Cách tìm công thức tổng quát của dãy số cho bởi công thức truy hồi – Phạm Thị Thu Huyền

Giới thiệu Cách tìm công thức tổng quát của dãy số cho bởi công thức truy hồi – Phạm Thị Thu Huyền

Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và quý thây cô Cách tìm công thức tổng quát của dãy số cho bởi công thức truy hồi – Phạm Thị Thu HuyềnChương Tổ hợp và Xác Xuất.

Tài liệu môn Toán 11  và hướng dẫn giải chi tiết các đề thi từ cơ bản đến vận dụng cao sẽ luôn được cập thường xuyên từ hoctoanonline.vn , các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán hay và mới nhất nhé.

Các em học sinh Đăng ký kênh youtube để học thêm về môn Toán.

Text Cách tìm công thức tổng quát của dãy số cho bởi công thức truy hồi – Phạm Thị Thu Huyền
GV: Phạm Thị Thu Huyền CÁC TÌM CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC TRUY HỒI Dạng 1: Tìm số hạng tổng quát của dãy số (dạng đa thức) khi biết các số hạng đầu tiên Ví dụ 1.1: Cho dãy số  un  có dạng khai triển sau: 1; 1; 1;1;5;11;19; 29; 41;55;….. Hãy tìm công thức của số hạng tổng quát và tìm số tiếp theo? Bài giải: Nhận xét: Với 10 số hạng đầu thế này, để tìm ra quy luật biểu diễn là rất khó. Với những cách cho này ta thường làm phương pháp sau: Đặt: uk  uk 1  uk  2uk  uk 1  uk  3uk   2uk 1   2uk …….. Ta lập bảng các giá trị uk ,  2uk , 3uk ….. nếu đến hàng nào có giá trị không đổi thì dừng lại, sau đó kết luận un là đa thức bậc 1, 2, 3,…..và ta đi tìm đa thức đó. Lời giải: Bảng giá trị ban đầu: uk uk  uk 2 1 -1 -2 -1 0 2 1 2 2 5 4 2 11 6 2 19 8 2 29 10 2 41 12 2 55 14 2 Ta thấy hàng của  2uk không đổi nên dãy số là dãy các giá trị của đa thức bậc hai: un  an 2  bn  c  a  0  (1) trong đó n là số thứ tự của các số hạng trong dãy. Tìm a, b, c như sau: Cho n  1; 2;3 thay vào công thức (1) ta được hệ phương trình sau: a  b  c  1 a  1   2 4a  2b  c  1  b  5  un  n  5n  5 9a  3b  c  1 c  5   Số hạng tiếp theo u11  71 Ví dụ 1.2: Cho dãy số  un  có dạng khai triển sau: 5; 3;11; 43;99;185;307; 471;…. 1 GV: Phạm Thị Thu Huyền Hãy tìm công thức của số hạng tổng quát và 2 số hạng tiếp theo Bài giải: Bảng giá trị ban đầu -5 uk uk  2 uk -3 2 11 14 12  3uk 43 99 32 18 6 56 24 185 86 30 6 6 307 122 36 6 471 164 42 6 Ta thấy hàng của 3uk không đổi nên dãy số là dãy các giá trị của đa thức bậc ba: un  an3  bn 2  cn  d  a  0  (2) trong đó n là số thứ tự của các số hạng trong dãy. Tìm a, b, c, d như sau: Cho n  1; 2;3; 4 thay vào công thức (2) ta được hệ phương trình sau: a  b  c  d  5 a  b  c  d  5 a  1 8a  4b  2c  d  3 7a  3b  c  2 b  0       27 a  9b  3c  d  11 26a  8b  2c  16 c  5 64a  16b  4c  d  43 63a  15b  3c  48 d  1  un  n3  5n  1 Hai số hạng tiếp theo là: u9  683 ; u10  949 Lời bình: Công thức tìm được trên là không duy nhất vì hiển nhiên các số hạng đã cho cũng thỏa mãn, chẳng hạn dãy số sau: un  n 2  5n  5  P  n  .  n  1 n  2  n  3 (Của ví dụ 1.1) un  n3  5n  1  P  n  n  1 n  2  n  3 n  4  (của ví dụ 1.2) Với P  n  là một đa thức bất kỳ Vậy cách tìm trên đây là mới chỉ tìm được một dạng mà dãy số đã cho thỏa mãn mà không tìm được tất cả các dạng mà dãy số đã cho thỏa mãn. Bài tập tương tự: Với mỗi dãy số sau đây, hãy tìm công thức của số hạng tổng quát của dãy số (Đs: un  6n  2 ) 1) 8;14; 20; 26;32;….. 3 15 n7) 2 2 (Đs: un  3n 2  4n  2 ) 2) 1; 2; 2;1;7;16; 28; 43;61;… (Đs: un  n 2  3) 1;6;17;34;57;86;121;….. 2 GV: Phạm Thị Thu Huyền 3 7 2 2 3 5 (Đs: un  n 2  n  4 ) 2 2 5 2 17 (Đs: un  n  n  8 ) 2 2 3 2 (Đs: un  n  3n  2n  2 ) (Đs: un  n 2  n  4 ) 4) 2;3;7;14; 24;37;….. 5) 3;5;10;18; 29;….. 6) 2;1;5;14; 28; 47;71;100;134;173; 217;…. 7) 2; 2;8; 26;62;122; 212;338;…. u1  a un 1  qun  d , n  1 DẠNG 2: Dạng cơ sở: Cho dãy  un  biết  Với q, d là các hằng số thực. GIẢI: u1  a un 1  d , n  1  Trường hợp 1: Nếu q  0    u1  a , un  d , n  * , n  2 u1  a un 1  un  d , n  1  Trường hợp 2: Nếu q  1     un  là cấp số cộng với số hạng đầu u1  a và công sai bằng d  un  a   n  1 d u1  a un 1  qun , n  1  Trường hợp 3: Nếu d  0     un  là cấp số nhân với số hạng đầu u1  a và công bội bằng q  un  a.q n 1  Trường hợp 4: Nếu q  0, q  1, d  0 . Đặt dãy  vn  sao cho un  vn  d (1) 1 q Thay ct(1) vào công thức truy hồi ta có:  d d   q  vn  d 1 q 1 q    vn 1  qvn , n  1 vn 1    vn  là một cấp số nhân với số hạng đầu v1  u1  bằng q  d  n 1  vn   a  q ,n 1 1 q   3 d d a và công bội 1 q 1 q GV: Phạm Thị Thu Huyền  un  vn   d d  n 1 d  a  q  1 q  1 q  1 q Ví dụ 2.1: Tìm công thức của số hạng tổng quát của các dãy  un  biết: u1  1 un 1  un  3, n  1 (Đs: un  3n  4 ) u1  1 un 1  2un  3, n  1 (Đs: un  4.2n 1  3 ) 1)  2)  Giải: u1  1 un 1  un  3, n  1 1)  Vì un 1  un  3 , n  1   un  là một cấp số cộng với số hạng đầu u1  1 và công sai d  3  un  u1   n  1 d  1  3  n  1  3n  4 u1  1 un 1  2un  3, n  1 2)  Nhận xét: Dãy số này có dạng 1 với q  1, d  3 Đặt dãy  vn  sao cho: un  vn  d  vn  3 (1) 1 q Thay (1) vào công thức truy hồi ta được vn 1  3  2  vn  3  3  vn 1  2vn   vn  là cấp số nhân với số hạng đầu v1  u1  3  1  3  4 và công bội q  2  vn  4.2n 1  2n 1  un  vn  3  2n 1  3 u1  1 Còn có các cách sau: un 1  un  3, n  1 Nhận xét: Câu 1:  Cách 2: Ta có: u1  1 u2  u1  3 u3  u2  3 4 GV: Phạm Thị Thu Huyền …….. un  un 1  3 Cộng vế với vế các hệ thức trên ta được: u1  u2  u3  ……  un  1  u1  u2  u3  …..  u n 1 3(n  1)  un  1  3  n  1  un  3n  4 Cách 3: Dựa vào công thức truy hồi ta tính được dạng khai triển của dãy  un  là: 1; 2;;5;8;11;14;17;…. uk uk -1 2 3 5 3 8 11 3 3 14 3 17 3  un  an  b,  a  0  (1) a  b  1 a  3   2a  b  2 b  4 Thay n  1 và n  2 thay vào (1) ta được:   un  3n  4 Bài tập tương tự: Tìm công thức của số hạng tổng quát của các dãy  un  biết: u1  1 un 1  un  7, n  1 (Đs: un  7n  6 ) u1  3 un 1  2un , n  1 (Đs: un  2n 1.3 ) u1  1 un 1  2un  1, n  1 (Đs: un  1 ) 1)  2)  3)  5  u1  4 4)  u  2u  3 , n  1 n  n 1 4 u1  1  5)  1 un 1  2un  3 , n  1 (Đs: u n  2n  3 ) 4 (Đs: u n  2n  1 ) 3 Lời bình: Dạng 2 gọi là dạng cơ sở vì: – Với 3 trường hợp 1, 2, và 3, dãy số trở thành các dãy đặc biệt đó là: dãy số hằng, cấp số cộng và cấp số nhân. Các dãy số này ta đều đã tìm được công thức của số hạng tổng quát. 5 GV: Phạm Thị Thu Huyền – Trên cơ sở của 3 dãy này, để giải trường hợp 4: bằng phương pháp đặt một dãy số mới  vn  liên hệ với dãy số  un  bằng một biểu thức nào đó để có thể đưa được về dãy số  vn  mà  vn  dãy số hằng hoặc cấp cộng hoặc cấp số nhân. – Vấn đề đặt ra là: Mối liên hệ giữa  un  và  vn  bởi biểu thức nào mới có thể đưa dãy số  vn  thành dãy số hằng hoặc cấp số cộng hoặc cấp số nhân hoặc trường hợp 4. Qua quá trình tìm tòi, tôi đã tìm ra được một số dạng sau: u1  a với q, c, d  R và q, c  0 un 1  qun  cn  d , n  1 LOẠI 2.1:  GIẢI: u1  a un 1  un  cn  d  Trường hợp 1: Nếu q  1   Cách 1: Ta có: u1  a u2  u1  c.1  d u3  u2  c.2  d u4  u3  c.3  d …………. un  un 1  c.  n  1  d Cộng vế với vế các hệ thức trên, ta được: un  a  c.1  c.2  c.3  ……  c.  n  1   n  1 d  a  cn  n  1 2   n  1 d Cách 2: Dùng công thức DẠNG 1 (Viết dãy số theo dạng khai triền)  Trường hợp 2: Nếu q  1 Đặt dãy  vn  sao cho: un  vn  c  n  1 cn , thay vào công thức truy hồi ta được 1 q  cn   q  vn    cn  d 1 q 1 q   c  vn 1  qvn  d  1 q c  v1  u1  1  q  Khi đó dãy  vn  lại Từ đó ta có dãy  vn  với  c n  1 v  qv  d   qvn  d ‘, n  n 1 1 q vn 1  có DẠNG 1 6 GV: Phạm Thị Thu Huyền Ví dụ 2.2: Tìm công thức của số hạng tổng quát của các dãy  un  biết: u  5 1)  1 un 1  un  3n  2, n  1 3n 2  7n  14 (Đs: un  ) 2 u1  11 un 1  10un  1  9n, n  1 (Đs: un  10n  n ) u1  1 un 1  3un  6n  1 (Đs: un  3n  1  3n ) 2)  3)  Bài giải: u  5 1)  1 un 1  un  3n  2, n  1 Cách 1: Ta có: u1  5 u2  u1  3.1  2 u3  u2  3.2  2 u4  u3  3.3  2 u5  u4  3.4  2 ………….. un  un 1  3.  n  1  2 Cộng vế với vế ta được:  un  5  3.1  3.2  3.3  ….  3.  n  1  2  n  1  5  3  n  1 n 2  2  n  1  3n 2  7n  14 2 Cách 2: Ta có dạng khai triển của dãy số  un  là: 5;6;10;17; 27; 40;56;75;….. uk uk  2 uk 5 6 1 10 4 3 17 7 3 27 10 3  un  an 2  bn  c (*) Thay n  1, n  2, n  3 vào (*) ta được: 7 40 13 3 56 16 3 75 19 3 GV: Phạm Thị Thu Huyền 3  a  2 a  b  c  5  7   4a  2b  c  6  b   2 9a  3b  c  10   c  7   3 7 3n 2  7n  14  un  n 2  n  7  2 2 2 u1  11 un 1  10un  1  9n, n  1 2)  Đặt dãy  vn  sao cho: un  vn  n, n  1 Thay vào công thức truy hồi ta được: vn 1  n  1  10  vn  n   1  9n  vn 1  10vn   vn  là một cấp số nhân với số hạng đầu v1  u1  1  10 và công bội q  10  vn  10.10n 1  10n  un  10n  n u1  1 un 1  3un  6n  1 3)  Đặt dãy  vn  sao cho: un  vn  3n , thay vào công thức truy hồi của dãy  un  ta được: vn 1  3  n  1  3  vn  3n   6n  1  vn 1  3vn  2 v1  u1  3  2   vn  được xác định bởi:  vn 1  3vn  2, n  1 Đặt dãy  yn  sao cho vn  yn  1, n  1 , thay vào công thức truy hồi của dãy  vn  ta được yn 1  1  3  yn  1  2  yn 1  3 yn   yn  là một cấp số nhân với số hạng đầu y1  v1  1  2  1  3 và công bội q  3 yn  3.3n 1  3n  vn  3n  1 Vây: un  3n  1  3n Bài tập tương tự: Tìm công thức của số hạng tổng quát của các dãy  un  biết: 8 GV: Phạm Thị Thu Huyền u1  99 un 1  un  2n  1, n  1 (Đs: un  100  n 2 ) 1)   n  n  1  (Đs: un  1  1  2  …   n  1    ) 2   2 u1  1 2)  3 un 1  un  n , n  1 u1  1 2 un 1  un  2n , n  1 3)  3 3 3   (Đs: un  1  2 12  22  32  ….   n  1  1  2  n  1 n  2n  1 3 u1  a với q  0 n un 1  qun  rc , n  1 LOẠI 2.2: Cho dãy  un  xác định bởi:  GIẢI: u1  a n un 1  un  rc ,  Trường hợp 1: Nếu q  1   n 1 ta có thể làm bằng phương pháp sau: u1  a Ta có: u2  u1  rc1 u3  u2  rc 2 u4  u3  rc3 ……………….. un  un 1  rc n 1 Cộng vế với vế ta được: un  a  (c  c  c  ….  c 2 3 n 1 )r  a    c c n 1  1 r c 1 u1  a n un 1  qun  rc , n  1  Trường hợp 2: Nếu c  q   Đặt dãy  vn  sao cho: un  vn  rc n , thay vào công thức truy hồi ta được cq  rc n 1 rc n  n  q  vn    rc  cq c q    vn 1  qvn vn 1  9 GV: Phạm Thị Thu Huyền   vn  là một cấp số nhân với số hạng đầu v1  u1  rc rc và công bội a cq cq bằng q  rc  n 1  vn   a  q cq  rc n  rc  n 1 rc n  un  vn   a  q  cq  cq cq u1  a n un  qvn  rq , n  1  Trường hợp 3: Nếu c  q   Đặt dãy số  vn  sao cho: un  q n .vn , thay vào công thức truy hồi của dãy  un  ta được   q n 1vn 1  q q n vn  rq n  vn 1  vn  r q   vn  là một cấp số cộng với số hạng đầu v1  Ví dụ 2.3: Cho dãy u n  u1  1  * n biết   1  với n  N . u n 1  u n    2  Xác định số hạng tổng quát của dãy u n  Bài giải: Cách 1: Ta có: u1  1 u2  u1  1 2 1 u3  u2    2 2 1 u4  u3    2 3 ………… 1 un  un 1    2 u1 a r  và công sai d  q q q n 1 10 1 (Đs: un  2    2 n 1 ) GV: Phạm Thị Thu Huyền Cộng vế với vế ta được: n 1 1   2 n 1 n 1 1 1 2 1 1   2  un  1      …..     1 2 2 2 2 1 2 Cách 2: n Đặt dãy số  vn  1 n   2 1  sao cho: un  vn   vn  2.   thay vào công thức truy hồi ta 1 2  2 được: 1 vn 1  2   2  vn 1  vn n 1  dãy  vn  n 1 1  vn  2      2 2 n  1 v1  u1  2    1  1  2 được xác định bởi:  2 v  v  n 1 v  vn  v1  2, n  1 n 1 1 Vậy: un  2  2    2    2 2 n 1 Ví dụ 2.4: Viết công thức của số hạng tổng quát của các dãy số  un  với: u1  8 n un 1  2un  3 , n  1 (Đs: un  5.2n1  3n ) u1  1 n un 1  5un  3 , n  1 (Đs: un  u1  101 n 1 un 1  7un  7 , n  1 (Đs: un  n.7 n  94.7 n 1 ) 4)  u1  1 n un 1  2un  6.2 , n  1 (Đs: un  3n.2n  5.2n 1 ) u1  0 5)  n un 1  un  2n.3 , n  1 3  3n 1  n.3n ) (Đs: un  2 1)  2)  3)  Bài giải: 11 1 n n 1 3 5 ) 2   GV: Phạm Thị Thu Huyền u1  8 n un 1  2un  3 , n  1 1)  Đặt un  vn  3n , n  1 thay vào công thức truy hội của dãy  un  ta được: vn 1  3n 1  2  vn  3n   3n  vn 1  2vn   vn  là một cấp số nhân với số hạng đầu v1  u1  3  5 và công bội q  2  vn  5.2n 1  un  5.2n 1  3n u1  1 n un 1  5un  3 , n  1 2)  3n thay vào công thức truy hồi ta được 2  3n 1 3n  n vn 1   5  vn    3 2 2   vn 1  5vn 3 1   vn  là một cấp số nhân với số hạng đầu v1  u1    và công bội q  5 2 2 1  vn   .5n 1 2 1 1 1  un   .5n 1  .3n  3n  5n 1 2 2 2 u1  101 3)  n 1 un 1  7un  7 , n  1 Đặt un  vn    Đặt un  7 n vn thay vào công thức truy hồi ta được 7 n 1 vn 1  7.7 n vn  7 n 1  vn 1  vn  1   vn  là một cấp số cộng với số hạng đầu v1  101 94  n 1  n  7 7 n n 1  un  n.7  94.7  vn  12 u1 101 và công sai d  1  7 7 GV: Phạm Thị Thu Huyền u1  1 n un 1  2un  6.2 , n  1 4)  Đặt un  2n vn , n  1 thay vào công thức truy hồi ta được 2n 1 vn 1  2.2n vn  6.2n  vn 1  vn  3   vn  là cấp số cộng với số hạng đầu v1  u1 1  và công sai d  3 2 2 1 5   n  1 3  3n  2 2 5    un   3n   .2n  3n.2n  5.2n 1 2   vn  u1  0 n un 1  un  2n.3 , n  1 5)  Đặt un  3n vn , n  1 thay vào biểu thức truy hồi của dãy  un  ta được 3n 1 vn 1  3n vn  2n.3n 1 2  vn 1  vn  n 3 3 u1  v1  2  0  dãy  vn  xác định bởi  v  1 v  2 n, n  1  n 1 3 n 3 Đặt vn  yn  n thay vào công thức truy hồi của dãy  vn  ta được yn 1  n  1   yn 1  1 2  yn  n   n 3 3 1 yn  1 3  y1  v1  1  1    yn  xác định bởi  1  yn 1  3 yn  1, n  1 3 Đặt yn  tn  thay vào công thức truy hồi của dãy  yn  ta được 2 3 1 3 tn 1    tn    1 2 3 2 1  tn 1  tn 3 13 GV: Phạm Thị Thu Huyền   tn  là một cấp số nhân với số hạng đầu t1  y1  3 3 1 1  1   và công bội q  2 2 2 3 …………………. 3  3n 1  n.3n 2  un  LOẠI 2.3: Cho dãy số  un  u1  a  xác định bởi:  cun un 1  q  du , n  1 n  GIẢI: Đặt dãy số  vn  sao cho: un  1 vn 1 c vn  q 1 1 thay vào công thức truy hồi của dãy  un  ta đươc vn d vn c vn 1 qvn  d q d  vn 1  vn  c c 1  v1  a quay về DẠNG 1   vn  :  q d v  v  , n  1  n 1 c n c   LOẠI 2.4: Cho dãy số  un  u1  a  xác định bởi:  b  cun un 1  p  ru , n  1 n  GIẢI: Đặt un  vn   , n  1 thay vào công thức truy hồi của dãy  un  ta được b  c  vn    vn 1    p  r  vn     vn 1  b  c  cvn   p   rvn   2 p  r  vn    14 GV: Phạm Thị Thu Huyền   2    p  c    b    c  r  vn  vn 1   p  r   rvn  vn  trở về loại 2.3, ta chọn  2   r  c    b  0 Để dãy  là nghiệm của phương trình Ví dụ 2.5: Tìm công thức của số hạng tổng quát của các dãy  un  sau, biết: u1`  1  1)  un un 1  1  u , n  1 n  (Đs: un  u1  2  2)  un u , n 1  1  n  2  un  (Đs: un  1  u1  2 3)  un 1  1 2  un  u1  1  4)  1  4un un 1  1  6u , n  1 n  (Đs: un  (Đs: un  Bài giải: u1`  1  1)  un un 1  1  u , n  1 n  1 thay vào công thức truy hồi của dãy  un  ta được: vn 1 v 1  n vn 1 1  1 vn Đặt un  15 1 ) n 1 3.2 n2 1 ) n ) n 1 1 2 n 2 6  1 ) 2 GV: Phạm Thị Thu Huyền 1 vn 1 1  vn  vn 1  vn  1  1  Dãy  vn  là cấp số cộng có số hạng đầu v1   vn  v1   n  1 d  1  n  1  n  un  1  1 , công sai d  1 u1 1 n u1  2  2)  un un 1  2  u , n  1 n  1 Đặt un  thay vào công thức truy hồi của dãy  un  ta được: vn 1 vn 1  vn 1 2  1 vn 1 1   vn 1 2vn  1  vn 1  2vn  1 Đặt vn  yn  1 thay vào dãy  vn  ta được: yn 1  1  2  yn  1  1  yn 1  2 yn   yn  là một cấp số nhân với số hạng đầu y1  v1  1  1 3  1  và công bội q  2 u1 2 3  yn  .2n 1  3.2n  2 2  vn  yn  1  3.2n 2  1 1  un  n2 3.2  1 1  u1  2 3)  un 1  1 2  un  Đặt dãy số  vn  sao cho: un  vn   thay vào dãy  un  ta được: vn 1    1 2  vn   16 GV: Phạm Thị Thu Huyền  2  2  1   vn 2    vn Chọn  là nghiệm của phương trình:  2  2  1  0    1  vn 1   un  vn  1 và vn 1  vn 1  vn Đặt dãy số  yn  sao cho: vn  1 thay vào dãy  vn  ta được: yn 1 yn 1  yn 1 1  1 yn 1 1   yn 1 yn  1  yn 1  yn  1   yn  là cấp số cộng có số hạng đầu y1   yn  2   n  1 1   n  1  vn  1 1   2 và công sai d  1 v1 u1  1 1 1  yn n 1  un  vn  1  1  1 n  n 1 n 1 u1  1  4)  1  4un un 1  1  6u , n  1 n  Đặt dãy  vn  sao cho un  vn   , thay vào công thức truy hồi ta được vn 1     vn 1 1  4  vn    1  6  vn     6  2   5  1   6  4  1  6  vn    1 là một nghiệm của phương trình 6 2  5  1  0 2 1  v1   2 1  Khi đó un  vn  và dãy số  vn  được xác định bởi  vn 2 vn 1  2  6vn  1 Đặt dãy số  yn  sao cho vn  thay vào công thức truy hồi của dãy  vn  ta được: yn => chọn   17 GV: Phạm Thị Thu Huyền 1 yn 1  yn 1 2  6 yn 1 1   yn 1 2 yn  6  yn 1  2 yn  6  y1  2   yn 1  2 yn  6, n  1 sao cho yn  xn  6 thay vào công thức truy hồi của dãy  yn  ta được  yn  được xác định bởi Đặt dãy số  xn  xn 1  6  2  xn  6   6  xn 1  2 xn   xn  là cấp số nhân với x1  y1  6  8 và công bội q  2  xn  8.2n 1  2n  2  yn  2 n  2  6 1  vn  n  2 2 6 1 1  un  n  2  2 6 2 Bài tập tương tự: Tìm công thức của số hạng tổng quát của các dãy  un  sau, biết: u1  1  1)  2un  2 un 1  3u  1 , n  1 n  u1  0  2)  un un 1  2u  1 , n  1 n  2.3. Sử dụng máy tính casio để tìm các số hạng trong một dãy số được cho bởi công thức truy hồi: Theo dự án mới của Bộ Giáo Dục và Đào Tạo, từ năm học 2016 – 2017 kỳ thi THPT Quốc gia, bộ môn Toán thi bằng phương pháp trắc nghiệm. Vậy, với một bài toán về dãy số mà dãy số đó cho bởi công thức truy hồi thì phải giải thế nào? Có phải tìm công thức của số hạng tổng quát hay không? Sau đây tôi xin giới thiệu quy trình bấm máy tính casio để tìm giá trị uk của một dãy số cho bởi biểu thức truy hồi 18 GV: Phạm Thị Thu Huyền u1  1 . Tính u8 ? un 1  un  3, n  1 Ví dụ 3.1: Cho dãy số  un  xác định bởi  Bài giải: + Gán giá trị của u1  1 vào biến A: 1 SHIFT STO A + Dùng biến D làm biến đếm, công thức truy hồi bắt đầu được tính từ u2 , nên ta gán cho biến đếm D giá trị khởi đầu là 1: 1 SHIFT STO D + Biểu thức lặp: Khi biến đếm D tăng lên 1 đơn vị thì u2  u1  3  A  3 và ta lại gán giá trị của u2 vào biến A, cứ như vậy biều thức được lặp lại. Nên ta có biểu thức lặp như sau: D  D  1: A  A  3 + Sau đó bấm phím CACL và liên tiếp các dấu “=” cho đến khi giá trị D  D  1  8 thì tính được u8 . Tóm lại quy trình bấm máy như sau: 1 SHIFT STO A 1 SHIFT STO D D  D  1: A  A  3 CACL = = = ……= Cho đến khi trên màn hình có D  D  1  8 bấm tiếp dấu “=” ta được A  u8  22 Chú ý: Các ký hiệu “=” và “:” trong biểu thức lặp D  D  1: A  A  3 là những phím màu đỏ trên bàn phím của máy tính casio, nên ta phải bấm tổ hợp phím ALPHA và dấu “=”, dấu “:” màu đỏ. Còn dấu “=” sau khi gọi phím CACL = = = ……= là dấu “=” màu đen trên màn phím máy tính casio. Ví dụ 3.2: Cho dãy số  un  u1  2  xác định bởi: u2  1 Tính u7 ? u  u  2u , n  1 n n 1  n 2 Bài giải: Vì công thức truy hồi được tính theo 2 số hạng đứng ngay trước nó, nên ta cần dùng đến 2 biến A và B cho 2 số hạng đó và phải dùng tới 2 lần lặp. Quy trình bấm máy như sau: 2 SHIFT STO A -1 SHIFT STO B 2 SHIFT STO D D  D  1: A  B  2 A : D  D  1: B  A  2 B CACL = = = ….= Cho đến khi D  D  1  7 bấm tiếp dấu “=” nữa ta được u7  23 19 GV: Phạm Thị Thu Huyền Lời bình: Với quy trình này học sinh không phải dùng nháp và tính từng bước từ công thức truy hồi hoặc không phải tìm công thức của số hạng tổng quát đồng thời cũng có lợi khi bài toán yêu cầu tìm uk với k hơi lớn (VD: u40 , u45 ) Bài tập áp dụng: u1  2  Bài 1: Cho dãy số  un  xác định bởi:  . Số hạng u4 của dãy số là: un  1 u  , n  1  n 1 2 9 7 4 A. 1 B. C. D. 8 8 3 Bài 2: Cho dãy số hữu hạn  un  có dạng khai triển là: 1; 1; 1; 1; 5; 11; 19; 29; 41; 55; Khi đó công thức tổng quát của dãy số là: B. un  n 2  3n  1 A. un  n 2  3n  1 C. un  n 2  5n  5 D. un  n 2  2n Bài 3: Cho dãy số  un  u1  1  n xác định bởi  Công thức của số hạng tổng 1 un 1  un    , n  1 2  quát un là: 2n 1  1 2n 2n 1  1 D. un  n 1 2 2n  1 2n 1 2n  3 C. un  n 2 A. un  B. un  Với bài số 2: Ta sử dụng MODE 7 để kiểm tra từng đáp án Quy trình bấm như sau: MODE 7 F  x   x 2  3x  1 START 1 END 10 STEP 1 Sau đó dò trên cột f  x  . Nếu cột này trùng với các giá trị của các số hạng trong dãy số thì ta chọn biểu thức đó. Chú ý: Với máy casio fx – 570 VN PLUS ta có thể kiểm tra một lúc 2 đáp án qua 2 hàm f  x  và g  x  bằng phím chuyển đổi: SHIFT MODE ▼ 5 2 2.4. Các bài toán thi học sinh giỏi các cấp: 20 GV: Phạm Thị Thu Huyền Bài 1: (Đề thi chọn HSG môn toán lớp 11 của trường THPT Vũng Tàu năm học 2014 – 2015) u1  1  n Cho dãy số  un  xác định bởi:   1 un 1  un     , n  1  2  n 2  1  Chứng minh rằng un  1      , n  * 3   2   Bài giải: Cách 1: Ta có: u1  1  1 u2  u1      2  1 u3  u2      2 2  1 u4  u3      2 2 ………………..  1 un  un 1      2 n 1 Cộng vế với vế các đẳng thức trên ta được: n  1 1    2 n 1 n 2  1  2  1  1  1   1      un  1          …..       1  3   2    2  2  2 1     2 Cách 2: n Đặt dãy số  vn   1 n   2 1 2 sao cho un  vn     vn     thay vào biểu thức truy hồi ta 1 3 2  1 2 được 2 1 vn 1     3 2  vn 1  vn n 1 n 2 1  1  vn         3 2  2 n   vn  là một dãy số hằng 2 1 1 2  vn  v1  u1      1   3 2 3 3 21 GV: Phạm Thị Thu Huyền n n 2 2 1 2  1   un       1      3 3 2 3   2   Cách 3: Chứng minh quy nạp Bài 2: (Đề thi Olympic 27/4 môn Toán – lớp 11 của Sở GD và ĐT Tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu năm học 2012 – 2013) Cho dãy số  un  u1  3  xác định bởi  . Tính u2013 un  2  1 u , n 1   1  n  1  1  2 un    Bài giải: Đặt dãy số  vn  sao cho un  tan vn , thay vào công thức truy hồi ta được:  tan vn 1  tan vn  tan 1  tan  8 .tan vn 8    tan vn 1  tan  vn   8  => chọn vn 1  vn   8   vn  là cấp số cộng với số hạng đầu  vn   3   n  1 3  tan v1  v1   8    un  tan    n  1  8 3 3   2012   u2013  tan    8  3 3 22  3 và công sai d   8 GV: Phạm Thị Thu Huyền 23
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments

Bài viết tương tự

Scroll to Top