Các dạng bài tập VDC khái niệm số phức và các phép toán của số phức

Giới thiệu Các dạng bài tập VDC khái niệm số phức và các phép toán của số phức

Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và bạn đọc Các dạng bài tập VDC khái niệm số phức và các phép toán của số phức CHƯƠNG SỐ PHỨC.

Các dạng bài tập VDC khái niệm số phức và các phép toán của số phức

Tài liệu môn Toán 12 và hướng dẫn giải chi tiết các đề thi từ cơ bản đến vận dụng cao sẽ luôn được cập thường xuyên từ hoctoanonline.vn , các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán hay và mới nhất.

Tài liệu Các dạng bài tập VDC khái niệm số phức và các phép toán của số phức

Các em học sinh và bạn đọc tìm kiếm thêm tài liệu Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng tại đây nhé.

Text Các dạng bài tập VDC khái niệm số phức và các phép toán của số phức
CHƯƠNG 4. SỐ PHỨC BÀI 1&2. KHÁI NIỆM SỐ PHỨC VÀ CÁC PHÉP TOÁN CỦA SỐ PHỨC A. LÝ THUYẾT I. KHÁI NIỆM VỀ SỐ PHỨC Bài tập: 1. Số phức Định nghĩa 2 +) z  5  i   ; 7 Cho số phức z có dạng: z  a  bi với a, b   , trong đó a gọi là phần thực của z , b gọi là phần ảo của z , i gọi là +) z   2   i   ; đơn vị ảo thỏa mãn i 2  1 . Đặc biệt: Tập hợp các số phức, kí hiệu là  . 4  +) z  i, w  cos i, u  i ,… là 3 12 các số thuần ảo. Số phức z là số thực nếu b  0 . Số phức z là số thuần ảo nếu a  0 . Số phức z  0  0i  0 vừa là số thực, vừa là số ảo (còn gọi là số thuần ảo). Số phức liên hợp Số phức liên hợp của số phức z , kí hiệu z , là z  a  bi . Bài tập 2 +) Số phức z  5  i có số phức 7 2 liên hợp là z  5  i ; 7 4 +) Số phức z  i có số phức liên 3 4 hợp là z   i . 3 Nhận xét: Mỗi số thực có số phức liên hợp là chính nó. Môđun của số phức Môđun của số phức z , kí hiệu là z  a 2  b 2 . Bài tập: 2 Số phức z  5  i có môđun 7 2 1229  2 z  5    7  7 2 2. Hai số phức bằng nhau Định nghĩa Hai số phức z1  a1  b1i và z2  a2  b2i được gọi là bằng Bài tập: Số phức z  a  bi bằng 0 khi và a  0 chỉ khi  b  0 hay z  0 .  a  a2 . nhau khi và chỉ khi  1 b1  b2 Nhận xét: 3. Biểu diễn hình học của số phức +) OM  z ; Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , mỗi số phức z  a  bi; a, b   +) Nếu z1 , z2 có các điểm biểu diễn được biểu diễn bởi điểm M (a; b) . Ngược lại, mỗi điểm lần lượt là M (a; b) biểu diễn duy nhất một số phức là z  a  bi . M 1M 2  z1  z2 . M1, M 2 thì SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA a là phần thực của số phức z b là phần ảo của số phức z Số phức liên hợp của z z  a  bi Đại số z  a 2  b2 (  là tập hợp số phức) Số phức SỐ PHỨC liên hợp z  a  bi  a, b  ; i 2 Môđun số phức  1 Độ dài đoạn OM là môđun M  là điểm biểu diễn của số phức z số phức z Hình học M là điểm biểu diễn của số phức z II. CÁC PHÉP TOÁN SỐ PHỨC 1. Phép cộng số phức Bài tập: Định nghĩa  5  4i    3  2i   8  2i. Tổng của hai số phức z  a  bi, z   a  bi  a, b, a, b    là số phức z  z   a  a   b  b  i. Tính chất Với mọi z , z , z    ta có: Bài tập: Tính chất kết hợp:  z  z    z   z   z   z   ; 2 2 z  5  i có số đối là  z  5  i. 7 7 Tính chất giao hoán: z  z  z  z; Cộng với 0: z  0  0  z  z; z    z     z   z  0. 2. Phép trừ số phức Hiệu của hai số phức z  a  bi, z   a  bi  a, b, a, b    : z  z   z    z     a  a    b  b  i. 3. Phép nhân số phức Bài tập:  5  4i    3  2i   2  6i. Bài tập: Định nghĩa Tích của hai số phức z  a  bi, z   a  bi  a, b, a, b    là  5  4i  3  2i   15  8  12  10  i  23  2i. số phức zz   aa  bb   ab  ab  i. Tính chất Chú ý: Với mọi z , z , z    ta có: • Tính chất giao hoán: zz   z z; • Ta có thể thực hiện phép cộng và phép nhân các số phức theo các quy tắc như phép toán • Tính chất kết hợp:  zz   z   z  z z   ; cộng và nhân các số thực. • Nhân với 1: 1.z  z.1  z; ° Các hằng đẳng thức của các số thực cũng • Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng: đúng đối với các số phức. z  z   z    zz   zz . Bài tập: z 2  4  z 2   2i    z  2i  z  2i  . 2 4. Phép chia cho số phức khác 0 Số nghịch đảo của số phức z  0 kí hiệu là z 1 , là số phức thỏa mãn zz 1  1, , hay z 1  1 z 2 z. Thương của phép chia số phức z  cho số phức z khác 0, Bài tập: z  3  2i có số phức nghịch đảo là 1 1 3 2  .  3  2i    i. z 13 13 13 Bài tập: kí hiêu là 5  4i  5  4i  3  2i  7  22i 7 22     i. 3  2i  3  2i  3  2i  13 13 13 z z z  zz 1  2 . z z Tính chất phép cộng số phức Phép cộng số phức Với mọi z , z , z    ta có Tổng của hai số phức z  a  bi SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA  z  z   z  z   z  z  ; và z   a  bi  a, b, a, b    z  z   z   z; là số phức z  z   a  a   b  b  i. z  0  0  z  z; z    z     z   z  0. Phép trừ số phức CÁC PHÉP TOÁN VỚI SỐ PHỨC Hiệu của hai số phức z  a  bi và z   a  bi  a, b, a, b    là số phức z  z    a  a    b  b  i. Tính chất phép nhân số phức Với mọi z , z , z    ta có zz   z z; Phép nhân số phức  zz  z  z  zz  ; Tích của hai số phức z  a  bi và z   a  bi  a, b, a, b    là số 1.z  z.1  z; z  z   z    zz   zz . phức zz   aa  bb   ab  ab  i. Phép chia số phức khác 0 Số nghịch đảo của số phức z  0 kí hiệu là z 1 là số phức thỏa mãn zz 1  1 hay z 1  1 z 2 z. Thương của phép chia số phức z  cho số phức z  0 , kí hiệu là z z z  z z 1  2 . z z B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Thực hiện các phép toán của số phức, tìm phần thực phần ảo 1. Phương pháp giải Cho hai số phức z  a  bi và z   a  bi , Bài tập: trong đó a, b, a, b   . Khi đó: Hai số phức z1  3  7i, z2  4  3i có  z  z ‘  a  a ‘  b  b  i; z1  z2   3  4    7  3 i  7  4i;  z  z ‘   a  a ‘    b  b  i ; z1  z2   3  4    7  3 i  1  10i;  zz   aa  bb   ab  ab  i; z1 z2   3.4   7  .3   3.3  4.  7   i  33  19i;  z z z  2. z z z1  3  7i  4  3i  9 37     i. z2  4  3i  .  4  3i  25 25 2. Bài tập Bài tập 1: Tất cả các số phức z thỏa mãn 2 z  3 1  i   iz  7  3i là 8 4 A. z   i. 5 5 8 4 C. z   i. 5 5 B. z  4  2i. D. z  4  2i. Hướng dẫn giải Chọn D. Ta có: 2 z  3 1  i   iz  7  3i   2  i  z  10  z  10  z  4  2i. 2i Bài tập 2: Cho số phức z  a  bi  a, b    thỏa mãn z  1  3i  z i  0 . Giá trị của S  a  3b là 7 A. S   . 3 B. S  3. C. S  3. Hướng dẫn giải Chọn B. Ta có z  1  3i  z i  0 a  1  0  a  1  b  3  a2  b2 i  0   2 2 b  3  a  b   a  1 a  1     3 b     4  S  3.  b  3 2  1  b 2 b   3   Bài tập 3. Tính C  1   1  i    1  i    1  i   …   1  i  2 3 20 Hướng dẫn giải 7 D. S  . 3 Áp dụng công thức của cấp số nhân: Ta có: C  1   1  i    1  i    1  i   …   1  i  2  1. 1  1  i  21 1  1  i   3 1  1  i  i 20  u1 . 1  q 21 1 q 21 . Ta có: 1  i   2i 21 20 10   1  i    1  i  .  1  i    2i  .  1  i   210  1  i   210  i.210 2 Do đó: C    1  210  i.210  210  1  210 i. i Bài tập 4. Tính tổng S  i  2i 2  3i 3  …  2012.i 2012 . A. 1006  1006i B. 1006  1006i C. 1006  1006i D. 1006  1006i Hướng dẫn giải Chọn D Cách 1. Ta có iS  i 2  2i 3  3i 4  …  2012i 2013  S  iS  i  i 2  i 3  …  i 2012  2012.i 2013 Dãy số i, i 2 , i 3 , …,i 2012 là một cấp số nhân có công bội q  i và có 2012 số hạng, suy ra: i  i 2  i 3  …  i 2012  i. 1  i 2012 0 1i Do đó: S  iS  2012.i 2013  2012i  S  2012i  1006  1006i 1i Cách 2. Dãy số 1,x,x 2 ,…,x 2012 là một cấp số nhân gồm 2013 số hạng và có công bội bằng x. Xét x  1, x  0 ta có: 1  x  x 2  x 3  …  x 2012  1  x 2013  1 1 x Lấy đạo hàm hai vế của (1) ta được: 1  2x  3x 2  …  2012x 2011  2012.x 2013  2013x 2012  1 1  x  2 2 Nhân hai vế của (2) cho x ta được: x  2x 2  3x 3  …  2012x 2012  2012.x 2014  2013x 2013  x 1  x  2  3 Thay x  i vào (3) ta được: S  i  2i 2  3i 2  …  2012i 2012  2012i 2014  2013i 2013  i 1  i  2 Với i 2014  1, i 2013  i Vậy S  2012  2012i  1006  1006i. 2i Bài tập 5. Cho  ,  hai số phức liên hiệp thỏa mãn A. 2  R và     2 3. Tính  . C. 2 B. 3 3  D. 5 Hướng dẫn giải Chọn C Đặt   x  iy    x  iy với x, y  R. Không giảm tính tổng quát, ta coi y  0. Vì     2 3 nên 2iy  2 3  y  3. Do  ,  hai số phức liên hợp nên .  , mà    2  3    2   do đó  3  . Nhưng ta có     3  x 3  3xy 2  3x 2 y  y 3 i nên  3   khi và chỉ khi 3x 2 y  y 3  0  y 3x 2  y 2  0  x 2  1. Vậy   x 2  y 2  1  3  2. Bài tập 6. Tìm c biết a,b và c các số nguyên dương thỏa mãn: c   a  bi   107i. 3 A. 400 B. 312 C. 198 D. 123 Hướng dẫn giải Chọn C Ta có   c   a  bi   107i  a 3  3ab 2  i 3a 2 b  b3  107 . 3  Nên c là số nguyên dương thì  3a 2 b  b 3  107  0. Hay b 3a 2  b 2  107. Vì a, b  Z  và 107 là số nguyên tố nên xảy ra: 11450  Z (loại). 3  b  107; 3a 2  b2  1  a 2   b  1; 3a 2  b2  107  a 2  36  a  6 (thỏa mãn). Vậy nên c  a 3  3ab 2  6 3  3.6.12  198. Bài tập 7. Cho số phức z có phần ảo bằng 164 và với số nguyên dương n thỏa mãn n. z  4i. Tìm zn B. n  149 A. n  14 C. 697 D. 789 Hướng dẫn giải Chọn C Đặt z  x  164i ta có: z x  164i  4i   4i  x  164i  656  4  x  n  i zn x  164i  n x  656   n  697. x  n  41 Vậy giá trị cần tìm của n là 697. Bài tập 8. Cho số phức z thỏa mãn z  A. B. 2 1  3i  .Tìm mô đun của số phức z  iz 1 i C. 5 3 D. 7 Hướng dẫn giải Chọn A Từ z ta phải suy ra được z và thay vào biểu thức z  iz rồi tìm môđun: z 1  3i   1  3i  1  i   1  1 i Suy ra: z  2 3 2  1 3 i 2 1 3 1 3 1 3 1 3  i  i.z   i 2 2 2 2 Do đó: z  iz  1  i  z  iz  2 . Dùng MTCT: Bước 1: Lưu 1  3i   A 1 i Bước 2: Tính A  iA Lời bình: Nhận thấy rằng với số phức z  a  bi bất kì ta đều có z  iz  1  i  a  b  hay z  iz z  iz  a  b   , z   . Về phương diện hình học thì luôn nằm trên trục Ox khi biểu diễn 1 i 1 i trong mặt phẳng phức. Bài tập 9. Tìm số thực m biết: z  2m im và zz  ( trong đó i là đơn vị ảo) 2 1  m  m  2i   m  1 m  0 A.  m  0 B.  m  1 m  2 C.   m  1 D.  m  1 m  1 Định hướng: Quan sát thấy z cho ở dạng thương hai số phức. Vì Vậy cần phải đơn giản z bằng cách nhân liên hiện ở mẫu. Từ z  z . Thay z và z vào zz  2m ta tìm được m 2 Hướng dẫn giải Chọn C Ta có:        i  m  1  m 2  2mi m 1  m 2  2m  i 1  m 2  2m 2 im z   2 2 1  m  m  2i  2 2 1 m  4m 1  m2     1  m   m 1  m2  i 1  m2 2 2   m 1 m 2  i 1 m 2 z m 1 m 2    i 1  m2 Như vậy: zz  m  0 2m m2  1 1 1 1     m  2     m  2   m 3  2m 2  m  0   2 2 2 2 2 1 m m  1 m2  1   Bài tập 10. Tìm phần thực của số phức: z   1  i  ,n   thỏa mãn phương trình: n log 4  n  3   log 4  n  9   3 . A. 6 B. 8 C. 8 D. 9 Hướng dẫn giải Chọn C Điều kiện: n  3,n   Phương trình log 4  n  3   log 4  n  9   3  log 4  n  3  n  9   3  n  3  n  9   43  n 2  6n  9  0  n  7  do:n  3  3 7 2 3 z   1  i    1  i  .  1  i     1  i  .  2i    1  i  .  8i   8  8i   Vậy phần thực của số phức z là 8. Bài tập 11. Cho số phức z   m  1 A.  m  1 m  3i  m    . Tìm m, biết số phức w  z2 có môđun bằng 9. 1 i m  3 B.   m  1 m  3 C.  m  1 Hướng dẫn giải Chọn D m  3 D.   m  3 Ta có: 2  m2  9   m2  9  m 2  9  6mi  3m   wz   i w  9  9m 2    9  2   2  2i     1  m 4  18m 2  81  9  m 2  9  18  m 2  9  m  3 2 2 Vậy giá trị cần tìm là m  3 Bài tập 12. Cho số phức z  im ,m   . Tìm giá trị nhỏ nhất của số thực k sao cho tồn 1  m  m  2i  tại m để z  1  k 5 1 2 A. k  52 2 B. k  C. k  5 1 2 D. k  5 2 2 Hướng dẫn giải Chọn C Ta có z  z 1  im i  mi  m 2 1 m  i mi  Xét hàm số f  m   Ta có: f  m   ʹ  2  1 1 m  i  z 1 im mi m 2  2m  2 m2  1 m 2  2m  2 m2  1 2 m2  m  1  k  0   z  1  k   m 2  2m  2  k2   m2  1 m2  1  2   f m  0  m  1  ʹ 5 2 . 1 5  3  5   2  2   Lập bảng biến thiên ta có min f  m     Yêu cầu bài toán k 2  Vậy k  3 5 3 5 5 1 k  2 2 2 5 1 là giá trị phải tìm. 2 Dạng 2. Tìm số phức liên hợp, tính môđun số phức 1. Phương pháp giải  Số phức z  a  bi có z  a  bi và Bài tập: Số phức liên hợp của số phức z   2  3i  3  2i  là z  a 2  b2 . Chú ý: Nếu z  a  bi thì A. z  12  5i. B. z  12  5i. C. z  12  5i. z  z  2a; z.z  a 2  b 2 . D. z  12  5i. Hướng dẫn giải Ta có z   2  3i  3  2i   6  5i  6i 2  12  5i  z  12  5i. Chọn D. 2. Bài tập mẫu Bài tập 1: Cho số phức z  a  bi, với a, b là các số thực thỏa mãn a  bi  2i  a  bi   4  i, với i là đơn vị ảo. Môđun của   1  z  z 2 là A.   229. B.   13. C.   229. D.   13. Hướng dẫn giải Chọn A a  2b  4 a  2 Ta có a  bi  2i  a  bi   4  i    . Suy ra z  2  3i. b  2 a  1 b  3 Do đó   1  z  z 2  2  15i. Vậy   Bài tập 2: Cho số phức z thỏa mãn z  A. w  4 2.  2    15 2 2  229 1  3i . Môđun của số phức w  i.z  z là 1 i B. w  2. C. w  3 2. D. w  2 2. Hướng dẫn giải Chọn C. Ta có: z  1  3i  1  2i. 1 i  z  1  2i  w  i.  1  2i    1  2i   3  3i.  w  3   3 2 2  18  3 2. Bài tập 3: Cho z1 , z2 là các số phức thỏa mãn z1  z2  1 và z1  2 z2  6. Giá trị của biểu thức P  2 z1  z2 là A. P  2. B. P  3. C. P  3. Hướng dẫn giải Chọn A. Đặt z1  a1  b1i; a1 , b1  , z2  a2  b2i; a2 , b2  . Suy ra a12  b12  a22  b22  1 và z1  2 z2  6  a1.a2  b1.b2  1 . 4 D. P  1. Ta có: 2 z1  z2  2a1  a2   2b1  b2  i  2 z1  z2   2a1  a2    2b1  b2  2 2 2 a 2 1 1  b12   .  a22  b22    a1a2  b1b2  4 Suy ra P  2 z1  z2  2. Dạng 3. Bài toán liên quan đến điểm biểu diễn số phức 1 Bài tập 1: Cho A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức 4  3i, 1  2i  i, . Số phức i có điểm biểu diễn D sao cho ABCD là hình bình hành là A. z  6  4i. B. z  6  3i. C. z  6  5i. D. z  4  2i. Hướng dẫn giải Chọn C. Ta có A là điểm biểu diễn của số phức 4  3i nên A  4; 3 . B là điểm biểu diễn của số phức 1  2i  i  2  i nên B  2;1 . 1  i nên C  0; 1 . i   Điều kiện để ABCD là hình bình hành là AD  BC C là điểm biểu diễn của số phức  xD  x A  xC  xB  xD  xC  x A  xB  6    D  6; 5   z  6  5i.  yD  y A  yC  yB  yD  yC  y A  yB  5 Bài tập 2: Cho tam giác ABC có ba đỉnh A, B, C lần lượt là điểm biểu diễn hình học của các số phức z1  2  i, z2  1  6i, z3  8  i. Số phức z4 có điểm biểu diễn hình học là trọng tâm của tam giác ABC . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. z4  3  2i. B. z4  5. C.  z4   13  12i. D. z4  3  2i. 2 Hướng dẫn giải Chọn D. Ta có: A  2; 1 , B  1;6  , C  8;1 . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.  G  3; 2   z4  3  2i  z4  3  2i. Bài tập 3: Cho các số phức z1 , z2 thoả mãn z1  3, z2  4, z1  z2  5 . Gọi A, B lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z1 , z2 trên mặt phẳng toạ độ. Diện tích S của OAB (với O là gốc toạ độ) là A. S  5 2. C. S  B. S  6. 25 . 2 D. S  12. Hướng dẫn giải Chọn B. Ta có: z1  OA  3, z2  OB  4, z1  z2  AB  5  OAB vuông tại O (vì OA2  OB 2  AB 2 ) 1 1  SOAB  OA.OB  .3.4  6. 2 2 Dạng 4. Tìm số phức thỏa mãn điều kiện cho trước  z  i  z  1 Bài tập 1: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn  ?  z  2i  z A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Hướng dẫn giải Chọn A. Đặt z  x  yi,  x, y    .  x 2   y  12   x  12  y 2 Ta có hệ phương trình:   x  y  1. 2 2 2 2  x   y  2   x  y Do đó z  1  i nên có một số phức thỏa mãn. Bài tập 2: Có bao nhiêu số phức z thỏa điều kiện z.z  z  2 và z  2? A. 2. B. 3. C. 1. D. 4. Hướng dẫn giải Chọn C. 2 Ta có: z.z  z  2  z  z  2  z  4  2. Suy ra điểm M biểu diễn số phức z là giao của hai đường tròn  C1  : x 2  y 2  4 và  C2  :  x  4   y 2  4. 2 Vì I1 I 2  R1  R2 ( I1 , I 2 là tâm của các đường tròn  C1  ,  C2  ) nên  C1  và  C2  tiếp xúc nhau). Suy ra: Có một số phức z thỏa mãn yêu cầu. Bài tập 3: Có bao nhiêu số phức thỏa mãn z  z  6  i   2i   7  i  z ? A. 2. B. 3. C. 1. Hướng dẫn giải Chọn B. Nhận xét: Từ giả thiết, ứng với mỗi z cho ta duy nhất một số phức z. D. 4. Đặt z  a  0, a   , khi đó ta có z  z  6  i   2i   7  i  z  a  z  6  i   2i   7  i  z   a  7  i  z  6a  ai  2i   a  7  i  z  6a   a  2  i   a  7  i  z  6a   a  2  i 2 3   a  7   1 a 2  36a 2   a  2     a 4  14a 3  13a 2  4a  4  0   a  1  a 3  13a 2  4   0. Hàm số f  a   a 3  13a 2  a  0  có bảng biến thiên: Đường thẳng y  4 cắt đồ thị hàm số f  a  tại hai điểm nên phương trình a 3  13a 2  4  0 có hai nghiệm khác 1 (do f 1  0 ). Thay giá trị môđun của z vào giả thiết ta được 3 số phức thỏa mãn điều kiện. Bài tập 4: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để có đúng hai số phức z thỏa mãn z   2m  1  i  10 và z  1  i  z  2  3i ? A. 40. B. 41. C. 165. D. 164. Hướng dẫn giải Chọn B. Giả sử z  x  yi  x, y    và M  x, y  là điểm biểu diễn số phức z. Ta có: z   2m  1  i  10  z   2m  1  i  100 2   x   2m  1    y  1  100. 2 2 Khi đó điểm biểu diễn số phức z nằm trên đường tròn  C  có tâm I  2m  1;1 , bán kính R  10. Lại có z  1  i  z  2  3i   x  1   y  1 i   x  2    3  y  i 2 2   x  1   y  1   x  2    3  y   2x  8 y  11  0. 2 2 2 2 Khi đó điểm biểu diễn số phức z cũng nằm trên đường thẳng  : 2 x  8 y  11  0 Có đúng hai số phức z thỏa mãn nếu đường thẳng  cắt đường tròn  C  tại 2 điểm phân biệt. Tức là d  I ,    10  2  2m  1  8  11 2 8 2 2  10  5  20 17 5  20 17 m . 4 4 Vậy có 41 giá trị nguyên của m để có đúng hai số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán. Bài tập 5: Cho hai số phức z1 và z2 thỏa mãn z1  3, z2  4, z1  z2  37. Hỏi có bao nhiêu số z mà z  z1  a  bi ? z2 A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Hướng dẫn giải Chọn B. Đặt z1  x  yi, z2  c  di  x, y, c, d    . Ta có: z1  3  x 2  y 2  9; z2  4  c 2  d 2  16; z1  z2  37  x 2  y 2  c 2  d 2  2 xc  2 yd  37  xc  yd  6. Lại có: z1 x  yi xc  yd yc  xd 3 3   2  2 i    bi. Suy ra a   . 2 2 8 8 z2 c  di c  d c d Mà z z1 3 9 9 27 3 3  1   a2  b2  a2  b2   b2   a2  b z2 z2 4 16 16 64 8 Vậy có hai số phức z thỏa mãn. Bài tập 6: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để tồn tại duy nhất số phức z thỏa mãn z.z  1 và z – 3 + i = m . Số phần tử của S là A. 2. B. 4. C. 1. D. 3. Hướng dẫn giải Chọn A. Dễ thấy m  0. Đặt z  a  bi; a, b   ta có hệ phương trình. a 2  b 2  1  2  2 2  a  3   b  1  m   Phương trình a 2  b 2  1 là đường tròn tâm O, bán kính R  1 .  Phương trình a  3  2   b  1  m2 là đường tròn tâm I 2  Có duy nhất số phức thỏa mãn đề bài a 2  b 2  1  có nghiệm duy nhất  Hệ phương trình  2 2 2  a  3   b  1  m    3; 1 , bán kính R  m .  Hai đường tròn này tiếp túc với nhau m  1 (thỏa mãn m  0 ).  OI  m  1  m  1  2   m  3 Vậy, có hai số thực thỏa mãn. Bài tập 7: Có tất cả bao nhiêu số phức z thỏa mãn z  1 và A. 3. B. 4. z z   1. z z C. 6. D. 8. Hướng dẫn giải Chọn D. Đặt z  a  bi,  a, b    . Ta có z  a 2  b 2  1  a 2  b 2  1. 2  a  bi    a  bi  z z z2  z     2a 2  2b 2  1. 2 z z z.z z 2 2 a 2  b 2  1 a 2  b 2  1 a 2  b 2  1   Ta có hệ:  2   2 2 1 hoặc  2 2 1 2 a  b    2a  2b  1 a  b  2  2  2 3  2 1 a  4  a  4 hoặc   . b 2  1 b 2  3   4 4  1 3  1 3  3 1  3 1   Suy ra  a; b    ;  ;   ;   ;    .  ;   ;   ;  2   2 2   2 2  2 2    2 Vậy có 8 cặp số  a; b  do đó có 8 số phức thỏa mãn. Dạng 5: Bài toán tập hợp điểm biểu diễn số phức 1. Phương pháp giải Sử dụng các định nghĩa, tính chất hình học đã biết. Bài tập: Cho trước các điểm cố định I , F1 , F2 ; F1 F2  2c  c  0  Trên mặt phẳng Oxy tập hợp các điểm Tập hợp các điểm M thoả mãn MI  R  R  0  là biểu diễn số phức z thoả mãn z  2  5i  4 là đường tròn tâm đường tròn tâm I bán kính R. Tập hợp các điểm M thoả mãn MF1  MF2  2a  a  c  là elip có hai tiêu điểm là F1 , F2 . Tập hợp các điểm M thoả mãn MF1  MF2 là đường I  2;5  , bán kính R  2. trung trực của đoạn thẳng F1 F2 . 2. Bài tập   Bài tập 1: Xét các số phức z thỏa mãn  z  6  8  z.i là số thực. Biết rằng tập hợp tất cả các điểm biểu diễn của z là một đường tròn, có tâm I  a; b  và bán kính R. Giá trị a  b  R bằng A. 6. B. 4. C. 12. Chú ý: Trong mặt phẳng Oxy ,  x  a   y  b 2 D. 24. 2  R 2 là phương trình đường tròn có tâm I  a; b  và bán kính R  0 . Hướng dẫn giải Chọn B. Đặt z  x  yi  x, y    .   Vì  z  6  8  z.i   x  6   yi   y  8   xi  là số thực nên x  x  6   y  y  8   0   x  3   y  4   25. 2 2 Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn của z là đường tròn có tâm I  3; 4  , bán kính R  5. Vậy a  b  R  4. Bài tập 2: Cho số phức z thỏa mãn z  3  z  3  10 . Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là A. Một parabol. B. Một đường tròn. C. Một elip. D. Một hypebol. Hướng dẫn giải Chọn C. Gọi z  x  yi  x, y    thì z  3  z  3  10   x  3  yi   x  3  yi  10(*) Gọi M là điểm biểu diễn số phức z và các điểm F1  3;0  , F2  3; 0  . Dễ thấy F1 F2  6  2c Khi đó: z  3  z  3  10  MF1  MF2  10  2a. Vậy tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là elip có hai tiêu điểm F1 , F2 , độ dài trục lớn là 2a  10 Bài tập 3: Cho số phức z thỏa mãn z  10 và w   6  8i  z  1  2i  . Tập hợp các điểm biểu 2 diễn số phức w là đường tròn có tâm là A. I  3; 4  . B. I  3; 4  . C. I 1; 2  . Hướng dẫn giải Chọn A. D. I  6;8  . Ta có w   6  8i  z  1  2i  2  w   3  4i    6  8i  z  w   3  4i   62  82 z  w   3  4i   10.10  w   3  4i   100 Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức w là đường tròn  C  có tâm I  3; 4  . Bài tập 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm biểu biễn các số phức z thỏa mãn z  1  2i  z  1  2i là đường thẳng có phương trình A. x  2 y  1  0. B. x  2 y  0. C. x  2 y  0. D. x  2 y  1  0. Hướng dẫn giải Chọn C. Đặt z  x  yi  x, y     z  x  yi. Gọi M  x; y  là điểm biểu diễn của số phức z. Ta có: z  1  2i  z  1  2i  x  yi  1  2i  z  yi  1  2i   x  1   y  2  i   x  1   2  y  i   x  1   y  2  2 2   x  1   2  y  2 2  x2  2x  1  y2  4 y  4  x2  2x  1  y2  4 y  4  x  2 y  0. Vậy tập hợp các điểm biểu biễn các số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán là đường thẳng có phương trình là x  2 y  0. Bài tập 5. Giả sử M(z) là điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z. Tập hợp những điểm M(z) thỏa mãn điều 2  z  i  z là A. Đường thẳng 4x  2y  3  0 B. Đường thẳng 4x  2y  3  0 A. Đường thẳng x  2y  3  0 D. Đường thẳng x  9y  3  0 Hướng dẫn giải Chọn A Cách 1. Đặt z  x  yi;  x, y    . là số phức đã cho và M  x; y  là điểm biểu diễn của z trong mặt phẳng phức Ta có z  2  i  z   x  2   yi  x   y  1 i  x  2 2  y 2  x 2   y  1 2  4x  2y  3  0 . Vậy tập hợp điểm M cần tìm là đường thẳng 4x  2y  3  0 Cách 2. z  2  i  z  z   2   i  z  *  Đặt z  x  yi;  x, y    . là số phức đã cho và M  x; y  là điểm biểu diễn của z trong mặt phẳng phức, Điểm A biểu diễn số ‐2 tức A  2; 0  và điểm B biểu diễn số phức i tức B  0;1 Khi đó  *   MA  MB . Vậy tập hợp điểm M cần tìm là đường trung tực của AB: 4x  2y  3  0 . Bài tập 6. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện z  2i  z  1  i là A. Đường thẳng x  y  3  0 B. Đường thẳng x  2y  3  0 A. Đường thẳng x  2y  3  0 D. Đường thẳng x  y  1  0 Hướng dẫn giải Chọn D Giả sử z  x  yi (x, y  ) , điểm M  x; y  biểu diễn z. Theo bài ra ta có: x   y  2  i   x  1   y  1  i  x 2   y  2   2  x  1   y  1  2 2  4y  4  2x  2y  2  x  y  1  0 Suy ra M thuộc đường thẳng có phương trình x  y  1  0 . Vậy tập hợp điểm biểu diễn các số phức z là đường thẳng có phương trình x  y  1  0 . Bài tập 7. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện 5  1  i  z  3  2i   1  7i  z  i là A. Đường thẳng B. Đường tròn A. Đường elip D. Đường Parabol Hướng dẫn giải Chọn A Nhận thấy 5 1  i  5 2  1  7i Ta có 5  1  i  z  3  2i   1  7i  z  i  5 1  i  . z   z 3  2i i  1  7i . z  5  5i 1  7i 3  2i i 1 1 7 1  z  z  i  z  i 5  5i 1  7i 10 2 50 50  1 1  7 1  Vậy tập hợp M là đường trung trực AB, với A   ;  , B  ;  .  10 2   50 50  Bài tập 8. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện z  z  3  4 là A. Hai đuờng thẳng x  1 7 , x 2 2 B. Hai đuờng thẳng x   , x   1 2 A. Hai đuờng thẳng x  1 7 , x 2 2 D. Hai đuờng thẳng x   , x  1 2 7 2 7 2 Hướng dẫn giải Chọn A Đặt z  x  yi,  x, y    Lúc đó: z  z  3  4  x  yi  x  yi  3  4  2x  3  4  4x 2  12x  9  16  1 x  2  4x 2  12x  7  0   x   7  2 1 2 Vậy tập hợp điểm M là hai đường thẳng x= ; x   7 song song với trục tung. 2 Bài tập 9. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện z  z  1  i  2 là A. Hai đuờng thẳng y  1 3 1 3 ;y  2 2 B. Hai đuờng thẳng y  1 3 1 3 ;y  2 2 A. Hai đuờng thẳng y  1 5 1 3 ;y  2 2 D. Hai đuờng thẳng y  1 5 1 3 ;y  2 2 Hướng dẫn giải Chọn B Đặt z  x  yi,  x, y    Lúc đó: z  z  1  i  2  x  yi  x  yi  1  i  2  1   2y  1 i  2  1   2y  1  2  1  4y 2  4y  1  4  4y 2  4y  2  0 2  1 3 y  2 2  2y  2y  1  0    1 3 y   2 Vậy tập hợp điểm M là hai đường thẳng y  1 3 1 3 ;y  song song với trục hoành. 2 2 Bài tập 10. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện 2 z  1  z  z  2 là A. Hai đuờng thẳng x  0 , y  0 . B. Hai đuờng thẳng x  0 , y  2 . C. Hai đuờng thẳng x  0 , x  2 . D. Hai đuờng thẳng x  2 , y  2 . Hướng dẫn giải Chọn C Gọi M  x; y  là điểm biểu diễn số phức z  x  yi ,  x, y    thỏa 2 z  1  z  z  2  2 x  yi  1  x  yi   x  yi   2  2 x  1  yi  2  2yi 2  x  1 2  y2   2    2y  2 2 x  0  x 2  2x  0    x  2 Vậy tập hợp các điểm M cần tìm là hai đường thẳng x  0 , x  2 . Bài tập 11. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện z  1  i  2 là A. Đuờng thẳng x  y  2  0 B. Đường tròn  x  1   y  1  4 C. Đường thẳng x  y  2  0 D. Đường tròn tâm I  1; 1 và bán kính 2 R  2. Hướng dẫn giải Chọn D Xét hệ thức: z  1  i  2 Đặt z  x  yi,  x, y    . Khi đó: (1)   x  1   y  1  2 2  2   x  1   y  1   4 2 2 2 Vậy, tập hợp những điểm M(z) thỏa mãn hệ thức (1) là đường tròn tâm I  1; 1 và bán kính R  2. Bài tập 12. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện z  3 là z 1 A. Đuờng tròn x 2  y 2  18 9 y 0 8 8 B. Đường tròn x 2  y 2  18 9 y 0 8 8 C. Đường tròn x 2  y 2  18 9 y 0 8 8 D. Đường tròn tâm I  0;  và bán kính 8  9   1 R . 8 Hướng dẫn giải Chọn B Đặt z  x  yi,  x, y    . Ta có z 18 9  3  z  3 z  1  x2  y2  y   0 z 1 8 8  9 Vậy, tập hợp những điểm M(z) thỏa mãn hệ thức (1) là đường tròn tâm I  0;  và bán  8 3 8 kính R  . Bài tập 13. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện z  3  2i  2z  1  2i là 2 3 4 3 8 3 B. Đường tròn x 2  y 2  x  y   0 2 3 2 3 4 3 8 3 D. x 2  y 2  x  y   0 A. Đuờng tròn x 2  y 2  x  y   0 2 3 C. Đường tròn x 2  y 2  x  y   0 4 3 4 3 8 3 Hướng dẫn giải Chọn C Đặt z  x  yi;  x, y    . Ta có: z  3  2i  2z  1  2i   x  3    y  2  i   2x  1   2y  2  i   x  3    y  2    2x  1   2y  2  2  3x 2  3y 2  2x  4y  8  0 2 2 8 3 Suy ra: Tập hợp các điểm biểu diễn z là phương trình đường tròn (C): 2 4 8 x2  y2  x  y   0 . 3 3 3 Bài tập 14. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện z  i  1  i  z là A. Đuờng tròn x 2   y  1  2 B. Đường tròn x 2   y  1  2 2 2 C. Đường tròn  x  1   y  1  2 2 D.  x  1   y  1  2 2 2 2 Hướng dẫn giải Chọn A Gọi M  x; y  là điểm biểu diễn của số phức z  x  yi;  x, y    . Suy ra z  i  x 2   y  1  1  i  z   1  i  x  yi   2 x  y  x  y 2 2 Nên z  i  1  i  z  x 2   y  1   x  y    x  y   x 2   y  1  2 2 2 2 2 Vậy tập hợp điểm M là đường tròn x 2   y  1  2 . 2 Bài tập 15. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện z  4i  z  4i  10 là A. Đuờng elip x2 y2  1 9 16 B. Đuờng elip x2 y2  1 16 9 C. Đuờng elip x2 y2  1 4 3 D. Đuờng elip x2 y2  1 9 4 Hướng dẫn giải Chọn A Xét hệ thức: Đặt z  4i  z  4i  10 z  x  yi,  x, y    . Lúc đó (4)  x 2   y  4   x 2   y  4   10  2 2 x2 y2  1 9 16 Vậy tập hợp điểm M là đường elip có hai tiêu điểm là F1 (0; 4); F2 (0; 4) và độ dài trục lớn là 16. Bài tập 16. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện z  2  z  2  5 là A. Đuờng tròn B. Đuờng elip C. Đuờng parabol D. Đuờng thẳng Hướng dẫn giải Chọn B Đặt z  x  yi;  x, y    . Ta có: z  2  z  2  5   x  2   yi   x  2   yi  5  x  2 2  y2  x  2 2  y 2  5  1 Xét A  2; 0  ; B  2; 0  ; I  x; y   IA  IB  5 Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z chính là tập hợp các điểm I thỏa mãn IA  IB  5 , đó chính là một elip có tiêu cự c  AB IA  IB 5  2;a   2 2 2 Bài tập 17. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện 2  z  z  2 là A. Tập hợp các điểm là nửa mặt phẳng ở bên phải trục tung B. Tập hợp các điểm là nửa mặt phẳng ở bên trái trục tung C. Tập hợp các điểm là nửa mặt phẳng phía trên trục hoành D. Tập hợp các điểm là nửa mặt phẳng phía dưới trục hoành Hướng dẫn giải Chọn A Xét hệ thực: 2  z  z  2  1 . Đặt z  x  yi,  x, y    . Khi đó: (3)  8x  0 Tập hợp những điểm M(z) thỏa mãn điều kiện (1) là nửa mặt phẳng ở bên phải trục tung, tức các điểm  x,y  mà x  0 Bài tập 18. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện 1  z  1  i  2 là A. Tập hợp các điểm là hình tròn có tâm I 1; 1 , bán kính 2 B. Tập hợp các điểm là hình vành khăn có tâm tại A  1;1 và các bán kính lớn và nhỏ lần lượt là 2; 1 C. Tập hợp các điểm là hình tròn có tâm I  1; 1 , bán kính 1 D. Tập hợp các điểm là hình vành khăn có tâm tại I 1; 1 và các bán kính lớn và nhỏ lần lượt là 2; 1 Hướng dẫn giải Chọn 18 B Xét hệ thực: 1  z  1  i  2  2  . Đặt z  x  yi,  x, y    . Khi đó:  2   1   x  1   y  1  4 2 2 Vậy tập hợp những điểm M(z) thỏa mãn điều kiện (2) là hình vành khăn có tâm tại A  1;1 và các bán kính lớn và nhỏ lần lượt là 2; 1 Bài tập 19. Tìm tất cả các điểm của mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z sao cho là số thực. A. Tập hợp điểm gồm hai trục tọa độ B. Tập hợp điểm là trục hoành C. Tập hợp điểm gồm hai trục tọa độ bỏ đi điểm A(0;1) D. Tập hợp điểm là trục tung, bỏ đi A(0;1) Hướng dẫn giải Chọn C Đặt z  x  yi,  x, y    . Ta có: zi zi zi zi  x   y  1 1  y    x  y  1  x  1  y   i x2  1  y  2 là số thực  x  y  1  x 1  y   0  xy  0. Mặt khác: x 2   y  1  0  cả mặt phẳng phức bỏ đi điểm  0;1 2 zi zi x  0  . Vậy các điểm của mặt phẳng phức cần tìm gồm hai trục tọa Tóm lại: ycbt    y  0  x,y  0;1     độ bỏ đi điểm A(0;1) Bài tập 14. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z sao cho u  z  2  3i là một số thuần zi ảo. A. Đường tròn tâm I  1; 1 bán kính R  5 B. Đường tròn tâm I  1; 1 bán kính R  5 trừ đi hai điểm A  0;1 ; B  2; 3  . C. Đường tròn tâm I  1;1 bán kính R  5 D. Đường tròn tâm I  1;1 bán kính R  5 trừ đi hai điểm A  0;1 ; B  2; 3  . Hướng dẫn giải Chọn B Đặt z  x  yi,  x, y    Ta có: u 2 2 z  2  3i  x  2   y  3  i   x   y  1 i  x  y  2x  2y  3  2  2x  y  1 i   2 2 zi x 2   y  1 x 2   y  1  x1 2  y1 2  5       x  y  2x  2y  3  0  u là số thuần ảo     x, y    0;1   2x  y  1  0  x, y    2; 3  2 2 Vậy tập hợp điểm z là đường tròn tâm I  1; 1 bán kính R  5 trừ đi hai điểm A  0;1 ; B  2; 3  . Bài tập 21. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z  x  yi thỏa mãn điều kiện x  y  1 là A. Ba cạnh của tam giác B. Bốn cạnh của hình vuông C. Bốn cạnh của hình chữ nhật D. Bốn cạnh của hình thoi Hướng dẫn giải Chọn B Gọi M là điểm biểu diễn số phức z. x  y  1  x  y  1 Ta có: x  y  1   x  y  1 x  y  1 khi x  0,y  0 khi x  0,y  0 khi x  0,y  0 khi x  0,y  0 Vậy tập hợp điểm M là 4 cạnh của hình vuông. Bài tập 22. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn zi zi là số thuần ảo.  z1 z1  1  1  1  1  1  1  1  1 A. Đường tròn tâm I   ; 0  bán kính R  2  2  B. Đường tròn tâm I   ; 0  bán kính R  trừ đi hai điểm  1; 0  . 2  2  C. Đường tròn tâm I   ; 0  bán kính R  4  2  D. Đường tròn tâm I   ; 0  bán kính R  trừ đi hai điểm  0;1 . 4  2  Hướng dẫn giải Chọn B Giả sử z  x  yi và điểm biểu diễn số phức z là M  x; y  .     2 2 z  i z  i 2 z  z  z  i z  z  2i 2 x  y  2x  2  x  1 i    Ta có: 2 2 z1 z1 z zz1  x  1  y 2 2   2   2 x 2  y 2  2x  0 1 1 2  zi zi   x  y    là số thuần ảo    2 4 2 z1 z1  x  1  y 2  0    x; y    1; 0   1 2 Vậy tập hợp điểm M là đường tròn  x    y 2  bỏ đi điểm  1; 0  . 2 4  1 Bài tập 23. Tìm quỹ tích các điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn cho số phức w  iz  1 ,  biết z là số phức thỏa mãn: z  2i  1  3 A. Đường tròn  C  :  x  3    y  1  4 2 2 8. B. Đường tròn  C  :  x  3    y  1  2 2 2 C. Đường tròn  C  :  x  3    y  1  4 2 2 D. Đường tròn  C  :  x  3    y  1  4 2 2 Hướng dẫn giải Chọn C  3 Ta có z 3  z nên z  2i  1  3    2 3  z  2i  1  2 *  Đặt w  x  yi Ta lại có w  iz  1  z  i  iw  z  i  i.w . (*) trở thành: iw  3i  1  2   y  1   x  3  2 2  2   y  1   x  3   4 2 2 Vậy quỹ tích các điểm biểu diễn w trên mặt phẳng phức là đường tròn  C  :  x  3    y  1 2 2 4. Bài tập 24. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức w thỏa mãn: w  z  2  i , biết z là số phức thỏa z  1  2i  1 . A. Đường tròn tâm I 1; 2  bán kính R  2 B. Đường tròn tâm I  2;1 bán kính R  2 C. Đường tròn tâm I  1;1 bán kính R  1 D. Đường tròn tâm I  3; 3  , bán kính R  1 . Hướng dẫn giải Chọn D Gọi w  x  yi  x, y     M  x; y  là điểm biểu diễn cho số w trên hệ trục Oxy. z  w  2  i  x  2   y  1 i  z  x  2   1  y  i z  1  2i  1  x  3   3  y  i  1   x  3    y  3   1 2 2 Vây tập hợp điểm biểu diễn số phức w là một đường tròn tâm I  3; 3  , bán kính R  1 . Bài tập 25. Trong mặt phẳng phức Oxy, tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức w   1  2i  z  3 biết z là số phức thỏa mãn: z  2  5 . A. Đường tròn tâm I 1; 2  bán kính R  5 B. Đường tròn tâm I  2;1 bán kính R  5 C. Đường tròn tâm I 1; 4  bán kính R  5 5 . D. Đường tròn tâm I  1; 3  , bán kính R  5 . Hướng dẫn giải Chọn C a  1   b  4 i Theo giả thiết: z  2  5    a  1   b  4  2 2 1  2i  5  a  1   b  4  i  5 1  2i  5 5   a  1   b  4   125 2 2 Vậy tập hợp điểm M thỏa mãn đề bài là đường tròn tâm I 1; 4  bán kính R  5 5 .   Bài tập 26. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức zʹ  1  i 3 z  2 với z  1  2 .   A. Hình tròn tâm I 3; 3 , R  4 .   B. Đường tròn tâm I 3; 3 , R  4 . C. Hình tròn tâm I  1; 4  bán kính R  5 . D. Đường tròn tâm I  1; 3  , bán kính R  5 . Hướng dẫn giải Chọn A z  a  bi  a, b    zʹ  x  yi  x, y    Giả sử ta có  Khi đó:      zʹ  1  i 3 z  2  x  yi  1  i 3  a  bi   2  x  yi  a  b 3  2  b  a 3  xy 3 2 a   x  a  b 3  2  4   y  b  a 3 3x  y2 3    b  4 Theo bài ra ta có:  z  1  2   a  1   xy 3 6 2 2   2 2 xy 3 2   3x  y  2 3  b 4  1    4     4 4     2 3x  y  2 3  2  64  4x 2  4y 2  24x  8 3y  16  0   x 2  y 2  6x  2 3y  4  0   x  3   y  3 2  2  16   Vậy quỹ tích các điểm biểu diễn số phức z’ là hình tròn tâm I 3; 3 , R  4 .   Bài tập 27. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn trong mặt phẳng phức w  1  i 3 z  2 biết rằng số phức z thỏa mãn z  1  2.   A. Hình tròn tâm I 3; 3 , R  4 . B. Đường tròn tâm I  3; 3  bán kính R  4   C. Đường tròn tâm I 3; 3 bán kính R  4 .   D. Hình tròn tâm I 3; 3 bán kính R  4. Hướng dẫn giải Chọn D Đặt z  a  bi,  a, b    và w  x  yi,  x, y    Ta có: z  1  2   a  1  b2  4  *  2 Từ     w  1  i 3 z  2  x  yi  1  i 3  a  bi   2  x  a  b 3  2 x  3  a  1  b 3    y  3a  b  y  3  3  a  1  b 2 2 2   x  3    y  3   4  a  1  b2   16  Do (*)      Vậy tập hợp các điểm cần tìm là hình tròn tâm I 3; 3 bán kính R  4. 2 Bài tập 28. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức zʹ  2z  3  i với 3z  i  zz  9 .   A. Hình tròn tâm I 3; 3 , R  4 . B. Đường tròn tâm I  3; 3  bán kính R  4   C. Đường tròn tâm I 3; 3 bán kính R  4 .  7 73 D. Hình tròn tâm I  3;   , R  4 4  Giải Chọn D z  a  bi  a, b    zʹ  x  yi  x, y    Giả sử ta có   x3 a  2  x  2a  3 Khi đó zʹ  2x  3  i  x  yi   2a  3    2b  1 i     y  2b  1  b  y  1  2 Theo bài ra ta có: 3z  i  zz  9  9a 2   3b  1  a 2  b2  9  4a 2  4b 2  3b  4  0 2 2   x  3    y  1 2 2 2 2  3 7 73   y  1  4  0   x  3    y    2 4 16   7 73 Vậy quỹ tích các điểm biểu diễn số phức z’ là hình tròn tâm I  3;   , R  4 4  Bài tập 29. Cho các số phức z thỏa mãn z  4 . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức w  (3  4i ) z  i là một đường tròn. Tính bán kính r của đường tròn đó. A. r  4. B. r  5. C. r  20. D. r  22. Hướng dẫn giải Chọn C Gọi w  a  bi , ta có w  a  bi  (3  4i ) z  i  z   a  (b  1)i  a  (b  1)i  (3  4i )  3  4i 9  16i 2 (3a  4b  4) 2  (3b  4a  3) 2 3a  4b  4 (3b  4a  3)  .i  z  25 25 25 Mà z = 4 nên  (3a  4b  4) 2  (3b  4a  3) 2  1002  a 2  b 2  2b  399 Theo giả thiết, tập hợp các điểm biểu diễn các số phức w  (3  4i ) z  i là một đường tròn nên ta có a 2  b 2  2b  399  a 2  (b  1) 2  400  r  400  20
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments

Bài viết tương tự

Scroll to Top