Bất đẳng thức và cực trị hàm nhiều biến – Lê Văn Đoàn

Giới thiệu Bất đẳng thức và cực trị hàm nhiều biến – Lê Văn Đoàn

Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và bạn đọc Bất đẳng thức và cực trị hàm nhiều biến – Lê Văn Đoàn.

Tài liệu môn Toán và hướng dẫn giải chi tiết các đề thi sẽ luôn được cập thường xuyên từ hoctoanonline.vn, các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán hay và mới nhất miễn phí nhé.

Tài liệu Bất đẳng thức và cực trị hàm nhiều biến – Lê Văn Đoàn

Các em học sinh và bạn đọc tìm kiếm thêm tài liệu Toán học sinh giỏi tại đây

Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán Chuyên đề 11 BẤT ĐẲNG THỨC, CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN Bài 1. CÁC BẤT ĐẲNG THỨC THƯỜNG ĐƯỢC SỬ DỤNG   Bất đẳng thức Cauchy (AM – GM)   a , b  0, thì: a  b  2 a.b . Dấu ”  ” xảy ra khi và chỉ khi: a  b.   a , b , c  0, thì: a  b  c  3. 3 a.b.c . Dấu ”  ” xảy ra khi và chỉ khi: a  b  c. 2 Nhiều trường hợp đánh giá dạng: ab  3 ab ab abc  a.b    và a.b.c     2 3  2     Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz (Bunhiaxcôpki)   a , b, x , y   , thì: ( a.x  b.y)2  ( a2  b2 )( x 2  y 2 ) . Dấu ”  ” xảy ra khi và chỉ khi: a b   x y   a , b, c , x , y , z   , thì: ( a.x  b.y  c.z)2  ( a2  b2  c 2 )( x2  y 2  z 2 ) . Dấu ”  ” xảy ra khi và chỉ khi: a b c    x y z Nhiều trường hợp đánh giá dạng: a.x  b.y  ( a 2  b2 )( x2  y 2 ). Hệ quả. Nếu a , b, c là các số thực và x , y , z là các số dương thì: a2 b2 ( a  b)2 a 2 b 2 c 2 ( a  b  c )2   và    : bất đẳng thức cộng mẫu số. x y xy x y z x y z  Bất đẳng thức véctơ       Xét các véctơ: u  ( a; b), v  ( x; y) . Ta luôn có: u  v  u  v    a2  b2  x 2  y 2  ( a  x)2  ( b  y)2 . Dấu ”  ” xảy ra khi và chỉ khi u và v cùng hướng.  Một số biến đổi hằng đẳng thức thường gặp  x 3  y 3  ( x  y)3  3xy( x  y).  x 3  y 3  z 3  ( x  y  z) 3  3( x  y)( y  z)( z  x).  x 3  y 3  z 3  3xyz  ( x  y  z)  x2  y 2  z 2  ( xy  yz  zx)  .   ( a  b)( b  c)(c  a)  ab 2  bc 2  ca 2  (a 2 b  b2 c  c 2 a).  x 2  y 2  z 2  ( x  y  z )2  2( xy  yz  zx). (a  b)(b  c)(c  a)  (a  b  c)( ab  bc  ca)  abc.  ( a  b)2  ( b  c )2  ( c  a)2  2( a 2  b2  c 2  ab  bc  ca)   2( a 3  b3  c 3 )  6 abc  abc ( a  b)3  (b  c) 3  ( c  a)3  3( a  b)(b  c)(c  a). 2   2   ( a  b )2  ( a 2  b 2 ) ( a  b )2  ( a  b)2 và ab   4 2 2  Một số đánh giá cơ bản và bất đẳng thức phụ Các đánh giá cơ bản thường được sử dụng (không cần chứng minh lại)  .( a2  b2 )  .ab  suy ra a.  x; y; z  0   x 2  y 2  z 2  xy  yz  zx. suy ra b.  x; y; z  0   ( x  y)( y  z)( z  x)  8 xyz. suy ra c.  x; y; z     3( x2  y 2  z 2 )  ( x  y  z)2 . suy ra d.  x; y; z  0   ( x  y  z)( x 2  y 2  z 2 )  3( x 2 y  y 2 z  z 2 x). suy ra e.  x; y; z  0   ( x  y  z )2  3( xy  yz  zx). Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn Page – 256 – Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán suy ra f.  x; y; z  0   x 2 y 2  y 2 z 2  z 2 x2  xyz( x  y  z). suy ra g.  x; y; z  0   ( xy  yz  zx)2  3xyz( x  y  z ). suy ra h.  x; y; z     3( x2 y 2  y 2 z 2  z 2 x 2 )  ( xy  yz  zx) 2 . 9 suy ra i.  x; y; z     ( x  y  z )( xy  yz  zx)  ( x  y)( y  z )( z  x). 8 Các bất đẳng thức phụ thường được sử dụng (chứng minh lại khi áp dụng) 1 suy ra j.  x; y  0   x 3  y 3  ( x  y )3 . 4 1 1 2 1 1 2 suy ra suy ra k.  xy  1     và  xy  1      2 2 2 2 1  xy 1  xy 1 x 1 y 1 x 1 y suy ra Suy ra:  xy  1   suy ra l.  x; y  1   1 1 2 1 1 2 suy ra   và  xy  1      1  x 1  y 1  xy 1  x 1  y 1  xy 1 1 1    2 2 1  xy (1  x) (1  y) suy ra m.  x; y  0;1   1 1 x 2  1 1 y 2  2  1  xy 2 x , y  0   2  1  1 suy ra n.       1   1    1  x  y x  y  1  xy  Chứng minh các đánh giá cơ bản suy ra a. Chứng minh:  x; y; z  0   x 2  y 2  z 2  xy  yz  zx.  x 2  y 2  2 x2 y 2  2 xy    Áp dụng BĐT Cauchy:  y 2  z 2  2 y 2 z 2  2 yz  x2  y 2  z 2  xy  yz  zx. Dấu ”  ” khi x  y  z.  2 2 2 2  z  x  2 z x  2 zx suy ra b. Chứng minh:  x; y; z  0   ( x  y)( y  z)( z  x)  8 xyz.  x  y  2 xy  nhân Áp dụng BĐT Cauchy  y  z  2 yz  ( x  y)( y  z )( z  x )  x 2 y 2 z 2  8 xyz. Dấu ”  ” khi x  y  z.   z  x  2 zx suy ra c. Chứng minh:  x; y; z     3( x2  y 2  z 2 )  ( x  y  z)2 . Áp dụng BĐT Cauchy – Schwarz dạng cộng mẫu số, ta được: x2  y2  z2  x 2 y 2 z 2 ( x2  y 2  z 2 )     3( x2  y 2  z 2 )  ( x  y  z )2 . Dấu ”  ” khi x  y  z. 1 1 1 3 suy ra d. Chứng minh:  x; y; z  0   ( x  y  z)( x 2  y 2  z 2 )  3( x 2 y  y 2 z  z 2 x). Ta có: ( x  y  z)(x 2  y 2  z 2 )  ( x3  xy 2 )  ( y 3  yz 2 )  ( z 3  zx2 )  x 2 y  y 2 z  z 2 x Áp dụng BĐT Cauchy cho từng dấu (…) ta được: ( x  y  z)( x2  y 2  z 2 )  2 x2 y  2 y 2 z  z 2 x  x 2 y  y 2 z  z 2 x  3( x 2 y  y 2 z  z 2 x ). Dấu ”  ” khi x  y  z. suy ra e. Chứng minh:  x; y; z  0   ( x  y  z )2  3( xy  yz  zx). Ta có: ( x  y  z)2  x2  y 2  z 2  2( xy  yz  zx)  3( xy  yz  zx). Dấu ”  ” khi x  y  z. suy ra f. Chứng minh:  x; y; z  0   x 2 y 2  y 2 z 2  z 2 x2  xyz( x  y  z). Đặt: a  xy; b  yz ; c  zx thì bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: a2  b2  c 2  ab  bc  ca : luôn đúng theo bất đẳng thức Cauchy (BĐT a.) Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn Page – 257 – Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán Dấu đẳng thức khi x  y  z hoặc y  z  0 hoặc x  y  0 hoặc z  x  0. suy ra g. Chứng minh:  x; y; z  0   ( xy  yz  zx)2  3xyz( x  y  z ). Đặt: a  xy; b  yz ; c  zx thì bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: ( a  b  c) 2  3( ab  bc  ca) : luôn đúng theo BĐT e. Dấu đẳng thức khi x  y  z hoặc y  z  0 hoặc x  y  0 hoặc z  x  0. suy ra h. Chứng minh:  x; y; z     3( x2 y 2  y 2 z 2  z 2 x 2 )  ( xy  yz  zx) 2 .  ( xy )2 ( yz )2 ( zx)2  Cauchy Schwarz Ta có: 3( x 2 y 2  y 2 z 2  z 2 x2 )  3      ( xy  yz  zx)2 .  1 1 1   Dấu đẳng thức xảy ra khi x  y  z. 9 suy ra i. Chứng minh:  x; y; z     ( x  y  z )( xy  yz  zx)  ( x  y)( y  z )( z  x). 8 Cauchy Ta có: ( x  y)( y  z)( z  x)  2 xy . yz . zx  8 xyz. Mặt khác: ( x  y  z)( xy  yz  zx)  xyz  ( x  y)( y  z)( z  x). Suy ra: 1  9 ( x  y  z)( xy  yz  zx)    1  ( x  y)( y  z)( z  x)  ( x  y)( y  z)( z  x). 8 8  Dấu đẳng thức xảy ra khi: x  y  z. Chứng minh các bất đẳng thức phụ 1 suy ra j. Chứng minh:  x; y  0   x 3  y 3  ( x  y )3 . 4 2 x y ( x  y)3 Ta có: x  y  ( x  y)  3x.y( x  y)  ( x  y )  3.   Dấu ”  ” khi x  y.  .( x  y)  4  2  1 1 2 1 1 2 suy ra suy ra k. Chứng mnh:  xy  1     và  xy  1      2 2 2 2 1  xy 1  xy 1 x 1 y 1 x 1 y Cauchy 3 3 3 3 Chứng minh: xy  1  1 1 2   2 2 1  xy 1 x 1 y (1)  1 1   1 1  Bất đẳng thức (1) tương đương với:    0    2 2 1  xy   1  x 1  xy   1  y  xy  x2 2 (1  x )(1  xy)  ( y  x)    xy  y 2 2 (1  y )(1  xy) x(1  y 2 )  y(1  x 2 ) 2 2 (1  x )(1  y )(1  xy) ( y  x)2 ( xy  1) (1  x 2 )(1  y 2 )(1  xy) Chứng minh: xy  1  0 x( y  x) 2 (1  x )(1  xy)  0  ( y  x)   y( x  y ) (1  y 2 )(1  xy ) ( x  y)  xy(y  x) (1  x 2 )(1  y 2 )(1  xy) 0 0  0 : đúng xy  1. Dấu ”  ” khi x  y hoặc xy  1. 1 1 2   2 2 1  xy 1 x 1 y (2) Ta làm tương tự và dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x  y hoặc xy  1. Suy ra: xy  1  1 1 2 1 1 2   và xy  1     1  x 1  y 1  xy 1  x 1  y 1  xy Mở rộng:  x; y; z  1 thì 1 1 1 3    2 2 2 1  xyz 1 x 1 y 1 z (3) Chứng minh: Ghép từng cặp xoay vòng, cộng lại. Dấu ” = ” khi và chỉ khi: x  y  z  1. Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn Page – 258 – Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán suy ra l. Chứng minh:  x; y  1   1 1 1    2 2 1  xy (1  x) (1  y) 2  1 1 1 1 1  2 1 Ta có:      0   2 2 1  xy (1  x) (1  y)  1  x 1  y  (1  x)(1  y) 1  xy ( y  x) 2 1  xy  x  y ( y  x) 2 ( x  1)( y  1)    0    0 : đúng x , y  1. (1  x)2 (1  y) 2 (1  x)(1  y)(1  xy) (1  x)2 (1  y) 2 (1  x)(1  y)(1  xy) Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x  y  1. 1 suy ra m. Chứng minh:  x; y  0;1   Ta có: 1. 1 1 x 2 Cauchy Schwarz 1  1. 1 y Mặt khác x , y  (0;1), thì 1 x 12  12 .  2 2 1  1 y 2 2   1  xy 1 1  1  x2 1  y2 (1) 1 1 2   1  x2 1  y 2 1  xy (2)  1 xy  x2 xy  y 2 1   1 1  Thật vậy: (2)       0   0    2 1  xy   1  y 2 1  xy  (1  x2 )(1  xy) (1  y 2 )(1  xy) 1 x  x( y  x) (1  x 2 )(1  xy) Từ (1), (2), suy ra:  y( x  y) (1  y 2 )(1  xy) 1 1  x2  0 1 1  y2  ( y  x)2 ( xy  1) (1  x 2 )(1  y 2 )(1  xy) 2 1  xy  0 : đúng xy  1. , x; y  0;1 . Dấu đẳng thức xảy ra khi: x  y. 2 x , y  0   2  1  1 suy ra n. Chứng minh:       1   1    1  x  y x  y  1  xy  Ta có: BĐT  ( x  y )2 ( x  y )2 1 1 1 4 4 1 4 1 1 4            xy x y ( x  y)2 x  y xy ( x  y)2 x y x  y xy( x  y)2 xy( x  y)  ( x  y )2 (1  x  y)  0 : đúng với mọi x  y  1 và dấu ”  ” khi và chỉ khi: x  y. § 2. BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM HAI BIẾN SỐ  I. Bài toán hai biến có tính đối xứng VD 1. (CĐ – 2008) Cho hai số x , y thỏa mãn điều kiện: x 2  y 2  2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ min P  7 khi x  y  1  ĐS:  13 1 3 1 3  khi x  ; y max P   2 2 2 VD 2. Cho hai số thực dương x , y thay đổi thỏa mãn điều kiện: x  y  1  3xy. Tìm giá trị lớn nhất nhất của biểu thức: P  2( x3  y 3 )  3 xy. của biểu thức: P  VD 3. 3y 3x 1 1   2 2 y( x  1) x( y  1) x y ĐS: max P  1 khi x  y  1. (D – 2009) Cho x , y  0 thỏa mãn điều kiện: x  y  1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  (4 x2  3 y)(4 y 2  3x)  25 xy. Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn  191 2 3 2 3 khi x  ; y  min P  16 4 4  ĐS:   max P  25 khi x  y  1  2 2 Page – 259 – Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán VD 4. Cho các số thực x , y thỏa: 2 x  3  2 y  3  x  y. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của:  3 3 min P  2  8 5 khi x  ; y     2 2 P  8 5  x  y  x2  y 2  2( x  1)( y  1). ĐS:  7 1  max P  34 khi x  ; y   2 2 2 2 VD 5. Cho x , y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: 2 x  2 y  xy  1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của: P  7( x4  y 4 )  4 x 2 y 2 .  18 5 5 khi x   ; y min P  25 5 5 ĐS:   max P  70 khi xy  7 , x 2  y 2  20  33 33 33 VD 6. Cho x , y là các số thực thỏa mãn điều kiện: x 2  xy  y 2  1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  x4  y 4  1 2 2 x y 1 ĐS: min P   11 và max P  6  2 6. 15 VD 7. (B – 2011) Cho a , b  0 thay đổi thỏa mãn điều kiện: 2( a 2  b 2 )  ab  ( a  b)( ab  2). Tìm giá trị  a 3 b3   a2 b2  nhỏ nhất của: P  4  3  3   9  2  2   a  a  b b ĐS: min P    a  2, b  1 23 khi   4  a  1, b  2  x 1 y  1 VD 8. (HSG – Hà Tĩnh – 2014) Cho các số thực dương x , y thỏa: x  y  2  3     Hãy tìm x   y  x2 y2 3  x  1 x  3 2596 giá trị nhỏ nhất của: P  ( x  y) 2  4  4    ĐS: min P  khi  hoặc   xy  81 x y  3 y  1 y II. Bài toán hai biến có tính đẳng cấp VD 9. Cho các số thực dương x và y thay đổi và thỏa mãn điều kiện: x 2  y 2  0. Tìm giá trị lớn nhất 2 xy  y 2  max P  1 khi x  0; y    ĐS:   3x 2  2 xy  y 2  min P  0,5 khi x   y  0 VD 10. (B – 2008) Cho hai số thực x và y thay đổi thỏa mãn hệ thức: x 2  y 2  1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của: P   2( x 2  6 xy)  x  3 y ĐS: max P  3 khi  2  2 1  2 xy  2 y  x  y  1 VD 11. Cho các số thực x và y thay đổi thỏa mãn điều kiện: 4 x2  2 xy  y 2  3. Tìm giá trị lớn nhất và và giá trị nhỏ nhất của: P  2  1  3 VD 12. (D – 2013) Cho các số thực dương x và y thay đổi thỏa điều kiện: xy  y  1. Hãy tìm giá trị giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  x2  2xy  y 2 . lớn nhất của: P  xy 2 x  xy  3 y 2  x  2y  6( x  y) ĐS: min P  2 và max P  ĐS: max P  1 5 7  khi x  ; y  2. 3 30 2 VD 13. Cho x và y là các số thực dương thỏa: 2 y 2 (11×2  1)  8 x4  6 y 4  1. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  x2 y ( x2  y 2 )( y  4 x2  y 2 )  ĐS: min P  1 2 1 khi x  ; y  1. 5 2 VD 14. Cho x và y là các số thực dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P  xy  x4  9x 2 y 2 x2  8 y 2  3 2 khi x  6 2 và y  1. 4 VD 15. Cho hai số thực dương x và y thay đổi thỏa mãn điều kiện: x  y  2. Hãy tìm giá trị lớn nhất ĐS: max P  của biểu thức: P  7( x  2 y )  4 x 2  2 xy  8 y 2 . Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn 4 2 ĐS: max P  8 khi x  ; y   3 3 Page – 260 – Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán III. Bài toán có hai biến mà cần đánh giá trước, rồi đặt ẩn phụ sau VD 16. (D – 2012) Cho các số thực dương x và y thỏa: ( x  4)2  ( y  4)2  2 xy  32. Hãy tìm giá trị nhỏ 17  5 5 1 5 khi x  y   4 4 VD 17. Cho hai số thực x và y thay đổi thỏa mãn điều kiện: x , y  1. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu nhất của: P  x 3  y 3  3( xy  1)( x  y  2). thức: P  x 3  y 3  x2  y 2  ( x  1)( y  1) ĐS: min P  ĐS: min P  8 khi x  y  2. VD 18. Cho hai số thực dương x và y thay đổi thỏa mãn điều kiện: xy  4. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  2 2 3    x 4 y 4 ( x  y )2 ĐS: min P  13 khi x  5  1, y  5  1. 8 VD 19. Cho hai số thực dương a , b khác nhau và thỏa mãn điều kiện: a2  2b  12. Tìm giá trị nhỏ nhất 4 4 5 27 của biểu thức: P  4  4   ĐS: min P  khi a  2; b  4. 64 a b 8( a  b)2 VD 20. (B – 2006) Cho x , y  . Tìm giá trị nhỏ nhất: P  x2  y 2  2 x  1  x 2  y 2  2 x  1  y  2 . ĐS: min P  2  3 khi x  0, y  3  3 3 và 6 xy  x  y. Tìm giá trị nhỏ nhất của 5 3y  1 3x  1 34 1 biểu thức: P  2  2  (3x  y )(3 y  x). ĐS: min P  khi x  y   9 3 9 y  1 9x  1 VD 21. Cho hai số thực dương x và y thay đổi thỏa: x; y  VD 22. Cho các số dương x và y thay đổi thỏa mãn điều kiện: x  y  xy  3. Tìm giá trị nhỏ nhất của 3 3  x  1  y 1 2 2 biểu thức: P  4     4   x  y . ĐS: min P  64  2 khi x  y  1. y x     VD 23. (D – 2014) Cho hai số thực dương thay đổi x và y thỏa: 1  x; y  2. Tìm giá trị nhỏ nhất của: P x  2y x2  3 y  5  y  2x y 2  3x  5  1  4( x  y  1) ĐS: min P  7 khi x  1, y  2. 8 VD 24. Cho các số thực dương x và y thay đổi thỏa mãn điều kiện: 2 x2  2 y 2  1 / xy  5. Tìm giá trị lớn nhất của: P  3 3 4    2 2 1  2 xy 1 x 1 y ĐS: max P  32 1 khi x  y   15 2 1 2 2 3  Tìm giá trị lớn nhất: P    ? 2 2 2ab 1 a 1  4b 1  4ab VD 26. Cho các số thực dương x và y thay đổi thỏa điều kiện: x 4  y 4  4  6 / xy. Tìm giá trị nhỏ nhất VD 25. Cho a , b  0, thỏa: 2ab  2  a 4  16b4  của biểu thức: P  3  2 xy 1 1    1  2x 1  2y 5  x2  y2 ĐS: min P  1 khi x  y  1. VD 27. Cho x , y  0 thỏa mãn: x , y  (0;1) và ( x3  y 3 )( x  y)  xy( x  1)( y  1)  0. Tìm giá trị lớn nhất của: P  1 1 x 2  1 1 y 2  xy  ( x  y) 2 . ĐS: max P  6 10  1 1 khi x  y   9 3 VD 28. Cho hai số thực dương a và b thay đổi thỏa điều kiện: a2  b2  a  b  4. Tìm giá trị nhỏ nhất  a2  1 b2  1  ab 2 5 của: P  2  2  2  ĐS: min P  4  khi a  b  1.  2 5 ( a  b)  1 a a b b VD 29. Cho hai số thực dương a và b thay đổi thỏa điều kiện: a4  b4  4  nhất của: P  a1 b1 ab    2 a  1 2b  1 a 2  b 2  1 Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn ĐS: min P  6  Hãy tìm giá trị nhỏ ab 1 khi a  b  1. 3 Page – 261 – Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán BÀI TẬP RÈN LUYỆN BT 1. Cho các số thực x và y thay đổi thỏa mãn điều kiện: x 2  y 2  x  y. Tìm giá trị lớn nhất và giá min P  0 khi x  y  0 ĐS:   max P  4 khi x  y  1 trị nhỏ nhất của: P  x 3  y 3  x 2 y  y 2 x. BT 2. Cho các số thực x và y thay đổi thỏa mãn điều kiện: x 2  y 2  1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu  1  1 thức: P  ( x  1)  1    ( y  1)  1    y x   BT 3.  2 min P  4 khi x  y  1   x  y  2 ĐS:   27  max P  khi 1  x  y  4   2 1 1   xy xy Cho các số thực x và y thỏa mãn điều kiện: x  1, y  1 và 4 xy  3( x  y). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của: P  x 3  y 3  BT 5. 1 Cho x , y  0 thỏa: ( xy  1)(9 xy  2 xy)  7( x 2  y 2 )  2 xy  2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của: P  xy  xy  BT 4. ĐS: min P  4  3 2 khi x  y   65 3 min P  12 khi x  y  2  ĐS:    x  1, y  3 max P  74 khi   3  x  3, y  1 3 3  2 2 x y Cho các số thực x và y thay đổi thỏa mãn điều kiện: xy  x 2  y 2  3. Tìm giá trị lớn nhất và giá  min P  5 khi x  y  1 ĐS:    max P  33 khi x  y   3 Cho các số thực x và y thay đổi thỏa mãn điều kiện: x , y  1 và x  y  xy  8. Tìm giá trị lớn trị nhỏ nhất của: P  x4  y 4  4 xy  x3 y 3 . BT 6. 2 2 2 2 nhất và giá trị nhỏ nhất của: P  x  y  x y . BT 7. Cho các số thực x và y thỏa: x  y  y  1  2 x  4  1. Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của: P  BT 8. 1 xy min P  2  2 2 khi x  2, y  1  ĐS:   33  2 5 khi x  4, y  0 max P   2 2  9  x  y  ( x  y) . (A – 2006) Cho x , y là các số thực khác 0 và thỏa mãn điều kiện: ( x  y).xy  x 2  y 2  xy. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P  BT 9.  min P  24 khi x  y  2  ĐS:   51 7 khi x  , y  1  max P   2 2 1 1  3 3 x y ĐS: max P  16 khi x  y  1  2 Cho các số không âm x và y thay đổi thỏa: x  y  xy  3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của: P  x 2  y 2   3 min P   khi x  y  1 ĐS:   2 max P  0 khi x  0, y  3  3y xy 3x    y 1 x 1 x  y BT 10. Cho các số thực dương x , y. Hãy tìm giá trị lớn nhất của: P  x4  y 4 x2  y 2 5 xy    ( x  y) 4 ( x  y) 2 x  y 7 khi x  y. 2 BT 11. Cho các số thực x và y thay đổi thỏa mãn điều kiện: xy  0 và x  y  0. Hãy tìm giá trị lớn ĐS: max P  nhất và giá trị nhỏ nhất của: P  Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn x2 y  4y 3 x3  8y3   min P  0,5 khi x  0, y  0  ĐS:   1  max P  khi x  4 y  6 Page – 262 – Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán BT 12. Cho các số thực dương x và y thay đổi thỏa mãn điều kiện: x 2  3 y 2  1  y(3 x  2). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  x  2y x2  2 y 2  2 x2  xy  8 y 2  2 xy  y 2 BT 13. Cho x và y là các số thực thỏa mãn điều kiện: x 2  xy  y 2  2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  x2  2 xy  7 y 2 . Đáp số: min P  16 khi x   7 7 8 2 2 , y  3 và max P  khi x  5 ; y  2 2 21 21 3 BT 14. Cho x và y là các số thực thay đổi thỏa mãn điều kiện: x 2  3 y 2  xy  2 và y  0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P  x2  xy  2 y 2 . BT 15. Cho x , y  0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  x(4 x2  3)  y(4 y 2  3)  x  y  4 xy Đáp số: min P  2 khi x  y  0,5. BT 16. Cho các số thực dương x và y thay đổi thỏa mãn điều kiện: 3xy  3  x 4  y 4  trị lớn nhất của biểu thức: P  16  x2 y 2 . 2 x y 2 2 ĐS: max P  2  Hãy tìm giá xy 20  khi x  y  2. 3 BT 17. Cho các số thực dương x và y thay đổi thỏa mãn điều kiện: x 2 y  y 2 x  x  y  3xy. Tìm giá trị nhỏ nhất của: P  x2  y 2  (1  2 xy)2  3  2 xy ĐS: min P  71 khi x  y  2. 4 BT 18. Cho các số thực dương x và y thay đổi thỏa mãn điều kiện: x  2 y  xy  0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  y2 x2   4  8y 1  x ĐS: min P  8 khi x  4, y  2. 5 BT 19. Cho các số thực x và y thay đổi thỏa mãn điều kiện: x  y  x  1  2 y  2. Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  x 2  y 2  2( x  1)( y  1)  8 4  x  y . Đáp số: min P  18 khi x  1, y  1 và max P  25 khi x  2, y  1. BT 20. Cho các số thực x và y thay đổi thỏa mãn điều kiện: x 3  y 2  y 3  x2  3. Tìm giá trị lớn 3  2 BT 21. Cho các số thực x và y thay đổi thỏa mãn điều kiện: ( x2  y 2  1)2  3x 2 y 2  1  4 x2  5 y 2 . Tìm nhất của: P  xy  ( x  y)3  12( x  1)( y  1). ĐS: max P  10 khi x  y  giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  Đáp số: min P  1 khi x  0; y  1 và max P  x2  2 y 2  3x 2 y 2  x2  y 2  1 4 khi x  0; y   2. 3 x y 1 1 BT 22. Cho các số thực dương x và y thay đổi thỏa mãn điều kiện: 3       x  y  2. Tìm y x x y 2  x4 y 4  1 1  giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P   2  2  3xy     x y  y x  BT 23. Cho các số thực dương x và y thay đổi thỏa mãn điều kiện: 5( x  y)( xy  3)  6( x 2  y 2 )  20 xy.  x4 y4   x3 y 3   x2 y 2  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  9  4  4   16  3  3   25  2  2   x  x  x  y y y 14156 Đáp số: min P  khi a  1, b  3 hoặc a  3, b  1. 27 Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn Page – 263 – Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán BT 24. Cho các số thực a và b thay đổi thỏa mãn điều kiện: ( a 2  2b2 )2  3a2 b2  2( a2  b2 )(a 2  2b 2 ). Tìm 2 2 2 2 2 2 a 3  b3 8b 3 ( a  b)  2 a  5b   ( a  b)  2a  5b  giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P   3   b3 a ab( a 2  b 2 ) Đáp số: min P  97 khi a  b  c  1. 3 BT 25. Cho hai số thực x và y thay đổi thỏa mãn điều kiện: x 2  4 y 2  4 xy  x  2 y  2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P  4 x  8 y  6 xy  1. ĐS: max P  12 khi x  1; y  0,5. BT 26. Cho hai số thực x và y thỏa mãn điều kiện: x  y  2 x  2  y  1  1. Tìm giá trị lớn nhất, giá 2(1  xy x  y ) y x trị nhỏ nhất của biểu thức: P  ( x  y )  ( y  x)   2 2 xy BT 27. Cho x , y là hai số thực dương thay đổi thỏa: 3×2  8 y 3  20. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P 4 4 1  2  2 x y ( x  y )2 ĐS: min P  6 khi x  2, y  1. BT 28. (B – 2009) Cho các số thực x , y thay đổi thỏa: ( x  y)3  4 xy  2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu ĐS: min P  9 khi x  y  1  16 2 BT 29. Cho x và y là các số thực không âm thay đổi thỏa mãn điều kiện: 4( x2  y 2  xy)  1  2( x  y). thức: P  3( x 4  y 4  x2 y 2 )  2( x 2  y 2 )  1. 3 1 khi x  y   4 2  1  1 BT 30. Cho các số thực dương x và y thay đổi thỏa mãn điều kiện: x  1    y  1    4. Tìm giá trị y x   Tìm giá trị lớn nhất của: P  xy  x  y  x 2  y 2 . ĐS: min P  nhỏ nhất của: P  xy  1  x2  1  y 2 . ĐS: min P  9  2 10 khi x  y  3. BT 31. Cho x và y là các số thực thay đổi thỏa mãn điều kiện: x  y  2 x  2  3 y  2014  2012. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của: P  ( x  1)2  ( y  1)2  2015  2 xy x  y  1 x  y 1   x  2 x  2 2015 khi  và max P  4096577  khi   2013 2026  y  2014  y  2023 BT 32. Cho hai số thực dương x và y thay đổi thỏa: x 2  9 y 2  1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của Đáp số: min P  4044122  2015 4 t  x  3 y  1 HD: f ( t )  t  ,   t t  1  2;1  2     BT 33. Cho x và y thỏa mãn điều kiện: x 4  16 y 4  (2 xy  1)2  2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ biểu thức: P  ( x  1)2  3(2 xy  1)  (3 y  1)2  x  3y  1 nhất của biểu thức: P  x( x2  3)  2 y(4 y 2  3). HD: Bài toán đối xứng theo x , 2 y. BT 34. Cho các số thực dương x và y thay đổi thỏa mãn điều kiện: 3  lớn nhất của biểu thức: P  16  x2 y2 . 2 x y 2 ĐS: min P  2 BT 35. Cho x , y  0 thỏa: x  y  xy  3. Tìm giá trị nhỏ nhất của: P  3 x3 y 3 2    2 2  Tìm giá trị xy y x xy 20 khi x  y  2. 3 4y 4x   2xy  7  3xy . y 1 x1 Đáp số: min P  6 khi x  y  1. BT 36. Cho các số thực dương x và y thỏa mãn điều kiện: x 2  xy  y 2  ( x  y )( xy  1). Tìm giá trị nhỏ nhất của: P  ( x 2  y 2 )  Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn xy xy 2 2  4( xy  1) 2  y     3( x  y)  x  ĐS: min P  55. Page – 264 – Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán § 3. BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM BA BIẾN SỐ  I. Ba biến đối xứng 1. Đặt ẩn phụ trực tiếp VD 30. Cho x , y , z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: x 2  y 2  z 2  1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P  2xy  2 yz  2 zx  1  xyz ĐS: max P  2  3 3 khi x  y  z   3 3 VD 31. Cho các số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: x  y  z  3. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  x 2  y 2  z 2  xy  yz  zx 2 2 2 x y z 3  ĐS: min P  7 khi x  y  z  1. 2 VD 32. Cho x , y , z là các số thực thỏa mãn điều kiện: x 2  y 2  z 2  1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  ( xy  yz  2 zx)2  8  ( x  y  z )  xy  yz  2 2 VD 33. Cho các số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: của biểu thức: P  4xyz  3 3 xyz 2 2 2 1  4( x  y  z )  2 , y  0. 2 ĐS: min P  3 khi x   z   1  16xyz  x2  y 2  z 2 . Tìm giá trị lớn nhất 4 ĐS: max P  13 1 khi x  y  z   28 4 VD 34. Cho các số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: x 2  y 2  z 2  2xyz  1. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  1  x (1  y 2 )(1  z 2 )  y (1  z 2 )(1  x 2 )  z (1  x 2 )(1  y 2 ). 2 2 x y z 2 ĐS: max P  2 khi x  y  z. 2. Đánh giá trước, rồi đặt ẩn phụ sau 3  Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của 2 15 1 ĐS: min P  khi x  y  z   2 2 VD 35. Cho các số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: x  y  z  biểu thức: P  2 x2 y z2 1 1 1       y z x x y z VD 36. Cho các số thực dương x , y , z thỏa điều kiện: x  y  z  3. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P  8 3 xyz  3 x3  y3  z3  3 ĐS: max P  9 khi x  y  z  1. VD 37. Cho x , y , z là các số thực dương thỏa: x 2  y 2  z 2  1. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 3 3 3  1 x  y  z 1 P  ( x  y  z )2     2 xyz xy  yz  zx  ĐS: min P  4 khi x  y  z  1  3 VD 38. Cho x , y , z là các số thực dương thỏa: x  y  z và x 2  y 2  z 2  5. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P  ( x  y )( y  z )( x  z )( xy  yz  zx). ĐS: max P  4 khi x  2; y  1; z  0. VD 39. Cho x , y , z không âm thỏa mãn điều kiện: x  y  z  1. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  3( x 2 y 2  y 2 z 2  z 2 x2 )  3( xy  yz  zx )  x 2  y 2  z 2 . ĐS: min P  1 khi ( x; y; z)  (1; 0; 0). VD 40. (B – 2010) Cho a , b, c không âm thỏa mãn điều kiện: a  b  c  1. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của: P  3( a 2 b 2  b2 c 2  c 2 a 2 )  3( ab  bc  ca)  2 a 2  b2  c 2 . ĐS: min P  2 khi ( a; b; c )  (1; 0; 0). VD 41. Cho các số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: x  y  z  3. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của xy  yz  zx biểu thức: P  x 2  y 2  z 2  2  ĐS: min P  4 khi x  y  z  1. x y  y2 z  z2 x Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn Page – 265 – Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán VD 42. Cho các số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: x 2  y 2  z 2  3. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  ( x  y  z  1)2 2 2 2 x yy zz x  1 1 1    x y z ĐS: min P  13 khi x  y  z  1. 3 VD 43. (HSG Bình Phước 2014) Cho x , y , z là các số thực dương thay đổi. Tìm giá trị lớn nhất của 1 biểu thức: P  2 2  2 x  y  z 1 2  ( x  1)( y  1)( z  1) ĐS: max P  1 khi x  y  z  1. 4 VD 44. Cho các số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: x  1, y  0, z  0. Tìm giá trị lớn nhất của 1 biểu thức: P  2 2  2 x  y  z  2x  2 2  x( y  1)( z  1) ĐS: max P  1 khi y  z  1, x  2. 4 VD 45. Cho x , y , z là các số thực dương thay đổi. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: P 9 16  2 x  y 2  z2  1 ( x  2 z)( y  2 z) xy ĐS: min P  5 khi x  y  z  1.  VD 46. (B – 2013) Cho a , b, c là các số thực dương. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: 4 P 2 2 9  2  ( a  b) ( a  2c)(b  2c) a b c 4 ĐS: max P  5 khi a  b  c  2. 8 VD 47. Cho x , y , z là các số thực dương thay đổi. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: P 8 xyz  ( x  y)( y  z)( z  x) x y z   2 y z x ĐS: min P  2 khi x  y  z. VD 48. Cho các số thực không âm x , y , z thỏa điều kiện: x 2  y 2  z 2  3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 16 thức: P  2 2 2 2 2  2 x y  y z  z x 1 xy  yz  zx  1  xyz ĐS: min P  28 khi x  y  z  1. 3 VD 49. Cho các số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: xyz  1. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  72 x y z 1  ( x  y)( y  z)( z  x). ĐS: min P  44 khi x  y  z  1. VD 50. Cho các số thực dương x , y , z thỏa điều kiện: xyz  1. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P y3 x3 z3 1     y( z  2) z( x  2) x( y  2) 2 x  y  z  3 ĐS: min P  12  6 khi x  y  z  1. 12 VD 51. Cho các số thực dương x , y , z thỏa: x 2  y 2  z 2  xy  yz  zx  6. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của: P 3 x3 y z3 54     9 ln( x  y  z ). 2 2 2 xy  yz  zx  6 y z x ĐS: min P  9  9 ln 3 khi x  y  z  1. VD 52. Cho x , y , z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: x 2  y 2  z 2  2( y  1). Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P  1  2 xy  2 yz . x y z1 ĐS: max P  21 khi x  z  1; y  2. 5 VD 53. Cho x , y , z là các số thực dương thay đổi. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: P x2 y z 3  y2 z x 3  13 xyz z2 x   3 2 y 3( xy  yz 2  zx 2 ) ĐS: min P  40 khi x  y  z. 9 VD 54. Cho a , b , c  0 thỏa điều kiện: 3( a4  b4  c 4 )  7( a 2  b2  c 2 )  12  0. Tìm giá trị nhỏ nhất của a2 b2 c2    ĐS: min P  1 khi a  b  c. b  2 c c  2 a a  2b VD 55. Cho các số thực dương x , y , z thỏa điều kiện: 3( x  y  z )  x2  y 2  z 2  2 xy. Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  nhất của biểu thức: P  Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn 20 xz  20 y2  x  y  z. ĐS: min P  26 khi x  1; y  2; z  3. Page – 266 – Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán VD 56. (HSG Hà Nội 2014) Cho a  0, b  0, 0  c  1 và a2  b2  c 2  3. Tìm GTLN và GTNN của biểu  min P  2 3 khi a  3 , b  c  0 ĐS:    max P  10 khi a  b  c  1. VD 57. Cho x , y , z là các số thực dương thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: thức: P  2ab  3bc  3ca  P 24 6  abc 3  13x  12 xy  16 yz ĐS: min P    x y z 3 16 khi x  4 y  16z   2 21 VD 58. (HSG Nghệ An 2013) Cho a , b, c là các số thực dương thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 2 3 3 16 thức: P    ĐS: min P   khi a  4b  16c   3 2 21 a  ab  abc abc VD 59. Cho x , y , z là các số thực dương thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P 1  2 x  y  8 yz 8 2 y 2  2( x  z )2  3  ĐS: min P   3 1 1 khi y  ; x  z   2 2 4 VD 60. Cho x , y , z là các số thực dương thay đổi. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P 4( xy  yz  3 xyz )  8 x  3 y 1  ( x  y  z) 2 ĐS: max P   14 16 khi x  4 y  16z   3 21 1  x  1 và y; z  1, sao cho xyz  1. Hãy tìm giá trị nhỏ 4 1 1 1 22 1 nhất của biểu thức: P     ĐS: min P  khi x  ; y  z  2. 1 x 1 y 1 z 15 4 VD 61. Cho các số thực dương x , y , z thỏa: VD 62. Cho các số thực không âm x , y , z thỏa điều kiện: x  y  z. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  xy  yz  zx 1 2 3     2 2 4 ( x  1) ( y  1) ( z  1)2 ĐS: min P  9 khi x  y  z  1. 4 VD 63. Cho các số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: x , y , z  0;1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P  1 1 1    xyz. 3 3 1 x 1 y 1  z3 ĐS: min P  3 khi x  y  z  0. II. Ba biến mà có hai biến đối xứng VD 64. Cho các số thực dương a , b, c thỏa mãn điều kiện: a2  b2  c 2  1. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của 1 biểu thức: P  1   2 3  1 c ĐS: min P  8 3 3 1 khi x  y  ; z  3 2 2 ĐS: min P  3 khi x  y  z. 2 a2  ab b2  ab VD 65. Cho x , y , z là các số thực dương thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: P y2 x2 4z3    ( x  y )2 ( y  z )2 3( z  x)3 VD 66. (A – 2011) Cho các số thực x , y , z thuộc đoạn 1; 4  thỏa điều kiện: x  y; x  z. Tìm giá trị y x z 34 nhỏ nhất của biểu thức: P     ĐS: min P  khi x  4 y  2 z  4. 2x  3y y  z z  x 33 VD 67. Cho các số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: x  z. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P  x 2 x y 2  y 2 y z 2  z  zx ĐS: max P  5 khi x  2 y  4 z. VD 68. Cho các số thực dương x , y , z thỏa điều kiện: x  y  z  0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P y z x2    x  y y  z 8 z.( xz  z) Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn ĐS: min P  4 khi x  2 y  4 z. Page – 267 – Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán VD 69. Cho các số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: xy  1 và z  1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  y x z3  2    y  1 x  1 3( xy  1) ĐS: min P  3 khi x  y  z  1. 2 VD 70. Cho các số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: xy  yz  zx  1. Tìm giá trị lớn nhất của  x  y  10  3 ĐS: max P  10 khi    z  3 VD 71. Cho các số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: 3x  y  z  2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu biểu thức: P  thức: P  y x 3z    2 2 1 x 1 y 1  z2  18 2  3x  1     1  3x  y  2 z  1 3x  1  y  ĐS: min P  15 khi x  5 1 1 ; y ; z  12 4 2 VD 72. Cho x , y , z là các số thực dương thỏa điều kiện: x  y  z  1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:  x  y  2 3  3 43 3 khi   4  z  7  4 3 1 1 1 VD 73. Cho a , b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: 2  2  2  Tìm giá trị nhỏ nhất của a b 2c P xyz y x    x  yz y  zx z  xy biểu thức: P  ĐS: max P  a b c    2 bc ca a  b2  c2 ĐS: min P  4 13  khi a  b  2c. 5 13 VD 74. (A – 2013) Cho các số thực dương a , b, c thỏa mãn: ( a  c)( b  c)  4c 2 . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  32a 3 32b 3 a 2  b2    c ( b  3c ) 3 ( a  3c ) 3 ĐS: min P  1  2 khi a  b  c. VD 75. Cho các số thực không âm thỏa mãn điều kiện: x  y  z  0. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  x3  y 3  16 z 3 ( x  y  z) 3 ĐS: min P   16 khi x  y  8 z  0. 81 VD 76. Cho x , y , z là các số thực dương thỏa điều kiện: x  y và ( x  z)( y  z)  1. Hãy tìm giá trị nhỏ x  z   ĐS: min P  20 khi  y  z   VD 77. (B – 2014) Cho các số thực a , b, c không âm thỏa điều kiện: (a  b)c  0. Tìm giá 1 6 12 nhất của biểu thức: P     ( x  y ) 2 ( y  z ) 2 ( z  x) 2 của biểu thức: P  a b c    bc a  c 2(a  b) ĐS: min P  2 1  2 trị nhỏ nhất 3 khi (a; b; c)  (0; m; m  0). 2 VD 78. Cho a , b, c không âm thỏa điều kiện: ab  bc  ca  0; a  b  c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  2  x  0; y  z  0 ĐS: min P  4 khi    y  0; x  z  0 b c a  3 3   ca ab bc VD 79. Cho các số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: x 2  y 2  z 2  1. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  x3  3 x  ( y  z )3 y3 3 y  ( z  x) 3  7 2 z3  1  ĐS: min P  khi x  y  z  1. 27 9 VD 80. (A – 2014) Cho x , y , z là các số không âm thỏa mãn điều kiện: x 2  y 2  z 2  2. Tìm giá trị lớn nhất của: P  yz 1  yz x2    2 x  y  z  1 9 x  yz  x  1 ĐS: min P  5 khi x  y  1, z  0. 9 VD 81. Cho x , y , z là các số không âm thỏa mãn điều kiện: x 2  y 2  z 2  2. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P  yz x2 1    2 x  yz  x  1 x  y  z  1 xyz  3 Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn ĐS: max P  1 khi x  0; y  z  1. Page – 268 – Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán VD 82. Cho a , b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: abc  1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu 1 1 bc 4 thức: P  3    ĐS: min P  khi a  b  c  1. 9 a  c 3  1 a 3  b3  1 9 a VD 83. Cho các số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: x  y  z  1. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của: P x  y  z2 9 y2 9 x2 3 3   9 ( y  z )2  5 yz ( z  x)2  5zx ĐS: min P  7 khi x  y  z  1. 3 VD 84. Cho x , y , z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: x  y  z  1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  y2 3( x  y)2 x2    4 ( y  z) 2  5 yz ( z  x)2  5zx ĐS: min P   1 1 khi x  y  z   9 3 VD 85. Cho các số thực dương x , y , z. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P y ( x  y)2 2x  2y x z    2  2 yz zx x y z 4z ĐS: min P   3 khi x  y  z. 2 VD 86. Cho a , b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: a  b  c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu  1 1 1 thức: P  ( a 4  b4  c 4 )  4  4  4   4b c   4a ĐS: min P  81 khi 2a  2b  c. 8 VD 87. Cho các số thực dương x , y , z. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  4 x3  3 y 3  2 z 3  3 y 2 z ( x  y  z )3  4 khi 2 x  y  z. 25 VD 88. Cho ba số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: x , y , z  1; 2  . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của ( x  y )2 1  biểu thức: P  2 ĐS: min P  khi x  y  1, z  2. 6 z  4( xy  yz  zx) ĐS: min P  VD 89. Cho các số thực x , y , z phân biệt và thỏa mãn điều kiện: x , y , z  0; 2  . Tìm giá trị nhỏ nhất 1 1 1 9 của biểu thức: P     ĐS: min P  khi x  0; y  1; z  2. 4 ( x  y ) 2 ( y  z ) 2 ( z  x) 2 VD 90. Cho các số thực dương x , y , z thỏa điều kiện: x  y  z  xyz. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:  x  2  1 ĐS: khi  min P  2  ( x  y )( z 2  1) ( z 2  1) z 2  1  y  2  1, z  1 VD 91. Cho các số thực dương x , y , z thỏa điều kiện: xyz  x  z  y. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P P ( z  z xy )2  2z  2 2 4z 3z  2    x 1 y 1 z 2  1 ( z 2  1) z 2  1 2 ĐS: max P  2 1 2 khi x  ; y  2; z   4 9 2 VD 92. Cho x , y , z là các số thực dương thỏa điều kiện: x  y  z  1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  y2 x2 4 z2    1  y 1  x 2  2 x2  2 y 2  x  y  2  1 ĐS: min P  20 2  28 khi    z  3  2 2 VD 93. Cho ba số thực x , y , z. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  1 27   2 2 2 32 x y z ( 2x  2 y 2  z  1) 3 2 1 1 khi x  y  ; z  1. 2 2 2 2 2 VD 94. Cho các số thực dương x , y , z thỏa: x  y  z  5( x  y  z)  2 xy. Tìm giá trị nhỏ nhất của ĐS: min P    1 3    x  y  z. biểu thức: P  48    3 yz x  10    Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn ĐS: min P  58 khi x  2, y  3, z  5. Page – 269 – Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán III. Phương pháp đồ thị 1. Bài toán có giả thiết tổng các biến là hằng số với P = f(a) + f(b) + f(c) VD 95. Cho các số thực dương a , b, c thay đổi thỏa mãn điều kiện: a  b  c  1. Hãy tìm giá trị lớn a b c 9 1 nhất của biểu thức: P  2  2  2  ĐS: max P  khi a  b  c   10 3 a 1 b 1 c 1 VD 96. Cho các số thực dương a , b, c thay đổi thỏa mãn điều kiện: a  b  c  3. Hãy tìm giá trị nhỏ 1 1 1 3 nhất của biểu thức: P  2  2  2  ĐS: min P  khi a  b  c  1. 2 a 1 b 1 c 1 VD 97. Cho các số không âm a , b, c , d thỏa điều kiện: a  b  c  d  4. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu a b c d 1 1 thức: P  2      ĐS: max P  khi a  b  c  d  1. 2 3a  5 3b 2  5 3c 2  5 3d 2  5 2 VD 98. (France MO) Cho các số không âm a , b, c , d thỏa điều kiện: a  b  c  d  1. Chứng minh rằng: 1 6( a3  b 3  c 3  d3 )  a 2  b 2  c 2  d2   8 VD 99. (China MO) Cho các số thực dương a , b, c thay đổi thỏa mãn điều kiện: a  b  c  3. Chứng minh rằng: a2  9 b2  9 c2  9    5. 2 a 2  ( b  c ) 2 2b 2  ( c  a ) 2 2 c 2  ( a  b ) 2 VD 100. Cho các số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: x  y  z  3. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  4 x 4 y 4 z    4x 4y 4z ĐS: min P  5 khi x  y  z  1. VD 101. Cho các số thực dương a , b, c , d thỏa mãn điều kiện: a  b  c  d  1. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất 1 1 a 1 b 1 c 1 d     ĐS: min P  8 khi a  b  c  d   1 a 1 b 1 c 1 d 4 VD 102. Cho các số không âm x , y , z thỏa điều kiện: x  y  z  3. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn của biểu thức: P   min P  3 khi x  y  z  1 ĐS:    max P  2  7 khi x  3; y  z  0 VD 103. (USA MO) Cho các số thực dương a , b, c thay đổi. Chứng minh rằng: nhất của: P  x2  x  1  y 2  y  1  z 2  z  1. (2a  b  c)2 (2b  c  a) 2 (2c  a  b)2    8. 2 a 2  ( b  c ) 2 2b 2  ( c  a ) 2 2 c 2  ( a  b ) 2 VD 104. (Crux Mathematicorum – Canada) Cho các số thực dương a , b, c thay đổi. Chứng minh rằng: ( b  c  a )2 ( c  a  b) 2 ( a  b  c )2 3     ( b  c) 2  a2 ( c  a)2  b 2 ( a  b)2  c 2 5 2. Bài toán có giả thiết tổng bình phương các biến bằng hằng số với P = f(a) + f(b) + f(c) VD 105. Cho các số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: x 2  y 2  z 2  1. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  1 1 1    ( x  y  z ). x y z ĐS: min P  2 3 khi x  y  z  3  3 VD 106. Cho các số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: x 2  y 2  z 2  3. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất  1 1 1 của biểu thức: P  3( x  y  z )  2      x y z VD 107. Cho các số thực dương x , y , z thỏa: x , y , z  của biểu thức: P  Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn 2 x2  1 y  1 z 2  1    x y z ĐS: min P  15 khi x  y  z  1. 4 và x 2  y 2  z 2  12. Hãy tìm giá trị lớn nhất 3 15 ĐS: max P  khi x  y  z  2. 2 Page – 270 – Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán VD 108. Cho các số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: x 2  y 2  z 2  1. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  y x z    2 1 x 1  y2 1  z2 ĐS: min P  3 2 3 khi x  y  z   2 3 VD 109. Cho các số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: x 2  y 2  z 2  1. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  y x z    y 2  z 2 x 2  z 2 x2  y 2 ĐS: min P  3 2 3 khi x  y  z   2 3 VD 110. Cho các số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: x 2  y 2  z 2  1. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất y x z của biểu thức: P     ĐS: min P  1 khi ( x; y; z)  (0; 0;1). 1  yz 1  zx 1  xy VD 111. Cho các số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: x 2  y 2  z 2  3. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  y x z    ( y  z ) 2 ( z  x) 2 ( x  y ) 2 ĐS: min P  3 khi x  y  z  1. 4 VD 112. Cho các số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: x 2  y 2  z 2  1. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  1 1 1    1 x 1 y 1 z ĐS: min P  1 3 39 khi x  y  z   2 3 VD 113. Cho các số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: x 2  y 2  z 2  3. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của: P  4y 4x 4z  2  2  x  2x  5 y  2 y  5 z  2 z  5 2 ĐS: min P  3 khi x  y  z  1. VD 114. Cho các số thực dương x , y , z thỏa điều kiện: x 2  y 2  z 2  1. Hãy tìm giá trị lớn nhất của: P 5 3 x5  2 x3  x y  2 y  y z 5  2 z 3  z    y 2  z2 z 2  x2 x2  y 2 ĐS: max P  1 2 3 khi x  y  z   3 3 VD 115. Cho các số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: x 2  y 2  z 2  3. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P  x2  xy 5z 2  y 2  yz 5x 2  z 2  zx  5  y2 ĐS: max P  3 1 khi x  y  z   2 3 VD 116. Cho các số thực x , y , z thỏa mãn điều kiện: 8 x  8 y  8 z  3. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  4x 4y 4z    3  4x 3  4 y 3  4x ĐS: min P  3 khi x  y  z  0. 2 VD 117. Cho các số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: x 4  y 4  z 4  3. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P  1 1 1    4  xy 4  yz 4  zx ĐS: max P  1 khi x  y  z  1. VD 118. Cho các số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: x 2  y 2  z 2  3. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 30  3  2  2   13 a a1 b b1 c c 1 2 3. Bài toán có giả thiết tích các biến là hằng số hoặc P có dạng P = f(a).f(b).f(c) VD 119. Cho các số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: xyz  1. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  x  1 x y 1 y  z  1 z ĐS: min P  3 2 khi x  y  z  1. 2 3  Hãy tìm giá trị nhỏ nhất 2 125 1 ĐS: min P  khi x  y  z   64 2 VD 120. Cho các số thực không âm x , y , z thỏa mãn điều kiện: x  y  z  của biểu thức: P  (1  x2 )(1  y 2 )(1  z 2 ). Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn Page – 271 – Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán VD 121. Cho các số thực không âm x , y , z thỏa mãn điều kiện: x  y  z  1. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất 100 1 khi x  y  z   729 2 VD 122. Cho các số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: 4( x  y  z)  9. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P  (1  x2 )(1  y 2 )(1  z 2 ). ĐS: min P  3  4 VD 123. Cho các số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: 4( x  y  z)  9  0. Hãy tìm giá trị lớn nhất của: P  ( x  x2  1).( y  y 2  1).( z  z 2  1). ĐS: max P  8 khi x  y  z  3  4 VD 124. Cho các số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: xyz  1. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu của: P  ( x  x2  1) y .( y  y 2  1) z .( z  z 2  1)x . ĐS: max P  4 4 2 khi x  y  z  a2 b2 c2 3    ĐS: min P  khi x  y  z  1. 1  bc 1  ac 1  ab 2 VD 125. Cho các số thực dương a , b , c. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: thức: P  P a 3  b 3 b3  c 3 c 3  a3    a  3 b b  3 c c  3a ĐS: min P  0 khi a  b  c. VD 126. Cho các số thực dương a , b , c. Chứng minh: a4 b4 c4 a 3  b3  c 3     a  4b b  4 c c  4 a 5 IV. Đánh giá dồn về một biến f(a) hoặc f(b) hoặc f(c), rồi xét hàm VD 127. Cho các số thực không âm x , y , z thỏa điều kiện: x  y  z  1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  2( x2  y 2  z 2 )  4xyz  9 x  2015. ĐS: min P  2008 khi x  1; y  z  0. VD 128. Cho các số không âm x , y , z thỏa điều kiện: x  y  z  3. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  x 2  y 2  z 2  2 xyz. ĐS: min P  9 3 khi z  0; x  y   2 2 VD 129. Cho x , y , z  0 thỏa mãn điều kiện: x  y  z và x 2  2 y 2  4 z 2  12. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P  xy 2  4 yz 2  zx2  xyz  y 2  3 y.  x  0 ĐS: max P  11 2  2 khi    y  z  2 VD 130. Cho x , y , z là các số thực dương thỏa điều kiện: 4 x  3y  4 z  22. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  x  y  z  1 2 3    3x y z ĐS: min P  25 khi x  1, y  2, z  3. 3 VD 131. Cho các số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: x  y  z  1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  1 1 1    2 3  9 y 6  36 z 2(2 x  1) ĐS: min P  3 1 1 1 khi x  , y  , z   8 2 3 6 VD 132. Cho các số thực x , y , z thỏa mãn điều kiện: x , y , z  1; 4  và x  y  2 z  8. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P  x 3  y 3  5 z 3 . ĐS: max P  137 khi x  y  1, z  3. VD 133. (B – 2012) Cho các số thực x , y , z thỏa điều kiện: x  y  z  0 và x 2  y 2  z 2  1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P  x 5  y 5  z 5 . ĐS: max P  6 1 5 6 khi z  ,x  y  3 36 6 VD 134. (HSG Vĩnh Phúc 2013) Cho các số thực x , y , z thỏa: x 2  y 2  z 2  3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P  3x 2  7 y  5 y  5z  7 z  3 x2 . VD 135. Cho x , y , z  0 thỏa điều kiện: thức: P  2 x 3  y 3  z 3 . Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn ĐS: max P  3 10 khi x  y  z  1. 1  x 2  1  2 y  1  2 z  5. Tìm giá trị lớn nhất của biểu  x  y  0, z  4 ĐS: max P  64 khi    x  z  0, y  4 Page – 272 – Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán V. Xét hàm lần lượt từng biến và xét hàm đại diện cho ba biến VD 136. Cho ba số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: x , y , z  1; 3  . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của 36 x 2 y z biểu thức: P     ĐS: min P  7 khi x  1; y  z  3. yz xz xy VD 137. Cho các số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: x , y , z  1; 2  . Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 1 1 3 biểu thức: P     ĐS: min P  khi x  y  z  1. x  xy  4 y  yz  4 z  zx  4 4 VD 138. (A – 2011) Cho các số thực x , y , z  1; 4  thỏa điều kiện: x  y; x  z. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  y x z    2x  3y y  z z  x ĐS: min P  34 khi x  4; y  1; z  2. 33 VD 139. Cho các số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: x  2 y  z  0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  y x  2y x    10 y  z x  y  z 2 x  3 y ĐS: min P  6 khi z  2 x  4 y. 7 VD 140. Cho các số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: xyz  x  z  y. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P  2 2 3  2  2  x 1 y 1 z 1 ĐS: max P  2 10 2 2 khi x  , y  2, z   3 2 4 xy yz zx 1  VD 141. Cho x , y , z   ;1 . Tìm giá trị lớn nhất của: P     z x y 2  1 1 32 2 khi x  1, y  , z  2 2 2 VD 142. Cho các số thực dương a , b, c thỏa mãn điều kiện: a , b, c  1; 2  . Tìm giá trị lớn nhất của ĐS: max P  biểu thức: P  2  ab ( a  b)c  2  bc ( b  c )a  2  ca ( c  a )b  ĐS: max P  3 khi a  b  c  1. 2 BÀI TẬP RÈN LUYỆN BT 37. Cho ba số thực không âm thỏa: x 2  y 2  z 2  3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  xy  yz  zx  5  xyz BT 38. Cho các số thực x , y , z thỏa mãn: x 2  y 2  z 2  1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  xy  yz  zx  4  xy  yz  zx  2 BT 39. Cho x , y , z  0 thỏa điều kiện: 2( x2  y 2  z 2 )  xy  yz  zx  3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P  x 2  y 2  z 2  1  x yz3 BT 40. Cho x , y , z  0 thỏa điều kiện: 3( x 2  y 2  z 2 )  xy  yz  zx  12. Tìm gía trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của: P  x2  y 2  z 2  xy  yz  zx. x yz BT 41. Cho các số thực x , y , z  0; 2  thỏa: x  y  z  3. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: P  x2  y 2  z 2  xy  yz  zx. xy  yz  zx BT 42. Cho các số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: x  y  z  3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  x 2  y 2  z 2  Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn xy  yz  zx 2 x  y 2  z2  3  Page – 273 – Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán BT 43. Cho các số thực dương x , y , z. Hãy Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: P 2 x 2  y 2  z2  1  ( x  y  z  3) 2  3( x  1)( y  1)( z  1) BT 44. Cho các số thực x , y , z thỏa điều kiện: x 2  2 y 2  5z 2  2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P  ( xy  yz  zx)  1  4  ( x2  2 y 2  5z 2 )     BT 45. Cho các số thực dương x , y , z thỏa x  y  z  4 và xyz  2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  x4  y 4  z 4 . BT 46. Cho x , y , z  0. Chứng minh rằng: ( x  y  z)2  x yz  y xz  z xy  4 3xyz( x  y  z ). BT 47. Cho các số thực x , y , z thỏa mãn điều kiện: x 3  y 3  z 3  3xyz  1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  x2  y 2  z 2 . BT 48. Chứng minh rằng với mọi số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: x( x  y  z)  3yz , ta có: ( x  y) 3  ( x  z )3  3( x  y)( x  z)( y  z)  5( y  z)3 . BT 49. Cho các số thực dương x , y , z phân biệt thỏa: xy  yz  2 z 2 và 2x  z . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P  y x z    xy yz zx BT 50. Cho các số thực x , y , z  (0;1) thỏa điều kiện: xyz  (1  x)(1  y)(1  z ). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  x2  y 2  z 2 . BT 51. Cho các số thực dương x , y , z thỏa điều kiện: xy  yz  zx  3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  324  ( x2  y 2  z 2 )2 . x yz BT 52. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: y 2  xz và z 2  xy. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  y x 2014 z    x y y z zx BT 53. Cho các số thực dương x , y , z. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: P 1  x  6 xy  4 yz 1  xyz BT 54. Cho các số thực dương x , y , z. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: P xyz 6 xy z  7 xyz 3  8 zx y  xyz 9( x  y  z )  BT 55. Cho các số thực không âm x , y , z thỏa mãn điều kiện: x  y  z  1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P  2 1  x2 1  y 1  z2    1  y 2 1  z 2 1  x2 BT 56. Cho các số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: x , y , z  (0;1). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P  3 x3  3 y  3 z 3  3    y 2  2 z2  2 x 2  2 BT 57. Cho x , y , z  0 thỏa mãn điều kiện: x  y  z và 3xy  5yz  7 zx  9. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  32 1 1    ( x  y ) 4 ( y  z ) 4 ( z  x) 4 BT 58. Cho các số không âm x , y , z phân biệt. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:  1 1 1  P  (x2  y2  z2 )     2 2 2   ( x  y ) ( y  z ) ( z  x)  Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn Page – 274 – Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán BT 59. Cho các số dương x , y , z thỏa điều kiện: x 2  y 2  z 2  xy  2 yz  2 zx  0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  xy z2 z2  2   2 2 xy ( x  y  z) x y BT 60. Cho các số thực phân biệt x , y , z thỏa điều kiện: x , y , z  0; 2  . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 1 1 1 thức: P     ( x  y ) 2 ( y  z ) 2 ( z  x) 2 BT 61. Cho các số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: x  y  z  1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 1 1 18  1. 1   x y x  y  2z thức: P  BT 62. Cho các số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện: x 2  y 2  z 2  1. Tìm giá trị nhỏ nhất của: P y3 x3  x 3  ( y  z )2 y 3  ( z  x) 3  1  2z 3  27 BT 63. Cho x , y , z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: x  y  z  1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P  xyz y x    x  yz y  zx z  xy BT 64. Cho x , y , z  0 thỏa điều kiện: ( x  y) 2  ( y  z) 2  ( z  x)2  18. Tìm giá trị lớn nhất của biểu ( x  y  z) 4  108 BT 65. Cho x , y , z  0 thỏa mãn điều kiện: 5( x 2  y 2  z 2 )  6( xy  yz  zx). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P  3 4 x  3 4 y  3 4 z  thức: P  2( x  y  z )  y 2  z 2 . BT 66. Cho các số thực x , y , z  0; 4  thỏa mãn điều kiện: xyz  1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P 1 1 x 2  1 1 y 2  1  1 z BT 67. Cho các số thực không âm x , y , z thỏa: x  y  z  3. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P  ( x 2  xy  y 2 )( y 2  yz  z 2 )( z 2  zx  x 2 ). BT 68. Cho các số thực dương x , y , z  1;   thỏa điều kiện: x  y  z  6. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P  ( x 2  2)( y 2  2)( z 2  2). BT 69. Cho các số thực x , y , z. Chứng minh: 6( x  y  z )( x2  y 2  z 2 )  27 xyz  10 ( x2  y 2  z 2 )3 . 3 BT 70. Cho x , y , z  0;1 thỏa mãn điều kiện: x  y  z   Tìm giá trị lớn nhất của: P  x2  y 2  z 2 . 2 2 2 2 BT 71. Cho các số thực x , y , z thỏa: x  y  z  3. Tìm giá trị nhỏ nhất của: P  ( x  2)( y  2)( z  2). BT 72. Cho các số thực x , y , z  1; 3 thỏa: x  y  2 z  6. Tìm giá trị lớn nhất của: P  x 3  y 3  5 z 3 . BT 73. Cho x , y , z  0 thay đổi thỏa: 5( x 2  y 2  z 2 )  6( xy  yz  zx). Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn  1 1 1 nhất của biểu thức: P  ( x  y  z )      x y z BT 74. Cho x , y , z  0 thỏa: x  y  z  3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  3( x 2  y 2  z 2 )  4 xyz. BT 75. Cho x , y , z  0 thỏa đồng thời các điều kiện: x  y  z  4 và xy  yz  zx  5. Tìm giá trị nhỏ  1 1 1 nhất của biểu thức: P  ( x3  y 3  z 3 )      x y z BT 76. Cho x , y , z  0 thỏa: ( x  y  z)3  32 xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn x4  y 4  z 4 ( x  y  z) 4  Page – 275 – Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán BT 77. Cho các số thực x , y , z không đồng thời bằng 0 và thỏa: x 2  y 2  z 2  2( xy  yz  zx). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  x3  y 3  z 3 ( x  y  z)( x 2  y 2  z 2 )  BT 78. Cho x , y , z thỏa: x  y  z  0 và x 2  y 2  z 2  1. Tìm giá trị nhỏ nhất của P  x 2 y 2 z 2 . BT 79. Cho x , y , z  0 thỏa: x 2  y 2  z 2  3y. Tìm giá trị nhỏ nhất của: P  1 4 8    ( x  1)2 ( y  2)2 ( z  3)3 BT 80. Cho x , y , z  0 thỏa mãn điều kiện: y  z  x( y 2  z 2 ). Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P 4 1 1 1     2 2 ( x  1)( y  1)( z  1) ( x  1) ( y  1) ( z  1)2 BT 81. Cho các số thực x , y , z thỏa mãn điều kiện: 0  z  y  x  1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P  x 2 ( y  z )  y 2 ( z  y)  z 2 (1  z). BT 82. Cho các số không âm x , y , z thỏa điều kiện: x  y  z  1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  x( y  z)3  y( z  x)3  z( x  y )3 . BT 83. Cho x , y , z  0 thỏa: 21xy  2 yz  8zx  12. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  1 2 3    x y z BT 84. Cho các số thực không âm x , y , z thỏa: x  y  z  1 và không có hai số nào bằng 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  ( x  y  3)( z  1)  1 1   ( x  y)( y  z) ( x  y)( x  z) BT 85. Cho x , y , z  0 thỏa mãn điều kiện: x 2  y 2  ( x  y)z  4z 2  4. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P  x( y  z) 2 y( x  z )2 1    xz yz z  1 1 1 1  BT 86. Cho các số thực: x , y , z   ;1  Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P  ( x  y  z )2      2  x y z 2 2 2 BT 87. Cho 0  x  y  z  1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: P  z (1  z )  ( x  y )( y  z). BT 88. Cho các số thực dương x  y  z . Chứng minh rằng: 2y 2x 2z ( z  x) 2   3  yz zx xy x( x  z) BT 89. Cho x , y , z  0 thỏa: x  y  z  3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  x  y 2  z 2 . BT 90. Cho x , y , z  0 thỏa: x  y  z  8. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  BT 91. Cho x , y , z  0 thỏa: xyz  x  z  y. Tìm giá trị nhỏ nhất của: P  1 x  3 8  y  3z  2x 2 2 3    x2  1 y 2  1 z 2  1 BT 92. Cho các số thực dương x , y , z. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  y x z    yz zx xy BT 93. Cho các số thực dương x , y , z. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  y x 2z    yz zx xyz BT 94. Cho x , y , z  0 thỏa: x  y  z  1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  x 3  y 3  z 3  15 xyz. 4 BT 95. Cho a , b , c  0 mãn: a  b  c  1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P  ab  3ac  5ac. BT 96. Cho ba số thực dương x , y , z thỏa điều kiện: x 2  y 2  z 2  2 xy  2( x  y  z ). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  x 2  y 2  2 z  40 y  z 1  40  x3 BT 97. Cho x , y , z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: x 2  y 2  z 2  1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P  xy yz x3 y 3  y 3 z 3    1  z2 1  x 2 24 x 3 z 3 Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn Page – 276 –
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments

Bài viết tương tự

Scroll to Top