Các bài toán vận dụng cao dãy số – Nguyễn Minh Tuấn, Nguyễn Nhật Linh

` CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN Các bài toán VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ HAPPY NEW YEAR 2019 TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC LỜI GIỚI THIỆU Nhân dịp năm mới 2019 thay mặt nhóm quản trị viên Tạp chí và tƣ liệu toán học , lời đầu tiên xin gửi tới các bạn đọc , các thầy cô theo dõi fanpage một lời chúc sức khỏe, mong rằng sang năm mới các thầy cô sẽ đạt đƣợc nhiều thành công hơn trong công việc, các bạn học sinh sẽ thực hiện ƣớc mơ nguyện vọng vào các trƣờng Đại học của mình. Chuyên đề “CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ” đƣợc 2 thành viên trong nhóm Chinh Phục Olympic Toán sƣu tầm và biên soạn với mục đích chào xuân năm mới cũng nhƣ là một món quà với các bạn theo dõi page trong suốt 1 năm vừa qua và đồng thời ủng hộ bọn mình phát triển tới nay, xin gửi lời cảm ơn tới tất cả mọi ngƣời. Nhƣ các bạn đã biết, trƣớc kia thì dãy số tuy không phải là một phần quan trọng trong kì thi THPT Quốc Gia, kì thi đại học nhƣng trong 2 năm gần đây vấn đề này đã đƣợc các trƣờng kết nối với các mảng khác nhƣ hàm số, mũ – logarit, tích phân… và cũng gây ra không ít những bỡ ngỡ, những sự lúng túng cho các bạn lần đầu gặp những bài nhƣ thế. Vì vậy trong chủ đề này, chúng mình và các bạn sẽ cùng tìm hiểu các bài toán liên quan tới chúng, hy vọng phần nào sẽ giúp mọi ngƣời có kinh nghiệm và hƣớng giải quyết khi gặp các bài toán nhƣ thế này. Để hoàn thành đƣợc chuyên đề này bọn mình cũng đã sƣu tầm và tham khảo, đồng thời cũng nhận đƣợc sự giúp đỡ của các thầy cô, xin gửi lời cảm ơn tới  NHÓM STRONG TEAM TOÁN VD – VDC.  ANH PHẠM MINH TUẤN – ADMIN NHÓM PI  CÁC THÀNH VIÊN TRONG NHÓM CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN Mặc dù chuyên đề đƣợc biên soạn cẩn thận tuy nhiên sẽ không thể tránh khỏi những thiếu sót, mọi ý kiến thắc mắc vui lòng gửi về 1 trong 2 địa chỉ sau NGUYỄN MINH TUẤN Sinh viên K14 – Đại học FPT Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/tuankhmt.fpt NGUYỄN NHẬT LINH Chuyên Thái Bình Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/profile.php?id=100009880805520 MỘT LẦN NỮA, XIN GỬI LỜI CẢM ƠN MỌI NGƢỜI ĐÃ THEO DÕI FANPAGE TRONG SUỐT THỜI GIAN QUA, HY VỌNG CÁC BẠN SẼ TIẾP TỤC ỦNG HỘ BỌN MÌNH PHÁT TRIỂN HƠN NỮA THANK YOU! HAPPY NEW YEAR! TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ Nguyễn Minh Tuấn – Nguyễn Nhật Linh CÂU CHUYỆN MỞ ĐẦU Trước khi cùng nhau đi vào tìm hiểu các bài toán dãy số của chuyên đề này, bọn mình muốn gửi tới các bạn một bài viết rất hay về nhà bác học Newton để phần nào làm giảm bớt độ nhạt nhẽo của chuyên đề, bài viết mang tên “ 10 phát minh nổi tiếng của Newton” Mời các bạn cùng thưởng thức! Nhắc tới nhà phát minh vĩ đại Isaac Newton, chắc chắn ai cũng nghĩ tới câu chuyện “quả táo rơi vào đầu” đã làm nên thuyết vạn vật hấp dẫn. Không chỉ vậy, ông còn sở hữu nhiều phát minh vĩ đại giúp thay đổi thế giới: ba định luật chuyển động, vi phân, tích phân, giả thuật kim… Tại nhà thờ Westminster Abbey, một dòng chữ bằng tiếng Latin đã được khắc lên trên bia mộ của Newton “Hic depositum est, quod mortale fult Isaac Newtoni” với ý nghĩa là “Một con người đã từng tồn tại và trang hoàng cho sự phát triển của nhân loại”. Lời ca tụng trên không hề quá mức đối với những di sản mà thiên tài Newton đã để lại cho loài người. Cùng điểm lại 10 phát minh quan trọng và nổi tiếng nhưng cũng hết sức thú vị Của Isaac Newton trong suốt sự nghiệp sáng tạo của ông mà có thể chúng ta ít khi chú ý đến. I. Ý TƯỞNG CỦA NEWTON KHẨU PHÁO BẮN VÀO QUỸ ĐẠO. Đối với một số ý kiến xuyên tạc sẽ cho rằng làm sao một người đàn ông đang ngáy ngủ và một quả táo vô tình rơi xuống lại làm nên một phát minh vĩ đại đến như vậy? Kết quả của quá trình “chờ sung rụng” chăng? Không hề, điều đó chỉ đến với một bộ óc thiên tài luôn suy nghĩ về các quy luật vật lý mà cụ thể là lực hấp dẫn. Không chỉ dừng lại ở trọng lực mà Newton còn đưa ra nhiều ý tưởng khác đi trước thời đại. Trong định luật hấp dẫn phổ quát, Newton đã diễn tả đến một ngọn núi khổng lồ mà đỉnh của nó là khoảng trên bầu khí quyển của Trái Đất, trên đỉnh có đặt một khẩu pháo vô cùng lớn có thể bắn một viên đạn theo chiều ngang ra ngoài không gian. Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Chinh phục olympic toán | 1 CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ Ý tưởng của Newton khẩu pháo bắn vào quỹ đạo Newton không hề có ý định tạo ra một loại siêu vũ khí nhằm bắn những kẻ xâm lược ngoài hành tinh! Khẩu pháo của ông là một ý tưởng thí nghiệm nhằm giải thích làm thế nào để đưa một vật thể vào một quỹ đạo quay quanh Trái Đất. Nếu lực hấp dẫn tác động lên quá pháo, nó sẽ bay theo đường tùy thuộc vào vận tốc ban đầu của nó . Tốc độ thấp, nó chỉ đơn giản là sẽ rơi trở lại trên Trái đất. Nếu tốc độ là tốc độ quỹ đạo, nó sẽ đi lòng vòng xung quanh Trái đất theo một quỹ đạo tròn cố định giống như mặt trăng. Tốc độ cao hơn so với vận tốc quỹ đạo, nhưng không đủ lớn để rời khỏi trái đất hoàn toàn (thấp hơn vận tốc thoát) nó sẽ tiếp tục xoay quanh Trái đất dọc theo một quỹ đạo hình elip. Tốc độ rất cao, nó thực sự sẽ rời khỏi quỹ đạo và bay ra ngoài vũ trụ. Thí nghiệm trên đã được trình bày trong Principia Mathematica vào năm 1687, theo đó, tất cả mọi hạt đều gây ra một lực hấp dẫn và bị hấp dẫn bởi những vật thể khác. Lực tương tác này phụ thuộc vào trọng lượng và khoảng cách của hạt hay vật thể đó. Quy tắc này chi phối tất cả các hiện tượng từ mưa rơi cho đến quỹ đạo của các hành tinh. Đây chính là tác phẩm nổi tiếng với nhiều đóng góp quan trọng cho vật lý học cổ điển và cung cấp cơ sở lý thuyết cho du hành không gian cũng như sự phát triển của tên lửa sau này. Sau đó, Einstein cùng các nhà vật lý thế kỷ 16, 17 đã tiếp tục củng cố học thuyết của Newton để cho chúng ta những hiểu biết về lực hấp dẫn như ngày nay. II. CÁNH CỬA DÀNH CHO CHÓ MÈO. Không chỉ có tầm nhìn mang tính vĩ mô như khẩu pháo không gian và phát hiện ra mối liên hệ giữa vạn vật trong vũ trụ, Newton cũng dùng trí tuệ tuyệt vời của mình để giải quyết những vấn đề thường thức trong đời sống hàng ngày. Điển hình là phương pháp 2 | Chinh phục olympic toán Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương – Newton TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN giúp các mèo không cần cào cấu vào cánh cửa nhờ vào tạo ra một lối đi dành riêng cho chúng. Như chúng ta đã biết, Newton không kết hôn và cũng có ít các mối quan hệ bạn bè, đổi lại ông chọn mèo và chó làm bầu bạn trong căn phòng của của mình. Hiện nay, có nhiều giả thuyết và lập luận cho rằng ông dành nhiều mối quan tâm đến những “người bạn” bé nhỏ của mình. Một số sử gia đương đại cho rằng Newton là một người rất yêu động vật. Một số còn chỉ ra rằng ông đặt tên cho một con chó của mình là Diamond (kim cương). Dù vậy, một số nhà sử học vẫn nghi ngờ về giả thuyết trên. Một câu chuyện kể rằng trong quá trình nghiên cứu của Newton tại Đại học Cambridge, các thí nghiệm của ông liên tục bị gián đoạn bởi một con mèo của ông luôn cào vào cánh cửa phòng thí nghiệm gây ra những âm thanh phiều toái. Để giải quyết vấn đề, ông đã mời một thợ mộc tại Cambridge để khoét 2 cái lỗ trên cửa ra vào phòng thí nghiệm: 1 lỗ lớn dành cho mèo mẹ và 1 lỗ nhỏ dành cho mèo con! Dù câu chuyện trên là đúng hay sai thì theo các ghi chép đương thời sau khi Newton qua đời thì có một sự thật hiển nhiên rằng người ta đã tìm thấy 1 cánh cửa với 2 cái lỗ tương ứng với kích thước của mèo mẹ và mèo con. Cho tới ngày nay vẫn còn nhiều tranh cãi xung quanh câu chuyện trên. Tuy nhiên, nhiều ý kiến vẫn cho rằng chính Newton mới là tác giả của cánh cửa dành cho chó mèo vẫn còn được sử dụng ngày nay. III. BA ĐỊNH LUẬT CHUYỂN ĐỘNG CỦA NEWTON. Trong khi các sử gia vẫn còn tranh cãi về những cánh cửa dành cho thú cưng có phải là của Newton hay không thì không một ai có thể phủ nhận đóng góp của Newton cho hiểu biết của con người trong vật lý học ngày nay. Tầm quan trọng tương đương với việc phát hiện ra định luật vạn vật hấp dẫn, 3 định luật về chuyển động được Newton giới thiệu vào năm 1687 trong tác phẩm Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (Các nguyên lý toán học trong triết học tự nhiên). 3 định luật của ông đã đặt nền móng vững chắc cho sự phát triển của cơ học cổ điển (còn gọi là cơ học Newton) trong thời gian sau này. Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Chinh phục olympic toán | 3 CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ 3 định luật của ông được miêu tả ngắn gọn như sau: 1. Nếu một vật không chịu tác dụng của lực nào hoặc chịu tác dụng của các lực có hợp lực bằng không thì nó giữ nguyên trạng thái đứng yên hoặc chuyển động thẳng đều. 2. Gia tốc của 1 vật cùng hướng với lực tác dụng lên vật. Độ lớn của gia tốc tỷ lệ thuận với độ lớn của lực và tỉ lệ nghịch với khối lượng của vật. Ba định luật chuyển động của Newton 3. Trong mọi trường hợp, khi vật A tác dụng lên vật B một lực, thì vật B cũng tác dụng lại vật A một lực. Hai lực này có cùng giá, cùng độ lớn nhưng ngược chiều. Ngày nay, chúng ta có thể dễ dàng phát biểu và hiểu về 3 định luật nổi tiếng trên. Tuy nhiên, các học giả trong lịch sử đã phải vật lộn với những khái niệm cơ bản về chuyển động trong suốt nhiều thế kỷ. Nhà triết học Hy Lạp Aristotle từng nghĩ rằng sở dĩ khói có thể bay lên trên không là vì khói chứa nhiều không khí. Trước đó, các học giả khác lại nghĩ rằng khói bay lên trời để tụ hợp cùng với những đám khói “bạn bè” của chúng. Nhà triết học Pháp René Descartes đã từng nghĩ tới những lý thuyết về chuyển động tương tự như Newton nhưng cuối cùng, ông vẫn cho rằng Thiên Chúa mới chính là động lực của các chuyển động. Bìa quyển sách Philosophiae Naturalis Principia 3 định luật Newton như một vẻ đẹp đến từ sự tối giản trong khoa học. Dù đơn giản Mathematica (Các nguyên lý toán học trong triết học tự nhiên) xuất bản năm 1687 như thế, nhưng đây chính là căn cứ để các nhà khoa học có thể hiểu được tất cả mọi thứ chuyển động từ của các hạt electron cho tới chuyển động xoắn ốc của cả thiên hà. IV. HÒN ĐÁ PHÙ THỦY CỦA “ NHÀ GIẢ KIM THUẬT “ NEWTON. 4 | Chinh phục olympic toán Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương – Newton TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN Trong một bức vẽ về một nhà giả kim thuật, chúng ta thấy các biểu tượng hành tinh diễn tả các kim loại trong một quyển sách đang mở ra dưới sàn nhà. Đây được cho là các biểu tượng mà Newton đã sử dụng trong các ghi chép của ông. Newton đã cống hiến rất nhiều cho nhân loại với những khám phá khoa học của ông. Bên cạnh đó, người ta cũng nhắc đến ông như 1 trong những nhà giả kim học lỗi lạc nhất: huyền thoại giả kim thuật với hòn đá phù thủy. Các văn bản ghi chép lại còn được lưu trữ đến ngày nay đã có nhiều mô tả khác nhau về hòn đá này: từ khả năng tạo nên người từ đá cho tới khả năng chuyển hóa từ chì thành vàng. Thậm chí, những người bấy giờ còn cho rằng Hòn đá phù thủ của “nhà giả kim thuật” Newton hòn đá của ông có thể chữa bệnh hoặc có thể biến một con bò không đầu thành một bầy ong Có lẽ các bạn sẽ thắc mắc tại sao một biểu tượng của khoa học lại trở thành một nhà giả kim thuật? Để trả lời câu hỏi đó, hãy nghĩ đến bối cảnh bấy giờ, cuộc cách mạng khoa học chỉ mới đạt được động cơ hơi nước vào những năm 1600. Các nhà giả kim thuật bấy giờ vẫn còn tồn tại cùng với những thủ thuật lỗi thời của họ cùng với các học thuyết và triết học huyền bí nhằm mê hoặc một số người. Dù vậy, các ghi chép giả kim thuật vẫn được cho là những thí nghiệm hóa học. Bút tích còn lưu lại của Newton về nghiên cứu giả kim Tuy nhiên, những ghi chép trong suốt 30 năm làm thí nghiệm của Newton đã tiết lộ rằng ông cũng hy vọng về một cái gì đó hơn là những phản ứng hóa học bình thường, thậm chí Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Chinh phục olympic toán | 5 CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ là hứa hẹn về việc biến các nguyên tố khác thành vàng. Theo sử gia William Newman, ông cho rằng Newton muốn tìm kiếm những “quyền lực siêu hạn trong tự nhiên.” Đây chính là những căn cứ cho lập luận rằng Newton cũng đã có những nghiên cứu và để lại ghi chép về giả kim mà người đương thời gọi là “hòn đá phù thủy.” Các ghi chép cho thấy ông đã tìm cách tạo nên những loại nguyên tố bí ẩn lúc bấy giờ. Trên thực tế, Newton đã có những nỗ lực nhằm tạo ra một loại hợp kim đồng màu tím. Dù vậy, nghiên cứu của ông đã thất bại. Đây có thể không phải là một sáng chế của Newton, nhưng nó cũng cho chúng ta một cái nhìn về những suy nghĩ cũng như thời gian mà ông dành cho các nghiên cứu khoa học. Vào năm 2005, nhà sử học Newman cũng đã tạo nên một “hòn đá phù thủy” dựa trên các ghi chép 300 năm trước của Newton và dĩ nhiên, không có sự chuyển hóa tạo thành vàng xảy ra. V. CHA ĐẺ CỦA CÁC PHÉP TÍNH VI PHÂN. Nếu bạn đã hoặc đang đau đầu với môn toán học mà đặc biệt là tích phân và vi phân đã cày nát bộ não của bạn, bạn có thể đổ một phần lỗi cho Newton! Trên thực tế, hệ thống toán học chính là một công cụ để chúng ra có thể tìm hiểu được mọi thứ trong vũ trụ này. Giống như nhiều nhà khoa học cùng thời, Newton cũng đã nhận thấy rằng các lý thuyết đại số và hình học trước đó không đủ cho yêu cầu nghiên cứu khoa học của ông. Hệ thống toán học đương thời không đủ để phục vụ ông. Bút tích của Newton còn lưu giữ đến ngày nay Các nhà toán học lúc bấy giờ có thể tính toán được vận tốc của một con tàu nhưng họ vẫn không thể tính toán được mối liên hệ với gia tốc của nó cũng như tỷ lệ của lực tác động. 6 | Chinh phục olympic toán Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương – Newton TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN Họ vẫn chưa thể tính toán được góc bắn là bao nhiêu để viên đạn pháo bay đi xa nhất. Các nhà toán học đương thời vẫn cần một phương pháp để tính toán các hàm có nhiều biến. Một sự kiện đã xảy đến trong quá trình nghiên cứu của Newton, một đợt bùng phát bệnh dịch hạch đã khiến hàng loạt người chết trên khắp các đường phố tại Cambridge. Tất cả các cửa hàng đều đóng cửa và dĩ nhiên, Newton cũng phải hạn chế đi ra ngoài. Đó là khoảng thời gian 18 tháng nghiên cứu của Newton để rồi ông xây dựng nên một mô hình toán học và đặt tên là “khoa học của sự liên tục”. Ngày nay, chúng ta biết đó chính là các phép tính vi-tích phân. Một công cụ quan trọng trong vật lý, kinh tế học và các môn khoa học xác suất. Vào những năm 1960, chính các hàm số vi-tích phân này đã cung cấp công cụ cho phép các kỹ sư phi thuyền Apollp có thể tính toán được các số liệu trong sứ mạng đặt chân lên Mặt Trăng. Dĩ nhiên, một mình Newton không tạo nên phép toán mà chúng ta sử dụng ngày nay. Ngoài Newton, nhà toán học người Đức Gottfried Leibniz (1646-1716) cũng đã độc lập phát triển mô hình phép tính vi – tích phân trong cùng thời gian với Newton. Dù vậy, chúng ta vẫn phải công nhận tầm quan trọng của Newton trong sự phát triển toán học hiện đại với các đóng góp không nhỏ của ông. VI. SINH SỰ VỚI CẦU VỒNG. Cầu vồng? Cầu vồng là gì? Bạn Newton nghĩ để yên rằng cho những bí mật bên trong cầu vồng? Không hề! Thiên tài của chúng ta đã quyết tâm giải mã những điều ẩn chứa bên trong hiện tượng thiên nhiên này. Vào năm 1704, ông đã viết một quyển sách Thí nghiệm của Newton về vấn đề khúc xạ ánh sáng với tiêu đề “Opticks”. Quyển sách đã góp một phần không nhỏ trong việc thay đổi cách nghĩ của chúng ta về ánh sáng và màu sắc. Các nhà khoa học bấy giờ đều biết rằng cầu vồng được hình thành khi ánh sáng bị khúc xạ và phản xạ trong những hạt nước mưa trong không khí. Dù vậy, họ vẫn chưa thể lý giải rõ Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Chinh phục olympic toán | 7 CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ ràng được tại sao cầu vồng lại chứa nhiều màu sắc như vậy. Khi Newton bắt đầu nghiên cứu tại Cambridge, các lý thuyết phổ biến trước đó vẫn cho rằng các hạt nước bằng cách nào đó đã nhuộm nhiều màu sắc khác nhau lên tia sáng Mặt Trời. Bằng cách sử dụng một lăng kính và một chiếc đèn, Newton đã thực hiện thí nghiệm bằng cách cho ánh sáng chiếu qua lăng kính. Và kết quả như tất cả chúng ra đều biết, ánh sáng bị tách ra thành các màu như cầu vồng. VII. KÍNH VIỄN VỌNG PHẢN XẠ. Newton được sinh ra trong thời kỳ mà sự hiện diện của kính viễn vọng vẫn còn khá mờ nhạt. Mặc dù vậy, các nhà khoa học đã có thể chế tạo nên các mô hình sử dụng một tập hợp các thấu kính thủy tinh để phóng to hình ảnh. Trong thí nghiệm với các màu sắc của Newton, ông đã biết được các màu sắc khác nhau sẽ khúc xạ với các góc độ khác nhau, từ đó tạo nên một hình ảnh lờ mờ cho người xem. Để cải tiến chất lượng hình ảnh, Newton đã đề xuất sử dụng một gương khúc xạthay cho các thấu kính khúc xạ trước đó. Một tấm gương lớn sẽ bắt lấy hình ảnh, sau đó một gương nhỏ hơn sẽ phản xạ hình ảnh bắt được tới mắt của người ngắm. Phương pháp này không chỉ tạo nên hình ảnh rõ ràng hơn mà con cho phép tạo nên một kính viễn vọng với kích thước nhỏ hơn. Một bản sao của chiếc kính viễn vọng phản xạ do Newton chế tạo và đã trình bày trước Hội đồng hoàng gia vào năm 1672 Một số ý kiến cho rằng, nhà toán học người Scotland James Gregory là người đầu tiên đề xuất ý tưởng chế tạo kính viễn vọng phản xạ vào năm 1663 dù mô hình này vẫn chưa thể hoạt động hoàn chỉnh. Tuy nhiên, dựa trên các ghi chép còn lưu trữ lại, các nhà sử học cho rằng Newton mới là người đầu tiên có thể chế tạo một chiếc kính viễn vọng phản xạ dựa trên lý thuyết do ông đề xuất. Trên thực tế, Newton đã tự mài các tấm gương, lắp ráp một mẫu thử nghiệm và trình bày nó với Hội đồng hoàng gia vào năm 1672. Đó chỉ đơn thuần là 1 thiết bị dài 15 cm, có khả 8 | Chinh phục olympic toán Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương – Newton TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN năng loại bỏ sự khúc xạ và có độ phóng đại lên tới 40 lần. Đến ngày nay, gần như tất cả các đài thiên văn học đều sử dụng các biến thể của thiết kế ban đầu nói trên của Newton. VIII. ĐỒNG XU HOÀN HẢO. Vào những cuối những năm 1600, hệ thống tài chính tại Anh lâm vào tình trạng khủng hoảng nghiêm trọng. Bấy giờ, toàn bộ hệ thống tiền tệ trong cả nước Anh đều sử dụng các đồng xu bạc và dĩ nhiên, bản thân bạc có giá trị cao hơn so với giá trị định danh được in trên mỗi đồng xu. Lúc đó nảy sinh ra một vấn đề, có người sẽ cắt xén bớt hàm lượng bạc và thêm vào các kim loại khác trong quá trình nấu và đúc tiền. Lượng bạc cắt xén được sẽ bị “chảy máu” sang Pháp thông qua đường biên giới để bán được giá cao hơn. Những đồng 2 pound tại Anh với các khía 2 xung quanh cạnh Thậm chí, bấy giờ còn là cuộc khủng hoảng của việc tranh giành nhau nhận thầu đúc tiền. Do đó, lòng tin của người dân vào hệ thống tài chính suy giảm nghiêm trọng. Đồng thời, các tổ chức tội phạm làm tiền giả cũng mặc sức lan tràn do đã không còn một đồng tiền chuẩn đáng tin tưởng nào đang lưu thông. Mặt khác, sự gian lận cũng diễn ra ngay trong quá trình đúc tiền. Sau khi đúc mỗi mẻ tiền xu, người ta sẽ cân mỗi đồng xu lấy ra và xem nó lệch so với tiêu chuẩn là bao nhiêu. Nếu giá trị bạc dư ra lớn hơn so với giá trị in trên nó, những kẻ đầu cơ sẽ mua chúng, nấu chảy ra và tiếp tục bán lại cho chính xưởng đúc tiền để kiếm lời. Trước tình hình đó, vào năm 1696, chính phủ Anh đã kêu gọi Newton giúp tìm ra giải pháp tìm ra giải pháp chống nạn sao chép và cắt xén đồng xu bạc. Newton đã có một bước Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Chinh phục olympic toán | 9 CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ đi hết sức táo bạo là thu hồi toàn bộ tiền xu trên khắp đất nước, tiến hành nấu lại và đúc theo một thiết kế mới của ông. Bước đi này đã khiến cho toàn bộ nước Anh không có tiền trong lưu thông trong suốt 1 năm. Bấy giờ, Newton đã làm việc cật lực trong suốt 18 giờ mỗi ngày để rồi cuối cùng, thiết kế tiền xu mới cũng được ra đời. Những đồng tiền mới được đúc ra với chất lượng bạc cao hơn, đồng thời rìa mỗi đồng xu đều được khía các cạnh theo một công thức đặc biệt. Nếu không có các cỗ máy khía cạnh chuyên dụng thì sẽ không thể nào tạo ra được các đồng xu mang đặc trưng như do Hoàng gia đúc ra. IX. SỰ MẤT NHIỆT. Trong các nghiên cứu của mình, Newton cũng đã dành nhiều thời gian để tìm hiểu khía cạnh vật lý của hiện tượng lạnh đi của các chất. Vào cuối những năm 1700, ông đã tiến hành các thí nghiệm với quả cầu sắt nung đỏ. Ông đã lưu ý trong các ghi chép rằng có sự khác biệt giữa nhiệt độ của quả bóng sắt và không khí xung quanh. Cụ thể, nhiệt độ chênh lệch lên tới 10 độ C. Và ông cũng nhận ra rằng tốc độ mất nhiệt tỷ lệ thuận với sự khác biệt về nhiệt độ. Từ đó, Newton hình thành nên định luật về trạng thái làm mát. Theo đó, tốc độ mất nhiệt của cơ thể tỷ lệ thuận với sự khác biệt về nhiệt độ giữa môi trường xung quanh so với nhiệt độ cơ thể. Sau này, nhà hóa học người Pháp Piere Dulong và nhà vật lý Alexis Prtot đã hoàn thiện định luật trên vào năm 1817 dựa trên nền tảng từ nghiên cứu của Newton. Nguyên tắc của Newton đã đặt nền móng cho nhiều nghiên cứu khác của vật lý hiện đại từ lò phản ứng hạt nhân an toàn cho tới việc thám hiểm không gian. X. DỰ ĐOÁN CỦA NEWTON VỀ NGÀY TẬN THẾ. Ngày tận thế luôn là nỗi ám ảnh của con người. Dù vậy, Newton không phải là dạng người có thể dễ dàng chấp nhận nỗi sợ hãi về ngày tận thế qua những câu chuyện hay những truyền thuyết. Bản thân Newton là một người thực tế và luôn tìm cách kiểm định, đưa ra các quan điểm của mình trong quá trình nghiên cứu Kinh Thánh. Trong quá trình nghiên cứu, Newton đã không đặt nặng khía cạnh Thần học mà dùng các kiến thức của mình nhằm cố lý giải vấn đề. Theo các ghi chép cách đây 300 năm còn được lưu trữ đến ngày nay cho thấy Newton đã nghiên cứu Book of Daniel. Để phục vụ nghiên cứu, ông đã tự học tiếng Do Thái, tập trung nghiên cứu triết học Do Thái bí truyền. 10 | Chinh phục olympic toán Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương – Newton TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN Hình vẽ 4 loài thú dữ xuất hiện vào ngày tận thế mô tả trong Book of Daniel Qua nghiên cứu, ông dự đoán ngày tận cùng của thế giới là vào năm 2060 hoặc có thể là sau đó nhưng không thể sớm hơn. Dù sao đi nữa, đó vẫn là những gì mà ông tuyên bố với mọi người vào thế kỷ 18. Dĩ nhiên, ngày nay, các nhà khoa học đã có một lời giải đáp hoặc dự đoán tốt hơn cho hiện tượng tận thế nói chung. Qua đó, chúng ta phần nào hiểu được thêm về quan điểm của 1 nhà khoa học vào thế kỷ 18 về ngày tàn của nhân loại. Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Chinh phục olympic toán | 11 CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ A. ĐỀ BÀI. Câu 1. Cho hàm số y  x 3  2009 x có đồ thị là C  . M1 là điểm trên C  có hoành độ x1  1 . Tiếp tuyến của C  tại M1 cắt C  tại điểm M 2 khác M1 , tiếp tuyến của C  tại M 2 cắt C  tại điểm M 3 khác M 2 , <, tiếp tuyến của C  tại M n 1 cắt C  tại Mn khác M n 1  n  4; 5;... , gọi  xn ; y n  là tọa độ điểm Mn . Tìm n để: 2009xn  yn  2 2013  0 . A. n  685 B. n  679 C. n  672 D. n  675 Câu 2. Một hình vuông ABCD có cạnh AB  2 , diện tích S1 . Nối 4 trung điểm A1 , B1 , 50 C 1 , D1 theo thứ tự của 4 cạnh AB , BC , CD , DA ta được hình vuông thứ hai là A1 B1C 1D1 có diện tích S 2 . Tiếp tục như thế ta được hình vuông thứ ba A2 B2C 2 D2 có diện tích S 3 và cứ tiếp tục như thế, ta được diện tích S4 , S5 ,... Tính S  S1  S2  S3  ...  S100 A. S  2 101  2 B. S  2 101  1 C. S  2 100  2. D. S  2 100  1 Câu 3. Khối tứ diện ABCD có thể tích V , khối tứ diện A1 B1C 1D1 có thể tích V1 , các đỉnh A1 , B1 , C 1 , D1 lần lượt là trọng tâm các tam giác BCD , CDA , DAB , ABC . Khối tứ diện A2 B2C 2 D2 có thể tích V2 , các đỉnh A2 , B2 , C 2 , D2 lần lượt là trọng tâm các tam giác B1C 1D1 , C 1 D1 A1 , D1 A1 B1 , A1 B1C 1 . Cứ tiếp tục như thế ta được khối tứ diện An BnC n Dn có thể tích Vn , các đỉnh An , Bn , C n , Dn lần lượt là trọng tâm các tam giác Bn1C n1Dn1 , C n 1Dn 1 An 1 , Dn 1 An 1 Bn 1 , An 1 Bn 1C n 1 . Tính S  V1  V2  ...  V2018 . 3 A. S  2018  1V 2.32018  27 B. S  2019  1V 26.27 2019  27 C. S  2018  1V 26.27 2018 3 D. S  2019  1V 2.32019 Câu 4. Tam giác mà ba đỉnh của nó là ba trung điểm ba cạnh của tam giác ABC được gọi là tam giác trung bình của tam giác ABC . Ta xây dựng dãy các tam giác A1 B1C 1 , A2 B2C 2 , A3 B3C 3 ,... sao cho A1 B1C 1 là một tam giác đều cạnh bằng 3 và với mỗi số nguyên dương n  2 , tam giác An BnC n là tam giác trung bình của tam giác An 1 Bn 1C n 1 . Với mỗi số nguyên dương n , kí hiệu Sn tương ứng là diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác An BnC n . Tính tổng S  S1  S2  ...  Sn  ... ? A. S  15 . 4 C. S  B. S  4 . 9 . 2 D. S  5.   Câu 5. Cho dãy số  un  có số hạng tổng quát un  cos  2n  1   . Tổng 2018 số hạng đầu 6  tiên của dãy số  un  bằng bao nhiêu? A. 0 B.  12 | Chinh phục olympic toán 3 2 C. 3 2 D. 1 2 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN Câu 6. Cho dãy số  un  u1  3  thỏa mãn  un  2  1 , n  u  n  1  1  2  1 un   *  . Khi đó u2019  a  b 3 , a , b  . Tính tổng S  a  b . A. S  3 B. S  4 C. S  9 D. S  2 Câu 7. Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là a , b , c theo thứ tự lập thành một cấp số A C x x cộng. Biết tan tan  với x , y  và tối giản. Tính giá trị của x  y . 2 2 y y A. 4 B. 1 D. 3 C. 2 u1  11  Câu 8. Cho dãy số  un  xác định  . Tính giá trị của u2018 ? un 1  10un  1  9n, n  1 A. u2018  10 2018 B. u2018  20182018 Câu 9. Cho dãy số (un ) thỏa mãn u1  Tìm giá trị nhỏ nhất của n để Sn  A. 2019 B. 2020 C. u2018  2018 D. u2018  10 2018  2018 u un u u u 1 ; un1  , n  1 . Đặt Sn  1  2  3  ...  n . 1 2 3 n 2 un  1 2019 ? 2020 C. 2018 D. 2021 u0  2 2018  Câu 10. Cho dãy  un  :  2 un  1 . Tìm phần nguyên của S   ui . i 1 un  1  u  2 n  A. 2020 B. 2017 C. 2019 D. 2018 . u1  2019  Câu 11. Cho dãy số  un  được xác định bởi:  . 2019 u   u  u  u  ...  u , n  1   1 2 3 n1  n n Tính giá trị của biểu thức A  2.u1  2 2 u2  ...  2 2019.u2019 . A. 32019 Câu 12. Cho dãy số  xn  A. 20182 2019 C. 3 B. 2019 B. Câu 13. Cho dãy số  x1  2  xác định bởi  xn 1 2 n  1  3x n  x  1  n 2  3x , n  n  n 8144648 12105  un  C. 8144648 12107 D. 2 * D. 8144648 12103 thỏa mãn u1  1, un1  aun2  1, n  1 , a  1 . Biết rằng lim  u12  u22  ...  un2  2n   b . Giá trị của biểu thức T  ab ? A. 1 B. 2 C. 1 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor D. 2 Chinh phục olympic toán | 13 CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ Câu 14. Cho dãy số (un ) được xác định bởi u1  un 2 và un1  , n  2  2n  1  un  1 3 *  . Tính tổng 2019 số hạng đầu tiên của dãy số đó ? 4036 4035 4038 4038 A. B. C. D. 4035 4034 4037 4039 u1  1 Câu 15. Cho dãy số  un  xác định như sau:  , với n  1, 2, 3,... 2020 2019 u  u  2018 u  u n  1 n n n   u12019  u32019 un2019 u22019 Tính lim     ...  . u  2018 u  2018 u  2018 u  2018 2 3 4 n  1   4 3 2 1 A. B. C. D. . . . . 2019 2019 2019 2019 Câu 16. Xét dãy số nguyên x1  34, x2  334, x3  3334, , xn  33...34 (có n số 3). Hỏi có bao 3 nhiêu chữ số 3 trong số 9x2018 ? A. 6054 B. 6055 C. 6056 Câu 17. Cho dãy số  un  xác định bởi u1  1 và un1  D. 6057 un 1 với n nguyên dương.  2018 2019n1 Tính giới hạn A  lim un x  2019 2018 A. B. 2018 C. 2018 2019 Câu 18. Cho dãy số (u n ) xác định bởi u1  1 và un1  Tính giới hạn A  lim  u1  u2  x  un 1 với n nguyên dương.  2018 2019n1 2017 2017 2019 C. D. 2019 2018 2017 n x1  1 1 ; n  * . Đặt yn   Câu 19. Cho dãy số ( xn ) có  . i  1 xi  2 xn  1  xn  xn  1  xn  2  xn  3   1 a a Biết lim yn  với là phân số tối giản và a, b nguyên dương. Khi đó tọa độ M  a ; b  b b nằm trên đường tròn nào? A. 2018 2019 un  D. 0 B. A.  x  1    y  2   4 B.  x  1    y  1   4 C.  x  1    y  1   10 D.  x  1   y 2  10 2 2 2 2 2 Câu 20. Cho dãy số  un  2 2 3  u1  16 xác định bởi  u  9u  4 1  3u  4, n  n n  n1  Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất thỏa mãn un  10 8. A. 9. B. 10. 14 | Chinh phục olympic toán C. 12. D. 13. Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN Câu 21. Xét các cấp số nhân có 2 n  1 số hạng dương ( n là số nguyên dương) thỏa tổng tất cả các số hạng của nó bằng 400 và tổng tất cả các nghịch đảo của các số hạng của nó bằng 4 . Giá trị lớn nhất của n là? A. 17 B. 18 C. 19 D. 20 u0  2018 u  Câu 22. Cho dãy số (un ) được xác định bởi u1  2019 . Hãy tính lim nn . 3 u  4u  3u ; n  1 n n 1  n1 1 1 A. B. C. 32018 D. 32019 2 3 n3 Câu 23. Cho dãy số  un  xác định bởi u1  1; un1  2un  2 , n  * . Hỏi u2018 n  3n  2 thuộc khoảng nào sau đây? A.  2 2015 ; 2 2016  B.  2 2016 ; 2 2017  C.  2 2017 ; 2 2018  D.  2 2018 ; 2 2019  2  u1  3 u u Câu 24. Cho dãy số  un  xác định  . Tính L  lim  1  22  n   2 2 u  2nun ; n  * n1  n3 1 3 3 A. L  B. L  D. L  C. L  1 2 4 2 Câu 25. Cho dãy số  xn  nguyên dương. Đặt un được xác định bởi: x1  1; xn1   3x 1  1   2018 3x 2  1  3x2  1  2018 3x 3  1  un   2n  (3xn  1)2019  xn với n là số 2019  3x3  1  2018 3x 4  1  3xn  1  ...  2018 3 xn  1  1 . Tính lim un 673 673 D. 3 4  u1  2019 Câu 26. Cho dãy số thực  un  tăng xác định bởi  2  un  2018un  2020un1  1  0, n  1  1 1 1 1 Đặt Sn  . Tính lim Sn   ...  u1  2019 u2  2019 un  2019 A. 2019 4 B. 2019 3 C. 1 C. 2019 2018 u1  1  Câu 27. Cho dãy số:  un   . Tìm lim u n . un 1 un  1  5n.u , n  2 n1  A. 2018 B. A. k  1616 B. k  808 C. k  404 u1  1, u2  3 Câu 28. Cho dãy số  un  được xác định  un 2  2un1  un  1, n  Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor D. 1 2019 D. k  1212 * . Tính lim n  un n2 Chinh phục olympic toán | 15 CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ 1 1 D. 3 2 u1  4  Câu 29. Cho dãy số (un ) xác định như sau:  . Giả sử giới hạn un 2 , n * un 1  un  2018  A. 1 B. 1 6 C. u u u  a lim  1  2  ...  n    a , b  un1  b  u2 u3 A. 1012 *  và ba B. 1021 tối giản. Tính a  3b. C. 1015 Câu 30. Cho dãy số  xn  được xác định như sau x1  2 ; xn  1 3 D. 1018 xn  ,  n  1, 2.... 2  2 n  1  xn  1 Hỏi tổng của 2018 số hạng đầu tiên là bao nhiêu? 4035 2017 2018 4036 A. B. C. D. 4036 2018 2019 4037 u  1; u2  2 Câu 31. Cho dãy số  un   1 . Tổng S  1  2  ...  2017  u2018  u2019 un1  2un  un1  1; n  2 có giá trị bằng bao nhiêu? A. 2039190 B. 2035153 C. 2037171 D. 2033136 4  u1  3 , n  1 . Tìm lim un . Câu 32. Cho dãy số  un  xác định bởi   n  2 2 u   n  1  u u  n 2 u n n n1 n1  A. lim un  2 B. lim un  4 Câu 33. Cho dãy  un  với un  C. lim un  2 n  5n 2n  5 n 3 4 D. lim un  3 . Giả sử ta có tổng sau 100 a   c 1 1 1 1 b S    ....   u1  1 u2  1 u3  1 u100  1 ba Trong đó a, b c là các số nguyên dương và a, b là hai số dương nguyên tố cùng nhau . Khi đó S  a  c  ? A. 151 B. 153 C. 152 D. 154 u1  9 Câu 34. Cho dãy số  un  được xác định bởi  . n1 n1 n1 un  n un  1  3.2  2.3 , n  2; 3.... Tính giá trị của u2018 ? A. u2018  2018 3.2 2018  2.32018 B. u2018  2018 9  3.2 2018  2.32018 C. u2018  2018 3.2 2017  2.32017 D. u2018  2018 3.2 2018  32018 . 16 | Chinh phục olympic toán Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN  a1  2008 Câu 35. Cho dãy số thực a1 ; a2 ;...; an được xác định bởi  . Tính 2  a1  a2  ...  an  n .an , n  1 giá trị của a2008 . A. 1 2009 B. 2 2007 C. 1 2007 u1  1 D.   n Câu 36. Cho dãy số  un  xác định bởi  1 u  u  n   , n   n1 2  1999 dương n sao cho un  . 1000 A. 11 B. 10 C. 15 1 Câu 37. Cho dãy số  xn  xác định bởi x1  . Biết rằng 4 x1  4x2  9x3  ...   n  1 xn1 * 2 2009 . Có bao nhiêu số nguyên D. Vô số 2 xn  n2  n  1  , n  2, 3.... Tính lim  30n2  12 n  2018  xn A. 15 B. 30 C. 15 4 D. 15 2 u1  2 Câu 38. Cho dãy số  un  được xác định bởi công thức  . Tìm 2 2019un1  un  2018un , n  1 un u1 u giới hạn của dãy số  Sn  xác định bởi công thức Sn  .  2   u2  1 u3  1 un 1  1 A. lim Sn  2018 B. lim Sn  2019 Câu 39. Cho dãy số  un  được xác định bởi: u1  1, un1 Tính lim 2018 D. lim Sn  1 2019 un  , n  1, 2, 3,... un  1 C. lim Sn  2018  u1  1  u2  1  ...  un  1  . 2019n 2018 D. lim Sn  1 2019 Câu 40. Cho các số a1 , a2 , a3 , a4 , a5  0 lập thành cấp số cộng với công sai d và A. lim Sn  2018 B. lim Sn  2019 C. lim Sn  b1 , b2 , b3 , b4 , b5  0 lập thành cấp số nhân với công bội q . Biết rằng a1  b1 và a5  b5 . Hỏi có bao nhiêu khẳng định luôn đúng trong các khẳng định sau? i) a2  b2 A. 1 ii) a3  b3 iii) a4  b4 iv) d  q B. 2 C. 3 Câu 41. Cho dãy số  un  biết : u1  1 , un1  D. 4 3  n  1 un  2n3  3n  1  n  n *  . Giá trị nhỏ nhất của n để un  n3  n.32018 là bao nhiêu? Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Chinh phục olympic toán | 17 CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ A. n  2019 B. n  2018 Câu 42. Cho dãy số không âm  un  ,  n  C. n  2017 * D. n  2020  được xác định bởi công thức sau u2  1   m, n  , m  n   2 1 2 2 2  um  n  1  um n  1  2  u2 m 1  u2 n  1  Khi đó tổng của 2019 số hạng đầu tiên của dãy khi viết dưới dạng thập phân có chữ số ở hàng đơn vị bằng bao nhiêu? A. 1 C. 3 B. 2 D. 4 Câu 43. Cho dãy số  xn  được xác định bởi x1  2019, xn 1  x  xn  1, n  1, 2, 3,... . Với 2 n  1 1 1 mỗi số nguyên dương n , đặt yn  2019    ...   . Khi đó lim y n bằng? xn   x1 x 2 2018 2019 A. B. C. 2018 D. 2019 2019 2018 u1  2020 Câu 44. Cho dãy số (un) được xác định bởi  . 2 2  4n  16n  un  1   n  6n  5  un , n  1  4n  Gọi k  lim  2 .un  thì k có giá trị là? n  A. k  1616 B. k  808 Câu 45. Cho dãy  un  C. k  404 D. k  1212 u1  1  được xác định bởi  1  un21  1 u  ; n  2, n   n un1  , đặt Sn  u1  u2  ...  un . Hãy chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau? A.  un  là dãy bị chặn.  1 B. Sn  1  1    4   2  C.  un  là dãy giảm D. Sn  n , n  Câu 46. Cho dãy số  un   n 1    . u1  1  2  n  1  un 1 2n thỏa mãn  un   , n  2 2  n n  n  1  1    Tìm giới hạn của dãy số  sn  với sn  n3 un , n  * . . A. lim  sn    B. lim  sn   0 C. lim  sn   1 1 D. lim  sn   . . 2 Câu 47. Cho các dãy  un  * un  1  4un2  4un  0  thỏa:   n  1 u2018   2 *  . Khi đó u 1 có thể nhận tất cả bao nhiêu giá trị? 18 | Chinh phục olympic toán Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN A. 2 2017 B. 2 2018 C. 2 2019 D. 2 2018  1 . 2 2 un  a , n  3 Câu 48 . Cho dãy số  un  thỏa mãn: u1  1 ; un1  * . Biết rằng lim  u12  u22  ...  un2  2n   b . Giá trị của biểu thức T  ab là? A. 2 B. 1 C. 1 D. 2 Câu 49. Cho 2 dãy cấp số cộng un  u1 ; u2 ;...un có công sai d 1 và vn  v1 ; v2 ;...vn có công sai d2 . Gọi tổng của n số hạng đầu của mỗi cấp số theo Sn  u1  u2  ...  un  7 n  1 và Tn  v1  v2  ...  vn  14n  27 . Tính tỉ số của A. 5 3 B. 4 3 C. 9 4 Câu 50. Cho dãy số  an  xác định bởi a1  5, an 1 thứ tự là u11 v11 5 4  q.an  3 với mọi n  1 , trong đó q là D. hằng số, q  0 , q  1 . Biết công thức số hạng tổng quát của dãy số viết được dưới dạng an  .q n1   1  q n1 . Tính   2 ? 1q A. 13 B. 9 C. 11 trong đó ui  0, i  1, 2,..., n . Biết rằng Câu 51. Cho cấp số nhân u1 , u2 , u3 ,.., un ; Sn  u1  u2  u3  ...  un  2018 , Tn  D. 16 1 1 1 1 1 .    ...   2019 và P  u1 .u2 .u3 ....un  100 u1 u2 u3 un Hỏi số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn P là? A. 9295 B. 9296 C. 18592 D. 18591 4 Câu 52. Gọi q là công bội của một cấp số nhân , biết tổng ba số hạng đầu bằng 16 , đồng 9 thời theo thứ tự , chúng là số hạng thứ nhất , thứ tư và thứ tám của một cấp số cộng . Hỏi q thuộc khoảng nào sau đây? A. q   3; 4  B. q   1; 2  Câu 53. Cho dãy số  un  như sau: un  lim  u1  u2  ...  un  . C. q   2; 3  D. q   0; 1  n , n  1 , 2 , ... Tính giới hạn của tổng 1  n2  n4 x  A. 1 4 B. 1. x  10   Câu 54. Cho hàm số f  x      f  f  x  11  A. 1999 B. 2009 1 2 khi x  2018 C. khi x  2018 C. 4018 D. 1 3 . Tính giá trị f  1   f  2018  . D. 4036 Câu 55. Cho dãy un  thỏa mãn 25.2 2 u5  1  15.2 u1  u5  2  5.2 u5  15.2 u1  4  0 và un  1  un  8. Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Chinh phục olympic toán | 19 CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ Giá trị nhỏ nhất của n để un  2019. A. 512. B. 258. C. 511. D. 257. Câu 56. Cho một cấp số cộng : u1 , u2 , u3 , u4 thỏa u1u4  u2 u3  6 . Tìm tập xác định D của hàm f  x    x  u1  x  u2  x  u3  x  u4   9 A. D    ; 6  B. D   6;   C. D  2 D. D   6; 6  2 2 1  1  1    Câu 57. Biết tổng Sn   2     2 2  2   ...   2 n  n  . Giá trị nhỏ nhất của n để 2  2  2    399  2n4n , n 4n A. 41 Sn  * B. 40 C. 51 D. 50 Câu 58. Cho dãy ( xn ) thỏa mãn x1  5, xn 1  x  2, n  1 . Tính giá trị của 2 n  1  1 1 M  lim    ........   x1x2 ...xn   x1 x1 x 2 A. M  5  21 2 B. M  5  21 2 C. M  3  31 3 D. M  3  15 3 1   Câu 59. Cho hàm số y  f  x   ln  1  2  . Biết rằng : x   f  2   f  3   ...  f  2018   ln a  ln b  ln c  ln d trong đó a , c , d là các số nguyên tố và a  b  c  d . Tính P  a  b  c  d A. 1986 B. 1698 C. 1689 D. 1989 Câu 60. Cho dãy số  un  thỏa mãn log u1  2  log u1  2 log u10  2 log u10 và un 1  2un với mọi n  1 . Giá trị nhỏ nhất để un  5100 bằng A. 247 B. 248 C. 229 D. 290 Câu 61. Cho dãy số  un  thỏa mãn ln 2 u6  ln u8  ln u4  1 và un 1  un .en  1 . Tìm u1 A. e B. e 2 C. e 3 D. e 4 Câu 62. Cho dãy số  un  thỏa mãn e u18  5 e u18  e 4 u1  e 4 u1 và un  1  un  3 với mọi n  1 . Giá trị lớn nhất của n để log 3 un  ln 2018 bằng? A. 1419 B. 1418 C. 1420 Câu 63. Cho dãy số  an  thỏa mãn a1  1 và 5an1  an  1  D. 1417 3 , với mọi n  1 . Tìm số 3n  2 nguyên dương n  1 nhỏ nhất để an là một số nguyên. A. n  123 B. n  41 20 | Chinh phục olympic toán C. n  39 D. n  49 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN  4 e 2 u9  2 eu9  4 eu1 u9  eu1  e 2 u1  3  Câu 64. Cho dãy số  un  thỏa mãn  . Giá trị nhỏ nhất của * u  u  3,  n   n  n1 số n để un  1 ? A. 725 B. 682 Câu 65. Cho dãy số  un  C. 681 D. 754 có số hạng đầu tiên u1  1 thỏa mãn đẳng thức sau : log 22  5u1   log 22  7 u1   log 22 5  log 22 7 và un 1  7 un với mọi n  1 . Giá trị nhỏ nhất của n để un  1111111 bằng? A. 11 B. 8 C. 9 D. 10 Câu 66. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a thuộc đoạn  0; 2018  sao cho ba số a 5x 1  51 x ; ; 25x  25 x theo thứ tự đó, lập thành một cấp số cộng? 2 A. 2008 B. 2006 C. 2018 Câu 67. Cho dãy số  un  thỏa mãn 2 2 u1  1  2 3u2  D. 2007 8 1  log 3  u32  4u1  4  4  và un 1  2un với mọi n  1 . Giá trị nhỏ nhất của n để Sn  u1  u2  ...  un  5100 bằng A. 230 B. 231 C. 233 D. 234 Câu 68. Cho dãy số  un  thỏa mãn log 3  2u5  63   2 log 4  un  8n  8  , n  Đặt Sn  u1  u2  ...  un . Tìm số nguyên dương lớn nhất n thỏa mãn A. 18 B. 17 Câu 69. Cho hàm số f  x   e C. 16 1 1 x2  . un .S2 n 148 .  u2 n .Sn 75 D. 19 1  x  1 2 * m . Biết f  1  . f  2  . f  3  ... f  2017   e n  m, n   với m là phân số tối giản. Tính P  m  n 2 . n A. 2018 B. 2018 C. 1 D. 1 Câu 70. Cho cấp số cộng  un  có tất cả các số hạng đều dương thoả mãn điều kiện u1  u2  ...  u2018  4  u1  u2  ...  u1009  . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  log 23 u2  log 23 u5  log 23 u14 . A. 3 B. 1 C. 2 D. 4 Câu 71. Cho cấp số cộng  an  , cấp số nhân  bn  thỏa mãn a2  a1  0 và b2  b1  1 ; và hàm số f  x   x 3  3x sao cho f  a2   2  f  a1  và f  log 2 b2   2  f  log 2 b1  . Số nguyên dương n nhỏ nhất và lớn hơn 1 sao cho bn  2018 an là Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Chinh phục olympic toán | 21 CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ A. 16 C. 17 B. 15 D. 18 Câu 72. Cho cấp số nhân  bn  thỏa mãn b2  b1  1 và hàm số f  x   x 3  3x sao cho f  log 2  b2    2  f  log 2  b1   . Giá trị nhỏ nhất của n để bn  5100 bằng A. 234 B. 229 Câu 73. Cho dãy số  un  C. 333  1 1  4 u2 7 6 u1 6  2 e 3 log 1  u1  u3  4 u1  8   e    3 thỏa mãn  u  3  u  n  4  , n  *  n  1 2  n n 2  3n  2  Giá trị lớn nhất của số n để un  A. 3472 D. 292 3   n  1 2 2018 n1 B. 3245 C. 3665 Câu 74. Cho f  n    n2  n  1   1 n  N * . Đặt un  2 D. 3453 f  1 . f  3  ... f  2n  1 f  2  . f  4  ... f  2n  . Tìm số n nguyên dương nhỏ nhất sao cho un thỏa mãn điều kiện log 2 un  un  A. n  23 B. n  29 C. n  21   10239 . 1024 D. n  33  Câu 75. Cho biểu thức A  log 2017  log 2016  log 2015  log ... log 3 log 2 ...  Biểu thức A có giá trị thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây? A.  log 2017; log 2018   log 2019; log 2020  D.  log 2020; log 2021  B. C.  log 2018; log 2019  Câu 76. Cho dãy số  un  xác định bởi un  ln  2n2  1   ln  n2  n  1  , n  1 . Tìm số nguyên n lớn nhất sao cho un   un   2 . Biết  a kí hiệu phần nguyên của số a là số tự 3 nhiên nhỏ nhất không vượt quá a. A. 37 B. 36 C. 38 D. 40 Câu 77. Cho dãy số  un  có tất cả số hạng đều dương thỏa mãn un 1  2un và đồng thời u12  u22  ...  un2  un2 1  un2  1  A. 232 B. 233 Câu 78. Cho dãy số  un  4 , n  1 . Số tự nhiên n nhỏ nhất để un  5100 là? 3 C. 234 D. 235 thỏa mãn ln  u12  u22  10   ln  2u1  6u2  và đồng thời un  2  un  2un  1  1, n  1 . Giá trị nhỏ nhất của n để un  5050 A. 100 B. 99 22 | Chinh phục olympic toán C. 101 D. 102 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN  391  39   1 log  u2    log  u1    2 40  4   4  thỏa mãn  2n u  2  n  1  un  1  , n  n 2 2  n n  n  1  1    Câu 79. Cho dãy số  un  Giá trị nhỏ nhất của n để un  A. 235 . * 5100  n2  1 . 5100  n3  n  B. 255 C. 233 D. 241 4 Câu 80. Gọi q là công bội của một cấp số nhân , biết tổng ba số hạng đầu bằng 16 , đồng 9 thời theo thứ tự , chúng là số hạng thứ nhất , thứ tư và thứ tám của một cấp số cộng . Hỏi q thuộc khoảng nào sau đây? A. q   3; 4  B. q   1; 2  C. q   2; 3   Câu 81. Cho I n   2 sin n xdx với n nguyên dương. Tính lim 0 A. 1 B. 1 D. q   0; 1  I n 2 . In D.  C. 2 1 I n1 . n  I n Câu 82. Với mỗi số nguyên dương n ta kí hiệu I n   x 2  1  x 2  dx . Tính lim n 0 A. 1 C. 3 B. 2 D. 5   x  12 n 2 x 2  1    I 2x2  1   Câu 83. Đặt I n   n n dx. Tính lim n . 2 n 1 n 1 0  2 2 I n1   x  1  x  1   1 3 B. D. A. 1 C. 1 2 2 1 Câu 84. Ta đặt Fn  x    A. 1 x  xn dx . Biết Fn  1   0 n . Tính lim Fn  2  . n  x n1 B.  C. 1 D.  n 1 e  nx dx với n  1  e x 0 Câu 85. Cho tích phân I n   . Đặt un  1.  I 1  I 2   2  I 2  I 3   3  I 3  I 4   ...  n  In  In 1   n . Biết lim un  L . Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. L   1; 0  B. L   2; 1  C. L   0; 1  D. L   1; 2  Câu 86. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương n thỏa mãn tích phân 2  1  n 2  2 x  3x 2  4x 3  ...  nx n1  dx  2 0 A. 1 B. 2 C. 0 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor D. 3 Chinh phục olympic toán | 23 CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ Câu 87. Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0; 1 thỏa mãn điều kiện f  2018x  2017   2018 f  x  ,x  2 4  f  1   3 A. 2 5  f  1   3 B. Câu 88. Cho I n   tan n xdx với n  A. 9  tan x  r 1 r  r C 9 B. . Tính tích phân  r 1  tan x  r 1 C. 1  f  x   dx ? 0   2 2 7  f  1   3 D. 2 8  f  1   3 . Khi đó I 0  I 1  2  I 2  I 3  ...  I 8   I 9  I 10 bằng? r 1 C C. 10  tan x  r 1 r  r 10 C D.   tan x  r 1 r 1 r 1 C  6 2 U U  Câu 89. Cho dãy số xác định bởi  1 , n  1, n  N * . S= lim n có giá trị là ? 4 n U  2.U 2  1 n  n1 A. 1 B. 1 2 C. 0 D. 1 4 1  U 1  2 ,n  1 Câu 90. Cho dãy số Un xác định bởi  2 2 U  U n  n U n  1   n  n  1 n  1 1 1 1  Khi đó S  lim      thuộc khoảng nào sau đây? Un   U1 U 2 U 3 A.  3; 1  B.  1; 2  C.  1; 2  D.  1; 1  Câu 91. Trong dịp hội trại hè 2017, bạn Anh thả một quả bóng cao su từ độ cao 6  m  so với mặt đất, mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên một độ cao bằng ba phần tư độ cao lần rơi trước. Biết rằng quả bóng luôn chuyển động vuông góc với mặt đất. Tổng quãng đường quả bóng đã bay (từ lúc thả bóng cho đến lúc bóng không nảy nữa) khoảng ? A. 44  m  B. 45  m  C. 42  m  D. 43  m  Câu 92. Có hai cơ sở khoan giếng A và B. Cơ sở A giá mét khoan đầu tiên là 8000 (đồng) và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm 500 (đồng) so với giá của mét khoan ngay trước đó. Cơ sở B: Giá của mét khoan đầu tiên là 6000 (đồng) và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét khoan sau tăng thêm 7% giá của mét khoan ngay trước đó. Một công ty giống cây trồng muốn thuê khoan hai giếng với độ sâu lần lượt là 20  m  và 25  m  để phục vụ sản xuất. Giả thiết chất lượng và thời gian khoan giếng của hai cơ sở là như nhau. Công ty ấy nên chọn cơ sở nào để tiết kiệm chi phí nhất? A. luôn chọn A. B. luôn chọn B. C. giếng 20  m  chọn A còn giếng 25  m  chọn B. D. giếng 20  m  chọn B còn giếng 25  m  chọn B. 24 | Chinh phục olympic toán Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN Câu 93. Cho cấp số cộng  un  có các số hạng đều dương, số hạng đầu u1  1 và tổng của 100 số hạng đầu tiên bằng 14950 . Tính giá trị của tổng sau? 1 1 1 S   ...  u2 u1  u1 u2 u3 u2  u2 u3 u2018 u2017  u2017 u2018 A. 1 1  1   3 6052  B. 1  1 6052 D. 1 C. 2018 Câu 94. Giá trị của tổng 4  44  444  ...  44...4 (tổng đó có 2018 số hạng) bằng? 40  4  10 2019  10 A. 10 2018  1   2018 .  B.   2018  . 9 9 9  C.  4  10 2019  10  2018  .  9 9  D. 4 10 2018  1  .  9 Câu 95. Cho dãy số  un  thỏa mãn un  un 1  6 , n  2 và log 2 u5  log 2 u9  8  11 . Đặt Sn  u1  u2  ...  un . Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất thỏa mãn Sn  20172018 . A. 2587 B. 2590 C. 2593 D. 2584 Câu 96. Cho hai cấp số cộng  an  : a1  4 ; a2  7 ;...; a100 và  bn  : b1  1 ; b2  6 ;...; b100 . Hỏi có bao nhiêu số có mặt đồng thời trong cả hai dãy số trên? A. 32 B. 20 C. 33 D. 53 Câu 97. Cho tam giác ABC cân tại A . Biết rằng độ dài cạnh BC , trung tuyến AM và độ dài cạnh AB theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân có công bội q . Tìm công bội q của cấp số nhân đó? A. q  1 2 2 B. q  22 2 2 Câu 98. Cho hàm số f  x    x 2  3x  2  C. q  cos 2017 x  1  2 2 D. q  2  2 2 2 và dãy số  un  được xác định bởi công thức tổng quát un  log f  1   log f  2   log f  n  Tìm tổng tất cả các giá trị của n thỏa mãn điều kiện un2018  1 A. 21 C. 3 B. 18 Câu 99. Biết rằng L  lim D. 2018 un  u4 n  u42 n  u42018 n un  u2 n  u2 2 n  u22018 n a 2019  b  Trong đó  un  xác định c bởi u1  0; un 1  un  4n  3 và a b c , , là các số nguyên dương và b  2019 . Tính S  a  b  c A. 1 B. 0 C. 2017 D. 2018 Câu 100. Cho ba số dương a , b , c theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Giá trị lớn nhất của biểu thức P  A. 9 a 2  8bc  3  2a  c  2 1 có dạng x y  x , y  B. 11  Hỏi x  y C. 13 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor bằng bao nhiêu? D. 7 Chinh phục olympic toán | 25 CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ Câu 101. Cho các số hạng dương a, b, c là số hạng thứ m, n, p của một cấp số cộng và một cấp số nhân. Tính giá trị của biểu thức log 2 ab c  bc  a  c a b A. 0 B. 2 C. 1 D. 4  Câu 102. Cho a  b  c  và cot a , cot b , cot c Tạo thành cấp số cộng. Giá trị của cot a.cot c 2 bằng? A. 1 B. 2 26 | Chinh phục olympic toán C. 3 D. 4 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN B. LỜI GIẢI. Câu 1. Cho hàm số y  x 3  2009 x có đồ thị là C  . M1 là điểm trên C  có hoành độ x1  1 . Tiếp tuyến của C  tại M1 cắt C  tại điểm M 2 khác M1 , tiếp tuyến của C  tại M 2 cắt C  tại điểm M 3 khác M 2 , <, tiếp tuyến của C  tại M n 1 cắt C  tại Mn khác M n 1  n  4; 5;... , gọi  xn ; y n  là tọa độ điểm Mn . Tìm n để: 2009xn  yn  2 2013  0 . A. n  685 B. n  679 C. n  672 D. n  675 Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm của C  và tiếp tuyến là x 3  2009x   3x1 2  2009   x  x1   x1 3  2009x1  1  . Phương trình  1  có một nghiệm kép x1  1 và một nghiệm x 2 . Ta có  1   x 3  3x  2  0 .  2 x1  x 2  0  Áp dụng định lí Viét cho phương trình bậc ba, ta có x1 2  2 x1 x2  3  x2  2 x1 . x 2 .x  2  1 2 Suy ra x1  1 , x 2  2 , x3  4 , <, xn   2  n1 . Ta có: 2009xn  yn  2 2013  0  2009xn  xn 3  2009xn  2 2013  0   2  3n3  2 2013  3n  3  2013  n  672 . Chọn ý C. Câu 2. Một hình vuông ABCD có cạnh AB  250 , diện tích S1 . Nối 4 trung điểm A1 , B1 , C 1 , D1 theo thứ tự của 4 cạnh AB , BC , CD , DA ta được hình vuông thứ hai là A1 B1C 1D1 có diện tích S 2 . Tiếp tục như thế ta được hình vuông thứ ba A2 B2C 2 D2 có diện tích S 3 và cứ tiếp tục như thế, ta được diện tích S4 , S5 ,... Tính S  S1  S2  S3  ...  S100 A. S  2 101  2 B. S  2 101  1 C. S  2 100  2. D. S  2 100  1 Lời giải Dễ thấy S1  2 100 ; S2  2 ; S3  2 ;  ; S100  2 99 98 Như vậy S1 , S2 , S3 ,..., S100 là cấp số nhân với công bội q  Khi đó ta có S  S1  S2  ...  S100 1 . 2 1   2 100.  1  100  2    2 100  2 99  2 98  ...  2   2 101  2 1 1 2 Chọn ý B. Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Chinh phục olympic toán | 27 CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ Câu 3. Khối tứ diện ABCD có thể tích V , khối tứ diện A1 B1C 1D1 có thể tích V1 , các đỉnh A1 , B1 , C 1 , D1 lần lượt là trọng tâm các tam giác BCD , CDA , DAB , ABC . Khối tứ diện A2 B2C 2 D2 có thể tích V2 , các đỉnh A2 , B2 , C 2 , D2 lần lượt là trọng tâm các tam giác B1C 1D1 , C 1 D1 A1 , D1 A1 B1 , A1 B1C 1 . Cứ tiếp tục như thế ta được khối tứ diện An BnC n Dn có thể tích Vn , các đỉnh An , Bn , C n , Dn lần lượt là trọng tâm các tam giác Bn1C n1Dn1 , C n 1Dn 1 An 1 , Dn 1 An 1 Bn 1 , An 1 Bn 1C n 1 . Tính S  V1  V2  ...  V2018 . 3 A. S  2018  1V 2.32018  27 B. S  2019  1V  27 C. S  26.27 2019 2018  1V 26.27 2018 3 D. S  2019  1V 2.32019 Lời giải A C1 D1 B1 D B A1 C 1 Ta có  B1C 1D1  //  BCD  nên d  A1 ,  B1C1D1    d  D1 ,  BCD    d  A,  BCD   . 3 1 1 Lại có B1C 1D1 BCD với tỉ số đồng dạng k  nên SB1C1D1  SBCD . 3 9 1 1 1 1 1 1 Do đó V1  V . Tương tự ta có V2  V1  2 V , V3  V2  3 V , <, V2018  2018 V . 27 27 27 27 27 27 1 1  2018 27 2018  1  V  1 1 1   1 27 . . V   S    2  ...  2018  V  27 1  1 26.27 2018 27  27 27  27 Câu 4. Tam giác mà ba đỉnh của nó là ba trung điểm ba cạnh của tam giác ABC được gọi ABC .Ta xây dựng dãy các tam giác là tam giác trung bình của tam giác A1 B1C 1 , A2 B2C 2 , A3 B3C 3 ,... sao cho A1 B1C 1 là một tam giác đều cạnh bằng 3 và với mỗi số nguyên dương n  2 , tam giác An BnC n là tam giác trung bình của tam giác An 1 Bn 1C n 1 . Với mỗi số nguyên dương n , kí hiệu Sn tương ứng là diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác An BnC n . Tính tổng S  S1  S2  ...  Sn  ... ? A. S  15 . 4 B. S  4 . C. S  9 . 2 D. S  5. Lời giải 28 | Chinh phục olympic toán Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN Vì dãy các tam giác A1 B1C 1 , A2 B2C 2 , A3 B3C 3 ,... là các tam giác đều nên bán kính đường 3 . 3 Với n  1 thì tam giác đều A1 B1C 1 có cạnh bằng 3 nên đường tròn ngoại tiếp tam giác tròn ngoại tiếp các tam giác bằng cạnh 2  3 3 A1 B1C 1 có bán kính R1  3.  S1    3.  . 3 3   Với n  2 thì tam giác đều A2 B2C 2 có cạnh bằng 3 nên đường tròn ngoại tiếp tam giác 2 2  1 3 1 3 A2 B2C 2 có bán kính R2  3. .  S2    3. .  . 2 3  2 3  3 Với n  3 thì tam giác đều A3 B3C 3 có cạnh bằng nên đường tròn ngoại tiếp tam giác 4 2  1 3 1 3 A2 B2C 2 có bán kính R3  3. .  S3    3. .  . 4 3  4 3  1 Như vậy tam giác đều An BnC n có cạnh bằng 3.   2 1 An BnC n có bán kính Rn  3.   2 n1 n1 nên đường tròn ngoại tiếp tam giác 2   1 n1 3  3  Sn    3.   . .  .  2 3 3   Khi đó ta được dãy S1 , S 2 , ...Sn ... là một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu u1  S1  3 và công bội q  1 . 4 Do đó tổng S  S1  S2  ...  Sn  ...  u1  4 . 1q   Câu 5. Cho dãy số  un  có số hạng tổng quát un  cos  2n  1   . Tổng 2018 số hạng đầu 6  tiên của dãy số  un  bằng bao nhiêu? A. 0 B.  3 2 C. 3 2 D. 1 2 Lời giải        Ta có un6  cos  2n  11   cos  2n  1  2   cos  2n  1   un , n  6 6 6     u1 u  2 u3  u4  u5  u6 * .  u7  u13  ...  u2011  u2017  u8  u14  ...  u2012  u2018  u9  u15  ...  u2013  u10  u16  ...  u2014  u11  u17  ...  u2015  u12  u18  ...  u2016 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Chinh phục olympic toán | 29 CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ  u1  u2  ...  u6  u7  u8  ...  u12  ...  u2011  u2012  ...  u2016 .  S2018   u1  u2  ...  u6    u7  u8  ...  u12   ...   u2011  u2012  ...  u2016    u2017  u2018   336.  u1  u2  ...  u6    u1  u2   3   3  3 3  3 3  336.   0     0   .          0  2   2 2  2   2    2 Câu 6. Cho dãy số  un  u1  3  thỏa mãn  un  2  1 , n  un1  1  2  1 u n    * . Khi đó u2019  a  b 3 , a , b  . Tính tổng S  a  b . A. S  3 B. S  4 C. S  9 D. S  2 Lời giải  2 tan  8  tan 2   2 tan   1  0  tan   2  1 vì tan   0 Ta có 1  tan  4 1  tan 2  8 8 8 8 8   tan  tan u1  2  1 3 8  tan      Do đó u2     3 8 1  2  1 u1 1  tan  tan  3 8    tan     tan u2  2  1  8  3 8 u3    tan   2.  8 3 1  2  1 u2 1  tan      tan    8 3 8       Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được un  tan    n  1   , n  8 3 *   Do đó u2019  tan   2018.   2  3  S  3 . 8 3 Câu 7. Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là a , b , c theo thứ tự lập thành một cấp số A C x x cộng. Biết tan tan  với x , y  và tối giản. Tính giá trị của x  y . 2 2 y y B. 1 A. 4 C. 2 D. 3 Lời giải Theo giả thiết ta có AC A C B B .cos  4 sin .cos 2 2 2 2 AC A C A C A C  2 sin .cos  4 sin .cos 2 2 2 2 A C AC A C A C A c A C  cos  2 cos  cos cos  sin sin  2 cos cos  2 sin sin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a  c  2b  sin A  sin C  2 sin B  2 sin 30 | Chinh phục olympic toán Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN  3 sin A C A C A C A C 1 sin  cos cos  3 tan tan  1  tan tan  2 2 2 2 2 2 2 2 3. Do đó x  y  1  3  4 . u1  11  Câu 8. Cho dãy số  un  xác định  . Tính giá trị của u2018 ? un 1  10un  1  9n, n  1 A. u2018  10 2018 C. u2018  2018 B. u2018  20182018 D. u2018  10 2018  2018 Lời giải Cách 1. u1  11  10  1  Ta nhận thấy u2  10u1  1  9  10.11  8  102  10 2  2 u  10u  1  18  10.102  17  1003  10 3  3 2  3 Nên dự đoán un  10 n  n Chứng minh bằng quy nạp. Ta có u1  11  10  1 . Giả sử đúng với n  k  1  uk  10 k  k khi đó uk  1  10.uk  1  9.k  10.  10 k  k   1  9 k  10 k  1  k  1 . Vậy un  10n  n nên u2018  10 2018  2018 . Cách 2. Ta có un1  10un  1  9n  un1   n  1   10  un  n  Đặt vn  un  n  vn 1  un 1   n  1  và v1  u1  1  10  v  10 Ta có dãy số  1 ,  vn  là một cấp số nhân có công bội q  10 và v1  10 .  vn1  10 vn , n  1 Ta có công thức tổng quát vn  v1q n1  vn  10.10 n1  10 n  un  n  10 n  un  10 n  n Do đó u2018  10 2018  2018 Câu 9. Cho dãy số (un ) thỏa mãn u1  Tìm giá trị nhỏ nhất của n để Sn  A. 2019 u un u u u 1 ; un1  , n  1 . Đặt Sn  1  2  3  ...  n . 1 2 3 n 2 un  1 2019 ? 2020 B. 2020 C. 2018 D. 2021 Lời giải Từ hệ thức truy hồi ta có un  0, n  1 . Ta có un1  un 1 1    1 . Do đó un  1 un1 un Từ đó suy ra Do đó un  Ta có Sn   1  1  2 và công sai d  1 ,   là cấp số cộng có u u 1  n 1  2   n  1   n  1 , n  1 . un u 1 1 1 1   , n  1  n  . n n  n  1 n n  1 n1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 .       ...    1 1 2 2 3 3 4 n n1 n1 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Chinh phục olympic toán | 31 CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ 2019 1 2019  1   n  2019 . Do đó n  2020 . 2020 n  1 2020 u0  2 2018  Câu 10. Cho dãy  un  :  2 un  1 . Tìm phần nguyên của S   ui . i 1 un  1  u  2 n  Khi đó Sn  A. 2020 B. 2017 C. 2019 D. 2018 . Lời giải Ta có un1  1  Đặt an  un  1 1 3 .   1 un  2 un 1  1 un  1 3n  1  1 2 1 .  un  1  n1  a0  1 và an  1  3 an  1  an  2 3 1 un  1 2018 2018 1 2 2018 1  S   ui  2018  2  i 1  2018  S  2018   i  2019 1 3 i 1 3 i 1 i 1 3 Phần nguyên của S . bằng 2018 . Câu 11. Cho dãy số  un  u1  2019  được xác định bởi:  . 2019 un   n  u1  u2  u3  ...  un1  , n  1 Tính giá trị của biểu thức A  2.u1  2 2 u2  ...  2 2019.u2019 . A. 32019 B. 2019 C. 3 D. 2 Lời giải Ta có đẳng thức sau  n  1 ! 1 1 n! 1 1 Cnk  .  .  .Cnk11 k1 k  1 k !.  n  k  ! n  1  k  1 !  n  1   k  1   ! n  1 1 1 k k 1 k 1 C 2018 .u1  C 2019 .2019  C 2019 k1 2019 Từ giả thiết ta có nun  2019  u1  u2  u3  ...  un2   2019un1 Suy ra S    n  1  un1  2019un1   n  2020  un1  un  n  2020 un1 . n 2018 1 1 1 1  2 u2   2 u1   2 C 2018 u1   2 C 2018 .2019  C 2019  u  2017.2018 u  1 C 2 .u  C 3 1 2018 1 2019  2 2.3 3  2016.2017.2018 1 3 4  u3     C 2018 u1  C 2019 2.3.4 4  ...   2018 2019 u2019  1 C 2018 u1  C 2019 2019   1 2 3 4 2019  S  2.C 2019  2 2 C 2019  2 3 C 2019  2 4 C 2019  ...  2 2019 C 2019   2  1 32 | Chinh phục olympic toán 2019 1 2. Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN Câu 12. Cho dãy số  xn  A. 20182 2019  x1  2  xác định bởi  xn 1 2 n  1  3x n  x  1  n 2  3x , n  n  n B. 8144648 12105 C. 8144648 12107 * D. 8144648 12103 Lời giải xn 2 2 n  1  xn  xn  1 2 n  1  3xn xn  1 xn Ta có 1  xn  1  2   2  n 2 2 xn n  3x n n  3x n  n  1 n  3xn 1  3 xn2 n yn x 1 1 Đặt dãy số yn  n2 , n  *  yn1     3 và y 1  2 n 1  3yn yn1 yn Đặt un  1 , n  *  un1  un  3 yn Suy ra  un  là cấp số cộng với u1  1 và công sai d  3 2 2n2 1 5  xn  6n  5 , n   un    n  1 3  3n  2 2 Câu 13. Cho dãy số  un  *  x2018  8144648 12103 thỏa mãn u1  1, un1  aun2  1, n  1 , a  1 . Biết rằng lim  u12  u22  ...  un2  2n   b . Giá trị của biểu thức T  ab ? A. 1 B. 2 C. 1 D. 2 Lời giải Theo giả thiết ta có un21  aun2  1  un21  1 1    a  un2   1 a 1 a   1  vn1  avn   vn  là cấp số nhân với công bội q  a 1 a 1  n1 a a 1  n1 Suy ra vn  v1 an1   u12   un2  an1 .  a  a . 1 a  a1 a1 1 a  Đặt vn  un2  a 1  2 u1  a  1  1  a  u 2  a. a  1 a 1 2 2 2 Ta có  2 1  a  ...  an 1   .n a  1 1  a  u1  u2  ...  un   a1 1 a .............................  u 2  a n  1 . a  1 n a1 1 a   u12  u22  ...  un2  1 a 1  an .n  . 1 a a1 1 a Thực hiện phép đồng nhất ta được Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Chinh phục olympic toán | 33 CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ 1  a  2  1  1  a  2   1 n      T  1 1       n   a 1  a 2     2 b  lim  .  b  lim  1    a1 1 a    2 1      Câu 14. Cho dãy số (un ) được xác định bởi u1  un 2 và un1  , n  2  2n  1  un  1 3 tổng 2019 số hạng đầu tiên của dãy số đó ? 4036 4035 4038 A. B. C. 4035 4034 4037 Lời giải D. *  . Tính 4038 4039 Theo giả thiết ta có 1 un1   1  1 1  4  n  1  2   4n  2    4.1  2    4.2  2   ...   4n  2   4n  2   u1 un  un1  2 2 3 4n2  8n  3  un1  2    2 n 2  4n  4n  8n  3  2n  1 2n  3  2 2 2 1 1  un     2n  1 2n  1 2n  1 2n  1 1 1 1 1  1   1 Từ đó suy ra Sn  u1  u2  ....  un   1        ...      1 3 3 5 2n  1   2n  1 2n  1  1 4038  S2019  1   . 2.2019  1 4039 u1  1 Câu 15. Cho dãy số  un  xác định như sau:  , với n  1, 2, 3,... 2020 2019 un1  un  2018un  un  u12019  u32019 un2019 u22019 Tính lim     ...  . un1  2018   u2  2018 u3  2018 u4  2018 4 3 2 A. B. C. . . . 2019 2019 2019 Lời giải D. 1 . 2019 Ta dễ ràng thấy rằng un  1 với mọi n  1, 2, 3,... Xét un 1  un  un2020  2018un2019  0 với mọi n  1, 2, 3,... , nên dãy  un  tăng. Giả sử dãy  un  bị chặn trên, khi đó  un  có giới hạn. Giả sử lim un  a  1 . Từ hệ thức un  1  un2020  2018un2019  un chuyển qua giới hạn có a  a 2020  2018a 2019  a  a  0  a  2018 - Điều này vô lý Vậy, dãy  un  không bị chặn trên. Suy ra lim un   . Ta có 34 | Chinh phục olympic toán Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN uk2019  uk  2018  uk2019 uk 1  uk 1 1     . uk 1  2018  uk 1  2018  uk  2018   uk 1  2018  uk  2018  uk  2018 uk 1  2018 u32019 un2019 u12019 u22019 1 1     ...    u2  2018 u3  2018 u4  2018 un1  2018 u1  2018 un1  2018  u12019    u32019 un2019 u22019 1 1 Vậy lim     ...     lim   un1  2018   u2  2018 u3  2018 u4  2018  u1  2018 un1  2018  1 1   . u1  2018 2019 Câu 16. Xét dãy số nguyên x1  34, x2  334, x3  3334, , xn  33...34 (có n số 3). Hỏi có bao 3 nhiêu chữ số 3 trong số 9x2018 ? A. 6054 B. 6055 C. 6056 D. 6057 Lời giải Ta đặt un  3xn  2 . Khi đó un  10n 1  10  2   103n3  1  2.102n2  4.10n1  3 10n1  2  xn   9xn3  3 3 3 n1 Lại có 10 3 n 3  1   10  1   10 3 n 2  10 3 n1    10  1  103 n 3  1  3  103n 2  103 n1  3  9xn3  3  10 3 n 2  10 3 n 1  Để ý rằng 10 3 n 2  10 3 n 1  2.10 2 n 2 3  10  1  10  1   2.10 2 n 2  4.10 n 1  3  10  1  111...111 (có 3n +2 số 1)  2000...00 (có 2n +2 số 0) và 4.10 n  1  400...00 (có n+1 số 0)  9 xn3  33...33533...33733...336 (trước 5 có n số 3, giữa 5 và 7 có n số 3, giữa 7 và 6 có n số 3)  9 x có 3n số 3. 3 n Câu 17. Cho dãy số  un  xác định bởi u1  1 và un1  un 1 với n nguyên dương.  2018 2019n1 Tính giới hạn A  lim un x  A. 2019 2018 B. 2018 C. 2018 2019 D. 0 Lời giải Do un1  un 1  2018    2018n1 un1  2018n un    n1 2018 2019  2019   2018  Đặt vn  2018 un ta được v1  2018 và vn 1  vn     2019  Suy ra vn  ( vn  vn 1 )  ( vn 1  vn  2 )   ( v2  v1 )  v1 n Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor n1 . n1 với n nguyên dương. Chinh phục olympic toán | 35 CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ n   2018   1  k  n    2018   2018   2019    2018    2018   2019  1  2018  k  1  2019   2019   n n n  vn 2018  1   2018    2018    2018    2018  2    2  2     un      n1   2018n 2018n   2019    2019   2018   2019    n  1   2018    2  un  0 mà lim un  lim        0  xlim x  x   2018 n  1   2019      u 1 Câu 18. Cho dãy số (u n ) xác định bởi u1  1 và un1  n  với n nguyên dương. 2018 2019n1 Tính giới hạn A  lim  u1  u2  un  Vì un  0, n  * x  A. 2018 2019 B. 2017 2019 C. 2017 2018 D. 2019 2017 Lời giải Do un1 u 1  2018   n   2018n1 un1  2018n un    n1 2018 2019  2019  Đặt vn  2018 un ta được v1  2018 và vn 1 n Suy ra vn   vn  vn1    vn1  vn 2    2018   vn     2019  n1 . n1 với n nguyên dương.   v 2  v 1   v1 n   2018   1  k  n    2018   2018   2019    2018    2018   2019  1  2018  k  1  2019   2019   n n n  vn 2018  1   2018    2018    2018    2018  2    2  2    un     n n  n1      2019   2019 2018 2018 2019 2018           k n n 1  1 1  2018   Do đó  uk   2   2018    4036 k 1  k k   2019   k 1 k  1 2018 k  1 2018 k  1 2019  n n Áp dụng công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn ta được 1 1 4036 2019 A  lim  u1  u2  un   4036  2018  2018  2019  1 x  1 1 2017 2017 1 1 2018 2019 36 | Chinh phục olympic toán Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN n x1  1 1 ; n  * . Đặt yn   Câu 19. Cho dãy số ( xn ) có  . x  2 x  x x  1 x  2 x  3  1     i  1 i n n n n  n  1 a a Biết lim yn  với là phân số tối giản và a, b nguyên dương. Khi đó tọa độ M  a ; b  b b nằm trên đường tròn nào? A.  x  1    y  2   4 B.  x  1    y  1   4 C.  x  1    y  1   10 D.  x  1   y 2  10 2 2 2 2 2 2 2 Lời giải Từ giả thiết xn1  x 2 n  3xn  xn2  3xn  2   1  x Lại có xn 1  xn  xn 2  2 xn  1   xn  1   0; n  2 Suy ra * 2 n  3xn  1  xn2  3xn  1 2 .  xn  là một dãy số tăng. Giả sử  xn  là dãy bị chặn trên  lim xn  a  a 2  3a  1  a  a  1 . Vô lý. Vậy lim xn   . Mặt khác xn 1  1  xn 2  3xn  2  xn 1  1   xn  1  xn  2   1  xn  2  xn  1 Vậy yn   1 xn  1  1  1 1 1 1 1 1 .      xn  1 xn  2 xn  1  1 xn  2 xn  1 xn  1  1 1 1 1   lim yn   M  2; 1 . 2 2 xn  1  1 Câu 20. Cho dãy số  un  3  u1  16 xác định bởi  u  9u  4 1  3u  4, n  n n  n1  Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất thỏa mãn un  10 8. A. 9. B. 10. C. 12. D. 13. Lời giải Đặt dãy số xn  1  3un , n   Ta có xn  0 và xn2  1  3un , n    un  xn2  1 3 xn21  1 x2  1 2 9 n  4xn  4  xn2 1   3xn  2  3 3   3xn  2 n  . Giả sử xn 1    3  xn    thì   1. Thay vào giả thiết ta được Suy ra xn  1 Xét dãy  yn  xác định bởi y n  xn  1 . Khi đó  yn  là cấp số nhân với y1  x1  1  9 , công 4 2  9 n1  .3  1   1  9 9 4  bội q  3  y n  .3n1  xn  .3n1  1  un   4 4 3 2 9 9  Có un  108   .3n1  1   3.108  1  .3n1  1  3.108  1 4 4  Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Chinh phục olympic toán | 37 CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ   n  log 3     4  3.108  1  1 .    1  n  9, 14. 9  Vậy n nhỏ nhất bằng 10 Câu 21. Xét các cấp số nhân có 2 n  1 số hạng dương ( n là số nguyên dương) thỏa tổng tất cả các số hạng của nó bằng 400 và tổng tất cả các nghịch đảo của các số hạng của nó bằng 4 . Giá trị lớn nhất của n là? A. 17 B. 18 C. 19 D. 20 Lời giải a a a a Đặt các số hạng của cấp số nhân là n , n1 , n2 ,..., , a , aq ,..., aq n1 , aq n với a , q là các q q q q số dương.   1 1 a a n1 n n1 n a   ...  1  ...  q  q   ...  a  ...  aq  aq  400     400 n  q n q n1 q n1   q   Ta có  n n1  q  q  ...  1  ...  1  1  4  1  q n  q n1  ...  1  ...  1  1   4 n1 n   a   a a aq aq q n1 q n  a    1 1 1 1 1 n n1 n1 n  a  n  n1  ...  1  ...  q  q   400  n  q  n1  q  ...   q  1  40  *  q q q  q  q   2  a  10   a  100 Muốn tồn tại cấp số nhân thì điều kiện cần và đủ là phương trình  *  phải có nghiệm 1 1 1  x n  n1  x n1  ...   x  1 liên tục trên D   0;   . n x x x Theo bất đẳng thức AM – GM ta có 1 1 1 f  x   n  x n  n1  x n 1  ...   x  1  2  2  ...  2  1  2 n  1 x x x dương. Xét hàm số f  x   Dấu bằng xảy ra khi x  1 . Mặt khác lim f  x    , lim f  x    x 0  x  Suy ra tập giá trị của hàm số f trên D là  2n  1;   . Phương trình  *  có nghiệm dương khi và chỉ khi 40  2 n  1  n  19, 5 . Vậy giá trị lớn nhất của n là 19 . u0  2018 u  Câu 22. Cho dãy số (un ) được xác định bởi u1  2019 . Hãy tính lim nn . 3 u  4u  3u ; n  1 n n 1  n1 1 1 A. B. C. 32018 D. 32019 2 3 Lời giải Ta có un1  4un  3un 1  un 1  un  3  un  un 1  . 38 | Chinh phục olympic toán Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN v  1 Đặt vn  un  un 1 ta có  1 . Suy ra vn  3n1 ; n  1. v  3 v ;  n  2 n1  n Ta được un   un  un 1    un 1  un 2    3n  1  3n  2  Suy ra lim   u2  u1   u1  3  2019  3n  1 3n  1  2018   2018 31 2  3n  1 2018  1 un  lim  n  .  n 3n 2.3 3  2  Câu 23. Cho dãy số  un  xác định bởi u1  1; un1  2un  thuộc khoảng nào sau đây? A.  2 2015 ; 2 2016  B.  2 2016 ; 2 2017  n3 , n  n  3n  2 2 C.  2 2017 ; 2 2018  * . Hỏi u2018 D.  2 2018 ; 2 2019  Lời giải Ta có un1  2un  n3 1 2 1 1    un1  2un    un1   2  un   n2 n1 n2 n1  n  1 n  2   1 Đặt vn  un  , n  n1 1 1   v1  u1    * , suy ra  2 2  vn  1  2 vn , n  * 1 Do đó dãy số  vn  là cấp số nhân có công bội q  2 và v1   . 2 1  1 Suy ra vn     .2 n1  2 n2 , n  *  un   2 n2 , n  * . 2 n  1   Vậy u2018  1  2 2016   2 2016 ; 2 2017  . 2019 2  u1  3 u  u u Câu 24. Cho dãy số  un  xác định  . Tính L  lim  1  22   nn  n  2   2 2 u  2nun ; n  * n1  n3 1 3 3 A. L  B. L  D. L  C. L  1 2 4 2 Lời giải 2nun Ta có un1    n  1 n  2  n  3  un1  2n  n  1  n  2  un ; n  * n3 Đặt vn  n  n  1  n  2  un ta được dãy  vn  thỏa mãn v1  4; vn 1  2 vn ; n  * nên dãy  vn  là một cấp số nhân có công thức  vn  4.2 n1 2 n1 2 n1 . Vậy un  n  n  1 n  2  un 2 1 1 1   1 1  1        . n 2 n  n  1 n  2  n  n  1  n  1  n  2   n n  1   n  1 n  2  u u  L  lim  1  22  n   2 2  un  1 1  1 1  lim     n  2  n  2 n  1 n  2  2 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Chinh phục olympic toán | 39 CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ Câu 25. Cho dãy số  xn  nguyên dương. Đặt un được xác định bởi: x1  1; xn1  3x 1  1   2018 3x 2  1  3x 2  1   2018 3x 3  1 (3xn  1)2019   xn với n là số 2019  3x 3  1   2018 3x 4  1  3xn  1   ...  2018 3 xn  1  1 . Tính lim un A. 2019 4 B. 2019 3 C. 673 3 D. 673 4 Lời giải Ta có xn1  xn  (3xn  1)2019 , n  1 2019 3  xn  1  xn   3xn  1  1 1     3xn  1 3xn1  1  3xn  1  3xn1  1  673  3xn1  1  2018 n  un   i 1 2018 n  1   1  1 1  673      673   3xi  1  1 3 xi  1  1  i  1  3xi  1  3 x1  1 3 xn  1  1   3xn  1   2019  0 nên dãy  xn  là dãy số tăng n  1 . 2019 bị chặn thì lim xn tồn tại hữu hạn. Mặt khác: xn1  xn Nếu  xn   3x i 1 ( a  1)2019 Giả sử lim xn  a   a  1 và a   a - Điều này vô lý 2019 Suy ra  xn  không bị chặn trên hay lim xn   . Do đó lim 1 3x n  1  1  0 . Suy ra lim un  n  673 673 .  3x1  1 4  u1  2019 Câu 26. Cho dãy số thực  un  tăng xác định bởi  2  un  2018un  2020un1  1  0, n  1  1 1 1 1 Đặt Sn  . Tính lim Sn   ...  u1  2019 u2  2019 un  2019 A. 2018 B. 1 2018 C. 2019 D. 1 2019 Lời giải Do  un  là dãy tăng nên un  2018, n  1 . Ta có un2  2018un  2020un  1  1  0  un1  un2  2018un  1 2020 un2  2018un  2019  2020  un 1  1    un  1  un  2019  2020 2020 1 1 1 1      *  un  1 un  2019  un1  1 un  2019 un  1 un1  1  un1  1  Thay n bởi 1, 2, 3,..., n vào (*) và cộng vế với vế các đẳng thức ta suy ra 40 | Chinh phục olympic toán Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN Sn  1 1 1 1 1 1 1   ...      u1  2019 u2  2019 un  2019 u1  1 un1  1 2018 un1  1 Do  un  là dãy số tăng nên có hai trường hợp xảy ra.  Dãy  un  bị chặn trên suy ra tồn tại lim un . Giả sử lim un  x thì x  2018 . Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n   ta có x 2  2018x  2020x  1  0  x 2  2 x  1  0  x  1 - Điều này vô lý  Dãy  un  không bị chặn trên, do  un  tăng và không bị chặn trên nên lim un    lim  un1  1    lim 1 un1  1 0  1 1  1 Do vậy, lim Sn  lim     2018 un1  1  2018 u1  1  Câu 27. Cho dãy số:  un   . Tìm lim u n . un 1 u  , n  2 n n  1  5 .u n 1  A. k  1616 B. k  808 Từ hệ thức truy hồi ta có un  Đặt dãy số vn  C. k  404 un1 1  5n.u n1 D. k  1212 Lời giải 1 1    5n . un un1 1  vn  vn1  5n  vn  vn 1  5n un  vn   vn  vn1    vn1  vn 2   ...   v2  v1   v1 5 n 21 1 .5   un   limu n  0 . 5 n 21 4 4 .5  4 4 u1  1, u2  3 u Câu 28. Cho dãy số  un  được xác định  . Tính lim n2 * n  n un 2  2un1  un  1, n  1 1 1 B. C. D. A. 1 6 3 2  vn  5n  5n 1  ...  52  1  Lời giải Ta có un 2  un 1  un 1  un  1, n  1, 2,...  un 2  un 1  un 1  un  1  un  un1  2  ...  u2  u1  n  un  2  un  1  n  2 Do đó un  u1   un  un1    un1  un 2   ...   u2  u1    n    n  1   ...   2   un  1  2  ...  n  n  n  1 n  n  1 1 u  lim n2  lim  n  n n  2 2 n2 2 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Chinh phục olympic toán | 41 CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ u1  4  Câu 29. Cho dãy số (un ) xác định như sau:  un 2 u  u  , n n  n1 2018  u u u  a lim  1  2  ...  n    a , b  un1  b  u2 u3 A. 1012 *  và ba * . Giả sử giới hạn tối giản. Tính a  3b. B. 1021 C. 1015 D. 1018 Lời giải Từ cách xác định dãy số suy ra (un ) là dãy số tăng, nên tồn tại giới hạn hữu hạn hoặc vô hạn. Giả sử tồn tại giới hạn hữu hạn l  lim un Khi đó l  4. un 2 Từ un1  un  , n 2018 Vậy lim un  . * l2 lấy giới hạn hai vế ta có l  l   l  0 (mâu thuẫn). 2018 Từ công thức truy hồi ta có 2018  un1  un   1 un u2 1   n   2018    un1 unun1 unun1  un un1  u u  1 1  1 1  1009 u   lim  1  2  n   lim 2018     lim 2018     un1  2  u2 u3  u1 un   4 un  Vậy a  3b  1015. Câu 30. Cho dãy số  xn  được xác định như sau x1  xn 2 ; xn  1  ,  n  1, 2.... 3 2  2 n  1  xn  1 Hỏi tổng của 2018 số hạng đầu tiên là bao nhiêu? 4035 2017 2018 A. B. C. 4036 2018 2019 Lời giải D. 4036 4037 Dễ thấy xn  0, n  1, 2,... . Nên theo giả thiết ta có xn  1  Đặt un  1 1 2  2n  1  xn  1 xn  1  2  2n  1  2  u1  3; un1  4  2n  1   un , n  xn 1 , n  xn *. *  un  1  un  8n  4, n  1, 2,....  un  un 1  8  n  1   4  un  2  8  n  1    n  2    2.4  .....  u1  8  n  1    n  2   ....  2  1  n.4   2 n  1  2 n  1  Do đó xn  2 2 1 1    , n  1, 2.... un  2n  1 2n  1 2n  1 2n  1 1  4036 1 1 1 1  1  x1  x2  ......  x2018          ....     1 3 3 5  4035 4037  4037 42 | Chinh phục olympic toán Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN u  1; u2  2 Câu 31. Cho dãy số  un   1 . Tổng S  1  2  ...  2017  u2018  u2019 un1  2un  un1  1; n  2 có giá trị bằng bao nhiêu? A. 2039190 B. 2035153 C. 2037171 D. 2033136 Lời giải u1  1 u  2  2 u3  2 u2  u1  1 Cách 1. Từ công thức truy hồi suy ra   u 4  2 u3  u2  1 ....  un  2 un 1  un  2  1 Cộng n đẳng thức trên theo vế ta được u1  un  un1  2  n  1  un  un 1  n  *  u1  1 u  u  1 1  2 u3  u2  2 Từ đề bài và  *  ta lại suy ra  u4  u3  3 ....  un  un 1  n  1 Cộng n đẳng thức trên theo vế ta được un  1  1  2  3  ...   n  1   1   n  1 n  1 2 n 2 2  n  2 1 Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là un   n2  n  2  , n  1 2 1  2 u2018  2  2018  2018  2   2035154  u  1  2019 2  2019  2   2037172  2019 2  S  1  2  ...  2017  u2018  u2019  1  2  ...  2017  2035154  2037172 2018.2019  1  2  ...  2017  2018   2037171 2 Cách 2. Ta có un1  2un  un 1  1; n  2  un 1  un  un  un 1  1; n  2  *  Đặt vn  un  1  un , n  2 và v1  u2  u1  1 Khi đó  *   vn  vn1  1, n  2 là cấp số cộng có v1  1 công sai d  1  vn  1   n  1  .1  n , n  1  S  1  2  ...  2017  u2018  u2019  1  2  ...  2017   u2019  u2018   1  2  ...  2017  v2018  1  2  ...  2017  2018  2018.2019  2037171 2 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Chinh phục olympic toán | 43 CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ 4  u1  3 Câu 32. Cho dãy số  un  xác định bởi  , n  1 . Tìm lim un . 2 2  n  2  u   n  1  u u  n u n n n1 n1  A. lim un  2 B. lim un  4 C. lim un  3 4 D. lim un  3 Lời giải Dễ thấy un  0, n  Với mỗi n  * * . Từ giả thiết ta có , đặt vn  n  2 2  un 1 n2   n  1 un 1 1  ta có v1  1 và un 4 1 1 n2 2  2 2 v  n  2   vn1    n  vn     n  1   n  2  vn1  n vn  vn1  2 n 4 4   n  2 2 2 2 2 2 2 2 4 4  n1  n2   n3  3  2  1  vn   v       ...       v1  2 2 1 2  n1  n   n1  5  4  3  n  1 n  n  1 n2  lim vn  0 .  1 1 1 1 1 1 Ta có lim vn  lim     lim   0  lim    lim un  4 . un 4 un 4  un 4  Câu 33. Cho dãy  un  với un  2 n  5n 2n  5 n . Giả sử ta có tổng sau 100 a   c 1 1 1 1 b S    ....   u1  1 u2  1 u3  1 u100  1 ba Trong đó a, b c là các số nguyên dương và a, b là hai số dương nguyên tố cùng nhau . Khi đó S  a  c  ? A. 151 B. 153 C. 152 D. 154 Lời giải Ta có un  1  n 2 n  5n 2.5n 1 2 n  5n 1   2    1     1      2 n  5n 2 n  5n un  1 2.5n 2   5   1 2 100 1 1 1 1 1  2 2 2  S     100           u1  1 u2  1 u3  1 u100  1 2  5 5  5   100 100  2  2 1   151 100     1  1  2 2   2     5  5    100    100   1       2  2  2  5 3   5    3  1   5   Từ đó suy ra a  2, b=5, c=151 nên : a  c  153. 44 | Chinh phục olympic toán Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN u1  9 Câu 34. Cho dãy số  un  được xác định bởi  . n1 n1 n1 n u  u  3.2  2.3 ,  n  2; 3....  n n1 Tính giá trị của u2018 ? A. u2018  2018 3.2 2018  2.32018 B. u2018  2018 9  3.2 2018  2.32018 C. u2018  2018 3.2 2017  2.32017 D. u2018  2018 3.2 2018  32018 . Lời giải unn  unn11  3.2 n 1  2.3n 1  n1 n2 n2 n2 un1  un 2  3.2  2.3 un  2  un  3  3.2 n  3  2.3n  3  n3 Ta có  n 2  unn  u11  3.  2 1  2 2  ...  2 n1   2.  31  32  ...  3n1  . . . .  u 3  u2  3.2 2  2.32 2  3 2 u2  u11  3.2 1  2.31  9  3.2. 1  2 n1 1  3n  1  2.3.  3.2 n  3n 12 13 Vậy u2018  2018 3.2 2018  32018 .  a1  2008 Câu 35. Cho dãy số thực a1 ; a2 ;...; an được xác định bởi  . Tính 2  a1  a2  ...  an  n .an , n  1 giá trị của a2008 . A. 1 2009 B. 2 2007 C. 1 2007 D. 2 2009 Lời giải Ta có a1  a2  ...  an1   n  1  an1 . 2 Do đó a1  a2  ...  an   a1  a2  ...  an1   an   n  1  an1  an . 2 Ta có phương trình  n  1  an1  an  n2 an  an  2 Suy ra an  n1 an 1 . n1 2 a1 n1 n2 n3 2 1 . . . ... . .a1  n1 n n1 4 3 n  n  1 Cho n  2008 ta được a2008  2.2008 2 .  2008.2009 2009 u1  1   n Câu 36. Cho dãy số  un  xác định bởi  1 un  1  un    , n  2  1999 dương n sao cho un  . 1000 A. 11 B. 10 C. 15 * . Có bao nhiêu số nguyên D. Vô số Lời giải Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Chinh phục olympic toán | 45 CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ  u1  1    u  u  1 2 1   2 1   2 1 n 1 1 1   1 2  21 1   2  1 Ta có u3  u2      un  1   2  ...  n 1    1 2 2 2 2n  2 n 1 2    1 2 ............    n1  1  u  u  n1     n 2   Theo giả thiết ta có un  1999 1 1999 1 1  1   2  n1   n1   n  1  log 1    10  n  11 1000 2 1000 2 1000 2  1000  Suy ra có 10 số nguyên dương n thỏa mãn đề bài. 1 Câu 37. Cho dãy số  xn  xác định bởi x1  . Biết rằng 4 x1  4x2  9x3  ...   n  1 xn1 2 xn  n2  n  1  , n  2, 3.... Tính lim  30n2  12 n  2018  xn A. 15 B. 30 C. 15 4 D. 15 2 Lời giải Ta có xn  1  xn  1   x1  4 x2  9 x3  ...   n  1 2 xn 1   n 2 xn n 2  n  1  xn  n 2 xn     xn  1  2 2  n  1 n  n  1 n n 3 xn  n  1 2 n  xn  1  n2  n  1 xn   n  1  x n  1  n 2 x n . 2 2  n2 xn   n  1 xn1  ...  4x2  1.x1  2  lim  30n2  12n  2018  xn  lim 1 1  xn  2 4 4n 30n2  12n  2018  15 3 1009  15  lim     2 2  4n  2 n 2n  2 u1  2 Câu 38. Cho dãy số  un  được xác định bởi công thức  . Tìm 2 2019 u  u  2018 u ,  n  1 n1 n n  un u1 u giới hạn của dãy số  Sn  xác định bởi công thức Sn  .  2   u2  1 u3  1 un 1  1 A. lim Sn  2018 B. lim Sn  2019 C. lim Sn  2018 2019 D. lim Sn  1 Lời giải 46 | Chinh phục olympic toán Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN Trước tiên ta có hai nhận xét sau  u1  1  un 1  un2  2018un  2019, n  1  un  2, n  1 nên un2  un  1, n  1 . Theo giả thiết ta có 2019un1  un2  2018un  2019  un1  un   un  un  1    un u  un  n1 2019 un  1  1 un un1  un un 1     2019    2019  un1  1  un  1 un1  1 un1  1  un  1 un1  1   1 1   Sn  2019     u1  1 un1  1  . Để tính lim 1 un 1  1 , ta chứng minh mệnh đề  *  : 2019un  1  4036  n , n  1 bằng quy nạp. Từ 2019u2  4  4036  4040  4037 suy ra mệnh đề  *  đúng khi n  1 . Giả sử 2019uk  1  4036  k , k  1 . Khi đó 2019uk  2  uk2 1  2018uk  1  uk  1  1  2018uk  1  1  2019uk  1  1  4036  k . Suy ra  *  đúng khi n  k  1 . Hay 2019un  1  4036  n , n  1 . Do đó 2019  un1  1   2019  n  Ta lại có lim 1 un 1  1  2019 . n  2019 2019 1  0 nên lim 0. n  2019 un1  1  1 1  Vậy lim Sn  2019   lim   2019 . u  1 u  1 n1  1  Câu 39. Cho dãy số  un  được xác định bởi: u1  1, un1  Tính lim un , n  1, 2, 3,... un  1 2018  u1  1  u2  1  ...  un  1  . 2019n A. lim Sn  2018 B. lim Sn  2019 Do u1  0  un  0, n  * . Ta có un1 C. lim Sn  2018 2019 D. lim Sn  1 Lời giải un 1 1 1     1  un  , n  1, 2,... un  1 un1 un n 1  1  1  2 3 n1  1   1  ...   1   . ...  n1 n 1  2  n  1 2  u1  1 u2  1 ...  un  1   1  2018  1   2018  u1  1  u2  1  ...  un  1  2018  n  1  n  2018   lim  lim  lim  2019n 2019n 2019 2019 2018  u1  1 u2  1  ...  un  1  2018 Vậy lim .  2019n 2019 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Chinh phục olympic toán | 47 CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ Câu 40. Cho các số a1 , a2 , a3 , a4 , a5  0 lập thành cấp số cộng với công sai d và b1 , b2 , b3 , b4 , b5  0 lập thành cấp số nhân với công bội q . Biết rằng a1  b1 và a5  b5 . Hỏi có bao nhiêu khẳng định luôn đúng trong các khẳng định sau? i) a2  b2 A. 1 ii) a3  b3 iii) a4  b4 iv) d  q C. 3 B. 2 D. 4 Lời giải Đặt a1  b1  x , a5  b5  y , mà a5  a1  4d và a2  a1  d nên a2  Tương tự ta tính được a3  a4  3a1 3x  y  . 4 4 xy x  3y và a4  . 2 4 Lập luận tương tự với CSN, ta cũng có b2  4 x 3 y , b3  xy , b4  4 xy 3 . Theo bất đẳng thức AM – GM ta có xy 3x  y 4 3 x  3y 4 3  xy  b3 , a2   x y  b2 , a4   xy  b4 2 4 4 Do đó, cả i), ii) và iii) đều đúng. Tuy nhiên, điều kiện iv) không luôn đúng, chẳng hạn khi a3  x  y thì d  0 nhưng q  1. Câu 41. Cho dãy số  un  biết : u1  1 , un1  3  n  1 un  2n3  3n  1  n  n *  . Giá trị nhỏ nhất của n để un  n3  n.32018 là bao nhiêu? A. n  2019 B. n  2018 C. n  2017 D. n  2020 Lời giải Biến đổi giả thiết ta có un1  3  n  1 n un  2n3  3n  1  un1 u u 2 u   3 n  2n2  2n  1  n 1   n  1   3  n  n2  n1 n n1  n  un  n2 .Ta có Sn 1  3Sn ,n  * n  Dãy số  Sn  là cấp số nhân với công bội q  3 và S1  2  Sn  2.3n1 , n  N * Đặt Sn  un 1  n2  32018  2.3n1  32018  3n 2019  n 2 1 1  n  2019  log 3  n  log 3  2019  2018, 369... 2 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của n là n  2019 . Theo bài ra, un  n3  n.32018  48 | Chinh phục olympic toán Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN Câu 42. Cho dãy số không âm  un  ,  n  *  được xác định bởi công thức sau u2  1   m, n  , m  n   2 1 2 2 2 u  u  u  u   m n  1 2 m1 2 n1  m  n  1 2 Khi đó tổng của 2019 số hạng đầu tiên của dãy khi viết dưới dạng thập phân có chữ số ở hàng đơn vị bằng bao nhiêu? A. 1 C. 3 B. 2 D. 4 Lời giải 1 2  u2 m1  u22m1   u1  0  1 2 1 Cho n  0 ta có um2 1  um2 1   u22m1  u12   u22m1  4um2 1  u2 m1  2um1  2  2 u  u2.11  2.u11  2u2  2. 1 Vì u2  1 nên  3  u2211  u2211   u421  u221   u42  9  u4  3 . 2 u5  u2.2 1  2u2 1  2u3  4. Cho n  m ta có u22m1  u12   3 Ta chứng minh un 1  n , n  Thật vậy, với n  0, n  1, n  2, n  3 thì  3  đúng. Giả sử  5  đúng đến n  k , k  , k  3 , tức là uk  1  k và uk  k  1 . Khi đó 1 2 1 u2 k  1  u32    4uk2 1  4   2 2 2 2 2 2  2 k  2   k  1  k  2 k  1   k  1 uk2 1 1  uk21 1   uk2 2  uk  2  k  1 Vậy tổng của 2019 số hạng đầu tiên của dãy là S2019  0  1  2  ...  2018  2037171 . Do đó chữ số ở hàng đơn vị là 1. Câu 43. Cho dãy số  xn  được xác định bởi x1  2019, xn 1  xn2  xn  1, n  1, 2, 3,... . Với  1 1 1 mỗi số nguyên dương n , đặt yn  2019    ...   . Khi đó lim y n bằng? xn   x1 x 2 2018 2019 A. B. C. 2018 D. 2019 2019 2018 Lời giải Ta có xn1  xn  xn2  2 xn  1   xn  1   0  xn  1  xn , n  1. Do đó  xn  tăng. 2 Giả sử dãy  xn  có giới hạn hữu hạn bằng A  lim xn  lim xn 1  A  2019 . Chuyển qua giới hạn hai vế phương trình xn 1  xn2  xn  1 ta được A  A2  A  1  A  1  2019 vô lý. Vậy lim xn   . Ta có xn 1  1  xn  xn  1   1 xn  1  1  1 1 1 1 1 1      . xn  xn  1  xn  1 xn xn xn  1 xn  1  1  1 1  1  1 1 1  1  Do đó yn  2019    ...    2019      2019   xn   x1 x 2  x1  1 x n  1  1   2018 xn1  1  Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Chinh phục olympic toán | 49 CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ Từ lim xn    lim 2019 1 .  0 . Vậy lim yn  2018 xn u1  2020 Câu 44. Cho dãy số (un) được xác định bởi  . 2 2 4 n  16 n u  n  6 n  5 u , n  1     n  1 n   4n  Gọi k  lim  2 .un  thì k có giá trị là? n  A. k  1616 B. k  808 C. k  404 D. k  1212 Lời giải 2 Ta có  4n2  16n  un 1   n2  6n  5  un  4  n2  4n  un 1   n  1  4  n  1  un   un  1 u 1  n  1  4  n  1 1  . un   . 2 n 2 2 4 n  4n  n  1   4  n  1  4 n  4n 2  un  1 Đặt dãy số vn  un 1  vn 1  vn n  4n 4 2   vn  là cấp số nhân có công bội q  1 và số hạng đầu 4 u 1 1 v1  1  .2020  404  vn  404.   5 5 4 n1 1  un  404.   4 n1 n 2  4n  n1  4n   n 2  4n  4  1 2 .4.404  k  lim  2 .404.    n  4n    lim    lim  1   .1616  1616 2 n  n  4  n    Câu 45. Cho dãy  un  u1  1  được xác định bởi  1  un21  1 u  ; n  2, n   n un1  , đặt Sn  u1  u2  ...  un . Hãy chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau? A.  un  là dãy bị chặn.  1 B. Sn  1  1    4   2  C.  un  là dãy giảm D. Sn  n , n   n 1    . Lời giải  Cách 1. Ta có u1  1  tan ; u2  4     1 1  cos 4 4  tan  .    2.4 tan sin 4 4 1  tan 2  1 . 2 .4  Thật vậy, giả sử uk  tan k 1 , k  1 , khi đó 2 .4 Từ đây ta dự đoán un  tan 50 | Chinh phục olympic toán n1 , n  N  Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN 1  tan 2  1 1  cos  2 .4 2 .4  tan  .    2 k.4 tan k 1 sin k 1 2 .4 2 .4 Theo nguyên lý quy nạp suy ra công thức  1  đúng. uk  1    k 1   0  un  1 nên  un  là dãy bị chặn. 2 .4 4   Vì tan x là hàm số đồng biến trên  0;  suy ra  un  là dãy giảm.  4 Vì 0   k 1 n1   Ta có Sn  u1  u2  ...  un  nu1  n.  1     Xét hàm f ( x )  tan x  x ; x  0;  , có f ( x )   1  tan 2 x  0, x  0;  . 2 cos x  4  4    tan x  x , x  0;  đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x  0 . Do đó  4   Sn  1   2  2.4 2 .4  1  n 1  1  1    2 .4 4   2   n1    Cách 2. Từ giả thiết suy ra un  0, n   . Ta có un  1  un21  1 un  1 Suy ra  un  giảm (C đúng) và un   0; 1 , n   un 1  1  un21  1  un 1 . hay A đúng. Và khi đó Sn  n tức D đúng. Vậy chọn B. Câu 46. Cho dãy số  un  u1  1  2  n  1  un 1 2n thỏa mãn  un   , n  2 2  n n  n  1  1    Tìm giới hạn của dãy số  sn  với sn  n3 un , n  A. lim  sn    * * . . B. lim  sn   0 C. lim  sn   1 1 D. lim  sn   . . 2 Lời giải  Ta có  n2  n  1  1   n2  1   2n  n2  1   n2  1   n2  1   n  1   1 2 2 2  Theo giả thiết ta có 2  n  1  un 1 2n 2n  n2 un    nun  2  n  1  un  1  2 n  n2  1   n  1 2  1  n2  n  1  1   nun  2  n  1 un1   1 2 1 1 1     n  1 un1    nun  2   1 2 2 n  1  n  1  1 n 1  n  1  1 2  2 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Chinh phục olympic toán | 51 CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ Đặt vn  nun  1 , n  n 1 2 số nhân với công bội q  * . Khi đó  1  trở thành vn1  1 1 1 1 , v1  u1    vn  v1 .   2 2 2 2  un  n1 1 vn , n  2 1   2 *   vn  là một cấp n n3 n2 1 1 3   s  n u   . n n n3  n 2 n n n3  n 2 n Ta có n3 1  lim  1; 3 1 n n 1 2 n  lim  Với mọi số nguyên dương n  3 , ta có n3  5n  6 n3  5n  6 n 2  C  C  C  C  ...  C  C  C  C  C  2  2 6 6 n 0 n 1 n 2 n 3 n n n 0 n 1 n 2 n 3 n n3  5n  6 , n  * . 6 6 2 n2 n2 6n 2 6 n n2 n  n  n 3 , n  * ; lim 3  lim  0  lim n  0. 5 6 2 2 n  5n  6 n  5n  6 2 1 2  3 n n Mặt khác  2  vẫn đúng mới n  1; 2 . Do vậy nên 2 n   n3 n2  Vậy lim sn  lim  3  n   1. n n 2  Câu 47. Cho các dãy  un  un  1  4un2  4un  0  thỏa:   n  1 u2018   2 *  . Khi đó u 1 có thể nhận tất cả bao nhiêu giá trị? A. 2 2017 B. 2 2018 C. 2 2019 D. 2 2018  1 . Lời giải Xét hàm số: f  x   4x  4x với x   0;1  ta có f  x    0; 1  2 1   0; 1   u2017   0; 1   ...  u1   0; 1  2 Ta chứng minh bằng quy nạp 0  un  1 . Mặt khác u2018  f  u2017   Theo trên có u1   0; 1  ; u2   0; 1  . Giả sử uk   0; 1  khi đó do uk  1  f  uk    0; 1  nên có điều chứng minh.   Vì 0  u1  1 nên tồn tại số   0;  sao cho u1  sin 2   2 Khi đó u2  4u1  1  u1   4 sin 2   1  sin 2    sin  2 2   Theo nguyên lý quy nạp ta có un  sin 2  2 n1   52 | Chinh phục olympic toán Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN 1 1 1 1 1  sin 2  2 2017      cos  2 2018    2 2 2 2 2    cos  2 2018    0    2019  k 2018  k   2 2    1 1 nên 0  2019  k 2018     k  2 2017  2 2 2 2 2 Theo giả thiết ta có u2018    Vì   0;   2 Vậy k  {0; 1; 2;...; 2 2017  1} Do đó có 2 2017 giá trị u1   2 2019 k  2 với k  0; 1; 2;  ; 2 2017  1 thỏa yêu cầu. 2018 2 2 un  a , n  3 Câu 48 . Cho dãy số  un  thỏa mãn: u1  1 ; un1  * . Biết rằng lim  u12  u22  ...  un2  2n   b . Giá trị của biểu thức T  ab là? A. 2 B. 1 C. 1 D. 2 Lời giải 2 2 2 un  a  un21  3a   un2  3a  3 3 Biến đổi giả thiết ta có un1  Đặt vn  un2  3a thì  vn  là cấp số nhân với v1  1  3 a và công bội q  2 Do đó vn    3 n 1 2  1  3a   u  vn  3a    3 n 1 2 n 2 . 3  1  3a   3a . n 2 1    2 n  3  2 2 2  u1  u2  ...  un  2n   1  3a   2n  3na  3  1  3a   1      n  3a  2  .  3  2   1 3 Mặt khác ta lại có lim  u12  u22  ...  un2  2n   b 2      2 n  3a  2  0 a   lim  3  1  3 a   1      n  3 a  2    b    3 ,  3    b  3 1  3 a     b  3     Vậy T  ab  2 . Câu 49. Cho 2 dãy cấp số cộng un  u1 ; u2 ;...un có công sai d 1 và vn  v1 ; v2 ;...vn có công sai d2 . Gọi tổng của n số hạng đầu của mỗi cấp số theo Sn  u1  u2  ...  un  7 n  1 và Tn  v1  v2  ...  vn  14n  27 . Tính tỉ số của A. 5 3 B. 4 3 C. 9 4 D. thứ tự là u11 v11 5 4 Lời giải n  2u1   n  1 d1  n  2 v1   n  1 d2  Từ giả thiết, ta có Sn   và Tn   2 2 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Chinh phục olympic toán | 53 CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ  Sn 2 u1   n  1  d1 7n  1    2 v1   n  1  d2 4n  27 T  n  u11  u1  10 d1  2 u1  20 d1  v11 v1  10 d2 2 v1  20 d2  1 2 . So sách (1) và (2) bằng cách đồng nhất  n  1  20  n  21  u11 148 4   v11 111 3 Câu 50. Cho dãy số  an  xác định bởi a1  5, an 1  q.an  3 với mọi n  1 , trong đó q là hằng số, q  0 , q  1 . Biết công thức số hạng tổng quát của dãy số viết được dưới dạng an  .q n1 1  q n1 . Tính   2 ?  1q B. 9 A. 13 C. 11 D. 16 Lời giải 3 Ta có an 1  k  q  an  k   k  kq  3  k  1q Đặt vn  an  k  vn 1  q.vn  q 2 .vn  1  ...  q n .v1  3  Khi đó vn  q n1 .v1  q n1 .  a1  k   q n1 .  5   1q    1  q n1 3  3  3 n1  n1 Vậy an  vn  k  q n1 .  5  .  k  q . 5    5. q  3.    1  q 1  q 1  q 1  q     Do đó   5;   3    2  5  2.3  11 . Câu 51. Cho cấp số nhân u1 , u2 , u3 ,.., un ; Sn  u1  u2  u3  ...  un  2018 , Tn  trong đó ui  0, i  1, 2,..., n . Biết rằng 1 1 1 1 1 .    ...   2019 và P  u1 .u2 .u3 ....un  100 u1 u2 u3 un Hỏi số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn P là? A. 9295 B. 9296 Ta có Sn  u1  u2  u3  ...  un  C. 18592 u1  q n  1 q1 Và Lời giải  2018  1  q   2019 1 1 1 1 Tn     ...   u1 u2 u3 un u1q n1  1  q  n Từ  1  và  2  suy ra D. 18591  1 2 Tn 2018  u12 q n1  Sn 2019 Ta có Qn  u1 .u2 .u3 ....un  u1 .  u1 .q  .  u1 .q 2  ....  u1 .q n 1   u1nq 54 | Chinh phục olympic toán n n  1 2 n 2 n 1 2 1  u q  n  2018  2    2019  Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN n 1  2018  2  1   n  2 log 2018  Theo đề      18591, 1  nmin  18592 100  2019  2019  100  4 Câu 52. Gọi q là công bội của một cấp số nhân , biết tổng ba số hạng đầu bằng 16 , đồng 9 thời theo thứ tự , chúng là số hạng thứ nhất , thứ tư và thứ tám của một cấp số cộng . Hỏi q thuộc khoảng nào sau đây? A. q   3; 4  B. q   1; 2  C. q   2; 3  D. q   0; 1  Lời giải Gọi : u1 , u2 , u3 là 3 số hạng đầu tiên của cấp số nhân , với công bội q . Gọi  vn  là cấp số cộng tương ứng với công sai là d . Theo giả thiết ta có : 4  4  2 u1  u2  u3  16 9 u1  u1q  u1q  16 9  u  v  u1q  u1  3d 1  1 u2  v4  v1  3d  2  u1q  u1  7 d u  v  v  7 d  8 1  3 Khử d từ (2) và (3) ta được : u1  3q 2  7 q  4   0  1 2 3  4 . q  1 4 Do (1) nên : u1  0   4    . Theo định nghĩa thì q  1 , do vậy q  4 q  3 3  Câu 53. Cho dãy số  un  như sau: un  lim  u1  u2  ...  un  . n , n  1 , 2 , ... Tính giới hạn của tổng 1  n2  n4 x  A. 1 4 B. 1. 1 2 C. D. 1 3 Lời giải Ta có un  n 1  n  2 2  n2 Ta có u1  u2  ...  un   n n 2  n  1  n  n  1  2  1 1 1   2  2  2 n n1 n n1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1   2  1         ...  2  2 3 3 7 7 13 13 21 n n1 n n1 1 1 n 1 1 1 1  1 n n  lim  u1  u2  ...  un   lim  . 1 2  2 1 1 2 2 n n1 2 n n1 1  2 2 n n x  10 khi x  2018   Câu 54. Cho hàm số f  x    . Tính giá trị f  1   f  2018  .   f  f  x  11  khi x  2018 A. 1999 B. 2009 C. 4018 D. 4036  2 Lời giải Ta có Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Chinh phục olympic toán | 55 CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ f  2018   f  f  2018  11    f  f  2029    2019  10  2009 f  2017   f  f  2017  11    f  f  2028    f  2018   2009 ... f  2009   f  f  2009  11    f  f  2020    f  2010   2009 f  2008   f  f  2008  11    f  f  2019    f  2009   2009 f  2007   f  f  2007  11    f  f  2018    f  2009   2009 ... f  1   f  f  1  11    f  f  12    2009 Do đó ta có f  2018   f  2018   ...  f  1  2009  f  1  f  2018   4018 Câu 55. Cho dãy un  thỏa mãn 25.2 2 u5  1  15.2 u1  u5  2  5.2 u5  15.2 u1  4  0 và un  1  un  8. Giá trị nhỏ nhất của n để un  2019. A. 512. B. 258. C. 511. D. 257. Lời giải Từ un 1  un  8.   un  là CSC công sai d  8  un  u1  8  n  1   u5  u1  32 Thay vào giả thiết ta được: 2  5.2 32  3  2 u1    5.2 32  3  2 u1  4  0 2 Có dạng phương trình bậc 2 suy ra:  5.2 32  3  2 u1   1  33  1  33   u1  log 2  32 4  4  5.2  3   2019  u1  1  257, 63  nmin  258 8 Câu 56. Cho một cấp số cộng : u1 , u2 , u3 , u4 thỏa u1u4  u2 u3  6 . Tìm tập xác định D của un  u1  8  n  1  2019  n  hàm f  x    x  u1  x  u2  x  u3  x  u4   9 A. D    ; 6  B. D   6;   C. D  D. D   6; 6  Lời giải Theo tính chất của cấp số cộng , ta có : u1  u4  u2  u3 Do đó  x  u1  x  u2  x  u3  x  u4    x 2   u1  u4  x  u1u4  x 2   u2  u3  x  u2 u3   *  Đặt t  x 2   u1  u4  x  x 2   u2  u3  x , khi đó :  *   f  t    t  u1u4  t  u2 u3   9  t 2   u1u4  u2 u3  t  u1u4u2u3  9 Với : t   u1u4  u1u3   4u1u2 u3u4  36   u1u4  u2 u3   36 . 2 2 Rõ ràng u1u4  u2 u3  6   t  0  f  t   0, t  f  x  có nghĩa với mọi x 56 | Chinh phục olympic toán Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN 2 2 2 1  1 1    Câu 57. Biết tổng Sn   2     2 2  2   ...   2 n  n  . Giá trị nhỏ nhất của n để 2  2  2    399  2n4n , n Sn  4n A. 41 * B. 40 C. 51 D. 50 Lời giải 1  Ta có Sn   2 2  2  2 2  1  1    4  2n    2  2  4   ...   2  2  2 n  2  2     1 1   1   2 2  2 4  ..  2 2 n   2n   2  4  ..  2 n  2 2  2 Áp dụng công thức tính tổng của n số hạng đầu của một cấp số nhân : Sn  u1 qn  1 : q1 n 1 1 n 4n  1  4 n 1  1   4 1 1  4  Sn  4.  2n  .  2n  3 4 1 1 3.4n 4 Theo đề bài ta có: 4 2n  n  1 4n1  1  399  2n4n   4n  1 4n1  1   3100  n  39, 124...  nmin  40 n n 3.4 4 Câu 58. Cho dãy ( xn ) thỏa mãn x1  5, xn 1  xn2  2, n  1 . Tính giá trị của   1  1 1 M  lim    ........   x1x2 ...xn   x1 x1 x 2 A. M  5  21 2 B. M  5  21 2 C. M  3  31 3 D. M  3  15 3 Lời giải Đầu tiên dễ thấy xn   Ta có xn2 1   xn2  2   xn21  4  xn2  xn2  4   ...   x1 .x2 ....xn   x1 2  4  2  Lại có xn  1  x1 .x2 ....xn 2 4  x1 .x2 ....xn  2  21  lim xn  1  lim x1 .x2 ....xn 4  x1 .x2 ....xn  2  21  21  1  xn  1 x 2 2 xn 2 1 1  n    ...  x1  2    ........   x1 x2 ...xn x1 x2 ...xn x1 ...xn1 x1x2 ...xn x1x2 ...xn   x1 x1 x 2 xn  1  1 1 1 1   ........    x1   x1 x1 x 2 x1 x2 ...xn 2  x1 x2 ...xn   1  1 xn 1  5  21 1 1  lim    ........     5  lim  x1 x2 ...xn  2  x1 x2 ...xn  2  x1 x1 x 2  Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Chinh phục olympic toán | 57 CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ 1   Câu 59. Cho hàm số y  f  x   ln  1  2  . Biết rằng : x   f  2   f  3   ...  f  2018   ln a  ln b  ln c  ln d trong đó a , c , d là các số nguyên tố và a  b  c  d . Tính P  a  b  c  d A. 1986 B. 1698 C. 1689 D. 1989 Lời giải  x 1 Ta có y  ln  2   ln  x  1  ln  x  1  2 ln x  x  2 Khi đó: f  2   ln 1  ln 3  2 ln 2 f  3   ln 2  ln 4  2 ln 3 f  4   ln 3  ln 5  2 ln 4 .......... f  2017   ln 2016  ln 2018  2 ln 2017 f  2018   ln 2017  ln 2019  2 ln 2018  f  2   f  3   f  4   ...  f  2017   f  2018    ln 2  ln 2018  ln 2019  ln 3  ln 4  ln 673  ln 1019 Câu 60. Cho dãy số  un  thỏa mãn log u1  2  log u1  2 log u10  2 log u10 và un 1  2un với mọi n  1 . Giá trị nhỏ nhất để un  5100 bằng A. 247 B. 248 C. 229 D. 290 Lời giải Vì un 1  2un nên dễ thấy dãy số  un  là cấp số nhân có công bội q  2 . Ta có u10  u1 .q 9  2 9.u1 . Xét log u1  2  log u1  2 log u10  2 log u10  log u1  2 log  2 9.u1   2  log u1  2 log  2 9.u1   0  log u1  18 log 2  2 log u1  2  log u1  18 log 2  2 log u1  0   log u1  18 log 2  2  log u1  18 log 2  0 Đặt 2  log u1  18 log 2  t  t  0 . Phương trình trên trở thành t  1 t2  2  t  0  t2  t  2  0   t  2  L  Với t  1  2  log u1  18 log 2  1  2  log u1  18 log 2  1  u1  Trong trường hợp này ta có: un  Mà n  * 5 2 17 5 n1 .2  5100  2 n18  599  n  99 log 2 5  18 2 17 nên giá trị nhỏ nhất trong trường hợp này là n  248 . 58 | Chinh phục olympic toán Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN Chọn ý B. Câu 61. Cho dãy số  un  thỏa mãn ln 2 u6  ln u8  ln u4  1 và un 1  un .en  1 . Tìm u1 C. e 3 B. e 2 A. e D. e 4 Lời giải Từ giả thiết suy ra dãy số  un  là cấp số nhân với công bội e và un  0n  1 . Ta có u6  u1 .e 5 ; u8  u1 .e7 ; u4  u1 .e 3 . Do đó ta có: ln 2 u6  ln u8  ln u4  1  ln 2  u1 .e 5   ln  u1 .e7   ln  u1 .e 3   1   ln u1  5    ln u1  7    ln u1  3   1   ln u1   8  ln u1   16  0 2 2  ln u1  4  u1  e 4 Chọn ý D. Câu 62. Cho dãy số  un  thỏa mãn e u18  5 e u18  e 4 u1  e 4 u1 và un  1  un  3 với mọi n  1 . Giá trị lớn nhất của n để log 3 un  ln 2018 bằng? A. 1419 B. 1418 D. 1417 C. 1420 Lời giải Ta có un  1  un  3 với mọi n  1 nên  un  là cấp số cộng có công sai d  3 e u18  5 e u18  e 4 u1  e 4 u1  5 e u18  e 4 u1  e 4 u1  e u18  1  Đặt t  e u18  e 4 u1  t  0  Phương trình  1  trở thành 5 t  t  t  5 t  0  t   t 5 0 t 0 t 0 Với t  0 ta có e u18  e 4 u1  u18  4u1  u1  51  4u1  u1  17 Vậy un  u1   n  1  d  17   n  1 3  3n  14 Khi đó ta được log 3 un  ln 2018  un  3 ln 2018  3n  14  3 ln 2018  n  3ln 2018  14  1419, 98 3 Vậy giá trị lớn nhất của n là 1419 . Chọn ý A. Câu 63. Cho dãy số  an  thỏa mãn a1  1 và 5an1  an  1  3 , với mọi n  1 . Tìm số 3n  2 nguyên dương n  1 nhỏ nhất để an là một số nguyên. A. n  123 Từ giả thiết ta có 5an1  an B. n  41 C. n  39 D. n  49 Lời giải 3 3n  5 3n  5 1   5an1  an   an1  an  log 5 3n  2 3n  2 3n  2 Từ đó suy ra Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Chinh phục olympic toán | 59 CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ an  an 1  log 5 3n  2 3n  1 3n  2  an  2  log 5  log 5 3n  1 3n  4 3n  1 ... 8 11 3n  1 3n  2  log 5  ...  log 5  log 5 5 8 3n  4 3n  1 3n  2  8 11 3n  1 3n  2   1  log 5  . ... .  log 5  3n  2    1  log 5 5  5 8 3n  4 3 n  1   a1  log 5 Do đó an  log 5  3n  2  . Vì n  1 nên an  log 5  3n  2   log 5 5  1 , đồng thời dễ thấy  an  5an  2 . 3 Lần lượt thử các giá trị an  2; 3; 4;... ta có an  3 là giá trị nguyên, lớn hơn 1, nhỏ nhất, cho là dãy tăng. Lại có an  log 5  3n  2   n  giá trị tương ứng n  41 . Vậy n  41 . Chọn ý B. 2u u u u u 2u  4e 9  2 e 9  4e 1 9  e 1  e 1  3 Câu 64. Cho dãy số  un  thỏa mãn  . Giá trị nhỏ nhất của * u  u  3,  n   n  n1 số n để un  1 ? A. 725 B. 682 C. 681 D. 754 Lời giải Từ giả thiết ta suy ra  un  là CSC có công sai d  3  u9  u1  24 . Biến đổi giả thiết tương đương 4 e 2 u9  2 e u9  4 e u1  u9  e u1  e 2 u1  3  4 e 2 u1  48  2 e u1  24  4 e 2 u1  24  e u1  e 2 u1  3  0   2e 24  1  e 2 u1    2e   2 e 24  1  e 2 u1  2 24   1  e 2 u1  3  0  1  13  1  13   u1  ln  24 2  2  2 e  1   Ta có un  u1  3  n  1   2018  n  681  n  682 Chọn ý B. Câu 65. Cho dãy số  un  có số hạng đầu tiên u1  1 thỏa mãn đẳng thức sau : log 22  5u1   log 22  7 u1   log 22 5  log 22 7 và un 1  7 un với mọi n  1 . Giá trị nhỏ nhất của n để un  1111111 bằng? A. 11 B. 8 C. 9 D. 10 Lời giải Vì un 1  7 un nên dễ thấy dãy số  un  là cấp số nhân có công bội q  7 . Biến đổi giả thiết tương đương 60 | Chinh phục olympic toán Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN log 22  5u1   log 22  7 u1   log 22 5  log 22 7   log 2 5  log 2 u1    log 2 7  log 2 u1   log 22 5  log 22 7 2 2  2 log 2 5.log 2 u1  2 log 22 u1  2 log 2 7.log 2 u1  0 u  1  L  log 2 u1  0 1   1  u1  35  2 log 2 5  2 log 2 u1  2 log 2 7  0 log 2 35u1  0 1 n1 .7  1111111  7 n 1  35.1111111 35  n  log 7  35.1111111   1 . Mà n  * nên giá trị nhỏ nhất trong trương hợp này là Ta có un  u1 .7 n 1 . un  1111111  n  10 . Chọn ý D. Câu 66. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a thuộc đoạn  0; 2018  sao cho ba số a 5x 1  51 x ; ; 25x  25 x theo thứ tự đó, lập thành một cấp số cộng? 2 A. 2008 B. 2006 C. 2018 D. 2007 Lời giải Ba số 5x  1  51 x ; a ; 25x  25 x , theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi 2 a   5x  1  51 x    25x  25 x   2 5x  1  51 x  2 25x  25 x  12 . x 1 1 x  5  5 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi  x x0. x  25  25 Như vậy nếu xét a   0; 2018 thì ta nhận a   12; 2018  . Có 2007 số a thoả đề. Chọn ý D. Câu 67. Cho dãy số  un  thỏa mãn 2 2 u1  1  2 3u2  8 1  log 3  u32  4u1  4  4  và un 1  2un với mọi n  1 . Giá trị nhỏ nhất của n để Sn  u1  u2  ...  un  5100 bằng A. 230 B. 231 C. 233 D. 234 Lời giải Theo giả thiết ta có un 1  2un nên  un  là một cấp số nhân với công bội q  2 . Suy ra un  u1 .2 n 1 với mọi n  2 2 u1  1  2 3u2  * , n  2 . Ta lại có : 8  2.4 u1  8  4 u1 8 1  1  log 3  u32  4u1  4  log 3  u32  u3  4  4  4  8 8 8 8  Mà 2.4u1  u1  8 và 2 4  1  1 2   log 3  u3  u3  4  log  u  1  3   3  3 4    2  Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor  1 Chinh phục olympic toán | 61 CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ 8  u1 2.4  8  4 u1  1 8 Nên phương trình  1  tương đương   u1  8 2  1 2  log u  u  4   3 3 3 4   Khi đó Sn  u1  u2  ...  un  u1 Do đó, Sn  5 100 1  2n 2n  1  12 2 2n  1 2n  1 100   5  log 5  100  n  233 2 2 Chọn ý D. Câu 68. Cho dãy số  un  thỏa mãn log 3  2u5  63   2 log 4  un  8n  8  , n  B. 17 . un .S2 n 148 .  u2 n .Sn 75 Đặt Sn  u1  u2  ...  un . Tìm số nguyên dương lớn nhất n thỏa mãn A. 18 * C. 16 D. 19 Lời giải Ta có n  * , log 3  2u5  63   2 log 4  un  8n  8   log 3  2u5  63   log 2  un  8n  8  . 2 u5  63  3t 2u  63  3t   1  3t  2.2 t  t  2  Đặt t  log 3  2 u5  63    5  t t u5  32  2  un  8n  8  2  un  8n  4  Sn  u1  u2  ...  un  4n2 2 un .S2 n  8n  4  .16n 148  n  19 . Do đó   2 u2 n .Sn  16n  4  .4n 75 Chọn ý A. Câu 69. Cho hàm số f  x   e 1 1 x2  1  x  1 2 . Biết f  1  . f  2  . f  3  ... f  2017   e m n  m, n   với m là phân số tối giản. Tính P  m  n 2 . n A. 2018 D. 1 C. 1 B. 2018 Lời giải Biến đổi giả thiết ta có f x  e 1 1 x 2  2 1  x  1 2 e 2 2 1 1  1      x x  1  x  x  1 1 1  1 1      2  1  x x 1   x x 1  e e 1 1  1    x x1  2 1  ex  1 1 x 1 1  e.e x  1 x 1 . Do đó ta được: f  1   e.e 1 1 2 ; f  2   e.e 1 1  2 3 ; f  3   e.e  f  1  . f  2  . f  3  ... f  2017   e 2017 .e 1 1  3 4 1 ;<; f  2016   e.e 1 2018 e 2017  2017 2018 e 1 1  2016 2017 ; f  2017   e.e 1 1  2017 2018 . 20182  1 2018  m  20182  1 , n  2018 . Vậy P  1 . Chọn ý D. 62 | Chinh phục olympic toán Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN Câu 70. Cho cấp số cộng  un  có tất cả các số hạng đều dương thoả mãn điều kiện u1  u2  ...  u2018  4  u1  u2  ...  u1009  . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  log 23 u2  log 23 u5  log 23 u14 . A. 3 B. 1 C. 2 D. 4 Lời giải 2018 1009 Ta có S2018   2u1  2017 d  , S1009   2u1  1008d  . 2 2 Theo giả thiết, ta có u1  u2  ...  u2018  4  u1  u2  ...  u1009  2018 1009 d  2u1  2017 d   4.  2u1  1008d   2u1  2017 d  2  2u1  1008d   u1  2 2 2 d 3d 5d Dãy số  un  : , , , ... 2 2 2 3d 9d 27 d Ta có P  log 23 u2  log 23 u5  log 23 u14  log 23  log 23  log 23 2 2 2  2 2 2 d  d  d    1  log 3    2  log 3    3  log 3  . 2  2  2  d 2 2 2  x thì P   1  x    2  x    3  x   3x 2  12 x  14  2 2 2 Dấu bằng xảy ra khi x  2  d  . Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 2. 9 Đặt log 3 Câu 71. Cho cấp số cộng  an  , cấp số nhân  bn  thỏa mãn a2  a1  0 và b2  b1  1 ; và hàm số f  x   x 3  3x sao cho f  a2   2  f  a1  và f  log 2 b2   2  f  log 2 b1  . Số nguyên dương n nhỏ nhất và lớn hơn 1 sao cho bn  2018 an là A. 16 C. 17 B. 15 D. 18 Lời giải Hàm số f  x   x 3  3x có bảng biến thiên như sau x y'  1  0  1  0   y 2   f  a2   2  f  a1    f  a 2   f  a1   Theo giả thiết    a2  a1  0  a2  a1  0   2 0  a1  a2  1 Từ đó suy ra  , hơn nữa f  x   2  0 x  0 . Ta xét các trường hợp 0  a1  1  a2 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Chinh phục olympic toán | 63 CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ   f  a2   2  0   f  a2   2  a2  1  Nếu 0  a1  a2  1 thì  .   a  0 f a  0 f a  0     1    1 1    f  a2   2  0 Nếu 0  a1  1  a2 thì  điều này là không thể.  f  a1   0 Do đó chỉ xảy ra trường hợp a1  0; a2  1 .  Từ đó suy ra an  n  1  n  1  . Tương tự vì b2  b1  1 nên log 2 b2  log 2 b1  0 , suy ra log 2 b2  1 b2  1   bn  2 n1  n  1 .  log a  0 b  1  2 1  1 Xét hàm số g  x   2 x  2018x trên nữa khoảng  0;   , ta có bảng biến thiên x  log 2 g ' x   2018 ln 2 0    g x 1 2018   g  log 2  ln 2     2018   g  log 2 ln 2   0    2018  log 2 ln 2  11  Ta có  g  12   20120   g  13   18042   g  14   11868  g  15   2498  0  nên số nguyên dương nhỏ nhất n thỏa g  n  1  0 là n  1  15  n  16 . Chọn ý A. Câu 72. Cho cấp số nhân  bn  thỏa mãn b2  b1  1 và hàm số f  x   x 3  3x sao cho f  log 2  b2    2  f  log 2  b1   . Giá trị nhỏ nhất của n để bn  5100 bằng A. 234 B. 229 C. 333 D. 292 Lời giải Xét hàm số f  x   x 3  3x . Có f   x   3x 2  3 , f   x   0  x  1 . Ta có bảng biến thiên sau 64 | Chinh phục olympic toán Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN x y'  1   1  0  0  y 2  2 Mặt khác, ta có b1  b2  1 . Đặt a  log 2 b2  log 2 b1  b  0 . Ta có: a 3  3 a  2  b 3  3b  1  .  Nếu b  1  a  b  1  a 3  3 a  b 3  3b   1  vô nghiệm.  Nếu 0  b  1  2  b 3  3b  0  a 3  3 a  2  0   a  1   a  2   0 . 2 0  b1  2  1  bn  2 n1  5100  n  1  100 log 2 5  n  234 . Suy ra a  1  b  0 . Khi đó  1  b2  2  2 Vậy giá trị nhỏ nhất của n là 234 . Chọn ý A.  1 1  4 u2 7 6 u1 6  2 e 3 log 1  u1  u3  4 u1  8   e   3  thỏa mãn  u  3  u  n  4  , n  *  n  1 2  n n 2  3n  2  Câu 73. Cho dãy số  un  Giá trị lớn nhất của số n để un  A. 3472 3   n  1 2 2018 n1 B. 3245 C. 3665 D. 3453 Lời giải 3 3 2  3 3 3     un   un    un1   2 n1 n2 n2 2 n1 3 3  vn   vn  là CSN với công bội q  . 2 2 Biến đổi giả thiết ta có un1  Đặt vn  un  3  vn1 n1 n 1 n 1 n 1 3 3 3 3 3  3  Khi đó vn    v1     u1    un      u1   2 n1  2  2 2 2  33 9 13 3 Ta có u3   u1 , u2   u1 , thay vào giả thiết ta được 8 4 4 2 log 1  u12  2u1  4   e 6 6 u1  e 6 u1 6  3 3 Theo bất đẳng thức AM – GM ta có e 6 6 u1  e 6 u1 6  3  2 e6 6 u1 .e6 u1 6  3  1 Mặt khác ta cũng có log 1  u12  2u1  4   log 1 3 3  u  1  3  1 2 1 3 13 Do đó VT  VP , đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi u1  1  un     n1 2 2 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor n 1 Chinh phục olympic toán | 65 CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ Để un  3   n  1 2 2018 n1 3 13     n1 2 2  n 1  3   n  1  2 2018  n  3453 n1 Chọn ý D. Câu 74. Cho f  n    n2  n  1   1 n  N * . Đặt un  2 f  1 . f  3  ... f  2n  1  f  2  . f  4  ... f  2n  . Tìm số n nguyên dương nhỏ nhất sao cho un thỏa mãn điều kiện log 2 un  un  A. n  23 B. n  29 C. n  21 10239 . 1024 D. n  33 THPT Chuyên Biên Hòa – Hà Nam lần 1 năm học 2017 – 2018 Lời giải 2 Từ giả thiết ta có f  n    n2  n  1   1   n2  1  n  1  1 .   2 1  2 2  1  2 2  1  32  1  4 2  1  ...  2 n  1   1  4n2  1    Khi đó ta có un 2 2 2 2 2 2  1  3  1  4  1  5  1  ...  4n  1   2 n  1   1    1 2  2  2  2n  1  1 2n  2n  1 2 10239 1 10239   log 2  2n2  2n  1  2  0. 1024 2n  2n  1 1024 1 10239 Xét hàm số g  n    log 2  2n2  2n  1  2 với n  1 .  2n  2n  1 1024 4n  2 4n  2 Ta có g  n      0 với n  1  g  n  nghịch biến. 2  2n  2n  1 ln 2  2n2  2n  12 Theo đề bài ta có log 2 un  un   1  2047  1 10239 2 Mà g   0   0 nên  log 2  2n  2n  1   2  2n  2n  1 1024 2   1  2047 . Do n nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn nên n  23 2 Chọn ý A. n    Câu 75. Cho biểu thức A  log 2017  log 2016  log 2015  log ...  log  3  log 2  ...   Biểu thức A có giá trị thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây? A.  log 2017; log 2018   log 2019; log 2020  D.  log 2020; log 2021  B. C.  log 2018; log 2019    Lời giải  Đặt An  log 2017  log 2016  log 2015  log  ...  log  3  log 2 ...   A n   n  An1  Ta có 66 | Chinh phục olympic toán Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN 0  log 2  1  0  A2  1  0  log 3  A3  log  3  A2   log 4  1 ...  0  log 9  A9  log  9  A8   log 10  1  1  log 10  A10  log  10  A9   log 11  2  1  log 12  A11  log  11  A10   log 13  2 ...  2  log 999  A997  log  997  A996   log 1000  3  3  log 1000  A998  log  998  A997   log 1001  4  3  log 1002  A 999  log  999  A998   log 1003  4 ...  3  log 2020  A2017  log  2017  A2016   log 2021  4 Vậy A2017   log 2020; log 2021  Câu 76. Cho dãy số  un  xác định bởi un  ln  2n2  1   ln  n2  n  1  , n  1 . Tìm số nguyên n lớn nhất sao cho un   un   2 . Biết  a kí hiệu phần nguyên của số a là số tự 3 nhiên nhỏ nhất không vượt quá a. A. 37 B. 36 C. 38 D. 40 Lời giải Ta có un  ln 2n  1   0; ln 2    un   0 n2  n  1 2  un   un    2 n2  1  2 2 2 2 n2  1  un   ln  2    3 e 2  n  37.462  2 3 3 n n1 n n1 3 Chọn ý A. Câu 77. Cho dãy số  un  có tất cả số hạng đều dương thỏa mãn un 1  2un và đồng thời u12  u22  ...  un2  un21  un 2  1  A. 232 4 , n  1 . Số tự nhiên n nhỏ nhất để un  5100 là? 3 B. 233 C. 234 D. 235 Lời giải Ta có un 1  2un  un  2 n1 u1 , đẳng thức đúng với mọi n  1 nên đúng với n  1 nên 4 4  u12  4u12  4u1  1  3 3 4 4 1  u12  2u1  1   u1  1   u1  3 3 3 u12  u22  u3  1  Do đó un  2 n 1  5100  2 n1  3.5100  n  log 2 3  100 log 2 5  233 . 3 Chọn ý C. Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Chinh phục olympic toán | 67 CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ thỏa mãn ln  u12  u22  10   ln  2u1  6u2  và đồng thời  un  Câu 78. Cho dãy số un  2  un  2un  1  1, n  1 . Giá trị nhỏ nhất của n để un  5050 A. 100 B. 99 C. 101 D. 102 Lời giải Biến đổi giả thiết ta có u1  1 2 2 ln  u12  u22  10   ln  2u1  6u2    u1  1    u2  3   0   u2  3 Mặt khác ta có un 2  un  2un  1  1  un  2  un  1  un  1  un  1 . Đặt vn  un 1  un  vn 1  vn  1   vn  là CSC có công sai d  1 Khi đó  vn  n  1  un  1 Vậy để un  5050  u2  u1  2 u  u  3 n n  n  1  3 2  un  n  1    un  u1   i  2 i 2 ................... un  un 1  n n  n  1  5050  n  100 2 Chọn ý C.  391  39   1 log  u2    log  u1    2 40  4   4  thỏa mãn  2n u  2  n  1  un  1  , n  n 2 2  n n  n  1  1    Câu 79. Cho dãy số  un  . * 5100  n2  1 Giá trị nhỏ nhất của n để un  100 3 . 5  n  n A. 235 B. 255 C. 233 Lời giải D. 241  Ta có  n2  n  1  1   n2  1   2n  n2  1   n2  1   n2  1   n  1   1 2 2 2  Biến đổi giả thiết tương đương nun  2  n  1  un  1  n 2n  n2 2  nun  2  n  1  un  1  Đặt vn  nun    1  n  1  1 2   2  n  1  un  1   n  1 n 2 2  2  n2  1   1   1  n  1  1 2  1 2 1 1 1     n  1  un  1    nun  2  2 2 n  1  n  1  1 n 1  n  1  1 2  2 1 1 1  vn1  vn   vn  là CSN có công bội q  n 1 2 2 2 1 Từ đó suy ra vn    2 n1 68 | Chinh phục olympic toán 1 v1    2 n1 1 1 1  1   n1  u1    u1    un  3 2 n n 2 n 2  Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN Thay u2   1 1  u1 vào giả thiết ta được 40 4 39  39  1 1 1 1 log  u1    log  u1    2  u1  1  un  3  n 4  4  n n 2 n 4 4 Để un  5100  n2  1  n  100 log 2 5  n  233 5100  n3  n  Chọn ý C. 4 Câu 80. Gọi q là công bội của một cấp số nhân , biết tổng ba số hạng đầu bằng 16 , đồng 9 thời theo thứ tự , chúng là số hạng thứ nhất , thứ tư và thứ tám của một cấp số cộng . Hỏi q thuộc khoảng nào sau đây? A. q   3; 4  B. q   1; 2  C. q   2; 3  D. q   0; 1  Lời giải Gọi : u1 , u2 , u3 là 3 số hạng đầu tiên của cấp số nhân , với công bội q . Gọi  vn  là cấp số cộng tương ứng với công sai là d . Theo giả thiết ta có : 4  4  2 u1  u2  u3  16 9 u1  u1q  u1q  16 9    u1  v1  u1q  u1  3d u2  v4  v1  3d  2  u1q  u1  7 d u3  v8  v1  7 d  Khử d từ (2) và (3) ta được : u1  3q 2  7 q  4   0  1 2  3  4 . q  1 4 Do (1) nên : u1  0   4    . Theo định nghĩa thì q  1 , do vậy q  4 q  3 3   Câu 81. Cho I n   2 sin n xdx với n nguyên dương. Tính lim 0 A. 1 B. 1 I n 2 . In D.  C. 2 Lời giải   Xét I n 2   2 sin n 2 xdx   2 sin n1 x.sin xdx 0 0 n  u  sin x du   n  1 sin x.cosxdx Đặt    v   cos x dv  sin xdx  n1  I n 2   cos x.sin n1  2 0  2 0 x   cos x.  n  1 sin n x.cos xdx    I n 2  0   2  n  1 sin n x.cos 2 xdx   n  1   2 sin n x.  1  sin 2 x  dx 0 0  2 0  2 0  I n 2   n  1  sin n xdx   n  1  sin n 2 xdx   n  1  .I n   n  1  .I n 2 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Chinh phục olympic toán | 69 CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ   n  2  .I n 2   n  1  .I n   lim I n 2 n  1  In n2 I n 2 n1  lim  1. In n2 Chọn ý B. 1 I n1 . n  I n Câu 82. Với mỗi số nguyên dương n ta kí hiệu I n   x 2  1  x 2  dx . Tính lim n 0 A. 1 C. 3 B. 2 D. 5 Lời giải Cách 1. Tự luận 1 Xét I n   x 2  1  x  2 n 0  In  du  dx u  x  n1  dx . Đặt   1  x2  . 2 n dv  x  1  x  dx v  2  n  1  x  1  x 2  n1 1 n1 0 1 1 n1 n1 1 1  1  x 2  dx  1  x 2  dx     2  n  1 0 2  n  1 0 1 1  1 1 2 2 n1 2 n1 2 2 n1  1  x  1  x  dx  I n1      1  x  dx   x  1  x  dx   2 n  2 0 2  n  2   0  0 1  I n1  I n1  I I 1 2n  1  lim n1  1 .  2  n  1 I n  I n1   n1  n  In 2n  5 In 2 n  2 Cách 2. Trắc nghiệm Ta thấy 0   1  x 2   1 với mọi x   0; 1  , nên 1 I n1   x  1  x 2  2 n1 0 Suy ra 1 dx   x  1  x 2 0 1   1  x  dx   x  1  x  2 n 2 2 2 n dx  I n , 0 I n1 I  1 , nên lim n 1  1 . Dựa vào các đáp án, ta chọn A. In In Chọn ý A.   x  12 n 2 x 2  1    2x 2  1  dx. Tính lim In . Câu 83. Đặt I n    n n 2 n1 n1 0  I n1  x 2  1 x 2  1       1 3 B. D. A. 1 C. 1 2 2 Lời giải 1 2   2x 2  1  x  1 2x2  1 1   n n .  . dx Ta có bước biến đổi sau I n   0  x 2  1  x 2  1 2 x2  1 x2  1    1 70 | Chinh phục olympic toán Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN  1 0 2 1 2x 2  1  x  1   x  1 2 x 2  1 2 xdx n . dx   . 2 0 x2  1 x 2  1  x 2  1 2  x 2  1 2 n Đến lúc này ta sẽ đổi biến. Đặt u  3 2 n 1  In   2x2  1 2 xdx  du  2 2 x 1  x  1 3 2 1 udu   n1 n 1 n u u du  n1 n 3 2 1 n1  n  3 n  .  1  n1  2    n  3 .  1 n1  2     lim I n  1  n 2 I n1  n  1  3 n 1  . 1 n2  2    n1 n  In I n1 Chọn ý A. x  xn Câu 84. Ta đặt Fn  x    dx . Biết Fn  1   0 n . Tính lim Fn  2  . n  x n1 A. 1 B.  C. 1 D.  n Lời giải  1  1 n x n  n1  1  1 n1 x xx   x dx  dx  Ta có Fn  x      x n dx x n1 x n1 1 1n dx du Đặt u  n1  1  du  n dx  n  x x x 1n n n n  Fn  x   Gn  u    n  1   Fn  x   .  1 2  n1 1n  x  n1 n n n1 n u 1 u du  . C 1n 1n n1 n  C . Mà Fn  1   0 n  C  0 n n     nlim  1  n 2 n1  n  1  n  1   Fn  2    1  . Có  lim  n 1  1   1  lim Fn  2    2  n1 n  2 n  1n  2      n1 1  nlim   n Chọn ý D. Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Chinh phục olympic toán | 71 CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ 1 e  nx dx với n  1  e x 0 Câu 85. Cho tích phân I n   . Đặt un  1.  I 1  I 2   2  I 2  I 3   3  I 3  I 4   ...  n  I n  I n 1   n . Biết lim un  L . Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. L   1; 0  B. L   2; 1  C. L   0; 1  D. L   1; 2  Lời giải Với n  , biến đổi giả thiết ta có e  e  nx .e  x e  nx  nx  dx   dx   e dx   dx   e  nx dx  I n x x x 1e 1e 1e 0 0 0 0 0 1 I n1 1  n1 x 1 1 1  I n 1   e  nx dx  I n  I n1  I n  0 1 1  1  en  n Do đó un   1  e 1    1  e 2    1  e 3   ...   1  e  n   n  un  e 1  e 2  e 3  ...  e  n Ta thấy un là tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân lùi vô hạn với u1  e 1 và q  nên lim un  1 , e e 1 1  L   1; 0  . L 1 e  1 1 e Chọn ý A. Câu 86. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương n thỏa mãn tích phân 2  1  n 2  2 x  3x 2  4x 3  ...  nx n1  dx  2 0 A. 1 C. 0 B. 2 D. 3 Lời giải Biến đổi giả thiết ta có: 2  1  n 2  2 x  3x 2  4x 3  ...  nx n1  dx  2   x  n2 x  x 2  x 3  x 4  ...  x n   2 2 0 0  2  2 n2  2 2  2 3  2 4  ...  2 n  2  1  2  2 2  ...  2 n 1  n2  1  2 n  1  n2  1  2 n  n2  2  0 . Thử với các giá trị n  1; 2; 3; 4 đều không thỏa mãn. Với n  , n  5 ta chứng minh 2 n  n 2  2  1  . Dễ thấy n  5 thì  1  đúng. Giả sử  1  đúng với n  k với k  , k  5 . Khi đó 2 k  k 2  2 . Khi đó: 2 k  1  2  k 2  2   k 2  k 2  2  2  k 2  2 k  1  2   k  1   2 . 2 Do đó  1  đúng với n  k  1 . Theo nguyên lý quy nạp thì  1  đúng. Vậy không tồn tại số nguyên n . Chọn ý C. 72 | Chinh phục olympic toán Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN Câu 87. Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0; 1 thỏa mãn điều kiện f  2018x  2017   2018 f  x  , x  A. 2 4  f  1   3 B. 2 5  f  1   3 C. 1  f  x   dx ? 0   . Tính tích phân 2 2 7  f  1   3 D. 2 8  f  1   3 Lời giải Xét biểu thức f  2018x  2017   2018 f  x  . Lấy đạo hàm 2 vế ta được 2018 f '  2018x  2017   2018 f '  x   x  2017   2018  2018  1   x  20182  1  Thay x bởi 2018 x  2017 , ta được f '  x   f '    f '  2018 20182       Thay đến n lần và bằng quy nạp ta chứng minh được  x  2018n  1  1   x f ' x   f ' 1   f '  n n 2018 2018n   2018   Khi n    f '  x   f '  1   f  x   f '  1  x  C  *  Thay x  1  f  1   2018 f  1   f  1   0 Thay x  1   *  : f  1    f '  1   C  0  f '  1   C 1 2 2 7 Vậy f  x   f '  1  x  1     f  x   dx   f  1  0 3 Chọn ý C. Câu 88. Cho I n   tan n xdx với n  A. 9  tan x  r 1 r  r C 9 B.  r 1  tan x  r 1 . Khi đó I 0  I 1  2  I 2  I 3  ...  I 8   I 9  I 10 bằng? r 1 C C. 10  tan x  r 1 r  r C 10 D.  r 1  tan x  r 1 r 1 C Lời giải Biến đổi tích phân ban đầu ta có tan n1 x  1  I n   tan n 2 x.tan 2 xdx   tan n2 x.    I n2  C  1 d x  2 n1  cos x  tan n1 x   tan n 2 x.  tan x  dx  I n 2  I n  I n 2  C . n1 Khi đó I 0  I 1  2  I 2  I 3  ...  I 8   I 9  I 10 =  I 10  I 8    I 9  I 7   ...   I 3  I 1    I 2  I 0  9 tan 9 x tan 8 x tan 2 x tan r x    ....   tan x  C   C . 9 8 2 r r 1 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Chinh phục olympic toán | 73 CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ  6 2 U U1  Câu 89. Cho dãy số xác định bởi  , n  1, n  N * . S= lim n có giá trị là ? 4 n U  2.U 2  1 n  n1 A. 1 B. 1 2 C. 0 D. 1 4 Lời giải Đây là một bài toán lượng giác hoá quen thuộc, với ý tưởng gợi mở từ công thức biến đổi hạ bậc cos 2 x  2 cos 2 x  1  6 2   cos U 1  4 12      1  cos 2. U 2  2.U 12  1  2.cos 2 Nhận thấy  12 12 ....   2 n1  U  2. U  1  cos 2 n n  1  12 Lại có 0  Un  n  12  1 và lim 1  0  lim U n  0 n n n n cos 2 n1 1  U 1  2 ,n  1 Câu 90. Cho dãy số Un xác định bởi  2 2 U  n U  1  n   n n U   n  1 n  1 1 1 1  Khi đó S  lim      thuộc khoảng nào sau đây? Un   U1 U 2 U 3 A.  3; 1  B.  1; 2  C.  1; 2  D.  1; 1  Lời giải Đây là một bài toán khá khó. Với những dạng toán nhưng này, hướng biến đổi nằm ở câu 1 hỏi, tức là ta phải tìm cách đưa dãy về dạng Uk Để có được điều này, hướng giải quyết cơ bản và ưu tiên là thêm vào 2 vế f  x  sao cho khi chia U k xuống mẫu, ta được một dãy có khả năng triệt tiêu U k2  k U k  1  k 2 U k2  kU k  k  k 2 U k2  kU k  k1 k k k Thêm vào 2 vế   k  1  ( có thể nói là chuyển  k  1  sang trái , nhưng mình dùng từ theo Cụ thể, ta thấy U k 1   đúng phương pháp trên vì phương pháp này còn áp dụng vào nhiều dạng toán) , ta được: 74 | Chinh phục olympic toán Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN U k2  kU k 1 k 1 1 U k 1   k  1    2   k U k 1   k  1 U k  kU k U k  k U k  1 1 1   U k U k  k U k 1   k  1 1 1  1 U  U  1  U  2 1 2  1 1 1 1  U  U  2  U  3 Áp dụng vào dãy số  2 2 3 ....  1  1  1  U  n Un  n Un1   n  1 Cộng vế với vế ta được 1 1 1 1 1 1 1       2  U1 U2 U3 U n U 1  1 U n 1   n  1  U n 1   n  1  Lại có U k  3 k - Chứng minh qua quy nạp  Un1  3  n  1  Un   n  1  2 n  2  0  Mà lim 1 1  Un 1   n  1  2n  2 1 1 1  2  S  2  0  lim 0 2 Un1   n  1 2n  2 Un1   n  1  Câu 91. Trong dịp hội trại hè 2017, bạn Anh thả một quả bóng cao su từ độ cao 6  m  so với mặt đất, mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên một độ cao bằng ba phần tư độ cao lần rơi trước. Biết rằng quả bóng luôn chuyển động vuông góc với mặt đất. Tổng quãng đường quả bóng đã bay (từ lúc thả bóng cho đến lúc bóng không nảy nữa) khoảng ? A. 44  m  B. 45  m  C. 42  m  D. 43  m  Lời giải Ta có quãng đường bóng bay bằng tổng quảng đường bóng nảy lên và quãng đường bóng rơi xuống. Vì mỗi lần bóng nảy lên bằng 2 3 3 lần nảy trước nên ta có tổng quãng đường bóng nảy lên 4 n 3 3 3 3 là S1  6.  6.    6.    ...  6.    ... 4 4 4 4 3 9 3 Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu u1  6.  và công bội q  . 4 2 4 9 Suy ra S1  2  18 . 3 1 4 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Chinh phục olympic toán | 75 CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ Tổng quãng đường bóng rơi xuống bằng khoảng cách độ cao ban đầu và tổng quãng 2 n 3 3 3 đường bóng nảy lên nên là S2  6  6.    6.    ...  6.    ... 4 4 4 Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu u1  6 và công bội q  Suy ra S2  3 . 4 6  24 . 3 1 4 Vậy tổng quãng đường bóng bay là S  S1  S2  18  24  42 . Câu 92. Có hai cơ sở khoan giếng A và B. Cơ sở A giá mét khoan đầu tiên là 8000 (đồng) và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm 500 (đồng) so với giá của mét khoan ngay trước đó. Cơ sở B: Giá của mét khoan đầu tiên là 6000 (đồng) và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét khoan sau tăng thêm 7% giá của mét khoan ngay trước đó. Một công ty giống cây trồng muốn thuê khoan hai giếng với độ sâu lần lượt là 20  m  và 25  m  để phục vụ sản xuất. Giả thiết chất lượng và thời gian khoan giếng của hai cơ sở là như nhau. Công ty ấy nên chọn cơ sở nào để tiết kiệm chi phí nhất? A. luôn chọn A. B. luôn chọn B. C. giếng 20  m  chọn A còn giếng 25  m  chọn B. D. giếng 20  m  chọn B còn giếng 25  m  chọn B. Lời giải Cơ sở A giá mét khoan đầu tiên là 8000 (đồng) và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm 500 (đồng) so với giá của mét khoan ngay trước đó. Do đó theo tổng của một cấp số cộng ta có: 20  2.8000   20  1  500   255000 (đồng). 2  25 + Nếu đào giếng 25  m  hết số tiền là: S25   2.8000   25  1  500   350000 (đồng). 2  Cơ sở B giá của mét khoan đầu tiên là 6000 (đồng) và kể từ mét khoan thứ hai, giá của + Nếu đào giếng 20  m  hết số tiền là: S20  mỗi mét khoan sau tăng thêm 7% giá của mét khoan ngay trước đó. Do đó theo tổng của một cấp số nhân ta có: 1   1, 07  1  1, 07 20 1   1, 07    6000 + Nếu đào giếng 25  m  hết số tiền là: S25 1  1, 07 25   6000 + Nếu đào giếng 20  m  hết số tiền là: S20  245973 (đồng).  379494 (đồng).   S20 , S25   S25 nên giếng 20  m  chọn B còn giếng 25  m  chọn A. Ta thấy S20 76 | Chinh phục olympic toán Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN Câu 93. Cho cấp số cộng  un  có các số hạng đều dương, số hạng đầu u1  1 và tổng của 100 số hạng đầu tiên bằng 14950 . Tính giá trị của tổng sau? 1 1 1 S   ...  u2 u1  u1 u2 u3 u2  u2 u3 u2018 u2017  u2017 u2018 A. 1 1  1   3 6052  B. 1  1 6052 C. 2018 D. 1 Lời giải Gọi d là công sai của cấp số cộng. Khi đó 100.99 S100  100u1  d  100  4950d  14950  d  3 . 2 Do đó u2018  u1  2017 d  6052 . Ta có uk  1 1 1 1 u  uk 1  1 1   . k 1  .   d d  uk uk  uk uk  1 uk . uk  1 uk  1 uk . uk  1 . uk  uk  1   1  1 1  1  1 1  1  1 1  S  .      ...  .    .      d  u1 d  u2017 u2  d  u2 u3  u2018 1  1 1  1 1   .    1  d  u1 u2018  3  6052   .       Câu 94. Giá trị của tổng 4  44  444  ...  44...4 (tổng đó có 2018 số hạng) bằng? 40  4  10 2019  10 A. 10 2018  1   2018 .  B.   2018  . 9 9 9   4  10 2019  10 C.   2018  . 9 9  D. 4 10 2018  1  .  9 Lời giải Cách 1. Đặt S  4  44  444  ...  44...4 (tổng đó có 2018 số hạng). Ta có 9 S  9  99  999  ...  99...9   10  1    10 2  1    10 3  1   ...  10 2018  1  4 9  S   10  10 2  10 3  ...  10 2018   2018  A  2018 . 4 2 3 Với A  10  10  10  ...  10 2018 là tổng 2018 số hạng của một cấp số nhân có số hạng đầu u1  10 , công bội q  10 nên ta có A  u1 Do đó 1  q 2018 1  10 2018 10 2019  10 .  10  9 9 1q  9 10 2019  10 4  102019  10 S  2018  S    2018  . 4 9 9 9  u1  4 u1  4   Cách 2. Xét dãy số có  4 4  u   10 u  n  1 n   un 1  10un  4  9 9   Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Chinh phục olympic toán | 77 CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ 40  4  v1  Đặt vn  un     v  n  là cấp số nhân. 9 9  vn 1  10 vn 4 v 4 2018.4 Ta có Sn  u1  u2  .......  u2018  v1   v2  ...  v2018   v1  v2  ...  v2018  9 9 9 9 Trong đó Sv 2018 Vậy tổng là S  2018 1  qn 1  10 2018 40 40.  10  1  .v1  .  1q 1  10 9 81  40 4 4  102019  10 2018 10  1  .2018   2018  .    81 9 9 9  Câu 95. Cho dãy số  un  thỏa mãn un  un 1  6 , n  2 và log 2 u5  log 2 u9  8  11 . Đặt Sn  u1  u2  ...  un . Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất thỏa mãn Sn  20172018 . A. 2587 B. 2590 C. 2593 D. 2584 Lời giải Ta có dãy số  un  là cấp số cộng có công sai d  6 . log 2 u5  log 2 u9  8  11  log 2 u5  u9  8   11  *  với u5  0 . Mặt khác u5  u1  4d  u1  24 và u9  u1  8d  u1  48 . u  8  u5  32 Thay vào  *  ta được  1 . Suy ra u1  8 . u1  88  u5  64 n Sn  20172018   2u1   n  1  d   20172018  3n2  5n  20172018  0 . 2 Vậy số tự nhiên n nhỏ nhất thỏa mãn Sn  20172018 là n  2593 . Câu 96. Cho hai cấp số cộng  an  : a1  4 ; a2  7 ;...; a100 và  bn  : b1  1 ; b2  6 ;...; b100 . Hỏi có bao nhiêu số có mặt đồng thời trong cả hai dãy số trên? A. 32 B. 20 C. 33 D. 53 Lời giải Cấp số cộng  an  : a1  4 ; a2  7 ;...; a100 có số hạng tổng quát: an  4   n  1  3  3n  1 . Cấp số cộng  bn  : b1  1 ; b2  6 ;...; b100 có số hạng tổng quát: bm  1   m  1  5  5m  4 . Các số có mặt đồng thời trong cả hai dãy số trên thỏa mãn hệ  3n  5  m  1   3n  1  5 m  4    1  n  100 1  n  100 1  m  100 1  m  100   Vì 3n  5  m  1  nên n 5 và m  1 3 với m  1  0 Ta lại có n  100  3n  300  5  m  1   300  m  61 . Có m  1 3  m  3t  1 , t  * . Vì 1  m  61  1  3t  1  61  0  t  20 . Vì t  *  t  1; 2; 3;...; 20 . Vậy có 20 số hạng có mặt đồng thời ở hai dãy số trên. 78 | Chinh phục olympic toán Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN Câu 97. Cho tam giác ABC cân tại A . Biết rằng độ dài cạnh BC , trung tuyến AM và độ dài cạnh AB theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân có công bội q . Tìm công bội q của cấp số nhân đó? A. q  1 2 2 B. q  2  AB  AC 2 Ta có AM 2  2 22 2 2   BC  1 . C. q  1  2 2 D. q  2  2 2 2 Lời giải 2 4 Do ba cạnh BC , AM , AB lập thành cấp số nhân nên ta có: BC . AB  AM 2  2  Thay  2  vào  1  ta được 2  AB2  AC 2   BC 2  BC.AB  4 AB2  4 AB.BC  BC 2  0 4  AB 1  2   AB  AB  BC 2   4 1  0   4 BC  AB 1  2  BC    2  BC 2   loai  1 2 22 2 AB 1  2 . q   2 2 BC 2 Câu 98. Cho hàm số f  x    x 2  3x  2  cos 2017 x  và dãy số  un  được xác định bởi công thức tổng quát un  log f  1   log f  2   log f  n  Tìm tổng tất cả các giá trị của n thỏa mãn điều kiện un2018  1 A. 21 B. 18 C. 3 D. 2018 Lời giải n n k 1 k 1 Ta có un   log f  k    cos  2017 k  log  k  1   log  k  2     k chan    k le   Trường hợp 1: n  2 p khi đó ta có khai triển un   log 3  log 4  log  2 p  1   log  2 p  1     log 2  log 3  log  2 p   log  2 p  1   Như vậy un  log  p  1  un2018  1  p  9  n  18  Trường hợp 2: n  2 p  1 khi đó ta có khai triển un   log 3  log 4  log  2 p  1   log  2 p  1     log 2  log 3  log  2 p  2   log  2 p  3   Như vậy un   log  4 p  6   un2018  1  p  1  n  3 Tổng các giá trị của n thỏa mãn điều kiện un2018  1 là 21. Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Chinh phục olympic toán | 79 CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ Câu 99. Biết rằng L  lim un  u4 n  u42 n  u42018 n un  u2 n  u2 2 n  u22018 n a 2019  b  Trong đó  un  xác định c bởi u1  0; un 1  un  4n  3 và a b c , , là các số nguyên dương và b  2019 . Tính S  a  b  c A. 1 B. 0 C. 2017 D. 2018 Lời giải Ta có un  un1  4n  1  un  2n  n  3 2 Ta xét S1  n , 4n , 4 2 n , .4 2018 n , S2  n, 2n , 2 2 n , 2 2018 n Có k3 uk  2 k 2  k  3  2  k  2.k  Vậy L  lim  kS1  kS2 2k  k  3  2k 2  2k  4 2019  1   2n    2019 3 1 2k2  k  3  2  k  2 k3 3  2 n   2 2019  1  2 2k  k  3  2  k k3 Câu 100. Cho ba số dương a , b , c theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Giá trị lớn nhất của biểu thức P  A. 9 a 2  8bc  3  2a  c  2 1 có dạng x y  x , y  B. 11  Hỏi x  y bằng bao nhiêu? D. 7 C. 13 Lời giải Ta có a  c  2b  a  2b  c  a 2   2b  c   a 2  8bc  4b 2  4bc  c 2  a 2  8bc   2b  c  2 P 2b  c  3  2b  c  2 1  t3 t2  1 2  10  t  2b  c  1  x  y  11 3 Câu 101. Cho các số hạng dương a, b, c là số hạng thứ m, n, p của một cấp số cộng và một Dấu bằng xảy ra khi 2b  c  cấp số nhân. Tính giá trị của biểu thức log 2 ab c  bc  a  c a b A. 0 B. 2 C. 1 D. 4 Lời giải Ta có a, b, c là số hạng thứu m, n, p của một cấp số cộng và một cấp số nhân nên  a  u1   m  1  d  a1q n1 a  b   m  n  d   n1  b  c   n  p  d b  u1   n  1  d  a1q c  u   p  1  d  a q p 1 c  a   p  m  d 1 1    P  log 2 ab c  bc  a  c a b  log 2  a1q m1  80 | Chinh phục olympic toán  n p d a q  p 1 1  mnd  log 2 a10 q 0  0 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN Câu 102. Cho a  b  c   và cot a , cot b , cot c Tạo thành cấp số cộng. Giá trị của cot a.cot c 2 bằng? A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Lời giải Ta có  abc    cot a  cot b  1 1    a  b   cot  a  b   cot   c   tan c   2 2 cot a  cot b cot c 2   abc    cot a  cot b  1 1    a  b   cot  a  b   cot   c   tan c   2 2 cot a  cot b cot c 2   cot a  cot b  cot c  cot a  cot b  cot c Mặt khác cot a  cot c  2 cot b  cot a  cot b  cot c  3 cot b  cot a  cot c  3 Ta có a  c  2b  sin A  sin C  2 sin B AC A C B B A C A C  2 sin cos  4 sin  cos  4 sin  cos 2 2 2 2 2 2 A C AC A C A C A C A C  cos  2 cos  cos cos  sin sin  2 cos cos  2 sin sin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A C A C A C A C 1  3 sin sin  cos cos  3 tan tan  1  tan tan  2 2 2 2 2 2 2 2 3 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Chinh phục olympic toán | 81 LỜI KẾT Vậy là ta đã đi đến những trang cuối cùng của tuyển tập này với hơn 100 bài toán đa dạng chắc hẳn đã mang tới cho bạn đọc một cái nhìn khác và mới lạ hơn về chủ đề dãy số này. Các bạn thấy đó với hình thức thi trắc nghiệm như thế này sẽ xuất hiện rất nhiều các dạng toán mới lạ mà nó liên kết nhiều mảng kiến thức với nhau yêu cầu chúng ta cần phải tìm hiểu kỹ, sâu và rộng thì mới có thể giải quyết được chúng. Hy vọng qua ebook này các bạn đã học thêm được nhiều điều và rút ra được kinh nghiệm cho bản thân trong việc giải quyết các dạng toán mà bọn mình đưa ra và nhiều dạng toán có liên quan khác. Sau đây bọn mình sẽ giới thiệu cho các bạn một số tài liệu và sách tham khảo, trang web có thể giúp ích được cho các bạn trong quá trình học tập. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. Chuyên khảo dãy số - Nguyễn Tài Chung Trắc nghiệm nâng cao chuyên đề dãy số - Đặng Việt Đông Đi tìm công thức tổng quát của dãy số – Trần Duy Sơn Các dạng toán phương pháp quy nạp toán học, dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân – Trần Quốc Nghĩa Dãy số và giới hạn của dãy số – Nguyễn Tất Thu Bài tập trắc nghiệm xác định số hạng thứ n của dãy số – Nguyễn Chiến Tài liệu dãy số – cấp số dành cho học sinh khối chuyên – Lê Quang Ánh Website toanmath.com Website lovetoan.wordpress.com Blog Chinh Phục Olympic Toán https://lovetoan.wordpress.com/ Email: [email protected] Blog chuyên chia sẻ tài liệu ôn học sinh giỏi môn toán với rất nhiều tài liệu chất và thư viện tài liệu được xây dựng rất đồ sộ Ngoài ấn phẩm các bạn đang đọc thì các bạn có thể tìm hiểu thêm một số ấn phẩm khác được đăng miễn phí trên blog sau - Tham khảo thêm Bên cạnh blog của chúng tôi các bạn có thể theo dõi trang fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học – Đây là một trang chúng tôi đăng free các tài liệu liên quan tới toán VDC, VD, Ôn Olympic, HSG… Cảm ơn mọi người Tài liệu được chia sẻ miễn phí