Giới thiệu Bất đẳng thức Chur và phương pháp đổi biến PQR
Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và bạn đọc Bất đẳng thức Chur và phương pháp đổi biến PQR.
Tài liệu môn Toán và hướng dẫn giải chi tiết các đề thi sẽ luôn được cập thường xuyên từ hoctoanonline.vn, các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán hay và mới nhất miễn phí nhé.
Tài liệu Bất đẳng thức Chur và phương pháp đổi biến PQR
Các em học sinh và bạn đọc tìm kiếm thêm tài liệu Toán học sinh giỏi tại đây
Bất đẳng thức Schur và phương pháp đổi
biến p,q,r
Võ Thành Văn
Lớp 11 Toán-Khối chuyên THPT-ĐHKH Huế
Nh÷ c¡c b¤n ¢ bi¸t, b§t ¯ng thùc Schur l mët b§t ¯ng thùc m¤nh v câ nhi·u ùng döng, tuy nhi¶n nâ v¨n
cán kh¡ xa l¤ vîi nhi·u b¤n håc sinh THCS công nh÷ THPT. Qua b i vi¸t n y, tæi muèn công c§p th¶m cho
c¡c b¤n mët k¾ thuªt º sû döng tèt BDT Schur, â l k¸t hñp vîi ph÷ìng ph¡p êi bi¸n p; q; r.
Tr÷îc h¸t, tæi xin nh-c l¤i v· b§t ¯ng thùc Schur v ph÷ìng ph¡p êi bi¸n p; q; r.
1
Bất đẳng thức Schur
ành lþ 1 (B§t ¯ng thùc Schur) Vîi måi sè thüc khæng ¥m a; b; c; k; ta luæn câ
ak (a
b)(a
c) + bk (b
c)(b
a) + ck (c
a)(c
b)
0:
Hai tr÷íng hñp quen thuëc ÷ñc sû döng nhi·u l k = 1 v k = 2
2
a(a
b)(a
c) + b(b
c)(b
a) + c(c
a2 (a
b)(a
c) + b2 (b
c)(b
a) + c2 (c
a)(c
b)
a)(c
b)
0
(i)
0
(ii)
Phương pháp đổi biến p; q; r
èi vîi mët sè b i b§t ¯ng thùc thu¦n nh§t èi xùng câ c¡c bi¸n khæng ¥m th¼ ta câ thº êi bi¸n l¤i nh÷ sau
°t p = a + b + c; q = ab + bc + ca; r = abc: V ta thu ÷ñc mët sè ¯ng thùc sau
ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a)
(a + b)(b + c)(c + a)
ab(a2 + b2 ) + bc( b2 + c2 ) + ca(c2 + a2 )
(a + b)(a + c) + (b + c)(b + a) + (c + a)(c + b)
a2 + b2 + c2
a3 + b3 + c3
a4 + b4 + c4
a2 b2 + b2 c2 + c2 a2
a3 b3 + b3 c3 + c3 a3
a4 b4 + b4 c4 + c4 a4
°t L = p2 q 2 + 18pqr
27r2
4q 3
pq 3r
pq r
p2 q 2q 2 pr
p2 + q
p2 2q
p3 3pq + 3r
p4 4p2 q + 2q 2 + 4pr
q 2 2pr
q 3 3pqr + 3r2
q 4 4pq 2 r + 2p2 r2 + 4qr2
4p3 r; khi â
2
2
2
a b+b c+c a =
(a
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
b)(b
c)(c
a)
1
=
pq
3r
p 2
L
p
L
3
CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
Câ thº th§y ngay lñi ½ch cõa ph÷ìng ph¡p n y l mèi r ng buëc giúa c¡c bi¸n p; q; r m c¡c bi¸n a; b; c ban
¦u khæng câ nh÷
p2
p3
q2
pq
2p3 + 9r
p2 q + 3pr
p4 + 4q 2 + 6pr
3q
27r
3pr
9r
7pq
4q 2
5p2 q
Nhúng k¸t qu£ tr¶n ¥y ch-c ch-n l ch÷a õ, c¡c b¤n câ thº ph¡t triºn th¶m nhi·u ¯ng thùc, b§t ¯ng thùc
li¶n h» giúa 3 bi¸n p; q; r. V i·u quan trång m tæi muèn nâi ¸n l tø b§t ¯ng thùc (i) v (ii), ta câ
r
p2 )
p(4q
r
9
p2 )(p2
6p
(4q
(tø (i))
q)
(tø (ii))
Tuy nhi¶n trong mët sè tr÷íng hñp th¼ câ thº c¡c ¤i l÷ñng 4q p2 câ thº nhªn gi¡ trà ¥m l¨n gi¡ trà d÷ìng
n¶n ta th÷íng sû döng
p(4q p2 )
r max 0;
4
r
max 0;
(4q
p2 )(p2
6p
q)
Câ l³ ¸n ¥y c¡c b¤n ¢ hiºu ÷ñc ph¦n n o v· b§t ¯ng thùc Schur v ph÷ìng ph¡p êi bi¸n p; q; r. Sau ¥y
l mët sè v½ dö minh håa, nh÷ng tr÷îc h¸t, c¡c b¤n h¢y tªp l m thû rçi xem ¡p ¡n sau
3
3.1
Các ví dụ minh họa
Bất đẳng thức Schur
V½ dö 1 Cho c¡c sè d÷ìng a; b; c: Chùng minh r¬ng
s
s
s
(a + b)3
(b + c)3
(c + a)3
+
+
8ab(4a + 4b + c)
8bc(4b + 4c + a)
8ca(4c + 4a + b)
1:
(Vã Th nh V«n)
LÍI GIƒI. °t
P =
s
(a + b)3
+
8ab(4a + 4b + c)
s
(b + c)3
+
8bc(4b + 4c + a)
s
(c + a)3
8ca(4c + 4a + b)
Q = 8ab(4a + 4b + c) + 8bc(4b + 4c + a) + 8ca(4c + 4a + b)
= 32(a + b + c)(ab + bc + ca) 72abc
•p döng b§t ¯ng thùc Holder, ta câ
P2 Q
8(a + b + c)3
c Võ Thành Văn
2
3.1 Bất đẳng thức Schur
3
CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
Ta c¦n chùng minh
8(a + b + c)3
3
, 8(a + b + c)
, (a + b + c)3
Q
32(a + b + c)(ab + bc + ca)
4(a + b + c)(ab + bc + ca)
72abc
9abc ( óng theo b§t ¯ng thùc Schur).
Vªy ta câ pcm.
V½ dö 2 Cho c¡c sè d÷ìng a; b; c: Chùng minh r¬ng
(a2 + 2)(b2 + 2)(c2 + 2)
9(ab + bc + ca):
(APMO 2004)
LÍI GIƒI. Khai triºn b§t ¯ng thùc tr¶n, ta c¦n chùng minh
a2 b2 c2 + 2(a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 ) + 4(a2 + b2 + c2 ) + 8
9(ab + bc + ca)
Ta câ
a2 + b2 + c2
ab + bc + ca
(a2 b2 + 1) + (b2 c2 + 1) + (c2 a2 + 1)
a2 b2 c2 + 1 + 1
2(ab + bc + ca)
p
3
3 a2 b2 c2
9abc
a+b+c
4(ab + bc + ca) (a + b + c)2 (theo b§t ¯ng thùc Schur)
•p döng c¡c b§t ¯ng thùc tr¶n, ta câ
(a2 b2 c2 + 2) + 2(a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 + 3) + 4(a2 + b2 + c2 )
2(ab + bc + ca) + 4(ab + bc + ca) + 3(a2 + b2 + c2 )
9(ab + bc + ca):
B§t ¯ng thùc ÷ñc chùng minh. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c = 1:
V½ dö 3 Cho c¡c sè d÷ìng a; b; c: Chùng minh r¬ng
2(a2 + b2 + c2 ) + abc + 8
5(a + b + c):
(Tr¦n Nam Dông)
LÍI GIƒI. Sû döng b§t ¯ng thùc AM-GM, ta câ
6V T
= 12(a2 + b2 + c2 ) + 3(2abc + 1) + 45 5 2 3(a + b + c)
p
3
12(a2 + b2 + c2 ) + 9 a2 b2 c2 + 45 5 (a + b + c)2 + 9
9abc
= 7(a2 + b2 + c2 ) + p
10(ab + bc + ca)
3
abc
27abc
7(a2 + b2 + c2 ) +
10(ab + bc + ca)
a+b+c
M°t kh¡c, sû döng b§t ¯ng thùc Schur,
9
a+b+c
4(ab + bc + ca)
(a + b + c)2 = 2(ab + bc + ca)
c Võ Thành Văn
(a2 + b2 + c2 )
3
3.1 Bất đẳng thức Schur
3
CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
Do â
27
10(ab + bc + ca)
a+b+c
7(a2 + b2 + c2 ) + 6(ab + bc + ca) 3(a2 + b2 + c2 )
= 4(a2 + b2 + c2 ab bc ca) 0:
7(a2 + b2 + c2 ) +
10(ab + bc + ca)
B§t ¯ng thùc ÷ñc chùng minh. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c = 1:
V½ dö 4 Cho c¡c sè khæng ¥m a; b; c; khæng câ 2 sè n o çng thíi b¬ng 0: Chùng minh r¬ng
b
c
a
+ 3
+ 3
b3 + c3
a + c3
a + b3
18
5(a2 + b2 + c2 ) ab
bc
ca
:
(Michael Rozenberg)
LÍI GIƒI. B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh t÷ìng ÷ìng vîi
X a(a + b + c)
cyc
,
X
cyc
b3
18(a + b + c)
5(a2 + b2 + c2 ) ab bc
b3 + c3
X
a
a2
+
3
2 + c2
+c
b
cyc
ca
18(a + b + c)
5(a2 + b2 + c2 ) ab bc
bc
ca
•p döng b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz, ta câ
X
a2
b3 + c3
cyc
X
a
2 + c2
b
cyc
(a2 + b2 + c2 )2
P 2 3
a (b + c3 )
cyc
P
bc
cyc
Ta c¦n chùng minh
(a2 + b2 + c2 )2
(a + b + c)2
P 2 3
+P 2
3
a (b + c )
a(b + c2 bc)
cyc
Gi£ sû a + b + c = 1 v
(a + b + c)2
a(b2 + c2 bc)
5(a2
18(a + b + c)
+ + c2 ) ab bc
b2
ca
cyc
n
max 0; (4q
°t ab + bc + ca = q; abc = r ) r
(1
q2
1
2q)2
+
(q + 2)r q 6r
5
1)(1 q)
6
18
11q
B§t ¯ng thùc cuèi d¹ d ng chùng minh b¬ng c¡ch x²t 2 tr÷íng hñp 1 4q v 4q
¯ng thùc x£y ra khi a = b = c ho°c a = b; c = 0 ho°c c¡c ho¡n và t÷ìng ùng.
o
. Ta c¦n chùng minh
1.
V½ dö 5 Cho c¡c sè d÷ìng a; b; c thäa m¢n a4 + b4 + c4 = 3. Chùng minh r¬ng
1
4
ab
+
1
4
bc
+
1
4
ca
1:
(Moldova TST 2005)
c Võ Thành Văn
4
3.1 Bất đẳng thức Schur
3
CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
LÍI GIƒI. Quy çng m¨u sè rçi khai triºn, ta c¦n chùng minh
49
8(ab + bc + ca) + (a + b + c)abc
64
16(ab + bc + ca) + 4(a + b + c)abc
a2 b2 c2
a2 b2 c2 + 8(ab + bc + ca)
, 16 + 3(a + b + c)abc
•p döng b§t ¯ng thùc Schur v gi£ thi¸t a4 + b4 + c4 = 3, ta câ
(a3 + b3 + c3 + 3abc)(a + b + c)
[ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a)] (a + b + c)
(ab + bc)2 + (bc + ca)2 + (ca + ab)2
, 3 + 3abc(a + b + c)
•p döng b§t ¯ng thùc AM-GM, ta câ
(ab + bc)2 + (bc + ca)2 + (ca + ab)2 + 12
) 15 + 3abc(a + b + c)
8(ab + bc + ca)
8(ab + bc + ca)
M°t kh¡c ta l¤i câ
a2 b2 c2 :
1
Vªy ta câ pcm. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c = 1:
V½ dö 6 Cho c¡c sè khæng ¥m a; b; c thäa m¢n ab + bc + ca = 3: Chùng minh r¬ng
a3 + b3 + c3 + 7abc
10:
(Vasile Cirtoaje)
•p döng b§t ¯ng thùc Schur, ta câ
r
max 0;
p2 )
p(4q
= max 0;
9
p2 )
p(12
9
Ta c¦n chùng minh
p3
N¸u p
p3
N¸u p
p3
9p + 10r
10
p
2 3 th¼ ta câ
9p + 10r
10
p3
9p
10
12p
9p
10 = 3p
10 > 0
p
2 3 < 4 th¼
9p + 10r
10
p3
9p +
10
p(12
9
p2 )
10 =
1
(p
9
3)[(16
p2 ) + 3(4
p) + 2]
0:
Vªy ta câ pcm. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c = 1.
V½ dö 7 Cho c¡c sè d÷ìng a; b; c thäa m¢n a + b + c = 3: Chùng minh r¬ng
3+
12
abc
5
1 1 1
+ +
a b
c
:
(Vã Th nh V«n)
c Võ Thành Văn
5
3.1 Bất đẳng thức Schur
3
CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
LÍI GIƒI. êi bi¸n theo p; q; r, b¥t ¯ng thùc c¦n chùng minh ÷ñc vi¸t l¤i nh÷ sau
3r + 12
5q
M°t kh¡c,theo b§t ¯ng thùc Schur, ta câ
3p(4q p2 )
= 4q
9
3r
9
Ta c¦n chùng minh
4q
9 + 12
,q
5q
3 ( óng).
Vªy ta câ pcm. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c = 1:
V½ dö 8 Cho a; b; c l c¡c sè thüc d÷ìng thäa m¢n a2 + b2 + c2 = 3. Chùng minh r¬ng
1
2
a
+
1
2
b
+
1
2
3:
c
(Ph¤m Kim Hòng)
Quy çng, rót gån v
êi bi¸n theo p; q; r, b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh t÷ìng ÷ìng vîi
8p + 3r
12 + 5q
•p döng b§t ¯ng thùc Schur, ta câ
p2 )
p(4q
3r
3
p(2q 3)
3
=
Tø gi£ thi¸t
p2
2q = 3
)q=
p2
3
2
Thay 2 i·u tr¶n v o b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh, ta câ
p(p2 6)
3
8p +
, (2p
12 +
5(p2 3)
2
3)2
3)(p
0
B§t ¯ng thùc cuèi óng n¶n ta câ pcm. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c = 1:
V½ dö 9 Cho c¡c sè khæng ¥m a; b; c thäa m¢n a + b + c = 3: Chùng minh r¬ng
1
9
ab
+
1
9
bc
+
1
9
ca
3
:
8
(Crux mathematicorum)
LÍI GIƒI. B i n y ¢ ÷ñc anh Hòng sû döng cho ph¦n b§t ¯ng thùc Chebyshev trong cuèn "S¡ng t¤o b§t
¯ng thùc". B¥y gií c¡c b¤n s³ ÷ñc th§y mët líi gi£i kh¡c vîi b§t ¯ng thùc Schur v ph÷ìng ph¡p êi bi¸n
p; q; r r§t tü nhi¶n.
Bi¸n êi b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh v chuyºn v· d¤ng p; q; r, ta câ
8(243
18p + 3r)
3(729
81q + 27r
c Võ Thành Văn
r2 )
6
3.2 Phương pháp đổi biến p; q; r
3
, 243
Theo b§t ¯ng thùc AM-GM th¼
0
6
a+b+c
3
3=3
3r2
99q + 57r
CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
3(abc)2 = r2
Theo b§t ¯ng thùc Schur, ta câ
p2 )
p(4q
r
3
) 57r
N¶n ta c¦n chùng minh
72
, 3(1
=
4q
9
19(4q
3
9)
3r2
0
23q
2
r ) + 23(3
q)
0 ( óng).
Vªy b§t ¯ng thùc ÷ñc chùng minh. ¯ng thùc x£y ra khi v chi khi a = b = c = 1:
3.2
Phương pháp đổi biến p; q; r
V½ dö 10 Cho c¡c sè khæng ¥m a; b; c thäa m¢n a + b + c = 3: Chùng minh r¬ng
b2 c
c2 a
a2 b
+
+
4 bc 4 ca 4 ab
1:
(Ph¤m Kim Hòng)
LÍI GIƒI. Quy çng m¨u sè rçi khai triºn, ta c¦n chùng minh
X
X a2 b2 c
4
a2 b
4 bc
cyc
cyc
Sû döng b§t ¯ng thùc quen thuëc 4
P
a2 b
abc, ta c¦n chùng minh
cyc
X a2 b2 c
abc
cyc
bc
X ab
4 bc
cyc
,1
, 64
4
X
X
X
32 ab + 8 a2 bc + 4 a2 b2
cyc
cyc
abc
cyc
vîi q = ab + bc + ca; r = abc.
•p döng b§t ¯ng thùc AM-GM, ta câ q 2
cyc
8q + q 2
, 16
2
!
a b + abc
cyc
Ti¸p töc sû döng b§t ¯ng thùc tr¶n,ta c¦n chùng minh
X
X
X
64 32 ab + 8 a2 bc + 4 a2 b2
cyc
X
4abc
cyc
r
0
9r n¶n c¦n chùng minh
16
8q + q 2
, (q
3)(q
q2
9
6)
0
0:
B§t ¯ng thùc cuèi hiºn nhi¶n óng n¶n ta câ pcm.
¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c = 1 ho°c a = 2; b = 1; c = 0 ho°c c¡c ho¡n và t÷ìng ùng.
c Võ Thành Văn
7
3.2 Phương pháp đổi biến p; q; r
3
CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
V½ dö 11 Cho c¡c sè d÷ìng a; b; c: Chùng minh r¬ng
1 1 1
+ +
a b
c
3a
3b
3c
+
+
:
a2 + 2bc b2 + 2ca c2 + 2ab
(D÷ìng ùc L¥m)
°t a := a1 ; b := 1b ; c := 1c ; b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh t÷ìng ÷ìng vîi
X
X
3abc
a
cyc
cyc
2a2
1
+ bc
X a(a2
,
bc)
2a2 + bc
cyc
,3
X
cyc
0
X
a3
+ bc
2a2
a
cyc
•p döng b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz, ta câ
X
a3
2a2 + bc
cyc
3
2
a
cyc
!2
X
2
a
cyc
2
P
!2
a3 + 3abc
cyc
¸n ¥y, ta c¦n chùng minh
X
P
!
a
cyc
!
X
3
2 a + 3abc
cyc
Gi£ sû a + b + c = 1; chuyºn v· d¤ng p; q; r, b§t ¯ng thùc trð th nh
2q)2
3(1
Sû döng b§t ¯ng thùc q 2
2
6q + 9r
2
6q + 3q 2
3r; ta c¦n chùng minh
2q)2
3(1
12q + 12q 2
,3
, (1
3q)2
2
6q + 3q 2
0 ( óng):
Vªy ta câ pcm. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c:
V½ dö 12 Cho c¡c sè khæng ¥m a; b; c: Chùng minh r¬ng
a4 (b + c) + b4 (c + a) + c4 (a + b)
1
(a + b + c)5 :
12
(Vasile Cirtoaje)
LÍI GIƒI. Chu©n hâa cho p = 1, b§t ¯ng thùc trð th nh
(1
3q)q + (5q
1)r
1
12
¸n ¥y ta sû döng mët thõ thuªt khi dòng b§t ¯ng thùc Schur, â l chia tr÷íng hñp º gi£i quy¸t
c Võ Thành Văn
8
3.2 Phương pháp đổi biến p; q; r
N¸u q
1
5
3
CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
th¼ ta câ
(1
3q)q + (5q
1)r
(1
3q)q =
1
(1
3
1
3
3q) 3q
1
3q + 3q
2
2
=
1
12
N¸u q > 51 ; ta câ
(1
3q)q + (5q
1)r
(1
3q)q + (5q
q
1
=
( 88q 2 + 32q
9
36
1)
3) +
1
1
<
:
12
12
Vªy b§t ¯ng thùc ÷ñc chùng minh.
p
p
¯ng thùc x£y ra khi a = 0; b = 3+6 3 ; c = 3 6 3 v c¡c ho¡n và
Vîi k¾ thuªt x²t tr÷íng hñp º gi£i, chóng ta câ thº d¹ d ng gi£i quy¸t c¡c b i to¡n sau
B i to¡n 1 Cho c¡c sè khæng ¥m a; b; c thäa m¢n a + b + c = 1: Chùng minh r¬ng
1
:
32
(a2 + b2 )(b2 + c2 )(c2 + a2 )
H×ÎNG DˆN. Nh¥n v o rçi rót gån, chuyºn b§t ¯ng thùc v· d¤ng p; q; r, ta c¦n chùng minh
q2
1
4
¸n ¥y chóng ta x²t 2 tr÷íng hñp q
2q 3
r(2 + r
1
32
4q)
v q > 14 :
B i to¡n 2 Cho c¡c sè d÷ìng a; b; c thäa m¢n abc = 1: Chùng minh r¬ng
a
b
c
+
+
a2 + 3 b2 + 3 c2 + 3
3
:
4
(D÷ìng ùc L¥m)
H×ÎNG DˆN.
÷a b§t ¯ng thùc v· mët h m theo p
f (p) = 27p2
(54 + 12q)p + 9q 2
¸n ¥y chóng ta chia th nh 2 tr÷íng hñp 18q
58q + 120
58 + 12p v 18q
0
58 + 12p
V½ dö 13 Cho c¡c sè khæng ¥m a; b; c thäa m¢n a2 + b2 + c2 = 8. Chùng minh r¬ng
4(a + b + c
4)
abc:
(Nguy¹n Phi Hòng)
LÍI GIƒI. Theo gi£ thi¸t, ta câ p2
r
2q = 8: M°t kh¡c, theo b§t ¯ng thùc Schur bªc 4, ta câ
(4q
p2 )(p2
6p
q)
=
(p2
16)(p2 + 8)
12p
V¼ vªy, ta c¦n chùng minh
(p2
,
(p
16)(p2 + 8)
12p
4)2 (p2 + p
12p
4(p
8)
4)
0 ( óng):
¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = 2; c = 0 ho°c c¡c ho¡n và t÷ìng ùng.
c Võ Thành Văn
9
3.2 Phương pháp đổi biến p; q; r
3
CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
V½ dö 14 Cho c¡c sè d÷ìng a; b; c thäa m¢n a + b + c = 1: Chùng minh r¬ng
p
p
p
a2 + abc
b2 + abc
c2 + abc
1
p
:
+
+
b + ca
c + ab
a + bc
2 abc
LÍI GIƒI. êi bi¸n th nh p; q; r, ta câ bê ·
q 2 (1 q)
2(2 3q)
r
•p döng BDT Cauchy-Schwarz, ta câ
”
X
p
a2 + abc
(b + c)(b + a)
cyc
”
#2
Xa + c
cyc
b+c
=
X 1
b+c
cyc
a
(a + b)(b + c)
cyc
P 2 P
a + ab
cyc
=
Ta câ
X
#
X b
b+c
cyc
X 1
b+c
cyc
P
ab
,
1+q
q r
1
q
q
r
,
4(1
q
,
q2 )
r
4(1
q
P
1
1
2
b+c
!
(a + b + c)2
P 2 P
a + ab
cyc
1
P 7
5
a2 + ab
cyc
1
4abc
cyc
1
4r
q
q
4
cyc
3
cyc
b+c
!
Xa + c
(a + b)(b + c)(c + a)
2
cyc
cyc
6X 1
4
(a + b)(b + c)(c + a) cyc b + c
a2 +
cyc
cyc
N¶n ta c¦n chùng minh
P
Xa + c
r
r
q )
r
q
r
=3
q(1 3q)(5 7q)
(1 q)(4 7q + q 2 )
3
Sû döng bê ·, ta câ
VT
4(1
q
q2 )
q 2 (1
q)
2(2 3q)
q
q 2 (1 q)
2(2 3q)
3:
Vªy ta câ pcm. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c = 31 :
Nhªn x²t 1 Vîi b i to¡n n y, chóng tæi câ 2 c¥u häi thó và xin d nh cho c¡c b¤n
1. Chùng minh bê · m chóng tæi ¢ n¶u ð tr¶n.
2. H¢y ch¿ ra con ÷íng º t¼m bê · n y.
c Võ Thành Văn
10
3.2 Phương pháp đổi biến p; q; r
3
CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
V½ dö 15 Cho c¡c sè thüc d÷ìng a; b; c thäa m¢n a + b + c = 1. Chùng minh r¬ng
4
+ abc
81(ab + bc + ca)
5
:
27
(Vã Th nh V«n)
LÍI GIƒI. •p döng b§t ¯ng thùc Schur, ta câ
r
p2 )
p(4q
=
9
4q
1
9
B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh t÷ìng ÷ìng vîi
4
+r
81q
5
27
Sû döng b§t ¯ng thùc Schur, ta c¦n chùng minh
4
4q 1
+
81q
9
5
27
4
4q
+
81q
9
8
27
,
B§t ¯ng thùc tr¶n hiºn nhi¶n óng theo b§t ¯ng thùc AM-GM n¶n ta câ pcm.
khi a = b = c = 13 :
¯ng thùc x£y ra khi v ch¿
V½ dö 16 Cho c¡c sè khæng ¥m a; b; c thäa m¢n ab + bc + ca = 1: Chùng minh r¬ng
ab + 1 bc + 1 ca + 1
+
+
a+b
b+c
c+a
3:
(Nguy¹n M¤nh Dông)
LÍI GIƒI. Ta câ
,
,
X
ab + 1 bc + 1 ca + 1
+
+
a+b
b+c
c+a
(ab + 1)(c + a)(c + b)
3
3(a + b)(b + c)(c + a)
cyc
X
(ab + 1)(c2 + 1)
3[(a + b + c)(ab + bc + ca)
abc]
cyc
, (a2 + b2 + c2 ) + ab + bc + ca + abc(a + b + c) + 3 + 3abc
2
, (a + b + c) + abc(a + b + c + 3) + 2
3(a + b + c)
3(a + b + c)
°t p = a + b + c; q = ab + bc + ca = 1; r = abc: B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh trð th nh
p2 + r(p + 3)
, (p
N¸u p
N¸u 2
1)(p
3p + 2
2) + r(p + 3)
0
0
2 th¼p
b§t ¯ng thùc hiºn nhi¶n óng.
p
3; ¡p döng b§t ¯ng thùc Schur, ta câ
p3 + 9r
4pq
c Võ Thành Văn
11
3.2 Phương pháp đổi biến p; q; r
3
p3
4p
,r
CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
9
Ta c¦n chùng minh
p2
3p + 2 + (p + 3)
, p4 + 3p3
, (p
B§t ¯ng thùc cuèi hiºn nhi¶n óng v¼ p
p3 + 5p2
p3
4p
13p2 + 15p
3
2)(p + 5p
2
0
9
18
0
3p + 9)
0
2v
3p + 9 = p3 + 4p2 + p
3
2
2
+
27
>0
4
Ta câ pcm. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = 1; c = 0 ho°c c¡c ho¡n và
V½ dö 17 Cho c¡c sè d÷ìng a; b; c thäa m¢n abc = 1: Chùng minh r¬ng
1
1
1
+ 2 + 2 +3
a2
b
c
2(a + b + c):
(Vietnam MO 2006, B)
LÍI GIƒI.
th nh
°t x =
1
a; y
= 1b ; z = 1c , ta câ xyz = 1, çng thíi êi bi¸n th nh p; q; r, ta câ b§t ¯ng thùc trð
p2
2q + 3
, 4q
p2
2q
3
M b§t ¯ng thùc tr¶n óng theo b§t ¯ng thùc Schur n¶n ta câ pcm.
a = b = c = 1:
¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi
V½ dö 18 Cho c¡c sè khæng ¥m a; b; c; khæng câ 2 sè n o çng thíi b¬ng 0: Chùng minh r¬ng vîi måi k 1;
ta luæn câ
p
a
b
c
(a + b + c)(ab + bc + ca)
k + 1:
+
+
+k
2
b+c c+a a+b
a3 + b3 + c3
(Ph¤m Sinh T¥n)
LÍI GIƒI. êi bi¸n b§t ¯ng thùc theo p; q; r v chu©n hâa cho p = 1. Ta c¦n chùng minh b§t ¯ng thùc
1
2q + 3r
+k
q r
1
q
3q + 3r
p
2 k+1
Ta câ
1
2q + 3r
+k
q r
1
¯ng thùc x£y ra khi (a; b; c) =
q
3q + 3r
p
=
1
3q + 3r
+k
q r
1
1 3q + 3r
+k
q
1
p
p
k+2 k 3+ k+1
x; x; 0
2
q
+1
3q + 3r
q
+1
3q + 3r
p
2 k + 1:
ho°c c¡c ho¡n và t÷ìng ùng.
Mët sè b i tªp t÷ìng tü
c Võ Thành Văn
12
3.2 Phương pháp đổi biến p; q; r
3
B i to¡n 3 Cho c¡c sè khæng ¥m a; b; c: Chùng minh r¬ng vîi måi k
CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
1; ta luæn câ
a
b
c
(a + b)(b + c)(c + a)
+
+
+k
b+c c+a a+b
a3 + b3 + c3
p
2 k + 1:
(Ph¤m Sinh T¥n)
B i to¡n 4 Cho c¡c sè khæng ¥m a; b; c; khæng câ 2 sè n o çng thíi b¬ng 0: Chùng minh r¬ng
a
b
c
9(ab + bc + ca)
+
+
+
b+c c+a a+b
a2 + b2 + c2
6:
(Ph¤m Sinh T¥n)
V½ dö 19 Cho c¡c sè khæng ¥m a; b; c; khæng câ 2 sè n o çng thíi b¬ng 0: Chùng minh r¬ng
2
a
b+c
2
b
c+a
+
+
2
c
a+b
+
10abc
(a + b)(b + c)(c + a)
2:
(D÷ìng ùc L¥m)
LÍI GIƒI. °t x =
2a
b+c ; y
2b
c+a ; z
=
=
2c
a+b ,
ta câ
xy + yz + zx + xyz = 4
B§t ¯ng thùc trð th nh
x2 + y 2 + z 2 + 5xyz
8
÷a b§t ¯ng thùc v· d¤ng p; q; r, tø gi£ thi¸t, ta câ q + r = 4 v b§t ¯ng thùc trð th nh
p2
2q + 5r
, p2
N¸u 4
8
7q + 12
0
p, sû döngb§t ¯ng thùc Schur, ta câ
)4
p2 )
p(4q
r
9
q+
p(4q
p2 )
9
p + 36
4p + 9
3
,q
) p2
7q + 12
p2
7(p3 + 36)
+ 12
4p + 9
N¶n ta ch¿ c¦n chùng minh ÷ñc
p2
i·u n y óng v¼ 4
N¸u p 4, ta câ p2
p
16
7(p3 + 36)
+ 12
4p + 9
, (p
p
3)(p2
0
16)
0
2q
p2
2
3q 3:
4q n¶n
p2
Vªy b§t ¯ng thùc ÷ñc chùng minh.
ho¡n và t÷ìng ùng.
2q + 5r
p2
8
¯ng thùc x£y ra khi x = y = z = 1 ho°c x = y = 2; z = 0 ho°c c¡c
c Võ Thành Văn
13
3.2 Phương pháp đổi biến p; q; r
3
CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
V½ dö 20 Cho c¡c sè khæng ¥m a; b; c thäa m¢n a + b + c = 3: Chùng minh r¬ng
1
6
ab
+
1
6
+
bc
1
6
3
:
5
ca
(Vasile Cirtoaje)
LÍI GIƒI. Chuyºn êi b§t ¯ng thùc v· nh÷ sau
108
3r2
48q + 13pr
, 4(9
0
4q + 3r) + r(1
r)
0
Ta th§y b§t ¯ng thùc tr¶n óng do
3
a+b+c
3
r = abc
=1
v theo b§t ¯ng thùc Schur th¼
3r
3p(4q p2 )
= 4q
9
) 3r + 9 4q 0:
9
Vªy b§t ¯ng thùc ÷ñc chùng minh.
¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c = 1 ho°c a = 0; b = c =
3
2
ho°c c¡c ho¡n và t÷ìng ùng.
V½ dö 21 Cho c¡c sè khæng ¥m a; b; c; khæng câ 2 sè n o çng thíi b¬ng 0: Chùng minh r¬ng
a2 (b + c) b2 (c + a) c2 (a + b)
+ 2
+ 2
b2 + c2
c + a2
a + b2
a + b + c:
(Darij Grinberg)
LÍI GIƒI. •p döng b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz, ta c¦n chùng minh
”
X
a2 (b + c)2
cyc
#2
X
!”
a
cyc
X
#
a2 (b + c)(b2 + c2 )
cyc
êi bi¸n theo p; q; r, khi â b§t ¯ng thùc vi¸t th nh
r(2p3 + 9r
7pq)
0
•p döng BDT Schur, ta câ p3 + 9r 4pq v b§t ¯ng thùc quen thuëc p2
x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c ho°c a = b; c = 0:
3q
0, ta câ pcm.
¯ng thùc
V½ dö 22 Cho c¡c sè khæng ¥m a; b; c thäa m¢n a + b + c = 1: Chùng minh r¬ng
5(a2 + b2 + c2 )
6(a3 + b3 + c3 ) + 1:
LÍI GIƒI. êi bi¸n v· p; q; r; ta c¦n chùng minh
5
10q
6(1
, 18r
3q + 3r) + 1
8q + 2
0
M«c kh¡c, b§t ¯ng thùc tr¶n óng theo b§t ¯ng thùc Schur n¶n ta câ pcm.
V mët v½ dö iºn h¼nh cho ph÷ìng ph¡p n y l b§t ¯ng thùc Iran 1996
c Võ Thành Văn
14
3.2 Phương pháp đổi biến p; q; r
3
CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
V½ dö 23 Cho c¡c sè khæng ¥m x; y; z; khæng câ 2 sè n o çng thíi b¬ng 0. Chùng minh r¬ng
1
1
1
+
+
(x + y)2
(y + z)2
(z + x)2
(xy + yz + zx)
9
:
4
(Iran MO 1996, Ji Chen)
LÍI GIƒI. Sû döng ph÷ìng ph¡p êi bi¸n p; q; r, ta chuyºn b§t ¯ng thùc v· d¤ng nh÷ sau
q
(p2 + q)2 4p(pq
(pq r)2
r)
9
4
17p2 q 2 + 4q 3 + 34pqr
9r2
Bi¸n êi t÷ìng ÷ìng, rót gån, ta c¦n chùng minh
4p4 q
, pq(p3
4pqr + 9r) + q(p4
0
5p2 q + 4q 2 + 6pr) + r(pq
9r)
0
B§t ¯ng thùc cuèi óng n¶n ta câ pcm. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi x = y = z ho°c x = y; z = 0 ho°c
c¡c ho¡n và t÷ìng ùng.
Qua c¡c v½ dö tr¶n, câ l³ c¡c b¤n công ¢ ÷ñc h¼nh dung ½t nhi·u v· b§t ¯ng thùc Schur v nhúng ùng döng
cõa nâ trong ph÷ìng ph¡p êi bi¸n p; q; r: º k¸t thóc b i vi¸t n y, míi c¡c b¤n còng gi£i mët sè b i tªp sau
B i to¡n 5 Cho c¡c sè khæng ¥m a; b; c thäa m¢n a3 + b3 + c3 = 3. Chùng minh r¬ng
a4 b4 + b4 c4 + c4 a4
3:
(Vasile Cirtoaje)
B i to¡n 6 Cho c¡c sè khæng ¥m a; b; c: Chùng minh r¬ng
a2 + b2 + c2 + 2abc + 1
2(ab + bc + ca):
(Darij Grinberg)
B i to¡n 7 Cho c¡c sè khæng ¥m a; b; c thäa m¢n a2 + b2 + c2 = 3. Chùng minh r¬ng
12 + 9abc
7(ab + bc + ca):
(Vasile Cirtoaje)
B i to¡n 8 Cho c¡c sè d÷ìng a; b; c thäa m¢n abc = 1: Chùng minh r¬ng
a2
1
+
a + 1 b2
1
+
b + 1 c2
1
c+1
3:
(Vô ¼nh Quþ)
B i to¡n 9 Cho c¡c sè thüc a; b; c thäa m¢n a2 + b2 + c2 = 9. Chùng minh r¬ng
2(a + b + c)
abc
10:
(Vietnam MO 2002, Tr¦n Nam Dông)
B i to¡n 10 Cho c¡c sè d÷ìng a; b; c thäa m¢n abc = 1: Chùng minh r¬ng
1+
3
a+b+c
6
:
ab + bc + ca
(Vasile Cirtoaje)
c Võ Thành Văn
15
3.2 Phương pháp đổi biến p; q; r
3
CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
B i to¡n 11 Cho c¡c sè d÷ìng a; b; c thäa m¢n abc = 1: Chùng minh r¬ng
2(a2 + b2 + c2 ) + 12
3(a + b + c) + 3(ab + bc + ca)
(Balkan MO)
B i to¡n 12 Cho c¡c sè khæng ¥m a; b; c; khæng câ 2 sè n o çng thíi b¬ng 0: Chùng minh r¬ng vîi måi
k 3; ta
p
1
1
k
2 k+1
1
p
+
+
+
:
a+b b+c c+a a+b+c
ab + bc + ca
(Ph¤m Kim Hòng)
B i to¡n 13 Cho c¡c sè khæng ¥m a; b; c thäa m¢n ab + bc + ca + 6abc = 9. Chùng minh r¬ng
a + b + c + 3abc
6:
(L¶ Trung Ki¶n, Vã Quèc B¡ C©n)
B i to¡n 14 Cho c¡c sè khæng ¥m x; y; z; khæng câ 2 sè n o çng thíi b¬ng 0: T¼m h¬ng sè a nhä nh§t º
b§t ¯ng thùc sau óng
x+y+z
3
a
3
xy + yz + zx
3
a
2
(x + y)(y + z)(z + x)
:
8
(Ivan Borsenco, Irurie Boreico)
B i to¡n 15 Cho c¡c sè d÷ìng a; b; c thäa m¢n abc = 1: Chùng minh r¬ng
r
3
3
3
a+b+c
10 a + b + c
:
3
3
B i to¡n 16 Cho c¡c sè khæng ¥m a; b; c thäa m¢n a + b + c = 1: Chùng minh r¬ng
1
1
1
+
+
+ 2abc
a+b b+c c+a
247
:
54
B i to¡n 17 Cho a; b; c 2 [1; 2]: Chùng minh r¬ng
a2 (b + c) + b2 (c + a) + c2 (a + b)
7abc:
B i to¡n 18 Cho c¡c sè khæng ¥m a; b; c thäa m¢n a + b + c = 3: Chùng minh r¬ng
5 ab 5 bc 5 ca
+
+
1+c
1+a
1+b
ab + bc + ca:
(Vasile Cirtoaje)
CHÓC C•C B„N TH€NH CÆNG!!!
c Võ Thành Văn
16
Author: Võ Thành Văn
Edited and corrected by Võ Quốc Bá Cẩn