Các dạng toán phương pháp quy nạp toán học, dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân – Trần Quốc Nghĩa

Giới thiệu Các dạng toán phương pháp quy nạp toán học, dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân – Trần Quốc Nghĩa

Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và quý thây cô Các dạng toán phương pháp quy nạp toán học, dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân – Trần Quốc NghĩaChương Tổ hợp và Xác Xuất.

Tài liệu môn Toán 11  và hướng dẫn giải chi tiết các đề thi từ cơ bản đến vận dụng cao sẽ luôn được cập thường xuyên từ hoctoanonline.vn , các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán hay và mới nhất nhé.

Các em học sinh Đăng ký kênh youtube để học thêm về môn Toán.

Text Các dạng toán phương pháp quy nạp toán học, dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân – Trần Quốc Nghĩa
GV. GV TRẦ TRẦN QUỐ QUỐC NGHĨA NGHĨA (Sưu (Sưu tầ tầm và biên tậ tập) Chủđề 3 1 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN Vấn đề 1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n ∈ ℕ ∗ là đúng với mọi n mà không thể thử trực tiếp được, ta có thể dùng phương pháp quy nạp toán học (hay gọi tắc là phương pháp quy nạp) như sau: – Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1 . – Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với n = k ≥ 1 bất kì (gọi là giả thiết quy nạp) – Bước 3: Chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1 .  Các kiến thức cần nhớ: * Cách viết số tự nhiên:  Các số tự nhiên liên tiếp: n; n + 1; n + 2; …  Các số tự nhiên chẵn liên tiếp: 2n; 2n + 2; 2n + 4; …  Các số tự nhiên lẻ liên tiếp: 2n + 1; 2n + 3; 2n + 5; … * Tính chất chia hết:  Các số chẵn thì chia hết cho 2.  Các số tận cùng bằng 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5.  Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3.  Các số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9.  Số tạo bởi hai chữ số tận cùng chia hết cho 4 thì chia hết cho 4.  Số tạo bởi hai chữ số tận cùng chia hết cho 25 thì chia hết cho 25.  Số tạo bởi 3 chữ số tận cùng chia hết cho 8 thì chia hết cho 8.  Số tạo bởi 3 chữ số tận cùng chia hết cho 125 thì chia hết cho 125.  Một số vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 3 thì chia hết cho 6.  Tích của hai số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 2.  Tích của ba số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 2, 3 và 6.  Tích của bốn số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 2,3,4,6,8 . * Tính chất lũy thừa: n  a m .a n = a m + n  am : a n = a m– n  ( ab ) = a n .b n n m a an    = n  n am = a n b b   2 * Phân tích đa thức ax + bx + c thành nhân tử: Nếu phương trình ax 2 + bx + c = 0 có 2 nghiện phân biệt x1 , x2 thì: ax 2 + bx + c = a ( x – x1 )( x – x2 )  n ( a m ) = a m. n Dạng 1. Chứng minh đẳng thức bằng phương pháp quy nạp A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI • Nắm rõ nguyên lý quy nạp gồm ba bước trong phần tóm tắt lý thuyết File word liên hệ: [email protected] MS: GT11-C3 TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 2 B. BÀI TẬP MẪU 2 Ví dụ 1. Chứng minh rằng 22 + 4 2 + 82 + … + ( 2n ) = 2n ( n + 1)( 2n + 1) 3 , với. n ∈ ℕ ∗ . …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Ví dụ 2. Chứng minh rằng 2 + 5 + 8 + … + ( 3n − 1) = n ( 3n + 1) 2 , với n ∈ ℕ ∗ . …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… File word liên hệ: [email protected] MS: GT11-C3 GV. GV TRẦ TRẦN QUỐ QUỐC NGHĨA NGHĨA (Sưu (Sưu tầ tầm và biên tậ tập) 3 C. BÀI TẬP CƠ BẢN Bài 1. Chứng minh rằng: Với mọ i n ∈ ℕ ∗ : a) 1 + 2 + 3 + … + n = n 2 ( n + 1) b) 1 + 2 + 3 + … + n = 4 d) 1 + 3 + 5 + … + ( 2n − 1) = n 2 n ( n + 1) 3 2 c) 2 + 4 + 6 + … + 2n = n ( n + 1) e) 1 + 4 + 7 + … + ( 3n − 2 ) = n ( 3n − 1) f) 2 n g) 1 1 1 1 2 −1 + + + … + n = n 2 4 8 2 2 n ( n + 1)( 2n + 1) 6 n) 1.4 + 2.7 + … + n ( 3n − 1) = n ( n + 1) 2 2 2 2 q) 1 + 3 + 5 + … + ( 2n − 1) = 2 2 3 1 1 1 1 2n + 3 + 2 + 3 + … + n = 3 3 3 3 4.3n 1 n +1 ( 3 − 3) 2 n ( 3n + 1) j) 2 + 5 + 8 + … + ( 3n − 1) = 2 l) 1 1 1 n + + … + = 1.2 2.3 n ( n + 1) n + 1 2 p) 22 + 4 2 + 6 2 + … + ( 2n ) = n ( 4n 2 − 1) 3 s) 1.2 + 2.5 + 3.8 +…+ n ( 3n –1) = n 2 ( n + 1) m) 3 h) 3 + 9 + 27 + … + 3n = i) 1 – 2 + 3 – 4 + … – 2n + ( 2n + 1) = n + 1 . k) 12 + 22 + 32 + … + n 2 = 3 r)1 + 3 + 6 + 10 + … + n ( n + 1) 2 2n ( n + 1)( 2n + 1) 3 = n ( n + 1)( n + 2 ) 6 n ( n + 3) 1 1 1 + + … + = 1.2.3 2.3.4 n ( n + 1)( n + 2 ) 4 ( n + 1)( n + 2 ) o) 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n ( n + 1) = n ( n + 1)( n + 2 ) 3 với n ≥ 2 . Bài 2. Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh là Bài 3. Cho tổng Sn = n ( n − 3) . 2 1 1 1 1 + + + … + , với n ∈ ℕ ∗ . 1.3 3.5 5.7 2 n − 1 2 n + 1 ( )( ) a) Tính S1 , S2 , S3 , S4 . b) Hãy dự đoán công thức tính Sn và chứng minh bằng quy nạp. Bài 4. Cho tổng Sn = 1 1 1 1 + + + … + , với n ∈ ℕ ∗ . 1.2 2.3 3.5 n ( n + 1) a) Tính S1 , S2 , S3 , S4 . b) Hãy dự đoán công thức tính Sn và chứng minh bằng quy nạp. Bài 5. Cho Sn = 1 1 1 1 + + + … + , với n ∈ ℕ ∗ . 1.5 5.9 9.13 ( 4n − 1)( 4n + 1) a) Tính S1 , S2 , S3 , S4 . b) Hãy dự đoán công thức tính Sn và chứng minh bằng quy nạp. File word liên hệ: [email protected] MS: GT11-C3 TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 4 Dạng 2. Chứng minh các bài toán chia hết bằng phương pháp quy nạp A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI • Nắm rõ nguyên lý quy nạp trong phần tóm tắt lý thuyết • Nắm rõ kiến thức về chi hết B. BÀI TẬP MẪU Ví dụ 3. Chứng minh rằng: un = 4 n + 15n − 1 chia hết cho 9 , với n ∈ ℕ ∗ . …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Ví dụ 4. Chứng minh rằng: 13n − 1 chia hết cho 12 . …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 6. Chứng minh rằng: Với mọ i n ∈ ℕ ∗ : a) n5 – n⋮ 5 b) n7 – n⋮ 7 e) 3n + 2n –1⋮ 4 f) 32 n –1⋮8 File word liên hệ: [email protected] c) 13n –1⋮ 6 d) n3 + 2n ⋮ 3 g) 32 n−1 + 2n +1 ⋮ 7 h) 4.32n + 2 + 32n – 36⋮ 64 MS: GT11-C3 GV. GV TRẦ TRẦN QUỐ QUỐC NGHĨA NGHĨA (Sưu (Sưu tầ tầm và biên tậ tập) 5 Dạng 3. [NC] Chứng minh các bài toán bất đẳng thức bằng phương pháp quy nạp A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI • Nắm rõ nguyên lý quy nạp trong phần tóm tắt lý thuyết • Lưu ý: Nguyên lý quy nạp toán học, áp dụng vào bất đẳng thức phụ thuộc vào số tự nhiên n : – Nếu bất đẳng thức được kiểm tra đúng với số tự nhiên n0 . – Giả thiết rằng bất đẳng thức đúng khi n = k ≥ n0 , từ đó là chứng minh được rằng bất đẳng thức đúng khi n = k + 1 . Thế thì bất đẳng thúc đúng cho mọi số tự nhiên n ≥ n0 . B. BÀI TẬP MẪU Ví dụ 5. Chứng minh rằng với mọ i n ∈ ℕ* , ta có a) 2n > 2n + 1 với n ≥ 3 . b) 1 + 1 1 + … + <2 n . 2 n .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. File word liên hệ: [email protected] MS: GT11-C3 TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 6 C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 7. Chứng minh rằng: Với mọ i n ∈ ℕ ∗ : b) 2n > n 2 với n ≥ 5 a) 2n ≥ 2n + 1 với n ≥ 3 c) n n ≥ ( n + 1) Bài 8. n –1 d) n ! > 2n –1 với n ≥ 3 e) 3n > n2 + 4n + 5 với n ≥ 3 f) 2n+ 2 > 2n + 5 g) sin 2 n α + cos2 n α ≤ 1 h) 3n –1 > n ( n + 2 ) với n ≥ 4 i) 2n –3 > 3n –1 với n ≥ 8 j) 3n > 3n + 1 với n ≥ 2 . Chứng minh rằng với mọ i n ∈ ℕ* , ta có a) 1 + 1 1 1 + … + 2 < 2 − với n ≥ 2 . 2 2 n n b) 1 3 2n − 1 1 . ⋯ < . 2 4 2n 2n + 1 n Bài 9. a n + bn  a + b  ∗ CMR: ≥  , trong đó a, b > 0 và n ∈ ℕ . 2  2  Bài 10. CMR nếu ∆ABC vuông tại A , có số đo các cạnh là a , b , c thì với mọ i số tự nhiên n ≥ 2 , ta có bất đẳng thức: b n + c n ≤ a n . Bài 11. Với giá trị nào của số nguyên dương n , ta có: a) 2n+1 > n 2 + 3n b) 2n > 2n + 1 c) 2n > n 2 + 4n + 5 d) 3n > 2n + 7n ? Bài 12. Cho n số thực a1 , a2 , a3 , …, an thỏa –1 < ai ≤ 0 với i = 1, n . Bài 13. Chứng minh rằng: ∀n ∈ ℕ∗ ta có: (1 + a1 )(1 + a2 ) …(1 + an ) ≥ 1 + a1 + a2 +…+ an . Bài 14. CMR với các số thực a1 , a2 , a3 , …, an , ( n ∈ ℕ ∗ ) , ta có: a1 + a2 +…+ an ≤ a1 + a2 + ... + an . File word liên hệ: [email protected] MS: GT11-C3 GV. GV TRẦ TRẦN QUỐ QUỐC NGHĨA NGHĨA (Sưu (Sưu tầ tầm và biên tậ tập) 7 Vấn đề 2. DÃY SỐ  Định nghĩa: Định nghĩa 1. Một hàm số u được xác định trên tập ℕ∗ các số nguyên dương được gọi là một dãy số vô hạn (hay còn gọi tắt là dãy số). Kí hiệu: ( un ) hay ở dạng khai triển u1 , u2 , …, un , …  Cách cho một dãy số: Cách 1. Dãy số xác định bởi một công thức cho số hạng tổng quát un . Cách 2. Dãy số xác định bởi một công thức truy hồi (hay còn nói cho dãy số bằng quy nạp), tức là: • Trước tiên, cho số hạng đầu (hoặc vài số hạng đầu). • Cho công thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng (hay vài số hạng) đứng trước nó. Cách 3. Dãy số xác định bởi một mệnh đề mô tả các số hạng liên tiếp của nó.  Dãy số tăng, dãy số giảm: Định nghĩa 2. a. Dãy số ( un ) được gọi là dãy số tăng nếu ∀n ∈ ℕ∗ , un < un+1 . b. Dãy số ( un ) được gọi là dãy số giảm nếu ∀n ∈ ℕ∗ , un > un+1 . Vậy, ta thấy:  Với dãy ( un ) tăng, ta có: u1 < u2 < u3 < …< un < …  Với dãy ( un ) giảm, ta có: u1 > u2 > u3 > … > un > …  Dãy số bị chặn: Định nghĩa 3. a. Dãy số ( un ) được gọi là bị chặn trên nếu ∃M ∈ ℝ : un ≤ M , ∀n ∈ ℕ∗ . b. Dãy số ( un ) được gọi là bị chặn dưới nếu ∃m ∈ ℝ : un ≥ m , ∀n ∈ ℕ∗ . c. Dãy số ( un ) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vứa bị chặn dưới tức là: ∃m, M ∈ ℝ : m ≤ un ≤ M , ∀n ∈ ℕ∗ . Dạng 1. Mở đầu về dãy số A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI Với giả thiết cho dãy số ( un ) dưới dạng công thức tổng quát hoặc biểu thức truy hồi và câu hỏi thường gặp là: a. Hãy viết k số hạng đầu của dãy số hoặc tìm uk . Câu hỏi này được thực hiện bằng cách thế. b. Xác định xem a là số hạng thứ mấy của dãy số. Câu hỏi này được thực hiện bằng việc giải phương trình ẩn n : un = a . B. BÀI TẬP MẪU File word liên hệ: [email protected] MS: GT11-C3 TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 8 Ví dụ 6. Cho dãy số ( un ) , với un = ( −1) n +1 n a) Tìm u9 , u12 , u2 n , u2 n+1 . . b) Tìm xem 0 là số hạng thứ mấy của dãy số ? ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… Ví dụ 7. Tìm số hạng thứ 3 và số hạng thứ 5 của mỗ i dãy sau: 2 a) Dãy số ( um ) xác định bởi: u1 = 0 và un = 2 với n ≥ 2 . un −1 + 1 b) Dãy số ( un ) xác định bởi: u1 = 1, u2 = 2 và un = un−1 − 2un −2 với n ≥ 3 . c) Dãy số ( vn ) xác định bởi: u1 = 1 và un +1 = un + 2 với n ∈ ℕ ∗ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 15. Viết 5 số hạng đầu của mỗ i dãy số ( un ) , biết n a) un = n 2 −1 e) un = Bài 16. 2n 2 − 3 n f) un = sin 2 n nπ 2nπ + cos 4 3 d) un = n n2 + 1 g) un = ( −1) n 4n Hãy viết ba số hạng đầu của dãy số ( un ) cho bởi 2n 2 − 1 a) un = 2 n +1 Bài 17.  1 c) un = 1 +   n 2n − 1 b) un = n 2 +1 n + ( −1) b) un = 2n + 1 n c) un = n + cos 2 n d) un = ( n + 1)! . 2n Hãy viết bốn số hạng đầu của dãy số ( un ) cho bởi u1 = 2  a)  . 1 un +1 = 3 ( un + 1) u1 = 0  b)  2 . un +1 = u 2 + 1 n  File word liên hệ: [email protected] u = 15, u2 = 9 c)  1 . un + 2 = un − un +1 u = 1, u2 = −2 d)  1 . un + 2 = un +1 − 2un MS: GT11-C3 GV. GV TRẦ TRẦN QUỐ QUỐC NGHĨA NGHĨA (Sưu (Sưu tầ tầm và biên tậ tập) 9 Dạng 2. Xác định công thức của dãy số ( un ) A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI Cách 1: Sử dụng biến đổi đại số để thu gọn và đơn giản biểu thức của un. Cách 2: Sử dụng phương pháp quy nạp bằng việc thực hiện theo các bước: Bước 1. Viết một vài số hạng đầu của dãy, từ đó dự đoán công thức cho un . Bước 2. Chứng minh công thức dự đoán bằng pp quy nạp. B. BÀI TẬP MẪU Ví dụ 8. Cho dãy số ( un ) , với u1 = −1 và un+1 = un + 3 với n ≥ 2 . a) Viết 5 số hạng đầu của dãy. b) Tìm công thức tổng quát của dãy. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… Ví dụ 9. Cho dãy số ( un ) xác định bởi: u1 = 2017 và un+1 = un + 2018 với n ∈ ℕ ∗ . Tìm un . ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… Ví dụ 10. [NC] Cho dãy số ( un ) xác định bởi: un = 1 ∀n ∈ ℕ∗ và dãy số ( vn ) xác định bởi: n ( n + 1) v1 = u1 , vn +1 = vn + un+1 . Xác định công thức của vn theo n . ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… File word liên hệ: [email protected] MS: GT11-C3 TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 10 C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 18. Cho dãy số ( un ) , biết: u1 = 1 và un = 2un −1 + 3 với n ≥ 2 . Chứng minh bằng phương pháp quy nạp: un = 2n +1 − 3 . Bài 19. Cho dãy số ( un ) , biết: u1 = 3 và un +1 = 1 + un2 với n ≥ 1 . a) Viết 5 số hạng đầu của dãy số. b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát un và chứng minh công thức đó bằng quy nạp. Bài 20. Cho dãy số ( un ) xác định bởi u1 = 3 và un +1 = un + 5 với mọ i n ≥ 1 . a) Hãy tính u2 , u4 và u6 . Bài 21. Bài 22. b) Chứng minh rằng un = 5n − 2 với mọ i n ≥ 1 . Cho dãy số ( un ) xác định bởi u1 = 1 và un +1 = a) Cho dãy số ( un ) 2 với mọ i n ≥ 1 . u +1 2 n 1  22 n+1 − 7 u1 = có  v ớ i . Ch ứ ng minh r ằ ng u = với n ≥ 1 . n ≥ 1 3 n 3 un +1 = 4un + 7 u = 2 b) Cho dãy số ( un ) có  1 với n ≥ 1 . Chứng minh rằng un = 3n − n với n ≥ 1 . u = 3 u + 2 n − 1 n  n +1 Bài 23. Hãy viết bốn số hạng đầu của dãy số ( un ) , dự đoán công thức số hạng tổng quát un và chứng minh công thức đó bằng qui nạp u = 1 a)  1 un +1 = 2un + 3 Bài 24. u1 = 3 b)  2 un +1 = 1 + un 5  u1 = 4 c)  u = un + 1  n +1 2 π  Cho dãy số ( sn ) với sn = sin ( 4n − 1)  6  a) Chứng minh rằng sn = sn +3 với mọ i n ≥ 1 . b) Hãy tính tổng của 15 số hạng đầu tiên của ( sn ) . Bài 25. 2x −1 2×2 + 1 a) Với mỗ i số nguyên dương n , gọi An là giao điểm của đồ thị trên với đường thẳng x = n . Trong mặt phẳng tọa độ cho đồ thị hàm số y = b) Xét dãy số ( un ) với un là tung độ của điểm An . Hãy tìm công thức xác định số hạng tổng quát của dãy số đó. Bài 26. Cho dãy số ( un ) với un = 5.4 n −1 + 3 . a) Chứng minh rằng un +1 = 4un − 9 với mọ i n ≥ 1 b) Dựa vào kết quả của phần a) hãy cho dãy số ( un ) xác định bởi hệ thức truy hồ i. Bài 27. Cho dãy số ( un ) và ( vn ) , với un = n, vn = 2n + n a) Chứng minh rằng với mọ i n ≥ 1 ta luôn có un +1 = 2un − n + 1, vn = 2vn − n + 1 b) Từ kết quả của câu a), rút ra kết luận gì? File word liên hệ: [email protected] MS: GT11-C3 GV. GV TRẦ TRẦN QUỐ QUỐC NGHĨA NGHĨA (Sưu (Sưu tầ tầm và biên tậ tập) 11 Dạng 3. Sử dụng phương pháp quy nạp chứng minh dãy số ( u n ) thỏa mãn tính chất K A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI Thực hiện theo các bước sau: Bước 1. Chứng minh rằng số hạng u1 thỏa mãn tính chất K . Bước 2. Giả sử số hạng uk thỏa mãn tính chất K . Ta đi chứng minh uk +1 cũng thỏa Bước 3. mãn tính chất K . Kết luận dãy số ( un ) thỏa mãn tính chất K . B. BÀI TẬP MẪU Ví dụ 11. Cho dãy số ( un ) , với u n = n 3 + 11n . Chứng tỏ rằng mọi số hạng của dãy số này đều chia hết cho 6 . ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 28. Chứng minh rằng: Với mọi n ∈ ℕ ∗ : a) 4n + 15n –1⋮ 9 b) 16n –15n –1⋮ 225 c) n3 – n⋮ 3 d) n3 + 11n ⋮ 6 e) n3 + 3n 2 + 5n ⋮ 3 f) 3n3 + 15⋮ 9 g) 62 n + 3n+ 2 + 3n ⋮11 h) 2n3 – 3n 2 + n⋮ 6 File word liên hệ: [email protected] MS: GT11-C3 TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 12 Dạng 4. Xét tính tăng, giảm (hay tính đơn điệu) và bị chặn của một dãy số ( u n ) A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI 1. Tính tăng, giảm của dãy số: Cách 1: Thực hiện theo các bước sau: Bước 1. Lập hiệu H = un+1 – un , từ đó xác định dấu của H . Bước 2. Khi đó: * Nếu H > 0 , ∀n ∈ ℕ∗ thì dãy số ( un ) tăng. * Nếu H < 0 , ∀n ∈ ℕ∗ thì dãy số ( un ) giảm. Cách 2: Nếu un > 0 , ∀n ∈ ℕ∗ ta có thể thực hiện theo các bước sau: Bước 1. Lập tỉ số P = Bước 2. Khi đó: un +1 , từ đó so sánh P với 1. un * Nếu P > 1 , ∀n ∈ ℕ∗ thì dãy số ( un ) tăng. * Nếu P < 1 , ∀n ∈ ℕ∗ thì dãy số ( un ) giảm. 2. Tính bị chặn của dãy số: • Sử dụng định nghĩa 3. • Chú ý: * Mọi dãy số ( un ) giảm luôn bị chặn trên bởi u1 . * Mọi dãy số ( un ) tăng luôn bị chặn dưới bởi u1 . B. BÀI TẬP MẪU Ví dụ 12. Xét tính tăng giảm của dãy số: a) un = n , 5n b) un = 2n − 1 .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. n2 + 1 Ví dụ 13. Xét tính bị chặn của dãy số: un = . n .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. File word liên hệ: [email protected] MS: GT11-C3 GV. GV TRẦ TRẦN QUỐ QUỐC NGHĨA NGHĨA (Sưu (Sưu tầ tầm và biên tậ tập) Ví dụ 14. Chứng minh dãy số ( un ) với un = 13 2n + 3 là dãy số giảm và bị chặn. 3n + 2 .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. Ví dụ 15. Xét tính tăng, giảm của các dãy số ( un ) cho bởi n2 + n + 1 a) un = . n2 + 1 4n − 1 b) un = n . 4 +5 u1 = 3  c)  2un . u = n + 1  un + 3  u1 = 6 d)  . 6 u = + u  n +1 n .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. File word liên hệ: [email protected] MS: GT11-C3 TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 14 Ví dụ 16. Xét tính bị chặn trên, bị chặn dưới, bị chặn của các dãy số ( un ) cho bởi a) un = 2n + 3 n+2 b) un = d) un = n 2 + 2n n2 + n + 1 e) un = 1 n ( n + 1) c) un = n 2 + 4 n n f) un = ( −1) cos 2 n + 2n + n π 2n . .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 29. Xét tính tăng, giảm của các dãy số ( un ) , biết: n −1 n +1 n +1 e) un = n3 − 3n 2 + 5n − 7 f) un = n 3 a) un = 1 −2 n b) un = n c) un = ( −1) ( 2n + 1) d) un = 2n + 1 5n + 2 g) un = n + 1 − n . Bài 30. Cho dãy số ( un ) xác định bởi u1 = 1 và un+1 = un + ( n + 1) .2 n với mọ i n ≥ 1 . Bài 31. a) Chứng minh rằng ( un ) là một dãy số tăng. b) Chứng minh rằng un = 1 + ( n − 1) .2 n với mọ i n ≥ 1 . File word liên hệ: toanhocbactrung[email protected] MS: GT11-C3 GV. GV TRẦ TRẦN QUỐ QUỐC NGHĨA NGHĨA (Sưu (Sưu tầ tầm và biên tậ tập) 15 BÀI TẬP TỔNG HỢP CHỦ ĐỀ 2 Bài 32. Viết năm số hạng đầu và khảo sát tính tăng, giảm của các dãy số ( un ) : a) u n = 10 b) u n = 3 – 7 2n + 1 c) un = 2 n n e) un = n 2 −1 2n − 1 f) un = n 2 +1  1 g) u n =  1 +   n 1–2 n i) un = n 5n l) un = ( −1) Bài 33. Bài 34. n j) un = ( −1) n 4n n −1 sin 1 n h) un = n n2 + 1 k) un = n + 1 − n 2n 2 − 3 nπ 2nπ n) un = sin 2 + cos n 4 3 Đáp số: a) giảm b) tăng c) giảm d) tăng i) giảm j) ko tăng, ko giảm k) giảm m) un = a) u n = 2 n 3 − 5n + 1 b) u n = 3n − n n e) un = n 2 f) un = 2n. n i) un = n 3 k) u n = n − n 2 − 1 3n n2 c) un = n 2 n +1 d) un = 3n 2n+1 g) un = 3n2 − 2n + 1 n +1 h) un = n2 + n + 1 2n 2 + 1 n + 1 −1 1 m) un = 2n + n n 5 Đáp số: a) tăng b) tăng c) giảm d) tăng e) giảm f) ko tăng, ko giảm g) tăng h) giảm i) giảm k) giảm l) giảm m) tăng l) un = Trong các dãy số ( un ) sau, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên và bị chặn? b) un = 1 n ( n + 2) c) un = Chứng minh rằng dãy số ( un ) với un = Bài 36. Hãy xác định số thực a để dãy số ( un ) , với un = a) Một dãy giảm. 1 d) un = sin n + cos n . 2n 2 − 1 2n + 3 là một dãy số giảm và bị chặn. 3n + 2 Bài 35. b) Một dãy tăng. an 2 + 1 , là: 2n 2 + 3 Đáp số: a) a < 2 / 3 b) a > 2 / 3 Tìm số hạng thứ 3, thứ 5 và thứ 7 của mỗ i dãy số sau: u1 = 0 u = 1, u2 = −2  a)  b)  1 2 ( n ≥ 2) ( n ≥ 3) un = un −1 − 2un − 2 un = u 2 n −1  u = 1 c)  1 ( n ≥ 1) un +1 = 3un + 10 Bài 38. n Xét tính tăng, giảm của các dãy số ( un ) : a) un = 2n 2 − 1 Bài 37. 3n n d) un = n 2 u = 5, u2 = 0 d)  1 un + 2 = un +1 + 6un ( n ≥ 1) Cho dãy số ( un ) với un = n 2 – 4n + 3 . a) Viết công thức truy hồ i của dãy số. b) Chứng minh dãy số bị chặn dưới. c) Tính tổng n số hạng đầu tiên của dãy đã cho. n ( n + 1)( 2n − 11) + 18n u = 0 Đáp số: a  1 ( n ≥ 1) b) 6 un +1 = un + 2n − 3 File word liên hệ: [email protected] MS: GT11-C3 TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 Bài 39. 16 Cho dãy số ( un ) với un = 1 + ( n –1) 2n . a) Viết 5 số hạng đầu của dãy số. b) Tìm công thức truy hồ i. c) Chứng minh rằng dãy số tăng và bị chặn dưới. Đáp số: b) u1 = 1 vaø un +1 = un + ( n + 1) 2n ( n ≥ 1) Bài 40. Dãy số ( un ) u1 = 1  xác định bằng công thức:  ( n ≥ 1) 3 2 5 un +1 = − 2 un + 2 un + 1 b) Chứng minh rằng u n + 3 = un , ∀n ∈ ℕ ∗ . a) Tính u2 , u3 , u4 . Đáp số: a) u2 = 2, u3 = 0, u4 = 1 Bài 41. Dãy số ( un ) xác định bằng công thức: un = sin a) Tính u1 , u2 , u3 , u4 , u5 , u6 . Đáp số: a) u1 = Bài 42. nπ nπ + cos 3 6 b) Chứng minh rằng u n = u n +12 , ∀n ∈ ℕ ∗ . 1+ 3 −1 + 3 −1 − 3 1− 3 , u2 = , u3 = −1, u4 = , u5 = , u6 = 1 2 2 2 2 u = 3 Dãy số ( un ) xác định bằng công thức:  1 ( n ≥ 1) un +1 = un + 5 a) Tính u2 , u4 , u6 . b) Tìm công thức của số hạng tổng quát. Đáp số: b) un = 5n − 2 Bài 43. u1 = 1 Dãy số ( un ) được xác định bằng công thức:  ( n ≥ 1) 3 un +1 = un + n a) Tìm công thức của số hạng tổng quát. b) Tìm số hạng thứ 100 của dãy. 2 n 2 ( n − 1) Đáp số: a) un = 1 + b) u100 = 24.502.501 4 Bài 44. u = 5 Dãy số ( un ) được xác định bằng công thức:  1 ( n ≥ 1) un +1 = un + 3n − 2 a) Tìm công thức của số hạng tổng quát. b) Chứng minh dãy số tăng. Đáp số: a) un = 5 + Bài 45. u1 = 1 Dãy số ( un ) xác định bằng công thức:  n un +1 = un + ( n − 1) 2 a) Tìm công thức của số hạng tổng quát. b) Chứng minh dãy số tăng. ( n − 1)( 3n − 4) 2 ( n ≥ 1) Đáp số: a) un = 1 + ( n − 1) 2n Bài 46. Chứng minh rằng các dãy số ( un ) sau là một dãy số không đổi: u1 = 1  a)  2 ( n ≥ 1) u = 1 n +  un2 + 1  File word liên hệ: [email protected] u1 = 2  b)  un2 + 4 ( n ≥ 1) u =  n +1  4 MS: GT11-C3 GV. GV TRẦ TRẦN QUỐ QUỐC NGHĨA NGHĨA (Sưu (Sưu tầ tầm và biên tậ tập) Bài 47. 17 Dãy số ( un ) xác định bằng công thức: un = sin ( 4n − 1) π 6 a) Chứng minh rằng un = un +3 với mọ i n ≥ 1 . b) Tính tổng 15 số hạng đầu tiên của dãy số đã cho. Bài 48. Dãy số ( un ) xác định bằng công thức: un = sin ( 2n − 1) π 3 a) Chứng minh rằng un = un +3 với mọ i n ≥ 1 . b) Tính tổng 17 số hạng đầu tiên của dãy số đã cho. Bài 49. Tìm công thức số hạng tổng quát của các dãy số sau: u1 = 2 1   u1 = a)  b)  1 ( n ≥ 1) 2 ( n ≥ 1) un+1 = 2 − u un +1 = 3un n  u = 2 c)  1 ( n ≥ 1) un +1 = un − 1 u = 1 d)  1 ( n ≥ 1) un +1 = un + 2n + 1 u = 1 e)  1 ( n ≥ 2) un = 2un −1 + 3 u = 1 f)  1 ( n ≥ 1) un +1 = 2un + 7 u = 2 g)  1 un +1 = 5un Bài 50. Đáp số:b) 3 2 u = 1 h)  1 ( n ≥ 1) un +1 = 3un + 10 n +1 1 Đáp số:a) un = b) un = .3n −1 c) un = 3 − n d) un = n 2 n 2 n +1 e) u n = 2 − 3 f) un = 7n − 6 g) u n = 2.5 n −1 h) u n = 2.3n − 5 ( n ≥ 1) Cho dãy số ( un ) với un = 5.4 n −1 + 3 . a) Chứng minh rằng: un+1 = 4un − 9 với n ≥ 1 . Đáp số: b) u1 = 8, un+1 = 4un − 9, n ≥ 1 b) Dựa vào kết quả câu a), hãy viết công thức truy hồi của ( un ) . Bài 51. Chứng minh rằng: 2n + 3 là dãy số giảm và bị chặn. 3n + 2 7n + 5 b) Dãy số ( vn ) , với vn = là dãy số tăng và bị chặn. 5n + 7 a) Dãy số ( un ) , với un = Bài 52. Dãy số ( xn ) được biểu diễn trên trục số bởi tập hợp các điểm, kí hiệu là A : A = { A0 , A1 , A2 , A3 , …, An , …} Gọi B là một điểm nằm ngoài trục số. Người ta dựng các tam giác đỉnh B và hai đỉnh còn lạ i thuộc tập hợp A . Đặt un là số các tam giác được tạo thành từ B và n + 1 điểm trong A rồi lập dãy số ( un ) . a) Tính u1 , u2 , u3 , u4 . b) Chứng minh rằng: u n = C n2+1 và un+1 = un + n + 1 . Đáp số: a) u1 = 1, u2 = 3, u3 = 6, u4 = 10 File word liên hệ: [email protected] MS: GT11-C3 TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 18 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CHỦ ĐỀ 2 −n . Khẳng định nào sau đây là đúng n +1 −1 −2 −3 −5 −5 A. Năm số hạng đầu của dãy là ; ; ; ; . 2 3 4 5 6 −1 −2 −3 −4 −5 B. 5 số số hạng đầu của dãy là: ; ; ; ; . 2 3 4 5 6 C. Là dãy số tăng. D. Bị chặn trên bởi số 1 . Câu 1. Cho dãy số (U n ) với U n = Câu 2. Cho dãy ( un ) xác định bởi un = 2.3n . Giá trị của u20 với mọ i số nguyên dương n là: A. 2.319 . B. 2.320 . C. 320 . D. 2.321 . 1 .Khẳng định nào sau đây là sai? n +n 1 1 1 1 1 A. Năm số hạng đầu của dãy là ; ; ; ; . 2 6 12 20 30 B. Là dãy số tăng. 1 C. Bị chặn trên bởi số M = . 2 D. Không bị chặn. Câu 3. Cho dãy số (U n ) với U n = Câu 4. Cho dãy số (U n ) với U n = Câu 5. Cho dãy số (U n ) với U n = a.3n ( a : hằng số).Khẳng định nào sau đây là sai? Câu 6. 2 −1 . Khẳng định nào sau đây là sai? n −1 −1 −1 −1 A. 5 số hạng đầu của dãy là: −1; ; ; ; . 2 3 4 5 B. Bị chặn trên bởi số M = −1 . C. Bị chặn trên bởi số M = 0 . D. Là dãy số giảm và bị chặn dưới bởi số m = −1 . A. Dãy số có U n +1 = a.3n +1 . B. Hiệu số U n +1 − U n = 3.a . C. Với a > 0 thì dãy số tăng. D. Với a < 0 thì dãy số giảm. Cho dãy số (U n ) với U n = a −1 . Khẳng định nào sau đây là đúng? n2 a −1 . (n + 1)2 D. Là dãy số giảm với mọ i a . a −1 . n2 + 1 C. Là dãy số tăng với mọ i a . A. Dãy số có U n +1 = Câu 7. Cho dãy số (U n ) với U n = A. U n+1 = B. Dãy số có U n+1 = a −1 ( a : hằng số). Khẳng định nào sau đây là sai? n2 a −1 . (n + 1)2 C. Hiệu U n +1 − U n = ( a − 1) . B. Hiệu U n +1 − U n = (1 − a ) . 2n − 1 ( n + 1) 2 n2 File word liên hệ: [email protected] . 2n + 1 ( n + 1) 2 n2 . D. Dãy số tăng khi a < 1 . MS: GT11-C3 GV. GV TRẦ TRẦN QUỐ QUỐC NGHĨA NGHĨA (Sưu (Sưu tầ tầm và biên tậ tập) Câu 8. Cho dãy số (U n ) với U n = 2 a. ( n + 1) A. U n +1 = . n+2 Câu 9. Cho dãy số (U n ) 19 a.n 2 ( a : hằng số). U n +1 là số hạng nào sau đây? n +1 2 a. ( n + 1) B. U n +1 = . n +1 C. U n+1 = a.n 2 + 1 . n +1 D. U n+1 = an 2 . n+2 an2 với U n = . ( a : hằng số). Kết quả nào sau đây là sai? n +1 2 a. ( n + 1) A. U n +1 = . n+2 C. Là dãy số luôn tăng với mọ i a . B. U n +1 − U n = a. ( n 2 + 3n + 1) (n + 2)( x + 1) D. Là dãy số tăng với a > 0 . . Câu 10. Cho dãy số có các số hạng đầu là 5; 10; 15; 20; 25; … . Số hạng tổng quát của dãy số này là A. U n = 5 ( n − 1) . B. U n = 5n . C. U n = 5 + n . D. U n = 5.n + 1 . Câu 11. Cho dãy số có các số hạng đầu là 8, 15, 22, 29, 36, … Số hạng tổng quát của dãy số này là A. U n = 7n + 7 . B. U n = 7.n . C. U n = 7.n + 1 . D. U n không viết được dưới dạng công thức. Câu 12. Cho dãy số có các số hạng đầu là 0; A. un = n +1 . n B. un = 1 2 3 4 ; ; ; ;… Số hạng tổng quát của dãy số này là 2 3 4 5 n . n +1 C. un = n −1 . n D. un = n2 − n . n +1 Câu 13. Cho dãy số có các số hạng đầu là 0,1; 0, 01; 0, 001; 0, 0001; …. Số hạng tổng quát của dãy số này có dạng 1 1 A. un = 0,00…01 . B. u = 0,00…01 . C. u = . D. u = . n n n n − 1       10 10n +1 n−1 so 0 n so 0 Câu 14. Trong các dãy số ( un ) sau đây, hãy chọn dãy số giảm. A. un = sin n . B. un = n2 + 1 . n n C. un = n − n − 1 . D. un = ( −1) .( 2n + 1) . Câu 15. Trong các dãy số ( un ) sau đây, hãy chọn dãy số bị chặn. A. un = n 2 + 1 . B. un = n + 1 . n C. un = 2 n + 1 . D. un = n . n +1 Câu 16. Cho dãy số có các số hạng đầu là −1 , 1 , −1 , 1 , – 1 , ….Số hạng tổng quát của dãy số này có dạng A. un = 1 . B. un = −1 . n C. un = ( −1) . D. un = ( −1) n +1 . Câu 17. Cho dãy số có các số hạng đầu là −2; 0; 2; 4; 6;…. . Số hạng tổng quát của dãy số này có dạng A. un = −2n . B. un = ( −2 ) + n . C. un = ( −2 )( n + 1) . D. un = ( −2 ) + 2 ( n − 1) . 1 1 1 1 1 ; ; ; ; ; …. Số hạng tổng quát của dãy số này là 3 32 33 34 35 1 1 1 B. un = n +1 . C. un = n . D. un = n −1 . 3 3 3 Câu 18. Cho dãy số có các số hạng đầu là 1 1 A. un = . n +1 . 3 3 File word liên hệ: [email protected] MS: GT11-C3 TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 20 k (k: hằng số). Khẳng định nào sau đây là sai 3n k k A. Số hạng thứ 5 của dãy số là 5 . B. Số hạng thứ n + 1 của dãy số là n +1 . 3 3 C. Là dãy số giảm khi k > 0 . D. Là dãy số tăng khi k > 0 . Câu 19. Cho dãy số ( un ) với un = Câu 20. Cho dãy số ( un ) với un ( −1) = n −1 n +1 A. Số hạng thứ 9 của dãy số là . Khẳng định nào sau đây là sai 1 . 10 B. Số hạng thứ 10 của dãy số là C. Đây là một dãy số giảm. −1 . 11 D. Bị chặn trên bởi số M = 1 . u1 = 1 Câu 21. Cho dãy số ( un ) :  . Với mọ i số nguyên dương n . Giá trị của u20 là: u = 2 u + 5 n + 1 n  A. 220 − 5 . B. 3.219 − 5 . C. 3.2 20 − 5 . D. 222 − 5 . Câu 22. Cho dãy số ( un ) có un = n − 1 với n ∈ ℕ* . Khẳng định nào sau đây là sai? A. 5 số hạng đầu của dãy là 0; 1; 2; C. Là dãy số tăng. 3; 5. B. Số hạng un +1 = n . D. Bị chặn dưới bởi số 0 . Câu 23. Cho dãy số ( un ) có un = − n 2 + n + 1 . Khẳng định nào sau đây là đúng A. 6 số hạng đầu của dãy là −1; 1; 5; −5; −11; −19 . B. un +1 = −n 2 + n + 2 . C. un −1 − un = 1 . D. Là một dãy số giảm. u = 5 Câu 24. Cho dãy số ( un ) với  1 . Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới đây un +1 = un + n A. un = ( n − 1) n . B. un = 5 + 2 ( n + 1) n . C. un = 5 + 2 ( n − 1) n . 2 ( n − 1)( n + 2 ) . D. un = 5 + 2 u1 = 1 Câu 25. Cho dãy số ( un ) với  . Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới đây 2 un +1 = un + n n ( n + 1)( 2n + 1) n ( n − 1)( 2n + 2 ) A. un = 1 + . B. un = 1 + . 6 6 n ( n + 1)( 2n − 1) n ( n + 1)( 2n − 2 ) C. un = 1 + . D. un = 1 + . 6 6 u = 2 Câu 26. Cho dãy số ( un ) với  1 . Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới đây un +1 − un = 2n − 1 2 A. un = 2 + ( n − 1) . B. un = 2 + n 2 . Câu 27. Cho dãy số ( un ) với un = A. un +1 = −1 ( n + 1) 2 2 C. un = 2 + ( n + 1) . 2 D. un = 2 − ( n − 1) . −1 . Khẳng định nào sau đây là sai? n +1 2 . +1 C. Đây là một dãy số tăng. File word liên hệ: [email protected] B. un > un +1 . D. Bị chặn dưới. MS: GT11-C3 GV. GV TRẦ TRẦN QUỐ QUỐC NGHĨA NGHĨA (Sưu (Sưu tầ tầm và biên tậ tập) Câu 28. Cho dãy số ( un ) với un = sin π n +1 21 . Khẳng định nào sau đây là sai. A. Số hạng thứ n + 1 của dãy: un +1 = sin π n +1 . C. Đây là một dãy số tăng. B. Dãy số bị chặn. D. Dãy số không tăng không giảm. 1 , ba số hạng đầu tiên của dãy số đó là: n +1 1 1 1 1 1 1 1 B. 1, , . C. , , . D. 1, , . 2 3 2 4 6 3 5 Câu 29. Cho dãy số ( un ) , n ∈ ℕ* biết un = A. 1 1 1 , , . 2 3 4 Câu 30. Cho dãy số ( un ) , n ∈ ℕ* biết un = A. 1 1 3 , , . 2 4 26 3 1 1 , , 2 4 B. n n . Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó là: −1 1 1 1 1 1 2 3 . C. , , . D. , , . 8 2 4 16 2 3 4 u = −1 với n > 0 . Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó là: Câu 31. Cho dãy số ( un ) , biết  1 un +1 = un + 3 A. −1, 2, 5 . B. 1, 4, 7 . C. 4, 7, 10 . D. −1, 3, 7 . n , n ∈ ℕ* . Chọn đáp án đúng: n 2 1 1 B. u5 = . C. u5 = . 16 32 Câu 32. Cho dãy số ( un ) , biết un = A. u4 = 1 . 4 n Câu 33. Ba số hạng đầu của dãy ( un ) , biết un = ( −1) ⋅ 1 2 A. 0; − ; . 2 3 1 2 3 B. − ; ; − . 2 3 4 n với ∀n ≥ 3 là: n +1 3 4 5 C. − ; ; − . 4 5 6 1 D. u3 = . 8 D. 3 4 5 ; ; . 4 5 6 u = −1; u2 = 2 Câu 34. Ba số hạng thứ 3 , 4 , 5 của dãy ( un ) với  1 , ∀n ≥ 1 là: un = −un −1 + 2un − 2 A. −4; 8; −16 . B. 1; 3; 5 . C. −2; 4; 6 . D. −4; −8; −16 . Câu 35. Cho dãy số ( un ) , biết un = 3n . Hãy chọn phương án đúng: Số hạng un +1 bằng: A. 3n + 1 . B. 3n + 3 . C. 3n.3 . D. 3 ( n + 1) . Câu 36. Cho dãy số ( un ) , biết un = 3n . Số hạng u2 n bằng: A. 2.3n . B. 9n . C. 3n + 3 . D. 6n . Câu 37. Cho dãy số ( un ) , biết un = 3n . Số hạng un −1 bằng: A. 3n − 1 . B. 1 n .3 . 3 C. 3n − 3 . D. 3n − 1 . Câu 38. Cho dãy số ( un ) , biết un = 3n . Số hạng u2 n −1 bằng: A. 32.3n − 1 . B. 3n.3n−1 . C. 32n − 1 . D. 32( n −1) . Câu 39. Cho dãy số ( un ) với un = 4 n + 2n . Ba số hạng đầu tiên của dãy là: A. u1 = 6; u2 = 20; u3 = 70 . B. u1 = 6; u2 = 18; u3 = 72 . C. u1 = 4; u2 = 20; u3 = 72 . D. u1 = 6; u2 = 20; u3 = 72 . File word liên hệ: [email protected] MS: GT11-C3 TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 22 Câu 40. Dãy số ( un ) xác định bởi u1 = 0; un = A. u5 = 1 . 2 B. u5 = 1 , ∀n ≥ 2 . Số hạng thứ 5 là: un −1 + 2 2 . 5 C. u5 = 5 . 12 D. u5 = 12 . 29 Câu 41. Cho dãy số ( un ) xác định bởi u1 = 1 và un +1 = un + 2n, ∀n ≥ 1 . Ta có u9 bằng: A. 57 . B. 60 . C. 56 . Câu 42. Số hạng nào sau đây là một số hạng của dãy ( un ) với u1 = 2, un +1 = A. 1025 . 1024 B. 2007 . 2006 C. 2006 . 2005 D. 73 . un + 1 , ∀n ∈ ℕ* . 2 2005 D. . 2007 Câu 43. Cho dãy số ( un ) xác định bởi u1 = 1 và un +1 = un + n, ∀n ≥ 1 . Ta có u11 bằng: A. 36 . B. 60 . C. 56 . D. 44 . 1 1 3 2 Câu 44. Cho dãy số ( un ) với u1 = 0 , u2 = , u3 = , u4 = , u5 = . Tıń h u10 . 3 2 5 3 7 2 3 9 A. . B. . C. . D. . 13 3 7 11 2n . Tıń h u10 . n2 1 B. . 5 Câu 45. Cho dãy số ( un ) với un = A. 256 . 5 C. 256 . 25 D. 512 . 81 1 Câu 46. Cho dãy số ( un ) xác định bởi u1 = 3 và un +1 = un + 2, ∀n ∈ ℕ* . Mệnh đề nào sau đây sai 2 5 15 31 63 A. u2 = . B. u3 = . C. u4 = . D. u5 = . 2 4 8 16 Câu 47. Cho dãy số ( un ) xác định bởi: u1 = 2 và un +1 = 2n.un , ∀n ∈ ℕ* . Ta có u5 bằng: A. 10 . B. 1024 . C. 2048 . D. 4096 . 1 và un = un −1 + 2n, ∀n ∈ ℕ, n ≥ 2 . Ta có u50 bằng: 2 B. 2548,5 . C. 5096,5 . D. 2550,5. Câu 48. Cho dãy số ( un ) xác định bởi: u1 = A. 1274,5 . Câu 49. Cho dãy số ( un ) xác định bởi: u1 = −1 và un = 2n.un −1 , ∀n ∈ ℕ* , n ≥ 2 . Ta có u11 bằng: A. 210.11!. B. −210.11! . C. 210.1110 . D. −210.1110 . Câu 50. Cho dãy số ( un ) xác định bởi un = 2n + 1, ∀n ∈ ℕ . Mệnh đề nào sau đây sai A. Mọi số hạng của dãy ( un ) là số hữu tỷ. B. Dãy ( un ) gồm các số 1, 3, 5, 9, 13, 17 . C. Mọi số hạng của dãy ( un ) là số chẵn. D. Mọi số hạng của dãy ( un ) là các số tự nhiên. Câu 51. Cho dãy ( un ) xác định bởi: u1 = A. 3 . 4 B. 1 1 và un = , ∀n ∈ ℕ* , n ≥ 2 . Ta có u4 bằng: 2 2 − un −1 4 . 5 File word liên hệ: [email protected] C. 5 . 6 D. 6 . 7 MS: GT11-C3 GV. GV TRẦ TRẦN QUỐ QUỐC NGHĨA NGHĨA (Sưu (Sưu tầ tầm và biên tậ tập) n Câu 52. Cho dãy số ( un ) với un = ( −1) cos A. 1 . 2 3 . 2 B. 23 2π . Khi đó u12 bằng: n 1 C. − . 2 1− n . Khi đó un −1 bằng: 2n +1 2−n 2−n B. un −1 = n . C. un −1 = n −1 . 2 2 D. − 3 . 2 Câu 53. Cho dãy số ( un ) với un = A. un −1 = 1− n . 2n D. un −1 = n . 2n Câu 54. Cho dãy số ( un ) có u1 = 1, un = 2un −1 + 3un − 2 ( n ∈ ℕ* ) . Khi đó số hạng thứ n + 3 là A. un +3 = 2un + 2 + 3un +1 . B. un +3 = 2un + 2 + 3un . C. un +3 = 2un − 2 + 3un +1 . D. un +3 = 2un + 2 + 3un −1 . Câu 55. Cho dãy số ( un ) có công thức tổng quát là un = 2n thì số hạng thứ n + 3 là A. un +3 = 23 . B. un +3 = 8.2 n . C. un +3 = 6.2n . D. un +3 = 6n . Câu 56. Cho dãy số ( un ) có số hạng tổng quát un = 5.4 n −1 + 3 . Tìm mố i liên hệ giữa un +1 và un ( n ≥ 1) A. un +1 = 2un − 5 . B. un +1 = 3un − 7 . C. un +1 = 4un − 9 . D. un +1 = 5un − 11 . Câu 57. Số 7922 là số hạng thứ bao nhiêu trong dãy ( un ) với un = n 2 + 1, ∀n ∈ ℕ A. 79 . B. 89 . C. 69 . D. 99 . Câu 58. Cho dãy số ( un ) có un = 5n + 9, ∀n ∈ ℕ* . Phát biểu nào sau đây sai? A. Dãy ( un ) là cấp số cộng có công sai d = 5 và u1 = 14 . B. Dãy ( un ) là cấp số cộng có công sai d = 5 và u4 = 29 . C. Dãy ( un ) là dãy số tăng. D. Dãy ( un ) là dãy số giảm. Câu 59. Số 518 là số hạng thứ bao nhiêu của dãy ( un ) với un = 2 n + 6, ∀n ∈ ℕ A. 8 . B. 9 . C. 10 . D. 11 . 2n + 5 7 , ∀n ∈ ℕ* . Cho biết số hạng thứ n là . Giá trị của n là 5n − 4 12 B. n = 8 . C. n = 9 . D. n = 10 . Câu 60. Cho dãy số ( un ) với un = A. n = 6 . 2n 9 , ∀n ∈ ℕ* . Số là số hang ̣ thứ bao nhiêu trong dãy số ? n +1 41 B. 10 . C. 8 . D. 11 . Câu 61. Cho dãy số ( un ) với un = A. 9 . 2 n +1 8 , ∀n ∈ ℕ* . Số là số hang ̣ thứ bao nhiêu trong dãy số 2n + 1 15 B. 6 . C. 8 . D. 5 . Câu 62. Cho dãy số ( un ) với un = A. 7 . Câu 63. Cho dãy số ( un ) với u1 = 1, un +1 = un + 2, ∀n ∈ ℕ* . Số 33 là số hang ̣ thứ bao nhiêu trong dãy số ? A. 17 . B. 14 . C. 15 . D. 16 . n −1 2 ; biế t uk = . uk là số hang ̣ thứ mấ y củ a day ̃ số đã cho 2 n +1 13 B. thứ 6 . C. thứ 5 . D. thứ 4 . Câu 64. Cho dãy số ( un ) với un = A. thứ 3 . File word liên hệ: [email protected] MS: GT11-C3 TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 24 1 1 1 1 , , , ,… là: 2 4 8 16 1 1 B. un = . C. un = 2 . 2n n Câu 65. Số hạng tổng quát của dãy số ( un ) : A. un = Câu 66. 1 . 2n 1 . 4n Cho dãy số ( un ) với u1 = 1, un +1 = un + 2 , ∀n ∈ ℕ* . Số 33 là số hang ̣ thứ bao nhiêu trong daỹ số A. 17 . B. 14 . C. 15 . Câu 67. Số hạng tổng quát của dãy số ( un ) : 1, A. un = Câu 68. D. un = 1 . n B. un = D. 16 . 1 1 1 , , ,… là: 2 3 4 1 . 2n C. un = 1 . n2 D. un = 1 . n +1 1 1 1 ; ; là ba số hạng đầu tiên của dãy số ( un ) có số hạng tổng quát un bằng: 2 4 6 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. n . 2n n 2n + 4 2 n Câu 69. Cho dãy số ( un ) 1 xá c đinh ̣ bởi u1 = 1, un +1 = un +   , ∀n ∈ ℕ* . 2 Số hang ̣ un đươc̣ biể u diễn dưới dang ̣ un = A. 2 . B. 3 . a.2n − b thı̀ tổ ng a + b + c là : c.2n C. 4 . D. 5 . 1 Câu 70. Dãy số số ( un ) xá c đinh ̣ bởi u1 = 2, un +1 = un + 1, ∀n ∈ ℕ* . Số hạng tổng quát của dãy số là: 2 A. un = 2 . B. un = 3 . C. un = n + 1 . D. un = 3n − 1 . Câu 71. Cho dãy số ( un ) xá c đinh ̣ bởi u1 = 11, un +1 = 10un + 1 − 9n, ∀n ∈ ℕ* . Số hang ̣ un đươc̣ biể u diễn dưới dang ̣ ̉ u thức a.b − c là : ̣ un = a n + b.n + c . Giá tri biê A. 10 . B. 12 . C. −12 . D. −10 . 1 1 Câu 72. Cho dãy số ( un ) xá c đinh ̣ bởi u1 = 2, un +1 = un + , ∀n ∈ ℕ* . Số hang ̣ un đươc̣ biể u diễn 2 2 2n + a dưới dang thı̀ giá tri ̣ a là : ̣ un = 2n A. 2 . B. 3 . C. 1 . D. −1 . Câu 73. Cho dãy số ( un ) xá c đinh ̣ bởi u1 = 1, un +1 = 2un + 3, ∀n ∈ ℕ* . Số hang ̣ un đươc̣ biể u diêñ dưới dang ̣ un = a.2n + b . Khi đó giá tri ̣ a.b là : A. −6 . B. 6 . C. −3 . D. −2 . Câu 74. Cho dãy số ( un ) với u1 = 1, un +1 = un + 2n + 1, ∀n ∈ ℕ* . Số hạng tổng quát của dãy là A. un = n 2 . B. un = n 2 + 1 . C. un = 2n 2 . D. un = 3n 2 − 1 . 1 Câu 75. Cho dãy số ( un ) với u1 = , un +1 = 2un , ∀n ∈ ℕ* .Số hạng tổng quát của dãy là 2 1 1 A. un = −2 n −1 . B. un = − n +1 . C. un = − n . D. un = 2n − 2 . 2 2 File word liên hệ: [email protected] MS: GT11-C3 GV. GV TRẦ TRẦN QUỐ QUỐC NGHĨA NGHĨA (Sưu (Sưu tầ tầm và biên tậ tập) 25 Câu 76. Trong các dãy số sau, dãy số nào thỏa mãn u0 = 1 , u1 = 2 , un = 3un −1 − 2un −2 , ∀n ∈ ℕ, n ≥ 2 A. 1; 2; 4; 8; 16; 36; …. B. 1; 2; 8; 16; 24; 54… . C. un = 2 n + 1 . D. un = 2n . 2n Câu 77. Theo giả thiết ta có Cho dãy số ( un ) xác định bởi u1 = 1, un+1 = un + ( −1) , ∀n ∈ ℕ* . Số hạng tổng quát của dãy số trên là A. un = 1 + n . B. un = 1 − n . 2n C. un = 1 + ( −1) . D. un = n . Câu 78. Cho dãy số ( un ) xác định bởi u1 = −2 , un +1 = −2 − Số hạng tổng quát của dãy số trên là −n + 1 n +1 A. un = . B. un = . n n 1 , ∀n ∈ ℕ* . un C. un = − n +1 . n D. un = − n . n +1 1 Câu 79. Cho dãy số ( un ) xác định bởi công thức truy hồ i: u1 = 3, un +1 = un , ∀n ∈ ℕ* . Tìm công thức 2 tính số hạng tổng quát un của dãy số ? A. un = 3 . 2n B. un = Câu 80. Cho dãy số un = 3 2 n −1 . C. un = 3 . 2 −1 n D. un = 3 . 2 +1 n 1 và dãy ( vn ) xá c đinh ̣ bởi công thức v1 = u1 , vn +1 = vn + un +1 , ∀ ∈ ℕ* . Số n ( n + 1) hang ̣ tổ ng quá t vn được biể u diễn dưới dang ̣ vn = A. −1 . B. 1 . a.n + b . Khi đó giá tri biê ̣ ̉ u thức a.d − b.c là : c.n + d C. 2 . D. −2 . Câu 81. Cho dãy số ( un ) xá c đinh ̣ bởi u1 = 1, un +1 = un + 2, ∀n ∈ ℕ* . Số hang ̣ tổ ng quá t un đươc̣ biể u diễn dưới dang ̣ un = a.n + b . Khi đó a + b là : A. 1 . B. 3 . C. 4 . D. 5 . Câu 82. Trong các dãy số sau, dãy số nào thỏa mãn u0 = 1, u1 = 2, un = 3un −1 − 2un −2 , n = 2, 3, 4…… A. 1; 2; 4; 8; 16; 36; …. B. 1; 2; 8; 16; 24; 54… . C. un = 2 n + 1 . D. un = 2n . Câu 83. Cho dãy số ( un ) với un = 3n , ∀n ∈ ℕ* . Hãy chọn hệ thức đúng: A. u1 + u9 = u5 . 2 C. 1 + u1 + u2 + … + u100 = Câu 84. Cho tổng S n = A. S 2 = 2 . 3 B. u100 − 1 . 2 u 2u 4 = u3 . 2 D. u1u2 …u100 = u5050 . 1 1 1 1 + + + … + với n ∈ ℕ* . Lựa chọn đáp án đúng. 1.2 2.3 3.4 n. ( n + 1) B. S 2 = 1 . 6 C. S3 = 1 . 12 D. S3 = 1 . 4 Câu 85. Cho tổng S n = 1 + 2 + 3 + ………. + n . Khi đó S3 là bao nhiêu: A. 6 . B. 4 . File word liên hệ: [email protected] C. 9 . D. 3 . MS: GT11-C3 TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 26 Câu 86. Cho tổng S ( n ) = 12 + 22 + … + n 2 . Khi đó công thức của S ( n ) là: n ( n + 1)( 2n + 1) ( n + 1) . . B. S ( n ) = 6 2 n ( n − 1)( n + 1) n ( 2n + 1)( 3n + 1) C. S ( n ) = . D. S ( n ) = . 6 6 Câu 87. Đặt S1 ( n ) = 1 + 2 + 3 +…+ n , S 2 ( n ) = 12 + 22 + 32 + …+ n 2 , S3 ( n ) = 13 + 23 + 33 +…+ n3 . A. S ( n ) = Mệnh đề nào sau đây đúng 3n ( n + 1) A. S1 ( n ) = . 2 B. S 2 ( n ) = n ( n + 1)( 2n + 1) . 3 2 n 2 ( n + 1) n ( n − 1) C. S3 ( n ) = . D. S1 ( n ) = . 4 2 1 1 1 1 Câu 88. Tổng S = + + + … + là : 2.5 5.8 8.11 ( 3n − 1)( 3n + 2 ) A. S = n . 2 ( 3n + 2 ) Câu 89. Tổng S = A. S = B. S = 3n . 2 ( 3n + 2 ) C. S = 3n + 1 . 2 ( 3n + 2 ) D. S = 3n . 3n + 2 n . n +1 D. S = 2n . 2n + 1 1 1 1 1 + + + … + là : 1.3 3.5 5.7 ( 2n − 1)( 2n + 1) n . 2n + 1 B. S = n +1 . 2n C. S = Câu 90. Tính tổng S ( n ) = 1 − 2 + 3 − 4 +…+ ( 2n − 1) − 2n + ( 2n + 1) là A. S ( n ) = n + 1 . B. S ( n ) = − n . C. S ( n ) = 2n . D. S ( n ) = n . Câu 91. Tính tổng S ( n ) = 1.4 + 2.7 + … + n ( 3n + 1) . Khi đó công thức của S ( n ) bằng 2 A. S ( n ) = n + 3 . B. S ( n ) = ( n + 1) . 2 C. S ( n ) = n ( n + 1) . D. S ( n ) = 4n . Câu 92. Tính tổng S ( n ) = 1.1!+ 2.2!+ … + 2017.2017! . Khi đó công thức của S ( n ) A. 2017!. B. 2018! . C. 2018!− 1 . D. 2017!− 1 . Câu 93. Tính tổng S = 1.2 + 2.3 + … + ( n − 2 )( n − 1) + ( n − 1) n . A. n ( n2 + 1) n ( n2 − 1) n ( n2 − 1) 2n ( n 2 − 1) . B. . C. . D. 3 3 6 3 Câu 94. Trong các dãy số ( un ) cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào là dãy số tăng: A. un = 2n . B. un = 3 . n C. un = 2 . 3n . n D. un = ( −2 ) . Câu 95. Trong các dãy số ( un ) cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào là dãy số tăng: A. un = n−2 . n +1 B. un = n+2 . n +1 n C. un = ( −5 ) . D. un = 1 . n2 Câu 96. Trong các dãy số ( un ) cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào là dãy số tăng? n 2 A. un =   . 3 B. un = n . n +1 File word liên hệ: [email protected] C. un = 2 . n. ( n + 1) D. un = n +1 . n MS: GT11-C3 GV. GV TRẦ TRẦN QUỐ QUỐC NGHĨA NGHĨA (Sưu (Sưu tầ tầm và biên tậ tập) 27 Câu 97. Trong các dãy số ( un ) cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào là dãy số tăng? A. un = cos n . B. un = n+2 . n +1 n C. un = ( −1) .n 2 . D. un = 3n + 2 . Câu 98. Trong các dãy số ( un ) cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào là dãy số tăng? A. ( −1) n +1 sin π n B. ( −1) . 2n (5 n + 1) . C. 1 . n +1 + n D. n . n +1 2 Câu 99. Trong các dãy số ( un ) cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào là dãy số tăng? A. un = ( −1) n +1 sin π n . B. un = 2n + 3 . 3n + 2 C. un = 1 . n + n +1 D. un = ( −1) 2n (3 n + 1) . Câu 100. Trong các dãy số ( un ) cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào là dãy số giảm? A. un = 1 . 2n B. un = 3n − 1 . n +1 C. un = n 2 . D. un = n + 2 . Câu 101. Trong các dãy số ( un ) cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào là dãy số giảm? A. un = sin n . B. un = n − n − 1 . n2 + 1 C. un = . n n D. un = ( −1) ( 2n + 1) . Câu 102. Trong các dãy số ( un ) cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào là dãy số giảm? A. un = 3n . B. un = n −3 . n +1 C. un = n+4 . n+2 D. un = n 4 + 2 . 2n −1 , ∀n ∈ ℕ* . Mệnh đề nào sau đây sai? 2n + 1 1 3 7 15 A. Bốn số hạng của dãy là: ; ; ; . B. Là dãy số tăng. 3 5 9 17 1 5 7 15 31 63 C. Sáu số hạng đầu của dãy là , , , , , . D. Là dãy số giảm. 3 3 9 17 33 65 Câu 103. Cho dãy số ( un ) với un = Câu 104. Cho dãy số un = A. a < 1 . a.n 2 + 1 . Giá tri cu ̣ ̉ a a để dãy số giả m là 2n 2 + 3 2 B. a < . C. a > 1 . 3 D. a > 2 . 3 Câu 105. Xét các dãy 1, 2, 3, 4, …(1) . 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, …( 3) . 1 , 3 1 1, , 2 1, 1 , 5 1 , 2 1 …( 2 ) . 7 1 1 1 , , , …( 4 ) . 3 3 3 Với các dãy trên, kết luận nào sau đây là đúng A. (1) là dãy đơn điệu giảm, ( 2 ) là dãy đơn điệu giảm, ( 3) là dãy đơn điệu không giảm, ( 4 ) là dãy đơn điệu không tăng. B. (1) là dãy đơn điệu tăng, ( 2 ) là dãy đơn điệu tăng, ( 3) là dãy đơn điệu không giảm, ( 4 ) là dãy đơn điệu không tăng. C. (1) là dãy đơn điệu tăng, ( 2 ) là dãy đơn điệu giảm, ( 3) là dãy đơn điệu không giảm, ( 4 ) là dãy đơn điệu không giảm. D. Cả ba câu trên đều sai. File word liên hệ: [email protected] MS: GT11-C3 TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 28 1 . Chọn đúng n A. Dãy số ( un ) là dãy số giảm. B. Dãy số ( un ) là dãy số tăng. C. Dãy số ( un ) là dãy số không tăng không giảm. D. Dãy số ( un ) có u3 = Câu 106. Cho dãy số ( un ) , biết un = Câu 107. Dãy số un = 1 là dãy số có tính chất n +1 A. Tăng. C. Không tăng không giảm. 1 . 6 B. Giảm. D. Không bị chặn. n Câu 108. Cho dãy số un = ( −1) . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây? A. Dãy tăng. B. Dãy giảm. 1 nπ Câu 109. Dãy số un = sin là n 2 A. Dãy giả m. C. Day ̃ tăng. C. Bị chặn. D. Không bị chặn. B. Dãy không tăng, không giả m. D. Day ̃ bị chặn. Câu 110. Trong các dãy số ( un ) cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào bị chặn trên A. un = 1 . n B. un = 2n . C. un = n 2 . 3n − 1 . Dãy số ( un ) bị chặn trên bởi 3n + 1 1 1 B. . C. . 3 2 D. un = n + 1 . Câu 111. Cho dãy số ( un ) , biết un = A. 1 . D. 0 . Câu 112. Trong cá c dãy số ( un ) sau, dãy số nà o bi ch ̣ ăṇ trên n2 2n + 1 , ( III ) un = , ( IV ) un = 2 − 3n . 2n − 1 n +1 B. ( I ) và ( II ) . C. ( II ) và ( IV ) . D. ( II ) và ( III ) . (I) un = 2n 2 + 1 , ( II ) un = A. ( I ) , ( II ) và ( IV ) . Câu 113. Dãy số ( un ) xác định bởi un = A. un ≤ 1 . 2 1 1 1 1 + + + … + là dãy bi ch ̣ ăṇ trên bởi 1.2 2.3 3.4 n ( n + 1) B. un < 1 . C. un < 2 . 3 D. un < 3 . 4 1 1 Câu 114. Dãy số ( un ) xá c đinh ̣ bởi u1 = , un +1 = , ∀n ∈ ℕ* là dãy bi ch ̣ ăṇ trên vı̀ 2 2 − un A. un < 3 . 4 B. un < 1 . C. un < 4 . 5 D. un < 2 . 2 Câu 115. Trong cá c dãy số ( un ) sau, dãy số nà o bi ch ̣ ăṇ dưới? (I ) 2 2 un = n − 4n + 2 , ( II ) un = 1 − 2n , ( III ) A. ( I ) và ( II ) . B. ( II ) và ( III ) . n2 un = , ( IV ) un = 2 − 3n n +1 C. ( I ) và ( III ) . D. ( II ) và ( IV ) . 1 2 Câu 116. Dãy số ( un ) xá c đinh ̣ bởi u1 = 2, un +1 =  un +  , ∀n ∈ ℕ* là dãy bi ch ̣ ăṇ dưới vı̀ 2 un  5 3 A. un ≥ 3 . B. un > 2 . C. un > . D. un ≥ . 3 2 File word liên hệ: [email protected] MS: GT11-C3 GV. GV TRẦ TRẦN QUỐ QUỐC NGHĨA NGHĨA (Sưu (Sưu tầ tầm và biên tậ tập) 29 Câu 117. Dãy số ( un ) xá c đinh ̣ bởi u1 = 2, un +1 = A. un ≥ 10 . 9 B. un > 1 . un + 1 , ∀n ∈ ℕ* là dãy bi ch ̣ ăṇ dưới vı̀ 2 11 9 C. un > . D. un ≥ . 10 8 Câu 118. Trong các dãy số ( un ) cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào bị chặn A. un = 1 . 2n B. un = 3n . C. un = n + 1 . D. un = n 2 . Câu 119. Trong các dãy số ( un ) cho bởi số hạng tổng quát ( un ) sau, dãy số nào bị chặn 1 B. un = n + . n A. un = n 2 + 1 . C. un = 2n + 1 . D. un = n . n +1 Câu 120. Dãy số ( un ) xá c đinh ̣ bởi u1 = 6, un+1 = 6 + un , ∀n ∈ ℕ* là dãy bi ch ̣ ăṇ vı̀ 5 A. 6 ≤ un < . B. 6 ≤ un < 3 . 2 C. D. 6 ≤ un < 6 + 6 . 6 ≤ un < 6 + 7 . Câu 121. Dãy số ( un ) xá c đinh ̣ bởi u1 = 2, un+1 = 2 + un , ∀n ∈ ℕ* là dãy bi ch ̣ ăṇ vı̀ 3 5 A. 2 ≤ un < . B. 2 ≤ un < 2 . C. 1 ≤ un < 2 + 2 . D. 2 ≤ un < . 2 3 Câu 122. Xé t dãy số ( un ) với un = 1 1 1 + + ... + . Trong cá c mênh ̣ đề sau, mênh ̣ đề nà o sai? 1.2 2.3 n ( n + 1) A. Dãy ( un ) là dãy số bi ch ̣ ăṇ trên. B. Dãy ( un ) là dãy số bi ch ̣ ăṇ dưới. C. Dãy số ( un ) là dãy số tăng nhưng không bi ch ̣ ăṇ trên. D. Dãy ( un ) là dãy số tăng và bi ch ̣ ăn. ̣ n2 + n + 1 . Khi đó dãy số ( un ) . n2 + 1 B. Giảm. C. Bị chặn. D. Không bị chặn. 4n − 1 với un = n . Khi đó dãy số ( un ) 4 +5 B. Giảm. C. Bị chặn. D. Không bị chặn. Câu 123. Cho dãy số ( un ) với un = A. Tăng. Câu 124. Cho dãy số ( un ) A. Tăng. Câu 125. Chọn đáp án đúng. A. Dãy số giảm và bị chặn dưới thì bị chặn trên. B. Dãy số không giảm thì sẽ bị chặn trên. C. Dãy số giảm và bị chặn dưới thì không bị chặn. D. Dãy số tăng và bị chặn trên thì không bị chặn. Câu 126. Mệnh đề nào sau đây là sai? A. Dãy số vô hạn là một hàm số xác định trên tập hợp các số nguyên dương ℕ* . B. Dãy số bị chặn là dãy số vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới. C. Dãy số bị chặn là dãy số không đổi. D. Các phương án trên đều sai. Câu 127. Cho dãy số ( un ) xác định bởi un = A. Dãy ( un ) là dãy số tăng. n . Mệnh đề nào sau đây sai? n +1 B. Dãy ( un ) là dãy số giảm. C. Dãy ( un ) là dãy số bị chặn trên bởi 1 . File word liên hệ: [email protected] D. Dãy ( un ) là dãy số bị chặn dưới bởi 0 . MS: GT11-C3 TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 30 7n + 5 là dãy số 5n + 7 B. Tăng và bi ch ̣ ăn. ̣ D. Giả m và không bi ch ̣ ăn. ̣ Câu 128. Dãy số ( un ) xá c đinh ̣ bởi công thức un = A. Giả m và bi ch ̣ ăn. ̣ C. Tăng và không bi ch ̣ ăn. ̣ n . Mệnh đề nào sau đây đúng? n +1 −1 −2 −3 −5 A. 5 số hạng đầu của dãy là ; ; ; −1; . 2 3 4 6 B. Dãy số ( un ) là dãy số tăng. Câu 129. Cho dãy số ( un ) với un = − −1 −2 −3 4 −5 ; ; ; − ; . 2 3 4 5 6 bị chặn trên bởi số 1 . C. 5 số hạng đầu của dãy là D. Day ̃ số ( un ) n Câu 130. Cho dãy số un = ( −1) . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây? A. Dãy tăng. B. Dãy giảm. Câu 131. Cho dãy số un = sin A. un +1 = sin π n +1 C. là dãy tăng. Câu 132. Xét tính đơn π n C. Bị chặn. D. Không bị chặn. . Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau đây B. Dãy số bị chặn. . D. dãy số không tăng, không giảm. điệu và tính bị chặn của số dãy ( un ) xác định bởi u1 = 2, un+1 = un + 2 (n ∈ ℕ* ) A. Dãy số ( un ) không đơn điệu, bị chặn trên bởi 2, và bị chặn dưới bởi B. Dãy số ( un ) giảm, bị chặn trên bởi 2, và bị chặn dưới bởi C. Day ̃ số ( un ) giảm, bị chặn dưới bởi 2. 2. 2 và không bị chặn trên. D. Day ̃ số ( un ) tăng, bị chặn trên bởi 2, và bị chặn dưới bởi 2. Câu 133. Xét các câu sau Dãy 1, 2, 3, 4, … là dãy bị chặn (dưới và trên) (1) . 1 1 1 , , … là dãy bị chặn dưới nhưng không bị chặn trên ( 2 ) . 3 5 7 Trong hai câu trên A. Chỉ có (1) đúng. B. Chỉ có ( 2 ) đúng. Dãy 1, C. Cả hai câu đều đúng. D. Cả hai câu đều sai. Câu 134. Số hạng lớn nhất củ a dãy số un = 1 1 . C. . 20 25 1 Câu 135. Cho dãy số ( un ) , biết un = . Mệnh đề nào đúng n +1 A. Dãy ( un ) bị chặn. B. Dãy ( un ) tăng. A. 1 . 21 n là n + 100 2 B. C. u30 = 30 . D. 1 . 30 D. Dãy ( un ) không bị chặn. Câu 136. Trong dãy số 1, 3, 2,... mỗ i số hạng kể từ số hạng thứ 3 bằng số hạng đứng trước nó trừ đi số hạng đứng trước số hạng này, tức là un = un −1 − un − 2 , ∀n ∈ ℕ* , n ≥ 3 . Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy số đó. Đáp số của bài toán là A. 5 . B. 4 . C. 2 . D. 1 . File word liên hệ: [email protected] MS: GT11-C3 GV. GV TRẦ TRẦN QUỐ QUỐC NGHĨA NGHĨA (Sưu (Sưu tầ tầm và biên tậ tập) 31 Vấn đề 3. CẤP SỐ CỘNG ① Định nghĩa: Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn), trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi d gọi là công sai. ② Số hạng tổng quát: un +1 = un + d ( d : công sai; n ∈ ℕ ∗ ) (1) un = u1 + ( n –1) .d (2) ③ Tính chất các số hạng của cấp số cộng: Trong một cấp số cộng. Mỗi số hạng kể từ số hạng thứ hai (và trừ số hạng cuối đối với cấp số cộng hữa hạn), đều là trung bình cộng của hai số hạng kề bên nó, tức là: uk = uk −1 + uk +1 ( k ≥ 2) 2 (3) ④ Tổng n số hạng đầu của cấp số cộng: Sn = Sn = n ( u1 + un ) (4) 2 n  2u1 + ( n − 1d )  ( 5) 2 ⑤ Các số hạng liên tiếp: •Nếu CSC có lẻ số hạng thì: …; x – a; x ; x + a; … •Nếu CSC có chẵn số hạng thì: …; x – 3a; x – a; x + a ; x + a; … Dạng 1. Chứng minh ba số (dãy số) lập thành một cấp số cộng A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI • • Để chứng minh ba số a , b , c lập thành một cấp số cộng ta đi chứng minh a + c = 2b hoặc a – b = b – c Để chứng minh dãy số u1 , u2 , u3 , …, un –1 , un lập thành cấp số cộng, ta chứng minh: u2 – u1 = u3 – u2 = … = nu – un –1 = d (công sai) B. BÀI TẬP MẪU Ví dụ 17. Chứng minh rằng mỗ i dãy số sau là một cấp số cộng và hãy xác định công sai của cấp số cộng đó: a) un = 19n – 5 b) un = an + b , với a , b là hằng số. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. File word liên hệ: [email protected] MS: GT11-C3 TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 32 Ví dụ 18. Cho ba số a , b , c lập thành một cấp số cộng. Chứng minh rằng ba số (a 2 (a 2 + ab + b 2 ) , + ac + c 2 ) và ( b 2 + bc + c 2 ) cũng lập thành một cấp số cộng. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 53. Trong các dãy số ( un ) sau, dãy nào là cấp số cộng 2 b) un = vn − vn −1 với vn = ( 2n + 1) . a) un = 2n − 1 . u = 3 d)  1 với n ≥ 1 . un +1 = 1 − un n c) un = ( −1) + 2n . Dạng 2. Xác định số hạng tổng quát của một cấp số cộng A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI Để xác định số hạng tổng quát của một cấp số cộng, ta sử dụng công thức: un = u1 + ( n –1) d ; un = un –1 + d với n ≥ 2 . Tức là đi xác định số hạng đầu u1 và công sai d . B. BÀI TẬP MẪU Ví dụ 19. Cho CSC ( un ) có u20 = –52 và u51 = –145 . Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp số đó. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. Ví dụ 20. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp sống cộng ( un ) , biết u = 5u2 a)  9 u13 = 2u6 + 5 u − u + u = 10 b)  1 3 5 u1 + u6 = 7 −u + u = 8 c)  3 7 u2u7 = 75 u = 4u3 d)  5 u2u6 = −11 .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. File word liên hệ: [email protected] MS: GT11-C3 GV. GV TRẦ TRẦN QUỐ QUỐC NGHĨA NGHĨA (Sưu (Sưu tầ tầm và biên tậ tập) 33 .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. Ví dụ 21. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp sống cộng ( un ) , biết u + u = 14 a)  3 5 S12 = 129  152 2 S16 = b)  3 S = 3S  21 10 u = 1 c)  1 5S5 = S10 S − S 2 − u5 = 0,1 d)  5 S 4 + u7 = 0,1 .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 54. Giữa các số 7 và 35 hãy đặt thêm sáu số nữa để được một cấp số cộng. Bài 55. u = −9 Cho cấp số cộng ( un ) với  1 . Tìm u25 . un +1 = un − 5 Bài 56. u = −43 Cho cấp số cộng ( un ) với  5 . u21 = −171 a) Tìm d và u1 . b) Tìm u29 . c) −16123 là số hạng thứ bao nhiêu. d) −35 có thuộc cấp số cộng trên hay không? File word liên hệ: [email protected] MS: GT11-C3 TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 34 Dạng 3. Tìm các phần tử của một cấp số cộng ( un ) A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI  Ở dạng đơn giản, ta có thể trực tiếp tìm bằng cách chuyển về xác định u1 và công sai d : u2 = u1 + d ; u3 = u1 + 2d ; u4 = u1 + 3d ;…; un = u1 + ( n –1) d  Trong một số trường hợp, để đơn giản hơn ta thường là như sau: 1) Nếu số số hạng là số lẻ: ta đặt x là số chính giữa, d là công sai. Ví dụ:  Cấp số cộng có 3 số hạng: x – d ; x ; x + d  Cấp số cộng có 5 số hạng: x – 2d ; x – d ; x ; x + d ; x + 2d 2) Nếu số số hạng là số chẵn: 2d là công sai. Thí dụ:  Cấp số cộng có 4 số hạng: x – 3d ; x – d ; x + d ; x + 3d  Cấp số cộng có 6 số hạng: x – 5d ; x – 3d ; x – d ; x + d ; x + 3d ; x + 5d → Từ các cách đặt ở trên, dựa vào các điều kiện của đề bài ta xác định được cấp số cộng. B. BÀI TẬP MẪU Ví dụ 22. Một cấp số cộng có năm số hạng mà tổng số hạng đầu và số hạng thứ ba bằng 28 , tổng của số hạng thứ ba và số hạng cuối bằng 40 . Hãy tìm cấp số cộng đó. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. Ví dụ 23. Xác định 4 góc của một tam tứ giác lồ i, biết rằng 4 góc hợp thành cấp số cộng và góc lớn nhất bằng 5 lần góc nhỏ nhất. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. File word liên hệ: [email protected] MS: GT11-C3 GV. GV TRẦ TRẦN QUỐ QUỐC NGHĨA NGHĨA (Sưu (Sưu tầ tầm và biên tậ tập) 35 u − u + u = 10 . Tìm số hạng đầu tiên và công sai. Ví dụ 24. Cho CSC ( un ) thỏa mãn  2 3 5 u1 + u6 = 17 .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 57. Bài 58. Xác định số hạng đầu u1 và công sai d của một cấp số cộng khi biết: u − u + u = 10 a)  2 3 5 u1 + u6 = 17 2u + u + u = 12 b)  1 2 3 2u2 + u3 + u5 = 20 u1 + u15 = 60 c)  2 2 u4 + u12 = 1170 u1 + u7 = 4 d)  2 2 u3 + u7 = 122  S4 = 9  e)  45  S6 = 2 u + u = 14 f)  3 5 S12 = 129 Tìm số hạng đầu u1 và công sai d của cấp số cộng sau: a) b) c) d) e) Đặt 6 số giữa hai số 35 và 7 để được một cấp số cộng. Đặt 5 số giữa hai số 3 và 27 để được một cấp số cộng. Đặt 6 số giữa hai số 3 và 31 để được một cấp số cộng. Đặt 4 số giữa hai số 5 và 8 để được một cấp số cộng. Đặt 6 số giữa hai số 35 và 112 để được một cấp số cộng. Bài 59. Bốn số lập thành một cấp số cộng. Tổng của chúng bằng 22 . Tổng các bình phương của chúng bằng 166 . Tìm bốn số đó. Bài 60. Bốn số lập thành một cấp số cộng. Tổng của chúng bằng 14. Tổng các bình phương của chúng bằng 94. Tìm bốn số đó. Bài 61. Bốn số lập thành một cấp số cộng. Tổng của chúng bằng –10 . Tổng các bình phương của chúng bằng 70. Tìm bốn số đó. Bài 62. Bốn số lập thành một cấp số cộng là các số nguyên. Tổng của chúng bằng 20 và tích là 384. Tìm bốn số đó. Bài 63. Năm số lập thành một cấp số cộng. Tổng của chúng bằng 15. Tổng các bình phương của chúng bằng 65. Tìm năm số đó. Bài 64. Người ta trồng 3003 cây theo hình một tam giác như sau: hàng thứ nhất có 1 cây, hàng thứ hai có 2 cây, hàng thứ ba có 3 cây, v.v… Hỏ i có bao nhiêu hàng ? File word liên hệ: [email protected] MS: GT11-C3 TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 36 Dạng 4. Ứng dụng các tính chất của một cấp số cộng A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI  Bài toán 1. “Cho ba số a , b , c lập thành cấp số cộng, chứng minh tính chất K ”, khi đó ta thực hiện theo các bước sau: • Bước 1. Từ giả thiết a , b , c lập thành cấp số cộng, ta được: a + c = 2b hoặc biểu 1 thức tương đương: a – b = b – c = ( a – c ) 2 • Bước 2. Chứng minh tính chất K .  Bài toán 2. “Tìm điều kiện để 3 số, 4 số lập thành cấp số cộng”: • Để 3 số a , b , c lập thành cấp số cộng thì a + c = 2b . a + c = 2b • Để 4 số a , b , c , d lập thành cấp số cộng thì  . b + d = 2c B. BÀI TẬP MẪU Ví dụ 25. Tìm x để ba số x2 + 1, x – 2, 1– 3x lập thành một cấp số cộng. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. Ví dụ 26. Cho ba số a , b , c lập thành một cấp số cộng. Chứng minh rằng: a) a 2 + 2bc = c 2 + 2ab b) a 2 + 8bc = ( 2b + c ) 2 2 c) 3 ( a 2 + b 2 + c 2 ) − 6 ( a − b ) = ( a + b + c ) 2 .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. File word liên hệ: [email protected] MS: GT11-C3 GV. GV TRẦ TRẦN QUỐ QUỐC NGHĨA NGHĨA (Sưu (Sưu tầ tầm và biên tậ tập) 37 C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 65. Cho ba số a 2 , b 2 , c 2 lập thành một cấp số cộng có công sai d ≠ 0 . Chứng minh rằng ba số 1 1 1 , , cũng lập thành một cấp số cộng . b+c c+a a+b Bài 66. Cho ba số a , b , c lập thành một cấp số cộng. Chứng minh rằng ba số 1 , b+ c 1 , c+ a 1 cũng lập thành một cấp số cộng . a+ b Bài 67. Bài 68. Cho cấp số cộng u1 , u2 , ⋯ , un , trong đó ui ≠ 0 với mọ i i = 1, 2, ⋯ , n . Chứng minh rằng a) 1 1 1 n −1 + +⋯ + = . u1u2 u2u3 un −1un u1un b) 1 1 1 1 2 1 1 1 + +⋯ + + =  + +⋯ +  . u1un u2 un −1 un −1u2 un u1 u1 + un  u1 u2 un  Cho cấp số cộng u1 , u2 , ⋯ , un , trong đó ui > 0 với mọ i i = 1, 2, ⋯ , n . Chứng minh rằng 1 1 1 n −1 + + … + = . u1 + u2 u2 + u3 un −1 + un un + u1 Dạng 5. Tính tổng A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI  Thông thường bài toán được chuyển tính tổng của một cấp số cộng.  Sử dụng các công thức tính Sn : Sn = n ( u1 + un ) 2 n  2u1 + ( n − 1) d  =  . 2 B. BÀI TẬP MẪU Ví dụ 27. Cho cấp số cộng ( un ) có u2 + u20 = 60 . Hãy tính tổng 21 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… Ví dụ 28. Tính tổng S = 105 + 110 + 115 +…+ 995 . ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… File word liên hệ: [email protected] MS: GT11-C3 TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 38 Ví dụ 29. Tính tổng S = 12 – 22 + 32 – 42 +…+ 992 –1002 . ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 69. Cho dãy số ( un ) với un = 5n − 2 . a) Chứng minh ( un ) là một cấp số cộng. b) Tìm S50 . c) Biết S n = 2576 , tìm n . Bài 70. Cho cấp số cộng ( un ) , biết u2015 + u2016 = 500 . Tính tổng 4030 số hạng đầu tiên của cấp số cộng. Bài 71. a) Cho phương trình 1 + 6 + 11 + 16 +…+ x = 970 . Tìm x biết 1, 6, 11, …, x là một cấp số cộng. b) Giải phương trình ( x + 1) + ( x + 4 ) + ( x + 7 ) +…+ ( x + 28 ) = 155 , biết 1, 4, 7, …, 28 là một cấp số cộng. BÀI TẬP TỔNG HỢP CHỦ ĐỀ 3 Bài 72. Cho cấp số cộng: 2 + 1 ; 2 ; 3 – 2; … a) Tìm u10 , un . Bài 73. b) Tìm S10 Cho cấp số cộng: 1; 5 ; 9; … a) Tìm u17 , un . Bài 74. Bài 75. Bài 76. b) Tìm S17 Cho cấp số cộng ( un ) có: a) u1 = 5, u10 = 50 . Tìm d và S10 b) u1 = 1, u2 = 5 . Tìm S10 c) u1 = 9, un = 49, d = 2,5 . Tìm n d) u7 = –2, d = 3 . Tìm u33 và S33 e) u5 = 5, u10 = 15 . Tìm u22 và S22 f) u5 = 19, u9 = 35, Sn = 666 . Tìm un . g) u4 + u11 = 20 . Tìm S14 h) u3 + u13 = 80 . Tìm S15 . Cho cấp số cộng ( un ) biết: a) S n = 5n 2 + 3n (∀n ∈ ℕ ∗ ) . Tìm u1 và d b) Sm = n, Sn = m ( m ≠ n ) . Tìm Sm+ n . c) S m = Sn ( m ≠ n ) . Tìm Sm+ n . d) Chứng minh: S3n = 3 ( S 2n – S n ) . Trong các dãy số ( un ) dưới đây, dãy nào là cấp số cộng. Khi đó tìm u1 và d . a) un = 3n – 7 b) un = 5 – 2n d) un = n 2 e) un = File word liên hệ: [email protected] 3n + 2 5 c) u n = 3n f) un = 7 − 3n . 2 MS: GT11-C3 GV. GV TRẦ TRẦN QUỐ QUỐC NGHĨA NGHĨA (Sưu (Sưu tầ tầm và biên tậ tập) Bài 77. Bài 78. Bài 79. Bài 80. 39 Tính a) Sn = 1 + 2 + 3 +…+ n b) S n = 1 + 3 + 5 +…+ ( 2n –1) c) Sn = 2 + 4 + 6 +…+ 2n e) Sn = 105 + 110 + 115 +…+ 995 . Xác định số hạng đầu u1 và công sai d của một cấp số cộng khi biết: u − u + u = 10 a)  1 3 5 u1 + u6 = 17 u − u = 8 b)  7 3 u2 .u7 = 75 u + u = 14 c)  3 5 S12 = 129 u + u + u = 36 d)  2 4 6 u2 .u3 = 54 u1 + u2 + u3 = 15  e)  1 1 1 71  u + u + u = 105 2 3  1 u10 − u6 = −16  f) u1 + u2 + … + un −1 = 0 u + u + … + u = −36 n  2 3 Tìm x để 3 số liên tiếp sau lập thành cấp số cộng. a) x; x + 3; 3 − 2 x b) 1 + sin x; sin 2 x; 1 + sin 3x . d) sin 2 x; 2sin x; 3 e) 2m; m2 ;3 2 c) x 2 ; x; – 3 f) C7k , C 7k +1 , C7k + 2 Xác định m để phương trình: a) x 3 − 3x 2 − 9 x + m = 0 có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng. b) x 4 − 2 ( m + 1) x 2 + 2m + 1 = 0 có 4 nghiệm lập thành cấp số cộng. A B C ; tan ; tan liên tiếp tạo thành cấp số cộng. CMR: cos A; cos B; cos C 2 2 2 cũng liên tiếp tạo thành cấp số cộng. Bài 81. Cho ∆ABC có tan Bài 82. Cho a , b , c là 3 số hạng liên tiếp của cấp số cộng. CMR: 2 3 a) ( a + b + c ) = a 2 ( b + c ) + b 2 ( a + c ) + c 2 ( a + b ) 9 b) a2 – bc; b2 – ac; c2 – ab cũng lập thành một cấp số cộng. c) a2 + ab + b2 ; a 2 + ac + c2 ; b2 + bc + c 2 lập thành một CSC. Bài 83. Cho a, b, c > 0 liên tiếp tạo thành một cấp số cộng. 1 1 1 ; ; Chứng minh 3 số: cũng lập thành một cấp số cộng. b+ c c+ a a+ b Bài 84. Cho a , b , c là 3 số dương. Chứng minh rằng a2 , b2 , c2 lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi 1 1 1 ; ; lập thành một cấp số cộng. b+c c+a a+b Bài 85. Cho a , b , c là 3 số dương. Cho a2 , b 2 , c 2 lập thành cấp số cộng. a b c Chứng minh: ; ; lập thành một cấp số cộng. b+c c+a a+b Bài 86. Cho dãy số ( un ) với un = Chứng minh rằng ( un ) Bài 87. an + b ( a, b, c ∈ ℝ và c ≠ 0 ). c là một cấp số cộng. Cho cấp số cộng ( un ) thỏa: u2 + u3 + u5 + u12 + u14 + u15 = 150 . Tính: a) u2 + u15 b) u4 + u13 . File word liên hệ: [email protected] c) Tính tổng 17 số hạng đầu tiên của cấp số cộng. MS: GT11-C3 TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 40 Bài 88. Ba góc của một tam giác vuông lập thành một cấp số cộng. Tìm ba góc đó. Bài 89. Một cấp số cộng có 11 số hạng. Tổng các số hạng là 176 . Hiệu giữa số hạng cuố i và số hạng đầu là 30 . Tìm cấp số cộng đó. Bài 90. Ba số lập thành một cấp số cộng. Tổng của chúng bằng 21 . Tổng các bình phương của chúng bằng 155 . Tìm ba số đó. Bài 91. Năm số lập thành một cấp số cộng. Tổng của chúng bằng 40 . Tổng các bình phương của chúng bằng 480. Tìm năm số đó. Bài 92. Một tam giác vuông có 3 cạnh tạo thành cấp số cộng, tổng bình phương 3 cạnh là 800. Tìm độ dài 3 cạnh của tam giác đó. Bài 93. Tìm độ dài ba cạnh của một tam giác vuông biết số đo của chúng tạo thành cấp số cộng và cạnh huyền bằng 35. Bài 94. Các góc của một tam giác tạo thành cấp số cộng và số đo góc nhỏ nhất bằng ½ số đo góc lớn nhất. Tìm số đo các góc của tam giác đó. Bài 95. Cho dãy số ( un ) u1 = −2  định bởi:  un . un +1 = 1 − u  n a) Hãy xác định số hạng tổng quát un . Suy ra un < 0 với n ∈ ℕ ∗ . b) Đặt vn = un + 1 . Chứng minh rằng ( vn ) là một cấp số cộng. un BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CHỦ ĐỀ 3 u1 = 1 Câu 137. Cho dãy số ( un ) với  . Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới 2n un +1 = un + (−1) đây A. un = 1 + n . B. un = 1 − n . C. un = 1 + (−1) 2 n . D. un = n . u1 = 1 Câu 138. Cho dãy số ( un ) với  2 n +1 . Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới đây un +1 = un + ( −1) A. un = 2 − n . B. un không xác định. C. un = 1 − n . D. un = −n với mọ i n. Câu 139. Cho cấp số cộng −2, x, 6, y . Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau: A. x = −6, y = −2 . B. x = 1, y = 7 . C. x = 2, y = 8 . D. x = 2, y = 10 . Câu 140. Khẳng định nào sau đây là sai. 1 1 3 1 1 A. Dãy số − ; 0; ; 1; ; ... là một cấp số cộng với u1 = − ; d = . 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 B. Dãy số ; 2 ; 3 ; ... là một cấp số cộng với u1 = ; d = . 2 2 2 2 2 C. Dãy số: −2; −2; −2; −2; …là cấp số cộng với u1 = −2; d = 0 . D. Dãy số: 0,1; 0, 01; 0, 001; 0, 0001;... không phải là một cấp số cộng. File word liên hệ: [email protected] MS: GT11-C3 GV. GV TRẦ TRẦN QUỐ QUỐC NGHĨA NGHĨA (Sưu (Sưu tầ tầm và biên tậ tập) 41 1 1 Câu 141. Cho một cấp số cộng có u1 = − ; d = . Hãy chọn kết quả đúng. 2 2 1 1 1 1 1 A. Dạng khai triển: − ; 0; 1; ; 1;.... B. Dạng khai triển: − ; 0; ; 0; ;... . 2 2 2 2 2 1 3 5 1 1 3 C. Dạng khai triển: ; 1; ; 2; ;... . D. Dạng khai triển: − ; 0; ; 1; . ;... . 2 2 2 2 2 2 Câu 142. Cho cấp số cộng ( un ) . Hãy chọn hệ thức đúng trong các hệ thức sau: A. u10 + u20 = u5 + u10 . 2 B. u90 + u210 = 2u150 . C. u10 .u30 = u20 . D. u10 .u30 = u20 . 2 Câu 143. Cho dãy số ( un ) xác định bởi: u1 = 150 và un = un −1 − 3 với mọ i n ≥ 2 . Khi đó tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy số đó bằng A. 150 . B. 300 . C. 29850 . D. 59700 . Câu 144. Cho cấp số cộng ( un ) có: u2 = 2001 và u5 = 1995 . Khi đó u1001 bằng A. 4005 . B. 4003 . C. 3 . D. 1 . Câu 145. Cho một cấp số cộng có u1 = −3; u6 = 27 . Tìm d ?. A. d = 5 . B. d = 7 . C. d = 6 . 1 Câu 146. Cho một cấp số cộng có u1 = ; u8 = 26 . Tìm d ?. 3 11 3 10 A. d = . B. d = . C. d = . 3 11 3 D. d = 8 . D. d = 3 . 10 Câu 147. Cho một cấp số cộng có: u1 = −0,1; d = 0,1 . Số hạng thứ 7 của cấp số cộng này là. A. 1, 6 . B. 6 . C. 0,5 . D. 0, 6 . Câu 148. Cho cấp số cộng ( un ) tăng có hai số hạng là −3 và 37 , biết giữa hai số trên có 9 số hạng. Chọn khẳng định đúng A. Trong 9 số nói ở đề bài có số 16 . C. Trong 9 số nói ở đề bài có số 29 . B. Tổng của 11 số hạng trên bằng 186 . D. Các khẳng định ở A, B, C đều sai. Câu 149. Cho cấp số cộng ( un ) có số 10 số hạng, số hạng đầu là 2 và số hạng cuối là 65 . Chọn khẳng định đúng A. Tổng của các số hạng của cấp số cộng là 335 . C. Tổng của các số hạng của cấp số cộng là 671 . B. Công sai của cấp số cộng bằng 1, 4 . D. Các khẳng định ở A, B, C đều sai. 1  u1 = Câu 150. Cho dãy số ( un ) với  . Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là 2 un +1 = un − 2 1 1 1 1 A. un = + 2 ( n − 1) . B. un = − 2 ( n − 1) . C. un = − 2n . D. un = + 2n . 2 2 2 2 Câu 151. Cho một cấp số cộng ( CSC ) có: u1 = −0,1; d = 1 . Khẳng định nào sau đây là đúng. A. Số hạng thứ 7 của ( CSC ) là 0, 6 . B. ( CSC ) không có hai số 0,5 và 0, 6 . C. Số hạng thứ 6 của ( CSC ) là 0,5 . D. Số hạng thứ 4 của ( CSC ) là 3,9 . File word liên hệ: [email protected] MS: GT11-C3 TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 42 Câu 152. Cho cấp số cộng ( un ) có u4 = 8; u7 = 14 . Cấp số cộng trên có: A. u5 + u7 = 26 . B. u6 = 3u2 . C. 2u3 + 4u5 = 33 . D. 3u5 + u2 = 41 . Câu 153. Cho cấp số cộng ( un ) có u4 = −3 và tổng của 9 số hạng đầu tiên là S9 = 45 . Cấp số cộng trên có: A. S10 = 92 . B. S 20 = 980 . C. S3 = −56 . D. S16 = 526 . Câu 154. Cho cấp số cộng ( un ) ; S n là tổng của n số hạng đầu tiên của ( un ) . Biết S5 = 25; S16 = 160 . Khi đó: ( un ) có: A. d = 1 . B. u1 = 3 . C. d = 10 . 11 D. u1 = 83 . 11 Câu 155. Cho cấp số cộng ( un ) có 9 số hạng, biết tổng của ba số hạng đầu tiên bằng 15 , tổng của 4 số hạng cuố i bằng 86 . Cấp số cộng này có: A. d = 2 . B. u1 = 3 . C. d = 3 . D. u1 = 4 . Câu 156. Cho các dãy ( un ) ; ( sn ) : un = 1 − 3n; sn = 2 n . Chọn khẳng định đúng A. ( un ) và ( sn ) là hai cấp số cộng. B. ( un ) là cấp số cộng và ( sn ) không phải là cấp số cộng. C. ( sn ) là cấp số cộng và ( un ) không phải là cấp số cộng. D. ( un ) không là cấp số cộng và ( sn ) không là cấp số cộng. Câu 157. Cho các dãy ( vn ) ; ( tn ) : vn = 2n − 1; tn = n 2 . Chọn khẳng định đúng A. ( vn ) và ( tn ) là hai cấp số cộng. B. ( vn ) là cấp số cộng và ( tn ) không phải là cấp số cộng. C. ( tn ) là cấp số cộng và ( vn ) không phải là cấp số cộng. D. ( vn ) không là cấp số cộng và ( tn ) không là cấp số cộng. Câu 158. Cho một cấp số cộng ( CSC ) có: u1 = 0,3; u8 = 8 . Khẳng định nào sau đây là sai. A. Số hạng thứ 2 của ( CSC ) là1, 4 . B. Số hạng thứ 3 của ( CSC ) là 2,5. C. Số hạng thứ 4 của ( CSC ) là 3, 6 . D. Số hạng thứ 7 của ( CSC ) là 7, 7 . Câu 159. Viết ba số xen giữa các số 2 và 22 để được dãy số có 5 số hạng. A. 7; 12; 17 . B. 6; 10; 14 . C. 8; 13; 18 . D. 6; 12; 18 . 1 16 và để được dãy số có 6 số hạng. 3 3 4 7 10 13 4 7 11 14 3 7 11 15 B. ; ; ; . C. ; ; ; . D. ; ; ; . 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 Câu 160. Viết 4 số hạng xen giữa các số A. 4 5 6 7 ; ; ; . 3 3 3 3 Câu 161. Cho dãy số ( un ) với: un = 7 − 2n . Khẳng định nào sau đây là sai A. 3 số hạng đầu của dãy: u1 = 5; u2 = 3; u3 = 1 . B. Số hạng thứ n + 1 là un +1 = 8 − 2n . C. Là cấp số cộng có d = −2 . D. Số hạng thứ 4 là u4 = −1 . File word liên hệ: [email protected] MS: GT11-C3 GV. GV TRẦ TRẦN QUỐ QUỐC NGHĨA NGHĨA (Sưu (Sưu tầ tầm và biên tậ tập) Câu 162. Cho dãy số ( un ) với: un = 43 1 n + 1 . Khẳng định nào sau đây là đúng 2 A. Dãy số này không phải là cấp số cộng. C. Hiệu: un +1 − un = 1 . 2 B. Số hạng thứ n + 1 : un +1 = 1 n. 2 D. Tổng của 5 số hạng đầu tiên là S = 12 . 5 Câu 163. Cho dãy số ( un ) với: un = 2n + 5 . Khẳng định nào sau đây là sai A. Là cấp số cộng có d = −2 . C. Số hạng thứ n + 1 : un +1 = 2n + 7 . B. Là cấp số cộng có d = 2 . D. Tổng của 4 số hạng đầu tiên là S = 40 . 4 Câu 164. Trong các dãy số (un ) sau đây, dãy số nào là cấp số cộng u1 = 1 . A.  3 u = u − 1 1 n + n  u = 2 . B.  1 un +1 = un + n u = −1 . C.  1 un +1 − un = 2 u = 3 . D.  1 un +1 = 2un + 1 Câu 165. Cho cấp số cộng: 6, x, −2, y . Hãy chọn kết quả đúng. A. x = 2, y = 5 . B. x = 4, y = 6 . C. x = 2, y = −6 . D. x = 4, y = −6 . Câu 166. Cho cấp số cộng ( un ) có 2u4 − 3u5 = 5 và tổng của ba số hạng đầu tiên bằng 15 . Cấp số cộng này có u8 bằng bao nhiêu: A. −7 . B. 7 . C. 9 . Câu 167. Cho cấp số cộng ( un ) có: u1 = −3; d = 1 ( n + 1) . 2 1 C. un = −3 + ( n − 1) ) . 2 A. un = −3 + D. −9 . 1 . Khẳng định nào sau đây là đúng 2 1 B. un = −3 + n − 1 . 2 1  D. un = n  −3 + ( n − 1)  . 4  4 1 Câu 168. Cho cấp số cộng ( un ) có u1 = − ; d = − . Khẳng định nào sau đây đúng 5 4 5 4 5 4 A. S1 = . B. S1 = . C. S1 = − . D. S1 = − . 4 5 4 5 Câu 169. Cho cấp số cộng ( un ) có d = −2; S8 = 72 . Tính u1 A. u1 = 16 . B. u1 = −16 . C. u1 = 1 . 16 D. u1 = − 1 . 16 Câu 170. Cho cấp số cộng ( un ) có d = 0,1; S5 = −0,5 . Tính u1 A. u1 = 0,3 . B. u1 = 10 . 3 C. u1 = − 10 . 3 D. u1 = −0,3 . Câu 171. Cho cấp số cộng ( un ) có u1 = −1, d = 2, S n = 483 . Tính số các số hạng của cấp số cộng A. n = 20 . B. n = 21 . C. n = 22 . D. n = 25 . Câu 172. Cho cấp số cộng ( un ) có u1 = 2; d = 2; S = 15 2 . Khẳng định nào sau đây là đúng A. S là tổng của B. S là tổng của C. S là tổng của D. S là tổng của 5 6 7 8 số hạng đầu của cấp số cộng. số hạng đầu của cấp số cộng. số hạng đầu của cấp số cộng. số hạng đầu của cấp số cộng. File word liên hệ: [email protected] MS: GT11-C3 TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 44 Câu 173. Công thức nào sau đây là đúng với cấp số cộng có số hạng đầu u1 , công sai d A. un = un + d . B. un = u1 + ( n + 1) d . C. un = u1 − ( n − 1) d . D. un = u1 + ( n − 1) d . Câu 174. Cho cấp số cộng hữu hạn ( un ) có số hạng đầu u1 = −3 . Chọn khẳng định đúng A. Nếu công sai d = 4 thì tổng của các số hạng của cấp số cộng là S = 78 . B. Nếu công sai d = 2 thì tổng của các số hạng của cấp số cộng là S = 18 . C. Nếu công sai d = 6 thì tổng của các số hạng của cấp số cộng là S = 10 . D. Các khẳng định ở A, B, C đều sai. Câu 175. Xác định x để 3 số 1 − x; x 2 ; 1 + x lập thành một cấp số cộng A. Không có giá trị x . B. x = ±2 . C. x = ±1 . D. x = 0 . Câu 176. Xác định x để 3 số 1 + 2 x; 2 x 2 − 1; −2x lập thành một cấp số cộng A. x = ± 3 . B. x = ± 3 . 2 C. x = ± 3 . 4 D. Không có giá trị x . Câu 177. Xác định a để 3 số 1 + 3a ; a 2 + 5 ; 1 − a lập thành một cấp số cộng A. Không có giá trị a . B. a = 0 . C. a = ±1 . D. a = ± 2 . Câu 178. Cho a, b, c lập thành cấp số cộng, đẳng thức nào sau đây là đúng A. a 2 + c 2 = 2ab + 2bc . C. a 2 + c 2 = 2ab − 2bc . B. a 2 − c 2 = 2ab − 2bc . D. a 2 − c 2 = ab − bc . Câu 179. Cho a, b, c lập thành cấp số cộng, đẳng thức nào sau đây là đúng A. a 2 + c 2 = 2ab + 2bc + 2ca . C. a 2 + c 2 = 2ab + 2bc − 2ac . B. a 2 − c 2 = 2ab + 2bc − 2ac . D. a 2 − c 2 = 2ab − 2bc + 2ac . Câu 180. Cho a, b, c lập thành cấp số cộng, ba số nào dưới đây cũng lập thành một cấp số cộng A. 2b 2 , a 2 , c 2 . B. −2c, −4b, −2a . C 2b, a, c . D. 2b, a , −c . 2 Câu 181. Cho cấp số cộng ( un ) có u4 = −12; u14 = 18 . Tìm u1 ; d của cấp số cộng? A. u1 = −20; d = −3 . B. u1 = −22; d = 3 . C. u1 = −21; d = 3 . D. u1 = −21; d = −3 . Câu 182. Cho cấp số cộng ( un ) có u4 = −12; u14 = 18 . Tổng của 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là A. S = 24 . B. S = −24 . C. S = 26 . D. S = −25 . Câu 183. Cho cấp số cộng ( un ) có u5 = −15 , u20 = 60 . Tìm u1 , d của cấp số cộng A. u1 = −35 , d = −5 . B. u1 = −35 , d = 5 . C. u1 = 35 , d = −5 . D. u1 = 35 , d = 5 . Câu 184. Cho cấp số cộng ( un ) có u5 = −15; u20 = 60 . Tổng của 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là A. S = 200 . B. S = −200 . C. S = 250 . D. S = −25 . Câu 185. Cho cấp số cộng ( un ) có u2 + u3 = 20; u5 + u7 = −29 . Tìm u1 ; d A. u1 = 20; d = −7 . B. u1 = 20, 5; d = 7 . C. u1 = 20, 5; d = −7 . D. u1 = 20, 5; d = −7 . File word liên hệ: [email protected] MS: GT11-C3 GV. GV TRẦ TRẦN QUỐ QUỐC NGHĨA NGHĨA (Sưu (Sưu tầ tầm và biên tậ tập) 45 Câu 186. Cho cấp số cộng: −2; −5; −8 ; −11 ; −14 ,;…Tìm d và tổng của 20 số hạng đầu tiên A. d = 3; S 20 = 510 . B. d = −3; S 20 = −610 . C. d = −3; S 20 = 610 . D. d = 3; S 20 = 610 . Câu 187. Cho tam giác ABC biết 3 góc của tam giác lập thành một cấp số cộng và có một góc bằng 25 .Tìm 2 góc còn lại A. 65°; 90° . B. 75°; 80° . C. 60°; 95° . D. 60°; 90° . Câu 188. Cho tứ giác ABCD biết ( sn ) góc của tứ giác lập thành một cấp số cộng và góc A bằng 30 . Tìm các góc còn lại A. 75°; 120°; 165° . B. 72°; 114°; 156° . D. 80°; 110°; 135° . C. 70°; 110°; 150° . 1 1 3 5 ; - ; - ; - ; ….Khẳng định nào sau đây sai 2 2 2 2 là một cấp số cộng. B. Dãy số là một cấp số cộng có d = −1 . Câu 189. Cho dãy số ( un ) : A. ( un ) C. Số hạng u20 = 19,5 . D. Tổng của 20 số hạng đầu tiên là −180 . 2n − 1 . Khẳng định nào sau đây đúng 3 1 2 1 2 là cấp số cộng có u1 = ; d = - . B. ( un ) là cấp số cộng có u1 = ; d = . 3 3 3 3 không phải là cấp số cộng. D. ( un ) là dãy số giảm và bị chặn. Câu 190. Cho dãy số ( un ) có un = A. ( un ) C. ( un ) 1 . Khẳng định nào sau đây sai n+2 1 1 là cấp số cộng có u1 = ; un = . 2 n+2 là một dãy số giảm dần. Câu 191. Cho dãy số ( un ) có un = A. Dãy số ( un ) B. Dãy số ( un ) C. Dãy số ( un ) là một cấp số cộng. D. Dãy số ( un ) bị chặn trên bởi M = 1 . 2 2n 2 − 1 Câu 192. Cho dãy số ( un ) có un = . Khẳng định nào sau đây sai 3 1 2 A. Dãy số ( un ) là cấp số cộng có u1 = ; d = . 3 3 (2n + 1) 2 − 1 B. Số hạng thứ n + 1 : un+1 = . 3 2(2n + 1) C. Hiệu un +1 − un = . 3 D. Không phải là một cấp số cộng. File word liên hệ: [email protected] MS: GT11-C3 TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 46 Vấn đề 4. CẤP SỐ NHÂN ① Định nghĩa: Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn), trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q gọi là công bội. un+1 = un .q ( q : công bội; n ∈ ℕ ∗ ) (1) Đặc biệt: Khi q = 0 , cấp số nhân là u1; 0; 0; 0;… Khi q = 1 , cấp số nhân là u1; u1 ; u1; u1; … Khi u1 = 0 , cấp số nhân là 0; 0; 0; 0; … (với mọi q ) ② Số hạng tổng quát: un = u1 .q n – 1 ( n ≥ 2 ) (2) ③ Tính chất các số hạng của cấp số nhân: Trong một cấp số nhân. Mỗi số hạng kể từ số hạng thứ hai (và trừ số hạng cuối đối với cấp số cộng hữa hạn), đều có bình phương là tích của hai số hạng kề bên nó, tức là: u k2 = uk −1 .u k +1 hay uk = uk −1 .uk +1 ( k ≥ 2 ) (3) ④ Tổng n số hạng đầu của cấp số nhân: Cho cấp số nhân ( un ) với công bội q ≠ 1 . Đặt Sn = u1 + u2 + u3 +…+ un . Khi đó: Sn = ( u1 1 − q n ) 1− q Nếu q = 1 thì Sn = nu1 . (4) (5) ⑤ Các số hạng liên tiếp: x • Nếu cấp số nhân có lẻ số hạng thì: …; ; x ; xa ; … a x x • Nếu cấp số nhân có chẵn số hạng thì: … 3 ; ; xa ; xa3 ; … a a Dạng 1. Tìm các phần tử của một cấp số nhân ( un ) A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI Muốn xác định một cấp số nhân, ta chỉ cần xác định một số hạng và công bội của nó.  Ở dạng đơn giản, ta có thể trực tiếp tìm bằng cách chuyển về xác định u1 và công sai d : u 2 = u1q; u3 = u1q 2 ; u4 = u1q 3 ; … ; u n = u1q n –1  Trong một số trường hợp, để đơn giản hơn ta thường là như sau: 1) Nếu số số hạng là số lẻ: ta đặt x là số chính giữa, q là công bội. Ví dụ: x  Cấp số cộng có 3 số hạng: ; x ; q.x q x x  Cấp số cộng có 5 số hạng: 2 ; ; x ; q.x ; q 2 .x q q 2 2) Nếu số số hạng là số chẵn: q là công sai. Thí dụ: x x  Cấp số cộng có 4 số hạng: 3 ; ; q.x ; q3 x q q x x x  Cấp số cộng có 6 số hạng: 5 ; 3 ; ; q.x ; q3 x ; q5 x q q q → Từ các cách đặt ở trên, dựa vào các điều kiện của đề bài ta xác định được cấp số nhân. File word liên hệ: [email protected] MS: GT11-C3 GV. GV TRẦ TRẦN QUỐ QUỐC NGHĨA NGHĨA (Sưu (Sưu tầ tầm và biên tậ tập) 47 B. BÀI TẬP MẪU Ví dụ 30. Cho cấp số cộng ( un ) thỏa mãn u4 – u2 = 72 và u5 – u3 = 144 . Tìm số hạng đầu tiên và công bội. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. Ví dụ 31. Một cấp số nhân có 5 số hạng mà hai số hạng đầu tiên là các số hạng dương, tích của số hạng 1 đầu và số hạng thứ ba bằng 1, tích của số hạng thứ ba và số hạng cuối bằng . Hãy tìm cấp số 16 nhân đó. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. Ví dụ 32. Tìm ba số hạng liên tiếp a , b , c của 1 cấp số nhân biết a + b + c = 14 và abc = 64 . .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 96. Tìm số hạng đầu và công bộ i của cấp sống nhân ( un ) , biết u − u = 15 a)  5 1 . u4 − u2 = 6 Bài 97. u = 8u17 b)  20 . u3 + u5 = 240 u − u + u = 65 u − u + u = 10 c)  1 3 5 . d)  2 4 5 . u1 + u7 = 325 u3 − u5 + u6 = 20 Tìm số hạng đầu và công bộ i của cấp sống nhân ( un ) , biết  1 1 1 1 1 u1 + u2 + u3 + u4 + u5 = 49  + + + +  a)   u1 u2 u3 u4 u5  . u + u = 35  1 3 Bài 98. u + u + u = 14 b)  1 2 3 . u1.u2 .u3 = 64 Tìm công bộ i của cấp sống nhân ( un ) , biết u1 + u2 + u3 = 26 a)  2 . 2 2 u1 + u2 + u3 = 364 File word liên hệ: [email protected] u1 + u2 + u3 + u4 = 15 b)  2 . 2 2 2 u1 + u2 + u3 + u4 = 85 MS: GT11-C3 TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 48 Dạng 2. Xác định số hạng tổng quát của một cấp số nhân A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI Để xác định số hạng tổng quát của một cấp số nhân, ta sử dụng công thức: u n = u1.q n –1 . Tức là đi xác định số hạng đầu và công bội q . B. BÀI TẬP MẪU Ví dụ 33. Tìm số hạng tổng quát của một cấp số nhân ( un ) biết rằng u3 = –5 và u6 = 135 .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. Ví dụ 34. Cho cấp số nhân ( un ) có u3 = 15 , u6 < 0 . Xác định số hạng tổng quát của cấp số nhân đó. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. Dạng 3. Ứng dụng các tính chất của một cấp số nhân A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI Câu hỏi thường đặt ra là: “Cho ba số a , b , c lập thành cấp số nhân, chứng minh tính chất K ”, khi đó ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1. Từ giả thiết a , b , c lập thành cấp số nhân, ta được: a.c = b2 Bước 2. Chứng minh tính chất K . B. BÀI TẬP MẪU ( )( ) Ví dụ 35. Cho ba số a , b , c lập thành một cấp số nhân. CMR: a 2 + b 2 b 2 + c2 = ( ab + bc ) 2 .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. File word liên hệ: [email protected] MS: GT11-C3 GV. GV TRẦ TRẦN QUỐ QUỐC NGHĨA NGHĨA (Sưu (Sưu tầ tầm và biên tậ tập) 49 Ví dụ 36. Các số x + 6 y, 5 x + 2 y , 8 x + y theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng; đồng thời các số x − 1, y + 2, x − 3 y theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Tìm x và y . .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. Ví dụ 37. Tìm x để ba số x − 2 , x + 4 , x + 2 lập thành một cấp số nhân. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 99. Tìm các số dương x , y sao cho 2 x + 1, 2 x − y , 2 y + 1 theo thứ tự đó lập thành một cấp số 2 2 cộng; đồng thời các số ( y + 3) , xy + 4 , ( x − 1) theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Tìm x và y . Bài 100. Chứng minh rằng nếu a, b, c lập thành một cấp số nhân khi và chỉ khi 1 1 1 , , lập thành a b c một cấp số nhân. Bài 101. Cho a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Chứng minh rằng 2 a) a 2 − 4ab + 8bc + 4c 2 = ( a − 2b − 2c ) . b) ( a + b + c )( a − b + c ) = a 2 + b 2 + c 2 . Dạng 4. Chứng minh ba số (dãy số) lập thành một cấp số nhân A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI • • Để chứng minh ba số a , b , c lập thành một cấp số nhân ta đi chứng minh: a.c = b2 Để chứng minh dãy số u1 , u2 , u3 ,…, un –1 , un lập thành cấp số nhân, ta chứng minh: u2 u3 u = = ... = n = q ( q : công sai) u1 u2 un −1 B. BÀI TẬP MẪU Ví dụ 38. Cho dãy số ( un ) xác định bởi: u1 = 1 và un+1 = 5.un + 8, ∀n ≥ 1 . a) Chứng minh rằng dãy số ( vn ) , với vn = un + 2 là cấp số nhân. Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân đó. b) Dựa vào kết quả phần a), hãy tìm số hạng tổng quát của dãy số ( un ) . File word liên hệ: [email protected] MS: GT11-C3 TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 50 .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. 2 1 2 , , lập thành một cấp số cộng. Chứng minh rằng ba số a , b và c lập b−a b b−c thành một cấp số nhân. Ví dụ 39. Cho ba số .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. Dạng 5. Tính tổng A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI  Thông thường bài toán được chuyển tính tổng của một cấp số nhân.  Sử dụng các công thức tính S n : S n = u1 ⋅ qn −1 . Sau đó tìm được u1 , q và n . q −1  Đối với cấp số nhân lùi vô hạn:  Trước tiên ta xét xem cấp số nhân có lùi vô hạn hay khôn. Nếu có ta xét tiếp xem q < 1 không ?  Nếu q < 1 ⇒ tính tổng S n = u1 . 1− q B. BÀI TẬP MẪU Ví dụ 40. Tính tổng tất cả các số hạng của một cấp số nhân, biết rằng số hạng đầu bằng 18 , số hạng thứ hai bằng 54 và số hạng cuối bằng 39366 . .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. File word liên hệ: [email protected] MS: GT11-C3 GV. GV TRẦ TRẦN QUỐ QUỐC NGHĨA NGHĨA (Sưu (Sưu tầ tầm và biên tậ tập) 51 Ví dụ 41. Tính tổng tất cả các số hạng của một cấp số nhân, biết rằng số hạng đầu bằng hai bằng − 1 , số hạng thứ 256 1 1 và số hạng cuố i bằng . 512 1048576 .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. Ví dụ 42. Tính tổng S = 2 + 6 + 18 + ... + 13122 . .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. Ví dụ 43. [NC] Tính tổng S = 1 + 11 + 111 + 1111 + ... + 111...1  . n soá 1 .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. Ví dụ 44. Tính tổng S = 8 − 4 + 2 − 1 + ... .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. File word liên hệ: [email protected] MS: GT11-C3 TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 52 C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN u + u = 51 Bài 102. Cho cấp số nhân có  1 5 . u2 + u6 = 102 a) Tìm số hạng đầu tiên và công bộ i. b) Tính tổng của 10 số hạng đầu tiên. c) Tổng của bao nhiêu số hạng đầu sẽ bằng 765. d) Số 12288 là số hạng thứ mấy ? Bài 103. Tìm số hạng đầu và công bộ i của cấp sống nhân ( un ) , biết u1 = 1  a)  38 − 1 . S =  8 2  S = 40 . b)  4 S8 = 680 BÀI TẬP TỔNG HỢP CHỦ ĐỀ 4 Bài 104. Cho cấp số nhân ( un ) có: u5 = 96 , u6 = 192 . a) Tìm u1 , q . b) Tìm S 4 . Bài 105. Tính số hạng un trong các cấp số nhân dưới đây: a) 1 ; 1 1 ; , … . Tính u8 . 3 9 b) 2; − 4; 8; ….Tính u11 . Bài 106. Cho cấp số nhân ( un ) có: a) u1 = 2 , u11 = 64 . Tìm q . b) u3 = 18 , u6 = –486 . Tìm u1 , q , S6 . c) u1 = 2 , q = 3 , un = 486 . Tìm n . d) q = 2 , S 7 = 384 . Tìm u2 . e) u1 = 3 , q = –2 . Tìm S6 . f) q = 2 , u7 = 192 . Tìm S 4 . Bài 107. Tính tổng sau: a) S = 3 + 33 + ... + 333...3  b) S = 1 + 2.2 + 3.2 2 + 4.23 +…+ 100.299 n soá 3 Bài 108. Cho dãy số ( un ) u1 = 1  định bởi:  ( ∀n ∈ ℕ *) . Tính un theo n . 1 un +1 = 3 un + 1 u1 = 0 u +1  Bài 109. Cho dãy số ( un ) :  . un − 2 ( ∀n ∈ ℕ *) và ( vn ) : vn = n u = u + 2 n + 1 n  un − 4  a) Chứng minh ( vn ) là một cấp số nhân. b) Tính vn và un theo n . Bài 110. Tổng n số hạng đầu của dãy số ( un ) là S n = 3n − 1 . b) Chứng minh dãy số ( un ) là cấp số nhân. a) Tính un theo n . Bài 111. Xác định u1 và q của một cấp số nhân khi biết: u = 3 a)  6 u9 = −81 u − u = 144 b)  5 3 u4 − u2 = 72 File word liên hệ: [email protected] u − u = −72 c)  5 4 u7 − u4 = −216 MS: GT11-C3 GV. GV TRẦ TRẦN QUỐ QUỐC NGHĨA NGHĨA (Sưu (Sưu tầ tầm và biên tậ tập) 53 u − u + u = 65 d)  1 3 5 u1 + u7 = 325 u + u + u = 168 e)  1 2 3 u4 + u5 + u6 = 21 u + u + u = 13 f)  1 2 3 u4 + u5 + u6 = 315 u + u + u = −42 g)  2 4 6 u3 + u5 = 20 u + u = 244 h)  1 6 u3 + u4 = 36 u1 + u2 + u3 + u4 = 15 i)  2 2 2 2 u1 + u2 + u3 + u2 = 85 Bài 112. Tìm các số hạng của cấp số nhân sau: a) Có 6 số hạng mà số hạng đầu là 1 và số hạng cuối là 128 . b) Có 5 số hạng mà số hạng đầu là 3 và số hạng cuối là 243 . c) Có 6 số hạng mà số hạng đầu là 243 và số hạng cuối là 1 . 1 d) Có 5 số hạng công bộ i bằng số hạng thứ nhất, tổng của 2 số hạng đầu bằng 21 . 4 e) Có 6 số hạng, 3 số hạng đầu có tổng bằng 168 , 3 số hạng cuối có tổng bằng 21 . f) Có 3 số hạng, tổng của chúng bằng 14 và tích của chúng bằng 64 . Bài 113. Tìm cấp số nhân có 5 số hạng dương. Biết rằng: u .u = 25 a)  1 5 u2 + u3 + u4 = 31 u + u = 164 b)  1 5 u2 + u3 + u4 = 78 u1.u5 + u2 .u3 .u4 = 12  c)  242 u1 + u2 + u3 + u4 + u5 = 9 Bài 114. Tìm bốn góc của một tứ giác, biết rằng các góc đó lập thành một cấp số nhân và góc cuối gấp 9 lần góc thứ hai. Bài 115. Tính các cạnh của một hình hộp chữ nhật, biết rằng thể tích của nó bằng a3 , diện tích toàn phần của nó bằng 2a 2 và ba cạnh lập thành một cấp số nhân. Bài 116. Cho 3 số a, b, c > 0 lập thành cấp số nhân. Chứng minh: ( a + b + c )( a – b + c ) = a 2 + b 2 + c 2 Áp dụng: Tìm 3 số hạng của cấp số nhân biết tổng của chúng bằng 14 và tổng bình phương của chúng bằng 84 . Bài 117. Tìm CSN a , b , c biết a < b < c , a.b.c = 216 và a + b + c = 19 . Bài 118. Cho ba số: 2 1 2 ; ; lập thành cấp số cộng. Chứng minh: a , b , c lập thành cấp số b−a b b−c nhân. Bài 119. Cho 3 số a , b , c lập thành cấp số nhân. Chứng minh: 3 a) ( ab + bc + ca ) = abc ( a + b + c ) 3 b) ( a 2 + b 2 )( b 2 + c 2 ) = ( ab + bc ) 2 Bài 120. Tổng 3 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng bằng 21 . Nếu số thứ hai trừ đi 1 và số thứ ba cộng thêm 1 thì ba số đó lập thành cấp số nhân. Tìm cấp số cộng ấy. Bài 121. Cho 3 số 1 ; 9 ; 33 . Tìm một số x phải cộng thêm vào 3 số trên để 3 số mới lập thành một cấp số nhân. Bài 122. Ba số khác nhau lập thành một cấp số cộng có tổng là 6 . Bình phương ba số ấy lập thành một cấp số nhân. Tìm cấp số cộng đó. Bài 123. Tìm 3 số tạo thành một cấp số nhân, biết rằng tổng của chúng bằng 91 . Nếu lần lượt thêm các số 25 ; 27 ; 1 vào 3 số đó ta được ba số mới lập thành một cấp số cộng. Bài 124. ∆ABC vuông tại A có độ dài 3 cạnh a , b , c lập thành một cấp số nhân và tích độ dài của chúng là 8 . Xác định độ dài 3 cạnh của ∆ABC . File word liên hệ: [email protected] MS: GT11-C3 TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 54 Bài 125. Cho a, b > 0 . Đặt thêm 5 số giữa hai số a b ; để được cấp số nhân. b2 a2 Bài 126. Cho a, b, c, d theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Chứng minh rằng 2 2 2 2 a) ( b − c ) + ( c − a ) + ( d − b ) = ( a − d ) . 2 b) ( ab + bc + cd ) = ( a 2 + b 2 + c2 )( b 2 + c 2 + d 2 ) .  1 1 1 c) a 2b 2c2  3 + 3 + 3  = a 3 + b3 + c3 . a b c  2 1 2 , , ( b ≠ 0, b ≠ a, b ≠ c ) tạo thành cấp số cộng. Chứng minh a, b, c b−a b b−c tạo thành cấp số nhân. Bài 127. Cho ba số Bài 128. Tìm 2 số a , b dương biết: 1, a, b laø caáp soá coäng a)  2 2 1, a , b laø caáp soá nhaân a, b, 9 laø caáp soá coäng a, b, 12 laø caáp soá nhaân b)  a, a + 2b, 2a + b laø caáp soá coäng 4, a + 8, b laø caáp soá coäng 4, a, b laø caáp soá nhaân d)  c)  2 2 ( b + 1) , ab + 5, ( a + 1) laø CSN . Bài 129. Tìm 3 số a , b , c biết: a + b + c = 30  a) a, b, c laø caáp soá coäng a, c, b laø caáp soá nhaân  a, b, c laø caáp soá coäng b)  2 2 2 a , b , c laø caáp soá nhaân a + b + c = 91  c) a, b, c laø caáp soá nhaân a + 25, b + 27, c + 1 laø CSC.  a + b + c = 52  d) a, b, c laø caáp soá nhaân a + 1, b + 10, c + 3 laø CSC.  BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CHỦ ĐỀ 4 Câu 193. Cho dãy số: −1; 1; −1; 1; −1; … Khẳng định nào sau đây là đúng A. Dãy số này không phải là cấp số nhân. B. Số hạng tổng quát un = 1n = 1 . C. Dãy số này là cấp số nhân có u1 = −1; q = −1 . D. Số hạng tổng quát un = ( −1) 2n . 1 1 1 1 ; ; ; ; …. Khẳng định nào sau đây là sai 2 4 8 16 1 1 A. Dãy số này là cấp số nhân có u1 = 1; q = . B. Số hạng tổng quát un = n −1 . 2 2 1 C. Số hạng tổng quát un = n . D. Dãy số này là dãy số giảm. 2 Câu 194. Cho dãy số: 1; 1 1 Câu 195. Cho cấp số nhân: − ; a; − . Giá trị của a là 5 125 1 1 1 A. a = ± . B. a = ± . C. a = ± . 25 5 5 File word liên hệ: [email protected] D. a = ±5 . MS: GT11-C3 GV. GV TRẦ TRẦN QUỐ QUỐC NGHĨA NGHĨA (Sưu (Sưu tầ tầm và biên tậ tập) 55 Câu 196. Hãy chọn cấp số nhân trong các dãy số được cho sau đây: 1 1   u = 1; u2 = 2 u1 = u1 = 2 A.  B.  . C. un = n 2 + 1 . D.  1 . 2 . = u u . u  2 u = − 2 . u u = u  n +1 n −1 n  n +1 n  n +1 n Câu 197. Cho dãy số: −1; x; 0, 64 . Chọn x để dãy số đã cho lập thành cấp số nhân? A. Không có giá trị nào của x . B. x = −0, 008 . C. x = 0, 008 . D. x = 0, 004 . Câu 198. Hãy chọn cấp số nhân trong các dãy số được cho sau đây: 1 1 1 A. un = n − 1 . B. un = n −2 . C. un = n 2 + . 4 4 4 1 D. un = n 2 − . 4 Câu 199. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây. n n  1 A. un =  −  là cấp số tăng.  4 1 B. un =   là cấp số tăng. 4 C. un = 4n là cấp số tăng. D. un = ( −4 ) là cấp số tăng. n Câu 200. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây. Cấp số nhân với 1 −3 A. un = n là dãy số giảm. B. un = n là dãy số giảm. 10 10 n C. un = 10n là dãy số giảm. D. un = ( −10 ) là dãy số giảm. Câu 201. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây: 5  1 A. Cấp số nhân: −2; −2, 3; −2, 9;… có u6 = ( −2 )  −  .  3 6 B. Cấp số nhân: 2; −6; 18;… có u6 = 2 ( −3) . C. Cấp số nhân: −1; − 2; −2;… có u6 = −2 2 . D. Cấp số nhân: −1; − 2; −2;… có u6 = −4 2 . Câu 202. Cho cấp số nhân ( un ) có công bội q . Chọn hệ thức đúng trong các hệ thức sau: uk −1 + uk +1 . 2 A. uk = uk +1.uk + 2 . B. uk = C. uk = u1q k −1 . D. uk = u1 + ( k − 1) q . u1 = −2  Câu 203. Cho dãy số ( un ) xác định bởi:  . Chọn hệ thức đúng: 1 un +1 = − 10 .un 1 1 A. ( un ) là cấp số nhân có q = . B. un = ( −2) n −1 . 10 10 u +u C. un = n −1 n +1 ( n ≥ 2 ) . D. un = un −1.un+1 ( n ≥ 2 ) . 2 Câu 204. Xác định x để 3 số 2 x –1; x, 2 x + 1 lập thành một cấp số nhân: 1 A. x = ± . 3 1 C. x = ± . 3 File word liên hệ: [email protected] B. x = ± 3 . D. Không có giá trị nào của x . MS: GT11-C3 TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 56 Câu 205. Xác định x để 3 số x – 2; x + 1; 3 – x lập thành một cấp số nhân: A. Không có giá trị nào của x . B. x = ±1 . C. x = 2 . D. x = −3 . Câu 206. Cho dãy số ( un ) : 1; x; x 2 ; x3 ; … (với x ∈ ℝ; x ≠ 1; x ≠ 0 ). Chọn mệnh đề đúng: A. ( un ) là cấp số nhân có un = x n . B. ( un ) là cấp số nhân có u1 = 1, q = x . C. ( un ) không phải là cấp số nhân. D. ( un ) là một dãy số tăng. Câu 207. Cho dãy số ( un ) : x; − x3 ; x5 ; − x7 ; … ( với x ∈ ℝ, x ≠ 1, x ≠ 0 ). Chọn mệnh đề sai: A. ( un ) là dãy số không tăng, không giảm. B. ( un ) là cấp số nhân có un = ( −1) C. ( un ) có tổng S n = n −1 x2 n−1 . x (1 − x 2 n−1 ) . 1 − x2 D. ( un ) là cấp số nhân có u1 = x; q = − x2 . Câu 208. Chọn cấp số nhân trong các dãy số sau: A. 1; 0, 2; 0, 04; 0, 0008;…. C. x; 2 x; 3 x; 4 x; … B. 2; 22; 222; 2222; …. D. 1; − x2 ; x 4 ; − x6 ; …. Câu 209. Cho cấp số nhân có u1 = 3, q = 2 . Chọn kết quả đúng: 3 4 8 16 A. 4 số hạng tiếp theo của cấp số là: 2; ; ; ;….. . 3 3 3 2 B. un = 3.   3 n −1 . n 2 C. S n = 9.   − 9 . 3 D. ( un ) là một dãy số tăng dần. 2 . Tính u5 ? 3 −16 16 B. u5 = . C. u5 = . 27 27 Câu 210. Cho cấp số nhân có u1 = −3; q = A. u5 = −27 . 16 Câu 211. Cho cấp số nhân có u1 = −3; q = A. Thứ 5 . C. Thứ 7 . D. u5 = 27 . 16 2 −96 . Số là số hạng thứ mấy của cấp số này? 3 243 B. Thứ 6 . D. Không phải là số hạng của cấp số. 1 Câu 212. Cho cấp số nhân có u2 = ; u5 = 16 . Tìm q và u1 . 4 1 1 1 1 A. q = ; u1 = . B. q = − ; u1 = − . 2 2 2 2 1 1 C. q = 4; u1 = . D. q = −4; u1 = − . 16 16 Câu 213. Cho dãy số ( un ) , biết un = 3n . Số hạng un +1 bằng A. 3n + 1 . B. 3n + 3 . File word liên hệ: [email protected] C. 3n.3 . D. 3 ( n + 1) . MS: GT11-C3 GV. GV TRẦ TRẦN QUỐ QUỐC NGHĨA NGHĨA (Sưu (Sưu tầ tầm và biên tậ tập) 57 Câu 214. Cho dãy số ( un ) , biết un = 3n . Số hạng u2n bằng A. 2.3n . B. 9n . C. 3n + 3 . D. 6n . Câu 215. Cho dãy số ( un ) , biết un = 3n . Số hạng un −1 bằng A. 3n − 1 . B. 1 n .3 . 3 C. 3n − 3 . D. 3n − 1 . 1 Câu 216. Ta có un −1 = 3n −1 = .3n . Cho dãy số ( un ) , biết un = 3n . Số hạng un −1 bằng 3 1 A. 3n − 1 . B. .3n . C. 3n − 3 . D. 3n − 1 . 3 Câu 217. Cho dãy số ( un ) , biết un = 3n . Số hạng u2 n −1 bằng A. 32.3n − 1 . B. 3n.3n−1 . C. 32n − 1 . D. 3 ( 2 n −1) . Câu 218. Cho cấp số nhân −4, x, −9 . Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau: A. x = 36 . B. x = −6,5 . C. x = ±6 . D. x = −36 . Câu 219. Trong các dãy số cho bởi các công thức truy hồ i sau, hãy chọn dãy số là cấp số nhân u1 = 2 u = −1 A.  . B.  1 . 2 u = 3 u u = u n + n 1  n + 1 n  u = −3 C.  1 . D. 7, 77, 777, …, 777…7  . un +1 = un + 1 n ch÷ sè 7 Câu 220. Cho cấp số nhân (un ) có: u2 = −2 và u5 = 54 . Khi đó tổng 1000 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó bằng 1 − 31000 A. . 4 31000 − 1 B. . 2 31000 − 1 C. . 6 1 − 31000 D. . 6 Câu 221. Cho cấp số nhân (un ) , biết u1 = 3, u2 = −6 . Hãy chọn kết quả đúng. A. u5 = −24 . B. u5 = 48 . C. u5 = −48 . D. u5 = 24 . Câu 222. Cho cấp số nhân: −2 , x , −18 , y . Hãy chọn kết quả đúng.  x = −6; y = −54 A. x = 6, y = −54 . B. x = −10, y = −26 . C.  . D. x = −6, y = 54 .  x = 6; y = 54 Câu 223. Cho dãy số ( un ) , với un = 3n . Hãy chọn hệ thức đúng. A. u1 + u9 = u5 . 2 B. C. 1 + u1 + u2 + ……….. + u100 = u100 − 1 . 2 Câu 224. Cho dãy số ( xn ) xác định bởi x1 = 12 và xn = u2 .u4 = u3 . 2 D. u1.u2 ………..u100 = u5050 . xn −1 với mọ i n = 2, 3, 4… 3 Tổng 15 số hạng đầu của dãy ( xn ) là A. 28697812 . 1594323 B. 28697813 . 1594323 C. 28697813 . 1594324 D. 7174453 . 398581 Câu 225. Cho cấp số nhân có số hạng đầu bằng 2 , số hạng thứ hai là 1 . Ba số hạng tiếp theo là 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A. 3; 9; 27 . B. ; ; . C ; ; . D. ; ; . 3 9 27 4 8 16 2 4 8 File word liên hệ: [email protected] MS: GT11-C3 TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 58 Câu 226. Cho cấp số nhân đơn điệu có 7 số hạng với số hạng đầu là 3 , số hạng cuố i là 192 . Số hạng thứ tư của cấp số nhân này là bao nhiêu A. −24 . B. 24 . C. 48 . D. 96 . Câu 227. Cho cấp số nhân ( un ) có u1 = 3; u4 = 24 . Chọn khẳng định đúng. A. u2 = 6; u3 = 8 . B. u2 = 4; u3 = 8 . C. u2 = 6; u3 = 12 . D. u2 = 12; u3 = 20 . Câu 228. Cho cấp số nhân ( un ) có 10 số hạng, biết u2 = 1 và u3 = 3. Năm số hạng cuố i cùng của cấp số nhân trên là A. 729; 2187; 6561; 19683; 59049 . B. 27; 81; 243; 729; 2187 . C. 81; 243; 2187; 6561 . D. 243; 729; 2187; 6561; 19683 . Câu 229. Cho cấp số nhân ( un ) thỏa mãn: u4 − u2 = 25; u3 − u1 = 50 . Cấp số nhân trên có: A. u1 = 200 . 3 B. u1 = − 200 . 3 1 C. q = − . 2 D. u2 = 100 . 3 Câu 230. Cho cấp số nhân ( un ) tăng, có u1 + u4 = 27, u2 .u3 = 72 .Cấp số nhân này có u7 bằng A. 129 . B. 192 . C 291 . D. 191 . Câu 231. Cho cấp số nhân: u1 , u2 , u3 biết u1u2 u3 = 8000. Giá trị u2 bằng A. 10 . B. 30 . C. 20 . D. 40 . Câu 232. Cho cấp số nhân x, y , z biết tổng x + y + z = 26, x 2 + y 2 + z 2 = 364 .Khi đó giá trị của y bằng A. 10 . B. 11 . C. 12 . D. 6 . Câu 233. Cho cấp số nhân tăng ( un ) gồm bảy số hạng, biết tổng 3 số hạng đầu tiên bằng 7 , tổng 3 số hạng cuố i cùng bằng 112 . Chọn khẳng định đúng : A. ( un ) có công bộ i bằng 3 . B. ( un ) có số hạng đầu bằng 2 . C. ( un ) có u3 = 10 . D. ( un ) có tổng các số hạng bằng 127 . Câu 234. Cho cấp số nhân vô hạn ( un ) có u1 = 5, công bộ i q là số nguyên dương. Số 45 là một số hạng của dãy. Chọn khẳng định đúng: A. 45 là số hạng thứ 4 của dãy. B. u2 = 20 . C. Công bộ i của cấp số nhân bằng 3 . D. Công bộ i của cấp số nhân bằng 4 . Câu 235. Cho cấp số nhân ( un ) có 10 số hạng khác nhau. Biết rằng tổng tất cả các số hạng gấp 3 lần tổng các số hạng có thứ tự lẻ. Công bội cấp số nhân này bằng. A. q = 4 . B. q = 2 . C. q = 3 . D. q = 6 . Câu 236. Cho hai dãy số ( un ) , ( vn ) : un = 4.5n −1; v n = n 2 với mọi số nguyên dương n . Chọn khẳng định đúng. A. ( un ) , ( vn ) là hai cấp số nhân. B. ( un ) là cấp số nhân, ( vn ) không phải là cấp số nhân. C. ( un ) khônglà cấp số nhân, ( vn ) là cấp số nhân. D. ( un ) không là cấp số nhân, ( vn ) không phải là cấp số nhân. File word liên hệ: [email protected] MS: GT11-C3 GV. GV TRẦ TRẦN QUỐ QUỐC NGHĨA NGHĨA (Sưu (Sưu tầ tầm và biên tậ tập) Câu 237. Cho hai dãy số ( sn ) , ( tn ) : s n = 59 1 ; t n = 4.3n+1 với mọ i số nguyên dương n . Chọn khẳng n +1 2 định đúng. A. ( sn ) , ( tn ) là hai cấp số nhân. B. ( sn ) là cấp số nhân, ( tn ) không phải là cấp số nhân. C. ( sn ) không là cấp số nhân, ( tn ) là cấp số nhân. D. ( sn ) khônglà cấp số nhân, ( tn ) không phải là cấp số nhân. Câu 238. Cho dãy số ( un ) có tổng n số hạng đầu tiên tính bởi công thức S n = 3n − 1 với mọ i số nguyên dương n . Chọn khẳng định đúng. A. u6 = 2.36 B. u7 = 2.38 . Câu 239. Cho hai dãy số ( un ) , ( vn ) : C. u10 = 2.39 . D. u11 = 2.312 . un = 2.3n + 1; v n = n 2 với mọ i số nguyên dương n . Chọn khẳng định đúng. A. ( un ) , ( vn ) là hai cấp số nhân. B. ( un ) là cấp số nhân, ( vn ) không phải là cấp số nhân. C ( un ) khônglà cấp số nhân, ( vn ) là cấp số nhân. D. ( un ) khônglà cấp số nhân, ( vn ) không phải là cấp số nhân. Câu 240. Cho dãy ( tn ) có tổng n số hạng đầu tiên tính bởi công thức S n = 2n − 1 với mọ i số nguyên dương n . Dãy ( hn ) được xác định bởi công thức hn = 2n − 1 Chọn khẳng định đúng. A. ( tn ) , ( hn ) là hai cấp số nhân. B. ( tn ) là cấp số nhân, ( hn ) không phải là cấp số nhân. C. ( tn ) không là cấp số nhân, ( hn ) là cấp số nhân. D. ( tn ) khônglà cấp số nhân, ( hn ) không phải là cấp số nhân. Câu 241. Cho dãy ( un ) có tổng n số hạng đầu tiên tính bởi công thức S n = 4n + m với mọ i số nguyên dương n . Chọn khẳng định đúng. A. ( un ) là cấp số nhân với mọ i m . B. ( un ) là cấp số nhân khi và chỉ khi m dương. C. ( un ) là cấp số nhân khi và chỉ khi m âm. D. Các khẳng định trên đều sai. u1 = 1 Câu 242. Cho dãy số ( un ) :  với mọ i số nguyên dương n . Chọn khẳng định đúng un+1 = 4un + m A. ( un ) là cấp số nhân với mọ i m . B. ( un ) là cấp số nhân khi và chỉ khi m = 0 . C. ( un ) là cấp số nhân khi và chỉ khi m ≠ 0 . D. Các khẳng định trên đều sai. File word liên hệ: [email protected] MS: GT11-C3 TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 60 BẢNG ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM 1 B 2 B 3 B 4 B 5 B 6 B 7 C 8 A 9 C 10 B 11 C 12 C 13 A 14 C 15 D 16 C 17 D 18 C 19 D 20 C 21 C 22 A 23 D 24 D 25 C 26 A 27 B 28 C 29 9 30 A 31 A 32 A 33 C 34 A 35 C 36 B 37 B 38 B 39 D 40 D 41 D 42 A 43 C 44 D 45 C 46 A 47 C 48 B 49 B 50 C 51 B 52 B 53 B 54 A 55 B 56 C 57 B 58 D 59 B 60 B 61 A 62 A 63 A 64 C 65 A 66 A 67 A 68 A 69 D 70 A 71 A 72 A 73 A 74 A 75 D 76 A 77 D 78 C 79 B 80 B 81 B 82 D 83 D 84 A 85 A 86 D 87 C 88 A 89 A 90 A 91 C 92 C 93 B 94 A 95 A 96 B 97 D 98 B 99 100 D A 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 B C B B D A B C B A A C B B C B B A D B 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 B D C C A C B B C C C D D B A A D A D B 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 D B A C C A C C A B B B B C C B B D A B 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 B C A 4 C A C D A D D A D D C B B B C B 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 C A B C C B C C C B A A C C B B A B C A 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 D C D C A 6 7 D B B B C C B B B B C B D 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 B C D A D B C C B B C D D C B 6 C C D B 241 242 243 2244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 D A Tài liệu tham khảo: [1] Trần Văn Hạo – Đại số 11 CB- Nhà xuất bản Giáo Dục Việt Nam [2] Trần Văn Hạo – Bài tập Đại số 11 CB- Nhà xuất bản Giáo Dục Việt Nam [3] Trần Văn Hạo – Đại số 11 NC- Nhà xuất bản Giáo Dục Việt Nam [4] Trần Văn Hạo – Bài tập Đại số 11 NC- Nhà xuất bản Giáo Dục Việt Nam [5] Nguyễn Phú Khánh – Phân dạng và phương pháp giải các chuyên đề Đại Số Và Giải Tích 11. [6] Một số tài liệu trên internet. File word liên hệ: [email protected] MS: GT11-C3 GV. GV TRẦ TRẦN QUỐ QUỐC NGHĨA NGHĨA (Sưu (Sưu tầ tầm và biên tậ tập) 61 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… File word liên hệ: [email protected] MS: GT11-C3 TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 62 MỤC LỤC PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN Vấn đề 1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC ……………………………………………………………. 1 Dạng 1. Chứng minh đẳng thức bằng phương pháp quy nạp …………………………………………. 1 Dạng 2. Chứng minh các bài toán chia hết bằng phương pháp quy nạp ………………………….. 4 Dạng 3. [NC] Chứng minh các bài toán bất đẳng thức bằng phương pháp quy nạp ………… 5 Vấn đề 2. DÃY SỐ ………………………………………………………………………………………………………………. 7 Dạng 1. Mở đầu về dãy số …………………………………………………………………………………………….. 7 Dạng 2. Xác định công thức của dãy số ( un ) ………………………………………………………………….. 9 Dạng 3. Sử dụng phương pháp quy nạp chứng minh dãy số thỏa mãn tính chất K ……….. 11 Dạng 4. Xét tính tăng, giảm (hay tính đơn điệu) và bị chặn của một dãy số ………………….. 12 BÀI TẬP TỔNG HỢP CHỦ ĐỀ 2 ………………………………………………………………………………… 15 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CHỦ ĐỀ 2 ………………………………………………………………………….. 18 Vấn đề 3. CẤP SỐ CỘNG …………………………………………………………………………………………………. 31 Dạng 1. Chứng minh ba số (dãy số) lập thành một cấp số cộng …………………………………….. 31 Dạng 2. Xác định số hạng tổng quát của một cấp số cộng ……………………………………………… 32 Dạng 3. Tìm các phần tử của một cấp số cộng ……………………………………………………………… 34 Dạng 4. Ứng dụng các tính chất của một cấp số cộng ……………………………………………………. 36 Dạng 5. Tính tổng ……………………………………………………………………………………………………….. 37 BÀI TẬP TỔNG HỢP CHỦ ĐỀ 3 ………………………………………………………………………………… 38 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CHỦ ĐỀ 3 ………………………………………………………………………….. 40 Vấn đề 4. CẤP SỐ NHÂN …………………………………………………………………………………………………. 46 Dạng 1. Tìm các phần tử của một cấp số nhân …………………………………………………………….. 46 Dạng 2. Xác định số hạng tổng quát của một cấp số nhân …………………………………………….. 48 Dạng 3. Ứng dụng các tính chất của một cấp số nhân …………………………………………………… 48 Dạng 4. Chứng minh ba số (dãy số) lập thành một cấp số nhân…………………………………….. 49 Dạng 5. Tính tổng ……………………………………………………………………………………………………….. 50 BÀI TẬP TỔNG HỢP CHỦ ĐỀ 4 …………………………………………………………………………………. 52 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CHỦ ĐỀ 4 …………………………………………………………………………… 54 BẢNG ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM ……………………………………………………………………………………… 60 MỤC LỤC …………………………………………………………………………………………………………………………. 61 File word liên hệ: [email protected] MS: GT11-C3
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments

Bài viết tương tự

Scroll to Top