Chuyên đề căn bậc hai và căn bậc ba – Bùi Đức Phương

Tài liệu học tập Toán 9

Giới thiệu Chuyên đề căn bậc hai và căn bậc ba – Bùi Đức Phương

Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và bạn đọc Chuyên đề căn bậc hai và căn bậc ba – Bùi Đức Phương.

Tài liệu môn Toán sẽ luôn được cập thường xuyên từ nguồn đóng góp của quý bạn đọc và hoctoanonline.vn sưu tầm, các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán mới nhất nhé.

Hơn nữa, Hoctoanonline.vn còn cung cấp file WORD Tài liệu môn Toán miễn phí nhằm hỗ trợ thầy, cô trong quá trình dạy học, biên soạn đề thi.

Tài liệu Chuyên đề căn bậc hai và căn bậc ba – Bùi Đức Phương

Tải xuống

Các em học sinh Đăng ký kênh youtube để học thêm nhé

Text Chuyên đề căn bậc hai và căn bậc ba – Bùi Đức Phương

BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO ĐẠI SỐ 9

GV: Thạc sĩ Bùi Đức Phương – SĐT 0906 434 811

CHƯƠNG I: CĂN BẬC HAI – CĂN BẬC BA
BÀI 1 – CĂN BẬC HAI
A. NỘI DUNG LÝ THUYẾT.
1. Nhắc lại:
Căn bậc hai của một số ? không âm là số ? sao cho ? 2 = ?
Hay nói cách khác, căn bậc hai của một số ? không âm là số x mà bình phương lên thì bằng ?.


Nếu số ? = 0 thì nó có một căn bậc hai là chính nó, ta viết √0 = 0



Nếu số ? > 0 thì nó có hai căn bậc hai
 Căn bậc hai dương: +√?
 Căn bậc hai âm: −√?

Ví dụ: Ta có 4 và −4 là căn bậc hai của 16 vì 42 = (−4)2 = 16.
 Căn bậc hai dương của 16 là +4
 Căn bậc hai âm của 16 là −4

2. Định nghĩa:
 Với số dương a, khi đó số √? được gọi là căn bậc hai số học của a.
 Số 0 được gọi là căn bậc hai số học của 0.

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP QUAN TRỌNG.
DẠNG 1 – TÌM CĂN BẬC HAI CỦA MỘT SỐ.
Phương pháp giải: Bám sát vào định nghĩa và tính chất của căn bậc hai.
Định nghĩa: Căn bậc hai của một số ? không âm là số x mà bình phương lên thì bằng ?.
Tính chất:


Nếu số ? = 0 thì nó có một căn bậc hai là chính nó, ta viết √0 = 0



Nếu số ? > 0 thì nó có hai căn bậc hai
 Căn bậc hai dương: +√?
 Căn bậc hai âm: −√?



Với số dương a, khi đó số √? được gọi là căn bậc hai số học của a.

BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO ĐẠI SỐ 9

GV: Thạc sĩ Bùi Đức Phương – SĐT 0906 434 811

 Ví dụ 1: Tìm các căn bậc hai của các số sau
1) 81

2) 25

3) 7

Hướng dẫn giải:
 Căn bậc hai của 81.
Ta có 92 = (−9)2 = 81.
Suy ra:
 Căn bậc hai dương của 81 là +9 hay 9.
 Căn bậc hai âm của 81 là −9.
 Căn bậc hai của 25.
Ta có 52 = (−5)2 = 25.
Suy ra:
 Căn bậc hai dương của 25 là +5 hay 5.
 Căn bậc hai âm của 25 là −5.
 Căn bậc hai của 7.
Ta có √7 = (−√7) 2 = 7.
Suy ra:
 Căn bậc hai dương của 7 là +√7 hay √7.
 Căn bậc hai âm của 7 là −√7.
 Căn bậc hai của 8.
Ta có √8 = (−√8) 2 = 8.
Suy ra:
 Căn bậc hai dương của 7 là +√8 hay √8.
 Căn bậc hai âm của 7 là −√8.

4) 8

5) −144

BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO ĐẠI SỐ 9

GV: Thạc sĩ Bùi Đức Phương – SĐT 0906 434 811

 Lưu ý:
 Một số học sinh sử dụng máy tính bỏ túi bấm máy tính và cho kết quả √8 = 2√2.

Bấm máy tính và cho kết quả √8 = 2√2.

 Học sinh cần lưu ý là phép biến đổi √8 = 2√2 được học ở bài §3 – Liên hệ giữa phép
nhân, chia & phép khai phương. Nếu học sinh gặp dạng bài tập trên trước khi học bài
§3 thì KHÔNG được sử dụng phép biến đổi √8 = 2√2.
 Căn bậc hai của −144.
Ta có −144 là một số âm nên không tồn tại căn bậc hai.
Vậy không tồn tại căn bậc hai của −144.
 Ví dụ 2: Tìm ? (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 3).
1) ? 2 = 9

2) ? 2 = 7

Hướng dẫn giải:
 1) ? 2 = 9
⇔ ? = √9 hoặc ? = −√9
⇔ ? = 3 hoặc ? = −3
 2) ? 2 = 7
⇔ ? = √7 hoặc ? = −√7
⇔ ? ≈ 2,646 hoặc ? ≈ −2,646

3) ? 2 = −5

BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO ĐẠI SỐ 9

GV: Thạc sĩ Bùi Đức Phương – SĐT 0906 434 811

 3) ? 2 = −5
Ta có ? 2 ≥ 0 với mọi ?
Suy ra ? 2 = −5 ⇔ ? ∈ ∅
 Lưu ý: Hai dạng toán dễ nhầm lẫn
? 2 = 9.

√? = 9.
2

⇔ ? = √9 hoặc ? = −√9

⇔ (√?) = 92 (Bình phương 2 vế)

⇔ ? = 3 hoặc ? = −3

⇔ ? = 81.

Vậy ? = 3 hoặc ? = −3

Vậy ? = 81

 BAI TẬP TỰ ÔN TẬP.
Câu 1. Tìm căn bậc hai số học rồi suy ra căn bậc hai của các số sau:
225

625

289

256

169

484

576

676

121

441

Câu 2. Tìm nghiệm các phương trình sau (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai):
1) ? 2 = 7

2) ? 2 = −3

3) ? 2 = 6,5

4) ? 2 = 26

5) ? 2 = 14

6) ? 2 = 8

1) √? = 3

2) √? = 5

3) √? = 7

4) √? = −11

5) √? = 9

6) √? = 16

Câu 3. Tìm ? ≥ ? biết:

BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO ĐẠI SỐ 9

GV: Thạc sĩ Bùi Đức Phương – SĐT 0906 434 811

DẠNG 2 – SO SÁNH BIỂU THỨC KHÔNG SỬ DỤNG MÁY TÍNH.
Phương pháp giải: Sử dụng các tính chất của căn bậc hai:
+ Với ?, ? ≥ 0: ? < ? ⇔ √? < √? + Với ? > 0: {

+ Với ? > 0:

? < 1 ⇔ ? < √? ? > 1 ⇔ ? > √?

? < 1 ⇔ √? < 1 ? > 1 ⇔ √? > 1

 Ví dụ: Không sử dụng máy tính hãy so sánh các biểu thức sau
1) 2 và √5.

2) 7 và √47.

3) √3 + √11 & 3 + √5.

Hướng dẫn giải:
 1) 2 và √5.
Phân tích
22 = 4

Trình bày
Ta có: 0 < 4 < 5 nên √4 < √5 hay 2 < √5. 2 Vậy 2 < √5. √5 = 5 Rõ ràng 4 < 5 ⇒ 2 < √5  2) 7 và √47. Phân tích Trình bày 72 = 49 Ta có: 0 < 47 < 49 nên √47 < √49 472 = 47 Hay √47 < 7. Rõ ràng 49 > 47 ⇒ 7 > √47

Vậy √47 < 7.  3) √3 + √11 & 3 + √5. Phân tích Trình bày Ta có: Ta có: 2 2 (√3 + √11) = 14 + 2√3√11 (√3 + √11) = 14 + 2√3√11 5 BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO ĐẠI SỐ 9 GV: Thạc sĩ Bùi Đức Phương – SĐT 0906 434 811 2 2 (3 + √5) = 14 + 6√5 (3 + √5) = 14 + 6√5 Ta sẽ so sánh 2√3√11 & 6√5 Ta cũng có: 2 2 2 2 2 (2√3√11) = 22 (√3) (√11) (2√3√11) = 22 (√3) (√11) = 2 ∗ 3 ∗ 11 2 = 2 ∗ 3 ∗ 11 = 132 = 132 2 2 (6√5) = 180 (làm tương tự trên) (6√5) = 180. Ta có: Ta có: 0 < 132 < 180 nên √132 < √180 0 < 132 < 180 nên √132 < √180 hay 2√3√11 < 6√5 hay 2√3√11 < 6√5 Suy ra 14 + 2√3√11 < 14 + 6√5 Vậy √3 + √11 < 3 + √5 Hay (√3 + √11) < (3 + √5) 2 2 Do đó √3 + √11 < 3 + √5 Vậy √3 + √11 < 3 + √5  BÀI TẬP TỰ ÔN TẬP. Câu 1. Không sử dụng máy tính hãy so sánh các biểu thức sau 1) 2 & √5 2) 4 & √15 3) 18 & √341 4) 16 & √237 5) √2 + √7 & 2 + √5 6) √11 − √3 & √8 − √6 7) √9 + 4√5 & √12 + 6√3 DẠNG 3 – BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CĂN THỨC SỬ DỤNG THƯỚC KẺ VÀ COMPA. Phương pháp giải: Sử dụng các tính chất về dựng hình, đặc biệt là dựng hình vuông, tam giác vuông cho biết độ dài.  Ví dụ: Hãy vẽ đoạn thẳng biểu diễn giá trị của các biểu thức sau, lấy đơn vị là decimet. 1) √2. 2) √3. 6 3) √5. BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO ĐẠI SỐ 9 GV: Thạc sĩ Bùi Đức Phương – SĐT 0906 434 811 Hướng dẫn giải:  1) √2. y Độ dài đoạn 2 cần dựng 1 O 1 x Nhận thấy, √2 là đường chéo của hình vuông có cạnh là 1 đơn vị. Ta dựng hình vuông có cạnh là 1 đơn vị. Độ dài đoạn √2 chính là độ dài đường chéo (màu đỏ).  2) √3. y Độ dài đoạn 3 cần dựng Đoạn 2 đã dựng 1 1 O 1 x 2 Áp dụng định lý Pythagore để dựng đoạn có độ dài căn 3. Ta có (√2) + 12 = 3. 7 BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO ĐẠI SỐ 9 GV: Thạc sĩ Bùi Đức Phương – SĐT 0906 434 811  3) √5. Độ dài đoạn 5 cần dựng Đoạn 3 đã dựng y Đoạn 2 đã dựng 1 1 O 1 x 2 2 Áp dụng định lý Pythagore để dựng đoạn có độ dài căn 5. Ta có (√2) + (√3) = 5. 8 BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO ĐẠI SỐ 9 GV: Thạc sĩ Bùi Đức Phương – SĐT 0906 434 811 CHƯƠNG I: CĂN BẬC HAI – CĂN BẬC BA BÀI 2 – CĂN THỨC BẬC HAI A. NỘI DUNG LÝ THUYẾT. 1. Căn thức bậc hai: Cho biểu thức đại số A, khi đó:  √A được gọi là căn thức bậc hai của A.  A được gọi là biểu thức lấy căn (hoặc biểu thức dưới dấu căn).  √A được xác định (hay có nghĩa) khi A lấy giá trị không âm. 2. Tìm điều kiện xác định của căn bậc hai của A. Hoạt động tìm giá trị của ẩn để A lấy giá trị không âm được gọi là tìm điều kiện xác định của √A. B. CÁC DẠNG BÀI TẬP QUAN TRỌNG. DẠNG 4 – TÌM ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA CĂN BẬC HAI. Phương pháp giải:  Một biểu thức A = √? (?) xác định (hay có nghĩa) khi và chỉ khi ?(?) ≥ 0.  Một biểu thức B = 1 xác định (hay có nghĩa) khi và chỉ khi ?(?) > 0.
f ( x)

 Ví dụ 1: Tìm x để các biểu thức sau xác định:
1) A = √4? − 6

2) B =

2
1  3x

3) C = √4 − ? 2

 1) A = √4? − 6
Xác định khi: 4? − 6 ≥ 0 ⇔ ? ≥

 2) B =

3
2

2
1  3x

4) D = √−? 2 + 7? − 12

BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO ĐẠI SỐ 9

Xác định khi: {

GV: Thạc sĩ Bùi Đức Phương – SĐT 0906 434 811

1
1 − 3? ≥ 0
⇔ 1 − 3? > 0 ⇔ ? < 1 − 3? ≠ 0 3  3) C = √4 − ? 2 Xác định khi: 4 − ? 2 ≥ 0 ⇔ (2 − ?)(2 + ?) ≥ 0 ⇔ −2 ≤ ? ≤ 2  4) D = √−? 2 + 7? − 12 Xác định khi: −? 2 + 7? − 12 ≥ 0 ⇔ (? − 3)(4 − ?) ≥ 0 ⇔ 3 ≤ ? ≤ 4 DẠNG 5 – RÚT GỌN CÁC CĂN THỨC ĐƠN GIẢN. Phương pháp giải: Sử dụng các tính chất của căn bậc hai: 1) √A2 = |A| 2) √A có nghĩa khi A ≥ 0 3) Với 2 số ?, ? ≥ 0: √?? = √?. √? ? √? 4) Với 2 số ? ≥ 0, ? > 0: √ =
? √?
5) Với 2 biểu thức ?, ? ≥ 0: √?? = √?. √?
? √?
6) Với 2 biểu thức ? ≥ 0, ? > 0: √ =
? √?

 Ví dụ 1: Tính giá trị các biểu thức sau.

1) A = √256

2) B = √(−8)2

4) D = √(−4)2

5) E = √(√3 + 1)

7) G = √3 + 2√2

8) H = √7 − 4√3

Hướng dẫn giải:
 1) A = √256
Ta có A = √256 = √162 = |16| = 16
10

3) C = √142
2

6) F = √(√5 − 4)

BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO ĐẠI SỐ 9

GV: Thạc sĩ Bùi Đức Phương – SĐT 0906 434 811

hoặc A = √256 = √(−16)2 = |−16| = 16
 2) B = √(−8)2
Ta có B = √(−8)2 = |−8| = 8
 3) C = √142
Ta có C = √142 = |14| = 14
 4) D = √(−4)2
Ta có D = √(−4)2 = |−4| = 4
 5) E = √(√3 + 1)

Ta có E = √(√3 + 1) = |√3 + 1| = √3 + 1.
 6) F = √(√5 − 4)

Ta có F = √(√5 − 4) = |√5 − 4| = 4 − √5.
 7) G = √3 + 2√2
2

Ta có G = √3 + 2√2 = √(√2 + 1) = |√2 + 1| = √2 + 1.
 8) H = √7 − 4√3
2

Ta có H = √7 − 4√3 = √(√3 − 2) = |√3 − 2| = 2 − √3.

 Ví dụ 2: Tính giá trị các biểu thức sau.

1) A = √4√2 + 4√10 − 8√3 − 2√2
2) A = √5√3 + 5√48 − 10√7 + 4√3
Hướng dẫn giải:
 1) A = √4√2 + 4√10 − 8√3 − 2√2

BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO ĐẠI SỐ 9

GV: Thạc sĩ Bùi Đức Phương – SĐT 0906 434 811

= √4√2 + 4√10 − 8√(1 − √2) .

= √4√2 + 4√10 − 8(√2 − 1).

= √4√2 + 4√18 − 8√2.

= √4√2 + 4√(4 − √2) .
= √4√2 + 4(4 − √2).
= √16.
= 4.
 2) A = √5√3 + 5√48 − 10√7 + 4√3

= √5√3 + 5√48 − 10√(2 + √3) .

= √5√3 + 5√48 − 10(2 + √3).

= √5√3 + 5√28 − 10√3.

= √5√3 + 5√(5 − √3) .

= √5√3 + 5(5 − √3).

BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO ĐẠI SỐ 9

GV: Thạc sĩ Bùi Đức Phương – SĐT 0906 434 811

= √25.
= 5.
 BÀI TẬP TỰ ÔN TẬP.
Câu 1. Hoàn thành bảng sau:
?

−?

??
√??
Câu 2. Rút gọn các biểu thức sau:
1) A = √41 + 12√5

2) A = √6 − 2√5

3) A = √27 − 10√2

4) A = √4 + 2√3

5) A = √28 + 6√3

6) A = √11 − 4√7

7) A = √7 − 4√3

8) A = √12 + 6√3

9) A = √79 + 20√3

10 )A = √11 + 6√2
Câu 3. Rút gọn các biểu thức sau:

1) A = √√3 − √6 − 2√4 + 2√3 + √√5 + √5 + 32√69 − 16√5

2) A = √2√5 − √25 − 4√6 + 2√5 + √√3 + √3 + 8√7 − 4√3

3) A = √4√2 − √4 + 16√6 − 4√2 + √√3 + √228 + 50√67 − 16√3

BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO ĐẠI SỐ 9

GV: Thạc sĩ Bùi Đức Phương – SĐT 0906 434 811

CHƯƠNG I: CĂN BẬC HAI – CĂN BẬC BA
BÀI 3 – LIÊN HỆ GIỮA PHÉP NHÂN, PHÉP CHIA & PHÉP KHAI
PHƯƠNG
A. NỘI DUNG LÝ THUYẾT.


Với 2 số ?, ? không âm, ta có: √?. ? = √?. √?



Với 2 biểu thức A, B không âm, ta có: √A. B = √A. √B



Với số ? không âm và số ? dương, ta có:



Với biểu thức A không âm và biểu thức B dương, ta có:

a
a

b
b
A
A

B
B

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP QUAN TRỌNG.
DẠNG 6 – ÁP DỤNG PHÉP NHÂN, PHÉP CHIA, PHÉP KHAI PHƯƠNG ĐỂ
TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC.
Phương pháp giải:
Sử dụng các tính chất phép nhân, phép chia, phép khai phương để tính giá trị biểu thức.
+ √?. ? = √?. √?;
+

a
a

;
b
b

?, ? ≥ 0.

? ≥ 0; ? > 0.

+ √A. B = √A. √B; biểu thức A, B ≥ 0.
+

A
A

;
B
B

? ≥ 0; ? > 0.

 Ví dụ 1: Tính giá trị các biểu thức sau.
1) A = √0,81. √0,04. √25

2) B = √0,49. √0,0256. √6,25

3) C = √40. √7. √63. √1,6

4) D = √80. √34. √25. √170

25 9 121
5) E = √
. .
169 36 625

6) F = √

7) G = √

212 − 202
1652 − 1242

8) H =

Hướng dẫn giải:
14

0,4 17 90
.
.
34 0,01 256
5

√252 − 202

BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO ĐẠI SỐ 9

GV: Thạc sĩ Bùi Đức Phương – SĐT 0906 434 811

 1) A = √0,81. √0,04. √25 = √0,92 . √0,22 . √52 = 0,9.0,2.5 = ?, ?
 2) B = √0,49. √0,0256. √6,25 = √0,72 . √0,162 . √2,52 = 0,7.0,16.2,5 = ?, ??
 3) C = √40. √7. √63. √1,6 = (√4. √10). √7. (√7. √9. )√1,6
= √4. (√7. √7). √9. (√1,6. √10) = 2.7.3. √16 = 2.7.3. 4 = ???
 4) D = √80. √34. √25. √170 = (√2. √4. √10). (√17. √2). √25. (√17. √10)
= (√2. √2). √4. (√10. √10). (√17. √17). √25 = 2.2.10. 17.5 = ????
25 9 121
25 9 121
5 3 11
??
√25 √9 √121
√ √
 5) E = √
. .
=√
=
=
=
169 36 625
169 36 625 √169 √36 √625 13 6 25 ???
0,4 17 90
0,4 17
90
√0,4 √17 √9√10 (√0,4√10)√17√9
√
 6) F = √ .
.
=√ √
=
=
34 0,01 256
34 0,01 256 √2√17 √0,01 √256
√2√17√0,01√256
=

 7) G = √

 8) H =

√4√17√9
√2√17√0,01√256

2√17. 3
√2√17. 0,1.16

??√?
?

(21 − 20)(21 + 20)
212 − 202
1.41
?
√1 √41
√
=
=√
=
=
2
2
(165 − 124)(165 + 124)
165 − 124
41.289 √41 √289 ??
5

√252 − 202

5
√(25 − 20)(25 + 20)

5
√5.45

5
√5√5√9

?
?

 Ví dụ 2: Rút gọn các biểu thức sau.
1) S = √18 − √8 + √50 − √578 + √128 − √242 + √72
2) S = √3 − √48 + √75 − √432 + √27 − √147 + √12
3) S = √20 − √45 − √80 + √245 + √180 + √720 + √320
4) S = √12 − √18 − √32 + √98 + √108 + √432 + √192 + √128
5) S = −√27 + √50 − √12 + √48 + √8 + √147 + √98 + √32

Hướng dẫn giải:
 1) ? = √?? − √? + √?? − √??? + √??? − √??? + √??
= √9.2 − √4.2 + √25.2 − √289.2 + √64.2 − √121.2 + √36.2.
15

BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO ĐẠI SỐ 9

GV: Thạc sĩ Bùi Đức Phương – SĐT 0906 434 811

= √9√2 − √4√2 + √25√2 − √289√2 + √64√2 − √121√2 + √36√2.
= 3√2 − 2√2 + 5√2 − 17√2 + 8√2 − 11√2 + 6√2.
= −?√?.
 2) ? = √? − √?? + √?? − √??? + √?? − √??? + √??
= √3 − √16.3 + √25.3 − √144.3 + √9.3 − √49.3 + √4.3.
= √3 − √16√3 + √25√3 − √144√3 + √9√3 − √49√3 + √4√3.
= √3 − 4√3 + 5√3 − 12√3 + 3√3 − 7√3 + 2√3.
= −??√?.
 3) ? = √?? − √?? − √?? + √??? + √??? + √??? + √???
= √4.5 − √9.5 − √16.5 + √49.5 + √36.5 + √144.5 + √64.5.
= √4√5 − √9√5 − √16√5 + √49√5 + √36√5 + √144√5 + √64√5.
= 2√5 − 3√5 − 4√5 + 7√5 + 6√5 + 12√5 + 8√5.
= ??√?.
 4) ? = √?? − √?? − √?? + √?? + √??? + √??? + √??? + √???
= √4.3 − √9.2 − √16.2 + √49.2 + √36.3 + √144.3 + √64.3 + √64.2.
= √4√3 − √9√2 − √16√2 + √49√2 + √36√3 + √144√3 + √64√3 + √64√2.
= 2√3 − 3√2 − 4√2 + 7√2 + 6√3 + 12√3 + 8√3 + 8√2.
= (−3√2 − 4√2 + 7√2 + 8√2) + (2√3 + 6√3 + 12√3 + 8√3).
= ?√? + ??√?.
 5) ? = −√?? + √?? − √?? + √?? + √? + √??? + √?? + √??
= −√9.3 + √25.2 − √4.3 + √16.3 + √4.2 + √49.3 + √49.2 + √16.2.
= −√9√3 + √25√2 − √4√3 + √16√3 + √4√2 + √49√3 + √49√2 + √16√2.
= −3√3 + 5√2 − 2√3 + 4√3 + 2√2 + 7√3 + 7√2 + 4√2.
= (5√2 + 2√2 + 7√2 + 4√2) + (−3√3 − 2√3 + 4√3 + 7√3).
= ??√? + ?√?.

BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO ĐẠI SỐ 9

GV: Thạc sĩ Bùi Đức Phương – SĐT 0906 434 811

CHƯƠNG I: CĂN BẬC HAI – CĂN BẬC BA
BÀI 4 – BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI
A. NỘI DUNG LÝ THUYẾT.
1. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn:


Với hai biểu thức A, B trong đó B ≥ 0 ta có:



√A2 B = |A|√B = {

A√B nếu A ≥ 0
.
−A√B nếu A < 0 2. Đưa thừa số vào trong dấu căn:  Với hai biểu thức A, B trong đó B ≥ 0 ta có:  Nếu A ≥ 0 ta có A√B = √A2 B  Nếu A < 0 ta có A√B = −√A2 B 3. Khử mẫu biểu thức lấy căn:  Với hai biểu thức A, B trong đó B ≠ 0; A. B ≥ 0 ta có   Chú giải: A A.B   B B.B AB B 2  AB B2  A  B AB B AB B 4. Trục căn thức ở mẫu: A A B  B B  Với hai biểu thức A, B trong đó B > 0 ta có:



Với các biểu thức A, B, C trong đó A ≥ 0; A ≠ B2 ta có:



Với các biểu thức A, B, C trong đó A ≥ 0; ? ≥ 0; A ≠ B ta có:

 Chú giải:
A
√B

A√B
√B√B

C
√A − B

A√B
√? 2

A√B
|B|

C(√A + B)
(√A − B)(√A + B)

C(√A + B)
A − B2

C
C ( A B)

AB
A  B2
C
C( A
B)

A B
A B

BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO ĐẠI SỐ 9

C
√A + B

C
√A − √B
C
√A + √B

C(√A − B)
(√A + B)(√A − B)

GV: Thạc sĩ Bùi Đức Phương – SĐT 0906 434 811

C(√A − B)
A − B2

C(√A + √B)
(√A − √B)(√A + √B)
C(√A − √B)
(√A + √B)(√A − √B)

C(√A + √B)
A−B

C(√A − √B)
A−B

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP QUAN TRỌNG.
DẠNG 7 – CÁC DẠNG BÀI TẬP BIẾN ĐỔI CƠ BẢN BIỂU THỨC CHỨA
CĂN THỨC BẬC HAI
Phương pháp giải:
Sử dụng các tính chất phép nhân, phép chia, phép khai phương để tính giá trị biểu thức.
+ √?. ? = √?. √?;
+

a
a

;
b
b

?, ? ≥ 0.

? ≥ 0; ? > 0.

+ √A. B = √A. √B; biểu thức A, B ≥ 0.
+

A

B

A
;
B

? ≥ 0; ? > 0.

 Ví dụ 1: Đưa thừa số vào trong dấu căn.
1) 2√3.

2) 7√5.

3) −3√2.

4) −4√7.

5) 3?√2?; ? ≥ 0.

Hướng dẫn giải:
 1) 2√3 = √4√3 = √4.3 = √12
 2) 7√5 = √49√5 = √49.5 = √245
 3) −3√2 = −√9√2 = −√9.2 = −√18
 4) −4√7 = −√16√7 = −√16.7 = −√112
 5) 3?√2? = √(3?)2 √2? = √(3?)2 . 2? = √18?3

1
√?2 ? 2 ; ?? > 0.
ab

BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO ĐẠI SỐ 9

 6)

GV: Thạc sĩ Bùi Đức Phương – SĐT 0906 434 811

1
1 2
1 2
√?2 ? 2 = √( ) √?2 ? 2 = √( ) ?2 ? 2 = 1
??
??
??

 Ví dụ 2: Khử mẫu biểu thức lấy căn:
3
1) √
5

2
2) √
7

3) − √

18
13

?
4) √ với ? ≥ 0
2

3
5) √
với ? ≥ 0
2?

3??
6) √
với ?? > 0
2

Hướng dẫn giải:
3
3.5
15 √15 √15 √??
 1) √ = √
=√ 2 =
=
=
|5|
5
5.5
5
?
√52
2
2.7
14 √14 √14 √??
 2) √ = √
=√ 2 =
=
=
|7|
7
7.7
7
?
√72

 3) − √

18
18.13
234
√234
√234
√???
= −√
= −√ 2 = −
=−
=−
|13|
13
13.13
13
??
√132

?
?. 2
2?
√2?
√2?
√??
 4) − √ = −√
= −√ 2 = −
=−
=−
|2|
2
2.2
2
?
√22
3
3.2?
6?
√6?
√6? √??
 5) √ = √
=√
=
=
=
2
(2?)
2?
2?. 2?
??
√(2?)2 |2?|
3??
3??. 2
6?? √6?? √6?? √???
 6) √
=√
=√ 2 =
=
=
|2|
2
2.2
2
?
√22
 Ví dụ 3: Trục căn thức ở mẫu các biểu thức sau:
1)

2
3√2

3
2√7

5
−√?

Hướng dẫn giải:

−?
2√??

2
√3 + 1

BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO ĐẠI SỐ 9

 1)

 2)

 3)

 4)

 5)

2
3√2
3
2√7

5
−√?
−?
2√??

2√2
3√2√2
3√7
2√7√7

√3 + 1

2√2 2√2 √?
=
=
3.2
6
?

3√7 ?√?
=
2.7
??

−√? √?

5 √?

−?√??
2√??√??

GV: Thạc sĩ Bùi Đức Phương – SĐT 0906 434 811

5 √?
?√ ?
=−
−?
?
=−

?√??
???

2(√3 − 1)
(√3 + 1)(√3 − 1)

2(√3 − 1)
2

(√3) − 12

2(√3 − 1)
= √? − ?
3−1

 Ví dụ 4: Sắp xếp theo thứ tự tăng dần:
1) 3√5, 2√6, 4√2, √29

2) 6√2, 3√7, √38, 2√14

Hướng dẫn giải:
 1) 3√5, 2√6, 4√2, √29
3√5 = √9√5 = √9.5 = √45 .
2√6 = √4√6 = √4.6 = √24 .
4√2 = √16√2 = √16.2 = √32 .
Ta có: 0 < 24 < 29 < 32 < 45 ⇒ √24 < √29 < √32 < √45 Hay 2√6 < √29 < 4√2 < 3√5 Vậy 2√6 < √29 < 4√2 < 3√5  2) 6√2, 3√7, √38, 2√14 6√2 = √36√2 = √36.2 = √72 . 3√7 = √9√7 = √9.7 = √63 . 2√14 = √4√14 = √4.14 = √56 . Ta có: 0 < 38 < 56 < 63 < 72 ⇒ √38 < √56 < √63 < √72 Hay √38 < 2√14 < 3√7 < 6√2 20 BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO ĐẠI SỐ 9 GV: Thạc sĩ Bùi Đức Phương – SĐT 0906 434 811 Vậy √38 < 2√14 < 3√7 < 6√2  BÀI TẬP TỰ ÔN TẬP. Câu 1. Tính giá trị biểu thức: 1) S = √18 + √288 + √50 − √72 − √8 + √98 − √32 2) S = √75 + √18 − √32 + √32 − √72 + √48 − √12 + √50 3 √5 41 4 3 √5 3) S = √ − + √ + √5 − √ + 2 2 9 3 2 2 3 + 2√2 √3 − 2√2 √3 + 2√2 √51 + 10√2 4) S = √ − + + 256 16 144 2304 28 + 6√3 4 + 2√3 7 + 4√3 4 + 2√3 39 + 12√3 5) S = √ +√ −√ +√ +√ 25 225 100 9 100 6) S = √5√3 + 5√48 − 10√7 + 4√3 7) S = √4√2 + 4√10 − 8√3 − 2√2 8) S = √4√2 − √4 + 16√6 − 4√2 + √√3 + √228 + 50√67 − 16√3 Câu 2. Trục căn thức ở mẫu các biểu thức sau: 1) 1 √5 − 2 2) 1 √7 + √3 3) 10 2√2 − √3 4) Câu 3. Rút gọn: 36?2 ? 6 ? 8 1) S = √ với ? < 0; ? < 0 4 1 ??? 2 ?? 5 ? 3 2) S = √ (√ +√ ) với ? > 0; ? > 0; ? > 0
???
4
9

1
7 − 4√3

1
9 + 4√5

BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO ĐẠI SỐ 9

GV: Thạc sĩ Bùi Đức Phương – SĐT 0906 434 811

3) S = √√90?2 + √54?4 − √40 − √24.

1
√20 + 2√6

với ? > 1

36
?2 ? 4
?? 3 ?
√
√
4) S =
(
+
) với ? > 0; ? > 0; ? > 0
?? 2 ?
16
81
Câu 4. Giải phương trình:
1) √? 2 − 2? + 1 = 4

2) √? 2 + 10? + 25 = 2

3) √4? 2 + 12? + 9 = 2 − ? ( với ? < 2) 4) √? 4 + 2? 2 + 1 = ? 2 + 5? + 4 (với ? 2 + 5? + 4 > 0)
5) √5? + 1 = 4

6) √3 − ? = 7

Câu 5. Cho biểu thức:
? = √? + 2√? − 1 − √? − 2√? − 1
?) Tìm điều kiện xác định của ?
?) Rút gọn ?
?) Tính ? tại ? = 1,5 & ? = 5
Câu 6. Cho biểu thức:
? = √? + 2√? − 1 + √? − 2√? − 1
?) Tìm điều kiện xác định của ?
?) Rút gọn ?
?) Tính ? tại ? =

2
&? =5
3

Câu 7. Cho biểu thức:
? = √? + 2√2? − 4 + √? − 2√2? − 4
?) Tìm điều kiện xác định của ?
?) Rút gọn ?
?) Tính ? tại ? = 1 & ? = 20
22

BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO ĐẠI SỐ 9

GV: Thạc sĩ Bùi Đức Phương – SĐT 0906 434 811

Câu 8. Cho biểu thức:
?=

? + √? 2 − 2?

? − √? 2 − 2?

−

? − √? 2 − 2?

? + √? 2 − 2?

với ? ≥ 2 hoặc ? < 0 ?) Rút gọn ? ?) Tìm ? để ? ≥ √32 DẠNG 8 – BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI Phương pháp giải: Sử dụng các tính chất phép nhân, phép chia, phép khai phương để tính giá trị biểu thức. + √?. ? = √?. √?; + a a  ; b b ?, ? ≥ 0. + √A. B = √A. √B; biểu thức A, B ≥ 0. ? ≥ 0; ? > 0.

A

B

A
;
B

? ≥ 0; ? > 0.

LƯU Ý:
Một biểu thức ? = √?(?) xác định (hay có nghĩa) khi và chỉ khi ?(?) ≥ ?.
Một biểu thức ? =

1
xác định (hay có nghĩa) khi và chỉ khi ?(?) > ?.
f ( x)

 Ví dụ 1: Rút gọn các biểu thức sau.
?) ? = (

?) ? = (

?) ? =

?+2
? √? − 1

1
√?
√? − 1
+
):
với ? > 1
2
? + √? + 1 1 − √?

1
1
2
√?
−
)(
+
) với ? > 1
√? − 1 ? − √? √ ? − 1 ? − 1
? 2 + √?

? − √? + 1

−

2? + √?
√?

+ 1 với ? > 1

5
1
√? + 2
−
+
với ? ≠ 4; ? ≠ 16; ? > 0
√ ? + 3 ? + √? − 6 2 − √?

Hướng dẫn giải:

BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO ĐẠI SỐ 9

GV: Thạc sĩ Bùi Đức Phương – SĐT 0906 434 811

?+2
1
√?
√? − 1
 ?) ? = (
+
+
):
với ? > 1
2
? √? − 1 ? + √? + 1 1 − √?
?=(

?+2
? √? − 1

?+2

√? − 1
=(

=
=

1
√?
√? − 1
+
):
2
? + √? + 1 1 − √?

1
√?
√? − 1
−
):
2
? + √? + 1 √? − 1

?+2
(√? − 1)(? + √? + 1)

1
√?
√? − 1
−
):
2
? + √? + 1 √? − 1

? + 2 + √?(√? − 1) − (? + √? + 1) √? − 1
:
2
(√? − 1)(? + √? + 1)
? − 2 √? + 1

√? − 1
2
(√? − 1)(? + √? + 1)
(√? − 1)

(√? − 1)(? + √? + 1) √? − 1
?
? + √? + ?

1
1
2
√?
 ?) ? = (
−
)(
+
) với ? > 1
√? − 1 ? − √? √? − 1 ? − 1
?=(
=(

1
1
2
√?
−
)(
+
)
√? − 1 √?(√? − 1) √? − 1 (√? + 1)(√? − 1)
(√? + 1) + 2

?−1

√?(√? − 1) (√? + 1)(√? − 1)
(√? + 1)(√? − 1)
√?(√? − 1)

√? + 3
(√? + 1)(√? − 1)

√? + ?
√?(√? − ?)

 ?) ? =

? 2 + √?
? − √? + 1

?=
=

1
1
2
√?
−
)(
+
)
√? − 1 ? − √? √? − 1 ? − 1

−

? 2 + √?
? − √? + 1

2? + √?

−

√?

+ 1 với ? > 1

2? + √?
√?

√?(? √? + 1) √?(2√? + 1)
−
+1
? − √? + 1
√?
24

BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO ĐẠI SỐ 9
3

=
=

√? (√? + 1)
? − √? + 1

−

GV: Thạc sĩ Bùi Đức Phương – SĐT 0906 434 811

√?(2√? + 1)
+1
√?

√?(√? + 1)(? − √? + 1)
− (2√? + 1) + 1
? − √? + 1

= ? − √?
 ?) ? =

5
1
√? + 2
−
+
với ? ≠ 4; ? ≠ 16; ? > 0
√? + 3 ? + √? − 6 2 − √ ?

?=
=

5
1
√? + 2
−
+
√? + 3 ? + √? − 6 2 − √?

5
1
√? + 2
−
−
√? + 3 (√? + 3)(√? − 2) √? − 2
(√? + 2)(√? − 2) − 5 − (√? + 3)
(√? + 3)(√? − 2)
? − √? − 12
(√? + 3)(√? − 2)
(√? + 3)(√? − 4)
(√? + 3)(√? − 2)
√? − ?
√? − ?

 Ví dụ 2: Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức sau đạt giá trị nguyên.
1) A =

 ?) ? =

√? + 3
√? − 2

2) A =

√? − 10
√? − 4

3) A =

2 √? − 8
√? − 1

√? + ?
√? − ?

1
1
√? + 3 (√? − 2) + 1 √? − 2
=
=
+
= 1+
√? − 2
√? − 2
√ ? − 2 √? − 2
√? − 2

A nhận giá trị nguyên khi

1
√? − 2

nguyên hay 1 ⋮ (√? − 2) hay (√? − 2)|1

Các ước của 1 là: −1; 1
√? − 2 = 1 ⇔ ? = 9
√? − 2 = −1 ⇔ ? = 1

BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO ĐẠI SỐ 9

Vậy ? = 9; ? = 1 thì ? =

 ?) ? =

GV: Thạc sĩ Bùi Đức Phương – SĐT 0906 434 811

√? + 3
nhận giá trị nguyên.
√? − 2

√? − ??
√? − ?

6
6
√? − 10 (√? − 4) − 6 √? − 4
=
=
−
=1−
√? − 4
√? − 4
√? − 4 √? − 4
√? − 4

A nhận giá trị nguyên khi

6
√? − 4

nguyên hay 6 ⋮ (√? − 4) hay (√? − 4)|6

Các ước của 1 là: −1; 1; −2; 2; −3; 3; −6; 6
√? − 4 = 1 ⇔ ? = 25
√? − 4 = −1 ⇔ ? = 9
√? − 4 = 2 ⇔ ? = 36
√? − 4 = −2 ⇔ ? = 4
√? − 4 = 3 ⇔ ? = 49
√? − 4 = −3 ⇔ ? = 1
√? − 4 = 6 ⇔ ? = 100
√? − 4 = −6 ⇔ ? ∈ ∅

Vậy ? ∈ {25; 9; 36; 4; 49; 1; 100} thì A =

 ?) ? =

√? − 10
nhận giá trị nguyên.
√? − 4

?√ ? − ?

√? − ?
2√? − 8 2(√? − 1) − 6 2(√? − 1)
6
6
=
=
−
= 2−
√? − 1
√? − 1
√? − 1
√? − 1
√? − 1

A nhận giá trị nguyên khi

6
√? − 1

nguyên hay 6 ⋮ (√? − 1) hay (√? − 1)|6

Các ước của 1 là: −1; 1; −2; 2; −3; 3; −6; 6
26

BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO ĐẠI SỐ 9

GV: Thạc sĩ Bùi Đức Phương – SĐT 0906 434 811

√? − 1 = 1 ⇔ ? = 4
√? − 1 = −1 ⇔ ? = 0
√? − 1 = 2 ⇔ ? = 9
√? − 1 = −2 ⇔ ? ∈ ∅
√? − 1 = 3 ⇔ ? = 16
√? − 1 = −3 ⇔ ? ∈ ∅
√? − 1 = 6 ⇔ ? = 49
√? − 1 = −6 ⇔ ? ∈ ∅
Vậy ? ∈ {4; 0; 9; 16; 49} thì A =

2 √? − 8
√? − 1

nhận giá trị nguyên.

BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO ĐẠI SỐ 9

GV: Thạc sĩ Bùi Đức Phương – SĐT 0906 434 811

CHƯƠNG I: CĂN BẬC HAI – CĂN BẬC BA
BÀI 5 – CĂN BẬC BA
A. NỘI DUNG LÝ THUYẾT.
1. Định nghĩa:
Căn bậc ba của một số a là một số ? sao cho ?? = ?

2. Chú ý:
Mọi số a đều có duy nhất một căn bậc ba.
3

1) A < B ⇔ √A < √B 3 3 A √A 3) √ = 3 với B ≠ 0 B √B 3 3 2) √AB ⇔ √A √B 3 3 3 4) √A3 = ( √A) = A B. CÁC DẠNG BÀI TẬP QUAN TRỌNG. DẠNG 9 – CÁC DẠNG BÀI TẬP LIÊN QUAN CĂN BẬC BA Phương pháp giải: Áp dụng định nghĩa và các tính chất của căn bậc ba.  Ví dụ 1: So sánh. 3 3 3 3 1) 2√3 & √23 2) 5√3 & 7 2 3) √(6√6) & 5 Hướng dẫn giải: ? ?  1) ? √? & √?? 3 3 3 2√3 = √23 . 3 = √24 3 3 3 Ta có: 23 < 24 suy ra √23 < √24 = 2√3 3 3 Vậy 2√3 > √23
?

 2) ? √? & ?
3

3
5√3 = √53 . 3 = √375

3
7 = √73 = √73 = √343

4) 7√6 & 6√7

BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO ĐẠI SỐ 9

GV: Thạc sĩ Bùi Đức Phương – SĐT 0906 434 811

Ta có: 343 < 375 suy ra √343 < √375 hay 5 √3 > 7
3

Vậy 5√3 > 7
?

 3) √(?√?) & ?
2

√(6√6) = 3√216

5 = √53 = √125
3

3
3
Ta có: 125 < 216 suy ra √125 < √216 hay √(6√6) > 5

Vậy √(6√6) > 5
?

 4) ? √? & ? √?
3

3
3
7√6 = √73 √6 = √73 . 6 = √2058
3
3
6√7 = √63 √7 = √63 . 7 = √1512
3

Ta có: 1512 < 2058 suy ra √1512 < √2058 hay 7√6 > 6√7
3

Vậy 7√6 > 6 √7
 Ví dụ 2: Tính giá trị các biểu thức.
3

1) A = ( √4 + 1) − ( √4 − 1)
3

3) C = √−64 − √125 + √216

= [( √4 + 1) − ( √4 − 1)] [( √4 + 1) + ( √4 + 1)( √4 − 1) + ( √4 − 1) ]
3

4) D = ( √−343 + √0,064 + √729) √27

Hướng dẫn giải:
 1) ? = ( √? + ?) − ( √? − ?)

2) B = ( √9 − √6 + √4)( √3 + √2)

= 2 [(( √4) + 2 √4 + 1) + (( √4) − 1) + (( √4) − 2√4 + 1)]
= 2 [3( √4) + 1]
?

= ? √?? + ?
Hoặc
29

BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO ĐẠI SỐ 9
3

GV: Thạc sĩ Bùi Đức Phương – SĐT 0906 434 811
3

= [( √4) + 3( √4) + 3√4 + 1] − [( √4) − 3( √4) + 3 √4 − 1]
3

= ( √4) + 3( √4) + 3√4 + 1 − ( √4) + 3( √4) − 3√4 + 1
2

= 6( √4) + 2
?

= ? √?? + ?
?

 2) ? = ( √? − √? + √?)( √? + √?)
3

= √9( √3 + √2) − √6( √3 + √2) + √4( √3 + √2)
3

= √9 √3 + √9 √2 − √6 √3 − √6 √2 + √4 √3 + √4 √2
3

= √27 + √18 − √18 − √12 + √12 + √8
= √27 + √8
=3+2
=?
?

 3) ? = √−?? − √??? + √???
3

3
= √(−4)3 − √53 + √63

= −4 − 5 + 6
= −?
?

 4) ? = ( √−??? + ?√?, ??? + √???) √??
3

3
3
= ( √(−7)3 − √0,43 + √93 ) √33

= [−7 − 0,4 + 9]3
= ?, ?
 Ví dụ 3: Tìm x.
3

2) √2 − 3? = −2

4) √? − 1 + 1 = ?

1) √2? + 1 = 3

3) √? 3 + 9? 2 = ? + 3

Hướng dẫn giải:

BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO ĐẠI SỐ 9

GV: Thạc sĩ Bùi Đức Phương – SĐT 0906 434 811

 1) √?? + ? = ?
3

⇔ ( √2? + 1) = 33 ⇔ 2? + 1 = 27 ⇔ ? = 13
Vậy tập nghiệm S = { 13 }
?

 2) √? − ?? = −?
3

⇔ ( √2 − 3? ) = (−2)3 ⇔ 2 − 3? = −8 ⇔ ? =
Vậy tập nghiệm S = {

10
3

10
}
3

 3) √?? + ??? = ? + ?
3

⇔ ( √? 3 + 9? 2 ) = (? + 3)3 ⇔ ? 3 + 9? 2 = (? + 3)3 ⇔ ? 3 + 9? 2 = (? + 3)3
⇔ ? 3 + 9? 2 = ? 3 + 9? 2 + 27? + 27 ⇔ 27? + 27 = 0 ⇔ ? = −1
Vậy tập nghiệm S = { 1 }
?

 4) √? − ? + ? = ?
3

⇔ √? − 1 = ? − 1 ⇔ ( √? − 1) = (? − 1)3 ⇔ ? − 1 = (? − 1)3
⇔ (? − 1)[(? − 1)2 − 1] = 0 ⇔ [

?−1=0
?=1
⇔[
(? − 1)2 − 1 = 0
(? − 1)2 = 1

?=1
?=1
⇔ [ [ ? − 1 = 1 ⇔ [? = 2
? − 1 = −1
?=0
Vậy tập nghiệm S = { 0; 1; 2 }

BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO ĐẠI SỐ 9

GV: Thạc sĩ Bùi Đức Phương – SĐT 0906 434 811

CHƯƠNG I: CĂN BẬC HAI – CĂN BẬC BA
ÔN TẬP CHƯƠNG I
Bài số 1
Câu 1. So sánh:
1) √6 + 5 & 7

3) √8 − 2 & 1

2) √2 + √5 & 3

4) √2 + √6 & √3 + √5

Câu 2. Rút gọn:
1) A = √

2) B = √

√27 − 10√2
41 + 12√5 √6 − 2√5
−
+
9
4
√3 + 2√2 − √2

3 − 2√2
4 + 2√3
28 + 6√3
+√
−√
16
9
25

3) C = √4√2 + 4√10 − 8√3 − 2√2
Câu 3. Tìm ? ∈ ℤ để các biểu thức sau nguyên:
1) ? =

4) ? =

√? + 3
√? − 2

2) ? =

4 √? + 8

5) ? =

2 √? − 1

2 √? − 5
2 √? + 1
9 √? + 3
3 √? + 6

x x 1 x2  2x  1
:
Câu 4. Cho A 
với ? > 0; ? ≠ 1
x  x 1 x  x x
a) Tìm ? ∈ ℤ để A nguyên.
b) Tìm ? để A ≥ −2.
c) Tìm ? để A = 1,2.
————- Hết ————-

3) ? =

6) ? =

√? − 12
√? − 4
4 √?
√? − 3

BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO ĐẠI SỐ 9

GV: Thạc sĩ Bùi Đức Phương – SĐT 0906 434 811

Bài số 2
Câu 1. Tính giá trị biểu thức:
1) A = √8 − 2√15(√3 + √5) − (√45 − √20)
3
2
√21 − √3 √15 − √3 1
2) B = (
−
) ( √6 − √ + 3√ )
2
2
3
1 − √5
√7 − 1
1
4
3) C = 2√3 + √7 − 4√3 + (√ − √ + √3) : √3
3
3
5 + √5 5 − √5
1
4) D = (
+
):
5 − √5 5 + √5 √7 − 4√3
5) E =

(√28 − √12 − √7)√7 + 2√21
(2 + √5 + √3)(2 + √5 − √3)

Câu 2. Tìm ?:
1) 5√2? − 2√8? + 7√18? = 2

2) √4? + 20 − 3√5 + ? + 7√9? + 45 = 20

3) √1 − 4? + 4? 2 = 5

4) √? 2 − 9 − 3√? − 3 = 0

5) √5? + 2 = −2

6) √? 3 + 2? 2 + ? − 1 = ?

Câu 3. Cho biểu thức A như sau:
1
1
2
1 1 √? 3 + ?√? + ?√? + √? 3
(Với ? > 0; ? > 0)
A = [( +
)
+ + ]:
√? √? √? + √? ? ?
√? 3 ? + √?? 3
a) Rút gọn A.
b) Tính A biết ? = 9 & ? = 25.
————- Hết ————-

BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO ĐẠI SỐ 9

GV: Thạc sĩ Bùi Đức Phương – SĐT 0906 434 811

Đáp án Bài số 1
Câu 1. So sánh
√6 + 5 > 7

√8 − 2 < 1 √2 + √5 > 3

√2 + √6 < √3 + √5 Câu 2. Rút gọn: √?? − ??√? ?? + ??√? √? − ?√? ?) √ − + ? ? √? + ?√? − √? √(√5 + 6) = 2 √(√5 − 1) − √9 2 √(5 − √2) + √4 2 √(1 + √2) − √2 = |√5 + 6| |√5 − 1| |5 − √2| − + 3 2 |1 + √2| − √2 = 5 − √2 √5 + 6 √5 − 1 − + 3 2 1 + √2 − √2 = √5 + 6 √5 − 1 − + 5 − √2 3 2 = (√5 + 6)2 − (√5 − 1)3 + (5 − √2)6 6 = 45 − 6√2 − √5 6 ? − ?√? ? + ?√? ?? + ?√? ?) √ +√ −√ ?? ? ?? √(√2 − 1) = √16 2 √(1 + √3) + √9 2 2 √(1 + 3√3) − = |√2 − 1| |1 + √3| |1 + 3√3| + − 4 3 5 = √2 − 1 1 + √3 1 + 3√3 + − 4 3 5 √25 34 2 BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO ĐẠI SỐ 9 GV: Thạc sĩ Bùi Đức Phương – SĐT 0906 434 811 = 15(√2 − 1) + 20(1 + √3) − 12(1 + 3√3) 60 = 15√2 − 16√3 − 7 60 ?) √?√? + ?√?? − ?√? − ?√? 2 = √4√2 + 4√10 − 8√(1 − √2) = √4√2 + 4√10 − 8(√2 − 1) = √4√2 + 4√18 − 8√2 = √4√2 + 4√(4 − √2) 2 = √4√2 + 4(4 − √2) = √16 =4 Câu 3. Tìm ? ∈ ℤ để các biểu thức sau nguyên: 1) ? = 1 1 √? + 3 (√? − 2) + 1 √? − 2 = = + = 1+ √? − 2 √? − 2 √? − 2 √? − 2 √? − 2 ? nhận giá trị nguyên khi 1 √? − 2 nguyên hay 1 ⋮ (√? − 2) hay (√? − 2)|1 Các ước của 1 là: −1; 1 √? − 2 = 1 ⇔ ? = 9 √? − 2 = −1 ⇔ ? = 1 Vậy ? = 9; ? = 1 thì ? = √? + 3 nhận giá trị nguyên. √? − 2 35 BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO ĐẠI SỐ 9 Câu 4. Cho A  GV: Thạc sĩ Bùi Đức Phương – SĐT 0906 434 811 x x 1 x2  2x  1 : với ? > 0; ? ≠ 1
x  x 1 x  x x

a) Tìm ? ∈ ℤ để ? nguyên.
A=

? √? − 1
? + √? + 1

= (√? − 1).

?(? − 1)
(? − 1)2

?
?−1

? 2 − 2? + 1
? + ? √?

(√? − 1)(? + √? + 1)
? + √? + 1

(? − 1)2
?(1 + √?)

?(1 + √?)
(? − 1)2

?
1
= 1+
?−1
?−1

⇒ A nguyên khi 1 ⋮ (? − 1) hay (? − 1) là ước của 1.
⇒[

?−1=1
?=2
⇔[
? − 1 = −1
?=0

b) Tìm ? để ? ≥ −?.
A=

?>1
?
?
3? − 2
≥ −2 ⇔
+2≥0⇔
≥0⇔[
2
?−1
?−1
?−1
?≤3

c) Tìm ? để ? = ?, ?.
A=

?
= 1,2 ⇔ ? = 1,2(? − 1) ⇔ ? = 6
?−1

BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO ĐẠI SỐ 9

GV: Thạc sĩ Bùi Đức Phương – SĐT 0906 434 811

Đáp án Bài số 2
Câu 1. Tính giá trị biểu thức:
?) ? = √? − ?√??(√? + √?) − (√?? − √??)
2

= √(√3 − √5) (√3 + √5) − (√9√5 − √4√5)
= |√3 − √5|(√3 + √5) − (3√5 − 2√5)
= (√5 − √3)(√3 + √5) − √5
= (5 − 3) − √5
= 2 − √5

?) ? = (

√?? − √?
√? − ?

−

√?? − √?

?
?
?
) ( √? − √ + ?√ )
?
?
?
? − √?

1
√3(√7 − 1) −√3(1 − √5) 1
=[
−
] ( √6 − √6 + √6)
2
2
1 − √5
√7 − 1
= (√3 + √3)√6
= 2√3√6
= 6√2
?
?
?) ? = ?√? + √? − ?√? + (√ − √ + √?) : √?
?
?
1
2
1
2
= 2√3 + √(2 − √3) + ( √3 − √3 + √3) .
3
3
√3
2
1
= 2√3 + |2 − √3| + √3
3
√3
2
1
= 2√3 + (2 − √3) + √3
3
√3
=

8
+ √3
3

? + √? ? − √?
?
?) ? = (
+
):
? − √? ? + √? √? − ?√?
37

BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO ĐẠI SỐ 9
2

(5 − √5) + (5 + √5)

√7 − 4√3

(5 − √5)(5 + √5)
(5 − √5) + (5 + √5)
(5 − √5)(5 + √5)

GV: Thạc sĩ Bùi Đức Phương – SĐT 0906 434 811

√(2 − √3)

= 3|2 − √3|
= 3(2 − √3)
= 6 − 3√3
?) ? =

(√?? − √?? − √?)√? + ?√??
(? + √? + √?)(? + √? − √?)

(√4√7 − √4√3 − √7)√7 + 2√3√7
2

(2 + √5) − (√3)
=

(2√7 − 2√3 − √7)√7 + 2√3√7
2

(2 + √5) − (√3)
=

(√7 − 2√3)√7 + 2√3√7
2

(2 + √5) − (√3)
=

(√7 − 2√3 + 2√3)√7
6 + 4√5
7
6 + 4√5
7(2√5 − 3)
22

Câu 2. Tìm ?:
?) ?√?? − ?√?? + ?√??? = ?
2? ≥ 0
Điều kiện: { 8? ≥ 0 ⇔ ? ≥ 0
18? ≥ 0
(1) ⇔ 5√2? − 4√2? + 21√2? = 2 ⇔ 22√2? = 2 ⇔ √2? =
⇔ 2? =

1
1
(TMĐK)
⇔?=
121
242
38

1
11

BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO ĐẠI SỐ 9

Vậy phương trình có tập nghiệm S = {

GV: Thạc sĩ Bùi Đức Phương – SĐT 0906 434 811

1
}
242

?) √?? + ?? − ?√? + ? + ?√?? + ?? = ??
4? + 20 ≥ 0
Điều kiện: { 5 + ? ≥ 0 ⇔ ? ≥ −5
9? + 45 ≥ 0
(1) ⇔ 2√5 + ? − 3√5 + ? + 21√5 + ? = 20 ⇔ 20√5 + ? = 20 ⇔ √5 + ? = 1
⇔ 5 + ? = 1 ⇔ ? = −4 (TMĐK)
Vậy phương trình có tập nghiệm S = {−4 }
?) √? − ?? + ??? = ?
? = −2
1 − 2? = 5
⇔ √(1 − 2?)2 = 5 ⇔ |1 − 2?| = 5 ⇔ [
⇔[
?=3
1 − 2? = −5
Vậy phương trình có tập nghiệm S = {−2; 3 }
?) √?? − ? − ?√? − ? = ?
? ≤ −3
2
[
Điều kiện: {? − 9 ≥ 0 ⇔ { ? ≥ 3 ⇔ ? ≥ 3
?−3≥0
?≥3
(1) ⇔ √(? − 3)(? + 3) − 3√? − 3 = 0 ⇔ √? − 3√? + 3 − 3√? − 3 = 0
?−3=0
?=3
?=3
⇔ √? − 3(√? + 3 − 3) = 0 ⇔ [ √? − 3 = 0 ⇔ [
⇔[
⇔[
?+3=9
?=6
√? + 3 = 3
√? + 3 − 3 = 0
Vậy phương trình có tập nghiệm S = { 3; 6 }
?

?) √?? + ? = −?
⇔ 5? + 2 = (−2)3 ⇔ 5? + 2 = −8 ⇔ ? = −2
Vậy phương trình có tập nghiệm S = {−2 }
?

?) √?? + ??? + ? − ? = ?
3

⇔ √? 3 + 2? 2 + ? = ? + 1 ⇔ ? 3 + 2? 2 + ? = (? + 1)3 ⇔ ? = −1
Vậy phương trình có tập nghiệm S = {−1 }
Câu 3. Cho biểu thức A như sau:
1 1 √? 3 + ?√? + ?√? + √? 3
(Với ? > 0; ? > 0)
? = [( +
)
+ + ]:
√? √? √? + √? ? ?
√? 3 ? + √?? 3
1

BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO ĐẠI SỐ 9

GV: Thạc sĩ Bùi Đức Phương – SĐT 0906 434 811

a) Rút gọn A.
3

? + ? (√? + √? ) + (?√? + ?√?)
=(
+
):
??
√?√? √? + √?
√??(? + ?)
√? + √?

2
√?√?

? + ? (√? + √?)(? − √?? + ?) + √??(√? + √?)
):
??
√??(? + ?)

2√?? + ? + ? (√? + √?)(? − √?? + ? + √??)
∶
??
√??(? + ?)
2

(√? + √?) (√? + √?)(? + ?)
=
∶
??
√??(? + ?)
2

(√? + √?) √? + √?
=
∶
??
√??
2

(√? + √?)
√??
=
??
√? + √?
=

√? + √?
√??
1
√?

1
√?