Các dạng bài tập VDC tích phân và một số phương pháp tính tích phân

Giới thiệu Các dạng bài tập VDC tích phân và một số phương pháp tính tích phân

Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và bạn đọc Các dạng bài tập VDC tích phân và một số phương pháp tính tích phân CHƯƠNG NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN.

Các dạng bài tập VDC tích phân và một số phương pháp tính tích phân

Tài liệu môn Toán 12 và hướng dẫn giải chi tiết các đề thi từ cơ bản đến vận dụng cao sẽ luôn được cập thường xuyên từ hoctoanonline.vn , các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán hay và mới nhất.

Tài liệu Các dạng bài tập VDC tích phân và một số phương pháp tính tích phân

Các em học sinh và bạn đọc tìm kiếm thêm tài liệu Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng tại đây nhé.

Text Các dạng bài tập VDC tích phân và một số phương pháp tính tích phân
BÀI 2: TÍCH PHÂN A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I. ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN 1. Định nghĩa tích phân Chẳng hạn: F  x   x3  C là một nguyên Định nghĩa Cho hàm số f  x  liên tục trên đoạn  a; b  , với a  b. hàm của hàm số f  x   3x 2 nên tích phân 1 1 f  x  dx  F  x   F 1  F  0  Nếu F  x  là nguyên hàm của hàm số f  x  trên  đoạn  a; b  thì giá trị F  b   F  a  được gọi là tích  13  C    03  C   1. phân của hàm số f  x  trên đoạn  a; b  . Lưu ý: Giá trị của tích phân không phụ b Kí hiệu  b thuộc vào hằng số C. a Trong tính toán, ta thường chọn C  0. f  x  dx  F  x   F  b   F  a  (1) a 0 0 Công thức (1) còn được gọi là công thức Newton – Leibnitz; a và b được gọi là cận dưới và cận trên của tích phân. Chẳng hạn: Hàm số f  x   x 2  2 x  1 có Ý nghĩa hình học của tích phân Giả sử hàm số y  f  x  là hàm số liên tục và không đồ thị âm trên đoạn  a; b  . Khi đó, tích phân b  f  x  dx C  và f  x    x  1  0 , với 2 x   . a chính là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y  f  x  , trục hoành Ox và hai đường thẳng x  a, x  b, với a  b. Diện tích “tam giác cong” giới hạn bởi  C  , trục Ox và hai đường thẳng x  1 và 1 x  1 là S   f  x  dx  1 b S   f  x  dx a  x3     x2  x   3  1  x 2  2 x  1 dx 1 1 8  . 3 1 Lưu ý: Ta còn gọi hình phẳng trên là “hình thang cong”. 2. Tính chất cơ bản của tích phân Cho hàm số f  x  và g  x  là hai hàm số liên tục trên khoảng K, trong đó K có thể là khoảng, nửa khoảng hoặc đoạn và a, b, c  K , khi đó: a  f  x  dx  0 a. Nếu b  a thì Chẳng hạn: Cho hàm số f  x  liên tục, có a b. Nếu f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  a; b  thì ta có: b   1; 2 f  1  8 và f  2   1. 2  a 2 f   x  dx  f  x  1 1  f  2   f  1  9 Lưu ý: Từ đó ta cũng có b f  b   f  a    f   x  dx a b và f  a   f  b    f   x  dx a c. Tính chất tuyến tính b b b a a a  k . f  x   h.g  x  dx  k  f  x  dx  h. g  x  dx Với mọi k , h  . d. Tính chất trung cận b c b a a c  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx , với c   a; b  e. Đảo cận tích phân a  b b f  x  dx    f  x  dx a f. Nếu f  x   0, x   a; b  thì b  f  x  dx  0 a b  f  x  dx  0 khi f  x   0 . a g. Nếu f  x   g  x  , x   a; b thì thỏa mãn Khi đó b f   x  dx  f  x   f  b   f  a  a đạo hàm trên đoạn và b  a b f  x  dx   g  x  dx a h. Nếu m  min f  x  và M  max f  x  thì  a ;b  a ;b b m  b  a    f  x  dx  M  b  a  a i. Tích phân không phụ thuộc vào biến, tức là ta luôn có b  a b b b a a a f  x  dx   f  t  dt   f  u  du   f  y  dy  … II. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 1. Phương pháp đổi biến số Đổi biến dạng 1 b Bài toán: Giả sử ta cần tính tích phân I   f  x  dx , trong a đó ta có thể phân tích f  x   g  u  x   u   x  thì ta thực hiện phép đổi biến số. trong tích phân cơ bản giống như Phương pháp: đổi biến số trong nguyên hàm, ở + Đặt u  u  x  , suy ra du  u  x  dx. đây chỉ thêm bước đổi cận. + Đổi cận: + Khi đó x a b u u a u b b ub a ua  I   f  x  dx   g  u  du  G  u  ub ua  G  u  là nguyên hàm của g  u  . Đổi biến dạng 2 Dấu hiệu Cách đặt a2  x2    x  a sin t ; t    ;   2 2 x2  a2 a2  x2 Lưu ý: Phương pháp đổi biến số x a     ; t   ;  0 sin t  2 2    x  a tan t ; t    ;   2 2 , với ax ax   x  a.cos 2t ; t   0;   2 ax ax   x  a.cos 2t ; t   0;   2  x  a  b  x    x  a   b  a  sin 2 t ; t   0;   2 2. Phương pháp tích phân từng phần Chú ý: Cần phải lựa chọn u và dv hợp lí b Bài toán: Tính tích phân I   u  x  .v  x  dx sao cho ta dễ dàng tìm được v và tích phân a b b a a  vdu dễ tính hơn  udv . Hướng dẫn giải u  u  x  du  u  x  dx Đặt   dv  v  x  dx v  v  x  b Khi đó I   u.v  ba   v.du (công thức tích phân từng a phần) III. TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ ĐẶC BIỆT 1. Cho hàm số f  x  liên tục trên  a; a  . Khi đó a Đặc biệt  a a f  x  dx    f  x   f   x   dx (1) 0 + Nếu f  x  là hàm số lẻ thì ta có a  f  x  dx  0 (1.1) a + Nếu f  x  là hàm số chẵn thì ta có a f  x 1  dx f  x  dx  1 bx 2 0 a a và a a a 0  f  x  dx  2 f  x  dx (1.2)  0  b  1 (1.3) 2. Nếu f  x  liên tục trên đoạn  a; b  thì b b a a  f  x  dx   f  a  b  x  dx  Hệ quả: Hàm số f  x  liên tục trên  0;1 , khi đó: 2  0  2 f  sin x  dx   f  cos x  dx 3. Nếu f  x  liên tục trên đoạn  a; b  và f  a  b  x   f  x  thì 0 b b ab a xf  x  dx  2 a f  x  dx B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Tính tích phân bằng cách sử dụng định nghĩa, tính chất 1. Phương pháp giải Sử dụng các tính chất của tích phân. Sử dụng bảng nguyên hàm và định nghĩa tích phân để tính tích phân. 2. Bài tập 2 Bài tập 1: Biết tích phân I   1  x  1 dx  a 2  b 3  c , với a, b, c   . Giá trị biểu thức x  x x 1 P  a  b  c là A. P  8. B. P  0. C. P  2. D. P  6. Hướng dẫn giải Chọn B. Ta có 2 I  1 x  1  x  0, x  1; 2 nên 2 2 x 1  x 1 1 dx   dx   dx  2 x  2 x  1 x. x  1 x x 1 1 1   2 1  4 2  2 3  2. Suy ra a  4, b  c  2 nên P  a  b  c  0. Nhân liên hợp x  1  x. Bài tập 2: Cho hàm số f  x  thỏa mãn f  2    2 1 và f   x   x  f  x   với mọi x   . Giá trị 3 f 1 bằng 2 A. f 1  . 3 3 B. f 1  . 2 2 C. f 1   . 3 1 D. f 1  . 3 Hướng dẫn giải Chọn C. Từ f   x   x  f  x   (1), suy ra f   x   0 với mọi x  1; 2 . 2 Suy ra f  x  là hàm không giảm trên đoạn 1; 2 nên f  x   f  2   0 , x  1; 2 . f  x Chia 2 vế hệ thức (1) cho  f  x   ta được 2  f  x   2  x, x  1; 2. (2) Lấy tích phân 2 vế trên đoạn 1; 2 hệ thức (2), ta được f  x 2  1  dx  1  f  x  2 1 xdx   f  x       2 2 1  x2     2  2 1  1 1 3   . f 1 f  2  2 Do f  2    1 2 nên suy ra f 1   . 3 3 Chú ý rằng đề bài cho f  2  , yêu cầu tính f 1 , ta có thể sử dụng nguyên hàm để tìm hằng số C. Tuy nhiên ta cũng có thể dựa vào định nghĩa của tích phân để xử lí. 2 1  Bài tập 3: Cho hàm số f  x  xác định trên    thỏa mãn f   x   và f  0   1, f 1  2 2x 1 2 . Khi đó f  1  f  3 bằng A. 1  ln15. B. 3  ln 5. C. 2  ln 3. D. 1  ln15. Hướng dẫn giải Chọn A. 0  Ta có 1 0 f   x  dx  f  0   f  1 nên suy ra f  1  f  0    f   x  dx. 1 0  1   f   x  dx. 1 Tương tự ta cũng có 3 f  3  f 1   f   x  dx 1 3  2   f   x  dx . 1 0 3 Vậy f  1  f  3  1   f   x  dx   f   x  dx  1  ln 2 x  1 1 1 0 3  ln 2 x  1 . 1 1 Vậy f  1  f  3  1  ln15. Bài tập 4: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 1   f   x  dx  7 và 2 0 A. 1. 1 1  x . f   x  dx  1. Giá trị I   f  x  dx là 0 0 B. 7 . 4 Chọn C. 1   f   x  2 dx  7 (1). 0 1 6  x dx  0 1 thỏa mãn f 1  0 , 3 C. 7 . 5 Hướng dẫn giải Ta có 0;1 1   49 x 6 dx  7 (2). 7 0 D. 4. 1 và  14 x3 . f   x  dx  14 (3). 0 Cộng hai vế (1), (2) và (3) suy ra 1 dx  0 mà  f   x   7 x3   0 2   f   x   7 x  3 2 0  f   x   7 x3 . Hay f  x    7 x4  C. 4 7 7 f 1  0    C  0  C  . 4 4 7 x4 7  . 4 4 Do đó f  x    1 Vậy  0 1  7 x4 7  7 f  x  dx       dx  . 4 4 5 0 Bài tập 5: Cho f  x  , g  x  là hai hàm số liên tục trên đoạn  1;1 và f  x  là hàm số chẵn, g  x  1 là hàm số lẻ. Biết  0 1 f  x  dx  5; g  x  dx  7 . Giá trị của A  0 A. 12. B. 24. 1  1 C. 0. 1 f  x  dx   g  x  dx là 1 D. 10. Hướng dẫn giải Chọn D. Vì f  x  là hàm số chẵn nên Vì g  x  là hàm số lẻ nên 1 1 1 0  f  x  dx  2 f  x  dx  2.5  10 1  g  x  dx  0 . 1 Vậy A  10. 1 Bài tập 6: Cho xdx   2 x  1 2  a  b ln 3 với a, b là các số hữu tỉ. Giá trị của a  b bằng 0 A. 5 . 12 1 B.  . 3 1 C. . 4 Hướng dẫn giải Chọn D. 1 Ta có xdx   2 x  1 0 2 1 1  1 2x 11 1  1 1   dx      dx 2 2 2 0  2 x  1 2 0  2 x  1  2 x  1  D. 1 . 12   1 1    ln  2 x  1   4  2 x  1 4  1 0 1 1    ln 3. 6 4 1 1 1 Vậy a   , b   a  b  . 6 4 12 3 Bài tập 7: Cho 2x  3 dx  a ln 2  b ln 3, với a, b   . Giá trị biểu thức a 2  ab  b là 2  x 2 x A. 11. B. 21. C. 31. D. 41. Hướng dẫn giải 3 Ta có 3 3 2x  3 2x 1 2 2   2x 1 2 x 2  x dx  2 x 2  x dx  2  x 2  x  x 2  x  dx 3 2   2x 1 2 2   2    dx  ln x  x  2 ln x  2 ln x  1 x  x x x 1 2   3  5ln 2  4 ln 3 2 a  5   a 2  ab  b  41. b  4 Chọn D. 2 Bài tập 8. Biết rằng tích phân x 1 2 5x  6 dx  a ln 2  b ln 3  c ln 5, với a, b, c là các số nguyên. Giá  5x  6 trị biểu thức S  a  bc là bao nhiêu? A. S  62. B. S  10. C. S  20. D. S  10. Hướng dẫn giải Chọn B. 2 Ta có 2 2 5x  6 5x  6 4   9 1 x2  5x  6 dx  1  x  2 x  3 dx  1  x  3  x  2  dx 2   9 ln x  3  4 ln x  2   9 ln 5  4 ln 3  26 ln 2. 1 Suy ra a  26, b  4, c  9. Vậy S  a  bc  26  4.9  10.  cos 2 x  sin x.cos x  1 dx  a  b ln 2  c ln 1  3 , với a, b, c là các số hữu tỉ. Giá Bài tập 9: Cho  4 3  cos x  sin x.cos x  3  4 trị abc bằng A. 0. B. 2. C. 4. Hướng dẫn giải Chọn C. D. 6.   3 cos x  sin x.cos x  1 2 cos 2 x  sin x.cos x  sin 2 x dx  dx 3  4  2 2  cos x  sin x.cos x  cos x  cos x  sin x.cos x  2 3 Ta có 4 4   3 2  tan x  tan 2 x 2  tan x  tan 2 x  dx  2  1  tan x  d  tan x   cos x 1  tan x   3 4 4    2 tan 2 x    tan x   d tan x    2 1  tan x    3 4  1  2ln 2  2ln   3    2 ln tan x  1 3 4 4  3  1 . Suy ra a  1, b  2, c  2 nên abc  4. x khi x  0 e  m, Bài tập 10: Cho hàm số f  x    liên tục trên  . 2  2 x 3  x , khi x  0 Biết 1  f  x  dx  ae  b 1 3  c  a, b, c    . Tổng T  a  b  3c bằng B. 10. A. 15. C. 19. D. 17. Hướng dẫn giải Chọn C. Do hàm số liên tục trên  nên hàm số liên tục tại x  0  lim f  x   lim f  x   f  0   1  m  0  m  1. x0 x0 1 0 1 1 1 0  f  x dx   f  x  dx   f  x  dx  I Ta có 0 0 1 1 I1   2 x 3  x 2 dx   1 2 2 1  I2  3  x  d  3  x   32  3  x  2 2 3  x2 0 2 3 1 16 . 3 1 I 2    e x  1 dx   e x  x   e  2. 1 0 Suy ra 0 1  f  x  dx  I 1 1  I2  e  2 3  22 22 . Suy ra a  1; b  2; c   . 3 3 Vậy T  a  b  3c  1  2  22  19.  Bài tập 11: Biết A.   m. cos2 x  1  3 x dx  m . Giá trị của  B.  4  m.  cos2 x  1  3x dx bằng  C.   m. Hướng dẫn giải Chọn A. D.  4  m.     cos 2 x cos 2 x 1 dx   dx   cos 2 xdx   1  cos 2 x  dx   . Ta có  x x 1 3 1 3 2      Suy ra cos 2 x  1  3x dx    m.  Dạng 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến 1. Phương pháp giải Nắm vững phương pháp đổi biến số dạng 1 và dạng 2, cụ thể: Đổi biến dạng 1 b Bài toán: Giả sử ta cần tính I   f  x  dx, trong đó ta có thể phân tích f  x   g  u  x   u  x  . a Bước 1: Đặt u  u  x  , suy ra du  u  x  dx. Bước 2: Đổi cận x a u u a B u b Bước 3: Tính b u b a u a I   f  x  dx   g  u  du G  u  u b ua Với G  u  là một nguyên hàm của g  u  . Đổi biến dạng 2 b Bài toán: Giả sử ta cần tính I   f  x  dx , ta có thể đổi biến như sau: a Bước 1: Đặt x    t  , ta có dx     t  dt. Bước 2: Đổi cận x a b t   Bước 3:       Tính I   f   t   .   t  dt   g  t  dt  G  t  Với G  t  là một nguyên hàm của g  t  . Dấu hiệu Cách đặt    x  a sin t , t    ;   2 2 a2  x2 x2  a2 x     ,t   ; 0 sin t  2 2  a a2  x2    x  a tan t , t    ;   2 2 ax ax   x  a.cos 2t , t   0;   2 ax ax   x  a.cos 2t , t   0;   2  x  a  b  x    x  a   b  a  sin 2 t , t   0;   2 2. Bài tập mẫu  2 Bài tập 1: Biết  sin 2 0 cos x dx  a ln 2  b ln 3, với a, b là các số nguyên. x  3sin x  2 Giá trị của P  2a  b là A. 3. B. 7. C. 5. D. 1. Hướng dẫn giải Chọn A.   2 2 cos x 1 Ta có  2 dx   d  sin x  sin x  3sin x  2 sin x  1 sin x  2  0 0   2 1  1      d  sin x    ln sin x  1  ln sin x  2  sin x  1 sin x  2  0  2 0  ln 2  ln1   ln 3  ln 2   2 ln 2  ln 3 Suy ra a  2, b  1  2a  b  3. Bài tập 2: Biết I   ln 2 0 dx 1   ln a  ln b  ln c  , với a, b, c là các số nguyên tố. x e  3e  4 c x Giá trị của P  2a  b  c là A. P  3. B. P  1. C. P  4. Hướng dẫn giải Chọn D. D. P  3. Ta có I   ln 2 0 ln 2 dx e x dx  . e x  3e  x  4 0 e 2 x  4e x  3 Đặt t  e x  dt  e x dx. Đổi cận x  0  t  1, x  ln 2  t  2. Khi đó I  2 1 1 1 2 1 1  1 t 1  dt     dt  ln 1 t  4t  3 2  t 1 t  3  2 t 3 2 2 1  1  ln 3  ln 5  ln 2  . 2 Suy ra a  3, b  5, c  2 . Vậy P  2a  b  c  3.  6 Bài tập 3: Biết dx  1  sin x  0 a 3 b , với a, b  , c    và a, b, c là các số nguyên tố cùng nhau. c Giá trị của tổng a  b  c bằng A. 5. B. 12. C. 7. D. 1. Hướng dẫn giải Chọn A. 1   2 x x  6  1  tan dx dx 2 2 dx   Ta có I     dx. 2 2 2 0  1  sin x 0  x x x x 0 0   cos  sin   1  tan  1  tan  2 2 2 2       6 6 6 Đặt t  1  tan x x   2dt   1  tan 2  dx. 2 2   Đổi cận x  0  t  1; x  3 3 I  1 cos 2 2dt 2  2 t t 3 3 1   6  t  3  3.  3 3 . 3 Suy ra a  1, b  3, c  3 nên a  b  c  5. Lưu ý: 2 x x x  1  sin x   sin  cos  . Chia tử và mẫu cho cos 2   . 2 2  2 Bài tập 4: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  và 1  f  2 x  dx  8. Giá trị của I  0 A. 4. B. 8. C. 16. Hướng dẫn giải Chọn B. Đặt x 2  2u  2 xdx  2du  xdx  du. 2  xf  x  dx là 2 0 D. 64. Đổi cận x  0  u  0, x  2  u  1. 1 1 0 0 Khi đó I   f  2u  du   f  2 x  dx  8. Bài tập 5: Cho hàm số y  f  x  xác định và liên tục trên  0;   sao cho x 2  xf  e x   f  e x   1; với mọi x   0;   . Giá trị của I  e  f  x  .ln x e 1 A. I   . 8 x 2 B. I   . 3 dx là C. I  1 . 12 3 D. I  . 8 Hướng dẫn giải Chọn C. Với x   0;   ta có x 2  xf  e x   f  e x   1  f  e x   Đặt ln x  t  x  et  dt  1  x2  1  x. 1 x dx . x 1 Đổi cận x  e  t  ; x  e  t  1. 2 1 1 1 2 1 2 Khi đó I   t. f  et  dt   t 1  t  dt  1 . 12  2 Bài tập 6: Biết 3sin x  cos x  2sin x  3cos x dx  0 A. 22 . 3 B. 11 b ln 2  b ln 3  c ,  b, c    . Giá trị của là 13 c 22 . 3 C. 22 . 3 Hướng dẫn giải Chọn A. Phân tích m  2sin x  3cos x   n  2 cos x  3sin x  3sin x  cos x  2sin x  3cos x 2sin x  3cos x   2m  3n  sin x   3m  2n  cos x 2sin x  3cos x 2m  3n  3 3 11 Đồng nhất hệ số ta có   m  ;n   . 3 2 1 m n 13 13    3 11 2sin x  3cos x    2 cos x  3sin x   3sin x  cos x 13 dx   13 dx. Suy ra  2sin x  3cos x 2sin x  3cos x 0 0   2 2 D. 22 . 13  2 3  3 11 2 cos x  3sin x  dx   x     .  13 13 2sin x  3cos x  13 0   2  0  2 11 2 cos x  3sin x dx. 13 0 2sin x  3cos x  3 11 2 d  2sin x  3cos x  3 11    dx   ln 2sin x  3cos x 26 13 0 2sin x  3cos x 26 13  2 0  11 b  13 b 11 26 22 3 11 11   .    ln 2  ln 3. Do đó  c 13 3 3 26 13 13 c  3  26 Bài tập 7: Cho hàm số f  x  liên tục trên  và thỏa mãn  4  tan x. f  cos x  dx  2 2 0 e2  e f  ln 2 x  x ln x f  2x  dx là x 2 dx  2 . Giá trị của I   1 4 A. 0. B. 1. C. 4. Hướng dẫn giải Chọn D.   4 4 sin x.cos x . f  cos 2 x  dx  2. 2 cos x 0. Đặt A   tan x. f  cos 2 x  dx  2   0 1 Đặt t  cos 2 x  dt  2sin x cos xdx   dt  sin x cos xdx. 2 Đổi cận x  0  t  1 và x  1 f t  1 dt  4.  t  . Khi đó A   t 4 2 1  2 e2 Đặt B   f  ln 2 x  x ln x e e2 dx  2  e 4 Tương tự ta có B   1 2 Giá trị của I   Đổi cận x  4 Khi đó I   1 2 x x ln 2 x dx  2. f t  dt  4. t f  2x 1 4  ln x. f  ln 2 x  dx. Đặt t  2 x  dx  1 dt. 2 1 1  t  và x  2  t  4. 4 2 f t  t 1 dt   1 2 f t  t 4 dt   1 f t  t dt  4  4  8 D. 8. và 1 Bài tập 8: Cho 1   x  3 x  1 0 3 dx  a  b ; với a, b là các số nguyên. Giá trị của biểu thức a b  b a bằng A. 17. B. 57. C. 145. D. 32. Hướng dẫn giải Chọn A. 1 1 1 Giá trị của I    x  3 x  1 0 3 1 dx . 2 x  3  x  1 x 1 dx   0 x3 dx 2 dx   2tdt   tdt. 2 2 x 1  x  1  x  1 Đặt t  Đổi cận x  0  t  3, x  1  t  2. 1 Ta có I   0 1 Mà  0 1 dx  2 x  3  x  1 x 1 1  x  3 x  1 3 2 1  t  t  dt  3 3 3 2 2  dt  t  3  2. dx  a  b nên suy ra a  3, b  2. Từ đó ta có giá trị a b  b a  32  23  17. 1 Bài tập 9: Cho  1 2 x 1 a  dx  ln   b  , với a, b là các số nguyên tố. Giá trị của biểu thức x 1 a b  3 P  2  a  b  bằng A. 12. B. 10. C. 18. D. 15. Hướng dẫn giải Chọn B. 1 Biến đổi I   1 2 1 x dx   3 x 1 1 2 x 1  x3 1  3   x  1 dx   1 2 1 1 x. 1  1 x3 dx   1 2 Đặt u  1  1 1 1 3  u 2  1  3  2udu   4 dx và x3  2 . 3 u 1 x x x Đổi cận x  1  u  3; x  1  u  2. 2 2udu 2  Ta có I   2 3 3 2  u  1 .u 3 3 du 1 u 1  u 2  1  3 ln u  1 2 3 2 x3 1 dx . 4 1 x 1 3 x 1 3   ln   2  . 3 2  . Suy ra a  3, b  2. Vậy P  2  a  b   10. Dạng 3: Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần 2 ln x b dx   a ln 2 với a là số thực b và c là các số dương, đồng thời x c 1 Bài tập 1. Cho tích phân I   b là phân số tối giản. Giá trị của biểu thức P  2a  3b  c là c A. P  6. B. P  5. C. P  6. D. P  4. Hướng dẫn giải Chọn D. dx  du  u  ln x    x . Đặt  dx   1  dv   v  x2  x Khi đó I   ln x x 2 1 2 1   ln x 1  2 1 ln 2 dx .       x2 x 1 2 2  x  1 Suy ra b  1, c  2, a  1 . Do đó P  2a  3b  c  4. 2 + Ưu tiên logarit. u  ln x  + Đặt  dx . dv  x 2  4 Bài tập 2: Biết x  1  cos 2 x dx  a  b ln 2, với a, b là các số hũu tỉ. Giá trị của T  16a  8b là 0 A. T  4. B. T  5. C. T  2. Hướng dẫn giải Chọn A.   4 4  x x 14 x dx   dx  dx. 1  cos 2 x 2 cos 2 x 2 0 cos 2 x 0 0 Đặt A   u  x  du  dx  Đặt  1 dv  cos 2 x dx  v  tan x Khi đó D. T  2.  1 A   x tan x 2     4 0     1   tan xdx    x tan x  ln cos x  4  2  0  0   4 1 2  1 1   1   ln     ln 2    ln 2. 2 4 2  2 4 2  8 4 1 1 Vậy a  , b  do đó 16a  8b  2  2  4. 8 4 + Biến đổi 1  cos 2 x  2 cos 2 x. + Ưu tiên đa thức. u  x  + Đặt  . 1  dv  cos 2 x dx 1 Bài tập 3: Cho I   xe2 x dx  a.e2  b với a, b   . Giá trị của tổng a  b là 0 A. 1 . 2 B. 1 . 4 C. 0. D. 1. Hướng dẫn giải Sử dụng phương pháp từng phần. du  dx u  x   Đặt   1 2x . 2x dv  e dx v  e 2  1 1 0 0 Khi đó I  u.v   v.du  Suy ra a.e 2  b  1 2x x.e 2 1 0 1  1 2x 1 e dx  x.e2 x  20 2 1 1  e2 x 4 0 1 0 1 1  e2  . 4 4 1 2 1 e  . 4 4 1 1 1 Đồng nhất hệ số hai vế ta có a  , b  . Vậy a  b  . 4 4 2 Chọn A. + Ưu tiên đa thức. u  x . + Đặt  2x dv  e dx Bài tập 4: Cho hàm số f  x  liên tục, có đạo hàm trên  , f  2   16 và 2  f  x  dx  4. Tích phân 0 4 x  xf   2  dx bằng 0 A. 112. B. 12. C. 56. D. 144. Hướng dẫn giải Chọn A. Đặt t  x  x  2t  dx  2dt. 2 x  0  t  0 Đổi cận  . Do đó x  4  t  2 4 2 2 x 0 xf   2  dx  0 4tf   t  dt  0 4 xf   x  dx. u  4 x  du  4dx Đặt  .   dv  f   x  dx v  f  x  Suy ra 2 2 2 2 0 0  4 xf   x  dx  4 xf  x  0   4 f  x  dx  8 f  2  4 f  x  dx  8.16  4.4  112. 0  ln  sin x  2 cos x  dx  a ln 3  b ln 2  c với a, b, c là các số hữu tỉ. cos 2 x 0 4 Bài tập 5. Cho  Giá trị của abc bằng A. 15 . 8 B. 5 . 8 C. 5 . 4 Hướng dẫn giải Chọn A. u  ln  sin x  2 cos x   cos x  2sin x dx  du   Đặt  sin x  2 cos x . dx dv  v  tan x  2 cos 2 x  Khi đó  4  0 ln  sin x  2 cos x  2 cos x  dx   tan x  2  ln  sin x  2 cos x   4 0 cos x  2sin x dx cos x 0 4   4 3 2  2 ln 2  3ln     0 1  2 tan x dx  2  7  3ln 3  ln 2   x  2 ln cos x  2  4 0 7  2 5   3ln 3  ln 2   2 ln  3ln 3  ln 2  . 2 4 2 2 4 5 1 Suy ra a  3, b   , c   . Vậy abc  18. 2 4 D. 17 . 8 2   x  1 Bài tập 6. Biết 2 e x 1 x p q dx  me  n, trong đó m, n, p, q là các số nguyên dương và 1 p là phân q số tối giản. Giá trị của T  m  n  p  q là A. T  11. B. T  10. C. T  7. D. T  8. Hướng dẫn giải Chọn B. Ta có 2 I    x  1 e 2 x 1 x 1 2 dx    x 2  2 x  1 e Xét I1    x  1e 2 x 1 x 1 x 1 2 x 1 2 e 2  I1   2 xe x 1 x 2 dx   x .e 2 1 x x 1 x 1 d  x 2   x 2e x dx  x 2 e x 1 2 x 2 dx    x 2  1e 1 1 2 x 2   2 xe 1 x 2 dx   2 xe x 1 x dx. 1 x 1 x dx 1  I  x 2e x 1 2 x 1 1 x 2 2 1 1 x x  x2  1 1 2 2  x  . 2 dx   x .e d  x     x d  e x  x x 1    1 1 1 x 1 x 1 2  x2e x 3  4e 2  1 1  m  4, n  1, p  3, q  2. Khi đó T  m  n  p  q  4  1  3  2  10. m Bài tập 7. Tìm số thực m  1 thỏa mãn   ln x  1 dx  m. 1 B. m  e. A. m  2e. Hướng dẫn giải Chọn B m m m 1 1 1 A    ln x  1 dx   ln xdx   dx m I   ln xdx 1 1  u  ln x du  dx  Đặt  x dv  dx  v  x  m  I  x ln x 1   dx m 1 m  e m A  x ln x 1  m ln m  m   . m  0 C. m  e2 . D. m  e  1. e k Bài tập 8. Đặt I k   ln dx, k nguyên dương. Ta có I k  e  2 khi: 1 x A. k  1; 2 . B. k  2;3 . C. k  4;1 . D. k  3; 4 . Hướng dẫn giải Chọn A k 1 e   e k u  ln du   dx  Đặt   I k   x.ln  +  dx   e  1 ln k  1  I k  e  2 x x 1 x 1  dv  dx v  x   e  1 ln k  1  e  2  ln k  e3 2  ln k  1  e 1 e 1 Do k nguyên dương nên k  1; 2 . 1 Bài tập 9. Tìm m để  e x  x  m  dx  e . 0 B. m  e. A. m  0. C. m  1. D. m  e. Hướng dẫn giải Chọn C Đặt u  x  m du  dx   x x dv  e dx  v  e 1 1  I   e x  x  m  dx  e x  x  m  0   e x dx  e x  x  m  1 0  me  m  1 1 0 1 0 Mặt khác: I  e  me  m  1  e  m  e  1  e  1  m  1. Dạng 4: Tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối 1. Phương pháp b Bài toán: Tính tích phân I   g  x  dx a ( với g ( x ) là biểu thức chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối) PP chung: Xét dấu của biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối trên  a; b Dựa vào dấu để tách tích phân trên mỗi đoạn tương ứng ( sử dụng tính chất 3 để tách) Tính mỗi tích phân thành phần. b Đặc biệt: Tính tích phân I   f ( x) dx a Cách giải Cách 1: +) Cho f ( x )  0 tìm nghiệm trên  a; b +) Xét dấu của f ( x ) trên  a; b , dựa vào dấu của f ( x ) để tách tích phân trên mỗi đoạn tương ứng ( sử dụng tính chất 3 để tách) +) Tính mỗi tích phân thành phần. Cách 2: +) Cho f ( x)  0 tìm nghiệm trên  a; b giả sử các nghiệm đó là x1 ; x2 ;…xn ( với x1  x2  …  xn ). x1 x2 x3 b a x1 x2 xn Khi đó I   f ( x) dx   f ( x) dx   f ( x) dx  …   f ( x ) dx I  x1  f ( x)dx  a x2  f ( x)dx  x1 x3  b f ( x)dx  …  x2  f ( x)dx xn +) Tính mỗi tích phân thành phần 2. Bài tập Bài tập 1: S  2  x2  x  2 dx  1   a a , a, b    , là phân số tối giản. Giá trị a  b bằng b b A. 11. B. 25. C. 100. D. 50. Hướng dẫn giải Chọn A S 2  1 2 x  x  2 dx    2 1  2  x3 x2    2x  x  x  2 dx     3  2   1 2   8 4   1 1  9      4       2      3 2  2  3 2    Bài tập 2: I   1  sin 2xdx  a a , a  * . Hỏi a 3 là bao nhiêu? 0 A. 27. B. 64. C. 125. Hướng dẫn giải Chọn D Ta có: 1  sin 2x   sin x  cos x 2    sin x  cos x  2 sin  x   . 4  D. 8.    3  Với x  0;   x     ;  . 4  4 4          + Với x     ; 0  thì sin  x    0 4  4  4   3   + Với x   0;  thì sin  x    0 4 4  4    4       I   2  sin  x   dx  2  sin  x   dx  2 2. 4 4    0 4 5 Chọn 3: Biết I   1 2 x  2 1 dx  4  a ln 2  b ln 5, với a , b là các số nguyên. Giá trị S  a  b bằng x A. 9. B. 11. D. 3. C. 5. Hướng dẫn giải Chọn B 5 Ta có: I   1 2  1 2 5 2 x  2 1 2 x  2 1 2 x  2 1 dx   dx   dx x x x 1 2 5 2 5  2x 5 2x  3 22  x 1 2  x  2  1 dx   dx   dx   dx 1 2 x x x x 2 2 5 5 2 5 3      x  dx    2   dx   5ln x  x    2 x  3ln x  1 2 1 2 x x   a  8  8ln 2  3ln 5  4    a  b  11. b  3 Bài tập 4: Cho tích phân 2  1  cos 2xdx  ab và a  b  2  2 2. Giá trị của a và b lần lượt là 0 a  2 A.   b  2 2 a  2 2 B.  . .  b  2 a  2 2 a  2 C.    b  2  b  2 2 a  2 2 a  2 D.   .  b  2 Hướng dẫn giải Chọn D 2  0 1  cos 2xdx  2 2  sin x dx  2  sin xdx  2  2 0 0   0   2 cos x  2 cos x 2   sin xdx  4 2. ab  4 2 a  2 2 a  2 .   X2  2  2 2 X  4 2  0     b  2  b  2 2 a  b  2  2 2    b  2 2 . 1  2 1 Bài tập 5: Tính tích phân I   x x – a dx, a  0 ta được kết quả I  f ( a ) . Khi đó tổng f (8)  f   0 có giá trị bằng: A. 2 4 . B. 9 1 . 91 C. 17 . 24 D. 2 2 17 Hướng dẫn giải Chọn B 1   x3 ax 2  a 1 8 1 11  TH1: Nếu a  1 khi đó I    x  x  a  dx       f (8)    2 0 2 3 2 3 3  3 0 1 a 1 0 a TH 2: Nếu 0  a  1 khi đó I    x  x  a  dx   x  x  a  dx a 1   x3 ax2   x3 ax2  a3 a 1            2 0  3 2 a 3 2 3  3 1 1 1 1 1 f       2  24 4 3 8  1  11 1 91   .  2  3 8 24 Khi đó f (8)  f    Bài tập 6: Cho hàm số f  x  liên tục trên  thỏa 1  f  2 x  dx  2 và 0 2  f  6 x  dx  14 . Giá trị 0 2  f  5 x  2  dx bằng 2 A. 30 . B. 32 . C. 34 . Lời giải Chọn B 1 + Xét  f  2 x  dx  2 . 0 Đặt u  2 x  du  2dx ; x  0  u  0 ; x  1  u  2 . 1 Nên 2   f  2 x  dx  0 2 2 1 f  u  d u   f  u  du  4 . 2 0 0 2 + Xét  f  6 x  dx  14 . 0 Đặt v  6 x  dv  6dx ; x  0  v  0 ; x  2  v  12 . 2 Nên 14   f  6 x  dx  0 2 + Xét  2 12 1 f  v  dv  6 0 f  5 x  2  dx  0  2 12  f  v  dv  84 . 0 2 f  5 x  2  dx   f  5 x  2  dx . 0 D. 36 . 0 Tính I1   f  5 x  2  dx . 2 Đặt t  5 x  2 . Khi 2  x  0 , t  5 x  2  dt  5dx ; x  2  t  12 ; x  0  t  2 . 2 12 2  1 1 f  t  dt    f  t  d t   f  t  d t   1  84  4   16 .  5 12 5 0 0  5 I1  2 Tính I1   f  5 x  2  dx . 0 Đặt t  5 x  2 . Khi 0  x  2 , t  5 x  2  dt  5dx ; x  2  t  12 ; x  0  t  2 . 12 I2  12 2  1 1 1 f t d t    f t t  f  t  d t    84  4   16 . d      52 5 0 0  5 2  f  5 x  2  dx  32 . Vậy 2 Bài tập 7: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  0; 4 và 2  0 4 f  x  dx  1 ;  f  x  dx  3 . Giá trị 0 1  f  3x  1 dx bằng 1 A. 4. C. 4 . B. 2. 3 D. 1 . Hướng dẫn giải Chọn C 1  f  3 x  1 dx  1 1/3  f 1  3 x dx  1 1/3 1  f  3x  1dx . 1/3 1  1 1 f 1  3 x d 1  3 x    f  3 x  1d  3 x  1 . 3 1 3 1/3  1 1 1 1 4 f  t dt   f  t d  t      3   .1  . 3 4 30 3 3 3 0 2 3 Bài tập 8. S    3 A. 80. y 4  4 y 2  3 dy  a  24 3 . Giá tị A  2 B bằng b B. 83. C. 142. Hướng dẫn giải Chọn C D. 79.     y 4  4y 2  3  y 2  1 y 2  3   Xét dấu y 2  1 y 2  3 , ta có: y ‐ 3 ‐∞ 2 + y ‐1 2 y ‐3 2 2 (y ‐1)(y ‐3) S 3   3  1        + 0 ‐ + 0 ‐ 0 3 ‐ 0 + +∞ + ‐ 0 ‐ 0 + ‐ 0 ‐ 0 + y 4  4y 2  3 dy  y 4  1  y 3  4y 2  3 dy  1  y 5 4y 3      3y   5  3   + 1  3 1  y 4  4y 2  3 dy   3  3 4  4y 2  1  y 4 dy   ‐1 4   4y 2  3 dy 1 1 3  y 5 4y 3   y 5 4y 3     3y      3y   5    3 3   1  5 1 3 112  24 3 . 15 1 Bài tập 9. S   4×2  4x  1dx  0   a a , a, b    , là phân số tối giản. Giá trị b b A. 1. B. 3. C. 35. a  4b bằng D. 3. Hướng dẫn giải Chọn D 1 Ta có: I7   1  2x  1 dx   2x  1 dx 2 0 0 1 1 2 0 0 1 2 1 1  I7   2x  1 dx   2x  1 dx   2x  1 dx    1  2x  dx    2x  1 dx  1 2 1 2 0 1 . 2 Suy ra: a  1, b  2. Bài tập 10. I  2  3 3 1  sin xdx  A B , biết A  2B Giá trị A  B bằng 0 A. 72. B. 8. C. 65. D. 35. Hướng dẫn giải Chọn A  x x 2 x x x  Ta có: 1  sin x   sin  cos   sin  cos  2 sin    2 2 2 2  2 4 x x    5  Với x  0; 2    0;      ;  . 2 2 4 4 4  + Với x    x     ;   thì sin     0 2 4 4  2 4 + Với x   5  x     ;  thì sin     0 2 4  4  2 4 I 2 3 2  0 2 x  x  sin    dx  2  sin    dx  4 2 . 2 4   2 4 3 2  2 Bài tập 11. Cho tích phân  1  3 sin 2 x  2 cos 2 xdx  a 3  b. Giá trị A  a  b  4 bằng 0 B. 5 . A. 2. D. 8 . C. 5. Hướng dẫn giải Chọn D 2  4 0 0 I   1  3 sin 2x  2 cos2 xdx    sin x  sin x  3 cos x  0  tan x  3  x     2  2 3 cos x dx   sin x  3 cos x dx . 0   k . 3  Do x   0;  nên x  . 3  2  3  2 0  3 I   sin x  3 cos x dx   sin x  3 cos x dx     cos x  3 sin x   3 0    cos x  3 sin x  3   sin x  0   2  3  3 cos x dx   2   sin x   3 cos x dx  3 1 3 1 3     1   3    3  3. 2 2 2 2  a  1; b  3  A  8 Dạng 5: Tính tích phân các hàm đặc biệt, hàm ẩn 1. Phương pháp giải a. Cho hàm số f  x  liên tục trên  a; a  . Khi đó 1 Bài tập 1: Tích phân I   cos x.ln 1 2 x dx bằng 2 x a  a a f  x  dx    f  x   f   x   dx (1) 0 Chứng minh a 0 a a a 0 0 I Xét  f  x  dx. B. C. 0. D. 1. 2. Hướng dẫn giải  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx. Ta có A. 1. Đổi Hàm số f  x   cos x.ln 2 x xác định và liên tục 2 x biến trên đoạn  1;1 . a Mặt khác, với x   1;1   x   1;1 và x  t  dx  dt. f   x   cos   x  .ln Đổi cận x  a  t  a; x  0  t  0 Khi đó 0 a a a 0 0 I   f  t   dt    f  t  dt   f   x  dx 2 x 2 x   cos x.ln   f  x. 2 x 2 x Do đó hàm số f  x   cos x.ln 1 2 x là hàm số lẻ. 2 x 2 x dx  0 . 2 x Do đó (1) được chứng minh. Vậy I   cos x.ln Đặc biệt Chọn C. + Nếu f  x  là hàm số lẻ thì ta có Bài tập 2: Cho y  f  x  là hàm số chẵn, liên tục 1 trên đoạn  6;6 . a  f  x  dx  0 (1.1). a 2 + Nếu f  x  là hàm số chẵn thì ta có a Tính (1.2) + Nếu f  x  là hàm số chẵn thì ta cũng có f  x x a dx  a 1 f  x  dx  0  b  1 2 a (1.3). Đặt A  f  x  1 b x B. I  5. C. I  2. D. I  14. Hướng dẫn giải Gọi F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  trên 3  dx (*). 1  Đổi biến x  t  dx  dt. Đổi cận x  a  t  a; x  a  t  a a f  1  1 b a  f  x  dx. A. I  11. a Khi đó A  t 1 đoạn  6;6 ta có Chứng minh (1.3): a  f  2 x  dx  3. 1 0  1 b 3 6  f  x  dx  2 f  x  dx a f  x  dx  8 và 1 a a  Biết rằng a  dt    a bt . f  t  1  bt dt. 3 f  2 x  dx  3   f  2 x  dx  3 1 3 1 F  2 x   3. 2 1 Do đó F  6   F  2   6 hay 6  f  x  dx  6. 2 Vậy I  6 2 6 1 1 2  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  14. bx . f  x a Hay A   a 1  bx 1 Bài tập 3: Tích phân I  Suy ra a 2A  Chọn D. dx (**).  f  x  dx  A  a a 1 f  x  dx. 2 a A. I  0. C. I  2 2021 . 2021 x 2020  e x  1dx có giá trị là 1 B. I  22020 . 2019 D. I  22019 . 2019 Hướng dẫn giải Áp dụng bài toán (1.3) ở cột bên trái cho hàm số f  x   x 2020 và b  e ta có Ta có 1 x 2021 1 I   x 2020 dx  2 1 2021 1 1  2.22021 22021 . I 2021 2021 Chọn C. b. Nếu f  x  liên tục trên đoạn  a; b thì b  a b f  x  dx   f  a  b  x  dx Bài tập 4: Cho hàm số f  x  liên tục trên  thỏa điều kiện f  x   f   x   2 cos x, với x   .  a 2  f  x  dx Hệ quả: hàm số f  x  liên tục trên  0;1 , khi đó: Giá trị của N    2  0  là 2 2 A. N  1. B. N  0. 0 C. N  1. D. N  2. f  sin x  dx   f  cos x  dx Hướng dẫn giải  Ta có N  2    f  x  dx  2  f   x  dx  2 2  Suy ra 2 N  2     f  x   f   x   dx   2 cos xdx.  2  2  0 0 Vậy N  2  cos xdx  2sin x 2  2. Chọn D. 2 2 Bài tập 5: Cho hàm số f  x  liên tục trên  và thỏa mãn f  x   f  2  x   x  2  x  , x  . 2 Giá trị tích phân G   f  x  dx là 0 c. Nếu f  x  liên tục trên đoạn  a; b f  a  b  x   f  x  thì b và A. G  2. 1 B. G  . 2 2 C. G  . 3 1 D. G  . 3 Hướng dẫn giải 2 2 0 0 Ta có G   f  x  dx   f  2  x  dx b ab a xf  x  dx  2 a f  x  dx 2 2 0 0 Suy ra 2G    f  x   f   x   dx   x  2  x  dx 2 Vậy G  1 2 x  2  x  dx  .  20 3 Chọn C. Bài tập 6: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 thỏa mãn f 1  0, 1   f   x  2 dx  7 và 0 1 1 2 0 x f  x  dx  3 . Tích phân d. Nếu f  x  liên tục trên đoạn f  x   0 với x   a; b  thì b  a  a; b a  f  x  dx bằng 0 A. 7 . 5 B. 1. C. 7 . 4 D. 4. và Hướng dẫn giải du  f   x  dx u  f  x    f  x  dx  0 và Đặt  x3 2 dv  x dx v  3  b  f  x  dx  0 khi f  x   0. 1 1 Ta có  x f  x  dx  2 0 1  x3 f  x  3 1 1 1 1   x3 f   x  dx 30 0 1 3 1 x . f   x dx    x 3 . f   x  dx  1.  30 3 0 1 Cách 1: Ta có   f   x  2 dx  7 (1). 0 1 6  x dx  0 x7 7 1 1  0 1 1   49 x 6 dx  .49  7 (2). 7 7 0 1 1 0 0 3 3  x . f   x  dx  1   14 x . f   x  dx  14 (3). Cộng hai vế (1), (2) và (3) suy ra 1 1 1 0 0 6 3   f ‘  x  dx   49 x dx   14 x . f   x  dx  0 2 0 1    f  x   7 x3  dx  0. 2 0 1 Do  f   x   7 x 3   0    f   x   7 x 3  dx  0 . Mà 2 0 1   f   x   7 x 0 f  x   3  dx  0  f   x   7 x 3 . 2 7 x4  C. 4 7 7 Mà f 1  0    C  0  C  . 4 4 Do đó f  x    1 Vậy  0 7 x4 7  . 4 4 1  7 x4 7  7 f  x  dx       dx  . 4 4 5 0 Một số kĩ thuật giải tích phân hàm ẩn Loại 1: Biểu thức tích phân đưa về dạng: u ( x) f ‘( x) + u ‘( x) f ( x) = h ( x) Cách giải: + Ta có u ( x ) f ‘( x ) + u ‘( x ) f ( x ) = éëu ( x ) f ( x )ùû ‘ ‘ + Do đó u ( x ) f ‘( x ) + u ‘( x ) f ( x ) = h ( x )  éëu ( x ) f ( x )ùû = h ( x ) Suy ra u ( x) f ( x) = ò h ( x) dx Suy ra được f ( x) Loại 2: Biểu thức tích phân đưa về dạng: f ‘( x) + f ( x) = h ( x) Cách giải: 2 ’ + Nhân hai vế với e x  e x . f ‘( x ) + e x . f ( x ) = e x .h ( x )  êé e x . f ( x )úù = e x .h ( x ) ë û Suy ra e x . f ( x) = ò e x h ( x) dx Suy ra được f ( x) Loại 3: Biểu thức tích phân đưa về dạng: f ‘( x) – f ( x) = h ( x) Cách giải: ‘ + Nhân hai vế với e- x  e- x . f ‘( x ) + e- x . f ( x ) = e- x .h ( x )  éê e- x . f ( x )ùú = e- x .h ( x) ë û Suy ra e- x . f ( x ) = ò e- x h ( x ) dx Suy ra được f ( x) Loại 4: Biểu thức tích phân đưa về dạng: f ‘( x) + p ( x ) f ( x) = h ( x) Cách giải: eò + Nhân hai vế với Suy ra f ( x).e ò p( x )d x  f ‘( x ).e ò é  ê f ( x ).e ò êë p( x)dx = ò eò p( x )d x ù p( x)dx p( x )d x ‘ + p ( x ).e ò ú = h ( x ).e ò úû p( x )d x . f ( x ) = h ( x ).e ò p( x )d x p( x )d x .h ( x ) dx Suy ra được f ( x) b  Công thức a b f ( x)dx   f ( a  b  x)dx a 2. Bài tập Bài tập 1: Cho số thực a  0. Giả sử hàm số f  x  liên tục và luôn dương trên đoạn  0; a  thỏa mãn a 1 dx là 1 f  x 0 f  x  . f  a  x   1. Giá trị tích phân I   A. I  2a . 3 a B. I  . 2 a C. I  . 3 Hướng dẫn giải Chọn B. Đặt t  a  x  dt  dx. Đổi cận x  0  t  a; x  a  t  0. a a a f  x 1 1 1 dt   dx   dx   dx. 1 1 f a  t  1 f a  x 1 f  x 0 0 0 1 0 f  x a Khi đó I   D. I  a. a a f  x a 1 dx   dx   1.dx  a. Vậy I  . 2 1 f  x 1 f  x 0 0 0 a  2I   Ta có thể chọn hàm số f  x   1 , với mọi x   0; a  thỏa mãn yêu cầu đề bài. a a 1 1 a dx   dx  . 1 f  x 2 2 0 0 Khi đó I   Bài tập 2: Cho hàm số f  x  liên tục trên  1;1 và f   x   2019 f  x   e x , x   1;1 . Tích phân 1 M  f  x  dx bằng 1 A. e2  1 . 2019e B. e2  1 . e e2  1 . 2020e C. D. 0. Hướng dẫn giải Chọn C. 1  Ta có M  f  x  dx  1 1  f   x  dx. 1 1 1 1 1 1 1 Do đó 2020 M  2019  f  x  dx   f   x  dx    f   x   2019 f  x   dx. 1 Suy ra M  1 e2  1 x e dx  . 2020 1 2020e Nếu f  x  liên tục trên đoạn  a; b thì b b a a  f  x  dx    f  a  b  x  dx Bài tập 3. Cho f  x  là một hàm số liên tục trên  thỏa mãn f  x   f   x   2  2 cos 2 x . Giá trị tích phân P  3 2   f  x  dx là 3 2 A. P  3. B. P  4. C. P  6. Hướng dẫn giải Chọn C. 3 2 Ta có P    2P  3 2  f  x  dx   f   x  dx 3 2  3 2 3 2 3 2 3  2 3  2   f  x   f   x  dx   3 2 2  2 cos 2 xdx  4  sin x dx. 0 D. P  8.  3 2  0  0 Hay P  2  sin xdx  2  sin xdx  2 cosx  2 cos x 3 2  6.  Bài tập 4: Cho f  x  là hàm số liên tục trên  thỏa mãn f  x   f   x   sin x với mọi x và f  0   1. Tích phân e . f   bằng A. e  1 . 2 B. e  1 . 2 C. e  3 . 2 D.  1 2 . Hướng dẫn giải Chọn C. Ta có f  x   f   x   sin x nên e x f  x   e x f   x   e x .sin x, x  .   e x f  x    e x .sin x hay  e x f  x    e f       0   0 0  x x  e f  x  dx   e .sin xdx 1 x e  sin x  cos x   2  0  e f    f  0   1   e  1 2 e  3 . 2 Để ý rằng  e x   e x nên nếu nhân thêm hai vế của f  x   f   x   sin x với e x thì ta sẽ có ngay  e . f  x    e .sin x. x x Bài tập 5: Cho hàm số f  x  tuần hoàn với chu kì     f   x  dx  4 và  2    và có đạo hàm liên tục thỏa mãn f    0 , 2 2    f  x  .cos xdx  4 . Giá trị của f  2019  . 2 2 A. 1. B. 0. C. 1 . 2 D. 1. Hướng dẫn giải Chọn A. Bằng phương pháp tích phân từng phần ta có    f  x  .cos xdx   f  x  .sin x    2 2   Suy ra   f   x  .sin xdx. Suy ra  2 1  cos 2 x  2 x  sin 2 x  dx    2 4   Mặt khác  sin 2 xdx    2  2  2   2   4   f   x  .sin xdx   4 .  .     2 2 2 2 0 0 0 2   f   x  dx  2 sin xf   x  dx   sin xdx  0    f   x   sin x  dx  0. 2 0 2    f   x    sin x. Do đó f  x   cos x  C. Vì f    0 nên C  0. 2 Ta được f  x   cos x  f  2019   cos  2019   1. Bài tập 6: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  0;1 , thoả mãn 3 f  x   xf   x   x 2018 với 1 mọi x   0;1 . Tính I   f  x  dx . 0 A. I  1 . 2018  2021 B. I  1 . 2019  2020 C. I  1 . 2019  2021 D. I  1 . 2018  2019 Hướng dẫn giải Chọn C Từ giả thiết 3 f  x   xf   x   x 2018 , nhân hai vế cho x 2 ta được 3 x 2 f  x   x 3 f   x   x 2020   x3 f  x    x 2020 . Suy ra x3 f  x    x 2020 dx  x 2021  C. 2021 x 2018 . Thay x  0 vào hai vế ta được C  0  f  x   2021 1 Vậy  0 1 f  x  dx   0 1 1 2018 1 1 1 x dx  . x 2019  . 2021 2021 2019 2021 2019 0 Bài tập 7: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  0; 4 , thỏa mãn f  x   f   x   e  x 2 x  1 với mọi x   0; 4. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. e 4 f  4   f  0   26 . 3 B. e4 f  4   f  0   3e. C. e 4 f  4   f  0   e4  1. D. e4 f  4   f  0   3. Lời giải Chọn A Nhân hai vế cho e x để thu được đạo hàm đúng, ta được e x f  x   e x f ‘  x   2 x  1   e x f  x    2 x  1. / Suy ra e x f  x    2 x  1dx  1  2 x  1 2 x  1  C. 3 Vậy e 4 f  4   f  0   26 . 3 Bài tập 8: Cho hàm số f  x  có đạo hàm trên , thỏa mãn f ‘  x   2018 f  x   2018 x 2017 e2018 x với mọi x   và f  0   2018. Giá trị f 1 bằng A. 2018e 2018 . B. 2017e 2018 . C. 2018e2018 . D. 2019e2018 . Lời giải Chọn D Nhân hai vế cho e2018 x để thu được đạo hàm đúng, ta được  f   x  e 2018 x  2018 f  x  e2018 x  2018 x 2017   f  x  e 2018 x   2018 x 2017 . Suy ra f  x  e2018 x   2018 x 2017 dx  x 2018  C. Thay x  0 vào hai vế ta được C  2018  f  x    x 2018  2018  e 2018 x . Vậy f 1  2019e2018 . Bài tập 9: Cho hàm số f  x  có đạo hàm và liên tục trên , thỏa mãn f   x   xf  x   2 xe  x và 2 f  0   2. Giá trị f 1 bằng A. e. B. 1 . e C. 2 . e 2 D.  . e Hướng dẫn giải Chọn C Nhân hai vế cho e x2 2 để thu được đạo hàm đúng, ta được x2 2 f   x  e  f  x  xe x2 2 Suy ra e f  x    2 xe  x2 2 dx   2e  x2 2 x2 2  2 xe  x2 2 x  x   2  e f  x    2 xe 2 .   2 2  C. Thay x  0 vào hai vế ta được C  0  f  x   2e  x . 2 2 Vậy f 1  2e 1   . e Bài tập 10: Xét hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn  0;1 và thỏa mãn 2 f ( x)  3 f (1  x)  1  x . Tích 1 phân  f ( x)dx bằng 0 A. 2 . 3 B. 1 . 6 C. 2 . 15 D. 3 . 5 Hướng dẫn giải Chọn C Ta có: 2 f ( x)  3 f (1  x)  1  x (1) . Đặt t  1  x , thay vào (1) , ta được: 2 f (1  t )  3 f (t )  t hay 2 f (1  x)  3 f ( x)  x (2) . Từ (1) & (2) , ta được: f ( x )  1 Do đó, ta có:  3 2 1 x . x 5 5 1 f ( x ) dx  0 1 3 2 2 4 2 x dx   1  x d x    .  5 15 15 50 50 b b a a  f ( x)dx   f (a  b  x)dx Cách 2. Công thức 1 1 1 0 0 0 Lấy tích phân 2 vế ta được 2  f ( x)dx  3 f (1  x )dx   1  x dx 1 1 2 2 5 f ( x)dx    f ( x)dx  . 3 15 0 0 Chú ý: Ta có thể dùng công thức  x2 x1 f  ax  b  dx   ax2  b ax1  b f  x  dx . Khi đó: Từ 2 f  x   3 f 1  x   1  x suy ra: 2  f  x  dx  3 f 1  x  dx   1 0  2  f  x  dx  3 f  x  dx   0 1 2 1 0 1 1 1 0 0 0 1  x dx 1 2 2   f  x  dx  . 0 3 15 1 1  x dx  50 f  x  dx  2 1 1 a I   f  t  dt   f  x  dx  . 21 21 2 Bài tập 11: Cho y  f  x  là hàm số chẵn, có đạo hàm trên đoạn  6;6 . Biết rằng 2  f  x dx  8 và 1 6 3  f  2x  dx  3. Giá trị 1  f  x  dx bằng 1 A. 1. C. 1. B. e. D. 14. Hướng dẫn giải Chọn D 3 3 1 1 Ta có y  f  x  là hàm số chẵn nên f  2x   f  2x  suy ra  f  2x dx   f  2x dx  3. 3 Mặt khác:  f  2x dx  1 3 6 6 1 1 f  2x d  2x    f  x dx  3   f  x dx  6.  21 22 2 6 2 6 1 1 2 Vậy I   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  8  6  14. k Bài tập 12: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số k để   2x  1 dx  4 lim x 0 1 k  1 A.  . k  2  k  1 C.  .  k  2 k  1 B.  .  k  2 x 1 1 . x  k  1 D.  . k  2 Hướng dẫn giải Chọn D  2x  1 1 1  2x  1 dx  2 1  2x  1 d  2x  1  4 k Ta có k x 1 1  4 lim x 0 x Mà 4 lim  x 0   k  2k  1  4 1   4 lim x 1 1 x 1 1   x 2 x 1 1 x 0 2  1 4 1 2 x 1 1  2k  1  1  2  2k  1 2  9   k  2 . x 1 1 Khi đó   2x  1 dx  4 lim     k  1 x 0 x 4  1 2 k f  x  .f  a  x   1 Bài tập 13: Cho f  x  là hàm liên tục trên đoạn  0; a  thỏa mãn  và f  x   0, x   0;a  a dx  1 f x  0 ba b , trong đó b, c là hai số nguyên dương và là phân số tối giản. Khi đó b  c có giá c c trị thuộc khoảng nào dưới đây? A. 11; 22  . B.  0;9  . C.  7; 21 . Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B Đặt t  a  x  dt  dx Đổi cận x  0  t  a; x  a  t  0 0 a a a f  x  dx dt dx dx dx     1 f  x  a 1 f a  t  0 1 f a  x  0 1 1 1 f  x 0 0 f x a Lúc đó I   a f  x  dx a dx   1dx  a 1  f  x  0 1  f  x  0 0 a Suy ra 2I  I  I   1 Do đó I  a  b  1; c  2  b  c  3. 2 D.  2017; 2020  . Cách Chọn 2: f x  1 là một hàm thỏa các giả thiết. Dễ dàng tính được 1 I  a  b  1; c  2  b  c  3. 2 Bài tập 14: Cho hàm số f  x  liên tục trên  và 9  f  x  dx  4, x 1  2  f  sin x  cos xdx  2. Giá trị của 0 3 tích phân  f  x  dx bằng 0 B. 6 . A. 2 . D. 10 . C. 4 . Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C f 9  Xét   x  dx  4. Đặt t  x  t 2  x, suy ra 2tdt  dx. x 1 x  1  t  1 . Đổi cận  x  9  t  3 9 Suy ra 4   f  x  dx  2 x 1 3 3 1 1  f  t  2dt   f  t  dt  2.  2  Xét  f  sin x  cos xdx  2. Đặt u  sin x, suy ra du  cos xdx. 0  x  0  u  0 1 2  . Đổi cận  Suy ra 2   f  sin x  cos xdx   f  t  dt.  0 0  x  2  u  1 3 1 3 0 0 1 Vậy I   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  4. .  Bài tập 15: Cho hàm số f  x  liên tục trên  và 4  f  tan x  dx  4, 0 x2 f  x  0 x2  1 dx  2. Giá trị của 1 1 tích phân I   f  x  dx bằng 0 A. I  6 . B. I  2 . Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A  4 Xét  f  tan x  dx  4. 0 C. I  3 . D. I  1 . Đặt t  tan x, suy ra dt  1 dt dx   tan 2 x  1 dx  dx  . 2 cos x 1 t2  x  0  t  0 1 1 4 f t  f  x  . Khi đó 4   f  tan x  dx   2 dt   2 dx. Đổi cận:   t 1 x 1 0 0 0  x  4  t  1 1 2 f  x x f  x dx  4  2  6. Từ đó suy ra I   f  x  dx   2 dx   2 x 1 x 1 0 0 0 1 1  Bài tập 16: Cho hàm số f  x  liên tục trên  và thỏa mãn 4  tan x. f  cos x  dx  1, 2 0 e 2  e f  ln x  2 x ln x 2 dx  1. Giá trị của tích phân I   f  2x x 1 4 A. 1 . dx bằng C. 3 . B. 2 . D. 4 . Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D  4 ● Xét A   tan x. f  cos 2 x  dx  1 . Đặt t  cos 2 x. 0 Suy ra  tan xdx   dt  2sin x cos xdx  2 cos 2 x tan xdx  2t.tan xdx  dt . 2t x  0  t  1  Đổi cận:  1.   x  4  t  2 1 1 1 1 f  x 1 2 f t  1 f t  1 f  x Khi đó 1  A    dt   dt   dx   dx  2. 21 t 21 t 21 x x 1 2 e2 ● Xét B   e Suy ra du  f  ln 2 x  x ln x 2 dx  1. Đặt u  ln 2 x. 2 ln x 2 ln 2 x 2u dx du  . dx  dx  dx  x x ln x x ln x x ln x 2u x  e  u  1 . Đổi cận:  2 x  e  u  4 4 4 4 f  x 1 f u  1 f  x du   dx   dx  2. Khi đó 1  B   21 u 21 x x 1 2 f  2x dx. x 2 ● Xét tích phân cần tính I   1 2 1  dx  2 dv Đặt v  2 x, suy ra  . Đổi cận: x  v  2 4 Khi đó I   1 2 1 1  x   v  4 2.   x  2  v  4 4 1 4 f v f  x f  x f  x dv   dx   dx   dx  2  2  4. v x x x 1 1 1 2 2 Bài tập 17: Cho hàm số f  x  nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên  0; 2 . Biết f  0   1 và f  x f 2  x  e 2 x2  4 x 2 với mọi x   0; 2 . Giá trị tích phân I   x 0 A.  14 . 3 B.  3   3x 2 f   x  f  x 32 16 . C.  . 5 3 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D Từ giả thiết f  x  f  2  x   e 2 x x 2 Ta có I   0 3  3x 2  f ‘  x  f  x 2 4 x x2  f  2   1. u  x 3  3 x 2 2  du   3 x  6 x  dx dx. Đặt  . f ‘ x   dv  f x dx v  ln f  x     Khi đó I   x3  3 x 2  ln f  x  2 0 f  2  1 2    3 x 2  6 x  ln f  x  dx 0 2   3  x 2  2 x  ln f  x  dx  3 J . 0 2 x  2 t Ta có J    x 2  2 x  ln f  x  dx  0 0 0   2  t  2 2  2  2  t   ln f  2  t  d  2  t   2    2  x   2  2  x   ln f  2  x  d  2  x     x 2  2 x  ln f  2  x  dx.   2 2 0 Suy ra 2 2 2 J    x  2 x  ln f  x  dx    x 2  2 x  ln f  2  x  dx 2 0 0 2    x 2  2 x  ln f  x  f  2  x  dx 0 2    x 2  2 x  ln e 2 x 0 2 4 x 2 dx    x 2  2 x  2 x 2  4 x  dx  0 32 16 J . 15 15 dx bằng D.  16 . 5 Vậy I  3 J   16 . 5    Bài tập 18: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên   ;  và thỏa mãn 2 f  x   f   x   cos x. Giá  2 2  trị của tích phân I  2  f  x  dx  bằng 2 A. I  2 . B. I  2 . 3 C. I  3 . 2 D. I  2 . Hướng dẫn giải ĐÁN ÁN B Từ giả thiết, thay x bằng  x ta được 2 f   x   f  x   cos x. Do đó ta có hệ 1 2 f  x   f   x   cos x 4 f  x   2 f   x   2 cos x   f  x   cos x.  3 2 f   x   f  x   cos x  f  x   2 f   x   cos x  2 Khi đó I     1 f  x  dx  3 2 2 1  cos xdx  3 sin x   2   2 2  . 3 2 1  Bài tập 19: Cho hàm số f  x  liên tục trên  ; 2  và thỏa mãn f  x   2 f 2  2 tích phân I   1 2 A. f  x x dx bằng 1 . 2 B. 3 . 2 C. 5 . 2 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B Từ giả thiết, thay x bằng 1 3 1 ta được f    2 f  x   . x x  x Do đó ta có hệ  f   f   1  f  x   2 f  x   3x 2       f  x    x. x 3 1 4 f  x   2 f  1   6    2 f  x     x  x x x  x   2 f  1   3x x 2 Khi đó I   1 2 1    3 x. Giá trị của x 2 f  x  2   2  dx    2  1 dx     x  x   x  1 x 2 2 1 2 3  . 2 D. 7 . 2 1 Cách khác. Từ f  x   2 f    3 x  f  x   3 x  2 f  x 2 Khi đó I   1 2 2 Xét J   1 2   f  x dx    3  2 x 1 2  2 1  . x 1 1 f   2 2 f    x   dx  3 dx  2  x  dx. 1 1 x x   2 2  1 f  1 1 1  x  dx. Đặt t  , suy ra dt   2 dx  t 2 dx  dx   2 dt. x x x t 1   x  2  t  2 Đổi cận:  . x  2  t  1  2 1 2 2 2 f t  f  x  1 Khi đó J   tf  t    2  dt   dt   dx  I . t x  t  1 1 2 2 2 2 2 2 2 3 Vậy I  3 dx  2 I  I   dx  . . 2 1 1 Bài tập 20: Cho hàm số f  x  thỏa mãn  f   x    f  x  . f   x   15 x 4  12 x với mọi x   và 2 f  0   f   0   1. Giá trị của f 2 1 bằng A. 5 . 2 B. 9 . 2 C. 8. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C Nhận thấy được  f   x    f  x  . f   x    f  x  . f   x   . 2 Do đó giả thiết tương đương với  f  x  . f   x    15 x 4  12 x.       C  1 Suy ra f  x  . f   x    15 x 4  12 x dx  3×5  6 x 2  C  f 0  f  0 1.  f  x  . f   x   3×5  6 x 2  1  f  x  . f   x  dx    3 x 5  6 x 2  1 dx  Thay x  0 vào hai vế ta được f 2  x  x6   2 x 3  x  C ‘. 2 2 f 2 0 1 C’C’ . 2 2 D. 10. 2 6 3 2 Vậy f  x   x  4 x  2 x  1  f 1  8. 4 Bài tập 22: Cho hàm số f  x  liên tục trên  thỏa mãn f  tan x   cos x, x   . Giá trị 1 I   f  x  dx bằng 0 A. 2  . 8 B. 1. C. Hướng dẫn giải ĐAP ÁN A 1   f  tan x   cos x  f  tan x     2  tan x  1  4  f x  x 1 1 2  1 2   f  x  dx  0 2 8 2 2  . 4 D.  4 . Dạng 8: Bất đẳng thức tích phân 1. Phương pháp Áp dụng các bất đẳng thức: b + Nếu f  x  liên tục trên  a; b thì  a b f  x  dx   f  x  dx a b + Nếu f  x  liên tục trên  a; b và m  f  x   M thì m  b  a    f  x  dx  M  b  a  a 2 b b  b + Nếu f  x  , g  x  liên tục trên  a; b thì   f  x  g  x  dx    f 2  x  dx. g 2  x  dx dấu ”  ” xẩy a a  a ra khi và chỉ khi f  x   k .g  x  . + Bất đẳng thức AM-GM 2. Bài tập Bài tập 1: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  0;1 , thỏa mãn f 1  0 , 1   f   x  2 dx  7 0 1 1 2 và  x f  x  dx  . Giá trị phân 3 0 A. 1 . 1  f  x  dx bằng 0 B. 7 . 5 C. 7 . 4 D. 4 . Hướng dẫn giải Chọn B 1 1 1 x3 1 f  x    x 3 f ‘  x  dx. Kết hợp với giả thiết Dùng tích phân từng phần ta có  x f  x  dx  3 30 0 0 2 f 1  0 , ta suy ra 1  x f ‘  x  dx  1. 3 0 2 1 3  1 6 1 2 x7 Theo Holder  1    x f ‘  x  dx    x dx.  f ‘  x   dx  7 0 0  0 2 3 Vậy đẳng thức xảy ra nên ta có f ‘  x   kx , thay vào 1 .7  1. 0 1  x f ‘  x  dx  1 ta được k  7. 3 0 7 3 Suy ra f ‘  x   7 x  f ‘  x   7 x 3 , x   0;1  f  x    x 4  C 4 1 7 7 7 7  C   f  x    x 4    f  x  dx  . 4 4 4 5 0 f 1  0 Bài tập 2: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  0;1 , thỏa mãn f 1  1 , 1 11  x f  x  dx  78 5 0 1 4 f x d f x  . và        13 Giá trị f  2  0 A. 2. B. bằng 251 . 7 C. 256 . 7 D. 261 . 7 Hướng dẫn giải Chọn D 2 2 1  1 12 1 2 1 4 4 2  6  . Theo Holder      x f  x  dx    x dx.  f   x   dx  .  13 13 169  13   0 0  0  f   x   2 x6  f  x   Vậy f  x   2 7 5 f 1 1 x  C  C  . 7 7 2 7 5 261 . x   f  2  7 7 7 Bài tập 3: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  0;1 , thỏa mãn f 1  2, f  0   0 và 1   f   x  dx  4. Tích phân 2 0 1   f  x   2018x  dx. bằng 3 0 A. 0. B. 1011. C. 2018. D. 2022. Hướng dẫn giải Chọn B 2 1  1 1 2 Theo Holder 2    f ‘  x  dx    dx.  f ‘  x   dx  1.4  4. 0  0 0 2    f ‘  x   2  f  x   2 x  C   C  0. f 0 0 1 Vậy f  x   2 x    f 3  x   2018 x  dx  1011. 0 Bài tập 4: Cho hàm số f  x  nhận giá trị dương và có đạo hàm f   x  liên tục trên  0;1 , thỏa mãn f 1  ef  0  và 1  0 1 2 dx    f   x   dx  2. Mệnh đề nào sau đây đúng? 2 f  x 0 A. f 1  2e . e 1 B. f 1  C. f 1  2e2 . e2  1 D. f 1  Hướng dẫn giải 2  e  2 . e 1 2 e  2 . e 1 Chọn C 1  Ta có 0 1 1 AM  GM 1 f ‘  x   1 2 2 dx         2 f x x f x x ‘ d ‘ d dx         0 f 2  x   f 2  x  0  f  x 0   1  2 ln f  x   2 ln f 1  2 ln f  0   2 ln 0 1 Mà  0 f 1  2 ln e  2. f  0 1 2 1 dx  f  x f ‘ x  1    f ‘  x   dx  2 nên dấu ”  ” xảy ra, tức là f ‘  x   2 f  x f  x 0   f  x  f ‘  x  dx   xdx  f 2  x  x  C  f  x   2 x  2C . 2 Theo giả thiết f 1  ef  0  nên ta có  f  x  2x  2  2C  e 2C  2  2C  e 2 2C  C  1 e2  1 2 2 2e2  f 1  2   .  e2  1 e2  1 e2  1 Bài tập 5: Cho hàm số f  x  nhận giá trị dương trên  0;1 , có đạo hàm dương và liên tục trên  0;1 , 1 1 1 3 3 2 thỏa mãn f  0   1 và   f  x   4  f   x    dx  3 f   x  f  x  dx. Giá trị I   f  x  dx bằng   0 0 0 A. 2   B. 2  e 2  1 . e 1 . C. e 1 . 2 Hướng dẫn giải Chọn A Áp dụng bất đẳng thức AM  GM cho ba số dương ta có f 3  x   4  f ‘  x    4  f ‘  x    3  3 3 4  f ‘  x   . 3 3 f 3  x f 3  x .  3 f ‘ x f 2  x. 2 2 1 Suy ra 1 3 3 2 0  f  x   4  f ‘  x   dx  30 f ‘  x  f  x  dx. 1 Mà 1 3 3 2 0  f  x   4  f ‘  x   dx  30 f ‘  x  f  x  dx nên dấu ”  ” xảy ra, tức là 4  f ‘  x    3  f 3  x f 3  x  2 2 f 3  x f 3  x 1   f ‘ x  f  x 2 2 2 1 x C f ‘ x 1 f ‘ x 1 1 dx   dx  ln f  x   x  C  f  x   e 2 .   2 2 f  x 2 f  x D. e2  1 . 2 1 1 x Theo giả thiết f  0   1  C  0  f  x   e 2   f  x  dx  2 0   e 1 . Bài tập 6: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  0;   , thỏa mãn   f   x  sin xdx  1 và 0   f 2  x  dx  0 2   . Giá trị tích phân  xf  x  dx bằng 0 6 A.  . 4 B.  .  C.  2  . D. 4  . Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B 2    0 0 Theo Holder 1   f  x  cos xdx   f 2  x  dx  cos 2 xdx  2 0  f  x  2    cos x   xf  x  dx   0 2 x cos x 0  dx   4  2  .  1.  2 . Bài tập 7: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  0;1 , thỏa t f 1  0, 1 x  0 cos  2  f  x  dx  2 . Giá trị của ích phân 1 A. 1  . B. 2  1 2 0  f   x  dx  8 và 2 1  f  x  dx bằng 0 . C.  2 . D.  . Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B Theo Holder 2 2 1  1 2 x  1 2 1 2    x        sin   f ‘  x  dx    sin   dx.  f ‘  x   dx  . . 2 8  4 0  2   2  0  0  f ‘ x    x  x  f 1  0 sin    f  x   cos    C  C  0. 2  2   2  2 x Vậy f  x   cos     f  x  dx  .   2  0 1 Bài tập 8: Cho hàm số f  x  nhận giá trị dương trên  0;1 , có đạo hàm dương liên và tục trên  0;1 , 1 thỏa mãn  0 A. 1. xf   x  1 dx  1 và f  0   1, f 1  e 2 . Giá trị của f   bằng f  x 2 B. 4. C. e. D. e. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C Hàm dưới dấu tích phân là hàm đúng xf ‘  x  f  x  x. f ‘ x f  x , x   0;1. Điều này làm ta liên tưởng đến đạo f ‘ x , muốn vậy ta phải đánh giá theo AM  GM như sau: f  x f ‘ x f  x  mx  2 m . xf ‘  x  f  x với m  0 và x   0;1. Do đó ta cần tìm tham số m  0 sao cho 1  f ‘ x  xf ‘  x  mx d x 2 m .     0 f  x  0 f  x  dx   1 hay ln f  x  1 m 0 x2 2  2 m  20 Để dấu ”  ” xảy ra thì ta cần có 2  0  Với m  4 thì đẳng thức xảy ra nên  1 0  2 m .1  ln f 1  ln f  0   m 2 m  2 m. 2 m  2 m  m  4. 2 f ‘ x  4x f  x f ‘ x 2 dx   4 xdx  ln f  x   2 x 2  C  f  x   e 2 x C . f  x  f  0   1 2 1 Theo giả thiết   C  0  f  x   e2 x  f    e. 2 2  f 1  e Cách 2. Theo Holder 2 2 1  1 xf ‘  x    1 f ‘ x  1 f ‘ x f 1 1 1   dx     x . dx    xdx. dx  .ln  1.  0 f  x   0 f  x   0 f  x 2 f  0 0    2 f ‘ x  kx, thay vào Vậy đẳng thức xảy ra nên ta có f  x Suy ra f ‘ x f  x  4 x. (làm tiếp như trên) 1  0 xf ‘  x  f  x dx  1 ta được k  4. Bài tập 9: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  0;1 , thỏa mãn B. 3. 2.   f  x  f   x  2 dx  1 và 0 1 f  0   1, f 1  3. Giá trị của f   bằng 2 A. 1 C. D. e. e. Lời giải ĐÁP ÁN A Hàm dưới dấu tích phân là  f  x  f ‘  x   . Điều này làm ta liên tưởng đến đạo hàm đúng f  x  f ‘  x  2 , muốn vậy ta phải đánh giá theo AM  GM như sau:  f  x  f ‘  x    m  2 m . f  x  f ‘  x  với m  0. 2 Do đó ta cần tìm tham số m  0 sao cho  1 0  1  f  x  f ‘  x    m dx  2 m  f  x  f ‘  x  dx. 2 0 hay 1  m  2 m. f 2  x 2 1  1  m  2 m. 0 Để dấu ”  ” xảy ra thì ta cần có 1  m  2 m  m  1.  f  x f ‘ x  1 2 Với m  1 thì đẳng thức xảy ra nên  f  x  f ‘  x    1   .  f  x  f ‘  x   1 f 2  x  f  x  f ‘  x   1   f  x  f ‘  x  dx    dx  2 0 0 1 1  f  x  f ‘  x   1   f  x  f ‘  x  dx   dx  1  x 0 1  1  1. (vô lý) 0 f 2  x  x  C  f  x   2 x  2C . 2  f  0   1 1 1 Theo giả thiết   C   f  x   2 x  1  f    2. 2 2  f 1  3 1  Cách 2. Ta có 0 f  x  f ‘  x  dx  f 2  x 2 1 0  1 2  f 1  f 2  0    1. 2 2 1  1 2 1 2 Theo Holder 1    1. f  x  f ‘  x  dx    1 dx.  f  x  f ‘  x   dx  1.1  1. 0 0  0 2 Vậy đẳng thức xảy ra nên ta có f ‘  x  f  x   k , thay vào 1  f  x  f ‘  x  dx  1 ta được k  1. Suy ra 0 f ‘  x  f  x   1. (làm tiếp như trên) Bài tập 10: Cho hàm số f  x  nhận giá trị dương và có đạo hàm f   x  liên tục trên 1; 2  , thỏa  f   x   dx  24 và f 1  1, f  2   16. Giá trị của f  mãn xf  x  1 2 2 A. 1. B. 2.  2  bằng C. 2. D. 4. Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D  f ‘  x   1  f ‘  x   . Điều này làm ta liên tưởng đến đạo hàm đúng  . Hàm dưới dấu tích phân là xf  x  x f  x 2 f ‘ x f  x 2 , muốn vậy ta phải đánh giá theo AM  GM như sau:  f ‘  x   f ‘ x  mx  2 m với m  0 và x  1; 2. xf  x  f  x 2 Do đó ta cần tìm tham số m  0 sao cho 2   f ‘  x  2    mx  dx  2 m f ‘  x  dx  1  xf  x  1 f  x     2 hay 24  2m  4 m f  x 3 2  24  1 2m  4 m  f  2   3 Để dấu ”  ” xảy ra thì ta cần có 24  2m f 1   24   12 m  m  16.  3 2m  12 m  m  16. 3  f ‘  x   f ‘ x  16 x   2x Với m  16 thì đẳng thức xảy ra nên xf  x  2 f  x 2  f ‘ x 2 f  x dx   2 xdx  f  x   x2  C  f  x    x2  C  . 2  f 1  1 Theo giả thiết   C  0  f  x   x4  f  f  2   16 2 Cách 2. Ta có  1 f ‘ x f  x f ‘ x 2 dx  2. 1 2 f  x 2  2   4. dx  2 f  x  2 2 1  2  f  2   f 1   6.  2 2  2 f ‘ x   1  2  f ‘  x   f ‘ x x2 2 2 Theo Holder 6    dx     x . dx    xdx. dx  .24  36.  1 f  x   1  1 2 1 xf  x  xf x   1     Vậy đẳng thức xảy ra nên ta có k  4. Suy ra f ‘ x f  x f ‘ x xf  x  k x  f ‘ x f  x 2  kx, thay vào  1 f ‘ x f  x dx  6 ta được  4 x. (làm tiếp như trên) Bài tập 11: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 , và f 1  f  0   rằng 0  f   x   2 2 x , x   0;1 . Khi đó, giá trị của tích phân 1   f   x  2 14 . Biết 2 dx thuộc khoảng nào 0 sau đây?  13 14  B.  ;  . 3 3 A.  2; 4  .  10 13  C.  ;  .  3 3 Hướng dẫn giải Chọn C. Do 0  f   x   2 2 x , x   0;1 nên 0   f   x    8 x, x   0;1 . 2 1 1 Suy ra   f   x   dx   8 xdx hay 2 0 0 1   f   x  2 dx  4 (1). 0 Mặt khác, áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có: 2 1 1  1 2 1 2 2 2       f x dx 1 dx . f x dx f 1 f 0                      f   x   dx  0 0 0 0  1  1 2 7 Vậy    f   x   dx  4. 2 0 2 7    f   x   dx 2 0 D. 1;3 .
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments

Bài viết tương tự

Scroll to Top