Các kĩ thuật xử lý tích phân – Trần Đình Cư

Giới thiệu Các kĩ thuật xử lý tích phân – Trần Đình Cư

Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và bạn đọc Các kĩ thuật xử lý tích phân – Trần Đình Cư CHƯƠNG NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN.

Các kĩ thuật xử lý tích phân – Trần Đình Cư
Các kĩ thuật xử lý tích phân – Trần Đình Cư

Tài liệu môn Toán 12 và hướng dẫn giải chi tiết các đề thi từ cơ bản đến vận dụng cao sẽ luôn được cập thường xuyên từ hoctoanonline.vn , các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán hay và mới nhất.

Tài liệu Các kĩ thuật xử lý tích phân – Trần Đình Cư

Các em học sinh và bạn đọc tìm kiếm thêm tài liệu Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng tại đây nhé.

Text Các kĩ thuật xử lý tích phân – Trần Đình Cư
CÁC KĨ LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ SĐT: 0834 332133 THUẬT XỬ TOÁN LÝ TÍCH PHÂN 12 BINH PHÁP LƯU HÀNH NỘI BỘ BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN CÁC KĨ THUẬT XỬ LÝ TÍCH PHÂN BÀI 2. TÍCH PHÂN ………………………………………………………………………………………………………………………… 2 A. KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN NẮM …………………………………………………………………………………. 2 B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM ………………………………………………………. 3 Dang 1: Tích phân hữu tỉ ……………………………………………………………………………………………………………………….3 1. Phương pháp ………………………………………………………………………………………………………………………………….3 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng ………………………………………………………………………………………………………………4 3. Bài tập rèn luyện tốc độ ……………………………………………………………………………………………………………………7 Dạng 2: Tích phân có chưa căn thức ……………………………………………………………………………………………………. 10 1. Phương pháp ………………………………………………………………………………………………………………………………..10 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng ……………………………………………………………………………………………………………. 11 3. Bài tập rèn luyện tốc độ ………………………………………………………………………………………………………………….14 Dạng 3: Tích phân lượng giác ……………………………………………………………………………………………………………… 18 1. Phương pháp ………………………………………………………………………………………………………………………………..18 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng ……………………………………………………………………………………………………………. 20 3. Bài tập rèn luyện tốc độ ………………………………………………………………………………………………………………….24 Dạng 4: Tích phân từng phần ………………………………………………………………………………………………………………. 27 1. Phương pháp ………………………………………………………………………………………………………………………………..27 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng ……………………………………………………………………………………………………………. 27 3. Bài tập rèn luyện tốc độ ………………………………………………………………………………………………………………….32 Dạng 5: Tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối ………………………………………………………………………………………… 38 1. Phương pháp ………………………………………………………………………………………………………………………………..38 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng ……………………………………………………………………………………………………………. 39 3. Bài tập rèn luyện tốc độ ………………………………………………………………………………………………………………….42 Dạng 6: Tích phân siêu việt …………………………………………………………………………………………………………………. 44 1. Phương pháp ………………………………………………………………………………………………………………………………..44 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng ……………………………………………………………………………………………………………. 44 3. Bài tập rèn luyện tốc độ ………………………………………………………………………………………………………………….48 Dạng 7: Tích phân hàm ẩn ………………………………………………………………………………………………………………….. 54 1. Phương pháp ………………………………………………………………………………………………………………………………..54 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng ……………………………………………………………………………………………………………. 56 3. Bài tập rèn luyện tốc độ ………………………………………………………………………………………………………………….61 Dạng 8: Bất đẳng thức tích phân ………………………………………………………………………………………………………….. 67 1. Phương pháp ………………………………………………………………………………………………………………………………..67 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng ……………………………………………………………………………………………………………. 68 3. Bài tập rèn luyên tốc độ ………………………………………………………………………………………………………………….70 LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 1 BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN BÀI 2. TÍCH PHÂN A. KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN NẮM I. KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN 1. Định nghĩa tích phân Cho f  x  là hàm số liên tục trên đoạn a, b  . Giả sử F  x  là một nguyên hàm của f  x  trên đoạn a, b  . Hiệu số F  b   F  a  được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn a, b   của hàm số b f  x  , kí hiệu là  f  x dx. a Ta còn dùng kí hiệu F  x  để chỉ hiệu F  b   F  a  . b a Vậy b  f ( x )dx  F  x  a  F (b)  F (a). b a b Ta gọi  là dấu tích phân, a là cận dưới, b là cận trên, f  x  dx là biểu thức dưới dấu tích phân và f  x  là a hàm số dưới dấu tích phân. Chú ý: Trong trường hợp a  b hoặc a  b, ta quy ước a  f ( x )dx  0; a b  a a f ( x )dx    f ( x )dx. b Nhận xét b  Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu bới  a f ( x )dx hoặc b  f (u)du hoặc a b  f (t)dt. Tích phân a chỉ phụ thuộc vào hàm số f và các cận a,b mà không phụ thuộc vào biến số x hay t.  Ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu hàm số f  x  liên tục và không âm trên đoạn a, b  , thì tích b phân là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của f  x  , trục Ox và hai đường  f ( x )dx a b thẳng x  a,x  b. Vậy S   f  x dx. a II. TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN Tính chất 1: Tính chất 2: b b a a  kf ( x )dx  k  f ( x )dx. (k: const) b b b a a a   f ( x )  g( x )dx   f ( x )dx   g( x )dx. b Tính chất 3:  a c b a c f ( x )dx   f ( x )dx   f ( x )dx.  a  c  b  III. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 1. Phương pháp đổi biến số LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 2 BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN Định lý 1 (Đổi biến loại 1): Cho hàm số f  x  liên tục trên đoạn a, b  . Giả sử hàm số x    t  có đạo hàm liên tục trên đoạn   ,   sao cho      a,      b và a    t   b với mọi t    ;   . Khi đó: b  a    ‘  f  x dx   f   t  .  t dt Định lý 2 (Đổi biến loại 2): Cho hàm số f  x  liên tục trên đoạn a, b  . Giả sử hàm số u  x  có đạo hàm liên tục và u  x    ,   . Giả sử ta có thể viết f  x   g  u  x   .u’  x  , x  a, b  với g  x  liên tục trên đoạn   ;   . Khi đó ta có: b u b  a u a   f  x dx   g  u du. 2. Phương pháp tích phân từng phần b b Nếu u  u  x  và v  v  x  là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn a, b  thì  uvdx  uv a   vdu b a a B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM Dang 1: Tích phân hữu tỉ 1. Phương pháp 1.1 Một số dạng cần nhớ dx 1 1)  ax  b  a ln ax  b  C, a  0. 2)   ax  b  3)  u  x  dx  ln u  x   C dx  1 1 1  C , a  0. . . a   n  1  ax  b n 1 u  x  b 4) n x a 2 dx thì đặt x   tan t . 2 1.2 Dạng tổng quát I   P  x  x    . x    m n  . ax  bx  c 2   dx m, n  N , b 2  4ac  0,a  0  +) Trường hợp 1: Nếu bậc của đa thức P  x   m  n  2 ta chia tử cho mẫu để đưa về trường hợp 2 +) Trường hợp 2: Nếu bậc của đa thức P  x   m  n  2 ta sử dụng “phương pháp hệ số bất định” P x  x    . x    m Bước 1: Phân tích: n .  ax  bx  c  2  m  i 1 Ai x    i  n  k 1 Bk x    k  M  2 ax  b   N ax 2  bx  c Bước 2: Quy đồng mẫu số và đồng nhất 2 vế để tìm các hệ số Ai , Bk , M , N Bước 3: Thực hiện các dạng cơ bản. LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 3 BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN Chú ý: + Đôi khi ta dùng phương pháp thêm – bớt – tách sẽ gắn gọn hơn. + Một số trường hợp ta đổi biến số nhằm giảm bớt bậc để đưa về tích phân hàm hữu tỉ đơn giản hơn. 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng 5 Ví dụ 1: Cho A. dx  ln a. Tìm a. x 2  5 . 2 B. 2. C. 5 D. 2 . 5 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D 5 Ta có: dx  ln a  ln x x 2  2 Ví dụ 2: Cho x 0 2 5 2  ln a  ln 5  ln 2  ln a  ln 5 5  ln a  a  . 2 2 x 1 dx  a ln 5  b ln 3,  a, b    . Giá trị của 3a  2b là  4x  3 A. 0. B. 1. C. 8. Hướng dẫn giải D. 10. ĐÁP ÁN A n ax  b dx thì ta sẽ biến đổi x  c  x  d  m Khi thấy những bài tích phân có dạng I   ax  b A B    ax  b   A  B  x  Ad  Bc  x  c  x  d  x  c x  d A  B  a   ta sẽ tìm được A và Ad  Bc  b Khi đó: I   A ln x  c  Bln x  d  Áp dụng vào bài, ta có: f  x   B. n m x 1 x 1 2 1    x  4x  1  x  3 x  1 x  3 x  1 2 I   2ln x  3  ln x  1   2ln 5  3ln 3. 2 0 a  2 VT  VP   . b  3 m Ví dụ 3: Tìm tất cả các số thực m dương thỏa mãn A. m  3. x 2 dx 1 0 x  1  ln 2  2. B. m  2. C. m  1. Hướng dẫn giải D. m  3. ĐÁP ÁN C m m m x 2 dx 1  1 2  1 2     x 1 Ta có:   dx   x  x  ln x  1   m  m  ln m  1 x 1 0  x 1 2 0 2 0 1 2 1 m  m  ln m  1  ln 2  2 2 Ta thấy chỉ có m  1 thỏa mãn (*). Suy ra: (*) LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 4 BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN 0 3x 2  5 x  1 2 Ví dụ 4: Biết I   dx  a ln  b,  a, b    . Tính giá trị của a  4b. x2 3 1 A. 50. B. 60. C. 59. Hướng dẫn giải D. 40. ĐÁP ÁN C 0 0 3x 2  5 x  1 21   I dx    3x  11   dx x2 x2 1 1  0  3x 2  19 2   11x  21.ln x  2    21.ln 3  2  1 2 19  a  4b  59. 2 Khi đó, a  21, b  2 1 a 1  x  x  1 dx  2  ln b Ví dụ 5: Biết 2 với a , b là các số nguyên dương và 1 của a  b bằng A. 7. B. 5. a là phân số tối giản. Giá trị b C. 9. Hướng dẫn giải D. 4. ĐÁP ÁN A 2 2 2 2 1 x2  1  x2 1 1 1  1   dx 1 x 2  x  1 1 x 2  x  1 dx  1  x  1  x 2  x  dx   ln x  1  ln x  x  1 2 1 3  x 1 1    ln     ln x x 1 2 4  Suy ra a  4; b  3 . Vậy a  b  7. 1  Ví dụ 6: Cho 0 x 3  3x 2  x  3 x 2  2x  3  2 dx  a  ln b  1 . Khi đó 6a  5b bằng A. 2. B. 3. C. 13. D. 2 . 3 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C   Ta có: x 3  3x 2  x  3   x  1 x 2  2x  3 . Đặt t  x2  2x  3  dt   x  1 dx. 1 2 Đổi cận: x  0  t  3; x  1  t  6 . 6 6 6 1 t6 1 1 6  1 6 1 Khi đó: I   2 dt     2  dx   ln t     ln 2  1 23 t 2 3 t t  2 t 3 2 a 1 , b  2  6a  5b  13. 2 1 Ví dụ 7: Cho I1   0 A. a  b  c. x3 x4  3x 2  2 dx  ln a  b ln c,  a, b,c    . Khẳng định đúng là B. b  c  a. LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 C. c  a  b. D. a  c  b. Page 5 BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D Đặt t  x2  dt  2xdx hay xdx  dt . 2 Và x : 0  1 thì: t : 0  1 . 1  I1   0 x 2 .xdx x 4  3x 2  2  1 tdt 1 2  t  1   t  2  dt    2 2 0 t  3t  2 2 0  t  1 t  2  1 1 1 1 1  2 1  1 3       dt   ln t  2  ln t  1   ln 3  ln 2 2 0 t  2 t  1 2 2  0 3  a  3; b   ; c  2. 2 2  x3 Ví dụ 8: Cho 1 1 1  x  2 dx    a c 5 a c  ln , a, b,c,d    ; , là các phân số tối giản. Giá trị của b d 8 b d S  a  2b  3c  4d bằng A. 16. B. 87. C. 34. . Hướng dẫn giải D. 30. ĐÁP ÁN D    1 x   x  1 1 1 1  x   x   I dx   dx      x  x x 1  x  x 1  x   x 1  x      1 1  1 1 x  1 d 1  x     dx   dx  2 2 2 3 1 2 2 3 1 2 2 2   x3   x3  1  x2  x 1 2 2 1   1 3 2  x 2 2   dx   2 2 1 1  x 2 2  1  1 3 1 5 3 1 5    ln x  ln 1  x 2    ln 2  ln   ln 2 2 2 2 8 2 8  2x 1 8  a  3, b  8, c  1,d  2. 1 Ví dụ 9: Cho I   0 x3 x4  3×2  2 dx  ln 3  b ln 2  c. Chọn đáp án đúng. 3 2 C. abc  0. B. 2b  c . A. b  c  D. b, c là các số nguyên. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C Ta có: I  1 1 x 2 .2xdx . 2 0 x 2  1 x 2  2    Đặt t  x2  dt  2xdx . Với x  0  t  0 , với x  1  t  1 . 1 1 1 1 tdt 1  2 1   1     Khi đó: I    dt   ln t  2  ln t  1  2 0  t  1 t  2  2 0  t  2 t  1  2  0  ln 3  3 ln 2 . 2 LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 6 BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN 3 a  3, b   , c  0 . 2 3. Bài tập rèn luyện tốc độ 4 Câu 1: Biết x dx  a ln 2  b ln 3  c ln 5 với a, b, c là các số nguyên. Giá trị của S  a  b  c bằng x 2 3 A. 6. B. 2. C. 2. Hướng dẫn giải D. 0. ĐÁP ÁN B 4 4 4 4 dx dx 1  x 16 1      ln  4 ln 2  ln 3  ln 5. I 2   ln x  x 3 x  x  1 3  x x  1  x 1 3 15 3 Do đó: S  4  1  1  2. 5 Câu 2: Biết rằng I   1 dx  ln a. Giá trị a là 2x 1 A. 3. B. 9. C. 8. Hướng dẫn giải D. 81. ĐÁP ÁN A 5 5 dx 1 1 2x  1  2 ln 2x  1 1  ln 3  ln a  a  3. 1 Câu 3: Biết I   0 2x  3 dx  a ln 2  b ,  a, b    . Khi đó giá trị a  2b bằng 2 x A. 0. B. 2. C. 3. Hướng dẫn giải D. 7. ĐÁP ÁN C 1 1 1 2x  3 7   dx    2   dx   2 x  7 ln 2  x  0  2  7 ln 2 2 x 2 x 0 0 Ta có: I   Nên a  7 và b  2. Do đó: a  2b  3. 5 Câu 4: Giả sử dx  2 x  1  ln K . Giá trị của K là 1 A. 9 . B. 3 . C. 81 . Hướng dẫn giải D. 8 . Đáp án B 5 dx 1  2 x  1  2 ln 2 x  1 1 5 1  ln 3. 2 Câu 5: Tính tích phân I   1 A. 2 . 3 1 x  x  1 B. 2 dx  ln a  b,  a, b    . Giá trị a  b bằng 7 . 6 C. 2 . 3 D. 6 . 11 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 7 BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN 2 I 1 2 1 x  x  1 2 dx   1 2 x 1 x x  x  1 2 2 1 1 dx   dx . 2 x x  1 1  1  x  1 dx   Suy ra 2 2 1 1  x 2 I     dx    x  1 d  x  1  ln x x  1 x1 1 1 a 2   x  1 1 2  ln 1 1 4 1  . 3 6 4 1 ,b . 3 6 1 Câu 6: xdx  a  b ln c. Biết b  c  1, với b, c  3. Khi đó P  abc bằng x  1 0 Cho I   B. 1. A. 0. C. 2. D. 1 . 2 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C 1 I 0  x  1  1 dx  1  1  1  dx  x  ln x  1  1  1  ln 2   0   x  1   x1 0  a  1; b  1; c  2  P  2. 1 2 Câu 7: Cho I   0 b x 4 dx 1  a  ln b. Khi đó S  24a   11 bằng 2 3 x 1 2 B. 1. A. 0. C. 1. Hướng dẫn giải D. 25. ĐÁP ÁN D 1 2 I 0 1 2 4 x dx 2 x 1  0 1 2  1  dx    x 2  1   dx 2 x 1 x 1 0 x 11 4 2 1  x3  2 13 1    x  ln x 2  1    ln 3.  0 24 2  3 13 a , b  3  S  25. 24 2 Câu 8: Cho A. a  b. C. a  b . x2  x  1 1 x  1 dx  a  ln b. Chọn mệnh đề đúng: B. 2a  b  b2  0. D. a  b. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 8 BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN 2 2 2  x2   x2  x  1 1  1       ln x  1  dx x dx xdx dx   x1   x  1    x1  2    1 1 1 1 2 2 1 1 3 3  2  ln 3   ln 2   ln 2 2 2 3 3  a  , b   a  b. 2 2 1 I  Câu 9:  x  1 2 x 1 2 0  1 . 3 A.  dx  a  ln b, a, b    . Khi đó S  B. 2 . 3 ab bằng a b C. 3 D. 3. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D 1 I4   x 2  1  2x x2  1 0 1 1d 0 0   dx   1 1 1  2x  2xdx dx    1   dx   dx   2 2 x  1 0 0 0 x 1  x  1  2 x2  1   x  ln x 2  1  1  1  ln 2. 0  a  1, b  2  S  3. 1 Câu 10: Cho I   0 A. abc x3  3 c dx  a   b  5  ln b  c ln , a, b, c    . Khi đó P  bằng 2 2 x  2x  3 abc 22 . 7 B. 20 . 7 C. 24 . 7 D. 26. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B 1 1 6  x  1  x  3   7x  3  dx    x  2  dx  x  2   dx   2   x  1 x  3   x 2  2x  3  0 x  2x  3 0 0 1 I x3  3 1  x2   6 1   x  2    2x  6 ln x  3  ln x  1   dx    x  3 x 1  2 0 0 1  5  7 ln 2  6 ln 3. 2 a  5 20 , b  2, c  6  P  . 2 7 2 Câu 11: Cho I   0 A. 2  ln 125 . 3 2 2x  3 B   A  dx     dx. Giá trị I .  2 A  4 B  bằng 2  1  3 x  4x  3 x x   0 B. 2 ln 125 . 3 C. 7 125 ln . 2 9 D. 1 125 ln . 2 9 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C Ta có: 2x  3 2 x  4x  3  2x  3 A B   .  x  1 x  3  x  1 x  3 Từ đó 2x  3   A  B  x  3A  B  x  1, x  3  . LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 9 BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN A  B  2 1 3 A ; B .   3A B 3 2 2  Cân bằng các hệ số của các lũy thừa cùng bậc của x ta được:  Suy ra: 2 2 2x  3 2  1 dx 3 dx 1 I dx      ln x  1  3 ln x  3 2 2 0 x1 2 0 x 3 2 0 x  4x  3  I.  A  B    2 0 1 125  ln 2 9 7 125 ln . 2 9 2 Câu 12: Cho x2 1 a c.d 1 x 4  2 x3  x 2  2 x  1 dx  b ln e biết a, b, c, d , e  N ; UCLN  a; b   1 và c, d, e là các số nguyên tố. Giá trị của T  a  b  c  d  e bằng A. 32 . B. 24 . C. 25 . Hướng dẫn giải D. 31 . Ta có 1 1 x2 x 1 dx   dx 2 1  2x  x2  2x  1 2 x  2x 1  2 x x 1  dx  x  dx  2 1 1    x    2 x    3 x x   x 2 4 3 Đặt t  x  1 ta có: x x2  1 dt 1 t 1  x4  2×3  x2  2x  1dx   t 2  2t  3  4 ln t  3  C Dạng 2: Tích phân có chưa căn thức 1. Phương pháp Lớp bài toán 1:  p k  x . n ax  b  m dx ;  xp n  ax k b  m dx thỏa  p  1 k , khi đó ta đặt t  n  ax k b  m Lớp bài toán 2: Đổi biến dạng lượng giác Ta chú ý các nhận biết một số dấu hiệu và cách đổi biến tương ứng sau Dấu hiệu Cách đổi biến Chú ý Đặt x  a tan t    t   ;   2 2 a2  x2 Đặt x  a sin t    t   ;   2 2 x2  a2 Đặt x  1. x2  a2 2. 3. a sin t LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133      t    ;0  or  0;   2   2 Page 10 BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN ax or ax 4. Đặt x  a cos 2t ax ax   t  0;   2   Lớp bài toán 3:  R x; ax 2  bx  c dx Hướng 1: theo dạng 2 Hướng 2: Hữu tỉ hoá. Sử dụng các phép biến đổi Euler – Với a  0 , đặt ax2  bx  c  t  ax – Với c  0 , đặt ax 2  bx  c  tx  c – Nếu ax 2  bx  c có hai nghiệm x1 , x2 thì đặt ax 2  bx  c  t  x  x1  hoặc đặt ax 2  bx  c  t  x  x2  Chú ý: 1) I   2) K   mx  n ax  bx  c 2 dx ta biến đổi về dạng I  dx  mx  n  ax 2  bx  c ngoài cách giải chung bằng phép thế lượng giác ta còn có thể giải bằng phép thế đại số. Đặt t  ax 2  bx  c hoặc 3) Với dạng dạng:   dx ax 2  bx  c dx a x 2 2 hoặc  m 2ax  b mb  dx  dx   n    2 2 2a ax  bx  c 2a  ax  bx  c  1 1  ax 2  bx  c hoặc t  mx  n hoặc  mx  n t t ta thường nhóm biểu thức dưới dấu căn thành hằng đẳng thức rồi đưa về dx x k 2  ln x  x 2  k  C 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng 2 Ví dụ 1: Trong các tích phân sau, tích phân nào không cùng giá trị với I   x 3 x 2  1dx. 1 A. 1 2 t t  1dt. 2 1 B. 1 4 C. t t  1dt. 2 1 Hướng dẫn giải  t 3 0 2  1 tdt. D.  x 3 0 2  1 x 2dx. ĐÁP ÁN A dt . 2 Đổi cận x  1 thì t  1; x  2 thì t  4. Đặt x 2  t  xdx  2 2 1 1 I   x 3 x 2  1dx   x 2 x 2  1.xdx  1 2 t t  1dt. 2 1 LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 11 BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN 3 a b   ab là phân số tối giản. Giá trị S  a1  b1 Ví dụ 2: Tính tích phân I   x x  1dx ta được I  , a, b    , 0 bằng A. 131 1740 B. 16 . 15 C. 116 . 5 D. 16 . 3 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A Đặt u  x  1  x  u 2  1; du    1  x ‘dx  1 dx  dx  2udu 2 1 x Đổi biến: u  0   1 ; u  3  2 2  u5 u3  116 . Khi đó ta có:  x x  1dx  2   u  1 u du  2   u  u  du  2      5 3  1 15 0 1 1 3 2 2 2 2 1 a Do đó: a  116, b  15. Suy ra: S   4 2 1 131  . b 1740 2 Ví dụ 3: Kết quả của tích phân I   x 2 x3  1dx  0 a a ,  a, b  *  , là phân số tối giản. Giá trị b b P  a  b bằng 2 2 A. 2786. B. 2785. C. 2685. Hướng dẫn giải D. 2885. ĐÁP ÁN B Đặt t  x3  1  t 2  x3  1  2tdt  3 x 2 dx  x 2 dx  2t dt . 3 Với x  0  t  1 ; x  0  t  3 3  2t 3  2 2 52 Vậy I   t 2dt     6   . 3 9 9  9 1 1 3 Suy ra: a  52,b  9. Do đó: S  2785. 5 Ví dụ 4: Tính tích phân: I   1 dx được kết quả I  a ln 3  b ln 5,  a, b    . Tổng a  b là x 3x  1 B. 3. A. 2. C. 1. Hướng dẫn giải D. 1. ĐÁP ÁN D u2 1 1  dx  2udu 3 3 Đổi cận: x  1  u  2 x  5  u  4 Đặt u  3x  1  x  4 u  1   u  1 u 1 3 1 Vậy I   2 du   du  ln  ln  ln  2 ln 3  ln 5 u 1 2 5 3  u  1 u  1 2 u 1 2 4 2 4 Do đó a  2; b  1 . Suy ra: a  b  1. 5 1 dx  a  b ln 3  c ln 5,  a, b, c    . Giá trị a  b  c bằng 1 1  3x  1 Ví dụ 5: Giả sử tích phân I   LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 12 BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN A. 4 . 3 B. 5 . 3 C. 7 . 3 D. 8 . 3 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A Đặt 1  3 x  1  t  3 x  1   t  1  dx  2 2  t  1 dt. 3 Đổi cận x  1  t  3; x  5  t  5 . 5 5 5 2 t 1 2  1 2 4 2 2 Khi đó I   dt    1   dt   t  ln t    ln 3  ln 5. 3 t 3 3 t 3 3 3 3 3 3 4 2 2 4 Do đó a  ; b  ; c   Vậy a  b  c  . 3 3 3 3 Ví dụ 6: Tập hợp các nghiệm của bất phương trình A.  ;0  .  x 0 B.  ;   . t dx  0, với x là ẩn là t 1 2 C.  ;   \ 0 . D.  0;   . Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C x  0 x  0 2 x x 1 d  t  1 1 dt    .2 t 2  1  x 2  1  1. 0 2 0 t2 1 2 t2 1 t t t 1 2 dt  0  x 2  1  1  0  x   ;   \ 0 . 1    x 1 x  Ví dụ 7: Cho I   f   dx bằng  dx  10. Khi đó J   f  x  1 x  0  0  x  1 x  A. 10. B. 10. C. 9. D. 9. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A Đặt t  1  x ta có: dt  dx 1 Đổi cận 0 1     x  0  t 1 t t  dt  f  khi đó J   f      dt  x 1 t  0 t t  1  t  1  1 t  0  1  x J   f  x  1 x 0    dx  I  10.  m Ví dụ 8: Tính theo m tích phân I   x x 2  1dx là 0 A.  m2  1 m2  1  1 3 3 . B.  m2  1 2  1 . m C. 3 Hướng dẫn giải 2  1 m 2  1  1 3 . D. m2  1. ĐÁP ÁN C  x  m  t  m 2  1 Đặt t  x 2  1  t 2  x 2  1  tdt  xdx và đổi cận  x  0  t 1  LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 13 BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN m 2 1 m Do đó I   x x  1dx   2 0 1 3 Ví dụ 9: Kết quả của I   0 t3 t dt  3 m I m2  1 2 1 2  1 m 2  1  1 3 . 2x 2  x  1 a a dx  ,  a, b     , là phân số tối giản. Giá trị S  a  b bằng b b x 1 A. 36. B. 45. C. 27. Hướng dẫn giải D. 59. ĐÁP ÁN D 3 I 0 Đặt 2x 2  x  1 dx x 1 x  1  t  x  t 2  1  dx  2tdt 2 2  4t 5  2(t 2  1) 2  (t 2  1)  1 54 I 2tdt  2  (2t 4  3t 2 )dt    2t 3   . t  5 1 5 1 1 2 Suy ra: a  54,b  5. Do đó: S  a  b  59. 1 Ví dụ 10: Cho tích phân I   x  ax  b 3×2  1  dx  3, biết a  b  1. Giá trị S  a3  b3  5a  b bằng 0  A. 15.  B. 20. C. 102. Hướng dẫn giải D. 15. ĐÁP ÁN C 1 1 1 ax 3 Ta có: I   ax dx   bx 3x  1dx  3 0 0 2 1   bx 3x 2  1dx 2 0 0 1 + Xét A   bx 3×2  1dx 0 Đặt 3x 2  1  t  3x 2  1  t 2  xdx  1 tdt. 3 2 bt 2 t3 dt  b. Đổi cận: x  0  t  1; x  1  t  2  A   3 9 1 ax 3 Vậy I  3 1  0 2  1 8b b 7b   . 9 9 9 7b a 7b   . 9 3 9  a 7b  3  a  5     S  102. Ta có hệ:  3 9 b  6 a  b  1  3. Bài tập rèn luyện tốc độ 4 Câu 1: Kết quả của tích phân dx  x 1 1  b b  a ln ,  a, b, c     , là phân số tối giản. Giá trị c c x  S  a 2  b2  c 2 bằng A. 42. B. 29. C. 17. Hướng dẫn giải D. 27. ĐÁP ÁN B LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 14 BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN 3 3 2 t 1 4 dt  2 ln  2 ln . Đổi biến thành  t t  1 t 2 3 2  Suy ra: a  2, b  4,c  3. Do đó: S  29. 2 3 Câu 2: x dx nếu đặt t  x  1 thì I   f  t  dt trong đó x 1 0 1 1 Cho tích phân I   A. f  t   t 2  t. B. f  t   2t 2  2t. C. f  t   t 2  t. D. f  t   2t 2  2t. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D dx  2t dt x  0  t  1 và đổi cận  Đặt t  x  1  t 2  x  1   2 x  3  t  2 x  t  1 2 2  t2 1  2 2 Khi đó I   2t.   dt   2t.  t  1 dt    2t  2t  dt  f  t   2t  2t.  t 1  1 1 1 2 a Câu 3: Đặt I   0 x3  x x2  1 dx. Ta có: 1 B. I = éê(a 2 + 1) a 2 +1 +1ùú . û 3ë 1 D. I = éê(a 2 + 1) a 2 +1 -1ùú . û 3ë Hướng dẫn giải A. I = (a 2 + 1) a 2 + 1 -1. C. I = (a 2 + 1) a 2 + 1 + 1. ĐAP AN D a x3  x Ta có: I   x2  1 0 a dx   x 2   1 .x x2  1 0 a dx   x 2  1.xdx 0 t  x 2  1  t 2  x 2  1  t.dt  x.dx . Đổi cận: x  0  t  1; x  a  t  a 2  1 a 2 1  Khi đó: I  t.tdt  1 1 3 t 3   a 2 1 1 1   a2  1 3   a 2  1  1 .   3 Câu 4: Biết   3 2 dx    c  d 3 với a, b, c, d là các số nguyên. Giá trị a b 1  x 6  x3 3 a  b  c  d bằng A. 28. B. 16. ĐÁP ÁN A  I 3   3  sin x 1 x  x 6 3 sin x 3 dx  3   3   C. 14. Hướng dẫn giải 1  x6  x3 sin x 1 x  x 6 6  dx    3  D. 22.  1  x6  x3 sin xdx. 3     x   3  t  3 . Đặt t   x  dt  dx . Đổi cận  x    t     3 3 LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 15 BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN     I 3  1  t 6  t 3 sin  t  dt  3  3       3 1  t 6  t 3 sin tdt     3    1  x 6  x3 sin xdx 3  Suy ra 2 I   3    2 x3 sin x  dx  I  3   3 x3 sin xdx  3 27  3 2  2  6 3. 3 3 Suy ra: a  27, b  3, c  2, d  6. Vậy a  b  c  d  28. 3 Câu 5: 11 1  x2 dx  a  ln b  ln 3. Giá trị  a  b  3 bằng 2 x  Cho I  1 A. 0. B. 1. C. 2. Hướng dẫn giải D. 3. ĐÁP ÁN A Đặt t  1  x 2  t 2  1  x 2  tdt  xdx và x : 1  3 thì t : 2  2. Khi đó: I  3 1  x2  x2 1 xdx  2  2 t t2  1 tdt  2   1 1  1  1 t 1    1       dt   t  ln 2  t  1 t  1  2 t 1   2 2  1    1  t 2  1  dt 2 2  2  2  ln  2  1 2  1  ln 3 2 11  a  b  3   0. 2 dx Cho I   0 A. dt   2 a  1 1   A   bằng , a , b .  2 ln   Giá trị   a b x2  4 x  3  1 b  1 Câu 6: t2  1 2 2  a  2  2; b  2  1  t2  1  1  4 . 3 B. 2 . 3  C. 5 . 6 D. 1 . 2 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C Đặt t  x  1  x  3   1 1 x1  x 3  dt    dx  t.  dx  2  x  1 x  3  2 2 x1 2 x 3   dx  x  1 x  3   dx  x  1 x  3  2dt . t Và x : 0  1 thì t : 1  3  2  2. Khi đó: I 4  2 2 2  1 3 dt  2 ln t t 2 2 1 3 2 2  2 ln    a  2; b  3.  1 3    5 6 Suy ra: A  . LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 16 BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN Câu 7: 2  28  dx  . Giá trị a (biết a có giá trị nguyên) là  3 1  x3  x2 Cho tích phân I    4   a A. 0. C. 1 . Hướng dẫn giải B. 1. D. 3. ĐÁP ÁN A 2 2 Ta có: I   4dx   a a 2 x2 Tính B   1  x3 a 2 Khi đó B   a dx. 1  x3 dx . Đặt 1  x 3  t  1  x 3  t 2  x 2 dx  2 x2 2 dx  1  x3 3 1  x3 Ta có: I  4x   x2 2 1  x3 3 2 a 2 a 2 tdt. 3 2 1  a3 . 3   2  10   4a  1  a3  3   28  2  10   4a  1  a3 3 3   2 2 1  a 3   6a  1  a 3  1 .   4a  3 3  Giải được a  0 (sử dụng máy tính Casio, lệnh SHIFT – SOLVE). Cách 2: Giải nhanh bằng máy tính Nhập vào màn hình 2 X2   4  1  X3 A  28  dx  Ấn CALC và thử các đáp án. Ta thấy chỉ đáp án A đúng  3  (kết quả cho bằng 0) 6 Câu 8: Cho tích phân: I   1 A. 10.   x3 1 dx  a  2 ln a, a    . Giá trị S  4 3 4a là x2 B. 5. C. 15. Hướng dẫn giải D. 8. ĐÁP ÁN D Đặt t  x  3  x  t 2  3  dx  2tdt. Đổi cận: x6 t3  x1 t2 Suy ra: 3 2 I  2 2 t t t2  1 Câu 9: A. 1. 3 3 t  1  dt  2   1   dt  2 t  ln t  1 t 1 t 1     2 2 dt  2   1 x3dx 0 x2  x4  1 Cho tích phân I   B. 2.   2  2  ln 2  a  2. Vậy S  8. 3 a 1 ,  a    . Giá trị của a bằng 3 C. 3. Hướng dẫn giải LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 D. 4. Page 17 BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN ĐÁP ÁN B 1 1 0 0 Ta có: I   x3 x4  1dx   x5dx . 6  x6  1  x dx    .   6  1 6 0 1 5 Đặt t  x 4  1  t 2  x 4  1  tdt  2x 3dx . Đổi cận: x  0  t  1; x  1  t  2 . 2 1 Suy ra: I  2 Vậy I   1 1  t3  t dt    2  3  2 2  1 2 1  a  2. 3 b Câu 10: Giá trị tích phân I   3 a phức  A. 2 1  . 3 6 xdx 2x  2  b  2 bằng bao nhiêu nếu biết z  a  bi là căn bậc hai của số 35  3i. 4 12 . 5 B. 7 . 5 C. 6 . 5 D. 11 . 5 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A Theo đề:  a  bi  2  1  2 35 2 35 a  b  a     3i   2 4  4  2ab  3 b  3  b  0    Đặt t  3 2x  2  x  t3  2 3t 2  dx  dt . 2 2 1 2 Đổi cận: x    t  1; x  3  t  2 . t 3  2 3t 2 2 2 . 5   3 3 t 12 4 2 2 dt  I 2 t  2t dt    t   .    t 41 4 5 5 1 1  2  Dạng 3: Tích phân lượng giác 1. Phương pháp 1.1 Nguyên hàm cơ bản cần nhớ với mọi số thực k  0 1  cos kxdx  k sin kx  C 1  sin kxdx   k cos kx  C 1  cos 2 kx dx  1 tan kx  C k LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 18 BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN 1  sin 2 kx dx   1 cot kx  C k 1.2 Một số lớp bài toán thường gặp Lớp bài toán 1: Đưa về một hàm số lượng giác I   f  sin x  cos xdx   f  t  dt I   f  cos x  sin xdx    f  t  dt 1 I   f  tan x  cos I   f  cot x  sin 2 x 1 2 x dx   f  t  dt dx    f  t  dt Lớp bài toán 2: Dùng công thức biến đổi tích thành tổng  sin ax.sin bxdx  cos ax.cos bxdx ;  sin ax.cos bxdx Cách giải: Dùng công thức biến đổi tích thành tổng: cos x.cos y  1  cos  x  y   cos  x  y   2 sin x.sin y  1  cos  x  y   cos  x  y   2 sin x.cos y  1  sin  x  y   sin  x  y   2 Lớp bài toán 3:  s in n xdx  cos ; n xdx  n  N ; n  2 Cách giải: Nếu n chẵn thì dùng công thức hạ bậc để hạ đến hết bậc: cos 2 x  1  cos2 x 2 ; s in 2 x = 1  c os2 x 2 Nếu n lẻ thì tách ra lấy một thừa số và sử dụng các công thức: cos xdx  d  s inx  ; sin xdx   d  cos x  Lớp bài toán 4: I  dx  a sin x  b cos x  c Cách giải: Đặt t  tan x 2 LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 19 BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN a sin x  b cos x  c dx a1 s inx  b1 cos x  c1 Lớp bài toán 5: I   Cách giải Biến đổi: Tử = A(mẫu) + B(đạo hàm mẫu) + C rồi ta đưa về dạng 4 nếu C  0 . Chú ý: Trên đây chỉ là một vài trường hợp thường gặp. Trong thực tế có thể gặp nhiều dạng khác nữa, đòi hỏi phải linh hoạt vận dụng các kiến thức về lượng giác và các phương pháp tính nguyên hàm tích phân. 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: Cho tích phân  2  cos x cos 3xdx  a  b. Giá trị  A  a 3  b 3  1.  2 A. 3. B. 2. C. 1. Hướng dẫn giải D. 4. ĐÁP ÁN C I  2  2 1 cos 4x  cos 2x  dx 2   cos x.cos 3xdx     2 1  2   2 1  cos 4xdx  2   2 2  2  1 2 1  cos 2xdx   8 sin 4x  4 sin 2x   0  a  b  0.    2 2 A  a 3  b3  1   a  b   3ab  a  b   1  1. 3  4 Ví dụ 2: Cho tích phân I   sin 4 xdx  a  b,  a, b    . Giá trị A   1 a 0 A. 11. B. 20 . 3 1 b bằng C. 4. D. 7. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B   2  1  cos 2x  1  2 cos 2 x cos 2 2x sin x  sin x     2 4   1 1 1  1  cos 4 x  3 1 1   cos 2x      cos 2x  cos 4x. 4 2 4 2 8 2 8  4 2 2  4  3 1 1  3 1 1 4 1 I     cos 2x  cos 4x  dx   x  sin 2x  sin 4x    3  8  8 2 8 8 4 32 32     0 0 3 1 20 ; b A . a 32 4 3  4 Ví dụ 3: Cho tích phân  tan 2 xdx  a  b. Giá trị A  4a  8b bằng 0 LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 20 BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN A. 0. B. 2. C. 1. Hướng dẫn giải D. 1 . ĐÁP ÁN B  4  tan 2 0  4   4   4  4  1  dx  1  dx     dx xdx   tan 2 x  1  1 dx    2 2 cos x cos x   0 0 0 0     tan x  x  4  1  . 0 4 1  a  1; b    A  2. 4  4  A.   4   cos2 x  3 sinx  dx  8 sin 2a. Ví dụ 4: Cho tích phân Giá trị A  sin 6 a  cos6 a bằng  4 1 . 4 B. 1 . 2 C. 1. D. 3 . 4 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A  4   4  3 2 3 2   cos2 x  3 sin x  dx   4 tan x  3 cos x  4   4  2  4  2  8 .   4 4 3 1  sin 2a  1. Suy ra: A  1  sin 2 2a  . 4 4  2   Ví dụ 5: Cho tích phân I   1  cos 5 x dx  a  b,  a, b    . Giá trị A  6a  15b bằng 0 A. 11. B. 4. C. 7. Hướng dẫn giải D. 3. ĐÁP ÁN A  2    2  2 0 0 Ta có I   1  cos5 x dx   dx   cos5 xdx. 0  2 Trong đó:  dx  0  x2 0   . 2  2  2  2 0 0 0   2 Xét K   cos5 xdx   cos4 x.cos xdx   1  sin 2 x .cos xdx .  2 Đặt t  sin x suy ra dt  cosxdx, x  0  t  0, x   t  1 . Khi đó: 1  K   1 t 2 0  2 1 0  2 Vậy I    dt   1  2t  t 2 4  1  2 t5  8 dt   t  t 3    .   3 5 15  0 8 1 8 a ; b  A  11. 15 2 15 LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 21 BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN  6 Ví dụ 6: Cho tích phân I   0 dx cos 3 x A. 2.  a ln 3  b. Giá trị A  4a  3b bằng B. 5. C. 4. Hướng dẫn giải D. 7. ĐÁP ÁN A  6 cos x Ta có: I   dx  cos 4 x 0  6  0 d  sin x  1  sin x  2 2  1 thì t  . 6 2 Đặt t  sin x , với x  0 thì t  0 , với x  1 2 Khi đó I   0 1 2 dt 1  t  2 2  0 dt  t  1 2  t  1  2  1 2 1  t  1   t  1  2 0  t  12  t  12 1 1  2 2   1 dt dt   I   2  0  t  1 t  12 0  t  12  t  1      1 1   1  2  t  1   t  1  dt 2  t  1   t  1  dt      2 4  0  t  1 t  12    t 1 t 1 0           1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 dt 1 dt 1 dt   4 0  t  12 2 0  t  1 t  1 4 0  t  12 1 2 1 d  t  1 1  1 1  1 d  t  1    .  dt    2 4 0  t  1 4 0  t 1 t  1 4 0  t  1 2 1 4 1 3 1 4 1 3 Đáp số: I  ln 3   a  ; b   A  2.  2 sin 2x cos x dx  a  b ln 2. Giá trị A  a  b bằng 1 cos x  0 Ví dụ 7: Cho I   A. 4. B. 1. C. 5. Hướng dẫn giải D. 3. ĐÁP ÁN D  2 cos 2 x sin xdx 1  cos x 0 Ta có: I  2  Đặt t  cos x  dt   sin xdx và x : 0   thì t : 1  0 . 2 1 1  t2   t2 1   I  2 dt   2   t  1   dt 2   t  ln 1  t   1  2 ln 2     1 t 1 t   2  1 0 0  a  1; b  2  A  3. LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 0 Page 22 BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN  2 Ví dụ 8: Cho tích phân I   0 cos 3x  2 cos x dx  a ln 8  b,  a, b    . Giá trị A  a  b  5 bằng 2  3 sin x  cos 2x A. 3. B. 2. C. 2. Hướng dẫn giải D. 4. ĐÁP ÁN D  2 Ta có: I   0  4 cos 2  2  x  1 cos x  2  3 sin x  1  2 sin 2 x  dx   0 Đặt t  sin x . Khi x  0 thì t  0 , khi x  3  4 sin 2 x 2 sin 2 x  3 sin x  1 d  sin x  .  thì t  1 . Suy ra: 2 1 1   4t  4    2t  1  dt 6t  5 dt    2   dt    2  2   2t  1 t  1   2t  1 t  1  0  0 2t  3t  1 0 1 3  4t 2 I 1  4 1     2    dt  2t  2 ln  2t  1  ln  t  1   2t 1 t 1 0  2  2 ln 3  ln 2  ln18  2.  0 1  a  1; b  2  A  4. Ví dụ 9: Cho  2 1  sin x 1  cos x  3 dx  A. 301. 1 2  ln a  4 2 B. 240.  3  ln b  2 2  1  C. 360. Hướng dẫn giải 2 . Giá trị A  a3  b3  2ab bằng 3 D. 412. ĐÁP ÁN D Đặt t  1  cos x  t 2  1  cos x  2tdt   sin xdx. x  3  t ; x t 1 3 2 2  2  sin x  3  1  3 2  2 1 1  cos x dx    3 2tdt   2  t. 1  t 2  1     s inx 2 sin x 1  cos x 1  3 2 t2    2 dt  2   t2  2    1  t  2 1   ln  2    2 2  t  2 t       dx  1  3 2 1 2 2 ln    1 1   dt     t2  2 t2   3  2  1  2  3   2  3   1 2  1 2 1 2 3  1  2 ln 7  4 3  ln 3  2 2   1   a  7; b  3.    3 2 2 Suy ra: A  412. LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 23 BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN 3. Bài tập rèn luyện tốc độ  2  x x Cho tích phân   sin 4  cos4  dx  a  b và a 3  b3  7. Giá trị của a và b lần lượt là 2 2 Câu 1: 0  a  1 .  b  2 a  1 a  2  . b  2 b  1 a  2 . b  1 A.  B.  C.  a  1 a  2 .   b  2 b  1 D.  Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D  2    sin  2  2 x x  x x  x x  cos4  dx    sin 2  cos2  sin 2  cos 2  dx    cos xdx 2 2 2 2  2 2 0 0 4 0    sin x 2 0  1. a  b  1 a  1 a  2 a   b  1  3     3 3 3 a  b  7  b  2  b  1   b  1  b  7  0  6 I 0 4 tan x cos 2 x  sin 2 x dx   Đặt t  tan x  dt  I 3 3  0 t 4 1 t 2  6 dt   0 tan 4 x dx 2 cos x 3 3    t  cos 2 x 1  tan 2 x 2 và x : 0  1 0 3 3  t3 1 t 1      t  ln   3   2 t 1  0  3  thì t : 0  . 6 3   dt  t 1 1 2  dx . 3 3  0  2 1 1 1   t  1     dt 2  t  1 t  1     10 3 1  ln 2  3 . 27 2 Tìm được a  3 .  Câu 2: sin 3 x dx  a  b. Giá trị A  5  a  b  1 bằng sin x  cos x  Cho tích phân I   2 B. 1. A. 0. C. 5. . Hướng dẫn giải D. 3. ĐÁP ÁN C Đặt x  3  3  t  dx  dt . Đổi cận: x   t  ; x    t  . 2 2 2  3  sin 3   t  2 cos3 t   Suy ra: I   dt     dt  sin t  cos t  3   3    sin  2  t   cos  2  t  2      2   2 2 sin 3 x  cos 3 x  1  dx    1  sin 2x  dx sin x  cos x 2    Vậy: 2I   LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 24 BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN  1 1  1   1 1  a  ; b    A  5. 2I   x  cos 2x     I  4 4 4 4   2 2 2 2 Câu 3:   Cho tích phân I   x  cos 5 x dx  F  x   C. Giá trị F   bằng 0 A. 2 . 4 B. 2 . 2 C.  2 . 2 D.  2 . 4 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B   I   x  cos 5 x dx   xdx   cos 5 xdx   xdx   cos4 xd  sin x     xdx   1  sin 2 x  2  x2 sin 5 x 2 sin 3 x  d  sin x       sin x   C  2  5 3    F x   F    Câu 4: 2  . 2  4 Cho tích phân I   0 2  3 tan x dx  a 5  b 2 ,  a, b    . Giá trị A  9  a  2b  bằng 1  cos 2x A. 1. B. 5. C. 4. Hướng dẫn giải D. 7. ĐÁP ÁN A I  4  4 1 1 2  3 tan x 1 2 d  2  3 tan x  dx  2  3 tan x   2 0 cos2 x 6 0 3 5 1 1 2 Đặt 2  3 tan x  t  I   tdt  . t 2 62 6 3 5   1 5 5 2 2 9  2 5 2  a  ; b    A  1. 9 9  2 Câu 5:   Cho I1   cos 3 x  1 cos 2 xdx  a  b ,  a, b    . Giá trị A  9a  b bằng 0 A. 29 . 64 B. 31 . 20 C. 101 . 20 D. 53 . 60 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C  2  2 0 0 Ta có: I   cos5 xdx   cos2 xdx  A  B.  2  2  1 1 1 2  +) Tính B   cos xdx   1  cos 2 x  dx   x  sin 2x   . 20 2 2 0 4 0 2 LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 25 BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN  2 +) Tính A   cos5 xdx . 0 Đặt t  sin x  dt  cos xdx và x : 0   2  2 0 0  thì t : 0  1. 2   1 2   2 Khi đó: A   cos4 x cos xdx   1  sin 2 x cos xdx   1  t 2 dt 1   0 0 1  t5 2  8 t  2t  1 dt    t 3  t   .  5 3  15  0 4  2 8 1 101 ; b A . 15 4 20 a 0 Câu 6: Cho I  sin 2 x   2  sin x   2 dx  a ln 2  b,  a, b    . Tính A  a 2  b3 . 2 A. 1. B. 4. C. 1. Hướng dẫn giải D. 2. ĐÁP ÁN B I 0    2 sin 2x  2  sin x  2 dx  0    2 2 sin x  2  sin x 2 cos xdx  2 Đặt t  2  sin x  dt  cos xdx và x :   0 thì t : 1  2. 2 Khi đó I   1 2 t  2 t2 2 2 4 dt     t t2 1 2   4  dt   2 ln t    2 ln 2  2  a  2; b  2. t 1   A  4. Câu 7: Cho tích phân  2  sin x  cos x dx  a  c ln 2,  a  ; b,c   sin x  cos x b  4   , bc là phân số tối giản. Giá tị A  a  2b  c bằng A. 4. B. 5. C. 1. Hướng dẫn giải D. 7. ĐÁP ÁN A  2  2 4 4 d  sin x  cos x  sin x  cos x I dx     ln sin x  cos x sin x  cos x sin x  cos x   Câu 8: Cho tích phân  3 cos 2x  cos2 x sin 2 x dx  a  b  2  4   ln 1  ln 2  ln 2  a  0, b  1,c  2  A  4. 3. Giá trị A  5a  3b bằng  4 A. 14. B. 2. C. 6. Hướng dẫn giải LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 D. 3. Page 26 BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN ĐÁP ÁN I  3 A.  3 cos 2x  cos2 x sin 2 x dx    4 cos x  sin x  4   cotx tanx   3  4  2 2 2 2 cos x sin x   3 1 1  sin 2 x dx   cos2 x dx  4  4  1 4 6  4 3  a  2; b   A  14. 3 3  2 sin 2xdx . Nếu đặt t  1  cos x , ta được: 1  cos x Xét tích phân I   Câu 9: dx   3 0 2 1 4t 3  4t B. I  4  dt. t 2 A. I  4   x  1dx. 2 1 1 2 4t 3  4t C. I  4  dx. D. I  4   t 2  1dt. t 1 2 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C t  1  cos x  t 2  cos x  2tdt   sin xdx Khi x  0 thì t  2, khi x   2  thì t  1. 2 4t  t 2  1 dt   t 2 1 2sin x cos xdx  1  cos x 0 Do đó: I   1 4t 3  4t  t dt 2 Dạng 4: Tích phân từng phần 1. Phương pháp Cho u  u  x  , v  v  x  là các hàm số liên tục trên đoạn  a; b và có đạo hàm trên khoảng  a; b ta có b  udv   uv   udv  uv   vdu b a a b   vdu a Chú ý: Cho dãy “ưu tiên” các loại hàm như sau LOGARIT  ĐA THỨC  MŨ, LƯỢNG GIÁC và P  x , Q x là 2 trong các loại hàm số đó. Khi cần tính  P  x  Q  x  dx ta chọn từng phần theo nguyên tắc sau +) Chọn u = Hàm được ưu tiên hơn +) dv = phần còn lại Ví dụ   2 x  1 ln  x  1 dx u  ln  x  1 ta chọn  dv   2 x  1 dx 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: Kết quả tích phân A. 3.   2 x  ln  x  1 dx  3ln 3  b,  b    . Giá trị 3  b là 2 0 B. 4. C. 5. Hướng dẫn giải D. 7. ĐÁP ÁN C LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 27 BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN I    2 x  ln  x  1  dx  A  B 2 0 2 2 0 0 Tính A   2 xdx  x 2  4 Tính B    ln  x  1 dx 2 0 u  ln  x  1  Xem:  dv  dx dx   du  x 1  v  x  1 Dùng công thức tích phân từng phần B    ln  x  1  dx   x  1 .ln  x  1 0   2 2 0 2 0 x 1 2 dx  3ln 3  x 0  3ln 3  2. x 1 Vậy: I    2 x  ln  x  1 dx  3ln 3  2. 2 0 1 Ví dụ 2: Biết rằng tích phân  (2x  1)e x dx  a  be,  a, b     . Giá trị ab bằng 0 B. 1. A. 1. C. 15. Hướng dẫn giải D. 20. ĐÁP ÁN A Đặt u  (2x  1)  du  2dx dv  e x dx  v  e x 1 1 x x x x x  (2x  1)e dx   (2x  1)e   2 e dx  (2x  1) e  2 e  e  1. 1 0 0 0 1 1 0 0 m Ví dụ 3: Tìm số thực m  1 thỏa mãn   ln x  1 dx  m. 1 B. m  e. A. m  2e. C. m  e 2 . Hướng dẫn giải D. m  e  1. ĐÁP ÁN B m m m 1 1 1 A    ln x  1 dx   ln xdx   dx m I   ln xdx 1 1  u  ln x du  dx  Đặt  x dv  dx  v  x  m  I  x ln x 1   dx m 1 m  e m A  x ln x 1  m ln m  m   . m  0 Ví dụ 4: Giả sử F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   3 3x ex e trên khoảng  0;    và I   dx. x x 1 Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 28 BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN A. I  F  3  F 1 . B. I  F  6   F  3 . C. I  F  9   F  3 . D. I  F  4   F  2  . Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C 3 e3 x Xét I   dx x 1 Đặt t  3x  dt  3dx. Đổi cận: x  1  t  3 , x  3  t  9 . 9 9 9 3et 1 et Suy ra I   . d t   dt  F  t  3  F  9   F  3  . t 3 t 3 3 e k Ví dụ 5: Đặt I k   ln dx, k nguyên dương. Ta có I k  e  2 khi: 1 x A. k  1; 2 . B. k  2;3 . C. k  4;1 . D. k  3; 4 . Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A k 1 e   e k u  ln  du   dx  Đặt   I k   x.ln  +  dx   e  1 ln k  1  I k  e  2 x x x 1 1   dv  dx v  x e3 2   e  1 ln k  1  e  2  ln k   ln k  1  e 1 e 1 Do k nguyên dương nên k  1; 2 . 2 Ví dụ 6: Cho tích phân I   1 x x 1 2 A. 3. e x dx  ae 2  be. Giá trị A  8a  b bằng B. 0. C. 1. Hướng dẫn giải D. 2. ĐÁP ÁN A 2 I 1 1 x x 2 2 x e x dx   1 2 * Tính I1   1 ex x2 e x 2 2 x e dx. x 1 dx   dx. Đặt u  ex  du  exdx; dv  2 2 x dx x 2 1 x , chọn v   . 2 1 ex dx   e x   dx. 2 x 1 1 x 1x  I1   e 2 Vậy I   1 1 x x2 2 2 2 2 1 ex ex 1 e e x dx   e x   dx   dx   e x   2  e  . x 1 1 x x x 2 1 1 1  a   ; b  1  A  3. 2 Ví dụ 7: Cho tích phân  3 x 3  sin 2 x dx  a  b ln 2 . Giá trị  4 LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133   A  9  4 3 a  6b bằng Page 29 BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN A. 47 . 12 B. 5 . 12 C. 11 . 4 D. 21 . 14 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A Đặt u  x  du  dx; dv   3 Vậy I    4 x 2 sin x dx dx  x cos x     x cot x  ln  sin x   3  , chọn v   cot x. sin 2 x  3  4  3   cot xdx  x cos x  4   94 3 36 4  3  4 cos x dx sin x     1 ln 3 . 2  3 4 2 94 3 1 47 ; b A . 36 2 12 a  4 Ví dụ 8: Cho tích phân I   x tan 2 xdx  a2  b  c ln 2,  a, b,c    . 0 Giá trị A  32a  4b  2c bằng A. 3 . B. 2. C. 1. Hướng dẫn giải D. 1. ĐÁP ÁN C  4   Tính  x tan 2 x  1 dx 0   Đặt u  x  du  dx; dv  tan2 x  1 dx , chọn v  tan x.  4   Vậy  x tan 2 x  1 dx  0   x tan x 4 0  x tan x 4 0  4   tan xdx  0 sin x dx cos x 0   0  4  0   4 x   2 2     ln 2  4 2 32 0 2 2  1   ln 2 . 32 4 2 a 1 1 1 ; b  ; c    A  1. 32 4 2  3 Ví dụ 9: Cho tích phân I    6 A.  4  ln  cos x  4 . Do đó: I   x tan 2 xdx   x tan x  ln  cos x     x tan x 4 0 3 . 2 ln  sin x   3 dx  a ln    b. Giá trị A  log3 a  log 6 b bằng 34 cos x   2 B. 2. C. 1 . 2 D. 1. Hướng dẫn giải LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 30 BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN ĐÁP ÁN C Đặt u  ln  sin x   du   3 Vậy I    6 ln  sin x  cos 2 x cos x dx dx ; dv  , chọn v  tan x . sin x cos2 x dx   tan x ln  sin x    3  6  3   dx  6  3  3  3 1    3 ln  ln      3 ln    .  2  2 34 6 2 3 2      a  3; b  1 1 A . 6 2 2 Ví dụ 10: Cho tích phân I   cos  ln x  dx  sin a  cos b  . Giá trị A  e5a  e2b bằng 1 2 1 A. 28. B. 35. C. 27. Hướng dẫn giải D. 32. ĐÁP ÁN A Đặt u  cos  ln x   du  sin  ln x  x 2 dx; dv  dx , chọn v  x. 2 Vậy I   cos  ln x  dx  x cos  ln x    sin  ln x  dx. 2 1 1 1 2 * Tính I1   sin  ln x  dx 1 Đặt u  sin  ln x   du  cos  ln x  2 dx ; dv  dx , chọn v  x . x 2  I1   sin  ln x  dx  x sin  ln x    cos  ln x  dx . 2 1 1 2 1 2 Vậy I   cos  ln x  dx  x cos  ln x   x sin  ln x    cos  ln x  dx 1 2 2 2 1 1 1  2I  2  cos  ln x  dx  x cos  ln x   x sin  ln x  . 1 2 2 1 1 2 Vậy I   cos  ln x  dx  sin  ln 2   cos  ln 2    a  b  ln 2  A  28. 1 2 1 e a ln x  1 dx  . x ln x  1 1 Ví dụ 11: Cho tích phân I   ln xdx   và K   1 Giá trị A      1 bằng A. ln a ln a  1 . B. ln a ln a  1 . C. ln ln a  1 . D. ln ln a  1 . Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B e  ln xdx  1 e x ln x 1 e e 1 1   xd ln x  e   dx  1   . LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 31 BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN d  x ln x  1 e ln x  1  x ln x  1 dx   x ln x  1  ln x ln x  1 1  ln a ln a  1   . 1 1 e e A  1  ln a ln a  1  1  ln a ln a  1 . e Ví dụ 12: Giá trị tích phân I     a x 2  1 ln x x 1 A. e 2  1  2a . 4 B. dx, a  0 bằng e 2  1  2a . 4 C. e 2  1  2a . 4 D. e 2  1  2a . 4 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C ea Ta có: I    x  1 ln x dx  2 x 1 e e a ln x dx . x 1  x ln xdx   1  a ln x 2 e   a ln x dx   a ln xd  ln x    Xét A   x 2  1 1  e e   a. 2  1 e Xét B   x ln xdx. 1 dx  du  x u  ln x  Đặt  2 dv  xdx v  x  2 e e e  x2   x2  x x2  B   ln x    dx   ln x    2   2   1 1 2  1 4 Vậy I  e  1 e2 1  . 4 4 e 2  1  2a . 4 3. Bài tập rèn luyện tốc độ Câu 1: Biết  e x  2x  e x  dx  a.e 4  b.e 2  c với a, b, c là các số hữu tỷ. Giá trị S  a  b  c bằng 2 0 A. S  2. B. S  4. C. S  2. Hướng dẫn giải D. S  4. ĐÁP ÁN D 2 2 2 e2x ex 1  2  xe x dx    2 xe x dx. Ta có I   e  2x  e  dx   e dx   2x.e dx  2 0 2 2 0 0 0 0 0 2 x x 2 2 2x x Đặt 2 2 u  x du  dx e4 1 x x I 2x.e 2       1 3    e dx    x x 0 2 2 0 a  ;c  dv  e dx  v  e  2 2  S  a  b  c  4. 4 2 2 e4 1 e 3  b  2     2x.e2    2e x    2e2  0 0 2 2 2 2 a Câu 2: x Tìm a sao cho I   x.e 2 dx  4. Chọn đáp án đúng. 0 LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 32 BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN A. 1. B. 0. C. 4. Hướng dẫn giải D. 2. ĐÁP ÁN D a x  u  x du  dx Ta có: I   x.e 2 dx . Đặt   x x 2 2 0 dv  e dx  v  2.e  I  2x.e x a 2 0 a x 2 a 2  2 e dx  2ae  4.e x a 2 0 a  2  a  2 e 2  4 0 a 2 Theo đề ra ta có: I  4  2  a  2  e  4  4  a  2. 1 Câu 3: Tìm m để  e x  x  m  dx  e . 0 B. m  e. A. m  0. C. m  1. D. m  e. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C Đặt u  x  m du  dx   x x dv  e dx  v  e 1 1  I   e x  x  m  dx  e x  x  m  0   e x dx  e x  x  m  1 0  me  m  1 1 0 1 0 Mặt khác: I  e  me  m  1  e  m  e  1  e  1  m  1. 2 Câu 4: Cho  x(1  ln x )dx  a ln b  c,(a, b, c  ). Đẳng thức nào sau đây là đúng? 1 A. a  b  c. B. a  b  c. C. a  b  c. Hướng dẫn giải D. a  b  c ĐÁP ÁN A Đặt  dx du   u  1  ln x  x   2 dv  xdx v  x  2 2   x (1  ln x )dx  1 2 12 2 x2 2 x2 x2 (1  ln x )   xdx  (1  ln x )  2 2 1 21 1 4 1  a  2, b  2 2 x2 2 3  x2  (1  ln x )   2 ln 2    3 2 4 c  1 4 1 4   4 Câu 5: Cho I    x  1 sin 2xdx . Đẳng thức đúng là 0 LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 33 BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN    4 A. I    x  1 cos 2x 4   cos 2xdx. 0 0  4 B. I    x  1 cos 2x 4   cos 2xdx. 0 0    1 14 C. I    x  1 cos 2x 4   cos 2xdx. 2 20 0  1 14 D. I    x  1 cos 2x 4   cos 2xdx. 2 20 0 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C    du  dx  u  x 1 1 14  Đặt    I   x  1 cos 2x  cos 2xdx   4 1 2 2 0 dv  sin 2xdx  v   cos 2x 0  2  4 Câu 6: Tích phân x  1  cos 2 x dx  a  b ln 2, với a , b là các số thực. Giá trị 16a  8b. 0 A. 4. B. 5. C. 2. Hướng dẫn giải D. 3. ĐÁP ÁN A u  x  du  dx   Đặt  . Ta có  dx 1 dv  1  cos 2 x v  2 tan x  1 1  I  x tan x 4   4 tan xdx 2 2 0 0   1 1 1  1 1  1   ln cos x 4   ln   ln 2  a  , b   . 8 2 8 2 8 4 2 8 4 0 Do đó, 16a  8b  4. 1 Câu 7: Kết quả tích phân I    2 x  3 e x dx được viết dưới dạng I  ae  b với a , b là các số hữu tỉ. 0 Khẳng định nào sau đây đúng? A. a  b. B. a  b C. a  b. Hướng dẫn giải D. a  b  0. ĐÁP ÁN B u  2 x  3 du  2.dx   Đặt  . x x dv  e dx v  e 1 1 Tích phân I   2 x  3 e x 0  2  e x dx = 5e  3  2  e  1 = 3e  1 0  Vậy a  3 và b  1 . LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 34 BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN 1 Xét tích phân I    2 x 2  4  e 2 x dx . Nếu đặt u  2 x 2  4 , v  e 2 x , ta được tích phân Câu 8: 0 1 I   ( x) 0   2 xe 2 x dx , trong đó: 1 0 A.   x    2 x 2  4  e 2 x . B.   x    x 2  2  e 2 x . C.   x    x 2  2  e x . D.   x   1  2×2  4 ex . 2 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B du  4 xdx 1 1 u  2 x 2  4  1 2 2x 2 2x  Đặt  . Khi đó I  2 x  4 e d x  x  2 e  2 xe 2 x dx .      1 2x   2x 0 dv  e dx 0 0 v  2 e 1  x.ln  2 x  1 Giả sử tích phân Câu 9: 2017 0 A. 6057. C. 6058. b b dx  a  ln 3. Với phân số tối giản. Giá trị b  c bằng c c B. 6059. D. 6056. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B 1 Ta có I   x.ln  2 x  1 0 2017 1 dx  2017  x.ln  2 x  1 dx . 0 2  du  dx  u  ln  2 x  1  2x 1 Đặt   2 dv  xdx v  x  1  2 8 1 1   x2 1  2   x2 1  Do đó  x.ln  2 x  1 dx   ln  2 x  1            dx  2 8  0 0   2 8  2x 1  0 1 1  x2  x  3 3  ln 3     ln 3 8  4 0 8 1  I   x.ln  2 x  1 2017 0 3  6051 dx  2017  ln 3   ln 3. 8 8  Khi đó b  c  6059. 1 Câu 10: Tìm m để  e x  x  m dx  e. 0 A. m  0. B. m  e. C. m  1. D. m  e. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 35 BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN 1 1 0 0 I   e x  x  m  dx    x  m  d  e x    x  m  e x   x  m ex 1 0 1   e x dx 0 1 x1  e  me  m  1 0 0 I  e  me  m  1  e  m  1. Câu 11: Biết kết quả của tích phân I    x 2  1 ln xdx được viết dưới dạng 2 1 nguyên). Khi đó a+b+c bằng A. 17. B. 10. a ln 4  b (a, b, c là các số c C. 13. hướng dẫn giải D. 28. ĐAP AN D Đặt dx  du  x u  ln x   2 3 dv   x  1 dx  v  x  x  3 2 2 2 2  x3  x3    x3   x3   I    x  ln x     1 dx    x  ln x    x  1 3  3    3   9 1 1 1 a  6 3ln 4  2 6 ln 4  4  I   b  4  a  b  c  28. 9 18 c  18  Câu 12: Cho tích phân  2 I    2 sin 2x  cos x ln  1  sin x   dx  a ln 2  b  a, b    . Giá trị S  0 A. 1. B. 2.   1 3 a  b3 bằng 3 C. 3. Hướng dẫn giải D. 4. ĐÁP ÁN C  2 I 2   cos x ln  1  sin x  dx   1  sin x  ln  1  sin x  0 Vậy I  2 ln 2  1  a  2; b  1  S   3 Câu 13: Biết tích phân I   0 A. 0. x    2 0  2   cos xdx  …  2 ln 2  1 . 0  1 3 a  b3  3 . 3   sin x dx cos 2 x B. 1.   3  1 3   x tan x     x 1 tan xdx. Giá trị  là  cos x 0 0 C. 1 . Hướng dẫn giải D. 2. ĐÁP ÁN B LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 36 BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN  3 I   3  x  sin x dx x sin x      dx  I1  I 2 2 2   0  cos x cos x  cos 2 x 0  3  1 1 3 I2    d cos x  2 cos x 0 0 cos x x  u  x1dx  du  Đặt  dx  dv v  tan x   cos 2 x Suy ra I1   x tan x 3 0  3   x1 tan xdx 0   x  x    1.   a  Câu 14: Biết tích phân sau I   x  2  b sin x  dx  ln  2  1  3 . Giá trị S  a5  b5 bằng x 1  0   A. 300. B. 200.  C. 275. Hướng dẫn giải D. 135. ĐÁP ÁN C     a  ax  b sin x  dx   I   x dx   bx sin xdx . 2 2     x 1 x 1 0 0 0  Tính I1   0 ax x2  1   2   a d x 1 a a 2  ln x  1  ln 2  1 .  2 2 0 x 1 2 2 0 dx     Tính I 2   bx sin xdx . 0 x  u du  dx   b sin xdx  dv v   b cos x Đặt     0 I 2   bx cos x  b  cos xdx  b  3sin x  b . 0  a 2 0    Vậy I  ln 2  1  b  ln 2  1  3  a  2; b  3 . Suy ra: S  275.    Câu 15: Giá trị tích phân I   x  e x   dx bằng x 1  0  1 B. 1     ln 2. C. 2     ln 2. Hướng dẫn giải A. 1     ln 2. D. 2     ln 2. ĐÁP ÁN A 1 1 x dx. x1 0 Ta có I   xe xdx   0 1 1 0 0 x x x  xe dx   xde  xe 1 0 1   e x dx  e  e x 0 1 0  1. LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 37 BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN 1 1 x     x  1 dx      x  1  dx  x   ln x  1 0 0   0     ln 2. 1 Do đó I  1     ln 2. Dạng 5: Tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối 1. Phương pháp b Bài toán: Tính tích phân I   g  x  dx a ( với g ( x ) là biểu thức chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối) PP chung: Xét dấu của biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối trên  a; b Dựa vào dấu để tách tích phân trên mỗi đoạn tương ứng ( sử dụng tính chất 3 để tách) Tính mỗi tích phân thành phần. b Đặc biệt: Tính tích phân I   f ( x) dx a Cách giải Cách 1: +) Cho f ( x )  0 tìm nghiệm trên  a; b +) Xét dấu của f ( x ) trên  a; b , dựa vào dấu của f ( x ) để tách tích phân trên mỗi đoạn tương ứng ( sử dụng tính chất 3 để tách) +) Tính mỗi tích phân thành phần. Cách 2: +) Cho f ( x)  0 tìm nghiệm trên  a; b  giả sử các nghiệm đó là x1 ; x2 ;…xn ( với x1  x2  …  xn ). x1 x2 x3 b a x1 x2 xn Khi đó I   f ( x) dx   f ( x) dx   f ( x) dx  …   f ( x) dx I x1  a f ( x)dx  x2  x1 f ( x)dx  x3  b f ( x)dx  …  x2  f ( x)dx xn +) Tính mỗi tích phân thành phần LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 38 BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: S  2  x 2  x  2 dx  1   a a , a, b    , là phân số tối giản. Giá trị a  b bằng b b A. 11. B. 25. C. 100. Hướng dẫn giải D. 50. ĐÁP ÁN A S 2  1 2 x  x  2 dx    2 1  2  x3 x2    2x  x  x  2 dx     3  2   1  2  8 4   1 1  9      4       2      3 2  2  3 2    Ví dụ 2: I   1  sin 2xdx  a a , a  * . Hỏi a 3 là bao nhiêu? 0 A. 27. B. 64. C. 125. Hướng dẫn giải D. 8. ĐÁP ÁN D  sin x  cos x 2  sin x  cos x  Ta có: 1  sin 2x     2 sin  x   . 4    3  Với x  0;   x     ;  . 4  4 4          + Với x     ; 0  thì sin  x    0 4  4  4  3    + Với x    0;  thì sin  x    0 4  4  4   4       I   2  sin  x   dx  2  sin  x   dx  2 2. 4 4    0 4 2 x  2 1 dx  4  a ln 2  b ln 5, với a , b là các số nguyên. Giá trị S  a  b bằng x 1 5 Ví dụ 3: Biết I   A. 9. B. 11. C. 5. Hướng dẫn giải D. 3. ĐÁP ÁN B 5 Ta có: I   1 2  1 2 5 2 x  2 1 2 x  2 1 2 x  2 1 dx   dx   dx x x x 1 2 5 2 5  2x 5 2x  3 22  x 1 2  x  2  1 dx   dx   dx   dx 1 2 x x x x 2 2 5 5 2 5 3      x  dx    2   dx   5ln x  x    2 x  3ln x  1 2 1 2 x x   a  8  8ln 2  3ln 5  4    a  b  11. b  3 LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 39 BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN Ví dụ 4: Cho tích phân 2  1  cos 2xdx  ab và a  b  2  2 2. Giá trị của a và b lần lượt là 0 a  2 A.   b  2 2 a  2 2 B.  . .  b  2 a  2 2 a  2 C.    b  2 a  2 2 a  2 D.   .  b  2 2  b  2  b  2 2 . Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D 2  1  cos 2xdx  2 0 2  sin x dx  2  sin xdx  2  2 0 0   2 0    2 cos x  2 cos x  sin xdx  4 2. ab  4 2 a  2 2 a  2   X2  2  2 2 X  4 2  0    . a  b  2  2 2  b  2  b  2 2   1  2 1 Ví dụ 5: Tính tích phân I   x x – a dx, a  0 ta được kết quả I  f ( a ) . Khi đó tổng f (8)  f   có giá 0 trị bằng: A. 2 4 . B. 9 1 . 91 C. 17 . 24 D. 2 2 17 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B 1   x3 ax 2  a 1 8 1 11  TH1: Nếu a  1 khi đó I    x  x  a  dx       f (8)    2 0 2 3 2 3 3  3 0 1 a 1 0 a TH 2: Nếu 0  a  1 khi đó I    x  x  a  dx   x  x  a  dx a 1   x3 ax2   x3 ax2  a3 a 1 1 1 1 1 1           f      2 0  3 2 a 3 2 3  2  24 4 3 8  3  1  11 1 91   .  2  3 8 24 Khi đó f (8)  f    Ví dụ 6: Cho hàm số f  x  liên tục trên  thỏa 1  f  2 x  dx  2 0 2 và  f  6 x  dx  14 . Giá trị 0 2  f  5 x  2  dx bằng 2 A. 30 . B. 32 . C. 34 . D. 36 . Lời giải ĐÁP ÁN B LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 40 BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN 1 + Xét  f  2 x  dx  2 . 0 Đặt u  2 x  du  2dx ; x  0  u  0 ; x  1  u  2 . 1 Nên 2   0 2 2 1 f  2 x  dx   f  u  d u   f  u  du  4 . 20 0 2 + Xét  f  6 x  dx  14 . 0 Đặt v  6 x  dv  6dx ; x  0  v  0 ; x  2  v  12 . 2 Nên 14   f  6 x  dx  0 + Xét 12 1 f  v  dv  6 0 12  f  v  dv  84 . 0 2 0 2 2 2 0  f  5 x  2  dx   f  5 x  2  dx   f  5 x  2  dx . 0  Tính I1   f  5 x  2  dx . 2 Đặt t  5 x  2 . Khi 2  x  0 , t  5 x  2  dt  5dx ; x  2  t  12 ; x  0  t  2 . 2 12 2  1 1 I1   f  t  dt    f  t  d t   f  t  d t   1  84  4   16 . 5 12 50 0  5 2  Tính I1   f  5 x  2  dx . 0 Đặt t  5 x  2 . Khi 0  x  2 , t  5 x  2  dt  5dx ; x  2  t  12 ; x  0  t  2 . 12 I2  12 2  1 1 1 d f t t  f t t  f  t  d t    84  4   16 . d        52 50 0  5 2 Vậy  f  5 x  2 dx  32 . 2 Ví dụ 7: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  0; 4  và 2 4 1 0 0 1  f  x  dx  1 ;  f  x  dx  3 . Giá trị  f  3x  1 dx bằng A. 4. B. 2. LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 C. 4 . 3 D. 1. Page 41 BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C 1  f  3 x  1 dx  1/3 1  1 f 1  3 x dx  1  f  3x  1dx . 1/3 1/3 1 1 1    f 1  3 x d 1  3 x    f  3 x  1d  3 x  1 . 3 1 3 1/3 0  2 1 1 1 1 4 f  t dt   f  t d  t      3   .1  .  34 30 3 3 3 3. Bài tập rèn luyện tốc độ 3  S Câu 1: y 4  4 y 2  3 dy   3 A. 80. a  24 3 . Giá tị A  2 B bằng b B. 83. C. 142. Hướng dẫn giải D. 79. ĐÁP ÁN C    Xét dấu  y  1 y  3  , ta có: y 4  4y 2  3  y 2  1 y 2  3 2 2 y 2 y -3 2 (y -1)(y -3) S  3   3  1     4  4y 2  1  y 4 dy     y 4  4y 2  3 dy   3 1  3  0 + + 0 – + 0 – 0 1 – + +∞ + – 0 – 0 + – 0 – 0 +  3  1  y 4  4y 2  3 dy   y 3 4   4y 2  3 dy 1 1 3 3 y 4  4y 2  3 dy 1  y 5 4y 3      3y   5  3   -1 + y -1 2 – 3 -∞ 2  y 5 4y 3   y 5 4y 3     3y      3y   5    3 3   1  5 1 3 112  24 3 . 15 1 Câu 2: S   4x 2  4x  1dx  0  B. 3. A. 1.  a a , a, b    , là phân số tối giản. Giá trị b b C. 35. Hướng dẫn giải a  4b bằng D. 3. ĐÁP ÁN D 1 Ta có: I7   0 1  2x  1 dx   2x  1 dx 2 0 LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 42 BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN 1 1 2 0 0 1 2 1 1  I7   2x  1 dx   2x  1 dx   2x  1 dx    1  2x  dx    2x  1 dx  1 2 1 2 0 1 . 2 Suy ra: a  1, b  2. I Câu 3: 2  3 3 1  sin xdx  A B , biết A  2B Giá trị A  B bằng 0 A. 72. B. 8. C. 65. Hướng dẫn giải D. 35. ĐÁP ÁN A  x x 2 x x x  Ta có: 1  sin x   sin  cos   sin  cos  2 sin    2 2 2 2  2 4 x x    5  Với x  0; 2    0;      ;  . 2 2 4 4 4  + Với x    x     ;   thì sin     0 2 4 4  2 4 + Với x  x   5     ;  thì sin     0 2 4  4  2 4 I 2 3 2  0 2 x  x  sin    dx  2  sin    dx  4 2 . 2 4 2 4 3 2  2  Cho tích phân Câu 4: 1  3 sin 2 x  2 cos 2 xdx  a 3  b. Giá trị A  a  b  4 bằng 0 B. 5 . A. 2. D. 8 . C. 5. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D 2  4 0 0 I   1  3 sin 2x  2 cos 2 xdx    sin x  sin x  3 cos x  0  tan x  3  x     2  2 3 cos x dx   sin x  3 cos x dx . 0   k . 3  Do x   0;  nên x  . 3  2 I  3  sin x   2 3 cos x dx   sin x  3 cos x dx   3 0    cos x  3 sin x   3 0    cos x  3 sin x  3   sin x  0   2  3  3 cos x dx   2   sin x   3 cos x dx  3 1 3 1 3     1   3    3  3. 2 2 2 2  a  1; b  3  A  8 LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 43 BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN Dạng 6: Tích phân siêu việt 1. Phương pháp 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng 2 Ví dụ 1: Xét tích phân I   x.e x2 dx . Sử dụng phương pháp đổi biến số với u  x 2 , tích phân I được 1 biến đổi thành dạng nào sau đây: 2 1 B. I  2 A. I  2 e du . u 1 2  e du . u 1 2 1 C. I   eu du . 21 2 D. I  2  eu du . 1 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C 2 Ta có I  e x2 xdx . 1 1 Đặt u  x 2  du  2 xdx  xdx  du . 2 Với x  1  u  1 và x  2  u  2 . 2 Khi đó I  1 u e du . 2 1 e Ví dụ 2: Biết rằng I   x  ln 2 1 dx  a ln 3  b ln 2  c,  a, b, c    . Giá trị của S  a  b  c bằng x  3ln x  2  A. 3. B. 2. C. 0. Hướng dẫn giải D. 4. ĐÁP ÁN C 1 2 1 2 dt 1  t2  1 Đặt t  ln x  I   2     dt  ln t  3t  2 0  t  2 t  1  t 1 0 1 2 0  ln 3  ln 3  ln 2. 2 Do đó a  1; b  1; c  0  S  0. e8 Ví dụ 3: Cho tích phân dx  x ln x e3 ln ex    ln a  ln b, a, b   * . Giá trị S  cos  a  b     sin  a  b    bằng B. 1. A. 0. C. 1. Hướng dẫn giải D. 4. ĐÁP ÁN B I e8 dx  x ln x e3 ln x  e8  x ln x e3 dx 1  ln x Đặt t  1  ln x; x  e 3 thì t  2; x  38 thì t  3 . LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 44 BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN t 2  1  ln x  2tdt  3 I 2  2tdt  t2  1 t  ln dx ; ln x  t 2  1 . x t 1 t 1 3  ln 3  ln 2  a  3, b  2 . 2 S  cos  a  b     sin  a  b     1. 1 f ( x) là một nguyên hàm của hàm số . Tính 2 x 2x Ví dụ 4: Cho F ( x)  e 3 A. I  . 2e2 2e B. I  2 . e 2 2 e  f ( x) ln xdx bằng: 1 e 2 C. I  2 . e Hướng dẫn giải 2 3  e2 D. I  . 2e2 ĐÁP ÁN A Do F ( x)  e Tính I   1 1 f ( x) f ( x)  1  1 là một nguyên hàm của hàm số   2   f  x   2 . nên 2 x x x 2x  2x  1 ln x  u  dx  du f ( x) ln xdx . Đặt   x .  f   x  dx  dv  f  x   v  e Khi đó I  f  x  .ln  x  1   e 1 f  x 1 1 e2  3 dx   2 .ln  x   2  . x x 2x 1 2e2 1 e e 1 Ví dụ 5: Cho hàm số y  f ( x) với f (0)  f (1)  1 . Biết rằng:  e x  f  x   f   x   dx  ae  b Tính 0 Qa 2017 b 2017 . B. Q  2 . A. Q  22017  1 . C. Q  0 . D. Q  22017  1 . Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C u  f  x  du  f   x  dx Đặt   . x x dv  e dx v  e 1 1 1 0 0 x x x x  e  f  x   f   x  dx  e f  x    e f   x  dx   e f   x  dxY  ef 1  f  0   e  1 . 2 1 0 Do đó a  1 , b  1 . Suy ra Q  a 2017  b 2017  12017   1 2017  0. Vậy Q  0 . 2 Ví dụ 6: Tính tích phân I  x 2018  e x  1 dx 2 LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 45 BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN B. I  A. I  0 . 22020 . 2019 C. I  22019 . 2019 D. I  22018 . 2018 Lời giải 2 Tính tích phân I  x e 2018 x 2 1 dx . Đặt x  t  dx  dt . Khi x  2 thì t  2 ; khi x  2 thì t  2 . Ta có  t  dt  t 2018 .et dt  2 I  t 2018dt  t 2019  2.22019  I  22019 . x 2018 dx    t I x  et  1  2019 2 2019 e 1 e 1 2019 2 2 2 2 2 2018 2 2 2 2  x3  2 x  ex3 .2 x 1 1 e   0   e.2x dx  m  e ln n ln  p  e    với m , n , p là các số nguyên dương. 1 Ví dụ 7: Biết Tính tổng S  m  n  p . A. S  6 . B. S  5 . C. S  7 . Hướng dẫn giải D. S  8 . 1 1  3  x3  2 x  ex3 .2 x 2x  1 2x 1 Ta có  d d dx   J . x x x      x x  x   4 0   e.2 4   e.2   e.2  0 0 1 1 2x dx . Tính J     e.2 x 0 1 dt . e.ln 2 Đổi cận: Khi x  0 thì t    e ; khi x  1 thì t    2e . Đặt   e.2 x  t  e.2 x ln 2dx  dt  2 x dx  1 2x 1 J  dx  x   e.2 e ln 2 0   2e 1 1 dt  ln t t e ln 2 e     2e  e  1 e   ln 1  . e ln 2  e     x3  2 x  ex3 .2 x 1 1 e  0   e.2x dx  4  e ln 2 ln 1  e   1 Khi đó    m  4 , n  2 , p  1 . Vậy S  7 .  Ví dụ 8 : Cho y  f  x  là hàm số chẵn và liên tục trên . Biết 1  0 2 2 1 f  x  dx   f  x  dx  1 . Giá trị của 21 f  x dx bằng x 1 3 2 C. 4 . Hướng dẫn giải B. 6 . A. 1 . D. 3 . ĐÁP ÁN D 1 Do  0 1 2 1 f  x  dx   f  x  dx  1   f  x  dx 1 và 21 0 1 2 2 0 1 0 2  f  x  dx  2 1   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  3 . f  x dx  3x  1 2 2 Mặt khác  2 f  x f  x d x  2 3x  1 0 3x  1 dx và y  f  x  là hàm số chẵn, liên tục trên  0 LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 46 BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN  f   x   f  x  x   . f  x 2 3x  1 dx . Đặt t   x  dx  dt 0 Xét I  0 f  x f  t  I  x dx     t dt = 3 1 3 1 2 2 0 f  x 2 3x  1 dx  2  2  0 2 t 2 x 3 f t  3 f  x f  t  dt =  x dx dt =  t 1  3  1 3 1 0 0 1 3t 2 x 2 2 3 f  x f  x f  x f  x d x  d x  d x  x 0 3x  1 dx  2 3x  1 0 3x  1 0 3  1 0 2  0 3 x  1 f  x  3x  1 dx  2  f  x  dx  3 . 0 Ví dụ 9: Cho hàm số f  x  liên tục trên đoạn 1; 4 và thỏa mãn f  x      ln x . Tính tích f 2 x 1 x x 4 phân I   f  x  dx . 3 A. I  3  2 ln 2 2 . B. I  2 ln 2 2 . C. I  ln 2 2 . Hướng dẫn giải D. I  2 ln 2 . ĐÁP ÁN B 4  Ta có      f 2 x 1  4 f 2 x 1 4 ln x  ln x  dx   f  x  dx   dx   dx .   x  x x x 1 1 1   4 1   dx . f 2 x 1 4 Xét K   x 1 Đặt 2 x  1  t  x  3 3 1 1 t 1 dx   dt . 2 x  K   f  t  dt   f  x  dx . 4 4 4 ln x ln 2 x  2 ln 2 2 . dx   ln xd  ln x   Xét M   x 2 1 1 1 4  Do đó 1 1 Ví dụ 10: Biết  0 3 4 1 3 f  x  dx   f  x  dx  2 ln 2 2   f  x  dx  2 ln 2 2 . x 2  5x  6 e x x2e x dx  ae  b  ln ae  c với a , b , c là các số nguyên và e là cơ số của 3 logarit tự nhiên. Tính S  2a  b  c . A. S  10 . B. S  0 . LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 C. S  5 . Lời giải D. S  9 . Page 47 BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN ĐÁP ÁN D 1 Ta có : I   x 0 2  5x  6 ex x  2  e x x  2  x  3 e 2 x  dx   dx .  x  2 ex  1 0 1 Đặt t   x  2  e x  dt   x  3 e x dx . Đổi cận : x  0  t  2 , x  1  t  3e . 3e I 3e 3e tdt 1  3e  1  2 t  1  2 1  t  1  dt   t  ln t  1  2  3e  2  ln 3 . Vậy a  3 , b  2 , c  1  S  9 . a 1 Ví dụ 11: Cho số thực a  0 , đặt b   dx . Tính I  2a  x  e x a  b A. I  e B. I  . a b . ea 2a  0 C. I  ex dx theo a và b . 3a  x a e b . D. I  b.e a . Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D Đặt t  a  x  x  a  t  dx  dt . Đổi cận: x t a Ta có I    a 0 2a a a e a t ea dt   dt  b.e a . t 3a   a  t  2a  t  e a  a 3. Bài tập rèn luyện tốc độ e4 Câu 1: Biết  e 4 1 f  ln x  dx  4 . Tính tích phân I   f  x  dx . x 1 A. 8 . C. 2 . B. 16 . D. 4 . Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D Đặt t  ln x  dt  1 dx . x Đổi cận : Với x  e  t  1 ; x  e 4  t  4 . Do đó, ta có e4  e 4 2 Câu 2: 4 1 f  ln x  dx   f  t  dt  4   f  x  dx  4 . x 1 1 Biết x 1 2 x 1 dx  ln  ln a  b  với a , b là các số nguyên dương. Tính P  a 2  b 2  ab .  x ln x LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 48 BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN A. 10 . C. 12 . Lời giải B. 8 . D. 6 . ĐÁP ÁN B 2 2 x 1 x 1 1 x 2  x ln x dx  1 x  x  ln x  dx . Ta có x 1  1 dx . Đặt t  x  ln x  dt  1   dx  x  x Khi x  1  t  1 ; x  2  t  2  ln 2 . 2  ln 2 Khi đó I   1 dt  ln t t 2  ln 2 1 a  2  ln  ln 2  2  . Suy ra  . b  2 Vậy P  8 . 2018 f  x Câu 3 : Cho hàm số liên tục trên  thỏa  f  x  dx  2 . Khi đó tích phân 0 e 2018  1 0   x f ln  x 2  1 dx bằng x 1 2 A. 4 . B. 1 . C. 2 . Lời giải D. 3 . ĐÁP ÁN C e 2018 1  Đặt I   0  x f ln  x 2  1 dx . x 1 2 Đặt t  ln  x 2  1  dt  2x dx . x 1 2 Đổi cận: x  0  t  0 ; x  e 2018  1  t  2018 . 2018 Vậy I   f  t  dt 2018  0 Câu 3:  f  x  dx  2 . 0 Cho các số thực a , b khác không. Xét hàm số f  x   f   0   22 và a  x  1 3  bxe x với mọi x khác 1 . Biết 1  f  x  dx  5 . Tính a  b ? 0 A. 19 . B. 7 . C. 8 . Lời giải D. 10 . ĐÁP ÁN D Ta có f   x   3a  x  1 4  be x  bxe x nên f   0   3a  b  22 1 . 1 1  1 1  a 3 x bx x  Xét 5   f  x  dx    e d  a x  1 d x  1  b xd  e x       3    0 0  0 0   x  1  x1 1 x  1 a1  3a | b  xe   e dx      1  b  e  e x     b  2 . 0 0   8 24  2  x  1 0   a 1 2 0 LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 49 BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN  3a  b  22 a  8   Từ 1 và  2  ta có  3a  a  b  10 . 2  b b 5     8 4 Câu 4: Biết rằng tích phân   x  1 e x dx  ae4  b . Tính T  a 2  b 2 2x 1 0 A. T  1 . B. T  2 . C. T  3 . 2 D. T  5 . 2 Lời giải 4 4 4  x 1 x 1 2x  2 x 1 ex x e dx   e dx    2 x  1.e dx   dx  . 2 0 2x 1 20 2x 1  2x 1 0 4 Ta có I   0 4 ex dx . 2x 1 Xét I1   0 du  e x dx u  e  1   2 2 1 x    1 dx Đặt   dx v   .  2x 1 dv     1 2 2 1 x  2 x 1    2  x 4 4 Do đó I1  e x . 2 x  1   e x . 2 x  1dx . 0 0 3 1 9 1 3e 4  1 . Khi đó a  , b  T    2. Suy ra I  2 2 2 4 4 Câu 5: f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn Cho hàm số 1 1 x   f   x  dx    x  1 e f  x  dx  2 0 0 A. I  2  e . 0;1 thỏa mãn f 1  0 và 1 e2  1 . Tính tích phân I   f  x  dx . 4 0 C. I  B. I  e  2 . e . 2 D. I  e 1 . 2 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B 1 Xét A    x  1 e x f  x  dx 0 u  f  x  du  f   x  dx  Đặt   x x v  xe dv   x  1 e dx 1 1 1 Suy ra A  xe f  x    xe f   x  dx    xe f   x  dx   xe x f   x  dx  x 1 0 x 0 LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 x 0 0 1  e2 4 Page 50 BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN 1 1 1 1 e2  1 1 Xét  x e dx  e  x 2  x    4 2 40 2 0 2 2x 2x 1 1 1 1 0 0 0 Ta có :   f   x   dx  2 xe x f   x  dx   x 2 e2 x dx  0    f   x   xe x  dx  0 2 0 2 Suy ra f   x   xe x  0, x   0;1 (do  f   x   xe x   0, x   0;1 ) 2  f   x    xe x  f  x   1  x  e x  C Do f 1  0 nên f  x   1  x  e x 1 1 0 0 Vậy I   f  x  dx   1  x  e x dx   2  x  e x  e  2 . 1 Câu 6: Cho  x 0 2  x  ex x  e x 1 0 dx  a.e  b ln  e  c  với a , b , c   . Tính P  a  2b  c . A. P  1 . B. P  1 . C. P  0 . Hướng dẫn giải D. P  2 . ĐÁP ÁN D 1 Ta có: I   x 2  x  ex x  e x 0 1 dx    x  1 e x xe x dx . xe x  1 0 Đặt t  xe x  1  dt  1  x  e x dx . Đổi cận: x  0  t  1 ; x  1  t  e  1 . e 1 Khi đó: I   1 t 1 dt  t e 1  1  1  t  dt   t  ln t  1 e 1  e  ln  e  1 . 1 Suy ra: a  1 , b  1 , c  1 . Vậy: P  a  2b  c  2 . Câu 7: Cho hàm số f  x  liên tục trên đoạn   ln 2;ln 2 và thỏa mãn f  x   f   x   1 . Biết e 1 x ln 2  f  x  dx  a ln 2  b ln 3  a; b    . Tính P  a  b .  ln 2 A. P  1 . 2 B. P  2 . C. P  1 . D. P  2 . Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 51 BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN ln 2  f  x  dx . Gọi I   ln 2 Đặt t   x  dt  dx . Đổi cận: Với x   ln 2  t  ln 2 ; Với x  ln 2  t   ln 2 .  ln 2 ln 2 ln 2 ln 2  ln 2  ln 2  f  t  dt   f  t  dt   f   x  dx . Ta được I   ln 2 Khi đó ta có: 2I  ln 2 ln 2  f  x  dx   f   x  dx    ln 2  ln 2  ln 2  f  x   f   x   dx  ln 2 1 dx . e 1  ln 2  x ln 2 1 dx . Đặt u  e x  du  e x dx e 1  ln 2  Xét x Đổi cận: Với x   ln 2  u  ln 2 Ta được 1 ; x  ln 2  u  2 . 2 ln 2 ln 2 1 1 ex d d du x  x  x    x x e 1 u u 1   e e 1       ln 2  ln 2  ln 2 ln 2  2 1  1    du   ln u  ln u  1  1  ln 2 u u 1  2  ln 2   Vậy ta có a  Câu 8: 1 1 , b  0 ab  . 2 2 Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  và thỏa mãn e  f  ln  x   1 x dx  e . Khẳng định nào dưới đây đúng? e A.  f  x dx  1 . 0 1 B. e 1  f  x dx  1 . C. 0  f  x dx  e . 0 D.  f  x dx  e . 0 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C Sử dụng phương pháp đổi biến số. Đặt t  ln  x  , suy ra dt  1 dx . x Đổi cận: x t e Khi đó  1 f  ln  x   x 1 0 e 1 1 dx  e   f  t dt  e . 0 LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 52 BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN e Câu 9: 3ln x  1 dx . Nếu đặt t  ln x thì x 1 Cho tích phân I   1 e 3t  1 A. I   t dt . e 0 e 3t  1 dt . B. I   t 1 C. I    3t  1 dt . 1 1 D. I    3t  1 dt . 0 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D Đặt t  ln x  dt  1 dx . Đổi cận x  e  t  1 ; x  1  t  0 . x e 1 3ln x  1 dx    3t  1 dt . x 1 0 Khi đó I   e4 Câu 10: Biết  e 4 1 f  ln x  dx  4 . Tính tích phân I   f  x  dx . x 1 A. I  8 . C. I  2 . Hướng dẫn giải B. I  16 . D. I  4 . ĐÁP ÁN D Đặt t  ln x  dt  e4  e 1 dx . x 4 4 1 f  ln x  dx   f  t  dt   f  x  dx . x 1 1 4 Suy ra I   f  x  dx  4 . 1 ln 6  1 Câu 11: Biết tích phân 0 T  abc. A. T  1 . ex ex  3 dx  a  b ln 2  c ln 3 , với a , b , c là các số nguyên. Tính C. T  2 . Hướng dẫn giải B. T  0 . D. T  1 . ĐÁP ÁN B Đặt t  e x  3  t 2  e x  3  2tdt  e x dx .  x  ln 6 t  3 Đổi cận   . x  0 t  2 ln 6 Suy ra  1 0 ex ex  3 3 3 3 2tdt 2    2  dt   2t  2 ln t  1  2   6  2 ln 4    4  2 ln 3 1 t  1 t 2 2 dx   a  2   2  4 ln 2  2 ln 3  b  4 . c  2  LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 53 BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN Vậy T  0 . 3 Câu 12: Cho  e dx  a.e 2  b.e  c . Với a , b , c là các số nguyên. Tính S  a  b  c . x 1 x 1 0 A. S  1 . B. S  2 . C. S  0 . Hướng dẫn giải D. S  4 . ĐÁP ÁN C 3 Xét I   e x 1 0 dx 1 dx . ; đặt u  x  1  du  2 x 1 x 1 Đổi cận: 2  I   eu 2du  2eu 1 e Câu 13: Cho I   1 2 1 ln x x  ln x  2  2  2e 2  2e  a  2 , b  2 , c  0 , S  a  b  c  0 . dx có kết quả dạng I  ln a  b với a  0 , b   . Khẳng định nào sau đây đúng? A. 2ab  1 . B. 2ab  1 . C. b  ln 3 1  . 2a 3 D. b  ln 3 1  . 2a 3 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A 1 dx  dt . x Đổi cận: khi x  1 thì t  2 ; khi x  e thì t  3 . Đặt ln x  2  t  ln x  t  2  3  3 a 3  t2 1 2 2 3 1      2 Khi đó I   2 dt     2 dt   ln t    ln    . 1 t t t t 2 3     2 2 2 b    3 Vậy 2ab  1 . 3 Dạng 7: Tích phân hàm ẩn 1. Phương pháp Phương pháp chung cho loại toán này là áp dụng kỹ thuật đổi biến, phương pháp từng phần và kỹ thuật đạo hàm…, ngoài ra ta có một vài dạng đặc trưng sau: Loại 1: Biểu thức tích phân đưa về dạng: u ( x) f ‘( x) + u ‘( x) f ( x) = h ( x) Cách giải: LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 54 BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN + Ta có u ( x ) f ‘( x ) + u ‘( x ) f ( x) = éëu ( x ) f ( x )ùû ‘ ‘ + Do đó u ( x ) f ‘( x ) + u ‘( x ) f ( x ) = h ( x )  éëu ( x ) f ( x )ùû = h ( x ) Suy ra u ( x) f ( x) = ò h ( x) dx Suy ra được f ( x) Loại 2: Biểu thức tích phân đưa về dạng: f ‘( x) + f ( x) = h ( x) Cách giải: ‘ + Nhân hai vế với e x  e x . f ‘( x) + e x . f ( x) = e x .h ( x)  éêe x . f ( x)ùú = e x .h ( x) ë û Suy ra e x . f ( x ) = ò e x h ( x ) dx Suy ra được f ( x) Loại 3: Biểu thức tích phân đưa về dạng: f ‘( x) – f ( x) = h ( x) Cách giải: ‘ + Nhân hai vế với e- x  e- x . f ‘( x) + e- x . f ( x) = e- x .h ( x)  éê e- x . f ( x)ùú = e- x .h ( x) ë û Suy ra e- x . f ( x ) = ò e- x h ( x) dx Suy ra được f ( x) Loại 4: Biểu thức tích phân đưa về dạng: f ‘( x) + p ( x) f ( x) = h ( x) Cách giải: eò + Nhân hai vế với Suy ra f ( x ).e ò p( x )d x  f ‘( x ).e ò é  ê f ( x ).e ò êë p( x )dx = ò eò p( x )d x ù p( x )dx p( x )d x ‘ + p ( x ).e ò ú = h ( x ).e ò úû p( x )d x . f ( x ) = h ( x ).e ò p( x )d x p( x )d x .h ( x) dx Suy ra được f ( x) b Công thức  a b f ( x)dx   f (a  b  x)dx a LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 55 BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  0;1 , thoả mãn 3 f  x   xf   x   x 2018 với mọi 1 x   0;1 . Tính I   f  x  dx . 0 1 . 2018  2021 1 C. I  . 2019  2021 1 . 2019  2020 1 D. I  . 2018  2019 Hướng dẫn giải A. I  B. I  ĐÁP ÁN C Từ giả thiết 3 f  x   xf   x   x 2018 , nhân hai vế cho x 2 ta được 3x 2 f  x   x3 f   x   x 2020   x3 f  x    x 2020 . Suy ra x3 f  x    x 2020 dx  x 2021  C. 2021 x 2018 . Thay x  0 vào hai vế ta được C  0  f  x   2021 1 Vậy  0 1 f  x  dx   0 1 1 2018 1 1 1 x dx  . x 2019  . 2021 2021 2019 2021 2019 0 Ví dụ 2: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  0; 4 , thỏa mãn f  x   f   x   e x 2 x  1 với mọi x   0; 4 . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. e 4 f  4   f  0   26 . 3 B. e4 f  4   f  0   3e. C. e4 f  4   f  0   e4  1. D. e4 f  4   f  0   3. Lời giải ĐÁP ÁN A Nhân hai vế cho e x để thu được đạo hàm đúng, ta được e x f  x   e x f ‘  x   2 x  1   e x f  x    2 x  1. / Suy ra e x f  x    2 x  1dx  Vậy e 4 f  4   f  0   1  2 x  1 2 x  1  C. 3 26 . 3 LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 56 BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN Ví dụ 3: Cho hàm số f  x  có đạo hàm trên , thỏa mãn f ‘  x   2018 f  x   2018 x 2017 e2018 x với mọi x   và f  0   2018. Giá trị f 1 bằng A. 2018e2018 . B. 2017e2018 . C. 2018e2018 . D. 2019e2018 . Lời giải ĐÁP ÁN D Nhân hai vế cho e 2018 x để thu được đạo hàm đúng, ta được  f   x  e 2018 x  2018 f  x  e 2018 x  2018 x 2017   f  x  e2018 x   2018 x 2017 . Suy ra f  x  e2018 x   2018 x 2017 dx  x 2018  C. Thay x  0 vào hai vế ta được C  2018  f  x    x 2018  2018  e 2018 x . Vậy f 1  2019e2018 . Ví dụ 4: Cho hàm số f  x  có đạo hàm và liên tục trên , thỏa mãn f   x   xf  x   2 xe  x và 2 f  0   2. Giá trị f 1 bằng A. e. B. 1 . e C. 2 . e 2 D.  . e Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C Nhân hai vế cho e x2 2 để thu được đạo hàm đúng, ta được x2 2 f   x  e  f  x  xe x2 2 Suy ra e f  x    2 xe  x2 2 d x   2e  x2 2 x2 2  2 xe  x2 2 x  x   2  e f  x    2 xe 2 .   2 2  C. Thay x  0 vào hai vế ta được C  0  f  x   2e  x . 2 2 Vậy f 1  2e 1   . e Ví dụ 5: Xét hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn  0;1 và thỏa mãn 2 f ( x)  3 f (1  x)  1  x . Tích phân 1  f ( x)dx bằng 0 A. 2 . 3 B. 1 . 6 C. 2 . 15 D. 3 . 5 Hướng dẫn giải LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 57 BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN ĐÁP ÁN C Ta có: 2 f ( x)  3 f (1  x)  1  x (1) . Đặt t  1  x , thay vào (1) , ta được: 2 f (1  t )  3 f (t )  t hay 2 f (1  x)  3 f ( x)  x (2) . Từ (1) & (2) , ta được: f ( x )  1 Do đó, ta có:  3 2 x 1 x . 5 5 1 f ( x ) dx  0 b  Cách 2. Công thức a 1 3 2 2 4 2 x dx   1  x dx    .  5 15 15 50 50 b f ( x)dx   f (a  b  x)dx a 1 1 1 0 0 0 Lấy tích phân 2 vế ta được 2 f ( x)dx  3 f (1  x)dx   1  x dx 1 1 2 2 5 f ( x)dx    f ( x)dx  . 3 15 0 0 Chú ý: Ta có thể dùng công thức  x2 x1 f  ax  b  dx   ax2  b ax1  b f  x  dx . Khi đó: 1 1 1 0 0 0 Từ 2 f  x   3 f 1  x   1  x suy ra: 2  f  x  dx  3 f 1  x  dx   1 0  2  f  x  dx  3 f  x  dx   0 1 1 0 1 1  x dx  5  f  x  dx  0 2 0 1 1  1  x dx 1 2 2   f  x  dx  . 0 3 15  Ví dụ 6: Cho  f  x  dx  a. Giá trị  x.f x 2  1 dx theo a là A. 2a. B. 4a. C. a . 2 D. a . 4 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C Đặt t  x 2  1  dt  2x dx. Đổi cận: x  0  t  1; x  1  t  2. 2 2 1 1 a Khi đó: I   f  t  dt   f  x  dx  . 21 21 2 Ví dụ 7: Cho y  f  x  là hàm số chẵn, có đạo hàm trên đoạn  6;6 . Biết rằng 2  f  x dx  8 và 1 3  f  2x  dx  3. Giá trị 1 A. 1. 6  f  x  dx bằng 1 B. e. C. 1. Hướng dẫn giải LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 D. 14. Page 58 BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN ĐÁP ÁN D 3 3 1 1 Ta có y  f  x  là hàm số chẵn nên f  2x   f  2x  suy ra  f  2x dx   f  2x dx  3. 3 Mặt khác:  f  2x dx  1 3 6 6 1 1 f  2x d  2x    f  x dx  3   f  x dx  6.  21 22 2 6 2 6 1 1 2 Vậy I   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  8  6  14. Ví dụ 8: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  và thỏa mãn f  ln x  dx  e. Mệnh đề nào sau đây là x 1 e  đúng? 1 1 A.  f  x dx  1. e B.  f  x  dx  e. 0 C.  f  x  dx  1. 0 0 e D.  f  x dx  e. 0 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B Giả sử F  x  là nguyên hàm của hàm số f  x  e e f  ln x  dx  f ln x d ln x  F ln x  F 1  F  0   e       1 x 1 1 e Ta có 1 1 Ta có  f  x dx  F  x   F 1  F  0   e nên B đúng. 0 0 Ví dụ 9: Cho f  x  là hàm số chẵn liên tục trong đoạn  1;1 và bằng A. 1. B. 3.  1 1 f  x  dx  2. Kết quả I  1 f x  1 e x dx 1 C. 2. Hướng dẫn giải D. 4. ĐÁP ÁN A Cách 1: Đặt t   x  dt  dt. Đổi cận x  1  t  1; x  1  t  1. Ta được: 1 1 I 1 1 1 1 et ex f x dx f t dt f t dt      1 1  ex   1 1  e t   1 1  et   1 1  ex f  x  dx. 1 1 1 1 ex f x dx  Do đó: 2I      1  ex f  x  dx 1 f  x  dx  4  I  2. 1  ex 1 1 Cách 2: Chọn h  x   x 2 làm hàm chẵn. Ta có 1 2 4  x dx  3 , do đó f  x   3 h  x   6x . 2 2 1 1 Khi đó f x  1 e 1 x 1 6x dx 2. 1  ex 1 dx   Lời bình: Với cách làm này, các em chỉ cần nắm rõ nguyên tắc tìm một hàm số đại diện cho lớp hàm số thỏa mãn giả thiết bài toán là có thể dễ dàng tìm được kết quả bài toán bằng máy tính hoặc bằng phương pháp cơ bản với hàm số y  f  x  khá đơn giản. Đối với bài toán này ta có thể chọn hàm số h  x   1 cho đơn giản hơn nữa. LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 59 BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN  x  liên tục trong đoạn Ví dụ 10: Cho hàm số f 1; e  , biết f x dx  1, f  e   1. Giá trị x 1 e  e I   f ‘  x  .ln xdx bằng 1 A. 4. B. 3. C. 1. Hướng dẫn giải D. 0. ĐÁP ÁN D dx  u  ln x du  x  Đặt  dv  f ‘  x  dx  v  f  x   e f x f x   f ‘  x  ln xdx  f  x  ln x   dx  f  e    dx  1  1  0. x x 1 1 1 e e e 1 1 3 1 0 0 1 Ví dụ 11: Cho hàm số f  x  liên tục trên  và có  f  x  dx  2;  f  x  dx  6 . Tính I   f  2x  1  dx 2 A. I  . 3 B. I  4. 1 1 2 1 1 3 C. I  . 2 Hướng dẫn giải D. I  6. 1 Có I   f  2x  1  dx   f 1  2x  dx   f  2x  1 dx 1 2 1 1 12 1    f 1  2x  d 1  2x    f  2x  1 d  2x  1 2 1 21 2 0  1 3 1 1 1 1 1 1 1 f  t  dt   f  t  dt   f  x  dx   f  x  dx  .6  .2  4.  23 20 20 20 2 2 k Ví dụ 12: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số k để   2x  1 dx  4 lim x 0 1 k  1 . A.  k  2 k  1 . B.  C.  k  2 Hướng dẫn giải  k  1  k  2 .  x 1 1 . x  k  1 . D.  k  2 ĐÁP ÁN D  2x  1 1 Ta có   2x  1 dx    2x  1 d  2x  1  21 4 1 k k Mà 4 lim  x 0 x 1 1  4 lim x 0 x   k  2k  1  4 1   4 lim x 1 1 x 1 1   x 2 x 1 1 x 0 2  1 4 1 2 x 1 1  2k  1  1  2  2k  1 2  9   k  2 . x 1 1 Khi đó   2x  1 dx  4 lim     k  1 x 0 x 4  1 k 2 LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 60 BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN a dx ba f  x  .f  a  x   1 Ví dụ 13: Cho f  x  là hàm liên tục trên đoạn  0; a  thỏa mãn  , và   1 f x c f  x   0, x   0;a  0 b là phân số tối giản. Khi đó b  c có giá trị thuộc khoảng nào trong đó b, c là hai số nguyên dương và c dưới đây? A. 11; 22  . B.  0;9  . C.  7; 21 . D.  2017; 2020  . Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B Đặt t  a  x  dt  dx Đổi cận x  0  t  a; x  a  t  0 0 a a a f  x  dx dx dt dx dx     1 f  x a 1 f a  t  0 1 f a  x 0 1 1 1 f  x 0 0 f x a Lúc đó I   a f  x  dx a dx Suy ra 2I  I  I     1dx  a 1  f  x  0 1  f  x  0 0 a 1 Do đó I  a  b  1; c  2  b  c  3. 2 Cách 2: Chọn f  x   1 là một hàm thỏa các giả thiết. Dễ dàng tính được 1 I  a  b  1; c  2  b  c  3. 2 3. Bài tập rèn luyện tốc độ Cho hàm số f  x  liên tục trên  và Câu 1: 9  f 1   dx  4, x x  2  f  sin x  cos xdx  2. Giá trị của tích 0 3 phân  f  x  dx bằng 0 B. 6 . A. 2 . C. 4 . Hướng dẫn giải D. 10 . ĐÁP ÁN C 9  Xét  f  x  dx  4. Đặt t  x 1 x  t 2  x, suy ra 2tdt  dx. x  1  t  1 . Đổi cận  x  9  t  3 9 Suy ra 4   1 f  x  dx  2 x 3  1 3 f  t  2dt   f  t  dt  2. 1 LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 61 BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN  2  Xét  f  sin x  cos xdx  2. Đặt u  sin x, suy ra du  cos xdx. 0  x  0  u  0 1 2  . 2  f sin x cos x d x  Suy ra Đổi cận     0 0 f  t  dt. x   u  1  2 3 1 3 0 0 1 Vậy I   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  4. .  Câu 2: Cho hàm số f  x  liên tục trên  và 4  f  tan x  dx  4, 0 x2 f  x  0 x 2  1 dx  2. Giá trị của tích phân 1 1 I   f  x  dx bằng 0 B. I  2 . A. I  6 . D. I  1. C. I  3 . Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A  4 Xét  f  tan x  dx  4. 0 Đặt t  tan x, suy ra dt  1 dt dx   tan 2 x  1 dx  dx  . 2 cos x 1 t2  x  0  t  0 1 1 4 f t  f  x  . Khi đó 4   f  tan x  dx   2 dt   2 dx. Đổi cận:   t 1 x 1 0 0 0  x  4  t  1 1 Từ đó suy ra I   0 1 2 f  x x f  x f  x  dx   2 d x   2 dx  4  2  6. x 1 x 1 0 0 1  Câu 3: Cho hàm số f  x  liên tục trên  và thỏa mãn 4  tan x. f  cos x  dx  1,  0 2 trị của tích phân I   1 4 A. 1. f  2x x e2 2 e f  ln 2 x  x ln x dx  1. Giá dx bằng B. 2 . C. 3 . Hướng dẫn giải D. 4 . ĐÁP ÁN D  4 ● Xét A   tan x. f  cos 2 x  dx  1 . Đặt t  cos 2 x. 0 LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 62 BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN Suy ra  tan xdx   dt  2 sin x cos xdx  2 cos 2 x tan xdx  2t.tan xdx  dt . 2t x  0  t  1  Đổi cận:   1. x   t   4 2 Khi đó 1  A   1 2 1 1 1 f  x 1 f t  1 f t  1 f  x d d d t  t  x  1 x dx  2. 2 1 t 2 1 t 2 1 x 2 e2 ● Xét B   e f  ln 2 x  x ln x 2 2 dx  1. Đặt u  ln 2 x. 2 ln x 2 ln 2 x 2u dx du  . dx  dx  dx  Suy ra du  x x ln x x ln x x ln x 2u x  e  u  1 Đổi cận:  . 2 x  e  u  4 4 4 4 f  x 1 f u  1 f  x du   dx   dx  2. Khi đó 1  B   x 21 u 21 x 1 2 ● Xét tích phân cần tính I   1 2 f 2x dx. x 1  dx  2 dv Đặt v  2 x, suy ra  . Đổi cận: x  v  2 4 Khi đó I   1 2 1 1  x   v  4 2.   x  2  v  4 4 1 4 f v f  x f  x f  x dv   dx   dx   dx  2  2  4. v x x x 1 1 1 2 2 Cho hàm số f  x  nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên  0;2 . Biết f  0   1 và Câu 4: f  x f 2  x  e 2 2 x2  4 x với mọi x   0; 2 . Giá trị tích phân I   x 0 A.  14 . 3 B.  32 . 5 C.  16 . 3 3   3x 2 f   x  f  x dx bằng D.  16 . 5 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D Từ giả thiết f  x  f  2  x   e 2 x 2 4 x x2  f  2   1. LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 63 BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN u  x 3  3 x 2 du   3 x 2  6 x  dx x  3x  f ‘  x    Ta có I   . dx. Đặt  f ‘ x   f  x 0 dv  f x dx v  ln f  x     Khi đó 3 2 2 I   x  3 x  ln f  x  3 2 2 0 f  2  1 2    3 x 2  6 x  ln f  x  dx 0 2   3  x 2  2 x  ln f  x  dx  3 J . 0 2 x  2 t Ta có J    x  2 x  ln f  x  dx  2 0 0   2  t  2 2 0 2 2 0  2  2  t   ln f  2  t  d  2  t   2    2  x   2  2  x   ln f  2  x  d  2  x     x 2  2 x  ln f  2  x  dx.   Suy ra 2 2 0 0 2 J    x 2  2 x  ln f  x  dx    x 2  2 x  ln f  2  x  dx 2    x 2  2 x  ln f  x  f  2  x  dx 0 2    x 2  2 x  ln e 2 x 2 4 x 0 Vậy I  3 J   Câu 5: 2 dx    x 2  2 x  2 x 2  4 x  dx  0 32 16 J . 15 15 16 . 5    Cho hàm số y  f  x  liên tục trên   ;  và thỏa mãn 2 f  x   f   x   cos x. Giá trị của  2 2  tích phân I  2  f  x  dx bằng  2 A. I  2 . B. I  2 3 . C. I  . 3 2 Hướng dẫn giải D. I  2 . ĐÁN ÁN B Từ giả thiết, thay x bằng  x ta được 2 f   x   f  x   cos x. Do đó ta có hệ  2 f  x   f   x   cos x 4 f  x   2 f   x   2 cos x 1   f  x   cos x.  3  2 f   x   f  x   cos x  f  x   2 f   x   cos x  Khi đó I  2   2  1 f  x  dx  3 2 1  cos xdx  3 sin x   2   2 2  . 3 2 LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 64 BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN 1  Cho hàm số f  x  liên tục trên  ; 2  và thỏa mãn f  x   2 f 2  Câu 6: 2 I  1 2 A. f  x x 1    3 x. Giá trị của tích phân  x dx bằng 1 . 2 B. 3 . 2 C. 5 . 2 D. 7 . 2 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B Từ giả thiết, thay x bằng 3 1 1 ta được f    2 f  x   . x x x Do đó ta có hệ  f   f   1  f  x   2 f  x   3x 2       f  x    x. x 3 1 4 f  x   2 f  1   6    2 f  x     x  x  x x   x   2 f  1   3x x 2 Khi đó I   1 2 2 f  x  2   2  dx    2  1 dx     x  x   x  1 x 2 1 2 3  . 2 2 1 Cách khác. Từ f  x   2 f    3 x  f  x   3 x  2 f x 2 Khi đó I   1 2 2 Xét J   1 2 1  .  x  1 1 f   2 2 f    f  x x x dx    3  2    dx  3 dx  2    dx. x x  x 1 1 1  2 2 2   2 1 f   x  dx. Đặt t  1 , suy ra dt   1 dx  t 2 dx  dx   1 dt. x x2 t2 x 1   x  2  t  2 Đổi cận:  . x  2  t  1  2 1 2 2 2 f t  f  x  1 Khi đó J   tf  t    2  dt   dt   dx  I . t x  t  1 1 2 2 2 LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 65 BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN 2 2 2 2 3 Vậy I  3 dx  2 I  I   dx  . . 2 1 1 Câu 7: f  x  thỏa mãn  f   x    f  x  . f   x   15 x 4  12 x với mọi x   và 2 Cho hàm số f  0   f   0   1. Giá trị của f 2 1 bằng A. 5 . 2 B. 9 . 2 C. 8. D. 10. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C Nhận thấy được  f   x    f  x  . f   x    f  x  . f   x   . 2 Do đó giả thiết tương đương với  f  x  . f   x    15 x 4  12 x.       C  1 Suy ra f  x  . f   x    15 x 4  12 x dx  3×5  6 x 2  C  f 0  f  0 1.  f  x  . f   x   3×5  6 x 2  1  f 2  x  x6   2 x 3  x  C ‘. f  x  . f   x  dx    3 x  6 x  1 dx  2 2 5 2 Thay x  0 vào hai vế ta được f 2  0 1 C’C’ . 2 2 Vậy f 2  x   x6  4 x3  2 x  1  f 2 1  8. Câu 8: Cho 5 2 1 1  f  x  dx  4. Giá trị  f  2 x  1 dx bằng A. 2. B. 5 . 2 C. 4. D. 3 . 2 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A Đặt 2x  1  u  2dx  du  I  5 Câu 9: Cho  1 8 A. 3 5 1 1 f  u  du  .4  2.  2 1 2 5 f  x  dx  5,  f  t  dt  2 và 4 22 B. 3 4 1 1 g  u  du  3 . Tính 20 C. 3 Hướng dẫn giải 4   f  x   g  x   dx bằng 1 D. 10 3 ĐÁP ÁN B LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 66 BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN 4 4 4 4 Ta có  f  t  dt    f  t  dt  2   f  t  dt   f  x  dx  2. 5 Suy ra 5 5 5 5 5 5 4 4 1 4 1 5 1  f  x  dx   f  t  dt   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  7. Khi đó 4 4 4   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx 1 1 1 4 4 4 1 5 1   f  x  dx   f  x  dx   g  u  du  7  1 22  . 3 3 1 Câu 10: Cho hàm số f  x  liên tục trên  thỏa mãn f  tan x   cos 4 x, x   . Giá trị I   f  x  dx 0 bằng 2 A. . 8 B. 1. C. 2 . 4 D.  4 . Hướng dẫn giải ĐAP ÁN A 1   f  tan x   cos 4 x  f  tan x     2  tan x  1   f x  x 1 1 2  1 2   f  x  dx  0 2 2 8 Dạng 8: Bất đẳng thức tích phân 1. Phương pháp Áp dụng các bất đẳng thức: + Nếu f  x  liên tục trên  a; b thì b  a b f  x  dx   f  x  dx a b + Nếu f  x  liên tục trên  a; b và m  f  x   M thì m  b  a    f  x  dx  M  b  a  a 2 b b  b + Nếu f  x  , g  x  liên tục trên  a; b thì   f  x  g  x  dx    f 2  x  dx. g 2  x  dx dấu ”  ” xẩy ra khi a a  a và chỉ khi f  x   k .g  x  . + Bất đẳng thức AM-GM LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 67 BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  0;1 , thỏa mãn f 1  0 , 1   f   x  2 dx  7 và 0 1 1 2 0 x f  x  dx  3 . Giá trị phân 1  f  x  dx bằng 0 A. 1. B. 7 . 5 C. 7 . 4 D. 4 . Hướng dẫn giải ĐÁN ÁN B 1 Dùng tích phân từng phần ta có 2  x f  x  dx  0 1 1 x3 1 f  x    x 3 f ‘  x  dx. Kết hợp với giả thiết f 1  0 , 3 30 0 1 ta suy ra  x f ‘  x  dx  1. 3 0 2 1 3  1 6 1 2 x7 Theo Holder  1    x f ‘  x  dx    x dx.  f ‘  x   dx  7 0 0  0 2 Vậy đẳng thức xảy ra nên ta có f ‘  x   kx3 , thay vào 1 .7  1. 0 1  x f ‘  x  dx  1 ta được k  7. 3 0 7 Suy ra f ‘  x   7 x3  f ‘  x   7 x 3 , x   0;1  f  x    x 4  C 4   C  f 1 0 1 7 7 7 7  f  x    x 4    f  x  dx  . 4 4 4 5 0 Ví dụ 2: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  0;1 , thỏa mãn f 1  1 , 1 11  x f  x  dx  78 5 và 0 1 4  f   x  d  f  x    13 . Giá trị f  2  bằng 0 A. 2. B. 251 . 7 C. 256 . 7 D. 261 . 7 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D 2 2 1  1 12 1 2 1 4 4 2  6  . Theo Holder      x f  x  dx    x dx.  f   x   dx  .  13 13 169  13   0 0  0  f   x   2 x6  f  x   2 7 5 f 1 1 C  . x  C  7 7 LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 68 BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN Vậy f  x   2 7 5 261 . x   f  2  7 7 7 Ví dụ 3: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên 1   f   x  2 0 0;1 , thỏa mãn f 1  2, f  0   0 và 1 dx  4. Tích phân   f 3  x   2018 x  dx. bằng 0 A. 0. B. 1011. C. 2018. Hướng dẫn giải D. 2022. ĐÁP ÁN B 2 1  1 1 2 Theo Holder 2    f ‘  x  dx    dx.  f ‘  x   dx  1.4  4. 0  0 0 2    f ‘  x   2  f  x   2 x  C   C  0. f 0 0 1 Vậy f  x   2 x    f 3  x   2018 x  dx  1011. 0 Ví dụ 4: Cho hàm số f  x  nhận giá trị dương và có đạo hàm f   x  liên tục trên  0;1 , thỏa mãn f 1  ef  0  và 1  0 1 2 dx    f   x   dx  2. Mệnh đề nào sau đây đúng? 2 f  x 0 A. f 1  2e . e 1 B. f 1  C. f 1  2e2 . e2  1 D. f 1  2  e  2 . e 1 2  e  2 . e 1 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C 1 Ta có  0 1 1 AM  GM 1 f ‘  x   1 2 2 dx         2 f x x f x x ‘ d ‘ d dx        0  f 2  x   f 2  x  0  f x   0    2 ln f  x  1  2 ln f 1  2 ln f  0   2 ln 0 1 Mà  0  f 1  2 ln e  2. f 0 1 2 1 dx  f  x f ‘ x  1 f ‘ x dx  2 nên dấu ”  ” xảy ra, tức là f ‘  x        2    f  x f  x 0 f 2  x f  x  f ‘  x  dx   xdx   x  C  f  x   2 x  2C . 2 Theo giả thiết f 1  ef  0  nên ta có 2  2C  e 2C  2  2C  e 2 2C  C  LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 1 e 1 2 Page 69 BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN  f  x  2x  2 2 2e2  f 1  2   .   e2  1 e2  1 e2  1 Ví dụ 5: Cho hàm số f  x  nhận giá trị dương trên  0;1 , có đạo hàm dương và liên tục trên  0;1 , thỏa 1 1 1 3 mãn f  0   1 và   f 3  x   4  f   x    dx  3 f   x  f 2  x  dx. Giá trị I   f  x  dx bằng   0 0 0 A. 2   B. 2  e 2  1 . e 1 . e 1 . 2 C. D. e2  1 . 2 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A Áp dụng bất đẳng thức AM  GM cho ba số dương ta có f 3  x f 3  x f  x   4  f ‘  x    4  f ‘  x     2 2 3 3 3 f 3  x f 3  x  3 4  f ‘  x   .  3 f ‘ x f 2  x. . 2 2 3 3 1 Suy ra 1 3 3 2 0  f  x   4  f ‘  x   dx  30 f ‘  x  f  x  dx. 1 1 3 Mà   f 3  x   4  f ‘  x    dx  3 f ‘  x  f 2  x  dx nên dấu ”  ” xảy ra, tức là   0 0 4  f ‘  x    3  f 3  x 2  f 3  x 2  f ‘ x  1 f  x 2 1 x C f ‘ x 1 f ‘ x 1 1   dx   dx  ln f  x   x  C  f  x   e 2 . f  x 2 f  x 2 2 1 x 1 Theo giả thiết f  0   1  C  0  f  x   e 2   f  x  dx  2 0   e 1 . 3. Bài tập rèn luyên tốc độ Câu 1: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên 0;   , thỏa mãn   f   x  sin xdx  1 và 0   2  f  x  dx   . Giá trị tích phân  xf  x  dx 2 0 6 A.  .  bằng 0 4 B.  .  C. 2  . D. 4  . Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 70 BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN 2    0 0 Theo Holder 1   f  x  cos xdx   f 2  x  dx  cos 2 xdx  2 0  f  x  Câu 2: 2    cos x   xf  x  dx   0 2 x cos x 0  dx   4  2  .  1.  2 . Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  0;1 , thỏa t f 1  0, 1   f   x  0 1 x 0 cos  2  f  x  dx  2 . Giá trị của ích phân 1 A. 1  B. . 2  2 dx  2 8 và 1  f  x  dx bằng 0 C. .  2 . D.  . Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B Theo Holder 2 2 1  1 2 x  1 2 1 2    x      f x x x f x x sin ‘ d sin d . ‘ d . .                  2 8  4 0  2   2  0  0  f ‘ x    x  x  f 1  0 sin    f  x   cos    C  C  0. 2  2   2  2 x  Vậy f  x   cos     f  x  dx  .   2  0 1 Câu 3: 1 mãn  0 Cho hàm số f  x  nhận giá trị dương trên  0;1 , có đạo hàm dương liên và tục trên  0;1 , thỏa xf   x  1 dx  1 và f  0   1, f 1  e 2 . Giá trị của f   bằng f  x 2 A. 1. B. 4. C. Hướng dẫn giải e. D. e. ĐÁP ÁN C Hàm dưới dấu tích phân là đúng xf ‘  x  f ‘ x  x. , x   0;1. Điều này làm ta liên tưởng đến đạo hàm f  x f  x f ‘ x , muốn vậy ta phải đánh giá theo AM  GM như sau: f  x f ‘ x xf ‘  x   mx  2 m . với m  0 và x   0;1 . f  x f  x Do đó ta cần tìm tham số m  0 sao cho LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 71 BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN 1  f ‘ x  xf ‘  x  d 2 . mx x m    0  f  x  0 f  x  dx   1 hay ln f  x  1 m 0 x2 2  2 m  20 Để dấu ”  ” xảy ra thì ta cần có 2  0  Với m  4 thì đẳng thức xảy ra nên  1 0  2 m .1  ln f 1  ln f  0   m 2 m  2 m. 2 m  2 m  m  4. 2 f ‘ x  4x f  x f ‘ x 2 dx   4 xdx  ln f  x   2 x 2  C  f  x   e 2 x C . f  x  f  0   1 2 1 Theo giả thiết   C  0  f  x   e2 x  f    e . 2 2  f 1  e Cách 2. Theo Holder 2 2 1  1 xf ‘  x    1 f ‘ x  1 f ‘ x f 1 1 12    dx     x . dx    xdx. dx  .ln  1.  0 f  x   0  0 2 0 f x f x f       0     f ‘ x Vậy đẳng thức xảy ra nên ta có  kx, thay vào f  x Suy ra Câu 4: 1  0 xf ‘  x  dx  1 ta được k  4. f  x f ‘ x  4 x. (làm tiếp như trên) f  x Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  0;1 , thỏa mãn 1   f  x  f   x  2 dx  1 và 0 1 f  0   1, f 1  3. Giá trị của f   bằng 2 A. 2. B. 3. C. e. D. e. Lời giải ĐÁP ÁN A Hàm dưới dấu tích phân là  f  x  f ‘  x   . Điều này làm ta liên tưởng đến đạo hàm đúng f  x  f ‘  x  , muốn vậy ta phải đánh giá theo AM  GM như sau: 2 LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 72 BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN  f  x  f ‘  x    m  2 m . f  x  f ‘  x  với m  0. 2 Do đó ta cần tìm tham số m  0 sao cho    f  x  f ‘  x  1 0 2  1  m dx  2 m  f  x  f ‘  x  dx. 0 hay f 2  x 1  m  2 m. 2 1  1  m  2 m. 0 Để dấu ”  ” xảy ra thì ta cần có 1  m  2 m  m  1.  f  x f ‘ x  1 2 Với m  1 thì đẳng thức xảy ra nên  f  x  f ‘  x    1   .  f  x  f ‘  x   1 1 1  f  x  f ‘  x   1   f  x  f ‘  x  dx    dx  0  f  x f ‘ x  1   0 f 2  x 2 1  x 0 1  1  1. (vô lý) 0 f 2  x f  x  f ‘  x  dx   dx   x  C  f  x   2 x  2C . 2  f  0   1 1 1 Theo giả thiết   C   f  x   2 x  1  f    2. 2 2  f 1  3 1  Cách 2. Ta có 0 f  x  f ‘  x  dx  f 2  x 2 1 0  1 2  f 1  f 2  0    1. 2 2 1  1 2 1 2 Theo Holder 1    1. f  x  f ‘  x  dx    1 dx.  f  x  f ‘  x   dx  1.1  1. 0 0  0 2 Vậy đẳng thức xảy ra nên ta có f ‘  x  f  x   k , thay vào 1  f  x  f ‘  x  dx  1 ta được k  1. Suy ra 0 f ‘  x  f  x   1. (làm tiếp như trên) Câu 5: Cho hàm số f  x  nhận giá trị dương và có đạo hàm f   x  liên tục trên 1; 2 , thỏa mãn  f   x   1 xf  x  dx  24 và f 1  1, f  2   16. Giá trị của f 2 2 A. 1. B. 2.  2  bằng C. 2. Hướng dẫn giải D. 4. ĐÁP ÁN D LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 73 BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN  f ‘  x   1  f ‘  x    . . Điều này làm ta liên tưởng đến đạo hàm đúng Hàm dưới dấu tích phân là  xf  x  x f  x 2 f ‘ x f  x 2 , muốn vậy ta phải đánh giá theo AM  GM như sau:  f ‘  x   f ‘ x  mx  2 m với m  0 và x  1; 2 . xf  x  f  x 2 Do đó ta cần tìm tham số m  0 sao cho 2   f ‘  x  2    mx  dx  2 m f ‘  x  dx  1  xf  x  1 f  x     2 hay 24  2m  4 m f  x 3 2  24  1 Để dấu ”  ” xảy ra thì ta cần có 24  2m  4 m  f  2   3 2m f 1   24   12 m  m  16.  3 2m  12 m  m  16. 3  f ‘  x   f ‘ x  16 x   2x Với m  16 thì đẳng thức xảy ra nên  xf  x  2 f  x 2  f ‘ x 2 f  x d x   2 xd x  f  x   x2  C  f  x    x2  C  . 2  f 1  1 Theo giả thiết   C  0  f  x   x4  f  f  2   16 2 Cách 2. Ta có  1 f ‘ x f  x f ‘ x 2 dx  2. 1 2 f  x  2   4. dx  2 f  x  2 2 1  2  f  2   f 1   6.  2 2 2  2 f ‘ x   1  2  f ‘  x   f ‘ x x2 2 dx     x . dx    xdx. dx  .24  36. Theo Holder 6     1 f  x   1  1 xf  x  2 1 xf x   1     2 Vậy đẳng thức xảy ra nên ta có Suy ra f ‘ x f  x f ‘ x xf  x  k x  f ‘ x f  x 2  kx, thay vào  1 f ‘ x f  x dx  6 ta được k  4.  4 x. (làm tiếp như trên) LỚP TOÁN THẦY CƯ – TP HUẾ. SĐT: 0834332133 Page 74
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments

Bài viết tương tự

Scroll to Top