Bảng tóm tắt công thức Toán 12

Giới thiệu Bảng tóm tắt công thức Toán 12

Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và bạn đọc Bảng tóm tắt công thức Toán 12.

Tài liệu môn Toán 12 và hướng dẫn giải chi tiết các đề thi sẽ luôn được cập thường xuyên từ hoctoanonline.vn, các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán hay và mới nhất miễn phí nhé.

Tài liệu Bảng tóm tắt công thức Toán 12

Các em học sinh và bạn đọc tìm kiếm thêm tài liệu Toán 12 tại đây

Text Bảng tóm tắt công thức Toán 12
BAÛNG TOÙM TAÉT COÂNG THÖÙC TOAÙN 12 COÂNG THÖÙC LUÕY THÖØA Cho caùc soá döông a, b vaø m, n    a0  1 . Ta coù: a.a………..a vôùi n  an * n thöøa soá  (a )  a m n mn  (a n ) m  a .a  a m n m n 1 an  an   am  a mn n a 1  a b  (ab) n n a a   bn  b  n n  n  m an  a  a  a2 n m 1  3 a  a3 COÂNG THÖÙC LOGARIT Cho caùc soá a, b  0, a  1. Ta coù:  log a b    a  b  lg b  log b  log10 b  ln b  log e b  log a 1  0  log a a  1  log a a  b  log a b  n log a b  log am b n   log a (bc)  log a b  log a c b  log a    log a b  log a c c  log a b.logb c  log a c  a loga b  b   log c log a a b  c b 1  log a b  logb a   log am b  1 log a b m b n log a c  logb c log a b n log a b m HAØM SOÁ LUÕY THÖØA – MUÕ – LOGARIT HAØM LUÕY THÖØA  Daïng: y  x yu  vôùi u laø ña ax y a u vôùi a 0 a 1 Neáu ÑK u . Neáu ÑK u 0. ÑK . . u 0. ax y a x ln a y au y a x ln a. u Ñaëc bieät: Neáu a y  x   y   x 1  1 (e x ) ex (eu ) eu . u  Söï bieán thieân: y  Ñaïo haøm: y  u   y   u y treân . u . . ax 1 thì haøm ñoàng bieán . Neáu 0 a 1 thì haøm nghòch bieán treân  Daïng: . y log a x y log a u  Ñaëc bieät: a a  Ñaïo haøm:  Taäp xaùc ñònh:   Daïng: y HAØM SOÁ LOGARIT  Taäp xaùc ñònh: D thöùc ñaïi soá. Neáu HAØM SOÁ MUÕ 10 y e vôùi y log x a 0 a 1 . ln x ; lg x .  Ñieàu kieän xaùc ñònh: u 0 .  Ñaïo haøm: 1 y log a x y x ln a . u y log a u y u ln a 1 (ln x) x Ñaëc bieät: . u (ln u) u  Söï bieán thieân: y log a x Neáu a treân (0; 1 : haøm ñoàng bieán ) . Neáu 0 a haøm nghòch bieán treân (0; 1: ) ÑOÀ THÒ HAØM MUÕ VAØ HAØM LOGARIT ÑOÀ THÒ HAØM SOÁ MUÕ  Ta thaáy: a x 0  Ta thaáy: cx c a 1; bx 1; dx ÑOÀ THÒ HAØM SOÁ LOGARIT b 0 d 1. 1.  So saùnh a vôùi b: Ñöùng treân cao, baén muõi teân töø traùi sang phaûi, truùng a x tröôùc neân a b .  So saùnh c vôùi d: Ñöùng treân cao, baén muõi teân töø traùi sang phaûi, truùng c x tröôùc neân c d.  Vaäy 0 b a 1 d c.  Ta thaáy: log a x 0 a 1; logb x  Ta thaáy: log c x c 1; log d x 0 d b 1. 1.  So saùnh a vôùi b: Ñöùng treân cao, baén muõi teân töø phaûi sang traùi, truùng log b x tröôùc: b a.  So saùnh c vôùi d: Ñöùng treân cao, baén muõi teân töø phaûi sang traùi, truùng log d x tröôùc: d c.  Vaäy 0 a b 1 c d. PHÖÔNG TRÌNH MUÕ VAØ LOGARIT Phöông trình muõ  Daïng cô baûn: a f ( x)  a g ( x )  f ( x)  g ( x)  Daïng logarit hoùa: Phöông trình Logarit  Daïng cô baûn: log a f ( x)  log ag( x)  f ( x)  g ( x)  0  Daïng muõ hoùa: log a f ( x)  b  f ( x)  a a f ( x )  b  f ( x)  log a b b (khoâng caàn ñieàu kieän) a f ( x )  b g ( x )  f ( x)  g ( x).log a b BAÁT PHÖÔNG TRÌNH MUÕ VAØ LOGARIT Baát Phöông trình muõ Baát Phöông trình Logarit  Daïng cô baûn: a 1  Daïng cô baûn:  a f ( x )  a g ( x )  f ( x)  g ( x) a 1  log a f ( x)  log a g ( x)  f ( x)  g ( x)  0 0 a 1  a f ( x )  a g ( x )  f ( x)  g ( x) 0 a 1  log a f ( x)  log a g ( x)  0  f ( x)  g ( x) COÂNG THÖÙC ÑAÏO HAØM  k  0 Vôùi k laø haèng soá  e   e    e   e . u  x x u u  ( x )   x   1  (u )   u 1. u  a   a ln a    a   a .ln a. u  x x u u         u   2uu u  1       2 u u     1   x 1  x  2 x  sin x   cos x    sin u   u cos u  1 x2  cos x    sin x    cos u    u sin u 1   1  cot 2 x  2 sin x u    cot u    2   u 1  cot 2 u sin u  tan x   1  1  tan 2 x 2 cos x u    tan u    u 1  tan 2 u 2 cos u      cot x      COÂNG THÖÙC NGUYEÂN HAØM    k. f ( x)dx  k  f ( x)dx 1)  kdx  kx  C  f ( x)dx  F ( x)  C  F ( x)  f ( x)   f ( x)  g ( x)dx     x 1 x dx  C  1 f ( x)dx   g ( x)dx 2dx  2 x  C     kdx  kx  C (3)dx  3x  C 3 x4 x dx   C 4 1 2 x2 2 3   2)  C  x C   xdx   x dx  3/ 2 3 1 (ax  b) 1 MR 1 (1  x)11 (1  x)11 10    (ax  b) dx  . C . C  C   (1  2 x) dx  a  1 2 11 22 1 1 1 1 1 MR 3)  dx  ln x  C     dx  ln ax  b  C dx  ln 1  3x  C x ax  b a 1  3x 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 MR  dx  . C dx  . C   C 4)  2 dx    C    2 2 x x (ax  b) a ax  b (2 x  3) 2 2x  3 4x  6  3 x3 1  2 1 1  x    10 dx   ln x   10 x  C   x x2  3 x 1 MR 5)  e x dx  e x  C    eax b dx  eax b  C a  ax C 6)  a dx  ln a 1 abx c MR bx  c  a dx  . C  b ln a x  7)       1 32 x 5 32 x 5 32 x 5 dx  . C  C 2 ln 3 2ln 3 cos xdx  sin x  C    1 sin(ax  b)  C a  3sin x  2cos x  dx  3cos x  2sin x  C      3 dx   2 .3 dx   9x 9 dx  C ln 9 x 1 1 6x x 2 .3 . dx   6 dx  C 3 3 3ln 6 x x  1    sin  4 x   dx   cos  4 x    C 2 4 2    2 1       cos   x  dx  sin   x   C   sin   x   C 1  3 3   3  a 1; b    2x x 1 x a  4; b   1 dx   1  tan 2 x  dx  tan x  C cos 2 x 1 1 MR   dx  tan  ax  b   C 2 cos  ax  b  a 9)   sin xdx   cos x  C MR    cos(ax  b)dx   5x 5 dx  C ln 5 1 MR    sin(ax  b)dx   cos(ax  b)  C a 8)  x5  1 1 x5  dx    x 4   dx   ln x  C x x 5  1 e x dx  e x  C  e x  C 1 x  ex1  2 ex dx    e2 x1  2ex  dx  12 e2 x1  2e x  C    3 sin 2 xdx   1 1 1 1  cos 2 x  dx   x  sin 2 x   C 2 2 2  (haï baäc)     1  2cos x  1  dx     2  dx  tan x  2 x  C 2 2 cos x  cos x  1 1 dx  tan 3x  C 2 cos 3x 3 2 1 MR    1  tan 2  ax  b   dx  tan  ax  b   C a     1  tan 2   2 x   dx  1 tan   2 x   C   2 a 2; b    x sin 2 x  1 1  x2  dx  x  dx   cot x  C  sin 2 x   sin 2 x  2 1 1   dx   cot 8 x  C 2 sin 8 x 8 1 1 MR 2 2   1  cot  ax  b  dx   a cot  ax  b   C   1  cot 3x  dx   3 cot 3x  C 1 sin 2 x  cos 2 x 1   1   dx   dx     2  dx  tan x  cot x  C 2 2 2 2 2 sin x cos x sin x cos x  cos x sin x  1 2  sin 2 x dx   1  cot x  dx   cot x  C 1 1 MR   dx   cot  ax  b   C 2 sin  ax  b  a 10)  DIEÄN TÍCH VAØ THEÅ TÍCH  Hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng y  f ( x) ,  Hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng y  f ( x) , truïc Ox , x  a, x  b thì coù dieän tích: y  g ( x) , x  a, x  b thì coù dieän tích: b b S   f ( x) dx S   f ( x)  g ( x) dx a a  y  f ( x)  Khi xoay hình phaúng  quanh Ox ,  x  a, x  b ta ñöôïc khoái truï troøn coù theå tích  y  f ( x)   Khi xoay hình phaúng  y  g ( x) quanh Ox ,  x  a, x  b  ta ñöôïc khoái truï troøn coù theå tích b V    f 2 ( x)dx b V    f 2 ( x)  g 2 ( x) dx a a  Xeùt hình khoái ñöôïc giôùi haïn bôûi hai maët phaúng x  a, x  b . Khi caét khoái naøy ta ñöôïc thieát dieän coù dieän tích S ( x) (laø haøm lieân tuïc treân [a;b]). Theå tích khoái naøy treân  a; b laø: V   b a S ( x)dx . COÂNG THÖÙC CHUYEÅN ÑOÄNG Xeùt haøm quaûng ñöôøng S (t ), haøm vaän toác v(t ) vaø haøm gia toác a(t ) . Ba haøm naøy seõ bieán thieân theo t .  S (t )   v(t )dt  v(t )  S (t )  v(t )   a(t )dt  a(t )  v(t ) COÂNG THÖÙC LÖÔÏNG GIAÙC 1. Heä thöùc cô baûn:  sin 2  cos2  1 2  1  tan   1 cos 2   tan   sin  cos   1  cot 2   cos  sin  sin(  k 2 )  sin    cos(  k 2 )  cos   cot   1 sin 2   tan .cot  1  tan(  k )  tan    cot(  k )  cot  2. Cung lieân keát: Ñoái:  vaø  Buø:  vaø    Phuï:  vaø   2 Khaùc pi:  ;    Khaùc Pi  : ;  2 2   sin      cos  2  sin( )   sin  sin(   )  sin  cos( )  cos  cos(   )   cos  tan( )   tan  tan(   )   tan  cot( )   cot  cot(   )   cot    cot      tan  2  Sin Buø Phuï Cheùo Cos Ñoái sin(   )   sin    cos      sin  2    tan      cot  2    sin      cos  2    cos       sin  2    tan       cot  2  cos(   )   cos  tan(   )  tan    cot       tan  2  cot(   )  cot  Khaùc pi Tang, Cotang Khaùc pi chia 2 Sin baïn cos 3. Coâng thöùc coäng:  sin(a  b)  sin a.cos b  sin b.cos a  sin(a  b)  sin a.cos b  sin b.cos a tan(a  b)   cos(a  b)  cos a.cos b  sin a.sin b  cos(a  b)  cos a.cos b  sin a.sin b tan a  tan b 1  tan a.tan b tan(a  b)  tan a  tan b 1  tan a.tan b 4. Coâng thöùc nhaân ñoâi, nhaân ba: cos 2  cos 2   sin 2  sin 2  2sin  .cos  tan 2   2cos   1  1  2sin  2 2 cos3  4cos3   3cos  sin 3  3sin   4sin3  tan 3  2 tan  1  tan 2  3tan   tan 3  1  3tan 2  5. Coâng thöùc haï baäc 1  cos 2 sin 2   2 cos 2   1  cos 2 2 tan 2   1  cos 2 1  cos 2 6. Coâng thöùc bieán ñoåi toång thaønh tích: ab a b .cos 2 2 ab a b sin a  sin b  2sin .cos 2 2 sin(a  b) tan a  tan b  cos a.cos b     sin   cos   2.sin      2.cos     4 4   cos a  cos b  2cos ab a b .sin 2 2 ab a b sin a  sin b  2cos .sin 2 2 sin(a  b) tan a  tan b  cos a.cos b cos a  cos b   2sin     sin   cos   2 sin       2 cos      4  4 7. Coâng thöùc bieán ñoåi tích thaønh toång: cos a.cos b  1 cos(a  b)  cos(a  b) 2 Cos.Cos thì Cos coäng coäng Cos tröø  sin a.sin b  1 cos(a  b)  cos(a  b) 2 Sin.Sin thì Cos tröø tröø Cos coäng sin a.cos b  1 sin(a  b)  sin(a  b) 2 Sin.Cos thì Sin coäng coäng Sin tröø PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC u  v  k 2 u  v  k 2 sin u  sin v   (k  )  cos u  cos v   k  u    v  k 2 u  v  k 2  sin u  1  u  Ñaëc bieät:  2  k 2 sin u  1  u   sin u  0  u  k   2 cos u  1  u  k 2 k    k 2 cos u  1  u    k 2 Ñaëc bieät: cos u  0  u  tan u  tan v  u  v  k k     2 k    k k   cot u  cot v  u  v  k TOÅ HÔÏP – XAÙC SUAÁT QUY TAÉC COÄNG QUY TAÉC NHAÂN Neáu pheùp ñeám ñöôïc chia ra nhieàu tröôøng hôïp, ta seõ coäng caùc keát quaû laïi. HOAÙN VÒ  Saép xeáp (ñoåi choã) cuûa n phaàn töû khaùc nhau, ta coù soá caùch xeáp laø Pn  n ! vôùi n  CHÆNH HÔÏP  Choïn k phaàn töû töø n phaàn töû (khoâng saép xeáp thöù töï), ta coù TOÅ HÔÏP  Choïn k phaàn töû töø n phaàn töû (coù saép xeáp thöù töï), ta ñöôïc soá soá caùch choïn laø Cnk . .  Caùch tính: Cnk   Caùch tính: n!  1.2…..  n  1 n . vôùi  Quy öôùc soác: 0!  1.  Coâng thöùc: P( X )  XAÙC SUAÁT Neáu pheùp ñeám ñöôïc chia ra laøm nhieàu giai ñoaïn baét buoäc, ta seõ nhaân caùc keát quaû cuûa moãi giai ñoaïn aáy. n, k 0 k n caùch choïn laø Ank . n!  n  k  !k !  Caùch tính: Ank  vôùi . n( X ) n ( ) n, k 0 k n n!  n  k ! .  Tính chaát: 0  P( X )  1 . Trong ñoù: n( X ) : soá phaàn töû cuûa P()  0; P()  1 . taäp bieán coá X ; n() : soá phaàn töû khoâng gian maãu . P( X ) laø xaùc suaát P( X )  1  P( X ) vôùi X laø bieán coá ñoái cuûa X . ñeå bieán coá X xaûy ra vôùi X   . KHAI TRIEÅN NHÒ THÖÙC NEWTÔN  Khai trieån daïng lieät keâ: Trong caùc coâng thöùc beân, ta luoân coù n  , n  2.  a  b n  Cn0 a n  Cn1a n1b  Cn2 a n2b2  ………  Cnn1abn1  Cnnbn .  Ñaëc bieät: 1  x   Cn0  Cn1 x  Cn2 x 2  ………Cnn1 x n1  Cnn x n (*). n  Heä quaû 1: Cn0  Cn1  Cn2  ………Cnn1  Cnn  2n (töùc laø thay x  1 vaøo (*)).  Heä quaû 2: Vôùi n chaün, chæ caàn thay x  1 vaøo (*), ta coù: Cn0  Cn1  Cn2  ………  Cnn1  Cnn  0  Cn0  Cn2  Cn4 ……  Cnn  Cn1  Cn3  ……Cnn1 Khai trieån toång quaùt: Trong caùc coâng thöùc beân, ta luoân coù n  , n  2.  Khai trieån: n  a  b    Cnk a nk bk . Soá haïng toång quaùt: Tk 1  Cnk a nk bk n k 0  Phaân bieät heä soá vaø soá haïng: Cnk ( 1)k a n kbk . x . HEÄ SOÁ SOÁ HAÏNG Nhôù raèng soá haïng khoâng chöùa x öùng vôùi 0. CAÁP SOÁ COÄNG – CAÁP SOÁ NHAÂN CAÁP SOÁ COÄNG CAÁP SOÁ NHAÂN 1. Ñònh nghóa: 1. Ñònh nghóa:  Daõy soá  un  ñöôïc goïi laø caáp soá coäng khi vaø  Daõy soá  un  ñöôïc goïi laø caáp soá nhaân khi vaø chæ khi un1  un  d vôùi n  * . chæ khi un 1  un .q vôùi n   Caáp soá coäng nhö treân coù soá haïng ñaàu u1 , * .  Caáp soá nhaân nhö treân coù soá haïng ñaàu u1 , coâng boäi q . coâng sai d . 2. Soá haïng toång quaùt:  un  u1  (n  1)d vôùi n  2. Soá haïng toång quaùt: *  un  u1.q n 1 vôùi n  . 3. Tính chaát caùc soá haïng:  uk 1  uk 1  2uk vôùi k  vaø k  2. * . 3. Tính chaát caùc soá haïng:  uk 1.uk 1  uk2 vôùi k  4. Toång n soá haïng ñaàu tieân: vaø k  2. 4. Toång n soá haïng ñaàu tieân: (u  un )n  Sn  u1  u2  …  un  1 . 2  Sn  u1  u2  …  un  u1 (1  q n ) vôùi q  1. 1 q KHAÛO SAÙT HAØM SOÁ & BAØI TOAÙN LIEÂN QUAN HAØM BAÄC BA XEÙT TÍNH ÑÔN ÑIEÄU  Böôùc 1: Tìm taäp xaùc ñònh D .  Böôùc 2: Tính y  f ( x) ; cho y  0 Tìm nghieäm x1 , x2 …  Böôùc 3: Laäp baûng bieán thieân. (Neân choïn giaù trò x ñaïi dieän cho töøng khoaûng thay vaøo y  ñeå tìm daáu cuûa y  treân khoaûng ñoù).  Böôùc 4: Döïa vaøo baûng bieán thieân ñeå keát luaän veà söï ñoàng bieán, nghòch bieán cuûa haøm soá. ÑIEÀU KIEÄN CÖÏC TRÒ  Haøm soá coù ñieåm cöïc trò laø  y( x0 )  0 ( x0 ; y0 )   .  y ( x0 )  y0  Neáu 0 f ( x0 ) 0 thì haøm soá f ( x) ñaït cöïc ñaïi taïi x  Neáu f ( x0 ) 0 f ( x0 ) 0 x0 . thì haøm soá f ( x) ñaït cöïc tieåu taïi x  Ñaïo haøm y  3ax  2bx  c . x0 . y ax  b (ad  bc  0) cx  d 2  Haøm soá ñoàng bieán treân taäp xaùc ñònh  y  0, x  a  0  .   0  Ñaïo haøm y  ad  bc . (cx  d )2  Haøm soá ñoàng bieán treân töøng khoaûng xaùc ñònh  Haøm soá nghòch bieán treân taäp xaùc ñònh  y  0, x  a  0  .   0  ad  bc  0.  Haøm soá nghòch bieán treân töøng khoaûng xaùc ñònh  ad  bc  0. CÖÏC TRÒ HAØM BAÄC BA CÖÏC TRÒ HAØM BAÄC BOÁN y  ax  bx  cx  d (a  0) y  ax4  bx2  c (a  0) 3 2  Ñaïo haøm y  3ax  2bx  c . 2  Haøm soá coù hai cöïc trò (giaû thieát laø haøm soá lieân tuïc taïi x0 ). f ( x0 ) y  ax3  bx2  cx  d (a  0) HAØM NHAÁT BIEÁN a  0  (*) .  y  0 f ( x) TÌM MAX-MIN TREÂN ÑOAÏN Tìm Max-Min cuûa f ( x) treân ñoaïn  a; b 3  Ñieàu kieän cöïc trò Ba cöïc trò Moät cöïc trò  Ñeå tìm ñieàu kieän cho haøm soá khoâng coù cöïc trò: Böôùc 1: laøm theo coâng thöùc (*). Böôùc 2: phuû ñònh keát quaû.  Phöông trình ñöôøng thaúng ñi qua hai ñieåm cöïc trò: y  Ñaïo haøm y  4ax  2bx . f ( x). f ( x) 18a ab  0 ab  0  2 2 a  b  0 a 2  b2  0 Coù cöïc trò  Cho A, B, C laø ba ñieåm cöïc trò, ta coù: cos BAC  SABC  b3  8a b3  8a b5 . 32a 3 TÌM MAX-MIN TREN KHOAÛNG Tìm Max-Min cuûa f ( x) treân khoaûng (a; b)  Böôùc 1: Tính y  Böôùc 1: Tính y f ( x) . Tìm caùc nghieäm xi (a;b) khi cho f ( x) Tìm caùc nghieäm xi 0. x (neáu coù).  Böôùc 3: So sanh taát caû giaù trò trong böôùc 2 ñeå keát luaän veà giaù trò lôùn nhaát, nhoû nhaát.  Neáu haøm f ( x) ñoàng bieán treân [a; b] thì a f (a) min f ( x) f (a) min f ( x) f (b) x [a;b] x [a;b] TIEÄM CAÄN ÑÖÙNG x x0 TIEÄM CAÄN NGANG (x höõu haïn, y voâ haïn), y ta coù tieäm caän ñöùng x x0 . Löu yù: ñieàu kieän x0 coù theå ñöôïc thay baèng x haïn beân traùi) hoaëc x ax cx x0 laø moät nghieäm b vôùi (c d 0, ad x y bc (x voâ haïn, y höõu haïn), y0 ta coù tieäm caän ngang y Böôùc 2: CALC CALC cuûa maãu soá maø khoâng phaûi laø nghieäm cuûa töû soá thì x x0 chính laø moät TCÑ cuûa ñoà thò.  Ñoà thò haøm soá y  Ñònh nghóa: y0 .  Caùch tìm TCN: Ñôn giaûn nhaát laø duøng CASIO Böôùc 1: Nhaäp haøm soá vaøo maùy. x0 (giôùi x0 (giôùi haïn beân phaûi).  Caùch tìm TCÑ: Neáu x b  Böôùc 3: Laäp baûng bieán thieân vaø suy ra giaù trò lôùn nhaát, nhoû nhaát treân khoaûng.  Neáu haøm f ( x) nghòch bieán treân [a; b] thì max f ( x)  Ñònh nghóa: x x  f (b) x [a;b] 0. baèng (; ) thì ta tính theâm lim y ). max f ( x) x [a;b] x (a;b) khi cho f ( x)  Böôùc 2: Caàn tính lim y, lim y . (Neáu thay (a; b)  Böôùc 2: Tính caùc giaù trò f (a), f (b) vaø f ( xi ),… ÑAËC BIEÄT f ( x) . NEXT X 10 ^ 10 10 ^ 10 NEXT NEXT X NEXT Böôùc 3: Neáu keát quaû thu ñöôïc laø höõu haïn (töùc laø y0 ) thì ta keát luaän TCN: y y0 . 0) coù moät TCÑ: x d , moät TCN: y c a . c  Neân nhôù, ñoà thò coù theå coù nhieàu tieäm caän ñöùng, nhöng chæ coù toái ña laø 2 tieäm caän ngang. TÌM TOÏA ÑOÄ GIAO ÑIEÅM HOAËC SOÁ GIAO ÑIEÅM HAI ÑOÀ THÒ f (x ) vaø (C 2 ) : y g(x ) . Xeùt hai ñoà thò (C1 ) : y  Böôùc 1 : Laäp phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (C1 ) & (C2 ) : f ( x) g( x) . (*)  Böôùc 2 : Giaûi phöông trình (*) ñeå tìm caùc nghieäm x1 , x2 ,… (neáu coù), suy ra y1 , y2 … PHÖÔNG TRÌNH TIEÁP TUYEÁN DAÏNG 1 Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa ñoà thò (C ) : y  f ( x) taïi DAÏNG 2 Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa ñoà thò (C ) : y  f ( x) bieát tieáp DAÏNG 3 Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa ñoà thò (C ) : y  f ( x) bieát tieáp ñieåm M ( x0 ; y0 )  (C ) tuyeán coù heä soá goùc k. tuyeán ñi qua A( xA ; y A ) .  Böôùc 1: Tính ñaïo haøm y , töø  Böôùc 1: Goïi M ( x0 ; y0 ) laø tieáp  Böôùc 1: Tieáp tuyeán coù daïng : y y ( x0 )( x x0 ) y0 (*) vôùi ñoù coù heä soá goùc k y ( x0 ).  Böôùc 2 : Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa ñoà thò daïng y k( x x0 ) y0 . ñieåm vaø tính ñaïo haøm y .  Böôùc 2: Cho y ( x0 ) k , töø ñoù tìm ñöôïc tieáp ñieåm ( x0 ; y0 ).  Böôùc 3: Vieát phöông trình tieáp tuyeán : y0  f ( x0 ).  Böôùc 2: Thay toïa ñoä ñieåm A vaøo (*) ñeå tìm ñöôïc x0 .  Böôùc 3: Thay x0 tìm ñöôïc vaøo y k( x (*) ñeå vieát phöông trình tieáp tuyeán. y0 . x0 ) SOÁ PHÖÙC VAØ CAÙC YEÁU TOÁ LIEÂN QUAN Soá phöùc coù daïng: z a a, b bi vôùi i2 Thaønh phaàn 1 (i: laø ñôn vò aûo). Kyù hieäu taäp soá phöùc: Hình hoïc  Phaàn thöïc: a. Neáu a 0 thì z bi ñöôïc goïi laø soá thuaàn aûo.  Phaàn aûo: b. Neáu b 0 thì z a laø soá thöïc.  Khi a b 0 thì z 0 vöøa laø soá thuaàn aûo vöøa laø soá thöïc. Soá phöùc lieân hôïp – Soá phöùc nghòch ñaûo Cho z a bi . Khi ñoù:  Soá phöùc lieân hôïp cuûa noù laø z a bi .  Soá phöùc nghòch ñaûo laø 1 1 z 1 z a bi a b i. 2 2 2 a b a b2 . Minh hoïa  Ñieåm M (a;b) bieåu dieãn cho z treân heä truïc Oxy.  Moâ-ñun: z OM b2 . a2 Caên baäc hai  Caên baäc hai cuûa a  Caên baäc hai cuûa a Phöông trình baäc hai  Phöông trình z2 a. 0 laø 0 laø w x x y 2 xy b yi vôùi 2 0 coù hai nghieäm phöùc z  Phöông trình z a a. a 2 i a.  Caên baäc hai cuûa soá phöùc z a bi laø hai soá phöùc daïng 2 a hai nghieäm phöùc z 0 coù i a.  Phöông trình az bz c 0 0 seõ coù hai nghieäm vôùi 2 . phöùc laø: z1,2 b i 2a . KHOÁI ÑA DIEÄN VAØ THEÅ TÍCH CUÛA CHUÙNG I. MOÄT SOÁ HÌNH PHAÚNG CÔ BAÛN: 1. Tam giaùc vuoâng: A AC ▪ AC2 CH.BC ▪ B C H AC (ñoái/huyeàn) ▪ cos B BC ▪ sin B 1 AH 2 A BC2 1 AB2 AB (keà/huyeàn) BC 1 AC2 ▪ tan B ▪ Ñöôøng cao: AH a a K ▪ AG G H 2 ▪ AB2 BH.BC ▪ AH 2 BH.CH AB.AC AH AB 2 AC 2 AC (ñoái/keà) AB ▪ cot B AB (keà/ñoái) AC Giaû söû tam giaùc ABC ñeàu coù caïnh a; troïng taâm G; caùc ñöôøng cao (truøng vôùi trung tuyeán) goàm AH , BK . 2. Tam giaùc ñeàu: B Pitago ▪ AB2 C a 3. Tam giaùc thöôøng: 2 AH 3 BK 2 a 3 . 3 2 (caïnh) 2 a 3 ; GH 3 (caïnh)2 ABC 4 Giaû söû tam giaùc ABC coù a ▪ Dieän tích: S 3 a 3 . 2 1 AH 3 1 a 3 . 3 2 a2 3 . 4 BC, b AC, c a 3 . 6 3 AB ; caùc ñöôøng cao ha , hb , hc laàn löôït öùng vôùi caïnh a, b, c. Kyù hieäu R, r laàn löôït laø baùn kính ñöôøng troøn ngoaïi tieáp, noäi tieáp ∆. a sin A ▪ Ñònh lí Coâ-sin: a2 b c 2R . sin B sin C b2 c2 2bc.cos A ; ▪ Ñònh lí Sin: b2 ▪ Dieän tích: S S ABC ABC a2 c2 2ac.cos B; c2 a2 b2 2ab.cosC. 1 1 1 1 1 1 ha .a hb .b hc .c ; S ABC ab.sin C ac.sin B bc.sin A ; 2 2 2 2 2 2 abc a b c (nöûa chu vi). pr ; S ABC p( p a)( p b)( p b) vôùi p 4R 2 Coâng thöùc Heâ Roâng Cho hình vuoâng ABCD coù caïnh a; hai ñieåm M, N laàn löôït laø 4. Hình vuoâng: trung ñieåm cuûa CD, AD; I laø taâm hình vuoâng. ▪ Ñöôøng cheùo: IA IB AC BD AC BD IC (caïnh) ABN a2 ; chu vi: p 4a. ADM , ta chöùng minh ñöôïc: AM Cho hình chöõ nhaät ABCD taâm I coù AB 5. Hình chöõ nhaät: . a 2 neân I laø taâm ñöôøng troøn ñi qua 2 ID boán ñænh hình vuoâng. ▪ Dieän tích: SABCD (caïnh)2 ▪ Vì a 2 2 BN. a, AD b. ▪ Ñöôøng cheùo: AC BD a2 b2 . 1 2 IA IB IC ID a b2 neân I laø taâm ñöôøng troøn ñi 2 qua boán ñieåm A, B, C, D. ▪ Dieän tích: SABCD a.b ; chu vi: p 2(a b). Cho hình thoi ABCD coù taâm I , caïnh baèng a. 6. Hình thoi: ▪ Ñöôøng cheùo: AC ▪ Dieän tích: SABCD BD; AC 2 AI 1 AC.BD ; SABCD 2 2 AB.sin ABI 2S ABC 2S 2a.sin ABI. ACD 2S ABD . Ñaëc bieät: Neáu hình thoi coù goùc B D 600 ( A C 1200 ) thì ACD. ta chia hình thoi ra laøm hai tam giaùc ñeàu: ABC AC a vaø S ABC S ACD a2 3 ; SABCD 4 2S a2 3 . 2 ABC II. THEÅ TÍCH KHOÁI CHOÙP: 7. Hình choùp: 7.1. Hình choùp tam giaùc ñeàu S h ▪ Taát caû caïnh beân baèng nhau. ▪ Ñaùy laø tam giaùc ñeàu caïnh a. ▪ SH ( ABC) vôùi H laø troïng taâm ∆ ABC. D ▪ A H Sñ SH Sđ a2 3 4 h Theå tích V 1 a2 3 h. 3 4 C B V 1 h.Sñ 3 Goùc giöõa caïnh beân vaø maët Goùc giöõa maët beân vaø maët ñaùy: 7.2. Töù dieän ñeàu: ▪ Ñaây cuõng laø hình choùp tam giaùc ñeàu, ñaëc bieät laø caïnh beân baèng caïnh ñaùy. Theå tích: V a3 2 . 12 ñaùy: SA,( ABC) SAH (SAB),( ABC) SCH . SC,( ABC) (SBC),( ABC) ▪ Goùc giöõa caïnh beân vaø maët 7.4. Hình choùp coù caïnh beân SA vuoâng goùc vôùi maët phaúng ñaùy. a2 SO h h SA Sñ S Theå tích SBO . 1 SA.S 3 V ABC SBA SC,( ABC) SCA ABC . . ▪ Ñöôøng cao h SH cuõng laø ñöôøng cao cuûa ∆SAB. ▪ Goùc giöõa caïnh beân vaø maët ñaùy: SAH SC,( ABC) SCH . SMO SNO . Ñaùy laø töù giaùc ñaëc bieät Ñaùy laø tam giaùc SA,( ABC) 1 h.a2 . 3 V (SBC),( ABCD) ▪ Goùc giöõa caïnh beân vaø maët ñaùy: SB,( ABC) Theå tích (SAB),( ABCD) Ñaùy laø tam giaùc ▪ 7.5. Hình choùp coù maët beân (SAB) vuoâng goùc vôùi maët phaúng ñaùy. Sñ Goùc giöõa maët beân vaø maët ñaùy: SAO SB,( ABCD) SNH . ▪ Taát caû caïnh beân baèng nhau. ▪ Ñaùy laø hình vuoâng caïnh a. ▪ SO ( ABCD) vôùi O laø taâm hình vuoâng ABCD. 7.3. Hình choùp töù giaùc ñeàu: ñaùy: SA,( ABCD) SMH ▪ h Sñ SA SABCD Theå tích 1 SA.SABCD . 3 V ▪ Goùc giöõa caïnh beân vaø maët ñaùy: SB,( ABCD) SBA SC,( ABCD) SCA . Ñaùy laø töù giaùc ñaëc bieät ▪ Ñöôøng cao h SH cuõng laø ñöôøng cao cuûa ∆SAB. ▪ Goùc giöõa caïnh beân vaø maët ñaùy: SA,( ABCD) SAH SC,( ABCD) SCH . III. THEÅ TÍCH KHOÁI LAÊNG TRUÏ: 1. Hình laêng truï thöôøng:  Hai ñaùy laø hai hình gioáng nhau vaø naèm trong hai maët phaúng song song.  Caùc caïnh beân song song vaø baèng nhau. Caùc maët beân laø caùc hình bình haønh.  Theå tích: V Ñaùy laø tam giaùc Ñaùy laø töù giaùc h.Sñ . V 2. Hình laêng truï ñöùng:  Caùc caïnh beân cuøng vuoâng goùc vôùi hai maët ñaùy neân moãi caïnh beân cuõng laø ñöôøng cao cuûa laêng truï.  Laêng truï tam giaùc ñeàu: Laø laêng truï ñöùng vaø coù hai ñaùy laø hai tam giaùc ñeàu baèng nhau. AH.S ABC h  Theå tích: V AA h.Sñ vôùi BB CC . AH.SABCD AH.SA B C D Ñaùy laø töù giaùc Theå tích: V h AA h.Sñ vôùi BB CC DD . 3.1 Hình hoäp chöõ nhaät:  Laø laêng truï ñöùng coù ñaùy laø hình chöõ nhaät. 3.2. Hình laäp phöông:  Laø hình hoäp chöõ nhaät coù taát caû caùc caïnh baèng nhau.  V  V abc vôùi a,b, c laø ba kích thöôùc khaùc nhau cuûa hình hoäp chöõ nhaät. h.Sñ . V ABC Ñaùy laø tam giaùc  Theå tích: V 3. Hình hoäp:  Laø laêng truï coù taát caû caùc maët laø hình bình haønh. AH.S a3 vôùi a laø caïnh cuûa hình laäp phöông. MAËT TRUÏ – MAËT NOÙN – MAËT CAÀU MAËT NOÙN Caùc yeáu toá maët noùn:  Ñöôøng cao: h S l h l SO . ( SO cuõng ñöôïc goïi laø truïc cuûa hình noùn).  Baùn kính ñaùy: l r OA OB OM . Moät soá coâng thöùc:  Chu vi ñaùy: p  Dieän tích ñaùy: Sđ  Theå tích: V  Ñöôøng sinh: A r O B M Hình thaønh: Quay vuoâng l SA SB 2 r. 1 h.S 3 đ r2 . 1 h. r 2 . 3 (lieân töôûng khoái choùp). SM .  Goùc ôû ñænh: ASB .  Dieän tích xung quanh: Sxq rl . SOM quanh truïc SO , ta ñöôïc maët noùn nhö hình beân vôùi: h SO r OM .  Thieát dieän qua truïc: SAB caân taïi S.  Goùc giöõa ñöôøng sinh vaø maët ñaùy: SAO MAËT TRUÏ SBO  Dieän tích toaøn phaàn: Stp  Ñöôøng cao: h OO .  Ñöôøng sinh: l AD OA BC . h. OB OC O D.  Thieát dieän qua truïc: Laø hình chöõ nhaät ABCD. Moät soá coâng thöùc: IA IB Sxq Stp Laø ñöôøng troøn taâm I , baùn 4 R3 3 Sxq 2Sđ 2 r.h 2 r2 .  Maët caàu noäi tieáp ña dieän laø maët caàu tieáp xuùc vôùi taát caû caùc maët cuûa ña dieän ñoù. kính R .  Theå tích khoái caàu: V 2 r.h .  Maët caàu ngoaïi tieáp ña dieän laø maët caàu ñi qua taát caû ñænh cuûa ña dieän ñoù.  Thieát dieän qua taâm maët caàu: 4 R2 h. r2 . Maët caàu ngoaïi tieáp ña dieän Maët caàu noäi tieáp ña dieän 2R .  Dieän tích maët caàu: S h.Sđ  Dieän tích toaøn phaàn: IM .  Ñöôøng kính AB Hình thaønh: Quay ñöôøng troøn taâm I , baùn kính AB quanh truïc AB , ta coù R 2 maët caàu nhö hình veõ. r2 .  Dieän tích xung quanh:  Taâm I , baùn kính R 2 r.  Dieän tích ñaùy: S đ V hai ñieåm O, O . MAËT CAÀU r2 .  Theå tích khoái truï:  Truïc (∆) laø ñöôøng thaúng ñi qua Hình thaønh: Quay hình chöõ nhaät ABCD quanh ñöôøng trung bình OO , ta coù maët truï nhö hình beân. rl Moät soá coâng thöùc:  Chu vi ñaùy: p  Baùn kính ñaùy: r Sđ SMO . Caùc yeáu toá maët truï: Ta coù: l Sxq CAÙCH TÌM BAÙN KÍNH MAËT CAÀU NGOAÏI TIEÁP HÌNH CHOÙP THÖÔØNG GAËP 1. Hình choùp coù caùc ñænh nhìn moät caïnh döôùi moät goùc vuoâng.  Xeùt hình choùp coù SA ( ABC) vaø  Xeùt hình choùp coù SA ( ABCD) vaø ABCD laø hình chöõ 2. Hình choùp ñeàu.  Xeùt hình choùp tam giaùc ñeàu coù caïnh beân baèng b vaø ñöôøng cao  Xeùt hình choùp töù giaùc ñeàu coù caïnh beân baèng b vaø chieàu cao SO h ABC  Ta coù nhaät hoaëc hình vuoâng. 900 .  Ta coù: SAC SAC SBC 90 neân maët caàu ngoaïi tieáp hình choùp coù taâm I laø trung ñieåm SC , 0 baùn kính R SC . 2 SBC SDC 900 Suy ra maët caàu ngoaïi tieáp hình choùp coù taâm I laø trung ñieåm SC ,  Baùn kính maët caàu ngoaïi tieáp hình choùp SH h .  Baùn kính maët caàu ngoaïi tieáp hình choùp b2 . 2h treân laø R b2 . 2h treân laø R SC . 2 baùn kính R 3. Hình choùp coù caïnh beân vuoâng goùc vôùi maët phaúng ñaùy.  Khi ñoù maët caàu ngoaïi tieáp hình choùp coù baùn h 2 kính R 4. Hình choùp coù maët beân vuoâng goùc vôùi maët ñaùy. 2 rñ 2 .  Neáu ñaùy laø tam giaùc ñeàu caïnh a thì  Xeùt hình choùp coù (ñaùy) vaø SA SA h ; baùn kính ñöôøng troøn ngoaïi tieáp cuûa ñaùy laø rñ . a 3 . 3  Neáu ñaùy laø hình vuoâng rñ a 2 . 2  Neáu ñaùy laø hình chöõ nhaät caïnh a, b thì caïnh a thì rñ a2 rñ b2 2  Xeùt hình choùp coù maët beân (SAB) (ñaùy), baùn kính ngoaïi tieáp ñaùy laø rñ , baùn kính ngoaïi tieáp SAB laø rb , d AB (SAB) (ñaùy).  Khi ñoù baùn kính maët caàu ngoaïi tieáp hình choùp laø R . rñ 2 rb2 d2 . 4 HÌNH HOÏC GIAÛI TÍCH TRONG KHOÂNG GIAN 1. Heä truïc toïa ñoä Oxyz:  Heä truïc goàm ba truïc Ox, Oy, Oz ñoâi moät vuoâng goùc nhau.  Truïc Ox : truïc hoaønh, coù vectô ñôn vò i  Truïc Oy : truïc tung, coù vectô ñôn vò j  Truïc Oz : truïc cao, coù vectô ñôn vò k (1;0;0) . (0;1;0) . (0;0;1).  Ñieåm O(0;0;0) laø goác toïa ñoä. 2. Toïa ñoä vectô: Vectô u Cho a  a  ka  a  a.b b (a1 b1 ; a2 b2 ; a3 (a1 ; a2 ; a3 ), b b3 ) b b1 a2 b2 a3 b3 a1 .b1 a2 .b2 a3 .b3 yj zk  a a12 a22 a22 ( x; y; z) . u (b1 ;b2 ;b3 ) . Ta coù:  a cuøng phöông b (ka1 ; ka2 ; ka3 ) a1 xi a1 kb1 a2 kb2 a3 kb3 a1 b1  a2 a kb (k a2 a3 b2 b3 a 2 R) , (b1 , b2 , b3 a12 a22 0). a32  a b a.b a1b1 0 a2b2 3. Toïa ñoä ñieåm: M ( x; y; z)  AB ( xB xA ; yB a3b3 zA )  AB xA 2 xB yA ; 2 yB zA ; 2 zB a a1b1 a2b2 a a . b 2 2 2 3 a3b3 b22 2 1 b32 ( xB x A )2 ( yB yA )2 ( zB zA ) 2  Toaï ñoä troïng taâm G cuûa tam giaùc ABC: x xB xC yA yB yC zA zB zC G A ; ; . 3 3 3  Toaï ñoä trung ñieåm M cuûa ñoaïn thaúng AB: M a.b 2 1 ( x; y; z) . Cho A( xA ; yA ; zA ) , B( xB ; yB ; zB ) , C( xC ; yC ; zC ) , ta coù: OM yA ; zB a.b  cos(a, b) 0 . 4. Tích coù höôùng cuûa hai vectô:  Ñònh nghóa: Cho a (a1 , a2 , a3 ) , b (b1 , b2 , b3 ) , tích coù höôùng cuûa a vaø b laø: a2 b2 a, b [a, b]  Tính chaát: a3 a3 ; b3 b3 [a, b] a  Ñieàu kieän cuøng phöông của hai vectô a & b laø a, b 0 vôùi 0 a1 a1 ; b1 b1 a2 b2 a2b1 . a . b .sin a, b 0.  Dieän tích tam giaùc ABC:  Dieän tích hình bình haønh ABCD:  Theå tích khoái hoäp: VABCD. A’B’C’D’ a1b3 ; a1b2 [a, b] b laø [a, b].c ABCD a3b2 ; a3b1  Ñieàu kieän ñoàng phaúng cuûa ba vectô a, b vaø c (0;0;0). S a2b3 S AB, AD . [ AB, AD]. AA’. ABC  Theå tích töù dieän: VABCD 1 AB, AC . 2 1 AB, AC . AD . 6 5. Phöông trình maët caàu: Daïng 1: (S) : ( x Maët caàu ( S) coù a) 2 (y b) 2 (z c)2 R2 Daïng 2: (S) : x2 I (a; b; c) R Maët caàu ( S) coù R2  Phöông trình x2 z2 2ax 2by 2cz d Baøi toaùn 5.1. Vieát phöông trình maët caàu taâm I vaø ñi qua ñieåm M.  Böôùc 1: Tính baùn kính R  IM . 2ax b2 c2 2by 2cz d 0 a2 d 0 laø phöông trình maët caàu  a 2  b2  c 2  d  0 . Baøi toaùn 5.2. Vieát phöông trình maët caàu coù ñöôøng kính AB.  Böôùc 1: Tìm taâm I laø trung ñieåm AB. Baùn kính R  Böôùc 2: Vieát phöông trình maët caàu daïng 1. z2 I (a; b; c) R y2 y2 AB  IA  IB . 2  Böôùc 2: Vieát phöông trình maët caàu daïng 1. 6. Phöông trình maët phaúng:  Maët phaúng ( P) trình ( P) : a( x  Löu yù: Vectô phaùp tuyeán (VTPT) cuûa maët phaúng laø vectô khaùc 0 naèm treân ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi maët phaúng ñoù. Baøi toaùn 6.1. Vieát phöông trình maët phaúng trung tröïc cuûa ñoaïn thaúng AB. qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) VTPT n x0 ) b( y (a; b; c) y0 ) thì phöông c( z z0 ) 0 .  Ngöôïc laïi, moät maët phaúng baát kyø ñeàu coù phöông trình daïng ax by cz d 0 , maët phaúng naøy coù VTPT n (a;b; c) . Baøi toaùn 6.2. Vieát phöông trình maët phaúng ñi qua ba ñieåm A, B, C.  Böôùc 1: Tìm trung ñieåm I cuûa ñoaïn AB vaø tính  AB, AC  .   toïa ñoä AB .  Böôùc 2: Phöông trình mp( P)  Böôùc 1: Tính toïa ñoä AB, AC vaø suy ra qua I VTPT n  AB . Baøi toaùn 6.3. Vieát phöông trình maët phaúng qua M vaø chöùa ñöôøng thaúng d vôùi M d .  Böôùc 2: Phöông trình mp( P)    Böôùc 2: Phöông trình mp( P) ax0  by0  cz0  d a 2  b2  c 2 .  Cho hai maët phaúng (), () coù phöông trình: ( P) : a1 x  b1 y  c1 z  d1  0  (Q) : a2 x  b2 y  c2 z  d 2  0  Goùc giöõa ( P) & (Q) ñöôïc tính: nP . nQ  1. Khoaûng caùch giöõa hai maët phaúng song song  Cho hai maët phaúng  Goùc giöõa hai maët phaúng  z c ( P) : ax  by  cz  d1  0 . (Q) : ax  by  cz  d 2  0  M ( x0 ; y0 ; z0 ) . mp( P) : ax  by  cz  d  0 nP .nQ y b VTPT n   AM , ud   Cho  cos  ( P), (Q)   x a qua M Khoaûng caùch töø ñieåm ñeán maët phaúng  Khi ñoù: d  M , ( P)   0.  Phöông trình maët phaúng ñöôïc vieát theo ñoaïn chaén ( P) : Tính  AM , ud  . VTPT n   AB, AC  Baøi toaùn 6.4. Vieát phöông trình maët phaúng caét Ox, Oy, Oz laàn löôït taïi A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C (0; 0; c) vôùi a, b, c  Böôùc 1: Choïn ñieåm A  d vaø moät VTCP ud . qua A a1a2  b1b2  c1c2 a  b12  c12 . a22  b22  c22 2 1  0 0  Chuù yù: 0  ( P), (Q)  90 .  Khi ñoù: d  ( P), (Q)   d1  d 2 a 2  b2  c2 vôùi d1  d 2 . Vò trí töông ñoái giöõa hai maët phaúng Cho hai maët phaúng (), () coù phöông trình: ( P) : a1 x  b1 y  c1 z  d1  0 . Ta coù:  (Q) : a2 x  b2 y  c2 z  d 2  0 a b c d  ( P) (Q)  1  1  1  1 . a2 b2 c2 d2 a b c d  ( P)  (Q)  1  1  1  1 . a2 b2 c2 d 2  ( P) & (Q) caét nhau  a1 : b1 : c1  a2 : b2 : c2 .  ( P)  (Q)  a1a2  b1b2  c1c2  0 .  Löu yù: Caùc tæ soá treân coù nghóa khi maãu khaùc 0. Ví trò töông ñoái giöõa maët phaúng vaø maët caàu Cho maët phaúng ( P) : ax  by  cz  d  0 vaø maët caàu ( S ) coù taâm I vaø baùn kính R.  Tröôøng hôïp 1: d  I , ( P)   R  ( P) vaø ( S ) khoâng coù ñieåm chung.  Tröôøng hôïp 2: d  I , ( P)   R  ( P) vaø ( S ) coù  Tröôøng hôïp 3: d  I , ( P)   R  ( P) caét ( S ) moät ñieåm chung. Khi ñoù ta noùi ( P) tieáp xuùc theo giao tuyeán laø moät ñöôøng troøn. ( S ) hoaëc ( P) laø tieáp dieän cuûa ( S ). Ñöôøng troøn giao tuyeán coù taâm H (laø trung ñieåm AB), baùn kính r  R 2  IH 2 vôùi IH  d  I ,( P)  . Ta coù: IM  ( P) vôùi M laø tieáp ñieåm. 7. Phöông trình ñöôøng thaúng:  Ñöôøng thaúng d qua A( xA ; y A ; z A ) VTCP u  (u1; u2 ; u3 )  x  x A  u1t   Phöông trình tham soá d :  y  y A  u2t vôùi z  z  u t A 3  coù: t laø tham soá.  Phöông trình chính taéc d:  Vectô chæ phöông (VTCP) cuûa ñöôøng thaúng d laø vectô khaùc 0 , coù giaù naèm treân d hoaëc song song vôùi d. x  xA y  y A z  z A   u1 u2 u3 a  d  Löu yù: Neáu coù caëp vectô khaùc 0 khoâng cuøng phöông sao cho  b  d vôùi u1.u2 .u3  0 . thì d coù VTCP laø: ud   a, b  .   7.1. Ví trò töông ñoái giöõa hai ñöôøng thaúng: Xeùt vò trí töông ñoái cuûa hai ñöôøng thaúng d1 , d2 vôùi d1 Böôùc I  u1 , u2 0 Hai ñöôøng thaúng d1 , d2 song song hoaëc truøng nhau.  u1 , u2 0 Hai ñöôøng thaúng d1 , d2 caét nhau hoaëc cheùo nhau. qua M VTCP u1 Böôùc II  u1 ; MN 0  u1 ; MN 0 qua N , d1 VTCP u2 . Keát luaän d1 d2 (Hai ñöôøng thaúng truøng nhau) d1 d2  u1 ,u2 .MN 0 d1 caét d2  u1 ,u2 .MN 0 d1 & d2 cheùo nhau 7.2. Ví trò töông ñoái giöõa ñöôøng thaúng vaø maët phaúng: x x0 u1t Xeùt vò trí töông ñoái giöõa ñöôøng thaúng d : y y0 u2 t vaø maët phaúng (P) : ax z z0 u3 t Böôùc I:  Thay phöông trình tham soá d vaøo Böôùc II:Giaûi PT (*), ta gaëp 1 trong 3 tröôøng hôïp sau  PT (*) voâ nghieäm by cz d Keát luaän d ( P) 0 . phöông trình ( P) , ta ñöôïc PT (*): a( x0 u1t) b( y0 u2t) c(z0 u3t) d  x  x0 0  PT (*) coù 1 nghieäm   y  y0 z  z 0  d caét ( P) taïi ñieåm coù toïa ñoä ( x0 ; y0 ; z0 ) . d  PT (*) coù voâ soá nghieäm (P) 7.3. Khoaûng caùch töø ñieåm ñeán ñöôøng thaúng:  Böôùc 1: Choïn ñieåm A  d vaø moät VTCP ud .  Cho ñieåm M vaø ñöôøng thaúng d (coù phöông trình tham soá hoaëc chính taéc).  Böôùc 2: d  M , d   ud , AM    . ud 7.4. Goùc giöõa hai ñöôøng thaúng:  Cho hai ñöôøng thaúng d1 , d 2 laàn löôït coù VTCP laø u1 , u2 .     Ta coù: cos d1 , d 2  u1.u2 . u1 . u2 7.5. Goùc giöõa ñöôøng thaúng vaø maët phaúng:  Cho ñöôøng thaúng d coù VTCP u vaø maêt phaúng ( P) coù VTPT n .     Ta coù: sin d , ( P)  u.n u.n 8. Hình chieáu vaø ñieåm ñoái xöùng: Baøi toaùn  Tìm hình chieáu cuûa ñieåm A treân maët phaúng (P ) . Phöông phaùp  Goïi d laø ñöôøng thaúng qua A ( P) Vieát pt tham soá cuûa d vôùi VTCP cuûa d cuõøng laø VTPT cuûa (P).  Goïi H  d  ( P) . Thay pt tham soá cuûa d vaøo pt mp (P) ta tìm ñöôïc toïa ñoä H.  Tìm ñieåm A ñoái xöùng vôùi A qua (P ) .  xA  2 xH  xA   Ta coù H laø trung ñieåm AA   y A  2 yH  y A . z  2z  z H A  A Caùch I  Tìm hình chieáu cuûa ñieåm A treân ñöôøng thaúng d.  Goïi H (theo t ) (döïa vaøo pt tham soá cuûa d).  Tìm ñöôïc t  AH  d  AH .ud  0   Goïi ( P) Caùch II qua A ( P) d Vieát pt mp( P) .  Goïi H  d  ( P) . Thay pt tham soá cuûa d vaøo pt mp (P) ta tìm ñöôïc toïa ñoä H.  Tìm ñieåm A ñoái xöùng vôùi A qua ñöôøng thaúng d.  xA  2 xH  xA   Ta coù H laø trung ñieåm AA   y A  2 yH  y A . z  2z  z H A  A Bieân soaïn: Hoaøng Xuaân Nhaøn Email goùp yù: [email protected] …….   Toïa ñoä H. .
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments

Bài viết tương tự

Scroll to Top