Bài toán min – max số phức có lời giải chi tiết – Lương Văn Huy

Giới thiệu Bài toán min – max số phức có lời giải chi tiết – Lương Văn Huy

Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và bạn đọc Bài toán min – max số phức có lời giải chi tiết – Lương Văn Huy CHƯƠNG SỐ PHỨC.

Bài toán min – max số phức có lời giải chi tiết – Lương Văn Huy

Tài liệu môn Toán 12 và hướng dẫn giải chi tiết các đề thi từ cơ bản đến vận dụng cao sẽ luôn được cập thường xuyên từ hoctoanonline.vn , các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán hay và mới nhất.

Tài liệu Bài toán min – max số phức có lời giải chi tiết – Lương Văn Huy

Các em học sinh và bạn đọc tìm kiếm thêm tài liệu Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng tại đây nhé.

Text Bài toán min – max số phức có lời giải chi tiết – Lương Văn Huy
Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404 BÀI TOÁN MAX – MIN SỐ PHỨC. NỘI DUNG LIVE – TRỢ GIÚP KÌ THI 2018. Tài liệu có sử dụng nguồn đề từ các trường trên toàn quốc và của quý thầy cô trong nhóm Vận Dụng Cao. Kỹ năng:  Phương pháp đại số.  Phương pháp hình học.  Phương pháp bđt modun.  Phương pháp casio. Một số tính chất cần nhớ. 1. Môđun của số phức:   Số phức z  a  bi được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trên mặt phẳng Oxy. Độ dài của véctơ OM được gọi là môđun của số phức z. Kí hiệu z = a + bi = a 2 + b 2  Tính chất   z  a 2  b 2  zz  OM  z  0, z   , z  0  z  0  z.z ‘  z . z ‘  z z  ,  z ‘  0  z  z ‘  z  z ‘  z  z ‘ z’ z’  kz  k . z , k   2 2  Chú ý: z 2  a 2  b 2  2abi  ( a2  b 2 )2  4a 2 b2  a 2  b 2  z  z  z.z . Lưu ý:  z1  z2  z1  z2 dấu bằng xảy ra  z1  kz2  k  0   z1  z2  z1  z2 dấu bằng xảy ra  z1  kz2  k  0  .  z1  z2  z1  z2 dấu bằng xảy ra  z1  kz2  k  0   z1  z2  z1  z2 dấu bằng xảy ra  z1  kz2  k  0   z1  z2  z1  z2  2 z1  z2  z  z z  z 2  2 2 2 2 2  z   2.Một số quỹ tích nên nhớ Biểu thức liên hệ x , y Quỹ tích điểm M ax  by  c  0 (1) (1)Đường thẳng :ax  by  c  0 z  a  bi  z  c  di (2) (2) Đường trung trực đoạn AB  với A  a , b  , B  c , d  2  x  a   y  b  2  R 2 hoặc Đường tròn tâm I  a; b  , bán kính R 2  R2 hoặc Hình tròn tâm I  a; b  , bán kính R z  a  bi  R 2  x  a   y  b 1 Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404 z  a  bi  R 2 2 Hình vành khăn giới hạn bởi hai đường tròn đồn tâm I  a; b  , bán kính lần lượt là r 2   x  a    y  b   R 2 hoặc r  z  a  bi  R r, R Parabol  y  ax 2  bx  c c  0  2  x  ay  by  c 2  x  a   y  c  1 Elip 2  1  1 hoặc b2 d2 z  a1  b1i  z  a2  b2 i  2a 2  x  a   y  c  b2 d2  2  Elip nếu 2a  AB , A  a , b  , B  a , b  1 1 2 2 Đoạn AB nếu 2a  AB Hypebol 2 1 Một số dạng đặc biệt cần lưu ý: Dạng 1: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường thẳng. TQ1: Cho số phức z thỏa mãn z  a  bi  z , tìm z  Min . Khi đó ta có    Quỹ tích điểm M x; y biểu diễn số phức z là đường trung trực đoạn OA với A a; b   1 1 2 2  z Min  2 z0  2 a  b   z  a  b i  2 2 TQ2: Cho số phức thỏa mãn điều kiện z  a  bi  z  c  di . Tìm z min . Ta có   Quỹ tích điểm M x; y  biểu diễn số phức z là đường trung trực đoạn AB với A  a; b  ,B  c;d   z Min  d  O , AB   a2  b2  c 2  d2 2 2  a  c  b  d 2 Lưu ý: Đề bài có thể suy biến bài toán thành 1 số dạng, khi đó ta cần thực hiện biến đổi để đưa về dạng cơ bản. Ví dụ 1:  Cho số phức thỏa mãn điều kiện z  a  bi  z  c  di . Khi đó ta biến đổi z  a  bi  z  c  di  z  a  bi  z  c  di .  Cho số phức thỏa mãn điều kiện iz  a  bi  z  c  di . Khi đó ta biến đổi 2 Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404  a  bi c  di iz  a  bi  iz  c  di  z   z  z  b  ai  z  d  ci . i i Dạng 2: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường tròn.   TQ: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  a  bi  R  0 z  z 0  R . Tìm z , z Min . Ta có Max      Quỹ tích điểm M x; y biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I a; b bán kính R 2 2 z  Max  OI  R  a  b  R  z0  R   2 2  z Min  OI  R  a  b  R  z0  R  Lưu ý: Đề bài có thể cho ở dạng khác, ta cần thực hiện các phép biến đổi để đưa về dạng cơ bản. Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện iz  a  bi  R  z  a  bi R  (Chia hai vế cho i ) i i  z  b  ai  R Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  a  bi  R  z  a  bi  R (Lấy liên hợp 2 vế) Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện  c  di  z  a  bi  R  z  cadibi Hay viết gọn z 0 z  z1  R  z   R R  c  di c 2  d2 z1 R  (Chia cả hai vế cho z 0 ) z0 z0 Dạng 3: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là Elip.   TQ1: (Elip chính tắc). Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  c  z  c  2a , a  c Khi đó ta có    Quỹ tích điểm M x; y biểu diễn số phức z là Elip: y2 x2  1 a2 a2  c2 z  Max  a   2 2  z Min  a  c TQ2: (Elip không chính tắc). Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  z1  z  z 2  2a Thỏa mãn 2a  z1  z 2 . Khi đó ta thực hiện phép biến đổi để đưa Elip về dạng chính tắc (Kỹ thuật đổi hệ trục tọa độ). Ta có   Khi đề cho Elip dạng không chính tắc z  z1  z  z 2  2a , z1  z 2  2a và z1 , z 2  c,  ci ). Tìm Max, Min của P  z  z 0 . 3 Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404  z1  z 2  2c Đặt  2 2 2  b  a  c Nếu z 0  z1  z 2 0 2 PMax  a (dạng chính tắc)  P  b  Min  z1  z 2 a  z0  2 Nếu  z  z  k  z  z  1 0 2  0  z1  z 2 a PMax  z 0  2   P  z  z 1  z 2  a 0  Min 2   z1  z 2 a  z0  2 Nếu  z  z  k  z  z  1 0 2  0 Nếu z 0  z1  z 0  z 2 PMax  z 0  z1  z 2 a 2 PMin  z 0  z1  z 2 b 2 PHẦN I : BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT. Dạng 1: Sử dụng tính chất của modun – bđt đại số. Phương pháp : Xem hướng dẫn trên lớp Dạng 2: Sử dụng tính chất hình học. Xem hướng dẫn trên lớp. Dạng 3: Tả phí lù. Phương pháp: Tin tưởng bạn ngồi bên cạnh Câu 1: (TRẦN HƯNG ĐẠO – NB) Trong các số phức thỏa mãn điều kiện z  3i  z  2  i . Tìm số phức có môđun nhỏ nhất? A. z  1  2i . 1 2 B. z    i . 5 5 1 2  i. 5 5 Hướng dẫn giải C. z  D. z  1  2i . Chọn C. Cách 1: Phương pháp tự luận Giả sử z  x  yi  x , y    2 2 z  3i  z  2  i  x   y  3  i   x  2    y  1  i  x 2   y  3    x  2    y  1  2  6 y  9  4x  4  2 y  1  4 x  8 y  4  0  x  2 y  1  0  x  2 y  1 2  2 1 5 z  x  y   2 y  1  y  5 y  4 y  1  5  y     5 5 5  2 2 Suy ra z min  2 2 2 5 2 1 khi y    x  5 5 5 4 Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404 1 2  i. 5 5 Cách 2: Phương pháp trắc nghiệm Giả sử z  x  yi  x , y    Vậy z  2 2 z  3i  z  2  i  x   y  3  i   x  2    y  1  i  x 2   y  3    x  2    y  1  2  6 y  9  4x  4  2 y  1  4 x  8 y  4  0  x  2 y  1  0 Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa điều kiện z  3i  z  2  i là đường thẳng d : x  2y  1  0 . Phương án A: z  1  2i có điểm biểu diễn  1;  2   d nên loại A. 1 2  1 2 Phương án B: z    i có điểm biểu diễn   ;   d nên loại B. 5 5  5 5 Phương án D: z  1  2i có điểm biểu diễn  1; 2   d nên loại B. 1 2 1 2  i có điểm biểu diễn  ;    d 5 5 5 5 (Trong trường hợp có nhiều số phức thuộc đường thẳng thì ta tiếp tục so sánh modun, và nên thay luôn z vào dữ kiện ban đầu chứ không nên biến đổi) Cách 3: Tính nhanh. Quỹ tích các điểm M biểu diễn số phức z là đường thẳng có phương trình  : x  2 y  1  0 . Phương án C: z  Vậy z min  d  O ,    1 2 2  5 5 1 2 Cách 4: Công thức tính nhanh. BT1: Cho số phức thỏa mãn điều kiện z  a  bi  z . Tìm z min ?  1 1 2 2  z Min  2 z0  2 a  b  z  a  b i  2 2 BT2: Cho số phức thỏa mãn điều kiện z  a  bi  z  c  di . Tìm z min ? z Min  Câu 2: a2  b2  c 2  d2 2 2  a  c  b  d 2 (LẠNG GIANG SỐ 1) Cho số phức z thỏa mãn z  3  z  3  8 . Gọi M , m lần lượt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất z . Khi đó M  m bằng A. 4  7 . B. 4  7 . C. 7. Hướng dẫn giải D. 4  5. Chọn B. Cách 1 : Đại số Gọi z  x  yi với x; y   . 5 Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404 Ta có 8  z  3  z  3  z  3  z  3  2 z  z  4 . Do đó M  max z  4 . Mà z  3  z  3  8  x  3  yi  x  3  yi  8   x  3 2  y2   x  3 2  y2  8 . Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có 8  1.  x  3 2  y 2  1.  x  3   2  y2  1 2  2 2  12  x  3   y 2   x  3   y 2       8  2 2 x 2  2 y 2  18  2 2 x 2  2 y 2  18  64  x2  y 2  7  x2  y 2  7  z  7 . Do đó M  min z  7 . Vậy M  m  4  7 . Cách 2: Hình học (Đọc lại lý thuyết phần Elip)   F1  3; 0  , F2  0, 3      x2 y 2 8   Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là elip   1  a   4  16 7 2    b  a 2  c 2  4 2  3 2  7      z a4 Max Do vậy   M m  4 7  z Min  b  7 Cách 3: Tổng quát Cho số phức z thỏa mãn z  c  z  c  2 a ,  a  c  ta luôn có .  Tập hợp điểm biểu diễn z là Elip y2 x2  1 a2 a2  c 2 z  Max  a   2 2  z Min  a  c Câu 3: (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Cho số phức z thỏa mãn z  2  3i  1 . Giá trị lớn nhất của z  1  i là A. 13  2 . B. 4 . C. 6 . Hướng dẫn giải D. 13  1 . Chọn D Cách 1: Gọi z  x  yi ta có z  2  3i  x  yi  2  3i  x  2   y  3  i . 2 2 Theo giả thiết  x  2    y  3   1 nên điểm M biểu diễn cho số phức z nằm trên đường tròn tâm I  2; 3  bán kính R  1 . M2 Ta có z  1  i  x  yi  1  i  x  1   1  y  i  Gọi M  x; y  và H  1;1 thì HM  2 2  x  1    y  1  x  1    y  1 2 . 2 . M1 I H 6 Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404 Do M chạy trên đường tròn, H cố định nên MH lớn nhất khi M là giao của HI với đường tròn.  x  2  3t Phương trình HI :  , giao của HI và đường tròn ứng với t thỏa mãn: y  3  2 t  9t 2  4t 2  1  t     3 2  3 2  nên M  2  ;3 ;3 ,M2 . 13 13 13  13 13    1 Tính độ dài MH ta lấy kết quả HM  13  1 . Cách 2: Cho số phức z thỏa mãn z  2  3i  1 . Giá trị lớn nhất của w  z  1  i   Ta có z  2  3i  1  z  2  3i  1  z  1  i  3  2i  1  w  3  2i  1 (Đường tròn tâm I  3, 2  , R  1 ) Vậy w Max  OI  R  32  2 2  1  1  13 Lưu ý: Cho số phức z thỏa mãn z  a  bi  R  0 , khi đó ta có quỹ tích các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn I  a , b  , bk  R ) và 2 2 z  Max  OI  R  a  b  R  2 2  z Min  OI  R  a  b  R  Ngoài ra ta luôn có công thức biến đổi z  a  bi  z  a  bi Câu 4: (BIÊN HÒA – HÀ NAM) Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Đặt A  2z  i . Mệnh đề nào sau 2  iz đây đúng? A. A  1 . B. A  1 . C. A  1 . D. A  1 . Hướng dẫn giải Chọn A. Cách 1: Đặt Có a  a  bi ,  a , b     a 2  b 2  1 (do z  1 ) 2 a   2 b  1 i 4 a 2   2b  1  2z  i A    2 2  iz 2  b  ai  2  b   a2 Ta chứng minh Thật vậy ta có 4 a 2   2b  1 2 1. 2  2  b   a2 4 a 2   2 b  1  2  b 2 a 2 2 2 2 2  1  4 a 2   2b  1   2  b   a 2  a 2  b 2  1 Dấu “=” xảy ra khi a2  b2  1 . Vậy A  1 . Cách 2 : Trắc nghiệm 7 Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404 1 z 1 2z  i Chọn  2 34  A 1 1 A  2  iz z 1 2 17 Câu 5: Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A  1  A. 5. B. 4. C. 6. Hướng dẫn giải 5i 5i 5 Cách 1: Ta có: A  1  1  1   6. Khi z  i  A  6. z z z 5i . z D. 8.  Chọn đáp án C. Cách 2: A  1  z  5i 5i   z  5i z z Theo bài z  1  z  5i  5i  1  z  5i Max  52  1  6 Câu 6: Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Tìm giá trị lớn nhất M max và giá trị nhỏ nhất M min của biểu thức M  z 2  z  1  z 3  1 . A. M max  5; M min  1. B. M max  5; M min  2. C. M max  4; Mmin  1. D. M max  4; Mmin  2. Hướng dẫn giải 2 3 Ta có: M  z  z  1  z  1  5 , khi z  1  M  5  M max  5. Mặt khác: M  1  z3 1 z 3  1 z  1  z3 2  1  z3 2  1  z 3  1  z3 2  1, khi z  1  M  1  M min  1.  Chọn đáp án A. Câu 7: Cho số phức z thỏa z  2 . Tìm tích của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P  3 A. . 4 B. 1. C. 2 . zi . z 2 D. . 3 Hướng dẫn giải i 1 3 i 1 1 Ta có P  1   1   . Mặt khác: 1   1   . z | z| 2 z | z| 2 Vậy, giá trị nhỏ nhất của P là 1 3 , xảy ra khi z  2i ; giá trị lớn nhất của P bằng xảy ra khi 2 2 z  2 i. Câu 8:  Chọn đáp án A. Cho số phức z thỏa mãn z  1  2i  3 . Tìm môđun lớn nhất của số phức z  2i. A. 26  6 17 . B. 26  6 17 . C. 26  8 17 . D. 26  4 17 . 8 Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404 Hướng dẫn giải Cách 1: Gọi z  x  yi ;  x  ; y     z  2i  x   y  2  i . Ta có: 2 2 z  1  2 i  3   x  1   y  2   9 . Đặt x  1  3 sin t; y  2  3cos t; t   0; 2  . 2 2 2  z  2i   1  3 sin t    4  3 cos t   26  6  sin t  4 cos t   26  6 17 sin  t    ;      .  26  6 17  z  2i  26  6 17  z  2i max  26  6 17  3  17  Chọn đáp án A. Cách 2: Cho số phức z thỏa mãn z  1  2i  3 . Tìm môđun lớn nhất của số phức z  2i. Ta có z  1  2i  3   z  2i   1  4i  3  z Max  12  4 2  3  3  17 (đáp án A) Câu 9: Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  1  z  3 1  z . A. 3 15 B. 6 5 C. 20 Hướng dẫn giải D. 2 20. Cách 1: Gọi z  x  yi ;  x  ; y    . Ta có: z  1  x 2  y 2  1  y 2  1  x 2  x    1;1 . 2 Xét hàm số f  x   2  1  x   y  3  1  x   y  2 1  x   3 2 1  x  . 2  1  x   3 2 1  x  ; x    1;1 . Hàm số liên tục trên   1;1 Ta có: P  1  z  3 1  z  x   1;1 ta có: f   x   1 2 1  x   2 2 và với 3 4  0  x     1;1 . 5 2 1  x   4 Ta có: f  1  2; f  1  6; f     2 20  Pmax  2 20.  5  Chọn đáp án D. Cách 2: (Casio)  x  sin t Từ z  1 , đặt z  x  yi   Thay vào P rồi dùng mode 7 ra đáp án D y  cos t  Cách 3: Hình học (Xem video live của thầy) Câu 10: Cho số phức z thỏa mãn z  1. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z  1  z 2  z  1 . Tính giá trị của M .m . A. 13 3 . 4 B. 39 . 4 C. 3 3. D. 13 . 4 Hướng dẫn giải Gọi z  x  yi ;  x  ; y    . Ta có: z  1  z.z  1 Đặt t  z  1 , ta có 0  z  1  z  1  z  1  2  t  0; 2  . Ta có t 2   1  z  1  z   1  z.z  z  z  2  2 x  x  t2  2 . 2 9 Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404  2 x  1 Suy ra z 2  z  1  z 2  z  z.z  z z  1  z  2  2x  1  t 2  3 . Xét hàm số f  t   t  t 2  3 , t   0; 2  . Bằng cách dùng đạo hàm, suy ra 13 13 3 ; min f  t   3  M .n  . 4 4  Chọn đáp án A. max f  t   Câu 11: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 2  4  2 z . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. 3 1 3 1  z . 6 6 B. 5  1  z  5  1. 2 1 2 1  z . 3 3 Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức u  v  u  v , ta được C. 6  1  z  6  1. D. 2 2 2 z  4  z 2  4  4  z  z  2 z  4  0  z  5  1. 2 2 2 z  z  z 2  4   z 2  4  z  2 z  4  0  z  5  1. Vậy, z nhỏ nhất là 5  1, khi z  i  i 5 và z lớn nhất là 5  1, khi z  i  i 5.  Chọn đáp án B. Câu 12: Cho số phức z thỏa mãn z  1  2i  2 . Tìm môđun lớn nhất của số phức z. A. 9 4 5. B. 11  4 5 C. 6  4 5 Hướng dẫn giải D. 2 56 5 2 Cách 1: Gọi z  x  yi ;  x  ; y    . Ta có: z  1  2i  2   x  1   y  2   4. Đặt x  1  2 sin t ; y  2  2 cos t ; t   0; 2  . 2 2 2 Lúc đó: z   1  2 sin t    2  2 cos t   9   4 sin t  8 cos t   9  4 2  8 2 sin  t    ;      2  z  9  4 5 sin  t     z    9  4 5 ; 9  4 5     zmax  9  4 5 đạt được khi z  5  2 5 10  4 5  i. 5 5  Chọn đáp án A. Cách 2: Cho số phức z thỏa mãn z  1  2i  2 . Tìm môđun lớn nhất của số phức z. Ta có z  1  2i  2  z Max  12  2 2  2  2  5  9  4 5 Câu 13: Cho số phức z thỏa mãn  1  i  z  6  2i  10 . Tìm môđun lớn nhất của số phức z. A. 4 5 B. 3 5. C. 3. Hướng dẫn giải D. 3  5 Cách 1: Gọi z  x  yi ;  x  ; y    . 10 Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404 Ta có:  1  i  z  6  2i  10  1  i  . z  2 2 6  2 i  10  z  2  4i  5   x  2    y  4   5. Đặt 1 i x  2  5 sin t ; y  4  5 cos t ; t   0; 2  . Lúc đó: 2  2 z  2  5 sin t   4  5 cos t  2  2   4 5   8 5   25  4 5 sin t  8 5 cos t  25  2 sin  t    ;      2  z  25  20 sin  t     z   5; 3 5     zmax  3 5 đạt được khi z  3  6i.  Chọn đáp án B. Cách 2: Cho số phức z thỏa mãn  1  i  z  6  2i  10 . Tìm môđun lớn nhất của số phức z. Ta có  1  i  z  6  2i  10  z  6  2i 10   z  2  4i  5 1i 1i  z Max  2 2  4 2  5  3 5 Câu 14: Gọi z  x  yi  x , y    là số phức thỏa mãn hai điều kiện z 3 2  3 2 2 2 z  2  z  2  26 và i đạt giá trị lớn nhất. Tính tích xy. 9 A. xy  . 4 16 9 . D. xy  . 9 2 Hướng dẫn giải Cách 1: Đặt z  x  iy  x , y    . Thay vào điều kiện thứ nhất, ta được x 2  y 2  9. B. xy  13 . 2 C. xy  Đặt x  3 cos t , y  3 sin t. Thay vào điều kiện thứ hai, ta có P z 3 2  3   i  18  18 sin  t    6. 2  4   3 3 2 3 2 Dấu bằng xảy ra khi sin  t    1  t   z  i. 4 2 2  4  Chọn đáp án D. Câu 15: Trong các số phức thỏa mãn điều kiện z  2  4i  z  2i . Tìm môđun nhỏ nhất của số phức z  2 i. A. B. 3 5. 5 C. 3 2 Hướng dẫn giải D. 3  2 Cách 1: Gọi z  x  yi ;  x  ; y    . 2 2 Ta có: z  2i  x 2 2 2  x  2    y  4   x   y  2   x  y  4  0  y  4  x.   y  2   x   6  x   2 x  12 x  36  2  x  3   18  18 Ta có: z  2  4i  z  2i  2 2 2 2 2 2 11  z  2i min Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404  18  3 2 khi z  3  i.  Chọn đáp án C. Cách 2: z  2  4i  z  2i   z  2i   2  6i   z  2i   4i  w  2  6i  w  4i Trong đó w  z  2i (quay về dạng bài toán 1) Câu 16: Cho số phức z thỏa mãn z  1  2i  3 . Tìm môđun nhỏ nhất của số phức z  1  i. A. 4. B. 2 2. C. 2. D. 2. Hướng dẫn giải Cách 1: Gọi z  x  yi ;  x  ; y     z  1  i   x  1   y  1 i . Ta có: 2 2 z  1  2 i  9   x  1   y  2   9 . Đặt x  1  3 sin t; y  2  3cos t; t   0; 2  . 2 2 2  z  1  i   3 sin t    1  3 cos t   10  6 cos t  2  z  2i  4  z  1  i min  2 , khi z  1  i.  Chọn đáp án C. Cách 2: (Hình học + CT tính nhanh) Ta có z  1  2i  3   z  1  i   i  3  z  1  i Min  12  3  2 Câu 17: Biết số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện 2 z  3  4i  5 và biểu thức 2 M  z  2  z  i đạt giá trị lớn nhất. Tính môđun của số phức z  i. A. z  i  2 41 B. z  i  3 5. C. z  i  5 2 D. z  i  41. Hướng dẫn giải 2 2 Gọi z  x  yi ;  x  ; y    . Ta có: z  3  4i  5   C  :  x  3    y  4   5 : tâm I  3; 4  và R  5. Mặt khác: 2 2 2 2 M  z  2  z  i   x  2   y 2   x 2   y  1   4 x  2 y  3  d : 4 x  2 y  3  M  0.   Do số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện nên d và  C  có điểm chung    d  I; d  R  23  M  5  23  M  10  13  M  33 2 5 4 x  2 y  30  0 x  5  Mmax  33     z  i  5  4i  z  i  41. 2 2 y   5 x  3  y  4  5        Chọn đáp án D. m  i Câu 18: Cho số phức z  , m   . Tìm môđun lớn nhất của z. 1  m  m  2i  A. 1. B. 0. C. 1 . 2 D.2. 12 Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404 Hướng dẫn giải Ta có: z  m  i m i 1  2  2  z  1  z max  1  z  i; m  0. 2 1  m  m  2i  m  1 m  1 m 1  Chọn đáp án A. Câu 19: (NGUYỄN TRÃI – HD) Cho số phức z thỏa mãn: z  2  2i  1 . Số phức z  i có môđun nhỏ nhất là: A. B. 5 1 5 1 C. 5  2 Hướng dẫn giải D. 52. Chọn A. y I 1 M O 1 x Cách 1: Gọi z  x  yi , x , y   . Ta có: z  2  2i  1  ( x  2)  ( y  2)i  1  ( x  2)2  ( y  2)2  1 Tập hợp các điểm trong mặt phẳng Oxy biểu diễn của số phức z là đường tròn (C ) tâm I (2; 2) và bán kính R  1 . 2 z  i  x 2   y  1  IM , với I  2; 2  là tâm đường tròn, M là điểm chạy trên đường tròn. Khoảng cách này ngắn nhất khi M là giao điểm của đường thẳng nối hai điểm N  0;1  Oy , I  2; 2  với đường tròn (C). IM min  IN  R  5  1 Cách 2: Cho số phức z thỏa mãn: z  2  2i  1 . Số phức z  i có môđun nhỏ nhất Ta có z  2  2i  1   z  i   2  i  1  z  i Min  2 2  12  1  5  1 Câu 20: Trong mặt phẳng phức Oxy , các số phức z thỏa z  2i  1  z  i . Tìm số phức z được biểu diễn bởi điểm M sao cho MA ngắn nhất với A  1, 3  . A. 3  i . B. 1  3i . C. 2  3i . Hướng dẫn giải Gọi M  x , y  là điểm biểu diễn số phức z  x  yi  x , y  R  D. 2  3i . Gọi E  1, 2  là điểm biểu diễn số phức 1  2i Gọi F  0, 1 là điểm biểu diễn số phức i 13 Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404 Ta có : z  2i  1  z  i  ME  MF  Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường trung trục EF : x  y  2  0 . Để MA ngắn nhất khi MA  EF tại M  M  3,1  z  3  i => Đáp án A. Câu 21: ( CHUYÊN SƠN LA – L2) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện : z  1  2i  5 và w  z  1  i có môđun lớn nhất. Số phức z có môđun bằng: A. 2 5 . B. 3 2 . C. 6. D. 5 2 . Hướng dẫn giải: Chọn B. Gọi z  x  yi  x, y     z  1  2 i   x  1   y  2  i 2 Suy ra tập hợp điểm 2 2 2  x  1    y  2   5   x  1   y  2   5 M  x; y  biểu diễn số phức z thuộc đường tròn  C  tâm I  1; 2  bán Ta có: z  1  2i  5  kính R  5 Dễ thấy O   C  , N  1; 1   C  Theo đề ta có: M  x; y    C  là điểm biểu diễn cho số phức z thỏa mãn: w  z  1  i  x  yi  1  i   x  1   y  1 i  2 2  z  1  i   x  1   y  1  MN Suy ra z  1  i đạt giá trị lớn nhất  MN lớn nhất Mà M , N   C  nên MN lớn nhất khi MN là đường kính đường tròn  C  2  I là trung điểm MN  M  3; 3   z  3  3i  z  32   3   3 2 Câu 22: (CHU VĂN AN – HN) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  1  2 . Tìm giá trị lớn nhất của T  z  i  z  2  i . A. max T  8 2 . B. max T  4 . C. max T  4 2 . Hướng dẫn giải D. max T  8 . Chọn B T  z  i  z  2  i   z  1   1  i    z  1    1  i  . Đặt w  z  1 . Ta có w  1 và T  w   1  i   w   1  i  . 2 Đặt w  x  y.i . Khi đó w  2  x 2  y 2 . 14 Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404 T   x  1   y  1  i   x  1    y  1  i  1.   2  x  1   y  1 2  1. 2  x  1   y  1  2  1  1    x  1   y  1    x  1    y  1   2  2x  2 y  4   4 2 2 2 2 2 2 2 2 Vậy max T  4 . Câu 23: Cho số phức z thỏa mãn z  2  3i  1 . Giá trị lớn nhất của z  1  i là A. 13  2 . B. 4 . C. 6 . D. 13  1 . (THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU – NGHỆ AN) Lời giải Cách 1: Đặt z  a  bi  a , b    , ta có z  2  3i  1   a  2    b  3  i  1.  2 a  2  b  3 2 2 2  1  a  2  b  3  1   a  2  sin t Đặt  (vì    sin 2 t  cos 2 t  1 ). Khi đó z  1  i   a  1   1  b  i . b  3  cos t 2 2 2 2  a  1  1  b   xét biểu thức P   a  1  1  b  . Ta có  a  1   1  b    sin t  3    cos t  2   sin t  6 sin t  9  cos t  4 cos t  4  2 2 2 2 2 2    sin 2 t  cos 2 t  13  6 sin t  4 cos t  14  6 sin t  4 cos t  P 2   Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta được  6 sin t  4 cos t   6 2  4 2 sin 2 t  cos 2 t  2   6 sin t  4 cos t   52  6 sin t  4 cos t  52  2 13  P  14  2 13. Vậy z  1  i  2  a  1   1  b  2  14  2 13   13  1  2  13  1. Chọn A. Cách 2: Cho số phức z thỏa mãn z  2  3i  1 . Giá trị lớn nhất của z  1  i   Ta có z  2  3i  1  z  2  3i  1  z  1  i  3  2i  1  z 1 i Max  32  2 2  1  13  1 Câu 24: (THPT CHUYÊN ĐH VINH – LẦN 2)Cho các z  2  2i  z  4i , w  iz  1 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức w là A. 2 . 2 B. 2 2 . C. 2 . số D. phức z, w thỏa mãn 3 2 . 2 Lời giải Cách 1: Đặt z  a  bi  a, b    , khi đó z  2  2i  a  2   b  2  i và z  4i  a   b  4  i . 2 2 2 Nên ta có  a  2    b  2   a 2   b  4   a  b  2  b  2  a 15 Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404 2 2 Khi đó w  iz  1   a  bi  i  1  1  b  ai  w  a 2   b  1  a 2   a  1 . 2 2  1 1 1 2 2 Dễ thấy a2   a  1  2  a      w   min w  . Chọn A. 2 2 2 2 2  Cách 2: Chuyển về phương trình đường thẳng (dạng 1) Câu 25: (ĐỀ THTT LẦN 5 – 2017) Cho số phức z thỏa mãn z  4  z  4  10. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z lần lượt là A. 10 và 4 B. 5 và 4 C. 4 và 3 . D. 5 và 3 . Hướng dẫn giải. Gọi z  x  yi ,  x , y    . Theo giả thiết, ta có z  4  z  4  10.   x  4   yi   x  4   yi  10   x  4 2  x  4  y2  2  y 2  10  Gọi M  x; y  , F1   4; 0  và F2  4; 0  . Khi đó    MF1  MF2  10 nên tập hợp các điểm M  z  là đường elip  E  . Ta có c  4 ; 2a  10  a  5 và b2  a 2  c 2  9 . x2 y 2 Do đó, phương trình chính tắc của  E  là   1. 25 9 Vậy max z  OA  OA ‘  5 và min z  OB  OB ‘  3 . Chọn D. Câu 26: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z  2  4i  z  2i . Biết rằng số phức z  x  yi ,  x, y    có môđun nhỏ nhất. Tính P  x A. P  10 . B. P  8 . 2  y2 . C. P  16 . D. P  26 . Hướng dẫn giải. Cách 1: Gọi z  x  yi ,  x , y    . Ta có z  2  4i  z  2i   x  2    y  4  i  x   y  2  i  2  x  2   y  4 2 2  x 2   y  2   x 2  4 x  4  y 2  8 y  16  x 2  y 2  4 y  4  4 x  4 y  16  0  y  4  x . 2 2 Do đó z  x 2  y 2  x 2   4  x   2 x 2  8 x  16  2  x  2   8  2 2 . Dấu ”  ” xảy ra  x  2  y  2 . Vậy P  2 2  2 2  8 . Chọn B. Cách 2: Chuyển về phương trình đường thẳng (bài tập 1) Câu 27: Tìm giá trị lớn nhất của z biết rằng z thỏa mãn điều kiện A. max z  1 . B. max z  2 . C. max z  2 .  2  3i z 1  1. 3  2i D. max z  3 . Hướng dẫn giải. Ta có  2  3i 1 z  1  1   iz  1  1   i . z   1  z   i  1 . 3  2i i 16 Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404 Vì   i   0  1 nên max z  r1  r2  1  1  2 . Chọn B. Câu 28: (THPT CHUYÊN KHTN – LẦN 1) Trong các số phức z 1  i  z  1  7 i  thỏa mãn điều kiện 2 . Tìm max z . A. max z  4 . B. max z  3 . C. max z  7 . D. max z  6 . Hướng dẫn giải. Ta có  1  i  z  1  7 i  2  1  i z  1  7i  2  z   3  4i   1 . 1 i Vì  3  4i   0  5 nên max z  r1  r2  1  32  4 2  6 . Chọn D. Câu 29: Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Đặt A  A. A  1. B. A  1. 2z  i . Mệnh đề nào sau đây đúng? 2  iz C. A  1. D. A  1. (THPT CHUYÊN HÀ NAM) Lời giải 2z  i  A  2  iz   2 z  i  2 A  Azi  2 z  i 2  iz 2A  i 2A  i  2 A  i  z  Ai  2   z  . Mà z  1   1  2 A  i  Ai  2 Ai  2 Ai  2 Từ giả thiết, ta có A   . Đặt A  x  yi  x , y    , khi đó    2 x   2 y  1 i   y  2  xi 2  4 x 2   2 y  1   y  2 2  x 2  4 x 2  4 y 2  4 y  1  x 2  y 2  4 y  4  x 2  y 2  1. Vậy môđun của A  x 2  y 2  1. Chọn A. Câu 30: Với hai số phức z1 và z2 thỏa mãn z1  z2  8  6i và z1  z2  2 . Tìm giá trị lớn nhất của P  z1  z2 . A. P  5  3 5. B. P  2 26. C. P  4 6. D. P  34  3 2. (THPT CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN – LẦN 4) Lời giải 2  2 2  Bổ đề. Cho hai số phức z1 và z2 , ta luôn có z1  z2  z1  z2  2 z1  z2   z  z z  z   z  z z  z     . 2  2 2 Chứng minh. Sử dụng công thức z1  z2   z1  z2  z1  z2 và z.z  z . Khi đó 2 z1  z2  z1  z2 2 1 2 1 2 1 2 1 2  z1 .z1  z1 .z2  z1 .z2  z2 .z2  z1 .z1  z1 .z2  z1 .z2  z2 .z2    2  2 z1 .z1  z2 .z2  2 z1  z 2 2 2 2   đpcm. 2  Áp dụng   , ta được z1  z2  z1  z2  4  z1  z2  4    3 2 2  1  z1  z2  1. Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta được P  z1  z2  2 z1  z2 2 2 26. Chọn B. 17 Câu 31: Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404 Với hai số phức z1 và z2 thỏa mãn z1  z2  8  6i và z1  z2  2 . Tìm giá trị lớn nhất của P  z1  z2 . A. P  5  3 5. B. P  2 26. C. P  4 6. D. P  34  3 2. (THPT CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN – LẦN 4) Lời giải 2  2 2  Bổ đề. Cho hai số phức z1 và z2 , ta luôn có z1  z2  z1  z2  2 z1  z2   z  z z  z   z  z z  z     . 2  2 2 Chứng minh. Sử dụng công thức z1  z2   z1  z2  z1  z2 và z.z  z . Khi đó 2 z1  z2  z1  z2 2 1 2 1 2 1 2 1 2  z1 .z1  z1 .z2  z1 .z2  z2 .z2  z1 .z1  z1 .z2  z1 .z2  z2 .z2    2  2 z1 .z1  z2 .z2  2 z1  z 2 2 2   đpcm. 2 2  Áp dụng   , ta được z1  z2  z1  z2  4  z1  z2  4   3  2  1  z1  z2  1. 2 Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta được P  z1  z2  2 z1  z2 2 2 26. Chọn B. Câu 32: (THPT CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH – ĐỒNG NAI)Cho số phức z thỏa mãn z 2  2 z  5   z  1  2i  z  3i  1 . Tính min| w |, với số phức w  z  2  2i . 3 A. min| w | . B. min| w | 2 . 2 C. min| w | 1 . D. min| w | 1 . 2 Lời giải 2 2 2 Ta có z  2 z  5   z  1  4   z  1   2i    z  1  2i  z  1  2i  . 2  z  1  2i Khi đó, giả thiết   z  1  2i  z  1  2i    z  1  2i  z  3i  1    z  1  2i  z  3i  1 TH1. Với z  1  2i , ta có w  z  2  2i  1  2i  2  2i   1  w  1. TH2. Với z  1  2i  z  3i  1  , đặt z  x  yi  x, y    , ta có 2 2 2     x  1   y  2  i  x  1   y  3  i   x  1   y  2    x  1    y  3  1 3 Do đó w  z  2  2i  x  i  2  2i  x  2  i  w  2 2 2 1 y . 2 9 3  . Chọn A. 4 2 1 Câu 33: (TOÁN HỌC & TUỔI TRẺ LẦN 8)Cho số phức z thỏa mãn z   3 . Tổng của giá trị lớn z x  2 2  nhất và giá trị nhỏ nhất của z là A. 3. B. 5. C. 13. D. 5. Lời giải 18 Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404 2 1 1  1  1 Ta có a  z   a 2  z    z   z   z z z  z  2 z  z2   z  z 2 1  2 z 2 4  2 2 z  z  z  2 z 1 z 2 .   a  a2  4 a  a2  4  4 2 2 . Khi đó z  z . a2  2  1    z  z   0  z   ; 2 2    Vậy max z    a  a2  4 a  a2  4 ; min z   M  m  a 2  4  13. Chọn C. 2 2 Câu 34: (THPT NHÂN CHÍNH – HÀ NỘI)Xét số phức z thỏa mãn  1  2i  z  nào sau đây đúng? 3 1 3 A.  z  2 . B.  z  . 2 2 2 C. z  2 . D. z  10  2  i . Mệnh đề z 1 . 2 Lời giải 10 10  2  i   1  2i  z  2  i  z z 10 10  z 2 z i 2i   z  2  2 z 1 i  z z 2 2 10 Lấy môđun hai vế của   , ta được    z  2  2 z  1  . z Cách 1. Từ giả thiết, ta có  1  2i  z          10  t 2 5t 2  5  10  t 4  t 2  2  0  t  1. t 1 3 Vậy môđun của số phức z bằng 1   z  . 2 2 Cách 2. Sử dụng máy tính casio ( hướng dẫn chi tiết ở câu 26) để tìm z . Đặt t  z , ta có 2  t  2    2t  1  2    Cách 3. Đặt z  a  bi  a , b    và c  z , thay vào đẳng thức đã cho thì  a  bi  10  2  i 10  2  i   1  2i  c  a  bi c2   a 10 b 10  c  2  2  i  2c  2  1   0   c c    a 10  a 10 c  2  2  0 c  2  2 10 a2  b2 2 2 10   c c Suy ra  nên  c  2    1  2c    2  4 c c 2c  b 10  1  0 1  2c  b 10   c c2 Gt   1  2i  c   Giải ra ta có c   1 mà c  0 nên c  1 hay z  1 . Do đó  1 3  z  . Chọn B. 2 2 19 Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404 Câu 35: (THPT CHUYÊN LÀO CAI)Xét số phức z và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn là M , M  . Số phức z(4  3i ) và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn lần lượt là N , N  . Biết rằng M , M  , N , N  là bốn đỉnh của hình chữ nhật. Tìm giá trị nhỏ nhất của z  4i  5 A. 1 . 2 B. 2 5 . C. 1 2 . D. 4 13 . Lời giải  N  4 x  3 y ; 3 x  4 y  Gọi M  x; y   M ‘  x;  y  và  4  3i  z  4 x  3 y   3x  4 y  i    N ‘  4 x  3 y ;  3x  4 y  Dễ thấy MM ‘  NN ‘ vì cùng vuông góc với Ox nên để MM ‘ N ‘ N là hình chữ nhật.  MM ‘  NN ‘  Khi và chỉ khi  MN  M ‘ N ‘  x  y  0  z  x  xi  z  4i  5   MN  Ox  2 2 Ta có  x  5    x  4   2  x  5   x  4  2 2 1 1 1 1 2 x  9     z  4i  5 min  . Chọn C.  2 2 2 2 Câu 36: (THPT CHU VĂN AN – HÀ NỘI)Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  1  2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T  zi  z2i . A. max T  8 2. B. max T  4. C. max T  4 2. Lời giải Đặt z  x  yi  x , y    , ta có z  1  2  x  1  yi  2   x  1 2 D. max T  8.  y2  2 2   x  1  y 2  2  x 2  2 x  1  y 2  2  x 2  y 2  2 x  1   Lại có T  z  i  z  2  i  x   y  1 i  x  2   y  1 i 2  x 2   y  1  2  x  2    y  1 2  x2  y 2  2 y  1  x2  y 2  4x  2 y  5 Kết hợp với   , ta được T  2 x  2 y  2  6  2 x  2 y  2  x  y   2  2  2  x  y  Đặt t  x  y , khi đó T  f  t   2t  2  6  2t với t    1;1 . Ta có f ‘  t   1 2t  2  1 6  2t ; f ‘  t   0  t  1  f  t max  f  1  4 . Chọn B. Câu 37: (ĐHNT HN) Cho số phức z thỏa mãn điêu kiện z  1  2 . Tính giá trị lớn nhất của biểu thức T  zi  z2i A. max T  8 2 . B. max T  8 . C. max T  4 2 . Hướng dẫn giải D. max T  4 . Chọn C Đặt z  x  yi  x , y    , ta có: 20 Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404 z  1  2  x  1  yi  2 2   x  1  y 2  2  x 2  y 2  2 x  1  *  Lại có: T  z  i  z  2  i  x   y  1 i  x  2   y  1 i 2  x 2   y  1  2  x  2    y  1 2  x2  y 2  2 y  1  x2  y 2  4 x  2 y  5 Kết hợp với  *  , ta được: T  2x  2 y  2  6  2x  2 y Áp dụng bất đẳng thức Bunhacopxki ta được   12  2 x  2 y  2  Vậy max T  4 . 1 2 T  2    Câu 38: Cho w  sin   i cos  với 0    2  6  2x  2 y   4    thỏa mãn w 2  1  2 w . 2 2   Giá trị của P   26 w  3    2018 2018 A. P  23 . B. P  23 . Hướng dẫn giải Chọn A 2018 là C. P  232018 i. D. P  29 2018. 2 Ta có: w 2  1   sin   i cos    1  1  cos 2  i sin 2  w 2  1  2  2 cos 2 . 2 w  sin 2   cos 2   2 . Từ giả thiết: w 2  1  2 w  cos 2  0      vì 0    . 4 2 2 2 2 2 2 i w i  w 1 . 2 2 2 2 2018 Vậy P  23 . w 2 2 Câu 39: Cho các số phức z1  2  i , z2  2  i và số phức z thay đổi thỏa mãn z  z1  z  z2  16. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z . Giá trị biểu thức M 2  m2 bằng B. 7 . A. 15 . Chọn C. 11 . Lời giải D. 8 . D. Gọi M là điểm biểu diễn của z . Gọi A  2; 1 , B  2;1 . Gọi I  0;1 là trung điểm AB . 2 2 z  z1  z  z2  16  MA 2  MB 2  16 AB2  16  MI  2 2 Suy ra tập hợp các điểm M là đường tròn tâm I  0;1 bán kính R  2 . MA 2  MB2  2 MI 2  21 Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404 y M2 I x O M1 Ta lại có : IM  IO  OM  IM  IO  1  OM  3 . Do đó : z max  3  M  M2 z min  1  M  M1  M 2  m2  8 . Bài tương tự Câu 40: Cho hai số phức z1 , z 2 thỏa mãn z1  1  i  2 và z2  iz1 . Tìm giá trị nhỏ nhất m của biểu thức z1  z2 ? A. m  2  1 . B. m  2 2 . D. m  2 2  2 . C. m  2 . Lời giải Chọn D. Đặt z1  a  bi; a , b    z2  b  ai  z1  z2   a  b    b  a  i . Nên z1  z2  2  a  b   b  a 2  2. z1 Ta lại có 2  z1  1  i  z1  1  i  z1  2  z1  2  2 . Suy ra z1  z2  2. z1  2 2  2 . a b  0. 1 1 Vậy m  min z1  z2  2 2  2 . Dấu ”  ” xảy ra khi 2  2 Câu 41: Gọi số phức z  x  yi; x , y   thỏa điều kiện z  2  z  2  26 và z  2  5i  lớn nhất. Tính T  x  y . A. T  2  5 . Chọn B. T  2  5 . C. T  2  5 . Lời giải D. T  2  5 . A. Giả sử z  x  yi; x , y   2 2 2 2 Ta có z  2  z  2  26   x  2   y 2   x  2   y 2  26  x 2  y 2  9 . 22 Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404 Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn  C  tâm là gốc tọa độ O , bán kính R  3.   Ta có z  2  5i  Vì 2 2   5 2  x  2 2   y 5   2   9 nên điểm N 2; 5 thuộc đường tròn  C  .   Gọi M  x; y  là điểm thuộc  C  , khi đó z  2  5i   Suy ra z  2  5i   x  2 3   y 5  2  MN .  lớn nhất  MN lớn nhất  MN là đường kính của  C   M 2;  5  Vậy z  2  5i . Câu 42: Cho z1 , z2 là hai số phức thỏa mãn phương trình 2 z  i  2  iz , biết z1  z2  1 Tính giá trị của biểu thức: P  z1  z2 . A. P  3 . 2 C. P  B. P  2 . 2 . 2 D. P  3 . Lời giải Chọn D. 2 2 HD: Cách 1. Ta có: 2 z  i  2  iz  2 z  i  2  iz  (2 z  i )(2 z  i )  (2  iz )(2  iz) y  4 z.z  2iz  2iz  i 2  4  2iz  2iz  i 2 z.z  3 z.z  3 2  z.z  1  z  1  z  1  z1  1 và z 2  1 M M2 2 Chú ý: a.a  a 2  2 z  i  (2 z  i )(2 z  i)  (2 z  i)(2 z  i ) Tập hợp điểm biểu diễn số phức z1 , z2 là đường tròn tâm O bán kính R  1 . Gọi M1 ( z1 ), M 2 ( z2 )  OM1  OM 2  1    Ta có: z1  z2  OM1  OM 2  M 2 M1  1  OM1 M 2 đều    Mà z1  z2  OM1  OM 2  OM  OM với M là điểm thỏa M1 O x mãn OM1 MM 2 là hình thoi cạnh 1  OM  3  P  3 . Cách 2. Đặt z  x  yi ,  x , y    , ta có 2 z  i  2 x  (2 y  1)i và 2  iz  2  y  xi .  z1  1 Khi đó: 2 z  i  2  iz  4 x 2  (2 y  1)2  ( y  2) 2  x 2  x 2  y 2  1  z  1    z2  1 2 2  2 Sử dụng công thức z1  z2  z1  z2  2 z1  z2 2  z z 1 2 2  3  z1  z2  3 . Chọn D. Câu 43: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  1  2i  4 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z  2  i . Tính giá trị của tổng S  M 2  m 2 . A. S  82 . B. S  34 . C. S  68 . D. S  36 . Lời giải Chọn C. 23 Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404 Cách 1: (Phương pháp hình học) Đặt số phức z  x  iy , x , y   có điểm biểu diễn hình học là P  x , y  . Ta có z  1  2i  2  x  1   y  2  2 2 2  4   x  1   y  2   16 . Vậy tập hợp điểm P là đường tròn tâm I  1; 2  , bán kính R  4 . Ta có z  2  i  Vậy từ 2  x  2    y  1 hình 2  AP , với A  2; 1 . ta vẽ nhận thấy:  M  AP  AP  IA  R  3 2  4 max 2 .  m  APmin  AP1  IA  R  3 2  4 2    Vậy ta suy ra S  M 2  m2  3 2  4  3 2  4  2  68 . Cách 2: (Phương pháp đại số) Công cụ cơ bản: z1  z2  z1  z2  z1  z2 , với mọi số phức z1 , z2 . Áp dụng, ta có: z  2  i   z  1  2i    3  3i   z  1  2i  3  3i  4  3 2  M  4  3 2 z  2  i   z  1  2i    3  3i   z  1  2i  3  3i  3 2  4  m  3 2  4  2   Vậy ta có S  M 2  m2  3 2  4  3 2  4  2  68 . Câu 44: [Phạm Minh Tuấn – Vted 15] Cho ba số phức z , z1 , z2 thỏa z1  z2  6 và z1  z2  6 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  2  z  z1  z  z2   z  z  z1   z  z  z2  . A. 30 3 . B. 36 2 . C. 50 . Lời giải D. 50 2 . Chọn B. Gọi A , B, M là điểm biểu diễn số phức z1 , z 2 , z , khi đó từ giả thiết ta suy ra tam giác OAB vuông cân tại O và bài toán quy về tìm giá trị nhỏ nhất của P  2 MA.MB  MO.MA  MO.MB . Ta sẽ chứng minh bài toán tổng quát Cho tam giác ABC , đặt AB  c , AC  b , BC  a , khi đó ta có MB.MC MC.MA MA.MB    1  bc ca ab Chứng minh: dùng bài toán kinh điển x.MA 2  y. MB 2  z.MC 2  xyc 2  yza 2  zxb2 xyz  a b c aMB. MC  bMC .MA  cMA.MB ;y  ;z  khi đó x  y  z  MA MB MC MA.MB.MC aMA  bMB  cMC và xyc 2  yza 2  zxb2  abc từ đó sử dụng   suy ra hệ thức   . MA.MB. MC Đặt x  24 Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404 Áp dụng bài toán trên ta có P  36 2 , chọn B. Ta có thể chứng minh bài toán   trên bằng ngôn ngữ số phức. Gọi tọa độ các điểm A , B, C , M trên mặt phẳng phức là u, v , w , x khi đó a  v  w , b  w  u , c  u  v , MA  x  u , MB  x  v , MC  x  w . Khi đó bất đẳng thức   tương đương xv xw uv uw   x  w x u v  w v u  xu xv wu w v 1  x  v  x  w    x  w  x  u    x  u  x  v   u  v  u  w   v  w  v  u   w  u  w  v  1 Mặt khác :  x  v  x  w    x  w  x  u    x  u  x  v    x  v  x  w    x  w  x  u    x  u  x  v   u  v  u  w   v  w  v  u   w  u  w  v   u  v  u  w   v  w  v  u   w  u  w  v   x  v  x  w    x  w  x  u    x  u  x  v   1 nên suy ra  . Mà   u  v  u  w   v  w  v  u   w  u  w  v  Câu 45: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  i  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  z  2  i  2 z  2  3i A. 3. B. 3 . C. 2. D. 4 3 . 3 Lời giải Chọn B. 25 Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404 Gọi điểm biểu diễn của z là M . Khi đó M nằm trên đường tròn tâm I  0; 1 , R  1. Gọi tọa độ các điểm A    2 ; 1 , B  2; 3 do đó:  1  IK IM 1 P  z  2  i  2 z  2  3i  MA  2 MB. Gọi K    . ; 1  khi đó ta có: IM IA 2  2  Vậy IMK và IAM là hai tam giác đồng dạng. Khi đó: MA  2 MK . Vậy P  2  MK  MB  . Theo bất đẳng thức tam giác: P  2  MK  MB   2 BK. Vậy Min  P   2 BK  3. Câu 46: Với hai số phức z1 và z2 thoả mãn z1  z2  8  6i và z1  z2  2, tìm giá trị lớn nhất của P  z1  z2 . A. P  4 6 . B. P  2 26 . C. P  5  3 5 . Lời giải Chọn B. D. P  34  3 2 . y A I 3 B O 1 4 x Vì hai số phức z1 và z2 thoả mãn z1  z2  8  6i và z1  z2  2 nên  z1   4  3i   1 z1  8  6i  z2   z  8  6 i  z   2  z 2   4  3i   1  *  . 1  z z 2   1 2  z1  z2  2 Gọi A , B lần lượt là hai điểm biểu diễn của hai số phức z1 và z2 khi đó từ  *  suy ra A , B nằm trên đường tròn  C  có tâm I  4; 3  , bán kính R  1 và AB là đường kính của đường tròn  C  . Như vậy P  z1  z2  OA  OB . Ta có OA 2  OB2 AB2   OI 2  OA 2  OB2  2 52  1  52 . 2 4   2 Suy ra 52  OA 2  OB2  2OA.OB   OA  OB   OA 2  OB2  2OA.OB  52  52  104  P  z1  z2  OA  OB  104  2 26 . Dấu bằng xảy ra khi OA  OB . Câu 47: Giả sử z1 , z2 là hai trong số các số phức z thỏa mãn iz  2  i  1 và z1  z2  2. Giá trị lớn nhất của z1  z2 bằng A. 4 . B. 2 3 . C. 3 2 . D. 3. 26 Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404 Lời giải Chọn A. Ta có iz  2  i  1  i z  i 2  1  1  z  i 2  1  1 .   Điểm biểu diễn z thuộc đường tròn tâm I 1; 2 , R  1 . Gọi M , N là điểm biểu diễn z1 , z2 nên MN  2 là đường kính. Dựng hình bình hành OMNP ta có z1  z2  OP  2 3 .  Ta có z1  z2  2  2  2 z1  z2 2   z z 1 2 2 2  z1  z2  16  z1  z2  4 . Dấu bằng xảy ra khi z1  z2  MN  OI . Câu 48: Cho hai số phức z ,  thỏa mãn z  1  z  3  2i ;   z  m  i với m   là tham số. Giá trị của m để ta luôn có   2 5 là: m  7 A.  . m  3 m  7 B.  .  m  3 C. 3  m  7 . D. 3  m  7 . Lời giải Chọn B. Đặt z  a  ib ,  a , b    có biểu diễn hình học là điểm M  x; y  z  1  z  3  2i  x  1  iy  x  3   y  2  i   x  1 2  y2  2  x  3   y  2  2  2 x  1  6 x  9  4 y  4  2 x  y  3  0 Suy ra biểu diễn của số phức z là đường thẳng  : 2 x  y  3  0 . Ta có:   2 5  z  m  i  2 5  x  m    y  1 i  2 5 2 2  x  m    y  1 Mà ta có MI  d  I ,     2 5  MI  2 5 với I  m; 1 . 27 Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404 2 m  4 Nên MI  2 5  d  I ,    2 5   2 5  2m  4  10 5 2 m  4  10  m  3 .    2 m  4   10 m  7   Câu 49: [PTNK TP HCM] Cho z là số phức thỏa mãn z  1  i  2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 P  z  2  i  z  2  3i 2 B. 14  2 10 . A. 18 . C. 38  8 10 . D. 16  2 10 . Lời giải Chọn C. Gọi z  x  yi  x; y    , M  x; y  là điểm biểu diễn số phức z . 2 2 Do z  1  i  2   x  1   y  1  4 suy ra M thuộc đường tròn tâm I  1; 1 , bán kính R  2 . Đặt A  2;1 , B  2; 3  , E  0; 2  là trung điểm của AB . Khi đó 2 2 2 2 2 P  z  2  i  z  2  3i   x  2    y  1    x  2    y  3  2 AB2  MA  MB  2 ME  2 2 2 2  2 ME2  10 . Do E nằm ngoài đường tròn, nên MEMax  EI  R  2  10  PMax  38  8 10 . Cách 2 : 2 2 2 2 2 2 P  z  2  i  z  2  3i   x  2    y  1   x  2    y  3  = 2 x 2  2 y 2  8 y  18  2 x 2  2 y 2  8 y  18  P  0 .  x  12   y  1 2  4 2 x 2  2 y 2  8 y  18  P  0 Suy ra tọa độ điểm M thỏa mãn   2 2  x  1   y  1  4    : 4 x  12 y  22  P  0 Hệ có nghiệm khi d  I ,    R  P  38  8 10  38  8 10  P  38  8 10  PMax  38  8 10 . Câu 50: (CHuyên Hạ Long-lần 2-2018-Mã đề 108)Cho các số phức z1  2  i, z2  2  i và số phức z thay 28 đổi thỏa mãn z  z1 2 Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404 2  z  z2  16. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z . Giá trị biểu thức M 2  m2 bằng A. 15 . B. 7 . Lời giải: Chọn D. Cách 1: Gọi số phức z  x  yi với x, y   . 2 C. 11 . D. 8 2 Ta có z  z1  z  z 2  16  x2  y 2  2 x  3  0 . Khi đó tập hợp các điểm M ( x, y ) biểu diễn số phức z là đường tròn (C ) có tâm I ( 1, 0) và bán kính R  2 . Ta có | z |min  OM min , | z |max  OM max . Đường thẳng OI có phương trình y  0 . OI cắt (C ) tại 2 điểm phân biệt A, B có tọa độ là nghiệm của hệ x2  y2  2x  3  0  A(1, 0); B ( 3, 0) .  y  0 Ta có OA  OM  OB nên | z |min  OA , | z |max  OB . Khi đó M 2  m 2  9  1  8 . Cách 2: Gọi số phức z  x  yi với x, y   . 2 2 Ta có z  z1  z  z 2  16  x2  y 2  2 x  3  0 . Khi đó tập hợp các điểm M ( x, y ) biểu diễn số phức z là đường tròn (C ) có tâm I ( 1, 0) và bán kính R  2 .  z  1  2 Ta có: z  z  1  1  1  z min  1 , z  z  1  1  3  z max  3 . Cách 3: Gọi số phức z  x  yi với x, y   . 2 2 Ta có z  z1  z  z 2  16  x2  y 2  2 x  3  0 . Khi đó tập hợp các điểm M ( x, y ) biểu diễn số phức z là đường tròn (C ) có tâm I ( 1, 0) và bán kính R  2 . Ta có OM min  OI  R , OM max  OI  R  z min  1 , z max  3 CÂU PHÁT TRIỂN Câu 51: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  2  4i  5 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị M 2  m2 nhỏ nhất của z . Giá trị biểu thức bằng 2Mn 1 A. 12 . B. . 2 Lời giải: Chọn C. C. 4 . 3 D. 8 Gọi số phức z  x  yi với x, y   , khi đó | z | x 2  y 2 . 2 Ta có: z  2  4i  5   x  2   ( y  4)2  5  x 2  y 2  15  4( x  2 y ) . Áp dụng bđt Bu-nhi-a-cốp-xki ta có: | x  2 y | 5( x 2  y 2 )  5 | z | . Khi đó ta có bất phương trình | z |2 15  4 5 | z |  5 | z | 3 5 . 29 Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404 M m 4 Do đó  . 2Mn 3 Câu 52: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  1  i  | z  3  2i | 5 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất 2 2 và giá trị nhỏ nhất của z  2i . Giá trị biểu thức M 2  m 2 bằng A. 25 . B. 35 . C. 15 . 2 D. 20 . Lời giải: Chọn B. Gọi z  x  yi (với x, y   ) có điểm M ( x; y ) biểu diễn z trên mặt phẳng tọa độ. Ta có z  1  i  z  3  2i  5 2 2 2   y  2   3    x  1   y  1   x  1  2  x  3   y  2  2  x  3 2 2  5 2   y  2   4   5 (1). Số phức z  2i  x   y  2  i có điểm M   x; y  2  biểu diễn z  2i trên mặt phẳng tọa độ. Đặt A(1;3), B (3; 4) , từ (1) ta có AM   BM   5 . Mặt khác AB  5 nên M  thuộc đoạn AB . Khi đó M  z  2i max  OB  5 , m  z  2i min  OA  10 . Vậy M 2  m 2  35 . Nhận xét: – GTLN, GTNN ở câu dạng này chỉ có thể đạt được tại 2 đầu A, B . – Một sai lầm thường gặp là đánh giá z min  d  O; AB  nhưng do góc OAB là góc tù nên không tồn tại điểm M trên đoạn AB sao cho OM  AB . Câu 53: (Chuyên Hạ Long-lần 2-2018-Mã đề 123) Cho số phức z thỏa mãn z  3  4i  5 . Gọi M , m lần 2 2 lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z  2  z  i . Khi đó modun của số phức w  M  mi A. 2 314 . B. 1258 . C. 3 137 . D. 2 309 . Lờigiải Chọn B.    Cách 1: Giả sử z  x  yi x , y  R ta có z  3  4i  5  x  3    2    y  4 2 5  Ta có P  4 x  2 y  3  4 x  3  2 y  4  P  23 2 Ta có  4 x  3  2 y  4   20  x  3 2 2   100  Suy ra 10  P  23  10  13  P  33 suy ra M  33, m  13 do đó ta được w  33  13i vậy          y  4 w  1258 . Cách 2: Gọi z  x  yi với x , y   . 2 2 Ta có: z  3  4i  5   x  3    y  4   5 . Suy ra, tập hợp điểm M  x; y  biểu diễn cho số phức z trên hệ tọa độ Oxy là đường tròn  C  tâm I  3; 4  và bán kính R  5 . 30 Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404 2 2 2 2 Lại có: P  z  2  z  i   x  2   y 2  x 2   y  1  P  0  4 x  2 y  3  P  0 , đây là phương trình của đường thẳng  : 4 x  2 y  3  P  0 . Ta thấy M     C  . Điều kiện để  cắt  C  là: d  I ,    R  23  P 2 5  5  10  23  P  10  13  P  33 . Suy ra: m  13, M  33 và w  33  13i  w  1258 . Cách 3: Gọi z  x  yi với x , y   . 2 2 Ta có P   x  2   y 2  x 2   y  1  4 x  2 y  3 suy ra y  P  4x  3 . 2 2 2 Từ z  3  4i  5   x  3    y  4  2  P  4x  3   5  f  x   x  3    4  5  0 . 2   2  P  4 x  11  Ta có f   x   2  x  3   4    2 P  10 x  16 . 2   f   x   0  x  0, 2 P  1,6 . Suy ra y  0,1P  1,7 . 2 2 Thay x , y vừa tìm được vào f  x  ta được  0, 2 P  1,6  3    0,1P  1,7  4   5  0 . Ta giải được P  33 hoặc P  13 . Đây tương ứng là GTLN và GTNN của P . Vậy M  33, m  13 . Khi đó,   1258 . Câu 54: Biết số phức z  x  yi ,  x , y    thỏa mãn đồng thời hai điều kiện z  z  4  3i và biểu thức P  z  1  i  z  2  3i đạt giá trị nhỏ nhất. Tính P  x  2 y . A. P   61 . 10 B. P   253 . 50 C. P   41 . 5 D. P   18 . 5 Lời giải Chọn A . Theo giả thiết z  z  4  3i  x  yi   x  4    y  3  i  x2  y2  2  x  4    y  3 2  x 2  y 2  x 2  8 x  16  y 2  6 y  9  8 x  6 y  25  0 . 2 2  x  1   y  1 Xét điểm E  1;1 ; F  2; 3  Ta có P  2 2  x  2    y  3 và M  x; y  . Khi đó, P  ME  MF .  Bài toán trở thành tìm điểm M   : 8 x  6 y  25  0 sao cho ME  MF đạt giá trị nhỏ nhất. Vì  8 xE  8 y E  25  .  8 xF  8 y F  25   0 nên hai điểm E, F nằm cùng phía đối với đường thẳng  . Gọi E là điểm đối xứng với E qua    Đường thẳng EE đi qua điểm E  1; 1 và có VTPT nEE  u   3; 4  nên có phương trình 3  x  1  4  y  1   0  3 x  4 y  7  0 31 Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404 3x  4 y  7 Gọi H là giao điểm của EE và  . Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình  8 x  6 y  25  71  x   25  71 19   suy ra H   ;    25 50   y   19  50  117 xE   25 E đối xứng với E qua H nên  .  y   44  E 25 Ta có ME + MF = ME  + MF  E F . Dấu bằng xảy ra  M là giao điểm của EF và đường thẳng   Đường thẳng EF đi qua điểm F  2; 3  và có VTPT nEE   31;167  có phương trình 31  x  2   167  y  3   0  31x +167 y + 439 = 0  67  x   50 31x  167 y  439 Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình   8 x  6 y   25   y   119  50 61 Vậy P  x  2 y   . 10 Câu 55: Gọi z1 , z 2 là 2 nghiệm của phương trình z  1  2i  z  1  2i thỏa mãn z1  z2  2 . Biết rằng w là số phức thỏa mãn w  3  2i  2 . Tìm GTNN của biểu thức P  w  z1  w  z2 . A. 1  3 Lời giải. B. 2 3 C. 2 D. 6 . Chọn D . Giả sử z  x  yi  x , y  R  ta có z  1  2i  z  1  2i  x  0 suy ra tập hợp điểm biểu diễn z1 , z 2 là trục tung. Giả sử A , B lần lượt là 2 điểm biểu diễn cho z1 , z 2 , ta có z1  z2  2  AB  2 . Giả sử w  a  bi  a , b  R  và M là điểm biểu diễn cho số phức w , ta có w  3  2i  2  ( a  3)2  (b  2)2  4 suy ra tập hợp điểm biểu diễn M cho số phức w là đường tròn tâm I  3; 2  bán kính R  2 . Ta có P  MA  MB , gọi E là hình chiếu vuông góc của I lên trục tung, ta thấy P nhỏ nhất khi E là trung điểm AB suy ra MA  MB  6 6 , vậy MinP  2.  6 2 2 Câu 56: Cho z là số phức thỏa z  1  i  2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 32 Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404 2 P  z  2  i  z  2  3i 2 B. 38  8 10 . A. 18 . C. 18  2 10 . Hướng dẫn giải D. 16  2 10 . Chọn B Gọi z  x  yi  x , y    2 2 Ta có: z  1  i  2  x  yi  1  i  2   x  1   y  1  4  x 2  y 2  2 x  2 y  2  0  x 2  y 2  2 x  2 y  2 (*) Theo bài ra: 2 2 2 P  z  2  i  z  2  3i  x  yi  2  i  x  yi  2  3i 2 2 2 2  2    x  2    y  1   x  2    y  3   2 x 2  y 2  8 y  18 Thay (*) vào P ta được: P  4 x  12 y  22  4  x  1  12  y  1  38 Áp dụng bđt Bunhiacopxki ta được 4  x  1  12  y  1  38  4 2 2 2  12 2  x  1   y  1   38     4 2   12 2 .4  38  8 10  38 Vậy Pmax  8 10  38 . Câu 57: Giả sử z1 , z2 là hai trong số các số phức z thỏa mãn iz  2  i  1 và z1  z2  2. Giá trị lớn nhất của z1  z2 bằng A. 4 . B. 2 3 . C. 3 2 . D. 3. Lời giải Chọn A. Ta có iz  2  i  1  i z  i 2  1  1  z  i 2  1  1 .   Điểm biểu diễn z thuộc đường tròn tâm I 1; 2 , R  1 . 33 Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404 Gọi M , N là điểm biểu diễn z1 , z2 nên MN  2 là đường kính. Dựng hình bình hành OMNP ta có z1  z2  OP  2 3 .  Ta có z1  z2  2  2  2 z1  z2 2   z z 1 2 2  z1  z2  16  z1  z2  4 . Dấu bằng xảy ra khi 2 z1  z2  MN  OI . Câu 58: Xét các số phức z  a  bi  a , b    z  2  3i  2 2 . Tính thỏa mãn P  2a  b khi z  1  6i  z  7  2i đạt giá trị lớn nhất. A. P  1 . B. P  3 . D. P  7 . C. P  3 . Lời giải Chọn B Gọi z  x  yi với  x , y    . 2 2 Ta có: z  2  3i  2 2   x  2    y  3   8 . Suy ra, tập hợp điểm M  x; y  biểu diễn cho số phức z trên hệ tọa độ Oxy là đường tròn  C  tâm I  2; 3  và bán kính R  8 . Gọi A  1; 6  , B  7; 2  và J  3; 2  là trung điểm của AB .   Đặt P  z  1  6i  z  7  2i suy ra P  MA  MB  2 MA 2  MB2 . (BĐT Bunhiacopxki). x  3  t Phương trình đường trung trực  của AB là:  .  y  2  t AB2 Ta có: MA 2  MB2  2 MJ 2  với J là trung điểm của AB . 2 Vì M chạy trên đường tròn , J cố định nên MJ  IJ  R. 2 2 Do vậy P 2  4  IJ  R   AB 2 nên Pmax  4  IJ  R   AB2 . Dấu « = » xảy ra khi MA  MB và ba điểm M , I , J thẳng hàng. Điều này thỏa mãn nhờ IA  IB . Do đó: M     C  , tọa độ của M là nghiệm hệ: x  3  t x  3  t  x  0  x  4       y  2  t  y 1 y  5  y  2  t   t  3 t  7 2 2 2 2    x  2    y  3  8  t  5    t  5   8 Mặt khác : M 0;1  P  MA  MB  2 50 M  4; 5   P  MA  MB  2 130 và   . Vậy để PMax thì M  4; 5  Suy ra 2a  b  3 . Câu 59: (SGD – HÀ TĨNH )Trong các số phức z thoả mãn z   2  4i   2 , gọi z1 và z2 là số phức có môđun lớn nhất và nhỏ nhất. Tổng phần ảo của hai số phức z1 và z2 bằng. A. 8i . B. 4 . C. 8 . Lời giải D. 8 . 34 Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404 Chọn D. Gọi z  x  yi ,  x , y    và M  x; y  là điểm biểu diễn số phức z . 2 2 Theo giả thiết z   2  4i   2  x  yi   2  4i   2   x  2    y  4   4 . 2 2 Suy ra M   C  :  x  2    y  4   4 Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z   2  4i   2 là đường tròn  C  có tâm I  2; 4  bán kính R  2 .  10  2 5 20  4 5  Đường OI có phương trình y  2 x cắt đường tròn  C  tại hai điểm A  ;  ,  5 5    10  2 5 20  4 5  B ;  . Do OA  OB nên điểm A biểu diễn số phức có môđun lớn nhất, và điểm  5 5   B biểu diễn số phức có môđun nhỏ nhất. Câu 60: [HKII-SỞ BẠC LIÊU-2017-2018] Xét số phức z  a  bi ( a , b   và b  0 ) thỏa mãn z  1 . Tính P  2 a  4b2 khi z 3  z  2 đạt giá trị lớn nhất. A. P  4 . C. P  2 . Lời giải B. P  2  2 . D. P  2  2 . Chọn C. Cách 1: Từ giả thiết có a2  b2  1  b 2  1  a 2  0 với a   1; 1 và z.z  1 . 1 2 Ta có z 3  z  2  z 2 . z   2 z z    2  a  b    b  2ab  i  2  a  b    b  2 ab   2  a  b   b  1  2 a   2  2 a  1    1  a   2 a  1  z  z  2.z 2  2bi  2 a 2  b2  2abi 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2  2 4 a 3  a 2  4a  2 Xét f  a   4 a3  a 2  4a  2 , với 1  a  1 .  1 a     1;1  2 f   a   12 a 2  2 a  4 ; f   a   0  12 a2  2a  4  0   2  a    1;1  3 Bảng biến thiên: 35 Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404 1 2  1 1 2 3 0 0    13 1 4 a f a f a  1  13 1 3 Suy ra max f  a   f     , đạt được khi a   , b2  . a 1;1 2 4  2 4  1 Vậy P  2 a  4b2  2     3  2 .  2 Cách 2: Ta có z  cos x  i sin x  z 3  cos 3 x  i sin 3 x . Vì b  0 nên sin x  0 , cos x   1; 1 . Khi đó z 3  z  2   cos 3 x  i sin 3 x    cos x  i sin x   2   cos 3 x  cos x  2    sin 3 x  sin x  i 2 2 2 2   cos 3x  cos x  2    sin 3x  sin x    2  2 sin 2x.sin x    2 cos 2x.sin x   4  8 sin 2 x sin x  4 sin 2 x sin 2 2 x  4 cos 2 2 x sin 2 x  4  16 sin 2 x cos x  4 sin 2 x      4  16 1  t 2 t  4 1  t 2  16t 3  4t 2  16t  8 với t  cos x   1;1 . Đặt f  t   16t 3  4t 2  16t  8 , t   1;1 .  1 t     1;1  2 f   t   48t 2  8t  16  0   2 t    1;1  3 Bảng biến thiên: 1  t 1 2 f t  0   13 f t  2 3 0 1  1  1 1  max f  t   f     13  t    cos x . t 1;1 2  2 a 1 1 3 Khi đó:    a    b2  . 2 2 4 a 2  b2  1 Vậy P  2 a  4b2  2     3  2 .  2 36 Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404 Nhận xét: có thể đổi câu hỏi thành tìm Min Câu 61: Cho z1 , z2 là hai số phức thỏa mãn 2 z  i  2  iz , biết z1  z2  1 . Tính giá trị của biểu thức P  z1  z2 A. P  3 . 2 B. P  C. P  2. 2 . 2 D. P  3. Lời giải Chọn D. Cách 1.     + Đặt z  x  yi , x , y   , ta có 2 z  i  2  iz  2 x  2 y  1 i  2  y  xi 2 4 x 2   2 y  1  2  y  2  x2  4 x2  4 y2  4 y  1  4  4 y  y2  x2  x 2  y 2  1  z  1  z1  z2  1 2 + Sử dụng công thức: z1 , z2   ta có z1  z2  z1  z2 Suy ra P  Cách 2. 2  2  2 z1  z2 2  3. + Biến đổi: iz  2  i  iz  2   z  2i 2 2 Ta có 2 z  i  z  2i  2 z  i  z  2i  z  1  z1  z2  1 . + Sử dụng công thức bình phương mô đun 2 mz1  nz2  m2 z12  2 mnz1z2 cos  z1 , z2   n2 z2 2 Trong đó  z1 , z2  là góc MON với M, N lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z1 , z 2 trên mặt phẳng phức 2 2 2 z1  z2  1  z1  z2  1  z1  z 2  2 z1 . z2 .cos  z1 , z2   1  cos  z1 , z2   2 2 1 . 2 2 Vậy P 2  z1  z2  1  z1  z2  2 z1 . z2 .cos  z1 , z2   3  P  3 . Câu 62: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  1  2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: T  z  i  z  2  i . A. max T  8 2 . B. max T  4 . C. max T  4 2 . D. max T  8 Lời giải Chọn B. Đặt z  x  yi  x , y  R  , ta có z  1  2  x  1  yi  2  ( x  1)2  y 2  2 2   x  1  y 2  2  x 2  y 2  2 x  1 (*) Lại có T  z  i  z  2  i  x  ( y  1)i  x  2  ( y  1)i  x 2  ( y  1)2  ( x  2)2  ( y  1)2  x 2  y 2  2 y  1  x 2  y 2  4 x  2 y  5 Kết hợp với (*), ta được T  2 x  2 y  2  6  2 x  2 y  2( x  y)  2  6  2( x  y) Áp dụng BĐT Cauchy schwarz ta có 37 Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404 T  2( x  y )  2  6  2( x  y )  2(2( x  y)  2  6  2( x  y ))  4 . Câu 63: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 5 z  i  z  1  3i  3 z  1  i . Tìm giá trị lớn nhất M của biểu thức: z  2  3i ? A. M  10 . 3 B. M  1  13 . C. M  4 5 . D. M  9 Lời giải Chọn C. 5 x 2  ( y  1)2  ( x  1)2  ( y  3)2  3 ( x  1)2  ( y  1)2  5 x 2  ( y  1)2  10. ( x  1)2  ( y  3)2  ( x  1)2  ( y  1)2  25  x 2  ( y  1)2   10 ( x  1)2  ( y  3) 2  ( x  1)2  ( y  1)2   0  x 2  ( y  1)2  20  z  i  2 5 P  z  2  3i  z  i  (4i  2)  z  i  4i  2  2 5  2 5  4 5 Câu 64: Cho hai số phức z ,  thỏa mãn z  1  z  3  2i ;   z  m  i với m   là tham số. Giá trị của m để ta luôn có   2 5 là: m  7 A.  . m  3 m  7 B.  .  m  3 C. 3  m  7 . D. 3  m  7 . Lời giải Chọn B. Đặt z  a  ib ,  a , b    có biểu diễn hình học là điểm M  x; y  z  1  z  3  2i  x  1  iy  x  3   y  2  i   x  1 2  y2  2  x  3   y  2  2  2 x  1  6 x  9  4 y  4  2 x  y  3  0 Suy ra biểu diễn của số phức z là đường thẳng  : 2 x  y  3  0 . Ta có:   2 5  z  m  i  2 5  x  m    y  1 i  2 5 2 2  x  m    y  1 Mà ta có MI  d  I ,     2 5  MI  2 5 với I  m; 1 . Nên MI  2 5  d  I ,    2 5  2 m  4 5  2 5  2m  4  10 2 m  4  10  m  3 .    2 m  4  10 m  7 Câu 65: Cho số phức z thỏa mãn A. 20 . z 1 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  z  i  2 z  4  7 i  z  3i 2 B. 10 . C. 12 5 . D. 4 5 . 38 Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404 Lời giải Chọn A. Gọi z  x  yi ,  x , y    . z 1 1  2 z  1  z  3i  2  z  3i 2  x2  y 2  4x  6 y  7  0 . Ta có  x  1 2 Lại có P  z  i  2 z  4  7 i  x 2   y  1  2 2  y 2  x2   y  3  2  x  4   y  7 2 2  4 x  8 y  8  2 4 x  8 y  72 . Mặt khác  4 x  8 y  8  2 4 x  8 y  72  2  5.80  4 x  8 y  8  2 4 x  8 y  72  20 Suy ra P  20 . Câu 66: Cho số phức z  a  bi ( a , b là các số thực) thỏa mãn z  z  3  4i và có môđun nhỏ nhất. giá trị của P  a.b là? A. 3 . 4 B. 4 . C. 2 . D. 3 . Lời giải Chọn D. Ta có: 2 2 a  bi  a  bi  3  4i  a 2  b2   a  3    b  4   6a  8b  25  0  a  25  8b 6 Mô đun của số phức z là: 2 100  b  2   225 15  25  8b  z  a b    b2    36 6  6  2 2 2 Số phức z min  b  2  a  3 P3 2 Câu 67: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z  2  4i  z  2i . Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất. A. z  1  i . B. z  2  2i . C. z  2  2i . D. 3  2i . Lời giải Chọn C. Gọi số phức z có dạng z  a  bi . z thỏa mãn z  2  4i  z  2i 39 Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404  a  2  b  4 i  a   b  2  i 2 2   a  2    b  4   a2   b  2  2  a 2  4a  4  b2  8b  16  a 2  b 2  4b  4  4 a  4b  16  ab 4 Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki. 2  16   a  b   12  12  a 2 2   b2  z  a2  b2  8 z 2 2 a b   Dấu  xảy ra   1 1  a  b  2  z  2  2i a  b  4 Câu 68: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z  2  4i  z  2i . Số phức z có mô đun bé nhất bằng B. 2 . A. 3 2 C. 2 2 . D. 4 . Lời giải Chọn C Đặt z  x  yi  x , y    . Khi đó z  2  4i  z  2i  x  yi  2  4i  x  yi  2i 2 2 2   x  2    y  4   x 2   y  2   4 x  4 y  16  0  x  y  4  0 . Số phức có mô đun nhỏ nhất bằng khoảng cách từ O đến đường thẳng  : x  y  4  0 . 40 z min Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404 4  d O;    2 2. 2 Câu 69: (Đề Star Education) Cho hai số phức z1 ; z2 thỏa mãn z1  z2  5 và z1  z2  1 . Giá trị lớn nhất của biểu thức P  z1  z2 là: A. 26. 26 . 2 B. 1 D.  . 2 C. 9. Lời giải Chọn A. Ta gọi M , N lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức z1; z2 .    Từ giả thiết : z1  z2  5  OM  ON  5  OI  5 2 với I là trung điểm của đoạn thẳng MN .   z1  z2  1  OM  ON  1  MN  1 . Ta có 2 2 2 2 MN OM  ON MN  OM 2  ON 2  2OI 2    13 2 4 2 P  z1  z2  OM  ON  P 2  12  12 OM 2  ON 2  26 . Vậy Pmax  26. OI 2   Câu 70:   Cho hai số phức z1 ; z2 thỏa mãn z1  z2  5 và z1  z2  1 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z1  z2 . Khi đó mô đun của số phức M  m.i là : A. 76 . B. 76 . C. 2 10 . Lời giải Chọn A. Ta gọi M , N lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức z1; z2 .   D. 2 11 .  Từ giả thiết : z1  z2  6  OM  ON  6  OI  3 với I là trung điểm của đoạn thẳng MN .   z1  z2  2  OM  ON  2  MN  2 . Ta có OI 2  MN 2 OM 2  ON 2 MN 2 2 2 2  OM  ON  2O I    20. 2 4 2    2 2 2 2 2 P  z1  z2  OM  ON  P  1  1 OM  ON  40. Vậy max P  2 10  M .     P  z1  z2  OM  ON  OM  ON  6 . Vậy min P  6  m . Suy ra M  m.i  40  36  76. 41 Câu 71: Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404 5 Cho số phức z thỏa mãn i.z  3  . Giá trị lớn nhất của biểu thức P  2z  1  4i  z  1  5i là: 2 A. 2 5 . B.3. C. 3 5 . D. 5 . 2 Lời giải Chọn C. Ta gọi M ( x; y) là điểm biểu diễn số phức z . i.z  3   5 5 5 2  x 2   y  3  . Suy ra M ( x; y )  C  I (0;3); R    2 2 2   Khi đó: P  2z  1  4i  z  1  5i  2 z    1  2i  z  1  5i  2 MA  MB , 2  1  với A   ; 2  ; B 1;5   2    1     Ta có: IA    ; 1 ; IB  1;2  suy ra IB  2.IA .  2   5 3 5 2 5 MB 2  . 5   2 MA2  MB 2  15  MI  2 2  2  (Hoặc có thể chứng minh theo phương pháp véc tơ     1   1   2  1  MI  MA  AB  MA  AB  MA  MB  MA  MA  MB 3 3 3 3 Suy ra:   4 1 4 4 1 4  MI 2  MA2  MB 2  MA.MB.cos MA, MB  MA2  MB 2  MA.MB.cos AMB 9 9 9 9 9 9 2 2 2  MA  MB  AB  2 4 1 4 1 2 2 2 2  MA2  MB 2  MA.MB    MA  MB  AB 9 9 9 2. MA . MB 3 3 9   2  2MA2  MB 2  3MI 2  AB 2  15 ) 3   2 Vậy P  2 MA  MB  2. 2.MA  MB  2  12  2MA2  MB 2   45  3 5. Theo định lý Stewart ta có: 5MA2          1 3i 1 3i  , z2    . Gọi z là số phức thỏa mãn 3z  3i  3 . Đặt 2 2 2 2 M , n lần lượt là giá trị lớn nhât, giá trị nhỏ nhất của biểu thức T  z  z  z1  z  z2 . Tính modun của số Câu 72: Cho hai số phức z1  phức w  M  ni 2 21 3 Lời giải A. B. 13 C. 4 3 3 D. 4 2  3 Giả sử z  x  yi ,  x , y  R  . Ta có 3z  3i  3  x   y    1(C )  3   2 42 Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404 1 3  1 3 Gọi K  x; y  , A  ; ,B  ; lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z , z1 , z2  2 2   2 2      Ta tìm Max – Min của T  OK  OA  OB Ta có A , B, O thuộc đường tròn (C ) và ABO đều  TMin  2OA  2 .  . Ta có KA.OB  OA.BK  AB.OK  KA  KB  OK Gọi K thuộc cung OB  T  2 KA  2.2 R  4 3  TMax 3 2 4 3 2 21  w    22   3  3   Câu 73: Cho số phức z thỏa mãn 5 z  i  z  1  3i  3 z  1  i . Tìm giá trị lớn nhất M của z  2  3i ? A. M  10 . 3 B. M  1  13 . C. M  4 5 . D. M  9 . Lời giải Chọn D Gọi A  1; 3  , B  1; 1 , C  0;1  C là trung điểm AB Suy ra MC 2  MA 2  MB2 AB2   MA2  MB2  2 MC 2  10 . 2 4 Mặt khác 5 z  i  z  1  3i  3 z  1  i  5 MC  MA  3 MB  10 MA2  MB 2    25 MC 2  10 2 MC 2  10  MC  2 5 . Mà z  2  3i  z  i   2  4i   z  i  2  4i  MC  2 5  4 5 . Dấu “ = “ xẩy ra khi và chỉ khi z  2  5i . Câu 74: [ Phạm Minh Tuấn, lần 3, năm 2018- Câu 46] Cho số phức z thỏa mãn z  1  2i  z  1  2i  3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức z  2i P  z  2i . A. P  1 2 B. P  2 . . 3. C. D. 1 3 . Lời giải Chọn A 2 2 2 Áp dụng tính chất: z  z1  z  z1  2 z  2 z1 Ta có: 2 2 2 2 3  z  1  2i  z  1  2i  2  z  2i  1  z  2i  1   2 z  2i  1   z  2i 4 2  4 z  2 i  4 z  2 i  3  0  P  z  2i  1 2 43 Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404 Câu 75: [2D4-4] [THPT Chuyên LQĐ, LAI CHÂU, lần 1, 2018] Cho hai số phức z1 , z 2 thỏa mãn điều kiện 2 z1  i  z1  z1  2i và z 2  i  10  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức z1  z2 ? A. 10  1 . B. 3 5  1 . 101  1 . C. D. 101  1 . Lời giải Chọn B. +) Gọi z1  a  bi;  a , b    . 2 Nên 2 z1  i  z1  z1  2i  2. a 2   b  1  2  2b  2   b  Do đó tập hợp điểm biểu diễn số phức z1 là Parabol y  a2 . 4 x2 . 4 +) Gọi z2  a  bi ,  a , b    . 2 2 Khi đó z2  i  10  1   a  10    b  1  1 2 2 Nên tập hợp điểm biểu diễn số phức z2 là đường tròn  C   x  10    y  1  1 tâm I  10;1 bamns kính r  1 . y M N I x 1 z1  z2 nhỏ nhất khi và chỉ khi MN nhỏ nhất. Ta có: MN  IN  IM  MN  IM  IN  IM  1 . Nên MN nhỏ nhất khi IM nhỏ nhất. 2 2  x2   x2  5 2 Ta có: IM   x  10     1     4    x  4   45 .  4   4  2 2 2  IM  45  3 5 . Do đó MN  3 5  1 . Vậy z1  z2  MN  3 5  1  z1  z2 Câu 76: min  3 5  1. [2D4-4] Cho hai số phức z1 , z 2 thỏa mãn z1  1  i  2 và z2  iz1 . Tìm giá trị lớn nhất m của biểu thức 44 Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404 z1  z2 A. m  2 2  2 . B. m  2  1 . C. m  2 2 . Lời giải D. m  2 . Chọn A. Ta có z1  z2  z1  iz1  1  i . z1  2. z1 2 2 Đặt z1  a  bi với ( a , b   ) theo đề bài ta có  a  1   b  1  4 (*). Ta cần tìm GTLN của m  2 a2  b2 Đặt t  a 2  b 2 . Ta có: (*)  4  a 2  2 a  1  b 2  2b  1  2(a  b)  2  t . 2    Mà  a  b   12  ( 1)2 . a 2  b 2 (**) nên 2  t 2  4(a  b)2  8t  t 2  12t  4  0  6  4 2  t  6  4 2 Kết hợp với t  a 2  b 2  0 suy ra 0  t  6  4 2 Suy ra m  2t  12  8 2  2 2  2 a b Dấu “=” xảy ra khi (**) xảy ra khi   a  b . Kết hợp (*) ta được z1  1  2  1  i  1 1 Vậy giá trị lớn nhất của m bằng 2 2  2 .   Câu 77: [Chuyên Ngoại Ngữ – Hà Nội – 2018] Cho hai số phức z1 ; z2 thỏa mãn z1  3i  5  2 và iz2  1  2i  4 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T  2iz1  3z2 . A. 313  16 . B. 313 . C. 313  8 . Lời giải. D. 313  2 5 Chọn A M N I1 I2 Ta có z1  3i  5  2  2iz1  6  10i  4 . Suy ra điểm M biểu diễn số phức 2iz1 nằm trên đường tròn  T1  có tâm I1  6; 10  và có bán kính là R1  4 . Mặt khác, iz2  1  2i  4  3 z2  6  3i  12 nên điểm biểu diễn số phức 3z2 là điểm N nằm trên đường tròn  T2  có tâm I 2  6; 3  và có bán kính là R2  12 . 45 Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404 Ta thấy 2iz1  3z2  2iz1   3 z2   MN . T lớn nhất khi và chỉ khi MN lớn nhất, khi đó bốn điểm M , I1 , I 2 , N theo thứ tự thẳng hàng. Vậy giá trị lớn nhất của MN  I1 I 2  R1  R2  Câu 78: 313  16 .  z  3  2i  1 Cho hai số phức z , w thỏa mãn  . Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của biểu thức  w  1  2i  w  2  i P  zw . A. Pmin  3 2 2 . 2 B. Pmin  2  1 . C. Pmin  5 2 2 . 2 D. Pmin  3 2 2 . 2 Lời giải Chọn C. Cách 1 : Giả sử z  a  bi  a , b    , w  x  yi 2  x, y    . 2 z  3  2i  1   a  3    b  2   1 (1) 2 2 2 2 w  1  2i  w  2  i   x  1   y  2    x  2    y  1 . Suy ra x  y  0 . P  zw  2  a  x  b  y  2  2  a  x  b  x 2 . Từ (1) ta có I  3; 2  , bán kính r  1 . Gọi H là hình chiếu của I trên d : y   x . x  3  t Đường thẳng HI có PTTS  . y  2  t M  HI  M  3  t ; 2  t   1 t  2 M   C   2t 2  1   1  t   2   1 1  5 2 t  2  M3 ;2   , MH  2 2 2   1 1  5 2 t  3 M3 ;2  , MH  2 2 2  Vậy Pmin  5 2 2 . 2 46 Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404 Cách 2 : z  3  2i  1 điều này cho thấy M  z  đang nằm trên hình tròn tâm I  3; 2  bán kính bằng 1. w  1  2i  w  2  i điều này cho thấy N  w  đang thuộc nửa mặt phẳng tạo bởi đường thẳng  là trung trực của đoạn AB với A  1; 2  , B  2;1 .  : x  y  0. (Minh hoạ như hình vẽ) y y M 2 N B 1 O 2 M I 1 x -1 A 2 I x -1 O 3 2 3 N -2 -2 Δ P  z  w  MN. Pmin  d  I ,    R  32 2 1 5 2 2 . 2 Câu 79: [Nguyễn Khuyến, Bình Dương, 18/3,2018] Cho z1  a  bi và z2  c  di là 2 số phức thỏa mãn: z12  4 và z1  c  d   10 . Gọi M là giá trị lớn nhất của biểu thức T  ac  bd  cd . Hãy chọn khẳng định đúng về M . A. M   11; 15  .   B. M  15;17 . C. M   11; 12  . D. Không tồn tại M . Lời giải Chọn A. 2 2  z12  4 a  b  4 Ta có   . c  d  5 z c  d  10     1  Khi đó: T  ac  bd  cd  a 2   2  b2 c 2  d 2  c(5  c )  2 c 2   5  c   5c  c 2 . Đặt f (c )  2 2c 2  10c  25  5c  c 2 .  2  2c 2  10c  25  5  c  5  2c   2c  5   2 2  2 2c  10c  25  2c  10c  25  Bảng biến thiên: Ta có f   c   4c  10 47 Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404 c  f c   f c 5 2  Dựa vào  5 2 0  25 4  bảng biến thiên ta 25  13, 3 . 4 a  b  2  Dấu bằng xảy ra khi  5 . c  d   2 1 1 Câu 80: Cho số phức z thỏa mãn z 3  3  2 và M  max z  . Khẳng định nào sau đây đúng? z z có M  5 2     A. M  1; 2 . 7 2 B. M   2;  .   5 C. M   1;  .  2 D. M 2  M  5 . Lời giải Chọn C. 3 3  1 1  1 1  1  1 Ta có  z    z 3  3  3  z    z 3  3   z    3  z   z z z z z z     3 3 1  1  1  1  1  z  3   z    3 z     z    3 z    2 . z z z z z     3 3 Mặt khác: 3  1  1 1 1 3 z .  z    3 z    z  z z z z   3 1 1 1 Suy ra: z   3 z   2 . Đặt t  z   0 ta được: z z z 2 t 3  3t  2  0   t  2  t  1  0  t  2 . Vậy M  2 . Câu 81: Cho số phức z  x  yi với x , y là các số thực không âm thỏa mãn 2 2  i  z 2  z   z  1  i   z  1  i   . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của    P . Môđun của M  mi là A. 3 . B. 1 . C. 4. D. 2 . 2 P  z z 2 z3  1 và biểu thức z  1  2i 48 Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404 Lời giải Chọn B. Ta có z3  1  z  3  z  1  2i  x  y  1 . z  1  2i P  z2  z 2 2 2  i  z 2  z   z  1  i   z  1  i    16 x 2 y 2  8 xy( x  y )  16 x 2 y 2  8 xy .     x  y Đặt t  xy ta có 0  t  2 4  1 . 4  1 Tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của P  16t 2  8t , với t   0;  ta được Pmax  0 ; Pmin  1 Vậy  4 M  mi  1 . Câu 82: (THPT Nguyễn Đăng Đạo – Bắc Ninh lần 3-2018) Cho hai số phức z1  1 3 1 3  i , z2    i. 2 2 2 2 Gọi z là số phức thỏa mãn 3z  3i  3 . Đặt M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức T  z  z  z1  z  z2 . Tính mô đun của số phức w  M  mi . A. 2 21 . 3 B. 13 . C. 4 3 . 3 D. 4 Lời giải Chọn A. Giả sử M , A , B lần lượt biểu diễn số phức z  x  yi , z1 , z2 . Từ giả thiết 3z  3i  3 ta có: x 2  ( y  1 3 )2  1 . 3 y  1  1 Nên M thuộc đường tròn tâm I  0; . ,R  3 3  Ta có T  MO  MA  MB . Để Tmin thì M trùng O , A , B nên M 3 2 A B I 2 2 1  3  Tmin  2OA  2       2.  2   2  Để Tmax thì OM max và ( MA  MB)max nên OM  2 R và M nằm  và M  0; 2  . Do vậy chính giữa cung nhỏ AB   3  1 – 2 O 1 1 x 2 2 Tmax 2 1  3 2  4  OM  2 MA  2      .  3 3  3  2   2 2 2  4  2 21 2 Vậy w  M  m   .  2  3  3 2 2 49 Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404 Câu 83: Cho hai số phức z và w thỏa mãn các điều kiện sau:  iz  2i  2  z  1 .  max w  2  2i , w  2 Tìm giá trị nhỏ nhất của z  w .  A. 9 2 5 . 13 B. 2 5  5 . 2 Lời giải . C. D. 1 2 5 . Chọn B. Gọi M , N lần lượt là điểm biểu diễn của z , w với M  x; y  . Ta có iz  2i  2  z  1  z  2  2i  z  1 2 2 2   x  2    y  2    x  1  y 2  2 x  4 y  7  0 . Do đó, M thuộc nửa mặt phẳng bờ  : 2 x  4 y  7  0 không chứa O , kể cả  bờ.  Ta có max w  2  2i , w  2 suy ra  w  2  2i  2  NI  2 , I  2; 2   .   w  2  NO  2 Do đó, N thuộc phần chung của hai hình tròn  I ; 2  và O; 2  . Dễ thấy hai hình tròn này tiếp xúc ngoài tại điểm E  1; 1 . Do đó, N  1; 1 . Ta thấy z  w  MN nên z  w nhỏ nhất khi MN ngắn nhất, khi đó M là hình chiếu của N trên . Ta có d  N ,    Vậy min z  w  2  1  4.1  7  2  13 2 5 2 4 2  13 2 5 . . Câu 84: [CHUYÊN NGỮ LẦN 1-2018] Cho hai số phức z1 ; z2 thỏa mãn z1  3i  5  2 và iz2  1  2i  4 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T  2iz1  3z2 . A. 313  16 . B. 313 . C. 313  8 . Lời giải D. 313  2 5 . Chọn A. 50 Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404 Đặt 2iz1  a  bi , 3 z2  c  di  a; b; c ; d    , gọi A  a; b  , B  c ; d  . Có z1  3i  5  2  2 2 a  bi  3i  5  2   a  6    10  b  i  4   a  6    b  10   16 nên 2i A   I  có tâm I  6;  10  bán kính R  4 . Có iz2  1  2i  4  i. 2 2 c  di  1  2i  4   3  d    c  6  i  12   c  6    d  3   12 2 nên 3 B   J  có tâm J  6; 3  , bán kính R  12 . Có T  2iz1  3z2 2  a  c  b  d   a  c   b  d  2  AB . Do A   I  , B   J  , IJ  313  R  R  16 nên ABMax  R  R  IJ  16  313 . Câu 85: Xét các số phức z  a  bi ,(a , b  ) thỏa mãn z  3  2i  2. Tính a  b biết biểu thức S  z  1  2i  2 z  2  5i đạt giá trị nhỏ nhất. A. 4  3 . B. 2  3 . Lời giải: C. 4  3 . D. 3. Chọn A Giả thiết z  3  2i  2  (T ) : (a  3)2  (b  2)2  4 Gọi A( 1; 2), B(2; 5), M(a; b) lần lượt là các điểm biểu diễn của M các số phức z1  1  2i , z2  2  5i , z3  a  bi Bài toán trở thành: Tìm M  (T ) sao cho biểu thức S  MA  2 MB nhỏ nhất Ta có MA  ( a  1)2  (b  2)2  a 2  b2  2a  4b  5 B 5 A -1 O J I 2  2 a 2  b 2  4a  4b  8  2 ( a  2)2  (b  2)2  2 MC với C (2; 2) 51 Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404 Ta có MA  2 MB  2( MB  MC )  2 BC dấu “=”xảy ra khi và chỉ khi B, M , C theo thứ tự đó thẳng hàng. Phương trình đường thẳng BC : x  2 M là giao của của BC và (T )  M (2; 2  3)  a  b  4  3 . Câu 86: 2 z1  2 z2  z1  z2  6 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Cho các số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn P  z  z  z1  z  z2 . A. P  6 2  2 B. P  3 2  3 . C. P  6 2  3 . D. P  9 2 3 . 2 Lời giải Chọn C. A’ A 600 M’ 6 2 6 M O 600 6 B Chọn A , B, M lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z1 , z 2 , z , Dựa vào điều kiện 2 z1  2 z2  z1  z2  6 2  OA  OB  6 , AB  6 2 . Suy ra ta có tam giác OAB vuông cân tại O . Phép quay tâm B góc quay 600 ta có: Q B ,600 : A  A   M  M Do tam giác  BMM  đều  AM  AM  , BM  MM  Suy ra P  z  z  z1  z  z2  OM  AM  BM  OM  MM   AM   OA . Dấu ”  ” xảy ra khi O , M , M  , A thẳng hàng.   1050 . Khi đó tam giác OBA có OB  6 , BA  BA  6 2 và OBA Từ đó suy ra OA  OB2  BA2  2OB.BA.cos1050  6 2  3 . Vậy min P  6 2  3 . Câu 87: Cho hai số phức z ,  thỏa mãn z  1  z  3  2i ;   z  m  i với m   là tham số. Giá trị của m để ta luôn có   2 5 là: 52 Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404 m  7 B.  . C. 3  m  7 . D. 3  m  7 . m   3  m  7 A.  . m  3  Lời giải Chọn B. Đặt z  a  ib ,  a , b    có biểu diễn hình học là điểm M  x; y  z  1  z  3  2i  x  1  iy  x  3   y  2  i   x  1 2  y2  2  x  3   y  2  2  2 x  1  6 x  9  4 y  4  2 x  y  3  0 Suy ra biểu diễn của số phức z là đường thẳng  : 2 x  y  3  0 . Ta có:   2 5  z  m  i  2 5  x  m    y  1 i  2 5 2 2  x  m    y  1 Mà ta có MI  d  I ,     2 5  MI  2 5 với I  m; 1 . Nên MI  2 5  d  I ,    2 5  2 m  4 5  2 5  2m  4  10 2 m  4  10  m  3 .    2 m  4   10 m  7   Câu 88: Cho số phức z thỏa mãn A. 20 . z 1 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  z  i  2 z  4  7 i  z  3i 2 C. 12 5 . B. 10 . D. 4 5 . Lời giải Chọn A. Gọi z  x  yi ,  x , y    . z 1 1  2 z  1  z  3i  2  z  3i 2  x2  y 2  4x  6 y  7  0 . Ta có 2  x  1 Lại có P  z  i  2 z  4  7 i  x 2   y  1  2 2  y 2  x2   y  3  2  x  4   y  7 2 2  4 x  8 y  8  2 4 x  8 y  72 . Mặt khác  4 x  8 y  8  2 4 x  8 y  72  2  5.80  4 x  8 y  8  2 4 x  8 y  72  20 Suy ra P  20 . 53
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments

Bài viết tương tự

Scroll to Top