Bất đẳng thức Chur và phương pháp đổi biến PQR

Giới thiệu Bất đẳng thức Chur và phương pháp đổi biến PQR

Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và bạn đọc Bất đẳng thức Chur và phương pháp đổi biến PQR.

Tài liệu môn Toán và hướng dẫn giải chi tiết các đề thi sẽ luôn được cập thường xuyên từ hoctoanonline.vn, các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán hay và mới nhất miễn phí nhé.

Tài liệu Bất đẳng thức Chur và phương pháp đổi biến PQR

Các em học sinh và bạn đọc tìm kiếm thêm tài liệu Toán học sinh giỏi tại đây

Bất đẳng thức Schur và phương pháp đổi biến p,q,r Võ Thành Văn Lớp 11 Toán-Khối chuyên THPT-ĐHKH Huế Nh÷ c¡c b¤n ¢ bi¸t, b§t ¯ng thùc Schur l mët b§t ¯ng thùc m¤nh v câ nhi·u ùng döng, tuy nhi¶n nâ v¨n cán kh¡ xa l¤ vîi nhi·u b¤n håc sinh THCS công nh÷ THPT. Qua b i vi¸t n y, tæi muèn công c§p th¶m cho c¡c b¤n mët k¾ thuªt º sû döng tèt BDT Schur, â l k¸t hñp vîi ph÷ìng ph¡p êi bi¸n p; q; r. Tr÷îc h¸t, tæi xin nh-c l¤i v· b§t ¯ng thùc Schur v ph÷ìng ph¡p êi bi¸n p; q; r. 1 Bất đẳng thức Schur ành lþ 1 (B§t ¯ng thùc Schur) Vîi måi sè thüc khæng ¥m a; b; c; k; ta luæn câ ak (a b)(a c) + bk (b c)(b a) + ck (c a)(c b) 0: Hai tr÷íng hñp quen thuëc ÷ñc sû döng nhi·u l k = 1 v k = 2 2 a(a b)(a c) + b(b c)(b a) + c(c a2 (a b)(a c) + b2 (b c)(b a) + c2 (c a)(c b) a)(c b) 0 (i) 0 (ii) Phương pháp đổi biến p; q; r èi vîi mët sè b i b§t ¯ng thùc thu¦n nh§t èi xùng câ c¡c bi¸n khæng ¥m th¼ ta câ thº êi bi¸n l¤i nh÷ sau °t p = a + b + c; q = ab + bc + ca; r = abc: V ta thu ÷ñc mët sè ¯ng thùc sau ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) (a + b)(b + c)(c + a) ab(a2 + b2 ) + bc( b2 + c2 ) + ca(c2 + a2 ) (a + b)(a + c) + (b + c)(b + a) + (c + a)(c + b) a2 + b2 + c2 a3 + b3 + c3 a4 + b4 + c4 a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 a3 b3 + b3 c3 + c3 a3 a4 b4 + b4 c4 + c4 a4 °t L = p2 q 2 + 18pqr 27r2 4q 3 pq 3r pq r p2 q 2q 2 pr p2 + q p2 2q p3 3pq + 3r p4 4p2 q + 2q 2 + 4pr q 2 2pr q 3 3pqr + 3r2 q 4 4pq 2 r + 2p2 r2 + 4qr2 4p3 r; khi â 2 2 2 a b+b c+c a = (a = = = = = = = = = = b)(b c)(c a) 1 = pq 3r p 2 L p L 3 CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Câ thº th§y ngay lñi ½ch cõa ph÷ìng ph¡p n y l mèi r ng buëc giúa c¡c bi¸n p; q; r m c¡c bi¸n a; b; c ban ¦u khæng câ nh÷ p2 p3 q2 pq 2p3 + 9r p2 q + 3pr p4 + 4q 2 + 6pr 3q 27r 3pr 9r 7pq 4q 2 5p2 q Nhúng k¸t qu£ tr¶n ¥y ch-c ch-n l ch÷a õ, c¡c b¤n câ thº ph¡t triºn th¶m nhi·u ¯ng thùc, b§t ¯ng thùc li¶n h» giúa 3 bi¸n p; q; r. V i·u quan trång m tæi muèn nâi ¸n l tø b§t ¯ng thùc (i) v (ii), ta câ r p2 ) p(4q r 9 p2 )(p2 6p (4q (tø (i)) q) (tø (ii)) Tuy nhi¶n trong mët sè tr÷íng hñp th¼ câ thº c¡c ¤i l÷ñng 4q p2 câ thº nhªn gi¡ trà ¥m l¨n gi¡ trà d÷ìng n¶n ta th÷íng sû döng p(4q p2 ) r max 0; 4 r max 0; (4q p2 )(p2 6p q) Câ l³ ¸n ¥y c¡c b¤n ¢ hiºu ÷ñc ph¦n n o v· b§t ¯ng thùc Schur v ph÷ìng ph¡p êi bi¸n p; q; r. Sau ¥y l mët sè v½ dö minh håa, nh÷ng tr÷îc h¸t, c¡c b¤n h¢y tªp l m thû rçi xem ¡p ¡n sau 3 3.1 Các ví dụ minh họa Bất đẳng thức Schur V½ dö 1 Cho c¡c sè d÷ìng a; b; c: Chùng minh r¬ng s s s (a + b)3 (b + c)3 (c + a)3 + + 8ab(4a + 4b + c) 8bc(4b + 4c + a) 8ca(4c + 4a + b) 1: (Vã Th nh V«n) LÍI GIƒI. °t P = s (a + b)3 + 8ab(4a + 4b + c) s (b + c)3 + 8bc(4b + 4c + a) s (c + a)3 8ca(4c + 4a + b) Q = 8ab(4a + 4b + c) + 8bc(4b + 4c + a) + 8ca(4c + 4a + b) = 32(a + b + c)(ab + bc + ca) 72abc •p döng b§t ¯ng thùc Holder, ta câ P2 Q 8(a + b + c)3 c Võ Thành Văn 2 3.1 Bất đẳng thức Schur 3 CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Ta c¦n chùng minh 8(a + b + c)3 3 , 8(a + b + c) , (a + b + c)3 Q 32(a + b + c)(ab + bc + ca) 4(a + b + c)(ab + bc + ca) 72abc 9abc ( óng theo b§t ¯ng thùc Schur). Vªy ta câ pcm. V½ dö 2 Cho c¡c sè d÷ìng a; b; c: Chùng minh r¬ng (a2 + 2)(b2 + 2)(c2 + 2) 9(ab + bc + ca): (APMO 2004) LÍI GIƒI. Khai triºn b§t ¯ng thùc tr¶n, ta c¦n chùng minh a2 b2 c2 + 2(a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 ) + 4(a2 + b2 + c2 ) + 8 9(ab + bc + ca) Ta câ a2 + b2 + c2 ab + bc + ca (a2 b2 + 1) + (b2 c2 + 1) + (c2 a2 + 1) a2 b2 c2 + 1 + 1 2(ab + bc + ca) p 3 3 a2 b2 c2 9abc a+b+c 4(ab + bc + ca) (a + b + c)2 (theo b§t ¯ng thùc Schur) •p döng c¡c b§t ¯ng thùc tr¶n, ta câ (a2 b2 c2 + 2) + 2(a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 + 3) + 4(a2 + b2 + c2 ) 2(ab + bc + ca) + 4(ab + bc + ca) + 3(a2 + b2 + c2 ) 9(ab + bc + ca): B§t ¯ng thùc ÷ñc chùng minh. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c = 1: V½ dö 3 Cho c¡c sè d÷ìng a; b; c: Chùng minh r¬ng 2(a2 + b2 + c2 ) + abc + 8 5(a + b + c): (Tr¦n Nam Dông) LÍI GIƒI. Sû döng b§t ¯ng thùc AM-GM, ta câ 6V T = 12(a2 + b2 + c2 ) + 3(2abc + 1) + 45 5 2 3(a + b + c) p 3 12(a2 + b2 + c2 ) + 9 a2 b2 c2 + 45 5 (a + b + c)2 + 9 9abc = 7(a2 + b2 + c2 ) + p 10(ab + bc + ca) 3 abc 27abc 7(a2 + b2 + c2 ) + 10(ab + bc + ca) a+b+c M°t kh¡c, sû döng b§t ¯ng thùc Schur, 9 a+b+c 4(ab + bc + ca) (a + b + c)2 = 2(ab + bc + ca) c Võ Thành Văn (a2 + b2 + c2 ) 3 3.1 Bất đẳng thức Schur 3 CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Do â 27 10(ab + bc + ca) a+b+c 7(a2 + b2 + c2 ) + 6(ab + bc + ca) 3(a2 + b2 + c2 ) = 4(a2 + b2 + c2 ab bc ca) 0: 7(a2 + b2 + c2 ) + 10(ab + bc + ca) B§t ¯ng thùc ÷ñc chùng minh. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c = 1: V½ dö 4 Cho c¡c sè khæng ¥m a; b; c; khæng câ 2 sè n o çng thíi b¬ng 0: Chùng minh r¬ng b c a + 3 + 3 b3 + c3 a + c3 a + b3 18 5(a2 + b2 + c2 ) ab bc ca : (Michael Rozenberg) LÍI GIƒI. B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh t÷ìng ÷ìng vîi X a(a + b + c) cyc , X cyc b3 18(a + b + c) 5(a2 + b2 + c2 ) ab bc b3 + c3 X a a2 + 3 2 + c2 +c b cyc ca 18(a + b + c) 5(a2 + b2 + c2 ) ab bc bc ca •p döng b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz, ta câ X a2 b3 + c3 cyc X a 2 + c2 b cyc (a2 + b2 + c2 )2 P 2 3 a (b + c3 ) cyc P bc cyc Ta c¦n chùng minh (a2 + b2 + c2 )2 (a + b + c)2 P 2 3 +P 2 3 a (b + c ) a(b + c2 bc) cyc Gi£ sû a + b + c = 1 v (a + b + c)2 a(b2 + c2 bc) 5(a2 18(a + b + c) + + c2 ) ab bc b2 ca cyc n max 0; (4q °t ab + bc + ca = q; abc = r ) r (1 q2 1 2q)2 + (q + 2)r q 6r 5 1)(1 q) 6 18 11q B§t ¯ng thùc cuèi d¹ d ng chùng minh b¬ng c¡ch x²t 2 tr÷íng hñp 1 4q v 4q ¯ng thùc x£y ra khi a = b = c ho°c a = b; c = 0 ho°c c¡c ho¡n và t÷ìng ùng. o . Ta c¦n chùng minh 1. V½ dö 5 Cho c¡c sè d÷ìng a; b; c thäa m¢n a4 + b4 + c4 = 3. Chùng minh r¬ng 1 4 ab + 1 4 bc + 1 4 ca 1: (Moldova TST 2005) c Võ Thành Văn 4 3.1 Bất đẳng thức Schur 3 CÁC VÍ DỤ MINH HỌA LÍI GIƒI. Quy çng m¨u sè rçi khai triºn, ta c¦n chùng minh 49 8(ab + bc + ca) + (a + b + c)abc 64 16(ab + bc + ca) + 4(a + b + c)abc a2 b2 c2 a2 b2 c2 + 8(ab + bc + ca) , 16 + 3(a + b + c)abc •p döng b§t ¯ng thùc Schur v gi£ thi¸t a4 + b4 + c4 = 3, ta câ (a3 + b3 + c3 + 3abc)(a + b + c) [ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a)] (a + b + c) (ab + bc)2 + (bc + ca)2 + (ca + ab)2 , 3 + 3abc(a + b + c) •p döng b§t ¯ng thùc AM-GM, ta câ (ab + bc)2 + (bc + ca)2 + (ca + ab)2 + 12 ) 15 + 3abc(a + b + c) 8(ab + bc + ca) 8(ab + bc + ca) M°t kh¡c ta l¤i câ a2 b2 c2 : 1 Vªy ta câ pcm. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c = 1: V½ dö 6 Cho c¡c sè khæng ¥m a; b; c thäa m¢n ab + bc + ca = 3: Chùng minh r¬ng a3 + b3 + c3 + 7abc 10: (Vasile Cirtoaje) •p döng b§t ¯ng thùc Schur, ta câ r max 0; p2 ) p(4q = max 0; 9 p2 ) p(12 9 Ta c¦n chùng minh p3 N¸u p p3 N¸u p p3 9p + 10r 10 p 2 3 th¼ ta câ 9p + 10r 10 p3 9p 10 12p 9p 10 = 3p 10 > 0 p 2 3 < 4 th¼ 9p + 10r 10 p3 9p + 10 p(12 9 p2 ) 10 = 1 (p 9 3)[(16 p2 ) + 3(4 p) + 2] 0: Vªy ta câ pcm. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c = 1. V½ dö 7 Cho c¡c sè d÷ìng a; b; c thäa m¢n a + b + c = 3: Chùng minh r¬ng 3+ 12 abc 5 1 1 1 + + a b c : (Vã Th nh V«n) c Võ Thành Văn 5 3.1 Bất đẳng thức Schur 3 CÁC VÍ DỤ MINH HỌA LÍI GIƒI. êi bi¸n theo p; q; r, b¥t ¯ng thùc c¦n chùng minh ÷ñc vi¸t l¤i nh÷ sau 3r + 12 5q M°t kh¡c,theo b§t ¯ng thùc Schur, ta câ 3p(4q p2 ) = 4q 9 3r 9 Ta c¦n chùng minh 4q 9 + 12 ,q 5q 3 ( óng). Vªy ta câ pcm. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c = 1: V½ dö 8 Cho a; b; c l c¡c sè thüc d÷ìng thäa m¢n a2 + b2 + c2 = 3. Chùng minh r¬ng 1 2 a + 1 2 b + 1 2 3: c (Ph¤m Kim Hòng) Quy çng, rót gån v êi bi¸n theo p; q; r, b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh t÷ìng ÷ìng vîi 8p + 3r 12 + 5q •p döng b§t ¯ng thùc Schur, ta câ p2 ) p(4q 3r 3 p(2q 3) 3 = Tø gi£ thi¸t p2 2q = 3 )q= p2 3 2 Thay 2 i·u tr¶n v o b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh, ta câ p(p2 6) 3 8p + , (2p 12 + 5(p2 3) 2 3)2 3)(p 0 B§t ¯ng thùc cuèi óng n¶n ta câ pcm. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c = 1: V½ dö 9 Cho c¡c sè khæng ¥m a; b; c thäa m¢n a + b + c = 3: Chùng minh r¬ng 1 9 ab + 1 9 bc + 1 9 ca 3 : 8 (Crux mathematicorum) LÍI GIƒI. B i n y ¢ ÷ñc anh Hòng sû döng cho ph¦n b§t ¯ng thùc Chebyshev trong cuèn "S¡ng t¤o b§t ¯ng thùc". B¥y gií c¡c b¤n s³ ÷ñc th§y mët líi gi£i kh¡c vîi b§t ¯ng thùc Schur v ph÷ìng ph¡p êi bi¸n p; q; r r§t tü nhi¶n. Bi¸n êi b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh v chuyºn v· d¤ng p; q; r, ta câ 8(243 18p + 3r) 3(729 81q + 27r c Võ Thành Văn r2 ) 6 3.2 Phương pháp đổi biến p; q; r 3 , 243 Theo b§t ¯ng thùc AM-GM th¼ 0 6 a+b+c 3 3=3 3r2 99q + 57r CÁC VÍ DỤ MINH HỌA 3(abc)2 = r2 Theo b§t ¯ng thùc Schur, ta câ p2 ) p(4q r 3 ) 57r N¶n ta c¦n chùng minh 72 , 3(1 = 4q 9 19(4q 3 9) 3r2 0 23q 2 r ) + 23(3 q) 0 ( óng). Vªy b§t ¯ng thùc ÷ñc chùng minh. ¯ng thùc x£y ra khi v chi khi a = b = c = 1: 3.2 Phương pháp đổi biến p; q; r V½ dö 10 Cho c¡c sè khæng ¥m a; b; c thäa m¢n a + b + c = 3: Chùng minh r¬ng b2 c c2 a a2 b + + 4 bc 4 ca 4 ab 1: (Ph¤m Kim Hòng) LÍI GIƒI. Quy çng m¨u sè rçi khai triºn, ta c¦n chùng minh X X a2 b2 c 4 a2 b 4 bc cyc cyc Sû döng b§t ¯ng thùc quen thuëc 4 P a2 b abc, ta c¦n chùng minh cyc X a2 b2 c abc cyc bc X ab 4 bc cyc ,1 , 64 4 X X X 32 ab + 8 a2 bc + 4 a2 b2 cyc cyc abc cyc vîi q = ab + bc + ca; r = abc. •p döng b§t ¯ng thùc AM-GM, ta câ q 2 cyc 8q + q 2 , 16 2 ! a b + abc cyc Ti¸p töc sû döng b§t ¯ng thùc tr¶n,ta c¦n chùng minh X X X 64 32 ab + 8 a2 bc + 4 a2 b2 cyc X 4abc cyc r 0 9r n¶n c¦n chùng minh 16 8q + q 2 , (q 3)(q q2 9 6) 0 0: B§t ¯ng thùc cuèi hiºn nhi¶n óng n¶n ta câ pcm. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c = 1 ho°c a = 2; b = 1; c = 0 ho°c c¡c ho¡n và t÷ìng ùng. c Võ Thành Văn 7 3.2 Phương pháp đổi biến p; q; r 3 CÁC VÍ DỤ MINH HỌA V½ dö 11 Cho c¡c sè d÷ìng a; b; c: Chùng minh r¬ng 1 1 1 + + a b c 3a 3b 3c + + : a2 + 2bc b2 + 2ca c2 + 2ab (D÷ìng ùc L¥m) °t a := a1 ; b := 1b ; c := 1c ; b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh t÷ìng ÷ìng vîi X X 3abc a cyc cyc 2a2 1 + bc X a(a2 , bc) 2a2 + bc cyc ,3 X cyc 0 X a3 + bc 2a2 a cyc •p döng b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz, ta câ X a3 2a2 + bc cyc 3 2 a cyc !2 X 2 a cyc 2 P !2 a3 + 3abc cyc ¸n ¥y, ta c¦n chùng minh X P ! a cyc ! X 3 2 a + 3abc cyc Gi£ sû a + b + c = 1; chuyºn v· d¤ng p; q; r, b§t ¯ng thùc trð th nh 2q)2 3(1 Sû döng b§t ¯ng thùc q 2 2 6q + 9r 2 6q + 3q 2 3r; ta c¦n chùng minh 2q)2 3(1 12q + 12q 2 ,3 , (1 3q)2 2 6q + 3q 2 0 ( óng): Vªy ta câ pcm. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c: V½ dö 12 Cho c¡c sè khæng ¥m a; b; c: Chùng minh r¬ng a4 (b + c) + b4 (c + a) + c4 (a + b) 1 (a + b + c)5 : 12 (Vasile Cirtoaje) LÍI GIƒI. Chu©n hâa cho p = 1, b§t ¯ng thùc trð th nh (1 3q)q + (5q 1)r 1 12 ¸n ¥y ta sû döng mët thõ thuªt khi dòng b§t ¯ng thùc Schur, â l chia tr÷íng hñp º gi£i quy¸t c Võ Thành Văn 8 3.2 Phương pháp đổi biến p; q; r N¸u q 1 5 3 CÁC VÍ DỤ MINH HỌA th¼ ta câ (1 3q)q + (5q 1)r (1 3q)q = 1 (1 3 1 3 3q) 3q 1 3q + 3q 2 2 = 1 12 N¸u q > 51 ; ta câ (1 3q)q + (5q 1)r (1 3q)q + (5q q 1 = ( 88q 2 + 32q 9 36 1) 3) + 1 1 < : 12 12 Vªy b§t ¯ng thùc ÷ñc chùng minh. p p ¯ng thùc x£y ra khi a = 0; b = 3+6 3 ; c = 3 6 3 v c¡c ho¡n và Vîi k¾ thuªt x²t tr÷íng hñp º gi£i, chóng ta câ thº d¹ d ng gi£i quy¸t c¡c b i to¡n sau B i to¡n 1 Cho c¡c sè khæng ¥m a; b; c thäa m¢n a + b + c = 1: Chùng minh r¬ng 1 : 32 (a2 + b2 )(b2 + c2 )(c2 + a2 ) H×ÎNG DˆN. Nh¥n v o rçi rót gån, chuyºn b§t ¯ng thùc v· d¤ng p; q; r, ta c¦n chùng minh q2 1 4 ¸n ¥y chóng ta x²t 2 tr÷íng hñp q 2q 3 r(2 + r 1 32 4q) v q > 14 : B i to¡n 2 Cho c¡c sè d÷ìng a; b; c thäa m¢n abc = 1: Chùng minh r¬ng a b c + + a2 + 3 b2 + 3 c2 + 3 3 : 4 (D÷ìng ùc L¥m) H×ÎNG DˆN. ÷a b§t ¯ng thùc v· mët h m theo p f (p) = 27p2 (54 + 12q)p + 9q 2 ¸n ¥y chóng ta chia th nh 2 tr÷íng hñp 18q 58q + 120 58 + 12p v 18q 0 58 + 12p V½ dö 13 Cho c¡c sè khæng ¥m a; b; c thäa m¢n a2 + b2 + c2 = 8. Chùng minh r¬ng 4(a + b + c 4) abc: (Nguy¹n Phi Hòng) LÍI GIƒI. Theo gi£ thi¸t, ta câ p2 r 2q = 8: M°t kh¡c, theo b§t ¯ng thùc Schur bªc 4, ta câ (4q p2 )(p2 6p q) = (p2 16)(p2 + 8) 12p V¼ vªy, ta c¦n chùng minh (p2 , (p 16)(p2 + 8) 12p 4)2 (p2 + p 12p 4(p 8) 4) 0 ( óng): ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = 2; c = 0 ho°c c¡c ho¡n và t÷ìng ùng. c Võ Thành Văn 9 3.2 Phương pháp đổi biến p; q; r 3 CÁC VÍ DỤ MINH HỌA V½ dö 14 Cho c¡c sè d÷ìng a; b; c thäa m¢n a + b + c = 1: Chùng minh r¬ng p p p a2 + abc b2 + abc c2 + abc 1 p : + + b + ca c + ab a + bc 2 abc LÍI GIƒI. êi bi¸n th nh p; q; r, ta câ bê · q 2 (1 q) 2(2 3q) r •p döng BDT Cauchy-Schwarz, ta câ ” X p a2 + abc (b + c)(b + a) cyc ” #2 Xa + c cyc b+c = X 1 b+c cyc a (a + b)(b + c) cyc P 2 P a + ab cyc = Ta câ X # X b b+c cyc X 1 b+c cyc P ab , 1+q q r 1 q q r , 4(1 q , q2 ) r 4(1 q P 1 1 2 b+c ! (a + b + c)2 P 2 P a + ab cyc 1 P 7 5 a2 + ab cyc 1 4abc cyc 1 4r q q 4 cyc 3 cyc b+c ! Xa + c (a + b)(b + c)(c + a) 2 cyc cyc 6X 1 4 (a + b)(b + c)(c + a) cyc b + c a2 + cyc cyc N¶n ta c¦n chùng minh P Xa + c r r q ) r q r =3 q(1 3q)(5 7q) (1 q)(4 7q + q 2 ) 3 Sû döng bê ·, ta câ VT 4(1 q q2 ) q 2 (1 q) 2(2 3q) q q 2 (1 q) 2(2 3q) 3: Vªy ta câ pcm. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c = 31 : Nhªn x²t 1 Vîi b i to¡n n y, chóng tæi câ 2 c¥u häi thó và xin d nh cho c¡c b¤n 1. Chùng minh bê · m chóng tæi ¢ n¶u ð tr¶n. 2. H¢y ch¿ ra con ÷íng º t¼m bê · n y. c Võ Thành Văn 10 3.2 Phương pháp đổi biến p; q; r 3 CÁC VÍ DỤ MINH HỌA V½ dö 15 Cho c¡c sè thüc d÷ìng a; b; c thäa m¢n a + b + c = 1. Chùng minh r¬ng 4 + abc 81(ab + bc + ca) 5 : 27 (Vã Th nh V«n) LÍI GIƒI. •p döng b§t ¯ng thùc Schur, ta câ r p2 ) p(4q = 9 4q 1 9 B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh t÷ìng ÷ìng vîi 4 +r 81q 5 27 Sû döng b§t ¯ng thùc Schur, ta c¦n chùng minh 4 4q 1 + 81q 9 5 27 4 4q + 81q 9 8 27 , B§t ¯ng thùc tr¶n hiºn nhi¶n óng theo b§t ¯ng thùc AM-GM n¶n ta câ pcm. khi a = b = c = 13 : ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ V½ dö 16 Cho c¡c sè khæng ¥m a; b; c thäa m¢n ab + bc + ca = 1: Chùng minh r¬ng ab + 1 bc + 1 ca + 1 + + a+b b+c c+a 3: (Nguy¹n M¤nh Dông) LÍI GIƒI. Ta câ , , X ab + 1 bc + 1 ca + 1 + + a+b b+c c+a (ab + 1)(c + a)(c + b) 3 3(a + b)(b + c)(c + a) cyc X (ab + 1)(c2 + 1) 3[(a + b + c)(ab + bc + ca) abc] cyc , (a2 + b2 + c2 ) + ab + bc + ca + abc(a + b + c) + 3 + 3abc 2 , (a + b + c) + abc(a + b + c + 3) + 2 3(a + b + c) 3(a + b + c) °t p = a + b + c; q = ab + bc + ca = 1; r = abc: B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh trð th nh p2 + r(p + 3) , (p N¸u p N¸u 2 1)(p 3p + 2 2) + r(p + 3) 0 0 2 th¼p b§t ¯ng thùc hiºn nhi¶n óng. p 3; ¡p döng b§t ¯ng thùc Schur, ta câ p3 + 9r 4pq c Võ Thành Văn 11 3.2 Phương pháp đổi biến p; q; r 3 p3 4p ,r CÁC VÍ DỤ MINH HỌA 9 Ta c¦n chùng minh p2 3p + 2 + (p + 3) , p4 + 3p3 , (p B§t ¯ng thùc cuèi hiºn nhi¶n óng v¼ p p3 + 5p2 p3 4p 13p2 + 15p 3 2)(p + 5p 2 0 9 18 0 3p + 9) 0 2v 3p + 9 = p3 + 4p2 + p 3 2 2 + 27 >0 4 Ta câ pcm. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = 1; c = 0 ho°c c¡c ho¡n và V½ dö 17 Cho c¡c sè d÷ìng a; b; c thäa m¢n abc = 1: Chùng minh r¬ng 1 1 1 + 2 + 2 +3 a2 b c 2(a + b + c): (Vietnam MO 2006, B) LÍI GIƒI. th nh °t x = 1 a; y = 1b ; z = 1c , ta câ xyz = 1, çng thíi êi bi¸n th nh p; q; r, ta câ b§t ¯ng thùc trð p2 2q + 3 , 4q p2 2q 3 M b§t ¯ng thùc tr¶n óng theo b§t ¯ng thùc Schur n¶n ta câ pcm. a = b = c = 1: ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi V½ dö 18 Cho c¡c sè khæng ¥m a; b; c; khæng câ 2 sè n o çng thíi b¬ng 0: Chùng minh r¬ng vîi måi k 1; ta luæn câ p a b c (a + b + c)(ab + bc + ca) k + 1: + + +k 2 b+c c+a a+b a3 + b3 + c3 (Ph¤m Sinh T¥n) LÍI GIƒI. êi bi¸n b§t ¯ng thùc theo p; q; r v chu©n hâa cho p = 1. Ta c¦n chùng minh b§t ¯ng thùc 1 2q + 3r +k q r 1 q 3q + 3r p 2 k+1 Ta câ 1 2q + 3r +k q r 1 ¯ng thùc x£y ra khi (a; b; c) = q 3q + 3r p = 1 3q + 3r +k q r 1 1 3q + 3r +k q 1 p p k+2 k 3+ k+1 x; x; 0 2 q +1 3q + 3r q +1 3q + 3r p 2 k + 1: ho°c c¡c ho¡n và t÷ìng ùng. Mët sè b i tªp t÷ìng tü c Võ Thành Văn 12 3.2 Phương pháp đổi biến p; q; r 3 B i to¡n 3 Cho c¡c sè khæng ¥m a; b; c: Chùng minh r¬ng vîi måi k CÁC VÍ DỤ MINH HỌA 1; ta luæn câ a b c (a + b)(b + c)(c + a) + + +k b+c c+a a+b a3 + b3 + c3 p 2 k + 1: (Ph¤m Sinh T¥n) B i to¡n 4 Cho c¡c sè khæng ¥m a; b; c; khæng câ 2 sè n o çng thíi b¬ng 0: Chùng minh r¬ng a b c 9(ab + bc + ca) + + + b+c c+a a+b a2 + b2 + c2 6: (Ph¤m Sinh T¥n) V½ dö 19 Cho c¡c sè khæng ¥m a; b; c; khæng câ 2 sè n o çng thíi b¬ng 0: Chùng minh r¬ng 2 a b+c 2 b c+a + + 2 c a+b + 10abc (a + b)(b + c)(c + a) 2: (D÷ìng ùc L¥m) LÍI GIƒI. °t x = 2a b+c ; y 2b c+a ; z = = 2c a+b , ta câ xy + yz + zx + xyz = 4 B§t ¯ng thùc trð th nh x2 + y 2 + z 2 + 5xyz 8 ÷a b§t ¯ng thùc v· d¤ng p; q; r, tø gi£ thi¸t, ta câ q + r = 4 v b§t ¯ng thùc trð th nh p2 2q + 5r , p2 N¸u 4 8 7q + 12 0 p, sû döngb§t ¯ng thùc Schur, ta câ )4 p2 ) p(4q r 9 q+ p(4q p2 ) 9 p + 36 4p + 9 3 ,q ) p2 7q + 12 p2 7(p3 + 36) + 12 4p + 9 N¶n ta ch¿ c¦n chùng minh ÷ñc p2 i·u n y óng v¼ 4 N¸u p 4, ta câ p2 p 16 7(p3 + 36) + 12 4p + 9 , (p p 3)(p2 0 16) 0 2q p2 2 3q 3: 4q n¶n p2 Vªy b§t ¯ng thùc ÷ñc chùng minh. ho¡n và t÷ìng ùng. 2q + 5r p2 8 ¯ng thùc x£y ra khi x = y = z = 1 ho°c x = y = 2; z = 0 ho°c c¡c c Võ Thành Văn 13 3.2 Phương pháp đổi biến p; q; r 3 CÁC VÍ DỤ MINH HỌA V½ dö 20 Cho c¡c sè khæng ¥m a; b; c thäa m¢n a + b + c = 3: Chùng minh r¬ng 1 6 ab + 1 6 + bc 1 6 3 : 5 ca (Vasile Cirtoaje) LÍI GIƒI. Chuyºn êi b§t ¯ng thùc v· nh÷ sau 108 3r2 48q + 13pr , 4(9 0 4q + 3r) + r(1 r) 0 Ta th§y b§t ¯ng thùc tr¶n óng do 3 a+b+c 3 r = abc =1 v theo b§t ¯ng thùc Schur th¼ 3r 3p(4q p2 ) = 4q 9 ) 3r + 9 4q 0: 9 Vªy b§t ¯ng thùc ÷ñc chùng minh. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c = 1 ho°c a = 0; b = c = 3 2 ho°c c¡c ho¡n và t÷ìng ùng. V½ dö 21 Cho c¡c sè khæng ¥m a; b; c; khæng câ 2 sè n o çng thíi b¬ng 0: Chùng minh r¬ng a2 (b + c) b2 (c + a) c2 (a + b) + 2 + 2 b2 + c2 c + a2 a + b2 a + b + c: (Darij Grinberg) LÍI GIƒI. •p döng b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz, ta c¦n chùng minh ” X a2 (b + c)2 cyc #2 X !” a cyc X # a2 (b + c)(b2 + c2 ) cyc êi bi¸n theo p; q; r, khi â b§t ¯ng thùc vi¸t th nh r(2p3 + 9r 7pq) 0 •p döng BDT Schur, ta câ p3 + 9r 4pq v b§t ¯ng thùc quen thuëc p2 x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c ho°c a = b; c = 0: 3q 0, ta câ pcm. ¯ng thùc V½ dö 22 Cho c¡c sè khæng ¥m a; b; c thäa m¢n a + b + c = 1: Chùng minh r¬ng 5(a2 + b2 + c2 ) 6(a3 + b3 + c3 ) + 1: LÍI GIƒI. êi bi¸n v· p; q; r; ta c¦n chùng minh 5 10q 6(1 , 18r 3q + 3r) + 1 8q + 2 0 M«c kh¡c, b§t ¯ng thùc tr¶n óng theo b§t ¯ng thùc Schur n¶n ta câ pcm. V mët v½ dö iºn h¼nh cho ph÷ìng ph¡p n y l b§t ¯ng thùc Iran 1996 c Võ Thành Văn 14 3.2 Phương pháp đổi biến p; q; r 3 CÁC VÍ DỤ MINH HỌA V½ dö 23 Cho c¡c sè khæng ¥m x; y; z; khæng câ 2 sè n o çng thíi b¬ng 0. Chùng minh r¬ng 1 1 1 + + (x + y)2 (y + z)2 (z + x)2 (xy + yz + zx) 9 : 4 (Iran MO 1996, Ji Chen) LÍI GIƒI. Sû döng ph÷ìng ph¡p êi bi¸n p; q; r, ta chuyºn b§t ¯ng thùc v· d¤ng nh÷ sau q (p2 + q)2 4p(pq (pq r)2 r) 9 4 17p2 q 2 + 4q 3 + 34pqr 9r2 Bi¸n êi t÷ìng ÷ìng, rót gån, ta c¦n chùng minh 4p4 q , pq(p3 4pqr + 9r) + q(p4 0 5p2 q + 4q 2 + 6pr) + r(pq 9r) 0 B§t ¯ng thùc cuèi óng n¶n ta câ pcm. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi x = y = z ho°c x = y; z = 0 ho°c c¡c ho¡n và t÷ìng ùng. Qua c¡c v½ dö tr¶n, câ l³ c¡c b¤n công ¢ ÷ñc h¼nh dung ½t nhi·u v· b§t ¯ng thùc Schur v nhúng ùng döng cõa nâ trong ph÷ìng ph¡p êi bi¸n p; q; r: º k¸t thóc b i vi¸t n y, míi c¡c b¤n còng gi£i mët sè b i tªp sau B i to¡n 5 Cho c¡c sè khæng ¥m a; b; c thäa m¢n a3 + b3 + c3 = 3. Chùng minh r¬ng a4 b4 + b4 c4 + c4 a4 3: (Vasile Cirtoaje) B i to¡n 6 Cho c¡c sè khæng ¥m a; b; c: Chùng minh r¬ng a2 + b2 + c2 + 2abc + 1 2(ab + bc + ca): (Darij Grinberg) B i to¡n 7 Cho c¡c sè khæng ¥m a; b; c thäa m¢n a2 + b2 + c2 = 3. Chùng minh r¬ng 12 + 9abc 7(ab + bc + ca): (Vasile Cirtoaje) B i to¡n 8 Cho c¡c sè d÷ìng a; b; c thäa m¢n abc = 1: Chùng minh r¬ng a2 1 + a + 1 b2 1 + b + 1 c2 1 c+1 3: (Vô ¼nh Quþ) B i to¡n 9 Cho c¡c sè thüc a; b; c thäa m¢n a2 + b2 + c2 = 9. Chùng minh r¬ng 2(a + b + c) abc 10: (Vietnam MO 2002, Tr¦n Nam Dông) B i to¡n 10 Cho c¡c sè d÷ìng a; b; c thäa m¢n abc = 1: Chùng minh r¬ng 1+ 3 a+b+c 6 : ab + bc + ca (Vasile Cirtoaje) c Võ Thành Văn 15 3.2 Phương pháp đổi biến p; q; r 3 CÁC VÍ DỤ MINH HỌA B i to¡n 11 Cho c¡c sè d÷ìng a; b; c thäa m¢n abc = 1: Chùng minh r¬ng 2(a2 + b2 + c2 ) + 12 3(a + b + c) + 3(ab + bc + ca) (Balkan MO) B i to¡n 12 Cho c¡c sè khæng ¥m a; b; c; khæng câ 2 sè n o çng thíi b¬ng 0: Chùng minh r¬ng vîi måi k 3; ta p 1 1 k 2 k+1 1 p + + + : a+b b+c c+a a+b+c ab + bc + ca (Ph¤m Kim Hòng) B i to¡n 13 Cho c¡c sè khæng ¥m a; b; c thäa m¢n ab + bc + ca + 6abc = 9. Chùng minh r¬ng a + b + c + 3abc 6: (L¶ Trung Ki¶n, Vã Quèc B¡ C©n) B i to¡n 14 Cho c¡c sè khæng ¥m x; y; z; khæng câ 2 sè n o çng thíi b¬ng 0: T¼m h¬ng sè a nhä nh§t º b§t ¯ng thùc sau óng x+y+z 3 a 3 xy + yz + zx 3 a 2 (x + y)(y + z)(z + x) : 8 (Ivan Borsenco, Irurie Boreico) B i to¡n 15 Cho c¡c sè d÷ìng a; b; c thäa m¢n abc = 1: Chùng minh r¬ng r 3 3 3 a+b+c 10 a + b + c : 3 3 B i to¡n 16 Cho c¡c sè khæng ¥m a; b; c thäa m¢n a + b + c = 1: Chùng minh r¬ng 1 1 1 + + + 2abc a+b b+c c+a 247 : 54 B i to¡n 17 Cho a; b; c 2 [1; 2]: Chùng minh r¬ng a2 (b + c) + b2 (c + a) + c2 (a + b) 7abc: B i to¡n 18 Cho c¡c sè khæng ¥m a; b; c thäa m¢n a + b + c = 3: Chùng minh r¬ng 5 ab 5 bc 5 ca + + 1+c 1+a 1+b ab + bc + ca: (Vasile Cirtoaje) CHÓC C•C B„N TH€NH CÆNG!!! c Võ Thành Văn 16 Author: Võ Thành Văn Edited and corrected by Võ Quốc Bá Cẩn
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments

Bài viết tương tự

Scroll to Top