 z 4  1  3 z8  1  6 z 4  2 z 4  1  z8  6 z 4  1  2 z 4  1 3 z z Đặt w  z 4  w  1 , ta được P  w2  6w  1  2w  2 .  x  1 Gọi w  x  yi , vì w  1  x 2  y 2  1   .  y  1 P  x 2  6 x  1  y 2  2 y  x  3 i  2 x  1  yi  2 x 2  6 x  2 y  x  3 i  2 x  1  yi  2  x  3 x  yi   2  x  1 2  y 2  2  x  3 x  yi  2 2 x  2  2  x  3  2 2 x  2 Xét hàm số f  x   2  x  3  2 2 x  2 trên đoạn  1;1 . f  x  2  2 1 1 1 ; f  x  0  2  2  0  2x  2  1  x   . 2 2x  2 2x  2  1 Ta có: f  1  4; f     3; f 1  4  2 Vậy M  4, m  3  M  m  1. Câu 40: (Bình Giang-Hải Dương 2019) Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Giá trị lớn nhất của biểu thức P  1  z  2 1  z bằng A. 6 5 . B. 4 5 . C. 2 5 . Lời giải D. 5. Chọn C Gọi z  x  yi;  x; y    . z  1  x 2  y 2  1  y 2  1  x 2  x   1;1. Ta có: P  1  z  3 1  z  1  x  2  y 2  3 1  x   y 2  2 1  x   2 2 1  x  . 2 Xét hàm số f  x   2 1  x   2 2 1  x  ; x   1;1. Hàm số liên tục trên  1;1 và với x   1;1 ta có: f   x   f  x  0  1 2 1  x   1 2 1  x   2 2 1  x  . 2 3  0  x     1;1 . 5 2 1  x   3 f 1  2; f  1  4; f     2 5 .  5  max f  x   2 5 . x 1;1 Trang 30 Toanthaycu.com 3 4 Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P  1  z  3 1  z bằng 2 5 khi x   , y   . 5 5 Câu 41: (SGD Hưng Yên 2019) Cho số phức z thoả mãn z  1 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z  1  z 2  z  1 . Tính M .m A. 13 3 . 4 B. 39 . 4 C. 3 3 . D. 13 . 4 Lời giải Chọn A 2 Thay z  1 vào P ta có P  z 1  z2  z 1  z 1  z2  z  z 2  z  1  z 2  z  z. z  z  1  z z  z  1  z 1  z  z 1 .   Mặt khác z  1   z  1 z  1  2  z  z . 2 Đặt t  z  z do z  1 nên điều kiện t   2; 2 . Suy ra P  t  2  t  1 . Xét hàm số f  t   t  2  t  1 với t   2; 2 . 1  1 với t  1 . Suy ra f   t   0 với t  1 . 2 t2 7 1 f  t    1 với t  1 . Suy ra f   x   0  x  . 4 2 t2 Ta có bảng biến thiên f  t   Từ bảng biến thiên suy ra M  Vậy M .m  Câu 42: 13 7 tại t  và m  3 tại t  2 . 4 4 13 3 . 4 (Chuyên – KHTN – Hà Nội – 2019) Cho số phức z thỏa mãn : z  z  2i . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z  i  z  4 là A. 5. B. 4. C. 3 3. Lời giải D. 6. Chọn A Trang 31 Gọi M ( x; y) là điểm biểu diễn số phức z. Ta có z  z  2i  y  1  0, tức biểu diễn hình học của số phức thỏa mãn giả thiết là đường thẳng y  1  0. Xét điểm A(0;1) và B(4;0) thì P  z  i  z  4  MA  MB. Dễ thấy A, B cùng phía với đường thẳng y  1  0 nên MA  MB nhỏ nhất bằng BA trong đó A(0; 3) đối xứng với A qua đường thẳng y  1  0. B A M’ M A’ Do đó MA  MB nhỏ nhất bằng BA  5. Câu 43: (SGD Bến Tre 2019) Cho các số phức z1  1  3i , z2  5  3i . Tìm điểm M  x; y  biểu diễn số phức z3 , biết rằng trong mặt phẳng phức điểm M nằm trên đường thẳng x  2 y  1  0 và mô đun số phức w  3 z3  z2  2 z1 đạt gí trị nhỏ nhất.  3 1 A. M   ;  .  5 5 3 1 B. M  ;  . 5 5  3 1 C. M   ;   .  5 5 3 1 D. M  ;   . 5 5 Lời giải Chọn A Trắc nghiệm: Thay tọa độ điểm M vào vế trái phương trình đường thẳng kết quả bằng 0 thỏa ta được đáp án A Tự luận: Ta có w  3 z3  z2  2 z1  3 z3  3  3i  3  z3  1  i   w  3 z3  1  i  3 AM với A  1;3 M  x; y  biểu diễn số phức z3 nằm trên đường thẳng d : x  2 y  1  0 và A  1;3  d . Khi đó w  3 z3  1  i  3 AM đạt giá trị nhỏ nhất khi AM ngắn nhất  AM  d AM  d nên AM có phương trình: 2 x  y 1  0 .  3 1 Khi đó M  AM  d nên M   ;  . .  5 5 Câu 44: (SGD Cần Thơ 2019) Cho số phức z thoả mãn z  1  2i  5 . Giá trị lớn nhất của z  1  i bằng A. 5. B. 5 2 . C. 20 . Lời giải D. 2 5 . Chọn D Cách 1. Ta có z  1  i  z  1  2i  2  i  z  1  2i  2  i  2 5 . Đẳng thức xảy ra khi z  3  3i . Vậy max z  1  i  2 5 . Cách 2. Trang 32 Toanthaycu.com Đặt z  x  yi,  x, y    thì từ điều kiện ta có:  x  1   y  2   5 . 2 2 Gọi M  x; y  là điểm biểu diễn cho z và A  1;  1 là điểm biểu diễn cho số phức 1  i , khi đó z  1  i  AM với M thuộc đường tròn  C  tâm I 1; 2  bán kính R  5 . Dễ thấy A   C  , do đó AM  2 R  2 5 . Suy ra max z  1  i  2 5 , đẳng thức xảy ra khi M  K . Cách 3. z  1  2i  5  * Đặt z  x  yi  x, y    , khi ấy, ta có *  x  yi  1  2i  5   x  1   y  2  i  5   x  1   y  2   5 . 2 2  x  1  5 sin a Đặt  . Ta có z  1  i   x  1   y  1 i   y  2  5 cos a     2 5 sin a  2   5 cos a  1 2  x  1   y  1 2 2  10  4 5 sin a  2 5 cos a  cos   2 5  5   10  10  sin a  cos a   10  10sin  a    với  5 5   sin    2 5 5 . 5 5 Vì 1  sin  a     1 với mọi a;   10  10  z  1  i  10  10  0  z 1 i  2 5 . Vậy giá trị lớn nhất của z  1  i là 2 5 . Dấu ”  ” xảy ra khi sin  a     1  a     2  k 2  5   cos a  cos   k 2      sin     x  1  5 sin a 5  x 1  2 x  3  2       y  2  1  y  3  y  2  5 cos a sin a  sin    k 2     cos   2 5    5 2    z  3  3i . Câu 45: (Thi thử hội 8 trường chuyên 2019) Cho số phức z thỏa mãn  2  i  z   2  i  z  2i . Giá trị nhỏ nhất của z bằng Trang 33 A. 1. B. 2 5 . 5 C. 2 . D. 5 . 5 Lời giải Chọn D  x, y    . Ta có  2  i  z   2  i  z  2i   2  i  x  yi    2  i  x  yi   2i   2 x  y    2 y  x  i   2 x  y    2 y  x  i   2i   4 y  2 x  i  2i Giả sử z  x  yi  4 y  2x  2  x  2 y 1. 2 2  1 1  Do đó z  x  y   2 y  1  y  5 y  4 y  1   5 y     , y  . 5 5 5  2 2 2 2 2 2 1 5 2 1  khi y  , x   . 5 5 5 5 (Chuyên Nguyễn Du-ĐăkLăk 2019) Số phức z có môđun nhỏ nhất thoả mãn 2  3i  z  z  i là Suy ra min z  Câu 46: A. 6 3  i. 5 5 B. 3 6  i. 5 5 C. 3 6  i. 5 5 D. 6 3  i. 5 5 Lời giải Chọn C Đặt z  x  yi,  x; y     z  x  yi. Khi đó 2  3i  z  z  i   x  2    y  3 i  x   y  1 i   x  2    y  3 2 2  x 2   y  1  x  2 y  3  0 . 2 Do đó tập hợp điểm biểu diễn của z là đường thẳng  : x  2 y  3  0 . Ta có min z  d  O,   . Gọi d là đường thẳng qua O và vuông góc với   d : 2 x  y  0 . 2 x  y  0 3 6 Gọi H  d    H :   H  ;  . 5 5 x  2 y  3  0 3 6 Khi đó z có môđun nhỏ nhất thoả mãn có điểm biểu diễn là H , tức là z   i . 5 5 Câu 47: (Sở GD Nam Định – 2019) Trong các số phức z thỏa mãn 12  5i  z  17  7i z 2i  13 . Tìm giá trị nhỏ nhất của z . A. 3 13 . 26 B. 5 . 5 C. 1 . 2 D. 2. Lời giải Chọn A Điều kiện: z  2  i . Phương trình đã cho  12  5i . z  17  7i  13 z  2  i  z  1  i  z  2  i 12  5i 1 . Trang 34 Toanthaycu.com Gọi M  x ; y  là điểm biểu diễn số phức z  x  yi . Vì z  2  i nên M  N  2;1 . Khi đó, 1   x  1   y  1   x  2    y  1  6 x  4 y  3  0 . 2 2 2 2 Ta thấy đường thẳng d : 6 x  4 y  3  0 không đi qua điểm N  2;1 nên tập hợp điểm M là đường thẳng d . Ngoài ra, z  OM nên z nhỏ nhất khi OM nhỏ nhất, tức là OM  d  O , d   Vậy min z  Câu 48: 3 6 4 2 2  3 13 . 26 3 13 . 26 (Chuyên Nguyễn Huệ-HN-2019) Cho số phức z thỏa mãn z 2  2 z  5   z  1  2i  z  3i  1 . Tính min w , với w  z  2  2i . A. min w  1 . 2 B. min w  1 . C. min w  3 . 2 D. min w  2 . Lời giải Chọn B Theo giả thiết, z 2  2 z  5   z  1  2i  z  3i  1   z  1  2i  z  1  2i    z  1  2i  z  3i  1  z  1  2i .  z  1  2i  z  1  3i   0  z  1  2i  0   z  1  2i  z  1  3i 1 .  2 1  z 1  2i  0  z  1  2i . Khi đó, w  1  2i  2  2i  1  3 . Đặt z  x  yi ( x, y   ). Khi đó,  2    x  1   y  2  i   x  1   y  3 i   x  1   y  2    x  1   y  3   y  2    y  3  y   2 2 3  w   x  2  i  2 2  x  2 2 2  2 2 1 1  z  x i. 2 2 9 9 3   x   .  4  . 4 4 2 Từ  3 và  4   min w  1 . Câu 49: (Kim Liên – Hà Nội 2019) Xét các số phức z thỏa mãn z  3  2i  z  3  i  3 5 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z  2  z  1  3i . Tìm M , m. A. M  17  5 ; m  3 2 . C. M  26  2 5 ; m  3 2 . B. M  26  2 5 ; m  2 . D. M  17  5 ; m  3 . Lời giải Chọn C Trang 35 Gọi M là điểm biểu diễn số phức z , F1  3; 2  , F2  3; 1 , A  2;0  và B 1;3 . Ta có z  3  2i  z  3  i  3 5 và F1F2  3 5  MF1  MF2  F1 F2 . Do đó tập hợp các điểm M là đoạn thẳng F1 F2 . Dựa vào hình vẽ, ta thấy: + M  Pmax  M 2 A  M 2 B  26  2 5 . + m  Pmin  M1 A  M1B  AB  3 2 . Vậy M  26  2 5 ; m  3 2 . Câu 50: (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Xét các số phức z thỏa mãn z  1  3i  2 . Số phức z mà z  1 nhỏ nhất là A. z  1  5i . B. z  1  i . C. z  1  3i . Lời giải D. z  1  i . Chọn B Giả sử z  x  yi  x; y    . Ta có z  1  3i  2   x  1   y  3 2 2  2   x  1   y 2  6 y  5 2 Vì  x  1  0   y 2  6 y  5  0  1  y  5 2 z 1   x 1 2  y2  6 y  5 Vì 1  y  5  1  6 y  5  25  1  z  1  5 x  1 Vậy z  1 nhỏ nhất khi  khi đó z  1  i y 1 Câu 51: (Chuyên Ngữ Hà Nội 2019) Cho các số phức z , z1 , z2 thay đổi thỏa mãn các điều kiện sau: iz  2i  4  3 , phần thực của z1 bằng 2, phần ảo của z2 bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 2 2 thức T  z  z1  z  z2 . A. 9. C. 5. B. 2. D. 4. Lời giải Chọn D Đặt z  x  yi, x, y   , ta có M  z   M  x; y  Khi đó: iz  2i  4  3  i  x  yi   2i  4  3   y  4   x  2 i  3 Trang 36 Toanthaycu.com 2 2   x  2   y  4   9 Suy ra tập hợp điểm M là đường tròn C  tâm I 2; 4 , bán kính R  3. Mặt khác: z1  2  bi  A z1   A2; b  Tập hợp điểm A là đường thẳng d1 : x  2. z2  a  i  B  z2   B a; 1  Tập hợp điểm B là đường thẳng d2 : y  1. Giao điểm của d1 và d2 là P 2; 1 . Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của M trên d1 và d2 . 2 2 Ta có: T  z  z1  z  z2  MA2  MB 2  MH 2  MK 2  MP 2 . T đạt giá trị nhỏ nhất khi A  H , B  K và I , M , P thẳng hàng (theo thứ tự đó).  x  2  4t  M 2  4t ; 1  3t  (vì M  IP ). Phương trình đường thẳng IP :    y  1  3t  2 t   9  2 2 2 5 Mà M  C  nên ta có 4  4t   3  3t   9  1  t    8 25  t    5  22 29  8 – Với t    M  ;  (loại)  5 5  5  2 11 2 2 11 11 2 – Với t    M  ;   z   i  z1  2  i, z2   i.  5 5  5 5 5 5 5 2 Suy ra MPmin  IP  IM  IP  R  42   3  3  2 . 2 11 11 2 Vậy Tmin  22  4 khi z   i, z1  2  i, z2   i. 5 5 5 5 Câu 52: (Chuyên Bắc Giang 2019) Cho số phức z thỏa mãn 2 z  3  4i  5 và biểu thức 2 P  z  2  z  i đạt giá trị lớn nhất. Tính z  i . A. 5 3 . B. 41 . C. 61 . Lời giải D. 3 5 . Chọn C Giả sử z  x  yi , ( x, y   ). Trang 37 +) Ta có: z  3  4i  5   x  3    y  4   5 2 1 . 2 2 2 2 2 +) P  z  2  z  i   x  2   y 2    x 2   y  1   4 x  2 y  3      4  x  3  2  y  4   23  4 2 2 2  22   x  3   y  4    23  33 .   x3 y 4   x  3  2  y  4 2 . 4 2 x  5 x  1 Từ 1 và  2  suy ra  hoặc  . y  5 y  3 x  5 x  1  P  33 ; Với   P  13 . Với  y  5 y  3 P  33  2 2 Vậy số phức z thỏa mãn z  3  4i  5 và biểu thức P  z  2  z  i đạt giá trị lớn nhất là z  5  5i . Khi đó z  i  61 . Câu 53: (Đại học Hồng Đức –Thanh Hóa –2019) Cho số phức z  a  bi  a, b    thỏa mãn z  1  i  1 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  a  b  5 là A. 3  2 . C. 3  2 2 . B. 2  2 . D. 2  2 . Lời giải Chọn A Cách 1: Theo giả thiết ta có z  1  i  1   a  1   b  1  1 . 2 2 Đặt a  1  sin t , b  1  cos t  0  t  2  .     2 sin  t    3  3  2 sin  t   .  4  4 Khi đó P  a  b  5  sin t  cos t  3      Ta có: 1  sin  t    1   2   2 sin  t    2  3  2  P  3  2 . 4 4   Do đó giá trị nhỏ nhất của P là 3  2 . Cách 2: Theo giả thiết ta có z  1  i  1   a  1   b  1  1  a , b   0 ; 2  . 2 2 Khi đó P  a  b  5  5  a  b  3   a  1   b  1  . Theo BĐT Bunhia ta có:  a  1   b  1  1 2 2 2  12  .  a  1   b  1   2   Do đó P  3  2 . Câu 54: (Đại học Hồng Đức –Thanh Hóa 2019) Cho số phức z  a  bi ( a , b  ) thỏa mãn z  1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A  z  2  2 z  2 . A. 10 . B. 5 2 . C. 10 2 . D. 7 . Trang 38 Toanthaycu.com Lời giải Chọn B Ta có: z  2   a  2   b 2 ; z  2   a  2   b 2 . 2 2 2 2 Suy ra: z  2  z  2  2  a 2  b 2   8  2 z  8  10 . 2 2 2  Ta có: A2   z  2  2 z  2   12  22  z  2  z  2 2 2 2   50 . Vì A  0 nên từ đó suy ra A  50  5 2 . Vậy giá trị lớn nhất của A là 5 2 . Câu 55: (THPT Thăng Long-Hà Nội- 2019) Cho số thực a thay đổi và số phức z thỏa mãn z ia  . Trên mặt phẳng tọa độ, gọi M là điểm biểu diễn số phức z . Khoảng 2 a  1 1  a  a  2i  cách nhỏ nhất giữa hai điểm M và I  3; 4  (khi a thay đổi) là A. 6 . D. 3 . C. 4 . B. 5 . Lời giải Chọn C z Ta có:  a2  1 z a2  1   ia  1  a  a  2i  a 3  a   a 2  1 i a 2  1 2 z a2  1 z   i  a  1  a 2  2ai  ai a2 1 a 2  1 2  z  1. Vậy tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z là đường tròn tâm O bán kính R  1 . Ta có: OI  5 . Do đó: OM min  OM 1  OI  R  5  1  4 . Câu 56: (Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định- 2019) Xét số phức z thỏa mãn z  2  4i  5 . Gọi a và b lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z . Giá trị biểu thức a 2  b 2 bằng A. 40 . B. 4 5 . C. 20 . Lời giải D. 2 5 . Trang 39 Chọn A Gọi M  x ; y  là điểm biểu diễn số phức z  x  yi với x , y   . Ta có z  2  4i  5   x  2    y  4   5  tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một 2 2 đường tròn có tâm I  2; 4  và bán kính R  5 . Kẻ đường thẳng đi qua 2 điểm O và I cắt đường tròn tại 2 điểm M và N như hình vẽ. OI  22  42  2 5 ; IM  IN  R  5 . Từ hình vẽ ta thấy: z min  OM  OI  IM  2 5  5  5  b . z max  ON  OI  IN  2 5  5  3 5  a . Vậy a 2  b 2  40 . Câu 57: (Hậu Lộc 2-Thanh Hóa- 2019) Cho z1, z2 là hai trong các số phức thỏa mãn z  3  3i  2 và z1  z2  4 . Giá trị lớn nhất của z1  z2 bằng A. 8 . B. 4 3 . D. 2  2 3 . C. 4 . Lời giải Chọn A Gọi M , N lần lượt là điểm biểu diễn của hai số phức z1, z2 .  M , N  C : x  3 2  y  3  z1  3  3i  z2  3  3i  2      Do  nên   z1  z2  4  MN  4  2.2   2  22 .  Như vậy MN là đường kính của đường tròn  C  với tâm I 3;  3 , bán kính R  2 , do đó I là trung điểm MN , OI  12 . Trang 40 Toanthaycu.com Ta có z1  z2  OM  ON   MN 2  2  2OI 2    8. 2   1  1  OM 2  ON 2   Dấu ”  ” xảy ra khi và chỉ khi OM  ON  MN là đường kính của  C  vuông góc với OI . Câu 58:  (Chuyên Đại học Vinh – 2019) Giả sử z1 , z2 là hai trong các số phức thỏa mãn  z  6  8  zi  là số thực. Biết rằng z1  z2  4 . Giá trị nhỏ nhất của z1  3z2 bằng A. 5  21 . B. 20  4 21 . C. 20  4 22 . Lời giải Chọn C  D. 5  22 .  Giả sử số phức z  x  yi thỏa mãn  z  6  8  zi là số thực. Ta có:  z  6  8  zi    x  yi  6  (8   x  yi  i )   x  6  8  y   8 xy   8 x  x  6   y  8  y  i   Để là  z  6  8  zi số thực thì 8 x  x  6   y 8  y   0   x  3    y  4   52 2 2 Vậy điểm biểu diễn số phức z1 , z2 thuộc đường tròn tâm I  3, 4  , bán kính R  5 Giả sử z1  x1  y1i có điểm biểu diễn A  x1 , y1  ; z2  x2  y2i có điểm biểu diễn B  x2 , y2  . Vì z1  z2  4   x1  x2    y1  y2  2   Ta xét z1  3 z2  OA  3OB 2  4  AB  4 Gọi H là trung điểm AB, K là trung điểm HB , khi đó ta có:      z1  3 z2  OA  3OB  2 OH  OB  4OK  4OK   Ta có OI  IB  IA  5; AB  4;AH  HB  2; HK  1 Suy ra IH  21  IK  22 . Theo bất đẳng thức tam giác ta có OK  KI  OI  OK  OI  KI  OK  5  22 . Trang 41 Suy ra z1  3 z2  4OK  20  4 22 Câu 59: (Chuyên Hoàng Văn Thụ-Hòa Bình-2019)Trong các số phức z thỏa mãn z 2  1  2 z gọi z1 2 và z2 lần lượt là các số phức có môđun nhỏ nhất và lớn nhất. Giá trị của biểu thức z1  z2 2 bằng A. 6. B. 2 2. C. 4 2. D. 2. Lời giải Chọn A Áp dụng bất đẳng thức mô đun : z1  z2  z1  z2 . Dấu bằng xảy ra z1  kz2 ,  k  0  . 2 2 2 Ta có: 2 z  z  1  z  1  2 z  z  1  2 z Với z 2  1  2 z  z 2  2 z  1  0  z  1  2 k  3  2 2  z  1  2  Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:    z max  1  2  z2 2  z   1  2 i  z  k   Với z 2  1  2 z  z 2  2 z  1  0  z  1  2   z  2  1 m  3  2 2 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:    z min  2  1  z1 2  z  m  z   2  1 i  2 2 Vậy z1  z2  Câu 60:    2 2 1    2 2  1  6. (SGD Đà Nẵng 2119) Gọi z là số phức có môđun nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện z  2  8i  17 . Biết z  a  bi  a, b   , tính m  2a 2  3b A. m   18 . B. m  54 . C. m   10 . Lời giải D. m  14 . Chọn C Gọi M  a; b  là điểm biểu diễn số phức z  a  bi  a, b   . Ta có: z  2  8i  17   a  2    b  8 2 2  17  IM  17 với I  2;8 . Suy ra: M thuộc đường tròn  C  có tâm I bán kính R  17 . Lại có: OI  22  82  2 17  R nên O nằm ngoài  C  . GTNN của môđun z là z min  OM min  OI  R  17 1 . Đẳng thức xảy ra khi M  OI   C  và M nằm giữa O và I  2 . Từ 1 và  2 ta có M là trung điểm OI nên M 1;4 . Suy ra a  1; b  4 . Khi đó: m  2a 2  3b  2  12  10 . Câu 61: (Nho Quan A – Ninh Bình – 2019) Xét các số phức z  a  bi  a, b    thỏa mãn z  2  3i  2 2 . Tính P  2a  b khi z  1  6i  z  7  2i đạt giá trị lớn nhất. Trang 42 Toanthaycu.com A. P  3 . C. P  1 . Lời giải B. P  3 . D. P  7 . Chọn B M (C) I B N K A  Đặt A  1;  6  , B  7; 2   AB   8;8  và trung điểm của AB là K  3;  2  . Gọi M  a; b  là điểm biểu diễn số phức z ta có:  a  2    b  3  8 . 2 2  M thuộc đường tròn  C  có tâm I  2;3 , bán kính R  8 .    Ta thấy IK   5;  5   IK . AB  0  I nằm trên đường thẳng trung trực của AB . AB 2 Xét tam giác MAB  MA  MB  2MK  . 2 2 2 2  2  MA2  MB 2   4 MK 2  AB 2   MA  MB   MA  MB  4 MK 2  AB 2 . 2 Ta có z  1  6i  z  7  2i là tổng khoảng cách từ điểm M trên đường tròn  C  tới hai điểm A và B .  MA  MB Vậy MA  MB lớn nhất khi:  . Điều này xảy ra khi M là giao điểm của IK với  MK max đường tròn  C  và M nằm ngoài đoạn IK .  x  2  t Ta có phương trình của đường thẳng IK :  . y  3t Tọa độ giao điểm của IK với đường tròn  C  là nghiệm của hệ:  x  2  t   2t 2  8  t  2 . y  3t  2 2  x  2    y  3  8 Vậy điểm M cần tìm ứng với t  2 khi đó  a  4 M  4;5    P  2a  b  8  5  3 b  5 Câu 62: (SGD Bắc Ninh 2019) Cho số phức z thỏa mãn 1  i  z  1  3i  3 2 . Giá trị lớn nhất của biểu thức P  z  2  i  6 z  2  3i bằng A. 5 6 .   B. 15 1  6 . C. 6 5 . D. 10  3 15 . Lời giải Chọn C Trang 43 Cách 1 1  i  z  1  3i  3 2  1 i z  1  3i  3 2  z  1  2i   3 1 . 1 i   Gọi OM   x; y  , OI  1; 2  là vec-tơ biểu diễn cho các số phức z  x  iy , w  1  2i .   Từ 1 có OM  OI  3  MI  3 . Suy ra M thuộc đường tròn  C  tâm I 1; 2 bán kính R  3 ,  C  :  x  1   y  2   9   Gọi OA   2;  1 , OB   2;3 lần lượt là vec-tơ biểu diễn cho số phức a  2  i , b  2  3i .        Có IA   3;  3 , IB  1;1 . Suy ra IA  3IB  IA  3IB  0 . 2 3 Lúc đó P  MA  6MB  MA  2. 3MB  3  MA2  3MB 2  .   2   2 Có MA2  3MB 2  IA  IM  3 IB  IM  4 IM 2  IA2  3 IB 2 .     Có IM 2  9 , IA2  18 , IB 2  2 , nên MA2  3MB 2  60 . Suy ra P  3.60  6 5 . Có P  6 5  MA 3MB  . 1 2 Vậy giá trị lớn nhất của P là P  6 5 . Cách 2. Giả sử M  x; y  là điểm biểu diễn của số phức z khi đó 1  i  z  1  3i  3 2  x  y  1   x  y  3 i  3 2  x 2  y 2  2 x  4 y  4  0   x  1   y  2   9 . Do đó M thuộc đường tròn tâm I 1;2  , bán kính R  3 . 2 2 a  x  1 Đặt  Ta có a 2  b 2  9 . Gọi A   2;  1 , B   2;3 b  y  2  P  z  2  i  6 z  2  3i  MA  6 MB    a  3   b  3  2 2  x  2    y  1 2 2 2 2  6  x  2    y  3     2 2  6  a  1   b  1   6  a  b   27  6    6  a  b   27  2  6  a  b   33  1  2  27  33  6  2  a  b   11 5. Trang 44 Toanthaycu.com Câu 63: (Lômônôxốp – Hà Nội 2019) Cho số phức z thay đổi thỏa mãn z  1  i  3 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức A  2 z  4  5i  z  1  7i bằng a b (với a, b là các số nguyên tố). Tính S  ab? A. 20 . B. 18 . D. 17 . C. 24 . Lời giải Chọn B Gọi z  x  yi,  x, y   . Ta có: z  1  i  3   x  1   y  1  9  C  ; 2 2 Suy ra, tập hợp tất cả các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn  C  , có tâm là I  1;1 và bán kính R  3 . Ta có: A  2 z  4  5i  z  1  7i  2  x  4   y  5 2   2  x  4   y  5 2  2  x  4    y  5 2  4 x 2  8 x  4 y 2  20 y  29 2  x  4   y  5 2  2 x 2  2 x  y 2  10 y    2   2 2 2  x  4   y  5 2 2  x  1   y  7  2 2   x  1 2 2  x  1   y  7  2  3  x  1   y  1  9 5   y  2  2 2 2 2  29 4  .   Gọi M  x ; y    C  .  A  2 z  4  5i  z  1  7i  2MA  MB, A  4;  5 ; B  1;7  . Trang 45 5   A  2 MA  MB  2  MA  MC  , C  1;  . 2    3   3 Ta có: IC   0;   IC   RC  . 2  2 Suy ra, điểm C nằm trong đường tròn  C  . Vậy, đường thẳng AC cắt đường tròn  C  tại hai điểm. Do đó, để A  2  MA  MC  đạt giá trị nhỏ nhất thì M phải nằm giữa hai điểm A và C .  A  2  MA  MC   2 AC , AC  5 13 . 2  A  5 13  a b . Vậy, a  b  18 . Câu 64: (Nguyễn Huệ- Ninh Bình- 2019)Cho z1 , z2 là nghiệm phương trình 6  3i  iz  2 z  6  9i và thỏa mãn z1  z2  A. 8 . Giá trị lớn nhất của z1  z2 bằng 5 56 . 5 28 . 5 B. C. 6 . D. 5 . Lời giải Chọn A Gọi z1  x1  y1i, z2  x2  y2i , với x1 , y1 , x2 , y2   . Do z1  z2  8 8   x1  x2    y1  y2  i   5 5 Gọi M 1  x1 ; y1  , M 2  x2 ; y 2   M 1M 2   x1  x2    y1  y2  2  x1  x2    y1  y2  2 2 2  8 5 8  . 5 Mà z1 là nghiệm phương trình 6  3i  iz  2 z  6  9i   6  y1    x1  3 i   2 x1  6    2 y1  9  i   6  y1    x1  3 2 2   2 x1  6    2 y1  9  2 2  x12  y12  6 x1  8 y1  24  0  M 1  x1 ; y1   đường tròn (C ) : x 2  y 2  6 x  8 y  24  0 . Tương tự M 2  x2 ; y 2    C  . Đường tròn (C ) có tâm I  3; 4  , bán kính R  1 . 2 Goị M là trung điểm M 1 M 2  IM  M 1 M 2 , IM  R 2  M 1 M 2  1     , và 5 5 4 3 z1  z2  2OM . Mà OM  OI  IM , dấu bằng xảy ra khi O , I , M thẳng hàng. Khi đó OM  M 1 M 2 , và OM  OI  IM  28 . 5 Trang 46 Toanthaycu.com  z1  z 2 đạt giá trị lớn nhất bằng 2  OI  IM  , bằng 56 . 5 Hoặc đánh giá chọn đáp án như sau: Gọi N   x 2 ;  y 2   NM 1   x1  x2    y1  y2  2 2  z1  z2 Và N đối xứng với M 2 qua gốc tọa độ O , N  đường tròn (C1 ) : x 2  y 2  6 x  8 y  24  0 . (C1 ) có tâm I1   3;  4  , bán kính R1  1 , (C1 ) đối xứng với  C  qua gốc tọa độ O . Có I1 I  10  I1I  R  R1  8 . Nhận xét: với mọi điểm M 1   C  , N   C1  thì M1 N  I1I  R  R1 . Loại các đáp án B,C,D  z1  z 2  M 1 N đạt giá trị lớn nhất bằng 56 . 5 Câu 65: Cho các số phức z và w thỏa mãn  3  i  z  z  1  i . Tìm giá trị lớn nhất T  w  i w 1 Trang 47 A. 2 . 2 B. 3 2 . 2 C. 2 . D. 1 . 2 Lời giải Chọn B 3  i  z  z z z 1 i   3 z  1  1  z  i   w 1 w 1 w 1  3 z  1  1  z  2 2 .. Đặt t  z ; t  0 (vì z  0 không thỏa phương trình trên). (1) trở thành:  w 1  t  w 1  3t  1 2  1  t   w  1  t 2 10t  8t  2 2 .. 1 1 1   ; t  0. . 2 8 2 2 1  10   2  2  2 t t2 t  Ta luôn có: w  i  w  1  1  i  1 3 2  2  wi  .. 2 2  1 t  z  1  2   z  2 i Dấu = xảy ra   w  1  k 1  i    .  w  3  1 i   wi  3 2 2 2  2 Vậy: Giá trị lớn nhất của T  3 2 .. 2 Câu 66: Cho các số phức z thỏa mãn z  2  z  2  2 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z  2 3  i  z  3 3  2i  z  3i . A. 12 . B. 6 . C. 8 . Lời giải D. 10 . Chọn A Trang 48 Toanthaycu.com    Gọi M  x; y  , F1  2; 0 , F2  2,  2; 0 , lần lượt là điểm biểu diễn cho các số phức z  x  yi , 2. Có z  2  z  2  2 3  MF1  MF2  2 3 , có 2 3  F1F2  2 2 . Suy ra M  x; y  chạy trên  E  có tiêu cự 2c  2 2 , độ dài trục lớn 2a  2 3 , độ dài trục nhỏ x2 y2   1. 3 1 2b  2 và phương trình chính tắc của  E  là  3  x  3 Có M  x; y    E    .  1  y  1 Có P  z  2 3  i  z  3 3  2i  z  3i .    x  2      x  2 3    y  1  3 3  x    y  2   y  3 . 3  3 3  x    2 y  3  y  3 1 (Bất đẳng thức tam giác). x2 3 2   y  1  2 2 2 2 2 2 2 x  3 3   y  2   x 2   y  3 . 2 2 2 2  4 y 2  12 y  84  3  y . Đặt f  y   2 y 2  3 y  21  3  y , với 1  y  1 . Có f   y   2y  3 y  3y  21 2 1. f   y   0  y 2  3y  21  2 y  3 1 ,  y  1  nhaän  Có 1  y  1  1  3y 2  9 y  12  0   .  y  4  loaïi  Có f  1  4  2 19 , f 1  12 . Suy ra Min f  y   12  P  12 . y 1;1  x  0, y  1  Đẳng thức 1 xảy ra khi  x  2 3 y  1  x  0, y  1 .   0  3 3  x y  2 Thử lại: Khi x  0, y  1 có P  12 . Vậy MinP  12 khi x  0, y  1 . 2 Câu 67: Cho số phức z  x  yi , x , y  thỏa mãn z  3 y 2  16 . Biểu thức P  z  i  z  2 đạt giá trị lớn nhất tại  x0 ; y0  với x0  0, y0  0 . Khi đó: x02  y02 bằng A. 20  3 6 . 2 B. 20  3 7 . 2 C. 20  3 6 . 2 D. 20  3 7 . 2 Lời giải Trang 49 Chọn D 2 Ta có: z  3 y 2  16  x 2  4 y 2  16 . P  x 2   y  1  2  x  2  x Pmax 2  x  2 2  y2  x 2   y  1  2 2  x   y 2 2   y 1 y  5 . 2 x  2  2 y  x.   y    2  x  y  1 x  2 y  2  0    2 2  2  2 y   4 y  16  0  x.  2  x   0 x 2  x  0   y 1 .  y  0  y  1 .   y   0  x 2  x  0    5   2 2  x 2  4 y 2  16  x  4 y  16  y  1 .   y   0  x  0  x  0  x  0  y  0  y  0  y  0  x0  1  7  1 7 20  3 7 y   2 2 .  2  1  7  x0  y0  2 x  1 7  y0    2 Nhận xét: Bài này ta dùng bất đẳng thức véc tơ như sau     Cho a  a1 ; a2 , b   b1 ; b2   a  b   a1  b1 ; a2  b2  , ta có:     2 2 a  b  a  b   a1  b1    a2  b2   a12  a22  b12  b22 .   ab a b  1 2 2 1     a , b Dấu “ = ” xãy ra ngược hướng   a1b1  0 . a b  0  2 2 Câu 68: Cho số phức z  a  bi  a, b   thỏa mãn z  4  z  4  10 và z  6 lớn nhất. Tính S  a  b . A. S  11 . B. S  5 . C. S  3 . Lời giải D. S  5 . Chọn B Trong mp tọa độ Oxy , Ta gọi các điểm biểu diễn của các số phức: z  x  yi là M  x ; y  ; z  4  0i là F1  4;0  ; z  4  0i là F2  4;0  . Ta có: z  4  z  4  10  MF1  MF2  10 . (1)  MF12   x  4 2  y 2 8x .(2)  MF12  MF2 2  16 x  MF1  MF2   2 2 2 5  MF2   x  4   y 4x Từ (1) và (2), suy ra MF1  5  . 5 2 4x  x2 y 2 2 2  Mặt khác MF12   x  4   y 2   5     x  4   y 2    1. 5  25 9  Vậy, tập hợp các điểm biểu diễn của số phức thỏa mãn z  4  z  4  10 là Elip có phương trình  E  : x2 y 2   1. 25 9 Trang 50 Toanthaycu.com Theo đề, ta cần tìm điểm thuộc  E  sau cho z  6 lớn nhất. Ta gọi các điểm biểu diễn số phức: z  6  0i là A  6;0 ; z  a  bi là M  a ; b    E  ; z  5  0i là C  5;0  . Do đó, z  6 lớn nhất khi và chỉ khi MA lớn nhất. Dựa, vào hình vẽ trên ta thấy để MA lớn nhất khi M  C  5;0   a  5; b  0  S  5 . Câu 69: Cho số phức z  a  bi  a, b    thỏa z  4  z  4  10 và z  6 lớn nhất. Tính S  a  b ? A. S  3 . B. S  5 . C. S  5 . D. S  11 . Lời giải Chọn C Gọi M  a; b  là điểm biểu diễn số phức z  a  bi  a, b    . z  4  z  4  10   a  4   bi   a  4   bi  10  a  4 2  b2   a  4 2  b 2  10 * Xét F1  4;0  và F2  4;0  . Khi đó  *  MF1  MF2  10 c  4  b  a2  c2  3 Suy ra M thuộc Elip có  2a  10  a  5 Ta có: z  6  a  6 2  b 2  IM , I  6; 0  , suy ra max z  6  IA hay điểm M  A  5;0   z  5  0i  S  5 . Câu 70: Cho số phức z thỏa mãn z  1 , M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức A  1  z  2 1  z . Giá trị của biểu thức M  m bằng A. 2 5  2 . B. 6 . C. 2 5  4 . D. 7 . Lời giải Trang 51 Chọn A Gọi z  x  yi với x , y  . z  1  x 2  y 2  1  x 2  y 2  1  A  1 z  2 1 z   x  1 2  y 2  2 1  x   y 2  2  2 x  2 2  2 x . 2 Xét hàm số f  x   2  2 x  2 2  2 x với x   1;1 . Hàm số f  x  liên tục trên đoạn  1;1 và f   x   1 2 1 x  2 1 x   . 2  2x 2  2x 2 1  x 2  3 f   x   0  1  x  2 1  x  0  x     1;1 . 5  3 Khi đó f  1  4 ; f     2 5 ; f 1  2 .  5  3 Do đó M  max f  x   f     2 5 ; m  min f  x   f 1  2 . Suy ra M  m  2 5  2 .  1;1  1;1  5 Câu 71: Xét tập hợp S các số phức z  x  yi  x, y   thỏa mãn điều kiện 3 z  z  1  i  2  2i  . Biểu thức Q  z  z  2  x  đạt giá trị lớn nhất là M và đạt được tại z0  x0  y0i ( khi z thay đổi trong tập S ). Tính giá trị T  M . x0 y02 . A. T   9 3 . 2 B. T  9 3 . 4 C. T  9 3 . 2 D. T   9 3 . 4 Lời giải Chọn D Ta có: 3 z  z  1  i  2  2i   4 x 2  16 y 2  16  x 2  4 y 2  4  4 y 2  4  x 2 Do đó, Q  z  z  2  x   4 y 2  2  x   4  x 2  2  x   f  x  ,  2  x  2  . f  x  2×2  2x  4 ,  2  x  2  . 4  x2  x  1 f  x  0    x  1.  x  2   2 ; 2  Mặt khác, f  2   0, f  2   0, f  1  3 3. 3 Suy ra M  3 3 tại x0  1, y02  . 4 Vậy T  Câu 72: 9 3 . 4 (THPT Hậu Lộc 2 2019) Cho z1, z2 là hai trong các số phức thỏa mãn z  3  3i  2 và z1  z2  4 . Giá trị lớn nhất của z1  z2 bằng A. 8 . B. 4 3 . C. 4 . D. 2  2 3 . Trang 52 Toanthaycu.com Lời giải Chọn A Gọi M , N lần lượt là điểm biểu diễn của hai số phức z1, z2 .  M , N  C : x  3 2  y  3  z1  3  3i  z2  3  3i  2      Do  nên   z1  z2  4  MN  4  2.2   2  22 .  Như vậy MN là đường kính của đường tròn  C  với tâm I 3;  3 , bán kính R  2 , do đó I là trung điểm MN , OI  12 . Ta có z1  z2  OM  ON  1  1  OM 2  ON 2    MN 2  2  2OI 2    8. 2   Dấu ”  ” xảy ra khi và chỉ khi OM  ON  MN là đường kính của  C  vuông góc với OI . Câu 73: (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  2  i  z1  4  7i  6 2 và iz2  1  2i  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T  z1  z2 . A. 2 2  1. B. 2 1 . C. 2 2  1 . Lời giải D. 2 1. Chọn C Trên mặt phẳng Oxy , gọi M  a; b  là điểm biểu diễn cho số phức z1 ; A  2;1 , B  4;7  lần lượt là điểm biểu cho các số phức 2  i và 4  7i  AB  6 2 . Từ đó ta được MA  MB  6 2  AB nên tập hợp các điểm M biểu diễn cho số phức z1 là đoạn thẳng AB nằm trên đường thẳng d : x  y  3  0 . Đặt z3   z2 , khi đó Trang 53 iz2  1  2i  1  iz3  1  2i  1  z3  2  i  1 . Gọi N  c; d  là điểm biểu diễn cho z3 ; I  2;1 là điểm biểu diễn cho số phức 2  i , khi đó IN  1 nên tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức z3 là đường tròn  C  :  x  2    y  1  1 . 2 2 z1  z2  z1  z3  MN . Dễ thấy hình chiếu vuông góc của điểm I  2;1 trên đường thẳng  d  là điểm K  0;3 thuộc đoạn AB suy ra MN  KH với H là giao điểm của IK với  C  và thuộc đoạn IK . Do đó min MN  KH  d  I , AB   R  2 2  1 . Vậy min z1  z2  2 2  1 Câu 74: (Trường Thpt Hàm Rồng 2019) Cho số phức z, z1 , z2 thỏa mãn z1  4  5i  z2  1  1 và z  4i  z  8  4i . Tính z1  z2 A. 8 B. 6 . khi P  z  z1  z  z2 đạt giá trị nhỏ nhất C. 41 . D. 2 5 . Lời giải Chọn D Gọi A là điểm biểu diễn của số phức z1 . Suy ra A thuộc đường tròn  C1  tâm I1  4;5  , R  1 . Gọi B là điểm biểu diễn của số phức z2 . Suy ra B thuộc đường tròn  C2  tâm I 2 1; 0  , R  1 . Gọi M  x; y  là điểm biểu diễn của số phức z  x  yi Theo giả thiết z  4i  z  8  4i  x  y  4 . Suy ra M thuộc đường thẳng  d  x  y  4  0 Gọi  C2 ‘ có tâm I 2 ‘  4; 3 , R  1 là đường tròn đối xứng với đường tròn  C2  tâm I 2 1; 0  , R2  1 qua đường thẳng d. Gọi B ‘ là điểm đối xứng với đối xứng với B qua đường thẳng d. Ta có P  z  z1  z  z2  MA  MB  MA  MB ‘  AB ‘  I1 I 2 ‘ R1  R2  6 . Trang 54 Toanthaycu.com  1  Dấu = xảy ra khi và chỉ khi A, B ‘, I1 , I 2 ‘, M thẳng hàng. Khi đó I1 A  I1I 2 ‘ suy ra A  4; 4  và 8  1  I 2 B ‘  I 2 ‘ I1 suy ra B ‘  4; 2   B  2;0  . AB  2 5 . 8 Vậy z1  z2  2 5 . Câu 75: (Chuyên ĐH Vinh- 2019) Cho các số phức z và  thỏa mãn  2  i  z  z   1  i. Tìm giá trị lớn nhất của T    1  i A. 4 2 3 B. 2 3 C. 2 2 3 2 D. Lời giải Chọn A 2  i z  z   z  1 i  z    2  i  z  1  i.   2 z  1   z  1 i  f t   z    2 z  1   z  1 2 2    z 2 2 5 z 2 z 2 t2 2t 2  4t t  0  f ‘ t   f ‘ t   0  t  0  t  2     2 2 5t 2  2t  2 5 t  2 t  2   Bảng biến thiên Ta có T    1  i  z  1  i  2 4 2  2 9 3 Câu 76: Cho số phức z và gọi z1 , z 2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2  8i  0 ( z1 có phần thực dương). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z  z1  z2  z  z  2 z1  z2 được viết dưới dạng 2 m n  p q (trong đó n, p  ; m , q là các số nguyên tố). Tổng m  n  p  q bằng A. 3 . B. 4 . C. 0 . Lời giải D. 2 . Chọn A z 2  8i  0  z1  2  2i và z2  2  2i . Trang 55 P  z  z1  z 2  z  z  2 z1  z2 z  z  z1  z  z2  z  2 z1  2  MA  MB  MC . 2 2 Trong đó M , A  2; 2  , B  2; 2  , C  3; 3  lần lượt là điểm biểu diễn cho các số phức z , z1 , z 2 ,   2 z1  z2  3  3i . 2 Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên OC . Ta có MA  MB  HA  HB  MA  MB  MC  HA  HB  HC . Do đó Pmin   MA  MB  MC  min  HA  HB  HC  M  H  M  OC : y  x . Gỉa sử M  x; x   x   3;0    P  MA  MB  MC  2  x  3  2 2  x 2  4   P  2  2 2. Vậy Pmin x x 4 2  P  0  x   2 3   3;0  . 3  2 3 2   2 3    2 6 3 2.  2    3   2 2    4  3 3        Suy ra m  2 , n  6 , p  3 , q  2  m  n  p  q  3 . Câu 77: Trong các số phức z thỏa mãn z 2  1  2 z gọi z1 và z 2 lần lượt là các số phức có môđun nhỏ 2 nhất và lớn nhất. Giá trị của biểu thức z1  z 2 A. 6 . B. 2 2 . 2 bằng C. 4 2 . Lời giải D. 2 . Chọn A Đặt z  a  bi ; a , b   . z 2  1  a 2  b 2  1  2 abi  a 2  b 2  1  4a 2b 2 ; 2 z  2 a 2  b 2 . 2 Ta có z 2  1  2 z   a 2  b 2  1  4a 2b 2  4  a 2  b 2  2   a 2  b 2   4a 2b 2  2  a 2  b 2   1  4  a 2  b 2   0   a 2  b 2   2a 2  6b 2  1  0 2 2   a 2  b 2   6  a 2  b 2   1  4 a 2 . 2 Vì 4a 2  0, a   nên  a 2  b 2   6  a 2  b 2   1  0  3  2 2  a 2  b 2  3  2 2 . 2 Trang 56 Toanthaycu.com m  2  1 2 1  a2  b2  2  1    m 2  M 2  6.  M  2  1 Suy ra a  0 a  0 M  2 1   2 2  . a  b  3  2 2 b   1  2  a  0 a  0 m  2 1   2 2  a  b  3  2 2 b   Câu 78:    2 1 . (Sở Nam Định – 2019) Xét các số phức w , z thỏa mãn w  i  3 5 và 5w   2  i  z  4  . 5 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  z  2i  z  6  2i . A. 7 . B. 2 53 . D. 4 13 . C. 2 58 . Lời giải Chọn C Cách 1. Ta có: 5w   2  i  z  4   5w  5i   2  i  z  4   5i  5 w  5i   2  i  z  4   5i  5 w  i  1  2i  z  4  1  2i   5 z  3  2i 3 5  5 z  3  2i  z  3  2i  3 . 5 Ta có:  5. 2  2 2 z  z1  z  z1  2 z  z1 2 z  z1 2 z z   2  ; z, z . (1) 1 2 1 2 ; z , z1 . (2) Ta có: P  z  2i  z  6  2i  z  3  2i  3  z  3  2i  3 . Áp dụng (1) và (2), ta có: 2 2  2  z  3  2i  3  z  3  2i  3  2 z  3  2i  9 . 2 z  3  2i  3  z  3  2i  3 2  z  3  2i  3  z  3  2i  3   2 2  z  2i  z  6  2i   2 2 . Vậy, ta có:  z  2i  z  6  2i  2   2  P  4  z  3  2i  9  . Do 4  z  3  2i  9   4  z  3  2i  4i  9  nên P    2 z  3  2i  9   z  2i  z  6  2i   4 z  3  2i  9 . 2 2 2 2 2 2 2 2 4  z  3  2i  4i   9 2 Trang 57  P 2  4  7 2  9   232  P  2 58 . Cách 2. Ta có: 5w   2  i  z  4  thay w  i  3 5 5  z  3  2i  3 . Suy ra, tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn  C  :  x  3    y  2   9 . 2 2 Gọi M   C  . Ta có: P  z  2i  z  6  2i  AM  BM ; A  0; 2  , B  6; 2 . Suy ra P  2  AM 2  BM 2  . Gọi H là trung điểm của cạnh AB .  AB 2  2 2 Ta có: P  2  AM 2  BM 2   2  2MH 2    4 MH  AB . 2   Vậy, P  z  2i  z  6  2i đạt giá trị lớn nhất khi MH 2 đạt giá trị lớn nhất. Dựa vào hình vẽ sau Suy ra, MH 2 đạt giá trị lớn nhất khi M  M ‘  P 2  232  P  2 58 . Câu 79: Cho các số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn z1  z2  z3  1 . Tính giá trị lớn nhất của biểu thức 2 2 2 P  z1  z 2  z2  z3  z3  z1 . A. P  9 . B. P  10 . C. P  8 . Lời giải D. P  12 . Chọn A Gọi A  x1 ; y1  ; B  x2 ; y2  ; C  x3 ; y3  là các điểm lần lượt biễu diễn các số phức z1 ; z2 ; z3 . Trang 58 Toanthaycu.com vì z1  z2  z3  1 suy ra A ; B ; C thuộc đường tròn tâm O bán kính bằng 1. Ta có z1  z2  AB ; z2  z3  BC z3  z1  AC . 2 2 2 Suy ra P  z1  z 2  z2  z3  z3  z1  AB 2  BC 2  AC 2   2   2   2        AO  OB  BO  OC  AO  OC  6  2 OA.OB  OB.OC  OA.OC    2  2  9  OA  OB  OC  9  3OG  9  OG 2  9 ( với G là trọng tâm tam giác ABC ).             Dấu “ = “ xảy ra khi G  O , hay ABC đều. Câu 80: Cho số phức z thỏa mãn 3 z  z  2 z  z  12. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của z  4  3i . Giá trị của M .m bằng: B. 24 . A. 28 . C. 26 . D. 20 . Lời giải Chọn B Gọi z  x  yi ; x; y  . Xét 3 z  z  2 z  z  12  3 x  2 y  6. Ta có: P  z  4  3i   x  4    y  3 2 Tập hợp những điểm biểu diễn z  x  yi ; 2 (1)  2 x; y  . thỏa mãn (1) là miền trong (tính cả biên) của hình thoi ABCD với A  0;3 ; B  2;0  ; C  0; 3 ; D  2;0  tạo bởi 4 đường thẳng 3 x  2 y  6. Điểm biểu diễn z thỏa mãn (2) là đường tròn tâm I  4; 3 bán kính R  P  0 . Trang 59 P đạt min, max khi bán kính đường tròn đạt min, max khi xét sự tương giao với miền hình thoi ABCD. Ta có đường tròn giao với miền hình thoi điểm gần tâm nhất khi đường tròn tiếp xúc cạnh CD: 3.4  2.3  6 3 x  2 y  6  0 tương ứng có m  3 2 2 2  12 . Điểm giao xa nhất là đỉnh A  0;3 13 của hình thoi. Do đó M  4  6  2 13. 2 2  M .m  24. Trang 60
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments

Bài viết tương tự

Scroll to Top