Chứng minh tứ giác nội tiếp, chứng minh các điểm cùng thuộc một đường tròn

1

Chủ đề

Chủ đề 3: Chứng minh Tứ giác nội tiếp

3

TỨ GIÁC NỘI TIẾP
CHỨNG MINH CÁC ĐIỂM THUỘC 1 ĐƯỜNG TRÒN

C. TỨ GIÁC NỘI TIẾP – CHỨNG MINH CÁC ĐIỂM THUỘC 1 ĐƯỜNG TRÒN
MỤC LỤC
C. TỨ GIÁC NỘI TIẾP – CHỨNG MINH CÁC ĐIỂM THUỘC 1 ĐƯỜNG TRÒN … 1
. TỨ GIÁC NỘI TIẾP …………………………………………………………………………………………… 2
. Lý thuyết ………………………………………………………………………………………………………….. 2
. Bài tập ………………………………………………………………………………………………………………. 4
. CHỨNG MINH CÁC ĐIỂM CÙNG THUỘC MỘT ĐƯỜNG TRÒN …………….. 11
. Lý thuyết ………………………………………………………………………………………………………… 11
. Bài tập. ……………………………………………………………………………………………………………. 11
. BÀI TẬP THAM KHẢO (tự luyện) ………………………………………………………………….. 14
Dạng 1: Tứ giác có hai đỉnh liên tiếp cùng nhìn một cạnh dưới góc bằng nhau 14
Dạng 2: Tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng 1800 …………………………………………. 15
Dạng 3: Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện ….. 16
Dạng 4: Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm ……………………………………………… 17
Dạng 5: Chứng minh 5 điểm nằm trên một đường tròn …………………………………… 17

Trong bài hình học trong đề thi tuyển sinh vào 10, câu a sẽ thường yêu cầu các em
chứng minh một tứ giác là tứ giác nội tiếp hoặc chứng minh các điểm cùng thuộc một
đường tròn. Đây là một ý dễ trong bài toán nên các em hãy kiếm điểm tối đa từ ý này
nhé!
Chủ đề dưới đây đã hệ thống một số biện pháp chứng minh tứ giác là tứ giác nội tiếp
mà các em thường gặp. Hãy nắm vững kiến thức đã học trước đó để phục vụ cho lời
giải nhé!
Chúc các em đạt kết quả cao trong học tập!
Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp.

2

Chủ đề 3: Chứng minh Tứ giác nội tiếp
. TỨ GIÁC NỘI TIẾP
. Lý thuyết
1. Định nghĩa .

A

Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn được gọi là tứ
giác nội tiếp đường tròn (gọi tắt là tứ giác nội tiếp).
Hình bên :Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp.
2. Định lí. Trong một tứ giác nội tiếp,tổng số đo hai góc đối diện
bằng 1800 .

B

O
D
C

3. Định lí đảo. Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng
1800 thì tứ giác đó nội tiếp đường tròn.
4. Một số phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp.
Phương pháp 1:

Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800.

Phương pháp 2:

Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm (mà ta có thể xác định được).
Điểm đó là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác.

Phương pháp 3:

Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại
dưới một góc α

Phương pháp 4:

Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối
diện. (tương tự phương pháp 1)

Phương pháp 5:

Thuận: Nếu một tứ giác nội tiếp trong một đường tròn thì tích của
hai đường chéo bằng tổng các tích của các cặp cạnh đối diện

Định lý
Ptoleme hay đẳng Đảo: Nếu một tứ giác thỏa mãn điều kiện tổng các tích của các cặp
cạnh đối diện bằng tích của hai đường chéo thì tứ giác đó nội tiếp
thức Ptoleme
một đường tròn.

Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp.

3

Chủ đề 3: Chứng minh Tứ giác nội tiếp
Ví dụ minh họa:
Bài 1:
nội tiếp.

Cho tam giác ABC, 2 đường cao BB’, CC’. Chứng minh tứ giác BCB’C’
Hướng dẫn giải

Cách 1: Phương pháp 2: Chứng minh 4 đỉnh cách đều 1 điểm

 = 900 (GT)
Gọi O là trung điểm của BC. Xét ∆BB’C có : BB’C
OB’ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền
⇒ OB’ = OB = OC = r

A

(1)

C’

B’

 = 900 (GT)
Xét ∆BC’C có : BC’C
Tương tự trên ⇒ OC’ = OB = OC = r

(2)

Từ (1) và (2) ⇒ B, C’, B’, C ∈ (O; r) ⇒ Tứ giác

B

BC’B’C nội tiếp đường tròn.

O

C

Cách 2: Phương pháp 3: Tứ giác có hai đỉnh kề nhau
cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lạ dưới một góc
bằng nhau là tứ giác nội tiếp.

 = 900 .
Ta có: BB’ ⊥ AC (giả thiết) ⇒ BB’C

A

C’

 = 900 .
CC’ ⊥ AB (giả thiết) ⇒ BC’C

B’

⇒ B’, C’ cùng nhìn cạnh BC dưới một góc vuông
B

O

C

⇒ B’, C’ nằm trên đường tròn đường kính BC
Hay tứ giác BC ‘ B ‘ C nội tiếp đường tròn đường kính BC.

Cách 3: Phương pháp 1 và phương pháp 4: Tứ giác có tổng 2 góc đối bằng 1800 và Tứ
giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện.

 = 900 .
Ta có: BB’ ⊥ AC (giả thiết) ⇒ BB’A

 = 900 .
CC’ ⊥ AB (giả thiết) ⇒ CC’A
Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp.

4

Chủ đề 3: Chứng minh Tứ giác nội tiếp
 chung.
′B 
′C 900 và BAC
Xét ∆AB′B và ∆AC ′C có 
=
=
AB
AC

Vậy ∆AB′B  ∆AC ′C (g-g) ⇒
Xét ∆AB′C ′ và ∆ABC ta có

AB ‘ AB
AB ‘ AC ‘
=⇒
=
AC ‘ AC
AB
AC

A

AB ‘ AC ‘
 chung.
và BAC
=
AB
AC

C’

B’

Vậy ∆AB′C ′  ∆ABC (c-g-c)
 . Tứ giác BC ‘ B ‘ C có góc ngoài tại đỉnh
⇒
AB ‘C’ =
ABC

B

B ‘ bằng góc trong tại đỉnh B . Vậy tứ giác BC ‘ B ‘ C nội

O

tiếp. (Phương pháp 2)
Để sử dụng theo phương pháp 1 có thể chỉ ra tứ giác


BC ‘ B ‘ C có C
‘ BC + C
‘ B ‘C =
1800 nên tứ giác BC ‘ B ‘ C là

tứ giác nội tiếp
. Bài tập
Bài 1:

Cho đường tròn tâm O và điểm A nằm ngoài đường tròn. Kẻ hai tiếp tuyến

AB, AC với đường tròn (B, C) là tiếp điểm. Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M rồi kẻ các
đường vuông góc MI, MH, MK xuống các cạnh BC, CA, AB. Gọi giao điểm của BM và
IK là P; giao điểm của CM, IH là Q.
a) Chứng minh rằng các tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp được;
b) Chứng minh MI2 = MH.MK;
c) Chứng minh tứ giác IPMQ nội tiếp rồi suy ra PQ ⊥ MI ;
Hướng dẫn giải

 BKM

BIM
= 900 suy ra tứ giác BIMK nội tiếp.
a) * =

(phương pháp 1)

 CHM

CIM
= 900 suy ra tứ giác CIMH nội tiếp.
*=

(phương pháp 1)

 = IBM
 ; (nội tiếp cùng chắn cung MI); KIM
 = KBM
.
b) Tứ giác BIMK nội tiếp nên IKM

(nội tiếp cùng chắn cung KM)

(1)

 = IHM
 ; (cùng chắn cung MI); MIH
 = MCH.
 (cùng chắn
Tứ giác CIMK nội tiếp nên ICM

cung MH)

(2)

 = BCM
 ; (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung(;
Xét đường tròn tâm (O) có : KBM
 = MCH.
 (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung)
MBI

Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp.

(3)

C

5

Chủ đề 3: Chứng minh Tứ giác nội tiếp
 IHM

 MIH.

=
; MKI
Từ (1) , ( 2 ) , ( 3) suy=
ra KIM

Do đó ∆IMK  ∆MHI ( g.g )
⇒

MK MI
=
⇒ MI 2 = MK .MH .
MI MH


 + QIM
 = BMC
 + PIM
 + PIQ
c) * Ta có PMQ

 + MCI
 + MBC
 = 1800
= BMC
 + PIQ
=
1800
Hay PMQ

Suy ra tứ giác MPIQ nội tiếp. (phương pháp 1)

 =MIQ
 ⇒ MPQ
 =MBC
* Từ đó ta có MPQ
⇒ PQ / / BC mà MI ⊥ BC nên MI ⊥ PQ

Bài 2:

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính

AB = 2 R và tia tiếp tuyến Ax cùng phía với nửa đường

tròn đối với AB . Từ điểm M trên Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với nửa đường tròn ( C
là tiếp điểm). AC cắt OM tại E ; MB cắt nửa đường tròn ( O ) tại D ( D khác B ).
a) Chứng minh: AMCO và AMDE là các tứ giác nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh MBCD là tứ giác nội tiếp (xem cách giải Bài 3)
Hướng dẫn giải

x
N
C
M

D
E

A

I
H

O

B

 
 + MCO
=
1800
Vì MA, MC là tiếp tuyến nên: MAO
= MCO
= 900 . Tứ giác AMCO có MAO
⇒ AMCO là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính MO.

Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp.

6

Chủ đề 3: Chứng minh Tứ giác nội tiếp


ADB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒ ADM =
900 (1)

= OC
= R ; MA = MC (tính chất tiếp tuyến).
Lại có: OA

Suy ra OM là đường trung trực của AC

900 (2).
⇒ AEM =

ADM
= 
AEM
= 900 . Tứ giác AMDE có hai đỉnh A, E kề nhau cùng
Từ (1) và (2) suy ra 

nhìn cạnh MA dưới một góc không đổi. Vậy là tứ giác AMDE nội tiếp đường tròn đường
kính MA .
Bài 3: Cho nữa đường tròn tâm O đường kính AB , kẻ tiếp tuyến Bx và lấy hai điểm C
và D thuộc nửa đường tròn. Các tia AC và AD cắt Bx lần lượt ở E , F ( F ở giữa B và
E)

.
ABD = DFB
1. Chứng minh: 

2. Chứng minh rằng CEFD là tứ giác nội tiếp.
Hướng dẫn giải

=
1) ∆ADB có 
ADB = 90o ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) ⇒ 
ABD + BAD
90o (vì tổng ba

góc của một tam giác bằng 180o )(1)

X

E

=
ABF = 90o ( BF là tiếp tuyến ). ⇒ 
AFB + BAF
90o
∆ABF có 

(vì tổng ba góc của một tam giác bằng 180o ) (2)
C


Từ (1) và (2) ⇒ 
ABD =
DFB

D

F

2) Tứ giác ACDB nội tiếp ( O ) ⇒ 
ABD + 
ACD =
180o .
 +
=

mà ECD
ACD =
180o ( Vì là hai góc kề bù) ⇒ ECD
DBA

A

O

B

 , ECD
 = DBA
 ⇒ ECD
=
 . Mà EFD
 + DFB
 =
ABD = DFB
Theo trên 
DFB
180o ( Vì là hai góc
 +
kề bù) nên ⇒ ECD
AEFD =
180o , do đó tứ giác CEFD là tứ giác nội tiếp.

Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp.

7

Chủ đề 3: Chứng minh Tứ giác nội tiếp
Bài 4: Cho nửa đường tròn đường kính BC = 2 R . Từ điểm A trên nửa đường tròn vẽ
AH ⊥ BC . Nửa đường tròn đường kính BH , CH lần lượt có tâm O1 ; O2 cắt AB và CA

thứ tự tại D và E .
a) Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật, từ đó tính DE biết R = 25 và BH = 10
b) Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp đường tròn.
Hướng dẫn giải
A

 = 90o (vì góc nội tiếpchắn nửa
Ta có BAC

đường tròn)

E



Tương tự có BDH
= CEH
= 90o

D

 ADH


Xét tứ giác ADHE có
=
A
= AEH
= 90o
B

O1

H

O

O2

C

hay ADHE là hình chữ nhật.
Từ đó DE = AH mà AH 2 =BH .CH (Hệ thức

lượng trong tam giác vuông)
hay AH 2 = 10.40= 202 ( BH = 10; CH = 2.25 − 10= 40 ) ⇒ DE= 20
= C
 = ADE
 (1)
 (góc có cạnh tương ứng vuông góc) mà DAH
b) Ta có: BAH
 = ADE
 do C
 + BDE
=
(Vì ADHE là hình chữ nhật) => C
180o nên tứ giác BDEC nội tiếp

đường tròn.
Lưu ý: Có thể hướng dẫn học sinh một cách sử dụng hệ thức lượng và tam giác đồng
dạng như sau:
Tam giác AHB vuông tại H, đường cao AH. Ta có AH 2 = AD. AB
Tam giác AHC vuông tại H, đường cao AE. Ta có AH 2 = AE. AC
= AE.AC ⇒
Ta có AD.AB

AD AE
=
AC AB

Xét tam giác ADE và tam giác ACB có

AD AE  
=
= DAE
= 900 (góc chung)
, BAC
AC AB

=

=
ADE + EDB
1800 nên 
ADE =
ACB mà 
ADE + ECB
1800
⇒ ∆ADE ” ∆ACB ⇒ 
=
ADE + ECB
1800 nên tứ giác BDEC nội tiếp đường tròn.
Tứ giác BDEC có 

Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp.

8

Chủ đề 3: Chứng minh Tứ giác nội tiếp
Bài 5:
Từ bài toán quen thuộc cho (O,R). Trên nửa mặt
phẳng bờ AB kẻ tiếp tuyến Ax và By với (O), lấy
N thuộc (O), kẻ tiếp tuyến với (O) tại N cắt Ax tại
C, cắt By tại D. Gọi I và K lần lượt là giao điểm
của AN và CO, MN và OD. Chứng minh NIOK là
hình chữ nhật.
Ta có bài toán sau:

D

N
C
I
A

K
B

O

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB . Lấy điểm M thuộc đoạn thẳng OA , điểm
N thuộc nửa đường tròn ( O ) . Từ A và B vẽ các tiếp tuyến Ax và By . Đường thẳng
qua N và vuông góc với NM cắt Ax, By thứ tự tại C và D .
a) Chứng minh ACNM và BDNM là các tứ giác nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh ∆ANB đồng dạng với ∆CMD từ đó suy ra IMKN là tứ giác nội tiếp.

y

x

D
N

C

K

I
A

Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp.

M

O

B

9

Chủ đề 3: Chứng minh Tứ giác nội tiếp


a) Ta có tứ giác ACNM có: MNC = 900 (gt) MAC = 900 (tínhchất tiếp tuyến).
 + MAC
=
1800 ACNM là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính MC . Tương tự
⇒ MNC

tứ giác BDNM nội tiếp đường tròn đường kính. MD
b) ∆ANB và ∆CMD có:
 
ABN = CDM (do tứ giác BDNM nội tiếp)

 
BAN = DCM (do tứ giác ACNM nội tiếp ) nên ∆ANB  ∆CMD (g.g)




c) ∆ANB  ∆CMD ⇒ CMD
= ANB
= 90o (do ANB là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ( O ) )
 
 + IMK
=
= INK
= 900 ⇒ INK
1800 . Vậy IMKN là tứ giác nội tiếp đường tròn
Suy ra IMK

đường kính IK
Bài 6: Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O), M là điểm chính giữa của cung AB. Nối M với
D, M với C cắt AB lần lượt ở E và P. Chứng minh tứ giác PEDC nội tiếp được đường
tròn.
Hướng dẫn giải
Ta có :

=
MEP

(


sd 
AD + MB
2


 = sd DM
Mà DCP
2

(

)

(góc có đỉnh nằm bên trong (O))
M

(góc nội tiếp)


sd 
AD + MA

Hay ⇒ DCP =
2

)

 = MB

Lại có : AM


 = DCP
Nên : MEP
Nghĩa là: Tứ giác PEDC có góc ngoài tại đỉnh E bằng góc
trong tại đỉnh C. Vậy tứ giác PEDC nội tiếp được đường tròn.

Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp.

A

P

E

B

O
D
C

10

Chủ đề 3: Chứng minh Tứ giác nội tiếp
Bài 7:

Định lý Ptoleme.

Ta có : Tứ giác ABCD nội tiếp (O) Ta phải chứng minh: AC. BD = AB. DC + AD. BC
Hướng dẫn giải


 = EAD
Lấy E ∈ BD sao cho BAC

B

⇒ ∆DAE ” ∆CAB (g. g)
⇒

AD DE
=
AC BC

A

⇒ AD. BC = AC. DE (1)

E

Tương tự: ∆BAE ” ∆CAD (g. g)
⇒

BE AB
=
CD AC

D

⇒ BE. AC = CD. AB (2)
Từ (1) và (2) ⇒ AD. BC + AB. CD = AC. DE + EB. AC
⇒ AD. BC + AB. CD = AC. DB (đpcm)

Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp.

O

C

11

Chủ đề 3: Chứng minh Tứ giác nội tiếp
. CHỨNG MINH CÁC ĐIỂM CÙNG THUỘC MỘT ĐƯỜNG TRÒN
. Lý thuyết
Phương pháp: – Chỉ ra khoảng cách từ một điểm tới tất cả các điểm đều bằng nhau.
 Lợi dụng các tam giác vuông có cạnh huyền chung
 Chứng minh các đỉnh của một đa giác cùng nằm trên một đường tròn.
 Sử dụng cung chứa góc.
 Chứng minh các tứ giác nội tiếp.

. Bài tập.
Bài 1: Cho hình thoi ABCD có góc A bằng 600 , AB = a. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung
điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng 6 điểm E, F, G, H, B, D cùng
nằm trên một đường tròn. Xác định tâm và tính bán kính của đường tròn đó theo a.
Hướng dẫn giải
B

Gọi O là giao điểm của AC và BD ta có
OB = OD
E

Do ABCD là hình thoi nên ta có AC ⊥ BD .
 = 600 nên BAO
 = 300 (tính chất
Ta có BAD
đường chéo hình thoi)

A

F

H

G

Tam giác ABO vuông tại O có
a
0
 ⇒=
=
OB ABsinBAO
OB a.sin 30
=
2

C

O

D

=
 = 300 suy ra
ABO + BAO
900 ( hai góc phụ nhau) mà BAO
Xét tam giác vuông ABO có 

 = 600
ABO = 600 hay EBO
OE
=

1
AB
= EB
= EA ( tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông và E là trung
2

điểm của AB.
 = 600 nên tam giác EBO là tam giác đều
Tam giác EOB là tam giác cân tại E có EBO
⇒ OE =
OB

Chứng minh tương tự với các tam giác vuông BOC, COD và DOA ta có :
Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp.

12

Chủ đề 3: Chứng minh Tứ giác nội tiếp
OE
= OB
= OF
= OC
= OG
= OD
= OH

Vậy 6 điểm E, F, G, H, B, D cùng nằm trên một đường tròn tâm O. Bán kính OB =

a
2

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên AC lấy điểm D. Hình chiếu của D lên BC là
E, điểm đối xứng của E qua BD là F. Chứng minh 5 điểm A, B, E, D, F cùng nằm trên
một đường tròn. Xác định tâm O của đường tròn đó.
Hướng dẫn giải

=
900
Do DE ⊥ BC ⇒ DBE

Vì E và F đối xứng với nhau qua BD nên BD là đường trung trực của đoạn thẳng EF
⇒ BF
= BE ; DF
= DE

F

A

 = BED
 = 900
∆BFD =
∆BED (c-c-c) ⇒ BFD

D

Cách 1.
Gọi O là trung điểm của BD.
Xét tam giác vuông ABD vuông tại A
có AO là trung tuyến nên
AO
=

O
B

1
BD
= OB
= OD (1)
2

=
Tam giác vuông BDE vuông tại E có OE là trung tuyến nên EO
=
Tam giác vuông BFDvuông tại F có OF là trung tuyến nên FO

E

1
BD
= OB
= OD (2)
2
1
BD
= OB
= OD (3)
2

Từ (1), (2), (3) ⇒ OA = OB = OD = OE = OF . Vậy 5 điểm A, B, E, D, F cùng nằm trên một
đường tròn tâm O với O là trung điểm của BC.
Cách 2:
 + DEB
=
1800 nên tứ giác BADE là tứ giác nội tiếp.
 Tứ giác BADE có BAD

Tâm của đường tròn này là trung điểm của BD
 + DEB
=
1800 nên tứ giác BFDE là tứ giác nội tiếp.
 Tứ giác BFDE có BFD

Tâm của đường tròn này là trung điểm của BD
Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp.

C

13

Chủ đề 3: Chứng minh Tứ giác nội tiếp
Từ  và  suy ra 5 điểm A, B, E, D, F cùng nằm trên một đường tròn tâm O với O là
trung điểm của BC.
Bài 3: Từ một điểm A ở ngoài đường tròn (O) vẽ các tiếp tuyến AB, AC. Cát tuyến
ADE không đi qua tâm O (D nằm giữa A và E). Gọi I là trung điểm của DE.
Chứng minh 5 điểm O,B,A,C,I cùng thuộc một đường tròn.
Hướng dẫn giải

Do AC và AB là các tiếp tuyến nên

C



OCA
= OBA
= 900

Do I là trung điểm của ED nên OI ⊥ ED

P

(đường kính đi qua trung điểm của dây
thì vuông góc với dây cung)


= OIA
= 900
hay OID

O
E

D
I

Gọi P là trung điểm của OA

B

=
Xét tam giác vuông OCA có CP là đường trung tuyến nên CP

1
AO
= OP
= PA
2

=
Xét tam giác vuông OBA có BP là đường trung tuyến nên BP

1
AO
= OP
= PA
2

IP
Xét tam giác vuông OIA có IP là đường trung tuyến nên =

1
AO
= OP
= PA
2

= PA
= PC
= PI
= PB nên 5 điểm O,B,A,C,I cùng thuộc một đường tròn.
Vậy OP

Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp.

A

14

Chủ đề 3: Chứng minh Tứ giác nội tiếp
. BÀI TẬP THAM KHẢO (tự luyện)
Dạng 1: Tứ giác có hai đỉnh liên tiếp cùng nhìn một cạnh dưới góc bằng nhau
Bài 1: Cho đường tròn đường kính AB, C là một điểm trên đường kính AB. Trên đường
tròn lấy điểm D, gọi M là một điểm chính giữa cung BD. Đường thẳng MC cắt đường
tròn tại E, đường thẳng DE cắt AM tại K. Đường thẳng đi qua C và song song với AD
cắt DE tại F. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác AKCE nội tiếp một đường tròn
b) CK ⊥ AD
c) CF = CB
Bài 2: Cho đường tròn tâm O có đường kính BC. Gọi A là một điểm thuộc cung BC (

AB > 
AC ); D là điểm thuộc bán kính OC. Đường thẳng vuông góc với BC tại D cắt AC

tại E, cắt tia BA tại F.
a) Chứng minh tứ giác ADCF là tứ giác nội tiếp
AME = 2
ACB
b) Gọi M là trung điểm của EF. Chứng minh rằng : 

c) Chứng minh rằng AM là tiếp tuyến của đường tròn (O)
d) Tính diện tích hình giới hạn bởi các đoạn thẳng BC, BA và cung nhỏ AC của
ABC = 600
đường tròn (O) biết BC = 8cm; 

Bài 3: Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC, AD lần lượt lấy các điểm E, F sao cho
 = 450 . Biết BD cắt AE, AF theo thứ tự tại G, H. Chứng minh rằng
EAF

a) ADFG; GHFE là các tứ giác nội tiếp
b) Tam giác CGH và tứ giác GHFE có diện tích bằng nhau
Bài 4: Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O). Trên tia đối của tia AB lấy
điểm D sao cho AD = AC.
 = 2 BDC

a) Chứng minh rằng BAC

b) Gọi M là điểm trên cung AC, trên tia đối của tia MB lấy điểm E sao cho ME = MC.
Chứng minh rằng bốn điểm B; D; E; C thuộc một đường tròn
Bài 5: Trên đường tròn (O) lấy hai điểm B và D. Gọi A là điểm chính giữa cung lớn BD.
Các tia AD, AB cắt tiếp tuyến Bx và Dy của đường tròn lần lượt tại N và M. Chứng
minh.
a) Tứ giác BDNM nội tiếp đường tròn
Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp.

15

Chủ đề 3: Chứng minh Tứ giác nội tiếp
b) MN// BD
c) MA.MB = MD 2
Bài 6: Cho tam giác ABC vuông ở A, với AC > AB. Trên AC lấy điểm M, vẽ đường tròn
tâm O đường kính MC. Tia BM cắt đường tròn (O) tại D. Đường thẳng qua A và D cắt
đường tròn (O) tại S.
a) Chứng minh ABCD là tứ giác nội tiếp.
ABD = 
ACD
b) Chứng minh 

c) Chứng minh AC là tia phân giác của góc SCB
d) Gọi E là giao điểm của BC với đường tròn (O). Chứng minh rằng các đường thẳng
BA, EM, CD đồng quy.
e) Chứng minh DM là tia phân giác của góc ADE
f) Chứng minh M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE
ACB = 300 . Tính độ dài cung MS.
k) Biết bán kính đường tròn (O) là R và 

Bài 7: Cho đường tròn (O;R) có AB là đường kính cố định, còn CD kà đường kính thay
đổi. Gọi (d) là tiếp tuyến của đường tròn tại B; AC, AD lần lượt cắt (d) tại P, Q.
a) Chứng minh tứ giác CPQD nội tiếp được đường tròn
b) Chứng minh đường trung tuyến AI của tam tam giác AQP vuông góc với DC
c) Khi CD thay đổi thì tâm E của đường tròn ngoại tiếp tam giác CPD chuyển động
trên đường nào ?
Dạng 2: Tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng 1800
Bài 1: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Đường tròn đường kính BC cắt cạnh AB, AC
lần lượt tại F; E. Gọi H là giao điểm của BE, CF; D là giao điểm của AH với BC.
1. Chứng minh rằng:
a) Các tứ giác AEHF; AEDB nội tiếp đường tròn
b) AF.AB = AE.AC
2. Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng nếu
AD + BE + CF =
9r thì tam giác ABC đều.

Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp.

16

Chủ đề 3: Chứng minh Tứ giác nội tiếp
Bài 2: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn (AC > BC) nội tiếp đường tròn tâm O. Vẽ các
tiếp tuyến với đường tròn tâm O tại A và B, các tiếp tuyến này cắt nhau tại M. Gọi H là
hình chiếu vuông góc của O trên MC.
a) Chứng minh rằng: MAOH là tứ giác nội tiếp
b) Tia HM là phân giác của góc AHB
c) Qua C kẻ đường thẳng song song với AB cắt các đường thẳng MA, MB lần lượt
tại E và F. Nối HE cắt AC tại F, nối HF cắt BC tại Q. Chứng minh rằng PQ//EF.
Bài 3: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) các đường cao AD, BE, CF cắt
nhau tại H.
a) Chứng minh rằng các tứ giác BFEC, BFHD nội tiếp
b) Chứng minh rằng H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF
c) AD cắt cung BC tại M. Chứng minh rằng tam giác BHM cân.
Bài 4: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Điểm M thuộc nửa đường tròn, điểm C
thuộc đoạn OA. Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa M vẽ tiếp tuyến Ax và By. Đường
thẳng qua M và vuông góc với MC cắt Ax, By tại P và Q. AM cắt CP tại E; BM cắt CQ
tại F.
a) Chứng minh rằng tứ giác APMC nội tiếp.

 =1v
b) Chứng minh rằng PCQ
c) Chứng minh rằng EF // AB
Bài 5: Cho nửa đường tròn đường kính AB. C là một điểm thuộc nửa đường tròn. Trên
tia đối của tia CA lấy điểm D sao cho AD = AB. Trên đoạn AB lấy điểm E sao cho AE =
AC; DE cắt BC tại H; AH cắt nửa đường tròn tại K. Chứng minh:
 = BAH

a) DAH

b) OK ⊥ BC
c) Tứ giác ACHE nội tiếp
d) B, K, D thẳng hàng
Dạng 3: Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện
Bài 1: Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R. Kẻ tiếp tuyến Bx với nửa đường tròn.
Gọi C, D là hai điểm di động trên đường tròn. Các tia AC, AD cắt Bx lần lượt tại E và F
( F nằm giữa B và E).
Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp.

17

Chủ đề 3: Chứng minh Tứ giác nội tiếp
a) Chứng minh rằng ∆ABF ~∆BDF
b) Chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp được
c) Khi C, D di động trên nửa đường tròn. Chứng minh AC.AE = AD.AF có giá trị
không đổi.
0
 30
 600 . Hãy tính diện tích của tứ giác ACDB.
=
BOD
=
, DOC
d) Cho

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB > AC), đường cao AH. Trên nửa mặt phẳng
bờ BC có chứa điểm A, vẽ nửa đường tròn đường kính BH cắt AB tại E, vẽ nửa đường
tròn đường kính HC cắt AC tại F.
a) Chứng minh tứ giác AFHE là hình chữ nhật
b) Chứng minh BEFC là tứ giác nội tiếp
c) Chứng minh: AE. AB = AF . AC
d) Chứng minh EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn.
Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A và một điểm D nằm giữa A và B. Đường tròn
đường kính BD cắt BC tại E. Các đường thẳng CD, AE lần lượt cắt đường tròn tại các
điểm thứ hai F, G. Chứng minh:
a) Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD.
b) Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp được
c) AC //FG.
d) Các đường thẳng AC, DE, BF đồng quy.
Dạng 4: Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm
Bài 1: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B.Các tiếp tuyến tại A của hai
đường tròn (O’); (O) cắt đường tròn (O); (O’) lần lượt tại C và D. Trung trực của AC và
trung trực của AD cắt nhau tại S.
a) Tứ giác AOSO ‘ là tứ giác gì ? Vì sao? Chứng SB ⊥ AB.
b) Lấy E đối xứng với A qua B. Chứng minh tứ giác ACDE nội tiếp
Dạng 5: Chứng minh 5 điểm nằm trên một đường tròn
Bài 1: Từ điểm A bên ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB; AC và cát tuyến AMN.
Gọi I là trung điểm của MN.
a) Chứng minh AB 2 = AM . AN .
b) Chứng minh rằng 5 điểm A, B, I, C, O cùng nằm trên một đường tròn
c) Gọi K là giao điểm của BC và AI. Chứng minh rằng:

Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp.

IB KB
=
IC KC

18

Chủ đề 3: Chứng minh Tứ giác nội tiếp
Bài 2: Cho ba điểm A, B, C nằm trên đường thẳng xy theo thứ tự đó. Vẽ đường tròn (O)
đi qua hai điểm B và C. Từ điểm A vẽ hai tiếp tuyến AM, AN (M, N thuộc đường tròn).
Gọi E là hình chiếu của O trên xy; AO cắt MN tại F.
a) Chứng minh AM2 = AB . AC
b) Chứng minh 5 điểm A, N, O, E, M cùng nằm trên một đường tròn
c) Đường thẳng ME cắt đường tròn (O) tại I. Chứng minh rằng IN // AB
d) Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OEF luôn nằm trên một
đường thẳng cố định khi đường tròn (O) thay đổi.
Bài 3: Từ điểm A ở bên ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AN, AM. Trên nửa mặt
ABO = 900 . Đường thẳng BO cắt AN tại
phẳng bờ AN không chứa M lấy điểm B sao cho 

D, cắt đường thẳng AM tại C. Đường thẳng BM cắt AN tại K. Gọi I là trung điểm của
AC. BI cắt AN tại E. Chứng minh:
a) Năm điểm A, B, N, O, M cùng nằm trên một đường tròn.
b) BD là phân giác của tam giác BKN.
c) DN.AK = AN.DK
d) Tam giác BEN cân
Bài 4: Cho hình vuông ABCD và một điểm M trên cạnh BC. Vẽ hình vuông AMPQ sao
cho P và Q thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AM không chứa đỉnh B. Chứng minh
rằng:
a) Ba điểm Q, C, D thẳng hàng
b) Năm điểm A, M, C, P, Q cùng thuộc một đường tròn
c) điểm P chạy trên một đoạn thẳng cố định khi M chuyển động trên cạnh BC
Bài 5: Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Từ A kẻ hai tiếp
tuyến AB, AC (B và C là tiếp điểm) và cát tuyến AMN (M nằm giữa A và N) với đường
tròn . Gọi E là hình chiếu của O trên MN, I là giao điểm thứ hai của đường thẳng CE
với đường tròn.
a) Chứng minh rằng năm điểm A, O, E, C, B cùng nằm trên một đường tròn

AEC = BIC
b) Chứng minh 

c) Chứng minh BI//MN
d) Xác định vị trí của cát tuyến AMN để diện tích tam giác AIN lớn nhất.
Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp.