Các dạng toán và bài tập số phức có lời giải chi tiết – Nguyễn Bảo Vương

Giới thiệu Các dạng toán và bài tập số phức có lời giải chi tiết – Nguyễn Bảo Vương

Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và bạn đọc Các dạng toán và bài tập số phức có lời giải chi tiết – Nguyễn Bảo Vương CHƯƠNG SỐ PHỨC.

Các dạng toán và bài tập số phức có lời giải chi tiết – Nguyễn Bảo Vương

Tài liệu môn Toán 12 và hướng dẫn giải chi tiết các đề thi từ cơ bản đến vận dụng cao sẽ luôn được cập thường xuyên từ hoctoanonline.vn , các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán hay và mới nhất.

Tài liệu Các dạng toán và bài tập số phức có lời giải chi tiết – Nguyễn Bảo Vương

Các em học sinh và bạn đọc tìm kiếm thêm tài liệu Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng tại đây nhé.

Text Các dạng toán và bài tập số phức có lời giải chi tiết – Nguyễn Bảo Vương
Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 SỐ PHỨC A.TÓM TẮT GIÁO KHOA. 1. Định nghĩa số phức. Xét Hai phần tử và bằng nhau . : Phép cộng : Phép nhân: Định nghĩa. Tập , cùng với phép cộng và phép nhân ở trên gọi là tập số phức . Phần tử gọi là một số phức. 2. Tính chất phép cộng. Giao hoán: Kết hợp: Tồn tại phần tử không: Mọi số có số đối: Phép trừ: 3. Tính chất phép nhân. Giao hoán: Kết hợp: Tồn tại phần tử đơn vị: Mọi số khác Giả sử có số nghịch đảo : , để tìm . Ta có: . Giải hệ cho ta Vậy, Phép chia: Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng với – 0946798489 Page | 1 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 4. Định lý. Số phức bất kì Hệ thức được biểu diễn duy nhất dạng , , trong đó , được suy từ định nghĩa phép nhân: Biểu diễn gọi là dạng đại số của số phức : phần thực của Tổng số phức: Hiệu số phức: Tích số phức: , . . Do đó: : phần ảo của . . Đơn vị ảo là . . . . 5. Lũy thừa đơn vị ảo : , , , …, bằng quy nạp ta được: , , , , Do đó: 6. Số phức liên hợp: Cho , số phức gọi là số phức liên hợp của . Thật vậy, ( đpcm ). . Thật vậy, ( đpcm ). là số thực không âm. Thật vậy, ( đpcm ). Thật vậy, ( đpcm ). Thật vậy, ( đpcm ). Thật vậy, tức là Thật vậy, ( đpcm ). ( đpcm ). , Thật vậy, Do đó Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng , , ( đpcm ). – 0946798489 Page | 2 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 8. Môđun của số phức Số gọi là môđun của số phức 9. Biểu diễn hình học của số phức Mỗi số phức được biểu diễn một điểm hoặc hay véc tơ trên mặt phẳng phức.Ta viết: . 10. Tính chất i. Gọi . Khi đó: ii. Gọi lần lượt là biểu diễn của hai số phức iii. Cho Khi đó: đối xứng với qua ; . Khi đó: đối xứng với là biểu diễn của qua . . . là biểu diễn của và . B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN. Dạng 1. Các phép tính về số phức và các bài toán định tính. Phương pháp: Dạng 1: Các phép tính về số phức. Sử dụng các công thức cộng, trừ, nhân, chia và lũy thừa số phức. Dạng 2: Số phức và thuộc tính của nó. Tìm phần thực và phần ảo: , suy ra phần thực , phần ảo Biểu diễn hình học của số phức: 1. caùc ví duï minh hoïa Ví dụ 1 Xác định phần thực và phần ảo của các số phức : 1. z  i  2  i  3  i  2. z  3  4i 4i 2 3. 1  i   1  i  z  8  i   1  2i  z Ví dụ 2 1. Tìm môđun của số phức z, biết rằng:  1  2i  z  3  8i 2. Tìm các số thực b, c để phương trình z 2  bz  c  0 nhận số phức z  1  i làm 1 nghiệm. 3 2   Ví dụ 3. Tìm số phức z thỏa mãn: 2  z  z .  z3  z    1  4i   z 2  zz  z      Ví dụ 4.  1. Tìm phần ảo của số phức z , biết : z     2 i  1  2i  .  2 3 1 i 3  2. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z    .  1 i    Ví dụ 5. Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 3 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018  2. Tìm phần thực của số phức z , biết 2  z   1  i  z   1  2i  1. Tìm phần ảo của số phức z , biết z  3z  1  2i 2 Ví dụ 6. Tìm số phức z thỏa mãn: 9 z  2i 1. z  3i  1  iz và z  là số thuần ảo. 2. z  z  2  2i và là số ảo. z z2 z 1 z  3i  1 và 1 Ví dụ 7. Tìm số phức z thỏa mãn: zi zi Ví dụ 8.1.7 Cho số phức z  x  yi; x, y   thỏa mãn z 3  18  26i . Tính T   z  2  2012  4  z 2012 1i. Baøi taäp töï luaän töï luyeän Bài 1. 1. Cho 2 số phức z1 , z 2 thỏa mãn z1  z 2  1 , z1  z 2  3 . Tính z1  z 2 2. Tìm các số thực x, y sao cho : a. z  z’ , biết rằng: z   2x  3    3y  1 i , z’   2y  1   3x  7  i . b. c.  x  2y  4  i 3   3x  y  x  2i   47  20i . x  yi  3  yi d. 3  xyi 1  2i  3 1 3  i. 2 2 và x  y  2i 1  2i 3 là ( phức ) liên hợp. 3. Cho z  cos180  cos 720 i . Tính z . 4. Xác định phần thực và phần ảo của các số phức : 33 10 1 i  1 z    1  i    2  3i  2  3i   i 1i  5. Thực hiện các phép tính : 9 10 A   1  i   1  i  8  1  1  i  B   1  i    i13  13  1  i   i   M  i5  i6  i7  …  i18 2 21 3 N  1   1  i    1  i    1  i   …   1  i  2010 6. Xác định phần thực và phần ảo của các số phức : a. z   2  3i  3  2i  b. z  2 c. z   1  i    1  i  1  2i 3  2i 2 3 2  i  1  i   d. 4) z  4  3i 2 7. Cho z  2x  3x  1   x  1 y  3  i với x, y là các số thực Tìm x, y sao cho: a. z là số thực. c. z  6  5i b. z là thuần ảo và z  4 8. Thực hiện các phép tính : 3 3 2  i  2  i  A  2  i 3   2  i  3  1  3 3i  B   2  3i    C  i  i 2  …  i 2009 D  1  i    1  i   …   1  i  2 2009 3 2010 9. Cho số phức z  (1  2x)(1  x)  (2  x)(2y  1)i Trong đó x, y là các số thực. Tìm x, y sao cho a. z là số thực b. z là số thuần ảo và z  1 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 c. z  20  15i . Page | 4 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 10. Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau: a. z  c. z  (1  2i)2 3i (3  i)(1  2i) b. z  (2  i)3  (3  2i)3 d. z  (1  3i)(2  i)2  2 (3  2i) 11. Tìm modun của số phức z biết: a. (1  2z)(3  4i)  29  22i b. z  (1  2i)(2  i) (2  3i)2 Bài 2 1. Tìm phần thực và phần ảo của số phức : c. 1  i 2  2  i  z  8  i  1  2i  z 4  2i 1  3i 3  2i (2  3i)2  z  2i 3  2i d. (2  i)(3z  1)  (z  2)(4  5i) . Đề thi Cao đẳng năm 2009. 2. Chứng minh nếu z1  z 2  1 , z1 z2  1 thì z1  z2 là số thực. 1  z1z2 3. Tìm số phức z thỏa mãn z  2  i  1 . Biết phần ảo nhỏ hơn phần thực 2 đơn vị.   5. Tìm số phức z thỏa mãn z.z  3  z  z   5  6i . 4. Tìm số phức z thỏa mãn  z  1 z  2i là số thực và z  1  5 . 6. Tính z biết: a.  3i  1 z   2i  1 2 b. z1  2i  3 z2 c. z  1 3i  2  3z  2 i 1 7. Tìm số phức z biết : b. 3z  2(z)2  0 a. 4z  (3i  1)z  25  21i Bài 3 Xét các điểm A, B,C trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số 4i 2  6i ,  1  i  1  2i  , . i1 3i 1. Chứng minh ABC là tam giác vuông cân 2. Tìm số phức biểu diễn bởi điểm D sao cho ABCD là hình vuông. Bài 4 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho A và B là hai điểm lần lượt biểu diễn 2 nghiệm phức của phương trình: z 2  6z  18  0 . Chứng minh rằng tam giác OAB vuông cân. Bài 5 Chứng minh rằng: 1.  1  i  2.  2010  1  i  2009     3i  1 2010 là một số thực 3i  1  2009 là số thuần ảo. Bài 6 Cho u, v là biểu diễn của hai số phức 1  3i và 3  2i     1. 3u  2v ; 5u  3v biểu diễn những số phức nào?     2. Gọi x là biểu diễn của số phức 6  4i . Hãy phân tích x qua u, v . Bài 7 Gọi A1 , A 2 , A 3 , A 4 lần lượt là biểu diễn hình học của các số phức z1  1  3i, z 2  3  2i, z 3  5  i, z 4  4  5i . 1. Tính độ dài các đoạn A1A 2 , A1 A 3 , A1A 4 2. Tìm số phức có biểu diễn là điểm M sao cho A1 A 2 A 4 M là hình bình hành. Bài 9. n 1. Tìm phần thực của số phức z   1  i  , n  N thỏa mãn phương trình: log 4  n  3   log 4  n  9   3 2. Tìm phần ảo của số phức z , biết iz   1  3i  z 1 i  z 2 Bài 10. Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 5 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 1. Gọi z là nghiệm của phương trình z 2  2z  2  0 . Tính giá trị của biểu thức Q  z 2012   1 z 2012 .  2. Tính z , biết  2z  11+i   z  1  1  i   2  2i. Đề thi Đại học Khối A – năm 2011 Bài 11 Tìm số phức z thỏa mãn: z 1 i 1. z  2i  z  1  i và là một số thuần ảo. z  2i 2. z  5 và phần thực của z bằng 2 lần phần ảo của nó. 3. z  z3 4. z  2 và z 2 là số thuần ảo. Đề thi Đại học Khối D ,2010 Bài 12 Tìm số phức z thỏa mãn: 1. z z 4 2 z 200 0 1  7i 5i 3 1 0 z 3. z  (2  3i)z  1  9i 2. z  Đề thi Đại học Khối B – năm 2011 Đề thi Đại học Khối D – năm 2011 2 4. z 2  z  z Bài 13 Tìm số phức z thỏa mãn: 2 z  i  z  z  2i  1.  2 2 z  z 2 2   z   2  i   10 3.   z.z  25  z  2i  z 2.   z  i  z  1  z2 1  4.  z  2i   z  1 z  i   5  zi 1  6.   z  i  1  2  5. 1  z 2z  i  1 i 1 i 7. z 2  z  8z  44 8. z 3  z Bài 14 1. Nếu z1  z2  1, z1z2  1 thì T  2. Nếu z1  z2  z3  r thì T  z1  z 2 là số thực. 1  z1z 2  z1  z2  z2  z3  z3  z1  z1z 2 z 3 là số thực và z1z 2  z 2 z3  z 3 z1 z1  z2  z 3  r với z1  z 2  z 3  0 . 3. Số phức w  z 1 là số thuần ảo  z  1 . z1 Bài 15. Cho  ,  là hai số phức liên hợp thoả mãn  2  R và     2 3. Tính  . Bài 16. Tính z1  z2 , z1  z2 , z1 .z2 , z1  2z 2 , 2z1  z 2 biết: 1. z1  5  6i, z 2  1  3i 2. z1  2  3i, z 2  3  4i 1 3 1 2 3. z1    i, z 2    i 4. z1  3  2i,z 2   2  i 2 2 3 3 Bài 17. Cho các số phức z1  1  2i, z 2  2  3i, z  1  i . Tính : 1. z1  z 2  z 2 2. z1z 2  z 2 z 3  z 3 z1 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 3. z1 z 2 z 3 Page | 6 Tµi liÖu to¸n 12 4. z12  z 22  z23 n¨m häc 2018 5. z1 z2 z 3   z 2 z 3 z1 6. Bài 18. Tìm số phức z thỏa mãn: 1. z  5  7i  2  i z 22  z 23 2. 2  3i  z  5  i z 4.  3  2i 1  3i 3. z(2  3i)  4  5i 5. z12  z 22 2i 1  3i z 1 i 2i 6. 2z(1  i)  2iz(1  i)  4i 1 3 1 3  i . Hãy tính: ; z; z 2 ;  z  ; 1  z  z 2 . z 2 2 Bài 20. Gọi A, B,C lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức z1  3  2i, z 2  2  3i , z 3  5  4i . Bài 19. Cho z  1. Chứng minh A, B,C là ba đỉnh của tam giác. Tính chu vi tam giác đó. 2. Gọi D là điểm biểu diễn của số phức z . Tìm z để ABCD là hình bình hành. 3. Gọi E là điểm biểu diễn của số phức z’ . Tìm z’ sao cho tam giác AEB vuông cân tại E . Dạng 2. Biểu diễn hình học của số phức và ứng dụng . 1. caùc ví duï minh hoïa Ví dụ 1.Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn điều kiện: z  i  1  i  z Ví dụ 2.2.7 Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn điều kiện: z  2  i  z Ví dụ 3.2.7 Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn điều kiện: z  2  z  2  5 1i. Baøi taäp töï luaän töï luyeän Bài 1: Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn điều kiện: z 2 là số ảo. Bài 2: Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn điều kiện:  1. z 2  z 2 2. 2 z  i  z  z  2i Bài 3: Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức:   1. z’  1  3i z  2 , trong đó z là số phức thỏa mãn z  1  2 . 2. z  i  z  i  4 3. z  4  z  4  10 Bài 4: Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức: 1. z  i  z  2  3i 3. z   3  4i   2 2. 2z  3  5i  2 4. z  4  3i  z  3  2i  10 Bài 5: Tìm tập hợp những điểm M biểu diễn số phức z thỏa: 1. z  4  3i là số thực 2. z  1  2i  1 3. z  3i  z  2  i 4. z  4  3i  z  3  2i  2 5. 5  4i  3z  1 6. z  1  i  z  2  3i  2 . Bài 6: Tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa 2z  i z  2i  3 1. có phần thực bằng 3 2. là một số thực dương. z  2i z3i Bài 7: Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện: 1. Phần thực của z bằng hai lần phần ảo của nó. 2. Phần thực của z thuộc đoạn [2;1] . 3. Phần thực của z thuộc đoạn [2;1] và phần ảo của z thuộc đoạn [1; 3] . 4. z  2 5. 2  z  3 7. 2 z  i  z  z  2i 8. 1  z  2 và phần ảo lớn hơn hoặc bằng Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 6. z  1  2i  2 1 . 2 Page | 7 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Dạng 3. Căn bậc hai của số phức và phương trình bậc hai Phương pháp: 1. Định nghĩa: Cho số phức . Mỗi số phức thỏa Xét số thực (vì có căn bậc hai là ). Nếu thì có hai căn bậc hai là và Đặc biệt : có hai căn bậc hai là và 2. Cách tìm căn bậc hai của số phức Với . Để tìm căn bậc hai của Từ gọi là căn bậc hai của . Nếu ( thì . có hai căn bậc hai là là số thực khác 0) có hai căn bậc hai là và . . ta gọi giải hệ này, ta được . 3. Phương trình bậc hai với hệ số phức Là phương trình có dạng: , trong đó a. Cách giải: Xét biệt thức và là các số phức . là một căn bậc hai của Nếu phương trình có nghiệm kép: Nếu phương trình có hai nghiệm phân biệt . b. Định lí viét Gọi là hai nghiệm của phương trình : . Khi đó, ta có hệ thức sau: . 1. caùc ví duï minh hoïa Ví dụ 1.Trên tập số phức, tìm m để phương trình bậc hai z 2  mz  i  0 có tổng bình phương hai nghiệm bằng 4i . Ví dụ 2. Giải các phương trình sau trên tập số phức: 2. z2  (2i  1)z  1  5i  0 1. z 2  2z  17  0 4z  3  7i  z  2i 4. 25 5z2  2 zi Ví dụ 3. Giải các phương trình sau trên tập số phức:  3.  2 2  4  25z  6   0 1. z 3  (2  2i)z2  (5  4i)z  10i  0 biết phương trình có nghiệm thuần ảo 3  zi  3.   8  z  1 2. z 4  2z3  z 2  2z  1  0  16x  11y 7 x  2 x  y2    y  11x  16y  1  x2  y2     3  12  10x  1   x 1  3 2 5x  y  3x  y     ;   3   y  1  12   6 y 1    1    5x  y  3x  y     78y  20 x  2 x  y2  Ví dụ 4. Giải hệ phương trình:  ;  y  78x  15  x2  y2     Ví dụ 5. Giải hệ phương trình:     Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 8 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Ví dụ 6. Cho số phức z thoả mãn điều kiện 11z10  10iz9  10iz  11  0. Chứng minh rằng z  1. 1i. Baøi taäp töï luaän töï luyeän Bài 1: Tìm căn bậc hai của số phức: 1. z  8  6i 2. z  33  56i 3. z  1  4i 3 4. z  5  12i Bài 2: Tìm căn bậc hai của các số phức sau: 2 5 5 3  i 3.  1  2i   1.   3i 2. 4 1 i Bài 3: Giải phương trình sau trên  : 4z  3  7i 1. z 2  1  3i  z  2  2i  0 2.  z  2i Đề thi Cao đẳng năm 2009 zi z 4 200 0 4. z 3  3  1  2i  z 2   3  8i  z  2i  5  0 1  7i z Bài 4: Giải phương trình sau trên  : 3. 2 z 1. z 2   1  5i  z   8  i   0 2. z 2   3  4i  z  5i  1  0 3. z 2   3  2i  z  5  5i  0 4. z 2  8  1  i  z  63  16i  0 5. 1  i  z2  2 1  2i  z  4  0 6. z 2   2i  1 z  1  5i  0 Bài 5: Giải phương trình sau trên  : 1. z 3  2  1  i  z2   5  4i  z  10  0 2. z 3   4  5i  z2  4  2  5i  z  40i  0 3. z 3  3  2  i  z 2  2  5  9i  z  30i  0 2 Bài 6:  z1 Giải phương trình: z   2   , biết z  3  4i là 1 nghiệm của phương trình. z 7  Bài 7: Giải phương hệ trình sau trên  :  Bài 8:  3x  y 3 x  2 x  y2  Giải hệ phương trình:  ,  y  x  3y  0  x2  y 2   z2  z 2  5  2i 1 2  z1  z 2  4  i  1  2   1   3x  1  2 xy     7y  1  1   4 2    xy   Bài 9: 1. Tìm các số thực a, b để: 2z3  9z2  14z  5  (2z  1)(z2  az  b) rồi giải phương trình sau trên C: 2z3  9z 2  14z  5  0 . 2. Tìm các số thực a, b để : z 4  4z 2  16z  16  (z2  2z  4)(z 2  az  b) rồi giải phương trình sau trên C: z 4  4z 2  16z  16  0 . Bài 10: 1. Tìm tất cả cá giá trị thực của m để phương trình sau có ít nhất một nghiệm thực: z 3  (3  i)z 2  3z  (m  i)  0 . 2. Biết phương trình 1  i  x 2     i  x  1  i  0 không có nghiệm thực. Tìm những giá trị có thể có của . Bài 11: Giải các hệ sau trên tập số phức z 1 z1  z 2  z1z 2  9  2i  1.  2 2.  z z 2 z1  z 2  11  2i    1. z z Dạng 4. Phương trình quy về bậc hai Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 9 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 1i. Baøi taäp töï luaän töï luyeän z2 z1 0 2 Bài 1: Giải phương trình sau trên  : z 4  z 3  Bài 2: Giải phương trình: 2. 2z4  7z3  9z 2  7z  2  0 1. z 4   2  i  z 2  2i  0 3. 4z4   6  10i  z 3   15i  8  z 2   6  10i  z  4  0 4. z 4   3  i  z3   4  3i  z2  2  3  i  z  4  0  5. 25 5z2  2  2 2  4  25z  6   0 Bài 3: Giải phương trình: 4 4 1.  z  4    z  6   82  3. z2  1  4  16  z  1  2. z2  1 4  2 2   z  3  0 4. z  z  2  z  1 z  3   10 Bài 4: Gọi z1 ,z 2 , z3 , z 4 là các nghiệm phức của phương trình 4  z 1  2 2 2 2    1 . Tính P  z1  1 z2  1 z3  1 z4  1 .  2z  i      Dạng 5. Dạng lượng giác của số  phức Phương pháp: Công thức De – Moivre: Có thể nói công thức De – Moivre là một trong những công thức thú vị và là nền tảng cho một loạt công thức quan trọng khác sau này như phép luỹ thừa, khai căn số phức, công thức Euler. Công thức 1: Công thức 2 : Số phức Với ta có: và góc được gọi là argument của z, ký hiệu là . Ngược với phép luỹ thừa ta có phép khai căn 1. caùc ví duï minh hoïa Ví dụ 1. Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác . Từ đó hãy viết dạng đại số của z 2012   1. z  2  2i 2. z  6  2i 3. z  1  cos  i sin 8 8   Ví dụ 2. Gọi z1 , z 2 là 2 nghiệm của phương trình: z 2  1  3  1  i  z  4i  0 . Tính giá trị biểu thức Q  z12012  z 2012 2 Ví dụ 3.Tìm số phức z sao cho z 5 và 1 z2 là hai số phức liên hợp. 1 Ví dụ 4. Giải phương trình cos x  cos 2x  cos 3x  . 2 1 Ví dụ 5. Giải phương trình : cos x  cos 3x  cos 5x  cos 7x  cos 9x  . 2 1i. Baøi taäp töï luaän töï luyeän Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 10 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Bài 1 : 12 1. Tính A  1  i  12  1  i  3 1 i 3  2. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z    .  1 i    Đề thi Đại học Khối B – năm 2011 4 z  z  3. Cho số phức z1 ,z2 thỏa mãn z1  z2  z1  z2  0 . Tính A   1    2   z2   z1  1  3i  4. Cho số phức z thỏa mãn z  1 i 4 2 . Tìm môđun của số phức z  iz Đề thi Đại học Khối A – năm 2010 Bài 2 : k 2 4 2k 2008 2010 1. Tính giá trị biểu thức S  C02010  3C 2010  32 C2010  …   1 C2010  …  31004 C2010  31006 C 2010 2. Rút gọn biểu thức: A  cos x  cos 2x  cos 3x  …  cos nx B  sin x  sin 2x  sin 3x  …  sin nx Bài 3 : Tính tích phân  4  2  s in5x  2. J     dx sin x   0 cos 5x dx cos x 0 1. I   Bài 4 : Cho dãy số  u n  xác định bởi u1  1, u 2  0, u n  2  u n 1  u n n    . Chứng minh  u n  bị chặn. Bài 5 : Viết các số phức sau dưới dạng đại số  1 i  1. z     1  3i  2012  2. z  (1  i)19 1  3i  40  z1  z 2  z3  1  Bài 6 : Cho ba số phức z1 , z 2 , z 3 thoả mãn hệ:  z1 z 2 z3 . z  z  z  1 3 1  2 Tính giá trị của biểu thức T  az1  bz 2  cz 3 với a, b,c   . Bài 7 : Viết dạng lượng giác của các số phức sau:    2. z  2  cos  i sin  6 6    4. z  sin  i cos 7 7 1. z  3  3i 3. z  cos    i sin 9 9 5. z  1  sin    i cos 8 8 6. z   1  7 3i   3  i 8  1  i 9 Bài 8 : Viết các số phức sau dưới dạng đại số. 2. z  (1  i)11 1. z  1  3i 4. z  (1  i)10 ( 3  i)5  2i 3. z  5. z  ( 1  3i)10 Bài 9 : Tìm số phức z ở dạng lượng giác biết rằng: 5 1. z  2 và một argument của  1  i  z là . 12  2. zz  9 và một argument của  1  3i  z là . 4 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 (1  3)9 (1  i)5 (1  2i)34 (1  i)20 ( 3  i)22 Page | 11 Tµi liÖu to¸n 12 3. z  n¨m häc 2018 1 và một argument của 4 z 2 . 3 là 3 i z 1  i   4  3 3i  3  và một argument của là . 16 12 13  3i Bài 10 : Tìm các số nguyên dương n để số phức sau là số thực? số ảo? 4. z   13 3  9i  1.    12  3i  n  7  17i n 2. 3.  2  3i 2n  59  11 3i n  3 3  2i 2n Bài 11 : Tìm số phức z thoả mãn: 1 1. z 4 và là hai số phức liên hợp của nhau. z3 32 2. z 3 và là hai số phức liên hợp. z2 Dạng 6. Cực trị của số phức 1. caùc ví duï minh hoïa Ví dụ 1. Cho số phức z thỏa mãn: z  4  3i  3 . Tìm số phức z có modul nhỏ nhất. Ví dụ 2. Cho số phức z thỏa mãn z  3  4i  4 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z Ví dụ 3.6.7 Cho số phức z  im , m . 1  m  m  2i  1 2 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của số thực k sao cho tồn tại m để z  1  k 1. Tìm m để z.z  Ví dụ 4. Tìm số phức z thỏa mãn: z  2i có một acgumen bằng một acgumen của z  2 cộng với  . Tìm giá trị lớn 4 nhất của biểu thức T  z  1  z  i 1i. Baøi taäp töï luaän töï luyeän Bài 1: Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất thỏa mãn: 1. z  1  5i z3i  z  3  4i  1  2. log 1  1  3 z  3  4i  3    2 1 Bài 2: Cho số phức z thỏa mãn: 1. z  1  2i  2 . Tìm số phức z có modul nhỏ nhất. 2. z  2  4i  z  2i . Tìm số phức z có modul nhỏ nhất. Bài 3: 1. Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Chứng minh rằng: 1  1  z 3  1  z  z 2  5 2. Chứng minh: z1  z2 2  z1  z2 2  2  2 z1  z2 2  3. Chứng minh rằng với mỗi số phức z , có ít nhất một trong hai bất đẳng thức sau xảy ra: z  1  4. Cho số phức z  0 thỏa mãn z 3  1 z3  2 . Chứng minh: z  2 hoặc z 2  1  1 . 2 1 2 z Bài 4: Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời thỏa 2 điều kiện: z  z  4  3i và biểu thức A  z  1  i  z  2  3i có giá trị nhỏ nhất. Bài 5: Cho hai số phức z1 và z 2 . Chứng minh rằng: Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 12 Tµi liÖu to¸n 12 1. z1  z2 2 2. 1  z1z 2 n¨m häc 2018  z1  z 2 2 2  z1  z 2 2  2  2 z1  z 2   1  z1z2 2  2    z1  z2  2 3. z1  z 2  z1  z2  z1  z 2 . Bài 6: Cho số phức z thỏa z  1 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của: A z  5i z B  z 2  z  1  z3  1 Bài 7: Cho số phức thoả mãn z  1 . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của: B  1  z  1  z  z2 A  1 z  3 1 z Bài 8: Cho số phức thoả mãn z  2  2i  1. Tìm Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z . Bài 9: Cho các số phức a, b,c . Đặt a  b  m, a  b  n với mn  0 . Chứng mỉnh rằng:   max ac  b , bc  a  mn m2  n2 . 1ii. Baøi taäp traéc nghieäm töï luyeän C. P  6 2i. Vấn đề 1. PHẦN THỰC – PHẦN ẢO Câu 1. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z  3  2i. D. P  6 2. Câu 5. Kí hiệu a , b lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức z  i 1  i . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 2i. A. a  1, b  i . B. a  1, b  1. B. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 2. C. a  1, b  1. D. a  1, b  i . C. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 2i. Câu 6. Tính tổng T của phần thực và phần ảo của số phức D. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 2. z Câu 2. Cho số phức z  a  bi a; b    . Tìm phần thực và   2 2  3i . A. T  11 . B. T  11  6 2 . C. T  7  6 2 . D. T  7 . 2 phần ảo của số phức z . A. Phần thực bằng a 2  b 2 và phần ảo bằng 2a 2 b 2 . Câu B. Phần thực bằng a 2  b 2 và phần ảo bằng 2ab. C. Phần thực bằng a  b và phần ảo bằng a 2 b 2 . D. Phần thực bằng a  b và phần ảo bằng ab . Câu 3. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Số phức nào dưới đây là số thuần ảo? A. z  2  3i. B. z  3i. C. z  2. D. z  3  i. 7. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z  4  3i  1  i  . 3 A. Phần thực bằng 2 và phần ảo bằng 5i . B. Phần thực bằng 2 và phần ảo bằng 7i . C. Phần thực bằng 2 và phần ảo bằng 5 . D. Phần thực bằng 2 và phần ảo bằng 5i . Câu 8. Tìm các giá trị của tham số thực m để số phức z  m 2 1  m  1i là số thuần ảo. Câu 4. Kí hiệu a , b là phần thực và phần ảo của số phức A. m  1. 3  2 2i . Tính P  ab. A. P  6 2i. Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng B. m  1 . C. m  1 . D. m  0. B. P  6 2. – 0946798489 Page | 13 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Câu 9. Tìm các giá trị của tham số thực x , y để số phức Câu 16. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017). Tìm tất cả các số thực x ; y sao cho x 2 1  yi  1  2i z   x  iy   2  x  iy   5 là số thực. 2 A. x  1 và y  0 . B. x  1 . A. x  0; y  2 . B. x  2; y  2 . C. x  1 hoặc y  0 . D. x  1 . C. x  2; y  2 . D. x   2; y  2 . Câu 10. Cho số phức z  a  bi . Khi z 3 là một số thực, khẳng Câu 17. Tìm tất cả x 2  y  2 y  4 i  2i . định nào sau đây là đúng ? A. b  0 và a bất kì hoặc b 2  3a 2 . D. a  0 và b bất kì hoặc b 2  a 2 . Vấn đề 2. HAI SỐ PHỨC BẰNG NHAU Câu 11. Cho hai số z1  a  bi a; b    phức và z 2  2017  2018i . Biết z1  z 2 , tính tổng S  a  2b. A. S  1.  3;3 hoặc  x ; y    3;3 . z  2 x  3  3 y  1 i và các khẳng định sau: 5 A. x   ; y  0 . 3 5 4 B. x   ; y  . 3 3 C. x  3; y  1 . D. x  1; y  3 . Câu 13. Biết rằng có duy nhất một cặp số thực  x ; y  thỏa mãn  x  y    x  y i  5  3i . Tính S  x  y. Câu B. S  3 . 14. Tìm tất cả C. S  4 . các số B.  x ; y    3;3 hoặc  x ; y   C.  x ; y    3;3 hoặc  x ; y    3;3 . D.  x ; y    3;3 hoặc  x ; y    3;3 . x; y D. x  1; y  1 .  3;3 .      thỏa D. P  12. Mệnh đề nào sau đây là sai?   x 2  y 2  8 A.  .     xy  3   x 4  8x 2  9  0   B.  . 3  y   x   x  1  x  1   C.  hoặc  .       y  3  y  3 D. x 2  y 2  2 xy  8  6i . 20. Với x, y là hai số thực thỏa mãn x 3  5i   y 1  2i   9  14i . Tính giá trị của biểu thức mãn P  2 x  3 y. A. P  C. x  1; y  1 .   Câu 19. Cho số phức z  x  iy thỏa mãn z 2  8  6i . 2 B. x  1; y  1 .  mãn 3 2 x  y i  y 1  2i   3  7i. A. x  1; y  1 .  thỏa Câu 18. Cho hai số phức z1  a  bi a; b    và z 2  3  4i . Câu D. S  6 . thực  D. S  2016. A. P  168. B. P  600. C. P  31. z ‘  3 x   y  1 i . Khi z  z ‘ , chọn khẳng định đúng trong A. S  5.  x, y thực Biết z1  z 22 , tính P  ab. B. S  4035. C. S  2019. Câu 12. Cho hai số phức số A.  x ; y   B. b  3a . C. b 2  5a 2 . các 205 353 172 94 . B. P  . C. P  . D. P  . 109 61 61 109 Vấn đề 3. BIỂU DIỄN HÌNH HỌC SỐ PHỨC Câu 15. Cho hai số thực Câu 21. Điểm biểu diễn số phức z  2  3i có tọa độ là: x, y thỏa mãn 2 x  3  1  2 y i  2 2  i   3 yi  x . Tính giá trị của biểu thức P  x 2  3 xy  y . A. P  13 . B. P  3 . Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng C. P  11 . D. P  12 . – 0946798489 A. 2;3 . B. 2;3 . C. 2;3 . D. 2;3 . Câu 22. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho số phức z  1  2i . Điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức w  iz trên mặt phẳng tọa độ? Page | 14 Tµi liÖu to¸n 12 A. Q 1;2 . n¨m häc 2018 B. N 2;1. C. M 1; 2  D. P 2;1. Câu 24. Trong mặt phẳng tọa độ (hình vẽ bên), số phức z  3  4i được biểu diễn bởi điểm nào trong các điểm A, B , C , D ? A. Điểm A . y A 4 B Câu 27. Trong mặt phẳng tọa độ, điểm M là điểm biểu diễn của số phức z (như hình vẽ bên). Điểm nào trong hình vẽ là điểm biểu diễn của số phức 2z ? 3 y Q E x M O N P A. Điểm N . B. Điểm Q. x -4 B. Điểm B . C. Điểm C . 1 O -3 C -4 D D. Điểm P . Câu 28. Trong mặt phẳng tọa độ cho hai điểm A  4;0  và    B 0;3 . Điểm C thỏa mãn điều kiện OC  OA  OB . Khi đó, số phức được biểu diễn bởi điểm C là: D. Điểm D . Câu 25. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Số phức nào dưới đây có điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ là điểm M như hình vẽ ? C. Điểm E . 3 y M A. z  3  4i . B. z  4  3i . C. z  3  4i . D. z  4  3i . 1 x O -2 A. z 4  2  i. Câu 29. Gọi A là điểm biểu diễn của số phức z  1  6i và B là điểm biểu diễn của số phức z ‘  1  6i . Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua trục hoành. B. z 2  1  2i. B. Hai điểm A và B đối xứng nhau qua trục tung. C. z 3  2  i. C. Hai điểm A và B đối xứng nhau qua gốc tọa độ O . D. z1  1  2i . D. Hai điểm A và B đối xứng nhau qua đường thẳng y  x . Câu 26. Giả sử M , N , P , Q được cho ở hình vẽ bên là điểm biểu diễn của các số phức z1 , z 2 , z 3 , z 4 trên mặt phẳng tọa độ. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Điểm M là điểm biểu diễn số phức z1  2  i. y 2 N Câu 30. Gọi A là điểm biểu diễn của số phức z  2  5i và B là điểm biểu diễn của số phức z ‘  2  5i . Mệnh đề nào sau đây là đúng? M A. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua trục hoành. 1 x -1 B. Hai điểm A và B đối xứng nhau qua trục tung. O C. Hai điểm A và B đối xứng nhau qua gốc tọa độ O . P B. Điểm Q là điểm biểu diễn số phức z 4 1  2i. C. Điểm N là điểm biểu diễn số phức z 2  2  i. D. Điểm P là điểm biểu diễn số phức z 3 1  2i. -2 Q D. Hai điểm A và B đối xứng nhau qua đường thẳng y  x . Câu 31. Gọi A là điểm biểu diễn của số phức z  4  7i và B là điểm biểu diễn của số phức z ‘  4  7i . Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua trục hoành. B. Hai điểm A và B đối xứng nhau qua trục tung. C. Hai điểm A và B đối xứng nhau qua gốc tọa độ O . D.Hai điểm A và B đối xứng nhau qua đường thẳng y  x . Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 15 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Câu 32. Gọi A là điểm biểu diễn của số phức z  3  2i và B Câu 38. Trong mặt phẳng tọa độ, ba điểm A, B, C lần lượt là điểm biểu diễn của số phức z ‘  2  3i . Mệnh đề nào sau đây biểu diễn cho ba số phức z  1  i , z  1  i 2 và 2 1 là đúng? z 3  a  i a    . Tìm a để tam giác ABC vuông tại B . A. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua trục hoành. A. a  3 . B. a  2 . C. a  3 . D. a  4 . B. Hai điểm A và B đối xứng nhau qua trục tung. C. Hai điểm A và B đối xứng nhau qua gốc tọa độ O . Câu 39. Cho các số phức z1 , z 2 , z 3 có điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ là ba đỉnh của tam giác đều có phương trình đường D. Hai điểm A và B đối xứng nhau qua đường thẳng y  x . tròn ngoại tiếp  x  20172   y  20182  1. Tổng phần thực Câu 33. Trong mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn của các số phức z  3  bi với b   luôn nằm trên đường có phương trình nào trong các phương trình sau: A. x  3 . B. y  3 . C. y  x . D. y  x  3 . và phần ảo của số phức w  z1  z 2  z 3 bằng: A. 1. B. 1. C. 3. D. 3. Câu 40. Cho tam giác ABC có ba đỉnh A, B, C lần lượt là biểu diễn hình học của các số phức z1  2  i , z 2  1  6i , z 3  8  i . Số phức z 4 có điểm biểu Câu 34. Trong mặt phẳng tọa độ, cho số phức z  a  a 2 i với diễn hình học là trọng tâm của tam giác ABC . Mệnh đề nào sau a   . Khi đó điểm biểu diễn số phức z nằm trên trên đường đây là đúng? có phương trình nào trong các phương trình sau: A. Parabol x  y 2 . B. Parabol y  x 2 . A. z 4  5. B. z 4  3  2i. B. Đường thẳng y  2 x . D. Parabol y  x 2 . C.  z 4   13  12i. D. z 4  3  2i. Câu 35. Trong mặt phẳng tọa độ, cho ba điểm A, B, M lần 2 Vấn đề 4. PHÉP CỘNG – PHÉP TRỪ HAI SỐ PHỨC lượt là điểm biểu diễn của các số phức 4, 4i , x  3i . Với giá Câu 41. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho hai số phức trị thực nào của x thì A, B, M thẳng hàng? z1  5  7i và z 2  2  3i. Tìm số phức z  z1  z 2 . A. x  1 . B. x  1 . C. x  2 . D. x  2 . Câu 36. Xét các điểm A, B, C trong mặt phẳng tọa độ theo thứ A. z  7  4i. B. z  2  5i. C. z  2  5i. D. z  3 10i. tự biểu diễn lần lượt các số phức z1  2  2i , z 2  3  i và z 3  2i . Mệnh đề nào sau đây là đúng? Câu 42. Tìm số phức w  z1  2 z 2 , biết rằng z1  1  2i và z 2  2  3i . A. Ba điểm A, B, C thẳng hàng. A. w  3  4i . B. w  3  8i . C. w  3  i . D. w  5  8i . B. Tam giác ABC đều. C. Tam giác ABC cân tại A . D. Tam giác ABC là tam giác vuông cân. Câu 37. Gọi A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức z1  1  3i ; z 2  3  2i ; z 3  4  i . Mệnh đề nào sau đây là đúng? Câu 43. Cho hai số phức z1  1  2i và z 2  2  3i . Xác định phần ảo a của số phức z  3z1  2 z 2 . A. a  11 . B. a  12 . C. a  1 . D. a  12 . Câu 44. Cho hai số phức z1  1  2i và z 2  3  i . Tìm điểm A. Ba điểm A, B, C thẳng hàng. biểu diễn số phức z  z1  z 2 trên mặt phẳng tọa độ. B. Tam giác ABC đều. A. M 2; 5. B. N  4; 3. C. Tam giác ABC cân tại B . C. P 2;1. D. Q 1;7 . D. Tam giác ABC là tam giác vuông cân. Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 16 Tµi liÖu to¸n 12 Câu Gọi 45. n¨m häc 2018 A 3;1, y P B 2;3 lần lượt là điểm biểu 3 diễn các số phức z1 và z 2 . M Trong hình vẽ bên điểm nào trong các điểm M , N , P , Q biểu diễn số -1 O z, phức z1  z  z 2 . biết Câu 51. Tìm số phức liên hợp z của số phức z  a  bi . Q 4 N 2 x 5 rằng A. z  a  bi . B. z  b  ai . C. z  a  bi . D. z  a  bi . Câu 52. (ĐỀ MINH HỌA 2016 – 2017) Cho số phức z  3  2i. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z . A. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 2i. A. M . B. N . B. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 2. C. P . D. Q. C. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 2i. Vấn đề 5. NHÂN HAI SỐ PHỨC D. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 2 . Câu 46. Cho hai số phức z1  2017  i và z 2  2  2016i . Câu 53. Cho số phức z  1  2i . Trên mặt phẳng tọa độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức liên hợp của số phức z. Tìm số phức z  z1 .z 2 . A. z  2017  4066274i . B. z  2018  4066274i . C. z  2018  4066274i . D. z  2016  4066274i . A. M 1 1;2 . B. M 2 1;2. C. M 3 1; 1. D. M 4 1; 2 . Câu 47. Kí hiệu a, b lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức z  2 z1 z 2 với z1  3  4i và z 2  i . Tính tổng S  a  b  2. A. S  1. B. S  4. C. S  0. D. S  16. Câu 54. Tìm số phức liên hợp của số phức z  i 3i  1 . A. z  3  i . B. z  3  i . C. z  3  i . D. z  3  i . Câu 48. Phân tích z  27  i về dạng tích của hai số phức. Mệnh đề Câu 55. (ĐỀ MINH HỌA 2016 – 2017) Cho số phức nào sau đây là đúng? z  2  5i. Tìm số phức w  iz  z . A. z  3  i 8  3i  . C. z  1 3  i 8  3i  . 2 B. z  3  i 8  3i  . D. z   Câu 49. (ĐỀ MINH HỌA 2016 – 2017) Cho số phức z thỏa mãn 1 3  i 8  3i  . 2 N 2 y A. Điểm P . B. Điểm Q. C. Điểm M . D. Điểm N . -1 O P -2 1 Q C. w  3  7i. D. w  7  7i. sau đây là đúng? x diễn của z là điểm nào trong các điểm M , N , P , Q ở hình bên ? B. w  3  3i. Câu 56. Cho hai số phức z1  3  4i , z 2  4  3i . Mệnh đề nào M 1  i  z  3  i. Hỏi điểm biểu A. w  7  3i. A. z1  z 2 . B. z1   z 2 . C. z1  i.z 2 . D. z1  i.z 2 . Câu 57. Cho số phức z  0 và là một số thuần ảo. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. z  i.z . B. z   i .z . C. z  z . D. z   z . Câu 58. Cho số phức z  0 và z  z . Gọi A, B lần lượt là Câu 50. Cho hai số phức z  m  3i và z ‘  2  m  1 i . Tìm điểm biểu diễn của số phức z và z . Mệnh đề nào sau đây là đúng ? các giá trị của tham số thực m để z .z ‘ là số thực. A. m  2 hoặc m  3 . B. m  2 hoặc m  3 . A. A, B đối xứng nhau qua gốc tọa độ O . C. m  1 hoặc m  6 . D. m  1 hoặc m  6 . B. A, B đối xứng nhau qua trục hoành. Vấn đề 6. SỐ PHỨC LIÊN HỢP Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 C. A, B đối xứng nhau qua trục tung. Page | 17 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 D. A, B đối xứng nhau qua đường thẳng y  x . A. P  2 . 2 Câu 59. Cho số phức z tùy ý và hai số phức   z 2   z  , Câu A. T  5 . B. ,  là các số thuần ảo. Câu 60. Cho số phức z  5  3i . Tìm phần thực a của số phức 1 z z  . 2 C. a  33.  z  a  bi a; b    thỏa B. T  8 . C. T  1 . D. T  1 .  1 2 A. w  6  i . B. w  6  i . C. w  6  i . D. w  6  i . Câu 70. Gọi S là tổng phần thực và phần ảo của số phức D. a  33. w  z 3  i , biết z thỏa mãn z  2  4i  2  i iz . Mệnh đề  2i . Tìm phần nào sau đây đúng? A. S  46. B. S  36 . C. S  56 . D. S  1 . ảo b của số phức z . A. b  2 . phức số phức w  z  2 z . D.  là số thuần ảo,  là số thực. Câu 61. Cho số phức z thỏa z  i  2 số D. P  2 . Câu 69. Cho số phức z thỏa mãn 1  i  z  2iz  5  3i . Tìm C.  là số thực,  là số thuần ảo. A. a  22. B. a  22. Cho C. P  1 . 1  i  z  3  i  z  2  6i . Tính T  b  a .   z .z  i  z  z  . Hỏi khẳng định nào dưới đây là đúng? A. ,  là các số thực. 68. B. P  1 . C. b   2 . D. b  2 . B. b  2 . Vấn đề 7. MÔ ĐUN CỦA SỐ PHỨC 3 Câu 62. Cho hai số phức z1  4  3i  1  i  và z 2  7  i . Câu 71. Gọi M là điểm biểu diễn của số phức z  a  bi a; b    trong mặt phẳng tọa độ. Mệnh đề nào sau Tìm phần thực a của số phức w  2 z1 z 2 . đây đúng? A. a  9 . B. a  2 . C. a  18 . D. a  74 . Câu 63. Cho số phức z thỏa mãn z  2.z  6  3i . Tìm phần ảo b của số phức z. A. b  3 . B. b  3 . Câu 64. Cho số phức C. b  3i . D. b  2 . z  a  bi a; b    B. S  4. C. S  2. B. OM  a 2  b 2 . C. OM  a  b . D. OM  a 2  b 2 . Câu 72. Gọi M , N lần lượt là hai điểm biểu diễn số phức z1 , z 2 trong mặt phẳng tọa độ. Mệnh đề nào sau đây đúng? thỏa mãn iz  2  z 1  i . Tính S  ab. A. S  4. A. OM  z . D. S  2.   A. z1  z 2  OM  ON .  B. z1  z 2  MN .   C. z1  z 2  OM  MN .   D. z1  z 2  OM  MN . Câu 65. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z .z  10  z  z  và Câu 73. Mệnh đề nào sau đây là sai? z có phần ảo bằng ba lần phần thực? A. 0 . Câu 66. B. 2 . Cho số C. 1 . phức A. Hai số phức z1 và z 2 có z1  z 2  0 thì các điểm biểu D. 3 . z  a  bi a; b    diễn z1 và z 2 trên mặt phẳng tọa độ cùng nằm trên đường tròn thỏa có tâm là gốc tọa độ. 1  i  z  2 z  3  2i. Tính P  a  b. 1 A. P  . 2 B. P  1. C. P  1. 1 D. P   . 2 Câu 67. Cho số phức z thỏa mãn z  2  3i  z  1  9i . Gọi a, b là phần thực và phần ảo của z . Tính P  ab. Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 B. Phần thực và phần ảo của số phức z bằng nhau thì điểm biểu diễn của số phức z nằm trên đường phân giác của góc phần tư thứ nhất và thứ ba. C. Cho hai số phức u, v và hai số phức liên hợp u , v thì uv  u .v . Page | 18 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018   z1  a  bi a; b    D. Cho hai số phức  và   z  c  di c ; d      2  thì z1 .z 2  ac  bd   ad  bc i . Câu 81. Trong mặt phẳng tọa độ cho điểm M   2;3 . Mệnh đề nào sau đây là sai? A. Điểm M biểu diễn cho số phức có môđun bằng Câu 74. Cho số phức z  z12  z1 2 với z1 là số thuần ảo. Mệnh 11 . B. Điểm M biểu diễn cho số phức z mà có z  2  3i . đề nào sau đây đúng? A. z là số thực âm. B. z  0 . C. z là số thực dương. D. z  0 . C. Điểm M biểu diễn cho số phức z  2  3i . D. Điểm M biểu diễn cho số phức có phần ảo bằng Câu 75. Cho số phức z. Mệnh đề nào sau đây là đúng? Câu 82. Tính môđun của số phức z , biết z  4  3i 1  i  . A. z  25 2 .B. z  7 2 .C. z  5 2 . 2 A. z 2  2 z . B. z 2  z . Câu 83. Gọi M là điểm biểu diễn của số phức z , biết tập hợp các điểm M là phần tô Câu 76. Cho số phức z thỏa mãn z  z . Mệnh đề nào sau đây đậm ở hình bên (không kể biên). Mệnh đề nào sau đây là đúng? đúng : A. z là số thực không âm. A. z  1. B. z là số thực âm. 2 C. z 2  2 z . D. z 2  2. D. z  2 . y 2 z . x O 1 2 B. 1  z  2. C. z là số thuần ảo có phần ảo dương. C. 1  z  2. D. z là số thuần ảo có phần ảo âm. Câu 77. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho số phức D. 1  z  2. z  2  i . Tính z . A. z  3 . B. z  5 . C. z  2 . D. z  5 . Câu 84. Gọi M là điểm biểu diễn của số phức z , biết tập Câu 78. (ĐỀ MINH HỌA 2016 – 2017) Cho hai số phức z1  1  i hợp các điểm M là phần tô và z 2  2  3i. Tính môđun của số phức z1  z 2 . đậm ở hình bên (kể cả biên). Mệnh đề nào sau đây đúng ? A. z1  z 2  13. B. z1  z 2  5. A. 1  z  2 và phần ảo C. z1  z 2  1. D. z1  z 2  5. 1 lớn hơn  . 2 Câu 79. Cho hai số phức z1  1  i và z 2  2  3i . Tính môđun của số phức z1  z 2 . A. z1  z 2  17. B. z1  z 2  15. C. z1  z 2  2  13. D. z1  z 2  13  2. A. z  5. C. z  4. B. 1  z  2 và phần ảo 1 lớn hơn  . 2 C. 1  z  2 và phần ảo 1 nhỏ hơn  . 2 Câu 80. Tính môđun của số phức z , biết z thỏa mãn iz  3  4i. D. 1  z  2 và phần ảo B. z  3. Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng D. z  5 2. – 0946798489 Page | 19 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 z1 , z 2 Tính diện tích S của tam giác OAB với O là gốc tọa 1 không lớn hơn  . 2 độ. Câu 85. Một hình vuông tâm là gốc tọa độ O , các cạnh song A. S  12. B. S  6. C. S  5 2. song với các trục tọa độ và có độ dài bằng 4 . Hãy xác định điều kiện của a và b để điểm biểu diễn số phức z  a  bi nằm Câu 90. Tập hợp các điểm biểu trên đường chéo của hình vuông. diễn hình học của số phức z là đường thẳng  như hình vẽ. A. a  b  2. B. a  b  2. D. S  25 . 2 y 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của z . C. a  b  2. x D. a  b  2. O 1 A. z min  2. Câu 86. Gọi M là điểm biểu diễn của số phức z , biết tập hợp các điểm M là phần tô đậm ở hình bên (kể cả biên). Mệnh đề nào sau đây đúng ? B. z min  1. C. z min  2. D. z min  A. z có phần ảo không nhỏ hơn phần thực. 1 2 . Câu 91. Tính môđun của số phức w  1  i  z , biết số phức z 2 B. z có phần thực không nhỏ hơn phần ảo và có môđun không lớn hơn 3. có môđun bằng m . A. w  4 m . B. w  2 m . C. w  2m . D. w  m . C. z có phần thực bằng phần ảo. Câu 92. Tìm phần ảo b của số phức z  m  3m  2i ( m là D. z có môđun lớn hơn 3. tham số thực âm), biết z thỏa y Câu 87. Cho ba điểm A, B, C lần lượt biểu diễn ba số phức mãn z  2 . z1 , z 2 , z 3 với z 3  z1 và z 3  z 2 . Biết z1  z 2  z 3 và A 6 B. b   . 5 z1  z 2  0. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. b  0. A. Tam giác ABC vuông tại C . 8 C. b   . D. b  2. 5 B. Tam giác ABC đều. x O C B C. Tam giác ABC vuông cân tại C . D. Tam giác ABC cân tại C . Câu 88. Xét ba điểm A, B, C của mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn ba số phức phân biệt z1 , z 2 , z 3 thỏa mãn z1  z 2  z 3 và z1  z 2  z 3  0 . Mệnh đề nào sau đây là Câu 93. Cho số phức z thỏa 2 z  3 1  i  z  1  9i .Tìm phần ảo b của số phức z . A. b  2. B. b  3 . C. b  2 . D. b  3 . đúng? Câu 94. Tính môđun của số phức z , biết z A. Tam giác ABC vuông. B. Tam giác ABC vuông cân. C. Tam giác ABC đều. D. Tam giác ABC có góc 0 thỏa mãn 1  2i  z  2  3i  z  6  2i . A. z  4. B. z  2. C. z  10. D. z  10. 120 . Câu 89. Cho các số phức z1 , z 2 thỏa mãn z1  3, z 2  4 và Câu 95. Cho số phức z thỏa mãn 5 z  3  i  2  5i  z . z1  z 2  5. Gọi A, B lần lượt là điểm biểu diển các số phức Tính P  3i  z 1 . 2 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 20 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Câu 105. Tính tổng các phần thực của các số phức z thỏa mãn D. P  0 . A. P  144. B. P  3 2. C. P  12. z 1  1 và 1  i  z  i  có phần ảo bằng 1 . Câu 96. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho số phức z  a  bi a; b    thỏa z  1  3i  z i  0 . mãn Tính A. 2. B. 1. D. 0 . C. 3. S  a  3b. Câu 7 A. S  . 3 B. S  5. 7 D. S   . 3 C. S  5. Câu 97. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho số phức z 106. Cho hai số z1 , z 2 phức A. 3. B. 2 3. C. 3. D. biết z1  z 2  1 . Tính giá trị của biểu thức P  z1  z 2 . Câu 98. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho số phức z z  3  z  3 10i . Tìm số phức A. P  w  z  4  3i. 3 . B. P  2. 2 2 . 2 C. P  D. P  3. Câu 108. Cho z1 , z 2 là hai số phức thỏa mãn z1  6, z 2  8 A. w  3  8i. B. w  1  3i. C. w  1  7i. D. w  4  8i. và z1  z 2  2 13. Tính giá trị của biểu thức P  2 z1  3 z 2 . Câu 99. Hỏi có tất cả bao nhiêu số phức z thỏa mãn z 1  2 A. P  1008. B. P  12 7. C. P  36. D. P  5 13. Câu 109. Cho số phức z  a  bi a; b    thỏa mãn điều và z 2 là số thuần ảo? A. 0. 3 . 2 Câu 107. Cho z1 , z 2 là hai số phức thỏa mãn 2 z  i  2  iz , A. z  17 . B. z  17 . C. z  10 . D. z  10 . z  5 và mãn z1  z 2  z1  z 2  1. Tính z1  z 2 . thỏa mãn z  3  5 và z  2i  z  2  2i . Tính z . thỏa mãn thỏa B. 4. kiện z 2  4  2 z . Đặt P  8 b 2  a 2  12. Mệnh đề nào D. 3. C. Vô số. dưới đây đúng? Câu 100. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z  2  i  2 2 và  z 1 là số thuần ảo? 2 A. 0. B. 4. C. 3. D. 2.  2   2  2 A. P   z  2 . B. P  z  4 . C. P   z  4 . D. P  z  2 . 2 2 2 Câu 101. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z  z  z 2 ? A. 1. B. 2. C. 3. Câu 110. Cho số phức z  a  bi a; b    . Mệnh đề nào sau D. 4. đây là đúng? Câu 102. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z  2  i  2 và z  i là số thực? A. 0. B. 1. C. 2. A. z 2a b . C. z  2 a  b . D. 3. B. z 2a b . D. z  2a  b . 2 Câu 103. Cho số phức z thỏa mãn zz  1 và z 1  2 . Tính Câu 111. Xét số phức z thỏa mãn z  1  i  z  2 1  i  . Mệnh đề nào sau đây đúng? tổng phần thực và phần ảo của z . A. 0. Câu 104. 2 C.  1. B. 1. Có bao nhiêu số A. z  2. D. 2. phức z thỏa mãn B. z  4 2. C. 3 2  z  4 2. D. 2  z  3 2. 2 z  2 zz  z  8 và z  z  2 ? Câu 112. Xét số phức z thỏa mãn 2 z 1  3 z  i  2 2. A. 2. B. 1. Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng C. 3. D. Vô số. – 0946798489 Mệnh đề nào sau đây đúng? Page | 21 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 x, y 3 1 3 Câu 120. Tìm các số thực  z  2. D.  z  . 2 2 2 x 3  2i  2  y 1  2i   6  5i . 2  3i Câu 113. Tìm môđun của số phức z biết z  4  1  i  z   4  3 z i . A. x  6; y  5 . B. x  12; y  10 . 1 A. z  . 2 B. z  2. C. A. z  1. B. z  4. C. z  2. C. x  13; y  2 . 1 D. z  . 2 thỏa mãn D. x  2; y  13 . 1 2 Câu 114. Cho các số phức z1 , z 2 thỏa mãn z1  2, z 2  2. Câu 121. Tìm phần ảo b của số phức z , biết 1  i  z  z . Gọi M , N lần lượt là điểm biểu diễn các số phức z1 , iz 2 sao 1 1 C. b  . D. b   .   450 với O là gốc tọa độ. Tính giá trị biểu thức A. b  1. B. b  1. cho MON 2 2 P  z12  4 z 22 . 1 1 1 Câu 122. Tìm môđun của số phức z , biết 2   i. z 2 2 A. P  4 5. B. P  5. C. P  5. D. P  4. Câu Cho 115. ba số phức z1 , z 2 , z 3 thỏa mãn A. z  z1  z 2  z 3  z1  z 2  z 3  z1 z 2 z 3  1 . Tính giá trị của biểu thức P  z12017  z 22017  z 32017 . A. P  2017. B. P  6051. C. P  0. Vấn đề 8. PHÉP CHIA SỐ PHỨC Câu 116. Tìm phần ảo b của số phức z  A. b   2 2 . B. b  . 13 13 C. b   1 . 3  2i Câu 117. Tìm số phức liên hợp z của số phức z  A. z  1 3 i . 2 2 C. z  1  i 3 . 2 . 1i 3 B. z  1  i 3 . D. z  1 2 . B. z  . 2 2 C. z  4 2. A. z 3  64 .  B.  2 3 i . 1 1 3   i. z 8 8 D. z  2  2 3i . Câu 124. Cho ba số phức z1 , z 2 , z 3 phân biệt thỏa mãn z1  z 2  z 3  3 và 1 1 1   . Biết z1 , z 2 , z 3 lần lượt z1 z 2 z3 được biểu diễn bởi các điểm A, B, C trên mặt phẳng tọa độ. ? Tính góc ACB A. 60 . B. 90 . C. 120 . 1  z  z  với 2i z  5  3i . Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng C. b  3i . y mãn z  1 và điểm A trong Câu 119. Tìm phần ảo b của số phức w  B. b  6 . D. 150 . Câu 125. Cho số phức z thỏa 1 3 . i 2 2 hình vẽ bên là điểm biểu diễn 1 của z . Biết rằng trong hình vẽ Câu 118. Kí hiệu a, b là phần thực và phần ảo của số phức z bên, điểm biểu diễn của số phức 1 với z  5  3i . Tính tổng S  a  b. w là một trong bốn điểm z 1 1 M , N , P , Q . Khi đó điểm biểu A. S  2. B. S  . C. S  2. D. S   . 17 17 diễn của số phức w là: A. b  0. D. z  2. Câu 123. Cho số phức z  2  2 3i . Khẳng định nào dưới đây là khẳng định sai ? D. P  1. C. z  2 3 i. D. b  . 13 13 4 A M x N O P 1 Q A. Điểm M . B. Điểm Q. C. Điểm N . D.Điểm P . D. b  3 . – 0946798489 Page | 22 Tµi liÖu to¸n 12 Câu 126. Cho số phức z 1 thỏa mãn z  và điểm 2 A trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của z . Biết rằng trong hình vẽ bên, điểm biểu 1 diễn của số phức w  là z một trong bốn điểm M , N , P , Q . Khi đó điểm biểu diễn của số phức w là: n¨m häc 2018 y M N B. Góc phần tư thứ II . C. Góc phần tư thứ III . D. Góc phần tư thứ IV . xCâu 130. Cho số phức z  A O -2 A. Góc phần tư thứ I . 2 1  i 1 i  . Mệnh đề nào sau đây 1 i 1  i là đúng? A. z   . Q P B. z có số phức liên hợp khác 0 . A. Điểm M . B.Điểm Q. C. Môđun của z bằng 1 . C. Điểm N . D.Điểm P . D. z có phần thực và phần ảo đều khác 0 . Câu 127. Cho số phức z thỏa 2 và điểm A 2 trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của z . Biết rằng trong hình vẽ bên, điểm biểu diễn 1 của số phức w  là một iz trong bốn điểm M , N , P , Q . Khi đó điểm biểu diễn của số phức w là mãn Câu 131. Cho số phức z thỏa mãn 1  i  z 1  5i  0 . Tính y Q A  z .z . z  A M O C. A  1  13 . D. A  1  13 . z 132. Cho số phức thỏa mãn 2 1  2i   7  8i . Kí hiệu a, b lần lượt là phần 2  i  z  1 i Câu P thực và phần ảo của số phức w  z  1  i . Tính P  a 2  b 2 . A. P  13 . C. Điểm N . D. Điểm P . B. P  5 . C. P  25 . D. P  7 . Câu 133. Cho số phức z thỏa mãn 1  2i  z  5 1  i  . Tổng 2 Câu 128. Cho số phức z thỏa hình vẽ bên là điểm biểu diễn của z . Biết rằng trong hình vẽ bên, điểm biểu diễn của số phức 1 w là một trong bốn điểm iz M , N , P , Q . Khi đó điểm biểu diễn của số phức w là B. A  13 . N A. Điểm Q . B. Điểm M . mãn z  1 và điểm A trong A. A  13 . x M bình phương phần thực và phần ảo của số phức w  z  iz bằng: y A. 2. A N B. 4. C. 6. x O P Câu 134. Cho số phức z thỏa mãn D. 8. 1 i  1  i . Điểm M z 1 biểu diễn của số phức w  z 3  1 trên mặt phẳng tọa độ có tọa độ là: Q A. M 2; 3 . B. M 2;3 . C. M 3; 2  . D. M 3;2  . A. Điểm M . B. Điểm N . C. Điểm P . D. Điểm Q . z  2 z  3i Câu 135. Cho số phức z thỏa mãn z  z  2 . Tính môđun , 1  2i z2 2 2 của số phức . w  z  z trong đó z là số phức thỏa mãn 2  i  z  i   3  z . Gọi N Câu 129. Gọi M là điểm biểu diễn số phức   là điểm trong mặt phẳng sao cho góc lượng giác Ox , ON   2 A. w  10 B. w  4 C. w  13 D. w  2 10 . , trong đó   Ox , OM  là góc lượng giác tạo thành khi quay tia Ox tới vị trí tia OM . Điểm N nằm trong góc phần tư nào? Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 23 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Câu 136. Cho số phức z thỏa mãn 1  2i  z  3  i . Tính Câu 143. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Có bao nhiêu số z 4 2 phức z thỏa mãn z  3i  13 và là số thuần ảo? P  z  z 1 . z 2 A. P  1. B. P  13. C. P  3. Câu 137. Cho số phức z thỏa mãn D. P  10. A. Vô số. B. 2. C. 0. D. 1. z 1  z  3  i  .Khẳng Câu 144. Cho số phức z thỏa mãn 3  4i  z  4  8 . Trên 1i 2 z định nào sau đâu đúng? mặt phẳng tọa độ, gọi d là khoảng cách từ gốc tọa độ đến điểm biểu diễn số phức z . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Số phức z có phần thực bằng 0. 9 A. d  . 4 B. Số phức z có phần ảo bé hơn 0. B. 1 5 1 1 9  d  . C. 0  d  . D.  d  . 4 4 4 2 4 C. Số phức z có phần thực lớn hơn phần ảo. Câu 145. (ĐỀ THỬ NGHIỆM 2016 – 2017) Cho số phức z D. Số phức z có phần thực bé hơn phần ảo. z  a  bi a; b    thỏa mãn Câu 138. Cho số phức 2 z z  2iz  2 z  i  1 i a  0 . Tính tỷ số P  . b A. P  5 . B. P  3 . 5 3 C. P   . 5 thỏa mãn 1  2i  z  đúng? A. D. P  5 . 10  2  i . Mệnh đề nào dưới đây z 3  z  2. 2 1 C. z  . 2 B. z  2. D. 1 3 z  . 2 2 Câu 139. Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số thực m để số phức z m 1  2 m 1i 1  mi Vấn đề 9. LŨY THỪA ĐƠN VỊ ẢO là số thực. Tính tổng T của các phần tử Câu 146. Mệnh đề nào sau đây là đúng? trong S . A. T  15. B. T  3 . C. T  1 . A. i 2016  i . B. i 2017  1 . C. i 2018  1 . D. i 2019  i . D. T  2 3 . Câu 140. Tìm các giá trị của tham số thực m để bình phương số phức z  m  9i là số thực. 1 i A. m  9 . B. m  9 . Câu 141. Cho số phức z  Câu147. Điểm M biểu diễn số phức z  C. m  9 . D. m  3. 1 2 A. M 3; 4 . B. M 3; 4 . C. M  4;3. D. M  4;3. 2017 i m ta được , trong đó m là tham Câu 148. Thu gọn biểu thức P  1  5i  1  3i  1  m m  2i  số thực. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m sao cho z  i  3  4i có tọa độ là: i 2017 . Hỏi tập S có tất cả bao nhiêu phần tử A. P  2 2017 . B. P  2 2017  i . C. P  2 2017 i . D. P  2 2017 i. nguyên? Câu 149. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. 1. B. 5. C. 2. D. 3. A. 1  i   4 . 4 B. 1  i   4i . C. 1  i   16 . D. 1  i   16 . 4 Câu 142. Hỏi có tất cả bao nhiêu số phức z thỏa mãn z  1 và 8 z 1 là số thuần ảo? z 1 8 Câu 150. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. 1. B. 4. C. 2. D. Vô số. A. 1  i  2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489  2 2009 i . B. 1  i  2018  2 2009 i . Page | 24 Tµi liÖu to¸n 12 C. 1  i  2018 n¨m häc 2018 D. 1  i  2018  2 2009 . 1  i  Câu 157. Cho số phức z   1  i  2017  2 2009 . Câu 151. Tìm số phức liên hợp z của số phức z  1  i  . . Tính P  z .z 7 .z 15 . 15 A. z  128 128i . A. P  i. B. P  1 . C. P  i . B. z  i . C. z  128  128i . D. P  1 . 1  i  z   .  1  i  5 Câu D. z  128  128i . 158. Cho số phức Tính S  z 5  z 6  z 7  z 8. Câu 152. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z  2  2i  . 7 A. Phần thực bằng 14 và phần ảo bằng 14 . A. b  1 . D. Phần thực bằng 210 và phần ảo bằng 210 . Tìm phần ảo b của 3 D. S  4 . B. b  2 . C. b  1 . 8 D. b  0 .  2i  Câu 160. Cho số phức z thỏa mãn i z   . Gọi a, b lần 1  i  8 w  1  1  i   1  i   1  i   …  1  i  2 C. S  3 . 16 C. Phần thực bằng 210 và phần ảo bằng 210 . 153. B. S  1 . 1  i   1  i  Câu 159. Tìm phần ảo b của số phức z       .  1  i  1  i  B. Phần thực bằng 27 và phần ảo bằng 27 . Câu A. S  0 . 2018 A. b  21009  1 . B. b  2 2019  1 . C. b  21009 . D. b  21009  1 . số phức . lượt là phần thực và phần ảo của số phức w  2  i  z . Tính S  a  b. A. S  16 . B. S  16 . B. S  2  1. C. S  1 . D. S  2 . D. S  48 . Câu 161. Có bao nhiêu số nguyên n sao cho n  i  là một số 4 Câu 154. Thu gọn số phức w  i 5  i 6  i 7  …  i 18 có dạng nguyên? a  bi . Tính tổng S  a  b. A. 2. A. S  0. C. S  32 . B. 3. C. 4. D. Vô số. 10 Câu 162. Có bao nhiêu giá trị m nguyên dương thuộc đoạn 10 Câu 155. Cho số phức z  số phức z 2017  2  6i  1;50  để z    là số thuần ảo?  3  i  m 1 i . Tìm phần thực và phần ảo của 1i A. 24. A. a  1 . C. Phần thực bằng 0 và phần ảo bằng i. 2 1 2024 . Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng B. P  1 1012 2 D. P   . B. a  16 . C. a  1 . D. a  16 . 1 . A. b  2 2015 . B. b  21007 . C. b  0 . D. b  21007 . Câu 165. Cho số phức tùy ý z  1 . . 1012 2 phức Tìm phần ảo b của số phức w  z  2  3i . 2024 . số 2015  i  Câu 156. Tính giá trị của biểu thức P   1  i  1 Cho Câu 164. Cho số phức z thỏa mãn  z  2  3i 1  i   1  i  D. Phần thực bằng 1 và phần ảo bằng 1 . 2024 163. z9 . B. Phần thực bằng 0 và phần ảo bằng 1 . 2 D. 50 . z thỏa mãn 2  z 12  i   3  i  z  2i  . Tìm phần thực a của số phức A. Phần thực bằng 1 và phần ảo bằng 0 . C. P  C. 26. . Câu A. P   B. 25. Xét các số phức   . – 0946798489 i 2017  i z 1  z 2   z  và 2 2 z z  z   z  . Khi đó: z 1 3  Page | 25 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 A.  là số thực,  là số thực. B.  là số thực,  là số ảo. Câu 174. Gọi z1 là nghiệm phức có phần ảo âm của phương C.  là số ảo,  là số ảo. trình z 2  4 z  20  0 . Tính giá trị biểu thức A  z13 16i. D.  là số ảo,  là số thực. Vấn đề 10. PHƯƠNG VỚI HỆ SỐ THỰC Câu 166. Giải phương trình z 2  z  1  0 trên tập số phức. A. z  3 1  i. 2 2 C. z  1  3i . B. z  3  i . 1 3 D. z   i. 2 2 Câu 167. Gọi z1 , z 2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2  4 z  5  0 . Tìm phần thực a của số phức w  z12  z 22 . A. a  0 . B. a  8 . C. a  16 . D. a  6 . A. A  0 . B. A  88 . C. A  32 . D. A  32 . Câu 175. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Phương trình nào dưới đây nhận hai số phức 1  2i và 1  2i là nghiệm? A. z 2  2 z  3  0 . B. z 2  2 z  3  0 . C. z 2  2 z  3  0 . D. z 2  2 z  3  0 . Câu 176. Biết hai số phức có tổng bằng 3 và tích bằng 4 . Tổng môđun của hai số phức đó bằng: A. 7 . B. 4 . D. 12 . C. 10 . Câu 177. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Kí hiệu z1 , z 2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2  4  0 . Gọi M , N lần Câu 168. Gọi z1 , z 2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2  z  1  0 . Tính giá trị biểu thức P  z1  z 2 . A. P  2. B. P  1. C. P  3. lượt là điểm biểu diển của z1 , z 2 trên mặt phẳng tọa độ. Tính T  OM  ON với O là gốc tọa độ. D. P  4 . A. T  2 . B. T  2 . C. T  8 . D. 4 . Câu 169. Gọi z1 và z 2 là hai nghiệm phức của phương trình Câu 178. Kí hiệu z 0 là nghiệm phức có phần ảo dương của 2 2 z 2  2 z  10  0 . Tính giá trị biểu thức P  z1  z 2 . A. P  2 10 . B. P  20 . C. P  40 . D. P  10 . Câu 170. Kí hiệu z1 , z 2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2  7 z  15  0 . Tính giá trị biểu thức P  z1  z 2  z1 z 2 . A. P  22. B. P  15. C. P  7. D. P  8. phương trình 4 z 2  16 z  17  0 . Trên mặt phẳng tọa độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức w  iz 0 ? 1  A. M 1  ;2 .  2   1  B. M 2  ;2 .  2   1  C. M 3  ;1 .  4  1  D. M 4  ;1 .  4  Câu 179. Gọi z1 , z 2 là hai nghiệm phức của phương trình 2 z 2  3 z  4  0. Hỏi điểm nào trong các điểm M , N , P , Q Câu 171. Kí hiệu z1 , z 2 là các nghiệm phức của phương trình 2 z  4 z  3  0. Tính giá trị biểu thức P  z1 z 2  i  z1  z 2  . 2 5 A. P  . 2 7 B. P  . 2 C. P  1. D. P  3. dưới đây là điểm biểu diển của số phức w   3 3  A. M 2; . B. N  ;2.  2   2  1 1   iz1 z 2 ? z1 z 2 3  C. P  ;2.  4   3  D. Q  ;2.  4  2 Câu 172. Cho z1 , z 2 là hai số phức thỏa mãn z 2  4 z  5  0 . Câu 180. Cho hai số thực b, c thỏa mãn c  0 và b  c  0. Kí hiệu A, B là hai điểm của mặt phẳng tọa độ biểu diễn hai 2017 2017 Tính giá trị biểu thức P   z1  1   z 2  1 . nghiệm phức của phương trình z 2  2bz  c  0. Tìm điều kiện của b và c để tam giác OAB là tam giác vuông tại O. A. P  0 . B. P  21008 . C. P  21009 . D. P  2 . Câu 173. Gọi z1 , z 2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2  2 z  2  0 . Tính giá trị biểu thức P  z12016  z 22016 . A. c  2b 2 . Câu 181. C. b  c . B. b 2  c . Tìm tham số thực m D. b 2  2c . để phương trình z  2  m z  2  0 nhận số phức z  1  i làm một nghiệm. 2 A. P  21009 . B. P  21008 . C. P  2 . Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng D. P  0 . – 0946798489 Page | 26 Tµi liÖu to¸n 12 A. m  6. n¨m häc 2018 B. m  4. C. m  2. D. m  2. Câu 188. Cho phương trình  z 2  4 z   3  z 2  4 z   40  0. Gọi 2 Câu 182. Biết phương trình z 2  mz  n  0 (với m, n là các z1 , z 2 , z 3 và z 4 là bốn nghiệm phức của phương trình đã cho. 2 2 2 2 tham số thực) có một nghiệm là z  1  i . Tính môđun của số Tính P  z1  z 2  z 3  z 4 . phức w  m  ni . A. P  42. B. P  34. C. P  16. D. P  24. A. 8 . B. 4 . C. 2 2 . D. 16 . Câu 189. Gọi z1 , z 2 , z 3 , z 4 là các nghiệm phức của phương Câu 183. Biết phương trình z 2  az  b  0 (với a, b là tham 4  z 1    1 . Tính giá trị của biểu thức số thực) có một nghiệm phức là z  1  2i . Tính tổng trình  2z i  S  a  b. P   z12  1 z 22  1 z 32  1 z 42  1 . A. S  0 . B. S  4 . C. S  3 . D. S  3 . Câu 184. Cho số phức w và hai số thực a, b. Biết rằng w  i và 2w 1 là hai nghiệm của phương trình z 2  az  b  0. Tính tổng S  a  b. 1 A. S  . 3 5 B. S  . 9 Câu 185. Cho số phức 1 C. S   . 3 w, biết rằng 5 D. S   . 9 z1  w  2i và số thực. Tính T  z1  z 2 . B. T  2 97 . 3 C. T  4 13. D. T  2 85 . 3 B. P  15 . 9 C. P  17 . 9 D. P  425. Câu 190. Cho phương trình 4 z 4  mz 2  4  0 trong tập số phức và m là tham số thực. Gọi z1 , z 2 , z 3 , z 4 là bốn nghiệm của phương trình đã cho. Tìm tất cả các giá trị của m để z 2  2w  3 là hai nghiệm của một phương trình bậc hai với hệ A. T  2 13. 1 A. P  . 2  z12  4 z 22  4 z 32  4 z 42  4  324 . A. m  1 hoặc m  35 . B. m  1 hoặc m  35 . C. m  1 hoặc m  35 . D. m  1 hoặc m  35 . Vấn đề 11. TẬP HỢP CÁC ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC Câu 191. Trong mặt phẳng tọa độ, tập hợp điểm biểu diễn số phức z có phần thực bằng 2 là đường thẳng có phương trình: Câu 186. (ĐỀ MINH HỌA 2016 – 2017) Kí hiệu z1 , z 2 , z 3 và z 4 là bốn nghiệm phức của phương trình z 4  z 2  12  0. Tính tổng T  z1  z 2  z 3  z 4 . A. x  2 . B. x  2 . C. x  1 . D. x  1 . Câu 192. Trong mặt phẳng tọa độ, tập hợp các điểm biểu diễn số  phức z thỏa mãn điều kiện z 2  z 2  0 là: B. T  2 3. A. T  4. A. Trục hoành. C. T  4  2 3. D. T  2  2 3. B. Trục hoành và trục tung. Câu 187. Kí hiệu z1 , z 2 , z 3 và z 4 là bốn nghiệm phức của phương T trình 6 x 4  19 x 2  15  0. 1 2  i. C. T  0. C. Đường phân giác góc phần tư thứ nhất và thứ ba. tổng D. Các đường phân giác của các gốc tọa độ. 1 1 1 1    . z1 z 2 z 3 z 4 A. T  Tính Câu 193. Trong mặt phẳng tọa độ, tập hợp các điểm M  x ; y  B. T  2 2. D. T   2. biểu diễn của số phức z  x  yi  x ; y    thỏa mãn z  1  3i  z  2  i là: A. Đường tròn tâm O bán kính R  1. B. Đường tròn đường kính AB với A 1; 3 và B 2;1 . Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 27 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 C. Đường trung trực của đoạn thẳng AB với A 1; 3 và Câu 197. Số phức z thỏa mãn điều kiện nào sau đây thì có tập hợp các điểm biểu diễn của nó trên mặt phẳng tọa độ là đường B 2;1 . tròn tâm I 0;1 , bán kính R  2 ? D. Đường thẳng vuông góc với đoạn AB tại A với A 1; 3, B 2;1 . A. z  i  2. B. z  1  2. Câu 194. Trong mặt phẳng tọa độ, tập hợp các điểm M  x ; y  C. z  1  2. D. z  i  2. biểu diễn của số phức z  x  yi  x ; y    thỏa mãn số thực là: z i là Câu 198. Xét các số phức z  x  yi  x ; y    có tập hợp z i điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ là đường tròn có phương trình C  :  x 1   y  2  4 . Tìm tập hợp các điểm biểu 2 A. Đường tròn C  : x  y  1  0 nhưng bỏ hai điểm 0;1 2 2 và 0;1 . B. Parabol  P  : y  x . 2 diễn của số phức w  z  z  2i . A. Đường thẳng. B. Đoạn thẳng. C. Điểm. D. Đường tròn. 2 C. Trục hoành. Câu 199. Gọi z1 và z 2 là các nghiệm của phương trình D. Trục tung bỏ điểm biểu diễn số phức z  i . Câu 195. Trong mặt phẳng tọa độ, tập hợp các điểm biểu diễn số 2 phức z thỏa mãn điều kiện z  3 z  3 z  0 là: z 2  4 z  9  0 . Gọi M , N , P lần lượt là các điểm biểu diễn của z1 , z 2 và số phức w  x  yi  x ; y    trên mặt phẳng tọa độ. Khi đó tập hợp điểm P trên mặt phẳng phức để tam giác MNP vuông tại P là: A. Đường tròn có tâm I 3;0 , bán kính R  3 . A. Đường thẳng có phương trình x 2  2 x  y 2 1  0 B. Đường tròn có tâm I 3;0 , bán kính R  3 . B. Là đường tròn có phương trình  x  2  y 2  5. C. Đường tròn có tâm I 3;0 , bán kính R  9 . C. Là đường tròn có phương trình  x  2  y 2  5 nhưng D. Đường tròn có tâm I 3;0 , bán kính R  0 . Câu 196. Trong mặt phẳng tọa độ, tập hợp các điểm biểu diễn số   phức z thỏa mãn điều kiện 2  z  z  i là số thuần ảo là: 2 2 không chứa M , N . D. Là đường tròn có phương trình x 2  2 x  y 2 1  0 nhưng không chứa M , N . Câu 200. Trong mặt phẳng tọa độ, cho số phức z thỏa mãn điều  1 5 A. Đường tròn có tâm I 1;  , bán kính R  .  2  2 B. Đường thẳng nối hai điểm A 2;0 và B 0;1 . kiện z  3  4i  2 . Tập hợp các điểm biểu diễn số phức w  2 z  1  i là hình tròn có diện tích S bằng: A. S  19. B. S  12. C. S  16. D. S  25. Câu 201. Cho z , w là các số phức thỏa mãn z  1, z  w  1 .  1 5 C. Đường tròn có tâm I 1;  , bán kính R  nhưng bỏ đi  2  2 Tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức w .   A 2;0 hai điểm  . A. Hình tròn C  : x 2  y 2  4.   B 0;1     D. Đường trung trực của đoạn thẳng AB với A 2;0 và B 0;1 . B. Đường tròn C  : x 2  y 2  4. C. Hình tròn C  :  x 1  y 2  4. 2 D. Đường tròn C  :  x 1  y 2  4. 2 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 28 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Câu 202. Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn Câu 208. Tính tích môđun của tất cả các số phức z thỏa mãn z  i  z  i  4 là: x 2 y2 A. Elip  E  :   1. 4 3 C. Elip  E  : 2 z 1  z  1  i , đồng thời điểm biểu diễn z trên mặt phẳng x 2 y2 B. Elip  E  :   1. 3 4 x 2 y2   4. 4 3 tọa độ thuộc đường tròn tâm I 1;1 , bán kính R  5. A. 5. C. 3 5. B. 3. D. 1. Câu 209. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z  3  6i  5 và 1  2i  z 1 12i  15 ? D. Hình tròn tâm I 0;1 , bkính R  4. A. 0 . B. 1. C. 2. D. Vô số. Câu 203. (ĐỀ MINH HỌA 2016 – 2017) Cho các số phức z thỏa mãn z  4 . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số Câu 210. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để tồn tại duy nhất số phức phức w  3  4i  z  i là một đường tròn. Tính bán kính r của z thỏa mãn điều kiện z.z  1 và z  3  i  m . Tìm số phần đường tròn đó. A. r  4 . B. r  5 . C. r  20 . D. r  22 . tử của S . A. 2. B. 4. C. 1. D. 3. Câu 204. Cho các số phức z thỏa mãn z 1  2 . Biết rằng tập   hợp các điểm biểu diễn các số phức w  1  3i z  2 là một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó. A. r  2. B. r  4. C. r  8. D. r  16. Vấn đề 12. BÀI TOÁN MIN – MAX TRONG SỐ PHỨC Câu 211. Biết số phức z  x  yi  x ; y    thỏa mãn điều kiện z  2  4i  z  2i đồng thời có môđun nhỏ nhất. Tính Câu 205. Biết tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn giá trị biểu thức M  x 2  y 2 . iz 1  2i  4 là một đường tròn. Tìm tọa độ tâm I của A. M  8 . đường tròn đó. A. I 2;1. B. I  2;1. C. I 1;2. D. I 1;  2 . Câu 206. Cho các số phức z thỏa mãn z  1  3. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức w với 3  2i w  iz  2 là một đường tròn. Tìm tọa độ tâm I và bán kính r của đường tròn đó. 8 1 3 A. I  ; , r  . 13 13  13 B. I 2;3, r  13. 4 7 3 C. I  ; , r  . 13 13  13 2 1 D. I  ;  , r  3.  3 2  B. M  10 . C. M  16 . D. M  26 . Câu 212. Cho các số phức z , w thỏa mãn z  2  2i  z  4i và w  iz  1 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  w là: A. Pmin  2 . 2 C. Pmin  2. B. Pmin  2 2. D. Pmin  3 2 . 2 Câu 213. Cho các số phức z1  1  3i , z 2   5  3i . Tìm điểm M  x ; y  biểu diễn số phức z 3 , biết rằng trong mặt phẳng tọa độ điểm M nằm trên đường thẳng d : x  2 y  1  0 và môđun số Câu 207. Cho các số phức z thỏa mãn z  m 2  2m  5 , với phức w  3z 3  z 2  2 z1 đạt giá trị nhỏ nhất. m là tham số thực. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức w  3  4i  z  2i là một đường tròn. Bán kính nhỏ nhất 3 4 A. M  ; . B.  5 5  1 3  3 1 C. M  ; . D. M  ; .  5 5   5 5  của đường tròn đó bằng: A. 4 . B. 5 . C. 20 . D. 22 . Câu 214. Cho số phức z thỏa mãn z  1  i  z  3i . Tính 1 môđun lớn nhất w max của số phức w  . z Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 29 Tµi liÖu to¸n 12 A. w max  C. w max n¨m häc 2018 7 5 . 10 B. w max  4 5  . 7 D. w max Câu 220. Xét các số phức z1 , z 2 2 5 . 7 thỏa mãn điều kiện z  2  4i  5 . Gọi z1 , z 2 lần lượt là các số phức có môđun nhỏ nhất và môđun lớn nhất. Tính w  z1  z 2 . 9 5  . 10 Câu 215. Xét số phức z và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn là M , M ‘. Số phức z 4  3i  và số phức liên hợp A. w  4  8i. B. w  1  2i. C. w  3  6i. D. w  4  8i. của nó có điểm biểu diễn lần lượt là N , N ‘. Biết rằng Câu 221. Xét các số phức z thỏa mãn điều kiện MM ‘ N ‘ N là một hình chữ nhật. Tìm giá trị nhỏ nhất của 1  i  z  1  7i  2 . Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất P  z  4i  5 . A. Pmin  5 C. Pmin  1 Câu và giá trị lớn nhất của biểu thức P  z . Tính S  M  m. 34 2 . . B. Pmin  2 D. Pmin  4 Cho 216. số 5 A. S  10. . 13 C. S  24. . z phức thỏa mãn P  w , với w  z  2  2i . trị lớn nhất của biểu thức P  z . Tính S  2020  M  m. A. S  2022. B. S  2016. C. S  2018. D. S  2014. Câu 223. Xét các số phức z thỏa mãn z  2  3i  1 . Giá trị C. Pmin  1. 1 D. Pmin  . 2 Câu 217. Cho hai số phức z1 , z 2 thỏa mãn z1  2i  3 và lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z  1  i lần lượt là: A. 13  2 và 13  2 . B. 13  1 và 13 1 . D. 13  4 và 13  4 . z 2  2  2i  z 2  2  4i . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức C. 6 và 4 . P  z1  z 2 bằng: A. P  1 . C. P  3. B. P  2 . D. S  4. Câu 222. Xét các số phức z thỏa mãn điều kiện  2  3i z  1  1 . Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá 3  2i z 2  2 z  5   z 1  2i  z  3i 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của 3 A. Pmin  . B. Pmin  2. 2 B. S  2. D. P  4. 2 2 Câu 218. Cho số phức z1 thỏa mãn z1  2  z1  i  1 và số Câu 224. Cho số phức z thỏa mãn z không phải là số thực và z w là số thực. Tìm giá trị lớn nhất Pmax của biểu thức 2  z2 P  z  1 i . phức z 2 thỏa mãn z 2  4  i  5 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P  z1  z 2 . A. Pmin  2 5 . 5 B. Pmin  5. D. Pmin  3 5 . 5 điều 2 P  z  2  z i C. Pmax  2. D. Pmax  8. P Câu 219. Biết số phức z  x  yi  x ; y    thỏa mãn đồng các B. Pmax  2 2. Câu 225. Xét các số phức z thỏa mãn z  2 . Biểu thức C. Pmin  2 5. thời A. Pmax  2. kiện 2 z  3  4i   5 và biểu thức đạt giá trị lớn nhất. Tính z . A. z  33 . B. z  50 . Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng C. z  10 . D. z  5 2 . – 0946798489 z i đạt giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất lần lượt tại z1 z và z 2 . Tìm phần ảo a của số phức w  z1  z 2 . A. a  4. B. a  4. C. a  0. D. a  1. Câu 226. Cho các số phức z1 và z 2 thỏa mãn z1  4  1 và iz 2  2  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của biểu thức P  z1  2 z 2 . Page | 30 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 A. Pmin  2 5  2. B. Pmin  4 2  3. C. Pmin  4  2. D. Pmin  4 2  3. Câu 233. Xét số phức z thỏa mãn z  1 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z 3  3z  z  z  z . Tính môđun của w  M  mi . Câu 227. Gọi T là tập hợp các số phức z thỏa mãn z  i  3 và z 1  5 . Gọi z1 , z 2  T lần lượt là các số phức có mođun A. w  3 5 . 4 B. w  3 17 . 4 C. w  15 . 4 D. w  3 13 . 4 nhỏ nhất và lớn nhất. Tìm số phức w  z1  2 z 2 . A. w  12  2i . B. w  2  12i . C. w  6  4i . D. w  12  4i . Câu 234. Cho các số phức z thỏa mãn z  1 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức Câu 228. Cho số phức z thỏa mãn z  4  z  4  10 . Giá trị P  z  1  2 z 1 . Khi đó: lớn nhất và nhỏ nhất của z lần lượt là: A. M  3 5, m  2. A. 10 và 4. B. 5 và 4. C. 4 và 3. B. M  3 5, m  4. D. 5 và 3. C. M  2 5, m  2. D. M  2 10, m  2. 4i Câu 229. Cho số phức z thỏa mãn z   2 . Gọi M và m z Câu 235. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  1  2. Tìm lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của | z |. Tính giá trị lớn nhất của biểu thức T  z  i  z  2  i . S  M  m. A. S  2 5. B. S  2. C. S  5. D. S  13 . Câu 230. Cho số phức z thỏa mãn z  1 .Tìm giá trị lớn nhất của T  z  1  2 z 1 . A. Tmax  2 5. C. Tmax  3 5. A. Tmax  8 2. B. Tmax  4. C. Tmax  4 2. D. Tmax  8. z1  z 2  3. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị B. Tmax  2 10. D. Tmax  3 2. A. là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z 2  1  1  z . Tính S  M  m. A. S  2  2. B. S  2  2. C. S  2  2. D. S   2. M M  3. B.  2. m m C. M M  5. D.  2. m m Câu 237. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Xét các số phức z thỏa mãn z  2  i  z  4  7i  6 2. Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của A. P  13  73 . B. P  5 2  2 73 . 2 C. P  5 2  2 73 . D. P  5 2  73 . 2 là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức B. P  5 . 26 z 1  i . Tính P  m  M. Câu 232. Xét số phức z thỏa mãn z  1 . Gọi M , m lần lượt P  z 2  z  1  z  1 . Tính P  M . m nhỏ nhất của biểu thức P  z1  z 2 . Tính Câu 231. Xét số phức z thỏa mãn z  1 . Gọi M , m lần lượt 5 A. P  . 4 z1  z 2  1 và Câu 236. Xét số phức z1 , z 2 thỏa mãn M . m 1 2 C. P  3 . 4 D. P  13 . 16 Câu 238. Xét số phức z thỏa mãn z  3  2i  z  3  i  3 5. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z  2  z 1  3i . A. M  17  5, m  3 2. Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 31 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 B. M  26  2 5, m  3 2. A. M  4. C. M  26  2 5, m  2. Câu 245. Cho số phức Xét 239. số phức z thỏa mãn z  2  3i  z  6  i  2 17. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị z, w nhỏ nhất của biểu thức P  z  1  2i  z  2  i . 1 B. a  . 4 1 A. a   . 8 Câu Cho 246. hai số Xét số A. P  2 3. B. P  phức z thỏa z . w 1 D. a  . 8 z1 , z 2 phức thỏa z1 . z2 biểu thức P  D. M  2, m  5 2  2 5. 240. và thỏa mãn 1 1 2   . Tính giá trị z1  z 2 z1 z 2 B. M  3 2, m  2. C. M  3 2, m  5 2  2 5. Câu 0 C. a  1. z1  0, z 2  0, z1  z 2  0 và A. M  3 2, m  0. khác z  w  2 z  w . Tìm phần thực a của số phức u  D. M  17  5, m  2. Câu C. M  11. D. M  5. B. M  2. 2 3 . C. P  3 . 2 D. P  2 . 2 mãn z  2  2i  z  1  3i  34. Tìm giá trị nhỏ nhất của biển Câu 247. Cho hai số phức z1 , z 2 thỏa mãn điều kiện z1  z 2  z1  z 2  1. thức P  z  1  i . A. Pmin  34 . B. Pmin  3. và w  Câu 241. Nếu số phức z thỏa mãn z  1 và z  1 thì phần P 1 thực của bằng: 1 z 1 . 2 1 B.  . 2 C. 2. D. 1. A. a  0. B. a  1. D. a  2. z  z2 . 1  z1 z 2  0 . Tìm phần ảo a của số phức w  1 1  z1 z 2 B. a  1. C. a  1. D. P  1. z 1 z 2 z 1 z 2 là số thực. Tính giá trị của biểu thức . 249. 1 B. P  . 2 Cho các C. P  2. số phức 1 D. P  . 3 z1 , z 2 , z 3 thỏa mãn P  z1 z 2  z 2 z 3  z 3 z1 theo a . Câu 243. Cho hai số phức z1 , z 2 thỏa mãn z1  z 2  1 và A. a  0. thức z1  z 2  z 3  1 và z1  z 2  z 3  a . Tính giá trị biểu thức z 1 . z 1 C. a  1. biểu 2 1 A. P  . 5 Câu 242. Cho số phức z thỏa mãn z  1 và z  1 . Xác định Câu phần thực a của số phức w  của Câu 248. Cho số phức z  0 sao cho z không phải là số thực Vấn đề 13. TỔNG HỢP A. trị A. P  1  i. B. P  1  i. C. P  1  i. D. Pmin  4. C. Pmin  13. giá z  z  P   1    2  .  z 2   z1  2 9 Tính D. a  2. A. P  3a 2 . B. P  3a . C. P  a . Câu 250. Cho ba số phức z , z 2 , z 3 thỏa mãn điều kiện z1  z 2  z 3  1 và z1  z 2  z 3  0 . Tính giá trị biểu thức A  z12  z 22  z 32 . A. A  1 . B. A  0 . C. A  1 . Câu 244. Cho hai số phức z1 , z 2 thỏa mãn z1  2, z 2  1 và 2 z1  3 z 2  4 . Tính giá trị của biểu thức M  z1  2 z 2 . D. P  a 2 . Câu 251. Cho số phức z thỏa mãn z  D. A  2 . 1  z 1 . Tính z môđun số phức w  z  1 . Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 32 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 A. w  5. B. w  5. C. w  1. D. w  3. Câu 252. Cho hai số phức z1 , z 2 thỏa mãn z1  z 2  1 và 3 z1  4 z 2  1 . Tính môđun của số phức z  3 z1  4 z 2 . A. z  5 2. B. z  7. C. z  4 3. D. z  2 3. Câu 254. Cho hai số phức z1 , z 2 thỏa mãn z1  3 , z 2  2 được biểu diễn trong mặt phẳng phức lần lượt là các điểm M , N .   Biết góc tạo bởi giữa hai vectơ OM và ON bằng 30 0 . Tính giá trị của biểu thức A  A. A  1. z1  z 2 . z1  z 2 B. A  13. C. A  7 3 1 . D. A  . 2 13 Câu 253. Cho số phức z có z  2018 và w là số phức thỏa Câu 255. Cho số phức z thỏa mãn z  5 . Kí hiệu M , m lần mãn 1 1 1   . Tính môđun của số phức w . z w z w A. w  1. B. w  2017. C. w  2018. D. w  2019. Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1  2i  z 3  z 5 . Tính P  M  m . A. P  250. C. P  6250. B. P  250 137. D. P  625. Page | 33 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 SỐ PHỨC Dạng 1. Các phép tính về số phức và các bài toán định tính. Ví dụ 1.Xác định phần thực và phần ảo của các số phức : 1. z  i  2  i  3  i  2. z  3  4i 4i 2 3. 1  i   1  i  z  8  i   1  2i  z Lời giải.  1. z  i  2  i  3  i   2i  i 2   3  i    2i  1 3  i   7i  2i 2 3  7i  2  1  3  1  7i Vậy z có phần thực a  1 , phần ảo b  7 . 3  4i  3  4i  4  i  12  13i  4i 2 2. z    4i  4  i  4  i  16  i 2  12  13i  4  1 16   1  16  13i 16 13   i 17 17 17 Vậy z có phần thực a  2 3. 1  i   2i  1  i  2 16 13 , phần ảo b   . 17 17  2  i   2i  2  i   2  4i Giả thiết   2  4i  z  8  i   1  2i  z   1  2i  z  8  i  z  8i  2  3i 1  2i Vậy z có phần thực là a  2 và phần ảo b  3 . Ví dụ 2. 1. Tìm môđun của số phức z, biết rằng: 1  2i  z  3  8i 2. Tìm các số thực b, c để phương trình z 2  bz  c  0 nhận số phức z  1  i làm 1 nghiệm. Lời giải. 1. 1  2i  z  3  8i  z  z 3  6i  8i  16i 2 2 1 2 2 3  8i  3  8i 1  2i   1  2i 1  2i 1  2i  z 19  2i 19 2   i 5 5 5 2 Do đó: z  2 19 2  19   2  73 365  i        5 5 5 5  5  5 2. z  1  i là 1 nghiệm của phương trình z 2  bz  c  0 nên:  1  i 2  b  1  i   c  0  b  c   b  2  i  0 b  c  0  b  2 Theo điều kiện bằng nhau của hai số phức thì:    b  2  0 c  2 Vậy, các số thực cần tìm là b  2 và c  2 . Ví dụ 3. 3 2   Tìm số phức z thỏa mãn: 2  z  z .  z3  z    1  4i   z 2  zz  z       Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng  – 0946798489   Page | 1 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Lời giải 2 2 2   Đẳng thức cho : 2   z 2  z   z 2  z.z  z   1  4i   z2  z.z  z         z2  z 2    4abi , z 2  z.z  z  2    3a 2  b2   Khi đó: 2  3a 2  b2 4abi  1  4i  3a 2  b2  z  1  i,z  1  i Vậy, số phức cần tìm là: z  1  i,z  1  i Ví dụ 4. 1. Tìm phần ảo của số phức z , biết : z   2 i 2  1  2i  . 3 1 i 3  2. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z    .  1 i    Lời giải    1. Ta có: z  1  2 2i 1  2i  1  2i  2 2i  4i 2  5  2i  z  5  2i . Vậy phần ảo của z bằng  2 . 2. z  1  3i 3  9i 2  3 3i 3  4  2  2i 1 i 1  3i  3i 2  i3 Vậy phần thực của z là 2 và phần ảo của z là 2 . Ví dụ 5.  2. Tìm phần thực của số phức z , biết 2  z   1  i  z   1  2i  1. Tìm phần ảo của số phức z , biết z  3z  1  2i 2 Lời giải. 1. Đặt z  a  bi  z  a  bi ,  a, b     Ta có: z  3z  1  2i  2 2 a  bi  3  a  bi   1  2i   4a  2bi  1  4i  4  3  4a  3 a   4a  2bi  3  4i    4 2b  4  b  2  3 Vậy, z   2i , phần ảo bằng 2 4 2. z  a  bi  z  a  bi . Từ giả thiết, suy ra a  bi   1  i  a  bi   1  2i  2  a  bi   a  ai  bi  b   1  4i  4  b   2b  a  i  3  4i  b3 b3   2b  a  4 a  10 Vậy, z  10  3i , phần thực bằng 10 Ví dụ 6. Tìm số phức z thỏa mãn: 9 1. z  3i  1  iz và z  là số thuần ảo. z Lời giải. 1. Đặt z  a  bi 2. z  z  2  2i và z  2i là số ảo. z2  a, b    . Khi đó z  3i  1  iz tương đương với a   b  3  i  1  i  a  bi   a   b  3  i  1  b  ai Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 2 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 2 2 2  a 2   b  3    1  b    a   b  2 .   3 2 9  a  2i  a  5a  2a  26 i 9 9 Khi đó z   a  2i  và là số thuần ảo khi và chỉ khi a 3  5a  0  a  2i   2 2 z a  2i a 4 a 4 hay a  0, a   5 . Vậy các số phức cần tìm là z  2i, z  5  2i, z   5  2i .  a, b    . Khi đó z  z  2  2i tương đương với 2 2 a  bi   a  2    b  2  i tức a 2  b 2   a  2    b  2   b  2  a  1 z  2i a   b  2  i a   b  2  i   a  2   bi    Ta có: z  2  a  2   bi  a  2 2  b 2 a  a  2   b  b  2   a  2  b  2   ab a a  2  b  b  2   i là số ảo khi và chỉ khi  0  2 2 2  a  2   b2  a  2   b2  a  2 2  b2 Từ  1 và  2  suy ra a  0, b  2 tức ta tìm được z  2i 2. Đặt z  a  bi Ví dụ 7.Tìm số phức z thỏa mãn: z 1 z  3i  1 và 1 zi zi Lời giải. Cách 1: Giả sử z  a  bi ,  a, b    . z1 1 z1  z i  zi  a  1  bi  a   b  1 i hay  a  12  b2  a2   b  12 tức a  b z  3i  1  z  3i  z  i  a   b  3  i  a   b  1 i hay zi Lại có: 2 2 a 2   b  3   a 2   b  1  b  1  a  1 Vậy, số phức cần tìm là z  1  i Cách 2: Với 2 số phức z và z’  z’  0  , ta luôn có: Ta có: z z  z’ z’ z 1  1  z  1  z  i . Gọi A và B là 2 điểm biểu diễn các số 1 và i tức là A  1; 0  , B  0;1 . Với giả zi thiết: z  1  z  i  MA  MB , ở đây M  M  z  là điểm biểu diễn số phức z . Như vậy, M nằm trên đường trung trực của AB  M nằm trên đường thẳng y  x  a  z  3i  1  z  3i  z  i  MA  MB tức là M nằm trên trung trực của AB , nghĩa là điểm M nằm zi Lại có: trên đường thẳng y  1  b  . Từ  a  và  b  suy ra M nằm trên đường thẳng y  x và y  1 tức M  1;1  z  1  i . Ví dụ 8. Cho số phức z  x  yi; x, y   thỏa mãn z 3  18  26i . Tính T   z  2  2012  4  z 2012 Lời giải. 3  3 z  x  3xy 2    3x y  y  2 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng 3 x 3  3xy 2  18 i  18  26i   2 3 3x y  y  26 – 0946798489 Page | 3 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Do x  y  0 không là nghiệm hệ, đặt y  tx     x3 1  3t 2  18    3t  1 3t 2  12t  13  0 Khi đó ta có:  3 3 x 3t  t  26  1 Khi t  thì x  3, y  1 , thỏa mãn 3   Khi 3t 2  12t  13  0 thì x, y   . Vậy số phức cần tìm là: z  3  i Vậy, T   z  2  2012  4  z 2012  1  i  2012  1  i  2012  21007 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1. 1. Cho 2 số phức z1 , z 2 thỏa mãn z1  z2  1 , z1  z2  3 . Tính z1  z2 2. Tìm các số thực x, y sao cho : a. z  z’ , biết rằng: z   2x  3    3y  1 i , z’   2y  1   3x  7  i . b. c. d.  x  2y  4  i 3   3x  y  x  2i   47  20i . x  yi  3  yi 3  xyi 1  2i 3 1 3  i. 2 2 và x  y  2i 1  2i 3 là ( phức ) liên hợp. 3. Cho z  cos18 0  cos 72 0 i . Tính z . 4. Xác định phần thực và phần ảo của các số phức : 33 1 i  1 10 z    1  i    2  3i  2  3i   i 1 i  5. Thực hiện các phép tính : 9 10 A   1  i   1  i  B  1  i  M  i 5  i 6  i7  …  i18 8  1  1  i    i13  13  1  i   i   2 21 3 N  1   1  i    1  i    1  i   …   1  i  2010 6. Xác định phần thực và phần ảo của các số phức : a. z   2  3i  3  2i  b. z  2 c. z   1  i    1  i  1  2i 3  2i 2 3 2  i  1  i   d. 4) z  4  3i 2 7. Cho z  2x  3x  1   x  1 y  3  i với x, y là các số thực Tìm x, y sao cho: a. z là số thực. c. z  6  5i b. z là thuần ảo và z  4 8. Thực hiện các phép tính : 3 A 3  2  i   2  i  2  i  3   2  i 3  1  3 3i  B   2  3i    2009 2 C  i  i 2  …  i 2009 3 D  1  i    1  i   …   1  i  2010 9. Cho số phức z  (1  2x)(1  x)  (2  x)(2y  1)i Trong đó x, y là các số thực. Tìm x, y sao cho a. z là số thực b. z là số thuần ảo và z  1 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 c. z  20  15i . Page | 4 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 10. Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau: a. z  c. z  (1  2i)2 3i (3  i)(1  2i) b. z  (2  i)3  (3  2i)3 d. z  (1  3i)(2  i)2  2 (3  2i) 11. Tìm modun của số phức z biết: a. (1  2z)(3  4i)  29  22i b. z c.  (1  2i)(2  i) (2  3i)2 Bài 2 1. Tìm phần thực và phần ảo của số phức : 1  i 2  2  i  z  8  i  1  2i  z 4  2i 1  3i 3  2i (2  3i)2  z  2i 3  2i d. (2  i)(3z  1)  (z  2)(4  5i) . Đề thi Cao đẳng năm 2009. 2. Chứng minh nếu z1  z2  1 , z1z 2  1 thì z1  z 2 là số thực. 1  z1z 2 3. Tìm số phức z thỏa mãn z  2  i  1 . Biết phần ảo nhỏ hơn phần thực 2 đơn vị.   5. Tìm số phức z thỏa mãn z.z  3  z  z   5  6i . 4. Tìm số phức z thỏa mãn  z  1 z  2i là số thực và z  1  5 . 6. Tính z biết: a.  3i  1 z   2i  1 2 b. z1  2i  3 z2 c. z  1 3i  2  3z  2 i  1 7. Tìm số phức z biết : b. 3z  2(z)2  0 a. 4z  (3i  1)z  25  21i Bài 3 Xét các điểm A, B,C trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số 4i 2  6i ,  1  i  1  2i  , . i 1 3i 1. Chứng minh ABC là tam giác vuông cân 2. Tìm số phức biểu diễn bởi điểm D sao cho ABCD là hình vuông. Bài 4 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho A và B là hai điểm lần lượt biểu diễn 2 nghiệm phức của phương trình: z 2  6z  18  0 . Chứng minh rằng tam giác OAB vuông cân. Bài 5 Chứng minh rằng: 1. 1  i  2.  2010 3i  1  1  i  2009     2010 là một số thực 3i  1  2009 là số thuần ảo. Bài 6 Cho u,v là biểu diễn của hai số phức 1  3i và 3  2i     1. 3u  2v ; 5u  3v biểu diễn những số phức nào?     2. Gọi x là biểu diễn của số phức 6  4i . Hãy phân tích x qua u, v . Bài 7 Gọi A1 , A 2 , A 3 , A 4 lần lượt là biểu diễn hình học của các số phức z1  1  3i, z 2  3  2i, z 3  5  i, z 4  4  5i . 1. Tính độ dài các đoạn A1 A 2 , A1A 3 , A1A 4 2. Tìm số phức có biểu diễn là điểm M sao cho A1A 2 A 4 M là hình bình hành. Bài 9. n 1. Tìm phần thực của số phức z   1  i  , n  N thỏa mãn phương trình: log 4  n  3   log 4  n  9   3 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 5 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 iz  1  3i  z 2. Tìm phần ảo của số phức z , biết 1 i  z 2 Bài 10. 1. Gọi z là nghiệm của phương trình z 2  2z  2  0 . Tính giá trị của biểu thức Q  z2012   1 z 2012 .  2. Tính z , biết  2z  1 1+i   z  1  1  i   2  2i. Đề thi Đại học Khối A – năm 2011 Bài 11 Tìm số phức z thỏa mãn: z  1 i 1. z  2i  z  1  i và là một số thuần ảo. z  2i 2. z  5 và phần thực của z bằng 2 lần phần ảo của nó. 3. z  z3 4. z  2 và z2 là số thuần ảo. Đề thi Đại học Khối D ,2010 Bài 12 Tìm số phức z thỏa mãn: 1. z z 4 2 z 200 0 1  7i 5i 3 1 0 z 3. z  (2  3i)z  1  9i 2. z  Đề thi Đại học Khối B – năm 2011 Đề thi Đại học Khối D – năm 2011 2 4. z 2  z  z Bài 13 Tìm số phức z thỏa mãn:  2 z  i  z  z  2i  1.  2 2 z  z 2 2   z   2  i   10 3.   z.z  25  z  2i  z 2.   z  i  z  1  z2 1  4.  z  2i   z  1 z  i   5  zi 1  6.   z  i  1  2  5. 1  z 2z  i  1 i 1 i 7. z 2  z  8z  44 8. z3  z Bài 14 1. Nếu z1  z2  1, z1z2  1 thì T  2. Nếu z1  z2  z3  r thì T  z1  z 2 là số thực. 1  z1z2  z1  z2  z2  z3  z3  z1  z1z 2 z 3 là số thực và z1 z 2  z 2 z 3  z 3 z1 z1  z 2  z 3  r với z1  z 2  z 3  0 . 3. Số phức w  z1 là số thuần ảo  z  1 . z1 Bài 15. Cho  ,  là hai số phức liên hợp thoả mãn  2  R và     2 3. Tính  . Bài 16. Tính z1  z 2 , z1  z 2 , z1 .z 2 , z1  2z 2 , 2z1  z2 biết: 1. z1  5  6i, z 2  1  3i 2. z1  2  3i, z 2  3  4i 1 3 1 2 3. z1    i, z 2    i 2 2 3 3 4. z1  3  2i,z 2   2  i Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 6 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Bài 17. Cho các số phức z1  1  2i, z 2  2  3i, z  1  i . Tính : 1. z1  z 2  z 2 2. z1z 2  z 2 z 3  z 3 z1 4. z12  z 22  z23 5. z1 z 2 z 3   z 2 z 3 z1 6. Bài 18. Tìm số phức z thỏa mãn: 1. z  5  7i  2  i z12  z 22 z 22  z 23 2. 2  3i  z  5  i z 4.  3  2i 1  3i 3. z(2  3i)  4  5i 5. 3. z1z 2 z 3 2i 1  3i z 1 i 2i 6. 2z(1  i)  2iz(1  i)  4i 1 3 1 3  i . Hãy tính: ; z; z 2 ;  z  ; 1  z  z 2 . z 2 2 Bài 20. Gọi A, B,C lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức z1  3  2i, z 2  2  3i , z 3  5  4i . Bài 19. Cho z  1. Chứng minh A, B,C là ba đỉnh của tam giác. Tính chu vi tam giác đó. 2. Gọi D là điểm biểu diễn của số phức z . Tìm z để ABCD là hình bình hành. 3. Gọi E là điểm biểu diễn của số phức z’ . Tìm z’ sao cho tam giác AEB vuông cân tại E . Bài 1: 1. Đặt z1  a1  b1i, z 2  a 2  b 2 i a 2  b2  a 2  b2  1  1 1 2 2  2  a1 b1  a 2 b2   1 Từ giả thiết ta có hệ:  2 2  a1  a 2    b1  b2   3 2x  3  2y  1 x  y  2 x  2   2. a. z  z’   . x  y  2 y  0   3y  1  3x  7 Vậy x  2, y  0 . 3 b. Ta có:  4  i   52  47.i nên suy ra:  x  2y  4  i 3   3x  y  x  2i    x  2y  52  47i    3x  y  x  2i    3×2  xy  52x  104y    41x  96y  i 3   x  2y  4  i    3x  y  x  2i   47  20i  20  41x 3×2  xy  52x  104y  47 y    96 41x  96y  20 329×2  708x  2432  0   608 x  4 x  329  hoặc   23 . 1529 y  y    12  2632 1 1 3 3   i  x  yi    i  3  yi   3  yi 2 2 2 2   3 3  y 3  x  yi    y    i  2 2   2 2    3 3  3  y x  x  1  y   x   3 . 2 2   2  y  3 y  y  3  y  3  2 2 c. x  yi  Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng  – 0946798489  Page | 7 Tµi liÖu to¸n 12 d. 3  xyi 1  2i  3  n¨m häc 2018 x  y  2i 1  2i  3  3  xyi 1  2i   3 x  y  2i 1  2i 3 x  y  3  x  1, y  2 .   xy  2  x  2, y  1   3. Dễ thấy cos720  cos 900  180  s in180 . z  cos180  cos720 i  cos180  s in180 i  z  2  cos18   s in18  0 0 2 1 3  1 5. z    i nên z  1 , số phức liên 2 2 1 3 i . hiệp: z    2 2 2 2  1 3  1 3  1  3  z  z z    i    i      i  1  2 2  2 2   2   2       1 i 2 5 4. Ta có:  i ; 1  i   2i  z  i 33   2i   13  i  13  32i 1i  Phần thực của z bằng 13 , phần ảo của z bằng 32 .  3  2 Chú ý. Khi gặp các bài toán yêu cầu tính zn với n là số tự nhiên khá lớn thì ta đi tính các lũy thừa nhỏ hơn để tìm quy luật của zn . 9 10 5. a. A   1  i   1  i  1  i 2  1  2i  i2  2i 9 2   1  i    1  i     2 4 2 4 1  i    2i  1  i   16  i2  1  i   16 1  i  10 2 5 5     1  i     2i   32 i 2   Vậy A  16  1  i   32i  16  16i  16  1  i  . 1  i   1  2i  i2  2i   1  i  8  1  1  i  b. B   1  i    i13  13  1  i   i   2 i  32i 21 1  i 2  1  2i  i2  2i 4 8 2 4   1  i    1  i     2i   16 i 2   6   .i   1 i13  i12 .i  i 2   6 i  i  i13  2 1 i 13 2  16  1  16 1 1 1 2  i   i 2  1   1  1  i i i i   2 1  i   1  2i  i2  2i  i   1  i  1 i    1  i  1  i  1  i  1   1 1  i2 1 i  21  i 21 10    i2 10 .i   1 .i  i  2  Vậy B  16    i  14 .  i   c. M  i 5  i6  i7  …  i18  i 5 1  i  i 2  i 3  …  i13  Dễ thấy 1  i  i 2  i 3  …  i13 là tổng của cấp số nhân có 14 số hạng, trong đó số hạng đầu tiên u1  1 , công bội qi. 14 14 1q 1 i  i5 . M  i .u1  i 5 .1. 1q 1i 5 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng 7   1  i2 1 i – 0946798489  i .1  i  . 1   1 1  i 1  i   i4 i  i2 7 5  1  i2  .2 Page | 8 Tµi liÖu to¸n 12 M 1.  i  1 2 n¨m häc 2018 .2  i  1 . 2 3 d. N  1  1  i    1  i    1  i   …   1  i  2010 . Dễ thấy tổng trên là tổng của cấp số nhân có 2011 số hạng , trong đó số hạng đầu tiên u1  1 , công bội q  1  i . 2011 1  1  i  1  q 2011 N  u1  1. 1 q 1  1  i  1  i  2  1  2i  i 2  2i   1  i   1  i  2011    21005 i 2 502  2011 1  1  i  2011 . i 2   1  i      1005 1005 1  i    2i  1  i   i 1  i   21005 i  i 2  21005  i  1 .   1005 2 i 1 1  21005  i  1 1  21005  i  1 i  2 1  q 2011 N  u1  1.    i  21006 2 1 q  i 1  1  i  i 6. a. Ta có z  6  4i  9i  6  12  5i  phần thực của z bằng 12 , phần ảo của z bằng 5 . 1  2i  3  2i   1  8i  1  8i   1  8 i . b. Ta có: z  13 13  3  2i  3  2i  32   2i 2 13  Phần thực của z bằng  1 8 , phần ảo của z bằng . 13 13 c. Ta có: z  1  2i  i 2  1  2i  i2  4i  Phần thực của z bằng 0 , phần ảo của z bằng 4 . 3 d. Ta có:  2  i   23  3.2 2.i  3.2.i 2  i 3  2  11i 3   2  i   1  i   13  9i  z  13  9i  4  3i   79  3 i  4  3i  4  3i  25 25 79 3 , phần ảo của z bằng  . 25 25 x  1 7. a. Ta có z là số thực   x  1 y  3   0   . y  3  Phần thực của z bằng  Với x  1  z  0  Với y  3  z  2×2  3x  1  1 2×2  3x  1  0 x   b. Ta có z là thuần ảo   2 y  3  x  1 y  3   0  1 1 Khi đó: z    y  3  i  z  y  3 2 2  z  4  y  3  8  y  11; y  5 .  1  1 x  x  Vậy  hoặc 2 2 là những cặp cần tìm .   y  11  y  3   2x 2  3x  1  6  2x 2  3x  5  0  c. Ta có: z  6  5i    x  1 y  3   5  x  1 y  3   5 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 9 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018  5 x  1 x    2 .  5 1 hoặc   y  3   y  19  x 1 2  3 3 3 8a. Ta có:  2  i   2  11i ;  2  i   2  11i A 2  11i  2  11i 4 2   i. 11 2  11i   2  11i  22i b. Đặt z  1  3 3i 2  3i   1  3i  z 2  2 1  3i      z 3  z2 .z  2 1  3i 1  3i  8    B  z 2009  z 3 669     .z 2  ( 8)669  2 1  3i   22008 1  3i .   c. Áp dụng công thức tính tổng của cấp số nhân, ta có: 1  i 2009 1i i i. 1 i 1i d. Áp dụng công thức tính tổng của cấp số nhân, ta có: Ci D  1  i  1  1  i  2010 1   i  1 2  1  i  1  i  Mà  1  i   2i   1  i   2010 1005   2i  1  i 2010  1  1  i . i  21005.i1004 .i  21005.i   D  i  i  1 21005 i  1  1  i  21005 i  21005  2 . 1 9. a. z là số thực  (2  x)(2y  1)  0  x  2 hoặc y   . 2 1 b. z là số thuần ảo khi (1  2x)(1  x)  0  x  1, x  2 z  1  (2  x)2 (2y  1)2  1 (*) * x  1  (*)  (2y  1)2  1  y  0, y  1 1 4 3 7  (*)  (2y  1)2   y   ,y   2 25 10 10 Vậy có bốn cặp (x;y) thỏa yêu cầu bài toán: * x 1 3  1 7  (x; y)  ( 1; 1), ( 1; 0),  ;   ,  ;   .  2 10   2 10  (1  x)(1  2x)  20 c. Ta có: z  20  18i   (2y  1)(2  x)  15  7 2×2  x  21  0 x x  3   2 .    15 1 y  1 y     y   11 2(x  2) 2   2 1  4i  4 3  4i ( 3  4i)(3  i) 13  9i 10. a.Ta có z     3i 3i 10 10 13 9 Vậy phần thực của z bằng:  , phần ảo . 10 10 b. Ta có: (2  i)3  23  3.22.i  3.2.i 2  i 3  2  11i (3  2i)3  33  3.32.2i  3.3.(2i)2  (2i)3  9  46i Suy ra z  11  35i . Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 10 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Vậy phần thức của z bằng: 11; phần ảo bằng: 35 . c. Ta có (3  i)(1  2i)  5  5i ; (3  2i)2  5  12i Suy ra z  (5  5i)(5  12i) 2 5  12 2  85  35i 10  10i  15  5i   16  6i 169 10 85 35 ; phần ảo bằng: . 169 169 (4  2i)(1  3i) c. Ta có: z  (1  3i)(3  4i)  10 Vậy phần thực của z bằng: 16 ; phần ảo bằng: 6 . 29  22i 13  9i 11. a.Ta có: 2z  1  z  3  i . Suy ra z  32  12  10 . 3  4i 3  4i Vậy phần thực của z bằng: 3  2i 5  12i (3  2i)2 5  12i   z  2i    1 z  2i 3  2i 5  12i 5  12i b. Ta có:  z  1  2i  z  5 . c. Ta có: z  (5  12i)5i  60  25i  z  65 d. Ta có: (6  3i)z  2  i  (4  5i)z  8  10i  (2  2i)z  6  9i  z  3 26 6  9i 3 15    i Suy ra z  2  2i 4 4 4 Bài 2 1. Biến đổi về dạng: z  8i  2  3i 1  2i 2 2. Dễ dàng chứng minh được z1 .z1  z1  1, z1  1 1 , z2  z1 z2 1 1  z  z2 z z2 z  z2 A 1  1  1 là số thực. 1  z1 .z 2 1  1 1 1  z1z 2 z1 z 2 3. z  a  bi  z  2  i  1   a  2 2   b  12  1  suy ra   b  a  2  b  a  2   b2  b  1 2  1     b  a  2  4.  z  1 z  2i  a 2  b 2  a  2b   2a  b  2  i là số thực, suy ra 2a  b  2  0  1 .  a  1 2  b 2  5  2  . Từ  1 và  2  suy ra  a; b    0; 2  ,  2; 2  z 1  5  a 2  b2  5 5. Từ giả thiết dẫn đến kết quả a 2  b2  6bi  5  6i suy ra  6b  6 3  4i 3 1 6. a. Ta có: (2i  1)2  3  4i  z    i 1  3i 2 2 2 2 3 1 10  z       . 2 2 2 z1 b. Ta có:  2i  3  z  1   2i  3  z  2    2  2i  z  7  4i z2 z 7  4i 11 3 130 .   i z  2  2i 4 4 4 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 11 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 z  1 3i  2    i  1 z  1   2  3i  3z  2  3z  2 i  1 c. Ta có:  z  7  8i   3  7i  z  6554 3  7i 77 25 .   i z  7  8i 113 113 113 7. a.Đặt z  x  yi  (3i  1)z  (3i  1)(x  yi)  x  3y  (3x  y)i  4z  (3i  1)z  5x  3y  (3x  3y)i  5x  3y  25 x  2 Từ đó suy ra    3x  3y  21 y  5 Vậy z  2  5i .  b. Đặt z  x  yi  z  Suy ra 3z  2 z 2 2  x 2  y 2  2xyi  3x  2x 2  2y 2  (3y  4xy)i 3x  2×2  2y 2  0 (1) Nên ta có:  (2) 3y  4xy  0 3 Từ (2) suy ra : x   hoặc y  0 4  y  0  3x  2x 2  0  x  0, x  3 2 3 27 3 6 y  x    y2  . 4 8 4 Vậy có bốn số phức thỏa yêu cầu bài toán: z  0,z  3 3 3 6 ,z    i. 2 4 4 Bài 3 4i  i  1 4i   2  2i  A  2; 2  i 1 i2  1 1  i 1  2i   3  i  B  3;1 Ta có: 2  6i  2  6i  3  i    2i  C  0; 2  3i 32  i 2  BA  BC 1. Dễ thấy:    nên ABC là tam giác vuông cân tại B .  BA.BC  0 2. Gọi D là đỉnh thứ 4 của hình vuông ABCD  D 1; 1 Vậy, số phức z  1  i được biểu diễn bởi điểm D 2 Bài 4 z 2  6z  18  0   z  3   9i 2  z  3  3i hoặc z  3  3i Trong mặt phẳng tọa độ số phức z  3  3i có biểu diễn là A  3; 3  , số phức z  3  3i có biểu diễn là B  3; 3  .   OAB có OA  OB  3 2 và OA.OB  0 , suy ra đpcm. Bài 5 1. Đặt z  1  i  z  1  i Và z1   1  i   1  i  2010 2010   z 2010  z1  z2010  z  1  i  2010 2010  1  i  2010  z1  z1 là số thực  đpcm. 2. Đặt z  3i  1  z  1  3i Và z1   3i  1  2009   z 2009  z1  z 2009  z Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 2009   1  3i  2009 Page | 12 Tµi liÖu to¸n 12   3i  1  2009  n¨m häc 2018  3i  1  2009   3i  1  2009   1  3i  2009  z1  z1 là số thuần ảo  đpcm. Bài 6   1. Ta có: u   1; 3  , v   3; 2      Suy ra: 3u  2v   9; 3  là biểu diễn của số phức 9  3i 5u  3v   4; 21 là biểu diễn của số phức 4  21i .  24 m  11 m  3n  6 2. Ta có: x   6; 4  . Giả sử x  m.u  n.v   .  3m  2n  4 n  14  11  24  14  Vậy x  u v. 11 11 Bài 7     1. Ta có: A1A 2  z1  z 2  4  i  17 A1A 3  z1  z 3  4 2 A1A 4  z1  z 4  13   2. Gọi z là số phức cần tìm. Ki đó: A1M và A 2 A 4 lần lượt là biểu diễn của các số phức z  z1 và z 4  z 2   A1A 2 A 4 M là hình bình hành  A1M  A 2 A 4  z  z1  z 4  z2  z  z1  z 4  z 2  8  6i . Bài 9. 1. Điều kiện: n  3, n   Phương trình log 4  n  3   log 4  n  9   3  log 4  n  3  n  9   3  n  3  n  9   43  n 2  6n  9  0  n  7  do : n  3  7 2 3 3 z   1  i   1  i  . 1  i    1  i  .  2i    1  i  .  8i   8  8i   Vậy phần thực của số phức z là 8 . 2. Đặt z  a  bi  z  a  bi ,  a, b    i  a  bi    1  3i  a  bi  1 i    a 2  b 2 , quy đồng mẫu số rồi rút gọn ta được: 3a  3b   a  5b  i  2 a 2  b2 , hai số   2  3a  3b  2 a 2  b2  2 5b  2b2  3b  3  5b   0    phức bằng nhau khi và chỉ khi   a  5b  0 a  5b  45 a  26  b  26b  9   0 a  0   (nhận) hoặc  (không thỏa a  b  0 ) a  5b b  0 b  9  26 Vậy, số phức cần tìm là z  0 Bài 10: 2 1. Phương trình cho biến đổi  z  1  1 và ta cũng có z 2  2  z  1 , suy ra 2 2 z 4   2  z  1   4  z  1  4  1  4 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 13 Tµi liÖu to¸n 12 Q  z 2012  1 z2012 n¨m häc 2018    z4 503 1  z  4 503   4  503  1  4 503  16 503  1 4 503 2. Giả sử z  a  bi  a, b      Ta có :  2z  1 1  i   z  1 1  i   2  2i  2  1  iz    1  i  z  2  2  1  i  a  bi    1  i  a  bi   2  1 a 3a  3b  2  3  z  11  2  3a  3b   a  b  i  2    9 9 3 a  b  0 b   1  3 Bài 11  z  2i  a   b  2  i 1. Giả sử z  a  bi ,  a, b       z  1  i  a  1   1  b  i 2 2 2 z  2i  z  1  i  a 2   b  2    a  1   1  b   a  3b  1  0 z  1  i a  1   b  1 i a  a  1   b  2  b  1 a  2b  3   b  2    i là số thuần ảo khi và chỉ khi 2 2 z  2i a   2  b i a2   2  b a2   2  b a  a  1   b  2  b  1  0  4b2  3b  1  0  b  1,a  2 a  3b  1  0  Ta có hệ:  2  b  1 ,a   7 4b  3b  1  0  4 4 7 1 Vậy, có 2 số phức cần tìm z  2  i và z    i 4 4 2. Giả sử z  a  bi,  a, b    ,thì z  a 2  b2 .  2b 2  b2  5  2 2  z  5   a  b  5    Ta có :  a  2b a  2b a  2b a  2 a  2 hoặc  .   b  1 b  1 Vậy có hai số phức cần tìm: z  2  i, z  2  i . 3. Giả sử z  a  bi,  a, b     z  a  bi 3 Dễ thấy, z 3   a  bi   a 3  3a 2 bi  3ab2  b 3 i a 3  3ab2  a  Do đó z  z3   2 3  3a b  b   b  1    2  tb 3  3 tb b2  tb       Đặt a  tb,  t    . Hệ   trở thành:  suy ra t t 2  1  0  t  0, t  1 hoặc t  1 . 2 3 3  tb  b  b   b    TH1: Khi t  0  a  0 thay vào  2  ta được  b3   b  b  0 hoặc b  1 hoặc b  1 . TH2: Khi t  1  a   b thay vào  2  ta được 2b3   b  b  0 Vậy, số phức thỏa mãn bài toán: z  0, z  i, z  i 2 2 4. Cách 1: Giả thiết z2 là số thuần ảo nên z 2  z 2  0   z  z   2 z  0 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 14 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 z  z  2 2 2 . Mặt khác cũng từ z 2  z 2  0   z  z   2 z  0  z  z   2   z  z  2i hoặc z  z  2i . Do đó ta có các số phức thỏa mãn là : z  i  1, z  1  i, z  1  i, z  1  i . Cách 2: Đặt z  a  bi  z 2  a 2  b 2  2abi và z  a 2  b2 a 2  b2  0 a 2  1  Từ giả thiết suy ra  2 2 2  b  1 a  b  2 Vậy các số phức cần tìm: z  i  1, z  1  i, z  1  i, z  1  i . Bài 12 1. z z 4 2 4  z .z 2 2 z .z 2  z z 4 4 z 2  z 2 và 200  4  28i 1  7i Phương trình cho tương đương : z2  z  4  28i  0 có    7  8i  2 z  3  4i hoặc z  4  2i 2. Gọi z  x  yi với x, y   5i 3  1  0  zz  5  i 3  z  0  x2  y 2  x  5  z  x 2  y 2  x  5  0 x  2 x  1 hay     y   3  y   3  3  y  0 z   3y i0 Vậy z  1  3i hay z  2  3i . 3. Giả sử z  a  bi  a, b    Khi đó z   2  3i   1  9i  a  bi   2  3i  a  bi   1  9i a  3b  1 a  2   a  3b    3b  3a  i  1  9i    3b  3a  9  b  1 Vậy z  2  i 4. Giả sử z  a  bi  a, b    2 z 2  z  z  (a  ib)2  a 2  b 2  a  ib  a 2  b 2  2abi  a 2  b 2  a  bi  a  0  a  0  a  2b2  b  0 b  0    a 2  b2  a  a 2  b2 b  0     4b2  1   a   1    1  2   b  2ab    1  a   2  1 a       b   2  2  1 1 1 1 Vậy có 3 số phức thỏa bài toán là : z  0, z    i, z    i 2 2 2 2 Bài 13 2  2 a   b  1 i   2b  2  i  4b  a  0 1. Hệ cho trở thành:    4abi  2 2  a.4b  8 2. Gọi z  x  yi  x, y    .  z  2i  z  x   y  2  i  x  yi Ta có    z  i  z  1  x   y  1 i  x  1  yi Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 15 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 x2  y  2 2  x2  y2   y  1     z 1 i. 2 2 x  1 x2   y  1   x  1  y 2  3. Đặt z  x  i.y  z   2  i    x  2    y  1 i |z   2  i |  x  2  2   y  1 2 và z.z  x2  y2  x  2 2  y  1 2  10 2x  y  10      2 Từ giả thiết, ta có:  2 x2  y 2  25 x  y  25  y  10  2x x  3 x  5  hoặc  .  2 y  4 y  0 x  8x  15 Vậy z  3  4i và z  5 là các số cần tìm. z2 z2 1 1 4. Gọi z  x  yi. Ta có: z  2i z  2i  z  2  z  2i  x  2  yi  x   y  2  i  x  2 2  y 2  x 2   y  2 2  x  y . Mặt khác:  z  1 z  i   5  z  1 z  i  5   x  1  yi x  yi  i  5   x  1 2  y 2 2 x 2   y  1  5 Mà x  y nên x  1  y  1 , do đó ta có:  x  12  x2  5  x  2; x  1. Vậy: z  2  2i; z  1  i. 5. Giả sử z  x  yi,  x, y     z  x  yi 1  z 2z  i 2z  i   1 z  1  i   i 2z  i  2iz  1  2  z  2iz  0 1 i 1 i 1 i  2   x  yi   2i  x  yi   0  2  x  2y   y  2x  i  0    2 x 2  x  2y  0  3 z 2  2i.   3 3  y  2x  0 y  4  3 6. Giả sử z  x  yi,  x, y     z  x  yi . 2  2 zi 1  x  yi  i  1  x   y  1  1    2 2  z  i  1  2  x  1   1  y   4  x  yi  i  1  2 x2  y  1 2  1 x2  y  1 2  1         2 2 2  x  1   y  1  4  x  1  x2  3   x2  y  1 2  1 x  1      z  1  i . y  1 x  1 7. Gọi z  x  yi  z2  x2  y2  2xy.i , |z| x2  y 2 và z  x  y.i . Nên : z 2  z  8z  44  x 2  y 2  8x  x 2  y 2   2xy  8y  .i  44 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 16 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 x 2  y 2  8x  x 2  y 2  44  x2  y 2  8x  x 2  y 2  44     2xy  8y  0 2y  x  4   0 y  0  y  0   TH1:  2 9  257 x  8x |x| 44 x  11; x   2 x  4 x  4  TH2:  2 2  y  3  y  16  y  4 9  257 ; z  4  3i . 2 8. Cách 1: Giả sử z  x  yi,  x, y     z  x  yi . Vậy z  11; z  3   z 3  z   x  yi   x  yi  x3  3xy 2  3x 2 y  y 3 i  x  yi     x x2  3y 2  x x3  3xy2  x    2 3  y 3×2  y 2   y 3x y  y   y  x  0  x  0, y  0  z  0  2 2    x  3y  1  0    x  0, y 2  1  z  i  2  y  0  2  x  1, y  0  z  1 2   3x  y  1  0 Vậy phương trình cho có 5 nghiệm z  0,z   i,z  1 . 2 4 2 Cách 2: z 3  z  z.z 3  z.z  z  z  z  z 2  z  1  0 2 z2 0   2  z  1  0 2 Khi z  0 thì z  0 , do đó z  0 là một nghiệm của phương trình z3  z . Khi z  1  0  z  0 nên phương trình z 3  z  z.z 3  z.z hay z 4  z.z  1 z2  1  0  z  1 .  z2  1 z 2  1  0    2  z  1  0 z  i Vậy phương trình cho có 5 nghiệm z  0,z   i,z  1 . Bài 14 1 1. Ta có zi .zi |zi |2  1  zi  , i  1, 2 zi    1 1  z  z2 z  z2 z z2 z1  z 2 T 1  1  1  T 1 z1z2 1  z1z 2 1  z1 .z2 1  z1z2 Vậy T là số thực. 2. Ta có: T z 1    z 2 z 2  z 3 z 3  z1 z1 .z2 .z3 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng   r 2 r 2  r 2 r 2  r 2 r 2         z z2  z 2 z 3  z3 z1  1     r2 r 2 r 2 z1 z 2 z 3 – 0946798489 Page | 17 Tµi liÖu to¸n 12  n¨m häc 2018  z1  z2  z2  z3  z3  z1   T  T z1z 2 z 3 Đặt A  A z1 z 2  z 2 z 3  z 3 z 1 z1  z 2  z 3 r 2  z1  z 2  z 3  z1z2  z2 z3  z 3 z1 A là số thực. r4 r4 r4   z1z 2 z2 z 3 z3 z1 r2 r2 r2   z1 z 2 z 3  A.A  r 2 |A|2 |A| r . 3. Ta thấy với z  0 bài toán không thỏa mãn 2 Với z  0  z.z  z . Ta có w là số thuần ảo  w   w     z 1 1 z  z 1 z 1 2    z  1 z  1  1  z  z  1  z.z  1  z  1  z  1 . Bài 15. Đặt   x  iy    x  iy với x, y  R. Không giảm tính tổng quát, ta coi y  0. Vì     2 3 nên 2iy  2 3  y  3. Do  ,  là hai số phức liên hợp nên .  R , mà   2 3     2  R do đó  3  R. Nhưng ta có     3  x 3  3xy 2  3x 2 y  y 3 i nên  3  R khi và chỉ khi 3x 2 y  y 3  0  y 3x 2  y 2  0  x 2  1. Vậy   x2  y 2  1  3  2. Bài 16. 1. z1  z 2  4  9i;z1  z 2  6  3i;z1 .z 2  23  9i ; z1  2z2  7; 2z1  z2  9  15i 2. z1  z 2  5  7i;z1  z 2  1  i;z1 .z 2  6  17i ; z1  2z2  41; 2z1  z2  7  10i . 2 5 13 1 5 5 5 4 11 ; 2z1  z 2    i . 3. z1  z2    i;z1  z 2    i;z1 .z 2    i ; z1  2z 2  6 6 6 6 6 6 3 3 6 4. z1  z 2  3  2  i;z1  z 2  3  2  3i;    2z1  z 2  2 3  2  3i ; z1 .z 2  2  6  1. 1  6i  3  2 2 i ; z1  2z2  27  4 6 .Bài 17. 2. 4  10i 371 147 5.   i 130 130 3. 8  14i 152 72 6.  i 221 221 1. z  7  8i 2. z  7  4i 3. z  4. z  9  7i 5. z  22 4  i 25 25 23 2  i 13 13 2 2 6. z    i 3 3 2. z  1 3  i 2 2 1 3 3. z 2    i 2 2 4. 27  8i Bài 18. Bài 19. 1. 1 1 3   i z 2 2  4. z 3  1 5. 1  z  z 2  1  3i Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 18 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Bài 20. Ta có A(3; 2), B(2; 3), C(5; 4)    1. Ta có: AB  ( 1; 5), AC  (2; 2), BC  (3;7)  A, B,C là ba đỉnh của tam giác. Chu vi tam giác: AB  BC  CA  26  2 2  58 .   2. ABCD là hình bình hành  AB  DC  D(6; 9)   AE.BE  0 3. Đặt z’  a  bi  E(a; b) . Tam giác AEB vuông cân tại E   2 2 AE  BE Từ đó ta tìm được hai điểm E: E1 (0; 0), E 2 (5; 1) . Dạng 2. Biểu diễn hình học của số phức và ứng dụng . Ví dụ 1. Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn điều kiện: z  i  1  i  z Lời giải. Gọi M  x; y  là điểm biểu diễn của số phức z  x  y.i Suy ra z  i  x 2   y  1  x, y    2 1  i  z  1  i  x  yi    x  y 2   x  y 2 2 2 Nên z  i   1  i  z  x2   y  1   x  y    x  y  2 2  x 2   y  1  2 . 2 Vậy tập hợp điểm M là đường tròn: x 2   y  1  2 . Ví dụ 2. Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn điều kiện: z2  iz Lời giải. Cách 1: Đặt z  a  bi,  a, b    là số phức đã cho và M  x; y  là điểm biểu diễn của z trong mặt phẳng phức. Ta có: z  2  i  z   x  2   yi  x   y  1 i   x  2 2  y 2  x 2   y  1 2  4x  2y  3  0 . Vậy, tập hợp điểm M cần tìm là đường thẳng 4x  2y  3  0 . Cách 2: z  2  i  z  z   2   z  i   Đặt z  a  bi,  a, b    là số phức đã cho và M  x; y  là điểm biểu diễn của z trong mặt phẳng phức, điểm A biểu diễn số 2 tức A  2; 0  và điểm B biểu diễn số phức i tức B  0;1 Khi đó   MA  MB Vậy, tập hợp điểm M cần tìm là đường trung trực của AB : 4x  2y  3  0 . Ví dụ 3. Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn điều kiện: z2  z2 5 Lời giải. Đặt z  a  bi,  a, b    là số phức đã cho và M  x; y  là điểm biểu diễn của z trong mặt phẳng phức. Ta có: z  2  z  2  5   a  2   bi   a  2   bi  5 hay  2 2   a  2   b2   a  2   b2  5     a  2  2  b 2   a  2  2  b 2  5  1   a  2 2  b2   a  2  2  b 2    a  2 2  b2   a  2 2  b2   8a5  2  Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 19 Tµi liÖu to¸n 12   Từ  1 ,  2  ta có hệ:         a  2 2  a  2 2 n¨m häc 2018  a  2 2  b2   a  2 2  b2  5  a  2 2  b2   a  2 2  b2   8a5 2  25 2 2  5 4a  5 4a  a  2  b     b     , a 8 2 5  2 5   2 5 4a  25 2 2  5 4a   b2    a  2   b     , a   2 5 8 2 5   2 9a 2 9 25 25  b2  , a 25 4 8 8 Vậy, tập hợp các điểm biểu diễn của số phức là elip có phương trình  x2 y2  1 25 9 4 4 Cách 2 : Đặt z  a  bi,  a, b    là số phức đã cho và M  x; y  là điểm biểu diễn của z trong mặt phẳng phức. Trong mặt phẳng phức, xét các điểm F1  2; 0  ,F2  2 ; 0  Ta có: MF1   2  a  2    b  2   a  2  2  b 2  z  2  2  a  2    b 2 MF1    a  2 2  b2  z  2 Giả thiết z  2  z  2  5  MF1  MF2  5 Vì MF1  MF2  F1F2 , nên tập hợp điểm M là 1 elip.  2a  5 4a 2  25 x2 y 2 Ta có:    E :  1 2 25 9  2c  4 4b  9 4 4 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn điều kiện: z2 là số ảo. Bài 2: Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn điều kiện:  1. z 2  z 2 2. 2 z  i  z  z  2i Bài 3: Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức:   1. z’  1  3i z  2 , trong đó z là số phức thỏa mãn z  1  2 . 2. z  i  z  i  4 3. z  4  z  4  10 Bài 4: Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức: 1. z  i  z  2  3i 3. z   3  4i   2 2. 2z  3  5i  2 4. z  4  3i  z  3  2i  10 Bài 5: Tìm tập hợp những điểm M biểu diễn số phức z thỏa: 1. z  4  3i là số thực 2. z  1  2i  1 3. z  3i  z  2  i 4. z  4  3i  z  3  2i  2 5. 5  4i  3z  1 6. z  1  i  z  2  3i  2 . Bài 6: Tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa 2z  i z  2i  3 1. có phần thực bằng 3 2. là một số thực dương. z  2i z3i Bài 7: Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện: 1. Phần thực của z bằng hai lần phần ảo của nó. Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 20 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 2. Phần thực của z thuộc đoạn [2;1] . 3. Phần thực của z thuộc đoạn [2;1] và phần ảo của z thuộc đoạn [1; 3] . 4. z  2 5. 2  z  3 6. z  1  2i  2 7. 2 z  i  z  z  2i 8. 1  z  2 và phần ảo lớn hơn hoặc bằng 1 . 2 Bài 1: Đặt z  a  bi,  a, b    là số phức đã cho và M  x; y  là điểm biểu diễn của z trong mặt phẳng phức. 2 z 2   x  yi   x 2  y 2  2yi Vì z2 là số ảo nên x2  y2  0  y   x Vậy, tập hợp các điểm biểu diễn của số phức là đường thẳng có phương trình : y   x Bài 2: 1. x  0 hoặc y  0 2. x 2  4y Bài 3:   1. z’  1  3i z  2  z   1  3i  z’  1  4 3i 2  Từ z  1  2  1  3i z’ 6  2 3i  8 2  Đặt z’  a  bi ,  a, b    , khi ấy ta tìm được  a  3   b  3  2  16 2  Vậy, tập hợp các điểm biểu diễn của số phức là đường tròn có phương trình  x  3   y  3  2  16 . 2. a   b  1 i  a   b  1 i  4 . Đặt F1  0; 1 , F2  0;1 , MF1  MF2  2F1F2 Tập hợp điểm M là elip  E  : x2 y2  1 4 3 3. Tập hợp điểm M là elip  E  : x2 y2  1 25 9 Bài 4: 1. Gọi A, B lần lượt là biểu diễn của các số phức z1  i , z 2  2  3i  A  0;1 , B  2; 3  Khi đó: z  i  z  2  3i  z  z1  z  z2  MA  MB Vậy quỹ tích của M là đường trung trực đoạn AB . 3 5  3 5 2. Gọi E là điểm biểu diễn của số phức z1    i  E   ;  2 2  2 2 Khi đó: 2z  3  5i  2  2z  2z1  2  z  z1  1  EM  1 Vậy quỹ tích của M là hình gồm đường tròn tâm E bán kính R  1 và miền trong của nó. 3.Đặt z  x  yi x, y    ; z  3  4i   x  3    y  4  i .  x  3 2   y  4 2  2 Từ giả thiết, ta có: 2 2   x  3   y  4  4 . Tập hợp điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I  3; 4  bán kính R  2 . 4. Gọi E,F lần lượt là biểu diễn hình học của các số phức z1  4  3i , z 2  3  2i  E  4; 3  , F  3; 2   EF  5 2 . Khi đó: z  4  3i  z  3  2i  10  ME  MF  10 Vậy quỹ tích của M là Elip có hai tiêu điểm E,F và độ dài trục lớn bằng 5 . Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 21 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Bài 5: 1. Gọi N là điểm biểu diễn của số phức 4  3i  N( 4; 3)   z  4  3i là số thực  MN song song với Ox Quỹ tích của M là đường thẳng đi qua N và song song với Ox , đó là đường thẳng y  3 . y x O y=-3 -3 2. Gọi I là điểm biểu diễn của số phức z1  1  2i  I(1; 2) . Khi đó: |z  1  2i| 1 |z  z1 | 1  IM  1 Vậy quỹ tích của M là đường tròn tâm I bán kính R  1 . y I 2 x -1 O 3. Gọi A, B lần lượt là biểu diễn của các số phức z1  3i , z 2  2  i  A(0; 3), B( 2;1) Khi đó: z  3i  z  2  i |z  z1 ||z  z2 | MA  MB Vậy quỹ tích của M là đường trung trực đoạn AB có phương trình là: x  2y  1  0 . B y 1 1 -2 x O A 4. Gọi E,F lần lượt là biểu diễn hình học của các số phức z1  4  3i , z 2  3  2i  E( 4; 3), F( 3; 2)  EF  2 . Khi đó: |z  4  3i|  |z  3  2i| 2  ME  MF  2 Vậy quỹ tích của M là Elip có hai tiêu điểm E,F và độ dài trục lớn bằng 1 . 5 4 5 4 5. Gọi E là điểm biểu diễn của số phức z1   i  E( ;  ) 3 3 3 3 1 1 Khi đó: 5  4i  3z  1 |3z  3z1 | 1 |z  z1 |  EM  3 3 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 22 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Vậy quỹ tích của M là hình gồm đường tròn tâm E bán kính R  1 và miền trong của nó. 3 6. Gọi E,F là điểm biểu diễn của các số phức z1  1  i, z 2  2  3i  E( 1; 1),F(2; 3) Khi đó: z  1  i  z  2  3i  2  ME  MF  2 Vậy tập hợp điểm M là hypebol có hai tiêu điểm E, F. Bài 6: 2z  i  2x  (2y  1)i 1.Gọi M(x; y)  z  x  yi   z  2i  x  (y  2)i  2z  i [2x  (2y  1)i][x  (y  2)i]   a  bi z  2i x2  (y  2)2 Với a  2×2  (2y  1)(y  2) x2  (y  2)2  2×2  2y 2  5y  2 x2  y 2  4y  4 x  0  a  3  2×2  2y2  5y  2  3(x2  y2  4y  4) (với  ) y  2 17 249  x 2  y 2  17y  10  0  x 2  (y  )2  2 4 17 249 ), R  . 2 2 2. Gọi A, B là điểm biểu diễn của hai số phức z1  3  2i , Vậy tập hợp M là đường tròn tâm I(0; z 2  2  i , suy ra A( 3; 2), B( 2; 1) .    z  2i  3 AM  k  0 (k   )    k  MA  k.MB Khi đó: z3i BM Suy ra M thuộc tia AB . Bài 7: x 1. Quỹ tích là đường thẳng y  2 2. Quỹ tích là phần mặt phẳng được giới hạn bởi hai đường thẳng x  2; x  1 3. Quỹ tích là miền tron và biên của hình chữ nhật được giới hạn bởi các đường: x  2; x  1; y  1; y  3 . 4. Quỹ tích là hình tròn tâm O(0;0) bán kính R  2 5. Quỹ tích là phần mặt phẳng được giới hạn bởi hai đường tròn đồng tâm O(0;0) và có bán kính R 1  2; R 2  3 . 6. Quỹ tích là hình tròn tâm I(1; 2) bán kính R  2 7. Qũy tích là parabol: y  x2 . 4 1 1 (tính cả đường thẳng y  ) và được giới hạn bởi 2 2 hai đường tròn đồng tâm O(0;0) lần lượt có bán kính R 1  1; R 2  2 . 8. Quỹ tích là phần mặt phẳng nằm trên đường thẳng y  Dạng 3. Căn bậc hai của số phức và phương trình bậc hai Ví dụ 1. Trên tập số phức, tìm m để phương trình bậc hai z 2  mz  i  0 có tổng bình phương hai nghiệm bằng 4i . Lời giải. Gọi z1 , z 2 là 2 nghiệm của phương trình đã cho và m  a  bi với a, b   . Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 23 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 a 2  b2  0  m  1  i hoặc m  1  i . Theo bài toán, ta có: z12  z 22  4i suy ra m 2  2i , dẫn tới hệ:  2ab  2 Ví dụ 2. Giải các phương trình sau trên tập số phức: 2. z2  (2i  1)z  1  5i  0 1. z 2  2z  17  0 3. 4z  3  7i  z  2i zi  4. 25 5z 2  2  2 2  4  25z  6   0 Lời giải. 2 2 1. Ta có: z 2  2z  1  16   z  1  16i 2   4i  nên phương trình đã cho có hai nghiệm phức : z1  1  4i; z 2  1  4i . 2. Ta có:   (2i  1)2  4(1  5i)  7  24i  (3  4i)2    3  4i là một căn bậc hai của  . Vậy phương trình có hai nghiệm: z1  i  1; z 2  2  3i . 3. Điều kiện: z  i Phương trình  4z  3  7i  (z  i)(z  2i)  z2  (4  3i)z  1  7i  0 Ta có:   (4  3i)2  4(1  7i)  3  4i  (2  i)2  phương trình có hai nghiệm : z1  3  i; z 2  1  2i . Kết hợp điều kiện, ta thấy phương trình đã cho có hai nghiệm z1  3  i; z 2  1  2i . 4. Phương trình  (25z2  10)2  (50iz  12i)2  0  (25z2  50iz  10  12i)(25z2  50iz  10  12i)  0  25z2  50iz  10  12i  0 (5z  5i)2  35  12i  (1  6i)2    25z2  50iz  10  12i  0 (5z  5i)2  35  12i  (1  6i)2 1  11i 1  i 1  11i 1  i hoặc z 3   z1  ; z2  ; z4  5 5 5 5 Ví dụ 3. Giải các phương trình sau trên tập số phức: 1. z3  (2  2i)z2  (5  4i)z  10i  0 biết phương trình có nghiệm thuần ảo 3  zi  3.   8  z 1 2. z 4  2z 3  z 2  2z  1  0 Lời giải. 1. Giả sử z  xi là một nghiệm của phương trình . Khi đó, ta có: x3 i  (2  2i)x2  (5  4i)xi  10i  0  ( 2×2  4x)  ( x3  2×2  5x  10)i  0  2x 2  4x  0   x  2  x  2i là một nghiệm của phương trình. Nên ta biến đổi phương trình đã 3 2  x  2x  5x  10  0 cho về dạng:  z  2i  z  2i (z  2i)(z2  2z  5)  0   2  .  z  2z  5  0  z  1  2i 2. Vì z  0 không là nghiệm của phương trình nên 1 1  2(z  )  1  0 Phương trình  z 2  2 z z Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 24 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 1 1  (z  )2  2(z  )  3  0 z z Đặt Z  z   Z  1 1 , ta có: Z 2  2Z  3  0   . z Z  3  Z  1  z  1 1  3i  1  z 2  z  1  0  z  z 2  Z  3  z2  3z  1  0  z  3  5 . 2 Z  2 zi , ta có: Z 3  8  (Z  2)(Z2  2Z  4)  0   z1  Z  1  3i zi  Z2  2  z  i  2z  2  z  2  i z1 3. Đặt Z   Z  1  3i  zi 5  3 2  3  1  3i  z   i. z 1 7 7  Z  1  3i  zi 5  3 2  3  1  3i  z   i. z1 7 7  78y  20 x  2 x  y2  Ví dụ 4. Giải hệ phương trình:  ;  y  78x  15  x2  y2   16x  11y 7 x  2 x  y2    y  11x  16y  1  x2  y2  Lời giải. Xét số phức z  x  yi với x, y   , suy ra x  yi 1  z x2  y 2   .  78y  20  1 x  2 2 x  y  1. Hệ suy ra  . Lấy  1   2  vế theo vế, ta được:  y  78x  i  15i 2    x2  y 2   x  78x y  2 2  2 x y x  y2  78y   i  20  15i   Phương trình  3  viết lại  x  yi   78i.  3 . x  yi x2  y2  20  15i hay z  78i  20  15i z  4  do  , quy đồng mẫu số 2 phương trình  4  và rút gọn ta được: z 2  5  4  3i  z  78i  0  5  , phương trình  5  có biệt số   16  9i  nên có nghiệm z  2  3i hoặc z  18  12i . Vậy hệ phương trình có nghiệm  x; y    2; 3  ,  18;12  .  11x  16y   i y  7i  x y x 2  y 2   x  iy x  iy 16  11i  x  iy  16  11i 7 i  z  7  i  z 2   7  i  z  16  11i  0 , phương trình này có 2 2 2 2 z x y x y 2. Hệ suy ra x  16x  11y 2 2 hai nghiệm: z  2  3i,z  5  2i , hệ có nghiệm:  x; y    2;  3  hoặc  x; y    5; 2  Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 25 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018   3   10x  1  3 5x  y    Ví dụ 5. Giải hệ phương trình:  ;  y  1  3   1    5x  y     12   x 1  2 3x  y      y  1  12   6    3x  y   Lời giải.   3  3  u  1  2 2    2 u v  1. Đặt u  5x , v  y với u,v  0 , hệ cho có dạng:  3  v  1   1 2 2    u v  1 u  vi Đặt z  u  iv   z u2  v2  3   3  3  iv  1   i Hệ suy ra u  1  2 2 2 2 2 u v  u v     u  iv  3 u  iv 2 u v 2  3 2 i  z 3 3 2  2i  z 2 2  2z 2   3 2  2i  z  6  0 , phương trình này có:   34  12 2i   2  6i  suy ra có nghiệm z  2  2i, z  2  2i . 2 2  2i 2 1 ,v  1  x  , y  1 do đó u  2 2 10  1  Vậy, hệ cho có nghiệm  x; y    ;1   10  2. Cách 1:   12  u  1  2 2 3   u  v2  Đặt u  3x , v  y với u,v  0 , hệ cho có dạng:   v  1  12   6    u2  v2  1 u  vi Đặt z  u  iv   z u2  v2 Do u,v  0 nên chọn z   12   12  Hệ suy ra u  1   iv  1  2 36 2 2 2 u v  u  v2    u  iv 12  u  iv  12  2 3  6i  z   2 3  6i 2 2 z u v 2  z 2  2  3  3i  z  12  0 , phương trình này có:   6  6 3i  3  3  i  suy ra có nghiệm z  3  3   3  3  i, z  3  3   3  3  i  Do u,v  0 nên chọn u  3  3,v  3  3 , do đó  x; y   4  2 3;12  6 3  Vậy, hệ cho có nghiệm  x; y   4  2 3;12  6 3   Cách 2: Điều kiện: x  0, y  0 Nhân phương trình đầu cho 3 , phương trình sau cho số ảo i , rồi cộng 2 vế ta được 12 3x  yi  3x  yi  2 3  6i   y  3x  Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng  – 0946798489 Page | 26 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Đặt z  3x  yi , phương trình   trở thành: z     z 2  2 3  6i z  12  0  z  3  3  3  3i 12  2 3  6i , phương trình này tương đương với z   3x  3  3  x  4  2 3  Với z  3  3  3  3i    y  3  3  y  12  6 3   Ví dụ 6.Cho số phức z thoả mãn điều kiện 11z10  10iz9  10iz  11  0. Chứng minh rằng z  1. Lời giải. 11z10  10iz 9  10iz  11  0  z 9  11z  10i   11  10iz hay: z 9  11  10iz 11z  10i (1) Đặt z  x  yi với x, y  R . Từ (1) suy ra: 9 z      10 2 x 2  y 2  112  220y 11  10iz  11z  10i 112 x 2  y 2  10 2  220y Suy ra z 18 1 112 (x 2  y 2 )  100  220y  21 1  z  21 1  z 21(1  x 2  y 2 ) 2   2  112 (x 2  y 2 )  100  220y 2   11  z   11 (x  y )  100  220y  0   z  1  0  z  1  z  1 .  z 18 2 2 2 2 2 2 2 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Tìm căn bậc hai của số phức: 1. z  8  6i 2. z  33  56i 3. z  1  4i 3 4. z  5  12i Bài 2: Tìm căn bậc hai của các số phức sau: 2 5 5 3  i 3.  1  2i   1.   3i 2. 4 1 i Bài 3: Giải phương trình sau trên  : 4z  3  7i 1. z 2  1  3i  z  2  2i  0 2.  z  2i Đề thi Cao đẳng năm 2009 zi 3. z 4 2 z 200 0 1  7i 4. z 3  3  1  2i  z 2   3  8i  z  2i  5  0 z Bài 4: Giải phương trình sau trên  : 1. z 2  1  5i  z   8  i   0 2. z 2   3  4i  z  5i  1  0 3. z 2   3  2i  z  5  5i  0 4. z 2  8 1  i  z  63  16i  0 5.  1  i  z2  2  1  2i  z  4  0 6. z 2   2i  1 z  1  5i  0 Bài 5: Giải phương trình sau trên  : 1. z 3  2 1  i  z2   5  4i  z  10  0 2. z 3   4  5i  z2  4  2  5i  z  40i  0 3. z 3  3  2  i  z 2  2  5  9i  z  30i  0 2 Bài 6:  z1 Giải phương trình: z   2   , biết z  3  4i là 1 nghiệm của phương trình. z 7  Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 27 Tµi liÖu to¸n 12 Bài 7: Bài 8: n¨m häc 2018 z2  z 2  5  2i  1 2 Giải phương hệ trình sau trên  :  1  2 z1  z 2  4  i  3x  y   1  3 x  2  3x  1  2 2 xy x y    Giải hệ phương trình:  ,   7y  1  1   4 2  y  x  3y  0   2 2   xy x y    Bài 9: 1. Tìm các số thực a, b để: 2z3  9z2  14z  5  (2z  1)(z2  az  b) rồi giải phương trình sau trên C: 2z 3  9z 2  14z  5  0 . 2. Tìm các số thực a, b để : z4  4z2  16z  16  (z2  2z  4)(z2  az  b) rồi giải phương trình sau trên C: z 4  4z 2  16z  16  0 . Bài 10: 1. Tìm tất cả cá giá trị thực của m để phương trình sau có ít nhất một nghiệm thực: z3  (3  i)z2  3z  (m  i)  0 . 2. Biết phương trình  1  i  x 2     i  x  1  i  0 không có nghiệm thực. Tìm những giá trị có thể có của . Bài 11: Giải các hệ sau trên tập số phức z 1 z1  z 2  z1z2  9  2i  1.  2 2.  z z 2 z1  z2  11  2i    1. z z Bài 1: 1. Xét số phức:   x  iy  x, y    ,  là căn bậc hai của số phức z  8  6i khi và chỉ khi 2  8  6i  x 2  y 2  8  x 2  9 x  3 x  3 x 2  y 2  8     hoặc  2 2 2 y  1 y  1 2xy  6  x  y  10  y  1  Vậy, z  8  6i có 2 căn bậc 2 là   3  i hoặc   3  i 2. Xét số phức:   x  iy  x, y    ,  là căn bậc hai của số phức z  33  56i khi và chỉ khi 2  33  56i 2 2 2 x 2  y 2  33  x  7  x  y  33 x  49  x  7     hoặc  2 2 2 y  4  x  y  65  y  16  y  4 2xy  56 Vậy, z  33  56i có 2 căn bậc 2 là   7  4i hoặc   7  4i 3. Xét số phức:   x  iy  x, y    ,  là căn bậc hai của số phức z  1  4i 3 khi và chỉ khi 2  1  4i 3 x 2  y 2  1  x 2  y 2  1  1    2 2xy  4 3  xy  2 3 Với x  0 thì phương trình  2  suy ra y  x2  2 3 , rồi thay vào  1 , ta được: x  x 2  4  1  x 4  x 2  12  0   x 3  x 2  3 x2 12 Với x  3  y  2    3  2i Với x   3  y  2     3  2i Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 28 Tµi liÖu to¸n 12 4. Xét số phức:   x  iy n¨m häc 2018  x, y    , 2  là căn bậc hai của số phức z  5  12i khi và chỉ khi  x  iy   5  12i  x 2  y 2  2ixy  5  12i x 2  y 2  5 x 2  4 x 2  y 2  5 x  2     2 2 2  y  3  x  y  13  y  9 2xy  12  x  2 x  2 Vì x, y cùng dấu nên chọn  hoặc  .  y  3 y  3 Vậy, z  5  12i có 2 căn bậc 2 là   2  3i hoặc   2  3i Bài 2: 5  3i 4  2 5 2 5 5 x  y   2 2 2  z    3i  x  y  2xy.i    3i   4 4 4 2xy  3  1. Gỉa sử z  x  yi, x, y   là căn bậc hai của số phức   3  3  3 x  1  y  2x  y  2x y      2x   3. x2  9   5 x 2  9   5  4x 4  5x 2  9  0 y    2 4 4  4x 2  4x 2 5 3 3 Vậy   3i có hai căn bậc hai là : 1  i và 1  i . 4 2 2 2. Ta có:  3  i 2  7  i . Gỉa sử 1 i z  x  yi, x, y   là căn bậc hai của số phức 7  i x2  y 2  7  z2  7  i  x2  y 2  2xy.i  7  i   2xy  1  3  3  3 x  1  y  2x  y  2x y      2x   3. x2  9   5 x 2  9   5  4x 4  5x 2  9  0 y    2 4 4  4x 2  4x 2 3 3 Vậy 7  i có hai căn bậc hai là: 1  i và 1  i . 2 2 5 3. Ta có:  1  2i   41  38.i . Gỉa sử z  x  yi, x, y   là căn bậc hai của số phức 41  38.i x2  y 2  41  z2  41  38.i  x2  y 2  2xy.i  41  38.i   2xy  38  41  25 5 x    2 .   25 5  41 y   2  41  25 5 25 5  41  i. 2 2 Chú ý: Ta có thể giải bài toán trên như sau: 5 Vậy  1  2i  có hai căn bậc hai là  Ta có: 1  2i 5  1  2i 2 1  2i   3  4i  1  2i (*) Do đó ta chỉ cần tìm hai căn bậc hai của 1  2i rồi thay vào (*) và thực hiện phép nhân. Bài 3: Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 29 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 2 1. Ta có:    1  3i   8  8i  1  6i  9i 2  8  8i  2i Gọi   x  yi, là một căn bậc hai của  tức là 2    x, y    x2  y 2  0 x  y  1  x2  y 2  2xyi  2i       1 i 2xy  2 x  y  1 Kết luận phương trình có các nghiệm là: z1  1  i, z 2  2i 2. Điều kiện: z  i Phương trình cho tương đương với: 4z  3  7i   z  i  z  2i  hay z 2   4  3i  z  1  7i  0   Cách 1: phương trình này có biệt số   3  4i    i 2  4i  4   i  2    z  1  2i 2 hoặc z  3  i 2 Cách 2: Gọi   x  yi  x, y    là căn bậc hai của  , khi đó  x  yi   3  4i hay x2  y2  2xyi  3  4i suy ra x2  y 2  3   x; y    2; 1 ,  2;1  2xy  4   z  1  2i hoặc z  3  i Vậy, phương trình đã cho có hai nghiệm z  1  2i hoặc z  3  i 2 z 4 3. Ta có: z 2 .z  z  4 z2 2  z và 200  1  7i  200   4  28i 1  7i  1  7i 1  7i  2 Phương trình đã cho tương đương với z  z  4  28i  0   , phương trình này có biệt số   15  112i   7  8i  2 Khi đó phương trình   có nghiệm z  3  4i hoặc z  4  2i Với z  3  4i suy ra z  3  4i Với z  4  2i suy ra z  4  2i Vậy, phương trình đã cho có nghiệm z  4  2i hoặc z  3  4i 4. Phương trình cho viết thành:  z  1  z 2  2  1  3i  z  2i  5   0   z  1  2  z  2  1  3i  z  2i  5  0   2 Phương trình   có  ‘   1  2i  nên   có 2 nghiệm z  i, z  2  5i Vậy, phương trình đã cho có nghiệm z  1 hoặc z  i, z  2  5i Bài 4: 2 2 1. Vì    1  5i   4  8  i   8  6i   3  i  nên z1  1  2i hoặc z 2  2  3i 2 2. Vì   3  4i  4  4i  i 2   i  2  nên z1  2  3i hoặc z 2  1  i . 3. z  1  3i , z  2  i 2 4. Vì   63  16i  1  8i  nên z1  5  12i hoặc z 2  3  4i . 5. z  2i , z  1  i 2 6. Ta có:    2i  1  4  1  5i   7  24i   3  4i  2    3  4i là một căn bậc hai của  . Vậy phương trình có hai nghiệm: z1  i  1; z 2  2  3i . Bài 5: 1. z  2i, z  1  2i, z  1  2i 2. z  5i, z  2  5i, z  2  5i Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 30 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 3. z  3i, z  3  i, z  3  i Bài 6: z  3  4i, z  3  4i, z  9 z2  z 2  5  2i z  z 2  4  i 2  1 Bài 7:  1 z1z 2  5  5i z1  z 2  4  i z1 , z 2 là nghiệm của phương trình: z 2   4  i  z  5  5i  0  3  Ta có:   5  12i  4  2.2.3i  32 i 2   2  3i  2 Phương trình  3  có nghiệm z  1  2i hoặc z  3  i  z  1  2i  z  3  i Vậy, hệ phương trình cho có nghiệm:  1 hoặc  1  z2  3  i  z 2  1  2i Bài 8: x  yi 1 . 1. x2  y 2  0 , đặt z  x  iy   z x2  y2 Từ hệ phương trình cho suy ra x   x  iy  3  x  yi  2 x y 2 i x  yi 2 x y 2 3x  y  x  3y  iy   x y x2  y2  2 2 3 z    3  3i  3 hay z 2  3z  3  i  0. z Phương trình này có nghiệm z  2  i; z  1  i Do đó hệ cho có nghiệm  x; y    2;1 hoặc  x; y    1;  1 . 2. x  0, y  0 . Đặt u  x , v  y với u,v  0 .   1  2  u  1  2 2 1 u  vi 3 u v    . Hệ cho có dạng:  , đặt z  u  iv   z 1  4 2 u2  v2 v  1     7 u2  v2   Từ hệ phương trình cho suy ra u  iv  u  iv u2  v 2  2 3  4 2 7 iz  2 4 2  1 2 4 2   i  z 2    i  z  1  0 , z 3 7 7   3 2 2 2   4  1 2 2  2  1 2 phương trình này có     2 2i  nên có nghiệm z   i  2i       2  i 3 7 3 21  7  21   21   2 2  1 2 2  2  1 2 z  i  2i       2  i 3 7 3 21  7  21    1   1  2 2 2 2 2 2  ;  2  hoặc   ;  2 . Hệ cho có nghiệm  x; y     3    21 7 21 7    3  Bài 9: 1. 2z3  9z2  14z  5  (2z  1)(z2  4z  5)  2z 3  9z 2  14z  5  0  z  1 ;z  2  i . 2 2. z4  4z2  16z  16  (z2  2z  4)(z2  2z  4)  z4  4z 2  16z  16  0  z  1  5; z  1  3i . Bài 10: 1. z là nghiệm thực của phương trình  z3  3z2  3z  m  0   m  1; m  5 . 2  z  1  0 2. Nếu phương trình có một nghiệm thực r thì: Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 31 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018  1  i  r 2     i  r  1  i  0  r 2   r  1  i   r 2  r     0 r 2  r  1  0 r 2  r  1  0  1 r 2  r  1  0 Từ phương trình  2  ta có:    2    1  r  1  0  2   r  r    0 r  r    1  0 *) Nếu   1 thì từ  1 suy ra r 2  r  1  0 , phương trình này không có nghiệm thực. *) Nếu r  1 thì từ  1 suy ra 1    1  0    2. Vậy phương trình đã cho không có nghiệm thực khi và chỉ khi   2. Bài 11: 1. Đặt S  z1  z 2 ; P  z1z 2 . S  P  9  2i S  2  i S  4  i  Ta có hệ :  2 hoặc  . P  7  i P  13  3i S  2P  11  2i 7 3   3 7  Từ đó ta tìm được các nghiệm là (z1 ; z 2 )    i;   i  ,    i;  i  . 2   2 2  2 2. Vì z  1 nên đặt z  cos x  i sin x,x  [0; 2). Ta có z 2  cos 2x  i sin 2x, z 2  cos 2x  i sin 2x nên z z z2  z 2 z2  z 2     2 cos 2x 2 z z zz z 1 1  k  cos 2 2x   1  cos 4x   x    ,k   . 4 2 6 2 Vì x  [0; 2) nên các nghiệm x là 1   2 5 7 ,x  , x  ,x  ,x  , 6 2 3 3 3 4 6 5 6 4 5 11 x6  ,x  ,x  3 7 3 8 6 Vậy z k  cos x k  i sin x k , k  {1; 2;…; 8}. x1  Dạng 4. Phương trình quy về bậc hai CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Giải phương trình sau trên  : z 4  z 3  z2 z10 2 Bài 2: Giải phương trình: 2. 2z 4  7z 3  9z 2  7z  2  0 1. z 4   2  i  z2  2i  0 3. 4z4   6  10i  z 3   15i  8  z 2   6  10i  z  4  0 4. z 4   3  i  z3   4  3i  z2  2  3  i  z  4  0  5. 25 5z 2  2  2 2  4  25z  6   0 Bài 3: Giải phương trình: 4 4 1.  z  4    z  6   82  3. z2  1  4  16  z  1  2. z 2  1 4  2 2   z  3  0 4. z  z  2  z  1 z  3   10 Bài 4: Gọi z1 , z 2 ,z 3 , z 4 là các nghiệm phức của phương trình 4  z1  2 2 2 2    1 . Tính P  z1  1 z2  1 z3  1 z 4  1 .  2z  i   Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng   – 0946798489   Page | 32 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Bài 1: Vì z  0 không là nghiệm phương trình, nên chia cả 2 vế phương trình đã cho với z2 , ta được phương 2  1  1 5 trình:  z     z     0   z z     2 2 Đặt t  z   1  3i  1 5 1 9 , phương trình   trở thành: t 2  t   0  t 2  t      t      z 2 4 4 2   2 2 t 1  3i hoặc 2 1  3i 2 1  3i 1 1  3i 1 1  2z 2   1  3i  z  2  0  z  1  i hoặc z    i . Với t  tức z   2 z 2 2 2 1  3i 1 1  3i 1 1  2z 2   1  3i  z  2  0  z  1  i hoặc z    i . Với t  tức z   2 z 2 2 2 1 1 1 1 Vậy, phương trình cho có 4 nghiệm z  1  i, z  1  i, z    i, z    i . 2 2 2 2 Bài 2: t   1. t 2   2  i  t  2i  0 , t  z 2  t  2 hoặc t  i . Suy ra:  z  i 2 , z   2  1  i  2 2. Nhận thấy z  0 không phải là nghiệm của phương trình. Chia cả hai vế phương trình cho z2 ta được:  1   1 2  z2   7z    9  0 2 z  z   1 i 3  1 5 1 z , z  2, z  .  2t 2  7t  5  0,  t  z    t  1 hoặc t  2 2 2 z    1   1 1 1 3. 4  z2     6  10i   z    15i  8  0  z  2, z   , z  2i, z  i 2 z 2 2  z    4 4.  z 2   z2   2    3  i   z    4  3i  0 z    5. Phương trình  25z 2  10   2 2   50iz  12i   0    25z 2  50iz  10  12i 25z 2  50iz  10  12i  0  5z  5i 2  35  12i  1  6i 2  25z 2  50iz  10  12i  0       2 2 2   25z  50iz  10  12i  0  5z  5i   35  12i   1  6i   1  11i 1  i  z1  5 ; z 2  5 .   z  1  11i ; z  1  i 4  3 5 5 Bài 3:  46  1. t 4  6t 2  40  0,  t  z   z  5 2    t 2  4 hoặc t 2  i 10  z  3, z  7, z  5  i 10  2. z2  1  2  i2  z  3 2 3. z  1,z  2i  1, z  2i  1,z  3    4. z2  2z z2  2z  3  0 4 4 Bài 4: Ta có phương trình  f  z    2z  i    z  1  0 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 33 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 f  z   15  z  z1  z  z2  z  z3  z  z4  Vì z12  1   z1  i  z1  i   P  f  i  .f  i  225 4 4 4 Mà f  i   i 4   i  1  5; f  i    3i    i  1  85 17 . 9 Vậy P  Dạng 5. Dạng lượng giác của số phức Ví dụ 1. Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác . Từ đó hãy viết dạng đại số của z 2012   1. z  2  2i 2. z  6  2i 3. z  1  cos  i sin 8 8 Lời giải.  r  ( 2)2  2 2  2 2  r  2 2  2 1  1. Ta có: sin     3 2 2 2     4  1 cos     2   3 3  Vậy z  2 2  cos  i sin  . 4 4   z 2012  (2 2) 3 3   i sin   cos 4 4   2012  2012  2 3018  cos 503  i sin 503   2 3018 Vậy z2012  23018 .  3 1         i   2 2  cos     i sin     2. Ta có: z  2 2   2 2   6  6      1006 1006  2 2  3018   z2012  23018  cos  i sin  i sin  2  cos 3 3  3 3     1 3   2 3018    i   2 3017 ( 1  3i) .  2 2    3. Ta có: z  2 sin 2  2 sin        2i sin cos  2 sin  sin  i cos  16 16 16 16  16 16   7 7   i sin   cos 16  16 16     z2012   2 sin  16   2012     2 sin  16       2 sin  16    7 7   i sin   cos 16 16   2012 2012 2012  3521 3521   i sin  cos  4 4         cos  i sin    2 sin  4 4  16   Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 2012  2 2   i.   2 2   Page | 34 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018   Ví dụ 2. Gọi z1 , z 2 là 2 nghiệm của phương trình: z 2  1  3  1  i  z  4i  0 . Tính giá trị biểu thức Q  z12012  z22012 Lời giải.    Phương trình: z 2  1  3  1  i  z  4i  0 có biệt số   2i 4  2 3 Dễ thấy 4  2 3   2 2 3  1 , 2i   i  1 . Khi đó         3  1  i  1   2 Suy ra phương trình cho có 2 nghiệm z1  3  i, z 2  1  i 3       Mặt khác z1  3  i  2 cos     i sin     ,  6  6         z1  3  i  2 cos     i sin     .  3  3     2012    2012   2012   2012    Khi đó : Q  2 2012 cos     i sin     cos     i sin    6  6  3  3        1 3 1 3 Q  2 2012    i  i   2 2012  2 2 2 2   Ví dụ 3. Tìm số phức z sao cho z5 và 1 z2 là hai số phức liên hợp. Lời giải. z5  r 5 (cos 5  i sin 5) 1 z 2 1  r 2  cos 2  i sin 2 Do đó z5 và 1 z 2  cos 2  i sin 2 r 2  1 r2 cos  2   i sin  2   . là hai số phức liên hợp khi và chỉ khi z 5  Hay là: r 5 cos  5   i sin  5    1 r2 1 z2 . cos  2   i sin  2    5 1 r  1 k2 k2  r  2     k    i sin k2   z  cos r 3 3  5  2  k2   3   Vì  [0; 2) nên k  {0;1; 2}. Vậy số phức cần tìm là z  cos k2 k2 với k  {0;1; 2}.  i sin 3 3 1 Ví dụ 4. Giải phương trình cos x  cos 2x  cos 3x  . 2 Lời giải. Đặt z  cos x  i sin x thế thì cos x  Phương trình cho trở thành: z2  1 z4  1 z6  1 ,cos 2x  ,cos 3x  2z 2z 2 2z 3 z 2  1 z 4  1 z6  1 1    2z 2 2z2 2z 3  z6  z 5  z 4  z3  z 2  z  1  0  *  Vì z  1 không là nghiệm phương trình, nên z  1 ta có:  *    z  1   z 6  z 5  z 4  z 3  z 2  z  1  0  z 7  1  0 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 35 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018    k2     k2   Hay z7  1  cos   i sin  nên z  cos    i sin   với k  0; 6. Vì z  1 nên không nhận giá trị  7   7  k  3.  3 Vậy, phương trình cho có nghiệm: x   m2 , x   m2  7 7 5 9 11 13 x  m2 , x   m2 , x   m2 , x   m2 với m   . 7 7 7 7 1 Ví dụ 5. Giải phương trình : cos x  cos 3x  cos 5x  cos7x  cos 9x  . 2 Lời giải. Ta có cos x  1 không là nghiệm của phương trình. Đặt z  cos x  i sin x với x  0; 2  . Ta có z  1, z1  cos x  i sin x và: 2 cos x  z  z 1 , 2 cos nx  zn  z n Vậy phương trình đã cho trở thành: 1 1 1 1 1 z   z3    z5   z7    z9  1 3 5 7 z z z z z9  1  z 2  z 4  …  z18  z 9  z 20  1  z11  z 9   z11  1 z9  1  0  z11  1,z9  1  Nếu z9  1 thì z 9  cos 0  i sin 0 nên z  cos k2 k2  i sin , k  0; 8 . 9 9 k2  Vì x  0; 2  và z  1 nên x  , k  1; 8. 9 Do đó nghiệm của phương trình đã cho là x  k2   2m k  1; 8 , m   9    Nếu z11  1 thì z11  cos   i sin  nên: z  cos   k2    k2  i sin , k  0;10 . 11 11   k2 , k  0; 9. 11   k2  Suy ra nghiệm cần tìm là x   2m k  0; 9 , m   . 11 k2  Vậy các nghiệm của phương trình là: x   2m k  1; 8 , m   và 9   k2  x  2m k  0; 9 , m   . 11 Vì x  0; 2  và z  1 nên x        CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1 : 12 1. Tính A  1  i  12  1  i  3 1 i 3  2. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z    .  1 i    Đề thi Đại học Khối B – năm 2011 4 z  z  3. Cho số phức z1 , z 2 thỏa mãn z1  z2  z1  z2  0 . Tính A   1    2   z 2   z1  Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 4 Page | 36 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 1  3i  4. Cho số phức z thỏa mãn z  1 i 2 . Tìm môđun của số phức z  iz Đề thi Đại học Khối A – năm 2010 Bài 2 : k 2 4 2k 2008 2010  32 C 2010  …   1 C2010  …  31004 C 2010  31006 C2010 1. Tính giá trị biểu thức S  C02010  3C 2010 2. Rút gọn biểu thức: A  cos x  cos 2x  cos 3x  …  cos nx B  sin x  sin 2x  sin 3x  …  sin nx Bài 3 : Tính tích phân  4 1. I  2   s in5x  2. J     dx sin x  0 cos 5x dx cos x 0  Bài 4 : Cho dãy số  u n  xác định bởi u1  1, u 2  0, u n  2  u n 1  u n n    . Chứng minh  u n  bị chặn. Bài 5 : Viết các số phức sau dưới dạng đại số  1 i  1. z     1  3i  2012  2. z  (1  i)19 1  3i  40  z1  z 2  z 3  1  Bài 6 : Cho ba số phức z1 ,z 2 , z 3 thoả mãn hệ:  z1 z2 z 3 . z  z  z  1 3 1  2 Tính giá trị của biểu thức T  az1  bz2  cz3 với a, b,c   . Bài 7 : Viết dạng lượng giác của các số phức sau:    2. z  2  cos  i sin  6 6    4. z  sin  i cos 7 7 1. z  3  3i 3. z  cos    i sin 9 9   5. z  1  sin  i cos 8 8 6. z   1  7 3i   3  i 8  1  i 9 Bài 8 : Viết các số phức sau dưới dạng đại số. 2. z  (1  i)11 1. z  1  3i 4. z  (1  i)10 ( 3  i)5 3. z  5. z   2i (1  i)5 (1  2i)34 (1  i)20 ( 1  3i)10 Bài 9 : Tìm số phức z ở dạng lượng giác biết rằng: 5 1. z  2 và một argument của  1  i  z là . 12  2. zz  9 và một argument của  1  3i  z là . 4 z 1 2 3. z  và một argument của là . 4 3 3i 4. z  (1  3)9 ( 3  i)22 z 1  i   4  3 3i  3  và một argument của là . 16 12 13  3i Bài 10 : Tìm các số nguyên dương n để số phức sau là số thực? số ảo?  13 3  9i  1.    12  3i  n Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng 2.  7  17i n  2  3i 2n – 0946798489 3.  59  11 3i n  3 3  2i 2n Page | 37 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Bài 11 : Tìm số phức z thoả mãn: 1 1. z4 và là hai số phức liên hợp của nhau. z3 32 2. z 3 và là hai số phức liên hợp. z2 Bài 1:  1 1        1. 1  i  2   i   2  cos  i sin  ,1  i  2  cos  i sin  4 4 4 4 2     2 12 12 12        12 12 A   1  i    1  i   2  cos  i sin    cos  i sin   4 4 4 4       64  2cos 3   128 3       2  cos  i sin   3 3  cos   i sin  2. z     8   3 3    cos  i sin  2  cos  i sin   4 4 4 4      3   3       2 2 cos      i sin       2 2 cos  i sin   2  2i 4  4  4 4     Vậy phần thực của z là 2 và phần ảo của z là 2 . z 3. Đặt 1  w và w  a  bi  a, b    , khi đó z1  z2  z1  z2  0  z2 w  z2  z2 w  z2  0 tương z2 2 đương với w  1  w  1 tức  a  1  b2  a 2  b2  1 hay a  1 3 ,b . 2 2 4 1 3    1 4 4 4 4 i  cos  i sin . Ta có w 4  cos * Với w   và    cos  i sin . Do đó  i sin 3 3 2 2 3 3 3 3 w 4 A  2 cos  1 . 3 * Với w  1 3  i , tương tự ta cũng có A  1 . 2 2 4. Cách 1: Ta có: z   1 1  3i 2   3 1  i   12 1  3  3i  3.1.3i 2  3 3i 3 1  i  1 1  3 3i  9  3 3i  1  i   4  1  i   iz  4  4i . 2   Do đó z  iz  4  4i  4i  4  8 1  i  8 2 .       Cách 2: Ta có 1  3i  2  cos     i sin      3  3      1  3i z  3     8 cos     i sin     8 8 8  1  i    4  4i 1 i 2  z  iz  4  4i  i  4  4i   8  1  i   z  iz  8 2 . Bài 2 : 1 1.  1  i 3 2   2010   1 i 3 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng  2010  k 0 2 2 4 k 2k 1004 2008 2010 C 2010  31005 C 2010   C2010  3C2010  3 C 2010  …   1 3 C2010  …  3  – 0946798489 Page | 38 Tµi liÖu to¸n 12 1  i 3  2010 n¨m häc 2018   1 i 3  2010   2010 2010  2010  -2010 -2010   2 2010  cos  sin  sin 2  cos  3 3  3 3    2. 1  A  iB  1   cos x  i sin x    cos 2x  i sin 2x   …   cos nx  i sin nx  2  1   cos x  i sin x    cos x  i sin x   …   cos x  i sin x   1   cos x  i sin x  n 1 1   cos x  i sin x   n 1  cos  n  1 x  i sin  n  1 x 1  cos x  i sin x n1 n1 n1 n1 n1 n1 x  2i sin x cos x sin x sin x  i cos x 2 2 2 2 2 2   . x x x x x x 2 sin 2  2i sin cos sin sin  i cos 2 2 2 2 2 2 n  1  sin n  1 x  i cos n  1 x  sin x  i cos x  sin x   2 2 2 2   2  . x 1 sin 2  n  1 x .cos nx sin n  1 x.sin nx n1 sin x sin  nx nx  2 2 2 i 2 2  . cos  i sin   x x x 2 2   sin sin sin 2 2 2 So sánh phần thực và phần ảo 2 vế ta thu được kết quả:  n  1 x .cos nx n 1 nx sin sin x.sin 2 2 2 2 A 1, B  x x sin sin 2 2 2 sin 2 Bài 3 : Để ý cos 5x  i sin 5x   cos x  i sin x  5 1. Suy ra cos 5x  cos 5 x  10 cos 3 x sin 2 x  5 cos x sin 4 x 2. Suy ra s in5x  5sin x.cos4 x  10 sin 3 x cos 2 x  sin 5 x Bài 4 : Phương trình đặc trưng của dãy số đã cho x 2  x  1  0 có 2 nghiệm phức là x1  cos x 2  cos    i sin , 3 3  n n      B.sin  i sin , nên u n  1n  A.cos  , n   . Vì u1  1, u 2  0 nên có 3 3 3 3   A B 3    1   u1  1  A.cos 3  B.sin 3  2  tức  2   A B 3 u  0  A.cos 2  B.sin 2  0   2  2  0 3 3 A  1   3. B  3  2  3 n 3 n n 3 n   .sin Suy ra u n  cos , n    . Vậy, u n  cos  .sin  12    , n   tức  u n  bị  3  3 3 3 3 3 3   chặn. Bài 5 :         1. Ta có: 1  i  2  cos(  )  i sin(  )  và 1  3i  2  cos(  )  i sin(  )  4 4  6 6     1 i 1  3i  1      cos(  )  i sin(  )  12 12  2 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 39 Tµi liÖu to¸n 12  1 i     1  3i  n¨m häc 2018 2012  1  503 503  cos( )  i sin(  )  3 3  21006   1 1 3  1 3 i   i.   1007 1007   2 2 2 2  2 1006     3 3  2. Ta có: 1  i  2  cos  i sin   (1  i)19  29 2  cos  i sin  4 4 4 4        2 2  1  3i  2  cos  i sin   (1  3i)40  2 40  cos(  )  i sin(  )  3 3 3 3     3 3  2 2   z  2 49 2  cos  i sin  cos(  )  i sin(  )  4 4 3 3        2 49 2  cos  i sin   2 48 12 12   Bài 6 : Vì z1  z2  z3  1 nên   3  1  ( 3  1)i . z z1 z  2  3  1, do đó có thể đặt: z2 z3 z1 z1 z  cos x  i sin x, 2  cos y  i sin y z2 z3 Suy ra z3 z1  z 3 z2 .  cos  x  y   i sin  x  y  . z 2 z1 cos x  cos y  cos  x  y   1 z1 z 2 z 3 .    1 nên  z 2 z 3 z1 sin x  sin y  sin  x  y   0 Ta có 0  sin x  sin y  sin  x  y  Mà xy xy xy xy cos  2 sin cos 2 2 2 2 x y xy xy xy y x  2 sin  cos sin sin  cos   4 sin 2  2 2  2 2 2 Suy ra hoặc x  k2 hoặc y  k2 hoặc x  y  k2 , do đó hai trong ba số z1 ,z 2 , z 3 bằng nhau. Giả sử z1  z 2  2 sin 2 z z z  z z thì 1  3  0  1   3 hay ta có  3   1  z3   iz1 . z 3 z1 z3 z1  z1  Do đó: az1  bz2  cz3  az1  bz1  icz1 2  z1 a  b  ic   a  b   c 2 Vậy T nhận một trong ba giá trị sau: Bài 7 :  3 3   i sin  1. z  3 2  cos 4 4    a  b 2  c 2 hoặc  b  c 2  a 2 hoặc  c  a 2  b2 .  5 5   i sin 2. z  2  cos  6 6       3. z  cos     i sin     9  9  5   5  4. z  cos     i sin     14   14      5 5   i sin  5. z   cos  sin  cos 16 16  16 16   Bài 8 : 21  11 11   i sin 6. z   2   cos   12 12  10  10   1. z  2  cos  i sin  3 3  Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng   29 1  i 3  – 0946798489 Page | 40 Tµi liÖu to¸n 12 11  1  2. z    1 i  3. z  n¨m häc 2018 11  2    cos  i sin  64  4 4 29  cos( 3)  i sin( 3)   5 5  4 2  cos  i sin  4 4    1 ( 1  i) 64  64(1  i) 5. z  222 4. z  1 Bài 9 :    1. z  2  cos  i sin  6 6   7  7    i sin 2. z  3  cos   12 12  1 5 5  3  i sin  3. z   cos 4. z   cos   i sin   . 16 2 6 6  Bài 10 : n  n n   i sin 1. z   3  i   2n  cos  6 6   z    n  6k,z    n  2  6k,k   . n n n n   i sin 2. z   1  i    2   cos   4 4  z    n  4k,z    n  2  4k,k   . n  4n 4n   i sin 3. z   1  3i   2n  cos  3 3   z    n  3k,k   . Không tồn tại n để z là số ảo. Bài 11 : 1. z  1  cos 0  i sin 0  2k 2k   i sin 2. z k  2  cos  , k  0;1; 2; 3; 4 5 5   Dạng 6. Cực trị của số phức Ví dụ 1. Cho số phức z thỏa mãn: z  4  3i  3 . Tìm số phức z có modul nhỏ nhất. Lời giải. Đặt z  a  bi   a 4  2  a, b    . Khi đó z  4  3i  3   a 4    b 3  i  3 2   b 3   9 . Do đó các điểm M biểu diễn số phức z thoả mãn bài toán nằm trên đường tròn  C  tâm I  4; 3  và bán kính R  3 z đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi điểm M   C  và gần O nhất . 2 Khi đó M là giao điểm của  C  và đường thẳng OI , với M là giao điểm gần O hơn và OI  42   3   5 Kẻ MH  Ox . MH OM OI  R 5  3 2 6      MH  3 OI 5 5 5 5 OH OM 4 Lại có:   OH  2 OI 5 4 6 Vậy, số phức cần tìm là z   i 5 5 Theo định lí talet, ta có: Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 41 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Ví dụ 2. Cho số phức z thỏa mãn z  3  4i  4 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z Lời giải. Cách 1: áp dụng bất đẳng thức tam giác, ta có |z|  |3  4i|  z   3  4i   4  4 |3  4i| z  4  |3  4i| 1 z  9 . 3 4  i  min z  1 5 5 27 36  z 9z  i  max z  9 . 5 5 Cách 2: Đặt z  x  iy  z  3  4i   x  3    y  4  i  z 1 z  Nên từ giả thiết  (x  3)2  (y  4)2  16  x2  y2  2(3x  4y)  9  0 (*) 2   Do  3x  4y   25 x 2  y 2  5 x 2  y 2  3x  4y  5 x 2  y 2  x 2  y 2  10 x 2  y 2  9  0  Nên từ (*) ta có:   x 2  y 2  10 x 2  y 2  9  0  1  x2  y2  9  1  z  9 . Tương tự như trên: min z  1 và max z  9 . Chú ý: Ta có thể giải bài toán theo cách sau 2 2 Từ  x  3    y  4   16    0; 2  sao cho: x  3  4 sin ; y  4  4 cos  . Khi đó: 2 2 z  (3  4 sin  )2   4  4 cos    41  8  3sin   4 cos   2 Do 5  3sin   4 cos   5  1  z  81  1  z  9 . Ví dụ 3. Cho số phức z  im , m . 1  m  m  2i  1 2 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của số thực k sao cho tồn tại m để z  1  k 1. Tìm m để z.z  Lời giải.    m  i   1  m 2  2mi  m  i m i 1. z     2 2 1  m  m  2i   1  m 2  2mi   1  m 2  2mi  m  1 m  1      2    2  m   1  1 z.z     2   2 2  m  1  m  1 m 1 1 1 1  hay m 2  1  2  m  1 . Mà z.z  tức 2 2 m 1 2 im 1 1 m  i   z1 2. Ta có: z  2 2 im mi i  2mi  m z 1  1 m  i mi  m 2  2m  2 m2  1 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 42 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 k  0 m 2  2m  2  f m   z  1  k   m 2  2m  2 . Xét hàm số    k2 m2  1  2  m 1 Ta có: f ‘  m    2 m2  m  1  m2  1  2   f ‘m  0  m  1  2 5 . 1 5  3  5 Lập bảng biến thiên ta có min f  m   f    2  2    Yêu cầu bài toán  k 2  3 5 k 2 3 5 5 1  2 2 5 1 là giá trị phải tìm. 2 Bài toán còn có thể mở rộng : 2. Tìm số phức z có môđun lớn nhất. 1 1. Tìm m để z  i  4 Vậy k  Ví dụ 4. Tìm số phức z thỏa mãn: z  2i có một acgumen bằng một acgumen của z  2 cộng với  . Tìm giá 4 trị lớn nhất của biểu thức T  z  1  z  i Lời giải. Đặt z  a  bi  a, b    . Khi đó z  2i có một acgumen bằng một acgumen của z  2 cộng với  nên 4 z  2i     r  cos  i sin  với r  0 . 4 4 z 2  z  2i   a b 2 i  z 2 a  2  bi    a  2   b a a 2 b b Suy ra 2      a  2  b  2   ab i a  2   b a  2   b 2   a  2  b  2   ab  0 a  2  b   a a 2 b b 2  2 2 2 2 2 2 2 a 2  b2  2  2    a  2   b 2  0    a  b  2  0 Ta có: T  z  1  z  i  a  1  bi  a   b  1 i   a  1 2  b 2  2 a 2   b  1  3  2a  3  2b do   Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng – trung bình nhân, ta được: T 2  2  6  2a  2b   2  6  2 a 2  b 2   20   Suy ra T  2 5 , đẳng thức xảy ra khi a  b  1 Vậy, giá trị lớn nhất của T là 2 5 , đạt khi z  1  i CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất thỏa mãn: Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 43 Tµi liÖu to¸n 12 1. z  1  5i n¨m häc 2018  z  3  4i  1  2. log 1  1  3 z  3  4i  3   2 1 z3i Bài 2: Cho số phức z thỏa mãn: 1. z  1  2i  2 . Tìm số phức z có modul nhỏ nhất. 2. z  2  4i  z  2i . Tìm số phức z có modul nhỏ nhất. Bài 3: 1. Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Chứng minh rằng: 1  1  z 3  1  z  z 2  5 2. Chứng minh: z1  z2 2  z1  z 2  2 2  2 z1  z 2 2  3. Chứng minh rằng với mỗi số phức z , có ít nhất một trong hai bất đẳng thức sau xảy ra: z  1  2 hoặc 2 z2  1  1 . 4. Cho số phức z  0 thỏa mãn z 3  1 z 3  2 . Chứng minh: z  1 2 z Bài 4: Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời thỏa 2 điều kiện: z  z  4  3i và biểu thức A  z  1  i  z  2  3i có giá trị nhỏ nhất. Bài 5: Cho hai số phức z1 và z 2 . Chứng minh rằng: 1. z1  z2 2 2. 1  z1z2  z1  z 2 2  z1  z2 2  2  2 z1  z 2 2   1  z1z 2 2  2    z1  z2  2 3. z1  z 2  z1  z2  z1  z 2 . Bài 6: Cho số phức z thỏa z  1 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của: A z  5i z B  z2  z  1  z3  1 Bài 7: Cho số phức thoả mãn z  1 . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của: A  1 z  3 1 z B  1  z  1  z  z2 Bài 8: Cho số phức thoả mãn z  2  2i  1. Tìm Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z . Bài 9: Cho các số phức a, b,c . Đặt a  b  m, a  b  n với mn  0 . Chứng mỉnh rằng:   max ac  b , bc  a  mn m2  n2 . Bài 1: 1. Gọi z  a  bi,  a, b    là số phức cần tìm và a  3, b  1 Ta có:  a  1   b  5  i  a  3    b  1 i 1  a  1   b  5  i   a  3    b  1 i  2  a  3    b  1 2  1 , rút gọn đẳng thức ta được: a  3b  4 , từ 8 5 a  3b  4 2 10 2 6  Vậy, min z  khi  z  i b 5 5 5 a  3  đây tìm được a 2  b 2  2. Gọi z  a  bi,  a, b    là số phức cần tìm. Giả thiết  z  3  4i  1 3 z  3  4i  3 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng  1  z  3  4i  5   a  3    b  4  i  5 2 – 0946798489 Page | 44 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Do đó tập hợp điểm biểu diễn của số phức z thoả mãn là đường tròn tâm I  3; 4  bán kính R  5 .  z  3  4i  1  Khi đó số phức z thoả mãn log 1    1 là số phức có môđun lớn nhất thì điểm biểu diễn của z là  3 z  3  4i  3   2 điểm đối xứng với O  0; 0  qua I  3; 4  N đối xứng với O qua I có toạ độ là N  6; 8  Vậy, số phức z cần tìm là z  6  8i Bài 2: 1. Đặt z  a  bi  a, b    . Khi đó 2 2 z  1  2i  2   a  1   b  2   4 2 2 Vậy, tập hợp điểm M là đường tròn:  x  1   y  2   4 có tâm I  1; 2  . Đường thẳng OI có phương trình: y  2x . z đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi điểm M   C  và gần O nhất , điểm đó chỉ là 1 trong 2 giao điểm đường thẳng OI với  C  .  2   4  z  1    2  i 5  5  2. Giả thiết suy ra: b  a  4 Tập hợp điểm M biểu diễn các số phức z là đường thẳng b  a  4 2 Mặt khác z  a 2  b 2  2  a  2   8  2 2 . z min  2 2 khi  x; y    2; 2   z  2  2i . Bài 3: 3 2 1. Ta có: 1  z 3  1  z  z 2  1  z  1  z  z  5 Do z  1  1  z  1  z  2 Và 1  z 3  0  1  z3  3 1 1  z3 2 2 1  z3 3  1 z  1 z  z  1 z   1 z 2  z1  z2 2 2 1 1 1  z 3  1  z3 2 2 1 1  z3  1  z3  1 . 2 2. Dễ dàng chứng minh được: z.z  z z1  z2   2     z1  z 2  z1  z 2   z1  z 2  z1  z2  z1  z1 z 2  z2 z1  z2 2 2  z1  z1 z 2  z 2 z1  z 2 3. Giả sử ta có đồng thời z  1  2   2  2 z1  z 2 2  2 và z 2  1  1 2  1 2 2  1  a   b  2 Ta có:  , cộng vế theo vế suy ra đpcm. 2  1  a 2  b2  4a 2 b2  1  4. Với 2 số phức z1 , z 2 ta luôn có: z1  z2  z1  z2   3  1 1  1 Từ  z    z 3   3 z   3 z z   z   Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 45 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 3 1 1 1 1  z3  3 z 23 z 3 z z z z 1 Đặt m  z  , ta được m 3  3m  2  0  m  2 đpcm z Bài 4: Đặt z  x  yi,  x, y    Suy ra z  z  z  4  3i  8x  6y  25  0 . Tập hợp điểm M  x; y  biểu diễn số phức z là đường thẳng 8x  6y  25  0 .  x  1 2   y  1 2   x  2  2   y  3  2 Xét E  1;1 , F  2; 3  và M  x; y  A  z  1  i  z  2  3i  A  Bài toán trở thành : Tìm điểm M thuộc đường thẳng 8x  6y  25  0 sao cho ME  MF nhỏ nhất. Bài 5: 2 1.Ta có: z1  z 2  z1  z2 2  (z1  z 2 )(z1  z 2 )  (z1  z 2 )(z1  z2 )  (z1  z 2 )(z1  z2 )  (z1  z 2 )(z1  z2 )  2  2(z1 z1  z 2 z2 )  2 z1  z 2 2 2  2 2.Ta có 1  z1z 2  z1  z 2  (1  z1z2 )(1  z1z2 )  (z1  z2 )(z1  z2 )  (1  z1z 2 )(1  z1 z2 )  (z1  z 2 )(z1  z2 )  1  z1  Mặt khác: 1  z1z 2 2 2    z1  z2  z2 2 2 2  z1  z2 2  1  2 z1z2  z1z 2 (1) 2 Vì z1z2  z1 z2 nên (1  z1z 2 )2  ( z1  z2 )2  1  z1 2 2  z1  2 z1z 2  z2 . 2 z2 2 2 2  z1  z2 (2) Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh. 3. Gọi M, N,P lần lượt là biểu diễn hình học của z1 , z 2 và z1  z 2  OM  z1 , ON  z2 và PO  z1  z2 y P Ta có: z1  z2  OP  OM  MP  OM  ON  z1  z2 N M z1  z2  OM  ON  OM  MP  OP  z1  z 2 . O Bài 6: 1.Ta có: A  1  Mà 4  x 5i z 5i 5i 5i 1 1  1 6 4 A 6. z z z  khi z  i  A  4 , suy ra min A  4  khi z  i  A  6 , suy ra max A  6 . 2 3 2. Ta có: B  z  z  1  z  1  5 Đẳng thức xảy ra khi z  1 . Vậy max B  5 . 1  z3 Mặt khác: B  1 z 3 1  z3  1 z  2 1  z3  1  z3 1  z3  2  2  1. Đẳng thức xảy ra khi z  1 . Vậy min B  1 . Đặt z  x  yi với x, y   . Vì z  1 nên y2  1  x2 và x    1;1 . Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 46 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Bài 7: 1.Ta có: 2 2 1  z  1  x   y2  2 1  x  , 1  z  1  x   y2  2 1  x  Do đó 1  z  3 1  z  2 1  x   3 2  1  x   f  x  Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: f  x   2 1  x   3 2  1  x  với x  1;1 . Hàm số liên tục trên x    1;1 và với x   1;1 thì: 1 3 4 f  x   , f  x  0  x   5 2 1  x  2 1  x   4 Mà f  1  2,f  1  6,f     2 10 nên:  5 4 3  max A  2 10 khi z    i 5 5 z 1  min A  2 khi z  1 z 1 2. Vì 1  z  z2  2×2  x  i  2x  1 y nên 1  z  z2   2×2  x 2  y2  2x  12 2   2x  1 x2  y 2  2x  1   Vậy nên B  1  z  1  z  z2  2  1  x   2x  1 . Đặt g  x   2  1  x   2x  1 với x  1;1 . Xét hai trường hợp: 1   Trường hợp 1: Xét x   ;1 thì g  x   2  1  x   2x  1 2  Ta có g  x   1 1   2  0 x   ;1 nên: 2  2 1  x 1 max g  x   g  1  3, min g  x   g    3 . 1  2 1  ;1 ;1  2   2   1  Trường hợp 2: Xét x   1;  thì g  x   2  1  x   2x  1 2   1 7 Vì g  x    2  0,g   x   0  x   và: 8 2 1  x   7  13  1  g  1  3,g     ,g    3  8 4 2  7  13 Nên max g  x   g     và không tồn tại giá trị nhỏ nhất trên khoảng đó.  1  8 4 1;    2 So sánh hai trường hợp, ta có:  max B  z 1 7 15 13 i khi z    8 8 4 1 3  i. z 1 2 2 Bài 8: Đặt z  x  yi với x, y   . Vì z  2  2i  1 nên:  min B  3 khi z  2 2 x  2   y  2  i  1   x  2    y  2   1. Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 47 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Vì thế có thể đổi biến x  2  cos t, y  2  sin t với 0  t  2. 2 Khi đó: x2  y2   cos t  2    sin t  2  2    9  4  sin t  cos t   9  4 2 sin  t    4   Mà 1  sin  t    1 nên 9  4 2  x2  y2  9  4 2 , do đó:  4 9  4 2  z  9  4 2  2 2 1 z  2 2 1 2 2 7 ,y  2  . hay x  2  4 2 2 2  2  i2  Vậy min z  2 2  1 đạt được khi z  2  . 2  2   z  2 2  1 khi t  2 2 3 ,y  2  . hay x  2  4 2 2  2 2 Vậy max z  2 2  1 đạt được khi z  2   i2  . 2  2   z  2 2  1 khi t   b . ac  b  a . bc  a  Bài 9: Ta có: max ac  b , a  bc  abc  b 2  abc  a 2   Mà a  b  2  2  2   max ac  b , bc  a  abc  a 2  (abc  b 2 )  a b 2 a  b ab  ab a b 2 mn m2  n2 a 2  b2  a b  mn a b 2  a  b  m2  n2 đpcm. ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM Câu 1. Chọn D. Câu 2. Ta có z 2  a  bi   a 2  2abi  bi   a 2  2abi  b 2  a 2  b 2   2abi . Chọn B. 2 2 Câu 3. Số phức thuần ảo là số phức có phần thực bằng 0. Chọn B. Câu 4. Số phức 3  2 2i có phần thực a  3, phần ảo b  2 2 . Vậy P  ab  6 2 . Chọn D.  a  1  . Chọn B. Câu 5. Ta có z  i 1  i   i  i 2  i  1  1  i     b  1 Câu 6. Ta có z   2  3i    2 2 2  2. 2.3i  3i   2  6 2i  9  7  6 2i . 2 Suy ra T  7  6 2. Chọn C. Câu 7. Ta có z  4  3i  1  3i  3i 2  i 3   4  3i  1  3i  3  i   2  5i . Chọn C. Câu 8. Để z là số thuần ảo  m 2  1  0  m  1. Chọn C. Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 48 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018  m 2 1  0  m  1. Sai lầm thường hợp là: ” z là số thuần ảo      m  1  0 Câu 9. Ta có z   x  iy   2  x  iy   5  x 2  2ixy  y 2  2 x  2iy  5 2   x 2  y 2  2 x  5  2  xy  y i. y  0 Để z là số thực  2  xy  y   0   . Chọn C. x  1  Câu 10. Ta có z 3  a 3  3a 2 bi  3ab 2  b 3i  a 3  3ab 2   3a 2 b  b 3 i b  0 Để z 3 là số thực  3a 2 b  b 3  0  b 3a 2  b 2   0   2 . Chọn A. b  3a 2  a  2017    S  a  2b  2019. Câu 11. Ta có z1  z 2  a  bi  2017  2018i      b  2018 Chọn C.   2 x  3  3 x x  3  . Câu 12. Ta có z  z ‘  2 x  3  3 y 1i  3 x   y  1i      3 y 1  y  1  y  1   Chọn C. x  y  5  0  Câu 13. Ta có  x  y    x  y i  5  3i   x  y  5   x  y  3i  0      x  y  3  0  x  4    S  x  y  4  1  5. Chọn A.    y  1  3 y  3 2 Câu 14. Ta có 2 x  y i  y 1  2i   3  7i  3 y  2 x  5 y i  3  7i      2 x  5 y  7 x  1   . Chọn A.     y  1 Câu 15. Ta có 2 x  3  1  2 y i  2 2  i   3 yi  x 2 x  3  4  x   x  1  .  2 x  3  1  2 y i   4  x   3 y  2 i        1  2 y  3 y  2   y  3 Suy ra P  x 2  3 xy  y  1  3.1.3  3  13. Chọn A.  x 2 1  1  x 2  0  x  0  Câu 16. Ta có x 2 1  yi  1  2i     . Chọn A.       y  2 y  2 y  2    x 2  y  0    y  3 Câu 17. Ta có x 2  y  2 y  4 i  2i   .    2   2 y  4   2  x  3  Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 49 Tµi liÖu to¸n 12 Vậy  x ; y    n¨m häc 2018    3; 3 hoặc  x ; y    3; 3 . Chọn C. Câu 18. Ta có z1  z 22   a  bi  3  4i   a  bi  9  24i 16  a  bi  7  24i 2 a  7     P  ab  168. Chọn A.    b  24 Câu 19. Ta có z  x  iy   z 2  x 2  y 2  2 xyi.   x 2  y 2  8   x 2  y 2   2 xyi  8  6i   Theo đề bài, ta có z 2  8  6i     2 xy  6  x  1 x  1    . Chọn D. hoặc         y  3 y  3 Câu 20. Ta có x 3  5i   y 1  2i   9  14i  x 3  5i   y 11  2i   9  14i 3  172   x   3 x  11 y  9   61  3 x 11y   5x  2 y i  9  14i    .     5 x  2 y  14 3    y    61   Vậy P  2 x  3 y  2.  3  353 172 . Chọn B.  3.    61 61 61 x A  2  Câu 21. Gọi A là điểm biểu diễn số phức, suy ra  . Vậy A 2; 3 . Chọn C.     y A  3 Câu 22. Ta có w  iz  i 1  2i   i  2i 2  i  2  2  i . Vậy điểm biểu diễn số phức w có tọa độ 2;1 . Chọn B. Câu 23. Ta thấy M 3; 4  là điểm biểu diễn của số phức z  3  4i . Vậy số phức z có Phần thực bằng 3 , phần ảo bằng 4 . Chọn C. Câu 24. Số phức z  3  4i biểu diễn điểm có tọa độ là 3; 4  , đây chính là điểm D. Chọn D.  x M  2  Câu 25. Ta thấy điểm M có  nên là điểm biểu diễn của số phức z  2  i.     yM  1 Chọn C. Câu 26. Dựa vào hình vẽ ta thấy Điểm M là điểm biểu diễn số phức z1 1  2i. Điểm Q là điểm biểu diễn số phức z 4 1  2i. Điểm N là điểm biểu diễn số phức z 2 1  2i. Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 50 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Điểm P là điểm biểu diễn số phức z 3 1  2i. Chọn D. Câu 27. Gọi z  x  yi  x ; y    và M  x ; y  là điểm biểu diễn của số phức z .  x  0 . Dựa vào hình vẽ ta thấy M nằm ở góc phần tư thứ nhất nên     y  0 Ta có 2 z  2  x  yi   2 x  2 yi   điểm biểu diễn của số phức 2z có hoành độ và tung độ cũng dương nên ở góc phần tư thứ nhất. Đó là điểm E . Chọn C.   Câu 28. Ta có A 4;0  OA  4;0 và B 0;3  OB  0; 3 .    Do đó OC  OA  OB  4;3   C  4;3  z  4  3i là số phức biểu diễn điểm C . Chọn B. Câu 29. Số phức z  1  6i có điểm biểu diễn là A suy ra A 1;6  . Số phức z ‘  1  6i có điểm biểu diễn là B suy ra B 1; 6  .  x A  x B Do đó  nên A và B đối xứng nhau qua trục hoành. Chọn A.     y A   yB Câu 30. Số phức z  2  5i có điểm biểu diễn là A suy ra A 2;5 . Số phức z  2  5i có điểm biểu diễn là B suy ra B 2;5 .  x A  x B  Do đó  nên A và B đối xứng nhau qua trục tung. Chọn B.     y A  yB Câu 31. Số phức z  4  7i có điểm biểu diễn là A suy ra A 4; 7 . Số phức z ‘  4  7i có điểm biểu diễn là B suy ra B 4;7  .  x A  x B  0 Do đó  nên A và B đối xứng nhau qua gốc tọa độ O . Chọn C.     y A  yB  0 Câu 32. Số phức z  3  2i có điểm biểu diễn là A suy ra A 3;2  . Số phức z ‘  2  3i có điểm biểu diễn là B suy ra B 2;3 . x A  yB  Ta thấy  nên hai điểm A và B đối xứng nhau qua đường thẳng y  x .     yA  x B Chọn D. x  3  . Do đó các điểm này luôn nằm Câu 33. Tập hợp các điểm biểu diễn của các số phức z  3  bi với b   có dạng      y  b, b   trên đường x  3 . Chọn A. Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 51 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Câu 35. Theo bài ra, ta có A 4;0 , B 0; 4  và M  x ;3   Suy ra AB   4;4  và AM   x  4;3 . Để ba điểm A, B, M thẳng hàng  x 4 3   x  1 . Chọn B. 4 4 Câu 36. Từ giả thiết, suy ra A 2; 2 , B 3;1, C 0;2  .   1 3 Suy ra AB  1;3 và BC  3;1 . Vì  nên A, B, C không thẳng hàng. 3 1      AB.BC  0  ABC vuông cân tại B . Chọn D. Ta có   AB  BC  10    Câu 37. Từ giả thiết, suy ra A 1;3, B 3; 2 , C  4;1 .   2 5 Suy ra AB  2;5 và AC  5;2 . Vì nên A, B, C không thẳng hàng.  5 2      AB.AC  2.5  5.2  0  ABC vuông cân tại A . Chọn D. Ta có      AB  AC  29 Câu 38. Số phức z 2  1  i   2i . 2   Từ giả thiết, ta có A 1;1, B 0;2 , C a; 1 . Suy ra AB  1;1 và BC  a;3 .   Yêu cầu bài toán  AB.BC  0  a  3  0  a  3 . Chọn A. Câu 39. Đường tròn có tâm I 2017;2018 biểu diễn số phức z  2017  2018i . Gọi A, B, C lần lượt là điểm biểu diễn các số phức z1 , z 2 , z 3 .      Ta có OA  OB  OC  3OG  3OI (do tam giác ABC đều nên trọng tâm G  I ). Suy ra z1  z 2  z 3  3 2017  2018i   6051  6054i . Vậy số phức w  z1  z 2  z 3  6051  6054i . Chọn C.   A 2; 1    Câu 40. Từ giả thiết, ta có B 1;6   G 3;2  z 4  3  2i  z 4  3  2i. Chọn D.     C 8;1 Câu 41. Ta có z  z1  z 2  5  7i   2  3i   5  2   7  3i  7  4i . Chọn A. Câu 42. Ta có w  z1  2 z 2  1  2i  2 2  3i   1  2i   4  6i   1  4   2  6 i  3  8i . Chọn B. Câu 43. Ta có z  3 z1  2 z 2  3 1  2i   2 2  3i  Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 52 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018  3  6i   4  6i   3  4   6  6 i  1  12i . Vậy z  3 z1  2 z 2 có phần ảo bằng a  12 . Chọn B. Câu 44. Ta có z  z1  z 2  1  2i   3  i   1  3  2  1i  2  i . Vậy điểm biểu diễn số phức z là P 2; 1. Chọn C. Câu 45. Từ giả thiết, suy ra z1  3  i và z 2  2  3i . Ta có z1  z  z 2   z  z 2  z1  2  3i   3  i   2  3  3  1i  1  2i. Vậy điểm biểu diễn số phức z có tọa độ là 1;2 . Chọn A. Câu 46. Ta có z  z1 .z 2  2017  i 2  2016i   2017.2  2017.2016i  2i  2016i 2  4034  4066272i  2i  2016   4034  2016   4066272i  2 i  2018  4066274i . Chọn C. Cách 2. Dùng CASIO a  8    S  a  b  2  0. Chọn C. Câu 47. Ta có 2 z1 z 2  2 3  4i i   8  6i      b  6 Câu 48. Xét đáp án A, ta có z  3  i 8  3i   21  17i (loại). Xét đáp án B, ta có z  3  i 8  3i   27  i : thỏa mãn. Chọn B. Câu 49. Gọi z  x  yi  x ; y   . Khi đó 1  i  z  3  i   1  i  x  yi   3  i  x  yi  xi  y  3  i   x  y  3 x  1   x  y    x  y i  3  i      Q 1;2. Chọn B.    x  y  1   y  2   Câu 50. Ta có z.z ‘  m  3i  2  m  1 i   2m  6i  m m  1 i  3 m  1 i 2  5m  3  m 2  m  6 i . m  2 Để z .z ‘ là số thực  m 2  m  6  0   . Chọn A.  m  3  Câu 51. Với z  a  bi suy ra số phức liên hợp là z  a  bi . Chọn D. Câu 52. Từ z  3  2i , suy ra z  3  2i . Vậy phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 2 . Chọn D.  z  1  2i   điểm biểu diễn của số phức liên hợp của số phức z là M 1 1;2  . Chọn A. Câu 53. Ta có z  1  2i  Câu 54. Ta có z  i 3i  1  3i 2  i  3  i , suy ra z  3  i. Chọn D. Câu 55. Ta có z  2  5i. Suy ra z  2  5i . Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 53 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Khi đó w  iz  z  i 2  5i   2  5i  2i  5i 2  2  5i  2i  5  2  5i  3  3i. Chọn B. Câu 56. Ta có i .z 2  i 4  3i   4i  3i 2  3  4i  z1   z1  i .z 2 . Chọn D. Câu 57. Theo bài ra, ta đặt z  ki  k  0  , suy ra z   ki   z  z   z . Chọn D. Câu 58. Đặt z  x  yi  x ; y  , x 2  y 2  0 . suy ra z  x  yi . Khi đó A  x ; y , B  x ;  y  lần lượt là điểm biểu diễn của số phức z và z . Suy ra A, B đối xứng nhau qua trục hoành. Chọn B. Câu 59. Đặt z  a  bi a; b      z  a  bi. 2 2 2     z 2   z   a  bi   a  bi   2 a 2  b 2      Ta có  .   a  bi  a  bi   a 2  b 2  2b     z . z  i z  z  a  bi a  bi  i           Do đó ,  là các số thực. Chọn A. Câu 60. Ta có z  5  3i   z  5  3i . Suy ra 1  z   z   1  5  3i   5  3i   6  3i   16  30i   22  33i . Chọn B. 2 2  Câu 61. Ta có z  i  2  1   2     2i  i 2  2 2i  2 1  2i  1  2 2i 1  2i   1  2i  2 2i  4i 2  5  2i . Suy ra z  5  2i . Do đó, phần ảo của số phức z bằng  2 . Chọn C. Câu 62. Ta có z1  4  3i  1  3i  3i 2  i 3   4  3i  1  3i  3  i   2  5i . Suy ra z1 .z 2  2  5i 7  i   9  37i   z1 .z 2  9  37i . Do đó w  2 9  37i   18  74i . Chọn C. Câu 63. Đặt z  a  bi a; b   , suy ra z  a  bi .   3a  6 a  2 Theo giả thiết, ta có a  bi  2 a  bi   6  3i  3a  bi  6  3i   .    b  3  b  3   Chọn A. Câu 64. Ta có iz  2  z  1  i   i a  bi   2 a  bi  1  i   b  ai  2 a  2  2b  2i b  2a  2  a  2  2a  b  2       S  ab  4. Chọn A.        a  2b  2  a  2b  2  b  2 Câu 65. Đặt z  a  bi a; b    , suy ra z  a  bi .  a  bi a  bi   10 a  bi   a  bi   a 2  b 2  20a. Từ z.z  10  z  z   Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 1 Page | 54 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Hơn nữa, số phức z có phần ảo bằng ba lần phần thực nên b  3a .  2   a 2  b 2  20a  a  2 a  0 Từ 1 và 2 , ta có  hoặc  .       b  6 b  3 a   b  0    Vậy có 2 số phức cần tìm là: z  2  6i và z  0 . Chọn B. Câu 66.. Ta có z  a  bi   z  a  bi . Từ 1  i  z  2 z  3  2i   1  i a  bi   2 a  bi   3  2i  1   a   a  b  2   2  a  b i  3a  b   3  2i      P  a  b  1. Chọn C.     3 a  b  3 3    b    2   Câu 67. Đặt z  a  bi a; b    , suy ra z  a  bi . Theo giả thiết, ta có a  bi 2  3i a  bi   1 9i a  3b  1   a  2  a  3b  3a  3b i  1  9i      P  ab  2. Chọn D.    3a  3b  9  b  1   Câu 68. Ta có z  a  bi   z  a  bi . Theo giả thiết, ta có 1  i a  bi   3  i a  bi   2  6i  4 a  2b  2  0  a  2   4 a  2b  2   6  2b  i  0     T  b  a  1 . Chọn C.     6  2 b  0  b  3   Câu 69. Đặt z  a  bi a; b    , suy ra z  a  bi . Theo giả thiết, ta có 1  i a  bi   2i a  bi   5  3i  a  3b  5  a  b  3i  0  a  3b  5  0  a  2     z  2  i  z  2  i.     a  b  3  0 b  1   Vậy w  z  2 z  2  i   2 2  i   6  i . Chọn A.  iz   y  xi. Câu 70. Đặt z  x  yi  x ; y   , suy ra iz  i  x  yi    y  xi  Theo giả thiết, ta có x  yi  2  4i  2  i y  xi   x  2  2 y  x x  2    x  2   y  4 i  2 y  x    y  2 x i      z  2  3i .     y  4  y  2x    y  3 Khi đó w  z 3  i  2  3i   i  46  10i . Chọn C. 3 Câu 71. Điểm M biểu diễn số phức z  a  bi a; b    nên có tọa độ M a; b  . Ta có OM  a 2  b 2  z . Chọn A. Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 55 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Câu 72. Giả sử z1  a  bi a; b    và z 2  x  yi  x ; y    . Khi đó M a; b  và N  x ; y  . Suy ra z1  z 2  a  x   b  y i  a  x   b  y  . 2 2   2 2 Lại có MN  MN  a  x   b  y  . Vậy z1  z 2  MN . Chọn B. Câu 73. Chọn D. Vì z1 .z 2  a  bi c  di   ac  bd   ad  bc i   z1 .z 2  ac  bd   ad  bc i . 2   z12  m.i   m 2 .i 2  m 2   Câu 74. Gọi z1  m.i m      . 2 2 2 2   z  0  m  m   z  m 1 1   2 Khi đó z  z12  z1  m 2  m 2  0 . Chọn B. Câu 75. Giả sử z  a  bi a; b      z 2  a 2  b 2  2abi   z2  a 2  b 2  2 2 a 2  b 2  2  4a 2 b 2   a2  b2. 2 Lại có z  a 2  b 2   z  a 2  b 2 . Do đó z 2  z . Chọn B. Câu 76. Ta có z  z . Mà z  0 nên z là số thực không âm. Chọn A. Câu 77. Ta có z  2 2  12  5 . Chọn D. Câu 78. Ta có z1  z 2  3  2i . Suy ra z1  z 2  32  2  13 . Chọn A. 2 Câu 79. Ta có z1  z 2  1  4i   z1  z 2  17 . Chọn A. Câu 80. Ta có iz  3  4i  z  3  4i 3  4i 3  4i 5  z     5. Chọn A. i i i 1 Cách 2. Lấy môđun hai vế, ta được iz  3  4i  i . z  5  1. z  5  z  5. Câu 81. Chọn D. Vì điểm M u   2 2   2;3 biểu diễn cho số phức u  2  3i có phần thực bằng 2 , phần ảo bằng 3 và môđun  32  11 . zz  z  4  3i . 1  i  5. 2. Câu 82. Lấy môđun hai vế, ta được z  4  3i 1  i   Chọn C. Câu 83. Do quỹ tích biểu diễn các điểm của số phức z nằm ngoài đường tròn tâm O bán kính R  1 nhưng nằm trong đường tròn tâm O bán kính R  2 . Chọn C. Câu 84. Chọn D. Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 56 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Câu 85. Vì điểm biểu diễn số phức z nằm trên đường chéo của hình vuông nên a  b . Vậy điều kiện là a  b  2 . Chọn C. 2  a  2 , 2  b  2 và  a  b  Câu 86. Gọi z  x  yi  x ; y    và M  x ; y  biểu diễn z trên mặt phẳng tọa độ. 2 2  z 3 x 2  y 2  9     x  y  3  Từ hình vẽ ta có     . Chọn B.      y  x    y  x y  x Câu 87. Giả sử z1  z 2  z 3  R. Khi đó A, B, C nằm trên đường tròn O ; R  . Do z1  z 2  0 nên hai điểm A, B đối xứng nhau qua O . Như vậy điểm C nằm trên đường tròn đường kính AB (bỏ đi hai điểm A và B ) hay tam giác ABC vuông tại C . Chọn A. Câu 89. Từ giả thiết, ta có OA  3, OB  4 và AB  5 . Ta có OA 2  OB 2  AB 2   OAB vuông tại O . 1 1 Vậy S  OA.OB  .3.4  6 . Chọn B. 2 2 Câu 90.  đi qua hai điểm 1;0 và 0;1 nên có phương trình  : x  y 1  0 . Khi đó z min  d O ,   1 1 1 2 2  1 2 . Chọn D. Câu 91. Lấy môđun hai vế của w  1  i  z , ta được 2 w  1  i  z  1  i  . z  2i . z  2.m . Chọn B. 2 2 Câu 92. Theo giả thiết, ta có z  2  m 2  3m  2   2 2 m  0 2  m 2  3m  2   4  10m 2  12m  0   .  m  6 / 5  6 6 8 Vì m là tham số thực âm nên ta chọn m   , suy ra z    i . Chọn C. 5 5 5 Câu 93. Đặt z  a  bi a; b    , suy ra z  a  bi . Theo giả thiết, ta có 2 a  bi   3 1 i a  bi   1 9i  5a  3b  1  a  2   5a  3b   3a  b i  1  9i      z  2  3i . Chọn D.     3 a  b  9  b  3   Câu 94. Đặt z  a  bi a; b    , suy ra z  a  bi . Theo giả thiết, ta có 1  2i a  bi   2  3i a  bi   6  2i Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 57 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 3a  b  6   a  1  3a  b  5a  b i  6  2i    .     5a  b  2 b  3   Suy ra z  1  3i  z  10. Chọn C. Câu 95. Đặt z  a  bi a; b    , suy ra z  a  bi . Theo giả thiết, ta có 5a  bi   3  i  2  5i a  bi   5a  3  5b  1i  2a  5b  5a  2b i  5a  3  2 a  5b  7a  5b  3  0  a  1    .       5 b  1  2 b  5 a 5 a  3 b  1  0   b  2    Suy ra z  1  2i , suy ra 3i  z  1  12i . Vậy P  3i  z 1  12i  12 . Chọn C. 2 2 Câu 96. Theo giả thiết, ta có a  bi  1  3i  a 2  b 2 i  0   a  1  0  a  1  a  1  b  a 2  b 2  3 i  0      2 2 2  b  a  b  3  0   b 1  b  3     a  1  a  1      2   S  a  3b  5. Chọn B. 4    b    b 1  b  3   3  Câu 97. Gọi z  a  bi a; b   . Ta có  z  3  5   a  bi  3  5  a  3  b 2  25. 2 1  z  2i  z  2  2i   a  bi  2i  a  bi  2  2i  a 2  b  2  a  2  b  2  a 2  a  2  a  1 . 2 2 2 2 2  Thay 2  vào 1 , ta được 16  b 2  25  b 2  9 . Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 58 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Vậy z  a 2  b 2  12  9  10. Chọn C. Câu 98. Gọi z  x  yi  x ; y   . Ta có 1  z  5   x 2  y 2  25.  z  3  z  3  10i   x  yi  3  x  yi  3  10i   x  3  y 2   x  3   y 10  y  5. 2 2 2  2 Thay 2  vào 1 , ta được x 2  0  x  0. Vậy z  5i   w  z  4  3i  4  8i. Chọn D. Câu 99. Gọi z  x  yi  x ; y   . Ta có  z 1  2   x  yi 1  2   x 1  y 2  4. 1  z 2   x  yi   x 2  y 2  2 xyi là số thuần ảo x 2  y 2  0 . 2  2 2  x  1 7  y   1 7 2 2    x  1  y  4   2 2 Giải hệ gồm 1 và 2  , ta được   .  2 2   1  7 1  7 x  y  0     x  2  y   2  Do đó có 4 số phức thỏa mãn. Chọn B. Câu 100. Gọi z  x  yi  x ; y   . Ta có  z  2  i  2 2   x  yi  2  i  2 2   x  2   y 1  8. 2 2   z 1   x  yi 1   x 1  y 2  2  x 1 yi là số thuần ảo nên  x 1  y 2  0. 2 2 2 2 2    x  2   y 1  8   Giải hệ  ta được 2 2     x 1  y  0 2    x  1  3  x  1  3  x 0   hoặc  hoặc  .         y  1   y  2 3 y  2  3 Do đó có 3 số phức thỏa mãn. Chọn C. Câu 101. Giả sử z  a  bi a; b      z  a  bi . Theo giả thiết, ta có a  bi   a  bi   a  bi   2bi  a 2  b 2  2abi 2  a  b  0 a  b      a 2  b 2  0     a  b   2ab  2b i  0    a  b  a  b  1 .    2ab  2b  0    a  1; b  1   2ab  2b  0 2 2 Vậy có 3 số phức thỏa mãn là z  0 , z  1  i và z  1  i . Chọn C. Câu 102. Giả sử z  a  bi a; b      z  a  bi . Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 59 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 ● z  2  i  2   a  bi  2  i  2  a  2  b  1  4. 1 ● z  i  a  bi  i  a  b  1i là số thực  b  1  0  b   1 .  2 2 2 a  22  b  12  4  a  22  4   a  0  a  4    Từ 1 và 2 , ta có  .       b  1 b   1 b   1       Vậy có hai số phức cần tìm là z  i ; z  4  i . Chọn C. Câu 103. Giả sử z  a  bi a; b      z  a  bi . a  bi a  bi   1  a 2  b 2  1. ● zz  1  1 ● z 1  2   a 1  bi  2  a 1  b 2  4.  2 2  a 2  b 2  1 a  1  Giải hệ 1 và 2 , ta được     a  b  1. Chọn C.  2 2  b  0 a  1  b  4     Câu 104. Giả sử z  a  bi a; b      z  a  bi . 2 ● z  2 zz  z 2  8   4 a 2  b 2   8 (do z  z  z.z  a 2  b 2 ). 2 2  a  bi  a  bi  2  2a  2  a  1 . ● z  z  2   4 a 2  b 2   8  a  1   Từ đó ta có hệ phương trình  . Chọn A.    b  1 a  1    Câu 105. Giả sử z  a  bi a; b      z  a  bi . 1 ● z 1  1   a  bi 1  1  a 1  b 2  1. 2 ● 1  i  z  i   1  i  a  b  1i   a  b  1  a  b 1i có phần ảo bằng 1  2  a  b 1  1 .  a 12  b 2  1   a  2 a  1  Từ 1 và 2 , ta có  hoặc  . Chọn C.      b  0 b  1 a  b  1  1       2 2  2 Câu 106. Áp dụng công thức z1  z 2  z1  z 2  2 z1  z 2 2  2   z1  z 2  2 z1  z 2 2  z  z 1 2 2 2   3   z1  z 2  3. Chọn A. Câu 107. Gọi z  x  yi  x ; y   .  2 x  2 y 1i  2  y  xi Ta có 2 z  i  2  iz  Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 60 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018   z1  1 2 2  4 x 2  2 y 1  2  y   x 2  x 2  y 2  1   z  1   .     z2  1 2  2 2 Áp dụng công thức z1  z 2  z1  z 2  2 z1  z 2  2 2   z1  z 2  2 z1  z 2 2  z  z 1 2 2 2   3   z1  z 2  3. Chọn D.   z1  6  z1 z1  36 Câu 108. Ta có  và z1  z 2  2 13   z1  z 2  z1  z 2   52     z 2  8  z 2 z 2  64  z1 z1  z 2 z 2   z1 z 2  z1 z 2   52  36  64   z1 z 2  z1 z 2   52   z1 z 2  z1 z 2   48. Khi đó P 2  2 z1  3 z 2 2 z1  3 z 2   4 z1 z1  9 z 2 z 2  6  z1 z 2  z1 z 2   1008   P  12 7. Chọn B. Câu 109. Từ z  a  bi a; b      z 2  a 2  b 2  2abi  z 2  4  a 2  b 2  4  2abi . Khi đó z 2  4  2 z   a 2  b 2  4   2abi  2 a  bi  a 2  b 2  4   4 a 2 b 2  4 a 2  b 2  2   8 b 2  a 2   16  4 a 2  b 2   a 2  b 2   16  4 z  z . 2 2  4  2 Suy ra P  8 b 2  a 2  12  z  4 z  4  z  2 . Chọn D. 4 2 2 Câu 110. Ta luôn có bất đẳng thức  a  b   0  a 2  b 2  2 ab  a; b   . 2 Cộng hai vế cho a 2  b 2 , ta được 2a 2  2b 2  a 2  b 2  2 ab  2 a 2  b 2    a  b   2 a 2  b 2   a  b  z 2 2  a  b . Chọn B. Câu 111. Từ giả thiết, ta có z 2  z  i z  2  2i  z 2  z  2   z  2 i. Lấy môđun hai vế, ta được z 2   z  2 2   z  2.  Mặt khác z  z 2 và đặt t  z  0 , khi đó  trở thành t 2  2 t  2    t  2  2 2 t 2   2 loaïi  t 4  t 2  4 t  4  t 2  4 t  4  t 4  2t 2  8  0   2  t  2. t  4 Vậy z  2   2  z  3 2. Chọn D. Câu 112. Sử dụng bất đẳng thức u  v  u  v , ta có Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 61 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 2 2  2 z 1  3 z  i  2  z 1  z  i   z  i   2 z 1   z  i   z  i   2 i 1  z  i  2 2  z  i . Suy ra z  i  0  z  i  0  z  i   z  1 . Chọn D. Câu 113. Từ giả thiết, ta có z  4  z  i z  4i  3 zi  z 1  3i   z  4   z  4 i. Lấy môđun hai vế, ta được z 1  3i   z  4   z  4  i  z . 1  3i  z  4   z  4  z 10  2  z  4 2 2   z  4 2  10 z   z  4   z  4  8 z  32  z  4   z  2. Chọn C. 2 2 2 2 2 Câu 114. Ta chọn z1  2   M 2;0  là điểm biểu diễn của số phức z1 .    450  MON   chọn iz 2  1  i (hình vẽ) Nhật thấy    iz  z  2  2 2    z 2  1  i. Từ iz 2  1  i   z1  2  Thay  vào P và bấm máy, ta được P  4 5.    z 2  1 i Chọn A. Câu 115. Ta tư duy để chọn được ba số phức z1 , z 2 , z 3 thỏa mãn điều kiện. Đó là các số phức z1  1, z 2  i , z 3  i. Thay vào P và ta được P  1. Chọn D. Để ý những số phức có môđun bằng 1 hay dùng là 1 3 2 2 z  1, z  i , z    i, z    i. 2 2 2 2 Câu 116. Ta có 1 3  2i 3  2i 3 2     i . Chọn A. 3  2i 3  2i 3  2i  13 13 13 Câu 117. Ta có z  Suy ra z  2 1 i 3   2 1i 3  1  i 3 1 i 3   2  2i 3 1 3 .  i 4 2 2 1 3 i . Chọn A. 2 2 Câu 118. Ta có z  5  3i , suy ra z  5  3i . Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 62 Tµi liÖu to¸n 12 Do đó n¨m häc 2018 1 1 5  3i 5  3i 5  3i 5 3       i 2 z 5  3i 5  3i 5  3i  25  9i 34 34 34  5   a  1  34    S  a  b  . Chọn B.   3 17  b    34   Câu 119. Ta có z  5  3i   z  5  3i. Vậy 1 1 1  z  z   5  3i 5  3i   6i   3  3  0i. Chọn A. 2i 2i 2i Câu 120. Ta có x 3  2i  2  3i  y 1  2i   6  5i  2 x 3  2i 2  3i  13  y 1  4i  4   6  5i 3 y  6    x  13  xi  y 3  4i   6  5i  3 y   x  4 y i  6  5i    .      x  4 y  5   y  2 Vậy x  13; y  2 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn C. Câu 121. Ta có 1  i  z  1 1 1 1  z2   z2   i . z 1i 2 2 1 Do đó phần ảo của z 2 là  . Chọn D. 2 Câu 122. Từ giả thiết, ta có 1 1 1 1i 2   i  z2   1  i. . 2 z 2 2 2 1 i 2 2 Lấy môđun hai vế và chú ý z 2  z , ta được z  2  z  4 2. Chọn C. Câu 123. Dựa vào các đáp án, ta có các nhận xét cụ thể sau: ● z  2  2 3.i   z  2  2 3.i nên D đúng. ● ●  3 i  2 CASIO = 2  2 3i nên C đúng. CASIO 1 1 1 3  =  i nên B đúng. z 2  2 3.i 8 8 Từ đây, các đáp án B, C, D đều đúng suy ra A sai. Chọn A.  Hoặc có thể làm trực tiếp z 3  2  2 3i  3 CASIO =  64  64. Câu 124. Gọi M là điểm biểu diễn của số phức z , N là điểm biểu diễn của số phức z ( z là số phức liên hợp của z ). Khi đó M và N đối xứng nhau qua Ox . Gọi A ‘, B ‘, C ‘ lần lượt là điểm biểu diễn các số phức z1 , z 2 , z 3 . Từ giả thiết z z z 1 1 1    1 2  2 2  3 2  z1  z 2  z 3 (do z1  z 2  z 3  3 ). z1 z 2 z3 z1 z2 z3 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 63 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018    Suy ra OA   OB ‘  OC ‘   OA ‘ C ‘ B ‘ là hình bình hành.     Mà OA   OB ‘  OC ‘  ‘ C ‘ B ‘  1200 .  OA ‘ C ‘ B ‘ là hình thoi với A   120 0 (do ACB  và A  ‘ C ‘ B ‘ đối xứng qua Ox ). Chọn C. Vậy ACB  x 2  y 2  1 Câu 125. Gọi z  x  yi  x ; y   . Từ giả thiết, ta có  .     x  0; y  0 Ta có w  1 1 x  yi    x  yi  z . z x  yi x 2  y 2 Vì hai số phức z và z có điểm biểu diễn đối xứng qua trục hoành nên ta chọn điểm Q thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn B.  1   x 2  y2   Câu 126. Gọi z  x  yi  x ; y   . Từ giả thiết, ta có  4.     x  0; y  0 Ta có w  1 1 x  yi    4  x  yi   4 z suy ra điểm biểu diễn số phức w là điểm Q . Chọn B. z x  yi x 2  y 2   x 2  y 2  1 Câu 127. Gọi z  x  yi  x ; y   . Từ giả thiết, ta có  2.      x  0; y  0 Ta có w  i  x  yi  1 i i y  xi     2   2 y  2 xi. iz z x  yi x yi x yi   x  y2    Vì x  0, y  0 nên điểm biểu diễn số phức w có tọa độ là  2 y ;  2 x  (đều có hoành độ và tung độ âm). Đồng thời w  2 x 2  y 2  2  2 z . Suy ra điểm biểu diễn của số phức w nằm trong góc phần tư thứ III và cách gốc tọa độ O một khoảng bằng 2OA. Quan sát hình vẽ ta thấy có điểm P thỏa mãn. Chọn D.  x 2  y 2  1 . Câu 128. Gọi z  x  yi  x ; y   . Từ giả thiết, ta có      x  0; y  0 Ta có w  i  x  yi  1 i i y  xi     2   y  xi. iz z x  yi x  y2  x  yi  x  yi  Vì x  0, y  0 nên điểm biểu diễn số phức w có tọa độ là  y ;  x  (đều có hoành độ và tung độ âm). Đồng thời w   y   x   1  z . Suy ra điểm biểu diễn của số phức w nằm trong góc phần tư thứ III và cách gốc tọa độ O một 2 2 khoảng bằng OA. Quan sát hình vẽ ta thấy có điểm P thỏa mãn. Chọn C. Câu 129. Ta có 2  i  z  i   3  z   z  1  i. Suy ra w  5 1 5 1 1  i   M  ;    tan   .  4 4  4 4 5 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 64 Tµi liÖu to¸n 12 Khi đó sin 2  n¨m häc 2018 2 tan  5 1  tan 2  12   0; cos 2     0 . Chọn A. 1  tan 2  13 1  tan 2  13 1  i  1  i  2i  2i     0 .Chọn A. Câu 130. Ta có z  1  i 1  i  1  i 1  i  1  i 1  i  1  i 1  i  2 2 Câu 131. Ta có 1  i  z  1  5i  0  1 – i  z  1 – 5i  z  1  5i 1  5i 1  i  1  4i  5i 2    3  2i. 1 i 2 1  i 1  i  Vậy A  z.z  z  3  2  13. Chọn B. 2 2 Câu 132. Ta có 2  i  z  2 2 1  2i  1i  2  i  z  4  7i  z   7  8i  2  i  z  7  8i  2 1  2i  1 i 4  7i  z  3  2i . 2i a  4  Suy ra w  z  1  i  4  3i     P  16  9  25. Chọn C.    b  3 5 1  i  2 Câu 133. Ta có 1  2i  z  5 1  i   z  2 1  2i  10i 1  2i  10i   4  2i. 1  2i 5 Suy ra w  z  iz  4  2i   i  4  2i   2  2i . Vậy số phức w có phần thực bằng 2 , phần ảo bằng 2 . Suy ra 2 2  2 2  8 . Chọn D. Câu 134. Ta có 1 i 1 i  1  i  z 1   z  1  i   z  1  i. z 1 1 i Suy ra w  z 3  1  1  i   1  1  i   1  3  2i   M 3;2. Chọn C. 3 Câu 135. Ta có 3 z  z  2  z  z 1  2i   2 1  2i . 1  2i 1 Đặt z  a  bi a; b    , suy ra z  a  bi . Do đó 1   a  bi  a  bi 1  2i   2  4i  2a  2b  2  a  2  2a  2b   2ai  2  4i      z  2  i.      2 a   4  b  1   Suy ra w  z 2  z  2  i   2  i   1  3i   w  12  32  10 . Chọn A. 2 Câu 136. Ta có 1  2i  z  3  i  z  4 2 3  i 1 2i  5  5i 3i    1 i . 1  2i 5 5 Suy ra z  2 . Vậy P  z  z  1  Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng  2   2  4 – 0946798489 2  1  4  2  1  3 . Chọn C. Page | 65 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Câu 137. Đặt z  a  bi a; b    , suy ra z  a  bi . a  bi 1  i  a  bi 1 1  a  bi   3  i    a  bi   3  i  1i 2 2 2 Theo giả thiết, ta có  a  b  a  b i 2 Câu 138. Ta có z  2a  3  2b 1i 2 2 z  2iz  2 z  i  1 i 0 a  b  2a  3   a  4   . Chọn C.    a  b  2b 1  b  1   2  z  i 1  i  z .z  2iz  0 z 1  i 1  i   z  2iz   z  i 1  i   0  a  bi   2i a  bi   a  bi  i 1  i   0  1   a    2 a  3 b  1  0  a 3  3  2a  3b 1  3a  1i  0    . Vậy  . Chọn B.     b 5  3a  1  0 b   5   9   m 1  2 m 1i  .1  mi  2m 2  3m 1 m 2  m  2    i. Câu 139. Ta có z   1  m2 1  m2 1  m2 m  1  T  1  2  1. Chọn C. Để z là số thực  m 2  m  2  0   m  2  2 2 2  m  9i  m  9i  m  81  18mi  Câu 140. Giả sử w  z     2  1  i  2i 1  i  2 m 2  81  18mi  .2i 36m  2 m 2  81i  m 2  81   i.    9m   2i.2i 4  2  Để w  z 2 là số thực  Câu 141. Ta có z    z i  m 2  81  0  m 2  81  0  m  9 . Chọn C. 2 i m i m i m 1    1  m m  2i   i 2  2m.i  m 2  i  m 2 i  m 1 mi i  . i m i m Khi đó z  i  mi m mi 1     m2  1  2 m  m2  1 2 i m i m 2 m 1 m   1  m  1   m  1;0;1. Chọn D. 1 2 Câu 142. Ta có z .z  z  1  z  . z Ta có z  1  z  1 z 1 z 1 z 1   0 là số thuần ảo khi và chỉ khi   0     z 1 z 1 z 1 z 1 z 1 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 66 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 1 1 z 1 z z 1 1  z z 1 1 z   0  0   0 : luôn đúng z  1. Chọn D. z 1 1 1 z 1 1  z z 1 z 1 z Câu 143. Điều kiện để z có nghĩa là z  2. Đặt z  x  yi  x ; y   . z 2  z  3i  13   x 2   y  3  13  x 2  y 2  6 y  4. 1 2  z x  yi x 2  y2  2x 2 yi x 2  y2  2x     0 là số thuần ảo 2 z  2  x  2  yi  x  22  y 2  x  22  y 2  x  2  y 2  x 2  y 2  2 x  0. 2   x  2; y  0 loaïi x 2  y 2  6 y  4    Giải hệ gồm 1 và 2  , ta được   .  2 2 x   1 ; y  3   x  y  2 x  0  5 5 1 3 Vậy có một số phức z    i thỏa mãn bài toán. Chọn D. 5 5 Câu 144. Ta có 3  4i  z  4 4  8  3  4i  z  8  . . z z Lấy môđun hai vế, ta được 3  4i  z  8  4 1 1  3  4i . z  4 2   5 z  4 2 z z z  5 z  4 2 z  1  5 z  8 z  4  0  z  2. 2 2 1 9  Gọi M  x ; y  là điểm biểu diễn số phức z   d OM  x 2  y 2  z  2   ; .  2 4  Chọn D. Câu 145. Biến đổi ta được 1  2i  z  Lấy môđun hai vế, ta được z 10 10  2  i   z  2  2 z 1 i  .   z z  2  2 z 1  2 2 10 z 2 Đặt t  z  0 , ta được phương trình t  2  2t 1  2 2   z  2  2 z 1  2 2 10 z 2 . 10  t 1 t2 1 3   z  1    z  . Chọn D. 2 2   i 4k  1     i 4 k 1  i 4 k .i  1.i  i  . Câu 146. Áp dụng công thức  4 k 2  i  i 4 k .i 2  1.1  1    4 k 3   i 4 k .i 3  1.i 2  1.i   1  i Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 67 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Do đó ta lấy số mũ chia cho 4 để được số dư bao nhiêu thì ứng với công thức trên. Chọn C. Câu 147. Ta có z  3  4i 3  4i 3  4i  504.4 1   4  3i   M 4;3 . Chọn D. i 2017 i i Câu 148. Ta có P  2i  2017  2 2017.i 2017  2 2017 i . Chọn C. 4 2 2   1  i   2i   4i  4 2 . Chọn D. Câu 149. Ta có 1  i   2i , suy ra   8 2  1  i   4  16        Câu 150. Ta có 1  i   2i , suy ra 1  i  2 2018  2i  1009  21009.i 1009  21009.i 252.4 1  21009 i . Chọn A. 15 2 7 Câu 151. Ta có z  1  i   1  i   .1  i    2i  .1  i    7  27.i 7 .1  i   128.i  .1  i   128 128i . Suy ra z  128  128i . Chọn C. Câu 152. Ta có z  2  2i   27.1  i   27.1  i  .1  i  . 7 7 6 6 2 3 Mà 1  i   1  i    2i   8i 3  8i.   3 Vậy z  27.8i .1  i   210 i 1  i   210 1  i   210  210 i. Chọn D. Câu 153. Dễ thấy tổng trên là tổng của cấp số nhân có 2019 số hạng, trong đó số hạng đầu tiên u1  1 , công bội q  1  i . 1  1  i  1  1  i  1  q 2019  1.  1 q 1  1  i  i 2019 Do đó w  u1 . 2019 . Ta có 1  i   1  2i  i 2  2i . 2 Suy ra 1  i  2019 2 1009  1  i   .1  i   2i  1  i   21009.i 1009 .1  i  .    21009.i.1  i   21009.1  i  1009 1  1  i  2019 Vậy w  i  1  21009.1  i  i i . 1  21009.1  i     21009  21009  1i .Chọn D. 1 Câu 154. Ta có w  i 5 1  i  i 2  i 3  …  i 13   i.1  i  i 2  i 3  …  i 13 . Dễ thấy T  1  i  i 2  i 3  …  i 13 là tổng của cấp số nhân có 14 số hạng, trong đó số hạng đầu tiên u1  1 , công bội q  i . Do đó T  u1 1  q 14 1  i 14 1  1 2 1  i   1.    1  i . 1 q 1 i 1 i 11 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 68 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 a  1     S  a  b  0. Chọn A. Vậy w  i 1  i   1  i     b  1 1  i 1  i    i. 1i 1 1 2 Câu 155. Ta có z  Suy ra z 2017  i  2017 Câu 156. Ta có  i  Suy ra  1  i   1 2017 504.4 1 .i   i. Chọn B. i 1  i  1  i i .   1 i 11 2 2024  1  i     2  1  i 2     2024 2 1  i  2024 2024  2 2024 1012 2i  1012  2 2024  21012 1  1012 . 2 2024 2 Chọn B. 2017 1  i  1  i 1  i   i 2017  i .   i . Suy ra z   Câu 157. Ta có   1  i  1 i 11 2 Do đó z .z 7 .z 15  z 23  i 23  i 3  i . Chọn A. 5 1  i  1  i 1  i   i5  i .   i . Suy ra z     1  i  1 i 11 2 Câu 158. Ta có Suy ra z 5  z 6  z 7  z 8  i 5  i 6  i 7  i 8  i  1  i  1  0. Chọn A. 1  i 1  i  1  i 1  i    i và   i. Câu 159. Ta có 1 i 11 1 i 1 1 2 2 1  i   1  i  8    i 16  i   1  1  2. Suy ra z    1  i  1  i  16 8 Vậy số phức z có phần ảo bằng 0 . Chọn D. Câu 160. Ta có 2i 1  i  2i   1  i , suy ra 1i 2  2i  8 2 4 4   1  i   1  i    2i   16 . 1  i    8  2i 8 16 Do đó i z    i z  16  z   z  16i  z  16i . 1  i  i a  16     S  48 . Chọn D. Suy ra w  2  i  z  2  i 16i  16  32i     b  32 Câu 161. Ta có n  i   n 4  4 n 3i  6n 2 i 2  4 ni 3  i 4  n 4  6n 2  1  4 n 3  4 n i . 4 Để n  i     4 n 3  4 n  0  n  0 hoặc n  1 . Chọn B. 4  2  6i  2  6i  2i   z    2 m.i m . Ta có nhận xét sau : Câu 162. Ta có  3  i  3i m ● 2 m   với mọi m nguyên dương. Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 69 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 ● i m   khi m chẵn, i m   khi m lẻ. Mà đoạn 1;50  có 25 giá trị nguyên lẻ. Chọn B. Câu 163. Gọi z  a  bi a; b   , suy ra z  a  bi . Từ giả thiết, ta có 2 a  bi 12  i   3  i a  bi  2i    4 a  2b  4   2a  4 b  2 i  3a  b  2   a  3b  6 i 4 a  2b  4  3a  b  2 a  b  2 a  1       .      2a  4b  2  a  3b  6  3a  7b  4  b  1   9 2 4 Suy ra z  1  i nên z 9  1  i   1  i  1  i    1  i 2i   16  16i. Chọn B.   4 1  i  2015 Câu 164. Ta có  z  2  3i 1  i   1  i  2015 1  i  2015 Hay w  1 i 1  i  2016  2 1  i 2     2  z  2  3i  1008 2i  1008  2  1 i . 21008.i 1008  21007 . Chọn C. 2 Câu 165. Gọi z  a  bi a; b    , suy ra z  a  bi. Ta có ●  i 2017  i z 1  z 2  z   2 i i z 1  z 2   z   z 2   z  2 2  a  bi   a  bi   a 2  2abi  b 2  a 2  2abi  b 2  4abi    là số ảo. 2 ●  2 2 2 2 2 z  z 1 z  1 z3  z  z z    z   z   z  z  1  z   z   z 2   z  z    z  z 1 z 1  a 2  b 2  2abi   2a  a 2  b 2  2abi   2 a 2  a  b 2     là số thực. Chọn D. Câu 166. Biệt số   1  4  3   3i  2 . Do đó phương trình có hai nghiệm phức là z  1  3i 1 3   i . Chọn D. 2 2 2 Câu 167. Biệt số   16  20  4  2i  . 2 Do đó phương trình có hai nghiệm phức: z1  4  2i 4  2i  2  i và z 2   2 i . 2 2 Suy ra w  z12  z 22  2  i   2  i   3  4i  3  4i  6. Chọn D. 2 2 Câu 168. Ta có   1  4.1.1  3  3i 2 . 2 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 70 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018   1  3i  z1    2  Phương trình có hai nghiệm phức    P  z1  z 2  2. Chọn A.  1  3i   z2    2   z  1  3i  z1 2 2 . Câu 169. Ta có z 2  2 z  10  0   z  1  3i     z  1  3i  z 2  2 2 Suy ra P  z1  z 2   1  3    1  3   10  10  20 . Chọn B. 2 2 2 2 2 2  z 1  z 2  7  Câu 170. Theo định lí Viet, ta có    P  7  15  8. Chọn D.     z1 .z 2  15  z1  z 2  2   . Câu 171. Theo định lí Viet, ta có   3  z 1 .z 2    2  3 3 5  2i     2 2  . Chọn A.  2  2 2 2 Khi đó P  z1 z 2  i  z1  z 2   Câu 172. Biệt số   16  20  4  2i  . 2 Do đó phương trình có hai nghiệm phức: z1  Suy ra P  1  i  2017  1  i  2017 4  2i 4  2i  2  i và z 2   2 i . 2 2 2  1  i . 1  i     1008 2  1  i  1  i      1  i .2i  1008 1008  1  i 2i  1008  1  i .21008  1  i .21008  21009. Chọn C. Câu 173. Biệt số   4  8  4  2i  . 2 Do đó phương trình có hai nghiệm phức: z1  Suy ra z12016  1  i  2016 z 22016  1  i  2016 2  1  i     1008 2  1  i     1008 2  2i 2  2i  1  i và z 2   1 i . 2 2  2i  1008   2i  1008  2  1008 .i 1008  21008.1  21008 ;  21008.i 1008  21008.1  21008 . Vậy P  z12016  z 22016  21008  21008  21009 . Chọn A. Câu 174. Biệt số  ‘  4  20  16  16i 2   4i  . 2 Do đó phương trình có hai nghiệm phức: z  2  4i và z  2  4i . Do z1 là nghiệm phức có phần ảo âm nên ta chọn z1  2  4i . Suy ra A  z13 16i  2  4i  16i  88. Chọn B. 3 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 71 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018         S  1  2i  1  2i  2 . Câu 175. Ta có    P  1  2i 1  2i  3     Suy ra phương trình cần tìm là z 2  Sz  P  0  z 2  2 z  3  0. Chọn C. Câu 176. Hai số phức cần tìm là nghiệm của phương trình z 2  3 z  4  0 . Biệt số   9  16  7   7i  Suy ra hai số phức đó là z1  Vậy z 2  z 2  2 . 3  7i 3 7 3  7i 3 7   i và z 2    i. 2 2 2 2 2 2 9 7 9 7     4. Chọn B. 4 4 4 4  z  2i  z1 Câu 177. Ta có z 2  4  0   .  z  2i  z 2  Suy ra M 0; 2 , N 0;2  nên T  OM  ON  2  2  4. Chọn D. Câu 178. Xét phương trình 4 z 2  16 z  17  0 có   64  4.17  4  2i  . 2 Phương trình có hai nghiệm phức: z1  8  2i 1 8  2i 1  2  i và z 2   2 i . 4 2 4 2 1 Do z 0 là nghiệm phức có phần ảo dương nên ta chọn z 0  2  i . 2  1  1 Khi đó w  iz 0    2i . Vậy điểm biểu diễn w  iz 0 là M  ;2 . Chọn B.  2  2 Câu 179. Ta có w  z  z2 1 1   iz1 z 2  1  iz1 z 2 . z1 z 2 z1 z 2    z1  z 2  3  Do z1 , z 2 là hai nghiệm phức của phương trình 2 z 2  3z  4  0  2.      z1 z 2  2 Vậy w  z  z2 1 1 3   iz1 z 2  1  iz1 z 2   2i. Chọn C. z1 z 2 z1 z 2 4 Câu 180. Theo định lí Viet, ta có 2   OA 2  z1     z 1  z 2  2 b  2   và OB 2  z 2 .       z1 . z 2  c 2 2 2   AB 2  z1  z 2   z1  z 2    z1  z 2   4 z1 z 2  4b 2  4c    Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 72 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 2 2 2 Do đó z1  z 2  z1  z 2  z1  z 2 2 2  4b 2  4 b 2  c 2  2b 2  2 b 2  c . Để tam giác OAB vuông tại O  OA 2  OB 2  AB 2 b 2  b 2  c  2b 2  2 b 2  c  4 b 2  c  b 2  b 2  c   2  c  2b 2  0. Chọn A. 2 b  c  b Câu 181. Thay z  1  i vào phương trình, ta được 1  i   2  m 1  i   2  0 2  4  m  0  1  2i  i 2  2  2i  m  mi  2  0   4  m   m  4 i  0    m  4.    m  4  0 Chọn B. Câu 182. Thay z  1  i vào phương trình, ta được 1  i   m 1  i   n  0 2  m  n  0  m  2  2i  m  mi  n  0  m  n   m  2 i  0    .     m  2  0  n  2   Suy ra w  2  2i nên w  2  22  2 2 . Chọn C. 2 Câu 183. Thay z  1  2i vào phương trình, ta được 1  2i   a 1  2i   b  0 2  a  b  3  0  a  2  a  b  3  2 a  4  i  0      S  a  b  3 . Chọn D.     2 a  4  0  b  5   Câu 184. Giả sử w  x  yi  x ; y   . Do w  i và 2w 1 là hai nghiệm của phương trình z 2  az  b  0 nên suy ra w  i và 2w 1 là hai số phức liên hợp.  x 1    2 x 1  x     2  x  yi  1  x  yi  i    Suy ra 2w 1  w  i  w  i  1.    2 y   y 1  y   3   2   w i  1 i  1  3  . Suy ra w  1  i    2 3  2 w  1  1  i   3   a  2 w  i  2w 1  a    5    a  b   . Chọn D. Theo định lý Viet, ta có    13    w  i 2 w  1  b 9 b         9  Câu 185. Giả sử w  x  yi  x ; y   . Do z1  w  2i và z 2  2w  3 là hai nghiệm của một phương trình bậc hai với hệ số thực nên z1  w  2i và z 2  2w  3 là hai số phức liên hợp. Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 73 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018   x  yi   2i  2  x  yi   3 Suy ra z1  z 2  w  2i  2w  3  w  2i  2w  3   4   x  3 z1  3  i     x  2 x  3  2 2 97  3     T  z 1  z 2  .   2  w  3 i      y  2   2 y 4 3 3 y         z2  3  i 3   3   Chọn B. z 2  4  z  2 Câu 186. Ta có z 4  z 2 12  0   2 .    z  3  z  i 3 Do đó T  z1  z 2  z 3  z 4  4  2 3. Chọn C. 2 x 2   3 Câu 186. Phương trình 6 x 4  19 x 2  15  0  2 x 2  33 x 2  5  0   2 . 3 x   5   2 3i 2  2 3 x   i 6 x  x     2 2 3 3  2 2 2     T      0. Chọn C. 2   2 5i 5  2 i 6 i 6 i 15 i 15 i 15   x    x  x   3   3 3  Câu 188. Xem là phương trình bậc hai, với ẩn  z 2  4 z  và có   9  160  169  132 .  2 3 13 z  4z   5  2  z  22  1 z  4z 5  0   2   2  Do đó phương trình   . 3  13  2 z  4 z  8  0  z  22  12   z  4 z   8    2  z  2  i  z1 z 2  i 2 2  . ●  z  2  1   z  2   i 2   z  2 i  z2  z  2  i   z  2  2 3  z 2 3 . ●  z  2  12  z  2  2 3    z  2  2 3  z 4 2 2 2 2 Khi đó P  z1  z 2  z 3  z 4  42. Chọn A.  z 1  4 4 4 4  1   z 1  2 z  i   2 z  i    z 1  0. Câu 189. Ta có   2 z  i  4   f i   5 4 4 Đặt f  z   2 z  i    z 1   .     f i   85 Mặt khác f z   0 có bốn nghiệm z1 , z 2 , z 3 , z 4 và hệ số của bậc cao nhất trong đa thức f z  bằng 15   f  z   15  z  z1  z  z 2  z  z 3  z  z 4 . Nhận thấy rằng z12  1   z1  i  z1  i  nên  z12  1 z 22  1 z 32  1 z 42  1  Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 f i  f i  . 15 15 Page | 74 Tµi liÖu to¸n 12  n¨m häc 2018 5 85 17 . Chọn C. .  15 15 9 Câu 190. Đặt t  z 2 , phương trình trở thành 4 t 2  mt  4  0 có hai nghiệm t1 , t 2 .   t1  t2   m 2 2 2 2 Ta có  4 . Do vai trò bình đẳng, giả sử ta có z1  z 2  t1 , z 3  z 4  t 2 .    t1 .t2  1  Yêu cầu bài toán  t1  4  t 2  4   324  t1t 2  4 t1  t 2   16  324 2 2 2 m  17  18 m  1 2  m  17  182    . Chọn C. m  17  18 m  35   Cách 2. Đặt f  z   4  z  z1  z  z 2  z  z 3  z  z 4  . Do z12  4   z1  2i  z1  2i  nên  z12  4  z 22  4  z 32  4  z 42  4   f 2i  f 2i  . . *  4 4 Mà f 2i   f 2i   4 2i   m 2i   4  68  4 m . 4 68  4m  2 Vậy *  324  4.4 2 m  1  . m  35  Câu 191. Số phức z có phần thực bằng 2 nên có dạng z  2  bi b    .  x  2 , b . Do đó các điểm biểu diễn số phức z trong mặt phẳng tọa độ thỏa mãn     y  b Tập hợp các điểm này luôn nằm trên đường x  2 cố định. Chọn B. Câu 192. Đặt z  x  yi  x ; y    , suy ra z  x  yi . Theo giả thiết, ta có  x  yi    x  yi   0 2 2 y  x   x 2  y 2  2 xyi    x 2  y 2  2 xyi   0  2  x 2  y 2   0   .  y  x  Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là các đường phân giác của các gốc tọa độ có phương trình y  x , y  x . Chọn D. Câu 193. Theo bài ra, ta có x  1   y  3i  x  2   y 1i   x  1   y  3   x  2   y 1 2 2 2 2  x 2  y 2  2 x  6 y  10  x 2  y 2  4 x  2 y  5  6 x  8 y  5  0 . Phương trình đường trung trực của AB là: 6 x  8 y  5  0 . Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 75 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Vậy tập hợp các điểm M  x ; y  biểu diễn số phức z và thỏa mãn yêu cầu bài toán là đường thẳng trung trực của đoạn AB với A 1; 3, B 2;1 . Chọn C. Câu 194. Ta có  Để x 2  y 2 1 x   y 1 2 2 z  i x   y  1i  x   y  1i  .  x   y 1i     x   y 1i  .  x   y 1i  z i x   y 1i      2x x   y 1 2 2 .i.   x  0  2x z i 2 x  0 là số thực khi và chỉ khi 2 .  0    2  2 2   z i x   y  1  x   y  1  0  y  1  Vậy tập hợp điểm M  x ; y  cần tìm là trục tung bỏ điểm biểu diễn số phức z  i . Chọn D. Câu 195. Gọi z  x  yi  x ; y   , suy ra z  x  yi . Theo giả thiết, ta có x  yi  3  x  yi   3  x  yi   0 2  x 2  y 2  6 x  0   x  3  y 2  9. 2 Vậy tập hợp các số phức z là đường tròn tâm I 3;0  , bán kính R  3 . Chọn A. Câu 196. Gọi z  x  yi  x ; y    , suy ra z  x  yi . Khi đó 2  z  z  i    2   x  yi  .  x  yi   i   2  x   yi  .  x  1  y i   x 2  y 2  2 x  y   x  2 y  2i . 2  1 5 2 Để 2  z  z  i  là số thuần ảo  x 2  y 2  2 x  y  0   x  1   y    .  2 4  1 5 Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I 1;  , bán kính R  . Chọn A.  2  2 Câu 197. Đặt z  x  yi  x ; y    và M  x ; y  là điểm biểu diễn của số phức z . Để M nằm trên đường tròn tâm I 0;1 , bán kính R  2   x 2   y 1  22 2  x 2   y 1  2  z  i  2 . Chọn D. 2 Câu 198. Ta có w  z  z  2i  2 x  2i. Vì z  x  yi thuộc đường tròn C     x 1  4  1  x  3  2  2 x  6. 2 w  2 x  2i    tập hợp các điểm biểu diễn của số phức w là đoạn thẳng có hai đầu mút là tọa độ các điểm Từ đó ta có     2  2 x  6 2;2 và 6;2 . Chọn B. Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 76 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018       M 2; 5   z1  2  i 5       M  N. Câu 199. Ta có z  4 z  9  0     N 2; 5    z 2  2  i 5   2     MP  x  2; y  5  Điểm P biểu diễn số phức w  x  yi  .  P  x ; y  , suy ra     NP  x  2; y  5          Để tam giác MNP vuông tại P thì MP .NP  0      x  2  y  5 y  5  0   x  2  y 2  5  0   x  2  y 2  5. * 2 2 2 Đẳng thức * là phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông MNP .  P  M Để ba điểm M , N , P tạo thành một tam giác thì  .    P  N Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức P là đường tròn có phương trình  x  2  y 2  5 nhưng không chứa M , N . Chọn C. 2 Câu 200. Đặt w  x  yi  x ; y    . Từ giả thiết, ta có x  yi  2 z  1  i   2 z  x  1   y  1i. Lại có z  3  4i  2  2 . z  3  4i  4  2 z  6  8i  4   x  1   y  1i  6  8i  4  x  7   y  9 i  4   x  7    y  9   16. 2 2 Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức w là hình tròn bán kính R  4   S  16. Chọn C. Cách 2. Ta có w  2 z  1  i  z  Suy ra w 1  i w  7  9i .   z  3  4i  2 2 w  7  9i w  7  9i  z  3  4i   2  w  7  9i  4. 2 2 Câu 201. Đặt z  a  bi a, b    và w  x  yi  x , y    . a 2  b 2  1  z 1     Theo bài ra, ta có    2 2     x  a    y  b   1  z w  1     a2  b2  1 2 2    a  b  1     x 2  y2 .  2 2   x  y  2 ax  by    ax  by       2 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có ax  by   a 2  b 2  x 2  y 2   x 2  y 2 . 2  x 2  y 2    x 2  y2  x 2  y2  4 . Suy ra   2  2 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 77 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Vậy tập hợp các điểm biểu diễn của số phức w là hình tròn C  : x 2  y 2  4. Chọn A. Câu 202. Gọi z  x  yi  x ; y   . Ta có z  i  z  i  4  x 2   y 1  x 2   y  1  4 2 2 2  2   2 2  x   y  1  4  x 2   y 1  4  x 2   y  1    2 2 2  x 2   y 1  16  x 2   y  1  8 x 2   y  1       2 2 2    x  y  1  16   x 2   y  1  16 1      x   y  1  16        y  4  2.   y  4 2 2       2 x  y  1  y  4   2 2 2 2  4 x  3 y  12   x y      1 3   4  3 2 2 Tập hợp các điểm thỏa mãn 3 đều thỏa mãn 1 và 2  . Vậy tập hợp những điểm M là elip  E  : x 2 y2   1. Chọn B. 3 4 Câu 203. Gọi w  a  bi a; b   . Ta có w  a  bi  3  4i  z  i  z  a  b 1i 3  4i a  b 1i  3  4i    9 16i 2 3a  4b  4   3b  4 a  3 3a  4b  4 3b  4a  3  .i  z  . 25 25 25 2 z 2 Mà z  4 nên 3a  4b  4   3b  4 a  3  100 2  a 2  b 2  2b  399 2 2  a 2  b 1  20 2 . Chọn C. 2 Cách 2. Ta có w  3  4i  z  i  w  i  3  4i  z . Lấy môđun hai vế, ta được w  i  3  4i  z  3  4i  . z  5.4  20.     Câu 204. Ta có w  1  3i z  2   w  1  3i  z 1  3  3i       w  3  3i  1  3i  z 1.   Lấy môđun hai vế, ta được w  3  3i  1  3i . z 1  2.2  4 . Chọn B.   2 2  1  2i  Câu 205. Ta có iz 1  2i  4  i  z    4  i z  2  i   4  i . z  2  i  4  i  Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 78 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018  z  2  i  4 . Đẳng thức này chứng tỏ tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I  2; 1 , bán kính R  4 . Chọn B. Câu 206. Ta có 3  2i  w  iz  2  w   2 i 2 3  6 4 z  w    i  z   i   13 13  3  2i 3  2i 13 13  2 4 3  4 7 7   2 3    w    i  z 1   i   w    i     i  z 1.  13 13    13 13   13 13  13 13 4 7  2 3 3 Lấy môđun, hai vế ta được w    i     i . z 1  . 13 13   13 13 13  3 1 13 4 7 3 Vậy tập hợp các số phức w thuộc đường tròn tâm I  ;  , bán kính r  . 13 13  13 Chọn C. Câu 207. Từ giả thiết, ta có w  2i  3  4i  z . 2 Lấy môđun hai vế w  2i  3  4i . z  5.m 2  2 m  5  5 m  1  4   20. Chọn C.   Câu 208. Đặt z  x  yi  x ; y    và M  x ; y  là điểm biểu diễn của số phức z .  2 x 1  2 y.i  x  1  y 1.i  2 z 1  z  1  i   2 x 1  4 y 2   x  1   y 1  3x 2  3 y 2  6 x  2 y 1  0. 2 2 2 1  Lại có M  C  :  x 1   y 1  5  x 2  y 2  2 x  2 y  3  0. 2  2 2 3 x 2  3 y 2  6 x  2 y 1  0    x  2 x  0 . Từ 1 và 2  , ta có hệ  hoặc     2  2       y  1 x  y  2 x  2 y  3  0  y  1  Vậy có hai số phức thỏa mãn điều kiện của bài toán là z1  i và z 2  2  i . Do đó z1 . z 2   i . 2  i  5. Chọn A. Câu 209. Gọi M là điểm biểu diễn số phức z .  M thỏa mãn phương trình z  3  6i  5 nên M thuộc đường tròn tâm A 3;6  , bán kính R  5 .  Ta có 1  2i  z 1 12i  15  z  1  12i 15   z  5  2i  3 5 1  2i 1  2i   M thuộc đường tròn tâm B 5;2  , bán kính R ‘  3 5 . Nhận thấy AB  5  3  2  6  2 5  R ‘ R. 2 2 Vậy hai đường tròn tiếp xúc trong tại M , hay chỉ có một số phức z . Chọn B. Nhận xét. Bài toán không quá khó nhưng cách suy luận rất hay. Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 79 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Câu 210. Đặt z  x  yi  x ; y    .  z .z  1   x 2  y 2  1. C1  Đường tròn C1  tâm I 1 0;0 , bán kính R1  1 .   2  z  3  i  m   x  3  yi  i  m  x  3   y  1  m 2 . C 2  Đường tròn C 2  tâm I 2  2  3; 1 , bán kính R2  m m  0  . Để tồn tại duy nhất một số phức z thì C1  tiếp xúc với C 2  . TH1: C1  và C 2  tiếp xúc ngoài, ta được I 1 I 2  R1  R2  2  m  1  m  1 (thỏa). m  3 TH2: C1  và C 2  tiếp xúc trong, ta được I 1 I 2  R1  R2  2  m 1   . m  1 loaïi Chọn A.  Câu 211. Ta có z  2  4i  z  2i   x  2   y  4   x 2   y  2 2 2 2  x 2  y 2  4 x  8 y  20  x 2  y 2  4 y  4   y  4x . Khi đó z  x 2  y 2  x 2  4  x   2 x 2  8 x  16  2  x  2  8  2 2. 2 2  M  8. Chọn A. Vậy môđun nhỏ nhất của z là 2 2. Xảy ra  x  y  2  Câu 212. Đặt z  x  yi  x ; y    .  Ta có z  2  2i  z  4i   x  2   y  2  x 2   y  4  2 2 2   x  2   y  2   x 2   y  4    y  2x . 2 2 2 Khi đó w  iz  1  i  x  yi   1  ix  y  1  ix  2  x   1   x  1  xi .  1 1 2 2 Suy ra w   x 1  x 2  2  x     . Chọn A.  2 2 2 2 Câu 213. Vì M  d   M 2 y  1; y  . Điểm M biểu diễn số phức z 3 , suy ra z 3  2 y  1  yi  x ; y   . Ta có w  3 z 3  z 2  2 z1  3 2 y  1  yi   5  3i   2 1  3i   6 y  3 y  3i. Suy ra w  6 y   3 y  3  3 4 y 2   y 1  3 5 y 2  2 y  1 2 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng 2 2 – 0946798489 Page | 80 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018  1  4 2 6  3  5. y     3.  .   5 5 5 5 2 Dấu ”  ” xảy ra  y   3 1 1 3   x     M  ; . Chọn D.  5 5  5 5 Câu 214. Gọi z  x  yi  x ; y    .  x  1   y 1  x 2   y  3  2 x  4 y  7  0 . 2 Ta có z  1  i  z  3i , suy ra 2 2 Suy ra tập hợp các số phức z thuộc đường thẳng  : 2 x  4 y  7  0 . Ta có z min  d O ;   7 2 4 2 2  7 5 1 2 5   w max   . Chọn B. 10 z min 7 Câu 216. Ta có z 2  2 z  5   z 1  2i  z  3i 1   z  1  4   z 1  2i   z  3i  1   z  1  2i    z  1  2i   z  3i  1 2 2 2  z 1  2i  0 (1)   z 1  2i  z 1  2i    z 1  2i   z  3i 1   .   z 1  2i    z  3i 1 (2) Từ 1  z  1  2i   w  1   P  w  1. Xét 2  . Gọi z  x  yi  x ; y    . 1 2 2 2 2 Ta có  z 1  2i    z  3i 1     x 1   y  2    x 1   y  3  y   . 2 3 1 3 3 2  P  w   x  2      1. Khi đó w  x  i  2  2i   x  2  i   2  2 2 2 2 Vậy Pmin  1. Chọn C. Câu 217. Đặt z1  x1  y1i và z 2  x 2  y2i với x1 , x 2 , y1 , y2  .  tập hợp các số ● z1  2i  3  x12   y1  2  9  2 phức z1 là đường tròn 2 C  : x 2   y  2  9 . ● z 2  2  2i  z 2  2  4i   x 2  2   y 2  2    x 2  2   y 2  4  2 2 2 2  tập hợp các số phức z 2 là đường thẳng  y2  3  0  Ta có P  z1  z 2   x 2  x1    y2  y1  đây chính là Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng 2 2 – 0946798489 d : y  3 . khoảng cách từ điểm Page | 81 Tµi liÖu to¸n 12 B  x 2 ; y2   d n¨m häc 2018 đến điểm A  x1 ; y1   C  . Do đó z 2  z1 min  ABmin . Dựa vào hình vẽ ta tìm được ABmin  2 khi A 0; 1, B 0; 3 . Chọn B. Nhận xét. Ở bài này đường thẳng và đường tròn có vị trí đặc biệt nên vẽ hình sẽ nhận ra ngay được hai điểm A & B , nếu không thì viết phương trình đường thẳng qua tâm của C  và vuông góc với d , sau đó tìm giao điểm với C  và d rồi loại điểm. Câu 218. Gọi z  x  yi  x ; y    . Ta có  z  2  z  i  1   x  2   y 2  x 2   y  1  1   2 x  y 1  0 . 2 2 2 2 Suy ra tập hợp các số phức z1 là đường thẳng  : 2 x  y 1  0.   x  4    y 1i  5  z  4  i  5    x  4    y  1  5 . 2 2 Suy ra tập hợp các số phức z 2 là đường tròn C  :  x  4    y 1  5 có tâm I  4;1 và bán kính R  5. 2 2 Khi đó biểu thức P  z1  z 2 là khoảng cách từ một điểm thuộc  đến một điểm thuộc C  . Từ đó suy ra Pmin  MN  d  I ,   R  8 5  5  3 5 . Chọn D. 5 Câu 219. Vì z  3  4i   5    x  3   y  4   5. 2 2 Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn C  có tâm I 3; 4  và bán kính R  5 . 2 2 2 2 Ta có P   x  2   yi  x   y  1i   x  2  y 2   x 2   y  1  .    4 x  2 y  3  4 x  2 y  3  P  0. Ta tìm P  d  I ,   R  sao cho đường 12  8  3  P 20 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng thẳng  : 4x  2y 3 P  0 và đường tròn C  có điểm chung  5  23  P  10  13  P  33. – 0946798489 Page | 82 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 4 x  2 y  30  0   x  5  Do đó Pmax  33 . Dấu ”  ” xảy ra   .   2 2   x  3  y  4  5    y 5    Vậy z  52  5  5 2 . Chọn D. 2 Câu 220. Gọi z  x  yi  x ; y    . Ta có z  2  4i  5   x  2   y  4   5. 2 2 Suy ra tập hợp các số phức z1 , z 2 là đường tròn C  có tâm I 2; 4  , bán kính R 5 . Phương trình đường thẳng OI là y  2 x . Gọi M , N lần lượt là hai điểm biểu diễn của số phức z1 , z 2 . Khi đó tọa độ điểm M, N y  2x    2 2    x  2    y  4   5 là nghiệm của hệ phương trình  x  1    z1  1  2i   y  2       w  4  8i. Chọn A.    x 3   z 2  3  6i     y  6 Câu 221. Ta biến đổi 1  i  z  1  7i  2  1  i z  1  7i  2 1i  2. z 3  4i   2  z  3  4i   1. * Đẳng thức * chứng tỏ tập các số phức z là đường tròn tâm I 3; 4  , bán kính R  1 . Pmin  OI  R  5 1  4 m  4       S  2. Chọn B. Khi đó       Pmax  OI  R  5  1  6 M  6  Câu 222. Ta có  i . z   2  3i  2  3i  i nên z  1  1  iz  1  1 3  2i 3  2i 1  1  z  i   1 . Đẳng thức này chứng tỏ tập các số phức z là đường tròn tâm I 0; 1 , bán kính R  1 . i Pmin  OI  R  1 1  0   m  0     S  2018. Chọn C. Khi đó      M  2 Pmax  OI  R  1  1  2   Câu 223. Gọi z  x  yi  x ; y    và M là điểm biểu diễn số phức z.   x  2    y  3  1. Từ giả thiết, ta có  x  2    y  3i  1 2 2 Khi đó tập hợp các điểm M thuộc đường tròn tâm I 2;3 , bán kính R  1. Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 83 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Ta có P  z  1  i  z  1  i  z  1  i . Đặt A 1;1   P  MA .   Pmin  AI  R  13 1 . Chọn B. Vậy     Pmax  AI  R  13  1 Cách Đại số: Ta có P  z  1  i  z  1  i  z  1  i . Theo giả thiết: 1  z  2  3i   z  1  i   3  2i  z  1  i  3  2i  P  13 Suy ra 1  P  13  1  P  13  1  13 1  P  13  1. Câu 224. Vì z không là số thực nên z  z  0 . Ta có w  z z z  w   . 2  z2 2  z2 2  z 2 Vì w là số thực nên w  w  z z  2 z2 2  z 2  z  z  0 loaïi 2  z 2  z 2   z 2  z 2   2  z  z   z .z  z  z     z  2  z  2.  z .z  2 Suy ra tập các số phức z là đường tròn tâm O 0;0  , bán kính R  2 . Đặt A 1;1   P  MA với M là điểm biểu diễn của số phức z . Vậy Pmax  AO  R  2  2  2 2. Chọn B. Câu 225. Biến đổi P  1 Đặt z ‘  , khi đó z z i i 1 1  1  i   i . z z z z  1   z’  2    P  z ‘ i    1 . 2    1   tập hợp các số phức z ‘ là hình tròn tâm O 0;0  , bán kính R  1 (trừ tâm O ). 2  Xét 2 . Đặt A 0;1   P  MA với M là điểm biểu diễn của số phức z ‘ . Dựa vào hình vẽ ta thấy  1 1 1   Pmin  AM 1  khi z ‘  i   z   2i    z1  2i  2 2 z      w  0  0i. Chọn C.     3 1 1 z 2  2i    Pmax  AM 2  khi z ‘   i   z   2i   2 2 z    P  z1  2 z 2  z1 2 z 2   z1  z 3 . Câu 226. Đặt z 3  2 z 2  1 Từ z 3  2 z 2  z 2   z 3 , thay vào iz 2  2  1 ta được 2 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 84 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 1  iz 3  2  1  iz 3  4  2  z 3  4i  2. 2 Gọi A, B là hai điểm biểu diễn cho hai số phức z1 , z 3 . ● z1  4  1   A  đường tròn tâm I 4;0 , R1  1. ● z 3  4i  2   B  đường tròn tâm J 0, 4 , R2  2.   Pmin  IJ  R1  R2  4 2  3  . Chọn B. Khi đó P  z1  z 3  AB     Pmax  IJ  R1  R2  4 2  3 Cách 2. Biến đổi iz 2  2  1  iz 2  2 2  1  z 2   1  z 2  2i  1  2 z 2  4i  2 . i i Ta có P  z1  2 z 2   z1  4   2 z 2  4i    4  4i    2 z 2  4i    4  4i   z 1  4  4  4i  2 z 2  4i  z1  4  4 2  3. Câu 227. Giả sử z  a  bi a, b    . Ta có ● z 1  a 1  b 2  5  a 1  b 2  52 . 2 2   tập hợp các số phức nằm trong hoặc trên đường tròn tâm A 1;0  bán kính R  5 . ● z  i  a 2  b 1  3  a 2  b 1  32 . 2 2   tập hợp các cố phức nằm ngoài hoặc trên đường tròn tâm B 0;1 bán kính R ‘  3 .  z min  z1  0  2i  Dựa vào hình vẽ ta thấy      z max  z 2  6  0i   z1  2 z 2  12  2i . Chọn A. Cách 2. Áp dụng bất đẳng thức z1  z 2  z1  z 2  z1  z 2 . 1 2  3  z  i  z  i   2  z Ta có      2  z  6.      z  1  z 1  5 z 6   Dấu ”  ” thứ nhất xảy ra khi z1  i  3 , kết hợp với z  1  5 ta được hệ   z1  i  3    z 1  5   z1  2i .  1      z1  2 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 85 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018   z 2 1  5    Tương tự cho dấu ”  ” thứ hai, ta được  z 2  6   z 2  6   z1  2 z 2  12  2i .      z2  i  3 Câu 228. Giả sử z  x  yi  x ; y    .  z 5. Ta có 10  z  4  z  4  z  4  z  4  2 z  Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có 2 2 2 100   z  4 .1  z  4 .1   z  4    z  4   .2     a  4   b 2  a  4   b 2  50   a 2  b 2  9   z  3 . Chọn D. 2 2 Cách 2. Giả sử z  x  yi  x ; y    . Từ giả thiết, ta có  x  4  y 2   x  4  y 2  10 . 2 2 *  Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , gọi M  x ; y  và F1 4;0  , F2 4;0  thì * có dạng MF1  MF2  2.5 . Vậy tợp hợp  c  4 . Suy ra độ dài trục bé điểm M  x ; y  biểu diễn số phức z là một Elip có độ dài trục lớn a  5 , tiêu cự F1 F2  8  b  a2  c 2  3 . Khi đó ta luôn có b  OM  a hay 3  z  5 . Câu 229. Áp dụng bất đẳng thức z1  z 2  z1  z 2 , ta có z 2 2     z 4 4 4i  z  2 z 4  0  z  1  5  z  2  2  2   .  2   z z z z  1  5 z  2 z  4  0        M  1  5 Vậy    S  2 5. Chọn A.    m  1  5 Câu 230. Gọi z  x  yi  x ; y    và M  x ; y  là điểm biểu diễn số phức z. Gọi A 1;0 , B 1;0  . Ta có z  1   x  yi  1  x 2  y 2  1. Suy ra M thuộc đường tròn đường kính AB nên MA 2  MB 2  AB 2  4. Khi đó T  MA  2 MB  12  22  MA2  MB 2   5.4  2 5 . Chọn A. Cách 2. Phương pháp hàm số (bạn đọc tìm hiểu rõ hơn ở các bài sau) Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 86 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018     a2  b2  1   2   Câu 231. Với z  a  bi a, b    , ta có z .z  z  1  a, b  1;1.    1  z   z    1 1 Do đó biến đổi P , ta được P  z  z    z  1  z   z  1  z  z  z  1  z z  2 a  a  1  b 2  2 a  a  1  1  a 2  2 a  2 a  1. 2 2 Khảo sát hàm f a   2 a  2 a  1 trên đoạn 1;1 , ta được  2  f a   2.  S  2  2. Chọn A. Suy ra m   2, M  2      a2  b2  1   2   Câu 232. Với z  a  bi a, b    , ta có z .z  z  1  a, b  1;1.    1  z   z    1 1 Do đó biến đổi P , ta được P  z  z 1    z  1  z 1   z  1  z 1  z  z  1  z z  2a 1  a  1  b 2  2a 1  a  1  1  a 2  2a 1  2 a  1. 2 2 Khảo sát hàm f a   2a  1  2 a  1 trên đoạn 1;1 , ta được Suy ra m  3, M  3  f a   13 . 4 13 13   P  . Chọn D. 4 16     a2  b2  1   2   Câu 233. Với z  a  bi a, b    , ta có z .z  z  1  a, b  1;1.    1  z   z   Do đó biến đổi P , ta được P  z 3  3 z  z 4  3z 2  1 1  z z   z z z z  1 1  z 4  3 z 2  1  z  z  z 2  z 2  3  2   z  z  z 2  3  2  z  z  z  z  1 2   z    1  z  z   z  z   1  z  z  4 a 2  1  2a  4 a 2  2 a  1.  z 2 Khảo sát hàm f a   4 a 2  2 a  1 trên đoạn 1;1 , ta được Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 3  f a   3. 4 Page | 87 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 3 9 3 17 w  9   . Chọn B. Suy ra m  , M  3  4 16 4 Câu 235. Đặt z  x  yi  x ; y    . Ta có z 1  2   x 1  yi   x 1  y 2  2 2   x 1  y 2  2  x 2  2 x  1  y 2  2  x 2  y 2  2 x  1. 2 Khi đó T  z  i  z  2  i  x   y  1i  x  2   y 1i  x 2   y  1   x  2   y 1  x 2  y 2  2 y  1  x 2  y 2  4 x  2 y  5 2 2 2  2 x  2 y  2  6  2 x  2 y  2  x  y   2  6  2  x  y . Đặt t  x  y , khi đó T  f t   2t  2  6  2t với t  1;3. Xét hàm f t   2t  2  6  2t trên 1;3 , ta được f t max  f 1  4 . Chọn B. Câu 236. Đặt z1  x  0, z 2  y  0 suy ra biểu thức P  z1  z 2  x  y. 2  2 2 Áp dụng công thức z1  z 2  z1  z 2  2 z1  z 2 2  z 2 1 2  z2  5   0  x  5  x 2  y2  5  y2  5  x 2     P  x  5 x2 . 2    y  5 x Khảo sát hàm f  x   x  5  x 2 trên đoạn 0; 5  , ta được   5  f  x   10 .   M  10 M Suy ra     2 . Chọn D.   m m  5   Câu 237. Gọi z  x  yi  x ; y    và M  x ; y  là điểm biểu diễn của số phức z. Gọi A 2;1, B 4,7  , suy ra AB  6 2. Từ giả thiết, ta có z  2  i  z  4  7i  6 2  MA  MB  AB suy ra M nằm trên đoạn thẳng AB có phương trình x  y  3  0. Suy ra M  x ; x  3 với x  2; 4 . Ta có z 1  i   x 1   y  1i   x 1   y  1 2 2   x 1   x  4   2 x 2  6 x  17 . 2 2 Khảo sát hàm f  x   2 x 2  6 x  17 trên đoạn 2;4  , ta được Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 25  f  x   73 . 2 Page | 88 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018   5 2  5 2 m  5 2  2 73 Suy ra  z 1  i  73   P  . Chọn B. 2    2 2     M  73 Câu 238. Gọi z  x  yi  x ; y    và M  x ; y  là điểm biểu diễn của số phức z. Gọi A  3;2, B 3; 1 , suy ra AB  3 5. Từ giả thiết, ta có z  3  2i  z  3  i  3 5  MA  MB  AB suy ra M nằm trên đoạn thẳng AB có phương trình x  2 y 1  0. Suy ra M 1  2 y; y  với y  1;2 . 2 2  2 2    z  2  x  2  yi   x  2   y  3  2 y   y Ta có  .  2 2 2 2  z  1  3 i  x  1  y  3 i  x  1  y  3  4 y  y  3            Khi đó P  z  2  z  1  3i  5 y 2  12 y  9  5 y 2  6 y  9 . Khảo sát hàm f  y   5 y 2  12 y  9  5 y 2  6 y  9 trên đoạn 1;2  , ta được   min f  y   f 1  3 2  1;2   . Chọn B.   max f  y   f 1  26  2 5     1;2  Câu 239. Gọi z  x  yi  x ; y    và M  x ; y  là điểm biểu diễn của số phức z. Gọi A  2;3, B 6;1 , suy ra AB  2 17. Từ giả thiết, ta có z  2  3i  z  6  i  2 17  MA  MB  AB suy ra M thuộc đoạn thẳng AB có phương trình x  4 y 10  0. Suy ra M 10  4 y; y  với y  1;3. 2 2 2 2    z  1  2i  x  1   y  2i   x  1   y  2   11  4 y    y  2  Ta có  .   2 2 2 2  z  2  i  x  2   y  1i   x  2    y  1  8  4 y    y  1    Khi đó P  z  1  2i  z  2  i  17 y 2  92 y  125  17 y 2  62 y  65 . Khảo sát hàm f  y   17 y 2  92 y  125  17 y 2  62 y  65 trên đoạn 1;3 , ta được   min f  y   f 2  0   1;3 . Chọn A.   max f  y   f 3  3 2   1;3   Câu 240. Gọi z  x  yi  x ; y    và M  x ; y  là điểm biểu diễn của số phức z. Gọi A 2;  2 , B 1;3 , suy ra AB  34. Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 89 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Từ giả thiết, ta có z  2  2i  z  1  3i  34  MA  MB  AB , suy ra M thuộc tia AB và M nằm ngoài đoạn AB và M có thể trùng B . Phương trình đường thẳng AB : 5 x  3 y  4  0 .  4  5 x  Từ đó suy ra M  x ;  với x  1 .  3   4  5x  2 2 2  1 . Khi đó P  z  1  i  x  1   y  1i   x  1   y  1   x  1    3  2  4  5x  2  1 trên ; 1 , ta được Khảo sát hàm f  x    x  1    3  2 min f  x   f 1  4 . Chọn D. ;1 Câu 241. Đặt z  a  bi a, b    . Từ z  1   a 2  b 2  1. Ta có  1 1 1 1  a  bi 1  a  bi     1  z 1  a  bi  1  a  bi 1  a  bi 1  a  bi  1  a 2  b 2 1 a 1  a   b 2 2  bi 1  a   b 2 2 Suy ra phần thực của Ta có 1 a 1  a   b 2 2  . 1 1 a bằng . 2 1 z 1  a   b 2 1 a 1 a 1   . Chọn A. 2 2 1  2a  a  1  a 2 1  a  2 Cách 2. Chọn z  1 thỏa mãn z  1 và z  1 . Khi đó 1 1 1   . 1  z 1  1 2 Câu 242. Đặt z  a  bi a, b    . Từ z  1   a 2  b 2  1. Ta có z  1 a  1  bi a  1  bi a 1  bi  a 2  b 2 1  2bi 2bi     . 2 2 2 z 1 a 1  bi a 1  bi a 1  bi  a  1  b a     1  b 2 Do đó phần thực của số phức z 1 bằng 0. Chọn A. z 1 Cách 2. Chọn z  1 thỏa mãn z  1 và z  1 . Khi đó w  z 1  0. z 1  1  1 1   z1    z z  z2 z z2 z  z2 1  . Ta có w  1  1  1 w . Câu 243. Do z1  z 2  1    1 1 z 1  z1 . z 2 1  1 z2 1   z2   z1 z 2   z2 Vì w  w nên w là số thực hay phần ảo của w bằng 0 . Chọn A. Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 90 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Cách 2. Chọn z1  z 2  1 thỏa z1  z 2  1 và 1  z1 z 2  0 . Khi đó w  z1  z 2  1. 1  z1 z 2 Câu 244. Chọn z 2  1 thỏa mãn z 2  1 . Bây giờ ta chọn z1 sao cho thỏa z1  2 và 2 z1  3  4 .  3   a 2 2    a  b  4  4 Đặt z1  a  bi a, b   . Từ trên ta có hệ  .     2 2   55    2a  3  4b  16  b  4   Khi đó ta có z1  3 55  i , z 2  1   M  11. Chọn C 4 4 Câu 245. Gọi u  a  bi a; b    .   z z 1  u      w w 2  Từ giả thiết, suy ra    z w z w z      1  u 1  1   w w w    1   a2  b2  3 3 1  2  4     a 1  a 2   1  2a   a  . Chọn D.  4 4 8 2 2    a 1  b  1   z 1  1   Cách 2. Chọn w  1 . Ta cần chọn số phức z  x  yi  x ; y    sao cho  1  z    2   2    x 1  y 2  1  1 z 1     x    u   x  yi   yi.  2 1 2  8 w 8 x y    4   Câu 246. Từ giả thiết z  2 z1 1 1 2 1     2 z1  z 2 z1 z 2 z1  z 2 z1 z 2  z1 z 2   z1  z 2 . z 2  2 z1   Đặt t   z1  z1 z     11  2 1 .  z 2  z 2 z 2   z1 , ta được phương trình t  t  11  2t  z2  1 1 t   i 2  2 2  2t  2 t  1  0   t  . Chọn D. 1 1  2 t   i 2 2  2 Cách 2. Chọn z 2  i   1 1 2 1 i 2 .     z1   P  z1  i z1 i 2 2 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 91 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 z  z  z z  Câu 247. Ta có P   1    2    1  2   2.  z 2   z1   z 2 z1  2 Mà 2 2 1 z1 z 2 z z z z   1 22  2 21  z1 z 2  z 2 z1. z 2 z1 z2 z1 2  Theo giả thiết: 1  z1  z 2   z1  z 2 . z1  z 2    z1  z 2 . z1  z 2  2  z1  z 2   z1 z 2  z 2 z1    z1 z 2  z 2 z1  1. 2 3 2 Từ 1 , 2  và 3 suy ra P  1. Chọn D. Cách 2. Chọn z1  1 , còn z 2 chọn sao cho thỏa mãn z 2  1 và z1  z 2  1 . Ta chọn như sau: Đặt z 2  a  bi .  a2  b2  1 . ● z 2  1  ● z1  z 2  1  z 2  1  1  a  1  bi  1   a  1  b 2  1. 2  1   a   1 3 2    z2   i. Từ đó giải hệ    2 2 3   b  2   Thay z1  1 và z 2  1 3  i vào P và bấm máy. 2 2 1 3 1 3 i và z 2   i. Hoặc ta cũng có thể chọn z1    2 2 2 2  b  0. Câu 248. Đặt z  a  bi a; b    . Do z    Suy ra z 2  a  b 2  2abi . Khi đó  a  bi 1  a 2  b 2  2abi  z a  bi   2 1  z 2 1  a 2  b 2  2abi 1  a 2  b 2   2ab 2 a 3  ab 2  a 1  a 2 b   2ab  2 2 2  b 3  a 2b  b 1  a 2 b   2ab  2 2 2 .i     b3  a2b  b  0 b  0 loaïi z 1 1   . Chọn B.    a 2  b 2  1   z  1. Vậy P  2 2 2 11 2 1 z 1  b  a  0 Cách 2. Chọn w  z z 1 1 2    z 1  0  z  1  z  1  P   . 2 2 1 z 2 2 1 z Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 92 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018   z1 z 2 z 3  1    Câu 249. Do z1  z 2  z 3  1   1 1 1   z1 ,  z2 ,  z3 .   z2 z3   z1 Áp dụng, ta được P  z1 z 2  z 2 z 3  z 3 z1  z1 z 2  z 2 z 3  z 3 z1 1 1 1     z1  z 2  z 3 z1 z 2 z 3 z1 z 2 z 3  z1  z 2  z 3  z1  z 2  z 3  a. Chọn C. Cách trắc nghiệm. Chọn trường hợp đặc biệt z1  z 2  z 3  1 thỏa z1  z 2  z 3  1 . Khi đó z1  z 2  z 3  3 và P  z1 z 2  z 2 z 3  z 3 z1  3 . Vậy P  a. Câu 250. Từ giả thiết z1  z 2  z 3  1   z1  1 1 1 , z2  , z3  . z1 z2 z3 Ta có A  z12  z 22  z 32   z1  z 2  z 3   2  z1 z 2  z 2 z 3  z 3 z1    2  z1 z 2  z 2 z 3  z 3 z1  2 1 1 1   2 z1 z 2 z 3       z1 z 2 z 3  z1  z 2  z 3 .  z1 z 2 z 3  Mà z1  z 2  z 3  0   z1  z 2  z 3  0 , suy ra A  0. Chọn B. 1 3 1 3 Cách 2. Chọn z1  1, z 2    i, z3    i thỏa mãn các điều kiện bài toán. 2 2 2 2 Câu 251. Đặt z  x  yi  x ; y    .  1   x x 2  y 2  1     z  1 1   2    2  . Ta có z   z 1    2 2 2    3 z    z  z 1  x  y   x 1  y y2    4   9 3   3 . Chọn D. 4 4 Khi đó w  z  1   x  1  y 2  2 Cách 2. Từ giả thiết, suy ra z  z 1  1. 2  2 2 Áp dụng công thức z1  z 2  z1  z 2  2 z1  z 2  2  , ta có  z  1  2 z  12  z 1  2 12  12  12  3. 2 2 Câu 252. Đặt w1  3 z1 và w2  4 z 2 .Từ giả thiết, ta có w1  3, w 2  4 và w1  w2  1. 2 2  2 Áp dụng công thức w1  w 2  w1  w2  2 w1  w 2 2  2 w1  w2  2 w1  w 2 2  w  w 1 2 2 2  , ta có  x  2 9  16   1  49   w1  w 2  7 hay z  7. Chọn B. Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 93 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018  z  w   zw 1 1 1 z w 1     0 0 z w z w zw z w zw  z  w  2 Câu 253. Từ giả thiết 2 2  i 3w    1 3 1  3 1   Từ   z  w  zw  0  z  zw  w 2  w 2  0   z  w    w 2   z  w         2  4 4 2  4 2  2 2 2 2 2    1 i 3     z  1 w    i 3w    w .  z        2   2 2  2  2 1 i 3 Lấy môđun hai vế, ta được z    . w  1. w  w  w  z  2018. Chọn C. 2 2 Cách 2. Chọn z  1028 thỏa mãn z  2018 . Khi đó ta có 1 1 1     giải phương trình tìm w . 2018 w 2018  w Câu 254. Dựng hình bình hành OMPN trong mặt phẳng phức.   z1  z 2  OP Khi đó  .     z1  z 2  MN     z1  z 2  Ta có     z1  z 2      2 2 2 2 z1  z 2  2 z1 z 2 cos 30 0  13 z1  z 2  2 z1 z 2 cos1500  1 z  z2 z1  z 2  1  13 . Chọn B. z1  z 2 z1  z 2       M a1 ; b1  OM  a1 ; b1   z1  a1  b1i     Cách 2. Giả sử        .    N a , b   ON  a ; b  z 2  a2  b2 i      2 2  2 2   Theo giả thiết, ta có 2 2     a1a2  b1b2 a1  b1  3 và cos OM , ON  cos 30 0   a1a2  b1b2  3.  2 2 2  a1  b12 a22  b22  a2  b2  4   a1  a2   b1  b2 i a1  a2   b1  b2  z  z2 Vậy A  1   2 2 z1  z 2 a1  a2   b1  b2 i a1  a2   b1  b2  2  a12  b12   a22  b22   2 a1a2  b1b2   a12  b12   a22  b22   2 a1a2  b1b2  3  4  2.3 3  4  2.3 2  13. Câu 255. Ta xét H  1  2i  z 3  z 5  z 3 . 1  2i   z 2  125. 1  2i   z 2 . Xét T  z 2 1  2i  . Sử dụng bất đẳng thức z1  z 2  z1  z 2  z1  z 2 , ta được z 2  1  2i  z 2  1  2i   z 2  1  2i   25  5  T  25  5. Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 94 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018        M  125 25  5  Từ đó suy ra 125 25  5  H  125 25  5    m  125 25  5          P  M  m  6250. Chọn C. Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v­¬ng – 0946798489 Page | 95
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments

Bài viết tương tự

Scroll to Top