Chuyên đề bất đẳng thức bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8

CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC DẠNG 1: SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA: A>B TA XÉT HIỆU A-B >0, CHÚ Ý BĐT A2  0 Bài 1: CMR : với mọi x,y,z thì x2 + y2 + z 2  xy + yz + zx HD: Xét hiệu ta có: 2 2 2 2 x 2 + y 2 + z 2 − xy − yz − zx  0 = ( x − y ) + ( y − z ) + ( z − x )  0 ( ) Dấu bằng xảy ra khi x = y = z Bài 2: CMR : với mọi x,y,z thì x2 + y2 + z 2  2xy + 2 yz − 2zx HD: Xét hiệu ta có: 2 x 2 + y 2 + z 2 − 2 xy − 2 yz + 2 zx  0 = ( x − y + z )  0 Dấu bằng xảy ra khi x+z=y Bài 3: CMR : với mọi x,y,z thì x2 + y 2 + z 2 + 3  2 ( x + y + z ) HD: Xét hiệu ta có: 2 2 2 ( x −1) + ( y −1) + ( z − 1)  0 Dấu bằng khi x=y=z=1 Bài 4: CMR : với mọi a,b ta có : a 2 + b2  a + b    2  2  2 HD : Xét hiệu ta có : a 2 + b2 a 2 + 2ab + b2 −  0 <=> 2a 2 + 2b2 − ( a 2 − 2ab + b2 )  0 2 4 2 2 = a + 2ab + b2  0 = ( a + b )  0 Dấu bằng khi a=b a 2 + b2 + c2  a + b + c   Bài 5: CMR : với mọi a,b,c ta có :  3 3   HD: Ta có: a2 + b2 + c2 a 2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac  3 9 2 2 2 2 = 3a + 3b + 3c − ( a + b2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ac )  0 2 = 2a 2 + 2b2 + 2c 2 − 2ab − 2bc − 2ac  0 = ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a )  0 , Dấu bằng khi a=b=c 2 2 Bài 6: CMR : a + b + c 2 2 2 2 (a + b + c)  2 3 HD: Ta có: 3a 2 + 3b2 + 3c 2  a 2 + b2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ca = 2a 2 + 2b2 + 2c 2 − 2ab − 2bc − 2ac  0 2 2 2 = ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a )  0 , Dấu bằng khi a=b=c 1 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức Bài 7: CMR : a + b 2 2 ( a + b)  2  2ab 2 HD: Ta chứng minh: a + b 2 2 ( a + b)  2 = 2a + 2b  a + 2ab + b 2 2 2 2 2 = a 2 + b2 − 2ab  0 = ( a − b )  0 2 Dấu bằng khi a=b ( a + b) 2  2ab 2 2 = a 2 + 2ab + b2  4ab = ( a − b )  0 Ta chứng minh Dấu bằng khi a=b Bài 8: Cho a,b,c là các số thực, CMR: a 2 + b2  ab 4 HD: Ta có: 2 4a 2 + b2 − 4ab = ( 2a − b )  0 Dấu bằng khi b=2a Bài 9: Cho a,b,c là các số thực, CMR : a 2 + b2 + 1  ab + a + b HD: Ta có: a 2 + b2 + 1 − ab − a − b  0 = 2a 2 + 2b2 + 2 − 2ab − 2a − 2b  0 = ( a 2 − 2ab + b2 ) + ( a 2 − 2a + 1) + ( b2 − 2b + 1)  0 = ( a − b ) + ( a − 1) + ( b − 1)  0 2 2 2 Dấu bằng khi a=b=1 Bài 10: Cho a,b,c,d là các số thực : CMR : a2 + b2 + c2 + d 2 + e2  a (b + c + d + e ) HD: Ta có: a 2 + b2 + c 2 + d 2 + e2 − ab − ac − ad − ae  0 = 4a 2 + 4b2 + 4c 2 + 4d 2 + 4e2 − 4ab − 4ac − 4ad − 4ae  0 = ( a 2 − 4ab + 4b2 ) + ( a 2 − 4ac + 4c 2 ) + ( a 2 − 4ad + 4d 2 ) + ( a 2 − 4ae + 4e2 )  0 = ( a − 2b ) + ( a − 2c ) + ( a − 2d ) + ( a − 2e )  0 2 2 2 2 Dấu bằng xảy ra khi a=2b=2c=2d=2e  1  1  Bài 11: Cho a,b thỏa mãn: a+b = 1, a>0, b>0 CMR: 1 + 1 +   9  a  b  HD: b  a  a + b  a + b   a b ta có: VT = 1 + 1 +  =  2 +  2 +  = 4 + 2  +  + 1 a  b   a  b  b a a b = 5 + 2  +   5 + 2.2 = 9 b a a b 1 Dấu bằng khi = = a 2 + b 2 = a = b = b a 2 2 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức  x+ y Bài 12: Cho x, y  0, CMR :    xy  2  HD: Ta có: 2 x 2 + y 2 + 2 xy  4 xy = x 2 − 2 xy + y 2  0 = ( x − y )  0 , Dấu bằng khi x=y 2 Bài 13: Cho a > 0, b > 0, CMR: a3 + b3  a 2b + ab 2 HD: Ta có: ( a3 − a2b ) + (b3 − ab2 )  0 = a2 ( a − b ) − b2 ( a − b )  0 ( ) = ( a − b ) a 2 − b 2  0 = ( a − b ) ( a + b )  0 2 Dấu bằng khi a=b Bài 14: Cho a  b  1, CMR: 1 1 2 +  2 2 1 + a 1 + b 1 + ab HD: Xét hiệu: 1   1 1   1 − −  + 0 2 2  1 + a 1 + ab   1 + b 1 + ab  a (b − a ) b (a − b) = + 0 2 (1 + a ) (1 + ab ) (1 + b2 ) (1 + ab ) ( b − a ) ( ab − 1)  0 = (1 + ab ) ( a 2 + 1)( b2 + a ) 2 Dấu bằng khi a=b hoặc a=b=1 Bài 15: CMR : với mọi số thực x,y,z,t ta luôn có : x2 + y 2 + z 2 + t 2  x ( y + z + t ) HD: Ta có: x2 + y2 + z 2 + t 2 − xy − xz − xt  0 = 4×2 + 4 y2 + 4z 2 + 4t 2 − 4xy − 4xz − 4xt  0 = ( x 2 − 4 xy + 4 y 2 ) + ( x 2 − 4 xz + 4 z 2 ) + ( x 2 − 4 xt + 4t 2 ) + x 2  0 Dấu bằng khi x= 2y=2z=2t=0 a2 Bài 17: CMR : + b2 + c 2  ab − ac + 2bc 4 HD: Ta có: a 2 + 4b2 + 4c 2 − 4ab + 4ac − 8bc  0 = a 2 − 4a ( b − c ) + 4 ( b2 + c 2 − 2bc )  0 = a 2 − 4a ( b − c ) + 4 ( b − c )  0 2 = ( a − 2a + 2c )  0 2 Bài 19: CMR : x2 + y2 + z 2  2xy − 2zx + 2 yz HD: Ta có: x2 + y2 + z 2 − 2xy − 2 yz + 2zx  0 x2 − 2x ( y − z ) + y 2 − 2 yz + z 2  0 x 2 − 2 x ( y − z ) + ( y − z )  0 = ( x − y + z )  0 2 2 3 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức Bài 20: CMR : x 4 + y 4 + z 4 + 1  2 x ( xy 2 − x − z + 1) HD: Ta có: x4 + y4 + z 4 +1− 2×2 y2 + 2×2 − 2xz − 2x  0 (x (x 4 + y 4 − 2 x 2 y 2 ) + ( x 2 − 2 xz + z 2 ) + ( x 2 − 2 x + 1)  0 2 − y 2 ) + ( x − z ) + ( x − 1)  0 2 2 2 Dấu bằng khi x=z=1, y= 1 Bài 21: CMR : a 2 + b2 + c 2  ab + bc + ca HD: Ta có : a 2 + b2 + c 2 − ab − bc − ca  0 = 2a 2 + 2b2 + 2c 2 − 2ab − 2bc − 2ca  0 2 2 2 = ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a )  0 Bài 22: CMR : a 2 + b2  ab HD: ta có: 2 b b 2 3b 2 b  3b 2  a + b − ab  0 = a − 2a. + +  0 =  a −  + 0 2 4 4 2 4  2 2 2 Bài 23: CMR : x2 + xy + y2  0 HD: Ta có: 2 y y2 3y2 y  3y2  2 x + 2 x. + +  0 =  x +  + 0 2 4 4 2 4  Bài 24: CMR : a ( a + b )( a + c )( a + b + c ) + b2c2  0 HD: = a ( a + b + c )( a + b )( a + c ) + b2c2  0 = ( a 2 + ab + ac )( a 2 + ab + ac + bc ) + b2c 2  0 a 2 + ab + ac = x Đặt  bc = y Khi đó ta có: x ( x + y ) + y 2  0 = x2 + xy + y 2  0 Bài 25: CMR : ( a 2 + b 2 )( a 4 + b 4 )  ( a 3 + b3 ) 2 HD: Ta có: a 6 + a 2b4 + a 4b2 + b6  a 6 + 2a3b3 + b6 = ( a 4b2 − a3b3 ) + ( a 2b4 − a3b3 )  0 = a3b2 ( a − b ) + a 2b3 ( b − a )  0 ( ) = ( a − b ) a3b 2 − a 2b3  0 = a 2b 2 ( a − b )  0 2 Bài 26: CMR : ( a + b ) ( a3 + b3 )  2 ( a 4 + b4 ) HD: Ta có: a 4 + ab3 + a3b + b4  2a 4 + 2b4 = a 4 − ab3 + b4 − a3b  0 ( ) ( ) = a3 ( a − b ) + b3 ( b − a )  0 = a3 − b3 ( a − b )  0 = ( a − b ) a 2 + ab + b 2  0 2 4 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức Bài 27: Cho a,b > 0, CMR : 2 ( a3 + b3 )  ( a + b ) ( a 2 + b2 ) HD: Ta có: 2a3 + 2b3  a3 + ab2 + a 2b + b3 = a3 − a 2b + b3 − ab2  0 = a2 ( a − b ) + b2 ( b − a )  0 = ( a − b ) ( a + b )  0 2 ( ) Bài 28: Cho a, b > 0, CMR: 4 a3 + b3  ( a + b ) 3 HD: Ta có: 4a3 + 4b3  a3 + 3a 2b + 3ab2 + b3 = 3a3 − 3a 2b + 3b3 − 3ab2  0 = 3a 2 ( a − b ) + 3b2 ( b − a )  0 = 3 ( a − b ) ( a 2 − b2 )  0 = 3 ( a − b ) ( a + b )  0 2 Bài 29: Cho a,b,c > 0, CMR: a3 + b3 + abc  ab ( a + b + c ) HD: Ta có: a3 + b3 + abc  a 2b + ab2 + abc = a3 − a 2b + b3 − ab2  0 = a2 ( a − b ) + b2 ( b − a )  0 = ( a − b ) ( a + b )  0 2 Bài 30: CMR: ( a 2 + b 2 )  ab ( a + b ) 2 2 HD: Ta có: a 4 + 2a 2b2 + b4  ab ( a 2 + 2ab + b2 ) = a3b + 2a 2b 2 + ab3 = ( a 4 − a3b ) + ( b4 − ab3 )  0 = a3 ( a − b ) + b3 ( b − a )  0 ( ) ( ) = a3 − b3 ( a − b )  0 = ( a − b ) a 2 + ab + b 2  0 2 Bài 31: CMR: a2 + b2 + c2  a ( b + c ) HD: ta có: a 2 + b2 + c 2 − ab − ac  0 = 4a 2 + 4b2 + 4c 2 − 4ab − 4ac  0 = ( a 2 − 4ab + 4b2 ) + ( a 2 − 4ac + 4c 2 ) + 2a 2  0 = ( a − 2b ) + ( a − 2c ) + 2a 2  0 2 2 Bài 32: CMR: a2 + b2 + c2 + d 2  a (b + c + d ) HD: a 2 + b2 + c 2 + d 2 − ab − ac − ad  0 = 4a 2 + 4b2 + 4c 2 + 4d 2 − 4ab − 4ac − 4ad  0 = ( a 2 − 4ab + 4b2 ) + ( a 2 − 4ac + 4c 2 ) + ( a 2 − 4ad + 4d 2 ) + a 2  0 = ( a − 2b ) + ( a − 2c ) + ( a − 2d ) + a 2  0 2 2 2 5 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức Bài 33: CMR: a 2 + b 2 + c 2 + 3  (a + b + c) 4 HD: Ta có: (a − a ) + (b2 − b ) + ( c2 − c ) + 3 0 4 1  1  1  =  a 2 − a +  +  b2 − b +  +  c 2 − c +   0 4  4  4  2 2 2 2 1  1  1  =  a −  +  b −  +  c −   0 2  2  2  4 4 Bài 34: CMR: a + b + 2  4ab HD: ta có: a 4 + b4 − 4ab + 2  0 = a 4 + b4 − 2a 2b2 + 2a 2b2 − 4ab + 2  0 ( = ( a = a 2 − b 2 2 − b2 ) ) 2 2 + 2 ( a 2b 2 − 2ab + 1)  0 + 2 ( ab − 1)  0 2 Bài 35: CMR: x 4 − 4 x + 5  0 HD: ta có: ( x4 − 4×2 + 4) + ( 4×2 − 4x + 1)  0 ( ) = x 2 − 2 + ( 2 x − 1)  0 2 2 Không xảy ra dấu bằng 1 Bài 36: CMR: x 4 − x +  0 2 HD: Ta có: 1  4 2 1  2 x − x + +x − x+   0 4  4  2 2 1  1  =  x 2 −  +  x −   0 2  2  3 Bài 37: CMR: x + 4x +1  3×2 ( x  0) HD: ta có: x3 − 3x 2 + 4 x + 1  0 = x ( x 2 − x + 4 ) + x 2 + 1  0 = x ( x − 2 ) + x 2 + 1  0 , Vì x > 0 2 Bài 39: CMR: ( x −1)( x − 2)( x − 3)( x − 4)  −1 HD: ( x −1)( x − 4)( x − 2)( x − 3) + 1  0 = ( x 2 − 5 x + 4 )( x 2 − 5 x + 6 ) + 1  0 Đặt x 2 − 5 x + 5 = t Khi đó ta có: ( t −1)( t + 1) + 1  0 = t 2  0 , Dấu bằng khi t=0 6 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức Bài 40: CMR: x 4 + x3 + x 2 + x + 1  0 HD: Ta có : x3 ( x + 1) + ( x + 1) + x2  0 = ( x + 1) ( x3 + 1) + x 2  0 x ( ) = ( x + 1) x 2 − x + 1 + x 2  0 ( ĐPCM) 2 Bài 41: CMR : a 2 + 4b2 + 4c 2  4ab + 8bc − 4ac HD: Ta có: a 2 + 4b2 + 4c 2 − 4ab − 8bc + 4ac  0 2 2 = a 2 + ( 2b ) + ( 2c ) − 2.a.2b − 2.2b.2c + 2.a.2c  0 = ( a − b + c )  0 2 ( ) Bài 42: CMR : 8 a3 + b3 + c3  ( a + b ) + ( b + c ) + ( c + a ) với a, b, c >0 3 3 3 HD: Ta có: 8a3 + 8b3 + 8c3  2a3 + 2b3 + 2c3 + 3a 2b + 3ab2 + 3b2c + 3bc 2 + 3a 2c + 3ac 2 = 6a3 + 6b3 + 6c3 − 3a 2b − 3ab2 − 3b2c − 3bc 2 − 3a 2c − 3ac 2  0 = ( 3a3 − 3a 2b ) + ( 3a3 − 3a 2c ) + ( 3b3 − 3b2 a ) + ( 3b3 − 3b2c ) + ( 3c3 − 3bc 2 ) + (3c3 − 3ac3 )  0 = 3a2 ( a − b ) + 3a2 ( a − c ) + 3b2 (b − a ) + 3b2 (b − c ) + 3c2 ( c − b ) + 3c 2 ( c − a )  0 = 3 ( a − b ) ( a 2 − b2 ) + 3 ( a − c ) ( a 2 − c 2 ) + 3 ( b − c ) ( b 2 − c 2 )  0 = 3 ( a − b ) ( a + b ) + 3 ( a − c )( a + c ) + 3 ( b − c ) ( b + c )  0 2 2 Bài 43: CMR: ( a + b + c )  a3 + b3 + c3 + 24abc với a,b,c>0 3 HD: Ta có: a3 + b3 + c3 + 3( a + b )(b + c )( c + a )  a3 + b3 + c3 + 24abc = 3 ( a + b )( b + c )( c + a )  24abc a + b  2 ab  Vì b + c  2 bc , Nhân theo vế ta được ĐPCM  c + a  2 ca  x y x2 y 2 Bài 44: CMR: Với mọi x, y # 0 ta có: 2 + 2 + 4  3  +  y x  y x HD: Ta có: x 4 + y 4 + 4 x 2 y 2  3xy ( x 2 + y 2 ) ( = ( x = ( x ) − xy ( x + y ) + 2 x y − 2 xy ( x + y )  0 + y )( x + y − xy ) + 2 xy ( xy − x − y )  0 + y − xy )( x + y − 2 xy )  0 = ( x − y ) ( x − xy + y )  0 = x 2 + y 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 7 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức Bài 45: CMR : Nếu a + b  1 , thì a 3 + b3  1 4 HD: Ta có: b  1 − a = b3  1 − 3a + 3a 2 − a3 2 1 1 1  = a + b  3a − 3a + 1 = 3  a −  +  2 4 4  Bài 46: Cho a,b,c > 0, CMR : ab + bc + ca  a 2 + b2 + c 2 HD: Ta có: a 2 + b2 + c 2 − ab − bc − ca  0 2 2 2 = ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a )  0 3 Bài 47: CMR : 3 2 a2 + a + 1 0 a2 − a + 1 HD: Ta có: 1 3  a 2 + a + 1 =  a 2 + a +  +  0, a 4 4  1 3  a 2 − a + 1 =  a 2 − a +  +  0, a 4 4  Nên VT > 0 Bài 48: CMR : 4a ( a + b )( a + 1)( a + b + 1) + b2  0 HD: Ta có: 4a ( a + b + 1)( a + 1)( a + b ) + b2  0 a 2 + ab + a = x = 4 ( a + ab + a )( a + ab + a + b ) + b  0 . đặt b= y 2 = 4 x ( x + y ) + y  0 2 2 2 = 4×2 + 4xy + y2  0 = ( 2 x + y )  0 , Dấu bằng khi 2 x = − y = 2a 2 + 2ab + 2a = −b = b = − 2 Bài 49: CMR : x + y 2 2 ( x + y)  2a ( a + 1) 2a + 1 2 2  2 xy HD: Ta có: 2  2 x + y) ( 2 2 = 2 x 2 + 2 y 2  x 2 + y 2 + 2 xy = ( x − y )  0 x + y  2   ( x + y )2 2   2 xy = x 2 + y 2 + 2 xy  4 xy = ( x − y )  0  2 1 1 4 Bài 50: CMR : +  , Với a,b > 0 a b a+b HD: Ta có: ( a + b )  4 = a + b 2  4ab = a − b 2  0 ( ) ( ) ab a+b 8 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức Bài 51: CMR : a 4 + b4  ab ( a 2 + b2 ) HD: Ta có: a 4 + b4 − a3b − ab3  0 = a3 ( a − b ) + b3 ( a − b )  0 ( ) = ( a − b ) a 2 + ab + b 2  0 2 a 4 + b4  a + b  Bài 52: CMR :   2  2  HD: Ta có: 8a 4 + 8b4  a 4 + b4 + 4a 2b2 + 2a 2b2 + 4a3b + 4ab3 = 7a 4 + 7b4 − 4a 2b2 − 2a 2b2 − 4a3b − 4ab3  0 = ( a 4 + b4 + 2a 2b2 ) + ( 6a 4 + 6b4 ) − 4ab ( a 2 + b2 ) − 8a 2b2  0 4 ( = ( a = a 2 + b 2 2 ) 2 − 4ab ( a 2 + b 2 ) + 4a 2b 2 + 6 ( a 4 + b 4 ) − 12a 2b 2  0 + b 2 − 2ab ) + 6 ( a 4 + b 4 − 2a 2b 2 )  0 2 ( = ( a − b ) + 6 a 2 − b 2 4 ) 2 0 Bài 53: Cho a+b+c=0, CMR : ab + bc + ca  0 HD: Ta có: a2 + b2 + c2 + 2 ( ab + bc + ca ) = 0 = 2 ( ab + bc + ca ) = − ( a 2 + b2 + c 2 )  0 Dấu bằng khi a=b=c=0 ( Bài 54: Cho x,y,z  R , CMR : ( x − y ) + ( y − z ) + ( z − x )  3 x 2 + y 2 + z 2 2 2 2 ) HD: Ta có: 2×2 + 2 y2 + 2z 2 − 2xy − 2 yz − 2zx  3×2 + 3y2 + 3z 2 = x2 + y2 + z 2 + 2xy + 2 yz + 2zx  0 = ( x + y + z )  0 2 Bài 55: CMR : Với mọi x,y khác 0, ta luôn có : x 4 + y 4  HD: x6 y 6 + y 2 x2 Ta có: x 2 y 2 ( x 4 + y 4 )  x8 + y8 = x8 + y8 − x6 y2 − x2 y6  0 = x6 ( x 2 − y 2 ) − y 6 ( x 2 − y 2 )  0 = ( x6 − y 6 )( x 2 − y 2 )  0 = ( x 2 − y 2 )( x 4 + x 2 y 2 + y 4 )( x 2 − y 2 )  0 ( = x 2 − y 2 ) (x 2 4 + x2 y 2 + y 4 )  0 Bài 56: CMR : 2a2 + b2 + c2  2a (b + c ) HD: Ta có: 2a 2 + b2 + c 2 − 2ab − 2ac  0 = ( a 2 − 2ab + b2 ) + ( a 2 − 2ac + c 2 )  0 = ( a − b ) + ( a − c )  0 2 2 9 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức Bài 57: CMR : a 4 + a3b + ab3 + b4  0 HD: ta có: a3 ( a + b ) + b3 ( a + b )  0 = ( a3 + b3 ) ( a + b )  0 ( ) = ( a + b ) a 2 − ab + b2  0 2 Bài 58: CMR : a − 2a b + 2a b − 2ab3 + b4  0 HD: Ta có: ( a4 − 2a2 .ab + a2b2 ) + (b4 − 2ab.b2 + a2b2 )  0 4 3 2 2 = ( a 2 − ab ) + ( b 2 − ab )  0 2 2 Bài 59: CMR : a 4 + b4 + c 2 + 1  2a ( ab2 − a + c + 1) HD: Ta có: a 4 + b4 + c 2 + 1 − 2a 2b2 + 2a 2 − 2ac − 2a  0 = ( a 4 + b4 − 2a 2b2 ) + ( a 2 − 2ac + c 2 ) + ( a 2 − 2a + 1)  0 ( = a 2 − b 2 ) + ( a − c ) + ( a − 1) 2 2 2 0 Bài 60: CMR : ( ab + bc + ca )  3abc ( a + b + c ) 2 HD: Ta có: a 2b2 + b2c 2 + c 2 a 2 + 2ab2c + 2abc 2 + 2a 2bc − 3a 2bc − 3ab 2c − 3abc 2  0 = a 2b2 + b2c 2 + c 2 a 2 − ab2c − abc 2 − a 2bc  0 ab = x  Đặt bc = y => x2 + y2 + z 2 − xy − yz − zx  0 ca = z  = ( x − y ) + ( y − z ) + ( z − x )  0 2 2 2 1 1 1 1 1 Bài 61: CMR : y  +  + ( x + z )   +  ( x + z ) , Với 0  x  y  z x z y x z HD: Ta có: 2 y ( x + z) x + z ( x + z) + − 0 xz y xz = y 2 + xz − y ( x + z )  0 = y2 + xz − xy − yz  0 = ( y − x )( z − y )  0 Bài 62: Cho a,b dương có tổng 1, CMR : 1 1 4 +  a +1 b +1 3 HD: Ta có: Quy đồng = 3( a + b + 2)  4 ( a + 1)(b + 1) = 4 ( ab + a + b + 1)  9 = 1  4ab = ( a + b )  4ab 2 = ( a − b )  0 ( đúng) 2 10 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức a 2 b2 a b Bài 63: CMR : Với a,b,c > 0 thì 2 + 2  + b a b a HD: a 2 b2 a b a b Ta có: 2 + 2 − 2  +  +  +   0 b a b a b a 2 2 a b  a b = VT   2 + 2  − 2  +  + 2 a  b a b  a2 a   b2 b  =  2 − 2. + 1 +  2 − 2. + 1  0 b  a a  b Bài 64: CMR : HD: a8 + b8 + c8 1 1 1  + + , ( a, b, c  0 ) a3b3c3 a b c Ta có: a8 + b8 + c8  a 4b4 + b4 c 4 + c 4 a 4 = ( a 2b 2 ) + ( b 2c 2 ) + ( c 2 a 2 ) 2 2 2 VT  a 2b4c 2 + b2c 4 a 2 + a 4b2c 2 = a 2b2c 2 ( a 2 + b2 + c 2 )  a 2b2c 2 ( ab + bc + ca ) a8 + b8 + c8 a8 + b8 + c8 1 1 1 =  ab + bc + ca =  + + a 2b 2 c 2 a3b3c3 a b c 10 10 2 2 8 8 4 4 Bài 65: CMR : ( a + b )( a + b )  ( a + b )( a + b ) HD: Ta có: a12 + a10b2 + a 2b10 + b12  a12 + a8b 4 + a 4b8 + b12 = ( a10b2 − a8b4 ) + ( a 2b10 − a 4b8 )  0 = a8b2 ( a 2 − b2 ) + a 2b8 ( b2 − a 2 )  0 = a 2b2 ( a 2 − b2 )( a6 − b6 )  0 ( = a 2b 2 a 2 − b 2 ) (a 2 4 + a 2b 2 + b 4 )  0 Bài 66: Cho a,b,c dương có abc=1, và a + b + c  HD: 1 1 1 + + , CMR : ( a − 1)( b − 1)( c − 1)  0 a b c Ta có: a + b + c  ab + bc + ca , Xét ( a −1)( b −1)( c −1) = abc − ( ab + bc + ca ) + ( a + b + c ) −1 = ( a + b + c ) − ( ab + bc + ca )  0 Bài 67: Cho a,b>0, thỏa mãn : a3 + b3 = a − b , CMR : a 2 + b2 + ab  1 HD: Ta có: a3 + b3  a3 − b3 = ( a − b ) ( a 2 + ab + b2 ) = ( a − b )  ( a − b ) ( a 2 + b2 + ab ) = a 2 + b2 + ab  1 Bài 68: CMR : 2 ( a8 + b8 )  ( a3 + b3 )( a5 + b5 ) HD: Ta có: 2a8 + 2b8  a8 + a3b5 + a5b3 + b8 = ( a8 − a5b3 ) + ( b8 − a3b5 )  0 = a5 ( a3 − b3 ) − b5 ( a3 − b3 )  0 = ( a5 − b5 )( a3 − b3 )  0 , Giả sử a > b => a3  b3 , a5  b5 => ĐPCM Nếu a a3  b3 , a5  b5 => ĐPCM 11 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức Bài 79: CMR : 3 ( a8 + b8 + c8 )  ( a3 + b3 + c3 )( a5 + b5 + c5 ) HD: Ta có: 2 ( a8 + b8 )  ( a3 + b3 )( a5 + b5 ) 2 ( b8 + c8 )  ( b3 + c3 )( b5 + c5 ) 2 ( c8 + a8 )  ( a3 + c3 )( a5 + c5 ) Cộng theo vế ta được: 4 ( a8 + b8 + c8 )  ( a8 + b8 + c8 ) + a3 ( a5 + b5 + c5 ) + b3 ( a5 + b5 + c5 ) + c3 ( a5 + b5 + c5 ) = 3 ( a8 + b8 + c8 )  ( a3 + b3 + c3 )( a5 + b5 + c5 ) Bài 70: Cho a+b=2, CMR : a8 + b8  a 7 + b7 HD: Ta có: 2 ( a8 + b8 )  ( a + b ) ( a 7 + b7 ) = a8 + b8 + ab7 + a 7b = a8 + b8 − a 7b − ab7  0 = ( a − b ) ( a 7 − b7 )  0 a − b  0 a − b  0 Giả sử a  b =  7 Nếu a  b =  7 7 7 a − b  0 a − b  0 Bài 71: CMR : a6 + b6 + c6  a5b + b5c + c5a, ( a, b, c  0) HD: Ta có: a 5 ( a − b ) + b5 ( b − c ) + c 5 ( c − a ) = ( a − b ) ( a 5 − b 5 ) + ( c − a ) ( c 5 − b 5 )  0 c − a  0 a − b  0 Giả sử : a  b  c =  5 5 và  5 5 => ĐPCM c − b  0 a − b  0 a2 b2 c2 a b c Bài 72: CMR : Với mọi a,b,c > 0 thì 2 2 + 2 +  + + 2 2 2 b +c c + a a +b b+c c +a a +b HD: a 2 ( b + c ) − a ( b2 + c 2 ) ab ( a − b ) + ac ( a − c ) a2 a Xét 2 2 − = = b +c b+c ( b + c ) ( b2 + c 2 ) ( b + c ) ( b2 + c 2 ) Giả sử a  b  c => Các ngoặc đều dương => ĐPCM Bài 73: Cho a, b là hai số dương, CMR : ( a + b ) ( a3 + b3 )  2 ( a 4 + b4 ) HD: Ta có: 2a 4 + 2b4 − a 4 − ab3 − a3b − b4  0 = ( a 4 − a3b ) + ( b4 − ab3 )  0 = a3 ( a − b ) − b3 ( a − b )  0 Bài 74: Cho a,b là hai số dương, CMR : ( a + b ) ( a 4 + b4 )  ( a 2 + b2 )( a3 + b3 ) HD: Ta có: a5 + ab4 + a 4b + b5 − a5 − a 2b3 − a 3b 2 − b5  0 = ( a 4b − a3b2 ) + ( ab4 − a 2b3 )  0 = a3b ( a − b ) + ab3 (b − a )  0 = ( a − b ) ( a3b − ab3 )  0 = ab ( a − b ) ( a 2 − b2 )  0 12 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức Bài 75: CMR : a2 + b2 + 4  ab + 2 ( a + b ) HD: Ta có: a 2 + b2 + 4 − ab − 2a − 2b  0 = 2a 2 + 2b2 + 8 − 2ab − 4a − 4b  0 = ( a 2 − 2ab + b2 ) + ( a 2 − 4a + 4 ) + ( b2 − 4b + 4 )  0 Bài 76: Cho a,b là hai số có tổng bằng 2, CMR : a 4 + b 4  a 3 + b3 HD: Ta có: 2 ( a 4 + b 4 )  ( a + b ) ( a 3 + b3 ) = 2a 4 + 2b4 − a 4 − ab3 − a3b − b4  0 = a 4 − a3b + b4 − ab3  0 = a3 ( a − b ) + b3 ( b − a )  0 = ( a − b ) a3 − b3  0 ( ) ( ) ( Bài 77: Cho a,b,c là ba số thỏa mãn : a+b+c=3, CMR : a + b + c  a + b + c HD: Ta có: 3 ( a 4 + b 4 + c 4 )  ( a + b + c ) ( a 3 + b3 + c 3 ) 4 4 4 3 3 ) 3 2 b 3  2  2 2 = ( a − b )  a +  + b2  + ( b − c ) b2 + bc + c 2 + ( c − a ) c 2 + ac + a 2  0 2  4   Bài 78: Cho 0  x, y, z  1 , CMR : 0  x + y + z − xy − yz − zx  1 HD: Ta có: Xét tích (1 − x )(1 − y )(1 − z ) = − ( xyz − xy − yz − zx + x + y + z −1)  0 ( ) ( )  x  xy  mà  y  yz = x + y + z − xy − yz − zx  1 − xyz  z  zx  mà 0  xyz  1 = 1 − xyz  1 Bài 79: Cho −1  x, y, z  2 và x+y+z=0, CMR : x2 + y2 + z 2  6 HD: Ta có: ( x − 2 )( x + 1)  0  x2 − x − 2  0   Xét ( y − 2 )( y + 1)  0 =  y 2 − y − 2  0 , Cộng theo vế ta có:  z2 − z − 2  0  ( z − 2 )( z + 1)  0 x2 + y2 + z 2 − 6  0 = x2 + y2 + z 2  6 1 1 1 1 5 Bài 80: Cho x > 0, y > 0, z > 0, CMR : + −  , Với x 2 + y 2 + z 2 = 3 x y z xyz HD: Ta có: ( x + y − z) 2  0 = x 2 + y 2 + z 2 + 2 xy − 2 yz − 2 zx  0 5 + 2 ( xy − yz − zx )  0 3 −5 5 = 2 ( xy − yz − zx )  = yz + zx − xy   1 3 6 1 1 1 1 = + −  x y z xyz = 13 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức Bài 81: Cho 0 < a,b,c < 1, CMR : 2a3 + 2b3 + 2c3  3 + a 2b + b2c + c 2 a HD: Do a  1 = a2  1, b  1 => (1 − a 2 ) (1 − b )  0 = 1 + a 2b − a 2 − b  0 = 1 + a 2b  a 2 + b Mặt khác: 0< a, b<1=> a2  a3 ,b  b3 = a2 + b  a3 + b3 Vậy 1 + a 2b  a3 + b3 , Chứng minh tương tự => ĐPCM Bài 82: CMR : a4 + b4 + c4  abc ( a + b + c ) HD: Chuyển vế ta có: a 4 + b4 + c 4 − a 2bc − ab2c − abc 2  0 ( ) + 2a b + (b − c ) + 2b c + ( c − a ) + 2a c − 2a bc − 2b ac − 2abc  0 = ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) + ( a b − 2a bc + a c ) + ( a b − 2ab c + b c ) + ( a b − 2ab c + b c ) + ( a c − 2abc + b c )  0 2 = a 2 − b 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Bài 83: Cho a,b,c,d > 0 thỏa mãn: a  c + d , b  c + d , CMR: ab  ad + bc HD: a  c + d a − c  d  0 Ta có:  =  = ( a − c )( b − d )  cd , Nhân vào ta được ĐPCM b  c + d b − d  c  0 Bài 84: Cho 0  a, b, c, d  1 , CMR : (1 − a )(1 − b )(1 − c )(1 − d )  1 − a − b − c − d HD: Ta có: (1 − a )(1 − b ) = 1 − a − b + ab  1 − a − b ( do ab >0) Do c  1 = 1 − c  0 = (1 − a )(1 − b )(1 − c )  (1 − a − b )(1 − c )  1 − a − b − c Chứng minh tương tự => ĐPCM a2 Bài 85: Cho a.b.c=1, a3  36 , CMR : + b2 + c2  ab + bc + ca 3 HD:  a2  a2 a2 a2 2 2 2 2 Xét hiệu + + b + c − ab − bc − ac  0 =  + b + c − ab − ac + 2bc  + − 3bc  0 4 12  4  12 3 a3 − 36abc a  a − 36abc =  − b − c  + , Do a3  36 =  0 ĐPCM 12a 12a 2  2 4 4 4 4 Bài 86 : Chứng minh rằng : Nếu a + b + c + d = 4abcd và a,b,c,d là các số dương thì a= b= c= d 2  ab + 1  Bài 87: Cho hai số a, b thỏa mãn: a + b  0, Chứng minh rằng: a + b +   2  a+b  HD: 2 2 2 2 2 2  ab + 1   2 = a2 + b 2 ( a + b ) + ( ab + 1)  2 ( a + b ) Ta có: a + b +    a+b  2 2 2 2 = ( a + b ) ( a + b ) − 2ab  − 2 ( a + b ) + ( ab + 1)  0   2 ( 2 ) = ( a + b ) − 2ab ( a + b ) − 2 ( a + b ) + ( ab + 1)  0 4 2 2 2 = ( a + b ) − 2 ( a + b ) ( ab + 1) + ( ab + 1)  0 4 2 2 2 2 = ( a + b ) − ab − 1  0 (ĐPCM)   14 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức x 2 − y2 x−y Bài 88: Cho x  y  0 hãy so sánh : A = , và B = 2 x + y2 x+y HD: Vì x  0, y  0 = x + y  0 A= x − y ( x − y )( x + y ) , lại có: x2 + y2 + 2xy  x2 + y2 , x2 − y2  0 = 2 x+y ( x + y) = A = x 2 − y2 x 2 − y2  =B 2 xy + x 2 + y2 x 2 + y2 Bài 89: Cho x, y > 0 thỏa mãn điều kiện: x 2 + y3  x3 + y4 , Chứng minh rằng: x3 + y3  2 , Dấu bằng xảy ra khi nào? HD: Áp dụng BĐT côsi cho hai số dương ta có: x + x3  2x 2 , y2 + y4  2y3 , Do vậy ( ) ( ) x + x 3 + y 2 + y 4  2 x 2 + 2 y3 = x + y 2  x 2 + y 3 + x 2 + y 3 − x 3 − y 4  x 2 + y 3 ,( x 2 + y3  x3 + y4 ) Mà: x2 + 1  2x, y4 + 1  2 y2 , nên 1 + x2 + 1 + y4  2x + 2y2  2×2 + 2y3  x2 + y3 + x3 + y4 Do vậy x3 + y3  2 Dấu bằng xảy ra khi: x = y = 1 Bài 90: Chứng minh BĐT sau: x 2 + y2 − xy  x + y − 1 HD: Ta có: x 2 + y 2 − xy  x + y − 1 = 2 x 2 + y 2 − xy  2 ( x + y − 1) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 = 2×2 + 2y2 − 2xy  2x + 2y − 2 = x − 2 xy + y + x − 2 x + 1 + y − 2 y + 1  0 Bài 91: Cho a, b là các số dương thỏa mãn: a3 + b3 = a5 + b 5 , Chứng minh rằng: a2 + b 2  1 + ab HD: Ta có: a2 + b2  1 + ab = a2 + b 2 − ab  1 = ( a + b ) a2 + b 2 − ab  a + b ( )( ) + b )  0 = ab ( a − b ) ( ( ) ) = a3 + b3  a + b = a3 + b3 a3 + b3  ( a + b ) a5 + b 5 = 2a3b3  ab 5 + a5b ( = ab a4 − 2a2b2 4 2 2 2  0, a, b  0 Bài 92: Cho các số a, b, c   0;1 , chứng minh rằng: a + b 2 + c3 − ab − bc − ca  1 HD: Do a, b,c   0;1 , nên: (1 − a)(1 − b)(1 − c )  0 = 1 − a − b − c + ab + bc + ca − abc  0 = a + b + c − ab − bc − ca  1 − abc  1 Do a, b, c  0;1 = b2  b,c3  c , từ đó ta có: a + b2 + c3 − ab − bc − ca  a + b + c − ab − bc − ca  1 15 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức DẠNG 2 : SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ Các BĐT phụ hay dùng : a +b 2 2 ( a + b)  2 ( x + y) 2 2 x y + 2 y x  4 xy Bài 1: Cho a+b > 1, CMR : a 4 + b 4  1 8 HD: 2 2  1 a + b + 2ab  1 Ta có: ( a + b )  1 =  2 2 = a 2 + b2  2  a + b − 2ab  0 1  4 4 2 2 1 1  a + b + 2a b  2 2 2 => ( a + b )  =  4 = 2a 4 + 2b 4  4 4  a 4 + b 2 − 2a 2 b 2  0  1 Vậy a 4 + b 4  8 1 Bài 2: Cho a+b = 1, CMR : a 2 + b 2  2 HD: 2 2  1 2 a + 2ab + b = 1 Ta có: ( a + b ) = 1 =  2 = 2a 2 + 2b2  1 = a 2 + b2  2 2  a − 2ab + b  0 Bài 3: Cho a+b > 2, CMR : a 2 + b2  2 HD: 2 2  2 a + 2ab + b  4 Ta có: ( a + b )  4 =  2 = 2a 2 + 2b2  4 = a 2 + b2  2 2  a − 2ab + b  0 2 2 Bài 4: Cho a + b  2 , CMR: a + b  2 HD: Ta có: 2 2  a + b  2  2 2 2 2  a + b  2ab = 2ab  a + b  2 2 Cộng theo vế ta được: a 2 + b2 + 2ab  4 = ( a + b )  4 = a + b  2 2 Bài 5: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, CMR: a2 + b2 + c2  2 ( ab + bc + ca ) HD: Ta có: Vì a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác nên ta có: a 2  ab + ac a  b + c  2  2 2 2 b  a + c = b  ab + bc = a + b + c  2 ( ab + bc + ac ) c  a + b  2  c  ac + bc Bài 6: Cho a,b là hai số thực bất kỳ có tổng bằng 1, CMR: a 3 + b3  HD: 1 4 Ta có: a + b = 1 = b = 1 − a = b3 = (1 − a ) 3 => a3 + b3 = a3 + 1 − 3a + 3a 2 − a3 = 3a 2 − 3a + 1 2 1 3 1 1 1   = 3 a2 − a + +  = 3 a −  +  4 4 2 4 4   16 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức Bài 7: Cho x, y, z  0 , CMR : ( x + y )( y + z )( z + x )  8xyz HD:  x + y  2 xy   Ta có:  y + z  2 yz , Nhân theo vế ta được: ( x + y )( y + z )( z + x )  8xyz    z + x  2 zx 1 1 1 1 + 3 3 + 3  Bài 8: Cho a,b,c > 0, CMR : 3 3 3 a + b + abc b + c + abc c + a + abc abc HD: Ta có: a3 + b3 = ( a + b ) a 2 − ab + b2  ( a + b ) ab , Do a 2 − ab + b2  ab ( ) Khi đó +b + abc  ( a + b ) ab + abc = ab ( a + b + c ) Chứng minh tương tự ta có: b3 + c3 + abc  bc ( a + b + c ) và c3 + a3 + abc  ac ( a + b + c ) 3 3 1 1 a+b+c 1  1 1 1 . =  + + = a + b + c  ab bc ca  a + b + c abc abc  1 1 1 Bài 9: CMR: Với mọi a,b,c > 0 thì ( a + b + c )  + +   9 a b c HD: 1 1 1 1 Ta có: a + b + c  33 abc và + +  3 3 a b c abc  1 1 1 Nhân theo vế ta có: ( a + b + c )  + +   9 a b c a b c 3 + +  Bài 10: Cho a,b,c > 0, CMR : b+c c+a a+b 2 HD: Ta có: x = a + b 1 1 1  Từ ( x + y + z )  + +   9 , Đặt  y = b + c x y z z = c + a  Khi đó ta có: VT  1 1   1 => 2 ( a + b + c )  + + 9  a+b b+c c+a  a+b+c a+b+c a+b+c 9 c a b 9 3 + + + +  −3=  => <=> a+b b+c c+a 2 a+b b+c c+a 2 2 a b 1 3 + +  Bài 11: Cho a,b > 0, CMR : b +1 a +1 a + b 2 HD: 1 1  9 3  a   b  1   1  + 1 +  + + 1 +  + + 1 + 3 = ( a + b + 1)  Ta có:  −3 −3= 2 2  b +1   a +1   a + b   a + b a +1 b +1  2 2 2 a b c a +b+c + +  Bài 12: Cho a,b,c là ba số dương, CMR : b+c c+a a+b 2 HD:  a2 b + c   b2 c + a   c2 a +b  a +b+c + + + + Ta có: VT =    + − 4  c+a 4   a+b 4  2 b+c VT  a + b + c − a+b+c a+b+c = = VP 2 2 17 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức Bài 13: Cho a,b,c > 0, CMR : a b c 11 1 1 + 2 2+ 2   + +  2 2 a +b b +c c +a 2a b c 2 HD: a 2 + b2  2ab  a b c 1 1 1 11 1 1 Ta có: b2 + c 2  2bc = VT  + + = + + =  + +  2ab 2bc 2ca 2b 2c 2a 2  a b c  c 2 + a 2  2ca  a 2 b2 c 2 Bài 14: CMR: với a,b,c > 0 thì : + +  a+b+c b c a HD:  a2   b2   c2  Ta có:  + b  +  + c  +  + a  − ( a + b + c )  2a + 2b + 2c − ( a + b + c ) = a + b + c = VP  b   c  a  Bài 15: CMR : a 2 + b 2 + c 2 + 3  −a − b − c 4 HD: 1  1  1  Ta có:  a 2 + a +  +  b2 + b +  +  c 2 + c +   0 4  4  4  1 1 1 Bài 16: Cho a,b,c dương có tổng là 1, CMR : + +  9 a b c HD:  1 1 1 Vì ( a + b + c ) = 1 = ( a + b + c )  + +   9 a b c Bài 17: Cho a,b,c là các số không âm và a + b + c  3 ,CMR : a b c 3 1 1 1 + +   + + 2 2 2 1+ a 1+ b 1+ c 2 1+ a 1+ b 1+ c HD: 1 + a 2  2a  a b c a b c 3 Ta có: 1 + b2  2b = + +  + + = 2 2 2 1+ a 1+ b 1+ c 2a 2b 2a 2 1 + c 2  2c  1 + a = x 1 1 1 3  Đặt 1 + b = y = x + y + z = a + b + c + 3  6 => B = + +  , x y z 2 1 + c = z  1 1 1 1 1 1 9 9 3  = Khi đó: ( x + y + z )  + +   9 = + +  x y z x+ y+z 6 2 x y z x4 y 4 x2 y 2 x y Bài 18: Cho x,y,z > 0, CMR : 4 + 4 − 2 − 2 + +  2 y x y x y x HD:  x2 y 2  x y x4 y 4 Ta có: 4 + 4  2 , Tương tự +  2 và −  2 + 2   −2 x  y x y x y Cộng theo vế ta có: VT  2 + 2 − 2 = 2 Bài 19: Cho a,b là các số dương thỏa mãn: a+b < ab, CMR : a+b > 4 HD: Ta có: a+b 4 a + b ab 4 2   = 1 = 1  = a + b  4 Do a + b  ab = ( a + b )  4ab = ab a +b ab ab a+b 18 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức a3 b3 c3 Bài 20: Cho a,b,c > 0, CMR : + +  ab + bc + ca b c a HD: Ta có: 3 3  a3 2 b 2 c 2 2 2 2 + b + + c +      + a  − (a + b + c ) b c a       a3 + b3 ab ( a + b )  = a ( a + b ) = a 2 + ab b b 3 b c3 2 2 Tương tự => + c  b + bc, + a 2  c2 + ca c a 2 2 2 Khi đó VT  ( a + b + c ) + ( ab + bc + ca ) − ( a 2 + b2 + c 2 ) = ab + bc + ca Mà: Bài 21: Cho a,b,c thỏa mãn: a 2 + b2 + c 2 = 3 , CMR: ab + bc + ca + a + b + c  6 HD: a 2 + b2  2ab  Ta có: b2 + c 2  2bc = 2 ( a 2 + b2 + c 2 )  2 ( ab + bc + ca ) = 2.3  2 ( ab + bc + ca ) c 2 + a 2  2ac  => ab + bc + ca  3 (1) 2  a + 1  2a  Mặt khác: b2 + 1  2b = 3 + 3  2 ( a + b + c ) = a + b + c  3 c 2 + 1  2c  (2) Cộng (1) và (2) theo vế ta được ĐPCM x2 y2 1 Bài 22: CMR: +  , với mọi x,y là số thực 4 4 1 + 16 x 1 + 16 y 4 HD: x2 1 Ta có: 1 + 16 x4  2. 16 x4 = 2.4 x2 = 8×2 = (1)  4 1 + 16 x 8 y2 y2 1 Tương tự: (2)  = 1 + 16 y 4 8 y 2 8 1 Cộng theo vế ta được : VT  4 bc ac ab + +  a+b+c Bài 23: CMR với a,b,c > 0 thì a b c HD: ac ab ab bc bc ac a b +  2a, +  2b Ta có: + = c  +   2c , Tương tự ta có: b c c a a b b a Cộng theo vế ta được : 2VT  2VP = VT  VP a − b a 2 − b2 Bài 24: CMR: với a,b > 0 và a > b > 0 thì  a + b a 2 + b2 HD: a − b ( a − b )( a + b ) a 2 − b 2 = = a 2 + 2ab + b2  a 2 + b2 Ta có: 2 2 , Mà a+b (a + b) (a + b) Khi đó VT  a 2 − b2 a 2 + b2 19 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức Bài 25: Cho 3 số a,b,c dương thoă mãn: a+b+c = 4, CMR : a + b  abc HD: Ta có: (a + b) 2  4ab = ( a + b ) + c   4 ( a + b ) c = 16  4 ( a + b ) c 2 ( ) = 4  ( a + b ) c = 4 ( a + b )  ( a + b ) c = 4 ( a + b )  2 ab c = 4abc 2 2 => a + b  abc Bài 26: Cho 2 số x,y > 0 thỏa mãn: x3 + y3 = x − y , CMR : x2 + y2  1 HD: Ta có: x3 + y3  0 = x − y  0 = x 2 + y 2  1 = ( x − y ) x 2 + y 2  x3 + y 3 ( ) = x3 + xy2 − x2 y − y3  x3 + y3 = 2 y3 + x 2 y − xy 2  0 = y ( 2 y 2 + x 2 − xy )  0 Bài 27: Cho a+b = 1, CMR: a 2 + b 2  1 2 HD: 2 2  1 2 a + 2ab + b = 1 2 2 2 2 Ta có: ( a + b ) = 1 =  2 = 2 a + 2 b  1 = a + b  2 2  a − 2ab + b  0 1 Bài 28: Cho a+b=1, CMR: a 4 + b 4  8 HD: 2 2  1 a + 2ab + b = 1 Ta có:  2 = 2a 2 + 2b2  1 = a 2 + b2  2 2  a − 2ab + b  0 1  4 4 2 2 1 1  a + b + 2a b  4 = 2a 4 + 2b 4  = a 4 + b 4  Mặt khác:  4 8  a 4 + b 4 − 2a 2 b 2  0  x y z Bài 29: Cho 3 số x,y,z >0, CMR: + +  3 y z x HD:  x 2 = yz  x y z x y z x y z Ta có: + +  3 3 . . = 3 , Dấu bằng khi = = =  y 2 = xz = x = y = z y z x y z x y z x  z 2 = xy  2 2 2 Bài 30: Cho a,b,c thỏa mãn: a + b + c = 1, CMR: abc + 2 (1 + a + b + c + ab + bc + ca )  0 HD: Vì a2 + b2 + c2 = 1 = a , b , c  1 = −1  x, y, z  1 Khi đó: (1) ( a + 1)(b + 1)( c + 1)  0 = abc + ab + bc + ca + a + b + c + 1  0 mà ( a + b + c + 1) = ( a + b + c ) + 2 ( a + b + c ) + 1  0 2 2 = a2 + b2 + c2 + 2 ( ab + bc + ca ) + 2 ( a + b + c ) + 1  0 (2) = ab + bc + ca + a + b + c + 1  0 Cộng (1) và (2) theo vế ta được: abc + 2 ( ab + bc + ca + a + b + c + 1)  0 20 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức DẠNG 3: BẤT ĐẲNG THỨC COSI VÀ SCHAWRZ BĐT Cô Si: Với hai số a,b không âm ta có: a + b  2 ab , Dấu = xảy ra khi a=b Mở rộng ta có: a + b + c  33 abc Co si ngược dấu: a.b  ( a + b) 2  a+b+c  và abc    3   3 4 1 1 4 BĐT Schwarz: +  với x, y > 0, Dấu = khi x = y x y x+ y 1 1 1 9 Mở rộng : + +  , dấu = khi x = y = z x y z x+ y+z Bài 1: Cho x, y>0. Chứng minh BĐT : 1 1 4 +  x y x+ y HD : x+ y 4 2 2  = ( x + y )  4 xy = ( x − y )  0 xy x+ y Dấu ‘ = ‘ khi x=y 1 1 1 9 Bài 2: CMR: + +  x y z x+ y+z HD : 1 1 1 Ta có : = ( x + y + z )  + +   9 x y z Ta có: gt = Bài 3: CMR: a 2 b2 c 2 c b a + +  + + b2 c 2 a 2 b a c HD: b2 c 2 a 2 b2 c2 a2 b a c , tương tự : , và + + + 2  2.   2. 2. 2 2 2 2 2 b c c a a b a b c Cộng theo vế ta được : 2VT  2VP => VT> VP  1 1 1 Bài 4: Cho a,b,c là ba số dương, CMR: ( a + b + c )  + +   9 a b c HD: 1 1 1 1 Ta có : a + b + c  33 abc và + +  3 3 a b c abc  1 1 1 Nhân theo vế ta được : ( a + b + c )  + +   9 a b c a b c 3 + +  Bài 5: Cho a,b,c là ba số dương, CMR: b+c c+a a+b 2 HD: 1 1 1 Ta có : Áp dụng bất đẳng thức : ( x + y + z )  + +   9 x y z x = a + b 1 1    1 Đặt  y = b + c = 2 ( a + b + c )  + + 9  a+b b+c c+a  z = c + a  a+b+c a+b+c a+b+c 9 a b c 9 3 = + +  = + +  −3= a+b b+c c+a 2 b+c c+a a+b 2 2 Ta có : 21 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức Bài 6: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, CMR: 1 1 1 1 1 1 + +  + + a +b−c b+c −a c + a −b a b c HD : Vì a, b, c là ba cạnh của 1 tam giác nên các mẫu đều dương 1 1 4 2 +  = Áp dụng BĐT schawzr ta có : a + b − c b + c − a 2b b 1 1 2 1 1 2 +  và +  Tương tự ta cũng có : b+c −a c + a −b c c + a −b a +b−c a Cộng theo vế ta được điều phải chứng minh Bài 7: Cho x, y, z  0 , CMR: ( x + y )( y + z )( z + x )  8xyz HD :  x + y  2 xy   Ta có :  y + z  2 yz , Nhân theo vế ta được : ( x + y )( y + z )( z + x )  8xyz    z + x  2 zx 1 1 Bài 8: Cho x  0, y  0, x + y  1 , CMR: 2 + 2 4 x + xy y + xy HD : Áp dụng BĐT schawzr ta có : 1 1 4 1 2 + 2   4 , Vì x + y  1 = ( x + y )  1 = 1 2 2 2 x + xy y + xy ( x + y ) ( x + y) Bài 9: Cho a,b,c dương có tích bằng 1, CMR: ( a + 1)( b + 1)( c + 1)  8 HD : a + 1  2 a  Ta có : b + 1  2 b = ( a + 1)( b + 1)( c + 1)  8 abc = 8  c + 1  2 c Bài 10: Cho a,b không âm, CMR: ( a + b )( ab + 1)  4ab HD :  a + b  2 ab Ta có :  = ( a + b )( ab + 1)  4ab  ab + 1  2 ab Bài 11: Cho a,b,c,d dương có tích bằng 1, CMR: a 2 + b2 + c 2 + d 2 + ab + cd  6 HD : 2 2  a + b  2ab Ta có :  2 = a 2 + b2 + c2 + d 2 + ab + cd  3 ( ab + cd )  3.2 abcd = 6 2  c + d  2cd  a+b c+d  + Bài 12: CMR:    ( a + c )( b + d ) 2   2 HD : 2 ( a + c )( b + d ) = a + c b + d  a+c b+d  + Ta có : VT =  ( )( )  4 2  4  2 2 Do áp dụng BĐT : ( a + b )  4ab 2 ( ) Bài 13: CMR: 8 a 4 + b4  ( a + b ) HD : 4 Ta có : a 4 + b 4  2a 2b 2 = 2 ( a 4 + b 4 )  ( a 2 + b 2 ) 2 (1) 22 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức Mặt khác : a + b  2ab = 2 ( a + b 2 2 2 2 )  (a + b) 2 = a + b 2 2 ( a + b)  2 2 4 a + b) a + b) ( ( 2 4 2 2 4 = ( a + b )  , Thay vào (1) ta được : 2 ( a + b )  4 4 4 4 4 4 Bài 14: CMR: a + b + c + d  4abcd HD : 4 Vì a4 , b4 , c4 , d 4 là 4 số dương => a4 + b4 + c4 + d 4  4 4 ( abcd ) = 4abcd 4 Bài 15: Cho a,b > 0, CMR: a b 1 3 + +  b +1 a +1 a + b 2 HD : 1 1   a   b   1   1 VT =  + 1 +  + 1 +  + 1 − 3 = ( a + b + 1)  + + −3  b +1   a +1   a + b   b +1 a +1 a + b  9 3 1 1 1   1 = ( a + 1) + ( b + 1) + ( a + b )  + + −3  2 −3 = 2 2  a +1 b +1 a + b  2 2 2 a b c c b a Bài 16: CMR: 2 + 2 + 2  + + b c a b a c HD : b2 c 2 2b c 2 a 2 2c a2 b2 2a Ta có : 2 + 2  và 2 + 2  , Tương tự ta có : 2 + 2  c a a b a b b c c Cộng theo vế ta có : 2VT  2VP bc ca ab + +  a+b+c Bài 17: Cho a,b,c > 0, CMR: a b c HD : bc ca ca ab b a c b Ta có : + = a  +   2a và + = c  +   2c , Tương tự ta có : b c a b b c a b ab bc a c + = b  +   2b c a c a Cộng theo vế ta được : 2VT  2VP a b c 1 1 1 Bài 18: Cho a,b,c>0, CMR: 2 + 2 + 2  + + b c a a b c HD : a 1 2  b2 + a  b  1 1 1 b 1 2 1 1 1 Ta có :  2 +  = VT + + +  2  + +  => ĐPCM a b c a b c c b c c 1 2  a2 + c  a  1 1 + 2 6 Bài 19: Cho a,b > 0, a+b = 1, CMR: ab a + b 2 HD : 1  1 4 1 1  1 +  + = 4+ Ta có :  2 + 2 2 2ab  a + b 2ab  2ab ( a + b ) 2ab Ta lại có : 1 = a + b  2 ab = 1  4ab = Khi đó VT  4 + 2 = 6 1 1  1 = 2 4ab 2ab 23 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức Bài 20: CMR với mọi a,b > 0 thỏa mãn: ab=1, ta có BĐT: 1 1 2 + + 3 a b a+b HD : a+b 2 2 a +b  a +b 2  2 ab + 2 = 1+ 2 = 3 + = a+b+ = + +  2 ab a + b a+b 2 a +b   2 Bài 21: Cho a,b,c là ba số dương thỏa mãn: a + b + c = 4 , CMR: ( a + b )( b + c )( c + a )  a3b3c3 HD : 2 2 Áp dụng BĐT : ( a + b )  4ab = ( a + b + c )  4 ( a + b ) c = 16  4 ( a + b ) c Ta có : = = 4 ( a + b )  ( a + b ) c  4abc = a + b  abc 2 Tương tự ta có : b + c  abc, c + a  abc Khi đó nhân theo vế ta được : ( a + b )( b + c )( c + a )  abc.abc.abc = ( abc ) 3 Bài 22: CMR: với a,b,c > 0 thì ab bc ca a+b+c + +  a+b b+c c+a 2 HD : Áp dụng BĐT : (a + b) 2  4ab = ( a + b )( a + b )  4ab = ab a+b  a+b 4 bc b + c ca c+a  ,  , Cộng theo vế ta được ĐPCM b+c 4 c+a 4 a2 b2 c2 a +b+c Bài 23: Cho a,b,c > 0, CMR: + +  b+c c+a a+b 2 HD :  a2 b2 c2 c+a a +b b+c +  a Ta có :  , Tương tự ta có : và + +  c b  4  c+a a+b 4 4 b+c Cộng theo vế ta được : a+b+c a+b+c VT +  a + b + c = VT  2 2 Bài 24: Cho a,b không âm, CMR: ( a + b )( ab + 1)  4ab HD :  a + b  2 ab Ta có :  = ( a + b )( ab + 1)  4ab ab + 1  2 ab   1 1 1 a+b+c + 2 + 2  Bài 25: Cho a,b,c > 0, CMR: 2 a + bc b + ac c + ab 2abc HD : Co si cho hai số : a2 , bc , Ta được: 1 1 2 1 1 1  a 2 + bc  2a bc = 2  = 2   +  a + bc 2a bc a + bc 2  ab bc  Tương tự ta có : 2 1 1 1  2 1 1 1    +  và 2   +  2 b + ac 2  ab bc  c + ab 2  ca cb  1 1 1 a+b+c a +b+c + + = = VT  Cộng thoe vế ta được : 2VT  ab bc ca abc 2abc Tương tự ta có : 24 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức Bài 26: CMR: Trong tam giác ABC ta có: a b c + + 3 b+c −a c + a −b a +b−c HD : Ta có : VT  3 3 abc ( b + c − a )( c + a − b )( a + b − c ) Lại có : ( b + c − a ) + ( c + a − b )  2 ( b + c − a )( c + a − b ) ( b + c − a )( c + a − b ) , Tương tự ta có : ( c + a − b )( a + b − c ) và b  ( b + c − a )( a + b − c ) = 2c  2 a abc  1 = VT  3 3 1 = 3 ( b + c − a )( c + a − b )( a + b − c ) a b 4 +  Bài 27: Cho a, b là các số thực không nhỏ hơn 1, CMR: 2a − 1 2b − 1 1 + ab HD : a a 1  2 = Ta có : 2a  a 2 + 1 = 2a − 1  a 2 = 2a − 1 a a Chứng minh tương tự ta có : b 1 1 1 4  = VT  +  Vì a, b  1 = ( a −1)(b −1)  0 2a − 1 b a b a+b 4 4 = ab − a − b + 1  0 = a + b  ab + 1 =  a + b ab + 1 b2 c 2 a 2 9 9 + + +  Bài 28: Cho a,b,c dương thỏa mãn: abc = 1, CMR: a b c 2(a + b + c) 2 HD : b2 a2 c2 Ta có : + a  2b, + b  2c + c  2a , a c b  9 9 a+b+c  a+b+c 9 Ki đó VT  a + b + c + = +  +  2(a + b + c) 2 2 2 ( a + b + c )  2  => abc  (b + c − a )( c + a − b )( a + b − c ) => 3 3 abc 2.3 3 9 + = +3= 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 + + 1 Bài 29: Cho + + = 4, CMR: 2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c a b c HD : 1 1 4 Áp dụng BĐT : +  x y a+ y 3 Dấu ’’=’’ xảy ra khi a = b = c = = 2a = b + c 4 Khi đó ta có : 1 4 1  1  1 1  1 1  1  2 1 1   1 1 +  +  =  + +     +  4  2a + b + c  4  2a b + c  4  2a 4  b c   16  a b c  tương tự ta có : 1 4 1  1  1 1  1 1  1  2 1 1   1 1 +  +  =  + +     +  4  a + 2b + c  4  2b a + c  4  2b 4  a c   16  b a c  1 4 1  4 4 4  1 2 1 1     + +  , Khi đó VT   + +  = 1 4  a + b + 2c  16  c a b  16  a b c  VT  25 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức a + 3c c + 3a 4b + + a+b b+c c+a 3 ( b + c ) 4a + 3c 12 ( b − c ) Bài 31: Cho a,b,c là các số thực dương, Tìm GTNN của : P = + + 2a 3b 2a + 3c b + c 2a + c 4 ( a + b ) Bài 32: Cho a,b,c là các số thực dương, CMR: + + 9 a b a+c 9b + 16c 25 ( 4a + 16c ) 64 ( 4a + 9b ) Bài 33: Cho a,b,c là các số thực dương, Tìm GTNN của : P = + + a b c 1 1 1 3 + 3 + 3  Bài 34: CMR với a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc=1, thì: 3 a (b + c ) b (c + a ) c ( a + b ) 2 Bài 30: Cho a,b,c là các số thực dương, Tìm GTNN của: P = Bài 35: Giả sử có: 2015 số nguyên dương: a1; a2 ;…a2015 thỏa mãn: 1 1 1 + + … + = 1008 , CMR có ít a1 a2 a2015 nhất 2 trong 2015 số nguyên dương đã cho bằng nhau Bài 36: Cho a3 + b3 + c3 = 0 , CMR: a3b3 + 2b3c3 + 2b3c3 + 3a3c3  0 HD: Từ: a3 + b3 + c3 = 0 = b3 + c3 = −a3 ; a3 + b3 = −c3 Do đó : a3b3 + 2b3c3 + 3c3a3 = a3b3 + c3a3 + 2c3a3 + 2b3c3 = a3 b3 + c3 + 2c3 a3 + b3 = −a 6 − 2c6  0 ( ) ( ) Bài 37: Cho hai số a,b khác 0 và trái dấu nhau trong đó: a 2008 = b 2009 . xác định dấu của mỗi số HD: Vì a  0 nên a 2008  0 nên b 2009  0 mà a ,b trái dấu nên a <0 Bài 38: Cho x>y>0 và x5 + y5 = x − y , CMR: x4 + y4  1 HD: Vì x>y>0=>x – y>0, x5 − y5  x5 + y5 ; x4 + x3 y + x2 y2 + xy3 + y4  x4 + y4 ( ) ( ) Do đó : ( x − y ) x 4 + y 4  ( x − y ) x 4 + x3 y + x 2 y 2 + xy 3 + y 4 = x5 − y 5  x5 + y5 = x − y ( ) => ( x − y ) x 4 + y 4  x − y = x 4 + y 4  1 Bài 39: Cho a, b, c > 0 thỏa mãn : a + b + c = 1 , CMR: 1 1 +  16 ac bc HD: Cách 1: Ta có: 1 = ( a + b + c ) = ( a + b ) + c   4 ( a + b ) c 2 2 Vì ( a − b )  0  a2 + b 2  2ab  ( a + b )  4ab 2 2 Khi đó: 1  4 ( a + b ) c  ( a + b )  4 ( a + b ) c , Mà: ( a + b )  4ab = a + b  4.4ab.c 2 a + b  16abc = 2 a+b 1 1 11 1 1 1  16c = +  16c =  +   16 = +  16 ab a b ca b ac bc Cách 2: Ta có: 1 1 11 1 1 4 1 4 4 + =  +  . = . = 2 ac bc c  a b  c a + b c 1 − c −c + c 2  1 1 1 4  16 , Mặt khác ta lại có: −c + c = −  c −  +  Nên 2 2 4 4 −c + c  1 1 Dấu ‘’=’’ khi c = , a = b = 2 4 2 26 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức Bài 40: Cho a, b, c  0, a + b + c  1 , Chứng minh rằng: 1 1 1 + 2 + 2  9 (1) a + 2bc b + 2ac c + 2ab 2 HD:  x = a2 + 2bc  2 Đặt  y = b2 + 2ac = x + y + z = ( a + b + c )  1 , Khi đó:  z = c2 + 2ab  1 1 1 (1) = + +  9 , Với x + y + z  1, ( x, y, z  0 ) x y z Áp dụng BĐT Côsi ta có: x + y + z  3. 3 xyz , ĐT xảy ra khi x=y=z = 1 1 1 1 1 1 1 + +  3. 3 , ĐT xảy ra khi = = x y z xyz x y z  1 1 1 1 1 1 = ( x + y + z )  + +   9 , mà x + y + z  1 = + +  9 , Đẳng thức xảy ra khi : x y z x y z 1 1 x = y = z = = a = b = c = 3 3 1 1 2 a+b c+b + 4 Bài 41: Cho a, b,c là ba số dương và + = , CMR : 2 a − b 2c − b a c b HD: 1 1 2 ab bc Ta có: + = = 2 a − b = và 2c − b = a c b c a a+b c+b a+b c+b c c a a ac + = + = + + +  44 2  4 ab bc 2 a − b 2c + b b a b c b c a Áp dụng BĐT co si cho ba số dương a, b, c , Dấu bằng xảy ra khi a= b= c = 27 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức DẠNG 4: SẮP SẾP CÁC BIẾN VÀ BĐT TAM GIÁC: a b c + + 2 Bài 1: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, CMR: b+c c+a a +b HD : a a 2a  1 =  Ta có : b+c b+c a+b+c b b 2b c 2c 2(a + b + c)  1 =  ,  =2 Tương tự ta có: , cộng theo vế VT  c+a c+a a +b+c a +b a +b+c a+b+c a b c + + 2 Bài 2: Cho a,b,c > 0, CMR: 1  a+b b+c c+a HD : b a c b a c b+a c+b a+c       Ta có : và và a+b+c a+b a+b+c a+b+c b+c a +b+c a+b+c c+a a+b+c Cộng theo vế ta được : a b c a +b b+c c+a + + M  + + a+b+c a+b+c a+b+c a +b+c a +b+c a +b+c 2( a + b + c) a +b+c M  = 1  M  2 a +b+c a +b+c a b c d + + + 2 Bài 3: Cho a,b,c,d > 0, CMR: 1  a +b+c b+c +d c +d +a d +a +b HD : b a a b a+d a+b     Ta có : và a+b+c+d b+c+d a+b+c+d a+b+c+d a+b+c a+b+c+d d d d +c c c c+b     và a+b+c+d d +a+b a+b+c+d a+b+c+d c+d +a a+b+c+d Cộng theo vế ta có : 2(a + b + c + d ) a+b+c+d M  = 1  M  2 a+b+c+d a +b+c +d a+b b+c c+d d +a + + + 3 Bài 4: Cho a,b,c,d > 0, CMR: 2  a+b+c b+c+d c+d +a d +a+b HD : a+b a+b a+b+d   Ta có : a+b+c+d a+b+c a+b+c+d Chứng minh tương tự : c+d b+c c+d b+c b+c+a c+d +b     , a+b+c+d b+c+d a+b+c+d a+b+c+d c+d +a a+b+c+d d +a d +a d +a+c   Và a+b+c+d d +a+b a+b+c+d Cộng theo vế ta có : 2(a + b + c + d ) 3( a + b + c + d ) M  a +b+c+d a +b+c +d a b c + + 2 Bài 5: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, CMR: 1  b+c c+a a +b HD : a a a+a b b b+b c c c+c       Ta có : và và a+b+c b+c a +b+c a+b+c c+a a+b+c a+b+c a+b a+b+c 2 a + b + c ( ) a+b+c M  Cộng theo vế ta được : a+b+c a +b+c 28 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức Bài 6: CMR nếu a,b,c > 0 thì a b c 3 + +  b+c c+a a+b 2 HD : 1 1 1 Áp dung BĐT : ( x + y + z )  + +   9 , Đặt x y z b + c = x  c + a = y = x + y + z = 2 ( a + b + c ) a + b = z  1 1  a+b+c a+b+c a+b+c 9  1 Khi đó ta có : 2 ( a + b + c )  + + + +    9 = a +b b+c c+a 2  a+b b+c c+a  => ĐPCM a b c + + 3 Bài 7: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, CMR: b+c−a a +c −b a +b−c HD : b + c − a = x  x + y = 2c y+z x+z x+ y   Đặt : a + c − b = y =  y + z = 2a , Khi đó : 2 A = + + x y z a + b − c = z  z + a = 2b    x y  z x  z y =  +  +  +  +  +   6 = A  3  y x x z  y z Bài 8: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, 1 1 1 1 1 1 + +  + + CMR: a +b−c b+c −a c + a −b a b c HD : 1 1 4 2 +  = Áp dụng BĐT Schawzr : a + b − c b + c − a 2b b Tương tự ta có : 1 1 2 1 1 2 +  , Cộng theo vế ta được : ĐPCM +  và c + a −b a +b−c a b+c −a c + a −b c Bài 9: CMR với a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác và p là nửa chu vi của tam giác đó thì: 1 1 1 1 1 1 + +  2 + +  p −a p −b p −c a b c HD : 1 1 4 4 +  = p −a p −b 2p −a −b c 1 1 1 1 4 4 Tương tự ta có : + +  và  p −b p −c a p−c p−a b Cộng theo vế ta được điều phải chứng minh Ta có : Bài 10: Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là a,b,c chu vi là 2p, CMR: HD : abc  ( p − a )( p − b )( p − c ) 8 ta có : ( p − a ) + ( p − b )  2 ( p − a )( p − b ) = c  2 ( p − a )( p − b ) Chứng minh tương tự ta có : a  2 ( p − b )( p − c ) và b  2 ( p − a )( p − c ) Nhân theo vế ta được : abc  8 ( p − a )( p − b )( p − c ) 29 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức Bài 11: CMR: Nếu a,b,c là chiều dài ba cạnh của tam giác thì: ab + bc + ca  a2 + b2 + c2  2 ( ab + bc + ca ) HD : Ta chứng minh : a 2 + b2 + c 2  ab + bc + ca Chuyển vế ta được : a 2 + b2 + c 2 − ab − bc − ca  0 = ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a )  0 2 2 2 Ta chứng minh : a2 + b2 + c2  2 ( ab + bc + ca ) a 2  ab + ac a  b + c   Ta có : b  a + c = b2  bc + ba , Cộng theo vế ta được : a2 + b2 + c2  2 ( ab + bc + ca ) c  a + b  2  c  ac + bc Bài 12: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, CMR: abc  ( a + b − c )(b + c − a )( c + a − b ) HD : Ta có : ( a + b − c ) + ( b + c − a )  2 ( a + b − c )( b + c − a ) = 2b  2 ( a + b − c )(b + c − a ) Tương tự ta có : 2c  2 ( b + c − a )( c + a − b ) và 2a  2 ( a + b − c )( c + a − b ) Nhân theo vế ta được ĐPCM Bài 13: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, CMR: a 4 + b4 + c 4  2 a 2b2 + b2c 2 + c 2 a 2 ( ) HD : Ta có : a 4 + b4 + c 4 − 2a 2b2 − 2b2c 2 − 2c 2 a 2  0 = a 4 + b4 + c 4 + 2a 2b2 − 2b 2c 2 − 2c 2 a 2 − 4a 2b2  0 = ( a 2 + b2 − c 2 ) − ( 2ab )  0 = ( a 2 + b2 − c 2 + 2ab )( a 2 + b2 − c 2 − 2ab )  0 2 2 = ( a + b + c )( a + b − c )( a − b + c )( a − b − c )  0 (Luôn đúng ) Bài 14: Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác, CMR: b c a a b c + +  + + với a  b  c a b c b c a HD : Nhân 2 vế với a,b,c ta có : b2c + c 2 a + a 2b  a 2c + ab2 + bc 2 = c b2 − a 2 + a c 2 − b2 + b a 2 − c 2  0 = ( c − a )( b − c )( b − a )  0 Đúng ( ) ( ) ( ) Bài 15: CMR với a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác thì: 4a 2b 2  ( a 2 + b 2 − c 2 ) HD : ( ) ( )( 2 ) Xét hiệu : 4a 2b2 − a 2 + b2 − c 2  0 = 2ab + a 2 + b2 − c 2 2ab − a 2 − b2 + c 2  0 = ( a + b + c )( a + b − c )( c + a − b )( c − a + b )  0 đúng Bài 16: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, CMR: a ( b − c ) + b ( c − a ) + c ( a + b )  a3 + b3 + c3 2 2 2 HD : 2 2 Ta xét : a ( b − c ) − a3 = a ( b − c ) − a 2  = a (b − c − a )(b − c + a )  0   Chứng minh tương tự ta có : Tổng của 3 số âm là 1 số âm 1 Bài 17: Cho a + b + c = 1, CMR : a 2 + b 2 + c 2  3 HD : 1 2 1   2 2 a = x + 3  a = x + 3 .x + 9   1 2 1   b = y + = b 2 = y 2 + . y +  Đặt  3 3 9 Cộng theo vế ta được :  1 2 1   2 2 c = z + 3 c = z + 3 . z + 9   30 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức a 2 + b2 + c2 = ( x2 + y 2 + z 2 ) + 2 1 (1) (x + y + z) + 3 3 Mà : a + b + c = x + y + z + 1 = x + y + z = 0 , Thay vào (1) 1 1 => a 2 + b 2 + c 2 = x 2 + y 2 + z 2 +  3 3 Bài 18: Cho a,b,c là dộ dài ba cạnh của 1 tam giác, CMR: a2 + b2 + c2  2 ( ab + bc + ca ) HD : a 2  ab + ac a  b + c   Ta có : b  c + a = b2  ab + bc , Cộng theo vế ta được ĐPCM c  a + b  2  c  ac + bc 1 1 1 , , Bài 19: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, CMR: , cũng là độ dài 3 cạnh của 1 a+b b+c c+a tam giác HD : 1 1 1 1 2 2 1 +  + =  = Ta cần chứng minh : a + b b + c a + b + c a + b + c a + b + c (a + c ) + (a + c ) a + c 1 1 1 1 1 1 + +   Tương tự ta cũng có : và b+c c+a a+b c+a a+b b+c Bài 20: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác có chu vi bằng 2, hãy so sánh a,b,c với 1, CMR: a 2 + b2 + c 2 + 2abc  2 HD : Giải sử : a  b  c = a  b + c = 2a  a + b + c = 2 = a  1 = b, c  1 Khi đó : (1 − a )(1 − b )(1 − c )  0 = ab + bc + ca  1 + abc lại có : 2 ( a + b + c ) = a2 + b2 + c2 + 2 ( ab + bc + ca )  a 2 + b2 + c2 + 2 (1 + abc ) = 4  a 2 + b2 + c 2 + 2 + 2abc = a 2 + b2 + c 2 + 2abc  2 Bài 21: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, CMR: abc  ( a + b − c )(b + c − a )( c + a − b ) HD : Ta có : ( a + b − c ) + ( b + c − a )  2 Tương tự ta có : 2c  2 ( a + b − c )(b + c − a ) = 2b  2 ( a + b − c )(b + c − a ) ( b + c − a )( c + a − b ) và 2a  2 ( a + b − c )( c + a − b ) Nhân theo vế ta được ĐPCM Bài 22: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, CMR : ab + bc + ca  a2 + b2 + c2  2 ( ab + bc + ca ) HD : Ta chứng minh : a 2 + b2 + c 2  ab + bc + ca Chuyển vế ta được : a 2 + b2 + c 2 − ab − bc − ca  0 = ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a )  0 2 2 2 Ta chứng minh : a2 + b2 + c2  2 ( ab + bc + ca ) ta có : a 2  ab + ac a  b + c  2  2 2 2 b  a + c = b  bc + ba , Cộng theo vế ta được : a + b + c  2 ( ab + bc + ca ) c  a + b  2  c  ac + bc 31 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức Bài 23: Cho a,b,c là chiều dài ba cạnh của 1 tam giác có chu vi bằng 2,CMR: a 2 + b2 + c 2 + 2abc  2 HD : Giải sử : a  b  c = a  b + c = 2a  a + b + c = 2 = a  1 = b, c  1 Khi đó : (1 − a )(1 − b )(1 − c )  0 = ab + bc + ca  1 + abc lại có : (a + b + c) 2 = a 2 + b2 + c 2 + 2 ( ab + bc + ca )  a 2 + b2 + c 2 + 2 (1 + abc ) = 4  a 2 + b2 + c 2 + 2 + 2abc = a 2 + b2 + c 2 + 2abc  2 Bài 24: Cho a,b,c là ba cạnh của 1 tam giác: CMR: 3a + b 3b + c 3c + a + + 4 2a + c 2b + a 2c + b HD :  3a + b   3b + c   3c + a  Ta có : VT =  − 1 +  − 1 +  − 1  1  2a + c   2b + a   2c + b  a +b−c b+c −a c + a −b = + +  1 , Lại có : 2a + c 2b + a 2c + b (a + b − c) (b + c − a ) (c + a − b) = + + 1 ( 2a + c )( a + b − c ) ( 2b + a )(b + c − a ) ( 2c + b )( c + a − b ) 2 a + b + c) ( = =1 ( 2a + c )( a + b − c ) + ( 2b + a )(b + c − a ) + ( 2c + b )( c + a − b ) 2 2 2 1 1 1 + +  a+b+c, a b c 1 1 1 + + Tìm Max của: T = 2 2 2 + a 2 + b 2 + c2 HD :   a2 a2   b2   c2  b2 c2  + 1 − + 1 − = 3 − + + Ta có : 2T = 1 − 2       2  = 3− A 2 2 2 2  a +2  b +2  c +2 a +2 b +2 c +2 Bài 25: Cho a,b,c > 0 thỏa mãn: Schawzr ta có : 2 a + b + c) a 2 + b 2 + c 2 + 2 ( ab + bc + ca ) ( A 2 2 2 = a +b +c +6 a 2 + b2 + c 2 + 6 (1) Mà : abc ( a + b + c )  ab + bc + ca = ( ab + bc + ca )  3abc ( a + b + c ) , Tự chứng minh 2 => ( ab + bc + ca )  3 ( ab + bc + ca ) = ab + bc + ca  3 thay vào (1) ta được : 2 A  1 = 2T  2 = T  1 Bài 26: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác: CMR : a2016 b2016 c 2016 + +  a 2015 + b2015 + c 2015 b +c −a c + a −b a +b −c HD : Xét hiệu ta có :  ( a − b) + (a − c)   a 2016  a   − a 2015  = a 2015  − 1 = a 2015    b+c−a b+c−a  b+c−a    Tương tự ta cũng có :  (b − a ) + (b − c )  2015  ( c − a ) + ( c − b )  b 2015    và c  a+b−c c + a −b     Khi đó  a 2015  b 2015  a 2015 b 2015  c 2015  c 2015  VT = ( a − b )  − + b − c − + a − c − ) )  (  (   b+c −a c + a −b   c + a −b a +b−c  b+c−a a+b−c  32 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức Giả sử : a  b  c = Ngoặc 2, 3  0 c ( a 2015 − b2015 ) + ( a − b ) ( a2015 + b2015 ) a 2015 b2015 ta có ngoặc 1= − =  0 , ĐPCM (b + c − a ) (c + a − b) (b + c − a )( c + a − b ) 1 Bài 27: Cho a + b + c = 1, CMR : a 2 + b 2 + c 2  3 HD : 1 2 1   2 2 a = x + 3  a = x + 3 .x + 9   1 2 1   b = y + = b 2 = y 2 + . y +  Đặt 3 3 9 Cộng theo vế ta được :   1 2 1   2 2 c = z + 3 c = z + 3 . z + 9   a 2 + b2 + c2 = ( x2 + y 2 + z 2 ) + 2 1 (1) (x + y + z) + 3 3 mà : a + b + c = x + y + z + 1 = x + y + z = 0 , Thay vào (1) 1 1 => a 2 + b 2 + c 2 = x 2 + y 2 + z 2 +  3 3 a b c + + 3 Bài 28: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, CMR: b+c−a a +c −b a +b−c HD : b + c − a = x  x + y = 2c y+z x+z x+ y   Đặt : a + c − b = y =  y + z = 2a , Khi đó : 2 A = + + x y z a + b − c = z  z + a = 2b    x y  z x  z y =  +  +  +  +  +   6 = A  3  y x x z  y z a b c d + + + 2 Bài 29: Cho a,b,c,d>0, CMR: b+c c+d d +a a+b Bài 30: Chứng minh với ba số a, b, c đôi 1 khác nhau thì : a3 b3 c3 + + = a+b+c ( a − b )( a − c ) ( b − c )( b − a ) ( c − a )( c − b ) Bài 31: Cho a, b, c đôi 1 khác nhau thỏa mãn : a + b + c ( b − c ) ( c − a) ( a − b ) 2 2 2 a b c + + = 0 , CMR : b−c c−a a−b =0 Bài 32: Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương và số đo diện tích bằng chu vi HD: Gọi các cạnh của tam giác vuông là x, y, z trong đó cạnh huyền là z ( x, y, z là các số nguyên dương) Ta có: xy = 2 ( x + y + z ) (1) và x 2 + y2 = z2 (2) Từ (2) = z 2 = ( x + y ) − 2 xy , thay vào (1) ta có: 2 z 2 = ( x + y ) − 4 ( x + y + z ) = z 2 + 4 z = ( x + y ) − 4 ( x + y ) 2 2 z 2 + 4 z + 4 = ( x + y ) − 4 ( x + y ) + 4 = ( z + 2 ) = ( x + y − 2 ) 2 2 2 33 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức = z + 2 = x + y − 2 = z = x + y − 4 , thay vào (1) ta được : xy = 2 ( x + y + x + y − 4 ) = xy − 4 x − 4 y = −8 = ( x − 4 )( y − 4 ) = 8 = 1.8 = 2.4 Từ đó ta tìm được các giá trị của x, y, z là : ( 5;12;13) ; (12;5;13) ; ( 6;8;10 ) ; (8;6;10 ) 34 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức DẠNG 5, TÌM ĐIỂM RƠI CỦA BĐT CO SI: Bài 1: Cho a  2, CMR : a + 1 5  a 2 HD : Ta có : Dấu bằng khi a = 2 => 1 1 1 = = k .a = k .2 = k = a 2 4 Khi đó ta có : 1 a 3a a 3a 3a 3 5 VT = + +  2 + = 1+  1+ = a 4 4 4a 4 4 2 2 1 a  = Dấu bằng khi  a 4 a = 2 Bài 2: Cho a,b > 0, a + b  1, CMR : a + b + 1 1 + 5 a b HD : a + b = 1 1 1 1 = a = b = = = 2 = k. = k = 4 Ta có : Dấu bằng khi  2 a 2 a = b 1  1  1  1  Khi đó : VT =  + a  +  + b  =  + 4a  +  + 4b  − 3 ( a + b ) a  b  a  b   2 4 + 2 4 − 3 ( a + b ) , Mà a + b  1 = −3 ( a + b )  −3 = VT  4 + 4 − 3 = 5 x2 + y 2 Bài 3: Cho x  2 y  0, Tìm GTNN của: P = xy HD : x x y 1 Ta có : P = + , đặt = a = a  2 = P = a + y y x a 1 1 1  1 a  3a Dấu bằng khi a = 2 = = = k.2 = k = = P =  +  + a 2 4 a 4 4 2 3.2 3 5 P + = 1+ = 2 2 4 4 1 Bài 4: Cho a  3, Tìm GTNN của: S = a + a HD : 1 1 1 Ta có : Dấu bằng khi a = 3 = = = k .3 = k = a 3 9  1 a  8a 2 8.3 2 8 10 S = + +  + = + = 9 9 3 3 3 a 9 9 10 Vậy Min S = 3 1 Bài 5: Cho x  1, Tìm Min của: A = 3 x + 2x HD : 1 1 1 = = k .3 = k = Ta có : Dấu bằng khi x = 1 = 2x 2 6 5 7  1 3x  5x 2 5.1  + = 1+ = Khi đó : A =  +  + 2 2 4 2  2x 6  2 35 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức Bài 6: Cho x,y là các sớ thực dương thỏa mãn: x+y  6, Tìm Min của: P = 5x + 3 y + 10 8 + x y HD : Dấu bằng khi x  y , Dự đoán sẽ có các cặp (x ; y) là (1 ;5),(2 ;4) , (5 ;1) và (4 ;2) và nhận thấy cắp (2 ;4) thì P có giá trị nhỏ nhất Khi đó ta có : 10 1 8 1 x = 2 = = 5 = k .5.2 = k = ,, = 2 = 3.4.h = h = x 2 4 6 5  10 5 x   8 3 y  5 x 5 y => P =  +  +  +  + +  2.5 + 2.2 + .6 = 29 2 2  x 2  y 6  2 Bài 7: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn : a+2b+3c  20, 3 9 4 Tìm Min của: P = a + b + c + + + a 2b c HD : Dấu bằng khi a=2, b=3, c=4  3 3a   9 b   4 c  a b 3c Khi đó : P =  +  +  +  +  +  + + +  a 4   2b 2   c 4  4 2 4 1 1 P  3 + 3 + 2 + ( a + 2b + 3c )  8 + .20 4 4 1 Bài 8: Cho a  2, Tìm Min của: S = a + 2 a HD : 1 1 1 Dấu bằng khi a=2=> 2 = = h.2 = h = , Khi đó ta có : a 4 8 1 3.2 3 6 9  a a 1  3a S =  + + 2  +  33 + = + = 64 4 4 4 4 8 8 a  4 1 1 Bài 9: Cho 0  a  , Tìm Min của: S = 2a + 2 a 2 HD ; 1 1 1 Dấu bằng khi a = = 2 = 4 = k .2. = k = 4 , Khi đó ta có : 2 a 2 1 1   S =  2 + 8a + 8a  − 14a  3 3 64 − 14a , mà a  = −14a  −7 = S  3.4 − 7 = 5 2 a  1 1 1 Bài 10: Cho a  10, b  100, c  1000, Tìm Min của: A = a + + b + + c + a b c HD : 1 1 1 = k .10 = k = Dấu bằng khi a = 10 = = , Tương tự với b và c, a 10 100 Khi đó ta có : 2 99.10 101  1 a  99a B= +  + = , Tương tự với b và c + 10 100 100  a 100  100 Bài 11: Cho a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn: a + b + c  1, Tìm Min của: P = a + b + c + 1 1 1 + + a b c HD : 1 1  1  1  Dấu bằng khi a = b = c = , Khi đó P =  + 9a  +  + 9b  +  + 9c  − 8 ( a + b + c ) 3 a  b  c  P  2 9 + 2 9 + 2 9 − 8 ( a + b + c ) Mà a + b + c  1 = −8 ( a + b + c )  −8 Vậy P  6 + 6 + 6 − 8 = 10 36 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức Bài 12: Cho a,b,c là ba số thực thỏa mãn: a+b+c=1, Tìm Max của: P = 3 ab + 3 bc + 3 ca HD : 1 a+b+ 1 1 3 Ta có : Dấu bằng khi a = b = c = = 3 ab = 3 3. 3 a.b.  3 3. 3 3 3 1 1 b+c+ c+a+ 3 , 3 ca  3 3. 3 Tương tự ta có : 3 bc  3 3. 3 3  2a + 2b + 2c 1  3 Cộng theo vế ta được : P  3 3  + = 3 3 3  1 1 1 3 Bài 13: Cho a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn: a + b + c  , Tìm Min của: P = a + b + c + + + a b c 2 HD : 1 1  1  1  Dấu bằng khi a = b = c = = P =  + 4a  +  + 4b  +  + 4c  − 3 ( a + b + c ) 2 a  b  c  3 15 P  4 + 4 + 4 − 3. = 2 2 Bài 14: Cho a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn: a + b + c  1, 1 1 1 Tìm Min của: P = a + b + c + 2  + +  a b c HD : 1 2  2  2  Dấu bằng khi a = b = c = = P = 18a +  + 18b +  + 18c +  − 17 ( a + b + c ) 3 a  b  c  = P  19 Bài 15: Cho a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn: a + b + c = 1, , Tìm Min của: a3 b3 c3 A= + + 2 2 (1 − a ) (1 − b ) (1 − c 2 ) HD : 1 Khi đó : 3 1− a 1− a 3 b3 1− b 1− b 3 + +  a , Tương tự ta cũng có : + +  b 2 8 8 4 8 8 4 (1 − b ) Dấu bằng khi a = b = c = a3 (1 − a ) 2 c3 (1 − c ) 2 + 1− c 1− c 3 +  c 8 8 4 Cộng theo vế ta được : A  3 1 (a + b + c) = 4 4 Bài 16: Cho a,b là các số thực dương thỏa mãn: a + b  1 , Tìm min của: S = ab + 1 ab HD : 1 1 = = 4 = 16ab 2 ab 1   Khi đó ta có : S = 16ab +  − 15ab  2 16 − 15ab ab   1 −15 mà a + b  2 ab = 1  2 ab = ab  = −15ab  4 4 Ta có : Dấu bằng khi a = b = 37 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức Vậy S  2.4 − 15 15 17 = 8− = 4 4 4 Bài 17: Cho a,b là các số thực thỏa mãn: a + b  1 , Tìm min của A = a + b + 1 1 + a 2 b2 HD : 1 1  1  = A =  8a + 8a + 2  +  8b + 9b + 2  − 15 ( a + b ) 2 a   b   = S  3.4 + 3.4 −15.1 = 9 1 1 1 3 Bài 18: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn: a + b + c  , Tìm Min P = a + b + c + 2 + 2 + 2 a b c 2 HD : 1 Dấu bằng khi a = b = c = 2 1  1  1  Khi đoa : P =  8a + 8a + 2  +  8b + 8b + 2  +  8c + 8c + 2  − 15 ( a + b + c ) a   b   c   3 45 27 P  3.4 + 3.4 + 3.4 − 15. = 36 − = 2 2 2 1 1 1 3 Bài 19: Cho a,b,c là các sơ thực dương thỏa mãn: a + b + c  , Tìm Min: A = a 2 + b 2 + c 2 + + + a b c 2 HD : 1 Dấu bằng khi : a = b = c = 2 1 1   1 1  1 1  31 1 1  = P =  a 2 + +  +  b2 + +  +  c 2 + +  +  + +  8a 8a   8b 8b   8c 8c  4  a b c   3 3 3 3 9  27 P + + +  = 4 4 4 4 a+b+c  4 Bài 20: Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn: x + y  1 Dấu bằng khi a = b = 1  1   Tìm Min của: A = 1 − 2  1 − 2   x  y  HD : 1 Dấu bằng khi : x = y = = A = 9 , Ta cần chứng minh A  9 2 1  1   Xét 1 − 2  1 − 2   9 = ( x 2 − 1)( y 2 − 1)  9 x 2 y 2  x  y  = 1  x2 + y2 + 8×2 y2 , do 1  ( x + y ) , Nên ta cần chứng minh : 2 ( x + y) 2  x 2 + y 2 + 8x 2 y 2 = 2 xy (1 − 4 xy )  0 ( x + y) BĐT này đúng do: 0  xy  2 1 1 = Min. A = 9 khi x = y = 2 4 4 a+b ab + Bài 21: Cho a,b>0 Tìm Min của: P = ab a + b HD :  a+b ab =  Dấu bằng khi :  m ab a + b = m = 4 a = b  Khi đó ta có :  38 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức a+b ab 3 a + b 1 3.2 ab 3.2 5 + + . 2 + = 1+ = 4 4 ab 4 2 4 ab a + b 4 ab 1 1 + Bài 22: Cho a + b  1 và a,b>0, Tìm min của: P = 2 2 a +b ab HD : 1 Dấu bằng khi a = b = 2 1 1  1 4 1  Khi đó : P =  2 +  + + 2 2  a + b 2ab  2ab ( a + b ) 2ab P= P 4 ( a + b) 2 + 2 4 2 6  + = 6 2 2 2 4ab ( a + b ) ( a + b ) (a + b) Bài 23: Cho a,b>0 và a + b  1 , Tìm Min của: P = 1 1+ a + b 2 2 + 1 2ab HD : 1 1 1 = . Khi đó : 2 2 1+ a + b 3.2ab 2 4 1 1 1  1 4 1  + => P  = P =  +  2 + + 2 2 2 2  1 + a + b 6ab  3ab ( a + b + 6ab + 1) 3ab ( a + b ) + 4ab + 1 3ab Dấu bằng khi : a = b = Mặt khác : a + b  2 ab = ab  1 4 1 8 = P  + = 4 2 + 1 3. 1 3 4 1 + a 2 + b 2 = 6ab 1  Dấu bằng khi a = b = a = b = 2 a + b = 1  Bài 24: Cho a,b>0, a + b  1 , Tìm Min của: P = 1 1 + + 4ab 2 a + b ab 2 HD : Dấu bằng khi a = b = 1 2 1   1 4 1  1  1   + + 4ab   +  4ab + Khi đó : P =  2 + + 2 2 4ab  4ab  a + b 2ab   2ab  ( a + b)  a 2 + b 2 = 2ab  1 1 4 4ab 1  = a = b = P + 2. +  7 . Dấu bằng khi a 2b 2 = 2 16 2 4ab 4. 1 ( a + b)  4 a + b = 1 1 1 1 Bài 25: Cho a,b>0 và a + b  1 , Tìm Min của: S = 3 3 + 2 + 2 a + b a b ab HD : 1 3 Dấu bằng khi a = b = và a3 + b3 + 3a 2b + 3ab2 = ( a + b ) 2 1 1 1 Khi đó : 3 3 = 2 = a +b 2a b 2ab 2 1 1 1 1 1 25 S= 3 3+ 2 + + 2 +  3 2 2 a + b 2a b 2ab 2a b 2ab ( a + b ) + ab ( a + b ) 39 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 25 S ( a + b) 3 + (a + b) 3 , Vì 4ab  ( a + b ) 2 ( a + b) = ab  4 2 => S  20 , Dấu bằng khi a = b = 1 2 4 Bài 26: Cho a,b,c>0 và a 2 + b2 + c 2 = 1 , Tìm Min của: P = a + b + c + 1 abc HD : 1 1 1 , Khi đó : = 3 3, a = abc 3 3 1 1 Tìm m sao cho : = a = b = c = m = m.abc 3 1  8 abc 8  P = a +b+c +  44 + + 9abc  9abc 9abc 9abc  4 8 1 2 2 , Ta lại có : a 2 + b 2 + c 2  3 3 ( abc ) = 1  3 3 ( abc ) = a 2b 2c 2  P + 27 3 9abc 4 8 12 9 3 1 3 1 = P  + = =4 3 = 9abc  = =  = 9abc 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 Bài 27: Cho x,y,z>0 và + + = 4 , Tìm Max của : P = + + 2x + y + z x + 2 y + z x + y + 2z x y z HD : 3 1 1 1 1 1 Dấu bằng xảy ra khi x = y = z = = 2 x = y + z = = + + + 4 2x + y + z x y z x 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Nên : P   + + +  +  + + +  +  + + +  16  x x y z  16  x y y z  16  x y z z  Dấu bằng khi a = b = c =  1 4 4 4  + +  =1 16  x y z  Bài 28 : Cho a,b,c là các số thực dương và a + b + c = 1, CMR: a + b + b + c + c + a  6 HD : 1 2 Dấu bằng khi : a = b = c = = a + b = b + c = c + a = 3 3 2 +a+b 2 2 2 2 3 Khi đó ta có : , ( a + b ) + (b + c ) + ( c + a )  2 => ( a + b )  3 2 3 3 3 2 2 2 +a+b +b+c +c+a +3 +3 =2 Tương tự ta có : VT  3 2 2 2 Bài 29: Cho a,b,c dương thỏa mãn: a+b+c=1, Tìm Max của A = 3 a + b + 3 b + c + 3 c + a HD : 1 2 Dấu bằng khi : a = b = c = = a + b = b + c = c + a = 3 3 2 2 a+b+ + 9 2 2 9 3 3 Nên : 3 a + b = 3 3 ( a + b ) . .  3 . 4 3 3 3 3 Tương tự ta có : 2 2 2 2 b+c+ + a+c+ + 9 9 3 3 3 và 3 c + a  3 . 3 3 b+c  3 . 4 3 4 3 40 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 9 2(a + b + c) + 4 3 . = 18 4 3 x2 y2 z2 3 Bài 30: Cho x,y,z>0 và xyz=1, CMR: + +  1+ y 1+ z 1+ x 2 HD : x2 1 1+ y Ta có Dấu bằng khi x = y = z = 1 = = = =  = 4 1+ y 2  Cộng theo vế ta được : P  3 y2 1+ z z2 1+ x x2 1 + y Khi đó : + +  y và z +  x , tương tự ta có : 1+ y 4 1+ z 1+ x 4 4 1 3 3 3 6 Cộng theo vế ta được : P  ( x + y + z ) − ( x + y + z ) − = ( x + y + z ) − = 4 4 4 4 4 Bài 31: Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn : xy + yz + zx = 5 , Tìm Min của : P = 3×2 + 3 y2 + z 2 HD :   x 2 + y 2  2 xy  1  Ta có :  2 x 2 + z 2  2 xz , Cộng theo vế ta được : P  2 ( xy + yz + zx ) = 10 2   2 1 2  2 y + 2 z  2 yz Dấu bằng khi x=y=1, z=2 Bài 32: Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn : x + y + xy = 8 , Tìm Min của : P = x2 + y2 HD : 2 x + y) ( t2 = + t  8 = t  −8 hoặc t  4 Ta có : 8 = x + y + xy  x + y + 4 4 2 ( x + y) = 8 2 Hay ( x + y )  16 = P = x 2 + y 2  2 x + y = 4  = x = y = 2 Dấu bằng khi  x = y  x + y + xy = 8  Bài 33 : Cho a,b là các số thực thỏa mãn : 0  a  3,8  b  11 và a+b=11, Tìm Max của : P = ab HD : Dấu bằng khi a = 3, b = 8 = 8a = 3b 2 ( 33 + 5.3) = 24 1 1 (8a + 3b ) 1 1 2 = . 3 ( a + b ) + 5a   ( 3.11 + 5a )  Khi đó : P = ( 8a.3b )  . 24 24 4 96 96 96 Bài 34: Cho x,y > 0, x + y  6, CMR : A = x ( x −1) + y ( y −1)  12 2 HD : 2 Dấu bằng khi x = y = 3 Khi đó : A = ( x 2 + y 2 ) − ( x + y ) = ( x 2 + 9 ) + ( y 2 + 9 ) − ( x + y ) − 18 A  2.3x + 2.3 y − ( x + y ) −18 => A  6 ( x + y ) − ( x + y ) −18 = 5 ( x + y ) −18  30 −18 = 12 Bài 35: Cho a,b,c > 0, Thỏa mãn : a + b + c = 1, CMR : S = a + b + b + c + c + a  16 HD : 1 2 Dấu bằng khi a = b = c = = a + b = b + c = c + a = 3 3 41 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 2 +a+b 2 3 Co si ngược ta có : , ( a + b)  3 2 2 2 +b+c +c+a 2 2 , Tương tự ta có : (b + c )  3 (c + a)  3 3 2 3 2 2(a + b + c) 2 3 .S  1 + = 2 = S  2 = 6 Cộng theo vế ta được : 3 2 2 Bài 36: Cho a,b > 1, CMR: a b −1 + b a −1  ab HD : Dấu bằng khi : b −1 = a −1 = 1 = a = b = 2 Co si ngược ta có : (b −1) + 1 = ab a ( b − 1) .1  a. 2 2 a − 1 + 1 ab b ( a − 1) .1  b. = 2 2 Cộng theo vế ta được : ab ab a ( b − 1) + b ( a − 1)  + = ab 2 2 x2 y2 z2 Bài 37: Cho x,y,z > 0, x+y+z = 2, tìm GTNN của: P = + + y+z x+z x+ y HD : 2 Dáu bằng khi x = y = z = 3 2 x 1 y+z Khi đó : = = = k = 4 y+z 3 k x2 y+z Nên : +  x , Tương tự ta có : y+z 4 x+ y+z x+ y+z P+  x + y + z = P  =1 2 2 x2 y2 Bài 38: Cho x,y > 1, CMR : + 8 y −1 x −1 HD : Dấu bằng khi x = y , Thay vào ta được : x2 x2 + = 8 = x = y = 2 x −1 x −1 y2 x2 + 4 ( y − 1)  4 x và Khi đó : + 4 ( x − 1)  4 y y −1 x −1 VT  4 ( x + y ) − 4 ( y −1) − 4 ( x −1) = 8 Bài 39: Cho a,b,c > 0, thỏa mãn: a 2 + b2 + c 2 = 1 , CMR: a b c 3 3 + 2 2+ 2 2 2 b +c a +c a +b 2 2 HD : Dấu bằng khi a = b = c = 1 3 42 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 2 a2 a 2 .2a 2 2a 4 27a 4 a 2 3 3  a  =  =  Khi đó :  2 2  = 2 2  b + c  (1 − a 2 ) (1 − a2 )(1 − a2 ) .2a2 8 4 27 3 3 2 3 3 2 3 3 3 3 2 2 2 3 3 Tương tự ta có : VT  a 2 . +b . +c . = (a + b + c ) = 2 2 2 2 2 43 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức BẤT ĐẲNG THỨC CHƯA SOẠN Bài 1 : Cho a + b = x + y, a2 + b2 = x 2 + y2 , Chứng minh rằng : a2010 + b2010 = x2010 + y2010 HD: Từ a + b = x + y = a − x = y − b Mặt khác: a2 + b2 = x 2 + y2 = a2 − x 2 = y2 − b2 = ( a + x )( a − x ) = ( y + b )( y − b )  a − x = 0,(1) = ( a + x )( a − x ) = ( y + b )( a − x ) =   a + x = b + y,(2) a − x = 0 = b = y = a2010 + b2010 = x 2010 + y2010 Với  a + b = x + y a + b = x + y = a = y = b = c = a2010 + b 2010 = x 2010 + y 2010 Với  a + x = b + y Bài 2 : Cho x+y=2, CMR: x2011 + y2011  x2012 + y2012 HD : Xét ( x 2012 + y 2012 ) − ( x 2011 + y 2011 ) = x 2011 ( x − 1) + y 2011 ( y − 1) = x2011 (1 − y ) + y 2011 ( y − 1) Do x-1=1-y Vậy ( x 2012 + y 2012 ) − ( x 2011 + y 2011 ) = (1 − y ) ( x 2011 − y 2011 ) Giả sử : x  y = x2011  y2011 và x1  1  y do đó : (1 − y ) ( x 2011 − y 2011 )  0 ( dpcm ) Tương tự nếu lấy y  x = y2011  x2011 và y  1  x đo đó (1 − y ) ( x 2011 − y 2011 )  0 ( dpcm ) dấu = khi x=y=1 Bài 3: CMR: A = a b c + + 3 b+c −a a +c −b a +b −c HD: Đặt b + c − a = x  0, c + a − b = y  0, a + b − c = z  0 , từ đó: y−z x+z x+ y a= ,b = ,c = thay vào A ta được 2 2 2 y + z x + z x + y 1  y x   x z   y z   1 A= + + =  +  +  +  +  +    ( 2 + 2 + 2 )  3 2x 2y 2z 2  x y   z x   z y   2 Bài 4: CMR: nếu a, b, c là độ dài các cạnh của 1 tam giác thì A<0 HD: Ta có: b+c−a  0 b+c+a  0 b−c−a  0 b − c + a  0 Vậy A<0 a b c d + + + Bài 5: Cho a,b,c,d > 0, Chứng tỏ rằng: N = có giá trị không a+b+c b+c+d c+d +a d +a+b nguyên Bài 6: Tìm các số nguyên x, y, z thỏa mãn: x2 + y2 + z 2  xy + 3y + 2z − 4 HD: 2 2 y 2  y  Ta có gt=>  x −  + 3  − 1 + ( z − 1)  0 => 2  2  44 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức Bài 7: Cho a, b, c  0 và a + b + c  1, CMR: 1 1 1 + 2 + 2 9 a + 2bc b + 2ac c + 2ab 2 HD: Đặt x = a2 + 2bc, y = b2 + 2ac, z = c2 + 2ab 1 1 1 2 Khi đó x+y+z= ( a + b + c )  1 và + +  9 với x + y + z  1 x y z Áp dụng Co si cho 3 số : x + y + z  3 3 xyz ta được 1 1 1 1 + +  33 x y z xyz 1 1 1 1 1 1 1 => ( x + y + z )  + +   9 mà x + y + z  1 => + +  9 đảng thức xảy ra khi x=y=z= 3 x y z x y z Bài 8: Cho a, b, c là các số không âm và không lớn hơn 2 thỏa mãn: a+b+c=3. CMR: a 2 + b2 + c 2  5 HD: Theo giả thiết ta có: ( 2 − x )( 2 − b )( 2 − c )  0 = 8 + 2 ( ab + bc + ca ) − 4 ( a + b + c ) − abc  0 Cộng hai vế với a 2 + b2 + c2 sau đó thu gọn ta được: 2 ( a + b + c )  a 2 + b2 + c 2 + abc + 4 = a 2 + b2 + c 2 + abc  5 , Mà abc  0 = a 2 + b2 + c 2  5 Đẳng thức xảy ra khi trong ba số a,b,c có 1 số bằng 0, một số bằng 2 và 1 số bằng 1 Bài 9: Cho x,y >0 thỏa mãn: x2 + y3  x3 + y4 , CMR : x3 + y3  2 , dấu bằng xảy ra khi nào ? HD: Áp dụng BĐT cô si cho hai số dương ta có: x + x3  2×2 , y2 + y4  2 y3 do vậy x + x3 + y 2 + y 4  2 x 2 + 2 y 3 = x + y 2  ( x 2 + y 3 − x3 − y 4 )  x 2 + y 3 Do x2 + y3  x3 + y4 . Mà x2 +1  2x, y4 +1  2 y2 Nên 1+ x2 +1+ y4  2x + 2 y2  2×2 + 2 y3  x2 + y3 + x3 + y4 do vậy x3 + y3  2 dấu bằng khi x=y=1 Bài 10: CM: x2 + y2 − xy  x + y −1 HD: x 2 + y 2 − xy  x + y − 1 = 2 ( x 2 + y 2 − xy )  2 ( x + y − 1) => 2×2 + 2 y2 − 2xy  2x + 2 y − 2 => ( x − y ) + ( x − 1) + ( y − 1)  0 luôn đúng, dấu bằng khi x=y=1 2 2 2 Bài 11: CMR không có giá trị nào của x thỏa mãn: HD: Ta có: −4 ( x − 1) 2 +1 − 5 mà −4 ( x − 1) 2 +1 −4 −5  0 x − 2x + 2 2  0, −5  0 => đpcm Bài 12: Cho a, b là các số dương thỏa mãn: a3 + b3 = a5 + b5 , CMR: a 2 + b2  1 + ab HD: Ta có: a 2 + b2  1 + ab = a 2 + b2 − ab  1 = ( a + b ) ( a 2 + b2 − ab )  a + b = a3 + b3  a + b => ( a3 + b3 )( a3 + b3 )  ( a + b ) ( a5 + b5 ) = 2a3b3  ab5 + a5b => ab ( a 4 − 2a 2b2 + b4 )  0 = ab ( a 2 − b2 )  0 luôn đúng do a, b dương Bài 13: Cho các số a, b, c 0;1 , CMR: a + b2 + c3 − ab − bc − ca  1 HD: Do a,b,c 0;1 Nên (1 − a )(1 − b )(1 − c )  0 = 1 − a − b − c + ab + bc + ca − abc  0 => a + b + c − ab − bc − ca  1 − abc  1, Do a,b,c 0;1 nên b2  b, c3  c , từ đó ta có: a + b2 + c3 − ab − bc − ca  a + b + c − ab − bc − ca  1 45 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức Bài 14: Cho a>0, b>0 và a+b=1, CMR: 1 1 4 +  a +1 b +1 3 HD: 1 1 4 +  = 3 ( a + 1 + b + 1)  4 ( a + 1)( b + 1) => 9  4 ( ab + a + b + 1) do a+b=1 a +1 b +1 3 2 2 => 9  4ab + 8 = 1  4ab = ( a + b )  4ab => ( a − b )  0 đúng với mọi a, b Bài 15: Cho a, b, c là ba số dương và 1 1 2 a+b c+b + = , CMR : + 4 2a − b 2c − b a c b HD: 1 1 2 bc ab + = = 2a − b = và 2c − b = a c b a c a+b c+b a+b c+b c c a a ac => + = + = + + +  44 2  4 ab bc 2a − b 2c + b b a b c b c a Áp dụng BĐT Cô si cho 3 số a, b, c dương , dấu bằng khi a=b=c Bài 16: Cho a,b,c là các số thỏa mãn hai điều kiện sau: 0  a  b, ax2 + bx + c = 0 vô nghiệm, a+b+c =3 CMR: b−a HD: a+b+c  3 = a + b + x  3 ( b − a ) = 4a + c  2b (*) Do 0  a  b nên ta có b−a Vì phương trình ax 2 + bx + c = 0 vô nghiệm nên b 2  4ac a+b+c b2 b2 b2 3 = 4a + c  4a +  2 4a = 2b từ đó suy ra: (*) đúng hay => c  b−a 4a 4a 4a Bài 17: Cho a, b là các số nguyên dương thỏa mãn : a3 + b3 = a − b , CMR : a 2 + b2 + ab  1 Bài 18: Cho x,y,z là ba cạnh của 1 tam giác: CMR: A = 4 x 2 y 2 − ( x 2 + y 2 + z 2 )  0 Bài 19: CMR : x 4 + 2012 x 2 − 2011x + 2012  0 với mọi x Bài 20: Cho a, b, c, d thỏa mãn: −2  a, b, c, d  5 và a + 2b + 3c + 5d = 10 . CMR: a 2 + 2b2 + 3c 2 + 5d 2  140 1 1 1 1 1 1 1 + 2 + 2   + +  Bài 21 : CMR : 2 x + yz y + xz z + xy 2  xy yz xz  HD : 1 1 1 1  1  yz + xz + xy  2 2 Ta có : x + yz  2 x yz = 2 x yz Khi đó : VT   + + =    2  x yz y xz z xy  2  xyz   y+z x+z x+y + + 2 2  1  x + y + z  1  1 1 1  1  2 VT    = + + , Dấu ‘’=’’ khi x=y=z 2 xyz 2  xyz  2  yz zx xy  Bài 22 : CHứng minh rằng nếu : x1 + 1 1 1 1 = x2 + = x3 + = … = xn + , thì x1 = x2 = x3 = …. = xn x2 x3 x4 x1 hoặc : x1.x2 .x3 ….xn = 1 Bài 23 : Cho a, b, c, d >0, CMR : 2  a+b b+c c+d d+a + + + 3 a+b+c b+c+d c+d +a d +a+b 46 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức Bài 24: Chứng minh rằng nếu a, b, c là các sớ thực thỏa mãn: 1 1 1 + + = 2 và a + b + c = abc , thì a b c 1 1 1 + + =2 a2 b 2 c 2 Bài 25: Cho a + b + c = 2 p , CMR: 2bc + b2 + c2 − a2 = 4 p ( p − a ) 3 Bài 26: Cho x + y = a, x 2 + y2 = b, x 3 + y3 = c , CMR: a − 3ab + 2c = 0 4 4 4 Bài 27: Cho a + b + c = 0, a2 + b2 + c2 = 1 , Tính giá trị của: M = a + b + c Bài 28: Cho a, b, c đôi 1 khác nhau thỏa mãn: ( a + b + c ) = a2 + b 2 + c 2 , CMR: 2 a2 b2 c2 + + =1 a2 + 2bc b2 + 2ac c2 + 2ab 1 1 1 b+c c+a a+b + + Bài 29: Cho + + = 0 , tính giá trị của: M = a b c a b c 2 2 2 a b c a b c + + = 1 , CMR: Bài 30: Cho + + =0 b+c c+a a+b b+c c+a a+b a.x 2 + b.y2 + c.z 2 Bài 31: Cho a.x + b.y + c.z = 0 , Rút gọn: A = 2 2 2 bc ( y − z ) + ac ( x − z ) + ab ( x − y ) a b c Bài 32: Cho a + b + c = 0, x + y + z = 0, + + = 0 , CMR: a.x 2 + by2 + cz2 = 0 x y z a b c a b c + + = 0 , CMR: Bài 33: Cho + + =0 2 2 2 b−c c−a a−b ( b − c ) ( c − a) ( a − b ) Bài 34: Chứng minh rằng nếu: x + y + z = −3 thì: Bài 35: C ( x + 1) + ( y + 1) + ( z + 1) = 3 ( x + 1)( y + 1)( z + 1) ho a ,b thỏa mãn: a  1, b  1 , CMR: 3 3 3 1 1 2 +  2 2 1 + ab 1+ a 1+ b 2018 2018 = a2020 + b 2020 , Tìm GTLN của: P = ( a + 1) + ( b + 1) Bài 36: Cho a, b không âm thỏa mãn: a + b 2 2 HD: Ta có: P = a2 + b2 + 2 ( a + b ) + 2  4 + 2 ( a + b ) , Bài 37: Cho a, b, c là các số thỏa mãn hai điều kiện 0  a  b, a.x2 + bx + c = 0 vô nghiệm, a+b+c 3 Chứng minh rằng: b−a HD: a+b+c  3 = a + b + c  3 ( b − a ) = 4a + c  2b Do 0  a  b , nên bất đẳng thức: b−a Vì phương trình: ax 2 + bx + c = 0 vô nghiệm nên b 2  4ac b2 b2 b2 = 4a + c  4a +  2 4a. = 2b 4a 4a 4a a+b+c 3 Từ đó suy ra: b−a = c  47 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức