Các dạng bài tập VDC phương trình bậc hai trên tập số phức

Giới thiệu Các dạng bài tập VDC phương trình bậc hai trên tập số phức

Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và bạn đọc Các dạng bài tập VDC phương trình bậc hai trên tập số phức CHƯƠNG SỐ PHỨC.

Các dạng bài tập VDC phương trình bậc hai trên tập số phức

Tài liệu môn Toán 12 và hướng dẫn giải chi tiết các đề thi từ cơ bản đến vận dụng cao sẽ luôn được cập thường xuyên từ hoctoanonline.vn , các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán hay và mới nhất.

Tài liệu Các dạng bài tập VDC phương trình bậc hai trên tập số phức

Các em học sinh và bạn đọc tìm kiếm thêm tài liệu Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng tại đây nhé.

Text Các dạng bài tập VDC phương trình bậc hai trên tập số phức
BÀI 3. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC A. LÍ THUYẾT 1. Căn bậc hai của một phức Định nghĩa Cho số phức w. Mỗi số phức z thỏa mãn z 2  w được gọi là một căn bậc hai của w Nhận xét: Tìm căn bậc hai của số phức w +) Số 0 có đúng một căn bậc hai  w là số thực.  + Nếu w  0 thì w có hai căn bậc hai là i  w và là 0 +) Mỗi số phức khác 0 có hai căn i  w bậc hai là hai số đối nhau (khác + Nếu w  0 thì w có hai căn bậc hai là w và  w 0) w  a  bi  a, b    , b  0 Nếu z  x  iy là căn bậc hai của w thì  x  iy   a  bi 2  x2  y2  a Do đó ta có hệ phương trình:  2xy  b Mỗi nghiệm của hệ phương trình cho ta một căn bậc hai của w Mọi phương trình bậc n: 2. Giải phương trình bậc hai với hệ số thực A0 z n  A1 z n 1  …  An 1 z  An  0 Xét phương trình az  bz  c  0  a, b, c  ; a  0  2 luôn có n nghiệm phức (không Ta có   b  4ac 2 nhất thiết phân biệt) với n nguyên b 2a  Nếu   0 thì phương trình có nghiệm thực x    Nếu   0 thì phương trình có hai nghiệm thực phân biệt: x1   b   b   ; x2  2a 2a Nếu   0 thì phương trình có hai nghiệm thực phân biệt: x1  b  i  2a Chú ý: ; x2  b  i  2a Hệ thức Vi-ét đối với phương trình bậc hai với hệ số thực Phương trình bậc hai ax 2  bx  c  0  a  0 có hai nghiệm dương. phân biệt x1 , x2 (thực hoặc phức) thì b   S  x1  x2   a  P  x x  c 1 2  a B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Giải phương trình. Tính toán biểu thức nghiệm 1. Phương pháp giải Ví dụ: Xét phương trình z 2  2 z  5  0 Cho phương trình: a) Giải phương trình trên tập số phức  az 2  bz  c  0  a, b, c  ; a  0  b) Tính z1  z2 Giải pương trình bậc hai với hệ số thực Hướng dẫn giải  Áp dụng các phép toán trên tập số phức a) Ta có:  ‘  1  5  4   2i 2 để biến đổi biểu thức Phương trình có hai nghiệm là: z1  2  2i ; z2  2  2i b) Ta có z1  z2  22  22  2 2 Suy ra z1  z2  2 2  2 2  4 2 2. Bài tậ Bài tập 1. Trong các số sau, số nào là nghiệm của phương trình z 2  1  z A. 1  3i 2 B. 1 3 2 C. 1 3 2  z   ? D. 1  2i 2 Hướng dẫn giải Chọn A Ta có z 2  1  z  z     z 2  2.z. 2 1 1 3 1  3i 2    z   2 4 4 2 4   1  1  3i 3i z   z  2  2  2  1  3i  1  3i z   z   2 2  2 Bài tập 2. Phương trình z 2  az  b  0  a, b    có nghiệm phức là 3  4i . Giá trị của a  b bằng A. 31 B. 5 C. 19 D. 29 Hướng dẫn giải Chọn C Chú ý: Nếu z0 là Cách 1: Do z  3  4i là nghiệm của phương trình z 2  az  b  0 nên ta có: nghiệm của phương  3  4i  trình bậc hai với hệ 2  a  3  4i   b  0   3a  b  7    4a  24  i  0 số thực thì z0 cũng 3a  b  7  0 a  6   4a  24  0 b  25 là nghiệm của phương trình Do đó a  b  19 Cách 2: Vì z1  3  4i là nghiệm của phương trình z 2  az  b  0 nên z2  3  4i cũng là nghiệm của phương trình đã cho  z  z  a Áp dụng hệ thức Vi-ét vào phương trình trên ta có  1 2  z1.z2  b  3  4i    3  4i   a a  6    a  b  19 b  25  3  4i  3  4i   b Bài tập 3. Gọi z0 là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình z 2  6 z  34  0 . Giá trị của z0  2  i là A. 17 B. 17 C. 2 17 D. 37 Hướng dẫn giải Chọn A ra có  ‘  25   5i  . Phương trình có hai nghiệm là z  3  5i ; z  3  5i 2 Do đó z0  3  5i  z0  2  i  1  4i  17 Bài tập 4. Gọi z1 là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình z 2  2 z  5  0 Tọa độ điểm biểu diễn số phức A. P  3; 2  7  4i trên mặt phẳng phức là z1 B. N 1; 2  C. Q  3; 2  Hướng dẫn giải Chọn A  z  1  2i Ta có z 2  2 z  5  0    z  1  2i Theo yêu cầu của bài toán ta chọn z1  1  2i . Khi đó: 7  4i 7  4i  7  4i 1  2i     3  2i z1 1  2i 12  22 Vậy điểm biểu diễn của số phức là P  3; 2  D. M 1; 2  Bài tập 5. Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2  4 z  5  0 . Giá trị của biểu thức  z1  1 2019   z2  1 2019 bằng A. 21009 B. 21010 D. 21010 C. 0 Hướng dẫn giải Chọn D z  2  i 2 Xét phương trình z 2  4 z  5  0   z  2   1   1  z2  2  i Khi đó ta có:  z1  1   1  i  . 1  i   1  i  .  2i  1009   2i  1009  2 1009 2019   z2  1 2019   1  i  . 1  i   1  i  2019  1  i  2019  2 1009  1  i  .  2i  1009  1  i   1  i     2i  1010  i2  505 .21010  21010 Dạng 2: Định lí Vi-ét và ứng dụng 1. Phương pháp giải Ví dụ: Phương trình z 2  4 z  24  0 có hai Định lí Vi-ét: Cho phương trình: nghiệm phức z1 , z2 nên az  bz  c  0 ; a, b, c   ; a  0 2 z1  z2  4 ; z1.z2  24 b   z1  z2   a có hai nghiệm phức z1 , z2 thì   z .z  c  1 2 a Chú ý: Học sinh hay nhầm lẫn: z1  z2  b a 2. Bài tập Bài tập 1: Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2  2 z  5  0 . Giá trị của biểu thức z12  z22 bằng A. 14 B. –9 C. –6 D. 7 Hướng dẫn giải Chọn C Gọi z1 , z2 là nghiệm của phương trình z 2  2 z  5  0 z  z  2 Theo định lí Vi-ét ta có:  1 2  z1.z2  5 Suy ra z12  z22   z1  z2   2 z1 z2  22  2.5  6 2 Bài tập 2: Phương trình bậc hai nào sau đây có nghiệm là 1  2i ? Chúng ta có thể giải từng A. z 2  2 z  3  0 B. z 2  2 z  5  0 phương trình: C. z 2  2 z  5  0 D. z 2  2 z  3  0 +) z 2  2 z  3  0 Hướng dẫn giải   z  1  2i 2 2 Chọn C Phương trình bậc hai có hai nghiệm phức là liên hợp của nhau nên phương trình bậc hai có nghiệm 1  2i thì nghiệm còn lại là 1  2i  z  1  i 2  z  1 i 2 Khi đó tổng và tích của hai nghiệm lần lượt là 2; 5 +) z 2  2 z  5  0 Vậy số phức 1  2i là nghiệm của phương trình z 2  2 z  5  0   z  1  4i 2 2  z  1  2i  z  1  2i +) z 2  2 z  5  0   z  1  4i 2 2  z  1  2i  z  1  2i +) z 2  2 z  3  0   z  1  2i 2 2  z  1  i 2  z  1  i 2 Bài tập 3: Kí hiệu z1 , z2 là nghiệm phức của phương trình 2 z 2  4 z  3  0 . Tính giá trị biểu thức P  z1 z2  i  z1  z2  A. P  1 B. P  7 2 C. P  3 D. P  Hướng dẫn giải Chọn D Ta có z1 , z2 là hai nghiệm của phương trình 2 z 2  4 z  3  0  z1  z2  2  Theo định lý Vi-ét ta có  3  z1.z2  2 Ta có P  z1 z2  i  z1  z2  2 3 3 5 2 3   i  2    2i      2   2 2 2 2 Bài tập 4: Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình Cách khác: Ta có: 5 2 z 2  4 z  7  0 . Giá tị của P  z13  z23 bằng z2  4z  7  0 A. –20 B. 20   z  2   3i 2 C. 14 7 D. 28 7  z1  2  3i   z2  2  3i 2 Hướng dẫn giải Chọn A Do đó: z  z  4 Theo định lý Vi-ét ta có  1 2  z1.z2  7 Suy ra z  z   z1  z2   z  z1 z2  z 3 1 3 2 2 1    z1  z2   z1  z2   3 z1 z2 2 z13  z23 2 2     3  2  3i  2  3i  3  20   4.  42  3.7   20 Bài tập 5: Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình 3z 2  2 z  27  0 . Giá trị của z1 z2  z2 z1 bằng A. 2 B. 6 C. 3 6 D. 6 Hướng dẫn giải Chọn A Áp dụng định lý Vi-ét, ta có z1  z2  Mà z1  z2  z1 z2  2 và z1.z2  9 3 z1.z2  9  3 2 Do đó z1 z2  z2 z1  z1.3  z2 .3  3  z1  z2   3.  2 3 Bài tập 6: Cho số thực a  2 và gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2  2 z  a  0 . Mệnh đề nào sau đây sai? A. z1  z2 là số thực C. B. z1  z2 là số ảo z1 z2  là số ảo z2 z1 D. z1 z2  là số thực z2 z1 Hướng dẫn giải Chọn C Ta có z1  z2   b  2 . Đáp án A đúng a Phương trình bậc hai với hệ số thực có hai nghiệm là số phức liên hợp. Gọi z1  x  yi ; x, y   là một nghiệm, nghiệm còn lại là z2  x  yi Suy ra z1  z2  2 yi là số ảo. Đáp án B đúng z1 z2 z12  z22  z1  z2   2 z1 z2 4  2a      z2 z1 z1.z2 z1.z2 a 2 Vậy C là đáp án sai và D đúng Dạng 3: Phương trình quy về phương trình bậc hai 1. Phương pháp giải   Ví dụ: Giải phương trình: z 4  z 2  6  0 trên tập Nắm vững cách giải phương trình bậc số phức. Hướng dẫn giải hai với hệ số thực trên tập số phức Nắm vững cách giải một số phương trình Đặt z 2  t , ta có phương trình: quy về bậc hai, hệ phương trình đại số t  3 t2  t  6  0   bậc cao;… t  2 Với t  3 ta có z 2  3  z   3 Với t  2 ta có z 2  2  z  i 2 Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm z   3 ; z  i 2 2. Bài tậpmẫu Bài tập 1: Tổng môđun bốn nghiệm phức của phương trình 2 z 4  3z 2  2  0 là A. 3 2 B. 5 2 C. 2 5 D. 2 3 Hướng dẫn giải Chọn A z  2  z   2 2 z  2   Ta có: 2 z 4  3z 2  2  0   2 z  2 i  z   1  1 .i 2  2  2 2  z   2 i  2 Khi đó, tổng 2 2 môđun bốn nghiệm phức của phương trình đã cho bằng 2 2 i i 3 2 2 2 Bài tập 2: Kí hiệu z1 , z2 , z3 , z4 là bốn nghiệm phức của phương trình z 4  4 z 2  5  0 . Giá trị của 2 2 2 z1  z2  z3  z4 A. 2  2 5 2 bằng B. 12 C. 0 Hướng dẫn giải Chọn B z  1  z  1 z  1 4 2   Ta có: z  4 z  5  0   2 z  5i  z  5   z   5i 2 D. 2  5 Phương trình có bốn nghiệm lần lượt là: z1  1 , z2  1 , z3  i 5 , z4  i 5 2 2 2 2 Do đó: z1  z2  z3  z4  12  12   5   5 2 2  12 Bài tập 3: Gọi z1 , z2 , z3 , z4 là các nghiệm phức của phương trình  z 2  z   4  z 2  z   12  0 . 2 2 2 2 Giá trị của biểu thức S  z1  z2  z3  z4 A. S  18 2 là B. S  16 C. S  17 D. S  15 Hướng dẫn giải Chọn C Ta có:  z 2  z   4  z 2  z   12  0 2 t  2 Đặt t  z 2  z , ta có t 2  4t  12  0   t  6  z1  1  z  2  2  z2  z  2  0    z  1  i 23 Suy ra:  2 3 2 z  z  6  0   1  i 23  z4  2  2 2 2 2 23   1   23   1   Suy ra S  1   2                  17 2   2  2   2  2 2 4 z Bài tập 4: Gọi z1 , z2 là hai nghiệm của phương trình 2  z  4 . Khi đó z1  z2 bằng z A. 1 B. 4 C. 8 D. 2 Hướng dẫn giải Chọn A Điều kiện: z  0 2 2 4  z2  z. z  z   z  4   Ta có: 2  z  4     z  4  z  z  z      1 15 1 i z    z    2 2 2  z2  z 4 0      1 15 1 i z    z      2 2 2 15 i 2 15 i 2 1 15 1 15 Vậy z1  z2    i  i  1  1 2 2 2 2 Bài tập 5: Cho số thực a, biết rằng phương trình z 4  az 2  1  0 có bốn nghiệm z1 , z2 , z3 , z4 thỏa mãn  z12  4  z22  4  z32  4  z42  4   441 . Tìm a a  1 A.   a   19  2  a  1 B.   a  19  2  a  1 C.   a   19  2 a  1 D.   a  19  2 Hướng dẫn giải Chọn B Nhận xét: z 2  4  z 2   2i    z  2i  z  2i  2 Đặt f  x   z 4  az 2  1 , ta có: z 2 1  4  z22  4  z32  4  z42  4     zk  2i  .   zk  2i   f  2i  . f  2i  4 4 k 1 k 1  16i 4  4ai 2  116i 4  4ai 2  1  17  4a  Theo giả thiết, ta có 17  4a  2 2  a  1  441    a  19  2 Bài tập 6: Cho số phức z thỏa mãn 11z 2018  10iz 2017  10iz  11  0 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. 2  z  3 B. 0  z  1 C. 1  z  2 D. 1 3  z  2 2 Hướng dẫn giải Chọn D Ta có z 2017 11z  10i   11  10iz  z 2017  11  10iz 11  10iz 2017  z  11z  10i 11z  10i Đặt z  a  bi 2 10b  11  100a 2  100  a 2  b2   220b  121 11  10iz 11  10i  a  bi    2 11z  10i 11 a  bi   10i 121 a 2  b 2   220b  100 121a 2  11b  10  Đặt t  z  t  0  ta có phương trình t 2017  Nếu t  1  VT  1 ; VP  1 Nếu t  1  VT  1 ; VP  1 Nếu t  1  z  1 100t 2  220b  121 121t 2  220b  100 có
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments

Bài viết tương tự

Scroll to Top