Các dạng tích phân hàm ẩn điển hình – Đặng Việt Đông

Giới thiệu Các dạng tích phân hàm ẩn điển hình – Đặng Việt Đông

Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và bạn đọc Các dạng tích phân hàm ẩn điển hình – Đặng Việt Đông CHƯƠNG NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN.

Các dạng tích phân hàm ẩn điển hình – Đặng Việt Đông
Các dạng tích phân hàm ẩn điển hình – Đặng Việt Đông

Tài liệu môn Toán 12 và hướng dẫn giải chi tiết các đề thi từ cơ bản đến vận dụng cao sẽ luôn được cập thường xuyên từ hoctoanonline.vn , các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán hay và mới nhất.

Tài liệu Các dạng tích phân hàm ẩn điển hình – Đặng Việt Đông

Các em học sinh và bạn đọc tìm kiếm thêm tài liệu Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng tại đây nhé.

Text Các dạng tích phân hàm ẩn điển hình – Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Trang 1 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn MỤC LỤC MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN HÀM ẨN THƯỜNG GẶP ……………………………………………………. 3 DẠNG 1: ÁP DỤNG CÁC QUY TẮC VÀ ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ HỢP …………………………… 3 DẠNG 2: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN ……………………………………………………………………………… 17 TÍCH PHAN HAM ẨN DỔI BIẾN DẠNG 1: …………………………………………………………………. 17 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 2:………………………………………………………………….. 23 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 3 …………………………………………………………………… 25 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 5 …………………………………………………………………… 33 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 4 :…………………………………………………………………. 35 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 4 …………………………………………………………………… 39 DẠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN …………………………………………………………………………. 40 DẠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP 1 …………………………………………….. 51 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Trang 2 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN HÀM ẨN THƯỜNG GẶP DẠNG 1: ÁP DỤNG CÁC QUY TẮC VÀ ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ HỢP 1) Quy tắc: Nếu u  u  x  và v  v  x  thì  uv   uv  uv . – Nếu  f  x  .g  x    h  x  thì f  x  .g  x    h  x  dx. Câu 1. Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên khoảng  0;   thỏa mãn điều kiện f 1  3 và x  4  f   x    f  x   1, x  0. Giá trị của f  2  bằng A. 6. B. 5. C. 3. D. 2. Lời giải Chọn B +)Từ giả thiết, ta có x  4  f   x    f  x   1  xf   x   f  x   4 x  1   xf  x    4 x  1  xf  x     4 x  1 dx  xf  x   2 x 2  x  C. +) Lại có f 1  3  C  0  f  x   2 x  1  f  2   5. Câu 2. Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên khoảng  1;   và thỏa mãn đẳng thức 2 f  x    x 2  1 f   x   A. f  0   2  3. x3  2 x2  x x2  3 với mọi x  1;   . Giá trị của f  0 bằng B. f  0   e  3. C. f  0   3. Lời giải D. f  0   1  3. Chọn A +) Từ giả thiết, ta có 2 x  x  1 x3  2 x2  x  2 f  x    x  1 x  1 f   x   2 x 3 x2  3 2 f  x  x 1 x x 1 x  x  1     f x   f  x  f  x      2 x 1 x2  3  x 1  x2  3  x  1 x  1 2 f  x    x  1 f   x   2  x 1 x x 1 x x 1 . f  x    2  . f  x   2 dx  . f  x  x2  3  C x 1 x 1  x 1  x 3 x 3 có * thỏa mãn với mọi x  1;   nên thay x  1 vào * ta có C  2. x 1 Suy ra . f  x   x 2  3  2. Do đó f  0   2  3. x 1    * +) Lại 2 Câu 3. (SỞ LẠNG SƠN 2019) Cho hàm số f  x  thỏa mãn  f ‘  x    f  x  . f ”  x   4 x 3  2 x với mọi x   và f  0   0 . Giá trị của f 2 1 bằng A. 5 . 2 B. 9 . 2 C. 16 . 15 D. 8 . 15 Lời giải Chọn C File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Trang 3 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn 2 Ta có:  f ‘  x    f  x  . f ”  x    f  x  . f ‘  x  ‘ . Từ giả thiết ta có:  f  x  . f ‘  x   ‘  4 x 3  2 x Suy ra: f  x  . f ‘  x     4 x 3  2 x  dx  x 4  x 2  C . Với f  0   0  C  0 Nên ta có: f  x  . f ‘  x   x 4  x 2 1 Suy ra: 1  f  x  . f ‘  x  dx    x 0 4 2   x dx  f 2  x 0 2 1  0 8 16  f 2 1  . 15 15 Câu 4. (GIỮA-HKII-2019-NGHĨA-HƯNG-NAM-ĐỊNH) Cho hàm số f  x  thỏa mãn 2  xf   x    1  x 2 1  f  x  . f   x   với mọi x dương. Biết f 1  f  1  1 . Giá trị f 2  2  bằng A. f 2  2   2 ln 2  2 . B. f 2  2   2ln 2  2 . C. f 2  2   ln 2  1 . D. f 2  2   ln 2  1 . Lời giải Chọn B 2 Ta có:  xf   x    1  x 2 1  f  x  . f ”  x  ; x  0 2 2 1  x 2 .  f ‘  x    1  x 2 1  f  x  . f ”  x     f ‘  x    2  1  f  x  . f ”  x  x 2 ‘ 1 1   f ‘  x    f  x  . f ”  x   1  2   f  x  . f ‘  x   1  2 x x ‘ 1  1  Do đó:   f  x  . f ‘  x   .dx    1  2 .dx  f  x  . f ‘  x   x   c1. x  x  Vì f 1  f ‘ 1  1  1  2  c1  c1  1. 1  1    Nên  f  x  . f ‘  x  .dx    x   1.dx   f  x  .d  f  x      x   1 .dx x  x    2 f  x  x2 1 1    ln x  x  c2 . Vì f 1  1    1  c2  c2  1. 2 2 2 2 2 2 f  x x Vậy   ln x  x  1  f 2  2   2 ln 2  2 . 2 2 Câu 5. (THPT NÔNG CỐNG 2 LẦN 4 NĂM 2019) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên 1  0;1 thỏa mãn 3 f  x   x. f ( x)  x 2018 x  0;1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của  f  x  dx . 0 A. 1 . 2018.2020 B. 1 . 2019.2020 C. 1 . 2020.2021 D. 1 . 2019.2021 Lời giải Chọn D x 2021 Xét hàm số: g  x   x . f  x   trên  0;1 . 2021 Ta có: g   x   3 x 2 f  x   x 3 f   x   x 2020  x 2 . 3 f  x   x. f ( x)  x 2018   0 x  0;1 . 3 Do đó g  x  là hàm số không giảm trên  0;1 , suy ra g  x   g  0  x   0;1 x2021 x 2018  0, x   0;1  f  x    0, x   0;1 . Hay x . f  x   2021 2021 3 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Trang 4 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Vậy: 1 1  f  x  dx   0 0 Tích Phân Hàm Ẩn 1 x 2018 dx  . 2021 2019.2021 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi f  x   x 2018 . 2021  u  uv  uv 2) Quy tắc: Nếu u  u  x  và v  v  x  thì    với v  0. v2 v  f  x   f  x  h  x  dx. – Nếu    h  x  thì g  x   g  x   1  u  Hệ quả: Nếu u  u  x  thì    2 với u  0 . u u  1  1  g  x  thì – Nếu    g  x  dx   f  x  f x     Câu 6. (ĐỀ THTP QUỐC GIA NĂM 2018 – MÃ ĐỀ 101) Cho hàm số f  x  thỏa mãn f  2    2 9 2 và f   x   2 x  f  x   , x  . Giá trị của f 1 bằng 35 2 19 2 A.  . B.  . C.  . D.  . 36 3 36 15 Lời giải Chọn B  1  f  x 2 1 +)Ta có f   x   2 x  f  x     2x      2 xdx   2 x  2 f  x  f  x    f  x   1   x2  C . f  x 2 1 1 1 2 +) Lại có f  2     C      x 2   f 1   . 9 2 f  x 2 3 Câu 7. (THPT LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG NGÃI) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên khoảng  0;   thỏa mãn x 2 f   x   f  x   0 và f  x   0 , x   0;    . Tính f  2  biết f 1  e . A. f  2   e2 . C. f  2   2e2 . B. f  2   3 e . D. f  2   e . Lời giải Chọn D Ta có f  x   0 , x   0;     f  x   0 không có nghiệm trên khoảng  0;    f  x   0 không có nghiệm trên khoảng 1; 2   f 1 . f  2   0 , x  1; 2 . Mà f 1  e  0 nên f  2   0 . Do đó x 2 f   x   f  x   0  f  x 1   . x2 f  x File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Trang 5 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn 2 2 2 f  x 1 1 d x d x      ln f  x   1 x 2 1 f  x  1 x1 2 Suy ra 1 1      1   ln f  2   ln f 1    ln f  2   ln e  2 2  1 1 1    ln f  2   1  ln f  2    f  2   e 2  e . 2 2   2 1 Câu 8. Cho hàm số f  x  thỏa mãn f 1  và f   x    xf  x  với mọi x   . Giá trị f  2  bằng 3 2 3 16 3 A. . B. . C. . D. . 3 2 3 16 Lời giải Chọn B  1  f  x 1 x3 2 2 2 x    x    x dx   C . +) Từ giả thiết, ta có 2   f  x f  x 3  f  x   1 10 1  x3  10 1 2 3 +) Lại có f 1   C       f 2  . 3 3 3 2 f  x f 2 3 Câu 9. (QUỲNH LƯU LẦN 1) Cho hàm số f  x  thỏa mãn các điều kiện f 1  2 , 2 2 f  x   0, x  0 và  x 2  1 f ‘  x    f  x    x 2  1 với mọi x  0 . Giá trị của f  2 bằng 2 2 5 5 A. . B.  . C.  . D. . 5 5 2 2 Lời giải Chọn D 2 f ‘ x 2 x2  1 2 2 Ta có  x  1 f ‘  x    f  x    x  1   x  1; 2 (*) 2 2  f  x    x 2  1 Lấy tích phân 2 vế (*) trên 1; 2 ta được 1 2 1 1 2 x2 1  f  x  2 dx  1 x 2  1 2 dx   f  x  1  1  1 2 dx   x  x  1  2 d x  2 1 1 1 1 1 x           2 1 1 f  2  f 1 1  f 2 2  1 x  x x     x  2 f ‘ x 2 x2 1    1 1 2 1 5      f 2  . 5 2 2 f  2 2 Câu 10. Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 1; 2 và thỏa mãn f 1   1 và 2 2  3 f  x   xf   x   2 x  x 2  f  x  , x  1; 2. Giá trị của tích phân  xf  x dx bằng 2 1 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Trang 6 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 4 A. ln . 3 3 B. ln . 4 Tích Phân Hàm Ẩn C. ln 3. D. 0. Lời giải Chọn B +) Từ giả thiết, ta có f  x   xf   x    2 x 3  x 2  f 2  x   f  x   xf   x   xf  x   2  2x 1  1  1 1     2 x  1 dx    x 2  x  C.   2 x  1  xf  x  xf  x   xf  x   2 2 1 1 1 +) Lại có f 1    C  0  xf  x      xf  x dx   dx 2 x  x  1 x x  1   1 1 2 1 x 1 2 3  1    dx  ln  ln . x 1 x  x 1 4 1 Câu 11. Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 đồng thời thỏa mãn f   0   9 và 2 9 f   x    f   x   x   9 . Tính T  f 1  f  0  . A. T  2  9ln 2 . B. T  9 . C. T  1  9 ln 2 . 2 D. T  2  9ln 2 . Lời giải Chọn C 2 2 Ta có 9 f   x    f   x   x   9  9  f   x   1    f   x   x    f   x   1 1  . 9  f   x   x  2 f   x   1 1 1 x dx   dx   C . 9 f  x   x 9  f ‘  x   x  1 9 9 Do f   0   9 nên C  suy ra f   x   x   f  x  x 9 x 1 x 1 Lấy nguyên hàm hai vế   1 2 1  1 x2   9   x  dx   9ln x  1    9 ln 2  . Vậy T  f 1  f  0     x 1  2 0 2  0 1 Câu 12. Cho hàm số f  x   0 thỏa mãn điều kiện f   x    2 x  3 f 2  x  và f  0    . Biết rằng 2 a a tổng f 1  f  2   f  3  …  f  2017   f  2018   với  a   , b     và là phân số tối giản. b b Mệnh đề nào sau đây đúng? a a A.  1 . B.  1. C. a  b  1010 . D. b  a  3029 . b b Lời giải Chọn D f  x Ta có f   x    2 x  3 f 2  x   2  2x  3 f  x  f  x f 2  x dx    2 x  3 dx   1 1  x 2  3 x  C . Vì f  0     C  2 . 2 f  x File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Trang 7 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Vậy f  x    1  x  1 x  2   Tích Phân Hàm Ẩn 1 1 .  x  2 x 1 Do đó f 1  f  2   f  3  …  f  2017   f  2018   1 1 1009   . 2020 2 2020 Vậy a  1009 ; b  2020 . Do đó b  a  3029 . Câu 13. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 1; 2 thỏa mãn f 1  2 và 2 f  x    x  1 f   x   2 xf 2  x  , x  1;2. Giá trị của  f  x  dx bằng 1 A. 1  ln 2. B. 1  ln 2. 1  ln 2. 2 C. D. 1  ln 2. 2 Lời giải Chọn D +) Từ giả thiết, ta có f  x    x  1 f   x   2 xf 2  x   f  x    x  1 f   x  f 2  x  2x  x  1  x 1 x 1    2 xdx   x 2  C.   2x  f  x f  x  f  x   2 2 1 1 1 1  +) Lại có f 1  2  C  0  f  x    2   f  x  dx     2  dx x x x x  1 1 2 12 1  ln x    ln 2. 1 x1 2 Câu 14. Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn f  0   1 và 3 2 f  x   f   x    f  x   với mọi x  0;1 . Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f  x  , trục hoành và hai đường thẳng x  0; x  1. 4 B. ln . 3 A. ln 2. 3 D. ln . 4 C. ln12. Lời giải Chọn B 2 +) Ta có f  x   f   x    f  x    e  f  x   e f   x    e x x  f  x   +) Lại có f  0   ln 2 +) Do đó S   0 x 2 f  x  f  x  f  x   2 1 ex f  x   ex f  x   f  x   2  ex  e x  ex x    e x dx  e x  C .  e  f x f x       1 ex ex C 2  ex  2  f  x  . 3 f  x 2  ex ln 2 ex 4 dx  ln 2  e x  ln 4  ln 3  ln . x 0 2e 3   File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Trang 8 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn Câu 15. Cho hàm số f  x  xác định và có đạo hàm liên tục trên khoảng  0;  thỏa mãn f 1  2 và x  f   x   x   f  x   1, x  0. Giá trị của f  e  bằng A. e 2  e. B. e 2  1. C. e 2  e. D. e 2  1. Lời giải Chọn B +) Từ giả thiết, ta có x  f   x   x   f  x   1  xf   x   f  x   x 2  1 xf   x   f  x  x 2  1 xf   x    x  f  x  x 2  1  f  x   1  2   2    1 2 2 2 x x x x x  x  f  x 1   x   C. x x  +) Lại có f 1  2  C  0  f x x  x 1  f  x   x2  1  f  e   e 2  1. x Câu 16. (PHAN ĐÌNH TÙNG HÀ TĨNH) Cho hàm số y  f  x  xác định và liên tục trên  \ 0 , 2 biết x. f  x   1, x  0; f 1  2 và  x. f  x   1  x. f   x   f  x   0 với x   \ 0. Tính e  f  x  dx. 1 A. 1 2. e 1 B. 2  . e 1 C.  . e D. 1 1. e Lời giải Chọn A 2 2 Ta có  x. f  x   1  x. f   x   f  x   0   x. f  x   1  x. f   x   f  x  x. f   x   f  x    1 (do x. f  x   1, x  0 ). 2  x. f  x   1   1 1  1  xC  x. f  x   1  x. f  x   1   1 Do f 1  2 nên  C 1  1  C 1  C  0 . f 1  1 1 1  x 1 1 Do đó  x  x 2 . f  x   x  1  f  x    2  2 x. f  x   1 x x x e Suy ra  1 e e 1  1 1 1  f  x  dx     2   dx    ln x    2. x x x 1 e 1 Câu 17. (THPT TX QUẢNG TRỊ LẦN 1 NĂM 2019) Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên khoảng 3 (1;  ) và thỏa mãn  xf ( x)  2 f ( x)  ln x  x  f ( x) , x  (1;  ) ; biết f thuộc khoảng nào dưới đây? 25    27  A.  12;  . B.  13;  . 2  2     23  C.  ;12  .  2   e   3e . Giá trị 3 f (2) 29   D.  14;  . 2   Lời giải File Word liên hệ: 0978064165 – Email: da[email protected] Trang 9 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn Chọn C Vì x  (1; ) nên ta có  x 2 f ( x )  2 xf ( x )  f ( x) 4  x f ( x)  2 xf ( x) ln x  x  xf ( x)    ln x  1  3 4 x x   f ( x) f ( x)   f ( x)   f ( x)     2  ln x  1  3    2  ln xdx   1  3 dx x x   x   x   f ( x ) ln x f ( x) f ( x)    3 dx  x   3 dx  C 2 x x x x2  x  C  f ( x) ln x f ( x) ln x   xC  .  x  C  f ( x)  x2 x2 ln x x3 . Theo bài ra f 3 e  3e  C  0  f ( x) = ln x 8  23  Do đó f (2) =   ;12  . ln 2  2    2   Câu 18. Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên khoảng  0;1 và f  x   0 , x   0;1 . Biết rằng  3 1 f  a, f  và x  xf   x   2 f  x   4 , x   0;1 . Tính tích phân  2   b 2    3 I   6 sin 2 x.cos x  2sin 2 x dx theo a và b . f 2  sin x  3a  b . 4ab A. I  3b  a B. I  4ab . 3b  a C. I  4ab . 3a  b D. I  . 4ab Lời giải Chọn D x   0;1 ta có: x  xf   x   2 f  x   4  x  4  2 f  x   xf   x   x 2  4 x  2 xf  x   x2 f   x   2 x 2  4 x  x2  x 2  4 x 2 xf  x   x f   x   2   2  . f  x f 2  x f  x   f  x    3 Tính I    6  3 2 sin x.cos x  2sin 2 x sin 2 x.cos x  4sin x.cos x d x  dx  f 2  sin x  f 2  sin x   6 Đặt t  sin x  dt  cos xdx , đổi cận x   1  3 t  , x  t  . 6 2 3 2 2 3 2 Ta có I   1 2 t 2  4t t2 d t  f 2 t  f t  3 2 1 2  3   2      3 f   2  2 1    2   3  1  3a  b . 4ab  1  4b 4a f  2 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Trang 10 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn Câu 19. (NAM TIỀN HẢI THÁI BÌNH LẦN 1) Cho hàm số f  x   0 có đạo hàm liên tục trên 2  f  x  2    0, 3  , đồng thời thỏa mãn f   0   0 ; f  0   1 và f   x  . f  x    cos x    f   x   .Tính       T f  3 A. T  3 . 4 B. T  3 . 4 C. T  3 . 2 D. T  1 . 2 Lời giải Chọn D 2 2 f   x  . f  x    f   x    f  x  2 1 Ta có f   x  . f  x        f   x    2 f  x cos2 x  cos x   f   0   0  f   x   f  x 1    tan x  C nên C  0 . . Vì     cos2 x f  x  f  0   1  f  x   Do đó f  x f  x  3   tan x . Suy ra  d  f  x  0 f  x  3  3   d (cos x )    tan x.dx    ln f  x  03  ln cos x 03 cos x 0 0 1     1  ln f    ln f  0   ln  ln1  f    . 2 3 3 2 u  3) Quy tắc: Nếu u  u  x  thì u  với u  0. 2 u  – Nếu  f  x    h  x  thì f  x    h  x  dx.     Câu 20. Cho hàm số f  x  đồng biến và có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 thỏa mãn 1 f   x   2 f  x  , x  0;1 và f  0   1. Giá trị của tích phân  f  x  dx bằng 0 A. 8 . 3 B. 7. C. 1 . 3 D. 7 . 3 Lời giải Chọn D +) Từ giả thiết, ta có f  x  2 f  x  f  x 2 f  x  1   f  x  1  1 f  x    dx  f  x  x  C 1 2 2 +) Lại có f  0   1  C  1  f  x    x  1   f  x  dx    x  1 dx  0 0 1 7 3 1  x  1  . 0 3 3 Câu 21. Cho hàm số f  x  đồng biến và có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn f  0  1 và 2 1  f   x    16 x 2 . f  x   0 với mọi x   0;1 . Giá trị của tích phân I   f  x  dx bằng 0 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Trang 11 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. 28 . 15 B. 8 . 15 Tích Phân Hàm Ẩn 2 C.  . 3 4 . 3 D. Lời giải Chọn A 2 +) Từ giả thiết,    f  x   2x   ta  f   x    f   x    16 x . f  x     4 x2  4 f  x 2 có f  x    2 xdx    f   x 2 2 f  x  2x f  x   x 2  C.  2 1 1 0 0   2 +) Lại có f  0   1  C  1  f  x   x 2  1  I   f  x  dx   x 2  1 dx  28 . 15 Câu 22. Cho hàm số y  f  x   0 xác định, có đạo hàm trên đoạn  0;1 và thỏa mãn: x 1 g  x   1  2018 f  t  dt , g  x   f 2  x  . Tính 0 A. 1011 . 2 B. g  x dx .  0 1009 . 2 2019 . 2 C. D. 505 . Lời giải Chọn A x Ta có g  x   1  2018 f  t  dt  g   x   2018 f  x   2018 g  x  0 g x  g  x 2  t  2018   0 g x g  x t dx  2018 dx  2  g  x 0  t 0 t  2018 x 0 1 1 1011  1009 2  . g  t   1  2018t (do g  0  1 )  g  t   1009t  1   g  t dt   t t  2 2   0 0  Câu 23. Cho hàm số f  x  đồng biến và có đạo hàm lên tục trên đoạn 1; 4 thỏa mãn f 1  1 và 2  f  x   xf   x    4 f  x  , x  1; 4 . Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f  x  , trục hoành và hai đường thẳng x  1, x  4. A. 4  2ln 2. B. 4  2ln 2. C. 4  ln 2. D. 4  ln 2. Lời giải Chọn B 2 +) Ta có  f  x   xf   x    4 f  x   f  x   xf   x  2 xf  x   xf  x     f  x   xf   x    4 f  x 2  f  x   xf   x    1 4 xf  x  xf  x   x  f  x   xf   x  1   1 1       x x x 2 xf  x  2 xf  x   2  1 x  1 xf  x   x  1 dx  xf  x   2 x  C. x +) Lại có f 1  1  C  1  xf  x   2 2 x 1  f  x    2 x 1 x . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Trang 12 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 4 +) Do đó S   2  x 1 x 1 Tích Phân Hàm Ẩn 2 4 4 4 4 4 1  dx    4    dx 4 x  8 x  ln x  4  2ln 2. 1 1 1 x x 1 Câu 24. Cho hàm số f liên tục, f  x   1 , f  0   0 và thỏa f   x  x 2  1  2 x f  x   1 . Tính f  3 . A. 0 . B. 3 . C. 7 . D. 9 . Lời giải Chọn B Ta có f   x  x 2  1  2 x f  x   1  f x 3   f  x 1 0  f 3 dx   3  1   0 2x x2  1 dx  f 0   1  1  f f  x f  x 1 f  x  1 3  2x x2  1 3  x2 1 0  0 f  x 1 3 1 0  3 1  2  f  3  3 . Câu 25. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 1; 4 , đồng biến trên đoạn 1; 4 và thỏa 4 2 3  x  2 x . f x    x  1; 4 mãn đẳng thức     f  x  ,   . Biết rằng f 1  , tính I   f  x  dx ? 2 1 A. I  1186 . 45 B. I  1174 . 45 C. I  1222 . 45 D. I  1201 . 45 Lời giải Chọn A 2 Ta có x  2 x. f  x    f   x   x . 1  2 f  x   f   x   Suy ra  f  x 1 2 f  x dx   x dx  C   df  x  1 2 f  x f  x 1 2 f  x  x , x  1; 4 . dx   x dx  C 2  2 32 4   x   1 3 3 2 32 3 4  1  2 f  x   x  C . Mà f 1   C  . Vậy f  x    . 3 2 3 2 4 1186 Vậy I   f  x  dx  . 45 1   Câu 26. (LÝ NHÂN TÔNG) Cho hàm số f  x  liên tục không âm trên  0;  , thỏa mãn  2     f  x  . f   x   cos x 1  f 2  x  với mọi x   0;  và f  0   3 . Giá trị của f   bằng  2 2 A. 2 . B. 1 . C. 2 2 . D. 0 . Lời giải Chọn C 2 f  x. f   x   Với x   0;  ta có f  x  . f   x   cos x 1  f 2  x    cos x * .  2 2 1 f 2  x File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Trang 13 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn Suy ra 1  f 2  x   sin x  C . Ta có f  0   3  C  2 , dẫn đến f  x    sin x  2  2    1 . Vậy f    2 2 . 2 4) Quy tắc: Nếu u  u  x  thì eu   u.eu ;    – Nếu e f  x    g  x  thì e     g  x  dx. f x Câu 27. Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 thỏa mãn f  0  1 và 1 f  x   x 2 1 f   x  .e  2 x, x  0;1 . Giá trị của  f  x  dx bằng 0 A. 4 . 3 4 C.  . 3 B. 2. D. 2. Lời giải Chọn A +) Ta có f   x  .e f  x  x e f  x 2 1  2 x  f   x  .e f  x   2 xe x 2   2 xe x 1dx  e f x  ex 2 1 1 1   e f  x   2 xe x 2 1  C. +) Lại có f  0   1  C  0  e f  x   e x 2 1  f  x   x 2  1. 1 1 1 4 f  x  dx   x 2  1 dx   x3  x   . 3 0 3 0   +) Do vậy 2 0  Câu 28. (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂK LĂK LẦN X NĂM 2019) Cho f  x  có đạo hàm trên  và thỏa mãn 3 f   x  .e f 3  x   x 2 1  2x  0 với mọi x   . Biết f  0   1 , tính tích phân f  x 2 7  x. f  x  dx . I 0 9 . 2 A. I  45 . 8 B. I  C. I  11 . 2 D. I  15 . 4 Lời giải Chọn B f3 x Ta 3 f   x  .e có   ef 3  x f 3  x   x 2 1    e   e x 2 1 f 3  x 3 2 e  2x 2x  f x  3 .  2 0   x2 1  2  3 f 2  x  . f   x  .e f  x   2 x.e x 1 f  x f  x e  ex 2 1  C  * . Thế x  0 vào * ta được e  e  C  C  0 . Do đó e f 3  x 7 Vậy I   0  ex 2 1  f 3  x   x2 1  f  x   3 x2 1 . 1 x x  1dx  2 3 2 7  0  2  1 x 1 x 1 d x 1  . 4 2 3 2 1 3   2  7 4 3 3  x2 1 8   7 3 2 x 1 0 0 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Trang 14 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn 3 45  . 16  1  . 8 8 Câu 29. Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  thỏa mãn f  0   0 và   f   x  1  e f  x   1  e x , x  . Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f  x  , trục hoành và hai đường thẳng x  1, x  3. A. 4. B. 2. C. 8. D. 5. Lời giải Chọn A  +) Ta có f   x  1  e f  x   1  e x  f   x   f   x  e f  x   1  e x   f  x   e f  x    1  e x f x  f  x   e    x  e x  C.   +) Lại có f  0   0  C  0  f  x   e f x  x  ex . Xét hàm số g  t   t  et với t  . g   t   1  et  0, t   nên g  t  đồng biến trên . 3 3 1 2 f x Suy ra f  x   e    x  e x  f  x   x. Do đó S   xdx  x 2  4. 1 1 Câu 30. (SỞ GDĐT KIÊN GIANG 2019) Cho hàm số y  f ( x) liên tục và có đạo hàm trên  thỏa mãn 3 f 2 ( x). f ‘( x)  4 xe f 3 1 4089 4 2 ( x )  2 x  x 1  1  f (0). Biết rằng I   (4 x  1) f ( x )dx  0 giản. Tính T  a  3b A. T  6123. B. T  12279. C. T  6125. a là phân số tối b D. T  12273. Lời giải Chọn D Ta có: 3 3 2 2 3 2 3 f 2 ( x). f ‘( x)  4 xe f ( x ) 2 x  x 1  1  f (0)  ( f 3 ( x)) ‘ e f ( x )  e f ( x )  (4 x  1).e2 x  x 1  e2 x  x 1 3 3 2 2   f 3  x   x  e f  x  x  2 x 2  1  .e2 x 1  e f  x  x  e2 x 1  C   Mà f  0   1  C  0  f 3  x   x  2 x 2  1  f 3 ( x)  2 x 2  x  1  f ( x)  3 2 x 2  x  1 1 4089 4 I  (4 x  1) f ( x )dx  0 12285 . 4 u 5) Quy tắc: Nếu u  u  x  nhận giá trị dương trên K thì  ln u   trên K . u – Nếu  ln  f  x     g  x  thì ln  f  x     g  x  dx. Câu 31. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm và liên tục trên đoạn  1;1 , thỏa mãn f  x   0, x   và f ‘  x   2 f  x   0 . Biết f 1  1 , tính f  1 . A. f  1  e2 . B. f  1  e3 . C. f  1  e4 . D. f  1  3 . Lời giải File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Trang 15 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn Chọn C Biến đổi: f ‘ x  2 f  x  0  ln f 1 f  1  4  f ‘ x f  x f 1 f  1 1  2  f ‘ x  f  x 1 1 1 dx   2dx  1 df  x   f  x  4  ln f  x  11  4 1  e 4  f  1  f 1 .e 4  e 4 . Câu 32. Cho hàm số f  x  nhận giá trị dương và có đạo hàm liên tục trên 0;  thỏa mãn điều kiện f 1  1 và f  x   f   x  3x  1, x  0. Mệnh đề nào dưới đây đúng ? A. 1  f  5   2. B. 2  f  5  3. C. 4  f  5  5. D. 3  f  5  4. Lời giải Chọn D +) Từ giải thiết, ta có f  x   f   x  3 x  1  f  x f  x  1 1  ln f  x    3x  1 3x  1 1 2 dx  ln f  x   3x  1  C . 3 3x  1 4 4 2 3x  1  4 +) Lại có f 1  1  C    ln f  x    f  5   e 3  3, 79. 3 3  ln f  x    Câu 33. Cho hàm số f  x  đồng biến và có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 thỏa mãn f  0   0 và 1 f   x   2 x 1  f  x   , x  . Giá trị của  2xf  x  dx bằng 0 A. e  2. B. e  1. C. e  2. D. e. Lời giải Chọn A 1  f  x    2 x   2 x  ln 1  f  x     2 x +) Từ giải thiết, ta có 1 f  x 1 f  x f  x  ln 1  f  x     2 xdx  ln 1  f  x    x 2  C . 2 2 +) Lại có f  0   0  C  0  ln 1  f  x    x 2  1  f  x   e x  f  x   e x  1. 1 1 1 2 2 1 +) Vậy  2 xf  x  dx   2 x e x  1 dx  e x  x 2  e  2. 0 0 0 0   Câu 34. Cho hàm số f  x  đồng biến và có đạo hàm liên tục trên đoạn 1; 2 thỏa mãn điều kiện 1 f  x  , x  1;2 . Tính thể tích khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi x đồ thị của hàm số y  f  x  , trục hoành và hai đường thẳng x  1, x  2 quay quanh trục hoành. f 1  1 và f   x   A. 7 . B. 7 . 3 C. 5 . 3 D. 3 . Lời giải Chọn B File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Trang 16 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A +) Từ giả thiết, ta có f   x   Tích Phân Hàm Ẩn f  x 1 1 1 f  x    ln f  x    x f  x x x 1  ln f  x    dx  ln f  x   ln x  C. x 2 2 +) Lại có f 1  1  C  0  f  x   x  V    f 2  x  dx    x 2 dx  1 1  x 3 2 7  . 3 1 3 Câu 35. (-Mai-Anh-Tuấn-Thanh-Hóa-lần-1-2018-2019) Cho hàm số f  x  thỏa mãn f   x   2 x. f  x   e x f  x  với f  x   0,x và f  0   1 . Khi đó f 1 bằng B. e e  2 . A. e  1. D. ee 1 . C. e  1 . Lời giải Chọn B Từ giả thiết: f   x   2 x. f  x   e x f  x  , ta có   f  x   f  x  ex  2x   f  x f  x  f  x f  x  e x  2 x (vì f  x   0, x )  dx   e x  2 x dx  ln f  x   e x  x 2  C . Mà f  0   1 nên C  1 . Khi đó, ta được: ln f  x   e x  x 2  1 . Thế x  1 , ta có: ln f 1  e  2  f 1  ee 2 . DẠNG 2: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN TÍCH PHAN HAM ẨN DỔI BIẾN DẠNG 1: b b Cho  u ‘( x ). f  u ( x) .dx , tính a  b f ( x ).dx . Hoặc cho a  a b f ( x ).dx , tính  u ‘( x ). f  u ( x) .dx . a Đối với loại bài tập này chúng ta sẽ đổi biến t  u ( x) và lưu ý cho học sinh tích phân của hàm số thì không phụ thuộc vào biến số. 4 2 Câu 36. Cho  f  x  dx  16 . Tính 0 A. 16 .  f  2 x  dx 0 C. 32 . B. 4 . D. 8 . Lời giải Chọn D 2 1  f  2 x  dx . Đặt 2x  t  dx  2 dt . Khi x  0 thì t  0 ; khi Xét tích phân x  2 thì t  4 . 0 2 Do đó  4 f  2 x  dx  0 2 4 1 1 1 f  t  dt   f  x  dx  .16  8 .  20 20 2 4 Câu 37. Cho  f  x  dx  2 . Tính I   1 1 f  x  dx bằng x File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Trang 17 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. I  1 . B. I  2 . Tích Phân Hàm Ẩn C. I  4 . D. I  1 . 2 Lời giải Chọn C Đặt t  x  dt  f 4 I   x  dx  x 1 1 2 x dx ; đổi cận: x  1  t  1 , x  4  t  2 2  1 2 f  t  2dt  2  f  t  dt  2.2  4 . 1 16 Câu 38. Cho hàm số f  x  liên tục trên  thỏa mãn f   dx  6 và x  2 x  f  sin x  cos xdx  3 . Tính C. I  9 . D. I  2 .  1 0 4 tích phân I   f  x  dx . 0 B. I  6 . A. I  2 . Lời giải Chọn B 16 Xét I   1 f  x  dx  6 , đặt x x t dx  dt 2 x 4 4 Đổi cận: x  1  t  1 ; x  16  t  4 nên I  2  f  t  dt  6   f  t  dt  1 1 6 3. 2  2  J   f  sin x  cos xdx  3 , đặt sin x  u  cos xdx  du 0 1  Đổi cận: x  0  u  0 ; x   u  1  J   f  u  du  3 2 0 4 1 4 Vậy I   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  3  3  6 . 0 0 1 1 Câu 39. Cho hàm số f  x  liên tục trên  thỏa 2  f  2 x  dx  2 và  f  6 x  dx  14 . Tính 0 0 2  f  5 x  2  dx . 2 A. 30 . B. 32 . C. 34 . D. 36 . Lời giải Chọn B 1 + Xét  f  2 x  dx  2 . Đặt u  2x  du  2dx ; x  0  u  0 ; x 1 u  2 . 0 1 2 2 1 Nên 2   f  2 x  dx   f  u  du   f  u  du  4 . 20 0 0 2 + Xét  f  6 x  dx  14 . Đặt v  6 x  dv  6dx ; x  0  v  0 ; x  2  v  12 . 0 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Trang 18 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 2 12 Nên 14   f  6 x  dx  0 Tích Phân Hàm Ẩn 12 1 f  v  dv   f  v  dv  84 . 6 0 0 0 2 2  f  5 x  2  dx   f  5 x  2  dx   f  5 x  2  dx . + Xét 2 2 0 0 * Tính I1   f  5 x  2  dx . 2 Đặt t  5 x  2 .Khi 2  x  0 , t  5x  2  dt  5dx ; x  2  t  12 ; x  0  t  2 . 2 12 2  1 1 1 I1  f  t  dt    f  t  dt   f  t  dt    84  4   16 .  5 12 5 0 0  5 2 * Tính I1   f  5 x  2  dx . 0 Đặt t  5 x  2 .Khi 0  x  2 , t  5x  2  dt  5dx ; x  2  t  12 ; x  0  t  2 . I2  12 12 2  1 1 1 f t d t  f t d t  f  t  dt    84  4   16 .       52 5 0 0  5 2  f  5 x  2  dx  32 . Vậy 2 2 Hoặc: Do hàm f  5 x  2  là hàm số chẵn nên  0 f  5 x  2  dx  2  f  5 x  2  dx  2.16  32 . 2 2 2 Câu 40. (THPT-Yên-Khánh-Ninh-Bình-lần-4-2018-2019-Thi) Cho I   f  x  dx  2 . Giá trị của 1  2 sin x. f J   3cos x  1 3cos x  1 0  dx bằng 4 B.  . 3 A. 2. C. 4 . 3 D. 2 . Lời giải Chọn C 3sin x dx . 2 3cos x  1  Đổi cận: x  0  t  2 ; x   t  1 . 2 1 2 2 2 2 2 2 4 Khi đó: J    f  t  dt   f  t  dt   f  x  dx  .2  . 3 3 31 3 3 2 1 Đặt t  3cos x  1  dt  Câu 41. Cho hàm số f  x  liên tục trên đoạn 1; 4 và thỏa mãn f  x      ln x . Tính tích f 2 x 1 x x 4 phân I   f  x  dx . 3 A. I  3  2 ln 2 2 . B. I  2ln 2 2 . C. I  ln 2 2 . D. I  2ln 2 . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Trang 19 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn Lời giải Chọn B 4  Ta có 1      4  f 2 x 1 4 f 2 x 1 4 ln x  ln x f  x  dx     dx   dx   dx .   x x x x 1 1 1     dx . f 2 x 1 4 Xét K   x 1 Đặt 2 x  1  t  x  4 3 3 dx t 1   dt .  K   f  t  dt   f  x  dx . 2 x 1 1 4 4 ln x ln 2 x 2 dx   ln xd  ln x   Xét M    2ln 2 . x 2 1 1 1 4 Do đó  4 3 f  x  dx   f  x  dx  2ln 2 2   f  x  dx  2 ln 2 2 . 1 3 1  2 1 Câu 42. Cho  f  2 x  1 dx  12 và 0 3    f sin 2 x sin 2 xdx  3 . Tính 0 0 A. 26 .  f  x  dx . C. 27 . B. 22 . D. 15 . Lời giải Chọn C 3 3 3 3 1  t 1  1 Đặt 2 x  1  t  12   f  t  d     f  t  dt   f  x  dx   f  x  dx  24 . 21  2  21 1 1  2 Ta có  2  f  sin x  sin 2 xdx   f  sin x  .2sin x cos xdx   2 sin x. f  sin x  d  sin x  2 2 0  2  2 2 0 1    0 1    f sin 2 x d sin 2 x   f  u  du   f  x  dx  3 0 0 3 1 0 3   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  3  24  27 . 0 0 1 3 Câu 43. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  và thỏa mãn f  4  x   f  x  . Biết  xf  x  dx  5 . 1 3 Tính I   f  x  dx . 1 A. I  5 . 2 B. I  7 . 2 C. I  9 . 2 D. I  11 . 2 Lời giải Chọn A Cách 1: Dùng tính chất để tính nhanh File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Trang 20 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn Cho hàm số f  x  liên tục trên  a; b và thỏa mãn điều kiện f  a  b  x   f  x  , x  a; b  . Khi đó b b  xf  x  dx  a ab f  x  dx 2 a Chứng minh: Đặt t  a  b  x  dx  dt , với x   a; b  . Đổi cận: khi x  a  t  b ; khi x  b  t  b b Ta có b a  xf  x  dx   xf  a  b  x  dx    a  b  t  f  t  dt a a b b b b b b    a  b  t  f  t  dt   a  b   f  t  dt   tf  t  dt   a  b   f  x  dx   xf  x  dx a a b a b b  2  xf  x  dx   a  b   f  x  dx  a a b  xf  x  dx  a a a ab f  x  dx . 2 a Áp dụng tính chất trên với a  1 , b  3 . f  x  liên tục trên  a; b và thỏa mãn f 1  3  x   f  x  . 3 3 3 1 3 5 Khi đó  xf  x  dx  f  x  dx   f  x  dx  .  4 1 2 1 1 Cách 2: Đổi biến trực tiếp: Đặt t  4  x , với x  1;3 . 3 Ta có 3 3 3 3  xf  x  dx   xf  4  x  dx    4  t  f  t  dt  4 f  t  dt   t. f t  dt 1 1 3 1 3  5  4  f  t  dt  5   f  t  dt  1 1 1 1 5 . 2 Câu 44. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn 1;3 thỏa mãn f  4  x   f  x  , x  1;3 và 3 3  xf  x  dx  2 . Giá trị  f  x  dx 1 1 bằng B. 1 . A. 2 . C. 2 . D. 1 . Lời giải Chọn B 3 Xét I   xf ( x)dx (1). 1 Đặt x  4  t , ta có dx  dt ; x  1  t  3 , x  3  t  1 . 3 3 3 Suy ra I    4  t  f (4  t )dt    4  t  f (t )dt , hay I    4  x  f ( x )dx (2). 1 1 1 3 3 Cộng (1) và (2) vế theo vế ta được 2 I   4 f ( x)dx   f ( x )dx  1 1 I  1 . 2 Câu 45. (HOÀNG HOA THÁM HƯNG YÊN) Cho hàm số f  x  liên tục trên  và thỏa mãn  4 e2  tan x. f  cos x  dx  2 2 0 và  e  f ln 2 x x ln x  dx  2 . Tính 2  1 4 f  2x x dx . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Trang 21 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. 0 . B. 1 . C. 4 . Tích Phân Hàm Ẩn D. 8 . Lời giải Chọn D  4  4   2 1 f cos x * I1   tan x. f cos x dx   .sin2xdx . 2 2 cos x 0 0  2  Đặt cos 2 x  t  sin 2 xdx  dt . Đổi cận x 0 t 1  4 1 2 1 2 1 f t  dt 2 1 t Khi đó I1   . e2 * I2   e  f ln 2 x x ln x Đặt ln 2 x  t   dx  1 e2 2 e   f ln 2 x 2 ln x . dx . ln 2 x x 2 ln x dx  dt . x Đổi cận x t e2 4 e 1 4 1 f t  Khi đó I 2   dt 21 t . 2 f  2x  1 * Tính I   dx . Đặt 2x  t  dx  dt . 2 x 1 4 Đổi cận 1 4 1 2 x t 4 Khi đó I   f t  t 1 2 1 dt   1 2 f t  t 4 dt   1 f t  t 2 4 dt  4  4  8 . . Câu 46. (CHUYÊN KHTN) Cho hàm số f ( x ) liên tục trên  thỏa mãn  3 8 2  tan x. f (cos x)dx   0 1 A. 4 f (3 x) dx  6 . Tính tích phân x 2  1 2 B. 6 f ( x2 ) dx x C. 7 D. 10 Lời giải Chọn C File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Trang 22 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn +) Đặt t  3 x  t 3  x  3t 2 dt  dx Đổi cận: 8 2 2 2 f ( 3 x) f (t) f (t) f (t) Khi đó  dx   3 3t 2 dt  3 dt  6   dt  2 t x t t 1 1 1 1 +) Đặt t  cos 2 x  dt  2cos x sin xdx  dt  2cos 2 x tan xdx  tan xdx   1 dt 2t Đổi cận:  3 1 4 1 1 f (t) f (t) Khi đó  tan x. f (cos x )dx    dt  6   dt  12 21 t t 1 0 2 4 dx dx 1 dt +) Đặt t  x 2  dt  2 xdx  dt  2 x 2   x x 2 t Đổi cận: 2 Khi đó  1 2 2 1 4 4 2 1 f (t) 1 f (t) 1 f (t) 2  12 f (x2 ) dx   dt   dt   dt  7 x 21 t 21 t 21 t 2  4 Câu 47. Cho hàm số f  x  liên tục trên R và 1 f  tan x  dx  4;   0 A. I  6 . 0 x2 f  x  x2 1 1 dx  2 . Tính I   f  x  dx . C. I  3 . B. I  2 . 0 D. I  1 . Lời giải Chọn A  4 Từ  1 f  t anx  dx  4 ; Ta đặt t  tan x ta được 1 Từ  t 0 0 x2 f  x  2 x 1 0 1 dx  2   1 x 0 1   f  x  dx  2   2   1 1 f  x  2 x 1 f t  2 1 dt  4 1 f  x 1 d x  2   f  x  dx   0 0 x2 1 dx  2 f  x dx  2  4  6 . x2  1 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 2: 0 0 b Tính  f  x  dx , biết hàm số f  x  thỏa mãn : A. f  x   B. u . f  u   C. f  a  b  x   g  x  . a Đối với loại bài tập này, trước khi lấy tích phân hai về ta cần chú ý rằng : + Trong đề bài thường sẽ bị khuyết một trong các hệ số A, B, C . b + Nếu f  x  liên tục trên  a; b thì b  f  a  b  x  dx   f  x  dx a u  a   a + Với  thì u  b   b u  a   b + Với  thì u  b   a b  f  x  dx  a b  a a b 1 g  x  dx . A  B  C a b f  x  dx  1 g  x  dx . A  B  C a File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Trang 23 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn + Học sinh có thể nhớ công thức hoặc thực hiện hai lần đổi biến khác nhau như dạng 1. 6 Câu 48. Cho hàm số f  x  liên tục trên  0;1 thỏa mãn f  x   6 x f x  . Tính 3x  1 2 A. 2 .   3 C. 1 . B. 4 . 1  f  x  dx 0 D. 6 . Lời giải Chọn B Cách 1: (Dùng công thức)   Biến đổi f  x   6 x 2 f x 3  6 6  f  x   2.3x 2 . f x 3   với A  1 , B  2 . 3x  1 3x  1   1 1 6 1 dx  4 . 0  1   2  0 3 x  1 Cách 2: (Dùng công thức biến đổi – nếu không nhớ công thức) 1 1 1 6 1 Từ f  x   6 x 2 f x 3    f  x  dx  2  3x 2 f x3 dx  6 dx 3x  1 3 x  1 0 0 0 f  x  dx  Áp dụng công thức ta có:     Đặt u  x 3  du  3 x 2 dx ; Với x  0  u  0 và x  1  u  1. 1 1 1   Khi đó  3 x f x dx   f  u  du   f  x  dx thay vào * , ta được: 2 3 0 1  0 0 0 1 1 1 f  x  dx  2  f  x  dx  6 0 0 1 1 1 dx   f  x  dx  6 dx  4 . 3x  1 3 x  1 0 0 Câu 49. Cho hàm số f ( x ) liên tục trên 0; 2  và thỏa mãn điều kiện f  x   f  2  x   2 x . Tính giá 2 trị của tích phân I   f  x  dx . 0 1 B. I  . 2 A. I  4 . 4 C. I  . 3 D. I  2 . Lời giải Chọn D Cách 1:(Dùng công thức) 2 2 2 1 x2 Với f  x   f  2  x   2 x ta có A  1 ; B  1 , suy ra: I   f  x  dx  2 x dx  2.  1  1 0 2 0 0 Cách 2: (Dùng phương pháp đổi biến – nếu không nhớ công thức) 2 2 2 Từ f  x   f  2  x   2 x   f  x  dx   f  2  x  dx   2 xdx  4 (*) 0 0 0 Đặt u  2  x  du   dx ; Với x  0  u  2 và x  2  u  0 . 2 Suy ra  0 2 f  2  x  dx   0 2 2 f  u  du   f  x  dx . 0 2 Thay vào (*), ta được 2  f  x  dx  4   f  x  dx  2 . 0 0 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Trang 24 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn Câu 50. Xét hàm số f  x  liên tục trên  1;2 và thỏa mãn f  x   2 xf  x 2  2   3 f 1  x   4 x 3 . Tính 2 giá trị của tích phân I   f  x  dx . 1 A. I  5 . 5 . 2 B. I  C. I  3 . D. I  15 . Lời giải Chọn C Cách 1: (Dùng công thức – Dạng 2) Với: f  x    2 x  f  x 2  2   3 f 1  x   4 x 3 . Ta có: u  1  1 . Khi đó áp dụng công thức có: A  1; B  1; C  3 và u  x 2  2 thỏa mãn  u  2   2 2 2 2 1 x4 3 I   f  x  x 4 dx   3. 1  1  3 1 5 1 1 Cách 2: (Dùng phương pháp đổi biến – nếu không nhớ công thức) Từ f  x   2 xf  x 2  2   3 f 1  x   4 x 3 . 2   2 2  2  f  x  dx   2 x. f x 2  2 dx  3  f 1  x  dx   4 x 3dx 1 1 1  * 1 +) Đặt u  x 2  2  du  2 xdx ; với x  1  u  1 và x  2  u  2 . 2 Khi đó  2 x. f  x 2 2   2 dx  1 2  f  u  du   f  x  dx 1 1 1 +) Đặt t  1  x  dt  dx ; Với x  1  t  2 và x  2  t  1 . 2 Khi đó 2 2  f 1  x  dx   f  t  dt   f  x  dx  2  1 1 1 2 2 Thay 1 ,  2  vào * ta được: 5  f  x  dx  15   f  x  dx  3 . 1 1 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 3 Phương pháp: Lần lượt đặt t  u  x  và t  v  x  để giải hệ phương trình hai ẩn (trong đó có ẩn f  x  ) để suy ra hàm số f  x  (nếu u  x   x thì chỉ cần đặt một lần t  v  x  ). Các kết quả đặc biệt:  x b   xc  A.g   B.g     a   a  (*) Cho A. f  ax  b   B. f  ax  c   g  x  với A2  B2 ) khi đó f  x   A2  B 2 A.g  x   B.g   x  + Hệ quả 1 của (*): A. f  x   B. f   x   g  x   f  x   A2  B 2 g  x + Hệ quả 2 của (*): A. f  x   B. f   x   g  x   f  x   với g  x  là hàm số chẵn. A B File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Trang 25 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn 2 f  x 1 Câu 51. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  và f  x   2 f    3 x . Tính I   dx . x x 1 2 A. I  3 . 2 B. I  1 . C. I  1 . 2 D. I  1 . Lời giải Chọn A 1 1 3 1 1 3  x  khi đó điều kiện trở thành f    2 f  t    2 f  x   f    . x t t t x x 1 6 1 Hay 4 f  x   2 f    , kết hợp với điều kiện f  x   2 f    3 x . Suy ra : x x x 2 2 2 f  x 2 f  x 6 3  2   2  3 f  x    3x   2 1  I   dx    2  1 dx    x 1  . x x x x 2   x  1 1 x 2 2 2 Đặt, t  1  Câu 52. (NGUYỄN DU DAK-LAK 2019) Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  ;3 thỏa mãn 3  3 f  x 1 f  x   x. f    x 3  x . Giá trị tích phân I   2 dx bằng x 1 x  x 3 8 . 9 A. B. 2 . 3 C. 3 . 4 D. 16 . 9 Lờigiải Chọn A 1 1 + Đặt x   dx   2 dt . t t 1 1 + Đổi cận: x   t  3; x  3  t  . 3 3 1 1 1 3 3 f   3 f   f  x t 1 t dx      . 2 dt     dt . + Ta có I   2 1 1 t 1 x x 1 t 1 3  2 3 3 t t Suy ra: 1 1 3 3 f  3 f  x   x. f  3 3   f  x x  x  dx  x  x  1 x  1 dx  x  1 dx  16 . 2I   2 dx     dx   1 x  x  1 1   9 x  x  1 1 x x 1 x 1 1 3 3 3 3 3 8 Vậy I  . 9 15 x 2 Câu 53. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  \ 0 và thỏa mãn 2 f  3 x   3 f     , 2  x 9 3 2 1  f  x  dx  k . Tính I   f  x  dx theo k . 3 1 2 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Trang 26 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 45  k . 9 A. I   B. I  45  k . 9 C. I  Tích Phân Hàm Ẩn 45  k . 9 D. I  45  2k . 9 Lời giải Chọn A 1  t 1 1 2 . Đặt t  2 x  dx  dt . Đổi cận 3 2 x t 3 2 x 3 2 f   dx . t 15 x 5x 2 2 2 Mà 2 f  3 x   3 f      f      f  3x  2 2 3  x  x 3 3 3 3 1  5x 2 5 1 1  Nên I      f  3 x   dx    x dx   f  3 x  dx  5   f  3x  dx (*) 21 2 3 41 31 31  Khi đó I  1 2 1 x 1  u  3 1 Đặt u  3x  dx  dx . Đổi cận . 3 x  3 t  9 9 Khi đó I  5  1 k 45  k f  t  dt  5    .  93 9 9 Câu 54. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  và thỏa mãn f   x   2018 f  x   2 x sin x . Tính giá trị  2 của I   f  x  dx .  2 A. I  2 . 2019 B. I  2 . 1009 C. I  4 . 2019 D. I  1 . 1009 Lời giải Chọn C Cách 1: (Dùng công thức) Với f   x   2018 f  x   2 x sin x ta có A  1; B  2018  2 Suy ra I    1 f  x  dx  1  2018 2  2 Casio   2 x sin xdx  4  Đáp án C 2019 2 Cách 2: Áp dụng Hệ quả 2: A. f  x   Bf   x   g  x   f  x   Ta có f   x   2018 f  x   2 x sin x  f  x    2 I   2 2 f  x  dx  2019  2  x sin xdx  Casio  g  x A B với g  x  là hàm số chẵn. 2 x sin x 2019 4  Đáp án C 2019 2 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Trang 27 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn Câu 55. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  và thỏa mãn f   x   2018 f  x   e x . Tính giá trị của 1 I  f  x  dx 1 A. I  e2  1 . 2019e B. I  e2  1 . 2018e D. I  C. I  0 . e2  1 . e Lời giải Chọn A Cách 1: (Dùng công thức). Với f   x   2018 f  x   e x ta có A  1; B  2018 . 1 1 1 e2  1 1 x 1 x Suy ra I   f  x  dx  e dx  e  . 1  2018 1 2019 1 2019e 1 Cách 2: (Dùng công thức) A.g  x   B.g   x  Áp dụng Hệ quả 1: A. f  x   B. f   x   g  x   f  x   . A2  B 2 Ta có: 1 1 2018e x  e x 1 f   x   2018 f  x   e x  f  x    f x dx  2018e x  e  x dx   2   2018  1 2019.2017 1 1   1,164.103   e2  1 (Casio). 2019e Câu 56. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên  , thỏa mãn 2 f  2 x   f 1  x   12 x 2 . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f  x  tại điểm có hoành độ bằng 1 là A. y  2 x  2 . B. y  4 x  6 . C. y  2 x  6 . D. y  4 x  2 . Lời giải Chọn D Áp dụng kết quả  x b   xc  A.g   B.g   a  a  2 2   A . f ax  b  B . f  ax  c  g x A  B “Cho ) khi đó f  x   ”.       (với A2  B 2 Ta có x  x 1  2.g    g  2 6 x 2  3  x  1 2 2  2   2 f  2 x   f 1  x   12 x  g  x   f  x     x2  2x 1 . 22  1 3  f 1  2 Suy ra  , khi đó phương trình tiếp tuyến cần lập là: y  4 x  2 .  f  1  4 1 Câu 57. Cho f  x  là hàm số chẵn, liên tục trên  thỏa mãn  f  x dx  2018 và g  x  là hàm số 0 1 liên tục trên  thỏa mãn g  x   g   x   1 , x   . Tính tích phân I   f  x g  x  dx . 1 A. I  2018 . B. I  1009 . 2 C. I  4036 . D. I  1008 . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Trang 28 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn Lời giải Chọn A Áp dụng Hệ quả h  x A.g  x   B.g   x   h  x   g  x   A B với h  x  là hàm số chẵn. 1 1  . 11 2 Kết hợp với điều kiện f  x  là hàm số chẵn, ta có: Ta có: g  x   g   x   1  h  x   g  x   1 1 1 1 I   f  x  g  x  dx   f  x  dx   f  x dx  2018 . 2 1 0 1 a Chú ý: Nếu f  x  là hàm số chẵn, liên tục trên  a; a    a a f  x  dx  2  f  x  dx . 0 Câu 58. Cho số dương a và hàm số f  x  liên tục trên  thỏa mãn f  x   f   x   a , x   . Giá a trị của biểu thức  f  x  dx bằng a A. 2a 2 . C. a 2 . B. a . D. 2a . Lời giải Chọn C a a Đặt x  t   f  x  dx   a a a f  t  dt   a a a  2  f  x  dx  a  a f  t  dt  a  f   x  dx a a a   f  x   f   x  dx   adx  2  f  x  dx  2a a a 2  a  f  x  dx  a 2 . a  2 Câu 59. Cho hàm số f  x  liên tục trên  thỏa điều kiện f  x   f   x   2sin x . Tính  f  x  dx  A. 1 . B. 0 . C. 1 . 2 D. 2 . Lời giải Chọn B  2 Giả sử I   f  x  dx .  2 Đặt t   x  dt  dx , đổi cận x     2 Khi đó I    f  t  dt   2  2 Suy ra 2 I      t  x t  . 2 2 2 2  2  f  t  dt .  2  2   f  x   f   x  dx   2sin xdx  0  2I  0  I  0  2  2 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Trang 29 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn Câu 60. Cho f ( x ) là một hàm số liên tục trên  thỏa mãn f  x   f   x   2  2cos 2 x . Tính tích 3 2 phân I    f  x  dx . 3 2 A. I  3 . C. I  6 . B. I  4 . D. I  8 . Lời giải Chọn C 3 2 Ta có I   3 2 0  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx . 3 2  3 2 0 0 Xét  3 3  f  x  dx Đặt t   x  dt  dx ; Đổi cận: x   2  t  2 ; x  0  t  0 . 3 2 0 Suy ra  3 2 0 3 2  f  x  dx    f  t  dt   f  t  dt   f   x  dx . 3 2 3 2 0 0 3 2 Theo giả thiết ta có: f  x   f   x   2  2 cos 2 x    f  x   f   x   dx   0 3 2  3 2 0 3 2  2  2 cos x dx 0 3 2  f  x  dx   f   x  dx  2  0 3 2 sin x dx 0 3 2  0  f  x  dx   f  x  dx  2 sin x dx  2  sin x dx 0  3 2 0 0 Câu 61. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên R và thỏa mãn f  x   f   x   2  2cos 2 x . Tính  2 I  f  x  dx .  2 A. I  1 . B. I  1 . C. I  2 . D. I  2 . Lời giải  2 I  f  x  dx  (1) Đặt t   x  dt  dx Đổi cận: 2  I  2  2  2  f  t  .  dt    f  t  dt   f   x  dx (2) (Tích phân xác định không phụ thuộc vào biến số  2  2  2 tích phân)  2 (1) + (2)  2 I   2   f  x   f   x   dx    2  2  2 cos 2 xdx 2 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Trang 30 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A  2   2 2 1  cos 2x  dx  2    2  2 2 cos 2 xdx  2  cos x dx  2  cos xdx  2sin x   2  2 Tích Phân Hàm Ẩn   2 2   2   2  2 1   1   4 I 2 Chọn D π 4  f  x  dx 2 Câu 62. Cho hàm số f  x  liên tục trên  và 3 f   x   2 f  x   tan x . Tính  π . 2 A. 1  B. π 1 . 2 C. 1  π . 4 π 4 D. 2  π . 2 Lời giải Chọn D  4 π 4 Cách 1: Ta có    2 π  2 tan 2 xdx  π 4 π  1   tan x  x  1 d x   4 π  1  π   1  π   2  π   cos2 x  4  4 2 4  4 π 4  3 f   x   2 f  x   dx .  π 4 Đặt t   x  dt  dx , đổi cận x   π 4 π π π π t , x t . 4 4 4 4 π 4 π 4  3 f   x   2 f  x  dx   3 f  t   2 f  t   dt   3 f  x   2 f   x  dx  π 4  π 4 π 4  π 4 π 4 π 4 π 4 π π  f  x  dx   f   x  dx  2  2   3 f  x   2 f  x   dx  2  2   f  x  dx Suy ra,  π 4  π 4  π 4  π 4 π 4 Vậy π  f  x  dx  2  2  π 4 Cách 2: (Trắc nghiệm) 2 Chọn f  x   f   x   tan x (Thỏa mãn giả thiết). π 4 π 4 π 4  1  f  x  dx   tan x dx    cos 2 Khi đó 2  π 4  π 4  π 4    1 dx  2  x  2 Câu 63. Cho hàm số f  x  liên tục trên đoạn   ln 2;ln 2 và thỏa mãn f  x   f   x   1 . e 1 x ln 2 Biết  f  x  dx  a ln 2  b ln 3  a; b   . Tính P  a  b .  ln 2 A. P  1 . 2 B. P  2 . C. P  1 . D. P  2 . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Trang 31 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn Lời giải Chọn A ln 2  f  x  dx . Gọi I   ln 2 Đặt t   x  dt  dx . Đổi cận: Với x   ln 2  t  ln 2 ; Với x  ln 2  t   ln 2 .  ln 2 Ta được I    ln 2 f  t  dt   ln 2 f  t  dt   ln 2 ln 2 ln 2  f   x  dx .  ln 2 ln 2 ln 2  f  x  dx   f   x  dx   Khi đó ta có: 2I   ln 2  ln 2 ln 2  f  x   f   x   dx   ln 2 1 dx . e 1  ln 2  x ln 2 1 dx . Đặt u  e x  du  e x d x e  1  ln 2 1 Đổi cận: Với x   ln 2  u  ; x  ln 2  u  2 . 2 ln 2 ln 2 ln 2 1 1 ex dx   x x dx   du Ta được  x e 1 u u  1  ln 2 e  e  1  ln 2   ln 2 Xét  x ln 2 2 1  1  u  u  1  du   ln u  ln u  1  1  ln 2  2  ln 2  1 1 Vậy ta có a  , b  0  a  b  . 2 2   Câu 64. Xét hàm số f  x  liên tục trên  0;1 và thỏa mãn điều kiện 2 f  x   3 f 1  x   x 1  x . 1 Tính tích phân I   f  x dx . 0 A. I   4 . 15 B. I  1 . 15 C. I  4 . 75 D. I  1 . 25 Lời giải Chọn C Cách 1: (Dùng công thức) Với 2 f  x   3 f 1  x   x 1  x ta có A  2; B  3 . 1 1 Casio 1 4 x 1  xdx  0, 05  3  . Suy ra:  f  x  dx   230 75 0 Áp dụng kết quả “Cho A. f  ax  b   B. f  ax  c   g  x  (Với A2  B2 ) khi đó  x b   xc  A.g   B.g     a   a  . f x  ” A2  B 2 Ta có: 2 f  x   3 f 1  x   x 1  x  g  x   f  x   1 1 Suy ra: I   f  x  dx   0 0 2 x 1  x  3 1  x  x 5 2 g  x   3g 1  x  Casio 2 2 2 3 dx  0, 05  3   2 x 1  x  3 1  x  x 5 . 4 . 75 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Trang 32 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn Cách 3: (Dùng phương pháp đổi biến – nếu không nhớ công thức) 1 1 1 Casio 2 f  x   3 f 1  x   x 1  x  2  f  x  dx  3 f 1  x  dx   x 1  xdx  0, 2  6   Từ 0 0 0 4  Đặt 15 u  1  x  du  dx ; Với x  0  u  1 và x  1  u  0 . 1 Suy ra 1 1  f 1  x  dx   f  u  du   f  x  dx thay vào  , ta được: 0 0 2 0 2 4 4   f  x  dx  . 15 75 0 0 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 5 5 f  x  dx  b Bài toán: “ Cho f  x  . f  a  b  x   k 2 , khi đó I   a dx ba  k  f  x 2k Chứng minh: dt  dx  Đặt t  a  b  x   k 2 và x  a  t  b ; x  b  t  a . f x     f t   b b dx dx 1 b f  x  dx Khi đó I      . k  f  x  a k2 k a k  f x a k f t  b 2I   a b b dx 1 f  x  dx 1 1 ba     dx   b  a   I  . k  f  x k a k  f  x k a k 2k Câu 65. Cho hàm số f  x  liên tục và nhận giá trị dương trên  0;1 . Biết f  x  . f 1  x   1 với 1 dx 1 f  x 0 x  0;1 . Tính giá trí I   A. 3 . 2 B. 1 . 2 C. 1 . D. 2 . Lời giải Chọn B Ta có: 1  f  x   f  x  f 1  x   f  x   f  x 1 f  x  1 f 1  x   1 1 dx . 1 f  x 0 Đặt t  1  x  x  1  t  dx  dt . Đổi cận: x  0  t  1 ; x  1  t  0 . 0 1 1 1 f  x  dx dt dt dx Khi đó I       1  f 1  t  0 1  f 1  t  0 1  f 1  x  0 1  f  x  1 Xét I   1 1 f  x  dx 1 1  f  x  dx 1   d x  0 1  f  x  0 1  f  x  0 1  f (t ) 0 dx  1 hay 2I  1. Vậy I  2 . 1 Mặt khác File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Trang 33 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn Câu 66. Cho hàm số f  x  liên tục trên  , ta có f  x   0 và f  0  . f  2018  x   1 . Giá trị của tích 2018 phân I   0 dx 1 f  x A. I  2018 . B. I  0 C. I  1009 D. 4016 Lời giải Chọn C 2018 ta có I   0 1 2018  0 dx   1009 . 1 f  x 2.1 Câu 67. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm, liên tục trên  và f  x   0 khi x  0;5 Biết . 5 dx f  x  . f  5  x   1 tính tích phân I   . 0 1 f x ,   A. I  5 . 4 B. I  5 . 3 C. I  5 . 2 D. I  10 . Lời giải Chọn C Đặt x  5  t  dx  dt x  0t  5; x  5t  0 0 5 f  t  dt dt 1 I    (do f  5  t   ) 5 1 f 5  t 0 1 f t f t     5 5  2 I   dt  5  I  . 0 2 Câu 68. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên R và f  x   0 khi x  [0; a] ( a  0 ). Biết a dx . 1 f  x 0 f  x  . f  a  x   1 , tính tích phân I   A. I  a . 2 B. I  2a . C. I  a . 3 D. I  a . 4 Lời giải: a dx (1) Đặt t  a  x  dt  dx Đổi cận: 1  f x   0 I  0 a a dt 1 1  dt   dx (2) (Tích phân xác định không phụ thuộc 1 f a  t  0 1 f a  t  1 f a  x a 0 vào biến số tích phân) a   1 1 (1) + (2)  2 I      dx 1  f x 1  f a  x      0   2 a 1 f a  x 1 f  x 2  f a  x  f  x a  dx   dx   dx  a  I  1 f  x. f  a  x  f  x  f a  x 2  f a  x  f  x 2 0 0 Chọn A  I   File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Trang 34 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn  f  x  . f  a  x   1 Câu 69. Cho f  x  là hàm liên tục trên đoạn  0; a  thỏa mãn  và  f  x   0, x   0; a  a dx  1 f  x  0 ba b , trong đó b , c là hai số nguyên dương và là phân số tối giản. Khi đó b  c có giá c c trị thuộc khoảng nào dưới đây? A. 11;22  . B.  0;9  . C.  7; 21 . D.  2017; 2020  . Lời giải Chọn B Cách 1. Đặt t  a  x  dt  dx Đổi cận x  0  t  a; x  a  t  0. a a a 0 f  x  dx dx dx dx  dt     1 f  x a 1 f a  t  0 1 f a  x 0 1 1 1 f  x 0 0 f x a Lúc đó I   a f  x  dx a dx    1dx  a 1 1  f x  f x     0 0 0 a Suy ra 2 I  I  I   1 a  b  1; c  2  b  c  3. 2 Cách 2. Chọn f  x   1 là một hàm thỏa các giả thiết. Do đó I  1 a  b  1; c  2  b  c  3. 2 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 4 : Dễ dàng tính được I  Câu 70. Cho f  x  và g  x  là hai hàm số liên tục trên  1,1 và f  x  là hàm số chẵn, g  x  là hàm 1 số lẻ. Biết  1 f  x  dx  5 và 0  g  x  dx  7 . Mệnh đề nào dưới đây sai? 0 1  A. 1 f  x  dx  10 . B. 1 1 1   f  x   g  x  dx  10 . C.  g  x  dx  14 . D. 1 Lời giải Nhớ 2 tích chất sau để làm trắc nghiệm nhanh: a Câu 71. Nếu hàm f  x  CHẴN thì  a a f  x  dx  2  f  x  dx 2. Nếu hàm f  x  LẺ thì 0 a  f  x  dx  0 a Nếu chứng minh thì như sau: 1 Đặt A  0 1  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx 1 0      1 A1 A2 0 A1   f  x  dx . Đặt t   x  dt  dx 1 Đổi cận: File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Trang 35 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 0 1 Tích Phân Hàm Ẩn 1  A1   f  t  .  dt    f  t  dt   f   x  dx (Do tích phân xác định không phụ thuộc vào biến số 1 0 0 1 tích phân)   f  x  dx (Do f  x  là hàm chẵn  f   x   f  x  ) 0 1 Vậy A   1 1 1 f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  10 (1) 0 1 0 0 1  g  x  dx   g  x  dx   g  x  dx Đặt B  0      1 1 B1 B2 0 B1   g  x  dx . Đặt t   x  dt  dx 1 Đổi cận: 0 1 1  B1   g  t  .  dt    g  t  dt   g   x  dx (Do tích phân xác định không phụ thuộc vào biến số 1 0 0 1 tích phân)    g  x  dx (Do f  x  là hàm chẵn  g   x    g  x  ) 0 1 Vậy B  1 1  g  x  dx   g  x  dx   g  x  dx  0 (2) 1 0 0 Từ (1) và (2) Chọn B 0 Câu 72. Cho hàm số y  f  x  là hàm lẻ và liên tục trên  4; 4 biết  f   x  dx  2 và 2 4 2  f  2 x  dx  4 . Tính I   f  x  dx . 0 1 A. I  10 . B. I  6 . C. I  6 . D. I  10 . Lời giải Chọn B x2 Cách 1: Sử dụng công thức:  x1 x 1 2 f  ax  b  dx   f  ax  dx và tính chất a x1 a  f  x  dx  0 với f  x  là hàm a số lẻ trên đoạn  a; a  . Áp dụng, ta có: 2 2 1 4 1 2  4   f  2 x  dx    f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  8 . 4 2 2 2 4 1 0 2  0 2 2 2 0 0  f   x  dx   f  x    f  x    f  x   2 2 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Trang 36 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 4 Suy ra: 0   f  x  dx    0  8  2 4 4 2 2 2 0 4 2 0 Tích Phân Hàm Ẩn f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  f  x  dx   f  x  dx  I  0  8   0  2   I  I  6 . 0 0 Cách 2: Xét tích phân  f   x  dx  2 . 2 Đặt  x  t  dx  dt . 0 Đổi cận: khi x  2 thì t  2 ; khi x  0 thì t  0 do đó  2 2 2 0 f   x  dx    f  t  dt   f  t  dt 0 2 2   f  t  dt  2   f  x  dx  2 . 0 0 Do hàm số y  f  x  là hàm số lẻ nên f  2 x    f  2 x  . 2 Do đó 2 2 f  2 x  dx    f  2 x  dx   f  2 x  dx  4 .  1 1 1 2 Xét  f  2 x  dx . 1 Đặt 2x  t  dx  1 dt . 2 2 Đổi cận: khi x  1 thì t  2 ; khi x  2 thì t  4 do đó 4 1 f  2 x  dx   f  t  dt  4 22  1 4 4   f  t  dt  8   f  x  dx  8 . 2 2 2 4 4 Do I   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  2  8  6 . 0 0 2 1 Câu 73. (SỞ ĐÀ NẴNG 2019) Cho hàm số chẵn y  f  x  liên tục trên  và f  2x   1 5 x dx  8 . Giá trị 1 2 của  f  x  dx bằng: 0 A. 8 . B. 2 . C. 1 . D. 16 . Lời giải Chọn D 1 +) Ta có 8   1 0 Xét I  0 1 f  2x  f  2x  f  2x  dx   dx   dx . (1) x x 1 5 1 5 1  5x 1 0 f  2x   1 5 x dx : 1 Đặt t   x  dt  dx . Đổi cận: x  1  t  1 và x  0  t  0 . Khi đó 1 1 t 0 f  2t  5 f  2t  f  2t  I   d t  d t  dt .   t t  t  1  5 1  5 5  1 0 0 1 Vì y  f  x  là hàm chẵn trên  nên f  2t   f  2t  , t   . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Trang 37 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 1 Do đó I   5t f  2t  5t  1 0 1 8 5x f  2 x  5x  1 0 5x f  2 x  1 dt   5x  1 0 f  2x  1 dx   1  5x 0 1 dx   1 f  2x  d  2x   8  2 0  dx . Thay vào (1) thu được 5 x   1 f 2x  5x  1 0 1 Tích Phân Hàm Ẩn 1 dx   f  2 x  dx . 0 2  f  t  dt  16 . 0 1 Câu 74. Cho f  x  là hàm số chẵn liên tục trong đoạn  1; 1 và  f  x  dx  2 . Kết quả 1 1 I f  x  1 e x dx bằng 1 B. I  3 . A. I  1 . C. I  2 . D. I  4 . Lời giải Chọn A 1 0 1 f  x f  x f  x I d x  d x  dx  I1  I 2 x x   1 e 1 e 1  ex 1 1 0 f  x  1  e x dx 1 Đặt x  t  dx  dt , đổi cận: x  0  t  0 , x  1  t  1 0 Xét I1  0 I1   f  x 1 e 1 1 Lại có  0 1 dt    t  0 t e . f t  1  et 1 Suy ra: I  1 dt   0 f  x  1 e 1 x et . f  x  1  et dt . ex . f  x  1  ex 1 dx   0 dx . et . f  t  1  et 1 dt   0 f t  1  et 1 dx   0 1  e  . f  t  dt  t 1  et 1  1 f  t  dt  0 1 Câu 75. Cho y  f  x  là hàm số chẵn và liên tục trên . Biết  0 2 1 f  t  dt  1 . 2 1 2 f  x  dx  1 f  x  dx  1 . Giá trị của 2 1 f  x dx bằng x 1 3 2 A. 1 . B. 6 . C. 4 . D. 3 . Lời giải Chọn D Cách 1: Sử dụng tính chất của hàm số chẵn a a f  x Ta có:  x dx   f  x  dx , với f  x  là hàm số chẵn và liên tục trên  a; a  . b 1 a 0 Áp dụng ta có: 2 2 1 2 f  x d x  f x d x  f x d x       3x  1 0 0 1 f  x  dx  1  2  3 2 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Trang 38 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 1  Cách 2: Do 1 2 1 f  x  dx  1   f  x  dx 1 và 2 1 0 f  x  dx  0 1 2 Tích Phân Hàm Ẩn 2  f  x  dx  2 1 2   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  3 . 0 1 f  x dx  x 3  1 2 2 Mặt khác  0 f  x 0 3 x 2 1 f  x 2 dx   3x  1 0 dx và y  f  x  là hàm số chẵn, liên tục trên   f   x   f  x  x   . 0 Xét I  f  x dx . Đặt t   x  dx  dt x 1 3 2 0 f  x f  t  d x   2 3x  1 2 3t  1 dt = 0 Suy ra I  2  0 2 t f  t  3 f t  dt =  t dt = 1 3  1 0 1 3t 2  0 0 2 2 x 2 3 f  x f  x f  x f  x f  x  x dx   x dx   x dx   x dx   x dx  3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 0 0 0 2 2 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 4 2 3x f  x  3x  1 2  3 x 0 dx  1 f  x 3x  1 2 dx   f  x  dx  3 . 0 “ Cho hàm số y  f  x  thỏa mãn g  f  x    x và g  t  là hàm đơn điệu (luôn đồng biến hoặc nghịch b biến) trên  .Hãy tính tích phân I   f  x  dx “ a Cách giải: Đặt y  f  x   x  g  y   dx  g   y  dy  x  a  g  y   a  y   Đổi cận   x  b  g  y   b  y   b  a  Suy ra I   f  x  dx   yg  y dy 2 Câu 76. Cho hàm số f  x  liên tục trên  thỏa mãn f 3  x   f  x   x, x   . Tính I   f  x  dx 0 A. I  2 . B. I  3 . 2 C. I  1 . 2 D. I  5 . 4 Lời giải Chọn D Đặt y  f  x   x  y 3  y  dx   3 y 2  1 dy 3  x  0  y  y  0  y  0 Đổi cận  3  x  2  y  y  2  y  1 2 1 0 0   1   Khi đó I   f  x  dx   y 3 y 2  1 dy   3 y 3  y dy  0 5  đáp án D 4 Câu 77. Cho hàm số f  x  liên tục trên  thỏa mãn 2 f 3  x   3 f 2  x   6 f  x   x , x   . Tính 5 tích phân I   f  x  dx . 0 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Trang 39 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. I  5 . 4 B. I  5 . 2 C. I  Tích Phân Hàm Ẩn 5 . 12 D. I  5 . 3 Lời giải Chọn B Đặt y  f  x   x  2 y 3  3 y 2  6 y  dx  6  y 2  y  1 dy . Đổi cận: với x  0  2 y 3  3 y 2  6 y  0  y  0 và x  5  2 y 3  3 y 2  6 y  5  y  1 . 1 1 1     Khi đó I   f  x  dx   y.6 y  y  1 dy  6 y 3  y 2  y dy  0 2 0 0 5 . 2 Câu 78. Cho hàm số f  x  liên tục trên  thỏa mãn x  f 3  x   2 f  x   1 , x   . Tính 1 I  f  x  dx . 2 A. I  7 . 4 B. I  7 . 2 C. I  7 . 3 D. I  5 . 4 Lời giải Chọn A Đặt y  f  x   x   y 3  2 y  1  dx   3 y 2  2  dy . Đổi cận: Với x  2   y 3  2 y  1  2  y  1 ; x  1   y 3  2 y  1  1  y  0 . 0 7 . 4 1 DẠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN   Khi đó: I   y 3 y 2  2 dy  Tích phân từng phần với hàm ẩn thường áp dụng cho những bài toán mà giả thiết hoặc kết luận có một trong các tích phân sau: b b  u( x). f ‘( x).dx hoặc  u ‘( x). f ( x).dx . a a 1 Câu 79. Cho hàm số f  x  thỏa mãn 1   x  1 f ‘  x  dx  10 và 2 f 1  f  0   2 . Tính I   f  x  dx . 0 0 A. I  8 . B. I  8 . C. I  4 . D. I  4 . Lời giải Chọn B 1 A    x  1 f ‘  x  dx Đặt u  x  1  du  dx , dv  f ‘  x  dx chọn v  f  x  0 1 1 1 1 1  A   x  1 . f  x  0   f  x  dx  2 f (1)  f (0)   f  x  dx  2   f  x  dx  10   f  x  dx  8 0 0 0 0 5 Câu 80. Cho hàm số y  f  x  thỏa mãn f  x3  3 x  1  3 x  2, x  . Tính I   x. f   x  dx . 1 5 A. . 4 17 B. . 4 33 C. . 4 D. 1761 . Lời giải Chọn C File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Trang 40 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn 5 5 u  x  du  dx Đặt    I  xf  x  1   f  x  dx .  dv  f   x  dx v  f  x  1 5  f  5   5  x  1 , suy ra I  23   f  x  dx. Từ f x 3  3x  1  3 x  2    f 1  2  x  0  1 2  dt   3 x  3 dx Đặt t  x 3  3 x  1    f  t   3x  2 Đổi cận: Với t  1  1  x3  3 x  1  x  0 và t  5  x 3  3 x  1  5  x  1 . 5 1 Casio 33 Khi đó I  23   f  x  dx  23    3x  2  3x 2  3 dx  4 1 0     Câu 81. (CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ HÒA BÌNH LẦN 4 NĂM 2019) Cho hàm số y  f  x  1 với f  0   f 1  1 . Biết rằng  e x  f  x   f   x   dx  ae  b , a , b   . Giá trị của biểu thức 0 a 2019 b 2019 2018 A. 2 bằng 1 . D. 22018 1 . C. 0 . B. 2 . Lời giải Chọn C Cách 1: 1 1 1 Ta có  e  f  x   f   x   dx   e x f  x  dx   e x f   x  dx . x 0 0 0 Đặt u  f  x  , dv  e dx ; ta có du  f   x  dx , v  e x . x 1 1 1 1 Khi đó,  e x f  x  dx  e x f  x   10   e x f   x  dx   e x f  x  dx   e x f   x  dx  e x f  x   0 0 0 1 0 0 1   e x  f  x   f   x   dx   e x f  x   10  e. f 1  f  0   e  1 . 0 1 Theo đề bài  e x  f  x   f   x   dx  ae  b , a , b   suy ra a  1 , b  1 . 0 Do đó a Cách 2: 2019  b 2019  12019   1 1 2019  0. 1 Ta có  e  f  x   f   x   dx    e x f  x   dx   e x f  x   x 0 1 0  e. f 1  f  0   e  1 . 0 1 Theo đề bài  e x  f  x   f   x   dx  ae  b , a , b   suy ra a  1 , b  1 . 0 Do đó a 2019  b 2019  12019   1 2019  0. Câu 82. Cho hàm số f  x  và g  x  liên tục, có đạo hàm trên  và thỏa mãn f   0  . f   2   0 và 2 g  x  f   x   x  x  2 e x . Tính giá trị của tích phân I   f  x  .g   x  dx ? 0 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Trang 41 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A B. e  2 . A. 4 . Tích Phân Hàm Ẩn D. 2  e . C. 4 . Lời giải Chọn C Ta có g  x  f   x   x  x  2  e x  g  0   g  2   0 (vì f   0  . f   2   0 ) 2 2 2 2 2   I   f  x  .g   x  dx   f  x  dg  x    f  x  .g  x    g  x  . f   x  dx    x 2  2 x e x dx  4 . 0 0 0 0 0     Câu 83. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm và liên tục trên  0;  thỏa mãn f    3 ,  4 4  4  4 f  x  cos x dx  1 0  4  sin x. tan x. f  x   dx  2 . Tích phân  sin x. f   x  dx bằng: và 0 0 A. 4 . B. 23 2 . 2 C. 1 3 2 . 2 D. 6 . Lời giải Chọn B  4 u  sin x du  cos xdx . Ta có: I   sin x. f   x  dx . Đặt   0 dv  f   x  dx v  f  x   4  4 0 I  sin x. f  x    cos x. f  x  dx  0  4 3 2  I1 . 2  4  4   f  x  f  x  2 2   sin x.tan x. f  x  dx   sin 2 x.  dx    1  cos x .  dx . cos x  cos x  0 0  0   4    4  f  x    d x   0 cos x. f  x  dx  1  I1 . cos x  0  3 2 3 22  I1  1  I  . 1  2 2 Câu 84. (THPT SƠN TÂY HÀ NỘI 2019) Cho hàm số f  x  có đạo hàm trên  và thỏa mãn 3 1  x  f   2 x  4 dx  8 ; f  2  2 . Tính I   f  2 x  dx . 0 2 A. I  5 . B. I  10 . C. I  5 . D. I  10 . Lời giải Chọn B 3 + Xét J   x  f   2 x  4  dx  8 . 0 1 1  Đặt u  x và dv  f   2 x  4  dx  d  f  2 x  4   , ta được du  dx và v  f  2 x  4  . 2 2  3 3 2 3 1 1 3 1 1  J  x. f  2 x  4    f  2 x  4  dx  f  2    f  2 x  4  dx  3   f  2 x  4  dx . 0 20 2 2 20 20 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Trang 42 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 3 Tích Phân Hàm Ẩn 3 1 f  2 x  4  dx  8   f  2 x  4  dx  10 . 2 0 0 Đặt 2t  2 x  4  2dt  2dx  dt  dx Đổi cận: x 0 3 t 2 1 Vì J  8  3  1 I1   1 f  2t  dt  2  f  2 x  dx  10 . 2 Vậy I  10 . TRƯỜNG HỢP RIÊNG: b b Khi đề bài cho biết giá trị f  a  , f  b  ,  u  x  . f   x  dx  h , a thức chứa x đã tường minh), đề tìm b   f   x   2 dx  k (với u  x  là một biểu a f  x  trước tiên ta đi tìm 2 số  ,  sao cho 2   f   x    .u  x     dx  0 , rồi suy ra f   x    .u  x    , sau đó nguyên hàm hai vế để tìm f  x  a . Câu 85. (NGUYỄN TRUNG THIÊN HÀ TĨNH) Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  0; 2 , thỏa các 2 điều kiện f  2   1 và  0 2 2 f  x  dx    f   x   dx  0 A. 1. 2 . Giá trị của 3 B. 2. C. 2  1 f  x dx : x2 1 . 4 D. 1 . 3 Lời giải Chọn C u  f  x  du  f   x  dx Đặt   vx   dv  dx 2 2 2 2 2   f  x  dx  x. f  x  0   x. f   x  dx  2   x. f   x  dx   x. f   x  dx  0 0 2 Ta lại có: 1 2 x 3 2  4 x dx  12 0 2  0 2 0 0 2 4 2   . 3 3 2 . 3 2 2 2 2 1 2 4 2 1   Do đó:   f   x   dx   x. f   x  dx   x 2dx       f   x   x  dx  0 4 3 3 3 2  0 0 0 0 2 2 1  1  x  0 (vì   f   x   x  dx  0 , x  0; 2 ) 2 2  0  1  f  x   x2  C  f  2  1  C  C  0 . 4 2 2 2 f  x 1 2 1 1 1 Vậy f  x   x   2 dx   dx  x  . 4 x 4 4 1 4 1 1  f  x  File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Trang 43 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn Câu 86. (CHUYÊN VINH LẦN 3) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 thỏa mãn 1 1 1 0 x. f  x  dx  5 . Tích phân 2 f 1  4 ,   f   x  dx  36 và 0 A. 5 . 6 B. 3 . 2 1  f  x  dx bằng 0 C. 4 . 2 . 3 D. Lời giải Chọn B 1 1 1 Từ giả thiết:  x. f  x  dx    5 x. f  x  dx  1 . 5 0 0  du  f   x  dx u  f  x   Đặt:   . 5 dv  5 xdx v  x 2  2 1 1 1 5 5 Ta có: I   5 x. f  x  dx  x 2 . f  x    x 2 . f   x  dx 2 20 0 0 1 1 5 5 5  . f 1   x 2 . f   x  dx  10   x 2 . f   x  dx , (vì f 1  4 ) 2 20 20 1 1 Mà: I   5 x. f  x  dx  1  1  10  0 1 1 5 2 18 x . f   x  dx   x 2 . f   x  dx   20 5 0 1 1 1 2 2  10  x . f   x  dx  36  10 x . f   x  dx    f   x   dx , (theo giả thiết:   f   x   dx  36 ) 2 2 0 0 0 1 0 1 2   10 x 2 . f   x    f   x    dx  0   f   x  10 x 2  f   x   dx  0   0 0 10 x3 C 3 10 x3 2 10.1 2  . Với f 1  4  4   C  C  . Khi đó: f  x   3 3 3 3 2  10 x  f   x   0  f   x   10 x2  f  x   1 Vậy:  0 1 1  10 x 3 2   5x 4 2  3 f  x  dx     dx    x  . 3 3 3 0 2  6 0 Câu 87. (CHUYÊN VINH LẦN 3) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 0; 2  thỏa mãn 2 2 2 f  2   3 ,   f   x   dx  4 và 0 A. 2 . 115 B. 1 2 0 x f  x  dx  3 . Tích phân 297 . 115 C. 2  f  x  dx bằng 0 562 . 115 D. 266 . 115 Lời giải Chọn C 2 Từ giả thiết: 2  x f  x  dx  0 2 1   3 x 2 f  x  dx  1 . 3 0 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Trang 44 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn 2 Tính: I   3 x 2 f  x  dx . 0 du  f   x  dx u  f  x  Đặt:   .  2 3 dv  3x dx v  x 2 2 2 2 Ta có: I   3x 2 f  x  dx  x3 . f  x    x 3 . f   x  dx  24   x 3 . f   x  dx , (vì f  2   3 ) 0 0 0 2 0 2 Mà: I   3 x 2 f  x  dx  1  1  24   x 3 . f   x  dx 0 0 2 2   x 3 . f   x  dx  23  0 2  4 x3 . f   x  dx  4  23 0 2 1 2 4 x3 . f   x  dx    f   x   dx ,  23 0 0 2 (theo giả thiết:   f   x   2 dx  4 ) 0 2 2 4 4     x3 . f   x    f   x    dx  0   f   x   x3  f   x   dx  0 23  23   0 0 4 3 4 3 1 4  x  f  x  0  f  x  x  f  x  x C 23 23 23 16 53 Với f  2   3  3  C C  . 23 23 1 4 53 Khi đó: f  x   x  . 23 23 2 Vậy  0 2 2 53  562  1  1 5 53  . f  x  dx    x 4  dx   x  x  23 23  23  0 115  115 0 Câu 88. (THPT ĐÔ LƯƠNG 3 LẦN 2) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 1; 2  thỏa 2 mãn   x  1 2 1 A. I  1 f  x  dx   , f  2  0 , 3 7 . 5 2 2 2   f   x   dx  7 . Tính I   f  x  dx . 1 1 7 B. I   . 5 C. I   7 . 20 D. I  7 . 20 Lời giải Chọn B u  f  x  Đặt  ta được 2 dv   x  1 dx 2 2 Khi đó  du  f   x  dx   1 3 v   x  1 3    x 1 1 2 2 1 1 3 3 f  x  dx   x  1 f  x     x  1 f   x  dx . 3 31 1 2 2 1 1 3 3       x  1 f   x  dx .    x  1 f   x  dx  1 . 3 31 1 2 Xét 2 3   f   x   k  x  1  dx  0  k    . 1 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Trang 45 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 2 2 2 Tích Phân Hàm Ẩn 2 3 6    f   x   dx  2k   x  1 f   x  dx  k 2   x  1 dx  0 . 1 1 1 4 7  x  1 k 3  7  2k   0  k  7  f   x   7  x  1 .  f  x   C . 7 4 4 7  x  1 7 7 Do f  2   0 nên C    f  x    4 4 4 2 2 5 2  7   x  1 7 7  4  Vậy I    x  1  1 dx    x   .  4 5 41 5   1 Câu 89. (KÊNH TRUYỀN HÌNH GIÁO DỤC QUỐC GIA VTV7 –2019) Cho hàm f  x  có đạo 2 2 1 1 và   x  1 f  x  dx   . Tính 45 1 30 2 hàm liên tục trên đoạn 1; 2 thỏa mãn f  2  =0 ,   f   x   dx  1 2 I   f  x dx . 1 A. I   1 . 36 B. I   1 . 15 C. I  1 . 12 D. I   1 . 12 Lời giải Chọn D  du  f   x  dx  u  f  x  2 Xét: E    x  1 f  x  dx . Đặt   . x  1   dv   x  1 dx v  1  2 2 E  x  1 2 2 2 2 2 2    x  1 f   x  dx  1 1 . Ta có: 15 2   x  1   f   x   k  x  1 4 dx  1 2 Ta tìm số k để 2 2 2 2 2  x  1 x  1   x  1  1 . f  x   f   x  dx    f   x  dx    f  x  dx   1 1 2 2 2 30 1 1 2 1 và 5 2   f   x  2 1 dx  1 . 45 2  dx  0 . 1 2  f   x   k  x  1 2  2 2 2 2 2 2 4 dx  0    f   x   dx  2k  f   x  .  x  1 dx  k 2   x  1 dx  0 1 1 1 1 1 1 1 1   2k .  k 2 .  0  k  . 45 15 5 3 2 2 1 1 1 2 2 3  Khi đó:   f   x    x  1  dx  0  f   x    x  1  0  f  x    x  1  C . 3 3 9  1 2 Mà f  2   0  C  2 1 1 1 1 1 3 3 1  f  x    x  1    f  x  dx     x  1   dx   . 9 9 9 9 9 12 1 1  Câu 90. (THPT NGHÈN LẦN 1) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa 1 1 mãn f 1  1 ,  x f  x  dx  và 5 0 1 1 9 0  f   x  dx  5 . Tính tích phân I  0 f  x  dx . 2 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Trang 46 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. I  3 . 4 B. I  1 . 5 C. I  Tích Phân Hàm Ẩn 1 . 4 D. I  4 . 5 Lời giải Chọn C du  f   x  dx u  f  x    Xét A   x f  x  dx . Đặt  . x2 0 dv  xdx v  2  1 1 1 1 1 3 x2 1 1 1 1  A f  x    x 2 f   x  dx    x 2 f   x  dx    x 2 f   x  dx  . 5 2 20 2 20 5 0 0 1 + Xét   f   x  2 0 1 1 dx  2k  x f   x  dx  k 2 0 1 2  x dx  0 1 4 0 1 2 9 3 1  2k .  k 2  0  k  3 . 5 5 5  1 1 2 1 trở thành   f   x  dx  6 x 2 f   x  dx  9 x 4dx  0    f   x   3×2  dx  0 . 0  f   x   3x  2 2 0 0 1   0   f   x   3x 2  2 0 dx  0 . 0 1 Do đó   f   x   3x  2 2 dx  0  f   x   3x 2  0  f   x   3x 2  f  x    3 x 2 dx  x 3  C 0 f 1  1  f  x   x3 . 1 1 I   f  x  dx   x 3dx  0 0 1 . 4 Câu 91. (SỞ ĐÀ NẴNG 2019) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  1;1 và thỏa f 1  0 ,  f   x  2 1  4 f  x   8 x  16 x  8 với mọi x thuộc  1;1 . Giá trị của 2  f  x  dx bằng 0 5 A.  . 3 B. 2 . 3 C. 1 . 5 1 D.  . 3 Lời giải Chọn A Cách 1. 1 Đặt I   2 f  x  dx . 1 u  f  x  du  f   x  dx Dùng tích phân từng phần, ta có:  .  dv  2dx v  2 x  2 1 1 1 1 I   2 x  2  f  x  1    2 x  2  f   x  dx  4 f 1    2 x  2  f   x  dx     2 x  2  f   x  dx . 1 2 Ta có  f   x    4 f  x   8 x 2  16 x  8  1 1 2 1 1 1   f   x   dx  2  2 f  x  dx    8x 1 1 2   16 x  8 dx 1 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Trang 47 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 1  1 2 1 1 1 2   f   x   dx  2   2 x  2  f   x  dx    2 x  2  dx   8 x 1 1 1 Tích Phân Hàm Ẩn 1 2 2   16 x  8 dx    2 x  2  dx 1 1 2    f   x    2 x  2   dx  0  f   x   2 x  2  f  x   x 2  2 x  C , C   . 1 1 1 5 Mà f 1  0  C  3  f  x   x  2 x  3   f  x  dx   x 2  2 x  3 dx   . 3 0 0 Cách 2. Chọn f  x   ax2  bx  c  a  0  (lý do: vế phải là hàm đa thức bậc hai).  2   f   x   2ax  b . Ta có: 2  f   x    4 f  x   8 x2  16 x  8   2ax  b 2  4  ax2  bx  c   8×2  16 x  8    4a 2  4a x 2   4ab  4b  x  b 2  4c  8 x 2  16 x  8 2  4a  4 a  8 a  1    4ab  4b  16  b  2 hoặc c  3 b 2  4c  8   a  2  b  4 . c  6  Do f 1  0  a  b  c  0  a  1 , b  2 và c  3 . 1 1 5 Vậy f  x   x 2  2 x  3   f  x  dx   x 2  2 x  3 dx   . 3 0 0   Câu 92. (THUẬN-THÀNH-BẮC-NINH) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 thỏa 1 2   mãn f 1  1 và  f   x    4 6 x  1 . f  x   40 x  44 x  32 x  4, x   0;1 . Tích phân 2 6 4 2  f  x dx 0 bằng? A. 23 . 15 B. 13 . 15 C.  17 . 15 D.  7 . 15 Lời giải Chọn B 2  f   x    4 6 x 2  1 . f  x   40 x6  44 x4  32 x2  4  1  1 2 1        f   x   dx   4 6 x  1 . f  x  dx   40 x 6  44 x 4  32 x 2  4 dx. 1 0 2 0 0 1 1     Xét I   4 6 x 2  1 . f  x  dx   24 x 2  4 f  x  dx . 0 0 u  f  x   du  f   x  dx Đặt   .  2 3  dv   24 x  4  dx v  8 x  4 x   1 1 1      I  8 x3  4 x . f  x    8 x 3  4 x . f   x  dx = 4  2  4 x 3  2 x . f   x  dx. 0 0 0 Do đó: File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Trang 48 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 1 1    f   x   0 2 1 1     Tích Phân Hàm Ẩn 1 2   dx  2  4 x 3  2 x . f   x  dx   4 x 3  2 x dx   56 x 6  60 x 4  36 x 2  8 dx. 0 1   0 0 2    f   x   4 x 3  2 x  dx  0  f   x   4 x3  2 x  f  x   x 4  x 2  c. 0 Mà f 1  1  c  1  f  x   x 4  x 2  1. 1 Do đó  0 1   f  x  dx   x 4  x 2  1 dx  0 13 . 15 Câu 93. (THANH CHƯƠNG NGHỆ AN LẦN 2) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn   2   0;  thỏa mãn:   f   x  dx   cos x. f  x dx  2 0 0 A. 0 . B.   và f    1 . Khi đó tích phân 2  1. 2 C.  . 2 D.  2  f  x  dx bằng 0  1 . 2 Lời giải Chọn B  *) Xét tích phân I   cos x. f  x dx . 0 u  f  x  du  f   x  dx Đặt    dv  cos xdx v  sin x    I  sin x. f  x  0  sin x. f   x  dx    sin x. f   x  dx . 0 0  Theo giả thiết I    , suy ra  sin x. f   x  dx   . 2 2 0  *) Tìm số thực k thỏa mãn f   x   k.sin x  0 . Khi đó 2   f   x   k .sin x  dx  0 . 0  2      f   x   dx   2k sin x. f   x  dx   k 2 sin 2 xdx  0 0 0 0      2k .     k 2 .  0  k 2  2k  1  0  k  1. 2 2  2 Từ đó, f   x   sin x  0  f   x    sin x  f  x   cos x  C .    Do f    1 nên C  1 . Vậy f  x   cos x  1 . 2  2 *) Ta có   2  f  x  dx    cos x  1 dx   sin x  x  02  1  0 0  . 2 Trắc nghiệm:   2   0  f   x   dx  2 và 0 sin x. f   x  dx   2 ta suy ra được f   x    sin x . Từ đó giải tiếp như phần trên. Từ giả thiết File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Trang 49 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn   Câu 94. Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục thỏa mãn f    0 , 2    f   x    2 dx   và 4 2    cos x f  x  dx  4 . Tính f  2018  . 2 A. 1 . B. 0 . 1 . 2 C. D. 1 . Lời giải Chọn D Bằng công thức tích phân từng phần ta có       cos xf  x  dx  sin xf  x     sin xf   x  dx . Suy ra  sin xf   x  dx   4 . 2 2 2  2   1  cos 2 x   2 x  sin 2 x  Hơn nữa ta tính được  sin xdx   dx    .  2 4   4   2 2  2 Do đó:   f   x  2 2 2  2  2  2 2 dx  2  sin xf   x  dx   sin 2 xdx  0    f   x   sin x  dx  0 . 0 0 0 0   Suy ra f   x    sin x . Do đó f  x   cos x  C . Vì f    0 nên C  0 . 2 Ta được f  x   cos x  f  2018   cos  2018   1 . Câu 95. Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 thỏa mãn f 1  0 và 1 1 2 1 x   f   x  dx    x  1 e f  x  dx  0 0 A. I  2  e . e2  1 . Tính tích phân I   f  x  dx . 4 0 B. I  e  2 . C. I  e . 2 D. I  e 1 . 2 Lời giải Chọn B u  f  x  du  f   x  dx  Xét A    x  1 e x f  x  dx . Đặt   x x 0 dv   x  1 e dx v  xe 1 1 1 1 1 Suy ra A  xe f  x    xe f   x  dx   xe f   x  dx   xe x f   x  dx  x x x 0 0 0 1 1 Xét 0 1  e2 4 1 1 e2  1 2 2x 2x  1 2 . x e d x  e x  x     0 2 40 4 2 1 Ta có 1 2 1 1  x x 2 2x   f   x  dx  2 xe f   x  dx   x e dx  0   f   x   xe 0 0 0  Suy ra f   x   xe  0 x  0;1 (do f   x   xe x x  2 dx  0 0 x  2  0 x  0;1 ) x  f   x    xe  f  x   1  x  e  C Do f 1  0 nên f  x   1  x  e x File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Trang 50 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 1 1 Tích Phân Hàm Ẩn 1 Vậy I   f  x  dx   1  x  e x dx   2  x  e x  e  2 . 0 0 0 Câu 96. (THPT-TOÀN-THẮNG-HẢI-PHÒNG) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  0;1 1 3 thỏa mãn f 1  0 ,   f   x  dx   2 ln 2 và 2 0 A. 2 1  2 ln 2 . 2 B. 1 f  x 3 0  x  12 dx  2 ln 2  2 . Tích phân 3  2ln 2 . 2 C. 3  4ln 2 . 2 D. 1  f  x  dx bằng 0 1  ln 2 . 2 Lời giải Chọn A Ta có: 1 f  x   x  1 0 1  0 2 1 dx   0 1 1 1 x. f   x  f 1 1 x. f   x  x. f   x   x  x. f  x  f  x d    d x   d x   dx     x 1 0 0 x 1 2 x  1 x  1  x 1  0 0 1 x. f   x  f  x 3 dx    dx   2 ln 2 . 2 x 1 2 0  x  1 Mặt khác: 1 2 2 1 1  1  2 1  1  3  x    0  x  1  dx  0 1  x  1  dx  0 1  x  1   x  12  dx   x  2ln x  1  x  1   2  2ln 2 0   1 Khi đó: 2 1 1 x. f   x  2 3  x  3  3   f x  x x d  2 d  0    0 x  1 0  x  1  dx  2  2 ln 2  2  2  2ln 2   2  2 ln 2  0 1 2  2 x  x        f  x    2. . f  x     dx  0 x 1  x  1    0 1 2 1 x      f  x  dx  0 * x  1  0  2 1 2 x  x     0, x   0;1 nên   f   x   dx  0, x   0;1 . Vì  f   x    x  1 x  1   0  x x Dấu ”  ” xảy ra  f   x    0, x   0;1  f   x   , x  0;1 . x 1 x 1 1 1 1 1 1 x2 1   Khi đó:  f  x  dx  x. f  x  0   x. f   x  dx    dx     x  1   dx x  1 x  1   0 0 0 0 1  x2  1 1  2 ln 2     x  ln x  1    ln 2  2  2 0 2 DẠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP 1 Bài toán tích phân liên quan đến biểu thức f   x   p  x  . f  x   h  x  Phương pháp: + Tìm P ( x)   p( x) dx File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Trang 51 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn p  x dx + Nhân hai vế với e ta được p  x  dx p x  dx p  x  dx f   x  .e   p  x  .e  . f  x   h  x  .e   f ‘( x ) e P ( x )  p ( x ).e P ( x ) f ( x)  q ( x ) e P ( x ) p  x dx  p  x dx   f  x  .e   h  x  .e    + Lấy tích phân hai vế ta được f ( x )e P ( x )   q( x)e P ( x ) dx . Từ đó suy ra f ( x ) . Hệ quả 1: Bài toán tích phân liên quan đến biểu thức f   x   f  x   h  x  Phương pháp:  + Nhân hai vế với e x ta được e x . f   x   e x . f  x   e x .h  x   e x . f  x    e x .h  x  + Suy ra e x . f  x    e x .h  x  dx + Từ đây ta dễ dàng tính được f  x  Hệ quả 2: Bài toán tích phân liên quan đến biểu thức f   x   f  x   h  x  Phương pháp:  + Nhân hai vế với e  x ta được e x . f   x   e x . f  x   e x .h  x   e x . f  x    e x .h  x  + Suy ra e  x . f  x    e  x .h  x  dx + Từ đây ta dễ dàng tính được f  x  Câu 97. (HSG cấp tỉnh – Phú Thọ 2018 – 2019): Cho hàm số f  x  thỏa mãn f  0   4 và f  x   f   x   x3 , x   . Giá trị của f 1 bằng A. 4  10 . e B. 10 . C. 2 . D. 2  10 . e Lời giải Chọn D +) Từ giả thiết, ta có e x f  x   e x f   x   x 3e x   e x f  x    x 3e x  e x f  x    x 3e x dx  e x f  x   x3ex  3 x2e x dx  x3e x  3x 2e x  6 xe x dx  x3e x  3x 2e x  6  x  1 e x  C 10 10 +) Lại có f  0   4  C  10  f  x   x3  3x 2  6 x  6  x  f 1  2  . e e 3 9 Câu 98. Cho f  x  thỏa mãn f 1  và f ‘  x   3x 2 f  x   15x 4  12x  e  x , x  R . e 1 Tính I   f  x  dx. 0 A. I  3  4 e B. I  2e  1 C. I  3  4 e D. I  2e+1 Lời giải Chọn C   ‘     Ta có e3 x f  x   e3x f ‘  x   3x 2 f  x   e3x 15x 4  12x e 3x  15x 4  12x Do đó: e3 x f  x    (15x 4  12x )dx=3x 5  6x 2  C  f  x    3x 5  6x 2  C  e 3x File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Trang 52 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Vì f 1  Tích Phân Hàm Ẩn 9  C  0  f  x   3x 5  6x 2 e 3x e  1 1  4 Khi đó I   f  x  dx   3x 5  6x 2 e 3x dx  3  . e 0 0    Câu 99. Cho hàm số f  x  có đạo hàm đến cấp hai và liên tục trên  thỏa mãn f   0   f  0   1 và 1 f  x   2 f   x   f   x   x 3  2 x 2 , x   . Tích phân  f  x  dx bằng 0 A. 107 21  . 12 e B. 107 12  . 21 e C. 107 21  . 12 e D. 107 12  . 21 e Lời giải Chọn A Theo giả thiết ta có: f  x   f   x    f   x   f   x    x 3  2 x 2  f  x   f   x    f  x   f   x    x3  2 x 2  e x  f  x   f   x    e x  f  x   f   x    e x x3  2 x 2  e x  f  x   f   x     e x  x 3  2 x 2       e x  f  x   f   x     e x x 3  2 x 2 dx  e x x 3  x 2    2x  2  C  Mặt khác f  0   f   0   1 nên 1  1  2  C  C  4  e x  f  x   f   x    e x  x 3  x 2  2 x  2   4  Do đó e x f  x   e x x3  x 2  2 x  2  4          e x f  x     e x x 3  x 2  2 x  2  4  dx  e x x3  4 x 2  10 x  12  4 x  C f  0   1  C  13  f  x    4 x  13 e x  x 3  4 x 2  10 x  12 1 1   f  x  dx    4 x  13 e  x  x 3  4 x 2  10 x  12 dx  0 0 107 21  . 12 e Câu 100. Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  0;1 , f  0   1 và 1 f   x   f  x   e x  1, x   0;1 . Tính I   f  x  dx . 0 A. 2e  1. B. 2  e  1 . C. 1  e . D. 1  2e . Lời giải Chọn B Ta có f   x   f  x   e x  1  f   x   f  x   e x  1  e  x f   x   e  x f  x   1  e  x  e x f  x    1  e x  e x f  x   x  e x  C  f  x   xe x  1  Ce x . Do f  0   1  C  2  f  x    x  2  e x  1 . 1 Do đó I    x  2  e x  1 dx  2  e  1 . 0 Câu 101. Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  thỏa mãn f   x   f  x   x 2e x  1 , với mọi x   , f  0  1 . Tính f  3 ? A. 6e3  3 . B. 6e 2  3 . C. 3e 2  1 . D. 9e3  1 . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Trang 53 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn Lời giải Chọn D  Ta có: f   x   f  x   x 2e x  1  e x f   x   x 2  e  x  e x f  x   x 2  e x .   3 3 x x xe  e x  C  f  x    1  Ce x . 3 3 3 x xe f  0   1  1  1  C  C  0  f  x    1  f  3  9e3  1 . 3   Do đó: e x f  x    e x f  x  dx  Câu 102. (Chuyên Bắc Giang) Cho hàm số f  x  có đạo hàm trên  thỏa mãn   2 f  x  f  x  x 1 e x 2  2 x 1 2 A. 3e12  1 . , x   và f 1  e . Giá trị của f  5  bằng B. 5e17 . D. 3e12 . C. 5e17  1 . Lời giải Chọn B Ta  f  x  f  x  x 1 e có: ‘      e x f  x   x 2  1 e 5  x 2 1 2 5    1  x 2 1 2 x Xét: I 2   e x 2 1 2 5 5 2 dx  e f  x    x e 1 5 x 2  2 x 1 2 x x  2   f   x e  e f  x  x 1 e x 2 1 2 . e f  x   dx =  x 2  1 e x  2 x 2 1 2 1 1 5 dx   e x 2 1 2 dx  e5 f  5   1  I1  I 2 * 1 dx . 1 2 2 x 1 x 1   u  e 2 du  xe 2 dx Đặt:  .  dv  dx v  x I 2  xe x 2 1 2 5 5 2 x e 1 x 2 1 2 dx  5e12  1  I1  I1  I 2  5e12  1 *  e5 f  5  1  5e12  1  f  5  5e17 . 1 3 Câu 103. Cho hàm số f  x  có đạo hàm trên  thỏa mãn f 1  e và  x  2 f  x   xf   x   x với mọi x . Tính f  2 . A. 4 e 2  4 e  4 . B. 4 e 2  2 e  1 . C. 2e 3  2e  2 . D. 4 e 2  4e  2 . Lời giải Chọn A 3 Biến đổi giả thiết  x  2 f  x   xf   x   x  f   x   x2 f  x   x2 x e x f   x   x  2  x  e x  x   e f  x   e   2 f  x    e x 2 3 x x x  ex  2 f  x   ex dx  e x  C  f  x  x2  Cx2ex x Mà f 1  e  C  e 1  f  x   x2   e  1 x2e x1 e File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Trang 54 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn 2 Vậy, f  2  4  4e  e 1  4e  4e  4 . Câu 104. Cho hàm số y  f  x  có f   x  liên tục trên nửa khoảng 0;  thỏa mãn 3 f  x   f   x   1  3.e 2 x . Khi đó: 1 A. e3 f 1  f  0   C. e 3 e2  3 e f 1  f  0   2 3 1 . 2   1 1  . 2 e2  3 4 B. e3 f 1  f  0   e2  3  8 3  D. e3 f 1  f  0   e 2  3 .  e2  3  8 . Lời giải Chọn C e2 x  3 ex Ta có: 3 f  x   f   x   1  3.e 2 x  Nhân hai vế giả thiết với e3x ta được  3e3 x f  x   e3 x f   x   e 2 x e 2 x  3 .  e3 x f  x    e2 x e2 x  3 . 1 Lấy tích phân từ 0 đến 1 hai vế ta được 1  3x 2x 2x  e f  x  dx   e e  3 dx 0 1   e f  x    0 3 3x 1  2x e 3  31 e 3 0 e f 1  f  0   2 3  e2  3  8 3 0 . Câu 105. Trong những hàm số f ( x ) liên tục và có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn 1 3 f ( x )  xf ‘ ( x )  x 2018 . Giá trị nhỏ nhất của I   f ( x )dx là 0 A. 1 2019.2021 B. 1 2018.2021 C. 1 2020.2021 D. 1 2017.2021 Lời giải Chọn A + 3 f ( x)  xf ‘ ( x)  x 2018  f ‘ ( x)  3 f ( x)  x 2017 , x  0 x + P( x)  3ln x  e P ( x )  x3 .   ‘ + Nhân hai vế của (*) cho x 3 ta được x 3 f ‘ ( x )  3x 2 f ( x)  x 2019  x 3 f ( x)  x 2020 , đúng x  0;1  3 + Lấy tích phân từ 0 đến hai vế có x f ( x) 2018  f (t )  1 1 t  x 0 t t 2020 0 1 2021 t 2021 dx  x  , t  0;1 2021 2021 0 2018 t t 1   f (t )dt    . 2021 0 2021 2019.2021 0 Câu 106. Cho hàm số f  x  có đạo hàm trên R thỏa mãn f   x   2018 f  x   2018.×2017 .e2018 x với mọi x   và f  0   2018. Tính giá trị f 1 . A. f 1  2019e2018 . B. f 1  2018.e2018 . C. f 1  2018.e2018 . D. f 1  2017.e2018 . Lời giải File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Trang 55 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn Chọn A + P ( x )    2018 dx  2018 x + Nhân hai vế với e 2018 x ta được   ‘ f   x  e 2018 x  2018e 2018 x f  x   2018.x 2017  f ( x )e 2018 x  2018.x 2017 + Lấy tích phân từ 0 đến 1 hai vế ta được  f ( x) e 2018 x 1  |   2018x 1 0 2017 0 dx  f (1)  2019e2018 Câu 107. Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 thỏa mãn f  0   0 và 1   2 xf  x   f   x   x x 2  1 với mọi x   0;1 . Tích phân  xf  x  dx bằng 0 A. e4 . 8e B. 1 . 6 C. 7 . 6 D. e4 . 4e Lời giải Chọn A 2 2 2 2 Nhân hai vế giả thiết với e x ta được e x .2 xf  x   e x . f   x   e x .x  x 2  1    e x f  x    x 3e x  xe x    2 2 1 ex x2 2 x2 e f  x    x  x  1 e dx  x 2  2   C  f  x    x 2  2   Ce  x .  2 2 2 1 2 Do f  0   0  C  1  f  x   x  2  e  x . 2 1 1 2  e4 1 Vậy  xf  x  dx   x  x 2  2  e  x dx  . 2 8e  0 0  2 2 2     Câu 108. (CHUYÊN LAM SƠN LẦN 2) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  0,   . Biết f  0  2e và f  x  luôn thỏa mãn đẳng thức f ‘  x   sin x. f  x   cos x.ecos x , x   0,   . Tính  I   f  x  .dx (làm tròn đến phần trăm). 0 A. I  6,55 . B. I  17, 30 . C. I  10,31 . D. I  16,91 . Lời giải Chọn B f ‘  x   sin x. f  x   cos x.e cos x . Chia hai vế đẳng thức cho ecos x ta được f ‘  x  .e cos x  e cos x .sin x. f  x   cos x (vế trái có dạng u ‘ v  uv ‘ )      f  x  .e  cos x ‘  cos x   f  x  .e  cos x ‘dx   cos x.dx  f  x  .e cos x  sin x  C . Do f  0   2e nên 2e.e 1  C  C  2 . Vậy f  x    sin x  2  ecos x  sin x  2  . e  cos x  I   f  x  .dx   ecos x  sin x  2  dx . 0 0 Sử dụng MTCT (để đơn vị rad). KQ: 10,31 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Trang 56 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn Câu 109. Suy ra. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  \ 0;  1 thỏa mãn điều kiện f 1  2ln 2 và x  x  1 . f   x   f  x   x 2  x . Giá trị f  2  a  b ln 3 , với a, b   . Tính a 2  b 2 . A. 25 . 4 B. 9 . 2 C. 5 . 2 D. 13 . 4 Lời giải Chọn B + Trước tiên ta đưa phương trình về dạng tổng quát f   x   + P( x )   1 f  x  1 x  x  1 1 x dx  ln . (ta chỉ cần xét x>0) x( x  1) x 1 ‘ + Nhân hai vế cho e P ( x ) ta được f   x  . x 1 x x  x     f ( x ). f  x    2 x  1  x  1 x 1  x 1  x 1 + Lấy tích phân từ 1 đến 2 hai vế ta có 2 2 2 3 3 x  x 3 3  dx   x  ln  x  1   f  2    ln 3 . Suy ra a  và b   .  f ( x).   1 1 2 2 x 1  1 x 1 2 2  9 Vậy a 2  b 2  . 2   Câu 110. Cho hàm số f  x  liên tục và có đạo hàm trên  0;  , thỏa mãn hệ thức  2 x     f  x   tan xf   x   . Biết rằng 3 f    f    a 3  b ln 3 trong đó a, b  . Tính giá 3 cos x 3 6 trị của biểu thức P  a  b. 4 2 7 14 A. P   . B. P   . C. P  . D. P  . 9 9 9 9 Lời giải Chọn A x Từ giả thiết  cot x. f  x   f   x   .cot x cos3 x cot xdx Nhân thêm 2 vế với e  sin x ta có cos xf  x   sin xf   x   x x  sin xf  x    . 2 cos x cos2 x x dx  x tan x  ln cos x  C. cos 2 x  3     Với x    f    . 3  ln 2   3f 3 2 3 3 Suy ra sin xf  x      2    . 3  2 ln 2  2C. 3 3  1    3 1   1  Với x    f   .  ln 3  ln 2  C   f    . 3  ln 3  2ln 2  2C. 6 2 6 6 3 2 6 9 5  4 a      5 Suy ra 3 f    f     3  ln 3   P  a b   . 9  9 3 6 9 b  1 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Trang 57 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay – Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments

Bài viết tương tự

Scroll to Top