Các bài toán nguyên hàm và tích phân vận dụng, vận dụng cao – Nguyễn Minh Tuấn

Giới thiệu Các bài toán nguyên hàm và tích phân vận dụng, vận dụng cao – Nguyễn Minh Tuấn

Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và bạn đọc Các bài toán nguyên hàm và tích phân vận dụng, vận dụng cao – Nguyễn Minh Tuấn CHƯƠNG NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN.

Các bài toán nguyên hàm và tích phân vận dụng, vận dụng cao – Nguyễn Minh Tuấn

Tài liệu môn Toán 12 và hướng dẫn giải chi tiết các đề thi từ cơ bản đến vận dụng cao sẽ luôn được cập thường xuyên từ hoctoanonline.vn , các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán hay và mới nhất.

Tài liệu Các bài toán nguyên hàm và tích phân vận dụng, vận dụng cao – Nguyễn Minh Tuấn

Các em học sinh và bạn đọc tìm kiếm thêm tài liệu Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng tại đây nhé.

Text Các bài toán nguyên hàm và tích phân vận dụng, vận dụng cao – Nguyễn Minh Tuấn
` TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN VẬN DỤNG – VẬN DỤNG CAO CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN LỜI GIỚI THIỆU Trong đề thi thử của các trường hay trong đề thi THPT Quốc Gia thì các bài toán về chủ đề nguyên hàm tích phân chiếm khoảng 7 câu từ dễ đến khó, nhằm giúp bạn đọc phần nào có cái nhìn toàn diện về các câu hỏi liên quan tới vấn đề này trong các đề thi của năm vừa rồi và đồng thời có thêm nhiều kiến thức hay và khó khác thì trong chuyên đề này mình đã đề cập tới rất nhiều các vấn đề khó như các bài toán liên quan tới phương trình vi phân, bất đẳng thức tích phân… Để có thể viết nên được chuyên đề này không thể không có sự tham khảo từ các nguồn tài liệu của các các group, các khóa học, tài liệu của các thầy cô mà tiêu biểu là 1. Thầy Lã Duy Tiến – Giáo viên trường THPT Bình Minh 2. Group Nhóm toán: https://www.facebook.com/groups/nhomtoan/ 3. Group Hs Vted.vn: https://www.facebook.com/groups/vted.vn/ 4. Group Nhóm Toán và Latex: https://www.facebook.com/groups/toanvalatex/ 5. Website Toán học Bắc – Trung – Nam: http://toanhocbactrungnam.vn/ 6. Website Toanmath: https://toanmath.com/ 7. Anh Phạm Minh Tuấn: https://www.facebook.com/phamminhtuan.2810 8. Thầy Lê Phúc Lữ – Công tác tại phòng R&D Công ty Fsoft thuộc tập đoàn FPT. 9. Thầy Đặng Thành Nam – Giảng viên Vted 10. Thầy Huỳnh Đức Khánh 11. Thầy Nguyễn Thanh Tùng 12. Bạn Nguyễn Quang Huy – Sinh viên đại học bách khoa Hà Nội Trong bài viết mình có sưu tầm từ nhiều nguồn nên có thể sẽ có những câu hỏi chưa hay hoặc chưa phù hợp mong bạn đọc bỏ qua. Trong quá trình biên soạn không thể tránh khỏi những thiếu sót, mong bạn đọc có thể góp ý trực tiếp với mình qua địa chỉ sau: Nguyễn Minh Tuấn Sinh viên K14 – Khoa học máy tính – Đại học FPT Facebook: https://www.facebook.com/tuankhmt.fpt Email: [email protected] Blog: https://lovetoan.wordpress.com/ Bản pdf được phát hành miễn phí trên blog CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN, mọi hoạt động sử dụng tài liệu vì mục đích thương mại đều không được cho phép. Xin chân thành cảm ơn bạn đọc. TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN VẬN DỤNG – VẬN DỤNG CAO Nguyễn Minh Tuấn Nguyæn hàm tèch phân cê thể được coi là một phần toán tương đối hay và khê luën xuất hiện trong đề thi THPT Quốc Gia, để cíng mở đầu về chương này, mçnh xin giới thiệu và khái quát đëi nåt về lịch sử của các bài toán nguyæn hàm và tèch phân và sơ qua về chương trçnh ta sẽ học sắp tới. GIỚI THIỆU ĐÔI NÉT VỀ LỊCH SỬ Các ï tưởng giîp hçnh thành mën vi tèch phân phát triển qua một thời gian dài. Các nhà toán học Hi Lạp là những người đã đi những bước tiæn phong. Leucippus, Democritus và Antiphon đã cê những đêng gêp vào phương pháp “våt cạn” của Hi Lạp, và sau này được Euxodus, sống khoảng 370 trước Cëng Nguyæn, nâng læn thành lè luận khoa học. Sở dĩ gọi là phương pháp “våt cạn” vç ta xem diện tèch của một hçnh được tènh bằng vë số hçnh, càng lîc càng lấp đầy hçnh đê. Tuy nhiæn, chỉ cê Archimedes (Ac-xi-met), (287-212 B.C), mới là người Hi Lạp kiệt xuất nhất. Thành tựu to lớn đầu tiæn của ëng là tçnh được diện tèch giới hạn bởi tam giác cong parabol bằng 4/3 diện tèch của tam giác cê cíng đáy và đỉnh và bằng 2/3 diện tèch của hçnh bçnh hành ngoại tiếp. Để tçm ra kết quả này, Ác-ximet dựng một dãy vë tận các tam giác, bắt đầu với tam giác cê diện tèch bằng A và tiếp tục ghép thæm các tam giác mới nằm xen giữa các tam giác đã cê với đường parabol. Hçnh parabol dần dần được lấp đầy bởi các tam giác cê tổng diện tèch là: A A A A A A A,A  ,A   ,A    …. 4 4 16 4 16 64 1 1 1   4A Diện tèch giới hạn bởi parabol là: A  1     …   4 16 64   3 Ác-xi-met cũng díng phương pháp “våt cạn” để tènh diện tèch hçnh trén. Đây là më hçnh đầu tiæn của phåp tènh tèch phân, nhờ đê ëng đã tçm được giá trị gần đîng của số pi ở khoảng giữa hai phân số 3 10/71 và 3 1/7. Trong tất cả những khám phá của mçnh, Ac-ximet tâm đắc nhất là cëng thức tènh thể tèch hçnh cầu. “Thể tìch hënh cầu thë bằng 2/3 thể tìch hënh trụ ngoại tiếp“. Thể theo nguyện vọng lîc sinh thời, sau khi ëng mất, người ta cho dựng một mộ bia cê khắc hoa văn một hçnh cầu nội tiếp một hçnh trụ. Ngoài toán học, Acxi-met cén cê những phát minh về cơ học, thủy động học. Tất cả học sinh đều quen thuộc với định luật mang tæn ëng về sức đẩy một vật thể khi nhîng vào một chất lỏng cíng với câu thốt bất hủ “Eureka! Eureka!” (Tçm ra rồi! Tçm ra rồi!) khi ëng đang tắm. Ông tçm ra các định luật về đén bẩy cíng câu nêi nổi tiếng “Hãy cho tïi một điểm tựa, tïi sẽ nhấc bổng quả đất“). Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 1 CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ Dí ëng cê vẽ thèch toán học hơn vật lè, nhưng Ac-xi-met vẫn là một kỹ sư thiæn tài. Trong những năm quân xâm lược La Mã híng mạnh tấn cëng đất nước Syracuse quæ hương ëng, nhờ cê những khè tài do ëng sáng chế như máy bắn đá, cần trục kåo lật tàu địch, gương parabol đốt cháy chiến thuyền, đã giîp dân thành Syracuse cầm chân quân địch hơn 3 năm. Cuối cíng quân La Mã cũng tràn được vào thành. Dí cê lệnh tướng La Mã là Marcus khëng được giết chết ëng, một tæn lènh La Mã thë bạo xëng vào phéng làm việc khi ëng đang mæ mãi suy nghĩ cạnh một sa bàn một bài toán hçnh dang dở. Khi thấy bêng của nê đổ læn hçnh vẽ, ëng quát læn: ” Đừng quấy rầy đến các đương trén của ta !”. Thế là tæn lènh nỗi cáu, đâm chết ëng. Sau khi ëng mất, nền toán học hầu như rơi vào trong bêng tối cho đến thế kỹ thứ 17. Lîc này do nhu cầu kỹ thật, phåp tènh vi tèch phân trở lại để giài quyết những bài têan về sự biến thiæn các đại lượng vật lï. Phåp tènh vi tèch phận được phát triển nhờ tçm ra cách giải quyết được bốn bài toán lớn của thời đại: 1. Tçm tiếp tuyến của một đường cong. 2. Tìm độ dài của một đường cong. 3. Tçm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một đại lượng ; vè dụ tçm khỏang cách gần nhất và xa nhất giữa một hành tinh và mặt trời, hoặc khoảng cách tối đa mà một đạn đạo cê thể bay tới theo gêc bắn đi của nê. 4. Tçm vận tốc và gia tốc của một vật thể theo thời gian biết phương trçnh giờ của vật thể ấy. Vào khỏang giữa thế kỷ 17, những anh tài của thời đại, như Fermat, Roberval, Descartes, Cavalieri lao vào giải các bài toán này. Tất cả cố gắng của họ đã đạt đến đỉnh cao khi Leibniz và Newton hoàn thiện phåp tènh vi tèch phân. Leibniz ( 1646-1716) Ông là một nhà bác học thiæn tài, xuất sắc træn nhiều lãnh vực: một nhà luật học, thần học, triết gia, nhà chènh trị. Ông cũng giỏi về địa chất học, siæu hçnh học, lịch sử và đặc biệt toán học. Leibniz sinh ở Leipzig, Đức. Cha là một giáo sư triết học tại Đại học Leipzig, mất khi ëng vừa sáu tuổi. Cậu bå suët ngày víi đầu ở thư viện của cha, ngấu nghiến tất cả các quyển sách về đũ mọi vần đề. Và thêi quen này đã theo cậu suët đời. Ngay khi mới 15 tuổi, ëng đã được nhận vào học luật tại Đại học Leipzig, và 20 tuổi đã đậu tiến sĩ luật. Sau đê, ëng hoạt động trong ngành luật và ngoại giao, làm cố vần luật pháp cho các ëng vua bà chîa. Trong những chuyến đi cëng cán ở Paris, Leibnz cê dịp gặp gỡ nhiều nhà toán học nổi tiếng, đã giúp niềm say mæ toán học của ëng thæm gia tăng. Đặc biệt, nhà vật lè học lừng danh Huygens đã dạy ëng toán học. Vç khëng phải là dân toán học chuyæn nghiệp, næn cê nhiều khi ëng khám phá lại những định lè toán học đã được các nhà toán học khác biết trước. Trong đê cê sự kiện được hai phe Anh Đức tranh cãi trong suốt 50 năm. Anh thç cho chính Newton là cha đẻ của phåp tènh vi tèch phân trong khi Đức thç nêi vinh dự đê phải thuộc về Leibniz. Trong khi hai đương sự thç khëng cê ï kiến gç. Đîng ra là hai người đã tçm được chân lï træn một cách độc lập: Leibniz tçm ra năm 1685, mười năm sau Newton, 2 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN nhưng cho in ra cëng trçnh của mçnh trước Newton hai mươi năm. Leibniz sống độc thân suốt đời và mặc dí cê những đêng gêp kiệt xuất, ëng khëng nhận được những vinh quang như Newton. Ông trải qua những năm cuối đời trong cë độc và nổi cay đắng. Newton(1642-1727) – Newton sinh ra tại một ngëi làng Anh Quốc. Cha ëng mất trước khi ëng ra đời, một tay mẹ nuëi nầng và dạy dỗ træn nëng trại nhà. Năm 1661, ëng vào học tại trường đại học Trinity ở Cambridge mặc dủ điểm hçnh học hơi yếu. Tại đây ëng được Barrow, nhà toán học tài năng chî ï. Ông lao vào học toán và khoa học, nhưng tốt ngghiệp loại bçnh thường. Vç bệnh dịch hoành hành khắp châu Âu và lan truyền nhanh chêng đến London, ëng phải trở lại làng quæ và trî ngụ tại đê trong hai năm 1665, 1666. Chính trong thời gian này, ëng đã xây dựng những nền tảng của khoa học hiện đại: khám phá nguyæn tắc chuyển động các hành tinh, của trọng lực, phát hiện bản chất của ánh sáng. Tuy thế ëng khëng phổ biến các khám phá của mçnh. Ông trở lại Cambridge năm 1667 để lấy bằng cao học. Sau khi tốt nghiệp, ëng dạy học tại Trinity. Năm 1669, ëng giữ chức giáo sư trưởng khoa toán, kế nhiệm giáo sư Barrow, một chức danh vinh dự nhất trong giáo dục. Trong những năm sau đê, ëng đã cëng thức hoá các đinh luật hấp dẫn, nhờ đê giải thèch được sự chuyễn động của các hành tinh, mặt trăng và thủy triều.Ông cũng chế tạo ra kçnh viễn vọng hiện đại đầu tiæn. Trong đời ëng, ëng èt khi chịu cho in các khám phá vĩ đại của mçnh, chỉ phổ biến trong phạm vi bạn bä đồng nghiệp. Năm 1687, trước sự khuyến khèch nhiệt tçnh của nhà thiæn văn học Halley, Newton mới chịu cho xîât bản cuốn Những nguyæn tăc toán học. Tác phẩm này ngay lập tức được đánh giá là một trong những tác phẫm cê ảnh hưởng lớn lao nhất của nhân loại. Cũng tương tự như thế, chỉ sau khi biết Leibniz đã in cëng trçnh của minh, ëng mới cëng bố tác phẫm của mçnh về phép tính vi tich phân. Vĩ đại như thế, nhưng khi nêi về minh ëng luën cho rằng sở dĩ ëng cê đëi khi nhçn xa hơn kẻ khác vç ëng đứng træn vai của các vĩ nhân. Và với những khám phá lớn lao của mçnh, ëng nêi: “Tïi thấy mënh như một đứa trẻ chơi đùa trên bãi biển, may mắn gặp được những viên sỏi trín trịa, hoặc một vỏ sí đẹp hơn bënh thường, trong khi trước mặt là một đại dương bao la của chân lì mà tối chưa được biết“. NỘI DUNG CỦA CHUYÊN ĐỀ 1. TÌCH PHÂN TRUY HỒI Trong bài viết này chủ yếu là các bài toán ở dạng tự luân, mçnh sẽ giới thiệu qua để cê thể khëng may đề thi thử của các trường cê thể ra thç ta cê thể xử lï được. Ở phần này ta sẽ  cíng tçm hiểu các dạng tèch phân truy hồi dạng I n   f  x, n  dx với các câu hỏi hay gặp  là:   1. Thiết lập cëng thức truy hồi I n  g  I n k  k  1; n . 2. Chứng minh cëng thức truy hồi cho trước. Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 3 CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ 3. Sau khi thiết lập được cëng thức truy hồi yæu cầu đi tènh I n ứng với một vài giá trị n nào đê hoặc tènh giới hạn của hàm số hoặc dãy số cê liæn quan với I n . Ta cíng xåt các vè dụ sau:  Ví dụ 1: Xét tích phân I n   2 sin n xdx với n  * 0 . 1. Tçm mối quan hệ giữa I n , I n  2 2. Tính I 5 , I 6 . 3. Tçm cëng thức tổng quát của I n . 4. Xåt dãy số  u n  cho bởi u n   n  1  I n .I n  1 . Tìm lim u n n  Lời giải 1. Tçm mối quan hệ giữa I n , I n  2  2 0 Ta có: I n  2   sin n2  2 0  2 0 xdx   sin x  1  cos x  dx  I n   sin n x.cos 2 xdx  1  n 2 du   sin xdx  Sử dụng cëng thức nguyæn hàm từng phần ta đặt  sin n  1 x n v  sin x.cos xdx     n1  2 0    I cos x sin n  1 x 2 1 2 sin n x.cos 2 xdx   sin n  2 xdx  n  2  2   n1 n1 0 n1 0 Thay  2  vào  1  ta được: I n  2  I n  In2 n2  In  I n 2 n1 n1 2. Tính I 5 , I 6 .  4 8 8 2 8 I  I  I  sin xdx   5 3 1  5 15 15 0 15 Sử dụng kết quả ở træn ta được:   I  5 I  15 I  15 2 sin 2 xdx  15  6 6 4 24 2 24 0 96 3. Tçm cëng thức tổng quát của I n .   Ta có: I 1   2 sin xdx  1, I 2   2 sin 2 xdx  0 0  4 n2 I n  2 , đến đây xåt 2 trường hợp: n1 4 6 2k + Trường hợp 1: n  2k  k  *  . Ta có: I 2  I 4 , I 4  I 6 ,…, I 2k 2  I 2k . 3 5 2k  1 Ta đã cê kết quả I n  Nhân theo vế các đẳng thức ta được: I2  3.5…  2k  1   4.6…2k  4.6…2k I 2k   I 2k  I 2k  3.5…  2k  1  4 3.5…  2k  1  4.6…2k 4 + Trường hợp 2: Với n lẻ hay n  2k  1 , ta có: I 1  Nhân theo vế các đẳng thức ta được: 4 | Chinh phục olympic toán 3 5 2k  1 I 3 , I 3  I 5 ,…, I 2k 3  I 2k 1 . 2 4 2k  3 Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN I 2k 1  2.4…  2k  2  3.5…  2k  1  I1  2.4…  2k  2  3.5…  2k  1  4. Xåt dãy số  u n  cho bởi u n   n  1  I n .I n  1 . Tìm lim u n n  n2 I n  2 I n  1   n  2  I n  1 .I n  2  u n 1 n1     u n  …  u 1  2I 1I 2   lim u n  lim  n  n  2 2 2 Ta có: u n   n  1  I n .I n 1   n  1  . Vậy u n 1 Ví dụ 2: Xét tích phân I n    1  x 2  dx 1 n 0 1. Tính I n I n 1 n  I n 2. Tính lim Lời giải 1. Tính I n u   1  x 2 n du  n  1  x 2 n 1  2x  dx  Đặt  dv  dx  v  x   In  x  1  x2   n 1 0  2n  x 2  1  x 2  1   2n  1   1  x 2   1  x 2  1 0 n 1 0 n 1 dx  2n dx   1  x  2 n 1 1 0  dx    1  x 2  dx  2n  I n 1  I n  1 0 n 2n I n 1  *  2n  1 2n 2n  2 4.6.8…2n  . I n 2  I1 2n  1 2n  1 5.7.9…  2n  1  Vậy I n  2n  I n 1  I n   I n  2n I n 1 2n  1 Từ  *  ta có I n  1  x3  2 2.4.6.8…2n Mặt khác ta lại cê: I 1    1  x  dx   x     I n  . 0 3 0 3 3.5.7.9…  2n  1  1 2. Tính lim n  Ta có: I n  2 I n 1 In 2  n  1 I I 2n 2n  2 2n  2 I n 1  I n  1  I n  n 1   lim n 1  lim 1 n  I n  2n  3 2n  1 2  n  1  1 In 2n  3 n  Ví dụ 3: Xét tích phân I n   4 tan n xdx với n  * 0 1. Chứng minh rằng I n  2  . 1  In n1 2. Tính I 5 , I 6 Lời giải 1. Ta có: Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 5 CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ     I n  2   4 tan n  2 dx   4  tan n  2 x  tan n x   tan n x dx 0  4 0  0  tan x  tan n 2  4 0  x  1   tan x dx   n    4 tan n xd  tan x   I n  0  tan n x dx   4 tan n xdx 2 0 cos x 1  In n1 Ta cê điều phải chứng minh! 2. Ta có:    I 1   4 tan xdx   4 0  4 0 0  d  cos x  1 sin x dx    4  ln 2 0 cos x cos x 2  4 0  4  1  4  I 2   tan xdx     1 dx  tan x  x    2 0 4  cos x  1 Áp dụng cëng thức truy hồi I n  2   I n ta được: n1 1 1 1 1  1  I 5   I 3     I 1   ln 2  4 4 2 4  2   I6  2 1 1 1  13   I4     I2    5 5 3  15 4 Ví dụ 4: 1. Xét tích phân I n   1 0 e nxdx với n  1  ex 3 * . Chứng minh rằng I n  2. Xét tích phân I n    3  x  e xdx với n  n * 0 e n 1  1  I n 1 . n 1 . Chứng minh rằng I n  3n  nI n 1 Lời giải 1. Ta có: I n  I n 1   1 0   1e 1e e nxdx dx   0 1  e x 0 1  e x x n 1 x n  1 e x  1  dx 1  ex e   n 1 x n 1 1  0 e n 1  1 n 1 Từ đê suy ra điều phải chứng minh! 3 2. Xét tích phân I n    3  x  e xdx với n  n 0 * . Chứng minh rằng I n  3n  nI n 1 u   3  x n du  n  3  x n 1 dx 3 3 n n 1   I n   3  x  e x  n   3  x  e xdx  3 n  nI n  1 Đặt  x x 0 0 dv  e dx  v  e Từ đây cê điều phải chứng minh! 1 Ví dụ 5: Cho I n   x n 1  x dx với n  * 0 . Biết  u n  là dãy cho bởi u n  In . Tìm lim u n . I n 1 Lời giải du  nx n 1dx n u  v   Đặt  2 dv  1  x dx  v   1  x dx   3  6 | Chinh phục olympic toán  1x  3 Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN   1   3 3 2 2 1  In   xn 1  x  n 1  x .x n 1dx 3 3 0 0 1 1 2 2  n  1  x.x n 1dx   1  x.x n dx  n  I n 1  I n  0 0 3 3 I 2 2n 2n  2 Vậy I n  n  I n 1  I n   I n  I n 1  I n  1  I n  lim u n  lim n 1  1 3 2n  3 2n  5 In  Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học  Chinh phục olympic toán | 7 CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ 2. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỶ Nguyên hàm phân thức hữu tỷ là một bài toán khá cơ bản, nhưng cũng được phát triển ra rất nhiều bài toán khó, trong mục này ta sẽ tìm hiểu cách giải quyết dạng toán này. Tổng quát với hàm hữu tỉ, nếu bậc của tử lớn hơn hoặc bằng bậc của mẫu thì phải chia tách phần đa thức, còn lại hàm hữu tỉ với bậc tử bå hơn mẫu. Nếu bậc của tử bå hơn bậc của mẫu thì phân tích mẫu ra các thừa số bậc nhất  x  a  hay  x 2  px  q  bậc hai vô nghiệm rồi đồng nhất hệ số theo phần tử đơn giản: A Bx  C . Đồng nhất hệ số ở tử thức thì ; 2 x  a x  px  q tènh được các hằng số A, B, C, … Kết hợp với các biến đổi sai phân, thêm bớt đặc biệt để phân tích nhanh. CÁC DẠNG TÌCH PHÂN ĐA THỨC HỮU TỶ.  b  P  x  dx : Chia miền xét dấu P  x  , a  b  x  mx  n   dx : Đặt u  mx  n hoặc phân tích, a  b 2   mx  n   px  qx  r   dx : Đặt u  px2  qx  r , a  b   x  m .x  m    dx : Nếu    thç đặt u  x  n . a CÁC DẠNG TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC 1. Dạng b  px a  2 1 dx . Lập   q 2  4pr .  qx  r b Nếu   0   a   2 , dùng công thức của hàm đa thức. dx , đặt x  k tan t x  k2 a Nếu   0   2 b dx 1 1  1 1  , biến đổi 2     2 2 x k x k 2k  x  k x  k  a Nếu   0   b 2 mx  n dx . Lập   q 2  4pr 2  qx  r  px a   mx  n  b 2. Dạng  dx Nếu   0  Phân tích và dùng công thức. A  px 2  qx  r  ‘ mx  n B   Nếu   0  2 2 2 px  qx  r px  qx  r x    k2 8 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN 3. Dạng b x a b dx 1  x  n m  a x n 1dx x n 1  x  n m , đặt t  1  x n . Chú ý: Cho hàm số f  x  liên tục træn đoạn  a; a  . Nếu f  x  lẻ thì a a a a a 0  f  x  dx  0 . Nếu f  x  chẵn thì  f  x   2  f  x  dx . CÁC CÔNG THỨC NÊN NHỚ. 1 1 xa    x  a  x  b  dx  a  b ln x  b  C  x   ax  b  arctan   1  c  C dx    ax  b 2  c2 ac 2 1 1 x dx  arctan  C 2 a a a CÔNG THỨC TÁCH NHANH PHÂN THỨC HỮU TỶ   P x A   x  b  x  c  xa   P x P x A B C      B   x  a  x  b  x  c  x  a x  b x  c   x  a  x  c  xb  P  x C    x  a  x  b  xc    P  x A  2 ax  bx  c x m P  x A Bx  C      P  x   A  ax 2  bx  c   x  m   ax2  bx  c  x  m ax2  bx  c  Bx  C  xm  x  1000 Ví dụ : Tìm các nguyên hàm, tính các tích phân sau: x4  2 1.  3 dx x x dx 2.  x  1  x8  6. N  0 8×7  2 dx 7 x 1  x   1 x4  2 8. J   6 dx x 1 2 x4  x  1 dx 2 x  4 0 x x 1 dx x6  1 0 5. L   xdx x8  1 7. Q   4. K   4  2 x2  1 3.  4 dx x  x2  1 1 1/ 4 3 3 x10 dx x3  1 9.  10. x2  1 21 x4  1 dx 2 4 1 Lời giải Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 9 CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ 1. Ta có Đặt x4  2 x2  2 x2  2 .  x   x  x3  x x3  x x  x  1  x  1  x2  2 A B C  x2  2   A  B  C  x2   B  C  x  A    x  x  1 x  1 x x  1 x  1 1 1 Đồng nhất hệ số thç được A  2, B   , C   , do đê: 2 2  2 1 1 1  1 1  f  x  dx    x  x  2 . x  1  2 . x  1  dx  2 x 2 1  2 ln x  ln x 2  1  C 2 d  x8  dx x7 dx 1 1 x8    ln C 2. Ta có  8 x  1  x8   x8  1  x8  8  x8  1  x8  8 1  x 1  dx   x 1 1 x2  x  1 x  dx   ln C 3. Ta có  4   1 2 x  x2  1 2 x2  x  1 x  1 x  2   4. Đặt x  2 tan t, x   0; 2  t   0;  .  4 /4 K  16 tan 4 t  2 tan t  1 2dt 1 .  2 2 cos t 2 4  tan t  1   1 2 0 Từ đê tènh được K   /4   16 tan 4 t  2 tan t  1  dt 0 /4   16 tan t  1  tan t   16 tan 2 2 2  t  2 tan t  1 dt 0 16 17    ln 2 3 8 3 1 1  1 2x 2  dx 2 d x    5. Ta có L    2  dx   2 x  1 x6  1  x  1 3 0  x 3 2  1 0 0 1 Lần lượt đặt x  tan t, x3  tan u thì L  6. Đặt t  x 2 thì xdx  1 N 2 1 3  0 dt 1  4 t 1 4 1 3  0 5 12 1 1 1 dt .Khi x  0 thì t  0, x  4 thì t  2 3 3 1 1   1 t 1 1  3 1   1  2  arctan t   ln 2  3   2  dt   ln 8 24  t 1 t 1 8 t1 4 0 2 2   2 8×7  1  1 8×7  1 1 dx  dx   dx 8  7 7 x  x x 1  x x 1  x     1 1 1 7. Ta có Q   10 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN 2 d  x7  x6 1  ln  x  x    7 dx  ln 129   7 7 1 7 1 x  1  x7  1 x 1  x  2 8 2 2 1 x7  ln 129  ln 7 1  x7 1 1 256  ln 129  ln 7 129 1 dx  1  8. Ta có J    2  4  dx  C  arctan x   4 2 x  x2  1  x 1 x x 1 dx x  x2  1 Với trường hợp x  0 làm dễ dàng, xåt trường hợp x  0 ta có 1 dx d   x x2 K   2 1 1  x2  1  2 x  1 x x  2  1 t dt 1  1 1 dt  Đặt t   K   4 2   2  2 dt   4 2   x t  t  1 2   t  1  3t t  1  3t  t t 1 Như vậy ta chỉ cần tènh K   4 1  1 1 1 1  1 1    2 dt  K  K    2  2 dt    2 2  t  1  3t t  1  3t  2 3  t  1  3t t  1  3t  Phần cén lại xin nhường lại cho bạn đọc! 9. Biến đổi tèch phân cần tènh ta được   3 4 3 x 10 1 1  dx    x7  x 4  x  2  3  dx 3 4 x 1 x x1 x 1      3 1 1  7 4   x  x  x   3  dx 2 2 4 1   3  x  1    x     2  2     3 3 3 d  x  1 d  x  1 1 dx    Tính I   3 2 4 x 1 4  x  1   x  x  1 4  x  1   x  1 2  3  x  1   3  2 2 1 4  t  3t  3    t  3t  1 4 dt 1 4 t  3 dt    dt Đặt t  x  1  dt  dx  I   2 3 5 3 5 t 3 5 t 2  3t  3 t  t  3t  3   1 4 dt 1  1 4 2t  3 3 4 dt     2 dt   2  5 5 5 3 t 3  2 t  3t  3 2 t  3t  3  Đến đây xin nhường lại cho bạn đọc! 1  1   1  2  dx 1 d  x    x 1 x  x  dx     10. Ta có I   4 2 1 1 1 x 1 1 1  x2  2  2 2 2 2 x x x  1 2 1 Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 11 CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ Đặt x  1  t khi đê ta được: x 2 2 2 2 2 dt dt 1  1 1  I 2      dt  2 2 5t 2 t 2  2 t 2 5 t 2 5 t  1 2 2 2  5 2   d t 2 t 2 12 | Chinh phục olympic toán   1 2 2  2  5 2  d t 2 t 2 2  t 2 ln 2 2 t 2 1 2  5 2 2  19  6 2  ln   4 17   Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN 3. NGUYÊN HÀM – TÌCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC Để làm tốt được các bài toán nguyên hàm – tèch phân hàm lượng giác ta cần nắm chắc được các biến đổi hạ bậc lượng giác, tích thành tổng, theo góc phụ t  tan  sin  x  a    x  b   1 1  . sin  x  a  .sin  x  b  sin  a  b  sin  x  a  sin  x  b   1 1 1  . 2 2 a sin x  b cos x a  b sin  x        1 a sin x  b cos x  a 2  b2 1  a2  b2 . x ,… 2 1 1  cos  x     sin x   cos x   A  a sin x  b cos x  c  ‘ B   a sin x  b cos x  c a sin x  b cos x  c a sin x  b cos x  c 1 1 1  . 2 2 2 a sin x  b sin x cos x  cos x a tan x  b tan x  c cos 2 x a sin x cos x 2 sin 2 x  b 2 cos 2 x    A  a 2 sin 2 x  b 2 cos 2 x  ‘ a 2 sin 2 x  b 2 cos 2 x   Đặc biệt cận tích phân đối, bù, phụ thç đặt tương ứng t  x, t    x, t    x . Tích phân 2 liên kết, để tính I thç đặt thêm J mà việc tính tích phân I  J và I  J hoặc I  kJ và I  mJ dễ dàng lợi hơn. Tèch phân truy hồi I n theo I n 1 hay I n  2 thì sin n x, cos n x tách lũy thừa 1 và díng phương pháp tèch phân từng phần còn tan n x, cot n x tách lũy thừa 2 và dùng phương pháp tèch phân đổi biến số. Ngoài ra ta cần phải nhớ: 1. Nếu hàm số f  x  liên tục træn đoạn  a; b  thì:  2  2    0 f  sin x  dx  0 f  cos x  dx; 0 xf  sin x  dx  2 0 f  sin x  dx 2. Các dạng tèch phân lượng giác:   b b a a  P  x  .sin xdx,  P  x  .cos xdx : đặt u  P  x  , v’  sin hoặc cos x  2   R  x, sin x, cos x  dx : đặt x  2  t 0    R  x, sin x, cos x  dx : đặt x    t 0  2  R  x, sin x, cos x dx : đặt x  2   t 0 Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 13 CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ  b x  R  sin x, cos x  dx : đặt t  tan 2 , đặc biệt: a Nếu R   sin x, cos x   R sin x, cos x  thç đặt t  cos x Nếu R  sin x,  cos x   R sin x, cos x  thç đặt t  sin x Nếu R   sin x,  cos x   R sin x, cos x  thì đặt t  tan x, cot x . Để tçm hiểu sâu hơn ta sẽ cíng đi vào các dạng toán cụ thể. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP. dx I. DẠNG 1. I   sin  x  a  sin  x  b  1. PHƯƠNG PHÁP. Díng đồng nhất thức: sin  a  b  sin  x  a    x  b   sin  x  a  cos  x  b   cos  x  a  sin  x  b  1   sin  a  b  sin  a  b  sin  a  b  Từ đê suy ra: I  sin  x  a  cos  x  b   cos  x  a  sin  x  b  1 dx  sin  a  b  sin  x  a  sin  x  b    cos  x  b  cos  x  a   1    dx  sin  a  b   sin  x  b  sin  x  a    1 ln sin  x  b   ln sin  x  a    C sin  a  b   2. CHÚ Ý. Với cách này, ta cê thể tçm được các nguyæn hàm: sin  a  b  dx  J bằng cách díng đồng nhất thức 1  cos  x  a  cos  x  b  sin  a  b   K cos  a  b  dx bằng cách díng đồng nhất thức 1  sin  x  a  cos  x  b  cos  a  b  3. VÌ DỤ MINH HỌA. Tính các nguyên hàm, tích phân sau: dx  I   sin x sin  x   6   sin  x     x    6           6 Ta có: 1    2 sin  x   cos x  cos  x   sin x   1 6 6     sin 6 2           cos  x    sin  x  6  cos x  cos  x  6  sin x   6      dx  2  cos x    dx Từ đê: I  2      sin x    sin x sin  x   sin  x    6 6     sin 14 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN      d  sin  x    d  sin x  6  sin x   2  2   2 ln C   sin x   sin  x   sin  x   6 6   dx I   cos 3x cos  3x   6   sin  3x     3x     6    2 sin  3x    cos 3x  cos  3x    sin 3x  6  Ta có 1         1 6 6     sin 6 2         sin  3x    sin  3x  6  cos 3x  cos  3x  6  sin 3x  sin 3x 6      dx  2   I  2  dx  2  dx    cos 3x   cos 3x cos  3x   cos  3x   6 6       d  cos  3x    6   2 d  cos 3x  2 2 cos 3x        ln C   3 3 cos 3x 3   cos  3x   cos  3x   6 6   dx  I      sin  x   cos  x   3 12    sin Ta có:  cos  x      x         3  12               4  2  cos  x   cos  x    sin  x   sin  x    1   3 12  3 12   2      cos 4 2           cos  x   cos  x    sin  x   sin  x   3 12  3 12       I  2 dx      sin  x   cos  x   3 12         cos  x   sin  x   3 12     2 dx  2  dx     sin  x   cos  x   3 12              d  sin  x    d  cos  x    sin  x   3  12   3     2   2   2 ln C        sin  x   cos  x   cos  x   3 12  12     cos II. DẠNG 2. I   tan  x  a  tan  x  b  dx 1. PHƯƠNG PHÁP. Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 15 CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ Ta có tan  x  a  tan  x  b    sin  x  a  sin  x  b  cos  x  a  cos  x  b  sin  x  a  sin  x  b   cos  x  a  cos  x  b  cos  x  a  cos  x  b  Từ đê suy ra I  cos  a  b   1 cos  a  b  cos  x  a  cos  x  b  1 dx 1 cos  x  a  cos  x  b  Đến đây ta gặp bài toán tçm nguyæn hàm ở Dạng 1. 2. CHÚ Ý Với cách này, ta cê thể tènh được các nguyæn hàm:  J   cot  x  a  cot  x  b  dx  K   tan  x  a  tan  x  b  dx 3. VÌ DỤ MINH HỌA      I   cot  x   cot  x   dx 3 6       cos  x   cos  x     3 6     Ta có cot  x   cot  x      3 6       sin  x   sin  x   3 6           cos  x   cos  x    sin  x   sin  x   3 6 3 6      1     sin  x   sin  x   3 6        cos  x     x    3  6  3 1   1 . 1     2     sin  x   sin  x   sin  x   sin  x   3 6 3 6     1 3 dx   dx  I1  x  C   2   sin  x   sin  x   3 6   dx Tính I 1       sin  x   sin  x   3 6    sin  x      x        sin  3  6               6 Ta có 1   2 sin  x   cos  x    cos  x   sin  x      1 3 6 3 6       sin 6 2         sin  x   cos  x    cos  x   sin  x   3 6 3 6     Từ đê I 1  2  dx     sin  x   sin  x   3 6   Từ đê I  3 2  16 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN       cos  x   cos  x   sin  x   6 3 6     2 dx  2  dx  2 ln C       sin  x   sin  x   sin  x   6 3 3        sin  x   sin  x   3 6 6   .2 ln  x  C  3 ln xC Suy ra I    2   sin  x   sin  x   3 3        K   tan  x   cot  x  dx 3 6       sin  x   cos  x     3 6     Ta có tan  x   cot  x      3 6     cos  x   sin  x   3 6           sin  x   cos  x    cos  x   sin  x   3 6 3 6      1     cos  x   sin  x   3 6        sin  x     x    3  6  1 1   1 . 1     2     cos  x   sin  x   cos  x   sin  x   3 6 3 6     1 1 1 dx   dx  K 1  x  C Từ đê: K     2 2   cos  x   sin  x   3 6   Đến đây, bằng cách tènh ở Dạng 1, ta tènh được:     sin  x   sin  x   dx 2 3 6 6   K1    ln C  K  ln xC     3     3 cos  x   sin  x   cos  x   cos  x   3 6 3 3     dx III. DẠNG 3. I   a sin x  b cos x 1. PHƯƠNG PHÁP.   a b Có: a sin x  b cos x  a 2  b2  sin x  cos x  2 2 2 2 a b  a b   a sin x  b cos x  a 2  b 2 sin  x    I 1 dx  sin  x     1 ln tan x C 2 a b a b 2. VÌ DỤ MINH HỌA. 2dx dx dx    I   3 sin x  cos x 3 1 sin x cos  cos x sin sin x  cos x 6 6 2 2 2 2 Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học 2 2 Chinh phục olympic toán | 17 CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ    d x   x dx 6  6  C  ln tan  x     C    ln tan     2    2 12  sin  x   sin  x   6 6   dx 1 dx  J   cos 2x  3 sin 2x 2 1 3 cos 2x  sin 2x 2 2   d   2x  1 dx 1 dx 1 6         2 sin  cos 2x  cos  sin 2x 2 4     sin   2x  sin   2x  6 6 6  6    2x 1 1    6   ln tan  C   ln tan   x   C 4 2 4  12  dx a sin x  b cos x  c 1. PHƯƠNG PHÁP. 2dt  dx  1  t 2  sin x  2t  x 1  t2 Đặt tan  t   2 2  cos x  1  t  1  t2  2t  tan x  1  t2  2. VÌ DỤ MINH HỌA. dx  I 3 cos x  5 sin x  3 2dt  dx  1  t 2  x 2t  Đặt tan  t  sin x  . Từ đê ta cê 2 1  t2   1  t2 cos x   1  t2  2dt 2dt 2dt 1  t2 I   2 2 2 1t 2t 3  3t  10t  3  3t 10t  6 3. 5 3 2 2 1 t 1t 1 d  5t  3  1 1 x    ln 5t  3  C  ln 5 tan  3  C 5 5t  3 5 5 2 2dx  J 2 sin x  cos x  1 IV. DẠNG 4. I   18 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN 2dt  dx  1  t 2  x 2t  Đặt tan  t  sin x  2 1  t2   1  t2 cos x   1  t2  2dt 2. 4dt 4dt dt 1  t2 Từ đê J     2  2 2 2 2 2t 1t 4t  1  t  1  t 2t  4t t t  2 2.  1 2 2 1 t 1 t 1  x x 1     dt  ln t  ln t  2  C  ln tan  ln tan  2  C 2 2  t t2 dx  K sin x  tan x 2dt  dx   1  t2  x 2t  Đặt tan  t  sin x  2 1  t2  2t   tan x  1  t 2 2dt 1 1  t2 1 dt 1 1  t2 Từ đê K     dt     tdt 2t 2t 2 t 2 t 2  2 2 1t 1t 1 1 1 x 1 x  ln t  t 2  C  ln tan  tan 2  C 2 4 2 2 4 2 dx V. Dạng 5. I   2 a.sin x  b.sin x cos x  c.cos 2 x 1. PHƯƠNG PHÁP. dx I 2  a tan x  b tan x  c  .cos2 x dx dt  dt . Suy ra I   2 2 cos x at  bt  c 2. VÌ DỤ MINH HỌA. dx dx  I  2 2 3sin x  2 sin x cos x  cos x  3 tan 2 x  2 tan x  1 cos2 x Đặt tan x  t  Đặt tan x  t  dt dt dx   dt  I   2 2 3t  2t  1 cos x  t  1 3t  1 1  1 3  1 dt 1 d  3t  1      dt    4  t  1 3t  1  4 t  1 4  3t  1 1 t1 1 tan x  1  ln  C  ln C 4 3t  1 4 3 tan x  1  Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 19 CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ  J dx dx  2 2 sin x  2 sin x cos x  2 cos x  tan x  2 tan x  2  cos2 x 2 Đặt tan x  t  J dx  dt cos2 x d  t  1 dt  2 t  2t  2  t  1  3   2 VI. DẠNG 6. I   2  1 2 3 ln t 1 3 1 tan x  1  3 C  ln C t 1 3 2 3 tan x  1  3 a1 sin x  b1 cos x dx a 2 sin x  b2 cos x 1. PHƯƠNG PHÁP. Ta tìm A, B sao cho: a1 sin x  b1 cos x  A  a 2 sin x  b 2 cos x   B  a 2 cos x  b 2 sin x  2. VÌ DỤ MINH HỌA. 4 sin x  3 cos x  I dx sin x  2 cos x Ta tìm A, B sao cho 4 sin x  3 cos x  A  sin x  2 cos x   B  cos x  2 sin x  A  2B  4 A  2  4 sin x  3 cos x   A  2B  sin x   2A  B  cos x    2A  B  3 B  1 2  sin x  2 cos x    cos x  2 sin x  Từ đê: I   dx sin x  2 cos x d  sin x  2 cos x   2  dx    2x  ln sin x  2 cos x  C sin x  2 cos x 3 cos x  2 sin x  J dx cos x  4 sin x Ta tìm A, B sao cho 3 cos x  2 sin x  A  cos x  4 sin x   B   sin x  4 cos x   3 cos x  2 sin x   A  4B  cos x   4A  B  sin x 11  A  A  4B  3   17    4A  B  2 B   10  17 11 10  cos x  4 sin x     sin x  4 cos x  17 dx Từ đê: J   17 cos x  4 sin x 11 10 d  cos x  4 sin x  11 10  dx    x  ln cos x  4 sin x  C  17 17 cos x  4 sin x 17 17 3. CHÚ Ý. a sin x  b1 cos x 1. Nếu gặp I   1 dx ta vẫn tçm A, B sao cho: 2  a2 sin x  b2 cos x  a1 sin x  b1 cos x  A  a 2 sin x  b 2 cos x   B  a 2 cos x  b 2 sin x  2. Nếu gặp I   a1 sin x  b1 cos x  c1 dx ta tìm A, B sao cho: a 2 sin x  b2 cos x  c 2 a1 sin x  b1 cos x  c1  A  a 2 sin x  b 2 cos x  c 2   B  a 2 cos x  b 2 sin x   C Chẳng hạn: 20 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN  I  8 cos x 3 sin x  cos x  2 dx . Ta tìm A, B sao cho: 8 cos x  A    3 sin x  cos x  B 3 cos x  sin x  A 3  B  0 A  2   8 cos x  A 3  B sin x  A  B 3 cos x   A  B 3  8 B  2 3  Từ đê: I   2   2    3 sin x  cos x  2 3   3 cos x  sin x  dx  d  3 sin x  cos x  3  2I 3 sin x  cos x   3 sin x  cos x dx 2 3 sin x  cos x  2 2 1  2 3 C 3 sin x  cos x dx 1 dx 1 dx     2 sin x cos   cos x sin  3 sin x  cos x 2 3 1 sin x  cos x 6 6 2 2    d x   x 1 dx 1 1 6 6  C  1 ln tan  x     C       ln tan    2  2 2 2 2    2 12  sin  x   sin  x   6 6   2 3 x   Vậy I  ln tan     C 3 sin x  cos x  2 12  8 sin x  cos x  5  J dx . Ta tìm A, B, C sao cho: 2 sin x  cos x  1 Tìm I 1   8 sin x  cos x  5  A  2 sin x  cos x  1   B  2 cos x  sin x   C 2A  B  8 A  3    8 sin x  cos x  5   2A  B  sin x   A  2B  cos x  A  C  A  2B  1  B  2 A  C  5 C  2   3  2 sin x  cos x  1   2  2 cos x  sin x   2 dx 2 sin x  cos x  1 2 cos x  sin x dx  3 dx  2  dx  2 2 sin x  cos x  1 2 sin x  cos x  1  3x  2 ln 2 sin x  cos x  1  2J 1 Từ đê: J    2dt  dx  1  t 2  x 2t dx  Tìm J 1   . Đặt tan  t  sin x  2 1  t2 2 sin x  cos x  1   1  t2 cos x   1  t2  Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 21 CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ 2dt dt dt 1 1 1  1  t2  J1    2      dt 2 2t 1t t  2t t t  2 2  t t  2  2.  1 1  t2 1  t2 x tan 1 t 1 2 C  ln  C  ln x 2 t2 2 tan  2 2 x tan 2 C Vậy: J  3x  2 ln 2 sin x  cos x  1  ln x tan  2 2 VII. DẠNG 7. BIẾN ĐỔI ĐƯA VỀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN HOẶC 6 DẠNG Ở TRÊN. 1  I   cos 3x cos 4xdx    cos x  cos7x  dx 2 1 1 1 1   cos xdx   cos7xdx  sin x  sin 7x  C 2 2 2 14 1  I   cos x sin 2x cos 3xdx   sin 2x  cos 2x  cos 4x dx 2 1 1   sin 2x cos 2xdx   sin 2x cos 4xdx 2 2 1 1   sin 2xd  sin 2x      sin 2x  sin 6x dx 4 4 1 1 1  sin 2 2x  cos 2x  cos 6x  C 8 8 24      I   tan x tan   x  tan   x  dx 3  3      sin x sin   x  sin   x      3  3  Ta có: tan x tan   x  tan   x     3 3        cos x cos  x cos  x      3  3  2  1   sin x  cos 2x  cos  sin x  1  2 sin 2 x   3  2     2  1   cos x  cos 2x  cos  cos x  2 cos 2 x  1   3  2   2 sin x  3  4 sin x  3 sin x  4 sin 3 x sin 3x    3 cos x  4 cos 2 x  3  4 cos x  3 cos x cos 3x sin 3x 1 d  cos 3x  1 dx      ln cos 3x  C cos 3x 3 cos 3x 3 3 I   sin x sin 3xdx Từ đê: I    Ta có: sin 3x  3 sin x  4 sin 3 x  sin 3 x   sin 3 x sin 3x  3 sin x  4 sin 3x .sin 3x 4 22 | Chinh phục olympic toán 3 sin x  sin 3x 4 Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN 3 1 3 1 sin x sin 3x  sin 2 3x   cos 2x  cos 4x    1  cos 6x  4 4 8 8 3 3 1 1  cos 2x  cos 4x  cos 6x  8 8 8 8 3 3 1 1 3 3 1 1  Từ đê: I    cos 2x  cos 4x  cos 6x   dx  sin 2x  sin 4x  sin 6x  x  C 16 32 48 8 8 8 8 8 3 3  I    sin x cos 3x  cos x sin 3x  dx  3 sin x  sin 3x 3 cos x  cos 3x , cos3 x  4 4 3 sin x  sin 3x 3 cos x  cos 3x Suy ra sin 3 x cos 3x  cos 3 x sin 3x  .cos 3x  .sin 3x 4 4 3 1 3 1  sin x cos 3x  sin 3x cos 3x  cos x sin 3x  cos 3x sin 3x 4 4 4 4 3 3 3  sin  2x   sin 4x   sin  2x   sin 4x    sin 2x 8 8 4 3 3 Vậy I    sin 2xdx  cos 2x  C 4 8 dx dx 1 1 dx 1 dx  I   . .  1  tan 2 x   3 4 2 2 sin x cos x tan x cos x tan x cos x cos x tan x cos 2 x dx Đặt tan x  t   dt cos2 x t2  t dt 1 2 1  t  ln t  C  tan 2 x  ln tan x  C I dt   tdt   2 2 t t dx cos xdx  I  4 sin x cos x sin 4 x cos 2 x Ta có: sin 3 x  Đặt sin x  t  cos xdx  dt  I    dt 1  t4  t4 1  t2 dt  dt  dt  4    t 1  t2 t4 1  t2  t4 1  t2  dt dt dt 1 1 1 t 1  2    t 3   ln C 4 t t t 2 t1  t  1 t  1 3 1 1 1 sin x  1   ln C 3 3sin x sin x 2 sin x  1 sin 3x sin 4x sin 3x sin 4x dx   dx   sin 4x cos 2x cos xdx  I sin 3x tan x  tan 2x cos x cos 2x 1 1 1    sin 6x  sin 2x  cos xdx   sin 6x cos xdx   sin 2x cos xdx 2 2 2 1 1    sin 7x  sin 5x  dx    sin 3x  sin x  dx 4 4 1 1 1 1   cos7x  cos 5x  cos 3x  cos x  C 28 20 12 4 1  cos x  u  sin x dx dx du    I .Đặt   sin 2 x 3 sin x dv  dx  v   cot x  sin 2 x  Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 23 CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ cot x cot x.cos x cot x  dx    I1 2 sin x sin x sin x cos 2 x 1  sin 2 x dx dx x Tính I 1   dx  dx     I  ln tan  C 3 3 3  sin x sin x sin x sin x 2 cot x cot x x I  I1    I  ln tan  C sin x sin x 2 x cot x 1 x cot x  2I  ln tan   C  I  ln tan  C 2 sin x 2 2 2 sin x I  2 0  1  sin x  I   ln   dx  1  cos x  Biến đổi giả thiết ta cê   2 0   2 0  1  sin x  ln   dx    1  cos x   x x 2x 2x  sin  2   cos  2   2 sin 2 cos 2       dx ln  2 x   2 cos   2   1 2  x x    ln  tan 2  2 tan  1  dx 0 2 2 2   x 1 1 Đặt tan  t  I    t 2  1 ln  t 2  t  1  dt . 2 2 0 Đến đây sử dụng tènh chất  2 0 b b  f  x  dx   f  a  b  x  dx bài toán sẽ được giải quyết a a  2 0 Cách 2. Ta có I   ln  1  sinx  dx   ln  1  cosx  dx Sử dụng nguyæn hàm từng phần ta được    xcosx 2 0 ln  1  sinx  dx  2 ln2  02 1  sinx dx   xsinx 2 0 ln  1  cosx  dx  02 1  cosx dx    xcosx   xsinx  I  ln2    2 dx   2 dx  0 0 1  cosx 2  1  sinx   xcosx  Từ đây ta sẽ đi tènh  2 dx . Đặt t   x ta được 0 1  sinx 2    xcosx  2 sinx xsinx 2 2 dx  dx  dx  I  0 0 1  sinx   0 1  cosx 2 0 1  cosx   2 sin 2x  sin x dx 1  3 cos x 0 I  2 Sử dụng tèch phân từng phần ta cê I   0  2 sin x  2 cos x  1  2 sin x cos x  sin x dx   dx 1  3 cos x 1  3 cos x 0 u  2 cos x  1 du  2 sin xdx   Đặt  d  1  3 cos x    2 sin x dv  dx     v   3 1  3 cos x 1  3 cos x 3 1  3 cos x  Khi đê 24 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN   2 2 42 I    2 cos x  1  1  3 cos x   sin x 1  3 cos xdx 3 30 0  2 2 4 2 8    1  3 cos xd  1  3 cos x    3 90 3 27 Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học  1  3 cos x   3 2 0  34 27 Chinh phục olympic toán | 25 CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ 4. ĐƯA BIỂU THỨC VÀO TRONG DẤU VI PHÂN Ở nội dung bài viết này ta sẽ nhắc tới một số bài toán sử dụng kỹ thuật đưa một biểu thức vào trong dấu vi phân, để làm được những bài toán này cần chî ï đến kỹ năng biến đổi, đạo hàm. Sau đây sẽ cíng xåt các vè dụ sau. Ví dụ 1: Biết 1 x 3  2 x  ex 3 2 x 1 1 e   0   e.2x dx  m  e ln n .ln  p  e    với m, n, p là các số nguyæn dương. Tènh tổng P  m  n  p A. P  5. B. P  6. C. P  7. D. P  8. Lời giải Những bài toán cần đến kỹ thuật này đa phần sẽ được phát biểu một cách khá lằng nhằng sẽ gây khê khăn cho người làm bài. Tuy nhiên hầu hết sẽ được đơn giản hóa bằng cách tách thành 2 tèch phân khác, mà để làm được điều này thì trên tử phải tách theo mẫu số. 1 1  3 x3  2 x  ex3 2 x 2x  1 1 Ta có I   dx  x  dx  x 4  A   A  x x     e.2   e.2  4 0 4 0 0 1 1 1 2x dt dx Đặt t    e.2 x  dt  e.ln 2.2x dx  2x dx  x e ln 2   e.2 0 Tính A   Khi đê A   2e 1 dt 1 .   ln t e.ln 2 e t e.ln 2  2e   e 1   2e 1 e   ln  ln  1   e ln 2   e e ln 2  e m  4 1 1 e    ln  1  Vậy I     n  2  P  m  n  p  7. 4 e ln 2  e  p  1 Nhận xét:  Mấu chốt của bài toán là ta nhận ra được mẫu đạo hàm ra một phần của tử từ đê rît ra phåp đặt mẫu để lấy vi phân.  Ngoài ra nếu trçnh bày tự luận thç ta cũng khëng cần phải đặt mẫu làm gç cả, đưa trực tiếp tử vào trong dấu vi phân rồi nhân thæm hằng số bæn ngoài. Chọn ý C. Ví dụ 2: Biết  2  x 2   2x  cos x  cos x  1  sin x x  cos x 0 Tính P  ac 3  b. 5 A. P  4 B. P  3 2 dx  a2  b  ln c với a,b,c là các số hữu tỉ.  C. P  2 D. P  3 Lời giải Vẫn là một bài toán với cách phát biểu không hề dễ chịu, mấu chốt vẫn là đưa biểu thức vào trong dấu vi phân và tách thành 2 tèch phân như bài trước ! 26 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN  2 0 Ta có I   x  2x cos x  cos 2 x    1  sin x  2 x  cos x   2 0  x  cos x  2  dx   2 x  cos x 0 dx   d  x  cos x  1  sin x dx   2  x  cos x  dx   2 0 0 x  cos x x  cos x   1 2 1 2 1   x 2  sin x  ln x  cos x   2  1  ln   2  1  ln 2 8  2 0 8 1  a  8  Vậy b  1  P  ac 3  b  2. c  2   Chọn ï C. e ln 2 x  ln x 1  ln x  x  1 Ví dụ 3: Biết I   A. P  8 3 dx  B. P  6 1 b với a, b   a  e  2 2 C. P  6  . Tính P  b  a . D. P  10 Lời giải Bài toán này khëng cén đơn giản như 2 bài toán trước nữa. Vẫn bám sát phương pháp làm ta sẽ phải đơn giản và làm xuất hiện biểu thức hợp lè để đưa vào trong dấu vi phân. Vậy biến đổi như thế nào để xuất hiện biểu thức đê? Ta có ln 2 x  ln x e   ln x  x  1 1 dx   3 e 1 ln x  1 ln x . dx ln x  x  1  ln x  x  1 2 ln x  ln x  1  Chî ï rằng  . Khi đê tèch phân cần tènh trở thành: ’  2  ln x  x  1   ln x  x  1 e ln 2 x  ln x   ln x  x  1 1 3 dx   e 1 2 ln x  1 1 2  ln x  1  e2 d   1 udu   t ln x  x  1  ln x  x  1  2 2 2 e2 1 2  1 2  8  e  2 2 Chọn ï B. Ví dụ 4: Biết I   1 2 A. P  0 x2  1 a dx  là phân số tối giản. Tính P  b  36a . 4 3 2 x  4x  6x  4x  1 b B. P  1 C. P  2 D. P  5 Lời giải Sau đây ta sẽ tçm hiểu một số bài toán đưa biểu thức vào trong dấu vi phân với hàm phân thức hữu tỉ. Cách làm khëng phải là chỉ đưa tử vào trong dấu vi phân mà cần phải biến đổi bằng cách sau. Chia cả hai vế cho x 2 ta được: Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 27 CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ 1 1  1    1  2  dx dx   2  1  1 1 1 x  x     I   2 2  2 1 1  1 36  2 1   x 2 x   2 x  2   4x    6   x x  x   x   2 Nhận xét: Kỹ thuật chia cả hai vế cho số hạng bậc cao nhất của tử sẽ được áp dụng khá  nhiều trong những bài toán đưa biểu thức vào trong dấu vi phân với hàm phân thức hữu tỉ. Các bài toán này hầu hết cần phải biến đổi mẫu số để phân tèch tử số ra một  cách hợp lè từ đê mới cê thể đưa vào trong dấu vi phân. Chọn ï A. Ví dụ 5: Biết I  3  13 2  1 A. 22 13  4x 3  2x 9  x2  1  ab  4  dx   a  ln b  6 c . Tính  4 . 2 2 x x 1 x x 1 c   48 37 28 B. C. D. 13 13 13   Lời giải Bài toán này nhçn hçnh thức khá khủng bố, do yæu cầu của những bài toán này là làm đơn giản tèch phân cho næn tránh việc cộng cả hai biểu thức trong dấu tèch phân mà cần phải tách chîng ra để tènh đơn giản hơn. Ta có I  3  13 2  1  4x 3  2x 9  x2  1   4  dx    x  x2  1 x4  x2  1    3  13 2  d  x4  x2  1 x4  x2  1 1  3  13 2  1 9  x2  1 x4  x2  1 dx Tèch phân thứ nhất tènh rất dễ dàng bằng cách đưa biểu thức vào trong dấu vi phân rồi, cén tèch phân thứ 2 ta sẽ xử lï thế nào? Như bài trước ta sẽ chia cả tử và mẫu cho x 2 , ta có: 9 3  13 2  1 x2  1 dx  9 x4  x2  1 1 1 2 x 3  13 2  1 x2  1  1 x2 dx  9 3  13 2  1 1  dx   x  2 1  x   3 x    2 1 x 9 x dx  arctan 3 3 3  13 2 1 Đến đây dễ dàng tènh được: I  ln  x  x  1  4 2 3  13 2 0 1 x 9 x  arctan 3 3 3  13 2    ln 66  18 13  3 1 Chọn ï A. Nhận xét: Ở bài toán træn ta đã sử dụng một tènh chất của hàm phân thức hữu tỉ. du 1 u  u2  a2  a arctan a  C 28 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN 5. TÌCH PHÂN LIÊN KẾT Cê rất nhiều bài toán tèch phân ta khëng thể sử dụng cách tènh trực tiếp được hoặc tènh trực tiếp tương đối khê với những bài toán như vậy ta thường sử dụng tới một kỹ thuật đê là tçm tèch phân liæn kết. Chủ yếu các bài toán sử dụng phương pháp này là các tèch phân lượng giác hoặc cê thể là hàm phân thức. Để hiểu rì hơn ta cíng đi vào phương pháp. b b a a Xét tích phân I   f  x  dx ta sẽ tçm liæn kết với tèch phân K   g  x  dx và tçm các mối cI  dK  m liæn hệ giữa I, K. Ta đi thiết lập mối liæn hệ giữa I, K  . Giải hệ này ta sẽ tçm eI  vK  n được cả I và K. Kinh nghiệm. Ta thường gặp các trường hợp sau:  Hai tích phân I  K , tènh được I  K từ đê suy ra I.  K là một tèch phân tènh đơn giản, khi đê từ mI  nK  a ta sẽ tènh được I. Cách tìm tích phân. K. Việc tçm tèch phân này chủ yếu dựa vào kinh nghiệm, riæng đối với tèch phân lượng giác thç ta thường hay chî ï đến việc đổi chỗ sinx cho cosx để tạo tèch phân liæn kết! Ví dụ: Tính các tích phân sau:  1. I   6 cos 2x sin 2 xdx 0  2. I   2 0 sin x  sin x  3 cos x  3 dx  cos3 x sin x dx 0 sin 4 x  cos 4 x 1 dx 4. I   2 x 0 e 3 3. I   2 5. I   1 0 x4  1 dx x6  1 Lời giải 1. Ở ngay câu đầu ta đã thấy ngay sự khê khăn rồi phải chứ? Bây giờ sẽ nghĩ tới tèch phân liæn kết. Chî ï tới đẳng thức sin 2 x  cos 2 x  1 ta sẽ thử tạo tèch phân liæn kết với tích  phân K   6 cos 2x cos 2 xdx 0  6 0 Ta có: I  K    6 1 3 cos 2xdx  sin 2x  2 4 0 Mặt khác ta lại cê:  6 0 KI    1 6 1 1 3 6 1 cos 2xdx    1  cos 4x  dx   x  sin 4x      0 2 2 4  0 4  3 4  2 Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 29 CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ 1 3 3  Từ đây suy ra được I     8  4 3  2 0 2. Chú û tìch phân liên kết của ta là K    2 0 Ta có: I  3K     cos x sin x  3 cos x  dx . 3   1 dx 1  2 3  2 dx  I   cot  x    2  0  4 4 30 3   sin x  3 cos x sin 2  x   3  1  Giờ cần tçm một mối liæn hệ nữa giữa I,K , chî ï đến kiến thức kiến thức phần trước – Đưa biểu thức vào trong dấu vi phân, ở đây ta thấy rằng  sin x  ‘  cos x,  cos x  ‘   sin x , do đê nghĩ cách làm sao đê để cê thể đưa một biểu thức vào trong dấu vi phân. Ta cê:  2 0 cos x  3 sin x KI 3    sin x  Từ đây suy ra I  3 cos x  3  2 0 dx    d sin x  3 cos x  sin x  3 cos x   3  2 1  2 sin x  3 cos x   3 3 6 0 1 3 . 6  3. Chú û nếu tình được tìch phân K   2 0 sin 3 x cos x dx sin 4 x  cos 4 x Ta có:  cos 4 x  ‘  4 cos 3 x sin x,  sin 4 x  ‘  4 sin 3 x cos x   cos 4 x  sin 4 x    sin 4x   2 0 sin 4x  4 I  K   dx   ln  sin 4 x  cos 4 x  2  0  I  K 4 4 0 sin x  cos x   sin x cos x sin 2x 1 2 d  cos 2x   2 2 Để ï rằng I  K   dx   dx     0 sin 4 x  cos 4 x 0 1  cos 2 2x 2 0 1  cos 2 2x 4  Vậy I  8 4. Chọn tìch phân liên kết K   1 0 1 Ta có 3I  K   dx  1  I  0 e 2xdx 1 1 d  e  1 1  e2  3  2x   ln  e  3   ln   e 2x  3 2 0 e 2x  3 2 2  4  0 2x 1 1 1  e2  3   ln   3 6  4  5. Ta chú û tới hằng đẳng thức sau x  1   x  1  x  x  1  , ta chọn K   6 2 4 2 1 0 x2 dx x6  1 Ta có:    IK   1 0 K 1 0 4 1 x4  x2  1 1  dx   2 dx  arctan x  6 0 x 1 x 1 4 0 x2 1 1 dx  1  dx    arctan x 3  2 6 x 1 3 0  x3   1 3 12 0 30 | Chinh phục olympic toán 3 1 Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN  3 Vậy I  LUYỆN TẬP Tính các tích phân sau:  4 0 sin 4 x dx sin 4 x  cos 4 x 1. I    2 0 sin x dx sin x  cos x 4. I    2 0 7. I   sin 2x.cos xdx 4  6 0 cos2 2x dx cos 2x  6  3 cos 5x dx sin 2x 10. I   13. I   Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học   2 0 sin 100 x dx sin 100 x  cos100 x 3. I   2  3 0 cos2 x dx sin x  3 cos x 6. I   2 2. I   5. I    2 0 8. I   sin x cos n 11. I   1  6  3 14. I   3 sin x  sin x  cos x  0  xdx 1 dx 6 x  1  x2  sin 5x dx cos x dx sin 3 x dx sin x  cos x 0  n2 3 2 sin x  1 dx sin x  cos x  1 9. I   2 0 12. I   1 x2 ex dx 0 x  2  6  3 2 cot x  3 tan x dx cot x  tan x 15. I   2 Chinh phục olympic toán | 31 CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ 6. KỸ THUẬT LƯỢNG GIÁC HÓA Khi tènh tèch phân ta sẽ gặp một số bài toán dưới dấu căn thức chứa một số hàm cê dạng đặc biệt mà khê tènh như bçnh thường được, khi đê ta sẽ nghĩ tới phương pháp lượng giác hêa. Với những dạng sau thç ta sẽ sử dụng phương pháp lượng giác hêa.  Nếu bài toán cê chứa a 2  x 2 thç ta đặt x  a sin t hoặc x  a cos t  Nếu bài toán cê chứa x 2  a 2 thç ta đặt x   Nếu bài toán cê chứa x 2  a 2 hoặc a a hoặc x  sin t cos t x 2  a 2 thç ta đặt x  a tan t  Nếu bài toán cê chứa xa thç ta đặt x  a cos 2t ax  Nếu bài toán cê chứa  x  a  b  x  thç ta đặt x  a   b  a  sin 2 t Ví dụ: Tính các tích phân sau: 1. I   2 2. I   1 0 0 4  x 2 dx dx 4  x  4  x2 2 1 3. I   x 2 1  x 2 dx 0 1 2 0 4. I   5 2 0 5. I   x 2 dx 1  x  2 3 5x dx 5x Lời giải 1. Hãy thử đặt bút làm câu này theo cách bënh thường xem vấn đề ở đây là gë nhé!    Đặt x  2 sin t, t    ;   dx  2 cos tdt  2 2  2 0  2 0  I  4  cos tdx  2  2  2 1  1  cos 2t  dt  2  t  sin 2t     2 0    2. Đặt x  2 sin t, t    ;   dx  2 cos tdt  2 2  6 0 I 2 cos tdt  4  4 sin t  2 3  6 0   6 dt 1 1  tan t  2 4 cos t 4 4 3 0 3. Đặt x  sin t  dx  cos tdt . Ta được:  2 0  2 0  I   sin t 1  sin t cos tdt   2 2 32 | Chinh phục olympic toán  1 2 1 1 2  sin t cos tdt    1  cos 4t  dt   t  sin 4t   8 0 8 4  0 16 2 2 Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN    4. Đặt x  sin t, t    ;   dx  cos tdt  2 2  6 0 I sin 2 t cos tdt  1  sin 2 t  3  6 0    6 sin 2 tdt 1 1 2 3 6  tan td tan t  tan t    4  0 cos t 3 9 3 0 5. Đặt x  5 cos 2t  dx  10 sin 2tdt   I  10 6 4 Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học 5  1  cos 2t  5  1  cos 2t   dt  20 6 cos 2 t dt  4  5 2 3 2  Chinh phục olympic toán | 33 CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ 7. NGUYÊN HÀM – TÌCH PHÂN TỪNG PHẦN Kỹ thuật từng phần là một kỹ thuât khá cơ bản nhưng rất hiệu quả trong các bài toán tènh tích phân, ở trong phần này ta sẽ khëng nhắc lại các bài toán cơ bản nữa mà chỉ đề cập tới một số bài toán nâng cao trong phần này. Trước tiæn ta sẽ đi nhắc lại và chứng minh cëng thức tènh nguyæn hàm – tèch phân từng phần. Giả sử u  x  , v  x  là các hàm liên tục trên miền D khi đî ta cî: d  uv   udv  vdu   d  uv    udv   vdu  uv   udv   vdu   udv  uv  vdu Cëng thức træn chènh là cëng thức nguyæn hàm từng phần. Như vậy ta đã cíng chứng minh cëng thức tènh nguyæn hàm từng phần, sau đây cíng đi vào các bài toán cụ thể. 3 3 0 0 Ví dụ 1: Cho hàm số f  x  thỏa mãn  x.f   x  .e f  xdx  8 và f  3   ln 3 . Tính I   e f  x dx . A. I  1. B. I  11. C. I  8  ln 3. D. I  8  ln 3. Lời giải 3 3 3   u  x du  dx fx fx f x    e  dx Đặt  Khi đê  x.f  x  e dx  x.e  f  x f  x v  e dv  f   x  e dx  0 0  0  8  3.e f  3 3 e 0 fx 3 dx   e  dx  9  8  1 f x 0 Chọn ï A.   Ví dụ 2: Cho hàm số f  x  cê đạo hàm liæn tục træn 0;  , và đồng thời thỏa mãn hai  2  2  2 0 0 điều kiện  f ‘  x  cos 2 xdx  10 và f  0   3. Tích phân  f  x  sin 2xdx bằng? A. I  13. B. I  7. C. I  7. D. I  13. Lời giải  2  u  cos 2 x du   sin 2xdx  Xét  f ‘  x  cos xdx  10 , đặt   2 0 dv  f ‘  x  cos xdx  v  f  x  2  2  2 0  2  10   f ‘  x  cos 2 xdx  cos 2 xf  x    f  x  sin 2xdx 0  2  2 0 0 0  10  f  0    f  x  sin 2xdx   f  x  sin 2xdx  10  f  0   13 Chọn ï D. 34 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN Hai vè dụ mở đầu cê vẻ vẫn đang chỉ dừng ở mức dễ áp dụng cëng thức, từ bài thứ 3 trở đi mọi thứ sẽ nâng cao hơn nhiều yæu cầu phải biến đổi và cê tư duy hơn trong việc đặt u, dv! Ví dụ 3: Cho hàm số f  x  nhận giá trị dương, cê đạo hàm liæn tục træn  0; 2  . Biết f  0   1 và f  x  f  2  x   e 2 với mọi x   0; 2  . Tính I   2 x 2  4x x 3 0 A. I   14 . 3 B. I   32 . 5 C. I    3x 2  f ‘  x  f  x 16 . 3 dx D. I   16 . 5 Lời giải Một bài toán vận dung cao khá là khê, bât giờ ta sẽ đi tçm biểu thức dv, ta cê thể dễ ràng thấy rằng f ‘ x  f  x  dx  ln f  x  , từ đây ta sẽ giải quyết bài têa như sau. Từ giả thiết f  x  f  2  x   e 2 x 2 Ta có I    x3  3×2  f ‘  x  f  x 0 2  4x  f 2  1 u  x 3  3x 2 du   3x 2  6x  dx   dx Đặt  f ‘ x dv  f x dx  v  ln f  x     2 2 0 0  I   x3  3x 2  ln f  x     3x 2  6x  ln f  x  dx   3   x 2  2x  ln f  x  dx  3J 2 0 2 x2 t 0 0 2 Ta có J    x 2  2x  ln f  x  dx  0   2  t  2  2  2  t   ln f  2  t  d  2  t   2    2  x   2  2  x   ln f  2  x  d  2  x     x 2  2x  ln f  2  x  dx   2 2 0 2 2 2  2J    x 2  2x  ln f  x  dx    x 2  2x  ln f  2  x  dx    x 2  2x  ln f  x  f  2  x  dx 0 0 2    x 2  2x  ln e 2x 0 Vậy I  3J   2  4x 0 2 dx    x 2  2x  2x 2  4x  dx  0 32 16 J 15 15 16 . 5 Chọn ï D. Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 35 CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ    2   2 cot x Ví dụ 4: Cho biểu thức S  ln  1    2  sin 2x  e dx  với số thực m  0. Chọn khẳng n    4m2  định đîng trong các khẳng định sau. A. S  5. B. S  9.   C. S  2 cot  2  4m       2 ln  sin . 4  m2      D. S  2 tan  2  4m     .   2 ln  2    4m  Lời giải  2   2  sin 2x  e Ta có 2 cot x dx  2  Xét   e 2 cot xdx   4m2  2  2  sin 2xe 2 cot xdx    4m2 sin 2xe 2 cot xdx  1    4m2  2  2 4m2 e 2 cot xd  sin 2 x   sin 2 x.e  2 cot x 2  sin 2 x.e  2  4m  2  4m2 4m2  2 cot x 2   2   2  2 cot x  sin 2 x   dx e 2  sin x  4m2 e 2 cot xdx  2   2 4m2 Từ  1  và  2  , suy ra I  sin 2 x.e 2 cot x  2   4m2 2 cot  4m2  1  sin .e 2 4m 2  2 cot   4m2  S  ln  sin 2 .e 4  m2       2 cot  2  4m        2 ln  sin  4  m2    Chọn ï C. Ví dụ 5: Cho hàm số y  f  x  cê đạo hàm cấp hai liæn tục træn đoạn  0; 1 đồng thời thỏa mãn các điều kiện  1 0 1 1 0 0 e x f  x  dx   e x f ‘  x  dx   e x f ”  x  dx  0 . Tính A. 2 B. 1 C. 2 ef ‘  1   f ‘  0  ef  1   f  0  D. 1 Lời giải Ta đặt  1 0 1 1 0 0 e x f  x  dx   e x f ‘  x  dx   e x f ”  x  dx  a . Sử dụng tèch phân từng phần ta cê: a  1 e xd  f ‘  x    e.f ‘  1   f ‘  0   1 e x f ‘  x  dx  e.f ‘  1   f ‘  0   2a ef ‘  1   f ‘  0  0 0   1  1 1 ef  1   f  0  a   e xd  f  x    e.f  1   f  0    e x f  x  dx  e.f  1   f  0   2a 0 0  Chọn ï D. 36 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN 8. ĐÁNH GIÁ HÀM SỐ ĐỂ TÌNH TÌCH PHÂN Trong các bài toán tènh tèch phân ta sẽ gặp phải một số trường hợp tènh tèch phân hàm cho bởi 2 cëng thức phải sử dụng đến đánh giá để so sánh 2 biểu thức từ đê chia tèch phân cần tènh ra thành 2 phần. Ta xåt bài toán tổng quát. Tènh tèch phân I   min  f  x  ,g  x   dx b a  Bước 1: Giải phương trçnh f  x   g  x   Bước 2: Xåt dấu cho hàm h  x   f  x   g  x  trên  a; b   Bước 3: Chia tèch phân cần tènh ra thành các tèch phân nhỏ. Chú ý: Yêu cầu bài toán cî thể thay min bằng max. Ví dụ: Tính các tích phân sau:  2  1. I   min x 2 , x dx 0  2. I   4 min tan x, x dx  4  2 0 3. I   max sin x, cos x dx  4. I   3 min tan x  2 sin x, 3x dx  3  4 0 5. I    x x2  max e  cos x, 2  x   dx 2  Lời giải  x  1 1. Xåt phương trçnh x 2  x   x  0     x   0; 1  x 2  x  min x 2 ; x  x 2  Ta thấy rằng khi  2 2 x   1; 2   x  x  min x ; x  x 4 2 1 3 1 2. Xåt hàm số f  x   tan x  x . Ta có f ‘  x    1  0 . Vậy f  x  luën đồng biến træn cos 2 x 2   1 2 0 1 Vậy I   min x 2 , x dx   x 2dx   0 x dx  . Mặt khác ta lại cê f  0   0 nên x  0 là nghiệm duy nhất của phương trçnh f  x   0 .    Nếu x  0;   f  x   f  0   0  tan x  x  4     Nếu x    ; 0   f  x   f  0   0  tan x  x  4   4   4 0  4 0 Vậy I   min tan x, x dx    tan xdx    Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học 4  2 2 xdx   ln   32  2  Chinh phục olympic toán | 37 CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ 3. Xåt phương trçnh sin x  cos x  x     Nếu x  0;   sin x  cos x  4    Nếu x   ;   sin x  cos x 4 2  2 0  . 4  4 0  2  4 Vậy I   max sin x, cos x dx   cos xdx   sin xdx  2 4. Xåt hàm số: f  x   tan x  2 sin x  3x  cos x  1  2 cos x  1  0x    ;   1  f ‘ x   2 cos x  3  2  3 3  cos x cos2 x 2    Vậy f  x  đồng biến træn   ;  , từ đê suy ra phương trçnh f  x   0 cê nghiệm duy nhất  3 3    x  0 træn đoạn   ;  .  3 3  3   3  I   min tan x  2 sin x, 3x dx   0   3  3 0  tan x  2 sin x  dx   2 3xdx  1  ln 2  6 x2  f ‘  x   x  e x  sin x  1  f ”  x   1  e x  cos x 2     Ta thấy rằng f ”  x   0x  0;   f  x  ‘  f  0   0x  0;   f  x  đồng biến træn đoạn  4  4 5. Xåt hàm số f  x   e x  cos x  2  x    0; 4  .   Mà f  0   0 nên x  0 là nghiệm duy nhất của phương trçnh f  x   0 træn đoạn 0;   4  4 0 Vậy I    1  e  cos x  dx  1  2  e 4 x 38 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN 9. KỸ THUẬT THẾ BIẾN – LẤY TÌCH PHÂN 2 VẾ Kỹ thuật thế biến – lấy tèch phân 2 vế được áp dụng cho những bài toán mà giả thiết cê dạng tổng của hai hàm số, khi đê ta sẽ lợi dụng mối liæn hệ giữa các hàm theo biến số x để thay thế những biểu thức khác sao cho 2 hàm số đê đổi chỗ cho nhau, để rì hơn ta sẽ cíng tçm hiểu các vè dụ sau. Ví dụ 1: Cho hàm số f  x  cê đạo hàm liæn tục træn  0; 1 , thỏa mãn điều kiện sau 2f  x   3f  1  x   1  x Giá trị của tèch phân 2 1  f  x  dx bằng 0 A.  5  10 B. C.  15  20 D. Lời giải Một bài toán khá hay cê 2 cách giải được đưa ra, ta sẽ cíng tiếp cận 2 cách giải sau đây để thấy được nội dung của phương pháp được áp dụng trong phần này! Cách 1: Lấy tích phân 2 vế. Lấy tích phân 2 vế cận tự 0 tới 1 giả thiết ta được: 1 1 1 0 0 0 2f  x   3f  1  x   1  x 2   2f  x  dx  3  f  1  x  d  1  x    1 1 0 0  5 f  x  dx   1 1  x 2   f  x  dx  0 1  x2  20 Cách 2: Thế biến. Chú ý vào hai biểu thức x, 1  x bây giờ nếu ta thế x bởi 1  x thì ta sẽ được hệ phương trình theo hai biến f  x  , f  1  x  . Thế x bởi 1  x ta được: 2f  x   3f  1  x   1  x 2   4f  x   9f  x   2 1  x 2  3 x 2  2x  2 2f  1  x   3f  x   1   1  x   f x  1 2 1  x 2  3 x 2  2x    f  x  dx  0 5 20 Chọn ý D. 1  1 Ví dụ 2: Cho hàm số f  x  liæn tục træn  ; 2  và thỏa mãn f  x   2f    3x. Tính tích 2  x 2 phân I   1 2 A. I  1 2 f x x dx B. I  3 2 C. I  5 2 D. I  7 2 Lời giải Từ giả thiết, thay x bằng 1 3 1 ta được f    2f  x   x x x Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 39 CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ   1 1 f  x   2f  x   3x f  x   2f  x   3x 2         f x   x Do đê ta cê hệ  x f  1   2f  x   3  4f  x   2f  1   6       x   x x x 2 Khi đê I   1 2 f x 2 2 2 2 3  2   2  dx    2  1  dx     x   x   x 1 2 1x Chọn ï B. 1 1 Cách khác. Từ f  x   2f    3x  f  x   3x  2f   x x  1 1 1 f  2 2 f 2 f    f x 1 x x x dx    3  2    dx  3  dx  2    dx . Xét J     dx Đặt t  suy Khi đê I   x x  x x x 1 1 1 1 1   2 2 2 2 2   1 1 ra dt   2 dx  t 2dx  dx   2 dt x t 1 1  2 2 2 x  2  t  2 f t f x  1 dt   dx  I Đổi cận  Khi đê J   t.f  t    2  dt   t x  t  1 1 2 x  2  t  1 2 2  2 2 2 2 2 1 2 1 2 Vậy I  3  dx  2I  I   dx  3 . 2 Ví dụ 3: Cho hàm số y  f  x  liæn tục træn  0; 1 và thỏa mãn x 2 f  x   f  1  x   2x  x 4 1 Tính tích phân I   f  x  dx . 0 1 A. I  . 2 2 C. I  . 3 3 B. I  . 5 4 D. I  . 3 Lời giải Từ giả thiết, thay x bằng 1  x ta được: 1  x f 1  x  f  x  2 1  x  1  x 2 4   x 2  2x  1  f  1  x   f  x   1  2x  6x 2  4x 3  x 4 . Ta có x 2 f  x   f  1  x   2x  x 4  f  1  x   2x  x 4  x 2 f  x  . Thay vào  1  ta được:  x 2  2x  1   2x  x 4  x 2 f  x    f  x   1  2x  6x 2  4x 3  x 4   1  x 2  2x 3  x 4  f  x   x6  2x 5  2x 3  2x 2  1   1  x 2  2x 3  x 4  f  x    1  x 2  1  x 2  2x 3  x 4   f  x   1  x 2 1 1 1 1  2  Vậy I   f  x  dx    1  x 2  dx   x  x 3   3 0 3  0 0 40 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN Chọn ï C. Ví dụ 4: Cho hàm số y  f  x  liæn tục træn  2; 2  và thỏa mãn 2f  x   3f  x   1 4  x2 2 Tính tích phân I   f  x  dx . 2 A. I    . 10 B. I    . 20 C. I   . 20 D. I   . 10 Lời giải Từ giả thiết, thay x bằng x ta được 2f  x   3f  x   1 4  x2 1 2   2f  x   3f  x   4  x 2  4f  x   6f  x   4  x 2 1 Do đê ta cê hệ    f  x  5  4  x2  2f  x   3f  x   1 9f  x   6f  x   3   4  x2 4  x2 2 Khi đê I   f  x  dx  2 2 1 1  dx  2  5 2 4  x 20 Chọn ï C.    Ví dụ 5: Cho hàm số y  f  x  liæn tục træn   ;  và thỏa mãn 2f  x   f  x   cos x  2 2 Tính tích phân I   2  f  x  dx   2 2 B. I  . 3 A. I  2. 3 C. I  . 2 D. I  2. Lời giải Từ giả thiết, thay x bằng x ta được 2f  x   f  x   cos x.   1 2f  x   f  x   cos x 4f  x   2f  x   2 cos x Do đê ta cê hệ    f  x   cos x. 3   2f  x   f  x   cos x f  x   2f  x   cos x  Khi đê I   2 f  x  dx   2  1 2 1 2 2 cosdx  sin x       3 2 3 3 2 Chọn ï B. Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 41 CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ 10. TÍCH PHÂN HÀM CHO BỞI 2 CÔNG THỨC Ta hiểu nëm na tèch phân hàm phân nhánh tức là các phåp tènh tèch phân những hàm cho bởi hai cëng thức, đây là một vấn đề dễ khëng cê gç khê khăn cả nếu đã từng gặp và biết phương pháp làm. x  1 Ví dụ 1: Cho hàm së f  x    2x e A. I  3e 2  1 . 2e 2 B. I  khi x  0 khi x  0 2 Tính tích phân I   f  x  dx 7e 2  1 . 2e 2 1 C. I  9e 2  1 2e 2 D. I  11e 2  11 2e 2 Lời giải Chú û là đây là hàm cho bởi 2 công thức nên ta sẽ tách tích phân cần tính ra thành 2 tích phân khác 0 2 0 2 1 0 1 0 Ta có I   f  x  dx   f  x  dx   e 2xdx    x  1  dx  9e 2  1 2e 2 Chọn ï C. Ví dụ 2: Cho hàm số f  x  xác định træn 2 1 , f  0   1 và f  1   2 .   , thỏa f ‘  x   2x  1 2  Giá trị của biểu thức f  1   f  3  bằng A. ln 15 B. 2  ln 15 C. 3  ln 15 D. 4  ln 15 Lời giải  ln  1  2x   C 1 2 2 Ta có f ‘  x    f x   dx  ln 2x  1  C   2x  1 2x  1 ln  2x  1   C 2  1 2 1 ;x  2 ;x  Tới đây ta xåt 2 trường hợp:  Nếu f  0   1  ln  1  2.0   C 1  1  C 1  1.  Nếu f  1   2  ln  2.1  1   C 2  2  C 2  2 . 1  ln  1  2x   1 khi x  2 f  1   ln 3  1 Do đê f  x     ln  2x  1   2 khi x  1 f  3   ln 5  2  2  f  1   f  3   3  ln 5  ln 3  3  ln 15 Chọn ï C. Ví dụ 3: Cho hàm số f  x  xác định træn 2; 1 và thỏa mãn f ‘  x   1 , x x2 2 1 Giá trị biểu thức f  4   f  1   f  4  bằng 3 1 1 1 8 B. ln 2  D. ln  1 C. ln 80  1 3 3 3 5 f  3   f  3   0 và f  0   A. 1 1 ln 20  3 3 Lời giải 42 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN Tương tự như những bài træn, đây là bài toán cũng yæu cầu tènh tèch phân hàm cho bởi 2 cëng thức, chỉ cê điều bài toán này cê tới 3 hàm thç ta vẫn xử lï tương tự như bài trước thôi! Ta có f ‘  x   1 1 1 1      x x2 3 x1 x2  2 1  3  ln  1  x   ln  x  2    C 1  1 1  f x   2 dx    ln  1  x   ln  x  2    C 2 x x2 3 1  3  ln  x  1   ln  x  2    C 3 ; x  2 ; 2  x  1 ;x  1 Xåt 2 trường hợp: 1 1 1 1 1   ln  1  0   ln  0  2    C 2   C 2  ln 2  . 3 3 3 3 3 1 1  Nếu f  3   f  3   0  C 1  C 3  ln . 3 10 1 5 1 1 1 1 1 Ta có f  4   f  1   f  4   ln  ln 2  ln  C 2  C 1  C 3  ln 2  3 2 3 3 2 3 3  Nếu f  0   Chọn ï B. Ví dụ 4: Cho hàm số f  x  xác định træn  0;   e , thỏa mãn f ‘  x   1 , x  ln x  1   1 1 f  2   ln 6 và f  e 2   3 Giá trị biểu thức f    f  e 3  bằng? e  e A. 3  ln 2  1  B. 2 ln 2 C. 3 ln 2  1 D. ln 2  3 Lời giải Theo giả thiết ta có f ‘  x    f  x   1 từ đây suy ra x  ln x  1  ln  1  ln x   C1 khi x   0; e  d  ln x  1 1  dx    ln ln x  1  C   x  ln x  1  ln x  1  ln  ln x  1  C 2 khi x   e;   Ta xåt 2 trường hợp:    1 f 2 e 1     ln 6  ln  1  ln 2   C 1  ln 6  C 1  ln 2 e    f  e 2   3  ln  ln e 2  1   C 2  3  C 2  3  1 ln  1  ln x   ln 2 khi x   0; e  f    ln 2  ln 2 Do đê f  x     e ln ln x  1  3 khi x  e;      f  e 3   ln 2  3   1  f    f  e 3   3  ln 2  1  e Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 43 CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ Chọn ï C. 1 với điều kiện: 1  sin 2x       11    k, k   . Biết F  0   1, F     0 , tính P  F     F    4   12   12  Ví dụ 5: Cho F  x  là một nguyæn hàm của hàm số y  x A. P  0 B. P  2  3 C. P  1 D. Không  Lời giải     Với x     k;   k  , k  4  4  F x   ta có: dx dx   2 1  sin 2x  sin x  cos x   dx 1    tan  x    C  2 4   2 cos 2  x   4   Ta xåt 2 trường hợp sau:  Ta có 0;         ;  nên: 12  4 4      12 1 3 F 0   1 3    1     3 F  0   F     tan  x      F      40 2 2  12  2   12  2 2  Ta có ; 11   5    ;  nên: 12  4 4    1 3 F   0 3  11  1   11  1 F    F   F    tan  x   11       4 2 2  12  2   12  2 2 12     11  Vậy P  F     F  1  12   12  Chọn ï C. 11. TÌCH PHÂN HÀM ẨN Những bài toán tèch phân trong phần này khëng khê, tất cả được che giấu dưới một lớp các ẩn số, việc làm của chîng ta là phát hiện ra được cách đặt ẩn để đưa tất cả về dạng chuẩn thç bài toán sẽ được giải quyết hoàn toàn. Ví dụ 1: Cho e 2017  1 2017  f  x  dx  2 . Tính tích phân I   0 0 A. I  1 B. I  2 C. I  4 x .f ln  x 2  1   dx. x 1  2 D. I  5 Lời giải Thoạt nhçn thç cê lẽ tương đối khủng, nhưng tuy nhiæn bằng cách đặt ẩn phụ thç bài toán này trở næn vë cíng đơn giản. Đặt t  ln  x 2  1  , suy ra dt  44 | Chinh phục olympic toán 2xdx xdx dt  2  2 x 1 x 1 2 Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN  x  0  t  0 Đổi cận  2017  1  t  2017  x  e Khi đê I  1 2 2017  f  t  dt  0 1 2 2017 1  f  x  dx  2  2  1 0 Chọn ï A. Ví dụ 2: Cho hàm số f  x  liæn tục træn 9  và 1 f  x  dx  4, x  2  f  sin x  cos xdx  2 .Tính 0 3 tích phân I   f  x  dx . 0 A. I  2. B. I  6. C. I  4. D. I  10. Lời giải Ở đây cê 2 giả thiết cần biến đổi để đưa về tèch phân liæn quan tới hàm f  x  .  Xét 9  f 1  x  dx  4 . Đặt t  x x  t 2  x  2tdt  dx.   9 f 3 3 x x  1  t  1 dx  2  f  t  2dt   f  t  dt  2 . Đổi cận  Suy ra  4   x x  9  t  3 1 1 1   2 Xét  f  sin x  cos xdx  2 Đặt u  sin x  du  cos xdx 0  x  0  u  0 1 2  2  f sin x cos xdx  Đổi cận  . Suy ra  0   0 f  t  dt x   u  1  2 3 1 3 0 0 1 Vậy I   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  4 . Chọn ï C. Ví dụ 3: Cho hàm số f  x  liæn tục træn và  4 1 0 0  f  tan x  dx  4,  x2 f  x  x2  1 dx  2. Tính tích 1 phân I   f  x  dx. 0 A. I  6. B. I  2. C. I  3. D. I  1. Lời giải Xét tích phân  4 0 1  f  tan x  dx  4 . Đặt t  tan x  dt  cos 2 x dx   tan 2 x  1  dx  dx  dt 1  t2 x  0  t  0  1 f t 1 f x  Đổi cận:   4   4 f  tan x  dx   2 dt   2 dx  0 0 0 t 1 x 1  x  4  t  1 Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 45 CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ f  x 1 1 0 x2  1 0 Từ đê suy ra I   f  x  dx   1 dx   0 x2 f  x  x2  1 dx  4  2  6 Chọn ï A. Ví dụ 4: Cho hàm số f  x  liæn tục træn  4  tan x.f  cos x  dx  1, 2 0 e2  e A. I  1. f  ln 2 x  x ln x và thỏa mãn đồng thời hai điều kiện 2 dx  1. Tính tích phân I   1 4 B. I  2. f  2x  dx. x C. I  3. D. I  4. Lời giải   4 Xét A   tan x.f  cos 2 x  dx  1 . 0 Đặt t  cos 2 x  dt  2 sin x.cos xdx  2 cos 2 x.tan xdx  2t.tan xdx  tan xdx   Khi đê 1  A    Xét B  e 2  1 2 dt 2t f x 1 f t 1 f t 1 f x dt   dt   dx   dx  2  21 t 21 t 21 x x 1 f  ln x  1 1 1 2 2 2 2 dx  1 x ln x e 2 ln x 2 ln 2 x 2u dx du dx  dx  dx   x x ln x x ln x x ln x 2u 4 4 4 f x 1 f u 1 f x Khi đê 1  B   du   dx   dx  2 21 u 21 x x 1 Đặt u  ln 2 x  du   2 Xåt tèch phân cần tènh I   1 2 4 Đặt v  2x  I   1 2 f  v v 4 dv   1 2 f x x f  2x  x 1 dx   1 2 dx f x x 4 dx   f x 1 x dx  2  2  4 . Chọn ï D. Ví dụ 5: Cho hàm số f  x  liæn tục træn tích phân A. 32 3 và thỏa mãn f  x 5  4x  3   2x  1x  . Tính 8  f  x  dx . 2 B. 10 C. 72 D. 2 Lời giải Vấn đề ở câu này nằm ở giả thiết, vậy làm sao để sử dụng giả thiết để tènh được tèch phân mà đề bài yæu cầu đây? Ý tưởng rất đơn giản đê là đặt x  t 5  4t  3 . Đặt x  t 5  4t  3  dx   5t 4  4  dt khi đê ta được: 46 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN  f  x  dx   f  t 8 1 2 1 5  4t  3  5t 4  4  dt   1 1  2t  1   5t 4  4  dt  10 Chọn ï B. Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 47 CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ 12. TÌCH PHÂN ĐỔI CẬN – ĐỔI BIẾN Các bài toán tích phân đổi biến đổi cận là các bài toán tương đối hay, xuất hiện thường xuyæn trong các đề thi thử và đề thi THPT Quốc Gia. Để làm tốt dạng này ta cần phải nhớ những kiến thức sau: b Tính chất 1. Cho tích phân I   f  x  dx . a b b a a  Đặt x  a  b  t  dx  dt  I   f  a  b  x  dx   f  x  dx  Với 2 số m,n ta luôn có I  b 1  m.f  x   n.f  a  b  x   dx  mn a Tính chất 2. Nếu f  x  là hàm chẵn thç ta cê:    0 a a 0  f  x  dx   f  x  dx a a 0 a 0 a  f  x  dx  2  f  x  dx  2  f  x  dx a f  x a bx  1 I a f  x  a b x  1 dx   a bx .f  x  a bx  1 dx   a dx  2I   f  x  dx a Chứng minh Ở đây sẽ chứng minh một tènh chất tiæu biểu, các tènh chất cén lại sẽ chứng minh tương tự. a f  x a b 1 Ta chứng minh: I   x dx   f  x  a a x b 1 a bx .f  x  a b 1 dx   x a dx  2I   f  x  dx a Do f  x  là hàm chẵn næn ta luën cê f  x   f  x  Đặt x   t  dx  dt  I    a a f  t  b t  1 a bt .f  t  a bt  1 dt   a bx .f  x  a bx  1 dt  I   dx Từ đê suy ra điều phải chứng minh! Tính chất 3. Nếu f  x  là hàm lẻ thç ta cê:   0 a a 0  f  x  dx   f  x  dx a  f  x  dx  0 a Tình chất này chứng minh tương tự như với hàm chẵn! Tính chất 4. Nếu f  x  là hàm tuần hoàn chu kç T, f  x  T   f  x  thì ta có:     T  nT 0 0 f  x  dx   aT a f  x  dx T f  x  dx  n  f  x  dx 0 b b  nT a a  nT  f  x  dx   f  x  dx Tính chất 5. Kỹ thuật xử lï một số bài toán sử dụng tènh chất  b a b f  a  b  x  dx   f  x  dx . a Cách làm chung cho những bài thuộc dạng này đî là: 48 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN I  b f  x  dx b  a Viết 2 lần giả thiết   2I   f  x   f  a  b  x   dx  b a I   f  a  b  x  dx a  Với cách làm này ta sẽ cê cách giải quyết tổng quất rất nhanh những bài toán cê dạng mà b 1 ba giả thiết cho f  x  f  a  b  x   c  0 . Khi đê ta cê tènh chất sau:  dx  a c  f x 2 c Chứng minh Ta viết lại 2 lần giả thiết như sau: b 1  I  dx   a  c  f x b   1 1   2I      dx  a   b 1 c  f x c  f a  b  x     I    dx  a c  f  a  b  x  Ta có: g x  2 c  f x  f a  b  x c  c  f  x  f a  b  x   f  x  f a  b  x   2I   b a . Tính I  2 c  f  x   f a  b  x  c  c  f  x   f a  b  x   c  1 c 1 ba – điều phải chứng minh dx  I  c 2 c Ví dụ 1: Cho hàm số f  x  liæn tục trên x  và thỏa f  x   f  x   2  2 cos 2x với mọi 3 2  f  x  dx  3 2 A. I  6 B. I  0 C. I  2 D. I  6 Lời giải Giả thiết cî tổng nên gợi û ngay đến sử dụng tình chất 1 . Ta có: 3 2 1 I   f  x  dx  11 3  2 3 2  1 3  f  x   f  x   dx  2 2 3 2  2  2 cos 2x dx  6 3  2 Chọn ï D. Ví dụ 2: Cê bao nhiæu số thực a   2017; 2017  thỏa mãn A. 1284 B. 1285  a a cos x 3 dx  x 2018  1 2 C. 1286 D. 1287 Lời giải Bài này chình là tình chất 2! Áp dụng tình chất 2 ta cî:  a  a a cos x 3 3 a 2018x  1 dx  2  a cos xdx  3  sin a  2   a  Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học   k2  3 k  2  k2  3  Chinh phục olympic toán | 49 CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ     k2   321  k  320 3 2 Nếu a   k2   321  k  320 3 Nếu a  Vậy cê 1284 số a thỏa mãn yæu cầu. Chọn ï A. 4 thỏa mãn f  x   f  x  4  x  ,  f  x  dx  1 và Ví dụ 3: Cho f  x  liæn tục træn 2 7 1 0 0  f  3x  5  dx  12 . Tính  f  x  dx . A. 35 B. 36 C. 37 D. 38 Lời giải Nhën qua ta nhận thấy ngay dấu hiệu của hàm tuần hoàn, tuy nhiên phải xử lû giả thiết thứ 2 đã! 2 11 1 2 Ta có:  f  3x  5  dx  12   f  3x  5  d  3x  5   12   f  x  dx  36 1 8 3 1 Áp dụng tènh chất thứ 3 của hàm tuần hoàn b b  nT a a  nT  f  x  dx   f  x  dx ta có: 7 4 7 4 7 4 0 0 4 0 44  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  37 Chọn ï C. Ví dụ 4: Cho a  b  2018 và I   b a A.  9 2 B.  9 3 b x  x  dx  10 . Tính J   sin   dx . a x  2018  x  3  9 8 C.  D.    Lời giải Đây là bài toán cê giả thiết a  b  2018 và tèch phân các cận từ a tới b næn ta sẽ chî ï đến tènh chất thứ 5. Ta có f  x   x 2018  x  f  2018  x   x  2018  x x  2018  x Theo cách làm của tènh chất 5 ta cê: 2I    f  x   f  2018  x   dx  2  dx  10  a  b  20 b b a a b 1019 a  999 9  x   x  Kết hợp với giả thiết ta giải ra được   J   sin   dx   sin   dx   a 999 2  3   3  b  1019 Chọn ï A. 2 Ví dụ 5: Cho hàm số f  x  liæn tục træn  0; 2  thỏa mãn f  x   f  2  x  ,  f  x  dx  10 . 0 Tính  x 2 0 A. 40 3  3x 2  f  x  dx B. 20 C. 40 D. 20 Lời giải 50 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN Vẫn là ï tưởng cũ dạng toán cũ sử dụng đến tènh chất 5. Ta có: I  2  x 3  3x 2  f  x  dx 2  0  2I   4 f  x  dx  40  I  20   2 3 2 0 I    2  x   3  2  x  f  2  x  dx 0    Chọn ï D. Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 51 CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ 13. TÌCH PHÂN CÓ CẬN THAY ĐỔI Nếu như bçnh thường ta hay xåt với những bài tèch phân cê cận là các hằng số cố định thç trong phần này ta sẽ cíng tçm hiểu các bài toán cê cận là các hàm theo biến x. Trước tiæn để làm được những bài toán này ta cần nhớ kiến thức sau: Định lý: Nếu f  x  là hàm khả tèch træn  a; b  , liæn tục tại mọi x   a; b thç hàm số F  x  x xác định bởi F  x    f  t  dt khả vi tại x và F’  x   f  x  . a Tổng quát ta cê F’  x    v x  u x   f  t  dt ‘  v’  x  f  v  x    u’  x  f  u  x   Phương pháp chung: Để giải những bài toán ở phần này tất cả đều theo 2 bước chènh:  Bước 1: Đạo hàm giả thiết  Bước 2: Biến đổi kết quả của đạo hàm để suy ra yæu cầu của bài toán. Sau đây là những vè dụ minh họa: x Ví dụ 1: Cho hàm số f  x  liæn tục træn A. 96 và 3x 5  96   f  t  dt . Tìm a? a B. 2 C. 4 D. 15 Lời giải Những ai lần đầu gặp bài này ắt hẳn sẽ rất khê khăn, tuy nhiæn ta đã cê phương pháp rồi do đê sẽ bám sát nê! Lấy đạo hàm hai vế ta được 15x 4  f  x  Từ đây suy ra 3x 5  96   15x 4dt  3t 5  3  x 5  a 5   a  2 x x a a Chọn ï B. x   Ví dụ 2: Cho  f  x      f  t     f ‘  t   3f  t   f ‘  t  dt  2018 . Tính f  1  . 0 3 A. 2018e 3 3 2 B. 2018e C. 3 D.  3 2018e 2018e Lời giải Lấy đạo hàm 2 vế ta được  f  x     f  x     f ‘  x    3f  x   f ‘  x   3 3 3 2   f  x   f ‘  x    0  f  x   f ‘  x   f  x   ce x 3 Thay vào giả thiết ta cê:  ce      ce    ce  x x 3 t 3 0   ce  x 3 t 3   3ce t  ce t  dt  2018 2 x e 3t    3c e  dt  2018  3c .  2018 0 3 0 x 3 3t 3  c  3 2018  f  1   e 3 2018 52 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN Chú ý:  Ở lời giải træn cê chỗ f  x   f ‘  x   f  x   ce x vấn đề này ta sẽ được tçm hiểu ở phần sau!  Bước tçm hằng số c ở đoạn sau chî ï là ta đang coi x cố định để tènh tích phân cho ra một hàm theo biến x. Chọn ï C. Ví dụ 3: Tçm tập nghiệm của bất phương trçnh A.   ;   t x  0 t 2018  1 dt  0 C.   ;   0 B.   ; 0  D.  0;   Lời giải Đặt f  x    t x 0 t 2018 1 dt  f ‘  x   x x 2018 1 , f ‘x  0  x  0 Ta cê bảng biến thiæn như sau: x   0 f ‘ x – 0 +   f x 0 Nhìn vào bảng biến thiæn ta suy ra được x    ;   0 . Chọn ï C. Ví dụ 4: Cho hàm số f  x   0 xác định và cê đạo hàm træn đoạn  0; 1 , thỏa mãn đồng x  1 g  x   1  2018 f  t  dt thời điều kiện  Tính . I  0 0 g  x  dx g x  f 2 x      A. I  1009 . 2 B. I  505. C. I  1011 . 2 D. I  2019 . 2 Lời giải Theo cách làm chung thë ta vẫn đi lấy đạo hàm hai vế!  g ‘  x   2018f  x  Từ giả thiết, ta cê   2018f  x   2f ‘  x  .f  x  g ‘ x  2f ‘ x .f x         f  x   0  L   2f  x  1009  f ‘  x    0   .  f ‘  x   1009  f  x   1009x  C x Thay ngược lại, ta được 1  2018  1009t  C  dt   1009x  C  2 0 Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 53 CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ x 2  1009 2   1  2018  t  Ct    1009x  C   C 2  1.  2 0 Suy ra f  x   1009x  1 hoặc f  x   1009x  1 (loại vç f  x   1009x  1 ) . 1 1 1 0 0 0 Khi đê I   g  x  dx   f  x  dx    1009x  1  dx  1011 2 Chọn ï C. Ví dụ 5: Cho hàm số f  x  nhận giá trị khëng âm và liæn tục træn đoạn  0; 1 , thỏa mãn x f 2  x   1  3 f  t  dt  g  x  với mọi x   0; 1 , tích phân 0 A. 4 . 3 B. 7 . 4 C. 1  g  x  dx cê giá trị lớn nhất là? 0 9 . 5 D. 5 . 2 Lời giải x g  0   1 Từ giả thiết g  x   1  3 f  t  dt ta có  và g  x   0, x   0; 1 . g ‘ x  3f x      0  g ‘  x   g ‘ x 3   . Theo giả thiết g  x   f  x   g  x    9 2 g x 2 2 2 Lấy tèch phân cận từ 0  t ta được: t g ‘ x t t t 3 3 0 2 g  x  dx  0 2 dx  g  x  0  2 x 0  g t  g 0  Do đê 1 1 0 0 3 3 t  g  t   t  1. 2 2 7 3   g  x  dx    2 x  1  dx  4 Chọn ï B. 54 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN 14. BÀI TOÁN LIÊN QUAN TỚI F’(X) VÀ F(X) Trong phần này ta sẽ cíng nhau tçm hiểu về một lớp bài toán liæn quan tới quan hệ của hai hàm f ‘  x  , f  x  , đây là một dạng đã xuất hiện trong đề thi THPT Quốc Gia 2018 của Bộ GD&ĐT và trong rất nhiều đề thi thử của các trường chuyæn, ta sẽ cíng bắt đầu tçm hiểu vấn đề này ngay sau đây. 1. BÀI TOÁN LIÊN QUAN TỚI TÌCH. Ta sẽ bắt gặp các bài toán cê dạng f ‘  x   g  x  .h  f  x   , với g  x  là hàm theo biến x thì khi gặp những bài toán này cách làm chung của ta sẽ là lấy nguyæn hàm 2 vế, cụ thể: f ‘  x   g  x  .h  f  x    f ‘ x h  f  x  g x   f ‘ x h  f  x dx   g  x  dx Hoặc cê thể lấy tèch phân 2 vế, đến đây thç tíy thuộc vào yæu cầu và giả thiết của bài toán thç ta cê thể suy ra kết quả cần tènh. Để cíng hiểu rì hơn ta sẽ bắt đầu với những vè dụ sau: 2 1 Ví dụ 1: Cho hàm số f  x  thỏa mãn f  2    và f ‘  x   4x 3  f  x   x  25 . Giá trị của f  1  bằng? A.  41 100 B.  1 10 C.  391 400 D.  1 40 Đề thi THPT Quốc Gia 2018 Lời giải Phân tích: Nếu ban đầu gặp dạng này thç cê lẽ ta sẽ khëng biết cách sử lï thế nào, tuy nhiæn bám sát vào bài toán tổng quát ta sẽ cê hướng làm như sau: Giả thiết tương đương với: f ‘  x   4x 3  f  x    2 f ‘ x  f  x 2  4x 3 . Đến đây ta sẽ lấy nguyæn hàm hay tèch phân? Chî ï là với những bài toán bắt tènh giá trị của hàm số tại một điểm nào đê mà giả thiết đã cho giá trị của hàm tại một điểm nào đê cê giá trị xác định thç ta sẽ lấy tèch phân hai vế. Lấy tèch phân cận từ 1 đến 2 cả 2 vế ta được: f ‘ x  f  x 2  4x 3   2 1 f ‘x  f  x 2 2 dx   4x 3dx  15 1 2 1 1 1 1   15     15  f  1    f x 1 f  2  f  1 10 Chọn ï B. Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 55 CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ Ví dụ 2: Cho hàm số f  x  cê đạo hàm liæn tục træn đoạn  0; 1 thỏa mãn f  0   2 và  f  x    f ‘  x    x 2  1   1   f  x   x   0; 1 . Biết rằng f ‘  x   0, f  x   0x  0; 1 . Mệnh 4 2 3 đề nào dưới đây đîng? A. 2  f  1   3 B. 3  f  1   4 C. 4  f  1   5 D. 5  f  1   6 Đề thi thử chuyên Lê Khiết – Quảng Ngãi Lời giải Vẫn là ï tưởng đê nhưng cê vẻ đã được tác giả chën giấu kỹ hơn! Ta bám sát bài toán tổng quát, chî ï với bài toán tổng quát thç f ‘  x  chỉ ở bậc 1 vậy làm sao để đưa về bậc 1 bây giờ? Rất đơn giản thëi ta sẽ lấy căn hai vế! Ta có: f ‘  x  f 2  x  x2  1  1  f 3  x   1 f ‘ x f 2  x 0 1  f3 x f ‘ x f 2  x 1  f x 3 1  x 1 2    ln 1  2   1 1 1 d 1  f  x 2 dx  ln 1  2  1  f 3  x   ln 1  2  0 3 0 1  f3 x 3   2 3  dx   1 1 0 x2  1 3  dx  ln x  x 2  1     1 0    1  f 3  x   1  2 3  ln 1  2  f  1   2.6051… Chọn ï A. Ví dụ 3: Cho hàm số f  x  f  x  cê đạo hàm f ‘  x  liæn tục và nhận giá trị khëng âm trên  1;   , thỏa f  1   0, e 2f  x  .  f   x    4x 2  4x  1 với mọi x   1;   . Mệnh đề nào sau 2 đây đîng? A. 1  f   4   0. B. 0  f   4   1. C. 1  f   4   2. D. 2  f   4   3. Lời giải Câu này thoạt nhçn cê vẻ thấy khá khê khăn nhưng vẫn ï tưởng giống bài của chuyæn Læ Khiết thëi ta sẽ lấy căn hai vế! f x Lấy căn hai vế ta được e   f   x   2x  1 do f ‘  x  không âm trên  1;     e   f   x  dx    2x  1  dx  e    x 2  x  C. f x f x f 1 Thay x  1 vào hai vế, ta được e    12  1  C  C  1. Suy ra e f  x   x 2  x  1  f  x   ln  x 2  x  1   f   x   2x  1 7  f  4   . x x1 13 2 Chọn ï B. 56 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN Ví dụ 4: Cho hàm số f  x  cê đạo hàm xác định, liæn tục træn  0; 1 , thỏa mãn f   0   1 và   f ‘  x   2  f ”  x    với mọi x   0; 1 . Đặt P  f  1   f  0  , khẳng định nào sau đây đîng?   f x  0    A. 2  P  1. B. 1  P  0. C. 0  P  1. D. 1  P  2. Lời giải 1 Ta đã nhçn thấy chît bêng dáng của P   f ‘  x  dx  f  1   f  0  næn ta cần tçm f   x  . 0 Từ giả thiết ta cê: f”  x   f ‘  x   2  1  f ”  x   f ‘  x  2 dx  x   1 1  x  C  f ‘ x   f ‘ x xC 1 1 1 1 Mà f ‘  0   1  C  1  f ‘  x    . Vậy P   f   x  dx    dx   ln 2  0, 69. x1 x1 0 0 Chọn ï B.  f  3  x  .f  x   1 Ví dụ 5: Cho hàm số y  f  x  cê đạo hàm træn  0; 3 , thỏa mãn  với mọi f x   1     3 xf ‘  x  1 x   0; 3  và f  0   . Tính tích phân I   dx 2 2 2 1  f 3  x .f x      0    1 3 5 A. I  . C. I  . D. I  . B. I  1. 2 2 2 Lời giải f  3  x  .f  x   1  Từ giả thiết   f  3   2. 1 f  0    2 Do f  3  x  f  x   1  1  f  3  x   .f 2  x   1  f  x  . 2 2 Khi đê ta được: xf ‘  x  3 3   1 x 1 I dx   xd    dx  1  J.   2   1  f x  1  f x 0 0 1  f x 1  f x    0  0    3 3 3 0 3 3 t 3x 1 1 1 1 Tính J   dx    dt   dt   dx. 1  f  x 1  f 3  t 1  f 3  t 1  f 3  x 0 3 0 0 f  3  x .f  x   1 1 1 3 1 Suy ra 2J   dx   dx  1dx  3  J  . Vậy I  .  2 1  f  x 1  f 3  x 2 0 0 0 3 3 3 Chọn ï A. Tóm lại: Qua 5 vè dụ vừa rồi ta đã làm quen được với dạng toán cê f ‘  x  , f  x  và đã tìm hiểu qua cách giải của các bài toán này, những thứ ta cần phải chî ï đê là:  Chuyển f ‘  x  và hàm theo biến f  x  sang một bæn, chî ï f ‘  x  phải luën bậc Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 57 CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ nhất  Lấy nguyæn hàm hoặc tèch phân tíy thuộc vào đề bài  Ngoài ra cê thể nhớ nhanh kết quả sau: f ‘  x   kf  x   f  x   Ce kx 2. BÀI TOÁN LIÊN QUAN TỚI TỔNG. Xåt bài toán tổng quát sau: f ‘  x   k  x  f  x   g  x  . Gọi G  x    g  x  dx với G  x  là một G x họ nguyæn hàm của g  x  . Nhân cả hai vế với e   ta được: e G x   f ‘  x   g  x  .e  e G x  G x   f x  k x e f x ‘  k x e G x  G x   f x  e  G x   k x e G x  dx Ngoài ra cén một số dạng nữa ta sẽ tçm hiểu trong các vè dụ. Ta sẽ cíng giải quyết dạng toán này thëng qua các vè dụ sau: Ví dụ 1: Cho hàm số f  x  liæn tục træn 0; 1 , thỏa mãn x  x  1  .f ‘  x   f  x   x 2  x với mọi x  0 ; 1 và f  1   2 ln 2. Biết f  2   a  b ln 3 với a, b  A. P  1 . 2 B. P  3 . 4 C. P  13 . 4 , tính P  a 2  b 2 . D. P  9 . 2 Lời giải Theo như bài toán tổng quát thç f ‘  x  đang độc lập thế næn ở bài toán này ta cũng cần phải độc lập f ‘  x  . Biến đổi giả thiết ta được x  x  1  .f ‘  x   f  x   x 2  x  f ‘  x   1 f x  1 x  x  1  x  ln   1 1  x 1  x   x1  Ta có:  dx     dx  ln  e     x  x  1 x1  x x1  x1 Nhân cả hai vế với x 1 x  x  f ‘ x  f x  f x . . Do đê giả ta thấy rằng:     2  x1 x  1  x1  x  1 thiết tương đương với : x  x x x 1    f x .   f  x.  dx    1     dx  x  ln x  1  C.   x  1 x  1 x1 x1 x1  x Mà f  1  2 ln 2  C  1  f  x  .  x  ln x  1  1. x1 3  a  2 2 3 3 9 Cho x  2 ta được f  2  .  2  ln 3  1  f  2    ln 3   P  . 3 2 2 2 b   3  2 Chọn ï D. 58 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN Ví dụ 2: Cho hàm số f  x  thỏa mãn  f ‘  x    f  x  .f ”  x   15x 4  12x với mọi x  2 và f  0   f   0   1. Giá trị của f 2  1  bằng A. 5 . 2 B. 9 . 2 C. 8. D. 10. Chuyên Đại học Vinh Lời giải Đây là một câu nhçn qua tương đối lạ, tuy nhiæn ï tưởng của bài toán vẫn như bài træn đê là vẫn biến đổi một vế là đạo hàm của vế kia chỉ cê điều cách thực hiện khëng tương tự. Hướng giải của bài toán như sau: Nhận thấy được  f ‘  x    f  x  .f”  x    f  x  .f ‘  x   ‘. 2 Do đê giả thiết tương đương với  f  x  .f ‘  x   ‘  15x 4  12x.     f  x  .f ‘  x     15x 4  12x  dx  3x 5  6x 2  C   C  1  f  x  .f ‘  x   3x 5  6x 2  1 f 0  f ‘ 0  1.   f  x  .f ‘  x  dx    3x 5  6x 2  1  dx  Thay x  0 vào hai vế ta được Vậy f 2 x  x 6 f 0 2 2 f 2  x 2  x6  2x 3  x  C’. 2 1  C’  C’  . 2  4x  2x  1  f  1   8. 3 2 Chọn ï C. Ví dụ 3: Cho hàm số f  x  cê đạo hàm đến cấp 2 đồng thời liæn tục træn f  0   f ‘  0   1 và f  x   2f ‘  x   f ”  x   x 3  2x 2 x  A. 107 21  12 e B. 107 12  21 e C. . Tính thỏa mãn 1  f  x  dx . 107 21  12 e 0 D. 107 12  21 e Lời giải Đây lại là một dạng nhçn rất lạ phải khëng, nhưng thực chất chènh là bài toán tổng quát ban đầu, tuy nhiæn phải cê chît tinh ï nhận ra điều sau: f  x   f ‘  x    f ‘  x   f ”  x    x 3  2x 2  f  x   f ‘  x    f  x   f ‘  x   ‘  x 3  2x 2  e x  f  x   f ‘  x    e x  f  x   f ‘  x   ‘  e x  x 3  2x 2     e x  f  x   f ‘  x   ‘  e x  x 3  2x 2   e x  f  x   f ‘  x    e x  x 3  x 2  2x  2   C Mặt khác f  0   f ‘  0   1 nên C  4 Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 59 CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ  e x  f  x   f ‘  x    e x  x 3  x 2  2x  2   4   e x f  x   ‘  e x  x 3  x 2  2x  2   4    e x f  x    e x  x 3  x 2  2x  2   4 dx  e x  x 3  4x 2  10x  12   4x  C Ta lại cê: 1 f  0   1  C  13  f  x   x 3  4x 2  10x  12   4x  13  e  x   f  x  dx  0 107 21  12 e Chọn ï A. Ví dụ 4: Cho hàm số f  x  cê đạo hàm đến cấp 2 đồng thời liæn tục træn đoạn và f  x   0,  f  x    f  x  f ”  x    f ‘  x    0x  0; 2  . Tính f  1  .  0; 2  f  0   1 , f  2   e 4 2 3 A. e 2 3 C. e 2 B. e 4 D. e 2 Lời giải Bài này nhçn qua thç thấy giống bài trước, cê lẽ bạn đọc đến đây sẽ tập chung đưa về như bài trước nhưng điều này gần như khëng thể bởi vç sự xuất hiện “vë duyæn” của dấu “-“. Vậy làm sao để xử lï được dấu “-“? Ý tưởng thç vẫn là thế tuy nhiæn để ï rằng đạo hàm của hàm nào ra dấu “-“? Rất đơn giản đê là hàm phân thức! Đến đây ta biến đổi bài toán:  f ‘  x   f  x  f ”  x    f ‘  x   f ‘ x x2 1  x  C  ln f  x     x  C  dx   Cx  D   ‘  2 f x 2  f  x  f x  2 Mặt khác: x x D  0 C  1 x2 f  0   1, f  2   e     ln f  x    x  f x  e 2 2  4  2  2C  D D  0 2 6 3 2 Do đê f  1   e . Chọn ï D. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ 1. Cho hàm số f  x  cê đạo hàm cấp 2 liæn tục træn đoạn  0; 1 thỏa mãn f  0   1 , f  1   và f ”  x  f  x   2  f ‘  x    x  f  x   , x  0; 1 . Tích phân 2 A.  ln 3 2 3 B. 3 ln 3 2 C. 2 ln   3x 1 0 3 2 2 2 3  2  f  x  dx bằng? D. 6 ln 3 2 Chọn ï D. 2. Cho hàm số f  x   0, x  0 cê đạo hàm cấp 2 liæn tục træn nửa khoảng  0;   thỏa mãn f ”  x  f  x   2 f ‘  x    xf 3  x   0, f ‘  0   0, f  0   1 . Tính f  1  ? 2 A. 2 3 B. 3 2 C. 6 7 D. 7 6 Chọn ï D. 60 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN Ví dụ 5: Cho hai hàm f  x  và g  x  cê đạo hàm trên  1; 2  , thỏa mãn f  1   g  1   0 và  x g  x   2017x   x  1  f ‘  x  2  2 x1   x  1  x  , x   1; 2  . Tính I    g x  f  x   dx.  3 x1 x  1  x 2 g ‘ x  f x  2018x      x  1 1 3 A. I  . C. I  . B. I  1. D. I  2. 2 2 Lời giải Bài này cê vẻ tương đối khê khăn rồi do đây là 2 hàm độc lập, tuy nhiæn ta chî ï vẫn bám sát ï tưởng của các bài toán trong mục này!  1  x  1 f ‘ x  2017 g x       2 x   x  1 Từ giả thiết ta có  . Cộng lại vế theo vế ta được: 1  x  x  1 g ‘  x   x 2 f  x   2018  1    x  1  x 1 g x  g ‘ x f ‘  x   2 f  x   1       2 x1 x   x  1    x    x  1  f x  x  C. x  x    x  1   g  x    f  x   1  g x    x1 x x  1   x  2 2 x1 1  x  Mà ta lại cê f  1  g  1   0  C  1  I    g x  f  x   dx    x  1  dx  . x1 x 2  1 1 Chọn ï A. LUYỆN TẬP Câu 1: Cho hàm số f  x  cê đạo hàm liæn tục træn đoạn  0; 1 và 2f  x   x.f ‘  x   673x 2017 . Giá trị nhỏ nhất của tèch phân A. 1 3 B. 1  f  x  dx 0 1 3.2017 bằng C. 1 3.2018 D. 1 3.2019 Câu 2: Cho hàm số f  x  nhận giá trị dương và cê đạo hàm liæn tục træn nửa khoảng  0;   thỏa mãn f ‘  x   x  x  1 f  x  và f  0   1, f  1   3 a  b 2 với a,b là các số nguyæn. Tính P  ab . A. P  3 B. P  66 C. P  6 D. P  36 Câu 3: Cho hàm số f  x  thỏa mãn f ‘  x   2f  x  và f  0   3 . Tích phân A. 2 3  e 2  1  B. 3  2e  1  Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học C. 3  e2  1 2 D. 1  f  x  dx 0 bằng 3  2e  1  2 Chinh phục olympic toán | 61 CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ Câu 4: Cho hàm số f  x  nhận giá trị âm và cê đạo hàm liæn tục træn f ‘  x    2x  1   f  x   và f  0   1 . Giá trị của tèch phân 2 A.  1 6 C.  B.  ln 2 1  f  x  dx 0 thỏa mãn bằng 2 3 9 D.   3 9 Câu 5: Cho hàm số f  x  cê đạo hàm cấp 2 liæn tục træn đoạn  0; 1 thỏa mãn f ‘  0   1 và f ”  x    f ‘  x   . Giá trị của biểu thức f  1   f  0  bằng 2 A. ln 2 C. B.  ln 2 1 ln 2 2 1 D.  ln 2 2 Câu 6: Cho hàm số f  x  nhận giá trị dương và cê đạo hàm liæn tục træn f ‘  x   e x f 2  x  x  A. ln 2  và f  0   1 2 B. thỏa mãn 1 . Tính f  ln 2  2 1 3 C. 1 4 D. ln 2 2  1 2 Câu 7: Cho hàm số f  x  nhận giá trị dương và cê đạo hàm liæn tục træn  0;   và thỏa mãn f  1   1, f  x   f ‘  x  3x  1 . Mệnh đề nào dưới đây đîng A. 1  f  5   2 B. 4  f  5   5 C. 3  f  5   4 D. 2  f  5   3 Câu 8: Cho hàm số f  x  nhận giá trị dương và cê đạo hàm liæn tục træn  0;   thỏa mãn f  3  2 và f ‘  x   3  x  1 f  x  . Mệnh đề nào dưới đây đîng? A. 2613  f 2  8   2614 B. 2614  f 2  8   2615 C. 2618  f 2  8   2619 D. 2616  f 2  8   2617 thỏa mãn f  x  f ‘  x   3x 5  6x 2 . Biết Câu 9: Cho hàm số f  x  cê đạo hàm liæn tục træn rằng f  0   2 . Tính f 2  2  . A. 144 B. 100 C. 64 D. 81 Câu 10: Cho hàm số f  x  nhận giá trị âm và cê đạo hàm liæn tục træn  1; 4  thỏa mãn f ‘  x    2x  1  f 2  x  và f  1   A.  2010 2019 B.  1 . Giá trị của biểu thức 2 2017 2018 C.  2018  f  i  bằng i 1 2016 2017 D.  2018 2019  1; 4  4 f  x  g  x dx Câu 11: Cho hai hàm số f  x  ,g  x  cê đạo hàm liæn tục træn thỏa mãn f  1   g  1   9e và f  x   x 2 g ‘  x  ;g  x   x 2 f ‘  x  . Tích phân bằng A.  9 e 4 e e   B. 9 e  4 e 62 | Chinh phục olympic toán  C.  e e 4 e 9   1 x2 D. e 4 e 9 Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN Câu 12: Cho hai hàm số f  x  ,g  x  cê đạo hàm liæn tục træn  1; 4  thỏa mãn f  1   g  1   4 và f  x   x 2 g ‘  x  ;g  x   x 2 f ‘  x  . Tích phân A. 8 ln 2 B. 3 ln 2   f  x   g  x   dx bằng 4 1 C. 6 ln 2 D. 4 ln 2 Câu 13: Cho hàm số f  x  và cê đạo hàm liæn tục træn  0;   và thỏa mãn điều kiện f  x   f ‘  x   e  x 2x  1 . Mệnh đề nào sau đây đîng? 26 3 4 C. e 4 f  4   f  0   3 26 3 4 D. e 4 f  4   f  0    3 A. e 4 f  4   f  0   B. e 4 f  4   f  0    Câu 14: Cho hàm số f  x  cê đạo hàm liæn tục træn 2xf  x   f ‘  x   x  x 2  1  . Tích phân A. e4 8e B.  1 0 C. 7 6 D. Câu 15: Cho hàm số f  x  cê đạo hàm liæn tục træn A. 8  11 2 B. 8  thỏa mãn f  0   0 và xf  x  dx bằng 1 6 f ‘  x  f  x   cos x 1  f 2  x  . Tích phân  0; 1   f  x  dx bằng C. 7 8 2 2 0 7 2  0;  e4 4e thỏa mãn f  0   3 và D. 11 8 2 Câu 16: Cho hàm số f  x  cê đạo hàm dương liæn tục træn  0; 1 thỏa mãn f  0   1 và f  x    f ‘  x   . Tích phân 2 A. 5 4 B. 1  f  x  dx 0 bằng 19 12 C. 5 2 D. Câu 17: Cho hàm số f  x  cê đạo hàm liæn tục træn  0; 1 2018f  x   x.f ‘  x   x 2019 , x  0; 1 . Giá trị nhỏ nhất của tèch phân  f    2 2 . Tích phân 4  2 3 A. ln  1   3   B. 1 2018.4037 thỏa mãn điều kiện 1  f  x  dx 0 1 2019.4037 D. 2 3  C. ln   1   3   D. bằng 1 2020.4037 1   Câu 18: Cho hàm số f  x  thỏa mãn cos xf  x   sin xf ‘  x   , x   ;  và đëng thời 2 cos x 6 3 A. 1 4037 19 3 C.  3  6  f  x  dx bằng  2 3 B. 2 ln  1    3   Câu 19: Cho hàm số f  x  cê đạo hàm liæn tục træn thời f ‘  x   x 2  1  2x f  x   1, x  A. 12 B. 3 Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học . Tính f 1 2020.4037 thỏa mãn f  0   0 , f  x   1 và đồng  3? C. 7 D. 9 Chinh phục olympic toán | 63 CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ Câu 20: Cho hàm số f  x  liæn tục và đồng biến træn đoạn  1; 4  , f  1   0 và đồng thời thỏa 4 mãn x  2x.f  x    f ‘  x   , x  1; 4  . Đặt I   f  x  dx . Mệnh đề nào dưới đây đîng? 2 1 A. 1  I  4 B. 4  I  8 C. 8  I  12 D. 12  I  16 Câu 21: Cho hàm số f  x  thỏa mãn  f ‘  x    f  x  f ”  x   2x 2  x  1, x  2 , và đồng thời f  0   f ‘  0   3 . Giá trị của f 2  1  bằng? A. 28 C. B. 22 19 2 D. 10 Câu 22: Cho hàm số f  x  thỏa mãn f  0   1 và f ‘  x   2xf  x   2x.e  x , x  2 của tèch phân A. 1   1 0 xf  x  dx ? 3 2e B.  1 2e C. 1  Câu 23: Cho hàm số f  x  thỏa mãn f  1   Tích phân A. 3  . Tènh giá trị 1  f  x  dx 0 4 e e 2 D. e 2 2 9 và f ‘  x   3x 2 f  x    15x 4  12x  e  x , x  e bằng? C. 3  B. 2e  1 4 e D. 2e  1 Câu 24: Cho hàm số f  x  thỏa mãn f 2  x  f ”  x   2f  x   f ‘  x    15x 4  12x, x  2 f  0   1, f ‘  0   9 . Tích phân A. 199 14 . B. 1 và  f  x  dx bằng? 3 0 227 42 C. 227 14 D. 199 42 Câu 25: Cho hàm số f  x  cê đạo hàm liæn tục træn đoạn  1; 4  , có f  1   0 và đồng thời x  2x.f  x    f ‘  x   , x  1; 4  . Tích phân 3 B. A. 1 1 5   2f  x   1 4 2 1 C. dx bằng? 1 3 D. 1 4 Câu 26: Cho hàm số f  x  cê đạo hàm liæn tục træn đoạn  1; 2  , có f  1   4 và đồng thời f  x   xf ‘  x   2x 3  3x 2 , x  1; 2  . Tènh giá trị của f  2  ? A. 5 B. 20 C. 15 D. 10 Câu 27: Cho hàm số f  x   0 thỏa mãn điều kiện f ‘  x    2x  3  f 2  x  và f  0   rằng 2018 a  f i   b a  ,b i 1 A. a  1 b B. 64 | Chinh phục olympic toán *  và a 1 b 1 . Biết 2 a là phân số tối giản. Mệnh đề nào sau đây đîng? b C. a  b  1010 D. b  a  3029 Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN Câu 28: Cho hàm số f  x  cê đạo hàm liæn tục træn đoạn  0; 1 thỏa mãn f  0   1 và đồng thời điều kiện f ‘  x   f  x   e x  1, x  0; 1 . Tính tích phân B. 2  e  1  A. 2e  1 1  f  x  dx 0 C. 1  e D. 1  2e Câu 29: Cho hàm số f  x  cê đạo hàm cấp 2 liæn tục træn đoạn  1; 3 , f  1   f ‘  1   1 và f  x   0 , f  x  f ”  x    f ‘  x     xf  x   , x  1; 3  . Tính ln f  3  2 A. 4 2 B. 3 C. 4 3 Câu 30: Cho hàm số f  x  thỏa mãn đồng thời f  2   ln , f ‘  x  e f  x 4 2018  f  i   ln a  ln b  ln c  ln d rằng D. 3 2  3 , x   2; 2018 . Biết x với a,b,c,d là các số nguyæn dương và a,c,d là số i 2 nguyæn tố đồng thời a  b  c  d . Giá trị của biểu thức a  b  c  d bằng? A. 1968 B. 1698 C. 1689 D. 1986 Câu 31: Cho hàm số f  x  cê đạo hàm liæn tục træn đoạn  0; 3 , f  3   4 và đồng thời  f ‘  x    8x 2  20  4f  x  , x  0; 3 . Tích phân 2 A. 9 B. 6 3  f  x  dx bằng? 0 C. 21 D. 12 Câu 32: Cho hàm số f  x  đồng biến, cê đạo hàm cấp 2 liæn tục træn đoạn  0; 2  , biết rằng f  0   1, f  2   e 6 và  f  x    f  x  f ”  x    f ‘  x    0, x  0; 2  . Tính f  1  2 A. 9 2 B. 6 C. 21 D. 12 Câu 33: Cho hàm số f  x  cê đạo hàm liæn tục træn đoạn  0; 1 thỏa mãn f  1   1 và đồng thời  f ‘  x    4  6x 2  1  f  x   40×6  44x 4  32x 2  4, x  0; 1 . Tích phân 2 A. 23 15 B.  17 15 C. 13 15 Câu 34: Cho hàm số f  x  cê đạo hàm liæn tục træn 1  f  x  dx 0 bằng? 7 15 1 và thỏa mãn f  0   và đồng thời 2 D.  điều kiện  x  2  f  x    x  1  f ‘  x   e x . Giá trị của f  2  bằng? A. e 3 B. e 6 C. e2 3 Câu 35: Cho hàm số f  x  cê đạo hàm liæn tục træn x  x  1  f ‘  x   f  x   x 2  x, x  thức a 2  b 2 bằng? 25 A. 4 B. 9 2 D. 1; 0 thỏa mãn f  1   2 ln 2 và 1; 0 . Biết f  2   a  b ln 3  a, b  C. e2 6 5 2 D.  . Giá trị của biểu 13 4 Câu 36: Cho hàm số f  x  nhận giá trị dương và cê đạo hàm liæn tục træn đoạn  0; 1 thỏa x mãn  f  x    2  3 f  t  dt, x  0; 1 . Tích phân 0 2 Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học 1  f  x  dx 0 bằng? Chinh phục olympic toán | 65 CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ A. 3  2 4 B. 11 4 C. 3  3 4 D. 15 4 Câu 37: Cho hàm số f  x  liæn tục và cê đạo hàm træn khoảng  0;   thỏa mãn điều kiện 3 2  2  f  x  sin xdx  4 và f  x   x  sin x  f ‘  x    cos x . Mệnh đề nào sau đây đîng? A. 11  f     12 B. 5  f     6 C. 6  f     7 D. 12  f     13 Câu 38: Cho hàm số f  x  cê đạo đến cấp 2 liæn tục træn đoạn  0; 1 thỏa mãn điều kiện 2 3  f ‘  x    f  x  f ”  x   1, x  0; 1 và f 2  0   f  0  f ‘  0   . Tçm giá trị nhỏ nhất của tích 2 phân A. 1  f  x  dx ? 2 0 5 2 B. 1 2 C. 11 6 D. thỏa mãn f  1   1 và đồng thời điều Câu 39: Cho hàm số f  x  cê đạo hàm liæn tục træn kiện f ‘  x   f  x   2018  xe x , x  A. 0 . Số nghiệm của phương trçnh f  x    B. 2 7 2 C. 1 1 là? e D. 3 Câu 40: Cho hàm số f  x  xác định và liæn tục træn 0 thỏa mãn f  1   2 và đồng thời x 2 f 2  x    2x  1  f  x   xf ‘  x   1, x   f  x  dx ? A.  ln 2 1 2 B.  ln 2  1 2 0 . Tính C.  ln 2  2 1 3 2 D.  ln 2 3  2 2 Câu 41: Cho hàm số f  x  nhận giá trị dương, cê đạo hàm liæn tục træn khoảng  0;   thỏa mãn 2f ‘  x   f  x   11 A.  ln 2 2 2  f  x  x  2  x 3 , x  0 và f  1   1 B.   ln 2 2 1 . Tích phân 3 C. A. 4e 2  4e  4 1 1  f  x   3  ln 2 2 Câu 42: Cho hàm số f  x  cê đạo hàm liæn tục træn kiện  x  2  f  x   xf ‘  x   x 3 , x   2  1 dx ? D. 7  ln 2 2 thỏa mãn f  1   e và đồng thời điều . Tính f  2  ? B. 4e 2  2e  1 C. 2e 3  2e  2 D. 4e 2  4e  1 Câu 43: Cho hàm số f  x  nhận giá trị dương thỏa mãn f ‘  x   2 2 f  x  3x 2 , x   0;   và x 3×3 1 dx  . Giá trị của biểu thức f  1   f  2  bằng? 2 f  x 9 A. 27 2 B. 43 2 C. 45 2 D. Câu 44: Cho hàm số f  x  đồng biến và cê đạo hàm liæn tục træn  f ‘  x    e x f  x  , x  2 66 | Chinh phục olympic toán . Tính 49 2 thỏa mãn f  0   1 và 1  f  x  dx ? 0 Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN A. e  2 B. e 2  2 C. e 2  1 D. e  1   Câu 45: Cho hàm số f  x  nhận giá trị dương và f  x  cê đạo hàm liæn tục træn 0;  thỏa  4    mãn f ‘  x   tan xf  x  , x  0;  , f  0   1 . Tính  4 cos xf  x  dx ? 0  4 1   1 A. B. C. ln 4 4 4 f x và f ‘  x   e    2x  3  , f  0   ln 2 . Câu 46: Cho hàm số f  x  cê đạo hàm liæn tục træn Tích phân D. 0 2  f  x  dx bằng? 1 A. 6 ln 2  2 B. 6 ln 2  2 C. 6 ln 2  3 D. 6 ln 2  3 Câu 47: Cho hàm số f  x  cê đạo hàm liæn tục træn đoạn  0; 1 thỏa mãn f  1   1 và đồng thời xf ‘  x   f  x   x 2 , x  0; 1 . Tính tích phân A. 1 3 B. 1 4 C.  1 0 2 3 Câu 48: Cho hàm số f  x  cê đạo hàm liæn tục træn kiện f ‘  x   f  x   x 2 e x  1, x  A. 6e 3  3 xf  x  dx ? D. 3 4 thỏa mãn f  0   1 và đồng thời điều . Tính f  3  ? B. 6e 2  2 C. 3e 2  1 D. 9e 3  1 Câu 49: Cho hàm số f  x  cê đạo hàm liæn tục træn  0;   thỏa mãn f  1   2 và đồng thời f ‘ x  f  x  4x 2  3x và f  1   2 . Phương trçnh tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f  x  tại x điểm cê hoành độ x  2 là? A. y  16x  20 B. y  16x  20 C. y  16x  20 D. y  16x  20 Câu 50: Cho hàm số f  x  cê đạo hàm liæn tục và nhận giá trị khëng âm træn đoạn  0; 1  f  x    f ‘  x   2 thỏa mãn   1   f  x   , x   0; 1 . Biết f  0   1 . Mệnh đề nào sau đây 2x e 2 2 đîng? 5  A. f  1    ; 3  2   7 B. f  1    3;   2  5 C. f  1    2;   2 3  D. f  1    ; 2  2  ĐÁP ÁN Câu 1. Chọn ï C. Theo giả thiết ta cê  x 2 f  x   ‘  673x 2018 , lấy tèch phân 2 vế cận từ 0 tới x ta được 673x 2019 0  x f  x   ‘dx  0 673x dx  x f  x   2019 2017 1 1x x 2017 1  f x    f  x  dx   dx  0 0 3 3 3.2018 x 2 x 2018 2 Câu 2: Chọn ï A. Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 67 CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ Câu 3: Chọn ï C. Câu 4: Chọn ï D. Câu 5: Chọn ï B. Câu 6: Chọn ï B. Câu 7: Chọn ï C. Câu 8: Chọn ï C. Câu 9: Chọn ï B. Câu 10: Chọn ï D. Ta có f ‘ x f  x  2x  1   1 f  1  1 1 1  1  x 2  x  C 2  f x   2     f x x x  x x1 2018 2018 1  1  2018 1 1   f i           i1 2019  1 2019  i 1 i 1  i Câu 11: Chọn ï B. Đặt h  x   f  x   g  x  , h  1   g  1   f  1   9e . Ta có f  x   g  x   x 2  f ‘  x   g ‘  x    h  x   x 2 h ‘  x   0  1 h ‘ x 1 1 h  1  9e   2  ln h  x    C    h  x   9e x h x x x  4 1 1 4 9 f x  g x x dx  e dx  9 e  4 e 2 2  1 x x   Câu 12: Chọn ï A. Tương tự câu 11 Câu 13: Chọn ï A. Câu 14: Chọn ï A. Câu 15: Chọn ï B. Câu 16: Chọn ï B. Câu 17: Chọn ï D. Tương tự câu 1. Câu 18: Chọn ï B. Câu 19: Chọn ï B. Câu 20: Chọn ï D. Câu 21: Chọn ï A. Câu 22: Chọn ï A. Câu 23: Chọn ï C. Câu 24: Chọn ï C. Câu 25: Chọn ï B. Câu 26: Chọn ï D. Câu 27: Chọn ï D. 68 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN Câu 28: Chọn ï B. Câu 29: Chọn ý A. Biến đổi giả thiết ta cê  f ‘  x   f  x  f ”  x    f ‘  x   f ‘ x x3 2   x    C   ‘  2 f x 3  f  x  f x  2  x3 4  4 x 4 4x  ln f  x        dx     C1 3 12 3  3 3 5 x 4 4x 5 f  1  1  D    ln f  x       ln f  3   4 4 12 3 4      C f 1  f ‘ 1 1 Câu 30: Chọn ï C. Biến đổi giả thiết ta cê 3 f  2   ln 2 1 fx 4 dx  e    C  1 x3 x2  C  2018  1  2018 1    f  x   ln  1  2    f  i   ln   1  2   x  i   i 2  i 2     f ‘  x  e dx   f x   2 2  1  32  1  …  2018 2  1   1.3.2.4.3.5…2017.2019   ln  2 2    2.3…2018   2.3…2018  2019! 2017 !. 2018 2019 3.673 1.2      f  i   ln 3  ln 4  ln 673  ln 1009 2 1.2.2018 2 2.1009 i 2  2018! Câu 31: Chọn ï B. Từ giả thiết ta cê  3 0  f ‘  x   dx    8x 2  20  4f  x   dx  12  4  f  x  dx 0 0 3 2 3 Áp dụng cëng thức tèch phân từng phần ta cê  3 0 3 3 f  x  dx  xf  x  0   xf ‘  x  dx  12   xf ‘  x  dx 3 0 3 0  3    f ‘  x   dx  12  4 12   xf ‘  x  dx 0 0 2     f ‘  x   2x  dx  0  f ‘  x   2x  f  x   x 2  C 3 2 0 3     C  5  f  x   x 2  5   f  x  dx  6 f 3 4 0 Câu 32: Chọn ï D. Ta có f  x   f  0   1, x  0; 2  do vậy  f ‘  x   f  x  f ”  x    f ‘  x   x2 ‘   1  ln f x   Cx  D     2 f x 2   f x         2 x 5  2x D  0 C  2 Mặt khác do f  0   1, f  2   e     f x  e 2  f  1  e 2 6  2  2C  D D  0 2 6 Câu 33: Chọn ï C. Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 69 CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ Lấy tèch phân 2 vế træn đoạn  0; 1 ta được 1 1 2 376  f ‘  x   dx  4   6x 2  1  f  x  dx    40x 6  44x 4  32x 2  4  dx  0 0 0 105  1 Áp dụng cëng thức tèch phân từng phần ta được:   6x 1 0 2  1  f  x  dx   f  x  d  2x 3  x  1 0   2x 3  x  f  x     2x 3  x  f ‘  x   1    2x 3  x  f ‘  x  dx 1 1 1 0 0 0 Thay lại đẳng thức træn ta cê   1 2 376  f ‘  x   dx  4 1    2x 3  x  f ‘  x  dx  0 105 1 1 2 44    f ‘  x   dx  4   2x 3  x  f ‘  x  dx  0 0 0 105  1 0     f ‘  x   2  2x 3  x  dx  0  f ‘  x   2  2x 3  x   f  x   x 4  x 2  C 1 0 2 1     C  1  f  x   x 4  x 2  1   f  x  dx  f 1 1 0 13 15 Câu 34: Chọn ï D. Câu 35: Chọn ï B. Câu 36: Chọn ï A. Xem lại phần tèch phân cê cận thay đổi Câu 37: Chọn ï B. Câu 38: Chọn ï C. Biến đổi giả thiết tương đương  f  x  f ‘  x   ‘   f ‘  x    f  x  f ”  x   1, x  0; 1 2 Lấy tèch phân cận từ 0 đến x ta được x x  f  x  f ‘  x  dx   f  0  f ‘  0   x  dx 0 0 f 2 x  f 0  f 2 x2  f 2  x   x 2  f 2  0   2f  0  f ‘  0  x 2 2 2 1 1 1 11   f 2  x  dx    x2  f 2  0   2f  0  f ‘  0  x  dx   f 2  0   f  0  f ‘  0   0 0 3 6  0 f ‘0 x  Dấu “=” xảy ra chẳng hạn tại f  x   x 2  x  1 Câu 39: Chọn ï B. Ta có  f ‘  x   f  x   2018 dx   xe xdx   x  1  e x  C  f  x   1    x  1 e x  C; f  1   1   C  f  x   2019 1  2019  x  1  e x 2019 2019 1 1 Vậy f  x     1  2019  x  1  e x   2019  2019  x  1  e x 2019  e 2019  1  0 e e 2019 Xåt hàm số g  x   2019  x  1  e x  2019  e 2019  1  g ‘  x   2019 e x 2019   x  1  e x 2019   2019xe x 2019 70 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN Do g ‘  x   0 cê đîng 1 nghiệm næn g  x   0 cê tối đa 2 nghiệm Câu 40: Chọn ï B. Từ giả thiết ta cê x 2 f 2  x   2xf  x   1  xf ‘  x   f  x    xf  x   1    xf  x   1  2 Suy ra  xf  x   1 ‘ dx  dx  x  C  xf x  1   1     xf  x   1  xC 2 1 1 1  f x   2  x x x 2 2  1 1 1 Suy ra  f  x  dx     2   dx   ln 2  1 1 2 x x Mặt khác f  1  2  C  0  xf  x   1   Câu 41: Chọn ï C. Câu 42: Chọn ï A. Câu 43: Chọn ï C. Câu 44: Chọn ï D. Câu 45: Chọn ï B. Câu 46: Chọn ï B. Câu 47: Chọn ï B. Câu 48: Chọn ï D. Câu 49: Chọn ï D. Câu 50: Chọn ï A. Tương tự với câu trong đề thi thử Chuyæn Læ Khiết , xem lại phần trước Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 71 CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ 15. BẤT ĐẲNG THỨC TÌCH PHÂN Các bài toán bất đẳng thức tèch phân được giới thiệu trong phần này nhất là phần sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz đa phần chỉ mang tènh tènh tham khảo, khëng næn quá đi sâu do đây là chương trçnh liæn quan tới toán cao cấp của bậc đại học, chỉ næn học phần 1 và phần 2! 1. PHÂN TÌCH BËNH PHƯƠNG Với dạng toán này ta cần chî ï tới những kiến thức sau đây: Với f  x  ,g  x  là các hàm liæn tục træn  a; b   a  b  ta có:   f  x b  a   b a 2n dx  0 . Dấu “=” xảy ra  f  x   0x   a; b   b f  x   0x  a; b f  x  dx   f  x  dx . Dấu “=” xảy ra   a  f  x   0x  a; b Cëng thức tènh diện tèch hçnh phẳng giới hạn prabol và một đường thẳng:  I2   x2 x1 ax 2  bx  c dx  2  3 36a 4 Với x 1 , x 2 là 2 nghiệm của phương trçnh ax 2  bx  c  0 . Ví dụ 1: Cho 2 số thực a, b thỏa mãn a  b, a  b  ab  4 . Tçm giá trị nhỏ nhất của tèch b phân I   x 2   a  b   ab dx a A. 4 3 B. 12 C. 2 3 D. 48 Lời giải Đây chỉ là bài tập mở đầu áp dụng cëng thức thëi do a,b đã là nghiệm của phương trçnh bậc 2 trong dấu trị tuyệt đối rồi! Ta có: I2   b a x 2   a  b  x  ab dx  a  b  2  4ab 36  2    ab  4  3  2 3 36  4ab 36    ab  2  3 2 36  12  2  48 Chọn ï D. Ví dụ 2: Cho hàm số y  f  x  cê đạo hàm liæn tục træn  0; 1 thỏa mãn f  1   0 và   f ‘ x 1 0 A. 7 5 2 1 dx  7  x 3 f ‘  x  dx  0 B. 7 4 7 . Tính tích phân 4 C. 1  f  x  dx . 0 7 8 D. 7 10 Lời giải Thoạt nhçn thç bài toán này cê vẻ khá là rắc rối, nhưng hãy chî ï nếu coi f ‘  x  là ẩn thç ta thấy bêng dáng của tam thức bậc 2, đến đây ta sẽ giải quyết bài toán như sau: 72 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN Biến đổi giả thiết ta được:   f ‘ x 1 0 2 1 dx  7  x 3 f ‘  x  dx  0 7 4 2 2 3 1  7x  7  7     f ‘  x   x 3  dx     dx  0 0 2  4   2  1 2 1 7  7x 3 7x 4    f ‘  x   x 3  dx  0  f ‘  x    x   0; 1  f  x   C 0 2  2 8  1 7 7 Mặt khác ta lại cê f  1  0  C    f  x  dx  . 0 8 10 Chọn ï D. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Câu 1: Cho hàm số f  x  cê đạo hàm dương liæn tục træn đoạn  0; 1 , f  1   f  0   1 và 1  f ‘  x  3f  x   2    2 0 1 0 2 21 9 A. 2 6f ‘  x f  x  dx . Tích phân B. 2 7 3 C. 1  f  x  dx bằng 3 0 2 21 1 9 D. 2 7 1 3 Câu 2: Cho hàm số f  x  cê đạo hàm dương liæn tục træn đoạn  0; 1 và f  1   f  0   1 thỏa mãn 2  1 0 f ‘  x f  x  dx   f ‘  x   f 2  x   1  dx . Tích phân 1 0 3 2 A. 1  f  x  B. 5 33 18 C. 0 3 dx bằng? 5 33  54 18 D. 5 33  27 18 Câu 3: Cho hàm số f  x  cê đạo hàm dương liæn tục træn đoạn  0; 1 thỏa mãn 4f  1   f  0  1 1 1 0 0  f  x  dx  3 f  x  dx  2   3x  1 f ‘  x f  x  dx . Tính f  0  ? và 2 0 A.  9 ln 4 B.  15 ln 4 C.  3 ln 4 D.  5 ln 4 Câu 4: Cho hàm số f  x  cê đạo hàm dương liæn tục træn đoạn 6 2 0 A. 2 f ‘  x f  x  dx  2  f ‘  x  f 2  x  dx  9 . Tích phân 0 29 3 B. Câu 5: Cho hàm số 2 3 f x 2 mãn  f  x  dx bằng 3 0 C. 2 D. 29 liæn tục træn đoạn 1  2 2 2 f x  2 ln dx  2   0  0 f  x  ln  x  1 dx . Tích phân e  e 4 e A. ln B. ln C. ln 4 e 2 1  0; 2  thỏa  0; 1 1  f  x  dx 0 thỏa mãn điều kiện bằng D. ln 2 e Câu 6: Cho hàm số f  x  cê đạo hàm dương liæn tục træn  0; 1 thỏa mãn f  0   1 và 1 1 1 3  f ‘  x  f 2  x    dx  2  f ‘  x f  x  dx . Tính tích phân 0 0 9  Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học 1  f  x  0 3 dx Chinh phục olympic toán | 73 CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ A. 3 2 B. 5 4 C. 5 6 D. 7 6   Câu 7: Cho hàm số f  x  liæn tục træn đoạn 0;  đồng thời thỏa mãn điều kiện  2  2 0   2   2   f  x   2 2f  x  cos  x  4   dx   2 . Tích phân    A. 2 2 B. 0  2 0  f  x  dx bằng C. 2 D.   Câu 8: Cho hàm số f  x  liæn tục træn đoạn 0;   2  2 0   2   2   f  x   2 2f  x  sin  x  4   dx  2 . Tính    A. 1 và thỏa mãn điều kiện  2 0  f  x  dx . C. B. 0 2  4 D.  2 Chî ï xem lời giải vè dụ 1 để vận dụng! Ví dụ 3: Cho hàm số f  x  nhận giá trị dương và cê đạo hàm liæn tục træn đoạn  0; 1 2  f ‘ x  đồng thời thỏa mãn f  1   e.f  0   e và    dx  1 . Mệnh đề nào dưới đây đîng? 0  f x  1 1 A. f    e 2 2 1 B. f    e 2 1 1 C. f     2  2e 1 D. f    2e 2 Lời giải Đây là một bài toán tương đối khê cê dạng hơi hơi giống với các bài toán ở phần 5! Ta hãy để ï rằng 1 f ‘ x  f  x  dx  ln f  x  0 1 0  ln f  1 f 0  ln e  1 . Đến đây ta cê định hướng giải bài toán này bằng phương pháp hệ số bất định như sau. Giả sử tồn tại một số a thỏa mãn: 2 2   f ‘ x  1  f ‘x  f ‘x 2    a dx  0   2a  a  dx  0 0  f  x   0  f  x   f x         1 2  f ‘ x  1 f ‘x 2     dx  2a  a  dx  2a  a 2     0 0  f x   f x  1 2  f ‘ x  2 dx  1  2a  a 2  1   a  1   0  a  1 Mà theo giả thiết ta cê     0  f x  1 Vậy khi đê giả thiết bài toán sẽ được biến đổi tương đương: 2 2  f ‘ x   1  f ‘ x f ‘x x 0  f  x   dx  1  0  f  x   1  dx  0  f  x   1  f  x   ke     1 74 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN 1 Ta có f  1   e.f  0   e nên k  1  f  x   e x  f    e . 2 Chọn ï B. Ví dụ 4: Cho hàm số y  f  x  liæn tục træn đoạn  0; 1 , thỏa mãn 1  f  x  dx  4 và 2 0 1 1 1 0 0 0  f  x  dx   xf  x  dx  1 . Giá trị của tèch phân  f  x  A. 1. B. 8. 3 dx bằng? C. 10. D. 80. Lời giải Ở đây các hàm xuất hiện dưới dấu tèch phân là  f  x   , xf  x  , f  x  næn ta sẽ nảy ra ï 2 tưởng liæn kết với bçnh phương  f  x   x   . 2 Với mỗi số thực  ,  ta có: 1 1 1 1 0 0  f  x   x   dx   f  x  dx  2   x    f  x  dx    x    dx 2 0 2 0  4  2      Ta cần tçm  ,  sao cho 2     2 . 3 2 1 2 2 hay 4  2        2  0 f x   x   dx  0        0  3   2   3  6    32  6  12  0. Để tồn tại  thì    3  6   4  32  6  12   0 2  32  12  12  0  3   2   0    2    6. 2 Vậy 1  f  x   6x  2  0 2 1 dx  0  f  x   6x  2, x  0; 1   f  x   dx  10. 3 0 Chọn ï C. Ví dụ 5: Cho hàm số f  x  cê đạo hàm liæn tục træn  0; 1 , thỏa mãn f  1   0 đồng thời 1 1 1 0 0 0 2 1 2  f ‘  x  dx  7 và  x f  x  dx  3 . Tích phân  f  x  dx bằng? A. 1. B. 7 5 C. 7 4 D. 4 Đề minh họa THPT Quốc Gia 2018 Lời giải Đây là một câu từng xuất hiện trong đề minh họa THPT Quốc Gia 2018 của bộ và sau đê đã trở thành một trào lưu trong các đề thi thử và thậm chè đến đề khảo thè chất lượng của bộ cũng đã từng xuất hiện bài toán này, tuy nhiæn các cách giải træn mạng đa phần là sử dụng đến bất đẳng thức Cauchy – Schwarz tuy nhiæn đây cê lẽ khëng phải ï tưởng ra đề của Bộ bởi đây là kiến thức bậc Đại học. Dưới đây là sẽ tiếp cận bài toán bằng kiến thức của bậc THPT. Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 75 CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ Ý tưởng của bài toán vẫn là đưa về bçnh phương tuy nhiæn hàm dưới dấu tèch phân là  f ‘  x   , x 2 f  x  khëng cê mối liæn hệ với nhau. Vậy làm sao để làm xuất hiện bçnh 2 phương đây? Cê f ‘  x  đang ở dạng bçnh phương thç ta sẽ nghĩ ngay đến việc sử dụng tèch 1 1 1 1 x3 1 1 phân từng phần cho  x f  x  dx  ta được:  x2 f  x  dx  f  x    x 3 f ‘  x  dx. 3 3 30 0 0 0 2 1 Kết hợp với giả thiết f  1   0 , ta suy ra  x3 f ‘  x  dx  1. 0 1 2    f ‘  x   dx  7  . Bây giờ giả thiết được đưa về  01  x 3 f ‘ x dx  1    0 Hàm dưới dấu tèch phân bây giờ là 2  f ‘  x   , x 3 f ‘  x  næn ta sẽ liæn kết với bçnh phương  f ‘  x   x 3  . 2 Với mỗi số thực  ta có : 1 1 1 1 2 2 1 2 3 2 3 2 6   f ‘ x   x dx  f ‘ x dx  2  x f ‘ x dx   x dx  7  2      7  .         0  0   0 0  7 7 Ta cần tçm  sao cho 1  f ‘  x   x 0 Vậy 1  f ‘  x   7x 0 3 3 2 1 2  dx  0 hay    7   0    7. 7 2 7  dx  0  f ‘  x   7x 3 , x  0; 1  f  x    x 4  C 4 1 7 7 7 7  C   f  x    x 4    f  x  dx  . 4 4 4 5 0 Chọn ï B. Ví dụ 6: Cho hàm số f  x  cê đạo hàm liæn tục træn 1 3 f  1   0 ,   f ‘  x   dx   2 ln 2 và 2 0 A. 1  ln 2 . 2 2 B. 1  0; 1 , thỏa mãn đồng thời f  x 1 3 0  x  12 dx  2 ln 2  2 . Tích phân 0 f  x  dx bằng? 1  2 ln 2 . 2 C. 3  2 ln 2 . 2 D. 3  4 ln 2 . 2 Lời giải Thoạt nhçn thç ta sẽ thấy bài này tương tự bài trước vẫn phải làm xuất hiện f ‘  x  ,  f ‘  x   , 2 cíng biến đổi để xem cê như bài trước khëng nhå! Như các bài trước, ta biến đổi 1 f  x   x  1 0 2 dx  2 ln 2  3 để làm xuất hiện f ‘  x  bằng cách 2 u  f  x  du  f ‘  x  dx   tèch phân từng phần. Đặt   . 1 1 dv  dx v   2    x  1 x1   76 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN Khi đê ta được: 1 f x   x  1 2 dx   0 f x 1 x1 0 1  0 f ‘x x1 dx   f  1 2  f 0  1 1  0 f ‘x x1 dx Tới đây ta bị vướng f  0  vç giả thiết khëng cho. Do đê ta sẽ thæm bớt hằng số như sau: u  f  x  du  f ‘  x  dx   với k là hằng số.  1 dv  dx  v   1  k 2   x  1 x1   Khi đê kết hợp với f  1   0 ta được: 1 f x 1 1 1 1     0  x  12 dx    x  1  k  f  x  0  0   x  1  k  f ‘  x  dx 1 1      1  k  f  0       k  f ‘  x  dx x1  0 Ta chọn k sao cho 1  k  0  k  1 1 1 1 f  x 3 x x 3 Khi đê: 2 ln 2    dx    f ‘  x  dx   f ‘  x  dx   2 ln 2. 2 2 0  x  1 x1 x1 2 0 0 2 x Hàm dưới dấu tèch phân là  f ‘  x   , f ‘  x  næn ta cần cê x1 Ta tçm được   1  f ‘  x   2 x    f ‘  x    x  1  . x x  f x   dx  x  ln x  1  C x1 x1 1  C  ln 2  1  f  x   x  ln  x  1   ln 2  1. Vậy  f  x  dx  0 1  2 ln 2 2 Chọn ï B. 2. CÂN BẰNG HỆ SỐ VÀ BẤT ĐẲNG THỨC AM – GM Trong phần này ta sẽ tiếp cận một số bài toán khê hơn phải sử dụng đến bất đẳng thức AM – GM và các kỹ thuật cân bằng hệ số trong bất đẳng thức. Đầu tiæn nhắc lại bất đẳng thức AM – GM. Cho 2 số thực dương a,b thç ta luën cê a  b  2 ab . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a  b Ví dụ 1: Cho hàm số f  x  nhận giá trị dương và cê đạo hàm f ‘  x  liên tục trên  0; 1 , thỏa mãn f  1   ef  0  và A. f  1  2e e1 1 1 2 dx 0 f 2  x   0 f ‘  x  dx  2. Mệnh đề nào sau đây đîng ? B. f  1   2 e  2 e1 2e 2 C. f  1   2 e 1 D. f  1  2 e  2 e1 Lời giải Lướt nhçn qua bài toán này thç khá là “hãi” nhưng tuy nhiæn hai tèch phân đang ở cùng cận nên ta sẽ đưa nê vào cíng một tích phân và sử dụng bất đẳng thức AM – GM như sau: Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 77 CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ 1 1 AM  GM 1 f ‘  x   1 2 2 dx 0 f 2  x   0 f ‘  x  dx  0  f 2  x   f ‘  x   dx  2 0 f  x  dx   1 1  2 ln f  x   2 ln f  1   2 ln f  0   2 ln 0 f  1 f 0  2 ln e  2. Mặt khác theo giả thiết ta lại có: 1 1 2 dx 1 0 f 2  x   0 f ‘  x  dx  2  f ‘  x   f  x   f  x  f ‘  x   1   f  x  f ‘  x  dx   xdx  Ta có: f  1   ef  0  nên ta có f2  x 2  x  C  f  x   2x  2C. 2  2C  e 2C  2  2C  e 2 2C  C   f  x   2x  1 e 1 2 2 2 2e 2  f 1  2   .   e2  1 e2  1 e2  1 Chọn ý C. Ví dụ 2: Cho hàm số f  x   0 và cê đạo hàm f ‘  x   0 liên tục trên  0; 1 , thỏa mãn f  0   1 và A. I  2  1 1 1  f 3  x   4  f ‘  x   3  dx  3 f ‘  x  f 2  x  dx. Tính I  f  x  dx    0  0 0  e 1 C. I  . 2 B. I  2  e 2  1  . e 1 . D. I  e2  1 . 2 Lời giải Bài toán này là một bài toán khê nhưng tuy nhiæn nếu biết về bất đẳng thức AM – GM thì nê trở læn khá là đơn giản Áp dụng bất đẳng thức AM  GM cho ba số dương ta cê f3 x f3 x f  x   4  f ‘  x    4  f ‘  x     2 2 3 3 3 f3 x f3 x  3 4  f ‘  x   . .  3f ‘  x  f 2  x  2 2 3 3 1 1 3    f 3  x   4  f ‘  x    dx  3  f ‘  x  f 2  x  dx.   0 0 Mặt khác theo giả thiết ta có: 3 3 1  f 3  x   4  f ‘  x   3  dx  3 f ‘  x  f 2  x  dx  4 f ‘  x   3  f  x   f  x   f ‘  x   1 f  x       0  0 2 2 2 1  f ‘ x f x  1 xC f ‘ x 1 1 1  dx   dx  ln f  x   x  C  f  x   e 2 . 2 f x 2 2 1 x 1 Ta có: f  0   1  C  0  f  x   e 2   f  x  dx  2 0   e 1 . Nhận xét. Đây là hướng tiếp cận theo bất đẳng thức AM – GM tuy nhiên ta còn một 78 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN cách khác cê thể sẽ nhanh hơn tẹo. Để ï nếu ta coi a, b lần lượt là f  x  , f ‘  x  thç ta sẽ cê được đa thức thuần nhất bậc 3. Cụ thể ta cê: f  a, b   a 3  4b 3  3a 2 b   a  b  a  2b   0 2 Khi đê giả thiết tương đương: 1 1 1 3 2 3 2 0 f  x   4 f ‘  x   dx  30 f ‘  x  f  x  dx  0  f  x   f ‘  x    f  x   2f ‘  x   dx  0 Mặt khác f  x   0 , f ‘  x   0 nên dấu “=” xảy ra khi f  x   2f ‘  x  . Đến đây bài toán lại trở næn bçnh thường! Chọn ý A. Ví dụ 3: Cho hàm số f  x  nhận giá trị dương træn  0; 1 , cê đạo hàm dương và tục trên  0; 1 , thỏa mãn 1  xf ‘  x  0 1 A. f    1. 2 1 dx  1 và f  0   1, f  1   e 2 . Tènh giá trị của f   . f x 2 1 B. f    4. 2 1 C. f    e. 2 1 D. f    e. 2 Lời giải Cách làm chung của các bài toán thế này là từ giả nếu bài toán cho là lớn hơn hoặc bằng thç ta phải chỉ ra dấu nhỏ hơn hoặc bằng và ngược lại. Bài toán này cũng như thế, ta cần chỉ ra được 1  0 xf ‘  x  f x dx  1 bằng các đánh giá cơ bản. xf ‘  x  Hàm dưới dấu tèch phân là: f x f ‘ x  x. f x , x   0; 1 . Điều này khiến ta nảy ra ï tưởng đánh giá: x. f ‘ x f x  ax  b.f ‘  x  f x , Muốn vậy ta phải đánh giá theo AM  GM như sau: f ‘ x f x  mx  2 m. xf ‘  x  f x với m  0 và x   0; 1 . 1  f ‘ x  xf ‘  x   mx  dx  2 m. dx hay: Do đê ta cần tçm tham số m  0 sao cho:   f x f x 0    0  1 1 x2 m m ln f  x   m  2 m.1  ln f  1   ln f  0    2 m  2  0   2 m 0 2 0 2 2 1 Để dấu ”  ” xảy ra thç ta cần cê 2  0  Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học m  2 m  m  4. 2 Chinh phục olympic toán | 79 CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ Với m  4 thì ta có: 1 1  f ‘ x  xf ‘  x  xf ‘  x  0  f  x   4x  dx  4  4.0 f  x  dx  0 f  x  dx  1   1 Dấu “=” xảy ra khi f ‘ x  4x   f  x f ‘ x f  x dx   4xdx  ln f  x   2x 2  C  f  x   e 2x 2 C .  f  0   1 1 2 x2  C  0  f x  e  f    e. Theo giả thiết    2 2  f  1   e Cách 2. Theo bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có: 2 2 1 1  1 xf ‘  x    1 f ‘ x  f ‘x f 1 1 12    dx     x. dx    xdx. dx  .ln  1.  0 f x  0  f x f x 2 f 0       0 0     f ‘ x Vậy đẳng thức xảy ra næn ta cê Suy ra f ‘ x f  x f  x  kx, thay vào xf ‘  x  1  f x 0 dx  1 ta được k  4.  4x. Đến đây lời giải giống như trên. P/s: Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta sẽ tçm hiểu ở phần sau! Chọn ý C. Ví dụ 4: Cho hàm số f  x  cê đạo hàm liæn tục træn  0; 1 , thỏa mãn 1  f  x  f ‘  x  2 dx  1 0 1 và f  0   1, f  1   3. Tènh giá trị của f   2 1 A. f    2. 2 1 B. f    3. 2 1 C. f    e. 2 1 D. f    e. 2 Lời giải Nhận thấy bài này dấu “  ” næn cần phải đánh giá theo chiều ngược lại, chî ï tới bài toán liæn quan tới f ‘  x  , f  x  , nếu ta đánh giá được  f  x  f ‘  x   về f  x  f ‘  x  thì bài toán coi 2 như được giải quyết. Muốn vậy ta phải đánh giá theo AM – GM như sau:  f  x  f ‘  x    m  2 m.f  x  f ‘  x  với m  0. 2 Do đê ta cần tçm tham số m  0 sao cho:  1 0 Hay 1  m  2 m . f2 x 2  1  f  x  f ‘  x    m dx  2 m  f  x  f ‘  x  dx 2 0 1  1m  2 m 0 Để dấu ”  ” xảy ra thç ta cần cê 1  m  2 m  m  1. Khi đê ta được: 80 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN 1 1 1  f  x  f ‘  x  dx  1   f  x  f ‘  x  dx   1dx 2 0 2 0 1  0  1    f  x  f ‘  x    1 dx  2   f  x  f ‘  x   dx  2 0 2 0 f  x  f ‘  x   1 2 Dấu “=” xảy ra khi  f  x  f ‘  x    1   .  f  x  f ‘  x   1 1 1 0 0 Nếu f  x  f ‘  x   1   f  x  f ‘  x  dx    dx   Nếu f  x  f ‘  x   1   f  x  f ‘  x  dx   dx   f2 x 2 f 2  x 2 1   x 0  1  1 (vô lý) 1 0  x  C  f  x   2x  2C. f  0   1 1 1  C   f  x   2x  1  f    2. Theo giả thiết  2 2 f  1   3 Cách 2. Ta có 1  f  x  f ‘  x  dx  f2 x 2 0 1  0 1 2  f  1   f 2  0    1. 2 Theo bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có: 2 1 1 1  2 1    1.f  x  f ‘  x  dx    12 dx.  f  x  f ‘  x   dx  1.1  1. 0 0 0  2 1 Vậy đẳng thức xảy ra næn ta cê f ‘  x  f  x   k, thay vào  f  x  f ‘  x  dx  1 ta được 0 k  1. Suy ra f ‘  x  f  x   1. Đến đây làm tiếp như træn! P/s: Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta sẽ tçm hiểu ở phần sau! Chọn ï A. Ví dụ 5: Cho hàm số f  x  nhận giá trị dương và cê đạo hàm f ‘  x  liên tục trên  1; 2  ,  f ‘  x   dx  24 và f  1   1, f  2   16. Tènh giá trị của f thỏa mãn   xf  x  1 2 2 A. f  2   1. B. f  2  2. C. f  2   2.  2 . D. f  2   4. Lời giải Chắc rằng qua 4 vè dụ ở træn ta đã phần nào hçnh dung và nắm được ï tưởng và phương pháp làm dạng này rồi, bài cuối cíng sẽ khëng đi phân tèch mà đi luën vào lời giải!  f ‘  x   1  f ‘  x    . . Điều này làm ta liæn tưởng đến đạo hàm Hàm dưới dấu tèch phân là  xf  x  x f x 2 đîng f ‘ x f x 2 , muốn vậy ta phải đánh giá theo AM – GM như sau: Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 81 CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ  f ‘  x   f ‘ x  mx  2 m với m  0 và x   1; 2  . xf  x  f x 2 2  f ‘  x  2    mx  dx  2 m f ‘  x  dx hay: Do đê ta cần tçm tham số m  0 sao cho    1 f  x   xf  x   1   2 24  2m  4 m f x 3 2  24  1 2m 2m  4 m  f  2   f  1    24   12 m  m  16.   3 3 Để dấu ”  ” xảy ra thç ta cần cê 24  2m  12 m  m  16. 3  f ‘  x   f ‘ x  16x   2x Với m  16 thç đẳng thức xảy ra næn  xf  x  2 f x 2  f ‘ x 2 f  x dx   2xdx  f  x   x2  C  f  x    x 2  C  2  f  1   1 Theo giả thiết   C  0  f  x   x 4  f 2  4.  f  2   16 2 2 2 f ‘ x f ‘ x Cách 2. Ta có  dx  2. dx  2 f  x   2  f  2   f  1    6.   1 f x 1 1 2 f x   Theo bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có 2 2 2 2 2 2  2 f ‘ x  1   f ‘  x   f ‘ x x2 2 6   dx     x. dx    xdx. dx  .24  36  1 f x  1  xf  x  2 1 xf x   1 1     f ‘ x Vậy đẳng thức xảy ra næn ta cê f ‘ x ta được k  4. Suy ra f x xf  x  k x  f ‘ x f  x  kx thay vào 2 f ‘ x  f  x  dx  6 1  4x. Đến đây làm tiếp như træn! Chọn ï D. 3. BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY – SCHWARZ CHO TÍCH PHÂN Nhçn chung thç các bài toán này chưa gặp thç sẽ thấy nê lạ và rất khê, tuy nhiæn nếu đã gặp và làm quen rồi thç bài toán này trở næn tương đối dễ, cê thể dễ hơn 2 dạng toán træn !  Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz cho tích phân Cho f  x  ,g  x  :  a, b   là các hàm khả tèch træn đoạn  a; b  khi đê ta luën có :  b a b f 2  x  dx. g 2  x  dx  a  b a f  x  g  x  dx  2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi f  x   kg  x  với số thực k  0 . Chứng minh Với mọi t  xåt bçnh phương ta luën cê 82 | Chinh phục olympic toán   t.f  x   g  x   b a 2 dx  0 Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN Điều này tương đương với : h t  + Trường hợp 1 :  b + Trường hợp 2 :  b a a   f  x dx t  2   f  x.g  x  dx  t   g x  dx  0t  b 2 b b a a 2 a 2 f 2  x  dx  0  f  x   0 bất đẳng thức đã cho là đẳng thức. f 2  x  dx  0 , đây là tam thức bậc 2 hệ số a dương và luën khëng âm, tức biệt số delta luën khëng dương. Tương đương : ’    b a  2 b b a a f  x  .g  x  dx   f 2  x  dx. g 2  x  dx  0   f  x .g  x  dx    f  x  dx. g  x  dx 2 b b a b 2 a 2 a Đến đây ta cê điều phải chứng minh !  Bất đẳng thức Holder cho tích phân Cho f  x  ,g  x  :  a, b   là các hàm khả tèch træn đoạn  a; b  khi đê ta luën cê :  f  x  g  x  dx    f  x  b b a a Trong đê p,q là các số thực dương thỏa mãn p dx   1 p b a g  x  dx q  1 q 1 1  1. q p Ví dụ 1: Cho hàm số f  x  cê đạo hàm liæn tục træn  0; 1 , thỏa mãn f  1   0 đồng thời 1 1 1 0 0 0 2 1 2  f ‘  x  dx  7 và  x f  x  dx  3 . Tích phân  f  x  dx bằng? 7 5 B. A. 1. C. 7 4 D. 4 Đề minh họa THPT Quốc Gia 2018 Lời giải Bài toán này ta đã được gặp ở phần phân tèch bçnh phương rồi, giờ ta sẽ tçm hiểu một cách tiếp cận khác bằng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz. Chî ï là bất đẳng thức Cauchy Schwarz cho tích phân thç luën phải cê một lượng bçnh phương cho næn ta khëng được biến đổi giả thiết  f ‘  x   , tuy duy vẫn như phần trước, ta phải làm xuất hiện f ‘  x  ở giả 2 thiết thứ 2. 1 Tèch phân từng phần cho  x2 f  x  dx  0 1 ta được: 3 1 1 1 1 x3 1 x f x dx  f  x    x 3 f ‘  x  dx   x 3 f ‘  x  dx  1.   0 3 30 0 0 2 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có :   x f ‘ x dx   x dx. f ‘x  dx  1  1   x f ‘ x dx  1 1 3 2 0 Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học 1 0 6 1 0 2 1 3 0 Chinh phục olympic toán | 83 CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ Vậy dấu ”  ” xảy ra khi f ‘  x   kx 3 . Thế ngược lại ta tçm được k  7 7 Vậy f ‘  x   7x 3 , x  0; 1  f  x    x 4  C 4 C 1 7 7 7 7  f  x    x 4    f  x  dx  . 4 4 4 5 0 Chọn ï B. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ. Câu 1: Cho hàm số f  x  liæn tục træn đoạn  1; 1 thỏa mãn f  1   0,  x 2 f  x  dx  1 1   f ‘ x 1 2 1 A. 1 dx  112 , tính tích phân I   f  x  dx . 1 168 5 B. 35 2 C. 35 4 D. Câu 2: Cho hàm f  x  cê đạo hàm liæn tục træn   f ‘ x 1 2 0 A. 16 và 3  0; 1 thỏa mãn điều kiện e2  1 và f  1   0 . Tính tích phân dx    x  1  e f  x  dx  0 4 1 1  f  x  dx . x e1 2 e2 B. 4 84 5 0 D. C. e  2 e 2 Câu 3: Cho hàm f  x  cê đạo hàm liæn tục træn  0; 1 thỏa mãn f  0   0, f  1   1 và 1  f ‘  x   0   2 x 2  1 dx   A. 1 2 ln 1  2 2 C. 1 ln 1  2 2  1 . Tích phân 1  ln 2 1 f  x 0 x2  1   B. dx bằng 1  2 2 ln 1  2 2        D. 1  2 ln 1  2 Câu 4: Cho hàm f  x  cê đạo hàm liæn tục træn  0; 1 thỏa mãn f  1   1 và đồng thời  1 0 x.f  x  dx  A. 2 9 4 và 15 2 49 0 f ‘  x  dx  45 . Tính 1 B. 6 1 1  f  x  0 C. 2 dx 4 63 D. 1 1 Câu 5: Cho hàm số f  x  liæn tục træn đoạn  0; 1 thỏa mãn f  1   1 ,   f ‘  x   dx  2 0 9 và 5 2   x  dx  5 . Tích phân  f  x  dx bằng 1 0 1 f A. 0 1 4 B. 1 5 C. 3 4 Câu 6: Cho hàm f  x  liæn tục træn  0; 1 thỏa mãn ef  1   f  0  . Tính tích phân 84 | Chinh phục olympic toán 1 D.   f ‘ x 1 0 2 1 3 5 dx   e x f  x  dx  0 e2  1 và 4  f  x  dx . 2 0 Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN A. e  2 B. e  1 C. 2e  3 D. 2e  1 Câu 7: Cho hàm số f  x  cê đạo hàm liæn tục træn đoạn  0; 1 và f  0   f  1   0 . Biết rằng 1   f  x  dx  2 ,  f ‘  x  cos xdx  2 . Tích phân  f  x  dx 1 2 0 A. 1 1 0 0 3 2 B. 2  bằng D. C.  1  1 Câu 8: Cho hàm số f  x  cê đạo hàm liæn tục træn đoạn  0; 1 . Biết  1 0 f ‘  x  sin xdx   . Tích phân A. 3 2 B.  1 0 2  C.  1  x  cos   .f  x  dx  . Tích phân 0 2  2   A. B.  2 1 2 0 và x f   dx bằng 2 6  D. Câu 9: Cho hàm số f  x  liæn tục træn đoạn  0; 1 thỏa mãn f  1   0 ,   f  x  dx  3 1  f  x  dx 0 1  2 2 , f ‘ x dx      0   8 1 bằng 1  C. D. 2  Câu 10: Cho hàm số f  x  cê đạo hàm liæn tục træn đoạn  0; 1 , và thỏa mãn f  1   1 , 1  f ‘  x   dx  9 và 0   2 A.  1 x3 f  x  dx  0 5 2 B. 1 . Tích phân 2 2 3 1  f  x  dx bằng 0 C. 7 4 D. Câu 11: Cho hàm số f  x  cê đạo hàm liæn tục træn đoạn    2 2   f ‘  x   dx  và 4  A. 1   2 cos x.f  x  dx  C. 1 2 D. 1 Câu 12: Cho hàm số f  x  cê đạo liæn tục træn đoạn 2 2 1 và 3 7 B. 5 1 A. 7 5  2 1 A. 1  f  x  dx 1 5 0  1; 2   f ‘  x   dx  7 . Tích phân 2 C. 7 20 Câu 13: Cho hàm số f  x  liæn tục træn  0; 1 thỏa mãn phân  thỏa mãn f    0 , 2  . Tính f  2018  4 B. 0 f  2   0   x  1  f  x  dx   6 5 và thỏa mãn điều kiện 2  f  x  dx bằng 1 D.  1 0 7 20 1 x.f 2  x  dx   x 2 .f  x  dx  0 1 . Tích 16 bằng? B. 1 4 C. 1 3 D. 2 5 Chî ï xem lời giải vè dụ 1 để vận dụng! Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 85 CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ Ví dụ 2: Cho hàm số f  x  liæn tục træn  0;  , thỏa mãn   0 0  f  x  dx   cos xf  x  dx  1. Giá  trị nhỏ nhất của tèch phân  f 2  x  dx bằng? 0 A. 2 .  B. 3 .  4 .  C. D. 3 . 2 Lời giải Nhçn cách phát biểu của bài toán tương đối giống với bài træn, nếu áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có : 1  Suy ra  f 2  x  dx  0   cos x.f  x dx  0 2       cos xdx. f  x  dx  . f 2  x  dx. 2 0 0 0 2 2 2 đến đây sẽ cê nhiều bạn khoanh A.  Chî ï rằng dấu ”  ” xảy ra khi f  x   k cos x thay vào   f  x  dx  1 ta được: 0   0 0 1   f  x  dx  k  cos xdx  k.sin x 0  0  Điều này là vë lï! Vậy lời giải đîng của ta sẽ cần phải sử dụng tới phương pháp biến thiæn   a   a cos xf  x  dx   a, b   0 hằng số. Ta cê  f  x  dx   cos xf  x  dx  1   với  2 2  0 0 a  b  0 b  bf x dx 0     Theo Cauchy – Schwarz ta có : a  b 2    a cos x  b f  x dx    a cos x  b dx f x  dx  2 0  2 0  2 0  a, b  2 a  b 1 Lại cê   a cos x  b  dx    a 2  2b2  . Suy ra  f 2  x  dx  với  2 2 2 2 2   a  2b  0 0 a  b  0 2  2   a  b 2  3 2  Do đê  f  x  dx  .max  2 2   a  2b 0     2 Chọn ï B. Nhận xét:  Ta nhân thêm a, b vào giả thiết được gọi là phương pháp biến thiæn hằng số.  a  b Cách tçm giá trị lớn nhất của P  2 a 2  2b2 ta làm như sau: + Nếu b  0  P  1 (chènh là đáp án sai mà mçnh đã làm ở træn) 86 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN 2 a a 2 1   a  b   b  t 2  2t  1  a b  + Nếu b  0  P  2 t   2 2 2 a  2b t 2  b a   2 b 2 Tới đây ta đạo hàm hoặc díng MODE 7 dé tçm. Kết quả thu được GTLN của P bằng khi t  2  3 2 a  2  a  2b. b  a  2b Vậy dấu ”  ” để bài toán xảy ra khi   f  x   b  2 cos x  1   1 2 cos x  1  f x    Thay ngược lại điều kiện, ta được:  b  2 cos x  1  dx  1  b  0 Lúc này   3  2 cos x  1   f  x  dx      dx   2 0 0 Cách khác. Đưa về bënh phương Hàm dưới dấu tèch phân là f 2  x  , f  x  , cos x.f  x  næn ta liến kết với  f  x    cos x    2 Với mỗi số thực  ,  ta có:    f  x    cos x   0 2    0 0 0 dx   f 2  x  dx  2    cos x    f  x  dx     cos x    dx 2     f 2  x  dx  2        2  2 2 0  Ta cần tçm  ,  sao cho 2        2  2 đạt giá trị nhỏ nhất. Ta cê: 2 2 2   2 1 3 3  2        2  2               2 2      2 1 Vậy với    ;    thì ta có:    2   2 1 3  2 0 f  x    cos x    dx  0 f  x  dx   2  2 cos x  1 2 1 3 3  Suy ra  f  x  dx    f  x   cos x   dx   . Dấu ”  ” xảy ra khi f  x        0 0  2 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Câu 1: Cho hàm số f  x  liæn tục træn  0; 1 thỏa mãn 1  f  x  0 A. 10 2 dx  4 . Giá trị của tèch phân   f  x 1 0 B. 1 3 C. 80 Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học   f  x 1 0 2 1 0 x.f  x  dx  1 và dx là Câu 2: Cho hàm số f  x  liæn tục træn đoạn  0; 1 thỏa mãn m là giá trị nhỏ nhất của tèch phân 1 0  f  x  dx   D. 8 1 1 0 0  f  x  dx   e x f  x  dx  1 . Gọi dx . Mệnh đề nào dưới đây đîng? Chinh phục olympic toán | 87 CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ A. 0  m  1 B. 1  m  2 C. 2  m  3 D. 3  m  4 Câu 3: Cho hàm số f  x  liæn tục træn đoạn  0;  thỏa mãn Giá trị nhỏ nhất của tèch phân A. 3    f  x  dx 2 0 C. A. 2 3 1  1 0 4 ln  2e  2  4  4 ln 2 2 D. e A. 4036  B.  f  x  2 0 A. C. 4 ln  2   4 2  4  4 ln 2 2 1  f  x  0 2 1 1 2e  3 e  3e  1 D. 2  4 0   0 A.  4  2 dx  2e  5 e2  f  x  dx   4 tan xf  x  dx  1 . Giá 0 C. 16 ln  2e  2  4  4 ln 2 2  1 0 D. 1 0 C. 4034 1  f  x  dx 0 5 7 2 . Tính tích phân  B.  16 ln  2   16 2  4  4 ln 2 2 f  x  dx   x 2018 .f  x  dx  1 . Giá trị C. D. 4032  1 0 1 x.f  x  dx   f  x  x dx  1 và 0 bằng 1 18 D. Câu 9: Cho hàm số f  x  cê đạo hàm liæn tục træn  0;  thỏa mãn   f  x ln x.f  x  dx  1 . dx là? dx  5 . Giá trị của tèch phân B. e f 2  x  dx bằng? B. 4038 5 6 e  f  x  dx   2 2e  3 e2  4 0 8 3 1 Câu 8: Cho hàm số f  x  liæn tục træn  0; 1 thỏa mãn 1 xf  x  dx  1 . Giá  f  x  dx bằng? Câu 7: Cho hàm số f  x  liæn tục træn  0; 1 thỏa mãn nhỏ nhất của tèch phân 1 0 C. 3   Câu 6: Cho hàm số f  x  liæn tục træn 0;  thỏa mãn  4 A. f  x  dx   2 4 3 B. trị nhỏ nhất của tèch phân 3 2 0 Giá trị nhỏ nhất của tèch phân 2e  5 e  3e  1 sin xf  x  dx  1 .  f  x  dx bằng? B. 2 0 D. Câu 5: Cho hàm số f  x  liæn tục træn đoạn  1; e  thỏa mãn A. 0 3  4 2  2 Câu 4: Cho hàm số f  x  liæn tục træn đoạn  0; 1 thỏa mãn trị nhỏ nhất của tèch phân  bằng? 3  8 2  8 B.   f  x  dx     0 1 21   f ‘  x  sin xdx  1 0 và x.f  x  dx C.  2  D.   2 Chî ï xem lời giải vè dụ minh họa để vận dụng! Ví dụ 3: Cho hàm số y  f  x  cê đạo hàm liæn tục træn  1; 2  , thỏa 2  x f  x  dx  31 Giá trị 3 1 88 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN 2 nhỏ nhất của tèch phân  f 4  x  dx bằng? 1 A. 961. B. 3875. C. 148955. D. 923521. Lời giải Vẫn là bất đẳng thức Cauchy – Schwarz nhưng yæu cầu của bài toán f  x  bậc 4 và giả thiết 2 4  f  x  dx qua chỉ cê 1, vç thế ï tưởng của ta là đánh giá trực tiếp yæu cầu 1 2  x f  x  dx  31 . 3 1 Thế sử dụng Cauchy – Schwarz như thế nào? Rất đơn giản đê là sử dụng liæn tiếp bất đẳng thức Cauchy – Schwarz! Ta cê áp dụng hai lần liæn tiếp bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta được: 31  4 Suy ra  2 1 x f  x  dx 2 3      4 4 2 1 31  f  x  dx  4   x dx 1 2  2  x .xf  x  dx    2 4 3 2  2 1 x 4dx   2 2 1 x 2 f 2  x  dx   2  2 1 x 4dx   f x dx 3 2 4 1  3875 . 1 2 Dấu ”  ” xảy ra khi f  x   kx nên k  x 4dx  31  k  5  f  x   5x 2 1 Chọn ï B.  0; 2  , Ví dụ 4: Cho hàm số f  x  cê đạo hàm liæn tục træn 2 2 8 0 x f  x  dx  15 và thỏa mãn f  2   1 , 2 32 0 f ‘  x  dx  5 Giá trị của tèch phân 0 f  x  dx bằng? 2 4 3 A.  . 2 2 B.  . 3 7 C.  . 3 D. 7 . 3 Lời giải Vẫn như bài træn ta phải làm xuất hiện  f ‘  x   . Tèch phân từng phần 4 2 8  x f  x  dx  15 2 kết 0 2 hợp với f  2   1 , ta được  x3 f   x  dx  0 32 . 5 Áp dụng Cauchy – Schwarz 2 lần ta được     x dx    x f ‘x  dx     x dx    x  f ‘  x   dx     x dx     x dx.  f ‘  x   dx  1048576  32     x dx     f ‘  x   dx    . 625  5  4  32      5  2  2 0 4 x f   x  dx 3 2 0 2 0 2    4 0 2 2 0 4 3 2 4 x .xf   x  dx 2 2 2 2 2 0 4 2 2 2 0 2 2 0 2 2 4 2 4 0 4 0 4 4 0 Dấu ”  ” xảy ra khi xf ‘  x   kx 2  f ‘  x   kx thay vào 2  f ‘  x  0 Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học 4 dx  32 ta tçm được k  1 5 Chinh phục olympic toán | 89 CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ  f ‘  x   x  f  x    xdx  Vậy f  x   x2 f  2 1  C   C  1. 2 2 x2 2  1   f  x  dx   . 2 3 0 Chọn ï B. Cách 2. Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:  f ‘  x    x 4  x 4  x 4  4x 3 f ‘  x  4 Do vậy 2 2 2 0 0 4 3  f ‘  x  dx  3 x dx  4 x f   x  dx. Mà giá trị của hai vế bằng nhau, cê nghĩa là 4 0 dấu ”  ” xảy ra næn f ‘  x   x . Đến đây là tiếp như træn! Ví dụ 5: Cho hàm số f  x  cê đạo hàm liæn tục træn  0; 1 đồng thời thỏa mãn các điều kiện f  1   A. 3 ; 2  1 0 5 và 6 8 B. 15 f  x  dx  7 3 1 0  x  1 1 1 2 x 1 f ‘  x   dx   . Tính  f 2  x  dx ?  0 x2 3 53 203 C. D. 60 60 Lời giải Một bài toán khá khê, ta thấy rằng cê một lượng bçnh phương trong căn nhưng tuy nhiæn nếu để nguyæn thç khëng thể nào áp dụng Cauchy – Schwarz được, do đê sẽ nảy ra ï tưởng sử dụng bất đẳng thức AM – GM để phá căn. Nhưng ta khëng thể áp dụng luën được do x  1  0 bởi bất đẳng thức AM – GM áp dụng cho 2 số dương, do đê phải đổi chiều lại mới sử dụng được. Trước tiæn phải biến đổi giả thiết đầu tiæn trước đã. 1 1 1 5 2 Sử dụng tèch phân từng phần ta cê:  f  x  dx   f  1    x.f ‘  x  dx   x.f ‘  x  dx  0 0 0 6 3 Mặt khác theo bất đẳng thức AM – GM ta có: 2 1  x 1  2 2 x x 2 f ‘ x   1  x   1  f ‘  x    x2 x2 Tèch phân hai vế træn đoạn  0; 1 ta có: 1 1 2 2 2 4 x x 2   f ‘  x   dx   f ‘  x   dx    0 0 3 3 x2 2x 3 Theo bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có:   x.f ‘ x  dx  1 0  1 0 2 2  1 1 2 4  1 x x     x  2  x  f ‘  x  dx    x  2  x  dx. f ‘  x   dx  0 0 0 9  2x 2x  1 2 x2 53 x 2 . f ‘  x   dx   f ‘  x   2  x  f  x   2x    f 2  x  dx   0 2x 3 2 60 Chọn ï C. Ví dụ 6: Cho hàm số f  x  liæn tục træn  0; 1 thỏa mãn 90 | Chinh phục olympic toán  1 0 xf  x  dx  0 và max f  x   6 . 0 ;1 Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN Giá trị lớn nhất của tèch phân A. 2  1 0 x 2 f  x  dx là? C. B. 2  2 3 5 D. 1  2 Lời giải Biến đổi giả thiết ta cê  1 0 x 2 f  x  dx   1 0 1 x 2 f  x  dx   axf  x  dx  0 1 1 0 0  x 1 0 2  ax  dx 1   x 2  ax f  x  dx   x 2  ax max f  x  dx  6  x 2  ax dx Do đê  1 0 0;1 1 0 1 x 2 f  x  dx  6 min  x 2  ax dx  6 min  x 2  ax dx  2  2 . a Dấu “=” xảy ra tại a  0;1 0 0 2 2 Chọn ï B. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Câu 1: Cho hàm số f  x  liæn tục træn  0; 1 thỏa mãn trị lớn nhất của tèch phân A. 3 2  1 0 C. trị lớn nhất của tèch phân A. 1 8  0   4 C. A. 2 4 B.  1 0 0 ;1 D.  1 3 4 x 2 f  x  dx  0 và max f  x   6 . Giá 0 ;1 0 2 3 4 16 Câu 3: Cho hàm số f  x  liæn tục træn  0; 1 thỏa mãn trị lớn nhất của tèch phân xf  x  dx  0 và max f  x   6 . Giá x 3 f  x  dx là? 3 2 3 4 B. 0 3 5 Câu 2: Cho hàm số f  x  liæn tục træn  0; 1 thỏa mãn 1 1 x 3 f  x  dx là? 2 3 B.  D.  1 0 1 24 xf  x  dx  0 và max f  x   6 . Giá 0 ;1 x 4 f  x  dx là?  3 4 2 10  C. 4 2 20 D. 2 24 Tóm lại:  Đây là một vấn đề cê thể gọi là khê, nhưng tuy nhiæn nếu tçm hiểu kỹ thç ta cê thể thấy nê cũng khá đơn giản, mấu chốt vẫn luën là các đại lượng bçnh phương, các đại lượng khác đều phải biến đổi để đưa về đại lượng này.  Kinh nghiệm giải nhanh: Các bài toán ở đây dấu “=” đều xảy ra tại f  x   k.g  x  , vè dụ như bài toán vè dụ 1, f ‘  x   kx 3 , vậy trong khi thi trắc Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 91 CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ nghiệm nếu biến đổi theo đîng mẫu của bất đẳng thức này rồi thç ta cê thể dự đoán được mối liæn hệ và thế ngược lại tçm hằng số k, khëng phải mất cëng sử dụng bất đẳng thức để chứng minh nê nữa, sẽ tiết kiệm được thời gian làm bài! LUYỆN TẬP 1 Câu 1: Với các số thực a   0; 1 . Tçm giá trị nhỏ nhất của S   x 2  ax dx 0 A. m  2 2 6 B. m  1  2 3 C. m  1  2 6 D. m  2 2 3 Chọn ï A. Áp dụng cëng thức tènh diện tèch hçnh phẳng ta dễ dàng tçm được S  2 2 . 6 Câu 2: Kè hiệu A là tập các hàm số liæn tục træn đoạn  0; 1 . Tìm I  max f  x A A.  x 1 0 2013  1 f  x  dx   x.f 2  x  dx 0 1 2014 B. 503 2014 C. 2012 2013 1 16104 D. : Chọn ý A. 2 Ta có  1 0 x 2013  x 2012 x  1 1 4025 1 f  x  dx   x.f  x  dx     xf  x   dx  x dx     0 0 2 4 0 4.4026   1 1 2 b Câu 3: Tçm giá trị nhỏ nhất của tèch phân I   x 2   2  m  x  2 dx  a  b  trong đê a,b là a nghiệm của phương trçnh x   2  m  x  2  0 2 A. 128 9 C. B. 2 2 8 2 3 D. 8 Chọn ï C. Áp dụng cëng thức tènh diện tèch hçnh phẳng ta dễ dàng tçm được I  8 2 3 1 Câu 4: Với các số thực a   0; 1 . Tçm giá trị nhỏ nhất của tèch phân I   x 3  ax dx . 0 A. 2 2 6 B. 1 8 C. 1 4 D. 2 2 8 Chọn ï B. Phá trị tuyệt đối ta cê 1 M   x 3  ax dx   0  a 0 0  ax  x3  dx   1 a a 1 x 3  ax dx   x 3  ax dx a  x3  ax  dx  2 1 1 1 1 a     2 2 8 8 Câu 5: Cho m là tham số thực m   1; 3 . Gọi a,b lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của tèch phân S   2m m 92 | Chinh phục olympic toán x 3  4mx 2  5m 2 x  2m 3 dx . Tính P  a  b Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN A. P  41 6 C. P  B. P  1 21 4 D. P  2 Chọn ï A. Biến đổi giả thiết ta cê S 2m m   2m m x 3  4mx 2  5m 2 x  2m 3 dx    x  m   x  2m  dx   2 2m  x  m   x  2m  dx 2 m 2m m 2m  x  m  d  x  m   m m  x  m  d  x  m  3 2 2m m 1 4  1 81  4 3  1     x  m    x  3   m  ;  3 12  4 m  12 12  Câu 6: Kè hiệu A là tập các hàm số liæn tục træn đoạn  0; 1 và nhận giá trị khëng âm træn đoạn  0; 1 . Xác định số thực c nhỏ nhất sao cho A. 2018  f C. B. 1 1 2018 0  1 x dx  c  f  x  dx f  x   A . 0 1 2018 D. 2018 Chọn ï A. 1 Đặt t 2018  x  dx  2018t 2017   f 0  2018  1 1 0 0 x dx  2018  t 2017 f  t  dt  2018  f  t  dt Do c nhỏ nhất næn c  2018 . Ta sẽ chứng minh c  2018 là số cần tçm. Ta xåt hàm số f  x   xp thay vào bất đẳng thức đề bài ta cê  1 0 x p 2018 1 2018  p  1 0 p  2018 dx  c  xpdx  c  Cho p   ta suy ra c  2018 . Vậy c  2018 là số cần tìm Câu 7: Cho hàm số f  x  nhận giá trị dương và cê đạo hàm f ‘  x  liæn tục træn đoạn  0; 1  1  1 2  dx  f ‘ x thỏa mãn f  1   2018f  0  . Tçm giá trị nhỏ nhất của M        2 0   f  x    A. ln 2018 B. 2 ln 2018 C. 2e D. 2018e Chọn ï B. Sử dụng cách phân tèch bçnh phương ta cê 2  1   1 1 1 f ‘ x 2  M   f ‘ x dx   f ‘ x dx  2         2 0 f  x  0 f  x  dx 0   f  x      1 f ‘ x  2 dx  2 ln 2018 0 f x   1 Câu 8: Cho 2 số thực a,b thỏa mãn a  b và a  b  ab  4 . Tçm giá trị nhỏ nhất của biểu thức tèch phân M   b a A. 12  x  a   x  b  dx . 2 B. 0 C. 64 3 D. 49 3 Chọn ï A. Thực hiện tương tự các câu træn. Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 93 CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ Câu 9: Kè hiệu A là tập các hàm số liæn tục træn đoạn  0; 1 .  1 1 0 0  Tìm I  min   x 2013 f  x  dx   x.f 2  x  dx f  x A A.  1 2019 B.  1 16144 C.  2017 2018 D.  1 16140 Chọn ï B. Câu 10: Với m   1; 3 , gọi a,b lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức I 2m m  x  m   x  2m  2 A. 31 2 dx . Tính a  b  ? C. B. 36 122 15 D. 121 4 Chọn ï C. Câu 11: Biết giá trị nhỏ nhất của I   2m 2  2 2m các số nguyæn dương và A. 7 x 2  2  m 2  m  1  x  4  m 3  m  dx  a , với a,b là b a tối giản. Tènh a  b  ? b B. 337 C. 25 D. 91 Chọn ï C. Câu 12: Cho hàm số f  x  liæn tục træn  0; 1 thỏa mãn a.f  b   b.f  a   2018 với mọi a,b  1 thuộc đoạn  0; 1 . Tçm giá trị lớn nhất của tèch phân I   f  x  dx 0 A. 1009  B. 2018  C. 1009 2 D. 1009 Chọn ï C.  Đặt x  sin t  dx  cos tdt  M   2 f  sin t  cos tdt 0  2 0 Tương tự đặt x  cos t  M   f  cos t  sin tdt 1 2 1 2 2018 1009 f cos t sin t  f sin t cos t dt  dt          2 0 2 0  2 2018 Dấu “=” xảy ra chẳng hạn tại f  x     x2  1 Do đê M   Câu 13: Cho hàm số f  x  liæn tục træn  0; 1 thỏa mãn f  x   f 1  x 1   1 2 với mọi x  thuộc đoạn  0; 1 . Tçm giá trị lớn nhất của tèch phân I   1  x f  x  dx . 0 A. 1 8 B.  12 C. 1 6 D.  16 Chọn ï C.  2 0 Đặt x  sin t  I   4  2 0  1  sin t  f sin t  4 sin t cos tdt  4  f sin t  4 sin t cos 94 | Chinh phục olympic toán 2 4 3 4 3 3 tdt Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN   Đặt x  cos 4 t  I   2  1  cos 2 t  f  cos 4 t  4 cos 3 t sin tdt  4  2 f  cos 4 t  4 sin 3t cos3 tdt 0  2 0 Do đê I  2  0  f  sin t   f  cos t  sin 4 4 3  2 0 1 6 t cos 3 tdt  2  sin 3 t cos 3 tdt  Câu 14: Cho a,b là hai số thực thỏa mãn 0  a  b  1 . Đặt f  a, b     2  x  3x 2  dx  a  b  . b a Biết rằng max f  a, b   m m với m,n là các số thực dương vào là phân số tối giản. Tènh n n T mn. A. 49 B. 71 C. 67 D. 179 Chọn ï A. Ta đặt g  a     2  x  3x 2  dx  2  b  a   b a Ta có g ‘  a   0  a  1; a  a 2  b2  a3  b3 2 2   2   maxg  a   max g  0  ;g  1  ;g    0;1 3  3   1 1 1 22  1  max   2b3  b2  4b  ;  2b 3  b 2  4b   ;  2b 3  b 2  4b    2 2 2 27  2 1 22  g  b    2b3  b 2  4b   2 27 thỏa mãn f  x   f ‘  x   1x và Câu 15: Cho hàm số f  x  cê đạo hàm liæn tục træn f  1   0 . Tìm giá trị lớn nhất của f  1  B. A. e  1 e1 e C. e e1 D. e Chọn ï B. Câu 16: Cho f  x  liæn tục træn  1; 8 thỏa mãn   f  x  2 3 2  2f  x 1 trị của tèch phân A. 2  3 2 4  8  f  x  dx 1 B. 5 3  bằng? 58 5 C. 490 3 Đặt x  t  3x dx  dt  dx  2 dt 3 3 t2  2 1  f  x  3 2  2f  x 128 5 D. Chọn ï B. 3 8 2 38 . Giá dx   f  x  dx  31 15 3   dx   8 f x 2  2f  x  3 3 x2 1  dx Đến đây ta lại sử dụng kỹ thuật đưa về bçnh phương để giải quyết bài toán! Câu 17: Cho số thực dương a, giá trị lớn nhất của tèch phân I   a 2a 2x 2  2ax  4a 2 dx 1  a4 bằng? Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 95 CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ 27 4 A. B. 4 C. 3 27 4 D. 4 27 44 3 Chọn ï D. Câu 18: Cho hàm số f  x  cê đạo hàm liæn tục træn  0; 1 thỏa mãn f ‘  x   f  x   0 . Giá trị lớn nhất của tèch phân 1 f 0 A. 1 1  f  x  dx . 0 B. 1 f  1 C. 1 1  f  0  f  1 D. 1 2f  0   1 2f  1  Chọn ï C. Ta có f ‘ x f  x  1 1 1 1 f ‘ x f ‘ x 1 1 1   dx   dx   2 2 0 f x 0 f  x  f  x  f  0  f  1    f  x     Câu 19: Cho hàm số f  x  cê đạo hàm dương liæn tục træn đoạn  0; 1 thỏa mãn f  0   1 và  1 0  f  x  4  f ‘ x   dx  3 f ‘  x  f  x  dx . Tích phân  f  x dx bằng A. 2 1 3 3 1 2 0 0  e 1  e2  1 D. 2 1  e C. 2 B. 2  e 2  1  Chọn ï A. Nhận thấy f ‘  x   0, x   0; 1  1  f  0   f  x   f  1  Khi đê ta có f 3  x   4  f ‘  x    3f ‘  x  f 2  x   f  x   2f ‘  x    f  x   f ‘  x    0 3 2 Đến đây ta cê thể dễ dàng giải quyết bài toán! Câu 20: Cho hàm số f  x  cê đạo hàm liæn tục træn đoạn  0; 1 , f ‘  x   2f  x   0 , với mọi x   0; 1 và A. 2e  1 0 1 f  x dx  1 f 0  1 f  1 . Giá trị của biểu thức B. e 2 f  1 f 0 bằng D. C. 2e e 2 Chọn ï C. Ta có f ‘  x   2f  x   0  2  f ‘ x f  x  1 0 1 f  x 1 f ‘ x 0 2 f  x dx   Dấu “=” xảy ra khi f ‘  x   2f  x   f  x   ke 2x  k  0   96 | Chinh phục olympic toán 3 f  1 f 0 dx   1 f 0  1 f  1 ke 2  e2 0 ke Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN 16. BÀI TOÁN TỔNG HỢP. ĐỀ BÀI Câu 1: Gọi S là tập hợp tất cả các số nguyæn dương k thỏa mãn bất phương trçnh 2 2018.ek  2018 . Số phần tử của tập hợp S bằng. 1 e dx  k kx A. 7 B. 8 C. Vë số. Câu 2: Cho hàm số y  f  x  cê đạo hàm træn D. 6  1;   thỏa mãn f  1   1 và f ‘  x   3x 2  2x  5 trên  1;   . Tçm số nguyæn dương lớn nhất m sao cho min f  x   m x 3;10  với mọi hàm số y  f  x  thỏa điều kiện đề bài. A. m  15 B. m  20 Câu 3: Biết 2    1  3 x C. m  25 D. m  30 a 1 1 1  a tối giản và  2 3 8  11  dx  3 c , với a, b, c nguyæn dương, 2 b x x x  b c  a . Tính S  a  b  c ? A. S  51 B. S  67 C. S  39 D. S  75 Câu 4: Cho hàm số f  x  liæn tục và cê đạo hàm tại mọi x   0;   đồng thời thỏa mãn các điều kiện f  x   x  sin x  f ‘  x    cos x và 3 2  f  x  sin xdx  4. Khi đê giá trị của f    nằm  2 trong khoảng nào? A.  6;7  B.  5; 6  C.  12; 13  D.  11; 12  1 1  a 2 ln 2  bc ln 3  c  Câu 5: Cho  x ln  x  2   với a , b , c  dx  x  2  4  0 A. T  13 B. T  15 C. T  17 Câu 6: Cho hàm số f  x  thỏa mãn f ‘  x  .  f  x   phương trçnh f  x    2018 . Tính T  a  b  c . D. T  11  x.e x với mọi x  và f  1   1 . Hỏi 1 cê bao nhiæu nghiệm? e A. 0 B. 1 C. 3 D. 2 Câu 7: Cê bao nhiæu giá trị của tham số m nằm trong khoảng  0; 6  thỏa mãn phương trình m sin x 1  5  4 cos x dx  2 ? 0 A. 6 B. 12 C. 8 Câu 8: Cho hàm số f  x  liên tục trên Nguyên hàm của hàm số f  2x  trên tập Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học và thỏa mãn   f  D. 4 x1 x1  dx  2  x1 3 x5  C. là: Chinh phục olympic toán | 97 CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ A. x3 C 2  x2  4  B. x3 C x2  4 C. Câu 9: Cho số hữu tỷ dương m thỏa mãn 2x  3 C 4  x2  1  2m  x.cos mxdx  0 D. 2x  3 C 8  x2  1 2 . Hỏi số m thuộc khoảng 2 nào trong các khoảng dưới đây? 7  A.  ; 2  4   1 B.  0;   4  6 C.  1;   5 . Khi đê I 0  I 1  2  I 2  I 3  …  I 8   I 9  I 10 bằng? Câu 10: Cho I n   tan n xdx với n  A. 9   tan x  r r r 1 B. C 9  r 1  tan x  5 8 D.  ;  6 7 r1 r1 C. C 10  r 1 Câu 11: Xåt hàm số f  x  cê đạo hàm liæn tục træn  tan x  r r D. C 10   tan x  r1 C r1 r 1 và thỏa mãn điều kiện f  1   1 và 2  f ‘ x  2 f  x  1  f  2   4 . Tính J      dx . 2 x x  1 A. J  1  ln 4 C. J  ln 2  B. J  4  ln 2 1 2 D. J  thỏa mãn f ‘  x   e x  e  x  2 , f  0   5 và Câu 12: Cho hàm số f  x  xác định træn  1 f  ln   0 . Giá trị của biểu thức S  f   ln 16   f  ln 4  bằng?  4 31 9 5 A. S  B. S  C. S  2 2 2 Câu 13: Cho hàm số y  f  x  liæn tục træn đoạn f  x   8x f  x   3 4 0; 1 D. f  0  .f  2   1 và thoả mãn điều kiện 1 x3  0 . Tích phân I   f  x  dx cê kết quả dạng x 1 2 1  ln 4 2 0 ab 2 , a, b, c  , c a b , tối giản. Tènh a  b  c . c c A. 6 B. 4 C. 4 Câu 14: Tçm tất cả các giá trị dương của tham số m sao cho A. m  2 250 2 500  2 B. m  2 1000  1 D. 10  m 0 xe C. m  2 250 2 500  2 x2  1 dx  2 500.e m2 1 D. m  2 1000  1 Câu 15: Cho hàm số f  x  liæn tục træn  0; 1 thỏa mãn điều kiện f  x   6x 2 f  x 3   Tính tích phân . 6 . 3x  1 1  f  x  dx .. 0 A. 2 B. 4 98 | Chinh phục olympic toán C. 1 D. 6 Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN và thỏa mãn f ‘  0  .f ‘  2   0 Câu 16: Cho hàm số f  x  và g  x  liæn tục, cê đạo hàm træn 2 và g  x  f ‘  x   x  x  2  e . Tènh giá trị của tèch phân I   f  x  .g ‘  x  dx ? x 0 A. 4 1 Câu 17: Cho  x 2  x  ex x  e x 0 A. P  1 B. e  2 C. 4 D. 2  e dx  a.e  b ln  e  c  với a , b , c  . Tính P  a  2b  c ? B. P  1 C. P  0 D. P  2 x cos x  sin x Câu 18: Biết F  x  là nguyæn hàm của hàm số f  x   . Hỏi đồ thị của hàm số x2 y  F  x  cê bao nhiæu điểm cực trị trong khoảng  0; 2018  ? A. P  1 B. P  1 Câu 19: Biết tích phân k để ab  k dx  lim 2 x  8 1 D. P  2 2  1 x  2017 x  2018 A. k  0 C. P  0 x  2x  3 1 3 dx   b ln  a, b  0  tçm các giá trị thực của tham số x2 a 2 0  3 . B. k  0 C. k  0 D. k  3 4 1 2x 2  4x  1 Câu 20: Giả sử a , b , c là các số nguyæn thỏa mãn  dx    au 4  bu 2  c  du , 21 2x  1 0 trong đê u  2x  1 . Tènh giá trị S  a  b  c A. S  3 Câu 21: B. S  0 Cho hàm số f x C. S  1 cê đạo hàm D. S  2 liæn tục træn  0; 4  , thỏa mãn f  x   f ‘  x   e  x 2x  1 với mọi x   0; 4  . Khẳng định nào sau đây là đîng? A. e 4 f  4   f  0   26 . 3 B. e 4 f  4   f  0   3e. C. e 4 f  4   f  0   e 4  1. D. e 4 f  4   f  0   3. , thỏa mãn f ‘  x   2018f  x   2018x 2017 e 2018x Câu 22: Cho hàm số f  x  cê đạo hàm træn với mọi x  và f  0   2018. Tènh giá trị f  1  . A. f  1   2018e 2018 . B. f  1   2017e 2018 . C. f  1   2018e 2018 . D. f  1   2019e 2018 . Câu 23: Cho hàm số f  x  cê đạo hàm và liæn tục træn , thỏa mãn f   x   xf  x   2xe  x và 2 f  0   2. Tính f  1  . A. f  1   e. 1 B. f  1   . e Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học 2 C. f  1  . e 2 D. f  1    . e Chinh phục olympic toán | 99 CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ Câu 24: Biết luën cê hai số a và b để F  x   ax  b  4a  b  0  là nguyæn hàm của hàm số x4 f  x  và thỏa mãn điều kiện 2f 2  x   F  x   1 f ‘  x  . Khẳng định nào dưới đây đîng và đầy đủ nhất? A. a  1 , b  4 C. a  1 , b  B. a  1 , b  1 4 D. a  ,b m Câu 25: Cho I    2x  1 e 2xdx . Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để I  m là 0 khoảng  a; b  . Tính P  a  3b . A. P  3 B. P  2 9 4 3 Câu 26: Giá trị I   x 2 sin  x 3  e C. P  1   cos x 3 D. P  0 dx gần bằng số nào nhất trong các số sau đây? 1 3 6 A. 0, 046 Câu 27: Biết B. 0, 036 4 C. 0, 037 2x  1dx 5  a  b ln 2  c ln  a, b, c  3 2x  1  3  2x  3 0 A. T  4 B. T  2 1  . Tính T  2a  b  c . C. T  1  nx e dx với n  1  ex 0 Câu 28: Cho tích phân I n   D. 0, 038 D. T  3 . Đặt u n  1.  I 1  I 2   2  I 2  I 3   3  I 3  I 4   …  n  I n  I n 1   n . Biết lim u n  L . Mệnh đề nào sau đây là đîng? A. L   1; 0  B. L   2; 1  C. L   0; 1  D. L   1; 2  Câu 29: Cê bao nhiæu giá trị nguyæn dương n thỏa mãn tích phân 2  1  n 2  2x  3x 2  4x 3  …  nx n 1  dx  2 0 A. 1 B. 2 C. 0 Câu 30: Cho hàm số f  x  liæn tục træn D. 3 thỏa mãn đồng thời 2 tèch phân 1  f  2x  dx  2 và 0 2 2 0 2  f  6x  dx  14 . Tính tích phân  f  5 x  2  dx . A. 30 B. 32 Câu 31: Cho hàm số f  x  liæn tục trên C. 34 D. 36 , cê đạo hàm cấp hai thỏa mãn x.f ”  x   e x  x và f ‘  2   2e, f  0   e 2 . Mệnh đề nào sau đây là đîng? A. f  2   4e  1. B. f  2   2e  e 2 . 100 | Chinh phục olympic toán C. f  2   e 2  2e. D. f  2   12. Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN Câu 32: Cho hàm số f  x  cê đạo hàm liæn tục træn  1; 2  , đồng biến træn  1; 2  , thỏa mãn f  1  0 , 2  f ‘  x  2 1 A. 2 2 1 1 dx  2 và  f  x  .f ‘  x  dx  1 . Tích phân  f  x  dx bằng? 2 . 2 B. C. 2. 2. D. 2 2. Câu 33: Cho hàm số f  x  cê đạo hàm liæn tục træn 1 5  x f  x  dx  0 11 và 78 A. f  2   2. 1 0; 1 , thỏa mãn f  1   1 , 4  f ‘  x  d  f  x    13 . Tính f  2  . 0 B. f  2   251 . 7 C. f  2   256 . 7 D. f  2   261 . 7   Câu 34: Cho hàm số f  x  liæn tục và cê đạo hàm træn  0;  , thỏa mãn hệ thức  2 f  x   tan x.f ‘  x      3f    f    a 3  b ln 3 trong đê a, b  . Tính 3 6 x . Biết rằng cos 3 x giá trị của biểu thức P  a  b. 4 2 A. P   . B. P   . 9 9 7 C. P  . 9 D. P  14 . 9 Câu 35: Cho hàm số y  f  x  liæn tục træn đoạn  0; 1 và thỏa mãn af  b   bf  a   1 với 1 mọi a, b   0; 1 . Tính tích phân I   f  x  dx. 0 1 A. I  . 2 1 B. I  . 4 C. I   . 2 D. I   . 4  f  3  x  .f  x   1 Câu 36: Cho hàm số y  f  x  cê đạo hàm træn  0; 3 , thỏa mãn  với mọi  f  x   1 3 xf ‘  x  1 x   0; 3  và f  0   . Tính tích phân I   dx. 2 2 2 1  f 3  x .f x      0    1 3 5 A. I  . C. I  . D. I  . B. I  1. 2 2 2 f  1   g  1   4  Câu 37: Cho hai hàm f  x  và g  x  cê đạo hàm træn  1; 4  , thỏa mãn g  x   xf ‘  x  với  f  x   xg ‘  x  4 mọi x   1; 4  . Tính tích phân I    f  x   g  x   dx. 1 A. I  3 ln 2. B. I  4 ln 2. C. I  6 ln 2. D. I  8 ln 2. Câu 38: Cho hai hàm số f  x  và g  x  cê đạo hàm liæn tục træn  0; 2  , thỏa mãn 2 f ‘  0  .f ‘  2   0 và g  x  .f ‘  x   x  x  2  e x . Tính tích phân I   f  x  .g ‘  x  dx. 0 Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 101 CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ A. I  4. B. I  4. C. I  e  2. D. I  2  e. Câu 39: Cho hàm số f  x  cê đạo hàm xác định, liæn tục træn  0; 1 , thỏa mãn f ‘  0   1 và   f ‘  x   2  f ”  x    với mọi x   0; 1 . Đặt P  f  1   f  0  , khẳng định nào sau đây đîng  f ‘  x   0 A. 2  P  1. B. 1  P  0. C. 0  P  1. Câu 40: Cho hàm số y  f  x  liæn tục trên D. 1  P  2. và thỏa mãn f  x   f  x   x với mọi x  . 3 2 Tính I   f  x  dx. 0 4 B. I  . 5 4 A. I   . 5 5 D. I  . 4 5 C. I   . 4 Câu 41: Cho hàm số f  x  xác định và liæn tục træn  0; 1 , thỏa mãn f ‘  x   f ‘  1  x  với mọi 1 x   0; 1 . Biết rằng f  0   1, f  1   41. Tính tích phân I   f  x  dx. 0 B. I  21. A. I  41. C. I  41. D. I  42. Câu 42: Cho các hàm số f  x  , g  x  liæn tục træn  0; 1 , thỏa m.f  x   n.f  1  x   g  x  với 1 1 0 0  f  x  dx   g  x  dx  1. Tính m  n. m, n là số thực khác 0 và 1 B. m  n  . 2 A. m  n  0. Câu 43: Biết tích phân ln 8  C. m  n  1. D. m  n  2. 1 ln 3 1 b dx  1  ln  a a  b với a, b  2 a e 1 e 2x  x . Tính giá trị của biểu thức P  a  b A. P  1. Câu 44: Biết B. P  1. 4  A. P  5. B. P  4. 2 C. P  3. D. P  3. 2 x dx  a  b 2  c với a, b, c  . Tính P  a  b  c. 2 x  0 A. P  1. Câu 46: Biết D. P  5. 1 x  ex  dx  a  e b  e c với a, b, c  . Tính P  a  b  c. 2x 4x xe 1 Câu 45: Biết C. P  3. B. P  2.  6    6 x cos x 1  x2  x dx  a  C. P  3. D. P  4. 2 3  với a, b, c là các số nguyæn. Tènh giá trị của b c biểu thức P  a  b  c. A. P  37. B. P  35. 102 | Chinh phục olympic toán C. P  35. D. P  41. Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN 1  Câu 47 : Cho hàm số y  f  x  xác định và liæn tục træn  ; 2  , thỏa mãn điều kiện 2  2 f x 1 1 dx. f  x   f    x 2  2  2. Tính tích phân I   2 x x 1 x 1 2 3 A. I  . 2 5 C. I  . 2 B. I  2. D. I  3. Câu 48: Cho hàm số f  x  thỏa mãn f  x   0, x  0 , f ‘  0   0; f  0   1 và đồng thời điều kiện f ”  x  f  x   2  f ‘  x    xf 3  x   0 . Tènh giá trị của f  1  ? 2 A. 2 3 B. 3 2 C. 6 7 D. 7 6 Câu 49: Có bao nhiêu hàm số y  f  x  liæn tục træn  0; 1 thỏa mãn điều kiện   f  x 1 2018 0 dx    f  x   1 2019 0 A. 1 dx    f  x   1 0 B. 2 2020 dx C. 3 D. 4 5 Câu 50: Cho hàm số f  x  liæn tục træn đoạn  1; 4  có f  1   1; f  4   3 ln  1 và thỏa mãn 2 4 4 f ‘ x 2 9 4 5 27 đồng thời  . Tính tích phân  f  x  dx dx  ;  x  f ‘  x   dx  9 ln  1 1 x1 10 1 2 10 5 5 5 5 A. 5 ln  6 B. 5 ln  6 C. 15 ln  6 D. 15 ln  6 2 2 2 2  2   2018  cos x 1 cos x  Câu 51: Cho tích phân I   ln   dx  a ln a  b ln b  1 với a,b là các số 2018  sin x   0 nguyæn dương. Giá trị của a  b bằng? A. 2015 B. 4030 C. 4037 D. 2025 Câu 52: Cho hàm số y  f  x  cê đạo hàm f ‘  x   0, x   0; 8 và nhất của hàm số g  x   A. 4 5 8  f  x  dx  10 . Giá trị lớn 0 1 x f  t  dt trên  0; 8 là? x 0 B. 10 C. 5 4 D. 8    Câu 53: Cho hàm số y  f  x  cê đạo hàm và liæn tục træn 0;  thỏa mãn f    3 đồng  4 4 thời  4 f x  4  4 0 0  cos x dx  1 và  sin x.tan x.f  x  dx  2 . Tích phân  sin x.f ‘  x  dx 0 A. 4 B. 23 2 2 Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học C. 13 2 2 bằng? D. 6 Chinh phục olympic toán | 103 CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ Câu 54: Cho hàm số f  x  liæn tục træn đoạn  1; 4  và thỏa mãn f  x    f 2 x 1   ln x . x x 4 Tính tích phân I   f  x  dx . 3 A. I  3  2 ln 2 2 B. I  2 ln 2 2 C. I  ln 2 2 D. I  2 ln 2 Câu 55: Cho hàm số y  f  x  liæn tục, luën dương træn  0; 3 và thỏa mãn điều kiện 3 3 0 0  I   f  x  dx  4 . Khi đê giá trị của tèch phân K   e A. 4  12e B. 12  4e 1 ln  f  x     4 dx là? C. 3e  14 D. 14  3e Câu 56: Cho a là số thực dương. Biết rằng F  x  là một nguyæn hàm của hàm số 1  1 f  x   e x  ln  ax    thỏa mãn F    0 và F  2018   e 2018 . Mệnh đề nào sau đây đîng ? x  a  1  A. a   ;1  2018  1   B. a   0;  2018  C. a   1; 2018  Câu 57: Biết rằng F  x  là một nguyæn hàm træn D. a   2018;   của hàm số f  x   2017x x 2  1 2018 thỏa mãn F  1   0 . Tçm giá trị nhỏ nhất m của F  x  . A. m   1 2 B. m  1  2 2017 2 2018 C. m  1  2 2017 2 2018 1 D. m  1 2 I n 1 . n  I n Câu 58: Với mỗi số nguyæn dương n ta kè hiệu I n   x 2  1  x 2  dx . Tính lim n 0 A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 3 m  10  Câu 59: Tçm tất cả các giá trị dương của m để  x  3  x  dx  f ”   , với f  x   ln x 15 .  9  0 A. m  20 B. m  4 C. m  5 D. m  3   Câu 60: Cho hàm số f  x  liæn tục, khëng âm træn đoạn 0;  , thỏa mãn f  0   3 và  2   f  x  .f ‘  x   cos x. 1  f 2  x  , x  0;  . Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của  2   hàm số f  x  træn đoạn  ;  . 6 2 5 , M3 2 A. m  21 , M2 2. 2 B. m  C. m  5 , M  3. 2 D. m  3 , M  2 2 . 104 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN Câu 61: Cho f  x  là hàm số liæn tục træn thỏa mãn đồng thời 1  f  x d x  4 , 0 3 1 0 1  f  x  d x  6 . Tính tích phân I   f  2x  1  d x A. I  3 B. I  5 C. I  6 D. I  4  x sin 2018 x a trong đê a , b là các số nguyæn dương. Tènh d x  0 sin 2018 x  cos2018 x b Câu 62: Biết P  2a  b . A. P  8 B. P  10 C. P  6 Câu 63: Cho hàm số y  f  x  cê đạo hàm træn f  0   1 . Tích phân D. P  12 thỏa mãn 3f ‘  x  .e f 3  x   x2 1  2x  0 và f x 2 7  x.f  x  dx bằng 0 A. 2 7 3 B. 15 4 C. 45 8 D. 5 7 4 Câu 64: Cho hàm số y  f  x  liæn tục træn  thỏa mãn đồng thời điều kiện 3f  x   f  2  x   2  x  1  e x 2  2x  1 2  4 . Tính tích phân I   f  x  dx ta được kết quả là? 0 A. I  e  4 B. I  8 Câu 65: Tènh tổng T  A. 1 4121202989 C. I  2 D. I  e  2 C02018 C12018 C 22018 C 32018 C 2017 C 2018      2018  2018 . 3 4 5 6 2020 2021 1 1 1 B. C. D. 4121202990 4121202992 4121202991 Câu 66: Cho hàm số f  x  cê đạo hàm liæn tục træn khoảng  0; 1  và f  x   0 , x   0; 1  .  3 1 Biết rằng f  x  thỏa mãn f    a , f    b và x  xf ‘  x   2f  x   4 , x   0; 1  . Tính 2  2   3 sin 2 x.cos x  2 sin 2x dx theo a và b . f 2  sin x   tích phân I   6 A. I  3a  b 4ab B. I  3b  a 4ab C. I  3b  a 4ab Câu 67: Cho hàm số y  f  x  cê đạo hàm liæn tục træn   f  x   f   x   sin x.cos x , với mọi x  2  D. I  3a  b 4ab thỏa mãn điều kiện và f  0   0 . Giá trị của tèch phân  2  x.f  x  dx 0 bằng Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 105 CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ A.   4 B. 1 4 C.  4 D.  Câu 68: Cho hàm số f  x  thỏa mãn f ‘  x   0 , x   1; 2  f  1  1 , f  2   A. P  f ‘  x  7 và   4  dx  . Biết x 375 1 3 2 2 22 , tính I   f  x  dx . 15 1 71 60 Câu 69: Cho 1 4 B. P  6 5 C. P  73 60 D. P   2 a   4 cos 2x  3 sin 2x  ln  cos x  2 sin x  dx  c ln 2  b , trong đê 37 30 a ,b ,c * 0 , a b là phân số tối giản. Tènh T  a  b  c . A. T  9 B. T  11 C. T  5 D. T  7 Câu 70: Cho hàm số f  x  cê đạo hàm liæn tục træn đoạn  0; 1 đồng thời thỏa mãn f   0   9 và 9f ”  x    f ‘  x   x   9 . Tính T  f  1   f  0  . 2 A. T  2  9 ln 2 C. T  B. T  9 Câu 71: Cho hàm số y  f  x  cê đạo hàm træn 1  9 ln 2 2 D. T  2  9 ln 2 thỏa mãn đồng thời 2 điều kiện: f  0   f ‘  0   1  f  x  y   f  x   f  y   3xy  x  y   1, x,y  1 Tính tích phân  f  x  1  dx . 0 A. 1 2 B.  1 4 C. 1 4 D. Câu 72: Cho hàm số y  f  x  cê đạo hàm cấp 2 liæn tục træn 7 4 thoả mãn đồng thời các f  x   0,  x  ,  điều kiện f  0   f ‘  0   1, . Mệnh đề nào sau đây đîng?  2 2 x  f  x     f   x    f  x  f   x  ,  x  . A. 1  ln f  1   1 2 B. 0  ln f  1   1 2 C. 2 a 3  ln f  1   2 2 D. 1  ln f  1   3 2 b ex ex Câu 73: Cho các số a, b  2 thỏa mãn 2  dx   dx . Khi đê, quan hệ giữa a, b là? x x 1 1 A. a  2b B. b  2a C. a  b 2 Câu 74: Cho hàm số f  x  cê đạo hàm cấp hai træn rằng f  x   0, x  A. I  4 D. b  a 2 và f 2  x    x 2  2x  4  f  x  2  Biết 2 tính tích phân I   xf ”  x  dx . 0 B. I  4 106 | Chinh phục olympic toán C. I  0 D. I  8 Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN Câu 75: Trong giải tèch, I   xm  ax n  b  dx với a, b  p 0 được gọi là và m, n, p  tènh được (cî thể biểu diễn bởi các hàm như đa thức, hữu tỷ, lượng giác, logarit, …) khi một trong m1 m1 các số p, là số nguyên. Xét nguyên hàm I   ,p  n n  x adx a x5  1  6 , hỏi cê bao nhiæu số a  2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9, 10 để I cê thể tènh được? A. 5 B. 9 C. 4 D. 6 Câu 76 : Một con dæ được buộc vào điểm A træn hàng rào về phèa ngoài của khu vườn hçnh trén tâm O bán kènh 6m. Sợi dây buộc con dæ cê độ dài bằng nửa chu vi khu vườn. Hçnh bæn më tả phần cỏ bæn ngoài vườn mà con dæ cê thể ăn được. Biết rằng với hàm số f :  0;   và điểm A B thuộc  O  sao cho AOB    0 thç đoạn BC là tiếp O tuyến  O  cê độ dại f    sẽ quåt qua một phần mặt phẳng mà diện tèch được xác định bởi   f    d 2 0 B C khi  thay đổi từ 0   ( ở đây tènh cả bæn trái lẫn bæn phải) Từ cëng thức træn hay xác định diện tèch S phần cỏ mà con dæ cê thể ăn được. A. S  32  3 B. S  18 3 f x Câu 77: Cho hàm số  1 0 xf  x   x 2  f 2  x   dx  A. 3 10 C. S  30  3 0; 1 liæn tục træn đoạn 2 Giá trị nhỏ nhất của tèch phân 5 B. D. S  28 3 16 45 C. 2 5  1 0 thỏa mãn điều kiện  2 1 2   x  f  x   dx bằng? 2   7 D. 20 Câu 78: Cho hàm số f  x  cê đạo hàm træn  1; 3 và f  1   0, max f  x   10. Giá trị nhỏ 1;3 nhất của tèch phân 3  f ‘  x  2 dx bằng? 1 A. 1. B. 5. C. 10. D. 20. Câu 79: Cho hàm số f  x  cê đạo hàm liæn tục træn  0; 1 , thỏa f ‘  x   f  x   0, x  0; 1. 1 Giá trị lớn nhất của biểu thức f  0  . 0 A. 1. B. e1 . e Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học 1 dx bằng? f  x C. e1 . e D. e  1. Chinh phục olympic toán | 107 CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ Câu 80: Cho hàm số f  x  nhận giá trị khëng âm và liæn tục træn đoạn  0; 1 . Đặt hàm số x2 g  x   1   f  t  dt . Biết rằng g  x   2xf  x 2  với mọi x   0; 1 , tích phân 0 1  g  x  dx có giá 0 trị lớn nhất bằng? A. 1. B. e  1. C. 2. D. e  1. Câu 81: Cho hàm số f  x  nhận giá trị khëng âm và liæn tục træn đoạn  0; 1 , thỏa mãn x điều kiện f  x   2018  2  f  t  dt với mọi x   0; 1 . Biết giá trị lớn nhất của tèch phân 0 1  f  x  dx cê dạng ae 2  b với a, b  . Tính a  b. 0 A. 0. B. 1009. C. 2018. D. 2020. Câu 82: Cho hàm số f  x  dương và liæn tục træn  1; 3 , thỏa max f  x   2, min f  x   1;3 1;3 3 3 3 1 dx đạt giá trị lớn nhất, khi đê hãy tènh I   f  x  dx. f x 1 1   biểu thức S   f  x  dx. 1 A. 1 và 2 3 . 5 B. 7 . 5 C. 7 . 2 Câu 83: Cho hàm số f  x  liæn tục træn đoạn 0; 1 5 . 2 D. thỏa mãn với mọi x, y,  ,  và 1  x  y  2  2  2  0 ta có .f  x   .f  y        f  . Biết f 0  0,    0 f  x  dx  2 . Giá trị nhỏ     nhất của tèch phân 1  f  x  dx A. 8 0 bằng B. 4 D. 2 C. 2 2 Câu 84: Cho hàm số f  x  dương liæn tục  0;   thỏa mãn đồng thời điều kiện f  x   2018  2  f  t  dt, x  0;  f  x  dx  1009  e 2  1  .Tính tích phân x 1 0 0 A. 2018  e  1  B. 1009  e  1  C. 2018  e  2   1 0 f  x dx ? ex D. 1009  e  1  Câu 85: Cho hàm số f  x  cê đạo hàm khác 0 và liæn tục đến cấp hai træn đoạn  1; 2  . Biết ln 2f ‘ 1   f 1   1, f ‘ x   1 1 2 ln 2 3 C. log 2 5  2 ln 2 A. log 2 5  3 f ‘  x   xf ”  x  2 f  x  1 2 ln 2 2 , x  1; 2  . Tính tích phân I   xf  x  dx ? 1 3 2 4 ln 2 3 D. 2 log 2 5  1 2 ln 2 B. 3 log 2 5  Câu 86: Cho hàm số f  x  liæn tục træn đoạn  1; 4  thỏa mãn f  1   1, f  4   8 và đồng thời  f ‘  x   2 x 3  f  x   9 x 3  x  3x, x  1; 4  . Tích phân 108 | Chinh phục olympic toán 4  f  x  dx bằng 1 Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN B.  A. 7 89 6 C.  79 6 D. 8 Câu 87: Cho hàm số f  x  cê đạo hàm liæn tục træn đoạn  1; 2  thỏa mãn đồng thời 2 điều kiện 2  f  2     f  1    63; 2  f  x    x 2  f ‘  x    27x 2 , x  1; 2  . Tènh giá trị của tèch phân  f  x  2 2 2 2 2 2 dx 1 A. 15 B. 18 C. 21 D. 25 Câu 88: Cho hàm số f  x  cê đạo hàm dương liæn tục træn đoạn  1; 3 thỏa mãn điều kiện  f ‘  x   27 dx  ; f  1   2 2 , f  3   4 . Tích phân f x 4 3  3 1 A. B. 6 5 2 6 2 C.  f  x 3 x2 1 dx bằng D. 3 2 5 2 Câu 89: Cho hàm số f  x  cê đạo hàm liæn tục træn đoạn  0; 1 thỏa mãn e.f  1   4f  0   4 và đồng thời A. 4  e  1 e   1 1 2 2 8 e 2x  f ‘  x     f  x   dx  4  e x .f  x  dx  . Tính tích phân  f  x  dx ? 0 0 0 3 3  e  1 2 e  2 5 e  2 B. C. D. e e e 1  Câu 90: Cho hàm số f  x  cê đạo hàm liæn tục træn đoạn  0; 1 thỏa mãn đồng thời các điều 1 1 1 1 1  f  x   1 3 ;   x  1  f ‘  x  dx   ;   dx  kiện f  0   . Tính tích phân 0 f  x  dx ? 16 0 8 0 f ‘  x  2 64   1 1 1 1 A. B. C. D. 24 32 8 4 3 thỏa f  0   0, f  x   f  y   sin x  sin y với Câu 91: Cho hàm số f  x  liæn tục træn đoạn mọi x, y  A. . Giá trị lớn nhất của tèch phân  1 4 B.  8   f  x  2 0 C.   f  x  dx bằng 2 3 8 D. 1   4 Câu 92: Cho hàm số f  x  cê đạo hàm cấp hai træn  0;   thỏa mãn đồng thời các điều f  0   1; f ‘  0   0; f ”  x   5f ‘  x   6f  x   0, x  0;   ;  kiện 0 của tích phân A. ln 2 15 4  ln 2 0 f  x  dx  1 . Tính giá trị 6 f 2  x  dx . B. 35 17 C. 27 20 D. 24 7 Câu 93: Cho hàm số f  x  liæn tục và cê đạo hàm đến cấp 2 trên  0; 2  thỏa mãn điều kiện f  0   2f  1   f  2   1 . Giá trị nhỏ nhất của tèch phân A. 2 B. 3 Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học C. 4  2 0  f ”  x   dx bằng 2 D. 5 Chinh phục olympic toán | 109 CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ Câu 94: Cho tích phân I   11 7   x  7  11  x dx , gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của I. Tènh S  M  m ? C. 6 3  54 D. 6 3  36 B. 36 2  108 1 dx Câu 95: Cho tích phân I   , biết rằng tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất 0 4  x2  x3 A. 54 2  108 1 c c của I được viết dưới dạng a   , trong đê a, b, c, d là các số nguyæn dương và là  b d  d   phân số tối giản. Tènh S  a  b  c  d ? A. 14 B. 15 C. 16 1 2 Câu 96: Cho tích phân I   0 dx 1x nhất của I được viết dưới dạng 2n ,n * D. 17 , biết rằng tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ a c a c  , trong đê a, b, c, d là các số nguyæn dương và , b d b d là phân số tối giản. Tènh S  a  b  c  d ? A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 e  x sin x dx , biết rằng giá trị lớn nhất của I được viết dưới 1 x2  1 a a dạng , với a, b là các số nguyæn dương và tối giản. Tènh tổng S  a  b be b Câu 97: Cho tích phân I   A. 13 3 B. 14 C. 14 D. 15 Câu 98: Cho hàm số f  x  cê đạo hàm liæn tục træn đoạn  0; 1 thỏa mãn f  1   1, f  x   0 và đồng thời f  x  ln f  x   xf ‘  x  f  x   1 , x  0; 1 . Tính tích phân A. e1 3 B. e6 6 C. 4 1  f  x  dx . 0 D. 1 Câu 99: Cho hàm số f  x  cê đạo hàm liæn tục træn đoạn  0; 1 thỏa mãn điều kiện f  2018x  2017   2018f  x  , x  thời A. B. 3x 3 f  x   f ‘  x    xf ‘  x   x 2 2 7 7 1 3  f  x  0 2 dx ? C. 2 7  f  1  3 D.  f ‘  x   x, x   1; 2  . Tính giá trị của f  2  ? B. 110 | Chinh phục olympic toán 2 5  f  1  3 1 2 8  f  1  3 7 Câu 100: Cho hàm số f  x  cê đạo hàm liæn tục træn đoạn  1; 2  thỏa mãn f  1   và đồng 3 A. 2 4  f  1   3 . Tính tích phân 7 7 1 3 C. 2 7 1 3 D. 2 7 1 3 Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN Câu 101: Cho hàm số f  x  liên tục træn  0; 1 , hàm số f ‘  x  liæn tục træn đoạn  0; 1 và f  1   f  0   2 . Biết rằng 0  f ‘  x   2 2x , x  0; 1 . Khi đê, giá trị của tèch phân 1   f ‘ x 2 dx thuộc khoảng nào sau đây. 0  13 14  B.  ;   3 3  A.  2; 4  Câu 102: Cho hàm số f  x  liæn tục træn 2 f  x  .  4  f ‘  x    f  x  .f ”  x    e x , x    3  10 13  C.  ;   3 3  , cê đạo hàm đến cấp hai træn , biết f  0   0 . Khi đê B.  f  x  dx bằng? 5 1 355ln 2   31   5 2  355ln 2   D. 5  31   2    1 25ln 2 2 31   5ln 2   5 2  Câu 103: Cho hàm số f  x  liên tục træn un  5ln 2 và thỏa mãn 0   25ln 2 2 A. 5  31   5ln 2  2   C. D.  1; 3  và 2  f  x  dx  1 . Tènh giới hạn của dãy số: 1  4n  3   1 n  n3  n  n6  n f  f  f  f  1      …   n  n3  n  n6  n  4n  3  n   B. A. 2 2 3 D. C. 1 4 3 Câu 104: Cho hàm số f  x  và g  x  thỏa mãn f ‘  1   g  1   1; f  2  .g  2   f  1  và đồng thời 2 1   1  f ‘  x  g ‘  x   g  x  f ”  x   f ‘  x   , x  0 . Tính tích phân I   f  x  g ‘  x  dx ? 1 x   3 1 3 1 3 1 3 1 A.  ln 2 B.   ln 2 C.  ln 2 D.   ln 2 4 2 4 2 4 2 4 2 Câu 105: Cho hàm số y  f  x  cê đạo hàm  0; 1 thỏa mãn f  0   f  1   0 và đồng thời điều kiện A. 1 2 1  f ‘  x  dx  1 . Tçm giá trị lớn nhất của f  x  0 B. 1 3 Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học C. 1 4 trên  0; 1 ? D. 1 Chinh phục olympic toán | 111 CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Gọi S là tập hợp tất cả các số nguyæn dương k thỏa mãn bất phương trçnh 2 kx  e dx  1 2018.ek  2018 . Số phần tử của tập hợp S bằng. k A. 7 B. 8 C. Vë số. D. 6 Lời giải 2 2 e 2k  ek  1 kx  Ta có:  e dx   e   k k 1 1 kx 2 2018.e k  2018 e 2k  e k 2018.e k  2018   1 e dx  k k k kx  e k  e k  1   2018  e k  1   k  0    e k  1  e k  2018   0  1  e k  2018  0  k  ln 2018  7.6 Do k nguyæn dương næn ta chọn được k  S (với S  1; 2; 3; 4; 5; 6;7 ). Suy ra số phần tử của S là 7 . Chọn ï A. Câu 2: Cho hàm số y  f  x  cê đạo hàm træn  1;   thỏa mãn f  1   1 và f ‘  x   3x 2  2x  5 trên  1;   . Tçm số nguyæn dương lớn nhất m sao cho min f  x   m x 3;10  với mọi hàm số y  f  x  thỏa điều kiện đề bài. A. m  15 B. m  20 C. m  25 D. m  30 Lời giải Ta có: f ‘  x   3x  2x  5 trên  1;   2 Do 3x 2  2x  5  0 , x   1;   nên f   x   0 , x   1;   . Do đê hàm số f  x  đồng biến træn  1;   . Suy ra min f  x   f  3  . x 3;10  Ta lại có: 3 3 1 1 2  f ‘  x  dx    3x  2x  5  dx  f  x  1   x 3  x 2  5x   f  3   f  1   24  f  3   25 3 3 1 Vậy min f  x   25 . Hay m  25 . x 3;10  Chọn ï C. Câu 3: Biết 2    1  3 x a 1 1 1  a tối giản và  2 3 8  11  dx  3 c , với a, b, c nguyæn dương, 2 b x x x  b c  a . Tính S  a  b  c ? A. S  51 B. S  67 C. S  39 D. S  75 Lời giải 112 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN 2  1  2  1 1 1  3 3 Ta có   x  2  2 8  11  dx   3 x  2  1  3  dx .   x  x  x x x  1 1 2 Đặt t  3 x  1 1 2    t 3  x  2  3t 2 dt   1  3  dx . 2 x x x    1 1 1  Khi đê   3 x  2  2 3 8  11  dx   x x x  1 2 3 7 4  0 3 3t 3dt  t 4 4 3 7 4  0 21 3 14 . 32 Chọn ï B. Câu 4: Cho hàm số f  x  liæn tục và cê đạo hàm tại mọi x   0;   đồng thời thỏa mãn 3 2 các điều kiện f  x   x  sin x  f ‘  x    cos x và  f  x  sin xdx  4. Khi đê giá trị của f     2 nằm trong khoảng nào? A.  6;7  B.  5; 6  C.  12; 13  D.  11; 12  Lời giải Ta có: f  x   x  sin x  f ‘  x    cos x  f  x   xf ‘  x  sin x cos x   2 x2 x x f x 1  f  x    1    cos x  c  f  x   cos x  cx    cos x   x x   x  x Khi đê:  3 2 3 2  2  2  f  x  sin xdx  4    cos x  cx  sin xdx  4 3 2 3 2  2  2  cos x sin xdx  c  x sin xdx  4  0  c  2   4  c  2  f  x   cos x  2x  f     2   1   5; 6  . Chọn ï B. 1 1  a 2 ln 2  bc ln 3  c  Câu 5: Cho  x ln  x  2   với a , b , c  dx  x  2  4  0 A. T  13 B. T  15 C. T  17 . Tính T  a  b  c . D. T  11 Lời giải 1  du   u  ln  x  2   x2 Đặt  .  2 dv  xdx v  x  4  2 Khi đê tèch phân ban đầu trở thành Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 113 CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ 1 1 1 1 1  x2  4 x2 x  x ln x  2  dx  ln  x  2    dx   dx   0   x2 2 2 x2 0 0 0 1 1  3 1  x2  ln 3  2 ln 2    2x    x  2 ln  x  2   0 2 2 2 0  3 3 14 ln 3  16 ln 2  7 . ln 3  2 ln 2   1  2  ln 3  ln 2   2 4 4 a  4  Suy ra:  b  2 . Vậy T  a  b  c  13 . c  7  Chọn ï A. Câu 6: Cho hàm số f  x  thỏa mãn f ‘  x  .  f  x   phương trçnh f  x    2018  x.e x với mọi x  và f  1   1 . Hỏi 1 cê bao nhiæu nghiệm? e A. 0 B. 1 C. 3 D. 2 Lời giải Ta có:  f ‘  x  .  f  x    2018 dx   x.e x dx    f  x   2018 df  x    x  1  .e x  C 2019 2019 1 .  f  x     x  1  .e x  C   f  x   2019  x  1  .e x  2019C . 2019 Do f  1   1 nên 2019C  1 hay  f  x    2019  x  1  .e x  1 . 2019 1 1 1 Ta có: f  x      f  x     2019  2019  x  1  .e x  1  2019  0 . e e e 1 Xåt hàm số g  x   2019  x  1  .e x  1  2019 trên . e 1  x g ‘  x   2019x.e ;g ‘  x   0  x  0;g  0   2019  1  e 2019  0 Ta có   lim g  x    ; lim g  x   1  1  0 x   x e 2019 2019 Bảng biến thiæn của hàm số: x   0 g ‘ x  0   g x 1e 2019 g 0 Do đê phương trçnh f  x    1 cê đîng 2 nghiệm. e Chọn ï D. 114 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN Câu 7: Cê bao nhiæu giá trị của tham số m nằm trong khoảng  0; 6  thỏa mãn phương trình m sin x 1  5  4 cos x dx  2 ? 0 A. 6 B. 12 C. 8 D. 4 Lời giải Biến đổi giả thiết ta cê m m 1 sin x 1  dx    d  cos x  2 0 5  4 cos x 5  4 cos x 0 m 1 1 1   d  5  4 cos x    ln 5  4 cos x 4 0 5  4 cos x 4 Mà 5  4 cos x  5  4  0  1 1   ln  5  4 cos x  2 4  ln  cos m  m 0 m 0 1 5  4 cos m   ln 4 9 5  4 cos m 5  4 cos m  2   e 2 9 9 9e 2  5 9e 2  5  m   arccos  k2   k  4 4   k  0 9e 2  5   k2    0; 6    k  1 arccos 4  k  2 Theo đề bài m   0; 6     k  1  2   arccos 9e  5  k2   0; 6   k  2     4 k  3  Với mỗi giá trị k trong hai trường hợp træn ta được một giá trị m thỏa mãn. Vậy cê 6 giá trị của m thỏa mãn bài toán. Chọn ï A. Câu 8: Cho hàm số f  x  liên tục trên và thỏa mãn Nguyên hàm của hàm số f  2x  trên tập  A. x3 C 2  x2  4  B.  f  x1 x1  dx  2  x1 3 x5  C. là: x3 C x2  4 2x  3 C 4  x2  1 C. D. 2x  3 C 8  x2  1 Lời giải Theo giả thiết ta cê :  f  x1 x1  dx  2  x1 3 x5 Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học  C  2 f    x1 d  x1  2   x1 3 x1  2  C . 4 Chinh phục olympic toán | 115 CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ 2  t  3 t3 C  C   f  t  dt  2  . 2 t 4 t 4 2 1 1  2x  3 C  2x  3 C    Suy ra  f  2x  dx   f  2x  d  2x    2 2   2x 2  4 2  8x 2  8 4 Hay 2  f  t  dt  Chọn ï D. Câu 9: Cho số hữu tỷ dương m thỏa mãn  2m  x.cos mxdx  0 2 . Hỏi số m thuộc khoảng 2 nào trong các khoảng dưới đây? 7  A.  ; 2  4   1 B.  0;   4  6 C.  1;   5 5 8 D.  ;  6 7 Lời giải du  dx u  x   Áp dụng cëng thức tèch phân từng phần, đặt  1 dv  cos mxdx  v  sin mx  m Tèch phân ban đầ trở thành:  2m  0    2m 2m  1 x 1 2m  2  1  2 .cos mx  x.cos mxdx  sin mx  sin mxdx  . 2 2  2m m m m 0  2  m 0 0 2  2  1 Theo giả thiết ta cê   m  1 . 2  2  2  m 5 8 Vì m là số hữu tỷ dương næn m  1   ;  . 6 7 Chọn ï D. Câu 10: Cho I n   tan n xdx với n  A. 9   tan x  r 1 r r B. C 9   tan x  r 1 r1 . Khi đê I 0  I 1  2  I 2  I 3  …  I 8   I 9  I 10 bằng? r1 C. C 10  r 1  tan x  r r C D. 10  r 1  tan x  r1 r1 C Lời giải Biến đổi tèch phân ban đầu ta cê tan n 1 x  1  I n   tan n  2 x.tan 2 xdx   tan n 2 x.    I n 2  C  1 dx  2 n 1  cos x    tan n 2 x.  tan x  dx  I n 2  I n  I n 2 tan n 1 x  C . n1 Khi đê I 0  I 1  2  I 2  I 3  …  I 8   I 9  I 10 =  I 10  I 8    I 9  I7   …   I 3  I 1    I 2  I 0   9 tan 9 x tan 8 x tan 2 x tan r x   ….   tan x  C   C. 9 8 2 r r 1 Chọn ï A. 116 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN và thỏa mãn điều kiện f  1   1 và Câu 11: Xåt hàm số f  x  cê đạo hàm liæn tục træn 2  f ‘ x  2 f  x  1  f  2   4 . Tính J      dx . x x2  1 A. J  1  ln 4 C. J  ln 2  B. J  4  ln 2 1 2 D. J  1  ln 4 2 Lời giải 2 2 2 2 f ‘ x f x  f ‘ x  2 f  x  1  2 1 Cách 1: Ta có J     dx  dx   dx    2 2 2    x x x x x x  1 1 1 1 1 1   u  du   2 dx Đặt   x x dv  f ‘  x  dx  v  f  x      dx .  Khi đê tèch phân ban đầu trở thành 2 2 2 2  f  x   2 f  x   1  f  x f  x 1 2 1 J    dx  .f x  dx  dx     2    2 2 2   x x x x x x x 1   1 1 1 1 2   dx  2 1 1 1   f  2   f  1    2 ln x     ln 4 . 2 x1 2  Cách 2: Ta có 2 2  f x  f ‘ x  2 f  x  1   xf ‘  x   f  x  2 1  1 1   2 ln x  J    dx    dx     ln 4 .    2 2 2  x1 2 x x x x x   x  1 1 2 Chọn ï D. thỏa mãn f ‘  x   e x  e  x  2 , f  0   5 và Câu 12: Cho hàm số f  x  xác định træn  1 f  ln   0 . Giá trị của biểu thức S  f   ln 16   f  ln 4  bằng?  4 31 9 5 A. S  B. S  C. S  2 2 2 D. f  0  .f  2   1 Lời giải Ta có f ‘  x   e x  e  x  2  ex  1 ex x   x2 2 2e  2e  C1  Do đê f  x    x x 2e  2  2e 2  C 2  x   2 e  e  x x e  2  e 2  x 2 khi x  0 khi x  0 . khi x  0 . khi x  0 Theo giả thiết ta cê: f  0   5 nên 2e  2e  C 1  5  C 1  1  f  ln 4   2e 0 Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học 0 ln 4 2  2e  ln 4 2 1  6 Chinh phục olympic toán | 117 CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ  1 Tương tự ta có f  ln   0 nên 2e  4  f   ln 16   2e    ln 16  2  2e Vậy S  f   ln 16   f  ln 4     ln 16  2   1 ln   4 2  2e 5    1 ln   4 2  C2  0  C2  5 7 2 5 . 2 Câu 13: Cho hàm số y  f  x  liæn tục træn đoạn và thoả mãn điều kiện 1 x3 f  x   8x 3 f  x 4   0; 1 x2  1  0 . Tích phân I   f  x  dx cê kết quả dạng 0 ab 2 , a, b, c  , c a b , tối giản. Tènh a  b  c . c c A. 6 B. 4 C. 4 D. 10 Lời giải Biến đổi giả thiết ta cê: f  x   8x 3 f  x 4   x3  0  f  x   8x 3 f  x 4   x2  1 1 1 1 0 0 0 x3 I   f  x  dx   8x 3 f  x 4  dx   1 1 Xét tích phân  8x f  x  dx   2f  x  d  x  3 4 0 Xét tích phân  4 0 1 x3  x2  1 0 4 x2  1 x3 x2  1 . dx  1  1   2  f  x  dx  2I 0 dx . Đặt t  x 2  1  t 2  x 2  1  tdt  xdx . Đổi cận x  0  t  1 , x  1  t  2 . Nên 1 x3  x2  1 0 dx  2  t 2  1 tdt t 1 2  t3  2 2    t   3 3 3 1 2 2  2 2 Do đê  1  I  2I   . Nên a  2 , b  1 , c  3 .   I  3 3   Vậy a  b  c  6 . Chọn ï A. Câu 14: Tçm tất cả các giá trị dương của tham số m sao cho A. m  2 250 2 500  2 B. m  2 1000  1  m 0 xe x2  1 C. m  2 250 2 500  2 dx  2 500.e m2 1 . D. m  2 1000  1 Lời giải Ta có  m 0 xe x2  1 dx   2 m 1 1 te t dt   te t  e t  m2 1 1    m2  1  1 e m2 1 Theo giả thiết ta cê 118 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN  m 0 xe x2  1 dx  2 500.e m2 1  2 500.e m2 1    m2  1  1 e m2 1  2 500  m 2  1  1  m 2  1   2 500  1   m 2  2 1000  2 501  2 500  2 500  2   m  2 250 2 500  2 . 2 Chọn ï C. Câu 15: Cho hàm số f  x  liæn tục træn  0; 1 thỏa mãn điều kiện f  x   6x 2 f  x 3   Tính tích phân 6 . 3x  1 1  f  x  dx .. 0 A. 2 B. 4 C. 1 D. 6 Lời giải Biến đổi giả thiết ta cê: 1 1 1 6 6 f  x   6x f  x   dx   f  x  dx   6x 2 f  x 3  dx   3x  1 3x  1 0 0 0 2 3 Đặt t  x 3  dt  3x 2 dx , đổi cận x  0  t  0 , x  1  t  1 . 1 1 1 Ta có:  6x 2 f  x 3  dx   2f  t  dt   2f  x  dx , 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1  0 6 dx  4 . 3x  1 Vậy  f  x  dx   2f  x  dx  4   f  x  dx  4 Chọn ï B. Câu 16: Cho hàm số f  x  và g  x  liæn tục, cê đạo hàm træn và thỏa mãn 2 f ‘  0  .f ‘  2   0 và g  x  f ‘  x   x  x  2  e x . Tènh giá trị của tèch phân I   f  x  .g ‘  x  dx ? 0 A. 4 B. e  2 C. 4 D. 2  e Lời giải Ta có g  x  f ‘  x   x  x  2  e  g  0   g  2   0 (vì f ‘  0  .f ‘  2   0 ) x Khi đê tèch phân cần tènh trở thành: 2 2 I   f  x  .g ‘  x  dx   f  x  dg  x  0 0 2 2 0 0   f  x  .g  x     g  x  .f ‘  x  dx     x2  2x  e xdx  4 . 2 0 Chọn ï C. Câu 17: Cho 1  0 A. P  1 x 2  x  ex x  e x dx  a.e  b ln  e  c  với a , b , c  B. P  1 C. P  0 . Tính P  a  2b  c ? D. P  2 Lời giải Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 119 CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ 1 Ta có I   x 0 2  x  ex x  e x 1 dx    x  1 ex xe x dx . 0 xe x  1 Đặt t  xe x  1  dt   1  x  e xdx . Đổi cận: x  0  t  1 ; x  1  t  e  1 . Khi đê: I  e1  1 t1 dt  t e1  1 e1 1   e  ln  e  1  .  t  ln t 1  dt     1 t  Suy ra: a  1 , b  1 , c  1 . Vậy P  a  2b  c  2 . Chọn ï D. Câu 18: Biết F  x  là nguyæn hàm của hàm số f  x   x cos x  sin x . Hỏi đồ thị của hàm số x2 y  F  x  cê bao nhiæu điểm cực trị trong khoảng  0; 2018  ? A. P  1 B. P  1 C. P  0 D. P  2 Lời giải Ta có F’  x   f  x   x cos x  sin x  F’  x   0  x cos x  sin x  0 ,  x  0   1  x2 Ta thấy cos x  0 khëng phải là nghiệm của phương trçnh næn  1   x  tan x  2    Xét g  x   x  tan x trên  0; 2018  k |k   2 g ‘ x  1      . Ta có:  1     tan 2 x  0, x   0; 2018  k |k  2 cos x  2   .    Xét x   0;  , ta có g  x  nghịch biến næn g  x   g  0   0 næn phương trçnh  2 x  tan x vë nghiệm.   3  Vç hàm số tan x cê chu kỳ tuần hoàn là  nên ta xét g  x   x  tan x , với x   ;  . 2 2    3   23  Do đê g  x  nghịch biến træn khoảng  ;  và g    .g     0 næn phương trçnh 2 2   16  x  tan x cê duy nhất một nghiệm x 0 .   4035  Do đê,  ;   có 2017 khoảng rời nhau cê độ dài bằng  . Suy ra phương trçnh 2 2    4035  x  tan x có 2017 nghiệm træn  ;  . 2 2    4035  Xét x   ; 2018  , ta có g  x  nghịch biến næn g  x   g  2018   2018 nên  2  phương trçnh x  tan x vë nghiệm. Vậy phương trçnh F’  x   0 có 2017 nghiệm trên  0; 2018  . Do đê đồ thị hàm số y  F  x  có 2017 điểm cực trị trong khoảng  0; 2018  . 120 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN Chọn ï C. 1 Câu 19: Biết tích phân số k để ab  k dx  lim 2  1 x  2017 x  2018 x  8 x 3  2x 2  3 1 3 0 x  2 dx  a  b ln 2  a, b  0  tçm các giá trị thực của tham A. k  0 . B. k  0 C. k  0 D. k  Lời giải Biến đổi giả thiết ta cê: 1 1 ab 9 a  3 x3  2x 2  3 3  1 3 1 3  2 0 x  2 dx 0  x  x  2  dx  3 x  3ln x  2 0  3  3ln 2  b  3  8 dx  8 dx  1 1 Mặt khác ta lại cê Mà k lim x  Vậy để ab  k dx  lim x  8 2  1 x  2017 x  2018 ab  dx  lim k 2  1 x  2017 x  2018 k  1  lim x  2  1  x  2017 x  2018  k2  1 .  1 x  2017 x  2018 x  8 2 thì 1  k 2  1  k 2  0  k  0 . Chọn ï B. 4 3 1 2x 2  4x  1 Câu 20: Giả sử a , b , c là các số nguyæn thỏa mãn  dx    au 4  bu 2  c  du , 21 2x  1 0 trong đê u  2x  1 . Tènh giá trị S  a  b  c A. S  3 B. S  0 C. S  1 D. S  2 Lời giải  udu  dx  Đặt u  2x  1  u  2x  1   u2  1 x    2 2 Khi đê tèch phân cần tènh trở thành 2  u2  1   u2  1  2  4    1 3 3 4 2  2  1 2x 2  4x  1    u.du  u 4  2u 2  1 .du dx  1  0 2x  1 u 21 Vậy S  a  b  c  1  2  1  2 . Chọn ï D. Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 121 CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ Câu 21: Cho hàm số f x  0; 4  , cê đạo hàm liæn tục træn thỏa mãn f  x   f ‘  x   e  x 2x  1 với mọi x   0; 4  . Khẳng định nào sau đây là đîng? A. e 4 f  4   f  0   26 . 3 B. e 4 f  4   f  0   3e. C. e 4 f  4   f  0   e 4  1. D. e 4 f  4   f  0   3. Lời giải Nhân hai vế cho e để thu được đạo hàm đîng, ta được x e x f  x   e x f ‘  x   2x  1  e x f  x   ‘  2x  1. Suy ra e x f  x    2x  1dx  Vậy e 4 f  4   f  0   1  2x  1 2x  1  C. 3 26 . 3 Chọn ï A. , thỏa mãn f ‘  x   2018f  x   2018x 2017 e 2018x Câu 22: Cho hàm số f  x  cê đạo hàm træn với mọi x  và f  0   2018. Tènh giá trị f  1  . A. f  1   2018e 2018 . B. f  1   2017e 2018 . C. f  1   2018e 2018 . D. f  1   2019e 2018 . Lời giải Nhân hai vế cho e 2018x f ‘ x e để thu được đạo hàm đîng, ta được 2018x  2018f  x  e 2018x  2018x 2017  f  x  e 2018x  ‘  2018x 2017 Suy ra f  x  e 2018x   2018x 2017 dx  x 2018  C. Thay x  0 vào hai vế ta được C  2018  f  x    x 2018  2018  e 2018x Vậy f  1   2019e 2018 . Chọn ï D. Câu 23: Cho hàm số f  x  cê đạo hàm và liæn tục træn , thỏa mãn f   x   xf  x   2xe  x 2 và f  0   2. Tính f  1  . 1 B. f  1   . e A. f  1   e. 2 C. f  1  . e 2 D. f  1    . e Lời giải 2 Nhân hai vế cho e x 2 để thu được đạo hàm đîng, ta được f ‘ x e 122 | Chinh phục olympic toán x2 2  f  x  xe x2 2  2xe  x2 2 x  x    e 2 f  x   ‘  2xe 2   2 2 Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN x2 2 Suy ra e f  x    2xe  x2 2 dx  2e  x2 2  C. Thay x  0 vào hai vế ta được C  0  f  x   2e  x 2 2 Vậy f  1   2e 1   . e Chọn ï D. Câu 24: Biết luën cê hai số a và b để F  x   ax  b  4a  b  0  là nguyæn hàm của hàm x4 số f  x  và thỏa mãn điều kiện 2f 2  x   F  x   1 f ‘  x  . Khẳng định nào dưới đây đîng và đầy đủ nhất? A. a  1 , b  4 4 C. a  1 , b  B. a  1 , b  1 D. a  ,b Lời giải Ta có F  x   ax  b 4a  b 2b  8a là nguyæn hàm của f  x  nên f  x   F’  x   và f ‘  x   . 2 3 x4  x  4 x  4 2  4a  b  Do đê 2f 2  x    F  x   1  f ‘  x   2  ax  b  2b  8a   1 3  x4  x  4 x  4  4a  b    ax  b  x  4    x  4  1  a   0  a  1 4 (do x  4  0 ) Với a  1 mà 4a  b  0 nên b  4 . Vậy a  1 , b  4 . Chọn ï C. m Câu 25: Cho I    2x  1 e 2xdx . Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để I  m là 0 khoảng  a; b  . Tính P  a  3b . A. P  3 B. P  2 C. P  1 D. P  0 Lời giải du  2dx u  2x  1   Áp dụng phương pháp tènh tèch phân từng phần đặt  e2 x 2x dv  e dx v     2 Khi đê tèch phân cần tènh trở thành: m I    2x  1  e 2x  2x  1  e 2 x dx  2 0 m m   e 2 xdx 0 0 m 2m  1 e 2m 1 1 2x     e  mem  e 2m  1 2 Theo giả thiết ta cê I  m  me 2m 2 e 2m 2 0  1  m   m  1   e 2m  1   0  0  m  1 . Suy ra a  0, b  1  a  3b  3 . Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 123 CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ Chọn ï A. 9 4 3 Câu 26: Giá trị I   x 2 sin  x 3  e   cos x 3 dx gần bằng số nào nhất trong các số sau đây? 1 3 6 A. 0, 046 B. 0, 036 C. 0, 037 D. 0, 038 Lời giải Đặt u  cos  x 3   du  3x 2 sin  x 3  dx  x 2 sin  x 3  dx    Khi x   Khi x  1 Khi đê I   3 3 3 1 du . 3 1 3 thì u  . 2 6 9 2 thì u  . 2 4 2 2 3 2 1  e d u  3 3 1 u  e d u  3 e 2 2 2 u 3 2 u 2 2 1   e 3  3 2 e 2 2    0, 037 .  Chọn ï C. Câu 27: Biết 4 2x  1dx 5  a  b ln 2  c ln  a, b, c  3 2x  1  3  2x  3 0 A. T  4 B. T  2  . Tính T  2a  b  c . C. T  1 D. T  3 Lời giải Biến đổi tèch phân cần tènh ta được: 4 4 2x  1dx I  0 2x  3 2x  1  3 0     2x  1  1 4 2  2x  1  1  0   2x  1  2  2x  1  2 dx 2x  1dx 2x  1  1 4  0   2x  1  2 4 2dx 2x  1  2    0  dx 2x  1  1  . Đặt u  2x  1  udu  dx . Với x  0  u  1 , với x  4  u  3 . .3 .3 .3 .3 2udu udu 4  1    Suy ra I     2   du    1  du u2 1 u1 1 u2 u1 1 1 3 5   u  4 ln u  2  ln u  1   2  4 ln  ln 2 1 3  a  2 , b  1 , c  1  T  2.1  1  4  1 . Chọn ï C. 124 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN 1 e  nx dx với n  x 1  e 0 Câu 28: Cho tích phân I n   . Đặt u n  1.  I 1  I 2   2  I 2  I 3   3  I 3  I 4   …  n  I n  I n 1   n . Biết lim u n  L . Mệnh đề nào sau đây là đîng? A. L   1; 0  B. L   2; 1  C. L   0; 1  D. L   1; 2  Lời giải Với n  , biến đổi giả thiết ta cê e  e  nx .e  x e  nx  nx dx  dx  e dx  dx   e  nxdx  I n x x x    1e 1e 1e 0 0 0 0 0 1 I n 1    n 1 x 1 1 1 1  I n 1   e  nxdx  I n  I n 1  I n  0 1 1 1  en   n Do đê u n   1  e 1    1  e 2    1  e 3   …   1  e  n   n  u n  e 1  e 2  e 3  …  e  n Ta thấy u n là tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân líi vë hạn với u 1  e 1 và q  1 , e e 1 1  L   1; 0  . nên lim u n  L 1 e1 1 e Chọn ï A. Câu 29: Cê bao nhiæu giá trị nguyæn dương n thỏa mãn tích phân 2  1  n 2  2x  3x 2  4x 3  …  nx n 1  dx  2 0 A. 1 B. 2 C. 0 D. 3 Lời giải Biến đổi giả thiết ta cê: 2  1  n 2  2x  3x 2  4x 3  …  nx n 1  dx  2   x  n 2 x  x 2  x 3  x 4  …  x n   2 2 0 0  2  2n 2  2 2  2 3  2 4  …  2 n  2  1  2  2 2  …  2 n 1  n 2  1  2n  1  n2  1  2n  n2  2  0 . Thử với các giá trị n  1; 2; 3; 4 đều khëng thỏa mãn. Với n  , n  5 ta chứng minh 2 n  n 2  2  1  . Dễ thấy n  5 thì  1  đîng. Giả sử  1  đîng với n  k với k  , k  5 . Khi đê 2 k  k 2  2 . Khi đê: 2 k  1  2  k 2  2   k 2  k 2  2  2  k 2  2k  1  2   k  1   2 . 2 Do đê  1  đîng với n  k  1 . Theo nguyæn lï quy nạp thç  1  đîng. Vậy khëng tồn tại số nguyæn n . Chọn ï C. Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 125 CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ Câu 30: Cho hàm số f  x  liæn tục træn thỏa mãn đồng thời 2 tèch phân 1  f  2x  dx  2 0 và 2 2 0 2  f  6x  dx  14 . Tính tích phân  f  5 x  2  dx . A. 30 B. 32 C. 34 D. 36 Lời giải 1 Xét tèch phân thứ nhất  f  2x  dx  2 .  0 Đặt u  2x  du  2dx ; x  0  u  0 ; x  1  u  2 . 1 2 2 1 f  u  du   f  u  du  4 . 2 0 0 Nên 2   f  2x  dx  0 2 Xét tèch phân thứ 2  f  6x  dx  14 .  0 Đặt v  6x  dv  6dx ; x  0  v  0 ; x  2  v  12 . 12 2 12 1 Nên 14   f  6x  dx   f  v  dv   f  v  dv  84 . 60 0 0 2 0 2 2 0 Xét tèch phân cần tènh  f  5 x  2  dx   f  5 x  2  dx   f  5 x  2  dx .  2 0 1. Ta sẽ đi tính tích phân I 1   f  5 x  2  dx . 2 Đặt t  5 x  2 . Khi 2  x  0 , t  5x  2  dt  5dx ; x  2  t  12 ; x  0  t  2 .  I1  12 2 2  1 1 1  f t dt  f  t  dt    84  4   16 . f t dt       5 12 50 0  5 2 2. Tính tích phân I 1   f  5 x  2  dx . 0 Đặt t  5 x  2 . Khi 0  x  2 , t  5x  2  dt  5dx ; x  2  t  12 ; x  0  t  2 .  I2  Vậy 12 2 12  1 1 1  f t dt  f  t  dt    84  4   16 . f t dt        52 50 0  5 2  f  5 x  2  dx  32 . 2 Chọn ï B. 126 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN Câu 31: Cho hàm số f  x  liæn tục trên , cê đạo hàm cấp hai thỏa mãn x.f ”  x   e x  x và f ‘  2   2e, f  0   e 2 . Mệnh đề nào sau đây là đîng? A. f  2   4e  1. B. f  2   2e  e 2 . C. f  2   e 2  2e. D. f  2   12. Lời giải Từ giả thiết x.f ”  x   e x  x lấy tèch phân cận từ 0 đến 2 ta có  2 0 x.f ”  x  dx    e x  x  dx  1  2 0   u  x du  dx Áp dụng tèch phân từng phần ta đặt    dv  f ”  x   v  f  x  Khi đê  1   x.f ‘  x  0   2 2 0 2  x x2  f ‘  x  dx   e   2 0  2  x.f ‘  x  0  f  x  0 2 2  x2    e x     2.f ‘  2   0.f ‘  0     f  2   f  0    e 2  2  1 2 0  Mặt khác do f ‘  2   2e, f  0   e 2  f  2   4e  1 Chọn ï A. Câu 32: Cho hàm số f  x  cê đạo hàm liæn tục træn  1; 2  , đồng biến træn  1; 2  , thỏa mãn f  1  0 , 2  f ‘  x  1 A. 2 . 2 2 2 2 1 1 dx  2 và  f  x  .f ‘  x  dx  1 . Tích phân  f  x  dx bằng? B. C. 2. 2. D. 2 2. Lời giải Hàm dưới dấu tèch phân là  f ‘  x   , f  x  .f ‘  x  næn ta sẽ liæn kết với bçnh phương 2  f ‘  x   f  x   . Nhưng khi khai triển thç vướng 2 2 thi. Ta có 1   f  x  .f ‘  x  dx  f2 x 1 2 2  f 2  2   f 2  1 2 1 2  f  x  2 dx nên hướng này khëng khả 1  f2 2  0 2  f 2  2 Do đồng biến træn  1; 2  nên f  2   f  1   0 2 Từ f  1   0 và f  2   2 ta nghĩ đến  f ‘  x  dx  f  x  1  f  2   f  1   2  0  2 2 1 Hàm dưới dấu tèch phân bây giờ là  f ‘  x   , f ‘  x  næn ta sẽ liæn kết với  f ‘  x     2 2   C   2 Ta tçm được    2  f ‘  x   2  f  x   2x  C  f 1 0 2 Vậy f  x   2x  2   f  x  dx  1 2 2 Chọn ï A. Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 127 CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ Câu 33: Cho hàm số f  x  cê đạo hàm liæn tục træn 1 5  x f  x  dx  0 11 và 78 1 0; 1 , thỏa mãn f  1   1 , 4  f ‘  x  d  f  x    13 . Tính f  2  . 0 A. f  2   2. B. f  2   251 . 7 C. f  2   256 . 7 D. f  2   261 . 7 Lời giải 1 1 2 4 4 Viết lại giả thiết ban đầu  f ‘  x  d  f  x      f ‘  x   dx  13 13 0 0 1 1 1 x6 1 Díng tèch phân từng phần ta cê  x f  x  dx  f  x    x6 f ‘  x  dx 6 60 0 0 5 1 Kết hợp với giả thiết f  1   1 , ta suy ra  x6 f ‘  x  dx  0 2 13  2 4    f ‘  x   dx  13  Bây giờ giả thiết được đưa về  01 . Hàm dưới dấu tèch phân bây giờ là 2  x 6 f ‘ x dx     13 0 1 2  f ‘  x   , x6 f ‘  x  næn ta sẽ liæn kết với bçnh phương  f ‘  x   x 6  . Tương tự như bài træn 2 5 f  1  1 ta tçm được   2  f ‘  x   2×6  f  x   x7  C  C  7 7 2 5 261 Vậy f  x   x7   f  2   7 7 7 2 Chọn ï D.   Câu 34: Cho hàm số f  x  liæn tục và cê đạo hàm træn  0;  , thỏa mãn hệ thức  2 f  x   tan x.f ‘  x   x . Biết rằng cos 3 x    3f    f    a 3  b ln 3 trong đê a, b  . Tính 3 6 giá trị của biểu thức P  a  b. 4 2 A. P   . B. P   . 9 9 7 C. P  . 9 D. P  14 . 9 Lời giải Biến đổi giả thiết ta cê cos xf  x   sin xf   x    sin xf  x     Với x  x x  sin xf  x   ‘  2 cos x cos 2 x x dx  x tan x  ln cos x  C cos2 x  3   3    2 3  f    ln 2  3f     2 ln 2  2C. 3 2 3 3 3 3 128 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN  Với x   1   3 1   3  f    ln 3  ln 2  C  f     ln 3  2 ln 2  2C 6 2  6  18 2 9 6 5  4 a        5 3  3f    f     ln 3   9 P ab   9 9 3 6 b  1 Chọn ï A. Câu 35: Cho hàm số y  f  x  liæn tục træn đoạn  0; 1 và thỏa mãn af  b   bf  a   1 với 1 mọi a, b   0; 1 . Tính tích phân I   f  x  dx. 0 1 A. I  . 2 1 B. I  . 4 C. I   . 2 D. I   . 4 Lời giải   Đặt a  sin x, b  cos x với x  0;   sin x.f  cos x   cos x.f  sin x   1  2      2 sin xf  cos x  dx   2 cos xf  sin x  dx   2 dx  0 0 0   1 2 0 1  2 sin x.f cos x dx   f t dt t  cos x      f  x  dx  0 1     0 Ta có   1 1  2 cos x.f sin x dx  f t dt t  sin x  f x dx       0     0 0  1 Do đê  1   f  x  dx  0  . 4 Chọn ï D.  f  3  x  .f  x   1 Câu 36: Cho hàm số y  f  x  cê đạo hàm træn  0; 3 , thỏa mãn  với mọi f x   1     3 xf ‘  x  1 x   0; 3  và f  0   . Tính tích phân I   dx. 2 2 2 1  f 3  x .f x      0    1 3 5 A. I  . C. I  . D. I  . B. I  1. 2 2 2 Lời giải f  3  x  .f  x   1   f  3  2 Từ giả thiết  1 f  0    2 Ta có 1  f  3  x   .f 2  x  = 1  f  x    f  3  x  .f  x   1  2  xf ‘  x  2 3 3   1 x 1 dx   xd    dx  1  J Tính I     2    1  f x  1  f x 0 0 1  f x 1  f x    0  0     3 Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học 3 Chinh phục olympic toán | 129 CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ  3 0 3 3 t 3x 1 1 1 1 dx    dt   dt   dx 1  f  x 1  f 3  t 1  f 3  t 1  f 3  x 0 3 0 0 Tính J   3 3 3 1 1 3 dx   dx   dx  f  3  x  .f  x   1   3  J  1  f  x 1  f 3  x 2 0 0 0  2J   3 xf ‘  x  0 1  f  3  x   .f 2  x  Vậy I   2 dx  1 2 Chọn ï A. f  1   g  1   4  Câu 37: Cho hai hàm f  x  và g  x  cê đạo hàm træn  1; 4  , thỏa mãn g  x   xf ‘  x  với  f  x   xg ‘  x  4 mọi x   1; 4  . Tính tích phân I    f  x   g  x   dx. 1 A. I  3 ln 2. B. I  4 ln 2. C. I  6 ln 2. D. I  8 ln 2. Lời giải Biến đổi giả thiết ta cê f  x   g  x   x.f ‘  x   x.g ‘  x    f  x   x.f ‘  x     g  x   x.g   x    0   x.f  x   ‘  x.g  x   ‘  0  x.f  x   x.g  x   C  f  x   g  x   C x 4 4 4 Mà f  1   g  1   4  C  4  I   f  x   g  x   dx   dx  8 ln 2 1 1 x Chọn ï D. Câu 38: Cho hai hàm số f  x  và g  x  cê đạo hàm liæn tục træn  0; 2  , thỏa mãn 2 f ‘  0  .f ‘  2   0 và g  x  .f ‘  x   x  x  2  e . Tính tích phân I   f  x  .g ‘  x  dx. x 0 A. I  4. B. I  4. C. I  e  2. D. I  2  e. Lời giải  f ‘  0   0 Từ giả thiết f ‘  0  .f ‘  2   0    f ‘  2   0  2  2  2  ex 0 g  2   f ‘ 2   x Do đê từ g  x  .f ‘  x   x  x  2  e   x g 0  0  0  2  e  0    f ‘0  2 2 Tích phân từng phần ta được I   f  x  .g  x     g  x  .f ‘  x  dx 0 0 2 2 0 0  f  2  .g  2   f  0  .g  0    x  x  2  e xdx    x  x  2  e xdx  4. 130 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN Chọn ï B. Câu 39: Cho hàm số f  x  cê đạo hàm xác định, liæn tục træn  0; 1 , thỏa mãn f ‘  0   1 và   f ‘  x   2  f ”  x    với mọi x   0; 1 . Đặt P  f  1   f  0  , khẳng định nào sau đây đîng  f ‘  x   0 A. 2  P  1. B. 1  P  0. C. 0  P  1. D. 1  P  2. Lời giải 1 Nhận thấy P  f  1   f  0    f ‘  x  dx næn ta cần tçm f ‘  x  . 0 Biến đổi giả thiết ta cê f ”  x   f ‘  x   2 1  f ”  x   f ‘  x   2 Mà f ‘  0   1  C  1  f ‘  x    1 dx   dx   1 1  x  C  f ‘ x   f  x  xC 1 x1 1 1 dx   ln 2  0, 69 x1 0 Vậy P   f ‘  x  dx    0 Chọn ï B. Câu 40: Cho hàm số y  f  x  liæn tục trên và thỏa mãn f 3  x   f  x   x với mọi x  . 2 Tính I   f  x  dx. 0 4 B. I  . 5 4 A. I   . 5 5 C. I   . 4 5 D. I  . 4 Lời giải Đặt u  f  x  , ta thu được u  u  x. Suy ra  3u 2  1  du  dx. 3 1 x  0  u  0 5 Từ u  u  x , ta đổi cận  . Khi đê I   u  3u 2  1  du  . 4 x  2  u  1 0 3 Cách 2. Nếu bài toán cho f  x  cê đạo hàm liæn tục thç ta làm như sau: 3 f  0   f  0   0 f  0   0  Từ giả thiết f  x   f  x   x   3 f  2   f  2   2 f  2   1 3 Cũng từ giả thiết f 3  x   f  x   x , ta có f ‘  x  .f 3  x   f ‘  x  .f  x   x.f ‘  x  . Lấy tèch phân hai vế 2 2 3  f ‘  x  .f  x   f ‘  x  .f  x  dx   x.f ‘  x  dx 0  f  x  4 f  x  2     4 2   0 2 2 2  2   xf  x   f  x  dx  f  x  dx  5 0 0 0 4  0 Chọn ï D. Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 131 CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ Câu 41: Cho hàm số f  x  xác định và liæn tục træn  0; 1 , thỏa mãn f ‘  x   f ‘  1  x  với 1 mọi x   0; 1 . Biết rằng f  0   1, f  1   41. Tính tích phân I   f  x  dx. 0 B. I  21. A. I  41. C. I  41. D. I  42. Lời giải Ta có f ‘  x   f ‘  1  x   f  x   f  1  x   C  f  0   f  1   C  C  42 1 1 0 0  f  x   f  1  x   42  f  x   f  1  x   42    f  x   f  1  x   dx   42dx  42  1  1 1 0 0 Vì f ‘  x   f ‘  1  x    f  x  dx   f  1  x  dx.  2  1 1 0 0 Từ  1  và  2  , suy ra  f  x  dx   f  1  x  dx  21. Chọn ï B. Câu 42: Cho các hàm số f  x  , g  x  liæn tục træn  0; 1 , thỏa m.f  x   n.f  1  x   g  x  với m, n là số thực khác 0 và 1 1 0 0  f  x  dx   g  x  dx  1. Tính m  n. 1 B. m  n  . 2 A. m  n  0. C. m  n  1. D. m  n  2. Lời giải Từ giả thiết m.f  x   n.f  1  x   g  x  , lấy tèch phân hai vế ta được : 1 1 1 1 1 0 0 0 0 Do  f  x  dx   g  x  dx  1   m.f  x   n.f  1  x   dx   g(x)dx  m  n  f  1  x  dx  1  1 0 x  0  t  1 Xét tích phân  f  1  x  dx. Đặt t  1  x , suy ra dt  dx. Đổi cận:  x  1  t  0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 Khi đê  f  1  x  dx    f  t  dt   f  t  dt   f  x  dx  1.  2  Từ  1  và  2  , suy ra m  n  1 . Chọn ï C. Câu 43: Biết tích phân ln 8  ln 3 1 1 b dx  1  ln  a a  b với a, b  2 a e 2x  1  e x  . Tính giá trị của biểu thức P  a  b A. P  1. B. P  1. C. P  3. D. P  5. Lời giải Biến đổi tèch phân ban đầu ta được 132 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN I ln 8  ln 3  1 e 1 e 2x Xét tích phân ln 8  x dx   Xét tích phân   ln 3 e xdx  e x ln 3 ln 8 ln 8 ln 8 ln 3   e  1  e dx  2x x ln 8  e  1dx  2x ln 3 ln 8  e xdx ln 3 2 2 3 e 2x  1dx. Đặt t  e 2 x  1  t 2  e 2 x  1 ln 3  2tdt  2e 2xdx  dx  Khi đê ln 8  ln 3 tdt tdt . Đổi cận:  2 2x e t 1 3  x  ln 3  t  2   x  ln 8  t  3 3 t 2dt 1   1 t1   e  1dx   2 dt    1  2  dt   t  ln  t 1 t 1  2 t1  2 2 2x 3 2 1 3  1  ln . 2 2 a  2 1 3 Vậy I  1  ln  2 2  3   P ab  5 2 2 b  3 Chọn ï D. Câu 44: Biết 4 1 x  ex  dx  a  e b  e c với a, b, c  . Tính P  a  b  c. 2x 4x xe  1 A. P  5. B. P  4. C. P  3. D. P  3. Lời giải Biến đổi tèch phân ban đầu ta cê: 4  1 4 4 1 x e e  4x  4e  dx   2x 4x 4xe 2x xe 1 x 2x x  e  2 x  dx x dx    2e x  4 1 2 x 2 x 4 4 ex  2 x 1 1 1 1  1   dx     x  dx   x  x   1  4   1  e 1  e 4 x e  e 1 e e x  1 2e 12 x a  1  Vậy ta được b  1  P  a  b  c  4. c  4  Chọn ï B. Câu 45: Biết 2  0 A. P  1. 2 x dx  a  b 2  c với a, b, c  . Tính P  a  b  c. 2 x B. P  2. C. P  3. D. P  4. Lời giải Đặt   x  2 cos u với u  0;  . Suy ra x  4 cos 2 u  dx  4 sin 2udu.  2 Khi đê tèch phân ban đầu trở thành: Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 133 CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ u cos 2  2 cos u 2 .sin u.cos udu sin 2udu  8  u 2  2 cos u  sin 4 2  2  2 I  4  4  2  2  2  2 4 4 4 u .cos udu  8   1  cos u  .cos udu  8  cos udu  4   1  cos 2u  du 2     16  cos 2  4  2  4  8 sin u   4x  2.sin 2u   2  4 a  1     4 2  6  b  4  P  3 c  6  Chọn ý C. Câu 46: Biết  6    6 x cos x 1  x2  x dx  a  2 3 với a, b, c là các số nguyæn. Tènh giá trị của  b c biểu thức P  a  b  c. A. P  37. B. P  35. C. P  35. D. P  41. Lời giải Ta có I   6    6 Mặt khác I  x cos x 1 x  x 2  6    6 dx   6   x cos x    6  x 1  x 2  x dx   6   6   x  t 6 x cos x 1 x  x 2  6  t   6 dx    6  2I    1  t 2  t cos tdt    x  x   t  cos  t  d t  6     2  1   t   t 6 6  6   6  1  x 2  x cos xdx    6  6  1  x 2  x cos xdx. t cos t 1  t2  t dt   1  x 2  x cos xdx.  6  x  1  x 2  x cos xdx   6  6  2  x 2 cos xdx  I    x 2 cos xdx   6   6 a  2 2 3   b  36  P  a  b  c  35 Tèch phân từng phần hai lần ta được I  2   36 3 c  3  Chọn ï C. 134 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN 1  Câu 47 : Cho hàm số y  f  x  xác định và liæn tục træn  ; 2  , thỏa mãn điều kiện 2  2 f x 1 1 2 dx. f  x   f    x  2  2. Tính tích phân I   2 x x 1 x 1 2 3 A. I  . 2 5 C. I  . 2 B. I  2. D. I  3. Lời giải 1  1 1 f  2 f  2 f  1 1 t  1 t x Đặt x  , suy ra dx   2 dt. Khi đê I     .   2  dt   2  dt   2  dx 1 t t 1 t 1 1 x 1 2 1  t  2 2 2 t 1 1 1 2 2 2 2 f 2 f x  f  2 x    f  x x  x  dx  x2  2I   2 dx   2  dx   1 x2  1 dx x2  1 1 x 1 1 x 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x 1 1  1 3   dx    1  2  dx   x    3  I  2 x x  x1 2  1 1  2 2 Chọn ï A. Câu 48: Cho hàm số f  x  thỏa mãn f  x   0, x  0 , f ‘  0   0; f  0   1 và đồng thời điều kiện f ”  x  f  x   2  f ‘  x    xf 3  x   0 . Tènh giá trị của f  1  ? 2 A. 2 3 B. 3 2 C. 6 7 D. 7 6 Lời giải Biến đổi giả thiết tương đương f ‘ x d  f ‘ x   f ‘ x  d  f 2  x  f 4 x   x  f ‘ x f2 x  x 2 CC 0 2 1 x3 6 6   K  K  1  f x  3  f  1  f x 6 x 6 7 Chọn ï C. Câu 49: Có bao nhiêu hàm số y  f  x  liæn tục træn  0; 1 thỏa mãn điều kiện   f  x 1 2018 0 A. 1 dx    f  x   1 2019 0 B. 2 dx    f  x   1 0 C. 3 2020 dx D. 4 Lời giải Từ điều kiện ta suy ra   f  x    f  x   1 1 0 2018 2 dx  0   f  x   2018  f  x   1 2 0 f  x   1 Mà f  x  liæn tục træn  0; 1 nên  . Vậy cê 2 hàm thỏa mãn yæu cầu đề bài.  f  x   0 Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 135 CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ Chọn ï C. Câu 50: Cho hàm số f  x  liæn tục træn đoạn  1; 4  có f  1   1; f  4   3 ln 5  1 và thỏa mãn 2 4 f ‘ x 2 9 4 5 27 . Tính tích phân dx  ; x f ‘ x dx  9 ln      1 f  x  dx 1 x  1 10 1 2 10 5 5 5 5 A. 5 ln  6 B. 5 ln  6 C. 15 ln  6 D. 15 ln  6 2 2 2 2 4 đồng thời Lời giải Ta viết lại  4 1  xf ‘  x  dx  9 ln Từ giả thiết ta suy ra Hay  4 1 2  4 1 5 27  A 2 10 f ‘  x  dx  f  4   f  1   3ln 4 4 f ‘ x 5 5 9   f ‘  x  dx   dx  3ln  1 1 2 x1 2 10 xf ‘  x  4 5 9 x  5 9 dx  3ln     xf ‘  x  . dx  3ln  B  1 x1 2 10 x  1  2 10  2  x  5 3 dx  ln  C Ta dễ dàng tènh được     1 x  1 2 10   4  m x 2 xf ‘  x     dx  0  A  2Bm  Cm  0  m  3  1 x  1   4 3 5 Từ đê tçm được f ‘  x     f  x  dx  15 ln  6 1 x1 2 Ta xây dựng tèch phân  4 Chọn ï C.  2   2018  cos x 1 cos x  Câu 51: Cho tích phân I   ln   dx  a ln a  b ln b  1 với a,b là các số 2018  sin x   0 nguyæn dương. Giá trị của a  b bằng? A. 2015 B. 4030 C. 4037 D. 2025 Lời giải Sử dụng tènh chất b b a a  f  x  dx   f  a  b  x  dx , ta có  2  2   2018  cos x 1 cos x    2018  sin x 1sin x  I   ln   dx   ln   dx 2018  sin x    2018  cos x  0 0  2  cos x sin x  2I   ln  2018  cos x   2018  sin x   dx   2 sin x ln  2018  cos x  dx   0 0 1   ln  2018  x  dx  2019 ln 2019  2018 ln 2018  1 0 Chọn ï C. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ 136 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN 1. Tính tích phân  4 0  ln  1  tan x  dx  b  ln 2   2. Cho 2 số thực a, b   0;  thỏa mãn a  b  ;  ln  1  tan x  dx  . Tích tích 4 a 24  2 phân  b a x sin  12x  dx 8 Câu 52: Cho hàm số y  f  x  cê đạo hàm f ‘  x   0, x   0; 8 và  f  x  dx  10 . Giá trị 0 1 x f  t  dt trên  0; 8 là? x 0 5 C. B. 10 4 lớn nhất của hàm số g  x   A. 4 5 D. 8 Lời giải   f  t  dt  ‘.x  1 f  t  dt xf  x    f  t  dt h  x    Ta có g ‘  x   x x x 0 0 0 2 x2 x x2  h ‘  x   f  x   xf ‘  x   f  x   xf ‘  x   0, x  0; 8   h  x   h  0   0  g ‘ x  h  x 5  0, x   0; 8  maxg  x   g  8   2  0;8 x 4 Chọn ï C.   Câu 53: Cho hàm số y  f  x  cê đạo hàm và liæn tục træn 0;  thỏa mãn  4 thời  4 f x  4  4 0 0  cos x dx  1 và  sin x.tan x.f  x  dx  2 . Tích phân  sin x.f ‘  x  dx 0 B. A. 4 23 2 2 C. 13 2 2  f    3 đồng 4 bằng? D. 6 Lời giải   u  sin x du  cos xdx Áp dụng cëng thức tènh tèch phân từng phân ta đặt  .   dv  f x dx v  f x          4  4 0 Khi đê tèch phân cần tènh trở thành I  sin x.f  x    cos x.f  x  dx  0 3 2  I1 . 2 Biến đổi giả thiết ta cê  4  4 f x   2   sin x.tan x.f  x   dx   sin 2 x.  dx cos x  0 0   4  4  4 f x    f x     1  cos 2 x  .  dx .     dx   cos x.f  x  dx  1  I 1 . cos x  cos x  0  0  0  I 1  1  I  Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học 3 2 3 2 2 . 1  2 2 Chinh phục olympic toán | 137 CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ Chọn ï B. Câu 54: Cho hàm số f  x  liæn tục træn đoạn  1; 4  và thỏa mãn f  x    f 2 x 1 x   ln x . x 4 Tính tích phân I   f  x  dx . 3 A. I  3  2 ln 2 B. I  2 ln 2 2 2 Ta có C. I  ln 2 2 Lời giải     dx .  D. I  2 ln 2   4 f 2 x 1 4 4 f 2 x 1 ln x ln x    dx  dx .   dx f x dx     1  1 x x  x x 1 1   4 f 2 x 1 4 Xét tích phân K   x 1 3 3 t1 dx Đặt 2 x  1  t  x    dt .  K   f  t  dt   f  x  dx . 2 x 1 1 4 4 4 ln x ln 2 x Xét tích phân M   dx   ln xd  ln x    2 ln 2 2 . x 2 1 1 1 4 3 1 1 4 Do đê  f  x  dx   f  x  dx  2 ln 2   f  x  dx  2 ln 2 2 . 2 3 Chọn ï B. Câu 55: Cho hàm số y  f  x  liæn tục, luën dương træn  0; 3 và thỏa mãn điều kiện 3 3 0 0  I   f  x  dx  4 . Khi đê giá trị của tèch phân K   e A. 4  12e B. 12  4e 1 ln  f  x     4 dx là? C. 3e  14 D. 14  3e Lời giải Biến đổi tèch phân cần tènh ta cê 3  K e 0 1  ln  f  x    3  4 dx   e.e 0 ln  f  x   3 3 3 3 0 0 0 0 dx   4dx  e. f  x  dx   4dx  4e  4x  4e  12 . Vậy K  4e  12 . Chọn ï B. Câu 56: Cho a là số thực dương. Biết rằng F  x  là một nguyæn hàm của hàm số 1  1 f  x   e x  ln  ax    thỏa mãn F    0 và F  2018   e 2018 . Mệnh đề nào sau đây đîng ? x  a  1  A. a   ;1  2018  1   B. a   0;  2018  C. a   1; 2018  D. a   2018;   Lời giải 138 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN 1 ex  Xét nguyên hàm I   e x  ln  ax    dx   e x ln  ax  dx   dx  1  x x   Tính tích phân  e x ln  ax  dx : 1  u  ln  ax  du  dx ex x x Đặt     e ln  ax  dx  e ln  ax    dx x x x v  ex dv  e dx  Thay vào  1  , ta được: F  x   e x ln  ax   C .  1  a1 C  0 e F    0   Với   a  .  e .ln 1  C  0 a 2018 ln  a.2018   1 e 2018 ln  a.2018   C  e 2018 F  2018   e 2018   1  Vậy a   ;1 .  2018  Chọn ï A. Câu 57: Biết rằng F  x  là một nguyæn hàm træn của hàm số f  x   2017x x 2  1 2018 thỏa mãn F  1   0 . Tçm giá trị nhỏ nhất m của F  x  . A. m   1 2 1  2 2017 B. m  2 2018 1  2 2017 C. m  2 2018 D. m  1 2 Lời giải Xét nguyên hàm sau:  f  x  dx   2017x x 2  1 2018 2 2017  x  1  . 2 2017 dx  2018 2017 x2  1 d  x2  1   2 2017 Theo giả thiết ta cê F  1   0   Do đê F  x    1 2.  x 2  1 2017  1 2  x2  1 2017  C  F x 1 1  C  0  C  2018 2017 2.2 2 1 2 C   2018 suy ra F  x  đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi 1 2  x  1 2 2017 lớn nhất   x 2  1  nhỏ nhất  x  0 1 1 1  2 2017 Vậy m    2018  . 2 2 2 2018 Chọn ï B. Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 139 CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ 1 Câu 58: Với mỗi số nguyæn dương n ta kè hiệu I n   x 2  1  x 2  dx . Tính lim n n  0 A. 1 B. 2 C. 3 I n 1 . In D. 5 Lời giải du  dx u  x   n n 1  Xét tích phân I n   x 2  1  x 2  dx . Đặt     1  x2  . 2 n 0 dv  x  1  x  dx  v  2  n  1  1 Khi đê I n  x  1  x 2  n 1 1 n1 0 1 1 n 1 n 1 1 1  1  x 2  dx  1  x 2  dx     2  n  1 0 2  n  1 0 1  I n 1  n 1 1 1  x 2  1  x 2  dx   2 n  2 0  I n 1  1 1  1 2 n 1 2 2 n 1 1  x dx  x 1  x dx       0 2 n  2  0   I n 1  1 I I 2n  1  2  n  1  I n  I n 1   n 1   lim n 1  1 . 2 n  2 In 2n  5 n  I n Chọn ï A. 3 m  10  Câu 59: Tçm tất cả các giá trị dương của m để  x  3  x  dx  f ”   , với f  x   ln x 15 .  9  0 A. m  20 B. m  4 C. m  5 D. m  3 Lời giải Theo giả thiết ta cê f  x   ln x 15  f ‘  x   3 15 15×14 15  10  243 .  f ”  x   2  f ”     15 20 x x x  9  Tính tích phân I   x  3  x  dx . m 0   Đặt t  3  x  x  3  t , dx  dt , đổi cận 0 Do đê I    3  t  t 3 m  dt  3    3t  t 0 m x 0 3 t 0 3 3 m 1 3m  2 3t m 1 t m  2    dt  m  1 m  2 0  m  1 m  2  3 3m  2 243 3m  2 35 m  10  Ta có  x  3  x  dx  f         9   m  1 m  2  20  m  1 m  2  4.5 0 Thay lần lượt các giá trị m ở 4 đáp án, nhận giá trị m  3 . Chọn ï D. 140 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN   Câu 60: Cho hàm số f  x  liæn tục, khëng âm træn đoạn 0;  , thỏa mãn f  0   3 và  2   f  x  .f ‘  x   cos x. 1  f 2  x  , x  0;  . Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của  2   hàm số f  x  træn đoạn  ;  . 6 2 5 , M3 2 A. m  21 , M2 2. 2 B. m  C. m  5 , M  3. 2 D. m  3 , M  2 2 . Lời giải Từ giả thiết ta có f  x  .f ‘  x   cos x. 1  f 2  x   f  x  .f ‘  x  f2 x  1  cos x   f  x  .f   x  1  f2  x dx  sin x  C Đặt t  1  f 2  x   t 2  1  f 2  x   tdt  f  x  f   x  dx . Thay vào ta được  dt  sin x  C  t  sin x  C  1  f 2  x   sin x  C . Do f  0   3  C  2 . Vậy 1  f 2  x   sin x  2  f 2  x   sin 2 x  4 sin x  3    f  x   sin 2 x  4 sin x  3 , vç hàm số f  x  liæn tục, khëng âm træn đoạn 0;  .  2   1 Ta có  x    sin x  1 , xåt hàm số g  t   t 2  4t  3 cê hoành độ đỉnh t  2 loại. 6 2 2  1  21 Suy ra max g  t   g  1   8 , min g  t   g    . 1  1  2 4   ;1 ;1     2  2  21   Suy ra max f  x   f    2 2 , min f  x   g    .     6 2 2   ;   ;   6 2 6 2   Chọn ï A. Câu 61: Cho f  x  là hàm số liæn tục træn thỏa mãn đồng thời 1  f  x d x  4 , 0 3  f  x  d x  6 . Tính tích phân 0 A. I  3 1 I   f  2x  1  d x B. I  5 1 C. I  6 D. I  4 Lời giải Đặt u  2x  1  dx  1 du . Khi x  1 thì u  1 . Khi x  1 thì u  3 . 2 Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 141 CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ Nên I  0 3 3 3  1 0  1 1 f u du  f u du  f u du  f  u du  f  u  du  .               2 1 2  1 0 0  2  1  1 Xét tích phân  f  x  dx  4 . Đặt x  u  d x   du . 0 1 1 0 0 0 1 Khi x  0 thì u  0 . Khi x  1 thì u  1 . Nên 4   f  x  d x    f  u  du   f  u  du . 3 3 0 0 Ta có  f  x  dx  6   f  u  du  6 . Nên I  0 3  1 1 f  u du  f  u  du    4  6   5 .     2  1 0  2 Chọn ï B. Câu 62: Biết  x sin 2018 x a trong đê a , b là các số nguyæn dương. Tènh d x  0 sin 2018 x  cos2018 x b P  2a  b . A. P  8 B. P  10 C. P  6 D. P  12 Lời giải  2018 x sin x dx . 2018 sin x  cos x 0 Xét tích phân I   2018  Đặt x    t  d x   d t .  Khi x  0 thì t   .  Khi x   thì t  0 .    t  sin 2018    t  d t      x  sin 2018 x d x 0 sin 2018 x  cos2018 x sin 2018    t   cos2018    t   0 Ta có I       sin 2018 x x sin 2018 x sin 2018 x d x  d x   0 sin 2018 x  cos2018 x 0 sin 2018 x  cos2018 x d x  I . sin 2018 x  cos2018 x 0   Suy ra I    sin 2018 x dx . 2 0 sin 2018 x  cos2018 x  sin 2018 x dx. 2018 x  cos 2018 x  sin Xét tích phân J   2   u  d x  d u . 2   Khi x  thì u  0 . 2   Khi x   thì t   . 2     sin 2018   u  0 2 cos 2018 x 2   dx. Nên J    du   2018  x  cos 2018 x   2018    sin 0 sin 2018     u   cos   u  2 2  2   Đặt x  142 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN Vç hàm số f  x   cos 2018 x là hàm số chẵn næn: sin 2018 x  cos 2018 x  0 2 cos 2018 x cos 2018 x dx   sin 2018 x  cos2018 x 0 sin 2018 x  cos 2018 x d x  2 Từ đê ta cê:  2    sin 2018 x sin 2018 x  sin x  dx  dx I  dx   2018 2018 2018 2018 2018 2018 2  0 sin x  cos x x  cos x 2 0 sin x  cos x  sin   2   2018    2 2 sin 2018 x cos 2018 x    dx  dx 2018 2018 2018 2018 2  0 sin x  cos x sin x  cos x 0     2  2  sin x  cos x  2   dx  dx  . 2 0 sin 2018 x  cos 2018 x 20 4 2018 2018 Như vậy a  2 , b  4 . Do đê P  2a  b  2.2  4  8 . Ngoài cách làm này các bạn cê thể sử dụng các tènh chất của phần tènh tèch phân bằng phương pháp đổi cận đổi biến. Chọn ý A. Câu 63: Cho hàm số y  f  x  cê đạo hàm træn f  0   1 . Tích phân thỏa mãn 3f ‘  x  .e f 3  x   x2 1  2x  0 và f x 2 7  x.f  x  dx bằng 0 A. 2 7 3 B. 15 4 C. 45 8 D. 5 7 4 Lời giải Ta có 3f ‘  x  .e f Suy ra e f Do đê e Vậy 7  2 2x f3 x  0  3f 2  x  .f ‘  x  .e    2x.e x  1 f x 2 1  C . Mặt khác, vç f  0   1 nên C  0 . 2 1  f 3  x   x2  1  f  x   3 x2  1 .  ex x  ex x.f  x  dx  0  2  x 3 3 f 3  x   x2 1 7 3 2  x. x  1 dx  0 1 2 7  0 3 x2  1 d  x2  1  7 3 2 45 3 2  .  x  1 x  1   0 8 8 Chọn ï C. Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 143 CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ Câu 64: Cho hàm số y  f  x  liæn tục træn  thỏa mãn đồng thời điều kiện 3f  x   f  2  x   2  x  1  e x 2  2x  1 2  4 . Tính tích phân I   f  x  dx ta được kết quả là? 0 A. I  e  4 B. I  8 C. I  2 D. I  e  2 Lời giải 2 2 x  3f  x   f  2  x  dx   2  x  1 e Theo giả thuyết ta cê 0 2  2x  1 0 2 2 0 0  4  dx  *  .  2 Ta tính  f  2  x  dx    f  2  x  d  2  x    f  x  dx . Vç vậy 0 2 2 0 0  3f  x   f  2  x  dx  4  f  x  dx . Hơn nữa 2 x  2  x  1 e 2 2 dx   e x  2x  1 0 2 d  x 2  2x  1   e x  2x  1 2  2x  1 0 2 0 2  0 và  4dx  8 . 0 Chọn ï C. Câu 65: Tènh tổng T  A. 1 4121202989 C02018 C12018 C 22018 C 32018 C 2017 C 2018      2018  2018 . 3 4 5 6 2020 2021 1 1 1 B. C. D. 4121202990 4121202992 4121202991 Lời giải Xåt khai triển  1  x  2018 2018  C 02018  C 12018 x  C 22018x 2  …  C 2018 2018 x  x2  1  x  1 Ta tính I   x 2  1  x  2018 0 1 Khi đê I    1  t  t 2 0  2018 2018 2020  C 02018 x 2  C 12018 x 3  C 22018 x 4  …  C 2018  1 2018 x dx , đặt t  1  x , dt  dx , đổi cận x  0  t  1 , x  1  t  0 dt    t 1 1 2018 0  2t 2019 t 2020  t 2019 t 2020 t 2021    2  dt   2019 2020 2021   0 1 1 1 1 .    2019 1010 2021 4121202990 Lấy tèch phân hai vế của  1  ta được: 1  x 1  x 2 2018 0 1 2020 dx    C02018 x2  C12018 x3  C 22018 x 4  …  C 2018  dx 2018 x 0 1 2021   x3 x4 x5 1 2018 x   C 02018  C 12018  C 22018  …  C 2018   3 4 5 2021  0 4121202990   Vậy T  1 1 1 1 1  C 02018  C 12018  C 22018  …  C 2018 . 2018 4121202990 3 4 5 2021 C02018 C12018 C 22018 C 32018     3 4 5 6 Chọn ï B. 144 | Chinh phục olympic toán  C 2017 C 2018 1 2018 .  2018  2020 2021 4121202990 Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN Câu 66: Cho hàm số f  x  cê đạo hàm liæn tục træn khoảng  0; 1  và f  x   0 , x   0; 1  .  3 1 Biết rằng f  x  thỏa mãn f    a , f    b và x  xf ‘  x   2f  x   4 , x   0; 1  . Tính 2  2   3 sin 2 x.cos x  2 sin 2x dx theo a và b . f 2  sin x   tích phân I   6 3a  b 4ab A. I  3b  a 4ab B. I  C. I  3b  a 4ab D. I  3a  b 4ab Lời giải Theo giả thiết ta có: x  xf ‘  x   2f  x   4  x  4  2f  x   xf ‘  x   2 x 2  4x  x 2  x2  4x 2xf  x   x f ‘  x   x  4x  2xf  x   x f ‘  x   2  2   . f  x   f  x   f  x f2  x 2 2  3  3 sin x.cos x  2 sin 2x sin 2 x.cos x  4 sin x.cos x dx  dx  f 2  sin x  f 2  sin x   Tính tích phân I   2 6 6 Đặt t  sin x  dt  cos xdx , đổi cận x   1  3 . t , x t 6 2 3 2 2 Ta có I  3 2  1 2 t 2  4t t2 dt  f2 t f t 3 2 1 2 2  3 1     2  3 1 3a  b 2 .       4ab  3  1  4b 4a f  f 2    2   Chọn ï D. Câu 67: Cho hàm số y  f  x  cê đạo hàm liæn tục træn   f  x   f   x   sin x.cos x , với mọi x  2  thỏa mãn điều kiện và f  0   0 . Giá trị của tèch phân  2  x.f  x  dx 0 bằng A.   4 B. 1 4 C.  4 D.  1 4 Lời giải     Theo giả thiết, f  0   0 và f  x   f   x   sin x.cos x nên f  0   f    0  f    0 . 2  2 2  2  2 0 0  2 0  2  2 0 0 Ta có: I   x.f   x  dx   xd  f  x     xf  x     f  x  dx  I    f  x  dx . Mặt khác, ta cê: Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 145 CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ   f  x   f   x   sin x.cos x  2  Suy ra  2 0  2 0    1   f  x  dx   2 f   x  dx   2 sin x.cos xdx  0 0 2 2   0  1 1  f  x  dx   f   x  dx    2 f  x  dx  0 2 4  2 2  π 2 1 Vậy I    f  x  dx   . 4 0 f ‘  x  7 thỏa mãn f ‘  x   0 , x   1; 2  và   4  dx  . Biết x 375 1 Câu 68: Cho hàm số f  x  f  1  1 , f  2   A. P  3 2 2 22 , tính I   f  x  dx . 15 1 71 60 B. P  6 5 C. P  73 60 D. P  37 30 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:  f ‘  x    f ‘  x   x 2 x 2 3f ‘  x  x2 x2 3     3 . .  4 4 x 125 125 x 125 125 25 3 3 2 2 f ‘  x  3f ‘  x  x2 Lấy tèch phân hai vế BĐT træn ta cê:   4  dx  2  dx   dx x 125 25 1 1 1 2 3 2  f ‘  x    f ‘  x  7 3 7 .  dx  2.  f 2  f 1  dx        4 4    x 375 25 x 375 1 1 3 2 3 Kết hợp với giả thiết ta cê dấu “  ” của BĐT træn xảy ra  f ‘  x   3 x2 x6 x2 x3   f ‘ x   f ‘ x   f x  C .          x4 125 125 5 15 3 Mà f  1  1  1  1 14 x 3  14 C C   f  1  15 15 15 2 x 3  14 71 . dx  15 60 1 Ta có I   Chọn ï A. Câu 69: Cho  2 a   4 cos 2x  3 sin 2x  ln  cos x  2 sin x  dx  c ln 2  b , trong đê a ,b ,c 0 * , a b là phân số tối giản. Tènh T  a  b  c . A. T  9 B. T  11 C. T  5 D. T  7 Lời giải  2 Biến đổi giả thiết ta cê I    4 cos 2x  3 sin 2x  ln  cos x  2 sin x  dx 0 146 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN  2   2  cos x  2 sin x  2 cos x  sin x  ln  cos x  2 sin x  dx . 0 Đặt t  cos x  2 sin x  dt    sin x  2 cos x  dx . Với x  0 thì t  1 .  Với x  thì t  2 . 2   2 2 2 t2 Suy ra I   2t ln tdt   ln td  t    t .ln t    tdt  4 ln 2  1 2 1 1 1 2 2 2 2 1 3  4 ln 2  . 2 a  3  Vậy  b  2  T  a  b  c  9 . c  4  Chọn ï A. Câu 70: Cho hàm số f  x  cê đạo hàm liæn tục træn đoạn  0; 1 đồng thời thỏa mãn f   0   9 và 9f ”  x    f ‘  x   x   9 . Tính T  f  1   f  0  . 2 A. T  2  9 ln 2 C. T  B. T  9 1  9 ln 2 2 D. T  2  9 ln 2 Lời giải Ta có 9f ”  x    f ‘  x   x   9  9  f ”  x   1     f ‘  x   x    2 2 f ”  x   1  f ‘  x   x  2  1 . 9 f”  x   1 1 x 1  C. dx   dx  f  x   x 9 9  f ‘  x   x  1 9 9 Do f   0   9 nên C  suy ra f   x   x   f  x   x x1 x1 9 Lấy nguyæn hàm hai vế   2 1 1  x2  1  9  Vậy T  f  1   f  0      x  dx   9 ln x  1    9 ln 2  . 2 0 2 x1   0 Câu 71: Cho hàm số y  f  x  cê đạo hàm træn thỏa mãn đồng thời 2 điều kiện: f  0   f ‘  0   1  f  x  y   f  x   f  y   3xy  x  y   1, x,y  1 Tính tích phân  f  x  1  dx . 0 A. 1 2 B.  1 4 C. 1 4 D. 7 4 Lời giải Lấy đạo hàm 2 vế theo hàm số y ta được f ‘  x  y   f ‘  y   3x 2  6xy , x  . Cho y  0  f ‘  x   f ‘  0   3x 2  f ‘  x   1  3x 2 Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 147 CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ Vậy f  x    f ‘  x  dx  x 3  x  C mà f  0   1  C  1 suy ra f  x   x 3  x  1 . 0  x4 x2  1 1 1   f  x  1 dx   f  x  dx    x  x  1 dx     x      1  . 2 4 2 4  4  1 0 1 1 1 0 0 3 Chọn ï C. Câu 72: Cho hàm số y  f  x  cê đạo hàm cấp 2 liæn tục træn thoả mãn đồng thời các f  x   0,  x  ,  điều kiện f  0   f ‘  0   1, . Mệnh đề nào sau đây đîng?  2 2 x  f  x     f   x    f  x  f   x  ,  x  . A. 1  ln f  1   1 2 B. 0  ln f  1   1 2 3  ln f  1   2 2 C. D. 1  ln f  1   3 2 Lời giải Ta có x  f  x     f   x    f  x  f   x   2 2 f  x  f   x    f   x    f  x   2 2  f   x   f ‘  x  x2 x   x  C.  f x f x 2       Lại cê f  0   f ‘  0   1  C  1 . 1 1 1 f  x   x2  x2 7 7 dx     1  dx  ln  f  x     ln f  1   . 1   0 6 6 f x 2 f  x 2  0 0 3  1  ln  f  1    . 2 Ta có f  x   Chọn ï D. 2 a b ex ex Câu 73: Cho các số a, b  2 thỏa mãn 2  dx   dx . Khi đê, quan hệ giữa a, b là? x x 1 1 A. a  2b B. b  2a C. a  b 2 D. b  a 2 Lời giải a 2 a 2 a a2 2 ex ex ex Ta có 2  dx   2 2xdx   2 d  x 2   x x x 1 1 1 ex 2 1 x dx nên b  a Chọn ï D. Câu 74: Cho hàm số f  x  cê đạo hàm cấp hai træn rằng f  x   0, x  A. I  4 và f 2  x    x 2  2x  4  f  x  2  Biết 2 tính tích phân I   xf ”  x  dx . 0 B. I  4 C. I  0 D. I  8 Lời giải Theo giả thiết ta cê 2 2 I   xf ”  x  dx  f ‘  x  0   f ‘  x  dx  f ‘  x  0  f  x  0  f ‘  2   f ‘  0   f  2   f  0  0 148 | Chinh phục olympic toán 2 2 2 0 Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN Trong giả thiết ta thay x  0; x  2 ta có:  f 2  0   4f  2   f  0   4  f 4  0   16f 2  2   64f  0     2   f  2   4f  0  f  2   4 Đạo hàm hai vế ta cê 2f ‘  x  .f  x    2x  2  f  x  2    x 2  2x  4  f ‘  x  2    2f ‘  0   2  f ‘  2  f ‘  0   2 Lại thay x  0 và x  2, ta có   2f ‘  2   2  f ‘  0   f ‘  2   2  Kết hợp lại ta được I  2   2   4  4  4. Câu 75: Trong giải tèch, I   xm  ax n  b  dx với a, b  p 0 được gọi là và m, n, p  tènh được (cî thể biểu diễn bởi các hàm như đa thức, hữu tỷ, lượng giác, logarit, …) khi một trong các số p, m1 m1 là số nguyên. Xét nguyên hàm I   ,p  n n  x adx a x 1 5  6 , hỏi cê bao nhiæu số a  2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9, 10 để I cê thể tènh được? A. 5 B. 9 C. 4 D. 6 Lời giải 6  6 Ta viết lại nguyæn hàm đã cho thành I   xa  x 5  1  a dx nên m  a, n  5, p   . a 6 a1 6 a1 Theo đề bài ta chỉ cần cê   ,  ,   , suy ra a  2, 3, 4, 5, 6, 9 a 5 a 5 Chú ý. Đây là một bài toán về biến đổi lũy thừa, yếu tố nguyæn hàm chỉ là phụ. Cëng thức træn cê tæn là định lï Chebyshev. Câu 76 : Một con dæ được buộc vào điểm A træn hàng rào về phèa ngoài của khu vườn hçnh trén tâm O bán kènh 6m. Sợi dây buộc con dæ cê độ dài bằng nửa chu vi khu vườn. Hçnh bæn më tả phần cỏ bæn ngoài vườn mà con dæ cê thể ăn được. Biết rằng với hàm số f :  0;   và điểm B thuộc  O  sao cho AOB    0 thç đoạn BC là tiếp tuyến  O  cê độ dại f    sẽ quåt qua một phần mặt phẳng mà diện tèch được xác định bởi   f    d 2 0 A B O C khi  thay đổi từ 0   ( ở đây tènh cả bæn trái lẫn bæn phải) Từ cëng thức træn hay xác định diện tèch S phần cỏ mà con dæ cê thể ăn được. A. S  32  3 B. S  18 3 C. S  30  3 D. S  28 3 Lời giải Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 149 CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ Ta thấy khi dæ cê thể di chuyển tự do về phèa khu vườn  O  , nhưng khi di chuyển về phèa dưới thç chỉ cê một phần của dây sẽ trải træn  O  , phần dây cén lại nếu muốn đi xa nhất thç sẽ tạo thành tiếp tuyến với  O  , tức là nằm træn biæn của đường cong trong hçnh. Phần cỏ dæ ăn được là sẽ phần bæn trong đường biæn và bæn ngoài  O  . Tiếp tuyến tại A của  O  chia phần cê của dæ thành træn và dưới với diện tèch là S1 , S2 . Phần træn là nửa hçnh trén bán kènh bằng độ dài sợi dây là 6 nên S 1   2   6   183 2 Để tènh S 2 ta díng cëng thức đã cho. Độ dài cung AB là 6 nên BC  6  6  0      . Suy ra  S 2    6  6  d  12 3  S  S 1  S 2  303 2 0 Bài toán trên cî tên gọi là “grazing goat problem”, một bài toán rất thú vị của toán cao cấp. Cïng thức trên xuất phát từ tìch phân 2 lớp, tọa độ cực nằm ngoài chương trënh THPT nên đề bài đã cho sẵn dạng sơ cấp của nî để dễ áp dụng. Câu 77: Cho hàm số f  x  liæn tục træn đoạn  0; 1 thỏa mãn điều kiện  1 0 xf  x   x 2  f 2  x   dx  A. 3 10 2 Giá trị nhỏ nhất của tèch phân 5 B. 16 45 C. 2 5  2 1 2  x  f  x   dx bằng? 0  2   7 D. 20  1 Lời giải 2  1 1 2  2 A  0  x  f  x   dx 3   Để đơn giản ta coi a  f  x  khi đê với  ta có: 1 B  xf x x 2  f 2 x dx   0     2 1 1  2  A    x 2  a 2  dx; B   xa  x 2  a 2  dx  và từ đánh giá cíng bậc cê 0 0 3  5  1 a 2  3x 2   4ax  a 2  x 2   8x 4   a  x   0 2 4  9A    a 2  3x 2  dx  4  ax  x 2  a 2  dx  8  x 4dx  4B  1 2 0 Dấu “=” xảy ra khi x  f  x  , x   0; 1 . 1 1 0 0 8 16  5 5 Chọn ï B. 150 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN Câu 78: Cho hàm số f  x  cê đạo hàm træn  1; 3 và f  1   0, max f  x   10. Giá trị nhỏ 1;3 nhất của tèch phân 3  f ‘  x  2 dx bằng? 1 A. 1. B. 5. C. 10. D. 20. Lời giải Nhận thấy rằng max f  x   10  x0   1; 3 sao cho f  x 0   10 1;3 Ta có f  1   0  x 0   1; 3 sao cho f  x 0   10. Theo bất đẳng thức Holder ta có:  Mặt khác ta lại cê   x0 1 x0 1 x0    1 dx. f ‘ x dx   x  1. f ‘  x  dx    f  x     f  x   f  1    10 f ‘  x  dx 2 x0 x0 2 1 2 0 1 2 x0 2 x0 1 f ‘  x  dx 2 2 0 1 x 3 0 2 2 10 10 10    f ‘  x   dx     f ‘  x   dx   f ‘  x   dx   x0  1 x0  1 3  1 1 1 1 2 Chọn ï B. Câu 79: Cho hàm số f  x  cê đạo hàm liæn tục træn  0; 1 , thỏa f ‘  x   f  x   0, x  0; 1. 1 Giá trị lớn nhất của biểu thức f  0  . 0 B. A. 1. 1 dx bằng? f  x e1 . e C. e1 . e D. e  1. Lời giải Từ giả thiết ta có f ‘  x   f  x   0, x  0; 1  f ‘ x f  x  1, x   0; 1 . Lấy tèch phân 2 vế cận từ 0 đến t ta được f ‘ x t  f  x 0 t dx   1dx  ln f  x  0  x 0  ln f  t   ln f  0   t  f  t   f  0  e t 1 t t 0 1 1 1 e1 . dx   x dx  f x e e 0   0 Do đê f  0  . Chọn ï B. Câu 80: Cho hàm số f  x  nhận giá trị khëng âm và liæn tục træn đoạn  0; 1 . Đặt hàm số x2 g  x   1   f  t  dt . Biết rằng g  x   2xf  x 0 1 2  với mọi x  0; 1 , tích phân  g  x  dx có giá 0 trị lớn nhất bằng? A. 1. B. e  1. C. 2. D. e  1. Lời giải Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 151 CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ g  0   1 Lấy đạo hàm 2 vế của giả thiết ta có  và g  x   0, x   0; 1 . 2 g ‘  x   2xf  x  Theo giả thiết g  x   2xf  x 2   g  x   g ‘  x   g ‘ x g  x 1 Lấy tèch phân 2 vế cận từ 0 tới t ta được t g ‘ x t  g  x  dx   1dx  ln g  x  0 0 t 0 t x0  ln g  t   ln g  0   t  ln g  t   t  g  t   e t 1 1 0 0 Do đê  g  x  dx   e xdx  e  1 Chọn ï B. Câu 81: Cho hàm số f  x  nhận giá trị khëng âm và liæn tục træn đoạn  0; 1 , thỏa mãn x điều kiện f  x   2018  2  f  t  dt với mọi x   0; 1 . Biết giá trị lớn nhất của tèch phân 0 1  f  x  dx cê dạng ae 2  b với a, b  . Tính a  b. 0 A. 0. B. 1009. C. 2018. D. 2020. Lời giải x g  0   2018 Đặt g  x   2018  2  f  t  dt, lấy đạo hàm 2 vế ta có  và g  x   0, x   0; 1 g ‘  x   2f  x  0 g ‘ x g ‘ x Theo giả thiết g  x   f  x   g  x    2 2 g  x Lấy tèch phân 2 vế cận từ 0 đến t ta được t g ‘ x  g x 0 t t dx   2dx, t   0; 1  ln g  x   2x 0 t 0 0  ln g  t   ln g  0   2t  ln g  t   2t  ln 2018  g  t   2018.e 2 t 1 1 1 0 0 0 t Do đê  f  x  dx   g  x  dx  2018 e 2xdx  1009e 2x  1009e 2  1009. 0 Chọn ï A. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ 1. Cho hàm số f  x  nhận giá trị khëng âm và liæn tục træn x g  x   1   f  t  dt. Biết g  x   f  x  với mọi x   0; 1 , tích phân 0 1  0; 1 . Đặt hàm số 1 cê giá trị lớn  g  x  dx 0 nhất bằng 152 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN A. 1 . 3 1 . 2 B. C. 2 . 2 D. 1. 2. Cho hàm số f  x  nhận giá trị khëng âm và liæn tục træn đoạn  0; 1 , thỏa mãn điều kiện x f 2  x   1  3 f  t  dt  g  x  với mọi x   0; 1 , tích phân 0 A. 4 . 3 7 . 4 B. C. 1  g  x dx cê giá trị lớn nhất bằng? 0 9 . 5 D. 5 . 2 Chọn ï B. Câu 82: Cho hàm số f  x  dương và liæn tục træn  1; 3 , thỏa max f  x   2, min f  x   1;3 1;3 3 3 3 1 dx đạt giá trị lớn nhất, khi đê hãy tènh I   f  x  dx. f x 1   1 và biểu thức S   f  x  dx. 1 A. 1 2 3 . 5 B. 7 . 5 C. 7 . 2 D. 5 . 2 Lời giải 1 5 1 Từ giả thiết ta cê  f  x   2 , suy ra f  x    . f x 2 2 3 3 3 3 3 3  1  5 1 1   f  x   dx  dx  f x dx  dx  5  dx  5  f  x  dx         f x 2 f x f x       1 1 1 1 1 1  3 3   3 2 3 1 5  25 25  3 Khi đê S   f  x  dx. dx   f  x  dx. 5   f  x  dx     f  x  dx     1 f x 2 4 4  1 1 1   1 3 5 Dấu ”  ” xảy ra khi và chỉ khi  f  x  dx  . 2 1 Chọn ï D. Câu 83: Cho hàm số f  x  liæn tục træn đoạn  0; 1 thỏa mãn với mọi x, y,  ,  và 1  x  y  2     0 ta có .f  x   .f  y        f   . Biết f  0   0, 0 f  x  dx  2 . Giá trị     2 2 nhỏ nhất của tèch phân A. 8 1  f  x  dx 0 bằng B. 4 D. 2 C. 2 2 Lời giải Áp dụng tènh chất của tèch phân ta cê:  1.x  1  1  x   1  dx  f   11 2  1 1  f  x  dx   f  1  x  dx  2   f  x   f  1  x   dx  2   1  1 f  1 1 1 1 0 0 0 0 Mặt khác ta lại cê: Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 153 CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ 1 1 1 1  1   1  f    f  0   f      f  0   f    dx  2   1  x  f  0   xf    dx 0 2 2 0   2   2   1  1   1  x  .0  x. 2  1 1 x 2  2 1  x  x f  dx  2 f dx  4  0  2  0 f  x  dx  8 0 1  x  x     Vậy 1  f  x  dx  8 , dấu “=” xảy ra chẳng hạn tại f  x   16x . 0 Chọn ï A.  0;   Câu 84: Cho hàm số f  x  dương liæn tục thỏa mãn đồng thời điều kiện f  x   2018  2  f  t  dt, x  0;  f  x  dx  1009  e 2  1  .Tính tích phân x 1 0 0 A. 2018  e  1  B. 1009  e  1  C. 2018  e  2   1 0 f  x dx ? ex D. 1009  e  1  Lời giải x x 0 0 Ta có f  x   2018  2  f  t  dt  f  x   2018  2  f  t  dt  0  1  Đặt g  x   e ax   f  t  dt  b ;g ‘ x   e a f t  dt  f x   ab  x ax 0 x 0 a  2 a  2 Từ  1  ta thực hiện phåp đồng nhất ta được   ab  2018 b  1009 Suy ra g ‘  x   0, x  0  g  x  nghịch biến træn  0;   .  e 2x   f  t  dt  1009  g  x   g 0   2 f t  dt  2018  2018e x x 0 0 2x 1 Vậy f  x   2018e 2x   f  x  dx  1009e 2  1009 0 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi f  x   2018e 2x   1 0 f  x dx  2018  e  1  ex Chọn ï A. Câu 85: Cho hàm số f  x  cê đạo hàm khác 0 và liæn tục đến cấp hai træn đoạn  1; 2  . Biết ln 2f ‘  1  f  1   1, f ‘  x   1 1 2 ln 2 3 C. log 2 5  2 ln 2 A. log 2 5  3 f ‘  x   xf ”  x  2 f x 1 ln 2 2 2 , x  1; 2  . Tính tích phân I   xf  x  dx ? 1 3 2 4 ln 2 3 D. 2 log 2 5  1 2 ln 2 B. 3 log 2 5  Lời giải Biến đổi giả thiết ta cê: 154 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN f ‘ x  3 f ‘  x   xf ”  x  2 f  x 1 2 ln 2  f ‘  x  .2   ln 2 2  f x 2f ‘  x   2xf ”  x   f ‘  x   2  2x  2x f x f x  2   ln 2 ‘    C1  ‘  2 ln 2  f ‘ x  f ‘ x    Vì ln 2f ‘  1   f  1   1  C 1  0 . Khi đê ta được  f ‘  x  2   ln 2  2x  2  f x f x  ‘  2x  2     2xdx  x f x 2  C 2  f  x   log 2  x 2  C 2  Vì f  1   1  C 2  1  f  x   log 2  x 2  1  . Sử dụng tèch phân từng phần ta cê I 2 1 2 1 1 2 x3 x log 2  x  1  dx  x 2 log 2  x 2  1   dx 2 ln 2 1 x 2  1 1 2 2 2 1 1 1 x  1 1  x2 1 2  2 log 2 5    ln  x  1    x 2  dx  2 log 2 5   2 ln 2 0  x 1 2 ln 2  2 1 2 1   3  2 log 2 5  1 ln 2 Chọn ï D. Câu 86: Cho hàm số f  x  liæn tục træn đoạn  1; 4  thỏa mãn f  1   1, f  4   8 và đồng thời  f ‘  x   2 x 3  f  x   9 x 3  x  3x, x  1; 4  . Tích phân B.  A. 7 89 6 C.  79 6 4  f  x  dx bằng 1 D. 8 Lời giải Giả thiết đã cho tương đương  f ‘  x    2 f  x x3 9 1 3  x x Lấy tèch phân 2 vế træn đoạn  1; 4  ta được:  4 4  f ‘  x   dx   1 2 1 f  x 4 1 3  dx    9    dx  21  2 ln 2 1 x x  x 3 Sử dụng tèch phân từng phần ta được:  4 f  x 4  2  dx   f  x  d    a  , a sẽ được xác định sau 3 1 x   x 1 4 4 4 1 2  2  a   a  f x  a  f ‘ x dx  7a  6  2   f ‘  x  dx         1  1  x x    x 2 1 Từ đây ta cê đẳng thức:   f ‘ x 1 1 2 4 1 a dx  7a  6  2     f ‘  x  dx  21  2 ln 2 1  x 2 2 1 a 3a 2     f ‘ x    dx  2 ln 2  9a   6  21  2 ln 2 1 4 x 2  4 Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 155 CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ Ta dễ tçm được a  3 để 2 ln 2  9a  3a 2  6  21  2 ln 2 , khi đê 4 1  3, x  1; 4   f  x   2 x  3x x 79 2 x  3x dx   6 f ‘ x  Vậy  f  x  dx    4 4 1 1  Chọn ï C. Câu 87: Cho hàm số f  x  cê đạo hàm liæn tục træn đoạn  1; 2  thỏa mãn đồng thời 2 điều kiện 2  f  2     f  1    63; 2  f  x    x 2  f ‘  x    27x 2 , x  1; 2  . Tènh giá trị của tèch 2 phân 2  f  x  2 2 1 2 2 dx A. 15 B. 18 C. 21 D. 25 Lời giải Theo giả thiết ta cê 2  f  x  1 Xét tích phân I   2 1 2 2 2 2 dx    f  x   dx   x 2  f ‘  x   dx   27x 2dx  63  1  1 1 1 2 2  u   f  x   2    du  2f ‘  x  f  x   f  x   dx , đặt   v  x dv  dx 2  I  x  f  x   2 2 1 2 2 1 1  2  xf ‘  x  f  x  dx  63  2  xf ‘  x  f  x  dx Ta có: 2  1  1 f  x  2 2 2 2 dx  2  xf ‘  x  f  x  dx   x 2 f ‘  x   dx  0   f  x   xf ‘  x  dx  0 1 1 1 2 2 1  Do đê f  x   xf ‘  x   0   f  x   ‘  0  f  x   Cx x  2 Vậy 2  Cx   x 2 C 2  3C 2 x 2  27x 2  C  3    f  x   dx  21 1 2 2 Chọn ï C. Trong bài toán này ta đã sử dụng tènh chất sau của tèch phân: Nếu b  f  x  a 2 dx  0 thì ta suy ra f  x   0 Câu 88: Cho hàm số f  x  cê đạo hàm dương liæn tục træn đoạn  1; 3 thỏa mãn điều kiện  f ‘  x   27 dx  ; f  1   2 2 , f  3   4 . Tích phân f x 4 3  3 1 A. 6 5 B. 2 6 2 C.  3 1 f  x x2 3 2 dx bằng D. 5 2 Lời giải Vì f ‘  x   0, x   1; 3  f  x   f  1   2 2  0, x  1; 3  156 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN Ta có  3 f ‘ x 1 3 2 3 dx  3  f  x   2 f x 3  1 3 2  3  f 2  3  3 f 2  1  3 Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho 3 số thực dương ta cê:  f ‘  x    f ‘  x   27 27 27 f ‘  x  27 27    33  . .  . f x 8 8 f x 8 8 4 3 f x 3 3 Lấy tèch phân 2 vế træn đoạn  1; 3 ta được:   f ‘  x   3 27 27  3 f’ x      dx   27 .    dx  1  f  x  8 8  1  4 3 f  x       3  f ‘  x   3 f ‘  x  27 81  dx  27 dx     1 f x 2 4 f x 4 3  3 1 3 3  f ‘  x   f ‘ x 3 2 27 33 3 2C        f  x    x  C  f  x    x  Dấu “=” xảy ra khi  3 f x f x 8 2 3     2 2 3 Mặt khác f  1  2 2  C  3  f x  2  x  1 3  3 1 f  x x2 dx  6  5 Chọn ï A. Câu 89: Cho hàm số f  x  cê đạo hàm liæn tục træn đoạn  0; 1 thỏa mãn e.f  1   4f  0   4 A.   1 1 2 2 8 2x x . Tính tích phân e f ‘ x  f x dx  4 e .f x dx            0 f  x  dx ? 0     0 3 3  e  1 2 e  2 5 e  2 B. C. D. e e e 1 và đồng thời 4  e  1 e Lời giải   1 1 2 2 8 Xét tích phân K   e 2x  f ‘  x    f  x   dx  4  e x f  x  dx  0 0 3 Đặt u  x   e x f  x   u’  e x f  x   e x f ‘  x   e x f ‘  x   u’ u , khi đê ta được 2 2 K    u’ u   u 2  4u  dx    u’  2u.u’ 4u  dx  u  1   4, u  0   1    0  0  1 u2 Ta có  u.u’dx  0 2 1 1 1  0 1 1 15 1 1 ,  udx  xu 0   xu’dx  4   xu’dx . 0 0 2 0 8 2 Suy ra K    u’  4xu’ dx  . Đến đây ta chọn m   0  3 1 1 1   u’ 2x  m  sao cho 1 1 2 2 dx  0    u’  4xu  dx  2m  u’dx    2x  m  dx  0  0 0  0 0 8 4   6m  m 2  2m   0  m  2 3 3 Vậy ta được 2 1   u’ 2x  2  0 2 dx  0  e x f  x   e x f ‘  x   2x  2 Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 157 CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ 1 5 e  2 x2  2x  C f  0 1 x 2  2x  1   f x    f  x  dx    x x 0 e e e   e x f  x   ‘  2x  2  f  x   Chọn ï D. Câu 90: Cho hàm số f  x  cê đạo hàm liæn tục træn đoạn  0; 1 thỏa mãn đồng thời các 1 1 1 1  f  x   1 3 ;   x  1  f ‘  x  dx   ;   dx  điều kiện f  0   . Tính tích phân 2 16 0 8 0 f ‘  x  64   1 1 1 1 A. B. C. D. 24 32 8 4 3 1  f  x  dx ? 0 Lời giải Áp dụng nguyæn hàm từng phần ta cê: 1 1 1 0  x  1 f ‘  x  dx   x  1 f  x  0  30  x  1  f  x  dx   3 3 2 1 1 1 2    x  1  f  x  dx  0 8 16 Áp dụng bất đẳng thức Holder ta có: 1 3 1 1  16 0 2     3  3 2 2 2  1  f x    0 f x  2 2 x  1   f ‘  x   3 dx     dx    x  1  f ‘  x   3  dx  2  2  0  0     f ‘  x  3      f ‘  x   3        3 1  1 f  x  3 3  dx     2  0  f ‘  x         x  1 f ‘ x  dx  1 3 0 2 3 1 2  1 3  1 3 1       16  64   8  3 3 3   2 2  f ‘  x   f x     1 2   Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi   k  x  1   f ‘  x   3    1 2  3 3   k x  1     f x        f ‘  x   3   f  x   1  f x  1 1 1 3 dx    f ‘  x  dx   k  x  1  f ‘  x  dx  k   2 0 f’ x 0 64 8  f ‘  x      3 Ta có  1 0 3 Khi đê ta được  1  f ‘ x f  x  1 f  0  1 2 1 1 16  ln f  x   2 ln x  1  C  f x    f  x  dx  2 0 x1 32 16  x  1 Chọn ï B. thỏa f  0   0, f  x   f  y   sin x  sin y Câu 91: Cho hàm số f  x  liæn tục træn đoạn với mọi x, y  A.  1 4 . Giá trị lớn nhất của tèch phân B.  8   f  x  2 0 C. 3 8 2   f  x  dx bằng D. 1   4 Lời giải Theo giả thiết ta cê f  x   f  x   0  f  x   f  0   sin x  sin 0  sin x 158 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN     2 2    f  x    f  x   sin 2 x  sin x   2 f  x    f  x  dx   2  sin 2 x  sin x  dx  1  0 0 4 Dấu “=” xảy ra khi f  x    sin x . Chọn ï A. Câu 92: Cho hàm số f  x  cê đạo hàm cấp hai træn  0;   thỏa mãn đồng thời các điều ln 2 kiện f  0   1; f ‘  0   0; f ”  x   5f ‘  x   6f  x   0, x  0;   ;  0 của tích phân A.  ln 2 0 f  x  dx  1 . Tính giá trị 6 f 2  x  dx . 15 4 B. 35 17 C. 27 20 D. 24 7 Lời giải Biến đổi giả thiết ta cê f ”  x   5f ‘  x   6f  x   0  f ”  x   2f ‘  x   3 f ‘  x   2f  x    0 Đặt g  x   f ‘  x   2f  x   g ‘  x   3g  x   0 Xåt hàm số h  x   e 3xg  x   h ‘  x   3e 3xg  x   e 3xg ‘  x   e 3x  g ‘  x   3g  x    0 Suy ra h  x  đồng biến træn  0;    h  x   h  0   g  0   f ‘  0   2f  0   2  e 3xg  x   2  e 2x  f ‘  x   2f  x    2e x  0 Xåt hàm số k  x   e 2 x f  x   2e x  k ‘  x   e 2 x  f ‘  x   2f  x    2e x  0 Suy ra k  x  đồng biến træn  0;    k  x   k  0   f  0   2  3  e 2x f  x   2e x  3  f  x   3e 2x  2e 3x   ln 2 0 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi f  x   3e 2x  2e 3x   ln 2 0 f  x  dx   1 6 2 27  f  x   dx  20 Chọn ï C. Câu 93: Cho hàm số f  x  liæn tục và cê đạo hàm đến cấp 2 trên  0; 2  thỏa mãn điều kiện f  0   2f  1   f  2   1 . Giá trị nhỏ nhất của tèch phân A. 2 B. 3  2 0  f ”  x   dx bằng 2 C. 4 D. 5 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Holder ta cê 1 1 1 0 0 2  f ”  x  dx  3 x dx. f ”  x  dx  3 2 0 u  x Ta đặt  3 dv  f ”  x  dx  1 0 xf ”  x  dx 2 2 1 1 Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học 2 x.f ”  x  dx   3 f ‘1  f 0   f 1 2  f ”  x  dx  3  x  2  dx. f ”  x  dx  3 2 0 2 Sử dụng bất đẳng thức Holder một lần nữa ta được 2  1 1 2  2 1  2 2  x  2  .f ”  x  dx  2 Chinh phục olympic toán | 159 CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ  u  x  2 Ta đặt  3  dv  f ”  x  dx 2  2 1  x  2  f ”  x  dx  =3 f ‘1  f  2   f 1 2 Suy ra 2   f ”  x   dx  3  f ‘  1   f  0   f  1    3  f ‘  1   f  2   f  1  2 2 2 2 0 Theo bất đẳng thức AM – GM ta có  f  0   2f  1   f  2   3 3  f ‘  1   f  0   f  1    3  f ‘  1   f  2   f  1    3.   . 2 2 2 2 2 Chọn ï B. Câu 94: Cho tích phân I   11 7   x  7  11  x dx , gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của I. Tènh S  M  m ? A. 54 2  108 C. 6 3  54 B. 36 2  108 D. 6 3  36 Lời giải Đặt y  x  7  11  x với x   7; 11 . Ta có y  1 1  0x2 2 x  7 2 11  x Nhận thấy y’ khëng xác định tại 7; 11 , vẽ bảng biến thiæn ta cê  11  2  18dx   7 11 7  54 11 7 18  y  6  11  x  dx  108 11 x  7  11  x dx   6dx 7 x7  Chọn ï A. Câu 95: Cho tích phân I   dx 1 0 4  x2  x3 , biết rằng tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất 1 c c của I được viết dưới dạng a   , trong đê a, b, c, d là các số nguyæn dương và là  b d  d   phân số tối giản. Tènh S  a  b  c  d ? A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 Lời giải Ta có x   0; 1  0  x 3  x 2  x 2  x 3  0  4  2x 2  4  x 2  x 3  4  x 2  1 4  2x 2  1 4x x 2 3  1 1 4x 2  0 1 1 4x 2 dx   0 1 1 4x x 2 3 dx   0 I  6 Đặt x  2 sin t  dx  2 cos tdt  I   0 2 cos t  4 Đặt x  2 sin t  dx  2 cos tdt  J   0 160 | Chinh phục olympic toán 2 dt   dt  0 2 cos t 42  4  2x 2 dx J  6 4   2 sin t  1 2 sin t  2  6 2 dt  2  4 0   2 8 Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN 1  1  2 Vậy   dx  2 3 6 0 4x x 8 Chọn ï D. 1 2 dx Câu 96: Cho tích phân I   1x 0 nhất của I được viết dưới dạng 2n ,n * , biết rằng tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ a c  , trong đê a, b, c, d là các số nguyæn dương và b d a c , là phân số tối giản. Tènh S  a  b  c  d ? b d A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 Lời giải Ta có x 2n  0  1  1 1 1  x 2n 1 0 1 1   2 dx   2 1  x 2n 0 1 dx   2 1  x 2n 0 dx  1 2 Dấu “=” xảy ra khi x  0 1 1 1 1  1 Ta thấy n  *, x  0;   x 2n  x 2   2 dx   2 dx 2n 0 0  2 1x 1  x2 1 Đặt x  sin t  dx  cos tdt   2 0 1 1  x2  costdt dx   6 1  sin 2 t 0  dx   6 dt  0  6 Dấu “=” xảy ra khi x  1 Chọn ï B. e  x sin x dx , biết rằng giá trị lớn nhất của I được viết dưới 1 x2  1 a a dạng , với a, b là các số nguyæn dương và tối giản. Tènh tổng S  a  b be b Câu 97: Cho tích phân I   A. 13 3 B. 14 C. 14 Ta cê với mọi x  1; 3   x  1  e  x  Xét tích phân  1 3 Lời giải 1  e x 3 e .sin x 3 e  x sin x 1 1   dx   dx 2 2  2 2 1 1 x 1 x 1 e  x  1 e  x  1 1 e  x  1 2 dx . Đặt x  tant  dx   tan 2 t  1  dt ta được  tan t  1 dt  dx   e  x  1  e  tan t  1  3 1 Vậy I  D. 15 1 2  3  4 2 2  3  4 dt   e 12e  . 12e Chọn ï A. Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 161 CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ Câu 98: Cho hàm số f  x  cê đạo hàm liæn tục træn đoạn  0; 1 thỏa mãn f  1   1, f  x   0 và đồng thời f  x  ln f  x   xf ‘  x  f  x   1 , x  0; 1 . Tính tích phân A. e1 3 B. e6 6 C. 4 1  f  x  dx . 0 D. 1 Lời giải Biến đổi giả thiết tương đương  f  x  ln f  x   xf ‘  x   xf ‘  x  f  x   ln f  x   x f ‘ x f  x  xf ‘  x    x ln f  x   ‘  xf ‘  x   x ln f  x  0   xf ‘  x  dx  xf  x  0   f  x  dx 1 1 1 0 Vậy ta được 1 0 1  f  x  dx  f  1  1 0 Chọn ï D. Câu 99: Cho hàm số f  x  cê đạo hàm liæn tục træn đoạn  0; 1 thỏa mãn điều kiện f  2018x  2017   2018f  x  , x  A. 2 4  f  1   3 B. . Tính tích phân 2 5  f  1  3 C. 1  f  x  0 2 dx ? 2 7  f  1  3 D. 2 8  f  1  3 Lời giải Xåt biểu thức f  2018x  2017   2018f  x  . Lấy đạo hàm 2 vế ta được 2018f ‘  2018x  2017   2018f ‘  x   x  2017   2018  2018  1   x  20182  1   f ‘ Thay x bởi 2018x  2017 , ta được f ‘  x   f ‘     2018 20182       Thay đến n lần và bằng quy nạp ta chứng minh được  x  2018n  1  1   x f ‘ x  f ‘ 1   f ‘  n n 2018 2018n   2018   Khi n    f ‘  x   f ‘  1   f  x   f ‘  1  x  C  *  Thay x  1  f  1   2018f  1   f  1   0 Thay x  1   *  : f  1   f ‘  1   C  0  f ‘  1   C 1 2 2 7 Vậy f  x   f ‘  1  x  1    f  x   dx  f  1   0 3 Chọn ï C. 162 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN Câu 100: Cho hàm số f  x  cê đạo hàm liæn tục træn đoạn  1; 2  thỏa mãn f  1   đồng thời A. 3x 3 f  x   f ‘  x   x, x   1; 2  . Tính giá trị của f  2  ?  f ‘  x    xf ‘  x   x 2 2 7 7 1 3 7 7 1 3 B. 7 và 3 C. 2 7 1 3 D. 2 7 1 3 Lời giải Biến đổi giả thiết tương đương  3x 3 f  x    f ‘  x   x   f ‘  x    xf ‘  x   x 2 2  f ‘ x  3x 3 f  x    f ‘  x    x 3  x 3  3f  x   1    f ‘  x    3  f ‘ x 2 2 3f  x   1 1 3 3 dx   xdx  1 3 3f  x   1 x 1  3 1 2 3    3f  x   1 3 d  3f  x   1   1 2 3 2 2 2 2 2 1 3 3 7 7 1  .  3f  x   1 3    3f  2   1 3   3f  1   1  3  3  f  2   3 2 2 3 1 Chọn ï A. Câu 101: Cho hàm số f  x  liên tục træn  0; 1 , hàm số f ‘  x  liæn tục træn đoạn  0; 1 và f  1   f  0   2 . Biết rằng 0  f ‘  x   2 2x , x  0; 1 . Khi đê, giá trị của tèch phân 1   f ‘ x 2 dx thuộc khoảng nào sau đây. 0  13 14  B.  ;   3 3  A.  2; 4   10 13  C.  ;   3 3  D.  1; 3  Lời giải Biến đổi giả thiết ta cê 0  f ‘  x   2 2x , x  0; 1 1 1  0   f ‘  x    8x, x  0; 1  0   f ‘  x   dx   8xdx  4  1  0 0 2 Theo bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có Mặt khác  1 0 f ‘  x  dx 1   2  1 2  f x 0  1 0 f ‘  x  dx 2    f ‘ x dx 2 1 2 0   f  1   f  0    4   f ‘  x   dx  4  2  0 2 1 2 Từ  1  ;  2    f ‘  x   dx  4 . 0 2 Chọn ï A. Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 163 CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ Câu 102: Cho hàm số f  x  liæn tục træn 2 f 3  x  .  4  f ‘  x    f  x  .f ”  x    e x , x    , cê đạo hàm đến cấp hai træn , biết f  0   0 . Khi đê 5ln 2 và thỏa mãn  f  x  dx bằng? 5 0 1 355ln 2   31   5 2    25ln 2 A. 5  31   5ln 2  2   B.  1 25ln 2 2 C.  31   5ln 2  5 2  355ln 2   D. 5  31   2   2 Lời giải Giả thiết tương đương  f 4  x  .f ‘  x   ‘  e x  f 4  x  f ‘  x   e x  C mà f  0   0  C  1  f 4  x  f ‘  x   e x  1   f 4  x  f ‘  x  dx  e x  x  D  f 5  x   5  e x  x  D  Mặt khác f  0   0  D  1  f 5  x   5  e x  x  1   5ln 2 0 f 5  x  dx  5 5ln 2 0   25ln 2 2 x e  x  1 dx  5 31   5ln 2     2   Chọn ï A. Câu 103: Cho hàm số f  x  liên tục træn un  A. 2 và 2  f  x  dx  1 . Tènh giới hạn của dãy số: 1  4n  3   1 n  n3  n  n6  n f  f  f  f  1      …   n  n3  n  n6  n  4n  3  n   B. 2 3 D. C. 1 4 3 Lời giải Chî ï đây là một câu sử dụng định nghĩa tèch phân bằng tổng Riemann khëng nằm trong phạm vi kiến thức THPT næn chỉ mang tènh tham khảo, khëng đi sâu!  3i  f 1    f x n  1 n 1 3  1 n 1 3  3i  S    g1  Xåt hàm số g  x   3 i 0 n 3 i 0 n  n x 3i 1 n   Ta chia đoạn  1; 4  thành n phần bằng nhau bằng các điểm chia xi  1  i. 41 i  0, n  x0  1,…, x n  4  n Mỗi đoạn con cê độ dài là xi 1  xi   lim S    41 1 n 1  S   g  xi  xi 1  xi  n 3 i 0   1 4 1 4f x 1 4 g x dx    2f     1 1 3 3 3 1 x  x  d  x   23 Chọn ï B. 164 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN Câu 104: Cho hàm số f  x  và g  x  thỏa mãn f ‘  1   g  1   1; f  2  .g  2   f  1  và đồng 2 1   thời 1  f ‘  x  g ‘  x   g  x  f ”  x   f ‘  x   , x  0 . Tính tích phân I   f  x  g ‘  x  dx ? 1 x   3 1 3 1 3 1 3 1 A.  ln 2 B.   ln 2 C.  ln 2 D.   ln 2 4 2 4 2 4 2 4 2 Lời giải Biến đổi giả thiết tương đương x  xf ‘  x  g ‘  x   xg  x  f ”  x   g  x  f ‘  x   x  x g ‘  x  f ‘  x   g  x  f”  x    g  x  f ‘  x   x   xf ‘  x  g  x   ‘  xf ‘  x  g  x   x2 C 2 x C f ‘ 1g  11 x 1    f ‘x g x   2 x 2 2x 2 2 x 1  3 1   f ‘  x  g  x  dx     dx   ln 2  1 1 4 2  2 2x   f ‘ x g  x  Sử dụng tèch phân từng phần ta cê 2 2 I   f ‘  x  g  x  dx  g  x  f  x  1   f  x  g ‘  x  dx  2 1 1 3 1  ln 2 4 2 2 3 1   f  x  g ‘  x  dx    ln 2 1 4 4 Chọn ï D. Câu 105: Cho hàm số y  f  x  cê đạo hàm  0; 1 thỏa mãn f  0   f  1   0 và đồng thời điều kiện A. 1 trên  0; 1 ?  f ‘  x  dx  1 . Tçm giá trị lớn nhất của f  x  0 1 2 B. 1 3 C. 1 4 D. 1 Lời giải Ta có:   1 Với x  0;   f  x    2  1  Với x   ; 1  f  x   2   x  1 0 x x 1 f   t  dt   f ‘  t  dt   2 f ‘  t  dt 0 0 1 1 f ‘  t  dt   f ‘  t  dt  1 f ‘  t  dt x 2 1  1 1 1 1  f  x     f ‘  t  dt  1 f ‘  t  dt    f ‘  t  dt  0 2 2 2  2 1 2 0 Chọn ï A. Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 165 LỜI KẾT Vậy là chúng ta đã đi đến trang cuối cùng của tuyển tập này, tuy bài viết chưa thực sự là hay nhưng hy vọng những kiến thức mà mình đưa vào trong bài viết có thể giúp ích được các bạn trong quá trình học tập. Ngoài ra có thể còn một vài thiếu xót trong tuyển tập này, các bạn có thể tham khảo thêm các tài liệu khác để học hỏi hơn. Giới đây là một vài tài liệu mình nghĩ sẽ giúp ích được cho các bạn. [1] Vận dụng cao số phức tích phân [2] Kho tài liệu nguyên hàm tích phân [3] Các bài toán thực tế nguyên hàm tích phân – Hứa Lâm Phong [4] Nâng Cao Kỹ Năng Giải Toán Trắc Nghiệm 100% Dạng Bài Nguyên Hàm – Tích Phân Và Ứng Dụng – Tô Thị Nga Một lần nữa gửi lời cảm ơn đến những người có đóng góp cho bài viết này và chúc các bạn một mùa ôn thi thành công nhé!
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments

Bài viết tương tự

Scroll to Top