Các dạng toán căn bậc ba – Nguyễn Chí Thành

Giới thiệu Các dạng toán căn bậc ba – Nguyễn Chí Thành

Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và bạn đọc Các dạng toán căn bậc ba – Nguyễn Chí Thành.

Tài liệu môn Toán sẽ luôn được cập thường xuyên từ nguồn đóng góp của quý bạn đọc và hoctoanonline.vn sưu tầm, các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán mới nhất nhé.

Hơn nữa, Hoctoanonline.vn còn cung cấp file WORD Tài liệu môn Toán miễn phí nhằm hỗ trợ thầy, cô trong quá trình dạy học, biên soạn đề thi.

Tài liệu Các dạng toán căn bậc ba – Nguyễn Chí Thành

Các em học sinh Đăng ký kênh youtube để học thêm nhé

Text Các dạng toán căn bậc ba – Nguyễn Chí Thành

TTLT Thầy Nguyễn Chí Thành 9075705122

CĂN BẬC BA
 Căn bậc ba của một số a là số x sao cho x 3  a .
 Mọi số a đều có duy nhất một căn bậc ba.
 AB 3 A  3B

3

A.B  3 A .3 B

 Với B  0 ta có:

3

A

B

3

A

3

B

DẠNG 1: THỰC HIỆN PHÉP TÍNH

 3 a 3  a

3 3

a a;

Phương pháp: Áp dụng công thức:

và các hằng đẳng thức: (a  b)3  a3  3a2b  3ab2  b3 , (a  b)3  a3  3a2b  3ab2  b3
a3  b3  (a  b)(a2  ab  b2 ) ,

a3  b3  (a  b)(a2  ab  b2 )

Bài 1. Thực hiện phép tính:
3

b) 729

3

e) −1728

a) 216
d) −343

3

c) 1331

3

3

f)

3

8
27

HD:
3

a) 216 =

3

3

63 = 6

3

b) 729 = 9

3

d) −343 = −7

e)

3

c) 1331 = 11

−1728 = −12

f)

3

8
27

=

2
3

Bài 2. Thực hiện các phép tính sau:
a) 3 ( 2  1)(3  2 2)
d)

b) 3 (4  2 3)( 3  1)

 3 4  13   3 4  13

e)

c)

3

64  3 125  3 216

 3 9  3 6  3 4  3 3  3 2 

HD:
a)

3

2+1

2+1

2

=

3

2+1

3

= 2+1

b) Tương tự câu a: 3 − 1
c) −4 − 5 + 6 = −3
d) Khai triển theo hằng đẳng thức:
3

3

3

3

3

3

(4 + 3 16 + 3 4 + 1) − 4 − 3 16 + 3 4 − 1 = 6 16 + 2 = 12 2 + 2
e)

3

3

3

+

3

2

3

=5

Bài 3. Thực hiện các phép tính sau:
a) A  3 2  5  3 2  5

b) B  3 9  4 5  3 9  4 5

TTLT Thầy Nguyễn Chí Thành 9075705122

c) C  (2  3).3 26  15 3

d) D  3 3  9 

125 3
125
 3  9 
27
27

HD:
3

a) Nhân vào 2 vế với 2 ta được: 2? =
3

3

1− 5

16 + 8 5 +

3

16 − 8 5 =

3

5+1

3

+

=2

Suy ra A = 1.
3

Cách khác: Lập phương hai vế ta được: ?3 =
 ?3 = 2 + 5 + 2 − 5 + 3

3

2+ 5+

2+ 5 2− 5 .

3

3

2− 5

2+ 5+

3

3

2− 5

3

 ?3 = 4 + 3 −1. ?  ?3 + 3? − 4 = 0  ? − 1) ?2 + ? + 4) = 0  ? = 1
3 5 
b) Tương tự câu a: B  3 . Chú ý: 9  4 5  

 2 

3

c) C  1 . Chú ý: 26  15 3  (2  3)3
d) D  1 . Đặt a  3 3  9 
Bài 4.

Cho

3

125
125
5
, b  3 3  9 
 a3  b3  6, ab  . Tính D 3 .
27
27
3

3

3

16 + −54 + 128 =

3

2. ? . Tính a

HD:
3

3

3

3

3

3

3

16 + −54 + 128 = 2 2 − 3 2 + 4 2 = 3 2 . Vậy a = 3.
3

3

Bài 5. Cho ?3 = 5. 2 − 1 − 3. 4 . Tính a
HD:
3

3

3

2. 2 − 3. 22 . 1 + 3. 2. 12 − 1 =

Bài 6. Biết

1+ 3

2

+

3

1− 3

2−1

2

3

suy ra ? =

3

2−1

= ? + ? 3 với x, y là các số nguyên. Tính x+y

HD:
1+ 3

2

+

1− 3

2

= 1 + 3 + 3 − 1 = 2 3 suy ra x = 0; y = 2 nên x+y =2.

TTLT Thầy Nguyễn Chí Thành 9075705122

Bài 7.

Tính giá trị biểu thức A =

(3×3+8×2+2)2009

-32009

( 5+2)

biết ? =

3

17 5−38

5+ 14−6 5

HD:
Chú ý:

3

3

17 5 − 38 =
1

nên ? =

3

5— 2

3

= 5 − 2; 14 − 6 5 =

3− 5

2

=3− 5

⇒?=0

3

Bài 8. Tính: ? =

3

3

4+ 2+2

; ?=

3

4+ 2+1

3

3+ 3+

10 + 6 3 ; ? =

4+2 3
3

10+6 3

HD:
?=

3

4+ 2+2

3

3

4+ 2+1

3

Chú ý :
?=

3

=

3

3

3

4+ 2+ 8

3

3

4+ 2+1

3

=

3

2.
3

3

4+ 2+1

=

3

4+ 2+1

3

2

10 + 6 3 = 3 + 1 ⇒ ? = 3 + 1

4+2 3
3+1

=

3+1

2

= 3+1

3+1

3

Bài 9. Tính: ? =

1+2 6−

6

3

25 + 4 6 . 2 6 − 1 + 1

HD:
Ta có: 1 + 2 6

Bài 10.

2

= 25 + 4 6 nên

Tính: ? =

3

3

1+2 6−

6

25 + 4 6 = 0 ⇒ ? = 1

7+2 5

4+2 3− 3

HD:
3

?=

Bài 11.

7+2 5

4+2 3− 3

=

1+ 2
(1 + 3) − 3

9−2 3
3
3 +3 2 . 3
3− 2

Chứng minh rằng:

6

3+ 108

=

3

=1+ 2

5+2−

3

5−2

HD:
9−2 3
3

3− 2

= 3.

3

3

3


3

2

3− 2

3
3

3

3

3

= 3 3 + 3. 2 + 4 = 3 3 + 3 2 + 3. 4

TTLT Thầy Nguyễn Chí Thành 9075705122

9−2 3

3

3

+3 2 . 3=

3

3− 2

3

Đặt ? =

3

5+2−

3

3 + 3. 2

9−2 3
3
3 +3 2 . 3
3− 2

2

3

9 + 6 3. 2 + 3 4 =

6

3+ 108

3

6

= 3 + 3. 2 = 3 + 108

=1.

5 − 2 . Lập phương hai vế tính được ? = 1.

Vậy VT=VP = 1
Bài 12.
a)
c)
e)

3

4
3

Tính:
6

2 − 5.

9+4 5+

3

2+ 5

56 − 24 5
7+5 2+

3

b)

4

17 + 12 2 − 2

d)

4

28 − 16 3 + 1

7−5 2

HD:
a)
=
b)
c)
d)
e)

3

3

4

4

4

c)

e)

3

3

9+4 5+
2+ 5+
4

17 + 12 2 =

4

56 − 24 5 =

4

28 − 16 3 =

3

3

3

2 − 5.

3

2+1

Bài 13.
a)

6

2 − 5.

3

+

2+ 5 =

3

2 + 5 = 2.
2

3+2 2
6−2 5

2

2

4−2 3
1− 2

3

2 − 5.
3

6

5+2

2

3

+

2+ 5

3

2 − 5. 2 + 5 = −2

=

3+2 2= 2+1

=

6−2 5= 5−1

=

4−2 3= 3−1

=2

Tính các biểu thức sau:

6 3 + 10 −

3

45 + 29 2 +

4+

3

3

5

31

3

3

+

3

6 3 − 10
3

b)

45 − 29 2

4−

5

31

3

3

HD: Lập phương hai vế.

d)

a) 2

3

3

b) 1

5 + 2 13 +
2 + 10

1
27

3

+

c) 6

5 − 2 13
3

2 − 10

1
27

d) 2

e) 1

TTLT Thầy Nguyễn Chí Thành 9075705122

Bài 14.
a) 3
c) 3

Trục căn thức ở mẫu các biểu thức sau:
1
3

16 + 12 + 9
1
3

1

b) 4

3

4

3

3

4

2+ 4+ 8+ 16
1

d) 3

3

9− 6+ 4

4

3

3

9− 3+ 24 − 243 + 375

HD: Sử dụng HĐT: ?3 ± ?3 = ? ± ?) ?2 ∓ ?? + ?2 )
a) 3

1
3

3

16 + 12 + 9

Bài 15.

1

=

3

3

4+ 3

2

3

=

3

3

3

2

3

16 + 9− 4. 3

3

4+ 3

3

3

3

3

16 + 9− 4. 3

3

=

3

3

3

16 + 9− 4. 3

2

7

Cho 0 < ? ≠ 1 . Rút gọn biểu thức sau: ?= 6−4 2. 3 20 + 14 2 + 3 ? + 3) ? − 3? − 1: ?−1 2 ?−1 −1 HD: ? = 2− 2 2+ 2 + Bài 16. ?−1 : ?−2 ?+1 2 ?−1 =4 Tính giá trị biểu thức: 3 a) ? = ? ? 3?+1)+? 2 3+?) ?+1 − ? với x = 2018 4 b) M = 8 x − 2 x + 1 + 1 với x = 256 HD: 3 a) ? = ? 3 ? 2 .?+3 ?.? 2 +? 3 ?+1 8 b) ? = ?−1 Bài 17. a) a = +3 2 +1= 8 − ?=0 ? Cho hai số a, b: 3 3+ 368 27 + 3 3− 368 27 ; b= 1 2 3 20 + 14 2 + 3 20 − 14 2 Tính giá trị biểu thức : P = 2a100 +b3 b) a = 1 3 4− 15 + 3 4 − 15 ; b = 1 3 1− 3 25+ 621 2 Tính giá trị của biểu thức: P = a3+b3-3a-b2+100 HD: − 3 25− 621 2 TTLT Thầy Nguyễn Chí Thành 9075705122 368 a) ?3 = 3 + 27 368 +3− 27 3 + 3?. 3+ 368 368 3− 27 = 6 − 5? suy ra (a-1)(a2+a+6) 27 =0 nên a=1. b= 3 1 2+ 2 2 3 + 3 2− 2 3 = 2 suy ra P = 10. b) Tương tự câu a các em lập phương lên : a3 = 3a+8  a3-3a = 8 1 − 3b = 3 25+ 621 2 + 3 25− 621 2 suy ra (1-3b)3 = 25+3(1-3b)  b3-b2 = -1. Nên P = a3-3a+b3-b2+100=107 Bài 18. 3 Cho ? = 3 3+2 2+ 3 3 − 2 2 ; ? = 17 + 12 2 + 3 Tính giá trị biểu thức sau: ? = ? + ? 3 − 3 ? + ?) + 2004 3 17 − 12 2. HD: Lập phương hai vế x và y ta được: ? 3 = 3? + 6 suy ra ? 3 + ? 3 = 3 ? + ?) + 40 ⇔ ? 3 + ? 3 − 3 ? + ?) = 40 ? 3 = 3? + 34 ⇒ ? = 40 + 2004 = 2044 Bài 19. Cho ? = 3 2− 5+2 . 17 5−38 4+2 3− 3 . Tính giá trị biểu thức: ? = ?11 − ?10 + ?9 − ?8 + ?20+99 HD: ?= 2− 3 5+2 . 3+1 5−2 2 3 = 2− 5+2 . 5−2 3+1− 3 − 3 =1 suy ra P = 100. Bài 20. a) ? = Rút gọn các biểu thức sau: 3 9+4 5+ 3 2+ 5 . 3 5−2 b) ? = ? + 2+ 5. 9−4 5 3 2− 5. HD: a) 3 2+ 5+ 3 2+ 5 . 3 3 5 − 2 = 2 2 + 5. 3 5−2=2 3 3 3 9+4 5− ? 2 + ? TTLT Thầy Nguyễn Chí Thành 9075705122 b) ? = ?+1 3 2− 5. Bài 21. a) ? = 3 3 3 2+ 5.− ? 2 + ? = ? +1 3 = 3 −1− ? 2 + ? 3 3 − 3 ? 3 +13 3 ? 2 + ? +1 3 ? +1 = 3 − 3 ? 2 + ? +1 3 =− ?−1 3 ? 2 + ? +1 Rút gọn biểu thức: 3 3 3 ? 4+ ? 2?2+ ?4 3 3 3 ? 2 + ?? + ? 2 3 3 3 ? ? −2? ? + ? 2 ? 2 b) ? = 3 + 3 ? 2 − ?? 3 3 ? 2 ? − ?? 2 3 .3 3 ?− ? 1 ?2 HD: a) Đặt 3 ? = ?; 3 ? = ? suy ra : ? = ? 4 +? 2 ? 2 +? 4 ? 2 +?? +? 2 2 ? 2 +? 2 = −? 2 ? 2 = ? 2 +?? +? 2 ? 2 −?? +? 2 ? 2 +?? +? 2 ? 2 +?? +? 2 = ?2 − ?? + ? 2 = 3 3 3 ?2 − ?? + ?2 b) Tương tự câu a, B = 1. Bài 22. Cho biểu thức: ? = 4 5− 3− 29−6 20 3 10+6 3. 3+1 . Tính giá trị biểu thức: ? = ? 5 − 7? 2 − 3100+199 HD: ? = 2 ⇒ ? = 200 Bài 23. Cho biểu thức: = 3 3 ? 5 +? 4 . 6+? 3 . 36 3 . Rút gọn và Tính giá trị biểu thức tại ? = 2. 6 ? 3 −3 −3 HD: Xét ? 3 − 3 ≥ 0 ⇔ 3 3≤?≠ 3 ?= 3 6. 3 ? 3 ? 2 +?. 6+ 36 ? 3 −3−3 Xét ? 3 − 3 < 0 ⇔ 0 ≠ ? < 3 3 = 3 Thay ? = 2. 6 >

3

3

3

? 3 ? 2 +?. 6+ 36

=

? 3 −6

3

?− 6

3

=

3

? 2 +?. 6+ 36

?3
3

?− 6

(1)

3
3

?=

3

? 3 ? 2 +?. 6+ 36

3

? 3 ? 2 +?. 6+ 36
3−? 3 −3

3

3

3 vào (1) suy ra ? =

3

= − ? 2 + ?. 6 + 36 (2)
2. 6
3

3

3

2. 6− 6

=

48
3

6

3

= 8. 36

Bài 24.
1

a) Cho ? > . Tính giá trị biểu thức sau: ? =
8

3

?+

?+1
3

.

8?−1
3

3

?−

?+1
3

.

8?−1
3

TTLT Thầy Nguyễn Chí Thành 9075705122

b) Cho ? =

3

2020 . Tính giá trị biểu thức: ? =

3 ? 3 −3?+ ? 2 −1). ? 2 −4

2

+

3 ? 3 −3?− ? 2 −1). ? 2 −4

2

HD:
a) Lập phương hai vế ta được:
3

? = 2? + 3?.
Vì ? >

1
8

3

?2

2

?+1

3

.

8? − 1
⇔ ? 3 = 2? + ? 1 − 2?) ⇔ ? − 1) ? 2 + ? + 2?) = 0
3

nên ? 2 + ? + 2? > 0 suy ra D = 1.

b) Tương tự câu a. ? 3 = ?3 − 3? + 3? ⇔ ? − ?) ? 2 + ?? + ?2 − 3) = 0
3

? = ? = 2020 .
2
? + ?? + ?2 − 3 = 0
3
Xét ? 2 + ?? + ?2 − 3 = 0 . Ta có: ∆3 4 − ?2 ) = 3 4 − 2020 < 0 . Vậy ? == ⇔ 3 2020 DẠNG 2: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC Bài 1. Chứng minh rằng: 3 9 + 80 + 3 9 − 80 < 3 HD: Đặt 3 9 + 80 + 3 9 − 80 = ? . Lập phương hai vế tính A rồi chỉ ra A < 3. Bài 2. Chứng minh rằng: a) 3 2+1 . 3 3 2−1 3 4 =1 b) 4 5+1 5−1 = 4 3+2 4 5 4 3−2 5 HD: 3 a) Đặt 3 2+1 . 3 3 2−1 3 3 3 = 1+ 2+ 4 . = ? suy ra ?3 = 3 3 3 2−1 2+1 . 3 3 = 2+1+3 2 3 2+1 . 3 2 −1 3 = 2 − 1 = 1 suy ra a = 1. 4 b) Đặt 5 = ? rồi khai triển hai vế. chú ý ?4 = 5 Bài 3. Chứng minh các biểu thức sau là một số nguyên. a) 3 20 + 14 2 − 3 14 2 − 20 b) HD: Lập phương hai vế: a) 4 b) 1 c) 5 3 1+ 84 9 + 3 1− 84 9 c) 3 70 − 4901 + 3 70 + 4901 TTLT Thầy Nguyễn Chí Thành 9075705122 Bài 4. Chứng minh các số sau là các số nguyên: ? = 2 3+ 5− 13+ 48 6+ 2 ;? = 3 1+ 48 9 + 3 1− HD: a) Ta có: A= 2 3+ 5− 13+ 48 6+ 2 2 3+ 5− = 2 3+ = 2 3+1 = 6+ 2 3−1 2 2 3+ 4−2 3 6+ 2 2 = 6+ 2 2 2+ 3 6+ 2 = 2 4+2 3 2( 3 + 1) =1 Lập phương hai vế của B đê tính B. Bài 5. Chứng tỏ rằng: ? = 3 5+2− 3 5 − 2 là nghiệm phương trình: ? 3 + 3? − 4 = 0 HD: ?= 3 5+2− 3  ?3 = 5 + 2 − 5 − 2 suy ra ? 3 = 5−2 −3 3 3 5 + 2. 5+2− 3 5 − 2. 3 5−2 3 3 5+2− 3 5−2  ? 3 = 4 − 3?  ? 3 + 3? − 4 = 0 Bài 6. Cho ? = 2 + 7 − 3 61 + 46 5 + 1 a) Chứng minh rằng: ?4 − 14?2 + 9 = 0 b) Giả sử : ? ?) = ? 5 + 2? 4 − 14? 3 − 28? 2 + 9? + 19 . Tính f(a) . HD: a) 3 2 + 5 suy ra ?2 − 7 = 2 10 nên ?2 − 7)2 = 40 61 + 46 5 = 1 + 2 5 nên ? =  ?4 − 14?2 + 9 = 0 b) ? 5 + 2? 4 − 14? 3 − 28? 2 + 9? + 19 = ? 5 − 14? 3 + 9?) + 2(? 4 − 14? 2 + 9) + 1 Suy ra f(a) = 1 Bài 7. Đơn giản biểu thức sau: ? = HD: ?+1 2 3 6 1 ? 3− 2. 5+2 6+?+ 48 9 TTLT Thầy Nguyễn Chí Thành 9075705122 ?+1 2 3 3 − 2. 6 2 3− 2 = +?+ ?+1 1 ? 2 3 3 − 2. 3 3+ 2+?+ 1 ? ?+1 ? = 2 ? + 1) ?+1 ? = 1 ? 2+?+ ?+1 = 3 2− 3. Bài 8. Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc x: ? = ? + 4 6 7+4 3−? 9−4 5. 2+ 5+ ? HD: 3 P= x+4 = ?+ 2− 3. 6 3 7+4 3−x = x+4 9−4 5. 2+ 5+ x 1−? 1+ ? = ?+ 2− 3. 1− ? (1+ ?) 1+ ? 5−2 6 2 2+ 3 2 −x = x+ 3 3 2− 3. 2+ 3−x 5−2. 2+ 5+ x . 2+ 5+ x = ?+1− ? =1 Bài 9. Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x: ?= 3 8−? 3 2+ ? : 2+ 3 3 ?2 + 3 2+ ? 3 ?+3 2 ? . ?−2 3 ?2 − 4 ; ? ≠ ±8; ? ≠ 0 3 ?2 + 2 ? HD: 3 ?= 3 3 3 3 2 − ? 4 + 2 ? + ?2 4 + 2 ? + ?2 : 3 2+ ? 3 2+ ? 3 3 + 3 ?2 ?−2 3 . ?−2 3 ? 3 3 ?+2 ?+2 3 =2− ?+ ? =2 Bài 10. 3 Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x, y ?? ≠ ± 2 3 ?= 3 2 2. ?? 3 ?2 ?2 − 4 + ?? − 2 3 2?? + 2 2 . 2?? 3 ?? + 2 − ?? 3 ?? − 2 HD: Đặt 3 2 = ? suy ra ? = = 2? .?? ? 2 ? 2 −? 2 + ?? −? 2?? +2? . 2?? ?? +? − ?? ?? −? = 2??? ?? − ? 2?? ?? + . − ?? − ?) ?? + ?) 2 ?? + ?) ?? + ? ?? − ? 2??? + ?? − ?)2 2?? ?? ?? + ?)2 2?? ?? = . − = . − 2 ?? − ?) ?? + ?) ?? + ? ?? − ? 2 ?? − ?) ?? + ?) ?? + ? ?? − ? TTLT Thầy Nguyễn Chí Thành 9075705122 = ?? ?? − =0 ?? − ? ?? − ? Bài 11. 2 a) Cho hai số a và b thỏa mãn: ? = 3 b) Chứng minh rằng: ?0 = 3 ;? = 3 2 2+2+ 4 20 + 14 2 + 3 6 3 . Tính A = ab3 – a3b. 3 2 2 −2+ 4 20 − 14 2 là nghiệm của phương trình x3-3×2+x-20=0 3 c) Chứng minh rằng: ?0 = ? + ?2 + ?3 − 3 ?2 + ?3 − ? là nghiệm của phương trình x3+3bx-2a=0 d) Chứng minh rằng ? = 3 9+4 5+ 3 9 − 4 5 là nghiệm phương trình x3 -3x-18=0 HD: a) a = 2 3 3 2 2+2+ 4 Tương tự b = b) x0 = 3 3 = 2 3 3 3 3 4− 2 3 3 2 = 3 4− 2 3 3 2 4 + 2 . A = ab(a-b)(a+b) = 8 3 4− 2 2 2+2+ 4 3 3 4 − 3 2+ 2 3 + 3 2+ 2 3 3 = 3 3 4− 2. 3 16 − 4 =4 c) x03 = 2a − 3bx0 3 3 d) ? 3 = 9 + 4 5 + 9 + 4 5 + 3 9 + 4 5. 9 − 4 5 3 Bài 12. 3 3 Cho ? + ? + ? = 3 3 9+4 5+ 3 9 − 4 5 = 18 + 3? ? + ? + ? . Chứng minh rằng trong 3 số a, b, c luôn tồn tại hai số đối nhau. HD: Lập phương hai vế giả thiết đưa về dạng: Bài 13. Cho biểu thức: ? = 3 ?2 3 ? 2 = ?; ?2 + 3 3 3 ?+ ? ?4 ?2 + ?2 + 3 ?+ ? 3 ? 2 ? 4 . Chứng minh: ?2 = 3 3 3 ?+ ? =0 3 3 HD: Đặt 3 ? 2 = ? ⇒ ? = ?3 + ?2 ? + ?3 + ??2 = ? + ?). ? + ? = Suy ra ?2 = ? + ?)3 ⇒ 3 ?2 = ? + ? = 3 ?2 + 3 ?2 ? + ? )3 ?2 + TTLT Thầy Nguyễn Chí Thành 9075705122 Chứng minh rằng, nếu: ax 3  by3  cz3 và Bài 14. 1 1 1    1 thì x y z ax 2  by2  cz2  3 a  3 b  3 c . 3 HD: Đặt ax3  by3  cz3  t  a  Ta có: 3 3 3 3 3 ? ? + 3 3 ,b  x3 ? 3 ?? 2 + ?? 2 + ?? 2 = ?+ ?+ ?= t ? 3 + 3 y3 ,c  . ?2 + ?3 ? t ? ?3 = ? ?3 3 ? ? t . z3 . ?2 + + 3 ? ? ? + 3 . ?2 = ?3 3 ? ? = 3 ? 1 ? ? 1 ? 1 1 ? ? + + 1 1 ? ? + + = = 3 3 ? ? Vậy VT  VP  3 t Bài 15. Chứng minh đẳng thức: x  y  z  33 xyz  1 2 2 2 2  3 x  3 y  3 z   3 x  3 y    3 y  3 z    3 z  3 x   HD: Khai triển và rút gọn ta được vế trái Bài 16. 3 Nếu Chứng minh rằng : 3 ? + 1)2 + ? 2 − 1 + 3 3 3 ? − 1)2 = 1 thì ? + 1 − ? − 1 = 2 HD: 3 Nhận xét: nếu ? + 1 = 3 Vậy ? + 1 ≠ 3 3 ? − 1 thì 3 3 ? + 1 − ? − 1 = 0 ( vô lí) . 3 ? − 1. Đặt ? + 1 = ?; 3 ? − 1 = ? suy ra ? 2 + ?? + ? 2 = 1 ?3 − ?3 = 2 Suy ra ? − ? = 2. Đpcm. DẠNG 3: SO SÁNH HAI CĂN BẬC 3 Phương pháp: AB 3 A  3B Bài 1. So sánh: a) 7 và HD: 3 345 b) 23 3 18 và 33 4 12 3 3 c) 130 + 1 và 3 12 − 1 TTLT Thầy Nguyễn Chí Thành 9075705122 a) 7 = b) c) 23 3 3 3 343 < 18 = 8 3 27 130 + 1 >

3

345 nên 7 < 3 . 18 = 3 5 1 ; 3 3 33 4 345 3 27 12 = 64 3 3 12 − 1 = 125 + 1 = 6 ; 3 . 12 = 3 5 1 16 324 − 1 < 3 343 − 1 = 7 − 1 = 6 Bài 2. So sánh: a) A  2 3 3 và B  3 23 b) A  33 và B  33 133 c) A  53 6 và B  6 3 5 HD: 3 a)A= 2 3 = 3 8.3 = 3 24 >

b) A  B

3

23 nên A  B

c) A  B
A  3 20  14 2  3 20  14 2 và B  2 5

Bài 3. So sánh:
HD:

3

Chú ý: 20  14 2   2  2  nên ? = 4 ⇒ ? < ?. Bài 4. So sánh: 3 3 3 3 3 3 3 a) 124 + 7 + 26 và 10 3 b) 29 + 65 − 8 và 5 HD: 3 a) 124 + 7 + 26 < 3 3 3 b) 29 + 65 − 8 >
3

3

3

3

3

125 + 8 + 27 = 5 + 2 + 3 = 10
3

3

27 + 64 − 8 = 3 + 4 − 2 = 5
3

3

Bài 5. So sánh: 2011 + 2013 và 2 2012
HD:
Đặt

3

2011 = ?;

3

2013 = ? suy ra
3

3

2 2012 =

2012 =
3

3 ? 3 +? 3

2

?3 + ?3
.8 =
2

3

Xét 4 ?3 + ?3 ) − ? + ?)3 = 3 ? + ?). ? − ?)2 > 0 ⇒
3

Vậy 2 2012 >

3

4 ?3 + ?3 )
3

4 ?3 + ?3 ) > ? + ?

3

2011 + 2013
DẠNG 4: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

TTLT Thầy Nguyễn Chí Thành 9075705122
3

Phương pháp:

A  B  A  B3

Bài 1. Giải phương trình:
3

3

3

3

a) 1000? − 64? − 27? = 15

b) 2 27? +

13
7

3

−343? + −729? = 2

HD:
a)

3

3

3

3

3

3

3

3

1000? − 64? − 27? = 15  10 ? − 4 ? − 3 ? = 15  3 ? = 15  ? = 5  x =

125.
b) Tương tự câu a: ? = −
Bài 2. Giải phương trình:

1
8
3

3

27 ? − 1) − ? − 1 −

3

64(? − 1) = −2

HD:
3

3

3

3

3

3 ? − 1 − ? − 1 − 4 ? − 1 = −2  −2. ? − 1 = −2  ? − 1 = 1  x = 2.
Bài 3. Giải các phương trình sau:
a) 3 2 x  1  3
d)

3

b) 3 2  3x  2

x3  9 x 2  x  3

c)

3

x 1 1  x

e) 3 5  x  x  5

HD:
a) Lập phương hai vế ta được: 2x+1 = 27  2x = 26  x = 13.
b) x 

10
3

c) x  0; x  1; x  2 d) x  1

e) x  5; x  4; x  6

Bài 4. Giải các phương trình sau:
a)

3

x  2  x 1  3

b) 3 13  x  3 22  x  5

c)

3

x 1  x  3

HD: Sử dụng phương pháp đặt 2 ẩn phụ, đưa về hệ phương trình.
3

? + 1 = ? ≥ 0. Suy ra ?3 = ? − 2; ?2 = ? + 1 .
? + ? = 3 (1)
Ta có hệ phương trình: 3
. Từ 1) suy ra b=3-a. Thay vào 2 ta được:
? − ?2 = −3 (2)
?−2=1
?3 − ?2 + 6? − 6 = 0 ⇔ ?2 + 6) ? − 1) = 0 ⇔ ? = 1 . Suy ra b=2 hay
⇔?=3
?+1=4
3
?+? =5
3
b) Đặt: 13 − ? = ? ; 22 + ? = ? Suy ra: : 3
ta tìm được: ? = −14; ? = 5
? + ?3 = 35
c) x  7
a) Đặt:

? − 2 = ?;

TTLT Thầy Nguyễn Chí Thành 9075705122

Bài 5. Tìm x Biết: 2? 3 = (? − 1)3
HD:
3

2?

3

= ? − 1)3 ⇔

3

2? = ? − 1 ⇔ ?

3

2 − 1 = −1 ⇔ ? = − 3

Bài 6. Giải phương trình sau : 2  3 3 9 x 2  x  2   2 x  3 3 3x  x  2 
HD: pt 

3

x  2  3 3x

3

Bài 7. Giải phương trình:

1
2−1

2

 0  x 1

3

3

?+1+ 7−? =2

Lập phương hai vế ta được:

3

3

x + 1 + 7 – x + 3. ? + 1. 7 − ? . 2 = 8

sử dụng hđt: a + b)3 = a3 + b3 + 3ab (a+b)
Suy ra (x + 1) (7 – x) = 0  x1 = -1; x2 = 7 . Vậy phương trình có có 2 nghiệm x1 = -1; x2 = 7.

Bài 8. Giải phương trình: x 3 25  x3 x  3 25  x3  30
HD:
Đặt y  3 35  x3  x3  y3  35

 xy ( x  y )  30
Khi đó phương trình chuyển về hệ phương trình sau:  3
, giải hệ này ta tìm được
3
 x  y  35

( x; y)  (2;3)  (3;2) . Tức là nghiệm của phương trình là x {2;3}
Bài 9. Giải phương trình 4 17  x8  3 2 x8  1  1 .
HD: Đặt 4 17  x8  y với y  0 và 3 2 x8  1  z . Khi đó ta được hệ
y  z 1
z  y 1
 4
.
 4 3
3
2 y  z  33 2 y  ( y  1)  33

Xét 2 y 4  ( y  1)3  33  ( y  2)(2 y3  5 y 2  7 y  17)  0 .
Suy ra được y – 2 = 0. Từ đó nghiệm của phương trình là x = 1 và x = -1.
Bài 10.

Giải phương trình

3

x 2  2  2  x3 .

TTLT Thầy Nguyễn Chí Thành 9075705122

HD: Đặt

3

2
3

x  y  2
và từ phương trình ban
x  2  2  x = y với y  0 . Khi đó ta được hệ  3
2

x  2  y

2

đầu ta có

3

x   2 . Xét hiệu hai phương trình của hệ ta được phương trình

( x  y)( x  xy  y 2  x  y)  0 .
2

Với x   y thì x   3 x2  2 , dẫn đến vô nghiệm.
Còn x2  xy  y 2  x  y  ( y  x)(1  x)  y 2  0 với mọi y  0 và x   2 . Do đó hệ vô nghiệm hay
phương trình đã cho vô nghiệm.
Bài 11.

Giải các phương trình:

1. 3 x  1  3 x  2  1  3 x 2  3x  2
2. 3 x  1  3 x 2  3 x  3 x 2  x .
HD:
1. Pt 

3



x 1 1

3

x  0
x  2 1  0  
 x  1
3

2. Nhận xét: x = 0 không phải là nghiệm của phương trình. Chia hai vế của pt cho ? ta có:
3

 x 1  3
x 1 3
 x  1  3 x  1   3
 1 x  1  0  x  1
x
x

Bài 12.

3

Giải phương trình: ? 2 − 1 + ? =

3

?3 − 2 .

HD:
Đk x  3 2
Nhận thấy x=3 là nghiệm của phương trình , nên ta biến đổi phương trình :
3



x  1  2  x  3  x  2  5   x  3 1 

2

3

x3

Ta chứng minh : 1 
3

x

2

 1  2 x  1  4
2

3


2
  x  3  x  3 x  9 

2
3 2
x3  2  5
3 x2  1
   2 x  1  4 
x3

 1

2

x3
3

Vậy pt có nghiệm duy nhất x=3
Bài 13.
Giải:

Giải phương trình :

3x  x

2

x 1 1  3

3x

2

2 

x 2  3x  9
x3  2  5

TTLT Thầy Nguyễn Chí Thành 9075705122

Đk: 0  x  3 khi đó pt đ cho tương đương : x3  3×2  x  3  0
3

3
1 
10
10  1

x


x


3 3 3
3

Giải phương trình sau : 2  3 3 9 x 2  x  2   2 x  3 3 3x  x  2 

Bài 14.
Giải : pt 

Bài 15.

3

x  2  3 3x

3

2

 0  x 1

Giải phương trình: x 3  1  2 3 2 x  1

HD:
x3  1  2 3 2x  1
y  3 2 x  1  y3  1  2 x

– Phương trình được chuyển thành hệ

 x  y
x  y  1
 3

3
3
1  5
 x  1  2 y
 x  1  2 y
 x  1  2 y
 3 3
 2
  x  y 
 3
2
2
 y  1  2 x
 x  y  2( x  y )
  x  xy  y  2  0(vn)

3
1  5
  x  1  2 y


 x  y 
2

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm.
Bài 16.

Giải phương trình: 3 (2  x)2  3 (7  x)2  3 (7  x)(2  x)  3

HD:
3

? = 2 − ? ⇒ ?2 + ? 2 − ?? = 3 ⇒ ?; ? ) = 1; 2) ⇒ ? = 1; −6
3
?3 + ? 3 = 9
? = &+?
Bài 17.

Giải phương trình:

3

2  x  1  x 1

HD:
3

?+? =1
? = 2−?
Đặt

⇒ ?; ? ) = 0; 1); 1; 0); −2; 3) ⇒ ? = 1; 2; 10
?3 + ? 2 = 1
? = ?−1

guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments

Bài viết tương tự

Scroll to Top