Bài tập trắc nghiệm tích phân hàm ẩn có đáp án và lời giải chi tiết – Đặng Việt Đông

Giới thiệu Bài tập trắc nghiệm tích phân hàm ẩn có đáp án và lời giải chi tiết – Đặng Việt Đông

Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và bạn đọc Bài tập trắc nghiệm tích phân hàm ẩn có đáp án và lời giải chi tiết – Đặng Việt Đông CHƯƠNG NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN.

Bài tập trắc nghiệm tích phân hàm ẩn có đáp án và lời giải chi tiết – Đặng Việt Đông

Tài liệu môn Toán 12 và hướng dẫn giải chi tiết các đề thi từ cơ bản đến vận dụng cao sẽ luôn được cập thường xuyên từ hoctoanonline.vn , các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán hay và mới nhất.

Tài liệu Bài tập trắc nghiệm tích phân hàm ẩn có đáp án và lời giải chi tiết – Đặng Việt Đông

Các em học sinh và bạn đọc tìm kiếm thêm tài liệu Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng tại đây nhé.

Text Bài tập trắc nghiệm tích phân hàm ẩn có đáp án và lời giải chi tiết – Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng MỤC LỤC DẠNG 1: ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT NGUYÊN HÀM DẠNG 2: ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT, GIẢI HỆ TÍCH PHÂN DẠNG 3: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 1 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 2 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 3 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 4 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 5 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 6 DẠNG 4: PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN ĐT: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 1 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng BÀI TẬP DẠNG 1: ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT NGUYÊN HÀM 1 f x  1 f 0  2017 f  2   2018 Câu 1: Cho hàm số   xác định trên thỏa mãn f   x   ,   , x 1 S  f  3   f   1 . Tính . A. S  1 . B. S  ln 2 . C. S  ln 4035 . D. S  4 . 2 1  Câu 2: Cho hàm số f  x  xác định trên    thỏa mãn f   x   và f  0   1 . Giá trị của 2x 1 2 biểu thức f   1  f  3  bằng A. 4  ln15 . B. 3  ln15 . C. 2  ln15 . D. ln15 . 1 2   Câu 3: Cho hàm số f ( x) xác định trên    thỏa mãn f ( x )  , f (0)  1 và f (1)  2 . Giá 2x 1 2 trị của biểu thức f ( 1)  f (3) bằng A. 4  ln 5 . B. 2  ln15 . C. 3  ln15 . D. ln15. Câu 4: Cho hàm số f  x  xác định trên  thỏa mãn f   x   2 x  1 và f 1  5 . Phương trình f  x   5 có hai nghiệm x1 , x2 . Tính tổng S  log 2 x1  log 2 x2 . A. S  1 . Câu 5: Câu 6: Câu 7: Câu 8: Câu 9: B. S  2 . C. S  0 . D. S  4 . 3 1   2 Cho hàm số f ( x) xác định trên    thỏa mãn f   x   , f  0   1 và f    2 . 3x  1 3   3 Giá trị của biểu thức f   1  f  3  bằng A. 3  5ln 2 . B. 2  5ln 2 . C. 4  5ln 2 . D. 2  5ln 2 . 4 f  x   2; 2 f 0 1 Cho hàm số xác định trên và thỏa mãn f   x   2 ; f  3  0 ;   x 4 f 3  2 P  f   4   f   1  f  4  và . Tính giá trị biểu thức . 3 5 5 A. P  3  ln . B. P  3  ln 3 . C. P  2  ln . D. P  2  ln . 25 3 3 1 Cho hàm số f  x  xác định trên   2;1 thỏa mãn f   x   2 ; f  3   f  3   0 x  x2 1 và f  0   . Giá trị của biểu thức f   4   f   1  f  4  bằng 3 1 1 1 4 1 8 A.  ln 2 . B. 1  ln 80 . C. 1  ln 2  ln . D. 1  ln . 3 3 3 5 3 5 1 Cho hàm số f  x  xác định trên   1;1 và thỏa mãn f   x   2 ; f  3   f  3   0 x 1  1 1 và f     f    2 . Tính giá trị của biểu thức P  f  0   f  4  .  2 2 3 3 1 3 1 3 A. P  2  ln . B. P  1  ln . C. P  1  ln . D. P  ln . 5 5 2 5 2 5 1 Cho hàm số f  x  xác định trên   1 thỏa mãn f   x   2 . Biết f  3   f  3   0 x 1  1 1 và f     f    2 . Giá trị T  f  2   f  0   f  4  bằng:  2 2 1 5 1 9 1 9 1 9 A. T  2  ln . B. T  1  ln . C. T  3  ln . D. T  ln . 2 9 2 5 2 5 2 5 ĐT: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 2 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng Câu 10: Cho hàm số f  x  nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên  0;   thỏa mãn f  2   1 15 và f   x    2 x  4  f 2  x   0 . Tính f 1  f  2   f  3  . 7 11 11 7 . B. . C. . D. . 15 15 30 30 Câu 11: Cho hàm số f  x  xác định và liên tục trên  . Biết f 6  x  . f   x   12 x  13 và f  0   2 . A. Khi đó phương trình f  x   3 có bao nhiêu nghiệm? A. 2 . B. 3 . C. 7 . D. 1. Câu 12: Cho hàm số f  x  xác định trên  thỏa mãn f   x   e x  e x  2 , f  0   5 và  1 f  ln   0 . Giá trị của biểu thức S  f   ln16   f  ln 4  bằng  4 31 9 5 A. S  . B. S  . C. S  . D. f  0  . f  2   1 . 2 2 2   Câu 13: Cho hàm số f  x  liên tục, không âm trên đoạn  0;  , thỏa mãn f  0   3 và  2   f  x  . f   x   cos x. 1  f 2  x  , x   0;  . Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M  2    của hàm số f  x  trên đoạn  ;  . 6 2 21 5 A. m  , M  2 2 . B. m  , M  3 . 2 2 5 C. m  , M  3 . D. m  3 , M  2 2 . 2 Câu 14: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  và thỏa mãn f  x   0 , x   . Biết f  0   1 f ‘ x  2  2 x . Tìm các giá trị thực của tham số m để phương trình f  x   m có hai f  x nghiệm thực phân biệt. A. m  e . B. 0  m  1 . C. 0  m  e . D. 1  m  e . Câu 15: Cho hàm số f  x  liên tục trên  và f  x   0 với mọi x   . f   x    2 x  1 f 2  x  và và f 1  0, 5 . Biết rằng tổng f 1  f  2   f  3  …  f  2017   a a ;  a   , b    với b b tối giản. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. a  b  1 . B. a    2017; 2017  . C. Câu 16: Cho hàm số f  x   0 thỏa mãn điều kiện f f 1  f  2   …  f  2017   f  2018   đề nào sau đây đúng? a A.  1 . b C. a  b  1010 . ‘ a  1 . b  x    2 x  3. f 2  x  D. b  a  4035 . và f  0   1 . Biết tổng 2 a a với a  , b  * và là phân số tối giản. Mệnh b b a 1. b D. b  a  3029 . B. ĐT: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 3 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng  f   x  . f  x   2  f   x   2  xf 3  x   0   Câu 17: Cho hàm số y  f  x  , x  0 , thỏa mãn  . Tính  f   0   0; f  0   1 f 1 . A. 2 . 3 B. 3 . 2 C. 6 . 7 D. Câu 18: Giả sử hàm số f ( x) liên tục, dương trên  ; thỏa mãn f  0   1 và  7 . 6 f  x x  2 . Khi đó f  x x 1  hiệu T  f 2 2  2 f 1 thuộc khoảng A.  2;3  .  4 Câu 19: Khi đó  0  0;   ; B.  7;9  . C.  0;1 . 1 f  tan t  dt   f  x  dx . Vậy cos 2t 0 D.  9;12  . 1  f  x  dx  6 .Cho hàm số y  f  x  đồng biến trên 0 y  f  x  liên tục, nhận giá trị dương trên  0;   và thỏa mãn f  3   2 và 3 2  f ‘  x     x  1 . f  x  . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. 2613  f 2  8   2614 . B. 2614  f 2  8   2615 . C. 2618  f 2  8   2619 . D. 2616  f 2  8   2617 . Câu 20: Giả sử hàm số y  f  x  liên tục, nhận giá trị dương trên  0;   và thỏa mãn f 1  1 , f  x   f   x  3 x  1 , với mọi x  0 . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 4  f  5   5 . B. 2  f  5   3 . C. 3  f  5   4 . D. 1  f  5   2 . 2 x    f   x    f  x  . f   x   15 x 4  12 x , f  0   f   0   1 . Giá trị của f 2 1 bằng Câu 21: Cho hàm số A. f  x 9 . 2 thỏa mãn B. 5 . 2 C. 10 . Câu 22: Cho hàm số f  x  liên tục trên  và thỏa mãn f   x 1 x 1 và D. 8 .  dx  2  x 1  3 x5   C . Nguyên hàm của hàm số f  2 x  trên tập  là:  A. x3 C . 2  x2  4 B. x3 C . x2  4 C. 2x  3 C . 4  x 2  1 D. 2x  3 C. 8  x 2  1 DẠNG 2: ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT, GIẢI HỆ TÍCH PHÂN 5 Câu 23: Cho 2  f  x  dx  10 . Kết quả   2  4 f  x   dx bằng: 2 5 A. 34 . B. 36 . C. 40 . D. 32 . 9 Câu 24: Cho hàm số f  x  liên tục trên  và F  x  là nguyên hàm của f  x  , biết  f  x  dx  9 và 0 F  0   3 . Tính F  9  . A. F  9   6 . B. F  9   6 . C. F  9   12 . ĐT: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. F  9   12 . Trang 4 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 2 Tích Phân và Ứng Dụng 2 Câu 25: Cho I   f  x  dx  3 . Khi đó J    4 f  x   3 dx bằng: 0 0 A. 2 . B. 6 . 4 D. 4 . C. 8 . 4 4 I   3 f  x   5 g  x   dx  f  x  dx  10 2 g  x  dx  5 2 Câu 26: Cho 2 và . Tính A. I  5 . B. I  15 . C. I  5 . 9 0  f  x  dx  37  g  x  dx  16 Câu 27: Giả sử A. I  26 . và B. I  58 . 0 9 2  5 f  x  dx  3 Câu 28: Nếu 1 A. 2 . ,  I    2 f  x   3g ( x)  dx 0 . Khi đó, C. I  143 . thì 2  f  x  dx bằng C. 3 . 1 B. 2 . 3  f  x  dx  1 bằng: D. I  122 . 5 f  x  dx  1 2 Câu 29: Cho 1 A. 1. D. I  10 . 9  f  x  dx  2 và D. 4 . 3 2 B. 3 .  f  x  dx . Giá trị của 1 bằng C. 1 . D. 3 . 6 10 Câu 30: Cho hàm số f  x  liên tục trên đoạn  0;10  và   f  x  dx  3 . f  x  dx  7 và 2 Tính 2 0 10 P   f  x  dx   f  x  dx . 0 6 B. P  4 . A. P  7 . C. P  4 . 1 Câu 31: Cho D. P  10 . 2  f  x  dx  2 0  f  x  dx  2 ,  f  x  dx  4 , khi đó 0 ? 1 B. 2 . A. 6 . C. 1. D. 3 . 3 1 Câu 32: Cho hàm số f  x  liên tục trên  và có  f  x  dx  2 ;  f  x  dx  6 . Tính I   f  x  dx . 1 0 B. I  12 . A. I  8 . 2 Câu 33: Cho  và 1 A. I  11 . 2 1 1 C. I   f  x  dx  2  f  x  dx  3  g  x  dx  7 ; ; 1 17 . 2 bằng 5 D. I  . 2 1 . Mệnh đề nào sau đây sai? 4  f  x  dx  1 . B.   f  x   g  x   dx  10 . 4 8 C. . Tính I    x  2 f  x   3 g  x   dx 4 8 A. 7 . 2 4 1 0 D. I  4 . 2  g  x  dx  1 B. I  8 Câu 34: Biết C. I  36 . 2 f  x  dx  2 3 1 4  f  x  dx  5 . D. 4  4 f  x   2 g  x  dx  2 . 1 Câu 35: Cho hàm số f  x có f  x liên tục trên đoạn  1;3 , f  1  3 và 3  f ( x) dx  10 giá trị 1 f  3 của bằng A. 13 . B. 7 . C. 13 . ĐT: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. 7 . Trang 5 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 2 2  f  x  dx  3   f  x   1 dx Câu 36: Cho A. 4 . 0 . Tính 0 Tích Phân và Ứng Dụng ? B. 5 . D. 1. C. 7 . 2 0 g  x  . f   x  dx  2 Câu 37: Cho y  f  x  , y  g  x  là các hàm số có đạo hàm liên tục trên  0; 2  và 2 2   g  x  . f  x  dx  3 . Tính tích phân I    f  x  .g  x  dx . , 0 0 A. I  1 . Câu 38: Cho hai tích phân B. I  6 . 2  f  x  dx  8  g  x  dx  3 2 D. I  1 . C. I  5 . 5 và 5 5 . Tính I    f  x   4 g  x   1 dx . 2 A. I  11 . B. I  13 . C. I  27 . D. I  3 . 1 Câu 39: Cho hàm số f  x   x 4  4 x 3  2 x 2  x  1 , x   . Tính  f 2  x  . f   x  dx . 0 A. 2 . 3 2 C.  . 3 B. 2 . D. 2 . 4 6 Câu 40: Cho hàm số f  x  liên tục trên đoạn [0; 6] thỏa mãn  f  x  dx  6 . Tính f  x  dx  10 và  2 0 2 6 giá trị của biểu thức P   f  x  dx   f  x  dx . 0 A. P  4 .` 4 B. P  16 . C. P  8 . D. P  10 . 1 1 Câu 41: Cho hàm số f  x  liên tục trên đoạn [0; 1] và có  3  2 f  x   dx  5 . Tính 0 A. 1 . B. 2.  f  x  dx . 0 D. 2 . C. 1. 1 Câu 42: Cho hai hàm số f  x  và g  x  liên tục trên đoạn [0; 1], có 1  f  x  dx  4 và  g  x  dx  2 0 0 . Tính tích phân I    f  x   3 g  x   dx . A. 10 . B. 10 . D. 2 . C. 2. 1 Câu 43: Cho hàm số f  x   ln x  x 2  1 . Tính tích phân I   f ‘  x  dx . 0  A. I  ln 2 .  B. I  ln 1  2 . C. I  ln 2 D. I  2ln 2 Câu 44: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn [1; ln3] và thỏa mãn f 1  e 2 , ln 3  f ‘  x  dx  9  e 2 . Tính I  f  ln 3  . 1 A. I  9  2e 2 . B. I  9 . C. I  9 . D. I  2e 2  9 . Câu 45: Cho hai hàm số y  f  x  và y  g  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 1] và thỏa mãn 1  1 f ‘  x  .g  x  dx  1 , 0 A. I  2 .  1 / f  x  .g ‘  x  dx  1 . Tính I    f  x  .g  x  dx . 0 0 B. I  0 . C. I  3 . ĐT: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. I  2 . Trang 6 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng x2 Câu 46: Cho hàm số f  x  liên tục trên  0;   và thỏa  f  t  dt  x.cos  x . Tính f  4  . 0 2 B. f  4   . 3 A. f  4   123 . C. f  4   3 . 4 D. f  4   1 . 4 f  x Câu 47: Cho hàm số f  x  thỏa mãn  t 2 .dt  x.cos  x . Tính f  4  . 0 A. f  4   2 3 . C. f  4   B. f  4    1 . 1 . 2 D. f  4   3 12 . x   Câu 48: Cho hàm số G  x    t.cos  x  t  .dt . Tính G ‘   . 2 0       A. G ‘    1 . B. G ‘    1 . C. G ‘    0 . 2 2 2   D. G ‘    2 . 2 x2 Câu 49: Cho hàm số G  x    cos t .dt ( x  0 ). Tính G ‘  x  . 0 2 A. G ‘  x   x .cos x . B. G ‘  x   2 x.cos x . C. G ‘  x   cos x . D. G ‘  x   cos x  1 . x Câu 50: Cho hàm số G  x    1  t 2 dt . Tính G ‘  x  . 1 x A. 1 x 2 B. 1  x 2 . . 1 C. 1 x 2 D.  x 2  1 x 2  1 . . x Câu 51: Cho hàm số F  x   2  sin t .dt ( x  0 ). Tính F ‘  x  . 1 A. sin x . B. sin x . 2 x C. 2sin x . x D. sin x . x Câu 52: Tính đạo hàm của f  x  , biết f  x  thỏa  t.e f  t  dt  e f  x  . 0 Câu 53: Cho hàm số C. f ‘  x   B. f ‘  x   x 2  1 . A. f ‘  x   x . y  f  x 0;    liên tục trên  1 . x D. f ‘  x   x2 và  f  t  dt  x.sin  x  . Tính 1 . 1 x f 4 0   A. f    . 4 Câu 54: Cho hàm số f  x  B. f    . 2 liên tục trên khoảng C. f     2; 3  . Gọi F  x   . 4 D. f    là một nguyên hàm của 1 . 2 f  x trên 2  2; 3  . Tính khoảng A. I  6 . Câu 56: Cho , biết  f  x  dx  2 11 . 2 và F   1  1 và F 2  4 . D. I  9 . C. I  3 . 2 1 A. I  1 B. I  10 . 2 Câu 55: Cho I    f  x   2 x  dx 2  g  x  dx  1 1 B. I  7 . 2 . Tính I    x  2 f  x   3 g  x   dx 1 C. I  17 . 2 D. I  2 2 2  3 f  x   2 g  x  dx  1  2 f  x   g  x   dx  3  f  x  dx 1 , 1 ĐT: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay . Khi đó, 1 5 . 2 bằng Trang 7 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 11 5 6 16 . B.  . C. . D. . 7 7 7 7 Câu 57: Cho f  x  , g  x  là hai hàm số liên tục trên đoạn  1;1 và f  x  là hàm số chẵn, g  x  là A. 1 hàm số lẻ. Biết  1 f  x  dx  5 ;  g  x  dx  7 . Mệnh đề nào sau đây là sai? 0 0 1 A. 1  f  x  dx  10 . C.   f  x   g  x  dx  10 . B. 1 1 1 1   f  x   g  x  dx  10 . D. 1  g  x  dx  14 . 1 Câu 58: Cho f  x  , g  x  là hai hàm số liên tục trên đoạn  1;1 và f  x  là hàm số chẵn, g  x  là 1 hàm số lẻ. Biết 1  f  x  dx  5 ;  g  x  dx  7 . Mệnh đề nào sau đây là sai? 0 0 1 A. 1  f  x  dx  10 . B. 1 1 C.   f  x   g  x  dx  10 . 1 1   f  x   g  x  dx  10 . D. 1  g  x  dx  14 . 1 10 8 10  f  z  dz  17  f  t  dt  12  3 f  x  dx Câu 59: Nếu A. 15 . 0 và 0 thì bằng C. 15 . 8 B. 29 . 2 7  f  x  dx  2  f  t  dt  9 Câu 60: Cho A. 11 . , 1 D. 5 . 7 1 . Giá trị của  f  z  dz 2 B. 5 . là C. 7 . D. 9 . 3 Câu 61: Cho hàm số y  f  x  liên tục, luôn dương trên  0;3 và thỏa mãn I   f  x  dx  4 . Khi đó 0 3  1 ln  f  x   giá trị của tích phân K   e   4 dx là: 0 A. 4  12e . B. 12  4e . C. 3e  14 . Câu 62: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên  thỏa D. 14  3e .  f  0   f   0   1; .   f  x  y   f  x   f  y   3xy  x  y   1, x,y   1 Tính  f  x  1dx . 0 A. 1 . 2 1 B.  . 4 C. 1 . 4 D. 7 . 4 1 Câu 63: Cho hàm số f  x  là hàm bậc nhất thỏa mãn   x  1 f   x  dx  10 và 2 f 1  f  0   2 . 0 1 Tính I   f  x  dx . 0 A. I  1 . B. I  8 . C. I  12 . ĐT: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. I  8 . Trang 8 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 64: Cho hàm số f  x xác định trên  0 , thỏa mãn f   x   Tích Phân và Ứng Dụng 1 f 1 a f 2  b ,   và   5 x x 3 f 1  f  2  . Tính   . A. f   1  f  2    a  b . B. f  1  f  2   a  b . C. f  1  f  2   a  b . D. f  1  f  2   b  a . Câu 65: Cho hàm số f  x xác định trên  0 và thỏa mãn f   x   1 f 1  a f  2   b ,   , 4 x x 2 f 1  f  2  . Giá trị của biểu thức   bằng A. b  a . B. a  b . C. a  b . D. a  b .  Câu 66: Cho hàm số y  f  x  xác định và liên tục trên thỏa mãn đồng thời các điều kiện f  x   0 1 . Tính giá trị của f  ln 2  . 2 2 1 C. f  ln 2   . D. f  ln 2   . 3 3 định và liên tục trên  thỏa mãn đồng thời các , x   ; f   x    e x . f 2  x  , x   và f  0   2 2 . B. f  ln 2    . 9 9 Câu 67: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị  C  , xác A. f  ln 2   2 điều kiện f  x   0 x   , f   x    x. f  x   , x   và f  0   2 . Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x  1 của đồ thị  C  là. A. y  6 x  30 . B. y  6 x  30 . C. y  36 x  30 . Câu 68: Cho hàm số y  f  x   0 xác định, có đạo hàm trên đoạn x D. y  36 x  42 .  0;1 và thỏa mãn: 1 g  x   1  2018 f  t  dt , g  x   f 2  x  . Tính 0  g  x dx . 0 1011 A. . 2 1009 B. . 2 2019 . D. 505 . 2 y  f  x 1;1 f x  0, x   Câu 69: Cho hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn  , thỏa mãn   f ‘ x  2 f  x  0 f 1 1 f 1 và   . Biết   , tính   . A. f  1  e 2 . B. f   1  e 3 . C. f   1  e 4 . D. f   1  3 . C. Câu 70: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 đồng thời thỏa mãn f   0   9 và 2 9 f   x    f   x   x   9 . Tính T  f 1  f  0  . 1  9 ln 2 . D. T  2  9ln 2 . 2 y  f  x f ‘ x . f x  x4  x2 f 0 2 f 2 2 Câu 71: Cho hàm số thỏa mãn     . Biết   . Tính . 313 332 324 323 A. f 2  2   . B. f 2  2   . C. f 2  2   . D. f 2  2   . 15 15 15 15 Câu 72: Cho f ( x) xác định, có đạo hàm, liên tục và đồng biến trên 1; 4  thỏa mãn A. T  2  9ln 2 . B. T  9 . 2 x  2 xf  x    f   x   , x  1; 4 , f 1  A. 391 18 B. 361 18 C. T  3 . Giá trị f  4  bằng: 2 381 C. 18 y  f  x f  x Câu 73: Cho hàm số có liên tục trên nửa khoảng 2 x 3 f  x   f   x   1  3.e . Khi đó: ĐT: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay 371 18 0;   D. thỏa mãn Trang 9 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. e3 f 1  f  0   3 C. e f 1  f  0  1  2 e 3 e  2 1 . 2  3 e 2  3  8 3 Tích Phân và Ứng Dụng B. e3 f 1  f  0   1  2 2 e 3 1 . 4 D. e3 f 1  f  0    e 2  3  e 2  3  8 . . Câu 74: Cho hàm số f liên tục, f  x   1 , f  0   0 và thỏa f   x  x 2  1  2 x f  x   1 . Tính f  3 . A. 0 . B. 3 . C. 7 . D. 9 . 1 Câu 75: Cho hàm số f  x   0 thỏa mãn điều kiện f   x    2 x  3  f 2  x  và f  0    . Biết rằng 2 a a tổng f 1  f  2   f  3  …  f  2017   f  2018   với  a  , b  *  và là phân số b b tối giản. Mệnh đề nào sau đây đúng? a a A.  1 . B.  1 . C. a  b  1010 . D. b  a  3029 . b b ax  b Câu 76: Biết luôn có hai số a và b để F  x    4a  b  0  là nguyên hàm của hàm số f  x  x4 và thỏa mãn: 2 f 2  x    F  x   1 f   x  . Khẳng định nào dưới đây đúng và đầy đủ nhất? A. a  1 , b  4 . B. a  1 , b  1 . C. a  1 , b   4 . D. a   , b   . y  f  x 1; 2 f 1  4 Câu 77: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên   thỏa mãn và 3 2 f  x   xf   x   2 x  3 x f 2 . Tính   A. 5 . B. 20 . C. 10 . D. 15 . x    Câu 78: Cho f  x   trên   ;  và F  x  là một nguyên hàm của xf   x  thỏa mãn 2 cos x  2 2    F  0   0 . Biết a    ;  thỏa mãn tan a  3 . Tính F  a   10 a 2  3a .  2 2 1 1 1 A.  ln10 . B.  ln10 . C. ln10 . D. ln10 . 2 4 2 Câu 79: Cho hàm số y  f  x  xác định và liên tục trên  thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau f  x   0 , x   , f   x    e x . f 2  x  x   và f  0   1 . Phương trình tiếp tuyến của 2 đồ thị tại điểm có hoành độ x0  ln 2 là A. 2 x  9 y  2 ln 2  3  0 . B. 2 x  9 y  2 ln 2  3  0 . C. 2 x  9 y  2 ln 2  3  0 . D. 2 x  9 y  2 ln 2  3  0 . Câu 80: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 , f  x  và f   x  đều nhận giá trị 1 1 2 dương trên đoạn  0;1 và thỏa mãn f  0   2 ,   f   x  .  f  x    1 dx  2    0 0 1 f   x  . f  x  dx 3 . Tính   f  x   dx . 0 A. 15 . 4 B. 15 . 2 C. 17 . 2 ĐT: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. 19 . 2 Trang 10 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng Câu 81: Cho f ( x) không âm thỏa mãn điều kiện f ( x). f ‘( x )  2 x f 2 ( x)  1 và f (0)  0 . Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y  f ( x ) trên 1;3 là A. 22 B. 4 11  3 C. 20  2 D. 3 11  3 Câu 82: Cho hàm số f  x  có đạo hàm và đồng biến trên  thỏa mãn f  0   1 và 1 2  f   x    e x f  x  , x   . Tính tích phân  f  x  dx bằng 0 B. e  1 . C. e 2  2 . D. e2  1 . y  f  x  0 Câu 83: Cho hàm số xác định và liên tục trên thỏa 2 2 2 x f  x    2 x  1 f  x   xf   x   1 x   0 f 1  2 với và   . Tính  f  x  dx . A. e  2 . mãn 1 1 A.   ln 2 . 2 Câu 84: Cho hàm số 3 ln 2 B.   ln 2 . C. 1  . 2 2 y  f  x  . Có đạo hàm liên tục trên 3 ln 2 D.   . 2 2  . Biết f 1  e và  x  2  f  x   xf   x   x 3 , x   . Tính f  2  . A. 4e 2  4e  4 . B. 4e2  2e  1 . C. 2e3  2e  2 . D. 4e 2  4e  4 . Câu 85: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 và thỏa mãn f  0   0 . Biết 1  f 2  x  dx  0 9 và 2 1  1 x 3 dx  . Tích phân  f  x  dx bằng 2 4 0 4 6 2 B. . C. . D. .    f   x  cos 0 1 A. .  1 Câu 86: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn  0; 1 , thỏa mãn  0 1   f  x  2 1 1 f  x  dx   xf  x  dx  1 và 0 3 dx  4 . Giá trị của tích phân   f  x   dx bằng 0 0 A. 1. B. 8 . C. 10 . D. 80 . Câu 87: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn [1, 2] và thỏa mãn f  x   0 khi x  1, 2  . 2 Biết     f  x  dx  ln 2 . Tính f  2  . 2 f ‘  x  dx  10 và 1 f’ x 1 A. f  2   10 . B. f  2   20 . C. f  2   10 . D. f  2   20 . Câu 88: Cho hàm số f  x  có đạo hàm và liên tục trên đoạn  4;8 và f  0   0 với  x   4;8 . Biết 2  f   x   1 1 rằng   dx  1 và f  4   , f  8   . Tính f  6  . 4 4 2 4   f  x   8 5 2 3 1 . B. . C. . D. . 8 3 8 3 Câu 89: Cho hàm số f  x  có đạo hàm xác định, liên tục trên đoạn  0;1 đồng thời thỏa mãn các điều A. 2 kiện f   0    1 và  f   x    f   x  . Đặt T  f 1  f  0  , hãy chọn khẳng định đúng? A. 2  T  1 . B. 1  T  0 . C. 0  T  1 . D. 1  T  2 . ĐT: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 11 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng  f  x   0,  x ,  Câu 90: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm cấp 2 liên tục trên  thoả  f  0   f   0   1, .  2 2  xy  y   yy,  x  . Mệnh đề nào sau đây đúng? 1 1 3 3 A.  ln f 1  1 . B. 0  ln f 1  . C.  ln f 1  2 . D. 1  ln f 1  . 2 2 2 2 3 Câu 91: Cho f , g là hai hàm liên tục trên 1;3 thỏa mãn điều kiện   f  x   3g  x  dx  10 đồng 1 3 thời 3  2 f  x   g  x  dx  6 . Tính   f  x   g  x  dx . 1 A. 9 . 1 B. 6 . C. 7 . D. 8 . d Câu 92: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  a; b  , nếu d  f  x  dx  5 và  f  x  dx  2 (với a  d  b a b b ) thì  f  x  dx bằng. a 5 . 2 Câu 93: Cho f  x  và g  x  là hai hàm số liên tục trên đoạn 1;3 , thỏa mãn: A. 3 . B. 7 . C. D. 10 . 3 3   f  x   3g  x  dx  10 và  2 f  x   g  x  dx  6 . Tính I    f  x   g  x   dx 3 1 1 1 A. I  8 . B. I  9 . C. I  6 . D. I  7 . Câu 94: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f   x  liên tục trên đoạn  0;5 và đồ thị hàm số y  f   x  trên đoạn  0;5 được cho như hình bên. y 1 x 3 5 O 5 Tìm mệnh đề đúng A. f  0   f  5   f  3  . B. f  3   f  0   f  5  . C. f  3   f  0   f  5  . D. f  3   f  5   f  0  . Câu 95: Cho hàm số f  x  liên tục và có đạo hàm tại mọi x   0;   đồng thời thỏa mãn điều kiện: 3 2 f  x   x  sin x  f ‘  x    cos x và  f  x  sin xdx  4. Khi đó, f   nằm trong khoảng  2 nào? A.  6; 7  . B.  5; 6  . C. 12;13  . ĐT: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. 11;12  . Trang 12 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 96: Cho hàm  2 f  x số xác Tích Phân và Ứng Dụng định   2  2 f  x  sin  x    d x  . Tích phân 4  2     f  x   2 2 0    0; 2    trên thỏa mãn  2  f  xd x bằng 0   . B. 0 . C. 1. D. . 4 2 2 Câu 97: Cho hàm số y  f ( x ) liên tục trên  thỏa mãn 3 f  x   f  2  x   2  x  1 e x  2 x 1  4 . Tính A. 2 tích phân I   f  x  dx ta được kết quả: 0 A. I  e  4 . C. I  2 . B. I  8 . 2 D. I  e  2 . 2 Câu 98: Suy ra 4 f  x  dx  8   f  x  dx  2 . Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  0;  1 thỏa 0 0 mãn điều kiện f 1  2 ln 2 và x  x  1 . f   x   f  x   x 2  x . Giá trị f  2   a  b ln 3 , với a, b   . Tính a 2  b 2 . 25 9 A. . B. . 4 2 C. 5 . 2 Câu 99: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên  và f   x   x 4  D. 13 . 4 2  2 x x  0 và f 1   1 . x2 Khẳng định nào sau đây đúng? A. Phương trình f  x   0 có 1 nghiệm trên  0;1 . B. Phương trình f  x   0 có đúng 3 nghiệm trên  0;   . C. Phương trình f  x   0 có 1 nghiệm trên 1; 2  . C. Phương trình f  x   0 có 1 nghiệm trên  2;5  . Hươngd dẫn giải Chọn C 2 3 x6  2 x3  2  x  1  1 2 f  x  x  2  2x    0 , x  0 . x x2 x2  y  f  x  đồng biến trên  0;   . 4  f  x   0 có nhiều nhất 1 nghiệm trên khoảng  0;   1 . Mặt khác ta có: 2 2 2 2 21   4 f   x   x  2  2 x  0 , x  0   f   x  dx    x 4  2  2 x  dx  x x 5  1 1 21 17  f  2   f 1   f 2  . 5 5 Kết hợp giả thiết ta có y  f  x  liên tục trên 1; 2  và f  2  . f 1  0  2  . Từ 1 và  2  suy ra phương trình f  x   0 có đúng 1 nghiệm trên khoảng 1; 2  . Câu 100: Cho hàm số f  x  có đạo hàm f   x  liên tục trên  và thỏa mãn f   x    1;1 với 2  x   0; 2  . Biết f  0   f  2   1 . Đặt I   f  x  dx , phát biểu nào dưới đây đúng? 0 A. I    ;0  . B. I   0;1 . C. I  1;   . ĐT: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. I   0;1 . Trang 13 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 1 Câu 101: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  0; 1 thỏa mãn  xf  x  dx  0 và 0 max f  x   1. Tích [0; 1] 1 phân I   e x f  x  dx thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây? 0 5  3   5 3 A.  ;   . B.  ; e  1  . C.   ;  . D.  e  1;    . 4  2   4 2 Câu 102: Cho hàm số f  x  có đạo hàm dương, liên tục trên đoạn  0;1 thỏa mãn f  0   1 và 1 1 1 2 3 1  3  f   x   f  x     dx  2  f   x  f  x  dx . Tính tích phân   f  x   dx : 9 0  0 0 3 5 5 7 A. . B. . C. . D. . 2 4 6 6 Câu 103: Cho hai hàm số f  x  và g  x  có đạo hàm trên đoạn 1; 4  và thỏa mãn hệ thức  f 1  g 1  4   g  x    x. f   x  ; A. 8ln 2 . 4 . Tính I    f  x   g  x   dx . f  x    x.g   x  1 B. 3ln 2 . C. 6ln 2 . ĐT: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. 4ln 2 . Trang 14 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng HƯỚNG DẪN GIẢI DẠNG 1: ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT NGUYÊN HÀM 1 f x  1 f 0  2017 Câu 1: Cho hàm số   xác định trên thỏa mãn f   x   ,   , x 1 f  2   2018 S  f  3   f   1 . Tính . A. S  1 . B. S  ln 2 . C. S  ln 4035 . D. S  4 . Hươngd dẫn giải Chọn A 1 Cách 1: Ta có  f  x  dx   dx  ln  x  1   C . x 1  f  x   ln  x  1   2017 khi x  1 Theo giả thiết f  0   2017 , f  2   2018 nên  .  f  x   ln  x  1   2018 khi x  1 Do đó S  f  3   f   1  ln 2  2018  ln 2  2017  1 . Cách 2: 0 0  dx 1 f (0)  f (  1)  f ‘( x ) dx   ln x  1 |01  ln (1)    x  1 2  1 1 Ta có:  3 3  f (3)  f (2)  f ‘( x)dx  dx  ln x  1 |3  ln 2 (2) 2 2 2 x  1   Lấy (1)+(2), ta được f (3)  f (2)  f (0)  f ( 1)  0  S  1 . 2 1  Câu 2: Cho hàm số f  x  xác định trên    thỏa mãn f   x   và f  0   1 . Giá trị của 2x 1 2 biểu thức f   1  f  3  bằng A. 4  ln15 . B. 3  ln15 . C. 2  ln15 . D. ln15 . Hươngd dẫn giải Chọn C 1 2. d  2 x  1 2 Ta có f  x    f   x  dx   dx   2  ln 2 x  1  c . 2x 1 2x 1 f  0   1  c  1  f  x   ln 2 x  1  1 .  f  1  ln 3  1  f  1  f  3   2  ln15 .   f  3  ln 5  1 2 1  Câu 3: Cho hàm số f ( x) xác định trên    thỏa mãn f ( x )  , f (0)  1 và f (1)  2 . 2x 1 2 Giá trị của biểu thức f ( 1)  f (3) bằng A. 4  ln 5 . B. 2  ln15 . C. 3  ln15 . D. ln15. Hươngd dẫn giải Chọn C 2 1  Cách 1: • Trên khoảng  ;   : f ( x )   dx  ln(2 x  1)  C1. 2x 1 2  Lại có f (1)  2  C1  2. 1 2  • Trên khoảng  ;  : f ( x )   dx  ln(1  2 x)  C2 . 2 2x 1  ĐT: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 15 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng Lại có f (0)  1  C2  1. 1  ln(2 x  1)  2 khi x  2 Vậy f ( x )   . 1 ln(1  2 x)  1 khi x   2 Suy ra f ( 1)  f (3)  3  ln15. Cách 2: 0 0  2dx 1  ln 2 x  1 |01  ln (1)  f (0)  f (1)   f ‘( x )dx   3  1 1 2 x  1 Ta có:  3 3  f (3)  f (1)  f ‘( x)dx  2dx  ln 2 x  1 |3  ln 5 (2) 1 1 1 2 x  1   Lấy (2)-(1), ta được f (3)  f (1)  f (0)  f (1)  ln15  f (1)  f (3)  3  ln15 . Câu 4: Cho hàm số f  x  xác định trên  thỏa mãn f   x   2 x  1 và f 1  5 . Phương trình f  x   5 có hai nghiệm x1 , x2 . Tính tổng S  log 2 x1  log 2 x2 . A. S  1 . B. S  2 . C. S  0 . Hướng dẫn giải D. S  4 . Chọn A Ta có: f  x    f   x  dx    2 x  1 dx  x 2  x  C . Mà f 1  5  1  1  C  5  C  3  f  x   x 2  x  3 . x  1 Xét phương trình: f  x   5  x 2  x  3  5  x 2  x  2  0   .  x  2 S  log 2 x1  log 2 x2  log 2 1  log 2  2  1 . 3 1   2 Cho hàm số f ( x) xác định trên    thỏa mãn f   x   , f  0   1 và f    2 . 3x  1 3   3 Giá trị của biểu thức f   1  f  3  bằng A. 3  5ln 2 . B. 2  5ln 2 . C. 4  5ln 2 . D. 2  5ln 2 . Hươngd dẫn giải Chọn A  1  ln 3 x  1  C1 khi x   ; 3  3 3    Cách 1: Từ f   x   .  f  x   dx=  3x  1 3x  1 ln 3 x  1  C khi x   1 ;   1 3     Câu 5:  1  ln 3 x  1  1 khi x   ;   0  C1  1 C1  1 3     .  f  x   2 1  C2  2    2 0  C 2  2  ln 3 x  1  2 khi x   ;   3  3  Khi đó: f  1  f  3   ln 4  1  ln 8  2  3  ln 32  3  5 ln 2 . f  Ta có:  f  0  1 0 0  0 0 3 1 dx  ln 3x  1 1  ln 1  f  0   f  1  f  x  1   f   x  dx   4 1 1 3 x  1  Cách 2: Ta có  3 3 3 3 2 3  f  3  f    f  x  2   f   x  dx   dx  ln 3 x  1 2  ln 8  2   3 3 3 2 2 3x  1  3 3 ĐT: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 16 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 2 Lấy  2   1 , ta được: f  3  f  1  f  0   f    ln 32  f  1  f  3   3  5 ln 2 . 3 4 f x   2; 2 Câu 6: Cho hàm số   xác định trên và thỏa mãn f   x   2 ; f  3  0 ; x 4 f 0  1 f 3 2 P  f   4   f   1  f  4  và   . Tính giá trị biểu thức . 3 5 5 A. P  3  ln . B. P  3  ln 3 . C. P  2  ln . D. P  2  ln . 25 3 3 Hươngd dẫn giải Chọn B  x2 ln x  2  C1 khi x   ; 2    x2 4 4dx 4dx Từ f   x   2  f  x   2   ln  C khi x   2; 2  x 4 x 4  x  2  x  2   x  2 2  x2  C3 khi x   2;   ln  x2   f   3  0 ln 5  C1  0 C1   ln 5    Ta có  f  0   1  0  C2  1  C2  1  1 C  2  ln 5   3  f 2  2 ln  C3  2  5  x2 khi x   ; 2  ln x  2 -ln5   x2  f  x   ln 1 khi x   2; 2  . x  2   x2  2  ln 5 khi x   2;   ln  x2 1 Khi đó P  f  4   f  1  f  4   ln 3  ln 5  ln 3  1  ln  2  ln 5  3  ln 3 . 3 1 Câu 7: Cho hàm số f  x  xác định trên   2;1 thỏa mãn f   x   2 ; f  3   f  3   0 x  x2 1 và f  0   . Giá trị của biểu thức f   4   f   1  f  4  bằng 3 1 1 1 4 1 8 A.  ln 2 . B. 1  ln 80 . C. 1  ln 2  ln . D. 1  ln . 3 3 3 5 3 5 Hươngd dẫn giải Chọn A  1 x 1  3 ln x  2  C1 khi x   ; 2   1 1 dx dx x 1 f  x  2  f  x   2    ln  C khi x   2;1 x  x2 x  x2  x  1 x  2   3 x  2 2  1 x 1  C3 khi x  1;    ln 3 x  2 1 1 2 1 Do đó f  3  f  3  0  ln 4  C1  ln  C3  C3  C1  ln10 . 3 3 5 3 ĐT: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 17 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 1 1 1 1 1 1  ln  C2   C2   ln 2 . 3 3 2 3 3 3  1 x 1 ln  C1 khi x   ; 2   3 x2   1 x 1 1 1  f  x    ln   ln 2 khi x   2;1 . 3 x  2 3 3  1 x 1 1  C1  ln10 khi x  1;    ln 3 3 x  2 Khi đó: 1 1 1 1 5  1  1 1  1 1 f  4   f  1  f  4    ln  C1    ln 2   ln 2    ln  C1  ln10    ln 2 . 3 3 3 3 2  3  3 2  3 3 1 Câu 8: Cho hàm số f  x  xác định trên   1;1 và thỏa mãn f   x   2 ; f  3   f  3   0 x 1  1 1 và f     f    2 . Tính giá trị của biểu thức P  f  0   f  4  .  2 2 3 3 1 3 1 3 A. P  2  ln . B. P  1  ln . C. P  1  ln . D. P  ln . 5 5 2 5 2 5 Hươngd dẫn giải Chọn C 1 x 1  2 ln x  1  C1 khi x   ; 1  1;   1 dx dx  . f  x   2  2   x 1 x  1  x  1 x  1  1 x  1 ln  C2 khi x   1;1  2 x  1 1 1 1 Ta có f  3  f  3  0  ln 2  C1  ln  C1  0  C1  0 . 2 2 2 1 1 1  1 1 Và f     f    2  ln 3  C2  ln  C2  2  C2  1 . 2 2 3  2 2 Và f  0   1  2 ln  Suy ra f  x     1 ln  2 x 1 x 1 khi x   ; 1  1;   x 1  1 khi x 1 1 3 Vậy P  f  0   f  4  = 1  ln . 2 5 Câu 9: . x   1;1 Cho hàm số f  x  xác định trên   1 thỏa mãn f   x    1 và f      2 1 5 A. T  2  ln . 2 9 1 . Biết f  3   f  3   0 x 1 2 1 f    2 . Giá trị T  f  2   f  0   f  4  bằng: 2 1 9 1 9 B. T  1  ln . C. T  3  ln . 2 5 2 5 Hươngd dẫn giải 1 9 D. T  ln . 2 5 Chọn B Ta có  f   x  dx   x 1 1  1 1  1 x 1 dx     C .  dx  ln 1 2  x 1 x 1  2 x 1 2 ĐT: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 18 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng  1 x 1  2 ln x  1  C1 khi x  1, x  1 Do đó f  x    .  1 ln 1  x  C khi  1  x  1 2  2 x  1  1 1 Do f  3   f  3   0 nên C1  0 , f     f    2 nên C2  1 .  2 2 1 x 1 khi x  1, x  1  2 ln x  1 1 9 Nên f  x    . T  f  2   f  0   f  4   1  ln . 2 5  1 ln 1  x  1 khi  1  x  1  2 x  1 Câu 10: Cho hàm số f  x  nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên  0;   thỏa mãn f  2  A. 7 . 15 1 và f   x    2 x  4  f 2  x   0 . Tính f 1  f  2   f  3  . 15 11 11 B. . C. . 15 30 Hươngd dẫn giải D. 7 . 30 Chọn D Vì f   x    2 x  4  f 2  x   0 và f  x   0 , với mọi x   0;   nên ta có  Suy ra f  x   2x  4 . f 2  x 1 1 1  x 2  4 x  C . Mặt khác f  2   nên C  3 hay f  x   2 . f  x 15 x  4x  3 1 1 1 7 Do đó f 1  f  2   f  3      . 8 15 24 30 Câu 11: Cho hàm số f  x  xác định và liên tục trên  . Biết f 6  x  . f   x   12 x  13 và f  0   2 . Khi đó phương trình f  x   3 có bao nhiêu nghiệm? A. 2 . B. 3 . C. 7 . D. 1. Hươngd dẫn giải Chọn A Từ f 6  x  . f   x   12 x  13   f 6  x  . f   x  dx   12 x  13 dx   f 6  x  df  x   6 x 2  13x  C f 7  x 2 f  0  2 C  .  6 x 2  13x  C  7 7 7 2 Suy ra: f  x   42 x  91x  2 .  Từ f  x   3  f 7  x   2187  42 x 2  91x  2  2187  42 x 2  91x  2185  0 *  . Phương trình *  có 2 nghiệm trái dầu do ac  0 . Câu 12: Cho hàm số f  x  xác định trên  thỏa mãn f   x   e x  e x  2 , f  0   5 và  1 f  ln   0 . Giá trị của biểu thức S  f   ln16   f  ln 4  bằng  4 31 9 5 A. S  . B. S  . C. S  . 2 2 2 Hươngd dẫn giải Chọn C ĐT: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. f  0  . f  2   1 . Trang 19 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A ex 1 Ta có f   x   e x  e x  2  ex  2x  2x e  e  x x e  2  e 2  khi x  0 Tích Phân và Ứng Dụng . khi x  0 x   2x 2 2e  2e  C1 khi x  0  Do đó f  x    . x x  2e 2  2e 2  C khi x  0  2 Theo đề bài ta có f  0   5 nên 2e0  2e0  C1  5  C1  1 .  f  ln 4   2e ln 4 2  2e  ln 4 2 1  6   1 Tương tự f  ln   0 nên 2e  4  f   ln16   2e    ln16  2 1 ln   4 2   ln16  2e Vậy S  f   ln16   f  ln 4   2  2e 1 ln   4 2  C2  0  C2  5 . 7 5   . 2 5 . 2   Câu 13: Cho hàm số f  x  liên tục, không âm trên đoạn  0;  , thỏa mãn f  0   3 và  2   f  x  . f   x   cos x. 1  f 2  x  , x   0;  . Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M  2    của hàm số f  x  trên đoạn  ;  . 6 2 21 5 A. m  , M  2 2 . B. m  , M  3 . 2 2 5 C. m  , M  3. D. m  3 , M  2 2 . 2 Hươngd dẫn giải Chọn A Từ giả thiết f  x  . f   x   cos x. 1  f 2  x   f  x . f   x  1 f 2  x  cos x   f  x. f  x 1 f 2  x dx  sin x  C Đặt t  1  f 2  x   t 2  1  f 2  x   tdt  f  x  f   x  dx . Thay vào ta được  dt  sin x  C  t  sin x  C  1  f 2  x   sin x  C . Do f  0   3  C  2 . Vậy 1  f 2  x   sin x  2  f 2  x   sin 2 x  4 sin x  3    f  x   sin 2 x  4sin x  3 , vì hàm số f  x  liên tục, không âm trên đoạn  0;  .  2   1 Ta có  x    sin x  1 , xét hàm số g  t   t 2  4t  3 có hoành độ đỉnh t  2 loại. 6 2 2  1  21 Suy ra max g  t   g 1  8 , min g  t   g    . 1 1     2 4  ;1  ;1 2  2  ĐT: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 20 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 21     Suy ra max f  x   f    2 2 , min f  x   g    .       2 6 2   ; ;   6 2 6 2     Câu 14: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  và thỏa mãn f  x   0 , x   . Biết f ‘ x  2  2 x . Tìm các giá trị thực của tham số m để phương trình f  x   m f  x có hai nghiệm thực phân biệt. A. m  e . B. 0  m  1 . C. 0  m  e . D. 1  m  e . Hươngd dẫn giải Chọn C f  x f  x Ta có  2  2x   dx    2  2 x  d x . f  x f  x f  0   1 và 2 2  ln f  x   2 x  x 2  C  f  x   A.e 2 x  x . Mà f  0   1 suy ra f  x   e 2 x x . 2 2 Ta có 2 x  x 2  1   x 2  2 x  1  1   x  1  1 . Suy ra 0  e2 x  x  e và ứng với một giá trị thực t  1 thì phương trình 2x  x 2  t sẽ có hai nghiệm phân biệt. Vậy để phương trình f  x   m có 2 nghiệm phân biệt khi 0  m  e1  e . Câu 15: Cho hàm số f  x  liên tục trên  và f  x   0 với mọi x   . f   x    2 x  1 f 2  x  và f 1  0, 5 . Biết rằng tổng f 1  f  2   f  3  …  f  2017   a a ;  a   , b    với b b tối giản. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. a  b  1 . a  1 . b Hươngd dẫn giải B. a    2017; 2017  . C. D. b  a  4035 . Chọn D Ta có f   x    2 x  1 f 2  x    f  x f  x   2 x  1   2 dx    2 x  1 dx 2 f  x f  x 1  x2  x  C f  x 1 1 1 1 nên C  0  f  x    2   . 2 x  x x 1 x 1  1  1 1 1 1  1 Mặt khác f 1  f  2   f  3  …  f  2017     1          …      2  3 2  4 3  2018 2017  1 2017  f 1  f  2   f  3  …  f  2017   1    a  2017 ; b  2018 . 2018 2018 Khi đó b  a  4035 . 1 Câu 16: Cho hàm số f  x   0 thỏa mãn điều kiện f ‘  x    2 x  3  . f 2  x  và f  0   . Biết tổng 2 a a f 1  f  2   …  f  2017   f  2018   với a  , b  * và là phân số tối giản. b b Mệnh đề nào sau đây đúng? a a A.  1 . B.  1 . b b C. a  b  1010 . D. b  a  3029 . Hươngd dẫn giải Chọn D Mà f 1   ĐT: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 21 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Biến đổi f  ‘ ‘  x  2x  3  2  f  x f  x    2 x  3 . f 2  x   f ‘ x  f 2  x Tích Phân và Ứng Dụng dx    2 x  3 dx 1 1 1  x 2  3x  C  f  x    2 . Mà f  0   nên  2 . f  x x  3x  C 2 Do đó f  x    1 1  . x  3x  2  x  1 x  2  2 a 1 1 1  1   f 1  f  2   …  f  2017   f  2018       …..    b 2018.2019 2019.2020   2.3 3.4 1 1 1  1  1009 1 1 1 1 1        …..    .      2018 2019 2020  2 3 3 4  2 2020  2020 a  1009 Với điều kiện a, b thỏa mãn bài toán, suy ra:   b  a  3029 . b  2020  f   x  . f  x   2  f   x   2  xf 3  x   0   Câu 17: Cho hàm số y  f  x  , x  0 , thỏa mãn  . Tính  f   0   0; f  0   1 f 1 . Khi đó A. 2 . 3 B. 3 . 2 6 . 7 Hươngd dẫn giải C. D. 7 . 6 Chọn C 2 Ta có: f   x  . f  x   2  f   x    xf 3  x  0  f   x  . f  x   2  f   x   f 3  x 2  x  f   x   f  x f   0 x2 02  2   x     C    C  C  0.  2 2 f x f x 2 f 0 2          f  x x2 Do đó 2  f  x 2 1 1 1 f  x  x3  x2 1 1 1 1 6  2 dx    dx       f 1  .      f  x 2 f  x 0  6  0 f 1 f  0  6 7 0 0 f  x x Câu 18: Giả sử hàm số f ( x) liên tục, dương trên  ; thỏa mãn f  0   1 và  2 . Khi đó f  x x 1 1   hiệu T  f 2 2  2 f 1 thuộc khoảng A.  2;3  . B.  7;9  . C.  0;1 . Hươngd dẫn giải D.  9;12  . Chọn C Ta có  f  x dx  f  x x  x 2  1 dx   d  f  x f  x 2 1 d  x  1   2 . 2 x 1 1 ln  x 2  1  C , mà f  0   1  C  0 . Do đó f  x   x 2  1 . 2 Nên f 2 2  3; 2 f 1  2 2  f 2 2  2 f 1  3  2 2   0;1 . Vậy ln  f  x        ĐT: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 22 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A  4 Câu 19: Khi đó  0  0;   ; 1 f  tan t  d t  0 f  x  dx . Vậy cos 2t Tích Phân và Ứng Dụng 1  f  x  dx  6 .Cho hàm số y  f  x  đồng biến trên 0 y  f  x  liên tục, nhận giá trị dương trên  0;   và thỏa mãn f  3   2 và 3 2  f ‘  x     x  1 . f  x  . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. 2613  f 2  8   2614 . B. 2614  f 2  8   2615 . C. 2618  f 2  8   2619 . D. 2616  f 2  8   2617 . Hươngd dẫn giải Chọn A Hàm số y  f  x  đồng biến trên  0;   nên suy ra f   x   0, x   0;   . Mặt khác y  f  x  liên tục, nhận giá trị dương trên  0;   nên 2  f   x     x  1 f  x   f   x    x  1 f  x  , x   0;   f  x    x  1 , x   0;   ; f  x  f  x  f  x Từ f  3   dx    x  1dx  f  x  1 3  x  1 3 C ; 2 8 3 suy ra C   2 3 3 1 Như vậy f  x    3 Bởi thế: 2 8  x  1    3 3 2 3 2 2 4 1  2 8  2 8 2 8 3 f  8    8  1      9     f 2  8   9     2613, 26 . 3 3  3 3 3 3 3  Câu 20: Giả sử hàm số y  f  x  liên tục, nhận giá trị dương trên  0;   và thỏa mãn f 1  1 , f  x   f   x  3 x  1 , với mọi x  0 . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 4  f  5   5 . B. 2  f  5   3 . C. 3  f  5   4 . D. 1  f  5   2 . Hươngd dẫn giải Chọn C Cách 1: Với điều kiện bài toán ta có f  x f  x 1 1 f  x   f   x  3x  1    dx   dx f  x f  x 3x  1 3x  1  d  f   x  f  x  2 1 2 1  2  ln f x  3 x  1  C  f x  e 3 x  1 d 3 x  1     3     3 3 Khi đó f 1  1  e 4 C 3 2 4  1  C    f  x  e3 3 3 x 1  4 3 3 x 1 C . 4 3  f  5  e  3, 79   3;4  . Vậy 3  f  5   4 . ĐT: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 23 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chú ý: Các bạn có thể tính  Tích Phân và Ứng Dụng dx bằng cách đặt t  3x  1 . 3x  1 Cách 2: Với điều kiện bài toán ta có 5 5 5 d  f  x  4 f  x f  x 1 1 f  x   f   x  3x  1    dx   dx    f  x f  x f  x 3 3x  1 3x  1 1 1 1 5  ln f  x   1 4 f  5 4 4  ln   f  5  f 1 .e 3  3, 79   3;4  . f 1 3 3 2 Câu 21: Cho hàm số f  x  thỏa mãn  f   x    f  x  . f   x   15 x 4  12 x , x   và f  0   f   0   1 . Giá trị của f 2 1 bằng 9 . 2 A. B. 5 . 2 C. 10 . D. 8 . Hươngd dẫn giải Chọn D 2 Ta có:  f   x    f  x  . f   x   15 x 4  12 x , x   .   f   x  . f  x    15 x 4  12 x , x    f   x  . f  x   3 x 5  6 x 2  C1 Do f  0   f   0   1 nên ta có C1  1. Do đó: f   x  . f  x   3 x 5  6 x 2  1 1    f 2  x    3 x5  6 x 2  1  f 2  x   x 6  4 x3  2 x  C2 . 2  Mà f  0   1 nên ta có C2  1. Do đó f 2  x   x 6  4 x 3  2 x  1 . Vậy f 2 1  8. Câu 22: Cho hàm số f  x  liên tục trên  và thỏa mãn f   x 1 x 1  dx  2  x 1  3 x5   C . Nguyên hàm của hàm số f  2 x  trên tập  là:  x3 C . 2  x2  4 A. B. x3 C . x2  4 C. 2x  3 C . 4  x 2  1 D. 2x  3 C. 8  x 2  1 Hươngd dẫn giải Chọn D Theo đề ra ta có: f   x 1 x 1  dx  2  x 1  3 x5  C  2   f   x 1 d  x 1  2   x 1  3  2  C . x 1  4 2  t  3 t 3  C   f  t  dt  2  C . 2 t 4 t 4  2x  3 1 1  2x  3 f  2 x  dx   f  2 x  d  2 x     C C  2 1  8x  8 2 2   2 x 2  4  Hay 2 f  t  dt  Suy ra  ĐT: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 24 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng DẠNG 2: ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT, GIẢI HỆ TÍCH PHÂN 5 Câu 23: Cho  2 f  x  dx  10 . Kết quả   2  4 f  x   dx bằng: 2 5 A. 34 . B. 36 . C. 40 . Hươngd dẫn giải D. 32 . Chọn A 2 2 5 2 5 Tacó   2  4 f  x   dx  2  dx  4  f  x  dx  2 x 2  4  f  x  dx  2.  5  2   4.10  34 . 5 5 2 5 9 Câu 24: Cho hàm số f  x  liên tục trên  và F  x  là nguyên hàm của f  x  , biết  f  x  dx  9 0 và F  0   3 . Tính F  9  . A. F  9   6 . B. F  9   6 . C. F  9   12 . Hươngd dẫn giải D. F  9   12 . Chọn C 9 9 Ta có: I   f  x  dx  F  x  0  F  9   F  0   9  F  9   12 . 0 2 2 Câu 25: Cho I   f  x  dx  3 . Khi đó J    4 f  x   3 dx bằng: 0 0 A. 2 . B. 6 . D. 4 . C. 8 . Hươngd dẫn giải Chọn B 2 2 2 2 Ta có J    4 f  x   3 dx  4  f  x  dx  3 dx  4.3  3 x 0  6 . 0 0 4 4 Câu 26: Cho  f  x  dx  10 và 2 0 4  g  x  dx  5 . Tính I   3 f  x   5g  x  dx 2 A. I  5 . 2 B. I  15 . C. I  5 . Hươngd dẫn giải D. I  10 . Chọn A 4 4 4 Có: I   3 f  x   5 g  x   dx  3 f  x  dx  5 g  x  dx  5 . 2 2 0 9 Câu 27: Giả sử 2 9  f  x  dx  37 và  g  x  dx  16 . Khi đó, I   2 f  x   3g ( x)  dx bằng: 0 9 A. I  26 . B. I  58 . 0 D. I  122 . C. I  143 . Hươngd dẫn giải Chọn A 9 9 9 9 0 Ta có: I    2 f  x   3 g ( x)  dx   2 f  x  dx   3g  x  dx  2  f  x  dx  3 g  x  dx  26 . 0 0 2 Câu 28: Nếu 5 0 0 9 5  f  x  dx  3 ,  f  x  dx  1 thì  f  x  dx bằng 1 2 A. 2 . 1 B. 2 . C. 3 . Hươngd dẫn giải D. 4 . Chọn B 5 Ta có  1 2 5 f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  3  1  2 . 1 2 ĐT: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 25 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 2 Câu 29: Cho  3 f  x  dx  1 và  1 3 f  x  dx  2 . Giá trị của  f  x  dx bằng 2 A. 1. Tích Phân và Ứng Dụng 1 C. 1 . Hươngd dẫn giải B. 3 . D. 3 . Chọn C 3 2 3  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  1 . 1 1 2 6 10 Câu 30: Cho hàm số f  x  liên tục trên đoạn  0;10  và f  x  dx  7 và  2 0 2  f  x  dx  3 . Tính 10 P   f  x  dx   f  x  dx . 0 6 B. P  4 . A. P  7 . C. P  4 . Hươngd dẫn giải D. P  10 . Chọn C 10 Ta có  2 6 10 f  x  dx  7   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  7 0 0 2 2 6 10   f  x  dx   f  x  dx  7  3  4 . 0 6 Vậy P  4 . 2 1 Câu 31: Cho  f  x  dx  2 , 2 f  x  dx  4 , khi đó   f  x  dx  ? 1 0 0 B. 2 . A. 6 . C. 1. Hươngd dẫn giải D. 3 . Chọn A 2  1 2 f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  6 . 0 0 1 3 1 Câu 32: Cho hàm số f  x  liên tục trên  và có  f  x  dx  2 ; 1 0 B. I  12 . A. I  8 .  3 f  x  dx  6 . Tính I   f  x  dx . C. I  36 . Hươngd dẫn giải 0 D. I  4 . Chọn A 3 1 3 I   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  2  6  8 . 0 0 1 2 Câu 33: Cho  2 f  x  dx  2 và 1 11 A. I  . 2 2  g  x  dx  1 . Tính I    x  2 f  x   3g  x   dx bằng 1 1 7 B. I  . 2 C. I  17 . 2 D. I  5 . 2 Hươngd dẫn giải Chọn D Ta có: I  2 2 x2 2 3 5  2  f  x  dx  3  g  x  dx   4  3  . 2 1 1 2 2 1 8 Câu 34: Biết 4 4  f  x  dx  2 ;  f  x  dx  3 ;  g  x  dx  7 . Mệnh đề nào sau đây sai? 1 1 1 ĐT: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 26 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 8 A.  4 f  x  dx  1 . B.   f  x   g  x   dx  10 . 4 8 1 4  f  x  dx  5 . C. Tích Phân và Ứng Dụng D.  4 f  x   2 g  x  dx  2 . 4 1 Hươngd dẫn giải Chọn A 8 Ta có 8 4  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  2  3  5 4 1 1 3 Câu 35: Cho hàm số f  x  có f   x  liên tục trên đoạn   1;3 , f   1  3 và  f ( x) dx  10 giá trị 1 của f  3 bằng A. 13 . B. 7 . C. 13 . Hươngd dẫn giải D. 7 . Chọn C 3 Ta có  f ( x) dx  10  f  x  3 1  10  f  3   f   1  10  f  3   f  1  10  13 . 1 2 Câu 36: Cho  2 f  x  dx  3 . Tính 0   f  x   1 dx ? 0 A. 4 . B. 5 . D. 1. C. 7 . Hươngd dẫn giải. Chọn B 2 2 2 Ta có   f  x   1 dx   f  x  dx   dx  3  2  5 . 0 0 0 Câu 37: Cho y  f  x  , y  g  x  là các hàm số có đạo hàm liên tục trên  0; 2  và 2 2 2  0 g  x  . f   x  dx  2 ,  g  x  . f  x  dx  3 . Tính tích phân I    f  x  .g  x  dx . 0 A. I  1 . 0 B. I  6 . D. I  1 . C. I  5 . Hươngd dẫn giải Chọn C 2 2 Xét tích phân I    f  x  .g  x   dx    f   x  .g  x   f  x  .g   x   dx 0 2 0 2   g   x  . f  x  dx   g  x  . f   x  dx  5 . 0 0 2 5 Câu 38: Cho hai tích phân  f  x  dx  8 và 2 A. I  11 . 5  g  x  dx  3 . Tính I  5 B. I  13 . C. I  27 . Hươngd dẫn giải   f  x   4 g  x   1 dx . 2 D. I  3 . Chọn B 5 Ta có: I  5 2   f  x   4 g  x   1 dx   f  x  dx  4  g  x  dx  x 2 2 5 2  8  4.3   5  2   13 . 5 1 Câu 39: Cho hàm số f  x   x 4  4 x 3  2 x 2  x  1 , x   . Tính  f 2  x  . f   x  dx . 0 ĐT: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 27 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. 2 . 3 Tích Phân và Ứng Dụng 2 C.  . 3 Hươngd dẫn giải B. 2 . D. 2 . Chọn C 1 Ta có 1 2  f  x  . f   x  dx   0 0 1 f 3  x f 3 1  f 3  0  2 f  x  .d  f  x     .  3 0 3 3 2 4 6 Câu 40: Cho hàm số f  x  liên tục trên đoạn [0; 6] thỏa mãn  f  x  dx  10 và 2  f  x  dx  6 . Tính 2 0 6 giá trị của biểu thức P   f  x  dx   f  x  dx . 0 A. P  4 .` 4 B. P  16 . C. P  8 . D. P  10 . Hươngd dẫn giải: 2 6 6 2   6 Ta có: P   f  x  dx   f  x  dx    f  x  dx   f  x  dx    f  x  dx 0 4 6 0  4 6 4 2 6 6 2     f  x  dx    f  x  dx   f  x  dx    f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  10  6  4 0 4 0 4 6  4 Chọn A 1 1 Câu 41: Cho hàm số f  x  liên tục trên đoạn [0; 1] và có  3  2 f  x   dx  5 . Tính  f  x  dx . 0 A. 1 . B. 2. 1 0 D. 2 . C. 1. Hươngd dẫn giải: 1 1 1 1  3  2 f  x  dx  5   3dx  2 f  x  dx  5  3x 0  2 f  x  dx  5 Ta có: 0 0 1 0 0 1  2 f  x  dx  5  3  2   f  x  dx  1 0 0 Chọn A 1 Câu 42: Cho hai hàm số f  x  và g  x  liên tục trên đoạn [0; 1], có  1 f  x  dx  4 và 0  g  x  dx  2 0 . Tính tích phân I    f  x   3 g  x   dx . A. 10 . B. 10 . 1 D. 2 . C. 2. Hươngd dẫn giải: 1 1 I    f  x   3g  x   dx   f  x  dx  3 g  x  dx  4  3  2   10 0 0 0 Chọn B 1 Câu 43: Cho hàm số f  x   ln x  x 2  1 . Tính tích phân I   f ‘  x  dx . 0 A. I  ln 2 .   C. I  ln 2 B. I  ln 1  2 . D. I  2ln 2 Hươngd dẫn giải: 1 1 1  Ta có: I   f ‘  x  dx  f  x  0  ln x  x 2  1  ln 1  2 0 0  Chọn B ĐT: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 28 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng Câu 44: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn [1; ln3] và thỏa mãn f 1  e 2 , ln 3  f ‘  x  dx  9  e 2 . Tính I  f  ln 3  . 1 A. I  9  2e 2 . B. I  9 . ln 3 Ta có:  f ‘  x  dx  f  x  ln 3 D. I  2e 2  9 . C. I  9 . Hươngd dẫn giải:  f  ln 3  f 1  9  e2 (gt) 1 1  f  ln 3   e 2  9  e 2  f  ln 3   9 Chọn B Câu 45: Cho hai hàm số y  f  x  và y  g  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 1] và thỏa mãn 1  1 f ‘  x  .g  x  dx  1 ,  0 1 0 A. I  2 . 0 B. I  0 . 1 / f  x  .g ‘  x  dx  1 . Tính I    f  x  .g  x  dx . D. I  2 . C. I  3 . Hươngd dẫn giải: 1 / I    f  x  .g  x   dx    f  x  .g ‘  x   f ‘  x  .g  x   dx 0 0 1 1   f  x  .g ‘  x  dx   f ‘  x  .g  x  dx  1  1  0 0 0 Chọn B x2 Câu 46: Cho hàm số f  x  liên tục trên  0;   và thỏa  f  t  dt  x.cos  x . Tính f  4  . 0 B. f  4   A. f  4   123 . 2 . 3 C. f  4   3 . 4 D. f  4   1 . 4 Hươngd dẫn giải: Ta có: F  t    f  t  dt  F ‘  t   f  t  x2 Đặt G  x    f  t  dt  F  x   F  0  2 0 /  G ‘  x    F  x 2    2 x. f  x 2  (Tính chất đạo hàm hợp: f ‘ u  x    f ‘  u  .u ‘  x  ) x2 Mặt khác, từ gt: G  x    f  t  dt  x.cos  x 0  G ‘  x    x.cos  x  ‘   x sin  x  cos  x  2 x. f  x 2    x sin  x  cos  x (1) Tính f  4   ứng với x  2 Thay x  2 vào (1)  4. f  4   2 sin 2  cos 2  1  f  4   1 4 Chọn D f  x Câu 47: Cho hàm số f  x  thỏa mãn  t 2 .dt  x.cos  x . Tính f  4  . 0 A. f  4   2 3 . B. f  4    1 . C. f  4   1 . 2 D. f  4   3 12 . Hươngd dẫn giải: ĐT: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 29 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A f  x  0 t3 t dt  3 f  x 2 0 Tích Phân và Ứng Dụng 3  f  x   3   x cos  x   f  x    3 x.cos  x 3  f  x   3x cos  x  f  4   3 12 3 Chọn D x   Câu 48: Cho hàm số G  x    t.cos  x  t  .dt . Tính G ‘   . 2 0       A. G ‘    1 . B. G ‘    1 . C. G ‘    0 . 2 2 2 Hươngd dẫn giải: Cách 1: Ta có: F  t    t.cos  x  t  dt  F ‘  x   t.cos  x  t    D. G ‘    2 . 2 x Đặt G  x    t.cos  x  t  dt  F  x   F  0  0 / /    G ‘  x    F  x   F  0    F ‘  x   F ‘  0    x cos  x  x   0   x ‘  1  G ‘    1 2 Chọn B x Cách 2: Ta có G  x    t.cos  x  t  dt . Đặt u  t  du  dt , dv  cos  x  t  dx chọn 0 v   sin  x  t  x x x x  G  x   t.sin  x  t  0   sin  x  t  dt   sin  x  t  dt  cos  x  t  0  cos 0  cos x  1  cos x 0 0     G ‘  x   sin x  G ‘    sin  1 2 2 Chọn B x2 Câu 49: Cho hàm số G  x    cos t .dt ( x  0 ). Tính G ‘  x  . 0 2 A. G ‘  x   x .cos x . B. G ‘  x   2 x.cos x . C. G ‘  x   cos x . Hươngd dẫn giải: D. G ‘  x   cos x  1 . x2 Ta có F  t    cos tdt  F ‘  t   cos t  G  x    cos tdt  F  x 2   F  0  0 / / / /  G ‘  x    F  x 2   F  0     F  x 2     F  0     F  x 2   2 x.F’  x 2   2 x.cos x 2  2 x.cos x Chọn B x Câu 50: Cho hàm số G  x    1  t 2 dt . Tính G ‘  x  . 1 A. x 1 x 2 . B. 1  x 2 . C. 1 1 x Hươngd dẫn giải: 2 D.  x 2  1 x 2  1 . . Đặt F  t    1  t 2 dt  F ‘  t   1  t 2 x G  x    1  t 2 dt  F  x   F 1  G ‘  x   F ‘  x   F ‘ 1  F ‘  x   1 x 1  x2 Chọn A ĐT: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 30 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng x Câu 51: Cho hàm số F  x   2 ( x  0 ). Tính F ‘  x  .  sin t .dt 1 A. sin x . sin x . 2 x B. 2sin x . x Hươngd dẫn giải: D. sin x . C. x  sin t dt  F  x   F 1 2 Đặt F  t    sin t 2 dt , G  x    G ‘ x  F ‘ 1  x   F ‘ 1  F ‘  x    x  ‘.sin  x  sin x 2 x 2  Chọn B x Câu 52: Tính đạo hàm của f  x  , biết f  x  thỏa  t.e f  t  dt  e f  x  . 0 C. f ‘  x   B. f ‘  x   x 2  1 . A. f ‘  x   x . 1 . x D. f ‘  x   1 . 1 x Hươngd dẫn giải: x Đặt F  t    t.e f  t  dt  F ‘  t   t.e f t   G  x    t.e f  t  dt  F  x   F  0  0  G ‘ x  F ‘ x   e e f  x  x. f ‘  x  .e f  x f  x / (gt)  x.e f  x   e f  x    x.e f  x     e f  x    f ‘  x  .e f  x  1  x. f ‘  x   f ‘  x   f ‘  x   1 1 x Chọn D Câu 53: Cho hàm số y  f  x 0;    liên tục trên  x2 và  f  t  dt  x.sin  x  . Tính f 4 0 A. f      . 4 B. f     . 2 C. f     . 4 D. f    1 . 2 Hươngd dẫn giải Chọn B Ta có  f  t  dt  F  t   F   t   f  t  x2 Khi đó  x2 f  t  dt  x.sin   x   F  t  0  x.sin   x   F  x 2   F  0   x.sin   x  0  F   x 2  .2 x  sin   x    x.cos  x   f  x 2  .2 x  sin   x    x.cos   x   f  4   . 2 Câu 54: Cho hàm số f  x liên tục trên khoảng  2; 3  . Gọi F  x  là một nguyên hàm của f  x 2 trên khoảng A. I  6 .  2; 3  . Tính I    f  x   2 x  dx 1 B. I  10 . F 1  1 F 2 4 , biết   và   . C. I  3 . D. I  9 . Hươngd dẫn giải Chọn A 2 2 I    f  x   2 x  dx  F  x  1  x 2 2 1  F  2   F  1   4  1  4  1  3  6 . 1 ĐT: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 31 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 2 Câu 55: Cho 11 A. I  . 2 2  f  x  dx  2 1 và Tích Phân và Ứng Dụng 2  g  x  dx  1 1 B. I  . Tính 7 . 2 I    x  2 f  x   3 g  x   dx 1 C. I  17 . 2 D. I  5 . 2 Hươngd dẫn giải Chọn C 2 2 2 2 2 x2 Ta có: I    x  2 f  x   3 g  x   dx   xdx  2  f  x  dx  3  g  x  dx  2 1 1 1 1 2 Câu 56: Cho 11 A. . 7 2 , 1 5 B.  . 7 1 17 . 2 2  3 f  x   2 g  x  dx  1  2 f  x   g  x   dx  3 1 43 . Khi đó, 6 . 7 Hươngd dẫn giải C.  f  x  dx 1 bằng 16 D. . 7 Chọn B 5  a   7 3a  2b  1 Đặt a   f  x  dx , b   f  x  dx , ta có hệ phương trình   2 a  b   3  1 1 b  11  7 2 5 Vậy  f  x  dx   . 7 1 Câu 57: Cho f  x  , g  x  là hai hàm số liên tục trên đoạn  1;1 và f  x  là hàm số chẵn, g  x  là 2 2 1 hàm số lẻ. Biết 1  f  x  dx  5 ;  g  x  dx  7 . Mệnh đề nào sau đây là sai? 0 0 1 A. 1  f  x  dx  10 . B. 1 1 C.   f  x   g  x  dx  10 . 1 1   f  x   g  x  dx  10 . D. 1  g  x  dx  14 . 1 Hươngd dẫn giải Chọn D 1 Vì f  x  là hàm số chẵn nên  1 1 f  x  dx  2 f  x  dx  2.5  10 . 0 1 Vì g  x  là hàm số lẻ nên  g  x  dx  0 . 1 1 1    f  x   g  x   dx  10 và 1   f  x   g  x  dx  10 . 1 Vậy đáp án D sai. Câu 58: Cho f  x  , g  x  là hai hàm số liên tục trên đoạn  1;1 và f  x  là hàm số chẵn, g  x  là 1 hàm số lẻ. Biết 1  f  x  dx  5 ;  g  x  dx  7 . Mệnh đề nào sau đây là sai? 0 0 1 A.  f  x  dx  10 . 1 1 B.   f  x   g  x  dx  10 . 1 ĐT: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 32 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 1 C. Tích Phân và Ứng Dụng 1   f  x   g  x  dx  10 . D. 1  g  x  dx  14 . 1 Hươngd dẫn giải Chọn D 1 Vì f  x  là hàm số chẵn nên 1  f  x  dx  2 f  x  dx  2.5  10 . 1 0 1  g  x  dx  0 . Vì g  x  là hàm số lẻ nên 1 1 1    f  x   g  x   dx  10 và   f  x   g  x  dx  10 . 1 1 8 10 Câu 59: Nếu A. 15 . f  z  dz  17   10 f  t  dt  12 và B. 29 . 0 thì 0  3 f  x  dx 8 bằng C. 15 . Hươngd dẫn giải D. 5 . Chọn A 10 10 0  I  3  f  x  dx  3   f  x  dx   f  x  dx   3  12  17   15 . 8 0 8  2 Câu 60: Cho A. 11 . 7 7  f  x  dx  2  f  t  dt  9 , B. 5 . 1 1 . Giá trị của  f  z  dz 2 là C. 7 . Hươngd dẫn giải D. 9 . Chọn C 7 Ta có  7 f  t  dt  1  7 f  x  dx và 1  7 7 f  z  dz   f  x  dx nên 2 2  f  x  dx  1 2 7  f  x  dx   f  x  dx . 1 2 7 Vậy  f  z  dz  7 . 2 3 Câu 61: Cho hàm số y  f  x  liên tục, luôn dương trên  0;3 và thỏa mãn I   f  x  dx  4 . Khi 0 3  1 ln  f  x   đó giá trị của tích phân K   e   4 dx là: 0 A. 4  12e . B. 12  4e . C. 3e  14 . Hươngd dẫn giải D. 14  3e . Chọn B 3  1 ln  f  x   Ta có K   e 0  3 1 ln  f  x    4 dx   e 0 3 3 3 3 dx   4dx  e. f  x  dx   4dx  4e  4 x|  4e  12 . 0 0 0 0 Vậy K  4e  12 . Câu 62: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên  thỏa  f  0   f   0   1; .  f x  y  f x  f y  3 xy x  y  1,  x,y            1 Tính  f  x  1dx . 0 ĐT: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 33 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. 1 . 2 1 B.  . 4 Tích Phân và Ứng Dụng 1 . 4 Hươngd dẫn giải C. D. 7 . 4 Chọn C Lấy đạo hàm theo hàm số y f   x  y   f   y   3 x 2  6 xy , x   . Cho y  0  f   x   f   0   3 x 2  f   x   1  3 x 2 Vậy f  x    f   x dx  x3  x  C mà f  0   1  C  1 suy ra f  x   x 3  x  1 . 1  0 0 0 0  x4 x2  1 1 1 f  x  1dx   f  x dx    x  x  1dx     x      1  . 4 2 4  4 2  1 1 1 3 1 Câu 63: Cho hàm số f  x  là hàm bậc nhất thỏa mãn   x  1 f   x  dx  10 và 2 f 1  f  0   2 . 0 1 Tính I   f  x  dx . 0 A. I  1 . C. I  12 . Hươngd dẫn giải B. I  8 . D. I  8 . Chọn D Gọi f  x   ax  b ,  a  0   f   x   a . Theo giả thiết ta có: 1 1 1 +)   x  1 f   x  dx  10  a   x  1 dx  10    x  1 dx  0 0 0 10 3 10 20   a . a 2 a 3 34  20  +) 2 f 1  f  0   2  2.   b   b  2  b   . 3  3  20 34 Do đó, f  x   x . 3 3 1 1  20 34  Vậy I   f  x  dx    x   dx  8 . 0 0 3   3 f x  0 Câu 64: Cho hàm số   xác định trên , thỏa mãn f   x   f 1  f  2  . Tính   . A. f   1  f  2    a  b . 1 f 1 a ,   và 5 x x 3 f  2   b B. f  1  f  2   a  b . C. f  1  f  2   a  b . D. f  1  f  2   b  a . Hươngd dẫn giải Chọn C 1 1 Ta có f    x    3   f   x  nên f   x  là hàm lẻ. 3 5 x  x5 x   x 1 2 Do đó  f   x  dx  0  2  2 2 f   x  dx    f   x  dx . 1 Suy ra f  1  f   2    f  2   f 1  f   1  f  2   f  2   f 1  a  b . Câu 65: Cho hàm số f  2   b A. b  a . f  x xác định trên . Giá trị của biểu thức B. a  b .  0 và thỏa mãn f   x   1 f 1 a ,   , 4 x x 2 f   1  f  2  bằng C. a  b . ĐT: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. a  b . Trang 34 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng Hươngd dẫn giải Chọn A Ta có f    x   Do đó 1 2 x  x 4 1 2  f   x  dx   f   x  dx . 2  1  f   x  nên f   x  là hàm chẵn. x  x4 2 1 Suy ra f   1  f  2   f  1  f  2   f  2   f 1  f 1  f  2  1 2  f   x  dx  b  a   f   x  dx  b  a .  2 1 Câu 66: Cho hàm số y  f  x  xác định và liên tục trên  thỏa mãn đồng thời các điều kiện 1 . Tính giá trị của f  ln 2  . 2 2 2 1 B. f  ln 2    . C. f  ln 2   . D. f  ln 2   . 9 3 3 Hươngd dẫn giải f  x   0 , x   ; f   x    e x . f 2  x  , x   và f  0   A. f  ln 2   2 . 9 Chọn D ln 2 1 ln 2 f  x f  x df  x  x x   e  d x   e d x   e x 2 2 2    f  x f x f x     0 0 0 f   x   e x . f 2  x   ln 2 0 ln 2 1 1 1 1 1  1   3  f  ln 2   .   1  f  x 0 f  ln 2  f  0  f  ln 2  3 Câu 67: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị  C  , xác định và liên tục trên  thỏa mãn đồng thời các 2 điều kiện f  x   0 x   , f   x    x. f  x   , x   và f  0   2 . Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x  1 của đồ thị  C  là. A. y  6 x  30 . B. y  6 x  30 . C. y  36 x  30 . Hươngd dẫn giải Chọn C D. y  36 x  42 . 1 1 f   x    x. f  x    2 1 1 1 df  x  x3 f   x f  x 1 1  2  x2   2 dx   x 2 dx   2    f  x f  x f  x 3 0 f  x 0 3 0 0 0 1 1 1 1 1      f 1  6 . f 1 f  0  3 f 1 6 2 f  1  1. f 1   36 . Vậy phương trình tiếp tuyến cần lập là y  36 x  30 . Câu 68: Cho hàm số y  f  x   0 xác định, có đạo hàm trên đoạn  0;1 và thỏa mãn: x 1 g  x   1  2018 f  t  dt , g  x   f 2  x  . Tính  0 A. 1011 . 2 g  x dx . 0 B. 1009 . 2 2019 . 2 Hươngd dẫn giải C. D. 505 . Chọn A x Ta có g  x   1  2018 f  t  dt  g   x   2018 f  x   2018 g  x  0 ĐT: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 35 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A g  x   g  x 2  t  2018   g  x  g  x 0 t dx  2018 dx  2  g  x  0 Tích Phân và Ứng Dụng t 0 t  2018 x 0  g  t   1  2018t (do g  0   1 )  g  t   1009t  1 1 1 1011  1009 2  .   g  t dt   t t  2  2 0 0 y  f  x 1;1 f x  0, x   Câu 69: Cho hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn  , thỏa mãn   f ‘ x  2 f  x  0 f 1 1 f 1 và   . Biết   , tính   . A. f  1  e 2 . B. f   1  e 3 . C. f   1  e 4 . D. f   1  3 . Hươngd dẫn giải Chọn C Biến đổi: f ‘ x  2 f  x  0  ln 1 1 1 f ‘ x f ‘ x df  x   2   dx   2dx    4  ln f  x  f  x f  x f  x 1 1 1 1 1  4 f 1 f 1  4   e 4  f  1  f 1 .e 4  e 4 . f  1 f  1 Câu 70: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 đồng thời thỏa mãn f   0   9 và 2 9 f   x    f   x   x   9 . Tính T  f 1  f  0  . A. T  2  9ln 2 . B. T  9 . C. T  1  9 ln 2 . 2 D. T  2  9ln 2 . Hươngd dẫn giải Chọn C 2 f   x   1 2 Ta có 9 f   x    f   x   x   9  9  f   x   1    f   x   x     f   x   x  2  1 . 9 f   x   1 1 1 x dx   dx   C . 9 f  x  x 9  f ‘  x   x  1 9 9 Do f   0   9 nên C  suy ra f   x   x   f  x  x 9 x 1 x 1 Lấy nguyên hàm hai vế  1 2 1  x2  1  9  Vậy T  f 1  f  0      x  dx   9 ln x  1    9 ln 2  . x 1 2 0 2   0 y  f  x f ‘ x . f x  x4  x2 f 0 2 f 2 2 Câu 71: Cho hàm số thỏa mãn     . Biết   . Tính . 313 332 324 323 A. f 2  2   . B. f 2  2   . C. f 2  2   . D. f 2  2   . 15 15 15 15 Hươngd dẫn giải Chọn B Ta có 2 2 2 f 2  x  2 136 136 f ‘  x  . f  x   x 4  x 2   f ‘  x  . f  x  dx    x 4  x 2  dx   f  x  df  x    0  15 2 15 0 0 0 f 2  2   4 136 332 .   f 2  2  2 15 15 ĐT: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 36 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng Câu 72: Cho f ( x) xác định, có đạo hàm, liên tục và đồng biến trên 1; 4  thỏa mãn 3 . Giá trị f  4  bằng: 2 381 C. 18 Hươngd dẫn giải 2 x  2 xf  x    f   x   , x  1; 4 , f 1  A. 391 18 361 18 B. D. 371 18 Chọn A Biến đổi: 2  f   x   f  x x  2 xf  x    f   x    x 1  2 f  x     f   x      x  x. 1 2 f  x 1 2 f  x 2 f  x 4  4 1 2 f  x 1 2 4 dx   xdx  1  2 f  x   1 1 14 14 391  1  2 f  4   2   f  4  . 3 3 18 Chọn A f  x 4 Chú ý: Nếu không nhìn được ra luôn I   1 1 2 f  x dx  1  2 f  x  4 1  1  2 f  4   2 thì ta có thể sử dụng kỹ thuật vi phân hoặc đổi biến (bản chất là một). 4 4 4 1 4 f ‘ x df  x   1 dx   + Vi phân:    1  2 f  x   2 d 1  2 f  x    1  2 f  x  . 1 21 1 1 2 f  x 1 1 2 f  x + Đổi biến: Đặt t  1  2 f  x   t 2  1  2 f  x   tdt  f   x  dx với x  1  t  1  2 f 1  2; x  4  t  1  2 f  4  . 1 2 f  4 Khi đó I   2 1 2 f  4 tdt  t dt  t 2  1 2 f  4   1  2 f  4  2 . 2 f x 0;   Câu 73: Cho hàm số có   liên tục trên nửa khoảng  thỏa mãn 2 x 3 f  x   f   x   1  3.e . Khi đó: 1 1 1 1 A. e3 f 1  f  0   B. e3 f 1  f  0    .  . 2 2 e 3 2 2 e 3 4 y  f  x 3 C. e f 1  f  0  e  2  3 e 2  3  8 3 D. e3 f 1  f  0    e 2  3  e 2  3  8 . . Hươngd dẫn giải Chọn C e2 x  3  3e3 x f  x   e3x f   x   e2 x e2 x  3 . x e Ta có: 3 f  x   f   x   1  3.e 2 x    e3 x f  x    e2 x e 2 x  3 . 1 1 Lấy tích phân từ 0 đến 1 hai vế ta được  e f  x   dx   e 2 x e2 x  3 dx 3x 0 1   e f  x    0 3 3x 1  2x e 3 3 1  0 3  e f 1  f  0  0 e  2  3 e 2  3  8 3 ĐT: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay . Trang 37 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng Câu 74: Cho hàm số f liên tục, f  x   1 , f  0   0 và thỏa f   x  x 2  1  2 x f  x   1 . Tính f  3 . A. 0 . B. 3 . C. 7 . Hươngd dẫn giải D. 9 . Chọn B Ta có f   x  x 2  1  2 x f  x   1  f  x 3   f  x 1 0  f 3 dx   3  1   0 2x x2  1 f  f  x  1 f  x 1 dx  f  0  1  1  f  x 3 2x x2  1 3  x2  1 0  0 f  x 1 3 1 0  3  1  2  f  3   3 . 1 Câu 75: Cho hàm số f  x   0 thỏa mãn điều kiện f   x    2 x  3  f 2  x  và f  0    . Biết rằng 2 a a tổng f 1  f  2   f  3  …  f  2017   f  2018   với  a  , b  *  và là phân b b số tối giản. Mệnh đề nào sau đây đúng? a a A.  1 . B.  1 . C. a  b  1010 . D. b  a  3029 . b b Hươngd dẫn giải Chọn D f  x Ta có f   x    2 x  3  f 2  x   2  2x  3 f  x  f  x 1 dx    2 x  3  dx    x 2  3x  C . f  x f  x 1 Vì f  0     C  2 . 2 1 1 1 Vậy f  x      .  x  1 x  2  x  2 x  1 Do đó f 1  f  2   f  3  …  f  2017   f  2018  1 1 1009   . 2020 2 2020 Vậy a  1009 ; b  2020 . Do đó b  a  3029 . ax  b Câu 76: Biết luôn có hai số a và b để F  x    4a  b  0  là nguyên hàm của hàm số f  x  x4 và thỏa mãn: 2 f 2  x    F  x   1 f   x  . Khẳng định nào dưới đây đúng và đầy đủ nhất? A. a  1 , b  4 . B. a  1 , b  1 . C. a  1 , b   4 . D. a   , b   . Hươngd dẫn giải Chọn C ax  b 4a  b 2b  8a Ta có F  x   là nguyên hàm của f  x  nên f  x   F   x   và f   x   . 2 3 x4  x  4  x  4 Do đó: 2 f 2  x    F  x   1 f   x   2  4a  b  4 2  ax  b  2b  8a   1 3  x4   x  4  x  4  4 a  b    ax  b  x  4    x  4 1  a   0  a  1 (do x4 0) ĐT: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 38 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng Với a  1 mà 4a  b  0 nên b  4 . Vậy a  1 , b   4 . Chú ý: Ta có thể làm trắc nghiệm như sau: + Vì 4a  b  0 nên loại được ngay phương án A: a  1 , b  4 và phương án D: a   , b   . + Để kiểm tra hai phương án còn lại, ta lấy b  0 , a  1 . Khi đó, ta có x 4 8 F  x  , f  x  , f  x   . 2 3 x4  x  4  x  4 Thay vào 2 f 2  x    F  x   1 f   x  thấy đúng nên Chọn C y  f  x 1; 2 f 1 4 Câu 77: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên   thỏa mãn   và 3 2 f  x   xf   x   2 x  3 x f 2 . Tính   A. 5 . B. 20 . C. 10 . D. 15 . Hươngd dẫn giải Chọn B xf   x   f  x   f  x   Do x  1; 2  nên f  x   xf   x   2 x 3  3 x 2   2 x  3     2x  3 x2  x  f  x   x 2  3x  C . x Do f 1  4 nên C  0  f  x   x 3  3 x 2 . Vậy f  2   20 . x    trên   ;  và F  x  là một nguyên hàm của xf   x  thỏa mãn 2 cos x  2 2    F  0   0 . Biết a    ;  thỏa mãn tan a  3 . Tính F  a   10 a 2  3a .  2 2 1 1 1 A.  ln10 . B.  ln10 . C. ln10 . D. ln10 . 2 4 2 Hươngd dẫn giải Chọn C Ta có: F  x    xf   x  dx   xd f  x   xf  x    f  x  dx Câu 78: Cho f  x   Ta lại có: x  f  x  dx   cos 2 x dx =  xd  tan x   x tan x   tan xdx  x tan x   sin x dx cos x 1 d  cos x   x tan x  ln cos x  C  F  x   xf  x   x tan x  ln cos x  C cos x Lại có: F  0   0  C  0 , do đó: F  x   xf  x   x tan x  ln cos x .  x tan x    F  a   af  a   a tan a  ln cos a Khi đó f  a    cos a  a 1 1  a 1  tan 2 a   10a và  1  tan 2 a  10  cos 2 a  2 2 cos a cos a 10 1 . 10 Vậy F  a   10 a 2  3a  10a 2  3a  ln 1 1  10a 2  3a  ln10 . 2 10 ĐT: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 39 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng Câu 79: Cho hàm số y  f  x  xác định và liên tục trên  thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau f  x   0 , x   , f   x    e x . f 2  x  x   và f  0   1 . Phương trình tiếp tuyến của 2 đồ thị tại điểm có hoành độ x0  ln 2 là A. 2 x  9 y  2 ln 2  3  0 . B. 2 x  9 y  2 ln 2  3  0 . C. 2 x  9 y  2 ln 2  3  0 . D. 2 x  9 y  2 ln 2  3  0 . Hươngd dẫn giải Chọn A ln 2 ln 2  f  x   1  f  x Ta có f   x    e . f  x    2  e x    2 d x  e x dx      f  x f  x  0  0  f  x  x  ln 2  ex  2 ln 2 0 0 1 1 1   1  f  ln 2   . f  ln 2  f  0  3 2 2 1 Từ đó ta có f   ln 2    e ln 2 f 2  ln 2   2.     . 9 3 2 1 Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y    x  ln 2    2 x  9 y  2 ln 2  3  0 . 9 3 Câu 80: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 , f  x  và f   x  đều nhận giá trị dương trên đoạn  0;1 và thỏa mãn f  0   2 , 1 1 2 0  f   x  .  f  x    1 dx  20 15 A. . 4 1 f   x  . f  x  dx . Tính 15 B. . 2   f  x  3 dx . 0 17 C. . 2 Hươngd dẫn giải D. 19 . 2 Chọn D 1 Theo giả thiết, ta có 1 2 0  f   x  .  f  x    1 dx  20 1 f   x  . f  x  dx 1 2    f   x  .  f  x    1 dx  2    0 0 1 f   x  . f  x  dx  0 1 2 2    f   x  .  f  x    2 f   x  . f  x   1 dx  0    f   x  . f  x   1 dx  0     0 0 f 3  x 8  f   x . f  x  1  0  f  x  . f   x   1   x  C . Mà f  0   2  C  . 3 3 3 Vậy f  x   3 x  8 . 2 1 1 1  3x 2  19 Vậy   f  x   dx    3x  8 dx    8x   .  2 0 2 0 0 3 Câu 81: Cho f ( x) không âm thỏa mãn điều kiện f ( x). f ‘( x )  2 x f 2 ( x)  1 và f (0)  0 . Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y  f ( x ) trên 1;3 là A. 22 B. 4 11  3 C. 20  2 Hươngd dẫn giải D. 3 11  3 Chọn D Biến đổi: ĐT: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 40 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A f ( x). f ‘( x)  2 x f 2 ( x )  1  f ( x ). f ‘( x) 2 f ( x)  1 f ( x ). f ‘( x )  2x   2 f ( x)  1 Tích Phân và Ứng Dụng f 2 ( x)  1  x 2  C dx   2 xdx  f 2 ( x )  1  x 2  1  f 2 ( x )  x 4  2 x 2  g ( x) Với f (0)  0  C  1  Ta có: g ‘( x )  4 x 3  4 x  0, x  1;3 . Suy ra g ( x) đồng biến trên 1;3 f ( x )0 Suy ra: g (1)  g ( x)  f 2 ( x)  g  3  3  f 2 ( x)  99   3  f ( x)  3 11 min f ( x)  3  1;3   Max f ( x )  3 11  3 Chú ý: Nếu không tìm được ra luôn  f ( x ). f ‘( x) 2 dx  f 2 ( x)  1  C thì ta có thể sử dụng kĩ thuật f ( x)  1 vi phân hoặc đổi biến (bản chất là một) 1 f ( x ). f ‘( x ) f ( x) 1 +) Vi phân:  dx   d  f ( x )     f 2 ( x)  1 2 d  f 2 ( x )  1  2 f 2 ( x)  1 f 2 ( x)  1 f 2 ( x)  1  C + Đổi biến: Đặt t  f 2 ( x )  1  t 2  f 2 ( x)  1  tdt  f ( x) f ‘( x)dx f ( x ). f ‘( x ) tdt Suy ra:  dx     dt  t  C  f 2 ( x)  1  C 2 t f ( x)  1 Câu 82: Cho hàm số f  x  có đạo hàm và đồng biến trên  thỏa mãn f  0   1 và  f   x 2 1  e x f  x  , x   . Tính tích phân  f  x  dx bằng 0 A. e  2 . C. e 2  2 . Hươngd dẫn giải B. e  1 . D. e2  1 . Chọn B 2 Biến đổi  f   x    e f  x   x  f   x   f  x x 1 2  ex  f  x f  x  ex   f  x f  x dx   e x dx x    f  x   2 df  x    e 2 dx  2 f  x   2e 2  C x Vì f  0   1  C  0  1 Suy ra f  x  e2  f  x   ex 1 1  f  x  dx   edx  e 0 0 x  e 1 0 y  f  x  0 Câu 83: Cho hàm số xác định và liên tục trên thỏa mãn 2 2 x f  x    2 x  1 f  x   xf   x   1 x   0 f 1  2 với và   . Tính 2  f  x  dx . 1 1 A.   ln 2 . 2 3 B.   ln 2 . 2 ln 2 C. 1  . 2 Hươngd dẫn giải 3 ln 2 D.   . 2 2 Chọn A 2 Ta có x 2 f 2  x    2 x  1 f  x   xf   x   1   xf  x   1  f  x   xf   x * Đặt h  x   f  x   xf   x   h  x   f  x   xf   x  , khi đó *  có dạng ĐT: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 41 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A h 2  x   h  x   Tích Phân và Ứng Dụng h  x  h  x  dh  x  1 1   2 dx   1dx   2  xC    xC 2 h  x h  x h  x h  x 1 1  xf  x   1   xC xC 1 Vì f 1   2 nên 2  1   C 0 1 C 1 1 1 Khi đó xf  x   1    f  x    2  x x x 2 2 2 1  1 1 1  Suy ra:  f  x  dx     2  dx    ln x     ln 2 2 x x x 1 1 1  h  x   Câu 84: Cho hàm số y  f  x  . Có đạo hàm liên tục trên  . Biết f 1  e và  x  2  f  x   xf   x   x 3 , x   . Tính f  2  . A. 4e 2  4e  4 . B. 4e2  2e  1 . C. 2e3  2e  2 . Hươngd dẫn giải D. 4e 2  4e  4 . Chọn D Ta có:  x  2  f  x   xf   x   x 3   e  x f  x   xf   x    x  2  f  x  x  1    e 3 2 x  x  2  e  x f  x   x Suy ra    dx   e dx 2 x 1  1  2 1 e f  2  e f 1      e 2  e1  2 2 2 1 2 1 e f  2  e f 1    e 1  e 2 4 1  f  2   4  ef 1  e  1  4e2  4e  4 . 2 Câu 85: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 và thỏa mãn f  0   0 . Biết 1  f 2  x  dx  0 A. 1 9 và 2 1 .   f   x  cos 0 B. 4 .  x 3 dx  . Tích phân 2 4 6 C. .  Hươngd dẫn giải 1  f  x  dx bằng 0 D. 2 .  Chọn C 1 Ta có 1 1  f   x  cos 0 1 x x x  x dx   cos d  f  x    cos . f  x    sin . f  x  dx 2 2 2 2 2 0 0 0 1   x sin .f  x  dx .  20 2 1 Suy ra  sin 0 x 3 . f  x  dx  2 2 2 1 1 x 1 1  Mặt khác   sin d x  1- cos  x  dx  .   2  20 2 0 1 Do đó  0 1 f 2  x  dx  2  3sin 0 2 1 x  x  f  x  dx   3sin dx  0 . 2 2  0  ĐT: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 42 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 2 1 hay Tích Phân và Ứng Dụng x x  0  f  x   3sin 2  dx  0 suy ra f  x   3sin 2 . 1 Vậy  0 1 1 x 6 x 6 f  x  dx   3sin dx   cos  . 2  2 0  0 1 Câu 86: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn  0; 1 , thỏa mãn  1 f  x  dx   xf  x  dx  1 và 0 1   f  x  2 1 0 3 dx  4 . Giá trị của tích phân   f  x   dx bằng 0 0 A. 1. B. 8 . C. 10 . Hươngd dẫn giải D. 80 . Chọn C 1 Xét 1 2 2 1 1 2   f  x    ax  b  dx    f  x  dx  2  f  x  .  ax  b   dx    ax  b  dx 0 0 1 0 1  4  2a  xf  x  dx  2b  f  x  dx  0 0 1 0 a2 1 3  ax  b   4  2  a  b    ab  b 2 . 3a 3 0 a2   2  b  a  b 2  2b  4  0 3 2  b  2 4 2 2 Ta có:   b  4b  4   b  2b  4    0  b  2  a  6 . 3 3 Cần xác định a, b để 1   f  x    6 x  2  Khi đó: 2 dx  0  f  x   6 x  2 0 1 1 1 1 4 Suy ra   f  x   dx    6 x  2  dx   6 x  2   10 . 24 0 0 0 3 3 Câu 87: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn [1, 2] và thỏa mãn f  x   0 khi x  1, 2  . Biết    f ‘  x  dx  10 và  f  x  dx  ln 2 . Tính f  2  . 2 2 1 1 A. f  2   10 . B. f  2   20 . C. f  2   10 . Hươngd dẫn giải: 2 Ta có: f’ x  f ‘  x  dx  f  x  2 1 D. f  2   20 .  f  2   f 1  10 (gt) 1 2 f ‘ x  f  x  dx  ln  f  x   1 2 1 f 2  ln  f  2    ln  f 1   ln  ln 2 (gt) f 1  f  2   f 1  10  f  2   20  Vậy ta có hệ:  f  2    f 1  10  f 1 2    Chọn B Câu 88: Cho hàm số f  x  có đạo hàm và liên tục trên đoạn  4;8 và f  0   0 với  x   4;8 . Biết 2  f   x   1 1 rằng   dx  1 và f  4   , f  8   . Tính f  6  . 4 4 2 4   f  x   8 ĐT: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 43 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. 5 . 8 B. 2 . 3 Tích Phân và Ứng Dụng 3 . 8 Hươngd dẫn giải C. D. 1 . 3 Chọn D 8 +) Xét  4 8  1 f  x df  x  1 8 1  dx           2  4   2 . 2 2  f  x f  x f  x 4 f 8 f 4     4   2  f  x  +) Gọi k là một hằng số thực, ta sẽ tìm k để   2  k  dx  0 . f  x 4  8 2 2 8 8 8  f   x    f  x  f  x 2 2 Ta có:   2  k  dx    dx  2 k dx  k dx  1  4k  4k 2   2k  1 . 4 2    f  x f  x 4 4  4 4   f  x   8 2 8 6 6  f  x 1  f  x 1 f  x 1 1 Suy ra: k   thì   2   dx  0  2   2 dx   dx 2 f  x 2  f x 2 f  x 24 4 4 6 df  x  1 6 1 1 1 1  2 1  1  1 4   1  f  6  . f  x f  x 4 f  4  f  6 f  6 3 4 b Chú ý: b 2k  f  x  dx  0 không được phép suy ra f  x   0 , nhưng  f  x  dx  0  f  x   0 . a a Câu 89: Cho hàm số f  x  có đạo hàm xác định, liên tục trên đoạn  0;1 đồng thời thỏa mãn các 2 điều kiện f   0    1 và  f   x    f   x  . Đặt T  f 1  f  0  , hãy chọn khẳng định đúng? A. 2  T  1 . B. 1  T  0 . C. 0  T  1 . D. 1  T  2 . Hươngd dẫn giải Chọn A 1 Ta có: T  f 1  f  0    f   x  dx 0 2 Lại có:  f   x    f   x   1    x  c   1   1    2  f   x    f  x  f   x  1 1  f  x  . f  x x  c Mà f   0    1 nên c  1 . 1 1 Vậy T   f   x  dx   0 0 1 1 dx   ln  x  1 0   ln 2 . x 1  f  x   0,  x ,  Câu 90: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm cấp 2 liên tục trên  thoả  f  0   f   0   1, .  2 2  xy  y   yy,  x  . Mệnh đề nào sau đây đúng? 1 1 3 3 A.  ln f 1  1 . B. 0  ln f 1  . C.  ln f 1  2 . D. 1  ln f 1  . 2 2 2 2 Hươngd dẫn giải Chọn D ĐT: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 44 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng f  x  x2 y y  y2  y  y x2  x    C hay  C .   x   y2 y 2 f  x 2  y Lại có f  0   f   0   1  C  1 . Ta có xy 2  y2  yy  1 1 f  x 1 f  x  x2  x2  7 7 Ta có  1   dx     1 dx  ln  f  x     ln f 1  . 0 f  x 2 f  x 2 6 6  0 0 3  1  ln  f 1   . 2 3 Câu 91: Cho f , g là hai hàm liên tục trên 1;3 thỏa mãn điều kiện   f  x   3g  x  dx  10 đồng 1 3 thời 3  2 f  x   g  x  dx  6 . Tính   f  x   g  x  dx . 1 1 A. 9 . B. 6 . C. 7 . Hươngd dẫn giải D. 8 . Chọn B 3 3 3 Đặt a   f  x  dx , b   g  x  dx . Khi đó 1 1   f  x   3g  x  dx  10  a  3b  10 , 1 3  2 f  x   g  x  dx  6  2a  b  6 . 1 a  3b  10 a  4 Do đó:  . Vậy   2a  b  6 b  2 3   f  x   g  x  dx  a  b  6 . 1 d Câu 92: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  a; b  , nếu  d f  x  dx  5 và a  f  x  dx  2 (với b b a  d  b ) thì  f  x  dx bằng. a A. 3 . B. 7 . 5 . 2 Hươngd dẫn giải D. 10 . C. Chọn A d  f  x  dx  5 b  F  d   F  a   5 a   F b  F a  3  f  x  dx .     d   F d  F b  2     a  f x dx  2     b Câu 93: Cho f  x  và g  x  là hai hàm số liên tục trên đoạn 1;3 , thỏa mãn: 3 3   f  x   3g  x  dx  10 và  2 f  x   g  x  dx  6 . Tính I    f  x   g  x   dx 1 1 A. I  8 . B. I  9 . 3 1 C. I  6 . Hươngd dẫn giải D. I  7 . Chọn C ĐT: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 45 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 3 3  f x  3 g x  d x  10         f  x  dx  4  3 1 1 Ta có:  3  3  I    f  x   g  x   dx  6 . 1   2 f x  g x  dx  6  g x dx  2          1 1 Câu 94: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f   x  liên tục trên đoạn  0;5 và đồ thị hàm số y  f   x  trên đoạn  0;5 được cho như hình bên. y 1 O 3 5 x 5 Tìm mệnh đề đúng A. f  0   f  5   f  3  . B. f  3   f  0   f  5  . C. f  3   f  0   f  5  . D. f  3   f  5   f  0  . Hươngd dẫn giải Chọn C 5 Ta có  f   x  dx  f  5  f  3  0 , do đó f  5   f  3 . 3 3  f   x  dx  f  3  f  0   0 , do đó f  3  f  0  0 5  f   x  dx  f  5  f  0   0 , do đó f  5   f  0  0 Câu 95: Cho hàm số f  x  liên tục và có đạo hàm tại mọi x   0;   đồng thời thỏa mãn điều kiện: 3 2 f  x   x  sin x  f ‘  x    cos x và  f  x  sin xdx  4. Khi đó, f   nằm trong khoảng  2 nào? A.  6; 7  . B.  5; 6  . C. 12;13  . Hươngd dẫn giải D. 11;12  . Chọn B Ta có: f  x   x  sin x  f   x    cos x  f  x    1 f  x 1 f  x   xf   x  sin x cos x    cos x   cos x  c        x2 x x2 x x   x  x  f  x   cos x  cx Khi đó: 3 2 3 2  f  x  sin xdx  4    cos x  cx  sin xdx  4  2  2 ĐT: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 46 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 3 2  Tích Phân và Ứng Dụng 3 2  cos x sin xdx  c  x sin xdx  4  0  c  2   4  c  2  2  2  f  x   cos x  2 x  f     2  1   5; 6  .   Câu 96: Cho hàm số f  x  xác định trên  0;  thỏa mãn  2  2    f  x   2 2 0 A.   2  2 f  x  sin  x    d x  . Tích phân 4  2   . 4  2  f  xd x bằng 0 C. 1. B. 0 . D.  . 2 Hươngd dẫn giải Chọn B  2 Ta có:  2  2sin 0 2  2        x  4  d x   1  cos  2 x  2   d x   1  sin 2 x  d x     0  0  1   2  2 .   x  cos 2 x   2 2  0  2  2     2    2   Do đó:   f 2  x   2 2 f  x  sin  x    d x   2sin 2  x   d x   0 4 4 2 2       0 0  2          f 2  x   2 2 f  x  sin  x    2sin 2  x    d x  0 4 4    0   2 2        f  x   2 sin  x    d x  0 4   0      Suy ra f  x   2 sin  x    0 , hay f  x   2 sin  x   . 4 4    2 Bởi vậy:  2  f  x d x   0 0   2   2 sin  x   d x   2 cos  x    0 . 4 40   Câu 97: Cho hàm số y  f ( x ) liên tục trên  thỏa mãn 3 f  x   f  2  x   2  x  1 e x 2  2 x 1  4 . Tính 2 tích phân I   f  x  dx ta được kết quả: 0 A. I  e  4 . B. I  8 . C. I  2 . D. I  e  2 . Đề ban đầu bị sai vì khi thay x  0 và x  2 vào ta thấy mâu thuẫn nên tôi đã sửa lại đề Hươngd dẫn giải Chọn C 2 Theo giả thuyết ta có 2  3 f  x   f  2  x   dx   2  x  1 e 0 2 Ta tính x 2  2 x 1 0 2  4  dx  *  .  2  f  2  x  dx    f  2  x  d  2  x    f  x  dx . 0 0 0 ĐT: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 47 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 2 Vì vậy Tích Phân và Ứng Dụng 2  3 f  x   f  2  x  dx  4 f  x  dx . 0 0 2 Hơn nữa 2 x  2  x  1 e 0 2  2 x 1 dx   e x 2 d  x 2  2 x  1  e x  2 x 1 2  2 x 1 0 2 2 2 0  0 và  4dx  8 . 0 2 Câu 98: Suy ra 4 f  x  dx  8   f  x  dx  2 . Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  0;  1 thỏa 0 0 mãn điều kiện f 1  2 ln 2 và x  x  1 . f   x   f  x   x 2  x . Giá trị f  2   a  b ln 3 , với a, b   . Tính a 2  b 2 . 25 9 A. . B. . 4 2 5 . 2 Hươngd dẫn giải C. D. 13 . 4 Chọn B Từ giả thiết, ta có x  x  1 . f   x   f  x   x 2  x  x 1 x . f  x  f  x  2 x 1 x 1  x  1 x  x  , với x   0;  1 .  . f  x    x 1  x 1 x x x Suy ra . f  x   dx hay . f  x   x  ln x  1  C . x 1 x 1 x 1 x Mặt khác, ta có f 1  2 ln 2 nên C  1 . Do đó . f  x   x  ln x  1  1 . x 1 2 3 3 3 3 Với x  2 thì . f  2   1  ln 3  f  2    ln 3 . Suy ra a  và b   . 3 2 2 2 2 9 Vậy a 2  b 2  . 2 2 Câu 99: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên  và f   x   x 4  2  2 x x  0 và f 1   1 . x Khẳng định nào sau đây đúng? A. Phương trình f  x   0 có 1 nghiệm trên  0;1 . B. Phương trình f  x   0 có đúng 3 nghiệm trên  0;   . C. Phương trình f  x   0 có 1 nghiệm trên 1; 2  . C. Phương trình f  x   0 có 1 nghiệm trên  2;5  . Hươngd dẫn giải Chọn C 2 3 x6  2 x3  2  x  1  1 2 4 f  x  x  2  2x    0 , x  0 . x x2 x2  y  f  x  đồng biến trên  0;   .  f  x   0 có nhiều nhất 1 nghiệm trên khoảng  0;   1 . Mặt khác ta có: 2 2 2 2 21   f   x   x 4  2  2 x  0 , x  0   f   x  dx    x 4  2  2 x  dx  x x 5  1 1 21 17  f  2   f 1   f 2  . 5 5 Kết hợp giả thiết ta có y  f  x  liên tục trên 1; 2  và f  2  . f 1  0  2  . ĐT: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 48 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng Từ 1 và  2  suy ra phương trình f  x   0 có đúng 1 nghiệm trên khoảng 1; 2  . Câu 100: Cho hàm số f  x  có đạo hàm f   x  liên tục trên  và thỏa mãn f   x    1;1 với 2  x   0; 2  . Biết f  0   f  2   1 . Đặt I   f  x  dx , phát biểu nào dưới đây đúng? 0 A. I    ;0  . B. I   0;1 . C. I  1;   . Hươngd dẫn giải D. I   0;1 . Chọn C 2 1 2 Ta có I   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx . 0 0 1 1 1 1 1 1 1  f  x  dx   x  1 f  x     x  1 f   x  dx  1   1  x  f   x  dx  1   1  x  dx  2 1 . 0 0 0 0 0 2 2 2 2  2 f  x  dx   x  1 f  x  1    x  1 f   x  dx  1    x  1 f   x  dx  1   1  x  dx  1 1 Từ 1 và  2  suy ra I  1 1 1 2  2 . 1 1  1. 2 2 1 Câu 101: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  0; 1 thỏa mãn  xf  x  dx  0 và max f  x   1. Tích [0; 1] 0 1 phân I   e x f  x  dx thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây? 0 5  A.  ;   . 4  3  B.  ; e  1  . 2   5 3 C.   ;  .  4 2 Hươngd dẫn giải D.  e  1;    . Chọn C 1 1 1 Với mọi a   0;1 , ta có 0   xf  x  dx  a  xf  x  dx   axf  x  dx 0 0 0 1 Kí hiệu I  a     e x  ax  dx . 0 1 1 0 1 1 1 x x  e f  x  dx   e f  x  dx   axf  x  dx  Khi đó, với mọi a   0;1 ta có 0 1 1 0  e x  ax  f  x  dx 0   e x  ax . f  x  dx   e x  ax .max f  x  dx   e x  ax dx  I  a  . 0 x0;1 0 0 1 Suy ra x I a  e f  x  dx  min   0 a 0;1 Mặt khác 1 1 Với mọi a   0;1 ta có I  a    e  ax dx    x 0 0 1 a a   e  ax dx   e x  x 2   e   1 2 2 0  x  1 3 3 min I  a   e    e x f  x  dx  e   1, 22 . a 0;1 2 2 0  5 3 Vậy I    ;  .  4 2 ĐT: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 49 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng Câu 102: Cho hàm số f  x  có đạo hàm dương, liên tục trên đoạn  0;1 thỏa mãn f  0   1 và 1 1 2 1  3  f   x   f  x     dx  2  9 0  0 3 5 A. . B. . 2 4 1 3 f   x  f  x  dx . Tính tích phân   f  x   dx : 0 5 . 6 Hươngd dẫn giải C. D. 7 . 6 Chọn D Từ giả thiết suy ra: 1 1  3 f  x f x 2  2.3 f  x f x  1 dx  0  3 f  x f x  1 2 dx  0 .         0  0        1 1 Suy ra 3 f   x  f  x   1  0  f   x  f  x    f   x  . f 2  x   . 3 9 1 1 Vì  f 3  x    3. f 2  x  f   x  nên suy ra  f 3  x     f 3  x   x  C . 3 3 3 Vì f  0   1 nên f  0   1  C  1 .   1 1 3 1 7 1  Vậy  f  x   x  1 . Suy ra   f  x   dx    x  1 dx  . 3 3 6  0 0 3 Câu 103: Cho hai hàm số f  x  và g  x  có đạo hàm trên đoạn 1; 4  và thỏa mãn hệ thức 4  f 1  g 1  4 . Tính I   1  f  x   g  x   dx .  g  x    x. f   x  ; f  x    x.g   x  A. 8ln 2 . B. 3ln 2 . C. 6ln 2 . Hươngd dẫn giải Chọn A f  x  g  x 1 Cách 1: Ta có f  x   g  x    x  f   x   g   x     f   x  g x x  D. 4ln 2 . f  x  g  x 1 dx    dx  ln f  x   g  x    ln x  C f  x  g  x x Theo giả thiết ta có C  ln 1  ln f 1  g 1  C  ln 4 . 4  f x  g x       4 x Suy ra  , vì f 1  g 1  4 nên f  x   g  x   x  f  x  g  x   4  x 4  I    f  x   g  x   dx  8ln 2 . 1 Cách 2: Ta có f  x   g  x    x  f   x   g   x      f  x   g  x   dx    x  f   x   g   x   dx .    f  x   g  x   dx   x  f  x   g  x      f  x   g  x   dx .   x  f  x   g  x    C  f  x   g  x    C . Vì f 1  g 1  C  C  4 x 4 Do đó f  x   g  x   4 . Vậy I    f  x   g  x   dx  8ln 2 . x 1 ĐT: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 50 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng DẠNG 4: PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN BÀI TẬP 2 Câu 188. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f   x  liên tục trên  0;2 và f  2   3 ,  f  x  dx  3 . 0 2 Tính  x. f   x  dx . 0 A. 3 . B. 3 . C. 0 . D. 6 . Câu 189. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm là f ‘  x  liên tục trên đoạn [0; 1] và f 1  2 . Biết 1 1  f  x  dx  1 , tính tích phân I   x. f ‘  x  dx . 0 0 A. I  1 . B. I  1 . C. I  3 . D. I  3 . 1 Câu 190. Cho hàm số f  x  thỏa mãn   x  1 f ‘  x  dx  10 và 2 f 1  f  0  2 . Tính 0 1 I   f  x  dx . 0 A. I  8 . B. I  8 . C. I  4 . D. I  4 . Câu 191. Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 0 ; 2  và thỏa mãn f  2   16 , 2 1  f  x  dx  4 . Tính tích phân I   x. f   2 x  dx . 0 0 A. I  12 . B. I  7 . C. I  13 . D. I  20 . Câu 192. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên  và thỏa mãn f  2   1 , 2 0  f  2 x  4  dx  1. Tính  xf   x  dx . 2 1 A. I  1 . B. I  0 . C. I  4 . D. I  4 . 5 Câu 193. Cho hàm số y  f  x  thỏa mãn f  x  3 x  1  3 x  2, x  . Tính I   x. f   x dx . 3 1 A. 5 . 4 B. 17 . 4 C. 33 . 4 e Câu 194. Cho hàm số f  x  liên tục trong đoạn 1;e , biết  1 D. 1761 . f  x x dx  1 , f  e   1 . Khi đó e I   f   x  .ln xdx bằng 1 A. I  4 . B. I  3 . C. I  1 . Câu 195. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên  thỏa mãn D. I  0 . π 2 π  f  x   f   x   sin x.cos x , với mọi x   và f  0   0 . Giá trị của tích phân  x. f   x  dx bằng 2  0 π 1 π 1 A.  . B. . C. . D.  . 4 4 4 4 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 102 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 1 Câu 196. Cho hàm số f  x  thỏa f  0   f 1  1 . Biết  e x  f  x   f ‘  x   dx  ae  b . Tính biểu 0 2018 2018 thức Q  a  b . A. Q  8 . B. Q  6 . C. Q  4 . D. Q  2 . Câu 197. Cho hàm số f  x  có đạo hàm trên  thỏa mãn f   x   2018 f  x   2018.x 2017 .e2018 x với mọi x   và f  0   2018. Tính giá trị f 1 . A. f 1  2019e2018 . B. f 1  2018.e2018 . C. f 1  2018.e2018 . D. f 1  2017.e2018 . 1 Câu 198. Cho hàm số y  f  x  với f  0   f 1  1 . Biết rằng:  e x  f  x   f   x   dx  ae  b Tính 0 2017 2017 Q  a b . A. Q  22017  1. B. Q  2 . D. Q  22017  1 . C. Q  0 . 5 Câu 199. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;5 và f  5   10 ,  xf   x  dx  30 0 5 . Tính  f  x  dx . 0 A. 20 . B. 30 . C. 20 . D. 70 . Câu 200. Cho hai hàm số liên tục f và g có nguyên hàm lần lượt là F và G trên đoạn 1;2 . Biết 3 rằng F 1  1 , F  2   4 , G 1  , G  2   2 và 2 11 145 A. . B.  . 12 12 2  1 2 67 f  x  G  x  dx  . Tính  F  x  g  x  dx 12 1 11 145 C.  . D. . 12 12 1 Câu 201. Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  0;1 thỏa mãn  x  f   x   2 dx  f 1 . Giá 0 1 trị của I   f  x  dx bằng 0 A. 2 . B. 2 . C. 1 . D. 1 . 2 2 Câu 202. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn 1;2 và   x  1 f   x  dx  a . Tính 1 theo a và b  f  2  . A. b  a . B. a  b . C. a  b .  f  x dx 1 D. a  b . 2 Câu 203. Cho hàm số f  x  liên tục trên  và f  2   16 ,  f  x  dx  4 . Tính tích phân 0 1 I   x. f   2 x  dx . 0 A. I  13 . B. I  12 . C. I  20 . D. I  7 . Câu 204. Cho y  f  x  là hàm số chẵn, liên tục trên  biết đồ thị hàm số y  f  x  đi qua điểm  1  M   ; 4  và  2  A. I  10 . 1 2 0  f  t  dt  3 , tính I   sin 2 x. f   sin x  dx . 0  6 B. I  2 . C. I  1 . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. I   1 . Trang 103 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng  2  2 Câu 205. Cho hàm số y  f  x  thỏa mãn  sin x. f  x  dx  f  0   1 . Tính I   cos x. f   x  dx . 0 0 A. I  1 . B. I  0 . C. I  2 . D. I   1 . Câu 206. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  và thỏa mãn f   x   2018 f  x   2 x sin x . Tính  2 I  f  x  dx ?   2 2 2 2 4 . B. . C. . D. . 2019 2018 1009 2019 Câu 207. Cho hàm số f  x  và g  x  liên tục, có đạo hàm trên  và thỏa mãn f   0  . f   2   0 và A. 2 g  x  f   x   x  x  2  e x . Tính giá trị của tích phân I   f  x  .g   x  dx ? 0 B. e  2 . A. 4 . C. 4 .   Câu 208. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm và liên tục trên  0;   4  4  4 f  x D. 2  e .   thỏa mãn f    3 , 4  4  cos x dx  1 và  sin x.tan x. f  x  dx  2 . Tích phân  sin x. f   x  dx 0 0 bằng: 0 A. 4 . B. 23 2 . 2 C. 1 3 2 . 2 D. 6 . 2 4  x 0 f  x  dx  4 . Tính I  0 xf   2  dx A. I  12 . B. I  112 . C. I  28 . D. I  144 . Câu 210. Cho hàm số f  x  có đạo hàm cấp hai f   x  liên tục trên đoạn  0;1 thoả Câu 209. Cho hàm số f  x  liên tục trên  và f  2   16 , mãn f 1  f  0   1 , f   0   2018 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 1 1 A.  f   x 1  x  dx  2018 . B.  f   x 1  x  dx  1 . 0 1 0 1 C.  f   x 1  x  dx  2018 . D.  f   x 1  x  dx  1 . 0 0   Câu 211. Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục thỏa mãn f    0 , 2    f   x  2 dx   2  và 4    cos x f  x  dx  4 . Tính f  2018  .  2 1 . D. 1 . 2 Câu 212. Cho hàm số f  x  nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;2  . Biết f  0   1 B. 0 . A. 1 . C. 2 và f  x  . f  2  x   e 2 x2  4 x , với mọi x   0;2  . Tính tích phân I   x 0 A. I   16 . 3 B. I   16 . 5 C. I   3  3x 2  f   x  f  x 14 . 3 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay dx . D. I   32 . 5 Trang 104 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng Câu 213. Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 thỏa mãn f 1  0 và 1 1 1 e2  1   f x  d x  x  1 e f x d x  . Tính tích phân I   f  x  dx .       0   0 4 0 2 x A. I  2  e . B. I  e  2 . C. I  e . 2 D. I  e 1 . 2 2 Câu 214. Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 1; 2  thỏa mãn 1   x 1 f  x  dx   3 , 2 1 2 f  2   0 và   f   x   2 2 dx  7 . Tính tích phân I   f  x  dx . 1 1 7 7 7 7 A. I  . B. I   . C. I   . D. I  . 5 5 20 20 Câu 215. Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 thỏa mãn f 1  1 , 1 1 2   f   x  dx  9 và 3  x f  x  dx  0 0 A. 2 . 3 B. 1 . Tích phân 2 1  f  x  dx bằng 0 5 . 2 C. 7 . 4 D. 6 . 5     Câu 216. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;  và f    0 . Biết  4 4  4  4  8 0 0    f  x  dx  8 ,  f   x  sin 2xdx   4 . Tính tích phân I   f  2 x  dx 2 0 1 1 . C. I  2 . D. I  . 2 4 Câu 217. . Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 và f  0   f 1  0 . Biết B. I  A. I  1 . 1  0 1 f  x  dx  , 2 2 1  f   x  cos   x  dx  0  . Tính 2 1  f  x  dx . 0 1 2 3 . C. . D. .   2 Câu 218. Cho hàm số f  x  có đạo hàm f   x  liên tục trên đoạn  0;1 thỏa f 1  0 , A.  . 1 B. 2   f   x   dx  0 1 2 1   và  cos  x  f  x  dx  . Tính 8 2 2  0 1  f  x  dx . 0  1 2 . B.  . C. . D. . 2   Câu 219. Xét hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  và thỏa mãn điều kiện f 1  1 và f  2   4 A.  f  x  2 f  x 1 . Tính J      dx . x x2  1 2 1 . 2 Câu 220. Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 thỏa mãn A. J  1  ln 4 . 1 B. J  4  ln 2 . 1 C. J  ln 2  e2  1 0  f   x  dx  0  x  1 e f  x  dx  4 và f 1  0 . Tính 2 x D. J  1  ln 4 . 2 1  f  x  dx 0 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 105 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng e2 e 1 e . B. . C. e  2 . D. . 2 4 2 Câu 221. Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 thỏa mãn f 1  0 , A. 1 2   f   x   dx  7 và 0 A. 7 . 5 1 1 2 0 x f  x  dx  3 . Tích phân B. 1 . 1  f  x  dx bằng 0 C. 7 . 4 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. 4 . Trang 106 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng HƯỚNG DẪN GIẢI 2 Câu 188. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f   x  liên tục trên  0;2 và f  2   3 ,  f  x  dx  3 . 0 2 Tính  x. f   x  dx . 0 A. 3 . B. 3 . C. 0 . Hướng dẫn giải D. 6 . Chọn B 2 Ta có 2 2 2  x. f   x  dx   xd  f  x    x. f  x    f  x  dx  2 f  2   3  3 . 0 0 0 0 Câu 189. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm là f ‘  x  liên tục trên đoạn [0; 1] và f 1  2 . Biết 1  1 f  x  dx  1 , tính tích phân I   x. f ‘  x  dx . 0 0 A. I  1 . B. I  1 . C. I  3 . Hướng dẫn giải D. I  3 . 1 Ta có: I   x. f ‘  x  dx 0 Đặt u  x  du  dx , dv  f ‘  x  dx chọn v   f ‘  x  dx  f  x  1 1 1  I  x. f  x  0   f  x  dx  1. f 1  0. f  0    f  x  dx  2  1  1 0 0 Chọn A 1 Câu 190. Cho hàm số f  x  thỏa mãn   x  1 f ‘  x  dx  10 và 2 f 1  f  0  2 . Tính 0 1 I   f  x  dx . 0 A. I  8 . B. I  8 . C. I  4 . Hướng dẫn giải D. I  4 . 1 A    x  1 f ‘  x  dx Đặt u  x  1  du  dx , dv  f ‘  x  dx chọn v  f  x  0 1 1 1 1 1  A   x  1 . f  x  0   f  x  dx  2 f (1)  f (0)   f  x  dx  2   f  x  dx  10   f  x  dx  8 0 0 0 0 Chọn B Câu 191. Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 0 ; 2  và thỏa mãn f  2   16 , 2 1  f  x  dx  4 . Tính tích phân I   x. f   2 x  dx . 0 0 A. I  12 . B. I  7 . C. I  13 . Hướng dẫn giải D. I  20 . Chọn B du  dx u  x   Đặt  f  2x . dv  f   2 x  dx v   2 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 107 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khi đó: I  Tích Phân và Ứng Dụng x. f  2 x  1 1 1 f  2 1 2 16 1   f  2 x  dx    f  t  dt   .4  7 . 2 20 2 40 2 4 0 Câu 192. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên  và thỏa mãn f  2   1 , 2 0  f  2 x  4  dx  1. Tính  xf   x  dx . 2 1 B. I  0 . A. I  1 . C. I  4 . Hướng dẫn giải D. I  4 . Chọn B Đặt t  2 x  4  dt  2dx , đổi cận x  1  t  2 , x  2  t  0 . 2 0 0 0 1 1   f  2 x  4  dx   f  t  dt   f  t  dt  2   f  x  dx  2 . 2 2 1 2 2 Đặt u  x  du  dx , dv  f   x  dx  v  f  x  . 0 Vậy 0 0  xf   x  dx  xf  x  2   f  x  dx  2 f  2  2  2.1  2  0 . 2 2 5 Câu 193. Cho hàm số y  f  x  thỏa mãn f  x  3 x  1  3 x  2, x  . Tính I   x. f   x dx . 3 1 A. 5 . 4 B. 17 . 4 33 . 4 Hướng dẫn giải C. D. 1761 . Chọn C 5 u  x du  dx 5   Đặt    I  xf  x  1   f  x  dx .  dv  f   x  dx v  f  x  1 5  f 5  5  x  1 Từ f  x  3 x 1  3x  2   , suy ra I  23   f  x dx.  f 1  2  x  0 1  dt  3x 2  3 dx  3 Đặt t  x  3 x 1    f t   3x  2  Đổi cận: Với t  1  1  x3  3x  1  x  0 và t  5  x3  3 x  1  5  x  1 . 5 1 Casio 33 Khi đó I  23   f  x  dx  23   3x  23 x 2  3 dx  4 1 0 Chọn C e f  x dx  1 , f  e   1 . Khi đó Câu 194. Cho hàm số f  x  liên tục trong đoạn 1;e , biết  x 1 3 e I   f   x  .ln xdx bằng 1 B. I  3 . A. I  4 . C. I  1 . Hướng dẫn giải D. I  0 . Chọn D e e 1 Cách 1: Ta có I   f   x  .ln xdx  f  x  .ln x 1   f  x  . dx  f  e   1  1  1  0 . x 1 1 e File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 108 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng dx  u  ln x du   x . Cách 2: Đặt  dv  f   x  dx v  f  x   e e e Suy ra I   f   x  .ln xdx  f  x  ln x 1   f  x dx  f  e   1  1  1  0 . x Câu 195. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên  thỏa mãn 1 1 π 2 π  f  x   f   x   sin x.cos x , với mọi x   và f  0   0 . Giá trị của tích phân  x. f   x  dx bằng 2  0 π 1 π 1 A.  . B. . C. . D.  . 4 4 4 4 Hướng dẫn giải Chọn D π  Theo giả thiết, f  0   0 và f  x   f   x   sin x.cos x nên 2  π π f 0  f    0  f    0 . 2 2 Ta có: π 2 π 2 π 2 π 2 0 I   x. f   x  dx   xd  f  x    xf  x     f  x  dx 0 0 0 π 2 Suy ra: I    f  x  dx . 0 Mặt khác, ta có:    1 π    f  x   f   x   sin x.cos x   2 f  x  dx   2 f   x  dx   2 sin x.cos x dx  0 0 0 2 2  2    0 1 1   Suy ra:  2 f  x  dx   f   x  dx    2 f  x  dx  0 0 2 4 2  2 π 2 1 Vậy I    f  x  dx   . 4 0 1 Câu 196. Cho hàm số f  x  thỏa f  0   f 1  1 . Biết  e x  f  x   f ‘  x   dx  ae  b . Tính biểu 0 2018 thức Q  a  b A. Q  8 . 2018 1 . B. Q  6 . 1 C. Q  4 . Hướng dẫn giải D. Q  2 . 1 A   e x  f  x   f ‘  x   dx   e x f  x  dx   e x f ‘  x  dx 0 0 0    A1 A2 1 A1   e x f  x  dx 0 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 109 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 1 1 Đặt u  f  x   du  f ‘  x  dx , dv  e x dx chọn v  e x  A1  e x . f  x  0   e x f ‘  x  dx 0  A2 1 1 0 0 Vậy A  e x f  x   A2  A2  e x f  x   e. f 1  f  0   e  1 a  1   a 2018  b 2018  1  1  2 b   1  Chọn D Câu 197. Cho hàm số f  x  có đạo hàm trên  thỏa mãn f   x   2018 f  x   2018.x 2017 .e2018 x với mọi x   và f  0   2018. Tính giá trị f 1 . B. f 1  2018.e2018 . A. f 1  2019e2018 . C. f 1  2018.e2018 . D. f 1  2017.e2018 . Hướng dẫn giải Chọn A Ta có: f   x   2018 f  x   2018.x 2017 .e2018 x  1  0 f   x   2018. f  x   2018.×2017 e2018 x 1 f   x   2018. f  x  d x  2018.x 2017 dx 1 2018 x  e 0 1 Xets I   0 1 1 f   x   2018. f  x  2018 x  d x  f x .e d x  2018. f  x  .e 2018 x dx   2018 x   e 0 0 u  f  x  du  f   x  dx  Xét I1   2018. f  x  .e 2018 x dx . Đặt  .  2018 x 2018 x d v  2018.e d x v   e   0   1 1 Do đó I1  f  x  .  e 2018 x  1 0   f   x  .e 2018 x dx  I  f 1 .e 2018 x  2018 0 Khi đó 1  f 1 .e 2018 x  2018  x 2018 1 0  f 1  2019.e2018 . 1 Câu 198. Cho hàm số y  f  x  với f  0   f 1  1 . Biết rằng:  e x  f  x   f   x   dx  ae  b Tính 0 Qa 2017 b A. Q  2 2017 2017 .  1. B. Q  2 . C. Q  0 . Hướng dẫn giải D. Q  22017  1 . Chọn C u  f  x  du  f   x  dx  Đặt  . x x dv  e dx v  e 1 2 1 1 x x x x  e  f  x   f   x   dx  e f  x    e f   x  dx   e f   x  dx  ef 1  f  0   e  1 . 1 0 0 0 Do đó a  1 , b  1 . 2017 Suy ra Q  a2017  b2017  12017   1  0. Vậy Q  0 . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 110 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 5 Câu 199. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;5 và f  5   10 ,  xf   x  dx  30 0 5 . Tính  f  x  dx . 0 B. 30 . A. 20 . C. 20 . Hướng dẫn giải D. 70 . Chọn A u  x  du  dx Đặt  dv  f   x  dx  v  f  x  5 5 5 5  x. f   x  dx   x. f  x     f  x  dx  30  5 f  5   f  x  dx 0 0 0 0 5   f  x  dx  5 f  5   30  20 . 0 Câu 200. Cho hai hàm số liên tục f và g có nguyên hàm lần lượt là F và G trên đoạn 1;2 . Biết 2 67 3 rằng F 1  1 , F  2   4 , G 1  , G  2   2 và  f  x  G  x  dx  . Tính 2 12 1 11 145 11 A. . B.  . C.  . 12 12 12 Hướng dẫn giải Chọn A u  F  x  du  f  x  dx Đặt   dv  g  x  dx v  G  x  2 2 2  F  x  g  x  dx 1 2 D. 145 . 12 2  F  x  g  x  dx   F  x  G  x     f  x  G  x  dx  F  2  G  2   F  1 G 1   f  x  G  x  dx 1 1 1 1 3 67 11  4.2  1.   . 2 12 12 1 Câu 201. Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  0;1 thỏa mãn  x  f   x   2 dx  f 1 . Giá 0 1 trị của I   f  x  dx bằng 0 A. 2 . B. 2 . C. 1 . Hướng dẫn giải D. 1 . Chọn C 1 Ta có 1 1  x  f   x   2 dx   x. f   x  dx   2 xdx 0 0 1 1   xd  f  x    x 2 0 0 0 1 1  x. f  x    f  x  dx  1  f 1  I  1 . 0 0 1 Theo đề bài  x  f   x   2 dx  f 1  I  1 . 0 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 111 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 2 Câu 202. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn 1;2 và 2   x 1 f   x  dx  a . Tính  f  x dx 1 theo a và b  f  2  . A. b  a . B. a  b . 1 C. a  b . Hướng dẫn giải D. a  b . Chọn A Đặt u  x  1  du  dx ; dv  f   x  dx chọn v  f  x  . 2 2 2 2 b   x  1 f   x  dx   x  1 f  x    f  x  dx  f  2   f  x  dx  b   f  x  . 1 1 1 2 2 Ta có 1 a 2   x 1 f   x  dx  a  b   f  x  dx  a   f  x  dx  b  a . 1 1 1 2 Câu 203. Cho hàm số f  x  liên tục trên  và f  2   16 ,  f  x  dx  4 . Tính tích phân 0 1 I   x. f   2 x  dx . 0 A. I  13 . B. I  12 . C. I  20 . Hướng dẫn giải D. I  7 . Chọn D du  dx u  x  Đặt   . 1 dv  f   2 x  dx v  f  2 x   2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Khi đó, I  x. f  2 x    f  2 x  dx  f  2    f  2 x  dx  8   f  2 x  dx . 2 20 2 20 20 0 Đặt t  2 x  dt  2dx . Với x  0  t  0 ; x  1  t  2 . 2 1 Suy ra I  8   f  t  dt  8  1  7 . 40 Câu 204. Cho y  f  x  là hàm số chẵn, liên tục trên  biết đồ thị hàm số y  f  x  đi qua điểm  1  M   ; 4  và  2  1 2  0 f  t  dt  3 , tính I  0  sin 2 x. f   sin x  dx .  A. I  10 . 6 B. I  2 . C. I  1 . Hướng dẫn giải D. I   1 . Chọn B 0 Xét tích phân I    6 0 sin 2 x. f   sin x  dx   2sin x. f   sin x  .cos xdx .  6  1  x    t   Đặt: t  sin x  dt  cos xdx . Đổi cận:  6 2.  x  0  t  0 0  I  2  t. f   t  dt .  1 2 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 112 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng u  2t du  2dt  Đăt:  . dv  f   t  dt v  f  t  0 0 0  1 1  2  f  t  dt  f     2  f  t  dt .   2  1 1 2 2 2  1  Đồ thị hàm số y  f  x  đi qua điểm M   ; 4    2   I  2t. f  t   1 f    4.  2 0 Hàm số y  f  x  là hàm số chẵn, liên tục trên   1 2 1 2  f  t  dt   f  t  dt   f  x  dx  3 .  1 2 0 0 Vậy I  4  2.3  2 .  2  2 Câu 205. Cho hàm số y  f  x  thỏa mãn  sin x. f  x  dx  f  0   1 . Tính I   cos x. f   x  dx . 0 B. I  0 . A. I  1 . 0 C. I  2 . Hướng dẫn giải D. I   1 . Chọn C u  f  x   du  f ( x)dx Đặt  dv  sin xdx  v   cos x  2  2 0  2   sin x. f  x  dx    cos x. f  x     cos x. f   x  dx . 0 0  2  2   I   cos x. f   x  dx   sin x. f  x  dx  cos x. f  x  02  1  1  0 . 0 0 Câu 206. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  và thỏa mãn f   x   2018 f  x   2 x sin x . Tính  2 I  f  x  dx ?   2 A. 2 . 2019 B. 2 . 2018 2 . 1009 Hướng dẫn giải C. D. 4 . 2019 Chọn D  2 Ta có  2   f   x   2018 f  x  dx   2 x sin xdx   2   2   2  2  2  f   x  dx  2018  f  x  dx   2 x sin xdx   2   2   2  2  2019  f  x  dx    2  2  2 x sin xdx 1   2  2 + Xét P   2 x sin xdx   2 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 113 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng u  2 x du  2dx  Đặt  dv  sin xdx v   cos x P  2 x.   cos x   2   2  2 Từ 1 suy ra I   sin x  2   2 4 4  f  x  dx  2019 .   2 Câu 207. Cho hàm số f  x  và g  x  liên tục, có đạo hàm trên  và thỏa mãn f   0  . f   2   0 và 2 g  x  f   x   x  x  2  e x . Tính giá trị của tích phân I   f  x  .g   x  dx ? 0 B. e  2 . A. 4 . D. 2  e . C. 4 . Hướng dẫn giải Chọn C Ta có g  x  f   x   x  x  2  e x  g  0   g  2   0 (vì f   0  . f   2   0 ) 2 2 2 2 2 I   f  x  .g   x  dx   f  x  dg  x    f  x  .g  x     g  x  . f   x  dx     x 2  2 x  e x dx  4 . 0 0 0 0 0     Câu 208. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm và liên tục trên  0;  thỏa mãn f    3 ,  4 4  4  4 f  x  4  cos x dx  1 và  sin x.tan x. f  x  dx  2 . Tích phân  sin x. f   x  dx 0 0 bằng: 0 A. 4 . B. 23 2 . 2 1 3 2 . 2 Hướng dẫn giải C. D. 6 . Chọn B  4 u  sin x du  cos xdx  Ta có: I   sin x. f   x  dx . Đặt  . 0 dv  f   x  dx v  f  x   4  4 0 I  sin x. f  x    cos x. f  x  dx  0  4 3 2  I1 . 2  4  4  2 f  x   f  x  2 2   sin x.tan x. f  x   dx   sin x.  dx    1  cos x .  dx . cos x  cos x  0 0  0   4    4  f  x     dx   cos x. f  x  dx  1  I1 . cos x  0  0 3 2 3 2 2  I1  1  I  . 1  2 2 2 Câu 209. Cho hàm số f  x  liên tục trên  và f  2   16 , B. I  112 .  x  f  x  dx  4 . Tính I   xf   2  dx 0 A. I  12 . 4 C. I  28 . Hướng dẫn giải 0 D. I  144 . Chọn B File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 114 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng u  x du  dx   Đặt   x   x.  d v  f d x v  2 f   2    2     Khi đó 4 4 4  x x 4 x I   xf    dx  2 xf   0  2 f   dx  128  2I1 với I1   2  2  2 0 0 0 4 Đặt u  x  dx  2du , khi đó I1   2 0 2  x f   dx . 2 2  x f   dx  2  f  u  du  2 f  x  dx  8 . 2 0 0 Vậy I  128  2I1  128  16  112 . Câu 210. Cho hàm số f  x  có đạo hàm cấp hai f   x  liên tục trên đoạn  0;1 thoả mãn f 1  f  0   1 , f   0   2018 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 1 1 A.  f   x 1  x  dx  2018 . B.  f   x 1  x  dx  1 . 0 1 0 1 C.  f   x 1  x  dx  2018 . D.  f   x 1  x  dx  1 . 0 0 Hướng dẫn giải Chọn A 1 1 Xét I   f   x 1  x  dx   1  x  d  f   x   0 0 u  1  x du  dx  Đặt  v  f   x  dv  d  f   x   1 1 1  I  1  x  f   x  0   f   x  dx  1  1 f  1  f   0   f  x  0   f   0   f 1  f  0  0  2018  1  1  2018 .   Câu 211. Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục thỏa mãn f    0 , 2    f   x  2 dx   2  và 4    cos x f  x  dx  4 . Tính f  2018  .  2 1 . 2 Hướng dẫn giải B. 0 . A. 1 . C. D. 1 . Chọn D Bằng công thức tích phân từng phần ta có   cos xf  x  dx  sin xf  x   2    2     sin xf   x  dx . Suy ra  sin xf   x  dx    2  2   2 2  . 4 1  cos 2 x   2 x  sin 2 x  Hơn nữa ta tính được  sin xdx   dx    .  2 4   4   2 2 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 115 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A  2   f   x  Do đó:  2 2  2 Tích Phân và Ứng Dụng  2 2 dx  2  sin xf   x  dx   sin 2 xdx  0    f   x   sin x  dx  0 . 0 0 0 0   Suy ra f   x    sin x . Do đó f  x   cos x  C . Vì f    0 nên C  0 . 2 Ta được f  x   cos x  f  2018   cos  2018   1 . Câu 212. Cho hàm số f  x  nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;2  . Biết f  0   1 2 và f  x  . f  2  x   e 2 x2  4 x , với mọi x   0;2  . Tính tích phân I   x 3  3x 2  f   x  0 16 . 3 A. I   B. I   16 . 5 C. I   f  x 14 . 3 dx . D. I   32 . 5 Hướng dẫn giải Chọn B Cách 1: Theo giả thiết, ta có f  x  . f  2  x   e2 x ln  f  x  . f  2  x    ln e2 x 2 4 x 2 4 x và f  x  nhận giá trị dương nên  ln f  x   ln f  2  x   2 x 2  4 x . Mặt khác, với x  0 , ta có f  0  . f  2   1 và f  0   1 nên f  2   1 . 2 Xét I   x  3x 2  f   x  3 f  x 0 3 2 dx , ta có I    x3  3×2  . 0 f  x dx f  x 2 u  x  3x du   3 x 2  6 x  dx   Đặt  f  x  dv  f x dx v  ln f  x     2 2 2 Suy ra I   x3  3x 2  ln f  x      3x 2  6 x  .ln f  x  dx    3 x2  6 x  .ln f  x  dx 1 . 0 0 0 Đến đây, đổi biến x  2  t  dx  dt . Khi x  0  t  2 và x  2  t  0 . 0 2   2   Ta có I    3t  6t .ln f  2  t  dt    3t 2  6t .ln f  2  t  dt 2 0 2     Vì tích phân không phụ thuộc vào biến nên I    3 x 2  6 x .ln f  2  x  dx  2  . 0 2 Từ 1 và  2  ta cộng vế theo vế, ta được 2 I   3x 2  6 x . ln f  x   ln f  2  x   dx 0 2 1 16 Hay I     3 x 2  6 x  .  2 x 2  4 x  dx   . 20 5 Cách 2 (Trắc nghiệm) 2 Chọn hàm số f  x   e x  2 x , khi đó: 2 I  x 3  3 x 2  .e x 2 2 2x . 2x  2 2 dx    x3  3x 2 .  2 x  2  dx  16 . 5 e x 2x 0 Câu 213. Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 thỏa mãn f 1  0 và 0 1 2 1 x   f   x  dx    x  1 e f  x  dx  0 0 1 e2  1 . Tính tích phân I   f  x  dx . 4 0 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 116 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. I  2  e . B. I  e  2 . C. I  Tích Phân và Ứng Dụng e . 2 D. I  e 1 . 2 Hướng dẫn giải Chọn B 1 du  f   x  dx u  f  x   Xét A    x  1 e x f  x  dx . Đặt   x x v  xe dv   x  1 e dx 0 1 1 1 1 Suy ra A  xe x f  x  0   xe x f   x  dx    xe x f   x  dx   xe x f   x  dx  0 0 1 1 Xét 0 1  e2 4 1 1 e2  1 2 2x 2x  1 2 . x e d x  e x  x     0 2 40 4 2 1 Ta có 1 2 1 1 2 x 2 2x x   f   x   dx  2 xe f   x  dx   x e dx  0    f   x   xe  dx  0 0 0 0 0 Suy ra f   x   xe  0 x   0;1 (do  f   x   xe x x 2   0 x   0;1 )  f   x    xe x  f  x   1  x  e x  C Do f 1  0 nên f  x   1  x  e x 1 1 1 Vậy I   f  x  dx   1  x  e x dx   2  x  e x 0  e  2 . 0 0 2 Câu 214. Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 1; 2  thỏa mãn 1   x 1 f  x  dx   3 , 2 1 2 f  2   0 và   f   x   2 2 dx  7 . Tính tích phân I   f  x  dx . 1 A. I  1 7 . 5 7 B. I   . 5 C. I   7 . 20 D. I  7 . 20 Hướng dẫn giải Chọn B Đặt u  f  x   du  f   x  dx , dv   x  1 2 3 3 2 3 2  x  1 dx  v  3 1 2  x  1 . f x  2  x  1 f  x dx Ta có     x  1 f  x  dx       3 1 3 3 1 1 2 2 2 1 1 3 3 3       x  1 f   x  dx    x  1 f   x  dx  1   2.7  x  1 f   x  dx  14 3 31 1 1 2 2 6 2 2 2 3 6 Tính được  49  x  1 dx  7    f   x   dx  2.7  x  1 f   x  dx   49  x  1 dx  0 1 2 1 2 1 3 3   7  x  1  f   x   dx  0  f   x   7  x  1  f  x     1 7  x  1 1 7  x  1 4 4 C . 4 7  . 4 4 4 2 2  7  x  1 7  7 Vậy I   f  x  dx      dx   . 4 4  5  1 1  Do f  2   0  f  x   File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 117 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng Câu 215. Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 thỏa mãn f 1  1 , 1 1 1 0  f   x  dx  9 và 0 x f  x  dx  2 . Tích phân 2 A. 3 2 . 3 B. 5 . 2 1  f  x  dx bằng 0 7 . 4 Hướng dẫn giải C. D. 6 . 5 Chọn B 1 2 Ta có:   f   x   dx  9 1 0 1 1 – Tính  x 3 f  x  dx  . 2 0 du  f   x  dx u  f  x    Đặt  x4 3 d v  x .d x v     4 1 1 1 1  x4  1 1 4 1 1 4 3    x f  x  dx   . f  x     x . f   x  dx    x . f   x  dx 2 0 4 40  4 0 4 0 1 1   x 4 . f   x  dx  1  18 x 4 . f   x  dx  18  2  0 0 9 1 1 – Lại có:  x8dx  0 x 9  0 1 1  81 x8 dx  9  3  9 0 – Cộng vế với vế các đẳng thức 1 ,  2  và  3  ta được: 1 1 1 2 4 8 4 4 0   f   x    18 x . f   x   81x  dx  0  0  f   x   9 x  dx  0   .0  f   x   9 x  dx  0 Hay thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f   x   9 x 4 , trục hoành Ox , các đường thẳng x  0 , x  1 khi quay quanh Ox bằng 0 9  f   x   9 x 4  0  f   x   9 x 4  f  x    f   x  .dx   x 4  C . 5 14 9 14 Lại do f 1  1  C   f  x    x5  5 5 5 1 1 1 14  14  5  9  3   f  x  dx     x5   dx    x 6  x   . 5 5 5 0 2  10 0 0     Câu 216. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;  và f    0 . Biết  4 4  4  0  f 2  x  dx  , 8 A. I  1 .  4  0  8  f   x  sin 2xdx   . Tính tích phân I   f  2 x  dx 4 0 1 B. I  . C. I  2 . 2 Hướng dẫn giải D. I  1 . 4 Chọn D File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 118 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A  4 Tính sin 2 x  u  Tích Phân và Ứng Dụng 2cos 2 xdx  du  f   x  sin 2xdx   4 . Đặt  f   x  dx  dv   f  x   v , khi đó 0  4  f   x  sin 2xdx  sin 2x. f  x   4 0 0  4  2  f  x  cos2xdx  sin 0  .f 2  4    4   sin 0. f  0   2  f  x  cos2xdx   0  4  2  f  x  cos2xdx . 0  4 Theo đề bài ta có  4  0 0  4 Mặt khác ta lại có  cos 2 2 xdx  0  4   f  x   cos2x  Do   f   x  sin 2xdx   4   f  x  cos2xdx  8 . 0 2  . 8  4 dx    f 2  x   2f  x  .cos2x  cos 2 2 x  dx 0     2  0 8 8 8 nên f  x   cos 2 x .  8  8 1 1 Ta có I   cos 4 xdx  sin 4 x  . 4 4 0 0 Câu 217. . Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 và f  0   f 1  0 . Biết 1  f 2  x  dx  0 1 , 2 1  f   x  cos   x  dx  0 1 B. .  A.  . 1  . Tính 2  f  x  dx . 0 2 .  Hướng dẫn giải C. D. 3 . 2 Chọn C u  cos  x  du   sin   x  dx Đặt   . dv  f   x  dx v  f  x  1 Khi đó:  1 1 f   x  cos   x  dx  cos  x  f  x  0    f  x  sin  x  dx 0 0 1 1    f 1  f  0      f  x  sin  x  dx    f  x  sin  x  dx 0 1   f  x  sin  x  dx  0 0 1 . 2 Cách 1: Ta có 1 Tìm k sao cho   f  x   k sin  x   2 dx  0 0 1 Ta có: 2 1 1 1 2 2 2   f  x   k sin  x  dx   f  x  dx  2k  f  x  sin  x  dx  k  sin  x  dx 0 0 0 0 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 119 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A  Tích Phân và Ứng Dụng 1 k2  k   0  k  1. 2 2 1 2 2 Do đó   f  x   sin  x   dx  0  f  x   sin   x  (do  f  x   sin  x    0 x   ). 0 1 Vậy 1 2  f  x  dx   sin  x  dx   . 0 0 Cách 2: Sử dụng BĐT Holder. 2 b b b  2 f x g x d x  f x d x . g 2  x  dx .           a  a a Dấu “  ” xảy ra  f  x   k .g  x  ,  x   a; b  . 2 1 1 1  1  1 Áp dụng vào bài ta có    f  x  sin  x  dx    f 2  x  dx. sin 2   x  dx  , 4 0 4 0 0  suy ra f  x   k .sin   x  , k   . 1 1  Mà f  x  sin   x  dx  0 1 Vậy 1 1  k  sin 2   x  dx   k  1  f  x   sin  x  2 2 0 1 2  f  x  dx   sin  x  dx   . 0 0 Câu 218. Cho hàm số f  x  có đạo hàm f   x  liên tục trên đoạn  0;1 thỏa f 1  0 , 1   f   x 0 2 1 2 1   dx  và  cos  x  f  x  dx  . Tính 8 2 2  0  . 2 A. 1  f  x  dx . 0 1 .  Hướng dẫn giải B.  . C. D. 2 .  Chọn D du  f   x  dx u  f  x   Đặt  2 x x  d v  cos d x v  sin    2 2 1 1   Do đó  cos  x  f  x  dx  2 2  0 1 1 2 x 2   sin f  x    sin   2  0 2 0 1  Lại có:  sin 2  2 0 1 1  1    x  f   x  dx    sin  x  f   x  dx   . 4 2  2  0 1  x  dx  2  2 1  2   2   I     . f   x   dx  2     sin     0 2 0  1 1   x  f   x  dx   sin 2   2 0  x  dx  2  2      f   x   sin  2 0  4 2 2  1  x   dx  2  .  0  8  2 2   2  Vì   f   x   sin  2    x    0 trên đoạn  0;1 nên  2 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 120 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 2 1 2   2       0    f   x   sin  2 x   dx  0    f   x  =sin  2 x   f   x  =  2 sin  2     Suy ra f  x  =cos  x   C mà f 1  0 do đó f  x  =cos  x  . 2  2  1  x .  1 2   0 f  x  dx  0 cos  2 x  dx   . Câu 219. Xét hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  và thỏa mãn điều kiện f 1  1 và f  2   4 Vậy  f  x  2 f  x 1 . Tính J      dx . x x2  1 2 A. J  1  ln 4 . B. J  4  ln 2 . C. J  ln 2  1 . 2 D. J  1  ln 4 . 2 Hướng dẫn giải Chọn D 2 2 2 f  x f  x  f  x  2 f  x 1 2 1  dx   2 dx     2  dx . Cách 1: Ta có J      dx   2 x x x x x x   1 1 1 1 1 1   u  du   2 dx x  x Đặt  dv  f   x  dx v  f  x    2 2 2 2 2 2  f  x  2 f  x 1 f  x f  x 1 2 1  J    d x  . f x  d x  d x     2    2  dx 2 2   x x x x x x x  1   1 1 1 1 2 1 1 1   f  2   f 1   2 ln x     ln 4 . 2 x 1 2  2  f  x  2 f  x 1  xf   x   f  x  2 1  Cách 2: J     d x    2  dx  1  x x2  x2 x x  1 2 2 2  f  x    f  x 1 1 2 1     2 ln x     ln 4 .  dx     2  dx   x 1 2 x  x   x 1 1 x Cách 3: ( Trắc nghiệm) a  3  f 1  1 Chọn hàm số f  x   ax  b . Vì   , suy ra f  x   3 x  2 .  f  2   4 b  2 2 2 2 1 1  5 3x  1   Vậy J     2  dx   2 ln x    ln 4  . x  x 1 2  1 x Câu 220. Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 thỏa mãn 1 1 2 x   f   x  dx    x  1 e f  x  dx  0 0 A. e2  1 và f 1  0 . Tính 4 1  f  x  dx 0 2 e 1 . 2 B. e . 4 C. e  2 . D. e . 2 Hướng dẫn giải Chọn C 1 1 1 – Tính: I    x  1 e x f  x  dx   xe x f  x  dx   e x f  x  dx  J  K . 0 0 0 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 121 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 1 Tính K   e x f  x  dx 0 x x x u  e f  x  du   e f  x   e f   x   dx Đặt   v  x dv  dx 1 1 1 1  K   xe f  x      xe f  x   xe f   x   dx    xe f  x  dx   xe x f   x  dx  do f 1  0  0 x x x x 0 0 1 0 1  K   J   xe x f   x  dx  I  J  K    xe x f   x  dx . 0 0 – Kết hợp giả thiết ta được: 1 1 2 2 e2  1 e2  1    f x  d x   f x  d x  (1)           4 4 0 0  1  1 2 2 e  1  xe x f  x dx  2 xe x f  x dx   e  1 (2)         4 2  0  0 1 e2  1 (3) . – Mặt khác, ta tính được:  x2e2 x dx  4 0 – Cộng vế với vế các đẳng thức (1), (2), (3) ta được: 1  1  2 1 2 2  f   x    2 xe x f   x   x2e2 x dx  0    f   x   xe x  dx  0     f   x   xe x  dx  0 0 o o x hay thể tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f   x   xe , trục Ox , các đường thẳng x  0 , x  1 khi quay quanh trục Ox bằng 0  f   x   xe x  0  f   x    xe x  f  x    xe x dx  1  x  e x  C . – Lại do f 1  0  C  0  f  x   1  x  e x 1 1 1 1 1   f  x  dx   1  x  e x dx   1  x  e x    e x dx  1  e x  e  2 . 0 0 0 0 0 1 Vậy  f  x  dx  e  2 . 0 Câu 221. Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 thỏa mãn f 1  0 , 1 1 1 0  f   x   dx  7 và 0 x f  x  dx  3 . Tích phân 2 A. 2 7 . 5 B. 1 . 1  f  x  dx bằng 0 7 . 4 Hướng dẫn giải C. D. 4 . Chọn A du  f   x  dx u  f  x    Cách 1: Tính:  x f  x  dx . Đặt  . x3 2 dv  x dx v  0  3 1 2 1 1 x3 f  x  1 Ta có:  x f  x  dx    x 3 . f   x  dx 3 0 30 0 1 2 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 122 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A  Tích Phân và Ứng Dụng 1 1. f 1  0. f  0 1 1 3 1   x . f   x  dx    x3 . f   x  dx . 3 30 30 1 1 2  x f  x  dx  Mà 0 1 Ta có   f   x   2 1 1 1 1    x3. f   x  dx    x3 . f   x  dx  1 . 3 30 3 0 dx  7 (1). 0 1 1 1 x7 1 1 x d x    49 x 6dx  .49  7 (2). 0  7 0 7 7 0 6 1 1 3 3  x . f   x  dx  1  14 x . f   x  dx  14 (3). 0 0 1 1 2 1 6 Cộng hai vế (1) (2) và (3) suy ra   f   x   dx   49 x dx   14 x3. f   x  dx  7  7  14  0 . 0 1  0  2 0 1 2    f   x    14 x3 f   x   49 x6 dx  0    f   x   7 x3  dx  0 . 0 0 1 2 1 3 2 2 Do  f   x   7 x   0    f   x   7 x  dx  0 . Mà   f   x   7 x3  dx  0  f   x   7 x 3 . 3 0 0 4 7x 7 7  C . Mà f 1  0    C  0  C  . 4 4 4 4 7x 7  . Do đó f  x    4 4 f  x   1 Vậy  0 1 1  7 x4 7   7 x5 7  7 f  x  dx       dx     x  . 4 4  20 4  0 5 0 1 Cách 2: Tương tự như trên ta có: 3  x . f   x  dx  1 0 Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có: 2 1 1 1  1  1  2 2 2 2 1 7  7   x3 f   x  dx   7    x3  dx      f   x   dx   7     f   x   dx    f   x   dx 7 0 0 0  0  0  3 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi f   x   ax , với a   . 1 1 1 ax7  1  a  7 . Ta có  x . f   x  dx  1   x .ax dx  1  7 0 0 0 3 3 Suy ra f   x   7 x3  f  x    3 7 x4 7  C , mà f 1  0 nên C  4 4 7 1  x 4  x   .  4 1 1  7 x4 7   7 x5 7  1 7 Vậy  f  x  dx       dx     x  . 4 4  20 4  0 5 0 0 Chú ý: Chứng minh bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Cho hàm số f  x  và g  x  liên tục trên đoạn  a; b  . Do đó f  x   File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 123 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 2 b  b  b  Khi đó, ta có   f  x  g  x  dx     f 2  x  dx     g 2  x  dx  . a  a  a  Chứng minh: Trước hết ta có tính chất: b Nếu hàm số h  x  liên tục và không âm trên đoạn  a; b  thì  h  x  dx  0 a 2 Xét tam thức bậc hai   f  x   g  x     2 f 2  x   2 f  x  g  x   g 2  x   0 , với mọi    Lấy tích phân hai vế trên đoạn  a; b  ta được b b b  2  f 2  x  dx  2  f  x  g  x  dx   g 2  x  dx  0 , với mọi    *  a a a Coi *  là tam thức bậc hai theo biến  nên ta có   0 2 b  b  b     f 2  x  dx     f 2  x  dx   g 2  x  dx   0 a  a  a  2 b 2  b 2  b 2     f  x  dx     f  x  dx   g  x  dx  (đpcm) a  a  a  File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 124 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng DẠNG 4: PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN BÀI TẬP 2 Câu 188. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f   x  liên tục trên  0;2 và f  2   3 ,  f  x  dx  3 . 0 2 Tính  x. f   x  dx . 0 A. 3 . B. 3 . C. 0 . D. 6 . Câu 189. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm là f ‘  x  liên tục trên đoạn [0; 1] và f 1  2 . Biết 1 1  f  x  dx  1 , tính tích phân I   x. f ‘  x  dx . 0 0 A. I  1 . B. I  1 . C. I  3 . D. I  3 . 1 Câu 190. Cho hàm số f  x  thỏa mãn   x  1 f ‘  x  dx  10 và 2 f 1  f  0  2 . Tính 0 1 I   f  x  dx . 0 A. I  8 . B. I  8 . C. I  4 . D. I  4 . Câu 191. Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 0 ; 2  và thỏa mãn f  2   16 , 2 1  f  x  dx  4 . Tính tích phân I   x. f   2 x  dx . 0 0 A. I  12 . B. I  7 . C. I  13 . D. I  20 . Câu 192. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên  và thỏa mãn f  2   1 , 2 0  f  2 x  4  dx  1. Tính  xf   x  dx . 2 1 A. I  1 . B. I  0 . C. I  4 . D. I  4 . 5 Câu 193. Cho hàm số y  f  x  thỏa mãn f  x  3 x  1  3 x  2, x  . Tính I   x. f   x dx . 3 1 A. 5 . 4 B. 17 . 4 C. 33 . 4 e Câu 194. Cho hàm số f  x  liên tục trong đoạn 1;e , biết  1 D. 1761 . f  x x dx  1 , f  e   1 . Khi đó e I   f   x  .ln xdx bằng 1 A. I  4 . B. I  3 . C. I  1 . Câu 195. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên  thỏa mãn D. I  0 . π 2 π  f  x   f   x   sin x.cos x , với mọi x   và f  0   0 . Giá trị của tích phân  x. f   x  dx bằng 2  0 π 1 π 1 A.  . B. . C. . D.  . 4 4 4 4 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 102 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 1 Câu 196. Cho hàm số f  x  thỏa f  0   f 1  1 . Biết  e x  f  x   f ‘  x   dx  ae  b . Tính biểu 0 2018 2018 thức Q  a  b . A. Q  8 . B. Q  6 . C. Q  4 . D. Q  2 . Câu 197. Cho hàm số f  x  có đạo hàm trên  thỏa mãn f   x   2018 f  x   2018.x 2017 .e2018 x với mọi x   và f  0   2018. Tính giá trị f 1 . A. f 1  2019e2018 . B. f 1  2018.e2018 . C. f 1  2018.e2018 . D. f 1  2017.e2018 . 1 Câu 198. Cho hàm số y  f  x  với f  0   f 1  1 . Biết rằng:  e x  f  x   f   x   dx  ae  b Tính 0 2017 2017 Q  a b . A. Q  22017  1. B. Q  2 . D. Q  22017  1 . C. Q  0 . 5 Câu 199. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;5 và f  5   10 ,  xf   x  dx  30 0 5 . Tính  f  x  dx . 0 A. 20 . B. 30 . C. 20 . D. 70 . Câu 200. Cho hai hàm số liên tục f và g có nguyên hàm lần lượt là F và G trên đoạn 1;2 . Biết 3 rằng F 1  1 , F  2   4 , G 1  , G  2   2 và 2 11 145 A. . B.  . 12 12 2  1 2 67 f  x  G  x  dx  . Tính  F  x  g  x  dx 12 1 11 145 C.  . D. . 12 12 1 Câu 201. Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  0;1 thỏa mãn  x  f   x   2 dx  f 1 . Giá 0 1 trị của I   f  x  dx bằng 0 A. 2 . B. 2 . C. 1 . D. 1 . 2 2 Câu 202. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn 1;2 và   x  1 f   x  dx  a . Tính 1 theo a và b  f  2  . A. b  a . B. a  b . C. a  b .  f  x dx 1 D. a  b . 2 Câu 203. Cho hàm số f  x  liên tục trên  và f  2   16 ,  f  x  dx  4 . Tính tích phân 0 1 I   x. f   2 x  dx . 0 A. I  13 . B. I  12 . C. I  20 . D. I  7 . Câu 204. Cho y  f  x  là hàm số chẵn, liên tục trên  biết đồ thị hàm số y  f  x  đi qua điểm  1  M   ; 4  và  2  A. I  10 . 1 2 0  f  t  dt  3 , tính I   sin 2 x. f   sin x  dx . 0  6 B. I  2 . C. I  1 . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. I   1 . Trang 103 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng  2  2 Câu 205. Cho hàm số y  f  x  thỏa mãn  sin x. f  x  dx  f  0   1 . Tính I   cos x. f   x  dx . 0 0 A. I  1 . B. I  0 . C. I  2 . D. I   1 . Câu 206. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  và thỏa mãn f   x   2018 f  x   2 x sin x . Tính  2 I  f  x  dx ?   2 2 2 2 4 . B. . C. . D. . 2019 2018 1009 2019 Câu 207. Cho hàm số f  x  và g  x  liên tục, có đạo hàm trên  và thỏa mãn f   0  . f   2   0 và A. 2 g  x  f   x   x  x  2  e x . Tính giá trị của tích phân I   f  x  .g   x  dx ? 0 B. e  2 . A. 4 . C. 4 .   Câu 208. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm và liên tục trên  0;   4  4  4 f  x D. 2  e .   thỏa mãn f    3 , 4  4  cos x dx  1 và  sin x.tan x. f  x  dx  2 . Tích phân  sin x. f   x  dx 0 0 bằng: 0 A. 4 . B. 23 2 . 2 C. 1 3 2 . 2 D. 6 . 2 4  x 0 f  x  dx  4 . Tính I  0 xf   2  dx A. I  12 . B. I  112 . C. I  28 . D. I  144 . Câu 210. Cho hàm số f  x  có đạo hàm cấp hai f   x  liên tục trên đoạn  0;1 thoả Câu 209. Cho hàm số f  x  liên tục trên  và f  2   16 , mãn f 1  f  0   1 , f   0   2018 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 1 1 A.  f   x 1  x  dx  2018 . B.  f   x 1  x  dx  1 . 0 1 0 1 C.  f   x 1  x  dx  2018 . D.  f   x 1  x  dx  1 . 0 0   Câu 211. Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục thỏa mãn f    0 , 2    f   x  2 dx   2  và 4    cos x f  x  dx  4 . Tính f  2018  .  2 1 . D. 1 . 2 Câu 212. Cho hàm số f  x  nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;2  . Biết f  0   1 B. 0 . A. 1 . C. 2 và f  x  . f  2  x   e 2 x2  4 x , với mọi x   0;2  . Tính tích phân I   x 0 A. I   16 . 3 B. I   16 . 5 C. I   3  3x 2  f   x  f  x 14 . 3 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay dx . D. I   32 . 5 Trang 104 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng Câu 213. Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 thỏa mãn f 1  0 và 1 1 1 e2  1   f x  d x  x  1 e f x d x  . Tính tích phân I   f  x  dx .       0   0 4 0 2 x A. I  2  e . B. I  e  2 . C. I  e . 2 D. I  e 1 . 2 2 Câu 214. Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 1; 2  thỏa mãn 1   x 1 f  x  dx   3 , 2 1 2 f  2   0 và   f   x   2 2 dx  7 . Tính tích phân I   f  x  dx . 1 1 7 7 7 7 A. I  . B. I   . C. I   . D. I  . 5 5 20 20 Câu 215. Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 thỏa mãn f 1  1 , 1 1 2   f   x  dx  9 và 3  x f  x  dx  0 0 A. 2 . 3 B. 1 . Tích phân 2 1  f  x  dx bằng 0 5 . 2 C. 7 . 4 D. 6 . 5     Câu 216. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;  và f    0 . Biết  4 4  4  4  8 0 0    f  x  dx  8 ,  f   x  sin 2xdx   4 . Tính tích phân I   f  2 x  dx 2 0 1 1 . C. I  2 . D. I  . 2 4 Câu 217. . Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 và f  0   f 1  0 . Biết B. I  A. I  1 . 1  0 1 f  x  dx  , 2 2 1  f   x  cos   x  dx  0  . Tính 2 1  f  x  dx . 0 1 2 3 . C. . D. .   2 Câu 218. Cho hàm số f  x  có đạo hàm f   x  liên tục trên đoạn  0;1 thỏa f 1  0 , A.  . 1 B. 2   f   x   dx  0 1 2 1   và  cos  x  f  x  dx  . Tính 8 2 2  0 1  f  x  dx . 0  1 2 . B.  . C. . D. . 2   Câu 219. Xét hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  và thỏa mãn điều kiện f 1  1 và f  2   4 A.  f  x  2 f  x 1 . Tính J      dx . x x2  1 2 1 . 2 Câu 220. Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 thỏa mãn A. J  1  ln 4 . 1 B. J  4  ln 2 . 1 C. J  ln 2  e2  1 0  f   x  dx  0  x  1 e f  x  dx  4 và f 1  0 . Tính 2 x D. J  1  ln 4 . 2 1  f  x  dx 0 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 105 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng e2 e 1 e . B. . C. e  2 . D. . 2 4 2 Câu 221. Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 thỏa mãn f 1  0 , A. 1 2   f   x   dx  7 và 0 A. 7 . 5 1 1 2 0 x f  x  dx  3 . Tích phân B. 1 . 1  f  x  dx bằng 0 C. 7 . 4 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D. 4 . Trang 106 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng HƯỚNG DẪN GIẢI 2 Câu 188. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f   x  liên tục trên  0;2 và f  2   3 ,  f  x  dx  3 . 0 2 Tính  x. f   x  dx . 0 A. 3 . B. 3 . C. 0 . Hướng dẫn giải D. 6 . Chọn B 2 Ta có 2 2 2  x. f   x  dx   xd  f  x    x. f  x    f  x  dx  2 f  2   3  3 . 0 0 0 0 Câu 189. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm là f ‘  x  liên tục trên đoạn [0; 1] và f 1  2 . Biết 1  1 f  x  dx  1 , tính tích phân I   x. f ‘  x  dx . 0 0 A. I  1 . B. I  1 . C. I  3 . Hướng dẫn giải D. I  3 . 1 Ta có: I   x. f ‘  x  dx 0 Đặt u  x  du  dx , dv  f ‘  x  dx chọn v   f ‘  x  dx  f  x  1 1 1  I  x. f  x  0   f  x  dx  1. f 1  0. f  0    f  x  dx  2  1  1 0 0 Chọn A 1 Câu 190. Cho hàm số f  x  thỏa mãn   x  1 f ‘  x  dx  10 và 2 f 1  f  0  2 . Tính 0 1 I   f  x  dx . 0 A. I  8 . B. I  8 . C. I  4 . Hướng dẫn giải D. I  4 . 1 A    x  1 f ‘  x  dx Đặt u  x  1  du  dx , dv  f ‘  x  dx chọn v  f  x  0 1 1 1 1 1  A   x  1 . f  x  0   f  x  dx  2 f (1)  f (0)   f  x  dx  2   f  x  dx  10   f  x  dx  8 0 0 0 0 Chọn B Câu 191. Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 0 ; 2  và thỏa mãn f  2   16 , 2 1  f  x  dx  4 . Tính tích phân I   x. f   2 x  dx . 0 0 A. I  12 . B. I  7 . C. I  13 . Hướng dẫn giải D. I  20 . Chọn B du  dx u  x   Đặt  f  2x . dv  f   2 x  dx v   2 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 107 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khi đó: I  Tích Phân và Ứng Dụng x. f  2 x  1 1 1 f  2 1 2 16 1   f  2 x  dx    f  t  dt   .4  7 . 2 20 2 40 2 4 0 Câu 192. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên  và thỏa mãn f  2   1 , 2 0  f  2 x  4  dx  1. Tính  xf   x  dx . 2 1 B. I  0 . A. I  1 . C. I  4 . Hướng dẫn giải D. I  4 . Chọn B Đặt t  2 x  4  dt  2dx , đổi cận x  1  t  2 , x  2  t  0 . 2 0 0 0 1 1   f  2 x  4  dx   f  t  dt   f  t  dt  2   f  x  dx  2 . 2 2 1 2 2 Đặt u  x  du  dx , dv  f   x  dx  v  f  x  . 0 Vậy 0 0  xf   x  dx  xf  x  2   f  x  dx  2 f  2  2  2.1  2  0 . 2 2 5 Câu 193. Cho hàm số y  f  x  thỏa mãn f  x  3 x  1  3 x  2, x  . Tính I   x. f   x dx . 3 1 A. 5 . 4 B. 17 . 4 33 . 4 Hướng dẫn giải C. D. 1761 . Chọn C 5 u  x du  dx 5   Đặt    I  xf  x  1   f  x  dx .  dv  f   x  dx v  f  x  1 5  f 5  5  x  1 Từ f  x  3 x 1  3x  2   , suy ra I  23   f  x dx.  f 1  2  x  0 1  dt  3x 2  3 dx  3 Đặt t  x  3 x 1    f t   3x  2  Đổi cận: Với t  1  1  x3  3x  1  x  0 và t  5  x3  3 x  1  5  x  1 . 5 1 Casio 33 Khi đó I  23   f  x  dx  23   3x  23 x 2  3 dx  4 1 0 Chọn C e f  x dx  1 , f  e   1 . Khi đó Câu 194. Cho hàm số f  x  liên tục trong đoạn 1;e , biết  x 1 3 e I   f   x  .ln xdx bằng 1 B. I  3 . A. I  4 . C. I  1 . Hướng dẫn giải D. I  0 . Chọn D e e 1 Cách 1: Ta có I   f   x  .ln xdx  f  x  .ln x 1   f  x  . dx  f  e   1  1  1  0 . x 1 1 e File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 108 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng dx  u  ln x du   x . Cách 2: Đặt  dv  f   x  dx v  f  x   e e e Suy ra I   f   x  .ln xdx  f  x  ln x 1   f  x dx  f  e   1  1  1  0 . x Câu 195. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên  thỏa mãn 1 1 π 2 π  f  x   f   x   sin x.cos x , với mọi x   và f  0   0 . Giá trị của tích phân  x. f   x  dx bằng 2  0 π 1 π 1 A.  . B. . C. . D.  . 4 4 4 4 Hướng dẫn giải Chọn D π  Theo giả thiết, f  0   0 và f  x   f   x   sin x.cos x nên 2  π π f 0  f    0  f    0 . 2 2 Ta có: π 2 π 2 π 2 π 2 0 I   x. f   x  dx   xd  f  x    xf  x     f  x  dx 0 0 0 π 2 Suy ra: I    f  x  dx . 0 Mặt khác, ta có:    1 π    f  x   f   x   sin x.cos x   2 f  x  dx   2 f   x  dx   2 sin x.cos x dx  0 0 0 2 2  2    0 1 1   Suy ra:  2 f  x  dx   f   x  dx    2 f  x  dx  0 0 2 4 2  2 π 2 1 Vậy I    f  x  dx   . 4 0 1 Câu 196. Cho hàm số f  x  thỏa f  0   f 1  1 . Biết  e x  f  x   f ‘  x   dx  ae  b . Tính biểu 0 2018 thức Q  a  b A. Q  8 . 2018 1 . B. Q  6 . 1 C. Q  4 . Hướng dẫn giải D. Q  2 . 1 A   e x  f  x   f ‘  x   dx   e x f  x  dx   e x f ‘  x  dx 0 0 0    A1 A2 1 A1   e x f  x  dx 0 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 109 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 1 1 Đặt u  f  x   du  f ‘  x  dx , dv  e x dx chọn v  e x  A1  e x . f  x  0   e x f ‘  x  dx 0  A2 1 1 0 0 Vậy A  e x f  x   A2  A2  e x f  x   e. f 1  f  0   e  1 a  1   a 2018  b 2018  1  1  2 b   1  Chọn D Câu 197. Cho hàm số f  x  có đạo hàm trên  thỏa mãn f   x   2018 f  x   2018.x 2017 .e2018 x với mọi x   và f  0   2018. Tính giá trị f 1 . B. f 1  2018.e2018 . A. f 1  2019e2018 . C. f 1  2018.e2018 . D. f 1  2017.e2018 . Hướng dẫn giải Chọn A Ta có: f   x   2018 f  x   2018.x 2017 .e2018 x  1  0 f   x   2018. f  x   2018.×2017 e2018 x 1 f   x   2018. f  x  d x  2018.x 2017 dx 1 2018 x  e 0 1 Xets I   0 1 1 f   x   2018. f  x  2018 x  d x  f x .e d x  2018. f  x  .e 2018 x dx   2018 x   e 0 0 u  f  x  du  f   x  dx  Xét I1   2018. f  x  .e 2018 x dx . Đặt  .  2018 x 2018 x d v  2018.e d x v   e   0   1 1 Do đó I1  f  x  .  e 2018 x  1 0   f   x  .e 2018 x dx  I  f 1 .e 2018 x  2018 0 Khi đó 1  f 1 .e 2018 x  2018  x 2018 1 0  f 1  2019.e2018 . 1 Câu 198. Cho hàm số y  f  x  với f  0   f 1  1 . Biết rằng:  e x  f  x   f   x   dx  ae  b Tính 0 Qa 2017 b A. Q  2 2017 2017 .  1. B. Q  2 . C. Q  0 . Hướng dẫn giải D. Q  22017  1 . Chọn C u  f  x  du  f   x  dx  Đặt  . x x dv  e dx v  e 1 2 1 1 x x x x  e  f  x   f   x   dx  e f  x    e f   x  dx   e f   x  dx  ef 1  f  0   e  1 . 1 0 0 0 Do đó a  1 , b  1 . 2017 Suy ra Q  a2017  b2017  12017   1  0. Vậy Q  0 . File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 110 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 5 Câu 199. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;5 và f  5   10 ,  xf   x  dx  30 0 5 . Tính  f  x  dx . 0 B. 30 . A. 20 . C. 20 . Hướng dẫn giải D. 70 . Chọn A u  x  du  dx Đặt  dv  f   x  dx  v  f  x  5 5 5 5  x. f   x  dx   x. f  x     f  x  dx  30  5 f  5   f  x  dx 0 0 0 0 5   f  x  dx  5 f  5   30  20 . 0 Câu 200. Cho hai hàm số liên tục f và g có nguyên hàm lần lượt là F và G trên đoạn 1;2 . Biết 2 67 3 rằng F 1  1 , F  2   4 , G 1  , G  2   2 và  f  x  G  x  dx  . Tính 2 12 1 11 145 11 A. . B.  . C.  . 12 12 12 Hướng dẫn giải Chọn A u  F  x  du  f  x  dx Đặt   dv  g  x  dx v  G  x  2 2 2  F  x  g  x  dx 1 2 D. 145 . 12 2  F  x  g  x  dx   F  x  G  x     f  x  G  x  dx  F  2  G  2   F  1 G 1   f  x  G  x  dx 1 1 1 1 3 67 11  4.2  1.   . 2 12 12 1 Câu 201. Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  0;1 thỏa mãn  x  f   x   2 dx  f 1 . Giá 0 1 trị của I   f  x  dx bằng 0 A. 2 . B. 2 . C. 1 . Hướng dẫn giải D. 1 . Chọn C 1 Ta có 1 1  x  f   x   2 dx   x. f   x  dx   2 xdx 0 0 1 1   xd  f  x    x 2 0 0 0 1 1  x. f  x    f  x  dx  1  f 1  I  1 . 0 0 1 Theo đề bài  x  f   x   2 dx  f 1  I  1 . 0 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 111 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 2 Câu 202. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn 1;2 và 2   x 1 f   x  dx  a . Tính  f  x dx 1 theo a và b  f  2  . A. b  a . B. a  b . 1 C. a  b . Hướng dẫn giải D. a  b . Chọn A Đặt u  x  1  du  dx ; dv  f   x  dx chọn v  f  x  . 2 2 2 2 b   x  1 f   x  dx   x  1 f  x    f  x  dx  f  2   f  x  dx  b   f  x  . 1 1 1 2 2 Ta có 1 a 2   x 1 f   x  dx  a  b   f  x  dx  a   f  x  dx  b  a . 1 1 1 2 Câu 203. Cho hàm số f  x  liên tục trên  và f  2   16 ,  f  x  dx  4 . Tính tích phân 0 1 I   x. f   2 x  dx . 0 A. I  13 . B. I  12 . C. I  20 . Hướng dẫn giải D. I  7 . Chọn D du  dx u  x  Đặt   . 1 dv  f   2 x  dx v  f  2 x   2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Khi đó, I  x. f  2 x    f  2 x  dx  f  2    f  2 x  dx  8   f  2 x  dx . 2 20 2 20 20 0 Đặt t  2 x  dt  2dx . Với x  0  t  0 ; x  1  t  2 . 2 1 Suy ra I  8   f  t  dt  8  1  7 . 40 Câu 204. Cho y  f  x  là hàm số chẵn, liên tục trên  biết đồ thị hàm số y  f  x  đi qua điểm  1  M   ; 4  và  2  1 2  0 f  t  dt  3 , tính I  0  sin 2 x. f   sin x  dx .  A. I  10 . 6 B. I  2 . C. I  1 . Hướng dẫn giải D. I   1 . Chọn B 0 Xét tích phân I    6 0 sin 2 x. f   sin x  dx   2sin x. f   sin x  .cos xdx .  6  1  x    t   Đặt: t  sin x  dt  cos xdx . Đổi cận:  6 2.  x  0  t  0 0  I  2  t. f   t  dt .  1 2 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 112 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng u  2t du  2dt  Đăt:  . dv  f   t  dt v  f  t  0 0 0  1 1  2  f  t  dt  f     2  f  t  dt .   2  1 1 2 2 2  1  Đồ thị hàm số y  f  x  đi qua điểm M   ; 4    2   I  2t. f  t   1 f    4.  2 0 Hàm số y  f  x  là hàm số chẵn, liên tục trên   1 2 1 2  f  t  dt   f  t  dt   f  x  dx  3 .  1 2 0 0 Vậy I  4  2.3  2 .  2  2 Câu 205. Cho hàm số y  f  x  thỏa mãn  sin x. f  x  dx  f  0   1 . Tính I   cos x. f   x  dx . 0 B. I  0 . A. I  1 . 0 C. I  2 . Hướng dẫn giải D. I   1 . Chọn C u  f  x   du  f ( x)dx Đặt  dv  sin xdx  v   cos x  2  2 0  2   sin x. f  x  dx    cos x. f  x     cos x. f   x  dx . 0 0  2  2   I   cos x. f   x  dx   sin x. f  x  dx  cos x. f  x  02  1  1  0 . 0 0 Câu 206. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  và thỏa mãn f   x   2018 f  x   2 x sin x . Tính  2 I  f  x  dx ?   2 A. 2 . 2019 B. 2 . 2018 2 . 1009 Hướng dẫn giải C. D. 4 . 2019 Chọn D  2 Ta có  2   f   x   2018 f  x  dx   2 x sin xdx   2   2   2  2  2  f   x  dx  2018  f  x  dx   2 x sin xdx   2   2   2  2  2019  f  x  dx    2  2  2 x sin xdx 1   2  2 + Xét P   2 x sin xdx   2 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 113 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng u  2 x du  2dx  Đặt  dv  sin xdx v   cos x P  2 x.   cos x   2   2  2 Từ 1 suy ra I   sin x  2   2 4 4  f  x  dx  2019 .   2 Câu 207. Cho hàm số f  x  và g  x  liên tục, có đạo hàm trên  và thỏa mãn f   0  . f   2   0 và 2 g  x  f   x   x  x  2  e x . Tính giá trị của tích phân I   f  x  .g   x  dx ? 0 B. e  2 . A. 4 . D. 2  e . C. 4 . Hướng dẫn giải Chọn C Ta có g  x  f   x   x  x  2  e x  g  0   g  2   0 (vì f   0  . f   2   0 ) 2 2 2 2 2 I   f  x  .g   x  dx   f  x  dg  x    f  x  .g  x     g  x  . f   x  dx     x 2  2 x  e x dx  4 . 0 0 0 0 0     Câu 208. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm và liên tục trên  0;  thỏa mãn f    3 ,  4 4  4  4 f  x  4  cos x dx  1 và  sin x.tan x. f  x  dx  2 . Tích phân  sin x. f   x  dx 0 0 bằng: 0 A. 4 . B. 23 2 . 2 1 3 2 . 2 Hướng dẫn giải C. D. 6 . Chọn B  4 u  sin x du  cos xdx  Ta có: I   sin x. f   x  dx . Đặt  . 0 dv  f   x  dx v  f  x   4  4 0 I  sin x. f  x    cos x. f  x  dx  0  4 3 2  I1 . 2  4  4  2 f  x   f  x  2 2   sin x.tan x. f  x   dx   sin x.  dx    1  cos x .  dx . cos x  cos x  0 0  0   4    4  f  x     dx   cos x. f  x  dx  1  I1 . cos x  0  0 3 2 3 2 2  I1  1  I  . 1  2 2 2 Câu 209. Cho hàm số f  x  liên tục trên  và f  2   16 , B. I  112 .  x  f  x  dx  4 . Tính I   xf   2  dx 0 A. I  12 . 4 C. I  28 . Hướng dẫn giải 0 D. I  144 . Chọn B File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 114 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng u  x du  dx   Đặt   x   x.  d v  f d x v  2 f   2    2     Khi đó 4 4 4  x x 4 x I   xf    dx  2 xf   0  2 f   dx  128  2I1 với I1   2  2  2 0 0 0 4 Đặt u  x  dx  2du , khi đó I1   2 0 2  x f   dx . 2 2  x f   dx  2  f  u  du  2 f  x  dx  8 . 2 0 0 Vậy I  128  2I1  128  16  112 . Câu 210. Cho hàm số f  x  có đạo hàm cấp hai f   x  liên tục trên đoạn  0;1 thoả mãn f 1  f  0   1 , f   0   2018 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 1 1 A.  f   x 1  x  dx  2018 . B.  f   x 1  x  dx  1 . 0 1 0 1 C.  f   x 1  x  dx  2018 . D.  f   x 1  x  dx  1 . 0 0 Hướng dẫn giải Chọn A 1 1 Xét I   f   x 1  x  dx   1  x  d  f   x   0 0 u  1  x du  dx  Đặt  v  f   x  dv  d  f   x   1 1 1  I  1  x  f   x  0   f   x  dx  1  1 f  1  f   0   f  x  0   f   0   f 1  f  0  0  2018  1  1  2018 .   Câu 211. Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục thỏa mãn f    0 , 2    f   x  2 dx   2  và 4    cos x f  x  dx  4 . Tính f  2018  .  2 1 . 2 Hướng dẫn giải B. 0 . A. 1 . C. D. 1 . Chọn D Bằng công thức tích phân từng phần ta có   cos xf  x  dx  sin xf  x   2    2     sin xf   x  dx . Suy ra  sin xf   x  dx    2  2   2 2  . 4 1  cos 2 x   2 x  sin 2 x  Hơn nữa ta tính được  sin xdx   dx    .  2 4   4   2 2 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 115 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A  2   f   x  Do đó:  2 2  2 Tích Phân và Ứng Dụng  2 2 dx  2  sin xf   x  dx   sin 2 xdx  0    f   x   sin x  dx  0 . 0 0 0 0   Suy ra f   x    sin x . Do đó f  x   cos x  C . Vì f    0 nên C  0 . 2 Ta được f  x   cos x  f  2018   cos  2018   1 . Câu 212. Cho hàm số f  x  nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;2  . Biết f  0   1 2 và f  x  . f  2  x   e 2 x2  4 x , với mọi x   0;2  . Tính tích phân I   x 3  3x 2  f   x  0 16 . 3 A. I   B. I   16 . 5 C. I   f  x 14 . 3 dx . D. I   32 . 5 Hướng dẫn giải Chọn B Cách 1: Theo giả thiết, ta có f  x  . f  2  x   e2 x ln  f  x  . f  2  x    ln e2 x 2 4 x 2 4 x và f  x  nhận giá trị dương nên  ln f  x   ln f  2  x   2 x 2  4 x . Mặt khác, với x  0 , ta có f  0  . f  2   1 và f  0   1 nên f  2   1 . 2 Xét I   x  3x 2  f   x  3 f  x 0 3 2 dx , ta có I    x3  3×2  . 0 f  x dx f  x 2 u  x  3x du   3 x 2  6 x  dx   Đặt  f  x  dv  f x dx v  ln f  x     2 2 2 Suy ra I   x3  3x 2  ln f  x      3x 2  6 x  .ln f  x  dx    3 x2  6 x  .ln f  x  dx 1 . 0 0 0 Đến đây, đổi biến x  2  t  dx  dt . Khi x  0  t  2 và x  2  t  0 . 0 2   2   Ta có I    3t  6t .ln f  2  t  dt    3t 2  6t .ln f  2  t  dt 2 0 2     Vì tích phân không phụ thuộc vào biến nên I    3 x 2  6 x .ln f  2  x  dx  2  . 0 2 Từ 1 và  2  ta cộng vế theo vế, ta được 2 I   3x 2  6 x . ln f  x   ln f  2  x   dx 0 2 1 16 Hay I     3 x 2  6 x  .  2 x 2  4 x  dx   . 20 5 Cách 2 (Trắc nghiệm) 2 Chọn hàm số f  x   e x  2 x , khi đó: 2 I  x 3  3 x 2  .e x 2 2 2x . 2x  2 2 dx    x3  3x 2 .  2 x  2  dx  16 . 5 e x 2x 0 Câu 213. Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 thỏa mãn f 1  0 và 0 1 2 1 x   f   x  dx    x  1 e f  x  dx  0 0 1 e2  1 . Tính tích phân I   f  x  dx . 4 0 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 116 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. I  2  e . B. I  e  2 . C. I  Tích Phân và Ứng Dụng e . 2 D. I  e 1 . 2 Hướng dẫn giải Chọn B 1 du  f   x  dx u  f  x   Xét A    x  1 e x f  x  dx . Đặt   x x v  xe dv   x  1 e dx 0 1 1 1 1 Suy ra A  xe x f  x  0   xe x f   x  dx    xe x f   x  dx   xe x f   x  dx  0 0 1 1 Xét 0 1  e2 4 1 1 e2  1 2 2x 2x  1 2 . x e d x  e x  x     0 2 40 4 2 1 Ta có 1 2 1 1 2 x 2 2x x   f   x   dx  2 xe f   x  dx   x e dx  0    f   x   xe  dx  0 0 0 0 0 Suy ra f   x   xe  0 x   0;1 (do  f   x   xe x x 2   0 x   0;1 )  f   x    xe x  f  x   1  x  e x  C Do f 1  0 nên f  x   1  x  e x 1 1 1 Vậy I   f  x  dx   1  x  e x dx   2  x  e x 0  e  2 . 0 0 2 Câu 214. Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 1; 2  thỏa mãn 1   x 1 f  x  dx   3 , 2 1 2 f  2   0 và   f   x   2 2 dx  7 . Tính tích phân I   f  x  dx . 1 A. I  1 7 . 5 7 B. I   . 5 C. I   7 . 20 D. I  7 . 20 Hướng dẫn giải Chọn B Đặt u  f  x   du  f   x  dx , dv   x  1 2 3 3 2 3 2  x  1 dx  v  3 1 2  x  1 . f x  2  x  1 f  x dx Ta có     x  1 f  x  dx       3 1 3 3 1 1 2 2 2 1 1 3 3 3       x  1 f   x  dx    x  1 f   x  dx  1   2.7  x  1 f   x  dx  14 3 31 1 1 2 2 6 2 2 2 3 6 Tính được  49  x  1 dx  7    f   x   dx  2.7  x  1 f   x  dx   49  x  1 dx  0 1 2 1 2 1 3 3   7  x  1  f   x   dx  0  f   x   7  x  1  f  x     1 7  x  1 1 7  x  1 4 4 C . 4 7  . 4 4 4 2 2  7  x  1 7  7 Vậy I   f  x  dx      dx   . 4 4  5  1 1  Do f  2   0  f  x   File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 117 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng Câu 215. Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 thỏa mãn f 1  1 , 1 1 1 0  f   x  dx  9 và 0 x f  x  dx  2 . Tích phân 2 A. 3 2 . 3 B. 5 . 2 1  f  x  dx bằng 0 7 . 4 Hướng dẫn giải C. D. 6 . 5 Chọn B 1 2 Ta có:   f   x   dx  9 1 0 1 1 – Tính  x 3 f  x  dx  . 2 0 du  f   x  dx u  f  x    Đặt  x4 3 d v  x .d x v     4 1 1 1 1  x4  1 1 4 1 1 4 3    x f  x  dx   . f  x     x . f   x  dx    x . f   x  dx 2 0 4 40  4 0 4 0 1 1   x 4 . f   x  dx  1  18 x 4 . f   x  dx  18  2  0 0 9 1 1 – Lại có:  x8dx  0 x 9  0 1 1  81 x8 dx  9  3  9 0 – Cộng vế với vế các đẳng thức 1 ,  2  và  3  ta được: 1 1 1 2 4 8 4 4 0   f   x    18 x . f   x   81x  dx  0  0  f   x   9 x  dx  0   .0  f   x   9 x  dx  0 Hay thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f   x   9 x 4 , trục hoành Ox , các đường thẳng x  0 , x  1 khi quay quanh Ox bằng 0 9  f   x   9 x 4  0  f   x   9 x 4  f  x    f   x  .dx   x 4  C . 5 14 9 14 Lại do f 1  1  C   f  x    x5  5 5 5 1 1 1 14  14  5  9  3   f  x  dx     x5   dx    x 6  x   . 5 5 5 0 2  10 0 0     Câu 216. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;  và f    0 . Biết  4 4  4  0  f 2  x  dx  , 8 A. I  1 .  4  0  8  f   x  sin 2xdx   . Tính tích phân I   f  2 x  dx 4 0 1 B. I  . C. I  2 . 2 Hướng dẫn giải D. I  1 . 4 Chọn D File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 118 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A  4 Tính sin 2 x  u  Tích Phân và Ứng Dụng 2cos 2 xdx  du  f   x  sin 2xdx   4 . Đặt  f   x  dx  dv   f  x   v , khi đó 0  4  f   x  sin 2xdx  sin 2x. f  x   4 0 0  4  2  f  x  cos2xdx  sin 0  .f 2  4    4   sin 0. f  0   2  f  x  cos2xdx   0  4  2  f  x  cos2xdx . 0  4 Theo đề bài ta có  4  0 0  4 Mặt khác ta lại có  cos 2 2 xdx  0  4   f  x   cos2x  Do   f   x  sin 2xdx   4   f  x  cos2xdx  8 . 0 2  . 8  4 dx    f 2  x   2f  x  .cos2x  cos 2 2 x  dx 0     2  0 8 8 8 nên f  x   cos 2 x .  8  8 1 1 Ta có I   cos 4 xdx  sin 4 x  . 4 4 0 0 Câu 217. . Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 và f  0   f 1  0 . Biết 1  f 2  x  dx  0 1 , 2 1  f   x  cos   x  dx  0 1 B. .  A.  . 1  . Tính 2  f  x  dx . 0 2 .  Hướng dẫn giải C. D. 3 . 2 Chọn C u  cos  x  du   sin   x  dx Đặt   . dv  f   x  dx v  f  x  1 Khi đó:  1 1 f   x  cos   x  dx  cos  x  f  x  0    f  x  sin  x  dx 0 0 1 1    f 1  f  0      f  x  sin  x  dx    f  x  sin  x  dx 0 1   f  x  sin  x  dx  0 0 1 . 2 Cách 1: Ta có 1 Tìm k sao cho   f  x   k sin  x   2 dx  0 0 1 Ta có: 2 1 1 1 2 2 2   f  x   k sin  x  dx   f  x  dx  2k  f  x  sin  x  dx  k  sin  x  dx 0 0 0 0 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 119 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A  Tích Phân và Ứng Dụng 1 k2  k   0  k  1. 2 2 1 2 2 Do đó   f  x   sin  x   dx  0  f  x   sin   x  (do  f  x   sin  x    0 x   ). 0 1 Vậy 1 2  f  x  dx   sin  x  dx   . 0 0 Cách 2: Sử dụng BĐT Holder. 2 b b b  2 f x g x d x  f x d x . g 2  x  dx .           a  a a Dấu “  ” xảy ra  f  x   k .g  x  ,  x   a; b  . 2 1 1 1  1  1 Áp dụng vào bài ta có    f  x  sin  x  dx    f 2  x  dx. sin 2   x  dx  , 4 0 4 0 0  suy ra f  x   k .sin   x  , k   . 1 1  Mà f  x  sin   x  dx  0 1 Vậy 1 1  k  sin 2   x  dx   k  1  f  x   sin  x  2 2 0 1 2  f  x  dx   sin  x  dx   . 0 0 Câu 218. Cho hàm số f  x  có đạo hàm f   x  liên tục trên đoạn  0;1 thỏa f 1  0 , 1   f   x 0 2 1 2 1   dx  và  cos  x  f  x  dx  . Tính 8 2 2  0  . 2 A. 1  f  x  dx . 0 1 .  Hướng dẫn giải B.  . C. D. 2 .  Chọn D du  f   x  dx u  f  x   Đặt  2 x x  d v  cos d x v  sin    2 2 1 1   Do đó  cos  x  f  x  dx  2 2  0 1 1 2 x 2   sin f  x    sin   2  0 2 0 1  Lại có:  sin 2  2 0 1 1  1    x  f   x  dx    sin  x  f   x  dx   . 4 2  2  0 1  x  dx  2  2 1  2   2   I     . f   x   dx  2     sin     0 2 0  1 1   x  f   x  dx   sin 2   2 0  x  dx  2  2      f   x   sin  2 0  4 2 2  1  x   dx  2  .  0  8  2 2   2  Vì   f   x   sin  2    x    0 trên đoạn  0;1 nên  2 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 120 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 2 1 2   2       0    f   x   sin  2 x   dx  0    f   x  =sin  2 x   f   x  =  2 sin  2     Suy ra f  x  =cos  x   C mà f 1  0 do đó f  x  =cos  x  . 2  2  1  x .  1 2   0 f  x  dx  0 cos  2 x  dx   . Câu 219. Xét hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  và thỏa mãn điều kiện f 1  1 và f  2   4 Vậy  f  x  2 f  x 1 . Tính J      dx . x x2  1 2 A. J  1  ln 4 . B. J  4  ln 2 . C. J  ln 2  1 . 2 D. J  1  ln 4 . 2 Hướng dẫn giải Chọn D 2 2 2 f  x f  x  f  x  2 f  x 1 2 1  dx   2 dx     2  dx . Cách 1: Ta có J      dx   2 x x x x x x   1 1 1 1 1 1   u  du   2 dx x  x Đặt  dv  f   x  dx v  f  x    2 2 2 2 2 2  f  x  2 f  x 1 f  x f  x 1 2 1  J    d x  . f x  d x  d x     2    2  dx 2 2   x x x x x x x  1   1 1 1 1 2 1 1 1   f  2   f 1   2 ln x     ln 4 . 2 x 1 2  2  f  x  2 f  x 1  xf   x   f  x  2 1  Cách 2: J     d x    2  dx  1  x x2  x2 x x  1 2 2 2  f  x    f  x 1 1 2 1     2 ln x     ln 4 .  dx     2  dx   x 1 2 x  x   x 1 1 x Cách 3: ( Trắc nghiệm) a  3  f 1  1 Chọn hàm số f  x   ax  b . Vì   , suy ra f  x   3 x  2 .  f  2   4 b  2 2 2 2 1 1  5 3x  1   Vậy J     2  dx   2 ln x    ln 4  . x  x 1 2  1 x Câu 220. Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 thỏa mãn 1 1 2 x   f   x  dx    x  1 e f  x  dx  0 0 A. e2  1 và f 1  0 . Tính 4 1  f  x  dx 0 2 e 1 . 2 B. e . 4 C. e  2 . D. e . 2 Hướng dẫn giải Chọn C 1 1 1 – Tính: I    x  1 e x f  x  dx   xe x f  x  dx   e x f  x  dx  J  K . 0 0 0 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 121 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 1 Tính K   e x f  x  dx 0 x x x u  e f  x  du   e f  x   e f   x   dx Đặt   v  x dv  dx 1 1 1 1  K   xe f  x      xe f  x   xe f   x   dx    xe f  x  dx   xe x f   x  dx  do f 1  0  0 x x x x 0 0 1 0 1  K   J   xe x f   x  dx  I  J  K    xe x f   x  dx . 0 0 – Kết hợp giả thiết ta được: 1 1 2 2 e2  1 e2  1    f x  d x   f x  d x  (1)           4 4 0 0  1  1 2 2 e  1  xe x f  x dx  2 xe x f  x dx   e  1 (2)         4 2  0  0 1 e2  1 (3) . – Mặt khác, ta tính được:  x2e2 x dx  4 0 – Cộng vế với vế các đẳng thức (1), (2), (3) ta được: 1  1  2 1 2 2  f   x    2 xe x f   x   x2e2 x dx  0    f   x   xe x  dx  0     f   x   xe x  dx  0 0 o o x hay thể tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f   x   xe , trục Ox , các đường thẳng x  0 , x  1 khi quay quanh trục Ox bằng 0  f   x   xe x  0  f   x    xe x  f  x    xe x dx  1  x  e x  C . – Lại do f 1  0  C  0  f  x   1  x  e x 1 1 1 1 1   f  x  dx   1  x  e x dx   1  x  e x    e x dx  1  e x  e  2 . 0 0 0 0 0 1 Vậy  f  x  dx  e  2 . 0 Câu 221. Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 thỏa mãn f 1  0 , 1 1 1 0  f   x   dx  7 và 0 x f  x  dx  3 . Tích phân 2 A. 2 7 . 5 B. 1 . 1  f  x  dx bằng 0 7 . 4 Hướng dẫn giải C. D. 4 . Chọn A du  f   x  dx u  f  x    Cách 1: Tính:  x f  x  dx . Đặt  . x3 2 dv  x dx v  0  3 1 2 1 1 x3 f  x  1 Ta có:  x f  x  dx    x 3 . f   x  dx 3 0 30 0 1 2 File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 122 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A  Tích Phân và Ứng Dụng 1 1. f 1  0. f  0 1 1 3 1   x . f   x  dx    x3 . f   x  dx . 3 30 30 1 1 2  x f  x  dx  Mà 0 1 Ta có   f   x   2 1 1 1 1    x3. f   x  dx    x3 . f   x  dx  1 . 3 30 3 0 dx  7 (1). 0 1 1 1 x7 1 1 x d x    49 x 6dx  .49  7 (2). 0  7 0 7 7 0 6 1 1 3 3  x . f   x  dx  1  14 x . f   x  dx  14 (3). 0 0 1 1 2 1 6 Cộng hai vế (1) (2) và (3) suy ra   f   x   dx   49 x dx   14 x3. f   x  dx  7  7  14  0 . 0 1  0  2 0 1 2    f   x    14 x3 f   x   49 x6 dx  0    f   x   7 x3  dx  0 . 0 0 1 2 1 3 2 2 Do  f   x   7 x   0    f   x   7 x  dx  0 . Mà   f   x   7 x3  dx  0  f   x   7 x 3 . 3 0 0 4 7x 7 7  C . Mà f 1  0    C  0  C  . 4 4 4 4 7x 7  . Do đó f  x    4 4 f  x   1 Vậy  0 1 1  7 x4 7   7 x5 7  7 f  x  dx       dx     x  . 4 4  20 4  0 5 0 1 Cách 2: Tương tự như trên ta có: 3  x . f   x  dx  1 0 Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có: 2 1 1 1  1  1  2 2 2 2 1 7  7   x3 f   x  dx   7    x3  dx      f   x   dx   7     f   x   dx    f   x   dx 7 0 0 0  0  0  3 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi f   x   ax , với a   . 1 1 1 ax7  1  a  7 . Ta có  x . f   x  dx  1   x .ax dx  1  7 0 0 0 3 3 Suy ra f   x   7 x3  f  x    3 7 x4 7  C , mà f 1  0 nên C  4 4 7 1  x 4  x   .  4 1 1  7 x4 7   7 x5 7  1 7 Vậy  f  x  dx       dx     x  . 4 4  20 4  0 5 0 0 Chú ý: Chứng minh bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Cho hàm số f  x  và g  x  liên tục trên đoạn  a; b  . Do đó f  x   File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 123 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 2 b  b  b  Khi đó, ta có   f  x  g  x  dx     f 2  x  dx     g 2  x  dx  . a  a  a  Chứng minh: Trước hết ta có tính chất: b Nếu hàm số h  x  liên tục và không âm trên đoạn  a; b  thì  h  x  dx  0 a 2 Xét tam thức bậc hai   f  x   g  x     2 f 2  x   2 f  x  g  x   g 2  x   0 , với mọi    Lấy tích phân hai vế trên đoạn  a; b  ta được b b b  2  f 2  x  dx  2  f  x  g  x  dx   g 2  x  dx  0 , với mọi    *  a a a Coi *  là tam thức bậc hai theo biến  nên ta có   0 2 b  b  b     f 2  x  dx     f 2  x  dx   g 2  x  dx   0 a  a  a  2 b 2  b 2  b 2     f  x  dx     f  x  dx   g  x  dx  (đpcm) a  a  a  File Word liên hệ: 0978064165 – Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 124
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments

Bài viết tương tự

Scroll to Top