Chinh phục các dạng toán Đại số 9 – Lương Anh Nhật

CHINH PHỤC CÁC DẠNG TOÁN
GV. LƯƠNG ANH NHẬT

ĐẠI SỐ 9
NỘI DUNG

BÁM SÁT SÁCH
GIÁO KHOA

PHONG PHÚ
BÀI TẬP

THỰC TIỄN
CHUYÊN SÂU

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TỰ HỌC

TEA. LƯƠNG ANH NHẬT

Rèn luyện Toán 9 – Đại số

Gv. Lương Anh Nhật – ĐT: 0968 373 054

CHƯƠNG I CĂN BẬC HAI – CĂN BẬC BA
BÀI 1: CĂN BẬC HAI
I. Các định nghĩa:
1. Căn bậc hai:
_ Căn bậc hai của một số a là số có bình phương bằng a.
Ví dụ:
Căn bậc hai của 49 là 7 và –7 vì ( −7 ) = 7 2 = 49 .
2

CHĂM CHỈ – THÀNH TÀI – MIỆT MÀI – TẤT GIỎI

Căn bậc hai của 0 là 0 vì 0 2 = 0 .
Số −36 không có căn bậc hai vì không có số nào bình phương bằng −36 .
Nhận xét:
_ Số dương có hai căn bậc hai là hai số đối nhau.
_ Số 0 có căn bậc hai là chính nó.
_ Số âm không có căn bậc hai.
2. Căn bậc hai số học
_ Căn bậc hai số học của một số a  0 là số x  0 sao cho x 2 = a .
Ví dụ: Căn bậc hai số học của 49 là 7 vì 7  0 và 7 2 = 49 .
_ Căn bậc hai số học của số a  0 được kí hiệu là
Như vậy

a.

 x  0
a =x 2
.
 x = a

Chú ý:
_

a có nghĩa khi và chỉ khi a  0 .

_ Với mọi số thực a  0 ta luôn có
Ví dụ:

( 2 ) = (− 2 )
2

2

( a ) = (− a )
2

2

=a.

= 2.

3. Căn thức bậc hai
_ Khi A là một biểu thức đại số, người ta gọi A là một căn thức bậc hai của A, còn A gọi
là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn.
_ A có nghĩa (hay xác định) khi và chỉ khi A  0 .
Ví dụ:
8
3x − 8 có nghĩa khi và chỉ khi 3x − 8  0  x 
3

1 − 2x
1 − 2x
xác định khi và chỉ khi
 0  1 − 2x  0  x  2
2
3
II. Công thức
A2 = A .

•

Với A là biểu thức đại số, ta có:

•

Với A  0, B  0 ; ta có:

AB = A . B .

•

Với A  0, B  0 ; ta có:

A
=
B

A
B

.

Ví dụ 1: Tính

HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy|1

Gv. Lương Anh Nhật – ĐT: 0968 373 054

(4 − 5 )

a)

2

(2 − 5 )

+

2

.

Rèn luyện Toán 9 – Đại số
26 − 8 10 + 19 − 6 10 .

b)

Giải
a)

(4 − 5 )

b)

26 − 8 10 + 19 − 6 10 =

2

+

(2 − 5 )

2

(

)

= 4− 5 + 2− 5 = 4− 5 − 2− 5 = 2

( 4 − 10 )

2

( 3 − 10 )

+

2

= 4 − 10 + 3 − 10 = 1

Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức
b) B = 2x + x4 − 2×2 + 1 .
Giải
 A = 2 x − 1 + x − 2, x  2
 A = 3x − 3, x  2
= 2x − 1 + x − 2  

 A = x + 1, x  2
 A = 2 x − 1 − ( x − 2 ) , x  2

a) A = 2x − 1 + x2 − 4x + 4 .

( x − 2)

a) A = 2 x − 1 +
b) B = 2 x +

(x

2

)

−1

2

2

= 2x + x2 − 1

 B = x 2 + 2 x − 1; x  −1  x  1
 B = 2 x + x 2 − 1; x  −1  x  1


2
2
 B = − ( x − 1) , −1  x  1
 B = 2 x − x − 1 ; −1  x  1
Ví dụ 3: Tính

(

a)

a)
b)

3 2 − 10
2

3 2 − 10

(

2

+

)

)

+

15 − 5
3 −1

15 − 5
3 −1

.

=

(

b)

(

2 3− 5
2

(

) + 5(

)

)

(

)

6 3+ 2 − 3 2+3 2 − 3 .

Giải

) = 3−

3 −1
3 −1

5+ 5=3

6 3 + 2 − 3 2 + 3 2 − 3 = 3 6 + 12 − 2 3 − 3 6 + 3
= 22.3 − 2 3 + 3 = 2 3 − 2 3 + 3 = 3

Ví dụ 4: Tính
a)

45
20
5
.
+
−
4
9
36

b)

28
63
1
.
+
−
25
4
7
Giải

c)

4
156
108
.
−
+
3
13
25

a)

45
20
5
32.5
2 2.5
5 3
2
1
+
−
=
+
− 2 =
5+
5−
5=2 5
2
2
4
9
36
2
3
6
2
3
6

b)

28
63
1
2 2.7
32.7
7 2
3
1
123 7
+
−
=
+
− 2 =
7+
7−
7=
2
2
25
4
7
5
2
7
70
5
2
7

c)

4
156
108
4 2.3
6 2.3 4
6
8 3
−
+
=
−
+
=
12
3−2 3+
3=
2
2
3
13
25
3
5
15
3
5

Ví dụ 5: Giải các phương trình
a) x 2 = 9 .

b) x 2 = 5 .

c) x2 = 4 + 2 3 .
Giải

a) x2 = 9  x = 3  x = −3
b) x2 = 5  x = 5  x = − 5

2 | HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy

d) x2 = 14 − 6 5 .

Rèn luyện Toán 9 – Đại số
c) x2 = 4 + 2 3  x2 =

Gv. Lương Anh Nhật – ĐT: 0968 373 054

(

)

2

3 + 1  x = 3 + 1 x = −

(

d) x2 = 14 − 6 5  x2 = 3 − 5

)

2

(

)

3 +1

 x = 3 − 5  x = −3 + 5

Ví dụ 6: So sánh
a) 6 5 và 5 6 .

b)

( )  (5 6 )
2

a) Giả sử 6 5  5 6  6 5

3 2.
Giải

2 3 và
2

8 + 3 và 6.

c)

 36.5  25.6  180  150 (đúng)

Vậy 6 5  5 6 .
2

CHĂM CHỈ – THÀNH TÀI – MIỆT MÀI – TẤT GIỎI

Vậy

) (
2

 3 2

) 12  18 (vô lý)
2

2 3 3 2.

8 +36  8 3

c) Giả sử
Vậy

(

2

2 3  3 2   2 3    3 2   2 3  3 2  2 3

 


b) Giải sử

( )
8

2

 32  8  9 (vô lý)

8 + 3  6.

Bài tập
9
25
1.1 Tìm căn bậc hai số học của các số: 16, ,0.36,
,19, −1 .
49
121
1.2 Tính:
1.3 Tính

(
b. (
a.

108 , 256 ,

)(
2 )(

)
2)

5+ 3

5− 3

7−

7+

27
,
16

( −4 )( −64 ) ,

(
d. (

)(
6 + 1)(

0.81 .

) e. ( 3 + 2 5 )( 3 − 2 5 )
6 − 1) f. ( 5 2 + 3 6 )( 5 2 − 3 6 )

c. 3 + 7 3 − 7

1.4
a. Tính cạnh của một hình vuông có độ dài đường chéo bằng
b. Tam giác đều có cạnh bằng
1.5 Giải các phương trình

2.

3 thì đường trung tuyến có chiều dài bằng bao nhiêu?

a. x2 − 10 = 0

e. ( x − 3 ) = 11 + 6 2

i. x2 + 4 3x = 1 − 4 3

b. x2 − 6 = 0

f. x 2 − 10 x + 25 = 27 − 10 2

j. 4 x 2 − 12 2 x + 10 2 = 33

c. x 2 + 2 2 x + 2 = 1

g. 4×2 + 4x = 27 − 10 3

k. 2 x 2 + 9 + 4 2 = 12 x

d. x2 − 2 3x + 2 = 0
1.6 So sánh

h. x2 + 2 5x = 16 − 4 5

l. 3×2 − 30x + 26 + 8 3 = 0

a. 2 5 − 5 và

b.

2 − 2 và

3 −3

c.

3 + 5 và

b.

48 và 13 − 35

c.

31 − 19 và 6 − 17

2

5 −3

5 +1
2

1.7 So sánh
a.

17 + 26 và 9

d. 9 − 58 và

80 − 59 e. 7 − 21 + 4 5 và 5 − 1
1.8 Với giá trị nào của x thì các căn thức dưới đây có nghĩa:

HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy|3

Gv. Lương Anh Nhật – ĐT: 0968 373 054
a.

5x + 2
3

1
1 + 2x

b.

1

e.

Rèn luyện Toán 9 – Đại số
c.

1
x−2 +
x−3

−2
−3x + 7

d.

−5×5

7 + 5×2
13

h.

2x + 5 − −2x + 6

d.

5x 2 − 4 x − 8

f.
g.
−3x
1.9 Với giá trị nào của x các căn thức dưới đây xác định:
1
a.
b. x2 − 8 x + 14
c. 35 − x2 + 4 x
2
9x + 6x + 1
e.

3x + 4
x−2

x −1 − 4

f.

1

g.

1

h.

x−3 +1

x2 + x + 1

1.10 Tính
a.
c.

(
(

3 3 −2 7
2− 3

)

2

)

2

−

(

b.

(2

3 −3 2

)

3− 7

)

2

−

(

2 7 −6

)

2

2

1.11 Rút gọn các biểu thức sau
a.

9 − 4 5 − 14 − 6 5

d. 3x − 9 x + 6 x + 1
2

g.

x2 − 2x + 1
x+ 2 x +1

b.

32 − 10 7 − 43 − 12 7

e.

x2 − 10 x + 25
x−5

h.

x −1
y −1

(y − 2

)

y +1

( x − 1)

c.

13 − 4 3 − 16 − 8 3

f.

( x − 2)

i.

( 3x − 2 ) +

2

x2 − 4 x + 4
+
x−2

2

4

2

9 x2 − 12 x + 4
3x − 2

1.12 Rút gọn rồi tính giá trị của các biểu thức
a.

9×2 − 12x + 4 − 6 x − 1 với x = 1 .

b. x + y + x2 − 2xy + y 2 với x = 1 − 3 và y = 1 − 5 .
——————————————————————————————————Ôn tập 1
Câu 1. Tìm điều kiện để biểu thức sau có nghĩa:

x−2 +

x −1
1
.
+
2
x+3
x + 4x + 5

Câu 2. Tính
a.

2 − 6 + 3 − 9 + 4 − 12
2+ 3+ 4

b. 2 + 17 − 4 9 + 4 5

Câu 3. Rút gọn biểu thức : A = x + 2 3x − 9 + x − 2 3x − 9
Câu 4. Giải phương trình: x2 − x + x2 + x − 2 = 0 .
——————————————————————————————————-

4 | HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy

Rèn luyện Toán 9 – Đại số

Gv. Lương Anh Nhật – ĐT: 0968 373 054
Khai phương một tích – một thương

1.13 Rút gọn

(

)(

a. 1 − 2 + 3 1 + 2 − 3

2

3 7 +7 3

f.

21

(

2− 7

)

)


b. 5 + 4 2  3 + 2 1 + 2 
 3 − 2 1 + 2 




4+ 8. 2+ 2+ 2 . 2− 2+ 2

c.

e.

(

)
2

g.

56 − 4

d.

(5

47 + 5 . 7 − 2 + 5 . 7 + 2 + 5

2 +2 5

)(

3 −3 2

30

)

h.

6 6 − 2 12 + 3 − 2
2 6 +1

CHĂM CHỈ – THÀNH TÀI – MIỆT MÀI – TẤT GIỎI

1.14 Rút gọn
a.

13 + 6 4 + 9 − 4 2

d.

3+ 5.

(

b.

)(

10 + 2 3 − 5

)

5 + 2 6 + 14 − 4 6



e.  2 4 + 6 − 2 5 



(

23 + 6 10 + 47 + 6 10

c.

10 − 2

)

1.15 Thu gọn các biểu thức

A=

7+ 5 + 7− 5
7 + 2 11

B=

− 3−2 2

2 +2−2

2 +1 +1

1.16 Thu gọn các biểu thức

A=

x2 + y 4 − 2 xy 2
x x + x − y2 x − y2

1.17 Cho a =

B = 3y

4 + xy − 4 xy
9×2 y 2

; x, y  0

C = x−4 x−4

1+ 5
1− 5
,b =
. Tính a3 + b3 .
2
2

1.18 Cho biểu thức A =

x+4 x−4 + x−4 x−4
1−

8 16
+
x x2

a. Tìm x để A xác định.
b. Rút gọn A.
c. Tìm các giá trị nguyên của x để A đạt giá trị nguyên.

HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy|5

Gv. Lương Anh Nhật – ĐT: 0968 373 054

Rèn luyện Toán 9 – Đại số

BÀI 2: BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI
I. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn
A2 B = A


 A B ; A  0, B  0
B=

− A B ; A  0, B  0

Ví dụ 1: Đưa thừa số ra ngoài dấu căn
a.

b. 2 50

45

3×2 − 6 xy + 3 y 2

c.
Giải

b) 2 50 = 2 2.52 = 2.5. 2 = 10 2

a)

45 = 32.5 = 3 5

c)

3×2 − 6xy + 3y 2 = 3 x2 − 2xy + y 2 = 3 ( x − y ) = 3 x − y

(

Ví dụ 2: Tính

)

2

75 + 3 12 − 300
Giải

75 + 3 12 − 300 = 5 3 + 4 3 − 10 3 = 3
II. Đưa thừa số vào trong dấu căn
 A2 B ; A  0, B  0
A B=
− A2 B ; A  0, B  0
Ví dụ 1: Đưa các thừa số vào dấu căn
b. 7 3

a. 2 7

c.

2 ( x − 1)

Giải
a) 2 7 = 22.7 = 28

b) 7 3 = 7 2.3 = 147

c)

2

2
x
−
1
,x  1
(
)

2 ( x − 1) = 
2
 − 2 ( x − 1) , x  1

Ví dụ 2: So sánh 4 3 và 5 2 .
Giải
Giải sử 4 3  5 2  42.3  52.2  48  50 (vô lý)
Vậy 4 3 > 5 2 .

A
=
B

III. Khử mẫu số của biểu thức trong dấu căn

AB
với AB  0 và B  0
B

Ví dụ 1: Khử mẫu của biểu thức trong dấu căn
a.

3
5

b.

6
7

c.

11
12

Giải
a)

3
3.5
15
=
=
5
5
5

Ví dụ 2: Tính

b)

6
6.7
42
=
=
7
7
7

c)

21
14
7
+
+
2
3
6
Giải

21
14
7
42
42
42
+
+
=
+
+
= 42
2
3
6
2
3
6
6 | HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy

11
11.12
132
=
=
12
12
12

Rèn luyện Toán 9 – Đại số

Gv. Lương Anh Nhật – ĐT: 0968 373 054

Chú ý: Trong nhiều trường hợp ta có thể biế đổi biểu thức trong dấu căn sao cho mẫu số của nó
được biến đổi thành bình phương của một số rồi khai phương và đưa ra ngoài dấu căn.

5
10
10
…
=
=
8
16
4

6
2
2
hoặc
=
=
75
25
5
IV. Trục căn thức ở mẫu số
1. Trường hợp thứ nhất
Chẳng hạn như:

A
B
7

7
7 5
7 3
,
=
5
6
2 3
5
2. Trường hợp thứ hai

Ví dụ:

=

CHĂM CHỈ – THÀNH TÀI – MIỆT MÀI – TẤT GIỎI

M

Ví dụ :

A B
với B  0
B

=

7

=

7

A B

(

5− 3

=

M

(

A

B

) với A  0, B  0 và A  B

4

(

A−B

),

4

=

7+ 2

)

2
5
7− 2
5+ 3
Chú ý: Trong nhiều trường hợp ta có thể viết tử số dưới dạng tích có chứa thừa số là mẫu
số rồi rút gọn.
Chẳng hạn như:

3+2 3
3

=

3

(

3 +2
3

)=

3+2 ,

10 − 6
5− 3

=

2

(

5− 3
5− 3

)=

2 ,…

Bài tập
2.1 Đưa thừa số ra ngoài dấu căn
1.

125a4 b3

2.

(

10 x2 y 3 − 2

)

2

3.

3×2 − 6 xy + 3 y 2

2.2 Đưa thừa số vào trong dấu căn

a b3
1.
; a , b cùng dấu, a  b
b a

2.

x+y x−y
; x  0 và x  y
x−y x+y

2.3 Khử mẫu của biểu thức lấy căn
a.

(2 − 5 )

2

8

b.

−4 x
,x  0  y
7 x2 y

c.

2
1
−
x − 1 ( x − 1) 2

2.4 Trục căn thức ở mẫu
a.

2 3− 6
8− 2

b.

4− 3
5 2 −2 5

c.

x+a x
a x

d.

x
2 x −3 y

2.5 Tính
a.

20 + 2 45 − 3 80 − 2 98

 1 1

1 4
c.  5
−
20 +
+ 2 5  : 2 5 +1
 5 20

4 5



b.

162 −

9
8 − 2 15
−
2
10 − 6

3

2
3  2
d. 
6 −2
−4
3
− 12 − 6 

2

3
2 

 3

HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy|7

Gv. Lương Anh Nhật – ĐT: 0968 373 054

Rèn luyện Toán 9 – Đại số

2.6 Tính
a.

1
3−2 2

−

1
3+2 2



5− 3  5− 3
c.  1 +
:
− 1



5 + 3   5 + 3


 4
12
15 
e. 
−
+
 6 + 11
6 +1
 6 −2 3− 6

(

1

g.

3− 2

−

2
7+ 5

3

b.

3

−

7 − 40

+

d.

)

f.

3 −1

3

−

3 +1

−2 3 + 5 2
5 2 +2 3
1
12 − 140

+

−

5 2 +2 3
−2 3 + 5 2
1
8 − 60

−

1
10 + 84



1
1
h. 23 
−

2+ 3+ 6
 2+ 3− 6
5 + 21

2 2

5 2 + 10

i.

9 + 3 5 + 2 14 + 6 5

2.7 Thu gọn
2+ 3

a.

(

2 + 2+ 3

b. 2 − 3
c.

)

2− 3

+

2 − 2+ 3

(

26 + 15 3 − 2 + 3

45 + 27 2 + 45 − 27 2

5+3 2 − 5−3 2
2.8 Thu gọn các biểu thức

−

)

26 − 15 3

3+ 2 + 3− 2
3+ 2 − 3− 2


x + x  x − x 
1. A =  1 +
1−

 với x  0 và x  1 .


x
+
1
x
−
1




(
2. B =

a+ b

) −4
2

a− b

ab

+

a b +b a
ab

với a , b  0 và a  b .

 1
1 
a +1
3. C = 
với a  0 và a  1 .
+
:
a
−
a
a
−
1
a
−
2
a
+
1




1  x − 2
x +2 
4. D =  1 +
−
 với x  0 và x  1 .
 
x   x − 1 x + 2 x + 1 



x y
x
x  
x
:
 với x , y  0 và x  y .
5. E = 
−
−
 x + y x − y   x + y x + y + 2 xy 

 

3
3
 1
1 
2
1 1 x + y x + x y + y
.
+
+ + :
6. F = 
với x , y  0 .
 x
y  x + y x y 
x3 y + xy 3

 a+b
a
b  
b − ab 
7. G = 
−
−
 với a , b  0 và a  b .
 :  a +
ab
ab
+
b
ab
−
a
a
+
b

 

8. H =

a + b −1
a + ab

+

a− b
b
b 
+

 với a , b  0 và a  b .
2 ab  a − ab a + ab 

8 | HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy

Rèn luyện Toán 9 – Đại số

Gv. Lương Anh Nhật – ĐT: 0968 373 054



1
1
1
9. K = 
với x  0 và x  1 .
+
: 2
 x x + x + x x + x +1 x − x

 x+2
x +1
1 
10. L = 1 : 
+
−
 với x  0 và x  1 .
 x x −1 x + x +1
x − 1 

 2x x + x − x x + x 
x −1
x
1
11. M = 
với x  0, x  1 và x  .
−
+
 .

x − 1  2x + x − 1 2 x − 1
4
x x −1

 x −4
1
2 
x 
12. N = 
−
+
. x −

 với x  0, x  4 và x  9 .
 x+2 x x−2 x x−4 
x
−
3




CHĂM CHỈ – THÀNH TÀI – MIỆT MÀI – TẤT GIỎI

 x +2
x +1
3 x −1  
1 
13. P = 
−
+
: 1−

 với x  0, x  1 và x  9 .
 x −1
 
x
−
3
x
−
4
x
+
3
x
−
1



 x−3 x   x −3
x −2
9−x 
2.9 Cho biểu thức Q =  1 −
:
+
−

 với x  0, x  4, x  9 .

x − 9   2 − x 3 + x x + x − 6 

a. Thu gọn biểu thức Q.
b. Tìm giá trị của x để Q = 1 .
2.10
a. Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x2 − 6 x + 5 .
b. Tìm giá trị lớn nhất của B = −5 + 1 − 9 x2 + 6 x .

HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy|9

Gv. Lương Anh Nhật – ĐT: 0968 373 054

Rèn luyện Toán 9 – Đại số

BÀI 3: GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC THƯỜNG GẶP
I. Phương trình dạng

A= B
 A  0 hay B  0
A= B
A = B
x2 − 3 = 2 x − 3 .

Ví dụ 1: Giải phương trình

Giải

3

3
2 x − 3  0
2 x  3
x 
x 
x − 3 = 2x − 3   2
 2


x=2
2
2
 x − 3 = 2 x − 3
 x − 2 x = 0
x ( x − 2 ) = 0
 x = 2 hay x = 0

2

II. Phương trình dạng

A =B

 B  0
A =B
2
 A = B

2x − 1 = x − 2 .

Ví dụ 2: Giải phương trình

Giải

x  2
 x − 2  0
 x  2

 x  2

  x = 5  x = 5
2x − 1 = x − 2  
2   2
 x − 6 x + 5 = 0

( x − 5 )( x − 1) = 0
2 x − 1 = ( x − 2 )
 x = 0
Nhắc: phương trình chứa dấu trị tuyệt đối
A = B
B  0
1. A = B  
2. A = B  
 A = −B
 A = B hay A = − B
Chú thích: dấu “  ” và “  ” có nghĩa là “hoặc”; dấu “  “ và “  “ có nghĩa là “và”.
Bài tập
3.1 Giải các phương trình
a.

x −1 = 9 − x

b.

2x − 7 = x − 4

c.

x2 + x − 3 = x + 1

d.

x 2 − x + 1 = 3x + 1

e.

x 2 − 5x = x − 9

f.

x2 + 4x − 8 = 2x + 7

h.

x 2 − x + 3 = 2 x 2 + 3x − 3

c.

x2 − 4x + 3 = x − 2

1
= x2 + 6x + 9
4
3.2 Giải các phương trình
g.

x2 + x +

a.

x2 − 5 = x − 1

b.

d. 16 − 8 x + x2 = 4 − x
e.
3.3 Giải các phương trình
a.

x+4 x−4 = 5

b.

4x + 8 = −x + 1

9 x2 − 6 x + 100 = 3x + 5 f.

4×2 − 20x + 25 = x − 3

x−3+2 x−4 = 2 x−4 −3

c. x2 − 2x + 2 = 2 2x − 3

d. 5x − 5 − 2 2x − 5 = 4 3x − 5

e. x2 − 2 + 3 x2 + 2 = 0

f.

x
4x − 1

+

4x − 1
=2.
x

10 | HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy

Rèn luyện Toán 9 – Đại số

Gv. Lương Anh Nhật – ĐT: 0968 373 054

—————————————————————————————————–Ôn tập 2
Câu 1. Tính
a.

1

+ 175 −

6 2 −4

6 − 11

b.

8+ 7
3− 2
Câu 2. Giải các phương trình

22 − 2

+

6
2

3

−

2 +1

x+3 + 2−x = 5

a.

x2 − x − 2 = x − 2

b.

c.

( x − 1)

d. 3 − 2 x 2 + 3 x = 16 − 6x

2

(

+ x2 + 4x + 4 = 3

Câu 3. Cho biểu thức A =

2 x −9

−

x +3

−

)(

)

2 x +1

CHĂM CHỈ – THÀNH TÀI – MIỆT MÀI – TẤT GIỎI

x−5 x +6
x −2 3− x
a. Tìm điều kiện để A có nghĩa.
b. Rút gọn A.
c. Tìm giá trị nguyên của x sao cho A có giá trị nguyên.

Câu 4. Chứng minh:

2 + 3. 2 + 2 + 3 . 2 + 2 + 2 + 3 2 − 2 + 2 + 3 = 1.

——————————————————————————————————-

HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy|11

Gv. Lương Anh Nhật – ĐT: 0968 373 054

Rèn luyện Toán 9 – Đại số

BÀI 4: CĂN BẬC BA
I. Định nghĩa
Căn bậc ba của một số a là số x sao cho x 3 = a .
Ví dụ: Căn bậc ba của 8 là 2 vì 2 3 = 8 , căn bậc ba của 0 là 0 vì 0 3 = 0 , căn bậc ba của –125 bằng –5
vì ( −5 ) = −125 ,…
3

Nhận xét
_ Mỗi số thực đều có duy nhất một căn bậc ba.
_ Căn bậc ba của số dương là số dương.
_ Căn bậc ba của 0 là 0.
_ Căn bậc ba của số âm là số âm.
_ Căn bậc ba của một số thực a kí hiệu là
II. Công thức
1.

4.

3

3

AB = 3 A 3 B

A
=
B

3

2.

AB2
,B  0
B

5.

3

A
=
B

3
3

A
B

M
3

A B
3

3

a

,B  0

=

M

(

3

3.
A2

3

A3 B = A 3 B

3

AB + 3 B2

AB

) ,A 

B

Bài tập
4.1 Tính
a. 4 3 16 + 5 3 54 − 2 3 128
d.

(

3

) (
3

4 +1 −

3

)

4 −1

3

b. 5 3 81 − 3 3 24 + 3 3 192

c.

(

3

2−34

)

3


1
e. 12 3 2 + 3 16 − 2 3 2  5 3 4 − 3 3 

2 


(

)

4.2 Chứng minh x = 3 54 + 30 3 + 3 54 − 30 3 là nghiệm của phương trình x3 − 3×2 = 108 .
4.3 Giải các phương trình
a.

3

x3 + 9 x2 = x + 3

b.

3

5+ x + 3 5−x =1

c.

3

9−x + 3 7+x = 4

12 | HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy

Rèn luyện Toán 9 – Đại số

Gv. Lương Anh Nhật – ĐT: 0968 373 054

HƯỚNG DẪN MỘT SỐ BÀI TẬP CHƯƠNG I
BÀI 1: CĂN BẬC HAI
1.1 Đáp án theo thứ tự của đề bài: 4,

3
5
, 0.6 ,
,
11
7

1.2 Đáp án theo thứ tự của đề bài: 6 3 ,16,

19 , không có.

3 3
,16,0.9 .
4

1.3 a. 2, b. 5, c. 2, d. 5, e. –11, f. –4.
1.4 a) Gọi x là độ dài cạnh của hình vuông, với x > 0, ta có: x2 + x2 =

CHĂM CHỈ – THÀNH TÀI – MIỆT MÀI – TẤT GIỎI

A

( )
2

2

 x =1.

b) Gọi ABC là tam giác đều có cạnh bằng
đường trung tuyến ần tìm độ dài.

3 với AM là

Ta có: AC 2 = AM 2 + MC 2 (Pythago)
C

B

M

 BC 
 AC = AM + 

 2 
2



( 3)

2

2

2

2

 3
3
= AM 2 + 
 AM =

 2 
2



1.5
a. x =  10 , b. x = 

6 , c. x = 1 − 2  x = −1 − 2 , d. x = 1 − 3  x = −1 − 3

e. x = 6 + 2  x = − 2 , f. x = 10 − 2  x = 2 , g. Công hai vế cho 1, x =

4− 3
−6 + 3
x=
2
2

h. Cộng hai vế cho 5, x = 5 − 1  x = −3 5 + 1 , i. Cộng hai vế cho 12, x = −1  x = −4 3 + 1
j. Cộng hai vế cho 18, x =

8 2 −1
−2 2 + 1
x=
2
2

 2 2 −1
2
k. 2 x 2 + 9 + 4 2 = 12 x  2 x 2 − 6 x + 9 = 9 − 2.2 2  ( x − 3 ) = 


2 


(

)

2


2 2 −1
x = 3 +
2


2 2 −1
x = 3 −

2

l. 3×2 − 30x + 26 + 8 3 = 0

 4 3 −1
2
 3 x 2 − 10 x + 25 = 49 − 2.4 3  ( x − 5 ) = 


3 


(

)

2


4 3 −1
x = 5 +
3


4 3 −1
x = 5 −

3

HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy|13

Gv. Lương Anh Nhật – ĐT: 0968 373 054
1.6 a. 2 5 − 5  5 − 3 , b.

17 + 26  9 b.

1.7 a.
e.

Rèn luyện Toán 9 – Đại số

2 − 2  3 − 3 , c.

3+ 5 =

5 +1
2

31 − 19  6 − 17 , d. 9 − 58  80 − 59

48  13 − 35 , c.

7 − 21 + 4 5 = 5 − 1 .

1.8 Lưu ý: Các biểu thức chứa trong dấu căn ở mẫu số đều phải dương mới xác định.
7
2
1
a. x  − , b. x  − , c. x  , d. x  0 , e. x  0 , f. x  2 và x  3 , g. x 
3
5
2

5
, h. −  x  3
2

1.9 Lưu ý: ( x − a )  0  x  a .
2

a. x  3 , b. x  4 − 2 2  x  4 + 2 2 , c. 2 − 39  x  2 + 39 , d. x 
4
e. x  −  x  2 , f. x  5  x  −3 , g. x 
3

2 − 2 11
2 + 2 11
x
5
5

, h. x 

1.10 a. 2 7 − 3 3 , b. −3 + 3 7 , c. 3 3 − 4 2


1
−1, x  − 3
1.11 a. 2 5 − 5 , b. −1 , c. 1 , d. 
, e.
6 x + 1, x  1

3

1, x  5
, f.

−1, x  5

 x − 1, x  2
, g.

− x + 1, x  2


 x − 1, x  1


 − x + 1, x  1


2
3x − 1, x  3
h.
, i. 
x −1
−3x + 1, x  2

3

y −1

1.12

a. A = 9 x 2 − 12 x + 4 − 6 x − 1 =

( 3x − 2 )

2


2
−3x − 3, x 


3
− 6 x − 1 = 3x − 2 − 6 x − 1  A = 
2
1 − 9 x , x 

3


Với x = 1  A = −3.1 − 3 = −6
b. B = x + y + x 2 − 2 xy + y 2 = x + y +

(

(x − y)

2

2 x , x  y
= x+ y+ x−y  B= 
2 y , x  y

)

Với x = 1 − 3  1 − 5 = y  B = 2 1 − 3 = 2 − 2 3

14 | HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy

Rèn luyện Toán 9 – Đại số

Gv. Lương Anh Nhật – ĐT: 0968 373 054

————————————————————————–Ôn tập 1

x − 2  0
x  2

 x −1

Câu 1. 
0
  x  −3  x  1  x  −3  x  2
x + 3

2
 x 2 + 4 x + 5  0
( x + 2 ) + 1  0
Câu 2.

(

a.

) (

2+ 3+ 4 −

6 + 9 + 12

2+ 3+ 4

)=(

CHĂM CHỈ – THÀNH TÀI – MIỆT MÀI – TẤT GIỎI

b. 2 + 17 − 4 9 + 4 5 = 2 + 17 − 4

(

)

2+ 3+ 4 − 3

(

2+ 3+ 4

2+ 3+ 4

2+ 5

)

2

= 2+ 9−4 5 = 2+

(

) = 1−

2− 5

)

2

3

= 5

Câu 3.

A = x − 3 + 2 3 ( x − 3) + 3 + x − 3 − 2 3 ( x − 3) + 3
=

(

x−3 + 3

)

2

+

(

x−3 − 3

)

2

=

x−3 + 3 +


2 x − 3 , x  6
x−3 − 3  A = 

2 3 , 3  x  6

Câu 4.
Nhớ: Nếu A + B = 0 với A , B  0 thì A = 0 và B = 0 .
2
 x − x  0
 x  −2, x  1
Điều kiện xác định:  2
 x + x − 2  0

 x2 − x = 0
x −x + x +x−2 =0  2
 x = 0, x = 1, x = −2 . Vậy x = −2, x = 1 .
 x + x − 2 = 0
2

2

————————————————————————–1.13 a. −4 + 2 6 , b. −7 , c. 2 2 , d. 2 551 , e.

3 + 7 , f.

1
, g.
2

(

)(

)

5 + 2 1 − 6 , h. 3 − 2

1.14 a. 3 2 + 1 , b. 3 3 + 2 − 2 , c. 3 2 + 4 5 + 2 , d. 8, e. 8
1.15 a. A =

7+ 5 + 7− 5
7 + 2 11

− 3−2 2
A2

A1

2

(

)

 7 + 5 + 7 − 5  14 + 44 2 7 + 2 11
 =
=
= 2  A1 = 2
Xét A12 = 


7
+
2
11
7
+
2
11
7 + 2 11



HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy|15

Gv. Lương Anh Nhật – ĐT: 0968 373 054

(

Xét A2 = 3 − 2 2 = 2 − 2 2 + 1 =
b. B =

2 +2−2

2 +1 =

Rèn luyện Toán 9 – Đại số

2 −1

)

2

= 2 − 1 . Vậy A = A1 − A2 = 1
2

2 + 1 + 1 = 


2 +1− 2

2 + 1 − 1  =


2 +1 −1

1.16

a. A =

=

x x + x − y2 x − y2

b. B = 3 y

4 + xy − 4 xy
9 x2 y 2

(x − y )
=
x (x − y ) + (x − y ) (
2

x 2 + y 4 − 2 xy 2

= 3y

2

2

(

xy − 2

2

)

2

c. C = x − 4 x − 4 = x − 4 − 4 x − 4 + 2 =

)(

x + 1 x − y2

)

1

=

x +1

xy − 2

=

3 xy

x − y2

x

(

x−4 −2

)

2

=

x−4 −2

1.17 Ta có: a3 + b3 = ( a + b ) − 3ab ( a + b ) mà a + b = 1, ab = −1  a3 + b3 = 13 − 3 ( −1) .1 = 4
3

1.18





x
4

x − 4  0
x  4

x  4

 2

a.  x − 4 x − 4  0   x  4 x − 4   x − 16 x + 64  0  
x4
x  4
 8 16

 4
2
1 − +
 1 − 4   0
1 −  0
0
 x
 x x2

x 
b. A =

x+4 x−4 + x−4 x−4
1−

8 16
+
x x2

x−4 +2+

=


4
1− x 


x

TH1:

x−4 −20 x8 A =

TH2:

x−4 −2  0 4  x 8 A =

c. Xét x  8 , để A nguyên thì

x−4 −2

x−4

2

= x−4 +

=

x

(

x−4 +2+

x−4 −2

)

x−4

4
x−4

4x
16
=
+4
x−4 x−4

x − 4 là ước số của 4 nghĩa là

x − 4  4, 2,1

Ta giải được x = 8 , x = 20 .
Xét 4  x  8 , để A nguyên thì ( x − 4 ) là ước của 16 nghĩa là ( x − 4 ) 16, 8, 4, 2, 1
Ta giải được x = 5

16 | HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy

Rèn luyện Toán 9 – Đại số

Gv. Lương Anh Nhật – ĐT: 0968 373 054

BÀI 2: BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI

(

)

2.1

1. 5a2 b 5b , 2. 3 − 2 x 10 y , 3.

2.2

1. ab , 2.

2.3 a.

2 −7 xy
−2 2 + 10
, b.
, c.
2
−7 xy

2.4 a.

3

(

x+y
x−y

)

2 − 1 , b.

( 4 − 3 )( 5

CHĂM CHỈ – THÀNH TÀI – MIỆT MÀI – TẤT GIỎI

2 3
3 −1

2 −2 5

) , c.

(

x 2 x +3 y
x +a
, d.
a
4x − 3y

)

31
, d. 7 2
20

15
62
, d.
, e. −115 , f. 0, g. 0, h. 24 + 2 6
3
19

, c. −

5 2 + 10

i. I =

2x − 3
x −1

30

2.5 a. −4 5 − 14 2 , b. 7 2 , c.

2.6 a. 4 2 , b.

3 x−y

=

9 + 3 5 + 2 14 + 6 5

5 2 + 10

(7 + 3 5 ) + 2

5 2 + 10

=

7+3 5 + 2

2 7+3 5 +2

Nhân tử và mẫu bởi 2
10 + 20

I=

14 + 2.3 5 + 2

=

(

2 5+ 5

(3 + 5 )

2

)

=

+2

(

2 5+ 5
5+ 5

)=2

2.7
2+ 3

a. A =

2 + 2+ 3

A=

( 2 + 3 ) 

+

2− 3
2 − 2+ 3

=

(

( 2 + 3 ) 

(

)

2 − 2 + 3  + 2 − 3  2 + 2 + 3 



 2 + 2 + 3  2 − 2 + 3 







)

2 − 2 + 3  + 2 − 3  2 + 2 + 3 



− 3

Nhân tử và mẫu bởi

2 , ta có: A =

( 2 + 3 )  2 −

(

)

4 + 2 3  + 2 − 3  2 + 4 + 2 3 



− 3

2 + 3 )  2 − ( 1 + 3 )  + ( 2 − 3 )  2 + (1 + 3 )  ( 2 + 3 )( 1 − 3 ) + ( 2 − 3 )( 3 + 3 )
(



=
A=
=
− 3. 2

(

b. B = 2 − 3

)

(

26 + 15 3 − 2 + 3

− 3. 2

)

6− 2
3

26 − 15 3
HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy|17

Gv. Lương Anh Nhật – ĐT: 0968 373 054
Nhân hai vế bởi

(

VP = 2 − 3

(

2B = 2 − 3

2 , ta có:

) (3

3+ 5

Rèn luyện Toán 9 – Đại số

)

) − (2 + 3 ) (3
2

(

52 + 2.5.3 3 − 2 + 3
3− 5

) = ( 2 − 3 )( 3
2

)

52 − 2.5.3 3

) (

)(

)

3 + 5 − 2+ 3 3 3 − 5 = 2

Vậy B = 2 .

45 + 27 2 + 45 − 27 2

c. C =

3+ 2 + 3− 2

−

, phân số thứ nhất ta lấy 9 làm thừa số

5+3 2 − 5−3 2
3+ 2 − 3− 2
chung ở bên trong từng căn thức trên tử rồi nhân lượng liên hiệp với mẫu số, ta có:
2

2

(

)



3  5 + 3 2 + 5 − 3 2 
 3+ 2 + 3− 2 
3 10 + 2 7
6+2 7
4
 − 
 =
C= 
−
=
= 2
2
2
2
2
6 2
2 2
2 2
 5+ 3 2  − 5−3 2   3+ 2  − 3− 2 

 
 
 


 
 
 


2.8


x + x  x − x 
1. A =  1 +
1−

 với x  0 và x  1 .


x
+
1
x
−
1




x x + 1 
x x −1 


 = 1+ x 1− x = 1− x
A = 1+
1−


x + 1 
x − 1 




(

2. B =

B=

(

(

)

a+ b

(

) −4

)

2

a− b

(

)(

)

2

a− b

a− b

)

+

ab

ab

(

+

a b +b a
ab

a+ b
ab

)=

với a , b  0 và a  b .

a− b+ a+ b=2 a

 1
1 
a +1
3. C = 
với a  0 và a  1 .
+
:
a −1 a − 2 a +1
 a− a


1
1 

C=
+
:
 a a − 1
a − 1 



(

)

(

a +1

)

a −1

2

=
a

(

a +1

)

a −1

(
.

)

a −1

a +1

2

=

a −1
a


1  x − 2
x +2 
D = 1+
−
 với x  0 và x  1 .
 
x   x − 1 x + 2 x + 1 



x −2
x +1 − x + 2
x +1 
x −2
x +2 
x +1
D=
.
−
=
.
2 
2
x  x −1
x
x +1
x +1 
x −1
x +1




x y
x
x  
x
:
 với x , y  0 và x  y .
5. E = 
−
−
 x + y x − y   x + y x + y + 2 xy 

 

4.

(

)(

) (

)

(

18 | HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy

)(
(

) (
)(

)

)(

x −1

)=

−2
x −1

Rèn luyện Toán 9 – Đại số

Gv. Lương Anh Nhật – ĐT: 0968 373 054

 
( )
x y
 
x
−
:
( x + y )( x − y )   x + y ( x + y )
( x + y) = − y( x + y)
− xy
.
x x
y )( x − y )
x( x − y )



x
E=
−
x
+
y



2

x



2 



2

=

(

x+

3
3
 1
1 
2
1 1 x + y x + x y + y
.
+
+ + :
6. F = 
với x , y  0 .
 x
y  x + y x y 
x3 y + xy 3

 x+ y
xy
x + y  x ( x + y ) + y ( x + y ) x + 2 xy + y
2
F=
.
+
=
.
=
:
xy 
xy
xy
x+ y
xy
x
+
y
x
+
y

( )


x+ y
xy

CHĂM CHỈ – THÀNH TÀI – MIỆT MÀI – TẤT GIỎI

 a+b
a
b  
b − ab 
7. G = 
−
−
 với a , b  0 và a  b .
 :  a +
ab
ab
+
b
ab
−
a
a
+
b

 



a+b
G=
−
 ab
b


a

(

a+ b

a + b −1

8. H =

a + ab
a + b −1

H=

a

(

a+ b

)

+

)

−

(

)

(

)

a + b + b − ab
a+ b

=

a ab + b ab
ab ( a − b )

.

a+ b
1
=
a+b
a− b

=

1

a− b
b
b 
+

 với a , b  0 và a  b .
2 ab  a − ab a + ab 
a− b

+

a

 a
:
a − b 

b

2 ab

. b.

a + ab + a − ab
a + b −1
=
+
2
a − ab
a a+ b
a

(

)

1

(

a+ b

)

(

x −1 x + x +1 = x −1

a



1
1
1
+
9. K = 
với x  0 và x  1 .
: 2
 x x + x + x x + x +1 x − x



1
1
1
x +1

:
K=
. x
+
=
 x x + x + 1 x + x + 1  x x x − 1
x x+ x +1


 x+2
x +1
1 
10. L = 1 : 
+
−
 với x  0 và x  1 .
 x x −1 x + x +1
x − 1 


(

L = 1:

)

x+2+

(

(

)( x − 1) − ( x +
( x − 1)( x + x + 1)
x +1

)

x +1

)=(

(

)

)(

) = x+

x −1 x + x +1
x− x

)(

)

x +1
x

 2x x + x − x x + x 
x −1
x
1
11. M = 
với x  0, x  1 và x  .
−
.
+


x − 1  2 x + x − 1 2 x − 1
4
x x −1


x 2x + x − 1
x x +1 
x −1
x

.
M=
−
+
 x − 1 x + x + 1
x − 1 x + 1  2 x + x − 1 2 x − 1



(

=

(

)(

)

(

)

) ( )( )
x ( x + 1)( 2 x − 1) − x ( x + x + 1)
x −1
.
+
2
x
+
x
−
1
2
x
−
1
x
+
x
+
1
( )(
)

x
x −1

HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy|19

Gv. Lương Anh Nhật – ĐT: 0968 373 054
=

(

x

(

)(

Rèn luyện Toán 9 – Đại số

). x −1 −
x + 1) 2 x + x − 1 (

(

x +1 2 x −1

)(

x −1 x +

x x+ x +1

)(

)

)

x −1

.

x − 1 x + x + 1 2x + x − 1

+

x
2 x −1

x

=

(

x +1

x+ x +1

 x −4
1
2 
x 
12. N = 
. x −
−
+

 với x  0, x  4 và x  9 .


x − 3 
 x+2 x x−2 x x−4 

 x. x − 3 − x
x −4
1
2

.
N=
−
+
 x x + 2
x −3
x x −2
x +2
x − 2 



(

(

)

)

( ) ( )( )
( x − 4 )( x − 2 ) − ( x + 2 ) + 2 ( x − 2 ) . x ( x − 4 )
=
x −3
x ( x + 2 )( x − 2 )
x ( x − 4)
( x + 2 )( x − 3) . x ( x − 4 ) =
x−5 x +6
=
.
=
x −3
x −3
x ( x + 2 )( x − 2 )
x ( x + 2 )( x − 2 )

x −4
x +2

 x +2
x +1
3 x −1  
1 
13. P = 
−
+
: 1−

 với x  0, x  1 và x  9 .
 x −1
 
x
−
3
x
−
4
x
+
3
x
−
1





x +2
x +1
3 x −1
x −2


P=
−
+
:
 x − 1
x −3
x − 1 x − 3  x − 1



( )( )
( x + 2 )( x − 3) − ( x + 1)( x − 1) + 3
=
( x − 1)( x − 3)

2.9



a. Q = 1 −



(

x +3

b. Q =

:

(

x −3
−

3

=

x

(

x −3

.

 
 : x −3 + x −2 −
x + 3   2 − x 3 + x
 

x −3

)(

)

x −1

)(
(

)

(

) ( x − 2) + x − 9 =
x − 2 )( x + 3 )
x +3 +

x −1
x −2

=

2

(

9−x
x −2

)(

(

x −3

)(

x −1



x + 3 


)

2

x −2
3

x −2
= 1  x = 5  x = 25 .
3

2.10

( x − 3) − 4  ( x − 3) − 4  0
A đạt giá trị nhỏ nhất, khi đó ( x − 3 ) − 4 = 0  x = 5  x = 1
2

a. A = x2 − 6 x + 5 = x 2 − 6 x + 9 − 4 =
Để

2

2

b. B = −5 + 1 − 9 x2 + 6 x = −5 + 2 − ( 3x − 1)

2

Vì ( 3x − 1)  0  − ( 3x − 1)  0  2 − ( 3x − 1)  2  B  −5 + 2
2

2

2

Vậy B lớn nhất khi dấu “=” xảy ra, như vậy 3x − 1 = 0  x =

20 | HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy

1
.
3

)

x −3

)

.

x −1
x −2

=

2
x −2

)

Rèn luyện Toán 9 – Đại số

Gv. Lương Anh Nhật – ĐT: 0968 373 054

BÀI 3: GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC THƯỜNG GẶP
3.1 a. x = 5 , b. vô nghiệm, c. x = 2  x = −2 , d. x = 0  x = 4 , e. vô nghiệm, f. x = 3 , g. x = −

7
4

h. x = −2 + 10  x = −2 − 10
3.2 a. x = 3 , b. x = −1 , c. vô nghiệm, d. vô số nghiệm, e. x =

25
, f. vô nghiệm
12

3.3
a. Điều kiện: x  4
PT  x − 4 + 2.2. x − 4 + 4 = 5 

 x−4 =7
x−4 −2 = 5 
 x − 4 = 7  x = 53
 x − 4 = −3

CHĂM CHỈ – THÀNH TÀI – MIỆT MÀI – TẤT GIỎI

Vậy x = 53 .
b.
 x−4 +1= 2 x−4 −3
 x − 4 + 2. x − 4 + 2 = 2 x − 4 − 3
 x−4 = 4


3



PT  2 x − 4 − 3  0
  x−4 

 x = 20
25
2
x − 4  0

x 

4

x  4


c. Điều kiện: x 

3
2

PT  x2 = 2x − 3 + 2 2x − 3 + 1 

(

)

2

2x − 3 + 1 = x2  2x − 3 = x − 1  x = 2

Vậy x = 2 .
2 x − 5  0
5
5
5
 x x  x
d. Điều kiện: 
2
3
2
3x − 5  0

PT  ( 2x − 5 ) − 2 2x − 5 + 1 + ( 3x − 5 ) − 4 3x − 5 + 4  = 0 

 


 2x − 5 − 1 = 0
Như vậy 
 x = 3 (nhận)
3
x
−
5
−
2
=
0



(

)

e. PT  x 2 + 2 + 3 x 2 + 2 − 4 = 0

(1)  t

2

(1) đặt t =

(

) (
2

2x − 5 − 1 +

3x − 5 − 2

)

2

=0

x2 + 2 , t  2

+ 3t − 4 = 0  (t − 1)( t + 4 ) = 0  t = 1 (loại) hay t = −4 (loại)

Vậy phương trình vô nghiệm.

x  0
1
x

 x  . Đặt t =
,t  0
f. Điều kiện:  1
4
x
−

0
4
x
−
1
 4
x = 2 + 3
2
1
PT  t + = 2  t 2 − 2t + 1 = 0  t = 1  x = 4 x − 1  x 2 − 4 x + 1 = 0  ( x − 2 ) = 3  
t
 x = 2 − 3

So sánh với điều kiện, ta được: x = 2 + 3 và x = 2 − 3 .

HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy|21

Gv. Lương Anh Nhật – ĐT: 0968 373 054

Rèn luyện Toán 9 – Đại số
Ôn tập 2

Câu 1.
1

a.

+ 175 −

8+ 7

6 − 11

b.

22 − 2

+

6
2

−

6 2 −4
3− 2

3
2 +1

=

8− 7

(

8+ 7

12 − 2 11

=

44 − 2

)(

8− 7

+3 2 −

)

+ 52.7 − .

3

(

(

2 −1

)(

2 +1

)

(

2 2 3− 2
3− 2

)

2 −1

=

)=4

1
+3 2 −3
2

7

(

)

2 −1 =

Câu 2. Giải các phương trình
a.

 x  2
 x − 2  0
x2 − x − 2 = x − 2   2

x=2
 x − x − 2 = x − 2  x ( x − 2 ) = 0

b.

x + 3 + 2 − x = 5 , điều kiện −3  x  2 . Bình phương hai vế, ta có:
2


1  375
5 + 2 ( x + 3 )( 2 − x ) = 25  − x − x + 6 = 10  x + x + 94 = 0   x +  +
=0
2
4

Vậy phương tình vô nghiệm.
2

( x − 1)

c.

2

2

+ x2 + 4x + 4 = 3  x − 1 + x + 2 = 3

TH1: x  1, PT  x − 1 + x + 2 = 3  x = 1
TH2: x  −2, PT  1 − x − 2 − x = 3  x = −2
TH3: x  −2, x  1; PT  x − 1 − 2 − x = 3  −3 = 3 (vô lý)  Phương trình vô nghiệm.
TH4: −2  x  1, PT  1 − x + 2 + x = 3  3 = 3 (đúng)  Phương tình vô số nghiệm.
Vậy phương trình có vô số nghiệm với −2  x  1 .

(

)(

)

d. 3 − 2 x 2 + 3 x = 16 − 6x . Điều kiện: x  0 .

PT  6 + 5 x − 6x = 16 − 6x  5 x = 10  x = 2  x = 4 . Vậy x = 4 .
x  0

Câu 3. a.  x − 2  0  x  0, x  4, x  9

3 − x  0

( x + 3)( x − 3) + ( 2 x + 1)( x − 2 )
( x − 2 )( x − 3) ( x − 2 )( x − 3) ( x − 3)( x − 2 )
2 x − 9 − ( x − 9 ) + ( 2x − 3 x − 2 )
( x − 2 )(
x− x −2
=
=
=
( x − 2 )( x − 3)
( x − 2 )( x − 3) ( x − 2 )(

b. A =

2 x −9

c. Ta có: A =

x +1

−

= 1+

4

, thỏa đề bài khi và chỉ khi
x −3
x −3
Ta giải được x = 1, x = 16, x = 25 .

)=
x − 3)
x +1

2

2

= 2 + 3 . 2 + 2 + 3 . 2 − 2 + 3 = 2 + 3 . 2 − 3 = 1 = VP
22 | HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy

x −3

x − 3 1, 2, 4

Câu 4. VT = 2 + 3 . 2 + 2 + 3 . 2 + 2 + 2 + 3 2 − 2 + 2 + 3



= 2 + 3. 2 + 2 + 3 . 2 − 2 + 2 + 3 



x +1

7
2

Rèn luyện Toán 9 – Đại số

Gv. Lương Anh Nhật – ĐT: 0968 373 054
BÀI 4: CĂN BẬC BA

4.1 a. 15 3 2 , b. 21 3 3 , c. −2 − 6 3 2 + 6 3 4 , d. 2 + 12 3 2 , e. 84.
4.2 Ta có:

3

54 + 30 3 = 3 27 + 3.32 3 + 3.3.

Tương tự

3

( 3) +( 3)
2

3

=

3

(3 + 3 )

3

= 3+ 3

54 − 30 3 = 3 − 3  x = 6  x3 − 3×2 = 63 − 3.62 = 108  đpcm

4.3
a.

3

x 3 + 9 x 2 = x + 3  x 3 + 9 x 2 = ( x + 3 )  27 x + 27 = 0  x = −1

b.

3

5+ x + 3 5−x =1

3

Khi đó:
c.

3

3

25 − x2

(

3

(

)

)

3

=1

(

3

5+ x

)

2

3

5 − x + 3 5 + x.

(

3

5− x

)

2

= −3

52

( 9 − x + 7 + x ) = 64  ( 9 − x ) 7 + x + 9 − x. ( 7 + x ) = 16
( 9 − x )(7 + x ) ( 9 − x + 7 + x ) = 16  −x − 2x + 63 = 4  x − 2x + 1 = 0  x = 1
3

3

3

3

3

2

3

3

2

3

3

3

2

2

CHĂM CHỈ – THÀNH TÀI – MIỆT MÀI – TẤT GIỎI

3

5+ x + 3 5− x

5 + x + 3 5 − x = −3  3 25 − x2 = −3  x2 = 52  x =

9−x + 3 7+x = 4 

Khi đó:

3

HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy|23

Gv. Lương Anh Nhật – ĐT: 0968 373 054

Rèn luyện Toán 9 – Đại số

CHƯƠNG II HÀM SỐ BẬC NHẤT
BÀI 1: HÀM SỐ
I. Khái niệm về hàm số
Cho hai tập hợp X và Y.
Một hàm số f từ X vào Y là một quy tắc cho tương ứng với mỗi giá trị x thuộc vào X một và chỉ
một giá trị của y thuộc vào Y mà ta ký hiệu là f ( x ) . Ta viết
f :X →Y

x

y = f ( x)

X gọi là tập nguồn hay tập xác định của hàm số và Y gọi là tập đích.

Ví dụ: Cho X = −2; −1; 0;1; 2 và Y = 0;1; 2; 3; 4; 5 . Quy tắc cho tương ứng
f :X →Y

x

y = f ( x ) = x2

là một hàm số từ X vào Y.
Chú ý:

_ Giá trị của hàm số tại x = a ký hiệu là f ( a ) .
Chẳng hạn như ví dụ trên: f ( −1) = f (1) = 1 .
_ Khi cho hàm số mà người ta không nói đến tập xác định và tập đích thì luc đó ta phải hiểu rằng
tập xác định của hàm số là tất cả những giá trị x thuộc vào tập số thực
còn tập đích là

sao cho f ( x ) có nghĩa,

.
x
. Tìm tập xác định của hàm số đã cho.
x−5
x − 3  0
 x  3 và x  5 .
Tập xác định: 
x − 5  5

Ví dụ 1: Cho hàm số y = x − 3 +

1
x+2
.
+
x −1
x +1
x + 2  0  x − 1  0
x  1
x+2
0

x −1
x + 2  0  x − 1  0
 x  −2

Ví dụ 2: Tìm tập xác định của hàm số y =

2

II. Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến
Định nghĩa

Cho hàm số y = f ( x ) xác định trong khoảng ( a, b) .

•

Hàm số f ( x ) được gọi là đồng biến trên khoảng ( a, b) nếu với hai giá trị bất kỳ x1 và x2
sao cho x1  x2 thì f ( x1 )  f ( x2 ) .

•

Hàm số f ( x ) được gọi là đồng biến trên khoảng ( a, b) nếu với hai giá trị bất kỳ x1 và x2
sao cho x1  x2 thì f ( x1 )  f ( x2 ) .

Ví dụ 3: Khảo sát sự biến thiên (hay đơn điệu) của các hàm số
a. f ( x ) = 2x − 1
b. f ( x ) = 7 − 3x
c. f ( x ) = x2 − 1, x  0
Giải

a. Xét x1  x2 , ta có: f ( x1 ) − f ( x2 ) = 2×1 − 2×2 = 2 ( x1 − x2 )  0  f ( x1 )  f ( x2 )
24 | HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy

Rèn luyện Toán 9 – Đại số

Gv. Lương Anh Nhật – ĐT: 0968 373 054

 Hàm số đồng biến.
b. Xét x1  x2 , ta có: f ( x1 ) − f ( x2 ) = 3×2 − 3×1 = 3 ( x2 − x1 )  0  f ( x1 )  f ( x2 )
 Hàm số nghịch biến.
c. Xét x1  x2 , ta có: f ( x1 ) − f ( x2 ) = x12 − x22 = ( x1 − x2 )( x1 + x2 )  0  f ( x1 )  f ( x2 )
 Hàm số đồng biến.
III. Đồ thị của hàm số
Cho hàm số
f :X →Y

x

y = f ( x)

Đồ thị của hàm số f là một tập hợp các điểm ( x, y ) trên mặt phẳng tọa độ sao cho y = f ( x ) với

CHĂM CHỈ – THÀNH TÀI – MIỆT MÀI – TẤT GIỎI

xX .

y

1
Ví dụ 4: Cho hàm số y = x − 1 đi từ tập nguồn
3
X = −3; −1; 0; 2; 6 vào tập Y . Tìm tập Y và biểu diễn đồ

thị của hàm số từ X đến Y .
4
y ( −3 ) = −2, y ( −1) = − , y ( 0 ) = −1
3
1

4
1 
y ( 2 ) = − , y ( 6 ) = 1  Y = −2, − , −1, − ,1
3
3
3 


-3

-1

1

0
-1/3
-2/3
-1

2

x
-4/3
-2

Biểu diễn đồ thị (hình bên)

Bài tập
1.1 Một bác nông dân gửi tiền tiết kiệm vào ngân hàng, lúc đầu bác gửi số tiền là A = 1000000 với
giá trị lãi suất hàng tháng là r = 0.5%. Biết rằng mỗi tháng bác có tổng số tiền được biểu diễn theo
hàm số sau
f ( x ) = A (1 + r )

n

Trong đó n là số tháng (ví dụ n = 1 là tháng thứ nhất, n = 2 là tháng thứ hai,…). Hãy tìm số tiền
bác nông dân đó có ở mỗi tháng trong vòng một năm.
1.2 Người ta đo đạc và nhận thấy nhiệt độ của phòng học biến đổi theo quy tắc của hàm số sau
T = 27 + 1, 5 x với x là thời gian đo nhiệt độ (ví dụ: 1 giờ 30 phút thì x = 1.5)
Hỏi nhiệt độ phòng khi đo đạt 1 giờ 6 phút và 2 giờ 15 phút.
1.3 Xét tính đơn điệu của các hàm số
1
a. y = x + 1 + 3
b. y = −2 x + 1
c. −
x+1 −3
2
1.4 Vẽ tam giác ABC trên mặt phẳng tọa độ biết A (1; 2 ) , B ( −1; 0 ) và C ( 2; 0 ) rồi tính chu vi và
diện tích của nó theo đơn vị đo của hệ trục tọa độ.

HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy|25

Gv. Lương Anh Nhật – ĐT: 0968 373 054

Rèn luyện Toán 9 – Đại số

BÀI 2: HÀM SỐ BẬC NHẤT
I. Định nghĩa
Hàm số bậc nhất là hàm số cho bởi công thức y = ax + b với a , b là các số cho trước và a  0 .
Ví dụ: Các hàm số sau đây là hàm số bậc nhất
1
1
3
3
y = x − 1 trong đó a = , b = −1 ; y = − x trong đó a = − , b = 0 ;…
3
3
5
5
II. Tính chất
1. Tập xác định
Hàm số bậc nhất y = ax + b có tập xác định là .
2. Sự biến thiên
_ Nếu a  0 thì hàm số y = ax + b đồng biến trên

.

_ Nếu a  0 thì hàm số y = ax + b nghịch biến trên

.

III. Đồ thị hàm số bậc nhất
1. Đồ thị

_ Đồ thị hàm số y = ax với a  0 là đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và điểm (1,a ) .
_ Đồ thị hàm số y = ax + b với a  0 là đường thẳng cùng phương (hay song song) với
đường thẳng y = ax và cắt trục tung tại điểm ( 0,b ) .

2. Cách vẽ đồ thị hàm số bậc nhất
_ Ta đã biết đồ thị của hàm số bậc nhất là một đường thẳng. Do đó, để vẽ đồ thị hàm số
bậc nhất ta chỉ càn xác định hai điểm phân biệt thuộc đồ thị rồi vẽ đường thẳng đi qua hai
điểm đó. Đường thẳng vẽ được chính là đồ thị cần vẽ.

y

Ví dụ 1: Vẽ đồ thị hàm số y = 2 x − 1 .
3

Bảng giá trị:
x

1

2

y

1

3

1
-1

0

Đồ thị hàm số (hình bên)

1

x

2

-1

y

3
Ví dụ 2: Vẽ đồ thị hàm số y = x − 2 .
2
Bảng giá trị:

4
3
2

x

2

4

y

1

4

1
0
1

-1

Đồ thị hàm số (hình bên)

26 | HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy

-1

2

3

4

x

Rèn luyện Toán 9 – Đại số

Gv. Lương Anh Nhật – ĐT: 0968 373 054

3. Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ
Trong cùng một hệ trục tọa độ (hay mặt phẳng tọa độ) cho hai đường thẳng

d1 : y = a1x + b1 và d2 : y = a2 x + b2
•

Ta có:
d1 cắt d2 khi và chỉ khi a1  a2 .

•

d1 / / d2 khi và chỉ khi a1 = a2 và b1  b2 .

•

d1  d2 khi và chỉ khi a1 = a2 và b1 = b2 .

•

d1 ⊥ d2 khi và chỉ khi a1 .a2 = −1 .
Chú ý: Ta gọi a là hệ số góc của đường thẳng y = ax + b còn b gọi là tung độ góc.
Ví dụ 3: Trong cùng một mặt phẳng tọa độ cho hai đường thẳng
d1 : y = m2 − 1 x − m − 3 và d2 : y = 3x − 5

(

)

CHĂM CHỈ – THÀNH TÀI – MIỆT MÀI – TẤT GIỎI

a. Tìm m để d1 / / d2 .
b. Tìm m để d1 cắt d2 tại điểm M có hoành độ bằng 1.
Giải

m2 − 1 = 3
m = 2  m = −2

 m = −2
a. d1 / / d2  
−m − 3  −5 m  2
b. M  d2  yM = 3xM − 5 = 3.1 − 5 = −2

(

)

M ( 1; −2 )  d1  m2 − 1 1 − m − 3 = −2  m2 − m − 2 = 0  m = 2  m = −1

Với m = 2 không thỏa điều kiện trên, nên m = −1 .

1 
Ví dụ 4: Viết phương tình đường thẳng đi qua hai điểm A (1,2 ) và B  ,1  .
2 
Giải
Gọi d : y = ax + b là phương trình cần tìm.
Ta có:

1 
1
1
A (1,2 )  d  2 = a + b  b = 2 − a , B  ,1   d  1 = a + b  1 = a + 2 − a  a = 2  b = 0
2
2
2 
Vậy d : y = 2 x .
Ví dụ 5: Cho đường thẳng d : y = −x + 1 và điểm M ( 0; −1) . Tính khoảng cách từ điểm M
đến đường thẳng d.
Giải

Gọi N ( x0 ; y0 )  d  y0 = −x0 + 1  N ( x0 ; −x0 + 1)
Khi đó: MN = x02 + ( − x0 + 2 ) = 2 x02 − 4 x02 + 4 = 2 ( x0 − 1) + 2  2
2

2

Như vậy khoảng cách từ M đến d là độ dài nhỏ nhất của đoạn MN
Lúc này: MN = 2  2 ( x0 − 1) = 0  x0 = 1 .
2

Vậy khoảng cách cần tìm có độ dài là

2.

Lưu ý: Ta có độ dài một đoạn nối hai điểm M ( x1 , y1 ) và N ( x2 , y2 ) là:

HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy|27

Gv. Lương Anh Nhật – ĐT: 0968 373 054
MN =

(x

1

Rèn luyện Toán 9 – Đại số

− x2 ) + ( y1 − y2 ) .
2

2

Công thức trên được dùng làm bài tập, các em học sinh sẽ gặp ở bài 2.12.
Ví dụ 6: Cho hàm số y = 2x .
a) Vẽ đồ thị hàm số.
b) Tính góc  hợp bởi tia Ox và đường thẳng y = 2x .
Giải
a) Hàm số xác định với mọi x 
Bảng giá trị
x

0

1

y

0

2

b) Ta có: tan  =

y
2

B

.
1
A
O

1

x

AB 2
= = 2    630 .
OA 1

Bài tập

2.1 Xác định các hàm số f ( x ) và g ( x ) biết rằng f ( x − 1) = 3x − 5 và g ( x + 3) = 2x + 5 .
2.2 Với giá trị nào của tham số m các hàm số sau đồng biến, nghịch biến?
a. y = ( m − 5) x + 3

b. y = 4 x + m − m2 x − 3

(

(

)

c. y = 2m2 − 2 2m + 3 x − 1

)

2.3 Cho hàm số y = m2 − 3m x .
a. Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến, nghịch biến.

b. Xác định giá trị của m để đồ thị hàm số đi qua điểm M (1; −2 ) và xét tính biến thiên và vẽ đồ
thị của hàm số ứng với m vừa tìm được.
2.4 Vẽ các đồ thị hàm số y = 2x + 1 và y = 2 x + 1 .
2.5 Cho đường thẳng d: y = ( m − 3) x + m − 5
a. Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến, nghịch biến.

b. Xét tính biến thiên và vẽ đồ thị của d, biết d đi qua M (1; 2 ) .
c. Chứng minh rằng d luôn đi qua một điểm cố định.
2.6 Xác định hàm số y = ax + b có đồ thị là đường thẳng d, biết:
a. Đường thẳng d có hệ số góc là 2 và qua điểm M ( −2;1) .
1
b. Đường thẳng d qua gốc tọa độ và song song với d ‘ : y = − x + 2 .
3
c. Đường thẳng d cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 và song song với d ‘ : y = 4x − 3 .

d. Đường thẳng d qua điểm M ( 2; −2 ) và vuông góc với d ‘ : y = − x + 3 .
2.7 Cho hai đường thẳng y = ( 2m + 1) x + 2n − 3 và y = 2x + 3n có đồ thị lần lượt là d1 và d2 . Tìm
giá trị của m và n để:
a. d1 / / d2

b. d1  d2

c. d1 ⊥ d2

d. d1 cắt d2 tại một điểm trên trục tung.
2.8 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm M thỏa
28 | HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy

Rèn luyện Toán 9 – Đại số
a. M ( 2m − 1; m + 3 ) với m 

Gv. Lương Anh Nhật – ĐT: 0968 373 054
.

b. xM = 3m + 1 , yM = 2m − 5 với m 
2.9 Tìm hệ số góc và tung độ góc của hàm số

x y
+ = 1.
2 5

2.10 Cho hai hàm số y = −x + 1 và y = x + 3 .
a. Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng một hệ trục tọa độ.
b. Tìm giao điểm của hai đồ thị hàm số bằng đồ thị và bằng phép toán.

2.11 Cho đường thẳng d : y = −x + 1 và điểm M ( 0;1) . Tìm khoảng cách từ M đến đường thẳng d.
2.12 Tính khoảng cách giữa hai điểm A ( x1 , y1 ) và B ( x2 , y2 ) trên mặt phẳng tọa độ Oxy.
2.13 Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A ( 0; −3) và B (1; −1) .
2.14 Cho hai đường thẳng d1 : y = −2x + 1 và d2 : y = ( 2m − 3) x + 3 − m . Tìm m để đường thẳng d2

CHĂM CHỈ – THÀNH TÀI – MIỆT MÀI – TẤT GIỎI

đi qua điểm A  d1 và tung độ bằng 3.

2.15 Cho đường thẳng d có phương trình y = ( 2m − 1) x − m . Tìm m để đường thẳng d cắt trục
hoành tại điểm có hoành độ bằng 1.
2.16 Cho hai đường thẳng d1 : y = 2x và d2 : y = −x + 3 .
a) Tìm giao điểm của hai đường thẳng này bằng phép toán.
b) Viết phương trình đường thẳng d3 / / d1 và d3 cắt d2 tại điểm M có hoành độ bằng 2.
2.17 Trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ ba đường thẳng y = x + 1 , y = −2 x + 7 và y = 1 rồi
xác định tọa độ giao điểm của chúng bằng đồ thị và bằng phép toán.
2.18 Viết phương tình đường thẳng d đi qua gốc tọa độ và tạo với trục hoành một góc bằng 600.
2.19 Cho đường thẳng d : y = x + 1 .
a) Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng d.
b) Viết phương trình đường thẳng d’ qua O và vuông góc với d.
c) Tìm tọa độ giao điểm A, B của đường thẳng d lần lượt với Ox và Oy. Từ đó tính diện tích tam
giác OAB.
2.20 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho các điểm A ( 0; 3 ) , B ( −6; 0 ) và C ( 2; 0 ) .

a) Vẽ tam giác ABC.
b) Viết phương tình các đường thẳng AB và AC.
c) Tính độ dài các cạnh AB, AC và diện tích tam giác ABC.
d) Tính các góc của tam giác ABC.
2.21 Trong Vật lý, giá trị gia tốc trọng trường không phải lúc nào cũng là g = 10 m/s2 và nó luôn
bị phụ thuộc vào độ cao của địa hình, nói khác đi, nó phụ thuộc vào độ cao từ vị trí bạn đo gia
tốc trọng trường với mặt nước biển. Bên cạnh đó, việc đo đạc gia tốc trọng trường trong phòng
thí nghiệm cũng là một vấn đề cho các bạn học sinh. Các con lắc thuận nghịch được đo đạc chu
kỳ với chiều dài dây thay đổi hoặc cố định để thu được hàng loạt các giá trị g xấp xỉ nhau từ đó
có khái niệm về gia tốc trọng trường trung bình tại một vị trí. Để hiểu rõ hơn sự phụ thuộc này,
một nhóm khảo sát đã thu thập khá nhiều dữ liệu và biểu diễn chúng theo đồ thị dưới đây với
trục tung là giá trị của gia tốc trọng trường và trục hoành là chu kỳ được nhắc đến ở trên.

HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy|29

Gv. Lương Anh Nhật – ĐT: 0968 373 054

Rèn luyện Toán 9 – Đại số

g

10.05
9.87

O

2

1

3

3.2

T

a) Giả sử rằng sự phụ thuộc trên có biểu diễn là một đường thẳng, hãy viết phương trình
đường thẳng đó.
b) Khi T = 3,1 thì gia tốc trọng trường có giá trị là bao nhiêu?
2.22 Trong thực tế việc bảo dưỡng các tuyến đường sắt là cực kì quan trọng vì do sự thay đổi của
thời tiết mà các thanh sắt ở các đoạn đường ray dãn nở liên tục cùng với ma sát của bánh xe tàu
hỏa. Vì vậy, để tiện lợi trong việc bảo trì và sửa chữa đường ray, nhóm công nhân đã làm một
cuộc khảo sát trên một đoạn đường sắt. Các số liệu được đo đạc nhiều lần và được ghi nhận ở ba
cột sau:
l
100
100,03
10,06
toC
0oC
20oC
?
Trong bảng số liệu có một số liệu bị mất do sự cố, hãy tìm lại giá trị đó, biết rằng đồ thị biểu diễn
cho sự phụ thuộc này là một đường thẳng có dạng l = l0 (1 +  t ) .
———————————————————————-Ôn tập 3

Câu 1. Tìm hệ số góc của đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và điểm M ( 3; 2 ) .
Câu 2. Cho hai đường thẳng d1 : y = 2x và d2 : y = −x + 3 . Viết phương trình đường thẳng d3 biết

d3 song song với d1 và cắt d2 tại điểm có hoành độ bằng 2.
Câu 3. Cho đường thẳng y = 3 x có đồ thị là d.
a. Tính góc giữa đường thẳng d và trục hoành.

b. Viết phương trình đường thẳng d’ qua điểm M ( 3; 0 ) và vuông góc với đường thẳng d.
Câu 4. Chứng tỏ đường thẳng y = mx − 2m + 1 luôn đi qua một điểm cố định.
——————————————————————————–

30 | HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy

Rèn luyện Toán 9 – Đại số

Gv. Lương Anh Nhật – ĐT: 0968 373 054

HƯỚNG DẪN MỘT SỐ BÀI TẬP CHƯƠNG II
BÀI 1: HÀM SỐ
1.1 Bảng số liệu thỏa đề
Tháng
1
2
3
4
5
6
7
8
Tiền(triệ 10.0 10.10 10.1 10.20 10.25 10.30 10.3 10.4
u đồng) 5
025
5075 151
251
378
5529 0707
1.2
Tại x = 1 giờ 6 phút = 1,1 giờ, ta có: T = 27 + 1, 5  1,1 = 28,65
Tại x = 2 giờ 15 phút = 2,25 giờ, ta có: T = 27 + 1, 5  2, 25 = 30, 375
1.3

9
10.4
5911

10
10.5
1140

11
10.5
6396

12
10.6
1678

a. y = x + 1 + 3 . Điều kiện: x  −1

CHĂM CHỈ – THÀNH TÀI – MIỆT MÀI – TẤT GIỎI

Xét x2  x1  −1 , ta có: y ( x2 ) − y ( x1 ) = x2 + 1 − x1 + 1 =

x2 − x1
x2 + 1 + x1 + 1

 0  Hàm số đồng

biến.
b. y = −2 x + 1 . Điều kiện x  0
Xét x2  x1  0 , ta có: y ( x2 ) − y ( x1 ) = −2 x2 + 2 x1 = 2
c. −

x1 − x2
x2 + x1

 0  Hàm số nghịch biến.

1
x + 1 − 3 . Điều kiện: x  −1
2

Xét x2  x1  0 , ta có: y ( x2 ) − y ( x1 ) = −

x1 − x2
1
1
1
x2 + 1 +
x1 + 1 =
 0  Hàm số
2
2
2 x2 + 1 + x1 + 1

nghịch biến.
1.4

Ta có: BH = 1 − ( −1) = 2, CH = 2 − 1 = 1, AH = 2 − 0 = 2

y

Như vậy: AB = BH 2 + AH 2 = 2 2 ,

A
2

AC = AH 2 + CH 2 = 5 và BC = BH + HC = 3

1
-1
B

2

1
O

H

C

x

Chu vi ABC là: AB + BC + CA = 2 2 + 5 + 3
1
1
Diện tích ABC là: AH.BC = .2.3 = 3 .
2
2

HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy|31

Gv. Lương Anh Nhật – ĐT: 0968 373 054

Rèn luyện Toán 9 – Đại số

BÀI 2: HÀM SỐ BẬC NHẤT

2.1 f ( x − 1) = 3x − 5 = 3 ( x − 1) − 2  f ( x ) = 3x − 2 ,

g ( x + 3 ) = 2x + 5 = 2 ( x + 3 ) − 1  g ( x ) = 2x − 1
2.2
a. Đồng biến: m  5 , nghịch biến: m  5
b. Đồng biến: m  −2  m  2 , nghịch biến: −2  m  2
c. Luôn đồng biến.
2.3 a. Đồng biến: m  0  m  3 , nghịch biến: 0  m  3
b. M (1; −2 ) thuộc vào đồ thị hàm số, nên:

y
2
1
-1

2

O 1

x

m2 − 3m = −2  m = 1  m = 2

Vì m = 1, m = 2  ( 0,3 ) nên hàm số nghịch biến.
Với m = 1 , m = 2 : y = −2 x
2.4
•

Vẽ y = 2x + 1

y
3

Bảng giá trị:
x
-2
y
3

-1
1

0
1

2

1
3

1

-1 -1/2

•

O

x

1

Vẽ y = 2 x + 1
y

Bảng giá trị:
x

-1

y

3

3

1
−
2
2

0

1

1

3

2
1

-1 -1/2

2.5

O

x

1

a. Đồng biến: m  3 , nghịch biến: m  3
b. d đi qua M (1; 2 )

y

 2 = ( m − 3) .1 + m − 5  m = 5  3  hàm số đồng biến
2

m = 5  y = 2x

1

Bảng giá trị:
x
-1
y
2

-1

0
0

1
2

O

1

x

-1
-2

c. y = ( m − 3) x + m − 5 = m ( x + 1) − 3x − 5 , với x = −1 hàm số không còn phụ thuộc vào tham số
m nên nó luôn đi qua điểm cố định có hoành độ là −1 và tung độ là −2 .
1
2.6 a. y = 2 x + 5 , b. y = − x , c. y = 4 x + 2 , d. y = x − 4 .
3
32 | HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy

Rèn luyện Toán 9 – Đại số


1
m =
2.7 a. 
2 , b.
n  −3
2.8

Gv. Lương Anh Nhật – ĐT: 0968 373 054


1
3
m =
2 , c. m = − , d. n = −3 .

4
n = −3

a. m + 3 = a ( 2m − 1) + b  2ma − a + b − m − 3 = 0  ( 2a − 1) m − a + b − 3 = 0
Tồn tại hai số thực a , b sao cho m nằm trên đường thẳng ( 2a − 1) m − a + b − 3 = 0
b. 2m − 5 = a ( 3m + 1) + b  3ma + a + b − 2m + 5 = 0  ( 3a − 2 ) m + a + b + 5 = 0
Tồn tại hai số thực a, b sao cho m nằm trên đường thẳng ( 3a − 2 ) m + a + b + 5 = 0

y
x y
x
5
5
+ = 1  = − + 1  y = − x + 5  Hệ số góc: − , tung độ góc: 5.
2 5
5
2
2
2
2.10 a. Vẽ hình

2.9

y

CHĂM CHỈ – THÀNH TÀI – MIỆT MÀI – TẤT GIỎI

b. Nhìn vào đồ thị, ta thấy giao điểm là M ( −1; 2 )
Phương trình hoành độ giao điểm:

2

−x + 1 = x + 3  2x = −2  x = −1  y = 2  M ( −1; 2 ) là giao điểm.

1

-1

2.11 Vì M ( 0,1)  d  Khoảng cách từ M đến d là 0.

O

1

x

-1
-2

y
2.12 Mô phòng hình vẽ tượng trưng như hình dưới đây.

A
y1

Ta có: BC = x1 − x2 , AC = y1 − y2
y2

AB = BC 2 + AC 2 =

C

(x

1

− x2 ) + ( y1 − y2 ) .
2

2

B

x2

x1

x

2.13 Gọi AB : y = ax + b
Ta có: A ( 0; −3)  AB  −3 = b , B (1; −1)  AB  1 = −a − 3  a = −4  AB : y = −4x − 3 .
2.14 A ( x0 ; 3)  d1  3 = −2×0 + 1  x0 = −1  A ( −1; 3)
Khi đó: A ( −1; 3)  d2  ( 2m − 3) . ( −1) + 3 − m = 3  m = 1 .
2.15 Gọi M ( x0 ; y0 ) là giao điểm. Ta có: M  Ox  M (1; 0 ) (theo đề bài)
Khi đó: M (1; 0 )  d  ( 2m − 1) .1 − m = 0  m = 1 .
2.16

a) Phương tình hoành độ giao điểm: 2x = −x + 3  3x = 3  x = 1  y = 2  M (1; 2 ) là giao điểm
cần tìm.
b) Gọi d3 : y = ax + b

HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy|33

Gv. Lương Anh Nhật – ĐT: 0968 373 054

Rèn luyện Toán 9 – Đại số

a = 2
Vì d3 / / d1  
 d3 : y = 2 x + b
b  0

Gọi M ( x0 ; y0 ) là giao điểm của d3 và d2 .
Vì M ( x0 ; y0 )  d2 và x0 = 2  y0 = 1  M ( 2;1) .
Khi đó: M ( 2;1)  d3  1 = 2.2 + b  b = −3  d3 : y = 2x − 3 .
b) Viết phương trình đường thẳng d3 / / d1 và d3 cắt d2 tại điểm M có hoành độ bằng 2.
2.17

y

Đồ thị như hình
TH1: Xét hai đường

y = -2x + 7

thẳng

y = x+1

và

y = −2 x + 7 có giao điểm nhìn từ đồ thị là:
y=x+1

y=1

A1 ( 2; 3)

3

Phương trình hoành độ giao điểm:
x + 1 = −2 x + 7  3x = 6  x = 2  y = 3

2

Như vậy giao điểm từ phép toán là A ( 2; 3) .
TH2:Xét hai đường thẳng y = x + 1 và y = 1 có

1

giao điểm nhìn từ đồ thị là B1 ( 0;1)
O

1

2

x

3

Phương trình hoành độ giao điểm:
x+1= 1 x = 0  y = 1
Như vậy giao điểm từ phép toán là: B ( 0;1) .
TH3: Xét hai đường thẳng y = −2 x + 7 và y = 1
có giao điểm nhìn từ đồ thị là C1 ( 3;1)

Phương trình hoành độ giao điểm: −2 x + 7 = 1  −2 x = −6  x = 3 và y = 1
Như vậy giao điểm từ phép toán là: C ( 3;1) .
2.18 Vận dụng Ví dụ 6 ta đặt d : y = ax + b là phương trình cần tìm với a là hệ số góc.
D đi qua gốc tọa độ  b = 0  y = ax
Theo Ví dụ 6 ta thấy: tan  = a với  là góc tạo bởi đường thẳng d và trục hoành.
Theo đề bài, ta có:  = 600  a = tan600 = 3  d = 3x .
2.19
a) Gọi M ( x0 ; y0 )  d  y0 = x0 + 1  M ( x0 ; x0 + 1)
Khi đó OM = x0 + ( x0 + 1)
2

Khoảng cách cần tìm là

2

2


1 1
1
= 2 x + 2 x0 + 1 = 2  x0 +  + 
2 2
2

2
0

2


1
1
khi và chỉ khi 2  x0 +  = 0  x0 = − .
2
2
2


1

b) Gọi d ‘ : y = ax + b
Ta có: O  d  b = 0  d ‘ : y = ax
Mà d ‘ ⊥ d  a.1 = −1  a = −1  d ‘ : y = − x .
c) d cắt Ox tại A  A ( x0 ; 0 )  A  d : 0 = x0 + 1  x0 = −1  A ( −1; 0 ) .
34 | HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy

Rèn luyện Toán 9 – Đại số

Gv. Lương Anh Nhật – ĐT: 0968 373 054

d cắt Oy tại B  B ( 0; y0 )  B  d : y0 = 0 + 1 = 1  B ( 0;1) .
1
1
Diện tích tam giác ABC là: SABC = OA.OB = .
2
2
2.20 a)

( −1 − 0 )

2

+ 0 2 . 0 2 + (1 − 0 ) =
2

1
.
2

y

3

A

B

C
O

-6

2

x

CHĂM CHỈ – THÀNH TÀI – MIỆT MÀI – TẤT GIỎI

b)
1. Viết phương trình AB
Gọi AB : y = a1x + b1

A ( 0; 3)  AB  3 = 0.a1 + b1  b1 = 3  AB : y = a1x + 3

B ( −6; 0 )  AB  0 = −6a1 + 3  a1 =

1
1
 AB : y = x + 3 .
2
2

2. Viết phương tình AC
Gọi AB : y = a2 x + b2

A ( 0; 3)  AC  3 = 0.a2 + b2  b2 = 3  AC : y = a2 x + 3

3
3
C ( 2; 0 )  AB  0 = 2a2 + 3  a2 = −  AC : y = − x + 3 .
2
2

c) AB =
AC =

( −6 − 0 ) + ( 0 − 3 )
2

( 2 − 0) + ( 0 − 3)
2

2

2

=3 5

= 13

Ta có AO là đường cao của tam giác ABC
Ta có: AO =

( 0 − 3)

2

+ 0 2 = 3 , BC = 2 − ( −6 ) = 8

Diện tích tam giác ABC là: SABC =

1
1
AO.BC = .3.8 = 12
2
2

d)
AO 3 1
= =  ABC  26,10
BO 6 2
AO 3
tan ACB = tan ACO =
=  ACB  56,30
CO 2

Ta có: tan ABC = tan ABO =

Như vậy: BAC = 1800 − ABC − ACB  1800 − 26,10 − 56, 30 = 97,60
2.21
a) Gọi phương trình đường thẳng là g = aT + b


9
a=−

9,87 = 3, 2a + b

10  g = − 9 T + 51

Từ đồ thị ta có: 
10
4
10,05 = 3a + b
b = 51


4
HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy|35

Gv. Lương Anh Nhật – ĐT: 0968 373 054

Rèn luyện Toán 9 – Đại số

b) Khi T = 3,1  g = 9,96 m / s2 .
2.22

l0 = 100
100 = l0

3



t
Ta có: 
3  l = 100  1 +
0
 200000 
100,03 = l0 1 +  .20
 = 200000

Với l = 100,06  t = 40 o C .
————————————————————————Ôn tập 3
Câu 1. Gọi phương trình đường thẳng là d : y = ax + b

(

)

Ta có: O  d  b = 0  d : y = ax , M ( 3; 2 )  d  a =

2
3

2
2
x có hệ số góc là .
3
3
Câu 2. Gọi d3 : y = ax + b

Vậy d : y =

Ta có: d3 / / d1  d3 : y = 2x + b, b  0

Gọi M là giao điểm của d3 và d2 . Ta có: M ( 2; yM )  d2  yM = 1  M ( 2;1)  d3  b = −3
Vậy d3 : y = 2x − 3 .

y

Câu 3.
a. Tập xác định của d là x 
Bảng giá trị
x

0

y

0

B

3

1

3

A
O

1

Gọi  là góc giữa đường thẳng d và trục hoành
AB
3
=
= 3   = 60 0
OA
1
b. Gọi d ‘ : y = ax + b

Ta có: tan  =

Vì d ‘ ⊥ d  a 3 = −1  a =
Lại có: M ( 3; 0 )  d ‘  0 = −
Vậy d ‘ : y = −

− 3
3
 d’ : y = −
x+b
3
3
3
.3 + b  b = 3
3

3
x+ 3 .
3

Câu 4. Ta có: y = mx − 2m + 1 = ( x − 2 ) m + 1 . Thỏa đề khi x − 2 = 0  x = 2  y = 1 .
Điểm cố định cần tìm là: M ( 2;1) .
————————————————————————-

36 | HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy

x

Rèn luyện Toán 9 – Đại số

Gv. Lương Anh Nhật – ĐT: 0968 373 054

CHƯƠNG III HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN SỐ
BÀI 1: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN SỐ
I. Định nghĩa
_ Phương trình bậc nhất hai ẩn số là phương trình có dạng ax + by = c trong đó a , b , c là các số
đã biết với a và b không đồng thời bằng 0; x và y là hai ẩn số.
Ví dụ: Các phương tình sau là phương tình bậc nhất hai ẩn.

( a = 3, b = −2, c = 6)
0x + 3y = 12 ( a = 0, b = 3, c = 12 )
2x + 0 y = 7 ( a = 2, b = 0, c = 7 )
_ Cặp giá trị ( x =  , y =  ) được gọi là nghiệm của phương trình ax + by = c
3x − 2 y = 6

nếu như a + b = c

là hệ thức đúng.

CHĂM CHỈ – THÀNH TÀI – MIỆT MÀI – TẤT GIỎI

Ví dụ: Cặp giá trị ( x = 8, y = 9 ) là nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn 3x − 2 y = 6 .
_ Giải phương trình bậc nhất hai ẩn là tìm tất cả các nghiệm của phương trình đó.
II. Giải phương trình bậc nhất hai ẩn và biểu diễn tập nghiệm của phương trình lên mặt phẳng
tọa độ
1. Các ví dụ
Ví dụ 1: Giải phương trình 3x − 2 y = 6 và biểu diễn tập nghiệm của phương tình này lên
mặt phẳng tọa độ.
Giải

y

x 

Ta có: 3x − 2 y = 6  
3
 y = 2 x − 3
Vậy công thức nghiệm tổng quát của phương trình

3

đã cho là  x  , y = x − 3 
2



3x-2y=6

O

x

2

Biểu diễn tập nghiệm của phương trình 3x − 2 y = 6
lên mặt phẳng tọa độ là đường thẳng đi qua hai
điểm ( 0; −3 ) và ( 2; 0 ) .

-3

Ví dụ 2: Giải phương trình 0 x + 3 y = 12 và biểu
diễn tập nghiệm của phương trình này lên mặt
phẳng tọa độ.
Giải
x 
Ta có: 0 x + 3 y = 12  
y = 4

y
4

0x+3y=12

Vậy công thức nghiệm tổng quát của phương trình
đã cho là ( x  , y = 4 )
Biểu diễn tâp nghiệm của phương trình
0 x + 3 y = 12 lên mặt phẳng tọa độ là đường thẳng

O

x

đi qua điểm ( 0; 4 ) và song song với trục hoành.

HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy|37

Gv. Lương Anh Nhật – ĐT: 0968 373 054

Rèn luyện Toán 9 – Đại số

Ví dụ 3: Giải phương trình 2 x + 0 y = 10 và biểu diễn tập nghiệm của phương trình này lên
mặt phẳng tọa độ.
Giải
x = 5
Ta có: 2 x + 0 y = 10  
y 

y
2x+0y=10

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho
là ( x = 5; y 

)

Biểu diễn tập nghiệm của phương trình
2 x + 0 y = 10 lên mặt phẳng tọa độ là một đường
thẳng đi qua điểm ( 5; 0 ) và song song với trục

O

5

x

tung.
2. Tổng quát
_ Mỗi phương trình bậc nhất hai ẩn số ax + by = c có vô
số nghiệm. iểu diễn tập nghiệm của phương trình lên mặt phẳng tọa độ là đường thẳng, ta gọi là
đường thẳng ax + by = c .
•

•

•

Trường hợp a  0, b  0


−by c


−ax c 
Nghiệm tổng quát của phương trình là  x  ; y =
+  hoặc  x =
+ ; y  .
b
b
a
a



Biểu diễn tập nghiệm của phương trình lên mặt phẳng tọa độ là đường thẳng đi qua hai
 c
c 
điểm  0;  và  ; 0  .
 b
a 
Trường hợp a = 0, b  0

c
Nghiệm tổng quát của phương trình là  x  ; y =  .
b

Biểu diễn tập nghiệm của phương tình lên mặt phẳng tọa độ là đường thẳng đi qua điểm
 c
 0; b  và song song với trục hoành.


Trường hợp a  0, b = 0

c

Nghiệm tổng quát của phương trình là  x = ; y   .
a


Biểu diễn tập nghiệm của phương tình lên mặt phẳng tọa độ là đường thẳng đi qua điểm
c 
 a ; 0  và song song với trục tung.


Ví dụ 4: Tìm nghiệm nguyên của phương trình x + 3 y = 2 .
Giải
Ta có: x + 3y = 2  y =

2−x
3

2−x
= t , t   x = 2 − 3t
3
Ta có cặp số ( x; y ) = ( 2 − 3t; t ) , t 

Đặt

là nghiệm nguyên cuả phương trình.

38 | HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy

Rèn luyện Toán 9 – Đại số

Gv. Lương Anh Nhật – ĐT: 0968 373 054

Bài tập
1.1 Tìm nghiệm tổng quát và biểu diễn tập nghiệm của các phương trình sau
a. 3x − y = 4
b. 2 y − x = 3
c. 0x + 2 y = 3

d. 3x + 0 y = −5

1.2

a. Cho phương trình mx + ( m − 1) y = 2m . Định m để phương trình có nghiệm ( 3; 2 ) . Khi đó, viết
công thức nghiệm quát của phương trình.

b. Cho phương trình 2mx + ( m + 2 ) y = m − 4 . Định m để phương trình có nghiệm (1;1) . Khi đó,
viết công thức nghiệm tổng quát của phương trình.
1.3 Tìm nghiệm nguyên của các phương trình sau
a. 4 x − 5 y = 24
b. 4x + 3 y = −9
c. 3x + 6 y = 2019

d. 5x + 3y = 2

1.4 Chứng tỏ rằng phương trình 3x − 2 y = 1 luôn nhận cặp số ( 2m + 1; 3m + 1) là nghiệm khi m

CHĂM CHỈ – THÀNH TÀI – MIỆT MÀI – TẤT GIỎI

thay đổi.

HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy|39

Gv. Lương Anh Nhật – ĐT: 0968 373 054

Rèn luyện Toán 9 – Đại số

BÀI 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN SỐ
I. Khái niệm về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
Hệ phương tình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng:
a1 x + b1 y = c1

a2 x + b2 y = c2
_ Nghiệm chung của hai phương trình được gọi là nghiệm của hệ phương trình.
_ Giải một hệ phương tình là ta đi tìm tất cả các nghiệm của hệ phương trình đó.
II. Hệ phương trình tương đương
1. Định nghĩa
Hai hệ phương trình được gọi là tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm.
2. Các quy tắc biến đổi tương đương
2.1 Quy tắc thế
_ Quy tắc thế là quy tắc biến đổi một hệ phương trình thành một hệ phương trình tương
đương gồm hai bước:
Bước 1: Từ một phương trình của hệ đã cho (coi là phương trình thứ nhất), ta biểu diễn
một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình thứ hai để được một phương trình mới (chỉ
còn một ẩn)
Bước 2: Dùng nghiệm của phương trình mới thay vào phương trình thứ nhất để tìm
nghiệm còn lại.(Phương trình thứ nhất cũng thường được thay thế bởi hệ thức liên hệ của
ẩn này với ẩn kia có được trong Bước 1)
Ví dụ 1: Giải các hệ phương trình
 x + 3 y = 17
x + y = 2
a) 
c) 
7 x − 2 y = 4
2 x − y = 1
 5 x + 2 y = 10
b) 
3x + y = 7

2 x + y = 4
d) 
 x − 2 y = −3
Giải

x + y = 2
x = 2 − y
x = 2 − y
x = 1
 x = 2 − y




a) 
2 x − y = 1 2 ( 2 − y ) − y = 1 −3 y = −3  y = 1
y = 1
Vậy hệ phương trình có nghiệm là (1;1) .

 y = 7 − 3x
5x + 2 y = 10
 y = 7 − 3x  x = 4
x = 4




b) 
3x + y = 7
− x = −4
 y = 7 − 3x
 y = −5
5x + 2 ( 7 − 3x ) = 10
Vậy hê phương trình có nghiệm là ( 4; −5 ) .

 x = 17 − 3 y
 x + 3 y = 17
 x = 17 − 3 y
 x = 17 − 3 y
x = 2




c) 
7 x − 2 y = 4
−23 y = −115  y = 5
y = 5
7 ( 17 − 3 y ) − 2 y = 4
Vậy hệ phương trình có nghiệm là ( 2; 5 )

2 x + y = 4
d) 
.
x
−
2
y
=
−
3

Điều kiện: x , y  0 .
Đặt a = x , b = y với a , b  0

40 | HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy

Rèn luyện Toán 9 – Đại số

Gv. Lương Anh Nhật – ĐT: 0968 373 054

2a + b = 4
Hệ ban đầu trở thành: 
 a − 2 b = −3
2a + b = 4
 a = 2b − 3  a = 2b − 3  a = 1
a = 2b − 3





−
+
=
2
2
b
3
b
4
−
=
−
=
=
a
2
b
3
5
b
10
b
2
(
)




b = 2


Với a = 1  x = 1  x = 1
Với b = 2  y = 2  y = 4

CHĂM CHỈ – THÀNH TÀI – MIỆT MÀI – TẤT GIỎI

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là ( 1; 4 ) .
2.2 Quy tắc cộng đại số
_ Quy tắc cộng đại số dùng để biến một hệ phương tình thành một hệ phương trình tương
đương gồm hai bước:
Bước 1: Cộng hay trừ hai vế của hệ phương trình đã cho để được một phương trình mới.
Bước 2: Dùng phương trình mới vừa thu được ở Bước 1 thay thế cho một trong hai phương
trình của hệ và giữ nguyên phương trình còn lại.
Ví dụ 2: Giải các hệ phương trình
 4 x − 3 y = 13
 5 x + 4 y = 19
a) 
c) 
 5 x + 3 y = 50
7 x − 6 y = 15

 2x − 3y = 1
d) 

5 2 x − 4 3 y = 8
Giải
4 x − 3 y = 13
4 x − 3 y = 13
x = 7
x = 7



a) 
5x + 3 y = 50
9 x = 63
4.7 − 3 y = 13
y = 5
2 x − y = 1
b) 
− x + 2 y = 1

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là ( 7; 5 ) .

2 x − y = 1
2 x − y = 1 2 x − y = 1
y = 1
x = 1



b) 

− x + 2 y = 1
−2 x + 4 y = 2 3 y = 3
2 x − 1 = 1
y = 1
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (1;1) .
5x + 4 y = 19
15x + 12 y = 57
29 x = 87
x = 3
x = 3



c) 

7 x − 6 y = 15
14 x − 12 y = 30
5 x + 4 y = 19
5.3 + 4 y = 19  y = 1
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là ( 3;1) .






 2x − 3y = 1
4 2 x − 4 3 y = 4
 2x = 4
x = 2 2
x = 2 2
d) 







5 2 x − 4 3 y = 8
5 2 x − 4 3 y = 8
 2x − 3y = 1 
4 − 3 y = 1 
y = 3

(

)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là 2 2; 3 .

mx + 6 y = 8
Ví dụ 3: Giải và biện luận phương trình 
với m là tham số.
( m − 1) x + 3 y = 4
Giải
mx + 6 y = 8
( m − 2 ) x = 0
mx + 6 y = 8



( m − 1) x + 3 y = 4
2 ( m − 1) x + 6 y = 8
mx + 6 y = 8
TH1: m − 2 = 0  m = 2

HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy|41

Gv. Lương Anh Nhật – ĐT: 0968 373 054

Rèn luyện Toán 9 – Đại số

Ta có: 0 x = 0  phương trình có vô số nghiệm  mx + 6 y = 8  6 y = 8 − 2x  y =


4−x
Với m = 2 hệ có vô số nghiệm với nghiệm tổng quát là  x  ; y =
.
3 

TH2: m − 2  0  m  2
4
Ta có: x = 0  mx + 6 y = 8  y =
3
 4
Với m  2 phương trình có một nghiệm duy nhất  0;  .
 3
Ví dụ 4: Cho hai phương trình 2 x − y = 2 và − x + 2 y = 2 .
a) Viết công thức nghiệm tổng quát của hai phương trình trên.
b) Biểu diễn tập nghiệm của hai phương tình này trên cùng một hệ trục tọa độ.
c) Tìm nghiệm chung của hai phương trình này bằng đồ thị và bằng phép toán.
Giải
a) Ta có: 2x − y = 2  y = 2x − 2
Vậy phương tình có nghiệm tổng quát là: ( x  ; y = 2x − 2 ) .
Lại có: −x + 2 y = 2  y =

x
+1
2


x 
Vậy phương trình có nghiệm tổng quát là:  x  ; y = + 1  .
2 

b) Biểu diễn tập nghiệm phương trình 2 x − y = 2 và −x + 2 y = 1

y

M
2
1
-2
-x + 2y = 2

-1

O

2

x

2x – y = 2

c) Nhìn vào đồ thị, dễ thấy điểm chung của hai đường thẳng là M ( 2; 2 )
Kiểm tra bằng phép toán, nghĩa là ta đi giải hệ
2 x − y = 2
2 x − y = 2
2 x − y = 2
2x − 2 = 2
x = 2





− x + 2 y = 2
−2 x + 4 y = 4
3 y = 6
y = 2
y = 2
Vậy nghiệm chung của hai phương trình là ( 2; 2 ) .

42 | HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy

4−x
3

Rèn luyện Toán 9 – Đại số

Gv. Lương Anh Nhật – ĐT: 0968 373 054

Bài tập
2.1 Giải các hệ phương trình bằng phương pháp thế
 x − 3 y = −5
a) 
 2 x + 5 y = 23

5x − 4 y = 3
b) 
2 x + y = 4

5x + 3 y = 1
c) 
x − 2 y = 8

x 2
 =
d)  y 3
 x + y − 10 = 0


2.2 Giải các hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số
 2 x + y = 11
a) 
3x − y = 9

4 x − 3 y = 6
b) 
 2 x + 3 y = 12

5x + 2 y = 7
c) 
8 x + 3 y = 12

3x + 2 y = 1
d) 
6 x + 4 y = 7

CHĂM CHỈ – THÀNH TÀI – MIỆT MÀI – TẤT GIỎI

2.3 Giải các hệ phương trình
0, 3 x + 1, 3 y = −1
a) 
1,8 x − 3, 2 y = 4

(

)


4 x + 3 − 1 y = 1
b) 
 3 + 1 x − 3y = 5


(

)

( x − 2 )( y + 3 ) = xy
d) 
2
2
( x + 2 ) − ( y − 4 ) = ( x − y )( x + y )


4x − 3
 x + y = 5
c) 
 x + 3 y = 15 − 9 y

14
x +1 y + 3
=

e)  x − 1 y + 1
3x + 2 y + 2 = 0


2.4 Giải các hệ phương trình

3
1
 2
x − 5 + y + 2 = − 2

a) 
 −1 + 6 = 1
 x − 5 y + 2 2




b) 




2
2
2 x − 3 y = −1
d)  2
2
3x + 2 y = 18

( x + 2 )2 − ( y − 1)2 = 2

e) 
2
2
+
−
−
= −1
2
x
2
3
y
1

(
)
(
)


4
x
6
x

+

3

+

10

y
y

=

13
36

=1

 10
5
+
=1

4y + 1
 12 x − 3
c) 
7
8

+
=1
 12 x − 3
4
y
+
1


2.5 Giải và biện luận các hệ phương trình, với m là tham số

x + y = m − 2

a) 
2

( m + 2 ) x − 4 y = m − 4

2mx + 3 y = 5
 mx + 2 y = m + 1
b) 
c) 
( m + 1) x + y = 2
 2 x + my = 3

2.6* Giải các hệ phương trình

 2 x − 1 + y + 1 = 0
a) 
2 x − y = 2

2 x + 3 y = 13
b) 
3x − y = 3

 y − 2 x + 3 = 0
c) 
 y + x − 3 = 0


x+y =1
d) 

x + y =1

2.7 Giải các hệ phương trình

HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy|43

Gv. Lương Anh Nhật – ĐT: 0968 373 054
 x − y = xy
a) 
 x + y = 5 xy

Rèn luyện Toán 9 – Đại số

4 x − 3 y = 0

b) 3 y + 2 z = 0
4 x + 7 y + 5z = 5


2.8 Cho hai phương trình x − y = 3 và x + y = −1 .
a) Tìm nghiệm tổng quát của mỗi phương trình.
b) Vẽ các đường biểu diễn tập nghiệm của hai phương trình trên cùng một hệ trục tọa độ rồi xác
định nghiệm chung sau đó kiểm tra lại bằng phép toán.

2mx + 10 y = 5
2.9 Tìm giá trị m và n để hệ phương trình 
vô số nghiệm.
( m − 1) x + 2ny = 1

mx − y = −2n
2.10 Tìm giá trị của m và n để hệ phương trình 
có nghiệm duy nhất và tìm
( 2m − 1) x + y = n − 1
nghiệm duy nhất đó.

44 | HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy

Rèn luyện Toán 9 – Đại số

Gv. Lương Anh Nhật – ĐT: 0968 373 054

BÀI 3: GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH
I. Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình
Giải bài toán bằng cách lập phương trình gồm các bước sau:
Bước 1:
_ Chọn hai ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho chúng.
_ Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã biết.
_ Lập hệ phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước 2: Giải hệ phương trình nói trên.

CHĂM CHỈ – THÀNH TÀI – MIỆT MÀI – TẤT GIỎI

Bước 3:
Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình nghiệm nào thích hợp với bài toán
rồi kết luận.
II. Một số ví dụ
Ví dụ 1:
Vừa gà vừa chó
Bó lại cho tròn
Ba mươi sáu con
Một trăm chân chẳn
Hỏi có bao nhiêu con gà và bao nhiêu con chó?
Giải
Gọi x là số con gà, y là số con chó.
Điều kiện: x và y là các số nguyên dương.
Vì tổng số gà và chó là 36 nên x + y = 36
Mỗi con gà có hai chân nên x con gà có 2x chân.
Mỗi con chó có bốn chân nên y con chó có 4y chân.
Vì tổng số chân là 100 nên 2 x + 4 y = 100  x + 2 y = 50 .
 x + y = 36
 x + y = 36
 x = 22


Như vậy ta có hệ phương trình: 
 x + 2 y = 50
 y = 14
 y = 14

Cả hai giá trị x và y đều thỏa điều kiện.
Vậy ta có 22 con gà và 14 con chó.
HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy|45

Gv. Lương Anh Nhật – ĐT: 0968 373 054

Rèn luyện Toán 9 – Đại số

Ví dụ 2: Một học sinh mua 15 quyển vở gồm hai loại là loại I và loại II. Tổng số tiền của các quyển
vở loại I là 25 nghìn đồng, tổng số tiền của các quyển vở loại II là 30 nghìn đồng. Biết giá tiền của
một quyển vở loại I nhiều hơn một quyển vở loại II là 2 nghìn đồng. Hỏi học sinh đó mua bao
nhiêu quyển vở mỗi loại?
Giải
Gọi x là số vở loại I, y là số vở loại II. Điều kiện: x và y là các số nguyên dương.
Vì tổng số quyển vở là 15 nên x + y = 15 .
Giá tiền mỗi quyển vở loại I là

30
25
, giá tiền mỗi quyển vở loại II là
.
y
x

Vì giá một quyển vở loại I nhiều hơn một quyển vở loại II là 2 nghìn đồng nên

25 30
−
= 2.
x
y

 x + y = 15
 y = 15 − x


Như vậy ta có hệ phương trình:  25 30
  25
30
 x − y =2
 x − 15 − x = 2



Xét

25
30
−
= 2  25 (15 − x ) − 30x = 2x (15 − x )  2 x2 − 85x + 375 = 0
x 15 − x

Biến đổi phương trình, ta có:

x = 5
2 x − 10 x − 75x + 375 = 0  2 x ( x − 5 ) − 75 ( x − 5 ) = 0  ( 2 x − 75 )( x − 5 ) = 0  
 x = 75

2
2

Dựa vào điều kiện của x ta nhận x = 5  y = 15 − 115 − 5 = 10
Vậy ta có 5 quyển vở loại I và 10 quyển vở loại II.
Ví dụ 3: Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng số đó gấp 7 lần tổng các chữ số của nó và nếu đổi
chỗ hai chữ số của nó thì được số mới kém số ban đầu 27 đơn vị.
Giải
Gọi số tự nhiên cần tìm là ab .
Điều kiện: a , b  ; 0  a  9; 0  b  b .
Ta có: ab = 10 a + b
Vì số đó gấp 7 lần tổng các chữ số của nó nên 10a + b = 7 ( a + b )  3a = 6b  b = 2a
Khi đổi chỗ hai chữ số của số đó, ta có: ba = 10b + a
Vì số ban đầu lớn hơn số sau khi đổi chỗ hai chữ số 27 đơn vị nên 10a + b − (10b + a ) = 27

46 | HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy

Rèn luyện Toán 9 – Đại số

Gv. Lương Anh Nhật – ĐT: 0968 373 054

 a = 2b
 a = 2b
 a = 2b
a = 6
Như vậy, ta có hệ phương trình: 



9a − 9b = 27
18b − 9b = 27
9b = 27
b = 3

Các số a và b đều thỏa điều kiện.
Vậy số tự nhiên cần tìm là 63.
Bài tập
3.1 Bình có 450 quyển sách. Nếu Bình cho An 50 quyển sách thì số sách của An bằng

4
số sách
5

của Bình. Hỏi số sách ban đầu của bạn An là bao nhiêu?

CHĂM CHỈ – THÀNH TÀI – MIỆT MÀI – TẤT GIỎI

3.2 Một hình tam giác có diện tích là 18 cm2. Tính cạnh đáy của tam giác, biết rằng nếu tăng chiều
dài cạnh đáy lên 4 cm và giảm chiều cao tương ứng 1cm thì diện tích không đổi.
3.3 Một ô tô đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc cố định. Nếu vận tốc tăng thêm 20 km/h thì thời
gian đi được sẽ giảm 1 giờ, nếu vận tốc giảm bớt 10 km/h thì thời gian đi tăng thêm 1 giờ. Tính
vận tốc và thời gian đi dự định của ô tô.
3.4 Tìm số tự nhiên có ba chữ số, tổng các chữ số bằng 17, chữ số hàng chục là 4, nếu đổi chỗ các
chữ số hàng trăm và hàng đơn vị thì số mới thu được nhỏ hơn số ban đầu 99 đơn vị.

HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy|47

Gv. Lương Anh Nhật – ĐT: 0968 373 054

Rèn luyện Toán 9 – Đại số

——————————————————————————-Ôn tập 4
Câu 1.Giải các hệ phương trình

x +1
6 y − 5x
 3 + y =
7
a) 
 2 y − 5x + 5 = y + 27 − 2 x
 3
4
2
 3x
x +1 − y + 4 = 4

b) 
 2x + 5 = 9

x +1 y + 4

3 4 x + 2 y − 5 2 x − y = 2
c) 
7 4 x + 2 y + 2 2 x − y = 32
x + y + z = 6

d)  x + 2 y + 4 z = 17
 x + 3 y + 9 z = 34


2 x − 3 y = 1
Câu 2. Giải và biện luận hệ phương trình: 
.
mx + 2 y = 2

Câu 3. Một ô tô đi từ A đến B trong khoảng thời gian nhất định. Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h
thì đến chậm 2 giờ. Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì đến sớm 1 giờ. Tính quãng đường và
thời gian dự định đi lúc đầu.
——————————————————————————–

48 | HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy

Rèn luyện Toán 9 – Đại số

Gv. Lương Anh Nhật – ĐT: 0968 373 054

HƯỚNG DẪN MỘT SỐ BÀI TẬP CHƯƠNG III
BÀI 1: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN SỐ
1.1
a. Ta có: 3x − y = 4  y = 3x − 4

y

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là ( x  ; y = 3x − 4 )
Biểu diễn tập nghiệm của phương trình 3x − y = 4 là đường

2

thẳng đi qua hai điểm ( 0; 4 ) và ( 2; 2 ) .

O

3+ x
2
quát của

CHĂM CHỈ – THÀNH TÀI – MIỆT MÀI – TẤT GIỎI

b. Ta có: 2 y − x = 3  y =

2

x

-4

y

Vậy nghiệm tổng
phương trình là

3+ x
x ; y = 2 


Biểu diễn tập nghiệm của phương trình 2 y − x = 3 là
đường thẳng đi qua hai điểm ( 1; 2 ) và ( −3; 0 ) .

2

-3
O

3
2
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình 0x + 2 y = 3 là

 3
đường thẳng đi qua điểm  0;  và song song với trục
 2
hoành.

x

y

c. Ta có: 0 x + 2 y = 3  y =


3
x ; y = 2 


Biểu diễn tập nghiệm của phương trình 0x + 2 y = 3 là

1

3
2

O

x

HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy|49

Gv. Lương Anh Nhật – ĐT: 0968 373 054

Rèn luyện Toán 9 – Đại số

5
3
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình 0x + 2 y = 3 là

d. Ta có: 3x + 0 y = −5  x = −

y


3
x ; y = 2 


Biểu diễn tập nghiệm của phương trình 3x + 0 y = −5 là đường
 5 
thẳng đi qua điểm  − ; 0  và song song với trục tung.
 3 

1.2 a. Ta có: m.3 + ( m − 1) .2 = 2m  m =

–

5

O

3

2
3

2
1
4
x − y =  2x − y = 4  y = 2x + 4
3
3
3
Vậy nghiệm tổng quát của phương tình đã cho là ( x  ; y = 2x + 4 ) .

Phương trình đã cho là

b. Ta có: 2m.1 + ( m + 2 ) .1 = m − 4  m = −3
Phương trình đã cho là 6 x + y = 7  y = 7 − 6 x
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là ( x  ; y = 7 − 6x ) .
4x − 24
x + 24
= x−
5
5
x + 24
x + 24
Đặt t =
, t   x = 5t − 24  y = x −
= 4t − 24
5
5
Vậy cặp số ( x; y ) = ( 5t − 24; 4t − 24 ) , t  là nghiệm nguyên của phương trình đã cho.

1.3 a. Ta có: 4x − 5y = 24  y =

−9 − 4x
9+x
= −x −
3
3
9+x
9+x
Đặt
= t , t   x = 3t − 9  y = x −
= 4t − 9
3
3
Vậy cặp số ( x; y ) = ( 3t − 9; 4t − 9 ) , t  là nghiệm nguyên của phương trình đã cho.

b. Ta có: 4x + 3y = −9  y =

673 + x
−x
2
673 + x
673 + x
Đặt
= t , t   x = 2t − 673  y =
− x = 673 − t
2
2
Vậy cặp số ( x; y ) = ( 2t − 673; 673 − 2t ) , t  là nghiệm nguyên của phương trình đã cho.

c. Ta có: 3x + 6 y = 2019  x + 2 y = 673  y =

2 − 5x 2 + x
=
− 2x
3
3
2+x
2+x
Đặt
= t , t   x = 3t − 2  y =
− 2x = −5t + 4
3
3
Vậy cặp số ( x; y ) = ( 3t − 2; −5t + 4 ) , t  là nghiệm nguyên của phương trình đã cho.

d. Ta có: 5x + 3y = 2  y =

1.4 Thay cặp số ( 2m + 1; 3m + 1) vào phương rình đã cho, ta có:

3x − 2 y = 1  3 ( 2m + 1) − 2 ( 3m + 1) = 1  1 = 1 (luôn đúng)
Vậy ( 2m + 1; 3m + 1) là nghiệm của phương trình 3x − 2 y = 1 .
50 | HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy

x

Rèn luyện Toán 9 – Đại số

Gv. Lương Anh Nhật – ĐT: 0968 373 054

BÀI 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN SỐ
2.1

 x − 3 y = −5
 x = 3 y − 5  x = 3.3 − 5  x = 4
 x = 3 y − 5




a) 
2 x + 5 y = 23 2 ( 3 y − 5 ) + 5 y = 23 11y = 33
y = 3
y = 3
Vậy hệ phương trình có nghiệm là ( 4; 3 ) .


19

19
x
=
x
=


5x − 4 y = 3
y = 4 − 2x
 y = 4 − 2 x


13
13
b) 




5
−
4
4
−
2
=
3
x
x
2
+
=
4
13
=
19
19
x
y
x
(
)



 y = 4 − 2.
 y = 14


13
13

CHĂM CHỈ – THÀNH TÀI – MIỆT MÀI – TẤT GIỎI

 19 14 
Vậy hệ phương trình có nghiệm là  ;  .
 13 13 

 x = 8 + 2 ( −3 )  x = 2
5x + 3 y = 1  x = 8 + 2 y
x = 8 + 2 y




c) 
y
y
5
8
+
2
+
3
=
1
x
y
y
−
2
=
8
13
=
−
39
(
)
y
=
−
3




 y = −3


Vậy hệ phương trình có nghiệm ( 2; −3 ) .
x 2
3x − 2 ( 10 − x ) = 0
3 x − 2 y = 0 
5x = 20
x = 4
x = 4
 =
d)  y 3





 y = 10 − x 
 y = 10 − x
 y = 10 − 4
y = 6

 y = 10 − x
 x + y − 10 = 0

Vậy hệ phương trình có nghiệm là ( 4; 6 ) .
2.2
2 x + y = 11 5x = 20
x = 4
x = 4



a) 
3x − y = 9
2 x + y = 11 2.4 + y = 11  y = 3

Vậy hệ phương trình có nghiệm là ( 4; 3 ) .
4 x − 3 y = 6
6 x = 18
x = 3
x = 3



b) 
2 x + 3 y = 12
4 x − 3 y = 6
4.3 − 3 y = 6
y = 2

Vậy hệ phương trình có nghiệm là ( 3; 2 ) .
5x + 2 y = 7
15 x + 6 y = 21
5 x + 2 y = 7
x = 3
x = 3




c) 
8 x + 3 y = 12
16 x + 6 y = 24
x = 3
5.3 + 2 y = 7
 y = −4

Vậy hệ phương trình có nghiệm là ( 3; −4 ) .
3x + 2 y = 1
6 x + 4 y = 2
0 = 5


d) 
(vô lý). Vậy hệ phương trình vô nghiệm.
6 x + 4 y = 7
6 x + 4 y = 7
3x + 2 y = 1

HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy|51

Gv. Lương Anh Nhật – ĐT: 0968 373 054

Rèn luyện Toán 9 – Đại số

2.3

0, 3 x + 1, 3 y = −1 1,8 x + 7,8 y = −6
10 y = −10


a) 
1,8 x − 3, 2 y = 4
1,8 x − 3, 2 y = 4
0, 3 x + 1, 3 y = −1

x = 1
 y = −1
.


0, 3x + 1, 3. ( −1) = −1  y = −1


Vậy hệ phương trình có nghiệm là (1; −1) .

(

)(

)


3 −1 3 +1 x
5
4 x + 3 − 1 y = 1 
4 x + 3 − 1 y = 1
4
x
+
=
1
+



3
b) 

3 +1 x 5  
3 +1 x 5
 3 + 1 x − 3y = 5 y =

−


y =
−
3
3
3
3


(

(

(
(

)

)

)
)

(

)

(

3 −1

)

3

Như vậy hệ trở thành:



2x 5 3 − 2
5 3 −2

5 3 −2
=
4 x +
x =
x =
3
3
14



14



3 +1 5 3 −2 5
3 +1 x 5


 y = −57 + 3 3
y
=
−
y
=
−



42
3.14
3
3
3



(

)

(

)(

)

 5 3 − 2 −57 + 3 3 
Vậy hệ phương trình có nghiệm là 
;
 .
 14
42



4x − 3
 x + y = 5
5 x + 5 y = 4 x − 3
 x + 5 y = −3
14 x + 70 y = −42
c) 



14 x + 42 y = 15 − 9 y
14 x + 51y = 15
14 x + 51y = 15
 x + 3 y = 15 − 9 y

14

 x + 5 y = −3  x + 5. ( −3 ) = −3  x = 12


Như vậy 
19 y = −57
 y = −3
 y = −3
Vậy hệ phương trình có nghiệm là (12; −3 ) .

xy + 3x − 2 y − 6 = xy
3 x − 2 y = 6
( x − 2 )( y + 3 ) = xy
 2

d) 
2
2
2
2
2
x + 2 y = 3
( x + 2 ) − ( y − 4 ) = ( x − y )( x + y ) x + 4 x − y + 8 y − 12 = x − y

9

9
 x = 4
 x = 4
3x − 2 y = 6
4 x = 9
Như vậy 



x + 2 y = 3
x + 2 y = 3
 9 + 2y = 3
y = 3
8
 4


9 3
Vậy hệ phương trình có nghiệm là  ;  .
4 8
52 | HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy

Rèn luyện Toán 9 – Đại số

Gv. Lương Anh Nhật – ĐT: 0968 373 054

x +1 y + 3
( x + 1)( y + 1) = ( x − 1)( y + 3 )
=
 xy + x + y + 1 = xy + 3x − y − 3


e)  x − 1 y + 1  

3x + 2 y + 2 = 0
3x + 2 y + 2 = 0
3x + 2 y + 2 = 0




2

2
x=
x=


2 x − 2 y = 4
5x = 2


5
5
Như vậy hệ trở thành: 



3x + 2 y = −2
x − y = 2
2 − y = 2
y = − 8
5

5



2 8
Vậy hệ phương trình có nghiệm là  ; −  .
5 5

CHĂM CHỈ – THÀNH TÀI – MIỆT MÀI – TẤT GIỎI

2.4

3
1
 2
x − 5 + y + 2 = − 2

a) 
 −1 + 6 = 1
 x − 5 y + 2 2
Đặt

1
1
= a,
= b . Hệ phương trình trở thành
x−5
y+2


3

1

1

1
a=−
2a + 3b = −
15b =


2
a
+
3
b
=
−




10
2
2

2 


 − a + 6b = 1
−2a + 12b = 1 −a + 6b = 1
b = 1




2
2
30
3
 1
=−
5


3 x − 15 = −10
10
x − 5
x =
Như vậy 


3
 y + 2 = 30
 1 = 1
 y = 28

 y + 2 30


5

Vậy hệ phương trình có nghiệm là  ; 28  .
3




b) 




4
x
6
x

Đặt a =

+

3

+

10

y
y

1
x

=

13
36

=1

,b =

1
y

với a , b  0 . Hệ phương trình trở thành:


11

1

13

13
11b =
a=


4a + 3b =
12a + 9b =


12
36

36  
12  

13
6a + 10b = 1
12a + 20b = 2
4a + 3b =
b = 1



36
12
HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy|53

Gv. Lương Anh Nhật – ĐT: 0968 373 054



Như vậy 




1

Rèn luyện Toán 9 – Đại số

1

 x = 1296
x 36
 x = 36


1
1
 y = 144
 y = 12
=

y 12
=

Vậy hệ phương trình có nghiệm là (1296;144 ) .
 10
5
+
=1

12
x
−
3
4
y
+
1

c) 
7
8

+
=1
 12 x − 3
4
y
+
1


Đặt a =

1
12 x − 3

,b =

1
4y + 1

với a , b  0 .


1
a=
10a + 5b = 1 80a + 40b = 8
45a = 3

15
Hệ phương trình trở thành 



7 a + 8b = 1
35a + 40b = 5
7 a + 8b = 1 b = 1

15


1
1
=

12 x − 3 = 225
 x = 19
 12 x − 3 15
 2 x − 3 = 15



Như vậy 
1
4 y + 1 = 225
 y = 56
 1
 4 y + 1 = 15
=
15
 4 y + 1
Vậy hệ phương trình có nghiệm là (19; 56 ) .
2
2
2 x − 3 y = −1
d)  2
2
3x + 2 y = 18

Đặt a = x 2 , b = y 2 với a , b  0

2a − 3b = −1 4a − 6b = −2
13a = 52
a = 4



Hệ phương trình trở thành 
3a + 2b = 18
9 a + 6b = 54
2 a − 3b = −1 b = 3
2
x = 2
x = 2


x = 4


x = −2 
x = −2
Như vậy  2




y = 3 
y = 3 
y = − 3 
y = − 3

y = 3 

(

)(

)(

) (

)

Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm là 2; 3 , 2; − 3 , −2; 3 và −2; − 3 .
( x + 2 )2 − ( y − 1)2 = 2

e) 
2
2

2 ( x + 2 ) − 3 ( y − 1) = −1

Đặt a = ( x + 2 ) , b = ( y − 1) với a , b  0
2

2

54 | HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy

Rèn luyện Toán 9 – Đại số

Gv. Lương Anh Nhật – ĐT: 0968 373 054

a − b = 2
 2 a − 2b = 4
a − b = 2
a = 7



Hệ phương trình trở thành 
2 a − 3b = −1 2 a − 3b = −1 b = 5
b = 5
( x + 2 )2 = 7
x + 2 = 7 
x + 2 = 7
x + 2 = − 7 
x + 2 = − 7



Như vậy 








2
y −1 = 5 
y −1 = − 5 
y −1 = 5
−
=
y
1
5



(
)



y − 1 = − 5


 x = 7 − 2  x = 7 − 2  x = − 7 − 2  x = − 7 − 2



Ta được 
y
=
5
+
1
y
=
−
5
+
1
y
=
5
+
1



 y = − 5 + 1

(

)(

)(

)

Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm là 7 − 2; 5 + 1 , 7 − 2; − 5 + 1 , −7 − 2; 5 + 1 và

( −7 −

)

2; − 5 + 1 .

CHĂM CHỈ – THÀNH TÀI – MIỆT MÀI – TẤT GIỎI

2.5

x + y = m − 2

( m + 6 ) x = m2 + 4m − 12 (1)

4 x + 4 y = 4m − 8
a) 


2
2
( m + 2 ) x − 4 y = m − 4
( m + 2 ) x − 4 y = m − 4
x + y = m − 2



Xét phương trình ( m − 6 ) x = m2 + 4m − 12  ( m + 6 ) x = ( m + 6 )( m − 2 )  ( m + 6 )( x − m + 2 ) = 0

( m + 6 )( x − m + 2 ) = 0
Như vậy hệ phương trình trở thành 
 x + y = m − 2
TH1: m + 6 = 0  m = −6

0. ( x + 8 ) = 0
x 

Hệ tương đương với: 
 x + y = −8
 y = −x − 8
Vậy hệ phương tình có vô số nghiệm với nghiệm tổng quát là ( x  ; y = −x − 8 ) .
TH2: m + 6  0  m  −6
x − m + 2 = 0
x = m − 2
x = m − 2


Hệ tương đương với 
 x + y = −2
 y = −2 − x
 y = −m

Vậy hệ phương trình có nghiệm là ( m − 2; −m) với m  −6 .

2mx + 3 y = 5
2mx + 3 y = 5
2mx + 3 y = 5


b) 
( m + 1) x + y = 2 3 ( m + 1) x + 3 y = 6
( m + 3 ) x = 1
TH1: m + 3 = 0  m = −3
Khi đó: 0 x = 1 (vô lý)
Vậy hệ phương tình vô nghiệm.
TH2: m + 3  0  m  −3
HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy|55

Gv. Lương Anh Nhật – ĐT: 0968 373 054

Rèn luyện Toán 9 – Đại số

1
1


2mx + 3 y = 5
2m.
x=
+ 3y = 5




m+3
m+3
Hệ tương đường với: 


1
1
x = m + 3
x =
y = m + 5



m+3
m+3

 1 m+5
Vậy hệ phương trình có nghiệm là 
;
 , với m  −3 .
 m+3 m+3

(

)

2
mx + 2 y = m + 1 2mx + 4 y = 2m + 2
 m − 4 y = m − 2
( m − 2 ) ( m + 2 ) x − 1 = 0



c) 


2
2mx + m y = 3m
2 x + my = 3
2 x + my = 3
2 x + my = 3

TH1: m − 2 = 0  m = 2

x 
0. ( 4 x − 1) = 0


Hệ tương đương với: 

3 − 2x
y=


2 x + 2 y = 3

2


3 − 2x 
Vậy phương trình có vô số nghiệm với nghiệm tổng quát là  x  ; y =
.
2 

TH2: m − 2  0  m  2

( m + 2 ) x = 1
Hệ tương đương với: 
2 x + my = 3
Khi đó, ta xét hai trường hợp cụ thể nữa là:
0 x = 1
TH2.1: m = −2  
(vô lý)
2 x − 2 y = 3

Vậy hệ phương trình vô nghiệm.
1

1

x=
x
=

m+2


m+2
TH2.2: m  −2  

3m + 4
 2 − 2y = 3
y = −
2 ( m + 2)

 m + 2

 1
3m + 4 
Vậy hệ phương trình có nghiệm là 
;−
 với m  2 và m  −2 .
 m + 2 2 ( m + 2) 


2.6*


1
 2x − 1 + y + 1 = 0
 2x − 1 + y + 1 = 0
 2x − 1 + 2x − 1 = 0
 2x − 1 = 0




x =
a) 




2
2 x − y = 2
 y = 2x − 2
 y = 2x − 2
 y = 2x − 2





 y = −1

1

Vậy hệ phương tình có nghiệm là  ; −1  .
2

56 | HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy

Rèn luyện Toán 9 – Đại số

Gv. Lương Anh Nhật – ĐT: 0968 373 054

A = 0
Cách khác: A + B = 0  
B = 0

1

1
x = 2
x = 2
2 x − 1 = 0



  y = −1
Áp dụng cho hệ trên, ta có:  y + 1 = 0   y = −1
2 x − y = 2
 1
2 = 2

2. − ( −1) = 2

 2


1

Vậy hệ phương trình có nghiệm là  ; −1  .
2


CHĂM CHỈ – THÀNH TÀI – MIỆT MÀI – TẤT GIỎI

2 x + 3 y = 13 2 x + 3 y = 13
2 x − 3 y = 13
, y  0 ( 1)  
, y  0 (2)

b) 
3x − y = 3
3x − y = 3
3x − y = 3
2 x + 3 y = 13
11x = 22
x = 2


Xét ( 1)  
(nhận)
9
x
−
3
y
=
9
2
x
+
3
y
=
13
y
=
3




Vậy hệ phương tình có nghiệm là ( 2; 3 ) .


4
 x = − 7
2 x − 3 y = 13
−7 x = 4
Xét ( 2 )  
(nhận)


9 x − 3 y = 9
2 x − 3 y = 13
 y = − 33

7

 4 33 
Vậy hệ phương trình có nghiệm là  − ; −  .
7 
 7
 y − 2 x + 3 = 0
 y − 2 x = −3

c) 
(I)
 y + x − 3 = 0
 y + x = 3
TH1: x , y  0
 y − 2 x = −3

( I )  y + x = 3


3x = 6
x = 2


(nhận)
y = 2x − 3
y = 1

Vậy hệ phưng trình có nghiệm là ( 2;1) .
TH2: x  0; y  0

 y − 2 x = −3

( I )  − y + x = 3


− x = 0
x = 0


(nhận)
 y = 2x − 3
 y = −3

Vậy hệ phương trình có nghiệm là ( 0; −3 ) .
TH3: x  0; y  0

HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy|57

Gv. Lương Anh Nhật – ĐT: 0968 373 054
 y + 2 x = −3

( I )  y + x = 3


Rèn luyện Toán 9 – Đại số

 x = −6
 x = −6


(nhận)
 y = −2 x − 3
y = 9

Vậy hệ phưng trình có nghiệm là ( −6; 9 ) .
TH2: x , y  0

 y + 2 x = −3

( I )  − y + x = 3


3x = 0
x = 0


(nhận)
 y = −2 x − 3
 y = −3

Vậy hệ phương trình có nghiệm là ( 0; −3 ) .
Vậy hệ phương trình đã cho có ba nghiệm là ( 2;1) , ( −6; 9 ) và ( 0; −3 ) .

(

2

 x + y = 1
 x + y = x + y
x+y = x + y


d) 
 x + y = 1  x + y = 1
 x + y = 1

)

2

 xy = xy

 x + y = 1

Ta có: xy = xy  xy  0  x, y  0  x, y  0
TH1: x , y  0
Ta có: x + y = 1  y = 1 − x và x + y = 1  x  1  0  x  1
Hệ phương trình có vô số nghiệm không âm với nghiệm tổng quát là (1  x  0; y = 1 − x )
TH2: x , y  0

 xy = 0
x = 0  y = 0


Ta có: 
 x + y = −1  y = −1  x = −1
Hệ phương trình có hai nghiệm ( 0; −1) và ( −1; 0 ) .
2.7


3

3
x
y
=

 x − y = xy
5x − 5 y = 5xy
4 x − 6 y = 0

x = y
2
a) 




2
 x + y = 5xy
 x + y = 5xy
 x + y = 5xy
 3 y + y − 5. 3 y.y = 0
−3 y 2 + y = 0

 2
2


3

1
x
=
 x = 2 y

x = 0 
2
Như vậy 


y = 0 y = 1
y = 0  y = 1
3
3



1 1
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là ( 0; 0 ) và  ;  .
2 3

58 | HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy

Rèn luyện Toán 9 – Đại số

Gv. Lương Anh Nhật – ĐT: 0968 373 054


3
x = 2
4 x − 3 y = 0
4 x = 3 y
4 x = 3 y
4 x = 3 y





 3 y + 2 z = 0  3 y + 2 z = 0   y = 2   y = 2
b) 3 y + 2 z = 0
4 x + 7 y + 5z = 5
10 y + 5z = 5
4 y + 2 z = 2
 z = −3
 z = −3







3

Vậy hệ phương trình có một nghiệm là  ; 2; −3  .
2

2.8
a) Ta có: x − y = 3  y = x − 3 . Phương trình có nghiệm tổng quát là ( x  ; y = x − 3) .

x + y = −1  y = −x − 1 . Phương trình có nghiệm tổng quát là ( x  ; y = −x − 1) .

CHĂM CHỈ – THÀNH TÀI – MIỆT MÀI – TẤT GIỎI

b) Biểu diễn tập nghiệm của phương trình x − y = 3 là
một đường thẳng đi qua hai điểm ( 0; −3 ) và ( 3; 0 ) .

Biểu diễn tập nghiệm của phương trình x + y = −1 là một

y
x + y = -1

đường thẳng đi qua hai điểm ( 0; −1) và ( −1; 0 ) .

Nhìn vào đồ thị ta thấy nghiệm chung của hai phương

1

O

trình trên là (1; −2 ) .

x

Kiểm tra bằng phép toán:

-2

x − y = 3
2 x = 2
x = 1
x = 1




 x + y = −1  x − y = 3
1 − y = 3
 y = −2

x-y=3

Vậy nghiệm chung của hai phương trình là (1; −2 ) .

2mnx + 10ny = 5n
( 5m − 2mn − 5 ) x = 5 − 5n
2mx + 10 y = 5


2.9 
( m − 1) x + 2ny = 1 5 ( m − 1) x + 10ny = 5 2mx + 10 y = 5
n = 1
5m − 2mn − 5 = 0

Hệ phương trình vô số nghiệm khi: 

5.
−
=
5
5
n
0
=
m


3


( 3m − 1) x = −n − 1
mx − y = −2n

2.10 
( 2m − 1) x + y = n − 1 mx − y = −2n
1
Thỏa đề khi 3m − 1  0  m  và n tùy ý.
3

−n − 1

−n − 1

−n − 1
x=
x=


x =


3m − 1
3m − 1 .
Hệ tương đương với: 

3m − 1  
−
n
−
1
5mn − 3n


− y = −2n  y =
mx − y = −2n m

3m − 1
 3m − 1
HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy|59

Gv. Lương Anh Nhật – ĐT: 0968 373 054

Rèn luyện Toán 9 – Đại số

BÀI 3: GIẢI TOÁN ẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH
3.1 Gợi ý: Gọi x là số sách lúc sau của Bình, y là số sách lúc sau của An.
Ta có: x = 450 − 50 = 400 

y 4
4
=  y = x = 360
x 5
5

Như vậy ban đầu, An có 310 cuốn sách.
3.2 Gợi ý: Gọi x là chiều dài đáy, y là chiều dài của chiều cao.
Điều kiện: x và y là hai số dương.

1
 2 xy = 18
 xy = 36
x = 4 y
 x = 12
Ta có: 
.



 xy − x + 4 y − 4 = 36
 xy = 36
y = 3
 1 ( x + 4 )( y − 1) = 18
 2
3.3 Gợi ý: Gọi t là thời gian đi dự định của xe, v là vận tốc ban đầu.
Điều kiện: t và v là các số dương.


vt

v
1

v
v
t − v + 20 = 1 1 − v + 20 = t
1 − v + 20 = −1 + v − 10 ( 1)
Ta có: 


 vt − t = 1
−1 + v = 1
1 − v = 1
( 2)
v − 10 t
 v − 10

 v + 20 t
Xét (1) 

v
v
+
= 2  2 ( v + 20 )( v − 10 ) = v ( v + 20 ) + v ( v − 10 )  10v = 400  v = 40
v + 20 v − 10

Thay vào ( 2 ) ta được t = 3 .
3.4 Gợi ý: Gọi a4b là số cần tìm.
Điều kiện: 0  a , b  9; a , b 

.

a + b = 13 a = 7
a + 4 + b = 17


Ta có: 
a − b = 1
b = 6
100a + 40 + b − ( 100b + 40 + a ) = 99
Vậy số cần tìm là 746.

60 | HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy

Rèn luyện Toán 9 – Đại số

Gv. Lương Anh Nhật – ĐT: 0968 373 054
Ôn tập 4

Câu 1.

 7 ( x + 1) 21y 3 ( 6 y − 5x )
6 y − 5x
x +1
+y=
+
=


22 x + 3 y = −7
 x = −1
 3
 21
7
21
21
a) 



4 x + 5 y = 21
y = 5
 2 y − 5x + 5 = y + 27 − 2 x
 4 ( 2 y − 5x ) 60 3 ( y + 27 ) 24 x
+
=
−


4
 3

12
12
12
12

CHĂM CHỈ – THÀNH TÀI – MIỆT MÀI – TẤT GIỎI

2
 3x

x
a=
x +1 − y + 4 = 4

 3a − 2b = 4
a = 2
 x = −2


x+1
b) 
với 



 y = −3
2a + 5b = 9
b = 1
b = 1
 2x + 5 = 9
y+4

 x + 1 y + 4


3a − 5b = 2
a = 4
3 4 x + 2 y − 5 2 x − y = 2
a = 4 x + 2 y
c) 
với 


7 a + 2b = 32
b = 2


7 4 x + 2 y + 2 2 x − y = 32
b = 2 x − y
4 x + 2 y = 16
x = 3


2 x − y = 4
y = 2

x + y + z = 6
z = 6 − x − y
x = 1



d)  x + 2 y + 4 z = 17  3 x + 2 y = 7   y = 2
 x + 3 y + 9 z = 34

z = 3

4 x + 3 y = 10

Câu 2.

2 x − 3 y = 1
4 x − 6 y = 2
( 3m + 4 ) x = 8


Ta có: 
mx + 2 y = 2
3mx + 6 y = 6
2 x − 3 y = 1
TH1: 3m + 4 = 0  m = −

4
3

Hệ phương trình vô nghiệm vì 0.x = 8
TH2: 3m + 4  0  m  −

4
3

 8
−3m + 4 
Hệ phương trình có nghiệm 
;
.
 3m + 4 3m + 4 
Câu 3. Gợi ý: tương tự như 3.3 ta giải được s = 350 km và t = 43,75 giờ.

HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy|61