Các dạng toán về góc trong hình học không gian – Trần Đình Cư

Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 8: Góc Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 1 Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 8: Góc MỤC LỤC CHỦ ĐỀ 8. GÓC TRONG KHÔNG GIAN ……………………………………………………………… 3 DẠNG 1. GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG …………………………………………………………… 3 DẠNG 2. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG……………………………………………………… 9 DẠNG 3. GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG ……………………………….. 15 Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 2 Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 8: Góc CHỦ ĐỀ 8. GÓC TRONG KHÔNG GIAN DẠNG 1. GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG Câu 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), SA  AB  a, AD  3a . Gọi M là trung điểm BC. Tính cosin góc tạo bởi hai mặt phẳng (ABCD) và (SDM) A. 5 7 B. 6 7 3 7 Hướng dẫn giải C. D. Kẻ SH  MD, H  MD , 1 7 S mà SA  MD   SAH  MD  AH  MD Do đó SMD , ABCD  SH,AH  SHA   Ta lại có: SAMD 1 3a 2 a 13  .3a.a  , MD  CD2  CM2  2 2 2 2S 6a 13 7a 13  AH  AMD   SH  DM 13 13  cos   A B H D C M AH 6 6  . Vậy cosin góc giữa hai mặt phẳng (SMD) và (ABCD) bằng SH 7 7 Vậy chọn đáp án B. Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, có AB  2a và góc BAD  1200 . Hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng đáy (ABCD) trùng với giao điểm I của hai đường chéo và SI  a . Tính góc tạo bởi mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (ABCD) 2 A. 300 B. 450 C. 600 Hướng dẫn giải D. 900 Ta có BAD  1200  BAI  600 S  BI sin 600    BI  a 3  AB   Suy ra:   AI  a cos600  AI   AB  Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) K H Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên AB. Ta có: AB   SHI   AB  SH  A D I B C  Do đó:   SH,IH  SHI Xét tam giác vuông AIB có: tan SHI  1 IH 2  1 IA 2  1 IB 2  IH  3 a 2 SI 1   SHI  300 hay   300 . HI 3 Vậy chọn đáp án A. Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 3 Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 8: Góc Câu 3*. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB  a , SA  SB và ACB  300 , SA  SB . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC bằng 3a . Tính cosin góc 4 giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) A. 5 33 B. 3 13 65 13 Hướng dẫn giải C. D. Gọi D là trung điểm của BC, suy ra tam giác ABD đều cạnh a. 2 5 11 S Gọi I, E là trung điểm của BD và AB, H là giao của AI và DE. Khi N đó dễ thấy H là trọng tâm tam giác ABD. Ta có AI  BC, DE  AB K Vì SA  SB  SE  AB , suy ra AB   SDE   AB  SH M A Khi đó ta có SH   ABC  Gọi K là hình chiếu vuông góc của I lên SA, khi đó IK là đoạn vuông góc chung của SA và BC. Do đó IK  d  SA; BC   Đặt SH  h, AI  30° E C D H I B a 4 a 3 a 3 a2 , AH   SA   h2 2 3 3 Lại có AI.SH  IK.SA  2SSAI  a 3 3a a 2 h  h2  h  a 2 4 3 Gọi M là hình chiếu của A lên SI, khi đó AM   SBC  . Gọi N là hình chiếu của M lên SC, khi đó   SC   AMN    SAC  ,  SBC   ANM   Ta có: HI  a 3 a 39 AI.SH 3a ; SI   AM   6 6 SI 13 Mặt khác IM  AI 2  AM2  Ta lại có SMN SCI   tan   a 39 5a a 30  SI  SM  SI  IM  ; SC  26 3 39 MN SM SM.CI 3a 130   MN   CI SC SC 52 AM 2 10 65 hay cos   .  MN 5 13 Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SAC) là  với cos   65 . 13 Vậy chọn đáp án C. Câu 4. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có AB  2a, AC  a, AA’  a 10 , BAC  1200 . Hình chiếu 2 vuông góc của C’ lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tính số đo góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ACC’A’) A. 750 B. 300 C. 450 D. 150 Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 4 Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 8: Góc Hướng dẫn giải Gọi H là trung điểm BC. Từ giả thiết suy ra C’H   ABC  . Trong ABC ta có: BC2  AC2  AB2  2AC.AB.cos1200  7a 2  BC  a 7  CH  B’ C’ a 7 2  C’H  C’C2  CH2  A’ a 3 2 Hạ HK  AC . Vì C’H   ABC   đường xiên C’K  AC     ABC  ,  ACC’A’   C’KH C (1) K ( C’HK vuông tại H nên C’KH  900 ) Trong HAC ta có HK  Từ (1) và (2) suy ra B H A 2SHAC S ABC a 3 C’H  tan C’KH   1  C’KH  450   HK AC AC 2 (2)  ABC ,  ACC’A’   450 . Vậy chọn đáp án C. Câu 5. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, và A’A  A’ B  A’C  a 7 . 12 Tính góc giữa hai mặt phẳng (ABB’A’) và (ABC) A. 750 B. 300 C. 450 Hướng dẫn giải D. 600 Gọi H là hình chiếu của A trên (ABC) B’ C’ Vì A’A  A’ B  A’C nên HA  HB  HC , suy ra H là tâm của tam giác đều ABC. A’ Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC, AB. A’ J  AA’2  AJ 2  7a 2 a 2 a   12 4 3 1 1 a 3 a 3 HJ  CJ  .  3 3 2 6 a 2 2  A’H  A’ J  HJ  2 A’J  AB Vì    A’ JC   AB  A’ JC chính là góc giữa hai CJ  AB I B C H J A a A’H mặt phẳng (ABB’A’) và (ABC). Khi đó tan A’ JC   2  3  A’ JC  600 JH a 3 6 Vậy chọn đáp án D. Câu 6. Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B có AB = BC  4. Gọi H là trung điểm của AB, SH  (ABC). Mặt phẳng SBC tạo với đáy một góc 600. Cosin góc giữa 2 mặt phẳng SAC và  ABC là: Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 5 Chuyên đề: Hình học không gian 5 5 A. B. Chủ đề 8: Góc 5 4 10 5 C. D. 1 7 Hướng dẫn giải     Kẻ HP  AC   SAC  ;  ABC   SPH  cos  SAC  ;  ABC   cosSPH  Ta có ngay HP SP  SBC ;  ABC  SBH  SBH  600  tan 600  SH  3  SH  HB 3  2 3 HB APH vuông cân P  HP  AH 2  2 2  2  SP2  SH2  HP2  12  2  14  SP  14    cos  SAC  ;  ABC   HP 2 1   . SP 14 7 Vậy chọn đáp án D Câu 7. Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a. Biết SO  ABCD , AC = a và thể tích khối chóp là A. a3 3 . Cosin góc giữa 2 mặt phẳng SAB và  ABC là: 2 6 7 B. 3 7 C. 1 7 D. 2 7 Hướng dẫn giải   Kẻ OP  AB   SAB  ;  ABC   SPO    cos  SAB  ;  ABC   cosSPO  OP SP Cạnh AB  BC  a và AC  a  AB  BC  CA  a  ABC đều  sin 600  OP 3 3 3 a a 3   OP  OA  .  OA 2 2 2 2 4 1 1 1 1 a2 3 a3 3 Ta có : VS.ABCD  SO.SABCD  SO.2SABC  SO.2. .a.a.sin 600  SO.  3 3 3 2 6 2  SO  3a  SP2  SO2  OP2  9a 2  3a 2 147a 2  16 16 a 3 7a 3 OP 1  SP   cos  SAB  ;  ABC    4  . 4 SP 7a 3 7 4   Vậy chọn đáp án C. Câu 8. Cho hình vuông ABCD cạnh a , tâm O và SA  (ABCD). Để góc giữa SBC và SCD bằng 600 thì độ dài của SA A. a B. a 2 C. a 3 D. 2a Hướng dẫn giải Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 6 Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 8: Góc  BD  AC Ta có   BD   SAC   BD  SC  BD  SA SC  BI Kẻ BI  SC ta có   SC   BID  SC  BD  SBC ,  SCD   BI,ID  600 Trường hợp 1: BID  600  BIO  300 Ta có tan BIO  BO a 6 a 2 (vô lý)  OI   OC  IO 2 2 Trường hợp 2: BID  1200  BIO  600 Ta có tan BIO  BO a 6  OI  IO 6 Ta có sin ICO  OI 3 1   tan ICO   SA  AC.tan ICO  a OC 3 2 Vậy chọn đáp án A. Câu 9. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA= a , SB= 3 và SAB vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC . Cosin của góc giữa 2 đường thẳng SM và DN là: A.  2 5 B. 2 C.  5 1 5 D. 1 5 Hướng dẫn giải Kẻ ME song song với DN với E  AD suy ra AE  a 2 Đặt  là góc giữa hai đường thẳng SM, DN nên  SM;ME    Gọi H là hình chiếu của S lên AB. Ta có SH   ABCD  Suy ra SH  AD  AD   SAB   AD  SA Do đó SE2  SA2  AE2  5a 2 a 5 a 5 và ME   SE  4 2 2 Tam giác SME cân tại E, có cos   cosSME  5 . 5 Vậy chọn đáp án D. Câu 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính AB =2a, SA = a 3 và vuông góc với mặt phẳng ABCD . Cosin của góc giữa hai mặt phẳng SAD và SBC là: A. 2 2 B. 2 3 C. 2 4 D. 2 5 Hướng dẫn giải Gọi I là giao điểm của AD và BC Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 7 Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 8: Góc  BD  AD Ta có   BD   SAD   BD  SI  BD  SA SI  BD Kẻ DE  SI ta có   SI   BDE  SI  DE     SAD  ,  SBC    DE,BE  Ta có sin AIS  SA 3 DE  mà sin AIS  SI DI 7  DE  DI.sin AIS   tan DEB  a 3 7 BD 2 .  7  cos DEB  ED 4 Vậy chọn đáp án C Câu 11. Cho hình chóp S.ABCD .có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D , có AB = 2a, AD = DC = a, SA = a và SA  (ABCD). Tan của góc giữa 2 mặt phẳng SBC và  ABCD là: A. 1 B. 3 3 C. 2 D. 1 2 Hướng dẫn giải Ta có  SBC ,  ABCD  ACS Ta có AC  AD2  DC2  a 2  tan ACS  SA 1  . AC 2 Vậy chọn đáp án D Câu 12. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA  (ABC), SA = a 3 . Cosin của góc giữa 2 mặt phẳng SAB và SBC là: A. 2 B. 5 2 C. 5 1 5 D. 1 5 Hướng dẫn giải Gọi M là trung điểm AB CM  AB Ta có   CM   SAB   CM  SB CM  SA SB  MN Kẻ MN  SB ta có   SB   CMN  SB  CM     SAB  ,  SBC    MN,NC   MNC Ta có tan SBA  SA  3  SBA  600 AB Ta có sin SBA  MN a 3 1  MN   cosMNC  . Vậy chọn đáp án D. MB 4 5 Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 8 Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 8: Góc DẠNG 2. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG Câu 1. Cho tứ diện ABCD có các mặt (ABC) và (ABD) là các tam giác đều cạnh a, các mặt (ACD) và (BCD) vuông góc với nhau. Tính số đo của góc giữa hai mặt đường thẳng AD và BC A. 300 B. 600 D. 450 C. 90 Hướng dẫn giải Gọi M, N, E lần lượt là các trung điểm của các cạnh CD, AB, BD A AB  BN Ta có:   AB   BCN   AB  MN AB  CN Do ACD cân tại A  AM  CD  AM   BCD  AM  BM  MN  N  AMB vuông tại M AB a  2 2 B D E 3a 3 a 2 a 2   4 4 2  DM  ND2  NM2  M MNE là tam giác đều  MEN  600 C NE / /AD Do    AD, BC    NE,EM   600 . EM / /BC Vậy chọn đáp án B Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA  a , SB  a 3 và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SM, DN A. 7 5 5 B. 2 5 5 5 5 Hướng dẫn giải C. 3 5 5 D. Gọi H là hình chiếu của S trên AB, suy ra SH   ABCD  Do đó SH là đường cao của hình chóp S.BMDN S Ta có: SA2  SB2  a2  3a 2  AB2  SAB vuông tại S  SM  AB a  a . Kẻ ME∥DN  E  AD   AE  2 2 Đặt  là góc giữa hai đường thẳng SM và DN. Ta có: SM,ME   A Theo định lý ba đường vuông góc, ta có: SA  AE Suy ra SE  SA2  AE2  a 5 a 5 , ME  AM2  AE2  2 2 a 5 SME cân tại E nên SME   và cos   2  5 a 5 2 E D H M O B N C Vậy chọn đáp án B. Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 9 Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 8: Góc Câu 3. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB  a, AC  a 3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA’, B’C’ A. 3 4 B. 1 4 C. 1 2 3 2 D. Hướng dẫn giải Gọi H là trung điểm AH  1 1 2 BC  a  3a 2  a 2 2 của BC  A’H   ABC  và B’ C’ A’ Do đó: 2a A’H  A’A  AH  3a  A’H  a 3 2 2 2 2 1 a3 Vậy VA’.ABC  A’H.S  ABC  (đvtt) 3 3 Trong tam giác vuông A’B’H có HB’  A’ B’2  A’H2  2a nên B a tam giác B’BH là cân tại B’. Đặt  là góc giữa hai đường thẳng AA’ và B’C’ thì   B’ BH Vậy cos   C H a 3 A a 1  . 2.2a 4 Vậy chọn đáp án B. Câu 4. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân AB  AC  a , BAC  1200 và AB’ vuông góc với đáy (A’B’C’). Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh CC’ và A’B’, mặt phẳng (AA’C’) tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 300 . Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AM và C’N A. 7 19 B. 2 5 39 3 29 Hướng dẫn giải C. 2 D. 2 Ta có: BC2  AB2  AC2  2AB.ACcosA  3a 2  BC  a 3 K Gọi K là hình chiếu của B’ lên A’C’, suy ra A’C’   AB’K  B’ Do đó:  7 29 A’ N C’  AKB’   A’ B’C’  ,  AA’C’   300 Trong tam giác A’KB’ có E a 3 KA’ B’  60 , A’ B’  a nên B’K  A’ B’sin 60  2 0 Suy ra AB’  B’K.tan 300  0 M a 2 Gọi E là trung điểm của AB’, suy ra ME∥C’N nên A B C  C’N,AM   EM,AM Vì AB’  C’N  AE  EM   C’N,AM   AME Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 10 Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 8: Góc   2 C’ B’2  C’A’2  A’ B’2 1 a a 7 2 2 AE  AB’  ; EM  C’N   EM  2 4 4 2 AM2  AE2  EM2  Vậy cos AME  29a 2 a 29  AM  16 4 ME 7 2 . MA 29 Vậy chọn đáp án D. Câu 5. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a 2 , AC =2a. Mặt bên SAC là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Cạnh bên SA hợp với mặt đáy một góc  thỏa mãn cos A. 300 21 . Góc giữa hai đường thẳng AC và SB bằng 6 B. 450 C. 600 D. 900 Hướng dẫn giải Gọi H là trung điểm của AC khi đó SH  AC Mặt khác  SAC    ABC   SH   ABC  Mặt khác BC  AC2  AB2  a 2  AB nên tam giác ABC vuông cân tại B do đó BH  AC . Lại có SH  AC  AC   SBH do đó SB  AC . Vậy chọn đáp án D. Câu 6. Cho hình lăng trụ đều ABC. A’B’C’ ‘ có cạnh đáy bằng 2a. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (BGC’) bằng a 3 . Góc giữa hai đường thẳng chéo 2 nhau B’G và BC gần bằng A. 61,280 B. 64,280 C. 68,240 D. 52,280 Hướng dẫn giải Gọi M là trung điểm của AC ta có: BM  AC Dựng CE  CC’  CE   C’MB     Do đó d C;  BC’M   d C;  BC’G   GE  Khi đó 1 CE 2  1 CM 2  1 CC’2 Lại có BM  a 3  BG  Tương tự ta có C’G  Do vậy cos C’ B’G  a 3 2  CC’  a 3 2a 3 a 39  B’G  BG2  BB’2  3 3 a 39 3 C’ B’2  GB’2  GC’2 3   C’ B’G  61,290 2C’ B’.GB’ 39 Mặt khác B’C’/ /BC   BC; B’G    B’C’; B’G   C’ B’G  61,290 . Vậy chọn đáp án A. Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 11 Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 8: Góc Câu 7. Cho hình chóp S ABCD . có SA, SB, SC, đôi một vuông góc với nhau và SA = SB = SC = a . Tính góc giữa hai đường thẳng SM và BC với M là trung điểm của AB A. 300 B. 600 C. 900 D.1200 Hướng dẫn giải Qua B kẻ đường thẳng d song song với SM Và cắt đường thẳng SA tại N Do đó  SM; BC    BN; BC   NBC Ta có SM||BN và M là trung điểm của AB Nên SN  SA  SC  a  NC  a 2 NV  2SM  a 2 Mà BC  SB2  SC2  a 2  NBC là tam giác đều   Vậy NBC  600  SM, BC  600 . Vậy chọn đáp án B Câu 8. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a . Tính góc giữa hai đường thẳng CI và AC, với I là trung điểm của AB A. 100 B. 300 C. 1500 D. 1700 Hướng dẫn giải Ta có I là trung điểm của AB nên  CI;CA   ICA Xét tam giác AIC vuông tại I, có AI  Suy ra sin ICA  AB AC AI 1    2 2 AC 2 IA 1   ICA  300   CI;CA   300 . CA 2 Vậy chọn đáp án B Câu 9. Cho hình chóp S ABCD . có đáy ABCD là hình chữ nhật. Các tam giác SAB, SAD, SAC là các tam giác vuông tại A . Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SC và BD biết SA= 3 , AB  a,AD  3a. A. 1 2 B. 3 2 C. 4 130 D. 8 130 Hướng dẫn giải Ta có các tam giác SAB, SAD, SAC là các tam giác vuông tại A. Nên SA  AB,SA  AD  SA   ABCD  Gọi O  AC  BD . Và M là trung điểm của SA. Do đó OM||SC Hay SC|| MBD  nên  SC; BD    OM; BD   MOB Có BM  AM2  AB2  SA2 a 7 SC a 13  AB2  ,MO   4 2 2 2 Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 12 Chuyên đề: Hình học không gian BO  Chủ đề 8: Góc BD a 10 . Áp dụng định lý cosin trong tam giác MOB.  2 2 Ta được BM2  OM2  OB2  2OM.OB.cosMOB  cosMOB  OM2  OB2  BM2 8  . 2OM.OB 130 Vậy chọn đáp án D Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SD và BC biết AD = DC = a, AB = 2a, SA  A. 2a 3 3 1 B. 42 2 C. 42 3 4 D. 42 42 Hướng dẫn giải Gọi M là trung điểm của AB. Ta có AM  AD  DC  a Mà AB song song với CD nên AMCD là hình vuông cạnh A. Do đó DM song song với BC. Suy ra  SD; BC    SD; DM   SDM Lại có SM  SA2  AM2  a 21 3 Và DM  a 2 ,SD  SA2  AD2  a 21 3 Áp dụng định lý cosin trong tam giác SDM, ta được cosSDM  SD2  DM2  SM2 3  . 2SD.SM 42 Vậy chọn đáp án C Câu 11. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a . Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AB và CI với I là trung điểm của AD. A. 3 2 B. 3 4 C. 3 6 D. 1 2 Hướng dẫn giải Gọi H là trung điểm của BD. Ta có IH||AB  AB|| HIC  Nên  AB;CI    IH;IC   HIC . Mà IH  a a 3 ,CH  CI  2 2 Áp dụng định lý cosin trong tam giác HIC, ta được 2 a 2 2 2 2 HI  CI  HC 3 3 cosHIC       cos AB; CI  . 2HI.CI 6 6 a a 3 2. . 2 2   Vậy chọn đáp án C Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 13 Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 8: Góc Câu 12. Cho lăng trụ ABC.A’B’ C’ có tất cả các cạnh đáy bằng a . Biết góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy là 600 và H là hình chiếu của đỉnh A lên mặt phẳng  A’B’C  , H trùng với trung điểm của cạnh B’C’. Góc giữa BC và AC là  . Giá trị của tan là: A. 3 B. -3 C. 1 3 D. 1 3 Hướng dẫn giải Ta có A’H là hình chiếu của AA’ lên mặt phẳng đáy   Do đó AA’;  ABC    AA’; A’H   AA’H  600 Lại có A’H  Và AA’  a a a 3 a 6  AH  tan 600.   B’H nên AB’  2 2 2 2 A’H cos600  a  AC’  a Mặt khác  BC; AC’    AC’; B’C’   AC’ B’   Do đó cos   Suy ra tan   AC’2  B’C’2  AB’2 1  2.AC’.B’C’ 4 1 cos2  1  3. Vậy chọn đáp án A Câu 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại AD, với AB = 3a, AD = 2a, DC = a. Hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng  ABCD là H thuộc AB với AH = 2HB . Biết SH = 2a , cosin của góc giữa SB và AC là: A. 2 2 B. 2 6 C. 1 5 D. 1 5 Hướng dẫn giải Qua B kẻ đường thẳng d song song với AC và cắt CH tại K Ta có  SB; AC    SB; BK   SBK   Xét hai tam giác đồng dạng ACH và BKH có CH AH  2 HK BH SB  SH2  HB2  a 5  CH a 5   BK   Nên HK  a 21 2 2 SK  SH2  HK 2  2  Do đó cosSBK  cos   SB2  BK 2  SK 2 1  . 2.SB.BK 5 Vậy chọn đáp án C Câu 14. Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với đáy. Biết SA = a; AB = a; BC = a 2 . Gọi I là trung điểm của BC. Cosin của góc giữa 2 đường thẳng AI và SC là: A. 2 3 B.  2 3 C. 2 3 D. 2 8 Hướng dẫn giải Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 14 Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 8: Góc Gọi H là trung điểm của SB  IH song song với SC. Do đó SC|| AHI    AI;SC    AI;HI   AIH Ta có AI  AB2  BI 2  SC SA2  AC2 a 6 và IH   a 2 2 2 AB2  AS2 BS2 a 2 .   2 4 2 AH  Áp dụng định lý cosin trong tam giác AHI, có cos AIH  AI 2  HI 2  AH2 6 2   . 2AI.AH 3 3 Vậy chọn đáp án A DẠNG 3. GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Câu 1. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân tại A, BC  a , AA’  a 2 và cos BA’C  5 . Tính góc giữa đường thẳng A’B và mặt phẳng (A A’C’C) 6 A. 300 B. 450 C. 600 Hướng dẫn giải D. 900 Đặt AB  x thì A’ B2  A’C2  x2  2a 2 B Áp dụng định lí hàm số cosin trong A’ BC , ta có: cos BA’C  2 2 2  2 H A A’ B  A’C  BC 2x  4a  a 5   xa 2A’ B.A’C 6 2 x2  2a 2 2 C 2  Kẻ BH  AC , khi đó BH   AA’C’C  Suy ra góc giữa đường thẳng A’B và mặt phẳng (AA’C’C) là góc BA’H . C’ B’ Trong tam giác vuông A’BH có A’ a 3 BH 1 sin BA’H   2   BA’H  300 A’ B a 3 2 Vậy chọn đáp án A. Câu 2. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B. Biết AB  3cm, BC’  3 2cm . Tính góc hợp bởi đường thẳng BC’ và mặt phẳng (ACC’A’) A. 900 B. 600 C. 450 Hướng dẫn giải Tính góc hợp bởi đường thẳng BC’ và mặt phẳng (ACC’A’) D. 300 B A Gọi H là trung điểm của cạnh AC, suy ra HC’ là hình chiếu của BC’ H C lên mặt phẳng (ACC’A’)   Do đó BC’,  ACC’A’    BC’;HC’  3 2 Ta có tam giác BHC’ vuông tại H, cạnh BH  cm 2 A’ B’ C’ Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 15 Chuyên đề: Hình học không gian Ta có sin HC’ B  Chủ đề 8: Góc   BH 1   HC’ B  300 . Vậy BC’, ACC’A’   30 0 BC’ 2 Vậy góc giữa hai mặt phẳng (ABB’A’) và (ABC) bằng 600 . Vậy chọn đáp án B. Câu 3. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc A  600 . Chân đường vuông góc hạ từ B’ xuống mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm của hai đường chéo của đáy ABCD. Cho BB’  a .Tính góc giữa cạnh bên và đáy A. 300 B. 450 C. 600 Hướng dẫn giải D. 900 Tính góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy. D’ C’ Gọi O  AC  BD . Theo giả thiết ta có B’O   ABCD  A’   B’ B   ABCD   B    B’O   ABCD  , O   ABCD  B’  Hình chiếu B’B trên (ABCD) là OB    B’ B,  ABCD    B’ B,BO   B’ BO Tam giác ABD D có C O a AB  AD  a , BAD  60  ABD là tam giác đều  OB  2 A 0 H K B a OB 2 1 Trong tam giác vuông B’OB: cos B’OB     B’OB  600 . BB’ a 2 Vậy chọn đáp án C. Câu 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh bằng 4a. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy. Tam giác SAB có diện tích bằng 8a 2 6 . Côsin của góc tạo bởi 3 đường thẳng SD và mặt phẳng (SBC) bằng: A. 19 5 B. 6 5 C. 6 25 D. 19 25 Hướng dẫn giải Gọi H là hình chiếu vuông góc của D trên mặt phẳng (SBC)     S SH  SD;  SBC   HSD  cos SD;  SBC   cosHSD  SD 1 1 8a 2 6 4a 6 SABC  SA.AB  SA.4a   SA  2 2 3 3 1 VD.SBC  DH.SSBC và 3 VD.SBC  VS.BCD A 1 1 4a 6 1 32a 3 6  .SA.S BCD  . . .4a.4a  3 3 3 2 9 3 3 1 32a 6 32a 6  DH.SSBC   DH  3 9 3SSBC D 4a H B C Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 16 Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 8: Góc  BC  AB 1 1 Từ   BC   SAB   BC  SB  SSBC  BC.SB  .4a.SB  2a.SB 2 2  BC  SA 2  4a 6  80a 2 80 80 2 SB  SA  AB    SB  a  S SBC  2a 2   16a   3  3 3 3   2 2 2 Thế vào (1)  DH  32a 3 6  80 3 3.2a 2 4a 10 5 2  4a 6  80a 2 80 2 SD  SA  AD    SD  a   16a   3  3 3   2 2 2 2 80a 2  4a 10  304a 2  SH  SD  HD      5  3 15   2 2 2 304 304 SH 15  19 .  SA  a  cos SD;  SBC    15 SD 5 80 a 3   a Chọn A Câu 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, CD  2a, AD = AB = a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáy là trung điểm H của đoạn AB. Khoảng cách từ điểm H a 2 . Tan của góc giữa đường thẳng BC và mặt phẳng (SCD) bằng: 3 đến mặt phẳng (SCD) bằng A. 2 4 B. 2 C. 2 2 D. 2 2 Hướng dẫn giải Gọi P là hình chiếu vuông góc của B trên mặt phẳng (SCD)      BC;  SCD   BCP  tan BC;  SCD   tan BCP     BP PC  AB / /CD  AB / /  SCD   d H;  SCD   d B;  SCD   BP  BP  a 2 3 Ta có BC2  AD2   CD  AB  a 2   2a  a   2a 2 2 2 2 a 2  16a 2  PC  BC  BP  2a      3  9   2 2 2 2 a 2 4a BP 2  PC   tan BC;  SCD    3  . 4a 3 PC 4 3   Vậy chọn đáp án B Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 17 Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 8: Góc Câu 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD có AB  2a ; AD = 2a 3 và SA  ABCD . Gọi M là trung điểm của CD, biết SC tạo với đáy góc 450. Cosin góc tạo bởi đường thẳng SM và mặt phẳng  ABCD là: A. 3 13 B. 13 29 C. 377 29 D. 277 29 Hướng dẫn giải     Từ SA   ABCD   SM;  ABCD   SMA  cos SM;  ABCD   cosSMA   AM SM  Từ SA   ABCD   SC;  ABCD   SCA  SCA  450  SAC vuông cân tại A  SA  AC  AB2  BC2  4a 2  12a 2  4a  SM2  SA2  AM2  16a2  13a2  29a2  SM  a 29    cos SM;  ABCD   AM a 13 377   . Vậy chọn đáp án C SM a 29 29 Câu 7. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B có AB = BC = a; SA  (ABC. Biết mặt phẳng SBC tạo với đáy một góc 600 .Cosin góc tạo bởi đường thẳng SC và mặt phẳng  ABC là: A. 10 15 B. 10 10 C. 10 20 D. 10 5 Hướng dẫn giải     Từ SA   ABC   SC;  ABC   SCA  cos SC;  ABC   cosSCA  AC SC ABC vuông cân B  AC  AB 2  a 2 +Ta có ngay SA   SB;  ABC  SBA  SBA  600  tan 600  AB 3  SA  a 3  SC2  SA2  AC2  3a2  2a2  5a2  SC  a 5    cos SC;  ABC   AC a 2 a 10   . SC a 5 5 Vậy chọn đáp án D Câu 8. Cho hình hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông tại B có AB = a 3 , BC = a. Biết A’C = 3a. Cosin góc tạo bởi đường thẳng A’ B và mặt đáy  ABC là: Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 18 Chuyên đề: Hình học không gian 10 4 A. B. Chủ đề 8: Góc 10 6 C. 6 4 D. 15 5 Hướng dẫn giải Lăng trụ đứng A’ B’C.ABC  A’A   ABC       A’ B;  ABC   A’ BA  cos A’ B;  ABC   cos A’ BA  AB A’ B ABC vuông tại B  AC2  AB2  BC2  3a 2  a 2  4a 2  AC  2a  A’A2  A’C2  AC2  9a2  4a2  5a2  A’ B2  A’A2  AB2  5a2  3a2  8a2  A’ B  2a 2    cos A’ B;  ABC   cos A’ BA  AB a 3 6   . Vậy chọn đáp án C A’ B 2a 2 4 Câu 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và SC= a 2 . Gọi H và K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD. Cosin của góc giữa SC và mặt phẳng SHD là 3 5 A. B. 5 3 C. 2 5 D. 5 2 Hướng dẫn giải Ta có SB2  BC2  SC2  2a2  SB  BC mà BC  AB  BC   SAB  BC  SH mà SH  AB  SH   ABCD   Kẻ CE  HD  CE   SHD   SC,  SHD    SC,SE   CSE Ta có 1 1 2a 5 CE.HD  S ABCD  CE  2 2 5  SE  SC2  CE2  a 30 SE 3  cosCSE   . 5 SC 5 Vậy chọn đáp án A Câu 10. Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác cân tại A có AB = AC = 4a, góc BAC  1200 . Gọi M là trung điểm của BC, N là trung điểm của AB, SAM là tam giác cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết SA = a 2 . Góc giữa SN và mặt phẳng  ABC là: A. 300 B. 450 C. 600 D. 900 Hướng dẫn giải   Ta có SN;  ABC    SN; NH   SNH Ta có MAC  600  AM  2a,MC  2a 3 1  AH  AM  a  SH  SA2  AH2  a 2 Ta có NH  1 BM  a 3 2  tan SNH    SH 1   SNH  300  SN,  ABC   300 NH 3 Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 19 Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 8: Góc Vậy chọn đáp án A Câu 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, hình chiếu vuông góc của S lên  ABCD là trọng tâm G của ABD. Biết SG = 2a , cosin của góc giữa SD và  ABCD là: 5 21 A. B.  5 21 C. 5 41 5 41 D.  Hướng dẫn giải   Ta có SD;  ABCD    SD,GD   SDG Ta có DG  2 2 a 5 DM  AM2  AD2  3 3 3  tan SDG   cosSDG  SG 6 5  GD 5   5 5  cos SD,  ABCD   41 41 Vậy chọn đáp án C Câu 12. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật cạnh AB = 4a, AD  a 3 . Điểm H 1 nằm trên cạnh AB thỏa mãn AH  HB . Hai mặt phẳng SHC và SHD cùng vuông góc với mặt 3 phẳng đáy. Biết SA = a 5 . Cosin của góc giữa SD và SBC là: A. 5 12 B. 5 13 C. 4 13 D. 1 3 Hướng dẫn giải Kẻ HK  SB  HK   SBC  . Gọi E  DH  BC , kẻ DF / /HK  F  EK     DF   SBC   SD,  SBC    SD,SF   DSF Ta có SH  SA2  AH2  2a . Xét SHB có Ta có 1 HK 2  1 SH 2  1 HB 2  13 36a 2  HK  6a 13 EH HB 3 HK EH 3 8a       DF  . Ta có SD  SH2  DH2  2a 2 ED CD 4 DF ED 4 13  SF  SD2  DF2  2a 10 13  cos DSF  SF 5  SD 13 Vậy chọn đáp án B. Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 20 Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 8: Góc Câu 13. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a . Tam giác SAB cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết SC tạo với đáy một góc 600 ,gọi M là trung điểm của BC. Cosin góc tạo với SM và mặt đáy là: A. cos   6 3 B. cos   1 C. cos   10 3 3 D. cos   3 10 Hướng dẫn giải Gọi H là trung điểm của AB khi đó SH  AB Mặt khác  SAB   ABC  suy ra SH   ABC  Khi đó CH  a 3 3a  SH  CHtan 600  2 2 Do M là trung điểm của BC nên HM  cosSMH  HM HM2  SH2  1 10 BC a  2 2 . Vậy chọn đáp án B Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 21 Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 8: Góc Để sử dụng file word, quý thầy cô vui lòng đóng góp chút kinh phí để tạo động lực cho tác giả ra đời những chuyên đề khác hay hơn STT 1 TÊN TÀI LIỆU GIÁ KĨ THUẬT GIẢI NHANH TRẮC NGHIỆM SỐ PHỨC_123 MÃ SỐ 60K SO PHUC_123 50K HHKG_KDD 110 K HHKG_TTKC 70K HHKG_TTLT 110 K HHKG_NTC 130 K HHKG_KC 50K HHKG_GOC Tặng 6 đề word thi thử THPT Quốc gia 2017 (có đáp án và lời giải chi tiết) {Đề 1-6} 2 CHỦ ĐỀ 1_KHỐI ĐA DIỆN {26 Trang} Tặng 5 đề word thi thử THPT Quốc gia 2017 (có đáp án và lời giải chi tiết) {Đề 7-11} 3 CHỦ ĐỀ 2_THỂ TÍCH KHỐI CHÓP {59 Trang} Tặng 10 đề word thi thử THPT Quốc gia 2017 (có đáp án và lời giải chi tiết) {Đề 12-21} 4 CHỦ ĐỀ 3_THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ {34 Trang} Tặng 5 đề word thi thử THPT Quốc gia 2017 (có đáp án và lời giải chi tiết) {Đề 22-26} 5 CHỦ ĐỀ 456_NÓN TRỤ CẦU {56 Trang} Tặng 10 đề word thi thử THPT Quốc gia 2017 (có đáp án và lời giải chi tiết) {Đề 27-36} 6 CHỦ ĐỀ 7_KHOẢNG CÁCH {68 Trang} Tặng 12 đề word thi thử THPT Quốc gia 2017 (có đáp án và lời giải chi tiết) {Đề 37-49} 7 CHỦ ĐỀ 8_GÓC {21 Trang} Tặng 5 đề word thi thử THPT Quốc gia 2017 (có đáp án và lời giải chi tiết) {Đề 50-54} 8 CHỦ ĐỀ 9_CỰC TRỊ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN VÀ CÁC 80k KHỐI LỒNG NHAU {29 Trang} HHKG_CT Tặng 8 đề word thi thử THPT Quốc gia 2017 (có đáp án và lời giải chi tiết) {Đề 55-63} Hướng dẫn thanh toán Quý thầy cô thanh toán cho mình qua ngân hàng. Sau khi chuyển khoản, mình sẽ lập tức gửi tài liệu cho quý thầy cô. Nếu trong ngày mà thầy cô chưa nhận được thì vui lòng gọi điện trực tiếp cho mình. Thầy cư. SĐT: 01234332133 NGÂN HÀNG TÊN TÀI KHOẢN TRẦN ĐÌNH CƯ TRẦN ĐÌNH CƯ TRẦN ĐÌNH CƯ SỐ TÀI KHOẢN 4010205025243 0161000381524 55110000232924 CHI NHÁNH THỪA THIÊN HUẾ THỪA THIÊN HUẾ THỪA THIÊN HUẾ Nội dung: Họ và tên_email_ma tai liệu Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 22 Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 8: Góc Ví dụ: Nguyễn Thị [email protected]_HHKG_TTKC Lưu ý: Thầy cô đọc kỹ file PDF trước khi mua, tài liệu mua chỉ dùng với mục đích cá nhân, không được bán lại hoặc chia sẻ cho người khác. CHÚC QUÝ THẦY CÔ DẠY TỐT VÀ THÀNH CÔNG TRONG SỰ NGHIỆP TRỒNG NGƯỜI Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 23