Các bài toán chứng minh đẳng thức hình học

Giới thiệu Các bài toán chứng minh đẳng thức hình học

Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và bạn đọc Các bài toán chứng minh đẳng thức hình học.

Tài liệu ôn thi vào 10 môn Toán và hướng dẫn giải các đề thi từ cơ bản đến vận dụng cao sẽ luôn được cập thường xuyên từ hoctoanonline.vn , các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán hay và mới nhất nhé.

Tài liệu Các bài toán chứng minh đẳng thức hình học

Các em học sinh Đăng ký kênh youtube để học thêm về môn Toán nhé.

Text Các bài toán chứng minh đẳng thức hình học
1 Chủ đề Chủ đề 4: Chứng minh đẳng thức hình học 4 CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC D. CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC MỤC LỤC D. CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC ……………………………. 1 . LÝ THUYẾT CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC ……………………………….. 3 A. CHỨNG MINH HAI ĐOẠN THẲNG BẰNG NHAU …………………………………………. 3 Phương pháp 1: Hai tam giác bằng nhau ……………………………………………………………….. 3 Phương pháp 2: Sử dụng tính chất của các hình đặc biệt ……………………………………… 6 Phương pháp 3: Sử dụng tính chất của các đường đặc biệt, điểm đặc biệt. ………….. 7 Phương pháp 4: Sử dụng các tính chất liên quan đến đường tròn. ……………………….. 8 Phương pháp 5: Sử dụng tỉ số, đoạn thẳng trung gian … ……………………………………… 9 B. CHỨNG MINH HAI ĐOẠN THẲNG TỈ LỆ ………………………………………………………. 10 1. Tính chất trung điểm của đoạn thẳng ………………………………………………………………. 10 3. Đường trung bình. ……………………………………………………………………………………………. 10 4. Định lý Talet: ……………………………………………………………………………………………………. 11 5. Tính chất đường phân giác của tam giác. …………………………………………………………. 12 6. Các trường hợp đồng dạng của tam giác…………………………………………………………… 13 7. Hệ thức lượng trong tam giác vuông. ……………………………………………………………….. 14 8. Tỉ số lượng giác của góc nhọn…………………………………………………………………………… 15 . PHẦN BÀI TẬP. ……………………………………………………………………………………………….. 16 Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp. 2 Chủ đề 4: Chứng minh đẳng thức hình học Trong bài hình học trong đề thi tuyển sinh vào 10, sẽ có những yêu cầu chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau hoặc các đoạn thẳng tỷ lệ mà ta gọi chung là đẳng thức hình học. Chủ đề dưới đây sẽ hệ thống một số biện pháp chứng minh đẳng thức hình học. Hãy nắm vững kiến thức đã học trong những năn học Toán THCS để phục vụ cho lời giải nhé! Chúc các em đạt kết quả cao trong học tập! Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp. 3 Chủ đề 4: Chứng minh đẳng thức hình học . LÝ THUYẾT CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC A. CHỨNG MINH HAI ĐOẠN THẲNG BẰNG NHAU Phương pháp 1: Hai tam giác bằng nhau Lấy một tờ bìa mỏng, gấp đôi lại. Trên nửa tờ bìa vẽ một tam giác. Vẫn gấp đôi tờ bìa, cắt lấy tam giác, ta được hai miếng tam giác có thể đặt trùng khít lên nhau. Đó là hình ảnh của hai tam giác bằng nhau. A A B A’ C C B B’ C’ a) Định nghĩa: Hai tam giác bằng nhau là hai tam giác có các cạnh tương ứng bằng nhau, các góc tương ứng bằng nhau. ′B′; AC A= ′C ′, BC B′C ′ =  AB A= ∆ABC = ∆A′B′C ′ ⇔   B   C ′ ′; B ′;C = A= =  A  b) Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác *) Trường hợp 1: Cạnh – Cạnh – Cạnh (c.c.c) – Nếu ba cạnh của tam giác này bằng ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau NÕu ∆ABC vµ ∆A’B’C’ cã: AB = A ‘B ‘  AC = A ‘C ‘  ⇒ ∆ABC = ∆A ‘B ‘C ‘( c.c.c ) BC = B ‘C ‘   Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp. 4 Chủ đề 4: Chứng minh đẳng thức hình học *) Trường hợp 2: Cạnh – Góc – Cạnh (c.g.c) – Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau NÕu ∆ABC vµ ∆A’B’C’ cã: AB = A ‘B ‘   =B ’  B  ⇒ ∆ABC = ∆A ‘B ‘C ‘( c.g.c ) BC = B ‘C ‘    *) Trường hợp 3: Góc – Cạnh – Góc (g.c.g) – Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau NÕu ∆ABC vµ ∆A’B’C’ cã:  =B ’  B   BC = B ‘C ‘ ⇒ ∆ABC = ∆A ‘B ‘C ‘(g.c.g )  =C ’  C   c) Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác vuông  Trường hợp 1: Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau. Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp. 5 Chủ đề 4: Chứng minh đẳng thức hình học  Trường hợp 2: Nếu một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông này bằng một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông kia thì hai giác vuông đó bằng nhau.  Trường hợp 3: Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.  Trường hợp 4: Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau. Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp. 6 Chủ đề 4: Chứng minh đẳng thức hình học Phương pháp 2: Sử dụng tính chất của các hình đặc biệt (chỉ khai thác yếu tố bằng nhau, tránh nhầm sang dấu hiệu nhận biết) 1. Hai cạnh bên của tam giác cân, tam giác đều. (Hình học lớp 7) Tam giác cân: Hai cạnh bên của tam giác cân bằng nhau. Tam giác đều: Tam giác đều có 3 cạnh bằng nhau. 2. Sử dụng tính chất về cạnh và đường chéo của các tứ giác đặc biệt: hình thang cân, hình bình hành, hình chữ nhật, hình vuông, hình thoi. (Hình học lớp 8) Hình thang cân: Hai cạnh bên bằng nhau, hai đường chéo bằng nhau. Hình bình hành: Hai cặp cạnh đối bằng nhau, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Hình chữ nhật: Hai cặp cạnh đối bằng nhau, hai đường chéo bằng nhau, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Hình vuông: Bốn cạnh bằng nhau, hai đường chéo bằng nhau, giao điểm của hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Hình thoi: Bốn cạnh bằng nhau, giao điểm của hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. A A ABCD là hình thang cân AD = BC AC = BD A B ABC đều AB = AC= BC ABC cân AB = AC B B C ABCD là hình bình hành AD = BC AB = CD OA = OC OD = OB A A ABCD là hình chữ nhật AB = CD; AC = BC AC = BD OA = OB = OC = OD D B B C ABCD là hình vuông AB = BC = CD = DA AC = BD OA = OC = OD = OB A B O O D C C O D Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp. C D C 7 Chủ đề 4: Chứng minh đẳng thức hình học ABCD là hình thoi AB = BC = CD = DA OA = OC OD = OB A B ABC vuông tại A AM là đường trung tuyến 1 AM = BC = BM = MC 2 A ABC , phân giác BD M thuộc MD MN ⊥ BA, MP ⊥ BC MN = MP D A N M O M B D C C B P C G là trọng tâm ABC AG cắt BC tại D AD là trung tuyến ⇒ DB = DC A G B B F B A OE = OG ⇒ AB = CD O C D A A O O P D G C D C   ⇒ AB = CD AB = CD B PA, PB là tiếp tuyến của (O) PA = PB Phương pháp 3: Sử dụng tính chất của các đường đặc biệt, điểm đặc biệt. 1. Sử dụng tính chất đường trung tuyến (đường thẳng đi qua trọng tâm tam giác), đường trung tuyến của tam giác vuông, đường trung bình trong tam giác, các đường đồng quy trong tam giác đặc biệt. + Trung tuyến của một tam giác là một đoạn thẳng nối từ đỉnh của tam giác tới trung điểm của cạnh đối diện + Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền. Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp. 8 Chủ đề 4: Chứng minh đẳng thức hình học – “Đường thẳng xuất phát từ một đỉnh và đi qua trọng tâm của một tam giác là đường trung tuyến của tam giác đó” ⇒ đi qua trung điểm cạnh đối diện. – Về các đường đồng quy trong tam giác đặc biệt: ví dụ: 2 đường trung tuyến ứng với hai cạnh bên của tam giác cân bằng nhau, các đường trung tuyến trong tam giác đều bằng nhau, ….. (phần này khi sử dụng phải chứng minh) + Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy. Định lí 1: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba. 2. Điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó. – Điểm nằm trên tia phân giác thì cách đều 2 cạnh của góc đó 3. Khoảng cách từ một điểm trên đường trung trực của một đoạn thẳng đến hai đầu đoạn thẳng. (Hình học 7): – Định lý thuận: Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó. Nếu điểm M nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB thì MA = MB 4. Sử dụng tính chất trung điểm. (Hình học 7) – Trung điểm là điểm nằm chính giữa đoạn thẳng, chia đoạn thẳng ra làm hai đoạn dài bằng nhau. 5. Hình chiếu của hai đường xiên bằng nhau và ngược lại. (Hình học 7) – Nếu hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau và ngược lại nếu hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau. Phương pháp 4: Sử dụng các tính chất liên quan đến đường tròn. 1. Sử dụng tính chất hai dây cách đều tâm trong đường tròn. (Hình học 9) – Trong một đường tròn: Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau 2. Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến giao nhau trong đường tròn. (Hình học 9) – Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì điểm đó cách đều hai tiếp điểm Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp. 9 Chủ đề 4: Chứng minh đẳng thức hình học 3. Sử dụng quan hệ giữa cung và dây cung trong một đường tròn. (Hình học 9) – Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau: Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau Phương pháp 5: Sử dụng tỉ số, đoạn thẳng trung gian … 1. Dùng tính chất bắc cầu: Hai đoạn thẳng cùng bằng đoạn thẳng thứ ba. 2. Có cùng độ dài (cùng số đo) hoặc cùng nghiệm đúng một hệ thức. 3. Đường thẳng song song cách đều: – Nếu các đường thẳng song song cách đều cắt một đường thằng thì chúng chắn trên đường thẳng đó các đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau. 3. Sử dụng tính chất của các đẳng thức, hai phân số bằng nhau. 4. Sử dụng kiến thức về diện tích. (Hình học 8) 5. Sử dụng bình phương của chúng bằng nhau (có thể sử dụng định lí Pitago, tam giác đồng dạng, hệ thức lượng trong tam giác, trong đường tròn để đưa về bình phương của chúng bằng nhau). Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp. 10 Chủ đề 4: Chứng minh đẳng thức hình học B. CHỨNG MINH HAI ĐOẠN THẲNG TỈ LỆ 1. Tính chất trung điểm của đoạn thẳng Trung điểm là điểm nằm chính giữa đoạn thẳng, chia đoạn thẳng ra làm hai đoạn dài bằng nhau. B là trung điểm của đoạn thẳng AC A B C AB  BC ; 1 AB BC   2 AC AC 2. Tính chất ba đường trung tuyến trong tam giác Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó cách mỗi đỉnh một GA GB GC 2 2    khoảng bằng độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy: 3 DA EB FC 3 G là trọng tâm của tam giác ABC A Khai thác thêm: AG  2GD; CG=2GF; BG=2GE GD GE GF 1    AD BE CF 3 GD GF GE 1  =  AG CG BG 2 E F G D B C 3. Đường trung bình. • Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác (h.3.1). • Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang (h.3.2). Hình 3.1 Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp. Hình 3.2 11 Chủ đề 4: Chứng minh đẳng thức hình học Tính chất • Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy. Trên hình 3.1 thì MN // BC và MN = BC . 2 • Đường trung bình của hình thang thì song song với hai cạnh đáy và bằng nửa tổng hai đáy. Trên hình 3.2 thì MN // AB // CD và MN = AB + CD . 2 Định lí • Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba. • Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm của cạnh bên thứ hai. 4. Định lý Talet: Tỉ số của hai đoạn thẳng.Tỉ số của hai đoạn thẳng là tỉ số độ dài của chúng theo cùng một đơn vị đo. Đoạn thẳng tỉ lệ. Hai đoạn thẳng AB và CD gọi là tỉ lệ với hai đoạn thẳng A ‘ B ‘ và C ‘ D ‘ nếu có tỉ lệ thức AB = A ‘ B ‘ hay AB = CD CD C ‘D’ A’ B ‘ C ‘D’ Định lí Ta-lét trong tam giác. Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ. Trong hình bên A ∆ABC  AB ‘ AC ‘ AB ‘ AC ‘ B ‘ B C ‘ C ;= ;=  ⇒= B ‘ C ‘/ / BC  AB AC B ‘ B C ‘ C AB AC B/ B Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp. C/ C 12 Chủ đề 4: Chứng minh đẳng thức hình học Định lí Ta-lét đảo. Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác . A Trong hình bên ∆ABC   AB ‘ AC ‘  ⇒ B ‘ C ‘/ / BC . = B ‘ B C ‘C   C/ B/ C B Hệ quả của định lí Ta-lét. Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho. Trong hình trên: ∆ABC  AB ‘ AC ‘ B ‘ C ‘ = = ⇒ B ‘ C ‘/ / BC  AB AC BC * Chú ý. Hệ quả trên vẫn đúng cho trường hợp đường thẳng a song song với một cạnh của tam giác và cắt phần kéo dài của hai cạnh còn lại . AB ‘ = AB AC ‘ = AC B ‘C ‘ BC C/ B/ a A A B C a B/ C/ C B 5. Tính chất đường phân giác của tam giác. Định lý A Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỷ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy. ∆ABC  DB AB ⇒ =.  = CAD   DC AC BAD  Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp. B D C 13 Chủ đề 4: Chứng minh đẳng thức hình học Chú ý Định lý vẫn đúng đối đường phân giác góc ngoài của tam giác. ∆ABC ( AB ≠ AC )  EB AB =. ⇒  = CAE  BAE  EC AC A Các định lý trên có định lý đảo DB AB ⇒ AD là đường phân giác = DC AC trong của tam giác. E C B EB AB ⇒ AE là đường phân giác ngoài của tam giác. = EC AC 6. Các trường hợp đồng dạng của tam giác Khái niệm hai tam giác đồng dạng a. Định nghĩa  = ; A ‘ A= ; B’ B ; C’ C ∆ A ‘ B ‘ C ‘ gọi là đồng dạng với ∆ ABC nếu : = A’ B ‘ = AB A ‘C ‘ B ‘C ‘ . = AC BC b. Tính chất – Mỗi tam giác đồng dạng với chính nó. – Nếu ∆ ∆A ‘ B ‘ C ‘ ” ∆ABC thì ∆ABC ” ∆A ‘ B ‘ C ‘ – Nếu ∆A ‘ B ‘ C ‘ ” ∆A ” B ” C ” và ∆A ” B ” C ” ” ∆ABC thì ∆A ‘ B ‘ C ‘ ” ∆ABC c. Định lí A Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới đồng dạng M N với tam giác đã cho. ∆ABC   ⇒ ∆AMN ” ∆ABC . MN / / BC  B C Chú ý. Định lí cũng đúng cho trường hợp đường thẳng cắt phần kéo dài hai cạnh của tam giác và song song với cạnh còn lại. Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp. 14 Chủ đề 4: Chứng minh đẳng thức hình học Trường hợp đồng dạng thứ nhất Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác A đó đồng dạng. A/ Nếu ∆ ABC và ∆ A ‘ B ‘ C ‘ có: AB BC CA = = A ‘ B ‘ B ‘C ‘ C ‘ A’ ⇒ ∆ABC ” C B ∆A ‘ B ‘ C ‘ C/ B/ Trường hợp đồng dạng thứ hai Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và hai góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau, thì hai tam giác đồng dạng. Nếu ∆ ABC và ∆ A ‘ B ‘ C ‘ có:  A=  A’ A A’ và AB = AC A’ B ‘ A’C ‘ thì ∆ABC ” ∆A ‘ B ‘ C ‘ . B C Trường hợp đồng dạng thứ ba C’ B’ Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau. A Nếu ∆ ABC và ∆ A ‘ B ‘ C ‘ có: A’ ’  B A  = A= ‘; B B thì ∆ABC ” ∆A ‘ B ‘ C ‘ C B’ 7. Hệ thức lượng trong tam giác vuông. 1) 2) 3) 4) 5) 6) 2 BC AB 2 + AC 2 = 1) 2) 3) 4) 5) A AC 2 = CH .BC 2 AB = BH .BC c AH 2 = HB.HC AH .BC = AB.AC 1 1 1 = + 2 2 AH AC AB 2 B c’ Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp. b h H a b’ C 6) a2 = b2 + c2 b2 = a.b′ c2 = a.c′ h2 = b′.c′ h.a = b.c 1 1 1 = + 2 h b2 c2 C’ 15 Chủ đề 4: Chứng minh đẳng thức hình học 8. Tỉ số lượng giác của góc nhọn.  Các tỉ số lượng giác của góc nhọn = sin α + Nếu AB = ; cos α BC  AC = ; tan α BC  AB = ; cot α AC (hình) được định nghĩa như sau: AC AB B là một góc nhọn thì 0 < sin α < 1;0 < cos α < 1; Cạnh đối Cạnh huyền tan α > 0;cot α > 0 A 0  Với hai góc ,  mà     90 , α Cạnh kề C ta= có: sin α cos β ;cos α sin β ; tan α cot β ;cot α tan β . = = =  Nếu hai góc nhọn  và  có sin α = sin β hoặc cos α = cos β thì    . 2 = α 1; tgα .cot= sin 2 α + cos gα 1 . 1 2  Với một số góc đặc biệt ta có: sin 300  cos 600  ; sin 450  cos 450  cos = 300 sin = 600 3 ;cot = 600 tan = 300 2 2 2 1 = 450 cot = 450 1;cot = 300 tan = 600 ; tan 3 3. Dạng toán đẳng thức hình học là một dạng toán cũng không khó nhưng nó đòi hỏi người giải phải có cái nhìn nhanh (tiết kiệm thời gian) và chuẩn (giải đúng kiếm điểm), xác định đúng phương pháp vô cùng quan trọng. Chính vì vậy việc tự luyện giải nhiều bài toán hình học sẽ giúp cho các em có kỹ năng giải. Hãy cùng bắt đầu với các bài tập ^^. Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp. 16 Chủ đề 4: Chứng minh đẳng thức hình học . PHẦN BÀI TẬP. Bài 1: (Một bài nhẹ nhàng để bắt đầu) Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R và C là một điểm thuộc đường tròn (C ≠ A ; C ≠ B ) . Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C , kẻ tia Ax tiếp xúc với đường tròn (O), gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AC . Tia BC cắt Ax tại Q , tia AM cắt BC tại N. Chứng minh các tam giác BAN và MCN cân . Hướng dẫn giải Q a) Xét ∆ ABM và ∆ NBM . N Ta có: AB là đường kính của đường tròn (O)  nên : = AMB  = NMB C 90o . M M là điểm chính giữa của cung nhỏ AC   MBN  . Tam giác ABN có MB vừa là đường cao, nên ABM A O đồng thời là đường phân giác nên => ∆ BAN cân đỉnh B. . Tứ giác AMCB nội tiếp.   MCN  ( cùng bù với MCB  ). => BAM  ).   MNC  ( cùng bằng BAM => MCN => Tam giác MCN cân đỉnh M Bài 2: Cho điểm M nằm ngoài đường tròn ( O ) . Vẽ các tiếp tuyến MA , MB với đường tròn ( A , B là các tiếp điểm). Vẽ cát tuyến MCD không đi qua tâm O ( C nằm giữa M và D ), OM cắt AB và ( O ) lần lượt tại H và I . Chứng minh: a/ MAOB nội tiếp. b/ MC.MD = MA2 c/ OH .OM + MC.MD = MO 2 . d/ CI là tia phân giác của góc MCH Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp. B 17 Chủ đề 4: Chứng minh đẳng thức hình học Hướng dẫn giải = 90°  MAO =  + MBO ⇒ MAO 180° a/ Ta có:   = ° MBO 90  ⇒ Tứ giác MAOB nội tiếp A AMD chung b/ Ta có:   = MDA  (cùng chắn cung AC) MAC ⇒ ∆MAC đồng dạng ∆MDA M I H O C MA MC ⇒ = MD MA ⇒ MA2 = MC.MD D B c/ Ta có: OA = OB ⇒ ∆AOB cân tại O Mà OH là đường phân giác nên cũng là đường cao ⇒ OH ⊥ AB ⇒ OA2 = OH .OM Ta lại có: MA2 = MC.MD 2 OM = MA2 + OA2 ⇒ OM 2= MC.MD + OH .OM 2 d/= Từ MH .OM = MA , MC.MD MA2 ⇒ MH .OM = MC.MD ⇒ MH MC = (*) MD MO Xét ∆MHC và ∆MDO có: MH MC  chung = và DMO MD MO MC MH HC MC MO MC MO ⇒ = ⇒ = (1) ⇒ ∆ MHC đồng dạng ∆ MDO ⇒ = = MO MD DO CH OD CH OA  = IAH  (cùng chắn hai cung bằng nhau) ⇒ AI là phân giác của MAH . Ta lại có MAI Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp. 18 Chủ đề 4: Chứng minh đẳng thức hình học Theo t/c đường phân giác của tam giác, ta có: MI MA = (2) IH AH  chung và MHA   = MAO = 900 do đó đồng dạng (g.g) ⇒ ∆ MHA và ∆ MAO có OMA MO MA = (3) OA AH Từ (1), (2), (3) suy ra MC MI . = suy ra CI là tia phân giác của góc MCH CH IH Bài 3: Cho đường tròn tâm O , đường kính AB . Trên tiếp tuyến của đường tròn ( O ) tại A lấy điểm M (M ≠ A ) . Từ M vẽ tiếp tuyến thứ hai MC với ( O ) ( C là tiếp điểm). Kẻ CH vuông góc với AB ( H ∈ AB ) , MB cắt ( O ) tại điểm thứ hai là K và cắt CH tại N . Chứng minh rằng: a/ AKNH nội tiếp. b/ AM 2 = MK .MB .  = OMB . c/ KAC d/ N là trung điểm của CH . Hướng dẫn giải a/ Ta có:   AKN= 90° ⇒ AKN +  AHN = 180°   AHN = 90 °  F Vậy tứ giác AKNH nội tiếp.   b/ Ta có: MAB = AKM = 900  AMK chung M C ⇒ ∆MKA đồng dạng ∆MAB MK MA = MA MB ⇒ MA2 = MK .MB K N ⇒ Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp. A O H B 19 Chủ đề 4: Chứng minh đẳng thức hình học   = COA c/ Ta có: CBA 2 F   = COA MOA 2  = ⇒ MOA CBA ⇒ MO / / CB M C =  ⇒ OMB MBC K N   = KAC  nên KAC  = OMB Mà MBC NH BN = d/ Ta có: NH / / AM ⇒ AM BM CN //FM ⇒ A O H B CN BN NH CN =(1) =⇒ AM MF MF BM =  Ta lại có: MA = MC ⇒ ∆AMC cân tại M ⇒ MAC MCA  + MAC  =° F 90  + MCA  =° FCM 90 =  ⇒F FCM ⇒ ∆FMC cân tại M . ⇒ MC = MF mà MC = MA nên MA = MF (2) Từ (1) và (2) suy ra NH = CN Vậy N là trung điểm CH . Bài 4: Cho đường tròn ( O ) , từ một điểm A nằm ngoài đường tròn ( O ) , vẽ hai tia tiếp tuyến AB và AC với đường tròn. Kẻ dây CD //AB . Nối AD cắt đường tròn ( O ) tại E . Chứng minh: a/ ABOC nội tiếp. b/ AB 2 = AE. AD. c/ ∆BDC cân. d/ CE kéo dài cắt AB ở I . Chứng minh IA = IB . Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp. 20 Chủ đề 4: Chứng minh đẳng thức hình học Hướng dẫn giải a/ Ta có:   ABO= 90°  ACO= 90°   ⇒ ABO +  ACO = 180° B I Vậy ABOC là tứ giác nội tiếp ABE =  ADB b/ Ta có:  A  chung BAE O E ⇒ ∆ABE đồng dạng ∆ADB . AB AE = AD AB AD. AE ⇒ AB 2 = ⇒  c/ Ta có: AB //CD ⇒  ABC = BCD   (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung) ABC = BDC  ACD = ADC ⇒ Vậy ∆BDC cân tại B .  = ECA  nên IAE  = ECA  =  mà EDC d/ Ta có: AB / / CD ⇒ IAE EDC  AIE chung ⇒ ∆AIE đồng dạng ∆CIA ⇒ AI IE =⇒ AI 2 = CI .IE CI IA  = BCI  Ta lại có: IBE  chung BIE ⇒ ∆BIE đồng dạng ∆CIB ⇒ BI IE =⇒ BI 2 = IE.CI CI IB Mặt khác: AI 2 = CI .IE nên AI 2 = BI 2 ⇒ AI = BI . Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp. D C 21 Chủ đề 4: Chứng minh đẳng thức hình học Bài 5: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn ( O; R ) . Gọi I là giao điểm AC và BD . Kẻ IH vuông góc với AB ; IK vuông góc với AD ( H ∈ AB; K ∈ AD ). a) Chứng minh tứ giác AHIK nội tiếp đường tròn. b) Chứng minh rằng IA.IC = IB.ID . c) Chứng minh rằng tam giác HIK và tam giác BCD đồng dạng. Hướng dẫn giải A a) Chứng minh tứ giác AHIK nội tiếp đường tròn. Xét tứ giác AHIK có: K  AHI = 90° ( IH ⊥ AB)  AKI = 90° ( IK ⊥ AD) D 1 Xét ∆IAD và ∆IBC có: A1 = B  1 (2 góc nội tiếp cùng chắn cung DC của ( O ) )   (2 góc đối đỉnh) AID = BIC ⇒ ∆IAD ” ∆IBC (g.g) IA ID = ⇒ IA.IC = IB.ID IB IC c) Chứng minh rằng tam giác HIK và tam giác BCD đồng dạng. Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác AHIK có A1 = H  1 (2 góc nội tiếp cùng chắn cung IK )  1 =B 1 1 ⇒ H Mà A1 =B 1 = D 1 Chứng minh tương tự, ta được K 1 B =  D 1 ∆HIK và ∆BCD có: = H 1 ; K1 Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp. B 1 1 O ⇒ Tứ giác AHIK nội tiếp. ⇒ 1 I ⇒ AHI +  AKI =180° b) Chứng minh rằng IA.IC = IB.ID . H 1 C 22 Chủ đề 4: Chứng minh đẳng thức hình học ⇒ ∆HIK ” ∆BCD (g.g) Bài 6: Cho ∆ABC có ba góc nhọn. Đường tròn ( O ) đường kính BC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại các điểm D và E. Gọi H là giao điểm của hai đường thẳng CD và BE. a) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp trong một đường tròn. Xác định tâm I của đường tròn này. b) Gọi M là giao điểm của AH và BC. Chứng minh CM .CB = CE.CA. c) Chứng minh ID là tiếp tuyến của đường tròn ( O ) . Hướng dẫn giải a) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp trong một đường tròn. Xác định tâm I của đường tròn này. = 90° (chắn nửa đường tròn) Ta có : BDC = 90° (chắn nửa đường tròn) BEC = = ADH = BDC 90°,  AEH = BEC 90° Suy ra :  Xét tứ giác ADHE có:  ADH +  AEH= 90° + 90°= 180° Tứ giác ADHE có hai góc đối bù nhau. Vậy tứ giác ADHE nội tiếp trong một đường tròn. Tâm I là trung điểm cạnh AH . b) Chứng minh CM .CB = CE.CA. Xét hai tam giác CBE và CAM có :  ACM là góc chung  = 90° (chứng minh trên) AMC= BEC Suy ra hai tam giác CBE và CAM đồng dạng ⇒ CM CA = ⇒ CM .CB =CE.CA. CE CB c) Chứng minh ID là tiếp tuyến của đường tròn ( O ) . Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp. 23 Chủ đề 4: Chứng minh đẳng thức hình học  = IHD  (do ∆IDH cân tại I ) (1) Ta có : IDH  = CHM  (đối đỉnh) ( 2 ) IHD  = OCD  (do ∆ODC cân tại O ) ( 3) Mặt khác : ODC Ngoài ra, trong tam giác vuông MHC có :  + MCH = CHM 90° ( 4 )  =°  + ODC 90 Từ ( 1) , ( 2 ) , ( 3) , ( 4 ) suy ra: IDH Suy ra : ID ⊥ DO Vậy ID là tiếp tuyến của ( O ) . Bài 7: Cho ∆ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn ( O ) . Đường cao CD của ∆ABC cắt đường tròn ( O ) tại E . Từ B kẻ BF ⊥ AE tại F . a) Chứng minh tứ giác BDEF nội tiếp được đường tròn. b) Kẻ đường cao BK của ∆ABC . Chứng minh: c) Chứng minh: EF CK = . BF BK AE AC AF AC + = + . BF BK BF BK CE AE AC + d) Chứng minh: = . BD BF BK Hướng dẫn giải a) Xét tứ giác BDEF , ta có: A  = 90° (gt) BDE  = 90° (gt) BFE  + BFE = ⇒ BDE 180° Vậy tứ giác BDEF nội tiếp được đường tròn. b) Ta có: tứ giác ACBE nội tiếp đường tròn ( O ) . =  ⇒ BEF ACB (cùng bù  AEB ) Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp. K E D F B O C 24 Chủ đề 4: Chứng minh đẳng thức hình học ⇒ ∆BEF ” ∆BCK ( g − g ) ⇒ c) Ta có: Mà: ⇒ EF CK = BF BK AE AC AF − EF AK + KC AF AK EF KC + = + = + − + BF BK BF BK BF BK BF BK EF CK = (câu b) BF BK AE AC AF AC + = + (1) BF BK BF BK d) Ta có: ∆EDB ” ∆AKB( g − g ) ⇒ Lại có: ∆CDB ” ∆AFB( g − g ) ⇒ ⇒ ED CD AF AK + = + BD BD BF BK ⇔ CE AF AK = + BD BF BK Từ (1) và ( 2 ) ⇒ Bài 8: ED AK = BD BK CD AF = BD BF ( 2) CE AE AC = + BD BF BK Cho nửa đường tròn ( O ) đường kính AB = 2 R , dây cung AC . Gọi M là điểm chính giữa cung AC . Đường thẳng kẻ từ C song song với BM cắt tia AM ở K và cắt tia OM ở D , OD cắt AC tại H . 1. Chứng minh tứ giác CKMH nội tiếp. 2. Chứng minh CD = MB và DM = CB 3. Xác định vị trí điểm C trên nửa đường tròn ( O ) để AD là tiếp tuyến của nửa đường tròn. Hướng dẫn giải 1. Chứng minh tứ giác CKMH nội tiếp. AMB=  90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AB) Có  ⇒     AM ⊥ MB Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp. 25 Chủ đề 4: Chứng minh đẳng thức hình học =  90° . ⊥ CD . Vậy MKC Mà CD      BM (gt) nên AM      = °. ⊥ AC ⇒ MHC = CM (gt) ⇒ OM       90 Lại có AM          = 1800 nên tứ giác nội tiếp trong một đường tròn. + MHC Tứ giác CKMH có MKC 2. Chứng minh CD = MB và DM = CB D ACB= 90° (góc nội tiếp chắn nửa Ta có  đường tròn) K Do đó DM     CB , mà CD  MB C M (gt) nên tứ giác CDMB là hình bình hành. Suy ra: CD = MB và DM = CB . H A B O 3. Xác định vị trí điểm C trên nửa đường tròn ( O ) để AD là tiếp tuyến của nửa đường tròn. AD là tiếp tuyến của đường tròn ( O ) ⇔ ∆ADC có AK     ⊥ CD và DH ⊥ AC nên M là trực tâm tam giác. Suy ra CM ⊥ AD . Vậy AD ⊥ AB ⇔ CM  AB ⇔ AM = BC = BC ⇔ AM = MC = BC ⇒ COB 60° . Vậy tam giác OBC đều. Mà AM = MC nên AM =  = 60o Vậy điểm C là điểm thuộc nửa đường tròn sao cho CBA Bài 9: Cho đường tròn tâm O đường kính A , M là một điểm nằm trên đoạn thẳng OB ( M khác O và B ). Đường thẳng đi qua M và vuông góc với AB cắt ( O ) tại C , D . Trên tia MD lấy E nằm ngoài ( O ) . Đường thẳng AE cắt ( O ) tại điểm I khác A , đường thẳng BE cắt ( O ) tại điểm K khác B . Gọi H là giao điểm của BI và. Chứng minh: a) Tứ giác MBEI nội tiếp. Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp đó. b) Các tam giác IEH và MEA đồng dạng với nhau. Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp. 26 Chủ đề 4: Chứng minh đẳng thức hình học c) EC.ED = EH .EM . d) Khi E thay đổi trên, đường thẳng HK luôn đi qua một điểm cố định. Hướng dẫn giải   AIB = EIB = EMB = 90o a) Ta có  E Vậy tứ giác MBEI nội tiếp đường tròn, tâm của đường tròn là trung điểm của BE . I b) ∆EIH ” ∆MEA D = EMA = 90° AEM là góc chung và EIH Vì  H c) ∆EIH ” ∆MEA ⇒ EI . EA = EH . EM (1) EC. ED (2) ∆EAD ” ∆ECI (g-g) ⇒ EI . EA = A Từ (1) và (2) suy ra: EC.ED = EH .EM . O K M B d) H là trực tâm của tam giác AEB nên AH ⊥ EB C AKB= 90° nên AK ⊥ EB ⇒ ba điểm Vì  d A, H , K thẳng hàng. Do A cố định nên HK luôn đi qua điểm A cố định. Bài 10: Cho đường tròn tâm O bán kính R , hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trên đoạn AB lấy điểm M khác O , đường thẳng CM cắt đường tròn tại N . Đường thẳng vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến với dường tròn tại N ở điểm P . a) Chứng minh: Tứ giác OMNP nội tiếp. b) Chứng minh: ∆MCO = ∆OPM , suy ra OMPD là hình chữ nhật. c) Chứng minh: CM //OP . d) Tính tích CM .CN theo R . Hướng dẫn giải Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp. 27 Chủ đề 4: Chứng minh đẳng thức hình học = PNO = 90° ⇒ M , N cùng thuộc đường tròn đường kính PO . a) Ta có: PMO Vậy tứ giác OMNP nội tiếp.  = ONM  ( tứ giác OMNP nội tiếp) b) Ta có: OPM  = OCM  ( tam giác OCN cân tại O ) ONM  ⇒ CMO  = POM  ⇒ OPM = OCM C ⇒ ∆MCO = ∆OPM ( g − c − g ) ⇒ CO = MP = R = DO = R ; PM //DO (cùng vuông góc Ta có PM với AB ) ⇒ OMPD là hình bình hành = 90° nên OMPD là hình chữ Mặt khác: MOD R A O M nhật B N   ⇒ CM //OP . = POM c) Ta có: CMO P D d) ∆EAD ” ∆ECI CM CO ⇒ = ⇒ CM .CN =CO.CD =2CO 2 =2 R 2 CD CN Bài 11: Cho đường tròn ( O; R ) và dây AB , vẽ đường kính CD vuông góc với AB tại K ( D thuộc cung nhỏ AB ). Lấy điểm M thuộc cung nhỏ BC , DM cắt AB tại F . a. Chứng minh tứ giác CKFM nội tiếp. b. Chứng minh: DF .DM = AD 2 . c. Tia CM cắt đường thẳng AB tại E . Tiếp tuyến tại M của ( O ) cắt AF tại I . Chứng C minh: IE = IF d. Chứng minh: FB KF .  EB KA j M O Hướng dẫn giải  =90° ; a) Vì AB ⊥ CD ⇒ CDF = 90° (Góc n.tiếp chắn nửa đường tròn ( O ) ) Mà CMF Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp. A K D F B I E 28 Chủ đề 4: Chứng minh đẳng thức hình học ⇒ Tứ giác CKFM nội tiếp b) Ta có DF .DM = DK .DC (Do ∆DKF  ∆DMC ( g − g ) ) và DK .DC = AD 2 (Pitago trong tam giác vuông ADC có AK đường cao) Suy ra: DM .DF = AD 2 .    ⇒ ∆MIF cân tại I ⇒ MI = MF (1) c) MFI = CDM = DMI  =° =  + IMF  + MEI  =° Mà IME EMF 90 ; MFI 90 ( Vì ∆MEF vuông tại M )   ⇒ ∆MIE cân tại I ⇒ IE =  = MFI  ⇒ IME IM Mặt khác theo c/m trên: IMF = IEM (2) ; Từ (1) và (2) suy ra: IF = IE . d) Ta có KA = KB (T/c đường kính vuông góc dây cung) Ta có: ∆DKF ∽ ∆EKC ( g − g ) ⇒ DK KF = ⇔ KE.KF = KD.KC . EK KC Mà KD.KC = KB 2 (Pitago trong tam giác vuông CBD có BK là đường cao) KB 2 ⇔ BE.KF = KB 2 − KB.KF KB 2 ⇔ KB.KF + BE.KF = ⇔ ( KB + BE ) KF = = KB ( KB − KF ) ⇔ BE.KF = KB.FB ⇔ FB KF FB KF = ⇔ = . EB KB EB KA Bài 12: Cho tam giác ABC vuông tại A và đường cao AH . Dựng đường tròn tâm O đường kính AH cắt AB tại E , cắt AC tại F . Các tiếp tuyến với đường tròn ( O ) tại E , F lần lượt cắt cạnh BC tại M và N . a) Chứng minh rằng tứ giác MEOH nội tiếp b) Chứng minh rằng AB.HE = AH .HB c) Chứng minh ba điểm E , O, F thẳng hàng. Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp. 29 Chủ đề 4: Chứng minh đẳng thức hình học d) Cho AB = 2 10cm , AC = 2 15cm . Tính diện tích ∆MON . Hướng dẫn giải A a) Chứng minh rằng tứ giác MEOH nội tiếp = 90° ( EM là tiếp tuyến của (O) ) Ta có: OEM E = 90° ( AH là đường cao) OHM  + OHM = 90° + 90°= 180° ⇒ OEM B Vậy tứ giác MEOH nội tiếp F O M H N b) Chứng minh rằng AB.HE = AH .HB Xét ∆ABH vuông tại H và ∆HBE vuông tại E có:  chung B Vậy ∆ABH ” ∆HBE ( g.g ) ⇒ AB AH = hay AB.HE = AH .HB HB HE c) Chứng minh ba điểm E , O, F thẳng hàng. =  = 90° Ta có: EAF AEH= HFA Suy ra tứ giác AEHF là hình chữ nhật Suy ra EF , AH là hai đường chéo Mà O là trung điểm của AH nên O cũng là trung điểm của EF Vậy ba điểm E , O, F thẳng hàng. d) Cho AB = 2 10cm , AC = 2 15cm . Tính diện tích ∆MON . OM Ta có OM là đường trung bình của ∆ABH nên = ON Tương tự, ta cũng có= 1 1 .2= 15 = AC 2 2 1 1 = AB .2= 10 2 2 15(cm)  (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) OM là tia phân giác của EOH Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp. 10(cm) C 30 Chủ đề 4: Chứng minh đẳng thức hình học   = MOH EOM   = NOF Tương tự ta có HON  + HOF = Mặt khác EOH 180° (kề bù) = 90° ⇒ ∆MON vuông tại O Suy ra MON . = S ∆MON 1 1 5 6 = OM .ON = 10. 15 (cm 2 ) 2 2 2 Bài 13: Cho tam giác ABC vuông cân tại A , nội tiếp trong đường tròn tâm O . Tiếp tuyến tại B với đường tròn ( O ) cắt tia CA tại D . Trên cạnh AB lấy điểm E ( E không trùng với A và B ). Tia CE cắt đường tròn ( O ) tại F và cắt BD tại K . Tia BF cắt CD tại M. a) Chứng minh ∆MAB ∽ ∆MFC . b) Chứng minh tứ giác AFKD nội tiếp. c) Tia ME cắt BC tại H . Tứ giác MDBH là hình gì? BC 2 . d) Chứng minh AB.EB + CE.CF = Hướng dẫn giải a) Chứng minh ∆MAB ” ∆MFC . D = CFM = 90° Ta có: BAM  = MCF  ( cùng chắn cung AF ) MBA Vậy ∆MAB ” ∆MFC (g.g). M K F A E b) Chứng minh tứ giác AFKD nội tiếp. Do ∆ABC vuông cân tại A nên  ACB=  ABC= 45°  ⇒ AFC = ABC =° 45 (cùng chắn cung AC ) = 45° ⇒ D  = 45° ∆DBC vuông cân tại B có DCB  ⇒ AFC = D Lại có  AFC +  AFK = 180° (kề bù) Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp. B H O C 31 Chủ đề 4: Chứng minh đẳng thức hình học + ⇒D AFK = 180° . Vậy tứ giác AFKD nội tiếp c) Tứ giác MDBH là hình gì? Ta có E là trực tâm của ∆BMC ⇒ MH ⊥ HB(1) MH //DB (2) (vì cùng vuông góc với BC ) Từ (1), (2) suy ra tứ giác MDBH là hình thang vuông. BC 2 d) Chứng minh AB.EB + CE.CF = Ta có: ∆ABC ” ∆HBE ⇒ AB BC = ⇒ AB.EB = BC.HB (3) HB EB CF BC CF= .EC HC.BC (4) ∆FCB ” ∆HCE ⇒= HC EC Cộng (3) và (4) AB.EB + CF .EC= BC.HB + HC.BC= BC ( HB + HC )= BC.BC= BC 2 BC 2 . Vậy AB.EB + CE.CF = Bài 14: Cho đường tròn (O; R) và hai đường kính AB, CD bất kì. Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt các đường thẳng BC và BD lần lượt tại E , F . Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các đường thẳng AE , AF . a) Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp. b) Chứng minh rằng CE.DF .EF = AB 3 và BE 3 CE = BF 3 DF c) Chứng minh rằng trực tâm H của tam giác BPQ là trung điểm của đoạn thẳng OA. d) Hai đường kính AB và CD có vị trí như thế nào thì tam giác BPQ có diện tích nhỏ nhất? Tính diện tích nhỏ nhất đó theo R. Hướng dẫn giải Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp. 32 Chủ đề 4: Chứng minh đẳng thức hình học B O D I C H E P A Q F a) Tứ giác CDEF nội tiếp = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) CBD =  ABF ) ⇒ EFB ABC (vì cùng phụ  . ∆OBC có OB = OC = R nên ∆OBC cân tại O ⇒  ABC = OCB  ⇒ tứ giác CDFE nội tiếp (có góc trong bằng góc ngoài tại đỉnh đối  Suy ra: EFB = OCB diện) b) CE.DF .EF = AB 3 và BE 3 CE = BF 3 DF Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông có: = AE 2 CE = .BE , AF 2 DF .BF và AB.EF = BE.BF AB 2= AE. AF ⇒ AB 4= AE 2 . AF 2= CE.BE.DF .BF= CE.DF .( BE.BF = ) CE.DF .EF . AB Do đó AB 3 = CE.DF .EF . BE 2 EA.EF EA BE 4 EA2 CE.BE Ta lại có: = = ⇒ = = BF 2 FA.EF FA BF 4 FA2 DF .BF BE 3 CE Vậy: = . BF 3 DF c) H là trung điểm AD. Kẻ PI ⊥ BQ( I ∈ BQ) và PI cắt AB tại H ⇒ H là trực tâm của ∆BPQ . Ta có: AB 2 = AE. AF ⇒ AE AB AE AB AE AB = ⇒ = ⇒ = AB AF AB / 2 AF / 2 OA AQ   AE AB    ⇒ ∆AEO ∽ ∆ABQ  EAO = BAQ= 90°, =  ⇒ ABQ= AEO OA AQ   = ) Mà IPQ ABQ (cùng phụ với BQP Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp. 33 Chủ đề 4: Chứng minh đẳng thức hình học  , mà hai góc ở vị trí đồng vị nên IP / / OE. ⇒ AEO = IPQ Trong ∆OAE có: PI / / OE; EP= PA( gt ) ⇒ OH= HA. Bài 15: Cho đường tròn (O; R) đường kính AB = 2 R, dây cung MN của (O) vuông góc với AB tại I sao cho IA < IB . Trên đoạn MI lấy điểm E ( E ≠ M , E ≠ I ) . Tia AE cắt đường tròn tại điểm thứ hai là K . a) Chứng minh tứ giác IEKB nội tiếp được đường tròn. b) Chứng minh AM 2 = AE. AK . 4R2 . c) Chứng minh AE. AK + BI .BA = d) Xác định vị trí điểm I sao cho chu vi ∆MIO đạt giá trị lớn nhất. Hướng dẫn giải a) Tứ giác IEKB nội tiếp. Ta có:  AKB = 60o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)  = 90o + 90o = 180o ⇒ AKB + BIE ⇒ Tứ giác IEKB nội tiếp được đường tròn. b) AM 2 = AE. AK . K M  Ta có: AB ⊥ MN tại I ⇒  AM = AN  ⇒ AME = AKM (hai góc nội tiếp cùng chắn hai cung bằng nhau) E A I  : chung,  ∆AME và ∆AKM có: MAK AME =  AKM (cmt). ⇒ ∆AME ∽ ∆AKM (g.g) AM AE ⇒ = ⇒ AM 2 = AE. AK . AK AM O N 4R2 . c) AE. AK + BI . AB =  AMB = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông có: MB 2 = BI . AB. Do đó: AE. AK + BI . AB = MA2 + MB 2 = AB 2 = 4 R 2 . Bài 16: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. Trên tia đối của tia AB lấy điểm E (khác với điểm A). Tiếp tuyến kẻ từ điểm E cắt các tiếp tuyến kẻ từ điểm A và B của nửa đường tròn (O) lần lượt tại C và D. Gọi M là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ điểm E. a) Chứng minh rằng tứ giác ACMO nội tiếp được trong một đường tròn. Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp. B 34 Chủ đề 4: Chứng minh đẳng thức hình học b) Chứng minh rằng DM CM = DE CE c) Chứng minh rằng khi điểm E thay đổi trên tia đối của tia AB, tích AC.BD không đổi. Hướng dẫn giải a) Chứng minh rằng tứ giác ACMO nội tiếp được trong một đường tròn.  = 90o Vì AC là tiếp tuyến của (O) nên OA ⊥ AC => OAC  = 90o Vì MC là tiếp tuyến của (O) nên OM ⊥ MC => OMC  + OMC  = => OAC 180o. Suy ra OACM là tứ giác nội tiếp b) Chứng minh rằng DM CM = DE CE Xét hai tam giác vuông OAC và OMC có OA OM = R = ⇒ ∆OAC = ∆OMC  chung OC (cạnh huyền – cạnh góc vuông) ⇒ CA = CM ⇒ Tương tự ta có CM CA =. CE CE DM DB = DE DE Mà AC // BD (cùng vuông góc AB) nên CA CE CA DB CM DM = ⇒ = ⇒ = DB DE CE DE CE DE c) Chứng minh rằng khi điểm E thay đổi trên tia đối của tia AB, tích AC.BD không đổi. 1 2 Vì ∆OAC = ∆OMC ⇒ AOC = MOC ⇒ AOC = AOM 1 2 Tương tự: BOD = BOM Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp. 35 Chủ đề 4: Chứng minh đẳng thức hình học  Suy ra  AOC + BOD = 1   ( AOM + BOM= ) 90o 2 Mà AOC+ ACO =90o ⇒ ACO =BOD AO AC ⇒ ∆AOC ” ∆BDO( g .g ) ⇒ = ⇒ AC.BD = AO.BO = R 2 (không đổi, đpcm) BD BO Hết Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp.
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments

Bài viết tương tự

Scroll to Top