Các dạng toán tích phân thường gặp trong kỳ thi THPTQG

Giới thiệu Các dạng toán tích phân thường gặp trong kỳ thi THPTQG

Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và bạn đọc Các dạng toán tích phân thường gặp trong kỳ thi THPTQG CHƯƠNG NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN.

Các dạng toán tích phân thường gặp trong kỳ thi THPTQG

Tài liệu môn Toán 12 và hướng dẫn giải chi tiết các đề thi từ cơ bản đến vận dụng cao sẽ luôn được cập thường xuyên từ hoctoanonline.vn , các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán hay và mới nhất.

Tài liệu Các dạng toán tích phân thường gặp trong kỳ thi THPTQG

Các em học sinh và bạn đọc tìm kiếm thêm tài liệu Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng tại đây nhé.

Text Các dạng toán tích phân thường gặp trong kỳ thi THPTQG
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG CHUYÊN ĐỀ 19 ĐT:0946798489 TÍCH PHÂN, PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN MỤC LỤC Phần A. CÂU HỎI …………………………………………………………………………………………………………………………… 2 Dạng 1. Tích phân cơ bản………………………………………………………………………………………………………………….. 2 Dạng 1.1 Áp dụng TÍNH CHẤT để giải ……………………………………………………………………………………………. 2 Dạng 1.2 Áp dụng bảng công thức cơ bản …………………………………………………………………………………………. 4 Dạng 2. Tích phân HÀM HỮU TỶ ……………………………………………………………………………………………………… 7 Dạng 3. Giải tích phân bằng phương pháp VI PHÂN …………………………………………………………………………… 10 Dạng 4. Giải tích phân bằng phương pháp ĐỔI BIẾN SỐ ……………………………………………………………………. 11 Dạng 4.1 Hàm số tường minh ……………………………………………………………………………………………………….. 11 Dạng 4.1.1 Hàm số chứa căn thức ………………………………………………………………………………………………. 11 Dạng 4.1.2 Hàm số chứa hàm lượng giác……………………………………………………………………………………… 14 Dạng 4.13. Hàm số chứa hàm số mũ, logarit ………………………………………………………………………………… 16 Dạng 4.1.4 Hàm số hữu tỷ, đa thức …………………………………………………………………………………………….. 17 Dạng 4.2 Hàm số không tường minh (hàm ẩn)…………………………………………………………………………………. 18 Dạng 5. Tích phân TỪNG PHẦN ……………………………………………………………………………………………………… 22 Dạng 5.1 Hàm số tường minh ……………………………………………………………………………………………………….. 22 Dạng 5.2 Hàm số không tường minh (hàm ẩn)…………………………………………………………………………………. 25 Dạng 6. Kết hợp nhiều phương pháp để giải toán………………………………………………………………………………… 29 Dạng 7. Tích phân của một số hàm số khác ………………………………………………………………………………………… 31 Dạng 7.1 Tích phân hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối ………………………………………………………………………. 31 Dạng 7.2 Tích phân nhiều công thức………………………………………………………………………………………………. 32 Dạng 7.3 Tích phân hàm số chẵn, lẻ……………………………………………………………………………………………….. 33 Dạng 8. Một số bài toán tích phân khác……………………………………………………………………………………………… 34 Phần B. LỜI GIẢI THAM KHẢO ……………………………………………………………………………………………………. 38 Dạng 1. Tích phân cơ bản………………………………………………………………………………………………………………… 38 Dạng 1.1 Áp dụng TÍNH CHẤT để giải ………………………………………………………………………………………….. 38 Dạng 1.2 Áp dụng bảng công thức cơ bản ……………………………………………………………………………………….. 40 Dạng 2. Tích phân HÀM HỮU TỶ ……………………………………………………………………………………………………. 43 Dạng 3. Giải tích phân bằng phương pháp VI PHÂN …………………………………………………………………………… 46 Dạng 4. Giải tích phân bằng phương pháp ĐỔI BIẾN SỐ ……………………………………………………………………. 48 Dạng 4.1. Hàm số tường minh ………………………………………………………………………………………………………. 48 Dạng 4.1.1. Hàm số chứa căn thức ……………………………………………………………………………………………… 48 Dạng 4.1.2. Hàm số chứa hàm lượng giác…………………………………………………………………………………….. 54 Dạng 4.1.3. Hàm số chứa hàm số mũ, logarit ……………………………………………………………………………….. 57 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 1 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Dạng 4.1.4. Hàm số hữu tỷ, đa thức ……………………………………………………………………………………………. 59 Dạng 4.2. Hàm số không tường minh (hàm ẩn)………………………………………………………………………………… 60 Dạng 5. Tích phân TỪNG PHẦN ……………………………………………………………………………………………………… 68 Dạng 5.1 Hàm số tường minh ……………………………………………………………………………………………………….. 68 Dạng 5.2 Hàm số không tường minh (hàm ẩn)…………………………………………………………………………………. 74 Dạng 6. Kết hợp nhiều phương pháp để giải toán………………………………………………………………………………… 88 Dạng 7. Tích phân của một số hàm số khác ………………………………………………………………………………………… 91 Dạng 7.1 Tích phân hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối ………………………………………………………………………. 91 Dạng 7.2. Tích phân nhiều công thức ……………………………………………………………………………………………… 95 Dạng 7.3 Tích phân hàm số chẵn, lẻ……………………………………………………………………………………………….. 95 Dạng 8. Một số bài toán tích phân khác……………………………………………………………………………………………. 100 Phần A. CÂU HỎI Dạng 1. Tích phân cơ bản Dạng 1.1 Áp dụng TÍNH CHẤT để giải 2 Câu 1. (Mã 103 – BGD – 2019) Biết  f  x  dx  2 và 1 A. 8 . 2 2  g  x  dx  6 , khi đó   f  x   g  x  dx bằng 1 B. 4 . 1 C. 4 . D. 8 . 1 Câu 2. (Mã 102 – BGD – 2019) Biết tích phân  1 f  x  dx  3 và 0  g  x  dx  4 . Khi đó 0 1   f  x   g  x  dx bằng 0 A. 7 . Câu 3. B. 7 . (Mã đề 104 – BGD – 2019) Biết A. 6 . C. 1 .  B. 6 . (Mã đề 101 – BGD – 2019) Biết B. 1.  1 0 g ( x)dx  4 , khi đó 1   f ( x)  g ( x) dx bằng 0 D. 2 . 1 1  f  x dx  2 và  g  x dx  3 , khi đó   f  x   g  x dx bằng 0 A. 1 . f ( x)dx  2 và C.  2 . 1 Câu 4. 1 0 D. 1. 0 0 C. 5 . D. 5 . 1 Câu 5. (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Cho  1 f  x  dx  2 và 0  g  x  dx  5 , khi 0 1   f  x   2 g  x  dx bằng 0 A. 8 Câu 6. B. 1 C. 3 D. 12 (THPT BA ĐÌNH NĂM 2018-2019 LẦN 02) Khẳng định nào trong các khẳng định sau đúng với mọi hàm f , g liên tục trên K và a , b là các số bất kỳ thuộc K ? Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 2 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 b b A. b b b   f ( x)  2 g ( x)dx   f ( x)dx +2  g ( x)dx . a a B.  a a f ( x) dx  g ( x)  f ( x)dx a b .  g ( x)dx a b b b b   f ( x).g ( x)dx   f ( x)dx .  g ( x)dx . C. a a D.  a a 2 b  f ( x)dx =   f ( x)dx  . a  2 4 2 Câu 7. (THPT CẨM GIÀNG 2 NĂM 2018-2019) Cho 4  f  x  dx  1 ,  f  t  dt  4 . Tính 2 A. I  5 . Câu 8. B. I  3 . . D. I  5 . 2 2 0 0  f  x  dx  3 và  g  x  dx  7 , khi đó 2  f  x   3 g  x  dx bằng A. 16 . B. 18 .  2 2 C. I  3 . (THPT CÙ HUY CẬN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho  f  y  dy 0 C. 24 . D. 10 . 1 Câu 9. (THPT – YÊN ĐỊNH THANH HÓA 2018 2019- LẦN 2) Cho 3  f ( x) dx  1;  f ( x) dx  5 . Tính 0 0 3  f ( x) dx 1 A. 1. B. 4. C. 6. D. 5. 2 Câu 10. (THPT QUỲNH LƯU 3 NGHỆ AN NĂM 2018-2019) Cho  3 f  x  dx  3 và 1  f  x  dx  4 . Khi 2 3 đó  f  x  dx bằng 1 A. 12. B. 7. C. 1. D. 12 . 2 Câu 11. Cho hàm số f  x  liên tục, có đạo hàm trên  1; 2 , f  1  8;f  2   1 . Tích phân  f ‘  x dx 1 bằng A. 1. Câu 12. B. 7. C. 9. D. 9. (SỞ GD&ĐT THANH HÓA NĂM 2018 – 2019) Cho hàm số f  x  liên tục trên R và có 2  0 4 4 f ( x)dx  9;  f ( x)dx  4. Tính I   f ( x)dx. 2 A. I  5 . 0 B. I  36 . 9 C. I  . 4 D. I  13 . 0 Câu 13. (ĐỀ THI THỬ VTED 02 NĂM HỌC 2018 – 2019) Cho 3  f  x  dx  3 f  x  dx  3. 1 Tích phân 0 3  f  x  dx bằng 1 A. 6 B. 4 C. 2 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong D. 0 3 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG Câu 14. (CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số f  x  liên tục 4 trên  và  4 f  x  dx  10 , 0 3 f  x  dx  4 . Tích phân  3  f  x  dx bằng 0 B. 7 . A. 4 . Câu 15. ĐT:0946798489 C. 3 . D. 6 . (TRƯỜNG THPT HOÀNG HOA THÁM HƯNG YÊN NĂM 2018-2019) Nếu F   x   1 và 2x 1 F 1  1 thì giá trị của F  4  bằng 1 B. 1  ln 7. 2 A. ln 7. Câu 16. C. ln 3. D. 1  ln 7. (THPT ĐOÀN THƯỢNG – HẢI DƯƠNG – 2018 2019) Cho hàm số f  x liên tục trên  thoả 8 mãn 12 8  f  x  dx  9 ,  f  x  dx  3 ,  f  x  dx  5 . 1 4 4 12 Tính I   f  x  dx . 1 A. I  17 . Câu 17. B. I  1 . (THPT QUANG TRUNG ĐỐNG ĐA HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Cho hàm số f  x  liên tục trên 6 10 2 0;10 thỏa mãn  f  x  dx  7 ,  f  x  dx  3 . Tính 2 0 B. P  4 . A. P  10 . Câu 18. D. I  7 . C. I  11 . 10 P   f  x  dx   f  x  dx . 0 6 C. P  7 . D. P  6 . (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN ĐIỆN BIÊN LẦN 3 NĂM 2018-2019) Cho f , g là hai hàm liên tục trên đoạn 1;3 thoả: 3 3 3   f  x   3g  x dx  10 ,  2 f  x   g  x dx  6 . Tính   f  x   g  x dx . 1 1 A. 7. Câu 19. 1 B. 6. C. 8. (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 3) Cho hàm số f  x  liên tục trên đoạn 10 2 6 0;10 và  f  x  dx  7 ;  f  x  dx  3 . Tính 0 2 A. P  4 Câu 20. B. P  10 10 P   f  x  dx   f  x  dx . 0 6 C. P  7 D. P  4 (THPT NĂM 2018-2019 LẦN 04) Cho f , g là hai hàm số liên tục trên 1;3 thỏa mãn điều kiện 3 3 3   f  x   3g  x dx=10 đồng thời   2 f  x   g  x dx=6 . Tính   f  x   g  x dx . 1 A. 9 . Câu 21. D. 9. 1 B. 6 . C. 7 . 1 D. 8 . (THPT ĐÔNG SƠN THANH HÓA NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho f , g là hai hàm liên tục trên 3 3 3 1;3 thỏa:   f  x   3g  x  dx  10 và   2 f  x   g  x  dx  6 . Tính I    f  x   g  x  dx . 1 1 A. 8. B. 7. Dạng 1.2 Áp dụng bảng công thức cơ bản 1 C. 9. Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong D. 6. 4 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489   2 Câu 22. (MĐ 104 BGD&DT NĂM 2017) Cho  0 A. I  7 B. I  5  2 f  x  dx  5 . Tính I    f  x   2sin x  dx  5 .  2 0 D. I  5   C. I  3 2 Câu 23. (MÃ ĐỀ 110 BGD&ĐT NĂM 2017) Cho 2  f  x  dx  2 và 1  g  x  dx  1 . Tính 1 2 I    x  2 f  x   3 g  x   dx . 1 A. I  17 2 B. I  5 2 C. I  7 2 D. I  11 2 5 Câu 24. (THPT HÀM RỒNG THANH HÓA NĂM 2018-2019 LẦN 1) Cho hai tích phân  f  x  dx  8 2 5 2 và  g  x  dx  3 . Tính I    f  x   4 g  x   1 dx 2 5 A. 13 . B. 27 . D. 3 . C. 11 . 2 Câu 25. (SỞ GD&ĐT BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho 2  f ( x)dx  2 và  g ( x)dx  1 , khi 1 1 2 đó   x  2 f ( x)  3g ( x) dx bằng 1 A. 5 2 B. 7 2 C. 17 2 D. 11 2 2 Câu 26. (SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho  2 f  x  dx  3 ,  g  x  dx  1 thì 0 0 2   f  x   5 g  x   x  dx bằng: 0 A. 12 . B. 0 . C. 8 . D. 10 5 Câu 27. (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH LẦN 1 NĂM 2018-2019) Cho  f  x  dx  2 . Tích 0 5 phân   4 f  x   3 x 2  dx bằng 0 A. 140 . Câu 28. B. 130 . C. 120 . D. 133 . (THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho 2 2  4 f  x   2 x  dx  1 . Khi đó  f  x dx bằng: 1 1 A. 1 . B. 3 . C. 3 . Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong D. 1 . 5 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 1   2 f  x   3x  dx 2 1 Câu 29. (ĐỀ THI THỬ VTED 03 NĂM HỌC 2018 – 2019) Cho  f  x  dx  1 tích phân 0 0 bằng A. 1. Câu 30. B. 0 . C. 3 . D. 1 . (THPT YÊN PHONG 1 BẮC NINH NĂM HỌC 2018-2019 LẦN 2) Tính tích phân 0 I   2 x  1 dx . 1 B. I  1 . A. I  0 . Câu 31. 1 D. I   . 2 C. I  2 . (Mã 103 – BGD – 2019) Cho hàm số f  x  . Biết f  0   4 và f ‘  x   2sin 2 x  1, x   , khi đó  4  f  x  dx bằng 0 A. Câu 32.  2  16  4 16 . B. 2 4 16 . C.  2  15 16 . D.  2  16  16 16 . (Mã đề 104 – BGD – 2019) Cho hàm số f  x  . Biết f  0  4 và f   x   2sin 2 x  3 , x  R , khi  4 đó  f  x  dx bằng 0 A. Câu 33. 2 2 8 . B.  2  8  8 8 . C.  2  8  2 8 . D. 3 2  2  3 . 8 (Mã 102 – BGD – 2019) Cho hàm số f ( x) .Biết f (0)  4 và f ( x)  2cos2 x  3, x  , khi đó  4  f ( x)dx bằng? 0 A.  2  8  8 8 . B.  2  8  2 8 . C.  2  6  8 8 . D. 2 2 8 . 1 Câu 34. Tích phân   3 x  1 x  3 dx bằng 0 A. 12 . B. 9 . C. 5 . D. 6 .  2 Câu 35. (KTNL GV THPT LÝ THÁI TỔ NĂM 2018-2019) Giá trị của  sin xdx bằng 0 A. 0. B. 1. C. -1. D.  2 . 2 Câu 36. (KTNL GV BẮC GIANG NĂM 2018-2019) Tính tích phân I  (2 x  1)dx  0 A. I  5 . B. I  6 . C. I  2 . Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong D. I  4 . 6 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 b Với a, b là các tham số thực. Giá trị tích phân Câu 37.   3x 2  2ax  1 dx bằng 0 A. b3  b2 a  b . B. b3  b2 a  b . C. b3  ba 2  b . D. 3b2  2ab  1 . 1 (THPT NĂM 2018-2019 LẦN 04) 1 Biết rằng hàm số f  x   mx  n thỏa mãn Câu 38.  f  x  dx  3 , 0 2  f  x  dx  8 . Khẳng định nào dưới đây là đúng? 0 A. m  n  4 . B. m  n  4 . C. m  n  2 . D. m  n  2 .  4 (THPT AN LÃO HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Giả sử I   sin 3xdx  a  b Câu 39. 0 2 2  a, b    . Khi đó giá trị của A.  a  b là 1 B.  6 1 6 C.  3 10 D. 1 5 (CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH YÊN BÁI LẦN 01 NĂM 2018-2019) Cho hàm số f  x  liên Câu 40. 2 2 tục trên  và   f  x   3x  dx  10 . Tính  f  x  dx . 2 0 0 A. 2 . C. 18 . B.  2 . D. 18 . m Câu 41. (CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho   3x 2  2 x  1dx  6 0 . Giá trị của tham số m thuộc khoảng nào sau đây? A.  1; 2  . B.  ;0  . C.  0; 4  . D.  3;1 . 1 (THPT NĂM 2018-2019 LẦN 04) Biết rằng hàm số f  x   ax 2  bx  c thỏa mãn Câu 42. 7  f  x  dx   2 0 2  f  x  dx  2 , và 0 3 4 A.  . B.  . 4 3 Dạng 2. Tích phân HÀM HỮU TỶ C. 2 Câu 43. (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) dx  2x  3 4 . 3 D. 3 . 4 1 7 ln 2 5 D. 2 ln bằng 1 A. 1 ln 35 2 B. ln 7 5 C. 2 Câu 44. (MĐ 103 BGD&ĐT NĂM 2017-2018) dx  3x  2 7 5 bằng 1 A. 2 ln 2 B. 1 ln 2 3 C. 2 ln 2 3 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong D. ln 2 7 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG 2 Câu 45. (ĐỀ THAM KHẢO BGD & ĐT 2018) Tích phân ĐT:0946798489 dx bằng  x3 0 A. 2 15 B. 16 225 C. log 1 Câu 46. (MĐ 105 BGD&ĐT NĂM 2017) Cho  1 5 3 D. ln 1    x  1  x  2  dx  a ln 2  b ln 3 5 3 với a, b là các số 0 nguyên. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. a  2b  0 B. a  b  2 C. a  2b  0 D. a  b  2 e Câu 47. 1 1  (THPT AN LÃO HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Tính tích phân I     2 dx x x  1 1 1 A. I  B. I   1 C. I  1 D. I  e e e 3 Câu 48. (THPT HÙNG VƯƠNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tính tích phân I   0 21 A. I   . 100 5 B. I  ln . 2 5 C. I  log . 2 2 Câu 49. (THPT ĐOÀN THƯỢNG – HẢI DƯƠNG – 2018 2019) dx . x2 4581 D. I  . 5000 dx  3x  2 bằng 1 A. 2 ln 2 . B. 2 Câu 50. Tính tích phân I   1 A. I  1  ln 2 . 2 ln 2 . 3 D. C. I  1  ln 2 . D. I  2 ln 2 . x 1 dx . x B. I  7 . 4 2 Câu 51. 1 ln 2 . 3 C. ln 2 . (THPT QUỲNH LƯU 3 NGHỆ AN NĂM 2018-2019) Biết dx   x  1 2 x  1  a ln 2  b ln 3  c ln 5 1 . Khi đó giá trị a  b  c bằng A. 3 . B. 2 . D. 0 . C. 1. 3 Câu 52. x2 dx  a  b ln c, với a , b, c  , c  9. Tính tổng S  a  b  c. x 1 A. S  7 . B. S  5 . C. S  8 . D. S  6 . Biết  Câu 53. (THPT AN LÃO HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 0 2 3x  5x  1 2 I dx  a ln  b,  a, b    . Khi đó giá trị của a  4b bằng x2 3 1 A. 50 B. 60 C. 59 D. 40 Câu 54. (PEN I – THẦY LÊ ANH TUẤN – ĐỀ 3 – NĂM 2019) Biết các số nguyên. Tính m  n . A. S  1 . B. S  4 . C. S  5 . Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong  1 0 02) Biết x2  2 1 dx   n ln 2 , với m, n là x 1 m D. S  1 . 8 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG Câu 55. ĐT:0946798489 (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG TRỊ NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tích phân 2 1 x  1  I  2 dx  a  ln b trong đó a , b là các số nguyên. Tính giá trị của biểu thức a  b . x 1 0 A. 1. B. 0 . C. 1 . D. 3 . 5 Câu 56. x2  x  1 b dx  a  ln (CHUYÊN TRẦN PHÚ HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Biết  x 1 2 3 với a , b là các số nguyên. Tính S  a  2b . A. S  2 . B. S   2 . C. S  5 . D. S  10 . 2 Câu 57. (THPT GANG THÉP THÁI NGUYÊN NĂM 2018-2019) Cho 1 a, b . Tính P  a  b ? A. P  1 . B. P  5 . C. P  7 . (THPT CHUYÊN SƠN LA NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho x 2 1 x 2 3 với a, b, c là các số hữu tỉ. Giá trị của 2 A. 12 B. 6 a 3b  c x  10 a  dx   ln với x 1 b b D. 1. 4 (SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho  x3 dx  a ln 2  b ln 3  c ln 5  3x  2 , với a, b, c là các số nguyên. Giá trị của a  b  c bằng A. 0 . B. 2 . C. 3 . Câu 59. 2 D. P  2 . 3 Câu 58.    x 5x  8 dx  a ln 3  b ln 2  c ln 5 ,  3x  2 bằng C. 1 D. 64 5 Câu 60. x2  x  1 b dx  a  ln với a , b là các số nguyên. Tính S  a  2b . Biết  x 1 2 3 A. S  2 . B. S  2 . C. S  5 . D. S  10 . 1 Câu 61. Biết rằng x 0 A. 14 . 2 1  a dx   x 1 b B. 15 .  a , b   , a  10 . Khi đó a  b có giá trị bằng C. 13 . D. 12 . 2 Câu 62. (ĐỀ THI CÔNG BẰNG KHTN LẦN 02 NĂM 2018-2019) Biết x2  5x  2 0 x 2  4 x  3 dx  a  b ln 3  c ln 5 ,  a, b, c    . Giá trị của abc bằng A. 8 . B. 10 . D. 16 . 3x  5 x  1 2 (THPT NGUYỄN TRÃI – ĐÀ NẴNG – 2018) Giả sử rằng  dx  a ln  b . Khi đó, x2 3 1 giá trị của a  2b là A. 30 . B. 60 . C. 50 . D. 40 . C. 12 . 0 Câu 63. Câu 64. (CHUYÊN HẠ LONG NĂM 2018-2019 2 LẦN 02) Biết  2 3sin x  cos x  2sin x  3cos x dx  0 11 b ln 2  b ln 3  c  b, c  Q  . Tính ? c 3 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 9 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG A. Câu 65. 22 . 3 B. 22 . 3 C. ĐT:0946798489 22 . 3 D. 22 . 13 (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH LẦN 1 NĂM 2018-2019) Biết x3  x 2  7 x  3 a a 1 x 2  x  3 dx  b  c ln 5 với a , b , c là các số nguyên dương và b là phân số tối giản. Tính 4 P  a  b2  c3 . A. 5 . Câu 66. B. 4 . C. 5. D. 0. (TT THANH TƯỜNG NGHỆ AN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho 2 4 x  15 x  11 0 2 x 2  5 x  2 dx  a  b ln 2  c ln 3 với a , b , c là các số hữu tỷ. Biểu thức T  a.c  b bằng 1 1 A. 4 . B. 6 . C. . D. . 2 2 1 Dạng 3. Giải tích phân bằng phương pháp VI PHÂN Câu 67. (MÃ ĐỀ 110 BGD&ĐT NĂM 2017) Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   ln x . x Tính: I  F  e   F 1 ? A. I  1 2 B. I  1 e D. I  e C. I  1 1 Câu 68. (Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018)  e3 x1dx bằng 0 1 A.  e 4  e  3 B. e3  e C. 1 4 e  e 3 D. e 4  e 1 5 2 e e 3 D. e5  e 2 2 Câu 69. (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018)  e3 x 1dx bằng 1 1 A.  e 5  e 2  3 1 B.  e5  e 2  3 C. 6 Câu 70. (MÃ ĐỀ 123 BGD&DT NĂM 2017) Cho  0 A. I  5 Câu 71. B. I  36 0 C. I  4 D. I  6 (THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho với m , p , A. 10 . Câu 72. 2 f ( x)dx  12 . Tính I   f (3x)dx. B. 6 . và là các phân số tối giản. Giá trị C. 22 . 3 bằng D. 8 . (THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tích phân 1 1 I  dx có giá trị bằng x 1 0 A. ln 2  1 . B.  ln 2 . C. ln 2 . D. 1  ln 2 . Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 10 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 3 Câu 73. (TRƯỜNG THPT HOÀNG HOA THÁM HƯNG YÊN NĂM 2018-2019) Tính K   2 1 8 B. K  ln . 2 3 A. K  ln 2 . 1 Câu 74. Biết rằng  xe x2  2 dx  0 A. 4 . 8 D. K  ln . 3 C. K  2 ln 2 . a b c e  e với a, b, c   . Giá trị của a  b  c bằng 2   B. 7 . C. 5 . D. 6 . e Câu 75. x dx . x 1 2 (KTNL GV THPT LÝ THÁI TỔ NĂM 2018-2019) Biết x 1 2 x 1 dx  ln  ae  b  với a, b là  x ln x 2 các số nguyên dương. Tính giá trị của biểu thức T  a  ab  b2 . A. 3. B. 1. C. 0. Câu 76. D. 8. (THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Biết 2   x  1 2 e x 1 x p q dx  me  n , trong đó m, n, p , q là các số nguyên dương và 1 Tính T  m  n  p  q . A. T  11 . B. T  10 . x Câu 77. Số điểm cực trị của hàm số f  x   2 2tdt  1 t p là phân số tối giản. q C. T  7 . D. T  8 . C. 2 D. 3 là 2 2x A. 0 Câu 78. B. 1 (CHUYÊN BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên  1 đồng thời thỏa mãn f  0   f 1  5 . Tính tích phân I   f   x  e f  x dx . 0 A. I  10 B. I  5 C. I  0 Dạng 4. Giải tích phân bằng phương pháp ĐỔI BIẾN SỐ Dạng 4.1 Hàm số tường minh Dạng 4.1.1 Hàm số chứa căn thức 21 Câu 79. (Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho x 5 hữu tỉ. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. a  b  2c B. a  b  2c (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho x 16 hữu tỉ. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. a  b  3c B. a  b  3c x4  a ln 3  b ln 5  c ln 7 , với a , b, c là các số C. a  b  c 55 Câu 80. dx D. I  5 D. a  b  c dx  a ln 2  b ln 5  c ln11 , với a , b, c là các số x9 D. a  b  c C. a  b  c 2 Câu 81. (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2017) Tính tích phân I   2 x x 2  1dx bằng cách đặt 1 u  x 2  1 , mệnh đề nào dưới đây đúng? Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 11 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 2 3 A. I   udu B. I  0 1 udu 2 1 D. I   udu C. I  2  udu 1 0 ln 6 Câu 82. 2 3 (SGD – NAM ĐỊNH – LẦN 1 – 2018) Biết tích phân  1 0 , c là các số nguyên. Tính T  a  b  c . A. T  1 . B. T  0 . ex ex  3 dx  a  b ln 2  c ln 3 , với a , b C. T  2 . D. T  1 . 1 Câu 83. dx bằng 3x  1 0 1 C. . 3 (CHUYÊN VINH – LẦN 1 – 2018) Tích phân A. 4 . 3 B.  3 . 2 2 Câu 84. (ĐỀ THAM KHẢO BGD & ĐT 2018) Biết  ( x  1) 1 các số nguyên dương. Tính P  a  b  c A. P  18 B. P  46 D. 2 . 3 dx dx  a  b  c với a , b, c là x  x x 1 C. P  24 D. P  12 e Câu 85. (CHUYÊN TRẦN PHÚ HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Biết x 1 với a , b là các số hữu tỷ. Tính S  a  b . 1 A. S  1 . B. S  . 2 C. S  3 . 4 ln x dx  a  b 2 1  ln x D. S  2 . 3 2 2 Câu 86. (THPT GANG THÉP THÁI NGUYÊN NĂM 2018-2019) Cho tích phân I   16  x 2 dx và 0 x  4 sin t . Mệnh đề nào sau đây đúng?   4 4 A. I  8 1  cos 2t  dt . B. I  16 sin 2 tdt . 0 0   4 4 C. I  8 1  cos 2t  dt . D. I  16 cos2 tdt . 0 0 5 Câu 87. (ĐỀ THI CÔNG BẰNG KHTN LẦN 02 NĂM 2018-2019) Biết 1 dx  a  b ln 3  c ln 5 3x  1  1 1 (a, b, c  Q) . Giá trị của a  b  c bằng 7 5 A. . B. . 3 3 C. 8 . 3 D. 1 Câu 88. (ĐỀ THI THỬ VTED 03 NĂM HỌC 2018 – 2019) Cho  1 2 a , b, c, d là các số nguyên dương và A. 12 B. 10 4 . 3 x 1 b  dx  ln   d  , với x 1 a c  3 b tối giản. Giá trị của a  b  c  d bằng c C. 18 D. 15 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 12 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 7 Câu 89. (LÊ QUÝ ĐÔN – QUẢNG TRỊ – LẦN 1 – 2018) Cho biết  x 3 0 số tối giản. Tính m  7 n A. 0 . B. 1 . Câu 90. (THPT 1  3x  5 0 A.  CHUYÊN 3 1 x 2 dx  C. 2 . ĐẠI HỌC VINH m m với là một phân n n D. 91 . NĂM 2018-2019 LẦN 01) Biết rằng dx  a ln 2  b ln 3  c ln 5 , với a, b, c là các số hữu tỉ. Giá trị của a  b  c bằng 3x  1  7 10 3 B.  5 3 C. 10 3 D. 5 3 e Câu 91. Câu 92. ln x dx  a  b 2 với a , b là các số hữu tỷ. Tính S  a  b . 1  ln x 1 1 3 2 A. S  1 . B. S  . C. S  . D. S  . 2 4 3 Biết x (THPT NGÔ SĨ LIÊN BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 01) x a 0 4  2 x  1dx  3  b ln 2  c ln 3 với a,b,c là các số nguyên. Giá trị a  b  c bằng: A. 9 B. 2 C. 1 D. 7 Cho 3 3 Câu 93. (THPT BA ĐÌNH NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho I   0 x 4  2 x 1 a  b ln 2  c ln d , với d dx  a là phân số tối giản. Giá trị của a  b  c  d bằng d B. 4. C. 28. D. 2 . a , b, c, d là các số nguyên và A. 16. a Câu 94. Tính I   0 x3  x x2  1 dx . A. I   a 2  1 a 2  1  1 . 1 B. I   a 2  1 a 2  1  1 .  3 1 C. I   a 2  1 a 2  1  1 .  3 D. I   a 2  1 a 2  1  1 . 1 2 Câu 95. (THCS – THPT NGUYỄN KHUYẾN – 2018) Giá trị của tích phân  0 x dx bằng tích phân nào 1 x dưới đây?  1 2 4 A. 2  2sin ydy . 0 B.  2 sin x 0 cos x dx . 4 C.  2 sin y 0 cosy dy . 2 2 Câu 96. (THPT CHUYÊN THĂNG LONG – ĐÀ LẠT – 2018) Biết  3 với a, b, c là các số nguyên và phân số A. 11 . B. 12 . 2 D.  2sin 2 ydy . 0 x x2  1  x2  1 dx  b ln 5  c ln 2 a a là tối giản. Tính P  3a  2b  c . b C. 14 . D. 13 . Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 13 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Câu 97. (THPT BÌNH GIANG HẢI DƯƠNG 2018) Cho tích phân 4  5 6  12  25  x 2 1 x dx  a  b 6  c ln  5 6  12   d ln 2 với a, b, c, d là các số hữu tỉ. Tính tổng   abcd . 1 3 3 3 A.  . B.  . C.  . D.  . 3 25 2 20 Câu 98. (SỞ GD&ĐT HƯNG YÊN – 2018) Cho tích phân 1 dx I  4  x2 0 nếu đổi biến số    x  2sin t , t    ;  thì ta được.  2 2 π 3 A. I   dt . 0 π 6 π 6 π 4 B. I   dt . dt . 0 t C. I   tdt . 0 D. I   0 1 Câu 99. (THPT PHÚ LƯƠNG – THÁI NGUYÊN – 2018) Biết  x x3 1  x2 0 các số nguyên và b  0 . Tính P  a  b2  c . A. P  3 . B. P  7 . dx  C. P  7 . a b c với a, b, c là 15 D. P  5 . 1 n Câu 100. Cho n là số nguyên dương khác 0 , hãy tính tích phân I   1  x 2  xdx theo n . 0 A. I  1 . 2n  2 B. I  1 . 2n C. I  1 . 2n  1 D. I  1 . 2n  1 Câu 101. (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN ĐIỆN BIÊN LẦN 3 NĂM 2018-2019) 64 dx 2 I  a ln  b với a , b là số nguyên. Khi đó giá trị a  b là 3 3 x x 1 A. 17 . B. 5. C. 5 . D. 17 . 2 Câu 102. (CHUYÊN TRẦN PHÚ – HẢI PHÒNG – LẦN 2 – 2018) Biết  3x  1 với a , b , c là các số hữu tỷ, tính P  a  2b  c  7 . 1 86 A.  . B. . C. 2 . 9 27 x 1 a , b , c là các số nguyên dương. Tính P  a  b  c . A. P  44 . B. P  42 . C. P  46 . 4 Câu 104. (SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ – 2018) Biết sử dx  a  b 2  c 35 9×2 1 D. 2 Câu 103. (THPT PHAN CHU TRINH – ĐẮC LẮC – 2018) Biết x Giả 67 . 27 dx  a  b  c với x  1   x  1 x D. P  48 . 2 x  1dx 5  a  b ln 2  c ln  a, b, c    . Tính 3 2x  1  3  2x  3 0 T  2a  b  c . A. T  4 . B. T  2 . Dạng 4.1.2 Hàm số chứa hàm lượng giác C. T  1 . Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong D. T  3 . 14 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489  Câu 105. (ĐỀ MINH HỌA GBD&ĐT NĂM 2017) Tính tích phân I   cos3 x.sin xdx . 0 1 A. I   4 1 B. I    4 4 C. I   4 D. I  0  2 Câu 106. (THPT KINH MÔN – HD – LẦN 2 – 2018) Cho  sin 0 S  abc A. S  1 . B. S  4 . 2 cos x 4 dx  a ln  b, tính tổng x  5sin x  6 c C. S  3 . D. S  0 .  2 Câu 107. (SGD – BÌNH DƯƠNG – HK 2 – 2018) Cho tích phân I   2  cos x .sin xdx . Nếu đặt 0 t  2  cos x thì kết quả nào sau đây đúng?  2 2 3 B. I   t dt . A. I   t dt . 3 2 D. I   t dt . C. I  2  t dt . 3 2 0  sin 2 x dx bằng cách đặt u  tan x , cos 4 x 0 4 Câu 108. (SGD&ĐT ĐỒNG THÁP – HKII – 2018) Tính tích phân I   mệnh đề nào dưới đây đúng?  2 4 1 du . u2 0 A. I   u 2 du . B. I   0 1 1 C. I    u 2 du . D. I   u 2 du . 0 0 π 3 sin x dx . cos3 x 0 Câu 109. (THTP LÊ QUÝ ĐÔN – HÀ NỘI – LẦN 1 – 2018) Tính tích phân I   A. I  5 . 2 B. I  3 . 2 C. I  π 9  . 3 20 D. I  9 . 4  2 Câu 110. (THPT LÝ THÁI TỔ – BẮC NINH – 2018) Cho tích phân sin x dx  a ln 5  b ln 2   cos x  2 với 3 a, b  . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. 2a  b  0. B. a  2b  0. C. 2a  b  0. D. a  2b  0. Câu 111. (THPT ĐÔNG SƠN THANH HÓA NĂM 2018-2019 LẦN 02) Có bao nhiêu số a   0;20  sao a cho  sin 5 x sin 2 xdx  0 2 . 7 A. 10. B. 9. C. 20. D. 19. Câu 112. (HSG BẮC NINH NĂM 2018-2019) Biết F ( x) nguyên hàm của hàm số f ( x)  sin 2 x  cos x và 1  sin x   F (0)  2 . Tính F   2 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 15 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG   2 2 8 A. F    3 2   2 2 8 B. F    3 2 ĐT:0946798489   4 2 8 C. F    3 2   4 2 8 D. F    3 2  6 Câu 113. Biết dx  1  sin x  0 a 3b , với a, b  , c   và a, b, c là các số nguyên tố cùng nhau. Giá trị của c tổng a  b  c bằng A. 5 . B. 12 . D. 1. C. 7 .  2 Câu 114. Cho tích phân số s inx dx  a ln 5  b ln 2 với a , b   . Mệnh đề nào dưới đây đúng?   cos x  2 3 A. 2a  b  0. B. a  2b  0. C. 2a  b  0. . D. a  2b  0. .  2 Câu 115. (THPT NGHEN – HÀ TĨNH – LẦN 1 – 2018) Cho   cos x  0 sin x 2 4 dx  a ln  b , với a , b c  5cos x  6 là các số hữu tỉ, c  0 . Tính tổng S  a  b  c . A. S  3 . B. S  0 . C. S  1 . Dạng 4.13. Hàm số chứa hàm số mũ, logarit 1 Câu 116. (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2017) Cho e 0 3 D. S  4 . dx 1 e  a  b ln , với a, b là các số hữu tỉ. 1 2 x 3 Tính S  a  b . A. S  2 . B. S  0 . C. S  1 . D. S  2 . e 3ln x  1 dx . Nếu đặt t  ln x thì x 1 Câu 117. (SGD&ĐT CẦN THƠ – HKII – 2018) Cho tích phân I   1 e 3t  1 dt . t 1 3t  1 dt . et 0 B. I   A. I   1 e C. I    3t  1 dt . 1 D. I    3t  1 dt . 0 Câu 118. (THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho e ln x c I  dx  a ln 3  b ln 2  , với a, b, c   . Khẳng định nào sau đâu đúng. 2 3 1 x  ln x  2  A. a 2  b 2  c 2  1 . B. a 2  b 2  c 2  11 . C. a 2  b 2  c 2  9 . D. a 2  b 2  c 2  3 . 4 Câu 119. (ĐỀ GK2 VIỆT ĐỨC HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Biết I   x ln  x 2  9 dx  a ln 5  b ln 3  c trong 0 đó a, b, c là các số thực. Giá trị của biểu thức T  a  b  c là: A. T  11. B. T  9. C. T  10. e Câu 120. Cho I   1 ln x x  ln x  2  2 D. T  8. dx có kết quả dạng I  ln a  b với a  0 , b   . Khẳng định nào sau đây đúng? A. 2ab  1 . B. 2ab  1 . C. b  ln Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 3 1  . 2a 3 D. b  ln 3 1  . 2a 3 16 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 e Câu 121. (THPT GIA LỘC HẢI DƯƠNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho 2 ln x  1  x  ln x  2 2 dx  ln 1 a c  với b d a , b , c là các số nguyên dương, biết a ; c là các phân số tối giản. Tính giá trị a  b  c  d ? b d A. 18 . B. 15 . C. 16 . D. 17 . 1 3 x 3 x  x  2  ex .2 1 1 e   Câu 122. [KIM LIÊN – HÀ NỘI – LẦN 1 – 2018] Biết  dx   ln  p   với x   e.2 m e ln n e     0 m , n , p là các số nguyên dương. Tính tổng S  m  n  p . A. S  6 . B. S  5 . C. S  7 . D. S  8 . Câu 123. (THPT YÊN ĐỊNH THANH HÓA 2018 2019LẦN 2) Cho 3 2 e 3 x  1 ln x  3x  1 dx  a.e3  b  c.ln  e  1 với a , b , c là các số nguyên và ln e  1 . Tính 1 1  x ln x P  a 2  b2  c2 . A. P  9 . B. P  14 . C. P  10 . D. P  3 .   Câu 124. (ĐỀ 01 ĐỀ PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Biết ln 2 dx 1 I    ln a  ln b  ln c  với a , b , c là các số nguyên dương. x  x 0 e  3e 4 c Tính P  2 a  b  c . A. P  3 . B. P  1. C. P  4 . D. P  3 2 x 1 Câu 125. (THPT CHUYÊN HẠ LONG – LẦN 2 – 2018) Biết  2 dx  ln  ln a  b  với a , b là các x  x ln x 1 số nguyên dương. Tính P  a 2  b 2  ab . A. 10 . B. 8 . C. 12 . D. 6 . 1 Câu 126. (THPT CHUYÊN THÁI BÌNH – LẦN 4 – 2018) Cho  x  x ex x  e x 0 c   . Tính P  a  2b  c . A. P  1 . B. P  1 . Dạng 4.1.4 Hàm số hữu tỷ, đa thức 2 dx  a.e  b ln  e  c  với a , b , C. P  0 . D. P  2 . 1 Câu 127. (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Cho xdx   x  2 2  a  b ln 2  c ln 3 với a, b, c là 0 các số hữu tỷ. Giá trị của 3a  b  c bằng A. 2 B. 1 C.  2 3 Câu 128. (TT HOÀNG HOA THÁM – 2018-2019) Tính K   2 A. K  ln 2 . 1 8 B. K  ln . 2 3 D. 1 x dx bằng x 1 2 8 D. K  ln . 3 C. K  2ln 2 . 1 Câu 129. (CHUYÊN LONG AN – LẦN 1 – 2018) Cho tích phân I   0 x7 2 5 1  x  dx , giả sử đặt t  1  x 2 . Tìm mệnh đề đúng. Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 17 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG 3 1  t  1 dt . 2 1 t 5 2 A. I  3 B. I   t5 1 3 1  t  1 C. I   dt . 2 1 t4 2  t  1 ĐT:0946798489 3 dt . 3 3  t  1 D. I   dt . 2 1 t4 4 1 Câu 130. (KTNL GIA BÌNH NĂM 2018-2019) Có bao nhiêu số thực a để x a x 2 dx  1 . 0 A. 2 B. 1 C. 0 D. 3 1 Câu 131. (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Cho xdx   x  2 2  a  b ln 2  c ln 3 với a, b, c là 0 các số hữu tỷ. Giá trị của 3a  b  c bằng A.  2 B. 1 C. 2 D. 1  2 x  3x  2  Câu 132. (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 3) Cho 8 6 dx  7 A  3 x  2   B  3 x  2   C với A, B, C   . Tính giá trị của biểu thức 12 A  7 B . 52 7 D. 9 9 1 2 2 x  3x  3 Câu 133. (CHUYÊN HÀ TĨNH – LẦN 1 – 2018) Biết  2 dx  a  ln b với a , b là các số nguyên x  2x 1 0 A. 23 252 B. 241 252 C. dương. Tính P  a 2  b 2 . A. 13 . B. 5 . C. 4 . Dạng 4.2 Hàm số không tường minh (hàm ẩn) D. 10 . 5 Câu 134. (THPT CẨM GIÀNG 2 NĂM 2018-2019) Cho biết  f  x dx  15 . Tính giá trị của 1 2 P    f  5  3 x   7  dx . 0 A. P  15 . B. P  37 . C. P  27 . D. P  19 . 4 Câu 135. (THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 1) Cho  f  x  dx  2018 . Tính tích 0 2 phân I    f  2 x   f  4  2 x   dx . 0 A. I  0 . B. I  2018 . C. I  4036 . D. I  1009 . 2 Câu 136. Cho y  f  x  là hàm số chẵn, liên tục trên  6;6 . Biết rằng 3  f  x  dx  8 ;  f  2 x  dx  3 . Giá 1 1 6 trị của I   f  x  dx là 1 A. I  5 . B. I  2 . C. I  14 . Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong D. I  11 . 18 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Câu 137. (THPT ĐOÀN THƯỢNG – HẢI DƯƠNG – 2018 2019) Cho hàm số f  x  liên tục trên  và 2   f  x  dx  2018 , tính I   xf  x  dx. 2 0 0 A. I  1008 . B. I  2019 . C. I  2017 . D. I  1009 . 2 Câu 138. (CHUYEN PHAN BỘI CHÂU NGHỆ AN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho  f  x dx  2 . Khi đó 1 4  f  x dx bằng x 1 A. 1 . B. 4 . C. 2 . D. 8 . 2 Câu 139. (SỞ GD&ĐT HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Cho 5  f x 2 1 A. 2 . B. 1.  1xdx  2 . Khi đó I   f  x  dx bằng 2 C. 4 . D. 1 . Câu 140. (THPT NĂM 2018-2019 LẦN 04) 1 Cho f , g là hai hàm số liên tục trên 1;3 thỏa mãn điều kiện 3 3   f  x   3g  x dx=10 đồng thời   2 f  x   g  x dx=6 . Tính 1 A. 9 . 3 1 B. 6 . C. 7 .  1 2 f  4  x dx +2  g  2 x  1dx 1 D. 8 . Câu 141. (TT THANH TƯỜNG NGHỆ AN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho hàm số f  x  liên tục trên  1 2  f  x  dx  2  f  3x  1 dx  6 thỏa A. I  16 . 0 và 7 0 . Tính B. I  18 . I   f  x  dx 0 C. I  8 . . D. I  20 . Câu 142. (THPT QUỲNH LƯU 3 NGHỆ AN NĂM 2018-2019) Cho f  x  liên tục trên  thỏa mãn 7 f  x   f 10  x  và 7  f  x  dx  4 . Tính I   xf  x  dx . 3 A. 80 . 3 B. 60 . C. 40 . D. 20 . 1 Câu 143. (THPT QUANG TRUNG ĐỐNG ĐA HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Cho  f  x  dx  9 . Tính 0  6 I   f  sin 3 x  cos 3 xdx . 0 A. I  5 . B. I  9 . C. I  3 . D. I  2 . 4 Câu 144. (CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ NĂM 2018-2019 LẦN 1) Cho tích phân I   f  x  dx  32. Tính 0 2 tích phân J   f  2 x  dx. 0 A. J  32 B. J  64 C. J  8 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong D. J  16 19 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Câu 145. (ĐỀ GK2 VIỆT ĐỨC HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Biết f  x  là hàm liên tục trên  và 4 9  f  x  dx  9 . Khi đó giá trị của  f  3x  3 dx là 1 0 A. 0 . C. 27 . B. 24 . D. 3 . Câu 146. (ĐỀ THI CÔNG BẰNG KHTN LẦN 02 NĂM 2018-2019) Cho hàm số f ( x) thỏa mãn 1  2 f (2 x)dx  2 .Tích phân  f ( x)dx 0 bằng 0 A. 8. B. 1. C. 2. D. 4. 2017 Câu 147. Cho hàm f  x  thỏa mãn 1  f  x  dx  1 . Tính tích phân I   f  2017 x  dx . 0 1 . 2017 A. I  0 B. I  0 . 2 Câu 148. Cho tích phân D. I  1 . C. I  2017 . 1  f  x  dx  a . Hãy tính tích phân I   xf  x 1 2   1 dx theo a . 0 B. I  A. I  4a . a . 4 C. I  a . 2 D. I  2a . Câu 149. (TRƯỜNG THPT HOÀNG HOA THÁM HƯNG YÊN NĂM 2018-2019) Cho hàm số f  x  liên  e2 4 tục trên  và thỏa mãn  tan x. f  cos x  dx  2 và 2  B. 1 . x ln x e 0 A. 0 . f  ln 2 x  2 dx  2 . Tính  1 4 f  2x dx . x D. 8 . C. 4 . Câu 150. (THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 1) Cho hàm số  1 2  x 2  3x 2 ; x  1 y  f  x   . Tính I  2  f  sin x  cos xdx  3 f  3  2 x  dx . 5  x ; x  1 0 0 71 32 A. I  . B. I  31 . C. I  32 . D. I  . 6 3 2 Câu 151. (THPT YÊN KHÁNH – NINH BÌNH – 2018 – 2019) Cho I   f  x  dx  2 . Giá trị của 1  2 sin xf   3cos x  1 3cos x  1 0  dx bằng 4 B.  . 3 A. 2 . C. 4 . 3 D. 2 . 4 Câu 152. (THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Biết  f  x  dx  5 1 5 và 2 ln 2  f  x  dx  20 . Tính  f  4 x  3 dx   f  e  e 2x 4 A. I  1 15 . 4 B. I  15 . 2x dx . 0 5 C. I  . 2 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong D. I  25 . 20 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Câu 153. (CHUYÊN THÁI BÌNH NĂM 2018-2019 LẦN 03) Cho f ( x ) là hàm số liên tục trên  thỏa mãn 2 2 f ( x )  f (2  x )  x.e x , x   . Tính tích phân I   f ( x )dx . 0 4 A. I  e 1 . 4 B. I  2e  1 . 2 C. I  e 4  2 . D. I  e4  1 . Câu 154. (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 3) Cho hàm số f  x  liên tục trên  thỏa 2 1 mãn f  2 x   3 f  x  , x   . Biết rằng  f  x  dx  1 . Tính tích phân I   f  x  dx . 1 0 A. I  5 B. I  6 C. I  3 D. I  2 Câu 155. (TT HOÀNG HOA THÁM – 2018-2019) Cho hàm số f  x  liên tục trên  và thỏa mãn  e2 2  tan x. f  cos x  dx  2 và 2 0  f  ln 2 x  x ln x e 2 dx  2 . Tính f  2x x 1 4 B. 1 . A. 0 .  dx . C. 4 . D. 8 . Câu 156. (CHUYÊN KHTN LẦN 2 NĂM 2018-2019) Cho hàm số f ( x) liên tục trên  thỏa mãn  8 3 f (3 x) dx  6 . x 2  tan x. f (cos x)dx   0 1 2 Tính tích phân  1 2 f ( x2 ) dx x A. 4 B. 6 C. 7 D. 10 Câu 157. (THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN – ĐÀ NẴNG – LẦN 1 – 2018) Cho hàm số f  x  liên tục trên e 2018 1 2018  thỏa  f  x  dx  2 . Khi đó tích phân  0 0 A. 4 . B. 1 . x f ln  x 2  1 dx bằng x 1 C. 2 . D. 3 .  2  Câu 158. (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC – LẦN 4 – 2018) Cho hàm số f  x  liên tục trên  thỏa mãn  1 4  f  tan x  dx  3 và  x2 f  x  1 dx  1. Tính I   f  x  dx. x2  1 0 A. I  2 . B. I  6 . C. I  3 . D. I  4 . Câu 159. (SGD THANH HÓA – LẦN 1 – 2018) Cho hàm số f  x  liên tục trên  và thỏa mãn 0 0  2 16 2  cot x. f  sin x  dx    1 f  x  dx  1 . Tính tích phân x B. I   1 8 4 A. I  3 . 1 3 . 2 f  4x dx . x C. I  2 . Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong D. I  5 . 2 21 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Câu 160. (SGD – NAM ĐỊNH – LẦN 1 – 2018) Cho hàm số f  x  liên tục trên đoạn 1; 4 và thỏa mãn f  x     ln x . Tính tích phân I  f 2 x 1 x x 2 4  f  x  dx . 3 2 C. I  ln 2 2 . B. I  2 ln 2 . A. I  3  2 ln 2 . D. I  2 ln 2 . Câu 161. (THPT CHUYÊN THĂNG LONG – ĐÀ LẠT – 2018) Cho hàm số 7 f  x   4 f  4  x   2018 x x  9 liên tục trên  thảo 4 2 mãn: f  x ,  x   . Tính I   f  x  dx . 0 2018 A. . 11 7063 B. . 3 98 C. . 3 D. 197764 . 33 Câu 162. (SỞ GD&ĐT NAM ĐỊNH – HKII – 2018) Cho hàm số y  f ( x) liên tục trên 1; 4 và thỏa mãn 4 f (2 x  1) ln x  . Tính tích phân I   f ( x) dx . x x 3 f ( x)  B. I  2 ln 2 2 . A. I  3  2 ln 2 2 . C. I  ln 2 2 . D. I  2ln 2 . Dạng 5. Tích phân TỪNG PHẦN Dạng 5.1 Hàm số tường minh e Câu 163. (ĐỀ MINH HỌA GBD&ĐT NĂM 2017) Tính tích phân I   x ln xdx : 1 2 A. I  e 1 4 B. I  2 1 2 C. I  e 2 2 D. I  e2  1 4 e Câu 164. (MĐ 103 BGD&ĐT NĂM 2017-2018) Cho  1  x ln x dx  ae 2  be  c với a , b , c là các số 1 hữu tỷ. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. a  b  c B. a  b  c C. a  b  c D. a  b  c e Câu 165. (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho   2  x ln x dx  ae 2  be  c với a , b, c là các số hữu tỉ. 1 Mệnh đề nào sau đây đúng? A. a  b  c B. a  b  c C. a  b  c D. a  b  c 5  3e2 . C. 2 5  3e 2 . D. 4 1 Câu 166. Tích phân   x  2 e 2x dx bằng 0 5  3e 2 . A. 4 5  3e2 . B. 4 1 Câu 167. (THPT CẨM GIÀNG 2 NĂM 2018-2019) Biết rằng tích phân x   2 x +1 e dx = a + b.e , tích a.b 0 bằng A. 15 . B. 1 . C. 1. Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong D. 20. 22 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Câu 168. (THPT HÙNG VƯƠNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho tích phân 2 ln x b b I   2 dx   a ln 2 với a là số thực, b và c là các số dương, đồng thời là phân số tối giản. x c c 1 Tính giá trị của biểu thức P  2a  3b  c . A. P  6 . B. P  5 . C. P   6 . D. P  4 .  4 Câu 169. (THPT LÊ XOAY VĨNH PHÚC LẦN 1 NĂM 2018-2019) Cho tích phân I    x  1 sin 2 xdx. 0 Tìm đẳng thức đúng?  A. I    x  1 cos2 x   cos2 xdx . B. I   0  1 C. I    x  1 cos2 x 2 4 0   4 1  x  1 cos2 x 2 4 4   cos2 xdx . 0 0    14   cos2 xdx . 20 D. I    x  1 cos2 x 4 4   cos2 xdx . 0 0 Câu 170. (CHUYÊN KHTN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Biết rằng tồn tại duy nhất các bộ số nguyên a, b, c 3 sao cho   4 x  2  ln xdx  a  b ln 2  c ln 3 . Giá trị của a  b  c bằng 2 A. 19 . B. 19 . C. 5 . D. 5 . ln 1  x  dx  a ln 2  b ln 3 , với a, b là các số hữu tỉ. x2 1 2 Câu 171. (HSG BẮC NINH NĂM 2018-2019) Cho Tính P  a  4b . A. P  0 B. P  1  C. P  3 D. P 3 21000 Câu 172. (PEN I – THẦY LÊ ANH TUẤN – ĐỀ 3 – NĂM 2019) Tính tích phân I  ln x   x  1 dx , ta được 2 1 ln 21000 2  1001ln . 1000 1 2 1  21000 ln 21000 2 C. I   1001ln . 1000 1 2 1  21000 A. I   1000 ln 2 21000  ln . 1  21000 1  21000 1000 ln 2 21000 D. I   ln . 1  21000 1  21000 B. I   2 Câu 173. (ĐỀ 15 LOVE BOOK NĂM 2018-2019) Biết  2 x ln  x  1 dx  a.lnb , với a, b  * , b là số 0 nguyên tố. Tính 6a  7b . A. 6a  7b  33 . B. 6a  7b  25 . C. 6a  7b  42 . D. 6a  7b  39 . a Câu 174. (CHUYÊN HƯNG YÊN NĂM 2018-2019 LẦN 03) Biết rằng  ln xdx  1  2a,  a  1 . Khẳng 1 định nào dưới đây là khẳng định đúng? A. a  18; 21 . B. a  1; 4  . C. a  11;14  . D. a   6;9  . 1 Câu 175. (KTNL GV BẮC GIANG NĂM 2018-2019) Cho tích phân x  ( x  2)e dx  a  be , với a; b   . 0 Tổng a  b bằng Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 23 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG A. 1 . B. 3 . C. 5 . ĐT:0946798489 D. 1 . 2 Câu 176. (KTNL GV THUẬN THÀNH 2 BẮC NINH NĂM 2018-2019) Tính tích phân I   xe x dx . 1 A. I  e 2 . B. I  e 2 . C. I  e . D. I  3e 2  2e . Câu 177. (THPT YÊN PHONG SỐ 1 BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Biết rằng 3  x ln x dx  m ln 3  n ln 2  p trong đó m, n, p   . Tính m  n  2 p 2 A. 5 . 4 B. 9 . 2 5 D.  . 4 C. 0 . 2 Câu 178. (CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA LẦN 2 NĂM 2018-2019) Biết  2 x ln 1  x  dx  a.ln b , với 0 a, b   , b là số nguyên tố. Tính 3a  4b . A. 42 . B. 21 . * C. 12 . D. 32 . 2 ln x b dx   a ln 2 2 x c 1 Câu 179. (CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ NĂM 2018-2019 LẦN 1) Cho tích phân I   b là phân số tối giản. Tính giá trị của c với a là số thực, b và c là các số nguyên dương, đồng thời biểu thức P  2 a  3b  c . A. P  6 B. P  6 C. P  5 D. P  4  3 x 3 dx    ln b . Khi đó, giá trị của a 2  b bằng 2 cos x a 0 Câu 180. Biết I   A. 11 . B. 7 . C. 13 . Câu 181. (TT HOÀNG HOA THÁM – 2018-2019) Cho  F  x   2 x  ln  x  1  I   dx bằng x 2  A. 3ln 3  3 . B. 3ln 3  2 .  ln  x 2 D. 9 .  x  dx  F  x  , F  2   2 ln 2  4 . Khi đó 3 Câu 182. (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN C. 3ln 3  1 . ĐIỆN BIÊN NĂM D. 3ln 3  4 2018-2019 LẦN 02) Biết  3 x 3 dx    ln b , với a, b là các số nguyên dương. Tính giá trị của biểu thức 2 cos x a 0 I  T  a 2  b. A. T  9 . B. T  13 . D. T  11 . C. T  7 . ln 1  2 x  a dx  ln 5  b ln 3  c ln 2 2 x 2 Câu 183. (THPT LÊ QUÝ ĐÔN ĐÀ NẴNG NĂM 2018-2019) Cho 1 , a  2 b  c  với a , b , c là các số nguyên. Giá trị của là: A. 0. B. 9. C. 3. D. 5. 2  ln 1  x  1 x 2 dx  a ln 2  b ln 3 , với a , b là các số hữu tỉ. Tính P  ab . 2 Câu 184. Cho Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 24 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG A. P  3 . 2 C. P  B. P  0 . ĐT:0946798489 9 . 2 D. P  3 . 1 Câu 185. (KTNL GV BẮC GIANG NĂM 2018-2019) Cho tích phân x  ( x  2)e dx  a  be , với a; b   . 0 Tổng a  b bằng A. 1 . Câu 186. (SỞ GD&ĐT B. 3 . D.  1 . C. 5 . PHÚ THỌ NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho π 4 ln  sin x  2 cos x  dx  a ln 3  b ln 2  cπ với a , b , c là các số hữu tỉ. Giá trị của abc bằng cos 2 x 0 15 5 5 17 A. B. C. D. 8 8 4 8  12 1  x  1x a dc  Câu 187. (CHUYÊN THÁI BÌNH NĂM 2018-2019 LẦN 03) Biết   1  x  e dx  e trong đó x b 1  12 a, b, c, d là các số nguyên dương và các phân số A. 12. B. 1. a c , là tối giản. Tính bc  ad . b d C. 24. D. 64. 2 Câu 188. (THPT YÊN KHÁNH A – LẦN 2 – 2018) Cho x  ln  x  1   x  2 dx  2 0 a c  ln 3 (với b d ac là các phân số tối giản). Tính P   a  b  c  d  . bd A. 7 . B. 7 . C. 3 . D. 3 . Dạng 5.2 Hàm số không tường minh (hàm ẩn) a, c  ; b, d  * ; 1 Câu 189. (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2017) Cho hàm số f  x  thỏa mãn   x  1 f   x  dx  10 0 1 và 2 f 1  f  0   2 . Tính  f  x  dx . 0 B. I  8 A. I  1 D. I  8 C. I  12 Câu 190. (HSG BẮC NINH NĂM 2018-2019) Cho hàm số y  f ( x ) có đạo hàm liên tục trên  và thỏa 2 1 mãn f (2)  16,  f ( x ) dx  4 . Tính I   xf (2 x )dx . 0 A. I  20 0 B. I  7 C. I  12 D. I  13 Câu 191. (THCS – THPT NGUYỄN KHUYẾN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục trên  0;1 thỏa mãn  1 0 x 2 f  x  dx   1 , f 1  0 và 21 2 1  f ‘  x   dx  . Giá trị của 0 7  1 1  f  x  dx bằng 0 A. 5 . 12 1 B.  . 5 C. 4 . 5 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong D.  7 . 10 25 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Câu 192. (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG TRỊ NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  và thỏa mãn 1 1  f  x  dx  1, f 1  cot1 . Tính tích phân I    f  x  tan 0 2 x  f   x  tan x  dx . 0 B. 1  ln  cos1 . A. 1 . D. 1  cot1 . C. 0. f  x Câu 193. (THPT NGÔ SĨ LIÊN BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số có đạo hàm 1 1 1 liên tục trên đoạn  0 ;1 thỏa mãn f 1  0 ,  x 2 f  x  dx  Tính  x 3 f ‘  x  dx . 3 0 0 A. 1 B. 1 C. 3 D. 3 Câu 194. (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 3) Cho hàm số y  f  x có đạo hàm liên 1 tục trên đoạn  0;1 và thỏa mãn f  0   0 . Biết  f 2  x  dx  0 1 9 và 2  f   x  cos 0 x 2 3 . Tích 4 dx  1 phân  f  x  dx bằng 0 A. 6 B.  2 C.  4 D.  1   2 Câu 195. (THPT NĂM 2018-2019 LẦN 04) Biết m là số thực thỏa mãn  x  cos x  2m dx=2 2  0 Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. m  0 . B. 0  m  3 . C. 3  m  6 .  2 1. D. m  6 . Câu 196. (ĐỀ THAM KHẢO BGD & ĐT 2018) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên  0;1 thỏa 1 mãn f 1  0, 1 2   f ( x)  dx  7 và 0 A. 4 B. 2  x f ( x)dx  0 7 5 1 . Tính tích phân 3 1  f ( x)dx 0 C. 1 D. 7 4 Câu 197. (THPT ĐOÀN THƯỢNG – HẢI DƯƠNG – 2018 2019) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên 1 tục trên đoạn 0;1 và f  0   f 1  0 . Biết  f 2  x  dx  0 1 , 2 1   f   x  cos  x  dx  2 . Tính 0 1  f  x  dx . 0 A.  . B. 3 . 2 C. 2  . D. 1  . Câu 198. (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 3) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục 1 trên đoạn  0;1 thỏa mãn f 1  0 , 1 2   f   x  dx  7 và 0 bằng 7 A. 5 B. 1 C. 7 4 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 2  x f  x  dx  0 1 . Tích phân 3 1  f  x  dx 0 D. 4 26 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Câu 199. (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 3) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục 1 trên đoạn  0;1 thỏa mãn f 1  4 , 1 2   f   x  dx  36 và  x. f  x  dx  0 bằng 5 A. 6 B. 3 2 0 C. 4 1 . Tích phân 5 D. 1  f  x  dx 0 2 3 Câu 200. (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 3) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục 2 trên đoạn  0; 2 thỏa mãn f  2   3 , 2 2 2  x f  x  dx    f   x  dx  4 và 0 bằng 2 A. 115 B. 297 115 C. 0 562 115 1 . Tích phân 3 D. 2  f  x  dx 0 266 115 Câu 201. (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 3) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục 1 trên đoạn  0;1 thỏa mãn f 1  4 , 1 1 0 x. f  x  dx   2 . Tích phân 2   f   x  dx  5 và 0 bằng 15 A. 19 B. 17 4 C. 17 18 D. 1  f  x  dx 0 15 4 Câu 202. (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 3) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục 2 2 17 trên đoạn  0; 2 thỏa mãn f  2   6 ,   f   x   dx  7 và  x. f  x  dx  . Tích phân 2 0 0 bằng A. 8 B. 6 C. 7 D. 5 2 2  f  x  dx 0 Câu 203. (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 3) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục 3 3 2 trên đoạn  0;3 thỏa mãn f  3  6 ,   f   x   dx  2 và  x 2 . f  x  dx  0 bằng 53 A. 5 B. 0 117 20 C. 153 5 154 . Tích phân 3 D. 3  f  x  dx 0 13 5 Câu 204. (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 3) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục 1 1 2 trên đoạn  0;1 thỏa mãn f 1  2 ,   f   x   dx  8 và 0 1 3  x . f  x  dx  10 . Tích phân  f  x  dx 0 0 bằng 194 584 2 116 B. C. D. 95 285 285 57 Câu 205. (SGD&ĐT BẮC GIANG – LẦN 1 – 2018) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 A.  1 thỏa mãn f 1  0 và 2 0 A. I  2  e . 1 1 x   f   x  dx    x  1 e f  x  dx  0 B. I  e  2 . C. I  Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong e . 2 e2  1 . Tính tích phân I   f  x  dx . 4 0 D. I  e 1 . 2 27 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489   Câu 206. (SGD – NAM ĐỊNH – LẦN 1 – 2018) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;   4   và f    0 . Biết 4   4 4  f 2  x  dx  0 B. I  A. I  1 .  8 ,  f   x  sin 2xdx     0 1 . 2 4 8 . Tính tích phân I   f  2 x  dx 0 D. I  C. I  2 . 1 . 4 Câu 207. (CHUYÊN VINH – LẦN 1 – 2018). Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 và 1 f  0   f 1  0 . Biết  0 A.  . 1 1 f 2  x  dx  , 2 1 B. .  f   x  cos  x  dx  0 C.  2  .  2 1 . Tính  f  x  dx . 0 D. 3 . 2   Câu 208. (THPT TRẦN PHÚ – ĐÀ NẴNG – 2018) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm và liên tục trên 0;   4    thỏa mãn f    3 , 4 bằng: f  x 4  0   4 4 dx  1 và  sin x.tan x. f  x   dx  2 . Tích phân cos x 0  sin x. f   x  dx 0 23 2 1 3 2 . C. . D. 6 . 2 2 Câu 209. (PTNK CƠ SỞ 2 – TPHCM – LẦN 1 – 2018) Cho hàm số f  x  có đạo hàm f   x  liên tục trên A. 4 . B. 1 đoạn  0;1 thỏa f 1  0 ,   f  x 2 0 A.  2 B.  . . 1 2  và  cos  dx  8 2 0 1 C. .  1  x  f  x  dx  . Tính 2  2 D. . 1  f  x  dx . 0  Câu 210. (CHUYÊN TRẦN PHÚ – HẢI PHÒNG – LẦN 2 – 2018) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục 1 trên đoạn  0;1 thỏa mãn f 1  1 , 1 2   f   x  dx  9 và 0 bằng: 2 A. . 3 B. 5 . 2 C. 7 . 4 3  x f  x  dx  0 1 . Tích phân 2 D. 1  f  x  dx 0 6 . 5 Câu 211. (THPT PHAN CHU TRINH – ĐẮC LẮC – 2018) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 1 1 2  0;1 thỏa mãn   f   x  dx    x  1 e x f  x  dx  0 A. e 1 . 2 0 e2  1 và f 1  0 . Tính 4 2 B. e . 4 C. e  2 . D. 1  f  x dx 0 e . 2 Câu 212. (SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ – 2018) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 1; 2 thỏa mãn 2 2 2 2 1 2 1  x  1 f  x  dx   3 , f  2   0 và 1  f   x  dx  7 . Tính tích phân I  1 f  x  dx . Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 28 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 7 7 7 7 . B. I   . C. I   . D. I  . 5 5 20 20 Câu 213. (THPT QUẢNG YÊN – QUẢNG NINH – 2018) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn A. I  1 0;1 thỏa mãn: f 1  0,   f   x  2 1 dx  7 và 0 A. I  1 . B. I  1 2  x . f  x  dx  0 7 . 5 C. I  4 . 1 . Tính tích phân I   f  x  dx . 3 0 7 D. I  . 4 Câu 214. (ĐỀ THI GIỮA KỲ II YÊN PHONG 1 – 2018) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên 1 2  0;1 thỏa mãn f 1  3,   f   x   dx  0 A. 35 . 11 B. 4 và 11 1 7 0 x f  x  dx  11 . Giá trị của 4 23 C. . 7 65 . 21 D. 1  f  x  dx là 0 9 . 4 Câu 215. (THPT BÌNH GIANG – HẢI DƯƠNG – 2018) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên 1; 2 2 2   f   x   dx  và thỏa mãn f  2   0, 1 5 2  ln và 12 3 2 f  x   x  1 2 dx   1 5 3  ln . Tính tích phân 12 2 2  f  x  dx. 1 A. 3 2  2 ln . 4 3 B. ln 3 . 2 C. 3 3  2 ln . 4 2 D. 3 3  2 ln . 4 2 Câu 216. (SỞ GD&ĐT BẠC LIÊU – 2018) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  0;1 thỏa mãn 1 f 1  0 , 2   f ‘( x) dx  0 A. 1  3ln 3 . 3 4  ln 3 và 3 B. 1 4 f  x 8 0  2 x  12 dx  2 ln 3  3 . Tính tích phân 4  ln 3 . 3 C.  ln 3 . 16 1  0 D.  ln f  x dx bằng. 4 3 . 16 Câu 217. (SỞ GD&ĐT HƯNG YÊN – 2018) Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục trên  0;1 thỏa mãn 1 1 2 1 1 0  f   x  dx  30 và 0  2 x  1 f  x  dx   30 . Tích phân 11 11 11 A. . B. . C. . 30 12 4 Dạng 6. Kết hợp nhiều phương pháp để giải toán f  0  1; 1  f  x  dx bằng 0 D. 1 . 30 Câu 218. (Mã đề 104 – BGD – 2019) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  . Biết f  3   1 và 1 3  xf  3x  dx  1 , khi đó  x 2 f   x  dx bằng 0 0 25 A. . 3 B. 3 . C. 7 . Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong D. 9 . 29 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Câu 219. (Mã đề 101 – BGD – 2019) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên . Biết f  4   1 và  1 0 xf  4 x  dx  1, khi đó A. 8.  4 0 x 2 f   x  dx bằng B. 14. C. 31 . 2 D. 16 . Câu 220. (Mã 103 – BGD – 2019) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  . Biết f  6   1 và 1 6  xf  6 x  dx  1 , khi đó  x f   x  dx bằng 0 A. 107 . 3 2 0 C. 24 . B. 34 . D. 36 . Câu 221. (Mã 102 – BGD – 2019) Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục trên  . Biết f (5)  1 và 1 5  xf (5x)dx  1 , khi đó  x 0 2 f ( x)dx bằng 0 A. 15 B. 23 C. 123 5 D. 25 1 Câu 222. (SỞ GD&ĐT THANH HÓA NĂM 2018 – 2019) Cho  x ln(2  x 2 )dx  a ln 3  b ln 2  c với a, b, c 0 là các số hữu tỷ. Giá trị của a  b  c bằng A. 2 . B. 1. C. 3 . 2 D. 0 . 2 Câu 223. Cho hàm số f  x  liên tục, có đạo hàm trên  , f  2   16 và  f  x  dx  4 . Tích phân 0 4 x  xf   2  dx bằng 0 A. 112 . B. 12 . D. 144 . C. 56 . 2 Câu 224. (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU NĂM 2018-2019) Cho tích phân I  x sin xdx  a2  b  0  a, b   . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. a  3 b B. a 2  b  4 C. a  b  6 D. a   1; 0  b Câu 225. (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN ĐIỆN BIÊN LẦN 3 NĂM 2018-2019) Cho hàm số f  x  liên tục trên 2 1  và f  2   16,  f  x  dx  4 . Tính I   x. f   2 x  dx . 0 B. 12 . A. 7 . Câu 226. ——- 0 (ĐỀ HỌC SINH D. 13 . C. 20 . GIỎI TỈNH BẮC NINH NĂM 2018-2019) Biết  ln  s in x  cos x  bc a  bằng dx  ln 2  với a, b, c là các số nguyên. Khi đó, 2 0 a cos x b c 4 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 30 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG A. 6 . B. 8 . 3 ĐT:0946798489 8 D.  . 3 C. 6 . Câu 227. (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU NGHỆ AN LẦN 1 NĂM 2018-2019) Cho tích phân 2 I  x .sin x dx  a 2  b  a, b    , Mệnh đề nào sau đây đúng? 0 a  3 . b A. B. a 2  b  4 . C. a   1;0  . b D. a  b  6 . Dạng 7. Tích phân của một số hàm số khác Dạng 7.1 Tích phân hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối Câu 228. (PEN I – THẦY LÊ ANH TUẤN – ĐỀ 3 – NĂM 2019) Cho a là số thực dương, tính tích phân a I  x dx theo a . 1 a2  1 A. I  . 2 a2  2 B. I  . 2 2a 2  1 C. I  . 2 D. I  3a 2  1 2 . 1 Câu 229. (KTNL GIA BÌNH NĂM 2018-2019) Cho hàm số f  x  liên tục trên  và có  f  x  dx  2 ; 0 3 1  f  x  dx  6 . Tính I   f  2 x  1  dx 1 0 A. I  8 B. I  6 C. I  3 2 D. I  4 Câu 230. (THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 1) Cho số thực m  1 thỏa mãn m  2mx  1 dx  1 . Khẳng định nào sau đây đúng? 1 A. m   4;6  . B. m   2; 4  . C. m   3;5 . D. m  1;3 . Câu 231. (THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Khẳng định nào sau đây là đúng? A. C.  1 1  3 2 3 x dx   1 1 x 3 dx . B.  2018 1 x 4  x 2  1 dx   2018 1 x 4  x 2  1 dx .  3 e x  x  1 dx   e x  x  1 dx . 2 D. 2    1  cos 2 x dx   2 sin xdx .  2 5 Câu 232. (CHUYÊN BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho tích phân  1 với a, b, c là các số nguyên. Tính P = abc. A. P  36 B. P  0 C. P  18 2 x2 dx  a  b ln 2  c ln 3 x 1 D. P  18 Câu 233. (CHUYÊN HẠ LONG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Có bao nhiêu số tự nhiên m để 2 x 2 2 2  2m dx  0 A. Vô số. x 2  2m 2  dx . 0 B. 0 . C. Duy nhất. Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong D. 2 . 31 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 3 Câu 234. (CHUYÊN KHTN LẦN 2 NĂM 2018-2019) Cho hàm số f ( x) liên tục trên  và có  f ( x)dx  8 0 5 và 1  f ( x)dx  4. Tính  f ( 4 x  1)dx. 0 1 9 A. . 4 B. 11 . 4 C. 3. D. 6. 1 Câu 235. (THPT CHU VĂN AN -THÁI NGUYÊN – 2018) Tính tích phân I  2 x  2 x dx . 1 A. 1 . ln 2 B. ln 2 . C. 2ln 2 . D. 2 . ln 2 1 Câu 236. (PTNK CƠ SỞ 2 – TPHCM – LẦN 1 – 2018) Cho hàm số f  x  liên tục trên  thỏa  f  2 x  dx  2 0 2 và 2  f  6 x  dx  14 . Tính  f  5 x  2  dx . 0 2 A. 30 . B. 32 . C. 34 . D. 36 . Câu 237. (LÊ QUÝ ĐÔN – QUẢNG TRỊ – LẦN 1 – 2018) Cho f  x  là hàm số liên tục trên  và 1 3 1  f  x  d x  4 ,  f  x  d x  6 . Tính I   f  2 x  1  d x . 0 0 A. I  3 . 1 B. I  5 . C. I  6 . D. I  4 . Câu 238. (ĐỀ THI GIỮA KỲ II YÊN PHONG 1 – 2018) Cho hàm số f  x  liên tục trên  0;3 và 1  1 3 f  x  dx  2;  f  x  dx  8. Giá trị của tích phân 0  f  2 x  1  dx  ? 1 0 A. 6 B. 3 Dạng 7.2 Tích phân nhiều công thức C. 4 D. 5 2 x Câu 239. (ĐỀ 04 VTED NĂM 2018-2019) Cho số thực a và hàm số f  x    2 a x  x tích phân A.  1 1 khi x  0   D. 2a  1. 3 khi x  0 . Tính f  x  dx bằng: a  1. 6 B. 2a  1. 3 C. a  1. 6 Câu 240. (CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số e x  m khi x  0 f  x   liên tục trên  và 2 2 x 3  x khi x  0 1  f  x dx =ae  b 3  c ,  a, b, c  Q  . Tổng a  b  3c bằng 1 A. 15 . B. 10 . C. 19 . Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong D. 17 . 32 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG x Câu 241. Cho  1 1 hàm số e  m, f ( x)   2 2 x 3  x , ĐT:0946798489 khi x  0 liên tục trên  và khi x  0 f ( x)dx  ae  b 3  c, (a, b, c  ) . Tổng T  a  b  3c bằng A. 15 B. 10 Dạng 7.3 Tích phân hàm số chẵn, lẻ C. 19 D. 17 Câu 242. (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2017) Cho hàm số f  x  liên tục trên  và thoả mãn 3 2 f  x   f   x   2  2 cos 2 x , x   . Tính I   A. I  6 B. I  0  f  x  dx. 3 2 D. I  6 C. I  2 Câu 243. (THCS – THPT NGUYỄN KHUYẾN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho f  x  là hàm số chẵn trên a đoạn  a; a và k  0 . Giá trị tích phân f  x  1 e kx dx bằng a a A.  a f  x  dx . B.  a f  x  dx . a 0 a C. 2  f  x  dx . D. 2  f  x  dx . a 0 Câu 244. (ĐỀ GK2 VIỆT ĐỨC HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Cho f  x  , f   x  liên tục trên  và thỏa mãn 2 f  x  3 f x  A. m  2 . 2 1  I  f  x  dx  . Khi đó giá trị của m là . Biết 2  x 4 m 2 B. m  20 . C. m  5 . D. m  10 . Câu 245. (THPT HÀM RỒNG THANH HÓA NĂM 2018-2019 LẦN 1) Cho hàm số f  x  , f   x  liên tục trên  và thõa mãn 2 f  x   3 f   x   A. I   20 . B. I   10 . 2 1 . Tính I   f  x  dx . 2  2 4 x  C. I  . 20 D. I   . 10  4 Câu 246. (THPT HÀM RỒNG – THANH HÓA – 2018) Cho  b  15 . Khi đó a  b  c bằng: A. 10 . B. 9 . sin x  2 1 x  x dx   a  c , với a, b, c   , b 4 C. 11 . D. 12 . Câu 247. (SGD&ĐT HÀ NỘI – 2018) Cho hàm số y  f  x  là hàm lẻ và liên tục trên  4; 4 biết 0  4 2 f   x  dx  2 và 2 A. I  10 .  1 f  2 x  dx  4 . Tính I   f  x  dx . 0 B. I  6 . C. I  6 . D. I  10 . Câu 248. (HỒNG QUANG – HẢI DƯƠNG – LẦN 1 – 2018) Cho hàm số f  x  liên tục trên đoạn 1   ln 2;ln 2 và thỏa mãn f  x   f   x   x . Biết e 1 P  ab. Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong ln 2  f  x  dx  a ln 2  b ln 3  a; b    . Tính  ln 2 33 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG 1 . 2 A. P  B. P  2 . ĐT:0946798489 C. P  1 . D. P  2 . Câu 249. (THPT CHUYÊN ĐH VINH – LẦN 3 – 2018) Cho y  f  x  là hàm số chẵn và liên tục trên . 1 Biết  2 f  x  dx  0 1 f  x  dx  1 . Giá trị của 2 1 2 2 B. 6 . A. 1 . f  x 3 x dx bằng 1 C. 4 . D. 3 . 2 Câu 250. (SGD&ĐT BRVT – 2018) Hàm số f  x  là hàm số chẵn liên tục trên  và  f  x  dx  10 . Tính 0 2 I f  x 2 2 x 1 dx . B. I  A. I  10 . 10 . 3 C. I  20 . D. I  5 . Câu 251. (THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG – GIA LAI – LẦN 2 – 2018) Cho f ( x) là một hàm số liên tục trên  thỏa mãn f  x   f   x   2  2 cos 2 x . Tính tích phân I  3 2  A. I  3 . B. I  4 . C. I  6 .  f  x  dx . 3 2 D. I  8 . Câu 252. (ĐỀ THI GIỮA KỲ II YÊN PHONG 1 – 2018) Cho hàm số y  f  x  là hàm số chẵn, liên tục trên 1 đoạn  1;1 và 1 f  x  f  x  dx  6 . Kết quả của  1  2018 1 x dx bằng 1 A. 2 . B. 3 . Dạng 8. Một số bài toán tích phân khác C. 4 . D. 5 . Câu 253. (Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn f (2)   với mọi x  . Giá trị của f (1) bằng 2 2 A.  B.  3 9 C.  7 6 Câu 254. (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hàm số 2 1 và f ( x)  x  f ( x) 3 D.  11 6 f  x  thỏa mãn f 2   1 5 và 2 f   x   x3  f  x   với mọi x   . Giá trị của f 1 bằng 4 71 79 A.  B.  C.  35 20 20 D.  4 5 Câu 255. (THPT BA ĐÌNH NĂM 2018-2019 LẦN 02) Hàm số f  x  có đạo hàm đến cấp hai trên  thỏa  2  mãn: f 2 1  x   x 2  3 f  x  1 . Biết rằng f  x   0, x   , tính I    2 x  1 f ”  x  dx . 0 A. 8 . B. 0 . C. 4 . Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong D. 4 . 34 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Câu 256. (THPT YÊN PHONG 1 BẮC NINH NĂM HỌC 2018-2019 LẦN 2) Tính tích phân 1  max e , e dx x 12 x 0 A. e  1 . B. 3 e 3 e . 2   C. e  3 e . D. 1 1 e   . 2 e Câu 257. (THPT YÊN PHONG 1 BẮC NINH NĂM HỌC 2018-2019 LẦN 2) Cho tích phân  4 1 2 a  dx  ln b  với a, b, c là các số nguyên dương. Tính 2 c  5    0 cot   x  tan   x   12  6  2 2 2 a b c A. 48 . B. 18 . C. 34 . D. 36 .  Câu 258. (ĐỀ 04 VTED NĂM 2018-2019) Cho hàm số y  f ( x ) có đạo hàm liên tục trên  thỏa mãn 2 x. f ( x). f ‘( x)  f ( x)  x, x   và có f (2)  1 . Tích phân 2 f 2 ( x)dx 0 A. 3 2 B. 4 3 C. 2 D. 4 Câu 259. (THPT ĐÔNG SƠN THANH HÓA NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho hàm số f  x  nhận giá trị 2 không âm và có đạo hàm liên tục trên  thỏa mãn f   x    2 x  1  f  x   , x   và f  0   1 . Giá trị của tích phân 1 A.  . 6 1  f  x dx bằng 0 B.  ln 2 . C.   3 9 . D.  2 3 . 9 Câu 260. Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  , f  0   0, f ‘  0   0 và thỏa mãn hệ thức   f  x  . f ‘  x   18 x 2  3 x 2  x f ‘  x    6 x  1 f  x  ;    . 1 Biết   x  1 e f  x dx  ae 2  b,  a, b    .Giá trị của a  b bằng 0 A. 1. B. 2. C. 0. D. 2 . 3 Câu 261. (CHUYÊN TRẦN PHÚ HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho hàm số f  x  thỏa mãn 2 2  f  x   1 1 f  x   0 và f  x   f   x     x   0;1 . Biết f    , khẳng định nào sau đây x 2 2 2 e .x. x  x đúng? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A. f    B.  f    C.  f    D. f    6 5 5 4 5 5 5 4 5 6 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 35 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Câu 262. (ĐỀ THI THỬ VTED 03 NĂM HỌC 2018 – 2019) Cho hàm số f  x  liên tục và nhận giá trị không âm trên 0;1 . đoạn 1 Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 M    2 f  x   3 x  f  x dx    4 f  x   x  xf  x dx bằng 0 A.  0 1 24 B.  1 8 C.  1 12 1 6 D.  Câu 263. (CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục , trên f  0   0, f   0   0 và thỏa mãn hệ thức f  x  . f   x   18 x 2   3 x 2  x  f   x    6 x  1 f  x  , x   . 1 Biết   x  1 e f  x  dx  a.e 2  b , với a; b   . Giá trị của a  b bằng. 0 A. 1 . C. 0 . B. 2 . 2 . 3 D. Câu 264. (ĐỀ HỌC SINH GIỎI TỈNH BẮC NINH NĂM 2018-2019) Cho hàm số f  x  liên tục và có đạo  1 1 hàm trên   ;  thỏa mãn  2 2 A. ln 7 . 9 1 2 1 2   109   f  x   2 f  x  .  3  x  dx   12 . Tính  x  1 dx . f x 2 2  1 2 B. ln 2 . 9 0 5 C. ln . 9 8 D. ln . 9 1 n Câu 265. (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ SỐ 5) Với mỗi số nguyên dương n ta kí hiệu I n   x 2 1  x 2  dx . Tính 0 I lim n 1 . n  I n A. 1 . B. 2 . C. 3 . D. 5 . Câu 266. (TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ SỐ 1 – 2018) Cho f  x  là hàm liên tục trên đoạn  0; a  thỏa mãn a  f  x  . f  a  x   1 b dx ba và   , trong đó b , c là hai số nguyên dương và là phân số  c 1 f  x c  f  x   0, x   0; a  0 tối giản. Khi đó b  c có giá trị thuộc khoảng nào dưới đây? A. 11; 22  . B.  0;9  . C.  7; 21 . D.  2017; 2020  . Câu 267. (THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG – PHÚ THỌ – LẦN 4 – 2018) Cho hàm số f  x  xá định trên   0; 2  thỏa mãn A.  4 .   2 2  2   2   0  f  x   2 2 f  x  sin  x  4   d x  2 . Tích phân B. 0 . C. 1 . D.  f  x d x bằng 0  2 . Câu 268. (THPT HẬU LỘC 2 – TH – 2018) Cho số thực a  0 . Giả sử hàm số f ( x) liên tục và luôn dương a 1 dx ? 1 f  x 0 trên đoạn  0; a  thỏa mãn f ( x). f (a  x)  1 . Tính tích phân I   Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 36 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG A. I  2a . 3 B. I  a . 2 C. I  ĐT:0946798489 a . 3 D. I  a . Câu 269. (THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU – NGHỆ AN – LẦN 2 – 2018) Xét hàm số f  x  liên tục 1 trên đoạn  0;1 và thỏa mãn 2 f  x   3 f 1  x   1  x . Tích phân  f  x  dx bằng 0 2 A. . 3 1 B. . 6 2 C. . 15 D. 3 . 5  Câu 270. (CHUYÊN HÀ TĨNH – LẦN 1 – 2018) Biết x sin 2018 x a trong đó a , b là các số d x  0 sin 2018 x  cos2018 x b nguyên dương. Tính P  2a  b . A. P  8 . B. P  10 . C. P  6 . D. P  12 . Câu 271. (SGD – HÀ TĨNH – HK 2 – 2018) Cho hàm số f  x  đồng biến, có đạo hàm đến cấp hai trên đoạn  0; 2 và thỏa mãn  f  x   2 2  f  x  . f   x    f   x    0 . Biết f  0   1 , f  2   e6 . Khi đó f 1 bằng 3 A. e2 . 5 C. e3 . B. e 2 . D. e 2 . Câu 272. (THPT HÀM RỒNG – THANH HÓA – 2018) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên  0;3 ; f  3  x  . f  x   1, f  x   1 x. f   x  3  1  f  3  x  0 2 2  . f  x  A. 1 . với x   0;3 mọi và f  0  1 . 2 Tính tích phân: dx . 5 . 2 B. C. 1 . 2 D. 3 . 2 Câu 273. (SỞ GD&ĐT BÌNH PHƯỚC – LẦN 1 – 2018) Cho số thực a  0 . Giả sử hàm số f  x  liên tục a 1 dx ? 1 f  x 0 và luôn dương trên đoạn  0;a  thỏa mãn f  x  . f  a  x   1 . Tính tích phân I   A. I  a . 3 B. I  a . 2 D. I  C. I  a . 2a . 3 Câu 274. (SỞ GD&ĐT NAM ĐỊNH – HKII – 2018) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn     0; 4  và f  4   0 . Biết . A. I  1 .   4 4  2  8   f  x  dx  8 ,  f   x  sin 2 xdx   4 . Tính tích phân I   f  2 x  dx 0 B. I  0 1 . 2 0 C. I  2 . Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong D. I  1 . 4 37 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Câu 275. (THCS&THPT NGUYỄN KHUYẾN – BÌNH DƯƠNG – 2018) Cho hàm số y  f  x  là hàm số  1  f  x lẻ trên  và đồng thời thỏa mãn hai điều kiện f  x  1  f  x   1 , x   và f    2 , x x 1 f  x .dx . Hãy chọn khẳng định đúng về giá trị của I . x  0 . Gọi I   2 f  x 1 0 A. I   1;0  . Câu 1. 2 2 1 1 Chọn C 1 Ta có 1 1   f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx  3   4   1 . 0 0 0 Chọn C 1 1 0 0   f ( x )  g ( x )  dx   Câu 4. 2   f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx  2  6  4 . 1 Câu 3. D. I   2; 1 . Phần B. LỜI GIẢI THAM KHẢO Dạng 1. Tích phân cơ bản Dạng 1.1 Áp dụng TÍNH CHẤT để giải Chọn B Ta có: Câu 2. C. I   0;1 . B. I  1; 2  . 1 f ( x)dx   g( x)dx  2  (4)  2 . 0 Chọn C 1 1 1   f  x   g  x dx   f  x dx   g  x dx  2  3  5 . 0 Câu 5. 0 0 Chọn A 1 Có 1 0 Câu 6. 1   f  x   2 g  x  dx   f  x  dx  2 g  x  dx  2  2.5  8 . 0 0 Theo tính chất tích phân ta có b b b b b   f ( x)  g ( x)dx   f ( x)dx +  g ( x)dx;  kf ( x)dx  k  f ( x)dx , với k  . a a 4 4 Câu 7. a a a 4 4  f  t  dt   f  x  dx ,  f  y  dy   f  x  dx . Ta có: 2 2 Khi đó: 2 4 2  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx . 2 4 2 2 4   f  x  dx  2 2 4 2  f  x  dx   f  x  dx  4  1  5 . 2 2 4 Vậy  f  y  dy  5 . 2 Câu 8. Ta có  2 0 2 3 Câu 9. 2  f  x   3 g  x  dx   f  x  dx  3 g  x  dx  3  3.7  24 . 0 0 Ta có 1 3 3 3 1  f ( x) dx =  f ( x) dx +  f ( x) dx   f ( x) dx =  f ( x) dx  f ( x) dx = 5+ 1= 6 0 0 1 1 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 0 0 38 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 3 Vậy  f ( x) dx = 6 1 3 Câu 10.  2 3 f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  3  4  1 . 1 1 2 2 Câu 11. Ta có  f ‘  x dx  f  x  2 1  f  2   f  1  1  8  9. 1 4 Câu 12. 2 Ta có: I   f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx  9  4  13. 0 0 0 Câu 13. 4 2 3 3 0 1 0 1 1 3 Câu 14. 3 Có  f  x  dx  3;  f  x  dx  1;  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  3  1  4 Theo tính chất của tích phân, ta có: Suy ra: 4 4  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx . 0 3 0 4 3 0 4  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  10  4  6 . 0 0 3 3 Vậy  f  x  dx  6 . 0 4 Câu 15. 4 Ta có:  F   x dx   1 4 Lại có: 1 4 1 1 1 dx  ln | 2 x  1|  ln 7 . 2x 1 2 2 1  F   x dx  F  x  4 1  F  4   F 1 . 1 1 1 1 Suy ra F  4   F 1  ln 7 . Do đó F  4   F 1  ln 7  1  ln 7 . 2 2 2 12 Câu 16. 8 1 1 10 Câu 17. Ta có Suy ra 1 8 2 12 8 6 4 4 10  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx 0 2 0 10 2 10 6 6  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  7  3  4 . 0 6 0 3 3 Câu 18. 8 12 Ta có: I   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx .   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  9  3  5  7 .   f  x   3g  x dx  10  1 3 1 3 3 f  x dx  3 g  x  dx  10 1 . 1 3  2 f  x dx  g  x dx  6  2 .  2 f  x   g  x dx  6  1 3  2  1 1 3 Đặt X   f  x dx , Y   g  x dx . 1 1  X  3Y  10 X  4 Từ 1 và  2 ta có hệ phương trình:  .   2 X  Y  6 Y  2 3 3 Do đó ta được:  f  x dx  4 và  g  x  dx  2 . 1 1 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 39 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 3 Vậy   f  x   g  x  dx  4  2  6 . 1 10 Câu 19. Ta có: 2 6 10 f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx .  0 0 2 6  7  P3 P  4. 3 Câu 20. Ta có: 3 3   f  x   3g  x dx=10   f  x dx+3 g  x dx=10 . 1 1 3 3 1 3   2 f  x   g  x dx=6  2 f  x dx- g  x dx=6 . 1 1 3 1 3 Đặt u   f  x dx; v =  g  x dx . 1 1 3   f  x dx=4 u  3v  10 u  4  Ta được hệ phương trình:     13 2u  v  6 v  2  g x dx=2    1 3 Vậy   f  x   g  x  dx=6 . 1 3 Câu 21. 3 Đặt a   f  x  dx và b   g  x  dx . 1 1 3 3 Khi đó,   f  x   3g  x   dx  a  3b , 1 Câu 22.  2 f  x   g  x  dx  2a  b . 1 a  3b  10 a  4  Theo giả thiết, ta có  .  2a  b  6 b  2 Vậy I  a  b  6 . Dạng 1.2 Áp dụng bảng công thức cơ bản Chọn A Ta có   2 2   2 2  I    f  x   2sin x  dx   f  x  dx +2 sin x dx   f  x  dx  2cos x 02  5  2  0  1  7 . 0 Câu 23. 0 0 0 Chọn A 2 x2 Ta có: I    x  2 f  x   3 g  x   dx  2 1 2 2 2  2  f  x  dx  3  g  x  d x  1 1 1 3 17  2.2  3  1  . 2 2 Câu 24. Lời giải 5 I 5   f  x   4 g  x   1 dx  2 5 Câu 25. 2  2 5 5 f  x  dx   4 g  x dx   dx  2 2 5  2 5 5 f  x  dx  4  g  x dx   dx 2 2 5 5  8  4.3  7  13 .   f  x  dx  4  g  x dx   dx  8  4.3  x  2 2 5 2 Chọn A Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 40 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG 2 Ta có 2 2 3 5   x  2 f ( x)  3g(x) dx   xdx  2  f ( x)dx  3  g ( x)dx  2  4  3  2 1 Câu 26. ĐT:0946798489 2 1 1 1 Chọn D 2 2 2 2   f  x   5 g  x   x  dx   f  x  dx  5 g  x  dx   xdx  3  5  2  10 0 5 Câu 27. 0   4 f  x   3x 0 Câu 28. 0 5 2 0 5 5  dx  4  f  x  dx   3 x 2 dx  8  x 3  8  125  133 . 0 0 0 Chọn A 2 2 2 2 2 x2  4 f x  2 x  dx  1  4 f x dx  2 xdx  1  4 f x dx  2. 1 1     1   1 1   2 1 2 2  4 f  x  dx  4   f  x  dx  1 1 Câu 29. 1 Chọn. A. 1 1 1 2 2   2 f  x   3x  dx  2  f  x  dx  3 x dx  2  1  1 . 0 0 0 Câu 30. I   2 x  1 dx   x 2 1 Câu 31.  x 0 0 1  00  0. Chọn A 1 Ta có f  x     2 sin 2 x  1 dx    2  cos 2 x  dx  2 x  sin 2 x  C . 2 Vì f  0   4  C  4 1 Hay f  x   2 x  sin 2 x  4. 2  4 Suy ra  0  4 1   f  x  dx    2 x  sin 2 x  4  dx 2  0  1 2 1  2  16  4  x  cos 2 x  4 x 4     . 4 16 4 16 2 0 Câu 32. Chọn C 1 x  3 dx   1  cos 2 x  3 dx    4  cos 2 x  dx  4 x  sin 2 x  C . 2 1 Ta có f  0  4 nên 4.0  sin 0  C  4  C  4 . 2 1 Nên f  x   4 x  sin 2 x  4 . 2  f   x  dx   2sin   4 4  0 Câu 33. 2  1 1  2  8  2     f  x  dx    4 x  sin 2 x  4  dx   2 x 2  cos 2 x  4 x  4  . 2 4 8     0 0 Chọn B , Ta có f ( x)   f ( x)dx   (2cos 2 x  3)dx   (2. 1  cos 2 x  3)dx 2 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 41 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 1   (cos 2 x  4) dx = sin 2 x  4 x  C do f (0)  4  C  4 . 2  1 Vậy f ( x )  sin 2 x  4 x  4 nên 2 4  0  4 1 f ( x)dx   ( sin 2 x  4 x  4) dx 2 0  4  2  8  2 1 2   ( cos 2 x  2 x  4 x) . 8 4 0 1 Câu 34. Ta có: 1 1 2 3 2   3x  1 x  3 dx    3x  10 x  3 dx   x  5 x  3x  0  9 . 0 0 1 Vậy :   3x  1 x  3 dx  9 . 0 Câu 35. Chọn B   2 Câu 36. + Tính được  sin xdx   cos x 2  1 . 0 0 Chọn B 2  2 Ta có I  (2 x  1) dx  x  x  0 Câu 37.  2 0  4 2  6. Chọn A b Ta có   3x 2  2ax  1 dx   x3  ax 2  x  0 Câu 38. Ta có:  b3  ab2  b . 0 m 2 x  nx  C . 2 1 m 1 f  x  dx  3   x 2  nx   3  m  n  3 1 . 2 2 0  f  x  dx    mx  n  dx = 1 Lại có: b  0 2 Câu 39. m 2 2 f x d x  8  x  nx     0  8  2m  2n  8  2  . 0 2  1 m  2  mn3 Từ 1 và  2  ta có hệ phương trình:  2  . n  2 2m  2n  8  mn  4. Chọn B  4 Câu 40.  1 1 1 2 1 Ta có  sin 3xdx   cos 3x 04   . Suy ra a  b   a  b  0 . 3 3 3 2 3 0 Ta có: 2 2   f  x   3x  dx  10 2 0 2   f  x dx  10  x 3 0 2 2 2 2   f  x dx   3 x dx  10   f  x dx  10   3x 2dx 0 0 0 0 2 2   f  x dx  10  8  2 . 0 0 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 42 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG m Câu 41. Ta có:   3x 2 ĐT:0946798489 m  2 x  1dx  6   x 3  x 2  x   6  m3  m 2  m  6  0  m  2 . 0 0 Vậy m   0; 4  . Câu 42. a 3 b 2 x  x  cx  C . 3 2 1 1 1 7 7 b 7 a 1 Lại có:  f  x  dx     x3  x 2  cx     a  b  c   1 . 3 2 2 2 2 2 3 0 0 2 8 a 3 b 2 2 0 f  x  dx  2   3 x  2 x  cx  0  2  3 a  2b  2c  2  2  . Ta có:  f  x  dx    ax 2  bx  c  dx = 3 9 13 13 a 3 b 2  3 13  9a  b  3c   x  x  cx  3 .   0 0 2 2 2 2 2 3  1 7 1  3 a  2 b  c   2 a  1   8 Từ 1 ,  2  và  3 ta có hệ phương trình:  a  2b  2c  2  b  3 .  3 16 9 13  c   3  9a  2 b  3c  2  4  16   P  a  b  c  1 3       . 3  3 Dạng 2. Tích phân HÀM HỮU TỶ Chọn C f  x  dx  Câu 43. Câu 44. 2 2 2 2 dx 1 1 1 7  ln 2 x  3   ln 7  ln 5  ln . Ta có  2x  3 2 2 2 5 1 1 Chọn C dx 1 1 2 1 3x  2  3 ln 3x  2 1  3  ln 4  ln1  3 ln 2 . Chọn D 2 dx 5 2 0 x  3  ln x  3 0  ln 3 Chọn A 1 1  1 1     d x  ln x  1  ln x  2   0  2 ln 2  ln 3 ; do đó a  2; b  1 0  x  1 x  2  Chọn A Ta có Câu 45. Câu 46. Câu 47. e e 1 1 1 1   I     2 dx   ln x    . x x  x 1 e  1 3 Câu 48. I  0 3 dx 5  ln  x  2  0  ln 5  ln 2  ln . x2 2 2 Câu 49. Ta có: 2 dx 1 2 1 3x  2  3 ln 3x  2 1  3 ln 2 . Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 43 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG 2 Câu 50. Câu 51. 2 x 1  1 dx   1   dx   x  ln x    2  ln 2   1  ln1  1  ln 2 . 1 x x 1 1 Cách 1. Tự luận Ta có: 2 2 2 2 1 1 dx 1   2  2 d x    d x 1 2 x  1 1 x  1 dx 1  x  1 2 x  1 1  2 x  1 x  1  2 2 2 2 1  2. ln 2 x  1  ln x  1  ln  2 x  1  ln  x  1  ln 5  ln 3   ln 3  ln 2  1 1 1 1 2  ln 2  2 ln 3  ln 5 . Do đó: a  1, b  2, c  1 . Vậy a  b  c  1   2   1  0 . Ta có I   3 Câu 52. Câu 53. Câu 54. ĐT:0946798489 2 3 3 3 3 x2 2  2 dx   1   dx   dx   dx  2  2ln x 1  2  2 ln 3. Ta có  x x x 1 1 1 1 Do đó a  2, b  2, c  3  S  7. Chọn C 0 0 3x 2  5x  1 21   3 2 0 Ta có I   dx    3 x  11   dx   x  11x  21.ln x  2  1 x2 x2 2  1 1  2 19 19  21.ln  . Suy ra a  21, b  . Vậy a  4b  59 3 2 2 Chọn A 1  1 0 1 1 dx x2  2 ( x  1) 2 1 dx   ( x  1)dx     ln | x  1|10   ln 2 0 0 x 1 x 1 2 0 2  m  2, n  1  m  n  1 1 Câu 55. Ta có I   0  x  1 2 1 1 1 1 2x  1 1  dx    1  2 d  x 2  1  x 0  ln  x 2  1  1  ln 2  dx   dx   2 2 0 x 1 x 1  x 1 0 0 0 a  1   a b  3. b  2 5 5 Câu 56. 5 a  8  x2  x2  x  1 1  3  d x  x  d x  3 x  1 3  x  1   2  ln x  1   8  ln 2  b  3  S  a  2b  2 . 3 2 Câu 57. 2 2 x  1    2 x 11  2 Ta có   x 2   dx    x   dx    x  1   dx x 1 x 1  x 1 1 1 1 2  x3  10 10 2 10 a    x  ln x  1    ln 2  ln 3   ln   ln . 3 3 b b  3 1 3 Suy ra a  2; b  3 . Vậy a  b  5 . 3 Câu 58. 3 3 3 x3 x3 2 1 1 x2  3x  2 dx  1  x  1 x  2 dx  1 x  1dx  1 x  2dx 3   2ln x  1  ln x  2   2 ln 2  ln 3  ln 5 1 Suy ra a  2 , b  1 , c  1 . Nên a  b  c  2  1  1  2 . Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 44 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG Câu 59. ĐT:0946798489 Chọn D 4 4 4 3  x  2   2  x  1 5x  8 5x  8 2   3 d x  d x  d x     dx 2    x  3 x  2 x  1 x  2 x  1 x  2 x  1 x  2         3 3 3 3 4   3ln x  1  2 ln x  2   3ln 3  2 ln 2  3ln 2  3ln 3  ln 2  0.ln 5 3 4 Ta có: I   Câu 60. a  3  Suy ra b  1  2a 3b c  26  64 . c  0  Chọn A 5 5 5  x2  a  8 x2  x  1 1  3  d x  x  d x  3 x  1 3  x  1   2  ln x  1   8  ln 2  b  3  S  a  2b  2 . 3 1 Câu 61. Câu 62. Câu 63. 1 1 1 dx   dx . Xét I   2 2 x  x 1 1 3 0 0  x   2 4  1 3 3     Đặt x   tan t , với t   ,  . Khi đó dx  1  tan 2 t  dt .  2 2 2  2 2  Với x  0 , ta có t  . 6  Với x  1 , ta có t  . 3   3  1  tan 2 t  3 3  3 a  3 2 2  3 Khi đó I   2 . Từ đó suy ra   a  b  12 . dt   dt= t  3  b  9 9 2 3 3    1  tan t  6 6 4 6 Ta có: 2 2 2 2   2 x  5x  2 1 2  x 1  0 x 2  4 x  3 dx  0 1   x  1 x  3  dx  0 1  x  1  x  3  dx   x  ln x  1  2 ln x  3  0    2  3ln 3  2 ln 5 . Vậy a  2, b  3, c  2 , do đó abc  12 . Ta có: 0 0 3x 2  5 x  1 21   I dx    3 x  11   dx x  2 x  2   1 1 0 Câu 64.  3x 2  19 I   11x  21.ln x  2   21.ln 2   21.ln 3 2  2  1 a  21 2 19   I  21ln    19  a  2b  40 . 3 2 b  2 m  2sin x  3cos x   n  2 cos x  3sin x  3sin x  cos x Đặt:  2 sin x  3cos x 2sin x  3cos x  2m  3n  sin x   3m  2n  cos x  2sin x  3cos x Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 45 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 3  m  2m  3n  3  13 Đồng nhất hệ số ta có:   . 3m  2n  1 n   11  13   3 11 2sin x  3cos x    2 cos x  3sin x   2 2 3sin x  cos x 13 dx   13 dx Nên:  2sin x  3cos x 2sin x  3cos x 0 0    3 11 2 2 cos x  3sin x  3 11 2 cos x  3sin x  2     . dx  x dx     0 13 13 2sin x  3cos x 13 13 2sin x  3cos x  0 0 2   3 11 2 d  2sin x  3cos x  3 11    dx   ln 2sin x  3cos x 2 26 13 0 2sin x  3cos x 26 13 0 11  b  13 b 11 26 22   .  .  3  c 13 3  3  c   26 4 4 3 2  3  2 x  1  x  x  7x  3 dx    x  2  2 Ta có   dx 2 x  x  3 x  x  3  1 1 4 2 4 d  x  x  3 27 4 27 1    x 2  2 x   3 2   3ln x 2  x  3   3ln 5 . 1 x  x  3 2 2 2 1 1 3 11 11   ln 2  ln 3 . Do đó: 26 13 13 Câu 65. 4 Mà Câu 66. x3  x 2  7 x  3 a 1 x 2  x  3 dx  b  c ln 5 , suy ra a  27 , b  2 , c  3 . Vậy P  a  b 2  c 3  4 . Ta có 1 1 1 4 x 2  15 x  11 (4 x 2  10 x  4)  (5 x  7) 5x  7   d x  d x  2 2  dx 2 0 2 x 2  5 x  2 0  2 x  5x  2 2 x  5x  2  0 1 1 3  3 5   1  2   dx   2 x  ln | x  2 |  ln | 2 x  1|  0  2  ln 2  ln 3 x  2 2x 1  2 2   0 5 Vậy a  2 , b  1 , c  nên T  6 . 2 Câu 67. Dạng 3. Giải tích phân bằng phương pháp VI PHÂN Chọn A e Theo định nghĩa tích phân: I  F  e   F 1   1 Câu 68. e e e ln x ln 2 x 1 f  x  dx   dx   ln x.d  ln x    . x 2 1 2 1 1 Chọn C 1 1 1 1 3 x1 1 4 1 3 x 1 0 e dx  3 0 e d  3x  1  3 e 0  3  e  e  . Chọn B 2 2 1 1 Ta có  e3 x 1dx  e3 x 1   e5  e 2  . 1 3 3 1 3 x 1 Câu 69. Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 46 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG Câu 70. 2 Câu 71. 2 6 1 1 1 Ta có: I   f (3x)dx   f (3x)d3x   f (t )dt  .12  4. 30 30 3 0 Chọn C 1   e 3 x1 3 Ta có Câu 72. ĐT:0946798489 Chọn C 2 1  1 1 5 e  e 2  . Suy ra m  , p  5 và q  2 .  3 3 1 22 Vậy m  p  q   5  2  . 3 3 Chọn C 1 1 1 d( x  1) 1 Cách 1: Ta có: I   dx    ln x  1 0  ln 2  ln1  ln 2 . Chọn đáp án x 1 x 1 0 0 C. 3 Câu 73. 3 3 1 8 x 1 1 1 K   2 dx   2 d  x 2  1  ln x 2  1  ln . 2 2 3 x 1 2 2 x 1 2 2 1 Câu 74. Ta có:  xe x2  2 0 1 2 1 1 2 1 1 dx   e x  2d x 2  2  e x  2  e3  e 2 . 0 2 20 2     Nên a  1 , b  3 , c  2 . Câu 75. Vậy a  b  c  6 . Chọn B 1 e 1 e x 1 x dx  d  x  ln x   ln  x  ln x  e  ln  e  1 dx  1 x 2  x ln x 1 x  ln x 1 x  ln x 1 e Câu 76. Vậy a  1, b  1 nên T  a 2  ab  b2  1. Chọn B 2 2 Ta có: I    x  1 e x 1 x 1 2 Xét I1    x 2  1 e x x e 2 e 1 2  I1   2 xe 1 x x 1 x 2 dx   x 2 .e d x 2 x e 2 x 1 2 x 1 1 x 2 dx  x e x 1 2 x 1 1 x 1 1 x . 2 dx    x 2  1 e 1 x 1 x 2 dx   2 xe x 1 x dx 1 2 2 1 1 x x  x2  1 1 2 2  x  x dx  x . e d x   x d e      2  x x 1    1 2   2 xe x 1 x dx 1 2 I x e x 1 2 x 3  4e 2  1 1 m  4 n  1 2 p  Do   x  1 e dx  me  n , trong đó m , n, p , q    và là phân số tối giản   q 1 p  3 q  2 Khi đó, T  m  n  p  q  4  1  3  2  10 . Chọn D x2 x2 d 1  t 2  x2 2tdt 2 Ta có f  x      ln 1  t  ln 1  x 4   ln 1  4 x 2  .   2 2  2x 1  t 1  t 2x 2x 2 Câu 77. x 1 1 x x 1 1 1 2 x 2 x 2 dx    x 2  2 x  1 e 1 x x p q Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 47 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 x  0 4 x3 8×2 4 x3 8x  f  x   ; f  x  0   0 4 2 4 2 1  x 1 4x 1 x 1 4x  x   Trục xét dấu: Câu 78. Từ đó ta thấy hàm số có 3 điểm cực trị. Chọn C 1 1 I   f  x e f  x dx   e 0 Câu 79. Câu 80. Câu 81. 17  1 . 2 f  x d  f  x   e f  x 0 1 0 e f 1 e f 0  e5  e 5  0 . Dạng 4. Giải tích phân bằng phương pháp ĐỔI BIẾN SỐ Dạng 4.1. Hàm số tường minh Dạng 4.1.1. Hàm số chứa căn thức Chọn B Đặt t  x  4  2tdt  dx . Với x  5  t  3 ; x  21  t  5 21 5 5 1 1 1 1 dx dt Ta có    ln t  2  ln t  2   ln 2  ln 5  ln 7 .  2 2 3 2 2 2 t 4 2 5 x x4 3 Chọn. A. Đặt t  x  9  t 2  x  9  2tdt  dx . Đổi cận x  16  t  5 , x  55  t  8 . 8 55 8 8 2tdt 1 x 3 8 dx dt 1  1 1  Do đó   2  2 2     dx  ln 3 x3 5 t 9 3 5  x3 x3 5 t t  9 16 x x  9 5 1 5 1 1 2 1 1  ln  ln  ln 2  ln 5  ln11 . 3 11 3 4 3 3 3 2 1 1 Vậy a  ; b  ; c    a  b  c . 3 3 3 Chọn A 2 I   2 x x 2  1dx 1 đặt u  x 2  1  du  2 xdx . Đổi cận x  1  u  0 ; x  2  u  3 3 Nên I   udu 0 Câu 82. Đặt t  e x  3  t 2  e x  3  2tdt  e x dx .  x  ln 6 t  3 Đổi cận   . x  0 t  2 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 48 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ln 6 Suy ra  1 0 e 3 x ex  3 ĐT:0946798489 3 2tdt 1 t 2 3 2    2  dt   2t  2 ln t  1  2 1 t  2 dx     6  2 ln 4    4  2 ln 3 a  2   2  4 ln 2  2 ln 3  b  4 . c  2  Vậy T  0 . Câu 83. Đặt t  3 x  1  t 2  3 x  1  2tdt  3dx  2t dt  dx 3 Đổi cận: x  0  t  1 ; x  1  t  2 1 Khi đó  0 1 Cách khác: Sử dụng công thức Câu 84. 1 1 2 2 dx 2 1 2   .tdt   dt  t  . 3 0 3 30 3x  1 3 0 t  dx 2  ax  b  C thì ax  b a 1 1 2 dx 2  3x  1  . 3 3x  1 3 0  0 Chọn B Cách 1 2 2 2 dx dx x  x 1 1 ( x  1) x  x x  1 dx  1 x( x  1) x  1  x  1 x( x  1) x  x  1    Khi đó I   1 2 dx x 1  x dx x( x  1) 1   1  Đăt t  x  1  x  dt    dx  2dt   2 x 1 2 x  2 3  2 2 3 2  2  dt    2 t  t  1  2 3  4 2  2  32  12  2 2  P  a  b  c  32  12  2  46. Cách 2 2 2 2 dx dx 1 ( x  1) x  x x  1 dx  1 x( x  1) x  1  x  1  2  1 Câu 85.   2 x 1  x 1   1 dx      dx  2 x  2 x  1 x( x  1) x x 1  1  Đặt 1  ln x  t  ln x  t 2  1  x 1  x x( x  1)    x 1  x x 1  x  dx 2  2 2  2  2 3  2 2  32  12  2 1 dx  2tdt x  x  1  t  1 Đổi cận   x  e  t  2 e ln x Vậy  dx  x 1  ln x 1 Câu 86. 2  1 t 2  1 2tdt t 2 2  t3  4 2  2   t  1 dt  2   t    2 3 3 3   1 1 2 4 2 2 Suy ra a  ; b    S  a  b  3 3 3 Đặt x  4sin t  dx  4 cos tdt . Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 49 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG Đổi cận: x  0  t  0 ; x  2 2  t   4 ĐT:0946798489 .     4 4 4 4 I   16  16sin 2 t .4cos tdt   4 cos t .4cos tdt   4 cos t .4cos tdt  16 cos t .cos tdt . 0 Câu 87. Câu 88. 0 0 0   4 4   Mà vì t   0;  thì cos t  0 nên khi đó I  16 cos2 tdt  8 1  cos 2t  dt .  4 0 0 2 Đặt t  3x  1  t 2  3 x  1  2tdt  3dx  dx  tdt 3 Đổi cận: x  1  t  2 ; x  5  t  4 5 4 4 4 4 2 1 2 t 2 1 2 2 d x  dt  (1  )dt  (t  ln t  1)   ln 5  ln 3 . 1 1  3x  1   2 3 3 3 2 1 t 32 1 t 3 3 4 2 2 4  a  ,b  ,c    a  b  c  . 3 3 3 3 Chọn B 1 1 1 x x 1 I  3 dx   dx   dx 3 1  x 1 3 1 1 1 1   x 1  3  2 2 2 x. 1    x   x 1 1 1  x   dx  2 dt x t t 1 Đổi cận: x   t  2 ; x  1  t  1 2 1 2 t  1  t 2 dt Khi đó: I   dt    3  t2  1 t 3. 1  t 3 2 1 t   Đặt t   Đặt u  1  t 3  u 2  1  t 3  t 3  u 2  1  3t 2 dt  2u du  t 2 dt  2u du 3 Đổi cận: t  1  u  2 ; t  2  u  3 2u du 3 3 2 du 1 u 1 3 1 3  3 Ta có: I   2   2  ln  ln   2  u  1 .u 3 2 u  1 3 u  1 2 3  2  2  Suy ra a  3, b  3, c  2, d  2 . Vậy a  b  c  d  10 . Câu 89. 3t 2dt Đặt t  1  x  t  1  x  3t dt  2 xdx  xdx  . 2 Đổi cận: 3 7 Câu 90. 2 3 2 2 2 2 2 t 3  1 3t 2 3 3  t5 t2  141 4 0 3 1  x 2 dx  1 t . 2 dt  2 .1  t  t dt  2 .  5  2   20 . 1  m  7 n  141  7.20  1 . Chọn A x3 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 50 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 1 dx 0 3x  5 3x  1  7 A Đặt t  3x  1  t 2  3x  1  2tdt  3dx Đổi cận: x  0  t  1; x  1  t  2 2 2 2 2 tdt 2 2 t 2  2 3  2 3 A 2   dt      dt   2 ln t  2  3ln t  3  1 3 1t 2 t 3 3 t  5t  6 3 1  t  2  t  3 1 2 2 20 4  2 ln 4  3ln 5  2 ln 3  3ln 4    10 ln 2  2 ln 3  3ln 5   ln 2  ln 3  2 ln 5 3 3 3 3 20 4 10 Vậy: a  b  c     2   . 3 3 3 Chọn D  Câu 91. Đặt 1  ln x  t  ln x  t 2  1  dx  2tdt x  x  1  t  1 Đổi cận   x  e  t  2 e ln x Vậy  dx  1 x 1  ln x Câu 92. 2  t 2 1  1 2tdt t 2 2  t3  4 2  2   t  1 dt  2   t    2 3 3  3 1 1 2 4 2 2 Suy ra a  ; b    S  a  b  3 3 3 Chọn C 3 x 0 4  2 x  1dx  t  4  2 x  1  (t  4) 2  4( x  1)  2(t  4)dt  4dx x0t 6 x  3 t 8 8 8 8 t 2  8t  16  4 t 3  12t 2  44t  48 t 2 3t 11 6 .(t  4)dt   dt      dt 8t 8t 8 2 2 t 6 6 6 I  8 7 t 3 3t 2 11 (   t  6 ln t )   12 ln 2  6 ln 3 6 3 24 4 2  a b  c 1 Câu 93. Đặt t  x  1  x  t 2  1  dx  2tdt Đổi cận: x  0  t  1; x  3  t  2 2 2 2  t3 2  t 2 1 6  7  2 I  .2t dt    t  2t  3   dt    t  3t  6 ln t  2    12 ln 2  6ln 3. 4  2t t 2 3 1 3 1 1 Suy ra a  7, b  12, c  6, d  3 . Do đó a  b  c  d  4. Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 51 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG a Câu 94. x3  x Ta có I   2 x 1 0 x  x  1 2 a 2 dx   2 x 1 0 2 ĐT:0946798489 a dx   x x 2  1dx . 0 2 Đặt u  x  1  u  x  1  udu  xdx . Đổi cận: x  0  u  1 , x  a  u  a 2  1 . a 2 1 Vậy I   1 Câu 95. u3 u du  31 a 2 1 Đặt x  sin 2 y ta có dx  d  sin 2 y   dx  2 sin y.cos ydy Khi x  0  y  0 và x  Suy ra 1  y . 2 4  1 2  4 4 x sin y dx   .2sin y cos ydy   2sin 2 ydy . 1 x cos y 0 0  0 Câu 96. 1   a 2  1 a 2  1  1 .  3 2 Đặt t  x 2  1  t 2  x 2  1  xdx  tdt Đổi cận: x  3  t  2, x  2 2  t  3 . 2 2 Khi đó  3 3 3 x tdt 2 1  dx   2   ln t  1  ln t  2  t t 2 3 3 2 x2  1  x2  1 2 2 1  2  2   ln 2  ln 5    ln 4   ln 5  ln 2 . 3 3  3  3 Vậy a  3, b  2, c  1  3a  2b  c  14 . Câu 97. Đặt t  25  x 2  t 2  25  x 2  x dx   t dt Khi đó: 4 2 6 25  x 2 dx  x I  1  3 t2 dt  25  t 2 2 6  3 25    1   dt  25  t 2   2 6  5 5    1  2  5  t   2  5  t   dt 3   2 6 5  5 6  12   3  2 6  ln    5ln 2. 2  5 6  12  5 3 Vậy a  3, b  2, c  , d  5  a  b  c  d   . 2 2 x  2 sin t  dx  2 cos tdt .  Với x  0  t  0; x  1  t  . 6  5 5t    t  ln 2 5  t  3  Câu 98. π 6 π 6 π cos tdt 6 I     dt . 2 0 2 1  sin t 0 cos t 0 2 cos tdt 1 Câu 99. I  0 1 x3 x  1  x2 dx   x3 0   1 1 1  x2  x dx   x3 1  x 2 dx   x 4 dx  A  0 0 1 5 + Tính A: Đặt t  1  x 2  tdt  xdx 2 2 2  t5 t3  22 2 A    t  1.t dt    t  t  dt      15  5 3 1 1 1 2 2 4 2 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 52 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG I ĐT:0946798489 1  2 2  a  2; b  2; c  1 15 P  a  b2  c  7 Câu 100. Với n * , khi đó: 1 Đặt t  1  x 2  dt  2 xdx  xdx   dt 2 Đổi cận: x  0  t  1; x  1  t  0 0 1 1 1 1 t n 1 1 1  Khi đó I    t n dt   t n dt  . 21 20 2 n  1 0 2n  2 1 Cách 2: Ta có d 1  x 2  2 xdx   d 1  x 2  xdx 2  1 I   1  x 2 n  0    2 1 1 1 1  x  2 n 2 xdx    1  x  d 1  x    . 20 2 n 1 n 1 1  0 1 2n  2 Câu 101. Đặt t  6 x  x  t 6  dx  6.t 5 dt . Đổi cận: x  1 t  1; x  64  t  2 . 2 2 2 6t 5 t3 1   dt  6  t 2  t  1  Suy ra I   3 2 dt  6  dt t t t 1 t 1  1 1 1 2 2 1 d  t  1 t 1 1  6  t  t  1 dt  6  2 1 2  t3 t2  2 3 2 8 5  6    t   6 ln t  1 1  6     6  ln 3  ln 2   11  6 ln  6 ln  11 . 2 3 3 6 3 2 1 a  6 Từ đó suy ra   a  b  5 . b  11 Câu 102. Ta có 2 2 2 2 2 x 2 2 2 2 2 d x  x 3 x  9 x  1 d x  3 x  x 9 x  1 d x  3 x d x  1 3x  9 x 2  1 1 1 1 1 x 9 x  1dx   2 2   2  x3   x 9 x 2  1dx  7   x 9 x 2  1dx . 1 1 1 2 Tính x 9 x 2  1dx . 1 t dt . 9 Khi x  1 thì t  2 2 ; khi x  2 thì t  35 . 9 x 2  1  t  9 x 2  1  t 2  xdx  Đặt 2 35 tdt t 3 Khi đó  x 9 x  1dx   t  9 27 2 1 2 2 35 2 2 x  2 35 16 35  2. 27 27 35 16 16 35 35  2  a  7, b  , c . 27 27 27 27 9x 1 1 32 35 1  7   . Vậy P  a  2b  c  7  7  27 27 9 Vậy  3x  2 dx  7  Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 53 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG 2 Câu 103. Đặt I   1 ĐT:0946798489 2 dx dx  . x x  1   x  1 x 1 x  x  1 x  x  1  Đặt t  x  x  1  dt  x 1  x 2 x  x  1 dx   dx 2 x  x  1 dt . t Khi x  1 thì t  2  1 , khi x  2 thì t  3  2 . 2 I  1 3 2 dx x  x  1  x  x 1  2  2 1 dt 1  2 2 t t 3 2 1 1    2     4 2 2 32 2 1  3 2 2 1  32  12  4  a  32 , b  12 , c  4 Vậy P  a  b  c  48 4 Câu 104. I   0 4  0 4 2 x  1dx  2 x  3 2 x  1  3 0 2dx  2x 1  2 4    0 4 2 x  1dx   2x 1 1 dx  2x 1  2   2  0    2 x  1  1 2x  1  1   2 x  1  2 2 x  1  2 dx . 2x 1 1 Đặt u  2 x  1  udu  dx . Với x  0  u  1 , với x  4  u  3 . .3 .3 .3 .3 2udu udu 4  1    Suy ra I     2  du   1  du u  2 1 u 1 1  u2 u 1 1 1 3 5   u  4 ln u  2  ln u  1   2  4 ln  ln 2 1 3  a  2 , b  1 , c  1  T  2.1  1  4  1 . Dạng 4.1.2. Hàm số chứa hàm lượng giác Câu 105. Chọn D  Ta có: I   cos3 x.sin xdx . Đặt t  cos x  dt   sin xdx   dt  sin xdx 0 Đổi cận: Với x  0  t  1 ; với x    t  1 . 1 4 1 1 t4 14  1 3 3 Vậy I    t dt   t dt    0. 4 4 4 1 1 1 Cách khác : Bấm máy tính. Câu 106. Đặt t  sin x  dt  cos xdx . x  0  t  0 , x   2  t  1.  1 2 1 cos x t 3 1 1   1 0 sin 2 x  5sin x  6 dx  0 t 2  5t  6 dt  0  t  3  t  2  dt  ln t  2  a  1, b  0, c  3  S  a  b  c  4 .   2 2 1  ln 2  ln 0 3 4  ln 2 3 Câu 107. Ta có I   2  cos x .sin xdx    2  cos xd  cos x  0 0  2 2 3    2  cos xd  cos x  2     t dt   t dt . 0 3 2 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 54 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG  ĐT:0946798489  4 sin 2 x 1 d x  tan 2 x. 2 dx . 4  cos x cos x 0 0 4 Câu 108. I   Đặt u  tan x  du  1 dx . cos 2 x Đổi cận: x  0  u  0 , x   4  u 1 1 Suy ra: I   u 2 du . 0 Câu 109. Đặt t  cos x  dt   sin xdx . π 1 Đổi cận: x  0  t  1 ; x   t  . 3 2 1 2 Khi đó: I   1 1 1 1 1 dt   3 dt  2 3 t 2t 1 t 1 2 1 2 1 3  2 . 2 2 Câu 110. Đặt t  cos x  2  dt   sin xdx  5  Đổi cận x   t  , x   t  2 3 2 2  5 2 2 3 2 2 5 5 sin x 1 1 2  ln  ln 2  ln 5  2 ln 2 d x   dt  dt  ln t  cos x  2 5 t 2 t 2 2 Vậy ta được a  1; b  2 . a a Câu 111. I   sin 5 x sin 2 xdx  2 sin 6 x.cosxdx 0 0 sin a  b; b   1;1 Đặt t  sin x  dt  cosxdx và  . sin 0  0 b b t7 2b7 I  2 t dt  2.  . 70 7 0 6 a Theo giả thiết:  sin 5 x sin 2 xdx  0 a   0;20   0   2 2b7 2     b  1  sin a  1  a   k 2 ; k  . 7 7 7 2  k 2  20    2 2 Mà k  nên suy ra k  0;1; 2;…;9 . Câu 112. Ta có:  2  0  k 2  39 1 39  k . 2 4 4  2 sin 2 x  cos x   dx  F    F  0  1  sin x 2 0 f ( x)dx   Đặt t  1  sin x  2tdt  cos xdx Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 55 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG   2 2  f ( x)dx   0 2 sin 2 x  cos x 2sin x  1 dx   cos xdx 1  sin x 1  sin x 0 0 2  ĐT:0946798489   1 2 2  2t 3  2(t 2  1)  1 22 2 2tdt  2   2t 2 -1 dt  2  t   t 3  3 1 1 22 2 82 2   22 2 F   F  0  2 . 3 3 3 2 1    2 x   x cos 2  6 6  1  tan 6 6 2 dx dx 2 dx    dx . Câu 113. I    2 2 0  0  2 1  sin x x x x x     0 0 1  tan  1  tan   cos  sin  2 2 2 2    x x  Đặt t  1  tan  2dt  1  tan 2  dx 2 2   Đổi cận: x  0  t  1; x   t  3  3 . 6 3 3 3 3 2dt 2  3 3 1 t 2   t 1  3 . Suy ra a  1, b  3, c  3 nên a  b  c  5 . I  2 Câu 114. + Xét: I    s inx dx cos x  2 3 + Đặt u  cosx  2  du   sin xdx  sin xdx  du  5   x  3  u  2 + Đổi cận:  x    u  2  2 2 2 a  1 1 5   I   du   ln u 5    ln 2  ln   ln 5  2 ln 2   . 2  b  2 5 u 2 2 Câu 115. Đặt t  cos x  dt   sin xdx . Đổi cận: x  0  t  1 ; x   2 t 0 Ta có:  2 sin x 0 1 1 t 3 1   1 0  cos x 2  5cos x  6 dx  1 t 2  5t  6 dt  0  t  3  t  2  dt  ln t  2 1  ln 2  ln 0 3 4  ln 2 3 4  a ln  b . c a  1  Do đó:  c  3 . b  0  Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 56 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Vậy S  a  b  c  4 . Dạng 4.1.3. Hàm số chứa hàm số mũ, logarit Câu 116. Chọn B Cách 1. Đặt t  e x  dt  e x dx . Đổi cận: x  0  t  1; x  1  t  e 1 e 1 e e dx e x dx dt 1 1      d t  ln t  ln t  1  1  ln 1  e    ( ln 2)     0 e x  1 0 e x e x  1 1 t  t  1 1  t t  1  1   1  ln  2 1  e a  1  1  ln   S  a 3  b3  0 . 1 e 2 b  1     1 1 1 ex 1  ex d ex 1 1 dx 1 e 1 x Cách 2.  x .  d x  d x   x  ln e  1  1  ln x x   0 0 e 1 0 e 1 e 1 2 0 0 0 1 Suy ra a  1 và b  1 . Vậy S  a 3  b 3  0 . Câu 117. Đặt t  ln x  dt  1 dx . Đổi cận x  e  t  1 ; x  1  t  0 . x e 1 3ln x  1 dx    3t  1 dt . x 1 0 Khi đó I   Câu 118. Chọn D e Ta có I   1 3 ln x x  ln x  2  3 2 dx , đặt ln x  2  t  3 3 t 2 1 1 2 dt   dt  2 2 dt  ln t  2 t t t t 2 2 2 2 I  2 Câu 119. Khi đó I Suy ra T Câu 120. Câu 121. 3 2 dx  dt x 2 2 1  ln 3  ln 2    ln 3  ln 2  3 2 3 2 Suy ra a  1; b  1; c  1 , vậy a  b  c 2  3 . Chọn D. 1 Đặt x 2  9  t  2 xdx  dt  xdx  dt . 2 25 25 1 1 1  .  ln t.dt   t.ln t  t    25ln 25  25    9ln 9  9    25ln 5  9ln 3  8 . 9 2 9 2 2  a  b  c  25  9  8  8 . 1 Đặt ln x  2  t  ln x  t  2  dx  dt . x Đổi cận: khi x  1 thì t  2 ; khi x  e thì t  3 . 3  3 a 3 3  t2 2 3 1   1 2  2 Khi đó I   2 dt     2 dt   ln t    ln    . 2 3 t t t  t 2  2 2 b   1  3 Vậy 2ab  1 . dx Đặt t  ln x  dt  . x Đổi cận: x  1  t  0; x  e  t  1. Khi đó: 1  3 2  9 1  3  I  dx   dt      2 ln t  2   ln  .  dt   2 2 2  t  2  4 2 t2 0 0  t  2 1 x  ln x  2  0 t  2 Vậy a  b  c  d  9  4  1  2  16 . e 2 ln x  1 1 2t  1 1 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 57 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG 1 Câu 122. Ta có x 3 3 x 1 x ĐT:0946798489 1 x    x  2  ex .2 2 1 2 1 dx    x 3  dx    dx   J . x x  x   e.2   e.2  4 0   e.2 4 0 0  1 1 2x dt . Tính J   dx . Đặt   e.2 x  t  e.2 x ln 2dx  dt  2 x dx  x e.ln 2   e.2 0 Đổi cận: Khi x  0 thì t    e ; khi x  1 thì t    2e . 1   2e   2e 2x 1 1 1 1 e   J  d x  dt  ln t   e  ln 1  . x    e.2 e ln 2 t e ln 2 e ln 2 e     0  e 1  x3  2 x  ex3 .2 x 1 1 e   Khi đó  dx   ln 1    m  4 , n  2 , p  1 . Vậy S  7 . x   e.2 4 e ln 2  e    0 Câu 123. Ta có e e e  1 ln x  3 x 2  1 3 x 2 1  x ln x   1  ln x  1  ln x dx  e3  1  A I  dx   dx   3x 2 dx   1  x ln x 1  x ln x 1  x ln x 1 1 1 1 e 1  ln x dx . Đặt t  1  x ln x  dt  1  ln x dx . Tính A     1  x ln x 1 1 e x  1  t  1 dt 1 e Đổi cận:  . Khi đó A    ln t 1  ln(e  1) . t x  e  t  e 1 1 e  3x 3 a  1   b  1  P  a 2  b2  c 2  3 . Vậy I  e3  1  ln(e  1)  c  1  ln 2 ln 2 dx e x dx Câu 124. Ta có I    . 0 e x  3e x  4 0 e2 x  4e x  3 Đặt: t  e x  dt  e x dx . Đổi cận: x  0  t  1 , x  ln 2  t  2 . 2 1 1 2 1 1  1 t 1 1 dt     dt  ln   ln 3  ln 5  ln 2  .  2 1 t  4t  3 2 1  t 1 t  3  2 t 31 2 Suy ra a  3 , b  5 , c  2 . Vậy P  2 a  b  c  3 . 2 2 x 1 x 1 Câu 125. Ta có  2 dx   dx . x  x  ln x  x  x ln x 1 1 Khi đó I   2 x 1  1 dx . Đặt t  x  ln x  dt  1   dx  x  x Khi x  1  t  1 ; x  2  t  2  ln 2 . 2  ln 2 2  ln 2 a  2 dt Khi đó I    ln t 1 .  ln  ln 2  2  . Suy ra  b  2 t  1 Vậy P  8 . 1 1 x2  x  ex x  1 e x xe x   dx   Câu 126. Ta có: I   dx . xe x  1 x  e x 0 0 Đặt t  xe x  1  dt  1  x  e x dx . Đổi cận: x  0  t  1 ; x  1  t  e  1 . e 1 e 1 e 1 t 1  1  e  ln  e  1 . Khi đó: I   dt   1   dt   t  ln t  1 t t   1 1 Suy ra: a  1 , b  1 , c  1 . Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 58 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Vậy: P  a  2b  c  2 . Dạng 4.1.4. Hàm số hữu tỷ, đa thức Câu 127. Chọn D Đặt t  x  2  dt  dx Đổi cận: x  0  t  2 ; x  1  t  3 3 1 3 t  2  dt 3  1 2  2 1  xdx 2  0  x  2 2  2 t 2  2  t  t 2 dt   ln t  t  2  ln 3  3   ln 2  1   3  ln 2  ln 3 1 Suy ra a   ; b  1; c  1 3 3a  b  c  1  1  1  1 . dt 2 Câu 128. Đặt t  x 2  1  dt  2 xdx  xdx  Với x  2  t  3; x  3  t  8 8 8 1 8 1 dt 1 Ta có K    ln t  ln . 3 2 3 23 t 2 Câu 129. Ta có: t  1  x 2  dt  2 xdx . Đổi cận: x  0  t  1 . x 1  t  2 . 3 1  t  1 I  dx   dx   dt . 5 5 2 2 2 1 t5 0 1  x  0 1  x  1 x7 1 2 x.x 6 Câu 130. Chọn B  a  1 Điều kiện tích phân tồn tại là a  x 2  0, x   0;1   a  0 Đặt t  a  x 2  dt  2xdx . Khi đó 1  a 2 2 1 1 a  1  a  e a x 1 dt 1 1  a e 1 0 a  x 2 dx  2 a t  2 ln a  1  1  a  e2 a   1  a 2  e 1 1 So sánh điều kiện ta được a  2 . e 1 Câu 131. Chọn B Đặt t  x  2  dt  dx Đổi cận: x  0  t  2 ; x  1  t  3 3 1 3 t  2  dt 3  1 2  2 1 xdx 2   0  x  2 2  2 t 2  2  t  t 2 dt   ln t  t  2  ln 3  3   ln 2  1   3  ln 2  ln 3 1 Suy ra a   ; b  1; c  1 3 3a  b  c  1  1  1  1 . Câu 132. Đặt t  3 x  2  dt  3dx  dx  dt . 3 Khi đó. 6  2 x  3x  2  dx  2 7 2  t 8 2t 7 2 t2 6 6 t d t  t  2 t d t    9 8  7 3 3 9  Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong  C .  59 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 1 4 8 7  3x  2    3x  2   C . 36 63 1 7 4 Từ đó ta có A  , B  . Suy ra 12 A  7 B  . 63 36 9 1 2 2 x  3x  3 Câu 133. Ta có I   2 dx x  2x 1 0  dt  dx Đặt t  x  1   suy ra x  t 1 x  0  t  1  x  1  t  2 2 2 2 2 2  t  1  3  t  1  3 2t 2  t  2 2   1 2 Khi đó I   dt   dt    2   2  dt   2t  ln t   2 2 t t t t  t 1  1 1 1  3  ln 2 . Suy ra P  32  22  13 . Dạng 4.2. Hàm số không tường minh (hàm ẩn) 1 Câu 134. Đặt t  5  3 x  dt  3dx  dx =  dt . 3 Đổi cận: x  0 thì t  5 ; x  2 thì t  1 . 5 2 2 2 1 1 dt 2 Ta có: P    f  5  3 x   7  dx   f  5  3 x  dx +  7dx   f  t   7 x 0   f  t  dt  14 3 1 3 0 0 0 5 2 1  .15  14  19 . 3 2 2 Câu 135. Ta có I   f  2 x  dx   f  4  2 x  dx  H  K 0 2 0 Tính K   f  2 x  dx . 0 4 1 Đặt t  2 x  dt  2dx ; đổi cận: x  0  t  2; x  2  t  4 . Nên K   f  t  dt  1009 20 2 Tính H   f  4  2 x  dx , 0 4 Đặt t  4  2 x  dt  2dx ; đổi cận: x  0  t  4; x  2  t  0 . Nên H  1 f  t  dt  1009 2 0 Suy ra I  K  H  2018 . 3 Câu 136. Ta có y  f  x  là hàm số chẵn, suy ra f  2 x   f  2 x  . Khi đó: 3  f  2 x  dx   f  2 x  dx  3 . 1 1 3 Xét tích phân: I1   f  2 x  dx . 1 Đặt t  2 x  dt  2dx  6  I1   2 6 6 6 1 1 f  t  . dt   f  t  dt  3   f  t  dt  6   f  x  dx 6 . 2 22 2 2 6 Vậy I  1 dt  dx . Đổi cận: x  1  t  2 ; x  3  t  6 . 2 2 6  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  8  6  14 . 1 1 2 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 60 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489  Câu 137. Xét I   xf  x 2  dx. 0 1 dt . 2 Đổi cận: x  0  t  0; x    t   2 . Đặt t  x 2  dt  2 xdx  xdx  1 Khi đó I  2 f 4 Suy ra  0 1 2 x 2  f  x  dx  1009. 0 1 dx  2dt . Khi x  1 thì t  1 ; x  4 thì t  2 . x dx  dt   x dx  x 1 4 1 f  t  dt  2  x t  Câu 138. Đặt Vậy 2 2 2  f  t  .2dt  2 f  t dt  2.2  4 . 1 1  x dx  4 . f  x 1 Câu 139. Đặt x 2  1  t  2 xdx  dt  xdx  dt . 2 Đổi cận x  1  t  2; x  2  t  5 . 2 5 Suy ra: 2   f  x 2  1 dx  1 3 Câu 140. Ta có: 5 5 1 f  t  dt   f  t  dt  4  I   f  x  dx  4 . 2 2 2 2 3 3   f  x   3g  x dx=10   f  x dx+3 g  x dx=10 . 1 1 3 3 1 3   2 f  x   g  x dx=6  2 f  x dx- g  x dx=6 . 1 1 3 1 3 Đặt u   f  x dx; v =  g  x dx . 1 1 3   f  x dx=4 u  3v  10 u  4 1 Ta được hệ phương trình:    3 2u  v  6 v  2  g x dx=2    1 3 + Tính  f  4  x dx 1 Đặt t  4  x  dt  dx; x  1  t  3; x  3  t  1 . 3  1 1 3 3 f  4  x  dx   f  t  dt    f  t  dt   f  x  dx  4 . 3 1 1 2 + Tính  g  2 x  1dx 1 Đặt z  2 x  1  dz  2dx; x  1  z  1; x  2  z  3 . 2  g  2 x  1 dx  1 3 3 1 1 g  z  dz   g  x  dx  1.  21 21 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 61 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG 3 Vậy ĐT:0946798489 2  f  4  x dx +2  g  2 x  1dx = 6 . 1 1 1 2 Câu 141. A   f  x  dx  2 , B   f  3 x  1 dx  6 đặt t  3x  1  dt  3dx . 0 0 Đổi cận : x  0  t 1 x 2t 7 Ta có: B  1 f  t  dt  6   f  t  dt  18   f  x  dx=18 . 3 1 1 1 7 7 7 7 1 7 Vậy I   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  20 . 0 0 1 Câu 142. Đặt t  10  x . Khi đó dt  dx . Đổi cận: x  3  t  7 . x  7 t  3. 3 7 7 Khi đó I    10  t  f 10  t  dt   10  t  f 10  t  dt   10  x  f 10  x  dx 7 7 3 7 7 3 7   10  x  f  x  dx  10  f  x  dx   xf  x  dx  10  f  x  dx  I . 3 3 3 3 7 Suy ra 2 I  10  f  x  dx  10.4  40 . Do đó I  20 . 3 Câu 143. Đặt t  sin 3x  dt  3cos3x.dx x  0  t  0  Đổi cận:    x  6  t  1  6 I  0 1 1 1 f  sin 3 x  cos 3 xdx   f  t  dt  .9  3 30 3 Câu 144. Đặt t  2 x  dt  2dx  dt  dx. 2 Đổi cận: x  0  t  0; x  2  t  4. 2 4 4 1 1 1 J   f  2 x  dx   f  t  dt   f  t  dt  I  16. 2 20 2 0 0 4 Câu 145. Xét I   f  3 x  3 dx . 1 Đặt t  3 x  3  dt  3dx . 9 9 x  4  t  9 1 1 1 Đổi cận:  . Vậy I   f  t  dt   f  x  dx  .9  3 . 3 30 3 x  1  t  0 0 dt Câu 146. Đặt t  2 x  dt  2dx  dx  , 2 x 0t 0 x 1 t  2 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 62 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG 1 2 2 f (t )dt 1   f (t )dt   f (t )dt  4 2 20 0 Ta có 2   f (2 x)dx   0 ĐT:0946798489 2 0 2 Theo tính chất tích phân  0 2 f (x)dx   f (t)dt  4 0 2 Vậy  f ( x)dx  4 0 1 dt 2017 Đổi cận: x  0  t  0 ; x  1  t  2017 Câu 147. Đặt t  2017 x  dt  2017dx  dx  2017 Vậy I   0 2 1 1 f t . dt  2017 2017 2017 1  f  t  dt  2017 . 0 Câu 148. Đặt t  x  1  dt  2 xdx . Đổi cận 1 2   I   xf x 2  1 dx   f  t  . 0 1 dt 1 2 12 a   f  t  dt   f  x  dx  . 2 21 21 2   2 1 4 f  cos x  Câu 149. * I1   tan x. f  cos x  dx   .sin2xdx . 2 0 cos 2 x 0 4 2 Đặt cos 2 x  t  sin 2 xdx  dt . Đổi cận x 0 t 1  4 1 2 1 2 Khi đó I1   1 f t  1 f t  d t  1 t dt  4 . 2 1 t 2 2 1 f  ln x  2ln x dx   . dx . * I2   x ln x 2 e ln 2 x x e 2 ln x dx  dt . Đặt ln 2 x  t  x Đổi cận x e t 1 4 4 f t f t  dt   dt  4 . 1 Khi đó I 2   1 t 21 t 2 f  2x  1 * Tính I   dx . Đặt 2x  t  dx  dt . x 2 1 e2 f  ln x  2 e2 e2 4 4 Đổi cận Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 63 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG 1 4 1 2 x t 4 Khi đó I   1 2 ĐT:0946798489 2 4 1 4 f t  f t  f t  dt   dt   dt  4  4  8 . t t t 1 1 2  2 Câu 150. Xét tích phân I1   f  sin x  cos xdx .Đặt t  sin x  dt  cos xdx 0 Đổi cận x t 1 Ta có I1   0 0  0 2 1 1 1 1  x2  9 f  t  dt   f  x  dx    5  x  dx   5 x    2 0 2  0 0 1 Xét tích phân I 2   f  3  2 x  dx .Đặt t  3  2 x  dt  2dx  dx  0 dt 2 Đổi cận x 0 3 t Ta có 1 1 3 1 3 3 3  1 1 1 1  x3 1 10  22 I 2   f  3  2 x  dx   f  t  dt   f  x  dx    x 2  3 dx    3x   18    21 21 21 2 3 3 3 1 2  0  1 2 Vậy I  2  f  sin x  cos xdx  3 f  3  2 x  dx  9  22  31 . 0 0   2 x   u  1 Câu 151. Đặt u  3cos x  1  u  3cos x  1   udu  sin xdx. Đổi cận  . 2 3  x  0  u  2 2  2 Do đó  0 sin xf  3cos x  1 3cos x  1  dx  Câu 152. Chọn A Đặt t  4 x  3  dt  4dx thì 2 5 1 f 4 x  3 dx  f  t  dt    1 4 1 2 2 2uf  u  2 2 4 2 3u du  3 1 f  u  du  3 1 f  x  dx  3 . 1 4 5  1 1 25 . f t dt  f  t  dt    5  20       41 4 4  4 Đặt u  e 2 x  du  2e 2 x dx thì ln 2 4 1 5 2x 2x f e e dx  f  u  du  .   0  21 2 25 5 15 Vậy I    . 4 2 4 Câu 153. Đặt x  2  t  dx   dt . Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 64 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG 0 2 ĐT:0946798489 2  I   f  2  t   dt    f  2  t  dt    f  2  x  dx . 2 0 0 2 2 2 2 1 1 2  2 I    f  x   f  2  x   dx   xe dx   e x d  x 2   e x 20 2 0 0 x2 2 0 e4  1 .  2 e4  1 Vậy I  . 4 1 1 1 1 Câu 154. Ta có: 3  3.1  3. f  x  dx   3 f  x  dx   0 0 0 1 f  2 x  dx   f  2 x  d  2 x  , x   . 20 Đặt 2 x  t  d  2 x   dt , với x  0  t  0 ; x  1  t  2 . 1 3 2 2   0 2 1 1 1 f  2 x  d  2 x    f  t  dt   f  x  dx , x   (do hàm số f  x  liên tục trên  ).  20 20 20 1 2 f  x  dx  6 , x     f  x  dx   f  x  dx  6, x   . 0 1 2  1   f  x  dx  6, x   . 1 2   f  x  dx  5, x   . 1 Câu 155. Ta có   2 2 sin x.cos x . f  cos 2 x  dx  2 . 2 cos x 0 2  tan x. f  cos x  dx  2   0 1 Đặt t  cos 2 x  dt  2sin x cos xdx   dt  sin x cos xdx . 2  1 Đổi cận: x  0  t  0 và x   t  . 4 2  1 f t  sin x.cos x 2  . f  cos x  dx  2    4. 2 t cos x 1 0 2 2 f  ln x  2 e2 Ta có  x ln x e e2 dx  2  Tương tự trên ta có f  ln 2 x   x ln x e 2  1 4 f  2x x x ln 2 x e e2 * Tính  ln x. f  ln 2 x  dx  2 . 4 dx  2   1 f t  t 4. dx . 1 dt . 2 1 1 Đổi cận: x   t  và x  2  t  4 . 4 2 2 4 4 f  2x f t  1 f t  f t  Khi đó  dx    dt    44 8. x t t t 1 1 1 1 Đặt t  2 x  dx  4 2 2 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 65 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG 3 3 ĐT:0946798489 2 Câu 156. +) Đặt t  x  t  x  3t dt  dx Đổi cận x  1  t  1 và x  8  t  2 . 2 8 2 2 f (t) f (3 x) f (t) f (t) dt  2 Khi đó  dx   3 3t 2 dt  3 dt  6   t x t t 1 1 1 1 +) Đặt t  cos 2 x  dt  2 cos x sin xdx  dt  2 cos 2 x tan xdx  tan xdx   Đổi cận: x  0  t  1 và x    1 . 4 1 4 3 Khi đó 3 t  2  tan x. f (cos x)dx   0 1 dt 2t 1 1 f (t) f (t) dt  6   dt  12  21 t t 1 4 +) Đặt t  x 2  dt  2 xdx  dt  2 x 2 Đổi cận: x  2  1 2 dx dx 1 dt   x x 2 t 1 1  t  và x  2  t  2 Khi đó 2 4 2 1 4 4 2 f ( x2 ) 1 f (t) 1 f (t) 1 f (t) 2  12 dx   dt   dt   dt  7 x 21 t 21 t 21 t 2 e2018 1 Câu 157. Đặt I   x f ln  x 2  1 dx . x 1  2 0  Đặt t  ln  x 2  1  dt  2x dx . x 1 2 Đổi cận: x  0  t  0 ; x  e 2018  1  t  2018 . 2018 Vậy I   2018 f  t  dt   f  x  dx  2 . 0 0  4 Câu 158. Ta có K   f  tan x  dx  3 . Đặt tan x  t  dt  d tan x  0 1 1 Vậy K   f  t  . 0 1 Lại có  0 1 dx   t 2  1 dx . cos 2 x x2 f  x  1 1 dt   f  x  . 2 dx  3 . 2 t 1 x 1 0 1 1 1 1 1   dx    f  x   2 f  x   dx   f  x  dx   2 f  x  dx . 2 x 1 x 1 x 1  0 0 0 1 Vậy suy ra I   f  x  dx  4 . 0  2 16  1 Câu 159. Đặt I1   cot x. f  sin 2 x  dx  1 , I 2   f  x  dx  1 . x 4 Đặt t  sin 2 x  dt  2sin x.cos xdx  2 sin 2 x.cot xdx  2t.cot xdx . Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 66 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489  2 1  1 2 I1   cot x. f  sin 2 x  dx   f  t  . 4 1 4 Suy ra  1 8 1 1 4 1 4 2 8 8 1 1 f t  1 f  4x 1 f  4x dt   dt   d  4x   dx . 2t 21 t 2 1 4x 21 x f  4x dx  2 I1  2 x Đặt t  x  2tdt  dx . 16  x  dx f I2   x 1 4 1 1 f t  f t  f 4x f  4x 2 t d t  2 d t  2 d 4 x  2 dx .   2    t t 4x x 1 1 1 4  1 4 1 Suy ra  1 4 4 f  4x 1 1 dx  I 2  x 2 2 Khi đó, ta có: 1 1  1 8 1 4 f  4x f  4x f  4x 1 5 dx   dx   dx  2   . 2 2 x x x 1 1 8 4 Câu 160. Ta có  1 4      4  f 2 x 1 4 f 2 x 1 4 ln x  ln x  dx   f  x  dx    dx   dx .   x x x x 1 1 1   4   dx . f 2 x 1 Xét K   x 1 Đặt 2 x  1  t  x  3 t 1 dx   dt . 2 x 3  K   f  t  dt   f  x  dx . 1 1 4 4 4 ln x ln 2 x  2 ln 2 2 . Xét M   dx   ln xd  ln x   2 1 x 1 1 4 Do đó  1 4 3 f  x  dx   f  x  dx  2 ln 2 2   f  x  dx  2 ln 2 2 . 1 3 Câu 161. Ta có: 7 f  x   4 f  4  x   2018 x x 2  9  f  x    4 Khi đó I   0 4 4 2018 f 4  x  x x2  9 . 7 7 4 4 2018 f  x  dx    f  4  x  dx  x x 2  9dx 1 .  70 7 0 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 67 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG 4 Xét: ĐT:0946798489 4 0 4  f  4  x  dx , đặt t  4  x ,  dt  dx nên  f  4  x  dx    f  t  dt   f  t  dx  I 0 0 4 0 4 Xét: x 2  9dx , đặt u  x 2  9  u 2  x 2  9  udu  xdx . x 0 4 5 5 u3 98  . Nên  x x  9dx   u du  3 3 3 0 3 2 2 4 2018 98 11 2018.98 197764 .  I I Từ 1  I   I  . 7 7 3 7 7.3 33 4 4 4 4  f (2 x  1) ln x  f (2 x  1) ln x Câu 162. Ta có:  f ( x) dx     dx  dx  A  B .  dx    x x  x x 1 1 1 1  ln x  ln x Xét B   dx   ln x d (ln x)  2 x 1 1 4 4 Xét A   1 4 2 4  ln 4   2 2 1  ln1  2 2  2 ln 2 2 . f (2 x  1) dx . x 4 3 3 1 f (2 x  1) Đặt t  2 x  1  dt  dx . Khi đó A   dx   f (t ) dt   f ( x) dx x x 1 1 1 4 3 4 3   Vậy  f ( x) dx    f ( x) dx   2 ln 2 2   f ( x) dx   f ( x) dx  2ln 2 2  I  2 ln 2 2 . 1 1 1 1  Dạng 5. Tích phân TỪNG PHẦN Dạng 5.1 Hàm số tường minh Câu 163. Chọn D 1  du  dx e  u  ln x  x  I   x ln xdx . Đặt  2 dv  xdx v  x 1  2 e e e e x2 1 x2 e2 1 e2 x 2 e2 e 2 1 e2  1  I  ln x   . dx    xdx       . 2 x 2 2 2 2 4 2 4 4 4 0 0 0 0 Câu 164. Chọn C e Ta có e e e  1  x ln x dx  1.dx   x ln xdx  e  1   x ln xdx . 1 1 1 1 1  u  ln x  du  x dx Đặt  2 dv  x.dx  v  x  2 e e 2 e x 1 e2 1 Khi đó  x ln xdx  ln x   x dx   x 2 2 21 2 4 1 1 e Suy ra  1  x ln x dx  e  1  1 e  1 e2 e2 1 e2 1     . 2 4 4 4 4 e2 1 e2 3 1 3    e  nên a  , b  1 , c   . 4 4 4 4 4 4 Vậy a  b  c . Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 68 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Câu 165. Chọn B e e e e e 2  x ln x d x  2d x  x ln x d x  2 x  I  2 e  2  I với I   1  1 1 1 x ln xdx 1 1  du  d x  u  ln x  x Đặt   2 dv  xdx v  x  2 e 2 e e x2 e e2 1 2 x x x2 e2  1 I ln x   dx  ln x     e  1  1 12 1 4 1 2 4 2 2 4 Ta có e    2  x ln x dx  2e  2  1 e2  1 1 2 7  e  2e  4 4 4 1  a  4   b  2  a  b  c  7 c   4  du  dx u  x  2   Câu 166. Đặt  1 2x . 2x dv  e dx v  e  2 Suy ra 1 1 1 1 2x 1 2x 0  x  2 e dx   x  2  2 e 0  0 2 e dx 2x 1 1 1 1 1 1 3 5 5  3e2   e2  1  e2 x   e 2  1  e2    e 2   . 2 4 2 4 4 4 4 4 0 Câu 167. Chọn C. Điều kiện: a , b   . u  2 x  1 du  2dx  Đặt  . x x dv  e dx v  e 1 1 1 1    2 x +1 e x dx =  2 x +1 e x  2  e x dx =  2 x  1 e x = 1+ e = a + b.e . 0 0 0 0 a = 1  . Vậy tích a.b = 1 . b = 1 dx  du   u  ln x 2   ln x 2 1     ln x 1  2 1 ln 2 x Câu 168. Đặt    I   dx       dx  2   1 1 x x x x 1 2 2 dv   1  v x2  x 1  b  1, c  2, a   P  2a  3b  c  4 . 2  du  dx u   x  1  Câu 169. Đặt  , ta có  . Do đó: 1 dv  sin 2 xdx v   2 cos 2 x Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 69 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG   4 1 I    x  1 sin 2 xdx    x  1 cos 2 x 2 0 4 0 ĐT:0946798489   14 cos 2 xdx . 2 o 1  ln x  u  dx  du x Câu 170. Đặt   4 x  2  dx  dv  2 x 2  2 x  v  Khi đó 3 3 3 7 2  4 x  2  ln xdx  ln x. 2 x  2 x 2  22  x  1 dx  24 ln 3  12 ln 2  2. 2  7  12 ln 2  24 ln 3 . Vậy a  7; b  12; c  24  a  b  c  5 .   2 2 Câu 171.  ln 1  x  1 2 x2 2 2 1 1 1  1   . dx dx   ln 1  x    dx  ln 1  x  . x 1 1 x 1 x  x  1 2 2 2 1 1 1 1 2  ln 3  ln 2   dx   dx  ln 3  ln 2  ln 1  x  1  ln x 1 2 x x 1 2 1 1 1 3 3 .  ln 3  ln 2  ln 3  2 ln 2  ln 3  3ln 2  a  3, b  2 2 2 Vậy a  4b   3 . Câu 172. Chọn A dx  u  ln x du     x dx   Đặt  dv  2  v   1 x  1     x 1 21000 21000 ln x I  x 1 1   1 1 dx ln 21000 .   1000  x 1 x 2 1 21000  1 21000 1  1000 ln 2 x 1  ln    dx   1000 2 1 x 1 1  x x 1 1000  1000ln 2 2 1 1000ln 2 21001 ln 21000 2  ln  ln    ln =   1001ln . 1000 1000 1000 1000 1000 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 1  21000 2 Câu 173. Xét I   2 x ln  x  1 dx . 0 1  dx u  ln  x  1 du  Đặt   x 1 . dv  2 xdx v  x 2  1  2 2 2  x2  x2  1 Ta có I   x  1 ln  x  1 |   dx  3ln 3    x  1 dx  3ln 3    x   3ln 3 . x 1  2 0 0 0 Vậy a  3, b  3  6a  7b  39 . 1 Câu 174. Đặt u  ln x  du  dx x dv  dx  v  x 2 a 2 0 a Ta có  ln xdx  a.ln a   dx  a ln a  a  1  1  2a 1 1  a ln a  3a  ln a  3  a  e3 . Vậy a  18; 21 . Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 70 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Câu 175. Chọn A 1 1 1 u  x  2 du  dx x x 1   ( x  2) e d x  ( x  2) e  e x dx=  e  2  e x  3  2e = a  be Đặt     x x 0 0 dv  e dx v  e 0 0 với a; b    a  3, b  2  a  b  1 Câu 176. Chọn A u  x du  dx  Đặt  x x dv  e dx v  e 2 2 x I   xe dx  xe x 2 1   e x dx  2e 2  e  e x 1 2 1  2e2  e   e 2  e   e 2 . 1 Câu 177. Chọn C 1  du  dx  u  ln x  x Đặt   . 2 dv  xdx v  x  2 3 3 3 3 x2 1 x2 x2   x ln x dx  ln x   x dx  ln x  2 22 2 4 2 2 2 Suy ra m  n  2 p  0 . 3  2 9 5 ln 3  2 ln 2  . 2 4 1  u  ln 1  x  dx du   Câu 178. Xét I   2 x ln 1  x  dx . Đặt  1 x .  dv  2 xdx 0  v  x 2  1 2 2 2  x2  x2 1 Ta có: I   x  1 ln  x  1   dx  3ln 3    x  1 dx  3ln 3    x   3ln 3 . 0 x 1  2 0 0 0 Vậy a  3 , b  3  3a  4b  21 . 1  du  .dx u  ln x    x  Câu 179. Đặt  1 dv  x 2 .dx v   1  x 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1  1    ln 2  b  1, c  2, a   . Khi đó Ta có I   .ln x    2 dx  ln 2  2 x1 2 2 2  x 1 1 x  1  P  2    3.1  2  4 .  2 u  x  du  dx  Câu 180. Đặt   1 dv  cos 2 x dx v  tan x    3 3 I  x tan x 03   tan xdx  0   3 3   ln cos x 3 0   3  3 3  sin xdx  3 3 d(cos x)   cos x 3 cos x 0 0 . 3  ln 1  3  ln1   ln 2  a  3; b  2 . Vậy a 2  b  11 . 2 3 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 71 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 u  ln  x 2  x  u   2 x  1 Câu 181. Đặt   x2  x v  1   v  x 2x  1 dx x ln  x 2  x   2 x  ln x  1  C x 1 2 F  2   2 ln 2  4  C  0 suy ra F  x   x ln  x  x   2 x  ln x  1 Suy ra F  x    ln  x 2  x  dx  x ln  x 2  x    3  F  x   2 x  ln  x  1  2 Khi đó: I    dx   ln  x  x  dx  F  3  F  2   3ln 3  2 . x  2 2 3  3 Câu 182. Xét I   0  3 x 1 d x  x. dx. . 2  cos x cos 2 x 0 u  x  du  dx  Đặt   . 1 v  tan x d v  d x   cos 2 x    3   3 1 3 I  x.tan x 3   tan xdx  x.tan x 3   d  cos x    x tan x  ln  cos x   3    ln 2. cos x 3 0 0 0 0 0 a  3 Suy ra   T  a 2  b  11. b  2 Câu 183. Áp dụng phương pháp tích phân từng phần: 2  dx u  ln 1  2 x  du  2x 1   Đặt:  .  1  dv  2 dx chän v   1  2    2 x  1 x   x x 2 2 2 ln 1  2 x    2 x  1 2  dx   ln 1  2 x    dx 2 x x x 1 1 1  5     ln 5  3ln 3   2 ln x  2  5  ln 5  3ln 3  2 ln 2 . 2  a  5 , b  3 , c  2 . Vậy a  2  b  c   5 . 2 1 ln 1  x  dx  a ln 2  b ln 3 . x2 1 2 Câu 184. Ta có I   1  dx u  ln(1  x) du    1 x Đặt   1 dv  x 2 dx v   1 . x  2 2 1 1 1 1 1  2 Khi đó I   ln (1  x) 1   dx   ln 3  ln 2     dx 1 x (1  x ) 1 x 2  x 1 x  Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 72 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 2 1 x  1 3    ln 3  ln 2   ln    ln 3  ln 2  2 ln 2  ln 3  3ln 2  ln 3. 2 2 2  x 1  1 3 9 Suy ra a  3 , b   . Vậy P  ab  . 2 2 Câu 185. Chọn A. 1 1 1 1 u  x  2 du  dx x x Đặt    ( x  2) e d x  ( x  2) e  ex dx=  e  2  ex  3  2e = a  be    x x 0 0 0 0 dv  e dx v  e với a; b   a  3, b  2  a  b  1 Câu 186. Chọn A cos x  2sin x  u  ln  sin x  2 cos x   du  sin x  2 cos x dx Đặt  dv  dx  v  tan x  2  cos 2 x π 4 π 4 ln  sin x  2 cos x  cos x  2 sin x dx   tan x  2  ln  sin x  2 cos x    dx 2 cos x cos x 0 0 π 4 0  π π 4 3 2  7 4  x  2 ln cos x  3ln 3  ln 2  3ln   2 ln 2  1  2 tan x d x       0 2 0  2  7 5 π 5 1 π 2  3ln 3  ln 2   2 ln  3ln 3  ln 2   a  3 , b   , c   . 2 2 4 2 4 4 2 Vậy abc  18 . 12 12 12 1 x 1   x 1 1  x 1    Câu 187. Ta có: I    x  1  2   1 e x dx   x  1  2  e x dx   e x dx . x   x   1   1 1 12 12 12 u  x  du  dx  1 Đặt:  1 . 1  x x    x dv   1  x 2  e dx  v  e x    12 Khi đó: I   1 12 1 12  12 12 1 1 x x 1  x 1  x  1  2  e x dx   e x dx  x.e x x   1 12 1 12  12 12 1 12 12 e 1 12 x 1 x 12 dx   e x 1 x dx 1 12 145 12 1 143 e  e . 12 12 Vậy: a  143; b  12; c  145; d  12. Dó đó: bc  ad  12.145  143.12  24 . 2 2 2 2 x  ln  x  1 ln  x  1 1 2 d x  d x  d x  dx . Câu 188. Ta có  2 2 2    x  2 x  2 x  2 x  2       0 0 0 0  12e 2  2 2 1 2 2  1  0 x  2 dx  0  x  2 2 dx   ln x  2  x  2  0  ln 2  2 . 2 I  0 ln  x  1  x  2 2 dx . Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 73 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 1  u  ln  x  1 du  dx  x 1    Đặt  1 1 x 1 d v  d x 2  v  1  x  2    x2   x  2 2 2   x  1 ln( x  1)  1 3 Suy ra I   dx  ln 3  ln 2 .     4  x  2  0 0  x  2  2 x  ln  x  1 1 3 Do đó  dx    ln 3  P   1  2  3  4   7 . 2 2 4  x  2 0 Dạng 5.2 Hàm số không tường minh (hàm ẩn) Câu 189. Chọn B 1 1 u  x  1 du  dx . Khi đó I   x  1 f  x  0   f  x  dx .  dv  f   x  dx v  f  x  0 Đặt  1 1 Suy ra 10  2 f 1  f  0    f  x  dx   f  x  dx  10  2  8 0 0 1 Vậy  f  x  dx  8 . 0 Câu 190. Lời giải 1 1 1 1 1 1 1 1 Ta có: I   xf (2 x)dx  xf  2 x    f  2 x  dx  f (2)   f  2 x  d  2 x  2 2 2 40 0 0 0 2 I 1 1 1 1 f (2)   f ( x ) dx  .16  .4  7 . 2 40 2 4  du  f ‘  x  dx u  f  x   Câu 191. Đặt   . x3 2  dv  x dx v  3  3 1 1 1 1 x x3 1 1 1 f  x  10   f ‘  x  dx    x 3 f ‘  x  dx     x 2 f  x  dx   udv  uv 10   vdu  0 0 0 3 3 21 0 3 0 1 1   x 3 f ‘  x  dx  . 0 7 1 1 1 1 2 2 1 1 1    x3  f ‘  x   dx   x 6 dx  2  x3 f ‘  x  dx    f ‘  x   dx   2.   0 0 0 0 0 7 7 7 2   f ‘  x   x3   0, x   0;1  f ‘  x   x 3 , x   0;1 . 1 4  x  1 ; x  0;1 4 1 11 1 1 1 Vậy  f  x  dx    x 4  1 dx    x 4  1 dx   . 0 0 4 0 4 5 Kết hợp điều kiện f 1  0 ta có f  x   1 1 1 Câu 192. Ta có   f  x  tan 2 x  f   x  tan x  dx   f  x  tan 2 xdx   f   x  tan xdx . 0 0 0 Lại có: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 74 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG 1  f  x  tan 0 2 1  0 ĐT:0946798489 f  x f  x  1  xdx   f  x    1dx   dx   f  x  dx   dx  1 . 2 2 cos x cos 2 x  cos x  0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 f   x  tan xdx   tan xd  f  x    f  x  . tan x   f  x  d  tan x  0 0 1  f 1 .tan1   0 f  x cos 2 x f  x 1 dx  cot1. tan1   0 0 f  x 1 cos 2 x dx  1   cos 2 x 0 dx . Vậy I  0. Câu 193. Chọn A u  f ( x)  du  f ‘( x)dx   x3 2 dv  x dx  v   3  1 3 1 3 3 1 x x 13 x I f ( x)   f ‘( x)dx  f (1)  0. f (0)   f ‘( x)dx 0 0 3 3 3 3 0 1 1 1 1 3  x f ‘( x)dx   x3 f ‘( x)dx  1  3 3 0 0 1 Câu 194. Ta có:  f ( x)sin 0 1  ( f ( x)  3sin  0 2  2 xdx   2 f ( x).cos  1  2 1 x  0  0  2 1 1  2 xdx  9  sin 2 0 1 x   f  x  dx   3sin 0 0  3 0 x) 2 dx   f 2 ( x)dx  6  f ( x) sin Từ đây ta suy ra f ( x)  3sin  f ‘( x).cos xdx   2 2 1 0 1 2  xdx  2   2 6  xdx  0 .  m 2 Câu 195. Ta có:  x  cos x  2m dx=  x cos xdx   2mxdx   x cos xdx  . 4 0 0 0 0   u  x  du  dx     Gọi I   2 x cos xdx . Đặt  . dv  cos xdx  0 v  sin x 2 2 2 2   2 I  x sin x |  sin xdx  2 0 0  2   cos x |02   2 1 .  m 2   1 . Khi đó:  x  cos x  2m dx= 4 2 0 m  2 m 8. Suy ra 4 2 Câu 196. Chọn B Cách 1: Đặt u  f  x   du  f   x  dx , dv  x 2 dx  v  1 1 x3 . 3 1 1 x3 x3 Ta có  f  x   f   x dx   x 3 f   x dx  1 3 3 3 0 0 0 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 75 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG 1 1 Ta có  49 x 6 dx  7, 0 ĐT:0946798489 1 1 2   f ( x) dx  7,  2.7 x . f   x dx  14   7 x 3 0 0 3 2  f ( x )  dx  0 0 4 7x 7  C , mà f 1  0  C  4 4 1 1 4  7x 7  7   f ( x)dx       dx  . 4 4 5 0 0 Cách 2: Nhắc lại bất đẳng thức Holder tích phân như sau:  7 x3  f ( x)  0  f  x    2 b b  b 2 2 f x g x dx  f x dx .            g  x  dx a a  a Dấu bằng xảy ra khi f  x   k .g  x  ,  x   a; b  , k    2 1  1 x6 1 2 x3 1  x3 1 Ta có    f   x dx    dx.  f   x   dx  . Dấu bằng xảy ra khi f   x   k . . 9 0 3 9 3  0 9 0 1 3 7 x4 7 x 1  . Mặt khác  f   x dx   k  21  f   x   7 x 3 suy ra f  x    4 4 3 3 0 1 Từ đó 1  7 x4 7  7 f ( x)dx       dx  . 4 4 5 0  0 1 Câu 197. Xét tích phân I   f   x  cos  x  dx  0  2 u  cos  x  du   sin  x  dx Đặt   , ta có dv  f ‘  x  dx v  f  x  1 1 1 1 I  f  x  cos  x  0    f  x  sin  x  dx   f 1  f  0     f  x  sin  x  dx   f  x  sin  x  dx 0 0 1 0 1   1    f  x  sin  x  dx    f  x  sin  x  dx  2 2 2 0 0 Mà I  1 1 1 1 1 1 1  Mặt khác:  sin  x  dx   1  cos  2x   dx   x  sin  2x    20 2 2 0 2 0 2 1 1 1 1  2.   0 . 2 2 2    f 2  x   2. f  x  sin  x   sin 2  x   dx  0 1 Khi đó   f  x   sin  x  2 dx  0 0 2 Vì f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 và  f  x   sin  x    0, x   0;1 nên ta suy ra f  x   sin  x   0  f  x   sin  x  . 1 Do đó 1 1  f  x  dx   sin  x  dx    cos  x  0 0 1 Câu 198. Từ giả thiết: 2  x f  x  dx  0 1  0 2  1 1   3 x 2 f  x  dx  1 . 3 0 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 76 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 1 Tính: I   3 x 2 f  x  dx . 0 u  f  x  du  f   x  dx Đặt:  .   2 3 dv  3 x dx v  x Ta có: 1 2 1 1 3 1 3 1 I   3x f  x  dx  x f  x    x . f   x  dx  1. f 1  0. f  0    x . f   x  dx    x 3 . f   x  dx . 0 0 3 0 1 0 0 1 Mà:  3x 2 f  x  dx  1  1    x 3 . f   x  dx 0 0 1 1 1 1 2   x3 . f   x  dx  1  7  x3 . f   x  dx  7   7 x3 . f   x  dx     f   x   dx , (theo giả thiết: 0 0 1 0 0 2   f   x  dx  7 ). 0 1  2 1    7 x . f   x  +  f   x   dx  0   f   x   7 x 3 + f   x  dx  0 0 3 0 7  7 x 3 + f   x   0  f   x   7 x 3  f  x    x 4  C . 4 7 4 7 Với f 1  0   .1  C  0  C  . 4 4 7 4 7 Khi đó: f  x    x  . 4 4 1 Vậy:  0 1 1  7 7 7  x5  7 f  x  dx     x 4  dx     x   . 4 5 4 4 0 5 0 1 1 1 Câu 199. Từ giả thiết:  x. f  x  dx    5 x. f  x  dx  1 . 5 0 0 1 Tính: I   5 x. f  x  dx . 0  du  f   x  dx u  f  x   Đặt:  .  5 2 dv  5 xdx v  x  2 1 1 1 5 5 Ta có: I   5 x. f  x  dx  x 2 . f  x    x 2 . f   x  dx 2 20 0 0 1 1 5 5 5  . f 1   x 2 . f   x  dx  10   x 2 . f   x  dx , (vì f 1  4 ) 2 20 20 1 1 1 5 18 Mà: I   5 x. f  x  dx  1  1  10   x 2 . f   x  dx   x 2 . f   x  dx  20 5 0 0 1 1 2 1 2 2  10  x . f   x  dx  36  10  x . f   x  dx    f   x   dx , (theo giả thiết: 0 0 0 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 1   f   x  2 dx  36 ) 0 77 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG 1 ĐT:0946798489 1 2   10 x 2 . f   x    f   x    dx  0   f   x  10 x 2  f   x   dx  0   0 0  10 x 2  f   x   0  f   x   10 x 2  f  x   10 x 3 C 3 10.1 2 C  C  . 3 3 3 10 x 2 Khi đó: f  x    . 3 3 Với f 1  4  4  1 Vậy: 1 1  10 x3 2   5×4 2  3 f  x  dx     dx    x  . 3 3 3 0 2  6 0  0 2 Câu 200. Từ giả thiết: 2 2  x f  x  dx  0 1   3 x 2 f  x  dx  1 . 3 0 2 Tính: I   3 x 2 f  x  dx . 0 du  f   x  dx u  f  x  Đặt:  .   2 3 dv  3 x dx v  x 2 2 2 2 Ta có: I   3x 2 f  x  dx  x 3 . f  x    x 3 . f   x  dx  24   x3 . f   x  dx , (vì f  2   3 ) 0 0 0 2 0 2 Mà: I   3x 2 f  x  dx  1  1  24   x3 . f   x  dx 0 0 2 2   x3 . f   x  dx  23  0 2  4 x 3 . f   x  dx  4 23 0 2 2 4 x 3 . f   x  dx    f   x   dx , (theo giả thiết:  23 0 0 2 1   f   x  2 dx  4 ) 0 2 2 4 4     x 3 . f   x    f   x    dx  0   f   x   x3  f   x   dx  0 23   23  0  0 4 3 4 3 1 4  x  f  x  0  f  x  x  f  x  x C 23 23 23 16 53 C C  Với f  2   3  3  . 23 23 1 4 53 x  Khi đó: f  x   . 23 23 2 Vậy  0 2 2 562 53   1 5 53   1 x  x  . f  x  dx    x 4  dx   23 23 115 23 115     0 0 du  f   x  dx u  f  x   Câu 201. Tính: I   x. f  x  dx . Đặt:   1 2 dv  xdx 0 v  x  2 1 1 1 1 1 1 Ta có: I  x 2 . f  x    x 2 f   x  dx  2   x 2 f   x  dx , (vì f 1  4 ). 0 20 2 20 1 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 78 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG 1 Mà: 1  x. f  x  dx   2  0 1 1  2   x 2 f   x  dx 2 20 1 1   x 2 f   x  dx  5 , (theo giả thiết: 0 1  ĐT:0946798489 1 2 1 2 1 2 2   f   x  dx  5 )   x f   x  dx    f   x  dx 0 0 0 1    x 2 f   x    f   x   dx  0   f   x  .  x 2  f   x   dx  0 0 0  x2  f   x   0  f   x   x2  f  x   1 3 x C . 3 11 . 3 1 11 Khi đó: f  x   x3  . 3 3 1 1 11  11  1 15 1 1 Vậy  f  x  dx    x 3   dx   x 4  x   . 3 3 3 0 4  12 0 0 Với f 1  4  C  2 Câu 202. Tính: I   x. f  x  dx . 0  du  f   x  d x u  f  x   Đặt:   1 2 dv  xdx v  x  2 2 2 12 1 1 Ta có: I  x 2 . f  x    x 2 f   x  dx  12   x 2 f   x  dx , (vì f  2   6 ). 0 20 2 20 2 Theo giả thiết: 2  x. f  x  dx  0 17 17 1   12   x 2 f   x  dx 2 2 20 2   x 2 f   x  dx  7 0 2  2 2  x f   x  dx    f   x  0 2  dx 0   x f   x    f   x  2 0 2  2  f   x  .  x 2 2  dx  0  f   x   dx  0 0 1  x2  f   x   0  f   x   x 2  f  x   x3  C . 3 10 Với f  2   6  C  . 3 1 10 Khi đó: f  x   x3  . 3 3 2 2 10  10  2 1 1 Vậy  f  x  dx    x3   dx   x 4  x   8 . 3 3 3 0  12 0 0 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 79 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 3 Câu 203. Tính I   x 2 . f  x  dx . 0 du  f   x  dx u  f  x   Đặt   . 1 3 2 dv  x dx v  x 3  3 3 13 3 1 3 1 3 Ta có I  x . f  x    x f   x  dx  54   x f   x  dx , (vì f  3  6 ). 0 30 3 30 3 Theo giả thiết: 3 2  x . f  x  dx  0 3 154 154 1   54   x 3 f   x  dx 3 3 30 3 3 3 2  2    x 3 f   x  dx  8   x3 f   x  dx  4   f   x   dx   x3 f   x   4  f   x   dx  0 0 3 0 0 0   f   x   x3  4 f   x   dx  0 . 0 x3 x4  f  x   C . 4 16 15 Với f  3  6  C  . 16 4 x 15 Khi đó: f  x    . 16 16 3 3 15  15  3 117 1  1 Vậy  f  x  dx    x 4   dx   x5  x   . 16 16  16  0 20  80 0 0  x3  4 f   x   0  f   x   1 Câu 204. Tính: I   x3 . f  x  dx . 0  du  f   x  d x u  f  x   Đặt:   . 1 4 3 dv  x dx v  x  4 1 1 11 1 1 1 Ta có: I  x 4 . f  x    x 4 f   x  dx    x 4 f   x  dx , (vì f 1  2 ). 0 40 4 2 40 Theo giả thiết: 1 1 3  x . f  x  dx  10   x f   x  dx  38 0 1 4 0 1 1 4 2  8. x f   x  dx  38.8  8. x 4 f   x  dx  38.  f   x   dx 0 1  0 2 0 1    8 x 4 f   x   38  f   x   dx  0   f   x  . 8 x 4  38 f   x   dx  0 0  8 x 4  38 f   x   0  f   x    0 4 4 4 x  f  x    x5  C . 19 95 194 . 95 4 194 Khi đó: f  x    x5  . 95 95 Với f 1  2  C  Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 80 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG 1 Vậy 1 4   f  x  dx     95 x 0 5  0 ĐT:0946798489 194   2 6 194  1 116 x  x  .  dx    95  95  0 57  285 1 Câu 205. Xét A    x  1 e x f  x  dx 0 u  f  x  du  f   x  dx Đặt    x x v  xe dv   x  1 e dx x Suy ra A  xe f  x  1 0 1 1 1 x   xe f   x  dx    xe x f   x  dx   xe x f   x  dx  0 0 0 1  e2 4 1 1 1 1 e2  1 1 Xét  x e dx  e  x 2  x    2 40 4 2 0 2 2x 1 2x 1 2 1 1 2 Ta có :   f   x   dx  2  xe x f   x  dx   x 2 e 2 x dx  0    f   x   xe x  dx  0 0 0 0 0 2 Suy ra f   x   xe x  0, x   0;1 (do  f   x   xe x   0, x   0;1 )  f   x    xe x  f  x   1  x  e x  C Do f 1  0 nên f  x   1  x  e x 1 1 1 Vậy I   f  x  dx   1  x  e x dx   2  x  e x  e  2 . 0 0 0  4 Câu 206. Tính sin 2 x  u  2 cos 2 xdx  du  f   x  sin 2xdx   4 . Đặt  f   x  dx  dv   f  x   v , khi đó 0    4  0  4 f   x  sin 2xdx  sin 2x. f  x  04  2  f  x  cos2xdx  sin 0 4    . f    sin 0. f  0   2  f  x  cos2xdx 2 4 0  4  2  f  x  cos2xdx . 0   4 Theo đề bài ta có  f   x  sin 2xdx   0  4 4    f  x  cos2xdx  8 . 0  4 Mặt khác ta lại có  cos 2 2 xdx  0 Do   4 4  8 . 2    2 2 0  f  x   cos2x  dx  0  f  x   2f  x  .cos2x  cos 2 x  dx   8  2 8  8   0 nên f  x   cos 2 x . Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 81 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG  ĐT:0946798489  8 8 1 1 Ta có I   cos 4 xdx  sin 4 x  . 4 4 0 0 u  cos  x  du   sin  x  dx Câu 207. Đặt   . Khi đó: dv  f   x  dx v  f  x  1  0 1 1 f   x  cos  x  dx  cos  x  f  x  0    f  x  sin  x  dx 0 1 1 1    f 1  f  0      f  x  sin   x  dx    f  x  sin  x  dx   f  x  sin  x  dx  0 0 1 Cách 1: Ta có   f  x   k sin  x  0  2 0 1 dx   f 1 2 0 1 . 2 1 2  x  dx  2k  f  x  sin  x  dx  k  sin 2  x  dx 0 0 1 k2 k   0  k  1. 2 2 1 1 2 Do đó   f  x   sin  x   dx  0  f  x   sin  x  . Vậy 0  0 1 f  x  dx   sin  x  dx  0 2  . Cách 2: Sử dụng BĐT Holder. 2 b b b  2 f x g x d x  f x d x . g 2  x  dx .           a  a a Dấu “=” xảy ra  f  x   kg  x  , x   a; b  . 2 1 1 1  1  1 Áp dụng vào bài ta có    f  x  sin  x  dx    f 2  x  dx. sin 2  x  dx  , 4 0 4 0 0  suy ra f  x   k sin  x  . 1 Mà 1  f  x  sin   x  dx  0 1 Vậy  0 1 1  k  sin 2  x  dx   k  1  f  x   sin  x  . 2 2 0 1 f  x  dx   sin  x  dx  0 2  .  4 u  sin x du  cos xdx Câu 208. Ta có: I   sin x. f   x  dx . Đặt  .  0 dv  f   x  dx v  f  x    4 I  sin x. f  x    cos x. f  x  dx  4 0 0   3 2  I1 . 2  4   f  x  f  x  2 2   sin x.tan x. f  x   dx   sin 2 x. d x    1  cos x .  dx .  cos x  cos x  0 0  0  4 4 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong   82 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG  ĐT:0946798489  4 4  f  x    d x  cos x. f  x  dx  1  I1 .   cos x 0  0  3 2 3 22 1   I1  1  I  . 2 2 u  f  x  du  f   x  dx   Câu 209. Đặt  2 x x  dv  cos 2 dx v   sin 2 1 1   Do đó  cos  x  f  x  dx  2 2  0 1 x 1   sin f  x    sin   2  0 2 0 2 1  Lại có:  sin 2  2 0 2 1 1   x  f   x  dx    sin  2 2  0   x  f   x  dx   . 4  1  x  dx  2  2 1 1  2   2   I     . f   x   dx  2     sin      0 2 0 1   x  f   x  dx   sin 2   2 0  x  dx  2 1  2 4 2 2  1         f  x   sin  x   dx  2  .  0   8  2 2  2  0  2  Vì   f   x   sin  2   2  x    0 trên đoạn  0;1 nên  2 1  2 2        0    f   x   sin  2 x   dx  0    f   x  =sin  2 x   f   x  =  2 sin  2     Suy ra f  x  =cos  x   C mà f 1  0 do đó f  x  =cos  x  . 2  2  1 Vậy 1    x .  2  f  x  dx   cos  2 x  dx   . 0 0 1 Câu 210. Ta có:   f   x  2 dx  9 1 0 1 – Tính 1  x f  x  dx  2 . 3 0  d u  f   x  dx u  f  x   Đặt   x4 3 d v  x .d x v     4 1 1 1 1  x4  1 1 4 1 1 4 3    x f  x  d x   . f  x     x . f   x  d x    x . f   x  dx 2 0 4 40  4 0 4 0 1 1   x 4 . f   x  dx  1  18 x 4 . f   x  dx  18  2  0 0 1 – Lại có: 8  x dx  0 9 1 x 9 1  0 1  81 x8dx  9  3 9 0 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 83 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 – Cộng vế với vế các đẳng thức 1 ,  2  và  3 ta được: 1 1 2 4 8 4 0   f   x   18x . f   x   81x  dx  0  0  f   x   9 x  dx  0 1   .  f   x   9 x 4  dx  0 0 Hay thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f   x   9 x 4 , trục hoành Ox , các đường thẳng x  0 , x  1 khi quay quanh Ox bằng 0 9  f   x   9 x 4  0  f   x   9 x 4  f  x    f   x  .dx   x 4  C . 5 14 9 5 14  f  x   x  Lại do f 1  1  C  5 5 5 1  0 1 1 14  5 14   3  9 f  x  dx     x 5   dx    x 6  x   . 5 5 5 0 2  10 0 1 1 1 Câu 211. – Tính : I    x  1 e x f  x  dx   xe x f  x  dx   e x f  x  dx  J  K . 0 0 0 1 Tính K   e x f  x  dx 0 u  e x f  x  du  e x f  x   e x f   x   dx Đặt   dv  dx v  x 1 1 1 1  K   xe x f  x      xe x f  x   xe x f   x   dx    xe x f  x  dx   xe x f   x  dx  do f 1  0  0 0 0 1 0 1  K   J   xe x f   x  dx  I  J  K    xe x f   x  dx . 0 0 – Kết hợp giả thiết ta được : 1 1 2 2 e2  1 e2  1   (1)    f  x   dx     f  x   dx  4 4 0 0  1  1 2 2 e  1  xe x f  x dx  2 xe x f  x dx   e  1 (2)         4 2  0  0 1 e2  1 (3) . – Mặt khác, ta tính được :  x 2 e 2 x dx  4 0 – Cộng vế với vế các đẳng thức (1), (2), (3) ta được: 1  0 2  1 1 2 2  f   x    2 xe x f   x   x 2 e2 x dx  0    f   x   xe x  dx  0     f   x   xe x  dx  0 o o x hay thể tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f   x   xe , trục Ox , các đường thẳng x  0 , x  1 khi quay quanh trục Ox bằng 0  f   x   xe x  0  f   x    xe x  f  x     xe x dx  1  x  e x  C . – Lại do f 1  0  C  0  f  x   1  x  e x Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 84 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG 1 1 1 1 ĐT:0946798489 1   f  x  dx   1  x  e x dx   1  x  e x    e x dx  1  e x  e  2 0 0 0 0 0 3 2 Câu 212. Đặt u  f  x   du  f   x  dx , dv   x  1 dx  v  2 3  x  1 3 3  x  1 . f x   x  1 f  x dx 1 2 Ta có     x  1 f  x  dx       3 3 3 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 3 3 3       x  1 f   x  dx    x  1 f   x  dx  1    2.7  x  1 f   x  dx  14 3 31 1 1 2 2 2 2 6 2 3 6 Tính được  49  x  1 dx  7    f   x   dx   2.7  x  1 f   x  dx   49  x  1 dx  0 1 1 2 1 1 2 3 3   7  x  1  f   x   dx  0  f   x   7  x  1  f  x     7  x  1 4 1 Vậy I   1 C . 4 7 . 4 4 4 2 7  x  1 7  7   dx   . f  x  dx    5 4 4  1   Do f  2   0  f  x   2 7  x  1 4  1 Câu 213. Xét tích phân 2  x . f  x  dx . 0  du  f   x  dx u  f  x   Đặt   x3 2 d v  x d x v    3  1 1 1 3 1 11 1 x 1   x 2 . f  x  dx  f  x    x 3 f   x  dx    x3 f   x  dx   x3 f   x  dx  1 0 30 3 0 3 30 0 1 x 6 dx  0 1 Ta có: 1 . 7 1 2 1  0 1 0 3 2   f  x  7x  Mà 1 3 6 3   f   x  dx  14 x f   x  dx  49 x dx  0   f   x   7 x dx  0 . 0 Dấu “=”  2 dx  0 0 xảy ra khi f   x   7 x 3  0  f   x   7 x 3 0 7 x4 C . 4 7 7 x4 7 f 1  0  C   f  x     . 4 4 4 1 1 4  7x 7 7 7 7 7 x5 1 7 x 1    . I   f  x  dx       dx    4 4 20 0 4 0 20 4 5 0 0  f  x    f   x  dx    7 x 3 dx   1 Câu 214. Xét 7  x f  x  dx  11 4 0 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 85 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 du  f   x  dx u  f  x   Đặt   x5 4 dv  x dx v  5  1 1 1 1 1 1 3 1   x f  x  dx  x5 f  x    x 5 f   x  dx    x5 f   x  dx ( vì f 1  3 ) 5 50 5 50 0 0 4 1 2 3 7    x 5 f   x  dx  5      . 11  5 11  0 1 2 4    f   x   dx  11 0 1 1 1  1 2 2    f   x   dx  4  x 5 f   x  dx  4  x10 dx  0 Xét   x5 f   x  dx   11 0 0 0 0 1  1 1 1   x10 dx  x11  0 11 11  0 1 2 10  x6    f   x   2 x5   dx  0  f   x   2 x 5  f  x    C . Do f 1  3  C  nên 3 3 0 1 1   x 6 10  23 0 f  x  dx  0  3  3  dx  7 2 f  x 5 3 Câu 215.  dx    ln . 2 12 2 1  x  1 u  f  x   du  f   x  dx  Đặt  dx 1 dv   v   2  x 1  x  1  2 2 2 f  x f  x f  x f 1 f  2  2 f   x  f 1 2 f   x  1  x  12 dx   x  1  1 x  1 dx  2  3  1 x  1 dx  2  1 x  1 dx 1 2 f  x f  x dx   dx  0 2 x 1 1 1 1 2 2 2 f  x f  x 2     f  x   dx   dx   dx  0 2 x 1 1 1 1 2  f  x f  x  2    f   x      dx  0 x 1 2  1  f  x f  x 2   f   x    0 x 1 2  f  x  0  f  x  C     f  x  1  1  0  f  x   x  ln x  1  C x 1 2  2  TH1: f  x   C , f  2   0  C  0  f  x   0 (loại) 2 2 2    f   x   dx   TH2: f  x   x x  ln x  1  C , f  2   0  C  ln 3  1  f  x    ln x  1  ln 3  1 2 2 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 86 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG 2 3 ĐT:0946798489 3  f  x  dx  4  2 ln 2. 1 1 Câu 216. Ta tính. 4 f  x   2 x  1 dx  2 ln 3  2 0 1 f  x 1 2 8  dx  ln 3  2 2 3 3 0  2 x  1 u  f ( x) du  f ‘( x)dx   1  Đặt:  dv  dx v   1 . 1  1  x 2    2 x  1 2 2x  1 2 2x  1  1 1 1 1 f  x 1 2 xf ( x) xf ‘( x) x ln 3    dx    dx   f ‘( x) dx 2   2 3 0  2 x  1 2x  1 0 0 2x  1 2 x  1 0 1  0 1 x 1 2 x 8 f ‘  x  dx   ln 3   4  f ‘  x  dx  2 ln 3  2x 1 2 3 2x 1 3 0 2 1 2 1 2 1 1  2x  1  1   x  Tính tích phân:    dx     dx    1   dx 2x  1  4 0  2x 1  4 0  2x 1  0  1  1  2 1  dx 1  2   4 0  2 x  1 (2 x  1)  1  1 1 1 1   x  ln 2 x  1     ln 3 4 2  2 x  1  3 4 0 2 1 4  x   4   dx   ln 3 2x 1  3 0 1 1 2    f ‘( x)  dx  4  0 0 2 1 x  x  f ‘  x  dx  4    dx  0 2x 1 2 x  1   0 2 1 2x  2x 1     f ‘( x)   1  dx  0  f ‘( x)  2x  1  2x  1 2x 1 0 1  f ( x)  x  ln  2 x  1  C vì x   0;1 2 1 Vì f 1  0  C  ln 3  1 2 1 1 1 1 f  x 1  1 1 1  1 1   I  dx    x  ln  2 x  1  ln 3  1 dx    x  ln 3  1dx   ln  2 x  1dx 4 0 2 80 4 4 0 2 2   0 1 1  1 1 1  1 1  x2 x  A    x  ln 3  1dx    ln 3  x     ln 3 8 8 4 0 2 4 2 2  0 2  dx u  ln  2 x  1 du  B   ln  2 x  1dx đặt   2x 1 dv  dx 0  x  x 1 1 1 2x 1 3    B  x ln(2 x  1) 0   dx  ln 3   x  ln(2 x  1)   ln 3  1 2 2x 1  0 2 0 1 1 1  I  A  B   ln 3 8 16 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 87 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 du  f   x  dx u  f  x  Câu 217. Đặt  .  2 dv   2 x  1 dx v  x  x 1 1 1 1 Suy ra   2 x  1 f  x  dx   x 2  x  f  x  0    x 2  x  f   x  dx     x 2  x  f   x  dx 0 0 1 1 30    x 2  x  f   x  dx  0 1 0 1 1  x5 x 4 x3  1     Ta có:  x  x dx   x  2 x  x dx       .  5 2 3  0 30 0 0 2 2 1 2 4 3 2 1 1 2 1 2 Do đó,   f   x  dx  2  x 2  x  f   x  dx    x 2  x  dx  0    f   x    x 2  x   dx  0 0 0  f   x   x2  x  f  x   0 x3 x 2  C. 3 2 Vì f  0   1 nên C  1  f  x   1 0 x3 x 2   1. 3 2 1 1  x3 x2   x4 x3  11 Vậy  f  x  dx      1 dx     x   .  3 2   12 6  0 12 0 0 Dạng 6. Kết hợp nhiều phương pháp để giải toán Câu 218. Chọn D Đặt t  3 x  dt  3dx  dx  1 dt . 3 1 3 13 Suy ra 1   xf  3x dx   tf  t dt   tf  t dt  9 . 90 0 0 du  f   t  dt u  f  t   Đặt  .  t2 d v  t d t   v 2  3 3 3 2 t2 t 9 13   tf  t dt  f  t    f   t  dt  f  3    t 2 f ‘  t  dt . 2 2 2 20 0 0 0 3 9 3 Vậy x 3 9 1 2   t f   t  d t   t 2 f   t  d t  9 . 2 20 0 2 f   x  dx  9 . 0 Câu 219. Chọn D Xét  1 0 xf  4 x  dx  1. Đặt: t  4x   4 0 4 4 1 1 t. f  t  . dt  1   t. f  t  dt  16   x. f  x  dx  16. 0 0 4 4 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 88 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG Xét I   4 0 ĐT:0946798489 4 x 2 f   x  dx   x 2 df  x  4 Suy ra: I  x 2 . f  x   0  0 4 0 2 x. f  x  dx  4 2 f  4   2.16  16. Câu 220. Chọn D 1 Theo bài ra:  xf  6 x  dx  1 . 0 Đặt t  6 x  dt  6dx . Đổi cận: 1 6 6 6 1 dt 1 Do đó:  xf  6 x  dx  1   t. f  t   1  t. f  t  dt  1   t. f  t  dt  36 . 6 6 36 0 0 0 0 6 Tính I   x 2 f   x  dx . 0  u  x 2  du  2 x dx Đặt   dv  f   x  dx  v  f  x 6 6 6 2  I  x f  x    2 xf  x  dx  36 f  6   2  xf  x  dx  36.1  2.36  36 . 0 0 0 Câu 221. Chọn D 5 5 5 5 +) I   x f   x dx  x df  x   x . f  x 0   f  x dx 2 2 2 0 2 0 5 0  25. f 5  0. f  x   f  x.2 xdx 0 5  25  2 xf  x  dx 0 1 +) Ta có:  xf (5x)dx  1 0 5 5 t t Đặt 5x  t   f (t)d  1   tf (t)dt  25 5 5 0 0 Vậy I  25  2  25  25 . Câu 222. Đặt t  2  x 2  dt  2 xdx . Đổi cận x  0  t  2 . x 1 t  3 1 3 2  x ln(2  x )dx  0 1 ln tdt. 2 2 3 3 dt  3 3 3 u  ln t d u  Đặt  t   ln tdt  t ln t 2   dt  t ln t 2  t 2  3ln 3  2 ln 2  1 dv  dt  v  t 2 2  1   x ln(2  x 2 )  0 3 1 3 1 ln 3  ln 2   a  , b  1, c    a  b  c  0 . 2 2 2 2 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 89 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 x  x  2t  dx  2dt . 2 4 2 2 x  0  t  0 x  Đổi cận:  . Do đó  xf    dx   4tf   t  dt   4 xf   x  dx . 2 x  4  t  2 0 0 0 Câu 223. Đặt t  u  4 x du  4dx Đặt  .   dv  f   x  dx v  f  x  2 2 2 2 Suy ra  4 xf   x  dx   4 xf ( x)  0   4 f  x  dx  8 f  2   4  f  x  dx  8.16  4.4  112. 0 0 0 2 Câu 224. Đặt t  x  2tdt  dx . Đổi cận x  0  t  0 , x    t   .   2  I   2t sin tdt  2  x 2 sin xdx . 0 0 2 Đặt u  x  du  2 xdx , dv  sin xdx  v   cos x .  2 2      x sin xdx   x cos x   2 x cos xdx  2  2  x sin x  cos x  0   2  4 0 0 0 a 1     1; 0  .——b 4 Câu 225. Đặt t  2 x  dt  2dx . Với x  0  t  0 ; Với x  1  t  2 . 2 2 2 t dt 1 1 Suy ra: I   f   t    tf   t  dt   xf   x  dx . 2 2 40 40 0  I  2 2  8 . Ta có a  2 , b  8  u  x du  dx Đặt  .  dv  f   x  dx v  f  x   1 2 2 1 1 Ta có I   xf  x    f  x  dx    2 f  2   0 f  0   4    2.16  4   7 . 0 0 4 4  4 u  ln  sin x  cos x  cos x  s in x  dx   du  Câu 226. Ta có:  .  s in x  cos x 1 d v  d x  v  tan x cos2 x   4 Khi đó: I   0 ln  s in x  cos x  dx  tan x.ln  sin x  cos x  cos 2 x   4 4   4 0 4   tan x. 0 cos x  sin x dx . sin x  cos x 2 cos x  sin x tan x  tan x dx   dx sin x  cos x tan x  1 0 0 dt  Đặt tan x  t  dt  1  tan 2 x  dx  dx  . Với x  0  t  0 và x   t  1 2 1 t 4 2 1 1 1 1 2  t  1  1  t  t t dt dt  Ta có : J   dt=  dt=     ln 2 . 2 2 2 1 t t 1 4 0  t  1 .  t  1 0 1  t  . 1  t  0 0 Đặt J   tan x. 3  bc 8 ln 2    . 4 2 4 a 3 2 x  t  x  t  dx  2tdt . Vậy I  ln 2  Câu 227. Đặt   ln 2  x 0 2 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 90 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG t ĐT:0946798489 0   Ta có: I   2t 2 sin tdt . 0 u  2t 2 du  4tdt Đặt  .  v   cos t d v  sin t d t     2 Suy ra I  2t cos t   4t cos tdt . 0 0 u  4t du1  4dt Đặt  1 .  dv1  cos tdt v1  sin t     Vậy I  2t 2 cos t  4t sin t 0   4sin tdt  2   2   4 cos t 0  2 2  8 . 0 0 Do đó a  2; b  8  a   1;0  . b Dạng 7. Tích phân của một số hàm số khác Dạng 7.1 Tích phân hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối Câu 228. Chọn A 0 a 1 a2 1  a2 Vì a  0 nên I    x dx   x dx    2 2 2 1 0 Câu 229. Chọn D 1 2 1 I 1  f  2 x  1  dx   f 1  2 x  dx   f  2 x  1 dx  I 1 1 1 2 Xét I1   1 2 f 1  2 x  dx   1 1 Xét I 2   f  2 x  1 dx  1 2  I2 . 1 2 1 3 3 1 1 1  f t d t  f  x  dx  3 . f 1  2 x d 1  2 x       2 1 2 0 2 0 1 1 1 1 1 1  f t d t  f  x  dx  1 f 2 x  1 d 2 x  1       2  2 2 1 0 0 2 Vậy I  I1  I 2  4 . 1  1 . Do đó với m  1, x  1; m  2mx  1  0 . 2m m m 2mx  1 dx    2mx  1 dx   mx 2  x   m3  m  m  1  m3  2m  1 . 1 1 Câu 230. Do m  1  2m  2  m Vậy  1 m  0 Từ đó theo bài ra ta có m3  2m  1  1   . Do m  1 vậy m  2 . m   2 Câu 231. Chọn B 2 1 3  2 1 3 4 2 4 2 1 Ta có: x  x  1  x  2. x .     x     0, x   . 2 4 2 4 4  Do đó:  2018 1 x 4  x 2  1 dx   2018 1 x 4  x 2  1 dx . Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 91 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Câu 232. Chọn A Ta có 5  1 2 5 x2 x2 x2 dx    dx   dx x 1 x 1 x 1 1 2 2 5 3  3       1   dx   1   dx x 1 x 1 1 2 2 5 1 2    x  3ln x  1    x  3ln x  1     2  3ln 3  1  3ln 2  5  3ln 6  2  3ln 3  2  6 ln 2  3ln 3 Vậy a  2, b  6, c  3  P  abc  36 . 2 Câu 233.  2 x 2  2m 2 dx  0 x 2  2m 2  dx  * 0  x  m 2 Ta có: x 2  2m 2  0   . x  m 2  TH1. Nếu m  0 thì * luôn đúng.  x 2  2m 2  0 1 TH2. Nếu m  0 thi * đúng   2 với mọi x   0;2 . 2  x  2m  0  2  ) m  0 .  m 2  m 2  0 đúng   (vô nghiệm). 2   m 2  m 2    m 2  0  m  0  m 2.  2  đúng    m  2 m 2  2 ) m  0 . 1  m 2  m 2  0 đúng   (vô nghiệm). 2  m 2   m 2   m 2  0  m  0  m 2.  2  đúng     m 2  2  m   2 Suy ra m   ;  2    2 ;    0 là giá trị cần tìm. 1   1 4 1 Câu 234. Ta có  f ( 4 x  1)dx  1 1 4   1 1 f ( 4 x  1)dx   f ( 4 x  1)dx 1 4 1  f (1  4 x)dx   f (4 x  1)dx  I  J . 1 4 1 1 4 +) Xét I   f (1  4 x)dx. 1 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 92 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Đặt t  1  4 x  dt  4dx; 1 Với x  1  t  5; x   t  0. 4 1 4 0 5 5 1 1 1 I   f (1  4 x)dx   f (t )( dt )   f (t )dt   f ( x)dx 1. 4 40 40 1 5 1 +) Xét J   f (4 x  1) dx. 1 4 Đặt t  4 x  1  dt  4dx; 1 Với x  1  t  3; x   t  0. 4 1 3 3 3 1 1 1 J   f (4 x  1) dx   f (t )( dt )   f (t ) dt   f ( x)dx  2. 4 40 40 1 0 4 1 Vậy  f ( 4 x  1)dx  3. 1 1 Câu 235. I  2 x  2 x dx ta có 2 x  2 x  0  x  0 . 1 1 I  2 x  2 x dx  1 0 1  2 x  2 x dx   2 x  2 x dx  1 0 0 0 1 x x   2  2 dx   2 1 x  2 x dx 0 1  2 x  2 x   2 x  2 x  1 .       ln 2  1  ln 2  0 ln 2 1 Câu 236. + Xét  f  2 x  dx  2 . 0 Đặt u  2 x  du  2dx ; x  0  u  0 ; x  1  u  2 . 1 2 2 1 Nên 2   f  2 x  dx   f  u  du   f  u  du  4 . 20 0 0 2 + Xét  f  6 x  dx  14 . 0 Đặt v  6 x  dv  6dx ; x  0  v  0 ; x  2  v  12 . 2 12 12 1 Nên 14   f  6 x  dx   f  v  dv   f  v  dv  84 . 60 0 0 2 + Xét  f  5 x  2  dx  0 2  f  5 x  2  dx   f  5 x  2  dx . 2 2 0 0 Tính I1   f  5 x  2  dx . 2 Đặt t  5 x  2 . Khi 2  x  0 , t  5 x  2  dt  5dx ; x  2  t  12 ; x  0  t  2 . 12 2 2  1 1 1 I1  f t d t  f t d t  f  t  dt    84  4   16 .       5 12 50 0  5 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 93 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 2 Tính I1   f  5 x  2  dx . 0 Đặt t  5 x  2 . Khi 0  x  2 , t  5 x  2  dt  5dx ; x  2  t  12 ; x  0  t  2 . 12 2 12  1 1 1 I 2   f  t  dt    f  t  dt   f  t  dt    84  4   16 . 50 52 0  5 2 Vậy  f  5 x  2  dx  32 . 2 1 d u . Khi x  1 thì u  1 . Khi x  1 thì u  3 . 2 0 3 3  1 1 Nên I   f  u  d u    f  u  d u   f  u  d u  2  1 2 1 0  0 3  1    f  u  d u   f  u  d u  . 2  1 0  Câu 237. Đặt u  2 x  1  d x  1 Xét  f  x  d x  4 . Đặt x  u  d x   d u . 0 Khi x  0 thì u  0 . Khi x  1 thì u  1 . 1 1 0 Nên 4   f  x  d x    f  u  d u  0 0 3 Ta có  f  u  d u . 1 3  0 f  x  d x  6   f u  d u  6 . 0 0 3  1 1 Nên I    f  u  d u   f  u  d u    4  6   5 . 2  1 0  2 1 2 1 Câu 238. Ta có  f  2 x  1  dx  1  1 1 f 1  2 x  dx   f  2 x  1 dx  I  J 1 2 1 2 Tính I   f 1  2 x  dx 1 Đặt t  1  2 x  dt  2dx. Đổi cận x  1  t  3; x  0 I  3 1 t 0 2 3 1 1 1 1 f  t  dt   f  t  dt   f  x  dx  .8  4  23 20 20 2 1 Tính J   f  2 x  1 dx 1 2 Đặt t  2 x  1  dt  2dx. Đổi cận x  1 J 1  t  0; x  1  t  1 2 1 1 1 f  t  dt   f  x  dx  .2  1  20 2 0 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 94 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 1 Vậy  f  2 x  1  dx  I  J  4  1  5 . 1 Dạng 7.2. Tích phân nhiều công thức Câu 239. Chọn A 1 0 1 0 1 1 1 0 1  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx   Ta thấy, 1   2 xdx   a x  x 2 dx 0  x 2 x3  1 a  a     1  a     1 . 1 6 6  2 3 0 0    x2   Câu 240. Ta có lim f  x   lim  e x  m   m  1 , lim f  x   lim 2 x 3  x 2  0 và f  0   m  1 . x 0 x 0 x 0 x 0 Vì hàm số đã cho liên tục trên  nên liên tục tại x  0 . Suy ra lim f  x   lim f  x   f  0  hay m  1  0  m  1 . x 0 1 x 0 0 1 1 x 1 2 3  x2  3  x2  3 0 3  x dx    e  1dx =  3  x d  3  x     e x  1dx  f  x dx=  2 x Khi đó = 1 2 2 0 0 1 1  ex  x   e  2 3  0 1 2 0 22 . 3 22 . 3 Vậy tổng a  b  3c  19 . Câu 241. Chọn C Do hàm số liên tục trên  nên hàm số liên tục tại x  0  lim f  x   lim f  x   f  0   1  m  0  m  1 Suy ra a  1 , b  2 , c   x 0 Ta có x 0  1 1 0 1 1 0 f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx  I1  I 2 0 0 1 1 I1   2 x 3  x 2 dx   1 2 2  3  x  d  3  x   23  3  x  2 2 3  x2 0 16 2 3 1 3 1 1 I 2    e x  1 dx   e x  x   e  2 0 0 1 22 22   f  x  dx  I1  I 2  e  2 3   a  1; b  2; c   1 3 3 Vậy T  a  b  3c  1  2  22  19 . Dạng 7.3 Tích phân hàm số chẵn, lẻ Câu 242. Chọn D 0 Đặt x  t . Khi đó  0  f  x  dx   f  t  d  t     f  t  dt   f   x  dx 3 2 3 2 3 2 Ta có: I   3 2 Hay I  3 2 3 2 0 0 3 2 3 2  f  x  d  x    f  x  d  x    f  x  d  x    f   x  d  x    f  x  d  x  3 2  3 2 0 3 2   f   x   f  x  d  x    0 3 2 0 0 0 0 3 2 2  2cos 2 xd  x   Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong  0 2(1  cos 2 x) d  x  95 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG 3 2 I 3 2  2 4 cos xd  x   2 0  ĐT:0946798489 3 2  2  cos x d  x   2  cos xd  x   2  cos xd  x  0 0 2  3 2 Vậy I  2sin x |02 2sin x |  6. 2 f  x a Câu 243. Ta có  1 e kx dx  a  1 e kx a 0 Xét tích phân f  x 0 f  x  1 e a dx   f  x 1  e kx 0 dx . dx . kx a Đặt t   x  x  t  dt  dx  dt  dx Đổi cận: x  a  t  a x 0t 0 Khi đó, 0 0 a f  x f  t  f t   a 1  ekx dx  a 1  ek  t   dt   0 1  e kt dt a kx ekt . f  t  e . f  x d x  dx kt  1 e 1  e kx 0 0 a  a kx a a a e kx  1 f  x  f  x e . f  x f  x  d x  d x  d x  d x  Do đó,  0 1  ekx 0 f  x  dx 0 1  ekx 0 1  ekx 1  e kx a a Câu 244. Hàm số f  x  , f   x  liên tục trên  và thỏa mãn 2 f  x   3 f   x   2 2   2 f  x   3 f   x   dx  x 2 2 dx 1 4 2 2 Đặt K  1 nên ta có: x 4 2 2 2   2 f  x   3 f   x   dx  2  f  x  dx  3  f   x  dx 2 2 2 Đặt  x  t  dx   dt ; f   x   f  t  , x  2  t  2; x  2  t  2 2 Do đó 2 2 2  f   x  dx   f  t  .  dt    f  t  dt   f  x  dx 2 2 2 2 2 2 2 2 2  K  2  f  x  dx  3  f   x  dx  2  f  x  dx  3  f  x  dx  5  f  x  dx  2  2 2 2 2 2 2 dx    ; x  2 tan  ,     ;  , 4  2 2 2 2d  2 1  tan 2   d . Ta có: dx  d  2 tan    2 cos  Đặt J  Với x 2 x  2      4 Do đó J    4  4 ; Với x  2    2 1  tan   4 tan   4 4  2 2  4 d    4 .  d 1   2 2 4     4 3 4 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 96 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG 2 Từ 1 ,  2  và  3  , ta có K  J  5  f  x  dx  2 2 Mà theo giả thiết, I    f  x  dx  m nên 2 2 Chú ý: Có thể tính nhanh x 2  m   20 ĐT:0946798489 2   4   f  x  dx  20 2  m  20 . dx bằng công thức: 4 2 x 2 dx 1 x  arctan  C 2 a a a dx 1 x  arctan  C Từ đó:  2 x 4 2 2 2 2 dx 1 x 1 1        2  arctan   arctan1  arctan  1          x 4 2 2 2 2 2  4  4  4 2 2  f   x  dx Câu 245. Tính 2 Đặt t   x  dt  dx Đổi cận x t 2 2 2 2   f   x  dx    2 2 2 2 2 2 2 2 f  t  dt   f  t  dt   f  x  dx 2 2 1 1 dx 2 f  x  3 f x     2 f  x   3 f   x   dx   2 2 4  x 2 2 4 x 2 2 1 dx   5 f  x  dx   2 4  x 2 2 2 1 2 1 1 1 1      x 2 dx  . arctan     f  x  dx    .    2 2 5 2 4  x 5 2  2  2 10  4 4  20 Câu 246. I    4 4   sin x 1  x2  x dx    4 2 1  x sin xdx    x sin xdx  4 4    4 I1 I2 Ta nhận thấy 1  x 2 sin x là hàm lẻ nên I1  0 u  x  du  dx  dv  sin xdx. Choïn v   cos x   4 I 2   x cos x 4   Suy ra I  4    2 cos xdx    2  2 8  8   sin x 4    4  2 4  2 4  2  4 Vậy a  b  c  11 2 1  2   2 16 8 0 Câu 247. Xét tích phân  f   x  dx  2 . 2 Đặt  x  t  dx  dt . Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 97 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 0 Đổi cận: khi x  2 thì t  2 ; khi x  0 thì t  0 do đó  f   x  dx    f  t  dt   f  t  dt 2 2 2 0 0 2 2   f  t  dt  2   f  x  dx  2 . 0 0 Do hàm số y  f  x  là hàm số lẻ nên f  2 x    f  2 x  . 2 Do đó 2 2  f  2 x  dx   f  2 x  dx   f  2 x  dx  4 . 1 1 1 2 Xét  f  2 x  dx . 1 1 Đặt 2x  t  dx  dt . 2 2 Đổi cận: khi x  1 thì t  2 ; khi x  2 thì t  4 do đó  4 f  2 x  dx  1 4 1 f  t  dt  4 2 2 4   f  t  dt  8   f  x  dx  8 . 2 2 4 2 4 Do I   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  2  8  6 . 0 0 2 ln 2  f  x  dx . Câu 248. Gọi I   ln 2 Đặt t   x  dt  dx . Đổi cận: Với x   ln 2  t  ln 2 ; Với x  ln 2  t   ln 2 .  ln 2 Ta được I   ln 2 ln 2  f  t  dt   f  t  dt   f   x  dx . ln 2  ln 2 ln 2 Khi đó ta có: 2I   ln 2 ln 2 ln 2  f  x  dx   f   x  dx    ln 2  ln 2 ln 2  f  x   f   x   dx   ln 2 1 dx . e 1  ln 2  x ln 2 1 dx . Đặt u  e x  du  e x dx e 1  ln 2 1 Đổi cận: Với x   ln 2  u  ; x  ln 2  u  2 . 2 ln 2 ln 2 ln 2 1 1 ex du Ta được  x dx   x x dx   e  1 u u  1 e e  1      ln 2  ln 2  ln 2 Xét  x ln 2 2 1  1    du   ln u  ln u  1  1  ln 2 u u 1 2  ln 2  1 1 Vậy ta có a  , b  0  a  b  . 2 2 1 1 2 1 Câu 249. Do  f  x  dx   f  x  dx  1   f  x  dx 1 và 21 0 0   1 2 2  f  x  dx  2 1 2   f  x  dx   f  x  dx   f  x  d x  3 . 0 1 0 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 98 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG f  x dx  3x  1 2 2 Mặt khác  0 ĐT:0946798489 f  x f  x dx   x dx và y  f  x  là hàm số chẵn, liên tục trên  x 1 3 1 0 2 3 2  f   x   f  x  x   . 0 Xét I  f  x dx . Đặt t   x  dx  dt x 1 3 2 2 t 2 x 3 f t  3 f  x f  t  d t = d t = 0 3t  1 0 3x  1 dx 0 1  1 3t 2 x 2 2 2 0 2 3x  1 f  x  3 f  x f  x f  x  f  x f  x dx   x dx    x dx   x dx  dx   x dx   x x 3  1 3  1 3  1 3  1 3  1 3  1 0 0 0 2 0 2 0 f  x f  t  I x dx     t dt = 3 1 3 1 2 2 0 2 2  f  x  dx  3 . 0 Câu 250. Đặt t   x  dt  dx . Đổi cận: x  2  t  2 , x  2  t  2 . 2 2 2 f t  2t 2x I   t dt   t f  t  dt   x f  x  dx 2 1 2 1 2 1 2 2 2 0 2 2 2 2 0 f  x 2x  2I   x dx   x f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  10 2 1 2 1 2 0 2 2 2 2 Mặt khác do f  x  là hàm số chẵn nên f   x   f  x  . 0 Xét J   f  x  dx , đặt t   x  dt  dx 2 2 2 2  J   f  t  dt   f   x  dx   f  x  dx  10  2 I  20  I  10 .————————–0 0 0 3 2 Câu 251. Ta có I   3 2 0  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx . 3 2  3 2 0 0 3 3  f  x  dx Đặt t   x  dt  dx ; Đổi cận: x   2  t  2 ; Xét x  0 t  0. 3  2 0 Suy ra  3 2 0 3 2  f  x  dx    f  t  dt   f  t  dt   f   x  dx . 3 2 3 2 0 0 3 2 Theo giả thiết ta có: f  x   f   x   2  2 cos 2 x    f  x   f   x   dx   0 3 2  3 2 0 3 2  0 2  2 cos xdx 0 3 2  f  x  dx   f   x  dx  2  0 3 2 sin x dx 0  3 2 3 2  f  x  dx   f  x  dx  2 sin x dx  2  sin x dx   f  x  dx  6 0  3 2 0 0  3 2 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 99 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG f  x 1 Câu 252. Xét tích phân  1  2018 x ĐT:0946798489 dx . Đặt x  t ; dx   dt ; x  1  t  1 ; x  1  t  1 . 1 1 1 1 f  x f  t  f t  2018t. f  t  dx =  dt = dt  1 1  2018t dt = 1 1  2018x 1 1  2018t 1 1 1 2018t 1 1 1 f  x 2018 x f  x  Vậy  dx +  dx =  f  x  dx = 6 . 1  2018x 1  2018 x 1 1 1 1 2018 x f  x  1 1  2018x dx . 1 f  x 1 1 1  2018x dx = 2 .6  3 . Dạng 8. Một số bài toán tích phân khác Câu 253. Chọn A 2 Từ hệ thức đề cho: f ( x)  x  f ( x) (1), suy ra f ( x )  0 với mọi x  [1; 2] . Do đó f ( x ) là hàm 1 Do đó không giảm trên đoạn [1; 2] , ta có f ( x )  f ( 2)  0 với mọi x  [1; 2] . f ( x ) 2 Chia 2 vế hệ thức (1) cho  f ( x )    x, x  1; 2 . 2  f ( x) Lấy tích phân 2 vế trên đoạn [1; 2] hệ thức vừa tìm được, ta được: 2 2 f ( x) 2 2 1 3 1 3 1 1 3 1  f ( x)2 dx  1 xdx  1  f ( x)2 df (x)  2  f ( x)  2  f (1)  f (2)  2 1 1 2 nên suy ra f (1)   . 3 3 Chú ý: có thể tự kiểm tra các phép biến đổi tích phân trên đây là có nghĩa. Câu 254. Chọn D 2 2 f  x f  x 2 Ta có: f   x   x 3  f  x    2  x3   2 dx   x 3 d x f  x f  x 1 1 Do f (2)   2  1  15 1 1 15 4       f 1   .     f  2  f 1 4 5  f  x  1 4  f 2 1  x    x 2  3 , f  x  1  f 4 1  x    x 2  32 . f 2  x  1 1  Câu 255. Ta có:  2 2  f 1  x    x  3 . f 1  x   2  2 Từ 1 và  2   f 1  x   x 2  3  1  x  1  3 2  f  x    x  1  3  f   x   2 2 2  I    4 x  2  dx   2 x  2 x   4 . 2 0 Câu 256. Ta có: e x  e12 x 0  12 x 1 e khi 0  x  1  3  x  1 2 x  x  . Suy ra: max e x , e12 x     x 1 3 khi  x  1 e 3  Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 100 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG 1 3 1 ĐT:0946798489 1 1 Do đó I   max e x , e12 x dx   e12 x dx   e x dx   e12 x 2 1 0 0 1 3  ex 0 1 1 3 3 1 3 1 3   1 1 3   e  e ee  e 3 e . 2 2 2  5    sin   x  cos   x  1  12  6  0  5     dx  0  5     dx cot   x  tan   x  cos   x  si n   x   12  6   12  6  Câu 257. 7       7 sin  si n   2 x  2sin  4 4 12 4  dx   1  12  dx   7   7         0 0 sin  si n   2 x  sin  si n   2 x    12 12 4  4     4 4  7   5   tan cos   x   x   4 12 6  12   dx   1  tan 7    1  0  12  5     0 cos   x  si n   x     12  6     4     5   cot  6  x   tan  12  x    dx        7    x  tan 12    2 3    5  4 ln sin  x  ln cos  x ln 3         4 2 6   12  0  Do đó a  3; b  3; c  4 . Vậy a 2  b2  c 2  34 . Câu 258. Chọn C Ta có: x. f ( x). f ‘( x)  f 2 ( x)  x  2 x. f ( x). f ‘( x)  2 f 2 ( x)  2 x 2 2 2  2 x. f ( x). f ‘( x)  f 2 ( x)  3 f 2 ( x)  2 x    x. f 2 ( x)  ‘ dx  3 f 2 ( x)dx   2 xdx 0 0 0 2   x. f 2 ( x)   3I  4  2  3I  4  I  2 0 2 f   x    2 x  1  f  x   , x    Câu 259.  f  x  f  x   2    2 x  1 , x    1        2 x  1 , x   f x     1 1     2 x  1dx   x 2  x  C  f  x   2 Vậy . f  x x  x  C Do f  0   1  C  1 . Vậy f  x    1 . x  x 1 2 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 101 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG 1 1 I   f  x dx    0 0 ĐT:0946798489 1 1 1 dx    dx . 2 x  x 1 1 3 0  x   2 4  2   3 1  tan 2 t  3 3  2 3  3 1 3     dt   dt   . tan t , t   ;  . Suy ra I    2 Đặt x    3 3 9 2 2 2  2 2   1  tan t  6 4 6 Câu 260. lời giải Chọn A Ta có f  x  . f ‘  x   18 x 2   3 x 2  x  f ‘  x    6 x  1 f  x  f 2  x lấy nguyên hàm 2 vế ta được:    6 x3  3x 2  x f  x  2  f  x   6 x2  f  x   2 3 x  x f  x   12 x  0    f  x   2 x  2  2 3 1 TH1: f  x   6 x 2 không thoả mãn kết quả   x  1 e f  x dx  ae 2  b,  a, b    0 1 1 TH2: f  x   2 x    x  1 e f  x 0 3 1 3 1 dx    x  1 e 2 x dx  e2  . Suy ra a  ; b   4 4 4 4 0 Vậy a  b  1 Câu 261. Vì f  x   0 và x   0;1 ta có: 2 2  f  x   ex f  x   ex f ‘ x  2  f  x  f  x     2 x 2 e .x. x  x x x  x2  f  x   1     1 2 x 1 5 1 2 5 5 e ’ 2 2 ex 2 e e e  dx    2 e   2 2 f  x  x x  x f  x 1 1 1 1 1 x xx f  f  f  5 5 2 5 5 x 1 2 2 x  x2 dx   1 5 1 2 2 2 1 1 dx=  d 4  1  4 x 1 1 1  x 1 2 x . 1 1 5 5 x x e 1 2  4  f    1 5 f  5   5 2 e 1 2  e 2 5 e   5,97 Câu 262. Chọn A 1 Ta có M    2 f 2  x   3 xf  x   4 f  x  xf  x   x xf  x  dx   0 1     0   x Đặt a  x  f  x   f  x   f  x , b   f  x  x 2   f  x  dx f  x  thì Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 102 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG 2 2 ĐT:0946798489  a  b  a  b  x2 1 . M     ab  a 2  b 2  dx     dx    dx   . 4 2  8 24 0 0 0   Câu 263. Ta có f  x  . f   x   18 x 2   3 x 2  x  f   x    6 x  1 f  x  1 1 1    f  x  . f   x   18 x 2 dx    3 x 2  x  f   x    6 x  1 f  x  dx 1      f 2  x   6 x3  dx    3 x 2  x  f  x   dx 2  1 2 f  x   6 x 3   3 x 2  x  f  x   C , với C là hằng số. 2 Mặt khác: theo giả thiết f  0   0 nên C  0 .  Khi đó 1 2 f  x   6 x 3   3 x 2  x  f  x 1 , x   . 2  f  x  2x . f 2  x   12 x 3   6 x 2  2 x  f  x    f  x   2 x   f  x   6 x 2   0   2  f  x   6 x Trường hợp 1: Với f  x   6 x 2 , x   , ta có f   0   0 (loại). 1  Trường hợp 2: Với f  x   2 x, x   , ta có : 1 1 2x   x  1 e 2 x  e 3 2 1 f  x 2x x  1 e d x  x  1 e d x          dx  e  0 0 2 4 4  0 0 2 3  a  4   a  b  1. b   1  4 1 1 1 2 Câu 264. 1 2 109   f  x   2 f  x  .  3  x  dx   12 .    f  x    3  x     3  x  2 2  1 2  1 2  1 2 2   f  x    3  x   dx    3  x   1 2  1 2 2 dx   1 2 2  dx   109  12 109 . 12 1  x  109 2 Mà   3  x  dx    9  6 x  x 2  dx   9 x  3 x 2   2  3  1 12 1 1     2 2 2 1 2 1 2 1 2 Suy ra   f  x   3  x  3 2 dx  0 . 1  2 2  1 1  1 1 Vì  f  x    3  x    0, x    ;  nên f  x   3  x , x    ;  .  2 2  2 2 1 2 Vậy 1 2 1 2 1 2  1  f  x 3 x 1 x  2 2 dx   2 dx   2 dx    +  dx 2 1 x 1 x 1 x  1  x  1 x  1  0 0 0 x 0 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 103 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 1  x 1  2    ln x  1  ln 2  ln .  x 1  9  0  d u  dx u  x   n n 1   Câu 265. Xét I n   x 2 1  x 2  dx . Đặt   1  x 2  . 2 n 0 v  dv  x 1  x  dx 2  n  1  1 In   x 1  x 2  n 1 1 1  n 1 1 n 1 n 1 1 1 1  x 2  dx  1  x 2  dx     2  n  1 0 2  n  1 0 0 1  I n 1  n 1 1 1  x 2 1  x 2  dx   2  n  2 0 1 1  1 2 n 1 2 2 n 1  I n 1    1  x  dx   x 1  x  dx  2  n  2  0 0  1 I n 1 2n  1 I  I n 1   2  n  1 I n  I n 1     lim n 1  1 . 2  n  2 In 2n  5 n  I n Câu 266. Cách 1. Đặt t  a  x  dt  dx Đổi cận x  0  t  a; x  a  t  0. 0 a a a f  x  dx dx dt dx dx     1 f  x a 1 f a  t  0 1 f a  x 0 1 1 1 f  x 0 0 f  x a Lúc đó I   a f  x  dx a dx   1dx  a 1  f  x  0 1  f  x  0 0 a Suy ra 2 I  I  I   Do đó I  1 a  b  1; c  2  b  c  3. 2 Câu 267. Ta có:   2 2  2      2 2sin x  d x  1  cos 2 x  d x      0 0  0 1  sin 2 x  d x 4 2      1   2  2   x  cos 2 x   . 2 2  0 Do đó:   2 2 2    2  2      f x  2 2 f x sin x  d x  2 sin 2  x   d x   0       0   2 2 4  4   0  2          f 2  x   2 2 f  x  sin  x    2 sin 2  x    d x  0 4 4    0   2 2        f  x   2 sin  x    d x  0 4   0      Suy ra f  x   2 sin  x    0 , hay f  x   2 sin  x   . 4 4   Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 104 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Bởi vậy:   2 2  2    f x d x  2 sin x  d x   2 cos x      0.   0 0 4 4 0   Câu 268. Đặt t  a  x  dt  dx . a a a 1 1 1 Thay vào ta được I   dx   dt   dx . 1 f  x 1 f  a  t  1 f a  x 0 0 0   f a  x  f  x Suy ra 0    dx , do hàm số f ( x) liên tục và luôn dương trên đoạn  1  f  x   1  f  a  x    0  a  0; a  . Suy ra f  a  x   f  x  , trên đoạn  0; a  . a 1 a Mà f ( x). f (a  x)  1  f  x   1 . Vậy I   dx  . 2 2 0 Câu 269. Ta có: 2 f  x   3 f 1  x   1  x 1 Đặt t  1  x  x  1  t , phương trình 1 trở thành 2 f 1  t   3 f  t   t Thay t bởi x ta được phương trình 3 f  x   2 f 1  x   x  2 2 f  x   3 f 1  x   1  x 1  f  x  3 x  2 1 x Từ 1 và  2  ta có hệ phương trình  5 3 f  x   2 f 1  x   x 1 1 1 1 1 3 2   f  x  dx   3 x  2 1  x dx   xdx   1  xdx 50 50 50 0     1 *Xét I   xdx 0 Đặt u  x  u 2  x  dx  2udu Đổi cận: x  0  u  0 ; x  1  u  1 1 1 2u 3 2  I  2  u du   3 0 3 0 2 1 *Xét J   1  xdx 0 Đặt v  1  x  v 2  1  x  dx  2vdv Đổi cận: x  0  v  1 ; x  1  v  0 0 1 1 2v 3 2  J  2  v dv  2  v dv   3 0 3 1 0 2 2 1 3 2 2 2 2   f  x  dx  .  .  . 5 3 5 3 15 0  x sin 2018 x dx. 2018 2018 sin x  cos x 0 Đặt x    t  d x   d t . Khi x  0 thì t   . Khi x   thì t  0 . Câu 270. Xét tích phân I   Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 105 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG Ta có I      2018 0 sin ĐT:0946798489 2018   t  sin   t  d t    x  sin x d x 0 sin 2018 x  cos2018 x   t   cos2018   t  2018   sin 2018 x x sin 2018 x    2018 d x   2018 dx sin x  cos 2018 x sin x  cos 2018 x 0 0  sin 2018 x dxI . sin 2018 x  cos 2018 x 0  Suy ra I   sin 2018 x dx. 2 0 sin 2018 x  cos 2018 x   Xét tích phân J    sin 2018 x dx. sin 2018 x  cos 2018 x 2 Đặt x  Khi x   2  2 u  d x  du . thì u  0 . Khi x   thì t    2 .   sin 2018   u  0 cos 2018 x 2   Nên J    du   dx. 2018  x  cos 2018 x   2018    sin 0 sin 2018     u   cos   u  2 2  2  cos 2018 x Vì hàm số f  x   là hàm số chẵn nên: sin 2018 x  cos 2018 x   2  0   2018 2 cos x cos 2018 x d x  0 sin 2018 x  cos2018 x d x sin 2018 x  cos 2018 x 2 Từ đó ta có:  2    sin 2018 x sin 2018 x  sin x  d x   2018 d x I   2018 d x    2018 2018 2018 2018 2  0 sin x  cos x x  cos x  2 0 sin x  cos x  sin   2     2  2 sin 2018 x cos 2018 x     2018 d x   2018 d x 2018 2018 2  0 sin x  cos x sin x  cos x  0    2018   x  cos x  2 2 d x  d x  . 2 0 sin 2018 x  cos 2018 x 2 0 4 Như vậy a  2 , b  4 . Do đó P  2a  b  2.2  4  8 . 2   sin 2018 2018 Câu 271. Theo bài ra ta có hàm số f  x  đồng biến trên  0; 2  f  x   f  0   1  0 do đó f  x   0 x   0; 2 . Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 106 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG  f   x   f   x  . f  x    f   x   Ta có    2  f  x    f  x  ĐT:0946798489 2 2 2 Theo đề bài  f  x    f  x  . f   x    f   x    0  f   x   2 2    f  x  . f  x    f  x     f  x      1  f  x   f  x f  x 2  xC   0 f  x f  x 2 2 dx    x  C  dx   0 0  x2  1 d  f  x      Cx  f  x  2  2  2  2C  ln e6  ln 1  2  2C  C  2   ln f  x  0 1  x2     2x   2  Do đó ln f  x  0 Câu 272. 1  f  3  x   2 .f 2  x  f 2 1 0 f  x f  x 2 0  x2. 5 5  ln f 1   f 1  e 2 . 2  x   2. f  3  x  . f 2  x   f 2  3  x  . f 2  x  2  f 2  x   2. f  x   1   f  x   1 . x. f   x  3 I  0 1  f  x   2 dx u  x du  dx   f  x  1 Đặt  dv  d x v 2   1 f  x 1  f  x     3 3 x dx 3 I    I1 1  f  x  0 0 1  f  x  1  f  3 1  f  3  2 2 Đặt t  3  x  dt   dx Đổi cận x  0  t  3 x 3 t  0 3 3 3 f  x  .dx dt dx I1     1 1  f 3  t  0 1  f  x 0 0 1 f  x f 0  3 2 I1   0 1  f  x 1  f  x dx  3  I1  3 2 3 1  . 2 2 Câu 273. – Đặt t  a  x  dx  dt ; đổi cận: x  0  t  a , x  a  t  0 . Vậy I  1  Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 107 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 f  x 1 1 1 1 dx   dx   dt   dx   dx 1 1  f ( x) 1 f a  t  1  f (a  x) 1  f ( x) 0 0 0 0 0 1 f  x a a a a a I  a a a f  x 1 f  x 1 a dx   dx   dx   dx  x 0  a 1  f ( x) 1  f ( x) 1  f ( x) 0 0 0 0 a  2I   Vậy I  a . 2 Câu 274. Ta có   4 4  0   4 f   x  sin 2 xdx   sin 2 xdf  x    f  x  sin 2 x  4   f  x  d sin 2 x 0 0 0  4       f   sin  2.   f  0  sin  2.0   2  f  x  cos 2 xdx 4  4 0   4 4    f    2  f  x  cos 2 xdx  2  f  x  cos 2 xdx . 4 0 0  4 Do đó 2  f  x  cos 2 xdx  0   4 .   4 1 14 1 4  Mặt khác:  cos 2 xdx   1  cos 4 x  dx   x  sin 4 x   . 20 8 2 0 8 0 Bởi vậy: 2    4 4 4  0 f 2  x  dx  2  f  x  cos 2 xdx   cos 2 2 xdx  0 0  8   4   8  4    f 2  x   2 f  x  cos 2 x  cos 2 2 x  dx  0 0  4 2    f  x   cos 2 x  dx  0  f  x   cos 2 x . 0 Nên:   8 8 I 0  8 1 1 f  2 x  dx   cos 4 xdx  sin 4 x  . 4 4 0 0 Câu 275. – Đặt y  f  x  . Khi đó từ giả thiết ta có : y 1 y 1  1   1  , f  . f  x  1  y  1 , f    2 2  x  1   x  1  x 1   x  1 x2  2 x  y y 1  x   1   1  Suy ra f      1  f   1  f   1 1      2 2  x 1   x 1   x 1   x  1  x  1  x 1   1 Và f    f 1    1   x   x x2  y y 1 , f    1 2  x2 x  x Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 108 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 x y   f  x 1      1 x2  y  x   x  x2 f  f  2 .     2 2 2   x 1  x 1   x  1  x 1     x 1    x   x   x  x2  2 x  y x2  y – Từ 1 và  2  suy ra :   x 2  2 x  y  x 2  y  y  x hay f  x   x . 2 2  x  1  x  1 2 1 Do đó: I   0 2 1 1 1 x 1 d  x  1 1 2  ln  x  1  ln 2  0, 35 . .dx   2 .dx   2 2 2 2 2 0 x 1 f  x 1 x 1 0 0 f  x 1 Vậy I   0;1 . Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 109
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments

Bài viết tương tự

Scroll to Top