Bài tập trắc nghiệm tích phân hàm ẩn có đáp án và lời giải

Giới thiệu Bài tập trắc nghiệm tích phân hàm ẩn có đáp án và lời giải

Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và bạn đọc Bài tập trắc nghiệm tích phân hàm ẩn có đáp án và lời giải CHƯƠNG NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN.

Bài tập trắc nghiệm tích phân hàm ẩn có đáp án và lời giải

Tài liệu môn Toán 12 và hướng dẫn giải chi tiết các đề thi từ cơ bản đến vận dụng cao sẽ luôn được cập thường xuyên từ hoctoanonline.vn , các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán hay và mới nhất.

Tài liệu Bài tập trắc nghiệm tích phân hàm ẩn có đáp án và lời giải

Các em học sinh và bạn đọc tìm kiếm thêm tài liệu Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng tại đây nhé.

Text Bài tập trắc nghiệm tích phân hàm ẩn có đáp án và lời giải
TÍCH PHÂN CỦA HÀM ẨN BÀI TẬP DẠNG 1: ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT NGUYÊN HÀM 1 f 0 = 2017 f ( 2 ) = 2018  {1} f x thỏa mãn f ′ ( x ) = , ( ) , Câu 1: Cho hàm số ( ) xác định trên x −1 S= f ( 3) − f ( −1) . Tính . B. S = ln 2 . C. S = ln 4035 . D. S = 4 . A. S = 1 . 2 1  Câu 2: Cho hàm số f ( x ) xác định trên    thỏa mãn f ′ ( x ) = và f ( 0 ) = 1 . Giá trị của 2x −1 2 biểu thức f ( −1) + f ( 3) bằng A. 4 + ln15 . Câu 3: Câu 4: B. 3 + ln15 . C. 2 + ln15 . D. ln15 . 2 1  Cho hàm số f ( x) xác định trên    thỏa mãn f ′( x) = , f (0) = 1 và f (1) = 2 . Giá 2x −1 2 trị của biểu thức f (−1) + f (3) bằng A. 4 + ln 5 . B. 2 + ln15 . C. 3 + ln15 . D. ln15. Cho hàm số f ( x ) xác định trên  thỏa mãn f ′ ( x= ) 2 x + 1 và f (1) = 5 . Phương trình = S log 2 x1 + log 2 x2 . f ( x ) = 5 có hai nghiệm x1 , x2 . Tính tổng A. S = 1 . Câu 5: B. S = 2 . C. S = 0 . D. S = 4 . 3 1  2 Cho hàm số f ( x) xác định trên    thỏa = mãn f ′ ( x ) = , f ( 0 ) 1 và f   = 2 . 3x − 1 3 3 Giá trị của biểu thức f ( −1) + f ( 3) bằng B. −2 + 5ln 2 . C. 4 + 5ln 2 . f x  {−2; 2} Cho hàm số ( ) xác định trên và thỏa mãn = f ′( x) A. 3 + 5ln 2 . Câu 6: f ( 3) = 2 P = f ( −4 ) + f ( −1) + f ( 4 ) . Tính giá trị biểu thức . 3 5 A. P= 3 + ln . B. P= 3 + ln 3 . C. P= 2 + ln . 25 3 và Câu 7: Cho hàm số f ( x ) xác định trên  {−2;1} thỏa mãn f ′ ( x ) = 4 x −4 2 D. 2 + 5ln 2 . f ( 0) = 1 ;= f ( −3) 0 ; 5 D. P= 2 − ln . 3 1 ; f ( −3) − f ( 3) = 0 x + x−2 2 1 . Giá trị của biểu thức f ( −4 ) + f ( −1) − f ( 4 ) bằng 3 1 1 1 4 A. + ln 2 . B. 1 + ln 80 . C. 1 + ln 2 + ln . 3 3 3 5 và f ( 0 ) = Câu 8: Cho hàm số f ( x ) xác định trên  {−1;1} và thỏa mãn f ′ ( x ) =  1 và f  −  +  2 Câu 9: 1 8 D. 1 + ln . 3 5 1 ; f ( −3) + f ( 3) = 0 x −1 2 1 = P f ( 0) + f ( 4) . f  = 2 . Tính giá trị của biểu thức 2 3 3 1 3 1 3 A. P= 2 + ln . B. P = 1 + ln . C. P = 1 + ln . D. P = ln . 5 2 5 5 2 5 1 Cho hàm số f ( x ) xác định trên  {±1} thỏa mãn f ′ ( x ) = 2 . Biết f ( −3) + f ( 3) = 0 x −1  1 1 và f  −  + f   = 2 . Giá trị T = f ( −2 ) + f ( 0 ) + f ( 4 ) bằng:  2 2
Trang chủ
1 5 A. T= 2 + ln . 2 9 1 9 B. T = 1 + ln . 2 5 1 9 C. T = 3 + ln . 2 5 1 9 D. T = ln . 2 5 Câu 10: Cho hàm số f ( x ) nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên ( 0; +∞ ) thỏa mãn f ( 2 ) = và f ′ ( x ) + ( 2 x + 4 ) f 2 ( x ) = 0 . Tính f (1) + f ( 2 ) + f ( 3) . 1 15 7 11 11 7 . B. . C. . D. . 15 30 15 30 Câu 11: Cho hàm số f ( x ) xác định và liên tục trên  . Biết f 6 ( x ) . f ′ (= x ) 12 x + 13 và f ( 0 ) = 2 . A. Khi đó phương trình f ( x ) = 3 có bao nhiêu nghiệm? A. 2 . B. 3 . C. 7 . Câu 12: Cho hàm số f ( x ) xác định trên  thỏa mãn f ′ ( x ) = D. 1 . e x + e − x − 2 , f ( 0 ) = 5 và  1 f ( − ln16 ) + f ( ln 4 ) bằng f  ln  = 0 . Giá trị của biểu thức S =  4 31 5 9 A. S = . B. S = . C. S = . D. f ( 0 ) . f ( 2 ) = 1 . 2 2 2  π Câu 13: Cho hàm số f ( x ) liên tục, không âm trên đoạn 0;  , thỏa mãn f ( 0 ) = 3 và  2  π f ( x )= . f ′ ( x ) cos x. 1 + f 2 ( x ) , ∀x ∈ 0;  . Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M  2 π π  của hàm số f ( x ) trên đoạn  ;  . 6 2 5 21 A. m = , M = 2 2 . B. m = , M = 3 . 2 2 5 , M = 3 . D. m = 3 , M = 2 2 . C. m = 2 Câu 14: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên  và thỏa mãn f ( x ) > 0 , ∀x ∈  . Biết f ( 0 ) = 1 f ‘( x) = 2 − 2 x . Tìm các giá trị thực của tham số m để phương trình f ( x ) = m có hai f ( x) nghiệm thực phân biệt. B. 0 < m ≤ 1 . C. 0 < m < e . D. 1 < m < e . A. m > e . Câu 15: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên  và f ( x ) ≠ 0 với mọi x ∈  . f ′ (= x ) ( 2 x + 1) f 2 ( x ) và và a a f (1) = −0,5 . Biết rằng tổng f (1) + f ( 2 ) + f ( 3) + … + f ( 2017 ) = ; ( a ∈ , b ∈  ) với b b tối giản. Mệnh đề nào dưới đây đúng? a 4035 . A. a + b =−1 . B. a ∈ ( −2017; 2017 ) . C. < −1 . D. b − a = b −1 Câu 16: Cho hàm số f ( x ) ≠ 0 thỏa mãn điều kiện f ' (= . Biết tổng x ) ( 2 x + 3) . f 2 ( x ) và f ( 0 ) = 2 a a là phân số tối giản. Mệnh f (1) + f ( 2 ) + ... + f ( 2017 ) + f ( 2018 ) = với a ∈ , b ∈ * và b b đề nào sau đây đúng? a a A. < −1 . B. > 1 . b b 1010 . 3029 . C. a + b = D. b − a =
Trang chủ
2 3 0  f ′′ ( x ) . f ( x ) − 2  f ′ ( x )  + xf ( x ) = Câu 17: Cho hàm số y = f ( x ) , ∀x ≥ 0 , thỏa mãn  . Tính f ′ ( 0 ) 0;= f ( 0) 1 = f (1) . A. 2 . 3 B. 3 . 2 C. 6 . 7 D. Câu 18: Giả sử hàm số f ( x) liên tục, dương trên  ; thỏa mãn f ( 0 ) = 1 và ) ( 7 . 6 f ′( x) x . Khi đó = 2 f ( x) x +1 hiệu T f 2 2 − 2 f (1) thuộc khoảng = A. ( 2;3) . π Câu 19: Khi đó 4 ∫ 0 ( 0; +∞ ) ; D. ( 9;12 ) . C. ( 0;1) . B. ( 7;9 ) . 1 f ( tan t ) dt = ∫ f ( x ) dx . Vậy cos 2t 0 1 ∫ f ( x ) dx = 6 .Cho hàm số y = f ( x ) đồng biến trên 0 y = f ( x ) liên tục, nhận giá trị dương trên ( 0; +∞ ) và thỏa mãn f ( 3) = 2 và 3  f ‘ ( x ) = ( x + 1) . f ( x ) . Mệnh đề nào dưới đây đúng? B. 2614 < f 2 ( 8 ) < 2615 . A. 2613 < f 2 ( 8 ) < 2614 . 2 C. 2618 < f 2 ( 8 ) < 2619 . D. 2616 < f 2 ( 8 ) < 2617 . Câu 20: Giả sử hàm số y = f ( x ) liên tục, nhận giá trị dương trên ( 0;+ ∞ ) và thỏa mãn f (1) = 1 , f ( x) = f ′ ( x ) 3 x + 1 , với mọi x > 0 . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 4 < f ( 5 ) < 5 . B. 2 < f ( 5 ) < 3 . C. 3 < f ( 5 ) < 4 . D. 1 < f ( 5 ) < 2 . f ( x) 15 x 4 + 12 x ,  f ′ ( x )  + f ( x ) . f ′′ ( x ) = ′ ( 0 ) 1 . Giá trị của f 2 (1) bằng = f ( 0 ) f= Câu 21: Cho hàm số A. 9 . 2 thỏa mãn B. ∀x ∈  2 5 . 2 C. 10 . Câu 22: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên  và thỏa mãn hàm của hàm số f ( 2 x ) trên tập  là: ∫ ( và D. 8 . ) f x +1 2 = dx x +1 ( x +1 + 3 x+5 ) + C . Nguyên + A. x+3 +C. 2 ( x2 + 4) B. x+3 +C . x2 + 4 C. 2x + 3 +C . 4 ( x 2 + 1) D. 2x + 3 +C. 8 ( x 2 + 1) DẠNG 2: ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT, GIẢI HỆ TÍCH PHÂN Câu 23: Cho 5 2 2 5 ∫ f ( x ) dx = 10 . Kết quả ∫ 2 − 4 f ( x ) dx A. 34 . Câu 24: Cho hàm số F ( 0) = 3 f ( x) . Tính A. F ( 9 ) = −6 . https://toanmath.com/ B. 36 . liên tục trên  và F (9) F ( x) bằng: C. 40 . là nguyên hàm của f ( x) D. 32 . 9 , biết ∫ f ( x ) dx = 9 và 0 . B. F ( 9 ) = 6 . C. F ( 9 ) = 12 . D. F ( 9 ) = −12 . 2 2 f ( x ) dx 3 ∫= I = Câu 25: Cho A. 2 . 0 4 ∫ f ( x ) dx = 10 Câu 26: Cho 2 A. I = 5 . B. I = 15 . ∫ g ( x ) dx = 16 Câu 27: Giả sử A. I = 26 . 5 ∫ Câu 28: Nếu 1 A. −2 . , ∫ . Tính 2 0 và B. I = 58 . 9 0 thì 2 ∫ f ( x ) dx = 1 ∫ f ( x ) dx = và C. I = −5 . D. I = 10 . 9 = I ∫  2 f ( x ) + 3 g ( x)  dx 0 . Khi đó, bằng: C. I = 143 . D. I = 122 . ∫ f ( x ) dx 1 B. 2 . 3 Câu 29: Cho 1 A. 1 . 2 5 f ( x ) dx = −1 2 D. 4 . 4 ∫ g ( x ) dx = 5 =I ∫ 3 f ( x ) − 5 g ( x ) dx và ∫ f ( x ) dx = 37 f ( x ) dx = 3 bằng: C. 8 . 0 4 9 2 ∫ 4 f ( x ) − 3 dx = J . Khi đó B. 6 . bằng C. 3 . D. 4 . 3 −2 2 B. −3 . ∫ f ( x ) dx . Giá trị của 1 bằng C. −1 . Câu 30: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn [ 0;10] và D. 3 . 6 10 ∫ f ( x ) dx = 7 ∫ f ( x ) dx = 3 . và 2 ∫ = P 0 10 f ( x ) d x + ∫ f ( x ) dx . 6 A. P = 7 . B. P = −4 . C. P = 4 . 1 Câu 31: Cho Tính 2 0 ∫ f ( x ) dx = 2 0 D. P = 10 . 2 2 , ∫ f ( x ) dx = 4 , khi đó ∫ f ( x ) dx = 0 ? 1 A. 6 . B. 2 . Câu 32: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên  và có 2 ∫ f ( x ) dx = 2 ; ∫ f ( x ) dx = 6 . Tính I = ∫ f ( x ) dx . Câu 33: Cho ∫ −1 A. I = và 11 . 2 B. I = ∫ f ( x ) dx = −2 1 ; C. I = ; 1 B. ∫ f ( x ) dx = 1 . Mệnh đề nào sau đây sai? D. 10 . ∫  f ( x ) + g ( x ) dx = 1 4 −5 . 4 f ( x) −2 . ∫ 4 f ( x ) − 2 g ( x ) dx = 1 có f ′( x) liên tục trên đoạn 3 3 [ −1;3] , f ( −1) = và https://toanmath.com/ ∫ f ′( x) dx = 10 giá trị −1 f ( 3) của bằng A. −13 . 17 . 2 bằng 5 D. I = . 2 4 ∫ f ( x ) dx = 1 . Câu 35: Cho hàm số −1 ∫ f ( x ) dx = 3 ∫ g ( x ) dx = 7 4 8 C. . Tính I= ∫  x + 2 f ( x ) + 3g ( x ) dx 4 8 A. 7 . 2 4 8 Câu 34: Biết −1 D. I = 4 . 2 2 ∫ g ( x ) dx = −1 0 1 C. I = 36 . B. I = 12 . f ( x ) dx = 2 3 3 0 A. I = 8 . D. 3 . C. 1 . 1 B. −7 . C. 13 . D. 7 . 2 ∫ 2 f ( x ) dx = 3 Câu 36: Cho A. 4 . . Tính 0 ∫ ( f ( x ) + 1) dx 0 ? B. 5 . C. 7 . D. 1 . 2 Câu 37: Cho y = f ( x ) , y = g ( x ) là các hàm số có đạo hàm liên tục trên [ 0; 2] và 2 2 0 0 2 ∫0 g ( x ) . f ′ ( x ) dx = ′ 3 . Tính tích phân I = ∫  f ( x ) .g ( x )  dx . ∫ g ′ ( x ) . f ( x ) dx = , B. I = 6 . A. I = −1 . C. I = 5 . Câu 38: Cho hai tích phân ∫ f ( x ) dx = 8 −2 và ∫ g ( x ) dx = 3 5 B. I = 13 . A. I = −11 . D. I = 1 . −2 5 5 . Tính I = C. I = 27 . ∫  f ( x ) − 4 g ( x ) − 1 dx . −2 D. I = 3 . 1 Câu 39: Cho hàm số f ( x ) = x 4 − 4 x3 + 2 x 2 − x + 1 , ∀x ∈  . Tính ∫ f 2 ( x ) . f ′ ( x ) dx . 0 A. 2 . 3 2 C. − . 3 B. 2 . 6 Câu 40: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn [0; 6] thỏa mãn D. −2 . 4 f ( x ) dx = 10 và ∫ ∫ f ( x ) dx = 6 . Tính 2 0 2 6 0 4 giá trị của biểu= thức P ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx . A. P = 4 .` B. P = 16 . C. P = 8 . Câu 41: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn [0; 1] và có D. P = 10 . 1 1 5 . Tính ∫ f ( x ) dx . ∫ 3 − 2 f ( x ) dx = 0 0 A. −1 . B. 2. D. −2 . C. 1. Câu 42: Cho hai hàm số f ( x ) và g ( x ) liên tục trên đoạn [0; 1], có 1 ∫ f ( x ) dx = 4 và 0 . Tính tích phân = I 1 ∫ g ( x ) dx = −2 0 ∫  f ( x ) − 3g ( x ) dx . A. −10 . B. 10 . D. −2 . C. 2. 1 Câu 43: Cho hàm số f ( x ) = ln x + x 2 + 1 . Tính tích phân I = ∫ f ' ( x ) dx . ( ) B.= I ln 1 + 2 . A. I = ln 2 . 0 C. I = ln 2 D. I = 2 ln 2 Câu 44: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [1; ln3] và thỏa mãn f (1) = e 2 , ln 3 ∫ f ' ( x ) dx= 9 − e 2 . Tính I = f ( ln 3) . 1 A. I = 9 − 2e 2 . B. I = 9 . C. I = −9 . D.= I 2e 2 − 9 . Câu 45: Cho hai hàm số y = f ( x ) và y = g ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 1] và thỏa mãn 1 1 0 0 ∫ f ' ( x ) .g ( x ) dx = 1 , ∫ f ( x ) .g ' ( x ) dx = A. I = −2 . https://toanmath.com/ B. I = 0 . 1 −1 . Tính I = ∫  f ( x ) .g ( x )  dx . / 0 C. I = 3 . D. I = 2 . x2 ∫ f ( t ) dt = x.cos π x . Tính f ( 4 ) . Câu 46: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ( 0; +∞ ) và thỏa 0 2 B. f ( 4 ) = . 3 A. f ( 4 ) = 123 . Câu 47: Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn f ( x) ∫ C. f ( 4 ) = 3 . 4 1 . 4 D. f ( 4 ) = t 2 .dt = x.cos π x . Tính f ( 4 ) . 0 A. f ( 4 ) = 2 3 . C. f ( 4 ) = B. f ( 4 ) = −1 . D. f ( 4 ) = 3 12 . π  x Câu 48: Cho hàm số = G ( x) 1 . 2 ∫ t.cos ( x − t ) .dt . Tính G '  2  . 0 π  B. G '   = 1 . 2 π  A. G '   = −1 . 2 π  C. G '   = 0 . 2 π  D. G '   = 2 . 2 x2 Câu 49: Cho hàm số G ( x ) = ∫ cos t .dt ( x > 0 ). Tính G ‘ ( x ) . A. G ‘ ( x ) = x .cos x . 0 x Câu 50: Cho hàm số G (= x) ∫ D. G = ‘ ( x ) cos x − 1 . B. G ‘ ( x ) = 2 x.cos x . C. G ‘ ( x ) = cos x . 2 1 + t 2 dt . Tính G ‘ ( x ) . 1 A. x 1+ x 2 B. 1 + x 2 . . Câu 51: Cho hàm số F ( x ) = x ∫ sin t .dt 2 1 C. 1+ x 2 D. ( x 2 + 1) x 2 + 1 . . ( x > 0 ). Tính F ‘ ( x ) . 1 A. sin x . B. sin x . 2 x C. 2sin x . x D. sin x . x Câu 52: Tính đạo hàm của f ( x ) , biết f ( x ) thỏa ∫ t.e f (t ) dt = e f ( x ) . 0 A. f ‘ ( x ) = x . Câu 53: Cho hàm số C. f ‘ ( x ) = B. f ‘ ( x= ) x2 + 1 . y = f ( x) 0; + ∞ ) liên tục trên [ 1 . x D. f ‘ ( x ) = x2 và ∫ f ( t ) dt = x.sin (π x ) . Tính 1 . 1− x f ( 4) 0 A. f (π ) = π −1 Câu 54: Cho hàm số B. f (π ) = . 4 f ( x) π 2 liên tục trên khoảng C. f (π ) = . ( −2; 3) . Gọi F ( x) π 4 D. f (π ) = . là một nguyên hàm của 2 = I −2; 3) khoảng ( . Tính B. I = 10 . A. I = 6 . 2 Câu 55: Cho ∫ A. I = và 11 . 2 2 , biết 2 f ( x ) dx = 2 −1 ∫  f ( x ) + 2 x  dx −1 ∫ g ( x ) dx = −1 −1 B. I = 7 . 2 2 F 2 =4 F ( −1) = 1 và ( ) . I = 3 C. . D. I = 9 . 2 . Tính I= ∫  x + 2 f ( x ) − 3g ( x ) dx −1 C. I = 17 . 2 −3 1 ∫  2 f ( x ) − g ( x )  dx = ∫1 3 f ( x ) + 2 g ( x ) dx = Câu 56: Cho , 1 . Khi đó,
Trang chủ
D. I = 5 . 2 2 ∫ f ( x ) dx 1 bằng 1 . 2 f ( x) trên 16 11 5 6 . B. − . C. . D. . 7 7 7 7 Câu 57: Cho f ( x ) , g ( x ) là hai hàm số liên tục trên đoạn [ −1;1] và f ( x ) là hàm số chẵn, g ( x ) là A. 1 hàm số lẻ. Biết 1 ∫ f ( x ) dx = 5 ; ∫ g ( x ) dx = 7 . Mệnh đề nào sau đây là sai? 0 0 1 A. 1 ∫ f ( x ) dx = 10 . B. C. 10 . ∫  f ( x ) + g ( x ) dx = −1 −1 1 1 10 . ∫  f ( x ) − g ( x ) dx = D. −1 ∫ g ( x ) dx = 14 . −1 Câu 58: Cho f ( x ) , g ( x ) là hai hàm số liên tục trên đoạn [ −1;1] và f ( x ) là hàm số chẵn, g ( x ) là 1 hàm số lẻ. Biết 1 ∫ f ( x ) dx = 5 ; ∫ g ( x ) dx = 7 . Mệnh đề nào sau đây là sai? 0 0 1 A. 1 ∫ f ( x ) dx = 10 . B. C. 10 . ∫  f ( x ) + g ( x ) dx = −1 −1 1 1 10 . ∫  f ( x ) − g ( x ) dx = D. 10 ∫ 8 f ( z ) dz = 17 Câu 59: Nếu A. −15 . và 0 ∫ 10 f ( t ) dt = 12 thì 0 ∫ −3 f ( x ) dx bằng C. 15 . 8 B. 29 . 2 Câu 60: Cho −1 A. 11 . , −1 D. 5 . 7 7 ∫ f ( x ) dx = 2 ∫ f ( t ) dt = 9 ∫ g ( x ) dx = 14 . −1 −1 . Giá trị của ∫ f ( z ) dz 2 B. 5 . là D. 9 . C. 7 . Câu 61: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục, luôn dương trên [ 0;3] và thỏa mãn I = 3 f ( x ) dx ∫= 4 . Khi đó 0 ∫ (e 3 giá trị của tích= phân K 1+ ln ( f ( x ) ) ) + 4 dx là: 0 A. 4 + 12e . B. 12 + 4e . C. 3e + 14 . Câu 62: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên  thỏa D. 14 + 3e . ′ ( 0 ) 1; f ( 0 ) f=  = .  ) f ( x ) + f ( y ) + 3xy ( x + y ) − 1, ∀x,y ∈   f ( x + y = 1 Tính ∫ f ( x − 1)dx . 0 A. 1 . 2 1 B. − . 4 Câu 63: Cho hàm số f ( x ) là hàm bậc nhất thỏa mãn C. 1 . 4 D. 7 . 4 1 10 và 2 f (1) − f ( 0 ) = 2. ∫ ( x + 1) f ′ ( x ) dx = 0 Tính I = ∫ f ( x ) dx . 1 A. I = 1 . 0
Trang chủ
B. I = 8 . C. I = −12 . D. I = −8 . Câu 64: Cho hàm số f ( x) xác định trên  {0} , thỏa mãn f ′ ( x ) = 1 f 1 =a f −2 = b , ( ) và ( ) 5 x +x 3 f −1 + f ( 2 ) . Tính ( ) . A. f ( −1) + f ( 2 ) =−a − b . B. f ( −1) + f ( 2 ) = a − b . C. f ( −1) + f ( 2 ) = a + b . D. f ( −1) + f ( 2 ) = b − a . Câu 65: Cho hàm số f ( x) xác định trên  {0} và thỏa mãn f ′ ( x ) = 1 f 1 = a f ( −2 ) = b , ( ) , 4 x +x 2 f −1 − f ( 2 ) . Giá trị của biểu thức ( ) bằng A. b − a . B. a + b . C. a − b . D. −a − b . Câu 66: Cho hàm số y = f ( x ) xác định và liên tục trên  thỏa mãn đồng thời các điều kiện f ( x ) > 0 1 . Tính giá trị của f ( ln 2 ) . 2 2 1 C. f ( ln 2 ) = . D. f ( ln 2 ) = . 3 3 định và liên tục trên  thỏa mãn đồng thời các , ∀x ∈  ; f ′ ( x ) = −e x . f 2 ( x ) , ∀x ∈  và f ( 0 ) = 2 2 . B. f ( ln 2 ) = − . 9 9 Câu 67: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị ( C ) , xác A. f ( ln 2 ) = , f ′( x) điều kiện f ( x ) > 0 ∀x ∈  = ( x. f ( x ) ) 2 , ∀x ∈  và f ( 0 ) = 2 . Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 1 của đồ thị ( C ) là. A. = B. y = C.= y 6 x + 30 . y 36 x − 30 . −6 x + 30 . Câu 68: Cho hàm số= y f ( x ) > 0 xác định, có đạo hàm trên đoạn x g ( x ) = 1 + 2018∫ f ( t ) dt , g ( x ) = f 2 ( x ) . Tính 0 ∫ g ( x ) dx . 0 2019 . D. 505 . 2 −1;1] y = f ( x) f x > 0, ∀x ∈  Câu 69: Cho hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn [ , thỏa mãn ( ) f ‘ x + 2 f ( x) = 0 f 1 =1 f −1 và ( ) . Biết ( ) , tính ( ) . A. f ( −1) = B. f ( −1) = C. f ( −1) = D. f ( −1) = e3 . e −2 . e4 . 3. A. 1011 . 2 B. 1009 . 2 1 D. y = −36 x + 42 . [0;1] và thỏa mãn: C. Câu 70: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ 0;1] đồng thời thỏa mãn f ′ ( 0 ) = 9 và = T f (1) − f ( 0 ) . 9 f ′′ ( x ) +  f ′ ( x ) − x  = 9 . Tính 2 1 D. T= 2 − 9 ln 2 . + 9 ln 2 . 2 f ‘ x . f x= x 4 + x 2 f 2 ( 2) y = f ( x) f 0 =2 Câu 71: Cho hàm số thỏa mãn ( ) ( ) . Biết ( ) . Tính . 313 332 324 323 A. f 2 ( 2 ) = . B. f 2 ( 2 ) = . C. f 2 ( 2 ) = . D. f 2 ( 2 ) = . 15 15 15 15 Câu 72: Cho f ( x) xác định, có đạo hàm, liên tục và đồng biến trên [1; 4] thỏa mãn A. T= 2 + 9 ln 2 . B. T = 9 . C. T= 2 3 x += 2 xf ( x )  f ′ ( x )  , ∀x ∈ [1; 4= ] , f (1) . Giá trị f ( 4 ) bằng: 2 361 381 371 391 B. C. D. A. 18 18 18 18 y = f ( x) f ′( x) 0; +∞ ) Câu 73: Cho hàm số có liên tục trên nửa khoảng [ thỏa mãn 3 f ( x ) + f ′ ( x ) =+ 1 3.e −2 x
Trang chủ
. Khi đó: 1 A. e3 f (1) − f ( 0 )= C. e f (1) − f ( 0 ) 3 e +3 2 ( e + 3) = 2 − 1 . 2 e2 + 3 − 8 . B. e3 f (1) − f ( 0= ) 1 1 − . 2 e +3 4 D. e3 f (1) − f ( 0 )= (e 2 2 + 3) e 2 + 3 − 8 . 3 Câu 74: Cho hàm số f liên tục, f ( x ) > −1 , f ( 0 ) = 0 và thỏa f ′ ( x ) = x 2 + 1 2 x f ( x ) + 1 . Tính f ( 3) . A. 0 . B. 3 . C. 7 . D. 9 . 1 và f ( 0 ) = − . Biết rằng 2 a a tổng f (1) + f ( 2 ) + f ( 3) + … + f ( 2017 ) + f ( 2018 ) = với ( a ∈ , b ∈ * ) và là phân số b b tối giản. Mệnh đề nào sau đây đúng? a a 1010 . 3029 . A. < −1 . B. > 1 . C. a + b = D. b − a = b b ax + b Câu 76: Biết luôn có hai số a và b để F ( x ) = ( 4a − b ≠ 0 ) là nguyên hàm của hàm số f ( x ) x+4 2 và thỏa mãn: 2 f= ( x )  F ( x ) − 1 f ′ ( x ) . Câu 75: Cho hàm số f ( x ) ≠ 0 thỏa mãn điều kiện f ′ (= x) ( 2 x + 3) f 2 ( x ) Khẳng định nào dưới đây đúng và đầy đủ nhất? A. a = 1 , b = 4 . B. a = 1 , b = −1 . C. a = 1 , b ∈  {4} . D. a ∈  , b ∈  . f (1) = 4 y = f ( x) 1; 2 Câu 77: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên [ ] thỏa mãn và 3 2 f ( x= ) xf ′ ( x ) − 2 x − 3x . Tính f ( 2 ) B. 20 . C. 10 . D. 15 . A. 5 . x  π π Câu 78: Cho f ( x ) = trên  − ;  và F ( x ) là một nguyên hàm của xf ′ ( x ) thỏa mãn 2 cos x  2 2  π π F ( 0 ) = 0 . Biết a ∈  − ;  thỏa mãn tan a = 3 . Tính F ( a ) − 10a 2 + 3a .  2 2 1 1 1 A. − ln10 . B. − ln10 . C. ln10 . D. ln10 . 2 2 4 Câu 79: Cho hàm số y = f ( x ) xác định và liên tục trên  thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau f ( x ) > 0 , ∀x ∈  , f ′ ( x ) = −e x . f 2 ( x ) ∀x ∈  và f ( 0 ) = 1 . Phương trình tiếp tuyến của 2 đồ thị tại điểm có hoành độ x0 = ln 2 là A. 2 x + 9 y − 2 ln 2 − 3 = B. 2 x − 9 y − 2 ln 2 + 3 = 0. 0. C. 2 x − 9 y + 2 ln 2 − 3 = D. 2 x + 9 y + 2 ln 2 − 3 = 0. 0. Câu 80: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ 0;1] , f ( x ) và f ′ ( x ) đều nhận giá trị 1 1 2 dương trên đoạn [ 0;1] và thỏa mãn f ( 0 ) = 2 , ∫  f ′ ( x ) .  f ( x )  + 1 dx = 2 ∫ f ′ ( x ) . f ( x ) dx   0 0 1 . Tính ∫  f ( x ) 3 dx . 0 A. 15 . 4
Trang chủ
B. 15 . 2 C. 17 . 2 D. 19 . 2 Câu 81: Cho f ( x) không âm thỏa mãn điều kiện f = ( x). f ‘( x) 2 x f 2 ( x) + 1 và f (0) = 0 . Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = f ( x) trên [1;3] là A. 22 B. 4 11 + 3 C. 20 + 2 Câu 82: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm và đồng biến trên  ( x )) ( f ′= 2 e f ( x ) , ∀x ∈  . Tính tích phân x D. 3 11 + 3 thỏa mãn f ( 0 ) = 1 và 1 ∫ f ( x ) dx bằng 0 B. e − 1 . C. e 2 − 2 . D. e 2 − 1 . y = f ( x)  {0} Câu 83: Cho hàm số xác định và liên tục trên thỏa 2 2 2 x f ( x ) + ( 2 x − 1) f ( x= ) xf ′ ( x ) − 1 với ∀x ∈  {0} và f (1) = −2 . Tính f ( x ) dx . ∫ A. e − 2 . mãn 1 1 A. − − ln 2 . 2 Câu 84: Cho hàm số 3 ln 2 B. − − ln 2 . C. −1 − . 2 2 y = f ( x ) . Có đạo hàm liên tục trên 3 ln 2 D. − − . 2 2  . Biết f (1) = e và ( x + 2 ) f ( x ) =xf ′ ( x ) − x3 , ∀x ∈  . Tính f ( 2 ) . A. 4e 2 − 4e + 4 . B. 4e 2 − 2e + 1 . C. 2e3 − 2e + 2 . D. 4e 2 + 4e − 4 . Câu 85: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ 0;1] và thỏa mãn f ( 0 ) = 0 . Biết 1 ∫ f 2 ( x ) dx = 0 A. 1 π 9 và 2 1 ∫ f ′ ( x ) cos πx 2 0 . B. 4 π dx = 3π . Tích phân 4 . C. 6 π 1 ∫ f ( x ) dx bằng 0 . D. 1 Câu 86: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn [ 0; 1] , thỏa mãn ∫= f ( x ) dx 0 1 ∫  f ( x ) dx = 4 . Giá trị của tích phân 2 0 1 ∫  f ( x ) 3 2 π . 1 xf ( x ) dx ∫= 1 và 0 dx bằng 0 B. 8 . C. 10 . D. 80 . A. 1 . Câu 87: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [1, 2] và thỏa mãn f ( x ) > 0 khi x ∈ [1, 2] . 2 Biết ∫ f ‘ ( x ) dx = 10 và 1 A. f ( 2 ) = −10 . ( ) ∫ f ( x ) dx = ln 2 . Tính f ( 2 ) . 2 f’ x 1 B. f ( 2 ) = 20 . C. f ( 2 ) = 10 . D. f ( 2 ) = −20 . Câu 88: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm và liên tục trên đoạn [ 4;8] và f ( 0 ) ≠ 0 với ∀x ∈ [ 4;8] . Biết  f ′ ( x )  1 1 rằng ∫  . Tính f ( 6 ) . f ( 4) = , f (8) dx = 1 và= 4 4 2 f x  ( ) 4    8 2 2 5 3 1 . B. . C. . D. . 3 8 8 3 Câu 89: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm xác định, liên tục trên đoạn [ 0;1] đồng thời thỏa mãn các điều A. kiện f ′ ( 0 ) = −1 và  f ′ ( x )  = f ′′ ( x ) . Đặt= T f (1) − f ( 0 ) , hãy chọn khẳng định đúng? A. −2 ≤ T < −1 . B. −1 ≤ T < 0 . C. 0 ≤ T < 1 . D. 1 ≤ T < 2 . 2 https://toanmath.com/  f ( x ) > 0, ∀ x ∈ ,  ′ ( 0 ) 1, Câu 90: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm cấp 2 liên tục trên  thoả  = . f ( 0 ) f=  2 2  xy + y′= yy′′, ∀ x ∈ . Mệnh đề nào sau đây đúng? 1 1 B. 0 < ln f (1) < . A. < ln f (1) < 1 . 2 2 C. 3 < ln f (1) < 2 . 2 Câu 91: Cho f , g là hai hàm liên tục trên [1;3] thỏa mãn điều kiện D. 1 < ln f (1) < 3 . 2 3 10 đồng ∫  f ( x ) + 3g ( x ) dx = 1 3 3 thời ∫  2 f ( x ) − g ( x )  dx = 6 . Tính ∫  f ( x ) + g ( x )  dx . 1 1 A. 9 . B. 6 . C. 7 . Câu 92: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên [ a; b ] , nếu D. 8 . d d a b ∫ f ( x ) dx = 5 và ∫ f ( x ) dx = 2 (với a < d < b b ) thì ∫ f ( x ) dx bằng. a 5 . 2 Câu 93: Cho f ( x ) và g ( x ) là hai hàm số liên tục trên đoạn [1;3] , thỏa mãn: A. 3 . B. 7 . C. 3 3 1 1 10 và ∫  2 f ( x ) − g ( x )  dx = = I 6 . Tính ∫  f ( x ) + 3g ( x ) dx = D. 10 . 3 ∫  f ( x ) + g ( x ) dx 1 A. I = 8 . B. I = 9 . C. I = 6 . D. I = 7 . Câu 94: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) liên tục trên đoạn [ 0;5] và đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) trên đoạn [ 0;5] được cho như hình bên. y 1 O 3 5 x −5 Tìm mệnh đề đúng A. f= f ( 5) . ( 0 ) f ( 5) < f ( 3) . B. f ( 3) < f ( 0 ) = C. f ( 3) < f ( 0 ) < f ( 5 ) . D. f ( 3) < f ( 5 ) < f ( 0 ) . Câu 95: Cho hàm số f ( x ) liên tục và có đạo hàm tại mọi x ∈ ( 0; +∞ ) đồng thời thỏa mãn điều kiện: f ( x ) = x ( sin x + f ' ( x ) ) + cos x và 3π 2 ∫ f ( x ) sin xdx = π −4. Khi đó, f (π ) nằm trong khoảng 2 nào? A. ( 6; 7 ) . https://toanmath.com/ B. ( 5; 6 ) . C. (12;13) . D. (11;12 ) . Câu 96: Cho hàm f ( x) số xác định π π  2 π  2 −π  . Tích phân ∫0  f ( x ) − 2 2 f ( x ) sin  x − 4  d x = 2 2 2 A. π B. 0 . .  π 0; 2  trên ∫ f ( x) d x thỏa mãn bằng 0 π C. 1 . D. C. I = 2 . D. I = e + 2 . . 4 2 2 Câu 97: Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên  thỏa mãn 3 f ( x ) + f ( 2 − x ) = 2 ( x − 1) e x − 2 x +1 + 4 . Tính 2 tích phân I = ∫ f ( x ) dx ta được kết quả: 0 A. I = e + 4 . B. I = 8 . 2 2 0 0 Câu 98: Suy ra 4 ∫ f ( x ) dx = 8 ⇔ ∫ f ( x ) dx = 2 . Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên  {0; − 1} thỏa mãn điều kiện f (1) = −2 ln 2 và x ( x + 1) . f ′ ( x ) + f ( x ) = x 2 + x . Giá trị f ( 2 )= a + b ln 3 , với a, b ∈  . Tính a 2 + b 2 . 25 9 A. . B. . 4 2 C. 5 . 2 Câu 99: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên  và f ′ ( x ) ≥ x 4 + Khẳng định nào sau đây đúng? A. Phương trình f ( x ) = 0 có 1 nghiệm trên ( 0;1) . D. 13 . 4 2 − 2 x ∀x > 0 và f (1) = −1 . x2 B. Phương trình f ( x ) = 0 có đúng 3 nghiệm trên ( 0; +∞ ) . C. Phương trình f ( x ) = 0 có 1 nghiệm trên (1; 2 ) . C. Phương trình f ( x ) = 0 có 1 nghiệm trên ( 2;5 ) . Hươngd dẫn giải Chọn C x 6 − 2 x3 + 2 2 f ′ ( x) ≥ x + 2 − 2x = = x2 x ⇒y= f ( x ) đồng biến trên ( 0; +∞ ) . 4 (x 3 − 1) + 1 2 x2 > 0 , ∀x > 0 . ⇒ f ( x ) = 0 có nhiều nhất 1 nghiệm trên khoảng ( 0; +∞ ) (1) . Mặt khác ta có: 2 2 2 2 21   f ′ ( x ) ≥ x 4 + 2 − 2 x > 0 , ∀x > 0 ⇒ ∫ f ′ ( x ) dx ≥ ∫  x 4 + 2 − 2 x  dx = x x 5  1 1 21 17 ⇒ f ( 2 ) − f (1) ≥ ⇒ f ( 2) ≥ . 5 5 Kết hợp giả thiết ta có y = f ( x ) liên tục trên [1; 2] và f ( 2 ) . f (1) < 0 ( 2 ) . Từ (1) và ( 2 ) suy ra phương trình f ( x ) = 0 có đúng 1 nghiệm trên khoảng (1; 2 ) . Câu 100: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) liên tục trên  và thỏa mãn f ′ ( x ) ∈ [ −1;1] với 2 ∀x ∈ ( 0; 2 ) . Biết f= ( 0 ) f= ( 2 ) 1 . Đặt I = ∫ f ( x ) dx , phát biểu nào dưới đây đúng? A. I ∈ ( −∞; 0] . https://toanmath.com/ B. I ∈ ( 0;1] . 0 C. I ∈ [1; +∞ ) . D. I ∈ ( 0;1) . Câu 101: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên [ 0; 1] thỏa mãn 1 ∫ xf ( x ) dx = 0 và 0 max f ( x ) = 1. Tích [0; 1] 1 phân I = ∫ e x f ( x ) dx thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây? 0 5 3   5 3  A.  −∞; −  . B.  ; e − 1 . C.  − ;  . D. ( e − 1; + ∞ ) . 4 2   4 2  Câu 102: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm dương, liên tục trên đoạn [ 0;1] thỏa mãn f ( 0 ) = 1 và 3 2 1  3∫  f ′ ( x )  f ( x )  +  dx ≤ 2 ∫ f ′ ( x ) f ( x ) dx . Tính tích phân ∫  f ( x )  dx : 9 0 0  0 3 5 7 5 A. . B. . C. . D. . 2 6 4 6 Câu 103: Cho hai hàm số f ( x ) và g ( x ) có đạo hàm trên đoạn [1; 4] và thỏa mãn hệ thức 1 1 1 4 4  f (1) + g (1) = . Tính = I  ∫1  f ( x ) + g ( x ) dx . − x. f ′ ( x ) ; f ( x ) = − x.g ′ ( x )  g ( x ) = A. 8ln 2 . B. 3ln 2 . C. 6 ln 2 . https://toanmath.com/ D. 4 ln 2 . HƯỚNG DẪN GIẢI DẠNG 1: ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT NGUYÊN HÀM 1 f 0 = 2017 f x  {1} Câu 1: Cho hàm số ( ) xác định trên thỏa mãn f ′ ( x ) = , ( ) , x −1 S= f ( 3) − f ( −1) f ( 2 ) = 2018 . Tính . A. S = 1 . B. S = ln 2 . C. S = ln 4035 . D. S = 4 . Hươngd dẫn giải Chọn A 1 Cách 1: Ta có ∫ f ( x ) dx= ∫ dx= ln ( x − 1 ) + C . x −1  f ( x= ) ln ( x − 1 ) + 2017 khi x < 1 Theo giả thiết f ( 0 ) = 2017 , f ( 2 ) = 2018 nên  . ) ln ( x − 1 ) + 2018 khi x > 1  f ( x= Do đó S= f ( 3) − f ( −1) = ln 2 + 2018 − ln 2 − 2017 = 1 . Cách 2: 0 0  dx 1 (1) = ln x − 1 |0−1= ln  f (0) − f (−1)= ∫ f ‘( x)dx= ∫ x −1 2  −1 −1 Ta có:  3 3 dx  f (3) − f (2) = f ‘( x)dx = = ln x − 1 |32 = ln 2 (2) ∫ ∫  x 1 −  2 2 Lấy (1)+(2), ta được f (3) − f (2) + f (0) − f (−1) = 0⇒S= 1. 2 1  Câu 2: Cho hàm số f ( x ) xác định trên    thỏa mãn f ′ ( x ) = và f ( 0 ) = 1 . Giá trị của 2x −1 2 biểu thức f ( −1) + f ( 3) bằng A. 4 + ln15 . B. 3 + ln15 . C. 2 + ln15 . Hươngd dẫn giải D. ln15 . Chọn C 1 2. d ( 2 x − 1) 2 Ta có f ( = x ) ∫ f ′ ( x ) dx = ∫ dx = ∫ 2 = ln 2 x − 1 + c . 2x −1 2x −1 1 ⇔ f (= x ) ln 2 x − 1 + 1 . f ( 0) = 1 ⇔ c =  f ( −1) = ln 3 + 1 ⇔ f ( −1) + f ( 3) = 2 + ln15 .  3) ln 5 + 1  f (= 2 1  Câu 3: Cho hàm số f ( x) xác định trên    thỏa mãn f ′( x) = , f (0) = 1 và f (1) = 2 . 2x −1 2 Giá trị của biểu thức f (−1) + f (3) bằng A. 4 + ln 5 . B. 2 + ln15 . C. 3 + ln15 . D. ln15. Hươngd dẫn giải Chọn C 2 1  Cách 1: • Trên khoảng  ; +∞  : f ( x= = ln(2 x − 1) + C1. ) ∫ dx 2x −1 2  Lại có f (1) =2 ⇒ C1 =2. 1  • Trên khoảng  −∞;  : f ( x) = 2 
Trang chủ
2 ∫ 2 x − 1 dx = ln(1 − 2 x) + C . 2 1 C2 = 1. Lại có f (0) =⇒ 1  ln(2 x − 1) + 2 khi x > 2 Vậy f ( x) =  . 1 ln(1 − 2 x) + 1 khi x <  2 Suy ra f (−1) + f (3) = 3 + ln15. Cách 2: 0 0  2dx 1 0 (1) = ∫ f '( x)dx = ∫ = ln 2 x − 1 |=  f (0) − f (−1) −1 ln 2x −1 3  −1 −1 Ta có:  3 3 2dx  f (3) − f (1)= f x dx '( ) = = ln 2 x − 1 |=13 ln 5 (2) ∫ ∫  2x −1  1 1 Lấy (2)-(1), ta được f (3) − f (1) − f (0) + f (−1) = ln15 ⇒ f (−1) + f (3) = 3 + ln15 . Câu 4: Cho hàm số f ( x ) xác định trên  thỏa mãn f ′ ( x= ) 2 x + 1 và f (1) = 5 . Phương trình f ( x ) = 5 có hai nghiệm x1 , x2 . Tính tổng = S log 2 x1 + log 2 x2 . A. S = 1 . Chọn A Ta có: f ( x ) = B. S = 2 . ∫ f ′ ( x ) dx = ∫ ( 2 x + 1) dx = C. S = 0 . Hướng dẫn giải D. S = 4 . x2 + x + C . Mà f (1) = 5 ⇔ 1 + 1 + C = 5 ⇔ C = 3 ⇒ f ( x ) = x 2 + x + 3 . x = 1 Xét phương trình: f ( x ) = 5 ⇔ x 2 + x + 3 = 5 ⇔ x 2 + x − 2 = 0 ⇔  .  x = −2 = S log 2 x1 + log 2 = x2 log 2 1 + log 2 = −2 1 . Câu 5: 3 1  2 Cho hàm số f ( x) xác định trên    thỏa = mãn f ′ ( x ) = , f ( 0 ) 1 và f   = 2 . 3x − 1 3 3 Giá trị của biểu thức f ( −1) + f ( 3) bằng A. 3 + 5ln 2 . B. −2 + 5ln 2 . C. 4 + 5ln 2 . Hươngd dẫn giải D. 2 + 5ln 2 . Chọn A  1  ln 3 x − 1 + C1 khi x ∈  −∞; 3  3 3    Cách 1: Từ f ′ ( x ) = . ⇒ f ( x) = ∫ dx=  3x − 1 3x − 1 1   ln 3 x − 1 + C khi x ∈ ; +∞ 1    3   1  ln 3 x − 1 + 1 khi x ∈  −∞;   f ( 0) = 1  + C1 1 = 3 0= C1 1    Ta có:   2  . ⇒ f ( x) = ⇒ ⇔  0 C 2 C 2 = + = f 2 1 =   2   2 ln 3 x − 1 + 2 khi x ∈ ; +∞  3       3  Khi đó: f ( −1) + f ( 3) = ln 4 + 1 + ln 8 + 2 = 3 + ln 32 = 3 + 5ln 2 .  0 ) f ( x ) −=1  f ( 0 ) − f ( −1=  Cách 2: Ta có  3 2  f ( 3) − f  = f ( x ) 2=  3 3  https://toanmath.com/ 0 ∫ 0 f ′ ( x ) dx = −1 3 3 ∫ 3x − 1 dx= −1 3 3 ∫ f ′ ( x ) dx= ∫ 3x − 1 dx= 2 3 2 3 0 ln 3 x − 1 −= ln 1 3 ln 3 x − 1 2= ln 8 3 1 4 (1) ( 2) 2 Lấy ( 2 ) − (1) , ta được: f ( 3) + f ( −1) − f ( 0 ) − f   = ln 32 ⇒ f ( −1) + f ( 3) = 3 + 5ln 2 . 3 4  {−2; 2} f x Câu 6: Cho hàm số ( ) xác định trên và thỏa mãn = f ′( x) ;= f ( −3) 0 ; 2 x −4 P = f ( −4 ) + f ( −1) + f ( 4 ) f 3 =2 f ( 0) = 1 và ( ) . Tính giá trị biểu thức . 5 3 5 A. P= 3 + ln . B. P= 3 + ln 3 . C. P= 2 + ln . D. P= 2 − ln . 3 3 25 Hươngd dẫn giải Chọn B  x−2 ln x + 2 + C1 khi x ∈ ( −∞; −2 )   x−2 4dx 4dx 4 =∫ Từ f ′ ( x ) = 2 ⇒ f ( x) = = ln + C khi x ∈ ( −2; 2 ) 2 ∫ x −4 x −4 ( x − 2 )( x + 2 )  x + 2 2  x−2 + C3 khi x ∈ ( 2; +∞ ) ln  x+2  0  f ( −3) = ln 5 + C1 = 0 C1 = − ln 5    1 Ta có  f ( 0 ) = 1 ⇒ 0 + C2 = 1 ⇔ C2 =  1  C = 2 + ln 5  3  f ( 2) = 2 ln + C3 = 2  5  x−2 khi x ∈ ( −∞; −2 ) ln x + 2 -ln5   x−2 ⇒ f ( x ) ln = +1 khi x ∈ ( −2; 2 ) . + x 2   x−2 + 2 + ln 5 khi x ∈ ( 2; +∞ ) ln  x+2 1 Khi đó P = f ( −4 ) + f ( −1) + f ( 4 ) = ln 3 − ln 5 + ln 3 + 1 + ln + 2 + ln 5 = 3 + ln 3 . 3 1 Câu 7: Cho hàm số f ( x ) xác định trên  {−2;1} thỏa mãn f ′ ( x ) = 2 ; f ( −3) − f ( 3) = 0 x + x−2 1 và f ( 0 ) = . Giá trị của biểu thức f ( −4 ) + f ( −1) − f ( 4 ) bằng 3 1 1 1 4 1 8 A. + ln 2 . B. 1 + ln 80 . C. 1 + ln 2 + ln . D. 1 + ln . 3 3 3 5 3 5 Hươngd dẫn giải Chọn A 1 x −1  3 ln x + 2 + C1 khi x ∈ ( −∞; −2 )  1 1 dx dx x −1 f ′( x) = 2 = ⇒ f ( x) ∫ = =  ln + C khi x ∈ ( −2;1) 2 ∫ x + x−2 x + x−2 ( x − 1)( x + 2 )  3 x + 2 2 1 x −1 + C3 khi x ∈ (1; +∞ )  ln 3 x + 2 1 1 2 1 Do đó f ( −3) − f ( 3) = 0 ⇒ ln 4 + C1 − ln − C3 ⇒ C3 = C1 + ln10 . 3 3 5 3 https://toanmath.com/ 1 1 1 1 1 1 Và f ( 0 ) = ⇒ ln + C2 = ⇒ C2 = + ln 2 . 3 3 2 3 3 3 1 x −1  ln + C1 khi x ∈ ( −∞; −2 )  3 x+2   1 x −1 1 1 x ∈ ( −2;1) . = ⇒ f ( x )  ln + + ln 2 khi 3 x 2 3 3 +  1 x −1 1 + C1 + ln10 khi x ∈ (1; +∞ )  ln 3 3 x + 2 Khi đó: 1 1 1 1 5  1  1 1  1 1 f ( −4 ) + f ( −1) − f ( 4 ) = + ln 2 .  ln + C1  +  ln 2 + + ln 2  −  ln + C1 + ln10  = 3 3 3 3 2  3  3 2  3 3 1 Câu 8: Cho hàm số f ( x ) xác định trên  {−1;1} và thỏa mãn f ′ ( x ) = 2 ; f ( −3) + f ( 3) = 0 x −1  1 1 và f  −  + f   = = P f ( 0) + f ( 4) . 2 . Tính giá trị của biểu thức  2 2 3 3 1 3 1 3 A. P= 2 + ln . B. P = 1 + ln . C. P = 1 + ln . D. P = ln . 2 5 5 5 2 5 Hươngd dẫn giải Chọn C  1 x −1  2 ln x + 1 + C1 khi x ∈ ( −∞; −1) ∪ (1; +∞ ) 1 dx dx  . ⇒∫ 2 = = f ′( x) = 2 ∫ x −1 x − 1 ( x − 1)( x + 1)  1 x − 1 + C2 khi x ∈ ( −1;1) ln  2 x + 1 1 1 1 Ta có f ( −3) + f ( 3) = 0 ⇒ ln 2 + C1 + ln + C1 = 0 ⇒ C1 = 0 . 2 2 2 1 1 1  1 1 Và f  −  + f   =2 ⇒ ln 3 + C2 + ln + C2 =2 ⇒ C2 =1 . 2 2 3  2 2 1  2 ln  Suy ra f ( x ) =   1 ln  2 x −1 x +1 khi x ∈ ( −∞; −1) ∪ (1; +∞ ) x −1 + 1 khi x +1 1 3 Vậy = P f ( 0 ) + f ( 4 ) = 1 + ln . 2 5 Câu 9: . x ∈ ( −1;1) Cho hàm số f ( x ) xác định trên  {±1} thỏa mãn f ′ ( x ) =  1 và f  −  +  2 1 5 A. T= 2 + ln . 2 9 1 . Biết f ( −3) + f ( 3) = 0 x −1 1 f  = 2 . Giá trị T = f ( −2 ) + f ( 0 ) + f ( 4 ) bằng: 2 1 9 1 9 B. T = 1 + ln . C. T = 3 + ln . 2 5 2 5 Hươngd dẫn giải Chọn B Ta có 1 dx ∫ f ′ ( x ) dx = ∫ = x −1 https://toanmath.com/ 2 2 1  1 1  1 x −1 ln +C . −=   dx ∫ 2 x +1 2  x −1 x +1  1 9 D. T = ln . 2 5  1 x −1  2 ln x + 1 + C1 khi x < −1, x > 1 Do đó f ( x ) =  .  1 ln 1 − x + C khi − 1 < x < 1 2  2 x + 1  1 1 Do f ( −3) + f ( 3) = 0 nên C1 = 0 , f  −  + f   = 2 nên C2 = 1 .  2 2  1 x −1 khi x < −1, x > 1  2 ln x + 1 1 9 Nên f ( x ) =  . T = f ( −2 ) + f ( 0 ) + f ( 4 ) = 1 + ln . 2 5  1 ln 1 − x + 1 khi − 1 < x < 1  2 x + 1 Câu 10: Cho hàm số f ( x ) nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên ( 0; +∞ ) thỏa mãn f ( 2) = A. 7 . 15 1 và f ′ ( x ) + ( 2 x + 4 ) f 2 ( x ) = 0 . Tính f (1) + f ( 2 ) + f ( 3) . 15 11 11 B. . C. . 30 15 Hươngd dẫn giải Chọn D Vì f ′ ( x ) + ( 2 x + 4 ) f 2 ( x ) = 0 và f ( x ) > 0 , với mọi x ∈ ( 0; +∞ ) nên ta có − D. 7 . 30 f ′( x) = 2x + 4 . f 2 ( x) 1 1 1 = x 2 + 4 x + C . Mặt khác f ( 2 ) = nên C = 3 hay f ( x ) = 2 . f ( x) 15 x + 4x + 3 1 1 1 7 . Do đó f (1) + f ( 2 ) + f ( 3) = + + = 8 15 24 30 Câu 11: Cho hàm số f ( x ) xác định và liên tục trên  . Biết f 6 ( x ) . f ′ (= x ) 12 x + 13 và f ( 0 ) = 2 . Suy ra Khi đó phương trình f ( x ) = 3 có bao nhiêu nghiệm? A. 2 . B. 3 . C. 7 . Hươngd dẫn giải D. 1 . Chọn A 6 2 Từ f 6 ( x ) . f ′ (= x ) 12 x + 13 ⇒ ∫ f 6 ( x ) . f ′ ( x ) dx = ∫ (12 x + 13) dx ⇔ ∫ f ( x ) df ( x ) = 6 x + 13x + C f 7 ( x) 2 f ( 0)= 2 →C = . = 6 x 2 + 13 x + C  7 7 Suy ra: f 7 ( x ) = 42 x 2 + 91x + 2 . ⇔ Từ f ( x ) = 3 ⇔ f 7 ( x ) = 2187 ⇔ 42 x 2 + 91x − 2185 = 0 ( *) . 2187 ⇒ 42 x 2 + 91x + 2 = Phương trình (*) có 2 nghiệm trái dầu do ac < 0 . Câu 12: Cho hàm số f ( x ) xác định trên  thỏa mãn f ′ ( x ) = e x + e − x − 2 , f ( 0 ) = 5 và  1 f ( − ln16 ) + f ( ln 4 ) bằng f  ln  = 0 . Giá trị của biểu thức S =  4 9 5 31 A. S = . B. S = . C. S = . 2 2 2 Hươngd dẫn giải Chọn C https://toanmath.com/ D. f ( 0 ) . f ( 2 ) = 1 . Ta có f ′ ( x ) = e x + e− x − 2 = ex −1 ex x −  2x 2 − e e  = x x e − 2 − e 2  khi x≥0 khi x<0 . x −  2x 2 2e 2e + + C1 khi x ≥ 0  Do đó f ( x ) =  . x x − −2e 2 − 2e 2 + C khi x < 0 2  1. Theo đề bài ta có f ( 0 ) = 5 nên 2e0 + 2e0 + C1 = 5 ⇔ C1 = ⇒ f ( ln 4 ) =2e ln 4 2 + 2e − ln 4 2 +1 = 6 −  1 Tương tự f  ln  = 0 nên −2e  4 ⇒ f ( − ln16 ) = −2e − ( − ln16 ) 2 − 2e 1 ln   4 2 ( − ln16 ) 2 − 2e 1 ln   4 2 5. + C2 = 0 ⇔ C2 = 7 +5 = − . 2 5 Vậy S = f ( − ln16 ) + f ( ln 4 ) =. 2  π Câu 13: Cho hàm số f ( x ) liên tục, không âm trên đoạn 0;  , thỏa mãn f ( 0 ) = 3 và  2  π f ( x )= . f ′ ( x ) cos x. 1 + f 2 ( x ) , ∀x ∈ 0;  . Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M  2 π π  của hàm số f ( x ) trên đoạn  ;  . 6 2 5 21 A. m = , M = 2 2 . B. m = , M = 3 . 2 2 5 C. m = , M = 3. D. m = 3 , M = 2 2 . 2 Hươngd dẫn giải Chọn A Từ giả thiết f ( x )= . f ′ ( x ) cos x. 1 + f 2 ( x ) ⇒ f ( x). f ′( x) f ( x). f ′( x) = cos x ⇒ ∫ dx = sin x + C 1+ f 2 ( x) 1+ f 2 ( x) Đặt t = 1 + f 2 ( x ) ⇒ t 2 =1 + f 2 ( x ) ⇒ tdt = f ( x ) f ′ ( x ) dx . Thay vào ta được ∫ d= t sin x + C ⇒= t sin x + C ⇒ 1 + f 2 ( x )= sin x + C . 2. Do f ( 0 ) = 3 ⇒ C = Vậy 1 + f 2 ( x= ) sin x + 2 ⇒ f 2 ( x=) sin 2 x + 4sin x + 3 π sin 2 x + 4sin x + 3 , vì hàm số f ( x ) liên tục, không âm trên đoạn 0;  .  2 π π 1 Ta có ≤ x ≤ ⇒ ≤ sin x ≤ 1 , xét hàm số g ( t ) = t 2 + 4t + 3 có hoành độ đỉnh t = −2 loại. 6 2 2  1  21 t ) g= 1) 8 , min= Suy ra max g= . g ( t ) g= ( (   1  1  2 4  2 ;1  2 ;1 ⇒ f ( x )=   https://toanmath.com/   π  π  Suy ra max= f ( x ) g= f ( x ) f= 2 2 , min =     π π  π π  6 2 6;2 6;2     21 . 2 Câu 14: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên  và thỏa mãn f ( x ) > 0 , ∀x ∈  . Biết f ‘( x) = 2 − 2 x . Tìm các giá trị thực của tham số m để phương trình f ( x ) = m f ( x) có hai nghiệm thực phân biệt. A. m > e . B. 0 < m ≤ 1 . C. 0 < m < e . D. 1 < m < e . Hươngd dẫn giải Chọn C f ′( x) f ′( x) Ta có dx = = 2 − 2x ⇒ ∫ ∫ ( 2 − 2 x ) dx . f ( x) f ( x) f ( 0 ) = 1 và A.e 2 x − x . Mà f ( 0 ) = 1 suy ra f ( x ) = e 2 x − x . ⇔ ln f ( x ) = 2 x − x 2 + C ⇔ f ( x ) = 2 2 Ta có 2 x − x 2 =− 1 ( x 2 − 2 x + 1) =1 − ( x − 1) ≤ 1 . Suy ra 0 < e 2 x − x ≤ e và ứng với một giá trị thực 2 2 t < 1 thì phương trình 2x − x 2 = t sẽ có hai nghiệm phân biệt. Vậy để phương trình f ( x ) = m có 2 nghiệm phân biệt khi 0 < m < e1 = e. Câu 15: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên  và f ( x ) ≠ 0 với mọi x ∈  . f ′ (= x) ( 2 x + 1) f 2 ( x ) và a a f (1) = −0,5 . Biết rằng tổng f (1) + f ( 2 ) + f ( 3) + ... + f ( 2017 ) = ; ( a ∈ , b ∈  ) với b b tối giản. Mệnh đề nào dưới đây đúng? a 4035 . A. a + b =−1 . B. a ∈ ( −2017; 2017 ) . C. < −1 . D. b − a = b Hươngd dẫn giải Chọn D f ′( x) f ′( x) Ta có f ′ (= = x ) ( 2 x + 1) f 2 ( x ) ⇔ 2 ( 2 x + 1) ⇒ ∫ 2 dx =+ ∫ ( 2 x 1) dx f ( x) f ( x) ⇔− 1 = x2 + x + C f ( x) 1 1 1 1 nên C = 0 ⇒ f ( x ) = − 2 =− . x + x x +1 x 2 1  1  1 1 1 1  1 Mặt khác f (1) + f ( 2 ) + f ( 3) + ... + f ( 2017 ) =  − 1 +  −  +  −  + ... +  −   2  3 2  4 3  2018 2017  −2017 1 ⇒ a =−2017 ; b = 2018 . ⇔ f (1) + f ( 2 ) + f ( 3) + ... + f ( 2017 ) =−1 + = 2018 2018 4035 . Khi đó b − a = −1 Câu 16: Cho hàm số f ( x ) ≠ 0 thỏa mãn điều kiện f ' (= . Biết tổng x ) ( 2 x + 3) . f 2 ( x ) và f ( 0 ) = 2 a a là phân số tối giản. f (1) + f ( 2 ) + ... + f ( 2017 ) + f ( 2018 ) = với a ∈ , b ∈ * và b b Mệnh đề nào sau đây đúng? a a A. < −1 . B. > 1 . b b 3029 . 1010 . C. a + b = D. b − a = Hươngd dẫn giải Chọn D Mà f (1) = −
Trang chủ
f ‘( x ) f ‘( x ) = 2 x + 3 ⇔ ∫ f 2 ( x ) dx =+ ∫ ( 2 x 3) dx f 2 ( x) 1 1 −1 ⇔− = x 2 + 3x + C ⇒ f ( x ) = − 2 . Mà f ( 0 ) = nên = 2 . f ( x) x + 3x + C 2 1 1 − 2 = − Do đó f ( x ) = . x + 3x + 2 ( x + 1)( x + 2 ) Biến đổi f ‘(= x) ( 2 x + 3) . f 2 ( x ) ⇔ a 1 1 1  1  Khi đó = f (1) + f ( 2 ) + … + f ( 2017 ) + f ( 2018 ) = − + + ….. + +  b 2018.2019 2019.2020   2.3 3.4 1  −1009 1 1 1  1 1 1 1 1 . − − = −  − + − + ….. + − − = = 2018 2019 2020   2 2020  2020 2 3 3 4 a = −1009 3029 . ⇒b−a = Với điều kiện a, b thỏa mãn bài toán, suy ra:  b = 2020 2 3 0  f ′′ ( x ) . f ( x ) − 2  f ′ ( x )  + xf ( x ) = Câu 17: Cho hàm số y = f ( x ) , ∀x ≥ 0 , thỏa mãn  . Tính f ′ ( 0 ) 0;= f ( 0) 1 = f (1) . A. 2 . 3 B. 3 . 2 6 . 7 Hươngd dẫn giải C. D. 7 . 6 Chọn C f ′′ ( x ) . f ( x ) − 2  f ′ ( x )  Ta có: f ′′ ( x ) . f ( x ) − 2  f ′ ( x )  + xf ( x ) = = −x 0⇔ f 3 ( x) 2 2 3  f ′ ( x ) ′ f ′( x) f ′ ( 0) x2 02 0. ⇒ = − + C ⇒ = − +C ⇒C = ⇒ 2 = − x  2 2 f x 2 0 2 f f x ( ) ( ) ( )   ′ f ( x) x2 Do đó 2 = − 2 f ( x) 1 f ′( x)  x3  1 1 1 x2 6 1 + = − ⇒ f (1) = . dx = ⇒∫ 2 − ∫ dx ⇒ − = −  ⇒ − f (1) f ( 0 ) 6 2 f ( x) 7 f ( x) 0  6  0 0 0 f ′( x) x Câu 18: Giả sử hàm số f ( x) liên tục, dương trên  ; thỏa mãn f ( 0 ) = 1 và . Khi đó = 2 f ( x) x +1 1 1 ( 1 ) hiệu T f 2 2 − 2 f (1) thuộc khoảng = A. ( 2;3) . B. ( 7;9 ) . Chọn C Ta có ∫ f ′( x) dx = f ( x) x ∫ x 2 + 1 dx ⇔ ∫ C. ( 0;1) . Hươngd dẫn giải d ( f ( x )) f ( x) 2 1 d ( x + 1) . = ∫ 2 2 x +1 1 x) ln ( x 2 + 1) + C , mà f ( 0 ) =1 ⇔ C =0 . Do đó f (= 2 Nên f 2 2 = 3; 2 f (1) = 2 2 ⇒ f 2 2 − 2 f (1) = 3 − 2 2 ∈ ( 0;1) . Vậy ln ( f (= x )) ( )
Trang chủ
( ) D. ( 9;12 ) . x2 + 1 . π Câu 19: Khi đó 4 ∫ 0 ( 0; +∞ ) ; 1 f ( tan t ) d t = ∫0 f ( x ) dx . Vậy cos 2t 1 ∫ f ( x ) dx = 6 .Cho hàm số y = f ( x ) đồng biến trên 0 y = f ( x ) liên tục, nhận giá trị dương trên ( 0; +∞ ) và thỏa mãn f ( 3) = 2 và 3  f ‘ ( x ) = ( x + 1) . f ( x ) . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. 2613 < f 2 ( 8 ) < 2614 . B. 2614 < f 2 ( 8 ) < 2615 . 2 C. 2618 < f 2 ( 8 ) < 2619 . D. 2616 < f 2 ( 8 ) < 2617 . Hươngd dẫn giải Chọn A Hàm số y = f ( x ) đồng biến trên ( 0; +∞ ) nên suy ra f ′ ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ ( 0; +∞ ) . Mặt khác y = f ( x ) liên tục, nhận giá trị dương trên ( 0; +∞ ) nên  f ′ ( x )  = ( x + 1) f ( x ) ⇒ f ′ ( x ) =( x + 1) f ( x ) , ∀x ∈ ( 0; +∞ ) f ′( x) ⇒ = ( x + 1) , ∀x ∈ ( 0; +∞ ) ; f ( x) 2 ⇒∫ f ′( x) f ( x) Từ f ( 3) = dx =+ ∫ ( x 1)dx ⇒ 3 suy ra = C 2 1 Như vậy f ( = x )  3 Bởi thế: f ( x= ) 1 3 ( x + 1) 3 +C ; 2 8 − 3 3 2 8 ( x + 1) + −  3 3 2 3 2 2 4  1 2 8  2 8 2 8 3 f ( 8 ) = (8 + 1) + −  = 9 + −  ⇒ f 2 (8) = 9 + −  ≈ 2613, 26 . 3 3 3 3  3 3 3  Câu 20: Giả sử hàm số y = f ( x ) liên tục, nhận giá trị dương trên ( 0;+ ∞ ) và thỏa mãn f (1) = 1 , f ( x) = f ′ ( x ) 3 x + 1 , với mọi x > 0 . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 4 < f ( 5 ) < 5 . B. 2 < f ( 5 ) < 3 . C. 3 < f ( 5 ) < 4 . D. 1 < f ( 5 ) < 2 . Hươngd dẫn giải Chọn C Cách 1: Với điều kiện bài toán ta có f ′( x) = f ( x) = f ′ ( x ) 3x + 1 ⇔ f ( x) ⇔∫ d ( f ′ ( x )) f ( x) f ′( x) 1 ⇔∫ dx = f ( x) 3x + 1 ∫ 1 dx 3x + 1 2 1 3 x +1 + C 2 1 − . 3x + 1 + C ⇔ f ( x ) = e3 =∫ ( 3 x + 1) 2 d ( 3 x + 1) ⇔ ln f = ( x) 3 3 4 Khi đó f (1) =1 ⇔ e 3 Vậy 3 < f ( 5 ) < 4 . https://toanmath.com/ +C =1 ⇔ C =− 2 4 4 3 x +1 − 4 3 e3 ⇒ f ( x) = ⇒ f ( 5) = e 3 ≈ 3, 79 ∈ ( 3;4 ) . 3 Chú ý: Các bạn có thể tính ∫ dx = t bằng cách đặt 3x + 1 3x + 1 . Cách 2: Với điều kiện bài toán ta có 5 5 5 d ( f ( x )) 4 f ′( x) f ′( x) 1 1 f ( x) = f ′ ( x ) 3x + 1 ⇔ = ⇔∫ dx = d x ⇔ ∫1 3x + 1 ∫1 f ( x ) = f ( x) f ( x) 3 3x + 1 1 4 5 f ( 5) 4 4 ⇔ ln = ⇔ ln f ( x ) = ⇔ f ( 5= ) f (1) .e 3 ≈ 3, 79 ∈ ( 3;4 ) . f (1) 3 3 1 Câu 21: Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn  f ′ ( x )  + f ( x ) . f ′′ ( x ) = 15 x 4 + 12 x , ∀x ∈  và ′ ( 0 ) 1 . Giá trị của f 2 (1) bằng = f ( 0 ) f= 2 9 . 2 A. B. 5 . 2 Chọn D C. 10 . D. 8 . Hươngd dẫn giải 15 x 4 + 12 x , ∀x ∈  . Ta có: ( f ′ ( x ) ) + f ( x ) . f ′′ ( x ) = 2 ⇔  f ′ ( x ) . f ( x ) ′ = 15 x 4 + 12 x , ∀x ∈  ⇔ f ′ ( x ) . f ( x ) = 3 x5 + 6 x 2 + C1 ′ ( 0 ) 1 nên ta có C1 = 1. Do đó: f ′ ( x ) . f ( x ) = 3 x 5 + 6 x 2 + 1 Do = f ( 0 ) f= 1 ′ ⇔  f 2 ( x )  = 3 x 5 + 6 x 2 + 1 ⇔ f 2 ( x ) = x 6 + 4 x 3 + 2 x + C2 . 2  Mà f ( 0 ) = 1 nên ta có C2 = 1. Do đó f 2 ( x ) = x 6 + 4 x3 + 2 x + 1 . Vậy f 2 (1) = 8. Câu 22: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên  và thỏa mãn hàm của hàm số f ( 2 x ) trên tập  là: ∫ ( ) f x +1 2 = dx x +1 ( x +1 + 3 x+5 ) + C . Nguyên + x+3 +C. 2 ( x2 + 4) A. B. x+3 +C . x2 + 4 C. 2x + 3 +C . 4 ( x 2 + 1) D. Hươngd dẫn giải Chọn D Theo đề ra ta có: ∫ f x + 1) 2( (= dx x +1 ∫ x+5 ) +C ⇔ 2 ∫ ( f ) ( ) x + 1 d= x +1 2 ( ( x +1 + 3 https://toanmath.com/ ) 2 ) +C . x +1 + 4 2 ( t + 3) t +3 + C ⇒ ∫ f ( t ) d= t 2 + C′ . 2 t +4 t +4  2x + 3 1 1  2x + 3 = + = +C f ( 2 x ) d= x f 2 x d 2 x C  ( ) ( ) 1  8x2 + 8 2∫ 2  ( 2 x )2 + 4  t Hay 2 ∫ f ( t ) d= Suy ra x +1 + 3 2x + 3 +C. 8 ( x 2 + 1) DẠNG 2: ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT, GIẢI HỆ TÍCH PHÂN 5 Câu 23: Cho ∫ f ( x ) dx = 10 . Kết quả 2 ∫ 2 − 4 f ( x ) dx bằng: 5 2 A. 34 . B. 36 . D. 32 . C. 40 . Hươngd dẫn giải Chọn A 2 Tacó 2 5 2 −2 x 2 + 4 ∫ f ( x ) dx = −2. ( 5 − 2 ) + 4.10 = 34 . 2 ∫ dx − 4 ∫ f ( x ) dx = ∫ 2 − 4 f ( x ) dx = 5 5 5 2 5 Câu 24: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên  và F ( x ) là nguyên hàm của f ( x ) , biết ∫ f ( x ) dx = 9 0 và F ( 0 ) = 3 . Tính F ( 9 ) . B. F ( 9 ) = 6 . A. F ( 9 ) = −6 . 9 D. F ( 9 ) = −12 . C. F ( 9 ) = 12 . Hươngd dẫn giải Chọn C 9 Ta có: I = f ( x ) dx ∫= F ( x ) 0 = F (9) − F ( 0) = 9 ⇔ F (9) = 12 . 9 0 2 f ( x ) dx ∫= = I Câu 25: Cho A. 2 . 0 2 = J . Khi đó B. 6 . ∫ 4 f ( x ) − 3 dx 3 0 bằng: C. 8 . Hươngd dẫn giải D. 4 . Chọn B 2 2 2 Ta có J =∫  4 f ( x ) − 3 dx =4 ∫ f ( x ) dx − 3∫ dx =4.3 − 3 x 0 =6 . 2 0 4 Câu 26: Cho A. I = 5 . ∫ 0 4 f ( x ) dx = 10 0 4 ∫2 g ( x ) dx = 5 =I ∫2 3 f ( x ) − 5 g ( x ) dx và . Tính B. I = 15 . C. I = −5 . Hươngd dẫn giải 2 D. I = 10 . Chọn A 4 Có: I = 4 4 2 0 2 ∫ 3 f ( x ) − 5 g ( x ) dx = 3∫ f ( x ) dx − 5∫ g ( x ) dx = 5 . 2 9 Câu 27: Giả sử A. I = 26 . ∫ f ( x ) dx = 37 và 9 B. I = 58 . 0 9 ∫ g ( x ) dx = 16 = I ∫  2 f ( x ) + 3 g ( x)  dx 0 . Khi đó, bằng: C. I = 143 . D. I = 122 . Hươngd dẫn giải Chọn A Ta có: I = 9 9 9 9 0 0 0 0 0 9 ∫ 2 f ( x ) + 3g ( x)  dx = ∫ 2 f ( x ) dx + ∫ 3g ( x ) dx = 2∫ f ( x ) dx − 3∫ g ( x ) dx = 2 Câu 28: Nếu A. −2 . ∫ 5 f ( x ) dx = 3 1 Chọn B https://toanmath.com/ , ∫ 5 f ( x ) dx = −1 2 B. 2 . thì ∫ f ( x ) dx bằng C. 3 . Hươngd dẫn giải 1 D. 4 . 26 . 5 Ta có ∫ f ( x ) dx = 1 2 ∫ 1 2 Câu 29: Cho A. 1 . ∫ 5 f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = 3 − 1 = 2 . 2 3 f ( x ) dx = 1 ∫ và B. −3 . 1 3 f ( x ) dx = −2 ∫ f ( x ) dx . Giá trị của 1 C. −1 . Hươngd dẫn giải 2 bằng D. 3 . Chọn C 3 ∫ f ( x ) dx = 1 2 ∫ 1 3 f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = −1 . 2 Câu 30: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn [ 0;10] và 10 ∫ f ( x ) dx = 7 và 0 P = 2 10 0 6 6 ∫ f ( x ) dx = 3 . Tính 2 ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx . A. P = 7 . B. P = −4 . D. P = 10 . C. P = 4 . Hươngd dẫn giải Chọn C 10 Ta có ∫ 0 2 6 10 0 2 6 f ( x ) dx = 7 ⇔ ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = 7 2 10 0 6 ⇔ ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = 7 − 3 = 4 . Vậy P = 4 . 1 Câu 31: Cho ∫ 2 f ( x ) dx = 2 2 , 0 ∫ f ( x ) dx = 4 , khi đó ∫ f ( x ) dx = 0 ? 1 A. 6 . B. 2 . D. 3 . C. 1 . Hươngd dẫn giải Chọn A 2 1 2 0 0 1 ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = 6 . Câu 32: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên  và có 1 ∫ f ( x ) dx = 2 ; 0 A. I = 8 . B. I = 12 . 3 ∫ 1 C. I = 36 . Hươngd dẫn giải 3 f ( x ) dx = 6 . Tính I = ∫ f ( x ) dx . 0 D. I = 4 . Chọn A 3 I =∫= f ( x ) dx 0 2 Câu 33: Cho 11 A. I = . 2 ∫ 1 3 0 1 ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = 2 + 6 = 8 . 2 f ( x ) dx = 2 −1 Chọn D https://toanmath.com/ và ∫ g ( x ) dx = −1 −1 7 B. I = . 2 2 . Tính I= ∫  x + 2 f ( x ) + 3g ( x ) dx −1 17 C. I = . 2 Hươngd dẫn giải bằng 5 D. I = . 2 Ta có: I = 2 2 3 5 x2 2 + 2 ∫ f ( x ) dx + 3 ∫ g ( x ) dx = + 4 − 3 = . 2 −1 −1 2 2 −1 8 Câu 34: Biết ∫ f ( x ) dx = 4 ∫ f ( x ) dx = 3 ∫ g ( x ) dx = 7 −2 ; 1 . Mệnh đề nào sau đây sai? 1 4 ∫ f ( x ) dx = 1 . B. ∫ f ( x ) dx = D. 4 8 C. ; 1 8 A. 4 10 . ∫  f ( x ) + g ( x ) dx = 1 4 −5 . 4 −2 . ∫ 4 f ( x ) − 2 g ( x ) dx = 1 Hươngd dẫn giải Chọn A 8 Ta có 8 4 1 1 f ( x ) dx =∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx =−2 − 3 =−5 ∫ 4 Câu 35: Cho hàm số của A. −13 . f ( 3) f ( x) f ′( x) có liên tục trên đoạn 3 3 [ −1;3] , f ( −1) = và ∫ f ′( x) dx = 10 giá trị −1 bằng B. −7 . C. 13 . Hươngd dẫn giải D. 7 . Chọn C 3 Ta có ∫ f ′( x) dx = 10 ⇒ f ( x ) −1 2 Câu 36: Cho A. 4 . ∫ 3 −1 2 f ( x ) dx = 3 . Tính B. 5 . 0 10 ⇔ f ( 3) = f ( −1) + 10 = 13 . 10 ⇔ f ( 3) − f ( −1) = = ∫ ( f ( x ) + 1) dx 0 ? C. 7 . Hươngd dẫn giải. D. 1 . Chọn B 2 2 2 0 0 0 Ta có ∫ ( f ( x ) + 1) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ dx = 3 + 2 = 5 . Câu 37: Cho y = f ( x ) , y = g ( x ) là các hàm số có đạo hàm liên tục trên [ 0; 2] và 2 2 2 0 0 ′ 3 . Tính tích phân I = ∫  f ( x ) .g ( x )  dx . 2 , ∫ g ′ ( x ) . f ( x ) dx = ∫0 g ( x ) . f ′ ( x ) dx = B. I = 6 . A. I = −1 . C. I = 5 . Hươngd dẫn giải D. I = 1 . Chọn C 2 Xét= tích phân I ∫  f (= x ) .g ( x ) ′ dx 0 2 2 0 0 2 ∫  f ′ ( x ) .g ( x ) + f ( x ) .g ′ ( x ) dx 0 = 5. ∫ g ′ ( x ) . f ( x ) dx + ∫ g ( x ) . f ′ ( x ) dx = 5 Câu 38: Cho hai tích phân T 6 4 A. I = −11 . Chọn B https://toanmath.com/ ∫ −2 f ( x ) dx = 8 −2 B. I = 13 . và ∫ g ( x ) dx = 3 5 5 . Tính I = T 6 4 C. I = 27 . Hươngd dẫn giải ∫  f ( x ) − 4 g ( x ) − 1 dx . T 6 4 −2 D. I = 3 . −2 5 5 ∫  f ( x ) − 4 g ( x ) − 1 dx =∫ f ( x ) dx + 4 ∫ g ( x ) dx − x −2 =8 + 4.3 − ( 5 + 2 ) =13 . Ta có: I = 5 T 6 4 −2 −2 5 1 Câu 39: Cho hàm số f ( x ) = x 4 − 4 x3 + 2 x 2 − x + 1 , ∀x ∈  . Tính ∫ f 2 ( x ) . f ′ ( x ) dx . 0 A. 2 . 3 2 C. − . 3 Hươngd dẫn giải B. 2 . D. −2 . Chọn C 1 Ta có 1 ∫ f ( x ) . f ′ ( x ) dx = ∫ 2 0 0 f 3 ( x) f 3 (1) − f 3 ( 0 ) 2 f ( x ) .d  f ( x )  = = − . = 3 3 3 0 1 2 Câu 40: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn [0; 6] thỏa mãn 2 6 0 4 6 4 0 2 ∫ f ( x ) dx = 10 và ∫ f ( x ) dx = 6 . Tính ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx . giá trị của biểu= thức P C. P = 8 . D. P = 10 . Hươngd dẫn giải: 2 6 2 6  6 Ta có: P = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx =  ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx  + ∫ f ( x ) dx 0 4 6 0  4 6 4 2 6 6 2   =∫ f ( x ) dx +  ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx  + ∫ f ( x ) dx =∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = 10 − 6 = 4 0 4 0 4 6  4 Chọn A A. P = 4 .` B. P = 16 . Câu 41: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn [0; 1] và có A. −1 . B. 2. 1 1 1 0 0 5 . Tính ∫ f ( x ) dx . ∫ 3 − 2 f ( x ) dx = D. −2 . C. 1. Hươngd dẫn giải: 1 1 1 5 ⇔ ∫ 3dx − 2 ∫ f ( x ) dx = 5 ⇔ 3 x 0 − 2 ∫ f ( x ) dx = 5 ∫ 3 − 2 f ( x ) dx = 1 Ta có: 0 0 1 1 0 0 0 0 ⇔ −2 ∫ f ( x ) dx = 5 − 3 = 2 ⇒ ∫ f ( x ) dx = −1 Chọn A Câu 42: Cho hai hàm số f ( x ) và g ( x ) liên tục trên đoạn [0; 1], có 1 ∫ f ( x ) dx = 4 và 0 ∫ g ( x ) dx = 0 ∫  f ( x ) − 3g ( x ) dx . . Tính tích phân = I A. −10 . 1 B. 10 . D. −2 . C. 2. Hươngd dẫn giải: 1 1 1 0 0 0 I = ∫  f ( x ) − 3 g ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx − 3∫ g ( x ) dx =4 − 3 ( −2 ) =10 Chọn B 1 Câu 43: Cho hàm số f ( x ) = ln x + x 2 + 1 . Tính tích phân I = ∫ f ' ( x ) dx . A. I = ln 2 . https://toanmath.com/ ( ) B.= I ln 1 + 2 . 0 C. I = ln 2 D. I = 2 ln 2 −2 Hươngd dẫn giải: 1 1 ( f ' ( x ) dx = f ( x ) 0 = ln x + x 2 + 1 = ln 1 + 2 ∫ Ta có: I = 1 0 0 ) Chọn B Câu 44: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [1; ln3] và thỏa mãn f (1) = e 2 , ln 3 ∫ f ' ( x ) dx= 9 − e 2 . Tính I = f ( ln 3) . 1 B. I = 9 . A. I = 9 − 2e 2 . ln 3 Ta có: ∫ C. I = −9 . Hươngd dẫn giải: D.= I 2e 2 − 9 . f ' ( x ) dx = f ( x) 1 = f ( ln 3) − f (1) = 9 − e 2 (gt) ln 3 1 ⇒ f ( ln 3) − e 2 =9 − e 2 ⇒ f ( ln 3) =9 Chọn B Câu 45: Cho hai hàm số y = f ( x ) và y = g ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 1] và thỏa mãn 1 1 0 0 ∫ f ' ( x ) .g ( x ) dx = 1 , ∫ f ( x ) .g ' ( x ) dx = B. I = 0 . A. I = −2 . 1 x ) .g ( x )  dx ∫  f (= = I / 0 1 1 0 0 1 −1 . Tính I = ∫  f ( x ) .g ( x )  dx . / 0 C. I = 3 . Hươngd dẫn giải: D. I = 2 . 1 ∫  f ( x ) .g ' ( x ) + f ' ( x ) .g ( x ) dx 0 = ∫ f ( x ) .g ' ( x ) dx + ∫ f ' ( x ) .g ( x ) dx = 1 − 1 = 0 Chọn B Câu 46: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ( 0; +∞ ) và thỏa x2 ∫ f ( t ) dt = x.cos π x . Tính f ( 4 ) . 0 2 B. f ( 4 ) = . 3 A. f ( 4 ) = 123 . Ta có: F ( t= ) Đặt = G ( x) ∫ f ( t ) dt ⇒ F ' ( t=) x2 ( t ) dt ∫ f= f (t ) C. f ( 4 ) = Hươngd dẫn giải: 3 . 4 D. f ( 4 ) = F ( x2 ) − F ( 0) 0 ⇒ G ' ( x= )  F ( x 2 )= 2 x. f ( x 2 ) (Tính chất đạo hàm hợp: f ' u ( x ) = f ' ( u ) .u ' ( x ) ) / Mặt khác, từ gt: = G ( x) x2 f ( t ) dt ∫= x.cos π x 0 ⇒ G '( x) = − xπ sin π x + cos π x ( x.cos π x ) ' = ⇒ 2 x. f ( x 2 ) = − xπ sin π x + cos π x (1) Tính f ( 4 ) ⇒ ứng với x = 2 1 Thay x = 2 vào (1) ⇒ 4. f ( 4 ) = −2π sin 2π + cos 2π = 1 ⇒ f ( 4) = 4 Chọn D https://toanmath.com/ 1 . 4 Câu 47: Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn f ( x) ∫ t 2 .dt = x.cos π x . Tính f ( 4 ) . 0 A. f ( 4 ) = 2 3 . f ( x) ∫ 0 3 f ( x) t t 2 dt = 30 ⇒ f= ( x) 3 C. f ( 4 ) = B. f ( 4 ) = −1 . Hươngd dẫn giải: 1 . 2 D. f ( 4 ) = 3 12 .  f ( x )  3 x cos π x ⇒  f ( x )  = 3 x.cos π x = = 3 3 3 x cos π x ⇒ f = ( 4) 3 12 Chọn D Câu 48: Cho hàm số = G ( x) π  x ∫ t.cos ( x − t ) .dt . Tính G '  2  . 0 π  π  B. G '   = 1 . C. G '   = 0 . 2 2 Hươngd dẫn giải: Cách 1: Ta có: F ( t= ) ∫ t.cos ( x − t ) dt ⇒ F ' ( x=) t.cos ( x − t ) π  A. G '   = −1 . 2 x Đặt G ( x ) = ∫ t.cos ( x − t ) dt = π  D. G '   = 2 . 2 F ( x ) − F ( 0) 0 / / π  ⇒ G ' ( x ) =  F ( x ) − F ( 0 )  = F ' ( x ) − F ' ( 0 ) =  x cos ( x − x ) − 0  = x ' = 1 ⇒ G '   = 1 2 Chọn B Cách 2: Ta có = G ( x) x t du = dt= , dv ∫ t.cos ( x − t ) dt . Đặt u =⇒ cos ( x − t ) dx chọn 0 v= − sin ( x − t ) x x 0 0 ⇒ G ( x) = −t.sin ( x − t ) 0 + ∫ sin ( x − t ) dt = cos ( x − t ) 0 = cos 0 − cos x = 1 − cos x ∫ sin ( x − t ) dt = x x π π  ⇒ G ' ( x ) =sin x ⇒ G '   =sin =1 2 2 Chọn B x2 Câu 49: Cho hàm số G ( x ) = ∫ cos t .dt ( x > 0 ). Tính G ‘ ( x ) . A. G ‘ ( x ) = x .cos x . 2 Ta có F (= t) ∫ cos 0 B. G ‘ ( x ) = 2 x.cos x . C. G ‘ ( x ) = cos x . Hươngd dẫn giải: tdt ⇒ F ‘ (= t ) cos t ⇒ G ( x ) = x2 ∫ cos D. G = ‘ ( x ) cos x − 1 . tdt = F ( x 2 ) − F ( 0 ) 0 ⇒ G ‘ ( x ) =  F ( x 2 ) − F ( 0 )  =  F ( x 2 )  −  F ( 0 )  =  F ( x 2 )  = 2 x.F’ ( x 2 ) / / / / 2= x.cos x 2 2 x.cos x Chọn B Câu 50: Cho hàm số G (= x) x ∫ 1 + t 2 dt . Tính G ‘ ( x ) . 1 A. x 1+ x 2 .
Trang chủ
B. 1 + x 2 . C. 1 1+ x 2 . D. ( x 2 + 1) x 2 + 1 . Đặt F ( t ) =∫ 1 + t dt ⇒ F ‘ ( t ) = 1 + t 2 Hươngd dẫn giải: 2 x G ( x ) = ∫ 1 + t 2 dt = F ( x ) − F (1) ⇒ G ‘ ( x ) = F ‘ ( x ) − F ‘ (1) = F ‘ ( x ) = 1 x 1 + x2 Chọn A Câu 51: Cho hàm số F ( x ) = x ∫ sin t .dt 2 ( x > 0 ). Tính F ‘ ( x ) . 1 A. sin x . B. G ( x) Đặt F ( t ) = ∫ sin t dt ,= 2 ⇒ G ‘ ( x )= F ‘ ( x ) − F ‘ (1)= sin x . 2 x 2sin x . x Hươngd dẫn giải: D. sin x . C. x = t dt ∫ sin 2 F ( x ) − F (1) 1 ( x )= ( x ) ‘.sin ( x ) = sin x 2 x 2 F’ Chọn B x Câu 52: Tính đạo hàm của f ( x ) , biết f ( x ) thỏa ∫ t.e f (t ) dt = e f ( x ) . 0 A. f ‘ ( x ) = x . C. f ‘ ( x ) = B. f ‘ ( x= ) x2 + 1 . Hươngd dẫn giải: x f (t ) f (t ) ∫ t.e dt ⇒ F ‘ ( t=) t.e ⇒ G ( x ) = ∫ t.e Đặt F ( t= ) f (t ) 1 . x D. f ‘ ( x ) = 1 . 1− x dt = F ( x ) − F ( 0 ) 0 f x f x e f ( x )  ⇒ G ‘ ( x ) = F ‘ ( x ) = e f ( x ) (gt) ⇔ x.e f ( x ) = e ( ) ⇒  x.e ( )  =   / ⇒ e f ( x ) + x. f ‘ ( x ) .e f ( x ) = f ‘ ( x ) .e f ( x ) ⇒ 1 + x. f ‘ = ( x ) f ‘( x ) ⇒ f ‘= ( x) 1 1− x Chọn D Câu 53: Cho hàm số y = f ( x) 0; + ∞ ) liên tục trên [ x2 và ∫ f ( t ) dt = x.sin (π x ) . Tính f ( 4) 0 A. f (π ) = π −1 4 B. f (π ) = . π 2 C. f (π ) = . Hươngd dẫn giải π 4 . D. f (π ) = 1 . 2 Chọn B Ta có ∫ f ( t ) dt = F ( t ) ⇒ F ′ ( t ) = f (t ) Khi đó x2 ∫ x.sin (π x ) ⇔ F ( x 2 ) − F ( 0 ) = x.sin (π x ) f ( t ) dt = x.sin (π x ) ⇔ F ( t ) 0 = x2 0 sin (π x ) + π x.cos (π x ) ⇒ F ′ ( x 2 ) .2 x = sin (π x ) + π x.cos (π x ) ⇔ f ( x 2 ) .2 x = π . ⇒ f ( 4) = 2 Câu 54: Cho hàm số 46T f ( x) liên tục trên khoảng ( −2; 3) . Gọi F ( x ) là một nguyên hàm của 2 = I −2; 3) ( trên khoảng . Tính
Trang chủ
∫  f ( x ) + 2 x  dx −1 , biết F ( −1) = 1 F 2 =4 và ( ) . f ( x) A. I = 6 . B. I = 10 . 46T Chọn A 2 2 x  dx ∫  f ( x ) + = = I −1 2 Câu 55: Cho 11 A. I = . 2 ∫ F ( x ) −1 + x 2 2 và = F ( 2 ) − F ( −1) + ( 4 − 1) = 4 − 1 + 3 = 6 . −1 46T ∫ g ( x ) dx = −1 −1 B. I = D. I = 9 . 2 2 f ( x ) dx = 2 −1 C. I = 3 . Hươngd dẫn giải 7 . 2 2 . Tính I= ∫  x + 2 f ( x ) − 3g ( x ) dx −1 C. I = Hươngd dẫn giải 17 . 2 D. I = 5 . 2 Chọn C 2 2 2 2 2 x2 Ta có: I = = x + 2 f x − 3 g x d x = + − x x x x x xd 2 f d 3 g d   ( ) ( ) ( ) ( )  ∫ ∫ ∫ ∫ 2 −1 −1 −1 −1 2 2 Câu 56: Cho 11 A. . 7 −3 1 ∫  2 f ( x ) − g ( x )  dx = ∫ 3 f ( x ) + 2 g ( x ) dx = , 1 . Khi đó, 1 6 . 7 Hươngd dẫn giải 5 B. − . 7 C. 3 + 4 += −1 17 . 2 2 ∫ f ( x ) dx 1 bằng 16 D. . 7 Chọn B 2 2 1 1 Đặt a = ∫ f ( x ) dx , b = ∫ 2 Vậy ∫ f ( x ) dx = 1 5  a= −  3 a + 2 b = 1   7 f ( x ) dx , ta có hệ phương trình  ⇔ 2a − b =−3 b = 11  7 5 − . 7 Câu 57: Cho f ( x ) , g ( x ) là hai hàm số liên tục trên đoạn [ −1;1] và f ( x ) là hàm số chẵn, g ( x ) là 1 hàm số lẻ. Biết ∫ 0 1 f ( x ) dx = 5 ; ∫ g ( x ) dx = 7 . Mệnh đề nào sau đây là sai? 0 1 A. ∫ f ( x ) dx = 10 . 1 B. −1 1 C. 10 . ∫  f ( x ) + g ( x ) dx = −1 1 10 . ∫  f ( x ) − g ( x ) dx = −1 D. ∫ g ( x ) dx = 14 . −1 Hươngd dẫn giải Chọn D Vì f ( x ) là hàm số chẵn nên 1 ∫ −1 Vì g ( x ) là hàm số lẻ nên 1 f ( x ) dx = 2 ∫ f ( x ) dx = 2.5 = 10 . 0 1 ∫ g ( x ) dx = 0 . −1 1 1 −1 −1 ⇒ ∫  f ( x ) + g ( x )  dx = 10 và ∫  f ( x ) − g ( x )  dx = 10 . Vậy đáp án D sai.
Trang chủ
Câu 58: Cho f ( x ) , g ( x ) là hai hàm số liên tục trên đoạn [ −1;1] và f ( x ) là hàm số chẵn, g ( x ) là 1 hàm số lẻ. Biết 1 ∫ f ( x ) dx = 5 ; ∫ g ( x ) dx = 7 . Mệnh đề nào sau đây là sai? 0 0 1 1 A. ∫ f ( x ) dx = 10 . B. C. 10 . ∫  f ( x ) + g ( x ) dx = −1 −1 1 1 10 . ∫  f ( x ) − g ( x ) dx = D. ∫ g ( x ) dx = 14 . −1 −1 Hươngd dẫn giải Chọn D Vì f ( x ) là hàm số chẵn nên 1 1 ∫ −1 f ( x ) d= x 2 ∫ f ( x ) d= x 2.5 = 10 . 0 1 ∫ g ( x ) dx = 0 . Vì g ( x ) là hàm số lẻ nên −1 1 1 ⇒ ∫  f ( x ) + g ( x )  dx = 10 . 10 và ∫  f ( x ) − g ( x )  dx = −1 8 −1 10 Câu 59: Nếu A. −15 . f ( z ) dz = 17 ∫ ∫ 10 f ( t ) dt = 12 và B. 29 . thì 0 0 ∫ −3 f ( x ) dx 8 bằng C. 15 . Hươngd dẫn giải D. 5 . Chọn A 10 10 0  I= −3 ∫ f ( x ) dx = −3  ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx  = −3 ( −12 + 17 ) = −15 . 8 0 8  2 Câu 60: Cho A. 11 . f ( x ) dx = 2 ∫ −1 7 ∫ 7 f ( t ) dt = 9 , −1 B. 5 . . Giá trị của ∫ f ( z ) dz 2 là C. 7 . Hươngd dẫn giải D. 9 . Chọn C 7 Ta có ∫ f ( t ) dt = −1 7 ∫ f ( x ) dx và −1 7 ∫ 2 7 7 2 −1 f ( z ) dz = ∫ f ( x ) dx nên ∫= f ( x ) dx 2 ∫ −1 7 f ( x ) dx + ∫ f ( x ) d x . 2 7 Vậy ∫ f ( z ) dz = 7 . 2 Câu 61: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục, luôn dương trên [ 0;3] và thỏa mãn I = 3 f ( x ) dx ∫= 4 . Khi 0 đó giá trị của tích= phân K ∫ (e 3 1+ ln ( f ( x ) ) ) + 4 dx là: 0 A. 4 + 12e . Chọn B 3 B. 12 + 4e . ( 1+ ln ( f ( x ) ) Ta có K = ∫e 0 ) 3 1+ ln ( f ( x ) ) + 4 dx = ∫e 0 C. 3e + 14 . Hươngd dẫn giải 3 3 3 0 0 0 dx + ∫ 4dx = e.∫ f ( x ) dx + ∫ 4dx = 4e + 4 x| = 4e + 12 . 3 0 Vậy K= 4e + 12 . Câu 62: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên  thỏa
Trang chủ
D. 14 + 3e . ′ ( 0 ) 1; f ( 0 ) f=  = .  ) f ( x ) + f ( y ) + 3xy ( x + y ) − 1, ∀x,y ∈   f ( x + y = 1 Tính ∫ f ( x − 1)dx . 0 1 A. . 2 1 B. − . 4 1 . 4 Hươngd dẫn giải C. D. 7 . 4 Chọn C Lấy đạo hàm theo hàm số y f ′ ( x + y= ) f ′ ( y ) + 3x 2 + 6 xy , ∀x ∈  . Cho y = 0 ⇒ f ′( x) = f ′ ( 0 ) + 3x 2 ⇒ f ′ ( x ) = 1 + 3x 2 Vậy f ( x ) = 1 ∫ 0 ∫ f ′ ( x )dx = 1 suy ra f ( x ) = x3 + x + 1 . x3 + x + C mà f ( 0 ) = 1 ⇒ C = 0  x4 x2  1 1 1 f ( x − 1)dx = ∫−1 f ( x )dx = −∫1 ( x + x + 1)dx =  4 + 2 + x  =− 4 − 2 + 1 = 4 . −1 0 0 3 Câu 63: Cho hàm số f ( x ) là hàm bậc nhất thỏa mãn 1 10 và 2 f (1) − f ( 0 ) = 2. ∫ ( x + 1) f ′ ( x ) dx = 0 Tính I = ∫ f ( x ) dx . 1 A. I = 1 . 0 B. I = 8 . D. I = −8 . C. I = −12 . Hươngd dẫn giải Chọn D Gọi f ( x= a. ) ax + b , ( a ≠ 0 ) ⇒ f ′ ( x ) = Theo giả thiết ta có: +) 1 1 1 0 0 0 10 3 10 ⇔ ∫ ( x + 1) dx =⇔ = 10 ⇔ a ∫ ( x + 1) dx = ∫ ( x + 1) f ′ ( x ) dx = a 2 34  20  +) 2 f (1) − f ( 0 ) = 2 ⇔ 2.  + b  − b = 2 ⇔ b =− . 3  3  20 34 Do đó, f = x− . ( x) 3 3 1 1  20 34  Vậy I = ∫ f ( x ) dx = −8 . ∫0  3 x − 3  dx = 0 f x  {0} Câu 64: Cho hàm số ( ) xác định trên , thỏa mãn f ′ ( x ) = f ( −2 ) = b f −1 + f ( 2 ) . Tính ( ) . A. f ( −1) + f ( 2 ) =−a − b . 10 20 . ⇒a= a 3 1 f 1 =a , ( ) và 5 x +x 3 B. f ( −1) + f ( 2 ) = a − b . C. f ( −1) + f ( 2 ) = a + b . D. f ( −1) + f ( 2 ) = b − a . Hươngd dẫn giải Chọn C 1 1 Ta có f ′ ( − x ) = 3 = − 3 = − f ′ ( x ) nên f ′ ( x ) là hàm lẻ. 5 x + x5 (−x) + (−x) Do đó 2 −1 2 −2 −2 1 − ∫ f ′ ( x ) dx . 0 ⇔ ∫ f ′ ( x ) dx = ∫ f ′ ( x ) dx =
Trang chủ
Suy ra f ( −1) − f ( −2 ) =− f ( 2 ) + f (1) ⇒ f ( −1) + f ( 2 ) =f ( −2 ) + f (1) =a + b . Câu 65: Cho hàm số f ( x) xác định trên  {0} và thỏa mãn f ′ ( x ) = 1 f 1 =a , ( ) , 4 x +x 2 f ( −2 ) = b f −1 − f ( 2 ) . Giá trị của biểu thức ( ) bằng A. b − a . B. a + b . C. a − b . Hươngd dẫn giải Chọn A 1 1 Ta có f ′ ( − x ) = 2 = 2 = f ′ ( x ) nên f ′ ( x ) là hàm chẵn. 4 ( − x ) + ( − x ) x + x4 Do đó −1 ∫ −2 D. −a − b . 2 f ′ ( x ) dx = ∫ f ′ ( x ) dx . 1 Suy ra f ( −1) − f ( 2 ) = f ( −1) − f ( −2 ) + f ( −2 ) − f (1) + f (1) − f ( 2 ) = −1 2 −2 1 ∫ f ′ ( x ) dx + b − a − ∫ f ′ ( x ) dx= b−a. Câu 66: Cho hàm số y = f ( x ) xác định và liên tục trên  thỏa mãn đồng thời các điều kiện 1 . Tính giá trị của f ( ln 2 ) . 2 2 2 1 B. f ( ln 2 ) = − . C. f ( ln 2 ) = . D. f ( ln 2 ) = . 3 9 3 Hươngd dẫn giải f ( x ) > 0 , ∀x ∈  ; f ′ ( x ) = −e x . f 2 ( x ) , ∀x ∈  và f ( 0 ) = A. f ( ln 2 ) = 2 . 9 Chọn D f ′ ( x ) = −e x . f 2 ( x ) ⇔ ln 2 ln 2 1 ln 2 f ′( x) df ( x ) f ′( x) x x ⇔ = − x x = − e ⇔ = −e x d e d 2 2 2 ∫ ∫ ∫ 0 f ( x) f ( x) f ( x) 0 0 0 ln 2 1 1 1 1 1 . = 3 ⇔ f ( ln 2 ) = 1⇔ − = ⇔− = −1 ⇔ f ( ln 2 ) f ( ln 2 ) f ( 0 ) 3 f ( x) 0 Câu 67: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị ( C ) , xác định và liên tục trên  thỏa mãn đồng thời các ( x. f ( x ) ) điều kiện f ( x ) > 0 ∀x ∈ = , f ′( x) 2 , ∀x ∈  và f ( 0 ) = 2 . Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 1 của đồ thị ( C ) là. A. = B. y = C.= D. y = −36 x + 42 . y 6 x + 30 . −6 x + 30 . y 36 x − 30 . Hươngd dẫn giải Chọn C 1 1 1 1 1 df ( x ) x3 f ′( x) f ′( x) 2 1 1 2 2 f ′ ( x ) = ( x. f ( x ) ) ⇔ 2 = dx = x dx ⇔ ∫ 2 x ⇔∫ 2 = ⇔− = ∫ f ( x) 3 0 f ( x) f ( x) f ( x) 0 3 0 0 0 ⇔ 1 1 1 1 1 − = − ⇔ = ⇔ f (1) = 6. f (1) f ( 0 ) 3 f (1) 6 f ′ (1) (1. f (1) ) 36 . = = Vậy phương trình tiếp tuyến cần lập là= y 36 x − 30 . Câu 68: Cho hàm số = y f ( x ) > 0 xác định, có đạo hàm trên đoạn [ 0;1] và thỏa mãn: 2 x g ( x ) = 1 + 2018∫ f ( t ) dt , g ( x ) = f 0
Trang chủ
1 2 ( x ) . Tính ∫ 0 g ( x ) dx . A. 1011 . 2 1009 . 2 B. 2019 . 2 Hươngd dẫn giải D. 505 . C. Chọn A x x ) 2018 f (= x ) 2018 g ( x ) Ta có g ( x ) = 1 + 2018∫ f ( t ) dt ⇒ g ′ (= g′( x) ⇒ g ( x) ⇒2 ( 0 t 2018 ⇒ ∫ = ) g′( x) g ( x) 0 t dx = 2018∫ dx ⇒ 2 ( g ( x) ) 0 t 0 = 2018 x 0 t g (t ) −1 = 2018t (do g ( 0 ) = 1 ) ⇒ g ( t ) =1009t + 1 1 ⇒∫ 0 1 1009 2  1011 . g (t= t + t= )dt   2  2 0 y = f ( x) −1;1] f x > 0, ∀x ∈  Câu 69: Cho hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn [ , thỏa mãn ( ) f ‘ x + 2 f ( x) = 0 f 1 =1 f −1 và ( ) . Biết ( ) , tính ( ) . A. f ( −1) = B. f ( −1) = C. f ( −1) = D. f ( −1) = e3 . 3. e −2 . e4 . Hươngd dẫn giải Chọn C Biến đổi: f ‘ ( x ) + 2 f ( x ) =0 ⇔ ln 1 1 1 f ‘( x) f ‘( x) df ( x ) =−2 ⇔ ∫ dx =∫ −2dx ⇔ ∫ =−4 ⇔ ln f ( x ) f ( x) f ( x) f ( x) −1 −1 −1 1 −1 =−4 f (1) f (1) =−4 ⇔ =e −4 ⇔ f ( −1) =f (1) .e 4 =e 4 . f ( −1) f ( −1) Câu 70: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ 0;1] đồng thời thỏa mãn f ′ ( 0 ) = 9 và = T f (1) − f ( 0 ) . 9 f ′′ ( x ) +  f ′ ( x ) − x  = 9 . Tính 2 A. T= 2 + 9 ln 2 . B. T = 9 . C. T= Hươngd dẫn giải 1 + 9 ln 2 . 2 Chọn C Ta có 9 f ′′ ( x ) +  f ′ ( x ) − x  = 9 ⇒ 9 ( f ′′ ( x ) − 1) = −  f ′ ( x ) − x  ⇒ − 2 2 f ′′ ( x ) − 1 D. T= 2 − 9 ln 2 . f ′′ ( x ) − 1 1 = . 9  f ′ ( x ) − x  2 x 1 1 = +C . dx = dx ⇒ ∫ f ′( x) − x 9 9  f ‘ ( x ) − x  9 1 9 Do f ′ ( 0 ) = 9 nên C = suy ra f ′ ( x ) − x = ⇒ f ′( x) = +x x +1 x +1 9 Lấy nguyên hàm hai vế − ∫ 2 1  1 x2   9  Vậy T = f (1) − f ( 0 ) = ∫  dx  9 ln x + 1 + = + x = 9 ln 2 + .  x +1 2 2 0   0 f 2 ( 2) y = f ( x) f ‘ x . f x= x 4 + x 2 f 0 =2 Câu 71: Cho hàm số thỏa mãn ( ) ( ) . Biết ( ) . Tính . 313 332 324 323 A. f 2 ( 2 ) = . B. f 2 ( 2 ) = . C. f 2 ( 2 ) = . D. f 2 ( 2 ) = . 15 15 15 15 Hươngd dẫn giải 1
Trang chủ
Chọn B Ta có 2 2 2 f ‘ ( x ) . f ( x ) = x 4 + x 2 ⇒ ∫ f ‘ ( x ) . f ( x ) dx = ∫ ( x 4 + x 2 ) dx ⇔ ∫ f ( x ) df ( x ) = 0 f 2 0 0 f 2 ( x) 136 ⇔ 15 2 2 0 = 136 15 ( 2) − 4 = 136 ⇔ 332 f 2 ( 2) = . 2 15 15 Câu 72: Cho f ( x) xác định, có đạo hàm, liên tục và đồng biến trên [1; 4] thỏa mãn 2 3 2 xf ( x )  f ′ ( x )  , ∀x ∈ [1; 4= x += ] , f (1) . Giá trị f ( 4 ) bằng: 2 391 361 381 371 A. B. C. D. 18 18 18 18 Hươngd dẫn giải Chọn A Biến đổi: 2  f ′ ( x )  f ′( x) 2 2 = x⇒ = x. x + 2 xf ( x ) =  f ′ ( x )  ⇔  f ′ ( x )  ⇔ x (1 + 2 f ( x ) ) = 1+ 2 f ( x) 1+ 2 f ( x) f ′( x) 4 4 4 14 14 391 . dx = xdx ⇔ 1 + 2 f x = ⇔ 1 + 2 f ( 4) − 2 = ⇔ f ( 4) = ( ) ∫ 1 3 3 18 1+ 2 f ( x) 1 ⇒∫ 1 Chọn A f ′( x) 4 ∫ Chú ý: Nếu không nhìn được ra luôn = I 1+ 2 f ( x) 1 dx = 1+ 2 f ( x) 4 = 1 + 2 f ( 4 ) − 2 thì ta có 1 thể sử dụng kỹ thuật vi phân hoặc đổi biến (bản chất là một). 4 4 4 1 4 f ‘( x) df ( x ) − 1 + Vi phân: ∫ dx = ∫ = 1 + 2 f x 1+ 2 f ( x) . ( ) ) 2 d (1 + 2 f ( x ) ) = ( ∫ 1 21 1+ 2 f ( x) 1+ 2 f ( x) 1 1 1 + 2 f ( x ) ⇒ t 2 =1 + 2 f ( x ) ⇔ tdt = f ′ ( x ) dx t + Đổi biến: Đặt = với x = 1 ⇒ t = 1 + 2 f (1) = 2; x = 4 ⇒ t = 1+ 2 f ( 4 ) Khi đó I = 1+ 2 f ( 4 ) tdt = ∫2 t Câu 73: Cho hàm số ∫ dt = t 2 2 y = f ( x) có 3 f ( x ) + f ′ ( x ) =+ 1 3.e 1 A. e3 f (1) − f ( 0 )= C. e f (1) − f ( 0 ) 3 e +3 2 ( e + 3) = 2 1+ 2 f ( 4 ) f ′( x) −2 x e2 + 3 − 8 3 = 1 + 2 f ( 4) − 2 . liên tục trên nửa khoảng [0; +∞ ) thỏa mãn . Khi đó: 1 . 2 − 1 + 2 f ( 4) . . B. e3 f (1) − f ( 0= ) 1 1 − . 2 e +3 4 D. e3 f (1) − f ( 0 )= (e 2 2 + 3) e 2 + 3 − 8 . Hươngd dẫn giải Chọn C e2 x + 3 −2 x ′ ⇒ 3e3 x f ( x ) + e3 x f ′ ( x ) =e 2 x e 2 x + 3 . Ta có: 3 f ( x ) + f ( x ) =+ 1 3.e = x e ⇔ e3 x f ( x ) ′ = e2 x e2 x + 3 .
Trang chủ
Lấy tích phân từ 0 đến 1 hai vế ta được 1 3x ( x )′ dx ∫ e f = 0 ( 1 1 ⇔ e3 x f ( x )  = e 2 x + 3 0 3 ) 31 ⇔ e f (1) − f ( 0 ) 3 1 ∫e 2x e 2 x + 3 dx 0 ( e + 3) = e2 + 3 − 8 2 3 0 . Câu 74: Cho hàm số f liên tục, f ( x ) > −1 , f ( 0 ) = 0 và thỏa f ′ ( x ) = x 2 + 1 2 x f ( x ) + 1 . Tính f ( 3) . A. 0 . B. 3 . C. 7 . Hươngd dẫn giải Chọn B Ta có f ′ ( x ) = x2 + 1 2x f ( x ) + 1 ⇔ f ′( x) 3 ⇔ ∫ f ( x) +1 0 ⇔ f 3 dx = ( 3 ) +1 − ∫ 0 2x x2 + 1 f ( x) +1 dx ⇔ f ( 0) + 1 = 1 ⇔ f ′( x) = f ( x) +1 f 3 D. 9 . 2x x2 + 1 = 3 x2 + 1 0 ⇔ 0 f ( x) +1 3 =1 0 ( 3 ) +1 = 2 ⇔ f ( 3 ) = 3 . 1 và f ( 0 ) = − . Biết rằng 2 a a tổng f (1) + f ( 2 ) + f ( 3) + … + f ( 2017 ) + f ( 2018 ) = với ( a ∈ , b ∈ * ) và là phân b b số tối giản. Mệnh đề nào sau đây đúng? a a 3029 . 1010 . A. < −1 . B. > 1 . C. a + b = D. b − a = b b Hươngd dẫn giải Chọn D f ′( x) Ta có f ′ (= = 2x + 3 x ) ( 2 x + 3) f 2 ( x ) ⇔ 2 f ( x) Câu 75: Cho hàm số f ( x ) ≠ 0 thỏa mãn điều kiện f ′ (= x) ⇔∫ ( 2 x + 3) f 2 ( x ) f ′( x) 1 = x 2 + 3x + C . dx = ( 2 x + 3) dx ⇔ − ∫ f ( x) f ( x) 1 Vì f ( 0 ) = − ⇒C = 2. 2 1 1 1 − = − Vậy f ( x ) = . ( x + 1)( x + 2 ) x + 2 x + 1 1 1 1009 Do đó f (1) + f ( 2 ) + f ( 3) + … + f ( 2017 ) + f ( 2018 ) = . − = − 2020 2 2020 3029 . Vậy a = −1009 ; b = 2020 . Do đó b − a = ax + b Câu 76: Biết luôn có hai số a và b để F ( x ) = ( 4a − b ≠ 0 ) là nguyên hàm của hàm số f ( x ) x+4 2 và thỏa mãn: 2 f= ( x )  F ( x ) − 1 f ′ ( x ) . Khẳng định nào dưới đây đúng và đầy đủ nhất? A. a = 1 , b = 4 . B. a = 1 , b = −1 . C. a = 1 , b ∈  {4} . Hươngd dẫn giải Chọn C
Trang chủ
D. a ∈  , b ∈  . Ta có F ( x ) = ax + b ′( x) là nguyên hàm của f ( x ) nên = f ( x ) F= x+4 Do đó: 2 f= ( x) 2 ( F ( x ) − 1) f ′ ( x ) ⇔ 2 ( 4a − b ) 2 ( x + 4) 2 và f ′ ( x ) = 2b − 8a ( x + 4)  ax + b  2b − 8a = − 1  3  x+4  ( x + 4) ( x + 4) ⇔ 4a − b =− ( ax + b − x − 4 ) ⇔ ( x + 4 )(1 − a ) = 0 ⇔ a = 1 (do 4 4a − b x+4≠0) Với a = 1 mà 4a − b ≠ 0 nên b ≠ 4 . Vậy a = 1 , b ∈  {4} . Chú ý: Ta có thể làm trắc nghiệm như sau: + Vì 4a − b ≠ 0 nên loại được ngay phương án A: a = 1 , b = 4 và phương án D: a ∈  , b ∈  . + Để kiểm tra hai phương án còn lại, ta lấy b = 0 , a = 1 . Khi đó, ta có x 8 4 , f ( x) = , f ′( x) = − . F ( x) = 3 2 x+4 ( x + 4) ( x + 4) 2 Thay vào 2 f= ( x) Chọn C ( F ( x ) − 1) f ′ ( x ) thấy đúng nên y = f ( x) 1; 2 f 1 =4 Câu 77: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên [ ] thỏa mãn ( ) và 3 2 f ( x= ) xf ′ ( x ) − 2 x − 3x . Tính f ( 2 ) B. 20 . C. 10 . D. 15 . A. 5 . Hươngd dẫn giải Chọn B xf ′ ( x ) − f ( x )  f ( x ) ′ Do x ∈ [1; 2] nên f ( x ) = xf ′ ( x ) − 2 x3 − 3 x 2 ⇔ 2 3 x = + ⇔   = 2x + 3 x2 x   f ( x) ⇔ = x 2 + 3x + C . x Do f (1) = 4 nên C = 0 ⇒ f ( x= ) x3 + 3x 2 . Vậy f ( 2 ) = 20 . x  π π trên  − ;  và F ( x ) là một nguyên hàm của xf ′ ( x ) thỏa mãn 2 cos x  2 2  π π F ( 0 ) = 0 . Biết a ∈  − ;  thỏa mãn tan a = 3 . Tính F ( a ) − 10a 2 + 3a .  2 2 1 1 1 A. − ln10 . B. − ln10 . C. ln10 . D. ln10 . 2 4 2 Hươngd dẫn giải Chọn C Ta có: F ( x ) = ∫ xf ′ ( x ) dx = ∫ xd f= ( x ) xf ( x ) − ∫ f ( x ) dx Câu 78: Cho f ( x ) = Ta lại có: x ∫ f ( x ) dx = ∫ cos 2 x dx = ∫ xd ( tan = x ) x tan x − ∫ tan= xdx x tan x − ∫ sin x dx cos x 1 d ( cos x ) =x tan x + ln cos x + C ⇒ F ( x ) = xf ( x ) − x tan x − ln cos x + C cos x 0 , do đó: F ( x ) = xf ( x ) − x tan x − ln cos x . Lại có: F ( 0 ) = 0 ⇒ C = = x tan x + ∫ ⇒ F ( a ) = af ( a ) − a tan a − ln cos a
Trang chủ
3 . Khi đó f ( a ) = 1 a 1 = 1 + tan 2 a = 10 ⇔ cos 2 a = = a (1 + tan 2 a ) = 10a và 2 2 cos a 10 cos a 1 ⇔ cos a = . 10 1 1 − 10a 2 + 3a = ln10 . 2 10 Câu 79: Cho hàm số y = f ( x ) xác định và liên tục trên  thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau Vậy F ( a ) − 10a 2 + 3a= 10a 2 − 3a − ln f ( x ) > 0 , ∀x ∈  , f ′ ( x ) = −e x . f 2 ( x ) ∀x ∈  và f ( 0 ) = 1 . Phương trình tiếp tuyến của 2 đồ thị tại điểm có hoành độ x0 = ln 2 là A. 2 x + 9 y − 2 ln 2 − 3 = B. 2 x − 9 y − 2 ln 2 + 3 = 0. 0. C. 2 x − 9 y + 2 ln 2 − 3 = D. 2 x + 9 y + 2 ln 2 − 3 = 0. 0. Hươngd dẫn giải Chọn A ln 2 ln 2 ln 2  f ′( x)   1  f ′( x) x x Ta có f ′ ( x ) = −e . f ( x ) ⇔ − 2 =e x ⇒ ∫  − 2 d x = e d x e ⇒ = ( )    ∫0  f ( x)  0 f ( x) f ( x)  0   0 1 1 1 . ⇒ − = 1 ⇒ f ( ln 2 ) = f ( ln 2 ) f ( 0 ) 3 ln 2 x 2 2 2 1 Từ đó ta có f ′ ( ln 2 ) = −eln 2 f 2 ( ln 2 ) = −2.   = − . 9 3 2 1 Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = − ( x − ln 2 ) + ⇔ 2 x + 9 y − 2 ln 2 − 3 = 0. 9 3 Câu 80: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ 0;1] , f ( x ) và f ′ ( x ) đều nhận giá trị dương trên đoạn [ 0;1] và thỏa mãn f ( 0 ) = 2 , 1 1 2 2 ∫ f ′ ( x ) . f ( x ) dx . Tính ∫0  f ′ ( x ) .  f ( x ) + 1 dx = 0 A. 15 . 4 B. 15 . 2 1 ∫  f ( x ) 3 dx . 0 17 . 2 Hươngd dẫn giải C. D. 19 . 2 Chọn D 1 1 2 Theo giả thiết, ta có ∫  f ′ ( x ) .  f ( x )  + 1 dx = 2 ∫ f ′ ( x ) . f ( x ) dx   0 0 1 1 2 ⇔ ∫  f ′ ( x ) .  f ( x )  + 1 dx − 2 ∫   0 0 f ′ ( x ) . f ( x ) dx = 0 1 1 2 2 0 0 ⇔ ∫  f ′ ( x ) . f ( x ) − 1 dx = ⇔ ∫  f ′ ( x ) .  f ( x )  − 2 f ′ ( x ) . f ( x ) + 1 dx =     0 0 f 3 ( x) 8 f ′ ( x ) . f ( x ) − 1 =0 ⇒ f 2 ( x ) . f ′ ( x ) = 1⇒ = x + C . Mà f ( 0 ) =2 ⇒ C = . 3 3 Vậy f 3 ( x= . 3 x + 8 ) ⇒ 1  3x 2  19 Vậy ∫  f ( x )  dx = ∫ ( 3 x + 8 )dx =  . + 8x  = 2 2   0 0 0 1 3
Trang chủ
1 Câu 81: Cho f ( x) không âm thỏa mãn điều kiện f = ( x). f ‘( x) 2 x f 2 ( x) + 1 và f (0) = 0 . Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = f ( x) trên [1;3] là B. 4 11 + 3 A. 22 D. 3 11 + 3 C. 20 + 2 Hươngd dẫn giải Chọn D Biến đổi: f ( x). f ‘( x) = 2 x f 2 ( x) + 1 ⇔ Với f (0) = 0 ⇒ C = 1 ⇒ f ( x). f ‘( x) f ( x) + 1 2 f ( x). f ‘( x) = 2x ⇒ ∫ f ( x) + 1 2 dx = ∫ 2 xdx ⇔ f 2 ( x) + 1 = x 2 + C f 2 ( x) + 1 = x 2 + 1 ⇒ f 2 ( x) = x 4 + 2 x 2 = g ( x) Ta có: g ‘( x= ) 4 x 3 + 4 x > 0, ∀x ∈ [1;3] . Suy ra g ( x) đồng biến trên [1;3] f ( x )≥0 Suy ra: g (1) ≤= g ( x) f 2 ( x) ≤ g ( 3) ⇒ 3 ≤ f 2 ( x) ≤ 99  → 3 ≤ f ( x) ≤ 3 11 min f ( x) = 3  [1;3] ⇒  Max f ( x) = 3 11  3 Chú ý: Nếu không tìm được ra luôn ∫ f ( x). f ‘( x) = dx f 2 ( x) + 1 f 2 ( x) + 1 + C thì ta có thể sử dụng kĩ thuật vi phân hoặc đổi biến (bản chất là một) −1 f ( x). f ‘( x) f ( x) 1 2 2 +) Vi phân: ∫ dx ∫ d ( f= ( x) ) f ( x ) 1 d ( f 2 ( x)= = + + 1) ( ) ∫ 2 2 2 f ( x) + 1 f ( x) + 1 f 2 ( x) + 1 + C + Đổi biến: Đặt = t f 2 ( x) + 1 ⇒= t 2 f 2 ( x) + 1 ⇒ = tdt f ( x) f ‘( x)dx f ( x). f ‘( x) tdt Suy ra: ∫ = ∫ dt = t + C = f 2 ( x) + 1 + C dx =∫ 2 t f ( x) + 1 Câu 82: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm và đồng biến trên  thỏa mãn f ( 0 ) = 1 và ( x )) ( f ′= e f ( x ) , ∀x ∈  . Tính tích phân 2 x 1 ∫ f ( x ) dx bằng 0 B. e − 1 . A. e − 2 . Chọn B Biến đổi ( f ′ ( x ) ) = e f ( x ) 2 x C. e 2 − 2 . Hươngd dẫn giải ( f ′ ( x )) ⇔ f ( x) x 1 2 D. e 2 − 1 . f ′( x) f ′( x) = ex ⇔ = ex ⇒ ∫ dx = e x dx ∫ f ( x) f ( x) x ⇔ ∫ ( f ( x ) ) 2 df ( x ) = 2e 2 C ∫ e 2 dx ⇔ 2 f ( x ) =+ − Vì f ( 0 ) =1 ⇒ C =0 ⇒ 1 Suy ra 1 1 ∫ f ( x ) dx= ∫ edx= 0 x f ( x) = e2 ⇔ f ( x) = ex 0 e = e −1 x 0 y = f ( x)  {0} Câu 83: Cho hàm số xác định và liên tục trên thỏa mãn 2 2 x f ( x ) + ( 2 x − 1) f ( x= ) xf ′ ( x ) − 1 với ∀x ∈  {0} và f (1) = −2 . Tính 2 ∫ f ( x ) dx . 1
Trang chủ
1 A. − − ln 2 . 2 3 B. − − ln 2 . 2 C. −1 − Hươngd dẫn giải ln 2 . 2 3 ln 2 D. − − . 2 2 Chọn A Ta có x 2 f 2 ( x ) + ( 2 x − 1) f ( x= ) xf ′ ( x ) − 1 ⇔ ( xf ( x ) + 1) = f ( x ) + xf ′ ( x )(*) 2 Đặt h= ( x ) f ( x ) + xf ′ ( x ) ⇒ h′ ( x ) = f ( x ) + xf ′ ( x ) , khi đó (*) có dạng h 2 ( x ) = h′ ( x ) ⇒ h′ ( x ) dh ( x ) h′ ( x ) 1 = x+C 1dx ⇒ ∫ 2 dx = x+C ⇔ − = 1 ⇒∫ 2 = 2 ∫ h ( x) h ( x) h ( x) h ( x) 1 1 ⇒ h ( x) = − ⇒ xf ( x ) + 1 =− x+C x+C 1 ⇒C = 0 Vì f (1) = −2 nên −2 + 1 =− 1+ C 1 1 1 Khi đó xf ( x ) + 1 =− ⇒ f ( x ) = − 2− x x x 2 2 2 1  1 1 1  Suy ra: ∫ f ( x ) dx = ∫  − 2 − dx=  − ln x  =− − ln 2 2 x x x 1 1 1 Câu 84: Cho hàm số y = f ( x ) . Có đạo hàm liên tục trên  . Biết f (1) = e và ( x + 2 ) f ( x ) =xf ′ ( x ) − x3 , ∀x ∈  . Tính f ( 2 ) . A. 4e 2 − 4e + 4 . B. 4e 2 − 2e + 1 . C. 2e3 − 2e + 2 . Hươngd dẫn giải D. 4e 2 + 4e − 4 . Chọn D  e − x f ( x ) ′ xf ′ ( x ) − ( x + 2 ) f ( x ) = 1 ⇔ Ta có: ( x + 2 ) f ( x ) =xf ′ ( x ) − x ⇔ e− x  = 2 x3 x   2 2  e − x f ( x ) ′ Suy ra ∫  d x = e − x dx  2 ∫ x 1  1  −2 −1 e f ( 2 ) e f (1) ⇔ − = − e −2 − e −1  2 2 2 1 −2 −1 e f ( 2 ) e f (1) e −1 − e −2 ⇔ − = 4 1 ⇔= f ( 2 ) 4 ef (1) + e − 1 = 4e 2 + 4e − 4 . 3 Câu 85: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ 0;1] và thỏa mãn f ( 0 ) = 0 . Biết 1 ∫ 0 A. 1 π 1 9 f ( x ) dx = và 2 ∫ 2 . 0 3π . Tích phân f ′ ( x ) cos dx = 2 4 B. πx 4 π . C. 6 π 1 ∫ f ( x ) dx bằng 0 . D. Hươngd dẫn giải Chọn C 1 Ta có ∫ f ′ ( x ) cos 0 = π 1 sin 2∫ 0 πx 2 πx πx .f ( x ) dx .
Trang chủ
πx 1 π πx dx = ∫ cos= d ( f ( x ) ) cos . f ( x ) + ∫ sin . f ( x ) dx 2 2 2 2 2 0 0 0 1 1 2 π . 1 Suy ra ∫ sin 0 πx 2 3 2 .f ( x ) dx = 1 1  πx Mặt khác= ∫0  sin 2  dx 2= ∫0 (1- cos π x ) dx 2 . 1 Do đó 1 2 1 1 πx f 2 ( x ) dx − 2 ∫ 3sin ∫ 0 0 π x  f ( x ) dx + ∫ 3sin dx = 0. 2 2  0  2 1 πx π x  hay ∫  f ( x ) − 3sin  dx = . 0 suy ra f ( x ) = 3sin 2 2  0  2 1 1 ∫ Vậy 0 πx πx 6 6 . − cos = f ( x ) dx = ∫0 3sin 2 dx = π 2 0 π 1 1 1 Câu 86: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn [ 0; 1] , thỏa mãn ∫= f ( x ) dx 0 1 ∫  f ( x ) dx = 4 . Giá trị của tích phân 2 0 ∫  f ( x ) 3 xf ( x ) dx ∫= 1 và 0 dx bằng 0 D. 80 . C. 10 . Hươngd dẫn giải B. 8 . A. 1 . 1 1 Chọn C 1 Xét 1  dx ∫  f ( x )  ∫  f ( x ) + ( ax + b )= 2 0 0 1 1 0 0 4 + 2a ∫ xf ( x ) dx + 2b ∫ f ( x ) dx + = 2 1 1 dx + 2 ∫  f ( x ) . ( ax + b )  dx + ∫ ( ax + b ) dx 2 0 0 1 2 a 1 3 ( ax + b ) =4 + 2 ( a + b ) + + ab + b 2 . 3 3a 0 a2 + ( 2 + b ) a + b 2 + 2b + 4 = 0 3 2 − (b − 2) 4 2 2 Ta có: ∆ = b + 4b + 4 − ( b += ≤ 0 ⇒ b =2 ⇒ a =−6 . 2b + 4 ) 3 3 Cần xác định a, b để 1 ∫  f ( x ) + ( −6 x + 2 ) Khi đó: 2 dx =0 ⇒ f ( x ) = 6x − 2 0 1 1 1 1 4 Suy ra ∫  f ( x ) = dx ∫ ( 6 x − 2 ) d x = ( 6 x − 2 ) = 10 . 24 0 0 0 3 3 Câu 87: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [1, 2] và thỏa mãn f ( x ) > 0 khi x ∈ [1, 2] . 2 Biết ∫ f ‘ ( x ) dx = 10 và B. f ( 2 ) = 20 . C. f ( 2 ) = 10 . Hươngd dẫn giải: 2 ∫ f ‘ ( x ) dx = f ( x ) 1 2 f ‘( x) ∫ f ( x ) dx =ln  f ( x ) 1
Trang chủ
f’ x 1 1 A. f ( 2 ) = −10 . Ta có: ( ) ∫ f ( x ) dx = ln 2 . Tính f ( 2 ) . 2 2 1 2 1 = f ( 2 ) − f (1) = 10 (gt) f ( 2) =ln  f ( 2 )  − ln  f (1)  =ln =ln 2 (gt) f (1) D. f ( 2 ) = −20 .  f ( 2 ) − f (1) = 10  f ( 2 ) = 20  Vậy ta có hệ:  f ( 2 ) ⇔  f 1 =2  f (1) = 10 ( )  Chọn B Câu 88: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm và liên tục trên đoạn [ 4;8] và f ( 0 ) ≠ 0 với ∀x ∈ [ 4;8] . Biết  f ′ ( x )  1 1 . Tính f ( 6 ) . rằng ∫  f ( 4) = , f (8) dx = 1 và= 4 4 2 f x  ( ) 4    2 8 A. 5 . 8 B. Chọn D 8 +) Xét ∫ 4 2 . 3 3 . 8 Hươngd dẫn giải C. D. 1 . 3 8  1 f ′( x) df ( x ) 1 8 1  dx = = − = −  − − ( 2 − 4) = 2.  = 2 2 ∫ f ( x) f ( x) f ( x) 4 f 8 f 4 ( ) ( ) 4    f ′( x)  +) Gọi k là một hằng số thực, ta sẽ tìm k để ∫  2 + k 0.  dx =  f ( x) 4  8 2 8 8 8  f ′ ( x )   f ′( x)  f ′( x) 2 2 2 . Ta có: ∫  2 + = + + =+ + = + k dx dx 2 k dx k dx 1 4 k 4 k 2 k 1 ( )  4 2 ∫ ∫ ∫  f ( x)  f ( x) f x  ( ) 4 4  4 4    2 2 8 8 6 6  f ′( x) 1  f ′( x) 1 f ′( x) 1 1 Suy ra: k = − thì ∫  2 − = ⇔ = ⇔ = dx 0 dx dx  ∫4 f 2 ( x )  f ( x) 2  2 f 2 ( x) 2 2 ∫4 4  6 df ( x ) 1 6 1 1 1 1 . 1⇔ − 1⇔ 1⇔ 4− 1 ⇔ f ( 6) = ⇔∫ 2 = = − = = 3 f ( x) f ( x) 4 f ( 4) f ( 6) f ( 6) 4 2 b b Chú ý: 0 ⇔ f ( x) = 0. ∫ f ( x ) dx = 0 không được phép suy ra f ( x ) = 0 , nhưng ∫ f ( x ) dx = 2k a a Câu 89: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm xác định, liên tục trên đoạn [ 0;1] đồng thời thỏa mãn các điều kiện f ′ ( 0 ) = −1 và  f ′ ( x )  = f ′′ ( x ) . Đặt= T f (1) − f ( 0 ) , hãy chọn khẳng định đúng? A. −2 ≤ T < −1 . B. −1 ≤ T < 0 . C. 0 ≤ T < 1 . D. 1 ≤ T < 2 . Hươngd dẫn giải Chọn A 2 1 Ta có:= T f (1) − f ( 0 ) = ∫ f ′ ( x ) dx 0  1 ′ Lại có:  f ′ ( x )  = f ′′ ( x ) ⇔ −1 = − ⇔ −1 =  2  f ′ ( x )   f ′( x)  1 1 ⇔ −x + c = ⇔ f ′( x) = . f ′( x) −x + c f ′′ ( x ) 2 Mà f ′ ( 0 ) = −1 nên c = −1 . 1 1 0 0 Vậy T = ∫ f ′ ( x ) dx = ∫ https://toanmath.com/ 1 1 dx =− ln − x − 1 0 = − ln 2 . −x −1  f ( x ) > 0, ∀ x ∈ ,  ′ ( 0 ) 1, Câu 90: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm cấp 2 liên tục trên  thoả  = . f ( 0 ) f=  2 2  xy + y′= yy′′, ∀ x ∈ . Mệnh đề nào sau đây đúng? 1 3 1 3 B. 0 < ln f (1) < . C. < ln f (1) < 2 . D. 1 < ln f (1) < . A. < ln f (1) < 1 . 2 2 2 2 Hươngd dẫn giải Chọn D f ′ ( x ) x2  y′ ′ y′′y − y′2 y′ x 2 yy′′ ⇔ Ta có xy 2 + y′2 = hay = +C . ⇔ = x ⇔ = + = x C   f ( x) 2 y2 y 2  y ′ ( 0) 1 ⇒ C = 1. Lại có = f ( 0 ) f= 1 1 1 f ′( x) f ′ ( x ) x2  x2  7 7 + dx = 1 d x Ta có . = +1 ⇔ ∫ ⇔ ln f x = ⇔ ln f (1) = ( ) ( )   ∫ 0 f ( x) 2 f ( x) 2 6 6  0 0 3 ⇒ 1 < ln ( f (1) ) < . 2 Câu 91: Cho f , g là hai hàm liên tục trên [1;3] thỏa mãn điều kiện 3 10 đồng ∫  f ( x ) + 3g ( x ) dx = 1 3 3 thời ∫  2 f ( x ) − g ( x )  dx = 6 . Tính ∫  f ( x ) + g ( x )  dx . 1 1 B. 6 . A. 9 . D. 8 . C. 7 . Hươngd dẫn giải Chọn B 3 3 1 1 Đặt a = ∫ f ( x ) dx , b = ∫ g ( x ) dx . Khi đó 3 10 , 10 ⇔ a + 3b = ∫  f ( x ) + 3g ( x ) dx = 1 3 6. 6 ⇔ 2a − b = ∫ 2 f ( x ) − g ( x ) dx = 1 10 a = 4 a + 3b = Do đó:  . Vậy ⇔ 6 b = 2  2a − b = 3 ∫  f ( x ) + g ( x ) dx = a + b = 6 . 1 Câu 92: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên [ a; b ] , nếu d ∫ f ( x ) dx = 5 và a a < d < b ) thì d ∫ f ( x ) dx = 2 (với b b ∫ f ( x ) dx bằng. a A. 3 . B. 7 . 5 . 2 Hươngd dẫn giải C. Chọn A d  ∫ f ( x ) dx = 5 b 5  F ( d ) − F ( a ) = a ⇒ F b − F a = 3 = ⇒ ( ) ( )  d ∫a f ( x ) dx . F d − F b = 2 ) ( ) (   f x dx = 2  ∫ ( ) b Câu 93: Cho f ( x ) và g ( x ) là hai hàm số liên tục trên đoạn [1;3] , thỏa mãn: https://toanmath.com/ D. 10 . 3 3 1 1 3 6 . Tính = I 10 và ∫  2 f ( x ) − g ( x )  dx = ∫  f ( x ) + 3g ( x ) dx = A. I = 8 . B. I = 9 . ∫  f ( x ) + g ( x ) dx 1 C. I = 6 . Hươngd dẫn giải D. I = 7 . Chọn C 3 3 10  ∫ f ( x ) dx = 4  ∫  f ( x ) + 3 g ( x )  dx = 3 1 1 Ta có:  3 = ⇒ I ∫  f ( x ) + g ( x )=  dx 6 . ⇒ 3 1   2 f x − g x  dx =  6 g x dx = 2 ( ) ∫ ( ) ∫  ( ) 1 1 Câu 94: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) liên tục trên đoạn [ 0;5] và đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) trên đoạn [ 0;5] được cho như hình bên. y 1 O 3 5 x −5 Tìm mệnh đề đúng A. f= ( 0 ) f ( 5 ) < f ( 3) . B. f ( 3) < f ( 0 ) = f ( 5) . C. f ( 3) < f ( 0 ) < f ( 5 ) . D. f ( 3) < f ( 5 ) < f ( 0 ) . Hươngd dẫn giải Chọn C 5 Ta có ∫ f ′ ( x ) dx = f ( 5) − f ( 3) > 0 , do đó f ( 5) > f ( 3) . 3 3 ∫ f ′ ( x ) dx = f ( 3) − f ( 0 ) < 0 , do đó f ( 3) < f ( 0 ) 0 5 ∫ f ′ ( x ) dx = f ( 5) − f ( 0 ) < 0 , do đó f ( 5) < f ( 0 ) 0 Câu 95: Cho hàm số f ( x ) liên tục và có đạo hàm tại mọi x ∈ ( 0; +∞ ) đồng thời thỏa mãn điều kiện: f ( x ) = x ( sin x + f ' ( x ) ) + cos x và 3π 2 ∫ f ( x ) sin xdx = −4. Khi đó, f (π ) nằm trong khoảng π 2 nào? A. ( 6;7 ) . B. ( 5; 6 ) . C. (12;13) . Hươngd dẫn giải D. (11;12 ) . Chọn B Ta có: f ( x ) = x ( sin x + f ′ ( x ) ) + cos x f ( x) 1  f ( x ) ′  1 f ( x ) − xf ′ ( x ) sin x cos x ′ ⇒ = ⇒ = cos x + c cos x ⇒ = +     x x x2 x x2   x  x https://toanmath.com/ ⇒ f ( x ) =cos x + cx Khi đó: 3π 2 ∫ f ( x ) sin xdx = −4 ⇔ −4 ∫ ( cos x + cx ) sin xdx = π π 2 ⇔ 3π 2 2 3π 2 3π 2 −4 ⇔ 0 + c ( −2 ) =−4 ⇔ c = 2 ∫ cos x sin xdx + c π∫ x sin xdx = π 2 2 ⇒ f ( x ) =cos x + 2 x ⇒ f (π )= 2π − 1 ∈ ( 5; 6 ) .  π Câu 96: Cho hàm số f ( x ) xác định trên 0;  thỏa mãn  2 π π 2 −π  2 π   . Tích phân ∫0  f ( x ) − 2 2 f ( x ) sin  x − 4  d x = 2 2 2 A. π 4 B. 0 . . ∫ f ( x) d x bằng 0 C. 1 . D. Hươngd dẫn giải π 2 . Chọn B π π π  π  π   Ta có: ∫ 2sin  x −  d x = 1 − cos  2 x −   d= x  ∫ 2  4   0  0 2 2 2 2 ∫ (1 − sin 2 x ) d x 0 π 1   2 π −2 . =  x + cos 2 x  = 2 2  0 π π Do đó: 2 π  2 π  2 −π π − 2   + f x − 2 2 f x sin x − d x 2sin 2  x −  d x = + =0 ( ) ( )   ∫ ∫0  4  4 2 2   0 2 π  π π    ⇔ ∫  f 2 ( x ) − 2 2 f ( x ) sin  x −  + 2sin 2  x −   d x = 0 4 4    0  2 π 2  π   ⇔ ∫  f ( x ) − 2 sin  x −   d x = 0 4   0  π  Suy ra f ( x ) − 2 sin  x −  = 0 , hay = f ( x) 4  2 π π 2 2 Bởi vậy: ∫= f ( x) d x ∫ 0 0 π  2 sin  x −  . 4  π π π2   2 sin  x −  d x = − 2 cos  x −  = 0. 4 4 0   Câu 97: Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên  thỏa mãn 3 f ( x ) + f ( 2 − x ) = 2 ( x − 1) e x 2 − 2 x +1 + 4 . Tính 2 tích phân I = ∫ f ( x ) dx ta được kết quả: 0 A. I = e + 4 . B. I = 8 . C. I = 2 . D. I = e + 2 . Đề ban đầu bị sai vì khi thay x = 0 và x = 2 vào ta thấy mâu thuẫn nên tôi đã sửa lại đề Hươngd dẫn giải Chọn C https://toanmath.com/ 2 Theo giả thuyết ta có ∫ 3 f ( x ) + f ( 2 − x ) dx= 0 2 2 0 0 ∫ 2 ( x − 1) e x 2 − 2 x +1 0 + 4  dx ( * ) .  2 −∫ f ( 2 − x ) d ( 2 − x ) = ∫ f ( 2 − x ) dx = ∫ f ( x ) dx . Ta tính 0 2 Vì vậy 2 2 4 ∫ f ( x ) dx . ∫ 3 f ( x ) + f ( 2 − x ) dx = 0 Hơn nữa 0 2 ∫ 2 ( x − 1) e 0 x 2 − 2 x +1 = dx 2 ∫e 0 2 2 0 0 2 d ( x − 2 x= + 1) e = 0 và ∫ 4dx = 8 . x 2 − 2 x +1 x 2 − 2 x +1 2 2 0 0 Câu 98: Suy ra 4 ∫ f ( x ) dx = 8 ⇔ ∫ f ( x ) dx = 2 . Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên  {0; − 1} thỏa mãn điều kiện f (1) = −2 ln 2 và x ( x + 1) . f ′ ( x ) + f ( x ) = x 2 + x . Giá trị f ( 2 )= a + b ln 3 , với a, b ∈  . Tính a 2 + b 2 . 25 9 A. . B. . 4 2 5 . 2 Hươngd dẫn giải C. D. 13 . 4 Chọn B Từ giả thiết, ta có x ( x + 1) . f ′ ( x ) + f ( x ) = x2 + x ⇔ x 1 x . f ′( x) + f ( x) = 2 x +1 x +1 ( x + 1) x  x ′ , với ∀x ∈  {0; − 1} . ⇔ . f ( x ) =  x +1  x +1 x x x Suy ra . f ( x) = ∫ . f ( x ) = x − ln x + 1 + C . dx hay x +1 x +1 x +1 x Mặt khác, ta có f (1) = −2 ln 2 nên C = −1 . Do đó . f ( x ) = x − ln x + 1 − 1 . x +1 2 3 3 3 3 Với x = 2 thì . f ( 2 ) = 1 − ln 3 ⇔ f ( 2 )= − ln 3 . Suy ra a = và b = − . 3 2 2 2 2 9 Vậy a 2 + b 2 =. 2 2 Câu 99: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên  và f ′ ( x ) ≥ x 4 + 2 − 2 x ∀x > 0 và f (1) = −1 . x Khẳng định nào sau đây đúng? A. Phương trình f ( x ) = 0 có 1 nghiệm trên ( 0;1) . B. Phương trình f ( x ) = 0 có đúng 3 nghiệm trên ( 0; +∞ ) . C. Phương trình f ( x ) = 0 có 1 nghiệm trên (1; 2 ) . C. Phương trình f ( x ) = 0 có 1 nghiệm trên ( 2;5 ) . Hươngd dẫn giải Chọn C x 6 − 2 x3 + 2 2 f ′ ( x ) ≥ x4 + 2 − 2x = = x2 x ⇒y= f ( x ) đồng biến trên ( 0; +∞ ) . (x 3 − 1) + 1 2 x2 > 0 , ∀x > 0 . ⇒ f ( x ) = 0 có nhiều nhất 1 nghiệm trên khoảng ( 0; +∞ ) (1) . Mặt khác ta có:
Trang chủ
2 21 2   − 2 x > 0 , ∀x > 0 ⇒ ∫ f ′ ( x ) dx ≥ ∫  x 4 + 2 − 2 x  dx = 2 x 5 x  1 1 17 21 ⇒ f ( 2) ≥ . ⇒ f ( 2 ) − f (1) ≥ 5 5 Kết hợp giả thiết ta có y = f ( x ) liên tục trên [1; 2] và f ( 2 ) . f (1) < 0 ( 2 ) . 2 f ′ ( x ) ≥ x4 + 2 Từ (1) và ( 2 ) suy ra phương trình f ( x ) = 0 có đúng 1 nghiệm trên khoảng (1; 2 ) . Câu 100: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) liên tục trên  và thỏa mãn f ′ ( x ) ∈ [ −1;1] với 2 ∀x ∈ ( 0; 2 ) . Biết f= ( 2 ) 1 . Đặt I = ∫ f ( x ) dx , phát biểu nào dưới đây đúng? ( 0 ) f= A. I ∈ ( −∞;0] . B. I ∈ ( 0;1] . 0 C. I ∈ [1; +∞ ) . Hươngd dẫn giải D. I ∈ ( 0;1) . Chọn C 2 Ta có I = 1 f ( x ) dx ∫= ∫ 0   1 ∫ 0 2 0 2 f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx . 1 1 1 1 0 2 0 2 0 2 1 1 1 f ( x ) dx = ( x − 1) f ( x ) 0 − ∫ ( x − 1) f ′ ( x ) dx = 1 + ∫ (1 − x ) f ′ ( x ) dx ≥ 1 − ∫ (1 − x ) dx = 1 1 (1) . 2 1 1 − ∫ ( x − 1) f ′ ( x ) dx ≥ 1 − ∫ (1 − x ) dx = ( 2 ) . ( x − 1) f ( x ) − ∫ ( x − 1) f ′ ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx = 2 2 1 1 1 1 Từ (1) và ( 2 ) suy ra I ≥ + = 1. 2 2 Câu 101: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên [ 0; 1] thỏa mãn 1 ∫ xf ( x ) dx = 0 và max f ( x ) = 1. Tích [0; 1] 0 1 phân I = ∫ e x f ( x ) dx thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây? 0 5  A.  −∞; −  . 4  3  B.  ; e − 1 . 2   5 3 C.  − ;  .  4 2 Hươngd dẫn giải D. ( e − 1; + ∞ ) . Chọn C 1 1 1 0 0 0 Với mọi a ∈ [ 0;1] , ta có 0 = ∫ xf ( x ) dx = a ∫ xf ( x ) dx = ∫ axf ( x ) dx Kí hiệu I = (a) 1 ∫ (e x − ax ) dx . 0 1 1 e x f ( x ) dx ∫= Khi đó, với mọi a ∈ [ 0;1] ta có 0 1 0 1 1 0 0 1 x dx ∫ e f ( x ) dx − ∫ axf ( x )= 0 1 ∫ (e x − ax ) f ( x ) dx 0 ≤ ∫ e x − ax . f ( x ) dx ≤ ∫ e x − ax .max f ( x ) dx =∫ e x − ax dx =I ( a ) . x∈[ 0;1] 0 1 Suy ra I (a) ∫ e f ( x ) dx ≤ min [ ] x 0 a∈ 0;1 Mặt khác 1 1 1 a a   Với mọi a ∈ [ 0;1] ta có I ( a ) =∫ e − ax dx =∫ ( e − ax ) d= x  e x − x 2  =e − − 1 2 2 0  0 0 x https://toanmath.com/ x min I ( a )= e − a∈[ 0;1] 1 3 3 ⇒ ∫ e x f ( x ) dx ≤ e − ≈ 1, 22 . 2 2 0  5 3 Vậy I ∈  − ;  .  4 2 Câu 102: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm dương, liên tục trên đoạn [ 0;1] thỏa mãn f ( 0 ) = 1 và 2 1  3∫  f ′ ( x )  f ( x )  +  dx ≤ 2 ∫ 9 0  0 3 5 A. . B. . 2 4 1 1 f ′ ( x ) f ( x ) dx . Tính tích phân 1 ∫  f ( x ) 3 dx : 0 5 . 6 Hươngd dẫn giải C. D. 7 . 6 Chọn D Từ giả thiết suy ra: 1 1  3 f ′ x f x 2 − 2.3 f ′ x f x + 1 dx ≤ 0 ⇔ 3 f ′ x f x − 1 2 dx ≤ 0 . ( ) ( ) ( ) ( ) ∫0  ( ) ( )  ∫0   1 1 Suy ra 3 f ′ ( x ) f ( x ) − 1 =0 ⇔ f ′ ( x ) f ( x ) = . ⇔ f ′( x). f 2 ( x) = 3 9 1 1 Vì  f 3 ( x ) ′ = 3. f 2 ( x ) f ′ ( x ) nên suy ra  f 3 ( x ) ′ = ⇒ f 3 ( x ) =x + C . 3 3 3 1. Vì f ( 0 ) = 1 nên f ( 0 ) = 1 ⇒ C = ( ) 1 Vậy ⇒ f 3 ( x ) =x + 1 . 3 1 Suy ra ∫  f ( x )  dx = 3 0 1 1  ∫  3 x + 1 dx = 0 7 . 6 Câu 103: Cho hai hàm số f ( x ) và g ( x ) có đạo hàm trên đoạn [1; 4] và thỏa mãn hệ thức 4 4  f (1) + g (1) = . Tính = I  f ( x ) + g ( x )  dx .  ∫ ′ ′ g x = − x . f x ; f x = − x . g x ( ) ( ) ( ) ( )  1 A. 8ln 2 . B. 3ln 2 . C. 6 ln 2 . D. 4 ln 2 . Hươngd dẫn giải Chọn A f ( x) + g ( x) 1 Cách 1: Ta có f ( x ) + g ( x ) = = − − x  f ′ ( x ) + g ′ ( x )  ⇔ f ′( x) + g′( x) x ⇔∫ f ( x) + g ( x) 1 dx = − ∫ dx ⇒ ln f ( x ) + g ( x ) = − ln x + C f ′( x) + g′( x) x ln 4 . Theo giả thiết ta có C − ln = 1 ln f (1) + g (1) ⇒ C = 4   f ( x) + g ( x) = 4 x Suy ra  , vì f (1) + g (1) = 4 nên f ( x ) + g ( x ) = 4 x  f ( x) + g ( x) = −  x 4 = ⇒I  dx ∫  f ( x ) + g ( x )= 8ln 2 . 1 Cách 2: Ta có f ( x ) + g ( x ) = − x  f ′ ( x ) + g ′ ( x )  ⇒ ∫  f ( x ) + g ( x )  dx = − ∫ x  f ′ ( x ) + g ′ ( x )  dx . https://toanmath.com/ ⇒ ∫  f ( x ) + g ( x )  dx = − x  f ( x ) + g ( x )  + ∫  f ( x ) + g ( x )  dx . ⇒ − x  f ( x ) + g ( x )  = C ⇒ f ( x ) + g ( x ) = − 4 C . Vì f (1) + g (1) =−C ⇒ C =−4 x 4 Do đó f ( x ) + g ( x ) = . Vậy I =∫  f ( x ) + g ( x )  dx =8ln 2 . x 1 https://toanmath.com/ DẠNG 3: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN BÀI TẬP TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 1 4 ∫ Câu 104: Cho f ( x ) dx = 16 . Tính 2 ∫ f ( 2 x ) dx 0 0 B. 4 . A. 16 . 6 2 0 0 C. 32 . D. 8 . C. 2 . D. 4 . ∫ f ( x ) dx = 12 thì ∫ f ( 3x ) dx bằng Câu 105: Nếu A. 6 . B. 36 . 5 2 ∫ f (x Câu 106: Cho 2 + 1) xdx = 2 . Khi đó I = ∫ f ( x )dx bằng: 2 1 A. 2 . C. −1 . B. 1 . D. 4 . Câu 107: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên  và thỏa mãn 1 ∫ f ( x ) dx = 9 . Tính tích phân −5 2 ∫  f (1 − 3x ) + 9 dx . 0 B. 21 . A. 27 . C. 15 . Câu 108: Biết f ( x ) làm hàm liên tục trên  và 4 0 1 ∫ f ( x ) dx = 9 . Khi đó giá trị của ∫ f ( 3x − 3) dx là B. 3 . A. 27 . D. 75 . 9 D. 24 . C. 0 . Câu 109: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên  thỏa 1 2 0 0 2 A. ∫ 0 5 x f   dx = . 2 2 2 B. ∫ 0 5 ∫ f ( x ) dx = 4 −1 Câu 110: Cho A. I = 2 . x ∫ f ( x ) dx = 10 . Tính ∫ f  2  dx . x f   dx = 20 . 2 2 C. ∫ 0 x f   dx = 10 . 2 2 D. x ∫ f  2  dx = 5 . 0 2 = I . Tính ∫ f ( 2 x + 1) dx −1 B. I = . 5 . 2 C. I = 4 . Câu 111: Giả sử hàm số y = f ( x ) liên tục trên  và D. I = 3 . 2 5 ∫ f ( x ) dx = a , ( a ∈  ) . Tích phân 3 2 = I ∫ f ( 2 x + 1) dx có giá trị là 1 1 a +1 . 2 A.= I ∫ f (x C. I = 2a . 1 2 D. I = a . 5 2 Câu 112: Cho I 2a + 1 . B. = 2 1 + 1) xdx = 2 . Khi đó I = ∫ f ( x ) dx bằng 2 C. −1 . B. 1 . A. 2 . Câu 113: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên [1; +∞ ) và ∫f( 3 D. 4 . ) 2 x + 1 dx = 8 . Tích phân I = ∫ xf ( x ) dx 1 0 bằng: A. I = 16 . 11 Câu 114: Biết B. I = 2 . ∫ f ( x ) dx = 18 . Tính I =∫ x ( 2 + f ( 3x −1 https://toanmath.com/ C. I = 8 . 2 0 2 ) − 1) dx . D. I = 4 B. I = 7 . A. I = 5 . D. I = 10 . C. I = 8 Câu 115: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên  và 1 2 ∫ f ( 2 x ) dx = 8 . Tính I = ∫ xf ( x ) dx 2 0 A. 4 . 0 B. 16 . C. 8 . f ( x ) liên tục trên  Câu 116: Cho hàm số D. 32 . 1 3 0 0 và có = ∫ f ( x ) dx 2;= ∫ f ( x ) dx 6 . Tính 1 ∫ f ( 2 x − 1 ) dx . = I −1 A. I = 2 . 3 B. I = 4 . Câu 117: Cho hàm số C. I = y = f ( x ) liên tục trên 3 . 2 2 [0; 4] và ∫ D. I = 6 . 4 f ( x ) dx = 1 ; ∫ f ( x ) dx = 3 . Tính ;0 0 1 ∫ f ( 3x − 1 )dx . −1 A. 4 . B. 2 . C. 4 . 3 1 f ( x ) là hàm số liên tục trên  và Câu 118: Cho ∫ D. 1 . 3 f ( x) d x = 4 , ∫ f ( x) d x = 6 . Tính 0 0 1 ∫ f ( 2x +1 ) d x . = I −1 A. I = 3 . B. I = 5 . D. I = 4 . C. I = 6 . 2 1 Câu 119: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên  thỏa ∫ f ( 2 x ) dx = 2 và ∫ f ( 6 x ) dx = 14 . Tính 0 0 2 ∫ f ( 5 x + 2 ) dx . −2 A. 30 . B. 32 . Câu 120:= Cho tích phân I hàm số D. 36 . π 2 2 0 0 cos x. f ( sin x ) dx 8 . Tính tích phân K = ∫ sin x. f ( cos x ) dx . ∫= B. K = 4 . A. K = −8 . Câu 121: Cho C. 34 . π y = f ( x) D. K = 16 . C. K = 8 . 1 liên tục trên R, thỏa mãn ∫ f ( x ) dx = 1 . Tính 0 π = I ∫ ( tan 4 2 + 1) . f ( tan x ) dx . 0 A. I = 1 . B. I = −1 . C. I = π 4 . π D. I = − . 4 Câu 122: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên  thỏa mãn f ( 2 x ) = 3 f ( x ) , ∀x ∈  . Biết rằng 1 ∫ f ( x ) dx = 1 0 2 . Giá trị của tích phân I = ∫ f ( x ) dx bằng bao nhiêu? 1 A. I = 5 . https://toanmath.com/ B. I = 3 . C. I = 8 . D. I = 2 . Câu 123: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục và có đạo hàm trên  thỏa mãn f ( 2 ) = −2 ; 2 ∫ f ( x )dx = 1 . Tính 0 4 tích phân I = ∫ f ′ ( x )dx . 0 A. I = −10 . 2 ∫ Câu 124: Cho B. I = −5 . 4 f ( x ) dx = 2 . Tính 1 I =∫ f 1 ( x ) dx x D. I = −18 . C. I = 4 . D. I = bằng B. I = 2 . A. I = 1 . C. I = 0 . Câu 125: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên  thỏa mãn ( x ) dx = 6 và f 16 ∫ π 2 ∫ f ( sin x ) cos xdx = 3 . Tính x 1 1 . 2 0 4 tích phân I = ∫ f ( x ) dx . 0 A. I = −2 . B. I = 6 . f ( x ) liên tục trên  thỏa Câu 126: Cho D. I = 2 . C. I = 9 . 9 ∫ f ( x ) dx = 4 1 π 2 và x ∫ f ( sin x ) cos xdx = 2 . Tính 0 3 I = ∫ f ( x ) dx . 0 A. I = 10 . C. I = 4 . B. I = 6 . mãn f ( x ) Câu 127: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn [1;4] và thỏa = D. I = 2 . ( ) + ln x . Tính tích f 2 x −1 x x 4 phân I = ∫ f ( x ) dx . 3 A. I = 3 + 2 ln 2 2 . B. I = 2 ln 2 2 . Câu 128: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên [ −4; + ∞ ) và ∫f( 5 0 A. I = 8 . D. I = 2ln 2 . C. I = ln 2 2 . B. I = 4 . ) 2 x + 4 dx = 8 . Tính I = ∫ x. f ( x ) dx . 3 D. I = −4 . C. I = −16 . π 1 Câu 129: Cho 3 12 và ∫ f ( sin x ) sin 2 xdx = 3 . Tính ∫ f ( x ) dx . ∫ f ( 2 x + 1) dx = 2 2 0 A. 26 . 0 0 C. 27 . B. 22 . D. 15 . π Câu 130: Cho hàm f ( x ) liên tục trên  thỏa mãn 4 ∫ f ( tan x ) dx = 3 và 1 ∫ 0 0 x2 f ( x ) dx = 1 . Tính x2 + 1 1 ∫ f ( x ) dx . 0 A. 4 . B. 2 . D. 1 . C. 5 . π ( ) Câu 131: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên R và= ∫ f ( tan x ) dx 4;= ∫ 2 dx 2 . Tính I = ∫ f ( x ) dx . A. I = 6 . https://toanmath.com/ B. I = 2 . 4 1 0 0 1 x2 f x x +1 C. I = 3 . 0 D. I = 1 . f ( x ) liên tục trên  thỏa Câu 132: Cho hàm số 2018 ∫ f ( x ) dx = 2 . Khi đó tích phân 0 e2018 −1 ∫ 0 ) ( x f ln ( x 2 + 1) dx bằng x +1 2 A. 4 . B. 1 . C. 2 . Câu 133: Tìm tất cả các giá trị dương của m để 3 ∫ x (3 − x ) m 0 B. m = 4 . A. m = 20 . D. 3 . 15  10  − f ′′   , với f ( x ) = ln x . dx =  9  C. m = 5 . D. m = 3 . f ( x ) . Biết Câu 134: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên  và thỏa mãn f ( 4 − x ) = 3 ∫ xf ( x ) dx = 5 . 1 3 Tính I = ∫ f ( x ) dx . 1 A. I = 5 . 2 B. I = 7 . 2 C. I = 9 . 2 D. I = 11 . 2 x ) f ( x ) , ∀x ∈ [1;3] và Câu 135: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn [1;3] thỏa mãn f ( 4 −= 3 ∫ xf ( x ) dx = 3 −2 . Giá trị 1 ∫ f ( x ) dx bằng 1 A. 2 . B. −1 . C. −2 . D. 1 . Câu 136: Cho hàm số f liên tục trên đoạn [ −6;5] , có đồ thị gồm hai đoạn thẳng và nửa đường tròn 5 ∫  f ( x ) + 2 dx . như hình vẽ. Tính giá trị I = −6 y −6 −4 3 O −1 5 x I 2π + 35 . I 2π + 34 . I 2π + 33 . A. = B. = C. = TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 2 g ( x) Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn : A. f ( x ) + B. u ′. f ( u ) + C. f ( a + b − x ) = u ( a ) = a thì +) Với  u ( b ) = b b ∫ a f ( x ) dx = I 2π + 32 . D. = b 1 g ( x ) dx . A + B + C ∫a b b u ( a ) = b 1 +) Với  thì ∫ f ( x ) dx = g ( x ) dx . A − B + C ∫a u ( b ) = a a Trong đề bài thường sẽ bị khuyết một trong các hệ số A, B, C . Nếu f ( x) [ a; b] thì liên tục trên b b a a ∫ f ( a + b − x ) dx =∫ f ( x ) dx . ( ) = f ( x ) 6 x 2 f x3 − Câu 137: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên [ 0;1] thỏa mãn A. 2 . https://toanmath.com/ B. 4 . C. −1 . 6 . Tính 3x + 1 D. 6 . 1 ∫ f ( x ) dx 0 Câu 138: Xét hàm số f ( x ) liên tục trên [ 0;1] và thỏa mãn điều kiện 4 xf ( x 2 ) + 3 f ( x − 1) = 1 − x2 . 1 Tích phân I = ∫ f ( x ) dx bằng 0 A. I = π 4 B. I = . π 6 . C. I = π 20 D. I = . π 16 2 x . Tính giá Câu 139: Cho hàm số f ( x) liên tục trên [ 0; 2] và thỏa mãn điều kiện f ( x ) + f ( 2 − x ) = 2 trị của tích phân I = ∫ f ( x ) dx . 0 1 2 A. I = −4 . B. I = . 4 3 D. I = 2 . C. I = . Câu 140: Xét hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn [ 0;1] và thỏa mãn 2 f ( x ) + 3 f (1 − x ) = 1 − x . Tích phân 1 ∫ f ( x ) dx bằng 0 A. 2 . 3 B. 1 . 6 C. 2 . 15 D. 3 . 5 Câu 141: Xét hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn [ 0;1] và thỏa mãn điều kiện 2 f ( x ) − 3 f (1 − x ) = x 1 − x 1 . Tính tích phân I = ∫ f ( x ) dx . 0 A. I = 1 . 25 B. I = − 4 . 15 C. I = − 1 . 15 D. I = 4 . 75 Câu 142: Xét hàm số f ( x ) liên tục trên [ −1; 2] và thỏa mãn f ( x ) + 2 xf ( x 2 − 2 ) + 3 f (1 − x ) = 4 x3 . 2 Tính giá trị của tích phân I = ∫ f ( x ) dx . −1 A. I = 5 . B. I = 5 . 2 C. I = 3 . 28 . 3 C. I = Câu 143: Hàm số f ( x ) liên tục trên [ −1; 2] và thỏa mãn điều kiện f ( x ) = D. I = 15 . x + 2 + xf ( 3 − x 2 ) . Tính 2 giá trị của I = ∫ f ( x )dx −1 A. I = 14 . 3 B. I = 4 . 3 D. I = 2 . 1 Câu 144: Xét hàm số f ( x ) liên tục trên [ 0;1] và thỏa mãn f ( x ) + xf (1 − x 2 ) + 3 f (1 − x ) = . Tính x +1 1 giá trị của tích phân I = ∫ f ( x ) dx . 0 9 A. I = ln 2 . 2 Câu 145: Cho hàm số 1 = I f ( x ) dx ∫= 0 A. 6 . https://toanmath.com/ B. I = 2 ln 2 . 9 y = f ( x ) và thỏa mãn C. I = 4 . 3 f ( x ) − 8 x3 f ( x 4 ) + D. I = x3 x2 + 1 3 . 2 = 0 . Tích phân a −b 2 a b với a, b, c ∈  và ; tối giản. Tính a + b + c c c c B. −4 . C. 4 . D. −10 . 1 Câu 146: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn [ − ln 2;ln 2] và thõa mãn f ( x ) + f ( − x ) =x e +1 ln 2 ) dx ∫ f ( x= . Biết a ln 2 + b ln 3 , với a, b ∈  . Tính giá trị của P= a + b . − ln 2 1 . 2 A. P = Câu 147: Biết hàm B. P = −2 .   y f x+ số = π  2 C. P = −1 . là hàm số chẵn D. P = 2 . trên  π π  − 2 ; 2  đoạn và π 2  π f ( x ) + f  x +  = sin x + cos x . Tính I = ∫ f ( x ) dx . 2  0 B. I = 1 . A. I = 0 . C. I = 1 . 2 D. I = −1 . π  sin x.cos x Câu 148: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên  , f ( 0 ) = 0 và f ( x ) + f  − x  = 2  với ∀x ∈  . Giá trị của tích phân ∫ xf ′ ( x ) dx bằng π 2 0 A. − π . 4 B. 1 . 4 C. π . 4 D. − Câu 149: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên  và thỏa mãn f (1 + 2x ) + f (1 −= 2x ) phân I = ∫−1 f ( x ) dx . 1 . 4 x2 , ∀x ∈  . tính tích x2 + 1 3 A. I= 2 − π . 2 B. I = 1 − π . 4 1 π − . 2 8 C. I= TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 3 D. I = π . 4 Cách giải: Lần lượt đặt t = u ( x ) và t = v ( x ) để giải hệ phương trình hai ẩn (trong đó có ẩn f ( x ) ) để suy ra hàm số f ( x ) (nếu u ( x ) = x thì chỉ cần đặt một lần t = v ( x ) ). Các kết quả đặc biệt:  x−b  x −c − B.g  A.g    g x với A2 ≠ B 2 ) khi đó f ( x ) =  a 2 2  −a  (*) Cho A. f ax + b + B. f −ax + c = A −B A.g ( x ) − B.g ( − x ) +)Hệ quả 1 của (*): A. f ( x ) + B. f ( − x=) g ( x ) ⇒ f ( x=) A2 − B 2 g(x) với g x là hàm số chẵn. +)Hệ quả 2 của (*): A. f ( x ) + B. f ( − x=) g ( x ) ⇒ f ( x=) A+ B ( ) ( ) ( ) () 1 x 3 x . Tính I = ∫ Câu 150: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên  và f ( x ) + 2 f   = A. I = 3 . 2 B. I = 1 . C. I = 1 . 2 2 1 2 f ( x) x dx . D. I = −1 . 2 x 15 x 2 − Câu 151: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên  {0} và thỏa mãn 2 f ( 3 x ) + 3 f   = , 9 ∫ f ( x ) dx = k . Tính 3 3 2 1 I = ∫ f   dx theo k . x 1 2 A. I = − 45 + k . 9 https://toanmath.com/ B. I = 45 − k . 9 C. I = 45 + k . 9 D. I = 45 − 2k . 9 2 x sin x . Tính giá Câu 152: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên  và thỏa mãn f ( − x ) + 2018 f ( x ) = π 2 trị của I = ∫π f ( x ) dx . − 2 2 A. I = . 2019 B. I = 2 . 1009 C. I = 4 . 2019 D. I = 1 . 1009 e x . Tính giá trị của Câu 153: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên  và thỏa mãn f ( − x ) + 2018 f ( x ) = 1 I= ∫ f ( x ) dx −1 e2 − 1 B. I = . 2018e e2 − 1 C. I = 0 . D. I = . e 12 x 2 . Câu 154: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên  , thỏa mãn 2 f ( 2 x ) + f (1 − x ) = e2 − 1 A. I = . 2019e Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( x ) tại điểm có hoành độ bằng 1 là B. = y 4x − 6 . A. = y 2x + 2 . C. = y 2x − 6 . Câu 155: Cho f ( x ) là hàm số chẵn, liên tục trên  thỏa mãn D. = y 4x − 2 . 1 và g ( x ) là hàm số ∫ f ( x )dx = 2018 0 1 , ∀x ∈  . Tính tích phân I = liên tục trên  thỏa mãn g ( x ) + g ( − x ) = 1 ∫ f ( x )g ( x ) dx . −1 1009 B. I = . 2 A. I = 2018 . Câu 156: Cho số dương C. I = 4036 . a và hàm số f ( x ) liên tục trên  trị của biểu thức D. I = 1008 . a , ∀x ∈  . Giá thỏa mãn f ( x ) + f ( − x ) = a ∫ f ( x ) dx bằng −a B. a . A. 2a 2 . C. a 2 . D. 2a . π 2sin x . Tính Câu 157: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên  thỏa điều kiện f ( x ) + f ( − x ) = 2 ∫π f ( x ) dx − A. −1 . B. 0 . C. 1 . Câu 158: Cho f ( x) là một hàm số liên tục trên  thỏa mãn f ( x ) + f ( − x ) = phân I = 2 D. 2 . 2 − 2 cos 2 x . Tính tích 3π 2 − ∫π f ( x ) dx . 3 2 A. I = 3 . B. I = 4 . C. I = 6 . D. I = 8 . Câu 159: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên R và thỏa mãn f ( x ) + f ( − x ) = 2 + 2 cos 2 x . Tính I= π 2 ∫π f ( x ) dx . − 2 A. I = −1 . https://toanmath.com/ B. I = 1 . C. I = −2 . D. I = 2 . tan 2 x . Tính Câu 160: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên  và 3 f ( − x ) − 2 f ( x ) = π 4 ∫ f ( x ) dx − A. 1 − π . 2 π −1 . 2 B. C. 1 + π . 4 π 4 D. 2 − π . 2 1 Câu 161: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn [ − ln 2;ln 2] và thỏa mãn f ( x ) + f ( − x ) =x e +1 ln 2 ) dx ∫ f ( x= Biết . a ln 2 + b ln 3 ( a; b ∈  ) . Tính P= a + b . − ln 2 1 2 B. P = −2 . A. P = . C. P = −1 . D. P = 2 . Câu 162: Xét hàm số f ( x ) liên tục trên [ 0;1] và thỏa mãn điều kiện 2 f ( x ) + 3 f (1 − x ) = x 1 − x . Tính 1 tích phân I = ∫ f ( x )dx . 0 4 A. I = − . 15 1 . 15 B. I = C. I = 4 . 75 D. I = 1 . 25 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 4 Câu 163: Cho f ( x ) và g ( x ) là hai hàm số liên tục trên [ −1,1] và f ( x ) là hàm số chẵn, g ( x ) là hàm 1 số lẻ. Biết f ( x ) dx = 5 và ∫ 1 ∫ g ( x ) dx = 7 . Mệnh đề nào dưới đây sai? 0 0 1 A. 1 ∫ f ( x ) dx = 10 . ∫ g ( x ) dx = 14 . B. −1 −1 1 C. 1 10 . ∫  f ( x ) + g ( x ) dx = D. −1 Câu 164: Nếu hàm f ( x ) CHẴN thì a 10 . ∫  f ( x ) − g ( x ) dx = −1 a ∫ −a f ( x ) dx = 2 ∫ f ( x ) dx 2. Nếu hàm f ( x ) LẺ thì 0 a ∫ f ( x ) dx = 0 −a Nếu chứng minh thì như sau: 1 f ( x ) dx ∫= Đặt A = −1 0 1 ∫ f ( x ) dx + ∫0 f ( x ) dx −1     A1 0 A1 = ∫ f ( x ) dx . Đặt t = − x A2 ⇒ dt = −dx −1 Đổi cận: 0 ⇒ A1 = ∫ f ( −t ) . ( −dt ) = 1 1 ∫ f ( −t ) dt = 0 1 ∫ f ( − x ) dx (Do tích phân xác định không phụ thuộc 0 1 f ( x) ) vào biến số tích phân) = ∫ f ( x ) dx (Do f ( x ) là hàm chẵn ⇒ f ( − x ) = 0 1 1 1 Vậy A = ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = 10 (1) Đặt B = −1 1 0 −1 −1 0 0 1 g ( x ) dx ∫ g ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx ∫= 0      B1 https://toanmath.com/ B2 0 B1 = ∫ g ( x ) dx . Đặt t = − x ⇒ dt = −dx −1 Đổi cận: 0 1 1 ∫ g ( − x ) dx ∫ g ( −t ) dt = ∫ g ( −t ) . ( −dt ) = ⇒ B1 = 1 0 (Do tích phân xác định không phụ thuộc 0 1 −g ( x) ) vào biến số tích phân) = − ∫ g ( x ) dx (Do f ( x ) là hàm chẵn ⇒ g ( − x ) = 1 0 1 1 −1 0 0 Vậy B = 0 (2) − ∫ g ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx = ∫ g ( x ) dx = Từ (1) và (2) Chọn B Câu 165: Cho hàm số y = f ( x ) là hàm lẻ và liên tục trên [ −4; 4] 0 biết 2 và ∫ f ( − x ) dx = −2 2 4 4 . Tính I = ∫ f ( x ) dx . ∫ f ( −2 x ) dx = 1 0 A. I = −10 . B. I = −6 . C. I = 6 . D. I = 10 . 2 f ( 2x) Câu 166: Cho hàm số chẵn y = f ( x ) liên tục trên  và ∫ dx = 8 . Tính ∫ f ( x ) dx . 1 + 2x −1 0 1 A. 2 . B. 4 . C. 8 . Câu 167: Cho f ( x ) là hàm số chẵn liên tục trong đoạn 1 I= f ( x) ∫ 1+ e x D. 16 . [ −1; 1] 1 và Kết quả dx bằng −1 A. I = 1 . D. I = 4 . C. I = 2 . B. I = 3 . 1 Câu 168: Cho y = f ( x ) là hàm số chẵn và liên tục trên . Biết= ∫ f ( x ) dx 2 ∫ f ( x ) dx = 2 . −1 0 f ( x) dx bằng x +1 2 1 = f ( x ) dx 1 . Giá trị của 2 ∫1 ∫3 −2 A. 1 . Câu 169: Cho hàm số f (x) C. 4 . B. 6 . liên tục trên  thỏa mãn A. I = 2 . 3 B. I = . 2 f 3 (x) + f (x)= 1 C. I = . 2 D. 3 . x, ∀x ∈  . Tính I = ∫ f ( x ) dx 2 0 5 D. I = . 4 3 2 x , ∀x ∈  . Tính tích Câu 170: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên  thỏa mãn 2 f ( x ) − 3 f ( x ) + 6 f ( x ) = 5 phân I = ∫ f ( x ) dx . 0 A. I = 5 . 4 B. I = 5 . 2 C. I = 7 . 2 C. I = 5 . 12 D. I = 7 . 3 D. I = 5 . 3 3 1 , ∀x ∈  . Tính Câu 171: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên  thỏa mãn x + f ( x ) + 2 f ( x ) = 1 I= ∫ f ( x ) dx . −2 A. I = 7 . 4 https://toanmath.com/ B. I = 5 . 4 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 5 k 2 ,= Bài toán: “ Cho f ( x ) . f ( a + b − x ) = khi đó I b dx ∫= k + f ( x) a b−a 2k Chứng minh: dt = −dx  Đặt t = a + b − x ⇒  k 2 và x = a ⇒ t − b ; x = b ⇒ t = a .  f ( x ) = f (t )  Khi đó I = b dx 1 f ( x ) dx . = ∫a k2 k ∫a k + f ( x ) k+ f (t ) b b dx ∫a = k + f ( x) b b 1 1 dx 1 f ( x ) dx dx 2I = ( b − a ) ⇒ I =b − a . ∫a k + f ( x ) + k ∫a k + f ( x ) =k ∫a= k 2k b 1 với Câu 172: Cho hàm số f ( x ) liên tục và nhận giá trị dương trên [ 0;1] . Biết f ( x ) . f (1 − x ) = 1 ∀x ∈ [ 0;1] . Tính giá trí I = ∫ dx 1+ f ( x) 0 3 1 A. . B. . C. 1 . D. 2 . 2 2 1 . Giá trị của tích Câu 173: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên  , ta có f ( x ) > 0 và f ( 0 ) . f ( 2018 − x ) = 2018 phân I = ∫ 0 dx 1+ f ( x) A. I = 2018 . B. I = 0 C. I = 1009 D. 4016 Câu 174: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm, liên tục trên  và f ( x ) > 0 khi x ∈ [ 0;5] Biết . 5 dx f ( x ). f (5 − x ) = 1 tính tích phân I = ∫ . 0 1+ f x , ( ) A. I = 5 . 4 B. I = 5 . 3 C. I = 5 . 2 D. I = 10 . f ( x ) . Biết Câu 175: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên  và thỏa mãn f ( 4 − x ) = 3 ∫ xf ( x ) dx = 5 . 1 3 Tính tích phân ∫ f ( x ) dx . 1 5 A. . 2 B. 7 . 2 C. 9 . 2 D. 11 . 2 Câu 176: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên R và f ( x ) > 0 khi x ∈ [0; a] ( a > 0 ). Biết a f ( x). f ( a − x) = 1 , tính tích phân I = ∫ dx . 1+ f ( x) 0 A. I = Câu 177: Cho a a . 2 B. I = 2a . f ( x ) là hàm liên tục trên đoạn dx ∫ 1+ f ( x) = 0 ba , trong đó b , c c [0; a ] a . 3 D. I = a . 4 1  f ( x ) . f ( a − x ) = và  f ( x ) > 0, ∀x ∈ [ 0; a ] thỏa mãn  là hai số nguyên dương và b + c có giá trị thuộc khoảng nào dưới đây?
Trang chủ
C. I = b là phân số tối giản. Khi đó c A. (11; 22 ) . B. ( 0;9 ) . C. ( 7; 21) . D. ( 2017; 2020 ) . TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 6 Câu 178: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [1;4] , đồng biến trên đoạn [1;4] và thỏa 4 2 3 mãn đẳng thức x + 2 x. f ( x ) =  f ′ ( x )  , ∀x ∈ [1; 4] . Biết rằng f (1) = , tính I = ∫ f ( x ) dx ? 2 A. I = 1186 . 45 B. I = 1174 . 45 C. I = 1222 . 45 D. I = Câu 179: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên  thỏa mãn 3 f ′ ( x ) .e f ( 0 ) = 1 . Tích phân 1 f 3 ( x ) − x 2 −1 − 1201 . 45 2x 0 và = f ( x) 2 7 ∫ x. f ( x ) dx bằng 0 A. 2 7 . 3 B. 15 . 4 C. 45 . 8 5 7 . 4 D. 1 4 3 2 Câu 180: Cho hàm số f ( x ) = x + 4 x − 3 x − x + 1 , ∀x ∈  . Tính I = ∫ f 2 ( x ) . f ′ ( x ) dx . 0 B. −2 . A. 2 . C. − 7 . 3 7 . 3 D. Câu 181: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên khoảng ( 0;1) và f ( x ) ≠ 0 , ∀x ∈ ( 0;1) . Biết rằng  3 f   = b  2  1 f  =a, 2 π 3 I=∫ π 6 và x + xf ′ ( x ) = 2 f ( x ) − 4 , sin 2 x.cos x + 2sin 2 x dx theo f 2 ( sin x ) A. I  3a  b . 4ab B. I  a ∀x ∈ ( 0;1) . Tính tích phân và b . 3b  a . 4ab C. I  3b  a . 4ab D. I  3a  b . 4ab Câu 182: Cho hàm số f liên tục, f ( x ) > −1 , f ( 0 ) = 0 và thỏa f ′ ( x ) = x 2 + 1 2 x f ( x ) + 1 . Tính f ( 3) . A. 0 . B. 3 . Câu 183: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên  và C. 7 . 5 ∫ f ( x ) dx = 4 , D. 9 . f ( 5) = 3 , f ( 2 ) = 2 . Tính 2 2 = I ∫ x f ′( x 3 2 + 1) dx 1 B. 4 . A. 3 . C. 1 . Câu 184: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn [1;4] và thỏa = mãn f ( x ) D. 6 . ( ) + ln x . Tính tích f 2 x −1 x x 4 phân I = ∫ f ( x ) dx . 3 A. I = 3 + 2 ln 2 2 .
Trang chủ
B. I = 2 ln 2 2 . C. I = ln 2 2 . D. I = 2ln 2 . Câu 185: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên  và thỏa mãn 1 tích phân ∫ 1 8 f ( 4x) dx . x A. I = 3 . B. I = 3 . 2 π 2 ( sin x ) dx ∫ cot x. f= 2 π 4 C. I = 2 . ( ) f x = ∫1 x dx 1 . Tính 16 D. I = 5 . 2 Câu 186: Xét hàm số f ( x ) liên tục trên [ 0;1] và thỏa mãn điều kiện 4 x. f ( x 2 ) + 3 f (1 − x ) = 1 − x 2 . 1 Tích phân I = ∫ f ( x ) dx bằng: 0 A. I = π 4 B. I = . π 6 C. I = . π 20 . D. I = Câu 187: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ 0;1] thỏa mãn f (1) = 1 , π 16 1 ∫  f ′ ( x ) 0 ∫ f ( x ) dx = 5 . Tính tích phân 1 và 2 0 A. I = 3 . 5
Trang chủ
B. I = 1 . 4 1 I = ∫ f ( x ) dx . 0 C. I = 3 . 4 . D. I = 1 . 5 2 dx = 9 5 HƯỚNG DẪN GIẢI TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 1 Câu 104: Cho 4 2 0 0 ∫ f ( x ) dx = 16 . Tính ∫ f ( 2 x ) dx B. 4 . A. 16 . C. 32 . Hướng dẫn giải D. 8 . T 7 1 Chọn D 17T 2 Xét tích phân 17T T 7 1 ∫ f ( 2 x ) dx ta có 0 1 2 Đặt 2x = t ⇒ dx =dt . Khi x = 0 thì t = 0 ; khi x = 2 thì t = 4 . Do đó 2 ∫ 0 4 4 1 1 1 f ( 2 x ) dx = ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( x ) dx = .16 = 8 . 20 20 2 Câu 105: Nếu 6 2 0 0 ∫ f ( x ) dx = 12 thì ∫ f ( 3x ) dx bằng A. 6 . B. 36 . C. 2 . Hướng dẫn giải D. 4 . Chọn D Đặt t = 3 x ⇒ dt = 3dx . Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0 , x = 2 ⇒ t = 6 2 6 1 1 Khi đó: ∫ f ( 3 x= .12 4 . ) dx ∫ f ( t= ) dt = 30 3 0 2 Câu 106: Cho ∫ 1 5 f ( x 2 + 1) xdx = 2 . Khi đó I = ∫ f ( x )dx bằng: A. 2 . 2 B. 1 . C. −1 . Hướng dẫn giải D. 4 . Chọn D Đặt t = x 2 + 1 ⇒ dt = 2 xdx . Đổi cận: x = 1 ⇒ t = 2 , x = 2 ⇒ t = 5 . 2 5 5 2 1 Khi đó: ∫ f ( x 2 + 1) xdx = f t d t ⇒ f t d t = 2 f ( x 2 + 1) xdx= 4 . ( ) ( ) ∫ ∫ ∫ 22 1 2 1 5 Mà tích phân không phụ thuộc vào biến= nên: I f ( x )dx ∫= 2 Câu 107: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên  và thỏa mãn 5 f ( t )dt ∫= 4. 2 1 ∫ f ( x ) dx = 9 . Tính tích phân −5 2 ∫  f (1 − 3x ) + 9 dx . 0 B. 21 . A. 27 . C. 15 . Hướng dẫn giải D. 75 . Chọn B −3dx . Đặt t = 1 − 3x ⇒ dt = Với x = 0 → t = 1 và x =2 → t =−5 . 2 2 2 0 0 0 Ta có ∫  f (1 − 3 x ) + 9  dx =∫ f (1 − 3 x )= dx + ∫ 9dx
Trang chủ
−5 1 dt 1 2 f t 9 x +   =  f ( x )  dx + 18 ( ) 0 ∫1   −3 3 −∫5  = 1 .9 + 18 = 21 . 3 Câu 108: Biết f ( x ) làm hàm liên tục trên  và 9 ∫ 4 ∫ f ( 3x − 3) dx là f ( x ) dx = 9 . Khi đó giá trị của 1 0 A. 27 . Chọn B 4 = I ∫ f ( 3x − 3) dx . Đặt =t D. 24 . C. 0 . Hướng dẫn giải B. 3 . 3 x − 3 ⇒ dt = 3dx 1 x =1 ⇒ t = 0 Đổi cận:  9 x = 4 ⇒ t = 9 9 1 1 I = ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( x ) dx = 3 . 30 30 Câu 109: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên  thỏa 1 ∫ f ( x ) dx = 10 . Tính 0 2 A. ∫ 0 5 x f   dx = . 2 2 2 B. ∫ 0 2 x ∫ f  2  dx . 0 x x C. ∫ f   dx = 10 . f   dx = 20 . 2 2 0 Hướng dẫn giải 2 2 D. x ∫ f  2  dx = 5 . 0 Chọn B Đặt t = x 1 ⇒ dt =dx . 2 2 0; x=2 ⇒t = 1. Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 2 1 x Ta có: ∫ f   dx = 2.∫ f ( t ) dt = 2.10 = 20 . 2 0 0 5 ∫1 f ( x ) dx = 4 =I − Câu 110: Cho . Tính 2 ∫ f ( 2 x + 1) dx −1 5 B. I = . 2 A. I = 2 . . C. I = 4 . D. I = Hướng dẫn giải 3 . 2 Chọn A 1 2 2dx ⇒ dx =dt . t 2 x + 1 ⇒ dt = Đặt = Với x =−1 ⇒ t =−1 , với x = 2 ⇒ t = 5 . 2 5 5 5 1 1 1 1 Khi đó ta= có I ∫ f ( 2 x + 1) dx ⇒ I = f ( t ) . dt = ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( x )= dx = .4 2 . ∫ 2 2 −1 2 −1 2 −1 −1 Câu 111: Giả sử hàm số y = f ( x ) liên tục trên  và 5 ∫ f ( x ) dx = a , ( a ∈  ) . Tích phân 3 2 = I ∫ f ( 2 x + 1) dx có giá trị là 1 1 A.= I a +1 . 2 I 2a + 1 . B. = Chọn D Đặt t = 2 x + 1 ⇒ dt = 2dx . Đổi cận: x = 1 ⇒ t = 3 ; x = 2 ⇒ t = 5 .
Trang chủ
C. I = 2a . Hướng dẫn giải 1 2 D. I = a . 5 5 1 1 1 = ⇒I ∫ = f ( t ) dt f= ( x ) dx a . ∫ 2 23 2 3 5 2 ∫ f (x Câu 112: Cho 2 1 + 1) xdx = 2 . Khi đó I = ∫ f ( x ) dx bằng 2 A. 2 . C. −1 . Hướng dẫn giải B. 1 . Chọn D Đặt t = x 2 + 1 ⇒ dt = 2 xdx Đổi cận: x = 1 ⇒ t = 2 ; x = 2 ⇒ t = 5 . 5 5 1 1 Khi= đó: 2 f= x⇒I ( t ) dt ∫ f ( x ) d= 2 ∫2 22 D. 4 . 5 ( x ) dx ∫ f= 4. . 2 Câu 113: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên [1; +∞ ) và ∫f( 3 ) 2 x + 1 dx = 8 . Tích phân I = ∫ xf ( x ) dx 1 0 bằng: A. I = 16 . B. I = 2 . D. I = 4 C. I = 8 . Hướng dẫn giải Chọn D ∫f( 3 I= ) x + 1 dx= 8 . Đặt t = x + 1 ⇒ t 2 = x + 1 ⇒ 2tdt = dx ; 0 đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1 ; x = 3 ⇒ t = 2 . 2 2tf ( t ) dt ∫= Khi đó I = ∫ Câu 114: Biết −1 xf ( x ) dx ∫= . Vậy I 8 ⇒ ∫ tf ( t ) dt = 4= 1 11 2 2 1 2 4. 1 ( ) f ( x ) dx = 18 . Tính I =∫ x 2 + f ( 3 x 2 − 1) dx . 0 B. I = 7 . A. I = 5 . D. I = 10 . C. I = 8 Hướng dẫn giải Chọn B 6 xdx . Đổi cận x =0 ⇒ t =−1 , x = 2 ⇒ t = 11 Đặt= t 3 x 2 − 1 ⇒ dt = 2 2 2 11 1 1 2 2 + − = + − = + I= x 2 f 3 x 1 d x 2 x d x xf 3 x 1 d x 4 f ( t ) dt = 4 + .18 = 7. ) ( ) ∫0 ∫0 ∫0 ( ∫ 6 −1 6 ) ( Câu 115: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên  và 1 ∫ f ( 2 x ) dx = 8 . Tính I = 0 A. 4 . B. 16 . 2 ∫ xf ( x ) dx 2 0 C. 8 . Hướng dẫn giải D. 32 . Chọn C Đặt x 2 =2t ⇒ 2 xdx =2dt ⇒ xdx =dt . Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0 , x= 2 ⇒ t= 1 . 1 Ta có: I = f ( 2t ) dt ∫= 8. 0 1 3 0 0 Câu 116: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên  và có= ∫ f ( x ) dx 2;= ∫ f ( x ) dx 6 . Tính 1 = I ∫ f ( 2 x − 1 ) dx . −1 A. I = 2 . 3
Trang chủ
B. I = 4 . C. I = Hướng dẫn giải 3 . 2 D. I = 6 . Chọn B 1 1 2 −1 −1 1 I1 I 2 Có I = ∫ f ( 2 x − 1 ) dx =∫ f (1 − 2 x ) dx + ∫ f ( 2 x − 1) dx =+ 1 2  x =−1 ⇒ u =3  Tính . 1 − 2 x ⇒ du = −2 dx . Đổi cận:  = I1 ∫ f (1 − 2 x ) dx .Đặt u = 1 −1  x = 2 ⇒ u = 0 0 3 1 −1 du f u f ( u ) du 3 = ⇒ I1 = = ( ) 2 ∫3 2 ∫0 1 2  x =1 ⇒ u =1  Tính . = I 2 ∫ f ( 2 x − 1) dx . Đặt u = 2 x − 1 ⇒ du = 2 dx . Đổi cận:  1 x = ⇒ u = 0 1  2  2 1 1 1 1 = ⇒ I2 f= ( u ) du ∫ f= ( u ) du 1 ∫ 20 20 1 Vậy I = I1 + I 2 = 4 . Câu 117: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên [ 0; 4] và 2 4 0 ;0 ∫ f ( x ) dx = 1 ; ∫ f ( x ) dx = 3 . Tính 1 ∫ f ( 3x − 1 )dx . −1 A. 4 . B. 2 . C. 4 . 3 D. 1 . Hướng dẫn giải Chọn C 1 ∫ f ( 3 x − 1 )dx = −1 1/3 ∫ f (1 − 3 x )dx + −1 1 ∫ f ( 3x − 1)dx . 1/3 1/3 1 1 1 = − ∫ f (1 − 3 x )d (1 − 3 x ) + ∫ f ( 3 x − 1)d ( 3 x − 1) . 3 −1 3 1/3 0 2 1 1 1 1 4 = − ∫ f ( t )dt + ∫ f ( t )d ( t ) = − ( −3) + .1 = . 34 30 3 3 3 Câu 118: Cho f ( x ) là hàm số liên tục trên  và 1 ∫ f ( x) d x = 4 , 0 3 ∫ f ( x ) d x = 6 . Tính 0 1 = I ∫ f ( 2x +1 ) d x . −1 A. I = 3 . B. I = 5 . C. I = 6 . Hướng dẫn giải Chọn B 1 2 u 2x +1 ⇒ d x = Đặt = d u . Khi x = −1 thì u = −1 . Khi x = 1 thì u = 3 . 0 3  1 1 Nên I = = f u d u + f u d u f ( u )du  ( ) ( )  ∫ ∫ ∫ 2 −1 2  −1 0  3 = 0 3  1  ∫ f ( −u ) d u + ∫ f ( u ) d u  . 2  −1 0 
Trang chủ
D. I = 4 . 1 Xét −du . ∫ f ( x ) d x = 4 . Đặt x = −u ⇒ d x = 0 Khi x = 0 thì u = 0 . Khi x = 1 thì u = −1 . 1 f ( x) d x ∫= Nên 4 = 0 −1 − ∫ f ( −u )= du 0 ∫ f ( −u ) d u . −1 3 3 Ta có 0 6. ∫ f ( x ) d x = 6 ⇒ ∫ f (u ) d u = 0 0 3  1 1 ( 4 + 6 )= 5 .  ∫ f ( −u ) d u + ∫ f ( u ) d u  = 2  −1 0  2 0 Nên I= Câu 119: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên  thỏa 1 2 0 0 ∫ f ( 2 x ) dx = 2 và ∫ f ( 6 x ) dx = 14 . Tính 2 ∫ f ( 5 x + 2 ) dx . −2 A. 30 . B. 32 . C. 34 . Hướng dẫn giải Chọn B 1 ∫ f ( 2 x ) dx = 2 . + Xét 0 Đặt u = 2 x ⇒ du = 2dx ; x = 0 ⇒ u = 0 ; x =1 ⇒ u =2 . 2 2 1 1 Nên 2 = ∫ f ( 2 x ) dx = ∫ f ( u ) du ⇒ ∫ f ( u ) du = 4. 20 0 0 2 ∫ f ( 6 x ) dx = 14 . + Xét 0 Đặt v = 6 x ⇒ dv = 6dx ; x = 0 ⇒ v = 0 ; x = 2 ⇒ v = 12 . 2 12 12 1 Nên 14 = ∫ f ( 6 x ) dx = ∫ f ( v ) dv ⇒ ∫ f ( v ) dv = 84 . 6 0 0 0 2 + Xét 0 2 −2 0 x ∫ f ( 5 x + 2 ) dx + ∫ f ( 5 x + 2 ) dx . ∫ f ( 5 x + 2 ) d= −2 = Tính I1 0 ∫ f ( 5 x + 2 ) dx . −2 t 5 x + 2. Đặt= −5 x + 2 ⇒ dt = −5dx ; x =−2 ⇒ t =12 ; x = 0 ⇒ t = 2 . Khi −2 < x < 0 , t = 2 12 2  1 −1 1 I1 = = f ( t ) dt ( 84 − 4=) 16 .  ∫ f ( t ) dt − ∫ f ( t ) dt = ∫ 5 12 50 0  5  Tính = I1 2 ∫ f ( 5 x + 2 ) dx . 0 t 5 x + 2. Đặt= t 5 x + 2 ⇒ dt = 5dx ; x = 2 ⇒ t = 12 ; x = 0 ⇒ t = 2 . Khi 0 < x < 2 , = 12 12 2  1 1 1 I2 = = f ( t ) dt ( 84 − 4=) 16 .  ∫ f ( t ) dt − ∫ f ( t ) dt = ∫ 52 50 0  5 2 Vậy 32 . ∫ f ( 5 x + 2 ) dx = −2 https://toanmath.com/ D. 36 . Câu 120:= Cho tích phân I π π 2 2 0 0 cos x. f ( sin x ) dx 8 . Tính tích phân K = ∫ sin x. f ( cos x ) dx . ∫= B. K = 4 . A. K = −8 . C. K = 8 . Hướng dẫn giải: π π 2 t I = ∫ cos x. f ( sin x ) dx Đặt = 2 0 π  = ⇒ I ∫ cos  − t  . f 2  π 0 D. K = 16 . −dx Đổi cận: − x ⇒ dt =   π  −dt ) sin  2 − t   . (=     π 2 π 2 0 0 x ) .dt ∫ sin x. f ( cos x ) .dt (Tích phân xác ∫ sin t. f ( cos = 2 định không phụ thuộc vào biến số tích phân) = K ⇒ K =I =8 Chọn C Câu 121: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên R, thỏa mãn 1 ∫ f ( x ) dx = 1 . Tính 0 π ∫ ( tan 4 = I 2 + 1) . f ( tan x ) dx . 0 A. I = 1 . B. I = −1 . C. I = Hướng dẫn giải: 2 Đặt t = tan x ⇒ dt =(1 + tan x ) dx . Đổi cận: 1 = ⇒I ∫ f= ( t ) dt 0 1 ∫ f ( x ) dx π 4 π D. I = − . . 4 (Tích phân xác định không phụ thuộc vào biến số tích phân) = 1 0 Chọn A Câu 122: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên  thỏa mãn f ( 2 x ) = 3 f ( x ) , ∀x ∈  . Biết rằng 1 ∫ 2 f ( x ) dx = 1 . Giá trị của tích phân I = ∫ f ( x ) dx bằng bao nhiêu? 1 0 B. I = 3 . A. I = 5 . D. I = 2 . C. I = 8 . Hướng dẫn giải Chọn A 2 Xét tích phân J = ∫ f ( x ) dx , đặt x = 2t ⇒ dx = 2dt . 0 Với x = 2 ⇒ t = 1 , x = 0 ⇒ t = 0 . 1 Ta có J = 1 1 1 1 0 0 f ( 2t ) 2dt 2 ∫= f ( 2t ) dt 2 ∫= 3 f ( t ) dt 6= ∫= ∫ f ( t ) dt 6∫ f ( x ) dx = 6 . 0 0 0 2 1 2 0 1 f ( x ) dx ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx ∫= Mặt khác,= ta có J 0 2 2 1 1 1 0 0 0 ⇒I= J − ∫ f ( x ) dx = 5. ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx = Câu 123: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục và có đạo hàm trên  thỏa mãn f ( 2 ) = −2 ; 2 ∫ f ( x )dx = 1 . 0 4 Tính tích phân I = ∫ f ′ 0 https://toanmath.com/ ( x )dx . A. I = −10 . C. I = 0 . Hướng dẫn giải B. I = −5 . D. I = −18 . Chọn A Đặt t = x , ta có: t 2 = x và 2tdt = dx . Khi x = 0 ⇒ t = 0 ; x = 4 ⇒ t = 2 . 4 I =∫ f′ 0 ( x )dx = ∫ 2tf ′ ( t )dt . 2 0 = u 2= t ; dv f ′ ( t ) dt ta được: du = 2dt ; v = f ( t ) . Đặt Khi đó: I = ( 2tf ( t ) ) 2 0 2 − 2∫ f = ( t )dt 4 f ( 2 ) − 2.1 =4. ( −2 ) − 2 =−10 . 0 2 Câu 124: Cho ∫ 4 f ( x ) dx = 2 . Tính I = ∫ f ( x ) dx bằng 1 1 A. I = 1 . x B. I = 2 . C. I = 4 . D. I = Hướng dẫn giải 1 . 2 Chọn C Đặt t = 4 = I ∫ 1 x ⇒ dt = ( ) f x = dx x 1 2 x dx ; đổi cận: x = 1 ⇒ t = 1 , x = 4 ⇒ t = 2 2 2 1 1 f ( t ) 2dt 2= ) dt 2.2 ∫= ∫ f ( t= 4. Câu 125: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên  thỏa mãn 16 ∫ 1 f ( x ) dx = 6 và x π 2 ∫ f ( sin x ) cos xdx = 3 . 0 4 Tính tích phân I = ∫ f ( x ) dx . 0 A. I = −2 . Chọn B B. I = 6 . C. I = 9 . Hướng dẫn giải ( ) f x dx = t⇒ dt = ∫1 x dx 6 , đặt x = 2 x Đổi cận: x = 1 ⇒ t = 1 ; x = 16 ⇒ t = 4 4 4 6 = I 2= f t d t 6 ⇒ = 3. ( ) ∫1 ∫1 f ( t ) dt = 2 16 = •Xét I π 2 f ( sin x ) cos xdx ∫= •J u ⇒ cos xdx = du 3 , đặt sin x = 0 Đổi cận: x = 0 ⇒ u = 0 ; x = π 2 ⇒u = 1 1 = J f ( u ) du ∫= 3 0 4 1 4 0 0 1 Vậy I = ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = 3 + 3 = 6 . https://toanmath.com/ D. I = 2 . Câu 126: Cho f ( x ) liên tục trên  thỏa f 9 ∫ ( x ) dx = 4 và x 1 π 2 ∫ f ( sin x ) cos xdx = 2 . Tính 0 3 I = ∫ f ( x ) dx . 0 A. I = 10 . Chọn C 9 Ta có: ∫ f C. I = 4 . Hướng dẫn giải B. I = 6 . ( x ) dx = 4 , đặt t = x D. I = 2 . x ⇒ 2t dt = ⇒ t2 = dx x đổi cận x = 1 ⇒ t = 1 , x = 9 ⇒ t = 3 3 3 f (t ) Do đó ta có: ∫ 2 (1) 2t dt = 4 ⇔ ∫ f ( t ) dt = t 1 1 1 π 2 Ta có: cos x.dx ∫ f ( sin x ) cos x.dx = 4 , đặt t = sin x ⇒ dt = 0 π đổi cận x = 0 ⇒ t = 0 , x = 2 ⇒t = 1 π Do đó ta có: 1 2 2 (2) ∫ f ( sin x ) cos x.dx = 2 ⇔ ∫0 f ( t ) dt = 0 3 3 0 0 f ( x ) dx ∫= f ( t ) dt ∫= Từ (1) và (2) ta có: 4. . Câu 127: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn [1;4] và thỏa = mãn f ( x ) ( ) + ln x . Tính tích f 2 x −1 x x 4 phân I = ∫ f ( x ) dx . 3 B. I = 2 ln 2 2 . A. I = 3 + 2 ln 2 2 . Chọn B 1 Xét K = ∫ 1 )  f 2 x −1  ln x   = + dx ∫1  x  x   4 4 = Ta có ∫ f ( x ) dx 4 ( C. I = ln 2 2 . Hướng dẫn giải ( 4 ∫ ( ) dx + f 2 x −1 1 x ) dx . f 2 x −1 x t +1 ⇒ t ⇒ x= Đặt 2 x − 1 = 2 3 3 1 1 dx dt . = x ⇒K= ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( x ) dx . 4 4 ln 2 x ln x Xét M = ∫ dx = ∫ ln xd= ( ln x ) = 2 ln 2 2 . 2 1 x 1 1 4 4 Do đó ∫= f ( x ) dx 1 3 ∫ 1 https://toanmath.com/ 4 f ( x ) dx + 2 ln 2 2 ⇒ ∫ f ( x ) dx = 2 ln 2 2 . 3 4 ln x dx . x 1 ∫ D. I = 2ln 2 . Câu 128: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên [ −4; + ∞ ) và ∫ ( 5 f 0 B. I = 4 . A. I = 8 . ) 2 x + 4 dx = 8 . Tính I = ∫ x. f ( x ) dx . 3 D. I = −4 . C. I = −16 . Hướng dẫn giải Chọn D x + 4 =t ⇒ x =t 2 − 4 . Đặt x = 0 ⇒ t = 2 Khi  = ⇒8 x = 5 ⇒ t = 3 3 ∫ 2 ( 3 ) . f ( t ) dt 8 . f ( t ) d t 2 − 4 ⇔ ∫ 2t= 2 3 3 3 2 2 2 Mà ∫ 2t. f ( t ) dt =∫ 2 x. f ( x ) dx ⇒ ∫ x. f ( x ) dx =4 ⇒ I =−4 . π 1 Câu 129: Cho ∫ 12 và f ( 2 x + 1) dx = 0 ∫ ( 2 3 ) f sin 2 x sin 2 xdx = 3 . Tính A. 26 . ∫ f ( x ) dx . 0 0 C. 27 . Hướng dẫn giải B. 22 . D. 15 . Chọn C 1  t −1  1 t ⇒ 12 = 24 . Đặt 2 x + 1 = ∫1 f ( t ) d  2  = 2 ∫1 f ( t ) dt = 2 ∫1 f ( x ) dx ⇒ ∫1 f ( x ) dx = 3 3 π ∫ ( ) 3 π π 2 Ta có 3 ( 2 ) 2 ( ) f sin 2 x sin 2 xdx = ∫ f sin 2 x .2sin x cos xdx = ∫ 2sin x. f sin 2 x d ( sin x ) 0 0 0 π 1 f ( u ) du f ( sin x ) d ( sin x ) = ∫ = 2 =∫ 2 2 0 0 3 1 3 0 0 1 1 f ( x ) dx ∫= 3 0 ⇒ ∫ f ( x ) dx =∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx =3 + 24 =27 . π Câu 130: Cho hàm f ( x ) liên tục trên  thỏa mãn 4 ∫ f ( tan x ) dx = 3 và 0 1 ∫ 0 x2 f ( x ) dx = 1 . Tính x2 + 1 1 ∫ f ( x ) dx . 0 A. 4 . B. 2 . C. 5 . Hướng dẫn giải Chọn A 1 1 1 x2 f ( x ) f ( x) f ( x) ⇔ d x + d x = d x ∫0 x 2 + 1 ∫0 x 2 + 1 ∫0 f ( x ) dx . ∫0 ∫0 x2 + 1 0 1 Đặt tan x = t suy ra d ( tan x ) = dt ⇔ dx = dt ⇔ (1 + tan 2 x ) dx = dt . 2 cos x dt dt . = ⇔ dx = 2 1 + tan 2 x 1 + t 1 x2 f ( x ) = dx x2 + 1 1 ( 1 f ( x ) dx − ∫ ) π 4 ∫ f= ( tan x ) dx 0 1 dt f (t ) ∫0 = 1+ t2 1 Vậy ∫ f ( x ) dx = 4 . 0 https://toanmath.com/ 1 f ( x) dx =3. 2 +1 ∫x 0 D. 1 . π ( ) Câu 131: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên R và= ∫ f ( tan x ) dx 4;= ∫ 2 dx 2 . Tính I = ∫ f ( x ) dx . B. I = 2 . A. I = 6 . 4 1 0 0 C. I = 3 . Hướng dẫn giải 1 x2 f x x +1 0 D. I = 1 . Chọn A π 4 Từ ∫ 1 f ( t anx ) dx = 4 ; Ta đặt t = tan x ta được f (t ) dt = 4 2 +1 ∫t 0 0 1 1 1 ( x + 1 − 1) f ( x ) dx = x2 f ( x ) f ( x) d x = 2 ⇔ 2 ⇔ f x d x − dx = 2 ( ) Từ ∫ 2 2 2 ∫ ∫ ∫ x + 1 x + 1 x + 1 0 0 0 0 2 1 1 1 0 0 ⇒ ∫ f ( x ) dx = 2 + ∫ f ( x) dx = 2 + 4 = 6 . x2 + 1 Câu 132: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên  thỏa 2018 ∫ f ( x ) dx = 2 . Khi đó tích phân 0 e 2018 ∫ −1 ) ( x f ln ( x 2 + 1) dx bằng x +1 2 0 A. 4 . B. 1 . C. 2 . Hướng dẫn giải D. 3 . Chọn B e2018 −1 ∫ = Xét I ( 0 ) x f ln ( x 2 + 1) dx . x +1 2 Đặt t ln ( x 2 + 1) ⇒ dt =2 = Suy ra= I 1 2 2018 ∫ 0 2x = 0; x dx . Đổi cận: x = 0 ⇒ t = x +1 2018 1 1 f ( t )= dt f ( x )= dx = .2 1 . ∫ 2 0 2 Câu 133: Tìm tất cả các giá trị dương của m để 3 ∫ x (3 − x ) 0 A. m = 20 . m 15  10  − f ′′   , với f ( x ) = ln x . dx =  9  C. m = 5 . Hướng dẫn giải B. m = 4 . e2018 − 1 ⇒ t =2018 . D. m = 3 . Chọn D + Từ f ( x ) = ln x 15 ⇒ f ′( x) = 15 x14 15  10  −243 −15 ′′ f = do đó . ′′ ⇒ f x =  = ( ) x15 x  9  20 x2 3 + Tính tích phân = I ∫ x (3 − x ) m dx : 0 • Đặt t= 3 − x ⇒ x = 3 − t , dx = −dt , 0 • Do đó I =∫ ( 3 − t ) t 3 x 0 t 3 3 m dt ) ∫ ( 3t ( −= 0 m −t m +1 3 0 ) 3m + 2 243 3m + 2 35 m  10  ′′ 3 ⇔ = x − x dx = − f ⇔ = ( )   ∫0  9  ( m + 1)( m + 2 ) 20 ( m + 1)( m + 2 ) 4.5 3 + Ta có 3 3m + 2 3t m +1 t m + 2 dt = = − m +1 m + 2 0 ( m + 1)( m + 2 ) Thay lần lượt các giá trị Chú ý: https://toanmath.com/ m ở 4 đáp án, nhận giá trị m = 3 . -Việc giải phương trình 3m 33 không cần thiết nên chọn phương pháp thế đáp để làm = ( m + 1)( m + 2 ) 4.5 trắc nghiệm trong bài này. -Để giải phương trình 3m 33 ta xét hàm trên f ( m ) = = ( m + 1)( m + 2 ) 4.5 3m 33 với m > 0 − ( m + 1)( m + 2 ) 4.5 thì chứng minh được phương trình có nghiệm duy nhất m = 3 . f ( x ) . Biết Câu 134: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên  và thỏa mãn f ( 4 − x ) = 3 ∫ xf ( x ) dx = 5 . 1 3 Tính I = ∫ f ( x ) dx . 1 5 A. I = . 2 B. I = 7 . 2 C. I = Hướng dẫn giải 9 . 2 D. I = 11 . 2 Chọn A Cách 1: Dùng tính chất để tính nhanh x ) f ( x ) , ∀x [ a; b ] . Khi đó Cho hàm số f ( x ) liên tục trên [ a; b ] và thỏa mãn điều kiện f ( a + b −= b ∫ xf ( x ) dx = a a+b f ( x ) dx 2 ∫a b Chứng minh: −dt , với x ∈ [ a; b ] . Đổi cận: khi x = a ⇒ t = b ; khi x = b ⇒ t = b Đặt t = a + b − x ⇒ dx = Ta có = b b a a a ∫ xf ( x ) dx =∫ xf ( a + b − x ) dx =− ∫ ( a + b − t ) f ( t ) dt b b b b b b a a a a a ∫ ( a + b − t ) f ( t ) dt = ( a + b ) ∫ f ( t ) dt − ∫ tf ( t ) dt = ( a + b ) ∫ f ( x ) dx − ∫ xf ( x ) dx b b a a ⇒ 2 ∫ xf ( x ) dx = ( a + b ) ∫ f ( x ) dx ⇒ a+b f ( x ) dx . ∫a xf ( x ) dx = 2 ∫a b b Áp dụng tính chất trên với a = 1 , b = 3 . f ( x ) liên tục trên [ a; b ] và thỏa mãn f (1 + 3 − x ) =f ( x ) . 1+ 3 5 . f ( x ) dx ⇒ ∫ f ( x )= dx ∫ 4 1 2 1 1 Cách 2: Đổi biến trực tiếp: Đặt t= 4 − x , với x ∈ [1;3] . 3 3 Khi đó ∫ xf ( x )= dx 3 Ta có 3 3 3 3 3 1 1 1 ∫ xf ( x ) dx =∫ xf ( 4 − x ) dx =∫ ( 4 − t ) f ( t ) dt =4∫ f ( t ) dt − ∫ t. f ( t ) dt 1 1 3 3 1 1 5 . 2 = ⇒ 5 4 ∫ f ( t ) dt − 5 ⇒ ∫ = f ( t ) dt x ) f ( x ) , ∀x ∈ [1;3] và Câu 135: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn [1;3] thỏa mãn f ( 4 −= 3 ∫ xf ( x ) dx = −2 . Giá trị 1 A. 2 .
Trang chủ
3 ∫ f ( x ) dx bằng 1 B. −1 . C. −2 . Hướng dẫn giải D. 1 . Chọn B 3 Xét I = ∫ xf ( x)dx (1). 1 Đặt x= 4 − t , ta có dx = −dt ; x = 1 ⇒ t = 3 , x = 3 ⇒ t = 1 . 3 Suy ra I = t ∫ ( 4 − t ) f (4 − t )d= 1 3 3 1 1 ∫ ( 4 − t ) f (t )dt , hay=I ∫ ( 4 − x ) f ( x)dx 3 (2). 3 I Cộng (1) và (2) vế theo vế ta được 2 I = ∫ 4 f ( x)dx ⇒ ∫ f ( x)dx = = −1 . 2 1 1 Câu 136: Cho hàm số f liên tục trên đoạn [ −6;5] , có đồ thị gồm hai đoạn thẳng và nửa đường tròn như hình vẽ. Tính giá trị I = 5 ∫  f ( x ) + 2 dx . −6 y −4 −6 5 x O −1 I 2π + 33 . I 2π + 34 . B. = C. = Hướng dẫn giải I 2π + 35 . A. = T 7 1 3 T 7 1 17T 17T T 7 1 T 7 1 I 2π + 32 . D. = T 7 1 T 7 1 Chọn D T 7 1 1 khi − 6 ≤ x ≤ −2 2 x + 2  f ( x ) = 1 + 4 − x 2 khi − 2 ≤ x ≤ 2 2 1  x− khi 2 ≤ x ≤ 5 3  3 Ta có . T 7 1 T 7 1 T 7 1 5 5 −6 −6 ∫  f ( x ) + 2 d=x ∫ f ( x ) dx + 2 ∫ dx = I −6 −2 = 5 ) ( 1 1  2 2 ∫−6  2 x + 2  dx + −∫2 1 + 4 − x dx + ∫2  3 x − 3  dx + 22 2 −2 5 5 x 1  1 =  x 2 + 2 x  + J +  x 2 −  + 22 = J + 28 . 32 4  −6 3 ∫ (1 + ) 2 Tính J = 4 − x 2 dx −2 2 cos tdt . Đặt x = 2sin t ⇒ dx = π π Đổi cận: Khi x = 2 thì t = − ; khi x = 2 thì t = . 2 2 ( ) 2 π 2 π 2 π 2 − J =∫ 1 + 4 − x 2 dx =4 + 4 ∫ cos 2 tdt =4 + 2 ∫ (1 + cos 2t ) dt =4 + 2π . Vậy = I 32 + 2π . −2 − π 2 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 2 g ( x) Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn : A. f ( x ) + B. u ′. f ( u ) + C. f ( a + b − x ) =
Trang chủ
u ( a ) = a +) Với  thì u ( b ) = b b f ( x ) dx = ∫ a b 1 g ( x ) dx . A + B + C ∫a b b u ( a ) = b 1 +) Với  thì ∫ f ( x ) dx = g ( x ) dx . A − B + C ∫a u ( b ) = a a Trong đề bài thường sẽ bị khuyết một trong các hệ số A, B, C . Nếu f ( x) [ a; b] thì liên tục trên b b a a ∫ f ( a + b − x ) dx =∫ f ( x ) dx . ( ) = f ( x ) 6 x 2 f x3 − Câu 137: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên [ 0;1] thỏa mãn A. 2 . C. −1 . Hướng dẫn giải B. 4 . 6 . Tính 3x + 1 D. 6 . 1 ∫ f ( x ) dx 0 Chọn B Cách 1: (Dùng công thức) ( ) = f ( x ) 6 x 2 f x3 − Biến đổi 6 6 ⇔ f ( x ) − 2.3x 2 . f ( x3 ) = − với A = 1 , B = −2 . 3x + 1 3x + 1 1 1 1 6 ∫0 f ( x ) dx =1 + ( −2 ) ∫0 − 3x + 1 dx =4 . Cách 2: (Dùng công thức biến đổi – nếu không nhớ công thức) Áp dụng công thức ta có: ( ) 1 1 1 6 1 ⇒ ∫ f ( x ) dx − 2 ∫ 3 x 2 f ( x 3 ) d x = −6 ∫ dx 3x + 1 3 x + 1 0 0 0 Đặt u = x3 ⇒ du =3 x 2 dx ; Với x = 0 ⇒ u = 0 và x =1 ⇒ u =1 . = f ( x ) 6 x 2 f x3 − Từ 1 1 Khi đó ∫ 3 x 2 = f ( x 3 ) dx 0 1 ∫ 0 1 ∫ f ( x ) dx thay vào (*) , ta được: f ( u ) du ∫= 0 1 0 1 1 1 1 1 f ( x ) dx − 2 ∫ f ( x ) dx = −6 ∫ dx ⇔ ∫ f ( x ) d= x 6∫ d= x 4. 3x + 1 3x + 1 0 0 0 0 Câu 138: Xét hàm số f ( x ) liên tục trên [ 0;1] và thỏa mãn điều kiện 4 xf ( x 2 ) + 3 f ( x − 1) = 1 Tích phân I = ∫ f ( x ) dx bằng 0 A. I = π 4 B. I = . π 6 C. I = . Hướng dẫn giải π 20 D. I = . Chọn C Từ 4 x. f ( x ) + 3 f ( x − 1) = 2 1 1 1 − x ⇒ 2 ∫ 2 xf ( x ) dx + 3∫ f (1 − x ) dx = 2 2 0 0 +) Đặt u = x 2 ⇒ du = 2 xdx ; Với x = 0 ⇒ u = 0 và x =1 ⇒ u =1 . Khi đó 1 ( x 2 ) dx ∫ 2 xf= 0 1 1 f ( u ) du ∫= ∫ f ( x ) dx (1) 0 0 1 x ⇒ dt =−dx ; Với x = 0 ⇒ t = 1 và x = 1 ⇒ t = 0 . +) Đặt t =− Khi đó 1 ∫ f (1 − x ) d= x 0 1 ∫ 0 f ( t ) d= t Thay (1) , ( 2 ) vào ( ∗) ta được:
Trang chủ
1 ∫ f ( x ) dx ( 2 ) 0 1 ∫ 0 1 − x 2 dx ( ∗) π 16 1 − x2 . 1 1 1 1 2 ∫ f ( x ) dx + 3∫ f ( x ) dx = ∫ 1 − x dx ⇔ ∫ 2 0 0 0 0 1 π . f ( x )dx = ∫ 1 − x 2 dx = 50 20 1 2 x . Tính giá Câu 139: Cho hàm số f ( x) liên tục trên [ 0; 2] và thỏa mãn điều kiện f ( x ) + f ( 2 − x ) = 2 trị của tích phân I = ∫ f ( x ) dx . 0 1 2 A. I = −4 . B. I = . 4 3 D. I = 2 . C. I = . Hướng dẫn giải Chọn D Cách 1: (Dùng công thức) 2 1 f x f 2 x 2 x + − = Với ( ) ta có A = 1 ; B = 1 , suy ra: I = ∫ f ( x ) dx = ( ) 2 2 2 x dx = x 1+1 0 2 0 ∫ Cách 2: (Dùng phương pháp đổi biến – nếu không nhớ công thức) 2 2 2 0 0 0 2 = 2. 0 2 x ⇒ ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( 2 − x ) dx = Từ f ( x ) + f ( 2 − x ) = ∫ 2 xdx = 4 (*) Đặt u= 2 − x ⇒ du = − dx ; Với x = 0 ⇒ u = 2 và x = 2 ⇒ u = 0. 2 Suy ra ∫ 2 f ( 2 − x ) dx = ∫ 0 0 2 2 f ( u ) du = ∫ f ( x ) dx . 0 2 Thay vào (*), ta được 2 ∫ f ( x ) dx = 4 ⇔ ∫ f ( x ) dx = 2. 0 0 Câu 140: Xét hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn [ 0;1] và thỏa mãn 2 f ( x ) + 3 f (1 − x ) = 1 − x . Tích phân 1 ∫ f ( x ) dx bằng 0 2 A. . 3 B. 1 . 6 C. 2 . 15 D. Hướng dẫn giải 3 . 5 Chọn C 1 x ⇒ dx =−dt . Đặt t =− 1 Suy ra ∫ 0 0 1 1 f (1 − x ) dx = − ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( x ) dx 1 0 0 1 1 2 3 2 f ( x ) + 3 f (1 − x ) = 1 − x ⇔ 5∫ f ( x ) dx = 1 − x dx = − (1 − x ) ∫ 3 0 0 1 Suy ra 1 0 2 . = 3 2 ∫ f ( x ) dx = 15 . 0 Chú ý: Ta có thể dùng công thức ∫ x2 x1 ax2 + b f ( ax + b ) dx = ∫ f ( x ) dx . Khi đó: Từ 2 f ( x ) + 3 f (1 − x ) = 1 − x suy ra: 2 ax1 + b ∫ 1 0 f ( x ) dx + 3∫ f (1 − x ) dx = ∫ 1 − xdx 1 1 0 0 2 2 ⇔ 2∫ f ( x ) dx − 3∫ f (1 − x ) dx = ∫ 1 − xdx ⇔ 5∫ f ( x ) dx = . ⇔ ∫ f ( x ) dx = 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 3 Câu 141: Xét hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn [ 0;1] và thỏa mãn điều kiện 1 2 f ( x ) − 3 f (1 − x ) = x 1 − x . Tính tích phân I = ∫ f ( x ) dx . 0
Trang chủ
15 A. I = 1 . 25 4 . 15 B. I = − C. I = − Hướng dẫn giải 1 . 15 D. I = 4 . 75 Chọn B 1 1 1 Do 2 f ( x ) − 3 f (1 − x ) = x 1 − x ⇒ ∫ 2 f ( x ) dx − ∫ 3 f (1 − x ) dx = ∫ x 1 − xdx 0 0 0      I1 (1) . I2 1 + Xét = I1 3∫ f (1 − x ) dx : 0 1 x ⇒ dx =−dt . Khi x = 0 ⇒ t = 1; x = 1 ⇒ t = 0 . Đặt t =− 1 Khi đó I1 3= = ∫ f ( t ) dt 3I . 0 1 + Xét= I2 ∫x 1 − xdx . Đặt t = 1 − x ⇒ x =− 1 t 2 ⇒ dx =−2tdt . 0 Khi x = 0 ⇒ t = 1; x = 1 ⇒ t = 0 . 0  2t 5 2t 3  4 − Khi đó I 2 =∫ (1 − t ) t ( −2t ) dt =  = . 3  1 15  5 1 0 2 4 15 4 . 15 Thây vào (1) : 2 I − 3I = ⇔ I =− Câu 142: Xét hàm số f ( x ) liên tục trên [ −1; 2] và thỏa mãn f ( x ) + 2 xf ( x 2 − 2 ) + 3 f (1 − x ) = 4 x3 . 2 Tính giá trị của tích phân I = ∫ f ( x ) dx . −1 5 B. I = . 2 A. I = 5 . C. I = 3 . Hướng dẫn giải Chọn C Cách 1: (Dùng công thức – Dạng 2) Với: f ( x ) + ( 2 x ) f ( x 2 − 2 ) + 3 f (1 − x ) = 4 x 3 . Ta có: −1 u ( −1) = . u ( 2 ) = 2 u x 2 − 2 thỏa mãn  = A 1;= B 1;= C 3 và = Khi đó áp dụng công thức có: 2 I = ( x) ∫ f= −1 2 1 3 4 x= dx 1 + 1 + 3 −∫1 4 2 x = 3. 5 −1 Cách 2: (Dùng phương pháp đổi biến – nếu không nhớ công thức) Từ f ( x ) + 2 xf ( x 2 − 2 ) + 3 f (1 − x ) = 4 x3 . 2 ⇒ ∫ −1 2 2 2 −1 −1 −1 3 f ( x ) dx + ∫ 2 x. f ( x 2 − 2 ) dx + 3 ∫ f (1 − x ) dx = ∫ 4 x dx ( *) +) Đặt u = x 2 − 2 ⇒ du = 2 xdx ; với x =−1 ⇒ u =−1 và x = 2 ⇒ u = 2 . Khi đó 2 2 dx ∫ 2 x. f ( x − 2 )= −1 2 ∫ f ( u )= du −1 2 ∫ f ( x ) dx (1) −1 1 x ⇒ dt =−dx ; Với x =−1 ⇒ t =2 và x =2 ⇒ t =−1 . +) Đặt t =− Khi đó 2 2 2 −1 −1 −1 = ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( x ) dx ( 2 ) ∫ f (1 − x ) dx
Trang chủ
D. I = 15 . 2 2 −1 −1 Thay (1) , ( 2 ) vào (*) ta được: 5 ∫ f ( x ) dx = 15 ⇒ ∫ f ( x ) dx = 3. Câu 143: Hàm số f ( x ) liên tục trên [ −1; 2] và thỏa mãn điều kiện f ( x ) = x + 2 + xf ( 3 − x 2 ) . Tính 2 giá trị của I = ∫ f ( x )dx −1 A. I = 14 . 3 B. I = 28 . 3 C. I = Hướng dẫn giải 4 . 3 D. I = 2 . Chọn B Cách 1: ( Dùng công thức). 1 x + 2 + xf ( 3 − x 2 ) ⇒ f ( x ) + . ( −2x ) . f ( 3 − x 2 ) = x + 2 2 Với f ( x ) = = A 1;= B 1 ;= C 0 và u= 3 − x 2 thỏa mãn 2 2  u ( −1) =   u ( 2 ) = −1 2 2 1 28 f ( x )dx x + 2dx = . Khi đó áp dụng công thức= ta có: I ∫= ∫ 1 3 −1 1 − + 0 −1 2 Cách 2: ( Dùng phương pháp đổi biến). 2 2 2 14 (*) Từ f ( x ) − xf ( 3 − x 2 ) = x + 2 ⇒ ∫ f ( x ) dx − ∫ xf ( 3 − x 2 ) dx = ∫ x + 2dx = 3 −1 −1 −1 x =− 1 ⇒ u = 2  Đặt u = 3 − x 2 ⇒ du = −2 xdx với   x =2 ⇒ u =−1 Khi đó 2 ∫ 2 f ( x ) dx − −1 2 2 1 1 2 f ( u ) du = ∫ f ( x ) dx thay vào (*) ta được ∫−1 xf ( 3 − x ) dx = ∫ 2 −1 2 −1 2 2 1 14 28 f ( x ) dx = ⇔ ∫ f ( x ) dx = . ∫ 2 −1 3 3 −1 1 Câu 144: Xét hàm số f ( x ) liên tục trên [ 0;1] và thỏa mãn f ( x ) + xf (1 − x 2 ) + 3 f (1 − x ) = . Tính x +1 1 giá trị của tích phân I = ∫ f ( x ) dx . 0 9 A. I = ln 2 . 2 B. I = 2 ln 2 . 9 C. I = Hướng dẫn giải 4 . 3 Chọn B Cách 1: (Dùng công thức) Với: f ( x ) − . ( −2 x ) f (1 − x 2 ) + 3 f (1 − x ) = 2 x . Ta có: 1 2  u ( 0 ) = 1 .  u (1) = 0 A = 1 ; B = −1 ; và = u x 2 − 2 thỏa mãn  2 1 Khi đó áp dụng công thức ta có: 1 2 2 dx ln x + 1 = ln 2 . ∫0 = 0 9 x +1 9 1 1  1 0 1−  −  + 3  2 Cách 2: (Dùng công thức đổi biến nếu không nhớ công thức) I = ∫ f ( x ) dx =
Trang chủ
D. I = 3 . 2 Từ f ( x ) + xf (1 − x 2 ) + 3 f (1 − x ) = 1 x +1 1 1 0 0 1 1 0 0 ⇒ ∫ f ( x )dx + ∫ xf (1 − x 2 )dx + 3∫ f (1 − x )dx = ∫ 1 dx = ln x + 1 10 = ln 2 . (*) x +1 −2 xdx ; Với x = 0 ⇒ u = 1 và x =1 ⇒ u =0 . +) Đặt u = 1 − x ⇒ du = 1 1 1 1 1 2 Khi đó ∫ xf (1 − x = )du ∫ f ( x )dx (1). )dx 2 ∫ f ( u= 20 0 0 − xdx ; Với x = 0 ⇒ t = 1 và x = 1 ⇒ t = 0 . +) Đặt u = 1 − x ⇒ du = 2 Khi đó 1 ∫ xf (1 − x )d=x 0 1 ∫ 1 f ( t )d= t ∫ f ( t )dt 0 (2). 0 Thay (1), (2) vào (*) ta được: 1 1 1 1 1 2 9 1 ln 2 . ln 2 ⇔ ∫ f ( x )dx = ln 2 ⇒ ∫ f ( x )dx = ∫0 f ( x )dx + 2 ∫0 f ( x )dx + 3∫0 f ( x )dx = 9 20 0 Câu 145: Cho hàm số y = f ( x ) và thỏa mãn f ( x ) − 8 x3 f ( x 4 ) + 1 I = f ( x ) dx ∫= 0 x3 x2 + 1 = 0 . Tích phân a −b 2 a b với a, b, c ∈  và ; tối giản. Tính a + b + c c c c B. −4 . A. 6 . D. −10 . C. 4 . Hướng dẫn giải Chọn A Cách 1: (Dùng công thức). x3 x3 với A = 1; B = −2 = 0 ⇔ f ( x ) − 2. ( 4 x3 ) f ( x 4 ) = − x2 + 1 x2 + 1 Biến đổi f ( x ) − 8 x3 f ( x 4 ) + 1 Áp dụng công thức ta có: ∫ 0 Đặt t = Khi đó: 1 1  1 x3  x 3 dx f ( x ) dx = dx − =   ∫0 x 2 + 1 . 1 + ( −2 ) ∫0  x2 + 1  x 2 + 1 ⇒ t 2 = x 2 + 1 ⇒ tdt = xdx ; Với x = 0 ⇒ t = 1 và 1 1 ∫ f ( x ) dx = ∫ 0 0 x2 2 x +1 2 .xdx = ∫ 1 t 2 −1 .= tdt t x =1⇒ t =  t3  ∫1 ( t − 1) dt=  3 − t  1 2 2 = 2 2. 2− 2 a −b 2 = 3 c Suy ra a = 2; b = 1; c = 3 ⇒ a + b + c = 6 . Cách 2: (Dùng phương pháp đổi biến – nếu không nhớ công thức) 1 1 1 x3 x3 3 4 3 4 Từ f ( x ) − 8 x f ( x ) + = 0 ⇔ ∫ f ( x ) dx − 2 ∫ 4 x f ( x ) dx + ∫ dx = 0 (*) x2 + 1 x2 + 1 0 0 0 Đặt u = x 4 ⇒ du = 4 x3 dx ; Với x = 0 ⇒ u = 0 và x =1 ⇒ u =1 . 1 Khi đó ∫ 4x 3 = f ( x 4 ) dx 0 1 ∫ 0 1 1 f ( u ) du ∫= 0 1 f ( x ) dx − 2 ∫ f ( x ) dx + ∫ 0 Đặt t = Khi đó: 0 1 ∫ f ( x ) dx thay vào (*), ta được: 0 1 3 1 x3 dx dx = 0 ⇔ ∫ f ( x ) dx = ∫ 2 x2 + 1 x + 1 0 0 x x + 1 ⇒ t = x + 1 ⇒ tdt = xdx ; Với x = 0 ⇒ t = 1 và 2 1 ∫ 0 2 1 f ( x ) dx = ∫ 0 2 x2 x2 + 1 2 .xdx = ∫ 1 t 2 −1 .= tdt t Suy ra a = 2; b = 1; c = 3 ⇒ a + b + c = 6 .
Trang chủ
2 x =1⇒ t =  t3  −t  3 1 2 ∫ ( t − 1) dt=  1 2 = 2. 2− 2 a −b 2 = 3 c 1 Câu 146: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn [ − ln 2;ln 2] và thõa mãn f ( x ) + f ( − x ) =x e +1 ln 2 ) dx ∫ f ( x= . Biết a ln 2 + b ln 3 , với a, b ∈  . Tính giá trị của P= a + b . − ln 2 A. P = 1 . 2 B. P = −2 . C. P = −1 . D. P = 2 . Hướng dẫn giải Chọn A Cách 1: Dùng công thức ln 2 ln 2 ln 2 1 dx 1 dx 1 Với f ( x ) + f ( − x ) =x ta có = f ( x ) dx = A 1;= B 1 , suy ra= x x 1 + 1 − ln 2 e + 1 2 − ln 2 e + 1 e +1 − ln 2 ∫ ∫ ∫ Cách 2: Dùng phương pháp dồn biến nếu không nhớ công thức ln 2 ln 2 ln 2 1 dx Từ f ( x ) + f ( − x= x ∫ x ) x ⇒ ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( − x ) d= ( *) e + 1 − ln 2 e +1 − ln 2 − ln 2 Đặt u =− x ⇒ du =−dx ln 2 ⇒ ∫ ln 2 − ln 2 − ln 2 x ) dx ∫ f ( u= ) du ∫ f ( x ) dx thay vào (*) ∫ f ( −= − ln 2 ln 2 2 ln 2 − ln 2 ln 2 ln 2 ta được: ln 2 dx 1 dx ⇔ ∫ f ( x ) dx = ∫ x f ( x ) dx =∫ x e + 1 − ln 2 2 − ln 2 e + 1 − ln 2 Đặt t = e x ⇒ dt = e x dx 1 2 Với x =− ln 2 ⇒ t = , x =ln 2 ⇒ t =2 ln 2 ln 2 2 2 2 2 e x dx t dx dt ⇒ ∫ x = ∫ x x =∫ = ln = ln 2 e + 1 − ln 2 e ( e + 1) 1 t ( t + 1) t +1 1 − ln 2 Khi đó: ln 2 ∫ f ( x ) dx= − ln 2 ⇒ P = a+b = a ,b∈ 1 1 ln 2= a ln 2 + b ln 3 → a= , b= 0 2 2 1 . 2   y f x+ Câu 147: Biết hàm số=  π π  − 2 ; 2  và π  là hàm số chẵn trên đoạn 2 π 2  π f ( x ) + f  x +  = sin x + cos x . Tính I = ∫ f ( x ) dx . 2  0 A. I = 0 . B. I = 1 . C. I = Hướng dẫn giải: π = I Đặt t = − x ⇒ dt =−dx Đổi cận: ⇒ 2 0 π 1 . 2  π 2 D. I = −1 . π  π 2 π  dt ) ∫ f  − t =  dt ∫ f  − x  dx (Tích ∫ f  2 − t  .( −= 2  2  π 0 0 2 π phân xác định không phụ thuộc vào biến số tích phân) = 2 0 π  π  ⇒ f  + x = f  − x   2  2 
Trang chủ
π   Vì f  π + x  là hàm số chẵn    ∫ f  2 + x   2  π π 2 Vậy 2 I =∫  f ( x ) + f  x + π   dx =∫ ( sin x + cos x ) dx =( cos x − sin x ) 2   0  0 2 π 2 −1 =−1 − 1 =−2 ⇒ I = 0 ⇒ Chọn D π  sin x.cos x Câu 148: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên  , f ( 0 ) = 0 và f ( x ) + f  − x  = 2  với ∀x ∈  . Giá trị của tích phân ∫ xf ′ ( x ) dx bằng π 2 0 A. − π . 4 B. 1 . 4 C. π . 4 D. − Hướng dẫn giải Cách 1: (Dùng công thức) π  sin x.cos x , ta có = A 1;= B 1. Với f ( x ) + f  − x  = 2  π Suy ra ∫02 f ( x ) dx = 1 . 4 1 π2 1 . = sin x.cos x.dx ∫ 0 1+1 4 Cách 2: (Dùng phương pháp đổi biến – nếu nhớ công thức) π π π 1 π  π  sin x.cos x ⇒ ∫02 f ( x ) + ∫02 f  = .cos xdx − x dx ∫02 sin x= (*) Từ f ( x ) + f  − x  = 2 2  2  π 2 Đặt u = − x ⇒ du =−dx π 2 π 2 Với x = 0 ⇒ u = ; x = ⇒ u = 0 . Suy ra ∫ π 2 0 π  f  − x= dx 2  ∫ π 2 0 f ( u )= du π 2 ∫ f ( x ) dx , thay vào (*) ta được 0 π π 1 1 (1) 2 ∫02 f ( x ) dx = ⇔ ∫02 f ( x ) dx = 2 4 π π 2 = u x= du dx ⇒ 2 xf ′ ( x ) dx = 2 2 xf x f x dx f   − ∫0 f ( x ) dx (*) − = ( ) ( ) Đặt  ⇒ ∫ ∫ 0 0 0 ′ 2 dv f x dx v f x = = ( ) ( ) 2   π π π π π  sin x.cos x suy ra Từ điều kiện f ( x ) + f  − x  = 2   π 0  f  2  − f (0) =    π ⇒ f = 0 (2).  2 π      f (0) + f 0 2=     Thay (1), (2) vào (*), ta được ∫ π 2 0 1 xf ′ ( x ) dx = − . 4 Chọn D Câu 149: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên  và thỏa mãn f (1 + 2x ) + f (1 −= 2x ) tích phân I = ∫−1 f ( x ) dx . x2 , ∀x ∈  . tính x2 + 1 3 A. I= 2 − π . 2 B. I = 1 − Đặt t = 1 + 2 x ⇒ 1 − 2 x = 2 − t và x =
Trang chủ
π . 4 C. I= Hướng dẫn giải. 1 π − . 2 8 t −1 , khi đó điều kiện trở thành 2 D. I = π . 4 f ( t ) + f ( 2= − t) t 2 − 2t + 1 x2 − 2x + 1 (*) ⇒ f x + f 2 − = x ( ) ( ) t 2 − 2t + 5 x2 − 2x + 5 Cách 1: (Dùng công thức) x2 − 2x + 1 A 1;= B 1. ta có = x − 2x + 5 3 1 3 x2 − 2x + 1 π Suy ra ∫−1 f ( x ) dx = ∫−1 2 dx ≈ 0,429 = 2− 1 + 1 x − 2x + 5 2 Với f ( x ) + f ( 2 − x ) =2 Chọn A Cách 2: (Dùng công thức đổi biến – nếu nhớ công thức) 2 3 3 3 x − 2x + 1 x2 − 2x + 1 ⇒ ∫−1 f ( x ) dx + ∫−1 f ( 2 − x ) dx = ∫−1 x 2 − 2 x + 5 dx (2*) x − 2x + 5 Đặt u =2 − x ⇒ du =−dx . Với x =−1 ⇒ u =3; x =3 ⇒ u =−1 . Từ (*), ta có f ( x ) + f ( 2 − x ) =2 Suy ra dx ∫ f ( u )= du ∫ f ( x ) dx , thay vào (*), ta được: ∫ f ( 2 − x )= 3 3 3 −1 −1 −1 2 ∫−1 f ( x ) dx = ∫−1 3 3 3 x2 − 2x + 1 1 3 x2 − 2x + 1 π dx ⇒ = f x dx = dx ≈ 0,429 2 ( ) ∫ ∫ 2 2 −1 −1 x − 2x + 5 2 x − 2x + 5 2
Trang chủ
TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 3 Cách giải: Lần lượt đặt t = u ( x ) và t = v ( x ) để giải hệ phương trình hai ẩn (trong đó có ẩn f ( x ) ) để suy ra hàm số f ( x ) (nếu u ( x ) = x thì chỉ cần đặt một lần t = v ( x ) ). Các kết quả đặc biệt:  x−b  x −c A.g  − B.g    g x với A2 ≠ B 2 ) khi đó f ( x ) =  a 2 2  −a  (*) Cho A. f ax + b + B. f −ax + c = A −B A.g ( x ) − B.g ( − x ) +)Hệ quả 1 của (*): A. f ( x ) + B. f ( − x=) g ( x ) ⇒ f ( x=) A2 − B 2 g(x) +)Hệ quả 2 của (*): A. f ( x ) + B. f ( − x=) g ( x ) ⇒ f ( x=) với g x là hàm số chẵn. A+ B ( ) ( ) ( ) () 1 x 3 x . Tính I = ∫ Câu 150: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên  và f ( x ) + 2 f   = A. I = 3 . 2 B. I = 1 . C. I = Hướng dẫn giải 2 f ( x) 1 2 1 . 2 x dx . D. I = −1 . Chọn A 3 1 1 3 1 1 ⇒ 2 f ( x) + f   = . ⇒ x = khi đó điều kiện trở thành f   + 2 f ( t ) = t x t t  x x Đặt, t = 1 x 1 x 6 x 3 x . Suy ra : Hay 4 f ( x ) + 2 f   = , kết hợp với điều kiện f ( x ) + 2 f   = 2 f ( x) 2 2 f x 2 6 − 3x ⇒ = 2 − 1 ⇒ I = ∫ ( ) dx = ∫  22 − 1 dx = −2 − x  1 = 3 . x x x 1 1 x x 2   x  3 f ( x) = 2 2 2 Chọn B 2 x 15 x 2 − Câu 151: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên  {0} và thỏa mãn 2 f ( 3 x ) + 3 f   = , 9 ∫ f ( x ) dx = k . Tính I = ∫ 1 2 3 A. I = − 3 2 45 + k . 9 B. I = 1 f   dx theo k . x 45 − k . 9 C. I = Hướng dẫn giải 45 + k . 9 D. I = Chọn A 1 ⇒t = 1 1 2 . Đặt t = 2 x ⇒ dx = dt . Đổi cận 3 2 x= ⇒t = 3 2 3 1 2 Khi đó I = ∫ f   dx . 21 t x= 2 x 15 x 2 2 x 5x 2 f ( 3x ) 2 3 − − − ⇔ f  = Mà 2 f ( 3 x ) + 3 f   = 1  5x 2 5 1 1  Nên I = ∫  − − f ( 3 x )  dx =− ∫ x dx − ∫ f ( 3 x ) dx =−5 − ∫ f ( 3 x ) dx (*) 21 2 3 41 31 31  3
Trang chủ
3 3 3 45 − 2k . 9 ⇒ Đặt u = 3 x dx = x =1 ⇒ u = 3 1 . dx . Đổi cận x = 3⇒ t = 9 3 1 45 + k k Khi đó I =−5 − ∫ f ( t ) dt =−5 − =− . 93 9 9 9 2 x sin x . Tính giá Câu 152: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên  và thỏa mãn f ( − x ) + 2018 f ( x ) = π trị của I = 2 ∫π f ( x ) dx . − 2 2 A. I = . 2019 B. I = 2 . 1009 C. I = Hướng dẫn giải Chọn C Cách 1: (Dùng công thức) 2 x sin x ta có = Với f ( − x ) + 2018 f ( x ) = A 1;= B 2018 π Suy ra I = 1 π 2 ∫π f ( x ) dx = 1 + 2018 ∫π 2 x sin xdx 2 − − 2 Casio = 4 2019 4 . 2019 D. I = 1 . 1009 ⇒ Đáp án C 2 Cách 2: g ( x) A+ B g ( x ) ⇒ f ( x ) = với g ( x ) là hàm số chẵn. Áp dụng Hệ quả 2: A. f ( x ) + Bf ( − x ) = 2 x sin x 2 x sin x ⇒ f ( x ) = Ta có f ( − x ) + 2018 f ( x ) = 2019 π I= π 2 2 ∫π f ( x ) dx = 2019 ∫π x sin xdx 2 − − 2 Casio = 4 2019 ⇒ Đáp án C 2 e x . Tính giá trị Câu 153: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên  và thỏa mãn f ( − x ) + 2018 f ( x ) = 1 của I = ∫ f ( x ) dx −1 A. I = e2 − 1 . 2019e B. I = e2 − 1 . 2018e C. I = 0 . Hướng dẫn giải D. I = e2 − 1 . e Chọn A Cách 1: (Dùng công thức). e x ta có = Với f ( − x ) + 2018 f ( x ) = A 1;= B 2018 . 2 1 1 1 1 x = e −1 x Suy ra I = ∫ f ( x ) dx = . e dx = e 1 + 2018 −∫1 2019 −1 2019e −1 Cách 2: (Dùng công thức) 1 A.g ( x ) − B.g ( − x ) . A2 − B 2 g ( x) ⇒ f ( x) = Áp dụng Hệ quả 1: A. f ( x ) + B. f ( − x ) = Ta có: 1 1 2018e x − e− x 1 f ( − x ) + 2018 f ( x ) = e ⇒ f ( x) = 2 2018e x − e − x ) dx ⇒ ∫= f ( x ) dx ( ∫ 2018 − 1 2019.2017 −1 −1 x
Trang chủ
e2 − 1 (Casio). 2019e 12 x 2 . Câu 154: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên  , thỏa mãn 2 f ( 2 x ) + f (1 − x ) = ≈ 1,164.10−3 ≈ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( x ) tại điểm có hoành độ bằng 1 là B. = y 4x − 6 . A. = y 2x + 2 . C. = y 2x − 6 . Hướng dẫn giải D. = y 4x − 2 . Chọn C Áp dụng kết quả  x −b   x−c  A.g   − B.g    a   a  g ( x ) (với A2 ≠ B 2 ) khi đó f ( x ) = “Cho A. f ( ax + b ) + B. f ( −ax + c ) = A2 − B 2 ”. Ta có  x  x −1  2.g   − g  2  −2  6 x 2 − 3 ( x − 1) 2   2 2 f ( 2 x ) + f (1 − x )= 12 x = g ( x ) ⇔ f ( x ) = 2 = = x2 + 2x −1 . 2 −1 3  f (1) = 2 Suy ra  , khi đó phương trình tiếp tuyến cần lập là: = y 4x − 2 . 4  f ′ (1) = Câu 155: Cho f ( x ) là hàm số chẵn, liên tục trên  thỏa mãn 1 ∫ f ( x )dx = 2018 và g ( x ) là hàm số 0 1 , ∀x ∈  . Tính tích phân I = liên tục trên  thỏa mãn g ( x ) + g ( − x ) = 1 ∫ f ( x )g ( x ) dx . −1 A. I = 2018 . B. I = 1009 . 2 C. I = 4036 . D. I = 1008 . Hướng dẫn giải Chọn A Áp dụng Hệ quả h ( x) A.g ( x ) + B.g ( − x ) = h ( x ) ⇒ g ( x ) = với h ( x ) là hàm số chẵn. A+ B 1 1 Ta có: g ( x ) + g ( − x ) =1 =h ( x ) ⇒ g ( x ) = = . 1+1 2 Kết hợp với điều kiện f ( x ) là hàm số chẵn, ta có: 1 I f ( x ) g ( x ) dx ∫= −1 1 1 f ( x ) dx = 2 −∫1 1 f ( x )dx ∫= 2018 . 0 Chú ý: Nếu f ( x ) là hàm số chẵn, liên tục trên [ −a; a ] ⇒ Câu 156: Cho số dương a và hàm số f ( x ) Giá trị của biểu thức a ∫ −a a f ( x ) dx = 2 ∫ f ( x ) dx . 0 a , ∀x ∈  . liên tục trên  thỏa mãn f ( x ) + f ( − x ) = a ∫ f ( x ) dx bằng −a A. 2a 2 . Chọn C
Trang chủ
B. a . C. a 2 . Hướng dẫn giải D. 2a . −a a a a dx ∫ f ( −t )( −d= dt ∫ f ( − x ) d x t ) ∫ f ( −t )= ∫ f ( x) = Đặt= x −t ⇒ −a a ⇒ 2 ∫ f ( x ) dx = −a −a a a −a a a ∫  f ( x ) + f ( − x ) dx = ∫ adx ⇔ 2 ∫ f ( x ) dx = −a −a a 2a ⇔ 2 −a ∫ f ( x ) dx = a2 . −a π 2sin x . Tính Câu 157: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên  thỏa điều kiện f ( x ) + f ( − x ) = 2 ∫π f ( x ) dx − A. −1 . D. 2 . C. 1 . Hướng dẫn giải B. 0 . 2 Chọn B π 2 ∫π f ( x ) dx . Giả sử I = − Đặt 2 t = − x ⇒ dt = −dx , đổi cận − π 2 x =− π π π π → t = x = → t =− . 2 2 2 2 π 2 − ∫ f ( t ) dt = Khi đó I = ∫ f ( t ) dt . π 2 π 2 − π 2 π 2 f ( − x )  dx ∫= 2sin xdx ∫π  f ( x ) + = π 2I Suy ra= − − 2 0 ⇒ 2I = 0⇒I= 0 2 Câu 158: Cho f ( x) là một hàm số liên tục trên  thỏa mãn f ( x ) + f ( − x ) = phân I = 2 − 2 cos 2 x . Tính tích 3π 2 − ∫π f ( x ) dx . 3 2 B. I = 4 . A. I = 3 . C. I = 6 . Hướng dẫn giải D. I = 8 . Chọn C 3π 2 = Ta có I − 3π 2 0 f ( x ) dx ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx . ∫= π π 3 2 − 3 2 0 3π 3π ∫π f ( x ) dx Đặt t =− x ⇒ dt =−dx ; Đổi cận: x =− 2 ⇒ t = 2 ; 0 Xét − 3 2 Suy ra − 0 0 3 2 3 2 3π 2 3π 2 0 0 ∫π f ( x ) dx = − ∫π f ( −t ) dt = ∫ f ( −t ) dt = ∫ f ( − x ) dx .
Trang chủ
x = 0 ⇒ t = 0. Theo giả thiết ta có: f ( x ) + f ( − x ) = ⇔ 3π 2 3π 2 3π 2 0 0 2 − 2 cos 2 x ⇔ 3π 2 3π 2 0 0 ∫ ( f ( x ) + f ( − x ) ) dx = ∫ 2 − 2 cos xdx 2 ∫ sin x dx ∫ f ( x ) d x + ∫ f ( − x ) dx = 0 3π 2 0 π 3π 2 3 2 0 0 ∫ f ( x ) dx + ∫π f ( x ) dx = 2∫ sin x dx − 2 ∫ sin x dx ⇔ 0 − Câu 159: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên R và thỏa mãn f ( x ) + f ( − x ) = I= π 2 ∫π f ( x ) dx . − A. I = −1 . 2 B. I = 1 . D. I = 2 . C. I = −2 . Hướng dẫn giải π 2 I= 2 + 2 cos 2 x . Tính ∫π f ( x ) dx (1) Đặt t =− x ⇒ dt =−dx Đổi cận: − 2 π 2 π 2 π 2 π 2 − − − I ⇒= ∫ f ( −t ) .( −dt=) ∫π f ( −t ) dt= ∫π f ( − x ) dx (2) (Tích phân xác định không phụ thuộc vào 2 2 biến số tích phân) (1) + (2) ⇒ 2 I= π 2 π 2 − − ∫π  f ( x ) + f ( − x ) dx= ∫π 2 2 + 2 cos 2 xdx 2 π 2 =∫ 2 (1 + cos 2x )dx = − π 2 π 2 π 2 π 2 π 2 π 2 π − 2 2 ∫ 2 cos 2 xdx= 2 ∫ cos x dx= 2 ∫ cos xdx= 2sin x − π 2 − ⇒I= 2 Chọn D π 2 − = 2 1 − ( −1)=  4 tan 2 x . Tính Câu 160: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên  và 3 f ( − x ) − 2 f ( x ) = π 4 ∫ f ( x ) dx − A. 1 − π . 2 Chọn D
Trang chủ
B. π −1 . 2 C. 1 + Hướng dẫn giải π . 4 π 4 D. 2 − π . 2 π 4 Cách 1: Ta có ∫ − π 4  1   dx ∫π  cos2 x − 1=  − 2 = tan xdx π 4 π ( tan x − x ) −4 π = 1− 4 π π  π −  −1 + = 2 − 2 4  4 4 π 4 π ⇒ 2= − 2 ∫ 3 f ( − x ) − 2 f ( x ) dx . − π 4 Đặt t =− x ⇒ dt =−dx , đổi cận x =− π 4 π π π π ⇒ t = , x = ⇒ t =− . 4 4 4 4 π 4 π 4 dx ∫ 3 f ( t ) − 2 f ( −t )=  dt ∫ 3 f ( x ) − 2 f ( − x )  dx ∫ 3 f ( − x ) − 2 f ( x )= − π 4 − π 4 − π 4 π 4 π 4 π 4 − π 4 ∫ f ( x ) dx= − − π 4 π π 2− 3 f ( x ) − 2 f ( x )  dx ⇔ 2 − =∫ f ( x ) dx ) dx ∫ f ( − x ) dx ⇒= ∫ ∫ f ( x= 2 2 Suy ra, Vậy π 4 π 4 − π 4 − π 4 π 2 2− π 4 Cách 2: ( Trắc nghiệm) 2 Chọn f ( x ) = f ( − x ) = tan x (Thỏa mãn giả thiết). π 4 π 4 π 4  1 ∫ f ( x ) dx = ∫ tan x dx = ∫  cos Khi đó 2 − π 4 − π 4 − 2 π 4 π  − 1 dx = 2− x  2 1 Câu 161: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn [ − ln 2;ln 2] và thỏa mãn f ( x ) + f ( − x ) =x e +1 ln 2 Biết ) dx ∫ f ( x= a ln 2 + b ln 3 ( a; b ∈  ) . Tính P= a + b . − ln 2 1 2 C. P = −1 . B. P = −2 . A. P = . D. P = 2 . Hướng dẫn giải Chọn A ln 2 Gọi I = ∫ f ( x ) dx . − ln 2 Đặt t = − x ⇒ dt = −dx . Đổi cận: Với x = − ln 2 ⇒ t = ln 2 ; Với x = ln 2 ⇒ t = − ln 2 . − ln 2 Ta được I = − ∫ f ( −= t ) dt ln 2 2I Khi đó ta có:= ln 2 ∫ ln 2 ∫ − ln 2 f ( x ) dx + − ln 2 ln 2 1 Xét ∫ x dx . Đặt u = e x e +1 − ln 2 ln 2 ∫ f ( − x ) dx . − ln 2 ln 2 ∫ − ln 2 ln 2 f ( − x ) dx = = ∫  f ( x ) + f ( − x ) dx = − ln 2 ⇒ du = e x dx Đổi cận: Với x = − ln 2 ⇒ u =
Trang chủ
f ( −= t ) dt 1 2. ; x = ln 2 ⇒ u = 2 ln 2 1 dx . e + 1 − ln 2 ∫ x . ln 2 ln 2 ln 2 1 1 ex x d = du = x d x ∫ ∫ ∫ x x e +1 u u + 1) − ln 2 − ln 2 ( − ln 2 e ( e + 1) Ta được 1  1  −  du = u u +1 − ln 2  ln 2 = ( ln u − ln u + 1 ) = ln 2 ∫ Vậy ta có a = 2 1 2 1 1 , b = 0⇒ a+b = . 2 2 Câu 162: Xét hàm số f ( x ) liên tục trên [ 0;1] và thỏa mãn điều kiện 2 f ( x ) + 3 f (1 − x ) = x 1 − x . 1 Tính tích phân I = ∫ f ( x )dx . 0 4 A. I = − . 15 B. I = 1 . 15 C. I = Hướng dẫn giải Chọn C Cách 1: (Dùng công thức) Với 2 f ( x ) + 3 f (1 − x ) = x 1 − x ta có= A 2;= B 3. 1 Suy ra: ∫= f ( x ) dx 0 4 . 75 D. I = 1 . 25 1 Casio 1 4 . 1 − x xdx = 0, = 05 ( 3) ∫ 2+30 75 Áp dụng kết quả g ( x ) (Với A2 ≠ B 2 ) khi đó “Cho A. f ( ax + b ) + B. f ( −ax + c ) =  x −b   x−c  A.g   − B.g   −a  a    f ( x) = ”. A2 − B 2 2 g ( x ) − 3g (1 − x ) 2 x 1 − x − 3 (1 − x ) x = . 22 − 32 −5 Ta có: 2 f ( x ) + 3 f (1 − x )= x 1 − x= g ( x ) ⇒ f ( x ) = 1 Suy ra: I = 1 f ( x ) dx ∫= ∫ 0 0 Casio 2 x 1 − x − 3 (1 − x ) x 4 . 0, 05 ( 3) = = dx 75 −5 Cách 3: (Dùng phương pháp đổi biến – nếu không nhớ công thức) 1 1 1 0 0 0 Từ 2 f ( x ) + 3 f (1 − x ) = x 1 − x ⇒ 2 ∫ f ( x ) dx + 3∫ f (1 − x ) dx = ∫ x 1 − xdx= Casio 0, 2 (= 6) 4 ( ∗) Đặt 15 u =− 1 x ⇒ du =−dx ; Với x = 0 ⇒ u = 1 và x =1 ⇒ u =0 . 1 Suy ra ∫ f (1− x )= dx 0 2 1 ∫ 0 f ( u )= du 1 ∫ f ( x ) dx thay vào ( ∗) , ta được: 0 2 4 4 . ⇔ ∫ f ( x ) dx = 5∫ f ( x ) dx = 15 75 0 0 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 4 Câu 163: Cho f ( x ) và g ( x ) là hai hàm số liên tục trên [ −1,1] và f ( x ) là hàm số chẵn, g ( x ) là 1 hàm số lẻ. Biết ∫ 0 1 A. ∫ f ( x ) dx = 10 . −1
Trang chủ
f ( x ) dx = 5 và 1 ∫ g ( x ) dx = 7 . Mệnh đề nào dưới đây sai? 0 1 B. ∫ g ( x ) dx = 14 . −1 1 1 10 . ∫  f ( x ) + g ( x ) dx = C. 10 . ∫  f ( x ) − g ( x ) dx = D. −1 −1 Hướng dẫn giải Nhớ 2 tích chất sau để làm trắc nghiệm nhanh: a Câu 164: Nếu hàm f ( x ) CHẴN thì a a f ( x ) dx = 2 ∫ f ( x ) dx 2. Nếu hàm f ( x ) LẺ thì ∫ −a ∫ f ( x ) dx = 0 −a 0 Nếu chứng minh thì như sau: 1 0 f ( x ) dx ∫= Đặt A = 1 ∫ f ( x ) dx + ∫0 f ( x ) dx −1     −1 A1 0 A1 = ∫ f ( x ) dx . Đặt t = − x A2 ⇒ dt = −dx −1 Đổi cận: 0 ∫ ⇒ A1 = 1 f ( −t ) . ( −dt ) = ∫ 1 1 ∫ f ( − x ) dx (Do tích phân xác định không phụ thuộc vào biến f ( −t ) dt = 0 0 1 f ( x) ) số tích phân) = ∫ f ( x ) dx (Do f ( x ) là hàm chẵn ⇒ f ( − x ) = 0 1 1 1 Vậy A = ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = 10 (1) −1 1 0 −1 −1 0 0 1 g ( x ) dx ∫ g ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx ∫= Đặt B = 0      B1 0 B2 t = − x ⇒ dt = −dx B1 = ∫ g ( x ) dx . Đặt −1 Đổi cận: 0 1 ∫ g ( −t ) . ( −dt ) = ⇒ B1 = 1 ∫ g ( −t ) dt = 1 ∫ g ( − x ) dx 0 (Do tích phân xác định không phụ thuộc vào biến 0 1 −g ( x) ) số tích phân) = − ∫ g ( x ) dx (Do f ( x ) là hàm chẵn ⇒ g ( − x ) = 0 1 1 1 −1 0 0 Vậy B = − ∫ g ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx = 0 (2) ∫ g ( x ) dx = Từ (1) và (2) Chọn B Câu 165: Cho hàm số y = f ( x ) là hàm lẻ và liên tục trên [ −4; 4] biết T 7 1 17T 17T T 7 1 T 7 1 0 T 7 1 2 và ∫ f ( − x ) dx = T 7 1 T 7 1 −2 2 4 4 . Tính I = ∫ f ( x ) dx . ∫ f ( −2 x ) dx = 17T 17T 1 0 A. I = −10 . T 7 1 T 7 1 B. I = −6 . T 7 1 17T 17T D. I = 10 . C. I = 6 . Hướng dẫn giải T 7 1 T 7 1 T 7 1 T 7 1 T 7 1 Chọn B T 7 1 x2 Cách 1: Sử dụng công thức: T 7 1 hàm số lẻ trên đoạn [ −a; a ] . 17T
Trang chủ
17T 17T ∫ x1 a x 1 2 f ( ax + b ) dx = f ( ax ) dx và tính chất a x∫1 T 7 1 T 7 1 ∫ f ( x ) dx = 0 với f ( x ) là T 7 1 −a T 7 1 T 7 1 Áp dụng, ta có: 2 ∫ 1 −4 1 −2 •4 = − ∫ f ( x ) dx = f ( x ) dx ⇔ ∫1 f ( −2 x ) dx = 2 −2 2 ∫−4 0 •2 = −∫ f ( x ) = ∫ f ( − x ) dx = ∫ f ( x) ⇔ −2 Suy ra: 0 = ⇔ 0 =8 + ∫ (∫ 4 −4 2 −2 0 2 2 0 f ( x ) dx = ∫ −2 −4 −2 −4 f ( x ) dx = 8. 2 ∫ f ( x) = 2 0 f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx ) 0 4 −2 0 8 ( 0 − 2 ) + I ⇔ I =−6 . f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx + I ⇔ 0 =+ 2 0 0 Cách 2: Xét tích phân 2. ∫ f ( − x ) dx = −2 −x = t ⇒ dx = −dt . Đặt Đổi cận: khi x = −2 thì t = 2 ; khi x = 0 thì t = 0 do đó 0 ∫ −2 2 2 0 0 0 2 2 0 − ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( t ) dt f ( − x ) dx = ⇒ ∫ f ( t ) dt = 2 ⇒ ∫ f ( x ) dx = 2. − f ( 2x) . Do hàm số y = f ( x ) là hàm số lẻ nên f ( −2 x ) = 2 ∫ Do đó 1 2 2 1 1 f ( −2 x ) dx = − ∫ f ( 2 x ) d x ⇒ ∫ f ( 2 x ) dx = −4 . 2 ∫ f ( 2 x ) dx . Xét 1 1 2 Đặt 2x = t ⇒ dx =dt . Đổi cận: khi x = 1 thì t = 2 ; khi x = 2 thì t = 4 do đó 2 ∫ f ( 2 x ) dx = 1 4 4 1 f ( t ) dt = −4 2 ∫2 4 ⇒ ∫ f ( t ) dt = −8 ⇒ ∫ f ( x ) dx = −8 . 2 2 4 Do I = ∫= f ( x ) dx 0 2 ∫ 0 4 f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx =2 − 8 =−6 . 2 Câu 166: Cho hàm số chẵn y = f ( x ) liên tục trên  và 1 ∫ −1 A. 2 . B. 4 . Chọn D 1 Ta có ∫ −1 f ( 2x) dx = 8 . Tính 1 + 2x 2 ∫ f ( x ) dx . 0 D. 16 . C. 8 . Hướng dẫn giải 2 f ( 2x) f ( x) d 8 dx = 16 . x = ⇔ x x ∫ 1+ 2 2 −2 1 + −2 −2 f ( x) f ( −t ) 2 f (t ) I= d x = − dt = Đặt t =− x ⇒ dt =−dx , khi đó 16 = x ∫ ∫2 1 + 2 −t ∫2 1 + 2 t dt . −2 1 + 2 2 −2 2 2 f ( x) 2 f ( x) I = x + x = f x x = 2 d d d 2 Suy ra ∫−2 1 + 2 x ∫2 1 + 2 x ∫−2 ( ) ∫0 f ( x ) dx . 2 2 Vậy ∫ f ( x ) dx = 16 . 0
Trang chủ
x t Câu 167: Cho f ( x ) là hàm số chẵn liên tục trong đoạn [ −1; 1] và 1 f ( x) ∫ 1+ e I= x ∫ f ( x ) dx = 2 . Kết quả −1 dx bằng −1 A. I = 1 . 1 C. I = 2 . Hướng dẫn giải B. I = 3 . D. I = 4 . Chọn A 1 0 1 f ( x) f ( x) f ( x) = + I= x x I1 + I 2 d d ∫ 1 + ex ∫ 1 + ex ∫0 1 + e x dx = −1 −1 f ( x) 0 Xét I1 = ∫ 1+ e x dx −1 Đặt x =−t ⇒ dx =−dt , đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0 , x =−1 ⇒ t =1 f ( x) dt ) ∫1 1 + e−t ( −= 0 I1 = et . f ( x ) ∫0 1 + et dt . 1 1 x et . f ( t ) e . f ( x) = d t ∫0 1 + et ∫0 1 + e x dx . 1 Lại có 1 t 1 1 1 1 1 + et ) . f ( t ) ( f ( x) f (t ) e . f (t ) 1 dx =∫ dt + ∫ dx =∫ dt =∫ f ( t ) dt = ∫ f ( t ) dt =1 . Suy ra: I =∫ x t t t + + + + 1 e 1 e 1 e 1 e 2 −1 0 0 0 0 −1 1 1 Câu 168: Cho y = f ( x ) là hàm số chẵn và liên tục trên . Biết = ∫ f ( x ) dx 2 0 f ( x) dx bằng x +1 2 1 = f ( x ) dx 1 . Giá trị 2 ∫1 ∫3 của −2 A. 1 . C. 4 . Hướng dẫn giải B. 6 . D. 3 . Chọn D Cách 1: Sử dụng tính chất của hàm số chẵn a a f ( x) Ta có: ∫ x dx = ∫ f ( x ) dx , với f ( x ) là hàm số chẵn và liên tục trên [ −a; a ] . b +1 0 −a Áp dụng ta có: 2 2 1 2 f ( x) = = + d x f x d x f x d x ( ) ( ) ∫ 3x + 1 ∫0 ∫0 ∫1 f ( x ) dx =1 + 2 =3 −2 1 Cách 2: Do ∫ 2 0 1 2 ⇒ ∫ f ( x ) dx + ∫= f ( x ) dx 0 1 f ( x) Mặt khác ∫ x dx = 3 +1 −2 2 2 1 1 f x d x = 1 ⇒ 1 và ∫ f ( x ) dx = 2 ( ) ∫0 f ( x ) dx = 2 ∫1 1 f ( x ) dx = 2 f ( x ) dx ∫= 3. 0 2 f ( x) f ( x) ∫−2 3x + 1 dx + ∫0 3x + 1 dx và y = f ( x ) là hàm số chẵn, liên tục trên  0 ⇒ f ( −= x ) f ( x ) ∀x ∈  . 0 Xét I = f ( x) dx . Đặt t =− x ⇒ dx =−dt x +1 ∫3 −2
Trang chủ
0 f ( −t ) f ( x) Suy ra I ∫= − = d x ∫2 3−t + 1 dt = 3x + 1 −2 0 2 ∫ 0 ( ) 0 2 f ( x) f ( x) f ( x) = x d x d + ∫−2 3x + 1 ∫−2 3x + 1 ∫0 3x + 1 dx = ∫0 3x + 1 dx + ∫0 3x + 1 dx = 3x + 1 0 2 ⇒ 2 t 2 x f ( −t ) dt = ∫ 3 tf ( t ) dt = ∫ 3 xf ( x ) dx 1 3 +1 3 +1 0 0 +1 t 3 2 2 x 2 3x + 1 f ( x ) f ( x) 3 f ( x) ∫ dx = 2 ∫ f ( x ) dx = 3 . 0 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 5 “ Cho hàm số y = f ( x ) thỏa mãn g  f ( x )  = x và g ( t ) là hàm đơn điệu ( luôn đồng biến hoặc nghịch biến) trên  .Hãy tính tích phân I = b ∫ f ( x ) dx “ a y f (x) ⇒ = x g ( y ) ⇒ dx= g ′ ( y ) dy Cách giải: Đặt =  x = a → g ( y ) = a ⇔ y = α Đổi cận   x = b → g ( y ) = b ⇔ y = β β b f ( x ) dx = Suy ra I ∫= a Câu 169: Cho hàm số ∫α yg ( y )dy f (x) I = ∫ f ( x ) dx 2 liên tục trên  thỏa mãn f 3 ( x ) + f ( x ) = x, ∀x ∈  . Tính 0 A. I = 2 . B. I = 3 . 2 C. I = Hướng dẫn giải 1 . 2 D. I = 5 . 4 Chọn D Đặt y = f ( x ) ⇒ x = y3 + y ⇒ dx = ( 3 y 2 + 1) dy 3  Đổi cận  x = 0 → y + y = 0 ⇔ y = 0 3  x = 2 → y + y = 2 ⇔ y = 1 5 4 2 3 Khi đó I = ∫ f ( x ) dx = ∫ y ( 3y + 1) dy = ∫ ( 3y + y ) dy =⇒ đáp án D 2 1 1 0 0 0 3 2 x , ∀x ∈  . Tính Câu 170: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên  thỏa mãn 2 f ( x ) − 3 f ( x ) + 6 f ( x ) = 5 tích phân I = ∫ f ( x ) dx . 0 5 A. I = . 4 B. I = 5 . 2 C. I = Hướng dẫn giải Chọn B 3 2 Đặt y= f ( x ) ⇒ x= 2 y − 3 y + 6 y ⇒ d= x 6 ( y 2 − y + 1) dy . 5 . 12 D. I = 5 . 3 Đổi cận: với x = 0 ⇒ 2 y − 3 y + 6 y = 0 ⇔ y = 0 và x =5 ⇒ 2 y − 3 y + 6 y =5 ⇔ y =1 . 3 Khi = đó I 1 ∫ f (= x ) dx 0
Trang chủ
2 3 1 1 0 0 2 y 6 ∫ ( y 3 − y 2 + y ) d= y ∫ y.6 ( y − y + 1) d= 2 5 . 2 3 1 , ∀x ∈  . Tính Câu 171: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên  thỏa mãn x + f ( x ) + 2 f ( x ) = 1 I= ∫ f ( x ) dx . −2 7 A. I = . 4 B. I = 7 . 2 C. I = Hướng dẫn giải Chọn A Đặt y =f ( x ) ⇒ x =− y 3 − 2 y + 1 ⇒ dx =( −3 y 2 − 2 ) dy . 7 . 3 D. I = 5 . 4 Đổi cận: Với x =−2 ⇒ − y − 2 y + 1 =−2 ⇔ y =1 ; x = 1 ⇒ − y − 2 y + 1 = 1 ⇔ y = 0 . 3 0 ∫ y ( −3 y 3 − 2 ) dy = 7 . 4 1 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 5 Khi đó: I = 2 k 2 ,= Bài toán: “ Cho f ( x ) . f ( a + b − x ) = khi đó I b dx ∫= k + f ( x) a b−a 2k Chứng minh: dt = −dx  Đặt t = a + b − x ⇒  k 2 và x = a ⇒ t − b ; x = b ⇒ t = a . = f x ( )  f (t )  b dx ∫a = k + f ( x) Khi đó I = b 2I = ∫ a b dx 1 f ( x ) dx . = ∫a k2 k ∫a k + f ( x ) k+ f (t ) b b b 1 1 dx 1 f ( x ) dx + ∫ = ∫= dx ( b − a ) ⇒ I =b − a . k + f ( x) k a k + f ( x) k a k 2k 1 với Câu 172: Cho hàm số f ( x ) liên tục và nhận giá trị dương trên [ 0;1] . Biết f ( x ) . f (1 − x ) = 1 ∀x ∈ [ 0;1] . Tính giá trí I = ∫ dx 1+ f ( x) 0 A. 3 . 2 B. 1 . 2 C. 1 . D. 2 . Hướng dẫn giải Chọn B f ( x ) f ( x ) f (1 − x ) + f ( x ) ⇒ Ta có: 1 + = f ( x) 1+ f ( x) = 1 f (1 − x ) + 1 1 dx . 1 + f x ( ) 0 Xét I = ∫ −dt . Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1 ; x = 1 ⇒ t = 0 . Đặt t =1 − x ⇔ x =1 − t ⇒ dx = 0 1 1 1 f ( x ) dx dt dt dx Khi đó I = −∫ = = = ∫ ∫ ∫ 1 + f (1 − t ) 0 1 + f (1 − t ) 0 1 + f (1 − x ) 0 1 + f ( x ) 1 1 1 f ( x ) dx 1 1 + f ( x ) dx 1 + = d x = 1 hay 2 I = 1 . Vậy I = . ∫0 1 + f ( x ) ∫0 1 + f ( x ) ∫0 1 + f (t ) ∫0 dx = 2 1 Mặt khác 1 . Giá trị của Câu 173: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên  , ta có f ( x ) > 0 và f ( 0 ) . f ( 2018 − x ) = 2018 tích phân I = ∫ 0
Trang chủ
dx 1+ f ( x) B. I = 0 A. I = 2018 . C. I = 1009 Hướng dẫn giải D. 4016 Chọn C 2018 ta có I = ∫ 0 1 2018 − 0 = dx = 1009 . 1+ f ( x) 2.1 Câu 174: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm, liên tục trên  và f ( x ) > 0 khi x ∈ [ 0;5] Biết . 5 dx 1 tính tích phân I = ∫ f ( x ). f (5 − x ) = . 0 1+ f x , ( ) A. I = 5 . 4 B. I = 5 . 3 C. I = Hướng dẫn giải 5 . 2 D. I = 10 . Chọn C − dt Đặt x= 5 − t ⇒ dx = x=0⇒t = 5; x =5⇒t = 0 0 5 1 f ( t ) dt dt (do f ( 5 − t ) = ) I = −∫ =∫ 5 1+ f 5 − t 0 1+ f t f (t ) ( ) () 5 ∫ dt = ⇒ 2I = 5 5 ⇒I= . 0 2 f ( x ) . Biết Câu 175: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên  và thỏa mãn f ( 4 − x ) = 3 ∫ xf ( x ) dx = 5 . 1 3 Tính tích phân ∫ f ( x ) dx . 1 5 A. . 2 B. 7 . 2 C. 9 . 2 D. Hướng dẫn giải Chọn A −dx và x = 1 ⇒ t = 3 ; x = 3 ⇒ t = 1 . Đặt t= 4 − x ⇒ dt = 3 3 3 3 1 3 1 3 1 3 1 1 1 1 11 . 2 Khi đó: 5 = ∫ xf ( x ) dx = ∫ ( 4 − t ) f ( 4 − t ) dt =∫ ( 4 − x ) f ( 4 − x ) dx =∫ ( 4 − x ) f ( x ) dx . Suy ra: = 10 ) f ( x ) dx 4= ∫ f ( x ) dx ∫ xf ( x ) dx + ∫ ( 4 − x= 5 . 2 Câu 176: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên R và f ( x ) > 0 khi x ∈ [0; a] ( a > 0 ). Biết a f ( x). f ( a − x) = 1 , tính tích phân I = ∫ dx . 1+ f ( x) 0 A. I = a . 2 B. I = 2a . C. I = Hướng dẫn giải: a . 3 D. I = a . 4 a dx (1) Đặt t =a − x ⇒ dt =−dx Đổi cận: + f x 1 ( ) 0 I =∫ 0 a a dt 1 1 ⇒ I =∫− =∫ dt = ∫ dx (2) (Tích phân xác định không phụ 1 + f a − t 1 + f a − t 1 + f a − x ( ) ( ) ( ) a 0 0 thuộc vào biến số tích phân) ⇒ 2I (1) + (2)= a  0  1 1  ∫ 1 + f ( x ) + 1 + f ( a − x )  dx
Trang chủ
 1+ f (a − x) +1+ f ( x) = = dx 1+ f ( x). f ( a − x) + f ( x) + f ( a − x) 2 + f (a − x) + f ( x) dx ∫0 2 + f ( a − x ) + f ( x )= 2 Chọn A a dx ∫= 0 a a ⇒I= 2 1  f ( x ) . f ( a − x ) = và  f ( x ) > 0, ∀x ∈ [ 0; a ] Câu 177: Cho f ( x ) là hàm liên tục trên đoạn [ 0; a ] thỏa mãn  a dx ∫ 1+ f ( x) = 0 ba , trong đó b , c c là hai số nguyên dương và b + c có giá trị thuộc khoảng nào dưới đây? A. (11; 22 ) . B. ( 0;9 ) . C. ( 7; 21) . Hướng dẫn giải Chọn B Cách 1. Đặt t =a − x ⇒ dt =−dx Đổi cận x = 0 ⇒ t = a; x = a ⇒ t = 0. Lúc đó I = a dx ∫0= 1+ f ( x) − dt ∫a 1 += f (a − t ) 0 a dx ∫0 1 += f (a − x) a f ( x ) dx a dx +∫ = 1dx = a 1 + f ( x ) 0 1 + f ( x ) ∫0 0 a Suy ra 2 I = I + I = ∫ Do đó I = 1 a ⇒ b = 1; c = 2 ⇒ b + c = 3. 2 Cách 2. Chọn f ( x ) = 1 là một hàm thỏa các giả thiết. Dễ dàng tính được I =
Trang chủ
1 a ⇒ b = 1; c = 2 ⇒ b + c = 3. 2 a dx ∫0 = 1 1+ f ( x) b là phân số tối giản. Khi đó c D. ( 2017; 2020 ) . f ( x ) dx ∫0 1 + f ( x ) a TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 6 Câu 178: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [1;4] , đồng biến trên đoạn [1;4] và thỏa 4 3 mãn đẳng thức x + 2 x. f ( x ) =  f ′ ( x )  , ∀x ∈ [1; 4] . Biết rằng f (1) = , tính I = f ( x ) dx ? 2 1 1186 1174 1222 1201 A. I = . B. I = . C. I = . D. I = . 45 45 45 45 ∫ 2 Hướng dẫn giải Chọn A 2 Ta có x + 2 x. f ( x ) =  f ′ ( x )  ⇒ x . 1 + 2 f ( x ) = f ′( x) ⇒ Suy ra f ′( x) dx = 1+ 2 f ( x) ∫ ∫ x dx + C ⇔ ∫ df ( x ) 1+ 2 f ( x) f ′( x) 1+ 2 f ( x) x , ∀x ∈ [1; 4] . = dx = ∫ x dx + C 2  2 32 4   x +  −1 3 3 2 32 3 4 ⇒ 1 + 2 f ( x )= x + C . Mà f (1) = ⇒ C =. Vậy f ( x ) =  . 3 2 3 2 4 1186 . Vậy I ∫= = f ( x ) dx 45 1 Câu 179: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên  thỏa mãn 3 f ′ ( x ) .e f ( 0 ) = 1 . Tích phân f 3 ( x ) − x 2 −1 − 2x = 0 và f ( x) 2 7 ∫ x. f ( x ) dx bằng 0 A. 2 7 . 3 B. 15 . 4 C. 45 . 8 D. Hướng dẫn giải 5 7 . 4 Chọn C Ta có 3 f ′ ( x ) .e f 3 ( x) f 3 ( x ) − x 2 −1 Suy ra e = e Do đó e 7 Vậy ∫ f 3 ( x) x 2 +1 − 2x = 0 ⇔ 3 f 2 ( x ) . f ′ ( x ) .e f f ( x) 3 ( x) 2 = 2 x.e x 2 +1 + C . Mặt khác, vì f ( 0 ) = 1 nên C = 0 . = e x +1 ⇔ f 3 ( x ) = x 2 + 1 ⇔ f ( x ) =3 x 2 + 1 . 2 x. f= ( x ) dx 0 7 ∫ x. 3 x 2 + 1 dx = 0 1 2 7 ∫ 3 x 2 + 1 d ( x 2 + 1) = 0 7 3 2 x + 1) 3 x 2 + 1  = 45 . ( 0 8 8 1 4 3 2 Câu 180: Cho hàm số f ( x ) = x + 4 x − 3 x − x + 1 , ∀x ∈  . Tính I = ∫ f 2 ( x ) . f ′ ( x ) dx . 0 B. −2 . A. 2 . C. − Hướng dẫn giải 7 . 3 D. 7 . 3 Chọn D t f ( x ) ⇒ d= t f ′ ( x ) dx . Đổi cận: x = 0 ⇒ t = f ( 0 ) = 1 , x = 1 ⇒ t = f (1) = 2 . Đặt = 2 2 t3 8 1 7 = − = . Khi đó I = ∫ t dt = 31 3 3 3 1 2
Trang chủ
Câu 181: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên khoảng ( 0;1) và f ( x ) ≠ 0 , ∀x ∈ ( 0;1) . Biết  3  = b và x + xf ′ ( x ) = 2 f ( x ) − 4 , ∀x ∈ ( 0;1) . Tính tích phân 2   1 2 rằng f   = a , f  π 3 sin 2 x.cos x + 2sin 2 x I=∫ dx theo f 2 ( sin x ) π a và b . 6 3a  b A. I  . 4ab B. I  3b  a . 4ab 3b  a . 4ab C. I  Hướng dẫn giải D. I  3a  b . 4ab Chọn D ∀x ∈ ( 0;1) ta có: + 4 2 f ( x ) − xf ′ ( x ) ⇒ x 2 += 4 x 2 xf ( x ) − x 2 f ′ ( x ) x + xf ′ ( x ) = 2 f ( x ) − 4 ⇔ x = ′ 2 x2 + 4x  x2  x 2 + 4 x 2 xf ( x ) − x f ′ ( x ) ⇔ 2 = ⇔ 2 =2  . f ( x) f ( x) f ( x )  f ( x )  π 3 π 3 sin x.cos x + 2sin 2 x dx ∫π= f 2 ( sin x ) Tính I sin 2 x.cos x + 4sin x.cos x dx ∫ f 2 ( sin x ) π 2 6 6 Đặt t= sin x ⇒ dt= cos xdx , đổi cận x = π 6 2  3   2 t 2  t 2 + 4t  dt = = Ta có I = ∫ 2 − f (t ) 1  3 1 f (t ) f 2  2  2  Câu 182: Cho hàm số f liên tục, f ( x ) > −1 , f 3 2 3 2 f B. 3 . x2 + 1 2x f ( x ) + 1 ⇔ Ta có f ′ ( x ) = f ′( x) ∫ ⇔ 3 f ( x) +1 0 f 2 ( 0 ) = 0 và thỏa f ′( x) = x2 + 1 2 x dx = ( 3 ) +1 − ∫ 0 2x x2 + 1 dx ⇔ f ( 0) + 1 = 1 ⇔ f f ′( x) = f ( x) +1 f ( x) +1 3 f ( x ) + 1 . Tính D. 9 . C. 7 . Hướng dẫn giải Chọn B 3 3 . 2 1   3 1 3a − b 2 . = − = 1 4ab   4b 4a f  2 ( 3) . A. 0 . ⇔ 1 x= π ⇒t = , 3 2 ⇒t = 2x x2 + 1 = 3 x2 + 1 0 ⇔ 0 f ( x) +1 3 =1 0 ( 3 ) +1 = 2 ⇔ f ( 3 ) = 3 . Câu 183: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên  và 5 ∫ f ( x ) dx = 4 , f ( 5) = 3 , f ( 2 ) = 2 . Tính 2 2 = I ∫ x f ′( x 3 2 + 1) dx 1 A. 3 .
Trang chủ
B. 4 . C. 1 . D. 6 . Hướng dẫn giải Chọn A 2 xdx . Đặt = t x 2 + 1 ⇒ dt = 5 1 ( t − 1) f ′ ( t ) dt . 2 ∫2 x = 1 ⇒ t = 2 ; x = 2 ⇒ t = 5 . Khi đó = I Đặt u = t − 1 ⇒ du = dt ; dv = f ′ ( t ) dt , chọn v = f ( t ) . 5 5 1 1 1 I =− t ) dt )) − 2 3 . ( t 1) f ( t ) − ∫ f (= ( 4 f ( 5) − f ( 2= 2 2 22 2 Câu 184: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn [1;4] và thỏa = mãn f ( x ) ( ) + ln x . Tính tích f 2 x −1 x x 4 phân I = ∫ f ( x ) dx . 3 Chọn B 1 4 Xét K = ∫ ( )  f 2 x −1  ln x   = dx + ∫1  x  x   4 4 = Ta có ∫ f ( x ) dx ( D. I = 2ln 2 . C. I = ln 2 2 . Hướng dẫn giải B. I = 2 ln 2 2 . A. I = 3 + 2 ln 2 2 . 4 ∫ ( ) dx + f 2 x −1 1 x 4 ln x dx . x 1 ∫ ) dx . f 2 x −1 1 x t +1 ⇒ t ⇒ x= Đặt 2 x − 1 = 2 3 3 1 1 dx dt . = x ⇒K= ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( x ) dx . 4 4 ln 2 x ln x Xét M = ∫ dx = ∫ ln xd= ( ln x ) = 2 ln 2 2 . 2 1 x 1 1 4 4 3 Do đó ∫= f ( x ) dx ∫ 1 1 4 f ( x ) dx + 2 ln 2 2 ⇒ ∫ f ( x ) dx = 2 ln 2 2 . 3 π 2 Câu 185: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên  và thỏa mãn ∫ cot x. f= ( sin 2 x ) dx 1 tích phân ∫ 1 8 π 4 f ( 4x) dx . x A. I = 3 . B. I = 3 . 2 C. I = 2 . Hướng dẫn giải Chọn D = Đặt I1 π 2 cot x. f ( sin 2 x ) dx 1 , I 2 == ∫ ∫= π 4 16 1 f ( x ) dx = 1 . x 2sin x.cos xdx = 2 sin 2 x.cot xdx = 2t.cot xdx .  Đặt t = sin 2 x ⇒ dt =
Trang chủ
( ) f x = ∫1 x dx 1 . Tính 16 D. I = 5 . 2 x t π π 4 1 2 2 1 π 2 1 4 1 4 8 8 1 1 1 f ( 4x) 1 f ( 4x) d ( 4x) = ∫ dx . I1 = ∫ cot x. f ( sin 2 x ) dx = f ( t ) . 1 dt = 1 f ( t ) dt = ∫ ∫1 2 1 4x 21 x 2t 2 ∫1 t π 4 Suy ra 2 2 1 4 ∫ 1 8 f ( 4x) d= x 2= I1 2 x dx . Đặt t = x ⇒ 2tdt = x 16 I2 = ∫ f ( x ) dx x 1 1 Suy ra ∫ 1 4 16 1 1 t 4 4 1 1 f (t ) f (t ) f ( 4x) f ( 4x) 2 t d t = 2 d t 2 dx . = 2 d 4 = x ( ) 2 ∫ ∫ ∫ t t x 4x 1 1 1 4 =∫ 1 4 4 f ( 4x) 1 1 = dx = I2 x 2 2 Khi đó, ta có: f ( 4x) dx ∫1= x 1 8 1 4 ∫ 1 8 1 f ( 4x) f ( 4x) dx + ∫ dx = 2 + 1 = 5 . x x 2 2 1 4 Câu 186: Xét hàm số f ( x ) liên tục trên [ 0;1] và thỏa mãn điều kiện 4 x. f ( x 2 ) + 3 f (1 − x ) = 1 − x 2 . 1 Tích phân I = ∫ f ( x ) dx bằng: 0 A. I = π 4 B. I = . π 6 C. I = . π 20 D. I = . Hướng dẫn giải Chọn C Vì f ( x ) liên tục trên [ 0;1] và 4 x. f ( x 2 ) + 3 f (1 − x ) = 1 − x 2 nên ta có 1 1 1 1 1 0 0 0 π 16 . 2 2 2 2 ∫  4 x. f ( x ) + 3 f (1 − x ) dx =∫ 1 − x dx ⇔ ∫ 4 x. f ( x ) dx + ∫ 3 f (1 − x ) dx =∫ 1 − x dx (1) . 0 0 1 1 1 t=x Mà ∫ 4 x. f ( x 2 ) dx = 2 ∫ f ( x 2 ) d ( x 2 )  → 2 ∫ f ( t ) dt = 2I 2 0 0 0 1 1 0 0 1 u = 1− x và ∫ 3 f (1 − x ) dx = → 3∫ f ( u ) du = 3I −3∫ f (1 − x ) d (1 − x )  0 π π Đồng thời 1 ∫ 0 2 x =sin t 1 − x dx  →∫ 2 0 π Do đó, (1) ⇔ 2 I + 3I = hay I = . π 4
Trang chủ
π π 12 1 − sin 2 t .cos tdt = ∫ cos 2= tdt (1 + cos 2t ) dt = . ∫ 4 20 0 2 20 Câu 187: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ 0;1] thỏa mãn f (1) = 1 , 1 ∫  f ′ ( x ) 0 ∫ f ( x ) dx = 5 . Tính tích phân 1 và 2 0 3 A. I = . 5 1 B. I = . 4 1 I = ∫ f ( x ) dx . 0 C. I = Hướng dẫn giải 3 . 4 D. I = 1 . 5 Chọn B Đặt t = x ⇒ t =x ⇒ dx =2tdt . Đổi cận x = 0 ⇒ t = 0; x = 1 ⇒ t = 1 1 1 1 1 1 1 Suy ra ∫ f x dx = 2 ∫ t. f ( t ) dt ⇔ ∫ t. f ( t ) dt = . Do đó ⇔ ∫ x. f ( x ) dx = 5 5 0 0 0 0 2 ( ) 1 1 1 1 2 x2 x2 . f ( x ) dx f ( x ) − ∫ f ′ ( x ) dx= 1 − ∫ x f ′ ( x ) dx . Mặt khác ∫ x= 2 2 2 0 2 0 0 0 1 Suy ra 1 x2 1 1 3 3 2 ∫0 2 f ′ ( x ) dx = 2 − 5 = 10 ⇒ ∫0 x f ′ ( x ) dx = 5 Ta tính được 1 ∫ ( 3 x ) dx = 5 . 9 2 2 0 Do đó 1 1 1 1 2 2 0 ⇔ ∫ ( f ′ ( x ) − 3 x 2 ) dx = 0 ∫  f ′ ( x ) dx − 2∫ 3x f ′ ( x ) dx + ∫ ( 3x ) dx = 2 0 0 2 0 x C. ⇔ f ′ ( x ) − 3x = 0 ⇔ f ′( x) = 3x ⇔ f ( x ) =+ 2 2 3 Vì f (1) = 1 nên f ( x ) = x 1 Vậy = I ∫ f (= x ) dx 0
Trang chủ
1 x dx ∫= 3 0 1 . 4 3 0 2 2 dx = 9 5 DẠNG 4: PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN BÀI TẬP Câu 188. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) liên tục trên [ 0; 2] và f ( 2 ) = 3 , 2 ∫ f ( x ) dx = 3 . 0 2 Tính ∫ x. f ′ ( x ) dx . 0 B. 3 . C. 0 . D. 6 . A. −3 . Câu 189. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm là f ‘ ( x ) liên tục trên đoạn [0; 1] và f (1) = 2 . Biết 1 1 0 0 ∫ f ( x ) dx = 1 , tính tích phân I = ∫ x. f ‘ ( x ) dx . A. I = 1 . C. I = 3 . B. I = −1 . Câu 190. Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn D. I = −3 . 1 2 . Tính 10 và 2 f (1) − f ( 0 ) = ∫ ( x + 1) f ‘ ( x ) dx = 0 1 I = ∫ f ( x ) dx . 0 A. I = 8 . B. I = −8 . C. I = 4 . D. I = −4 . Câu 191. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ 0; 2] và thỏa mãn f ( 2 ) = 16 , 2 1 0 0 ∫ f ( x ) dx = 4 . Tính tích phân I = ∫ x. f ′ ( 2 x ) dx . B. I = 7 . C. I = 13 . D. I = 20 . A. I = 12 . 1, Câu 192. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên  và thỏa mãn f ( −2 ) = 2 ∫ f ( 2 x − 4 ) dx = 1 . Tính 1 A. I = 1 . 0 ∫ xf ′ ( x ) dx . −2 B. I = 0 . C. I = −4 . D. I = 4 . 5 Câu 193. Cho hàm số y  f  x  thỏa mãn f  x  3 x  1  3 x  2, x  . Tính I   x. f   x dx . 3 1 5 A. . 4 17 B. . 4 33 C. . 4 Câu 194. Cho hàm số f ( x ) liên tục trong đoạn [1;e] , biết e ∫ 1 D. −1761 . f ( x) dx = 1 , f ( e ) = 1 . Khi đó x e I = ∫ f ′ ( x ) .ln xdx bằng 1 A. I = 4 . B. I = 3 . C. I = 1 . Câu 195. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên  thỏa mãn D. I = 0 . π 2 π  f ( x) + f  − x  = sin x.cos x , với mọi x ∈  và f ( 0 ) = 0 . Giá trị của tích phân ∫ x. f ′ ( x ) dx bằng 2  0 1 π π 1 A. − . B. . C. . D. − . 4 4 4 4
Trang chủ
1 Câu 196. Cho hàm số f ( x ) thỏa f= ae + b . Tính biểu ( 0 ) f= (1) 1 . Biết ∫ e x  f ( x ) + f ‘ ( x ) dx = 0 Q a +b . thức= A. Q = 8 . B. Q = 6 . C. Q = 4 . D. Q = 2 . Câu 197. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm trên  thỏa mãn f ′ ( x ) − 2018 f ( x ) = 2018.x 2017 .e 2018 x với 2018 2018 mọi x ∈  và f ( 0 ) = 2018. Tính giá trị f (1) . A. f (1) = 2019e 2018 . B. f (1) = 2018.e −2018 . C. f (1) = 2018.e 2018 . D. f (1) = 2017.e 2018 . 1 Câu 198. Cho hàm số y = f ( x ) với f= ae + b Tính ( 0 ) f= (1) 1 . Biết rằng: ∫ e x  f ( x ) + f ′ ( x ) dx = 0 = Q a +b . Q 22017 + 1 . A.= 2017 2017 B. Q = 2 . Q 22017 − 1 . D.= C. Q = 0 . Câu 199. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ 0;5] và f ( 5 ) = 10 , 5 ∫ xf ′ ( x ) dx = 30 0 5 . Tính ∫ f ( x ) dx . 0 B. −30 . C. −20 . D. 70 . A. 20 . Câu 200. Cho hai hàm số liên tục f và g có nguyên hàm lần lượt là F và G trên đoạn [1; 2] . Biết 3 , G ( 2 ) = 2 và 2 145 B. − . 12 rằng F (1) = 1 , F ( 2 ) = 4 , G (1) = A. 11 . 12 2 ∫ f ( x ) G ( x ) dx = 1 C. − 67 . Tính 12 11 . 12 Câu 201. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên [ 0;1] thỏa mãn 2 ∫ F ( x ) g ( x ) dx 1 D. 145 . 12 1 f (1) . Giá ∫ x  f ′ ( x ) − 2 dx = 0 1 trị của I = ∫ f ( x ) dx bằng 0 A. −2 . C. −1 . B. 2 . Câu 202. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn [1; 2] và theo a và b = f ( 2 ) . A. b − a . B. a − b . 2 1 1 a . Tính ∫ f ( x ) dx ∫ ( x − 1) f ′ ( x ) dx = C. a + b . Câu 203. Cho hàm số f ( x ) liên tục trên  và f ( 2 ) = 16 , D. 1 . 2 D. −a − b . 2 ∫ f ( x ) dx = 4 . Tính tích phân 0 1 I = ∫ x. f ′ ( 2 x ) dx . 0 A. I = 13 . B. I = 12 . C. I = 20 . D. I = 7 . Câu 204. Cho y = f ( x ) là hàm số chẵn, liên tục trên  biết đồ thị hàm số y = f ( x ) đi qua điểm  1  M  − ; 4  và  2  1 2 ∫ f ( t ) dt = 3 , tính I = 0
Trang chủ
0 ∫π sin 2 x. f ′ ( sin x ) dx . − 6 A. I = 10 . B. I = −2 . C. I = 1 . D. I = −1 . π π 2 2 0 0 Câu 205. Cho hàm số y = f ( x ) thỏa mãn ∫ sin x. f ( x ) dx = f ( 0 ) = 1 . Tính I = ∫ cos x. f ′ ( x ) dx . B. I = 0 . C. I = 2 . D. I = −1 . A. I = 1 . Câu 206. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên  và thỏa mãn f ( − x ) + 2018 f ( x ) = 2 x sin x . Tính π I= 2 ∫π f ( x ) dx ? − 2 2 2 2 4 . B. . C. . D. . 1009 2019 2018 2019 Câu 207. Cho hàm số f ( x ) và g ( x ) liên tục, có đạo hàm trên  và thỏa mãn f ′ ( 0 ) . f ′ ( 2 ) ≠ 0 và A. 2 g ( x ) f ′ (= x ) x ( x − 2 ) e x . Tính giá trị của tích phân I = ∫ f ( x ) .g ′ ( x ) dx ? 0 B. e − 2 . D. 2 − e .  π π  Câu 208. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm và liên tục trên 0;  thỏa mãn f   = 3 ,  4 4 A. −4 . π 4 f ( x) C. 4 . π π 4 4 0 0 ∫ cos x dx = 1 và ∫ sin x.tan x. f ( x ) dx = 2 . Tích phân ∫ sin x. f ′ ( x ) dx bằng: 0 A. 4 . B. 2+3 2 . 2 C. 1+ 3 2 . 2 D. 6 . x ∫0 f ( x ) dx = 4 . Tính I = ∫0 xf ′  2  dx A. I = 12 . B. I = 112 . C. I = 28 . D. I = 144 . Câu 210. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm cấp hai f ′′ ( x ) liên tục trên đoạn [ 0;1] thoả Câu 209. Cho hàm số f ( x ) liên tục trên  và f ( 2 ) = 16 , 4 2 mãn = f (1) f= ( 0 ) 1 , f ′ ( 0 ) = 2018 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 1 1 −2018 . A. ∫ f ′′ ( x )(1 − x ) dx = B. ∫ f ′′ ( x )(1 − x ) dx = −1 . 2018 . C. ∫ f ′′ ( x )(1 − x ) dx = D. ∫ f ′′ ( x )(1 − x ) dx = 1 . 0 1 0 0 1 0 π  Câu 211. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục thỏa mãn f   = 0 , 2 π ∫  f ′ ( x ) π 2 dx = π 4 và 2 π π ∫π cos x f ( x ) dx = 4 . Tính f ( 2018π ) . 2 1 . D. 1 . 2 Câu 212. Cho hàm số f ( x ) nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên đoạn [ 0;2] . Biết f ( 0 ) = 1 A. −1 . B. 0 . e và f ( x ) . f ( 2 − x ) = 2 x2 − 4 x C. 2 , với mọi x ∈ [ 0;2] . Tính tích phân I = ∫ 0
Trang chủ
(x 3 − 3x 2 ) f ′ ( x ) f ( x) dx . 16 16 14 32 . B. I = − . C. I = − . D. I = − . 5 3 5 3 Câu 213. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ 0;1] thỏa mãn f (1) = 0 và A. I = − e2 − 1 . Tính tích phân I = ∫ f ( x ) dx . ∫0  f ′ ( x ) dx = ∫0 ( x + 1) e f ( x ) dx = 4 0 e A. I= 2 − e . B. I = e − 2 . C. I = . 2 1 1 1 2 x Câu 214. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [1; 2] thỏa mãn D. I = e −1 . 2 2 1 − , ∫ ( x − 1) f ( x ) dx = 3 2 1 f ( 2 ) = 0 và 2 ∫  f ′ ( x ) 1 2 2 dx = 7 . Tính tích phân I = ∫ f ( x ) dx . 1 7 7 7 7 . B. I = − . C. I = − . D. I = . 5 20 5 20 Câu 215. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ 0;1] thỏa mãn f (1) = 1 , A. I = 1 ∫  f ′ ( x ) dx = 9 và 2 0 A. 1 1 . Tích phân 2 3 ∫ x f ( x ) dx = 0 2 . 3 B. 1 ∫ f ( x ) dx bằng 0 5 . 2 C. 7 . 4 D. 6 . 5 π   π Câu 216. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;  và f   = 0 . Biết 4  4 π π π π 4 4 f ′ ( x ) sin 2xdx = − ∫ f ( x ) dx = 8 , ∫ 2 0 0 π 4 8 . Tính tích phân I = ∫ f ( 2 x ) dx 0 1 1 B. I = . C. I = 2 . D. I = . A. I = 1 . 2 4 Câu 217. . Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ 0;1] và f ( 0 ) + f (1) = 0 . Biết 1 ∫ 0 1 f ( x ) dx = , 2 2 1 ∫ f ′ ( x ) cos (π x ) dx = 0 π . Tính 2 1 ∫ f ( x ) dx . 0 3π . π π 2 Câu 218. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) liên tục trên đoạn [ 0;1] thỏa f (1) = 0 , A. π . 1 B. ∫ ( f ′ ( x ) ) dx = 0 2 1 . 1 π2 1 π  và ∫ cos  x  f ( x ) dx = . Tính 2 8 2  0 C. 2 . D. 1 ∫ f ( x ) dx . 0 1 π 2 A. . B. π . C. . D. . 2 π π Câu 219. Xét hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên  và thỏa mãn điều kiện f (1) = 1 và f ( 2 ) == 4 . Tính J  f ′( x) + 2 f ( x) +1  ∫1  x − x 2  dx . 2 A. J = 1 + ln 4 .
Trang chủ
B. J= 4 − ln 2 . C.= J ln 2 − 1 . 2 D. J= 1 + ln 4 . 2 Câu 220. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ 0;1] thỏa mãn e2 − 1 ′ f x d x = x + 1 e f x d x =   và f (1) = 0 . Tính ( ) ( ) ( )  ∫0  ∫0 4 1 2 1 x 1 ∫ f ( x ) dx 0 e e −1 e . B. . C. e − 2 . D. . 4 2 2 Câu 221. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ 0;1] thỏa mãn f (1) = 0 , 2 A. 1 ∫  f ′ ( x ) dx = 7 và 2 0 1 1 ∫0 x f ( x ) dx = 3 . Tích phân 7 A. . 5
Trang chủ
2 B. 1 . 1 ∫ f ( x ) dx bằng 0 C. 7 . 4 D. 4 . HƯỚNG DẪN GIẢI 2 Câu 188. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) liên tục trên [ 0; 2] và f ( 2 ) = 3 , ∫ f ( x ) dx = 3 . 0 2 Tính ∫ x. f ′ ( x ) dx . 0 A. −3 . C. 0 . Hướng dẫn giải B. 3 . D. 6 . Chọn B Ta có 2 2 2 2 0 0 0 0 dx 2 f ( 2 )= − 3 3. ( f ( x ) ) x. f ( x ) − ∫ f ( x )= ∫ x. f ′ ( x ) dx = ∫ xd= Câu 189. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm là f ‘ ( x ) liên tục trên đoạn [0; 1] và f (1) = 2 . Biết 1 1 0 0 ∫ f ( x ) dx = 1 , tính tích phân I = ∫ x. f ‘ ( x ) dx . C. I = 3 . Hướng dẫn giải B. I = −1 . A. I = 1 . D. I = −3 . 1 Ta có: I = ∫ x. f ‘ ( x ) dx 0 Đặt u =x ⇒ du =dx , dv = f ‘ ( x ) dx= chọn v f ‘ ( x ) dx ∫= 1 1 0 0 f ( x) ⇒I= x. f ( x ) 0 − ∫ f ( x ) dx = 1. f (1) − 0. f ( 0 ) − ∫ f ( x ) dx = 2 −1 = 1 1 Chọn A Câu 190. Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn 1 2 . Tính 10 và 2 f (1) − f ( 0 ) = ∫ ( x + 1) f ‘ ( x ) dx = 0 1 I = ∫ f ( x ) dx . 0 A. I = 8 . B. I = −8 . 1 = A ∫ ( x + 1) f ‘ ( x ) dx Đặt u = C. I = 4 . Hướng dẫn giải D. I = −4 . x + 1 ⇒ du = dx , dv = f ‘ ( x ) dx chọn v = f ( x ) 0 1 1 1 1 0 0 0 0 2 f (1) − f (0) − ∫ f ( x ) dx = 2 − ∫ f ( x ) dx = 10 ⇒ ∫ f ( x ) dx = ⇒ A= −8 ( x + 1) . f ( x ) 0 − ∫ f ( x ) dx = 1 Chọn B Câu 191. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ 0; 2] và thỏa mãn f ( 2 ) = 16 , 2 ∫ 0 1 f ( x ) dx = 4 . Tính tích phân I = ∫ x. f ′ ( 2 x ) dx . 0 A. I = 12 . Chọn B
Trang chủ
B. I = 7 . C. I = 13 . Hướng dẫn giải D. I = 20 . du = dx u = x  ⇒ Đặt  f ( 2x) . dv = f ′ ( 2 x ) dx v =  2 1 1 x. f ( 2 x ) f ( 2) 1 2 1 16 1 − ∫ f ( 2 x ) dx = − ∫ f ( t ) dt = − .4 =7 . Khi đó: I = 2 20 2 40 2 4 0 1, Câu 192. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên  và thỏa mãn f ( −2 ) = 0 2 1 . Tính ∫ xf ′ ( x ) dx . ∫ f ( 2 x − 4 ) dx = 1 A. I = 1 . −2 B. I = 0 . C. I = −4 . Hướng dẫn giải D. I = 4 . Chọn B Đặt t = 2 x − 4 ⇒ dt = 2dx , đổi cận x =1 ⇒ t =−2 , x = 2 ⇒ t = 0 . 0 2 0 0 1 ⇒ f t d t = 2 ⇒ 2. 1= ∫ f ( 2 x − 4 ) dx= d f t t ( ) ( ) ∫ ∫ f ( x ) dx = 2 −∫2 −2 1 −2 ⇒ v f ( x) . Đặt u =x ⇒ du =dx= , dv f ′ ( x ) dx= Vậy 0 0 ′ ( x ) dx xf ( x ) − ∫ f ( x ) dx= 2 f ( −2 ) − 2 = 2.1 − 2 = 0 . ∫ xf = −2 0 −2 −2 5 Câu 193. Cho hàm số y  f  x  thỏa mãn f  x  3 x  1  3 x  2, x  . Tính I   x. f   x dx . 3 1 A. 5 . 4 B. 17 . 4 33 . 4 Hướng dẫn giải C. U U D. −1761 . Chọn C 5   ux du  dx   5   Đặt    I  xf  x  1   f  x  dx .  dv  f   x  dx  v  f  x  1   5  f 5  5  x  1   , suy ra I  23   f  x dx. Từ f  x  3 x  1  3 x  2      f x 1 2 0      1  dt  3 x 2  3 dx  3 Đặt t  x  3 x  1    f t   3 x  2  Đổi cận: Với t  1  1  x3  3 x  1  x  0 và t  5  x 3  3 x  1  5  x  1 . 5 1 Casio 33 Khi đó I  23   f  x dx  23   3 x  23 x 2  3 dx  4 1 0 Chọn C e f ( x) dx = 1 , f ( e ) = 1 . Khi đó Câu 194. Cho hàm số f ( x ) liên tục trong đoạn [1;e] , biết ∫ x 1 3 e I = ∫ f ′ ( x ) .ln xdx bằng 1 A. I = 4 . Chọn D
Trang chủ
B. I = 3 . C. I = 1 . Hướng dẫn giải D. I = 0 . e e e 1 Cách 1: Ta có I = ∫ f ′ ( x ) .ln xdx = f ( x ) .ln x 1 − ∫ f ( x ) . dx = f ( e ) − 1 = 1 − 1 = 0 . x 1 1 dx  u = ln x  du = x . → Cách 2: Đặt  dv = f ′ ( x ) dx v = f ( x )  f ( x) dx = f ( e ) − 1 = 1 − 1 = 0 . x 1 1 Câu 195. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên  thỏa mãn e e Suy ra I = ∫ f ′ ( x ) .ln xdx = f ( x ) ln x 1 − ∫ e π  sin x.cos x , với mọi x ∈  và f ( 0 ) = 0 . Giá trị của tích phân f ( x) + f  − x  = 2  π A. − . 4 B. π . 4 Hướng dẫn giải 1 . 4 π 2 ∫ x. f ′ ( x ) dx bằng 0 1 D. − . 4 C. Chọn D π  Theo giả thiết, f ( 0 ) = 0 và f ( x ) + f  − x  = sin x.cos x nên 2  π π f ( 0) + f   = 0 ⇔ f  = 0. 2 2 Ta có: π 2 π 2 π 2 π 2 0 I = ∫ x. f ′ ( x ) dx = ∫ xd=  f ( x )   xf ( x )  − ∫ f ( x ) dx 0 0 0 π 2 Suy ra: I = − ∫ f ( x ) dx . 0 Mặt khác, ta có: π π π  π  2 − x  dx f ( x) + f  = − x  sin x.cos x ⇒ ∫ f ( x ) dx + ∫ 2 f  = 0 0 2  2  π π 0 1 1 π  Suy ra: ∫ 2 f ( x ) dx − ∫π f  − x  dx =⇔ ∫ 2 f ( x ) dx = 0 0 2 4 2  2 ∫ π 2 0 sin x= .cos x dx 1 2 π 2 1 Vậy I = − ∫ f ( x ) dx = − . 4 0 1 Câu 196. Cho hàm số f ( x ) thỏa f= ae + b . Tính biểu (1) 1 . Biết ∫ e x  f ( x ) + f ‘ ( x ) dx = ( 0 ) f= 0 Q a +b thức= A. Q = 8 . 2018 2018 . 1 B. Q = 6 . 1 C. Q = 4 . Hướng dẫn giải 1 A = ∫ e  f ( x ) + f ‘ ( x )  dx = ∫ e f ( x ) dx + ∫ e x f ‘ ( x ) dx 0 0 0    x x A1 1 A1 = ∫ e x f ( x ) dx 0
Trang chủ
A2 D. Q = 2 . 1 Đặt u= f ( x ) ⇒ du= f ‘ ( x ) dx , dv = e x dx chọn v = e x ⇒ = A1 e x . f ( x ) − ∫ e x f ‘ ( x ) dx 0 0  1 A2 Vậy A =e x f ( x ) − A2 + A2 =e x f ( x ) =e. f (1) − f ( 0 ) =e − 1 1 1 0 0 a = 1 ⇒ ⇒ a 2018 + b 2018 = 1 + 1 = 2 b = − 1  Chọn D Câu 197. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm trên  thỏa mãn f ′ ( x ) − 2018 f ( x ) = 2018.x 2017 .e 2018 x với mọi x ∈  và f ( 0 ) = 2018. Tính giá trị f (1) . A. f (1) = 2019e 2018 . B. f (1) = 2018.e −2018 . . C. f (1) = 2018.e 2018 . D. f (1) = 2017.e 2018 Hướng dẫn giải Chọn A Ta có: f ′ ( x ) − 2018 f ( x ) = 2018.x 2017 .e 2018 x ⇔ 1 ⇔∫ 0 f ′ ( x ) − 2018. f ( x ) = 2018.x 2017 2018 x e 1 f ′ ( x ) − 2018. f ( x ) 2017 d x = ∫0 2018.x dx (1) e 2018 x 1 Xets I = ∫ 0 f ′ ( x ) − 2018. f ( x ) = dx e 2018 x 1 ∫ 0 1 f ′ ( x ) .e −2018 x dx − ∫ 2018. f ( x ) .e −2018 x dx 0 = u f ( x ) = du f ′ ( x ) dx ⇒ Xét I1 = ∫ 2018. f ( x ) .e −2018 x dx . Đặt  .  −2018 x −2018 x d 2018.e d e v x v = = −   0   1 Do đó= I1 f ( x ) . ( −e −2018 x ) 1 1 0 + ∫ f ′ ( x ) .e −2018 x dx ⇒ = I f (1) .e −2018 x − 2018 0 Khi đó (1) ⇔ f (1) .e −2018 x 2019.e 2018 . − 2018 = x 2018 10 ⇒ f (1) = 1 Câu 198. Cho hàm số y = f ( x ) với f= ae + b Tính ( 0 ) f= (1) 1 . Biết rằng: ∫ e x  f ( x ) + f ′ ( x ) dx = 0 = Q a +b . Q 22017 + 1 . A.= 2017 2017 B. Q = 2 . C. Q = 0 . Hướng dẫn giải Q 22017 − 1 . D.= Chọn C = u f ( x ) = du f ′ ( x ) dx ⇒ Đặt  .  x = dx v e x dv e= 1 1 1 0 0 x x x x dx ef (1) − f ( 0 )= e − 1 . ∫ e  f ( x ) + f ′ ( x ) dx =e f ( x ) − ∫ e f ′ ( x ) dx + ∫ e f ′ ( x )= 2 1 0 Do đó a = 1 , b = −1 . 2017 Q a 2017 + b 2017 Suy ra= = 12017 + ( −1) = 0 . Vậy Q = 0 .
Trang chủ
Câu 199. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ 0;5] và f ( 5 ) = 10 , 45T T 5 4 T 5 4 45T 5 ∫ xf ′ ( x ) dx = 30 0 5 ∫ f ( x ) dx . . Tính 0 B. −30 . A. 20 . 45T T 5 4 T 5 4 45T C. −20 . Hướng dẫn giải 45T T 5 4 D. 70 . T 5 4 T 5 4 T 5 4 Chọn A u =x ⇒ du =dx Đặt  = ⇒ v f ( x) dv f ′ ( x ) dx= 5 5 5 0 0 ( x. f ( x ) ) − ∫ f ( x ) dx ⇔ 30= 5 f ( 5) − ∫ f ( x ) dx . f ′ ( x ) dx ∫ x= 5 0 0 5 ⇔ ∫ f ( x ) d= x 5 f ( 5 ) − 30 = 20 . 0 Câu 200. Cho hai hàm số liên tục f và g có nguyên hàm lần lượt là F và G trên đoạn [1; 2] . Biết 2 67 3 rằng F (1) = 1 , F ( 2 ) = 4 , G (1) = , G ( 2 ) = 2 và ∫ f ( x ) G ( x ) dx = . Tính 12 2 1 11 11 145 A. . B. − . C. − . 12 12 12 Hướng dẫn giải Chọn A u = F ( x ) du = f ( x ) dx Đặt  ⇒ dv = g ( x ) dx v = G ( x ) 2 ( x ) g ( x ) dx ∫ F= 1 2 ∫ F ( x ) g ( x ) dx 1 D. 2 2 1 1 145 . 12 ( F ( x ) G ( x ) ) − ∫ f ( x ) G ( x ) dx = F ( 2 ) G ( 2 ) − F (1) G (1) − ∫ f ( x ) G ( x ) dx 2 1 3 67 11 = 4.2 − 1. − = . 2 12 12 Câu 201. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên [ 0;1] thỏa mãn 1 f (1) . Giá ∫ x  f ′ ( x ) − 2 dx = 0 1 trị của I = ∫ f ( x ) dx bằng 0 A. −2 . C. −1 . Hướng dẫn giải B. 2 . Chọn C 1 Ta có x ) − 2  dx ∫ x  f ′ (= 0 1 = ∫ xd  f ( x ) − x 0 1 2 0 1 Theo đề bài 1 1 ∫ x. f ′ ( x ) dx − ∫ 2 xdx 0 0 1 1 0 0 = x. f ( x ) − ∫ f ( x ) dx −= 1 f (1) − I − 1 . f (1) ⇒ I =−1 . ∫ x  f ′ ( x ) − 2 dx = 0
Trang chủ
D. 1 . Câu 202. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn [1; 2] và theo a và b = f ( 2 ) . A. b − a . B. a − b . 2 2 1 1 a . Tính ∫ f ( x ) dx ∫ ( x − 1) f ′ ( x ) dx = D. −a − b . C. a + b . Hướng dẫn giải Chọn A Đặt u = x − 1 ⇒ du = dx ; dv = f ′ ( x ) dx chọn v = f ( x ) . 2 2 ( x − 1) f ( x ) − ∫ f ( x= ) dx ∫ ( x − 1) f ′ ( x ) dx = 2 1 1 Ta có 2 1 2 1 1 b 2 a 1 f ( 2 ) − ∫ f ( x ) dx= b − ∫ f ( x ) . 2 a ⇔ b − ∫ f ( x ) dx = a ⇔ ∫ f ( x ) dx = b−a. ∫ ( x − 1) f ′ ( x ) dx = 1 Câu 203. Cho hàm số f ( x ) liên tục trên  và f ( 2 ) = 16 , 2 ∫ f ( x ) dx = 4 . Tính tích phân 0 1 I = ∫ x. f ′ ( 2 x ) dx . 0 A. I = 13 . B. I = 12 . C. I = 20 . Hướng dẫn giải D. I = 7 . Chọn D  du = dx u = x  Đặt  . ⇒ 1 dv = f ′ ( 2 x ) dx v = f ( 2 x )  2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Khi đó, I = x. f ( 2 x ) − ∫ f ( 2 x ) dx = f ( 2 ) − ∫ f ( 2 x ) dx = 8 − ∫ f ( 2 x ) dx . 2 20 2 20 20 0 Đặt t = 2 x ⇒ dt = 2dx . Với x = 0 ⇒ t = 0 ; x = 1 ⇒ t = 2 . 2 1 Suy ra I = 8 − ∫ f ( t ) dt = 8 − 1 = 7 . 40 Câu 204. Cho y = f ( x ) là hàm số chẵn, liên tục trên  biết đồ thị hàm số y = f ( x ) đi qua điểm  1  M  − ; 4  và  2  1 2 ∫ f ( t ) dt = 3 , tính I = 0 0 ∫π sin 2 x. f ′ ( sin x ) dx . − A. I = 10 . 6 B. I = −2 . C. I = 1 . Hướng dẫn giải Chọn B 0 Xét tích phân I = sin 2 x. f ′ ( sin x ) dx ∫= − π 6 0 ∫π 2sin x. f ′ ( sin x ) .cos xdx . − 6 π 1   x =− ⇒ t =− Đặt: t= sin x ⇒ dt= cos xdx . Đổi cận:  6 2.  x = 0 ⇒ t = 0 0 ⇒I= 2 ∫ t . f ′ ( t ) dt . − 1 2
Trang chủ
D. I = −1 . = t u 2= du 2dt ⇒ Đăt:  . ′ ( t ) dt v f ( t ) = dv f= 0  1 1 − 2 ∫ f ( t ) d t = f  −  − 2 ∫ f ( t ) dt . −  2  −1 1 2 −2 2  1   Đồ thị hàm số y = f ( x ) đi qua điểm M  − ; 4  ⇒  2  ⇒ I = 2t. f ( t ) 0 0  Hàm số y = f ( x ) là hàm số chẵn, liên tục trên  ⇒  1 4. f −  =  2 0 1 2 f ( t ) dt ∫= f ( t ) dt ∫ = f ( x ) dx ∫= 1 − 2 4 − 2.3 = −2 . Vậy I = 1 2 0 3. 0 π π 2 2 Câu 205. Cho hàm số y = f ( x ) thỏa mãn ∫ sin x. f ( x ) dx = f ( 0 ) = 1 . Tính I = ∫ cos x. f ′ ( x ) dx . 0 0 B. I = 0 . A. I = 1 . C. I = 2 . Hướng dẫn giải D. I = −1 . Chọn C u= f ( x ) ⇒ du= f ′( x)dx Đặt  dv =sin xdx ⇒ v =− cos x π π π 2 2 ⇒ ∫ sin x. f ( x ) dx = ( − cos x. f ( x ) ) 2 + ∫ cos x. f ′ ( x ) dx . 0 0 0 π π 2 2 = x. f ′ ( x ) dx ⇒I= ∫ cos 0 π ∫ sin x. f ( x ) dx + cos x. f ( x ) 02 = 1 − 1 = 0 . 0 Câu 206. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên  và thỏa mãn f ( − x ) + 2018 f ( x ) = 2 x sin x . Tính π I= 2 ∫π f ( x ) dx ? − 2 A. 2 . 2019 B. 2 . 2018 2 . 1009 Hướng dẫn giải C. D. 4 . 2019 Chọn D Ta có π π 2 2 ∫ ( f ( − x ) + 2018 f ( x ) )dx =∫ 2 x sin xdx − ⇔ π − 2 π 2 π π π 2 2 2 ∫π f ( − x ) dx + 2018 ∫π f ( x ) dx = ∫π 2 x sin xdx − − 2 π + Xét P = 2 ∫π 2 x sin xdx − 2
Trang chủ
2 − 2 π 2 π 2 ⇔ 2019 ∫ f ( x ) dx = ∫ 2 x sin xdx (1) − π 2 − π 2 u = 2 x du = 2dx ⇒ Đặt  dv = sin xdx v = − cos x P= 2 x. ( − cos x ) π + sin x 2 − π 2 π 2 − π 4 = 2 π Từ (1) suy ra I = 2 4 ∫π f ( x ) dx = 2019 . − 2 Câu 207. Cho hàm số f ( x ) và g ( x ) liên tục, có đạo hàm trên  và thỏa mãn f ′ ( 0 ) . f ′ ( 2 ) ≠ 0 và 2 g ( x ) f ′ (= x ) x ( x − 2 ) e x . Tính giá trị của tích phân I = ∫ f ( x ) .g ′ ( x ) dx ? 0 B. e − 2 . A. −4 . D. 2 − e . C. 4 . Hướng dẫn giải Chọn C x ) x ( x − 2 ) e x ⇒ g ( 0 ) = g ( 2 ) = 0 (vì f ′ ( 0 ) . f ′ ( 2 ) ≠ 0 ) Ta có g ( x ) f ′ (= 2 2 0 0 2 2 0 0 − ∫ ( x 2 − 2 x ) e x dx = 4. I = ∫ f ( x ) . g ′ ( x ) d x = ∫ f ( x ) dg ( x ) = ( f ( x ) . g ( x ) ) − ∫ g ( x ) . f ′ ( x ) d x = 2 0 π   π Câu 208. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm và liên tục trên 0;  thỏa mãn f   = 3 , 4  4 π 4 f ( x) ∫ cos x dx = 1 và 0 π π 4 4 ∫ sin x.tan x. f ( x ) dx = 2 . Tích phân 0 A. 4 . 2+3 2 . 2 B. ∫ sin x. f ′ ( x ) dx bằng: 0 1+ 3 2 . 2 Hướng dẫn giải D. 6 . C. Chọn B π 4 x = = u sin du cos xdx ⇒ Ta có: I = ∫ sin x. f ′ ( x ) dx . Đặt  . ′ ( x ) dx v f ( x ) = 0 dv f= π 4 π 4 0 I sin x. f ( x ) − ∫ cos x. f ( x = = ) dx 0 3 2 − I1 . 2 π π π 4 4 ∫ (1 − cos x ) . cos x  dx .  f ( x)  2 = ∫ sin x.tan x. f ( x )  dx = ∫ sin 2 x. dx = cos x  0 0  π 4  2 f ( x)  0 π 4  f ( x)  d x − ∫0  cos x  ∫0 cos x. f ( x ) dx = 1 − I1 . 3 2+2 3 2 ⇒ I1 = −1 ⇒ = . I +1 = 2 2 = 4 Câu 209. Cho hàm số f ( x ) liên tục trên  và f ( 2 ) = 16 , A. I = 12 . Chọn B
Trang chủ
B. I = 112 . 2 4 0 0 x ∫ f ( x ) dx = 4 . Tính I = ∫ xf ′  2  dx C. I = 28 . Hướng dẫn giải D. I = 144 .  du = dx u = x   Đặt   x. x ⇒ ′ = v f 2 d d v f x =       2 2   Khi đó 4 4 4 x x 4 x ′   dx 2 xf   0 − 2 ∫ f   d= I = ∫ xf = x 128 − 2I1 với I1 = ∫ 2 2 2 0 0 0 4 x Đặt u = ⇒ dx =2du , khi đó I1 = ∫ 2 0 x f   dx . 2 x f ( u ) du 2= f ( x ) dx 8 . f   dx = 2 ∫= ∫ 2 0 0 2 2 I 128 − 2 I1 = 128 − 16 = 112 . Vậy= Câu 210. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm cấp hai f ′′ ( x ) liên tục trên đoạn [ 0;1] thoả mãn = f (1) f= ( 0 ) 1 , f ′ ( 0 ) = 2018 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 1 1 −2018 . A. ∫ f ′′ ( x )(1 − x ) dx = B. ∫ f ′′ ( x )(1 − x ) dx = −1 . 2018 . C. ∫ f ′′ ( x )(1 − x ) dx = D. ∫ f ′′ ( x )(1 − x ) dx = 1 . 0 1 0 1 0 0 Hướng dẫn giải Chọn A = Xét I 1 1 0 0 ∫ f ′′ ( x )(1 − x ) dx = ∫ (1 − x ) d ( f ′ ( x ) ) u = 1 − x du = −dx ⇔ Đặt  v = f ′ ( x ) dv = d ( f ′ ( x ) ) 1 ⇔I= − f ′ ( 0 ) +  f (1) − f ( 0 )  (1 1) f ′ (1) − f ′ ( 0 )  + f ( x ) 0 = (1 − x ) f ′ ( x ) 0 + ∫ f ′ ( x ) dx =− 1 1 0 = −2018 + (1 − 1) = −2018 . π  Câu 211. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục thỏa mãn f   = 0 , 2 π ∫  f ′ ( x ) π 2 dx = 2 π π ∫π cos x f ( x ) dx = 4 . Tính f ( 2018π ) . 2 A. −1 . 1 . 2 Hướng dẫn giải B. 0 . C. D. 1 . Chọn D Bằng công thức tích phân từng phần ta có π π π π cos xf ( x ) dx sin xf ( x )  π − ∫ sin xf ′ ( x ) dx . Suy ra ∫ sin xf ′ ( x ) dx = − . ∫π = 4 2 π π π 2 2 π π 1 − cos 2 x π  2 x − sin 2 x  . dx  = ∫π=  2 4  π 4 2 2 2 2 Hơn nữa ta tính được = ∫ sin xdx
Trang chủ
2 π π π 4 và π Do đó: 2 π π π 2 2 2 0 0 0 2 0 ⇔ ∫  f ′ ( x ) + sin x  dx = 0. ∫  f ′ ( x ) dx + 2∫ sin xf ′ ( x ) dx + ∫ sin xdx = 2 0 2 π Suy ra f ′ ( x ) = − sin x . Do đó f = ( x ) cos x + C . Vì f   = 0 nên C = 0 . 2 Ta được f ( x ) = cos x ⇒ f ( 2018π ) = cos ( 2018π ) = 1 . Câu 212. Cho hàm số f ( x ) nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên đoạn [ 0;2] . Biết f ( 0 ) = 1 2 e và f ( x ) . f ( 2 − x ) = 2 x2 − 4 x , với mọi x ∈ [ 0;2] . Tính tích phân I = ∫ (x 3 − 3x 2 ) f ′ ( x ) 0 16 . 3 A. I = − B. I = − 16 . 5 C. I = − Hướng dẫn giải f ( x) 14 . 3 dx . D. I = − 32 . 5 Chọn B e2 x Cách 1: Theo giả thiết, ta có f ( x ) . f ( 2 − x ) = ln  f ( x ) . f ( 2 − x )  = ln e 2 x 2 +4 x 2 −4 x và f ( x ) nhận giá trị dương nên ⇔ ln f ( x ) + ln f ( 2 − x ) = 2 x 2 − 4 x . Mặt khác, với x = 0 , ta có f ( 0 ) . f ( 2 ) = 1 và f ( 0 ) = 1 nên f ( 2 ) = 1 . 2 Xét I = ∫ (x − 3x 2 ) f ′ ( x ) 3 f ( x) 0 2 dx , ta có = I ∫(x 3 − 3x 2 ) . 0 f ′( x) dx f ( x) u= x − 3 x = du ( 3 x 2 − 6 x ) dx  ⇒ Đặt  f ′( x) v = ln f ( x )  dv = f x dx ( )  3 2 2 2 0 0 − ∫ ( 3 x 2 − 6 x ) .ln f ( x ) dx (1) . Suy ra I =( x 3 − 3 x 2 ) ln f ( x )  − ∫ ( 3 x 2 − 6 x ) .ln f ( x ) dx = 0 2 −dt . Khi x = 0 → t = 2 và x = 2 → t = 0 . Đến đây, đổi biến x= 2 − t ⇒ dx = 0 ( 2 ) ) ( − ∫ 3t − 6t .ln f ( 2 − t )( −dt ) = − ∫ 3t 2 − 6t .ln f ( 2 − t ) dt Ta có I = 2 2 0 2 ( ) ( ) − ∫ 3 x 2 − 6 x .ln f ( 2 − x ) dx ( 2 ) . Vì tích phân không phụ thuộc vào biến nên I = 0 2 − ∫ 3 x 2 − 6 x . ln f ( x ) + ln f ( 2 − x )  dx Từ (1) và ( 2 ) ta cộng vế theo vế, ta được 2 I = 0 2 ( )( ) 1 16 − ∫ 3 x 2 − 6 x . 2 x 2 − 4 x dx = − . Hay I = 20 5 Cách 2 (Trắc nghiệm) 2 Chọn hàm số f ( x ) = e x − 2 x , khi đó: 2 I =∫ (x 3 − 3 x 2 ) .e x 2 −2 x x2 − 2 x .( 2 x − 2) 2 dx = ∫ ( x3 − 3 x 2 ). ( 2 x − 2 ) dx = −16 . 5 e 0 Câu 213. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ 0;1] thỏa mãn f (1) = 0 và 0 2 e2 − 1 x ′ . Tính tích phân I = ∫ f ( x ) dx . ∫0  f ( x ) dx = ∫0 ( x + 1) e f ( x ) dx = 4 0 1 1
Trang chủ
1 B. I = e − 2 . A. I= 2 − e . C. I = Hướng dẫn giải Chọn B e . 2 x e −1 . 2  du = f ′ ( x ) dx u = f ( x )   ∫ ( x + 1) e f ( x ) dx . Đặt d=v ( x + 1) e dx ⇒ v = xe   1 A Xét= D. I = x x 0 1 1 − e2 = Suy ra A xe x f ( x ) 0 − ∫ xe x f ′ ( x ) dx = − ∫ xe x f ′ ( x ) dx ⇒ ∫ xe x f ′ ( x ) dx = 4 0 0 0 1 1 1 1 1 1 e2 − 1 1 Xét ∫ x e = . dx e  x 2 − x + =  2 40 4 2 0 1 2 2x 2x 1 Ta có 1 1 0 0 1 x 2 2x 0 ⇔ ∫ ( f ′ ( x ) + xe x ) dx = 0 ∫  f ′ ( x ) dx + 2∫ xe f ′ ( x ) dx + ∫ x e dx = 2 0 2 0 Suy ra f ′ ( x ) + xe x = 0 ∀x ∈ [ 0;1] (do ( f ′ ( x ) + xe ) ≥ 0 ∀x ∈ [ 0;1] ) x 2 ⇒ f ′( x) = − xe x ⇒ f ( x ) =− (1 x ) e x + C Do f (1) = 0 nên f ( x )= 1 1 0 0 (1 − x ) e x x e−2. Vậy I = ( 2 − x ) ex 0 = ∫ f ( x ) dx = ∫ (1 − x ) e dx = 1 Câu 214. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [1; 2] thỏa mãn 2 1 − , ∫ ( x − 1) f ( x ) dx = 3 2 1 f ( 2 ) = 0 và 2 ∫  f ′ ( x ) 2 1 A. I = 2 dx = 7 . Tính tích phân I = ∫ f ( x ) dx . 1 7 . 5 7 B. I = − . 5 C. I = − Hướng dẫn giải 7 . 20 D. I = 7 . 20 Chọn B Đặt u= f ( x ) ⇒ du= f ′ ( x ) dx , dv = 2 1 Ta có − = 3 − 1) f ( x ) dx ∫ ( x= 2 ( x − 1) ( x − 1) 3 1 2 3 2 dx ⇒ v = 2 2 . f ( x) − ∫ 1 1 2 ( x − 1) 3 3 ( x − 1) 3 3 f ′ ( x ) dx 2 1 1 3 3 3 ⇔ − = − ∫ ( x − 1) f ′ ( x ) dx ⇔ ∫ ( x − 1) f ′ ( x ) dx = 1 ⇒ − ∫ 2.7 ( x − 1) f ′ ( x ) dx = −14 3 31 1 1 2 2 2 2 7 ⇒ ∫  f ′ ( x )  dx − ∫ 2.7 ( x − 1) f ′ ( x ) dx + ∫ 49 ( x − 1) dx = 0 Tính được ∫ 49 ( x − 1) dx = 6 1 2 2 1 2 7 ( x − 1) 7 − . Do f ( 2 ) = 0 ⇒ f ( x= ) 4 4 4 2 2 7 ( x − 1) 7  7 f x d x Vậy I == ( )  ∫1 ∫1  4 − 4  dx = − 5 .   4
Trang chủ
1 1 3 3 ⇒ ∫ 7 ( x − 1) − f ′ ( x )  dx = 0 ⇒ f ′( x) = 7 ( x − 1) ⇒ f ( x= )   1 6 3 7 ( x − 1) +C . 4 4 Câu 215. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ 0;1] thỏa mãn f (1) = 1 , 1 ∫  f ′ ( x ) dx = 9 và 2 0 A. 1 3 ∫ x f ( x ) dx = 0 2 . 3 B. 1 . Tích phân 2 5 . 2 1 ∫ f ( x ) dx bằng 0 7 . 4 Hướng dẫn giải C. D. 6 . 5 Chọn B 1 Ta có: ∫  f ′ ( x ) 2 dx = 9 (1) 0 1 – Tính 1 ∫ x f ( x ) dx = 2 . 3 0 du = f ′ ( x ) dx u =f ( x )  ⇒ Đặt  x4 3 d v x .d x =  v =  4 1 1 1 1  x4  1 1 4 1 1 4 3 ′ x . f ′ ( x ) dx = − x f x d x ⇒ = − x . f x d x = . f x ( ) ( ) ( )   ∫ 4 4 ∫0 2 ∫0  4 0 4 0 1 1 ⇒ ∫ x 4 . f ′ ( x ) dx = −1 ⇒ 18∫ x 4 . f ′ ( x ) dx = −18 ( 2 ) 0 0 9 1 1 1 1 x dx = – Lại có: ∫ x= ⇒ 81∫ x8dx = 9 ( 3) 9 0 9 0 0 8 – Cộng vế với vế các đẳng thức (1) , ( 2 ) và ( 3) ta được: 1 1 1 2 4 8 0 ⇔ π .∫  f ′ ( x ) + 9 x 4  dx = 0 ⇔ ∫  f ′ ( x ) + 9 x 4  dx = 0 ∫0   f ′ ( x ) + 18 x . f ′ ( x ) + 81x  dx = 0 0 Hay thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm = số y f ′ ( x ) + 9 x 4 , trục hoành Ox , các đường thẳng x = 0 , x = 1 khi quay quanh Ox bằng 0 9 −9 x 4 ⇒ f ( x ) = ⇒ f ′ ( x ) + 9×4 = 0 ⇒ f ′( x) = − x4 + C . ∫ f ′ ( x ) .dx = 5 14 9 5 14 Lại do f (1) = 1 ⇒ C = ⇒ f ( x ) = − x + 5 5 5 1 1 1 5  9 5 14   3 6 14  . ⇒ ∫ f ( x ) dx =  − x +  dx = − x + x = ∫ 5 5 5 0 2  10 0 0  π π  Câu 216. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;  và f   = 0 . Biết  4 4 π π π 4 π 4 ∫ f ( x ) dx = 8 , ∫ 2 0 f ′ ( x ) sin 2xdx = − 0 A. I = 1 . Chọn D
Trang chủ
π 4 1 B. I = . 2 8 . Tính tích phân I = ∫ f ( 2 x ) dx 0 C. I = 2 . Hướng dẫn giải D. I = 1 . 4 π = π sin 2 x u= 2 cos 2 xdx du ⇒ , khi đó − . Đặt  = v  f ( x ) v 4  f ′ ( x ) dx d= 4 Tính 17T T 7 1 ∫ f ′ ( x ) sin 2xdx = 0 π 4 ∫ 0 π π π 4 f ′= ( x ) sin 2xdx sin 2x. f ( x ) 04 − 2 ∫ f ( x ) cos2xdx= sin 0 π π  . f   − sin 0. f ( 0 ) − 2 ∫ f ( x ) cos2xdx 2 4 0 4 π 4 = −2 ∫ f ( x ) cos2xdx . 0 π Theo đề bài ta có π 4 ∫ f ′ ( x ) sin 2xdx = − 0 π 4 π 4 ∫ f ( x ) cos2xdx = 8 . ⇒ 0 π 4 Mặt khác ta lại có ∫ cos 2 2 xdx = π 8 0 π . π 4 4 2 2 ∫  f ( x ) − cos2x  dx =∫  f ( x ) − 2f ( x ) .cos2x + cos 2 x  dx Do 2 0 0 f ( x ) = cos 2 x . π π π π = −2 +  =0 8 8 8 π 8 8 1 1 Ta có I ∫= . cos 4 xdx = sin 4 x = 4 4 0 0 Câu 217. . Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ 0;1] và f ( 0 ) + f (1) = 0 . Biết 1 ∫ 0 1 f ( x ) dx = , 2 2 1 ∫ f ′ ( x ) cos (π x ) dx = 0 A. π . B. 1 π π . Tính 2 1 ∫ f ( x ) dx . 0 . C. 2 π . D. Hướng dẫn giải 3π . 2 Chọn C u = cos (π x ) du = −π sin (π x ) dx Đặt  . ⇒ dv = f ′ ( x ) dx v = f ( x ) 17T 1 Khi đó: ∫ 0 1 f ′ (= x ) cos (π x ) dx cos (π x ) f ( x ) 0 + π ∫ f ( x ) sin (π x ) dx 1 0 1 1 0 0 = − ( f (1) + f ( 0 ) ) + π ∫ f ( x ) sin (π x ) dx = π ∫ f ( x ) sin (π x ) dx 1 1 ⇒ ∫ f ( x ) sin (π x ) dx = . 2 0 Cách 1: Ta có 1 Tìm k sao cho ∫  f ( x ) − k sin (π x ) 2 dx = 0 0 1 Ta có: 1 1 1 0 0 0 2 2 2 ∫  f ( x ) − k sin (π x ) dx = ∫ f ( x ) dx − 2k ∫ f ( x ) sin (π x ) dx + k ∫ sin (π x ) dx 0
Trang chủ
2 nên = 1 k2 −k + = 0 ⇔ k = 1. 2 2 1 0 ⇒ f ( x) = sin (π x ) (do  f ( x ) − sin (π x )  ≥ 0 ∀x ∈  ). ∫  f ( x ) − sin (π x ) dx = Do đó 2 2 0 1 Vậy= ∫ f ( x ) dx 0 1 sin (π x ) dx ∫= 0 2 π . Cách 2: Sử dụng BĐT Holder. 2 b b b  2 ≤ f x g x x f x x g 2 ( x ) dx . d d . ) ) ( ( ( ) ∫  ∫ ∫ a a a  Dấu “ = ” xảy ra ⇔ f ( x ) = k .g ( x ) , ∀x ∈ [ a; b ] . 2 1 1 1  1  1 2 Áp dụng vào bài ta có = ≤ f x sin π x d x f x d x . sin 2 (π x ) dx =, ) ( ) ) ( ( ∫  ∫ ∫ 4 0 4 0 0  suy ra f ( x ) = k .sin (π x ) , k ∈  . 1 Mà ∫ f ( x ) sin (π x ) dx = 0 1 Vậy= ∫ f ( x ) dx 0 1 1 1 ⇔ k ∫ sin 2 (π x ) dx = ⇔ k = 1 ⇒ f ( x ) = sin (π x ) 2 2 0 1 sin (π x ) dx ∫= 0 2 π . Câu 218. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) liên tục trên đoạn [ 0;1] thỏa f (1) = 0 , 1 ∫ ( f ′ ( x )) 0 2 1 π2 1 π  dx = và ∫ cos  x  f ( x ) dx = . Tính 2 8 2  0 π . 2 A. B. π . 1 ∫ f ( x ) dx . 0 C. 1 π Hướng dẫn giải . D. 2 π . Chọn D du = f ′ ( x ) dx u = f ( x )   πx 2 Đặt  πx ⇒ v sin = d v cos d x =   π 2 2 1 1 π  Do đó ∫ cos  x  f ( x ) dx = 2 2  0 π 1 π  π  ⇔ ∫ sin  x  f ′ ( x ) dx = − . f ( x ) − ∫ sin  x  f ′ ( x ) dx = ⇔ sin 4 2 2 π π 0 2  2  0 0 πx 2 π Lại có: ∫ sin 2  2 0 1 1 2 1 1 1  x  dx = 2   2   2 π  π  ⇒ I = ∫  − . f ′ ( x )  dx − 2  −  ∫ sin  x  f ′ ( x ) dx + ∫ sin 2  x  dx π   π 0 2  2  0 0 1 2 1 2  2 π = ∫  − f ′ ( x ) − sin  π 2 0 4 π2 2 π 1  − . + = 0 x   dx = 2 π 8 π 2 2   2 π Vì  − f ′ ( x ) − sin  2  π  x   ≥ 0 trên đoạn [ 0;1] nên  1
Trang chủ
2 1 2  2 2 π  π  π  π 0 ⇔ − f ′ ( x ) =sin  x  ⇔ f ′ ( x ) = − sin  ∫0  − π f ′ ( x ) − sin  2 x   dx = 2 π 2  2 π  π  Suy ra f ( x ) =cos  x  + C mà f (1) = 0 do đó f ( x ) =cos  x  . 2  2  1 1 = Vậy ∫ f ( x ) dx 0 π  1 2 cos  x  dx ∫= 2  π 0  x.  . Câu 219. Xét hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên  và thỏa mãn điều kiện f (1) = 1 và f ( 2 ) == 4 . Tính J  f ′( x) + 2 f ( x) +1 ∫1  x − x 2  dx . 2 B. J= 4 − ln 2 . A. J = 1 + ln 4 . C.= J ln 2 − Hướng dẫn giải Chọn D  f ′( x) + 2 f ( x) +1  = − Cách = 1: Ta có J ∫   dx x x2  1 1 1   u = du = − 2 dx x x ⇒ Đặt  dv f= ′ ( x ) dx v f ( x ) =  2 ∫ 1 D. J= 2 2 1 1 1  = f ( 2 ) − f (1) +  2 ln x +  =+ ln 4 . 2 x 1 2  2  f ′( x) + 2 f ( x) +1   xf ′ ( x ) − f ( x ) 2 1  d x = −= + − 2  dx Cách 2: J ∫    ∫1  x x2  x2 x x  1 2 2 2  f ( x ) ′  f ( x) 1 1 2 1  = ∫ + 2 ln x +  =+ ln 4 .  dx + ∫  − 2  dx =  x  x x  x 1 2  x 1 1 2 Cách 3: ( Trắc nghiệm) a = 3  f (1) = 1 Chọn hàm số f ( x= , suy ra f ( x= ⇒ ) ax + b . Vì  ) 3x − 2 .  f ( 2 ) = 4 b = −2 2 1 1  5 3x − 1   Vậy J =∫  − 2  dx = 2 ln x −  =ln 4 + . 2 x x  x 1  1 Câu 220. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ 0;1] thỏa mãn 2 2 e2 − 1 x ′ và f (1) = 0 . Tính ∫0  f ( x ) dx = ∫0 ( x + 1) e f ( x ) dx = 4 1 1 A. e −1 . 2 2 B. e . 4 1 ∫ f ( x ) dx 0 C. e − 2 . Hướng dẫn giải Chọn C 1 1 1 0 0 0 x x x J +K. – Tính: I = ∫ ( x + 1) e f ( x ) dx = ∫ xe f ( x ) dx + ∫ e f ( x ) dx =
Trang chủ
1 + ln 4 . 2 2 2 f ′( x) f ( x) 2 1  dx − ∫ 2 dx + ∫  − 2  dx . x x x x  1 1 2 2 2 f ( x) f ( x)  f ′( x) + 2 f ( x) +1 1 2 1  − d x = . f x + d x − d x + ( ) ∫ 2   − 2  dx 2 2 ∫1  x ∫ ∫ x x x x x x  1  1 1 1 2 = J 2 1 . 2 D. e . 2 1 Tính K = ∫ e x f ( x ) dx 0 du e x f ( x ) + e x f ′ ( x )  dx u = e x f ( x )=   Đặt  ⇒ v = x dv = dx 1 1 1 − ∫ xe f ( x ) dx − ∫ xe f ′ ( x ) dx ( do f (1) = 0 ) ( xe f ( x ) ) − ∫  xe f ( x ) + xe f ′ ( x ) dx = = ⇒K 1 x 0 x x x x 0 0 1 1 0 0 0 ⇒ K =− J − ∫ xe x f ′ ( x ) dx ⇒ I =J + K =− ∫ xe x f ′ ( x ) dx . – Kết hợp giả thiết ta được: 1 1 2 2 e2 − 1 e2 − 1 ′ ′ = f x x d (1) = f x x d     ∫  ( ) ∫  ( ) 4 4 0 0 ⇒ 1  1 2 e2 − 1 2 xe x f ′ x dx = − e − 1 (2) − xe x f ′ x dx = ) ( ) (  ∫  ∫ 2 4  0  0 1 e2 − 1 (3) . – Mặt khác, ta tính được: ∫ x 2 e 2 x dx = 4 0 – Cộng vế với vế các đẳng thức (1), (2), (3) ta được: ∫ (  f ′ ( x ) 1 2 + 2 xe f ′ ( x ) + x e 2 2x x 0 0 ⇔ π ∫ ( f ′ ( x ) + xe ) dx = 0 ⇔ ∫ ( f ′ ( x ) + xe ) dx = 0 ) dx = 1 1 x 2 x 2 o o hay thể tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm = số y f ′ ( x ) + xe , trục Ox , các đường thẳng x = 0 x , x = 1 khi quay quanh trục Ox bằng 0 − xe x ⇒ f ′ ( x ) + xe x = 0 ⇔ f ′( x) = ⇒ f ( x) = − ∫ xe x dx = (1 − x ) e x + C . – Lại do f (1) =0 ⇒ C =0 ⇒ f ( x ) =(1 − x ) e x 1 1 0 0 1 x ⇒ ∫ f ( x ) dx = ( (1 − x ) e x ) + ∫ e x dx =−1 + e x =e − 2 . ∫ (1 − x ) e dx = 1 0 1 0 0 1 Vậy ∫ f ( x ) dx= e−2. 0 Câu 221. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ 0;1] thỏa mãn f (1) = 0 , 1 1 1 1 ∫0  f ′ ( x ) dx = 7 và ∫0 x f ( x ) dx = 3 . Tích phân ∫0 f ( x ) dx bằng 7 7 A. . B. 1 . C. . 4 5 Hướng dẫn giải Chọn A  du = f ′ ( x ) dx 1 u =f ( x )  2 ⇒ Cách 1: Tính: ∫ x f ( x ) dx . Đặt  . x3 2 dv = x dx v = 0 3  2 2 1 x3 f ( x ) 1 Ta có: ∫ x = f ( x ) dx − ∫ x 3 . f ′ ( x ) dx 3 0 30 0 1 1 2
Trang chủ
D. 4 . 1 1. f (1) − 0. f ( 0 ) 1 1 1 = − ∫ x 3 . f ′ ( x ) dx = − ∫ x 3 . f ′ ( x ) dx . 3 30 30 1 2 ∫ x f ( x ) dx = Mà 0 1 Ta có ∫  f ′ ( x ) 2 1 1 1 1 1 ⇒ − ∫ x3 . f ′ ( x ) dx = ⇒ ∫ x3 . f ′ ( x ) dx = −1 . 30 3 3 0 dx = 7 (1). 0 1 1 1 x7 1 1 = = x x d 49 x 6 dx =.49 = 7 (2). ⇒ ∫0 ∫ 7 0 7 7 0 6 1 1 0 0 3 3 ∫ x . f ′ ( x ) dx =−1 ⇒ ∫ 14 x . f ′ ( x ) dx =−14 (3). 1 Cộng hai vế (1) (2) và (3) suy ra ∫  f ′ ( x ) 0 1 { } 2 1 1 dx + ∫ 49 x dx + ∫ 14 x3 . f ′ ( x ) dx = 7 + 7 − 14 = 0 . 6 0 0 1 ⇒ ∫  f ′ ( x )  + 14 x 3 f ′ ( x ) + 49 x 6 dx = 0 ⇒ ∫  f ′ ( x ) + 7 x 3  dx = 0. 0 2 2 0 1 1 0 ⇒ f ′( x) = Do  f ′ ( x ) + 7 x  ≥ 0 ⇒ ∫  f ′ ( x ) + 7 x 3  dx ≥ 0 . Mà ∫  f ′ ( x ) + 7 x 3  dx = −7 x 3 . 2 3 2 2 0 0 4 7x 7 7 f ( x) = − + C . Mà f (1) = 0 ⇒ − + C = 0 ⇒ C = . 4 4 4 7 x4 7 − + . Do đó f ( x ) = 4 4 1 Vậy ∫ 0 1  7 x4 7   7 x5 7  7 f ( x ) dx = + x  =. − ∫0  − 4 + 4  dx =  20 4  0 5 1 1 Cách 2: Tương tự như trên ta có: ∫ x . f ′ ( x ) dx = 3 −1 0 Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có: 2 1 1 1  1  1  2 2 2 2 1 7 = 7  ∫ x3 f ′ ( x ) dx  ≤ 7  ∫ ( x 3 ) dx  ⋅  ∫  f ′ ( x )  dx  = 7 ⋅ ⋅ ∫  f ′ ( x )  dx = ∫  f ′ ( x )  dx 7 0 0 0  0  0  3 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi f ′ ( x ) = ax , với a ∈  . 1 1 1 ax 7 =−1 ⇒ a =−7 . Ta có ∫ x . f ′ ( x ) dx =−1 ⇒ ∫ x .ax dx =−1 ⇒ 7 0 0 0 3 3 3 7 x4 7 −7 x3 ⇒ f ( x ) = − + C , mà f (1) = 0 nên C = Suy ra f ′ ( x ) = 4 4 7 Do đó f ( x= ) (1 − x 4 ) ∀x ∈  . 4 1 1  7 x4 7   7 x5 7  1 7 + x  =. Vậy ∫ f ( x ) dx = − ∫0  − 4 + 4  dx =  20 4  0 5 0 Chú ý: Chứng minh bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Cho hàm số f ( x ) và g ( x ) liên tục trên đoạn [ a; b ] .
Trang chủ
2 b  b  b  Khi đó, ta có  ∫ f ( x ) g ( x ) dx  ≤  ∫ f 2 ( x ) dx  ⋅  ∫ g 2 ( x ) dx  . a  a  a  Chứng minh: Trước hết ta có tính chất: b Nếu hàm số h ( x ) liên tục và không âm trên đoạn [ a; b ] thì ∫ h ( x ) dx ≥ 0 a Xét tam thức bậc hai λ f ( x ) + g ( x )  = λ 2 f 2 ( x ) + 2λ f ( x ) g ( x ) + g 2 ( x ) ≥ 0 , với mọi λ ∈  Lấy tích phân hai vế trên đoạn [ a; b ] ta được 2 b b b a a a λ 2 ∫ f 2 ( x ) dx + 2λ ∫ f ( x ) g ( x ) dx + ∫ g 2 ( x ) dx ≥ 0 , với mọi λ ∈  (*) Coi (*) là tam thức bậc hai theo biến λ nên ta có ∆′ ≤ 0 2 b  b  b  ⇔  ∫ f 2 ( x ) dx  −  ∫ f 2 ( x ) d x   ∫ g 2 ( x ) d x  ≤ 0 a  a  a  2 b 2  b 2  b 2  ⇔  ∫ f ( x ) dx  ≤  ∫ f ( x ) dx   ∫ g ( x ) dx  (đpcm) a  a  a 
Trang chủ
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments

Bài viết tương tự

Scroll to Top