Giới thiệu Các dạng toán nhị thức Newton và các bài toán liên quan
Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và bạn đọc Các dạng toán nhị thức Newton và các bài toán liên quan CHƯƠNG TỔ HỢP XÁC XUẤT.
Tài liệu môn Toán và hướng dẫn giải chi tiết các đề thi từ cơ bản đến vận dụng cao sẽ luôn được cập thường xuyên từ hoctoanonline.vn , các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán hay và mới nhất.
Tài liệu Các dạng toán nhị thức Newton và các bài toán liên quan
Các em học sinh Đăng ký kênh youtube để học thêm về môn Toán.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
TOÁN 11
1D2-3
NHỊ THỨC NEWTON VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
Mục lục
Phần A. CÂU HỎI ………………………………………………………………………………………………………………………………………. 2
Dạng 1. Tiếp cận với khai triển nhị thức newton ………………………………………………………………………………………………. 2
Dạng 2. Tìm hệ số, số hạng trong khai triển nhị thức newton……………………………………………………………………………… 3
Dạng 2.1 Khai triển của 1 biểu thức …………………………………………………………………………………………………………….. 3
Dạng 2.1.1 Bài toán tìm hệ số của số hạng ………………………………………………………………………………….. 3
Dạng 2.1.2 Bài toán tìm số hạng thứ k ………………………………………………………………………………………… 4
Dạng 2.1.3 Bài toán tìm hệ số, số hạng trong khai triển nhị thức có thêm điều kiện n ………………………. 5
Dạng 2.1.4 Số hạng không chứa x (số hạng độc lập) …………………………………………………………………….. 8
Dạng 2.2 Khai triển của nhiều biểu thức …………………………………………………………………………………………………….. 11
n
Dạng 2.2.1 Dạng a1 a2 …ak …………………………………………………………………………………………….. 11
n
m
h
Dạng 2.2.2 Tổng a1 b1 a2 b2 … ak bk ………………………………………………………………. 12
l
m
Dạng 2.2.3 Tích a1 .. an . b1 … bn ………………………………………………………………………………. 12
Dạng 2.2.4 Dạng kết hợp tích và tổng ……………………………………………………………………………………….. 13
Dạng 3. Ứng dụng nhị thức newton để giải toán ……………………………………………………………………………………………… 13
Phần B. LỜI GIẢI THAM KHẢO ………………………………………………………………………………………………………………… 14
Dạng 1. Tiếp cận với khai triển nhị thức newton …………………………………………………………………………………………….. 14
Dạng 2. Tìm hệ số, số hạng trong khai triển nhị thức newton……………………………………………………………………………. 16
Dạng 2.1 Khai triển của 1 biểu thức …………………………………………………………………………………………………………… 16
Dạng 2.1.1 Bài toán tìm hệ số của số hạng ………………………………………………………………………………… 16
Dạng 2.1.2 Bài toán tìm số hạng thứ k ………………………………………………………………………………………. 18
Dạng 2.1.3 Bài toán tìm hệ số, số hạng trong khai triển nhị thức có thêm điều kiện n …………………….. 20
Dạng 2.1.4 Số hạng không chứa x (số hạng độc lập) …………………………………………………………………… 27
Dạng 2.2 Khai triển của nhiều biểu thức …………………………………………………………………………………………………….. 31
n
Dạng 2.2.1 Dạng a1 a2 …ak …………………………………………………………………………………………….. 31
m
n
h
Dạng 2.2.2 Tổng a1 b1 a2 b2 … ak bk ………………………………………………………………. 33
m
l
Dạng 2.2.3 Tích a1 .. an . b1 … bn ………………………………………………………………………………. 35
Dạng 2.2.4 Dạng kết hợp tích và tổng ……………………………………………………………………………………….. 35
Dạng 3. Ứng dụng nhị thức newton để giải toán ……………………………………………………………………………………………… 36
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong
1
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
Phần A. CÂU HỎI
Dạng 1. Tiếp cận với khai triển nhị thức newton
Câu 1.
(THPT CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ – HÒA BÌNH – 2018) Số số hạng trong khai triển
50
x 2 là
A. 49 .
Câu 2.
B. 50 .
D. 51 .
(HỒNG QUANG – HẢI DƯƠNG – LẦN 1 – 2018) Có bao nhiêu số hạng trong khai triển nhị thức
2018
2 x 3
A. 2019 .
Câu 3.
C. 52 .
B. 2017 .
C. 2018 .
D. 2020 .
5
(THPT CHU VĂN AN – HKI – 2018) Viết khai triển theo công thức nhị thức Niu-tơn x y .
A. x5 5 x 4 y 10 x 3 y 2 10 x 2 y 3 5 xy 4 y 5 .
C. x5 5 x 4 y 10 x3 y 2 10 x 2 y 3 5 xy 4 y 5 .
B. x5 5 x 4 y 10 x 3 y 2 10 x 2 y 3 5 xy 4 y 5 .
D. x5 5 x 4 y 10 x 3 y 2 10 x 2 y 3 5 xy 4 y 5 .
Câu 4.
(Chuyên Nguyễn Huệ – Hà Nội -HK1 2018 – 2019) Trong khai triển nhị thức Niu-tơn của
(3 2 x)2019 có bao nhiêu số hạng?
A. 2019 .
B. 2018 .
C. 2020 .
D. 2021 .
Câu 5.
Từ khai triển biểu thức x 1 thành đa thức. Tổng các hệ số của đa
thức là
A. 1023 .
B. 512 .
C. 1024 .
D. 2048 .
Câu 6.
(Lương Thế Vinh – Kiểm tra giữa HK1 lớp 11 năm 2018 – 2019) Từ khai triển biểu thức x 1
thành đa thức. Tổng các hệ số của đa thức là
A. 1023 .
B. 512 .
C. 1024 .
D. 2048 .
Câu 7.
(THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG – GIA LAI – LẦN 2 – 2018) Tính tổng các hệ số trong khai
2018
triển 1 2x .
10
10
A. 1.
B. 1.
C. 2018 .
D. 2018 .
Câu 8.
(THPT TRẦN NHÂN TÔNG – QN – LẦN 1 – 2018) Khai triển ( 5 4 7)124 . Có bao nhiêu số
hạng hữu tỉ trong khai triển trên?
A. 30 .
B. 31 .
C. 32 .
D. 33 .
Câu 9.
(LƯƠNG TÀI 2 BẮC NINH LẦN 1-2018-2019) Trong khai triển nhị thức newton của
P( x) ( 3 2 x 3)2018 thành đa thức,có tất cả có bao nhiêu số hạng có hệ số nguyên dương?
A. 673.
B. 675.
C. 674.
D. 672.
Câu 10.
(Độ Cấn Vĩnh Phúc-lần 1-2018-2019) Trong khai triển 1 2 x a0 a1 x a2 x 2 … a20 x 20 .
20
Giá trị của a0 a1 a2 bằng
A. 801.
B. 800.
Câu 11.
C. 1.
D. 721.
(Chuyên Lê Thánh Tông-Quảng Nam-2018-2019) Có bao nhiêu số hạng là số nguyên trong khai
triển của biểu thức
A. 136 .
3
35 5
2019
?
B. 403 .
C. 135 .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong
D. 134 .
2
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
2019
Câu 12.
1 1
1 1
(Gia Bình I Bắc Ninh – L3 – 2018) Trong khai triển của x 15 y 3 x 3 y 5 , số hạng mà lũy thừa
của x và y bằng nhau là số hạng thứ bao nhiêu của khai triển?
A. 1348 .
B. 1346 .
C. 1345 .
D. 1347 .
20
Câu 13. (SGD&ĐT BẮC NINH – 2018) Cho khai triển 1 2x a0 a1 x a2 x 2 a20 x20 . Giá trị của
a0 a1 a2 a20 bằng:
B. 320 .
A. 1.
D. 1.
C. 0 .
Dạng 2. Tìm hệ số, số hạng trong khai triển nhị thức newton
Dạng 2.1 Khai triển của 1 biểu thức
Dạng 2.1.1 Bài toán tìm hệ số của số hạng
Câu 14.
(Chuyên Thái Bình lần 2 – 2018-2019) Hệ số của số hạng chứa x 7 trong khai triển nhị thức
12
2
(với x 0 ) là:
x
x x
A. 376 .
B. 264 .
Câu 15.
C. 264 .
D. 260 .
(HKI CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG 2018-2019) Tìm hệ số của số hạng chứa x 7 trong khai
13
1
triển nhị thức x , (với x 0 ).
x
A. 1716.
B. 68.
Câu 16.
C. 176.
D. 286.
(HỌC KỲ I ĐAN PHƯỢNG HÀ NỘI 2017 – 2018) Hệ số của x31 trong khai triển
40
1
x 2 , x 0 là.
x
4
A. C40 .
Câu 17.
B. C402 .
3
C. C40
.
5
D. C40
.
1 3
(HKI_L11-NGUYỄN GIA THIỀU – HÀ NỘI 1718) Hệ số lớn nhất trong khai triển x
4 4
9
27
27
27
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
32
32
64
128
n
Câu 18.
(HKI-Chu Văn An-2017) Cho biết hệ số của x 2 trong khai triển 1 2 x bằng 180 .Tìm n .
A. n 8 .
B. n 12 .
C. n 14 .
D. n 10 .
Câu 19.
(HKI-Chu Văn An-2017) Tìm hệ số của x 7 trong khai triển 1 x .
A. 90 .
B. 720 .
C. 120 .
D. 45 .
Câu 20.
4
10
(HKI – TRIỆU QUANG PHỤC 2018-2019) Tìm hệ số h của số hạng chứa x 5 trong khai triển
7
2 2
x .
x
A. h 84 .
B. h 672 .
C. h 560 .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong
D. h 280 .
3
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Câu 21.
ĐT:0946798489
6
(HKI-Chuyên Hà Nội – Amsterdam 2017-2018) Hệ số của số hạng chứa x trong khai triển
15
2
Newton x 2 là
x
A. 3640 .
Câu 22.
B. 3640 .
C. 455.
D. 1863680
(Lương Thế Vinh – Kiểm tra giữa HK1 lớp 11 năm 2018 – 2019) Tìm hệ số của x 25 y10 trong
15
khai triển x 3 xy .
A. 58690.
B. 4004.
C. 3003.
D. 5005.
6
2
Câu 23. (CHUYÊN THÁI BÌNH LẦN 1_2018-2019) Cho khai triển x
với x 0 . Tìm hệ số của
x
số hạng chứa x 3 trong khai triển trên
A. 80 .
B. 160 .
C. 240 .
D. 60 .
6
2
Câu 24. (CHUYÊN THÁI BÌNH LẦN 1_2018-2019) Cho khai triển x
với x 0 . Tìm hệ số của
x
số hạng chứa x 3 trong khai triển trên
A. 80 .
B. 160 .
C. 240 .
D. 60 .
Câu 25.
(Lương Thế Vinh – Kiểm tra giữa HK1 lớp 11 năm 2018 – 2019) Biết hệ số của x 2 trong khai
n
triển của 1 3 x là 90 . Tìm n .
A. n 7 .
B. n 6 .
Dạng 2.1.2 Bài toán tìm số hạng thứ k
Câu 26.
C. n 8 .
D. n 5 .
15
(HKI_L11-NGUYỄN GIA THIỀU – HÀ NỘI 1718) Số hạng thứ 13 trong khai triển 2 x
bằng?
A. 3640×13 .
B. 3640×12 .
C. 420×12 .
D. 3640 .
9
Câu 27.
Câu 28.
1
(DHSP HÀ NỘI HKI 2017-2018) Tìm số hạng chứa x3 trong khai triển x .
2x
1
1
A. C93 x 3 .
B. C93 x 3 .
C. C93 x 3 .
D. C93 x 3 .
8
8
(Chuyên Nguyễn Huệ – Hà Nội -HK1 2018 – 2019) Tìm số hạng chứa x7 trong khai triển
13
1
x .
x
A. C133 .
Câu 29.
B. C133 x 7 .
C. C134 x 7 .
D. C134 .
(TRƯỜNG THPT THANH THỦY 2018 -2019) Tìm số hạng chứa x 31 trong khai triển
40
1
x 2 ?
x
4 31
A. C 40x .
Câu 30.
B. C 4037x 31 .
37 31
x .
C. C 40
D. C 403 x 31 .
(Lương Thế Vinh – Kiểm tra giữa HK1 lớp 11 năm 2018 – 2019) Số hạng chứa x 34 trong khai
1
triển x
x
40
là
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong
4
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
37
40
34
A. C x .
Câu 31.
ĐT:0946798489
3
40
34
B. C x .
2
40
34
4
40
C. C x .
34
D. C x .
(HỌC KÌ 1- LỚP 11- KIM LIÊN HÀ NỘI 18-19) Biết hệ số của số hạng chứa x 2 trong khai
n
triển 1 4 x là 3040 . Số tự nhiên n bằng bao nhiêu?
A. 28 .
B. 26 .
C. 24 .
D. 20 .
Câu 32. (THPT CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH – PHÚ YÊN – 2018) Biết hệ số của x 2 trong khai
n
triển của 1 3x là 90 . Tìm n .
A. n 5 .
Câu 33.
B. n 8 .
C. n 6 .
D. n 7 .
n
(THPT CHU VĂN AN – HKI – 2018) Cho biết hệ số của x 2 trong khai triển 1 2 x bằng 180
. Tìm n .
A. n 12 .
B. n 14 .
C. n 8 .
D. n 10 .
Câu 34. (THPT CHUYÊN NGỮ – HÀ NỘI – 2018) Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển của
5
2
biểu thức 3x 3 2 .
x
A. 810 .
B. 826 .
D. 421 .
C. 810 .
Câu 35. (THPT HẢI AN – HẢI PHÒNG – LẦN 1 – 2018) Tìm hệ số của số hạng chứa x31 trong khai triển
40
1
x 2 .
x
37
A. C40
.
31
B. C 40
.
4
C. C40
.
D. C402 .
6
2
3
Câu 36. (SỞ GD&ĐT LÀO CAI – 2018) Trong khai triển x
, hệ số của x x 0 là:
x
A. 80 .
B. 160 .
C. 240 .
D. 60 .
Dạng 2.1.3 Bài toán tìm hệ số, số hạng trong khai triển nhị thức có thêm điều kiện n
Câu 37.
(HKI-Chuyên Hà Nội – Amsterdam 2017-2018) Cho n là số tự nhiên thỏa mãn
n
3
Cn0 2.Cn1 2 2.Cn2 … 2 n.Cnn 59049 . Biết số hạng thứ 3 trong khai triển Newton của x 2
x
81
có giá trị bằng
n . Khi đó giá trị của x bằng
2
A. 1
B. 2 .
C. 1
D. 2 .
n
1
Câu 38. (HKI-Nguyễn Gia Thiều 2018-2019) Cho nhị thức 2 x 2 3 , trong đó số nguyên dương n
x
5
3
thỏa mãn An 72n . Tìm số hạng chứa x trong khai triển.
A. 26 C104 x5 .
Câu 39.
B. 25 C105 x5 .
C. 27 C103 x5 .
D. 26 C107 x5 .
(HKI – TRIỆU QUANG PHỤC 2018-2019) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức
n
3
Newton của 2 x 2 x 0 , biết rằng 1.Cn1 2.Cn2 3.Cn3 … n.Cnn 256n ( Cnk là số tổ hợp
x
chập k của n phần tử).
A. 489888
B. 49888 .
C. 48988 .
D. 4889888 .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong
5
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Câu 40.
ĐT:0946798489
n
(THI HK1 LỚP 11 THPT VIỆT TRÌ 2018 – 2019) Cho khai triển 1 3 x a0 a1 x1 … an x n
a
a
trong đó n * và các hệ số thỏa mãn hệ thức a0 1 … nn 4096 . Tìm hệ số ai lớn nhất.
3
3
A. 1732104.
B. 3897234.
C. 4330260.
D. 3247695 .
3 n 1
1
Câu 41. (Chuyên Nguyễn Huệ – Hà Nội -HK1 2018 – 2019) Tìm hệ số của x trong khai triển x3
x
2
2
với x 0, biết n là số nguyên dương thỏa mãn 3Cn 1 nP2 4 An .
6
A. 210 x6 .
C. 120 x 6 .
B. 210.
D. 120.
3
Câu 42. (TH&TT LẦN 1 – THÁNG 12) Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển 2 x 2
x
2
14
1
x 0 , biết rằng 2 3 Cnk là số tổ hợp chập k của n phần tử).
Cn 3Cn n
A. 326592 .
B. 3265922
C. 3265592
D. 32692 .
n
6
Câu 43.
(HKI_L11-NGUYỄN GIA THIỀU – HÀ NỘI 1718) Tìm số hạng chứa x 26 trong khai triển
n
1
1
2
n
20
7
4 x biết n là số nguyên dương thỏa mãn hệ thức C2 n 1 C2 n 1 … C2 n1 2 1 .
x
A. 325 .
B. 210 .
C. 200 .
D. 152 .
Câu 44.
(THPT CHUYÊN HẠ LONG – LẦN 2 – 2018) Với n là số tự nhiên thỏa mãn Cnn46 nAn2 454
n
2
, hệ số của số hạng chứa x trong khai triển nhị thức Niu-tơn của x 3
x
( với x 0 ) bằng
A. 1972 .
B. 786 .
C. 1692 .
D. 1792 .
4
Câu 45. (SGD&ĐT BẮC GIANG – LẦN 1 – 2018) Với n là số nguyên dương thỏa mãn Cn1 Cn3 13n ,
n
1
hệ số của số hạng chứa x trong khai triển của biểu thức x 2 3 bằng.
x
A. 120 .
B. 252 .
C. 45 .
D. 210 .
5
Câu 46.
(THPT CHUYÊN LAM SƠN – THANH HÓA – 2018) Cho n là số nguyên dương thỏa mãn
n
3
A C C 4n 6 . Hệ số của số hạng chứa x của khai triển biểu thức P x x 2 bằng:
x
A. 18564 .
B. 64152 .
C. 192456 .
D. 194265 .
2
n
2
n
1
n
9
Câu 47. (HỒNG LĨNH – HÀ TĨNH – LẦN 1 – 2018) Biết n là số nguyên dương thỏa mãn Cnn 1 Cnn 2 78
n
2
, số hạng chứa x 8 trong khai triển x 3 là
x
8
A. 101376x .
B. 101376 .
C. 112640 .
D. 101376x 8 .
Câu 48. (THPT TRẦN PHÚ – ĐÀ NẴNG – 2018) Với n là số nguyên dương thỏa mãn
n
3Cn31 3 An2 52 n 1 . Trong khai triển biểu thức x 3 2 y 2 , gọi Tk là số hạng mà tổng số mũ
của x và y của số hạng đó bằng 34 . Hệ số của Tk là
A. 54912 .
B. 1287 .
C. 2574 .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong
D. 41184 .
6
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Câu 49.
ĐT:0946798489
1
n
(SỞ GD&ĐT QUẢNG NAM – 2018) Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 5C Cn2 5 . Tìm hệ
n
1
số a của x 4 trong khai triển của biểu thức 2 x 2 .
x
A. a 11520 .
B. a 256 .
C. a 45 .
D. a 3360 .
Câu 50. (THPT QUẢNG YÊN – QUẢNG NINH – 2018) Với n là số nguyên dương thỏa mãn
2n
1
3 Ann 2 Cn3 40 . Hệ số của x 6 trong khai triển 2 x là
x
A. 1024 .
B. 1024 .
C. 1042 .
Câu 51.
D. 1042 .
(THPT CHUYÊN NGUYỄN THỊ MINH KHAI – SÓC TRĂNG – 2018) Với n là số nguyên
3
dương thoả mãn A 3C 120 , số hạng không chứa x trong khai triển của biểu thức x4
x
bằng
A. 295245 .
B. 245295 .
C. 292545 .
D. 259254 .
2
n
Câu 52.
n
1
n
(THPT PHÚ LƯƠNG – THÁI NGUYÊN – 2018) Tìm hệ số của số hạng chứa x 8 trong khai triển
2n
n x
nhị thức Niutơn của , x 0 , biết số nguyên dương n thỏa mãn Cn3 An2 50.
2x 2
97
29
297
279
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
12
51
512
215
Câu 53.
(TOÁN HỌC TUỔI TRẺ SỐ 6) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton
n
3
của 2 x 2
x
của n phần tử).
A. 489888 .
Câu 54.
x 0 , biết rằng 1.Cn1 2.Cn2 3.Cn3 … nCnn 256n
B. 49888 .
C. 48988 .
D. 4889888 .
n
(THPT CHUYÊN AN GIANG – 2018) Giả sử có khai triển 1 2 x a0 a1 x a2 x 2 … an x n
. Tìm a5 biết a0 a1 a2 71.
A. 672 .
B. 672 .
Câu 55.
( Cnk là số tổ hợp chập k
C. 627 .
D. 627 .
(CHUYÊN LONG AN – LẦN 1 – 2018) Với n là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện
n
2
A C 10 , tìm hệ số a5 của số hạng chứa x trong khai triển x 2 3 với x 0 .
x
5
5
A. a5 10 .
B. a5 10 x .
C. a5 10 x .
D. a5 10 .
2
n
Câu 56.
3
n
(HỒNG BÀNG – HẢI PHÒNG – LẦN 1 – 2018) Tìm hệ số của x 5 trong khai triển 1 3x
An3 2 An2 100
A. 61236 .
Câu 57.
5
B. 63216 .
C. 61326 .
2n
biết
D. 66321 .
(CHUYÊN KHTN – LẦN 1 – 2018) Cho n là số nguyên dương thỏa mãn
n
n
3n Cn0 3n 1 Cn1 3n 2 Cn2 ….. 1 Cnn 2048 . Hệ số của x10 trong khai triển x 2 là:
A. 11264 .
B. 22 .
C. 220 .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong
D. 24 .
7
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
n
Câu 58.
Câu 59.
1
(CHUYÊN VĨNH PHÚC – LẦN 1 – 2018)Trong khai triển 3x 2 biết hệ số của x 3 là 34 C n5
x
. Giá trị n có thể nhận là
A. 9 .
B. 12 .
C. 15 .
D. 16 .
(THPT LÊ XOAY – LẦN 3 – 2018) Hệ số của số hạng chứa x 8 trong khai triển
n
1
n
n 1
5
3 x ; x 0 biết Cn 4 Cn 3 7 n 3 là
x
B. 313 .
C. 495 .
A. 1303 .
D. 13129 .
n
1
Câu 60. (CTN – LẦN 1 – 2018) Tìm hệ số của x trong khai triển nhị thức Newton 2 x 5 với x 0
x
4
5
, biết n là số tự nhiên lớn nhất thỏa mãn An 18 An 2 .
A. 8064 .
B. 3360 .
C. 13440 .
D. 15360 .
4
Câu 61.
(THTP LÊ QUÝ ĐÔN – HÀ NỘI – LẦN 1 – 2018) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển
n
2 1
2
2
x biết An Cn 105 .
x
A. 3003 .
B. 5005 .
Câu 62.
D. 3003 .
(THPT QUỲNH LƯU – NGHỆ AN – 2018) Tìm hệ số của x 5 trong khai triển thành đa thức của
2n
2 3x , biết n là số nguyên dương thỏa mãn: C20n1 C22n1 C24n1 … C22nn1 1024 .
A. 2099529 .
Câu 63.
C. 5005 .
B. 2099520 .
C. 1959552 .
D. 1959552 .
[HỒNG LĨNH – HÀ TĨNH – LẦN 1 – 2018] Biết n là số nguyên dương thỏa mãn Cnn 1 Cnn 2 78
n
2
, số hạng chứa x 8 trong khai triển x 3 là
x
8
A. 101376x .
B. 101376 .
C. 112640 .
D. 101376x 8 .
n
2
Câu 64. (ĐỀ THI GIỮA KỲ II YÊN PHONG 1 – 2018) Tìm số hạng chứa x trong khai triển x ,
x
4
biết n là số tự nhiên thỏa mãn Cn3 n 2Cn2
3
A. 134
B. 144
C. 115
D. 141
5
2
Câu 65. (THPT HOÀNG MAI – NGHỆ AN – 2018) Tìm hệ số không chứa x trong khai triển x 3
x
n2
n 1
, biết n là sô nguyên dương thỏa mãn Cn Cn 78 .
A. 112640 .
B. 112643 .
C. 112640 .
D. 112643 .
Dạng 2.1.4 Số hạng không chứa x (số hạng độc lập)
n
9
8
Câu 66. (THI HK1 LỚP 11 THPT VIỆT TRÌ 2018 – 2019) Trong khai triển x 2 , số hạng không
x
chứa x là
A. 40096.
B. 43008.
C. 512.
D. 84.
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong
8
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Câu 67.
ĐT:0946798489
(Lương Thế Vinh – Kiểm tra giữa HK1 lớp 11 năm 2018 – 2019) Số hạng độc lập với x trong
8
2
khai triển x 3 là
x
A. 1792 .
Câu 68.
B. 792 .
C. 972 .
D. 1972 .
(HỌC KÌ 1- LỚP 11- KIM LIÊN HÀ NỘI 18-19) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển
12
3 1
x .
x
A. 220 .
Câu 69.
B. 220 .
C. 924 .
D. 924 .
(KSCL LẦN 1 CHUYÊN LAM SƠN – THANH HÓA_2018-2019) Cho x là số thực dương, số
30
2
hạng không chứa x trong khai triển nhị thức x
là
x
10
A. 2 20 .
B. 220 C30
.
C. 210 C3020 .
Câu 70.
D. C3020 .
(THPT NGUYỄN TRÃI-THANH HOÁ – Lần 1.Năm 2018&2019) Số hạng không chứa x trong
45
khai triển x 1 là
x2
5
5
15
15
A. C45
.
B. C45
.
C. C45
.
D. C45
.
10
2
Câu 71. (THUẬN THÀNH SỐ 2 LẦN 1_2018-2019) Số hạng không chứa x trong khai triển x
x
là
A. C105 .
B. C105 .25 .
C. C105 .
D. C105 .25 .
7
1
Câu 72. (Kim Liên – Hà Nội – L1 – 2018-2019) Số hạng không chứa x trong khai triển 3 x 4 là:
x
A. 5.
B. 35.
C. 45.
D. 7.
Câu 73.
(THPT Đoàn Thượng-Hải Dương-HKI 18-19) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển
6
1
2x 2 , x 0 .
x
A. 240 .
Câu 74.
B. 15 .
C. 240 .
D. 15 .
(Chuyên Lào Cai Lần 3 2017-2018) Số hạng không chứa x trong khai triển biểu thức
12
1
A x 2 là
x
A. 924 .
B. 495 .
C. 495 .
D. 924 .
1
Câu 75. (Bình Minh – Ninh Bình – Lần 4 – 2018) Số hạng không chứa x trong khai triển x 2
x
15
30
5
15
A. C45 .
B. C45 .
C. C45 .
D. C45 .
45
là
5
Câu 76.
1
(DHSP HÀ NỘI HKI 2017-2018) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển x 2 3 .
x
A. 10 .
B. 20 .
C. 5 .
D. 1 .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong
9
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
7
Câu 77.
Câu 78.
1
(Kim Liên – Hà Nội – Lần 1 – 2019) Số hạng không chứa x trong khai triển 3 x 4 là
x
A. 5.
B. 35.
C. 45.
D. 7.
(Chuyên Lam Sơn-KSCL-lần 2-2018-2019) Cho x là số thực dương, số hạng không chứa x
30
2
trong khai triển nhị thức x
là
x
10
B. 2 20.C30
.
A. 2 20 .
C. 210.C3020 .
D. C 3020 .
10
x 1
x 1
Câu 79. (CHUYÊN ĐHSPHN – 2018) Cho biểu thức P
với x 0 , x 1 . Tìm
3 2
x 3 x 1 x x
số hạng không chứa x trong khai triển Niu-tơn của P .
A. 200 .
B. 160 .
C. 210 .
D. 100 .
Câu 80.
(THPT CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH – ĐỒNG NAI – 2018) Số hạng không chứa x trong khai
9
2
triển f x x 2 , x 0 bằng
x
A. 5376 .
B. 5376 .
Câu 81.
C. 672 .
D. 672 .
(CHUYÊN TRẦN PHÚ – HẢI PHÒNG – LẦN 1 – 2018) Số hạng không chứa x trong khai triển
14
2
của 3 x 4 với x 0 là:
x
6 8
A. 2 C14 .
B. 26 C146 .
Câu 82.
C. 28 C148 .
D. 28 C148 .
(THPT LƯƠNG ĐẮC BẰNG – THANH HÓA – LẦN 1 – 2018) Tìm số hạng không chứa x
11
1
trong khai triển của x x 5 với x 0 .
x
A. 485 .
B. 238 .
C. 165 .
11
D. 525 .
Câu 83. (ĐỀ THAM KHẢO BGD & ĐT 2018) Với n là số nguyên dương thỏa mãn Cn1 Cn2 55 , số hạng
n
2
không chứa x trong khai triển của biểu thức x 3 2 bằng
x
A. 13440
B. 3360
C. 80640
Câu 84.
(ĐỀ KT NĂNG LỰC GV THUẬN THÀNH 1 BẮC NINH 2018-2019) Tìm số hạng không chứa
n
1
x trong khai triển của x x 4 với x 0 , nếu biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn
x
C n2 C n1 44 .
A. 485.
Câu 85.
D. 322560
B. 525.
C. 165.
D. 238
(TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ SỐ 1 – 2018) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của
n
1
2
1
x x 4 , với x 0 , nếu biết rằng Cn Cn 44 .
x
A. 165 .
B. 238 .
C. 485 .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong
D. 525 .
10
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
Câu 86. (THPT PHAN CHU TRINH – ĐẮC LẮC – 2018) Số hạng không chứa x trong khai triển
2n
3
2
3
2 x 3 với x 0 , biết n là số nguyên dương thỏa mãn Cn 2n An 1 là:
x
12 4 12
16 0
A. C16 .2 .3 .
B. C160 .216 .
C. C1612 .24.312 .
D. C16
.2 .
Câu 87.
(SỞ GD&ĐT HÀ TĨNH – 2018) Với số nguyên dương n thỏa mãn Cn2 n 27 , trong khai triển
n
2
x 2 số hạng không chứa x là
x
A. 84 .
B. 672 .
Dạng 2.2 Khai triển của nhiều biểu thức
Dạng 2.2.1 Dạng a1 a2 …ak
Câu 88.
(HKI
–
1 3x 2 x
D. 5376 .
n
TRIỆU
2 2017
C. 8 .
QUANG
PHỤC
Cho
2018-2019)
khai
triển
a0 a1 x a2 x 2 … a4034 x 4034 . Tìm a2 .
A. 9136578
B. 16269122 .
C. 8132544 .
D. 18302258 .
10
Câu 89. (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ SỐ 5) Tìm hệ số của x 7 trong khai triển f x 1 3 x 2 x3 thành
đa thức.
A. 204120 .
B. 262440 .
C. 4320 .
D. 62640 .
9
Câu 90. (CHUYÊN VINH – LẦN 1 – 2018) Cho khai triển 3 2 x x 2 a0 x18 a1 x17 a2 x16 … a18 .
Giá trị a15 bằng
A. 218700 .
Câu 91.
B. 489888 .
C. 804816 .
D. 174960 .
(THPT CHUYÊN ĐH VINH – LẦN 3 – 2018) Tìm hệ số của x 3 sau khi khai triển và rút gọn các
9
1
đơn thức đồng dạng của x 2 x 2 , x 0 .
x
B. 3210 .
C. 2940 .
A. 2940 .
Câu 92.
D. 3210 .
(THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG – PHÚ THỌ – LẦN 4 – 2018) Hệ số của số hạng chứa x 7
6
trong khai triển x 2 3 x 2 bằng
A. 6432 .
B. 4032 .
C. 1632 .
D. 5418 .
10
Câu 93. (SGD&ĐT HÀ NỘI – 2018) Tìm hệ số của số hạng chứa x 5 trong khai triển 1 x x 2 x 3 .
A. 582 .
B. 1902 .
C. 7752 .
D. 252 .
Câu 94. (THPT PHAN ĐÌNH PHÙNG – HÀ TĨNH – LẦN 1 – 2018) Cho n là số tự nhiên thỏa mãn
3Cn0 4Cn1 5Cn2 … (n 3)Cnn 3840 .Tổng tất cả các hệ số của các số hạng trong khai triển
(1 x x 2 x 3 ) n là
A. 410 .
Câu 95. (THPT
1 x x
B. 49 .
CHUYÊN
2
3
VĨNH
10 11
x … x
C. 210 .
PHÚC
2
3
D. 29 .
LẦN
110
a0 a1 x a2 x a3 x … a110 x
4
–
2018)
Giả
sử
với a0 , a1 , a2 ,…, a110 là các hệ số.
Giá trị của tổng T C110 a11 C111 a10 C112 a9 C113 a8 … C1110 a1 C1111a0 bằng
A. T 11 .
B. T 11 .
C. T 0 .
D. T 1 .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong
11
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
m
n
Dạng 2.2.2 Tổng a1 b1 a2 b2 … ak bk
Câu 96.
h
(CHUYÊN THÁI BÌNH LẦN 1_2018-2019) Sau khi khai triển và rút gọn thì
18
1
P ( x ) (1 x )12 x 2 có tất cả bao nhiêu số hạng
x
A. 27 .
B. 28 .
C. 30 .
D. 25
Câu 97. (PTNK CƠ SỞ 2-TPHCM-LẦN1- 2018) Cho đa thức P x x 2
2017
3 2 x
2018
a2018 x 2018 a2017 x 2017 … a1 x a0 . Khi đó S a2018 a2017 … a1 a0 bằng
B. 1.
A. 0 .
C. 2018 .
D. 2017 .
Câu 98. (THPT LÝ THÁI TỔ – BẮC NINH – 2018) Sau khi khai triển và rút gọn biểu thức
21
12
3
1
f x x 2 2 x 3 2 thì f x có bao nhiêu số hạng?
x
x
A. 30 .
B. 32 .
C. 29 .
Câu 99.
D. 35 .
(THPT NGUYỄN HUỆ – TT HUẾ – 2018) Tìm hệ số của x 5 trong khai triển
6
7
12
P x x 1 x 1 … x 1 .
A. 1716 .
B. 1715 .
C. 1287 .
D. 1711 .
Câu 100. (CHUYÊN
BẮC
NINH
LẦN
2
2018)
Cho
đa
thức:
8
9
10
11
12
P x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x . Khai triển và rút gọn ta được đa thức:
P x a0 a1 x a2 x 2 … a12 x12 . Tìm hệ số a8 .
A. 720 .
B. 700 .
C. 715 .
D. 730 .
Câu 101. (CHUYÊN
BẮC
NINH
LẦN
2
2018)
Cho
đa
thức
8
9
10
11
12
P x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x . Khai triển và rút gọn ta được đa thức
P x a0 a1 x … a12 x12 . Tính tổng các hệ số ai , i 0; 1; 2; …; 12 .
A. 5 .
B. 7936 .
C. 0 .
D. 7920 .
m
Dạng 2.2.3 Tích a1 .. an . b1 … bn
l
Câu 102. (THPT CHUYÊN THÁI BÌNH – LẦN 3 – 2018) Tìm hệ số của số hạng chứa x 9 trong khai triển
11
nhị thức Newton 1 2 x 3 x .
A. 4620 .
B. 1380 .
Câu 103. (THPT
CHUYÊN
THĂNG
2 2
10
3 4x 4x
1 2 x
A. 482496 .
C. 9405 .
LONG
–
ĐÀ
LẠT
D. 2890 .
–
2018)
Cho
khai
triển
a0 x a1 x a2 x a14 x . Tìm giá trị của a6 .
2
B. 529536 .
14
C. 278016 .
D. 453504 .
Câu 104. (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ – THÁNG 4 – 2018) Hệ số của x6 trong khai triển
2 x 16 x 2 x
A.
1 6
C14 .
2
4
1
thành đa thức là
4
1
B. C146 .
4
C. C146 .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong
D. 4C148 .
12
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
Dạng 2.2.4 Dạng kết hợp tích và tổng
Câu 105. (MĐ 103 BGD&ĐT NĂM 2017-2018) Hệ số của
6
8
x 2 x 1 x 3 bằng
A. 1752
B. 1272
x5 trong khai triển biểu thức
C. 1272
D. 1752
6
8
Câu 106. (Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018) Hệ số của x 5 trong khai triển x 3 x 1 2 x 1 bằng
A. 3007
B. 577
C. 3007
D. 577
Câu 107. (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Hệ số của x 5 trong khai triển biểu thức x( x 2)6 (3 x 1)8
bằng
A. 13548
B. 13668
C. 13668
D. 13548
6
8
6
8
Câu 108. (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Hệ số của x 5 trong khai triển biểu thức x 2 x 1 3 x 1
bằng
A. 13848
B. 13368
C. 13848
D. 13368
Câu 109. (HKI – TRIỆU QUANG PHỤC 2018-2019) Hệ số của x 5 trong khai triển x x 2 3 x 1
bằng
A. 13548 .
B. 13548 .
C. 13668 .
D. 13668 .
Câu 110. (TH&TT LẦN 1 – THÁNG 12) Tìm hệ số của x 5
trong khai triển đa thức
f x x 1 x x 2 1 2x .
5
A. 965.
10
B. 263.
C. 632.
D. 956.
Câu 111. (THPT CHUYÊN THÁI BÌNH – LẦN 4 – 2018) Tìm hệ số của x 5 trong khai triển
5
10
P x x 1 2 x x 2 1 3x .
A. 3240 .
B. 3320 .
C. 80 .
D. 259200 .
Dạng 3. Ứng dụng nhị thức newton để giải toán
Câu 112. (LẦN
01_VĨNH
YÊN_VĨNH
PHÚC_2019)
1 20
0
1
2
S 319 C20
318 C20
317 C20
… C20
. Giá trị 3S là
3
419
4 18
A. 4 20 .
B.
.
C.
.
3
3
Cho
D.
biểu
thức
4 21
.
3
1
2
3
2017
C2017
C2017
… C2017
Câu 113. (HỌC KỲ I ĐAN PHƯỢNG HÀ NỘI 2017 – 2018) Tổng C2017
bằng.
A. 2 2017 1 .
B. 2 2017 1 .
C. 2 2017 .
D. 4 2017 .
1
2
2018
Câu 114. (Lương Thế Vinh – Kiểm tra giữa HK1 lớp 11 năm 2018 – 2019) Tổng C2018
C2018
… C2018
bằng
A. 2 2018 .
B. 2 2018 1 .
C. 2 2018 1 .
D. 4 2016 .
1
3
5
2017
Câu 115. (THPT CHUYÊN THÁI BÌNH – LẦN 1 – 2018) Tổng T C2017
bằng:
C2017
C2017
… C2017
A. 2 2017 1 .
B. 2 2016 .
C. 2 2017 .
D. 2 2016 1 .
Câu 116. (HKI_L11-NGUYỄN GIA THIỀU – HÀ NỘI 1718) Tổng S C50 2C51 2 2 C52 … 25 C55 bằng:
A. 324 .
B. 435 .
C. 243 .
D. 342 .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong
13
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
Câu 117. (HKI-Chu Văn An-2017) Tính tổng S C 2C 2 C 2 C .
A. S 59050 .
B. S 59049 .
C. S 1025 .
D. S 1024 .
0
10
1
10
2
2
10
10
10
10
10
Câu 118. (THPT CHU VĂN AN – HKI – 2018) Tính tổng S C100 2C101 22 C102 23 C103 210 C10
.
A. S 59050.
B. S 1024.
C. S 59049.
D. S 1025.
1
2
3
2016
Câu 119. (SGD&ĐT ĐỒNG THÁP – 2018) Tổng C2016
bằng
C2016
C2016
… C2016
2016
2016
2016
A. 2 .
B. 4 .
C. 2 1 .
D. 2 2016 1 .
Câu 120. (Chuyên Nguyễn Huệ – Hà Nội -HK1 2018 – 2019) Cho n là số nguyên dương thỏa mãn
Cn0 4Cn1 4 2 Cn2 … 4 n Cnn 15625 . Tìm n .
A. n 3 .
B. n 5 .
C. n 6 .
D. n 4 .
2
2018
2019
1
Câu 121. (THPT THUẬN THÀNH 1) Tổng S 2C2019
tương ứng
3C2019
… 2019C2019
2020C2019
bằng:
A. 2020.2 2019 .
B. 2019.2 2018 .
C. 2021.2 2018 1 .
D. 2020.2 2019 1 .
13
20
12
Câu 122. (HKI-Nguyễn Gia Thiều 2018-2019) Tính tổng S C22
C22
…. C 22
C2221 C2222 .
11
C22
C 11
11
.
C. S 2 21 22 .
D. S 221 C22
.
2
2
Câu 123. (THPT CHU VĂN AN -THÁI NGUYÊN – 2018) Kí hiệu Cnk là số tổ hợp chập k của n phần tử
B. S 221
11
A. S 221 C22
.
0 k n; k , n
tính tổng sau:
1
2
2017
2018
0
S C2018
2C2018
3C2018
… 2018C2018
2019C2018
A. 1009.22016 .
Câu 124. (TOÁN
C. 1010.22018 .
B. 1006.22018 .
HỌC
TUỔI
2
TRẺ
–
9
A. 10! .
8
B. 20! .
THÁNG
4
–
2018)
Biểu
thức
10
1 x
x
x 1 x x 1 x
.
.
…
10! 9! 1!
8!
2!
10!
10
D. 1007.22018 14 .
bằng
C.
1
.
10!
D.
1
.
100!
Câu 125. (CỤM 5 TRƯỜNG CHUYÊN – ĐBSH – LẦN 1 – 2018) Có bao nhiêu số dương n sao cho
S 2 C10 C20 … Cn0 C11 C21 … Cn1 … Cnn11 Cnn 1 Cnn là một số có 1000 chữ số?
A. 2 .
B. 3 .
C. 0 .
D. 1.
Câu 126. (HỌC KÌ 1- LỚP 11- KIM LIÊN HÀ NỘI 18-19) Gọi n là số nguyên dương thỏa mãn:
1
1
1
1
1024
…..
1! n 1 ! 3! n 3 ! 5! n 5 !
n 1!1! n !
Tìm mệnh đề đúng.
A. n là số chia hết cho 10 .
B. n là số nguyên tố.
C. n là số chia hết cho 3 .
D. n là số chia hết cho 4 .
Câu 1.
Câu 2.
Phần B. LỜI GIẢI THAM KHẢO
Dạng 1. Tiếp cận với khai triển nhị thức newton
Số số hạng trong khai triển là: n 1 50 1 51 .
n
2018
Trong khai triển nhị thức a b thì số các số hạng là n 1 nên trong khai triển 2 x 3
có
2019 số hạng.
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong
14
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Câu 3.
ĐT:0946798489
Ta có:
5
5
1
2
x y x y C50 x5 C51 x 4 y C52 x 3 y
5
Hay x y x5 5 x 4 y 10 x 3 y 2 10 x 2 y 3 5 xy 4 y 5 .
Câu 4.
Câu 5.
3
4
C53 x 2 y C54 x1 y C55 y
5
Chọn C
Ta có: Khai triển nhị thức Niu-tơn (a b)n có n 1 số hạng.
Vậy trong khai triển nhị thức Niu-tơn của (3 2 x)2019 có 2020 số hạng.
Chọn C
10
10
Xét khai triển f ( x) x 1 C10k .x k .
k 0
10
Câu 6.
Gọi S là tổng các hệ số trong khai triển thì ta có S f (1) 1 1 210 1024 .
Chọn C
10
10
Xét khai triển f ( x) x 1 C10k .x k .
k 0
10
Gọi S là tổng các hệ số trong khai triển thì ta có S f (1) 1 1 210 1024 .
Câu 7.
0
1
2
3
2018
Xét khai triển (1 2x)2018 C2018
2 x.C2018
(2 x) 2 .C2018
(2 x)3 .C2018
… (2 x) 2018 .C2018
1
2
3
2018
0
Tổng các hệ số trong khai triển là: S C2018
2.C2018
(2) 2 .C2018
(2)3 .C2018
… (2) 2018 .C2018
0
1
2
Cho x 1 ta có: (1 2.1) 2018 C2018
2.1.C2018
(2.1)2 .C2018
(2.1)3 .C32018 … (2.1) 2018 .C2018
2018
1
2018
S S 1
124
Câu 8.
k
124 k
2
k
Ta có ( 5 4 7)124 C124
. 1 .5
k
.7 4
k 0
124 k
2
k 0; 4;8;12;…;124 .
Số hạng hữu tỉ trong khai triển tương ứng với
k
4
Vậy số các giá trị k là:
Câu 9.
124 0
1 32 .
4
Chọn A
2018
P( x) ( 3 2 x 3) 2018
k 0
3
2x
2018 k
2018
3k 2
2018 k
3
.3k x 2018k
k 0
Để hệ số nguyên dương thì 2018 k 3 2018 k 3t k 2018 3t ,do 0 k 2018 nên ta
có 0 2018 3t 2018 0 t
Câu 10.
2018
672, 6 vậy t=0,1,2….672 nên có 673 giá trị
3
Chọn A
Ta có 1 2 x
20
20
k
2
0
1
2
4C202 .
C20k 2 x k , k Z a0 C20 , a1 2.C20 , a2 2 C20
k 0
0
1
2
Vậy a0 a1 a2 C20
2C20
4C20
801.
Câu 11.
Chọn C
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong
15
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Ta có
3
3 5 5
2019
ĐT:0946798489
2019
k
C2019
.
k 0
3
3
2019 k
.
k
2019
5 C
5
k
2019
.3
2019 k
3
k
5
.5 .
k 0
k
k
0 k 2019
0 k 2019
2019 k
k
Để trong khai triển có số hạng là số nguyên thì
673
3
3
k
k
5
5
k
0 k 2019 .
k 15
Ta có k 15 k 15m mà 0 k 2019 0 15 m 2019 0 m 134, 6 . Suy ra có 135 số
hạng là số nguyên trong khai triển của biểu thức.
Câu 12.
Chọn D
2019 k
k
2019 4
2019 2
k
k
151 13
13 51
k
15 15
y 3 15
Ta có số hạng thứ k 1 là : C x y
x y C2019 x
2019 4
2019 2
Theo đề bài ta có;
k
k k 1346
15
15
3
15
Vậy số hạng thỏa yêu cầu bài toán là số hạng thứ 1347 .
k
2019
A. 20.
Câu15.
(THPT Yên Dũng 3 – Bắc Giang
20
(2 x 1) a0 a1 x a2 x 2 …. a20 x 20 . Tìm a1
B. 40.
C. -40. D. -760. Chọn C
Ta có: a1 là hệ số của x
lần
1-
18-19)
Cho
khai
triển
19
Hạng tử chứa x trong khai triển là: C20
2 x a1 40
Câu 13.
1 2x
20
a0 a1 x a2 x 2 a20 x20 1 .
Thay x 1 vào 1 ta có:
20
a0 a1 a2 a20 1 1 .
Dạng 2. Tìm hệ số, số hạng trong khai triển nhị thức newton
Dạng 2.1 Khai triển của 1 biểu thức
Dạng 2.1.1 Bài toán tìm hệ số của số hạng
Câu 14.
Chọn C
12
2
Số hạng tổng quát của khai triển x
(với x 0 ) là
x x
k
3k
5k
12
2
k
k
k
12 k
k
2
2
Tk 1 C .x .
.
2 .C12 .x .x 2 .C12 .x
x x
5k
Số hạng trên chứa x 7 suy ra 12
7 k 2.
2
2
Vậy hệ số của số hạng chứa x 7 trong khai triển trên là 2 .C122 264 .
k
12
12 k
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong
16
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Câu 15.
ĐT:0946798489
Chọn D
13
1
Số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức x .
x
k
1
Tk 1 C x C13k x13 2 k .
x
7
Tk 1 chứa x 13 2k 7 k 3 .
k 13 k
13
13
1
Vậy hệ số của số hạng chứa x trong khai triển nhị thức x bằng: C133 286 .
x
Câu 16. Chọn C
7
40
40
40
1
k 40 3 k
k 40 k 2 k
x 2 C40 x .x C40 x
x
k 0
k 0
Theo giả thiết: 40 3k 31 k 3 .
3
Vậy hệ số của x31 là C40
9880 .
Câu 17. Chọn D
4k
k
4
4
1 3
1 3
Ta có x C4k . .
4 4 k 0
4 4
3
27 2 27 3 81 4
1
x
x
x
x
256 64
128
64
256
27
Vậy hệ số lớn nhất trong khai triển là
.
64
Câu 18.
Chọn D
Ta có: Tk 1 Cnk .2k x k . .
Hệ số của x 2 trong khai triển bằng 180
Cn2 .22 180
Câu 19.
n 10
n!
.22 180 n n 1 90 n2 n 90 0
n 2 .2
n 9 l
Chọn D
Số hạng tổng quát là: Tk 1 C10k .x k .
Số hạng chứa x 7 trong khai triển 1 x là: T8 C108 .x 7 nên hệ số là 45.
Câu 20. Chọn D
10
7 k
7
7
7
k 2
2
Ta có: x 2 C7k x 2 C7k .27 k .x 3k 7 .
x
x
k 0
k 0
Cần tìm k sao cho 3k 7 5 , suy ra k 4.
7
2
Vậy hệ số h của số hạng chứa x trong khai triển x 2 là h C74 .23 280.
x
Câu 21. Chọn A
5
15
k
15
15
2 15 k 15 k
2
k 15 3 k
k
k 15 k
2 k
k
x 2 C15 x 2 C15 x 2 x C15 2 x
x
x k 0
k 0
k 0
k 15 3 k
k
Số hạng tổng quát của khái triển Tk 1 C15 2 x
Số của số hạng chứa x 6 : 15 3k 6 k 3 . Hệ số của số hạng chứa x6
k
3
C15k 2 C153 2 3640
Câu 22. Chọn C
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong
17
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
Số hạng tổng quát của khai triển đã cho là C . x
k
15
3 15 k
k
k
15
. xy C .x
45 2 k
k
.y ,
với 0 k 15 , k . Số hạng này chứa x 25 y10 khi và chỉ khi k 10 (thỏa mãn).
15
10
3003.
Vậy hệ số của x 25 y10 trong khai triển x 3 xy là C15
Câu 23.
Chọn D
6
k
3k
6
k
3k
6
6
6
2
k 6 k 2
k
k
2
C
x
Ta có: x
.
6
2 C6 x
x k 0
x k 0
3k
3 k 2 . Vậy hệ số của số hạng chứa x 3 bằng 22.C62 60 .
Số hạng chứa x 3 ứng với 6
2
Câu 24. Chọn D
6
6
6
2
k 6 k 2
k
k
2
C
x
Ta có: x
.
6
2 C6 x
x k 0
x k 0
3k
3 k 2 . Vậy hệ số của số hạng chứa x 3 bằng 22.C62 60 .
Số hạng chứa x 3 ứng với 6
2
Câu 25. Chọn D
n
k
Số hạng thứ k 1 trong khai triển của 1 3 x là: Tk 1 Cnk 3 x k .
Số hạng chứa x 2 ứng với k 2 .
2
Ta có: Cn2 3 90 Cn2 10 (với n 2 ; n )
n 5
n!
10 n n 1 20
. Vậy n 5 .
2! n 2 !
n 4 L
Dạng 2.1.2 Bài toán tìm số hạng thứ k
Câu 26. Chọn B
15
15
Ta có 2 x C15k .215k. x
k
k 0
12
12 1512
.2 . x 3640 x12 .
Số hạng thứ 13 trong khai triển tương ứng với k 12 . C15
Câu 27.
Chọn A
k
k
1
1
Số hạng thứ k 1 trong khai triển là: Tk 1 C x C9k x9 2 .
2x
2
3
Số hạng chứa x có giá trị k thỏa mãn: 9 2k 3 k 3 .
1
Vậy số hạng chứa x 3 trong khai triển là: C93 x 3 .
8
Câu 28. Chọn B
Ta có công thức của số hạng tổng quát:
k
9
9 k
k
k
k
1
Tk 1 C x . C13k x13k 1 x k C13k . 1 x132 k
x
Số hạng chứa x7 khi và chỉ khi 13 2k 7 k 3 .
Vậy số hạng chứa x 7 trong khai triển là C133 x 7 .
Câu 29. Chọn D
k 13 k
13
40
40
40
k
1
Ta có khai triển: x 2 C40k x 40 k x 2 C40k x 40 3k
x
k 0
k 0
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong
18
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
k
40
Số hạng tổng quát trong khai triển: C x
40 3 k
Số hạng chứa x 31 ứng với: 40 3k 31 k 3
3 31
Vậy số hạng chứa x 31 là: C40
x
Câu 30. Chọn B
1
Số hạng thứ k 1 trong khai triển x
x
40
là:
k
k
40
ak 1 C x
40 k
1
. C40k x 40 k x k C40k x 40 2 k .
x
Số hạng chứa x
1
trong khai triển x
x
34
Vậy số hạng chứa x
Câu 31.
34
40
tương ứng với: 40 2k 34 k 3 .
1
trong khai triển x
x
40
3 34
là: C40
x .
Chọn D
n
n
n
k
Ta có: 1 4 x Cnk 4 x Cnk 4k x k .
k 0
2
k 0
2 2
n
Hệ số của số hạng chứa x là: C 4 .
Giả thiết suy ra Cn2 4 2 3040 Cn2 190
Câu 32.
n 20 t/m
n n 1
.
190 n 2 n 380 0
2
n 19 loai
k
k
Số hạng tổng quát thứ k 1 là Tk 1 Cnk 3x Cnk 3 x k .
Vì hệ số của x 2 nên cho k 2 .
2
Khi đó ta có Cn2 3 90 Cn2 10
n 5 n
n n 1
.
10
2
n 4 l
Vậy n 5 .
n
n
2
Câu 33. Ta có 1 2 x Cn0 Cn1 .2 x Cn2 . 2 x … Cnn 2 x .
Hệ số của x 2 bằng 180 4.Cn2 180 4
n!
180 n n 1 90
2! n 2 !
n 9 l
.
n 2 n 90 0
n 10
Vậy n 10 .
k
5
5
5
5 k 2
2
k
k
Câu 34. Ta có 3×3 2 1 .C5k . 3×3 . 2 1 .C5k .35 k .2k x155k .
x k 0
x k 0
10
Số hạng chứa x ứng với 15 5k 10 k 1 .
1
Hệ số của số hạng chứa x10 là 1 C51.34.21 810 .
40
Câu 35.
k
40
40
1
1
Ta có: x 2 C40k .x 40 k . 2 C40k .x 403k .
x
x k 0
k 0
Số hạng tổng quát của khai triển là: Tk 1 C40k .x 403k .
Số hạng chứa x31 trong khai triển tương ứng với 40 3k 31 k 3 .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong
19
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
3
40
Vậy hệ số cần tìm là: C C
37
40
k
n
(theo tính chất của tổ hợp: C C
Ta
có:
6
k
6
k
C .2 x
).
k
6
6
Câu 36.
nk
n
1
1
1
6
6
2
6k
6k
k
k
k
2
2
2
x
x 2 x C6 x 2 x C6 .2 x 2 x
x
k
0
k
0
k
3
6 k
2
k 0
3
6 k
2
3
x3 6 k 3 k 2
2
3
2 2
Hệ số của x x 0 là: C6 .2 60 .
Theo đề bài, x
Dạng 2.1.3 Bài toán tìm hệ số, số hạng trong khai triển nhị thức có thêm điều kiện n
Câu 37. Chọn C
n
Ta có: Cn0 2.Cn1 2 2.Cn2 … 2 n.Cnn 59049 2 1 59049 3n 310 n 10 .
10
3
Ta được nhị thức x 2 .
x
Số hạng thứ ba của khai triển là T3 C . x
2
10
Theo giả thiết ta có: 405 x14
Câu 38.
2 8
2
3
. 405 x14 .
x
81
n 405 x14 405 x14 1 x 1 .
2
Chọn C
Ta có: An3 72n
n!
72n n n 1 n 2 72n n 10 .
n 3 !
Xét khai triển:
10
k
10
10
10
2 1
k
2 10 k 1
k
10 k 20 2 k
.x 3k C10k .210 k x 20 5 k .
2 x 3 C10 2 x 3 C10 .2 x
x
x k 0
k 0
k 0
5
Số hạng chứa x trong khai triển tương đương với: 20 5k 5 k 3 .
Suy ra số hạng chứa x 5 trong khai triển là: 27 C103 x5 .
Câu 39. Chọn A
Tìm n.
k
Trước hết ta chứng minh công thức Cnk Cnk11 với 1 k n và n 2.
n
k k k
n!
( n 1)!
Thật vậy, Cn .
Cnk11. (đpcm)
n
n k !( n k )! ( k 1)!( n k )!
Áp dụng công thức trên ta có
2
3
n
1
1.Cn1 2.Cn2 3.Cn3 … n.Cnn n .Cn1 .Cn2 .Cn3 … .Cnn
n
n
n
n
0
1
2
n 1
n 1
n Cn 1 C n 1 C n 1 … C n 1 n 2
Theo đề 1.Cn1 2.Cn2 3.Cn3 … n.Cnn 256n n 2 n 1 256n 2 n 1 256 n 9.
Chọn A.
Câu 40. Chọn C
n
Xét khai triển 1 3 x a0 a1 x1 … an x n .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong
20
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Cho x
1
ta được
3
12
ĐT:0946798489
n
an
1
a1
n
1 3. a0 1 … n 2 4096 n 12.
3
3
3
12
Khi đó 1 3 x C12k .3k .x k .
k 0
Ta có hệ số ak 3k C12k 3k .
12!
k !. 12 k !
12!
12!
k
k 1
3
.
3
.
k 1!. 12 k 1!
ak ak 1
k !. 12 k !
Hệ số ak lớn nhất nên
12!
12!
ak ak 1
3k.
3k 1.
k 1!. 12 k 1!
k !. 12 k !
1
39
3
k
k 13 k
39 3k k
4
k 1 36 3k
1 3
k 35
4
12 k k 1
Vì k nên nhận k 9.
Vậy hệ số lớn nhất a9 39.C129 4330260.
Câu 41. Chọn B
Đk: n 2, n .
3Cn21 nP2 4 An2
3
n 1! 2!n 4 n!
n 1!2!
n 2!
3
n n 1 2n 4n n 1
2
n 0 L
5
15
n2 n 0
2
2
n 3
10
1
Với n 3 , nhị thức trở thành x3 .
x
10 k
k
1
Số hạng tổng quát là C10k . . x3 C10k .x 4 k 10
x
Từ yêu cầu bài toán ta cần có: 4k 10 6 k 4.
Vậy hệ số của số hạng chứa x6 là C104 210.
Câu 42. Chọn A
14
1
2
Xét phương trình 2 3 1
Cn 3Cn n
Điều kiện: n 3, n
1
2. n 2 !.2! 14 n 3!.3! 1
4
28
1
n!
3.n !
n
n n 1 n n 1 n 2 n
n 9
4
28
1 4 n 2 28 n 1 n 2 n2 7n 18 0
n 1 n 1 n 2
n 2 l
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong
21
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
9
9
3
Với n 9 ta có: 2 x 2 C9k . 2 x 2
x k 0
9k
k
9
k
3
. C9k .29k . 3 .x183k
x k 0
k
Số hạng tổng quát của khai triển là C9k .29 k . 3 .x183k
4
Cho 18 3k 6 k 4 hệ số của số hạng chứa x 6 trong khai triển là C94 .25. 3 326592 .
Câu 43. Chọn B
Từ giả thiết ta suy ra C20n 1 C21n 1 C22n1 … C2nn 1 220 .
Mặt khác: C2kn 1 C22nn11k , k , 0 k 2n 1 nên ta có:
1
1
2 n 1
C20n 1 C21n 1 C22n1 … C2nn1 C20n 1 C21n 1 C22n 1 … C22nn11 1 1
22 n .
2
2
Suy ra: 22 n 2 20 n 10 .
10 k
10
1
1
Số hạng tổng quát trong khai triển 4 x 7 là: Tk 1 C10k 4
x
x
k
Hệ số của x 26 là C10 với k thỏa mãn: 11k 40 26 k 6 .
7 k
x
C10k x11k 40 .
Vậy hệ số của x 26 là C106 210 .
Câu 44. Điều kiện n 6 và n .
n 4 ! n n! 454 n 5 n 4 2
Cnn46 nAn2 454
n n 1 454
2
n 6 !2! n 2 !
2n3 n 2 9n 888 0 n 8 (Vì n ).
8
2
Khi đó ta có khai triển: x3 .
x
8 k
k
k
2
Số hạng tổng quát của khai triển là C x 3 C8k 1 28 k x 4 k 8 .
x
4
Hệ số của số hạng chứa x ứng với k thỏa mãn: 4k 8 4 k 3 .
3
Vậy hệ số của số hạng chứa x 4 là: C83 1 25 1792 .
k
8
Câu 45.
Cn1 Cn3 13n n
n n 1 n 2
n!
13n n
13n 6 n2 3n 2 78 .
6
3! n 3 !
n 7
n 2 3n 70 0
. Vì n là số nguyên dương nên n 10 .
n 10
10
1
Ta có khai triển: x 2 3 .
x
k
1
. 3 C10k x 205k .
x
5
Số hạng chứa x ứng với 20 5k 5 k 3 . Vậy hệ số của số hạng chứa C103 120 .
n!
n!
n!
4n 6
Câu 46. An2 Cn2 Cn1 4n 6
n 2 ! n 2 !.2! n 1!.1!
Số hạng tổng quát của khai triển: Tk 1 C10k x
n n 1
210 k
n 1 l
n n 1
.
n 4n 6 n 2 11n 12 0
2
n 12 n
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong
22
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
12
3
Khi đó P x x 2 .
x
Công thức số hạng tổng quát: Tk 1 C . x
k
12
2 12 k
k
3
. C12k .3k .x 243k .
x
Số hạng chứa x 9 24 3k 9 k 5 .
Vậy hệ số của số hạng chứa x 9 trong khai triển là C125 .35 192456 .
Câu 47.
Ta có: Cnn 1 Cnn 2 78
n!
n!
n 1 n 78
78 n
2
n 1!.1! n 2 !.2!
n 12
n 2 n 156 0
n 12 (vì n là số nguyên dương).
n 13
k
12
12 k 2
2
k
k
Số hạng tổng quát trong khai triển x 3 là: 1 C12k x 3 1 C12k .2k .x 36 4 k .
x
x
Cho 36 4k 8 k 7 .
12
2
Vậy số hạng chứa x trong khai triển x 3 là C127 .27.×8 101376x 8 .
x
*
Câu 48. Điều kiện: n 2 , n .
n 1 ! 3 n ! 52 n 1
Ta có 3Cn31 3 An2 52 n 1 3.
3! n 2 !
n 2!
8
n 1 n n 1 3 n
2
n 1 52 n 1 n 2 n 6 n 104
n 13
n 2 5 n 104 0
n 13 .
n 8
x
3
13
2 y2
13
3 13 k
2 k
C x 2 y
k
13
0
13
C13k 2 k x 39 3 k y 2 k .
0
Ta có: 39 3k 2 k 34 k 5 . Vậy hệ số C135 2 5 41184 .
Câu 49. Điều kiện n , n 2 .
n n 1
n 1
Có 5Cn1 Cn2 5 5n
5 n2 11n 10 0
2
n 10
Do n 2 n 10 .
10
k
10
10
1
10 k 1
Xét khai triển: 2 x 2 C10k 2 x . 2 C10k 210 k x103k
x
x k 0
k 0
4
Hệ số a của x trong khai triển tương ứng với 10 3k 4 k 2 .
Vậy hệ số cần tìm là a C102 .28 11520 .
Câu 50. Điều kiện n 3, n .
Ta có 3 Ann 2 Cn3 40 3
Vì
3
n!
n!
1
40 n !
40 .
2! 3! n 3 !
2 6 n 3 !
3
1
1 nên n ! 40 . Lần lượt thử các giá trị n 3, 4 ta có n 4 thỏa mãn.
2 6 n 3 !
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong
23
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
k
8
1
1
8 k
k
Với n 4 , số hạng tổng quát trong khai triển 2x là C8k 2 x C8k 28 k 1 x8 2 k .
x
x
1
Số hạng chứa x 6 tương ứng với 8 2k 6 k 1 . Do đó hệ số cần tìm là C81 281 1 1024 .
Câu 51.
Giải phương trình: An2 3Cn1 120 , Đk: n 2, n .
n 10
An2 3Cn1 120 n n 1 3n 120
n 12 l
n
10
3
k
Có x 4 C10k 3 x 40 5 k .
x k 0
Số hạng không chứa x khi 40 5k 0 k 8 .
8
Vậy số hạng không chứa x trong khai triển là C108 . 3 295245 .
Câu 52.
điều kiện n N , n 3.
n!
n!
Cn3 An2 50
50
3! n 3 ! n 2 !
n n 1 n 2 6n n 1 300 0
n3 3n 2 4n 300 0 n 6 .
12
3 x
Ta có nhị thức .
x 2
12 k
k
k
12 k
3
x C .3
Số hạng tổng quát C12k . 12 k .x 2 k 12
2
x
2
Cho 2k 12 8 k 10.
C 10 .32 297
Hệ số cần tìm là 1210
.
2
512
n
Câu 53. Xét khai triển 1 x Cn0 Cn1 x Cn2 x 2 Cn3 x3 … Cnn x n 1
Đạo hàm hai vế của 1 ta được: n 1 x
n 1
Cn1 2Cn2 x 3Cn3 x 2 … nCnn x n1 2
Trong công thức 2 ta cho x 1 ta được:
n2n1 Cn1 2.Cn2 3.Cn3 … nCnn n.2 n 1 256n 2n1 256 n 9 .
n
9
9
3
3
k
Khi đó, 2 x 2 2x 2 C9k 3 29 k .x183k .
x
x n0
9
3
Do đó số hạng không chứa x trong khai triển 2x 2 nếu 18 3k 0 hay k 6 .
x
6
Suy ra số hạng cần tìm là C96 3 23 489888 .
Câu 54.
n
n
k
Ta có 1 2 x Cnk 2 x . Vậy a0 1 ; a1 2Cn1 ; a2 4Cn2 .
k 0
Theo bài ra a0 a1 a2 71 nên ta có:
n!
n!
1 2Cn1 4Cn2 71 1 2
4
71 1 2n 2n n 1 71
1! n 1 !
2! n 2 !
2 n 2 4 n 70 0 n 2 2 n 35 0 n 7 (thỏa mãn) hoặc n 5 (loại).
5
Từ đó ta có a5 C75 2 672 .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong
24
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Câu 55.
ĐT:0946798489
Ta có
n!
n!
10 , n , n 3
n 2 ! 3! n 3!
An2 Cn3 10
n 2
1
1 3 3 2 4
n n 1 n n 1 n 2 10 n n n 10 0 n 6 .
6
2
3
6
n 5
So điều kiện nhận n 6 hay n 5 .
6
k
5
k
6
6
2
k
2 6 k 2
Khi n 6 , ta có x 2 3 C6k x 3 C6k 2 x12 5 k .
x
x
k 0
k 0
7
Để có x 5 thì 12 5k 5 k (loại).
5
5
5
2
k
2 5 k 2
Khi n 5 , ta có x 2 3 C5k x 3 C5k 2 x10 5 k .
x
x
k 0
k 0
5
Để có x thì 10 5k 5 k 1 .
Vậy a5 C51 2 10 .
Câu 56.
Ta có: An3 2 An2 100
n!
n!
2
100 n n 1 n 2 2n n 1 100
n 3 ! n 2 !
n3 n 2 100 0 n 5 .
2n
10
10
k
Ta có: 1 3x 1 3x C10k 3 x .
k 0
Hệ số x 5 sẽ là C105 35 61236 .
Câu 57.
n
n
Ta có 3 1 3n Cn0 3n1 Cn1 3n 2 Cn2 ….. 1 Cnn
2 n 2048 2 n 211 n 11 .
11
11
Xét khai triển x 2 C11k x11 k .2k
k 0
Tìm hệ số của x tìm k k 11 thỏa mãn 11 k 10 k 1 .
10
11
Vậy hệ số của x10 trong khai triển x 2 là C111 .2 22 .
n
k
n
n
nk 1
1
Câu 58. Ta có 3 x 2 Cnk 3 x 2 Cnk 3n k x 2 n 3 k .
x
x
k 0
k 0
2n 3k 3
n k 4
k 5
3
5
4
Biết hệ số của x là 3 C n nên
.
n 9
k 5
0 k n, k , n N
Vậy n 9 .
Câu 59. Điều kiện: n
Ta có
Cnn41 Cnn3 7 n 3
n 4 ! n 3 ! 7 n 3
n 1!3! n!3!
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong
25
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
n 4 n 3 n 2 n 3 n 2 n 1 7
6
3n 36 n 12 .
Xét khai triển
6
12
12
1
1
5
C12k 3
x
3
x
x
k 0
12
C12k x
60 11k
2
k
12 k
x5
n 3
0 k 12, k
.
k 0
Để số hạng chứa x 8 thì
60 11k
8 k 4.
2
Vậy hệ số chứa x 8 trong khai triển trên là C124 495 .
Câu 60.
n 6
Điều kiện:
n
Khi đó An5 18 An42
n 2 !
n!
18.
n 5!
n 6 !
n n 1 n 2 n 3 n 4 18 n 2 n 3 n 4 n 5
n max
n n 1 18 n 5 n 2 19n 90 0 9 n 10
n 10 .
10
1
10 k 1
Số hạng tổng quát trong khai triển 2x 5 là Tk 1 C10k . 2 x . 5
x
x
C10k .210k .x10k .x
Tìm k sao cho
k
5
C10k .210k .x
50 6 k
5
k
.
50 6k
4 k 5.
5
Vậy hệ số của số hạng chứa x 4 là C105 .2105 8064.
1
n!
n!
105 n n 1 105 n 2 n 210 0
Câu 61. Ta có: An2 Cn2 105
2
n 2 ! 2! n 2 !
n 15
.
n 14 L
Suy ra số hạng tổng quát trong khai triển: Tk 1 C . x
k
15
2 15 k
k
k
1
. C15k . 1 .x 303k .
x
Tìm 30 3k 0 k 10 .
10
Vậy hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển là: C1510 . 1 3003 .
Câu 62.
Ta có x 1
2 n 1
C20n 1.x 2 n1 C21n 1.x 2 n … C22nn1.x C22nn11 1
Thay x 1 vào 1 : 22 n1 C20n 1 C21n 1 … C22nn1 C22nn11 2
Thay x 1 vào 1 : 0 C20n 1 C21n 1 … C22nn1 C22nn11 3
Phương trình 2 trừ 3 theo vế: 22 n 1 2 C20n 1 C22n 1 … C22nn1
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong
26
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Theo đề ta có 2
2 n 1
ĐT:0946798489
2.1024 n 5
10
Số hạng tổng quát của khai triển 2 3x :
k
k
Tk 1 C10k .210 k . 3x C10k .210 k . 3 .x k
Theo giả thiết ta có k 5 .
5
Vậy hệ số cần tìm C105 .25. 3 1959552 .
Câu 63.
Ta có: Cnn 1 Cnn 2 78
n!
n!
n 1 n 78
78 n
2
n 1!.1! n 2 !.2!
n 12
n 2 n 156 0
n 12 (vì n là số nguyên dương).
n 13
k
12
12 k 2
2
k
k
Số hạng tổng quát trong khai triển x 3 là: 1 C12k x 3 1 C12k .2k .x 36 4 k .
x
x
Cho 36 4k 8 k 7 .
12
2
Vậy số hạng chứa x trong khai triển x 3 là C127 .27.×8 101376x 8 .
x
Câu 64. Điều kiện : n 3, n .
4
n!
4
n!
n
n n 1 n 2 8n 6n n 1
Ta có Cn3 n 2Cn2
3
3! n 3 ! 3
n 2 !
8
n 0
. Đối chiếu điều kiện ta được n 9 .
n 2 3n 2 8 6n 6 n 2 9n 0
n 9
k
9
2
2
k
Số hạng tổng quát của khai triển x , là : C9k x 9 k . k 2 C9k x 9 2 k
x
x
5
Số hạng này chứa x ứng với 9 2k 5 k 2 .
Vậy hệ số của số hạng đó là 4.C92 144 .
Câu 65.
Cnn 1 Cnn 2 78 n
n
12
n 12
n n 1
.
78
2
n 13 l
k
12
k 1
3 2 3 2
k
3 12 k
x x C12 x 2
x
x
x
k 0
12
k
12
C 2
k
x36 4 k .
k 0
9
Số hạng không chứa x ứng với 36 4k 0 k 9 là C129 2 112640 .
Dạng 2.1.4 Số hạng không chứa x (số hạng độc lập)
Câu 66. Chọn B
Số hạng tổng quát Tk 1 C9k .8k .x 9 3k , 0 k 9 .
Số hạng không chứa x ứng với 9 3k 0 k 3 .
Vậy số hạng không chứa x trong khai triển là T4 C93 .83 43008 .
Câu 67. Chọn A
k
2
k
k
3 8 k
Ta có số hạng thứ k 1 trong khai triển là Tk 1 C8 x . C8k x 24 4 k . 2 .
x
6
Do tìm số hạng độc lập với x suy ra 24 4k 0 k 6 T7 C86 . 2 1792 .
Câu 68. Chọn A
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong
27
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
12
1
Công thức số hạng thứ k 1 của khai triển x3 là:
x
12 k 1
k
k
Tk C12k 1 x 3 . k C12k 1 x 36 4 k , 0 k 12, k .
x
Số hạng không chứa x ứng với 36 4k 0 k 9 (thỏa mãn).
9
Suy ra T7 C129 1 220 .
Câu 69. Chọn B
k
30
30
1
1
3
30
30
30 k
2
k 30 k
k
k
2
2
2
Ta có x
x
2
x
C
x
2
x
C
2
x
30
30
x
k 0
k 0
k
30
k
3
30 k
2
Số hạng tổng quát thứ k 1 trong khai triển là Tk 1 C 2 x
.
3k
Số hạng này không chứa x tương ứng với trường hợp 30
0 k 20 .
2
10
Vậy số hạng không chứa x trong khai triển là T21 C3020 220 2 20 C30
.
Câu 70. Chọn D
k
k
1
Số hạng tổng quát trong khai triển là Tk 1 C .x . 2 C45k . 1 x 453k
x
Số hạng không chứa x trong khai triển ứng với 45 3k 0 k 15 .
15
15
15
Vậy số hạng cần tìm là C 45
.
. 1 C45
k
45
Câu 71.
45 k
Chọn D
10
2
Số hạng tổng quát trong khai triển x là:
x
k
k 10 k
10
Tk 1 C x
2
. C10k .2k x10 2 k (với k ; k 10 )
x
Số hạng không chứa x trong khai triển tương ứng với 10 2k 0 k 5 (thỏa mãn).
Vậy số hạng không chứa x trong khai triển là: C105 .25 .
Câu 72. Chọn B
7
k
7 7
7
7
7k 1
k
1
3
k 3 12
k 3
C
x
.
Ta có: x 4 C7 x
7
4
x
k 0
k 0
x
7 7
k 0
k 4.
Số hạng không chứa x trong khai triển ứng với 3 12
0 k 7, k
7
1
Số hạng không chứa x trong khai triển 3 x 4 là: C74 35.
x
Câu 73. Chọn A
6
6 k
k
6
6
1
k 1
k
Ta có: 2 x 2 C6k . 2 x . 1 2 C6k .26 k . 1 .x 6 3k
x k 0
x
k 0
Số hạng không chứa x xảy ra khi: 6 3k 0 k 2
2
Số hạng đó là C62 .2 4. 1 240
Vậy số hạng không chứa x trong khai triển trên là 240
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong
28
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Câu 74.
ĐT:0946798489
Chọn B
12 k
1
Số hạng tổng quát trong khai triển là Tk 1 C12k
x
2 k
x
k
C12k 1 x3k 12 .
Theo đề bài ta có 3k 12 0 k 4 .
4
Vậy số hạng không chứa x trong khai triển là C124 1 495 .
Câu 75.
Chọn D
k
45
45
45
1
k
1
Có x 2 C45k . x 45 k . 2 1 C45k . x 453k .
x
x
k 0
k 0
Tìm số hạng không chứa x thì 45 3k 0 k 15 .
15
Vậy số hạng không không chứa x là C45
.
Câu 76.
k
5
5 k 1
1
Chọn A Số hạng tổng quát trong khai trển x 2 3 là: Tk C5k x 2 . 3 C5k x10 5 k .
x
x
Số hạng cần tìm không chứa x nên ta có: 10 5k 0 k 2.
Vậy số hạng không chứa x trong khai triển là T2 C52 10.
Câu 77. Chọn B
7
k
7 7
7
k
1
k 3 12
.
x
4 C7 x
k 0
x
7 7
k 0
k 4.
Số hạng không chứa x trong khai triển ứng với 3 12
0 k 7, k
7
1
Ta có: 3 x 4 C7k
x
k 0
3
7k
7
1
Số hạng không chứa x trong khai triển 3 x 4 là: C74 35.
x
Câu 78. Chọn B
30
30
603k
30
k
2
30k 2
k
k
Ta có x
C30 x C30k 2 x 2 .
x
x
k 0
k 0
60 3k
0 k 20 .
2
10
Vậy số hạng không chứa x là: 2 20.C3020 2 20.C30
.
Số hạng không chứa x tương ứng
Câu 79.
Ta có
x 1
3
x 1
x 1 3
1
3 x 1
x
.
x
x
x2 3 x 1 x x
10
10
x 1
x 1
1
3 x
Nên P
.
3 2
3
x
x
x
x
x
1
k
10
Số hạng tổng quát của khai triển là: C x
10 k
3
k
205 k
1
k
k
6
.
1
C
x
.
10
x
4
Khi k 4 thì số hạng không chứa x là 1 C104 210 .
Câu 80.
9
9
k
9
k
Ta có f x x 2 x 2 C9k 2 x 2 x 9 k C9k 2 x 2k x9 k
k 0
k 0
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong
29
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
9
9
k
ĐT:0946798489
k
C9k 2 x 2 k 9 k C9k 2 x9 3k
k 0
k 0
Số hạng không chứa x của khai triển f x ứng với 9 3k 0 k 3
3
Vậy hệ số không chứa x là C93 . 2 672 .
Câu 81.
k
k
14
Số hạng tổng quát trong khai triển là: 1 C .
14 k
x
3
k
56 7 k
2
k
k
k
. 4 1 C14 .2 .x 12
x
56 7 k
0 k 8.
12
Vậy số hạng không chứa x trong khai triển là: 28 C148 .
Cho
11
11 k
3311k
11
11
1
11
k
5 k
k
2
Câu 82. Ta có x x 5 x C11.x .x C11.x 2 .
x
k 0
k 0
Số hạng không chứa x trong khai triển ứng với 33 11k 0 k 3 .
Số hạng cần tìm là C113 165 .
Câu 83. Chọn A
Ta có: Cn1 Cn2 55
n n 1
n 10
n!
n!
55 n
55 n 2 n 110 0
n 10
1! n 1 ! 2! n 2 !
2
n 11
Với n 10 thì ta có:
n
10
10 k
10
10
10
3 2 3 2
k
3k 2
C10k .x 3k .210 k .x 2 k 20 C10k .210 k .x 5 k 20
x 2 = x 2 C10 .x . 2
x
x
x
k 0
k 0
k 0
Để có số hạng không chứa x thì 5 k 20 0 k 4 .
Do đó hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển là: C104 .26 13440 .
Câu 84. Chọn C
Điều kiện: n , n 2
n 11 (tm )
n n 1
C n2 C n1 44
n 44
2
n 8
11
k
3311k
11
11
11k
1
1
k
k
Ta có x x 4 C 11 x x
4 C 11x 2
x
x
k 0
k 0
11
33 11k
0k 3
2
Vậy số hạng không chứa x trong khai triểnlà C 113 165 .
Số hạng không chứa x trong khai triển ứng với
Câu 85.
n 2
ĐK:
* .
n
Ta có Cn2 Cn1 44
n n 1
n 44 n 11 hoặc n 8 (loại).
2
11
1
Với n 11 , số hạng thứ k 1 trong khai triển nhị thức x x 4 là
x
C11k x x
11 k
k
33 11
k
1
k
2 2
C
x
.
11
4
x
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong
30
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
33 11k
0 hay k 3 .
2
2
Vậy, số hạng không chứa x trong khai triển đã cho là C113 165 .
Câu 86. Với điều kiện n 3, n , ta có
n n 1 n 2
Cn3 2n An21
2n n 1 n n 1 n 2 12 6 n 1
3!
n 1(loaïi )
n 2 9n 8 0
.
a)
n 8(thoû
Theo giả thiết, ta có
16
3
Với n 8 , ta có số hạng thứ k 1 trong khai triển 2x 3 là
x
k
4
3
k 16 k
k 16 k
C 2 x 3 C16 2 3 x 3 .
x
4
Theo đề bài ta cần tìm k sao cho 16 k 0 k 12 .
3
Do đó số hạng không chứa x trong khai triển là C1612 .24.312 .
k
16
Câu 87.
16 k
Cn2 n 27
n n 1
n!
n 27
n 27
2! n 2 !
2
n 9 TM
n2 3n 54 0
n 6 L
9
2
Xét khai triển x 2 có số hạng tổng quát
x
k
2
Tk 1 C x . 2 C9k .2k x 9 3k
x
Số hạng không chứa x nên 9 3k 0 k 3 .
Vậy số hạng không chứa x là: T4 C93 .23 672 .
k
9
9k
Dạng 2.2 Khai triển của nhiều biểu thức
Dạng 2.2.1 Dạng a1 a2 …ak
Câu 88. Chọn D
n
Ta có A 1 3 x 2 x 2
0
A C2017
1 3x
2017
2017
1 3 x 2 x 2
1
C2017
1 3x
2016
2017
2015
2 2
2017
… C2017
2 x2
2016
2 x xuất hiện biểu thức
2 x C 1 3x 2 x
2
2
2017
0
Trong khai triển trên chỉ có hai số hạng C2017
1 3 x
2017
1
, C2017
1 3x
2017
.
2
chứa x 2
0
C2017
1 3x
2017
2
3
0
0
1
2
3
2017
C2017
C2017
C2017
3x C2017
3x C2017
3x … C2017
3x
2017
2
0
0
2
Hệ số chứa x 2 trong số hạng C2017
C2017
1 3 x là: C2017
3
1
C2017
1 3x
2016
2 x C 2 x C
2
1
2017
2
0
2016
2
1
2
2016
C2016
3x C2016
3x … C2016
3x
1
Hệ số chứa x 2 trong số hạng C2017
1 3x
2016
2 x là: 2C
2
1
2017
2017
2016
0
.
C2016
2
0
2
1
0
Vậy hệ số a2 C2017
C2017
C2016
18302258
3 2C2017
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong
31
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Câu 89.
ĐT:0946798489
10
10
10 k
f x 1 3 x 2 x3 C10k 1 3 x
k 0
10 10 k
i
C10k C10i k 3 .2 k .xi 3k
10 10 k
k
k
i
. 2 x3 C10k C10i k 3 x . 2 x3 .
k 0 i0
i, k , 0 k 10, 0 i 10 k .
k 0 i 0
Số hạng chứa x 7 ứng với i 3k 7 .
4
7
Vậy hệ số của x 7 là: C102 .C81. 3 .22 C101 .C94 . 3 .2 C100 .C107 . 3 62640 .
Câu 90.
9
9
9
k
k 0
i 0
k
Ta có: 3 2 x x 2 C9k .x18 2 k . 3 2 x C9k .x18 2 k Cki .3k i 2 x
k 0
i
0 i k 9
i 1 i 3
Giá trị a15 ứng với: 18 2k i 3
.
k 8 k 9
1
3
Vậy: a15 C98 .C81.37. 2 C99 .C93 .36. 2 804816.
Câu 91. Ta có
9
9k
9
9
9
k
k
k i
1
1
2
k 1
k
x
2
x
x
2
x
1
C
.
x
.
2
x
1
Cki C9k 1 2i.x 2 k i 9 .
9
x
x
k 0 x
k 0 i 0
Theo yêu cầu bài toán ta có 2k i 9 3 2k i 12 ; 0 i k 9 ; i, k
Ta có các cặp i; k thỏa mãn là: 0;6 , 2;5 , 4; 4 .
Từ đó hệ số của x 3 là : C60C96 1
Câu 92.
x
2
6
6
3 x 2 x 1 x 2
6 0
.20 C52C95 1
5 2
.22 C44C94 1
44
.24 2940 .
6
6
Số hạng tổng quát trong khai triển x 1 là C6k .x k 1
6
Số hạng tổng quát trong khai triển x 2 là C6i .xi 2
6
6 k
6 i
với k 0;1; 2…; 6 .
với i 0;1; 2…; 6 .
6
6
Số hạng tổng quát trong khai triển x 2 3 x 2 x 1 x 2 là C6k x k 1
12 i k
C6k C6i x i k 1
. 2
6 k
.C6i xi 2
6 i
6 i
Số hạng chứa x 7 ứng với i k 7 . Kết hợp với điều kiện ta được các nghiệm
5
5
i 1 k 6 hệ số là C66C61 1 . 2 192
5
4
5
3
5
2
5
1
i 2 k 5 hệ số là C65C62 1 . 2 1440
i 3 k 4 hệ số là C64C63 1 . 2 2400
i 4 k 3 hệ số là C63C64 1 . 2 1200
i 5 k 2 hệ số là C62C65 1 . 2 180
5
0
i 6 k 1 hệ số là C61C66 1 . 2 6
6
Vậy hệ số của số hạng chứa x 7 trong khai triển x 2 3 x 2 bằng 5418
Cách 2.
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong
32
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
x
2
6
ĐT:0946798489
3 x 2 x 3 x 2
2
6
Số hạng tổng quát trong khai triển trên là C6k . x 2
6 k
k
3x 2
k
i
Số hạng tổng quát trong khai triển 3x 2 là Cki .2k i 3x
6
Số hạng tổng quát trong khai triển x 2 3 x 2 là C6k . x 2
6k
với k 0;1; 2…; 6 .
với 0 i k .
Cki .2 k i 3 x
i
i
C6k Cki .2 k i 3 . x12 2 k i
Số hạng chứa x 7 ứng với 12 2k i 7 2k i 5 . Kết hợp với điều kiện ta được các nghiệm
1
k 3 i 1 hệ số là C63C31 22 3 720
3
1
k 4 i 3 hệ số là C64C43 3 . 2 3240
0
5
k 5 i 5 hệ số là C65C55 2 . 3 1458
6
Vậy hệ số của số hạng chứa x 7 trong khai triển x 2 3 x 2 bằng 5418 .
Câu 93.
10
10
Ta có: 1 x x 2 x 3 1 x 2
10
1 x
10
10
10
10
C10k .x 2 k . C10i .xi C10k .C10i .x 2 k i
k 0
i0
k 0 i0
5
Hệ số của số hạng chứa x nên 2k i 5 .
Trường hợp 1: k 0 , i 5 nên hệ số chứa x 5 là C100 .C105 .
1
Trường hợp 2: k 1 , i 3 nên hệ số chứa x 5 là C10
.C103 .
Trường hợp 3: k 2 , i 1 nên hệ số chứa x 5 là C102 .C101 .
1
Vậy hệ số của số hạng chứa x 5 là C100 .C105 C10
.C103 C102 .C101 1902 .
Câu 94.
3Cn0 4Cn1 5Cn2 … (n 3)Cnn 3840
0 3 Cn0 1 3 Cn1 2 3 Cn2 … n 3 Cnn 3840
Cn1 2Cn2 … nCnn 3 Cn0 Cn1 Cn2 … Cnn 3840
n.2n 1 3.2n 3840 n 9
9
Cho x 1 (1 x x 2 x 3 )9 1 1 12 13 29 .
Câu 95.
11
11
11
Ta có: A 1 x x 2 x3 … x10 1 x A 1 x11
11
110
k
11
m
C11k x . ai xi C11m x11 .
k 0
i 0
0
m
P
Q
0
11 11
1
11
Hệ số của x trong P là: C a C111 a10 C112 a9 C113 a8 … C1110 a1 C1111a0 T
11
Hệ số của x11 trong Q là: C
Vậy T C111 11 .
n
m
Dạng 2.2.2 Tổng a1 b1 a2 b2 … ak bk
Câu 96. Chọn A
h
18
1
12
Đặt A 1 x ; B x 2
x
12
12
Ta có khai triển A 1 x C12k x k có 13 số hạng.
k
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong
33
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
18
18
1
Và khai triển B x 2 C18l x36 3l có 19 số hạng.
x
l 0
Ta đi tìm các số hạng có cùng lũy thừa, mà giản ước được trong khai triển P ( x ) , ta phải có :
36 3l k k 3l 36
(1)
Phương trình (1) cho ta ta 5 cặp nghiệm thỏa mãn (k;l) {(0;12), (3;11), (6;10), (9;9), (12;8)} tương
ứng với 5 số hạng.
Vậy sau khi khai triển và rút gọn P ( x ) ta có 13 19 5 27 số hạng.
Câu 97.
Ta có P x a2018 x 2018 a2017 x 2017 … a1 x a0
Cho x 1 P 1 a2018 a2017 … a1 a0 1 2
3 2.1
2018
0.
k
12
Câu 98.
2017
12
12
2 3
k
2 12 k 3
x
C
x
C12k 3k x 243k
12
x
x
k 0
k 0
k
21
21
21
3 1
k
3 21 k 1
2x
C
2
x
C21k 2 21 k x 635 k
21
2
2
x
x
k 0
k 0
Ta cho k chạy từ 0 đến 12 thì các số mũ của x không bằng nhau.
12
3
Với khai triển x 2 ta có 13 số hạng; Với khai triển
x
số hạng là: 35 .
Câu 99.
n
21
3 1
2x 2 ta có 22 số hạng. Vậy tổng
x
n
Xét nhị thức x 1 1 x có số hạng tổng quát là Cnk x k . Ta có:
6
Hệ số của x 5 trong 1 x là C65 .
7
Hệ số của x 5 trong 1 x là C75
12
Hệ số của x 5 trong 1 x là C125 .
Vậy hệ số của x 5 trong khai triển P x là C65 C75 … C125 1715 .
8
Câu 100. Ta có 1 x C80 C81 x … C88 x8 suy ra hệ số chứa x 8 là C88 .
9
Lại có 1 x C90 C91 x … C98 x8 C99 x9 suy ra hệ số của x 8 là C98 .
10
Tương tự trong khai triển 1 x có hệ số của x 8 là C108 .
11
1 x
12
1 x
có hệ số của x 8 là C118 .
có hệ số của x 8 là C128 .
Suy ra hệ số của x 8 trong P x là a8 C88 C98 C108 C118 C128 715 .
Câu 101. Ta có
8
9
10
11
12
P x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x .
Áp dụng khai triển
n
1 x Cn0 Cn1 x Cn2 x 2 … Cnn x n .
Cho x 1 , ta có Cn0 Cn1 Cn2 … Cnn 2n .
Do đó ta có tổng hệ số của P x là:
S 28 29 210 211 212 28 1 2 4 8 16 31.28 7936 .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong
34
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
m
Dạng 2.2.3 Tích a1 .. an . b1 … bn
Câu 102.
11
1 2 x 3 x
l
11
11
3 x 2x 3 x
11
11
C11k .311 k .x k 2 x C11k .311 k .x k
k 0
k 0
11
11
C11k .311 k .x k C11k .2.311 k .x k 1
k 0
k 0
Suy ra hệ số của x khi triển khai nhị thức trên là: C119 .32 C118 .2.33 9045 .
9
10 k k k
2 2
3
4
x
4
x
C10 .2 .x .16 x4 32 x3 40 x2 24 x 9
k 0
2
2
3
3
4
4
5
Do đó a6 C10 .2 .16 C10 .2 .32 C10 .2 .40 C10 .25.24 C106 .26.9 482496 .
10
Câu 103. Ta có: 1 2 x
n
6
6
Câu 104. Xét khai triển 2 x 1 1 2 x
4
8
8
1
1 1
2
x x x x
4
2 2
4
1
Vậy 2 x 1 x x
4
6 2
n
C6k 16k
k 0
8
8 j
81
Cj
2
j 0
8
C6k 2k x k .
k 0
C 2 x
k k k
6
xj
n
8 j
C8J
j 0
Số hạng của khai triển chứa x6 khi
Xét bảng:
k 0
n
2x
k
1
2
j
x
8
C6k 2k .
k 0
j 0
8 j
C8J
1
2
x jk
jk 6
4
1
3003 1 6
Vậy hệ số x trong khai triển 2 x 1 x x thành đa thức là
C14 .
4
4
4
Dạng 2.2.4 Dạng kết hợp tích và tổng
Câu 105. Chọn B
6
2
Hệ số của x5 trong khai triển biểu thức x 2 x 1 là C64 2 4 1 240 .
6 2
6
8
3
Hệ số của x5 trong khai triển biểu thức x 3 là C85 3 1512 .
6
8
Suy ra hệ số của x5 trong khai triển biểu thức x 2 x 1 x 3 là 240 1512 1272 .
Câu 106. Chọn B
6
8
6
k
x 3 x 1 2 x 1 x C6k . 3 x 1
6
C6k .3k 1
k 0
6k
k 0
8
x k 1 C8m .2 m 1
8 k
6 k
8
C8m . 2 x
m
8 k
1
m 0
xm .
m0
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong
35
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Hệ số x 5 ứng với k 4 ; m 5 .
ĐT:0946798489
2
3
Hệ số cần tìm là C64 .34 1 C85 .25 1 577 .
Câu 107. Chọn A
Hệ số của x 4 trong khai triển nhị thức ( x 2) 6 là C64 22 60 .
Hệ số của x 5 trong khai triển nhị thức (3x 1)8 là C85 ( 3)5 13608 .
Vậy hệ số của x 5 trong khai triển biểu thức x( x 2)6 (3 x 1)8 bằng 13608 60 13548.
Câu 108. Chọn D
6
6
8
Ta có x 2 x 1 3 x 1 x. C6k 2 x
6 k
1
8
k
C8m 3 x
k 0
6
C6k 2
6k
1
k 0
k
8
.x 7 k C8m 3
8 m
1
8 m
1
m
m0
m
.x 8 m
m 0
Để có số hạng của x 5 trong khai triển thì k 2; m 3
5
3
Do đó hệ số của x 5 trong khai triển bằng: C62 .2 4 C83 . 3 1 13368.
Câu 109. Chọn A
Số hạng tổng quát trong khai triển trên có dạng:
6k
m
8 m
6k
8 k
x.C6k .x k 2 C8m . 3 x . 1 C6k .x k 1 2 C8m .3m. 1 .x m .
k 1 5
k 4
Để tìm hệ số của x 5 ta cần tìm k , m sao cho
.
m 5
m 5
2
3
Hệ số của x 5 cần tìm bằng: C64 . 2 C85 .35. 1 13548 .
Câu 110. Chọn A
Hệ số của x 5 là
C 54 .11.1 C103 .17.23 965.
4
k
m
k
Câu 111. Khải triển P x có số hạng tổng quát xC5k 2 x x 2C10m 3x 2 C5k x k 1 3m C10m x m 2 (
k , k 5 , m , m 10 )
k 1 5
k 4
Hệ số của x 5 ứng với k , m thỏa hệ
.
m 2 5
m 3
4
Vậy hệ số cần tìm là 2 C54 33 C103 3320 .
Dạng 3. Ứng dụng nhị thức newton để giải toán
Câu 112. Chọn
A.
1 20
0
1
2
318 C20
317 C20
… C20
Ta có: S 319 C20
3
20 0
19 1
18 2
20
3S 3 C20 3 C20 3 C20 … C20
20
0
1
2
20 0 20
Xét khai triển: 3 1 C 20
3 2010 C20
31911 C 20
31812 … C 20
31
20
0
1
2
20
3S 420
3 1 C 20
320 C20
319 C20
318 … C20
Câu 113. Chọn A
Ta có 1 1
2017
2017
k
0
1
2
3
2017
.
C2017
1k12017 k C2017
C2017
C2017
C2017
… C2017
k 0
1
2017
Vậy C
2
2017
C
3
2017
C2017
… C2017
22017 1 .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong
36
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
Câu 114. Chọn C
Ta có 1 1
2018
2018
i
0
1
2
2018
C2018
C2018
C2018
C2018
… C2018
C
2
2018
i 0
Suy ra C
1
2018
2018
… C2018
22018 1 .
Câu 115. Xét hai khai triển:
+ 2 2017 1 1
+ 0 1 1
2017
2017
0
1
2
3
2017
C 2017
C2017
C2017
C 2017
… C2017
1 .
0
1
2
3
2017
C2017
C2017
C 2017
C2017
… C2017
2
1
3
5
2017
Lấy 1 2 theo vế ta được: 2 2017 2 C 2017
C2017
C2017
… C2017
T 22016 .
Câu 116. Chọn C
5
Xét tổng 1 x C50 xC51 x 2C52 … x 5C55
5
Thay x 2 ta được: S C50 2C51 2 2 C52 … 25 C55 1 2 35 243
Câu 117. Chọn B
10
10
Ta có x 1 C10k .x k
k 0
10
10
Chọn x 2 ta có 2 1 C10k .2k S 310 49049 .
k 0
10
Câu 118. Xét khai triển 1 x C C101 .x C102 .x 2 C103 .x 3 C1010 .x10 .
0
10
10
1
22 C102 23 C103 210 C1010 .
Với x 2 ta có 1 2 C100 2C10
Vậy S 310 59049 .
2016
0
1
2
2016 2016
Câu 119. Ta có: 1 x
C2016
C2016
x C2016
x 2 … C2016
x .
0
1
2
2016
1
2
2016
Chọn x 1 , ta có: 22016 C2016
hay C2016
C2016
C2016
… C2016
C2016
… C2016
2 2016 1 .
Câu 120. Chọn C
n
Xét khai triển 1 x Cn0 Cn1 x Cn2 x 2 … Cnn x n .
Cho x 4 ta có: 5n Cn0 4Cn1 42 Cn2 … 4 n Cnn . Suy ra: 15625 5n 56 5n n 6 .
Câu 121. Chọn C
Ta có: x. 1 x
2019
2019
k
0
1
2018 2018
2019 2019
x. C2019
x k x. C2019
C2019
x … C2019
x C2019
x .
k 0
0
2019
1
2018 2019
2019 2020
C x C2019
x 2 … C2019
x
C2019
x .
Đạo hàm 2 vế theo biến x ta được.
0
1
2018
2019
(1 x ) 2019 2019 x(1 x ) 2018 C2019
C2019
.2 x … C2019
.2019 x 2018 C2019
.2020 x 2019 .
0
1
2018
2019
Cho x 1 suy ra 2 2019 2019.2 2018 C2019
.
2C2019
… 2019C2019
2020C2019
(2 2019).22018 1 S S 2021.22018 1 .
Vậy S 2021.22018 1 .
Câu 122. Chọn C
22
1
21
Ta có : 2 22 1 1 C220 C22
C222 …. C2220 C22
C2222 .
Áp dụng tính chất : Cnk Cnn k , suy ra:
22
1
20
10
12
, C22
,……, C22
.
C220 C22
C2221 , C222 C22
C22
0
1
22
12
13
22
Do đó: C22
C 22
C222 …. C2220 C2221 C 22
2 C 22
C22
…. C2220 C2221 C22
C2211 .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong
37
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
0
22
1
22
2
22
20
22
21
22
C C C …. C C C
2
22
11
2
C
12
13
21
C22
C22
…. C2220 C22
C2222
22
2
2
C 11
12
13
C22
C22
…. C2220 C2221 C2222 221 22 .
2
11
C
Vậy S 221 22 .
2
12
13
21
22
C22
C22
…. C2220 C22
C22
Câu 123.
1 x
2018
22
22
11
22
C
2
1
C02018 xC12018 x 2 C22018 x3C32018 … x 2018C2018
2018
Đạo hàm 2 vế của đẳng thức 1 ta được:
2018 1 x
2017
C12018 2xC22018 3x 2C32018 … 2018x 2017 C2018
. Cho x 1 ta được:
2018
2
2018
3C32018 … 2018C2018
2018.2 2017 C12018 2C2018
. 2
Đồng thời, thay x 1 vào 1 ta cũng có:
2
2018
C32018 … C2018
. 3
22018 C02018 C12018 C2018
Lấy 2 3 ta được:
2
2017
2018
… 2018C2018
2019C2018
.
S 2018.22017 2 2018 C02018 2C12018 3C2018
Vậy S 1009.22018 2 2018 1010.2 2018.
10 k
1 k k
x k 1 x
1
10!
10 k
10 k
.
.C10 .x . 1 x
.
.x k . 1 x
Câu 124. Ta có
với 0 k 10 .
10!
k ! 10 k ! 10! k !10 k !
2
10
1 x
x10 x9 1 x x8 1 x
.
.
…
10! 9! 1!
8!
2!
10!
1
1
10
1 10 k k
10 k
C10 .x . 1 x
x 1 x .
10!
10!
10! k 0
Câu 125. S 2 C10 C20 … Cn0 C11 C21 … Cn1 … Cnn11 Cnn 1 Cnn
2 C10 C11 C20 C21 C22 … Cn01 Cn11 … Cnn11 Cn0 Cn1 … Cnn
2
2 2 1 1 … 1 1
n 1
1 1
n
2n 1
S 2n 1 .
2 1
S là một số có 1000 chữ số 10999 S 101000 10999 2n1 101000
999 log 2 10 1 n 1000 log 2 10 1
2 21 2 2 … 2 n 2 2.
Do n nên n 3318;3319;3320 .
Vậy có 3 số nguyên dương n thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 126. Chọn B
n!
n!
n!
n!
….
1024
1! n 1 ! 3! n 3 ! 5! n 5 !
n 1!1!
Cn1 Cn3 Cn5 ….. Cnn 1024 (1).
Ta chứng minh đẳng thức Cn1 Cn3 Cn5 ….. Cnn 2 n 1 (2).
n
0
1
2 2
n n
Thật vậy, xét 1 x Cn Cn x Cn x …. Cn x .
Với n là số nguyên dương
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong
38
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
n
0
n
ĐT:0946798489
1
n
n
n
2
n
Thay x 1 thì 2 C C C ….. C .
Thay x 1 thì 0 Cn0 Cn1 Cn2 Cn3 …… Cnn 1 Cnn
Cn0 Cn2 Cn4 …… Cnn Cn1 Cn3 ….. Cnn1 .
A
B
A B
2 B 2n B 2n 1 .
Từ đó ta có:
n
A B 2
Do đó đẳng thức (2) được chứng minh.
n1
10
Thay vào (1) 2 1024 2 nên n 11 , chọn đáp án B
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong
39
